Производная онлайн неявной функции – Производная неявной функции онлайн

Содержание

Производная функции, заданной неявно

Будем учиться находить производные функций, заданных неявно, то есть заданных некоторыми уравнениями, связывающими между собой переменные x и y. Примеры функций, заданных неявно:

Производные функций, заданных неявно, или производные неявных функций, находятся довольно просто. Сейчас же разберём соответствующее правило и пример, а затем выясним, для чего вообще это нужно.

Для того, чтобы найти производную функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения по иксу. Те слагаемые, в которых присутствует только икс, обратятся в обычную производную функции от икса. А слагаемые с игреком нужно дифференцировать, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, так как игрек — это функция от икса. Если совсем просто, то в полученной производной слагаемого с иксом должно получиться: производная функции от игрека, умноженная на производную от игрека. Например, производная слагаемого запишется как , производная слагаемого запишется как . Далее из всего этого нужно выразить этот «игрек штрих» и будет получена искомая производная функции, заданной неявно. Разберём это на примере.

Пример 1. Найти производную функции, заданной неявно:

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу, считая, что игрек — функция от икса:

Отсюда получаем производную, которая требуется в задании:

Теперь кое-что о неоднозначном свойстве функций, заданных неявно, и почему нужны особенные правила их дифференцирования. В части случаев можно убедиться, что подстановка в заданное уравнение (см. примеры выше) вместо игрека его выражения через икс приводит к тому, что это уравнение обращается в тождество. Так. приведённое выше уравнение неявно определяет следующие функции:

После подстановки выражения игрека в квадрате через икс в первоначальное уравнение получаем тождество:

Выражения, которые мы подставляли, получились путём решения уравнения относительно игрека.

Если бы мы стали дифференцировать соответствующую явную функцию

то получили бы ответ как в примере 1 — от функции, заданной неявно:

Но не всякую функцию, заданную неявно, можно представить в виде y = f(x). Так, например, заданные неявно функции

не выражаются через элементарные функции, то есть эти уравнения нельзя разрешить относительно игрека. Поэтому и существует правило дифференцирования функции, заданной неявно, которое мы уже изучили и далее будем последовательно применять в других примерах.

Пример 2. Найти производную функции, заданной неявно:

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

Выражаем игрек штрих и — на выходе — производная функции, заданной неявно:

Пример 3. Найти производную функции, заданной неявно:

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

Выражаем и получаем производную:

Пример 4.

Найти производную функции, заданной неявно:

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

Выражаем и получаем производную:

Пример 5. Найти производную функции, заданной неявно:

Решение. Переносим слагаемые в правой части уравнение в левую часть и справа оставляем ноль. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

Путь к ответу и в конец сам ответ:

Поделиться с друзьями

Производные

Функции несольких переменных

function-x.ru

Производная неявной функции, формула и примеры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если функция задана уравнением то говорят, что она задана неявно.

Для нахождения производной неявно заданной функции нет необходимости преобразовывать ее в явную форму (и это не всегда возможно сделать). Для этого, зная уравнение достаточно выполнить следующие действия:

Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по независимой переменной предполагая, что – это дифференцируемая по функция. Для нахождения производной используется правило вычисления производной от сложной функции. В правой части равенства получаем 0, как производную от константы.
Замечание. Если правая часть отлична от нуля, то есть неявное уравнение имеет вид то функцию следует перенести влево и свести исходное уравнение к виду
Решить полученное уравнение относительно производной

Примеры вычисления производных неявных функций

ПРИМЕР 1

Задание

Найти производную от функции заданной неявно.

Решение

Перенесем выражение стоящее в правой части равенства, в левую часть:

Далее дифференцируем левую и правую часть последнего равенства:

Используя свойство линейности производной, получим:

Первое слагаемое дифференцируем как произведение:

при этом считаем, что есть функция от поэтому производную от него находим как производную от сложной функции:

Будем иметь:

Было учтено, что

Итак, для заданной функции имеем:

Решаем полученное уравнение относительно функции

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Найти производную от функции заданной неявно.

Решение

Дифференцируем левую и правую части заданного равенства:

Производная от суммы/разности функций равна сумме/разности производных, а также константу можно выносить за знак производной:

Находим производную каждого слагаемого в левой части последнего равенства:

Разрешаем полученное равенство относительно искомой производной

Отсюда

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Производная неявно заданной функции

В предыдущей статье был рассмотрен вопрос нахождения производной функции, заданной в явном виде, то есть . Сейчас мы научимся находить производную от неявной функции.

Неявной называют функцию, заданную уравнением . То есть и связаны между собой, однако выразить отсюда не представляется возможным. Как в этом случае будет находиться производная?

Алгоритм такой:

Дифференцируем левую и правую часть по , при этом дифференцируем как сложную функцию от (производная от будет ).
Решаем полученное уравнение относительно производной, то есть выражаем .

Стоит заметить, что на практике в правой части уравнения совсем необязательно будет именно . Там можем быть и некоторое выражение от , . Понятно, что это выражение можно без проблем перенести влево и получить уравнение вида .

Пример 1. Найти производную функции

Решение

Действуем строго по алгоритму — дифференцируем левую и правую часть уравнения:

Первая часть работы выполнена. Теперь выражаем отсюда :

Всё, производная успешно найдена. В ответ запишем

[свернуть]

Пример 2. Найти производную функции

Решение

Снова дифференцируем и не забываем, что — сложная функция.

Решаем уравнение относительно :

[свернуть]

Пример 3. Найти производную функции

Решение

Теперь аккуратно выразим :

[свернуть]

Пример 4. Найти производную функции

Решение

Если продифференцировать левую и правую часть уравнения, то увидим, что получатся два выражения, производные от которые в таблице производных отсутствуют. Поступим следующим образом: прологарифмируем левую и правую часть, полагая, что , и , .

Теперь по свойству логарифма получаем:

Всё, сейчас с дифференцированием проблем быть не должно — нужно просто найти производные от двух произведений по соответствующей формуле:

И выражаем :

[свернуть]

Помимо первой производной, у неявной функции можно найти производные высших порядков (то есть 2го, 3го, 4го и т.д.). Покажем на паре примеров как это делается.

Пример 5. Найти вторую производную функции

Решение

Дифференцируем левую и правую часть уравнения:

Теперь выражаем отсюда :

Первая производная найдена, но нам нужна вторая. Поэтому дифференцируем еще раз исходное уравнение:

Решаем уравнение относительно :

Осталось лишь избавиться в правой части от , которое уже было найдено раньше. То есть вместо подставим :

Итак, вторая производная найдена. С ответом можно, конечно, попытаться поработать, сделать красивее, но мы этого делать не будем — лучше решим еще один пример 😉

[свернуть]

Пример 6. Найти третью производную функции

Решение

Вновь имеем дело с неявно заданной функцией. Дифференцируем:

Отсюда

Дифференцируем уравнение еще раз:

Выражаем :

Избавимся сразу от первой производной, используя равенство .

И, наконец, третий раз дифференцируем уравнение (не просчитаться бы 🙂 ).

Мда, задачи я придумал, конечно… Предлагаю, если у Вас есть желание, самостоятельно окончательно расписать эту третью производную. Добавлю только, что .

[свернуть]

На этом всё, принцип понятен. Тема несложная, если не связываться с производными высших порядков, а там нужно считать очень внимательно.

Удачи!

higher-math.ru

Производная неявной функции — доказательство

Производная первого порядка

Пусть функция задана неявным образом с помощью уравнения
(1) .
И пусть это уравнение, при некотором значении , имеет единственное решение . Пусть функция является дифференцируемой функцией в точке , причем
.
Тогда, при этом значении , существует производная , которая определяется по формуле:
(2) .

Доказательство

Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию от переменной :
.
Применим правило дифференцирования сложной функции и найдем производную по переменной от левой и правой частей уравнения
(3) :
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю и , то
(4) ;
.

Формула доказана.

Производные высших порядков

Перепишем уравнение (4), используя другие обозначения:
(4) .
При этом и являются сложными функциями от переменной :
;
.
Зависимость определяет уравнение (1):
(1) .

Находим производную по переменной от левой и правой части уравнения (4).
По формуле производной сложной функции имеем:
;
.
По формуле производной произведения:

.
По формуле производной суммы:

.

Поскольку производная правой части уравнения (4) равна нулю, то
(5) .
Подставив сюда производную , получим значение производной второго порядка в неявном виде.

Дифференцируя, аналогичным образом, уравнение (5), мы получим уравнение, содержащее производную третьего порядка :
.
Подставив сюда найденные значения производных первого и второго порядков, найдем значение производной третьего порядка.

Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.

Примеры

Пример 1

Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением:
(П1) .

Решение по формуле 2

Находим производную по формуле (2):
(2) .

Перенесем все переменные в левую часть, чтобы уравнение приняло вид .
.
Отсюда .

Находим производную по , считая постоянной.
;
;
;
.

Находим производную по переменной , считая переменную постоянной.
;
;
;
.

По формуле (2) находим:
.

Мы можем упростить результат если заметим, что согласно исходному уравнению (П.1), . Подставим :
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.

Решение вторым способом

Решим этот пример вторым способом. Для этого найдем производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (П1).

Применяем формулу производной сложной функции:
.
Применяем формулу производной дроби:
;
.
Применяем формулу производной сложной функции:
.
Дифференцируем исходное уравнение (П1).
(П1) ;
;
.
Умножаем на и группируем члены.
;
.

Подставим (из уравнения (П1)):
.
Умножим на :
.

Ответ

Пример 2

Найти производную второго порядка от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П2.1) .

Решение

Дифференцируем исходное уравнение, по переменной , считая что является функцией от :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.

Дифференцируем исходное уравнение (П2.1):
;
.
Из исходного уравнения (П2.1) следует, что . Подставим :
.
Раскрываем скобки и группируем члены:
;
(П2.2) .
Находим производную первого порядка:
(П2.3) .

Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем уравнение (П2.2).
;
;
;
.
Подставим выражение производной первого порядка (П2.3):
.
Умножим на :

;
.
Отсюда находим производную второго порядка.

Ответ

Пример 3

Найти производную третьего порядка при от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П3.1) .

Решение

Дифференцируем исходное уравнение по переменной считая, что является функцией от .
;
;
;
;
;
;
(П3.2) ;

Дифференцируем уравнение (П3.2) по переменной .
;
;
;
;
;
(П3.3) .

Дифференцируем уравнение (П3.3).
;
;
;
;
;
(П3.4) .

Из уравнений (П3.2), (П3.3) и (П3.4) находим значения производных при .
;
;
.

Ответ

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 16-02-2017

1cov-edu.ru

Найти производную неявно заданной функции

Неявная функция — это функция у от аргумента x, заданная уравнением F(x;y)=0, не разрешенным относительно y.

Чтобы найти производную неявно заданной функции:

1. Находим производную по x от левой части уравнения F(x;y)=0, с учетом того, что у — функция от x;

2. Полученное выражение приравниваем к нулю и решаем как уравнение относительно y’, то есть выражаем y’ через y и x.

Примеры. Найти производную неявно заданной функции:

1) x³+xy²+y³=0.

1. Это — неявная функция. Находим производную по x левой части равенства с учетом того, что y — функция от x:

(x³+xy²+y³)’=3x²+x’·y²+(y²)’·x+3y²·y’=3x²+y²+2y·y’·x+3y²·y’

2. Полученное выражение приравниваем к нулю и из него находим y’:

3x²+y²+2y·y’·x+3y²·y’=0

3x²+y²+y'(2xy+3y²)=0

y'(2xy+3y²)=-3x²-y²

2) siny=xy

1. Приводим зависимость к виду F(x;y)=0. Для этого переносим все слагаемые в левую часть: siny-xy=0. Теперь находим производную по x от левой части (не забывая о том, что y — функция от x):

(siny-xy)’=cosy-(x’·y+y’·x)=cosy-y-xy’.

2. Полученное выражение приравниваем к 0 и находим y’:

cosy-y-xy’=0

xy’=cosy-y

1. Приводим выражение к виду F(x;y)=0:

Теперь находим производную по x левой части (y=y(x)!):

2. Приравниваем получившееся выражение к нулю и решаем уравнение относительно y’:

Примеры для самопроверки. Найти производную неявно заданной функции:

1) xy²+x²y=5;

2) arctg(x+y)=y.

Показать решение

1) 1. xy²+x²y-5=0

(xy²+x²y-5)’=x’·y²+(y²)’·x+(x²)’·y+y’·x²-0=y²+2yy’·x+2xy+x²y’=y'(2xy+x²)+y²+2xy.

2. y'(2xy+x²)+y²+2xy=0

y'(2xy+x²)=-y²-2xy

2) arctg(x+y)-y=0

www.matematika.uznateshe.ru

Производная неявно заданной функции, формулы и примеры решений

Задание. Найти вторую производную неявной функции .

Решение. Продифференцируем левую и правую часть заданного равенства, при этом помним, что является функцией переменной , поэтому производную от нее будем брать как производную от сложной функции. В итоге получаем:

Из полученного равенства выражаем :

Для нахождения второй производной продифференцируем равенство еще раз:

Подставив вместо найденное выше выражение, получаем:

После упрощения получаем:

Из полученного равенства выражаем вторую производную :

Ответ.

Больше примеров решений Решение производных онлайн

www.webmath.ru

4. Производная неявной функции

Определение 2. Если функция у = f(x), определенная на некотором интервале (а; b), такова, что уравнение F(x; y) = 0 при подстановке в него у = f(x) обращается в тождество относительно х, то функция y = f(x) называется неявно заданной уравнением F(x; y) = 0.

Чтобы найти производную неявной функции у по аргументу х, заданной уравнением F(x; y)=0, необходимо продифференцировать левую и правую части этого уравнения, считая у функцией от х . Из полученного линейного уравнения находим искомую производную.

Пример 3. Вычислить производную неявной функции.

x² + x²y + y²x + y² + 3 = 0.

Решение

2x + 2xy + x² 2y= 0

Вычислить производные неявных функций

75. x³ + y³  3xy = 0 76. x² + y² = 4

77. x⁴  6x²y² + 9y⁴ = 100 78. Ax² + 2Bxy + Cy² = F

79. x sin y + y sin x = 0 80. e^x+ e^y  2xy  1 = 0

81. 82. x²sin y + y² cos x = 0

83. 84. е^у/х  e^x/y = 1

85. x^y+ y^x = 0 86. + y² ln x = 4

5. Производные высших порядков

Определение 3. Производная называется производной первого порядка.

Производная от называется производной второго порядка или второй производной от функции f(x) и обозначается,,

или .

Производная от называется производной третьего порядка или третьей производной от функции f(x) и обозначается,,

или и т.д.

Производная n-го порядка есть производная от производной (n-1)-го порядка, т.е. .

Пример 4. Найти производную второго порядка от функции

у=.

Решение

Найти производные второго порядка от функций:

87. у = tg x 88. y = ctg x

89. y = sin²x 90. y = cos²x

91. y = 92. y = ln (2x3)

93. y = x sin x 94. y =

95. y = 2^x 96. y = e^1/x

97. y = x²ln x 98. y = a^xx³

99. 100. y = ln

6. Правило Лопиталя Устранение неопределенностей вида ,

Правило Лопиталя. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки x₀ за исключением, быть может самой точки x₀, причем, в этой окрестности и, если== 0 или== , то

если последний предел существует.

Иными словами, для неопределенностей вида илипредел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).

Здесь x₀может быть числом, +, либо.

Пример 5. Вычислить предел .

Решение. Имеем неопределенность вида . Для ее устранения воспользуемся правилом Лопиталя

Пример 6. Вычислить предел .

Решение. Имеем неопределенность вида . Применяя трижды правило Лопиталя, получим

Вычислить пределы

101. 102.

103. 104.

105. 106.

107. 108.

109. 110.

111. 112.

113. 114., a >1

115. 116.

117. 118.

119. 120.

121. 122.

7. Неопределенности вида 0  , 00, 1, 0 и их устранение

Неопределенность вида 0   сводится путем алгебраических преобразований к неопределенностям вида , а затем раскрываются с помощью правила Лопиталя.

Неопределенности вида 0⁰, 1^, ⁰с помощью тождества

f(x)^g(x)  e^{g(x) lnf(x)}сводятся к неопределенности вида 0  .

Пример 7. Вычислить предел

Решение. Имеем неопределенность вида 0. Но x ln |x| =  получена неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя, получим=.

Пример 8. Вычислить предел

Решение. Имеем неопределенность вида 0⁰. Но x^x= e^{x ln x} и получаем в показателе степени неопределенность вида 0  , которая рассмотрена в предыдущем примере. Следовательно

Пример 9. Вычислить .