Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y – Как найти наибольшее и наименьшее значение функции, примеры

Как найти наибольшее наименьшее значение функции

22 апреля 2011

Автор КакПросто!

Выдающийся немецкий математик Карл Вейерштрасс доказал, что для каждой непрерывной на отрезке функции существуют ее наибольшее и наименьшее значение на этом отрезке. Задача определения наибольшего и наименьшего значения функции имеет широкое прикладное значение в экономике, математике, физике и других науках.

Статьи по теме:

Вам понадобится

• чистый лист бумаги;
• ручка или карандаш;
• учебник по высшей математике.

Инструкция

Пусть функция f(x) непрерывна и определена на заданном отрезке [a; b] и имеет на нем некоторое (конечное) количество критических точек. Первым делом найдем производную функции f'(x) по х. Приравниваем производную функции к нулю, чтобы определить критические точки функции. Не забываем определить точки, в которых производная не существует — они также являются критическими.

Из множества найденных критических точек выбираем те, которые принадлежат отрезку [a; b]. Вычисляем значения функции f(x) в этих точках и на концах отрезка.

Из множества найденных значений функции выбираем максимальное и минимальное значения. Это и есть искомые наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Видео по теме

Источники:

• Наибольшее и наименьшее значение функции
• как указать наименьшее значение функции

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале? 8 класс

Наибольшее и наименьшее значение функции. С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования… Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X, который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком формула, открытым интервалом формула, бесконечным промежутком формула. В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x). Навигация по странице. Наибольшее и наименьшее значение функции — определения, иллюстрации. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [a;b]. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на открытом или бесконечном интервале X. Наибольшее и наименьшее значение функции — определения, иллюстрации. Кратко остановимся на основных определениях. Наибольшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение формула, что для любого формула справедливо неравенство формула. Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение формула, что для любого формула справедливо неравенство формула. Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе формула. Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль. Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка. Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена. Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме: «Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции»? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции. Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится. На отрезке изображение На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y) и наименьшее (min y) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6]. Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на [1;6]. В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее — в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала. На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции. На открытом интервале изображение На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y) и наименьшее (min y) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6). На интервале [1;6) наименьшее значение

если коротко, то на концах отрезка и в точках экстремума

Это наибольшее и наименьшее значения y, при наибольшем и наименьшем значениях x, принадлежащих этому интервалу. Например, y наибольшее и наименьшее значения функции y=√x при промежутке [1; 5) yнаиб. =2, yнаим. =1. Чаще всего вычисляется по графику.

touch.otvet.mail.ru

§13 Наибольшее и наименьшее значение функции.

Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой замкнутой области D (т.е. в области с границей ). Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции в этой области. Если какое-либо из этих значений достигается внутри области, то это есть, очевидно, экстремальное значение. Но наибольшее и наименьшее значения могут достигаться и в точках границы. Отсюда следует

правило: чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в замкнутой области, нужно найти все внутренние критические точки, вычислить значения функции в них и сравнить эти значения с наибольшими ( наименьшими) значениями функции в этой области.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутом треугольнике с вершинамиO(0,0) , A(0,1) и B(1,0)

Решение:

1.Ищем критические точки внутри OAB.

— критическая точка внутри

.

2. Ищем наибольшие и наименьшие значения на границе. Рассматриваем отдельные отрезки.

1)На OA

: , — функция одной переменной y на

, , . Вычислим значения на концах :, . 2) На OB: — функция одной

переменной x на

Аналогично: ,

На AB: , Опять имеем функцию одной переменной на при, . В точках A и B значения уже вычислялись:.

Итак, наибольшее значение z =3 достигается в точках A и B , наименьшее значение

достигается в точке .

§ 14.Условный экстремум. Метод множителей лангража.

Часто в задачах приходится отыскивать экстремумы функции от нескольких переменных, которые не являются независимыми, а связаны некоторым (или некоторыми) условиями – например, должны удовлетворять одному или нескольким уравнениям (уравнениям связи).

Пример. Нужно изготовить коробку в форме параллелепипеда наибольшего объёма при заданной площади поверхности коробки (площадь имеющегося материала).

Математически задача звучит так. Если

z – длина, ширина, высота коробки, то , .

Нужно найти максимум функции при дополнительном условии, т.е. это типичная задача на условный экстремум.

Как решать такие задачи? Рассмотрим сначала вопрос в общем виде.

I. Пусть (1) – функция двух переменных.

(2) – уравнение связи.

1) Если можно разрешить (2) относительно : , то, подставив в (1), получим функцию от одного переменного: нахождение условного экстремума сведётся к нахождению безусловного (обычного) экстремума функции от этой переменной.

2) Но можно поступить и иначе (что особенно ценно, когда (2) разрешить однозначно нельзя). При тех значениях , при которых функцияимеет экстремум, производная отподолжна обращаться в нуль. Считаем, что уравнение (2) определяеткак неявную функцию от. Считая, чтоесть функция от, из (1) находим(как полную производную):

.

Следовательно, в точках экстремума имеем

. (3)

Из равенства (2) находим (считаем), откуда

. (4)

Умножим члены равенства (4) на неопределённый пока коэффициент (множитель Лагранжа)и сложим почленно (3) и полученное из (4):

или (5)

((5) удовлетворяется во всех точках экстремума).

Подберём так, чтобы для всех значенийи, соответствующих экстремуму функциибыло, тогда ипри тех же значенияхи.

Таким образом, в точках экстремума должны одновременно удовлетворяться три уравнения с тремя неизвестными ,, 

(6)

Находим решение , тогда точка (,) и будет точкой, подозрительной на условный экстремум (больше не нужно!).

Обычно из характера самой задачи можно сказать есть ли в этой точке экстремум и какой?

Для удобства практического применения метода множителей Лагранжа и составления системы (6) сразу рассматривают функцию Лагранжа: .

Тогда система и даёт систему (6).

II. Рассмотренный метод распространяется и на функции большего числа переменных, с большим числом уравнений связи.

Пусть нужно найти экстремум функции при условии, что переменные удовлетворяютуравнениям связи:

Тогда – функция Лагранжа. Подозрительные на экстремум точки, находим, решая системууравнений снеизвестными:

Пример. Найдём решение задачи о коробке, сформулированной вначале.

,

Составим функцию Лагранжа: .

Напишем систему:

Домножим первое уравнение на , второе – на, третье – наи почленно сложим их.

Получим:

Подставим это значениев первые три уравнения, получим:

.

Из четвёртого уравнения тогда имеем: .

Отсюда: , т.е.коробка должна быть кубом с ребром .

studfiles.net