Метод исключения неизвестных онлайн – Решение системы линейных уравнений (СЛАУ) онлайн

§3. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) решения систем линейных уравнений

1. Под элементарными преобразованиями системы линейных уравнений понимаются следующие операции:

  1. умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля;

  2. прибавление к одному уравнению другого уравнения;

  3. перемена местами уравнений в системе.

Комбинируя элементарные преобразования первого и второго типов, мы можем к любому уравнению прибавить другое уравнение, умноженное на произвольное число.

Производя элементарные преобразования в системе, мы получаем новую систему. Очевидно, что каждому элементарному преобразованию системы соответствуют аналогичные преобразования над строками расширенной матрицы этой системы, и наоборот, каждому элементарному преобразованию строк расширенной матрицы соответствует некоторое элементарное преобразование в системе. Таким образом, элементарные преобразования в системе сводятся к соответствующим преобразованиям над строками ее расширенной матрицы.

Две системы линейных уравнений от одних и тех же неизвестных называются равносильными, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот (или если обе системы несовместны).

Заметим, что число уравнений в равносильных системах может быть различным.

ТЕОРЕМА. При элементарных преобразованиях система линейных уравнений переходит в равносильную систему.

Сущность метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к такому виду, чтобы матрица системы оказалась треугольной. Для упрощения изложения мы будем иметь дело не с самой системой, а с расширенной матрицей этой системы (производя при этом элементарные преобразования только над строками матрицы).

Рассмотрим алгоритм применения метода Гаусса на простых Типовой примерах.

Типовые примеры

Решить систему уравнений

1.

►Будем решать методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем её, вычитая первую строку, умноженную на 2, 3 и 1 соответственно из 2-ой, 3-ей и 4-ой строк:

.

Далее вторую строку, умноженную на 2 и 3, вычтем соответственно из третей и четвёртой строк:

Последняя матрица эквивалентна следующей ступенчатой системе:

Полученная упрощённая система представляет собой систему из двух уравнений для четырёх неизвестных. Следовательно, два из неизвестных можно выбрать за

главные, а два — за свободные, через которые будут выражены главные. Число свободных неизвестных определяется по формуле , где– число неизвестных в исходной системе,– ранг матрицы системы (совпадающий с рангом расширенной матрицы в силу совместности системы). В качестве главных неизвестных можно выбрать любую пару, если определитель, составленный из коэффициентов, стоящих перед ними, отличен от нуля (базисный минор). В данной задаче в качестве главных неизвестных можно выбрать . Действительно, определитель, составленный из их коэффициентов, отличен от нуля:

.

Теперь из второго уравнения выразим через. Затем подставим его в первое уравнение и найдёмчерез. В итоге получим

Переменные принимают произвольные значения. Положив, общее решение системы можно записать в виде

.◄

2.

►Преобразуем расширенную матрицу системы:

~ .

Отсюда следует, что ,, т.е. исходная система несовместна. Заметим, что, применяя метод Гаусса (т.е. исключая неизвестные), мы одновременно проводим исследование системы на совместность (т.е. отыскиваем ранги матрицы системы и расширенной матрицы).◄

3.

►Исследуем систему на совместность:

~

.

Отсюда следует, что – система совместна.

Итак, полученная система, равносильная исходной, содержит одно уравнение с двумя неизвестными. Решение этой системы может быть найдено только в том случае, если мы придадим произвольное действительное значение одному из неизвестных. Тогда другое неизвестное можно выразить через первое.

Положим ; тогда. В итоге получаемобщее решение системы:

, где – произвольная постоянная.

Придавая постоянной различные действительные значения, получаем бесконечное множество решений исходной системы.

При желании можно произвести проверку:

.◄

4.

►Во всех трех системах воспользуемся методом Гаусса.

~

~

Расширенная матрица приведена к трапецеидальному виду. Объявляем «лишние неизвестные» исвободными; запишем систему, соответствующую этой трапецеидальной матрице, перенеся свободные неизвестныеив правую часть:

Степень свободы системы равна двум, значит, решение системы выразится через два параметра. Положив и решив систему из трех уравнений с неизвестными

найдем

где произвольные числа. ◄

5.

в результате преобразований появилась строка следовательно, система несовместна. ◄

6.

Ранг трапецеидальной матрицы равен 2, значит, степень свободы равна Объявляем неизвестныесвободными. Положивполучим

Таким образом, решением системы является

где произвольные числа (параметры). ◄

studfiles.net

Метод Гаусса (исключения неизвестных) — Мегаобучалка

Раздел 3. Численные методы решения уравнений

 

Виды математических моделей (уравнений) в теории электрических цепей

1. —системы линейных алгебраических уравнений –

линейные цепи постоянного и синусоидального переменного (комплексный метод) тока.

 

2. — системы нелинейных алгебраических или

трансцендентных уравнений – нелинейные цепи постоянного или синусоидального тока.

 

3. . системы нелинейных дифференциальных

уравнений первого порядка в обыкновенных производных – переходные процессы в нелинейных цепях.

Здесь F и ψ – вектор-функции, т.е. эквивалентно записи:

 

f1(X,b1) = 0

f2(X,b2) = 0

…………

fn(X,bn) = 0

а записи:

ψ1(dX/dt,X,b1,t) = 0

ψ2(dX/dt,X,b2,t) = 0

…………………..

ψn(dX/dt,X,bn,t) = 0

Рассмотрим наиболее эффективные методы решения этих уравнений.

 

 

Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (ЛАУ)

 

 

Метод Гаусса (исключения неизвестных)

 

Методы решения ЛАУ имеют важное значение, так как они применяются (итерационно) для решения более сложных уравнений.

Пусть система ЛАУ задана в виде:

,

,

где — квадратная матрица n – го порядка с ненулевыми диагональными элементами ; — вектор неизвестных; — вектор правых частей.

Алгоритм метода Гаусса состоит из прямогои обратного хода. Во время прямого хода осуществляется последовательное исключение неизвестных. Система приобретает вид:

Пересчет коэффициентов производится по формуле:

, где i, j = k+1, …n при исключение k-го неизвестного.

При этом столбец правых частей удобно рассматривать как n + 1 столбец матрицы коэффициентов , т.е. j = k+1, …n+1.

Обратный ход заключается в определении неизвестных, начиная с последнего уравнения где осталась одна неизвестная xn. Полученное значение xn подставляется в предыдущее уравнение и определяется xn-1 и т.д.

Для произвольного xk получается следующая формула:

где k = n, n -1,…1.

Трудоемкость метода Гаусса оценивается количеством выполняемых арифметических операций:

.

Кубическая зависимость от размерности задачи существенно ограничивает сложность анализируемых цепей. Однако если часть коэффициентов aik в матрице равна нулю, т.е. она является разреженной, то появляется возможность сокращения трудоемкости.



Основная идея метода разреженных матриц состоит в учете при вычислениях и хранении только ненулевых элементов матрицы . Степень разреженности матрицы характеризуется коэффициентом заполнения:

;

где nннэ –число ненулевых элементов.

Существуют матрицы коэффициентов специального вида: ленточные, когда ненулевые элементы располагаются вдоль главной диагонали; и блочно-диагональные, когда вдоль главной диагонали располагаются ненулевые блоки. Еще встречаются блочно-диагональные с окаймлением.

Пример ленточной матрицы Пример блочно-диагональной матрицы

 
 

Пример блочно-диагональной матрицы с окаймлением

 

Для них разработаны специальные эффективные методы решения. Для диагональной – метод прогонки. Блочная распадается на отдельные группы уравнений по блокам, которые решаются методом Гаусса. Для блочно-диагональных с окаймлением существуют диакоптические методы решения.

Диакоптика – подход к исследованию сложных систем, заключающейся в расчленение системы на части и её анализе по частям при учете всех связей между выделенными частями.

 

megaobuchalka.ru

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса (последовательного исключения неизвестных)

 

Метод Гаусса – это просто! Почему? Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». А всё гениальное – просто!Кстати, портрет Гаусса красовался на купюре в 10 дойчмарок (до введения евро), и до сих пор Гаусс загадочно улыбается немцам с обычных почтовых марок.

Метод Гаусса прост тем, что для его освоения ДОСТАТОЧНО ЗНАНИЙ ПЯТИКЛАССНИКА. Про миноры и алгебраические дополнения можно на время забыть! Необходимо уметь складывать и умножать!Не случайно метод последовательного исключения неизвестных преподаватели часто рассматривают на школьных математических факультативах.

Парадокс, но у студентов метод Гаусса вызывает наибольшие сложности. Ничего удивительного – всё дело в методике, и мы постараемся в доступной форме рассказать об алгоритме метода.

Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение.

2) Иметь бесконечно много решений.

3) Не иметь решений (быть несовместной).

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любойсистемы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный методнепригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случаеприведет нас к ответу! На данном уроке мы вновь рассмотрим метод Гаусса для случая №1 (единственное решение системы), под ситуации пунктов №№ 2-3 отведена статья Несовместные системы и системы с общим решением. Заметим, что сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково.

Вернемся к простейшей системе

и решим ее методом Гаусса.

На первом этапе запишем так называемую расширенную матрицу системы:

.

По какому принципу записаны коэффициенты, думаем, всем видно.

 

Примечание: Расширенная матрица системы получается из исходной с помощью «операции наращивания строк / столбцов». В данном случае матрицу нарастили за счёт столбца свободных членов исходной системы уравнений.

 

Примечание: Кроме перечисленных ранее 6-и алгебраических операций с матрицами и «операции наращивания» существует ещё «операция отбрасывания строк/столбцов». С помощью «операции отбрасывания строк/столбцов» составляют, например, подматрицы, определители которых являются минорами элементов матрицы.

 

Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто линия отчёркивания для удобства оформления.

 

Определение:Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных переменных системы линейных уравнений.

Определение:Расширенная матрица системы – это матрица системы, которую нарастили справа на столбец свободных членов.

В данном примере . – это матрица системы, а — это расширенная матрица системы. Любую из них можно для краткости называть просто матрицей.

После того, как записана расширенная матрица системы, с ней необходимо выполнить некоторые новые алгебраические действия, которые с лёгкой руки Гаусса называются также элементарными преобразованиями матрицы. Преобразования называют элементарными, потому что показано (будем считать это определением), что

 

Определение: После каждого элементарного преобразования расширенной матрицы получается совершенно другая матрица, но решения для этой новой системы линейных уравнений остаются теми же, что и для исходной матрицы.

 

Существуют следующие элементарные преобразования:

 

1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки:

 

2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной.

Рассмотрим, например матрицу . В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них:

.

 

3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить. Рисовать не будем, понятно, нулевая строка – это строка, в которой одни нули.

4) Строку матрицы можно умножить (разделить)на любое число, отличное от нуля. Рассмотрим, например, матрицу . Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2: . Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

 

5) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля.

 

Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: . Сначала распишем преобразование очень подробно.

Умножаем первую строку на (-2): , далее ко второй строке прибавляем первую строку, оставляя первую без изменений: . Теперь первую строку можно разделить «обратно» на (–2): .

Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯЛИне изменилась. Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ.

На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче:

Еще раз: ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на (–2). Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой:

«Переписываю матрицу и переписываю первую строку: »

 

«Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на –2: , и ко второй строке прибавляю первую: 2 + (–2) = 0.

Записываю результат во вторую строку: »

 

«Теперь второй столбец. Вверху –1 умножаю на –2: (-1∙(-2) = 2). Ко второй строке прибавляю первую: 1 + 2 = 3. Записываю результат во вторую строку:

»

 

«И третий столбец. Вверху –5 умножаю на –2: (-5∙(-2) = 10). Ко второй строке прибавляю первую: (–7 + 10 = 3). Записываю результат во вторую строку:

»

 

Пожалуйста, тщательно осмыслите этот пример и разберитесь в последовательном алгоритме вычислений, если вы это поняли, то метод Гаусса практически «в кармане». Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем.

 

Повторим: «Элементарные преобразования не изменяют решение системы»

 

ВНИМАНИЕ!:рассмотренные манипуляции нельзя использовать, если Вам предложено задание, где матрицы даны «сами по себе». Например, при «классических» действиях с матрицамичто-то переставлять внутри матриц ни в коем случае нельзя!

 

Вернемся к нашей системе . Она уже почти решена.

 

Что просит Гаусс? Он говорит: «Запишите расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведите ее к ступенчатому виду».

В данном случае для этого

(1) Ко второй строке прибавьте первую строку, умноженную на –2. Кстати, почему первую строку умножаем именно на –2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке.

(2) Разделите вторую строку на 3. Почему? Чтобы вторая строка давала сразу значение второй переменной.

 

Цель элементарных преобразованийпривести матрицу к ступенчатому виду:

.

В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид.

 

В результате элементарных преобразований получена система уравнений, эквивалентная исходной системе линейных уравнений, которая приняла вид:

Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса.

В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: . Рассмотрим первое уравнение системы и подставим в него уже известное значение «игрек»:

Ответ:

Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

 

Пример 1

Решить методом Гаусса систему уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

Сейчас мы сразу нарисуем результат, к которому мы придём в ходе решения:

.

Повторимся, что наша цель – с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия?

Сначала смотрим на левое верхнее число:

.

Почти всегда здесь должна находиться единица. Вообще говоря, устроит и (–1), а иногда и другие числа, но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения. Уже легче.

Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:

Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18).

И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, т. е. ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2:

Результат записываем во вторую строку:

 

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3.

Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3:

Результат записываем в третью строку:

.

На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг:

 

Не нужно считать всё сразу и одновременно. Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО иВНИМАТЕЛЬНО:

 

.

 

А мысленный ход самих расчётов мы уже рассмотрели выше.

 

Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»:

В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь:

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2:

Попробуйте разобрать это действие самостоятельно – мысленно умножьте вторую строку на (–2) и проведите сложение. Последнее выполненное действие – причёска результата, для этого делим третью строку на 3.

В результате элементарных преобразований получена система, эквивалентная исходной системе линейных уравнений:

Теперь в действие вступает «обратный ход» метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх.

В третьем уравнении у нас уже готовый результат:

Смотрим на второе уравнение: . Значение «зет» уже известно, таким образом:

И, наконец, первое уравнение: . «Игрек» и «зет» известны, дело за малым:

Ответ:

Как уже неоднократно отмечалось, для любой системы уравнений можно и нужно сделать проверку найденного решения, благо, это несложно и быстро.

 

Пример 2

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Это пример для самостоятельного решения, образец чистового оформления и ответ в конце урока.

 

Следует отметить, что ваш ход решения может не совпасть с моим ходом решения, и это – особенность метода Гаусса. Но вот ответы обязательно должны получиться одинаковыми!

 

Пример 3

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами.

Поступим так:

(1) К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на (–1). То есть, мысленно умножили вторую строку на (–1) и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.

Теперь слева вверху (–1), что нас вполне устроит. Кто хочет получить (+1), может выполнить дополнительное телодвижение: умножить первую строку на (–1), сменив у неё знак. Дальше алгоритм работает уже по накатанной колее:

.

(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

(3) Первую строку умножили на (–1). В принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.

(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.

(5) Третью строку разделили на 3.

Заряжаем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает, снизу вверх. Да тут подарок получился:

Ответ: .

 

Пример 4

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Это пример для самостоятельного решения, он несколько сложнее. Ничего страшного, если кто-нибудь запутается. Полное решение и образец оформления в конце урока. Ваш ход решения может отличаться от нашего хода решения.

 



infopedia.su

§2. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) решения систем линейных уравнений

1. Под элементарными преобразованиями системы линейных уравнений понимаются следующие операции:

  1. умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля;

  2. прибавление к одному уравнению другого уравнения;

  3. перемена местами уравнений в системе.

Комбинируя элементарные преобразования первого и второго типов, мы можем к любому уравнению прибавить другое уравнение, умноженное на произвольное число.

Производя элементарные преобразования в системе, мы получаем новую систему. Очевидно, что каждому элементарному преобразованию системы соответствуют аналогичные преобразования над строками расширенной матрицы этой системы, и наоборот, каждому элементарному преобразованию строк расширенной матрицы соответствует некоторое элементарное преобразование в системе. Таким образом, элементарные преобразования в системе сводятся к соответствующим преобразованиям над строками ее расширенной матрицы.

Две системы линейных уравнений от одних и тех же неизвестных называются равносильными, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот (или если обе системы несовместны).

Заметим, что число уравнений в равносильных системах может быть различным.

ТЕОРЕМА. При элементарных преобразованиях система линейных уравнений переходит в равносильную систему.

Сущность метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к такому виду, чтобы матрица системы оказалась треугольной. Для упрощения изложения мы будем иметь дело не с самой системой, а с расширенной матрицей этой системы (производя при этом элементарные преобразования только над строками матрицы).

Рассмотрим алгоритм применения метода Гаусса на простых Типовой примерах.

Типовые примеры.Решить систему уравнений

1)

►Будем решать методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем её, вычитая первую строку, умноженную на 2, 3 и 1 соответственно из 2-ой, 3-ей и 4-ой строк:

.

Далее вторую строку, умноженную на 2 и 3, вычтем соответственно из третей и четвёртой строк:

Последняя матрица эквивалентна следующей ступенчатой системе:

Полученная упрощённая система представляет собой систему из двух уравнений для четырёх неизвестных. Следовательно, два из неизвестных можно выбрать за главные, а два — за свободные, через которые будут выражены главные. Число свободных неизвестных определяется по формуле , где– число неизвестных в исходной системе,– ранг матрицы системы (совпадающий с рангом расширенной матрицы в силу совместности системы). В качестве главных неизвестных можно выбрать любую пару, если определитель, составленный из коэффициентов, стоящих перед ними, отличен от нуля (базисный минор). В данной задаче в качестве главных неизвестных можно выбрать . Действительно, определитель, составленный из их коэффициентов, отличен от нуля:

.

Теперь из второго уравнения выразим через. Затем подставим его в первое уравнение и найдёмчерез. В итоге получим

Переменные принимают произвольные значения. Положив, общее решение системы можно записать в виде

.◄

2)

►Преобразуем расширенную матрицу системы:

~ .

Отсюда следует, что ,, т.е. исходная система несовместна. Заметим, что, применяя метод Гаусса (т.е. исключая неизвестные), мы одновременно проводим исследование системы на совместность (т.е. отыскиваем ранги матрицы системы и расширенной матрицы).◄

3)

►Исследуем систему на совместность:

~ .

Отсюда следует, что – система совместна.

Итак, полученная система, равносильная исходной, содержит одно уравнение с двумя неизвестными. Решение этой системы может быть найдено только в том случае, если мы придадим произвольное действительное значение одному из неизвестных. Тогда другое неизвестное можно выразить через первое.

Положим ; тогда. В итоге получаемобщее решение системы:

, где – произвольная постоянная.

Придавая постоянной различные действительные значения, получаем бесконечное множество решений исходной системы.

При желании можно произвести проверку:

.◄

4)

►Во всех трех системах воспользуемся методом Гаусса.

~

~

Расширенная матрица приведена к трапецеидальному виду. Объявляем «лишние неизвестные» исвободными; запишем систему, соответствующую этой трапецеидальной матрице, перенеся свободные неизвестныеив правую часть:

Степень свободы системы равна двум, значит, решение системы выразится через два параметра. Положив и решив систему из трех уравнений с неизвестныминайдем

где произвольные числа. ◄

5)

в результате преобразований появилась строка следовательно, система несовместна. ◄

6)

Ранг трапецеидальной матрицы равен 2, значит, степень свободы равна Объявляем неизвестныесвободными. Положивполучим

Таким образом, решением системы является

где произвольные числа (параметры). ◄

studfiles.net

Метод последовательных исключений неизвестных (метод Гаусса)

Поиск Лекций

С помощью коэффициентов и свободных членов составляется расширенная матрица

,

над строками которой можно произвести следующие элементарные преобразования. Разрешается изменить порядок строк; прибавлять к элементам произвольной строки элементы другой строки, умноженное на любое отличное от нуля число. При этом нужно стараться свести расширенную матрицу к «треугольному» виду, т.е. к виду, когда все элементы ниже (или выше) главной диагонали равны нулю. Из полученной расширенной матрицы решение находится непосредственно:

.

т.е. и т.д.

@ Задача 2. Решить систему уравнений: .

Решение: Составляем расширенную матрицу и сводим ее к «треугольному» виду:

Þ Þ .

После этого нетрудно найти решения:

14x3 = 14: x3 = 1; 3x2 – 2x3 = 2; x2 = 0;

x1 + 2x2 + 3x3 = 2; x1 = 1.

 

§2.2. Система линейных алгебраических уравнений, содержащая

m уравнений и n неизвестных

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

.

Система уравнений называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения. Ответ на совместность системы дает теорема Кронекера-Капелли.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы.

Теорема. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решение.

Решение системы находится следующим образом. Находим ранг матрицы, выбираем какой-либо базисный минор порядка r и r уравнений, с коэффициентами базисного минора (остальные уравнения отбрасываем). Решаем систему выбранных уравнений. Если r = n, то получим единственное решение, а если r < n, то получим бесконечное множество решений.

@ Задача 3. Найти решение системы

.

Решение: Ранги основной матрицы и расширенной матрицы равны 2. Поэтому отбрасываем одно уравнение (можно третье уравнение) и решаем полученную систему уравнений:

.

Обозначив x3 = с, получим решение (2 – с, 1, с).

 

§2.3. Система линейных однородных уравнений

Система линейных уравнений (1) с нулевыми свободными членами b1= b2= ¼ = bn = 0 называется системой линейных однородных уравнений.

Система линейных однородных уравнений имеет нулевое (тривиальное) решение при D ¹ 0 и ненулевое бесконечное множество решений при D = 0.

@ Задача 3. Найти решение системы .

Решение: Находим определитель . Так как детерминант равен нулю, то ранг матрицы не равен 3. Легко проверить, что ранг матрицы равен 2. После этого убираем одно из уравнений, например, третье уравнение и решаем полученную систему

, т.е. находим x1 и x2 через x3 = с. После подстановки x3 = с получим систему уравнений . Решая эту систему, находим x1 = 2x3 = 2с; x2 = – x3 = – с. Итак, решение системы линейных однородных уравнений имеет вид (2c, – c, c).

 

Тесты по теме №2

 

1. Решить систему уравнений:

R

£

£

2. Решить систему уравнений:

 

R

£

£

3. Решить систему:

R y = любое число, x = 5 + 2y.

£ y = любое число, x = 3 — 2y.

£ y = любое число, x = 1 + 3y.

 

4. Решить систему уравнений:

 

R

£

£

5. Решить систему:

 

£ x = 12 , у = 14, z = 2.

R x = -22 , у = 14, z = 2.

£ x = 11 , у = 12, z = 5.

£ x = 16 , у = 10, z = 4.

 

6. Решить систему уравнений:

 

R 4; 2; 1.

£ 1; 6; 0.

£ -3; 2; -1.

 

7. Решить систему двух уравнений:

 

£ x=-1; y = 1.

£ x=2; y = 4.

R x=3; y = -1.

 

8. Решить систему уравнений:

 

£ 1; 1; 3.

£ 4; -2; 0.

R 3; 1; 2.

 

9. Решить систему уравнений:

 

R 1; -2; 3.

£ 2; 3; 4.

£ -1; -2; 3.

 

10. Решить систему:

 

R -1; 3; 1.

£ 2; 1; -1.

£ 3; 0; 2.

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Совершенствование методов хозяйственной деятельностью во многом связано с применением в экономической науке и практике разнообразных математических методов исследования. В связи с этим в настоящее время математические дисциплины имеют исключительно важное значение как для всего процесса обучения в экономическом институте (они необходимы для успешного усвоения таких специальных дисциплин в образовании экономиста как информатика, экономическая статистика, эконометрика, новые информационные технологии и др.), так и для последующей деятельности специалиста.

Развитие математической культуры студента должно включать в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке экономиста, выработку представления о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой культуре, умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и корректно использовать математическую символику для выражения количественных и качественных отношений.

 

Литература

1. Высшая математика: Учебник / В.А. Ильин и др. – М.: ВЕЛБИ, 2010.

2. Высшая математика для экономистов: Учебник /.Под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. – М.: ЮНИТИ , 2008.

3. Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и Практикум / часть1-2 / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Высшее образование, 2005.

4. Начала финансовой математики / Г.П. Башарин. – М.: ИНФРА-М, 1998.

5. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие /Под ред. В.Е. Гмурмана.- 1 2 –е изд. – М.: Высшее образование, 2010.

 


Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

poisk-ru.ru

Метод последовательного исключения неизвестных. Метод Гаусса.

Идея метода основана на исключении переменных до тех пор, пока не останется только одна переменная в левой части одного уравнения. Затем это уравнение решается относительно этой единственной переменной, и полученное значение подставляется в предыдущее уравнение для получения остающихся переменных. Очевидно что предложенный алгоритм работает, если аii≠0.

(6)

(7)

Второе уравнение системы (7) получено умножением первого уравнения этой системы на коэффициент a21/a11 и сложением со вторым уравнением системы (6). Третье уравнение — путем умножения первого уравнения этой системы на коэффициентa31/a11 и сложением с третьим уравнением системы (6).

(8)

Третье уравнение системы (8) получено умножением второго уравнения системы (7) на коэффициент a32/a22 и сложением с третьим уравнением системы (6).

Описанные этапы приводят к уравнению вида:

Ux=Mb,

где U— верхняя треугольная матрица. Диагональные элементы матрицы называются ведущими. K-ый ведущий элемент является коэффициентом при к-ой переменной в к-ом уравнении на к-ом шаге исключения.

Интуитивно можно утверждать, что к-ый элемент не должен быть слишком малым, иначе при делении будут получаться очень большие числа с большими абсолютными погрешностями. В результате этого решение может сильно исказиться.

Для того чтобы этого избежать применяются:

  1. Масштабирование коэффициентов. Подход заключается в «отбрасывании» порядков при коэффициентах уравнений.

  2. Метод Гаусса с выбором ведущего элемента. Отличие его от выше описанной схемы состоит в том что на к-ом шаге в качестве ведущего элемента берется наибольший по абсолютной величине элемент в неприведенной части к-ого столбца. Строка, содержащая этот элемент переставляется с к-ой строкой. Так же переставляются элементы правой части.

Гауссово исключение с выбором ведущих элементов гарантированно дает малые невязки. Связь между величинойошибки и невязкиотчасти определяетсячислом обусловленности.

Дополнительная информация приведена в Приложении 2.

Методы решения моделей по постоянному току. Линейный и нелинейный случаи (итерационные методы решения)

Идея итерации с неподвижной точкой.Большинство итерационных методов решения систем линейных и нелинейных уравнений могут быть рассмотрены как специальные случаи итерационного алгоритма с неподвижной точкой. Рассмотрим идею на примере уравнения с одним неизвестным

ƒ(х)=0. (9)

Алгоритм неподвижной точки требует специальной формы записи

x=F(x) (10)

Целью алгоритма является нахождение x=x*, которое сводит уравнение (10) к тождеству. Преобразуем уравнение (10) к виду

Y=x Y= F(x). (11)

Тогда геометрическая интерпретация алгоритма будет выглядеть следующим образом (см. рис. 3)

Рис. 3. Геометрическая интерпретация алгоритма неподвижной точки.

Предполагаем, что мы начинаем итерационную процедуру выбрав х=х0, в результате получаемх1. Если|x*-x1|<|x*-x0|,то выбор начального приближениях1 лучше, чем х0.В качестве начального приближения выбираемх1 и так далее пока

|xк+1xк|<ε.(12)

В общем случае метод описывается рекурсивной формулой

xк+1=F(xк) (13)

Критерий, гарантирующий сходимость, определяется следующим образом (принцип сжатых отображений): если F(x)есть сжатиеn-мерного пространстваRnвRn, т.е. константаL<1, такая что

|| F(y)-F(x)||<||yx|| , х,у Є Rn , (14)

то F(y) имеет единственную неподвижную точку.

Последовательные итерации приводят к этой неподвижной точке. Если Lблизка к единице, то сходимость может быть достаточно медленной.

Методы неподвижной точки требуют, чтобы исходные уравнения … записывались в стандартной форме, где

, (15)

где — матричная неособенная функция от.

Ясно, что может быть случайной функцией. Различные выборыведут к различным характеристикам сходимости. Большинство итерационных методов решения систем нелинейных уравнений является специальными случаями уравнения (15).

Например, , где— матрица Якоби.

Подставляя в формулу (15), получим

. (16)

То есть приходим к методу Ньютона — Рафсона.

Метод Ньютона применяется на практике в большинстве случаев, поэтому остановимся на нем подробнее.

Известно, что всякую функцию в окрестности решения можно разложить в ряд Тейлора

(17)

При этом в окрестности решения можно ограничиться разложением с точностью до первого порядка малости. В методе Ньютона можно ввести преобразование, которое позволит сохранить невязку, если она мала, и уменьшить её, если она велика. Для метода Ньютона оправдывается теорема, если

,

=0

и вторая производная

непрерывна, то существует открытый интервал , содержащийв решении, такой что, если, то для метода Ньютонасходится к решению, т.е. метод Ньютона гарантирует сходимость к решению при хорошем приближении.

Погрешность решения

. (18)

Нетрудно видеть, что

. (19)

Если необходимо определить погрешность решения и сходимость, то нужно учесть второй порядок.

Об итерационном процессе, для которого ошибка удовлетворяет соотношению

. (20)

говорят, что он имеет сходимость порядка p, то есть метод Ньютона имеет квадратичную сходимость. Например, наkой итерации погрешность решения:

,,,.

То есть, достаточно шести итераций для того, чтобы погрешность стала очень маленькой.

Трудность применения метода Ньютона заключается в выборе начального приближения, которое находилось бы внутри интервала . Есливзят вне интервала (разложение в ряд Тейлора в окрестности решения ), то нуль не будет найден. Вследствие этого методу Ньютона часто предшествует какой-либо глобально сходящийся алгоритм (например, метод деления отрезка пополам). То есть метод Ньютона является завершающей процедурой более медленных, но надежных начальных алгоритмов.

Локальная методическая погрешность

.

Различные подходы к выбору матрицы (помимо метода Ньютона) приводят к методам Якоби, Гаусса–Зейделя, методу последовательной верхней релаксации. Перечисленные методы относятся к релаксационным.

studfiles.net

Метод последовательного исключения неизвестных. Метод Гаусса.

Идея метода основана на исключении переменных до тех пор, пока не останется только одна переменная в левой части одного уравнения. Затем это уравнение решается относительно этой единственной переменной, и полученное значение подставляется в предыдущее уравнение для получения остающихся переменных. Очевидно что предложенный алгоритм работает, если аii≠0.

(6)

(7)

Второе уравнение системы (7) получено умножением первого уравнения этой системы на коэффициент a21/a11 и сложением со вторым уравнением системы (6). Третье уравнение — путем умножения первого уравнения этой системы на коэффициентa31/a11 и сложением с третьим уравнением системы (6).

(8)

Третье уравнение системы (8) получено умножением второго уравнения системы (7) на коэффициент a32/a22 и сложением с третьим уравнением системы (6).

Описанные этапы приводят к уравнению вида:

Ux=Mb,

где U— верхняя треугольная матрица. Диагональные элементы матрицы называются ведущими. K-ый ведущий элемент является коэффициентом при к-ой переменной в к-ом уравнении на к-ом шаге исключения.

Интуитивно можно утверждать, что к-ый элемент не должен быть слишком малым, иначе при делении будут получаться очень большие числа с большими абсолютными погрешностями. В результате этого решение может сильно исказиться.

Для того чтобы этого избежать применяются:

  1. Масштабирование коэффициентов. Подход заключается в «отбрасывании» порядков при коэффициентах уравнений.

  2. Метод Гаусса с выбором ведущего элемента. Отличие его от выше описанной схемы состоит в том что на к-ом шаге в качестве ведущего элемента берется наибольший по абсолютной величине элемент в неприведенной части к-ого столбца. Строка, содержащая этот элемент переставляется с к-ой строкой. Так же переставляются элементы правой части.

Гауссово исключение с выбором ведущих элементов гарантированно дает малые невязки. Связь между величинойошибки и невязкиотчасти определяетсячислом обусловленности.

Дополнительная информация приведена в Приложении 2.

Методы решения моделей по постоянному току. Линейный и нелинейный случаи (итерационные методы решения)

Идея итерации с неподвижной точкой.Большинство итерационных методов решения систем линейных и нелинейных уравнений могут быть рассмотрены как специальные случаи итерационного алгоритма с неподвижной точкой. Рассмотрим идею на примере уравнения с одним неизвестным

ƒ(х)=0. (9)

Алгоритм неподвижной точки требует специальной формы записи

x=F(x) (10)

Целью алгоритма является нахождение x=x*, которое сводит уравнение (10) к тождеству. Преобразуем уравнение (10) к виду

Y=x Y= F(x). (11)

Тогда геометрическая интерпретация алгоритма будет выглядеть следующим образом (см. рис. 3)

Рис. 3. Геометрическая интерпретация алгоритма неподвижной точки.

Предполагаем, что мы начинаем итерационную процедуру выбрав х=х0, в результате получаемх1. Если|x*-x1|<|x*-x0|,то выбор начального приближениях1 лучше, чем х0.В качестве начального приближения выбираемх1 и так далее пока

|xк+1xк|<ε.(12)

В общем случае метод описывается рекурсивной формулой

xк+1=F(xк) (13)

Критерий, гарантирующий сходимость, определяется следующим образом (принцип сжатых отображений): если F(x)есть сжатиеn-мерного пространстваRnвRn, т.е. константаL<1, такая что

|| F(y)-F(x)||<||yx|| , х,у Є Rn , (14)

то F(y) имеет единственную неподвижную точку.

Последовательные итерации приводят к этой неподвижной точке. Если Lблизка к единице, то сходимость может быть достаточно медленной.

Методы неподвижной точки требуют, чтобы исходные уравнения … записывались в стандартной форме, где

, (15)

где — матричная неособенная функция от.

Ясно, что может быть случайной функцией. Различные выборыведут к различным характеристикам сходимости. Большинство итерационных методов решения систем нелинейных уравнений является специальными случаями уравнения (15).

Например, , где— матрица Якоби.

Подставляя в формулу (15), получим

. (16)

То есть приходим к методу Ньютона — Рафсона.

Метод Ньютона применяется на практике в большинстве случаев, поэтому остановимся на нем подробнее.

Известно, что всякую функцию в окрестности решения можно разложить в ряд Тейлора

(17)

При этом в окрестности решения можно ограничиться разложением с точностью до первого порядка малости. В методе Ньютона можно ввести преобразование, которое позволит сохранить невязку, если она мала, и уменьшить её, если она велика. Для метода Ньютона оправдывается теорема, если

,

=0

и вторая производная

непрерывна, то существует открытый интервал , содержащийв решении, такой что, если, то для метода Ньютонасходится к решению, т.е. метод Ньютона гарантирует сходимость к решению при хорошем приближении.

Погрешность решения

. (18)

Нетрудно видеть, что

. (19)

Если необходимо определить погрешность решения и сходимость, то нужно учесть второй порядок.

Об итерационном процессе, для которого ошибка удовлетворяет соотношению

. (20)

говорят, что он имеет сходимость порядка p, то есть метод Ньютона имеет квадратичную сходимость. Например, наkой итерации погрешность решения:

,,,.

То есть, достаточно шести итераций для того, чтобы погрешность стала очень маленькой.

Трудность применения метода Ньютона заключается в выборе начального приближения, которое находилось бы внутри интервала . Есливзят вне интервала (разложение в ряд Тейлора в окрестности решения ), то нуль не будет найден. Вследствие этого методу Ньютона часто предшествует какой-либо глобально сходящийся алгоритм (например, метод деления отрезка пополам). То есть метод Ньютона является завершающей процедурой более медленных, но надежных начальных алгоритмов.

Локальная методическая погрешность

.

Различные подходы к выбору матрицы (помимо метода Ньютона) приводят к методам Якоби, Гаусса–Зейделя, методу последовательной верхней релаксации. Перечисленные методы относятся к релаксационным.

studfiles.net

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.