Y x 3 27x 3 – Задача 3 — наименьшее значение

Задача 3 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y={{x}^{3}}-27x$ на отрезке [0; 4].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

  • Найти область определения функции
  • Найти стационарные и критические точки функции, принадлежащие заданному отрезку
  • Найти значение функции в этих точках и на границах заданного отрезка
  • Сравнить найденные значения — выбрать из них наименьшее

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{‘}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{‘}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{‘}}=C \\ \end{align}\]

\[{{y}^{‘}}={{\left( {{x}^{3}}-27x \right)}^{‘}}=3{{x}^{2}}-27\]

Производная существует при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$, а значит и на заданном отрезке.

Найдем корни уравнения ${{y}^{‘}}=0$:

\[\begin{align}& 3{{x}^{2}}-27=0 \\ & 3\left( {{x}^{2}}-9 \right)=0 \\ & 3\left( x+3 \right)\left( x-3 \right)=0 \\ & {{x}_{1}}=-3,{{x}_{2}}=3 \\ \end{align}\]

Выбираем только те значения $x$, которые попадают в заданный отрезок $\left[ 0;4 \right]$, а именно: $x=3$.

Теперь найдем значения функции в найденной точке и на границах отрезка:

\[\begin{align}& y\left( 0 \right)=0 \\ & y\left( 4 \right)=\left( {{4}^{3}} \right)-27\cdot 4=-44 \\ & y\left( 3 \right)={{\left( 3 \right)}^{3}}-27\cdot 3=-54 \\ \end{align}\]

Видим, что на заданном отрезке функция имеет наименьшее значение в стационарной точке $x=3$ и это значение равно $-54$.

Правильный ответ

$-54$

Смотрите также:

  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
  5. Метод интервалов: случай нестрогих неравенств
  6. Проценты в задачах на наибольшее-наименьшее значение используем пропорции

www.berdov.com

Mathway | Популярные задачи

1 Найти производную — d/dx квадратный корень x
2 Найти производную — d/dx натуральный логарифм x
3 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
4 Найти производную — d/dx e^x
5 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
6 Найти производную — d/dx 1/x
7 Найти производную — d/dx x^2
8 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
9 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
10 Найти производную — d/dx sin(x)^2
11 Найти производную — d/dx sec(x)
12 Вычислить интеграл e^x относительно x
13 Вычислить интеграл x^2 относительно x
14 Вычислить интеграл квадратного корня x по x
15 Вычислить натуральный логарифм 1
16 Вычислить e^0
17 Вычислить sin(0)
18 Найти производную — d/dx cos(x)^2
19 Вычислить интеграл 1/x относительно x
20 Вычислить cos(0)
21 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
22 Найти производную — d/dx x^3
23 Найти производную — d/dx sec(x)^2
24 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
25 Вычислить интеграл arcsin(x) относительно x
26 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
27 Вычислить интеграл sec(x)^2 относительно x
28 Найти производную — d/dx e^(x^2)
29 Вычислить интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30 Найти производную — d/dx sin(2x)
31 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
32 Найти производную — d/dx tan(x)^2
33 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
34 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
35 Найти производную — d/dx 2^x
36 График натуральный логарифм a
37 Вычислить e^1
38 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
39 Вычислить натуральный логарифм 0
40 Найти производную — d/dx cos(2x)
41 Найти производную — d/dx xe^x
42 Вычислить интеграл 1/x относительно x
43 Вычислить интеграл 2x относительно x
44 Найти производную — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
45 Найти производную — d/dx натуральный логарифм (x)^2
46 Найти производную — d/dx 3x^2
47 Вычислить натуральный логарифм 2
48 Вычислить интеграл xe^(2x) относительно x
49 Найти производную — d/dx 2e^x
50 Найти производную — d/dx натуральный логарифм 2x
51 Найти производную — d/dx -sin(x)
52 Вычислить tan(0)
53 Найти производную — d/dx 4x^2-x+5
54 Найти производную — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55 Найти производную — d/dx 2x^2
56 Вычислить интеграл e^(3x) относительно x
57 Вычислить интеграл cos(2x) относительно x
58 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
59 Найти производную — d/dx 1/( квадратный корень x)
60 Вычислить интеграл e^(x^2) относительно x
61 Вычислить sec(0)
62 Вычислить e^infinity
63 Вычислить 2^4
64 Найти производную — d/dx x/2
65 Вычислить 4^3
66 Найти производную — d/dx -cos(x)
67 Найти производную — d/dx sin(3x)
68 Вычислить натуральный логарифм 1/e
69 Вычислить интеграл x^2 относительно x
70 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
71 Найти производную — d/dx 1/(x^3)
72 Вычислить интеграл e^x относительно x
73 Вычислить интеграл tan(x)^2 относительно x
74 Вычислить интеграл 1 относительно x
75 Найти производную — d/dx x^x
76 Найти производную — d/dx x натуральный логарифм x
77 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
78 Найти производную — d/dx x^4
79 Вычислить предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80 Вычислить интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81 Найти производную — d/dx f(x) = square root of x
82 Найти производную — d/dx x^2sin(x)
83 Вычислить интеграл sin(2x) относительно x
84 Найти производную — d/dx 3e^x
85 Вычислить интеграл xe^x относительно x
86 Найти производную — d/dx y=x^2
87 Найти производную — d/dx квадратный корень x^2+1
88 Найти производную — d/dx sin(x^2)
89 Вычислить интеграл e^(-2x) относительно x
90 Вычислить интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91 Вычислить 2^5
92 Найти производную — d/dx e^2
93 Найти производную — d/dx x^2+1
94 Вычислить интеграл sin(x) относительно x
95 Вычислить 2^3
96 Найти производную — d/dx arcsin(x)
97 Вычислить предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98 Вычислить e^2
99 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
100 Вычислить интеграл 1/x относительно x

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

1 Вычислить 6^3-4^3-7^2
2 Найти медиану 11 , 13 , 5 , 15 , 14 , , , ,
3 Найти объем сфера (5)
4 Вычислить квадратный корень 12
5 Преобразовать в десятичную форму 3/8
6 Преобразовать в десятичную форму 5/8
7 Найти длину окружности окружность (5)
8 Вычислить 10^2
9 Вычислить квадратный корень 75
10 График y=2x
11 Вычислить квадратный корень 48
12 Найти площадь окружность (5)
13 Найти площадь окружность (6)
14 Вычислить 3^4
15 Вычислить 5^3
16 Вычислить 2^4
17 Вычислить квадратный корень 32
18 Вычислить квадратный корень 18
19 Вычислить квадратный корень 2
20 Вычислить квадратный корень 25
21 Вычислить квадратный корень 8
22 Найти площадь окружность (4)
23 Разложить на простые множители 360
24 Вычислить 3^-2
25 Вычислить 2+2
26 Преобразовать в десятичную форму 1/3
27 Вычислить квадратный корень 9
28 Вычислить квадратный корень 64
29 Преобразовать в десятичную форму 3/5
30 Вычислить квадратный корень 20
31 Вычислить pi
32 Вычислить -3^2
33 Вычислить 2^3
34 Вычислить (-3)^3
35 Вычислить квадратный корень 27
36 Вычислить квадратный корень 5
37 Вычислить квадратный корень 50
38 Вычислить квадратный корень 16
39 Преобразовать в десятичную форму 3/4
40 Преобразовать в десятичную форму 2/3
41 Найти площадь окружность (3)
42 Вычислить 3^2
43 Вычислить -9^2
44 Вычислить квадратный корень 72
45 Преобразовать в десятичную форму 2/5
46 Вычислить квадратный корень 100
47 Найти объем сфера (3)
48 Вычислить 2^5
49 Множитель x^2-4
50 Вычислить -8^2
51 Вычислить -6^2
52 Вычислить -7^2
53 Вычислить -3^4
54 Вычислить (-2)^3
55 Множитель x^2-9
56 Найти объем сфера (6)
57 Найти площадь окружность (8)
58 Вычислить квадратный корень 81
59 Вычислить кубический корень 64
60 Вычислить кубический корень 125
61 Вычислить квадратный корень 169
62 Вычислить квадратный корень 225
63 Вычислить квадратный корень 3
64 Преобразовать в десятичную форму 1/4
65 Преобразовать в смешанную дробь 5/2
66 Преобразовать в десятичную форму 1/2
67 Множитель x^2-16
68 Вычислить 5^2
69 Вычислить 4^-2
70 Вычислить 8^2
71 Преобразовать в смешанную дробь 13/4
72 Вычислить квадратный корень 24
73 Вычислить квадратный корень 28
74 Вычислить кубический корень 27
75 Найти длину окружности окружность (4)
76 Найти площадь окружность (7)
77 Найти объем сфера (2)
78 График y=3x
79 Найти объем сфера (4)
80 Найти длину окружности окружность (6)
81 Вычислить квадратный корень 150
82 Вычислить квадратный корень 45
83 Вычислить 4^3
84 Вычислить 2^-3
85 Вычислить 2^2
86 Вычислить -(-3)^3
87 Вычислить 3^3
88 Вычислить квадратный корень 54
89 Вычислить квадратный корень 10
90 Найти длину окружности окружность (3)
91 Преобразовать в смешанную дробь 10/3
92 Преобразовать в десятичную форму 2/5
93 Разложить на простые множители 36
94 Вычислить квадратный корень 144
95 Вычислить (-7)^2
96 Множитель x^2+5x+6
97 Вычислить (-4)^3
98 Вычислить (-5)^3
99 Вычислить 10^2
100 Вычислить 6^2

www.mathway.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.