Вольфрам альфа интеграл – WolframAlpha по-русски: Определенный интеграл в Wolfram|Alpha

Содержание

WolframAlpha по-русски: Определенный интеграл в Wolfram|Alpha

Из предыдущего поста должно быть ясно, как находить неопределенные интегралы в Wolfram|Alpha. Теперь наступил черед узнать, как Wolfram|Alpha вычисляет определенные интегралы.

Так же, как и для нахождения неопределенных интегралов, для вычисления определенных интегралов Wolfram|Alpha использует запрос integrate, в котором, после подинтегральной функции, нужно указать пределы интегрирования.

Например,

Как видим, Wolfram|Alpha не только вычисляет определенный интеграл, но и выводит его геометрическую интерпретацию.


Обратите внимание, что при вычислении интеграла в Wolfram|Alpha не обязательно указывать дифференциал переменной интегрирования (dx). Как это было сделано в первом примере. Wolfram|Alpha и без этого прекрасно понимает, что имеется в виду, когда получает запрос integrate. Однако, при вычислении интегралов "вручную", отсутствие dx в подинтегральном выражении считается грубой ошибкой. Поэтому, правильнее будет все же использовать dx. Особенно, если подинтегральная функция содержит другие буквы, кроме "x".

Но все же для Wolfram|Alpha указание dx в подинтегральном выражении не обязательно, если только вы явно указываете для какой переменной устанавливаются пределы интегрирования. Сравните, например, два таких интеграла:


Wolfram|Alpha легко вычисляет определенные интегралы, которые интегрируются "по частям":

Не составляют проблемы и более сложные интегралы от тригонометрических функций:

В некоторых случаях (по-видимому, достаточно простых) Wolfram|Alpha находит определенные интегралы с параметром:


Кроме того, Wolfram|Alpha находит даже такие определенные интегралы, которые не выражаются в элементарных функциях. Например, такие, как:


www.wolframalpha-ru.com

WolframAlpha по-русски: Неопределенный интеграл в Wolfram|Alpha

Для интегрирования функций в Wolfram|Alpha служит запрос integrate. Также можно использовать
integral
. Иногда Wolfram|Alpha понимает также сокращенную форму int. Однако, лучше ее не использовать, поскольку int традиционно применяется для обозначения целой части числа.

Вот несколько примеров на интегрирование функций в Wolfram|Alpha.

Для начала, "самый сложный вопрос":

Теперь стандартный интеграл от многочлена:

Совет: чтобы получить пошаговое решение, не забывайте о кнопке "Show steps".


Следующий интеграл от рациональной дроби может быть достаточно сложным заданием (посмотрите пошаговое решение):

Пример на интегрирование тригонометрических функций:

Интегрирование по частям:

Интегрирование подстановкой (заменой):

Если ввести запрос integrate, не указывая подинтегральную функцию, то Wolfram|Alpha выводит калькулятор интегралов. В окно калькулятора можно ввести любую функцию, и немедленно получить ответ:

www.wolframalpha-ru.com

WolframAlpha по-русски: Несобственные интегралы в Wolfram|Alpha

При вычислении определенных интегралов
предполагается, что пределы интегрирования a и b конечны, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке интегрирования [a; b]. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то определенный интеграл называют несобственным интегралом.

Несобственные интегралы бывают двух типов.

Во-первых, это несобственный интеграл 1-го рода (определенный интеграл, в котором один или оба предела интегрирования бесконечны). Его легко узнать по внешнему виду:
Во-вторых, это несобственный интеграл 2-го рода (определенный интеграл, в котором подынтегральная функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва на отрезке [a;b] ). Внешне он ничем не отличается от обычного определенного интеграла.

Несобственные интегралы могут быть сходящимися либо расходящимися.

Wolfram|Alpha легко справляется со всеми типами несобственных интегралов.

- интеграл сходится.


Кстати, можно графически убедиться, что подынтегральная функция в этом интеграле нe имеет разрывов:


Знак бесконечности, который в Wolfram|Alpha вводится, как "infinity", можно также ввести, используя подряд две буквы "о" (в английской раскладке клавиатуры), вот так "оо":

- интеграл расходится.

Еще пример на вычисление несобственного интеграла 1-го рода, от функции, первообразная которой не выражается в элементарных функциях ("неберущийся" интеграл):

- интеграл сходится.

Другие примеры:

Интересно было посмотреть график этой подынтегральной функции:




Примеp несобственного интеграла 2-го рода (подынтегральная функция имеет разрыв в точке x=0):

- интеграл расходится.

www.wolframalpha-ru.com

WolframAlpha по-русски: Калькулятор интегралов в Wolfram|Alpha

Для более удобного нахождения интегралов в Wolfram|Alpha имеется специальное средство - так называемый "калькулятор интегралов".

Калькулятор неопределенных интегралов Wolfram|Alpha выводится по запросу


По умолчанию, Wolfram|Alpha выводит, как результат, неопределенный интеграл от функции sin(x). А Вам нужно всего лишь подставить свою подынтегральную функцию и нажать кнопку "=".

Вывести калькулятор определенных интегралов в Wolfram|Alpha можно двумя способами.

Первый способ: находясь в калькуляторе неопределенных интегралов, нажмите ссылку domain of integration:

В результате получите калькулятор определенных интегралов:


Как и выше, тот Вас требуется лишь ввести свою подынтегральную функцию и пределы интегрирования. Затем жмите кнопку "=", и получите ответ.

Второй способ вывести калькулятор определенных интегралов в Wolfram|Alpha еще проще: воспользуйтесь запросом definite integral. В результате сразу получите то же самое, что показано выше.

Калькуляторы неопределенных и определенных интегралов в Wolfram|Alpha позволяют решать интегралы с параметрами.


Однако, если нажать ссылку variable, то открывается возможность явно указать переменную интегрирования:

Естественно, результат интегрирования в этом случае будет отличаться от предыдущего:

www.wolframalpha-ru.com

Как вычислять интегралы с помощью Wolfram|Alpha

Вычисление интегралов и их применение — самая популярная на сегодня тема в блоге ”Wolfram|Alpha по-русски”.

В блоге  ”Wolfram|Alpha по-русски” на тему интегралов существует отдельный раздел, который называется Интегральное исчисление.

Кроме теоретических аспектов интегрального исчисления, то есть собственно вычисления интегралов, существуют еще и практические, прикладные аспекты применения интегралов. Например, это вычисление площади фигуры, приближеннное вычисление «неберущихся» интегралов и другие, которые отнесены в раздел Прикладная математика.

Далее приводится список основных публикаций блога ”Wolfram|Alpha по-русски” на тему интегралов и их применения. А также на связанную с этим тему решения дифференциальных уравнений из раздела Дифференциальные уравнения.

Вот те публикации, на которые я хочу обратить ваше особое внимание. Здесь они расположены не в хронологическом порядке, а так, как я рекомендую их прочитать. Каждая из них заслуживает вашего внимания, поскольку раскрывает определенный аспект применения Wolfram|Alpha, как инструмента интегрирования:

  1. Неопределенный интеграл в Wolfram|Alpha
  2. Определенный интеграл в Wolfram|Alpha
  3. Несобственные интегралы в Wolfram|Alpha
  4. Численное интегрирование в Wolfram|Alpha
  5. Калькулятор интегралов в Wolfram|Alpha
  6. Как найти площадь плоской фигуры в Wolfram|Alpha
  7. Как найти площадь фигуры ограниченной кривыми линиями
  8. Как найти длину дуги кривой линии в Wolfram|Alpha
  9. Двойной интеграл в Wolfram|Alpha
  10. Калькулятор двойных интегралов в Wolfram|Alpha
  11. Тройной интеграл в Wolfram|Alpha
  12. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в Wolfram|Alpha
Вопросам решения дифференциальных уравнений и их систем, а также прикладным вопросам применения дифференциальных уравнений, в частности, вопросам математического моделирования, о которых также идет речь в блоге  ”Wolfram|Alpha по-русски” в разделе Математическое моделирование, со временем будет посвящен отдельный пост.

Понравилось это:

Нравится Загрузка...

Похожее

wolframalpharu.wordpress.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *