Примеры действий с комплексными числами, решение уравнений
Решение уравнений с комплексными числами
Примеры.
Задача 1. Решите уравнение (2 − i) x + (5 + 6i) у = 1 − 3i
относительно действительных переменных х и у.
Решение. Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду a + bi получаем уравнение, равносильное данному:
(2х + 5у ) + (− х + 6у ) i = 1 − 3i .
Так как два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:
Решая эту систему, получаем : х = ; у = .
Ответ: х = ; у = ; .
Задача 2. При каких действительных значениях х и у
комплексные числа z1 = x2 + yi − 5 − и z2 = –у – х2 i – 4i будут сопряженными?
Решение. Комплексные числа z1 = (х2 — 5) + (у + 7i) и z2 = (–у) – (х + 4)i будут комплексно сопряженными, если выполняются условия :
Решая полученную систему, находим: х1 = 2 , у1 = 1 ; х2 = −2 , у2 = 1 .
Ответ: (2;1) ; (−2;1) .
Задача 3. При каких действительных значениях х и у комплексные числа:
z1 = 2×2 – yi −1− и z2 = у –3 + х2i – 2i будут равными?
Решение. Комплексные числа z1= (2х2 –1)+ (3 – y)i, z2 = (у–3) + (х2–2)i будут равными, если выполняются условия:
Решая систему, находим: х1 = −1 , у1 = 4 ; х2 = 1 , у2 = 4 .
Ответ : (-1 ; 4) ; (1 ; 4) .
infourok.ru
Комплексные числа избранные задачи
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА АГЛЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ
Комплексные числа
(избранные задачи)
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
по специальности 050201.65 математика
(с дополнительной специальностью 050202.65 информатика)
Выполнила: студентка 5 курса
физико-математического
факультета
Научный руководитель:
ВОРОНЕЖ – 2008
Содержание
1. Введение…………………………………………………………………..…
2. Комплексные числа (избранные задачи)
2.1. Комплексные числа в алгебраической форме….……………….….
2.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел…………..…
2.3. Тригонометрическая форма комплексных чисел
2.4. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений 3-й и 4-й степени……………..………………………………………………………
2.5. Комплексные числа и параметры…………………………………….
3. Заключение…………………………………………………………………..
4. Список литературы………………………….………………………………
1. Введение
В программе математики школьного курса теория чисел вводится на примерах множеств натуральных чисел, целых, рациональных, иррациональных, т.е. на множестве действительных чисел, изображения которых заполняют всю числовую ось. Но уже в 8 классе запаса действительных чисел не хватает, решая квадратные уравнения при отрицательном дискриминанте. Поэтому было необходимо пополнить запас действительных чисел при помощи комплексных чисел, для которых квадратный корень из отрицательного числа имеет смысл.
Выбор темы «Комплексные числа», как темы моей выпускной квалификационной работы, заключается в том, что понятие комплексного числа расширяет знания учащихся о числовых системах, о решении широкого класса задач как алгебраического, так и геометрического содержания, о решении алгебраических уравнений любой степени и о решение задач с параметрами.
В данной дипломной работе рассмотрено решение 82-х задач.
В первой части основного раздела «Комплексные числа» приведены решения задач с комплексными числами в алгебраической форме, определяются операции сложения, вычитания, умножения, деления, операция сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме, степень мнимой единицы, модуль комплексного числа, а также излагается правило извлечения квадратного корня из комплексного числа.
Во второй части решаются задачи на геометрическую интерпретацию комплексных чисел в виде точек или векторов комплексной плоскости.
В третьей части рассмотрены действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Используются формулы: Муавра и извлечение корня из комплексного числа.
Четвертая часть посвящена решению уравнений 3-й и 4-й степеней.
При решении задач последней части «Комплексные числа и параметры» используются и закрепляются сведения, приведенные в предыдущих частях. Серия задач главы посвящена определению семейств линий в комплексной плоскости, заданных уравнениями (неравенствами) с параметром. В части упражнений нужно решить уравнения с параметром (над полем С). Есть задания, где комплексная переменная удовлетворяет одновременно ряду условий. Особенностью решения задач этого раздела является сведение многих из них к решению уравнений (неравенств, систем) второй степени, иррациональных, тригонометрических с параметром.
Особенностью изложения материала каждой части является первоначальный ввод теоретических основ, а в последствии практическое их применение при решении задач.
В конце дипломной работы представлен список используемой литературы. В большинстве из них достаточно подробно и доступно изложен теоретический материал, рассмотрены решения некоторых задач и даны практические задания для самостоятельного решения. Особое внимание хочется обратить на такие источники, как:
1. Гордиенко Н.А., Беляева Э.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексные числа и их приложения: Учебное пособие. [10]. Материал учебного пособия изложен в виде лекционных и практических занятий.
2. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. [21] Книга содержит 320 задач, относящихся к алгебре, арифметике и теории чисел. По своему характеру эти задачи значительно отличаются от стандартных школьных задач.
2. Комплексные числа (избранные задачи)
2.1. Комплексные числа в алгебраической форме
Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений, т.е. уравнений вида
,где a0 , a1 , …, an действительные числа. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение
.Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения
.Обозначим этот корень через
. Таким образом, по определению , или ,следовательно,
.Символ
называется мнимой единицей. С его помощью и с помощью пары действительных чисел и составляется выражение вида .Итак, комплексными числами называются выражения вида
,где
и – действительные числа, а – некоторый символ, удовлетворяющий условию . Число называется действительной частью комплексного числа , а число – его мнимой частью. Для их обозначения используются символы , .Комплексные числа вида
являются действительными числами и, следовательно, множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел.Комплексные числа вида
называются чисто мнимыми. Два комплексных числа вида и называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. если выполняются равенства , .Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры.
Суммой двух комплексных чисел
и называется комплексное число вида . Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число вида .1. Коммутативный (переместительный) закон сложения:
.2. Ассоциативный (сочетательный) закон сложения:
.3. Коммутативный закон умножения:
.4. Ассоциативный закон умножения:
mirznanii.com
Решить комплексные уравнения онлайн с решением
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Для наглядности решим такое задание:
Вычислить \[ (z_1\cdot z_2)^{10},\] если \[z_1=-1+\sqrt 3i, z_2=\frac{1}{4}(\cos 30^{\circ}+i\sin30^{\circ}).\]
Так же читайте нашу статью «Решить однородную систему уравнений онлайн решателем»
В первую очередь обратим внимание на то, что одно число представлено в алгебраической, другое — в тригонометрической форме. Его необходимо упростить и привести к следующему виду
\[ z_2 = \frac{1}{4} (\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}).\]
Выражение \[z_1\cdot z_2^10\] говорит о том, что в первую очередь делаем умножение и возведение в 10-ю степень по формуле Муавра. Эта формула сформулирована для тригонометрической формы комплексного числа. Получим:
\[\begin{vmatrix} z_1 \end{vmatrix}=\sqrt {(-1)^2+(\sqrt 3)^2}=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac{\sqrt 3}{-1}=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\]
\[z_1=2(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})\]
Придерживаясь правил умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, сделаем следующее:
если
\[z_1=\begin{vmatrix} z_1 \end{vmatrix}\cdot(\cos \varphi _1+i\sin\varphi _1), z_2=\begin{vmatrix} z_2 \end{vmatrix}\cdot(\cos \varphi _2+i\sin\varphi _2),\]
то
\[z_1 \cdot z_2=\begin{vmatrix} z_1 \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix} z_2 \end{vmatrix}\cdot (\cos (\varphi _1+\varphi _2)+i\sin(\varphi _1+\varphi _2))\]
В нашем случае:
\[z_1 \cdot z_2= 2 \cdot\frac{1}{4}\cdot(\cos (\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{6})+i\sin(\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{6}))=\frac{1}{2}\cdot(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6})\]
Далее применяем формулу Муавра \[ z^n=\begin{vmatrix} z \end{vmatrix}^n\cdot(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi),\] которая является следствием указанного выше правила:
\[(z_1+z_2)^{10}=(\frac{1}{2})^{10}\cdot(\cos (10\cdot\frac{5\pi}{6})+i\sin\cdot\frac{5\pi}{6}))=\frac{1}{2^{10}}\cdot\cos \frac{25\pi}{3}+i\sin\frac{25\pi}{3}.\]
Делая дробь \[\frac{25}{3}=8\frac{1}{3}\] правильной, приходим к выводу, что можно «скрутить» 4 оборота \[(8\pi рад.):\]
\[ (z_1+z_2)^{10}=\frac{1}{2^{10}}\cdot(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\]
Ответ: \[(z_1+z_2)^{10}=\frac{1}{2^{10}}\cdot(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\]
Данное уравнение можно решить еще одним способом, который сводится к тому, чтобы привести 2 -е число в алгебраическую форму, после чего выполнить умножение в алгебраической форме, перевести результат в тригонометрическую форму и применить формулу Муавра:
\[z_2=\frac{1}{4} (\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})= \frac{1}{4}(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2})=\frac{\sqrt3}{8}+\frac{i}{8}.\]
Где можно решить систему уравнений с комплексными числами онлайн?
Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
www.pocketteacher.ru
Решить уравнение с комплексными числами
Решить уравнение
Прикрепленные файлы:
Поступил ответ 31 Октября 2017 от Викиматика
$$\left(2-2\sqrt{3}\right)ix^4+1=0.$$
$$\left(2-2\sqrt{3}\right)ix^4=-1.$$
$$x^4=-{{1}\over {\left(2-2\sqrt{3}\right)i}}={{i}\over {2-2\sqrt{3}}}.$$
$$x=\sqrt{{{i}\over {2-2\sqrt{3}}}}.$$
Переведем комплексное число $z={{i}\over {2-2\sqrt{3}}}$ к алгебраической форме.
$$z={{i}\over {2-2\sqrt{3}}}={{i\left(2+2\sqrt{3}\right)}\over {\left(2-2\sqrt{3}\right)\left(2+2\sqrt{3}\right)}}={{2i\left(1+\sqrt{3}\right)}\over {4-4\cdot 3}}={{2i\left(1+\sqrt{3}\right)}\over {-8}}=-i\left({{1+\sqrt{3}}\over {4}}\right).$$
Тригонометрическая форма комплексного числа $z$ будет иметь вид
$$z=r\left({\cos \varphi \ }+i{\sin \varphi \ }\right),\ где:$$
$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{0^2+{\left({{1+\sqrt{3}}\over {4}}\right)}^2}={{1+\sqrt{3}}\over {4}}$ — модуль числа $z$;
$\varphi =-\pi /2$ — главное значение аргумента числа $z$.
Тогда
$$z=r\left({\cos \varphi \ }+i{\sin \varphi \ }\right)={{1+\sqrt{3}}\over {4}}\left({\cos \left(-{{\pi }\over {2}}\right)+i{\sin \left(-{{\pi }\over {2}}\right)\ }\ }\right).$$
Для нахождения $\sqrt{z}$ воспользуемся формулой Муавра:
$$\sqrt{z}=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos \left({{-{{\pi }\over {2}}+2\pi k}\over {4}}\right)+i{\sin \left({{-{{\pi }\over {2}}+2\pi k}\over {4}}\right)\ }\ }\right),\ где\ k=0,\ 1,\ 2,\ 3.$$
При $k=0$ получаем значение корня:
$$z_0=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos \left({{-{{\pi }\over {2}}}\over {4}}\right)+i{\sin \left({{-{{\pi }\over {2}}}\over {4}}\right)\ }\ }\right)=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos \left(-{{\pi }\over {8}}\right)+i{\sin \left(-{{\pi }\over {8}}\right)\ }\ }\right).$$
При $k=1$ получаем значение корня:
$$z_1=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos \left({{-{{\pi }\over {2}}+2\pi }\over {4}}\right)+i{\sin \left({{-{{\pi }\over {2}}+2\pi }\over {4}}\right)\ }\ }\right)=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos \left({{3\pi }\over {8}}\right)+i{\sin \left({{3\pi }\over {8}}\right)\ }\ }\right).$$
При $k=2$ получаем значение корня:
$$z_2=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos \left({{-{{\pi }\over {2}}+4\pi }\over {4}}\right)+i{\sin \left({{-{{\pi }\over {2}}+4\pi }\over {4}}\right)\ }\ }\right)=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos \left({{7\pi }\over {8}}\right)+i{\sin \left({{7\pi }\over {8}}\right)\ }\ }\right).$$
При $k=3$ получаем значение корня:
$$z_3=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos \left({{-{{\pi }\over {2}}+6\pi }\over {4}}\right)+i{\sin \left({{-{{\pi }\over {2}}+6\pi }\over {4}}\right)\ }\ }\right)=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos \left({{11\pi }\over {8}}\right)+i{\sin \left({{11\pi }\over {8}}\right)\ }\ }\right).$$
wikimatik.ru
Система комплексных линейных уравнений
| Вы ввели следующую систему уравнений |
| Решение системы следующее |
Решение системы линейных уравнений
Наборы линейных уравнений довольно часто встречаются в повседневных расчетах, поэтому методов их решения придумано великое множество. Но перед рассмотрением самого простого алгоритма нахождения неизвестных стоит вспомнить о том, что вообще может иметь система таких уравнений:
— иметь только одно верное решение;
— иметь бесконечное множество корней;
— иметь несовместный тип (когда решений быть не может).
Метод Гаусса, используемый нашим АБАК-ботом — самое мощное и безотказное средство для поиска решения любой системы уравнений линейного типа.
Возвращаясь к терминам высшей математики, метод Гаусса можно сформулировать так: с помощью элементарных преобразований система уравнений должна быть приведена к равносильной системе треугольного типа (или т.н. ступенчатого типа), из которой постепенно, начиная с самого последнего уравнения, находятся оставшиеся переменные. При всем этом элементарные преобразования над системами — ровно то же самое, что и элементарные преобразования матриц в переложении для строк.
Наш бот умеет молниеносно выдавать решения системы линейных уравнений с неограниченным количеством переменных!
Практическое применение решение таких систем находит в электротехнике и геометрии: расчетах токов в сложных контурах и выведение уравнения прямой при пересечении трех плоскостей а также в множестве специализированных задач.
Данный сервис позволяет решать неограниченную по размерам систему линейных уравнений с комплексными коэффициентами.
Практическое применение:
Ну, раз бот умеет считать решения комплексных систем, то для него не составит труда считать частный случай, когда элементы системы являются вещественные числа.
Второе, в школе Вам это наверняка не понадобится, но вот в институте, особенно институтах связи, при расчетах токов в сложных контурах в электротехнике, наверняка пригодится.
Синтаксис
Для пользователей XMPP клиентов: linur_i <список элементов системы>
список элементов системы — является список значений перечисленных в одну или несколько строк разделенными пробелами между собой
linur_i 5:2 3 10 2 -11:3 0:-30
Примеры
linur_i 5:2 3 10 2 -11:3 0:-30
Корни системы линейных уравнений равны следующим значениям.
Переменные считаются слева направо
1.4389598942265:-1.941383869546
-0.3591890700749:2.2763331864257
то есть x1=1.4389598942265 — 1.941383869546 i
x2=-0.3591890700749+2.2763331864257 i
Рассчитаем комплексную систему линейных уравнений
такого вида
Записываем все элементы в поле ввода. Как видите, данные могут быть не только числовые но и быть произвольным выражением, включающее в себя комплексные числа.
И получаем следующий результат.
| Вы ввели следующую систему уравнений |
| Решение системы следующее |
Успехов в расчетах !
- Скалярное произведение двух матриц >>
abakbot.ru
Действия с комплексными числами
Комплексные числа — числа вида $x+iy,$ где $x,y\in \mathbb{R,}$ а
$\,i,$ такое число, что $ i^2=-1.$ Множество комплексных чисел
обозначается $\mathbb{C}.$
Действия над комплексными числами.
Сложение комплексных чисел:
$$(x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2).$$
Умножение двух комплексных чисел:
$$(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2-y_1y_2+(x_1y_2+x_2y_1)i.$$
Умножение комплексного числа на действительное:
$$\lambda(x+iy)=\lambda x+i\lambda y.$$
Деление комплексных чисел:
$$\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=\frac{x_1x_2+y_1y_2+i(y_1x_2-x_1y_2)}{x_2^2+y_2^2}=$$ $$\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+\frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}i.$$
Действительные числа $x$ и $y$ комплексного числа $z=x+iy,$ называются действительной и мнимой частью числа $z$ и обозначаются, соответственно, $Re z=x$ и $Im z=y.$
Два комплексных числа $z_1=x_1+iy_1$ и $z_2=x_2+iy_2$ называются равными в том и только том случае, если $x_1=x_2,$ $y_1=y_2.$
Запись $z=x+iy$ называют алгебраической формой комплексного числа $z.$
Числа $z_1=x+iy$ и $z_2=x-iy$ называют сопряженными.
Примеры:
Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой форме:
1.421. $(2+3i)(3-i).$
Решение:
$(2+3i)(3-i)=6-2i+9i-3i^2=6+7i+3=9+7i.$
Ответ: $9+7i.$
1.424. $(2i-i^2)^2+(1-3i)^3.$
Решение.
$(2i-i^2)^2+(1-3i)^3=(2i+1)^2+1-3(3i)^2+3(3i)-(3i)^3=$ $=4i^2+4i+1-27i^2+9i-27i^3=-4+4i+1+27-9i+27i=24+22i.$
Ответ: $24+22i.$
1.425. $\frac{2-i}{1+i}.$
Решение.
$$\frac{2-i}{1+i}=\frac{(2-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2-2i-i+i^2}{1-i^2}=\frac{2-3i-1}{1+1}=\frac{1-3i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i.$$
Ответ: $\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i.$
{jumi[*4]}
1.428. $\frac{(1+i)(3+i)}{3-i}-\frac{(1-i)(3-i)}{3+i}.$
Решение.
$$\frac{(1+i)(3+i)}{3-i}-\frac{(1-i)(3-i)}{3+i}=\frac{(1+i)(3+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}-$$ $$-\frac{(1-i)(3-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}=\frac{9+15i+7i^2+i^3}{9-i^2}-\frac{9-15i+7i^2-i^3}{9-i^2}=$$ $$=\frac{9+15i-7-i-9+15i+7-i}{10}=\frac{28}{10}i=\frac{14}{5}i.$$
Ответ: $\frac{14}{5}i.$
Найти действительные решения следующего уравнения:
1. 430. $(1+i)x+(-2+5i)y=-4+17i.$
Решение.
$(1+i)x+(-2+5i)y=-4+17i\Rightarrow$
$x+xi-2y+5yi=-4+17i\Rightarrow$
$(x-2y)+(x+5y)i=-4+17i\Rightarrow$
$$\left\{\begin{array}{lcl}x-2y=-4\\x+5y=17\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2y-4\\2y-4+5y=17\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2\\y=3\end{array}\right. .$$
Ответ: $x=2; y=3.$
Домашнее задание.
Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой форме:
1.422. $(1+2i)^2.$
Ответ: $-3+4i.$
1.423. $(1-i)^3-(1+i)^3.$
Ответ: $-4i.$
1.426. $\frac{1}{1+4i}+\frac{1}{4-i}.$
Ответ: $\frac{5}{17}-\frac{3}{17}i.$
1.427. $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^3.$
Ответ: $i.$
Найти действительные решения следующего уравнения:
1.431. $12((2x+i)(1+i)+(x+y)(3-2i))=17+6i.$
Ответ: $x=1/3; y=1/4.$
Решить следующие системы линейных уравнений:
1.432. $(3-i)z_1+(4+2i)z_2=1+3i;$
$(4+2i)z_1-(2+3i)z_2=7.$
Ответ: $z_1=1; z_2=i.$
1.433. $(2+i)z_1+(2-i)z_2=6;$
$(3+2i)z_1+(3-2i)z_2=8.$
Ответ: $z_1=2+i; z_2=2-i.$
mathportal.net
Корни кубического комплексного уравнения
| Исходное кубическое уравнение |
| Первый корень |
| Второй корень |
| Третий корень |
Мы добрались до возможности решать кубические уравнения общего вида, имеющего комплексные коэффиценты.
Использовать будем методику которая называется подстановкой Виета.
Итак, когда мы из общего уравнения третьей степени
подстановкой
мы создали приведенное кубическое уравнение
Подстановкой вида
мы можем получить уравнение
Фактически, это квадратное уравнение. Решив которое мы получим корни w.
Удивительно, но нам совершенно не важно какой корень мы возьмем от этого квадратного уравнения. Окончательный вариант все равно будет правильный.
А через них мы узнаем корни приведенного уравнения.
Чем удобен такой подход, от например решения уравнения по методу Кардано?
Он алгоритмически понятен и нагляден. И это главное.
Бот корректно вычисляет корни кубического комплексного уравнения, даже в том случае, если коэффициентами являются какие либо выражения ( с вещественными и/или мнимыми значениями)
Рассмотрим примеры?
Пишем коэффиценты слева направо (через пробел)
1 2-i sin(3-i) -7
Получаем
| Исходное кубическое уравнение |
| Первый корень |
| Второй корень |
| Третий корень |
Вот еще один
Корни его будут равны
| Исходное кубическое уравнение |
| Первый корень |
| Второй корень |
| Третий корень |
А вот корни обычного уравнения с вещественными числами.
«Это легкотня» — говорит моя дочь, складывая два плюс два.
Корни такого кубического уравнения
| Исходное кубическое уравнение |
| Первый корень |
| Второй корень |
| Третий корень |
Удачных расчетов!
- Корни уравнения 4 степени онлайн >>
abakbot.ru