Теорема пифагора формула треугольника калькулятор онлайн – Теорема Пифагора — онлайн расчет, формулы

Теорема Пифагора | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Теорема Пифагора является основополагающим звеном в Евклидовой геометрии, на котором базируются большая часть всех вытекающих из теоремы Пифагора следствий и других теорем. Выведенная еще в VI веке до нашей эры, теорема связывает стороны прямоугольного треугольника простым уравнением, и имеет множество доказательств, одно из которых объединяет в себе как алгебру, так и геометрию.

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике есть катеты a и b – это стороны прилегающие к прямому углу, и сумма их квадратов дает квадрат гипотенузы – третьей стороны треугольника, лежащей напротив прямого угла.

Доказать это можно, построив четыре прямоугольных треугольника так, чтобы на длинном катете каждого из них был расположен короткий катет следующего треугольника, при этом вершины углов совпадают.

Как видно из рисунка, общая фигура представляет собой квадрат со стороной c, являющей одновременно гипотенузой данных треугольников, а площадь этой фигуры равна c

2, согласно формуле площади квадрата. Помимо того, что этот квадрат включает в себя четыре прямоугольных треугольника площадью , в центре его находится еще один, маленький квадрат. Сторона маленького квадрата равна разности катетов, следовательно, его площадь будет равна квадрату этой разности. (a-b)2=a2-2ab+b2

Представим площадь большого квадрата в виде суммы площадей маленького квадрата и четырех треугольников по принципу суперпозиции.

Таким образом, площадь квадрата одновременно равна гипотенузе во второй степени и сумме катетов во вторых степенях, что и требовалось доказать. a2+b2=c2

geleot.ru

Теорема Пифагора | Онлайн калькулятор

Теорема Пифагора является основополагающим звеном в Евклидовой геометрии, на котором базируются большая часть всех вытекающих из теоремы Пифагора следствий и других теорем. Выведенная еще в

VI веке до нашей эры, теорема связывает стороны прямоугольного треугольника простым уравнением, и имеет множество доказательств, одно из которых объединяет в себе как алгебру, так и геометрию.

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике есть катеты a и b – это стороны прилегающие к прямому углу, и сумма их квадратов дает квадрат гипотенузы – третьей стороны треугольника, лежащей напротив прямого угла.

Доказать это можно, построив четыре прямоугольных треугольника так, чтобы на длинном катете каждого из них был расположен короткий катет следующего треугольника, при этом вершины углов совпадают.

Как видно из рисунка, общая фигура представляет собой квадрат со стороной c, являющей одновременно гипотенузой данных треугольников, а площадь этой фигуры равна

c2, согласно формуле площади квадрата. Помимо того, что этот квадрат включает в себя четыре прямоугольных треугольника площадью , в центре его находится еще один, маленький квадрат. Сторона маленького квадрата равна разности катетов, следовательно, его площадь будет равна квадрату этой разности. (a-b)2=a2-2ab+b2

Представим площадь большого квадрата в виде суммы площадей маленького квадрата и четырех треугольников по принципу суперпозиции.

Таким образом, площадь квадрата одновременно равна гипотенузе во второй степени и сумме катетов во вторых степенях, что и требовалось доказать. a2+b2=c2

allcalc.ru

Калькулятор расчета теоремы Пифагора онлайн

Теорема Пифагора — главное утверждение геометрии. Так звучит ее формулировка : площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

S = S1 + S2

Несмотря на то, что теорема названа именем знаменитого математика и философа Пифагора, проживавшего в Древней Греции в VI в. до н. э., уже давно установлено, что подобное утверждение было известно намного раньше. Пифагор же открыл доказательство теоремы, которая сначала определяла отношение между площадями квадратов, которые были построены на катетах и гипотенузе вероятно равнобедренного прямоугольного треугольника. Сегодня известны десятки разных доказательств Пифагоровой теоремы, которая лежит в основе множества геометрических вычислений. Вторая формулировка теоремы, алгебраическая, читается как: квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов его катетов, что можно выразить формулой:

c2 = a2 + b2

В данной формуле:
а, в — величины катетов;

с — величина гипотенузы.

Если нужно найти гипотенузу, необходимо вычислить сумму квадратов катетов, а затем извлечь из нее корень квадратный. По формуле:

c2=a2+b2

c=√a2+b2

Если нужно найти величину катета, из квадрата гипотенузы вычитаем квадрат другого катета. Из полученного результаты извлекаем корень квадратный.

a=√c2-b2

Сформулирована обратная теорема Пифагора:
если квадрат одной стороны рассматриваемого треугольника равен сумме квадратов остальных двух сторон, то он считается прямоугольным.

Быстро и правильно произвести математические расчеты вам поможет онлайн калькулятор, вам надо только подставить исходные данные.

Расчет теоремы Пифагора

infofaq.ru

онлайн калькулятор, формула и доказательство

Теорема Пифагора – фундаментальная теорема евклидовой геометрии, которая постулирует соотношение катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника. Это, пожалуй, самая популярная теорема в мире, известная каждому со школьной скамьи.

История теоремы 

На самом деле, теория о соотношении сторон прямоугольного треугольника была известна задолго до Пифагора с острова Самос. Так, задачи о соотношении сторон встречаются в древних текстах периода правления вавилонского царя Хаммурапи, то есть за 1500 лет до рождения самосского математика. Заметки о сторонах треугольника зафиксированы не только в Вавилоне, но и Древних Египте и Китае. Одно из самых известных целочисленных соотношений катетов и гипотенузы выглядит как 3, 4 и 5. Эти числа использовались древними землемерами и зодчими для построения прямых углов.

Итак, Пифагор не изобретал теорему о соотношении катетов и гипотенузы. Он первым в истории доказал ее. Однако на этот счет существуют сомнения, так как доказательство самосского математика, если оно и было зафиксировано, утеряно в веках. Существует мнение, что доказательство теоремы, приведенное в «Началах» Евклида, принадлежит именно Пифагору. Впрочем, на этот счет у историков математики большие сомнения.

Пифагор был первым, но после него теорему о сторонах прямоугольного треугольника доказали около 400 раз, используя самые разные методики: от классической геометрии до дифференциального исчисления. Теорема Пифагора всегда занимала пытливые умы, поэтому среди авторов доказательств можно вспомнить Леонардо да Винчи, Альберта Эйнштейна и президента США Джеймса Гарфилда.

Доказательства

В математической литературе зафиксировано не менее четырех сотен доказательств теоремы Пифагора. Такое умопомрачительное количество объясняется фундаментальным значением теоремы для науки и элементарностью результата. В основном пифагорова теорема доказывается геометрическими способами, наиболее популярными из которых являются метод площадей и метод подобий.

Самым простым методом доказательства теоремы, не требующим обязательных геометрических построений, является метод площадей. Пифагор заявил, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: 

c2 = a2 + b2

Попробуем доказать это смелое утверждение. Мы знаем, что площадь любой фигуры определяется при помощи возведения линейного сегмента в квадрат. Линейным сегментом может быть что угодно, но чаще всего это сторона фигуры или ее радиус. В зависимости от выбора сегмента и типа геометрической фигуры квадрат будет иметь различные коэффициенты:

  • единицу в случае с квадратом – S = a2;
  • приблизительно 0,43 в случае с равносторонним треугольником – S = (sqrt(3)/4)a2;
  • Пи в случае с кругом – S = pi × R2.

Таким образом, площадь любого треугольника мы можем выразить в виде S = F × a2, где F – некоторый коэффициент.

Прямоугольный треугольник – удивительная фигура, которую легко разделить на два подобных прямоугольных треугольника, всего лишь опустив перпендикуляр из любой вершины. Такое разделение превращает прямоугольный треугольник в сумму двух прямоугольных треугольников поменьше. Так как треугольники подобны, их площади вычисляются по одной и той же формуле, которая выглядит как:

S = F × гипотенуза2

В результате разделения большого треугольника со сторонами a, b и c (гипотенуза) получились три треугольника, причем у меньших фигур гипотенузами оказались стороны изначального треугольника a и b. Таким образом, площади подобных треугольников вычисляются как:

  • S1 = F × c2 – исходный треугольник;
  • S2 = F × a2 – первый подобный треугольник;
  • S3 = F × b2 – второй подобный треугольник.

Очевидно, что площадь большого треугольника равна сумме площадей подобных:

S1 = S2 + S3

или

F × c2 = F × a2 + F × b2

Коэффициент F легко сократить. В итоге получаем:

c2 = a2 + b2,

что и требовалось доказать. 

Пифагоровы тройки

Выше уже упоминалось популярное соотношение катетов и гипотенуз как 3, 4 и 5. Пифагоровы тройки – это набор трех взаимно простых чисел, которые удовлетворяют условию a2 + b2 = c2. Таких комбинаций существует бесконечное количество, а первые из них использовались еще в древности для построения прямых углов. Завязывая определенное количество узлов на бечевке через равные промежутки и складывая ее в виде треугольника, древние ученые получали прямой угол. Для этого на каждой стороне треугольника требовалось завязать узлы, в количестве, соответствующем пифагоровым тройкам: 

  • 3, 4, и 5;
  • 5, 12 и 13;
  • 7, 24 и 25;
  • 8, 15 и 17.

При этом любую пифагорову тройку можно увеличить в целое количество раз и получить пропорциональное соотношение, соответствующее условию теоремы Пифагора. К примеру, из тройки 5, 12, 13 можно получить значения сторон 10, 24, 26 простым умножением на 2. Сегодня пифагоровы тройки используются для быстрого решения геометрических задач. 

Применение теоремы Пифагора

Теорема самосского математика используется не только в школьной геометрии. Пифагорова теорема находит применение в архитектуре, астрономии, физике, литературе, информационных технологиях и даже в оценке эффективности социальных сетей. Теорема применяется и в реальной жизни. 

Выбор пиццы

В пиццериях перед покупателями часто возникает вопрос: взять одну большую пиццу или две поменьше? Допустим, можно купить одну пиццу диаметром 50 см или две пиццы поменьше, диаметром 30 см. На первый взгляд две пиццы поменьше – это больше и выгоднее, но не тут-то было. Как быстро сравнить площади приглянувшихся пицц? 

Мы помним теорему самосского математика и пифагоровы тройки. Площадь круга – это квадрат диаметра с коэффициентом F = pi/4. А первая пифагорова тройка – это 3, 4 и 5, которую мы легко можем превратить в тройку 30, 40, 50. Следовательно 502 = 302 + 402. Очевидно, что площадь пиццы с диаметром 50 см будет больше, чем сумма пицц с диаметрами по 30 см. Казалось бы, что теорема применима только в геометрии и только для треугольников, но на этом примере видно, что соотношение c2 = a2 + b2 можно применять и для сравнения других фигур и их характеристик.

Наш онлайн-калькулятор позволяет вычислять любые значения, удовлетворяющие фундаментальному уравнению о сумме квадратов. Для расчета достаточно ввести 2 любых значения, после чего программа вычислит недостающее коэффициент. Калькулятор оперирует не только целыми, но и дробным значениями, поэтому для вычислений разрешается использовать любые числа, а не только пифагоровы тройки. 

Заключение

Теорема Пифагора – фундаментальная вещь, которая находит широкое применение во многих научных приложениях. Используйте наш онлайн-калькулятор для подсчета величин значений, которые связаны выражением c2 = a2 + b2.

bbf.ru

Нахождение углов треугольника по заданным сторонам

От нашего пользователя поступил запрос на создание калькулятора, рассчитывающего углы треугольника по заданным сторонам — Расчет углов треугольника.

Для треугольника, в отличие от, скажем, четырехугольника, эта задача имеет решение, ибо треугольник можно однозначно определить по трем сторонам (а также по двум сторонам и углу между ними, и по стороне и двум прилежащим углам).

Стороны в треугольнике, кстати сказать, должны следовать неравенству треугольника, то есть, сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны.
Математически (см. рисунок) это выражается системой

В случае невыполнения хотя бы одного из условий треугольник называют вырожденным. Собственно, это и не треугольник уже.

Идем дальше — при известных сторонах углы проще всего определить, пользуясь теоремой косинусов, частным случаем которой является теорема Пифагора (см. рисунок)

, откуда

Калькулятор ниже рассчитывает углы по введенным длинам сторон. Если треугольник вырожденный, то в результате будут нули.

Нахождение углов треугольника по заданным сторонам
Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Угол alpha (градусы)

 

Угол beta (градусы)

 

Угол gamma (градусы)

 

Сохранить share extension

planetcalc.ru

Теорема Пифагора, формула и доказательство

ТЕОРЕМА

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах (рис. 1).

Доказательство теоремы Пифагора

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле

   

С другой стороны для вычисления площади произвольного треугольника справедлива формула: . В этой формуле – полупериметр , а – радиус вписанной окружности и для прямоугольника он равен . Далее приравнивая правые части обеих формул для площади треугольника, получим

   

   

   

   

   

   

Что и требовалось доказать.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 5 см. Найти гипотенузу.
Решение Обозначим катеты см и см, а гипотенузу – . По теореме Пифагора гипотенуза будет равна

   

Подставляя длины катетов, получим

(см)

Ответ Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см
ПРИМЕР 2
Задание Диагональ прямоугольника равна 5 см, а одна из его сторон – 3 см. Найти вторую сторону прямоугольника.
Решение Сделаем рисунок (рис. 2).

Обозначим см, см. Рассмотрим прямоугольный треугольник . Запишем для него теорему Пифагора:

   

Выразим из последнего равенства неизвестную сторону :

   

Подставляя известные значения сторон, получим

   

   

   

(см)

Ответ Вторая сторона прямоугольника равна 4 см

ru.solverbook.com

Гипотенуза в прямоугольном треугольнике — формула, пример расчета, калькулятор

Гипотенуза – это самая длинная сторона прямоугольного треугольника. Она лежит напротив прямого угла. Длина гипотенузы может быть найдена различными способами.

Если известна длина обоих катетов, то ее размер вычисляется по теореме Пифагора: сумма квадратов двух катетов равняется квадрату гипотенузы.

Соответственно длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике вычисляется по формуле:

К примеру: катет a = 3 см, катет b = 4 см.
Чтобы найти длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике, подставим числа в формулу. =5 см

Преобразовав эту формулу можно найти и длину одного неизвестного катета.
,


В случае если известна длина катета A и гипотенузы C, угол α можно определить по формуле:
Второй угол будет вычисляться так: β = 180°-90°-α. Зная, что сумма всех углов составляет 180°, вычитаем прямой угол и уже известный. К примеру: A = 3 см, C=5 см, подставляем значения в формулу: =0,6
По таблицу синусов угол α будет приблизительно равен 36°, соответственно угол β = 54°.

Если по условиям даны параметры двух катетов, то можно найти острый угол по следующей формуле:

К примеру: A = 3 см, B = 4 см
Подставляем значения в формулу =0,75
По таблице тангенсов угол α будет равняться 36°, соответственно угол β = 54°.

Также стороны прямоугольного треугольника можно найти по различным формулам в зависимости от количества известных переменных.

При расчете параметров прямоугольного треугольника важно обращать внимание на известные значения и решать задачу по самой простой формуле.

2mb.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.