Решение обратных матриц – Найти обратную матрицу онлайн | Мозган калькулятор онлайн

Обратная матрица с помощью элементарных преобразований

Для того что бы найти обратную матрицу можно использовать два метода: с помощью алгебраических дополнений (метод присоединённой (союзной) матрицы) или элементарных преобразований (метод Жордано-Гаусса). Рассмотрим как найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований.

Обратной матрицей называется матрицы A-1 при умножении на исходную матрицу A получается единичная матрица E.

A·A-1 = A-1 · A = E

Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований:

  1. Найти определитель (детерминант) матрицы A. Если определитель ≠ 0, то обратная матрица существует. Если определитель = 0, то обратная матрица не существует.
  2. Дописываем справа единичную матрицу
  3. Делаем прямой ход. Обнуляем все элементы (с помощью элементарных преобразований) левой матрицы стоящей под ее главной диагонали.
  4. Делаем обратный ход. Обнуляем все элементы (с помощью элементарных преобразований) левой матрицы стоящей над ее главной диагонали.
  5. Элементы главной диагонали левой матрицы, преобразуем в единицы.

Пример

Рассмотрим данный метод на примере. Дана матрицы 3х3:

Найдем определитель (детерминант) матрицы, detA = 8 обратная матрица существует.

Допишем к нашей матрице слева единичную матрицу.

Чтобы сделать нули под элементом a11, вычтем 1-ую строку из всех строк, что расположены ниже её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a11.

Чтобы сделать нули над элементом a33, вычтем 3-ую строку с всех строк, что расположены выше её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a33.

Чтобы сделать нули над элементом a22, вычтем 2-ую строку с всех строк, что расположены выше её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a22

.

Поделим каждую строку на элемент, который стоит на главной диагонали.

Вот мы и нашли обратную матрицу.

www.mozgan.ru

Обратная матрица

Задача №6. Найти матрицу, обратную к матрице.

Решение.

1) Найдем

, следовательно обратная матрица существует.

2) Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А

3) Запишем союзную матрицу

4) Найдем обратную матрицу

5) Сделаем проверку

Задача №7. Найти матрицу, обратную к матрице.

Решение.

1) Найдем

, следовательно обратная матрица существует.

2) Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А

3) Запишем союзную матрицу

4) Найдем обратную матрицу

5) Сделаем проверку

Задача №8. Найти матрицу, обратную к матрице.

Решение.

1) Найдем

, следовательно обратная матрица существует.

2) Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А

3) Запишем союзную матрицу

4) Найдем обратную матрицу

5) Сделаем проверку

Задача №9. С помощью элементарных преобразований строк найти матрицу, обратную.

Решение.

Припишем к матрице справа единичную матрицу и будем выполнять элементарные преобразования строк объединенной матрицы до тех пор

Задача №10. Найти ранг матрицы

Решение.

Ранг матрицы равен 3.

Задачи для самостоятельного решения:

а) по правилу треугольника;

б) с помощью разложения по первой строке;

в) преобразованием, используя свойства определителей.

2. Найти минор и алгебраическое дополнение элемента a13 определителяи вычислить его разложением по элементам строки или столбца.

3. Решить уравнение

4. Вычислить определитель 4-го порядка разложением по элементам строки или столбца:

5. Найти обратную матрицу для следующих матриц:

  1. ; 2); 3); 4).

6. Решить матричные уравнения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7);

8).

7. Доказать, что если А – квадратная матрица и (А+Е)2=О, то матрица А имеет обратную. Найти обратную для А матрицу.

8. Найти все матрицы второго порядка, для которых А-1=А.

Занятие 3. Решение систем линейных уравнений методом Крамера и методом обратной матрицы.

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

  1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений.

  2. Понятие решения системы линейных алгебраических уравнений.

  3. Определение совместной и несовместной системы.

  4. Достаточное условие совместной системы.

  5. Определение однородной и неоднородной системы.

  6. Формулы Крамера.

  7. Алгоритм решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Типовые примеры Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Задача №1. Решить систему:

Решение.

Определитель системы:

поэтому ее решение определяется по формулам Крамера:

Но

,

Тогда

Задача №2. Решить систему:

Решение.

Определитель данной системы но определительчто говорит о несовместности системы. Геометрически это означает, что данные прямые не пересекаются, т.е. параллельны.

Задача №3. Решить систему:

Решение.

Определители , так как у них строки пропорциональны. Здесь оба уравнения системы определяют одну и ту же прямую и решением системы являются координаты любой точки этой прямой. Отсюда следует, что система имеет бесчисленное множество решений.

Задача №4. Решить систему

Решение.

Вычисляем определители:

Так как , то данная система имеет единственное решение. Находим его по формулам Крамера:

studfiles.net

Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы методом присоединённой матрицы. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.

Определение. Матрица А-1называется обратной к матрице А, если выполняется условие: АА-1= А-1А=Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Обратная А-1матрица имеет ту же размерность, что и матрица А.

Определение. Квадратная матрица А=называется невырожденной, если её определитель неравен нулю, в противном случае матрица называется вырожденной.

Теорема.Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Определение. Присоединенной матрицейк матрице А называется матрица вида:

=, где Аij-алгебраическое дополнение элемента аij.

Находят обратную матрицу поформуле: А-1=.

Пример 3.1

Найти обратную матрицу методом присоединенной матрицы.

А=

Решение.

  1. Выясним, является ли данная матрица невырожденной. Для этого найдем определитель матрицы:

=3(-1)1+1+0(-1)2+1+1(-1)3+1=3(12-4)+0+(2-6)=24-4=20.

Т.к. 0, следовательно, данная матрица имеет обратную.

  1. Найдем транспонированную матрицу.

АТ=

  1. Вычислим присоединенную матрицу. Для этого найдем алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы.

= (-1)1+1=12-4=8

= (-1)1+2= -(4-4)= 0

= (-1)1+3= 2-6= -4

= (-1)2+1= -(0-2)=2

= (-1)2+2= 12-2=10

= (-1)2+3= -(6-0)= -6

= (-1)3+1= 0-3= -3

= (-1)3+2= -(6-1)= -5

= (-1)3+3= 9-0=9.

=

4. Воспользуемся формулой: А-1=.

А-1==.

Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Пусть дана система линейных уравнений. Обозначим её через (1). Выпишим основную матрицу данной системы: А=, вектор-столбец неизвестных:X=и вектор-столбец свободных членов:B=. Теперь перепишем систему (1) в матричной форме:AX=BX=A-1B- решение системы (1).

Пример 3.2

Решить систему линейных уравнений: методом обратной матрицы.

Решение.

Формула, по которой будем находить решение системы: X=A-1B.

Основная матрица системы А=, вектор-столбец неизвестных:X=и вектор-столбец свободных членов:B=.

Найдем определитель =3(-1)1+1+0(-1)2+1+1(-1)3+1=3(12-4)+0+(2-6)=24-4=20.

Т.к. 0, следовательно, данная матрица имеет обратную.

Найдем обратную матрицу с помощью присоединенной матрицы (см. пример 3.1):

А-1=.

Подставим в формулу X=A-1B, получим:X===

Ответ: =, ,.

Правильность решения легко проверить, подставив полученные результаты, , в данную систему уравнения.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера

Пусть дана система линейных уравнений. Обозначим её через (1). Основная матрица данной системы: А=, вектор-столбец неизвестных:X=и вектор-столбец свободных членов:B=. Теперь запишем систему (1) в матричной форме:AX=B.

Теорема Крамера. Пусть -определитель матрицы А, j-определитель матрицы, получаемой из А заменойj-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если0, то система имеет единственное решение:, (1jn).

Пример 4.1

Решить систему линейных уравнений: методом Крамера.

Решение.

Основная матрица системы А=и вектор-столбец свободных членов:B=.

Найдем определитель ==3(-1)1+1+0(-1)2+1+1(-1)3+1=3(12-4)+0+(2-6)=24-4=20. Т.к.0, следовательно, можно применить формулы Крамера.

Найдем определители ,,, полученные заменой соответствующих столбцов столбцом свободных членов:

==1(12-4)-1(8-6)+2(4-9)=8-2-10= -4;

==3(8-6)-0+1(2-4)=6-2=4;

==3(9-4)-0+1(2-3)=15-1=14.

Тогда, по формуле Крамера:

== -=;

=;

=.

Ответ: =, ,.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Пусть дана система линейных уравнений. Рассмотрим расширенную матрицу (АВ) данной системы и с помощью элементарных преобразований приведем её к ступенчатому виду, в результате получим расширенную матрицу (АВ).

Если ранг основной матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы r(A)<r(АВ), то система несовместна. Еслиr(A)=r(АВ)=n, гдеn-число неизвестных, то система совместна и определена. Еслиr(A)=r(АВ)<n, гдеn-число неизвестных, то система совместна и неопределенна.

Записываем систему линейных уравнений из полученной ступенчатой матрицы. Определяем базисные и свободные переменные, и выражая базисные переменные через свободные получаем решение системы.

Пример 4.2

Решить систему линейных уравнений: методом Гаусса.

Решение.

r(A)=r(АВ)=nсистема совместна и определена.

Отсюда, запишем эквивалентную систему уравнений, имеем:

Решая её, получаем:

Ответ: =, ,.

Пример 4.3

Найти общее решение системы: .

Решение.

Составим матрицу системы: А=

Приведем её к треугольному виду:

r(A)=2. Запишем эквивалентную систему уравнений:

Примем за базисные переменные и, а свободные находим из условия (n-r), гдеn-число неизвестных, получаем (3-2)=1, т. е. у нас одна свободная переменная это.

Выразим базисные переменные через свободные: . Обозначая свободную переменную:=, получаем общее решение в виде:

Пример 4.4

Найти общее решение системы:

Решение.

Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

АВ=

r(A)=r(AВ)=2<n, гдеn-число неизвестных, то система совместная и неопределенная. Запишем эквивалентную систему уравнений:

Примем за базисные переменные и, а свободные находим из условия (n-r), гдеn-число неизвестных, получаем (5-2)=3, значит,-свободные переменные.

Выразим базисные переменные через свободные: Обозначая свободную переменную:=,,получаем общее решение в виде:.

studfiles.net

Лекция 7 - Обратная матрица и ее построение. Свойства обратных матриц. Решение матричных уравнений.

Страница 1 из 3

Обратная матрица.

 

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

 

    Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.

    Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

    Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.

Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

AX = E Þ , i=(1,n), j=(1,n),

eij = 0, i ¹ j,

eij = 1, i = j .

Таким образом, получаем систему уравнений:

,

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

 

    Пример. Дана матрица А = , найти А-1.

 

 

Таким образом, А-1=.

 

Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:

 

,

 

где Мji- дополнительный минор элемента аji матрицы А.

 

    Пример. Дана матрица А = , найти А-1.

det A = 4 - 6 = -2.

 

M11=4; M12= 3; M21= 2; M22=1

x11= -2; x12= 1; x21= 3/2; x22= -1/2

 

Таким образом, А-1=.

 

grishko.esy.es

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *