Треугольник вырожденный в отрезок – Некоторые вопросы геометрии вырожденных треугольников

Некоторые вопросы геометрии вырожденных треугольников

.

Казакова Г.Г. , доцент кафедры геометрии ХГПУ

Рисунок 1. Центроид треугольника

Применение методов векторной алгебры позволяет выявлять те особые свойства фигур, которые могут ускользнуть от нас при их наглядно-геометрическом рассмотрении, и при этом не потерять геометрическую наглядность изучаемого факта (как это часто бывает при применении метода координат).

Остановимся на некоторых фактах, связанных с геометрией треугольника, которые позднее будут применены к вырожденным треугольникам, что позволит получить интересные результаты.

Договоримся об обозначениях: точки будем обозначать заглавными буками обычным шрифтом (например: А, B) , а радиус-векторы точек (и обычные векторы) - жирным курсивом (например A, G, BC, b).

1. Центроид треугольника. Точка G пересечения медиан треугольника АВС называется его центроидом. Выразим радиус-вектор G центроида через радиус-векторы A, B, C вершин треугольника при любом выборе начала векторов - точки О.

По свойству медиан треугольника CG:GM=2 (смотри рис.1), следовательно G=(C+2M)/3, где М - середина стороны АВ, т.е. M=(A+B)/2. Итак,

G=(A+B+C)/3 (1)

Верно и обратное: если точки А, В и С не коллинеарны и имеет место условие (1), то точка G есть центроид треугольника АВС. В самом деле, пусть точка М - середина отрезка АВ, т. е. при любом выборе начала векторов О имеем M=(A+B)/2. Тогда из равенства (1) получим G=(C+2M)/3, т.е. G делит медиану СМ в отношении 2:1 и потому является центроидом треугольника АВС.

2. Ортоцентр треугольника. Прямая Эйлера. Если за начало векторов взять центр О описанной вокруг треугольника АВС окружности, то радиус-вектор ортоцентра Н (точки пересечения высот) этого треугольника равен

H = A+B+C (2)

Рисунок 2. Ортоцентр треугольника

В самом деле, векторы A+B и H-C (смотри рис.2) коллинеарны, значит, A+B = l(H-C).

По этой же причине B+C = m(H-A).

После почленного вычитания этих равенств получаем:

A-C = (l - m)H - lC + mA или

(1 - m)A + (l - 1)C + (m - l)H = 0

и при этом сумма коэффициентов

(1 - m) + (l - 1) + (m - l) = 0.

Выполнение двух этих условий возможно только в двух случаях:

либо когда точки А, С и Н коллинеарны (это невозможно по условию), либо когда

(1 - m) = (l - 1) = (m - l) = 0.

Значит, имеет место последнее:

m = l = 1

и тогда H = A+B+C.

Так как при любом выборе начала векторов точки О

G=(A+B+C)/3

то в данном случае G = H/3, т. е. точки О, G и Н коллинеарны и OG : GH = 1:2. Прямая OGH называется прямой Эйлера для треугольника АВС.

Теорема 1: Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон и середин сторон, лежат на окружности, описанной вокруг этого треугольника.

Рисунок 3.

Доказательство: Примем центр описанной окружности за начало радиус - векторов точек. Если точка Е1 симметрич­на Н относительно середины стороны ВС (смотри рис.3), то :

(B+C)/2 = (H+E1)/2, или

E1 = B + C - H = -A, т.е. точки A и E1 диаметрально противоположные и

E12 =A2 =R2.

Пусть прямая АН пересекает прямую ВС в точке К, а окружность - в точке Н1. Если ОД перпендикулярна ВС и ОF перпенди­кулярна АК, то:

K = D+F, D = (В+C)/2, F = (A+h2)/2 и, значит, K = (B+C+А+h2)/2 = (H+h2)/2 , т.е. Н1 симметрична точке Н относительно прямой ВС. Для точек Н2 и Н3 доказатель­ство аналогично.

Теорема 2: Во всяком треугольнике середины сторон, основания высот и три точки, делящие пополам отрезки высот от вершин до ортоцентра, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек треугольника.

Доказательство: За начало векторов примем центр О описанной около треугольника окружности (смотри рис.4). Обозначим через Оi середины сторон, через Нi основания высот, через Кi середины отрезков высот от ортоцентра до вершины (i =1, 2 ,3).

Если L - середина отрезка ОН, то

L = H/2 = (A + B + C)/2,

LO1 = O1 - L = (B + C)/2 -(A+B+C)/2 = -A/2,

LK1 = K1 - L = (A + H)/2 - H/2 = A/2.

Рисунок 4.

Таким образом, точки Оi и Кi (i =1, 2 ,3) симметричны относительно L, т.е. принадлежат окружности с центром L и радиусом, равным половине радиуса R описанной окружности, так как LO12 = LK12 = (±A/2)2 = R2/4. Углы ОiHiKi ( i=1, 2, 3) прямые и опираются на диаметры полученной окружности, а поэтому точки Hi этой окружности принадлежат. В дальнейшем остановимся на применении рассмотренных фактов к вырожденным треугольникам, т.е. таким треугольникам, у которых совпадает две или три вершины.

3. Треугольник с двумя совпавшими вершинами.

Если вершины В и С треугольника АВС совпали, то сторона ВС = а будет касательной к описанной около треуголь­ника окружности в этой точке, а длина стороны ВС будет равна нулю.

Итак, определить треугольник с двумя совпавшими вершинами (вырож­денный треугольник) можно двояко:

1) это хорда АВ окружности с одним двойным концом В;

2) это отрезок АВ и прямая, проходящая через его точку В.

В последнем случае описанная около треугольника АВС окружность касается прямой а в точке В, лежащей на ней. Такая окружность - единственная.

В полученном треугольнике с двумя совпавшими вершинами величина угла А равна нулю, а углы В и С - смежные, поэтому сумма внутренних углов треугольника равна 1800. Рассмотрим интерпретацию для данного треугольника свойств невырож­денного треугольника.

Так, при любом выборе начала О векторов G=1/3(A+2B), т.е. центроид G делит отрезок АВ в отношении л=2:1. Ортоцентр Н определится как тоже пересечение высоты АHi ^ а и двойной высоты, проходящей через точку В є С перпендикулярно к АВ. Если за начало векторов принять центр О описанной окружности, то Н = А + 2В (рис.5).

Итак, векторы G и Н коллинеарны и OG : GH = 1 : 2.

Применительно к данному случаю теорема 1 звучит следующим образом:

Если АВ - хорда окружности, а - касательная к ней в точке В и перпендикуляры из точки А к прямой а из точки В у прямой АВ пересекаются в точке Н, то точки Е, F и K, симметричные Н соответственно относительно а, В и середины АВ, принадлежат данной окружности (рис.5).

Рисунок 5

Для обычного треугольника имеет место теорема Симпсона:

ортогональные проекции точки окружности на стороны вписанного в нее треугольника лежат на одной прямой, называемой прямой Симпсона для данного треугольника.

Для треугольника вырожденного этот факт тривиален: точки М1 и М2 совпали, а две точки М1 є М2 и М3 всегда определяют прямую линию (рис.6).

Однако, так как DММ1В~DММ3А, (они прямоугольные и углы МВМ1 и МАМ3 измеряются половиной дуги МnB), то МВ : МА = ММ2 : ММ3 или МВ · ММ3 = МА · ММ2, т.е. получаем теорему 3:

Если АВ - хорда окружности и а - касательная к ней в точке В, то произведение расстояний произвольной точки окружности до точки касания и до хорды равно произведению расстояний этой точки до второго конца хорды и до касательной.

Рисунок 7

Теорема 2 (об окружности девяти точек треугольника) для вырожденного треугольника может быть сформулирована так:

Если АВ - хорда окружности, а - касательная к ней в точке В и перпендикуляры Аh2 к прямой а и FB к прямой АВ пересекаются в точке Н (рис.5), то основания h2 и В этих перпендикуляров и середины отрезков АВ, АН и ВН лежат на одной окружности, радиус которой равен половине радиуса данной окружности.

Треугольник с тремя совпавшими вершинами (дважды вырожденный треугольник).

Рисунок 6

Такой треугольник можно задать с помощью точки А окружности (рис.7). В этом случае все три стороны совпадают, ибо А=В=С, и являются касательной а к окружности в точке А. Если за начало векторов принять центр О описанной окружности, то G=A и H=3A, т.е. ОАН - прямая Эйлера для вырожденного треугольника и OG:GH=1:2. Точка Н', симметричная Н относительно сторон и середин сторон вырожденного треугольника АВС, лежит на окружности (О,ОА), описанной около этого треугольника.

Чтобы выяснить положение прямой Симпсона, обратимся к рис.6. Так как РММ1В = РММ3В = 900 , то точки М1 є М2 и М3 принадлежат окружности диаметра МВ. Следовательно, если А=В, то прямая М1М3 Симпсона будет касательной в точке М1 к окружности диаметра МА=МВ (рис.7).

Окружностью девяти точек треугольника АВС является окружность, касающаяся описанной окружности в точке А (основание трех высот, середины трех сторон) и проходящая через середину отрезка НА, т.е. ее радиус равен половине радиуса данной окружности.

Список литературы

Майоров В.М., Скопец З.А. Векторное решение геометрических задач. М.- Просвещение, 1968.

Скопец З.А., Панарин Я.П. Геометрия тетраэдра и его элементов. Ярославль, 1974.

mirznanii.com

Некоторые вопросы геометрии вырожденных треугольников

Казакова Г.Г. , доцент кафедры геометрии ХГПУ

Рисунок 1. Центроид треугольника

Применение методов векторной алгебры позволяет выявлять те особые свойства фигур, которые могут ускользнуть от нас при их наглядно-геометрическом рассмотрении, и при этом не потерять геометрическую наглядность изучаемого факта (как это часто бывает при применении метода координат).

Остановимся на некоторых фактах, связанных с геометрией треугольника, которые позднее будут применены к вырожденным треугольникам, что позволит получить интересные результаты.

Договоримся об обозначениях: точки будем обозначать заглавными буками обычным шрифтом (например: А, B)  , а радиус-векторы точек (и обычные векторы) - жирным курсивом (например A, G, BC, b).

1. Центроид треугольника. Точка G пересечения медиан треугольника АВС называется его центроидом. Выразим радиус-вектор G центроида через радиус-векторы A, B, C вершин треугольника при любом выборе начала векторов - точки О.

По свойству медиан треугольника CG:GM=2 (смотри рис.1), следовательно G=(C+2M)/3, где М - середина стороны АВ, т.е. M=(A+B)/2. Итак,

 G=(A+B+C)/3  (1)

Верно и обратное: если точки А, В и С не коллинеарны и имеет место условие (1), то точка G есть центроид треугольника АВС. В самом деле, пусть точка М - середина отрезка АВ, т. е. при любом выборе начала векторов О имеем M=(A+B)/2. Тогда из равенства (1) получим G=(C+2M)/3, т.е. G делит медиану СМ в отношении 2:1 и потому является центроидом треугольника АВС.

2. Ортоцентр треугольника. Прямая Эйлера. Если за начало векторов взять центр О описанной вокруг треугольника АВС окружности, то радиус-вектор ортоцентра Н (точки пересечения высот) этого треугольника равен

 H = A+B+C (2)

 

Рисунок 2. Ортоцентр треугольника

В самом деле, векторы A+B и H-C (смотри рис.2) коллинеарны, значит, A+B = l(H-C).

По этой же причине B+C = m(H-A).

После почленного вычитания этих равенств получаем:

A-C = (l - m)H - lC + mA или

(1 - m)A + (l - 1)C + (m - l)H = 0

и при этом сумма коэффициентов

(1 - m) + (l - 1) + (m - l) = 0.

Выполнение двух этих условий возможно только в двух случаях:

либо когда точки А, С и Н коллинеарны (это невозможно по условию), либо когда

(1 - m) = (l - 1) = (m - l) = 0.

Значит, имеет место последнее:

m = l = 1

и тогда H = A+B+C.

Так как при любом выборе начала векторов точки О

G=(A+B+C)/3

то в данном случае G = H/3, т. е. точки О, G и Н коллинеарны и OG : GH = 1:2. Прямая OGH называется прямой Эйлера для треугольника АВС.

Теорема 1: Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон и середин сторон, лежат на окружности, описанной вокруг этого треугольника.

Рисунок 3.

Доказательство: Примем центр описанной окружности за начало радиус - векторов точек. Если точка Е1 симметрична Н относительно середины стороны ВС (смотри рис.3), то :

(B+C)/2 = (H+E1)/2, или

E1 = B + C - H = -A, т.е. точки A и E1 диаметрально противоположные и

E12 =A2 =R2.

Пусть прямая АН пересекает прямую ВС в точке К, а окружность - в точке Н1. Если ОД перпендикулярна ВС и ОF перпендикулярна АК, то:

K = D+F, D = (В+C)/2, F = (A+h2)/2 и, значит, K = (B+C+А+h2)/2 = (H+h2)/2 , т.е. Н1 симметрична точке Н относительно прямой ВС. Для точек Н2 и Н3 доказательство аналогично.

Теорема 2: Во всяком треугольнике середины сторон, основания высот и три точки, делящие пополам отрезки высот от вершин до ортоцентра, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек треугольника.

Доказательство: За начало векторов примем центр О описанной около треугольника окружности (смотри рис.4). Обозначим через Оi середины сторон, через Нi основания высот, через Кi середины отрезков высот от ортоцентра до вершины (i =1, 2 ,3).

Если L - середина отрезка ОН, то

L = H/2 = (A + B + C)/2,

LO1 = O1 - L = (B + C)/2 -(A+B+C)/2 = -A/2,

LK1 = K1 - L = (A + H)/2 - H/2 = A/2.

Рисунок 4.

Таким образом, точки Оi и Кi (i =1, 2 ,3) симметричны относительно L, т.е. принадлежат окружности с центром L и радиусом, равным половине радиуса R описанной окружности, так как LO12 = LK12 = (±A/2)2 = R2/4. Углы ОiHiKi ( i=1, 2, 3) прямые и опираются на диаметры полученной окружности, а поэтому точки Hi этой окружности принадлежат. В дальнейшем остановимся на применении рассмотренных фактов к вырожденным треугольникам, т.е. таким треугольникам, у которых совпадает две или три вершины.

3. Треугольник с двумя совпавшими вершинами.

Если вершины В и С треугольника АВС совпали, то сторона ВС = а будет касательной к описанной около треугольника окружности в этой точке, а длина стороны ВС будет равна нулю.

Итак, определить треугольник с двумя совпавшими вершинами (вырожденный треугольник) можно двояко:

1) это хорда АВ окружности с одним двойным концом В;

2) это отрезок АВ и прямая, проходящая через его точку В.

В последнем случае описанная около треугольника АВС окружность касается прямой а в точке В, лежащей на ней. Такая окружность - единственная.

В полученном треугольнике с двумя совпавшими вершинами величина угла А равна нулю, а углы В и С - смежные, поэтому сумма внутренних углов треугольника равна 1800. Рассмотрим интерпретацию для данного треугольника свойств невырожденного треугольника.

Так, при любом выборе начала О векторов G=1/3(A+2B), т.е. центроид G делит отрезок АВ в отношении л=2:1. Ортоцентр Н определится как тоже пересечение высоты АHi ^ а и двойной высоты, проходящей через точку В є С перпендикулярно к АВ. Если за начало векторов принять центр О описанной окружности, то Н = А + 2В (рис.5).

Итак, векторы G и Н коллинеарны и OG : GH = 1 : 2.

Применительно к данному случаю теорема 1 звучит следующим образом:

Если АВ - хорда окружности, а - касательная к ней в точке В и перпендикуляры из точки А к прямой а из точки В у прямой АВ пересекаются в точке Н, то точки Е, F и K, симметричные Н соответственно относительно а, В и середины АВ, принадлежат данной окружности (рис.5).

Рисунок 5

Для обычного треугольника имеет место теорема Симпсона:

ортогональные проекции точки окружности на стороны вписанного в нее треугольника лежат на одной прямой, называемой прямой Симпсона для данного треугольника.

Для треугольника вырожденного этот факт тривиален: точки М1 и М2 совпали, а две точки М1 є М2 и М3 всегда определяют прямую линию (рис.6).

Однако, так как DММ1В~DММ3А, (они прямоугольные и углы МВМ1 и МАМ3 измеряются половиной дуги МnB), то МВ : МА = ММ2 : ММ3 или МВ · ММ3 = МА · ММ2, т.е. получаем теорему 3:

Если АВ - хорда окружности и а - касательная к ней в точке В, то произведение расстояний произвольной точки окружности до точки касания и до хорды равно произведению расстояний этой точки до второго конца хорды и до касательной.

Рисунок 7

Теорема 2 (об окружности девяти точек треугольника) для вырожденного треугольника может быть сформулирована так:

Если АВ - хорда окружности, а - касательная к ней в точке В и перпендикуляры Аh2 к прямой а и FB к прямой АВ пересекаются в точке Н (рис.5), то основания h2 и В этих перпендикуляров и середины отрезков АВ, АН и ВН лежат на одной окружности, радиус которой равен половине радиуса данной окружности.

Треугольник с тремя совпавшими вершинами (дважды вырожденный треугольник).

Рисунок 6

Такой треугольник можно задать с помощью точки А окружности (рис.7). В этом случае все три стороны совпадают, ибо А=В=С, и являются касательной а к окружности в точке А. Если за начало векторов принять центр О описанной окружности, то G=A и H=3A, т.е. ОАН - прямая Эйлера для вырожденного треугольника и OG:GH=1:2. Точка Н', симметричная Н относительно сторон и середин сторон вырожденного треугольника АВС, лежит на окружности (О,ОА), описанной около этого треугольника.

Чтобы выяснить положение прямой Симпсона, обратимся к рис.6. Так как РММ1В = РММ3В = 900 , то точки М1 є М2 и М3 принадлежат окружности диаметра МВ. Следовательно, если А=В, то прямая М1М3 Симпсона будет касательной в точке М1 к окружности диаметра МА=МВ (рис.7).

Окружностью девяти точек треугольника АВС является окружность, касающаяся описанной окружности в точке А (основание трех высот, середины трех сторон) и проходящая через середину отрезка НА, т.е. ее радиус равен половине радиуса данной окружности.

Список литературы

Майоров В.М., Скопец З.А. Векторное решение геометрических задач. М.- Просвещение, 1968.

Скопец З.А., Панарин Я.П. Геометрия тетраэдра и его элементов. Ярославль, 1974.


5rik.ru

Определить возможность существования треугольника по сторонам

Ниже приведены решения задачи на языке программирования Паскаль двумя способами. В первом случае все стороны проверяются в одном операторе if; во втором случае каждое условие проверяется отдельно, а программа содержит вложенные операторы if-else.

Программа 1 (предпочтительный способ решения):

В языке Паскаль логический оператор and имеет приоритет над операторам >, < и т. п. Поэтому для изменения последовательности выполнения действий в заголовке условного оператора используются скобки.

В условии if проверяется, что каждая из сторон меньше суммы других. Если хотя бы одна будет больше, то все логическое выражение вернет ложь (false). В таком случае сработает ветка else.

var a, b, c: integer;
 
begin
    write (' Длины сторон: ');
    readln (a,b,c);
 
    if (a < b+c) and (b < a+c) and (c < a+b) then
        writeln ('Треугольник существует.')
    else
        writeln ('Треугольник не существует.');
 
readln
end.

Программа 2:

В данном случае существование треугольника проверяется по-этапно. Если первое условие возвращает ложь, то программа переходит к последнему else. Если же первое условие соблюдено, то поток выполнения программы оказывается у вложенного if. Здесь проверяется уже второе условие. Если оно возвращает ложь, то программа переходит к предпоследнему else. Если и второе логическое выражение возвращает истину (true), то программа идет к третьему условию. При его соблюдении выполняется тело самого вложенного оператора if. При его несоблюдении сработает самое вложенное else.

Несмотря на то, что данная программа кажется длиннее, в определенных ситуациях она может выполняться быстрее, чем первая. Здесь если внешнее if возвращает ложь, то остальные логические выражения вообще не проверяются. В первой программе могут и проверяться (это зависит от особенностей языка программирования).

var a, b, c: integer;
 
begin
    write ('Длины сторон: ');
    readln (a,b,c);
 
    if a < b+c then
        if b < a+c then
            if c < a+b then
                writeln ('Треугольник существует.')
            else
                writeln ('Треугольник не существует.')
        else
            writeln ('Треугольник не существует.')
    else
        writeln ('Треугольник не существует.');
 
readln
end.

pas1.ru

вырожденный треугольник - это... Что такое вырожденный треугольник?


вырожденный треугольник

Geometry: degenerate triangle

Универсальный русско-английский словарь. Академик.ру. 2011.

  • вырожденный тип колебаний
  • вырожденный узел

Смотреть что такое "вырожденный треугольник" в других словарях:

  • Вырожденность (математика) — Вырожденными называют математические объекты, обладающие принципиально более простой структурой и смыслом по сравнению с остальными объектами в своём классе, то есть такие, которые, даже будучи взятыми вместе, не дают полного представления о всём …   Википедия

  • Вырождение (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Вырождение. Вырожденными называют математические объекты, обладающие принципиально более простой структурой и смыслом по сравнению с остальными объектами в своём классе, то есть такие, которые,… …   Википедия

  • Неравенство Птолемея — Неравенство Птолемея: Для любых точек плоскости выполнено неравенство причем равенство достигается тогда и только тогда, когда (выпуклый) вписанный четырехугольник или точки ABCD лежат на одной прямой. Содержание …   Википедия

  • Птолемея теорема — Неравенство Птолемея: Для любых точек A,B,C,D плоскости выполнено неравенство причем равенство достигается тогда и только тогда, когда ABCD (выпуклый) вписанный четырехугольник. Доказывается применением инверсии относительно точки A и… …   Википедия

  • КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ — плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину (рис. 1). С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек,… …   Энциклопедия Кольера

  • Видеопоэзия — Видеопоэзия  это вид искусства, в котором органично сочетаются художественный визуальный ряд и поэтический текст, явный или вырожденный, представленный графически или декламирующийся. Это пограничное направление: с одной стороны оно граничит …   Википедия


universal_ru_en.academic.ru

Статья Некоторые вопросы геометрии вырожденных треугольников

Некоторые вопросы геометрии вырожденных треугольников.

Казакова Г.Г., доцент кафедры геометрии ХГПУ

Рисунок 1. Центроид треугольника

Применение методов векторной алгебры позволяет выявлять те особые свойства фигур, которые могут ускользнуть от нас при их наглядно-геометрическом рассмотрении, и при этом не потерять геометрическую наглядность изучаемого факта (как это часто бывает при применении метода координат).

Остановимся на некоторых фактах, связанных с геометрией треугольника, которые позднее будут применены к вырожденным треугольникам, что позволит получить интересные результаты.

Договоримся об обозначениях: точки будем обозначать заглавными буками обычным шрифтом (например: А, B)  , а радиус-векторы точек (и обычные векторы) - жирным курсивом (например A, G, BC, b).

1. Центроид треугольника. Точка G пересечения медиан треугольника АВС называется его центроидом. Выразим радиус-вектор G центроида через радиус-векторы A, B, C вершин треугольника при любом выборе начала векторов - точки О.

По свойству медиан треугольника CG:GM=2 (смотри рис.1), следовательно G=(C+2M)/3, где М - середина стороны АВ, т.е. M=(A+B)/2. Итак,

 G=(A+B+C)/3  (1)

Верно и обратное: если точки А, В и С не коллинеарны и имеет место условие (1), то точка G есть центроид треугольника АВС. В самом деле, пусть точка М - середина отрезка АВ, т. е. при любом выборе начала векторов О имеем M=(A+B)/2. Тогда из равенства (1) получим G=(C+2M)/3, т.е. G делит медиану СМ в отношении 2:1 и потому является центроидом треугольника АВС.

2. Ортоцентр треугольника. Прямая Эйлера. Если за начало векторов взять центр О описанной вокруг треугольника АВС окружности, то радиус-вектор ортоцентра Н (точки пересечения высот) этого треугольника равен

 H = A+B+C (2)

 

Рисунок 2. Ортоцентр треугольника

В самом деле, векторы A+B и H-C (смотри рис.2) коллинеарны, значит, A+B = l(H-C).

По этой же причине B+C = m(H-A).

После почленного вычитания этих равенств получаем:

A-C = (l - m)H - lC + mA или

(1 - m)A + (l - 1)C + (m - l)H = 0

и при этом сумма коэффициентов

(1 - m) + (l - 1) + (m - l) = 0.

Выполнение двух этих условий возможно только в двух случаях:

либо когда точки А, С и Н коллинеарны (это невозможно по условию), либо когда

(1 - m) = (l - 1) = (m - l) = 0.

Значит, имеет место последнее:

m = l = 1

и тогда H = A+B+C.

Так как при любом выборе начала векторов точки О

G=(A+B+C)/3

то в данном случае G = H/3, т. е. точки О, G и Н коллинеарны и OG : GH = 1:2. Прямая OGH называется прямой Эйлера для треугольника АВС.

Теорема 1: Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон и середин сторон, лежат на окружности, описанной вокруг этого треугольника.

Рисунок 3.

Доказательство: Примем центр описанной окружности за начало радиус - векторов точек. Если точка Е1 симметрич­на Н относительно середины стороны ВС (смотри рис.3), то :

(B+C)/2 = (H+E1)/2, или

E1 = B + C - H = -A, т.е. точки A и E1 диаметрально противоположные и

E12 =A2 =R2.

Пусть прямая АН пересекает прямую ВС в точке К, а окружность - в точке Н1. Если ОД перпендикулярна ВС и ОF перпенди­кулярна АК, то:

K = D+F, D = (В+C)/2, F = (A+h2)/2 и, значит, K = (B+C+А+h2)/2 = (H+h2)/2 , т.е. Н1 симметрична точке Н относительно прямой ВС. Для точек Н2 и Н3 доказатель­ство аналогично.

Теорема 2: Во всяком треугольнике середины сторон, основания высот и три точки, делящие пополам отрезки высот от вершин до ортоцентра, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек треугольника.

Доказательство: За начало векторов примем центр О описанной около треугольника окружности (смотри рис.4). Обозначим через Оi середины сторон, через Нi основания высот, через Кi середины отрезков высот от ортоцентра до вершины (i =1, 2 ,3).

Если L - середина отрезка ОН, то

L = H/2 = (A + B + C)/2,

LO1 = O1 - L = (B + C)/2 -(A+B+C)/2 = -A/2,

LK1 = K1 - L = (A + H)/2 - H/2 = A/2.

Рисунок 4.

Таким образом, точки Оi и Кi (i =1, 2 ,3) симметричны относительно L, т.е. принадлежат окружности с центром L и радиусом, равным половине радиуса R описанной окружности, так как LO12 = LK12 = (±A/2)2 = R2/4. Углы ОiHiKi ( i=1, 2, 3) прямые и опираются на диаметры полученной окружности, а поэтому точки Hi этой окружности принадлежат. В дальнейшем остановимся на применении рассмотренных фактов к вырожденным треугольникам, т.е. таким треугольникам, у которых совпадает две или три вершины.

3. Треугольник с двумя совпавшими вершинами.

Если вершины В и С треугольника АВС совпали, то сторона ВС = а будет касательной к описанной около треуголь­ника окружности в этой точке, а длина стороны ВС будет равна нулю.

Итак, определить треугольник с двумя совпавшими вершинами (вырож­денный треугольник) можно двояко:

1) это хорда АВ окружности с одним двойным концом В;

2) это отрезок АВ и прямая, проходящая через его точку В.

В последнем случае описанная около треугольника АВС окружность касается прямой а в точке В, лежащей на ней. Такая окружность - единственная.

В полученном треугольнике с двумя совпавшими вершинами величина угла А равна нулю, а углы В и С - смежные, поэтому сумма внутренних углов треугольника равна 1800. Рассмотрим интерпретацию для данного треугольника свойств невырож­денного треугольника.

Так, при любом выборе начала О векторов G=1/3(A+2B), т.е. центроид G делит отрезок АВ в отношении л=2:1. Ортоцентр Н определится как тоже пересечение высоты АHi ^ а и двойной высоты, проходящей через точку В є С перпендикулярно к АВ. Если за начало векторов принять центр О описанной окружности, то Н = А + 2В (рис.5).

Итак, векторы G и Н коллинеарны и OG : GH = 1 : 2.

Применительно к данному случаю теорема 1 звучит следующим образом:

Если АВ - хорда окружности, а - касательная к ней в точке В и перпендикуляры из точки А к прямой а из точки В у прямой АВ пересекаются в точке Н, то точки Е, F и K, симметричные Н соответственно относительно а, В и середины АВ, принадлежат данной окружности (рис.5).

Рисунок 5

Для обычного треугольника имеет место теорема Симпсона:

ортогональные проекции точки окружности на стороны вписанного в нее треугольника лежат на одной прямой, называемой прямой Симпсона для данного треугольника.

Для треугольника вырожденного этот факт тривиален: точки М1 и М2 совпали, а две точки М1 є М2 и М3 всегда определяют прямую линию (рис.6).

Однако, так как DММ1В~DММ3А, (они прямоугольные и углы МВМ1 и МАМ3 измеряются половиной дуги МnB), то МВ : МА = ММ2 : ММ3 или МВ · ММ3 = МА · ММ2, т.е. получаем теорему 3:

Если АВ - хорда окружности и а - касательная к ней в точке В, то произведение расстояний произвольной точки окружности до точки касания и до хорды равно произведению расстояний этой точки до второго конца хорды и до касательной.

Рисунок 7

Теорема 2 (об окружности девяти точек треугольника) для вырожденного треугольника может быть сформулирована так:

Если АВ - хорда окружности, а - касательная к ней в точке В и перпендикуляры Аh2 к прямой а и FB к прямой АВ пересекаются в точке Н (рис.5), то основания h2 и В этих перпендикуляров и середины отрезков АВ, АН и ВН лежат на одной окружности, радиус которой равен половине радиуса данной окружности.

Треугольник с тремя совпавшими вершинами (дважды вырожденный треугольник).

Рисунок 6

Такой треугольник можно задать с помощью точки А окружности (рис.7). В этом случае все три стороны совпадают, ибо А=В=С, и являются касательной а к окружности в точке А. Если за начало векторов принять центр О описанной окружности, то G=A и H=3A, т.е. ОАН - прямая Эйлера для вырожденного треугольника и OG:GH=1:2. Точка Н', симметричная Н относительно сторон и середин сторон вырожденного треугольника АВС, лежит на окружности (О,ОА), описанной около этого треугольника.

Чтобы выяснить положение прямой Симпсона, обратимся к рис.6. Так как РММ1В = РММ3В = 900 , то точки М1 є М2 и М3 принадлежат окружности диаметра МВ. Следовательно, если А=В, то прямая М1М3 Симпсона будет касательной в точке М1 к окружности диаметра МА=МВ (рис.7).

Окружностью девяти точек треугольника АВС является окружность, касающаяся описанной окружности в точке А (основание трех высот, середины трех сторон) и проходящая через середину отрезка НА, т.е. ее радиус равен половине радиуса данной окружности.

Список литературы

Майоров В.М., Скопец З.А. Векторное решение геометрических задач. М.- Просвещение, 1968.

Скопец З.А., Панарин Я.П. Геометрия тетраэдра и его элементов. Ярославль, 1974.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.khspu.ru

bumli.ru

Некоторые вопросы геометрии вырожденных треугольников

Некоторые вопросы геометрии вырожденных треугольников.

Казакова Г.Г. , доцент кафедры геометрии ХГПУ

Рисунок 1. Центроид треугольника

Применение методов векторной алгебры позволяет выявлять те особые свойства фигур, которые могут ускользнуть от нас при их наглядно-геометрическом рассмотрении, и при этом не потерять геометрическую наглядность изучаемого факта (как это часто бывает при применении метода координат).

Остановимся на некоторых фактах, связанных с геометрией треугольника, которые позднее будут применены к вырожденным треугольникам, что позволит получить интересные результаты.

Договоримся об обозначениях: точки будем обозначать заглавными буками обычным шрифтом (например: А, B)  , а радиус-векторы точек (и обычные векторы) - жирным курсивом (например A, G, BC, b).

1. Центроид треугольника. Точка G пересечения медиан треугольника АВС называется его центроидом. Выразим радиус-вектор G центроида через радиус-векторы A, B, C вершин треугольника при любом выборе начала векторов - точки О.

По свойству медиан треугольника CG:GM=2 (смотри рис.1), следовательно G=(C+2M)/3, где М - середина стороны АВ, т.е. M=(A+B)/2. Итак,

 G=(A+B+C)/3  (1)

Верно и обратное: если точки А, В и С не коллинеарны и имеет место условие (1), то точка G есть центроид треугольника АВС. В самом деле, пусть точка М - середина отрезка АВ, т. е. при любом выборе начала векторов О имеем M=(A+B)/2. Тогда из равенства (1) получим G=(C+2M)/3, т.е. G делит медиану СМ в отношении 2:1 и потому является центроидом треугольника АВС.

2. Ортоцентр треугольника. Прямая Эйлера. Если за начало векторов взять центр О описанной вокруг треугольника АВС окружности, то радиус-вектор ортоцентра Н (точки пересечения высот) этого треугольника равен

 H = A+B+C (2)

 

Рисунок 2. Ортоцентр треугольника

В самом деле, векторы A+B и H-C (смотри рис.2) коллинеарны, значит, A+B = l(H-C).

По этой же причине B+C = m(H-A).

После почленного вычитания этих равенств получаем:

A-C = (l - m)H - lC + mA или

(1 - m)A + (l - 1)C + (m - l)H = 0

и при этом сумма коэффициентов

(1 - m) + (l - 1) + (m - l) = 0.

Выполнение двух этих условий возможно только в двух случаях:

либо когда точки А, С и Н коллинеарны (это невозможно по условию), либо когда

(1 - m) = (l - 1) = (m - l) = 0.

Значит, имеет место последнее:

m = l = 1

и тогда H = A+B+C.

Так как при любом выборе начала векторов точки О

G=(A+B+C)/3

то в данном случае G = H/3, т. е. точки О, G и Н коллинеарны и OG : GH = 1:2. Прямая OGH называется прямой Эйлера для треугольника АВС.

Теорема 1: Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон и середин сторон, лежат на окружности, описанной вокруг этого треугольника.

Рисунок 3.

Доказательство: Примем центр описанной окружности за начало радиус - векторов точек. Если точка Е1 симметрична Н относительно середины стороны ВС (смотри рис.3), то :

(B+C)/2 = (H+E1)/2, или

E1 = B + C - H = -A, т.е. точки A и E1 диаметрально противоположные и

E12 =A2 =R2.

Пусть прямая АН пересекает прямую ВС в точке К, а окружность - в точке Н1. Если ОД перпендикулярна ВС и ОF перпендикулярна АК, то:

K = D+F, D = (В+C)/2, F = (A+h2)/2 и, значит, K = (B+C+А+h2)/2 = (H+h2)/2 , т.е. Н1 симметрична точке Н относительно прямой ВС. Для точек Н2 и Н3 доказательство аналогично.

Теорема 2: Во всяком треугольнике середины сторон, основания высот и три точки, делящие пополам отрезки высот от вершин до ортоцентра, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек треугольника.

Доказательство: За начало векторов примем центр О описанной около треугольника окружности (смотри рис.4). Обозначим через Оi середины сторон, через Нi основания высот, через Кi середины отрезков высот от ортоцентра до вершины (i =1, 2 ,3).

Если L - середина отрезка ОН, то

L = H/2 = (A + B + C)/2,

LO1 = O1 - L = (B + C)/2 -(A+B+C)/2 = -A/2,

LK1 = K1 - L = (A + H)/2 - H/2 = A/2.

Рисунок 4.

Таким образом, точки Оi и Кi (i =1, 2 ,3) симметричны относительно L, т.е. принадлежат окружности с центром L и радиусом, равным половине радиуса R описанной окружности, так как LO12 = LK12 = (±A/2)2 = R2/4. Углы ОiHiKi ( i=1, 2, 3) прямые и опираются на диаметры полученной окружности, а поэтому точки Hi этой окружности принадлежат. В дальнейшем остановимся на применении рассмотренных фактов к вырожденным треугольникам, т.е. таким треугольникам, у которых совпадает две или три вершины.

3. Треугольник с двумя совпавшими вершинами.

Если вершины В и С треугольника АВС совпали, то сторона ВС = а будет касательной к описанной около треугольника окружности в этой точке, а длина стороны ВС будет равна нулю.

Итак, определить треугольник с двумя совпавшими вершинами (вырожденный треугольник) можно двояко:

1) это хорда АВ окружности с одним двойным концом В;

2) это отрезок АВ и прямая, проходящая через его точку В.

В последнем случае описанная около треугольника АВС окружность касается прямой а в точке В, лежащей на ней. Такая окружность - единственная.

В полученном треугольнике с двумя совпавшими вершинами величина угла А равна нулю, а углы В и С - смежные, поэтому сумма внутренних углов треугольника равна 1800. Рассмотрим интерпретацию для данного треугольника свойств невырожденного треугольника.

Так, при любом выборе начала О векторов G=1/3(A+2B), т.е. центроид G делит отрезок АВ в отношении л=2:1. Ортоцентр Н определится как тоже пересечение высоты АHi ^ а и двойной высоты, проходящей через точку В є С перпендикулярно к АВ. Если за начало векторов принять центр О описанной окружности, то Н = А + 2В (рис.5).

Итак, векторы G и Н коллинеарны и OG : GH = 1 : 2.

Применительно к данному случаю теорема 1 звучит следующим образом:

Если АВ - хорда окружности, а - касательная к ней в точке В и перпендикуляры из точки А к прямой а из точки В у прямой АВ пересекаются в точке Н, то точки Е, F и K, симметричные Н соответственно относительно а, В и середины АВ, принадлежат данной окружности (рис.5).

Рисунок 5

Для обычного треугольника имеет место теорема Симпсона:

ортогональные проекции точки окружности на стороны вписанного в нее треугольника лежат на одной прямой, называемой прямой Симпсона для данного треугольника.

Для треугольника вырожденного этот факт тривиален: точки М1 и М2 совпали, а две точки М1 є М2 и М3 всегда определяют прямую линию (рис.6).

Однако, так как DММ1В~DММ3А, (они прямоугольные и углы МВМ1 и МАМ3 измеряются половиной дуги МnB), то МВ : МА = ММ2 : ММ3 или МВ · ММ3 = МА · ММ2, т.е. получаем теорему 3:

Если АВ - хорда окружности и а - касательная к ней в точке В, то произведение расстояний произвольной точки окружности до точки касания и до хорды равно произведению расстояний этой точки до второго конца хорды и до касательной.

Рисунок 7

Теорема 2 (об окружности девяти точек треугольника) для вырожденного треугольника может быть сформулирована так:

Если АВ - хорда окружности, а - касательная к ней в точке В и перпендикуляры Аh2 к прямой а и FB к прямой АВ пересекаются в точке Н (рис.5), то основания h2 и В этих перпендикуляров и середины отрезков АВ, АН и ВН лежат на одной окружности, радиус которой равен половине радиуса данной окружности.

Треугольник с тремя совпавшими вершинами (дважды вырожденный треугольник).

Рисунок 6

Такой треугольник можно задать с помощью точки А окружности (рис.7). В этом случае все три стороны совпадают, ибо А=В=С, и являются касательной а к окружности в точке А. Если за начало векторов принять центр О описанной окружности, то G=A и H=3A, т.е. ОАН - прямая Эйлера для вырожденного треугольника и OG:GH=1:2. Точка Н', симметричная Н относительно сторон и середин сторон вырожденного треугольника АВС, лежит на окружности (О,ОА), описанной около этого треугольника.

Чтобы выяснить положение прямой Симпсона, обратимся к рис.6. Так как РММ1В = РММ3В = 900 , то точки М1 є М2 и М3 принадлежат окружности диаметра МВ. Следовательно, если А=В, то прямая М1М3 Симпсона будет касательной в точке М1 к окружности диаметра МА=МВ (рис.7).

Окружностью девяти точек треугольника АВС является окружность, касающаяся описанной окружности в точке А (основание трех высот, середины трех сторон) и проходящая через середину отрезка НА, т.е. ее радиус равен половине радиуса данной окружности.

Список литературы

Майоров В.М., Скопец З.А. Векторное решение геометрических задач. М.- Просвещение, 1968.

Скопец З.А., Панарин Я.П. Геометрия тетраэдра и его элементов. Ярославль, 1974.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.khspu.ru

Дата добавления: 04.04.2007

www.km.ru

Что такое треугольник. Определение, Свойства и Особенности треугольников

Треугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

Если все три точки треугольника лежат на одной прямой, он называется вырожденным.

Свойства и особенности треугольников

Трём точкам пространства, не лежащим на одной прямой (и образуемому ими невырожденному треугольнику), обязательно соответствует одна и только одна плоскость. Это весьма уникально — так как меньшему количеству точек соответствуют прямая и точка, а уже четыре точки могут находится вне единой плоскости.

Треугольник — это часть плоскости, ограниченная минимально возможным количеством сторон. Любой многоугольник можно точно разбить на треугольники, лишь связав его вершины отрезками, не пересекающими его стороны. С некоторым приближением, на треугольники можно разбить поверхность любой формы, как на плоскости так и в пространстве. Процесс разбиения на треугольники называется триангуляция. Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников — Тригонометрия.

Типы треугольников

По величине углов

Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:

  • Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;
  • Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;
  • Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

По числу равных сторон

  • Разносторонним называется треугольник, у которого длины трёх сторон попарно различны.
  • Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.
  • Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

www.terminologija.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *