Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую второго порядка – Привести к каноническому виду — Калькулятор с подробным решением онлайн

4.4. Приведение к каноническому виду уравнения кривой 2-го порядка

Общее уравнение кривой 2-го порядка:

(23)

Уравнение (23) можно представить в виде , где – квадратичная форма уравнения кривой, а – линейная функция.

Приведение уравнения кривой (23) к каноническому виду начинается с приведения к каноническому виду соответствующей квадратичной формы . Её матрица Из характеристического уравнения находятся собственные значения и матрицы , при этом , так как . Затем находят соответствующие собственные векторы, которые после нормировки образуют ОНБ .

В новом базисе квадратичная форма примет канонический вид:

. (24)

Переход от ОНБ к ОНБ описывается матрицей , в столбцах которой находятся координаты векторов ОНБ . Связь между координатами и определяется из уравнения т. е.

. (25)

Подставляя зависимости (25) в линейную функцию получим:

Тогда уравнение (23) примет вид:

(26)

Выделяя в (26) полные квадраты, получим каноническое уравнение одной из кривых 2-го порядка. О какой кривой идет речь, можно определить сразу по матрице квадратичной формы. Если , то линия, задаваемая уравнением (23),

Эллиптического типа, если – Гиперболического, если – Параболического типа.

Пример 20. Определить тип кривой 2-го порядка и построить её:

Решение. Уравнение кривой представим в виде Где – квадратичная форма, – линейная функция.

Квадратичная форма, соответствующая заданной кривой, Её матрица .

Так как , то кривая параболического типа. Составим характеристическое уравнение и найдём собственные значения матрицы :

Собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям:

Построим ОНБ из собственных векторов:

Матрица перехода Выполним проверку соответствия ориентации ОНБ ориентации ОНБ : , значит, ориентация совпадает. В этом базисе .

Так как то Подставляя эти разложения в линейную часть кривой, получим:

Тогда уравнение кривой примет вид или т. е. где Заданная кривая изображена на рисунке 1.

Рисунок 1

Пример 21. Привести уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду и определить тип кривой:

Решение. Уравнение кривой представим в виде Где – квадратичная форма, – линейная функция.

В нашем случае , её матрица .

Определим тип кривой. Для этого вычислим Так как То заданная кривая эллиптического типа.

Приведем квадратичную форму к каноническому виду. Для нахождения собственных значений матрицы составим характеристическое уравнение: Т. е. , тогда .

Теперь найдём соответствующие им собственные векторы:

Построим ОНБ: , тогда матрица перехода от ОНБ к ОНБ имеет вид: Так как значит, ориентация ОНБ соответствует ориентации ОНБ .

Матрица заданной квадратичной формы в базисе имеет вид: , а сама квадратичная форма: .

Напомним, что матрица может быть получена в результате преобразования подобия: , где – матрица перехода к новому ОНБ. Координаты и связаны между собой соотношением: т. е. .

Преобразуем линейную часть уравнения кривой:

Теперь можно записать уравнение кривой в координатах :

Таким образом, выполнен первый шаг в преобразовании кривой к каноническому виду, в результате которого в исходном уравнении кривой исчезло слагаемое, содержащее произведение координат и .

Выделим полные квадраты: или . Если то каноническое уравнение заданной кривой 2-го порядка примет вид и задаёт эллипс с полуосями Кривая изображена на рисунке 2.

Рисунок 2

Литература: [3, 6, 7, 15].

< Предыдущая		Следующая >

matica.org.ua

АГ. Приведение уравнения алгебраической линии второго порядка к каноническому виду

Теоретический минимум

Алгебраические линии второго порядка достаточно часто встречаются в математике и физике, поэтому их исследование представляет собой важную
задачу. К счастью, это исследование несложно провести в наиболее общем виде до конца. В частности можно показать, что общее уравнение

приводится двумя преобразованиями к значительному более простому — каноническому виду. Эти преобразования допускают геометрическую интерпретацию.
Уравнение (1) определяет кривую одного из трёх типов (вырожденные случаи упомянем ниже отдельно): эллипс, гиперболу или параболу. Эти кривые обычно

расположены по отношению к осям координат «неудачно». Смысл преобразований, приводящих уравнение кривой к каноническому виду, заключается в
переходе к системе координат, по отношению к которой кривая будет расположена так, как показано на рис. 1 а, б, в. Обратите внимание: эллипс и гипербола имеют
центр симметрии, и начало координат совмещено с ним. Также следует отметить, что большая ось эллипса расположена вдоль оси абсцисс, а мнимая ось гиперболы —
вдоль оси ординат. У параболы вершина совмещена с началом координат, а ветви направлены вправо. Случаям рис. 1 а, б, в соответствуют уравнения

Именно к такой форме и нужно приводить уравнение кривой второго порядка: в этом случае понятно расположение кривой на координатной плоскости, и легко
определяются её основные характеристики.

Возможны два типа преобразований системы координат : параллельный перенос

(начало координат переносится в точку ) и поворот на угол (против часовой стрелки)

Параллельный перенос может исключить слагаемые, пропорциональные и ; поворот исключает слагаемое, пропорциональное .

Перед тем как начинать преобразовывать уравнение, следует вычислить т.н. малый дискриминант . Он позволяет определить тип кривой:
соответствует эллипсу, соответствует гиперболе, соответствует параболе (опять-таки
возможны случаи вырождения). Если , то первое действие — перенос начала координат в центр симметрии кривой. Выполняем
преобразование (2) и требуем обращения в нуль линейных слагаемых по переменным и . Второе действие — поворот, после которого
исчезнет слагаемое, пропорциональное .

Если , то у кривой нет центра симметрии. Поэтому сначала выполняется поворот, убирающий слагаемое, пропорциональное .
Затем выполняется сдвиг, с помощью которого вершина параболы совмещается с началом координат.

Наконец, упомянем о вырожденных случаях. Эллипс может выродиться в точку или вовсе стать мнимым
. Гипербола может выродиться в две пересекающиеся прямые .
Парабола может выродиться в две параллельные прямые , одну прямую или две мнимые прямые ().

Заметим, что несложно вывести формулы, с помощью которых можно сразу по уравнению (1) указать преобразование координат, приводящее это
уравнение к каноническому виду и сам этот вид. Однако запоминать эти формулы сложно да и не нужно: все преобразования исключительно просты.
Также существуют и другие характерные числа, роль которых подобна роли малого дискриминанта (большой дискриминант, полуинварианты) —
они позволяют, не проводя преобразований, указать не только тип кривой, но и отделить вырожденные случаи. Кроме того, через них выражаются
коэффициенты уравнения кривой в канонической форме. Эти формулы здесь также не обсуждаются.

Рассмотрим несколько примеров. Задание — привести уравнение к каноническому виду.

Примеры.

Пример 1. Случай центральной кривой.

Здесь , т.е. уравнение описывает кривую гиперболического типа. Это значит, что нужно начинать с параллельного
переноса системы координат. Применяя замену (2), получаем

.
Требуем, чтобы коэффициенты при линейных слагаемых обратились в нуль:

Уравнение принимает вид
.
Теперь выполняем поворот (3):
.
Требуем обращения в нуль коэффициента при слагаемом, пропорциональном :
.
Мы выбрали один угол поворота, хотя их существует целое семейство. Уравнение принимает вид

или
.
Уже понятно, что это уравнение гиперболы, но в каноническом виде справа должна быть, строго говоря, единица. Поэтому нужно повернуть
систему координат ещё на угол — переменные поменяются местами и уравнение примет канонический вид.
На рис. 2 изображена гипербола в исходной системе координат, и изображены оси координат, в которых уравнение гиперболы имеет

канонический вид.

Пример 2. Случай нецентральной кривой: случай преобразования сводящегося к повороту.

Здесь , т.е. уравнение описывает кривую параболического типа. Это значит, что нужно начинать с поворота
системы координат. Применяя замену (3), получаем


.
Требуем обращения в нуль коэффициента при :
.
Опять-таки выбран один из возможных углов поворота. Подстановка этих функций угла поворота в уравнение кривой приводит к уравнению
.
И снова понятно, что получилось уравнение параболы, но оно не каноническое. Для приведения к каноническому виду нужно выполнить ещё один
поворот на угол .
На рис. 3 изображена данная парабола в исходной системе координат, и изображены оси координат, в которых уравнение имеет канонический вид.

Пример 3. Случай нецентральной кривой.

Здесь , т.е. уравнение описывает кривую параболического типа. Это значит, что нужно начинать с поворота
системы координат. Применяя замену (3), получаем

.
Требуем обращения в нуль коэффициента при :
.
И снова выбран один из возможных углов поворота. Подстановка этих функций угла поворота в уравнение кривой приводит к уравнению
.
Теперь нужно выполнить параллельный перенос системы координат, чтобы совместить вершину параболы с началом координат.
Применять формальную процедуру замены координат нет необходимости (хотя можно сделать и так) — вместо этого перепишем уравнение тождественно
.
Фактически был выделен полный квадрат. Таким образом, второе преобразование очевидно:
.
Приходим к каноническому уравнению параболы:
.
На рис. 4 изображена данная парабола в исходной системе координат, и изображены оси координат, в которых уравнение имеет канонический вид.

Также изображена система координат, получающаяся после первого преобразования — поворота.

Пример 4. Отсутствие геометрического образа.

Здесь , т.е. уравнение описывает кривую эллиптического типа. Это значит, что нужно начинать с параллельного
переноса системы координат. Применяя замену (2), получаем

.
Требуем, чтобы коэффициенты при линейных слагаемых обратились в нуль:
.
Уравнение принимает вид
.
Теперь выполняем поворот (3):
.
Чтобы пропорциональное слагаемое обратилось в нуль, выберем, например, .
Уравнение преобразуется к виду
.
Такое уравнение не задаёт кривой на плоскости (т.н. мнимый эллипс).

corum.mephist.ru

14.3. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Пусть на плоскости задана декартова система координат (декартов базис , и точкаО– начало координат). Рассмотрим общее уравнение 2-го порядка:

. (14.25)

Обозначим через сумму старших слагаемых:

и рассмотрим квадратичную форму

.

Ее матрица симметрическая.

Пусть — произвольное евклидово пространство,,— линейный оператор вс матрицейв базисе,, следовательно,— самосопряженный оператор в. Тогда существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора(см. лекцию 13, § 13.3, теорема 9), в этом базисе матрица операторадиагональная и имеет вид, где— собственные значения (см. § 12.3).

Если матрица перехода от базиса ,к базису, то(см. § 12.2).

Рассмотрим теперь линейное преобразование неизвестных с матрицей :. Квадратичная форма от новых неизвестныхимеет вид, где.

Итак, если — ортонормированный базис из собственных векторов оператора, матрицакак матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному ортогональна () , следовательно, матрица квадратичной формы от неизвестныхдиагональная и.

Такой способ приведения квадратичной формы к каноническому виду называется методом собственных векторов.

Пример 4. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом собственных векторов.

Матрица квадратичной формы имеет вид. Рассмотрим в произвольном евклидовом пространстве,, линейный операторс матрицейв некотором ортонормированном базисе. Найдем его собственные векторы.

Характеристическое уравнение ,, его корни,.

Имеем для :и,;

для :и,.

Положим ,и получим,.

В базисе ,матрица операторадиагональная:. Нормируем векторыи:и,.

Матрица перехода от базиса ,к базису,. Вернемся к квадратичной форме. Положим, т.е.

(14.26)

Тогда .

Замечание.Формулы (14.26) – формулы поворота осей координат на уголпротив хода часовой стрелки. Уголопределяется соотношениями

,().

В общем случае преобразование поворота

(14.27)

приведет линию (14.25) к виду

. (14.28)

Эта процедура называется приведением линии 2-го порядка к главным осям (из дальнейшего изложения будет ясно, что, если (14.25) – эллипс или гипербола, новые оси ипараллельны главным осям кривой).

Коэффициенты ив уравнении (14.28) – характеристические числа матрицыи могут быть найдены как корни уравнения, или

. (14.29)

Обозначим ,.

Имеем (действительно, из (14.29) находим, или, и по теореме Виета).

Случай 1.(кривая эллиптического типа).

Преобразуем (14.28) следующим образом:

,

или, обозначив , придем к равенству

.

Положим (14.30)

и в новой системе координат имеем

. (14.31)

Формулы (14.30) – формулы параллельного переноса начала координат в точку .

Случай 1. а) Знакпротивоположен знаку(и, следовательно, знаку). Тогда (14.31) определяет эллипс:

;

б) , уравнение (14.31) определяет одну точку:;

в) Знаки исовпадают, нет точек (мнимый эллипс).

Случай 2.(кривая гиперболического типа).

В этом случае знаки ипротивоположны.

а) , уравнение (14.31) определяет гиперболу:

;

б) , уравнение (14.31) принимает вид:

.

Пусть , тогдаи уравнение (14.31) можно переписать в следующем виде:

. (14.32)

Уравнение (14.32) определяет пару пересекающихся прямых: .

Случай 3.(кривая параболического типа).

Пусть для определенности (тогда).

Уравнение (14.25) преобразованием (14.27) приводится к виду

. (14.33)

Пусть , тогда (14.33) можно переписать следующим образом:

.

Получим и

. (14.34)

Уравнение (14.34) определяет параболу.

Если же , то уравнение (14.33) перепишем в виде

.

Обозначив и положив, придем к уравнению

. (14.35)

а) , уравнение (14.35) определяет пару параллельных прямых:.

б) , уравнение (14.35) определяет пару совпадающих прямых:.

в) , нет точек (пара мнимых прямых).

Сведем полученные результаты в таблицу:

Кривая эллиптического типа		иразных знаков	Эллипс
		иодного знака	Мнимый эллипс
			Точка
Кривая гиперболического типа			Гипербола
			Пара пересекающихся прямых
Кривая параболического типа		иодного знака	Пара мнимых параллельных прямых
		иразных знаков	Пара параллельных прямых
			Пара совпадающих прямых
			Парабола

Пример 5. Определить вид и расположение кривой 2-го порядка

. (14.36)

Слагаемые 2-го порядка в (14.36) составляют квадратичную форму

,

которую преобразование неизвестных по формулам

(14.37)

приводит к сумме квадратов (пример 4).

Тогда уравнение кривой (14.36) преобразованием (14.37) приводится к виду

.

Здесь ,и, следовательно,, кривая эллиптического типа.

Как в случае 1, соберем слагаемые, содержащие неизвестное и дополним их до полного квадрата, аналогично поступим со слагаемыми, содержащими:

, или

Положим и получим

. (14.38)

Уравнение (14.38) – уравнение эллипса с полуосями и центром в точке. Рис. 14.1 — схематический рисунок кривой.

195

studfiles.net

Приведение к каноническому виду общего уравнения кривых второго порядка

Задание 1. Определить тип кривой 2-го порядка, привести к каноническому виду её уравнение

.

Построить кривую.

Решение. Представим уравнение кривой в виде , где и – её квадратичная форма и линейная часть соответственно. Матрица квадратичной формы , , значит, кривая параболического типа.

Составим характеристическое уравнение:

,

Откуда , . Найдём собственные векторы.

При получим, что , откуда или . Пусть – базисная переменная, – свободная, тогда при получим , а соответствующий собственный вектор . Аналогично, при : , откуда , т. е. , тогда .

и ортогональны, так как соответствуют различным собственным значениям. Это можно проверить, вычислив непосредственно их скалярное произведение . Так как , то ОНБ из собственных векторов составят

и .

Проведём проверку соответствия ориентации ОНБ ОНБ . Для этого составим матрицу из векторов построенного ОНБ. Если , то надо менять и местами, если , то ориентации базисов совпадают. В нашем случае ориентации базисов совпадают, так как .

В этом базисе квадратичная форма примет вид: , при этом является матрицей перехода от ОНБ к ОНБ . Связь между координатами в этих базисах выражается соотношениями , . Подставляя эти разложения в линейную часть уравнения кривой, получим

.

Уравнение параболы примет вид: , или , т. е. , где , . Её график изображен на рисунке 11.

Ответ: парабола; .

Рисунок 11

Задание 2. Определить тип кривой 2-го порядка, привести к каноническому виду её уравнение

.

Построить кривую.

Решение. Представим уравнение кривой в виде , где и – её квадратичная форма и линейная часть соответственно. Матрица квадратичной формы , её , значит, кривая эллиптического типа.

Для нахождения собственных значений составим характеристическое уравнение: . Его корни , . Найдём собственные векторы.

При : , откуда получаем, что . Если – базисная переменная, – свободная, то, полагая , получим , тогда . Аналогично, при : , откуда, тогда .

Собственные векторы и ортогональны , а , тогда ОНБ составят , . Проверим соответствие ориентации ОНБ ориентации ОНБ : , т. е. ориентации совпадают. В этом базисе , − матрица перехода от ОНБ к ОНБ . Связь между координатами в разных базисах выражается соотношениями , . Подставляя эти формулы в линейную часть уравнения кривой, получим

,

Тогда уравнение кривой в новой системе координат примет вид: или , т. е. , где , .

График кривой изображен на рисунке 12.

Ответ: эллипс; .

Рисунок 12

< Предыдущая		Следующая >

matica.org.ua