В окружности – Окружности и её элементы | ЕГЭ по математике (профильной)

Содержание

Углы в окружности | Треугольники

Рассмотрим углы в окружности и углы, связанные с окружностью.

  • Угол с вершиной в центре окружности.
  • Угол с вершиной на окружности (его стороны пересекают окружность).
  • Угол с вершиной внутри окружности (не в центре).
  • Угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают окружность.

I. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.

Стороны центрального угла разбивают окружность на две части. Дугой, соответствующей данному центральному углу, называется та часть, которая содержится внутри угла.

Например, центральному углу AOC соответствует дуга AC (или дуга AFC. Обычно дугу называют двумя буквами. Но, поскольку любую из двух, на которые точки A и C делят окружность, можно назвать AC, то третью, дополнительную букву, иногда используют для уточнения выбранной дуги).

Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего центрального угла:

∪AC=∠AOC.

II. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Стороны вписанного угла также разбивают окружность на две дуги. Говорят, что вписанный угол опирается на лугу, которая лежит внутри него.

Например, вписанный угол ABC опирается на дугу AC (или дугу AFC).

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

   

Есть другой вариант формулировки свойства вписанного угла.

Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла:

   

 

 

Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.

 

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

И наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность.

Другая формулировка этого утверждения:

вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой.

(обратно: Если вписанный угол прямой, то он опирается на диаметр).

III. Угол, вершина которого лежит в окружности — это угол между пересекающимися хордами.

Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между  его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

 

   

IV. Угол с вершиной вне окружности, обе стороны которого пересекают окружность — это угол между секущими, которые пересекаются вне окружности.

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

 

   

www.treugolniki.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Планиметрия

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

ФигураРисунокОпределение и свойства
Окружность

      Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Круг

   Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус

      Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда

      Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр

      Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная

     Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая

      Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хорды

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хорды

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длины

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дуги

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хорды

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Посмотреть доказательство

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

AB = AC

Посмотреть доказательство

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Справедливо равенство

Посмотреть доказательство

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Справедливо равенство:

Посмотреть доказательство

Пересекающиеся хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Посмотреть доказательство

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

AB = AC

Посмотреть доказательство

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Справедливо равенство

Посмотреть доказательство

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Справедливо равенство:

Посмотреть доказательство

Пересекающиеся хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Посмотреть доказательство

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

AB = AC

Посмотреть доказательство

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Справедливо равенство

Посмотреть доказательство

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Справедливо равенство:

Посмотреть доказательство

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

      Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Рис. 1

      Тогда справедливо равенство

      Доказательство. Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

      Теорема 2 . Предположим, что из точки A, лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Рис. 2

      Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

      Доказательство. Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC, проходящей через точку касания B. Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC. Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC. Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

      Теорема 3 . Предположим, что из точки A, лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Рис. 3

      Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

      Доказательство. Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Рис. 4

      Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

      Теорема о бабочке. Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Рис. 5

      Доказательство. Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B. Теперь введём следующие обозначения:

      Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG, получим

(1)

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG, получим

(2)

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Поэтому

      Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL, получим равенство

откуда вытекает равенство

x = y ,

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Окружность. Основные теоремы

\[{\Large{\text{Центральные и вписанные углы}}}\]

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

 

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

 

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

 

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

 

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:


 

Треугольник \(AOB\) – равнобедренный, \(AO = OB\), \(\angle AOC\) – внешний, тогда \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), откуда \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AC}\).

 

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол \(ABC\). Проведём диаметр окружности \(BD\) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

 

1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\)(для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

 

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла \(\angle ABD, \angle CBD\), у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.


 

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

 

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

 

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.  

\[{\Large{\text{Касательная к окружности}}}\]

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

 

1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).

 

2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).

 

3) прямая \(c\) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).


 

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

 

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

 

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

 

Доказательство

Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\):


 

Значит, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) как радиусы. Прямоугольные треугольники \(\triangle KAO\) и \(\triangle KBO\) равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(KA=KB\).

 

Следствие

Центр окружности \(O\) лежит на биссектрисе угла \(AKB\), образованного двумя касательными, проведенными из одной точки \(K\).  

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с углами}}}\]

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

 

Доказательство

Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:


 

Покажем, что \(\angle DMB = \dfrac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} — \buildrel\smile\over{CA})\).

 

\(\angle DAB\) – внешний угол треугольника \(MAD\), тогда \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), откуда \(\angle DMB = \angle DAB — \angle MDA\), но углы \(\angle DAB\) и \(\angle MDA\) – вписанные, тогда \(\angle DMB = \angle DAB — \angle MDA = \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{BD} — \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{CA} = \frac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} — \buildrel\smile\over{CA})\), что и требовалось доказать.

 

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over{AB}+\buildrel\smile\over{CD}\right)\]

Доказательство

\(\angle BMA = \angle CMD\) как вертикальные.


 

Из треугольника \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ — \angle BDA — \angle CAD = 180^\circ — \frac12\buildrel\smile\over{AB} — \frac12\buildrel\smile\over{CD}\).

 

Но \(\angle AMD = 180^\circ — \angle CMD\), откуда заключаем, что \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB} + \frac12\cdot\buildrel\smile\over{CD} = \frac12(\buildrel\smile\over{AB} + \buildrel\smile\over{CD}).\]

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

 

Доказательство

Пусть прямая \(a\) касается окружности в точке \(A\), \(AB\) – хорда этой окружности, \(O\) – её центр. Пусть прямая, содержащая \(OB\), пересекает \(a\) в точке \(M\). Докажем, что \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over{AB}\).


 

Обозначим \(\angle OAB = \alpha\). Так как \(OA\) и \(OB\) – радиусы, то \(OA = OB\) и \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Таким образом, \(\buildrel\smile\over{AB} = \angle AOB = 180^\circ — 2\alpha = 2(90^\circ — \alpha)\).

Так как \(OA\) – радиус, проведённый в точку касания, то \(OA\perp a\), то есть \(\angle OAM = 90^\circ\), следовательно, \(\angle BAM = 90^\circ — \angle OAB = 90^\circ — \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB}\).

 

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

 

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

 

Доказательство

1) Пусть \(AB=CD\). Докажем, что меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).


 

\(\triangle AOB=\triangle COD\) по трем сторонам, следовательно, \(\angle AOB=\angle COD\). Но т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) — центральные углы, опирающиеся на дуги \(\buildrel\smile\over{AB}, \buildrel\smile\over{CD}\) соответственно, то \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).

 

2) Если \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\), то \(\triangle AOB=\triangle COD\) по двум сторонам \(AO=BO=CO=DO\) и углу между ними \(\angle AOB=\angle COD\). Следовательно, и \(AB=CD\).

 

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.


 

Доказательство

1) Пусть \(AN=NB\). Докажем, что \(OQ\perp AB\).

 

Рассмотрим \(\triangle AOB\): он равнобедренный, т.к. \(OA=OB\) – радиусы окружности. Т.к. \(ON\) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, \(ON\perp AB\).

 

2) Пусть \(OQ\perp AB\). Докажем, что \(AN=NB\).

 

Аналогично \(\triangle AOB\) – равнобедренный, \(ON\) – высота, следовательно, \(ON\) – медиана. Следовательно, \(AN=NB\).  

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с длинами отрезков}}}\]

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

 

Доказательство

Пусть хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\).

Рассмотрим треугольники \(ADE\) и \(CBE\). В этих треугольниках углы \(1\) и \(2\) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу \(BD\), а углы \(3\) и \(4\) равны как вертикальные. Треугольники \(ADE\) и \(CBE\) подобны (по первому признаку подобия треугольников).

 

Тогда \(\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{DE}{BE}\), откуда \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\).

 

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

 

Доказательство

Пусть касательная проходит через точку \(M\) и касается окружности в точке \(A\). Пусть секущая проходит через точку \(M\) и пересекает окружность в точках \(B\) и \(C\) так что \(MB < MC\). Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\).


 

Рассмотрим треугольники \(MBA\) и \(MCA\): \(\angle M\) – общий, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB}\). По теореме об угле между касательной и секущей, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB} = \angle BCA\). Таким образом, треугольники \(MBA\) и \(MCA\) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников \(MBA\) и \(MCA\) имеем: \(\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{MA}{MC}\), что равносильно \(MB\cdot MC = MA^2\).

 

Следствие

Произведение секущей, проведённой из точки \(O\), на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки \(O\):


 

shkolkovo.net

Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности





Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности

Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью.
Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей.
Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности.

Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью:

Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается. Если отнести длину этой дуги к радиусу окружности то получится радианная мера угла.

Взаимное расположение окружности и прямой:

1. Окружность и прямая не имеют общих точек

2. Окружность и прямая имеют 2 общие точки (l — секущая)

3. Окружность и прямая имеют 1 общую точку (l — касательная)

Взаимное расположение окружности и точки:

1. Точка лежит вне окружности (2 касательные через точку А)

2. Точка лежит внутри окружности (нет касательных через точку А)

dpva.ru

Свойства хорды в окружности, с примерами

Хорда является частью секущей окружности.

Свойства хорды

  1. Хорды, равноудаленные от центра окружности, равны.
  2. Хорды окружности равны, если они стягивают равные центральные углы.
  3. Если диаметр перпендикулярен хорде, то он проходит через ее середину.
  4. Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду, равны.
  5. Дуги, заключенные между двумя равными хордами, равны.
  6. Любая пара вписанных углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°:

       

  7. Если хорда стягивает дугу с градусной мерой , то ее длина

       

  8. Для любых двух хорд и , пересекающихся в точке О, выполняется:

       

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Свойства и признаки окружности / math5school.ru

 

 

Хорошо известно определение окружности как геометрического места точек, равноудаленных от некоторой фиксированной точки.

Однако определить окружность можно и многими другими способами. Приведем несколько примеров. 

1. Окружность есть геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух заданных точек постоянна и больше половины квадрата расстояния между этими точками.

2. Окружность есть геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек А и В постоянно и не равно 1.

Такая окружность называется окружностью Аполлония точек А и В.

3. Окружность диаметра AB – это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под прямым углом.

 

Окружность обладает многими красивыми свойствами, доказательство которых не представляет труда. Сложнее определить, являются ли эти свойства также и признаками окружности, т.е. существуют ли другие кривые, обладающие ими. Перечислим сначала некоторые из свойств окружности, не присущие никаким другим кривым.

 

«Уникальные» свойства окружности

1. Два угла с вершинами на окружности, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Касательные к окружности, проведенные из одной точки, равны.

3. Из всех замкнутых кривых данной длины окружность ограничивает область максимальной площади.

4. Из всех замкнутых кривых, для которых длины всех хорд не превосходят заданной величины, окружность ограничивает область максимальной площади.

5. Любые две дуги окружности равной длины можно совместить.

Это свойство называется самоконгруэнтностью. На плоскости им, кроме окружности, обладает только прямая. Если кривая может не лежать в плоскости, оно задает также винтовую линию.

 

Однако замкнутых самоконгруэнтных кривых, отличных от окружности, не существует. Благодаря этому свойству меч, имеющий форму дуги окружности, можно вставлять и вынимать из ножен той же формы.

6. При любом расположении двух равных окружностей на плоскости они имеют не больше двух общих точек.

7. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии.

Для некоторых из перечисленных свойств доказательства того, что они определяют окружность, а значит являются ее признаками, совсем элементарны. Для других, напротив, весьма сложны. Наиболее интересны доказательства признаков 2 и 6. (Попробуйте найти их самостоятельно; если не получится – смотрите ниже.)

А теперь приведем два красивых свойства окружности, которыми обладают и другие кривые.

 

«Не уникальные» свойства окружности 

1. Окружность является кривой постоянной ширины.

Это значит, что если провести к окружности две параллельные касательные, то расстояние между ними не зависит от их направления.

Как ни странно, этим свойством обладают многие кривые, в том числе довольно сильно отличающиеся от окружности. Наиболее простая из них, так называемый треугольник Рело, изображена на следующем рисунке.

Он состоит из трех дуг окружностей, центры которых расположены в вершинах правильного треугольника, а радиусы равны его стороне. Если изготовить несколько катков, поперечные сечения которых являются кривыми постоянной ширины, то можно перевозить на них плоскую платформу, и она не будет перемещаться вверх и вниз.

Отметим также, что все кривые данной постоянной ширины имеют одну и ту же длину.

2. Любая прямая, которая делит пополам периметр окружности, делит пополам и площадь ограниченного ею круга.

Разумеется, помимо окружности этим свойством обладают любые кривые, имеющие центр симметрии. Гораздо интереснее то, что обладать им могут и не центрально-симметричные кривые, в том числе и выпуклые. Вот изображение одной из таких фигур:

Ее можно задать следующими уравнениями:

х = 12 · cos φ + cos 2φ + ½ · cos 4φ,

у = 12 · sin φ – sin 2φ + ½ · sin 4φ,

где φ меняется от 0 до .

 

Доказательство признака 2

Пусть дана выпуклая гладкая кривая, касательные к которой из любой точки равны. Возьмем произвольную точку А вне кривой и проведем касательные АВ’ и АС’. Докажем, что для всех точек А’, лежащих на дуге В’С’ (одной и той же), углы В’А’С’ совпадают.

Проведем через А’ касательную к кривой и найдем точки В и С ее пересечения с АС’ и АВ’.  

По условию треугольники В’А’С’ и C’A’B’ равнобедренные, следовательно:

∠ BA’C’ = ½ · (π – ∠ CBA),

∠ CA’B’ = ½ · (π – ∠ ACB),

∠ C’A’B’ = π – ∠ BA’C’ – ∠ CA’B’ = ½ · (∠ CBA – ∠ ACB) = ½ · (π – ∠ BAC). 

Таким образом угол, под которым видна хорда В’С’, не зависит от выбора точки на дуге. Для второй дуги доказательство аналогично. По первому признаку, из приведенных выше, кривая является окружностью.

 

Доказательство признака 6

Прежде всего, отметим, что в любую замкнутую кривую можно вписать правильный треугольник. Действительно, возьмем на кривой произвольную точку А и повернем кривую вокруг А на π/3. Точка пересечения старого и нового положения кривой, отличная от А будет второй вершиной треугольника.

Итак пусть правильный треугольник с центром О вписан в нашу кривую. Повернем ее вокруг О на угол 2π/3. Старое и новое положение кривой пересекаются, по крайней мере, в трех точках (вершинах треугольника) и, значит, совпадают, т.е. О является центром симметрии 3 порядка. Рассмотрим теперь поворот кривой вокруг О на произвольный угол φ. Если старое и новое положение кривой не совпадают, то число точек их пересечения кратно 3 (в силу симметрии) и не равно 0 (иначе одна кривая лежала бы целиком внутри другой, что для конгруэнтных кривых невозможно). Следовательно, кривая переходит в себя при любом повороте вокруг О, т.е. является окружностью.

 

Источники: А. Заславский. Свойства и признаки окружности. («Квант», №6, 2001), Википедия.

 

  <<< Назад

 

     Смотрите так же:

Окружность (справочные материалы)

 

math4school.ru

Что такое окружность как геометрическая фигура: основные свойства и характеристики

Чтобы в общих чертах представить себе, что такое окружность, взгляните на кольцо или обруч. Можно также взять круглый стакан и чашку, поставить вверх дном на лист бумаги и обвести карандашом. При многократном увеличении полученная линия станет толстой и не совсем ровной, и края ее будут размытыми. Окружность как геометрическая фигура не имеет такой характеристики, как толщина.

Окружность: определение и основные средства описания

Окружность – это замкнутая кривая, состоящая из множества точек, расположенных в одной плоскости и равноудаленных от центра окружности. При этом центр находится в той же плоскости. Как правило, он обозначается буквой О.

Расстояние от любой из точек окружности до центра называется радиусом и обозначается буквой R.

Если соединить две любые точки окружности, то полученный отрезок будет называться хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, — это диаметр, обозначаемый буквой D. Диаметр делит окружность на две равные дуги и по длине вдвое превышает размер радиуса. Таким образом, D = 2R, или R = D/2.

Свойства хорд

  1. Если через две любые точки окружности провести хорду, а затем перпендикулярно последней – радиус или диаметр, то этот отрезок разобьет и хорду, и дугу, отсеченную ею, на две равные части. Верно и обратное утверждение: если радиус (диаметр) делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей.
  2. Если в пределах одной и той же окружности провести две параллельные хорды, то дуги, отсеченные ними, а также заключенные между ними, будут равны.
  3. Проведем две хорды PR и QS, пересекающиеся в пределах окружности в точке T. Произведение отрезков одной хорды всегда будет равно произведению отрезков другой хорды, то есть PT х TR = QT х TS.

Длина окружности: общее понятие и основные формулы

Одной из базовых характеристик данной геометрической фигуры является длина окружности. Формула выводится с использованием таких величин, как радиус, диаметр и константа «π», отражающая постоянство отношения длины окружности к ее диаметру.

Таким образом, L = πD, или L = 2πR, где L – это длина окружности, D – диаметр, R – радиус.

Формула длины окружности может рассматриваться как исходная при нахождении радиуса или диаметра по заданной длине окружности: D = L/π, R = L/2π.

Что такое окружность: основные постулаты

1. Прямая и окружность могут располагаться на плоскости следующим образом:

  • не иметь общих точек;
  • иметь одну общую точку, при этом прямая называется касательной: если провести радиус через центр и точку касания, то он будет перпендикулярен касательной;
  • иметь две общие точки, при этом прямая называется секущей.

2. Через три произвольные точки, лежащие в одной плоскости, можно провести не более одной окружности.

3. Две окружности могут соприкасаться только в одной точке, которая расположена на отрезке, соединяющем центры этих окружностей.

4. При любых поворотах относительно центра окружность переходит сама в себя.

5. Что такое окружность с точки зрения симметрии?

  • одинаковая кривизна линии в любой из точек;
  • центральная симметрия относительно точки О;
  • зеркальная симметрия относительно диаметра.

6. Если построить два произвольных вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу окружности, они будут равны. Угол, опирающийся на дугу, равную половине длины окружности, то есть отсеченную хордой-диаметром, всегда равен 90°.

7. Если сравнивать замкнутые кривые линии одинаковой длины, то получится, что окружность отграничивает участок плоскости наибольшей площади.

Окружность, вписанная в треугольник и описанная около него

Представление о том, что такое окружность, будет неполным без описания особенностей взаимосвязи этой геометрической фигуры с треугольниками.

  1. При построении окружности, вписанной в треугольник, ее центр всегда будет совпадать с точкой пересечения биссектрис углов треугольника.
  2. Центр окружности, описанной около треугольника, располагается на пересечении срединных перпендикуляров к каждой из сторон треугольника.
  3. Если описать окружность около прямоугольного треугольника, то ее центр будет находиться на середине гипотенузы, то есть последняя будет являться диаметром.
  4. Центры вписанной и описанной окружностей будут находиться в одной точке, если базой для построения является равносторонний треугольник.

Основные утверждения об окружности и четырехугольниках

  1. Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность лишь тогда, когда сумма его противоположных внутренних углов равняется 180°.
  2. Построить вписанную в выпуклый четырехугольник окружность можно, если одинакова сумма длин его противоположных сторон.
  3. Описать окружность вокруг параллелограмма можно, если его углы прямые.
  4. Вписать в параллелограмм окружность можно в том случае, если все его стороны равны, то есть он является ромбом.
  5. Построить окружность через углы трапеции можно, только если она равнобедренная. При этом центр описанной окружности будет располагаться на пересечении оси симметрии четырехугольника и срединного перпендикуляра, проведенного к боковой стороне.

fb.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.