Разложение матрицы по строке или столбцу онлайн калькулятор – Нахождение определителя матрицы

Разложить определитель по строке или столбцу

Для того что бы вычислить определитель матрицы четвертого порядка или выше можно разложить определитель по строке или столбцу или применить метод Гаусса и привести определитель к треугольному виду. Рассмотрим разложение определителя по строке или столбцу.

Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:

— разложение по i-той строке.

Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

— разложение по j-той строке.

Для облегчения разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример

Найдем определитель матрицы четвертого порядка.

Будем раскладывать этот определитель за столбцом №3. Сделаем некоторые преобразования, что бы облегчить дальнейшие расчеты.

Сделаем ноль вместо элемента a₄₃=9. Для этого из строки №4 вычтем от соответствующие элементы строки №1 умноженные на 3.
Результат записываем в строке №4 все остальные строки переписываем без изменений.

Вот мы и сделали нолями все элементы, кроме a₁₃ = 3 в столбце № 3. Теперь можно преступить и к дальнейшему разложению определителя за этим столбцом.

Видим, что только слагаемое №1 не превращается в ноль, все остальные слагаемые будут нолями, так как они умножаются на ноль.
Значит, далее нам надо разложить, только один определитель:

Будем раскладывать этот определитель за строкой №1. Сделаем некоторые преобразования, что бы облегчить дальнейшие расчеты.

Видим, что в этой строке есть два одинаковых числа, поэтому вычтем из столбца №3 столбец №2, и результат запишем в столбце №3, от этого величина определителя не изменится.

Далее нам надо сделать ноль вместо элемента a₁₂=4. Для этого мы элементы столбца №2 умножим на 3 и вычтем от него соответствующие элементы столбца №1 умноженные на 4. Результат записываем в столбце №2 все остальные столбцы переписываем без изменений.

Но при этом надо не забывать, что если мы умножаем столбец №2 на 3, то и весь определитель увеличится в

3. А что бы он не изменился, значит надо его поделить на 3.

Сократим числитель и знаменатель дроби на 3.

Вот мы и сделали нолями все элементы, кроме a₁₁ = 3 в строке № 1. Теперь можно преступить и к дальнейшему разложению определителя за этой строкой.

Видим, что у нас остался один определитель второго порядка.

Найдем определитель по формуле: a₁₁×a₂₂ — a₂₁×a₁₂.

det(A)=3·(-14)·(-13)-(-6)·(-2)=510

www.mozgan.ru

Разложение определителя по строке или столбцу online…

Последнее время я получал много комментариев на сайте и писем с вопросами:

«Как найти определитель четвёртого, пятого порядка?» или что-то подобное. И практически всех этих людей я отправлял посмотреть мои видео-уроки, в которых я подробно об этом рассказываю. Но потом решил упростить вашу работу и сделать online-программу, которая подробно рассказывала бы, как это сделать для любого определителя.

То есть теперь в дополнения к видео-урокам в которых я подробно всё рассказываю на конкретных примерах, вы можете открыть онлайн программку для разложения определителя по строке или столбце. И она всё шаг за шагом вам объяснит, конкретно в вашем случае, с вашим определителем. Этим методом можно решить определитель любого порядка, он раскладывает определителя на произведения элементов строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Вам просто надо указать размерность определителя, потом в соответствующие ячейки внести все числа и нажать кнопку «Вычислить»

. Через несколько секунд перед вами будет подробнейшее решение этого определителя. Я постарался расписать там всё до мельчайших деталей, поэтому если вы всё подробно прочитаете и осмыслите, то вам сразу станет понятен весь процесс , и вы сможете самостоятельно решать такие упражнения, а результат сверять с результатом программы. И если они будут не совпадать, то сможете даже посмотреть, на каком этапе сделали ошибку.

Также хотел бы вам порекомендовать освежить в памяти все свойства определителей, которые используются при их преобразовании. Хотя программа указывает, на что надо обратить внимание при решении, но лучше, если это будет у вас в голове, а не в компьютере или тетрадке.

Данная программа пока корректно работает для целых чисел, если ваш определитель состоит из дробей, то лучше использовать эту программу. Но, думаю, в будущем я дополню её, и она будет нормально работать и для дробей.

P.S. Если программа вам понравилась, то не забудьте ею поделится со своими друзьями в социальных сетях, внизу каждой страницы есть специальные кнопки для этого ;)!

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

matemonline.com

11. Разложение определителя по элементам строки или столбца

Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:

Ответ. 

12. Слау 3 порядка

1. Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.

2. Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:

3. Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель 

Решение. 

Ответ. 

4.Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

studfiles.net