Сравнение чисел со степенями если основания разные – МАТВОКС ⋆ Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями ⋆ Энциклопедия математики

Лекционное занятие с учащимися

В математике господствуют две стихии – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей.
Мы будем заниматься стихией чисел.
Возникновение понятия числа – одно из гениальнейших проявлений человеческого разума. Действительные числа не только измеряют, сравнивают, вычисляют, но даже рисуют, играют, сочиняют.

1. Сложение.
2. Вычитание.
3. Умножение.
4. Деление.

– Какие из этих действий выполняются всегда? Ответ: сложение, умножение.
– А какие не выполняются? Ответ: не всегда: 15–20, 15:8.

5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 =
– Как короче записать это произведение? Ответ: 5⁶.
– Говорят, что это шестая степень числа пять.
Вообще: а^п=а а а а а а … а, .

Записываем свойства в тетрадь:

1. aⁿbⁿ=(ab)ⁿ.
2. aⁿa^m=a^n+m.
3. (aⁿ)^m=a^nm.

1. Сегодня мы рассмотрим ряд задач на сравнение степеней с натуральными показателями.

Сравнить 31¹¹ и 17¹⁴.

Решение:

1. Числа 31 и 17 находятся рядом со степенями числа “2” (32=2⁵, 16=2⁴).
2. 31¹¹<32¹¹= (2⁵)¹¹=2⁵⁵, т.е. 31¹¹< 2⁵⁵.
3. 16<17 ; 16¹⁴<17¹⁴, (2⁴)¹⁴<17¹⁴.
4. 31¹¹<2⁵⁵<2⁵⁶<17¹⁴ следовательно 31
   11<17¹⁴.

Сравнить 9997¹⁰ и 100003⁸.

Решение:

1. 9997¹⁰<10000¹⁰=(10⁴)¹⁰=10⁴⁰.
   9997¹⁰<10⁴⁰.
2. 10⁴⁰=(10⁵)⁸=100000⁸/
3. 100000⁸<100003⁸.

Значит, 9997¹⁰<100003⁸.

Что больше 5³⁰⁰ или 3⁵⁰⁰?

Решение:

1. 5³⁰⁰=5^3 100=(5³)¹⁰⁰=(5 5 5)¹⁰⁰=125¹⁰⁰.
2. 3⁵⁰⁰=3^5 100=(3 3 3 3 3)¹⁰⁰=243¹⁰⁰.
3. 125<243 следовательно 125¹⁰⁰<243¹⁰⁰
   следовательно 5³⁰⁰<3⁵⁰⁰.

Ответ: 5³⁰⁰<3⁵⁰⁰.

2. Задачи на определение цифры, на которую оканчивается число.

Натуральные числа обладают следующим свойством: при умножении ряда чисел, оканчивающихся единицей или “5”, получается число, оканчивающиеся той же цифрой. Например:

22375 • 12735 = ……..5.
281 • 381 = ……….1

581²⁸⁹¹¹=581 581…581 = ………..1.
                    28911 раз

Всякая степень числа оканчивающаяся на “5”, тоже оканчивается на “5”.
Если число оканчивается “6”, то всякая степень числа оканчивается “6”.

286¹²³⁷ оканчивается “6”.

Если число оканчивается 76, то любая его степень оканчивается “76”.

2876⁴оканчивается 76.

Если число оканчивается 25, то любая его степень оканчивается “25”.

Рассмотрим задачи такого типа.

Задача 1

Какой цифрой оканчивается число 3²⁰⁰⁴?

Решение:

• 3¹=3
  3²=9
  3³=27
  3⁴=81
  3⁵=243
  3⁶=729.

Заметим, что 3¹ и3⁵ оканчиваются на одну цифру “3”, 3² и 3⁶ – тоже на одну цифру “9”.
Последняя цифра повторяется через 4, т.е. в общем виде число 3^4m+nзаканчивается той же цифрой, что и 3ⁿ

• 2004=4 х501=2000+4=4 х 500 +4.
• 3²⁰⁰⁴=3^{4 х 500 +4}оканчивается той же цифрой, что 3
  4, т.е. на 1.

Ответ: на 1.

На какую цифру оканчивается число 3²⁰⁰⁴+4²⁰⁰⁵?

Решение:

Выяснить, делится ли на 3 число 1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰³+2²⁰⁰⁴?

Решение:

Сгруппируем слагаемые:

Первое слагаемое делится на 3, второе нет, значит, сумма не делится на 3.

Доказать, что разность 999993¹⁹⁹⁹ – 777777¹⁹⁹⁷ кратна 5.

Решение:

1. Если оканчивается цифрой 3, то степени оканчиваются 3,9,7,1. Повторение через 4. в нашем случае 1999:4=499+3, 1999=4 х 499 +3. Значит число 999993¹⁹⁹⁹ оканчивается на ту же цифру, что число 3³, т.е. на 7.
2. Если число оканчивается на 7, то степень числа оканчивается на 7,9,3,1. повторение через 4.

• 7¹=7
• 7²=49
• 7³=343
• 7⁴=2401
• 7⁵=16807
• 1997:4=499+4

1997 = 4 х 499+1, значит 777777¹⁹⁹⁷ оканчивается на туже цифру, что и число 7¹, т.е. на 7.

3. Разность данных чисел оканчивается на 0 (7–7=0), 0:5, следовательно разность кратна “5”.

Что больше 100²⁰ или 9000¹⁰?

Решение:

1. 100²⁰=100^{2 х10}=(100²)¹⁰=(100 х100)¹⁰=1000¹⁰.
2. 1000<9000 следовательно 10000¹⁰<9000¹⁰ следовательно 100²⁰<9000¹⁰.

Сравнить 127²³ и 513¹⁸.

Решение:

1. 127<128; 127<2⁷; 127²³<2^{7 х23}=2¹⁶¹.
2. 512<513; 2⁹<513; 2^{9 х18}<513¹⁸; 2¹⁶²<513¹⁸.
3. 127²³<2¹⁶¹<2¹⁶²<513¹⁸ следовательно 127²³<513¹⁸.

Какая цифра будет последней в записи результата 953⁹⁹⁹⁹⁹?

Решение:

1. если число оканчивается на 3, то его степень оканчивается на 3, 9, 7, 1. Повторение через 4.
2. 99999:4=24999 +(3 ост.).
   99999=4 х 24999 +3.
   Наше число имеет остаток такой же, что и 953³, т.е. число 7.

776⁷⁷⁶+777⁷⁷⁷+778⁷⁷⁸. Какой цифрой оканчивается сумма и кратна ли она 5.

Решение:

1. 776⁷⁷⁶ оканчивается 6 (см. пред.задачи).
2. 777⁷⁷⁷ оканчивается 7. если число оканчивается на 7, то его степени оканчиваются на 7,9,3,1, повторение через 4.
   777=4 х 194+1.
   Значит, 777⁷⁷⁷ имеет последней ту же цифру, что и 7¹, т.е. оканчивается на 7.

3. 778⁷⁷⁸

• 8¹⁼⁸
• 8²=64
• 8³=512
• 8⁴=4096
• 8⁵=32768 Степени оканчиваются на 8,4,2,6. Повторение через 4. 778⁷⁷⁸ оканчивается на ту же цифру что и 8³, т.е. на 2. 778=4 х 194+3.

4. Наша сумма оканчивается на 5 (6+7+2=15).

Какой цифрой оканчивается число ((9999⁹⁹⁹)⁹⁹)⁹ .

Решение:

• 9¹=9
• 9²=81
• 9³=729 Если степень четная, то число оканчивается на 1, если степень нечетная, то на 9.

3. 99⁹ оканчивается на 9, т.к. 9 – нечетное число
4. число 99⁹ – нечетное, т.к. оканчивается на 9.
5. ((999⁹⁹)⁹ оканчивается на 9, т.е. оно нечётное.
6. ((999⁹⁹⁹)⁹⁹)⁹ оканчивается на 9, т.к. степень нечетная.

Что больше: 2⁷⁰⁰или5³⁰⁰? 2³⁰⁰или 3²⁰⁰.

Решение:

1. 2⁷⁰⁰=(2⁷)¹⁰⁰=128¹⁰⁰.
2. 5³⁰⁰=(5³)¹⁰⁰=125¹⁰⁰.
3. 128>125 следовательно 128¹⁰⁰>125¹⁰⁰ следовательно 2⁷⁰⁰>5³⁰⁰.

1. 2³⁰⁰=8¹⁰⁰ 3²⁰⁰=9¹⁰⁰.
    8¹⁰⁰<9¹⁰⁰ следовательно 2³⁰⁰<3²⁰⁰.

Найти последнюю цифру числа 8²⁰⁰⁶.

Решение:

1. если число оканчивается на 8, то его степени оканчиваются на 8,4,2,6. Повторение через 4.
2. а^4т+п имеет последней ту же цифру, что число а^п.
3. 2006=501 х 4 +2.
4. 8²⁰⁰⁶=8^{4 х 501+2}, значит это число имеет ту же цифру, что и 8², т.е. оканчивается на 4.

Что больше или

Найти несколько способов решения.

Решение: