Производная арктангенса сложной функции – Производная арктангенса, формула и примеры

Вывод производных arctg(x) и arcctg(x)

Вывод производной арктангенса

Здесь мы полагаем, что нам известна производная тангенса:
.
Далее мы выводим формулу производной арктангенса, учитывая, что арктангенс является функцией, обратной к тангенсу.

По формуле производной обратной функции

Рассмотрим функцию арктангенс:
y = arctg x.
Здесь независимая переменная x может принимать любые действительные значения:
.
Зависимая переменная y может принимать значения от – π/2 до + π/2:
.
Арктангенс является функцией, обратной к тангенсу:
x = tg y.

Для определения его производной, применим формулу производной обратной функции:
(1)   .

Производная тангенса нам известна:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y. Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(2)   .
Здесь
y = arctg x;
x = tg y.

Теперь выразим правую часть формулы (2) через переменную x. Для этого воспользуемся формулой     и выполним преобразования:
.
Отсюда
.
Подставим в (2):
.

Тем самым мы вывели формулу производной арктангенса:
.

Второй способ

Поскольку арктангенс и тангенс являются взаимно обратными функциями, то
(3)   .
Продифференцируем это уравнение по переменной x. То есть найдем производные левой и правой части и приравняем их друг к другу:
(4)   .

Из таблицы производных имеем:
.

Производную левой части находим по формуле производной сложной функции:
.
Здесь .
Далее выполним преобразования:
.
Тогда
.

Подставим в (4):
.
Отсюда
.

Вывод производной арккотангенса

Используя связь между арктангенсом и арккотангенсом

Производную арккотангенса можно получить из производной арктангенса, если воспользоваться связью между арктангенсом и арккотангенсом:
.
Отсюда
.

По формуле производной обратной функции

Рассмотрим функцию арккотангенс:
y = arcctg x.
Здесь независимая переменная x может принимать любые действительные значения:
.
Зависимая переменная y может принимать значения от 0 до π:
.
Арккотангенс является функцией, обратной к котангенсу:
x = ctg y.

Для определения его производной, применим формулу производной обратной функции:

(1)   .

Считаем, что производная котангенса нам известна:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y. Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(5)   .
Здесь
y = arcctg x;
x = ctg y.

Выразим правую часть формулы (5) через переменную x. Для этого выполним преобразования:
.
Отсюда
.
Подставим в (5):
.

Таким образом, мы вывели формулу производной арккотангенса:
.

Второй способ

Поскольку арккотангенс и котангенс являются взаимно обратными функциями, то
(6)   .
Продифференцируем это уравнение по переменной x:
(7)   .

Из таблицы производных находим:
.

Производную левой части находим по формуле производной сложной функции:
.
Здесь .
Далее выполним преобразования:
.
Тогда
.

Подставим в (7):
.
Отсюда
.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

1cov-edu.ru

Вывод производных высших порядков arctg(x) и arcctg(x)

Вывод производных высших порядков арктангенса

Пусть . Считаем, что нам известна производная арктангенса первого порядка:
(1)   .

Найдем производные высших порядков. Для этого разложим дробь на простейшие:

.
Здесь – мнимая единица, .

Тогда производную арктангенса первого порядка можно записать в следующем виде:
.

Дифференцируем раз и приводим дроби к общему знаменателю:

.
В числителе стоит разность комплексно сопряженных величин. Поэтому числитель является чисто мнимым. Пусть    обозначает мнимую часть стоящего следом выражения. Тогда производную арктангенса n-го порядка можно записать в следующем виде:
(2)   .
Здесь выражение в числителе является многочленом степени .

Производные арктангенса со второго по пятый порядок

Вычислим производные арктангенса нескольких высших порядков, используя формулу (2). Для этого мы используем формулу бинома Ньютона:
.
Также используем свойства мнимой единицы:
;
;
.
И так далее.

Производная второго порядка.
При имеем:
;

;
.

Производная третьего порядка.
При имеем:
;
;
.

Производная четвертого порядка.
При получаем:
;
;
.

Наконец, вычислим производную пятого порядка.
Подставим :

;
;
.

Другой вид производных арктангенса высших порядков

Оказывается, что формулу производной арктангенса n-го порядка можно представить в удобном виде, если выразить производную не через независимую переменную x, а через сам арктангенс.

Итак, пусть
.
Используем формулу (2) производной n-го порядка:
(2)   .
Подставим :
;
;

;
.
Применим формулу Эйлера. Тогда
;
;
;

.

Тем самым мы получили производную арктангенса n-го порядка, выраженную через сам арктангенс:
(3)   .
Здесь   .

Производные высших порядков арккотангенса

Чтобы получить производные высших порядков арккотангенса, воспользуемся связью между арктангенсом и арккотангенсом:
(4)   .
Дифференцируя это уравнение n раз и учитывая, что производная постоянной равна нулю, получим производную арккотангенса n-го порядка:

(5)   .

Другой вид производных арккотангенса высших порядков

Пусть
.
Выразим производную n-го порядка арккотангенса через z. Для этого можно подставить в (5) . Но мы используем формулу (3) для n-ой производной арктангенса и формулу (4), связывающую арккотангенс с арктангенсом. Пусть
.
Тогда . Подставим в (3):
(3)   ;
.
Далее замечаем, что
;
.
Тогда
(6)   .
Это и есть искомая формула производной n-го порядка арккотангенса.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

1cov-edu.ru

Производная сложной функции

Пусть переменная у есть функция от переменной U: y=y(U), а переменная U, в свою очередь есть функция от переменной

V: U=U(V), а переменная V – функция независимой переменной х: V=V(x) (эту цепочку можно было бы и продолжить).

- Тогда переменная у является сложной функцией (суперпозиции функций) независимой переменной х: y=y(U(V(x))) ("сложена" из различных функций).

- Если все функции в цепочке дифференцируемы, то производная сложной функции по независимой переменной (аргументу) равна произведению производных по промежуточным аргументам:

.

Аналогичную формулу для дифференцирования сложной функции можно получить при любом уровне вложенности и любых обозначениях, если заметить закономерность: производные в произведении вычисляются "по порядку", так, как записаны в выражении для сложной функции.

Схема:

Еще один пример (попробуйте построить формулу сами и сравните):

здесь аргумент – это t.

Таблица производных основных элементарных функций

 - Обратите внимание! При вычислении производных сложных функций в роли аргументахиз таблицы производных может выступать любая функция!

Функция

Производная

1

Степенная

=

Частные случаи

2

Показательная

=

Экспонента

=

3

Логарифмическая

=

Натуральный логарифм

=

4

Тригонометрические:

синус

косинус

тангенс

котангенс

5

Обратные тригонометрические

арксинус

арккосинус

арктангенс

арккотангенс

Примеры по вычислению производных различных функций – в разделе " Примеры выполнения обязательных заданий по теме 5 ".

На практике наиболее трудным оказывается дифференцирование сложной функции, когда необходимо правильно оценить порядок вложения функций. Поэтому здесь приведено несколько примеров. Напомним, чтонижний индекс в записи показывает, по какой переменной вычисляется производная.

Примеры

;

В этом примере функция "сложена" из показательной (3х), роль х играет sinx, и тригонометрической (sinx) функций.

Здесь нижний индекс производной показывает, по какой переменной она вычисляется.

По таблице производных находим производные соответствующих функций и перемножаем их.



Функция "сложена" из арктангенса (arctg x), квадратного корня и линейной функции (2х-1).

По таблице находим производные, учитывая, что в

роли х выступают различные функции (показаны нижним индексом). Перемножаем табличные производные выделенных функций.



После вычисления производных не следует делать никаких алгебраических преобразований.

Производная неявно заданной функции

- Если функция задается общим выражением относительно переменных x и y, то она называется заданной неявно:

F(x,y)=0,

(Сравните с явно заданной функцией: y=y(x)).

- Чтобы найти производную , функции, заданной неявно, надо найти производную по переменнойх обеих частей выражения, задающего функцию.

 - При этом следует учитывать, что переменная y зависит от x (y=y(x)), и вычислять производную, как от сложной функции. Затем полученное уравнение разрешают относительно .

ПРИМЕР

Найти производную неявно заданной функции:

.

Найдем производные по х от левой и правой частей равенства, неявно задающего функцию y=y(x).

Здесь использованы правила дифференцирования суммы и вынесения постоянной за знак производной (правила 3 и 5).

Первое слагаемое является произведением функций:и

Используем правило дифференцирования произведения (правило 4). Второе и третье слагаемые дифференцируются как сложные функции.

Из полученного уравнения с помощью алгебраических преобразований выделяется производная.

. 

studfiles.net

Производная тангенса, формула и примеры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная тангенса равна единице, деленной на косинус того же аргумента в квадрате.

   

Эту формулу легко получить, зная производные синуса и косинуса:

   

а также формулу дифференцирования частного:

   

Согласно тригонометрическим формулам

   

Тогда

   

   

Примеры решения задач по теме «Производная тангенса»

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции
Решение Искомая производная:

   

Перепишем функцию, стоящую под знаком производной, следующим образом:

   

То есть функция представляем собой степенную функцию. Производная от такой функции находится по формуле:

   

Так как основание степени представляет собой выражение более сложное, чем просто , то умножаем еще и на производную от основания:

   

Производная тангенса равна единице деленной на косинус в квадрате, тогда

   

Ответ
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *