Площади разных фигур – ,

Площади различных фигур

Площади различных фигур (площади квадрата и многоугольника были уроком ранее)

Площадь параллелограмма

Одна из сторон параллелограмма называется основанием, а перпендикуляр из точки противоположной стороны к основанию называется высотой.

Площадь параллелограмма = произведению основания на высоту.

Площадь треугольника

Одна из сторон треугольника будет основанием, а проведенный к этой стороне перпендикуляр будет высотой.

Площадь треугольника = половине произведения основания на высоту.

Соответственно, в прямоугольном треугольнике мы найдем площадь по половине произведения катетов.

Формула Герона

Еще один способ посчитать площадь треугольника через половину его периметра.

Выразим:

площадь — S;

стороны — a, b, c;

полупериметр треугольника: p = 1/2(a + b + c)

Тогда S = 

Площадь трапеции

Высота в трапеции проводится также в виде перпендикуляра от противоположной стороны к основанию.

Площадь трапеции = половине суммы оснований умноженной на высоту.

Т.е. S = 1/2 * (BC + AD) * BH

Площадь правильного многоугольника

S — площадь n-угольника

P — периметр

r — радиус вписанной окружности

По формуле:

S = 1/2 * Pr

​​​​​​​

Редактировать этот урок и/или добавить задание и получать деньги постоянно* Добавить свой урок и/или задания и получать деньги постоянно

Добавить новость и получить деньги

Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников

uchilegko.info

Внеклассный урок — Площади различных геометрических фигур

1) Площадь ромба равна половине произведений его диагоналей:

                                                                           d1 · d2
                                                                  
S = ————
                                                                               2

2) Так как ромб является также параллелограммом, то его площадь равна произведению стороны на высоту:

                                                                              S = ah

3) Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между двумя смежными сторонами:

                                                                          S = a2 · sin α

                                                                          S = a2 · sin β

4) Площадь ромба можно вычислить, соотнеся диагонали (D или d) и тангенс углов:

                                                                                   1
                                                                           
S = — D2tg(α/2)
                                                                                    2

 

                                                                                   1
                                                                           
S = — d2tg(β/2)
                                                                                    2

где D – большая диагональ, d – меньшая диагональ, α – острый угол, β – тупой угол.

 

4) Площадь ромба можно также вычислить по радиусу вписанной окружности и углу α:

                                                                                    4r2
                                                                         
S = ———
                                                                                   sin α

 

                                                                          S = 2a · r

raal100.narod.ru

Как найти площадь фигуры?

Как найти площадь фигуры?

Знать и уметь рассчитывать площади различных фигур необходимо не только для решения простых геометрических задач. Не обойтись без этих знаний и при составлении или проверке смет на ремонт помещений, расчета количества необходимых расходных материалов. Поэтому давайте разберемся, как находить площади разных фигур.

Площадь

Часть плоскости, заключенная внутри замкнутого контура, называется площадью этой плоскости. Выражается площадь количеством заключенных в ней квадратных единиц.

Чтобы вычислить площадь основных геометрических фигур, необходимо использовать правильную формулу.

Площадь треугольника

Обозначения:
  • S — искомая площадь,
  • a, b, c — длины сторон треугольника,
  • h — высота искомого треугольника,
  • γ — угол, находящийся между стороной a и стороной b,
  • r — радиус окружности (вписанной в треугольник),
  • R — радиус окружности (описанной вокруг треугольника),
  • p — половина периметра треугольника.
  1. Если известны h, a, то площадь искомого треугольника определяется как произведение длин стороны и высоты треугольника, опущенной к этой стороне, разделенное пополам: S=(a·h)/2
  2. Ес

elhow.ru

Площадь фигуры — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Об определении[ | ]

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе

фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая четырём условиям:

  1. Положительность — площадь неотрицательна;
  2. Нормировка — квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
  3. Конгруэнтность — конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
  4. Аддитивность — площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

При этом определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

  • Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура F{\displaystyle F} называется квадрируемой, если для любого ε>0{\displaystyle \varepsilon >0} существует пара многоугольников P{\displaystyle P} и Q{\displaystyle Q}, такие что P⊂F⊂Q{\displaystyle P\subset F\subset Q} и S(Q)−S(P)<ε{\displaystyle S(Q)-S(P)<\varepsilon }, где S(P){\displaystyle S(P)} обозначает площадь P{\displaystyle P}.

Примеры квадрируемых фигур

Связанные определения[ | ]

  • Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

Комментарии[ | ]

  • Существует математически строгий, но неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. То есть на множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых площадь определяется однозначно.

Формулы[ | ]

encyclopaedia.bid

Площадь фигуры — это… Что такое Площадь фигуры?

Пло́щадь плоской фигуры

 — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Об определении

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости, такая что:

  1. (положительность) площадь неотрицательна;
  2. (нормировка) квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
  3. конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
  4. (аддитивность) площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

Определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

  • Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура называется квадрируемой, если для любого существует пара многоугольников и , такие что и , где обозначает площадь .

Связанные определения

  • Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

Комментарии

На самом деле, есть довольно неестественный и неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. На множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, т. е. не равные функции, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых функционал площади определяется однозначно.

То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве, (смотри соответственно парадокс Банаха — Тарского и парадокс Хаусдорфа).

Площади некоторых фигур

Формулы для нахождения площадей различных фигур

Фигура Формула Комментарий
Правильный треугольник — длина стороны треугольника.
Треугольник Формула Герона. — полупериметр, , и — длины сторон треугольника.
Треугольник и — две стороны треугольника, а — угол между ними.
Треугольник и — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне.
Квадрат — длина стороны квадрата.
Прямоугольник и — длины сторон прямоугольника.
Ромб и — длины диагоналей ромба.
Параллелограмм — длина одной из сторон параллелограмма, а — высота, проведённая к этой стороне.
Трапеция и — длины параллельных сторон, а — расстояние между ними (высота).
Правильный шестиугольник — длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник — длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник — длина стороны многоугольника, а — количество сторон многоугольника.
— апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а — периметр многоугольника.
Круг или — радиус окружности, а — её диаметр.
Сектор круга и — соответственно радиус и угол сектора (в радианах).
Эллипс и — большая и малая полуоси эллипса.
Поверхность Цилиндра и — радиус и высота цилиндра соответственно.
Боковая поверхность цилиндра и — радиус и высота цилиндра соответственно.
Поверхность конуса и — радиус и длина образующей соответственно.
Боковая поверхность конуса и — радиус и длина образующей соответственно.
Поверхность сферы и — радиус и диаметр соответственно.
Поверхность эллипсоида   См. статью.
  • Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
  • Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:
  • Площадь произвольного четырехугольника ABCD равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними:
    ,
где  — угол между диагоналями.
  • Площадь ромба ABCD равна половине произведения диагоналей:
  • Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
  • Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

См. также

Ссылки

  • В.Болтянский, О понятиях площади и объёма. Квант, № 5, 1977
  • Б. П. Гейдман, Площади многоугольников, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
  • В. А. Рохлин, Площадь и объём, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.

brokgauz.academic.ru

Равенство геометрических фигур и площадь фигуры

Определение. Фигуры, которые можно наложить одна на другую так, чтобы они совместились, называются равными фигурами.

Для обозначения равенства фигур используется знак равенства в кратком наименовании фигур.

Пример. Два треугольника равны, но один по отношению к другому смещен но плоскости листа и повернут на 180°. ΔABC = ΔA1B1C1.

Два треугольника равны, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны.

Тогда ΔABC = ΔA1B1C1 если:

1) AB = A1B1 BC = B1C1 AC = A1C1
2)∠A = ∠A1 ∠B = ∠B1 ∠C = ∠C1

Равные фигуры имеют равные площади.

Существуют формулы площади для всех простейших многоугольников и круга. Для составных фигур площадь определяется как сумма площадей простых фигур. Так, шестиугольник можно разбить па 2 треугольника и четырехугольник, определить площади каждого из них, а потом сложить.

Единицами площади служат единицы измерения длинны (мм, дм, см, м, км) в квадрате (перемноженные дважды: мм2, см2, дм2, м2, км2) или специальные единицы площади (ар, или «сотка»; гектар).

Единицы площади — величины взаимосвязанные:
1 см2 = 100 мм2
1 дм2 = 100 см2
1 м2 = 100 дм2 = 10 000 см2

1 км2 = 1 000 000 м2
1а = 100 м2
1 га = 100 а = 10 000 м2.

Формулы для вычисления площади простых геометрических фигур

S = a 2

Площадь квадрата, где а — сторона квадрата.

S = a * b

Площадь прямоугольника, где а — длина; Ь — ширина прямоугольника.

S = ½ * a * h

Площадь треугольника, где а — сторона треугольника; Н — высота треугольника, проведенная к этой стороне.

Если фигура сложной конфигурации состоит из нескольких простых фигур, то необходимо посчитать по формулам площади простых фигур, а потом эти площади сложить.

Примеры.

  1. Вычислить площадь квадрата со стороной 5 см.

    Решение: Формула площади квадрата:S=a2. Подставим значение его стороны в формулу: S = 5 * 5 = 25 (см2).

    Ответ: 25см2.

  2. Вычислить площадь прямоугольника со сторонами 5 см и 30 мм.

    Решение: Формула площади прямоугольника: S = a * b. Так как длины сторон заданы в разных единицах измерения, то приведем обе стороны к измерению в сантиметрах: 30 мм = 3 см.

    Подставим значения сторон в формулу:

    S = 5 * 3 = 15 (см2)
    Ответ: 15 см2


shkolo.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.