Соотношение площадей подобных треугольников – Площади подобных треугольников – определение, формула

Содержание

Отношение площадей подобных треугольников

На прошлом уроке мы с вами говорили, что подобными называются треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.

Напомним, что подобие треугольников обозначается следующим образом .

На этом уроке мы докажем теорему об отношении площадей двух подобных треугольников.

Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство.

,  – коэффициент подобия.

, .

, .

, ,

Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

Задача. Площади подобных треугольников  и  равны соответственно  см2 и  см2

. Сторона  см. Найдите сходственную ей сторону  треугольника .

Решение.

Выше мы доказали, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. , , .

, ,  (см).

Ответ:  см.

Задача. Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Доказательство.

,  – коэффициент подобия.

, , , , , .

, .

, ,

.

Что и требовалось доказать.

Задача. Треугольники  и  подобны. Сходственные стороны  и  соответственно равны  см и  м. Найдите отношение периметров треугольников  и .

Решение:

 м см.

.

.

Ответ: .

Итак, на этом уроке мы доказали, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. А также решили несколько задач. Причём при решении одной из них установили, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

videouroki.net

8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Отношение площадей подобных треугольников. — Отношение площадей подобных треугольников.

Комментарии преподавателя

От­но­ше­ние пло­ща­дей по­доб­ных тре­уголь­ни­ков

Нач­нем с того, что вве­дем опре­де­ле­ние по­доб­ных тре­уголь­ни­ков.

Опре­де­ле­ние. Два тре­уголь­ни­ка на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми, ес­ли­их углы по­пар­но равны, а сто­ро­ны, ле­жа­щие на­про­тив со­от­вет­ствен­ных углов, про­пор­ци­о­наль­ны (см. Рис. 1).

. От­но­ше­ние длин сто­рон тре­уголь­ни­ков на­зы­ва­ют ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия ().

Рис. 1

За­ме­ча­ние. Про­пор­ци­о­наль­ные сто­ро­ны по­доб­ных тре­уголь­ни­ков на­зы­ва­ют еще 

сход­ствен­ны­ми сто­ро­на­ми.

Важно по­ни­мать, что в по­доб­ных тре­уголь­ни­ках про­пор­ци­о­наль­ны не толь­ко сто­ро­ны, но и дру­гие со­от­вет­ствен­ные ли­ней­ные эле­мен­ты: вы­со­ты, ме­ди­а­ны, бис­сек­три­сы, про­ве­ден­ные к со­от­вет­ствен­ным сто­ро­нам, пе­ри­мет­ры и т.п. Т.е. все эти ве­ли­чи­ны от­но­сят­ся, как ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия. Во­прос за­клю­ча­ет­ся в том, верно ли ана­ло­гич­ное утвер­жде­ние и для пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков. Для того чтобы от­ве­тить на этот во­прос, сфор­му­ли­ру­ем тео­ре­му.

Тео­ре­ма 1. От­но­ше­ние пло­ща­дей по­доб­ных тре­уголь­ни­ков равно квад­ра­ту ко­эф­фи­ци­ен­та их по­до­бия.

До­ка­за­тель­ство. Изоб­ра­зим по­доб­ные тре­уголь­ни­ки  на Рис. 2.

Рис. 2

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков по опре­де­ле­нию сле­ду­ет, что .Вос­поль­зу­ем­ся сле­ду­ю­щей тео­ре­мой, ко­то­рую мы сфор­му­ли­ро­ва­ли в преды­ду­щей теме «Пло­щадь»: 

если у двух тре­уголь­ни­ков равны углы (), то их пло­ща­ди от­но­сят­ся, как про­из­ве­де­ние сто­рон, за­клю­ча­ю­щих дан­ные углы. За­пи­шем этот факт в виде фор­му­лы:

, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

До­ка­за­но.

За­ме­ча­ние. Воз­мож­но до­ка­за­тель­ство этой тео­ре­мы не един­ствен­ным ука­зан­ным спо­со­бом, а и с ис­поль­зо­ва­ни­ем раз­лич­ных фор­мул для вы­чис­ле­ния пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка, но мы их ука­зы­вать не будем.

Рас­смот­рим ряд при­ме­ров, в ко­то­рых при­ме­ня­ет­ся рас­смот­рен­ная тео­ре­ма.

При­мер 1. Если два тре­уголь­ни­ка по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия , то чему равно от­но­ше­ние пло­ща­дей этих тре­уголь­ни­ков.

Ре­ше­ние. За­да­ча уст­ная и не тре­бу­ет вы­пол­не­ния чер­те­жа. Вос­поль­зу­ем­ся изу­чен­ной тео­ре­мой: .

Ответ. 2.

При­мер 2. Тре­уголь­ни­ки  по­доб­ны. П

www.kursoteka.ru

Разработка урока по теме «Отношение площадей подобных треугольников. Решение задач».

Тема: «Отношение площадей подобных треугольников. Решение задач».

Цели:

  1. Закрепить понятие пропорциональных отрезков и подобных треугольников.

  2. Совершенствовать навыки решения задач на применение свойства биссектрисы треугольника и определения подобных треугольников.

  3. Доказать теорему об отношении площадей подобных треугольников и рассмотреть применение их при решении задач.

  4. Развивать память, внимание и логическое мышление у учащихся.

  5. Вырабатывать трудолюбие и целеустремленность.

Ход урока.

  1. Организационные моменты.

Сообщение темы и целей урока.

  1. Актуализация знаний и умений учащихся.

    1. Проверка домашнего задания.(Разбор нерешенных задач).

    2. Теоретический опрос:

  1. Какие отрезки называются пропорциональными?

  2. Что такое отношение отрезков?

  3. Какие треугольники подобны? Что такое коэффициент подлбия?

  4. Свойство биссектрисы треугольника с доказательством.

  1. Изучение нового материала.

1. Решить задачи устно:

а) АВС А1В1С1, А = 30°, В = 85°, С = 65°.

Чему равны А1, В1, С1?

б) АВС С1А1В1, АВ = 3 см, ВС = 4 см, АС = 6 см,

А1В1 = 12 см. Вычислите В1С1 и А1С1.

Ответ: В1С1 = 18 см, А1С1 = 9 см.

2. Доказательство теоремы об отношении площадей подобных треугольников.

Теорема. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.

Доказательство. Изобразим подобные треугольники  на Рис.

Рис.

Из подобия треугольников по определению следует, что Воспользуемся следующей теоремой, которую мы сформулировали в предыдущей теме «Площадь»: если у двух треугольников равны углы (), то их площади относятся, как произведение сторон, заключающих данные углы. Запишем этот факт в виде формулы:

, что и требовалось доказать.

Замечание. Возможно доказательство этой теоремы не единственным указанным способом, а и с использованием различных формул для вычисления площади треугольника, но мы их указывать не будем.

  1. Закрепление изученного материала.

№№ 545, 548, 547

№ 545.

Решение

АВС А1В1С1

;

Пусть = x, тогда SАВС = х + 77.

Имеем ;

36х = 25х + 77 · 25

11х = 77 · 25

х = 7 · 25

х = 175.

Ответ: = 175 см2, SАВС = 252 см2.

№ 548.

Решение

АВС А1В1С1, тогда

А1В1 = k АВ, А1С1 = k АС и В1С1 = k ВС, то получим

.

= 40.

  1. Итоги урока.

I. АВС А1В1С1

В = В1 и = k.

II. АВС А1В1С1 = k2.

III. АВС А1В1С1 = k.

  1. Домашнее задание: прочитать п.58, ответить на вопросы 3 и 4, с. 160; №№ 543, 546, 549.

infourok.ru

Отношение площадей подобных треугольников — ГЕОМЕТРИЯ — Уроки для 8 классов — конспекты уроков — План урока — Конспект урока — Планы уроков

Урок № 50

Тема. Отношение площадей подобных треугольников

 

Цель: добиться усвоения учащимися содержания и идеи доказательства теоремы об отношении площадей подобных треугольников. Сформировать умение воспроизводить содержание теоремы и применять ее при решении задач.

Тип урока: усвоение умений и навыков.

Наглядность и оборудование: конспект «Отношение площадей подобных треугольников».

Ход урока

И. Организационный этап

 

II. Проверка домашнего задания

Учитель собирает тетради учащихся с выполненной домашней самостоятельной работой (см. выше). Ученикам объявляется правильное решение с рисунками, изображенными на доске заранее.

Контрольные моменты обсуждаются.

 

III. Формулировка цели и задач урока

Учитель предлагает ученикам ответить на вопросы, содержание которых натолкнет учащихся на размышления по теме урока.

1. В паралелограмі проведена диагональ. На какие фигуры эта диагональ делит данный параллелограмм? Что можно сказать о площади образованных фигур? Почему?

2. В паралелограмі проведены две диагонали. На какие фигуры эти диагонали делят данный параллелограмм? Что можно сказать о площади образованных фигур? Почему?

3. В трапеции проведены диагонали. На какие фигуры эти диагонали делят данную трапецию? Что можно сказать о площади образованных фигур? Почему?

Во время поиска ответов на последний вопрос (см. рис. 1) ученики должны осознать, что, в отличие от диагоналей параллелограмма, диагонали трапеции не делят ЕЕ на треугольники, среди которых есть пары равных. Среди четырех полученных треугольников есть два равновеликих (треугольники 1 и 3), а также два подобных (2 и 4).

 

Итак, формулируется вопрос: «Что мы знаем о площади подобных треугольников?» Логично предположить, что ответ на этот вопрос (то есть установление зависимости между площадями подобных фигур и выражения ее в числовой форме, а также формирование умений применения этой зависимости при решении задач), и будет главной целью урока.

 

IV. Актуализация опорных знаний

С целью формирования сознательного понимания учащимися содержания и доказательства теоремы об отношении площадей подобных треугольников учащиеся должны повторить содержание изученных ранее понятий.

 

Выполнение устных упражнений

1. Какие два треугольника называются подобными?

2. Что означает запись: ΔABC подобен ΔMNK ?

3. Что называют коэффициентом подобия треугольников?

4. Пусть в подобных треугольниках ДАВС и ΔMNK . Для каких еще элементов этих треугольников будет выполняться такое же отношение?

 

V. Усвоение знаний

План изучения нового материала

1. Теорема (об отношении площадей подобных треугольников): формулировка и доказательство.

2. Примеры применения теоремы (об отношении площадей подобных треугольников).

 

Конспект 20

Отношение площадей подобных треугольников

Если ΔABC ~ ДА1В1С1

и

 

@Традиционно в завершение изучения темы «Площади» в 9 классе изучалась теорема об отношении площадей подобных многоугольников, доведение которой состояло из двух частей: 1) доказательство утверждения теоремы для треугольников; 2) доказательство утверждения теоремы для простых многоугольников через доказанное утверждение для треугольников. По новой программе в 8 классе изучается только теорема об отношении площадей подобных треугольников (то есть особый случай теоремы о площади подобных многоугольников). Это обусловлено тем, что понятие подобия многоугольников не изучалось.

 

Доказательство теоремы почти полностью соответствует традиционному доказательству свойства площадей подобных треугольников и опирается на свойство сторон подобных треугольников, признаки подобия прямоугольных треугольников и применение формулы площади треугольника (доказательство можно провести проще, если использовать свойства отношений соответствующих линейных элементов подобных треугольников, сформулированные и доказанные в теме «Подобие треугольников»). После выполнения работы с повторения содержания этих понятий (см. устные упражнения) доказательство теоремы должно быть понятно всем ученикам.

Как пример применения теоремы об отношении площадей подобных треугольников можно рассмотреть с учащимися опорный факт, который является обобщением задачи, а именно: площадь треугольника, который отсекается от данного его средней линией, равна четверти площади данного Треугольника. Понимание утверждения теоремы и следствия происходит при решении устных упражнений и задач по готовым рисункам.

 

VI. Формирование первичных умений

Выполнение устных упражнений

1. Определите, как изменится площадь треугольника, если каждую его сторону:

а) увеличить в 4 раза;

б) уменьшить в 3 раза;

в) уменьшить в п раз.

2. Определите, как надо изменить каждую сторону треугольника, чтобы его площадь:

а) уменьшилась в 25 раз;

б) увеличилась в 49 раз;

в) увеличилась в п2 раз.

3. Отношение площадей двух треугольников равна 4. Означает ли это, что данные треугольники подобны с коэффициентом 2?

4. У одного из двух правильных треугольников высота вдвое меньше, чем у второго. Во сколько раз площадь второго треугольника больше площади первого? Во сколько раз периметр второго треугольника больше, чем периметр первой?

5. Высота одного правильного треугольника равна стороне второго. Какое отношение площадей этих треугольников?

6. Площади двух подобных треугольников относятся как 1 : 16. Как относятся: а) высоты; б) периметры; в) соответственные углы этих треугольников?

7. Площадь ДАВС равна 48 см2. Через середину высоты BD проведена прямая MN, параллельную АС. Чему равна площадь треугольника MBN (М АВ, N BC)?

 

Выполнение письменных упражнений

1. Известно, что ДАВС ~ ДА1В1С1, причем . Найдите:

a) SAВC, если см2;

б) , если SAВC = 9 см2.

2. Известно, что ΔABC ~ Δ А1В1С1. Найдите:

а) сторону А1В1, если SAВC = 24 см2, = 6 см2, АВ = 8 см;

б) площадь треугольника АВС, если ВС = 2 см, В1С1 = 6 см, =18 см2.

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите площадь треугольника, образованного средними линиями данного треугольника.

4. Два треугольника подобны с коэффициентом 3, причем площадь одного из них на 24 см2 больше площади другого. Найдите площади этих треугольников.

5. Площади двух подобных треугольников равны 75 м2 и 300 м2. Периметр первого треугольника равен 54 м. Найдите периметр второго треугольника.

6. На плане земельный участок имеет форму треугольника с площадью 2,5 см2. Найдите площадь участка, если масштаб плана 1 : 1 000.

@ Решению запланированных задач способствует закреплению у учащихся формулировки теорем и понимания, что из доказанного в учебнике утверждения вытекают два различных варианта его применения:

· Если треугольники подобны с коэффициентом подобия k (отношением соответствующих сторон, высот, медиан, периметров, то есть отношение соответствующих линейных элементов), то отношение их площадей равно k2.

· Если треугольники подобны и отношение площадей равно k2, то коэффициент подобия (отношение соответствующих сторон, высот, медиан, периметров, то есть отношение соответствующих линейных элементов) равна k.

 

VII. Итоги урока

Соответствующие стороны двух подобных треугольников равны а и b . Заполните пропуски так, чтобы равенства стали верными (рис. 2).

; ; ; ; ;

(l, m, h — соответствующие биссектрисы, медианы и высоты треугольников).

 

VIII. Домашнее задание

Изучить содержание и доказательство теоремы об отношении площадей подобных треугольников.

Решить задачи.

1. Стороны равносторонних треугольников равны 2 см и 6 см. Найдите отношение их площадей.

2. Найдите площадь треугольника, если треугольник, образованный средними линиями данного треугольника, имеет площадь 5 см2.

3. Соответствующие стороны двух подобных треугольников относятся как 2 : 3. Площадь второго треугольника равна 81 см2. Найдите площадь первого треугольника.

Решить задачи на повторение.

1. Стороны прямоугольника относятся как 5 : 12. Найдите площадь прямоугольника, если его диагональ равна 26 см.

2. На диагонали квадрата как на стороне построен другой квадрат. Докажите, что его площадь вдвое больше площади данного квадрата.

3. Высоты параллелограмма равны 12 см и 16 см, а угол между ними 30°. Найдите площадь параллелограмма.

schooled.ru

геометрия. Вывод теоремы об отношении площадей подобных треугольников… как это сделать?

Если в учебнике нет, во что не верится, то. . Отношение площадей 2 подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Пусть треугольники ABC и А₁В₁С₁ подобны, причем коэффициент подобия равен k O, обозначим буквами S и S₁ площади этих треугольников. Так как A=A₁, то S/S₁ = AB*AC/A₁B₁*A₁C₁ (по тереме об отношении площадей треугольника) . По формулам имеем: АВ/А₁В₁ = k, AC/A₁C₁ = k поэтому S/S₁ = k²

теорема: отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия допустим дано: треугольник АВС, треугольник А1В1С1, угол А=углу А1 доказать что S/S1=k^2 доказательство пусть треугольник АВС и треугольник А1В1С1 подобны уголА=уголА1 следовательно S/S1=(AB*AC)/(A1B1*A1C1) это по теореме об отношении площадей треугольников следовательно АВ/А1В1=k и AC/A1C1=k получаем (AB*AC)/(A1B1*A1C1)=S/S1=k^2

touch.otvet.mail.ru

«ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ» — Международная Ассоциация Развития Образования

Алферова Елена Николаевна,
Ханты- Мансийский АО, г. Нефтеюганск,
учитель математики МБОУ «СОШ №6»

«ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ»

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Цель урока: Доказать свойство площадей подобных треугольников и показать его практическую значимость при решении задач.

Задачи урока:

  • обучающие – доказать свойство площадей подобных треугольников и показать его практическую значимость при решении задач;
  • развивающие – развивать умение анализировать и подбирать аргументацию при решении задачи, способ решения которой неизвестен;
  • воспитательные – воспитывать интерес к предмету через содержание учебного процесса и создание ситуации успеха, воспитывать умение работать в группе.

Учащийся владеет следующими знаниями:

  1. Определение подобных треугольников;
  2. Применение определения подобных треугольников при решении задач;
  3. Теорема об отношении площадей треугольников имеющих по равному углу;

Единица деятельностного содержания, которое нужно усвоить учащимся: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Работа с проблемной ситуацией.

4. Подведение итогов урока и запись домашнего задания, рефлексия.

Методы обучения: словесные, наглядные, проблемно-поисковые.

Формы обучения: фронтальная работа, работа в мини-группы, индивидуальная и самостоятельная работа.

Технологии: задачно-целевая, информационные технологии, компетентностный подход.

Оборудование:

  • компьютер, проектор для демонстрации презентации, интерактивная доска, документ камера;
  • компьютерная презентация в Microsoft PowerPoint;
  • опорный конспект;

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте ребята! Садитесь. Сегодня у нас необычный урок. У нас на уроке присутствуют гости. Повернитесь, пожалуйста, и поприветствуйте их кивком головы. Спасибо ребята. Садитесь.

Сегодня на уроке мы будем работать не в тетрадях, а в опорных конспектах, которые будете заполнять на продолжение всего урока. Подпишите его. Оценка за урок будет состоять из двух составляющих:  за опорный конспект и за активную работу на уроке.

2. Актуализация знаний учащихся. Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока.

Мы продолжаем с вами изучать тему «подобие треугольников».  Поэтому давайте вспомним то, что изучали на прошлом уроке.

 Теоретическая разминка. Тест. В ваших опорных конспектах первое задание имеет тестовый характер. Ответьте на вопросы, выбирая один из предложенных вариантов ответа, где необходимо впишите свой ответ.

1)    Учитель: Что называется отношением двух отрезков?

Ответ: Отношением двух отрезков двух отрезков называется отношение их длин.

2)    Учитель: В каком случае отрезки AB  и CD пропорциональны отрезкам  A1B1 и C1D1

Ответ: отрезки AB  и CD пропорциональны отрезкам  A1B1 и C1D1 , если

Ваши варианты. Хорошо. Не забудьте исправить у кого не так.

3)    Учитель: Дайте определение подобных треугольников? Обратитесь к вашему опорному конспекту. У Вас три варианта ответа на этот вопрос. Выберите правильный. Обведите его.

Так, пожалуйста,  какой вариант выбрал ты_______

Ответ: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника.

Молодцы! Исправьте у кого не так.

4)    Учитель: Чему равно отношение площадей  двух треугольников, имеющих по равному углу?

Ответ: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Скачать полностью работу

Скачать презентацию

u4eba.net

Отношение площадей подобных треугольников — ГЕОМЕТРИЯ — Уроки для 8 классов — конспекты уроков — План урока — Конспект урока — Планы уроков

Урок № 50

Тема. Отношение площадей подобных треугольников

 

Цель: добиться усвоения учащимися содержания и идеи доказательства теоремы об отношении площадей подобных треугольников. Сформировать умение воспроизводить содержание теоремы и применять ее при решении задач.

Тип урока: усвоение умений и навыков.

Наглядность и оборудование: конспект «Отношение площадей подобных треугольников».

Ход урока

И. Организационный этап

 

II. Проверка домашнего задания

Учитель собирает тетради учеников с выполненной домашней самостоятельной работой (см. выше). Ученикам объявляется правильное решение за рисунками, изображенными на доске заранее.

Контрольные моменты обсуждаются.

 

III. Формулировка цели и задач урока

Учитель предлагает учащимся ответить на вопросы, содержание которых натолкнет учащихся на размышления по теме урока.

1. В паралелограмі проведена диагональ. На какие фигуры эта диагональ делит данный параллелограмм? Что можно сказать о площади образованных фигур? Почему?

2. В паралелограмі проведены две диагонали. На какие фигуры эти диагонали делят данный параллелограмм? Что можно сказать о площади образованных фигур? Почему?

3. В трапеции проведены диагонали. На какие фигуры эти диагонали делят данную трапецию? Что можно сказать о площади образованных фигур? Почему?

Во время поиска ответов на последний вопрос (см. рис. 1) ученики должны осознать, что, в отличие от диагоналей параллелограмма, диагонали трапеции не делят ЕЕ на треугольники, среди которых есть пары равных. Среди четырех полученных треугольников есть два равновеликих (треугольники 1 и 3), а также два подобных (2 и 4).

 

Итак, формулируется вопрос: «Что мы знаем о площади подобных треугольников?» Логично предположить, что ответ на этот вопрос (то есть установление зависимости между площадями подобных фигур и выражения ее в числовой форме, а также формирование умений применения этой зависимости при решении задач), и будет главной целью урока.

 

IV. Актуализация опорных знаний

С целью формирования сознательного понимания учащимися содержания и доказательство теоремы об отношении площадей подобных треугольников учащиеся должны повторить содержание изученных ранее понятий.

 

Выполнение устных упражнений

1. Какие два треугольника называются подобными?

2. Что означает запись: ΔABC подобен ΔMNK ?

3. Что называют коэффициентом подобия треугольников?

4. Пусть в подобных треугольниках ΔАВС и ΔMNK . Для каких еще элементов этих треугольников будет выполняться такое же отношение?

 

V. Усвоение знаний

План изучения нового материала

1. Теорема (об отношении площадей подобных треугольников): формулировка и доказательство.

2. Примеры применения теоремы (об отношении площадей подобных треугольников).

 

Конспект 20

Отношение площадей подобных треугольников

Если ΔABC ~ ΔА1В1С1

и

 

@Традиционно в завершение изучения темы «Площади» в 9 классе изучалась теорема об отношении площадей подобных многоугольников, доведение которой состояло из двух частей: 1) доказательство утверждения теоремы для треугольников; 2) доказательство утверждения теоремы для простых многоугольников через доказанное утверждение для треугольников. По новой программе в 8 классе изучается только теорема об отношении площадей подобных треугольников (то есть особый случай теоремы о площади подобных многоугольников). Это обусловлено тем, что понятие подобия многоугольников не изучалось.

 

Доказательство теоремы почти полностью соответствует традиционному доказательству свойства площадей подобных треугольников и опирается на свойство сторон подобных треугольников, признаки подобия прямоугольных треугольников и применение формулы площади треугольника (доказательство можно провести проще, если использовать свойства отношений соответствующих линейных элементов подобных треугольников, сформулированы и доказаны в теме «Подобие треугольников»). После выполнения работы с повторения содержания этих понятий (см. устные упражнения) доказательство теоремы должно быть понятно всем ученикам.

Как пример применения теоремы об отношении площадей подобных треугольников можно рассмотреть с учениками опорный факт, который является обобщением задачи, а именно: площадь треугольника, который отсекается от данного его средней линией, равна четверти площади данного Треугольника. Понимание утверждения теоремы и следствия происходит при решении устных упражнений и задач по готовым рисункам.

 

VI. Формирование первичных умений

Выполнение устных упражнений

1. Определите, как изменится площадь треугольника, если каждую его сторону:

а) увеличить в 4 раза;

б) уменьшить в 3 раза;

в) уменьшить в п раз.

2. Определите, как нужно изменить каждую сторону треугольника, чтобы его площадь:

а) уменьшилась в 25 раз;

б) увеличилась в 49 раз;

в) увеличилась в п2 раз.

3. Отношение площадей двух треугольников равна 4. Означает ли это, что данные треугольники подобны с коэффициентом 2?

4. У одного из двух правильных треугольников высота вдвое меньше, чем у второго. Во сколько раз площадь второго треугольника больше площади первого? Во сколько раз периметр второго треугольника больше, чем периметр первой?

5. Высота одного правильного треугольника равна стороне второго. Какое отношение площадей этих треугольников?

6. Площади двух подобных треугольников относятся как 1 : 16. Как относятся: а) высоты; б) периметры; в) соответствующие углы этих треугольников?

7. Площадь ΔАВС равна 48 см2. Через середину высоты BD проведена прямая MN, параллельная АС. Чему равна площадь треугольника MBN (М АВ, N BC)?

 

Выполнение письменных упражнений

1. Известно, что ΔАВС ~ ΔА1В1С1, причем . Найдите:

a) SAВC, если см2;

б) , если SAВC = 9 см2.

2. Известно, что ΔABC ~ Δ А1В1С1. Найдите:

а) сторону А1В1, если SAВC = 24 см2, = 6 см2, АВ = 8 см;

б) площадь треугольника АВС, если ВС = 2 см, В1С1 = 6 см =18 см2.

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите площадь треугольника, образованного средними линиями данного треугольника.

4. Два треугольника подобны с коэффициентом 3, причем площадь одного из них на 24 см2 больше площади другого. Найдите площади этих треугольников.

5. Площади двух подобных треугольников равны 75 м2 и 300 м2. Периметр первого треугольника равен 54 м. Найдите периметр второго треугольника.

6. На плане земельный участок имеет форму треугольника с площадью 2,5 см2. Найдите площадь участка, если масштаб плана 1 : 1 000.

@ Решения запланированных задач способствует закреплению у учащихся формулировки теорем и понимание, что из доказанного в учебнике утверждения вытекают два различных варианта его применения:

· Если треугольники подобны с коэффициентом подобия k (отношением соответствующих сторон, высот, медиан, периметров, т.е. отношением соответствующих линейных элементов), то отношение их площадей равна k2.

· Если треугольники подобны и отношение площадей равна k2, то коэффициент подобия (отношение соответствующих сторон, высот, медиан, периметров, то есть отношение соответствующих линейных элементов) равна k.

 

VII. Итоги урока

Соответствующие стороны двух подобных треугольников равны а и b . Заполните пропуски так, чтобы равенства стали верными (рис. 2).

; ; ; ; ;

(l, m, h — соответствующие биссектрисы, медианы и высоты треугольников).

 

VIII. Домашнее задание

Изучить содержание и доказательство теоремы об отношении площадей подобных треугольников.

Решить задачи.

1. Стороны равносторонних треугольников равны 2 см и 6 см. Найдите отношение их площадей.

2. Найдите площадь треугольника, если треугольник, образованный средними линиями данного треугольника, имеет площадь 5 см2.

3. Соответствующие стороны двух подобных треугольников относятся как 2 : 3. Площадь второго треугольника равна 81 см2. Найдите площадь первого треугольника.

Решить задачи на повторение.

1. Стороны прямоугольника относятся как 5 : 12. Найдите площадь прямоугольника, если его диагональ равна 26 см.

2. На диагонали квадрата как на стороне построен другой квадрат. Докажите, что его площадь вдвое больше площади данного квадрата.

3. Высоты параллелограмма равны 12 см и 16 см, а угол между ними 30°. Найдите площадь параллелограмма.

na-uroke.in.ua

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.