Нахождение наименьшего значения функции – Как найти наибольшее и наименьшее значение функции, примеры

Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

Тема: Производная

Урок: Применение производной для отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

На этом занятии рассмотрим более простую задачу, а именно, будет задан промежуток, будет задана непрерывная функция на этом промежутке. Надо узнать наибольшее и наименьшее значение заданной функции на заданном промежутке.

№ 32.1 (б). Дано: , . Нарисуем график функции (см. рис.1).

Рис. 1. График функции .

Известно, что эта функция возрастает на промежутке , значит, она возрастает и на отрезке . А значит, если найти значение функции в точках  и , то будут известны пределы изменения данной функции, ее самое большое и самое маленькое значение.

Когда аргумент возрастает от  до 8, функция возрастает от  до .

Ответ: ; .

№ 32.2 (а) Дано:   Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке.

Построим график этой функции (см. рис.2).

Если аргумент меняется на промежутке , то функция возрастает от -2 до 2. Если аргумент возрастает от , то функция убывает от 2 до 0.

Рис. 2. График функции .

Найдем производную .

,  . Если , то  и это значение принадлежит заданному отрезку . Если , то . Легко проверить, если  принимает другие значения, соответствующие стационарные точки выходят за пределы заданного отрезка. Сравним значения функции на концах отрезка и в отобранных точках, в которых производная равна нулю. Найдем

;

;

.

Ответ: ;.

Итак, ответ получен. Производную в данном случае можно использовать, можно не использовать, применить свойства функции, которые были изучены ранее. Так бывает не всегда, иногда применение производной – это единственный метод, который позволяет решать подобные задачи.

№ 32.10 (а)

Дано: , . Найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.

Если в предыдущем случае можно было обойтись без производной – мы знали, как себя ведет функция, то в данном случае функция довольно сложная. Поэтому, ту методику, которую мы упомянули на предыдущей задаче, применим в полном объеме.

1. Найдем производную . Найдем критические точки  , отсюда ,  — критические точки. Из них выбираем те, которые принадлежат данному отрезку: . Сравним значение функции в точках , , . Для этого найдем

;

;

.

Проиллюстрируем результат на рисунке (см. рис.3).

Рис. 3. Пределы изменения значений функции

Видим, что если аргумент меняется от 0 до 2, функция изменяется в пределах от -3 до 4. Функция меняется не монотонно: она либо возрастает, либо убывает.

Ответ: ;.

Итак, на трех примерах была продемонстрирована общая методика нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке, в данном случае – на отрезке.

Алгоритм решения задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:

1. Найти производную функции.

2. Найти критические точки функции и отобрать те точки, которые находятся на заданном отрезке.

3. Найти значения функции на концах отрезка и в отобранных точках.

4. Сравнить эти значения, и выбрать наибольшее и наименьшее.

Рассмотрим еще один пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции , .

Ранее был рассмотрен график этой функции (см. рис.4).

Рис. 4. График функции .

На промежутке  область значения этой функции . Точка  — точка максимума. При  — функция возрастает, при  – функция убывает. Из чертежа видно, что ,  — не существует.

Итак, на уроке рассмотрели задачу о наибольшем и наименьшем значении функции, когда заданным промежутком является отрезок; сформулировали алгоритм решения подобных задач.

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина

interneturok.ru

13. Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. (Пример из т.Р.II, задача №13)

Пусть функция y=f(x)непрерывна на отрезке. Как известно, такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точкеx₀отрезка, либо на границе отрезка, т. е. приx₀=a илиx₀=b. Еслиx₀, то точкуx₀следует искать среди критических точек данной функции.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке :

1. Найти критические точки функции на интервале ;

2. Вычислить значения функции в найденных критических точках;

3. Вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках x=a иx=b;

4. Среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечания: 1. Если функция y=f(x)на отрезкеимеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

2. Если функция y=f(x)на отрезкене имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее – на другом.

Пример нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке – задача №13 из тип. Расчета II (Вариант 6).

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

1. Находим критические точки. Для этого находим производную от данной функции, приравниваем её к нулю и находим корни полученного уравнения:

x₁=0, x₂=2

x₁, x₂.

2. Вычисляем значение функции в найденной критической точке: .

3. Вычисляем значение функции на концах отрезка: ,

4. Ответ: y_наиб=-2приx=1,y_наим=3приx=2.

14. Понятия периодической, четной, нечетной, монотонной, ограниченной функций. Графики элементарных функций. Привести примеры.

1. Функция y=f(x), определенная на множествеD, называетсяпериодической на этом множестве, если существует такое число, что при каждомзначениеи. При этом числоназываетсяпериодом

   функции. Если- период функции, то ее периодами будут также числа, гдеТак например, дляпериодами будут числаОсновной период (наименьший положительный) – это период. Вообще обычно за основной период берут наименьшее положительное число, удовлетворяющее равенству.

2. Функция y=f(x), определенная на множествеD, называетсячетной, есливыполняются условияи. Функцияy=f(x), определенная на множествеD, называетсянечетной, есливыполняются условияи. График четной функции симметричен относительно оси, а нечетной – относительно начала координат. Например,,,- четные функции;,- нечетные функции.

3. Пусть функция y=f(x)определена на множествеDи пусть. Если для любых значенийx₁, x₂аргументов из неравенстваx₁ x₂вытекает неравенство:, то функция называетсявозрастающей

   на множестве;, то функция называетсянеубывающейна множестве;, то функция называетсяубывающейна множестве;, то то функция называетсяневозрастающейна множестве. Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множественазываютсямонотоннымина этом множестве, а возрастающие и убывающие –строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называютсяинтервалами монотонности.

4. Функция y=f(x), определенная на множествеD, называетсяограниченнойна этом множестве, если существует такое число, что для всехвыполняется неравенство(короткая запись:, называется ограниченной на, если). Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми.

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия от функции, называется

элементарной функцией.

Графики элементарных функций:

1. Показательнаяфункция.

2. Степеннаяфункция.

3. Логарифмическаяфункция.

4. Тригонометрические функции.

5. Обратные тригонометрические функции.

Примерами элементарных функций могут служить функции:;;.

studfiles.net

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значения функции

Раздаточный материал

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной на отрезке

Этапы

Пример для функции

у = на отрезке

1. Найти область определения функции.

D( у) =

2. Найти производную

.

3. Найти на данном отрезке критические точки, т. е. точки, в которых = 0 или не существует.

D () = R.

= 0

4. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.

у( ) =

у( ) =

у( ) =

5. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

max у(x) = у( ) =

min у(x) = у( ) =

__________________________________________________________________________________

Отыскание наибольшего и наименьшего значения непрерывной

функции на промежутке.

Случай незамкнутого промежутка.

Непрерывная функция на незамкнутом промежутке может иметь и может не иметь у_max., у_min.

Простейшие случаи:

Если непрерывная функция у = f (х) имеет в промежутке только одну точку экстремума х₀ и если х₀ – точка максимума, то f (х₀) = _уmax.

Если непрерывная функция у = f (х) имеет в промежутке только одну точку экстремума х₀ и если х₀ – точка минимума, то f (х₀) = у_min.

infourok.ru

Задача на нахождение наименьшего значения функции

Решим задачу:

Окружность с центром в точке (4;1) касается параболы . Найдите абсциссу точки касания.

Построим чертеж к нашей задаче

Точки, лежащие на параболе, имеют координаты .

Для нас важно, что расстояние от  центра окружности до точки касания меньше, чем расстояние от центра окружности до любой другой точки параболы:

Итак, найдем, при каком значении длина отрезка принимает наименьшее значение.

Зависимость длины отрезка от выражается следующей формулой:

Найдем, при каком значении функция принимает наименьшее значение.

Так как функция   является возрастающей, следовательно, меньшему значению значению аргумента соответствует меньшее значение функции. То есть функция принимает наименьшее значение в той же точке, что и подкоренное выражение, то есть функция .

Найдем, в какой точке функция принимает наименьшее значение.

Найдем производную:

Найдем нули производной:

Выясним знаки производной. При производная положительна:

Мы получили, что — точка минимума функции, то есть при длина отрезка минимальна, и абсцисса точки касания равна 2.

Ответ: 2

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

ege-ok.ru

8. Нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке:

1) Найти все критические точки функции, принадлежащие отрезку ;

2) Вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка;

3) Из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 8.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Решение. 1) Найдем критические точки функции.

,  

.

На отрезке знаменатель не обращается в нуль. Следовательно, дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю:

   .

Значит, – критическая точка функции. Она принадлежит данному отрезку.

Найдем значение функции в критической точке:

.

2) Найдем значения функции на концах отрезка:

, .

3) Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее:

, .

9. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

При решении задач на вычисление наименьших и наибольших значений величин надо прежде всего определить, для какой величины в задаче требуется найти наименьшее или наибольшее значение. Эта величина и будет исследуемой функцией. Затем одну из величин, от изменения которых зависит применение функции, следует взять за независимую переменную и выразить через неё функцию. При этом нужно в качестве независимой переменной выбрать ту величину, через которую исследуемая функция выражается проще всего. После этого решается задача на нахождение наименьшего и наибольшего значения полученной функции в некотором промежутке изменения независимой переменной, которое обычно устанавливается из самого существа задачи.

Пример 9.1. Найти высоту конуса наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса .

Решение. Обозначив радиус основания, высоту и объём конуса соответственно ,и, запишем. Это равенство выражает зависимость от двух переменныхи; исключим одну из этих величин, а именно. Для этого из прямоугольного треугольникавыводим (по теореме о квадрате перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу):

Рисунок 6 – Иллюстрация к примеру 9.1.

или .

Подставив значение в формулу объёма конуса, получим:

.

Мы видим, что объём конуса, вписанного в шар радиуса,есть функция от высоты этого конуса. Найти высоту при которой вписанный конус имеет большой объём, это значит найти такое, при котором функцияимеет максимум. Ищем максимум функции:

1) ,

2) ,,, откудаили,

3) .

Подставив вместо сначала, а потом, получим:

В первом случае имеем минимум ( при ), во втором искомый максимум (так какпри).

Следовательно, при конус, вписанный в шар радиуса, имеет наибольший объём.

Пример 9.2. Требуется огородить проволочной сеткой длиной 60 м прямоугольный участок, прилегающий к стене дома (рис. 7). Каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь?

Решение. Пусть ширина участка м, а площадь м², тогда:

Рисунок 7 – Иллюстрация к пр. 9.2.

.

Значения ине могут быть отрицательными, поэтому множитель , а .

Площадь есть функция, определим промежутки ее возрастания и убывания:

. , и функция возрастает, когда ; , и функция убывает, когда . Следовательно, точкаявляется точкой максимума. Так как это единственная точка, принадлежащая интервалу, то в точкефункция имеет наибольшее значение.

Следовательно, площадь участка наибольшая (максимум), если ширина м, а длина м.

Пример 9.3. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадь которой 36 м², чтобы периметр ее был наименьший?

Решение. Пусть длина равна м, тогда ширина прямоугольника м, а периметр:

.

Периметр есть функция длины , определенная для всех положительных значений:.

Определим промежутки ее возрастания и убывания:

.

Знак производной определяется знаком разности . В промежутке

, а в промежутке .

Следовательно, точка является точкой минимума. Так как это единственная точка, принадлежащая интервалу:, то в точке функция имеет наименьшее значение.

Следовательно, периметр прямоугольника имеет наименьшее значение (минимум), если длина его 6 м и ширина м = 6 м, т. е. когда он квадрат.

studfiles.net