Вычисление длины вектора

Содержание

Длина вектора. Угол между векторами

Заголовок статьи дает много информации о материале который будет изложен далее. Он достаточно прост для понимания, однако важный и нужный в дальнейшем обучении. На его основе будут формулироваться все следующие понятия и решаться различные задачи на плоскости, осуществляться вычисления.

Координаты вектора равны разнице соответствующих координат конца и начала вектора. Если и — соответственно начало и конец вектора, то

Длиной или нормой вектора (обозначают ) называют неотрицательное значение квадратного корня из суммы квадратов координат вектора

Например, если то

Углом между ненулевыми векторами

называется значение угла , которое определяется из равенства

—————————————————————

Задача 1.

Найти длину векторов и , если их начала и концы заданные вершинами

Решение.

Найдем векторы и

Вычислим длину векторов

Найдем скалярное произведение векторов

Найденные значения подставляем в формулу для вычисления угла между векторами

Отсюда окончательно находим значение угла

——————————————————

Посмотреть материалы:

yukhym.com

По вашим просьбам!

2. Решите систему уравнений:

Совет: не решайте уравнения и системы уравнений, если можно подставить ответы и сделать проверку!

3. Вычислить:

6. Упростить выражение:

9. Длина трех измерений в прямоугольном параллелепипеде равна 6 см, 6 см и 7 см. Определите длину диагонали параллелепипеда. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его линейных размеров:

d²=a²+b²+c². Подставляем наши данные: d²=6²+6²+7²=36+36+49=121. Извлекаем арифметический квадратный корень и получаем: длина диагонали d=11.

11. На изготовление 20 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 60 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Пусть второй рабочий делает в час х деталей. Тогда первый рабочий делает в час (х+4) детали.

Умножим обе части равенства на х(х+4)≠0 и получим равносильное уравнение:

15(х+4)-5х=2х(х+4) ⇒ 15х+60-5х=2х²+8х ⇒2х²-2х-60=0. Делим на 2.

х²-х-30=0, находим корни х₁=-5 и х₂=6. Отрицательное значение не подойдет по условию задачи.

Ответ: 6 деталей в час делает второй рабочий.

12. Решите уравнение: log₂(2²^x+2^x)=log₄144.

Так как 4=2² и 144=12², то log₄144=log₂12. Данное уравнение запишется в виде:

log₂(2²^x+2^x)= log₂12 и будет равносильно уравнению: 2²

^x+2^x=12. Пусть 2^x=y. Тогда получаем приведенное квадратное уравнение:

y²+y-12=0, корни которого y₁=-4 и y₂=3. Возвращаемся к переменной х. Так как 2^x≠-4, то 2^x=3 ⇒ x=log₂3.

13. Решите уравнение:

14. Решите уравнение:

15. Найти производную функции:

16. В каких точках касательная к графику функции у = х³/3 – 3х образует с осью Ох угол, равный π/4.

Используем геометрический смысл производной: численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции, проведенной в данной точке: f’(x_o) = tgα. Нам нужно найти значение х_о, а дано нам значение α.

х² – 3 = 1 ⇒ х² = 4 ⇒ х = ±2. Получается, что в двух точках: с абсциссой х = -2 и с абсциссой х = 2 касательная к графику образует с осью Ох нужный угол. Найдем ординату каждой из точек:

17. Периметр ромба равен 160 см, а радиус вписанной окружности равен 15 см. Найдите синус острого угла ромба.

Все стороны ромба равны, поэтому АВ=160:4=40 см. Диаметр вписанной окружности ромба равен высоте ромба. Так как радиус ОМ=15 см, то ВК=2·ОМ=30 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник АКВ. Синус угла А есть отношение противолежащего углу катета ВК к гипотенузе АВ. Находим sinA=BK:AB=30:40=0,75.

18. Вычислите площадь треугольника, зная, что его стороны равны 9 см, 40 см и 41 см.

Треугольник с заданными сторонами является прямоугольным. Всегда проверяйте, равен ли квадрат большей стороны сумме квадратов двух других сторон – этим вы можете значительно облегчить себе решение задачи. У нас: 41²=9²+40² (1681=1681). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. S=(9∙40):2=180 (см²).

Справка. Прямоугольными являются треугольники со сторонами: 1) 3, 4, 5; 2) 5, 12, 13; 3) 8, 15, 17; 4) 7, 24, 25; 5) 9, 40, 41; 6) 20, 21, 29.

19. Отрезок длиной 10 см пересекает плоскость, причем концы его находятся на расстоянии 3 см и 2 см от плоскости. Найдите угол между данным отрезком и плоскостью.

Пусть отрезок АВ=10 см пересекает плоскость α в точке О. При этом АА₁=3 см, ВВ₁=2 см – это расстояния от точек А и В до плоскости α. ∠АОА₁ – угол между прямой АВ и плоскостью α (это угол между наклонной АВ к плоскости α и ее проекцией на данную плоскость). Проведем ВС параллельно плоскости α (параллельно ОА₁) до пересечения с продолжением АА₁. Тогда АС= 3+2=5 см. Замечаем, что ∠АВС=∠АОА₁. В прямоугольном треугольнике АСВ катет АС, равный 5 см, в два раза меньше гипотенузы АВ, равной 10 см, следовательно, ∠АВС=30°. (Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы).

22. Решите неравенство: cos2x+5cosx+3≥0.

Применим тождество: 1+cos2α=2cos²α. Для этого перепишем данное неравенство в виде:

1+cos2x+5cosx+2≥0. Упростим: 2cos²x+5cosx+2≥0. Сделаем замену: cosx=y, тогда получим квадратичное неравенство относительно у:

2y²+5y+2≥0. Корнями квадратного трехчлена 2y²+5y+2=0 будут значения y₁=-2 и y₂=-0,5. Тогда решениями неравенства 2y²+5y+2≥0 служат значения y ≤-2 и y ≥ -0,5. Так как у нас y=cosx, а по определению |cosx|≤1, то остается лишь решить простейшее неравенство cosx≥-0,5. Можно решать его графическим способом или с помощью тригонометрического круга, но лучше всего воспользоваться формулой:

cost>a (|a|<1), —arccosa+2πn < t < arccosa+2πn, n∈Z.

Тогда получаем: -arccos(-0,5)+2πn ≤ x ≤ arccos(-0,5)+2πn;

-(π – arccos0,5)+2πn ≤ x ≤ (π – arccos0,5)+2πn;

-(π – π/3)+2πn ≤ x ≤ (π – π/3)+2πn; окончательно:

-2π/3+2πn ≤ x ≤ 2π/3+2πn, n∈Z.

23. Найти общий вид первообразных для функции f(x)=5cos²x +7x.

Упростим данную функцию, понизив степень косинуса по формуле: 1+cos2x=2cos²x. Тогда функция примет вид:

Мы ищем первообразную для последней функции f(x), поэтому просто из предложенных функций (ответов А-Е) найдем такую, производная которой будет равна нашей функции. Очевидно, что это ответ D).

Строгое же решение основано на определении неопределенного интеграла: ∫f(x)dx=F(x)+C. Вычислим неопределенный интеграл:

24. Вычислите длину вектора

если даны координаты векторов

Прежде всего упростим данное равенство: раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Далее рассуждаем так: если для того, чтобы получить вектор

а нужно взять восемь векторов m плюс один вектор n, то и для получения абсциссы вектора а нужно взять восемь абсцисс вектора m плюс одну абсциссу вектора n. Аналогично, для получения ординаты вектора а нужно взять восемь ординат вектора m плюс одну ординату вектора n.

Длина вектора, заданного своими координатами, равна арифметическому квадратному корню из суммы квадратов координат вектора.

25. Сколько целых чисел, принадлежащих числовому множеству {0; 1; 2; …; 2000; 2001}, имеют сумму цифр, равную двум?

Вот если бы вас просили указать точное количество таких чисел — тогда пришлось бы повозиться, а так… попробуйте написать числа, удовлетворяющие условию. Запись таких чисел или состоит из «двоек» и «нулей» или из двух «единиц». Согласны? Например, 2; 11; 20; 101; 110; 200 и так далее. Сумма цифр каждого из данных чисел равна двум. Значит, какой ответ выбираем? Правильно: таких чисел явно более 5.

Успехов вам! Решайте больше. Что непонятно — спрашивайте!

test-training.ru

длина вектора | C++ для приматов

Условие

Четырёхугольник [latex]ABCD[/latex] задан координатами своих вершин на плоскости: [latex]A(x_a,y_a)[/latex], [latex]B(x_b,y_b)[/latex] и [latex]C(x_c,y_c)[/latex], [latex]D(x_d,y_d)[/latex]. Определить тип четырёхугольника: прямоугольник, параллелограмм, трапеция, произвольный четырёхугольник. Учесть погрешность вычислений.

Замечание: Для устранения дополнительных источников погрешности рекомендуется использовать аппарат векторной алгебры: коллинеарность, равенство и ортогональность векторов — сторон четырёхугольника.

Входные данные

В одной строке заданы 8 чисел [latex]x_a, x_b, x_c, x_d, y_a, y_b, y_c, y_d[/latex] — координаты вершин четырёхугольника [latex]ABCD[/latex], значения которых не превышают по модулю [latex]50[/latex].

Выходные данные

В первой строке вывести: «Тип четырёхугольника: «(без кавычек).
Во второй строке вывести: «Произвольный четырёхугольник» или «Прямоугольник» или «Параллелограмм» или «Трапеция»(без кавычек). Одно исключает другое.

Также условие задачи можно посмотреть, скачав ознакомительную версию задачника А.Юркина здесь.

Тестирование

№	Координаты [latex]x_a, x_b, x_c, x_d, y_a, y_b, y_c, y_d[/latex]	Вердикт (тип четырёхугольника)
1.	-5 -4 -1 -2 -4 3 -1 -8	Параллелограмм
2.	-2 -3 7 3 -2 1 7 1	Трапеция
3.	0 0 1 1 0 1 1 0	Прямоугольник
4.	50 -20 3 -50 7 6 2 3	Произвольный четырёхугольник
5.	2 -3 -6 -1 4 7 6 3	Параллелограмм
6.	1 -5 6 20 2 0 13 -9	Произвольный четырёхугольник
7.	0 1 2 1 0 1 1 0	Параллелограмм
8.	-6 0 6 0 1 5 -4 -8	Прямоугольник

Реализация

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main () {

setlocale(LC_ALL,»Russian»);

int xa, xb, xc, xd, ya, yb, yc, yd;

cout << «Тип четырёхугольника: » << endl;

cin >> xa >> xb >> xc >> xd >> ya >> yb >> yc >> yd;

//диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD обозначим, как l и m, они являются векторами

long double l= abs(sqrt((xc — xa) * (xc — xa) + (yc — ya) * (yc -ya)));

long double m= abs(sqrt((xd — xb) * (xd — xb) + (yd — yb) * (yd -yb)));

if (((xc — xb) * (yd — ya) == (xd — xa) * (yc — yb)) || ((xb — xa) * (yc — yd) == (xc — xd) * (yb — ya))) {

if (((xb — xa) * (yc — yd) == (xc — xd) * (yb — ya)) && ((xc — xb) * (yd — ya) == (xd — xa) * (yc — yb)))

if (l==m)

cout << «Прямоугольник» << endl;

else {

cout << «Параллелограмм» << endl;

}

else {

cout << «Трапеция» << endl;

}

else {

cout << «Произвольный четырехугольник» << endl;

}

return 0;

}

Алгоритм решения

Задан четырёхугольник [latex]ABCD[/latex] с такими координатами вершин: [latex]A(x_a,y_a)[/latex], [latex]B(x_b,y_b)[/latex], [latex]C(x_c,y_c)[/latex] и [latex]D(x_d,y_d)[/latex]. В данной задаче будет уместным использование аппарата векторной алгебры. Пусть стороны четырёхугольника — векторы.
Очевидно, что для того, чтобы определить тип данного четырёхугольника, необходимо воспользоваться известными свойствами, а именно: свойствами прямоугольника, параллелограмма и трапеции. Так как в задаче используется аппарат векторной алгебры, обращаемся к таким свойствам векторов, как коллинеарность и равенство.
Сразу же установим: является ли четырёхугольник трапецией. Проверим одну из двух пар сторон на параллельность. Для этого воспользуемся условием коллинеарности векторов на плоскости: [latex]\frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}[/latex], если [latex]a_i, b_i\ne0[/latex]. Координаты векторов [latex]\vec{b}[/latex] и [latex]\vec{d}[/latex] должны быть пропорциональны, что означает, что соответствующие стороны параллельны. Следовательно, [latex]\frac{x_c — x_b}{x_d — x_a}=\frac{y_c — y_b}{y_d — y_a}[/latex]. Или же координаты векторов [latex]\vec{a}[/latex] и [latex]\vec{c}[/latex] должны быть пропорциональны. Проверяем: [latex]\frac{x_b — x_a}{x_c — x_d}=\frac{y_b — y_a}{y_c — y_d}[/latex]. Если условие не выполняется, четырёхугольник произвольный. Если, напротив, координаты хотя бы одной пары векторов пропорциональны, четырёхугольник является трапецией.
Если четырёхугольник — параллелограмм, то обе пары его противоположных сторон параллельны. Проверим, выполняется ли: [latex]\frac{x_b — x_a}{x_c — x_d}=\frac{y_b — y_a}{y_c — y_d}[/latex] и [latex]\frac{x_c — x_b}{x_d — x_a}=\frac{y_c — y_b}{y_d — y_a}[/latex]. Если условие выполняется, то заданный четырёхугольник — параллелограмм.
Частным случаем параллелограмма является прямоугольник. Диагонали [latex] AC, BD[/latex] обозначим как [latex] l, m[/latex] соответственно. Пусть [latex] l, m[/latex] — векторы. Вычислим длины векторов [latex]\vec{l}[/latex], [latex]\vec{m}[/latex], пользуясь формулой. Получаем: [latex]\vec{|l|}= \sqrt{(x_c — x_a)\cdot (x_c -x_a) + (y_c — y_a)\cdot (y_c -y_a)}[/latex], [latex]\vec{|m|}= \sqrt{(x_d — x_b)\cdot (x_d -x_b) + (y_d — y_b)\cdot (y_d -y_b)}[/latex]. При условии, что [latex]\vec{l}=\vec{m}[/latex], имеем прямоугольник.

Более детально со свойствами и видами четырёхугольников можно ознакомиться здесь, а с основными сведениями из векторной алгебры — здесь.

Для запроса на выполнение следует перейти по ссылке.

cpp.mazurok.com

Длина вектора. Угол между векторами