Уравнения с двумя неизвестными примеры и решения – Уравнение с двумя неизвестными, формулы и примеры

Уравнения с двумя неизвестными примеры и решения

41. равнобедренном треугольнике АВС боковая высота АБ образует с боковой стороной АВ угол ВА0=-Ё-а.0пределить глы этого треугольника: 1) предполагая, что высота А прохОдит внутри. 42. доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана. проведенная к гипотенузе. равна ее половине. 43.

Уравнение с двумя неизвестными

Определение и формулы уравнений с двумя неизвестными

Вид (1) называется нормальным видом уравнения с двумя неизвестными.

Чтобы решить уравнение (1), одному из неизвестных можно дать любое значение; в результате чего получим уравнение с одним неизвестным, из которого найдем его значение.

Примеры решения задач

Линейное уравнение с двумя неизвестными обычно называется Неопределенным уравнением, поскольку имеет бесконечное множество решений.

Уравнение (1) может и не иметь решений.

Получили неверное равенство, уравнение решений не имеет.

Что и требовалось доказать.

Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения

Администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

Уравнения с двумя неизвестными примеры и решения

Уравнение с двумя неизвестными

Определение и формулы уравнений с двумя неизвестными

Вид (1) называется нормальным видом уравнения с двумя неизвестными.

Чтобы решить уравнение (1), одному из неизвестных можно дать любое значение; в результате чего получим уравнение с одним неизвестным, из которого найдем его значение.

Примеры решения задач

Линейное уравнение с двумя неизвестными обычно называется Неопределенным уравнением, поскольку имеет бесконечное множество решений.

Уравнение (1) может и не иметь решений.

Получили неверное равенство, уравнение решений не имеет.

Что и требовалось доказать.

Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения

Администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

Уравнения с двумя неизвестными примеры и решения

Примеры систем линейных уравнений: метод решения

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y — это неизвестные, значение которых надо найти, b, a — коэффициенты при переменных, c — свободный член уравнения.

Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 — функции, а (x, y) — переменные функций.

Решить систему уравнений

это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака «равенство» часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения — это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подс

poiskvstavropole.ru

Линейные уравнения с двумя неизвестными

ГОПИНА ЛЮБОВЬ ПЕТРОВНА учитель математики МКУ Шумской СОШ

Тема урока: Линейные уравнения с двумя переменными.

Цель урока: Дать определение линейного уравнения с двумя переменными; выяснить, что значит решить уравнение с двумя переменными; рассмотреть свойства уравнений.

Ход урока.

  1. На доске записаны уравнения.

Задание 1: поделить эти уравнения на две группы. 2х=4; 0,3х-12=4; 2х=3у; 4х+2=у; 0,2х-4=5х; х+у=1.

2х=4; 0,2х-4=5х; 0,3х-12=4;

х+у=1; 4х+2=у; 2х=3у.

Задание 2: придумать примеры уравнений второго вида. После примеров пробуем дать определение линейного уравнения с двумя переменными.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ах+ву=с, где а,в,с- некоторые числа, х и у- переменные.

Задание 3: из предложенных уравнений выбрать те, которые подходят под определение уравнения с двумя переменными: 1)7-х=у; 2)5х-у=4; 3)2ху+5=х; 4)2х-0,4у+7=0; 5)х=ху+8; 6)у-4х+2у=7. Объяснить выбор.

Задание 4: подобрать для уравнения 2х+у=5 такие значения переменным, чтобы они обратили данное уравнение в верное равенство. Выясняем, что таких пар чисел можно подобрать много. Например: если х=1, то у=3

если х=2, то у=1

если х=0, то у=5

Но способом подбора находить пары чисел, которые являются решением данного уравнения не очень удобно.

Задание 5: выразить одну переменную через другую.

2х+у=5 1)у=5-2х или 2) . Проверим подобранные пары чисел, выполнив подстановку в уравнения 1) и 2). Убеждаемся в верности найденных решений.

Задание 6: установить порядок нахождения таких пар чисел, которые являются решением линейного уравнений с двумя переменными.

  • Выразить одну переменную через другую

  • Придать значение одой переменной

  • Вычислить значение другой переменной

Задание 7: самостоятельно найти решение линейных уравнений с двумя переменными: у=2х+4; 2х-у=5; 0,5х+2у=8. а)выразить у через х; б)выразить х через у.

Работая с уравнениями, мы пользуемся свойствами:

  • Переносим слагаемые из одной части в другую, изменив при этом знак на противоположный;

  • Обе части уравнения делим на одно и то же число, не равное нулю.

Задание 8:

проверить себя: Найдите пары чисел, которые являются решением данных уравнений при х=0.

1)х-у=5; 20х+у=8; 3)у-6х=1.

Задание 9: найти пары чисел, которые являются решением данного уравнения

2х+у=5; Предлагаю пары чисел.

х

-5

-4

-3

-1

0

4

5

у

0

3

4

-3

-5

-3

0

В конце урока подвести итог.

Что же мы знаем?

  • Знаем уравнение линейного уравнения с двумя переменными

  • Умеем выражать одну переменную через другую

  • Умеем находить пары чисел, которые являются решением линейных уравнений с двумя переменными.

infourok.ru

Линейное уравнение с двумя переменными: решение и свойства

 

Линейное уравнение с двумя переменными - любое уравнение, которое имеет следующий вид: a*x + b*y =с. Здесь x и y есть две переменные, a,b,c – некоторые числа.

Ниже представлены несколько примеров линейных уравнений.

1. 10*x + 25*y = 150;

2. x-y=5;

3. -7*x +y = 5;

Как и уравнения с одним неизвестным, линейное уравнение с двумя переменными (неизвестными) тоже имеет решение. Например, линейное уравнение x-y=5, при x=8 и y=3 превращается в верное тождество 8-3=5. В таком случае говорят, что пара чисел x=8 и y=3 является решением линейного уравнения x-y=5. Еще можно говорить, что пара чисел x=8 и y=3 удовлетворяет линейному уравнению x-y=5.

Решение линейного уравнения

Таким образом, решением линейного уравнения a*x + b*y = с , называется, любая пара чисел (x,y) которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Обратите внимание, как здесь записана пара чисел х и у. Такая запись короче и удобнее. Следует только помнить, что на первом месте в такой записи стоит значение переменной х, а на втором – значение переменной у.

Обратите внимание на то, что числа x=11 и y=8, x=205 и y=200 x= 4.5 и y= -0.5 тоже удовлетворяют линейному уравнению х-у=5, а следовательно являются решениями этого линейного уравнения. 

Решение линейного уравнения с двумя неизвестными не является единственным. Каждое линейное уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечно много различных решений. То есть существует бесконечно много различных двух чисел х и у, которые обращают линейное уравнение в верное тождество.

Если несколько уравнений с двумя переменными имеют одинаковые решения, то такие уравнения называются равносильными уравнениями. Следует отметить, что если уравнения с двумя неизвестными не имеют решений, то их тоже считают равносильными.

Основные свойства линейных уравнений с двумя неизвестными

1. Любое из слагаемых в уравнении можно перенести из одной части в другую, при этом необходимо изменить его знак на противоположный. Полученное уравнение будет равносильно исходному.

2. Обе части уравнения можно разделить на любое число, которое не равно нулю. В результате получим уравнение равносильное исходному.

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Применение различных способов для разложения на множители
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspГрафик линейного уравнения с двумя переменными: алгоритм построения

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Уравнение первой степени с двумя неизвестными

В главе IV мы изучали уравнения, содержащие одно неизвестное; однако уравнение может содержать не одно, а несколько неизвестных, обозначенных буквами. Сформулируем определение уравнения в общем виде.

Определение. Уравнением называется равенство, в котором одно или несколько чисел, обозначенных буквами, являются неизвестными.

Пусть, например, сказано, что сумма квадратов двух неизвестных чисел x и y равна 7; это можно записать при помощи следующего уравнения с двумя неизвестными:

x2 + y2 = 7.

Для уравнений с двумя неизвестными остаются справедливы все те свойства, которые были установлены для уравнений с одним неизвестным (§ 48).

Уравнением первой степени с двумя неизвестными называется уравнение вида

    ax + by = c,    (1)

где x и y – неизвестные, a и b (коэффициенты при неизвестных) — данные числа, не равные оба нулю, c (свободный член) — любое данное число.

Примеры уравнений первой степени:

5x – 2y = 1; 3x + y = 4.

Уравнения:

1) 5x – 2y + 3 = 2x + y – 1; 2) y = 1,7x;
3) y = 4x – 9; 4)

после переноса членов, содержащих неизвестные, в левую часть, а известных чисел — в правую часть, приводятся к виду (1), а потому эти уравнения также являются уравнениями первой степени.

Уравнение (1) называется нормальным видом уравнения первой степени с двумя неизвестными.

Из приведенных примеров видно (пример 2 и 3), что рассмотренные ранее равенства, выражающие прямо пропорциональную и линейную зависимости, являются уравнениями первой степени с двумя неизвестными.

Равенство, выражающее обратно пропорциональную зависимость, например xy = 8, уже не является уравнением первой степени.

Рассмотрим какое-нибудь уравнение с двумя неизвестными, например:

2x – y = 3.

Возьмем какую-либо пару чисел, например: x = 1, y = –1. Подставив эти числа в данное уравнение, получим верное равенство:

2 – (–1) = 3.

Говорят, что эта пара чисел удовлетворяет данному уравнению или что она (эта пара) есть решение данного уравнения.

Возьмем теперь такую пару чисел: x = 2, y = 4.

Подставив эти значения в данное уравнение, получим в его левой части 2 * 2 – 4 = 0. При этих значениях левая часть (нуль) оказалась не равной правой части (т. е. числу 3). Говорят, что пара чисел x = 2, у = 4 не удовлетворяет данному уравнению или что она не есть решение уравнения.

Каждая пара значений x и y, подстановка которых в уравнение с двумя неизвестными x и y обращает его в верное равенство, называется решением этого уравнения.

Решим такую задачу.

Задача. Сумма двух чисел равна 6. Чему равно каждое слагаемое?

Обозначим через x и y искомые слагаемые.

Задача приводит к уравнению:

x + y = 6.

Дадим x какое-либо значение, например x = 2, тогда для другого неизвестного y получим уравнение:

2 + y = 6,

из которого найдем у = 4. Пара чисел x = 2, y = 4 дает решение нашей задачи.

Однако вместо x = 2 мы могли бы взять какое-нибудь другое значение для x, например x = 1, и тогда мы нашли бы y = 5. Значит, мы получили еще одно решение уравнения: x = 1, y = 5.

В таблице приведено несколько решений данного уравнения: значения x и y записаны друг под другом, а в нижней строчке показано, что сумма этих значений равна 6.

Ясно, что одному из неизвестных (например, x) можно придать любое значение и, подставив его в данное уравнение, найти соответствующее значение другого неизвестного.

Как видим, задача имеет бесконечное множество решений.

Уравнение не дает определенного ответа на вопрос задачи. Оно лишь указывает на зависимость между двумя неизвестными. На основании этой зависимости, зная значение одного неизвестного, мы могли найти значение и другого.

Итак, уравнение первой степени, содержащее два неизвестных, имеет бесконечное множество решений.

Одному из неизвестных можно придать произвольное значение и из данного уравнения найти соответствующее значение другого неизвестного.

Мы уже видели, что в случае линейной (в частности, прямо пропорциональной) зависимости, выражающейся уравнением первой степени с двумя неизвестными, графиком является прямая линия. Докажем, что прямая линия будет графиком и любого уравнения первой степени с двумя неизвестными.

Начнем с примера. Возьмем уравнение:

19x – 6y = –4.

Выразив в нем неизвестное y через x, получим:

6y = 19x +4;


Мы видим, что это уравнение представляет собой не что иное, как линейную зависимость

y = kx + b при .

Значит, графиком этого уравнения является прямая линия (черт. 31).
Какое бы уравнение первой степени, содержащее два неизвестных x и y, мы ни взяли, всегда можно выразить одно из неизвестных, например y, через другое (через x) и получить уравнение (равносильное данному), выражающее линейную зависимость y = kx + b. Например, если 2x + 3y = 5, то .
Отсюда вывод:

Графиком уравнения первой степени с двумя неизвестными является прямая линия.

Примечание. Мы рассматривали выше уравнения, содержащие два неизвестных, однако может оказаться, что коэффициент при одном из неизвестных будет равен нулю, так что уравнение запишется в виде уравнения с одним неизвестным.

Возьмем, например, уравнение:

x + 2y – 3 = 2(x – y) + 5

Приведем это уравнение к нормальному виду:

3x + 0 * y = 8.

Это уравнение также имеет бесконечное множество решений; ему удовлетворяет любая пара чисел , y, где y – произвольное число. Обычно член 0 * y не пишут и уравнение записывают так: 3x = 8.

mthm.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *