Наш любимый «Д» класс.: ЗНАЙ ПРАВИЛА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ!
1. Нахождение неизвестного слагаемого.
слагаемое слагаемое сумма
20 + 30 = 50
10 + X = 15 Нам неизвестно слагаемое.
X = 15 - 10 Чтобы найти слагаемое, нужно от суммы отнять другое слагаемое.
Х = 5
10 + 5 = 15 Делаем проверку: вместо Х подставим число и посчитаем.
15 = 15 В левой и правой части получился одинаковый ответ.
Решили правильно.2. Нахождение неизвестного уменьшаемого.уменьшаемое вычитаемое разность 70 - 30 = 40 X - 10 = 15 Нам неизвестно уменьшаемое. X = 15 + 10 Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое. Х = 25 25 - 10 = 15 Делаем проверку: вместо Х подставим число и посчитаем. 15 = 15 В левой и правой части получился одинаковый ответ. Решили правильно.уменьшаемое вычитаемое разность 70 - 30 = 40 25 - X = 15 Нам неизвестно вычитаемое. X = 25 - 15 Чтобы найти вычитаемое, нужно от уменьшаемого отнять разность. Х = 10 25 - 10 = 15 Делаем проверку: вместо Х подставим число и посчитаем. 15 = 15 В левой и правой части получился одинаковый ответ. Решили правильно.4-5. Нахождение неизвестного множителя.множитель множитель произведение 9 * 5 = 45 5 * X = 15 Нам неизвестен множитель. X = 15 : 5 Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. Х = 3 5 * 3 = 15 Делаем проверку: вместо Х подставим число и посчитаем. 15 = 15 В левой и правой части получился одинаковый ответ. Решили правильно. Х * 4 = 12 Нам неизвестен множитель. X = 12 : 4 Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. Х = 3 3 * 4 = 12 Делаем проверку: вместо Х подставим число и посчитаем. 12 = 12 В левой и правой части получился одинаковый ответ. Решили правильно.6. Нахождение неизвестного делимого.делимое делитель частное 20 : 4 = 5 Х : 3 = 6 Нам неизвестно делимое. X = 6 * 3 Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель. Х = 18 18 : 3 = 6 Делаем проверку: вместо Х подставим число и посчитаем. 6 = 6 В левой и правой части получился одинаковый ответ. Решили правильно. Х : 2 = 7 Нам неизвестно делимое. X = 7 * 2 Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное. Х = 14 14 : 2 = 7 Делаем проверку: вместо Х подставим число и посчитаем. 7 = 7 В левой и правой части получился одинаковый ответ. Решили правильно.делимое делитель частное 24 : 4 = 6 35 : Х = 7 Нам неизвестен делитель. X = 35 : 7 Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное. Х = 5 35 : 5 = 7 Делаем проверку: вместо Х подставим число и посчитаем. 7 = 7 В левой и правой части получился одинаковый ответ. Решили правильно.
school26d.blogspot.com
Правила решения уравнений с одним неизвестным
Текст ниже готовила, чтобы объяснить своему ребёнку шаг за шагом что такое уравнение и как оно решаются, чтобы у него сведения выстроились хоть в какую-то систему. Примеры ниже я комментировала, а вместо Васи и Маши были ты да я.
Что такое равенство и неравенство
Неравенство
У Васи — 4 яблока. У Маши — 3 яблока. У кого больше яблок? У кого меньше яблок?У Васи больше яблок, чем у Маши: 4> 3 У Васи и Маши неравное количество яблок. Это неравенство (четыре не равно трём): 4≠ 3
У Маши меньше яблок, чем у Васи: 3< 4 У Васи и Маши неравное количество яблок. Это неравенство (три не равно четырём): 3≠ 4
Равенство
У Васи — 4 яблока. У Маши — 4 яблока. У кого больше яблок? У кого меньше яблок?
У Васи и Маши равное количество яблок. Это равенство (четыре равно четырём): 4= 4
У Васи — 2 красных яблока и 3 зелёных. У Маши — 5 яблок. У кого больше яблок? У кого меньше яблок?
У Васи и Маши равное количество яблок. Это равенство (два плюс три равно пяти): 2 + 3= 5
У Васи и Маши равное количество яблок. Это равенство (пять равно сумме чисел два плюс три): 5= 2 + 3
Что такое сложение и вычитание
Сложение
У Васи — 2 яблока. У Маши — 3 яблока. Сколько всего яблок у ребят?
У Васи и Маши на двоих 5 яблок: 2 первое слагаемое+ 3 второе слагаемое= 5 сумма От перемены мест слагаемых сумма не меняется [a + b = b + a]: 3+ 2= 5
У Васи — 2 яблока. У Маши — 2 красных яблока и 1 зелёное. Сколько всего яблок у ребят?
У Васи и Маши на двоих 5 яблок (примеры с несколькими арифметическими действиями выполняются поэтапно): 2+ 2 + 1 = 2 + (2 + 1) = 2 + 3 = 5 Сумма не зависит от группировки её слагаемых [(a + b) + c = a + (b + c)]: 2+ 2 + 1 = (2 + 2) + 1 = 4 + 1 = 5
Вычитание
У Васи было 5 яблок. Он подарил Маше 3 яблока. Сколько яблок осталось у Васи?
У Васи осталось 2 яблока: 5 уменьшаемое- 3 вычитаемое= 2 разность
У Васи было 3 яблока. Он подарил Маше 3 яблока и пообещал принести ещё 5. Сколько яблок осталось у Васи?
У Васи нет яблок, он ещё должен принести 5 яблок, у него -5 яблок (числа могут быть отрицательными) [ a − b = a + (−b)]: 3- 3 - 5= (3 - 3) - 5 = 0 - 5 = 0 + (-5) = -5
Вася должен Пете 5 яблок. Маше подарили 3 яблока. Сколько всего яблок у ребят?
У Васи и Маши на двоих -2 яблока [a - (b + c) = a - b - c]: -5+ 3= 3 + (-5) = 3 - 5 = 3 - (3 + 2) = 3 - 3 - 2 = (3 - 3) - 2 = - 2
Связь сложения и вычитания
У Васи — 2 яблока. У Маши — 3 яблока. Всего: 5 яблок. Придумай условия задачи и 4-е варианта решения.
Сколько яблок у ребят? 2+ 3= 5 Сколько яблок у Васи (если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится второе слагаемое)? 5 - 3= 2 Сколько яблок у Маши? 5 - 2= 3 Сколько яблок у ребят (если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое)? 3+ 2= 5
Что такое уравнение
Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Неизвестное число обозначают латинской буквой, чаще всего x.
Решение задачи с одним неизвестным методом подбора
Всего у ребят 5 яблок, 3 из которых съест Маша. Сколько съест Вася?
x+ 3= 5 Если x = 4, то 4 + 3 = 7 7 ≠ 5 (неверно) Если x = 3, то 3 + 3 = 6 6 ≠ 5 (неверно) Если x = 2, то 2 + 3 = 5 5 = 5 (правильно) Ответ: Вася съест 2 яблока
Сложение или вычитание с неизвестным
Всего у ребят 5 яблок, 3 из которых съест Маша. Сколько съест Вася?
Положительное число можно перенести за знак равно, поменяв его знак: x+ 3= 5 x = 5 - 3 = 2 Проверка: 2 + 3 = 5 (правильно) Ответ: Вася съест 2 яблока Правило: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.
Вася подарил Маше 2 яблока. У него осталось 3 яблока. Сколько яблок было у Васи?
Отрицательное число можно перенести за знак равно, поменяв его знак: x- 2= 3 x = 3 + 2 = 5 Проверка: 5 - 2 = 3 (правильно) Ответ: у Васи было 5 яблок Правило: чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
У Васи было 5 яблок. После того, как он поделился с Машей, у него осталось 3 яблока. Сколько яблок подарил Вася?
Отрицательное число можно перенести за знак равно, поменяв его знак: 5- x= 3 5 = 3 + x 5 - 3 = x 2 = x Проверка: 5 - 2 = 3 (правильно) Ответ: Вася подарил 2 яблока Правило: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.
Анекдот в тему. Профессор жалуется коллеге: До чего же глупые у меня студенты. Раз объясняю — не понимают, второй раз объясняю — снова не понимают, третий раз объясняю — сам уже начинаю понимать, а они всё не понимают!
shpargalkablog.ru
Что такое уравнение? Как решать уравнения?
Уравнение – одно из краеугольных понятий всей математики. Как школьной, так и высшей. Имеет смысл разобраться, правда? Тем более, что это очень простое понятие. Ниже сами убедитесь. 🙂 Так что же такое уравнение?
То, что это слово однокоренное со словами «равный», «равенство», возражений, думаю, ни у кого не вызывает.
Уравнение – это два математических выражения, соединённых между собой знаком «=» (равно).
Но… не каких попало. А таких, в которых (хотя бы в одном) содержится неизвестная величина. Или, по-другому, переменная величина. Или, сокращённо, просто «переменная». Которая обычно обозначается буквой «х».
Переменных может быть одна, может быть несколько. В школьной математике чаще всего рассматриваются уравнения с одной переменной. И мы тоже пока что будем рассматривать уравнения с одной переменной. С двумя переменными или более – в специальных уроках.
Что значит решить уравнение?
Идём дальше.
Переменная, входящая в уравнение, может принимать любые допустимые математикой значения. На то она и переменная. 🙂 При каких-то значениях переменной получается верное числовое равенство, а при каких-то – нет.
Так вот:
Решить уравнение означает найти ВСЕ такие значения переменной, при подстановке которых в исходное уравнение получается верное равенство. Или, более научно, верное тождество. Или доказать, что таких значений переменной не существует.
Что такое верное равенство? Это равенство, не вызывающее сомнений даже у человека, абсолютно не отягощённого глубокими математическими познаниями. Например, 5=5, 0=0, -10=-10. И так далее. 🙂
Значения переменной, при подстановке которых достигается это самое верное равенство, называются очень красиво и научно — корни уравнения.
Корень может быть один, может быть несколько. А может быть и бесконечно много корней – целый интервал или даже вообще вся числовая прямая от
А бывает и такое, что нельзя найти такие иксы, которые давали бы нам верное равенство. Принципиально нельзя. По определённым причинам. Нету таких иксов…
В таких случаях обычно говорят, что уравнение не имеет корней.
Для чего нужны уравнения?
Вопрос смешной. Для жизни! В школе, как правило, уравнения нужны для решения текстовых задач. Это, напоминаю, задачи на движение, на работу, на проценты и многие другие.
А во взрослой жизни без уравнений невозможны было бы ответить даже на самые обычные, но жизненно важные вопросы повседневности: какая будет погода завтра, выдержит ли заданную нагрузку здание. Или лифт. Или самолёт. Куда попадёт ракета… И не было бы сейчас среди нас ни синоптиков, ни инженеров, ни бухгалтеров, ни экономистов, ни программистов… За ненадобностью. Внушает?)
Почему это так? А потому, что уравнениями описываются почти все известные человеку природные явления и процессы. Изменение давления и температуры воздуха с высотой, закон всемирного тяготения, размножение бактерий, радиоактивный распад, химические реакции, электричество, спрос и предложение – в основе всего этого лежат математические уравнения! Простые, сложные – всякие. Какое явление или ситуация, такое и уравнение.)
Итак, запоминаем:
Уравнения – очень мощный и универсальный инструмент для решения самых разных прикладных задач.
А какие бывают уравнения?
Уравнений в математике несметное количество. Самых разных видов. Но всё многообразие уравнений можно условно разделить всего на 4 категории:
1. Линейные,
2. Квадратные,
3. Дробные (или дробно-рациональные),
4. Прочие.
Разные категории уравнений требуют и разного подхода к их решению: линейные уравнения решаются одним способом, квадратные – другим, дробные – третьим, тригонометрические, логарифмические, показательные и прочие – тоже решаются своими методами.
Прочих уравнений, разумеется, больше всего, да…) Это и иррациональные, и тригонометрические, и показательные, и логарифмические, и многие другие уравнения. И даже дифференциальные уравнения (для студентов), где роль неизвестного играет не число, а функция. Или даже семейство функций. 🙂
В соответствующих уроках мы подробно разберём все эти типы уравнений. А здесь у нас – базовые приёмы и правила.
Называются эти правила – тождественные (или – равносильные) преобразования уравнений. Их всего два. И нигде их не обойти. Так что знакомимся!
Как решать уравнения? Тождественные (равносильные) преобразования уравнений.
Решение любого уравнения заключается в поэтапном преобразовании входящих в него выражений. Но преобразований не абы каких, а таких, чтобы от шага к шагу суть всего уравнения не менялась. Несмотря на то, что после каждого преобразования уравнение будет видоизменяться и, в конечном счёте, станет совсем не похоже на исходное.
Такие преобразования в математике называются равносильными или тождественными. Их довольно много, но среди всего многообразия тождественных преобразований уравнений выделяется два базовых. О них и пойдёт речь в этом уроке. Да-да, всего два! Но – крайне важных! И каждое из них заслуживает отдельного внимания.
Применение этих двух тождественных преобразований в том или ином порядке гарантирует успех в решении 99% уравнений математики. Заманчиво, правда?
Итак, вперёд!
Первое тождественное преобразование:
К обеим частям уравнения можно прибавить (или отнять) любое (но одинаковое!) число или выражение (в том числе и с переменной). Суть уравнения от этого не изменится.
Это преобразование вы применяете всюду, наивно думая, что переносите какие-то члены из одной части уравнения в другую, меняя знаки. 🙂
Например, такое крутое уравнение:
Тут и думать нечего, перебрасываем тройку вправо, меняя минус на плюс:
А что же происходит в действительности? А на самом деле вы… прибавляете к обеим частям уравнения тройку!
Вот что у вас происходит:
И результат получается тем же самым:
Вот и всё. Слева остаётся чистый икс (чего мы, собственно, и добиваемся), а справа – что уж получится. Но самое главное то, что от прибавления тройки к обеим частям суть всего уравнения не изменилась!
Дело в том, что привычный нам перенос слагаемых из одной части в другую со сменой знака – это просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования.
И зачем нам так глубоко копать? В уравнениях – незачем. Переносите себе спокойно и не парьтесь. Только знаки менять не забывайте.) А вот в неравенствах привычка к переносу может и слегка обескуражить, да…
Это было первое тождественное преобразование. Переходим ко второму.
Второе тождественное преобразование:
Обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение.
Это тождественное преобразование мы вы постоянно применяете, когда решаете что-нибудь совсем уж жуткое типа:
Тут каждому ясно, что х=3. А вот как вы получили этот ответ? Подобрали? Угадали?
Чтобы не подбирать и не гадать (мы с вами математики, а не гадалки), нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на четвёрку. Которая нам и мешает.
Вот так:
Эта палка с делением означает, что на четвёрку делятся обе части нашего уравнения. Через дроби эта процедура выглядит так:
Слева четвёрки благополучно сокращаются, остаётся икс в гордом одиночестве. А справа при делении 12 на 4 получается, понятное дело, тройка. 🙂
И все дела.)
Звучит невероятно, но эти два (всего два!) простых преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики! Да-да, именно всех, я нисколько не преувеличиваю! От линейных и квадратных в школе до дифференциальных в ВУЗе.)
Ну что, посмотрим на тождественные преобразования уравнений в действии?
Применение тождественных преобразований к решению уравнений.
Начнём с первого тождественного преобразования. Переноса вправо-влево.
Пример для новичков:
1 – х = 3 – 2х
Дело нехитрое. Это линейное уравнение. Работаем прямо по заклинанию: «С иксами влево, без иксов – вправо».
Эта мантра – универсальная инструкция по применению первого тождественного преобразования. Вот и смотрим на уравнение. Какое слагаемое с иксом у нас справа? Что? 2х? Не-а!) Справа у нас -2х (минус два икс)! Поэтому при переносе в левую часть минус поменяется на плюс:
1 – х +2х = 3
Полдела сделано, иксы собрали слева. Осталось все числа собрать справа. Слева в уравнении стоит единичка. Опять вопрос – с каким знаком? Ответ «с никаким» не катит.) Слева перед единицей и вправду ничего не написано. А это значит, что перед ней стоит знак «плюс». Так уж в математике повелось: ничего не написано – значит, плюс.)
И поэтому вправо единичка перенесётся уже с минусом:
-х + 2х = 3 — 1
Вот почти и всё. Слева приводим подобные, а справа – считаем. И получаем:
х = 2
Это было совсем примитивное уравнение.
Теперь пример покруче, для старшеклассников:
Решить уравнение:
Уравнение логарифмическое. Ну и что? Какая разница? Всё равно первым шагом делаем базовое тождественное преобразование («С иксами влево ….»). Для этого слагаемое с иксом (то есть, —log3x) переносим влево. Со сменой знака:
А числовое выражение (log34) переносим вправо. Также со сменой знака, разумеется:
Вот и всё. Справа получилась чистая формула. Кто дружит с логарифмами, тот в уме дорешает уравнение и получит:
х=3
Что? Хотите синусы? Пожалуйста, вот вам синусы:
И снова всё то же самое! Выполняем первое тождественное преобразование – переносим sin x влево (с минусом), а -0,25 переносим вправо (с плюсом):
Получили простейшее тригонометрическое уравнение с синусом, решить которое (для знающих) также не составляет никакого труда.
Видите, насколько универсально первое равносильное преобразование! Встречается везде и всюду и не обойти его никак… Именно поэтому так важно уметь его делать на автомате и без ошибок.
Собственно, ошибиться здесь можно лишь в одном – забыть сменить знак при переносе. Что и происходит сплошь и рядом. Внимательность никто не отменял, да…)
Ну что, продолжаем наши игры? Развлекаемся теперь со вторым преобразованием!)
Решить уравнение:
7х=28
Крутяк, прямо скажем.) Ладно, это эмоции…
Смотрим и соображаем: что нам мешает в этом уравнении? Что-что… Да семёрка мешает! Хорошо бы от неё избавиться. Да так, чтобы исходное уравнение не испортить.)
Но как? Перенести вправо? Ээээ… Стоп! Нельзя.) Семёрка с иксом умножением связана. Коэффициент, видите ли.) Нельзя её оторвать от икса и вправо перенести. Вот всё выражение 7х целиком – пожалуйста (вопрос – зачем?). А семёрку отдельно – никак нет.
Самое время про умножение/деление вспомнить! Нам ведь в ответе чистый икс нужен, не так ли? А семёрка – мешает. Вот и делим левую часть на семь. «Очищаем» икс от коэффициента. Так нам надо. Но тогда и правую часть тоже надо поделить на семь: этого уже математика требует. Что уж там получится, то и получится. Но пример хороший. Я старался.) 28 на 7 замечательно делится. Получится 4.
Ответ: х=4
Или такое уравнение:
Что здесь нам мешает? Дробь 1/6, не так ли? Вот давайте и избавимся от неё. Безопасно для уравнения.) Как? Ну, можно поступить аналогично – поделить обе части на эту самую 1/6. Но в уме это не очень удобно. Кое-кто и запутается…
Но мы же не только делить, мы ещё и умножать умеем!) Вспоминаем из младших классов, после какого действия у нас пропадает дробь? Правильно! Дробь у нас пропадает при умножении на число, равное (или кратное) её знаменателю. Вот и умножим обе части нашего уравнения на 6. Слева всё равно чистый икс получится, а умножение правой части на 6 – не самая трудная работа.)
Вот и всё.) Умножение обеих частей уравнения на нужное число позволяет сразу избавляться от дробей, минуя промежуточные выкладки, в которых, между прочим, запросто можно и ошибок наляпать. Короче дорога – меньше ошибок!
Теперь снова на машину времени и — в старшие классы:
Решить уравнение:
Чтобы добраться до икса и тем самым решить это крутое тригонометрическое уравнение, нам надо сначала получить слева чистый косинус, безо всяких коэффициентов. А двойка мешает. 🙂 Вот и делим на 2 всю левую часть:
Но тогда и правую часть тоже придётся разделить на двойку: это уже МАТЕМАТИКЕ надо. Делим:
Получили справа табличное значение косинуса. И теперь уравнение решается за милую душу.)
Вот и вся премудрость. Как видите, тождественные преобразования уравнений – штука полезная. И при этом не самая сложная. Перенос да умножение/деление. Однако далеко не у всех они получаются с первого раза и без ошибок, ох не у всех… Основные проблемы здесь две.
Проблема первая (для малоопытных):
Иногда ученик думает, что упрощение уравнений делается по одному, раз и навсегда установленному правилу. И никак не может уловить и понять это правило: в каких-то примерах начинают с домножения (или деления), в каких-то – с переноса. Где-то три раза переносят и ни разу не домножают…
Например, такое линейное уравнение:
10х + 5 = 5х – 20
С чего начинать? Можно начать с переноса:
10х – 5х = -20 — 5
А можно сначала поделить обе части на пятёрку, а затем уж переносить. Тогда сразу числа попроще станут:
Как видим, и так и сяк решать можно. И это – в примитивном примере! Вот и возникает у неопытных учеников вопрос: «Как правильно?»
По-всякому правильно! Кому как удобнее. 🙂 Универсального рецепта здесь нет и быть не может. Математика предлагает вам на выбор два вида преобразований уравнений. А порядок этих самых преобразований зависит исключительно от исходного уравнения, а также от личных предпочтений и привычек решающего.
Проблема вторая (для всех…ну… почти):
Ошибки в вычислениях. В преобразованиях постоянно приходится перемножать скобки. Заключать выражения в скобки и раскрывать скобки. Умножать и делить дроби. Работать со степенями… Короче, в наличии весь набор элементарных действий математики. Со всеми вытекающими…
Обе эти проблемы устраняются только одним способом – практикой. Исчезают сомнения и ошибки. Примеры становятся проще, задания — легче. И в итоге не математика командует вами, а вы – математикой. 🙂
abudnikov.ru
Как научить ребенка решать уравнения
Одна и самых сложных тем в начальной школе — решение уравнений.
Усложняется она двумя фактами:
Во-первых, дети не понимают смысл уравнения. Зачем цифру заменили буквой и что это вообще такое?
Во-вторых, объяснение, которое предлагается детям в школьной программе, непонятно в большинстве случаев даже взрослому:
Для того чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
Для того чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
Для того чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность.
И вот, придя домой ребенок чуть ли не плачет.
На помощь приходят родители. И посмотрев в учебник, решают научить ребенка решать «проще».
Нужно же всего лишь перекинуть на одну сторону цифры, поменяв знак на противоположный, понимаешь?
Смотри, х-3=7
Минус три переносим с плюсом к семерке, считаем и получается х=10
В этом месте у детей обычно происходит сбой программы.
Знак? Поменять? Перенести? Что?
— Мама, папа! Вы ничего не понимате! Нам в школе по-другому объясняли!!!
— Тогда и решай как объясняли!
А в школе, тем временем, продолжается тренировка темы.
1. Вначале нужно определить какой компонент действия нужно найти
5+х=17 — нужно найти неизвестное слагаемое.
х-3=7 — нужно найти неизвестное уменьшаемое.
10-х=4 — нужно найти неизвестное вычитаемое.
2. Теперь нужно вспомнить правило, упомянутое выше
Для того чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно…
Как Вы думаете, трудно ли маленькому ученику все это запомнить?
А еще нужно добавить сюда тот факт, что с каждым классом уравнения становятся все сложнее и больше.
В итоге и получается что уравнения для детей одна из самых сложных тем математики в начальной школе.
И даже если ребенок уже в четвертом классе, но у него трудности с решением уравнениями, скорее всего у него проблема с пониманием сути уравнения. И надо просто вернуться назад, к основам.
Сделать это можно за 2 простых шага:
Шаг первый — Надо научить детей понимать уравнения.
Нам потребуется простая кружка.
Напишите пример 3 + 5 = 8
А на дне кружки «х». И, перевернув кружку, закройте цифру «5»
Что под кружкой?
Уверены, ребенок сразу угадает!
Теперь закройте цифру «5». Что под кружкой?
Так можно писать примеры на разные действия и играть. У ребенка происходи понимание, что х = это не просто непонятный знак, а «спрятанная цифра»
Подробнее о технике — в видео
Шаг второй — Научите определять, х в уравнении является целым или частью? Самым большим или «маленьким»?
Для этого нам подойдет техника «Яблоко»
Задайте ребенку вопрос, где в данном уравнении самое большое?
5+х=17
Ребенок ответит «17».
Отлично! Это будет наше яблоко!
Самое большое число — это всегда целое яблоко. Обведем в кружок.
А целое всегда состоит из частей. Давай подчеркнем части.
5 и х — части яблока.
А раз х — это часть. Она больше или меньше? х большое — или маленькое? Как его найти?
Важно отметить, что в таком случае ребенок думает, и понимает, почему, чтобы найти х в данном примере, нужно из 17 вычесть 5.
Умничка!
После того, как ребенок поймет, что ключем к правильному решению уравнений является определить, х — целое или часть, он легко будет решать уравнения.
Потому что запомнить правило, когда понимаешь его гораздо проще, чем наоборот: вызубрить и учиться применять.
Данные техники «Кружка» и «Яблоко» позволяют научить ребенка понимать, что он делает и зачем.
Когда ребенок понимает предмет, он у него начинает получаться.
Когда у ребенка получается, ему это нравится.
Когда нравится, появляется интерес, желание и мотивация.
Когда появляется мотивация — ребенок учится сам.
Учите ребенка понимать программу и тогда процесс учебы станет отнимать у Вас значительно меньше времени и сил.
Вам понравилось объяснение данной темы?
Именно так, просто и легко, мы учим родителей объяснять школьную программу в «Школе умных детей».
Хотите научиться объяснять материалы ребенку также доступно и легко, как в этой статье?
Тогда регистрируйтесь бесплатно на 40 уроков школы умных детей прямо сейчас по кнопке ниже.
Получить 40 уроков Школы умных детей бесплатно>>
Вам понравилась статья? Сохраните себе на стену, чтобы не потерять
Похожее
gladtolearn.ru
1. Равносильность уравнений. Теоремы о равносильности уравнений
Определение 1.
Два уравнения с одной переменной f(x)=g(x) и p(x)=h(x) называют равносильными, если множества их корней совпадают.
Иными словами,
два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни, или если оба уравнения не имеют корней.
Определение 2.Если каждый корень уравнения f(x)=g(x) \((1)\)
является в то же время корнем уравнения p(x)=h(x), \((2)\)
то уравнение \((2)\) называют следствием уравнения \((1)\).
Пример:
уравнение x−22=9 является следствием уравнения x−2=3.
В самом деле, решив каждое уравнение, получим:
x−22=9x−2=3;x−2=−3;x1=5;x2=−1; и x−2=3;x=5.
Корень второго уравнения является одним из корней первого уравнения, поэтому первое уравнение — следствие второго уравнения.
Очевидно следующее утверждение:
два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.
Решение уравнения, как правило, осуществляется в три этапа:
Первый этап — технический.
На этом этапе осуществляют преобразования по схеме (1)→(2)→(3)→(4)→… и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.
Второй этап — анализ решения.
На этом этапе анализируем, все ли проведённые преобразования были равносильными.
Третий этап — проверка.
Если, анализируя преобразования на втором этапе, делаем вывод, что получили уравнение-следствие, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.
Обрати внимание!
Решение уравнений, встречающихся в школьном курсе, основано на шести теоремах о равносильности.
Теорема 1.Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 2.Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 3.Показательное уравнение af(x)=ag(x), где \(a>0\), a≠1, равносильно
уравнению f(x)=g(x).
Определение 3.
Областью определения уравнения f(x)=g(x) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений переменной \(x\), при которых одновременно имеют смысл выражения \(f(x)\) и \(g(x)\).
Теорема 4.Если обе части уравнения f(x)=g(x) умножить на одно и то же выражение \(h(x)\), которое:
a) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(x)=g(x);
б) нигде в этой области не обращается в \(0\)
— то получится уравнение f(x)⋅h(x)=g(x)⋅h(x), равносильное данному.
Следствие теоремы 4.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 5.Если обе части уравнения f(x)=g(x) неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же чётную степень \(n\) получится уравнение, равносильное данному: f(x)n=g(x)n.
Теорема 6.Если f(x)>0 и g(x)>0, то логарифмическое уравнение logaf(x)=logag(x), где \(a>0\), a≠1, равносильно уравнению f(x)=g(x).
www.yaklass.ru
Уравнения, равносильные, действия — обучающие курсы
Тестирование онлайн
Определение
Равенство, содержащее одну переменную, называется уравнением с одной переменной.
Переменную в уравнении называют неизвестным.
Значение переменной, при которой уравнение превращается в верное числовое равенство, называется корнем (или решением) уравнения. Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Равносильные уравнения
Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если они имеют одни и те же корни на данном числовом множестве.
Если оба уравнения не имеют решений, то они также считаются равносильными на данном числовом множестве.
Действия с уравнениями
1)Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.
2) К обеим частям уравнения можно прибавить или отнять одно и то же число (или функцию).
3) Можно умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число, кроме нуля, или функцию.
Функция, которую прибавляем (отнимаем) или на которую умножаем (делим) обе части уравнения должна иметь смысл при всех допустимых значениях переменного.
Омар Хайям (около 1048 — 1131) — персидский и таджикский поэт, математик и философ. Математические сочинения, дошедшие до наших дней, характеризую его как выдающегося ученого своего времени. В трактате «О доказательствах задач алгебры и алмукабулы» он дал систематическое изложение решения линейных, квадратных и кубических уравнений.
Им описаны всевозможные виды уравнений третьей степени и рассмотрен геометрический способ их решения.
Омар Хайям известен также своими четверостишиями (рубаи), которые имеют философский смысл.
Задача Омара Хайяма
Решите уравнение
fizmat.by
§1. Уравнения и правила их преобразований
2010-2011уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения |
| ||
Правило 4. | Каждое | решение уравнения f (x) g(x)= 0 является | |
решением, по | крайней | мере, одного из уравнений | f (x)= 0 или |
g(x)= 0. | §2. Линейное уравнение |
| |
|
| ||
Уравнение вида | ax = b, | (2) | |
|
| ||
где a иb – некоторые заданные действительные числа, называется
линейным уравнением.
Если a ≠ 0, то уравнение (2) имеет единственное решениеx = ba .
Если a = 0, аb ≠ 0, то уравнение (2) не имеет решений.
Если a = 0 иb = 0, то решением этого уравнения является любое
действительное число. Пример 1. Решите уравнение
а) 2x +5= 3x + 2;
б) 2(x+3)= x+(x+3);
в) 3(x +1)+5= 2x +(x +8).
а) Перенесём слагаемое 3x в левую часть уравнения, а слагаемое5 в правую, при этом меняем их знаки:2x −3x = 2 −5.
Это уравнение имеет единственное решение x =3, следовательно,
исходное уравнение также имеет единственное решение.
б) Раскрываем скобки и переносим слагаемые, содержащие x, из
правой части уравнения в левую часть, а слагаемое 6 – в правую часть уравнения, при этом не забываем поменять знаки этих слагаемых, в результате получаем:2x −2x = 3 −6. Данное уравнение равносильно
уравнению 0 x = −3, которое не имеет решений, следовательно, ис-
ходное уравнение также не имеет решений.
в) Преобразуем данное уравнение: 3x +8 = 3x +8. Любое действительное число удовлетворяет полученному уравнению, следовательно, и данному уравнению удовлетворяет любое действительное число.
Пример 2. Выясните, какие из ниже приведённых уравнений являются равносильными:
а) 2x +1= 7x −9и 3(2x +1)= 7x +1;б) 3x +5= x +7и 2x −(x +3)= x −1.
а) Первое уравнение равносильно уравнению 2x −7x = −1 −9, его решением является числоx = 2. Второе уравнение равносильно урав-
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
studfiles.net