Косинус 1 – CGI script error

Содержание

cos 0 равен

«cos 0 равен… »
Тригонометрическую функцию можно вычислить с помощью нескольких способов. Рассмотрим их.

Способ 1.
Является одним из самых применяемых, распространенных и простых. Чтобы с его помощью вычислить значение заданной функции необходимо использовать таблицу значений тригонометрических функций от основных углов.

Таблица позволяет определить значение , которое равно единице:

   

Способ 2.
Если же таблицы значений функций нет, то можно использовать тригонометрический круг, который также называют тригонометрической окружностью. С его помощью можно вычислять значения основных тригонометрических функций (синус, косинус).

На тригонометрическом круге значения косинуса лежат на оси абсцисс (оси Ох). 0 градусов соответственно совпадает с числом 0. При проецировании этой точки на ось абсцисс получаем 1. Таким образом, косинус от 0 равен 1.

Способ 3.
Если запомнить как выглядит график косинуса (косинусоида), то нет необходимости запоминать или искать таблицу или учиться пользоваться тригонометрической окружностью.

По графику возможно очень точное определение значения функции косинус при . Для этого найдем, в какой точке графика его аргумент равен 0 и проецируем эту точку на ось ординат. Получаем значение 1.

ru.solverbook.com

Формулы тригонометрических уравнений

Для удобной работы все формулы для решения простейших тригонометрических уравнений, включая частные случаи, а также таблицы арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов собраны на одной странице.

I. sin x =a

При │a│>1 это уравнение решений не имеет.

При │a│не превосходящем 1 уравнение имеет бесконечное множество решений:

   

Таблица арксинусов

   

   

II. cos x=a

При │a│>1 это уравнение решений не имеет.

При │a│не превосходящем 1 уравнение имеет бесконечное множество решений:

   

Таблица арккосинусов

   

   

Частные случаи синуса и косинуса:

III. tg x=a

Уравнение имеет бесконечное множество решений при любых значениях a.

   

Таблица арктангенсов

   

   

IV. ctg x = a

Уравнение имеет бесконечное множество решений при любых значениях a.

   

Таблица арккотангенсов

   

   

 

www.uznateshe.ru

Косинус — это… Что такое Косинус?

Рис. 1
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса

Тригонометрические функции — вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна (про ещё менее употребляемые функции см. здесь). В англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.

Способы определения

Геометрическое определение

Рис. 2
Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть дана декартова система координат на плоскости и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Будем измерять углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим xB, ординату обозначим yB (см. рисунок.)

Рис. 3.
Тригонометрические функции угла α в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице.

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате yB

, а косинус — абсциссе xB. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если α — действительное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:

  • Синусом α называется отношение AB/OB (противолежащего катета к гипотенузе)
  • Косинусом α называется отношение ОА/OB (прилежащего катета к гипотенузе)
  • Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)
  • Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)
  • Секансом α называется отношение ОB/OA (гипотенузы к прилежащему катету)
  • Косекансом α называется отношение ОB/AB (гипотенузы к противолежащему катету)

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее. Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см. Теорема синусов, Теорема косинусов).

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус

можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения


с начальными условиями cos(0) = sin'(0) = 1, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенны́х рядов:


Пользуясь этими формулами, а также уравнениями и можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

где Bn — числа Бернулли.
где E
n
 — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.

Значения косинуса и синуса на окружности.

Значения тригонометрических функций нестандартных углов


Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Периодичность

Функции y = sin α, y = cos α, y = sec α, y = cosec α — периодические с периодом . Функции: y = tg α, y = ctg α — c периодом

π

Формулы приведения

Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей другая функция из пары (то есть косинус для синуса, синус для косинуса и аналогично для остальных функций). Нужный знак в правой части равенства определяется следующим образом: предположим что угол α находится в первой четверти, тогда определяем знаки значений функций в левой и правой части равенства и в случае их несовпадения перед правой частью пишем знак -, например:

Формулы сложения

Другие тригонометрические тождества.

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

См. также Список интегралов от тригонометрических функций

История

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

med.academic.ru

Тригонометрические функции — Традиция

Рис. 1
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса

Тригонометри́ческие фу́нкции — математические функции от величины угла. Они важны при изучении геометрии, а также при исследовании периодических процессов. Обычно тригонометрические функции определяют как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определённых отрезков в единичной окружности. Более современные определения выражают тригонометрические функции через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на произвольные вещественные числа и даже на комплексные числа.

В настоящее время выделяют шесть основных тригонометрических функций, указанных ниже вместе с уравнениями, связывающими их друг с другом. Для последних четырёх функций, эти соотношения часто называют определениями этих функций, однако можно определять эти функции геометрически или как-нибудь по-другому. Кроме того, существуют другие функции, такие как \(\operatorname{versin}\) и \(\operatorname{exsec}\), но они в настоящее время редко используются (см. Редко используемые тригонометрические функции). С тригонометрическими функциями тесно связаны обратные им функции (см. Обратные тригонометрические функции)

Основные тригонометрические функции
Функция Обозначение Соотношение
Си́нус \(\sin\) \(\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\)
Ко́синус \(\cos\) \(\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\)
Та́нгенс \(\tg\)[1] \(\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}=\ctg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\ctg\frac{1}{x}\)
Кота́нгенс \(\ctg\)[2] \(\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}=\tg \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\tg \frac{1}{x}\)
Се́канс \(\sec\) \(\sec x=\frac{1}{\cos x}=\csc\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\)
Косе́канс \(\cosec\)[3] \(\cosec x=\frac{1}{\sin x}=\sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\)

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике[править]

Рис. 2
Прямоугольный треугольник

Чтобы определить тригонометрические функции произвольного угла \(\alpha,\) возьмём произвольный прямоугольный треугольник, содержащий угол \(\alpha\) (см. Рис. 2). Стороны этого треугольника мы будем называть так:

  • Гипотенуза — сторона, противолежащая прямому углу, самая длинная сторона в треугольнике. В данном случае, сторона \(c.\)
  • Противолежащий катет — катет, лежащий напротив угла. Например, катет \(a\) — противолежащий по отношению к углу \(A.\)
  • Прилежащий катет — катет, являющийся стороной угла. Например, катет \(b\) — прилежащий по отношению к углу \(A.\)

Будем предполагать, что треугольник лежит в евклидовой плоскости, поэтому сумма его углов равна \(\pi.\) Это означает, что углы между катетами и гипотенузой лежат между \(0\) и \(\frac{\pi}{2}.\) Используя формулы приведения или определение через единичную окружность, можно расширить область определения тригонометрических функций на множество вещественных чисел.

Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: \(\sin\alpha=\frac{a}{c}.\) Это отношение не зависит от выбора треугольника \({ABC}\), содержащего угол \(\alpha,\) так как все такие треугольники подобны.

Косинус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: \(\cos\alpha=\frac{b}{c}.\) Так как \(\sin\beta=\frac{b}{c},\) синус одного острого угла в треугольнике равна косинусу второго, и наоборот.

Тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: \(\tg\,\alpha=\frac{a}{b}.\)

Котангенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему: \(\ctg\,\alpha=\frac{b}{a}.\) Котангенс одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен тангенсу второго, и наоборот.

Секанс угла — отношение гипотенузы к прилежащему катету: \(\sec\alpha=\frac{c}{b}.\)

Косеканс угла — отношение гипотенузы к противолежащему катету: \(\cosec \,\alpha=\frac{c}{a}.\)

Из определений тригонометрических функций следует: $$a=c\sin\alpha\,,$$ $$b=c\cos\alpha\,,$$ $$a=b\,\tg\,\alpha,$$ $$b=a\,\ctg\,\alpha,$$ $$c=b\sec\alpha\,,$$ $$c=a\,\cosec \,\alpha,$$

и симметрично: $$b=c\sin\beta\,,$$ $$a=c\cos\beta\,,$$ $$b=a\,\tg\,\beta,$$ $$a=b\,\ctg\,\beta,$$ $$c=a\sec\beta\,,$$ $$c=b\,\cosec \,\beta.$$

Определение тригонометрических функций через окружность[править]

Рис. 3.
Определение тригонометрических функций через окружность. Рис. 4.
Tригонометрическиe функций угла \(\alpha\) в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в точке \(O\) и с осями \({OX}\) и \({OY}\) (см. Рис. 3). Возьмём в этой системе координат окружность с центром в точке \(O\) и радиусом, равным единице. Пусть отрезок \({OA}\) поворачивается на произвольный угол \(\vartheta\) вокруг центра \(O.\)

Синусом угла \(\vartheta\) называется отношение ординаты точки \(A\) к длине отрезка \({OA}.\) Обозначают \(\sin\vartheta=\frac{AC}{OA}.\) Так как длина отрезка \({OA}\) равна \(1\), то \(\sin\vartheta={AC}.\)

Косинусом угла \(\vartheta\) называется отношение абсциссы точки \(A\) к длине отрезка \({OA}.\) Обозначают \(\cos\vartheta=\frac{OC}{OA}.\) Так как длина отрезка \({OA}\) равна 1, то \(\cos\vartheta={OC}.\)

Тангенсом угла \(\vartheta\) называется отношение ординаты точки \(A\) к абсциссе точки \(A\). Обозначают \(\tg\,\vartheta=\frac{AC}{OC}\) (в англоязычной литературе \(\operatorname{tan}\vartheta ).\) Так как \({AC}=\sin \vartheta\) и \({OC}=\cos\vartheta,\) то \(\tg\,\vartheta=\frac{\sin\vartheta}{\cos\vartheta}.\)

Котангенсом угла \(\vartheta\) называется отношение абсциссы точки \(A\) к ординате точки \(A\). Обозначают \(\ctg\,\vartheta=\frac{OC}{AC}\) (в англоязычной литературе \(\operatorname{cot}\vartheta ).\) Так как \({AC}=\sin\vartheta\) и \({OC}=\cos\vartheta,\) то \(\ctg\,\vartheta=\frac{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}.\) Котангенс равен обратному значению тангенса: \(\ctg\,\vartheta=\frac{1}{\tg\,\vartheta}.\)

Секансом угла \(\vartheta\) называется отношение длины отрезка \({OA}\) к абсциссе точки \(A\). Обозначают \(\sec\vartheta=\frac{OA}{OC}.\) Так как длина отрезка \({OA}\) равна 1, то \(\sec\vartheta=\frac{1}{OC}.\) Секанс равен обратному значению косинуса: \(\sec\vartheta=\frac{1}{\cos\vartheta}.\)

Косекансом угла \(\vartheta\) называется отношение длины отрезка \({OA}\) к ординате точки \(A\). Обозначают \(\cosec \,\vartheta=\frac{OA}{AC}\) (в англоязычной литературе \(\operatorname{csc}\vartheta ).\) Так как длина отрезка \({OA}\) равна \(1\), то \(\cosec \,\vartheta=\frac{1}{AC}.\) Косеканс равен обратному значению синуса: \(\cosec \,\vartheta=\frac{1}{\sin\vartheta}.\)

Из определения следует: если косинус угла равен нулю, то тангенс и секанс этого угла не существуют. Аналогично для котангенса и косеканса: если синус угла равен нулю, то котангенс и косеканс этого угла не существуют.

Определение тригонометрических функций через ряды[править]

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенных рядов: $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.$$
Пользуясь этими формулами, а также уравнениями \(\tg\,x=\frac{\sin x}{\cos x},\) \(\ctg\,x=\frac{\cos x}{\sin x},\) \(\sec x=\frac{1}{\cos x}\) и \(\cosec \,x=\frac{1}{\sin x},\) можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций: $$\tg\,x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\frac{62x^9}{2835}+\cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2}$$где \(B_n\) — числа Бернулли. $$\sec x=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\frac{61x^6}{720}+\frac{277x^8}{8064}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!}x^{2n},$$где \(E_n\) — числа Эйлера.

Определение тригонометрических функций через экспоненту[править]

Определение тригонометрических функций через ряды эквивалентно следующему компактному определению тригонометрических функций, носящему имя формула Муавра: $$e^{ix} = \cos x + i \sin x$$

Значения тригонометрических функций для некоторых углов[править]

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.

Значения тригонометрических функций на окружности.
\( \alpha \,\!\) 0°(0 рад) 30° (π/6) 45° (π/4) 60° (π/3) 90° (π/2) 180° (π) 270° (3π/2)
\( \sin \alpha \,\!\) \({0} \,\!\) \( \frac{1}{2}\,\!\) \( \frac{ \sqrt{2}}{2}\,\!\) \( \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!\) \({1}\,\!\) \({0}\,\!\) \({-1}\,\!\)
\( \cos \alpha \,\!\) \({1} \,\!\) \( \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!\) \( \frac{ \sqrt{2}}{2}\,\!\) \( \frac{1}{2}\,\!\) \({0}\,\!\) \({-1}\,\!\) \({0}\,\!\)
\( \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,\!\) \({0} \,\!\) \( \frac{1}{ \sqrt{3}}\,\!\) \( {1}\,\!\) \( \sqrt{3}\,\!\) \( \infty \,\!\) \({0}\,\!\) \( \infty \,\!\)
\( \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,\!\) \( \infty \,\!\) \( \sqrt{3}\,\!\) \({1} \,\!\) \( \frac{1}{ \sqrt{3}}\,\!\) \( {0}\,\!\) \( \infty \,\!\) \({0}\,\!\)
\( \sec \alpha \,\!\) \({1} \,\!\) \( \frac{2}{ \sqrt{3}}\,\!\) \( \sqrt{2}\,\!\) \( {2}\,\!\) \( \infty \,\!\) \({-1}\,\!\) \( \infty \,\!\)
\( \cosec \, \alpha \,\!\) \( \infty \,\!\) \( {2}\,\!\) \( \sqrt{2}\,\!\) \( \frac{2}{ \sqrt{3}}\,\!\) \({1}\,\!\) \( \infty \,\!\) \({-1}\,\!\)

Значения тригонометрических функций нестандартных углов[править]

\(\sin \frac{\pi}{10} = \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}\)

\(\tg \frac{\pi}{120}= \tg 1.5^\circ =\sqrt{\frac{8-\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})} — \sqrt{ 2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}}{8+\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})}+\sqrt{2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})} }}\)

\(\cos \frac{\pi}{240}=\frac{1}{16}\left(\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} \left(\sqrt{2(2+\sqrt{5})}+\sqrt{3}-\sqrt{15} \right) + \sqrt{\sqrt{2+\sqrt{2}}+2} \left (\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5} — 1 \right) \right)\)

\(\cos \frac{\pi}{17} = \frac{1}{8} \sqrt{2 \left( \sqrt{2\sqrt{\frac{17(17-\sqrt{17})}{2}}-\sqrt{\frac{17-\sqrt{17}}{2}}-4\sqrt{34+2\sqrt{17}}+3\sqrt{17}+17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+\sqrt{17}+15 \right)}\)

Свойства тригонометрических функций[править]

Функция y = cos α — чётная, функции: y = sin α, y = tg α, y = ctg α — нечётные, то есть: $$ \sin \left( — \alpha \right) = — \sin \alpha\,,$$ $$ \cos \left( — \alpha \right) = \cos \alpha\,,$$ $$ \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( — \alpha \right) = — \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha\,,$$ $$ \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( — \alpha \right) = — \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha\,.$$

Для острых углов \( \alpha < \frac{ \pi}{2}\,\!\) справедливо: $$ \sin \left( \frac{ \pi}{2} — \alpha \right) = \cos \alpha\,,$$ $$ \cos \left( \frac{ \pi}{2} — \alpha \right) = \sin \alpha\,,$$ $$ \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( \frac{ \pi}{2} — \alpha \right) = \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha\,,$$ $$ \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( \frac{ \pi}{2} — \alpha \right) = \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha\,.$$

Для углов \( 0 < \alpha < \pi \,\!\) справедливо: $$ \sin \left( \pi — \alpha \right) = \sin \alpha\,,$$ $$ \cos \left( \pi — \alpha \right) = — \cos \alpha\,,$$ $$ \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( \pi — \alpha \right) = — \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha, \qquad \alpha \ne \frac{ \pi}{2}\,.$$

Рассмотрим треугольник ABO (см. Рис. 1). По теореме Пифагора: $$ \left(AB \right)^2 + \left(BO \right)^2 = \left(OA \right)^2 \,,$$ если OA = 1, то AB = sin α и OB = cos α, то есть $$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. \qquad \qquad (1)\,$$

Если разделить выражение (1) на \( \cos^2 \alpha \,,\) то получим следующее тождество: $$ 1 + \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \cos^2 \alpha}. \qquad \qquad (2) \,$$


Если разделить выражение (1) на \( \sin^2 \alpha \,,\) то получим следующее тождество: $$ 1 + \frac{1}{ \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha} = \frac{1}{ \sin^2 \alpha}, \qquad \qquad (3) \,$$ или $$ 1 + \mathop{\mathrm{ctg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \sin^2 \alpha}. \qquad \qquad (4) \,$$

Полезные тождества[править]

\( 1\pm \sin x = 2 \sin^2 \left (\frac {\pi}{4} \pm \frac x2 \right )\)

\( 1+\cos x = 2 \cos^2 \left ( \frac x2 \right )\)

\( 1-\cos x = 2 \sin^2 \left ( \frac x2 \right )\)

\(1\pm \tg x=\frac{\sqrt{2} \sin \left (\frac{\pi}{4}\pm x \right )}{\cos x}\)

\(1\pm \ctg x=\frac{\sqrt{2} \sin \left (\frac{\pi}{4}\pm x \right )}{\sin x}\)

\(\sin^2(x)+\sin^2(y)=\frac 12 \left [ 2- \cos(2x)-\cos(2y)\right ]\)

\(\sin^2(x)-\sin^2(y)=\frac 12 \left [ \cos(2y)-\cos(2x)\right ]\)

\(\cos^2(x)+\cos^2(y)=\frac 12 \left [ 2+ \cos(2x)+\cos(2y)\right ]\)

\(\cos^2(x)-\cos^2(y)=\frac 12 \left [ \cos(2x)-\cos(2y)\right ]\)

\(\sin^2(x)+\cos^2(y)=\frac 12 \left [ 2- \cos(2x)+\cos(2y)\right ]\)

\(\cos^2(x)-\sin^2(y)=\frac 12 \left [ \cos(2x)+\cos(2y)\right ]\)

\(\sin^2(x+y)=\frac 12 \left [ \sin(2x) \sin(2y) — \cos(2x) \cos(2y) +1 \right ]\)

\(\cos^2(x+y)=\frac 12 \left [ \cos(2x) \cos(2y) — \sin(2x) \sin(2y)+1 \right ]\)

\(\sin^2(x-y)=\frac 12 \left [1-\sin(2x) \sin(2y)-\cos(2x) \cos(2y) \right ]\)

\(\cos^2(x-y)=\frac 12 \left [1+\sin(2x) \sin(2y)+\cos(2x) \cos(2y) \right ]\)

\(\sin (x+y)+\sin (x-y)=2\sin x \cos y\)

\(\sin (x+y)-\sin (x-y)=2\cos x \sin y\)

\(\sin (x+y)+\cos (x-y)=2\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \sin\left(y+\frac{\pi}{4}\right)\)

\(\sin (x+y)-\cos (x-y)=- 2\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(y+\frac{\pi}{4}\right)\)

\(\sin (x+y) \sin(x-y)= \frac 12 [\cos(2y)-\cos(2x)]\)

\(\sin (x+y) \cos(x+y)=\frac 12 \left [ \sin(2x) \cos(2y)+\sin(2y) \cos(2x) \right ] \)

\(\sin (x+y) \cos(x-y)= \frac 12 [\sin(2x)+\sin(2y)]\)

\(\sin (x+y) \tg (x-y)= \frac {\cos(2y)-\cos(2x)}{2\cos(x-y)}\)

\(\sin (x+y) \ctg (x-y)= \frac {\sin(2x)+\sin(2y)}{2\sin(x-y)}\)

\(\sin (x-y) \cos(x-y)=\frac 12 \left [ \sin(2x) \cos(2y)-\sin(2y) \cos(2x) \right ] \)

\(\cos(x+y)+\cos(x-y)=2\cos x \cos y\)

\(\cos (x+y)-\cos (x-y)=- 2\sin x \sin y\)

\(\cos (x+y)+\sin (x-y)=2\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(y+\frac{\pi}{4}\right)\)

\(\cos (x+y)-\sin (x-y)= 2\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \sin\left(y+\frac{\pi}{4}\right)\)

\(\cos (x+y) \cos(x-y)= \frac 12 [\cos(2x)+\cos(2y)]\)

\(\cos (x+y) \sin(x-y)= \frac 12 [\sin(2x)-\sin(2y)]\)

\(\cos (x+y) \tg (x-y)= \frac {\sin(2x)-\sin(2y)}{2\cos(x-y)}\)

\(\cos (x+y) \ctg (x-y)= \frac {\cos(2x)+\cos(2y)}{2\sin(x-y)}\)

\(\tg (x+y)+ \tg (x-y)=\frac{2\sin(2x)}{\cos(2x)+\cos(2y)}\)

\(\tg (x+y)- \tg (x-y)=\frac{2\sin(2y)}{\cos(2x)+\cos(2y)}\)

\(\tg (x+y)+ \ctg (x-y)=\frac{2\cos(2y)}{\sin(2x)-\sin(2y)}\)

\(\tg (x+y)- \ctg (x-y)=\frac{2\cos(2x)}{\sin(2y)-\sin(2x)}\)

\(\tg (x+y) \sin(x-y)=\frac{\cos(2y)-\cos(2x)}{2\cos(x+y)}\)

\(\tg (x+y) \cos(x-y)=\frac{\sin(2x)+\sin(2y)}{2\cos(x+y)}\)

\(\tg (x+y) \tg (x-y)=\frac{\cos(2y)-\cos(2x)}{\cos(2x)+\cos(2y)}\)

\(\tg (x+y) \ctg (x-y)=\frac{\sin(2x)+\sin(2y)}{\sin(2x)-\sin(2y)}\)

\(\ctg (x+y)+ \tg (x-y)=\frac{2\cos(2y)}{\sin(2x)+\sin(2y)}\)

\(\ctg (x+y)- \tg (x-y)=\frac{2\cos(2x)}{\sin(2x)+\sin(2y)}\)

\(\ctg (x+y)+ \ctg (x-y)=\frac{2\sin(2x)}{\cos(2y)-\cos(2x)}\)

\(\ctg (x+y)- \ctg (x-y)=\frac{2\sin(2y)}{\cos(2x)-\cos(2y)}\)

\(\ctg (x+y) \sin(x-y)=\frac{\sin(2x)-\sin(2y)}{2\sin(x+y)}\)

\(\ctg (x+y) \cos(x-y)=\frac{\cos(2x)+\cos(2y)}{2\sin(x+y)}\)

\(\ctg (x+y) \tg (x-y)=\frac{\sin(2x)-\sin(2y)}{\sin(2x)+\sin(2y)}\)

\(\ctg (x+y) \ctg (x-y)=\frac{\cos(2x)+\cos(2y)}{\cos(2y)-\cos(2x)}\)

\(\ctg x+ \tg x=\frac{2}{\sin(2x)}\)

\(\ctg x- \tg x=\frac{2 \cos(2x)}{\sin(2x)}\)

\(\tg^n x=\frac{\sin^n(2x)}{[1+\cos(2x)]^n}\)

\(\tg (3x)=\tg x \cdot \tg \left (\frac{\pi}{3}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{\pi}{3}-x\right ) \)

\(\tg (5x)=\tg x \cdot \tg \left (\frac{\pi}{5}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{\pi}{5}-x\right ) \cdot \tg \left (\frac{2\pi}{5}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{2\pi}{5}-x\right ) \)

\(\tg (7x)=\tg x \cdot \tg \left (\frac{\pi}{7}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{\pi}{7}-x\right ) \cdot \tg \left (\frac{2\pi}{7}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{2\pi}{7}-x\right ) \cdot \tg \left (\frac{3\pi}{7}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{3\pi}{7}-x\right ) \)

\(\prod \limits _{k=0}^n \cos \left (2^k x \right )=\frac{\sin \left ( 2^{n+1} x \right )}{2^{n+1} \cdot \sin x}\)

\(\prod \limits _{k=0}^n \cos \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin(2x)}{2^{n+1} \cdot \sin \left (\frac{x}{2^n}\right )}\)

\(\prod \limits _{k=1}^n \cos \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin x}{2^{n} \cdot \sin \left (\frac{x}{2^n}\right )}\)

\(\prod \limits _{k=0}^{\infty} \cos \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin(2x)}{2x}\)

\(\prod \limits _{k=1}^{\infty} \cos \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin x}{x}\)

Производные и интегралы[править]

Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:

\(( \sin x )’ = \cos x \,,\)

\(( \cos x )’ = -\sin x \,,\)

\(( \tg x )’ = \frac{1}{\cos ^2 x},\)

\(( \ctg x )’ = -\frac{1}{\sin ^2 x}.\)

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

\(\int\sin x\, dx = -\cos x + C \,,\)

\(\int\cos x\, dx = \sin x + C \,,\)

\(\int\tg x\, dx = -\ln \left| \cos x\right| + C \,,\)

\(\int\ctg x\, dx = \ln \left| \sin x \right| + C \,.\)

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась अर्धज्या, ардха-джья̄ («полутетива»), затем слово ардха- (अर्ध) было отброшено и линию синуса стали называть просто джья̄ (ज्या). Но чаще использовался синоним джӣва, «живой» (जीबा). Арабские переводчики не перевели слово джӣва арабским словом ватар (وتر), обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса джӣба (произношение جيبا). Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое ӣ в слове джӣба обозначается так же, как полугласная й (جيب), Герардо Кремонский интерпретировал слово как джайб, что буквально обозначает «впадина», «пазуха» и перевёл его на латынь словом sinus, имеющим то же значение.[4]

Современное обозначение синуса \(\sin\) и косинуса \(\cos\) введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от лат. tangens, «касающийся») и «секанс» (secans, «секущий») были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)

traditio.wiki

Косинус — это… Что такое Косинус?

Рис. 1
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса

Тригонометрические функции — вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна (про ещё менее употребляемые функции см. здесь). В англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.

Способы определения

Геометрическое определение

Рис. 2
Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть дана декартова система координат на плоскости и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Будем измерять углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим xB, ординату обозначим yB (см. рисунок.)

Рис. 3.
Тригонометрические функции угла α в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице.

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате yB, а косинус — абсциссе xB. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если α — действительное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:

  • Синусом α называется отношение AB/OB (противолежащего катета к гипотенузе)
  • Косинусом α называется отношение ОА/OB (прилежащего катета к гипотенузе)
  • Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)
  • Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)
  • Секансом α называется отношение ОB/OA (гипотенузы к прилежащему катету)
  • Косекансом α называется отношение ОB/AB (гипотенузы к противолежащему катету)

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее. Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см. Теорема синусов, Теорема косинусов).

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения


с начальными условиями cos(0) = sin'(0) = 1, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенны́х рядов:


Пользуясь этими формулами, а также уравнениями и можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

где Bn — числа Бернулли.
где En — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.

Значения косинуса и синуса на окружности.

Значения тригонометрических функций нестандартных углов


Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Периодичность

Функции y = sin α, y = cos α, y = sec α, y = cosec α — периодические с периодом . Функции: y = tg α, y = ctg α — c периодом π

Формулы приведения

Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей другая функция из пары (то есть косинус для синуса, синус для косинуса и аналогично для остальных функций). Нужный знак в правой части равенства определяется следующим образом: предположим что угол α находится в первой четверти, тогда определяем знаки значений функций в левой и правой части равенства и в случае их несовпадения перед правой частью пишем знак -, например:

Формулы сложения

Другие тригонометрические тождества.

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

См. также Список интегралов от тригонометрических функций

История

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

dikc.academic.ru

Косинус — это… Что такое Косинус?

Рис. 1
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса

Тригонометрические функции — вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна (про ещё менее употребляемые функции см. здесь). В англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.

Способы определения

Геометрическое определение

Рис. 2
Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть дана декартова система координат на плоскости и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Будем измерять углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим xB, ординату обозначим yB (см. рисунок.)

Рис. 3.
Тригонометрические функции угла α в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице.

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате yB, а косинус — абсциссе xB. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если α — действительное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:

  • Синусом α называется отношение AB/OB (противолежащего катета к гипотенузе)
  • Косинусом α называется отношение ОА/OB (прилежащего катета к гипотенузе)
  • Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)
  • Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)
  • Секансом α называется отношение ОB/OA (гипотенузы к прилежащему катету)
  • Косекансом α называется отношение ОB/AB (гипотенузы к противолежащему катету)

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее. Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см. Теорема синусов, Теорема косинусов).

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения


с начальными условиями cos(0) = sin'(0) = 1, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенны́х рядов:


Пользуясь этими формулами, а также уравнениями и можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

где Bn — числа Бернулли.
где En — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.

Значения косинуса и синуса на окружности.

Значения тригонометрических функций нестандартных углов


Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Периодичность

Функции y = sin α, y = cos α, y = sec α, y = cosec α — периодические с периодом . Функции: y = tg α, y = ctg α — c периодом π

Формулы приведения

Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей другая функция из пары (то есть косинус для синуса, синус для косинуса и аналогично для остальных функций). Нужный знак в правой части равенства определяется следующим образом: предположим что угол α находится в первой четверти, тогда определяем знаки значений функций в левой и правой части равенства и в случае их несовпадения перед правой частью пишем знак -, например:

Формулы сложения

Другие тригонометрические тождества.

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

См. также Список интегралов от тригонометрических функций

История

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

veter.academic.ru

Косинус — это… Что такое Косинус?

Рис. 1
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса

Тригонометрические функции — вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна (про ещё менее употребляемые функции см. здесь). В англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.

Способы определения

Геометрическое определение

Рис. 2
Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть дана декартова система координат на плоскости и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Будем измерять углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим xB, ординату обозначим yB (см. рисунок.)

Рис. 3.
Тригонометрические функции угла α в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице.

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате yB, а косинус — абсциссе xB. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если α — действительное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:

  • Синусом α называется отношение AB/OB (противолежащего катета к гипотенузе)
  • Косинусом α называется отношение ОА/OB (прилежащего катета к гипотенузе)
  • Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)
  • Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)
  • Секансом α называется отношение ОB/OA (гипотенузы к прилежащему катету)
  • Косекансом α называется отношение ОB/AB (гипотенузы к противолежащему катету)

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее. Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см. Теорема синусов, Теорема косинусов).

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения


с начальными условиями cos(0) = sin'(0) = 1, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенны́х рядов:


Пользуясь этими формулами, а также уравнениями и можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

где Bn — числа Бернулли.
где En — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.

Значения косинуса и синуса на окружности.

Значения тригонометрических функций нестандартных углов


Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Периодичность

Функции y = sin α, y = cos α, y = sec α, y = cosec α — периодические с периодом . Функции: y = tg α, y = ctg α — c периодом π

Формулы приведения

Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей другая функция из пары (то есть косинус для синуса, синус для косинуса и аналогично для остальных функций). Нужный знак в правой части равенства определяется следующим образом: предположим что угол α находится в первой четверти, тогда определяем знаки значений функций в левой и правой части равенства и в случае их несовпадения перед правой частью пишем знак -, например:

Формулы сложения

Другие тригонометрические тождества.

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

См. также Список интегралов от тригонометрических функций

История

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

brokgauz.academic.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *