x^2+y^2-z=0 (х в квадрате плюс у в квадрате минус z равно 0) Канонический вид уравнения. [Есть ОТВЕТ!]
Дано ур-ние поверхности 2-порядка:$$x^{2} + y^{2} — z = 0$$
Это уравнение имеет вид:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$
где
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = 0$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{24} = 0$$
$$a_{33} = 0$$
$$a_{34} = — \frac{1}{2}$$
$$a_{44} = 0$$
Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
|a11 a12| |a22 a23| |a11 a13|
I2 = | | + | | + | |
|a12 a22| |a23 a33| |a13 a33|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} — \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} — \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} — \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a14| |a22 a24| |a33 a34| K2 = | | + | | + | | |a14 a44| |a24 a44| |a34 a44|
|a11 a12 a14| |a22 a23 a24| |a11 a13 a14|
| | | | | |
K3 = |a12 a22 a24| + |a23 a33 a34| + |a13 a33 a34|
| | | | | |
|a14 a24 a44| |a24 a34 a44| |a14 a34 a44|подставляем коэффициенты
$$I_{1} = 2$$
|1 0| |1 0| |1 0|
I2 = | | + | | + | |
|0 1| |0 0| |0 0|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & — \frac{1}{2}\\0 & 0 & — \frac{1}{2} & 0\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda + 1 & 0 & 0\\0 & — \lambda + 1 & 0\\0 & 0 & — \lambda\end{matrix}\right|$$
|1 0| |1 0| | 0 -1/2|
K2 = | | + | | + | |
|0 0| |0 0| |-1/2 0 | |1 0 0| |1 0 0 | |1 0 0 |
| | | | | |
K3 = |0 1 0| + |0 0 -1/2| + |0 0 -1/2|
| | | | | |
|0 0 0| |0 -1/2 0 | |0 -1/2 0 |$$I_{1} = 2$$
$$I_{2} = 1$$
$$I_{3} = 0$$
$$I_{4} = — \frac{1}{4}$$
$$I{\left (\lambda \right )} = — \lambda^{3} + 2 \lambda^{2} — \lambda$$
$$K_{2} = — \frac{1}{4}$$
$$K_{3} = — \frac{1}{2}$$
Т.к.
$$I_{3} = 0 \wedge I_{2} \neq 0 \wedge I_{4} \neq 0$$
то по признаку типов поверхностей:
надо
Составляем характеристическое уравнение для нашей поверхности:
$$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda — I_{3} + \lambda^{3} = 0$$
или
$$\lambda^{3} — 2 \lambda^{2} + \lambda = 0$$
$$\lambda_{1} = 0$$
$$\lambda_{2} = 1$$
$$\lambda_{3} = 1$$
тогда канонический вид уравнения будет
$$\tilde z 2 \sqrt{\frac{-1 I_{4}}{I_{2}}} + \tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} = 0$$
и
$$- 2 \tilde z \sqrt{- \frac{I_{4}}{I_{2}}} + \tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} = 0$$
$$\tilde x^{2} + \tilde y^{2} + \tilde z = 0$$
и
$$\tilde x^{2} + \tilde y^{2} — \tilde z = 0$$
2 2 \tilde x \tilde y --------- + --------- + 2*\tilde z = 0 1/2 1/2
и
2 2 \tilde x \tilde y --------- + --------- - 2*\tilde z = 0 1/2 1/2
это уравнение для типа эллиптический параболоид
— приведено к каноническому виду
www.kontrolnaya-rabota.ru
| 1 | Найти производную — d/dx | квадратный корень x | |
| 2 | Найти производную — d/dx | натуральный логарифм x | |
| 3 | Вычислить | интеграл натурального логарифма x по x | |
| 4 | Найти производную — d/dx | e^x | |
| 5 | Вычислить | интеграл e^(2x) относительно x | |
| 6 | Найти производную — d/dx | 1/x | |
| 7 | Найти производную — d/dx | x^2 | |
| 8 | Вычислить | интеграл e^(-x) относительно x | |
| 9 | Найти производную — d/dx | 1/(x^2) | |
| 10 | Найти производную — d/dx | sin(x)^2 | |
| 11 | Найти производную — d/dx | sec(x) | |
| 12 | Вычислить | интеграл e^x относительно x | |
| 13 | Вычислить | интеграл x^2 относительно x | |
| 14 | Вычислить | интеграл квадратного корня x по x | |
| 15 | Вычислить | натуральный логарифм 1 | |
| 16 | Вычислить | e^0 | |
| 17 | Вычислить | sin(0) | |
| 18 | Найти производную — d/dx | cos(x)^2 | |
| 19 | Вычислить | интеграл 1/x относительно x | |
| 20 | Вычислить | cos(0) | |
| 21 | Вычислить | интеграл sin(x)^2 относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | x^3 | |
| 23 | Найти производную — d/dx | sec(x)^2 | |
| 24 | Найти производную — d/dx | 1/(x^2) | |
| 25 | Вычислить | интеграл arcsin(x) относительно x | |
| 26 | Вычислить | интеграл cos(x)^2 относительно x | |
| 27 | Вычислить | интеграл sec(x)^2 относительно x | |
| 28 | Найти производную — d/dx | e^(x^2) | |
| 29 | Вычислить | интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x | |
| 30 | Найти производную — d/dx | sin(2x) | |
| 31 | Вычислить | интеграл натурального логарифма x по x | |
| 32 | Найти производную — d/dx | tan(x)^2 | |
| 33 | Вычислить | интеграл e^(2x) относительно x | |
| 34 | Вычислить | интеграл 1/(x^2) относительно x | |
| 35 | Найти производную — d/dx | 2^x | |
| 36 | График | натуральный логарифм a | |
| 37 | Вычислить | e^1 | |
| 38 | Вычислить | интеграл 1/(x^2) относительно x | |
| 39 | Вычислить | натуральный логарифм 0 | |
| 40 | Найти производную — d/dx | cos(2x) | |
| 41 | Найти производную — d/dx | xe^x | |
| 42 | Вычислить | интеграл 1/x относительно x | |
| 43 | Вычислить | интеграл 2x относительно x | |
| 44 | Найти производную — d/dx | ( натуральный логарифм x)^2 | |
| 45 | Найти производную — d/dx | натуральный логарифм (x)^2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | 3x^2 | |
| 47 | Вычислить | натуральный логарифм 2 | |
| 48 | Вычислить | интеграл xe^(2x) относительно x | |
| 49 | Найти производную — d/dx | 2e^x | |
| 50 | Найти производную — d/dx | натуральный логарифм 2x | |
| 51 | Найти производную — d/dx | -sin(x) | |
| 52 | Вычислить | tan(0) | |
| 53 | Найти производную — d/dx | 4x^2-x+5 | |
| 54 | Найти производную — d/dx | y=16 корень четвертой степени 4x^4+4 | |
| 55 | Найти производную — d/dx | 2x^2 | |
| 56 | Вычислить | интеграл e^(3x) относительно x | |
| 57 | Вычислить | интеграл cos(2x) относительно x | |
| 58 | Вычислить | интеграл cos(x)^2 относительно x | |
| 59 | Найти производную — d/dx | 1/( квадратный корень x) | |
| 60 | Вычислить | интеграл e^(x^2) относительно x | |
| 61 | Вычислить | sec(0) | |
| 62 | Вычислить | e^infinity | |
| 63 | Вычислить | 2^4 | |
| 64 | Найти производную — d/dx | x/2 | |
| 65 | Вычислить | 4^3 | |
| 66 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 67 | Найти производную — d/dx | sin(3x) | |
| 68 | Вычислить | натуральный логарифм 1/e | |
| 69 | Вычислить | интеграл x^2 относительно x | |
| 70 | Упростить | 1/( кубический корень от x^4) | |
| 71 | Найти производную — d/dx | 1/(x^3) | |
| 72 | Вычислить | интеграл e^x относительно x | |
| 73 | Вычислить | интеграл tan(x)^2 относительно x | |
| 74 | Вычислить | интеграл 1 относительно x | |
| 75 | Найти производную — d/dx | x^x | |
| 76 | Найти производную — d/dx | x натуральный логарифм x | |
| 77 | Вычислить | интеграл sin(x)^2 относительно x | |
| 78 | Найти производную — d/dx | x^4 | |
| 79 | Вычислить | предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3 | |
| 80 | Вычислить | интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x | |
| 81 | Найти производную — d/dx | f(x) = square root of x | |
| 82 | Найти производную — d/dx | x^2sin(x) | |
| 83 | Вычислить | интеграл sin(2x) относительно x | |
| 84 | Найти производную — d/dx | 3e^x | |
| 85 | Вычислить | интеграл xe^x относительно x | |
| 86 | Найти производную — d/dx | y=x^2 | |
| 87 | Найти производную — d/dx | квадратный корень x^2+1 | |
| 88 | Найти производную — d/dx | sin(x^2) | |
| 89 | Вычислить | интеграл e^(-2x) относительно x | |
| 90 | Вычислить | интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x | |
| 91 | Вычислить | 2^5 | |
| 92 | Найти производную — d/dx | e^2 | |
| 93 | Найти производную — d/dx | x^2+1 | |
| 94 | Вычислить | интеграл sin(x) относительно x | |
| 95 | Вычислить | 2^3 | |
| 96 | Найти производную — d/dx | arcsin(x) | |
| 97 | Вычислить | предел (sin(x))/x, если x стремится к 0 | |
| 98 | Вычислить | e^2 | |
| 99 | Вычислить | интеграл e^(-x) относительно x | |
| 100 | Вычислить | интеграл 1/x относительно x |
www.mathway.com
Определить вид поверхности 2-го порядка онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ
Приведём примеры поверхностей второго порядка, для которых можно определить канонический вид онлайн:
| Уравнение | Канонический вид | Тип | Измерение |
|---|---|---|---|
| 2*x^2+4*y^2+z^2-4*x*y-4*y-2*z+5=0 | z^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3-sqrt(5)))^2+x^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3+sqrt(5)))^2+y^2/(2/sqrt(2))^2=-1 | Мнимый эллипсоид | Поверхность |
| x^2+y^2-z^2-2*x-2*y+2*z+2=0 | x^2/1^2+y^2-z^2=-1 | Двухсторонний гиперболоид | Поверхность |
| x^2+y^2-6*x+6*y-4*z+18=0 | x^2/2+y^2-2*z=0 или x^2/2+y^2+2*z=0 | Эллиптический параболоид | Поверхность |
| x^2+4*y^2+9*z^2+4*x*y+12*y*z+6*x*z-4*x-8*y-12*z+3=0 | x^2/=1/14 | Две параллельные плоскости | Поверхность |
Ислледование на определение вида будет выглядеть примерно так:
Дано ур-ние поверхности 2-порядка: $$x^{2} — 2 x + y^{2} — 2 y — z^{2} + 2 z + 2 = 0$$ Это уравнение имеет вид: $$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$ где $$a_{11} = 1$$ $$a_{12} = 0$$ $$a_{13} = 0$$ $$a_{14} = -1$$ $$a_{22} = 1$$ $$a_{23} = 0$$ $$a_{24} = -1$$ $$a_{33} = -1$$ $$a_{34} = 1$$ $$a_{44} = 2$$ Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители: $$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
|a11 a12| |a22 a23| |a11 a13|
I2 = | | + | | + | |
|a12 a22| |a23 a33| |a13 a33|
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$ $$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} — \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} — \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} — \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a14| |a22 a24| |a33 a34|
K2 = | | + | | + | |
|a14 a44| |a24 a44| |a34 a44|
|a11 a12 a14| |a22 a23 a24| |a11 a13 a14|
| | | | | |
K3 = |a12 a22 a24| + |a23 a33 a34| + |a13 a33 a34|
| | | | | |
|a14 a24 a44| |a24 a34 a44| |a14 a34 a44|
подставляем коэффициенты $$I_{1} = 1$$
|1 0| |1 0 | |1 0 |
I2 = | | + | | + | |
|0 1| |0 -1| |0 -1|
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1\end{matrix}\right|$$ $$I_{4} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & -1\\0 & 0 & -1 & 1\\-1 & -1 & 1 & 2\end{matrix}\right|$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda + 1 & 0 & 0\\0 & — \lambda + 1 & 0\\0 & 0 & — \lambda — 1\end{matrix}\right|$$
|1 -1| |1 -1| |-1 1|
K2 = | | + | | + | |
|-1 2 | |-1 2 | |1 2|
|1 0 -1| |1 0 -1| |1 0 -1|
| | | | | |
K3 = |0 1 -1| + |0 -1 1 | + |0 -1 1 |
| | | | | |
|-1 -1 2 | |-1 1 2 | |-1 1 2 |
$$I_{1} = 1$$ $$I_{2} = -1$$ $$I_{3} = -1$$ $$I_{4} = -1$$ $$I{\left (\lambda \right )} = — \lambda^{3} + \lambda^{2} + \lambda — 1$$ $$K_{2} = -1$$ $$K_{3} = -4$$ Т.к. $$I_{3} \neq 0$$ то по признаку типов поверхностей:
надо
Составляем характеристическое уравнение для нашей поверхности: $$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda — I_{3} + \lambda^{3} = 0$$ или $$\lambda^{3} — \lambda^{2} — \lambda + 1 = 0$$ $$\lambda_{1} = 1$$ $$\lambda_{2} = 1$$ $$\lambda_{3} = -1$$ тогда канонический вид уравнения будет $$\tilde z^{2} \lambda_{3} + \tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{4}}{I_{3}} = 0$$ $$\tilde x^{2} + \tilde y^{2} — \tilde z^{2} + 1 = 0$$ $$- \tilde z^{2} + \frac{\tilde x^{2}}{1^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{1^{2}} = -1$$ это уравнение для типа двусторонний гиперболоид
— приведено к каноническому виду
www.kontrolnaya-rabota.ru
| 1 | Вычислить | 6^3-4^3-7^2 | |
| 2 | Найти медиану | 11 , 13 , 5 , 15 , 14 | , , , , |
| 3 | Найти объем | сфера (5) | |
| 4 | Вычислить | квадратный корень 12 | |
| 5 | Преобразовать в десятичную форму | 3/8 | |
| 6 | Преобразовать в десятичную форму | 5/8 | |
| 7 | Найти длину окружности | окружность (5) | |
| 8 | Вычислить | 10^2 | |
| 9 | Вычислить | квадратный корень 75 | |
| 10 | График | y=2x | |
| 11 | Вычислить | квадратный корень 48 | |
| 12 | Найти площадь | окружность (5) | |
| 13 | Найти площадь | окружность (6) | |
| 14 | Вычислить | 3^4 | |
| 15 | Вычислить | 5^3 | |
| 16 | Вычислить | 2^4 | |
| 17 | Вычислить | квадратный корень 32 | |
| 18 | Вычислить | квадратный корень 18 | |
| 19 | Вычислить | квадратный корень 2 | |
| 20 | Вычислить | квадратный корень 25 | |
| 21 | Вычислить | квадратный корень 8 | |
| 22 | Найти площадь | окружность (4) | |
| 23 | Разложить на простые множители | 360 | |
| 24 | Вычислить | 3^-2 | |
| 25 | Вычислить | 2+2 | |
| 26 | Преобразовать в десятичную форму | 1/3 | |
| 27 | Вычислить | квадратный корень 9 | |
| 28 | Вычислить | квадратный корень 64 | |
| 29 | Преобразовать в десятичную форму | 3/5 | |
| 30 | Вычислить | квадратный корень 20 | |
| 31 | Вычислить | pi | |
| 32 | Вычислить | -3^2 | |
| 33 | Вычислить | 2^3 | |
| 34 | Вычислить | (-3)^3 | |
| 35 | Вычислить | квадратный корень 27 | |
| 36 | Вычислить | квадратный корень 5 | |
| 37 | Вычислить | квадратный корень 50 | |
| 38 | Вычислить | квадратный корень 16 | |
| 39 | Преобразовать в десятичную форму | 3/4 | |
| 40 | Преобразовать в десятичную форму | 2/3 | |
| 41 | Найти площадь | окружность (3) | |
| 42 | Вычислить | 3^2 | |
| 43 | Вычислить | -9^2 | |
| 44 | Вычислить | квадратный корень 72 | |
| 45 | Преобразовать в десятичную форму | 2/5 | |
| 46 | Вычислить | квадратный корень 100 | |
| 47 | Найти объем | сфера (3) | |
| 48 | Вычислить | 2^5 | |
| 49 | Множитель | x^2-4 | |
| 50 | Вычислить | -8^2 | |
| 51 | Вычислить | -6^2 | |
| 52 | Вычислить | -7^2 | |
| 53 | Вычислить | -3^4 | |
| 54 | Вычислить | (-2)^3 | |
| 55 | Множитель | x^2-9 | |
| 56 | Найти объем | сфера (6) | |
| 57 | Найти площадь | окружность (8) | |
| 58 | Вычислить | квадратный корень 81 | |
| 59 | Вычислить | кубический корень 64 | |
| 60 | Вычислить | кубический корень 125 | |
| 61 | Вычислить | квадратный корень 169 | |
| 62 | Вычислить | квадратный корень 225 | |
| 63 | Вычислить | квадратный корень 3 | |
| 64 | Преобразовать в десятичную форму | 1/4 | |
| 65 | Преобразовать в смешанную дробь | 5/2 | |
| 66 | Преобразовать в десятичную форму | 1/2 | |
| 67 | Множитель | x^2-16 | |
| 68 | Вычислить | 5^2 | |
| 69 | Вычислить | 4^-2 | |
| 70 | Вычислить | 8^2 | |
| 71 | Преобразовать в смешанную дробь | 13/4 | |
| 72 | Вычислить | квадратный корень 24 | |
| 73 | Вычислить | квадратный корень 28 | |
| 74 | Вычислить | кубический корень 27 | |
| 75 | Найти длину окружности | окружность (4) | |
| 76 | Найти площадь | окружность (7) | |
| 77 | Найти объем | сфера (2) | |
| 78 | График | y=3x | |
| 79 | Найти объем | сфера (4) | |
| 80 | Найти длину окружности | окружность (6) | |
| 81 | Вычислить | квадратный корень 150 | |
| 82 | Вычислить | квадратный корень 45 | |
| 83 | Вычислить | 4^3 | |
| 84 | Вычислить | 2^-3 | |
| 85 | Вычислить | 2^2 | |
| 86 | Вычислить | -(-3)^3 | |
| 87 | Вычислить | 3^3 | |
| 88 | Вычислить | квадратный корень 54 | |
| 89 | Вычислить | квадратный корень 10 | |
| 90 | Найти длину окружности | окружность (3) | |
| 91 | Преобразовать в смешанную дробь | 10/3 | |
| 92 | Преобразовать в десятичную форму | 2/5 | |
| 93 | Разложить на простые множители | 36 | |
| 94 | Вычислить | квадратный корень 144 | |
| 95 | Вычислить | (-7)^2 | |
| 96 | Множитель | x^2+5x+6 | |
| 97 | Вычислить | (-4)^3 | |
| 98 | Вычислить | (-5)^3 | |
| 99 | Вычислить | 10^2 | |
| 100 | Вычислить | 6^2 |
www.mathway.com
Элементарные поверхности второго порядка. Канонические уравнения.
Элементарные поверхности второго порядка. Канонические уравнения.
Эллипсоид, Сфера, Гиперболоид, Конус…
Простейшая поверхность — это отдельная плоскость. Внизу мы представляем классификацию поверхностей второго порядка.
Невырожденные поверхности:
Эллипсоид
Сфераx2/a2 + y2/b2 z2/c2 = 1 (1)
где
a, b, c = независимые параметры
Сфера — это частный случай эллипсоида, который может быть представлен как
Однополостный гиперболоидx2 + y2 + z2 = a2 (2)
где
a = радиус
Двухполостный гиперболоидx2/a2 + y2/b2 — z2/c2 = 1 (3)
где
a, b, c = независимые параметры
Квадратичный конусx2/a2 + y2/b2 — z2/c2 = -1 (4)
где
a, b, c = независимые параметры
Эллиптический гиперболоидx2/a2 + y2/b2 — z2/c2 = 0 (5)
где
a, b, c = независимые параметры
x2/a2 + y2/b2 — 2 z = 0 (6)
где
a, b = независимые параметры
Эллиптический цилиндр
Цилиндрx2/a2 + y2/b2 = 1 (7)
где
a, b = независимые параметры
Гиперболический цилиндрx2 + y2 = a2 (8)
где
a, b =независимые параметры
Параболический цилиндрx2/a2 — y2/b2 = 1 (9)
где
a, b = независимые параметры
y2 — 2 l x = 0 (10)
где
l = независимые параметры
Вырожденные поверхности второго порядка:
Параллельные плоскостиx2 — a2 = 0 (11)
где
a = половина расстояния между параллельными плоскостями
Пересекающиеся плоскости
Совпадающие плоскостиx2/a2 — y2/b2 = 0 (12)
x2 = 0 (13)
tehtab.ru