Уравнения с переменной – Уравнение с одной переменной

Содержание

Уравнение с одной переменной

Уравнение с одной переменной.

Уравнение – это равенство, в котором присутствует одна или несколько переменных.
Мы рассмотрим случай, когда в уравнении одна переменная, то есть одно неизвестное число. По сути, уравнение – это вид математической модели. Поэтому в первую очередь уравнения необходимы нам для решения задач.

Вспомним, как составляется математическая модель для решения задачи.
Например, в новом учебном году количество учащихся в школе №5 увеличилось вдвое. После того, как 20 учеников перешли в другую школу, в общей сложности в школе №5 стало учиться 720 учеников. Сколько учащихся было в прошлом году?

Нам нужно выразить то, что сказано в условии математическим языком. Пусть количество учащихся в прошлом году будет X. Тогда согласно условию задачи,
2X – 20 = 720. У нас получилась математическая модель, которая представляет собой уравнение с одной переменной. Если точнее, то это уравнение первой степени с одной переменной. Осталось найти его корень.

Что такое корень уравнения?

То значение переменной, при котором наше уравнение обратится в верное равенство, называется корнем уравнения. Бывают такие уравнения, у которых много корней. Например, в уравнении 2*X = (5-3)*X любое значение X является корнем. А уравнение X = X +5 вообще не имеет корней, так как какое бы мы не подставили значение X, у нас не получится верное равенство. Решить уравнение означает найти все его корни, или определить, что оно не имеет корней. Таким образом, чтобы ответить на наш вопрос, нам нужно решить уравнение 2X – 20 = 720.

Как решать уравнения с одной переменной?

Для начала запишем базовые определения. Каждое уравнение имеет правую и левую части. В нашем случае, (2X – 20) – левая часть уравнения (она стоит слева от знака равенства), а 720 – правая часть уравнения. Слагаемые правой и левой части уравнения называются членами уравнения. У нас членами уравнения являются 2X, -20 и 720.

Сразу скажем про 2 свойства уравнений:

Любой член уравнения можно переносить из правой части уравнения в левую, и наоборот. При этом надо изменить знак этого члена уравнения на противоположный. То есть, записи вида 2X – 20 = 720, 2X – 20 – 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 – 2X равносильны.
Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число. Это число не должно быть равно нулю. То есть, записи вида 2X – 20 = 720, 5*(2X – 20) = 720*5, (2X – 20):2 = 720:2 также равносильны.

Воспользуемся этими свойствами для решения нашего уравнения.

2X – 20 = 720

Перенесем -20 в правую часть с противоположным знаком. Получим:

2X = 720 + 20. Сложим то, что у нас в правой части. Получим, что 2X = 740.

Теперь разделим левую и правую части уравнения на 2.

2X:2 = 740:2 или X = 370. Мы нашли корень нашего уравнения и заодно нашли ответ на вопрос нашей задачи. В прошлом году в школе №5 было 370 учеников.

Проверим, действительно ли наш корень обращает уравнение в верное равенство. Подставим вместо X число 370 в уравнение 2X – 20 = 720.

2*370-20 = 720.

740-20 = 720

720 = 720.

Все верно.

Итак, чтобы решить уравнение с одной переменной его нужно привести к так называемому линейному уравнению вида ax = b, где a и b – некоторые числа. Затем левую и правую часть разделить на число a. Получим, что x = b:a.

Что означает привести уравнение к линейному уравнению?

Рассмотрим такое уравнение:

5X — 2X + 10 = 59 — 7X +3X.

Это также уравнение с одной неизвестной переменной X. Наша задача привести это уравнение к виду ax = b.

Для этого сначала соберем все слагаемые, имеющие в качестве множителя X в левой части уравнения, а остальные слагаемые — в правой части. Слагаемые, имеющие в качестве множителя одну и ту же букву, называют подобными слагаемыми.

5X — 2X + 7X – 3X = 59 – 10.

Согласно распределительному свойству умножения мы можем вынести одинаковый множитель за скобки, а коэффициенты (множители при переменной x) сложить. Этот процесс также называют приведением подобных слагаемых.

X(5-2+7-3) = 49.

7X = 49. Мы привели уравнение к виду ax = b, где a = 7, b = 49.

А как мы написали выше, корнем уравнения вида ax = b будет x = b:a.

То есть X = 49:7 = 7.

Алгоритм нахождения корней уравнения с одной переменной.

Собрать подобные слагаемые в левой части уравнения, остальные слагаемые – в правой части уравнения.
Привести подобные слагаемые.
Привести уравнение к виду ax = b.
Найти корни по формуле x = b:a.

Примечание. В данной статье мы не рассматривали те случаи, когда переменная возводится в какую-нибдуь степень. Иначе говоря мы рассматривали уравнения первой степени с одной переменной.

Дата публикации:

04.09.2014 11:04 UTC

Теги: алгебра :: 7 класс :: уравнения

Смотрите также учебники, книги и учебные материалы:

Следующие учебники и книги:

Предыдущие статьи:

Математика, 4 класс, Методическое пособие, Чекин А.Л., 2007
Математика, 3 класс, Методическое пособие, Чекин А.Л., 2006
Математика, 2 класс, Методическое пособие, Чекин А.Л., 2006
Порядок выполнения арифметических действий

nashol.com

Уравнения с одной переменной

На предыдущих занятиях мы знакомились с выражениями, а также учились их упрощать и вычислять. Теперь переходим к более сложному и интересному, а именно к уравнениям.

Уравнение и его корни

Равенство, содержащие переменную (-ые) называются уравнениями. Решить уравнение, значит найти значение переменной, при котором равенство будет верным. Значение переменной называют корнем уравнения.

Уравнения могут иметь, как один корень, так и несколько или вообще ни одного.

При решении уравнений используются следующие свойства:

если в уравнении перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, поменяв при этом знак на противоположный, то получится уравнение равносильное данному.
если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже число, то получится уравнение равносильное данному.

Пример №1 Какие из чисел: -2, -1, 0, 2, 3 являются корнями уравнения:

$ x^2=10-3x $

Чтобы решить данное задание необходимо просто поочередно подставить вместо переменной x каждое из чисел и выделить те числа, при которых равенство считается верным.

При «х= -2»:

$ (-2)^2=10-3 \cdot (-2) $

$ 4=4 $ — равенство верное, значит (-2) — корень нашего уравнения

При «х= -1»

$ (-1)^2=10-3 \cdot (-1) $

$ 1=7 $ — равенство неверное, поэтому (-1) — не является корнем уравнения

При «х=0»

$ 0^2=10-3 \cdot 0 $

$ 0=10 $ — равенство неверное, поэтому 0 не является корнем уравнения

При «x=2»

$ 2^2=10-3 \cdot 2 $

$ 4=4 $ — равенство верное, значит 2 — корень нашего уравнения

При «х=3»

$ 3^2=10-3 \cdot 3 $

$ 9=1 $ — равенство неверное, поэтому 3 не является корнем уравнения

Ответ: из представленных чисел, корнями уравнения $ x^2=10-3x $ являются числа -2 и 2.

Линейное уравнение с одной переменной

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнения вида ax = b, где x — переменная, а a и b — некоторые числа.

Существует большое количество видов уравнений, но решение многих из них сводится именно к решению линейных уравнений, поэтому знание этой темы обязательно для дальнейшего обучения!

Пример №2 Решить уравнение: 4(x+7) = 3-x

Для решения данного уравнения, в первую очередь, нужно избавиться от скобки, а для этого домножим на 4 каждое из слагаемых в скобке, получаем:

4х + 28 = 3 — х

Теперь нужно перенести все значения с «х» в одну сторону, а все остальное в другую сторону (не забывая менять знак на противоположный), получаем:

4х + х = 3 — 28

Теперь вычитаем значение слева и справа:

5х = -25

Чтобы найти неизвестный множитель (х) нужно произведение (25) разделить на известный множитель (5):

х = -25:5

х = -5

Ответ х = -5

Если сомневаетесь в ответе можно проверить, подставив полученное значение в наше уравнение вместо х:

4(-5+7) = 3-(-5)

4*2 = 8

8 = 8 — уравнение решено верно!

Решить теперь что-нибудь по-сложнее:

Пример №3 Найти корни уравнения: $ (y+4)-(y-4)=6y $

В первую очередь, также избавимся от скобок:

$ y+4-y+4=6y $

Сразу видим в левой части y и -y, а значит их можно просто вычеркнуть, а полученные числа просто сложить, и записать выражение:

$ 8 = 6y $

Теперь можно перенести значения с «y» в левую сторону, а значения с числами в правую. Но ведь это не обязательно, ведь не важно с какой стороны находятся переменные, главное, чтобы они были без чисел, а значит, ничего переносить не будем. Но для тех кто не понял, то сделаем, как гласит правило и разделим обе части на (-1), как гласит свойство:

$ 6y=8 $

Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель:

$ y=\frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $

Ответ: y = $ 1\frac{1}{3} $

Также можно проверить ответ, но сделайте это самостоятельно.

Пример №4 $ (0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) $

Теперь я просто решу, без объяснений, а вы посмотрите на ход решения и правильную запись решения уравнений:

$ (0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) $

$ 0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6 $

$ 0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6 $

$ -5,2x=7,8 $

$ x=\frac{7,8}{-5,2}=\frac{3}{-2} =-1,5 $

Ответ: x = -1,5

Если что-то не понятно по ходу решения пишите в комментариях

Решение задач с помощью уравнений

Зная что такое уравнения и научившись их вычислять — вы также открываете себе доступ к решению множества задач, где для решения используются именно уравнения.

Не буду вдаваться в теорию, лучше показать все и сразу на примерах

Пример №5 В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в ящике. После того, как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине, а сколько в ящике?

В первую очередь нужно определить, что мы примем за «х», в данной задаче можно принять и ящики, и корзины, но я возьму яблоки в корзине.

Значит, пусть в корзине было x яблок, так как в ящике яблок было в два раза больше, то возьмем это за 2х. После того, как из корзины яблоки переложили в ящик в корзине яблок стало: х — 10, а значит, в ящике стало — (2х + 10) яблок.

Теперь можно составить уравнение:

5(х-10) — в ящике стало в 5 раз больше яблок, чем в корзине.

Приравняем первое значение и второе:

2x+10 = 5(x-10) и решаем:

2х + 10 = 5х — 50

2х — 5х = -50 — 10

-3х = -60

х = -60/-3 = 20 (яблок) — в корзине

Теперь, зная сколько яблок было в корзине, найдем сколько яблок было в ящике — так как их было в два раза больше, то просто результат умножим на 2:

2*20 = 40 (яблок) — в ящике

Ответ: в ящике — 40 яблок, а в корзине — 20 яблок.

Я понимаю, что многие из вас, возможно, не до конца разобрались в решении задач, но уверяю к этой теме мы вернемся и еще не раз на наших уроках, а пока если у вас остались вопросы — задавайте их в комментариях.

Под конец еще несколько примеров на решения уравнений

Пример №6 $ 2x — 0,7x = 0 $

$ 1,3x = 0 $

$ x=0/1,3 $

$ x = 0 $

Пример №7 $ 3p — 1 -(p+3) = 1 $

$ 3p-1-p-3=1 $

$ 3p-p=1+1+3 $

$ 2p=5 $

$ p=5/2 $

$ p=2,5 $

Пример №8 $ 6y-(y-1) = 4+5y $

$ 6y-y+1=4+5y $

$ 6y-y-5y=4-1 $

$ 0y=3 $ — корней нет, т.к. на ноль делить нельзя!

Всем спасибо за внимание. Если что-то непонятно спрашивайте в комментариях.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Обозначить неизвестное любой переменной, например $x$ ($x$ – любая переменная)

Переведите задачу на язык математики или математических высказываний.

Перенесите выражения с неизвестными в одну часть уравнения, а числовые слагаемые в другую.

Сформируйте линейное уравнение с одной переменной, используя условия, приведенные в задаче.

Решите уравнение для неизвестного.

Убедитесь, что ответ удовлетворяет условиям задачи, проверьте решение.

Решение:
Пусть цифра единиц исходного числа $x$.
Тогда десятичная цифра исходного числа будет $7-x$
$10(7-x)+1x$
$70-10x+x=70-9x$
$10x+(7-x)1$
$10x+7-x=9x+7$
$9x+7=70-9x-27$
$9x+7=43-9x$
$9x+9x=43-7$
$18x=36$
$x=\frac{36}{18}$
$x=2$
Поэтому $7-x$:
$7-2=5$
Ответ: Исходное число $52$.
Задача 3. Катер идет по течению реки и проходит расстояние между двумя прибрежными городами за 5 часов. Он проходит это расстояние по течению за 6 часов. Если скорость потока 3 км/ч, найдите скорость лодки в стоячей воде.
Решение:
Пусть скорость лодки в стоячей воде = х км/час.
Скорость лодки вниз по течению$=(x+3)$ км / ч.
Время, необходимое для покрытия расстояния = $5$ часов
Таким образом, расстояние, пройденное за $5$ часов $=(x+3)*5$(S(путь) = скорость × время)

Скорость лодки по течению $=(x-3)$км/ч
Время, необходимое для покрытия расстояния$=6$ часов.
Таким образом, расстояние, пройденное за $6$ часов$=6*(x-3)$
Поэтому расстояние между двумя прибрежными городами фиксированное, то есть одинаковое.
$5(x+3)=6(x-3)$
$5x+15=6x-18$
$5x-6x=-18-15$
$-x=-33$
$x=33$
Необходимая скорость лодки $33$ км / час.
Задача 4. Разделите $28$ на две части таким образом, чтобы $\frac{6}{5}$ одной части было равно $\frac{2}{3}$ другой.
Решение:
Пусть одна часть будет $x$
Затем другая часть $=28-x$
Дается $\frac{6}{5}$ одной части $=\frac{2}{3}$ другой.
$\frac{6}{5}x=\frac{2}{3}(28-x)$
$ \frac{3x}{5}= \frac{1}{3}(28-x)$
$9x=5(28-x)$
$9x=140-5x$
$9x+5x=140$
$14x=140$
$x=140/14$

$x=10$
Получаем: $10$ и $28-10$ $=18$.
Ответ:18.
Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
myalfaschool.ru
Уравнения с одной переменной
Уравнение — это равенство, которое имеет неизвестное число, обозначенное буквой. Неизвестное число называют переменной.
Например: $4x-9=x,\ \ 2\left(y+8\right)=5y-8,\ \ 3z-18=-\left(z+2\right).$
Уравнения могут иметь разное количество корней. Решить уравнение — означает найти все его корни либо доказать, что их нет.

Если уравнения имеет одни и те же корни, то они называются равносильными. Равносильными считаются и те уравнения, которые не имею решения.
При решении равнений используют такие свойства:
Если в любой из частей уравнения раскрыть скобки или свести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному.
Если в уравнении перенести слагаемое с одной части в другую, сменив знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
Если обе части уравнения умножить или поделить на одно и то самое число, отменное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.
Уравнение вида $ax=b,$ где $a$ и $b-$некоторые числа, $x-$переменная, называется линейным уравнением с одной переменной.
Возможны такие решения линейного уравнения:
Если $b\ne 0,\ \ c\ne 0,\ $ то квадратное уравнение называется полным.
Если $a=1,\ $то квадратное уравнение называется сведенным, если $a\ne 1,$ — несведенным. Несведенное квадратное уравнение всегда можно сделать сведенным, разделив обе части его на первый коэффициент $a\ne 0.$
Сведенные квадратные уравнения обычно записывают в виде $x^2+px+q=0.$
Корни квадратного уравнения можно найти, выделив полный квадрат двучлена с квадратного трехчлена.
Если второй коэффициент $b$ либо свободный член $c$ равняется нулю, то квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0\ $называется неполным.
Корни уравнения $ax^2+bx+c=0$ находят по формуле
\[x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
Выражение $D=b^2-4ac$ называют дискриминантом квадратного уравнения.
Если $D
Если $D > 0,$ то уравнение имеет два действительных корня.
Если $D=0,$ то уравнение имеет один действительный корень.
В случае, когда $D=0,$ иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
Используя обозначение $D=b^2-4ac$, можно переписать формулу в виде
\[x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\]
Если $b=2k,\ $то формула принимает вид
\[x=\frac{-2k\pm \sqrt{4k^2-4ac}}{2a}=\frac{-2k\pm 2\sqrt{k^2-ac}}{2a}=\frac{-k\pm \sqrt{k^2-ac}}{a}\]
Значит, $x=\frac{-k\pm \sqrt{k^2-ac}}{a}$, где $k=\frac{b}{2}.$
Уравнения с параметрами
Если в уравнении $ax=b\ \ \ \ x-$переменная, а буква $a$ обозначает какое либо число, то говорят, что это уравнение с параметром. Что б решить такое уравнение, необходимо рассмотреть такие случаи:
При $a=0$ получаем уравнение $0x=b$
Имеем два случая:
При $b=0$ корнем будет любое число
При $b\ne 0$ уравнение корней не имеет
При $a\ne 0$ делим обе части уравнения на $a$ (которое не равняется нулю) и получаем $x=\frac{b}{a}.$
Уравнение с параметром можно решать так само, как и обычные уравнения, но только до тех пор, пока каждое перевоплощение можно выполнить однозначно. Если же какое-то перевоплощение нельзя выполнить однозначно, то решение надо разбить на несколько случаев.
Пример 4
Решить уравнение $5ax+3a=2ax+9a,$ где $x-$переменная.
Решение. Перенесем члены со сменной $x$ в одну часть, а без $x-$ в другую:
\[5ax-2ax=9a-3a\]
Сведем подобные слагаемые
\[3ax=6a\]
Для нахождения переменной $x$ мы б хотели поделить обе части уравнения на $3a,\ $но при $a=0$ мы будем делить на $0,$ что невозможно. Значит, начиная с этого момента, надо рассматривать два случая. Можем записать так:
\[5ax-2ax=9a-3a\] \[3ax=6a\]
Если $a=0,$ то $0\cdot x=0$, значит $x-$ любое число;
Если $a\ne 0,$ то $x=2.$
Ответ. При $a=0-$любое число; при $a\ne 0\ \ \ \ x=2.$
spravochnick.ru
Уравнения с одной переменной
Равенство с переменной f(х) = g(х) называется уравнением с одной переменной х. Любое значение переменной, при котором f(х) и g(х) принимают равные числовые значения, называется корнем такого уравнения. Следовательно, решить уравнение – значит найти все корни уравнения или доказать, что их нет.
Уравнение x² + 1 = 0 не имеет действительных корней, но имеет корни мнимые: в данном случае это корни х₁ = i, х₂ = -i. В дальнейшем нас же будут интересовать лишь действительные корни уравнения.
Если уравнения имеют одинаковые корни, то они называются равносильными. Те уравнения, которые корней не имеют, относятся к равносильным.
Определим, равносильны ли уравнения:
а) х + 2 = 5 и х + 5 = 8
1. Решим первое уравнение
х + 2 = 5
х = 5 – 2
х = 3
2. Решим второе уравнение
х + 5 = 8
х = 8 – 5
х = 3
Корни уравнений совпадают, поэтому х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны.
б) x² + 1 = 0 и 2x² + 5 = 0
Оба данных уравнения не имеют действительных корней, поэтому являются равносильными.
в) х – 5 = 1 и x²= 36
1. Найдем корни первого уравнения
х – 5 = 1
х = 1 + 5
х = 6
2. Найдем корни второго уравнения
x²= 36
х₁ = 6, х₂ = -6
Корни уравнений не совпадают, поэтому х – 5 = 1 и x²= 36 неравносильны.
При решении уравнения его стараются заменить равносильным, но более простым уравнением. Поэтому важно знать, в результате каких преобразований данное уравнение переходит в уравнений, равносильное ему.
Теорема 1. Если в уравнении из одной части в другую перенести какое-либо слагаемое, изменив при этом знак, то получится уравнение, равносильное данному.
Например, уравнение x²+ 2 = 3х равносильно уравнению x²+ 2 – 3х = 0.
Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число (не равное нулю), то получится уравнение, равносильное данному.
Например, уравнение (x²– 1)/3 = 2х равносильно уравнению x²– 1 = 6х. Обе части первого уравнения мы умножили на 3.
Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида ах = b, где а и b – действительные числа, причем а называется коэффициентом при переменной, а b – свободным членом.
Рассмотрим три случая для линейного уравнения ах = b.
1. а ≠ 0. В таком случае х = b/а (т.к. а отлично от нуля).
2. а = 0, b = 0. Уравнение примет вид: 0 ∙ х = 0. Это уравнение верно при любом х, т.е. корень уравнения – любое действительное число.
3. а = 0, b ≠ 0. В данном случае уравнение не будет иметь корней, т.к. деление на нуль запрещено (0 ∙ х = b).
В результате преобразований многие уравнения сводятся к линейным.
Решим уравнения
а) (1/5)х + 2/15= 0
1. Перенесем компонент 2/15 из левой части уравнения в правую с противоположным знаком. Такое преобразование регламентируется теоремой 1. Итак, уравнение примет вид: (1/5)х = -2/15.
2. Чтобы избавиться от знаменателя, домножим обе части уравнения на 15. Сделать это позволяет нам теорема 2. Итак, уравнение примет вид:
(1/5)х ∙ 15= – 2/15 ∙ 15
3х = -2
х = -2/3.
Т.о., корень уравнения равен -2/3.
б) 2/3 + х/4 + (1 – х)/6 = 5х/12 – 1
1. Чтобы избавиться от знаменателя, домножим обе части уравнения на 12 (по теореме 2). Уравнение примет вид:
12(2/3 + х/4 + (1 – х)/6) = 12(5х/12 – 1)
8 + 3х + 2 – 2х = 5х – 12
10 + х = 5х – 12
2. Пользуясь теоремой 1, «соберем» все числа справа, а компоненты с х – слева. Уравнение примет вид:
10 +12 = 5х – х
22 = 4х
х = 22/4
х = 5,5
Т.о., корень уравнения равен 5,5.
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
blog.tutoronline.ru
Уравнения с переменными
Найти общее решение дифференциального уравнения $y’=\left(2\cdot x^{2} -3\cdot x-3\right)\cdot \frac{\left(y-5\right)\cdot \left(y-3\right)^{2} }{2\cdot y^{2} -3\cdot y-3} $.
Данное дифференциальное уравнение имеет стандартный вид для решения его методом разделения переменных. В нём правая часть $f\left(x,\; y\right)$ имеет вид $f_{1} \left(x\right)\cdot f_{2} \left(y\right)$, где $f_{1} \left(x\right)=2\cdot x^{2} -3\cdot x-3$, $f_{2} \left(y\right)=\frac{\left(y-5\right)\cdot \left(y-3\right)^{2} }{2\cdot y^{2} -3\cdot y-3} $.
Вычисляем интеграл $I_{1} $:
\[I_{1} =\int f_{1} \left(x\right)\cdot dx =\int \left(2\cdot x^{2} -3\cdot x-3\right)\cdot dx =2\cdot \int x^{2} \cdot dx -3\cdot \int x\cdot dx -3\cdot \int dx =\] \[=2\cdot \frac{x^{3} }{3} -3\cdot \frac{x^{2} }{2} -3\cdot x=\frac{2}{3} \cdot x^{3} -\frac{3}{2} \cdot x^{2} -3\cdot x.\]
Вычисляем интеграл $I_{2} $: $I_{2} =\int \frac{dy}{f_{2} \left(y\right)} =\int \frac{2\cdot y^{2} -3\cdot y-3}{\left(y-5\right)\cdot \left(y-3\right)^{2} } \cdot dy $.
Рациональная дробь $\frac{2\cdot y^{2} -3\cdot y-3}{\left(y-5\right)\cdot \left(y-3\right)^{2} } $ является правильной. Разложим её на сумму элементарных рациональных дробей методом неопределенных коэффициентов: $\frac{2\cdot y^{2} -3\cdot y-3}{\left(y-5\right)\cdot \left(y-3\right)^{2} } =\frac{D_{1} }{y-5} +\frac{D_{2} }{y-3} +\frac{D_{3} }{\left(y-3\right)^{2} } $, где $D_{1} $, $D_{2} $, $D_{3} $ — неопределенные коэффициенты.
Умножаем равенство на общий знаменатель $\left(y-5\right)\cdot \left(y-3\right)^{2} $:
\[2\cdot y^{2} -3\cdot y-3=D_{1} \cdot \left(y-3\right)^{2} +D_{2} \cdot \left(y-5\right)\cdot \left(y-3\right)+D_{3} \cdot \left(y-5\right).\]
В правой части равенства раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
\[2\cdot y^{2} -3\cdot y-3=\left(D_{1} +D_{2} \right)\cdot y^{2} +\left(-6\cdot D_{1} -8\cdot D_{2} +D_{3} \right)\cdot y+\left(9\cdot D_{1} +15\cdot D_{2} -5\cdot D_{3} \right).\]
Многочлены слева и справа равны тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных. Получаем систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов:
\[\left\{\begin{array}{c} {D_{1} +D_{2} =2} \\ {-6\cdot D_{1} -8\cdot D_{2} +D_{3} =-3} \\ {9\cdot D_{1} +15\cdot D_{2} -5\cdot D_{3} =-3} \end{array}\right. \]
Решаем систему (например, по формулам Крамера) и получаем:
\[D_{1} =8; D_{2} =-6; D_{3} =-3.\]
Записываем интеграл $I_{2} $:
\[I_{2} =\int \frac{2\cdot y^{2} -3\cdot y-3}{\left(y-5\right)\cdot \left(y-3\right)^{2} } \cdot dy =\int \left(\frac{D_{1} }{y-5} +\frac{D_{2} }{y-3} +\frac{D_{3} }{\left(y-3\right)^{2} } \right)\cdot dy =\] \[=\int \left(\frac{8}{y-5} +\frac{-6}{y-3} +\frac{-3}{\left(y-3\right)^{2} } \right)\cdot dy =\int \frac{8}{y-5} \cdot dy +\int \frac{-6}{y-3} \cdot dy +\int \frac{-3}{\left(y-3\right)^{2} } \cdot dy =\] \[=8\cdot \int \frac{dy}{y-5} -6\cdot \int \frac{dy}{y-3} -3\cdot \int \frac{dy}{\left(y-3\right)^{2} } =8\cdot \ln \left|y-5\right|-6\cdot \ln \left|y-3\right|+\frac{3}{y-3} .\]
Записываем общее решение дифференциального уравнения $I_{2} -I_{1} =C$:
\[8\cdot \ln \left|y-5\right|-6\cdot \ln \left|y-3\right|+\frac{3}{y-3} -\frac{2}{3} \cdot x^{3} +\frac{3}{2} \cdot x^{2} +3\cdot x=C.\]
Кроме этого, решения дифференциального уравнения могут находиться среди решений уравнения $f_{2} \left(y\right)=\frac{\left(y-5\right)\cdot \left(y-3\right)^{2} }{2\cdot y^{2} -3\cdot y-3} =0$. Из этого уравнения следуют $y=5$ и $y=3$, которые являются его особыми решениями.
spravochnick.ru
Линейное уравнение с одной переменной
Разделы: Математика

Цель урока:
Познакомить с понятием “линейное уравнение”, научить распознавать их среди других уравнений, определять коэффициенты a и b, сформировать умение решать линейные уравнения разных видов
Задачи урока:

– отработка “математической” речи учащихся;

– развитие интеллектуальных навыков: сравнение, классификация, анализ;

– заинтересовать в дальнейшем изучении предмета с помощью изучения истории и развития науки, применения информационных технологий .

Оборудование:

Компьютер;

Проектор,

Экран;

Презентация PowerPoint

Раздаточный материал.

Ход урока

Что означает владение математикой?
Это есть умение решать задачи,
причем не только стандартные,
но и требующие известной независимости
мышления, здравого смысла,
оригинальности, изобретательности.

Д.Пойа

I этап урока – организационный (1 минута).

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раздаточный материал, который находится у них на партах.

II этап урока – вводная беседа (5 минуты)
Китайская мудрость гласит: “В своей жизни человек обязательно должен сделать три вещи: посадить дерево, построить дом и вырастить сына”. Сегодня мы с вами будем выращивать дерево знаний о линейном уравнении. Чтобы вырастить наше дерево, необходимо посадить семечко знаний. Это то, что вы уже знаете. Давайте решим старинную задачу.

“Найти число, если известно, что от прибавления к нему ? его и вычитания от полученной суммы ее трети получится число 10.”

Обсуждается условие по наводящим вопросам (для слабоуспевающих учащихся).

В результате на доске появляется запись:

х+ 2/3x – 1/3(x+2/3x) =10

х + 2/3x – 1/3x – 2/9x = 10

9/9x + 6/9x – 3/9x – 2/9x = 10

10/9x =10

Создавая математическую модель задачи, вы составили линейное уравнение. Как найти неизвестное?

Ответы детей (x – неизвестный множитель и, чтобы его найти нужно произведение разделить на известный множитель.

x=10:10/9

x=9

Какой же вывод можно сделать о решении линейного уравнения?

Ответы учащихся (чтобы решить линейное уравнение надо найти такое значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство )

Молодцы! Каждое такое значение переменной называется корнем уравнения

III этап – изучение нового материала (20 минут).
В дальнейшем наше дерево знаний будет расти все выше. Мы будем изучать различные уравнения и квадратичные, и логарифмические, и тригонометрические… А сегодня, используя свои знания математического языка, мы с вами запишем линейное уравнение с одной переменной в следующем виде:

ах² + в = 0 , где а, в – любые числа (коэффициенты)

Далее класс делится на четыре группы. Учитель предлагает группам решить линейное уравнение при различных значениях коэффициентов а и в (раздаточный материал), сделать выводы

1) а=0, b=0. Корень уравнения – любое число

2) а=0,b0 .Уравнение не имеет корней

3) а0,b=0 .1 корень уравнения х=0

4) а0,b0 1 корень уравнения х= (-в)/а

Каждая группа рассказывает, как они нашли корень уравнения.

– Фактически мы с вами выработали определенную программу действий– в математике в таких случаях используют термин “алгоритм”. Алгоритм решения линейного уравнения с одной переменной на слайде №.7.

– Я хочу предложить вам ряд линейных уравнений (слайд № 8), а вы, внимательно рассмотрев их, составите свои по тому же подобию.

– Ребята, чем вы руководствовались при составлении своих уравнений?

Ответы учащихся (есть одна переменная, произведение числа и переменной с одной стороны)

– Скажите, а являются ли продолжением ряда уравнения: 2x+3y=8 и x²=4

Ответы учащихся (Нет – в первом уравнении две переменные, во втором уравнении переменная в квадрате)

– А как быть, если уравнение записано в более сложном виде? (слайд № 9)

Обсуждение решения учащимися.

– Молодцы, ребята! Вы решили уравнение, используя правила раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых.

Обобщим ваши рассуждения и составим еще один полезный алгоритм (слайд № 10)

– А теперь вы уже готовы решать более сложные уравнения.

Учащиеся решают уравнения (слайд № 11) .Форма проведения – эстафета, т. е. каждый ребенок у доски решает по 1 строчке из уравнения

IV этап – закрепление материала (5 минут)
1. Проверочная работа – дифференцирована по уровню сложности (желтый, зеленый – базовый уровень, красный – повышенный) – раздаточный материал.

2.Проверка работ (5 “+” – 5 , 4 “+” – 4, 3 “+” – 3, меньше трех плюсов – “Будем работать дальше”). Ответы для каждой группы на слайдах № 12-14.

3.Самопроверка и выставление оценок

V этап – подведение итога урока (3 минуты)
Как можно записать линейное уравнение в общем виде?

Какими могут быть коэффициенты?

Существенно ли какой буквой обозначена переменная?

Выводы:

1) Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида ах+в=0.

2) Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

3) Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Задание на дом – творческое (1 минута).

Приготовить карточку по данной теме, которую вы могли бы предложить своему однокласснику.

Презентация

Раздаточный материал

Список литературы
20.06.2011
urok.1sept.ru
No related posts.