Примеры область определения логарифмической функции примеры решения – Область определения логарифма, формула и примеры

Функция y=logax, ее свойства и график. Решение задач. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

Напомним, что логарифмической называется функция вида , где , . Здесь  – независимая переменная, аргумент;  – зависимая переменная, фунция;  – основание, фиксированное число.

Рис. 1 – график логарифмической функции при  (черный) и  (красный)

Основные свойства логарифмической функции:

1) Область определения: , ;

2) Область значений: , ;

3) ;

4) при  функция возрастает,  при  – убывает;

Итак, под знаком логарифма может стоять только положительное число, причем любое. Сам же логарифм может принимать абсолютно любые значения. Логарифм единицы при любом основании равен нулю, то есть все логарифмические кривые проходят через фиксированную точку .

Мы многократно указывали на монотонность логарифмической функции, но никогда не доказывали этот факт. Рассмотрим на конкретном примере и тогда станет понятно, как для любой логарифмической функции доказать факт ее монотонного возрастания или убывания.

Задача:

Доказать, что функция  монотонно возрастает.

Доказательство:

Напомним, что  (выражение 1) является корнем уравнения  (выражение 2). Подставим значение  из выражения 1 вместо  в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:

Напомним, что здесь , ,

Утверждение, что функция монотонно возрастает, означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции: . Запишем  и  с помощью основного логарифмического тождества:

,

Мы выбрали  и  из области определения, то есть оба эти числа положительны, так, что :

Имеем:

Получили показательное неравенство, в котором основания степеней равны и больше единицы, значит, имеем право сравнить показатели, сохранив при этом знак неравенства:

Что и требовалось доказать.

Перейдем к решению типовых задач.

Пример 1 – решить уравнение, неравенство:

а)

б)

в)

Рассмотрим график логарифмической функции :

Рис. 2 – график функции

Очевидно, что функция возрастает.

Решим уравнение:

Пример а) решен.

Итак, заданная функция имеет единственный корень и вся область определения разбивается этим корнем на два интервала: первый интервал , здесь функция отрицательна, кривая находится под осью; второй интервал , здесь функция положительна, кривая находится над осью. Ответ очевиден.

Ответ: а) ; б) ; в)

Решим аналогичную задачу.

Пример 2:

а) 

б) 

в) 

Рассмотрим график логарифмической функции :

Рис. 3 – график функции 

Очевидно, что функция убывает.

Решим уравнение: 

Пример а) решен.

Итак, заданная функция имеет единственный корень и вся область определения разбивается этим корнем на два интервала: первый интервал , здесь функция положительна, кривая находится над осью; второй интервал , здесь функция отрицательна, кривая находится под осью. Ответ очевиден.

Ответ: а) ; б); в)

Важной типовой задачей является оценка логарифмических констант.

Пример 3 – оценить числа:

а) ;

а) ;

Рассмотрим логарифмическую функцию с основнаием 2:

Рис. 4 – график функции

При  функция равна нулю. Покажем некоторые степени двойки. Например,  (первая степень), при этом ;  (вторая степень), при этом ;  (третья степень), при этом

Аргумент  расположен между  и , отсюда значение функции  расположено между двойкой и тройкой.

Аналогично аргумент  расположен между  и , отсюда значение функции  расположено между единицей и двойкой.

Ответ: а) ; б)

Пример 4

– решить неравенство:

 

Очевидно, что решение сводится к оценке логарифмических констант.

Итак, оценим первый логарифм, второй логарифм, а затем всю скобку.

, т.к.

, т.к.

Таким образом, первый логарифм лежит в пределах от двух до трех, а второй – от трех до четырех, очевидно, что их разность  меньше либо равна нулю. Таким образом, чтобы выполнялось заданное неравенство необходимо чтобы  был отрицательным.

Ответ:

Пример 5 – построить график функции: 

Чтобы уверенно решать подобные задачи, нужно знать внешний вид графика логарифмической функции и знать правила преобразования графиков. В данном случае первым действием мы строим граик функции , а вторым сдвигаем его на две единицы вправо.

Рис. 5 – решение примера 5

В следующих задачах важно учитывать область определения.

Пример 6 – построить график функции:

а)

Найдем область определения. Заданный логарифм существует, когда аргумент больше нуля и не равен единице:

,

, т.к.

Получаем график функции:

Рис. 6 – решение примера 6.а

б)

Заданная функция определена, когда аргумент строго больше нуля:

, согласно основному логарифмическому тождеству.

Имеем график функции:

Рис. 7 – решение примера 6.б

Пример 7 – найти область значений функции: 

Изучим функцию

Это квадратичная функция,

Теперь задача сводится к нахождению области значений следующей функции:

Данная функция нам знакома, мы знаем, что логарифмическая функция с основанием 2 монотонно возрастает, исходя из этого, нам достаточно найти значение функции при :

Ответ:

 

Итак, мы достаточно подробно изучили логарифмическую функцию, ее совйства и графики, научились решать основные типовые задачи. Далее мы перейдем к рассмотрению свойств логаримфа.

 

Список рекомендованной литературы.
1) Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина
2) Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа. 
3) Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:

1) Интернет-сайт «ГлавСправ» (Источник)

2) Интернет-сайт Nado5.ru (Источник)

3) Интернет-сайт UzTest.ru (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание.

1. Алгебра и начала анализа, 10—11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, №502,503,507;

2. Найдите область значений функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

3. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

interneturok.ru

Логарифмическая функция. Смотр знаний

Разделы: Математика


Цель:

  • повторить свойства логарифмической функции.
  • проверить усвоение темы на обязательном уровне.
  • применять свойства при решении уравнений, неравенств.
  • воспитывать интерес к предмету.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, 2 компьютера с установленной программой “Математика 5–11”

Ход урока

1. Организационный момент

Учитель: Французский писатель Анатоль Франс заметил: “Что учиться можно только весело… Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом”.

Последуем совету писателя: будем “поглощать” знания с большим желанием, ведь они скоро вам понадобятся.

Цель урока: систематизировать знания по теме “Логарифмическая функция” Приложение 1 (Слайд 1)

На уроке рассматриваются пять вопросов:

А) Логарифмическая функция.
Б) Логарифмические тождества.
В) Область определения логарифмической функции.
Г) Логарифмические уравнения.
Д) Логарифмические неравенства. (слайды 2, 3)

2. Усвоение знаний

Вопрос 1: “Существование логарифмической функции”.

Еще Аристотель говорил, что определение того или иного понятия, еще не доказывает его существования. Итак, докажем, что логарифмическая функция существует.

Ученик 1 (слайд 4

)

Рассмотрим показательную функцию у = ах, где а ≠ 1, а > 0

Пусть а >1, у = ах непрерывна и возрастает на (– ∞; + ∞). По теореме об обратной функции на промежутке (0; + ∞) определена обратная функция по отношению к показательной, причем она непрерывна и возрастает.

Пусть 0 < а < 1, у = ах непрерывна и убывает на (-∞; + ∞), поэтому на участке (0; + ∞) определена обратная к ней функция. Эта обратная функция – логарифмическая.

Функция у = logax называется логарифмической, где а ≠ 1, а >0, х >0

Вопросы для обсуждения (задают учащиеся):

  • имеет ли функция экстремумы
  • принимает ли функция наибольшее значение в некоторой точке ХО
  • является ли функция четной, нечетной
  • в какой точке функция пересекает ось
    ОХ
  • пересекает ли функция ось ОУ

Вопрос 2:

“Логарифмические тождества”
Слово логарифм происходит от греческого λόyoφ (число) и αρίνμοφ (отношение) и переводится, следовательно, как отношение чисел. Изобретатель логарифмов, составитель первой таблицы логарифмов был английский математик Непер Джон. (слайд 5)

Его математические труды направлены на упрощение и упорядочение арифметики,

алгебры и тригонометрии. В 1614 году Непер издал труд “Описание удивительной таблицы логарифмов”, в котором не только дал определение логарифма, описал его свойства, но и предложил таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов. Также Непер открыл логарифмическую кривую. Позднее им была изобретена логарифмическая линейка, которой пользовались до 70-х годов ХХ в.

Какими же основными тождествами мы пользуемся для вычисления?

Ученик 2:

Логарифмом числа в по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число в

, где а ≠ 1, а >0, в >0

называют основным логарифмическим тождеством.

  • Основные свойства логарифмов (слайд 6)

– логарифм произведения равен сумме логарифмов

– логарифм частного равен разности логарифмов

– логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени

  • Десятичный логарифм

Вопросы для обсуждения: (задают учащиеся)

  • найти значение log232, log216
  • найти число log5 x = 2, log7 x = -2
  • вычислить; lg8 + lg125

3 вопрос:

“Область определения логарифмической функции”

Ученик 3 (слайд 7)

  • Область определения логарифмической функции множество всех положительных чисел

Д(

logа) = R+
  • Область значений логарифмической функции множество всех действительных чисел

E

(logа) = R
  • Логарифмическая функция у = logax возрастает при а >1

  • Логарифмическая функция у = logax убывает при 0 < а < 1

Используя свойства логарифмической функции можно не только вычислять значения логарифма, но и сравнивать

Например:

а) log35 < log37
б) log0,25 > log0,27

Также, находить область определения выражения

Например:

loga (x2 – 16)
x2 – 16 > 0
у = x2 – 16
x2 – 16 = 0
x1 = – 4; x2 = 4

Решением данного неравенства есть множество точек (-∞; –4) v (4; + ∞)

Вопросы для обсуждения: (задают учащиеся):

  • как сравнить выражения log232 и 1

4 вопрос:

“Логарифмические уравнения”

Ученик 4 (слайд 8)

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид logа х = в

Логарифмическая функция возрастает или убывает на промежутке (0; + ∞) и принимает на этом промежутке все действительные значения. По теореме о корне, для любого в данное уравнение имеет и притом только одно решение.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Область определения функции с логарифмом

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 12Следующая ⇒

Третья распространённая функция – логарифм. В качестве образца я буду рисовать натуральный логарифм, который попадается примерно в 99 примерах из 100. Если некоторая функция содержит логарифм , то в её область определения должны входить только те значения «икс», которые удовлетворяют неравенству . Если логарифм находится в знаменателе: , то дополнительно накладывается условие (так как ).

Найти область определения функции

Решение: в соответствии с вышесказанным составим и решим систему:

Графическое решение для чайников:

Ответ: область определения:

Остановлюсь ещё на одном техническом моменте – у меня ведь не указан масштаб и не проставлены деления по оси. Возникает вопрос: как выполнять подобные чертежи в тетради на клетчатой бумаге? Отмерять ли расстояние между точками по клеточкам строго по масштабу? Каноничнее и строже, конечно, масштабировать, но вполне допустим и схематический чертёж, принципиально отражающий ситуацию.

 

Найти область определения функции

Как видите, в царстве логарифмов всё очень похоже на ситуацию с квадратным корнем: функция . определена на интервалах , а функция

на интервале . Неловко уже и говорить, функции типа определены на всей числовой прямой.

Полезная информация: интересна типовая функция , она определена на всей числовой прямой кроме точки . Согласно свойству логарифма , «двойку» можно вынести множителем за пределы логарифма, но, чтобы функция не изменилась, «икс» необходимо заключить под знак модуля: . Вот вам и ещё одно «практическое применение» модуля = ). Так необходимо поступать в большинстве случаев, когда вы снОситечётнуюстепень, например: . Если же основание степени заведомо положительно, например, , то в знаке модуля отпадает необходимость и достаточно обойтись круглыми скобками: .

 

Найти область определения функции

Решение: в данной функции у нас присутствует и корень и логарифм.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: , а выражение под знаком логарифма – строго положительным: . Таким образом, необходимо решить систему:

Многие из вас прекрасно знают или интуитивно догадываются, что решение системы должно удовлетворять каждому условию.

Исследуя расположение параболы относительно оси , приходим к выводу, что неравенству удовлетворяет интервал (синяя штриховка):

Неравенству , очевидно, соответствует «красный» полуинтервал .

Поскольку оба условия должны выполняться одновременно, то решением системы является пересечение данных интервалов. «Общие интересы» соблюдены на полуинтервале .

Ответ: область определения:

Типовое неравенство , как демонстрировалось в Примере №8, нетрудно разрешить и аналитически.

Найденная область определения не изменится для «похожих функций», например, для или . Также можно добавить какие-нибудь непрерывные на функции, например: , или так: , или даже так: . Как говорится, корень и логарифм – вещь упрямая. Единственное, если одну из функций «сбросить» в знаменатель, то область определения изменится

Найти область определения функции

Решение: составим и решим систему:

Все действия уже разобраны по ходу статьи. Изобразим на числовой прямой интервал, соответствующий неравенству и, согласно второму условию, исключим две точки:

Значение оказалось вообще не при делах.

Ответ: область определения

Области определения функций
с тангенсами, котангенсами, арксинусами, арккосинусами

Перед изучением параграфа рекомендую вновь вернуться к первой статье о графиках, чтобы освежить визуальную и аналитическую информацию о перечисленных в заголовке функциях.

Если в некоторую функцию входит , то из её области определения исключаютсяточки , где Z – множество целых чисел. В частности, как отмечалось в статье Графики и свойства элементарных функций, у функции выколоты следующие значения:

То есть, область определения тангенса: .

Найти область определения функции

Решение: в данном случае и в область определения не войдут следующие точки:

Скинем «двойку» левой части в знаменатель правой части:

В результате :

Ответ: область определения: .

В принципе, ответ можно записать и в виде объединения бесконечного количества интервалов, но конструкция получится весьма громоздкой:

Аналитическое решение полностью согласуется с геометрическим преобразованием графика: если аргумент функции умножить на 2, то её график сожмётся к оси в два раза. Заметьте, как у функции уполовинился период, и точки разрываучастились в два раза. Тахикардия.

Похожая история с котангенсом. Если в некоторую функцию входит , то из её области определения исключаются точки . В частности, для функции автоматной очередью расстреливаем следующие значения:

Иными словами:

 

Найти область определения функции

Решение: составим двойное неравенство:

Действия с двойным неравенством очень похожи на действия с «обычным» одинарным неравенством. Конечная цель преобразований – добиться, чтобы в середине остался только «икс».

Сначала избавимся в средней части от константы, для этого вычтем из каждой части неравенства «тройку»:

Умножим все три части неравенства на –1. Поскольку множитель отрицателен, то знакисамих неравенств необходимо «развернуть» в противоположную сторону:

Умножим все части неравенства на :

Запишем ответ, переставив знаки неравенств в привычном порядке, а то по-арабски как-то получилось – от «единицы» до «двух» справа налево.

Ответ: область определения: или

 

 

©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.

arhivinfo.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.