Медиана делит угол пополам
Доброй ночи!
Сегодня, как я погляжу, нам предстоит задача разобраться с тем, правда ли то, что медиана делит угол пополам. Честно говоря, этот вопрос часто вызывает вопрос, особенно когда знания по геометрии появились, но ещё глубоко не осели. Так давайте разбираться.
На самом деле, медиана — это такой отрезок, который проведён из вершины к противоположной стороне, деля её при этом на два одинаковых отрезка. Как Вы можете увидеть, то медиана делит не угол пополам, а сторону, к которой проведена.
А угол пополам будет делить биссектриса.
Самое интересное, что в равнобедренном треугольнике, высота, биссектриса и медиана будут совпадать. Давайте теперь попробуем решить задачу.
Рассмотрим равнобедренный треугольник , в котором
см, а
При таком раскладе мы можем найти :
— медиана нашего равнобедренного треугольника проведённая к боковой стороне , а также делит эту сторону на два равных отрезка:
Теперь рассмотрим треугольник . В котором, при помощи теоремы косинусов, мы легко можем найти медиану :
Подставим значения и получим:
Ответ: см
ru.solverbook.com
Свойства медианы в прямоугольном треугольнике с доказательствами
В этой статье мы рассмотрим свойства медианы в прямоугольном треугольнике, а также их доказательства.
Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Для прямоугольного треугольника это будут медианы, проведённые с острого угла к серединам катетов или с прямого к центру гипотенузы (рис. 1).
Рисунок 1
Свойства медианы в прямоугольном треугольнике
- Медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке, а точка пересечения делит их в соотношении два к одному считая от вершины, из которой проведена медиана.
- Медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
- Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.
Доказательства свойств
Первое свойство
Доказать, что медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в пропорции 2:1, считая от вершины.
Доказательство:
- Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Проведем две медианы AE и BD, которые пересекаются в точке X (рис. 2).
Рисунок 2
- Середины отрезков AX и BX обозначим, соответственно, буквами F и G (рисунок 3).
Рисунок 3
- Соединим между собой точки (D, F, G и E) и получим четырёхугольник DFGE (рис. 4).
Рисунок 4
- Сторона DE этого четырёхугольника будет средней линией треугольника ABC. Согласно определению: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является его средней линией. При этом по свойству средняя линия параллельна не пересекающейся с ней стороне и равна половине этой стороны, то есть.
DE || AB и DE = AB / 2. - Аналогично сторона FG треугольника AXB будет его средней линией.
FG || AB и FG = AB / 2 - Отсюда следует, что отрезки DE и FG являются параллельными и равными. Следовательно, четырехугольник DFGE – параллелограмм (по признаку параллелограмма).
- Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то
FX=XE, GX=XDРисунок 5
- Так как AF = FX (по построению), то и AF = FX = XE, аналогично DX = XG = GB.
- Получается, что точка X делит обе медианы AE и BD в соотношении 2 к 1 считая от вершины треугольника.
- Аналогично, мы сможем доказать, что точка пересечения 3-ей медианы, проведенной из прямого угла к гипотенузе, с медианой AE (или BD) будет делить ее в соотношении 2 к 1, считая от вершины. То есть наша 3-я медиана также пройдет через точку X. Отсюда следует, что все 3 наши медианы пересекаются в одной точке.
Что и требовалось доказать.
Второе свойство
Доказать, что медиана, проведённая с вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Доказательство:
- Чтобы доказать это свойство рассмотрим прямоугольный треугольник ABC и проведём медиану к гипотенузе. Точку ее пересечения с гипотенузой обозначим буквой D (рис. 6).
Рисунок 6
- Отразим симметрично наш треугольник ABC относительно отрезка AB (рисунок 7). В результате получим четырёхугольник AEBC, в котором AD=DB (поскольку CD медиана к стороне AB) и CD=DE (по построению). То есть диагонали четырехугольника AEBC пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что AEBC является параллелограммом (по признаку параллелограмма).
Рисунок 7
- Один из признаков прямоугольника говорит о том, что параллелограмм является прямоугольником, если хотя бы один из его углов прямой. Поскольку ∠ACB прямой (по построению), то AEBC — прямоугольник.
- Поскольку диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам (свойство прямоугольника), то AB = CE и AD = DB = CD = DE.
Рисунок 8
- Так как AB = AD + DB, AD = BD и СD = AD = BD, то получается, что медиана AD, проведенная к гипотенузе AB равна половине ее длины.
Что и требовалось доказать.
Третье свойство
Доказать, что медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.
Доказательство:
- Опишем вокруг прямоугольного треугольника ABC окружность.
Рисунок 9
- Поскольку точка C уже лежит на окружности, то для того, чтобы доказать, что медиана CM является радиусом, нам надо доказать, что точка M – центр описанной окружности (т.е. равноудалена от нее).
- Так как медиана делит отрезок пополам, а медиана проведенная к гипотенузе равна ее половине (согласно доказанному выше свойству), то точка M будет равноудалена от всех вершин треугольника, которые в свою очередь касаются окружности (рисунок 8).
- Отсюда следует, что окружность, описанная вокруг прямоугольного треугольника ABC будет иметь центр на середине гипотенузы (в точке M), а медиана CM будет радиусом описанной окружности.
Что и требовалось доказать.
Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:
Скорее всего, Вам будет интересно:
people-ask.ru
Медиана (геометрия) Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Медиана. Треугольник и его медианы.Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок. Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы.
Свойства
Основное свойство
Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Свойства медиан равнобедренного треугольника
- В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой.
- Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник — равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.
- У равностороннего треугольника все три медианы равны.
Свойства оснований медиан
Окружность девяти точек- Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).
- Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его
- Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.
Другие свойства
- Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
- Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
- Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
- Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
- В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
- Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
- Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряжённый внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку — точку Лемуана.
- Медиана угла треугольника изотомически сопряжена самой себе.
Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроидаОсновные соотношения
Чтобы вычислить длину медианы, когда известны длины сторон треугольника, применяется теорема Аполлония (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):
- ma=2b2+2c2−a24,{\displaystyle m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}},}
- mb=2a2+2c2−b24,{\displaystyle m_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}},}
- mc=2a2+2b2−c24,{\displaystyle m_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}},}
- где ma, mb, mc{\displaystyle m_{a},\ m_{b},\ m_{c}} — медианы к сторонам треугольника a, b, c{\displaystyle a,\ b,\ c} соответственно.
В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:
- ma2+mb2+mc2=34(a2+b2+c2){\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}.
Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:
- a=23−ma2+2mb2+2mc2=2(b2+c2)−4ma2=b22−c2+2mb2=c22−b2+2mc2,{\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}},}
- b=23−mb2+2ma2+2mc2=2(a2+c2)−4mb2=a22−c2+2ma2=c22−a2+2mc2,{\displaystyle b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}},}
- c=23−mc2+2mb2+2ma2=2(b2+a2)−4mc2=b22−a2+2mb2=a22−b2+2ma2,{\displaystyle c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}},}
- где ma,mb,mc{\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}} — медианы к соответствующим сторонам треугольника, a,b,c{\displaystyle a,b,c} — стороны треугольника.
Площадь S{\displaystyle S} любого треугольника, выраженная через длины его медиан:
- S=43σ(σ−ma)(σ−mb)(σ−mc),{\displaystyle S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}},}
- где σ=(ma+mb+mc)/2{\displaystyle \sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2} — полусумма длин медиан.
См. также
Литература
wikiredia.ru
Медиана треугольника — WiKi
У этого термина существуют и другие значения, см. Медиана. Треугольник и его медианы.Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок. Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы.
Основное свойство
Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Свойства медиан равнобедренного треугольника
- В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой.
- Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник — равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.
- У равностороннего треугольника все три медианы равны.
Свойства оснований медиан
Окружность девяти точек- Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).
- Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
- Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.
Другие свойства
- Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
- Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
- Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
- Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
- В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
- Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
- Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряжённый внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку — точку Лемуана.
- Медиана угла треугольника изотомически сопряжена самой себе.
Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроидаЧтобы вычислить длину медианы, когда известны длины сторон треугольника, применяется теорема Аполлония (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):
- ma=2b2+2c2−a24,{\displaystyle m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}},}
- mb=2a2+2c2−b24,{\displaystyle m_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}},}
- mc=2a2+2b2−c24,{\displaystyle m_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}},}
- где ma, mb, mc{\displaystyle m_{a},\ m_{b},\ m_{c}} — медианы к сторонам треугольника a, b, c{\displaystyle a,\ b,\ c} соответственно.
В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:
- ma2+mb2+mc2=34(a2+b2+c2){\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})} .
Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:
- a=23−ma2+2mb2+2mc2=2(b2+c2)−4ma2=b22−c2+2mb2=c22−b2+2mc2,{\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}},}
- b=23−mb2+2ma2+2mc2=2(a2+c2)−4mb2=a22−c2+2ma2=c22−a2+2mc2,{\displaystyle b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}},}
- c=23−mc2+2mb2+2ma2=2(b2+a2)−4mc2=b22−a2+2mb2=a22−b2+2ma2,{\displaystyle c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}},}
- где ma,mb,mc{\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}} — медианы к соответствующим сторонам треугольника, a,b,c{\displaystyle a,b,c} — стороны треугольника.
Площадь S{\displaystyle S} любого треугольника, выраженная через длины его медиан:
- S=43σ(σ−ma)(σ−mb)(σ−mc),{\displaystyle S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}},}
- где σ=(ma+mb+mc)/2{\displaystyle \sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2} — полусумма длин медиан.
ru-wiki.org
Чем медиана отличается от биссектрисы
Это разные понятия. Медиана делит пополам противоложную углу стороны, а биссектриса делит пополам угол, из которого она проведена
биссектриса делит угол, а медиана противоположную сторону
биссектриса это крыса которая бегает по углам и делит угол пополам. а медиана это че то другое, может даже перепендикуляр к противоположной от угла стороне
биссектриса делит угол на два равных, а медиана сторону на две равные части.
медиана-отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок. <img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/c8aa4d53a292acf0dee1b6671cc7c533_i-35.jpg» > биссектриса-луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части. <img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/efc65f0a6f34dbbafa2f4fcd748ee525_i-36.gif» >
Я лично не вижу различия биссектрисы от медианы, и медиана делит угол пополам и биссектриса сторону тоже делит пополам. Это дебильные матиматики придумали типа они разные чтобы ещё больше запутать общество.
медиана может соединить разные точки но проходить через вершину. бессиктриса она делит угол попалам
touch.otvet.mail.ru
Медиана, высота и биссектриса и их свойства 🚩 Математика
Медиана – это одна из основных линий треугольника. Этот отрезок и прямая, на которой он лежит, соединяет точку во главе угла треугольника с серединой противолежащей стороны этой же фигуры. В равностороннем треугольнике медиана является также биссектрисой и высотой.
Свойство медианы, которое существенно облегчит решение многих задач, заключается в следующем: если в треугольнике провести медианы из каждого угла, то все они, пересекаясь в одной точке, будет делиться в соотношении 2:1. Соотношение следует отсчитывать от вершины угла.
Медиана имеет свойство разделять все поровну. Например, любая медиана делит треугольник на два других, равных по своей площади. А если провести все три медианы, то в большом треугольнике получится 6 маленьких, также равных по площади. Такие фигуры (с одинаковой площадью) называются равновеликими.
Биссектриса представляет собой луч, который начинается в вершине угла и делит этот же угол пополам. Точки, лежащие на данном луче, равноудалены от сторон угла. Свойства биссектрисы хорошо помогают в решении задач, связанных с треугольниками.
В треугольнике биссектрисой называют отрезок, который лежит на луче биссектрисы угла и соединяет вершину с противолежащей стороной. Точка пересечения со стороной делит ее на отрезки, отношение которых равно отношению прилежащих к ним сторонам.
Если в треугольник вписать окружность, то ее центр будет совпадать с точкой пересечения всех биссектрис данного треугольника. Это свойство имеет отражение и в стереометрии — там роль треугольника играет пирамида, а окружности — шар.
Также как медиана и биссектриса, высота в треугольнике в первую очередь связывают вершину угла и противолежащую сторону. Это связь проистекает в следующем: высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины, к прямой, которая содержит в себе противолежащую сторону.
Если высота проведена в прямоугольном треугольнике, то, касаясь противоположной стороны, она делит весь треугольник на два других, которые в свою очередь подобны первому.
Нередко понятие перпендикуляра применяется в стереометрии, чтобы определить взаиморасположения прямых в разных плоскостях и расстояние между ними. В этом случае отрезок, выполняющий функцию перпендикуляра, должен иметь прямой угол с обеими прямыми. Тогда числовое значение данного отрезка будет показывать расстояние между двумя фигурами.
www.kakprosto.ru
Ответы@Mail.Ru: Что такое медиана
Это то, что совсем не биссектриса и не высота.
МЕДИ˜АНА, понятие теории вероятностей; одна из характеристик распределения значений случайной величины Х. Медиана — такое число m, что Х принимает с вероятностью 1/2 как значения больше m, так и меньше m. МЕДИ˜АНА в геометрии — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В переводе с латинского mediana означает «средняя» . Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которую называют «центром тяжести» треугольника, так как именно в этой точке находится центр тяжести однородной треугольной пластинки, а также центр тяжести системы трех равных масс, помещенных в вершинах треугольника. Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2 к 1, считая от вершины к основанию. МЕДИ˜АНА в статистике — значение варьирующего признака, которое делит ряд распределения на две равные части по объему частот или частостей. В качестве оценки медианы по независимым наблюдениям случайной величины принимают медиану вариационного ряда, составленного из результатов наблюдений. Сумма абсолютных величин линейных отклонений от медианы минимальна.
что такое медиана
Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок.
отрезок прямой линии, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны
Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок.
отрезок прямой линии, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны
отрезок прямой линии, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
touch.otvet.mail.ru