Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Непрерывная случайная величина 
может быть задана функцией распределения
(называемой также интегральной функцией
распределения)
или же плотностью распределения вероятностей (называемой также дифференциальной функцией распределения):
(1)
Равенство (1) имеет место в точках
непрерывности функции 
.
Зная плотность распределения вероятностей, можно найти функцию распределения:
(2).
Свойства плотности распределения вероятностей:
1. 
.
(3)
.
(3) В частности, если все возможные значения
случайной величины 
принадлежат
интервалу (a,b),
то
.
Вероятность того, что непрерывная
случайная величина 
примет
значение
,
определяется равенствами:
. (4).
Задача образец.
Случайная величина 
Найти функцию распределения 
Решение. Если 
,
то
,
следовательно,
Если 
,
то
Если 
,
то
Таким образом, случайная величина 
Задача 1.
Случайная величина 
задана
функцией распределения
Найти:
а) плотность распределения вероятностей 
;
б) графики функций 
и
;
в) по известной функции 
найти вероятность того, что в результате
испытания
примет
значения, не меньшее 2,1 и не большее 2,5.Дать геометрическую интерпретацию величины найденной вероятности
Ответ: а) 
;
б)
в) 0,24.
Задача 2.
Случайная величина задана функцией распределения
Найти:
а) постоянные bи с.
б) плотность распределения вероятностей
величины 
Ответ: а) 
;
б) 
Задача 3.
Случайная величина 
,
все возможные значения которой принадлежат
интервалу
,
задана в этом интервале плотностью
распределения вероятностей.
Найти коэффициент
.
Ответ: 
Задача 4.
График плотности распределения
вероятностей 
случайной величины
имеет вид, изображенной на рис. 1.
Найти аналитическое выражение для 
на всей числовой оси.
Ответ: 
Задача 5.
Случайная величина 
подчинена закону Симпсона (закону
равнобедренного треугольника) на отрезкерис.2.
Указание:
Уравнения прямой 
найти из уравнения
,
где
отрезки
отсекаемые прямой на осях. Получиться
для
и для
.Найти:
а) плотность распределения вероятностей этой случайной величины;
б) вероятность попадания величины 
ответ: а) 
Задача 6.
Дана функция 
.
Найти значение постоянного множителя
,
при котором эта функция могла бы
характеризовать плотность распределения
вероятностей случайной величины
при условии, что все возможные значения
величины
. Ответ: 
.
Задача 7.
Дана функция 
.
Найти такое значение постоянного
множителя
,
при котором эта функция могла бы
охарактеризовать плотность распределения
вероятностей случайной величины
при
условии, что.
Ответ: 
.
Задача 8.
Случайная величина 
(закон Коши).Найти:
а) функцию распределения случайной
величины 
;
б) вероятность того, что в результате
испытания 
примет значение из интервала
.
Ответ: а);
б)
.
studfiles.net
Непрерывные случайные величины. Пример решения задачи на Викиматик
Непрерывная случайная величина — это случайная величина, значения которой целиком заполняют некоторый интервал.
Функция распределения непрерывной случайной величины
Поскольку перебрать все значения непрерывной случайной величины не представляется возможным, то задать ее можно с помощью функции распределения.
Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$.
Свойства функции распределения:
1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: $P\left(\alpha < X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.
3. $F\left(x\right)$ — неубывающая.
4. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } F\left(x\right)=0\ },\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } F\left(x\right)=1\ }$.
Пример 1. Непрерывная случайная величина $X$ задана следующей функцией распределения $F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le 0\\
x,\ 0 < x\le 1\\
1,\ x>1
\end{matrix}\right.$. Вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(0,3;0,7\right)$ можем найти как разность значений функции распределения $F\left(x\right)$ на концах этого интервала, то есть:
$$P\left(0,3 < X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$
Плотность распределения вероятностей
Функция $f\left(x\right)={F}'(x)$ называется плотностью распределения вероятностей, то есть это производная первого порядка, взятая от самой функции распределения $F\left(x\right)$.
Свойства функции $f\left(x\right)$.
1. $f\left(x\right)\ge 0$.
2. $\int^x_{-\infty }{f\left(t\right)dt}=F\left(x\right)$.
3. Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ — это $P\left(\alpha < X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.
4. $\int^{+\infty }_{-\infty }{f\left(x\right)}=1$.
Пример 2. Непрерывная случайная величина $X$ задана следующей функцией распределения $F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le 0\\
x,\ 0 < x\le 1\\
1,\ x>1
\end{matrix}\right.$. Тогда функция плотности $f\left(x\right)={F}'(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0,\ x>1
\end{matrix}\right.$
Математическое ожидание непрерывной случайной величины
Математическое ожидание непрерывной случайной величины $X$ вычисляется по формуле
$$M\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{xf\left(x\right)dx}.$$
Пример 3. Найдем $M\left(X\right)$ для случайной величины $X$ из примера $2$.
$$M\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{xf\left(x\right)\ dx}=\int^1_0{x\ dx}={{x^2}\over {2}}\bigg|_0^1={{1}\over {2}}.$$
Дисперсия непрерывной случайной величины
Дисперсия непрерывной случайной величины $X$ вычисляется по формуле
$$D\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{x^2f\left(x\right)\ dx}-{\left[M\left(X\right)\right]}^2.$$
Пример 4. Найдем $D\left(X\right)$для случайной величины $X$ из примера $2$.
$$D\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{x^2f\left(x\right)\ dx}-{\left[M\left(X\right)\right]}^2=\int^1_0{x^2\ dx}-{\left({{1}\over {2}}\right)}^2={{x^3}\over {3}}\bigg|_0^1-{{1}\over {4}}={{1}\over {3}}-{{1}\over {4}}={{1}\over{12}}.$$
Данная статья полезна?
Да Нетwikimatik.ru
Непрерывная случайная величина х задана плотностью распределения
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения, которую также называют плотностью вероятности или дифференциальной функцией.
Плотность распределения является производной от функции распределения.
Решение.
Найдем параметр a из условия:
Получаем:
Математическое ожидание найдем, подставив известные значения в известную формулу:
Найдем дисперсию, подставив найденные значения:
Найдем среднеквадратическое отклонение:
Ответ. ; ; ; .
ru.solverbook.com
Непрерывная случайная величина, функция распределения и плотность
Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любое значение из какого-либо ограниченного или неограниченного интервала. Для непрерывной случайной величины невозможно указать все возможные значения, поэтому обозначают интервалы этих значений, которые связаны с определёнными вероятностями.
Примерами непрерывных случайных величин могут служить: диаметр детали, обтачиваемой до заданного размера, рост человека, дальность полёта снаряда и др.
Так как для непрерывных случайных величин функция F(x), в отличие от дискретных случайных величин, нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.
Это значит, что для непрерывной случайной величины бессмысленно говорить о распределении вероятностей между её значениями: каждое из них имеет нулевую вероятность. Однако в некотором смысле среди значений непрерывной случайной величины есть «более и менее вероятные». Например, вряд ли у кого-либо возникнет сомнение, что значение случайной величины — роста наугад встреченного человека — 170 см — более вероятно, чем 220 см, хотя и одно, и другое значение могут встретиться на практике.
В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин, вводится понятие плотности распределения или плотности вероятности. Подойдём к нему путём сравнения смысла функции распределения для непрерывной случайной величины и для дискретной случайной величины.
Итак, функцией распределения случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) или интегральной функцией называется функция , которая определяет вероятность, что значение случайной величины X меньше или равно граничному значению х.
Для дискретной случайной величины в точках её значений x1, x2, …, xi,… сосредоточены массы вероятностей p1, p2, …, pi,…, причём сумма всех масс равна 1. Перенесём эту интерпретацию на случай непрерывной случайной величины. Представим себе, что масса, равная 1, не сосредоточена в отдельных точках, а непрерывно «размазана» по оси абсцисс Оx с какой-то неравномерной плотностью. Вероятность попадания случайной величины на любой участок Δx будет интерпретироваться как масса, приходящаяся на этот участок, а средняя плотность на этом участке — как отношение массы к длине. Только что мы ввели важное понятие теории вероятностей: плотность распределения.
Плотностью вероятности f(x) непрерывной случайной величины называется производная её функции распределения:
.
Зная функцию плотности, можно найти вероятность того, что значение непрерывной случайной величины принадлежит закрытому интервалу [a; b]:
вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала [a; b], равна определённому интегралу от её плотности вероятности в пределах от a до b:
или
.
При этом общая формула функции F(x) распределения вероятностей непрерывной случайной величины, которой можно пользоваться, если известна функция плотности f(x):
.
График плотности вероятности непрерывной случайной величины называется её кривой распределения (рис. ниже).
Площадь фигуры (на рисунке заштрихована), ограниченной кривой, прямыми, проведёнными из точек a и b перпендикулярно оси абсцисс, и осью Ох, графически отображает вероятность того, что значение непрерывной случайной величины Х находится в пределах от a до b.
Свойства функции плотности вероятности непрерывной случайной величины
1. Вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из интервала (и площадь фигуры, которую ограничивают график функции f(x) и ось Ох) равна единице:
2. Функция плотности вероятности не может принимать отрицательные значения:
,
а за пределами существования распределения её значение равно нулю
Плотность распределения f(x), как и функция распределения F(x), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения, она не универсальна: плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин.
Упомянем о двух важнейших в практике видах распределения непрерывной случайной величины.
Если функция плотности распределения f(x) непрерывной случайной величины в некотором конечном интервале [a; b] принимает постоянное значение C, а за пределами интервала принимает значение, равное нулю, то такое распределение называется равномерным.
Если график функции плотности распределения симметричен относительно центра, средние значения сосредоточены вблизи центра, а при отдалении от центра собираются более отличающиеся от средних (график функции напоминает разрез колокола), то такое распределение называется нормальным.
Пример 1. Известна функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:
Найти функцию f(x) плотности вероятности непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 4 до 8: .
Решение. Функцию плотности вероятности получаем, находя производную функции распределения вероятностей:
График функции F(x) — парабола:
График функции f(x) — прямая:
Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 4 до 8:
.
Пример 2. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины дана в виде:
Вычислить коэффициент C. Найти функцию F(x) распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 0 до 5: .
Решение. Коэффициент C найдём, пользуясь свойством 1 функции плотности вероятности:
Таким образом, функция плотности вероятности непрерывной случайной величины:
Интегрируя, найдём функцию F(x) распределения вероятностей. Если x < 0, то F(x) = 0. Если 0 < x < 10, то
.
x > 10, то F(x) = 1.
Таким образом, полная запись функции распределения вероятностей:
График функции f(x):
График функции F(x):
Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 0 до 5:
.
Пример 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана равенством , при этом . Найти коэффициент А, вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[, функцию распределения непрерывной случайной величины X.
Решение. По условию приходим к равенству
.
Но
Следовательно, , откуда . Итак,
.
Теперь находим вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[:
Теперь получим функцию распределения данной случайной величины:
Пример 5. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана формулой:
(при x > 0)
(a — положительный коэффициент).
1) найти функцию распределения непрерывной случайной величины;
2) найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, лежащее между 1 и 2.
Решение.
1) При x < 0 f(x) = 0, значит . При x > 0 . Первый интеграл равен нулю. Второй . Итак, функция распределения данной непрерывной случайной величины имеет вид:
2) вероятность попадания непрерывной случайной величины на участок между 1 и 2 вычислим как приращение функции распределения на этом участке:
Пример 6. Непрерывная случайная величина имеет плотность
при .
1) найти вероятность попадания непрерывной случайной величины на участок от 0 до π/4;
2) функцию распределения непрерывной случайной величины.
Решение.
1) находим вероятность:
.
2) находим функцию распределения непрерывной случайной величины:
Пример 7. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана формулой
.
Найти вероятность попадания непрерывной случайной величины на участок (-1; +1)
Решение.
.
Начало темы «Теория вероятностей»
function-x.ru
Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Функция распределения и плотность вероятности. Примеры решения задач
Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Функция распределения и плотность вероятности
Задача1Задана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины Х. Требуется:
- 1) найти плотность распределения вероятностей f(x)
- 2) определить коэффициент А
- 3) схематично построить графики F(x) и f(x)
- 4) найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х)
- 5) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (a , b)
Решение:
- Используем свойство . Получаем:
2. Используем свойство
- 3. Ниже показаны графики функции распределения и плотности распределения.
f(x)
F(x)
- 4. Математическое ожидание:
Дисперсия:
5. Вероятность того, что Х примет значение из интервала (0 , 3)
Задача2
Случайная величина задана плотностью распределения:
Требуется:
а) найти коэффициент C;
б) функцию распределения ;
в) построить графики функций и .Решение:
а) Плотность распределения должна удовлетворять условиям:
;, тогда
Так как , то
Таким образом,
б) для нахождения функции распределения воспользуемся формулой .
При .
При ,
При ,
Итак,
в)
www.matem96.ru
Решение типового примера. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения
Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения
.
Найти: 1) дифференциальную функцию распределения ;
2) построить графики функций ;
3) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
Р е ш е н и е. 1. Дифференциальной функцией распределения непрерывной СВ Х называется производная от интегральной функции распределения, т.е. .
В нашем случае имеет вид: .
2. Построим графики :
.
Рис. 5.
Рис. 6.
3. Если непрерывная СВ Х задана функцией , то ее математическое ожидание определяется по формуле
.
Так как функция при и при равна нулю, то имеем из последней формулы
.
Дисперсию вычисляем по формуле .
Тогда .
Задачи 361–380.
361. Норма высева на 1 га равна 145 кг. Фактический расход семян на 1 га колеблется около этого значения; случайные отклонения характеризуются средним квадратическим отклонением 10 кг. Определить:
1) вероятность того, что расход семян на 100 га не превысит
15,1 т; 2) количество семян, обеспечивающее посев 100 га с вероятностью 0,95.
362. Норма высева на 1 га равна 170 кг. Фактический расход семян на 1 га колеблется около этого значения; случайные значения характеризуются средним квадратическим отклонением 11 кг. Определить: 1) вероятность того, что расход семян на 100 га не превысит 17,15 т; 2) количество семян, обеспечивающих посев 100 га с гарантией 0,99.
363. Средняя глубина посева семян составляет 4,5 см; отдельные отклонения от этого значения случайные, распределены нормально со средним квадратическим отклонением 0,7 см. Определить: 1) долю семян, посеянных на глубину более 5 см; 2) долю семян, посеянных на глубину менее 3 см.
364. Путем взятия проб установлено, что потери зерна при уборке составили в среднем 3 г на 1 м2среднее квадратическое отклонение потерь 1 г. Определить: 1) вероятность того, что на 1 га потери составят не менее 29,7 кг; 2) величину, которую не превзойдут потери на
1 га с вероятностью 0,97.
365. Средний вес одного яблока равен 130 г; отклонения в весе характеризуются средним квадратическим отклонением 25 г. Отбирается подряд, без выбора, 100 яблок. Определить: 1) вероятность того, что вес 100 яблок окажется не менее 12,5 кг; 2) наибольшее значение, которое не превзойдет вес 100 яблок с вероятностью 0,96.
366. Средний вес плодов в одном ящике равен 10 кг, а среднее квадратическое отклонение в весе плодов одного ящика равно 1,5 кг. Определить: 1) вероятность того, что в 100 ящиках окажется не менее 965 кг; 2) наибольшее значение, которое не превзойдет вес плодов в 100 ящиках с вероятностью 0,95.
367. Случайные значения веса зерна распределены нормально. Математическое ожидание веса зерна равно 0,18 г, среднее квадратическое отклонение равно 0,04 г. Нормальные сходы дают зерна, вес которых более 0,15 г. Определить: 1) процент семян, которые дадут нормальные всходы; 2) величину, которую не превзойдет вес отдельного зерна с вероятностью 0,96.
368.Средний диаметр стволов деревьев на некоторойделянке равен 30 см, среднее квадратическое отклонение 5 см. Считая, что диаметр ствола – случайная величина, распределенная нормально. Определить: 1) процент стволов, имеющих диаметр свыше 24 см; 2) размер, который не превзойдет диаметр ствола дерева с вероятностью 0,96.
369. Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально; математическое ожидание размера детали равно 250 мм, среднее квадратическое отклонение 0,8 мм. Годными считаются те детали, размер которых заключен между 249 и 251 мм. Определить: 1) вероятность изготовления годной детали; 2) процент бракованных деталей, если точность изготовления улучшится и будет характеризоваться средним квадратическим отклонением 0,6 мм.
370. Диаметр валиков, обработанных на токарном станке, подчинен закону нормального распределения с математическим ожиданием 23 мм и средним квадратическим отклонением 0,5 мм. Годными считаются те валики, диаметр которых заключен между 22 и 25 мм. Определить: 1) вероятность изготовления годного валика; 2) процент бракованных валиков, если точность изготовления улучшится и будет характеризоваться средним квадратическим отклонением 0,4 мм.
371. Распределение хозяйств некоторого района по проценту выполнения плана продажи продукции государству подчинен закону нормального распределения с математическим ожиданием 103,5% и средним квадратическим отклонением 1,5%. Определить: 1) процент хозяйств, не выполнивших план; 2) величину, которую не превзойдет процент выполнения плана наудачу взятого хозяйства с вероятностью 0,97.
372. Распределение пакетов по весу расфасованного товара подчинено нормальному закону с математическим ожиданием 1 кг и средним квадратическим отклонением 0,02 кг. Определить: 1) вероятность того, что вес наудачу взятого пакета будет не меньше 990 г; 2) наибольшее значение, которое не превзойдет вес пакета с вероятностью 0,95.
373. Распределение коров некоторой фермы по годовому удою молока подчинено нормальному закону с математическим ожиданием 3000 кг и средним квадратическим отклонением 850 кг. В Государственную племенную книгу записывают коров с годовым удоем не менее 4200 кг. Определить: 1) процент коров этой фермы, которые попадут в Государственную книгу; 2) величину, которую не превысит годовой удой наудачу взятой коровы с вероятностью 0,97.
374. Длина рыбы является случайной величиной, распределенной нормально с математическим ожиданием 30 см и средним квадратическим отклонением 5 см. Определить: 1) вероятность того, что длина наудачу выловленной рыбы заключена между 27 и 31 см; 2) процент рыб, имеющих длину свыше 35 см.
375. Высота деревьев в некоторой роще подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием 12 м и средним квадратическим отклонением 2 м. Определить: 1) процент деревьев рощи, высота которых превышает 15 м; 2) величину, которую не превышает высота наудачу взятого дерева с вероятностью 0,98.
376. В партии яиц средний вес яйца равен 58 г, среднее квадратическое отклонение – 6 г. Вес яиц является случайной величиной, распределенной нормально. В заготовку принимают яйца весом от 50 до 65 г. Определить: 1) процент яиц, идущих в заготовку; 2) величину, которую не превысит вес наудачу взятого яйца с вероятностью 0,96.
377. Вес коров является величиной случайной, распределенной нормально. Пусть математическое ожидание равно 460 кг, а среднее квадратическое отклонение – 20 кг. Определить: 1) вероятность того, что вес наудачу взятой коровы заключен между 400 и 470 кг; 2) процент коров, имеющих вес свыше 480 кг.
378. Диаметр куриных яиц есть случайная величина, распределенная нормально. Пусть для данной партии яиц математическое ожидание равно 50 мм, среднее квадратическое отклонение – 2,5 мм. Определить: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятого яйца не меньше 48 мм; 2) величину, которую не превышает диаметр наудачу взятого яйца с вероятностью 0,95.
379. Масса вагона есть случайная величина, распределенная нормально с математическим ожиданием 66 т и средним квадратическим отклонением 0,9 т. Определить: 1) вероятность того, что очередной вагон имеет массу от 60 до 70 т; 2) величину, которую не превышает масса наудачу взятого вагона с вероятностью 0,95.
380. Стрельба ведется по цели вдоль некоторой прямой линии. Средняя дальность полета снаряда равна 1210 м. Предполагаем, что дальность полета снаряда распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 45 м. Определить, какой процент выпускаемых снарядов даст перелет от 20 до 60 м.
megaobuchalka.ru
8. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности
Функцией распределенияслучайной величиныХназывается функцияF(х), выражающая для каждогохвероятность того, что случайная величинаХпримет значение, меньшеех:.
Функцию F(х) иногда называют интегральной функцией распределения, или интегральным законом распределения.
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.
Примеры непрерывных случайных величин: диаметр детали, которую токарь обтачивает до заданного размера, рост человека, дальность полета снаряда и др.
Теорема. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю
.
Следствие. Если Х —
непрерывная случайная величина, то
вероятность попадания случайной величины
в интервал 
не зависит от того, является этот интервал
открытым или закрытым, т.е.
.
Если
непрерывная случайная величина Х может принимать только значения в
границах от а до b (где а и b —
некоторые постоянные), то функция
распределения ее равна нулю для всех
значений 
и единице для значений 
.
Для непрерывной случайной величины
.
Все свойства функций распределения дискретных случайных величин выполняются и для функций распределения непрерывных случайных величин.
Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным.
Плотностью вероятности (плотностью распределения или плотностью) р(х) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения
.
Плотность вероятности р(х), как и функция распределенияF(х), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует только длянепрерывныхслучайных величин.
Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией, или дифференциальным законом распределения.
График плотности вероятности называется кривой распределения.
Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины:
- .
(рис. 8.1).
.Рис. 8.1
- (рис. 8.2).
(рис. 8.2).Рис. 8.2
4. 
.
Геометрически свойства плотности вероятности означают, что ее график — кривая распределения — лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
Пример 8.1. Минутная стрелка электрических часов передвигается скачками поминутно. Вы бросили взгляд на часы. Они показывают а минут. Тогда для вас истинное время в данный момент будет случайной величиной. Найти ее функцию распределения.
Решение. Очевидно, что функция распределения
истинного времени равна 0 для всех 
и единице для
.
Время течет равномерно. Поэтому
вероятность того, что истинное время
меньше а +
0,5 мин, равна 0,5, так как одинаково
вероятно, прошло ли после а менее или более полминуты. Вероятность
того, что истинное время меньше а + 0,25 мин, равна 0,25 (вероятность этого
времени втрое меньше вероятности того,
что истинное время больше а + 0,25 мин, а сумма их равна единице, как
сумма вероятностей противоположных
событий). Аналогично рассуждая, найдем,
что вероятность того, что истинное время
меньше а + 0,6 мин, равна 0,6. В общем случае вероятность
того, что истинное время меньше а + + α мин ,
равна α.
Следовательно, функция распределения
истинного времени имеет следующее
выражение:
Она непрерывна всюду, а производная ее непрерывна во всех точках, за исключением двух:х = аих = а+ 1. График этой функции имеет вид (рис. 8.3):
Рис. 8.3
Пример 8.2. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция
Решение.
Рис. 8.4
Все
значения этой функции принадлежат
отрезку 
,
т.е.
.
Функция F(х)
является неубывающей: в промежутке 
она постоянна, равна нулю, в промежутке 
возрастает, в промежутке 
также постоянна, равна единице (см.
рис. 8.4). Функция непрерывна в каждой
точке х0 области ее определения — промежутка ,
поэтому непрерывна слева, т.е. выполняется
равенство
, .
Выполняются и равенства:
, .
Следовательно,
функция 
удовлетворяет всем свойствам, характерным
для функции распределения. Значит данная
функция
является функцией распределения
некоторой случайной величиныХ.
Пример 8.3. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция
Решение.Данная функция не является функцией
распределения случайной величины, так
как напромежутке 
она убывает и не является непрерывной.
График функции изображен на рис. 8.5.
Рис. 8.5
Пример 8.4. Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти коэффициент а и плотность вероятности случайной величины Х. Определить вероятность неравенства .
Решение. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения
Коэффициент а определяем с помощью равенства
,
отсюда
.
Тот
же результат можно было получить,
используя непрерывность функции 
в точке
, .
Следовательно, 
.
Поэтому плотность вероятности имеет вид
Вероятность попадания случайной величины Х в заданный промежуток вычисляется по формуле
.
Пример 8.5. Случайная величина Х имеет плотность вероятности (закон Коши)
.
Найти
коэффициент а и вероятность того, что случайная
величина Х примет какое-нибудь значение из интервала 
.
Найти функцию распределения этой
случайной величины.
Решение. Найдем коэффициент а из равенства
,
но
Следовательно, 
.
Итак, 
.
Вероятность того, что случайная величина Хпримет какое-нибудь значение из
интервала 
,
равна
Найдем функцию распределения данной случайной величины
Пример 8.6.График плотности вероятности случайной величиныХизображен на рис. 8.6 (закон Симпсона). Написать выражение плотности вероятности ифункцию распределения этой случайной величины.
Рис. 8.6
Решение. Пользуясь графиком, записываем аналитическое выражение плотности распределения вероятностей данной случайной величины
Найдем функцию распределения.
Если 
,
то
.
Если , то .
Если , то
Если 
,
то
Следовательно, функция распределения имеет вид
studfiles.net