Ряд фурье онлайн с подробным решением – .

Разложение в ряд — Калькулятор Онлайн

Чтобы посчитать сумму ряда онлайн выполните следующие действия:

  • ввести выражение, для которого нужно вычислить ряд
  • указать параметр, по которому будет считать сумма
  • указать значение параметра, до которого нужно подсчитать (для бесконечного ряда указываем бесконечность)

Перейти: Найти «сумму числового ряда»

Разложение в ряд Фурье

Это он-лайн сервис в два шага:

  • Ввести функцию, которую необходимо разложить
  • Ввести отрезок, на котором необходимо разложить

Перейти: Онлайн «Разложение функции в ряд Фурье»

Разложение в ряд Тейлора (степенной ряд)

Это он-лайн сервис в три шага:

  • Ввести функцию, которую необходимо разложить
  • Ввести точку, в окрестности которой необходимо разложить
  • Указать до какого члена раскладывать

Перейти: Онлайн «Разложение функции в ряд Тейлора»

Чтобы посчитать произведение ряда онлайн выполните следующие действия:

  • ввести выражение, для которого нужно вычислить произведение ряда
  • указать параметр, по которому считать произведение
  • указать значение параметра, до которого нужно подсчитать (для бесконечного ряда указываем бесконечность oo)

Перейти: Найти «произведение числового ряда»

www.kontrolnaya-rabota.ru

Ряд Фурье. Контрольные онлайн

Ряд Фурье

Определение. Коэффициентами Фурье функции  называются числа  и , определяемые формулами
,
Ряд называется рядом Фурье функции .
В случае разложения в ряд Фурье функции, заданной в интервале , где  — произвольное число, формулы принимают вид:

,

Пример1 Разложить в ряд Фурье функцию  на отрезке . Решение.




Подставим найденные значения коэффициентов ряда Фурье в формулу:

Пример2 Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию

Решение
Если функция  задана на интервале , то её ряд Фурье имеет вид ,
где ,   , .
Заданная функция определена на интервале , следовательно,  и ряд Фурье для функции  будет иметь вид ,
где , , .
Вычислим коэффициенты ряда Фурье для заданной функции.

Проинтегрировав по частям, получим

Проинтегрировав по частям, получим

Таким образом, в точках дифференцируемости функции


Читать методичку Ряды и интегралы Фурье (pdf)

www.matem96.ru

1.2. Примеры разложений в ряд Фурье

1. Разложить в ряд Фурье в промежутке . Отметим,

что имеет один разрыв на периоде в точке . Имеем ,

В частности, при и мы получаем разложение

,

Из которого заменой следует известная формула

Можно доказать, что

2. Разложить непрерывную в промежутке функцию

В ряд Фурье по синусам. Имеем .

.

Отсюда

Так как числовой ряд обратных квадратов сходится, ряд Фурье сходится абсолютно и мы имеем

3. Разложить ту же функцию в ряд Фурье по косинусам в промежутке . Имеем

Отсюда

При Получаем, в частности

.

4. Разложить в ряд Фурье по косинусам в промежутке . Имеем ,,

Так что .

При Получаем, в частности,

,

А при

.

5. Разложить в ряд Фурье в промежутке .. Здесь Обращается в бесконечность На концах промежутка, оставаясь при этом несобственно интегрируемой, . Ввиду четности функции . Имеем для , используя известный интеграл Эйлера

:

.

Аналогично для , используя выражение для ядра Дирихле (см. 1.3.)

Имеем

Таким образом, окончательно получаем . Это разложение сходится при , что дает равенство

Заменяя на , получаем

.

Формально дифференцируя последний ряд, получаем разложение Фурье (неинтегрируемой!) функции :

.

Это разложение справедливо в смысле теории обобщенных функций (распределений) (см. 2.7.)

В заключение приведем примеры выполнения расчетно-графических заданий.

1. Разложить периодическую с периодом функцию в ряд Фурье.

Имеем .

;

Окончательно,

2. Разложить функцию

В ряд Фурье по синусам. Имеем

Окончательно,

.

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Разложение функции в ряд Фурье

Разложить в тригонометрический ряд Фурье можно непериодическую функцию определенную от минус Пи до Пи —

Разложение кусковой функции в ряд Фурье находят по формуле

где коэффициенты Фурье вычисляют интегрированием

Таким образом, чтобы разложить функцию в ряд Фурье на практике необходимо всего лишь найти коэффициенты Фурье, а для этого нужно хорошо уметь интегрировать. На деле это занимает много времени и сил и многим бывает не под силу. В этом Вы сейчас наглядно убедитесь.

Пример: 6.9 Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье:

Вычисления: Заданная функция непереодическая. Для вычисления коэффициентов Фурье используем формулы



Сложность заключается в том, что для конечной формулы разложения ряда коэффициенты Фурье с четными и нечетными индексами надо свести в один.
Это требует определенных умений, однако реализовать это может научиться каждый. Кроме того, Вы должны безупречно знать что sin(0)=sin(Pi)=0, cos(0)=1, cos(Pi)=-1.
После всех манипуляций разложение функции в ряд Фурье должно принять вид

Если в результате вычислений Вы получили что-то отменное от этого, значит Вы где-то допустили ошибку.

Пример: 6.12 Найти разложение функции в тригонометрический ряд Фурье

Вычисления: Интегрированием функции с тригонометрическими множителями и без них находим коэффициенты Фурье




Составляем формулы коэффициентов Фурье и записываем разложение функции в тригонометрический ряд

Пример: 6.18 Найти разложение функции в тригонометрический ряд Фурье:

Вычисления: Находим коэффициенты Фурье интегрированием





Интегралы по силам каждому, для вычисления меж необходимы лишь знания значений синуса и косинуса в -Pi 0, Pi. Подставляем полученные коэффициенты в ряд Фурье и получаем следующее разложение функции

Пример: 6.20 Найти разложение функции в тригонометрический ряд Фурье:

Вычисления: Интегрированием находим коэффициенты Фурье a0, ak, bk




Далее для коэффициентов составляем общие формулы и подставляем в формулу разложения функции в тригонометрический ряд Фурье

Пример 6.30 Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье:

Вычисления: Определим интегрированием коэффициенты Фурье:






Вычисления достаточно громоздки, поэтому хорошо разберите формулы и для себя изучите методику интегрирования.
При сворачивании коэффициентов Фурье получим искомое разложение функции в ряд Фурье

Как Вы могли убедиться разложить функцию в ряд Фурье по силам не каждому студенту. Умение интегрировать и знания рядов Вам в этом будут хорошими помощниками.

yukhym.com

Числовые ряды, ряды фурье и преобразование Фурье

Задание 1

Исследовать на сходимость числовые ряды.

А)

Б)

Решение

А) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Рассмотри ряд из модулей:

При n→∞: →0, поэтому применим формулу при , тогда получим ряд , а этот ряд сходится как сумма геометрической прогрессии.

— следовательно, на основании второго (предельного) признака сравнения заключаем, что исходный ряд сходится абсолютно.

Б) Воспользуемся интегральным признаком Коши:

Следовательно, исходный ряд расходится, так как расходится соответствующий несобственный интеграл.

Задание 2

Исследовать знакочередующийся ряд На абсолютную и условную сходимость.

Решение

1) Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

;

Используем 2й признак сравнения:

Так как ряд расходится как обобщённый гармонический. Следовательно, данный ряд не сходится абсолютно.

Исследуем ряд на условную сходимость.

Так как ряд сходится по признаку Лейбница (,) , то сходится условно по 2му признаку сравнения и ряд

Следовательно, данный ряд сходится условно.

Задание 3

Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости.

Решение

Найдём интервал сходимости ряда ,

Тогда или , .

Ряд сходится абсолютно на интервале (-8;-2)

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При x=-8 исходный ряд примет вид , данный ряд является знакопеременным, исследуем его на абсолютную сходимость:

Воспользуемся вторым признаком сравнения: , , . Следовательно и сходятся или расходятся одновременно, а так как ряд расходится (Так как ряд Дирихле

Расходится при р<1), то ряд не сходится абсолютно.

Данный ряд сходится условно по признаку Лейбница: И .

При х=-2 исходный ряд примет вид . Как мы убедились выше этот ряд расходится.

Значит степенной ряд имеет интервал абсолютной сходимости: . В т. х=-8 ряд сходится условно.

Задание 4

Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости полученного ряда. Найти , если Варианта.

А)

Б)

Решение

А) Преобразуем исходное выражение:

Тогда используем стандартное разложение:

, тогда

Используем стандартное разложение:

, тогда

Подставим:

Б) Преобразуем исходную функцию к виду:

Воспользуемся стандартным разложением:

Имеем окончательно:

Задание 5

Используя признак Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость функционального ряда на указанном промежутке.

Решение

Исходя из неравенств

на

Максимум числителя при n=2, то есть , 3/2<2

Минимум знаменателя на при ,

Имеем: — мажорирующий ряд.

Если мажорирующий ряд сходится, то функциональный ряд сходится равномерно.

Ряд сходится как сумма геометрической прогрессии.

Следовательно, мажорирующий ряд сходится.

А значит сходится и функциональный ряд на промежутке .

Задание 6

А) Разложить функцию , заданную па полупериоде , в ряд Фурье по косинусам. Построить графики второй, третьей, десятой частичных сумм. Написать равенство Парсеваля для по­лученного ряда. Сумму какого числового ряда можно отыскать с помощью полученного равенства?

Б) Разложить функцию , заданную на полупериоде , в ряд Фурье по синусам. Построить графики второй, третьей, де­сятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда.

В) Разложить функцию в ряд Фурье, продолжая ее па полупериод функцией, равной 0. Построить графики второй, четвертой, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полу­ченного ряда.

Решение

а) Доопределим функцию на промежутке чётным образом и продолжим её на всю числовую ось как периодическую с периодом, равным 2. — чётная функция. Тригонометрический ряд Фурье содержит только косинусы. Вычислим коэффициенты Фурье этой функции.

, следовательно

,

Так как рассматриваемая функция непрерывна всюду, то сумма её ряда Фурье равна данной функции при всех х и .

При Имеем и

Равенство Парсеваля:

, так как , то

Б) Доопределим функцию на промежутке нечётным образом, а значение в т : и продолжим её на всю числовую ось как периодическую с периодом, равным 2. Согласно теореме Дирихле тригонометрический ряд Фурье такой функции будет сходиться к этой функции во всех точках непрерывности. Вычислим коэффициенты Фурье этой функции.

Так как рассматриваемая функция непрерывна всюду, то сумма её ряда Фурье равна данной функции при всех х и .

Так как функция кусочно-дифференцируема на то ряд Фурье сходится в среднем на

В) Разложим в ряд Фурье функцию

Т=2

Вычислим коэффициенты Фурье этой функции

, следовательно

,

Ряд Фурье имеет вид:

Ряд Фурье сходится в среднем (аналогично пункту б)

Задание 7

Методом Фурье найти решение уравнения колебания струны длины , закреплённой на концах и удовлетворяющей следующим

Начальным условиям: ,

,

Решение

Решение ищем в виде ряда

, где l=2 по условию.

Так как , а По условию, то решение имеет вид:

, где

Окончательно:

Задание 8

Найти приближённое решение задачи Коши ; ;

Решение задачи Коши ищется в виде степенного ряда , коэффициенты которого вычисляются последовательно. Ограничи­ваясь суммой , содержащей N + 1 член рада, получаем приближенное решение. Оценка погрешности этого решения в ра­боте облегчается тем, что получающиеся степенные ряды знако­чередующиеся. Требуется, чтобы эта погрешность не превосходила 0,001 при .

Решение

Ищем решение в виде: , тогда

,

,

Используя начальные условия, найдём значения двух коэффициентов ; .

Подставим ряды в заданное уравнение и приводим подобные члены. Получаем:

Приравнивая все коэффициенты ряда, стоящего в первой части, к нулю (только при таком условии ряд будет тождественно равен нулю), получим систему:

,, , , тогда из которой определяем следующие значения всех остальных коэффициенов

, ,,…,,…

Таким образом искомый частный интеграл данного уравнения есть степенной ряд

, который сходится при любом значении x (согласно признаку Даламбера )

Оценим погрешность. Она не должна превосходить 0,001 при

Так как , то достаточно взять первые 2 члена ряда

Задание 9

Приближенно вычислить определенный интеграл

Для вычисления интеграла функцию f(x) разлагают на отрезке интегрирования в степенной ряд, который интегрируют почленно. Ограничившись несколькими первыми слагаемыми полученного та­ким образом числового ряда, имеем приближенное значение инте­грала. В работе погрешность приближения не должна превышать 0.0001, и оценка этой погрешности упрощается по тем же причинам, что и в задаче 8.

Решение

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена

, при

Тогда

Имеем

Получен знакочередующийся ряд, слагаемое меньше чем 0.0001. Отбрасывая это слагаемое, получим приближённое значение интеграла с заданной точностью

Задание 10

А) Найти преобразование Фурье (спектральную плотность S(u)) следующих функций (сигналов).

Б) Продолжить периодически функцию (сигнал) с интервала [0,Т] (или [-Т/2,Т/2], см. рисунок) на всю числовую прямую, разложить в ряд Фурье. Построить графики второй и третьей частичных сумм.

Решение

а) Найдём функцию, по рисунку. Прямая проходит через 2 точки: И . Запишем уравнение искомой прямой: . Имеем:

Следовательно, исходный сигнал описывается следующей формулой:

Спектральную плотность S(u) найдем с помощью прямого преобразования Фурье:

Первый интеграл берем по частям: U=t dU=dt dV=e-jutdt V=-(e-jut)/(ju),

Б) Продолжим функцию нечётным образом, тогда

Ряд Фурье имеет вид:

Графики частичных сумм:

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Ряды Фурье Решение Онлайн

Ряды Фурье

На данный момент ведётся работа над созданием конспектов по проведённым консультациям. Все уже созданные…

Vor 7 years

Ряд Фурье

Методические рекомендации к онлайн решению. math.semestr.ru/tau/fourier.php Разложить в ряд Фурье функцию f (x)&nbsp;…

Vor 3 years

de-film.com

Как разложить функцию в ряд Фурье

Разложение функций в ряды Фурье используется достаточно часто, поскольку в таком виде их удобно дифференцировать, интегрировать, использовать сдвиг функции по аргументу, а также свёртку функций. Несмотря на то, что процедура разложения функции в ряд Фурье даже в самом простом случае может быть достаточно трудоёмкой, система Вольфрам Альфа, как правило, легко справляется с этой задачей.

Ряды Фурье представляются в тригонометрической и экспоненциальной (комплексной) форме:

В первом варианте в качестве базиса разложения используется система синусов и косинусов. Но при работе с рядами Фурье вместо них бывает удобнее использовать экспоненты мнимого аргумента. Видимо поэтому, Вольфрам Альфа отдает предпочтение второму варианту.

Самый простой способ разложить функцию в ряд Фурье — отправить в Вольфрам Альфа запрос вида Fourier series [функция, аргумент, количество членов ряда]. Например, 


В полученном результате, как и требуется, представлены члены разложения до 5-го номера включительно; коэффициенты при сопряженных степенях экспоненты являются комплексно-сопряженными числами.

Одновременно Вольфрам Альфа дает графическое представление аппроксимации заданной функции рядом Фурье (здесь центральная часть графика аппроксимирует заданную параболу):

Еще более отчетливо особенности Фурье-аппроксимации можно видеть в результатах следующего запроса (где ряд Фурье аппроксимирует прямую):


Представление заданной функции рядом Фурье в тригонометрической форме выводится  в самой нижней части выдачи (здесь — для второго примера):



Кстати, несмотря на то, что выше в выдаче системы было: «Wolfram|Alpha doesn’t understand your query. Showing instead result for query: Fourier»,  — что означает «Система не понимает ваш запрос. Показан результат, соответствующий запросу: Fourier», не ведитесь на это 😉 По запросу  «Fourier», который предлагает использовать система, будут выведены либо биографические сведения об ученом-математике Jean-Baptiste-Joseph Fourier (mathematician), либо преобразование Фурье данной функции Fourier[t^2+t]; зависит от того, поставите ли вы между словом «Fourier» и скобкой пробел или нет.

Если в запросе Fourier series  не указывать явно количество членов разложения n, то система Вольфрам Альфа по умолчанию выводит четыре варианта для значений n от 0 до 3, и только для комплексной формы ряда Фурье:

Дополнительные варианты разложения для n больше 3 можно получить тут же с помощью кнопки «More». Но это относится только к графическому представлению результатов:

Таким образом, чтобы получить разложение функции в тригонометрический ряд Фурье, нужно в запросе Fourier series явно указывать количество членов разложения.

Что делать, если стоит задача найти не разложение в ряд Фурье, а коэффициенты ряда Фурье?


Прежде всего, можно использовать запрос FourierCoefficient[выражение, аргумент, n], по которому система Вольфрам Альфа выводит n-й коэффициент разложения выражения в комплексный ряд Фурье.

Например, 5-й коэффициент разложения выражения (t^2+t) в ряд Фурье можно получить так:

FourierCoefficient[t^2+t, t, 5]


Если же при не указывать явно n, то данный запрос выведет общее выражение для n-го коэффициента ряда Фурье данного выражения:

FourierCoefficient[t^2+t, t, n]

Кроме этого, Вольфрам Альфа тут же выводит также таблицу коэффициентов комплексного ряда Фурье (до 15-го члена включительно, если нажать «More»):

В этом кратком обзоре я не упомянул, как разложить функцию в ряд Фурье по синусам и косинусам или как использовать калькулятор рядов Фурье системы Вольфрам Альфа, а также ничего не сказал о двумерных рядах Фурье. Все это — темы моих будущих постов. Следите за блогом.

Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.

www.wolframalpha-ru.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *