Обратная матрица с помощью элементарных преобразований
Для того что бы найти обратную матрицу можно использовать два метода: с помощью алгебраических дополнений (метод присоединённой (союзной) матрицы) или элементарных преобразований (метод Жордано-Гаусса). Рассмотрим как найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований.
Обратной матрицей называется матрицы A-1 при умножении на исходную матрицу A получается единичная матрица E.
A·A-1 = A-1 · A = E
Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований:
- Найти определитель (детерминант) матрицы A. Если определитель ≠ 0, то обратная матрица существует. Если определитель = 0, то обратная матрица не существует.
- Дописываем справа единичную матрицу
- Делаем обратный ход. Обнуляем все элементы (с помощью элементарных преобразований) левой матрицы стоящей над ее главной диагонали.
- Элементы главной диагонали левой матрицы, преобразуем в единицы.
Пример
Рассмотрим данный метод на примере. Дана матрицы 3х3:
Найдем определитель (детерминант) матрицы, detA = 8 обратная матрица существует.
Допишем к нашей матрице слева единичную матрицу.
Чтобы сделать нули под элементом a11, вычтем 1-ую строку из всех строк, что расположены ниже её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a11.
Чтобы сделать нули над элементом a33, вычтем 3-ую строку с всех строк, что расположены выше её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a 33.
Чтобы сделать нули над элементом a22, вычтем 2-ую строку с всех строк, что расположены выше её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a22.
Поделим каждую строку на элемент, который стоит на главной диагонали.
Вот мы и нашли обратную матрицу.
www.mozgan.ru
Обратная матрица
Задача №6. Найти матрицу, обратную к матрице.
Решение.
1) Найдем
, следовательно обратная матрица существует.
2) Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А
3) Запишем союзную матрицу
4) Найдем обратную матрицу
5) Сделаем проверку
Задача №7. Найти матрицу, обратную к матрице.
Решение.
1) Найдем
, следовательно обратная матрица существует.
2) Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А
3) Запишем союзную матрицу
4) Найдем обратную матрицу
5) Сделаем проверку
Задача №8. Найти матрицу, обратную к матрице.
Решение.
1) Найдем
, следовательно обратная матрица существует.
2) Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А
3) Запишем союзную матрицу
4) Найдем обратную матрицу
5) Сделаем проверку
Задача №9. С помощью элементарных преобразований строк найти матрицу, обратную.
Решение.
Припишем к матрице справа единичную матрицу и будем выполнять элементарные преобразования строк объединенной матрицы до тех пор
Задача №10. Найти ранг матрицы
Решение.
Ранг матрицы равен 3.
Задачи для самостоятельного решения:
а) по правилу треугольника;
б) с помощью разложения по первой строке;
в) преобразованием, используя свойства определителей.
2. Найти минор и алгебраическое дополнение элемента a13 определителяи вычислить его разложением по элементам строки или столбца.
3. Решить уравнение
4. Вычислить определитель 4-го порядка разложением по элементам строки или столбца:
5. Найти обратную матрицу для следующих матриц:
; 2); 3); 4).
6. Решить матричные уравнения:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7);
8).
7. Доказать, что если А – квадратная матрица и (А+Е)2=О, то матрица А имеет обратную. Найти обратную для А матрицу.
8. Найти все матрицы второго порядка, для которых А-1=А.
Занятие 3. Решение систем линейных уравнений методом Крамера и методом обратной матрицы.
Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:
Понятие системы линейных алгебраических уравнений.
Понятие решения системы линейных алгебраических уравнений.
Определение совместной и несовместной системы.
Достаточное условие совместной системы.
Определение однородной и неоднородной системы.
Формулы Крамера.
Алгоритм решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
Типовые примеры Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Задача №1. Решить систему:
Решение.
Определитель системы:
поэтому ее решение определяется по формулам Крамера:
Но
,
Тогда
Задача №2. Решить систему:
Решение.
Определитель данной системы
Задача №3. Решить систему:
Решение.
Определители , так как у них строки пропорциональны. Здесь оба уравнения системы определяют одну и ту же прямую и решением системы являются координаты любой точки этой прямой. Отсюда следует, что система имеет бесчисленное множество решений.
Задача №4. Решить систему
Решение.
Вычисляем определители:
Так как , то данная система имеет единственное решение. Находим его по формулам Крамера:
studfiles.net
Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы методом присоединённой матрицы. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.
Определение. Матрица А-1называется обратной к матрице А, если выполняется условие: АА-1= А-1А=Е, где Е — единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Обратная А-1матрица имеет ту же размерность, что и матрица А.
Определение. Квадратная матрица А=называется невырожденной, если её определитель неравен нулю, в противном случае матрица называется вырожденной.
Теорема.Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
Определение. Присоединенной матрицейк матрице А называется матрица вида:
=, где Аij-алгебраическое дополнение элемента аij.
Находят обратную матрицу поформуле: А-1=.
Пример 3.1
Найти обратную матрицу методом присоединенной матрицы.
А=
Решение.
Выясним, является ли данная матрица невырожденной. Для этого найдем определитель матрицы:
=3(-1)1+1+0(-1)2+1+1(-1)3+1=3(12-4)+0+(2-6)=24-4=20.
Т.к. 0, следовательно, данная матрица имеет обратную.
Найдем транспонированную матрицу.
АТ=
Вычислим присоединенную матрицу. Для этого найдем алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы.
= (-1)1+1=12-4=8
= (-1)1+2= -(4-4)= 0
= (-1)1+3= 2-6= -4
= (-1)2+1= -(0-2)=2
= (-1)2+2= 12-2=10
= (-1)2+3= -(6-0)= -6
= (-1)3+1= 0-3= -3
= (-1)3+2= -(6-1)= -5
= (-1)3+3= 9-0=9.
=
4. Воспользуемся формулой: А-1=.
А-1==.
Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы
Пусть дана система линейных уравнений. Обозначим её через (1). Выпишим основную матрицу данной системы: А=, вектор-столбец неизвестных:X=и вектор-столбец свободных членов:B=. Теперь перепишем систему (1) в матричной форме:AX=BX=A-1B- решение системы (1).
Пример 3.2
Решить систему линейных уравнений: методом обратной матрицы.
Решение.
Формула, по которой будем находить решение системы: X=A-1B.
Основная матрица системы А=, вектор-столбец неизвестных:X=и вектор-столбец свободных членов:B=.
Найдем определитель =3(-1)1+1+0(-1)2+1+1(-1)3+1=3(12-4)+0+(2-6)=24-4=20.
Т.к. 0, следовательно, данная матрица имеет обратную.
Найдем обратную матрицу с помощью присоединенной матрицы (см. пример 3.1):
А-1=.
Подставим в формулу X=A-1B, получим:X===
Ответ: =, ,.
Правильность решения легко проверить, подставив полученные результаты, , в данную систему уравнения.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера
Пусть дана система линейных уравнений. Обозначим её через (1). Основная матрица данной системы: А=, вектор-столбец неизвестных:X=и вектор-столбец свободных членов:B=. Теперь запишем систему (1) в матричной форме:AX=B.
Теорема Крамера. Пусть —определитель матрицы А, j—определитель матрицы, получаемой из А заменойj-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если0, то система имеет единственное решение:, (1jn).
Пример 4.1
Решить систему линейных уравнений: методом Крамера.
Решение.
Основная матрица системы А=и вектор-столбец свободных членов:B=.
Найдем определитель ==3(-1)1+1+0(-1)2+1+1(-1)3+1=3(12-4)+0+(2-6)=24-4=20. Т.к.0, следовательно, можно применить формулы Крамера.
Найдем определители ,,, полученные заменой соответствующих столбцов столбцом свободных членов:
==1(12-4)-1(8-6)+2(4-9)=8-2-10= -4;
==3(8-6)-0+1(2-4)=6-2=4;
==3(9-4)-0+1(2-3)=15-1=14.
Тогда, по формуле Крамера:
== —=;
=;
=.
Ответ: =, ,.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Пусть дана система линейных уравнений. Рассмотрим расширенную матрицу (АВ) данной системы и с помощью элементарных преобразований приведем её к ступенчатому виду, в результате получим расширенную матрицу (АВ).
Если ранг основной матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы r(A)<r(АВ), то система несовместна. Еслиr(A)=r(АВ)=n, гдеn-число неизвестных, то система совместна и определена. Еслиr(A)=r(АВ)<n, гдеn-число неизвестных, то система совместна и неопределенна.
Записываем систему линейных уравнений из полученной ступенчатой матрицы. Определяем базисные и свободные переменные, и выражая базисные переменные через свободные получаем решение системы.
Пример 4.2
Решить систему линейных уравнений: методом Гаусса.
Решение.
r(A)=r(АВ)=nсистема совместна и определена.
Отсюда, запишем эквивалентную систему уравнений, имеем:
Решая её, получаем:
Ответ: =, ,.
Пример 4.3
Найти общее решение системы: .
Решение.
Составим матрицу системы: А=
Приведем её к треугольному виду:
r(A)=2. Запишем эквивалентную систему уравнений:
Примем за базисные переменные и, а свободные находим из условия (n-r), гдеn-число неизвестных, получаем (3-2)=1, т. е. у нас одна свободная переменная это.
Выразим базисные переменные через свободные: . Обозначая свободную переменную:=, получаем общее решение в виде:
Пример 4.4
Найти общее решение системы:
Решение.
Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:
АВ=
r(A)=r(AВ)=2<n, гдеn-число неизвестных, то система совместная и неопределенная. Запишем эквивалентную систему уравнений:
Примем за базисные переменные и, а свободные находим из условия (n-r), гдеn-число неизвестных, получаем (5-2)=3, значит,-свободные переменные.
Выразим базисные переменные через свободные: Обозначая свободную переменную:=,,получаем общее решение в виде:.
studfiles.net
Лекция 7 — Обратная матрица и ее построение. Свойства обратных матриц. Решение матричных уравнений.
Страница 1 из 3
Обратная матрица.
Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.
Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:
XA = AX = E,
где Е — единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.
Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.
Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.
Исходя из определения произведения матриц, можно записать:
AX = E Þ , i=(1,n), j=(1,n),
eij = 0, i ¹ j,
eij = 1, i = j .
Таким образом, получаем систему уравнений:
,
Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.
Пример. Дана матрица А = , найти А-1.
Таким образом, А-1=.
Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:
,
где Мji— дополнительный минор элемента аji матрицы А.
Пример. Дана матрица А = , найти А-1.
det A = 4 — 6 = -2.
M11=4; M12= 3; M21= 2; M22=1
x11= -2; x12= 1; x21= 3/2; x22= -1/2
Таким образом, А-1=.
grishko.esy.es