Решение биквадратных уравнений 9 класс – Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры. TutoMath.ru

Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры. TutoMath.ru

Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.

Формула биквадратного уравнения:
ax⁴+bx²+c=0, где a≠0

Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
\(x^{2}=t,\;t\geq0\)
t должно быть положительным числом или равным нулю

Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at²+bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.

Пример №1:
\(x^{4}-5x^{2}+6=0\)

Делаем замену,
\(x^{2}=t,\;t\geq0\)

\(t^{2}-5t+6=0\)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
\(D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\times1\times6=25-24=1\)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

\(\begin{align}
&t_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\times1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3\\\\
&t_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\times1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2\\\\
\end{align}\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: \(x^{2}=3\)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.

\(\begin{align}
&x_{1}=\sqrt{3}\\
&x_{2}=-\sqrt{3}\\\\\\
&x^{2}=2\\
&x_{3}=\sqrt{2}\\
&x_{4}=-\sqrt{2}\\
\end{align}\)

Ответ: \(x_{1}=\sqrt{3},\;x_{2}=-\sqrt{3},\;x_{3}=\sqrt{2},\;x_{4}=-\sqrt{2}\)

Пример №2:
Решить биквадратное уравнение.
\(x^{4}-4x^{2}+4=0\)

Делаем замену,
\(x^{2}=t,\;t\geq0\)

\(t^{2}-4t+4=0\)

Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
\(D=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times1\times4=16-16=0\)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
\(t=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2\times1}=2\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:

\(\begin{align}
&x^{2}=2\\
&x_{1}=\sqrt{2}\\
&x_{2}=-\sqrt{2}\\
\end{align}\)

Ответ: \(x_{1}=\sqrt{2},\;x_{2}=-\sqrt{2}\)

Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.

Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.

\(-4x^{4}+16x^{2}=0\)

Выносим переменную x² за скобку,

\(x^{2}(-4x^{2}+16)=0\)

Приравниваем каждый множитель к нулю

\(\begin{align}
&x^{2}=0\\
&x_{1}=0\\\\
&-4x^{2}+16=0\\
&-4x^{2}=-16
\end{align}\)

Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить \(x^{2}=4\) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
\(\begin{align}
&x^{2}=4\\
&x_{2}=2\\
&x_{3}=-2\\
\end{align}\)

Ответ: \(x_{1}=0,\;x_{2}=2,\;x_{2}=-2\)

Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
\(x^{4}-16=0\)

Делаем замену,
\(x^{2}=t,\;t\geq0\)

Получилось неполное квадратное уравнение решаем его.
\(\begin{align}
&t^{2}-16=0\\
&t^{2}=16\\
&t_{1}=4
\end{align}\)
\(t_{2}=-4\) не подходит условию \(t\geq0\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
\(\begin{align}
&x^{2}=4\\
&x_{1}=2\\
&x_{2}=-2
\end{align}\)

Ответ: \(x_{1}=2,\;x_{2}=-2\)

Пример №5:
\(x^{4}+10=0\)

Делаем замену,
\(x^{2}=t,\;t\geq0\)

Получилось неполное квадратное уравнение решаем его.
\(t^{2}+10=0\)
\(t^{2}=-10\), не подходит условию \(t\geq0\)

Ответ: решения нет.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

tutomath.ru

Урок по алгебре «Биквадратные уравнения» (9 класс)

Урок по математике в 9 классе.

Учебник Алгебра 9 (Макарычев Ю. Н.)

Тема: «Биквадратное уравнение»

Тип урока: изучение новых знаний.

Цели урока:

• познакомить учащихся с новым видом уравнения с одной переменной;

• изучить и закрепить способ решения биквадратных уравнений;

• развивать умения работать с книгой, самостоятельно добывать знания;

• развивать логическое мышление, математическую речь;

• воспитывать аккуратность, самостоятельность, интерес к предмету.

Ход урока:

I. Организационный момент

Приветствие учащихся, мобилизация внимания.

II. Актуализация опорных знаний.

Учитель: (открывает первый слайд презентации )

— Сегодня на уроке мы закрепим ваши знания по решению квадратных уравнений; познакомимся с новым видом уравнения, приводимого к квадратному, поэтому повторим изученное, вспомнив основные определения, формулы и теоремы.

— Итак, ребята, скажите, какое уравнение называется квадратным?

(Ответ: Квадратным уравнением называется уравнение вида ,

где ).

— Что называется дискриминантом квадратного уравнения?

(Ответ: Число ).

— Какие виды квадратных уравнений вы знаете?

(Ответ: неполные квадратные уравнения; приведенные квадратные уравнения).

— Какое квадратное уравнение называется неполным?

(Ответ: Квадратное уравнение называется неполным, если у него хотя бы один из коэффициентов (кроме старшего) равен 0:

).

-Какое уравнение называется приведенным? Какой формулой оно задается?

(Ответ: Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент равен 1:).

— Ребята, давайте вспомним, по каким же формулам находятся корни квадратных уравнений различных видов.

— По каким формулам находятся корни уравнения квадратного уравнения стандартного вида: ?

(Ответ: ; при D>0; при D=0; действительных корней нет при D<0).

— Ребята, кто из вас может сказать, как звучит теорема Виета?

(Ответ: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

— Как же будет звучать обратная теорема ? Сформулируйте.

(Ответ: Если числа m и n таковы, что их сумма равна – p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х² + pх +q=0).

Вопросы к учащимся:

Устно решите уравнения, назовите корни этих уравнений, если они есть:
(Демонстрирует карточки с условиями уравнений).

Учитель акцентирует внимание учащихся на том, что они должны уметь решать неполные и полные квадратные уравнения на “ отлично” для успешного усвоения новой темы.

III. Мотивация обучения. (3 мин, кроссворды лежат на партах у всех учащихся)

Учитель: Нам предстоит работа по разгадыванию кроссворда. Разгадав его, мы узнаем название нового вида уравнений, который научимся решать на уроке. Работаем по цепочке. Учащиеся читают вопрос вслух по цепочке, допускаются хоровые ответы. Записывает ответ учащийся I варианта, учащиеся II варианта — читают вопрос вслух.

Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “ биквадратные”. ( смотри приложение 1)

IV. Изучение темы «Биквадратные уравнения».

Запишем тему урока в тетрадях. ( Учитель пишет тему на доске и открывает второй слайд презентации, учащиеся пишут тему в тетрадях).

— Ребята, мы с вами повторили квадратные уравнения. Это нам понадобится при изучении алгебраических уравнений высших порядков. Биквадратные уравнения являются представителем класса алгебраических уравнений высших порядков.

— Определение: Биквадратным уравнением называется уравнение вида . Биквадратное уравнение решается с помощью замены переменной z = x². Если вместо х² подставляем z, то вместо х⁴ будет z². Тогда мы получаем квадратное уравнение: az

2+bz+c=0. Запишите определение биквадратного уравнения в тетрадь.

— Сейчас мы с вами разберем примеры решения таких уравнений.

Давайте посмотрим ролик с объяснением решения биквадратного уравнения.

(учащиеся смотрят видеоклип с сайта http://egetrener.ru/view_rolik.php?id=378).

Решим биквадратное уравнение: .

Решение.

Произведем замену переменной z = x². При подстановке новой переменной в уравнение, мы получим квадратное уравнение: z²-13z+36=0. Решаем данное квадратное уравнение по известным нам формулам: D=b²-4c= =169-144=25, D>0, 2 корня:. Мы с вами получили два корня квадратного уравнения z₁ и z₂. Нам нужно найти х. Теперь мы возвратимся к замене: z = x².

Так как z₁=9, то х²=9, следовательно, х_1,2=, х₁=3 и х

2= -3. Так и z₂=4, то х²=4, x_3,4=, x₃=2 и х₄= -2.

Итак, мы получили корни биквадратного уравнения. Это х₁=3; х₂= -3; x₃=2 и х₄= -2.

Ответ: х₁=3; х₂= -3; x₃=2 и х₄= -2.

(третий слайд презентации)

— Я хочу обратить ваше внимание на то обстоятельство, что мы получили 4 корня – это максимальное число корней биквадратного уравнения. Но возможно и так, что корней может быть меньше или вообще биквадратное уравнение не имеет решений. Дальше мы рассмотрим такой пример.

— Теперь запишите решение рассмотренного биквадратного уравнения. У кого какие вопросы есть по данному решению?

(четвёртый и пятый слайды презентации)

V. Формирование навыков решения биквадратного уравнения.

Во время самостоятельной работы учитель помогает в случае необходимости учащемуся индивидуально, контролирует ход работы, оценивает отдельных учащихся за работу на уроке по новой теме.
По мере решения уравнений, после проверки учителем работы ученика, ученики записывают результат, заполняя таблицу. 15 минут класс работает самостоятельно (смотри приложение 2).

После окончания работы появляется шестой слайд презентации и обучающиеся проверяют свои работы.

Учитель: Подведем итоги самостоятельной работы над новыми уравнениями.

Ученики: (анализируют данные таблицы) — фронтальный метод.

VI. Итог урока.

Учитель: Оцените, достигли ли вы намеченных целей и задач урока?

Ученики читают вопросы на слайде и отвечают на них.
Учитель:

1. Какие же уравнения называются биквадратными? (Определение)

2. Алгоритм решения биквадратного уравнения?

3. От чего зависит число решений биквадратного уравнения?

VII. Домашнее задания.

Запишите домашнее задание к следующему уроку: п.12, стр. 75, № 278 (б, д), № 282 (б ),
Вы должны знать алгоритм и уметь применять прием решения биквадратного уравнения.
Дополнительно 281*(а).

Приложение 1

Кроссворд. Если вписать верные слова, то получится название одного из видов уравнений.

Кроссворд.

1. Третья степень числа. (Куб)

2. Подкоренное выражение в формуле корней квадратного уравнения. (Дискриминант)

3. Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство. (Корень)

4. Уравнения, имеющие одинаковые корни. (Равносильные)

5. Равенство с переменной. (Уравнение)

6. Квадратное уравнение, с первым коэффициентом равным нулю. (Приве

   денное)

7. Многочлен в правой части квадратного уравнения. (Трехчлен)

8. Равенство, содержащее числа и переменные. (Формула)

9. Французский математик. (Виет)

10. Числовой множитель — в произведении. (Коэффициент)

11. Один из видов квадратного уравнения. (Неполное)

12. Множество корней уравнения. (Решения)

Приложение 2

Алгоритм решения биквадратного уравнения. Метод решения — замены переменной.

1. Ввести замену переменной: пусть х² = t,
   2. Составить квадратное уравнение с новой переменной: аt² + bt + с = 0 (2)
   3. Решить новое квадратное уравнение (2).
   4. Вернуться к замене переменной.
   

   5. Решить получившиеся квадратные уравнения.
   6. Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения.
   7. Записать ответ.

Таблица для исследования числа решения биквадратных уравнений

№

Уравнение

Знак дискриминананта (D)

Корни промежуточного (нового) уравнения t₁ и t₂

Знаки корней нового уравнения

Корни исходного уравнения

Количество решений биквадрат. уравнения

1

х⁴ — 10х² + 9 = 0

 

 

 

 

 

2

2х⁴ — х² — 1 = 0

 

 

 

 

 

3

х⁴ + 5х² + 4 = 0

 

 

 

 

 

4

х⁴ — 4х² = 0

 

 

 

 

 

5

х⁴ — 8х² + 16 = 0

 

 

 

 

 

6

х⁴ + 8х² + 16 = 0

 

 

 

 

 

infourok.ru

Биквадратное уравнение | Алгебра

Биквадратное уравнение — это уравнение вида

   

где a, b и c — числа, причём a≠0.

Биквадратные уравнения решают введением новой переменной x²=t. Так как x²≥0, можем сразу ввести условие на t: t≥0.

По следствию из теоремы Безу, многочлен степени n имеет не больше n разных корней. Следовательно, биквадратное уравнение может иметь 4, 3, 2 корня, 1 корень либо не иметь корней.

Рассмотрим решение биквадратных уравнений на конкретных примерах.

   

Пусть

   

тогда 

   

Получили квадратное уравнение. Дискриминант

   

   

   

   

Оба корня удовлетворяют условию t≥0.

Возвращаемся к исходной переменной:

   

Решаем неполные квадратные уравнения, и получаем корни

   

Ответ:

   

   

Замена

   

   

Так как b= -2 — чётное число, дискриминант можно найти по формуле дискриминанта, делённого на 4:

   

   

   

Второй корень не удовлетворяет условию t≥0. От корня t=4 возвращаемся к исходной переменной

   

   

Ответ: ±2.

   

Замена

   

тогда

   

Корни приведённого квадратного уравнения можно найти по теореме, обратной теореме Виета:

   

Оба корня удовлетворяют условию t≥0. Возвращаемся к исходной переменной:

   

   

Ответ: ±3; ±1.

В некоторых случаях вывод о том, что  биквадратное уравнение не имеет корней, можно сделать, не решая уравнения. 

   

Так как

   

то

   

то есть

   

не может быть равным нулю, а значит, данное уравнение не имеет корней (Сумма неотрицательных чисел и положительного числа не может равняться нулю).

Ответ: корней нет.

Аналогично, не имеет корней уравнение

   

(Сумма неположительных чисел и отрицательного числа не может равняться нулю).

Если левая часть биквадратного уравнения представляет собой квадрат разности, удобнее свернуть её по формуле и приравнять эту разность к нулю.

   

   

   

   

   

   

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель дроби на квадратный корень из трёх:

   

   

Ответ:

   

Биквадратные уравнения — первый вид уравнений, решаемых заменой переменной. В дальнейшем этот метод применяется очень часто при решении уравнений из самых разных разделов алгебры.

www.algebraclass.ru

Как решать биквадратное уравнение

6 июля 2013

В прошлых уроках мы научились решать квадратные уравнения. Для этого потребовалось ввести новый математический объект — дискриминант. Если вы не помните, что это такое, рекомендую вернуться к уроку «Как решать квадратные уравнения».

Для начала определение, что вообще такое биквадратное уравнение — это любое выражение, где переменная присутствует только в 4-ой и во 2-ой степени.

Как считать такие биквадратные конструкции? Схема состоит из пяти шагов. Все шаги очень легкие и очень быстрые:

1)вводим новую переменную ${{x}^{2}}=t$. В этом случае, возведя обе части этого уравнения в квадрат, мы получим

\[\begin{align}& {{({{x}^{2}})}^{2}}={{t}^{2}} \\& {{x}^{4}}={{t}^{2}} \\\end{align}\]

2)переписываем наше выражение — $a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+4=0\to a{{t}^{2}}+bt+c=0$

3)находим решение для полученного уравнении и находим переменные ${{t}_{1}}$ и ${{t}_{2}}$, если корней будет два.

4)выполняем обратную замену, т. е. вспоминаем, что такое $t$, получаем две конструкции: ${{x}^{2}}={{t}_{1}}$ и ${{x}^{2}}={{t}_{2}}$.

5)решаем полученные уравнения и находим иксы.

Реальные задачи

Пример № 1

Давайте посмотрим, как эта схема работает на настоящих биквадратных уравнениях.

Решаем первую задачу:

\[{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4=0\]

Вводим новую переменную и переписываем:

\[{{x}^{2}}=t\to {{t}^{2}}-5t+4=0\]

Это обычное квадратное уравнение, посчитаем его с помощью дискриминанта:

\[D={{(-5)}^{2}}-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9\]

Это хорошее число. Корень равен 3.

Теперь находим значение $t$:

\[\begin{array}{·{35}{l}}

{{t}_{1}}\text{ }=\text{ }\frac{5+3}{2}=\text{ }\frac{8}{2}\text{ }=\text{ }4 \\{{t}_{2}}\text{ }=\frac{5-3}{2}=\text{ }\frac{2}{2}\text{= }1 \\\end{array}\]

Но будьте внимательны, мы нашли только $t$ — это не решение, это только третий шаг. Переходим к четвертому шагу — вспоминаем, что такое $t$ и решаем:

\[\begin{align}& {{x}^{2}}=4\to {{x}^{2}}-4=0\to (x-2)(x+2)=0 \\& \left[ \begin{align}& x=2 \\& x=-2 \\\end{align} \right. \\\end{align}\]

Вот мы и решили первую часть. Переходим ко второму значению $t$:

\[\begin{align}& {{x}^{2}}=1\to {{x}^{2}}-1=0\to (x-1)(x+1)=0 \\& \left[ \begin{align}& x=1 \\& x=-1 \\\end{align} \right. \\\end{align}\]

Итого у нас вышло четыре ответа: 2; -2; 1; -1, т.е. биквадратное уравнение может иметь до четырех корней.

Пример № 2

Переходим ко второму примеру:

\[{{x}^{4}}-25{{x}^{2}}+144=0\]

Тут я не буду подробно все расписывать. Давайте решать так, как бы мы делали это в классе.

Заменяем:

\[{{x}^{2}}=t\]

Тогда у нас выйдет:

\[{{t}^{2}}-25t+144=0\]

Считаем$D$:

\[D=\text{ }625\text{ }-\text{ }4\text{ }\cdot \text{ }144\text{ }=\text{ }49\]

Корень из дискриминанта равен 7. Найдем $t$:

\[\begin{array}{·{35}{l}}

{{t}_{1}}\text{ }=\frac{25+7}{2}\text{ }=\text{ }\frac{32}{2}=\text{ }16 \\{{t}_{2}}\text{ }=\frac{25-7}{2}=\text{ }\frac{18}{2}\text{ }=\text{ }9 \\\end{array}\]

Вспоминаем, что такое $t$:

\[\begin{align}& {{x}^{2}}=16 \\& \left[ \begin{align}& x=4 \\& x=-4 \\\end{align} \right. \\\end{align}\]

Второй вариант:

\[\begin{align}& {{x}^{2}}=9 \\& \left[ \begin{align}& x=3 \\& x=-3 \\\end{align} \right. \\\end{align}\]

Вот и все. У нас снова четыре ответа: 4; -4; 3; -3.

Пример № 3

Переходим к последнему биквадратному уравнению:

\[{{x}^{4}}-\frac{5}{4{{x}^{2}}}+\frac{1}{4}=0\]

Опять же вводим замену:

\[{{x}^{2}}=t\]

Тогда:

\[{{t}^{2}}-\frac{5}{4t}+\frac{1}{4}=0\]

Давайте умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:

\[4{{t}^{2}}-5t+1=0\]

Найдем $D$:

\[D=\text{ }25\text{ }-\text{ }16\text{ }=\text{ }9\]

Корень из дискриминанта равен трем:

\[\begin{array}{·{35}{l}}

{{t}_{1}}\text{ }=\text{ }\frac{5+3}{2\cdot 4}=\text{ }\frac{8}{8}\text{ }=\text{ }1 \\{{t}_{2}}\text{ }=\frac{5-3}{2\cdot 4}=\text{ }\frac{2}{8}=\text{ }\frac{1}{4} \\\end{array}\]

Считаем иксы. Вспоминаем, что такое $t$:

\[\begin{align}& {{x}^{2}}=1 \\& \left[ \begin{align}& x=1 \\& x=-1 \\\end{align} \right. \\\end{align}\]

Второй вариант чуть посложнее:

\[\begin{align}& {{x}^{2}}=\frac{1}{4} \\& \left[ \begin{align}& x=\frac{1}{2} \\& x=-\frac{1}{2} \\\end{align} \right. \\\end{align}\]

Мы получили снова четыре корня:

\[1;\text{ }-1;\text{ }\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\]

Вот так решаются все биквадратные уравнения. Конечно, это не самый быстрый способ, зато он самый надежный. Попробуйте самостоятельно прорешать такие же примеры, как и в этом видео. В ответе значения иксов нужно записывать через точку с запятой — вот так, как я записывал. На этом урок закончен. Удачи!

Смотрите также:

1. Следствия из теоремы Виета
2. Иррациональное уравнение: учимся решать методом уединения корня
3. Тест к уроку «Десятичные дроби» (2 вариант)
4. Комбинаторика в задаче B6: средний тест
5. Видеоурок по задачам C2: уравнение плоскости через определитель
6. Тест по задачам B14: средний уровень, 2 вариант

www.berdov.com

Биквадратные уравнения. Уравнения приводимые к квадратным

Вопросы занятия:

·  повторить алгоритм решения уравнений, приводимых к квадратным;

·  вспомнить, какие уравнения называются биквадратными.

Материал урока

Мы уже с вами вспоминали, какие уравнения называются квадратными и как решать квадратные уравнения с помощью дискриминанта или теоремы Виета.

Также рассматривают так называемые биквадратные уравнения. Частичка би означает два, то есть биквадратное уравнение можно понимать, как квадратное в квадратном.

Звучит не очень понятно, но на самом деле – все просто.

Определение.

Биквадратным называется уравнение вида:

Обратите внимание, здесь переменная или выражение с переменной появляются только в четвертой и второй степени, это особенность таких уравнений.

Рассмотрим пример.

Пример.

Биквадратное уравнение введением новой переменной приводится к квадратному уравнению.

Решая это уравнение, находим корни квадратного уравнения. Возвращаясь к замене, мы получим в зависимости от корней квадратного уравнения или ни одного, или одно или два квадратных уравнений. Решения этих уравнений и будут решениями исходного биквадратного уравнения.

Теперь давайте вспомним, что:

Рассмотрим пример.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Итак, давайте теперь сформулируем алгоритм решения уравнений, сводящихся к квадратным в целом и решения биквадратных уравнений в частности.

Итоги урока.

Сегодня на уроке, мы рассмотрели алгоритм решения уравнений, приводимые к квадратным, вспомнили какие уравнения называются биквадратными. Рассмотрели несколько примеров.

videouroki.net

Методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему: Биквадратные уравнения

Урок по алгебре 9 класса по теме: «Биквадратные уравнения»

План урока

1. Устная работа.
2. Объяснение нового материала.
3. № 278 (а).
4. Составление алгоритма.
5. № 278 (в) (I, II способы).
6. № 278 (б) (С помощью выделения квадрата двучлена).
7. Графический способ решения биквадратных уравнений.
8. Биквадратное уравнение со знаком модуля.
9. Самостоятельная работа.

Ход урока

Устная работа

1. Представьте  в виде квадрата двучлена квадратный трехчлен

4 + 12х + 9

2. Замените ☺ таким одночленом, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена.

 + 20b + ☺

А теперь представьте данный квадратный трехчлен в виде квадрата двучлена

    –  квадрат суммы  b и 10.

3. Выделите квадрат двухчлена из квадратного трехчлена:

  – 6х – 2

Объяснение

На предыдущем уроке мы с вами решали уравнения методом введения новой переменной.

Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, имеющие вид:      + b  + C = 0 (пишу на доске).

Уравнения вида:       + b  + C = 0, где   0, являющиеся квадратными относительно , называют биквадратными уравнениями (“би”, т.е. два, значит дважды квадрат).

Сегодня на уроке мы будем учиться решать биквадратные уравнения. И начнем с примера.

Запишем:   9 – 10 + 1 = 0    –   биквадратное уравнение.

Обозначим  через y. Запишем:

Пусть  = y, где  y0, (т.к.  всегда принимает неотрицательные значения). Следовательно уравнение х сведется к переменной y :

9 – 10y + 1 = 0,

D = 100 – 49 = 64, D  0,

Таким образом,    ,  1 0

       или    

 ,  

Ответ: ;  ; ;

 

№ 222 (а)

А теперь решаем 222 (а). ( Решает ученик у доски)

а)

Пусть =у, где у0 , тогда

 

D=25 – 4*(–36)= 169, D > 0,

   не удовлетворяет условию у0

 

Ответ:  – 3; 3.

А теперь давайте составим алгоритм решения  биквадратных уравнений.

 

 + b  + C = 0, где   0

Пусть =у, где у0 , тогда

 + b + C = 0

1. D > 0, два корня

Если , то =, =

Если , то =, =

2. D = 0, один корень

Если , то =, =

Если у

3. D

№ 222 (в)

в) ,

I способ:

      Внимание !

Ребята! Обратите внимание на это уравнение:

Представим левую часть в виде квадрата двучлена

Получим

Отсюда

             

Ответ: нет корней.

II способ:

Посмотрите, как можно еще проще решить это уравнение.

, ,  , значит квадратный трехчлен при любом t принимает положительные значения.

Ответ: нет корней.

№ 222 (б)

Решим еще одно биквадратное уравнение

б)

Решим биквадратное уравнение выделением квадрата двухчлена:

 

Отсюда

 или ,

                 

,        ,

Ответ: , , 2 , 2

Графический способ

Рассмотрим еще один способ решения биквадратных уравнений: графический

Представим данное уравнение в виде :

Построим схематически с помощью шаблонов в одной системе координат графики функций:

y  , у  ( графиком функции y  является парабола ветви которой направлены вверх с вершиной в точке с координатами (0;0), графиком функции

у  является парабола ветви, которой направлены вниз с вершиной в точке (0;6))

Они не пересекаются, значит данное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

Ребята!

Но этот способ не всегда эффективен, т.к. графический способ не обеспечивает высокую точность результата

Уравнение с модулями

Решим уравнение с модулем

 

 

  если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей  равен нулю

 или

      = 0                      

                     ,   

 ,  

Ответ: 0 ,   – 2, 2 ,     

Самостоятельная работа

А теперь самостоятельная работа: два варианта.

Мне хочется посмотреть как вы усвоили новую тему и какие способы решения биквадратных уравнений вы выберете.

Вариант 1.

Вариант 2.

      Вариант 1 (ответы).

     1)4

Пусть =у, где у0 , тогда

4

D=25 – 4*4= 9, D > 0,

  

 

    или

 ,

Ответ:   ,

     2)

, ,  , значит квадратный трехчлен при любом t (x) принимает положительные значения.

Ответ: нет корней.

Вариант 2 (ответы).

Пусть =у, где у0 , тогда

 

D=9 – 4*(–10)= 49, D > 0,

   не удовлетворяет условию у0

 

Ответ:  

,

Ответ: ,

Какие же способы вы выбрали? Молодцы!

Сдал тетради.

Спасибо за урок!

Мне очень понравилось, как вы работали, но особенно хочу отметить…

Домашнее задание

п.12 № 279, 347(в), 352(а).

nsportal.ru

Урок по алгебре 9 класс «Биквадратные уравнения»

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

Предмет: алгебра

Класс: 9

Тема урока: Биквадратные уравнения

Базовый учебник: Ю.Н. Макарычев «Алгебра, 9», 2014 г.

Цели урока:

а) образовательная: рассмотрение способов решения биквадратных уравнений;

б) воспитательная: воспитание навыков групповой работы, сознательной деятельности учащихся;

в) развивающая: развитие мыслительной деятельности учащихся, навыков взаимодействия между учащимися, умения обобщать изучаемые факты.

Тип урока: комбинированный урок.

Используемое оборудование: раздаточный материал.

Используемые технологии: системно – деятельностный подход.

Форма организации деятельности учащихся: групповая, индивидуальная, фронтальная.

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Обобщение и систематизация знаний.

4. Закрепление полученных знаний

5. Контроль усвоения знаний, коррекция.

6. Рефлексия.
   
   

1. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

На прошедших уроках мы начали работу с уравнениями 3 и 4 степени. Вы научились решать уравнения следующими способами

Сегодня мы продолжим использовать метод введения новой переменной. Именно с помощью данного метода возможно решить биквадратные уравнения.

Рассмотрим пример

№1

Введем новую переменную, получим

Решаем полученное квадратное уравнение одним из способов(по формулам дискриминант и половинный дискриминант, теорема Виета, свойства коэффициентов)

,

Возвращаемся к исходной переменной:

, , ,

, ,

Значит, исходное уравнение имеет 4 корня.

Аналогично решим следующее уравнение

№2

Один корень:

Возвращаемся к исходной переменной:

№1

Введем новую переменную, получим

Решаем полученное квадратное уравнение одним из способов(по формулам дискриминант и половинный дискриминант, теорема Виета, свойства коэффициентов)

,

Возвращаемся к исходной переменной:

, корней нет

,

Значит, исходное уравнение имеет 2 корня.

III. Закрепление полученных знаний

№278(а,в,д)

А)

В)корней нет

Д),

№3 Решить уравнение из ОГЭ.(c комментариями учителя)

Задание 21(2 балла)

Введем новую переменную, получим

Решаем полученное квадратное уравнение одним из способов(по формулам дискриминант и половинный дискриминант, теорема Виета, свойства коэффициентов)

,

Возвращаемся к исходной переменной:

корней нет, т.к. квадрат числа-неотрицателен

Получили два корня 0 и -4.

V. Контроль усвоения знаний, коррекция.

Самостоятельная работа по вариантам

Решить биквадратные уравнения

6. Рефлексия.

   1. С каким видом уравнений вы сегодня познакомились?

   2. Каким способом решаются такие уравнения?
      
      

7. Домашнее задание

№278(бге), 280(аб)

www.metod-kopilka.ru