Уравнение конуса в пространстве – Конус, Цилиндр, Уравнение конуса, Уравнение цилиндра, Эллипсоид, Гиперболоид, Параболоид

Содержание

Конус, Цилиндр, Уравнение конуса, Уравнение цилиндра, Эллипсоид, Гиперболоид, Параболоид

Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая алгебраическим уравнением второй степени относительно текущих координат х, у, z.

Советуем посмотреть видео по уравнениям второго порядка, где тема поверхностей раскрывается очень подробно

Канонические уравнения поверхностей второго порядка

Уравнение эллипсоида

Уравнение однополосного гиперболоида

Уравнение двуполосного гиперболоида

Уравнение конуса
Уравнение эллиптического параболоида
Уравнение гиперболического параболоида
Уравнение эллиптического цилиндра
Уравнение гиперболического цилиндра
Уравнение параболического цилиндра

univer-nn.ru

3.15. Конус второго порядка

Определение. Конусом второго порядканазывается поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

. (3.52)

Уравнение (3.52) называется каноническим уравнением конуса второго порядка.

Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечении этой поверхности плоскостью получаем линию, распадающуюся на пару вещественных пересекающихся прямых, проходящих через начало координат. Аналогично в сечении конуса второго порядка координатной плоскостью

получается пара вещественных пересекающихся прямых.

Сечением конуса второго порядка плоскостями получаются кривые, проекции которых на плоскостьопределяются уравнениями

. (3.53)

Если , то проекция линии пересечения вырождается в точку, которая является вершиной конуса. Если

, то уравнение (3.53) принимает вид

, (3.54)

т. е. проекцией линии сечения является эллипс с полуосями и. При увеличении абсолютной величиныполуоси эллипсов увеличиваются.

z

О

y

x

Координатные плоскости являются плоскостями симметрии конуса второго порядка, а начало координат  центром симметрии.

Убедимся, что вещественный конус образован прямыми линиями, проходящими через начало координат. Для этого достаточно установить, что прямая, соединяющая произвольную отличную от начала координат точкуконуса и начало координат, полностью располагается на конусе, т. е. координаты любой точкипрямойудовлетворяют уравнению (3.52) конуса.

Точка лежит на поверхности конуса, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению (3.52), т. е.. Параметрические уравнения прямой, проходящей через начало координат и точку

, имеют вид,,, где некоторое число. Тогда при подстановке в правую часть соотношения (3.52) координат произвольной точки прямой получим:, т. е. любая точка прямойпринадлежит конусу второго порядка, определяемому уравнением (3.52). Таким образом, конус образован прямыми, проходящими через начало координат.

3.16. Цилиндрическая поверхность

Пусть в плоскости расположена произвольная кривая

. Через каждую точку этой кривой проведем прямую, параллельную оси. Множество этих прямых образуют поверхность, которая называетсяцилиндрической. Кривая называетсянаправляющей этой поверхности, а прямые, параллельные оси , ее образующими.

z

y

O

L

x

Аналогично определяются цилиндрические поверхности с образующими, параллельными осям и.

Покажем, что цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси, определяется уравнением вида

. (3.55)

Пусть направляющая в плоскостизадается уравнением (3.55). Возьмем произвольную точкуна поверхности

. Эта точка расположена на некоторой образующей, которая пересекает координатную плоскостьв точке, принадлежащей прямой. Поэтому координаты точкиудовлетворяют соотношению (3.55). Функция, задаваемая (3.55), не зависит от, поэтому координаты точкитакже удовлетворяют (3.55). Если же, тои координатыине удовлетворяют равенству (3.55). Это означает, что уравнение (3.55) является уравнением поверхности
.

Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси , не содержит координатыи совпадает с уравнением направляющей.

Например, уравнение определяет цилиндрическую поверхность, которая называется эллиптическим цилиндром. Уравненияиопределяют цилиндрические поверхности, называемые параболическим и гиперболическими цилиндрами соответственно.

Эти три поверхности являются цилиндрическими поверхностями второго порядка. В общем случае цилиндрическая поверхность не обязательно является поверхностью второго порядка.

studfiles.net

Лекция №9

Лекция 9

Коническая поверхность второго порядка. Цилиндрические поверхности.

Определение 9.1. Конической поверхностью с вершиной в точке О и направляющей называется множество точек пространства образованное всеми прямыми проходящими через точку О и пересекающими линию.

Вывод уравнения конической поверхности:

Пусть задана каноническая поверхность с вершиной в центе координат и плоскостиz=h. Пусть она задана в этой плоскости уравнением:

z=h

Пусть- образующей конической поверхности.. Так как.т.к..

каноническое уравнение конической поверхности.

Определение 9.2. Конической поверхностью второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением(13)

Исследование конической поверхности методом сечений:

Коническая поверхность с началом в центре координат.

1. Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности плоскостью Oxy (y=0) получаем линию

, распадающуюся на две пересекающиеся прямые

и

2. Аналогично, в сечении конуса плоскостью Oyz (x=0) также получаются две пересекающиеся прямые: и

3.Рассмотрим сечения поверхности плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy. Получим:

или , из которых следует, что приh>0 и h<0 в сечениях получаются эллипсы с полуосями . При увеличении абсолютной величиныh полуоси итакже увеличиваются.

4. При h=0 линия пересечения поверхности с плоскостью z=h вырождается в точку (0;0;0).

Цилиндрические поверхности второго порядка.

Определение 9.3. Поверхность, описываемая прямой, остающейся параллельной некоторому заданному направлению и пересекающей данную линию L , называется цилиндрической.

Определение 9.4. Цилиндрической поверхностью с направляющей и образующей параллельной векторуназывается множество точек пространства, таких, что прямая проходящая через любую точку этого множества параллельна векторуи пересекает линию.

направляющая, образующая,.

Вывод уравнения цилиндрической поверхности:

Рассмотрим аффинную систему координат. Плоскость ,— направляющая.

Так каклежит вxOy, значит уравнение линии примет вид:

. Пусть точка , но принадлежит образующей цилиндрической поверхности. Тогда образующая пересекаетв точке.,.

. Выразим из третьего уравнения, получим. Подставим получившееся выражение в оставшиеся два уравнения.

. Подставим получившиеся значения X и Y в уравнение линии :

F (-)=0

F (,)=0

уравнение цилиндрической поверхности.

Цилиндрические поверхности второго порядка определяются в прямоугольной системе координат Oxyz уравнениями:

  • — эллиптический цилиндр. В частности при a=b — круговой, z- любое; (14) (рис. 1)

  • — гиперболический цилиндр,

z- любое;

(15) (рис.2)

(16) (рис.3)

Уравнения (14)-(16) не содержат переменной z. На плоскости Оху уравнение (14) определяет эллипс с полуосями a и b. Если точка (х;у) лежит на этом эллипсе, то при любом z точка (х;у;z) лежит на поверхности, заданной каноническим уравнением (13). Совокупность таких точек есть поверхность, описанная прямой, параллельной оси Оz и пересекающей эллипс в плоскостиОху.

Этот эллипс называют направляющей линией данной поверхности, а все возможные положения движущейся прямой – образующими.

В случае гиперболического и параболического цилиндров ((15), (16)) направляющими линиями поверхностей являются гипербола и парабола, а образующими – прямые, параллельные оси Оz и проходящие через гиперболу и параболу в плоскости Ох.

5

studfiles.net

Конус

конус, конус за цепене на дърва
Конус  —это тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус является пирамидой.

Содержание

  • 1 Связанные определения
  • 2 Свойства
  • 3 Уравнение конуса
  • 4 Развёртка
  • 5 Вариации и обобщения
  • 6 См. также
  • 7 Примечания
  • 8 Литература

Связанные определения

  • Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
  • Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
  • Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.
  • Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
  • Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
  • Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
  • Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
  • Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
  • Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
  • Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

Свойства

  • Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.

где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

  • Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
  • Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен
где α — угол раствора конуса.
  • Площадь боковой поверхности такого конуса равна

а полная площадь поверхности (т. е. сумма площадей боковой поверхности и основания)

где R — радиус основания, l — длина образующей.
  • Объём кругового конуса равен
  • Для усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:

где S1 и S2 — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, h и H — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

  • Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях — эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от положения секущей плоскости).

Уравнение конуса

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора 2Θ, вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz:

  • В сферической системе координат с координатами (r, φ, θ):
  • В цилиндрической системе координат с координатами (r, φ, z):
или
  • В декартовой системе координат с координатами (x, y, z):
Это уравнение в каноническом виде записывается как

где константы a, с определяются пропорцией Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz) её уравнение имеет вид

причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением где функция  является однородной, то есть удовлетворяющей условию для любого действительного числа α.

Развёртка

Развёртка прямого кругового конуса

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l — образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l. Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l, являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:

φ = 360°·(r/l).

Вариации и обобщения

  • В алгебраической геометрии конус — это произвольное подмножество векторного пространства над полем , для которого для любого
  • В топологии конус над топологическим пространством X есть фактор-пространство по отношению эквивалентности (

См. также

В Викисловаре есть статья «конус»
  • Коническая поверхность
  • Коническое сечение
  • Конус (топология)
  • Световой конус
  • Конус отображения
  • Биконус

Примечания

Литература

  • Статья «Конус» в Математической энциклопедии.
  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973.

конус, конус геометрия, конус за цепене на дърва, конус из бумаги, конус морзе, конус развивка, конус рисунок, конус формули, конус фото, конусная плойка


Конус Информацию О




Конус Комментарии

Конус
Конус
Конус Вы просматриваете субъект

Конус что, Конус кто, Конус описание

There are excerpts from wikipedia on this article and video

www.turkaramamotoru.com

§ 2. Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка.

Для получения канонических уравнений поверхностей 2-го порядка потребуется дополнительное преобразование уравнений поверхностей вращения – сжатие (растяжение) геометрических фигур.

Сжатие будем понимать как преобразование точек пространства по отношению к некоторой неподвижной плоскости :

▫ пусть – прямая, перпендикулярная к плоскости ;

▫ пусть в пространстве выделена про­из­вольная точка ;

▫ применим к пространству, то есть ко всем его точкам, преобразование: такое, что =·: если число <1, то точка будет ближе к плоскости , чем точка ; мы это будем понимать так: точка приблизилась к плоскости ; если число >1, то точка удалилась от плоскости .

Применим сжатие пространства к плоскости симметрии каждой из рассмотренных ранее поверхностей вращения.

Эллипсоид:

1). Имеем уравнение эллипсоида вращения: . Тождественно преобразуем это уравнение: . Применим преобразование сжатия пространства к координатной плоскости :

2). Получаем уравнение: – трехосный эллипсоид: каноническое уравнение поверхности (для удобства переменные оставлены прежним шрифтом!).

Гиперболоид однополостный:

1). Имеем уравнение однополостного гиперболоида вращения: . Тождественно преобразуем это уравнение: . Применим преобразование сжатия пространства к координатной плоскости :

2). Получаем уравнение: – однополостный гиперболоид: каноническое уравнение поверхности (для удобства переменные оставлены прежним шрифтом!).

Гиперболоид двуполостный:

1). Имеем уравнение двуполостного гиперболоида вращения: . Тождественно преобразуем это уравнение: . Применим преобразование сжатия пространства к координатной плоскости :

2). Получаем уравнение: – двуполостный гиперболоид: каноническое уравнение поверхности (для удобства переменные оставлены прежним шрифтом!).

Параболоид эллиптический:

1). Имеем уравнение параболоида вращения: . Тождественно преобразуем это уравнение: . Применим преобразование сжатия пространства к координатной плоскости :

2). Получаем уравнение: – параболоид эллиптический: каноническое уравнение поверхности (для удобства переменные оставлены прежним шрифтом!).

Конус эллиптический:

1). Имеем уравнение конуса вращения: . Тождественно преобразуем это уравнение: . Применим преобразование сжатия пространства к координатной плоскости :

2). Получаем уравнение: – конус эллиптический: каноническое уравнение поверхности (для удобства переменные оставлены прежним шрифтом!).

Ниже приводятся примеры, в которых постановка задачи и её выполнение отличаются от рассмотренных в общетеоретических исследованиях.

☺☺

Пример 610: Доказать, что двуполостный гиперболоид: может быть получен вращением гиперболы вокруг оси и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости .

Решение:

1). Пусть имеем гиперболу : Совершим её вращение относительно оси (действительная ось гиперболы): В соответствии с общим правилом сложим уравнения системы: . Получено: уравнение поверхности, которое называют двуполостный гиперболоид вращения с осью вращения .

2). Представим последнее уравнение в виде: , и применим равномерное сжатие пространства к плоскости : → двуполостный гиперболоид вращения преобразуется в заданный двуполостный гиперболоид: .

Ответ: доказательство в тексте, рисунок отражает результат выполненных действий.

Пример 611: Доказать, что эллиптический параболоид: может быть получен в результате вращения параболы , =0 вокруг оси и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости .

Решение:

1). Параболу: расположенную в плоскости , вращаем относительно оси : В соответствии с общим правилом сложим уравнения системы: – это параболоид вращения. Перепишем это выражение в виде: .

2). Уравнение путём тождественных преобразований представим в виде: .

3). Применим равномерное сжатие пространства к плоскости : → параболоид вращения преобразуется в заданный эллиптический параболоид.

Ответ: доказательство в тексте, рисунок отражает результат выполненных действий.

Пример 612: Составить уравнение конуса с вершиной в точке (0,0,), направляющая которого дана уравнениями , =0.

Решение:

1). Образующая конуса есть вращающаяся прямая, имеющая одну точку (0,0,) неподвижной, а вторую точку принадлежащей эллипсу, расположенному в плоскости . Выделим одну из образующих точкой (,0,0). Тогда уравнение вращающейся вокруг оси линии можем записать в виде : =.

2). Применим преобразование координат: ,,. Этим преобразованием задача преобразована к виду, уже рассмотренному выше: вращается линия: построить поверхность вращения.

3). Легко получаем уравнение: – это уравнение конуса вращения с осью вращения и вершиной в точке (0,0,).

4). Представим последнее уравнение в виде: , и применим равномерное сжатие пространства к плоскости : В результате сжатия пространства получили эллиптический конус: . Для проверки правильности полученного решения полезно убедиться, что значении =0 имеем исходную образующую конуса: .

Ответ: уравнение конуса: .

studfiles.net

Конус — это… Что такое Конус?

Прямой круговой конус. Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом. Усечённый прямой круговой конус.

Ко́нус (от др.-греч. κώνος «шишка») — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус является пирамидой.

Связанные определения

  • Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
  • Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
  • Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.
  • Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
  • Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
  • Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
  • Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
  • Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
  • Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
  • Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

Свойства

  • Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.

где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

  • Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
  • Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен
где  — угол раствора конуса.
  • Площадь боковой поверхности такого конуса равна
  • Площадь поверхности такого конуса равна
где  — радиус основания,  — длина образующей.
  • Объём кругового конуса равен
  • Для усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:

где S1 и S2 — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, h и H — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

Уравнение конуса

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора 2Θ, вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz:

или
Это уравнение в каноническом виде записывается как

где константы a, с определяются пропорцией Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz) её уравнение имеет вид

причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением где функция  является однородной, то есть удовлетворяющей условию для любого действительного числа α.

Развёртка

Развёртка прямого кругового конуса

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l — образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l. Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l, являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:

φ = 360°·(r/l).

С имеющимися и полученными значениями можно нарисовать развёртку конуса на бумаге или другом материале, чтобы из развёртки получить конус как наглядное пособие или промышленное изделие.

Вариации и обобщения

См. также

Литература

dic.academic.ru

Конус — Википедия

Прямой круговой конус. Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом. Усечённый прямой круговой конус.

Конус (от др.-греч. κώνος «сосновая шишка»[1]) — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус является пирамидой.

Связанные определения[править]

  • Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
  • Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
  • Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.
  • Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
  • Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
  • Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
  • Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
  • Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
  • Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
  • Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.
  • Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.

где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

  • Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
  • Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен
где α — угол раствора конуса.
  • Площадь боковой поверхности такого конуса равна

а полная площадь поверхности (т. е. сумма площадей боковой поверхности и основания)

где R — радиус основания, l — длина образующей.
  • Объём кругового конуса равен
  • Для усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:

где S1 и S2 — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, h и H — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

Уравнение конуса[править]

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора 2Θ, вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz:

или
Это уравнение в каноническом виде записывается как

где константы a, с определяются пропорцией Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz) её уравнение имеет вид

причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением где функция  является однородной, то есть удовлетворяющей условию для любого действительного числа α.

Развёртка прямого кругового конуса

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l — образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l. Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l, являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:

φ = 360°·(r/l).

Вариации и обобщения[править]

www.wiki-wiki.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *