Систему уравнений – Система уравнений. Подробная теория с примерами.

Системы уравнений

Если перед нами ставится задача найти все общие решения двух уравнений с двумя переменными, то говорят, что нужно решить систему уравнений. Решением системы уравнений называется каждая пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Иными словами, решить систему – это значит найти все решения этой системы или доказать, что их нет.

Запись системы уравнений сопровождается фигурной скобкой {.

Две системы уравнений называются равносильными, если эти системы имеют одни и те же решения. Системы уравнений считаются равносильными также и в случае, когда каждое уравнение системы не имеет решения.

Теорема 1. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной.

{х – 3у = 10,                                     {х = 3у + 10
{3х – 2у = 2                                      {3х – 2у = 2

Следствие. Если каждое уравнение системы заменить равносильным уравнением, то получится система, равносильная данной. Так, равносильными являются системы:

{х – 3у = 10,                                     {х = 3у + 10
{3х – 2у = 2                                      {х = 2/3у + 2/3.

Теорема 2. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная системы будет равносильна данной.

Так, равносильны системы:

{х – 3у = 10,                                    {(х – 3у) + (3х – 2у) = 10 + 2
{3х – 2у = 2                                     {3х – 2у = 2.

Существует несколько методов решения систем уравнений с двумя переменными.

Метод подстановки реализуется так:

1. В одном из уравнений мы выражаем одну переменную через другую (например, х через у).

2. Полученное выражение подставляем во второе уравнение вместо х. В результате получается уравнение с одной переменной.

3. Находим корни этого уравнения.

4. Воспользовавшись нашим выражением из пункта 1, находим вторую переменную.

Решим систему уравнений:

{х – 3у = 10,
2 – 24у = 100.

Решение.

1. В уравнении 1 выразим х через у и получим: х – 3у = 10 → х = 3у + 10

2. В уравнение 2 подставим полученное выражение: х2 – 24у = 100 – (3у + 10)2 – 24 у = 100.

3. Решим преобразованное уравнение 2 и получим корни 0 и -4.

4. Исходя из полученных значений у, найдем значения х.

Если у = 0, х = 10.

Если у = -4, х = -2.

Т.о., система уравнений имеет два решения: (-2; -4) и (10; 0).

Ответ. (-2; -4) и (10; 0).

Метод сложения основан на рассмотренных нами теориях. Изучим данный метод, работая с примером:

Решим систему:

{2х + 3у = 7,

{3х – у = 16.

Решение.

1. Умножим обе части второго уравнения на 3, получим систему:

{2х + 3у = 7,
{9х – 3у = 48.

Эта система, в соответствии с теоремами, равносильна первоначальной.

2. Сложим оба уравнения новой системы и получим:

{2х + 3у = 7,
{(2х + 3у) + (9х – 3у) = 7 + 48.

3. Преобразуем полученную систему:

{2х + 3у = 7,
{11х = 55.

4. Из уравнения 2 получаем х = 5. Подставим получившееся значение в уравнение 1 и получим у = -1 .

Ответ. х = 5, у = -1.

Метод введения новых переменных работает так: либо мы вводим новую переменную только для одного уравнения, либо вводим две новых переменных сразу для обоих уравнений.

Решим систему

{х/у = у/х = 13/6
{х = у = 5.

Решение.

1. Предположим, что х/у = a, тогда у/х = 1/а → уравнение 1 примет вид: а + 1/а = 13/6.

Решим полученное уравнение относительно переменной а: 6а2

+ 6 = 13а

2 – 13а + 6 = 0. Корнями уравнения являются а1 = 2/3 и а2 = 3/2.

2. Отсюда получим, что либо х/у = 2/3, т.е. у = 3х/2, либо х/у = 3/2, т.е. у = 2х/3.

3. Т.к. с учетом полученных результатов, уравнение 1 распалось на два уравнения, нам предстоит решить совокупность двух систем:

{у = 2х/3,                       {у = 2х/3.
{х + у = 5                        {х + у = 5.

Из системы 1 находим  х = 2, у = 3, из системы 2 находим х = 3, у = 2.

Ответ: (2; 3) и (3; 2).

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Системы уравнений. Понятие системы уравнений. Свойства систем уравнений. Линейные системы уравнений с двумя неизвестными. Основные методы решения систем уравнений

Понятие системы уравнений.

  • Система уравнений — набор уравнений с несколькими неизвестными.
  • Решение системы уравнений — совокупность значений неизвестных, обращающих каждое из уравнений системы в тождество.
  • Решить систему уравнений — найти все её решения или доказать, что их нет. Система не имеющая решений решений, называется несовместной.
  • Равносильные системы — системы, множества решений которых совпадают. Все несовместимые системы — равносильны.

Свойства систем уравнений:

Линейные системы уравнений с двумя неизвестными:

Линейные системы уравнений с двумя переменными — это система вида:

Прямые — графики уравнений системы пересекаются в одной точке. Система имеет единственное решение:

Прямые — графики уравнений системы — параллельны. Система не имеет решений.

Прямые — графики уравнений системы совпадают. Система имеет бесконечно много решений:

Основные методы решения систем уравнений:

Графический метод:
1. Построить в одной системе координат графики обоих уравнений:
2. Найти координаты точек пересечения графиков.
Метод подст

dpva.ru

Система уравнений — это… Что такое Система уравнений?

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Формальная запись общего вида может выглядеть так:

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.

Классификация

  • Алгебраические уравнения:
  • Дифференциальные уравнения:

Решение системы уравнений

Существует множество методов решения системы уравнений. Подход зависит от типа системы. Так, решение систем линейных уравнений полностью исследовано: у них найдены аналитические методы (метод Крамера) и предложено несколько численных как точных (простейший — метод Гаусса), так и приближённых (метод итераций).

Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.

Некоторое программное обеспечение, основанное на интервальном анализе, в частности бесплатный interalg, способно находить все решения системы уравнений в заданном регионе lbi <= xi <= ubi

Для решения систем дифференциальных уравнений разработана целая отрасль численных методов.

Разные факты

  • Любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме , возвести их в квадрат и сложить.
  • Обыкновенное дифференциальное уравнение любого порядка можно записать как систему диф. уравнений первого порядка.

См. также

dic.academic.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *