НахоТдСниС наимСньшСго значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ для нахоТдСния наибольшСго ΠΈ наимСньшСго Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅

Π’Π΅ΠΌΠ°: ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ

Π£Ρ€ΠΎΠΊ: ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ для отыскания наибольшСго ΠΈ наимСньшСго Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅

На этом занятии рассмотрим Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π°Π΄Π°Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° нСпрСрывная функция Π½Π° этом ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅. Надо ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅.

β„– 32.1 (Π±). Π”Π°Π½ΠΎ: , . НарисуСм Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (см. рис.1).

Рис. 1. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эта функция возрастаСт Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ , Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΎΠ½Π° возрастаСт ΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ . А Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ссли Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Β ΠΈ , Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ извСстны ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ измСнСния Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π΅Π΅ самоС большоС ΠΈ самоС малСнькоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Когда Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ возрастаСт ΠΎΡ‚ Β Π΄ΠΎ 8, функция возрастаСт ΠΎΡ‚ Β Π΄ΠΎ .

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ; .

β„– 32.2 (Π°) Π”Π°Π½ΠΎ:   Найти наибольшСС ΠΈ наимСньшСС значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (см. рис.2).

Если Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ мСняСтся Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ , Ρ‚ΠΎ функция возрастаСт ΠΎΡ‚ -2 Π΄ΠΎ 2. Если Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ возрастаСт ΠΎΡ‚ , Ρ‚ΠΎ функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ 2 Π΄ΠΎ 0.

Рис. 2. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ .

, Β . Если , Ρ‚ΠΎ Β ΠΈ это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ . Если , Ρ‚ΠΎ . Π›Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ссли Β ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ значСния, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ выходят Π·Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°. Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠΌ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΈ Π² ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ. НайдСм

;

;

.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ;.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅. Π’Π°ΠΊ Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ всСгда, ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ – это СдинствСнный ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ позволяСт Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

β„– 32.10 (Π°)

Π”Π°Π½ΠΎ: , . Найти наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅.

Если Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ случаС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠΉΡ‚ΠΈΡΡŒ Π±Π΅Π· ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ – ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π»ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ сСбя Π²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ функция, Ρ‚ΠΎ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС функция довольно слоТная. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‚Ρƒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΠΊΡƒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ упомянули Π½Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π² ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌ объСмС.

1. НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ . НайдСм критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Β , ΠΎΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° , Β — критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Из Π½ΠΈΡ… Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ Ρ‚Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ: . Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… , , . Для этого Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ

;

;

.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π½Π° рисункС (см. рис.3).

Рис. 3. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ измСнСния Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π’ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ мСняСтся ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 2, функция измСняСтся Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… ΠΎΡ‚ -3 Π΄ΠΎ 4. Ѐункция мСняСтся Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎ: ΠΎΠ½Π° Π»ΠΈΠ±ΠΎ возрастаСт, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ;.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π½Π° Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… Π±Ρ‹Π»Π° продСмонстрирована общая ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΠΊΠ° нахоТдСния наибольшСго ΠΈ наимСньшСго значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅, Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС – Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅.

Алгоритм Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ наибольшСго ΠΈ наимСньшСго Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

1. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

2. Найти критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ находятся Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅.

3. Найти значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΈ Π² ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ….

4. Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ эти значСния, ΠΈ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС.

Рассмотрим Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

Найти наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , .

Π Π°Π½Π΅Π΅ Π±Ρ‹Π» рассмотрСн Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (см. рис.4).

Рис. 4. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

На ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ Β ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ значСния этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ . Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Β — Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума. ΠŸΡ€ΠΈ Β — функция возрастаСт, ΠΏΡ€ΠΈ  – функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚. Из Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ , Β — Π½Π΅ сущСствуСт.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ рассмотрСли Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΎ наибольшСм ΠΈ наимСньшСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠΌ являСтся ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ; сформулировали Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Β 

Бписок рСкомСндованной литСратуры

1. АлгСбра ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, 10 класс (Π² Π΄Π²ΡƒΡ… частях). Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ для ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ‡Ρ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ (ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ) ΠΏΠΎΠ΄ Ρ€Π΅Π΄. А. Π“. ΠœΠΎΡ€Π΄ΠΊΠΎΠ²ΠΈΡ‡Π°. β€“Πœ.: МнСмозина, 2009.

2. АлгСбра ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, 10 класс (Π² Π΄Π²ΡƒΡ… частях). Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π½ΠΈΠΊΒ  для ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ‡Ρ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ (ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ) ΠΏΠΎΠ΄ Ρ€Π΅Π΄. А. Π“. ΠœΠΎΡ€Π΄ΠΊΠΎΠ²ΠΈΡ‡Π°. β€“Πœ.: МнСмозина, 2007.

3. Π’ΠΈΠ»Π΅Π½ΠΊΠΈΠ½ Н.Π―., ИвашСв-ΠœΡƒΡΠ°Ρ‚ΠΎΠ² О.Π‘., Π¨Π²Π°Ρ€Ρ†Π±ΡƒΡ€Π΄ Π‘.И. АлгСбра ΠΈ матСматичСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· для 10 класса (ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ΅ пособиС для учащихся школ ΠΈ классов с ΡƒΠ³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ).-М.: ΠŸΡ€ΠΎΡΠ²Π΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, 1996.

4. Π“Π°Π»ΠΈΡ†ΠΊΠΈΠΉ М.Π›., ΠœΠΎΡˆΠΊΠΎΠ²ΠΈΡ‡ М.М., Π¨Π²Π°Ρ€Ρ†Π±ΡƒΡ€Π΄ Π‘.И. Π£Π³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΈ матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°.-М.: ΠŸΡ€ΠΎΡΠ²Π΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, 1997.

5. Π‘Π±ΠΎΡ€Π½ΠΈΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π²ΠΎ Π’Π’Π£Π—Ρ‹ (ΠΏΠΎΠ΄ Ρ€Π΅Π΄. М.И.Π‘ΠΊΠ°Π½Π°Π²ΠΈ).-М.:Π’Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ школа, 1992.

6. ΠœΠ΅Ρ€Π·Π»ΡΠΊ А.Π“., Полонский Π’.Π‘., Π―ΠΊΠΈΡ€ М.Π‘. АлгСбраичСский Ρ‚Ρ€Π΅Π½Π°ΠΆΠ΅Ρ€.-К.: А.Π‘.К., 1997.

7. Π—Π²Π°Π²ΠΈΡ‡Π›.И., Шляпочник Π›.Π―., Π§ΠΈΠ½ΠΊΠΈΠ½Π°

interneturok.ru

13. Π‘Ρ…Π΅ΠΌΠ° нахоТдСния наибольшСго ΠΈ наимСньшСго Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅. (ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΈΠ· Ρ‚.Π .II, Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„–13)

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ функция y=f(x)Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅. Как извСстно, такая функция достигаСт своих наибольшСго ΠΈ наимСньшСго Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π­Ρ‚ΠΈ значСния функция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²ΠΎ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅x0ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π° Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Ρ‚. Π΅. ΠΏΡ€ΠΈx0=a ΠΈΠ»ΠΈx0=b. Еслиx0, Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒx0слСдуСт ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ срСди критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ нахоТдСния наибольшСго ΠΈ наимСньшСго Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ :

  1. Найти критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ;

  2. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…;

  3. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Ρ‚. Π΅. Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… x=a ΠΈx=b;

  4. Π‘Ρ€Π΅Π΄ΠΈ всСх вычислСнных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС.

ЗамСчания: 1. Если функция y=f(x)Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ лишь ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈ ΠΎΠ½Π° являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ максимума (ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°), Ρ‚ΠΎ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ наибольшСС (наимСньшСС) Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

2. Если функция y=f(x)Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Ρ‚ΠΎ это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° Π½Π΅ΠΌ функция ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎ возрастаСт ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, своС наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Π° наимСньшСС – Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ нахоТдСния наибольшСго ΠΈ наимСньшСго Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ – Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„–13 ΠΈΠ· Ρ‚ΠΈΠΏ. РасчСта II (Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 6).

Найти наибольшСС ΠΈ наимСньшСС значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅.

  1. Находим критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Для этого Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Π΅Ρ‘ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния:

x1=0, x2=2

x1, x2.

  1. ВычисляСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅: .

  2. ВычисляСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°: ,

  3. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: yΠ½Π°ΠΈΠ±=-2ΠΏΡ€ΠΈx=1,yΠ½Π°ΠΈΠΌ=3ΠΏΡ€ΠΈx=2.

14. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΡ пСриодичСской, Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ, ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅ΡΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

  1. Ѐункция y=f(x), опрСдСлСнная Π½Π° мноТСствСD, называСтсяпСриодичСской Π½Π° этом мноТСствС, Ссли сущСствуСт Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ число, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈ этом числоназываСтсяпСриодом

    Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Если- ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ числа, Π³Π΄Π΅Π’Π°ΠΊ Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, дляпСриодами Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ‡ΠΈΡΠ»Π°ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ (наимСньший ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ) – это ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄. Π’ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π·Π° основной ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π±Π΅Ρ€ΡƒΡ‚ наимСньшСС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ равСнству.

  2. Ѐункция y=f(x), опрСдСлСнная Π½Π° мноТСствСD, называСтсячСтной, Π΅ΡΠ»ΠΈΠ²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ условияи. Ѐункцияy=f(x), опрСдСлСнная Π½Π° мноТСствСD, называСтсянСчСтной, Π΅ΡΠ»ΠΈΠ²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ условияи. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси, Π° Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ – ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. НапримСр,,,- Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ;,- Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

  3. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ функция y=f(x)ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° мноТСствСDΠΈ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ. Если для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉx1, x2Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠ· нСравСнстваx1 x2Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ нСравСнство:, Ρ‚ΠΎ функция Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡΠ²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ

    Π½Π° мноТСствС;, Ρ‚ΠΎ функция Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡΠ½Π΅ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΠ½Π° мноТСствС;, Ρ‚ΠΎ функция Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΠ½Π° мноТСствС;, Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎ функция Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡΠ½Π΅Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΠ½Π° мноТСствС. Π’ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅, Π½Π΅Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅, ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈ Π½Π΅ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΌΠΈΠ½Π° этом мноТСствС, Π° Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ –строго ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Π°, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°ΠΌΠΈ монотонности.

  4. Ѐункция y=f(x), опрСдСлСнная Π½Π° мноТСствСD, называСтсяограничСннойна этом мноТСствС, Ссли сущСствуСт Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ число, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для всСхвыполняСтся нСравСнство(короткая запись:, называСтся ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π°, Ссли). ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми.

Ѐункция, задаваСмая ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ, составлСнной ΠΈΠ· основных элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ постоянных с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа арифмСтичСских ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ (слоТСния, вычитания, умноТСния, дСлСния) ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ взятия ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, называСтся

элСмСнтарной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

  1. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°ΡΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡ.

  2. БтСпСннаяфункция.

  3. ЛогарифмичСскаяфункция.

  4. ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

  5. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΠ»ΡƒΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:;;.

studfiles.net

Π‘Ρ…Π΅ΠΌΠ° нахоТдСния наибольшСго ΠΈ наимСньшСго значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π Π°Π·Π΄Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»

Π‘Ρ…Π΅ΠΌΠ° нахоТдСния наибольшСго ΠΈ наимСньшСго значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅

Π­Ρ‚Π°ΠΏΡ‹

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Ρƒ = Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅

1. Найти ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

D( Ρƒ) =

2. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ

.

3. Найти Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‚. Π΅. Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… = 0 ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ сущСствуСт.

D () = R.

= 0

4. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.

Ρƒ( ) =

Ρƒ( ) =

Ρƒ( ) =

5. Из вычислСнных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ наимСньшСС ΠΈ наибольшСС.

max Ρƒ(x) = Ρƒ( ) =

min Ρƒ(x) = Ρƒ( ) =

__________________________________________________________________________________

ΠžΡ‚Ρ‹ΡΠΊΠ°Π½ΠΈΠ΅ наибольшСго ΠΈ наимСньшСго значСния Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ

Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅.

Π‘Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΉ Π½Π΅Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°.

НСпрСрывная функция Π½Π° Π½Π΅Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρƒmax., Ρƒmin.

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ случаи:

Если нСпрСрывная функция Ρƒ = f (Ρ…) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ экстрСмума Ρ…0 ΠΈ Ссли Ρ…0 – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума, Ρ‚ΠΎ f (Ρ…0) = Ρƒmax.

Если нСпрСрывная функция Ρƒ = f (Ρ…) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ экстрСмума Ρ…0 ΠΈ Ссли Ρ…0 – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, Ρ‚ΠΎ f (Ρ…0) = Ρƒmin.

infourok.ru

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π½Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ наимСньшСго значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

РСшим Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ:

ΠžΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (4;1) касаСтся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ . НайдитС абсциссу Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ касания.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆ ΠΊ нашСй Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π΅, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ .

Для нас Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ расстояниС ΠΎΡ‚Β  Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° окруТности Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ касания мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° окруТности Π΄ΠΎ любой Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹:

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Π—Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΎΡ‚ выраТаСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ:

НайдСм, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ функция Β  являСтся Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° соотвСтствуСт мСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция .

НайдСм, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ:

НайдСм Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

Выясним Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈ производная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°:

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ — Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° минимальна, ΠΈ абсцисса Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ касания Ρ€Π°Π²Π½Π° 2.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 2

И.Π’. ЀСльдман, Ρ€Π΅ΠΏΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.


Β 

ege-ok.ru

8. НахоТдСния наибольшСго ΠΈ наимСньшСго Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅

Алгоритм нахоТдСния наибольшСго ΠΈ наимСньшСго Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅:

1) Найти всС критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ ;

2) Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² этих Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°;

3) Из ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 8.1. Найти наибольшСС ΠΈ наимСньшСС значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅.

РСшСниС. 1) НайдСм критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

,  

.

На ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π΅ обращаСтся Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ:

   .

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, – критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Она ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ.

НайдСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅:

.

2) НайдСм значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°:

, .

3) Из ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС:

, .

9. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° отысканиС Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° вычислСниС Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΈ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, для ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ трСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ наимСньшСС ΠΈΠ»ΠΈ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π­Ρ‚Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ исслСдуСмой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½, ΠΎΡ‚ измСнСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… зависит ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, слСдуСт Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π·Π° Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π΅Ρ‘ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ. ΠŸΡ€ΠΈ этом Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π² качСствС нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρƒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ исслСдуСмая функция выраТаСтся ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ всСго. ПослС этого Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π½Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ наимСньшСго ΠΈ наибольшСго значСния ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ измСнСния нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ устанавливаСтся ΠΈΠ· самого сущСства Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 9.1. Найти высоту конуса наибольшСго ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² ΡˆΠ°Ρ€ радиуса .

РСшСниС. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ² радиус основания, высоту ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ конуса соотвСтствСнно ,ΠΈ, запишСм. Π­Ρ‚ΠΎ равСнство Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…ΠΈ; ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΠΌ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· этих Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ. Для этого ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ (ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ пСрпСндикуляра, ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ прямого ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ):

Рисунок 6 – Π˜Π»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ 9.1.

ΠΈΠ»ΠΈ .

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ² Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ° конуса, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

.

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ конуса, вписанного Π² ΡˆΠ°Ρ€ радиуса,Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция ΠΎΡ‚ высоты этого конуса. Найти высоту ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ вписанный конус ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ большой ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ, это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ функцияимССт максимум. Π˜Ρ‰Π΅ΠΌ максимум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

1) ,

2) ,,, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π°ΠΈΠ»ΠΈ,

3) .

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ² вмСсто сначала, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ случаС ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ( ΠΏΡ€ΠΈ ), Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ искомый максимум (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊΠΏΡ€ΠΈ).

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ конус, вписанный Π² ΡˆΠ°Ρ€ радиуса, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ наибольший ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 9.2. ВрСбуСтся ΠΎΠ³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ сСткой Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 60 ΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ участок, ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅Π³Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΊ стСнС Π΄ΠΎΠΌΠ° (рис. 7). ΠšΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° участка, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½ ΠΈΠΌΠ΅Π» Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ?

РСшСниС. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° участка ΠΌ, Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΌ2, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°:

Рисунок 7 – Π˜Π»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ ΠΊ ΠΏΡ€. 9.2.

.

ЗначСния ΠΈΠ½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, поэтому ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ , Π° .

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ Π΅Π΅ возрастания ΠΈ убывания:

. , ΠΈ функция возрастаСт, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ; , ΠΈ функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, точкаявляСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ максимума. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ это СдинствСнная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, принадлСТащая ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρƒ, Ρ‚ΠΎ Π² точкСфункция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ участка наибольшая (максимум), Ссли ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° ΠΌ, Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΌ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 9.3. ΠšΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ 36 ΠΌ2, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Π΅Π΅ Π±Ρ‹Π» наимСньший?

РСшСниС. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΌ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΌ, Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€:

.

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ , опрСдСлСнная для всСх ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ:.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ Π΅Π΅ возрастания ΠΈ убывания:

.

Π—Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ опрСдСляСтся Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ разности . Π’ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅

, Π° Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ .

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ это СдинствСнная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, принадлСТащая ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρƒ:, Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ), Ссли Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π΅Π³ΠΎ 6 ΠΌ ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° ΠΌ = 6 ΠΌ, Ρ‚. Π΅. ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.

studfiles.net

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *