Найти координаты единичного вектора 0 перпендикулярного плоскости – : / ?.. ! :: @:

Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости

Существует ряд заданий, которым для решения необходимо нормальный вектор на плоскости, чем саму плоскость. Поэтому в этой статье получим ответ на вопрос определения нормального вектора с примерами и наглядными рисунками. Определим векторы трехмерного пространства и плоскости по уравнениям.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации

Чтобы материал легко усваивался, необходимо предварительно изучить теорию о прямой в пространстве и представление ее на плоскости  и векторы.

Определение 1

Нормальным вектором плоскости считается любой ненулевой вектор, который лежит на  перпендикулярной к данной плоскости прямой.

Отсюда следует, что имеет место существование большого количества нормальных векторов  в данной плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нормальные векторы располагаются на параллельных прямых, поэтому  они все коллинеарны. То есть, при нормальном векторе n→ , расположенном в плоскости γ, вектор t·n→, имея ненулевое значение параметра t, также нормальный вектор плоскости γ. Любой вектор может быть рассмотрен как направляющий вектор прямой, которая перпендикулярна этой плоскости.

Имеются случаи совпадения нормальных векторов плоскостей из-за перпендикулярности одной из параллельных плоскостей, так как прямая перпендикулярна и второй плоскости. Отсюда следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей должны быть перпендикулярными.

Рассмотрим на примере нормального вектора на плоскости.

Задана прямоугольная система координат Охуz  в трехмерном пространстве. Координатные векторы i→, j→, k→ считаются нормальными векторами плоскостей Oyz, Oxz и Oxy. Это суждение верно, так как i→, j→, k→ ненулевые и расположены на координатных прямых Ox, Oy и Oz. Эти прямые перпендикулярны координатным плоскостям Oyz, Oxz и Oxy.

Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости

zaochnik.com

Как найти нормальный вектор к плоскости

Автор КакПросто!

Нормальным вектором плоскости (или нормалью плоскости) называют вектор, перпендикулярный данной плоскости. Одним из способов задать плоскость является указание координат ее нормали и точки, лежащей на плоскости. Если плоскость задана уравнением Ax+By+Cz+D=0, то нормальным к ней является вектор с координатами (A;B;C). В других случаях для вычисления нормального вектора придется потрудиться.

Статьи по теме:

Инструкция

Пусть плоскость задана тремя принадлежащими ей точками K(xk;yk;zk), M(xm;ym;zm), P(xp;yp;zp). Чтобы найти нормальный вектор, составим уравнение этой плоскости. Обозначьте произвольную точку, лежащую на плоскости, буквой L, пусть у нее будут координаты (x;y;z). Теперь рассмотрите три вектора PK, PM и PL, они лежат на одной плоскости (компланарны), поэтому их смешанное произведение равно нулю.

Найдите координаты векторов PK, PM и PL:
PK = (xk-xp;yk-yp;zk-zp)
PM = (xm-xp;ym-yp;zm-zp)
PL = (x-xp;y-yp;z-zp)
Смешанное произведение этих векторов будет равно определителю, представленному на рисунке. Этот определитель следует вычислить, чтобы найти уравнение для плоскости. Вычисление смешанного произведения для конкретного случая смотрите в примере.

Пример
Пусть плоскость задана тремя точками K(2;1;-2), M(0;0;-1) и P(1;8;1). Требуется найти нормальный вектор плоскости.
Возьмите произвольную точку L с координатами (x;y;z). Вычислите векторы PK, PM и PL:

PK = (2-1;1-8;-2-1) = (1;-7;-3)
PM = (0-1;0-8;-1-1) = (-1;-8;-2)
PL = (x-1;y-8;z-1)
Составьте определитель для смешанного произведения векторов (он на рисунке).

Теперь разложите определитель по первой строке, а затем подсчитайте значения определителей размера 2 на 2.
Таким образом уравнение плоскости -10x + 5y — 15z — 15 = 0 или, что то же, -2x + y — 3z — 3 = 0. Отсюда легко определить вектор нормали к плоскости: n = (-2;1;-3).

Источники:

  • Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Теорема 1. Для того, чтобы вектор был перпендикулярен заданной плоскости достаточно, чтобы он был перпендикулярен двум любым неколлинеарным векторам, лежащим в э той же плоскости.

ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В В ПРОСТРАНСТВЕ.

Чтобы зафиксировать плоскость в пространстве ОХУZ достаточно задать точку на ней и ненулевой вектор перпендикулярный плоскости. При выводе уравнения плоскости мы пользуемся следующим определением.

Определение 1. Вектор назовём вектором перпендикулярным плоскости, если он перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости. Такой вектор называется нормальным вектором к данной плоскости.

Теорема 1. Для того, чтобы вектор был перпендикулярен заданной плоскости достаточно, чтобы он был перпендикулярен двум любым неколлинеарным векторам, лежащим в э той же плоскости.

Точка принадлежит плоскости, тогда и только тогда, если координаты точки удовлетворяют уравнению плоскости.

Приступим к выводу уравнения плоскости. Сформулируем конечный результат.

Теорема 2. Плоскость, проходящая через точку и имеющая нормальный вектор , задаётся уравнением

(1)

Доказательство. Нужно проверить, что если точка принадлежит нашей плоскости , то справедливо равенство . Так как точки принадлежат плоскости, то вектор лежит на плоскости и по условию теоремы 2 он перпендикулярен нормальному вектору . Следовательно скалярное произведение равно нулю

Рис.1

Отсюда и следует формула (1).

 

Пример 1. Написать уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение. Согласно теореме.2 уравнение искомой плоскости задаётся формулой (1)

.Подставляя в неё данные задачи , получаем ответ: .

Таким образом если требуется найти уравнение плоскости, то из данных задачи нужно найти точку, через которую про ходит плоскость и любой вектор нормальный к данной плоскости .

Пример 2. Написать уравнение плоскости проходящей через точку и параллельную векторам .

Решение. Для написания уравнения плоскости не хватает задания вектора нормального к плоскости. Векторы параллельные плоскости можно параллельным сдвигом расположить на плоскости. Вектор , перпендикулярный векторам будет на основании теоремы 1 вектором нормальным к плоскости. Поэтому вектор можно определить как векторное произведение векторов

Отсюда по формуле (1) получаем искомое уравнение плоскости

Замечание. Если в формуле (1) раскрыть скобки, то уравнение плоскости принимает вид

(2)

Такое уравнение плоскости называют общим уравнением плоскости.

Пример 3. Переписать уравнение плоскости в общем виде.

Решение. Раскрывая скобки, получаем ответ .

Приведем простые правила .

Правило 1. Условие параллельности двух плоскостей.Две плоскости , имеющие коллинеарные нормальные векторы параллельны

(3) или

( у коллинеарных векторов координаты пропорциональны) (4)

Правило 2. Условие перпендикулярности двух плоскостей.Две плоскости , имеющие перпендикулярные нормальные векторы перпендикулярны

(5)

Правило 3. Вычисление значения линейного угла между плоскостями.Линейный уголмежду плоскостями , имеющих нормальные векторы вычисляется по формуле

(6)

Пример 4. Проверить взаимное расположение плоскостей

4) Вычислить угол между плоскостями 2) и 4).

Решение. Поскольку все вышеприведённые правила используют понятие нормального вектора к плоскости, то вычисляем эти нормальные вектора

-нормальный вектор к плоскости 1) равен ;

— нормальный вектор к плоскости 2) равен ;

— нормальный вектор к плоскости 3) равен ;

— нормальный вектор к плоскости 4) равен .

Отсюда :

1) векторы коллинеарные, так как по формуле (3) :

2) векторы перпендикулярные, так как по формуле (4) .

3) Вычислим угол между плоскостями 2) и 4)

Согласно формуле (5) получаем

Используя калькулятор, находим угол: .

Прямые линии в пространстве

Для того чтобы получить уравнение наклонной прямой линии на плоскости нам нужно было задать точку на прямой и наклон прямой к оси ОХ. Для того, чтобы получить аналогичное уравнение в пространстве необходимо задать точку на прямой и ненулевой вектор параллельный прямой. Вектор называют направляющим вектором прямой (см. рис.2).

Наиболее простым способом задания прямой является параметрическое задание прямой. Способ задает систему уравнений, в которых координаты любой точки прямой являются функциями параметра .

Теорема 5.3.Параметрические уравнения

(7)

задают при любом значении параметра координаты точки , лежащей на прямой.

Доказательство. Докажем формулу (7). Пусть точка лежит на прямой, которая параллельна вектору .Тогдавекторы и коллинеарные и следовательно

Отсюда следует формула (7).

 

 

О

Рис.2

Записывая уравнения (7) в виде пропорций получаем канонические уравнения прямой

(8)

Пример 5. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

Решение. Подставляем данные примера в формулу (4), дающую параметрические уравнения прямой и записываем ответ: . Меняя ,получаем различные точки на прямой. Взяв

=3, получим точку , лежащую на прямой правее точки . Взяв =-3, получим точку , лежащую на прямой левее точки . Взяв =0, получим точку начальную точку , лежащую на прямой.

Пример 6. Написать уравнение прямой, проходящей через заданные точки А и В .

Решение. Согласно условиям теоремы 3 нам не хватает вектора параллельного прямой. Но из условия задачи его легко получить. Можно взять вектор . Тогда из формулы (7)

получаем параметрические уравнения прямой . В уравнениях

за начальную точку взята точка А .


Похожие статьи:

poznayka.org

Координаты вектора нормали, перпендикулярного данной плоскости

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 13Следующая ⇒

14 Напишите уравнение связки плоскостей с центром в точке .

А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)+D=0

15 Даны две плоскости : , : . Чему равняется косинус угла между этими плоскостями?

Косинусу угла между их нормалями – скалярное произведение этих векторов делить на произведение длин этих векторов.

16 Даны две плоскости: , . Напишите условия перпендикулярности этих плоскостей.

А1*А2+В1*В2+С1*С2=0 когда их векторы нормали перпендикулярны, те их скалярное произведение равно нулю.

17 Напишите формулу для нахождения расстояния точки до плоскости .

Ах0+Ву0+Сz0+D/sqrt(A^2+B^2+C^2)

18 Какое положение занимает плоскость , если А = 0?

Параллельна оси ОХ проходит через прямую Ву+Сz+D=0

19 Запишите общее уравнение плоскости, параллельной оси 0z.

Ax+By+D=0

20 Запишите общее уравнение плоскости, перпендикулярной оси 0у.

By+D=0

21 Прямая задана каноническими уравнениями . Каков геометрический смысл коэффициентов m, n, р и чисел ?

M,N,P – координаты направляющего вектора. Х0,У0,T0 – координаты точки через которую проходит данная прямая

22 Напишите уравнения прямой, проходящей через две точки и .

x-x2/x2-x1=y-y2/y2-y1=t-t2/t2-t1

23 Даны плоскость и прямая . Как найти угол между плоскостью и прямой?

(11.3)

mykonspekts.ru

Аналитическая геометрия в пространстве (Лекция №19)

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Рассмотрим две плоскости α1 и α2, заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α1 и α2 равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x+2y-3z+4=0 и 2x+3y+z+8=0.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α1 и α2 параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .

Примеры.

  1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

    M(-2; 1; 4) параллельно плоскости 3x+2y-7z+8=0.

    Уравнение плоскости будем искать в виде Ax+By+Cz+D=0. Из условия параллельности плоскостей следует, что: . Поэтому можно положить A=3, B=2, C=-7. Поэтому уравнение плоскости принимает вид3x+2y-7z+D=0.

    Кроме того, так какMÎ α, то-6+2-28+D=0, D=32.

    Итак, искомое уравнение 3x+2y-7z+32=0.

  2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1; 1; 1), M2(0; 1; –1) перпендикулярно плоскости x+y+z=0.

    Так как M1Î α, то используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, будем иметь A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0.

    Далее, так как M2Î α, то подставив координаты точки в выписанное уравнение, получим равенство -A-2C=0 или A+2C=0.

    Учтем, что заданная плоскость перпендикулярна искомой. Поэтому A+B+C=0.

    Выразим коэффициенты Aи Bчерез C: A=-2C, B=C и подставим их в исходное уравнение: -2C(x-1)+C(y-1)+C(z-1)=0.

    Окончательно получаем -2x+y+z=0.

  3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(-2; 3; 6) перпендикулярно плоскостям 2x+3y-2z-4=0 и 3x+5y+z=0.

    Так как MÎ α, то A(x+2)+B(x-3)+C(z-6)=0.

    По условию задачи , поэтому

    Итак уравнение плоскости принимает вид 13(x+2)-8(y-3)+z-6=0 или 13x-8y+z+44=0.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М1 и вектора , параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М1(x1, y1, z1), лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .

Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t, что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М1 и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М, лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и отсюда

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x, y и z и точка М перемещается по прямой.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Пусть М1(x1, y1, z1) – точка, лежащая на прямой l, и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор .

Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,

канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t. Действительно, из параметрических уравнений получаем или .

Пример. Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

Обозначим , отсюда x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox. Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox, следовательно, m=0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид

Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде. Таким образом, еслив знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz.

Примеры.

  1. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М1(1;0;-2) параллельно вектору .

    Канонические уравнения: .

    Параметрические уравнения:

  2. Составить уравнения прямой, проходящей через две точки М1(-2;1;3), М2(-1;3;0).

    Составим канонические уравнения прямой. Для этого найдем направляющий вектор . Тогда l: .

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

Примеры.

Построить прямую, заданную уравнениями

Для построения прямой достаточно найти любые две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагая z= 0:

Решив эту систему, найдем точку M1(1;2;0).

Аналогично, полагая y= 0, получим точку пересечения прямой с плоскостью xOz:

От общих уравнений прямой можно перейтик её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку М1 на прямой и направляющий вектор прямой.

Координаты точки М1 получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к обоим нормальным векторам и . Поэтому за направляющий вектор прямой l можно взять векторное произведение нормальных векторов:

.

Пример. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, y= 0 и решим систему уравнений:

Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую имеют координаты Поэтому направляющий вектор прямой будет

. Следовательно, l: .

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов и :

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l1 параллельна l2 тогда и только тогда, когда параллелен .

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: .

Примеры.

  1. Найти угол между прямыми и .

  2. Найти уравнения прямой проходящей через точку М1(1;2;3) параллельно прямой l1:

    Поскольку искомая прямая l параллельна l1, то в качестве направляющего вектора искомой прямой l можно взять направляющий вектор прямой l1.

  3. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М1(-4;0;2) и перпендикулярной прямым: и .

    Направляющий вектор прямой l можно найти как векторное произведение векторов и :

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией наплоскость. Пусть прямаяи плоскость заданы уравнениями

Рассмотрим векторы и . Если угол между ними острый, то он будет , где φ – угол между прямой и плоскостью. Тогда .

Если угол между векторами и тупой, то он равен . Следовательно . Поэтому в любом случае . Вспомнив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т.е. .

Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны.

Примеры.

  1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М1(2;-3;4) параллельно прямым и .

    Так как M1Î α, то уравнение плоскости будем искать в виде

    .

    Применяя условие параллельности прямой и плоскости, получим систему линейных уравнений

    Отсюда

    Итак, или .

  2. Найти угол между прямой и плоскостью .

    Направляющий вектор прямой . Нормальный вектор плоскости . Следовательно,

  3. Найдите точку, симметричную данной М(0;-3;-2) относительно прямой .

    Составим уравнение плоскости α перпендикулярной l. MÎ α, . Следовательно, или .

    Найдём точку пересечения прямой l и α:

    Итак, N(0.5;-0.5;0.5). Пусть искомая точка М1 имеет координаты М1(x,y,z). Тогда очевидно равенство векторов , т.е. (0,5;2,5;2,5)=(х-0.5;у+0.5;z-0.5). Откуда x=1, y=2, z=3 или М1(1;2;3)..

toehelp.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *