Одинаковые основания разные степени – «Как перемножить степени с разными основаниями в виде чисел? » – Яндекс.Знатоки

Свойства степеней с одинаковыми показателями — Науколандия

Если умножаются (или делятся) две степени, у которых разные основания, но одинаковые показатели, то их основания можно перемножить (или поделить), а показатель степени у результата оставить таким же как у множителей (или делимого и делителя).

В общем виде на математическом языке эти правила записываются так:
a^m × b^m = (ab)^m
a^m ÷ b^m = (a/b)^m

При делении b не может быть равно 0, то есть второе правило надо дополнить условием b ≠ 0.

Примеры:
2³ × 3³ = (2 × 3)³ = 63 = 36 × 6 = 180 + 36 = 216
6⁵ ÷ 3⁵ = (6 ÷ 3)⁵ = 2⁵ = 32

Теперь на этих конкретных примерах докажем, что правила-свойства степеней с одинаковыми показателями верны. Решим данные примеры так, как будто мы не знаем о свойствах степеней:
2³ × 3³ = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216

65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

Как мы видим, ответы совпали с теми, которые были получены, когда использовались правила. Знание этих правил позволяет упростить вычисления.

Обратите внимание, что выражение 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 можно представить в таком виде:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).

Это выражение в свою очередь есть нечто иное как (2 × 3)³, то есть 6³.

Рассмотренные свойства степеней с одинаковыми показателями могут быть использованы в обратную сторону. Например, сколько будет 18²?
18² = (3 × 3 × 2)² = 3² × 3² × 2² = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324

Свойства степеней также используются при решении примеров:
= 2⁴ × 3⁶ = 2⁴ × 3⁴ × 3 × 3 = 6⁴ × 3² = 6² × 6² × 3² = (6 × 6 × 3)

2 = 108² = 108 × 108 = 108 (100 + 8) = 10800 + 864 = 11664

scienceland.info

Свойства степеней с натуральными показателями. Натуральная степень. Степени чисел. Свойства показателей степеней

Свойства степеней с натуральными показателями

Говоря про свойства степеней, считаем, что числа a и b действительные, а числа m и n натуральные.

Свойства степеней с натуральными показателями:

Свойство 1.

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями, показатели степеней складываются:
a^maⁿ = a^{m + n}

Пример умножения степеней с одинаковыми основаниями:

5² * 5³ =
5^{2 + 3} =
5⁵

Обратите внимание на то, что основания степеней одинаковые, оба равны 5-ти.

Свойство 2.

2. Если степень возводится в степень, то показатели перемножаются:

(a^m)ⁿ = a^{m * n}

Пример возведения степени в степень:

(5²)⁴ =
5^{2 * 4} =
5⁸

То есть при возведении степени в степень показатели перемножаются.

Свойство 3.

3. Если основания степеней разные, а показатели одинаковые, то произведение степеней равно степени произведения:
a^mb^m = (ab)^m

Пример произведения степеней:

4² * 3² =
(4 * 3)²

То есть произведение степеней равно степени произведения.

Свойство 4.

4. Частное степеней с одинаковыми основаниями, m > n:
a^m : aⁿ = a^{m — n}

Пример частного степеней с одинаковыми основаниями:

10⁶ : 10⁴ =
10^{6 — 4} = 10²

= 100

То есть основание остается, а показатели степеней вычитаются.

Свойство 5.

5. Если основания степеней разные, а показатели одинаковые, то частное степеней равно степени частного:
aⁿ : bⁿ = (a/b)ⁿ

Пример частного степеней с разными основаниями и одинаковыми показателями:

5² : 6² =
(5/6)²

То есть частное степеней с одинаковыми показателями равно степени частного.

www.sbp-program.ru

a^n+a^m-? У слагаемых одинаковое основание, но разная степень. Чему это должно быть равно?

Тебе неправильно ответили, что показатели степеней складываются. Показатели тогда складываются, когда мы степени с одинаковыми основаниями перемножаем. Здесь же единственно можно вынести a^n за скобки, получим: a^n+a^m=a^n(1+a^(m-n)). Можно вынести и a^m, тогда получим: a^n+a^m=a^m(a^(n-m)+1). Обычно выносится степень с меньшим показателем.

Основание ОДНО, а степень СКЛАДЫВАЕТСЯ a^(N+M)

При одинаковом основании показатели степени складываются.

Складываться будут при a^n*a^m А тут можно только вынести то, у чего показатель степени меньше, за скобки a^n*(1+a^(m-n))

touch.otvet.mail.ru