Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y – Как найти наибольшее и наименьшее значение функции, примеры

Как найти наибольшее наименьшее значение функции

Автор КакПросто!

Выдающийся немецкий математик Карл Вейерштрасс доказал, что для каждой непрерывной на отрезке функции существуют ее наибольшее и наименьшее значение на этом отрезке. Задача определения наибольшего и наименьшего значения функции имеет широкое прикладное значение в экономике, математике, физике и других науках.

Статьи по теме:

Вам понадобится

  • чистый лист бумаги;
  • ручка или карандаш;
  • учебник по высшей математике.

Инструкция

Пусть функция f(x) непрерывна и определена на заданном отрезке [a; b] и имеет на нем некоторое (конечное) количество критических точек. Первым делом найдем производную функции f'(x) по х. Приравниваем производную функции к нулю, чтобы определить критические точки функции. Не забываем определить точки, в которых производная не существует — они также являются критическими.

Из множества найденных критических точек выбираем те, которые принадлежат отрезку [a; b]. Вычисляем значения функции f(x) в этих точках и на концах отрезка.

Из множества найденных значений функции выбираем максимальное и минимальное значения. Это и есть искомые наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Видео по теме

Источники:

  • Наибольшее и наименьшее значение функции
  • как указать наименьшее значение функции

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале? 8 класс

Наибольшее и наименьшее значение функции. С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования… Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X, который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком формула, открытым интервалом формула, бесконечным промежутком формула. В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x). Навигация по странице. Наибольшее и наименьшее значение функции — определения, иллюстрации. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [a;b]. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на открытом или бесконечном интервале X. Наибольшее и наименьшее значение функции — определения, иллюстрации. Кратко остановимся на основных определениях. Наибольшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение формула, что для любого формула справедливо неравенство формула. Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение формула, что для любого формула справедливо неравенство формула. Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе формула. Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль. Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка. Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена. Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме: «Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции»? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции. Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится. На отрезке изображение На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y) и наименьшее (min y) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6]. Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на [1;6]. В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее — в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала. На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции. На открытом интервале изображение На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y) и наименьшее (min y) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6). На интервале [1;6) наименьшее значение

если коротко, то на концах отрезка и в точках экстремума

Это наибольшее и наименьшее значения y, при наибольшем и наименьшем значениях x, принадлежащих этому интервалу. Например, y наибольшее и наименьшее значения функции y=√x при промежутке [1; 5) yнаиб. =2, yнаим. =1. Чаще всего вычисляется по графику.

touch.otvet.mail.ru

§13 Наибольшее и наименьшее значение функции.

Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой замкнутой области D (т.е. в области с границей ). Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции в этой области. Если какое-либо из этих значений достигается внутри области, то это есть, очевидно, экстремальное значение. Но наибольшее и наименьшее значения могут достигаться и в точках границы. Отсюда следует правило: чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в замкнутой области, нужно найти все внутренние критические точки, вычислить значения функции в них и сравнить эти значения с наибольшими ( наименьшими) значениями функции в этой области.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутом треугольнике с вершинамиO(0,0) , A(0,1) и B(1,0)

Решение:

1.Ищем критические точки внутри OAB.

— критическая точка внутри

.

2. Ищем наибольшие и наименьшие значения на границе. Рассматриваем отдельные отрезки.

1)На OA: , — функция одной переменной y на

, , . Вычислим значения на концах :, . 2) На OB: — функция одной

переменной x на

Аналогично: ,

На AB: , Опять имеем функцию одной переменной на при, . В точках A и B значения уже вычислялись:.

Итак, наибольшее значение z =3 достигается в точках A и B , наименьшее значение достигается в точке

.

§ 14.Условный экстремум. Метод множителей лангража.

Часто в задачах приходится отыскивать экстремумы функции от нескольких переменных, которые не являются независимыми, а связаны некоторым (или некоторыми) условиями – например, должны удовлетворять одному или нескольким уравнениям (уравнениям связи).

Пример. Нужно изготовить коробку в форме параллелепипеда наибольшего объёма при заданной площади поверхности коробки (площадь имеющегося материала).

Математически задача звучит так. Если

z – длина, ширина, высота коробки, то , .

Нужно найти максимум функции при дополнительном условии, т.е. это типичная задача на условный экстремум.

Как решать такие задачи? Рассмотрим сначала вопрос в общем виде.

I. Пусть (1) – функция двух переменных.

(2) – уравнение связи.

1) Если можно разрешить (2) относительно : , то, подставив в (1), получим функцию от одного переменного: нахождение условного экстремума сведётся к нахождению безусловного (обычного) экстремума функции от этой переменной.

2) Но можно поступить и иначе (что особенно ценно, когда (2) разрешить однозначно нельзя). При тех значениях , при которых функцияимеет экстремум, производная отподолжна обращаться в нуль. Считаем, что уравнение (2) определяеткак неявную функцию от. Считая, чтоесть функция от, из (1) находим(как полную производную):

.

Следовательно, в точках экстремума имеем

. (3)

Из равенства (2) находим (считаем), откуда

. (4)

Умножим члены равенства (4) на неопределённый пока коэффициент (множитель Лагранжа)и сложим почленно (3) и полученное из (4):

или (5)

((5) удовлетворяется во всех точках экстремума).

Подберём так, чтобы для всех значенийи, соответствующих экстремуму функциибыло, тогда ипри тех же значенияхи.

Таким образом, в точках экстремума должны одновременно удовлетворяться три уравнения с тремя неизвестными ,,

(6)

Находим решение , тогда точка (,) и будет точкой, подозрительной на условный экстремум (больше не нужно!).

Обычно из характера самой задачи можно сказать есть ли в этой точке экстремум и какой?

Для удобства практического применения метода множителей Лагранжа и составления системы (6) сразу рассматривают функцию Лагранжа: .

Тогда система и даёт систему (6).

II. Рассмотренный метод распространяется и на функции большего числа переменных, с большим числом уравнений связи.

Пусть нужно найти экстремум функции при условии, что переменные удовлетворяютуравнениям связи:

Тогда – функция Лагранжа. Подозрительные на экстремум точки, находим, решая системууравнений снеизвестными:

Пример. Найдём решение задачи о коробке, сформулированной вначале.

,

Составим функцию Лагранжа: .

Напишем систему:

Домножим первое уравнение на , второе – на, третье – наи почленно сложим их.

Получим:

Подставим это значениев первые три уравнения, получим:

.

Из четвёртого уравнения тогда имеем: .

Отсюда: , т.е.коробка должна быть кубом с ребром .

studfiles.net

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *