Решить онлайн иррациональные уравнения – Калькулятор иррациональных уравнений

Иррациональные уравнения

О чем пойдет речь? Об уравнениях, которые содержат под знаком радикала функцию от переменной. Впрочем, знак радикала может быть заменен степенью с дробным показателем. Такие уравнения считают иррациональными.

Основные свойства иррациональных уравнений

1. Любой корень четной степени являются арифметическими, т.е. подкоренные выражения всегда неотрицательны и принимают только неотрицательные значения.

2. Любой корень нечетной степени определен при всех  значениях подкоренного выражения и могут принимать любые  значения.

3. Уравнение √(f(x)) = g(x) равносильно системе (здесь и далее под записью √(f(x)) будем понимать корень квадратный из выражения, стоящего в скобках):

{f(x) = (g(x))2,
{g(x) ≥ 0.

Какими способами можно решать иррациональные уравнения?

1. Возвести обе части уравнения в одну и ту же степень.
2. Заменой переменной.
3. Способом умножения обеих частей на одинаковые выражения.

4. Применение свойств функций, входящих в уравнение.

Рассмотрим примеры уравнений, решаемых этими методами.

Пример 1.

Решить уравнение √(3х² – 14х + 17) = 3 – 2х.

Решение.

Воспользуемся свойством 3 из выше перечисленных и получим систему:

{3х² – 14х + 17 = (3 – 2х)²,
{3 – 2х ≥ 0.

Из первого уравнения получаем х² + 2х – 8 = 0. Его корни: -4 и 2. Но неравенству нашей системы удовлетворяет лишь число -4.

Ответ: -4.

Возможен и другой путь решения этого уравнения. Не будем записывать систему. Забудем неравенство. Работаем только с уравнением. Но будем помнить, что возведение обеих частей уравнения в четную степень, приводит к уравнению-следствию. Оно наряду с корнями исходного уравнения может содержать и другие корни, которые называются посторонними. Поэтому после решения уравнения-следствия необходимо найти способ отсеять посторонние корни. Обычно это можно сделать при помощи проверки, которая в данном случае рассматривается как один из этапов решения.

Очевидно, что опять получим корни уравнения-следствия: -4 и 2. Проверка проводится путем подстановки в исходное уравнение √(3х² – 14х + 17) = 3 – 2х.

Если х = -4, то получаем √121 = 11, что верно. При х = 2 получаем √1 = -1, что не верно и  корень 2 отсеян.

Ответ: х = -4.

Пример 2.

Решить уравнение ³√(4х + 3)  – ³√(х + 2) = 1

Решение.

Возведём обе части уравнения в третью степень

(³√(4х + 3) – ³√(х + 2))3 = 13.

Получим (4х + 3) – (х + 2) – 3(³√(4х + 3)³√(х + 2))(³√(4х + 3) – ³√(х + 2)) = 1

Или  (4х + 3) – (х + 2) – 3

3√((4х + 3)(х + 2))(³√(4х + 3) – ³√(х + 2)) = 1.

Учитывая первоначальное условие,  уравнение примет вид

(4х + 3) – (х + 2) – 3³√((4х + 3)(х + 2)) = 1. Выполнив несложные преобразования, мы получим

3х – 3³√((4х + 3)(х + 2)) = 0,

х = ³√((4х + 3)(х + 2)).

Для решения данного уравнения необходимо повторное возведение в куб.

Выполнив его, будем иметь

х³ = 4х² + 11х + 6,

х³ – 4х² – 11х – 6 = 0.

Способом подбора найдём один корень уравнения. Это число -1.

Разделив уголком многочлен х³ – 4х² – 11х – 6 на х + 1 получим трёхчлен х² – 5х – 6.

Корни уравнения х² – 5х – 6 = 0 – числа: -1; 6.

Следовательно, корнями уравнения х³ – 4х² – 11х – 6 = 0 будут числа -1; 6.

Подставляя числа -1; 6 в первоначальное уравнение убедимся в том, что корень уравнения – число 6.

Ответ: 6.

Пример 3.

Решить уравнение х² – х√(4x + 5) = 8х + 10

Решение.
Заметим, что 8х + 10 = 2(√(4x + 5))². Проверкой убеждаемся, что х = 0 не является корнем данного уравнения. Значит, поделив на х² обе части данного уравнения, получим ему равносильное:

1 – √(4x + 5)/х = 2(√(4x + 5)/х)²

Заменим √(4x + 5)/х = t и решим полученное квадратное уравнение 1 – t = 2t^2.

Получим t₁ = -1 и t₂ = 1/2. Вернёмся к исходной переменной х и получим  2 уравнения   

1) √(4x + 5)/х = -1, 

2) √(4x + 5)/х = 1/2

Из первого уравнения х = -1. (х = 5 приходится отбросить после проверки).

Из второго -х = 8 ± 2√21. Для отсеивания посторонних корней здесь проще проанализировать условие, чем делать подстановку. Ведь уравнение легко преобразуется к виду √(4x + 5) = 0,5х, которое равносильно системе

{4х + 5 = 0,25х²,
{0,5х ≥ 0.

Теперь очевидно, что подходит х = 8 + 2√21. И общий

ответ: х = -1 и х = 8 + 2√21.

Пример 4.

Решить уравнение √(8х + 1) + √(3х – 5) = √(7х + 4) + √(2х – 2).

Решение.

Воспользуемся формулой √а + √b = (a – b) / (√а – √b), которая верна при a ≥ 0; b ≥ 0; a ≠ b.

С учетом ОДЗ (х ≥ 1 2/3 ) эту формулу можно применить к выражениям стоящим  в левой и правой части уравнения.

И получим: (5х + 6) / (√(8х + 1) – √(3х – 5)) = (5х + 6) / (√(7х + 4) – √(2х – 2))

или (5х + 6)((√(8х + 1) – √(3х – 5)) – (√(7х + 4) – √(2х – 2)) = 0

Оно равнозначно совокупности 2 уравнений:

1) (5х + 6) = 0 и

2) √(8х + 1) – √(3х – 5) = √(7х + 4) – √(2х – 2)

Из первого получаем х = -1,2. Но это значение не входит в ОДЗ.

Сопоставим второе уравнение с исходным. При сложении этих уравнений получим:

2√(8х + 1) = 2√(7х + 4).

х = 3 .

Ответ: 3.

Невозможно описать все способы решения иррациональных уравнений в одной статье. Вряд ли вообще найдется источник с таким полным содержанием. Да он вам и не нужен. Для успешной подготовки к ЕГЭ, как и подготовки любого специалиста вообще, важно не запомнить теорию или методы и воспроизвести в аналогичных случаях, а, важнее, овладеть ими и применить в незнакомой ситуации. То есть некоторый базовый запас знаний надо научиться применять творчески. Тогда вы сами способны будете изобрести новые способы, то есть делать открытия.

Успехов вам. А своими находками делитесь с друзьями. Это можно сделать и через комментарии к статьям в блоге.

Остались вопросы? Не знаете, как решить иррациональное уравнение?

Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Онлайн-урок №10 «Иррациональные уравнения и неравенства.»

 

Решение иррациональных уравнений

 

Иррациональными называются такие уравнения, в которых переменная стоит под знаком корня. 
1) Уравнения вида  или  решаются путем возведения обеих частей в степень корня. Здесь обязательна проверка полученных корней, так как под корнем четной степени может стоять только положительное число или ноль и сам корень может принимать только неотрицательные значения.
2) Уравнения вида  или  решаются путем возведения обеих частей в степень корня. Здесь проверка не нужна, так как под корнем может стоять любое действительное число и сам корень принимает любые значения.

Пример: Решить уравнение .
Решение:  
Проверка: . Квадратный корень принимает отрицательное значение, что невозможно – данный корень лишний. , т.е. корень  подходит.
Ответ: 2/3.

 

Решение иррациональных неравенств

 

Иррациональными называются такие неравенства, в которых переменная стоит под знаком корня.

 

1) Неравенство вида . При решении необходимо рассмотреть два случая:
а) если правая сторона неравенства неотрицательна, то мы имеем выражение вида «неотрицательное число»>«неотрицательное число», что выполнено не всегда и его необходимо полноценно решать

 

Стоит обратить внимание, что второе условие выполнено автоматически, если выполнено третье, т.е. его можно не записывать при решении.

б) или если правая сторона неравенства отрицательна, то имеем выражение вида «неотрицательное число»>«отрицательное число», что выполнено всегда с учетом ОДЗ, т.е. 

 

Множества из решений обоих случаев объединяют и получают ответ.
Пример: Решить неравенство .
Решение: 

 

Ответ: 

 

2) Неравенство вида . При решении достаточно рассмотреть одну эквивалентную систему неравенств:

В отличие от предыдущего варианта случай  не имеет смысла, так как тогда мы получаем выражение вида «неотрицательное выражение»<«отрицательное выражение», что невозможно.

 

3) Неравенства вида  заменяются эквивалентной системой:

Второе условие выполнено автоматически при выполнении третьего, поэтому его можно не писать.

 

4) Неравенства вида  заменяются эквивалентным неравенством:
.
В них не записываются ограничения на ОДЗ, т.к. подкоренное выражение в корне нечетной степени и сам корень может принимать любые значения.

 

Замечание. Иррациональные неравенства можно решать графическим методом.
Пример: Решить неравенство графически: .
Решение: Первая функция монотонно убывает, вторая монотонно возрастает на области определения. 

Если уравнение  имеет корень, то он единственный, по графику легко его увидеть: . Эта точка отвечает пересечению, т.е. равенству двух функций.
Далее по графику выписываем множество аргументов, при которых выполнено неравенство.
Конечно же, такой способ решения эффективен в том случае, когда точки пересечения функций являются целыми и небольшими числами.
Ответ: .

 

Неравенства других четных и нечетных степеней решаются аналогично.

vneshkoly.com.ua

Решение всех типов иррациональных уравнений

Видеолекция  «Решение иррациональных уравнений. Задание 15»

В курсе математики средней школы  сложные иррациональные уравнения практически не встречаются, однако, их легко встретить среди задач  Задания 15. Поэтому будем учиться их решать.

В видеолекции «Решение ирациональных уравнений. Задание 15» мы рассматриваем решение всех типов иррациональных уравнений, начиная с совсем простых и заканчивая сложными уравнениями уровня Задания 15.

КУПИТЬ видеолекцию «Решение ирациональных уравнений. Задание 15»

В видеолекции вы найдете пошаговый разбор следующих иррациональных уравнений:

1.

2.

3. 

4.

5.

6. 

7. 

8. 

9.

10.

Фрагмент видеолекции:

 

 

 

КУПИТЬ видеолекцию «Решение ирациональных уравнений. Задание 15»

 

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Иррациональные уравнения и системы — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Некоторые рекомендации к решению иррациональных уравнений и систем

К оглавлению…

Существуют два равноценных метода решения иррациональных уравнений с квадратными корнями:

• Метод равносильных переходов (с учетом ОДЗ). При этом для правильной записи области допустимых значений, в общем случае необходимо потребовать неотрицательности всех подкоренных выражений, а также выражений, которым равны корни квадратные (если таковые можно алгебраически выразить из уравнения).
• Метод перехода к уравнению-следствию (без учета ОДЗ). В этом методе обязательно требуется проверка корней подстановкой.

Честно говоря, в иррациональных уравнениях порой так сложно правильно записать ОДЗ, что даже если Вы будете пробовать это сделать, то корни всё равно лучше проверять подстановкой, особенно если корни представляют из себя целые числа.

Обратите внимание на очень частую ошибку – если Вы решаете уравнение типа:

То при записи ОДЗ необходимо требовать неотрицательность правой части, то есть накладывать условие:

Причем необходимо понимать, что данное условие нужно дополнительно добавлять в ОДЗ даже если к подобному уравнению Вы пришли уже после нескольких преобразований (возведений в квадрат), а не только в случае, когда уравнение изначально выглядело соответствующим образом.

В иррациональных уравнения особо актуально становится следующее замечание: для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, необходимо, чтобы хотя бы один их них равнялся нолю, а остальные существовали. Когда множителями являются корни, а не просто скобки как в рациональных уравнениях, то они часто могут и не существовать. Так возникают ошибки.

Если в иррациональном уравнении много корней, то крайне желательно перед возведением этого уравнения в квадрат перенести корни справа налево или наоборот так, чтобы с каждой из сторон получилась именно сумма корней, то есть заведомо положительное выражение. Если же, по каким-то причинам, Вы решили возводить в квадрат разность корней (т.е. выражение чей знак неизвестен), то будьте готовы получить несколько посторонних корней. В этом случае обязательно нужно проверить все корни подстановкой, потому что правильно записать ОДЗ уже скорее всего не получится.

Если в иррациональном уравнении имеется корень в корне, то необходимо будет несколько раз возводить это уравнение в квадрат, при этом главное понимать, что в соответствии с изложенными выше условиями, при каждом таком возведении могут получаться всё новые и новые условия для ОДЗ. В таких уравнениях при возможности лучше проверять корни подстановкой.

При решении иррациональных уравнений часто удобно использовать замену. При этом главное помнить, что после введения замены в некоторое уравнение это уравнение должно:

• во-первых, стать проще;
• во-вторых, больше не содержать первоначальной переменной.

Кроме того, важно не забывать выполнять обратную замену, т.е. после нахождения значений для новой переменной (для замены), записывать вместо замены то, чему она равна через первоначальную переменную, приравнивать это выражение к найденным значениям для замены и опять решать уравнения.

При решении систем иррациональных уравнений с двумя неизвестными зачастую достаточно действовать по стандартной схеме. А именно, выразить одну из переменных из одного из уравнений и подставить данное выражение вместо соответствующей переменной в другое уравнение. После чего получится некоторое иррациональное уравнение с одной неизвестной, которое затем следует решить с учетом всех правил решения иррациональных уравнений. Значение первой переменной затем нужно найти используя её выражение через уже найденную переменную.

При решении систем иррациональных уравнений с большим количеством переменных также зачастую достаточно использовать метод подстановки. Также при решении систем иррациональных уравнений часто помогает метод замены переменных. При этом нужно понимать, что после введения замены переменных в систему:

• во-первых, она опять-таки должна упроститься;
• во-вторых, новых переменных должно быть столько же сколько и старых;
• в-третьих, система больше не должна содержать старых переменных;
• в-четвёртых, нужно не забыть выполнить обратную замену.

 

Основные свойства степеней

К оглавлению…

При решении иррациональных уравнений необходимо помнить много свойств степеней и корней. Перечислим ниже основные из них. У математических степеней есть несколько важных свойств:

Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень. Ну а основное свойство отрицательной степени записывается следующим образом:

 

Основные свойства математических корней

К оглавлению…

Математический корень можно представить в виде обычной степени, а затем пользоваться всеми свойствами степеней приведёнными выше. Для представления математического корня в виде степени используют следующую формулу:

Тем не менее можно отдельно выписать ряд свойств математических корней, которые основываются на свойствах степеней описанных выше:

Для арифметических корней выполняется следующее свойство (которое одновременно можно считать определением корня):

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство (из под корня нечетной степени можно выносить знак «минус»):

Так как значение корня четной степени может быть только неотрицательным, то для таких корней имеется следующее важное свойство:

Итак всегда нужно помнить, что под корнем четной степени может стоять только неотрицательное выражение, и сам корень тоже есть неотрицательное выражение. Кроме того, нужно отметить, что если используется запись со значком математического корня, то показатель степени этого корня может быть только целым числом, причем это число должно быть больше либо равно двум:

 

Основные свойства квадратного корня

К оглавлению…

Квадратным корнем называется математический корень второй степени:

Квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа. При этом значение квадратного корня также всегда неотрицательно:

Для квадратного корня существует два важных свойства, которые важно очень хорошо запомнить и не путать:

Если под корнем стоит несколько множителей, то корень можно извлекать из каждого из них по-отдельности. При этом важно понимать, что каждый из этих множителей по-отдельности (а не только их произведение) должны быть неотрицательными:

Обратите внимание на другой случай использования последнего свойства. Если под корнем квадратным имеется произведение двух отрицательных величин (т.е. по итогу величина положительная, а значит корень существует), то этот корень раскладывается на множители следующим образом:

educon.by

решение иррациональных уравнений

Иррациональные уравнения, которые встречаются в задании В6 из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике имеют  такой вид:

Чтобы решить  уравнение такого вида, нужно возвести обе части уравнения в квадрат.

Внимание! Возведение в квадрат левой и правой частей уравнения может привести к появлению посторонних корней. Поэтому, после того, как корни уравнения будут найдены, нужно сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение и проверить, получим ли мы верное равенство.

Давайте рассмотрим примеры решения иррациональных уравнений из Задания В7.

1. Задание В6 (№ 26656)

Найдите корень уравнения 

Решение.

Возведем в квадрат правую и левую части уравнения:

Сделаем проверку. Для этого подставим число 3 в исходное уравнение:

— верно.

Ответ: 3

2. Задание В6(№ 26656)

Найдите корень уравнения 

Решение.

Возведем в квадрат правую и левую части уравнения:

Перенесем дробь в левую часть уравнения и приведем к общему заменателю:

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не  равен нулю. Приравняем к нулю числитель:

Сделаем проверку:

 — верно

Ответ: 87.

3. Задание В6 (№ 26668)

Найдите корень уравнения .

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Возведем в квадрат правую и левую части уравнения:

Получили квадратное уравнение. Решим его:

, 

Cделаем проверку:

— верно.

— верно.

Оба корня нас устраивают. В ответе требуется указать меньший корень.

Ответ: -9

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox или
Chrome

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru