Производная синус в кубе х – Производная синуса: формулы и примеры решений

Найти производную y’ = f'(x) = (cos(x))^3+sin(x^3) ((косинус от (х)) в кубе плюс синус от (х в кубе))

Решение

$$\sin{\left (x^{3} \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

[LaTeX]

1. дифференцируем почленно:

   1. Заменим .

   2. В силу правила, применим: получим

2. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. Производная косинус есть минус синус:

   В результате последовательности правил:

3. Заменим .

4. Производная синуса есть косинус:

5. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. В силу правила, применим: получим

   В результате последовательности правил:

В результате:

---

Ответ:

Первая производная

[LaTeX]

       2                2    / 3\
- 3*cos (x)*sin(x) + 3*x *cos\x /

$$3 x^{2} \cos{\left (x^{3} \right )} — 3 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

[LaTeX]

  /     3         4    / 3\          / 3\        2          \
3*\- cos (x) - 3*x *sin\x / + 2*x*cos\x / + 2*sin (x)*cos(x)/

$$3 \left(- 3 x^{4} \sin{\left (x^{3} \right )} + 2 x \cos{\left (x^{3} \right )} + 2 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} — \cos^{3}{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

[LaTeX]

  /       3           / 3\       3    / 3\      6    / 3\        2          \
3*\- 2*sin (x) + 2*cos\x / - 18*x *sin\x / - 9*x *cos\x / + 7*cos (x)*sin(x)/

$$3 \left(- 9 x^{6} \cos{\left (x^{3} \right )} — 18 x^{3} \sin{\left (x^{3} \right )} — 2 \sin^{3}{\left (x \right )} + 7 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x^{3} \right )}\right)$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Найти производную y’ = f'(x) = sin(x)^3+cos(x)^3 (синус от (х) в кубе плюс косинус от (х) в кубе)

Решение

$$\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

[LaTeX]

1. дифференцируем почленно:

   1. Заменим .

   2. В силу правила, применим: получим

2. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. Производная синуса есть косинус:

   В результате последовательности правил:

3. Заменим .

4. В силу правила, применим: получим

5. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. Производная косинус есть минус синус:

   В результате последовательности правил:

В результате:

Теперь упростим:

---

Ответ:

Первая производная

[LaTeX]

       2                  2          
- 3*cos (x)*sin(x) + 3*sin (x)*cos(x)

$$3 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} — 3 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

[LaTeX]

  /     3         3           2                  2          \
3*\- cos (x) - sin (x) + 2*cos (x)*sin(x) + 2*sin (x)*cos(x)/

$$3 \left(- \sin^{3}{\left (x \right )} + 2 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} — \cos^{3}{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

[LaTeX]

  /       3           3           2                  2          \
3*\- 2*sin (x) + 2*cos (x) - 7*sin (x)*cos(x) + 7*cos (x)*sin(x)/

$$3 \left(- 2 \sin^{3}{\left (x \right )} — 7 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 7 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + 2 \cos^{3}{\left (x \right )}\right)$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Найти производную y’ = f'(x) = sin((x^3)/(x+1)) (синус от ((х в кубе) делить на (х плюс 1)))

Решение

   /   3 \
   |  x  |
sin|-----|
   \x + 1/

$$\sin{\left (\frac{x^{3}}{x + 1} \right )}$$

Подробное решение

[LaTeX]

1. Заменим .

2. Производная синуса есть косинус:

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. Применим правило производной частного:

      и .

      Чтобы найти :

      1. В силу правила, применим: получим

      Чтобы найти :

      1. дифференцируем почленно:

         1. Производная постоянной равна нулю.

         2. В силу правила, применим: получим

         В результате:

      Теперь применим правило производной деления:

   В результате последовательности правил:

4. Теперь упростим:

---

Ответ:

Первая производная

[LaTeX]

/      3          2\    /   3 \
|     x        3*x |    |  x  |
|- -------- + -----|*cos|-----|
|         2   x + 1|    \x + 1/
\  (x + 1)         /           

$$\left(- \frac{x^{3}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x + 1}\right) \cos{\left (\frac{x^{3}}{x + 1} \right )}$$

Вторая производная

[LaTeX]

  /                                                     2    /   3 \\
  |                                       3 /       x  \     |  x  ||
  |  /        2           \    /   3 \   x *|-3 + -----| *sin|-----||
  |  |       x        3*x |    |  x  |      \     1 + x/     \1 + x/|
x*|2*|3 + -------- - -----|*cos|-----| - ---------------------------|
  |  |           2   1 + x|    \1 + x/              1 + x           |
  \  \    (1 + x)         /                                         /
---------------------------------------------------------------------
                                1 + x                                

$$\frac{x}{x + 1} \left(- \frac{x^{3} \left(\frac{x}{x + 1} — 3\right)^{2}}{x + 1} \sin{\left (\frac{x^{3}}{x + 1} \right )} + 2 \left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} — \frac{3 x}{x + 1} + 3\right) \cos{\left (\frac{x^{3}}{x + 1} \right )}\right)$$

Третья производная

[LaTeX]

                                                                                                    /        2           \    /   3 \
                                                                   3    /   3 \      3 /       x  \ |       x        3*x |    |  x  |
                                                     6 /       x  \     |  x  |   6*x *|-3 + -----|*|3 + -------- - -----|*sin|-----|
    /         3           2          \    /   3 \   x *|-3 + -----| *cos|-----|        \     1 + x/ |           2   1 + x|    \1 + x/
    |        x         3*x       3*x |    |  x  |      \     1 + x/     \1 + x/                     \    (1 + x)         /           
- 6*|-1 + -------- - -------- + -----|*cos|-----| + --------------------------- + ---------------------------------------------------
    |            3          2   1 + x|    \1 + x/                    2                                   1 + x                       
    \     (1 + x)    (1 + x)         /                        (1 + x)                                                                
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                1 + x                                                                

$$\frac{1}{x + 1} \left(\frac{x^{6} \left(\frac{x}{x + 1} — 3\right)^{3}}{\left(x + 1\right)^{2}} \cos{\left (\frac{x^{3}}{x + 1} \right )} + \frac{6 x^{3}}{x + 1} \left(\frac{x}{x + 1} — 3\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} — \frac{3 x}{x + 1} + 3\right) \sin{\left (\frac{x^{3}}{x + 1} \right )} — 6 \left(\frac{x^{3}}{\left(x + 1\right)^{3}} — \frac{3 x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{3 x}{x + 1} — 1\right) \cos{\left (\frac{x^{3}}{x + 1} \right )}\right)$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Найти производную y’ = f'(x) = (x^3/sin(x)) ((х в кубе делить на синус от (х)))

Решение

$$\frac{x^{3}}{\sin{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

[LaTeX]

1. Применим правило производной частного:

   и .

   Чтобы найти :

   1. В силу правила, применим: получим

   Чтобы найти :

   1. Производная синуса есть косинус:

   Теперь применим правило производной деления:

2. Теперь упростим:

---

Ответ:

Первая производная

[LaTeX]

    2     3       
 3*x     x *cos(x)
------ - ---------
sin(x)       2    
          sin (x) 

$$- \frac{x^{3} \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{3 x^{2}}{\sin{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

[LaTeX]

  /                         2    2   \
  |     2   6*x*cos(x)   2*x *cos (x)|
x*|6 + x  - ---------- + ------------|
  |           sin(x)          2      |
  \                        sin (x)   /
--------------------------------------
                sin(x)                

$$\frac{x}{\sin{\left (x \right )}} \left(x^{2} + \frac{2 x^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} — \frac{6 x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} + 6\right)$$

Третья производная

[LaTeX]

                            3    3         3              2    2   
       2   18*x*cos(x)   6*x *cos (x)   5*x *cos(x)   18*x *cos (x)
6 + 9*x  - ----------- - ------------ - ----------- + -------------
              sin(x)          3            sin(x)           2      
                           sin (x)                       sin (x)   
-------------------------------------------------------------------
                               sin(x)                              

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(- \frac{5 x^{3} \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} — \frac{6 x^{3} \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} + 9 x^{2} + \frac{18 x^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} — \frac{18 x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} + 6\right)$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Найти производную y’ = f'(x) = sin(x)^3*cos(1/x) (синус от (х) в кубе умножить на косинус от (1 делить на х))

Решение

$$\sin^{3}{\left (x \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

Подробное решение

[LaTeX]

1. Применяем правило производной умножения:

   ; найдём :

   1. Заменим .

   2. В силу правила, применим: получим

2. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. Производная синуса есть косинус:

   В результате последовательности правил:

; найдём :

1. Заменим .

2. Производная косинус есть минус синус:

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. В силу правила, применим: получим

   В результате последовательности правил:

В результате:

---

Ответ:

Первая производная

[LaTeX]

   3       /1\                          
sin (x)*sin|-|                          
           \x/        2              /1\
-------------- + 3*sin (x)*cos(x)*cos|-|
       2                             \x/
      x                                 

$$3 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \sin^{3}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

[LaTeX]

/                                           2       /1\        2       /1\                      /1\\       
|                                        sin (x)*cos|-|   2*sin (x)*sin|-|   6*cos(x)*sin(x)*sin|-||       
|       2       /1\        2       /1\              \x/                \x/                      \x/|       
|- 3*sin (x)*cos|-| + 6*cos (x)*cos|-| - -------------- - ---------------- + ----------------------|*sin(x)
|               \x/                \x/          4                 3                     2          |       
\                                              x                 x                     x           /       

$$\left(- 3 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} + 6 \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \frac{6}{x^{2}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} — \frac{2}{x^{3}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \sin^{2}{\left (x \right )} — \frac{1}{x^{4}} \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}\right) \sin{\left (x \right )}$$

Третья производная

[LaTeX]

                      3       /1\                                   3       /1\        3       /1\        3       /1\         2              /1\        2              /1\         2              /1\
                   sin (x)*sin|-|                              9*sin (x)*sin|-|   6*sin (x)*cos|-|   6*sin (x)*sin|-|   18*sin (x)*cos(x)*sin|-|   9*sin (x)*cos(x)*cos|-|   18*cos (x)*sin(x)*sin|-|
     3       /1\              \x/         2              /1\                \x/                \x/                \x/                        \x/                       \x/                        \x/
6*cos (x)*cos|-| - -------------- - 21*sin (x)*cos(x)*cos|-| - ---------------- + ---------------- + ---------------- - ------------------------ - ----------------------- + ------------------------
             \x/          6                              \x/           2                  5                  4                      3                          4                         2           
                         x                                            x                  x                  x                      x                          x                         x            

$$- 21 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} \cos{\left (x \right )} + 6 \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} \cos^{3}{\left (x \right )} — \frac{9}{x^{2}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \sin^{3}{\left (x \right )} + \frac{18}{x^{2}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} — \frac{18}{x^{3}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \frac{6}{x^{4}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \sin^{3}{\left (x \right )} — \frac{9}{x^{4}} \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} \cos{\left (x \right )} + \frac{6}{x^{5}} \sin^{3}{\left (x \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} — \frac{1}{x^{6}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \sin^{3}{\left (x \right )}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Найти производную y’ = f'(x) = sin(x^3)^(3) (синус от (х в кубе) в степени (3))

Решение

$$\sin^{3}{\left (x^{3} \right )}$$

Подробное решение

[LaTeX]

1. Заменим .

2. В силу правила, применим: получим

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. Заменим .

   2. Производная синуса есть косинус:

4. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. В силу правила, применим: получим

   В результате последовательности правил:

В результате последовательности правил:

---

Ответ:

Первая производная

[LaTeX]

   2    2/ 3\    / 3\
9*x *sin \x /*cos\x /

$$9 x^{2} \sin^{2}{\left (x^{3} \right )} \cos{\left (x^{3} \right )}$$

Вторая производная

[LaTeX]

    /     3    2/ 3\        / 3\    / 3\      3    2/ 3\\    / 3\
9*x*\- 3*x *sin \x / + 2*cos\x /*sin\x / + 6*x *cos \x //*sin\x /

$$9 x \left(- 3 x^{3} \sin^{2}{\left (x^{3} \right )} + 6 x^{3} \cos^{2}{\left (x^{3} \right )} + 2 \sin{\left (x^{3} \right )} \cos{\left (x^{3} \right )}\right) \sin{\left (x^{3} \right )}$$

Третья производная

[LaTeX]

  /      3    3/ 3\        2/ 3\    / 3\       6    3/ 3\       6    2/ 3\    / 3\       3    2/ 3\    / 3\\
9*\- 18*x *sin \x / + 2*sin \x /*cos\x / + 18*x *cos \x / - 63*x *sin \x /*cos\x / + 36*x *cos \x /*sin\x //

$$9 \left(- 63 x^{6} \sin^{2}{\left (x^{3} \right )} \cos{\left (x^{3} \right )} + 18 x^{6} \cos^{3}{\left (x^{3} \right )} — 18 x^{3} \sin^{3}{\left (x^{3} \right )} + 36 x^{3} \sin{\left (x^{3} \right )} \cos^{2}{\left (x^{3} \right )} + 2 \sin^{2}{\left (x^{3} \right )} \cos{\left (x^{3} \right )}\right)$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Найти производную y’ = f'(x) = sin(x^3)^(4) (синус от (х в кубе) в степени (4))

Решение

$$\sin^{4}{\left (x^{3} \right )}$$

Подробное решение

[LaTeX]

1. Заменим .

2. В силу правила, применим: получим

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. Заменим .

   2. Производная синуса есть косинус:

4. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. В силу правила, применим: получим

   В результате последовательности правил:

В результате последовательности правил:

---

Ответ:

Первая производная

[LaTeX]

    2    3/ 3\    / 3\
12*x *sin \x /*cos\x /

$$12 x^{2} \sin^{3}{\left (x^{3} \right )} \cos{\left (x^{3} \right )}$$

Вторая производная

[LaTeX]

        2/ 3\ /     3    2/ 3\        / 3\    / 3\      3    2/ 3\\
12*x*sin \x /*\- 3*x *sin \x / + 2*cos\x /*sin\x / + 9*x *cos \x //

$$12 x \left(- 3 x^{3} \sin^{2}{\left (x^{3} \right )} + 9 x^{3} \cos^{2}{\left (x^{3} \right )} + 2 \sin{\left (x^{3} \right )} \cos{\left (x^{3} \right )}\right) \sin^{2}{\left (x^{3} \right )}$$

Третья производная

[LaTeX]

   /   2/ 3\    / 3\      3    3/ 3\       6    3/ 3\       6    2/ 3\    / 3\       3    2/ 3\    / 3\\    / 3\
24*\sin \x /*cos\x / - 9*x *sin \x / + 27*x *cos \x / - 45*x *sin \x /*cos\x / + 27*x *cos \x /*sin\x //*sin\x /

$$24 \left(- 45 x^{6} \sin^{2}{\left (x^{3} \right )} \cos{\left (x^{3} \right )} + 27 x^{6} \cos^{3}{\left (x^{3} \right )} — 9 x^{3} \sin^{3}{\left (x^{3} \right )} + 27 x^{3} \sin{\left (x^{3} \right )} \cos^{2}{\left (x^{3} \right )} + \sin^{2}{\left (x^{3} \right )} \cos{\left (x^{3} \right )}\right) \sin{\left (x^{3} \right )}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru