Решение квадратных неравенств. Метод интервалов. Видеоурок. Алгебра 9 Класс
На этом уроке мы рассмотрим метод решения нелинейных неравенств. Начнем с самых простых – квадратных. А дальше изучим более общий метод, который позволяет решать очень многие нелинейные неравенства – метод интервалов.
В течение какого времени мяч, брошенный вверх с известной начальной скоростью, будет находиться выше стенки заданной высоты (см. рис. 1)?
Рис. 1. Мяч находится выше стенки заданной высоты
Из физики мы знаем, что на мяч будет действовать только сила тяжести, т. е. он будет двигаться с ускорением свободного падения , которое будет замедлять его при движении вверх и разгонять при падении.
Рис. 2. Мяч двигается с ускорением свободного падения
Можем записать формулу для перемещения при равноускоренном движении:
Знак минус появляется из-за того, что скорость и ускорение тела направлены в разные стороны (см. рис. 3).
Рис. 3. Скорость и ускорение тела направлены в разные стороны
В этом неравенстве мы знаем величины . Т. е. мы получили квадратное неравенство относительно переменной (времени).
Мы уже знаем, как решать задачи, математической моделью которых является линейное неравенство. Но большинство зависимостей носят более сложный, нелинейный характер. И наша задача – получить удобный инструмент, который позволит решать нелинейные неравенства.
Начнем мы именно с квадратных неравенств, т. к. они – самые простые примеры нелинейных неравенств. И вот почему.
Линейное неравенство имеет стандартный вид:
Если мы перемножим два линейных неравенства и , то получим квадратное неравенство:
Параллельно мы получили идею решения квадратных неравенств – разложить многочлен в левой части на произведение линейных множителей (если это возможно).
Давайте рассмотрим на примерах, как решить квадратное неравенство, используя разложение на множители.
Пример 1. Решить неравенство:
Решение.
Разложим на множители левую часть, используя формулу сокращенного умножения:
Произведение на больше нуля, т. е. положительно. Когда произведение двух множителей положительно? Либо когда они оба положительны, либо когда они оба отрицательны. Т. е. и или же: и
interneturok.ru
Решение квадратных неравенств методом интервалов
Универсальным методом решения неравенств по праву считается метод интервалов. Именно его проще всего использовать для решения квадратных неравенств с одной переменной. В этом материале мы рассмотрим все аспекты применения метода интервалов для решения квадратных неравенств. Для облегчения усвоения материала мы рассмотрим большое количество примеров разной степени сложности.
Алгоритм применения метода интервалов
Рассмотрим алгоритм применения метода интервалов в адаптированном варианте, который пригоден для решения квадратных неравенств. Именно с таким вариантом метода интервалов знакомят учеников на уроках алгебры. Не будем усложнять задачу и мы.
Перейдем собственно к алгоритму.
У нас есть квадратный трехчлен a·x2+b·x+c из левой части квадратного неравенства. Находим нули из этого трехчлена.
В системе координат изображаем координатную прямую. Отмечаем на ней корни. Для удобства можем ввести разные способы обозначения точек для строгих и нестрогих неравенств. Давайте договоримся, что «пустыми» точками мы будем отмечать координаты при решении строгого неравенства, а обычными точками — нестрогого. Отметив точки, мы получаем на координатной оси несколько промежутков.
Если на первом шаге мы нашли нули, то определяем знаки значений трехчлена для каждого из полученных промежутков. Если нули мы не получили, то производим это действие для всей числовой прямой. Отмечаем промежутки знаками «+» или «-».
Дополнительно мы будем вводить штриховку в тех случаях, когда будем решать неравенства со знаками > или ≥ и < или ≤. В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными «+», во втором над участками, отмеченными «-».
Отметив знаки значений трехчлена и нанеся штриховку над отрезками, мы получаем геометрический образ некоторого числового множества, которое фактически является решением неравенства. Нам остается лишь записать ответ.
Остановимся подробнее на третьем шаге алгоритма, который предполагает определе
zaochnik.com
Системы из линейных и квадратных неравенств. Видеоурок. Алгебра 9 Класс
На этом уроке мы продолжим рассмотрение рациональных неравенств и их систем, а именно: систему из линейных и квадратных неравенств. Вначале вспомним, что такое система двух линейных неравенств с одной переменной. Далее рассмотрим систему квадратных неравенств и методику их решения на примере конкретных задач. Подробно рассмотрим так называемый метод крыши. Разберем типовые решения систем и в конце урока рассмотрим решение системы с линейным и квадратным неравенством.
Продолжим решение системнеравенств.
Ранее мы рассматривали системы линейных неравенств. Вот одна из них:
1.
Ответ:
Теперь рассмотрим систему квадратных неравенств.
2.
Решим каждое неравенство отдельно.
1.
ОДЗ:
График функции – парабола, ветви направлены вверх (Рис. 2).
2.
ОДЗ:
График функции – парабола, ветви направлены вниз (Рис. 3).
Вернемся к системе неравенств.
Решим систему методом крыш (Рис. 4).
Ответ:
Нам была дана система из двух квадратных неравенств, мы решили каждое неравенство в отдельности, получили систему из простейших неравенств, решили ее и получили ответ.
Рассмотрим несколько простейших систем.
3.
Первое неравенство может быть получено, как решение квадратного неравенства, второе – как решение линейного неравенства (Рис. 5).
Ответ:
4.
Решим вначале второе неравенство.
interneturok.ru