X 2 y 2 z график – Построить трехмерный график онлайн

x^2+y^2-z=0 (х в квадрате плюс у в квадрате минус z равно 0) Канонический вид уравнения. [Есть ОТВЕТ!]

Дано ур-ние поверхности 2-порядка:
$$x^{2} + y^{2} — z = 0$$
Это уравнение имеет вид:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$
где
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = 0$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{24} = 0$$
$$a_{33} = 0$$
$$a_{34} = — \frac{1}{2}$$
$$a_{44} = 0$$
Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
     |a11  a12|   |a22  a23|   |a11  a13|
I2 = |        | + |        | + |        |
     |a12  a22|   |a23  a33|   |a13  a33|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} — \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} — \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} — \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a14| |a22 a24| |a33 a34| K2 = | | + | | + | | |a14 a44| |a24 a44| |a34 a44|
     |a11  a12  a14|   |a22  a23  a24|   |a11  a13  a14|
     |             |   |             |   |             |
K3 = |a12  a22  a24| + |a23  a33  a34| + |a13  a33  a34|
     |             |   |             |   |             |
     |a14  a24  a44|   |a24  a34  a44|   |a14  a34  a44|

подставляем коэффициенты
$$I_{1} = 2$$
     |1  0|   |1  0|   |1  0|
I2 = |    | + |    | + |    |
     |0  1|   |0  0|   |0  0|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & — \frac{1}{2}\\0 & 0 & — \frac{1}{2} & 0\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda + 1 & 0 & 0\\0 & — \lambda + 1 & 0\\0 & 0 & — \lambda\end{matrix}\right|$$
|1 0| |1 0| | 0 -1/2| K2 = | | + | | + | | |0 0| |0 0| |-1/2 0 |
     |1  0  0|   |1   0     0  |   |1   0     0  |
     |       |   |             |   |             |
K3 = |0  1  0| + |0   0    -1/2| + |0   0    -1/2|
     |       |   |             |   |             |
     |0  0  0|   |0  -1/2   0  |   |0  -1/2   0  |

$$I_{1} = 2$$
$$I_{2} = 1$$
$$I_{3} = 0$$
$$I_{4} = — \frac{1}{4}$$
$$I{\left (\lambda \right )} = — \lambda^{3} + 2 \lambda^{2} — \lambda$$
$$K_{2} = — \frac{1}{4}$$
$$K_{3} = — \frac{1}{2}$$
Т.к.
$$I_{3} = 0 \wedge I_{2} \neq 0 \wedge I_{4} \neq 0$$
то по признаку типов поверхностей:
надо
Составляем характеристическое уравнение для нашей поверхности:
$$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda — I_{3} + \lambda^{3} = 0$$
или
$$\lambda^{3} — 2 \lambda^{2} + \lambda = 0$$
$$\lambda_{1} = 0$$
$$\lambda_{2} = 1$$
$$\lambda_{3} = 1$$
тогда канонический вид уравнения будет
$$\tilde z 2 \sqrt{\frac{-1 I_{4}}{I_{2}}} + \tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} = 0$$
и
$$- 2 \tilde z \sqrt{- \frac{I_{4}}{I_{2}}} + \tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} = 0$$
$$\tilde x^{2} + \tilde y^{2} + \tilde z = 0$$
и
$$\tilde x^{2} + \tilde y^{2} — \tilde z = 0$$
        2           2                 
\tilde x    \tilde y                  
--------- + --------- + 2*\tilde z = 0
   1/2         1/2                    

и
        2           2                 
\tilde x    \tilde y                  
--------- + --------- - 2*\tilde z = 0
   1/2         1/2                    

это уравнение для типа эллиптический параболоид
— приведено к каноническому виду

www.kontrolnaya-rabota.ru

Mathway | Популярные задачи

1 Найти производную — d/dx квадратный корень x
2 Найти производную — d/dx натуральный логарифм x
3 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
4 Найти производную — d/dx e^x
5 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
6 Найти производную — d/dx 1/x
7 Найти производную — d/dx x^2
8 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
9 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
10 Найти производную — d/dx sin(x)^2
11 Найти производную — d/dx sec(x)
12 Вычислить интеграл e^x относительно x
13 Вычислить интеграл x^2 относительно x
14 Вычислить интеграл квадратного корня x по x
15 Вычислить натуральный логарифм 1
16 Вычислить e^0
17 Вычислить sin(0)
18 Найти производную — d/dx cos(x)^2
19 Вычислить интеграл 1/x относительно x
20 Вычислить cos(0)
21 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
22 Найти производную — d/dx x^3
23 Найти производную — d/dx sec(x)^2
24 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
25 Вычислить интеграл arcsin(x) относительно x
26 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
27 Вычислить интеграл sec(x)^2 относительно x
28 Найти производную — d/dx e^(x^2)
29 Вычислить интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30 Найти производную — d/dx sin(2x)
31 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
32 Найти производную — d/dx tan(x)^2
33 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
34 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
35 Найти производную — d/dx 2^x
36 График натуральный логарифм a
37 Вычислить e^1
38 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
39 Вычислить натуральный логарифм 0
40 Найти производную — d/dx cos(2x)
41 Найти производную — d/dx xe^x
42 Вычислить интеграл 1/x относительно x
43 Вычислить интеграл 2x относительно x
44 Найти производную — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
45 Найти производную — d/dx натуральный логарифм (x)^2
46 Найти производную — d/dx 3x^2
47 Вычислить натуральный логарифм 2
48 Вычислить интеграл xe^(2x) относительно x
49 Найти производную — d/dx 2e^x
50 Найти производную — d/dx натуральный логарифм 2x
51 Найти производную — d/dx -sin(x)
52 Вычислить tan(0)
53 Найти производную — d/dx 4x^2-x+5
54 Найти производную — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55 Найти производную — d/dx 2x^2
56 Вычислить интеграл e^(3x) относительно x
57 Вычислить интеграл cos(2x) относительно x
58 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
59 Найти производную — d/dx 1/( квадратный корень x)
60 Вычислить интеграл e^(x^2) относительно x
61 Вычислить sec(0)
62 Вычислить e^infinity
63 Вычислить 2^4
64 Найти производную — d/dx x/2
65 Вычислить 4^3
66 Найти производную — d/dx -cos(x)
67 Найти производную — d/dx sin(3x)
68 Вычислить натуральный логарифм 1/e
69 Вычислить интеграл x^2 относительно x
70 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
71 Найти производную — d/dx 1/(x^3)
72 Вычислить интеграл e^x относительно x
73 Вычислить интеграл tan(x)^2 относительно x
74 Вычислить интеграл 1 относительно x
75 Найти производную — d/dx x^x
76 Найти производную — d/dx x натуральный логарифм x
77 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
78 Найти производную — d/dx x^4
79 Вычислить предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80 Вычислить интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81 Найти производную — d/dx f(x) = square root of x
82 Найти производную — d/dx x^2sin(x)
83 Вычислить интеграл sin(2x) относительно x
84 Найти производную — d/dx 3e^x
85 Вычислить интеграл xe^x относительно x
86 Найти производную — d/dx y=x^2
87 Найти производную — d/dx квадратный корень x^2+1
88 Найти производную — d/dx sin(x^2)
89 Вычислить интеграл e^(-2x) относительно x
90 Вычислить интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91 Вычислить 2^5
92 Найти производную — d/dx e^2
93 Найти производную — d/dx x^2+1
94 Вычислить интеграл sin(x) относительно x
95 Вычислить 2^3
96 Найти производную — d/dx arcsin(x)
97 Вычислить предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98 Вычислить e^2
99 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
100 Вычислить интеграл 1/x относительно x

www.mathway.com

Определить вид поверхности 2-го порядка онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Приведём примеры поверхностей второго порядка, для которых можно определить канонический вид онлайн:

 

Уравнение Канонический вид Тип Измерение
2*x^2+4*y^2+z^2-4*x*y-4*y-2*z+5=0 z^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3-sqrt(5)))^2+x^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3+sqrt(5)))^2+y^2/(2/sqrt(2))^2=-1 Мнимый эллипсоид Поверхность
x^2+y^2-z^2-2*x-2*y+2*z+2=0 x^2/1^2+y^2-z^2=-1 Двухсторонний гиперболоид Поверхность
x^2+y^2-6*x+6*y-4*z+18=0 x^2/2+y^2-2*z=0 или x^2/2+y^2+2*z=0 Эллиптический параболоид Поверхность
x^2+4*y^2+9*z^2+4*x*y+12*y*z+6*x*z-4*x-8*y-12*z+3=0 x^2/=1/14 Две параллельные плоскости Поверхность

Ислледование на определение вида будет выглядеть примерно так:

Дано ур-ние поверхности 2-порядка: $$x^{2} — 2 x + y^{2} — 2 y — z^{2} + 2 z + 2 = 0$$ Это уравнение имеет вид: $$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$ где $$a_{11} = 1$$ $$a_{12} = 0$$ $$a_{13} = 0$$ $$a_{14} = -1$$ $$a_{22} = 1$$ $$a_{23} = 0$$ $$a_{24} = -1$$ $$a_{33} = -1$$ $$a_{34} = 1$$ $$a_{44} = 2$$ Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители: $$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$


     |a11  a12|   |a22  a23|   |a11  a13|
I2 = |        | + |        | + |        |
     |a12  a22|   |a23  a33|   |a13  a33|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$ $$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} — \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} — \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} — \lambda\end{matrix}\right|$$


     |a11  a14|   |a22  a24|   |a33  a34|
K2 = |        | + |        | + |        |
     |a14  a44|   |a24  a44|   |a34  a44|


     |a11  a12  a14|   |a22  a23  a24|   |a11  a13  a14|
     |             |   |             |   |             |
K3 = |a12  a22  a24| + |a23  a33  a34| + |a13  a33  a34|
     |             |   |             |   |             |
     |a14  a24  a44|   |a24  a34  a44|   |a14  a34  a44|

подставляем коэффициенты $$I_{1} = 1$$


     |1  0|   |1  0 |   |1  0 |
I2 = |    | + |     | + |     |
     |0  1|   |0  -1|   |0  -1|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1\end{matrix}\right|$$ $$I_{4} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & -1\\0 & 0 & -1 & 1\\-1 & -1 & 1 & 2\end{matrix}\right|$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda + 1 & 0 & 0\\0 & — \lambda + 1 & 0\\0 & 0 & — \lambda — 1\end{matrix}\right|$$


     |1   -1|   |1   -1|   |-1  1|
K2 = |      | + |      | + |     |
     |-1  2 |   |-1  2 |   |1   2|


     |1   0   -1|   |1   0   -1|   |1   0   -1|
     |          |   |          |   |          |
K3 = |0   1   -1| + |0   -1  1 | + |0   -1  1 |
     |          |   |          |   |          |
     |-1  -1  2 |   |-1  1   2 |   |-1  1   2 |

$$I_{1} = 1$$ $$I_{2} = -1$$ $$I_{3} = -1$$ $$I_{4} = -1$$ $$I{\left (\lambda \right )} = — \lambda^{3} + \lambda^{2} + \lambda — 1$$ $$K_{2} = -1$$ $$K_{3} = -4$$ Т.к. $$I_{3} \neq 0$$ то по признаку типов поверхностей:
надо
Составляем характеристическое уравнение для нашей поверхности: $$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda — I_{3} + \lambda^{3} = 0$$ или $$\lambda^{3} — \lambda^{2} — \lambda + 1 = 0$$ $$\lambda_{1} = 1$$ $$\lambda_{2} = 1$$ $$\lambda_{3} = -1$$ тогда канонический вид уравнения будет $$\tilde z^{2} \lambda_{3} + \tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{4}}{I_{3}} = 0$$ $$\tilde x^{2} + \tilde y^{2} — \tilde z^{2} + 1 = 0$$ $$- \tilde z^{2} + \frac{\tilde x^{2}}{1^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{1^{2}} = -1$$ это уравнение для типа двусторонний гиперболоид
— приведено к каноническому виду

www.kontrolnaya-rabota.ru

Mathway | Популярные задачи

1 Вычислить 6^3-4^3-7^2
2 Найти медиану 11 , 13 , 5 , 15 , 14 , , , ,
3 Найти объем сфера (5)
4 Вычислить квадратный корень 12
5 Преобразовать в десятичную форму 3/8
6 Преобразовать в десятичную форму 5/8
7 Найти длину окружности окружность (5)
8 Вычислить 10^2
9 Вычислить квадратный корень 75
10 График y=2x
11 Вычислить квадратный корень 48
12 Найти площадь окружность (5)
13 Найти площадь окружность (6)
14 Вычислить 3^4
15 Вычислить 5^3
16 Вычислить 2^4
17 Вычислить квадратный корень 32
18 Вычислить квадратный корень 18
19 Вычислить квадратный корень 2
20 Вычислить квадратный корень 25
21 Вычислить квадратный корень 8
22 Найти площадь окружность (4)
23 Разложить на простые множители 360
24 Вычислить 3^-2
25 Вычислить 2+2
26 Преобразовать в десятичную форму 1/3
27 Вычислить квадратный корень 9
28 Вычислить квадратный корень 64
29 Преобразовать в десятичную форму 3/5
30 Вычислить квадратный корень 20
31 Вычислить pi
32 Вычислить -3^2
33 Вычислить 2^3
34 Вычислить (-3)^3
35 Вычислить квадратный корень 27
36 Вычислить квадратный корень 5
37 Вычислить квадратный корень 50
38 Вычислить квадратный корень 16
39 Преобразовать в десятичную форму 3/4
40 Преобразовать в десятичную форму 2/3
41 Найти площадь окружность (3)
42 Вычислить 3^2
43 Вычислить -9^2
44 Вычислить квадратный корень 72
45 Преобразовать в десятичную форму 2/5
46 Вычислить квадратный корень 100
47 Найти объем сфера (3)
48 Вычислить 2^5
49 Множитель x^2-4
50 Вычислить -8^2
51 Вычислить -6^2
52 Вычислить -7^2
53 Вычислить -3^4
54 Вычислить (-2)^3
55 Множитель x^2-9
56 Найти объем сфера (6)
57 Найти площадь окружность (8)
58 Вычислить квадратный корень 81
59 Вычислить кубический корень 64
60 Вычислить кубический корень 125
61 Вычислить квадратный корень 169
62 Вычислить квадратный корень 225
63 Вычислить квадратный корень 3
64 Преобразовать в десятичную форму 1/4
65 Преобразовать в смешанную дробь 5/2
66 Преобразовать в десятичную форму 1/2
67 Множитель x^2-16
68 Вычислить 5^2
69 Вычислить 4^-2
70 Вычислить 8^2
71 Преобразовать в смешанную дробь 13/4
72 Вычислить квадратный корень 24
73 Вычислить квадратный корень 28
74 Вычислить кубический корень 27
75 Найти длину окружности окружность (4)
76 Найти площадь окружность (7)
77 Найти объем сфера (2)
78 График y=3x
79 Найти объем сфера (4)
80 Найти длину окружности окружность (6)
81 Вычислить квадратный корень 150
82 Вычислить квадратный корень 45
83 Вычислить 4^3
84 Вычислить 2^-3
85 Вычислить 2^2
86 Вычислить -(-3)^3
87 Вычислить 3^3
88 Вычислить квадратный корень 54
89 Вычислить квадратный корень 10
90 Найти длину окружности окружность (3)
91 Преобразовать в смешанную дробь 10/3
92 Преобразовать в десятичную форму 2/5
93 Разложить на простые множители 36
94 Вычислить квадратный корень 144
95 Вычислить (-7)^2
96 Множитель x^2+5x+6
97 Вычислить (-4)^3
98 Вычислить (-5)^3
99 Вычислить 10^2
100 Вычислить 6^2

www.mathway.com

Элементарные поверхности второго порядка. Канонические уравнения.

Элементарные поверхности второго порядка. Канонические уравнения.

Эллипсоид, Сфера, Гиперболоид, Конус…

Простейшая поверхность — это отдельная плоскость. Внизу мы представляем классификацию поверхностей второго порядка.

Невырожденные поверхности:

Эллипсоид

x2/a2 + y2/b2 z2/c2 = 1        (1)

где

a, b, c = независимые параметры

Сфера

Сфера — это частный случай эллипсоида, который может быть представлен как

x2 + y2 + z2 = a2        (2)

где

a = радиус

Однополостный гиперболоид

x2/a2 + y2/b2 — z2/c2 = 1        (3)

где

a, b, c = независимые параметры

Двухполостный гиперболоид

x2/a2 + y2/b2 — z2/c2 = -1        (4)

где

a, b, c = независимые параметры

Квадратичный конус

x2/a2 + y2/b2 — z2/c2 = 0        (5)

где

a, b, c = независимые параметры

Эллиптический гиперболоид

x2/a2 + y2/b2 — 2 z = 0        (6)

где

a, b = независимые параметры

Эллиптический цилиндр

x2/a2 + y2/b2 = 1        (7)

где

a, b = независимые параметры

Цилиндр

x2 + y2 = a2        (8)

где

a, b =независимые параметры

Гиперболический цилиндр

x2/a2 — y2/b2 = 1        (9)

где

a, b = независимые параметры

Параболический цилиндр

y2 — 2 l x = 0        (10)

где

l = независимые параметры

Вырожденные поверхности второго порядка:

Параллельные плоскости

x2 — a2 = 0        (11)

где

a = половина расстояния между параллельными плоскостями

Пересекающиеся плоскости

x2/a2 — y2/b2 = 0        (12)

Совпадающие плоскости

x2 = 0        (13)

tehtab.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.