Вычисление длины вектора – Как найти длину вектора: формула, примеры решений

Длина вектора. Угол между векторами

Заголовок статьи дает много информации о материале который будет изложен далее. Он достаточно прост для понимания, однако важный и нужный в дальнейшем обучении. На его основе будут формулироваться все следующие понятия и решаться различные задачи на плоскости, осуществляться вычисления.

Координаты вектора равны разнице соответствующих координат конца и начала вектора. Если и — соответственно начало и конец вектора, то

Длиной или нормой вектора (обозначают ) называют неотрицательное значение квадратного корня из суммы квадратов координат вектора

Например, если то

.

Углом между ненулевыми векторами

и

называется значение угла , которое определяется из равенства

—————————————————————

Задача 1.

Найти длину векторов и , если их начала и концы заданные вершинами

Решение.

Найдем векторы и

Вычислим длину векторов

Найдем скалярное произведение векторов

Найденные значения подставляем в формулу для вычисления угла между векторами

Отсюда окончательно находим значение угла

——————————————————

Посмотреть материалы:

yukhym.com

вычисление длины вектора

По вашим просьбам!

2. Решите систему уравнений:

Совет: не решайте уравнения и системы уравнений, если можно подставить ответы и сделать проверку!

3. Вычислить:

6. Упростить выражение:

9. Длина трех измерений в прямоугольном параллелепипеде равна 6 см, 6 см и 7 см. Определите длину диагонали параллелепипеда.  Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его линейных размеров:

d2=a2+b2+c2. Подставляем наши данные: d2=62+62+72=36+36+49=121. Извлекаем арифметический квадратный корень и получаем: длина диагонали d=11.

11. На изготовление 20 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 60 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Пусть второй рабочий делает в час х деталей. Тогда первый рабочий делает в час (х+4) детали.

Умножим обе части равенства на х(х+4)≠0 и получим равносильное уравнение:

15(х+4)-5х=2х(х+4) ⇒ 15х+60-5х=2х2+8х ⇒2х2-2х-60=0. Делим на 2.

х2-х-30=0, находим корни х1=-5 и х2=6. Отрицательное значение не подойдет по условию задачи.

Ответ: 6 деталей в час делает второй рабочий.

12. Решите уравнение: log2(22x+2x)=log4144.

Так как 4=22 и 144=122, то  log4144=log212. Данное уравнение запишется в виде:

log2(22x+2x)= log212 и будет равносильно уравнению: 22

x+2x=12. Пусть 2x=y. Тогда получаем приведенное квадратное уравнение:

y2+y-12=0, корни которого y1=-4 и y2=3. Возвращаемся к переменной х. Так как 2x≠-4, то 2x=3  ⇒ x=log23.

13. Решите уравнение:

14. Решите уравнение:

15. Найти производную функции:

16. В каких точках касательная к графику функции у = х3/3 – 3х образует с осью Ох угол, равный π/4.

Используем геометрический смысл производной: численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции, проведенной в данной точке: f’(xo) = tgα. Нам нужно найти значение хо, а дано нам значение α.

х2 – 3 = 1 ⇒ х2 = 4 ⇒ х = ±2. Получается, что в двух точках: с абсциссой х = -2 и с абсциссой х = 2 касательная к графику образует с осью Ох нужный угол. Найдем ординату каждой из точек:

17. Периметр ромба равен 160 см, а радиус вписанной окружности равен 15 см. Найдите синус острого угла ромба.

Все стороны ромба равны, поэтому АВ=160:4=40 см. Диаметр вписанной окружности ромба равен высоте ромба. Так как радиус ОМ=15 см, то ВК=2·ОМ=30 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник АКВ. Синус угла А есть отношение противолежащего углу катета ВК к гипотенузе АВ. Находим sinA=BK:AB=30:40=0,75.

 

18. Вычислите площадь треугольника, зная, что его стороны равны 9 см, 40 см и 41 см.

Треугольник с заданными сторонами является прямоугольным. Всегда проверяйте, равен ли квадрат большей стороны сумме квадратов двух других сторон – этим вы можете значительно облегчить себе решение задачи. У нас: 412=92+402 (1681=1681). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. S=(9∙40):2=180 (см2).

Справка. Прямоугольными являются треугольники со сторонами: 1) 3, 4, 5; 2) 5, 12, 13; 3) 8, 15, 17; 4) 7, 24, 25; 5) 9, 40, 41; 6) 20, 21, 29.

19. Отрезок длиной 10 см пересекает плоскость, причем концы его находятся на расстоянии 3 см и 2 см от плоскости. Найдите угол между данным отрезком и плоскостью.

Пусть отрезок АВ=10 см пересекает плоскость α в точке О. При этом АА1=3 см, ВВ1=2 см – это расстояния от точек  А и В до плоскости α. ∠АОА1 – угол между прямой АВ и плоскостью α (это угол между наклонной АВ к плоскости α и ее проекцией на данную плоскость). Проведем ВС параллельно плоскости α (параллельно ОА1) до пересечения с продолжением АА1. Тогда АС= 3+2=5 см.  Замечаем, что ∠АВС=∠АОА1. В прямоугольном треугольнике АСВ катет АС, равный 5 см, в два раза меньше гипотенузы АВ, равной 10 см, следовательно, ∠АВС=30°. (Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы).

22. Решите неравенство: cos2x+5cosx+3≥0.

Применим тождество: 1+cos2α=2cos2α. Для этого перепишем данное неравенство в виде:

1+cos2x+5cosx+2≥0. Упростим: 2cos2x+5cosx+2≥0. Сделаем замену: cosx=y, тогда получим квадратичное неравенство относительно у:

2y2+5y+2≥0. Корнями  квадратного трехчлена 2y2+5y+2=0 будут значения y1=-2 и y2=-0,5. Тогда решениями неравенства  2y2+5y+2≥0 служат значения y ≤-2 и y ≥ -0,5. Так как у нас y=cosx, а по определению |cosx|≤1, то остается  лишь решить простейшее неравенство cosx≥-0,5. Можно решать его графическим способом или с помощью тригонометрического круга, но лучше всего воспользоваться формулой:

cost>a (|a|<1), arccosa+2πn < t < arccosa+2πn, nZ.

Тогда получаем: -arccos(-0,5)+2πn ≤ x ≤ arccos(-0,5)+2πn;

-(π – arccos0,5)+2πn ≤ x ≤ (π – arccos0,5)+2πn;

-(π – π/3)+2πn ≤ x ≤ (π – π/3)+2πn; окончательно:

-2π/3+2πn ≤ x ≤ 2π/3+2πn, n∈Z.

23. Найти общий вид первообразных для функции  f(x)=5cos2x +7x.

Упростим данную функцию, понизив степень косинуса по формуле: 1+cos2x=2cos2x. Тогда функция примет вид:

Мы ищем первообразную для последней функции f(x), поэтому просто из предложенных функций (ответов А-Е) найдем такую, производная которой будет равна  нашей функции. Очевидно, что это ответ D).

Строгое же решение основано на определении неопределенного интеграла: ∫f(x)dx=F(x)+C. Вычислим неопределенный интеграл:

24. Вычислите длину вектора

если даны координаты векторов

Прежде всего упростим данное равенство: раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Далее рассуждаем так: если для того, чтобы получить вектор

а нужно взять восемь векторов  m плюс один вектор n, то и для получения абсциссы вектора а нужно взять восемь абсцисс вектора  m  плюс одну абсциссу вектора n. Аналогично, для получения  ординаты вектора а нужно взять восемь ординат вектора   плюс одну ординату вектора n.

Длина  вектора, заданного своими координатами, равна арифметическому квадратному корню из суммы квадратов координат вектора.

25. Сколько целых чисел, принадлежащих числовому множеству {0; 1; 2; …; 2000; 2001}, имеют сумму цифр, равную двум?

Вот если бы вас просили указать точное количество таких чисел — тогда пришлось бы повозиться, а так… попробуйте написать числа, удовлетворяющие условию. Запись таких чисел или состоит из «двоек» и «нулей» или из двух «единиц». Согласны? Например, 2; 11; 20; 101; 110; 200 и так далее. Сумма цифр каждого из данных чисел равна двум. Значит, какой ответ выбираем? Правильно: таких чисел явно более 5.

Успехов вам! Решайте больше. Что непонятно — спрашивайте!

test-training.ru

длина вектора | C++ для приматов

Условие

Четырёхугольник [latex]ABCD[/latex] задан координатами своих вершин на плоскости: [latex]A(x_a,y_a)[/latex], [latex]B(x_b,y_b)[/latex] и [latex]C(x_c,y_c)[/latex], [latex]D(x_d,y_d)[/latex]. Определить тип четырёхугольника: прямоугольник, параллелограмм, трапеция, произвольный четырёхугольник. Учесть погрешность вычислений.

Замечание:  Для устранения дополнительных источников погрешности рекомендуется использовать аппарат векторной алгебры: коллинеарность, равенство и ортогональность векторов — сторон четырёхугольника.

Входные данные

В одной строке заданы 8 чисел [latex]x_a, x_b, x_c, x_d, y_a, y_b, y_c, y_d[/latex] — координаты вершин четырёхугольника [latex]ABCD[/latex],  значения которых не превышают по модулю [latex]50[/latex].

Выходные данные

  1. В первой строке вывести: «Тип четырёхугольника: «(без кавычек).
  2. Во второй строке вывести:  «Произвольный четырёхугольник» или «Прямоугольник» или «Параллелограмм» или «Трапеция»(без кавычек). Одно исключает другое.

Также условие задачи можно посмотреть, скачав ознакомительную версию задачника А.Юркина здесь.

Тестирование

Координаты [latex]x_a, x_b, x_c, x_d, y_a, y_b, y_c, y_d[/latex] Вердикт (тип четырёхугольника)
1. -5 -4 -1 -2 -4 3 -1 -8 Параллелограмм
2.  -2 -3 7 3 -2 1 7 1  Трапеция
 3. 0 0 1 1 0 1 1 0  Прямоугольник
 4.  50 -20 3
-50
7 6 2 3
 Произвольный четырёхугольник
5. 2 -3 -6 -1 4 7 6 3 Параллелограмм
6. 1 -5 6 20 2 0 13 -9 Произвольный четырёхугольник
7. 0 1 2 1 0 1 1 0 Параллелограмм
8. -6 0 6 0 1 5 -4 -8 Прямоугольник

Реализация

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main () {

    setlocale(LC_ALL,»Russian»);

    int xa, xb, xc, xd, ya, yb, yc, yd;

    cout << «Тип четырёхугольника: » << endl;

    cin >> xa >> xb >> xc >> xd >> ya >> yb >> yc >> yd;

    //диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD обозначим, как l и m, они являются векторами

    long double l= abs(sqrt((xc — xa) * (xc — xa) + (yc — ya) * (yc -ya)));

    long double m= abs(sqrt((xd — xb) * (xd — xb) + (yd — yb) * (yd -yb)));

    if (((xc — xb) * (yd — ya) == (xd — xa) * (yc — yb)) || ((xb — xa) * (yc — yd) == (xc — xd) * (yb — ya))) {

        if (((xb — xa) * (yc — yd) == (xc — xd) * (yb — ya)) && ((xc — xb) * (yd — ya) == (xd — xa) * (yc — yb)))

            if (l==m)

                cout << «Прямоугольник» << endl;

            else {

                cout << «Параллелограмм» << endl;

            }

        else {

            cout << «Трапеция» << endl;

        }

    }

    else {

        cout << «Произвольный четырехугольник» << endl;

    }

    return 0;

}

Алгоритм решения

  1. Задан четырёхугольник [latex]ABCD[/latex] с такими координатами вершин: [latex]A(x_a,y_a)[/latex], [latex]B(x_b,y_b)[/latex], [latex]C(x_c,y_c)[/latex] и [latex]D(x_d,y_d)[/latex]. В данной задаче будет уместным использование аппарата векторной алгебры.  Пусть стороны четырёхугольника — векторы.
  2. Очевидно, что для того, чтобы определить тип данного четырёхугольника, необходимо воспользоваться известными свойствами, а именно: свойствами прямоугольника, параллелограмма и трапеции. Так как в задаче используется аппарат векторной алгебры, обращаемся к таким свойствам векторов, как коллинеарность и равенство.
  3. Сразу же установим: является ли четырёхугольник трапецией. Проверим одну из двух пар сторон на параллельность. Для этого воспользуемся условием коллинеарности векторов на плоскости: [latex]\frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}[/latex], если [latex]a_i, b_i\ne0[/latex].  Координаты векторов [latex]\vec{b}[/latex] и [latex]\vec{d}[/latex] должны быть пропорциональны, что означает, что соответствующие стороны параллельны. Следовательно, [latex]\frac{x_c — x_b}{x_d — x_a}=\frac{y_c — y_b}{y_d — y_a}[/latex]. Или же координаты векторов [latex]\vec{a}[/latex] и [latex]\vec{c}[/latex] должны быть пропорциональны. Проверяем: [latex]\frac{x_b — x_a}{x_c — x_d}=\frac{y_b — y_a}{y_c — y_d}[/latex]. Если условие не выполняется, четырёхугольник произвольный. Если, напротив, координаты хотя бы одной пары векторов пропорциональны, четырёхугольник является трапецией.
  4. Если четырёхугольник — параллелограмм, то обе пары его противоположных сторон параллельны. Проверим, выполняется ли: [latex]\frac{x_b — x_a}{x_c — x_d}=\frac{y_b — y_a}{y_c — y_d}[/latex] и [latex]\frac{x_c — x_b}{x_d — x_a}=\frac{y_c — y_b}{y_d — y_a}[/latex]. Если условие выполняется, то заданный четырёхугольник — параллелограмм.
  5. Частным случаем параллелограмма является прямоугольник. Диагонали [latex] AC, BD[/latex] обозначим как [latex] l, m[/latex] соответственно. Пусть [latex] l, m[/latex] — векторы.  Вычислим длины векторов [latex]\vec{l}[/latex], [latex]\vec{m}[/latex], пользуясь формулой.  Получаем: [latex]\vec{|l|}= \sqrt{(x_c — x_a)\cdot (x_c -x_a) + (y_c — y_a)\cdot (y_c -y_a)}[/latex], [latex]\vec{|m|}= \sqrt{(x_d — x_b)\cdot (x_d -x_b) + (y_d — y_b)\cdot (y_d -y_b)}[/latex]. При условии, что [latex]\vec{l}=\vec{m}[/latex], имеем прямоугольник.

Более детально со свойствами и видами четырёхугольников можно ознакомиться здесь, а с основными сведениями из векторной алгебры — здесь.

Для запроса на выполнение следует перейти по ссылке.

 

 

cpp.mazurok.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *