Решение показательных уравнений и неравенств – Показательные уравнения и неравенства

Содержание

Показательные уравнения и неравенства

Показательными уравнениями и неравенствами считают такие уравнения и неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ах = аb, где а > 0, а ≠ 1, х – неизвестное. Это уравнение имеет единственный корень х = b, так как справедлива следующая теорема:

Теорема. Если а > 0, а ≠ 1 и ах1 = ах2, то х1 = х2.

Обоснуем рассмотренное утверждение.

Предположим, что равенство х1 = х2 не выполняется, т.е. х1 < х2 или х1 = х2. Пусть, например, х1 < х2. Тогда если а > 1, то показательная функция у = ах возрастает и поэтому должно выполняться неравенство ах1 < ах2; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство ах1 > ах2. В обоих случаях мы получили противоречие условию ах1 = ах

2.

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1.

Решить уравнение 4 ∙ 2х = 1.

Решение.

Запишем уравнение в виде 22 ∙ 2х = 20 – 2х+2 = 20, откуда получаем х + 2 = 0, т.е. х = -2.

Ответ. х = -2.

Задача 2.

Решить уравнение 2∙ 3х = 576.

Решение.

Так как 2= (23)х = 8х, 576 = 242, то уравнение можно записать в виде 8х ∙ 3х = 242 или в виде 24х = 242.

Отсюда получаем х = 2.

Ответ. х = 2.

Задача 3.

Решить уравнение 3х+1 – 2∙3х - 2 = 25.

Решение.

Вынося в левой части за скобки общий множитель 3х - 2, получаем 3х - 2 ∙ (33 – 2) = 25 – 3х - 2∙ 25 = 25,

откуда 3х - 2 = 1, т.е. х – 2 = 0, х = 2.

Ответ. х = 2.

Задача 4.

Решить уравнение 3х = 7х.

Решение.

Так как 7х ≠ 0, то уравнение можно записать в виде 3

х/7х = 1, откуда (3/7)х = 1, х = 0.

Ответ. х = 0.

Задача 5.

Решить уравнение 9х – 4 ∙ 3х – 45 = 0.

Решение.

Заменой 3х = а данное уравнение сводится к квадратному уравнению а2 – 4а – 45 = 0.

Решая это уравнение, находим его корни: а1 = 9, а2 = -5, откуда 3х = 9, 3х = -5.

Уравнение 3х = 9 имеет корень 2, а уравнение 3х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Ответ. х = 2.

Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств ах > аb или ах < аb. Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Рассмотрим некоторые задачи.

Задача 1.

Решить неравенство 3х < 81.

Решение.

Запишем неравенство в виде 3х < 34. Так как 3 > 1, то функция у = 3х является возрастающей.

Следовательно, при х < 4 выполняется неравенство 3х < 34, а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3х ≥ 34.

Таким образом, при х < 4 неравенство 3х < 34 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3х < 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Ответ. х < 4.

Задача 2.

Решить неравенство 16х +4х – 2 > 0.

Решение.

Обозначим 4х = t, тогда получим квадратное неравенство t2 + t – 2 > 0.

Это неравенство выполняется при t < -2 и при t > 1.

Так как t = 4х, то получим два неравенства 4х < -2, 4х > 1.

Первое неравенство не имеет решений, так как 4х > 0 при всех х € R.

Второе неравенство запишем в виде 4х > 40, откуда х > 0.

Ответ. х > 0.

Задача 3.

Графически решить уравнение (1/3)х = х – 2/3.

Решение.

1) Построим графики функций у = (1/3)х и у = х – 2/3.

2) Опираясь на наш рисунок, можно сделать вывод, что графики рассмотренных функций пересекаются в точке с абсциссой х ≈ 1. Проверка доказывает, что

х = 1 – корень данного уравнения:

(1/3)1 = 1/3 и 1 – 2/3 = 1/3.

Иными словами, мы нашли один из корней уравнения.

3) Найдем другие корни или докажем, что таковых нет. Функция (1/3)х убывающая, а функция у = х – 2/3 возрастающая. Следовательно, при х > 1 значения первой функции меньше 1/3, а второй – больше 1/3; при х < 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х > 1 и х < 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Ответ. х = 1.

!!! Заметим, что из решения этой задачи, в частности, следует, что неравенство (1/3)х > х – 2/3 выполняется при х < 1, а неравенство (1/3)х < х – 2/3 – при х > 1.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

6. Показательные уравнения и неравенства

6.1. Показательные уравнения

Определение 6.1. Показательными называются уравнения, у которых переменная содержится в показатели степени.

Рассмотрим основные методы решения показательных уравнений.

1. Приведение обеих частей уравнения к одинаковому основанию:

, где ,.

2. Вынесение общего множителя за скобки.

3. Уравнения, в которых правая и левая часть не приводится к одному основанию, можно решить логарифмированием:

.

4. Введение новой переменной.

5. Уравнение вида , где,,,,.

6. Показательно-степенные уравнения

7. Функциональный метод.

Пример 6.1. Решить уравнение .

Решение.

Ответ: .

Пример 6.1. Решить уравнение .

Решение. Найдем предварительно ОДЗ уравнения:

.

Тогда на ОДЗ получим:

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: .

Пример 6.2. Решить уравнение .

Решение. Так как левая часть является строго убывающей функцией, то любое положительное значение эта функция принимает ровно один раз. Следовательно, уравнение имеет единственное решение. Подбором получаем, что решением уравнения является .

Ответ: .

Пример 6.3. Решить уравнение .

Решение. Прологарифмируем уравнение по основанию 4:

.

Ответ: .

Пример 6.4. Решить уравнение: .

Решение. Прологарифмируем уравнение, например, по основанию 4. Тогда:

Ответ: .

Пример 6.5. Решить уравнение

.

Решение. Отметим, что

, ,.

Введем замену ,, тогда уравнение примет вид:

Сделаем замену: ,, тогда

.

Переходя обратно к переменной , получаем

Ответ: .

Пример 6.6. Решить уравнение

Решение. Проведем предварительно преобразование правой части уравнения

.

Тогда исходное уравнение привет вид:

Ответ: .

6.2. Показательные неравенства

Решение показательных неравенств основывается на свойствах монотонности показательной функции . Напомним, что прифункция строго возрастает, а прифункция убывает.

Перечислим основные методы решения показательных неравенств.

1. Приведение обеих частей неравенства к одинаковому основанию:

;

2. Вынесение общего множителя за скобки.

3. Введение новой переменной.

4. Логарифмирование обеих частей неравенства по выбранному основанию.

5. Неравенства вида , где,

,,,.

6. Неравенства вида

Пример 6.7. Решить неравенство .

Решение. Так как ;, то, учитывая, что основание, исходное неравенство перепишется в виде:

.

Ответ: .

Пример 6.8. Решить неравенство .

Решение. Так как основание , то

.

Ответ: .

Пример 6.9. Решить неравенство .

Решение. Так как основание , то

.

Ответ: .

Пример 6.10. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 6.11. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 6.12. Решить неравенство .

Решение. .

Сделаем замену ,, тогда исходное неравенство примет вид:

.

Ответ: .

Пример 6.13. Решить неравенство

Решение. .

Сделаем замену: ,, тогда

.

Ответ: .

Пример 6.14. Решить неравенство:

Решение.

Разделим обе части неравенства на , получаем.

Сделаем замену , тогда

.

Ответ: .

Пример 6.15. Решить неравенство:

Решение: Исходное неравенство равносильно совокупности двух систем:

.

Ответ: .

Пример 6.16. Решить неравенство:

Решение.

Решим первую систему полученной совокупности:

Данная система решений не имеет.

Решим вторую систему совокупности:

.

Ответ: .

Пример 6.17. Решить неравенство .

Решение.

.

.

Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем:

1.

2.

Сравним числа и. Так как, а, то, значит. Тогда получаем, что первая система решений не имеет, а решением второй служит промежуток.

Ответ: .

Пример 6.18. Решить неравенство: .

Решение. Область определения неравенства определяется условием . Исходное неравенство равносильно совокупности:

.

Из уравнения получаем.

Так как , то первое неравенство системы можно записать в виде

Учитывая условие , получаем решение системы – промежуток. Тогда решение исходного неравенства имеет вид.

Ответ: .

Пример 6.19. Решить неравенство

Решение. .

Сделаем замену , тогда

.

Ответ: .

studfiles.net

Решение показательных уравнений и неравенств.

Функцию вида y = ax, где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.

Основные свойства показательной функции y = ax:

График показательной функции

Графиком показательной функции является экспонента:

Графики показательных функций (экспоненты)

Решение показательных уравнений

Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:

Теорема 1. Показательное уравнение af(x) = ag(x) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:

  

Пример 1. Решите уравнение:

Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку:

Уравнение тогда принимает вид:

Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:

  

Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:

  

Переходя к обратной подстановке, получаем:

  

Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:

  

С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию.

Ответ: x = 3.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 94-x положительна и не равна нулю).

Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:

Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1.

Ответ: = 6.

Пример 3. Решите уравнение:

Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2x. Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:

Ответ: x = 0.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:

Деление обеих частей уравнения на 4x, как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x.

Ответ: x = 0.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение: функция y = 3x, стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x-2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет.

Ответ: x = -1.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:

  

Ответ: x = 2.

Решение показательных неравенств

Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:

Теорема 2. Если a > 1, то неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) < g(x).

Пример 7. Решите неравенство:

Решение: представим исходное неравенство в виде:

Разделим обе части этого неравенства на 32x, при этом (в силу положительности функции y = 32x) знак неравенства не изменится:

Воспользуемся подстановкой:

Тогда неравенство примет вид:

Итак, решением неравенства является промежуток:

переходя к обратной подстановке, получаем:

Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:

Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

Итак, окончательно получаем ответ:

Пример 8. Решите неравенство:

Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:

Введем новую переменную:

С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:

Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:

Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t:

Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:

Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:

Окончательно получаем ответ:

Пример 9. Решите неравенство:

  

Решение:

  

Делим обе части неравенства на выражение:

  

Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:

  

Воспользуемся заменой переменной:

  

Исходное уравнение тогда принимает вид:

  

Итак, неравенству удовлетворяют значения t, находящиеся в промежутке:

  

Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:

  

Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:

  

Поскольку основание степени в данном случае оказалось меньше единицы, но больше нуля, равносильным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

  

Итак, окончательный ответ:

  

Пример 10. Решите неравенство:

  

Решение:

Ветви параболы y = 2x+2-x2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:

  

Ветви параболы y = x2-2x+2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:

  

Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3x2-2x+2, стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 31 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1.

Ответ: = 1.

infourok.ru

Основные типы показательных неравенств | Подготовка к ЕГЭ по математике

Сегодня решаем показательные неравенства.

Рассмотрим основные типы  показательных неравенств.

При решении показательных неравенств мы будем использовать следующие переходы:

и

Поясним, первый переход возникает в силу возрастания  показательной функции , второй – в силу убывания функции .

 

Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим

Задание 1.

Решить неравенство .

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

А далее вот так:

Так как – возрастающая функция, то знак неравенства остается без изменения при переходе к новому неравенству:

Ответ: .

Задание 2.

Решить неравенство:

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

Заметим, что  .

В силу того, что основание степени () меньше 1, то есть мы имеем дело с убывающей функцией, переходим к следующему неравенству (не забывая поменять знак на ):

Ответ:

 Однородные показательные неравенства 

Задание 3.

Решить неравенство:

Решение:

Вынесем за скобку

Тогда  переходим к следующему неравенству (в силу того, что основание степени больше 1, знак неравенства не меняется):

Ответ:

Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным

Задание 4.

Решить неравенство

Решение:

Разделим обе части неравенства на 3:

Мы видим квадратное неравенство относительно которое будем решать методом интервалов.

Имеем:

или

или 

Ответ:

Задание 5.

Решить неравенство

Решение:

Мы видим квадратное неравенство относительно , которое будем решать методом интервалов.

Находим при помощи дискриминанта корни квадратного трехчлена . Переходим к следующему неравенству:

Получаем: или . Заметьте, нет смысла указывать, что  , так как по определению положительно.

Итак,

Ответ:

Задание 6.

Решить неравенство

Решение:

Разделим обе части неравенства на (можно и на , – как хотите…). Заметим, .

Заметим, что . Аналогично с .

Мы имеем квадратное неравенство относительно

которое будем решать методом интервалов.

Воспользуемся следующим способом превращения суммы в произведение:

где – корни уравнения (в случае неотрицательного дискриминанта квадратного трехчлена).

Заготавливаем шаблончик  и находим корни при помощи дискриминанта, тогда

То есть

Ответ:

Задание 7.

Решить неравенство

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

Домножим обе части неравенства на   (заметим, ):

Ответ:

Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным

Задание 8.

Решить неравенство:  

Решение:

Переносим все в левую сторону неравенства и приводим к общему знаменателю:

Мы можем “отбросить” сумму в силу ее положительности:

Неравенство равносильно следующему:

Ответ:

Неравенства, решаемые графическим методом

Задание 9.

Решить неравенство:

 Решение:

Рассмотрим функции и Обе они определены на . Первая – возрастает, вторая – убывает. Значит, уравнение имеет не более одного решения. Несложно заметить, что является корнем указанного уравнения.

А значит, если вернуться к неравенству и посмотреть на него с графической точки зрения,  мы должны взять те значения , которые отвечают за ту часть графика , что лежит выше графика , то есть .

Ответ:

Для самостоятельной работы:

Решить неравенства:

1.

Ответ: + показать

2.

Ответ: + показать

3.

Ответ: + показать

4.

Ответ: + показать

{-2}

5.

Ответ: + показать

6.

Ответ: + показать

7.

Ответ: + показать

(-1;1]

8.

Ответ: + показать

.

 

 

egemaximum.ru

Показательные уравнения и неравенства.

Инструкционная карта № 14

Тақырыбы/ Тема: «Решение простейших и сводящихся к ним показательных уравнений и неравенств».

Мақсаты/ Цель:
  1. Познакомить учащихся с методами решения простейших и сводящихся к ним показательных уравнений и неравенств. Уметь применять эти методы при решении упражнений.

  2. Создать условия для развития умения устанавливать единые общие признаки и свойства целого, составлять план деятельности (сравнивать, анализировать).

  3. Создать атмосферу коллективного поиска, эмоциональной приподнятости, радости познания трудностей.

Теоретический материал:

 Основные методы и приемы решения показательных уравнений

Пример 1. 3х2-х-2=81- Метод уравнивания показателей.

Решение:

3х2-х-2=34

Приравниваем показатели:

х2-х-2=4

х2-х-6=0

Получили квадратное уравнение:

D=1+24=25, D0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

х1=(1+5)/2=3

х2=(1-5)/2=-2

Ответ: х=3 и х=-2

Пример 2. 4х+1+4х=320- Метод вынесения общего множителя за скобки

Решение:

В таких случаях выносится основание с наименьшим показателем. В данном уравнении наименьшим показателем является х. Вынесем 4х за скобки:

4х(4+1)=3204х∙5=320

Представим 320 в виде 5∙43, тогда:4х∙5=5∙43

Поделим левую и правую часть уравнения на 5:4х=43

Приравняем показатели: х=3

Ответ: 3

Пример 3. 4х - 3·2х +2 = 0 - Метод замены переменных

Сначала - как обычно. Переходим к одному основанию. К двойке. 4х = (22)х = 2

Получаем уравнение: 2 - 3·2х +2 = 0

А вот тут и зависнем. Предыдущие приёмы не сработают, как ни крутись. Придётся доставать из арсенала ещё один могучий и универсальный способ. Называется он замена переменной.

Суть способа проста до удивления. Вместо одного сложного значка (в нашем случае - 2х) пишем другой, попроще (например - t).

Итак, пусть 2х = t. Тогда 2 = 2х2 = (2х)2 = t2

Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t: t2 - 3t+2 = 0

Квадратные уравнения не забыли ещё? Решаем через дискриминант, получаем: t1 = 2 ; t2 = 1

Тут, главное, не останавливаться, как бывает... Это ещё не ответ, нам икс нужен, а не t. Возвращаемся к иксам, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t1: t1 = 2 = 2х

Стало быть, 2х = 2; х1 = 1 Один корень нашли. Ищем второй, из t2: t2 = 1 = 2х ; 2х = 1

Гм... Слева 2х, справа 1... Неувязочка? Да вовсе нет! Достаточно вспомнить (из действий со степенями, да...), что единичка - это любое число в нулевой степени. Любое. Какое надо, такое и поставим. Нам нужна двойка. Значит: 1 = 20 2х = 20 х2 = 0

Вот теперь всё. Получили 2 корня: х1 = 1 х2 = 0 - Это ответ.

Практические советы:

1. Первым делом смотрим на основания степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!

2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То, что можно посчитать в числах - считаем.

3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего - квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.

4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать "в лицо".

Рассмотрим решение показательных неравенств вида , где b – некоторое рациональное число.
Если a1, то показательная функция монотонно возрастает и определена при всех х. Для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Тогда неравенстворавносильно неравенству .
Если 0 монотонно убывает и определена при всех х. Для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Тогда неравенстворавносильно неравенству 

Пример 4. Решим неравенство 

Запишем неравенство в виде . Т. к. , то показательная функция возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству . Ответ: .

Пример 5. Решим неравенство .

Запишем неравенство в виде .

Показательная функция убывает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству х

Ответ: .

Практическая часть:

I Вариант.

  1. Решите уравнения:

а) 0,8; б) ; в) 3; г) 4.

  1. Решите неравенства:

а) 2 .

3. Решите систему уравнений: .

II Вариант.

  1. Решите уравнения:

а) 3; б) 2; в) 2; г) 9.

  1. Решите неравенства.

а) 51; б) 0,7х.

3. Решите систему уравнений: .

III Вариант.

  1. Решите уравнения:

а) 9=27; б) ; в) 5; г) 9.

  1. Решите неравенства:

а) ; б) 48.

3. Решите систему уравнений: .

IV Вариант.

  1. Решите уравнения:

а) 8=16; б) 10=0,1; в) 3; г) 4.

  1. Решите неравенства:

а) -0,5; б) 9

3. Решите систему уравнений: .

V Вариант.

1. Решите уравнения:

а) 2х+2х-3=18; б) ; в) ; г) 8.

2.Решите неравенства:

а) 5; б) 3

3. Решите систему уравнений: .

Контрольные вопросы:

  1. Всегда ли можно решить показательное уравнение способом приведения степеней к одинаковым основаниям?

  2. В чем заключается основной смысл способа решения показательного уравнения введением новой переменной?

  3. Что общего в ходе решения показательных уравнений и решения линейных уравнений с одной переменной?

  4. Перечислите основные требования, соблюдение которых является обязательным в решении показательных неравенств?

multiurok.ru

Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств

Разделы: Математика


Цели и задачи:

- обобщить и закрепить знание основных свойств показательной функции и применение их при решении задач;

- закрепить умение распознавать виды показательных уравнений и неравенств и находить методы их решения;

- развивать навыки логического мышления и вычислительные навыки;

- воспитывать внимательность, аккуратность при выполнении графических работ.

План проведения урока.

I. Проверка домашней работы.

II. Устная работа.

III. Решение задач.

IV. Подведение итогов урока.

V. Домашнее задание.

Работа на уроке: дифференцированная. Уровни дифференциации: I - учащиеся с низкой степенью успешности обучения, II – учащиеся со средней степенью успешности обучения, III – учащиеся с высокой степенью успешности.

I. Проверка домашней работы

1. У доски проверяются задания, вызвавшие затруднения, и задания, которые необходимо обсудить.

2. Нескольким ученикам предлагаются карточки индивидуальной работы (желательно, дифференцированные). Примеры заданий для индивидуального опроса, где карточки №1 и №2 предназначены для учащихся I уровня, №3 и №4 – II уровня, №5 и №6 – III уровня.

№1. 1) Решите уравнение .

2) Сколько корней имеет уравнение ?

№2. 1) Решите неравенство .

2) Сколько решений имеет система уравнений .

№3. 1) Решите уравнение .

2) Простройте график функции .

Укажите множество значений функции.

№4. 1) Решите неравенство .

2) Постройте график функции .

№5. 1) Решите неравенство .

2) При каких значениях параметра m уравнение

не имеет решений?

№6. 1) Решите неравенство .

3. При каких значениях параметра n уравнение имеет решение?

II. Устная работа

Проводится одновременно с проверкой домашней работы. Устную работу лучше проводить в парах. Ответы на вопросы записываются каждым учеником пары, По окончании работы один экземпляр ответов сдаётся на проверку учителю, второй остаётся у учащихся для проверки правильности выполнения заданий при разборе результатов устной работы.

I вариант

1. Какие из указанных функций являются: 1) возрастающими; 2) убывающими?

а) ; б) ; в) ; г) ; д)

2. Найдите область определения функции:

а) ;

б) ;

в) .

3. Решите уравнение:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

4. Решите неравенство:

а) ; б) ; в) ; г) .

II вариант

1. Найдите область определения функции:

а) ; б) ; в) ; г) , где .

2. Какому из промежутков при надлежит корень уравнения:

а) ; б) ; в) ?

3. Решите уравнение:

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Решите неравенство:

а) ; б) ; в) ; г) .

III вариант

1. Найдите область определения функции:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Найдите множество значений функции:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Решите уравнение:

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Решите неравенство:

а) ; б) ; в) ; г) .

III. Решение задач

Этот этап урока также проводится дифференцированно. Для выполнения каждого задания вызывается по одному ученику с каждого варианта. Ученик работает у доски, при этом учащиеся этого варианта, работающие индивидуально, имеют возможность контролировать правильность выполнения задания как у себя в тетради, так и у вызванного к доске школьника.

I вариант

1. Решите уравнения:

а) ; б) и найдите сумму корней уравнения.

2. Решите неравенства:

а) . Является ли число -1 решением этого неравенства?

б) ; в) .

3. Решите графически неравенство .

II вариант

1. Решите уравнения:

а) . Если уравнение имеет более одного корня, укажите их произведение.

б) .

2. Решите неравенства:

а) . Укажите сумму наименьшего и наибольшего целых решений неравенства.

б) .

3. Решите графически неравенство: .

III вариант

1. Решите уравнения:

а) на отрезке ;

б) .

2. Решите неравенства:

а) ; б) .

3. Постройте график функции . Сколько корней имеет уравнение при всех значениях параметра k?

IV. Подведение итогов урока

Ученикам объявляются оценки, даются рекомендации по исправлению недостатков в знаниях и работе, выслушивается мнение учеников о составляющих урока.

V. Домашнее задание

№ 210 (2,3), № 211 (1), № 213 (1) - для учащихся I уровня;

№ 210 (5,6), №211 (4), №213 (4) - для учащихся II уровня;

№214 (1,4), № 218 (2), № 222 (1) - для учащихся III уровня.

9.02.2015

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Решение показательных уравнений и неравенств: алгоритм решения и примеры

 

аx = b - простейшее показательное уравнение. В нем a больше нуля и а не равняется единице.

Решение показательных уравнений

Из свойств показательной функции знаем, что ее область значений ограничена положительными вещественными числами. Тогда если b = 0, уравнение не имеет решений. Такая же ситуация имеет место быть, в уравнении где b

Теперь положим, что b>0. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0<a

Исходя из этого и применяя теорему о корне, получим, что уравнение ax = b иметь один единственный корень, при b>0 и положительном a не равном единице. Чтобы его найти, необходимо представить b в виде b = ac.
Тогда очевидно, что с будет являться решением уравнения ax = ac.

Рассмотрим следующий пример: решить уравнение 5(x2 - 2*x - 1) = 25.

Представим 25 как 52, получим:

5(x2 - 2*x - 1) = 52.

Или что равносильно :

x2 - 2*x - 1 = 2.

Решаем полученное квадратное уравнение любым из известных способов. Получаем два корня x = 3 и x = -1.

Ответ: 3;-1.

Решим уравнение 4x – 5*2x + 4 = 0. Сделаем замену: t=2x и получим следующее квадратное уравнение:

t2 - 5*t + 4 = 0.
Решаем это уравнение любым из известных способов. Получаем корни t1 = 1 t2 = 4

Теперь решаем уравнения 2x = 1 и 2x = 4.

Ответ: 0;2.

Решение показательных неравенств

Решение простейших показательных неравенств основывается тоже на свойствах возрастания и убывания функции. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0<a<1, то данная функция будет убывающей на всем множестве вещественных чисел.

Рассмотрим пример: решить неравенство (0.5)(7 - 3*x) < 4.

Заметим, что 4 = (0.5)2. Тогда неравенство примет вид (0.5)(7 - 3*x) < (0.5)(-2). Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

Получим: 7 - 3*x>-2.

Отсюда: х<3.

Ответ: х<3.

Если бы в неравенстве основание было больше единицы, то при избавлении от основания, знак неравенства менять было бы не нужно.

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Показательная функция: график и основные свойства функции
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspЛогарифмы и их свойства: определение и алгоритм решения

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *