Решить рациональное уравнение онлайн с решением
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Если вы видите выражение с дробями с переменной в числителе/знаменателе, то перед вами выражение, именуемое в математике рациональным уравнением. В целом можно назвать рациональными уравнениями все уравнения, имеющие в своем составе 1 рациональное выражение. Что касается решений рациональных уравнений, то они решаются следующим образом: производятся операции в левой и правой стороне до момента, когда переменная не обособляется на одной стороне. Существует два способа решения таких уравнений:
— умножение крест-накрест;
— НОЗ (наименьший общий знаменатель).
Так же читайте нашу статью «Решить рациональное уравнение с дробями онлайн решателем»
Первые метод используется в том случае, если после того как было переписанное уравнение, на каждой его стороне образовалась одна дробь. Например:
\[\frac {x+3}{4}- \frac{x}{2}= 0\]
Чтобы использовать метод умножения крест-накрест необходимо преобразовать уравнения к виду:
\[\frac {x+3}{4}= \frac {x}{-2}\]
Второй метод можно использовать тогда, когда перед вами уравнение с 3/более дробями. Например:
\[\frac {x}{3}+ \frac {1}{2}=\frac{3x+1}{6} \]
Для данного уравнения наименьшим общим кратным числом будет 6, что позволит легко решить данное уравнение.
Где можно бесплатно решить рациональное уравнение онлайн?
Решить рациональное уравнение онлайн с решением вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
www.pocketteacher.ru
Решение иррациональных уравнений
Решение иррациональных уравнений.
В этой статье мы поговорим о способах решения простейших иррациональных уравнений.
Иррациональным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестное под знаком корня.
Давайте рассмотрим два вида иррациональных уравнений, которые очень похожи на первый взгляд, но по сути сильно друг от друга отличаются.
(1)
и
(2)
В первом уравнении мы видим, что неизвестное стоит под знаком корня третьей степени. Мы можем извлекать корень нечетной степени из отрицательного числа, поэтому в этом уравнении нет никаких ограничений ни на выражение, стоящее под знаком корня, ни на выражение, стоящее в правой части уравнения. Мы можем возвести обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от корня. Получим равносильное уравнение:
При возведении правой и левой части уравнения в нечетную степень мы можем не опасаться получить посторонние корни.
Пример 1. Решим уравнение
Возведем обе части уравнения в третью степень. Получим равносильное уравнение:
Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем за скобки х:
Приравняем каждый множитель к нулю, получим:
, ,
Ответ: {0;1;2}
Посмотрим внимательно на второе уравнение: . В левой части уравнения стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения. Поэтому, чтобы уравнение имело решения, правая часть тоже должна быть неотрицательной. Поэтому на правую часть уравнения накладывается условие:
— это условие существования корней.
Чтобы решить уравнение такого вида, нужно обе части уравнения возвести в квадрат:
(3)
Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, поэтому нам надо учесть ОДЗ уравнения:
(4)
Однако, неравенство (4) следует из условия (3): если в правой части равенства стоит квадрат какого-то выражения, а квадрат любого выражения может принимать только неотрицательные значения, следовательно левая часть тоже должна быть неотрицательна. Поэтому условие (4) автоматически следует из условия (3) и наше уравнение равносильно системе:
Пример 2. Решим уравнение:
.
Перейдем к равносильной системе:
Решим первое уравнение системы и проверим, какие корни удовлетворяют неравеству.
,
Неравеству удовлетворяет только корень
Ответ: x=1
Внимание! Если мы в процессе решения возводим обе части уравнения в квадрат, то нужно помнить, что могут появиться посторонние корни. Поэтому либо нужно переходить к равносильной системе, либо в конце решения СДЕЛАТЬ ПРОВЕРКУ: найти корни и подставить их в исходное уравнение.
Пример 3. Решим уравнение:
Чтобы решить это уравнение, нам также нужно возвести обе части в квадрат. Давайте в этом уравнении не будем заморачиваться с ОДЗ и условием существования корней, а просто в конце решения сделаем проверку.
Воозведем обе части уравнения в квадрат:
Перенесем слагаемое, содержащее корень влево, а все остальные слагаемые вправо:
Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:
По тереме Виета:
,
Сделаем проверку. Для этого подставим найденные корни в исходное уравнение. Очевидно, что при правая часть исходного уравнения отрицательна, а левая положительна.
При получаем верное равенство.
Ответ:
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
ege-ok.ru
Решение иррациональных уравнений. Методика
Решение иррациональных уравнений имеет практический интерес для школьников, абитуриентов, преподавателей. Поэтому не теряйте времени и изучите методику решений иррациональных уравнений.
Пример 1. Определить меньший корень иррационального уравнения
Решение.Схема вычислений такого сорта примеров следующая:
Переносим отрицательное слагаемое за знак равенства и возведем корни к квадрату. Чтобы не возникла ситуация, когда под корнем получим отрицательное значение в конце обязательно проверяем ответ
Поскольку подкоренное выражение должно быть положительным по определению то модули опускаем и группируем подобные слагаемые
Полученное квадратное уравнение согласно теореме Виета имеет корни x=1; x=5.
В условии спрашивают за меньшее значение, и здесь половина из вас в ответ впишется x=1.
И это будет неправильно! Попробуйте подставить единицу в уравнение
Получили корни из отрицательных чисел. Это в иррациональных уравнениях недопустимо, в комплексных числах обычная ситуация, но в 10 классе комплексные числа не учат. Теперь попробуйте подставить x=5
Получили тождество и проверили единственный правильное решение иррационального уравнения (x=5).
Корень и есть наименьшим для заданного примера. Вообще говоря, тестовые задания при поступлении в ВУЗы так и построены, что Вы долго решаете, тратите драгоценное время. И если не проверите правильность решения то можете недосчитаться нескольких необходимых для вступления баллов. Поэтому будьте внимательны при решении иррациональных примеров на тестах, контрольных, срезах.
Пример 2. Определить больший корень уравнения
Решение. Схему для такой задачи Вы уже знаете. Записываем область допустимых значений (ОДЗ) корней
Сводим иррациональное уравнение к квадратному
Возведем к квадрату, сгруппируем подобные слагаемые
Вычислим дискриминант уравнения
и его корни
И снова загвоздка — кто не знает отрицательных чисел тянется поставить в ответ x=-4. Однако -2,5 есть больше -5. Кто ответит x=-2,5 тоже может оказаться неправым если окажется, что значение не удовлетворяет ОДЗ. Поэтому, для себя сделайте простой вывод — после вычисления иррациональных уравнений проверяйте решение подстановкой. Поскольку -2,5>-5, то его мы и проверим
В таких вычислениях стоит иметь под рукой инженерный калькулятор.
Правые стороны равны, следовательно x=-2,5 – искомый корень иррационального уравнения.
Пример 3. Решение уравнения
Решение. Знакомьтесь с новым типом иррациональных уравнений — сумма корней равна нулю. Решать их легче, чем предыдущие задания. А все одно простое правило – сумма корней равна нулю тогда и только тогда, когда покоренные функции равны нулю.
То есть, нужно решить два квадратных уравнения и выбрать корень, который является общим для двух если таковой существует. В противном случае уравнение решений не имеет. Поскольку квадратичные функции под корнями несложные то решения находим через теорему Виета
Общим для двух уравнений будет x=-3 – это и есть искомое решение.
Пример 4. Определить сумму корней уравнения
которые являются натуральными числами.
Решение. Согласно условию произведение корней равно нулю. Очевидно, что каждый из корней нужно приравнять к нулю.
Суммируем корни 7-7+5=5.
Ответ: 5.
Здесь умышленно допущена ошибка, потому что такая ситуация часто встречается на практике.
Все решают и часто забывают что требовалось найти: сумму натуральных чисел (корней). Поэтому правильный ответ – (7+5)=12.
Пример 5. Определить наименьшее решение уравнения
Решение. Приравниваем корни до нуля и располагаем корни в ряд по возрастанию.
Есть 4; 7; 9,5. Наименьший из найденных x=4.
Пример 6. Решить уравнение
Решение. Не каждый может сразу увидеть, что поза корнем дело находится подкоренное выражение в квадрате. То есть
Отсюда легко находим решение x=3/2=1,5. Ошибкой в такого рода задачах является перенос квадратичной зависимости вправо за знак равенства и возведения к квадрату с последующими попытками упростить и получить ответ. Правильным алгоритмом в подобных заданиях является выделение полного квадрата. Это всегда помните и используйте на практике.
Пример 7. Решите уравнение
Решение. Имеем идентичный по методике решения пример, поэтому сразу запишем
4x+3=0; x=-3/4=-0,75,
а Вы попробуйте выделить полный квадрат и решить по приведенной выше схеме.
Пример 8. Решите уравнение
Решение. Довольно распространенный вариант иррациональных задач. Прежде всего выписываем ОДЗ
Далее возводим обе части уравнения к квадрату
В некоторых закрадутся сомнения, что квадрат этого числа (-3,875)^2 меньше 15 и уравнение не имеет решения. Однако, проверка на калькуляторе показывает
что х=-3,875 является решением иррационального уравнения.
Это лишь малая часть примеров на иррациональные уравнения которые можно встретить на тестах при поступлении в ВУЗы. Однако на их базе можно получить немалый опыт, как не допустить ошибок при решении иррациональных уравнений.
Похожие материалы:
yukhym.com