Площади разных фигур – ,

Еще один способ посчитать площадь треугольника через половину его периметра.

Выразим:

площадь — S;

стороны — a, b, c;

полупериметр треугольника: p = 1/2(a + b + c)

Тогда S = 

Площадь трапеции

Высота в трапеции проводится также в виде перпендикуляра от противоположной стороны к основанию.

Площадь трапеции = половине суммы оснований умноженной на высоту.

Т.е. S = 1/2 * (BC + AD) * BH

Площадь правильного многоугольника

S — площадь n-угольника

P — периметр

r — радиус вписанной окружности

По формуле:

S = 1/2 * Pr

​​​​​​​

Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников

uchilegko.info

Внеклассный урок — Площади различных геометрических фигур

1) Площадь ромба равна половине произведений его диагоналей:

                                                                           d₁ · d₂
                                                                  S = ————
                                                                               2

2) Так как ромб является также параллелограммом, то его площадь равна произведению стороны на высоту:

                                                                              S = ah

3) Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между двумя смежными сторонами:

                                                                          S = a² · sin α

                                                                          S = a² · sin β

4) Площадь ромба можно вычислить, соотнеся диагонали (D или d) и тангенс углов:

                                                                                   1
                                                                            S = — D²tg(α/2)
                                                                                    2

                                                                                   1
                                                                            S = — d²tg(β/2)
                                                                                    2

где D – большая диагональ, d – меньшая диагональ, α – острый угол, β – тупой угол.

4) Площадь ромба можно также вычислить по радиусу вписанной окружности и углу α:

                                                                                    4r²
                                                                          S = ———
                                                                                   sin α

                                                                          S = 2a · r

raal100.narod.ru

Как найти площадь фигуры?

Как найти площадь фигуры?

Площадь

Часть плоскости, заключенная внутри замкнутого контура, называется площадью этой плоскости. Выражается площадь количеством заключенных в ней квадратных единиц.

Чтобы вычислить площадь основных геометрических фигур, необходимо использовать правильную формулу.

Площадь треугольника

Обозначения:

• S — искомая площадь,
• a, b, c — длины сторон треугольника,
• h — высота искомого треугольника,
• γ — угол, находящийся между стороной a и стороной b,
• r — радиус окружности (вписанной в треугольник),
• R — радиус окружности (описанной вокруг треугольника),
• p — половина периметра треугольника.

1. Если известны h, a, то площадь искомого треугольника определяется как произведение длин стороны и высоты треугольника, опущенной к этой стороне, разделенное пополам: S=(a·h)/2
2. Ес

elhow.ru

Площадь фигуры — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Об определении[ | ]

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе

1. Положительность — площадь неотрицательна;
2. Нормировка — квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
3. Конгруэнтность — конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
4. Аддитивность — площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

При этом определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

• Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура F{\displaystyle F} называется квадрируемой, если для любого ε>0{\displaystyle \varepsilon >0} существует пара многоугольников P{\displaystyle P} и Q{\displaystyle Q}, такие что P⊂F⊂Q{\displaystyle P\subset F\subset Q} и S(Q)−S(P)<ε{\displaystyle S(Q)-S(P)<\varepsilon }, где S(P){\displaystyle S(P)} обозначает площадь P{\displaystyle P}.

Примеры квадрируемых фигур

Связанные определения[ | ]

• Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

Комментарии[ | ]

• Существует математически строгий, но неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. То есть на множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых площадь определяется однозначно.

Формулы[ | ]

encyclopaedia.bid

Площадь фигуры — это… Что такое Площадь фигуры?

Пло́щадь плоской фигуры

Об определении

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости, такая что:

1. (положительность) площадь неотрицательна;
2. (нормировка) квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
3. конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
4. (аддитивность) площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

Определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

• Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура называется квадрируемой, если для любого существует пара многоугольников и , такие что и , где обозначает площадь .

Связанные определения

• Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

Комментарии

На самом деле, есть довольно неестественный и неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. На множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, т. е. не равные функции, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых функционал площади определяется однозначно.

То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве, (смотри соответственно парадокс Банаха — Тарского и парадокс Хаусдорфа).

Площади некоторых фигур

Формулы для нахождения площадей различных фигур

• Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

• Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:

• Площадь произвольного четырехугольника ABCD равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними:

  ,

где  — угол между диагоналями.

• Площадь ромба ABCD равна половине произведения диагоналей:

• Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

См. также

Ссылки

• В.Болтянский, О понятиях площади и объёма. Квант, № 5, 1977
• Б. П. Гейдман, Площади многоугольников, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
• В. А. Рохлин, Площадь и объём, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.

brokgauz.academic.ru

Равенство геометрических фигур и площадь фигуры

Определение. Фигуры, которые можно наложить одна на другую так, чтобы они совместились, называются равными фигурами.

Для обозначения равенства фигур используется знак равенства в кратком наименовании фигур.

Пример. Два треугольника равны, но один по отношению к другому смещен но плоскости листа и повернут на 180°. ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Два треугольника равны, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны.

Тогда ΔABC = ΔA₁B₁C₁ если:

1) AB = A₁B₁ BC = B₁C₁ AC = A₁C₁
2)∠A = ∠A₁ ∠B = ∠B₁ ∠C = ∠C₁

Равные фигуры имеют равные площади.

Существуют формулы площади для всех простейших многоугольников и круга. Для составных фигур площадь определяется как сумма площадей простых фигур. Так, шестиугольник можно разбить па 2 треугольника и четырехугольник, определить площади каждого из них, а потом сложить.

Единицами площади служат единицы измерения длинны (мм, дм, см, м, км) в квадрате (перемноженные дважды: мм², см², дм², м², км²) или специальные единицы площади (ар, или «сотка»; гектар).

Единицы площади — величины взаимосвязанные:
1 см² = 100 мм²
1 дм² = 100 см²
1 м² = 100 дм² = 10 000 см²

1 км² = 1 000 000 м²
1а = 100 м²
1 га = 100 а = 10 000 м².

Формулы для вычисления площади простых геометрических фигур

S = a ²

Площадь квадрата, где а — сторона квадрата.

S = a * b

Площадь прямоугольника, где а — длина; Ь — ширина прямоугольника.

S = ½ * a * h

Площадь треугольника, где а — сторона треугольника; Н — высота треугольника, проведенная к этой стороне.

Если фигура сложной конфигурации состоит из нескольких простых фигур, то необходимо посчитать по формулам площади простых фигур, а потом эти площади сложить.

Примеры.

1. Вычислить площадь квадрата со стороной 5 см.

   Решение: Формула площади квадрата:S=a2. Подставим значение его стороны в формулу: S = 5 * 5 = 25 (см²).

   Ответ: 25см².

2. Вычислить площадь прямоугольника со сторонами 5 см и 30 мм.

   Решение: Формула площади прямоугольника: S = a * b. Так как длины сторон заданы в разных единицах измерения, то приведем обе стороны к измерению в сантиметрах: 30 мм = 3 см.

   Подставим значения сторон в формулу:

   S = 5 * 3 = 15 (см²)
   Ответ: 15 см²

shkolo.ru