Ранг матрицы, онлайн калькулятор с решением
Наш онлайн калькулятор позволяет найти ранг матриц всего в пару кликов. Для нахождения ранга матрицы выберите ее размер, заполните все элементы матрицы и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор выдаст ответ и пошаговое решение! Каждый шаг будет подробно расписан, это поможет вам проверить свое решение и понять, как был получен ответ.
Заполните элементы матрицы Решили сегодня: раз, всего раз| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
Как найти ранг матрицы онлайн
Ранг матрицы является для неё важнейшей числовой характеристикой. Его непременно следует определять, когда перед вами стоит задача проверить совместимость системы линейных уравнений. То есть, под понятием ранга подразумеваются все линейнонезависимые строки и столбцы в матрице. Существуют различные методы определения ранга матрицы. Чаще всего его вычисляют методом миноров или методом окантовки. Реже применяется метод Гаусса. Данный онлайн калькулятор прольёт свет на все те сложные преобразования, которые необходимы для вычисления ранга матрицы онлайн. Воспользовавшись им, вы сможете наглядно ознакомиться с различными вариантами определения данного показателя.
Для того чтобы найти ранг матрицы онлайн, вам необходимо совершить ряд простых операций. Для начала укажите размеры матрицы, кликнув на иконки «+» и «-» слева и внизу, соответствующие числу строк и столбцов. Далее введите в поля калькулятора элементы и нажмите кнопку «Вычислить». Готовый результат окажется на мониторе оперативно. Буквально через несколько секунд вы увидите значение ранга матрицы и детальную расшифровку его вычисления.
Пользование онлайн калькулятором имеет ряд плюсов: вы лучше усваиваете теорию на примере задания, проверяете свои расчёты, тщательно разбираетесь во всех способах вычисления ранга матрицы.
ru.solverbook.com
Ранг матрицы методом окаймляющих миноров
Для того что бы вычислить ранг матрицы можно применить метод окаймляющих миноров или метод Гаусса. Рассмотрим метод Гаусса или метод элементарных преобразований.
Рангом матрицы называют максимальный порядок её миноров, среди которых есть хотя бы один, не равный нулю.
Рангом системы строк (столбцов) называется максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой системы.
Алгоритм нахождения ранга матрицы методом окаймляющих миноров:
- Минор M k-того порядка не равен нулю.
- Если окаймляющие миноры для минора M (k+1)-го порядка, составить невозможно (т.е. матрица содержит k строк или k столбцов), то ранг матрицы равен k. Если окаймляющие миноры существуют и все равны нулю, то ранг равен k. Если среди окаймляющих миноров есть хотя бы один, не равный нулю, то пробуем составить новый минор k+2 и т.д.
Разберем алгоритм более подробно. Сначала рассмотрим миноры первого (элементы матрицы) порядка матрицы A. Если все они равны нулю, то rangA = 0. Если есть миноры первого порядка (элементы матрицы) не равные нулю M1 ≠ 0, то ранг rangA ≥ 1.
Проверим есть ли окаймляющие миноры для минора M1. Если такие миноры есть, то они буду миноры второго порядка. Если все миноры окаймляющие минор M1 равны нулю, то rangA = 1. Если есть хоть один минор второго порядка не равные нулю M2 ≠ 0, то ранг rangA ≥ 2.
Проверим есть ли окаймляющие миноры для минора M2. Если такие миноры есть, то они буду миноры третьего порядка. Если все миноры окаймляющие минор M2 равны нулю, то rangA = 2. Если есть хоть один минор третьего порядка не равные нулю M3 ≠ 0, то ранг rangA ≥ 3.
Проверим есть ли окаймляющие миноры для минора M3. Если такие миноры есть, то они буду миноры четвертого порядка. Если все миноры окаймляющие минор M3 равны нулю, то rangA = 3. Если есть хоть один минор четвертого порядка не равные нулю
Проверяем есть ли окаймляющий минор для минора M4, и так далее. Алгоритм прекращается, если на каком-то этапе окаймляющие миноры равны нулю или окаймляющий минор нельзя получить (в матрице «закончились» строки или столбцы). Порядок не нулевого минора, который получилось составить будет рангом матрицы.
Пример
Рассмотрим данный метод на примере. Дана матрицы 4х5:
У данной матрице ранг не может быть больше 4. Так же у этой матрице есть не нулевые элементы (минор первого порядка), значит ранг матрицы ≥ 1.
Составим минор 2-ого порядка. Начнем с угла.
Найдем определитель данного минора.
Так определитель равен нулю, составим другой минор.
Найдем определитель данного минора.
Определить данного минора равен -2. Значит ранг матрицы ≥ 2.
Если данный минор был равен 0, то составили бы другие миноры. До конца бы составили все миноры по 1 и второй строке. Потом по 1 и 3 строке, по 2 и 3 строке, по 2 и 4 строке, пока не нашли бы минор не равный 0, например:
Если все миноры второго порядка равны 0, то ранг матрицы был бы равен 1. Решение можно было бы остановить.
Продолжим поиска ранга матрицы. Составим минор 3-го порядка.
Найдем определитель этого минора.
Минор получился не нулевой. значит ранг матрицы ≥ 3.
Если бы данный минор был нулевым, то нужно было бы составить другие миноры. Например:
Если все миноры третьего порядка равны 0, то ранг матрицы был бы равен 2. Решение можно было бы остановить.
Продолжим поиска ранга матрицы. Составим минор 4-го порядка.
Найдем определитель этого минора.
Определитель минора получился равный 0. Построим другой минор.
Найдем определитель этого минора.
Минор получился равным 0.
Построить минор 5-го порядка не получится, для этого нет строки в данной матрицы. Последний минор не равный нулю был 3-го порядка, значит ранг матрицы равен 3.
www.mozgan.ru
Онлайн калькулятор: Определение ранга матрицы
Ниже калькулятор, вычисляющий ранг матрицы. Под ним, как водится, немного теории.
Ранг матрицы
Сохранить share extension
Update: Меня тут попросили сформулировать попроще, что такое ранг матрицы. Если попроще, то это максимальное число линейно-независимых строк/столбцов матрицы (число строк и число столбцов совпадает), то есть таких строк/столбцов, которые нельзя получить друг из друга элементарными преобразованиями.
Например, у этой матрицы
3 -1 1
6 -2 2
ранг равен 1, потому что вторая строка есть первая, умноженная на 2.
Итак, несколько определений.
Пусть дана матрица А размеров n x m и число k, не превосходящее наименьшего из чисел m и n. Выберем произвольно k строк матрицы и k столбцов (номера строк могут отличаться от номеров столбцов). Определитель матрицы, составленной из элементов, стоящих на пересечении выбранных k строк и k столбцов, называется минором порядка k матрицы A . (Что такое определитель матрицы можно посмотреть здесь Определитель (детерминант) матрицы).
Рангом матрицы А называется наибольший из порядков миноров матрицы А, отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.
Ненулевой минор наибольшего порядка называется базисным минором
Теорема о базисном миноре
Столбцы матрицы А, входящие в базисный минор, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы А линейно выражается через столбцы из базисного минора.
Минор Mок матрицы А называют окаймляющим минором для минора М, если он получается из последнего добавлением одной новой строки и одного нового столбца матрицы А. Порядок окаймляющего минора Мок на единицу больше порядка минора М
Понятно, что ранг матрицы можно вычислить, перебирая все миноры, но в данном калькуляторе для вычисления ранга матрицы применяется метод окаймляющих миноров, основанный на следующей теореме.
Теорема: Если для некоторого минора матрицы все окаймляющие его миноры равны нулю, то он является базисным. (А порядок, его, соответственно, равен рангу матрицы).
Метод окаймляющих миноров заключается в нахождении одного из базисных миноров матрицы и состоит в следующем:
Выбирается ненулевой минор первого порядка (ненулевой элемент матрицы). К очередному ненулевому минору последовательно добавляются такие строка и столбец, чтобы новый окаймляющий минор оказался ненулевым. Если этого сделать нельзя, то последний ненулевой минор является базисным.
planetcalc.ru
Найти ранг матрицы: способы и примеры
Определение. Рангом матрицы называется максимальное число линейно независимых строк, рассматриваемых как векторы.
Теорема 1 о ранге матрицы. Рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора матрицы.
Понятие минора мы уже разбирали на уроке по определителям, а сейчас обобщим его. Возьмём в матрице сколько-то строк и сколько-то столбцов, причём это «сколько-то» должно быть меньше числа строк и стобцов матрицы, а для строк и столбцов это «сколько-то» должно быть одним и тем же числом. Тогда на пересечении скольки-то строк и скольки-то столбцов окажется матрица меньшего порядка, чем наша исходная матрица. Определитель это матрицы и будет минором k-го порядка, если упомянутое «сколько-то» (число строк и столбцов) обозначим через k.
Определение. Минор (r+1)-го порядка, внутри которого лежит выбранный минор r-го порядка, называется называется окаймляющим для данного минора.
Наиболее часто используются два способа отыскания ранга матрицы. Это способ окаймляющих миноров и способ элементарных преобразований (методом Гаусса).
При способе окаймляющих миноров используется следующая теорема.
Теорема 2 о ранге матрицы. Если из элементов матрицы можно составить минор r-го порядка, не равный нулю, то ранг матрицы равен r.
При способе элементарных преобразований используется следующее свойство:
— если путём элементарных преобразований получена трапециевидная матрица, эквивалентная исходной, то рангом этой матрицы является число строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.
Окаймляющим минором называется минор большего порядка по отношению к данному, если этот минорм большего порядка содержит в себе данный минор.
Например, дана матрица
.
Возьмём минор
,
окаймляющими будут такие миноры:
.
Алгоритм нахождения ранга матрицы следующий.
1. Находим не равные нулю миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы будет равен единице (r =1).
2. Если существует хотя бы один минор второго порядка, не равный нулю, то составляем окаймляющие миноры третьего порядка. Если все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум (r =2).
3. Если хотя бы один из окаймляющих миноров третьего порядка не равен нулю, то составляем окаймляющие его миноры. Если все окаймляющие миноры четвёртого порядка равны нулю, то ранг матрицы равен трём (r =2).
4. Продолжаем так, пока позволяет размер матрицы.
Пример 1. Найти ранг матрицы
.
Решение. Минор второго порядка .
Окаймляем его. Окаймляющих миноров будет четыре:
,
,
,
.
Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, ранг данной матрицы равен двум (r =2).
Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.
Пример 2. Найти ранг матрицы
.
Решение. Ранг данной матрицы равен 1, так как все миноры второго порядка этой матрицы равны нулю (в этом, как и в случаях окаймляющих миноров в двух следующих примерах, дорогим студентам предлагается убедиться самостоятельно, возможно, используя правила вычисления определителей), а среди миноров первого порядка, то есть среди элементов матрицы, есть не равные нулю.
Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.
Пример 3. Найти ранг матрицы
.
Решение. Минор второго порядка этой матрицы , в все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю. Следовательно, ранг данной матрицы равен двум.
Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.
Пример 4. Найти ранг матрицы
.
Решение. Ранг данной матрицы равен 3, так как единственный минор третьего порядка этой матрицы равен 3.
Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.
Уже на примере 1 видно, что задача определения ранга матрицы способом окаймляющих миноров требует вычисления большого числа определителей. Существует, однако, способ, позволяющий свести объём вычислений к минимуму. Этот способ основан на использовании элементарных преобразований матриц и ещё называется также методом Гаусса.
Под элементарными преобразованиями матрицы понимаются следующие операции:
1) умножение какой-либо строки или какого либо столбца матрицы на число, отличное от нуля;
2) прибавление к элементам какой-либо строки или какого-либо столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, умноженных на одно и то же число;
3) перемена местами двух строк или столбцов матрицы;
4) удаление «нулевых» строк, то есть таких, все элементы которых равны нулю;
5) удаление всех пропорциональных строк, кроме одной.
Теорема. При элементарном преобразовании ранг матрицы не меняется. Другими словами, если мы элементарными преобразованиями от матрицы A перешли к матрице B, то .
Используя эту теорему, отправляясь от любой матрицы A всегда можно прийти к такой матрице B, вычисление ранга которой не представляет затруднений. Для этого следует добиться, чтобы матрица B была трапециевидной.
Тогда ранг полученной матрицы будет равен числу строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.
Пример 5. Найти ранг матрицы
.
Решение. Подвергнем эту матрицу следующим преобразованиям. Ко второй строке прибавим третью, умноженную на — 2, а затем к третьей строке прибывам первую, умноженную на 2, и, наконец, из четвёртой вычтем первую. После этих трёх последовательно выполненных преобразований получим матрицу
.
Вычитая из четвёртой строки третью, а затем переставив местами вторую и третью строки, получаем матрицу
.
Получили трапециевидную матрицу. Ранг полученной матрицы равен трём (r=3), так как после вычёркивания последней строки, полностью состоящей из нулей, в ней останется три строки.
Желающие могут проверить это решение способом окаймляющих миноров (минор третьего порядка, находящийся в левом верхнем углу, не равен нулю, а все миноры четвёртого порядка равны нулю).
Найти ранг матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение
Поделиться с друзьями
Начало темы «Матрицы»
Продолжение темы «Матрицы»
Другие темы линейной алгебры
function-x.ru
Ранг матрицы онлайн
www.matcabi.net позволяет найти ранг матрицы онлайн. Сайт производит вычисление ранга матрицы онлайн. За неколько секунд сервер выдаст точное решение. Рангом матрицы называется наивысший из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы неизменен при ее простых преобразованиях. Одной из важных числовых характеристик матрицы, связанной с тем, насколько ее строки (столбцы) зависят друг от друга — является как раз ранг матрицы. Единое, стандартное, обозначение ранга матрицы отсутствует. Можно записывать как Rank(A) или Rg(A). Ранг нулевой матрицы считается равным нулю. Ранг невырожденной квадратной матрицы порядка n равен n, так как ее определитель является минором порядка n и у невырожденной матрицы отличен от нуля. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется, то есть Rg(A)=Rg(A^T). www.matcabi.net находит ранг матрицы заданной размерностей (не обязательно квадратной матрицы) в режиме онлайн. Нахождение ранга матрицы онлайн заданной размерности — это нахождение наивысшего из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы. Нахождение ранга матрицы онлайн широко распространено в теории матриц. Значение ранга матрицы используется для определения числа линейно-независимых строк и столбцов этой матрицы. Для того, чтобы вычислить ранг матрицы онлайн, необходимо затратить не мало времени, в то время как наш сервер в считанные секунды найдет ранг матрицы онлайн. При этом ответ при нахождении ранга матрицы будет правильным и с достаточной точностью, даже если числа при нахождении ранга матрицы онлайн будут иррациональными. На сайте www.matcabi.net допускаются символьные записи в элементах матриц, то есть ранг матрицы онлайн может быть представлен для матрицы в общем символьном виде. Полезно проверить ответ, полученный при решении задачи по нахождению ранга матрицы онлайн, используя сайт www.matcabi.net. При совершении операции определения ранга матриц онлайн необходимо быть внимательным и предельно сосредоточенным при решении задачи. В свою очередь наш сайт поможет Вам проверить своё решение на тему ранг матрицы онлайн. Если у Вас нет времени на долгие проверки решенных задач, то www.matcabi.net безусловно будет являться удобным инструментом для проверки при нахожденииранга матрицы онлайн.
www.matcabi.net
Определение ранга матрицы — онлайн калькулятор
Следующий калькулятор служит для определения ранга матрицы.
Что же такое ранг матрицы? Как бы это объяснить проще? Лучше наглядно. Смотрите на пример:
Так вот, ранг данной матрицы не 2, не 3, не 4 и даже не 6, а 1.
Да, все верно, 1, потому, что второй рядок матрицы — это есть не что иное как первый рядок умноженный на 2.
The field is not filled.
‘%1’ is not a valid e-mail address.
Please fill in this field.
The field must contain at least% 1 characters.
The value must not be longer than% 1 characters.
Field value does not coincide with the field ‘%1’
An invalid character. Valid characters:’%1′.
Expected number.
It is expected a positive number.
Expected integer.
It is expected a positive integer.
The value should be in the range of [%1 .. %2]
The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.
The field must be less than 1%.
The first character must be a letter of the Latin alphabet.
Su
Mo
Tu
We
Th
Fr
Sa
January
February
March
April
May
June
July
August
September
October
November
December
century
B.C.
%1 century
An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3
Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).
%3.%2.%1%4
%3.%2.%1%4 %6:%7
s.sh.
u.sh.
v.d.
z.d.
yes
no
Wrong file format. Only the following formats: %1
Please leave your phone number and / or email.
hostciti.net