Автор: alexxlab

Построить гиперболу по каноническому уравнению онлайн: Каноническое уравнение гиперболы

alexxlab / / Разное
2

Гипербола: формулы, примеры решения задач

  • Определение гиперболы, решаем задачи вместе
  • Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

,

где a и b — длины полуосей, действительной и мнимой.

На чертеже ниже фокусы обозначены как и .

На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.

При a = b гипербола называется равносторонней.

Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая  = 3.

Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:

.

Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.

Точки и , где

,

называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).

Число

называется эксцентриситетом гиперболы.

Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.

Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.

Решение.

Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4,

Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.

То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.

Подставляем и вычисляем:

Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:

.

Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .

Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24. А эксцентриситет — это пропорция и так как a = 24, то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26. Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:

.

Результат — каноническое уравнение гиперболы:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Кривые второго порядка

Если — произвольная точка левой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

Если — произвольная точка правой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.

Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного цвета).

Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы

,

где — расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, — расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 4. Дана гипербола . Составить уравнение её директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. . Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис гиперболы:

Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.

Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями

.

На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.

Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:

, где .

В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x, то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.

Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы и координаты точки , лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения . Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.

.

Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:

Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) b = 4, а один из фокусов в точке (5; 0)

посмотреть правильное решение и ответ,

2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8

посмотреть правильное решение и ответ,

3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы

посмотреть правильное решение и ответ.

НазадЛистатьВперёд>>>

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Кривые второго порядка

Поделиться с друзьями

Другие материалы по теме Кривые второго порядка

Эллипс

Парабола

уравнений гиперболы | Колледж Алгебра

Результаты обучения

  • Вывести уравнение для гиперболы с центром в начале координат
  • Напишите уравнение для гиперболы с центром в начале координат
  • Решить прикладную задачу с гиперболами

В аналитической геометрии гипербола представляет собой коническое сечение, образованное пересечением прямого кругового конуса с плоскостью под таким углом, что обе половины конуса пересекаются. Это пересечение дает две отдельные неограниченные кривые, которые являются зеркальным отображением друг друга.

Гипербола

Как и эллипс, гипербола также может быть определена как набор точек на координатной плоскости. Гипербола — это множество всех точек [латекс]\слева(х,у\справа)[/латекс] на плоскости, таких, что разность расстояний между [латекс]\слева(х,у\справа)[/латекс ], а фокусы — положительная постоянная.

Обратите внимание, что определение гиперболы очень похоже на определение эллипса. Отличие состоит в том, что гипербола определяется в терминах разности двух расстояний, тогда как эллипс определяется в терминах суммы двух расстояний.

Как и эллипс, каждая гипербола имеет две оси симметрии . Поперечная ось представляет собой отрезок, который проходит через центр гиперболы и имеет вершины в качестве своих концов. Фокусы лежат на линии, содержащей поперечную ось. Сопряженная ось перпендикулярна поперечной оси и имеет ко-вершины в качестве своих конечных точек. центр гиперболы является серединой поперечной и сопряженной осей, где они пересекаются. Каждая гипербола также имеет две асимптот , проходящих через ее центр. При удалении гиперболы от центра ее ветви приближаются к этим асимптотам. Центральный прямоугольник гиперболы имеет центр в начале координат со сторонами, проходящими через каждую вершину и ковершину; это полезный инструмент для построения графиков гиперболы и ее асимптот. Чтобы начертить асимптоты гиперболы, просто нарисуйте и продлите диагонали центрального прямоугольника.

Ключевые характеристики гиперболы

В этом разделе мы ограничим наше обсуждение гиперболами, расположенными вертикально или горизонтально в координатной плоскости; оси будут лежать или быть параллельными осям x и y . Мы рассмотрим два случая: те, которые сосредоточены в начале координат, и те, которые сосредоточены в точке, отличной от начала координат.

Стандартная форма уравнения гиперболы с центром в начале координат

Пусть [латекс]\влево(-c,0\вправо)[/латекс] и [латекс]\влево(с,0\вправо)[/латекс ] быть фокусов гиперболы с центром в начале координат. Гипербола — это множество всех точек [латекс]\слева(х,у\справа)[/латекс], таких что разность расстояний от [латекс]\слева(х,у\справа)[/латекс] до очаги постоянны.

Если [латекс]\влево(а,0\вправо)[/латекс] является вершиной гиперболы, расстояние от [латекс]\влево(-c,0\вправо)[/латекс] до [латекс] \left(a,0\right)[/latex] равно [latex]a-\left(-c\right)=a+c[/latex]. Расстояние от [латекс]\слева(с,0\справа)[/латекс] до [латекс]\слева(а,0\справа)[/латекс] равно [латекс]с-а[/латекс]. Разность расстояний от фокусов до вершины равна

[латекс]\влево(а+с\вправо)-\влево(с-а\вправо)=2а[/латекс]

Если [латекс]\влево(х,у\вправо)[/латекс] является точкой на гиперболе мы можем определить следующие переменные:

[латекс]\begin{align}&{d}_{2}=\text{расстояние от }\left(-c,0\right)\text{ до }\left(x,y\right)\\ &{d}_{1}=\text{расстояние от }\left(c,0\right)\text{ до }\left(x,y\ right)\end{align}[/latex]

По определению гиперболы [latex]\lvert{d}_{2}-{d}_{1}\rvert[/latex] постоянна для любой точки [латекс]\влево(х,у\вправо)[/латекс] на гиперболе. {2}[/latex] всегда находится под переменной с положительным коэффициентом. Итак, если вы установите другую переменную равной нулю, вы можете легко найти точки пересечения. В случае, когда центр гиперболы находится в начале координат, точки пересечения совпадают с вершинами. 9{2}}{25}=1[/латекс].

Показать решение

Запись уравнений гиперболы в стандартной форме

Как и в случае с эллипсами, запись уравнения гиперболы в стандартной форме позволяет вычислить ключевые характеристики: ее центр, вершины, ко-вершины, фокусы, асимптоты, а также длины и положения поперечной и сопряженной осей. И наоборот, уравнение гиперболы можно найти, учитывая ее ключевые особенности. Начнем с нахождения стандартных уравнений для гипербол с центром в начале координат. Затем мы обратим наше внимание на поиск стандартных уравнений для гипербол с центром в какой-либо точке, отличной от начала координат. 9{2}[/латекс]. Это соотношение используется для записи уравнения гиперболы при заданных координатах ее фокусов и вершин.

Как сделать: Имея вершины и фокусы гиперболы с центром в точке [латекс]\влево(0,\текст{0}\вправо)[/латекс], запишите ее уравнение в стандартной форме.

  1. Определите, лежит ли поперечная ось на оси x или y .
    1. Если заданные координаты вершин и фокусов имеют вид [latex]\left(\pm a,0\right)[/latex] и [latex]\left(\pm c,0\right)[/latex ] соответственно, то поперечной осью является 9{2}[/latex] в стандартную форму уравнения, определенного на шаге 1.

    Пример: нахождение уравнения гиперболы с центром в точке (0,0) при заданных фокусах и вершинах

    Какова стандартная форма уравнения гиперболы с вершинами right)[/latex] и фокусы [latex]\left(\pm 2\sqrt{10},0\right)?[/latex]

    Показать решение

    Попробуйте

    Уравнение стандартной формы гиперболы с вершинами [латекс]\влево(0,\pm 2\вправо)[/латекс] и фокусами [латекс]\влево(0,\pm 2\ sqrt{5}\справа)?[/latex]

    Показать решение

    Гиперболы, не центрированные в начале координат

    Как и графики для других уравнений, график гиперболы можно трансформировать. Если перевести гиперболу [latex]h[/latex] единиц по горизонтали и [latex]k[/latex] единиц по вертикали, центр гиперболы будет [latex]\left(h,k\right)[/ латекс]. Этот перевод приводит к стандартной форме уравнения, которое мы видели ранее, с заменой [latex]x[/latex] на [latex]\left(x-h\right)[/latex] и [latex]y[/latex] на [латекс]\влево(у-к\вправо)[/латекс]. 9{2}[/латекс]

  2. координаты фокусов: [латекс]\влево(ч\пм с,к\вправо)[/латекс]

    3. Асимптоты гиперболы совпадают с диагоналями центрального прямоугольника. Длина прямоугольника равна [латекс]2а[/латекс], а ширина — [латекс]2b[/латекс]. Наклоны диагоналей равны [латекс]\pm \frac{b}{a}[/латекс], и каждая диагональ проходит через центр [латекс]\влево(ч,к\вправо)[/латекс]. Используя формулу точек-наклонов , легко показать, что уравнения асимптот таковы: [latex]y=\pm \frac{b}{a}\left(x-h\right)+k[/latex]. 9{2}[/латекс]

  3. координаты фокусов: [латекс]\влево(ч,к\пм с\вправо)[/латекс]

    4. Используя вышеприведенные рассуждения, уравнения асимптот таковы: [латекс]y=\pm \frac{a}{b}\left(x-h\right)+k[/latex]. {2}[/латекс]. Мы можем использовать это соотношение вместе с формулами средней точки и расстояния, чтобы найти стандартное уравнение гиперболы, когда заданы вершины и фокусы. 9{2}[/latex] в стандартную форму уравнения, определенного на шаге 1.

Пример: нахождение уравнения гиперболы с центром в точке (

h , k ) с учетом ее фокусов и вершин ,-2\вправо)[/латекс] и [латекс]\влево(6,-2\вправо)[/латекс] и фокусы в [латекс]\влево(-2,-2\вправо)[/латекс] и [латекс]\влево(8,-2\вправо)?[/латекс]

Показать решение

Попробуйте

Уравнение стандартной формы гиперболы с вершинами [латекс]\влево(1,-2\вправо)[/латекс] и [латекс]\влево(1,\текст{8}\вправо) )[/latex] и фокусы [латекс]\левый(1,-10\правый)[/латекс] и [латекс]\левый(1,16\правый)?[/латекс]

Показать решение

Решение прикладных задач, связанных с гиперболами

Как мы обсуждали в начале этого раздела, гиперболы находят практическое применение во многих областях, таких как астрономия, физика, инженерия и архитектура. Эффективность конструкции гиперболических градирен особенно интересна. Градирни используются для передачи отработанного тепла в атмосферу и часто рекламируются за их способность эффективно генерировать энергию. Из-за своей гиперболической формы эти конструкции способны противостоять сильным ветрам, при этом требуя меньше материала, чем любые другие формы их размера и прочности. Например, 500-футовая башня может быть сделана из железобетонной оболочки шириной всего 6 или 8 дюймов!

Градирни на электростанции Drax в Северном Йоркшире, Великобритания (фото: Les Haines, Flickr)

Первые гиперболические градирни были спроектированы в 1914 году и имели высоту 35 метров. Сегодня самые высокие градирни находятся во Франции, их высота составляет 170 метров. В Примере 6 мы будем использовать проектную схему градирни, чтобы найти гиперболическое уравнение, моделирующее ее стороны.

Пример: решение прикладных задач, связанных с гиперболой

Схема градирни показана ниже. Башня стоит 179.6 метров в высоту. Диаметр вершины 72 метра. Ближайшие стороны башни находятся на расстоянии 60 метров друг от друга.

Проект градирни с естественной тягой

Найдите уравнение гиперболы, моделирующей стороны градирни. Предположим, что центр гиперболы , обозначенный на рисунке пересечением пунктирных перпендикулярных линий, является началом координатной плоскости. Округлите окончательные значения до четырех знаков после запятой.

Показать решение

Попробуйте

Ниже показан проект градирни. Найдите уравнение гиперболы, моделирующей стороны градирни. Предположим, что центр гиперболы, обозначенный на рисунке пересечением пунктирных перпендикулярных линий, является началом координатной плоскости.

Показать решение

Поддержите!

У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Конические сечения и стандартные формы уравнений

Горячая математика

А коническое сечение является пересечением плоскости и двойной правой окружности конус . Изменяя угол и место пересечения, мы можем создавать различные типы коник. Существует четыре основных типа: круги , эллипсы , гиперболы и параболы . Ни одно из пересечений не будет проходить через вершины конуса.

Если прямой круговой конус разрезается плоскостью, перпендикулярной оси конуса, пересечение представляет собой окружность. Если плоскость пересекает одну из частей конуса и его ось, но не перпендикулярна оси, то пересечение будет эллипсом. Чтобы образовалась парабола, пересекающая плоскость должна быть параллельна одной стороне конуса и должна пересекать одну часть двойного конуса. И, наконец, для создания гиперболы плоскость пересекает обе части конуса. Для этого наклон пересекающейся плоскости должен быть больше, чем у конуса.

Общее уравнение для любого конического сечения:

А Икс 2 + Б Икс у + С у 2 + Д Икс + Е у + Ф «=» 0 где А , Б , С , Д , Е и Ф являются константами.

При изменении значений некоторых констант изменится и форма соответствующей коники. Важно знать различия в уравнениях, чтобы помочь быстро определить тип коники, представленной данным уравнением.
      Если Б 2 − 4 А С меньше нуля, то если коника существует, то это будет либо окружность, либо эллипс.
      Если Б 2 − 4 А С равна нулю, то если коника существует, то это будет парабола.
      Если Б 2 − 4 А С больше нуля, то если коника существует, то это будет гипербола.

СТАНДАРТНЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ:

Круг ( Икс − час ) 2 + ( у − к ) 2 «=» р 2

Центр ( час , к ) .

Радиус р .

Эллипс с горизонтальной большой осью ( Икс − час ) 2 а 2 + ( у − к ) 2 б 2 «=» 1

Центр ( час , к ) .
Длина большой оси 2 а .
Длина малой оси 2 б .
Расстояние между центром и любым фокусом с с
с 2 «=» а 2 − б 2 , а > б > 0 .

Эллипс с вертикальной большой осью ( Икс − час ) 2 б 2 + ( у − к ) 2 а 2 «=» 1

Центр ( час , к ) .
Длина большой оси 2 а .
Длина малой оси 2 б .
Расстояние между центром и любым фокусом с с
с 2 «=» а 2 − б 2 , а > б > 0 .

Гипербола с горизонтальной поперечной осью ( Икс − час ) 2 а 2 − ( у − к ) 2 б 2 «=» 1

Центр ( час , к ) .
Расстояние между вершинами равно 2 а .
Расстояние между фокусами 2 с .
с 2 «=» а 2 + б 2

Гипербола с вертикальной поперечной осью ( у − к ) 2 а 2 − ( Икс − час ) 2 б 2 «=» 1

Центр ( час , к ) .
Расстояние между вершинами равно 2 а .
Расстояние между фокусами 2 с .
с 2 «=» а 2 + б 2

Парабола с горизонтальной осью

( у − к ) 2 «=» 4 п ( Икс − час ) ,

п ≠ 0

Вершина ( час , к ) .
Фокус есть ( час + п , к ) .
Directrix это линия
Икс «=» час − п
Ось это линия у «=» к

Парабола с вертикальной осью

( Икс − час ) 2 «=» 4 п ( у − к ) ,

п ≠ 0

Вершина ( час , к ) .
Фокус есть ( час , к + п ) .
Directrix это линия
у «=» к − п .
Ось это линия Икс «=» час

Решение систем уравнений

Вы должны быть знакомы с решение системы линейных уравнений . Геометрически это дает точку (точки) пересечения двух или более прямых линий. Точно так же решения системы квадратных уравнений давали бы точки пересечения двух или более коник.

Алгебраически система квадратных уравнений может быть решена с помощью устранение или замена как и в случае линейных систем.

Пример:

Решите систему уравнений.

Икс 2 + 4 у 2 «=» 16 Икс 2 + у 2 «=» 9

Коэффициент Икс 2 одинаково для обоих уравнений. Итак, вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную Икс . Вы получаете:

3 у 2 «=» 7

Решение для у :

3 у 2 3 «=» 7 3 у 2 «=» 7 3 у «=» ± 7 3

Используйте значение у оценить Икс .

Икс 2 + 7 3 «=» 9 Икс 2 «=» 9 − 7 3 «=» 20 3 Икс «=» ± 20 3

Следовательно, решения ( + 20 3 , + 7 3 ) , ( + 20 3 , − 7 3 ) , ( − 20 3 , + 7 3 ) и ( − 20 3 , − 7 3 ) .

Параллельные прямые пересекают стороны угла ahb: Уроки геометрии в задачах. 7-8 классы: [12+] [3-е изд. стер.] 9785443928180

alexxlab / / Разное

СУНЦ УрФУ

Расписание

Электронный журнал

Поступающим

Олимпиады, турниры, конкурсы

Планы работы

Подготовительные курсы

Новости:

07.05.2023

Учимся и побеждаем!

Лицеисты заняли I и II места в Школе практического программирования.

06.05.2023

Поэзии чарующие звуки…

В СУНЦ стартует регистрация на поэтический вечер, который пройдёт 15 мая в 15:30 в актовом зале.

05.05.2023

Заключительный этап. Успех!

Наши лицеисты достойно выступили на заключительном этапе Всероссийской олимпиады школьников.

04.05.2023

Успехи на международном форуме в Кыргызстане

Лицеисты привезли из солнечного Кыргызстана золотую и бронзовую медали международного форума «Мы — интеллектуалы XXI века!».

04.05.2023

Зарядись «Энергией будущего»!

Лицеисты СУНЦ с успехом выступили на всероссийском конкурсе научно-исследовательских работ и проектов.

25.04.2023

Время зарабатывать!

Соцэки СУНЦ совершенствуют свои практические навыки.

Больше новостей

Видеогалерея:

Мужчины СУНЦ о 8 Марта (2023)

Концерт к 8 Марта (2023)

Поздравление с Днем защитника Отечества (2023)

Больше видео

О нас:

Специализированный учебно-научный центр (СУНЦ) — структурное подразделение ФГАОУ ВО «УрФУ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина», созданное в 1990 году как нетиповое структурное подразделение вуза, осуществляющее углубленное дифференцированное обучение по программам основного общего и среднего общего образования. Всего в России 10 СУНЦев. До мая 2011 года СУНЦ работал в составе Уральского государственного университета имени А. М. Горького (УрГУ).

В настоящее время СУНЦ имеет в своем составе 8 кафедр, укомплектованных профессорско-преподавательским составом УрФУ и учителями. Обучение производится по авторским  программам, разработанным в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами; в составе СУНЦ — 8–11 классы различных профилей.

Иногородние обучающиеся проживают в уютном общежитии.

Прием производится в 8, 9, 10 и 11 классы. Работают подготовительные курсы.

Подробнее о правилах приема в СУНЦ можно узнать в отделе конкурсного отбора
по телефону +7 343 367-82-22 и в разделе нашего сайта «Поступающим».

Как нас найти:

Данилы Зверева ул., 30, Екатеринбург. N56°52´4˝ E60°39´16˝

Проезд:

  • автобусами № 48, 52, 81 до остановки «Фирма Авангард»;
  • автобусами № 28, 58 до остановки «Данилы Зверева», далее 7 минут пешком по улице Данилы Зверева;
  • троллейбусом № 18 до остановки «Данилы Зверева», далее 14 минут пешком по улицам Сулимова, Данилы Зверева;
  • троллейбусами № 4 до остановки «Сулимова», № 19, 32 до остановки «Боровая», далее 15 минут пешком по улицам Боровая, Вилонова, Данилы Зверева.

Математика. Основы геометрии: площади треугольника, параллелограмма, трапеции

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

Многоугольники

Пусть на плоскости задано n произвольных точек. И пусть они соединены отрезками таким образом, что эти отрезки образуют замкнутую цепочку.

 

Особенно нас интересует случай, когда цепочка не содержит точек самопересечений и ни одна из пар соседних отрезков не лежит на одной прямой.

 

Внутренняя часть плоскости, ограниченная такой цепочкой (включая саму цепочку), называется многоугольником, или, точнее, n-угольником. Многоугольник обычно обозначают перечисляя его вершины. Например, многоугольник, изображенный на рисунке можно обозначить как ABCDE. Мы уже имели дело с одной разновидностью многоугольников, а именно — с параллелограммом [4.4] (и, в частности, с прямоугольником [4.8]). Поэтому нижеследующая терминология должна быть нам уже хорошо знакома.

Отрезки, служащие границей многоугольника называются его сторонами.

Концы сторон, где они соединяются друг с другом, называются вершинами многоугольника.

Внутренние углы между соседними сторонами (при вершинах) называются углами многоугольника.

Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

В ближайшем будущем мы будем рассматривать только такие n-угольники, у которых n равно трем или четырем. Они называются, соответственно, треугольниками и четырехугольниками.

Площадь геометрической фигуры

Как ни странно, такое распространенное понятие, как геометрическая фигура, не имеет общепринятого четкого математического определения. Давайте договоримся, что под (плоской) фигурой мы будем понимать нечто такое, что можно начертить на листе бумаги и вырезать ножницами в виде единого куска. В частности, типичными геометрическими фигурами являются многоугольники. Всякая фигура характеризуется площадью S, которую мы определим таким образом, чтобы выполнялось соотношение

m = ρ∙S,

где m — это масса вырезанной фигуры, а ρ — поверхностная плотность бумаги. Разумеется, мы говорим о бумаге только ради определенности. С тем же успехом можно брать любой другой листовой материал. Поверхностную плотность ρ легко установить, если вырезать из того же материала прямоугольник со сторонами a0 и b0 и измерить его массу m0. Тогда, как мы знаем,

ρ = 

  m0 

.

 a0b0

В случае прямоугольника справедливость соотношения m0 = ρ∙S0, где площадь S0 равна S0 = a0b0, была уже установлена нами ранее.

Разрежем фигуру площадью S и массой m на две части. Тогда массы частей m1 и m2 составляют в сумме исходную массу m:

m1 + m2 = m.

Поделив обе части этого равенства на ρ, получаем, что площади отдельных частей S1 и S2 подчиняются подобному же соотношению:

S1 + S2 = S.

Это равенство послужит нам основой для вычисления площади треугольников, да и вообще любых других геометрических фигур.

Площадь прямоугольного треугольника

Треугольник, в котором один из углов — прямой (то есть равен 90°), называется прямоугольным. При этом стороны, примыкающие к прямому углу называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла, — гипотенузой. На чертежах прямой угол часто помечается небольшим квадратиком («носиком»), как показано на рисунке.

 

Пусть в треугольнике ABC угол при вершине C равен 90°. Проведем через вершины A и B прямые, параллельные противоположным катетам BC и AC. В результате образуется прямоугольник, выделенный на рисунке серым цветом.

 

Гипотенуза AB служит прямоугольнику диагональю, причем ее центр является центром симметрии прямоугольника [4.4]. Эта диагональ делит прямоугольник на два симметричных треугольника с одинаковыми площадями S. Взятые вместе, эти площади составляют площадь всего прямоугольника, которая, таким образом, равна 2S. Обозначим длины катетов исходного треугольника через a и b. В прямоугольнике эти катеты играют роль сторон. Следовательно, площадь прямоугольника можно найти как 2S = ab. Отсюда, площадь каждого из треугольников — в том числе, исходного треугольника ABC — равна

S = ½ ab.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Площадь произвольного треугольника

Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Выберем одну из его сторон и назовем ее основанием. Пусть для определенности это будет сторона ВС. Обозначим ее длину через a, так что a = |BC|.

 

Из противоположной вершины A опустим перпендикуляр на прямую BC и обозначим точку его пересечения с этой прямой через H. Отрезок AH называется высотой треугольника АВС, проведенной к основанию BC. Обозначим длину этого отрезка через h: h = |AH|. Возможны два случая.

Случай 1. Точка H лежит на основании BC.

 

Ведем обозначения: a1 = |BH| и a2 = |HC|. Заметим, что a1 + a2 = a. Площадь S треугольника ABC найдем как сумму двух прямоугольных треугольников: темно-серого ABH и светло-серого AHC:

S = ½ a1h + ½ a2h = ½ (a1 + a2) h = ½ ah.

Случай 2. Точка H не принадлежит основанию BC. Пусть, для определенности, она лежит на прямой BC со стороны точки B.

 

Введем, как и раньше, обозначения a1 = |BH| и a2 = |HC|. Длина основания на этот раз равна a = a2 − a1. Площадь светло-серого треугольника ABC находим как разность площадей большого «объединенного» треугольника AHC и темно-серого треугольника AHB:

S = ½ a2h − ½ a1h = ½ (a2− a1) h = ½ ah.

Таким образом, в обоих случаях мы получили для площади треугольника одну и ту же формулу:

S = ½ ah.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Впрочем, оба случая можно объединить в один, если вспомнить, что мы умеем пользоваться отрицательными числами. Будем считать, что прямая, на которой лежит основание треугольника, представляет собой числовую ось x с нулем в точке H. Положение точек B и C на этой оси обозначим через xB и xC. Направление оси выберем так, чтобы выполнялось неравенство xB < xC. Далеко в отрицательной области отметим на оси некоторую точку H1. Через точку A проведем прямую, параллельную оси x, а через точку H1 — прямую, параллельную высоте AH треугольника ABC. Обозначим пересечение этих прямых через A1.

 

Мы получили прямоугольник AA1H1H, площадь которого мы обозначим через S0. При этом площадь четырехугольника AA1H1С равна, очевидно, S0 + ½ xСh. Но нас на самом деле интересует не вся эта площадь целиком, а только ее отклонение от величины S0. Это отклонение мы для краткости будем называть площадью треугольника AHC. Эта площадь, равная ½ xСh, может быть положительной или отрицательной в зависимости от знака числа xС. Площадь S треугольника ABC может быть вычислена как разность площадей четырехугольников AA1H1С и AA1H1B:

S = (S0 + ½ xСh) − (S0 + ½ xBh),

или, говоря короче, как разность площадей треугольников AHС и AHB:

S = ½ xСh − ½ xBh = ½(xС − xB)h = ½ ah.

Как и следовало ожидать, результат получился таким же, как раньше.

Расстояние между параллельными прямыми

Рассмотрим две произвольные параллельные прямые m и n. Отметим на прямой m какую-либо точку M и опустим из нее перпендикуляр на прямую n. Обозначим точку пересечения перпендикуляра с прямой n через N.

 

Длина отрезка MN называется расстоянием между прямыми m и n. Это расстояние не зависит от положения точки M на прямой m. Действительно, возьмем на прямой m любую другую точку M1, проведем через нее перпендикуляр к прямой n, и обозначим новую точку пересечения через N1. У нас образовался прямоугольник NMM1N1, в котором отрезки MN и M1N1 являются противоположными сторонами, а потому их длины равны между собой.

Нетрудно также видеть, что точно такое же расстояние между прямыми мы получим, если будем измерять его не от прямой m к прямой n, а наоборот, от прямой n к прямой m.

Площадь трапеции

Трапеция — это четырехугольник, у которого какие-либо две противоположные стороны являются параллельными. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Расстояние между прямыми, на которых лежат основания, носит название высоты трапеции.

 

Вычислим площадь S произвольной трапеции. Пусть a и b — длины ее оснований, а h — высота. Проведя в трапеции какую-либо диагональ, разобьем ее таким образом на два треугольника. Площади этих треугольников равны ½ ah и ½ bh, а значит площадь всей трапеции вычисляется как

S = ½ (a + b) h.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.

Площадь параллелограмма

Параллелограмм можно рассматривать как частный случай трапеции. Поскольку, однако, в параллелограмме имеется две пары параллельных сторон, то перед вычислением площади мы должны определиться с тем, чтó именно считать основаниями, а что — боковыми сторонами.

 

Также следует иметь в виду, что основания в параллелограмме имеют одинаковые длины, которые, таким образом, можно обозначить одной и той же буквой a. Высота h должна соответствовать выбранной паре оснований. С учетом этих оговорок, площадь S параллелограмма можно найти по формуле для площади трапеции, которая преобразуется в

S = ah.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Конспект

1. Многоугольник, n-угольник: часть плоскости внутри ограниченной замкнутой несамопересекающейся цепочки из n отрезков, в которой соседние отрезки не лежат на одной прямой. Граница принадлежит многоугольнику.

2. Площадь S произвольной геометрической фигуры, которую можно вырезать из бумаги, определяется таким образом, чтобы масса m фигуры была равна m = ρ∙S, где ρ — поверхностная плотность бумаги.

3. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

4. Площадь произвольного треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.

5. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.

6. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Искусство решения проблем

В любом треугольнике прямая Эйлера — это прямая, проходящая через ортоцентр, центр тяжести, центр описанной окружности, центр девяти точек и точку де Лоншана. Он назван в честь Леонарда Эйлера. Его существование — нетривиальный факт евклидовой геометрии. Между этими точками сохраняются определенные фиксированные порядки и отношения расстояний. В частности, и


линия Эйлера является центральной линией .


Учитывая ортогональный треугольник , линии Эйлера , и сходятся в , окружность с девятью точками .

Содержание

  • 1 Доказательство, что центроид лежит на прямой Эйлера
  • 2 Еще одно доказательство
  • 3 Доказательство того, что центр из девяти точек лежит на прямой Эйлера
  • 4 Аналитическое доказательство существования
  • 5 Точки пересечения прямой Эйлера со сторонами треугольника
  • 6 Углы между прямой Эйлера и сторонами треугольника
  • 7 Расстояния по линии Эйлера
  • 8 Положение центров Кимберлинга на линии Эйлера
  • 9 Треугольники с углами или
  • 10 Прямые Эйлера вписанного четырехугольника (теорема Виттаса)
  • 11 Параллельные линии Эйлера и точки Ферма
  • 12 Линия Эйлера треугольника Жергонна
  • 13 Точка свода
  • 14 точка Шиффлера
  • 15 Линия Эйлера как радикальная ось
  • 16 Де Лоншам-Пойнт X(20)
  • 17 линия Де Лоншам
  • 18 ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ КАСАТЕЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА X(26)
  • 19 ПЕРСПЕКТОР ОРТИЧНЫХ И КАСАТЕЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ X(25)
  • 20 Эксетер пойнт Х(22)
  • 21 Крайняя точка X(23)
  • 22 симметричные линии
  • 23 H–линия Заявление
  • 24 См. также

Доказательство, что центроид лежит на прямой Эйлера

В этом доказательстве используется понятие спирального подобия, которое в данном случае представляет собой вращение с последующей гомотетией. Рассмотрим медиальный треугольник. Это похоже на . В частности, вращение вокруг средней точки с последующей гомотетией с масштабным коэффициентом в центре дает . Посмотрим, что еще будет делать это преобразование, которое мы обозначим .

Оказывается, это ортоцентр и центр тяжести . Таким образом, . Поскольку гомотетия сохраняет углы, отсюда следует, что . Наконец, как следует, что Таким образом, коллинеарны, и .

Другое доказательство

Пусть будет середина . Расширьте прошлое до такой точки, что . Мы покажем, что это ортоцентр. Рассмотрим треугольники и . Так как , и они оба имеют общий вертикальный угол, они подобны подобием SAS. Таким образом, , так лежит на высоте . Аналогично можно показать, что также лежит на высотах и ​​и ортоцентр.

Доказательство девятиточечного центра лежит на прямой Эйлера

Предполагая, что девятиточечный круг существует и это центр, обратите внимание, что гомотетия с центром в множителе переводит точки Эйлера на описанную окружность . Таким образом, он сводит девятиконечный круг к описанному кругу. Кроме того, должны быть отправлены в , таким образом и .

Аналитическое доказательство существования

Пусть центр описанной окружности представлен вектором , и пусть векторы соответствуют вершинам треугольника. Хорошо известно, что ортоцентр равен , а центр тяжести равен . Таким образом, коллинеарны и

Точки пересечения прямой Эйлера со сторонами треугольника

Остроугольный треугольник

Позвольте быть остроугольным треугольником, где Обозначим

. Пусть линия Эйлера пересекает прямые и в точках и соответственно.

Тогда точка лежит на отрезке

Точка лежит на отрезке

Точка лежит на луче

Доказательство

Обозначим

Используем формулы (см. Утверждение «Отрезки, пересекающиеся внутри треугольника» в «Точке Шиффлера» в «Линии Эйлера»).

Центроид лежит на медиане

Ортоцентр лежит на высоте Поэтому Воспользуемся подписанной версией теоремы Менелая и получим

Тупоугольный треугольник

Пусть будет тупоугольный треугольник где

Пусть линия Эйлера пересекает прямые и в точках и соответственно.

Аналогично получаем

луч

Прямоугольный треугольник

Позвольте быть прямоугольным треугольником, где Тогда линия Эйлера содержит медиану из вершины

Равнобедренный треугольник

Позвольте быть равнобедренным треугольником, где Тогда прямая Эйлера содержит медиану из вершины

Следствие: прямая Эйлера параллельна стороне

Прямая Эйлера параллельна стороне тогда и только тогда, когда

Доказательство

После упрощения в деле получаем

vladimir. [email protected], vvsss

Углы между прямой Эйлера и сторонами треугольника

Пусть линия Эйлера пересекает прямые и в точках и соответственно. Обозначим меньшие углы между прямой Эйлера и прямыми и как и соответственно.

Докажите, что

Доказательство

WLOG,

Пусть середина будет центром описанной окружности

Аналогично для других углов.

  • Перспектор Госсарда

[email protected], vvsss

Расстояния по линии Эйлера

Пусть и будет ортоцентром, центром тяжести, центром описанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно.

Докажите, что

Доказательство

WLOG, остроугольный треугольник,

[email protected], vvsss

Положение центров Кимберлинга на прямой Эйлера

Пусть дан треугольник ABC. Пусть и являются ортоцентром, центром описанной окружности, радиусом описанной окружности и внутренним радиусом соответственно.

Мы используем точку как начало координат и как единичный вектор.

Находим кимберлинговский центр X(I) на прямой Эйлера в виде Для многих центров Кимберлинга коэффициент является функцией только двух параметров и

Centroid Девятиточечный центр точка де Лоншам точка Шиффлера Эксетер Пойнт Дальняя точка Перспектор ABC и ортогональный треугольник Гомотетический центр орто- и тангенциального треугольников Центр окружности касательного треугольника

Середина X(3) и [email protected], vvsss

Треугольники с углами или

Пункт 1

Пусть в треугольнике будет Тогда прямая Эйлера параллельна биссектрисе

Доказательство

Пусть будет окружностью, описанной вокруг

Пусть будет центром описанной окружности

Пусть будет окружностью, симметричной относительно

Пусть будет точкой, симметричной относительно

Лежит на лежит на

радиус и вектор переноса до

Пусть — точка, симметричная относительно хорошо известной, лежащая на Следовательно, точка лежит на

Точка лежит на

Пусть биссектриса совпадает.

Прямая Эйлера параллельна биссектрисе желаемого.

Пункт 2

Пусть в треугольнике будет Тогда прямая Эйлера перпендикулярна биссектрисе

Доказательство

Пусть описанная окружность, центр описанной окружности, ортоцентр и центр вписанной точки совпадают.

Окружность с центром в середине малой дуги

является ромбом.

Следовательно, прямая Эйлера перпендикулярна желаемому.

Пункт 3

Позвольте быть четырехугольником, диагонали которого и пересекаются в и образуют угол Если треугольники PAB, PBC, PCD, PDA все неравносторонние, то их линии Эйлера попарно параллельны или совпадают.

Доказательство

Позвольте и быть внутренней и внешней биссектрисами угла .

Тогда прямые Эйлера и параллельны, а прямые Эйлера и перпендикулярны как угодно.

[email protected], ввсс

Прямые Эйлера вписанного четырехугольника (теорема Виттаса)

Утверждение 1

Позвольте быть вписанным четырехугольником с диагоналями, пересекающимися в. Прямые Эйлера треугольников совпадают.

Доказательство

Позвольте быть центром описанной окружности (ортоцентром) треугольников Пусть общая биссектриса и Следовательно, и — параллелограммы с параллельными сторонами.

делят эти углы пополам. Таким образом, точки коллинеарны и лежат на одной прямой, которая является стороной парных вертикальных углов, и Точно так же точки коллинеарны и лежат по другую сторону этих углов. Аналогично тупые, так что точки и лежат на одной стороне и лежат на одной стороне, а точки и лежат на одной стороне и лежат на другой стороне одних и тех же вертикальных углов.

Мы используем Утверждаем и получаем, что линии параллельны (или параллельны, если или ).

Утверждение 2 (Свойство вершины двух параллелограммов)

Пусть и параллелограммы, Пусть прямые и пересекаются в точке Тогда точки и коллинеарны, а прямые и параллельны.

Доказательство

Мы рассматриваем только случай, когда преобразование Shift позволяет обобщить полученные результаты.

Используем систему координат с началом в точке и осях

Используем и получаем точки и коллинеарны.

Вычисляем точку пересечения и и и и получаем тот же результат: по желанию (если при этом точка уходит в бесконечность и прямые параллельны, углы или

[email protected], vvsss ~ незначительная редакция Yiyj1

Совпадающие линии Эйлера и точки Ферма

Рассмотрим треугольник с точками Ферма–Торричелли и Линии Эйлера треугольников с вершинами, выбранными из и совпадающими в центроиде треугольника. и линии треугольников зеленый цвет для треугольников и синий цвет для треугольников

Кейс 1

Пусть — первая точка Ферма с максимальным углом меньше чем Тогда центр тяжести треугольника лежит на прямой Эйлера Парные углы между этими прямыми Эйлера равны

Доказательство

Пусть и будет центроидом, центром окружности и описанной окружностью соответственно.

Пусть будет внешним для равностороннего треугольника вписанным.

Точка является центром тяжести точек и коллинеарна, поэтому точка лежит на прямой Эйлера из

Случай 2

Пусть первая точка Ферма

Тогда центр тяжести треугольника лежит на Эйлеровых прямых треугольников и Попарные углы между этими Эйлеровыми прямыми равны

Доказательство

Пусть будет внешним для равностороннего треугольника, будет описанная окружность циклическая.

Точка является центроидом

Точки коллинеарны, поэтому точка лежит на линии Эйлера, как и требовалось.

Корпус 3

Пусть вторая точка Ферма Тогда центр тяжести треугольника лежит на линиях Эйлера треугольников и

Попарные углы между этими линиями Эйлера равны

Доказательство

Пусть будет внутренним для равностороннего треугольника, будет описанной окружностью

Пусть и будут центрами описанных окружностей треугольников и Точка является центром тяжести линии Эйлера параллели

— биссектриса — биссектриса — биссектриса — правильного треугольника.

— внутренний треугольник Наполеона центроида этого правильного треугольника.

точки и коллинеарны по желанию.

Точно так же точки и коллинеарны.

Чемодан 4

Позвольте и быть точками Ферма Тогда центроид точки лежит на линии Эйлера (центр окружности, центроид)

Доказательство Шаг 1 0087 Этап 2 Докажем, что прямая параллельна

Пусть внутренний треугольник Наполеона. Позвольте быть внешним треугольником Наполеона. Эти треугольники правильные с центрами в

точек и коллинеарны (они лежат на биссектрисе

Точки и коллинеарны (они лежат на биссектрисе

Точки и коллинеарны (они лежат на биссектрисе угла между и

Точки и концикличны Точки и конциклические

точки и конциклические

Следовательно и коллинеарны или точка лежит на прямой Эйлера

[email protected], vvsss

Прямая Эйлера треугольника Жергонна

Докажите, что прямая Эйлера треугольника Жергонна проходит через центр описанной окружности треугольника

Треугольник Жергонна также известен как контактный треугольник или треугольник касания. Если вписанный круг касается сторон в точках, а затем треугольник Жергонна .

Другая формулировка: Касательные к описанной окружности проведены в вершинах треугольника. Докажите, что центр описанной окружности треугольника, образованного этими тремя касательными, лежит на прямой Эйлера исходного треугольника.

Доказательство

Позвольте и быть ортоцентром и центром описанной окружности соответственно. Пусть будет ортическим треугольником

Тогда линия Эйлера является центром центра

Аналогично,

где является перспективой треугольников и

При гомотетии с центром P и коэффициентом центр карт в центр центра окружности карты в центр окружности коллинеарны по желанию.

[email protected], ввсс

Точка свода

Пусть и будут высотами где

а) Докажите, что линии Эйлера треугольников совпадают на девятиточечной окружности в точке T (точка Thebault )

б) Докажите, что если то еще

Доказательство

Случай 1 Остроугольный треугольник

а) Известно, что прямые Эйлера остроугольного треугольника пересекают АВ и ВС (самую короткую и длинную стороны) во внутренних точках.

Пусть будут центрами описанных окружностей

Пусть и будут центроидами

Обозначает круг (круг с девятью точками).

— середина, где находится ортоцентр

Аналогично

— средняя линия

Пусть пересекаются в точке, отличной от

спиральное подобие с центром в картах на

треугольников

Пусть эти линии пересеклись в точке Поэтому точки и концикличны

Точно так же, как нужно.

б) Точка лежит на медиане и делит ее в отношении 2 : 1.

Точка лежит на прямой Эйлера

Согласно Утверждению,

Аналогично

Случай 2 Тупоугольный треугольник

а) Известно, что прямая Эйлера тупого креста AC и BC (средняя и длинная стороны) во внутренних точках.

Пусть будут центрами описанных окружностей

Пусть и будут центроидами

Обозначим окружность (окружность с девятью точками).

— середина, где находится ортоцентр

Аналогично

— средняя линия

Перекрестимся в точке, отличной от

Спиральное подобие с центром в картах на

треугольников

Пусть эти линии пересеклись в точке Поэтому точки и концикличны

Точно так же, как нужно.

б)

Точка лежит на медиане и делится на

Точка лежит на прямой Эйлера По Претензия,

Аналогично

Претензия (Отрезок, пересекающий медиану)

Пусть будет середина стороны

Тогда

Доказательство

Пусть будет (Мы используем знак для обозначения площади

Обозначаем [email protected], vvsss

Точка Шиффлера

Пусть и будет центром вписанной окружности, центром окружности, центром тяжести, радиусом описанной окружности и внутренним радиусом соответственно. Тогда линии Эйлера четырех треугольников совпадают в точке Шиффлера.

Доказательство

Докажем, что прямая Эйлера пересекает прямую Эйлера в такой точке, что .

Позвольте и быть центром описанной окружности и центроидом соответственно.

Известно, что лежит на описанной окружности

Обозначим

Известно, что средняя точка лежит на срединных точках, принадлежащих биссектрисе

Легко найти, что ,

Мы используем знак [t] для площади t. Мы получаем

Использование Претензия получаем Следовательно, каждая линия Эйлера треугольников пересекает линию Эйлера в одной и той же точке, что и требовалось.

Претензия (Отрезки пересекаются внутри треугольника)

Дан треугольник GOY. Точка лежит на

Точка лежит на

Точка лежит на

Точка лежит на Тогда

Доказательство

Пусть будет (Используем знак для области [email protected], vvsss

Линия Эйлера как радикальная ось

Пусть даны высоты и .

Позвольте и быть описанной окружностью, описанной окружностью, ортоцентром и описанной окружностью соответственно.

Окружность с центром проходит через радиус AO и касается его. Аналогично определим окружности

и

. Тогда линия Эйлера является радикальной осью этих окружностей.

Если острая, то эти три окружности пересекаются в двух точках, расположенных на прямой Эйлера

Доказательство

Степень точки по отношению к

Степень точки по отношению к

Степень точки по отношению к

Степень точки по отношению к

Известно, что

Следовательно указывает и лежит на радикальной оси этих трех окружностей по желанию.

[email protected], ввсс

Пойнт де Лоншам X(20)

Определение 1

Точка треугольника Де Лоншана является радикальным центром кругов власти треугольника. Докажите, что точка де Лоншана лежит на прямой Эйлера.

Мы называем окружностью A-степени а окружность с центром в средней точке с радиусом. Две другие окружности определяются симметрично.

Доказательство

Пусть и будет ортоцентром, центром описанной окружности и точкой де Лоншана соответственно.

Обозначим круг силы через круг силы через WLOG,

Обозначим проекцию точки на

Докажем, что радикальные оси силовых и силовых циклов симметричны высоте относительно Далее, придем к выводу, что точка пересечения радикалов осей, симметричных высотам относительно О, симметрична точке пересечения высот относительно

Точка пересечения средней линии силового и силового кругов и находящейся там радикальной оси. Используем претензию и получаем:

и медианы, поэтому

Используем Claim несколько раз и получаем: радикальные оси силовых и силовых циклов симметричны высоте относительно

Аналогично радикальные оси силовых и силовых циклов симметричны высоте радикальные оси силовых и силовых циклов симметричны высоте относительно Поэтому точка пересечения радикальных осей, симметричная высотам относительно , ​​симметрична точке пересечения высот относительно , ​​лежит на прямой Эйлера

Претензия (Расстояние между выступами)

Определение 2

Мы называем кругом круг с центром в и радиусом. Два других круга определены симметрично. Точка де Лоншана треугольника — это радикальный центр окружности, окружности и окружности треугольника (Кейси — 1886). Докажите, что точка Де Лоншана по этому определению совпадает с точкой по определению 1 .

Доказательство

Позвольте и быть ортоцентром, центроидом и точкой де Лоншана соответственно. Пусть пересекаются в точках и Остальные точки определяются симметрично. Точно так же диаметр

Следовательно, антидополнительный треугольник является ортоцентром треугольника Итак, ортоцентр

по желанию.

[email protected], ввсс

Линия де Лоншана

Линия де Лоншана определяется как радикальные оси окружности де Лоншана и описанной окружности

Позвольте быть описанной окружностью (антидополнительного треугольника

Позвольте быть кругом с центром в (центроиде) с радиусом где

Докажите, что линия де Лоншана перпендикулярна линии Эйлера и является радикальными осями и

Доказательство

Центр , центр где находится линия Эйлера. Гомотетия с центром и соотношением отображается в Эта гомотетия отображается в и есть две инверсии, которые меняются местами и

Первая инверсия с центром в точке Пусть будет точка пересечения и

Радиус можно найти с помощью

Вторая инверсия с центром в точке Мы можем произвести те же расчеты и получить желаемое.

[email protected], ввсс

ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ КАСАТЕЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА X(26)

Докажите, что центр описанной окружности касательного треугольника (точка Кимберлинга лежит на прямой Эйлера

Доказательство

Пусть и будут серединами и соответственно.

Пусть будет описанная окружность Это девятиконечная окружность

Пусть будет описанная окружность Пусть будет описанная окружность

и являются касательными к инверсии относительно своп и Аналогично, это инверсия своп и и Следовательно это инверсия своп и

центр и центр лежат на линии Эйлера, поэтому центр лежит на этой линии, что и требовалось.

После некоторых вычислений можно найти положение точки на линии Эйлера (см. точку Кимберлинга

[email protected], vvsss

ПЕРСПЕКТОР ОРТИЧНЫХ И КАСАТЕЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ X(25)

Пусть будет ортотреугольником Пусть будет центром описанной окружности Пусть будет касательным треугольником Пусть будет центром описанной окружности

Докажите, что прямые и параллельны в точке, лежит на прямой Эйлера

Доказательство

и антипараллельны ВС относительно

Аналогично,

Следовательно, гомотетичный центр и является точкой пересечения прямых и Обозначим эту точку как

Точки и являются соответствующими точками (центрами окружности) и поэтому точка лежит на line

Указывает и лежит на прямой Эйлера, поэтому лежит на прямой Эйлера

vladimir. [email protected], vvsss

Точка Эксетера X(22)

Точка Эксетера — это точка зрения окружного треугольника и касательного треугольника Другими словами, пусть будет опорным треугольником (кроме прямоугольного треугольника). Пусть медианы, проходящие через вершины, пересекают описанную окружность треугольника в точках и соответственно. Позвольте быть треугольником, образованным касательными в и к (Позвольте быть вершиной, противоположной стороне, образованной касательной в вершине A). Докажите, что прямые, проходящие через и, пересекаются, точка пересечения лежит на прямой Эйлера треугольника точка пересечения лежит на прямой Эйлера треугольника, где — центр описанной окружности, — ортоцентр, — радиус описанной окружности.

Доказательство

Сначала докажем, что прямые и параллельны. Это следует из того факта, что прямые и пересекаются в точке и Теорема отображения .

Позвольте и быть серединами и соответственно. Точки и лежат на одной прямой. Точно так же точки и коллинеарны.

Обозначим инверсию относительно Очевидно, что

Обозначим

Степень точки относительно

Точно так же степень точки относительно

лежит на радикальной оси и

Следовательно, вторая точка пересечения и точка лежит на прямой, которая является линией Эйлера Точка лежит на той же линии Эйлера, что и требовалось.

Последний мы найдем длину по желанию.

Теорема отображения

Пусть даны треугольник и вписанная окружность. Пусть точка на плоскости Пусть линии и пересечения второй раз в точках и соответственно.

Докажите, что прямые и пересекаются.

Доказательство

Используем Claim и получаем: Точно так же

Мы используем тригонометрическую форму теоремы Чевы для точки и треугольника и получаем Мы используем тригонометрическую форму теоремы Чевы для треугольника и заканчиваем доказательство того, что прямые и пересекаются.


Претензия (точка на окружности)

Пусть даны треугольник и вписанная окружность. Докажите, что

Доказательство

Аналогично

Умножаем и делим эти уравнения и получаем:

[email protected], ввсс

Дальняя точка X(23)

Пусть будет касательным треугольником

Пусть и будет центром тяжести, описанной окружностью, центром описанной окружности, радиусом описанной окружности и ортоцентром

Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей и является точкой Точка лежит на Эйлер линия

Доказательство

Обозначим инверсию относительно середины

Очевидно, что

Инверсия окружностей — это линии, которые пересекаются в точке

Следовательно, точка лежит на прямой Эйлера как и требовалось.

[email protected], ввсс

Симметричные прямые

Пусть дан треугольник с описанной окружностью.

Теория вероятности определения и формулы: Теория вероятностей — урок. Основной государственный экзамен 9 класс, Математика.

alexxlab / / Разное

формулы для решения типичных задач, объяснение теории

  • Теория вероятностей о видах событий и вероятности их появления
  • Задачи на классическую и статистическую вероятности. Формулы вероятностей: классической и статистической
  • Свойства вероятностей

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

На этом уроке освоим формулы для решения типичных задач по теории вероятностей. Узнаем виды событий и научимся вычислять вероятности их появления. Немаловажно, как появилась теория вероятностей: математика занялась проблемами азартных игр, в частости, вероятностью выпадения выигрыша. Поэтому до сих пор в задачах, в том числе тех, которые мы будем рассматривать, часто описываются различные игровые ситуации.

Если говорить о теории вероятностей простыми словами, то это математическая наука о вычислении вероятностей случайных событий. Нередко приходится слышать, что вероятность такого-то события равна нулю, единице, 50 процентам или другому числовому значению. Но насколько достоверны те или иные утверждения, а точнее, в каких случаях они достоверны, а в каких — нет? Например, «блондинка из анекдота» утверждает, что вероятность случайно встретить на улице динозавра равна 1/2 или 50 процентам. Насколько это достоверно?

Нельзя утверждать, что «блондинка из анекдота» совершенно не права. Ее заключение основано на том, что динозавра на улице «можно встретить, а можно не встретить». Такое заключение может быть истолковано по классическому определению вероятности: из двух возможностей одна благоприятствует наступлению события, следовательно, вероятность наступления события равна 1/2. Но такие заключения, как говорят умудренные опытом люди, не представляют окончательной познавательной ценности.

Ценность с точки зрения теории вероятностей представляют лишь такие заключения, которые связывают наступление или ненаступление события с большим числом случайных и часто мало связанных друг с другом факторов или условий.

Данная статья — вводная во множество уроков по теории вероятностей, а также математической статистике. На них можно научиться находить скрытые закономерности в данных о различных событиях и явлениях.

Теперь наиболее точное определение теории вероятностей. Теория вероятностей — математическая наука, выясняющая закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов. Например, в случае анекдота про блондинку и динозавра требуется установить, сохранились ли где-либо на Земле динозавры, и если да, то где их больше и где на карте «динозавренности Земли» находится совершенно определенная улица. Если рассматривать более серьезные заключения, например, о том, что футбольный матч между командами A и B закончится со счетом 3:1, то это субъективное заключение, если оно не учитывает историю матчей между этими командами, матчей этих команд с другими командами, текущего состава игроков команд и истории достижений этих игроков.

Обобщенно: о вероятности события A можно говорить с предположением, что выполнен некоторый комплекс условий S. Если этот комплекс условий изменился, то и вероятность наступнения собятия S должна измениться. Например, утверждение о том, что при бросании игральной кости каждая сторона выпадет с одной и той же вероятностью, равной 1/6, предполагает следующий комплекс условий: кость имеет одинаковую плотность, имеет точную форму куба и подбрасывается совершенно случайным образом.

Именно на примерах азартных игр, в том числе игре в кости, учеными были впервые обнаружены статистические закономерности, описывающие частоту наступления события. Это было сформулировано так: наличие у события A при условиях S определенной вероятности, равной p, проявляется в том, что в почти каждой достаточно длинной серии испытаний частота события приблизительно равна p. На этой основе и возникла теория вероятностей в середине XVII века, когда математики заинтересовались задачами, поставленными азартными игроками и стали изучать такие события, как появление выигрыша. Ученые того времени – Гюйгенс (1629-1695), Паскаль (1623-1662), Ферма (1601-1665) и Бернулли (1654-1705) были убеждены, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. При этом для исследований было достаточно элементарных арифметических и комбинаторных действий.

Итак, теория вероятностей объясняет и исследует различные закономерности, которым подчинены случайные события и случайные величины. Событием является любой факт, который можно констатировать в результате наблюдения, испытания или опыта. Наблюдением, испытанием или опытом называют реализацию определенных условий, в которых событие может состояться.

Что нужно знать, чтобы решать задачи на определение вероятности появления события

Все события, за которыми люди наблюдают или сами создают их, делятся на:

  • достоверные события;
  • невозможные события;
  • случайные события.

Достоверные события наступают всегда, когда создан определенный комплекс обстоятельств. Например, если работаем, то получаем за это вознаграждение, если сдали экзамены и выдержали конкурс, то достоверно можем рассчитывать на то, что включены в число студентов. Достоверные события можно наблюдать в физике и химии. В экономике достоверные события связаны с существующим общественным устройством и законодательством. Например, если мы вложили деньги в банк на депозит и выразили желание в определенный срок их получить, то деньги получим. На это можно рассчитывать как на достоверное событие.

Невозможные события определенно не наступают, если создался определенный комплекс условий. Например, вода не замерзает, если температура составляет плюс 15 градусов по Цельсию, производство не ведется без электроэнергии.

Случайные события при реализации определенного комплекса условий могут наступить и могут не наступить. Например, если мы один раз подбрасываем монету, герб может выпасть, а может не выпасть, по лотерейному билету можно выиграть, а можно не выиграть, произведенное изделие может быть годным, а может быть бракованным. Появление бракованного изделия является случайным событием, более редким, чем производство годных изделий.

Ожидаемая частота появления случайных событий тесно связана с понятием вероятности. Закономерности наступления и ненаступления случайных событий исследует теория вероятностей.

Если комплекс нужных условий реализован лишь один раз, то получаем недостаточно информации о случайном событии, поскольку оно может наступить, а может не наступить. Если комплекс условий реализован много раз, то появляются известные закономерности. Например, никогда невозможно узнать, какой кофейный аппарат в магазине потребует очередной покупатель, но если известны марки наиболее востребованных в течение длительного времени кофейных аппаратов, то на основе этих данных возможно организовать производство или поставки, чтобы удовлетворить спрос.

Знание закономерностей, которым подчинены массовые случайные события, позволяет прогнозировать, когда эти события наступят. Например, как уже ранее отмечено, заранее нельзя предусмотреть результат бросания монеты, но если монета брошена много раз, то можно предусмотреть выпадение герба. Ошибка может быть небольшой.

Методы теории вероятностей широко используются для решения задач в различных отраслях естествознания, теоретической физике, геодезии, астрономии, теории автоматизированного управления, теории наблюдения ошибок, и во многих других теоретических и практических науках. Теория вероятностей широко используется в планировании и организации производства, анализе качества продукции, анализе технологических процессов, страховании, статистике населения, биологии, баллистике и других отраслях.

Случайные события обычно обозначают большими буквами латинского алфавита A, B, C и т.д.

Случайные события могут быть:

  • несовместными;
  • совместными.

События A, B, C … называют несовместными, если в результате одного испытания может наступить одно из этих событий, но невозможно наступление двух или более событий.

Если наступление одного случайного события не исключает наступление другого события, то такие события называют совместными. Например, если с ленты конвейера снимают очередную деталь и событие А означает «деталь соответствует стандарту», а событие B означает «деталь не соответствует стандарту», то A и B – несовместные события. Если событие C означает «взята деталь II сорта», то это событие совместно с событием A, но несовместно с событием B.

Если в каждом наблюдении (испытании) должно произойти одно и только одно из несовместных случайных событий, то эти события составляют полное множество (систему) событий.

Достоверным событием является наступление хотя бы одного события из полного множества событий.

Если события, образующие полное множество событий, попарно несовместны, то в результате наблюдения может наступить только одно из этих событий. Например, студент должен решить две задачи контрольной работы. Определенно произойдет одно и только одно из следующих событий:

  • будет решена первая задача и не будет решена вторая задача;
  • будет решена вторая задача и не будет решена первая задача;
  • будут решены обе задачи;
  • не будет решена ни одна из задач.

Эти события образуют полное множество несовместных событий.

Если полное множество событий состоит только из двух несовместных событий, то их называют взаимно противоположными или альтернативными событиями.

Событие, противоположное событию , обозначают . Например, в случае одного подбрасывания монеты может выпасть номинал () или герб ().

События называют равновозможными, если ни у одного из них нет объективных преимуществ. Такие события также составляют полное множество событий. Это значит, что в результате наблюдения или испытания определенно должно наступить по меньшей мере одно из равновозможных событий.

Например, полную группу событий образуют выпадение номинала и герба при одном подбрасывании монеты, наличие на одной печатной странице текста 0, 1, 2, 3 и более 3 ошибок.

Классическое определение вероятности. Возможностью или благоприятным случаем называют случай, когда при реализации определённого комплекса обстоятельств события А происходят. Классическое определение вероятности предполагает напрямую вычислить число благоприятных случаев или возможностей.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятных этому событию возможностей к числу всех равновозможных несовместных событий N, которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения. Формула вероятности события А:

                             (1)

Если совершенно понятно, о вероятности какого события идёт речь, то тогда вероятность обозначают маленькой буквой p, не указывая обозначения события.

Чтобы вычислить вероятность по классическому определению, необходимо найти число всех равновозможных несовместных событий и определить, сколько из них благоприятны определению события А. Перейдём к задачам.

Пример 1. Найти вероятность выпадения числа 5 в результате бросания игральной кости.

Решение. Известно, что у всех шести граней одинаковая возможность оказаться наверху. Число 5 отмечено только на одной грани. Число всех равновозможных несовместных событий насчитывается 6, из них только одна благоприятная возможность выпадения числа 5 (М = 1). Это означает, что искомая вероятность выпадения числа 5

Пример 2. В ящике находятся 3 красных и 12 белых одинаковых по размеру мячиков. Не глядя взят один мячик. Найти вероятность, что взят красный мячик.

Решение. Искомая вероятность

Найти вероятности самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Бросается игральная кость. Событие B — выпадение чётного числа. Вычислить вероятность этого события.

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 4. Бросается игральная кость. Какова вероятность выпадения числа 7?

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 5. В урне 5 белых и 7 чёрных шаров. Случайно вытаскивается 1 шар. Событие A — вытянут белый шар. Событие B — вытянут чёрный шар. Вычислить вероятности этих событий.

Посмотреть правильное решение и ответ.

Классическую вероятность называют также априорной вероятностью, так как её рассчитывают перед началом испытания или наблюдения. Из априорного характера классической вероятности вытекает её главный недостаток: только в редких случаях уже перед началом наблюдения можно вычислить все равновозможные несовместные события и в том числе благоприятные события. Такие возможности обычно возникают в ситуациях, родственных играм.

Сочетания. Если последовательность событий не важна, число возможных событий вычисляют как число сочетаний:

                    (2)

Пример 6. В группе 30 студентов. Трём студентам следует направиться на кафедру информатики, чтобы взять и принести компьютер и проектор. Вычислить вероятность того, что это сделают три определённых студента.

Решение. Число возможных событий рассчитываем, используя формулу (2):

Вероятность того, что на кафедру отправятся три определённых студента:

Пример 7. Продаются 10 мобильных телефонов. Их них у 3 есть дефекты. Покупатель выбрал 2 телефона. Вычислить вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами.

Решение. Число всех равновозможных событий находим по формуле (2):

По той же формуле находим число благоприятных событию возможностей:

Искомая вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами:

Найти вероятность самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. В экзаменационных билетах 40 вопросов, которые не повторяются. Студент подготовил ответы на 30 из них. В каждом билете 2 вопроса. Какова вероятность того, что студент знает ответы на оба вопроса в билете?

Посмотреть правильное решение и ответ.

Статистика — не Ваша специализация? Закажите статистическую обработку данных

Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика

Свойство 1. Если можно вычислить возможности возникновения события А и их число совпадает общим числом равновозможных событий, то вероятность события А равна 1.

Например, при бросании игральной кости число возможностей выпадения чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 равно 6. Насчитывается также 6 равновозможных несовместимых событий. Таким образом, M = N  и

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна 0. Если число возможностей события А равна 0, то и

Например, при бросании игральной кости не может выпасть число 9, потому что такого числа нет на гранях игральной кости.

Свойство 3. Вероятность случайного события всегда больше 0 и меньше 1:

или

Определение статистической вероятности. В определении статистической вероятности используется понятие относительно частоты события А. Относительной частотой события А называют отношение числа наблюдений, в которых наблюдается А, к числу всех наблюдений. Относительную частоту обычно обозначают буквой W. Если в n наблюдениях событие А наблюдается m раз, то относительная частота события А:

Например, баскетболист у штрафной линии готовится совершить бросок. Из собранной тренером статистической информации известно, что у этого баскетболиста из 100 штрафных бросков успешны 70. Вероятность того, что баскетболист реализует штрафной бросок:

Длительные наблюдения показали, что с увеличением числа наблюдений относительная частота события А становится всё более стабильной. Число, около которого при серии наблюдений колеблется относительная частота, называется статистической вероятностью события А. Формула статистической вероятности события А:

если .

Вычислить точную статистическую вероятность невозможно, так как невозможно выбрать бесконечно большое число наблюдений.

Преимущество статистического определения вероятности в том, что оно не требует априорных знаний об исследуемом объекте. Классическую вероятность можно вычислить до наблюдения или испытания, а статистическую – после наблюдения или испытания.

НазадЛистатьВперёд>>>

Статистика — не Ваша специализация? Закажите статистическую обработку данных

К началу страницы

Действия над вероятностями

Различные задачи на сложение и умножение вероятностей

Формула полной вероятности

Формула Байеса

Независимые испытания и формула Бернулли

Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика

Распределение вероятностей дискретной случайной величины

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Биномиальное распределение дискретной случайной величины

Распределение Пуассона дискретной случайной величины

Равномерное распределение непрерывной случайной величины

Нормальное распределение непрерывной случайной величины

Теория вероятности: основные понятия и определения, основы, предмет, события, формулы и примеры простыми словами

С чего начать изучение теории вероятностей? 

Итак, теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных событий, операции над ними.  

У теории вероятностей нет цели что-либо угадать и предсказать. Предположим, что мы подбрасываем монету — нам нет необходимости угадывать, какой стороной она упадёт. 

Однако если одну и ту же монету в одинаковых условиях подбрасывать сотни и тысячи раз, то будет прослеживаться чёткая закономерность, описываемая вполне жёсткими законами. 

Событие — это базовое понятие теории вероятности. События бывают достоверными, невозможными и случайными.

  • Достоверным является событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт. Например, в условиях земного тяготения подброшенная монета непременно упадёт вниз.
  • Невозможным является событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания. Например, камень при падении улетит вверх. Например, монета зависнет в воздухе или вообще полетит вверх. 
  • Случайным называется событие, которое в результате испытания может произойти, а может не произойти. Например, уже знакомая монетка может упасть либо орлом вверх, либо решкой — это и есть случайное событие.

Любой результат испытания называется исходом, который, собственно и представляет собой появление определённого события.

В частности, при подбрасывании монеты возможно 2 исхода (случайных события): выпадет орёл или выпадет решка. Подразумевается, что опыт проводится в таких условиях, что монета не может встать на ребро или зависнуть в невесомости.

События (любые) обозначают большими латинскими буквами A, B, C… либо буквами с индексами, например: A1, A2, A3…. 

Исключение составляет буква P, которая используется для обозначения вероятности события. Например, вероятность события А обозначается Р(А).

Ещё события можно обозначать индексами в виде букв, например: АО — в результате броска монеты выпадет орёл.

Самая важная формула для решения самых простых задач выглядит так: 

P(A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов данного испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A.

Другая важная характеристика событий — это их равновозможность. Два или большее количество событий называют равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другие. Например: выпадение орла или решки при броске монеты, выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при броске игрального кубика (при условии, что монета и кубик имеют геометрически правильную форму), извлечение карты трефовой, пиковой, бубновой или червовой масти из колоды с учётом, что количество всех мастей одинаковое).

События могут быть не равновозможными. Например, если в колоде не хватает одной червовой карты — тогда вероятность выпадения этой масти будет меньше. Или если игральный кубик не является геометрически правильным кубиком.

 

 

 

 

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter. Мы обязательно поправим!

Теоретическая вероятность и экспериментальная вероятность

Вероятность определяется как вероятность наступления или возникновения события. Обычно возможность анализа возникновения какого-либо события по отношению к предыдущим данным называется вероятностью. Например, если подбросить правильную монету, какова вероятность того, что она упадет решкой? Ответы на вопросы такого типа даются под вероятностью. В этой статье мы подробно узнаем о теории вероятностей, ее формулах и многом другом.

Что такое теория вероятностей?

Теория вероятностей использует концепцию случайных величин и распределения вероятностей, чтобы найти исход любой ситуации. Теория вероятностей — это продвинутый раздел математики, который имеет дело с вероятностью и статистикой наступления события.

Как подбрасывание монеты связано с вероятностью?

Как только вы подбросите монету, результат будет случайным. Это может быть решек или орлов. и орел, и решка имеют одинаковую вероятность приземления, поэтому оба имеют шанс 50-50. Таким образом, мы можем сказать, что вероятность выпадения орла или решки равна 1/2.

Определение теории вероятностей

Теория вероятностей изучает случайные события и сообщает нам об их возникновении. Два основных подхода к изучению теории вероятностей таковы.

  • Теоретическая вероятность
  • Экспериментальная вероятность

Теоретическая и экспериментальная вероятности

На приведенном ниже рисунке показаны теоретическая и экспериментальная вероятности и их различия.

 

Теоретическая вероятность

Теоретическая вероятность имеет дело с предположениями, позволяющими избежать неосуществимого или дорогостоящего повторения экспериментов. Теоретическая вероятность события А может быть рассчитана следующим образом:    

P(A) = (количество исходов, благоприятных для события А) / (количество всех возможных исходов)

На приведенном ниже рисунке показана теоретическая формула вероятности.

 

Примечание: Здесь исходы события предполагаются равновероятными.

Теперь, когда мы изучим формулу, давайте поместим эту формулу в наш случай с подбрасыванием монеты. При подбрасывании монеты возможны два исхода: орёл или решка. Следовательно, вероятность выпадения решки при подбрасывании монеты равна

P(H) = 1/2

. Точно так же вероятность выпадения решки при подбрасывании монеты равна

P(T) = 1/2.

На следующем рисунке показана непредвзятая монета, которая имеет равную вероятность выпадения орла и решки

 

Экспериментальная вероятность

Экспериментальная вероятность определяется путем проведения серии экспериментов и наблюдения за их результатами. Эти случайные эксперименты также известны как испытания. Экспериментальная вероятность события A может быть рассчитана следующим образом:

P(E) = (количество раз, когда произошло событие A) / (общее количество испытаний)

На следующем рисунке показана экспериментальная формула вероятности,

 

Теперь, когда мы изучим формулу, давайте поместим ее в наш случай с подбрасыванием монеты. Если мы подбросили монету 10 раз и зарегистрировали решку 4 раза и решку 6 раз, то вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты:

P(H) = 4/10

Аналогично, вероятность выпадения решки при подбрасывании монеты:

P(T) = 6/10

Пример теории вероятностей

Мы можем изучить понятие вероятности с с помощью примера, рассмотренного ниже,

Пример: Возьмем два случайных кубика и бросим их случайным образом, теперь вычисляется вероятность получения в сумме 10.

Решение:

Всего Возможные события, которые могут произойти (выборочное пространство) {(1,1), (1,2),…, (1,6),…, (6,6)}. Всего мест 36.

Теперь требуемые события {(4,6), (5,5), (6,4)} — это все, что в сумме дает 10.

Таким образом, вероятность получить в сумме 10 = 3/36 = 1/12

Основы теории вероятностей

Ниже обсуждаются различные термины, используемые в теории вероятностей,

Случайный эксперимент

называется случайным экспериментом. Подбрасывание монеты, бросание игральной кости и т. д. — это случайные эксперименты.

Пространство выборки

Множество всех возможных результатов любого случайного эксперимента называется пространством выборки. Например, при бросании игральной кости выпадает шесть результатов: 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Таким образом, его выборочное пространство равно (1, 2, 3, 4, 5, 6)

Событие

Результат любого эксперимента называется событием. В теории вероятностей используются различные типы событий:

  • Независимые события: События, на исходы которых не влияют исходы других будущих и/или прошлых событий, называются независимыми событиями. Например, , результат повторного подбрасывания монеты не зависит от предыдущего результата.
  • Зависимые события: События, на исход которых влияет исход других событий, называются зависимыми событиями. Например, le, сбор апельсинов из мешка, в котором 100 апельсинов, без замены.
  • Взаимоисключающие события: События, которые не могут произойти одновременно, называются взаимоисключающими. Например , получение орла или решки при подбрасывании монеты, потому что оба (орел и решка) не могут быть получены вместе.
  • Равновероятные события: События, которые имеют равные шансы или вероятности произойти, называются равновероятными событиями. Например, , любая грань при бросании костей имеет равную вероятность 1/6.

Случайная переменная

Переменная, которая может принимать значения всех возможных исходов эксперимента, в теории вероятностей называется случайной величиной. Случайные величины в теории вероятностей бывают двух типов, которые обсуждаются ниже 9.0003

Дискретная случайная величина: Переменные, которые могут принимать исчисляемые значения, такие как 0, 1, 2,…, называются дискретными случайными величинами.

Непрерывная случайная переменная: Переменные, которые могут принимать бесконечное число значений в заданном диапазоне, называются непрерывными случайными величинами.

Формулы теории вероятностей

Существуют различные формулы, которые используются в теории вероятностей, и некоторые из них обсуждаются ниже,

  • Теоретическая формула вероятности: (Число благоприятных исходов) / (Число всех исходов)
  • Формула эмпирической вероятности: (Количество раз, когда произошло событие A) / (Общее число испытаний)
  • Правило сложения вероятности: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
  • Дополнительное правило вероятности: P(A’) = 1 – P(A)
  • Независимые события: P(A ∩B) = P(A) ⋅ P(B)
  • Условная вероятность: P(A | B) = P(A∩B) / P(B)
  • Теорема Байеса. , он используется для поиска ответов на различные типы вопросов, например, будет ли завтра дождь? какова вероятность посадки на Луну? какова вероятность эволюции человека? и другие. Некоторые из важных применений теории вероятностей:

    • Теория вероятностей используется для прогнозирования поведения акций и облигаций.
    • Теория вероятностей используется в казино и азартных играх.
    • Теория вероятностей используется в прогнозировании погоды.
    • Теория вероятностей используется для снижения рисков.
    • Теория вероятностей используется в потребительской промышленности для снижения риска отказа продукта.

    Подробнее

    • Вероятность
    • Перестановки и комбинации
    • Биномиальная теорема

    Решенные примеры на Вероятность

    Пример 1. Рассмотрим банку с 7 красными, 3 зелеными и 4 синими шариками. Какова вероятность случайного выбора не синего шарика из банки?

    Решение:

    Дано,

    Количество красных шариков = 7, количество зеленых шариков = 3, количество синих шариков = 4

    Итак, общее количество возможных исходов в этом случае: 7 + 3 + 4 = 14

    Теперь количество несиних шариков: 7 + 3 = 10

    Согласно формуле теоретической вероятности мы можем найти, P(не синие) = 10/14 = 5/7

    Следовательно, теоретическая вероятность выбора не синего шарика равна 5/7.

    Пример 2. Рассмотрим двух игроков, Навину и Ишу, играющих в настольный теннис. Вероятность победы Навины в матче равна 0,76. Какова вероятность того, что Иша выиграет матч?

    Решение:

    Пусть N и M представляют события, когда Навина выигрывает матч, а Ашлеша выигрывает матч соответственно.

    Вероятность выигрыша Навины P(N) = 0,62 (задано)

    Вероятность выигрыша Иши P(I) = ?

    Победа в матче является взаимоисключающим событием, так как только один из них может выиграть матч.

    Следовательно,

    P(N) + P(I) =1

    P(I) = 1 – P(N)

    P(I) = 1 – 0,62 = 0,38

    Таким образом, вероятность Иша выигрыш в матче равен 0,38.

    Пример 3: Если кто-то вынет одну карту из колоды из 52 карт, какова вероятность того, что эта карта окажется червой? Какова вероятность получения карты с 7 номерами?

    Решение:

    Общее количество карт в колоде = 52

    Общее количество червовых карт в колоде = 13

    Таким образом, вероятность получения червы,

    P(heart) = 13 /52 = 1/4

    Общее количество 7-значных карт в колоде = 4

    Таким образом, вероятность получения 7-значной карты

    P(7-число) = 4/52 = 1/13

    Пример 4. Найдите вероятность выпадения четного числа при бросании игральной кости с числами от 1 до 6. Выразите вероятность в виде дроби, десятичной дроби, отношения или процента.

    Решение:

    Из чисел от 1 до 6 четные числа 2, 4 и 6.

    Таким образом, число благоприятных исходов = 3. 002 Вероятность получения четного числа P(Even)= 1/2 = 0,5 = 1 : 2 = 50%

    Часто задаваемые вопросы по теории вероятностей

    Q1: Что такое концепция теории вероятностей?

    Ответ:

    Раздел математики, изучающий вероятность наступления события, называется теорией вероятностей. Он сообщает нам о шансах возникновения события, а также обо всех возможных исходах любого события.

    Q2: Какие два типа вероятностей существуют в теории вероятностей?

    Ответ:

    В теории вероятностей есть два типа вероятностей: 009 Q3: Кто изобрел теорию вероятностей?

    Ответ:

    Заслуга в создании современной теории вероятностей принадлежит итальянскому математику Джероламо Кардано.

    Q4: Что такое случайная величина в теории вероятностей?

    Ответ:

    Переменная, которая описывает все возможные исходы любого случайного эксперимента, называется случайной величиной. Случайная величина может быть непрерывной или дискретной.

    Q5: Каковы формулы теории вероятностей?

    Ответ:

    Основные формулы, используемые в теории вероятностей:0022

  • Экспериментальная вероятность: (количество раз, когда произошло событие А) / (общее количество испытаний)

Что это такое, формула и примеры

Что такое теорема Байеса?

Теорема Байеса, названная в честь британского математика XVIII века Томаса Байеса, представляет собой математическую формулу для определения условной вероятности. Условная вероятность — это вероятность возникновения исхода, основанная на предыдущем исходе, произошедшем в аналогичных обстоятельствах. Теорема Байеса дает возможность пересмотреть существующие прогнозы или теории (обновить вероятности) с учетом новых или дополнительных доказательств.

В финансах теорему Байеса можно использовать для оценки риска кредитования потенциальных заемщиков. Эта теорема также называется правилом Байеса или законом Байеса и является основой области байесовской статистики.

Ключевые выводы

  • Теорема Байеса позволяет обновлять предсказанные вероятности события путем включения новой информации.
  • Теорема Байеса была названа в честь математика 18-го века Томаса Байеса.
  • Часто используется в финансах для расчета или обновления оценки риска.
  • Теорема стала полезным элементом в реализации машинного обучения.
  • Теорема не использовалась в течение двух столетий из-за большого объема вычислительных мощностей, необходимых для выполнения ее транзакций.

Понимание теоремы Байеса

Применение теоремы Байеса широко распространено и не ограничивается финансовой сферой. Например, теорему Байеса можно использовать для определения точности результатов медицинских анализов, принимая во внимание вероятность заболевания любого конкретного человека и общую точность теста. Теорема Байеса основана на включении априорных распределений вероятностей для получения апостериорных вероятностей.

Априорная вероятность в байесовском статистическом выводе — это вероятность того, что событие произойдет до того, как будут собраны новые данные. Другими словами, он представляет собой наилучшую рациональную оценку вероятности определенного результата, основанную на текущих знаниях до проведения эксперимента.

Апостериорная вероятность — это пересмотренная вероятность события, происходящего после учета новой информации. Апостериорная вероятность рассчитывается путем обновления априорной вероятности с использованием теоремы Байеса. В терминах статистики апостериорная вероятность — это вероятность наступления события А при условии, что произошло событие В.

Особые указания

Таким образом, теорема Байеса дает вероятность события на основе новой информации, которая связана или может быть связана с этим событием. Формулу также можно использовать для определения того, как гипотетическая новая информация может повлиять на вероятность события, если предположить, что новая информация окажется верной.

Например, вытяните одну карту из полной колоды из 52 карт.

Вероятность того, что карта является королем, равна четырем, разделенным на 52, что равно 1/13 или приблизительно 7,69.%. Помните, что в колоде четыре короля. Теперь предположим, что выяснилось, что выбранная карта является лицевой. Вероятность того, что выбранная карта является королем, если это фигурная карта, равна четырем, деленным на 12, или примерно 33,3%, поскольку в колоде 12 лицевых карт.

Формула теоремы Байеса

п ( А ∣ Б ) «=» п ( А ⋂ Б ) п ( Б ) «=» п ( А ) ⋅ п ( Б ∣ А ) п ( Б ) где: п ( А ) «=» Вероятность возникновения А п ( Б ) «=» Вероятность появления B п ( А ∣ Б ) «=» Вероятность A при B п ( Б ∣ А ) «=» Вероятность B при условии A п ( А ⋂ Б ) ) «=» Вероятность того, что произойдут события А и В. \begin{align} &P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\bigcap{B}\right)}{P\left(B\right)}=\frac{P\left (A\right)\cdot{P\left(B|A\right)}}{P\left(B\right)}\\ &\textbf{где:}\\ &P\left(A\right)= \text{ Вероятность появления A}\\ &P\left(B\right)=\text{ Вероятность появления B}\\ &P\left(A|B\right)=\text{Вероятность заданного A B}\\ &P\left(B|A\right)=\text{ Вероятность B при данном A}\\ &P\left(A\bigcap{B}\right))=\text{ Вероятность обоих A и B встречается}\\ \end{выровнено} ​P(A∣B)=P(B)P(A⋂B)​=P(B)P(A)⋅P(B∣A)​где: P(A) = вероятность наступления A P(B )= Вероятность В появления P(A∣B)= Вероятность A при заданном BP(B∣A)= Вероятность B при заданном AP(A⋂B))= Вероятность нахождения A и B 

Примеры теоремы Байеса

Ниже приведены два примера теоремы Байеса, в которых первый пример показывает, как формула может быть получена на примере инвестирования в акции с использованием Amazon.com Inc. (AMZN). Второй пример применяет теорему Байеса к тестированию фармацевтических препаратов.

Вывод формулы теоремы Байеса

Теорема Байеса следует просто из аксиом условной вероятности. Условная вероятность — это вероятность события при условии, что произошло другое событие. Например, простой вероятностный вопрос может звучать так: «Какова вероятность падения курса акций Amazon.com?» Условная вероятность поднимает этот вопрос еще на один шаг, спрашивая: «Какова вероятность того, что цена акций AMZN упадет 9?0434, учитывая, что промышленный индекс Доу-Джонса (DJIA) упал ранее?»

Условная вероятность A при условии, что B произошло, может быть выражена как:

Если A означает: «цена AMZN падает», то P(AMZN) — это вероятность того, что AMZN упадет; и B: «DJIA уже упал», а P(DJIA) — вероятность того, что DJIA упал; тогда выражение условной вероятности читается как «вероятность того, что AMZN упадет при снижении индекса DJIA, равна вероятности того, что цена AMZN упадет, а индекс DJIA упадет по сравнению с вероятностью снижения индекса DJIA».

P(AMZN|DJIA) = P(AMZN и DJIA) / P(DJIA)

P(AMZN и DJIA) – это вероятность того, что 90 434 произойдут как 90 435 A, так и B. Это также то же самое, что вероятность A, умноженная на вероятность B при условии, что A произойдет, выраженная как P(AMZN) x P(DJIA|AMZN). Тот факт, что эти два выражения равны, приводит к теореме Байеса, которая записывается как:

если P(AMZN и DJIA) = P(AMZN) x P(DJIA|AMZN) = P(DJIA) x P(AMZN|DJIA)
тогда P(AMZN|DJIA) = [P(AMZN) x P(DJIA|AMZN)] / P(DJIA).

Где P(AMZN) и P(DJIA) — вероятности падения Amazon и Dow Jones независимо друг от друга.

Формула объясняет взаимосвязь между вероятностью гипотезы до того, как будут получены доказательства P(AMZN), и вероятностью гипотезы после получения доказательств P(AMZN|DJIA), учитывая гипотезу для Amazon с учетом доказательств в индексе Доу.

Численный пример теоремы Байеса

В качестве числового примера представьте, что есть тест на наркотики, который составляет 9Точность 8% означает, что в 98% случаев он показывает действительно положительный результат для тех, кто употребляет наркотик, и в 98% случаев показывает истинно отрицательный результат для тех, кто не употребляет наркотик.

Далее предположим, что 0,5% людей употребляют наркотики. Если случайно выбранный человек дал положительный результат на наркотик, можно сделать следующий расчет, чтобы определить вероятность того, что человек действительно употребляет наркотик.

(0,98 х 0,005) / [(0,98 х 0,005) + ((1 — 0,98) х (1 — 0,005))] = 0,0049 / (0,0049+ 0,0199) = 19,76%

Теорема Байеса показывает, что даже если человек дал положительный результат в этом сценарии, вероятность того, что человек не примет наркотик, составляет примерно 80%.

Какова история теоремы Байеса?

Теорема была обнаружена среди бумаг английского пресвитерианского министра и математика Томаса Байеса и опубликована посмертно, будучи прочитанной в Королевском обществе в 1763 году. вычислительная мощность для выполнения сложных расчетов.

Эти достижения привели к увеличению числа приложений, использующих теорему Байеса. В настоящее время он применяется для самых разных вероятностных расчетов, включая финансовые расчеты, генетику, употребление наркотиков и борьбу с болезнями.

Что утверждает теорема Байеса?

Теорема Байеса утверждает, что условная вероятность события, основанная на появлении другого события, равна вероятности второго события при первом событии, умноженной на вероятность первого события.

Что вычисляется в теореме Байеса?

Теорема Байеса вычисляет условную вероятность события на основе значений конкретных связанных известных вероятностей.

Что такое калькулятор теоремы Байеса?

Калькулятор теоремы Байеса вычисляет вероятность события A в зависимости от другого события B, учитывая априорные вероятности A и B, и вероятность B в зависимости от A. Он вычисляет условные вероятности на основе известных вероятностей.

Как теорема Байеса используется в машинном обучении?

Теорема Байеса предлагает полезный метод для размышлений о взаимосвязи между набором данных и вероятностью. Другими словами, теорема гласит, что вероятность того, что данная гипотеза верна на основе конкретных наблюдаемых данных, может быть сформулирована как нахождение вероятности наблюдения данных с учетом гипотезы, умноженной на вероятность того, что гипотеза верна независимо от данных, разделенная вероятностью наблюдения данных независимо от гипотезы.

Расстояние между двумя точками в пространстве формула: Расстояние между точками — калькулятор и формула

alexxlab / / Разное

Расстояние между двумя точками.

Навигация по странице:

  • Определение расстояния между двумя точками
  • Формулы для вычисления расстояния между двумя точками
  • Вывод формулы вычисления расстояния между двумя точками для плоской задачи
  • Примеры задач на вычисление расстояния между двумя точками
    • плоские задачи
    • пространственные задачи

Онлайн калькулятор. Расстояние между двумя точками.

Определение. Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, что соединяет эти точки.


Формулы вычисления расстояния между двумя точками:

  • Формула вычисления расстояния между двумя точками A(xa, ya) и B(xb, yb) на плоскости:

    AB = √(xb — xa)2 + (yb — ya)2

  • Формула вычисления расстояния между двумя точками A(xa, ya, za) и B(xb, yb, zb) в пространстве:

    AB = √(xb — xa)2 + (yb — ya)2 + (zb — za)2


Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:

AC = xb — xa;
BC = yb — ya.

Воспользовавшись теоремой Пифагора, вычислим длину отрезка AB:

AB = √AC2 + BC2.

Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.

Примеры задач на вычисление расстояния между двумя точками

Пример вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Пример 1.

Найти расстояние между точками A(-1, 3) и B(6,2).

Решение.

AB = √(xb — xa)2 + (yb — ya)2 = √(6 — (-1))2 + (2 — 3)2 = √72 + 12 = √50 = 5√2

Ответ: AB = 5√2.


Пример вычисления расстояния между двумя точками в пространстве

Пример 2.

Найти расстояние между точками A(-1, 3, 3) и B(6, 2, -2).

Решение.

AB = √(xb — xa)2 + (yb — ya)2 + (zb — za)2 =

= √(6 — (-1))2 + (2 — 3)2 + (-2 — 3)2 = √72 + 12 + 52 = √75 = 5√3

Ответ: AB = 5√3.

Аналитическая геометрия: Вступление и оглавлениеРасстояние между двумя точками.Середина отрезка. Координаты середины отрезка.Уравнение прямой.Уравнение плоскости.Расстояние от точки до плоскости.Расстояние между плоскостями.Расстояние от точки до прямой на плоскости.Расстояние от точки до прямой в пространстве.Угол между плоскостями.Угол между прямой и плоскостью.

Онлайн калькуляторы. Аналитическая геометрия. Декартовые координаты.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Как найти расстояние между двумя точками: формулы, примеры

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel. ru Математика Геометрия Нахождение расстояния между двумя точками

В данной публикации мы рассмотрим, чему равно расстояние между двумя точками, и по какой формуле оно считается (на плоскости и в пространстве). Также разберем примеры решения задач по этой теме.

  • Расчет расстояния между двумя точками
  • Примеры задач

Расчет расстояния между двумя точками

Расстояние между двумя точками — это длина отрезка (d), который получится, если их соединить.

Если точки A (xa, ya) и B (xb, yb) расположены на плоскости, то расстояние между ними считается по формуле:

Если точки A (xa, ya, za) и B (xb, yb, zb) находятся в трехмерном пространстве, расстояние вычисляется так:

Примеры задач

Задание 1
На плоскости даны две точки: A (2, 5) и B (-3, 7). Найдем расстояние между ними.

Решение:
Воспользуемся первой формулой, представленной выше:

Задание 2
Найдем расстояние между точками A (-1, 0, 12) и B (2, 6, -4).

Решение:
Применим соответствующую формулу, подставив в нее известные нам значения:

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

1.

2}=\sqrt{5}$. 92=16$. Теперь мы видим, что это круг с радиусом 4 и центром $(1,-2)$, который легко изобразить на графике. $\квадрат$

Пример 1.2.1 Найдите уравнение окружности радиуса 3 с центром:

    a) (0,0)$ d) (0,3)$
    b) (5,6)$ e ) $(0,-3 )$
    c) $(-5,-6)$ f) $(3,0)$

(отвечать)

Пример 1.2.2 Для каждой пары точек $A(x_1,y_1)$ и $B(x_2,y_2)$ найти (i) $\Delta x$ и $\Delta y$ при переходе от $A$ к $B$, (ii) наклон линии, соединяющей $A$ и $B$, (iii) уравнение линии, соединяющей $A$ и $B$, в виде $y=mx+b$, (iv) расстояние от $A$ до $B$, и (v) уравнение окружность с центром в $A$, проходящая через $B$.

    a) $A(2,0)$, $B(4,3)$ d) $A(-2,3)$, $B(4,3)$
    б) $A(1,-1)$, $B(0,2)$ 92-8г=0$.

    Пример 1.2.6 Найдите стандартное уравнение окружности, проходящей через $(-2,1)$ и касательной к прямой $3x-2y=6$ в точке $(4,3)$. Эскиз. (Подсказка: линия, проходящая через центр окружности и точку касания перпендикулярно касательной.) (отвечать)

    Трехмерный калькулятор расстояний

    Базовый калькулятор

    3D Калькулятор расстояний

    (Х 1 , Y 1 , Z 1 ) =

    (X 2 , Y 2 , Z 2 ) =

    Ответ:

    д = 10,24692} \)

    \( d = \sqrt{100 + 4 + 1} \)

    \( d = \sqrt105 \)

    \( d = 10,246951 \)

    Поделитесь этой ссылкой для ответа: help
    Вставьте эту ссылку в электронное письмо, текст или социальные сети.

    Возведение в степень i: Возведение числа в степень — Онлайн калькуляторы

    alexxlab / / Разное

    Возведение в степень . Вечность

    Эти две операции — возведение в степень и взятие логарифма — одинаково просты или сложны для понимания, ведь между ними много общего. На самом деле они противоположны друг другу: одна операция отменяет другую. Если выбрать какое-то число, возвести его в степень, а затем взять логарифм от результата, то мы получим то самое число, с которого начали. Как бы то ни было, со степенями мы в повседневной жизни сталкиваемся намного чаще, поэтому они нас не так ужасают. Начнем с них.

    Операция возведения в степень означает, что мы берем некое число, называемое основанием, и возводим его в степень другого числа. То есть попросту умножаем основание само на себя ровно столько раз, в какую степень его требуется возвести. Основание записывается в виде обычного числа, а степень — в виде индекса сверху. Вот несколько простых примеров:

    22 = 2 ? 2 = 4,

    25 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 32,

    43 = 4 ? 4 ? 4 = 64

    (Мы используем точку для обозначения операции умножения, а не символ ?, так как его очень легко перепутать с буквой x. ) Один из самых удобных случаев возведения в степень — тот, когда в качестве основания берется число 10; в этом случае степень соответствует просто-напросто числу нулей справа от единицы:

    101 = 10,

    102 = 100,

    109 = 1 000 000 000,

    1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000

    В этом и заключается идея возведения в степень. Если говорить конкретно о показательной функции, то здесь мы имеем в виду, что фиксируем какое-то определенное основание и позволяем степени, в которую возводится это основание, быть переменной величиной. Если обозначить основание через a, а степень — через x, то получим:

    ax = a ? a ? a ? a ? a ? a … a ? x раз.

    К сожалению, это определение может создавать впечатление, что показательная функция имеет смысл только в том случае, если степень x — это положительное целое число. Как умножить число на само себя минус два раза? Или 3,7 раза? Здесь вам остается только верить, что магия математики позволяет определять показательную функцию для любого значения x. Результатом является гладкая функция с очень маленьким значением, когда x — отрицательное число, но резко возрастающая, когда x становится положительным, как показано на рис. П1.

    Рис. П1. Показательная функция 10x. Обратите внимание, что она возрастает так быстро, что совершенно невозможно изобразить ее для больших значений x.

    Что касается показательных функций, есть две важные вещи, о которых необходимо помнить. Любое основание, возведенное в степень 0, равно 1, а любое основание, возведенное в степень 1, равно самому себе. Для основания 10 это выглядит так:

    100 = 1,

    101 = 10.

    Если степень — это отрицательное число, то результатом операции является число, обратное результату возведения в соответствующую положительную степень:

    10–1 = 1/101 = 0,1,

    10–3 = 1/103 = 0,001.

    То, что вы видите выше, — это всего лишь конкретные примеры из более общих свойств, которым подчиняется показательная функция. Одно из этих свойств является невероятно важным: если умножить два числа, представляющих собой одно и то же основание, возведенное в разные степени, то при перемножении степени складываются, а основание остается тем же самым:

    10x ? 10y = 10(x+y).

    То же верно и в обратную сторону: показательная функция от суммы степеней равна произведению двух чисел, равных основанию, возведенному в эти степени.[312]

    Алгебра. Учебник для 6-8 классов

    Алгебра. Учебник для 6-8 классов
      

    Барсуков А.Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов. 11-е изд., стер. — М.: Просвещение, 1966. — 296 с.

    Учебник для средних общеобразовательных школ СССР в 50-60-е годы.

    Шестое издание „Алгебры» А.Н. Барсукова переработано и приведено в соответствие с новой программой. Переработка учебника и изложение вопросов, вновь включенных в программу восьмилетней школы, выполнены С.И. Новоселовым.

    Главу „Счётная (логарифмическая) линейка* и о возвышении в квадрат и куб, извлечении квадратного и кубического корней при помощи счётной линейки написал учитель математики школы № 315 Москвы И. Б. Вейцман. Одиннадцатое издание печатается с десятого без изменений.



    Оглавление

    ГЛАВА ПЕРВАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ.
    § 2. Алгебраические выражения.
    § 3. Допустимые значения букв.
    § 4. Порядок действий.
    § 5. Основные законы сложения и умножения.
    § 6. Краткие исторические сведения.
    ГЛАВА ВТОРАЯ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
    § 7. Положительные и отрицательные числа.
    § 8. Числовая ось.
    § 9. Противоположные числа.
    § 10. Абсолютная величина числа.
    § 11. Сравнение рациональных чисел.
    § 12. Сложение рациональных чисел.
    § 13. Сложение нескольких чисел.
    § 14. Законы сложения.
    § 15. Вычитание рациональных чисел.
    § 16. Алгебраическая сумма.
    § 17. Умножение.
    § 18. Умножение нескольких чисел.
    § 19. Законы умножения.
    § 20. Деление.
    § 21. Свойства деления.
    § 22. Возведение в степень.
    § 23. Порядок выполнения действий.
    § 24. Уравнения.
    § 25. Решение задач с помощью уравнений.
    § 26. Графики.
    § 27. Краткие исторические сведения. (Из истории отрицательных чисел.)
    ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ.
    § 28. Одночлен и многочлен.
    § 29. Тождества и тождественные преобразования.
    § 30. Коэффициент.
    § 31. Расположенные многочлены.
    § 32. Приведение подобных членов.
    § 33. Сложение одночленов и многочленов.
    § 34. Противоположные многочлены.
    § 35. Вычитание одночленов и многочленов
    § 36. Умножение одночленов.
    § 37. Умножение многочлена на одночлен.
    § 38. Умножение многочленов.
    § 39. Умножение расположенных многочленов.
    § 40. Возведение одночленов в степень.
    § 41. Формулы сокращённого умножения.
    § 42. Общие замечания о делении целых алгебраических выражений.
    § 43. Деление одночленов.
    § 44. Деление многочлена на одночлен
    § 45. Примеры решения уравнений.
    ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ.
    § 47. Равносильные уравнения.
    § 48. Два основных свойства уравнений.
    § 49. Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях.
    § 50. Уравнение первой степени с одним неизвестным.
    § 51. Общие указания к решению уравнений.
    § 52. Решение задач с помощью уравнений.
    § 53. Краткие исторические сведения. (Из истории уравнений.)
    ГЛАВА ПЯТАЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ.
    § 54. Понятие о разложении на множители.
    § 55. Вынесение за скобки общего множителя.
    § 56. Способ группировки.
    § 57. Применение формул сокращённого умножения.
    § 58. Применение нескольких способов.
    § 59. Деление многочленов при помощи разложения на множители.
    ГЛАВА ШЕСТАЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ.
    § 60. Понятие об алгебраической дроби.
    § 61. Основное свойство дроби и сокращение дробей.
    § 62. Перемена знака у членов дроби.
    § 63. Целая отрицательная и нулевая степени числа.
    § 64. Приведение дробей к общему знаменателю.
    § 65. Сложение дробей.
    § 66. Вычитание дробей.
    § 67. Умножение дробей.
    § 68. Деление дробей.
    § 69. Возведение дроби в натуральную степень.
    § 70. Дробные уравнения.
    § 71. Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами.
    ГЛАВА СЕДЬМАЯ. КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФИКИ.
    § 72. Координаты точки на плоскости.
    § 73. Прямо пропорциональная зависимость.
    § 74. График прямо пропорциональной зависимости.
    § 75. Линейная зависимость.
    § 76. Обратно пропорциональная зависимость.
    ГЛАВА ВОСЬМАЯ. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ.
    § 77. Уравнение первой степени с двумя неизвестными. (1/3)
    § 130. Примеры графического решения уравнений и систем уравнений.
    Предварительное исчисление алгебры

    — Что такое возведение в степень?

    Чтобы провести параллель с умножением:
    Если мы рассмотрим выражение $e\cdot \sqrt5$, я могу сказать вам, что оно представляет собой площадь прямоугольника со сторонами $e$ см и $\sqrt5$ см. Или, может быть, $e \cdot \pi$ — это стоимость $\pi$ кг материала, который стоит $e$ долларов за кг. Конечно, эти величины не были бы точными, но интуиция, лежащая в их основе, не нарушается. Идея повторного сложения остается в силе, просто добавляются дробные части терминов, а не все число. 9\sqrt{2}$ (или любая другая иррациональная сила). Что это значит? Или нет отношений в реальном мире?

    Действительно есть!

    На самом деле, наш последний пример был не совсем реальным. Мы предполагали, что количество бактерий будет мгновенно удваиваться ровно каждый раз, когда большая стрелка часов достигает 12. Но бактерии ведут себя не так хорошо.

    Вместо этого давайте примем более разумное предположение: ученые проводили эксперименты, наблюдая за бактериями именно тогда, когда большая стрелка часов достигает двенадцати. Каждый раз они наблюдают ровно в два раза больше бактерий, чем в предыдущем эксперименте. Но ученые также знают, что бактерии могут увеличиваться непрерывно: в любое время между ними. 9{2h}$ (поскольку коэффициент прироста клеток через $j$ часов такой же, как коэффициент прироста бактерий через $2j$ часов).

    • Закон Мура
    • Сложные процентные ставки
    • Экономическая инфляция
    • Период полураспада радиоактивных веществ
    • Цепные ядерные реакции

    Источники изображений: 1, 2, 3.

    логарифмов — Почему мне кажется, что я могу возводить отрицательные числа в степень i?

    Задавать вопрос

    спросил

    Изменено 7 лет, 3 месяца назад

    Просмотрено 416 раз

    $\begingroup$

    Недавно я столкнулся с идеей возведения числа в мнимую единицу, и я пытался понять, что это значит, и не нашел никаких полезных ресурсов.

    Что такое теория вероятности: Теория вероятностей | это… Что такое Теория вероятностей?

    alexxlab / / Разное

    Теория вероятностей | это… Что такое Теория вероятностей?

    График плотности вероятностинормального распределения — одной из важнейших функций, изучаемых в рамках теории вероятностей

    Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

    Содержание

    • 1 История
    • 2 Основные понятия теории
    • 3 См. также
    • 4 Ссылки
    • 5 Литература
      • 5.1 А
      • 5.2 Б
      • 5.3 В
      • 5.4 Г
      • 5.5 Д
      • 5.6 Е
      • 5.7 К
      • 5.8 Л
      • 5.9 М
      • 5.10 П
      • 5.11 Р
      • 5.12 С
      • 5.13 Ф
      • 5.14 Х
      • 5.15 Ч
      • 5.16 Ш
    • 6 Примечания

    История

    Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей[1]. Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год)[2].

    Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

    Основные понятия теории

    • Вероятность
    • Вероятностное пространство
    • Случайная величина
    • Локальная теорема Муавра — Лапласа
    • Функция распределения
    • Математическое ожидание
    • Дисперсия случайной величины
    • Независимость
    • Условная вероятность
    • Закон больших чисел
    • Центральная предельная теорема

    См.

    также
    • Аксиоматика Колмогорова
    • Плотность вероятности
    • Парадокс Монти Холла
    • Линейная частичная информация

    Ссылки

    • Теория вероятностей//Большая советская энциклопедия

    Литература

    # А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

    А

    • Ахтямов, А. М. «Экономико-математические методы» : учеб. пособие Башк. гос. ун-т. — Уфа : БГУ, 2007.
    • Ахтямов, А. М. «Теория вероятностей». — М.: Физматлит, 2009

    Б

    • Боровков, А. А. «Математическая статистика», М.: Наука, 1984.
    • Боровков, А. А. «Теория вероятностей», М.: Наука, 1986.
    • Булдык, Г. М. «Теория вероятностей и математическая статистика», Мн., Высш. шк., 1989.
    • Булинский, А. В., Ширяев, А. Н. «Теория случайных процессов», М.: Физматлит, 2003.
    • Бекарева, Н. Д. «Теория вероятностей. Конспект лекций», Новосибирск НГТУ
    • Баврин, И. И. « Высшая математика» (Часть 2 «Элементы теории вероятностей и математической статистики»), М.: Наука, 2000.

    В

    • Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969. — 576 с.
    • Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — 10-е изд., стер.. — М.: «Академия», 2005. — 576 с. — ISBN 5-7695-2311-5

    Г

    • Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1977.
    • Гмурман, В. Е. «Теория вероятностей и математическая статистика»: Учеб. пособие — 12-е изд., перераб.- М.: Высшее образование, 2006.-479 с.:ил (Основы наук).
    • Гмурман, В. Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике»: Учеб. пособие — 11-е изд., перераб. — М.: Высшее образование, 2006.-404 с. (Основы наук).
    • Гнеденко, Б. В. «Курс теории вероятностей», — М.: Наука, 1988.
    • Гнеденко, Б. В. «Курс теории вероятностей», УРСС. М.: 2001.
    • Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. «Элементарное введение в теорию вероятностей», 1970.
    • Горбань, И. И. «Теория гиперслучайных явлений: физические и математические основы» – К.: Наукова думка, 2011. – 318 с.
    • Горбань, И. И. «Справочник по теории случайных функций и математической статистике», Киев: Институт кибернетики им. В. М. Глушкова НАН Украины, 1998.
    • Гурский Е. И. «Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике», — Минск: Высшая школа, 1975.

    Д

    • П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевников. Высшая математика в упражнениях и задачах. (В 2-х частях)- М.: Высш.шк, 1986.

    Е

    • А. В. Ефимов, А. Е. Поспелов и др. 4 часть // Сборник задач по математике для втузов. — 3-е изд., перераб. и дополн.. — М.: «Физматлит», 2003. — Т. 4. — 432 с.  — ISBN 5-94052-037-5

    К

    • Колемаев, В. А. и др. «Теория вероятностей и математическая статистика», — М.: Высшая школа, 1991. http://www.iqlib.ru/book/preview/b0ce99dc4e1741128564b81841ae6ce0
    • Колмогоров, А. Н. «Основные понятия теории вероятностей», М.: Наука, 1974.
    • Коршунов, Д. А., Фосс, С. Г. «Сборник задач и упражнений по теории вероятностей», Новосибирск, 1997.
    • Коршунов, Д. А., Чернова, Н. И. «Сборник задач и упражнений по математической статистике», Новосибирск. 2001.
    • Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для ВУЗов. — 2- изд., перераб. и доп.-М:ЮНИТИ-ДАНА, 2004. — 573 с.
    • Кузнецов, А. В. «Применение критериев согласия при математическом моделировании экономических процессов», Мн.: БГИНХ, 1991.

    Л

    • Лихолетов И. И., Мацкевич И. Е. «Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике», Мн. : Выш. шк., 1976.
    • Лихолетов И. И. «Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика», Мн.: Выш. шк., 1976.
    • Лоэв М.В «Теория вероятностей», — М.: Издательство иностранной литературы, 1962.

    М

    • Маньковский Б. Ю., «Таблица вероятности».
    • Мацкевич И. П., Свирид Г. П. «Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика», Мн.: Выш. шк., 1993.
    • Мацкевич И. П., Свирид Г. П., Булдык Г. М. «Сборник задач и упражнений по высшей математике. Теория вероятностей и математическая статистика», Мн.: Выш. шк., 1996.
    • Мейер П.-А. Вероятность и потенциалы. Издательство Мир, Москва, 1973.
    • Млодинов Л. (Не)совершенная случайность

    П

    • Прохоров, А. В., В. Г. Ушаков, Н. Г. Ушаков. «Задачи по теории вероятностей», Наука. М.: 1986.
    • Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. «Теория вероятностей», — М.: Наука, 1967.
    • Пугачев, В. С. «Теория вероятностей и математическая статистика», Наука. М.: 1979.

    Р

    • Ротарь В. И., «Теория вероятностей», — М.: Высшая школа, 1992.

    С

    • Свешников А. А. и др., «Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций», — М.: Наука, 1970.
    • Свирид, Г. П., Макаренко, Я. С., Шевченко, Л. И. «Решение задач математической статистики на ПЭВМ», Мн., Выш. шк., 1996.
    • Севастьянов Б. А., «Курс теории вероятностей и математической статистики», — М.: Наука, 1982.
    • Севастьянов, Б. А., Чистяков, В. П., Зубков, А. М. «Сборник задач по теории вероятностей», М.: Наука, 1986.
    • Соколенко А. И., «Высшая математика», учебник. М.: Академия, 2002.

    Ф

    • Феллер, В. «Введение в теорию вероятностей и её приложения».

    Х

    • Хамитов, Г. П., Ведерникова, Т. И. «Вероятности и статистики», БГУЭП. Иркутск.: 2006.

    Ч

    • Чистяков, В. П. «Курс теории вероятностей», М. , 1982.
    • Чернова, Н. И. «Теория вероятностей», Новосибирск. 2007.

    Ш

    • Шейнин О. Б. Теория вероятностей. Исторический очерк. Берлин: NG Ferlag, 2005, 329 с.
    • Ширяев, А. Н. «Вероятность», Наука. М.: 1989.
    • Ширяев, А. Н. «Основы стохастической финансовой математики В 2-х т.», ФАЗИС. М.: 1998.

    Примечания

    1. ↑ «Элементы теории вероятностей» методическое пособие, 2006, Е. К. Лейнартас, Е. И. Яковлев ссылка проверена 14 февраля 2009
    2. ↑ Майстров Л. Е. «Развитие понятия вероятности», — М.: Наука, 1980.

    Теория вероятностей | это… Что такое Теория вероятностей?

    График плотности вероятностинормального распределения — одной из важнейших функций, изучаемых в рамках теории вероятностей

    Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

    Содержание

    • 1 История
    • 2 Основные понятия теории
    • 3 См. также
    • 4 Ссылки
    • 5 Литература
      • 5.1 А
      • 5.2 Б
      • 5.3 В
      • 5.4 Г
      • 5.5 Д
      • 5.6 Е
      • 5.7 К
      • 5.8 Л
      • 5.9 М
      • 5.10 П
      • 5.11 Р
      • 5.12 С
      • 5.13 Ф
      • 5.14 Х
      • 5.15 Ч
      • 5.16 Ш
    • 6 Примечания

    История

    Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей[1]. Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год)[2].

    Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

    Основные понятия теории

    • Вероятность
    • Вероятностное пространство
    • Случайная величина
    • Локальная теорема Муавра — Лапласа
    • Функция распределения
    • Математическое ожидание
    • Дисперсия случайной величины
    • Независимость
    • Условная вероятность
    • Закон больших чисел
    • Центральная предельная теорема

    См. также

    • Аксиоматика Колмогорова
    • Плотность вероятности
    • Парадокс Монти Холла
    • Линейная частичная информация

    Ссылки

    • Теория вероятностей//Большая советская энциклопедия

    Литература

    # А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

    А

    • Ахтямов, А. М. «Экономико-математические методы» : учеб. пособие Башк. гос. ун-т. — Уфа : БГУ, 2007.
    • Ахтямов, А. М. «Теория вероятностей». — М.: Физматлит, 2009

    Б

    • Боровков, А. А. «Математическая статистика», М.: Наука, 1984.
    • Боровков, А. А. «Теория вероятностей», М.: Наука, 1986.
    • Булдык, Г. М. «Теория вероятностей и математическая статистика», Мн., Высш. шк., 1989.
    • Булинский, А. В., Ширяев, А. Н. «Теория случайных процессов», М.: Физматлит, 2003.
    • Бекарева, Н. Д. «Теория вероятностей. Конспект лекций», Новосибирск НГТУ
    • Баврин, И. И. « Высшая математика» (Часть 2 «Элементы теории вероятностей и математической статистики»), М.: Наука, 2000.

    В

    • Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969. — 576 с.
    • Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — 10-е изд., стер.. — М.: «Академия», 2005. — 576 с. — ISBN 5-7695-2311-5

    Г

    • Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1977.
    • Гмурман, В. Е. «Теория вероятностей и математическая статистика»: Учеб. пособие — 12-е изд., перераб.- М.: Высшее образование, 2006.-479 с.:ил (Основы наук).
    • Гмурман, В. Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике»: Учеб. пособие — 11-е изд., перераб. — М.: Высшее образование, 2006.-404 с. (Основы наук).
    • Гнеденко, Б. В. «Курс теории вероятностей», — М.: Наука, 1988.
    • Гнеденко, Б. В. «Курс теории вероятностей», УРСС. М.: 2001.
    • Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. «Элементарное введение в теорию вероятностей», 1970.
    • Горбань, И. И. «Теория гиперслучайных явлений: физические и математические основы» – К.: Наукова думка, 2011. – 318 с.
    • Горбань, И. И. «Справочник по теории случайных функций и математической статистике», Киев: Институт кибернетики им. В. М. Глушкова НАН Украины, 1998.
    • Гурский Е. И. «Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике», — Минск: Высшая школа, 1975.

    Д

    • П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевников. Высшая математика в упражнениях и задачах. (В 2-х частях)- М.: Высш.шк, 1986.

    Е

    • А. В. Ефимов, А. Е. Поспелов и др. 4 часть // Сборник задач по математике для втузов. — 3-е изд., перераб. и дополн.. — М.: «Физматлит», 2003. — Т. 4. — 432 с. — ISBN 5-94052-037-5

    К

    • Колемаев, В. А. и др. «Теория вероятностей и математическая статистика», — М.: Высшая школа, 1991. http://www.iqlib.ru/book/preview/b0ce99dc4e1741128564b81841ae6ce0
    • Колмогоров, А. Н. «Основные понятия теории вероятностей», М.: Наука, 1974.
    • Коршунов, Д. А., Фосс, С. Г. «Сборник задач и упражнений по теории вероятностей», Новосибирск, 1997.
    • Коршунов, Д. А., Чернова, Н. И. «Сборник задач и упражнений по математической статистике», Новосибирск. 2001.
    • Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для ВУЗов. — 2- изд., перераб. и доп.-М:ЮНИТИ-ДАНА, 2004. — 573 с.
    • Кузнецов, А. В. «Применение критериев согласия при математическом моделировании экономических процессов», Мн.: БГИНХ, 1991.

    Л

    • Лихолетов И. И., Мацкевич И. Е. «Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике», Мн.: Выш. шк., 1976.
    • Лихолетов И. И. «Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика», Мн.: Выш. шк., 1976.
    • Лоэв М.В «Теория вероятностей», — М.: Издательство иностранной литературы, 1962.

    М

    • Маньковский Б. Ю., «Таблица вероятности».
    • Мацкевич И. П., Свирид Г. П. «Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика», Мн.: Выш. шк., 1993.
    • Мацкевич И. П., Свирид Г. П., Булдык Г. М. «Сборник задач и упражнений по высшей математике. Теория вероятностей и математическая статистика», Мн.: Выш. шк., 1996.
    • Мейер П.-А. Вероятность и потенциалы. Издательство Мир, Москва, 1973.
    • Млодинов Л. (Не)совершенная случайность

    П

    • Прохоров, А. В., В. Г. Ушаков, Н. Г. Ушаков. «Задачи по теории вероятностей», Наука. М.: 1986.
    • Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. «Теория вероятностей», — М.: Наука, 1967.
    • Пугачев, В. С. «Теория вероятностей и математическая статистика», Наука. М.: 1979.

    Р

    • Ротарь В. И., «Теория вероятностей», — М.: Высшая школа, 1992.

    С

    • Свешников А. А. и др., «Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций», — М.: Наука, 1970.
    • Свирид, Г. П., Макаренко, Я. С., Шевченко, Л. И. «Решение задач математической статистики на ПЭВМ», Мн., Выш. шк., 1996.
    • Севастьянов Б. А., «Курс теории вероятностей и математической статистики», — М. : Наука, 1982.
    • Севастьянов, Б. А., Чистяков, В. П., Зубков, А. М. «Сборник задач по теории вероятностей», М.: Наука, 1986.
    • Соколенко А. И., «Высшая математика», учебник. М.: Академия, 2002.

    Ф

    • Феллер, В. «Введение в теорию вероятностей и её приложения».

    Х

    • Хамитов, Г. П., Ведерникова, Т. И. «Вероятности и статистики», БГУЭП. Иркутск.: 2006.

    Ч

    • Чистяков, В. П. «Курс теории вероятностей», М., 1982.
    • Чернова, Н. И. «Теория вероятностей», Новосибирск. 2007.

    Ш

    • Шейнин О. Б. Теория вероятностей. Исторический очерк. Берлин: NG Ferlag, 2005, 329 с.
    • Ширяев, А. Н. «Вероятность», Наука. М.: 1989.
    • Ширяев, А. Н. «Основы стохастической финансовой математики В 2-х т.», ФАЗИС. М.: 1998.

    Примечания

    1. ↑ «Элементы теории вероятностей» методическое пособие, 2006, Е. К. Лейнартас, Е.  И. Яковлев ссылка проверена 14 февраля 2009
    2. ↑ Майстров Л. Е. «Развитие понятия вероятности», — М.: Наука, 1980.

    Термины и теории статистики вероятностей, которые нужно знать

    Я хочу обсудить некоторые фундаментальные термины и концепции, связанные с вероятностью и статистикой, которые встречаются практически в любой литературе по машинному обучению и ИИ.

    Что такое вероятность?

    Вероятность — это мера вероятности того, что событие произойдет в случайном эксперименте. Статистика вероятностей выражается числом от нуля до единицы, где ноль указывает на невозможность, а единица на уверенность.

     

    Статистика и теория вероятностей Понятия, которые необходимо знать

    13 Статистика и теория вероятностей Термины, которые необходимо знать

    1. Случайный эксперимент
    2. Выборочное пространство
    3. Случайные величины
      4. 90 015 Вероятность
    4. Условная вероятность
    5. Независимость
    6. Условная независимость
    7. Ожидание
    8. Дисперсия
    9. Распределение вероятностей
    10. Совместное распределение вероятностей
    11. Условная вероятность
    12. Фактор

     

    Случайный эксперимент

    Случайный эксперимент — это физическая ситуация, результат которой нельзя предсказать, пока он не будет наблюдаться.

     

    Пространство выборки

    Пространство выборки — это набор всех возможных результатов случайного эксперимента.

    Пример выборочного пространства для случайного эксперимента с подбрасыванием монеты. | Изображение: Parag Radke

     

    Случайные величины

    Случайная величина — это переменная, возможные значения которой являются числовыми результатами случайного эксперимента. Существует два типа случайных величин:

    1. Дискретная случайная величина: Это переменная, которая может принимать только исчисляемое число различных значений, таких как ноль, один, два, три, четыре и т. д. Дискретные случайные величины обычно, но не обязательно, считаются .
    2. Непрерывная случайная величина: Это переменная, которая принимает бесконечное число возможных значений. Непрерывные случайные величины обычно являются измерениями.
    Пример случайных величин для эксперимента по подбрасыванию монеты. | Изображение: Параг Радке

    Хотите узнать больше о машинах? 10 лучших алгоритмов машинного обучения, которые должен знать каждый новичок Вероятность количественно определяется как число между нулем и единицей, где, грубо говоря, ноль указывает на невозможность, а единица на уверенность. Чем выше вероятность события, тем больше вероятность того, что событие произойдет.

     
    Пример

    Простым примером является подбрасывание честной (беспристрастной) монеты. Поскольку монета честная, оба исхода — «орел» и «решка» — равновероятны. Поскольку другие исходы невозможны, вероятность выпадения «орла» или «решки» составляет 0,5 или 50%.

     

    Условная вероятность

    Условная вероятность – это мера вероятности наступления события при условии, что по предположению, презумпции, утверждению или свидетельствам другое событие уже произошло. Если интересующим событием является А, а событие В известно или предполагается, что оно произошло, «условная вероятность А при заданном В» обычно записывается как Р(А|В) .

    Уравнение для расчета условной вероятности броска игральной кости. | Изображение: Parag RadkeУсловно-вероятностное решение для броска игральной кости. | Изображение: Parag Radke

     

    Независимость

    Два события называются независимыми друг от друга, если вероятность того, что одно событие произойдет, никоим образом не влияет на вероятность возникновения другого события. Другими словами, если у нас есть наблюдения об одном событии, это не влияет на вероятность другого. Для независимых событий A и B верно следующее:

    Известные истинные события для двух независимых событий. | Изображение: Parag Radke
     
    Пример

    Предположим, вы бросили кубик и подбросили монету. Вероятность выпадения любого числа на кубике никоим образом не влияет на вероятность выпадения орла или решки на монете.

     

    Условная независимость

    События A и B условно независимы при наличии третьего события C точно в том случае, если появление A и появление B являются независимыми событиями в их условном распределении вероятностей при заданном C. Другими словами, A и B являются условно независимым при данном C, тогда и только тогда, когда при знании того, что C уже произошло, знание о том, происходит ли A, не дает дополнительной информации о вероятности возникновения B. И знание того, происходит ли B, не дает дополнительной информации о вероятности возникновения A.

    Пример формулы условной независимости. | Изображение: Parag Radke
     
    Пример

    В коробке две монеты, обычная монета и фальшивая двуглавая монета (P(H)=1P(H)=1) . Я выбираю монету наугад и подбрасываю ее дважды.

    Пусть: 

    • A = При первом подбрасывании монеты выпадает HH.
    • B = При втором подбрасывании монеты выпадает HH.
    • C = Выбрана монета 1 (обычная).

    Если C уже наблюдается, т.е. мы уже знаем, выбрана обычная монета или нет, события A и B становятся независимыми, так как исход одного не влияет на исход другого события.

     

    Ожидание

    Ожидание случайной величины X записывается как E(X). Если мы наблюдаем N случайных значений X, то среднее значение N будет приблизительно равно E(X) для больших N. Говоря более конкретно, ожидание — это то, что вы ожидаете от результата эксперимента в среднем. если повторять эксперимент большое количество раз.

    Расчет ожидания для случайной величины. Ожидание 3,5. Если подумать, 3,5 находится на полпути между возможными значениями, которые может принять кубик, и это то, чего вы должны были ожидать. | Изображение: Параг Радке

     

    Дисперсия

    Дисперсия случайной величины X — это мера концентрации распределения случайной величины X вокруг ее среднего значения. Он определяется как:

    Расчет дисперсии в эксперименте по измерению бросков кубиков. | Изображение: Parag Radke

     

    Распределение вероятностей

    Распределение вероятностей — это математическая функция, которая отображает все возможные результаты случайного эксперимента с соответствующей вероятностью. Это зависит от случайной величины X и от того, является ли она дискретной или непрерывной.

     

    1. Дискретное распределение вероятностей
     

    Математическое определение дискретной функции вероятности p(x) – это функция, удовлетворяющая следующим свойствам. Это называется функцией массы вероятности.

    Распределение вероятностей для одного броска монеты. | Изображение: Parag Radke

     

    2. Непрерывное распределение вероятностей
     

    Математическое определение непрерывной функции вероятности f(x) – это функция, которая удовлетворяет следующим свойствам. Это называется функцией плотности вероятности.

    Пример функции плотности вероятности подбрасывания монеты. | Изображение: Parag Radke

    Произошла ошибка.

    Невозможно выполнить JavaScript. Попробуйте посмотреть это видео на сайте www.youtube.com или включите JavaScript, если он отключен в вашем браузере.

    Видео, объясняющее основы вероятности. | Видео: Khan Academy

    Подробнее о науке о данныхОбъяснение эмпирического правила для нормального распределения

     

    Совместное распределение вероятностей

    Если X и Y — две случайные величины, то распределение вероятностей, определяющее их одновременное поведение в ходе случайного эксперимента, называется совместное распределение вероятностей. Совместная функция распределения X и Y определяется как: 9n строк в таблице. | Изображение: Parag Radke

     

    Распределение условной вероятности (CPD)

    Если Z является случайной величиной, зависящей от других переменных X и Y, то распределение P(Z|X,Y) называется условным распределением вероятности (CPD) Z относительно X и Y. Это означает, что для каждой возможной комбинации случайных величин X, Y мы представляем распределение вероятностей по Z. «интеллект», который может быть либо низкий (I_0) или высокий (I_1) . Они записываются на курс, и у этого курса есть свойство под названием «Сложность», которое может принимать двоичные значения легко (D_0) или сложно (D_1) . Учащийся получает «Оценку» за курс в зависимости от его успеваемости. Оценка может принимать три значения: G_1(лучший) , (G_2) или (G_3)(худший) . Тогда CPD P(G|I,D) выглядит следующим образом:

    Условная таблица распределения вероятностей для оценок. | Изображение: Параг Радке

    Существует ряд операций, которые можно выполнить над любым распределением вероятностей, чтобы получить интересные результаты. Некоторые из важных операций включают в себя:

     

    1. Кондиционирование/редукция

    Если у нас есть распределение вероятностей n случайных величин X1, X2 … Xn, и мы делаем наблюдение относительно k переменных, что они приобрели определенные значения a1, a2 , …, ак, значит, мы уже знаем их задания. Затем строки в JD, которые не согласуются с наблюдением, могут быть удалены, и у нас останется меньше строк. Эта операция известна как редукция.

    Операция редукции для эксперимента с подбрасыванием монеты. | Изображение: Parag Radke
     
    2. Маргинализация

    Эта операция берет распределение вероятностей по большому набору случайных величин и создает распределение вероятностей по меньшему подмножеству переменных. Эта операция известна как маргинализация подмножества случайных величин. Это очень полезно, когда у нас есть большой набор случайных переменных в качестве функций, и нас интересует меньший набор переменных и то, как он влияет на результат.

    Маргинализация для двух монет смещения. | Изображение: Parag Radke

     

    Фактор

    Фактор — это функция или таблица, которая принимает несколько случайных величин {X_1, X_2,…,X_n} в качестве аргумента и выдает действительное число в качестве вывода. Набор входных случайных величин называется размахом фактора. Например, совместное распределение вероятностей — это фактор, который принимает все возможные комбинации случайных величин в качестве входных данных и дает значение вероятности для этого набора переменных, которое является действительным числом. Факторы являются фундаментальным блоком для представления распределений в больших размерах, и они поддерживают все основные операции, над которыми могут работать совместные распределения, такие как произведение, сокращение и маргинализация.

    Факторное уравнение. | Изображение: Parag Radke
     
    Factor Product
    Пример таблицы Factor product. | Изображение: Parag Radke

    Мы можем производить факторные продукты, и результат также будет фактором.

    Что такое теория вероятностей?

    Теория вероятностей — это раздел математики, посвященный анализу случайных явлений. Это важный навык для специалистов по данным, использующих данные, на которые повлияла случайность.

    Поскольку случайность существует повсюду, использование теории вероятностей позволяет анализировать случайные события. Цель состоит в том, чтобы определить вероятность возникновения события, часто используя числовую шкалу от 0 до 1, где число «0» указывает на невозможность, а «1» указывает на уверенность.

    Классический пример — подбрасывание монеты, где может быть два возможных варианта: орел или решка. Здесь вероятность выпадения орла или решки при одном броске составляет 50%. При проведении собственного эксперимента вы можете обнаружить, что результаты могут различаться. Но если вы продолжите подбрасывать монету, результат станет ближе к 50/50.

    Вероятность играет жизненно важную роль во многих областях научных исследований. Исследователи могут интегрировать неопределенность в свои исследовательские модели как способ описания своих результатов. Это позволяет0157 прогностическое распределение результатов, связанных с тем, что могло наблюдаться в прошлом.

    Случайность и неопределенность — популярные темы, связанные с вероятностью. В бестселлерах Нассима Талеба «Черный лебедь» и «Одураченные случайностью, » утверждается, что редкие события обычно имеют большее значение, чем обычные, потому что размер их эффекта не так ограничен. Кроме того, из-за их редкости результаты вряд ли будут определены.

    Талеб популяризировал то, что он называет событием «черного лебедя», которое случается редко, имеет катастрофические последствия, когда оно действительно происходит, и может быть объяснено задним числом таким образом, что многие считают, что это было на самом деле предсказуемо.

    Вероятность обычно используется исследователями данных для моделирования ситуаций, когда эксперименты, проведенные в одинаковых обстоятельствах, дают разные результаты (например, в случае бросания игральной кости или монеты).

    Он также имеет множество практических применений в деловом мире. Возьмем, к примеру, страховую отрасль, где актуарные записи отображают ожидаемую продолжительность жизни людей определенного возраста. Вместо того, чтобы предсказывать, что произойдет с каждым отдельным человеком, цель состоит в том, чтобы зафиксировать коллективный результат, охватывающий большое количество людей.

    Аналогичные подходы применялись в генетике, где оценка вероятности генетического заболевания связана с частотой возникновения, а не с прогнозами относительно конкретного человека.

    Еще одно распространенное применение вероятности также широко применяется в клинических испытаниях, когда изучаются новые методы лечения заболеваний, лекарства или хирургические методы лечения. При оценке того, можно ли считать лечение успешным или неудачным, клиническое испытание направлено на определение того, является ли новое лечение более успешным, чем преобладающий стандарт лечения.

    В качестве примера здесь можно привести тестирование эффективности новой вакцины, такое как тестирование вакцины Солка на полиомиелит, проведенное в 1954 году с участием почти двух миллионов детей. Вакцина, организованная Службой общественного здравоохранения США, почти устранила полиомиелит как проблему здравоохранения в промышленно развитых странах.

    Существует три типа вероятности, которые обычно используются для сбора данных статистического вывода. К ним относятся: 

    Классический

    Этот тип вероятности, также известный как аксиоматический метод, включает набор связанных с ним аксиом (правил). Например, у вас может быть правило, согласно которому вероятность должна быть больше 0,5%, чтобы оно было действительным.

    Относительная частота

    Это включает в себя рассмотрение коэффициента возникновения единичного события по сравнению с общим числом результатов. Этот тип вероятности часто используется после сбора данных эксперимента для сравнения подмножества данных с общим объемом собранных данных.

    Субъективная вероятность

    При использовании субъективного подхода вероятность представляет собой вероятность того, что что-то произойдет, исходя из собственного опыта или личного суждения. Здесь нет формальных расчетов субъективной вероятности, поскольку она основана на чьих-то убеждениях, суждениях и личных рассуждениях.

    Например, во время спортивного мероприятия болельщики одной команды рассказывают, за кого они болеют. Это основано на фактах или мнениях, которых они придерживаются лично относительно игры, двух играющих команд и шансов на победу команды.

    Теория вероятностей — это инструмент, используемый исследователями, предприятиями, инвестиционными аналитиками и многими другими для управления рисками и анализа сценариев.

    Эпидемиология

    Возьмите эпидемиологию, которая является наукой о распространении болезней. Исследователи в этой области изучают частоту заболеваний, оценивая, как вероятность различается между группами людей. Современным примером этого является использование вероятности эпидемиологами для оценки причинно-следственной связи между воздействием и заболеванием коронавирусом.

    Теория вероятностей часто используется для раскрытия ключевых факторов, обозначающих взаимосвязь между воздействием и рисками для здоровья. Целью здесь является количественная оценка неопределенности. Эти знания могут подтолкнуть к курсу действий, основанному на наилучших результатах для тех, кто страдает от различных заболеваний.

    Страхование

    Актуарии , которые часто работают в страховой отрасли, в основном используют вероятность, статистику и другие инструменты науки о данных для расчета вероятности неопределенных будущих событий, происходящих в течение определенного периода времени. Затем они применяют другие концепции данных, чтобы определить сумму денег, которую необходимо отложить на покрытие будущих убытков.

    Малый бизнес

    Есть еще мир малого бизнеса, где владельцы не всегда могут полагаться на свои догадки и инстинкты, чтобы управлять успешной компанией. В сегодняшней конкурентной бизнес-среде вероятностный анализ может предоставить предпринимателям ключевые показатели, указывающие путь к наиболее прибыльным и продуктивным путям. Этот анализ предлагает контролируемый способ прогнозирования потенциальных результатов.

    Например, если коммерческое предприятие рассчитывает ежемесячно получать от 500 000 до 750 000 долларов дохода, график начнется с 500 000 долларов в нижней части и 750 000 долларов в верхней части. Для типичного распределения вероятностей график будет напоминать колоколообразную кривую, где наименее вероятные исходы располагаются ближе к крайним концам диапазона, а наиболее вероятные — ближе к средней точке крайних значений.

    Метеорология

    Прогноз погоды служит еще одним примером теории вероятностей. Вероятность осадков или суровой погоды привязана к конкретному географическому положению. В результате прогнозирование можно рассматривать как сочетание вероятности возникновения погодных явлений и охвата этого события. Согласно информационному заявлению Американского метеорологического общества: 

    «Прогноз вероятности включает числовое выражение неопределенности в отношении прогнозируемого количества или события. В идеале все элементы (температура, ветер, осадки и т. д.) прогноза погоды должны включать информацию, точно определяющую присущую им неопределенность. Опросы постоянно указывали на то, что пользователям нужна информация о неопределенности или достоверности прогнозов погоды. Широкое распространение и эффективная передача информации о неопределенности прогнозов, вероятно, принесет существенные экономические и социальные выгоды, поскольку пользователи могут принимать решения, которые четко учитывают эту неопределенность».

    Исследователям данных необходимо учитывать ряд преимуществ и недостатков с вероятностью .

    Классический

    Классический метод вероятности используется, когда все вероятные исходы имеют равную вероятность наступления и каждый исход известен заранее. В приведенном выше примере с подбрасыванием монеты используется классический подход к вероятности. Классический подход предлагает простой подход к примерам из реального мира, который легко усваивается теми, кто не имеет математического или естественнонаучного образования.

    Что касается ограничений, то классический подход не подходит для проектов с бесконечным числом возможных результатов. Это также неэффективно в сценариях, где каждый исход не равновероятен, как в случае бросания взвешенного игрального кубика. Эти ограничения влияют на способность этого подхода решать более сложные задачи.

    Относительная частота

    В отличие от классического подхода, относительная частота дает преимущество в возможности обрабатывать сценарии, в которых исходы имеют разную теоретическую вероятность (или вероятность) возникновения. Этот подход также может управлять вероятностной ситуацией, когда возможные результаты неизвестны.

    Хотя вы можете использовать вероятность относительной частоты в более разнообразных ситуациях и настройках, чем классическая вероятность, у нее есть несколько ограничений. Первое ограничение относительной частоты связано с проблемой «бесконечных повторений». Вот где эксперименты, обладающие бесконечным числом раз, не могут быть проанализированы с помощью этой теории. Таким образом, хотя можно провести большое количество испытаний, это число не может быть бесконечным.

    Субъективный

    Проблемы, которые выигрывают от субъективной вероятности, это те, которые требуют определенного уровня веры, чтобы сделать их возможными. Например, кандидат, проигравший в опросах, может использовать субъективную вероятность, чтобы обосновать свое участие в гонке.

    Субъективная вероятность также выигрывает от того, что известно как проблема эталонного класса. В задаче с эталонным классом присвоение вероятности определенному событию может потребовать классификации этого события. Эта классификация может быть субъективной, и поэтому изменение классификации может изменить вероятность события.

    Например, если вы хотите определить вероятность того, что человек заразится инфекционным заболеванием, таким как COVID-19, нам нужно начать с оценки того, какие классы людей имеют отношение к проблеме. Именно здесь могут быть установлены различные эталонные классы. Можно использовать широкий класс, такой как «все жители США». Или его можно сузить, скажем, до «всех жителей штатов X, Y и Z, где происходит 80% смертей». Другими словами, в зависимости от выбранного эталонного класса будут возникать разные вероятности.

    Вероятность позволяет ученым, работающим с данными, оценить достоверность результатов конкретного исследования или эксперимента. Эксперимент — это запланированное исследование, которое проводится в контролируемых условиях. Когда результат еще не определен заранее, эксперимент называется случайным экспериментом. Дважды подбрасывание монеты является примером случайного эксперимента.

    Современные специалисты по обработке и анализу данных должны иметь представление об основных понятиях теории вероятностей, включая ключевые понятия, связанные с распределением вероятностей, статистической значимостью, проверкой гипотез и регрессией. Узнайте больше о концепциях статистики, которые регулярно используют специалисты по обработке и анализу данных; распределение вероятностей является лишь одним из них.

    Перевод угла из градусов в десятичные: Перевод градусов минут и секунд в десятичные градусы и обратно

    alexxlab / / Разное

    Как вручную перевести градусы, минуты, секунды в десятичные градусы? – Обзоры Вики

    В одном градусе 60 минут и в одном градусе 3600 секунд. Чтобы перевести минуты и секунды в десятичные градусы, разделить минуты на 60, секунды разделить на 3600, а затем сложите результаты, чтобы получить десятичный эквивалент.

    Во-вторых, может ли степень быть десятичной? Десятичные градусы (DD) – это обозначение для выражения географических координат широты и долготы как десятичные доли градуса. … Как и в случае с широтой и долготой, значения ограничены ±90° и ±180° соответственно. Положительные широты находятся к северу от экватора, отрицательные широты — к югу от экватора.

    Как доказать, что 1 градус составляет 60 минут?

    Как 1 градус равен 60 минутам?

    1. Ответ: Один градус делится на 60 угловых минут, а одна минута — на 60 угловых секунд. Использование градусов-минут-секунд также признано как обозначение DMS.
    2. Чтобы доказать. 1 градус = 60 минут.
    3. Доказательство. Мы знаем это. 1 минута = 60 секунд. 1 день = 24 часа.

    тогда почему градус делится на 60 минут? Нам известно, что Земля делает один оборот вокруг своей оси за 24 часа. Таким образом, простыми рассуждениями мы можем сказать, что 360 градусов долготы составляют разница во времени 24 часа = (24 * 60) минут = 1440 минут.

    Какой угол 1 градус? Градус (полностью, градус дуги, градус дуги или градус дуги), обычно обозначаемый градусом (символ градуса), представляет собой измерение плоского угла, в котором один полный оборот составляет 360 градусов. … Поскольку полный оборот равен 2π радиан, один градус эквивалентен π180 радиан.

    Почему в градусе 60 минут?

    В своем трактате «Альмагест» (около 150 г. н. э.) Клавдий Птолемей объяснил и расширил работу Гиппарха, разделив каждый из 360 градусов широты и долготы на более мелкие сегменты. Каждая ступень делилась на 60 частей, каждая из которых снова подразделялась на 60 меньших частей.

    Какой градус делится на 60? Каждый градус делится на 60 равных частей, называемых минутами. Так семь и полградуса можно назвать 7 градусов и 30 минут, записав 7° 30′. Каждая минута далее делится на 60 равных частей, называемых секундами, и, например, 2 градуса 5 минут 30 секунд записывается как 2° 5′ 30″.

    Что мы называем 1 минутами?

    При измерении углов минута составляет 1/60 градуса (и Второй составляет 1/60 минуты).

    Сколько километров в градусе? Градус широты, один градус северной или южной широты, составляет примерно одинаковое расстояние в любом месте, около 69 миль (111 км).

    Почему 360 градусов?

    Полный круг составляет 360 градусов, потому что вавилоняне использовали шестидесятеричную систему. Он также представляет количество дней в году, а также потому, что 360 очень сложен.

    Какой угол 45 градусов?

    Угол 45 градусов — это ровно половина угла в 90 градусов, образованного двумя лучами. Это острый угол, и два угла, равные 45 градусам, образуют прямой угол золото имеет угол 90 градусов. Мы знаем, что угол образуется, когда два луча встречаются в вершине.

    Какие есть 4 типа степеней? Степени колледжа обычно делятся на четыре категории: младший, бакалавр, магистр и докторантура. Каждый уровень степени колледжа различается по продолжительности, требованиям и результатам.

    Кто решил 360 градусов по кругу? Жители Месопотамии передали свою систему счисления с основанием 60 древние египтяне, который использовал его, чтобы разделить круг на 360 градусов.

    Как вы рассчитываете градусы?

    Каждая степень разделить на 60 равных частей, называемых минутами. Итак, семь с половиной градусов можно назвать 7 градусами и 30 минутами, записанными как 7 ° 30 ′. Каждая минута делится на 60 равных частей, называемых секундами, и, например, 2 градуса 5 минут 30 секунд записывается как 2 ° 5 ′ 30 ″.

    Почему время измеряется в 60-х годах? ДЕЛЕНИЕ часа на 60 минут и минуты на 60 секунд происходит от вавилонян, которые использовали шестидесятеричные числа (считая 60-ми). система по математике и астрономии. Они заимствовали свою систему счисления от шумеров, которые использовали ее еще в 3500 году до нашей эры.

    Как вы рассчитываете градусы и минуты?

    Почему мы используем градусы минуты секунды? Градусы, минуты, секунды (DMS)

    Степени для DMS делятся на 60 минут, а затем каждая минута делится на 60 секунд. Это похоже на часы на наших часах и восходит к вавилонянам, которые работали по системе счисления с основанием 60!

    Что такое минутные углы?

    МОА ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ

    Угловая минута (МОА) равна единица измерения угла, равная 1/60th 1 степени. В круге 360 градусов (вспомните циферблат компаса). Когда необходимы более точные измерения, каждый из этих градусов можно разделить на 60 угловых минут (также называемых угловыми минутами).

    Как обозначаются минуты градуса? Градусы, минуты и секунды обозначаются символами °, ‘, «. например, 10 ° 33 ’19 ″ означает угол в 10 градусов, 33 минуты и 19 секунд. Градус делится на 60 минут (дуговых), а каждая минута делится на 60 секунд (дуговых).

    Сколько градусов в десятичном метре?

    Значение в десятичных градусах с точностью до 4 знаков после запятой соответствует 11.1 метров (+/- 5.55 м) на экваторе. Значение в десятичных градусах с точностью до 5 знаков после запятой соответствует 1.11 метра на экваторе.
    …
    Точность.

    десятичные знаки степени расстояние
    1 0.1 11.1 км
    2 0.01 1.11 км
    3 0. 001 111 m
    4 0.0001 11.1 m

    • 24 мая 2011 г.

    Как перевести координаты в градусы в метрах?

    Умножьте градусы разделения долготы и широты на 111,139 XNUMX. чтобы получить соответствующие линейные расстояния в метрах.

    Перевод угловых минут в градусы (десятичные дроби). 0-60′. Таблица.

    Раздел недели: Скоропись физического, математического, химического и, в целом, научного текста, математические обозначения. Математический, Физический алфавит, Научный алфавит.


    Поиск на сайте DPVA

    Поставщики оборудования

    Полезные ссылки

    О проекте

    Обратная связь

    Ответы на вопросы.

    Оглавление

    Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник



    Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница / / Техническая информация/ / Алфавиты, номиналы, единицы/ / Перевод единиц измерения величин. Перевод единиц измерения физических величин. Таблицы перевода единиц величин. Перевод химических и технических единиц измерения величин. Величины измерения. Таблицы соответствия величин./ / Перевод единиц измерения Углов, Угловой скорости и Углового ускорения. / / Перевод угловых минут в градусы (десятичные дроби). 0-60′. Таблица.

    Поделиться:   

    Перевод угловых минут в градусы (десятичные дроби). 0-60′. Таблица.

    В одном угловом градусе — 60 минут. Перевод минут в градусы — в таблице ниже:
    Угловые минуты Угловые градусы
    1 0.0167
    2 0.0333
    3 0.05
    4 0.0667
    5 0.0833
    6 0.1
    7 0.1167
    8 0.1333
    9 0.15
    10 0.1667
    11 0.1833
    12 0. 2
    13 0.2167
    14 0.2333
    15 0.25
    16 0.2667
    17 0.2833
    18 0.3
    19 0.3167
    20 0.3333
    21 0.35
    22 0.3667
    23 0.3833
    24 0.4
    25 0.4167
    26 0.4333
    27 0.45
    28 0. 4667
    29 0.4833
    30 0.5
    31 0.5167
    32 0.5333
    33 0.55
    34 0.5667
    35 0.5833
    36 0.6
    37 0.6167
    38 0.6333
    39 0.65
    40 0.6667
    41 0.6833
    42 0.7
    43 0.7167
    44 0. 7333
    45 0.75
    46 0.7667
    47 0.7833
    48 0.8
    49 0.8167
    50 0.8333
    51 0.85
    52 0.8667
    53 0.8833
    54 0.9
    55 0.9167
    56 0.9333
    57 0.95
    58 0.9667
    59 0.9833
    60 1

    Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

    Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела:
    Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

    Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
    Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

    Коды баннеров проекта DPVA.ru
    Начинка: KJR Publisiers

    Консультации и техническая
    поддержка сайта: Zavarka Team

    		 Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

    Преобразование градусов в DMS с помощью калькулятора TI-84 Plus

    TI-84 Plus CE Графический Калькулятор для чайников, 3-е издание

    Графический калькулятор TI-84 Plus CE для чайников, 3-е издание

    Посмотреть книгу Купить на Amazon

    Функции, доступные в меню угла калькулятора TI-84 Plus, позволяют выполнять преобразование между десятичными градусами и DMS. (градусы, минуты и секунды). Вы также можете переопределить настройку угла в меню «Режим» калькулятора при использовании этих функций.

    Чтобы преобразовать десятичные градусы в DMS (градусы, минуты и секунды), выполните следующие действия:

    1. Переведите калькулятор в режим Градусов.

      Нажмите [MODE], с помощью клавиш со стрелками выделите DEGREE, а затем нажмите [ENTER].

    2. При необходимости нажмите [2nd][MODE] для доступа к главному экрану.

    3. Введите градусную меру.

    4. Нажмите [2nd][APPS][4][ENTER], чтобы преобразовать градусы в DMS.

      Это показано на втором экране.

    Ввод углов в измерение DMS

    Чтобы ввести угол в единицу измерения DMS (и преобразовать в десятичные градусы), выполните следующие действия:

    1. Введите количество градусов и нажмите [2nd][APPS][1], чтобы вставить символ градуса.

    2. Введите количество минут и нажмите [2nd][APPS][2], чтобы вставить символ минут.

    3. Введите число секунд и нажмите [ALPHA][+], чтобы вставить символ секунд.

    4. Нажмите [ENTER], чтобы оценить показатель DMS.

      Поскольку ваш калькулятор находится в градусах, нажатие [ENTER] преобразует DMS в десятичные градусы. Смотрите первый экран.

    Переопределение режима угла

    Если калькулятор находится в радианном режиме, но вы хотите ввести угол в градусах, введите число градусов, а затем нажмите [2nd][APPS][1], чтобы вставить символ градуса. По сути, вы заставляете свой калькулятор оценивать угол в градусах независимо от настройки режима. Приобретя привычку добавлять символ градуса к вашему углу, ваш учитель математики будет в восторге!

    Если калькулятор находится в режиме «Градусы» и вы хотите ввести угол в радианах, введите число в радианах, а затем нажмите [2nd][APPS][3], чтобы вставить символ измерения в радианах.

    Если мера радиана вводится как арифметическое выражение, не забудьте заключить его в круглые скобки, прежде чем вставлять символ измерения в радианах!

    Об этой статье

    Эта статья взята из книги:

    • Графический калькулятор TI-84 Plus CE для чайников, 3-е издание,

    Об авторе книги:

    Джефф МакКалла — учитель математики в Епископальной школе Святой Марии в Мемфисе, Теннесси. Он стал соучредителем группы суперпользователей TI-Nspire и получил Президентскую премию за выдающиеся достижения в области преподавания естественных наук и математики.

    К.С. Эдвардс — преподаватель, который провел множество семинаров по использованию калькуляторов TI.

    Эту статью можно найти в категории:

    • Графические калькуляторы,

    Преобразование ракурсов в различные форматы

    Преобразование ракурсов в различные форматы

    Это приложение преобразует указанные вами углы (в любом формате) в любой или все форматы, указанные вами с помощью флажков в соседнем столбце.

    Исходный угол:
    Формат отображения:
    Шестидесятеричный формат: 123°34’56» 24-часовой угловой формат 8ч 14м 20с Радианный формат 2.15962р Формат порции круга 34,3284% Десятичный формат 123. . Если вы хотите вводить шестидесятеричные числа с символом °, вы можете отредактировать существующий номер по умолчанию, оставив ° нетронутым. Отображаемые результаты всегда будут отображаться с символом °. Первый нечисловой символ во входных данных, следующий за первым числовым символом, определяет формат угла. Числовые символы включают не только цифры, но и пробел, а также знаки + и -. Другие символы форматирования, включая пробелы, могут быть использованы или опущены по желанию. Пять форматов: 934 56
    Час : Ч ч 8:14:20 или 8 ч 14 мин 20 с или даже 8:14.33333
    Радиан Р р 2.15692R
    Процент % 34,32840%
    Десятичный (пусто) 123,58222

    Каждый из этих форматов указывает один и тот же угол. Каждая из них имеет свое назначение и иногда используется в астрономических расчетах.

    1. Шестидесятеричная система счисления, пожалуй, самая привычная — градусы, минуты и секунды. (См. Шестидесятеричный ниже).
    2. Измерение углов в часах возникло потому, что астрономы хотели знать, когда и где звезда будет находиться в определенное время. Радианная угловая мера кажется странной большинству людей, когда они впервые сталкиваются с ней. Странность этой системы в том, что часовой угол применяется только к окружностям. Высота всегда измеряется в шестидесятеричном формате. Это связано с тем, что угол склонения (возвышения) не меняется со временем, а изменяется только экваториальное (окружность) прямое восхождение. Преобразование в часовые углы и обратно требует простого умножения или деления шестидесятеричных углов на 15 [15 = 360°/24 часа].
    3. Радианы — это естественные математические единицы измерения углов. Он основан на том факте, что окружность всегда равна 2πR, где R — ее радиус. Один радиан равен 180°/π.
    4. Процент полного оборота часто используется в расчетах двойных звезд. Один процентный пункт равен 3,6° с.
    5. Десятичный формат — это просто шестидесятеричный формат, измененный на одно десятичное число. Он всегда отображается по умолчанию.
    6. Окончательный формат, угловых секунд , генерируется внутри для очень узких углов, таких как угловые диаметры планет и угловые расстояния между звездами. Когда углы превышают 600 угловых секунд, этот формат возвращается к шестидесятеричному формату. Не существует способа ввода углов в формате угловых секунд, кроме шестидесятеричных чисел с градусами и минутами, установленными равными нулю или малым десятичным дробям.
    Шестидесятеричный

    Слово шестидесятеричное число появляется на этой странице и на странице FDO Astronomical Utility Tools. Шестидесятеричная система относится к современной версии старой финикийской системы с основанием шестьдесят. Мы используем это для часов, минут и секунд, а также для углов. Астрономы используют как часовые углы (где полный оборот происходит за 24 часа), так и градусы (где полный оборот составляет 360°).

    Правила задания углов
    1. Измерения по окружности указаны в [кратных] диапазоне от 0° до 360° (см. примечание). Если ваш источник использует отрицательные углы, программа корректирует их, добавляя кратные 360°. Например, -85° становится (360+-85)° или 275°. Долготы (λ), азимуты (A) и прямые восхождения (α) составляют 90 247 окружностей и 90 248 углов. Окна угла окружности появляются первыми всякий раз, когда инструменты предоставляют поля для углов.
    2. Измерения вверх или вниз по возвышение диапазон от -90° до 90°. Значения вне этого диапазона логически корректируются, чтобы попасть в этот диапазон. Хотя мы могли бы выбрать любой другой диапазон, охватывающий 180°, по традиции предпочтение отдается от -90° до 90°. Широта (β), высота (a) и склонение (δ) составляют 90 247 углов возвышения и 90 248 углов.

Цилиндр куб конус параллелепипед пирамида шар цилиндр: Призма, пирамида, цилиндр, конус, шар. Задание 2. Единый государственный экзамен 11 класс, Математика: уроки, тесты, задания.

alexxlab / / Разное

Математика. 1 класс. Тема: Математика вокруг нас. Пирамида. Цилиндр. Конус. | План-конспект урока по математике (1 класс) на тему:

Тема:  Математика вокруг нас. Пирамида. Цилиндр. Конус.

Тип:  изучение нового материала.

Задачи: 

  • познакомить с пространственными геометрическими фигурами: пирамидой, цилиндром, конусом.

Планируемые результаты

Предметные:

  • распознавать, различать и называть геометрические тела:  пирамиду, цилиндр, конус, куб и шар.

Метапредметные:

  • принимать и сохранять в памяти учебную задачу урока;
  • оценивать свои достижения на уроке;
  • применять изученные алгоритмы при выполнении заданий.

Личностные:

  • принимать и осваивать социальную роль обучающегося;
  • формировать личностный смысл учения.

Ресурсы урока: Минаева С.С. Математика: 1 класс: часть 1; Минаева С.С. Математика: 1 класс: рабочая тетрадь №1, рабочая программа, электронное приложение

Ход урока

Содержание деятельности учителя:

Содержание деятельности обучающихся:

Актуализация необходимых знаний

  • Предлагает учащимся рассмотреть геометрические фигуры на слайде №1 (квадрат, прямоугольник, треугольник, круг, куб, шар, параллелепипед), разделить их на 2 группы.
  • Спрашивает, о значении геометрических фигур в жизни людей. Слайд №2.
  • Высказывают предположения.

Выполняют задание: делят фигуры на 2 группы плоские и объёмные.

  • Отвечают на вопросы, актуализируют знания о геометрических фигурах.

Мотивация познавательной деятельности

  • Предлагает дифференцированное задание:

1. Учащимся 1 ряда: раскрасить на предложенной карточке все кубы; посчитать, сколько кубов на рисунке.

2. Учащимся 2 ряда: раскрасить на предложенной карточке все шары; посчитать, сколько шаров на рисунке.

3. Учащимся 3 ряда: раскрасить на предложенной карточке все параллелепипеды; посчитать, сколько параллелепипедов на рисунке.

4. Трём учащимся индивидуальные задания: построить из кубиков башню по рисунку.

  • Предлагает учащимся проверить правильно ли выполнено задание.
  • Предлагает всем ученикам проверить правильно ли построены башни, соответствуют ли они рисункам.
  •  Спрашивает, какие кубики (геометрические фигуры) были использованы в строительстве башен.
  • Знакомит учащихся с геометрическими фигурами пирамидой, цилиндром, конусом.
  • Спрашивает, какие это фигуры плоские или объёмные.
  • Предлагает учащимся определить тему и учебную задачу урока.
  • Помогает определить тему и учебную задачу урока.
  • Выполняют задание: раскрашивают и считают геометрические фигуры.
  • Трое учащихся строят башни из кубиков по рисунку.
  • Ученики проверяют, правильно ли выполнено задание.
  • Ученики проверяют, правильно ли выполнено задание.
  • Высказывают предположения, выходят на проблемный момент.
  • Отвечают на вопрос.
  • Определяют тему и учебную задачу урока (с помощью учителя).

Тема: «Пирамида. Цилиндр. Конус»

Задача: познакомиться с геометрическими фигурами: пирамидой, цилиндром, конусом.

Организация познавательной деятельности

  • Предлагает учащимся прочитать тему урока на  с. 34 в учебнике.
  • Организует работу по выполнению задания в учебнике на с.34
  • Организует работу по выполнению задания №1 в рабочей тетради на с.34
  • Предлагает проверить, правильно ли выполнено задание.
  • Рассказывает учащимся о пирамидах. Слайд №3.
  • Организует работу по выполнению задания№3 в рабочей тетради на с.34
  • Предлагает проверить, правильно ли выполнено задание.
  • Организует работу по выполнению задания№2 в рабочей тетради на с.34
  • Предлагает учащимся проверить правильно ли выполнено задание.
  • Спрашивает, о значении геометрических фигур (пирамиды, цилиндры, конусы) в жизни людей.
  • Учащиеся читают тему урока.
  • Выполняют задание в учебнике на с. 34, называют геометрические фигуры, изображенные на рисунке.
  • Выполняют задание №1 в рабочей тетради на с.34, раскрашивают геометрические фигуры (пирамиды, цилиндры, конусы).
  •  Выполняют взаимопроверку в парах.
  • Выполняют задание №3 в рабочей тетради на с.34 (задание на внимание).
  • Выполняют взаимопроверку в парах.
  • Выполняют задание №2 в рабочей тетради на с.34 (задание на логику).

Один ученик выполняет задание у доски.

  • Ученики проверяют, правильно ли выполнено задание.
  • Высказывают предположения.

Подведение итогов

  • Предлагает учащимся подвести итог: вспомнить тему урока и учебную задачу, ответить выполнена ли учебная задача.
  • Предлагает оценить свои достижения на уроке (что получилось, над чем еще надо поработать, какое настроение было на уроке)
  • Высказывают свое мнение.
  • Выполняют самооценку деятельности на уроке, определяют личностный смысл изучения темы.

Дополнительный материал:  вылепить из пластилина конус и цилиндр (учебник задание на с. 34)

Формулы объема цилиндра, шара, конуса — площадь поверхности и основания

Тела вращения, изучаемые в школе, — это цилиндр, конус и шар.

Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы — считайте, что повезло.

Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.

Смотрите также: Формулы объема и площади поверхности многогранников.
Кроме формул, в решении задач по стереометрии нужны также элементарная логика и пространственное воображение. Есть и свои небольшие секреты.

Например, такой важный факт:

Если все линейные размеры объемного тела увеличить в 2 раза, то площадь его поверхности увеличится в 4 раза, а объем — в 8 раз. 

(ведь , ).

Вот такая задача. Как и остальные на нашем сайте, она взята из банка заданий ФИПИ.

1. Объем конуса равен . Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Очевидно, что объем меньшего конуса в раз меньше объема большого и равен двум.

Для решения некоторых задач полезны начальные знания стереометрии. Например — что такое правильная пирамида или прямая призма. Полезно помнить, что у цилиндра, конуса и шара есть еще общее название — тела вращения. Что сферой называется поверхность шара. А, например, фраза «образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов предполагает, что вы знаете, что такое угол между прямой и плоскостью. Вам также может пригодиться теорема Пифагора и простые формулы площадей фигур.

Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, — снизу.

2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Всё просто — рисуем вид снизу. Видим, что радиус большего круга в раз больше, чем радиус меньшего. Высоты у обоих конусов одинаковы. Следовательно, объем большего конуса будет в раза больше.

Говорят, что хороший чертеж — это уже половина решения. Читайте о том, как строить чертежи в задачах по стереометрии.

Еще один важный момент. Помним, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Поэтому никаких или у вас в ответе в части В быть не должно. Подставлять приближенное значение числа тоже не нужно! Оно обязательно должно сократиться! Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на ».

А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике.
Мы тоже расскажем о ней.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Формулы объема и площади поверхности. Цилиндр, конус и шар» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.04.2023

Формулы объема и поверхности

Объем выражает количество чего-то (например, воды), которое нам нужно, чтобы заполнить форму. Космические фигуры имеют только объем. Плоские фигуры (треугольники, квадраты) не имеют объема.
Стандартное обозначение для тома — V.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед имеет 6 граней, которые являются прямоугольниками.
Если стороны прямоугольника внизу равны а и b, а высота параллелепипеда c (третье ребро прямоугольного параллелепипеда). 92$

Параллелепипед

Параллелепипед образован 6 параллелограммами. Если площадь дна равна А, а высота параллелепипед h.
Формула объема:

$V = A \cdot h$

Пирамида

Пирамида — это фигура с многоугольным основанием (треугольник, квадрат, прямоугольник), соединенным с одной точкой, называемой вершиной.
Пусть высота (расстояние между вершиной и основанием) пирамиды равна h а площадь основания равна A.92\cdot ч$

Площадь боковой поверхности = $\pi\cdot r \cdot l$

Полная площадь поверхности прямого круглого конуса равна площади боковой поверхности + площади основания.

Общая площадь поверхности = $\pi\cdot r(r + l)$

Сфера

Сфера — это поверхность полностью круглого шара.
Каждая сфера имеет центральную точку, называемую «центром» сферы.
Радиус — это длина от центра до любой точки на поверхности сферы.
Объем сферы радиусом r: 92 \cdot ч$

Площадь криволинейной поверхности цилиндра:

Площадь изогнутой (боковой) поверхности = $2\cdot\pi\cdot r \cdot h$

Общая площадь поверхности = площадь изогнутой (боковой) поверхности + площадь двух круглых концов:

Общая площадь поверхности = $2\cdot\pi\cdot r(h + r)$

Викторина: Объем и площадь поверхности

Твердые формы — определение, типы, свойства, примеры, часто задаваемые вопросы

Твердые фигуры — это не что иное, как тела, состоящие из трех измерений, а именно длины, ширины и высоты. Твердые формы также известны как трехмерные формы. Эти твердые формы занимают пространство и встречаются в нашей повседневной жизни. Мы трогаем, чувствуем и используем их. В этом увлекательном уроке вы можете ознакомиться с некоторыми интерактивными примерами, чтобы узнать больше, и попробовать свои силы в решении нескольких интересных практических вопросов в конце страницы.

1. Что такое твердые формы?
2. Твердые формы и их свойства
3. Грани, ребра и вершины твердых фигур
4. Часто задаваемые вопросы о твердых формах

Что такое твердые формы?

В математике мы изучаем формы и их различные типы и пытаемся применить их в реальной жизни. Теперь мы подробно узнаем о каждой твердой форме. Твердые формы подразделяются на несколько категорий. Некоторые из них имеют криволинейные поверхности; некоторые имеют форму пирамид или призм.

Твердые фигуры Определение: Твердые фигуры — это трехмерные фигуры, которые имеют длину, ширину и высоту в качестве трех измерений.

Давайте сначала узнаем о твердых формах с изогнутыми поверхностями на примерах.

Твердые формы и их свойства

Твердые фигуры соответствуют трехмерным объектам. Осмотреться! Любой другой трехмерный объект, будь то ноутбук, мобильный телефон, рожок мороженого, шарики и т. д., являются примерами твердотельных форм. Они занимают некоторое пространство, имеют длину, ширину и высоту. Давайте изучим типы твердых форм-

  • Сфера
  • Цилиндр
  • Конус
  • Пирамида
  • Призма

Сфера

Сфера представляет собой твердое тело абсолютно круглой формы, определенное в трехмерном пространстве. Каждая точка поверхности равноудалена от центра.

В таблице ниже показаны свойства сферы:

Свойства Площадь поверхности Том
  • Не имеет ни ребер, ни вершин (углов).
  • Имеет одну поверхность.
  • Он имеет форму шара и абсолютно симметричен.
  • Все точки на поверхности находятся на одинаковом расстоянии (r) от центра.
 4πr 2 (4/3)πr 3

Цилиндр

Цилиндр — это твердое тело, заданное на трехмерной плоскости. Он удерживает два параллельных основания круглой формы, соединенных изогнутой поверхностью (например, трубкой) на фиксированном расстоянии.

В таблице ниже показаны свойства цилиндра:

Свойства Площадь поверхности Том
  • Имеет плоское основание и плоскую верхнюю часть.
  • Имеет одну изогнутую сторону.
  • Основания всегда конгруэнтны и параллельны.
  • Это трехмерный объект с двумя одинаковыми концами, круглыми или овальными.
 2πr (р+ч) πr 2 ч

Конус

Конус представляет собой характерную твердую форму, заданную в трехмерном пространстве. Он имеет плоскую поверхность и изогнутую поверхность, направленную вверх. Он образован набором отрезков, соединенных от круглого основания с общей точкой, известной как вершина или вершина. В зависимости от того, как вершина совмещена с центром основания, формируется прямой конус или косой конус.

В таблице ниже показаны свойства конуса, где r обозначает радиус, h обозначает высоту, а s обозначает наклонную высоту конуса:

Свойства Площадь поверхности Том
  • Имеет круглое или овальное основание с вершиной (вершиной).
  • Имеет одну изогнутую сторону.
  • Конус — это повернутый треугольник.
 π г (г + с) 1/3 πr 2 ч

Пирамида

Пирамида представляет собой объемную фигуру или многогранник с многоугольным основанием, а все боковые грани — треугольниками. Пирамиды обычно описываются формой их оснований. Пирамида с:

  1. Треугольным основанием называется Тетраэдром.
  2. Четырехугольное основание называется квадратной пирамидой.
  3. Основание Пентагона называется пятиугольной пирамидой.
  4. Правильное шестиугольное основание называется шестиугольной пирамидой.

В таблице ниже показаны свойства пирамиды: (BA = площадь основания, P = периметр, A = высота и SH = высота наклона)

Свойства Площадь поверхности Том
  • Пирамида представляет собой многогранник с многоугольным основанием и вершиной с прямыми линиями.
  • На основании совмещения их вершины с центром основания их можно разделить на правильные и наклонные пирамиды.

БА + 1/2 × П × (Ш)

 1/3 ВА 2

Призмы

Призма представляет собой твердое тело, определенное на трехмерной плоскости с двумя одинаковыми фигурами, обращенными друг к другу. Различные типы призм: треугольные призмы, квадратные призмы, пятиугольные призмы, шестиугольные призмы и т. д. Призмы также широко классифицируются на правильные призмы и наклонные призмы.

В таблице ниже показаны свойства призмы: (BA = площадь основания, P = периметр, H = высота)

Свойства Площадь поверхности Том
  • Имеет одинаковые концы (многоугольные) и плоские грани.
  • Имеет одинаковое поперечное сечение по всей длине.
 2 × (ВА) + П × В БА × Н

Многогранники/Платоновые тела

Платоновы тела имеют грани, идентичные правильным многоугольникам. Есть пять многогранников.

  1. Тетраэдр с четырьмя равносторонне-треугольными гранями
  2. Октаэдр с восемью равносторонне-треугольными гранями
  3. Додекаэдр с двенадцатью пятиугольными гранями
  4. Икосаэдр с двадцатью равносторонними треугольными гранями
  5. Шестигранник или куб с шестью квадратными гранями.

В таблице ниже показаны свойства платоновых форм: (EL = длина ребра)

Свойства куба Площадь поверхности Том
  • Он имеет 6 граней, каждая из которых имеет 4 ребра (и является квадратом).
  • Имеет 12 ребер.
  • Он имеет 8 вершин (угловых точек), где сходятся 3 ребра.
 6 × (EL) 2 (EL) 3

Грани, ребра и вершины твердых фигур

Как упоминалось ранее, объемные формы и объекты отличаются от двумерных форм и объектов наличием трех измерений — длины, ширины и высоты. Благодаря этим трем измерениям эти объекты имеют грани, ребра и вершины. Давайте разберемся с этими тремя подробно.

Грани твердых тел

  • Гранью называется любая отдельная плоская поверхность твердого объекта.
  • Твердые фигуры могут иметь более одной грани.

Ребра объемных фигур

  • Ребро — это отрезок линии на границе, соединяющий одну вершину (угловую точку) с другой.
  • Они служат стыком двух граней.

Вершины объемных фигур

  • Точка, в которой встречаются две или более прямых, называется вершиной.
  • Это угол.
  • Точка пересечения ребер обозначает вершины.

Например:

Советы и рекомендации

  • Рифма для запоминания объемных форм:

«Твердые фигуры толстые, а не плоские.
Найди шишку в праздничной шапке!
Вы видите сферу в баскетбольном мяче,
И прямоугольный параллелепипед в таком высоком здании!
Вы видите куб в кости, которую вы бросаете,
И цилиндр в блестящем флагштоке!»

  • Движение пальцев по геометрическим фигурам поможет вам понять концепцию граней, ребер и вершин.

Важные моменты

  • Твердые или трехмерные объекты имеют 3 измерения: длину, ширину и высоту.
  • Твердые фигуры имеют грани, ребра и вершины.
  • Изучение твердых форм поможет нам в нашей повседневной жизни, поскольку большая часть нашей деятельности вращается вокруг них и зависит от них.

Похожие темы

  • Площадь прямоугольника
  • Площадь квадрата
  • Является ли квадрат прямоугольником
  • Типы треугольников
  • Форма многоугольника

Часто задаваемые вопросы о твердых формах

Что такое твердая форма?

Трехмерные объекты с определенной длиной, шириной и высотой называются объемными формами.

Как еще можно назвать твердую форму?

В геометрии объемную форму также можно назвать трехмерной.

Сколько твердых фигур существует?

В список твердых фигур входят куб, прямоугольный параллелепипед, сфера, конус, полусфера, призма, цилиндр, пирамида и т. д.

Что такое объем твердой формы?

Объем сплошных фигур относится к объему кубического пространства, заполненного фигурами. Чтобы найти объем, нам нужны измерения трех измерений.

Шар твердый или плоский?

Сфера представляет собой твердое тело без краев и вершин (углов).

Каковы свойства твердых фигур?

Твердые фигуры — это трехмерные объекты. Они имеют три измерения — длину, ширину и высоту. Будучи трехмерными, они занимают место во Вселенной. Твердые формы идентифицируются в соответствии с особенностями — ребрами, вершинами, гранями и т. д.

Что такое плоские и твердые формы?

Плоские формы также известны как плоские формы, которые представляют собой 2D-формы, состоящие из прямых, изогнутых линий или того и другого. В то время как твердые формы представляют собой трехмерные формы, состоящие из длины, ширины и высоты. Разница между плоскими и сплошными формами заключается в размерах. Например, квадрат представляет собой плоскую форму, а его противоположная твердая форма представляет собой куб, который представляет собой трехмерную форму.

Таблица 2 на 3: Как создать таблицу в HTML5 и указать её параметры через стили?

alexxlab / / Разное

Как создать таблицу в HTML5 и указать её параметры через стили?

Тема:Таблицы

Internet ExplorerChromeOperaSafariFirefoxAndroidiOS
8.0+1.0+4.0+1.0+1.0+1.0+1.0+

Задача

Создать таблицу и указать её параметры (поля и расстояние между ячейками) через стили.

Решение

Таблица состоит из строк и столбцов ячеек, которые могут содержать текст и рисунки. Для добавления таблицы на веб-страницу используется тег <table>. Этот элемент служит контейнером для элементов, определяющих содержимое таблицы. Любая таблица состоит из строк и ячеек, которые задаются соответственно с помощью тегов <tr> и <td>. Таблица должна содержать хотя бы одну ячейку (пример 1). Допускается вместо тега <td> использовать тег <th>. Текст в ячейке, оформленной с помощью тега <th>, отображается браузером шрифтом жирного начертания и выравнивается по центру ячейки. В остальном, разницы между ячейками, созданными через теги <td> и <th> нет.

Пример 1. Создание таблицы

HTML5IECrOpSaFx

<!DOCTYPE html>
<html>
 <head>
  <meta charset="utf-8">
  <title>Тег table</title>
 </head>
 <body>
  <table border="1">
   <tr>
    <th>Ячейка 1</th>
    <th>Ячейка 2</th>
   </tr>
   <tr>
    <td>Ячейка 3</td>
    <td>Ячейка 4</td>
  </tr>
 </table>
 </body>
</html>

Порядок расположения ячеек и их вид показан на рис. 1.

Рис. 1. Результат создания таблицы с четырьмя ячейками

Атрибут border тега <table> допустимо добавлять только с пустым значением (<table border>) или равным 1. Все остальные значения не проходят валидацию.

Для управления полями внутри ячеек используется стилевое свойство padding, которое добавляется к селектору td. Расстояние между ячейками меняется свойством border-spacing (пример 2) добавляемым к селектору table, браузер IE понимает его только с версии 8. 0.

Пример 2. Поля внутри ячеек

HTML5CSS 2.1IECrOpSaFx

<!DOCTYPE html>
<html>
 <head>
  <meta charset="utf-8">
  <title>Тег table</title>
  <style>
   table {
    width: 100%; /* Ширина таблицы */
    background: white; /* Цвет фона таблицы */
    color: white; /* Цвет текста */
    border-spacing: 1px; /* Расстояние между ячейками */
   }
   td, th {
    background: maroon; /* Цвет фона ячеек */
    padding: 5px; /* Поля вокруг текста */
   }
  </style>
 </head> 
 <body>
  <table>
   <tr><th>Заголовок 1</th><th>Заголовок 2</th></tr>
   <tr><td>Ячейка 3</td><td>Ячейка 4</td></tr>
  </table>
 </body>
</html>

Таблица с полями и расстоянием между ячейками показана на рис. 2. Аналогичного результата можно добиться и с помощью рамки белого цвета вокруг ячеек.

Рис. 2. Поля в ячейках таблицы

таблицыHTML5

Создание таблиц в HTML.

Все о HTML таблицах

В HTML для создания таблиц используются теги группы table. К ним относятся:

  • <table> — тег обвертка таблицы;
  • <tr> — тег строки (ряда) таблицы;
  • <td> — тег обычной ячейки таблицы;
  • <th> — тег ячейки-заголовка таблицы;
  • <col> — тег колонки таблицы;
  • <colgroup> — тег группы колонок таблицы;
  • <thead> — тег верхнего колонтитула таблицы;
  • <tbody> — тег основной части таблицы;
  • <tfoot> — тег нижнего колонтитула таблицы;
  • <caption> — тег подписи таблицы.

Каждому из этих тегов посвящена отдельная страница в нашем справочнике. Перейти на нее вы можете нажав по названию тега.

Далее будет рассмотрена практика создания HTML таблиц с примером исходного кода и описанием на русском языке.

Простая HTML таблица

Чтобы создать простую таблицу HTML достаточно 3 тега: <table>, <tr> и <td>.

Тег <table> является корневым контейнером таблицы. Все содержимое таблицы должно находится внутри него.

Далее необходимо определить строки и ячейки — структуру таблицы.

В HTML таблицах строка (ряд) <tr> является контейнером для ячеек. Колонки таблицы определяются позицией ячеек: первая ячейка <td> внутри строки <tr> будет в первой колонке, второй элемент <td> — во второй колонке и так далее.

Для разделения таблицы на колонтитулы (об этом ниже) и основную часть, как обвертку строк <tr> основной части таблицы используют тег <tbody>. Его использование не обязательно в простых таблицах, однако некоторые браузеры и HTML редакторы добавляют его автоматически, поэтому в примерах ниже мы также будем его использовать. Если ваша таблица не имеет колонтитулов, вы можете не использовать тег <tbody>.

Пример простой таблицы HTML

Ячейка 1 Ячейка 2 Ячейка 3
Ячейка 4 Ячейка 5 Ячейка 6
Ячейка 7 Ячейка 8 Ячейка 9

Исходный код простой таблицы HTML

<table>
<tbody>
<tr>
<td>Ячейка 1</td>
<td>Ячейка 2</td>
<td>Ячейка 3</td>
</tr>
<tr>
<td>Ячейка 4</td>
<td>Ячейка 5</td>
<td>Ячейка 6</td>
</tr>
<tr>
<td>Ячейка 7</td>
<td>Ячейка 8</td>
<td>Ячейка 9</td>
</tr>
</tbody>
</table>

Заголовки таблицы HTML

В HTML таблицах существует 2 типа ячеек. Тег <td> определяет ячейку обычного типа. Если ячейка выполняет роль заголовка, она определяется с помощью тега <th>.

Для наглядности в примерах далее мы будем использовать конкретные ситуации, где можно применять те или иные возможности HTML таблиц.

Пример HTML таблицы с заголовком th

Volkswagen AG Daimler AG BMW Group
Audi Mercedes-Benz BMW
Skoda Mercedes-AMG Mini
Lamborghini Smart Rolls-Royce

Исходный код таблицы HTML с заголовками th

<table>
<tbody>
<tr>
<th>Volkswagen AG</th>
<th>Daimler AG</th>
<th>BMW Group</th>
</tr>
<tr>
<td>Audi</td>
<td>Mercedes-Benz</td>
<td>BMW</td>
</tr>
<tr>
<td>Skoda</td>
<td>Mercedes-AMG</td>
<td>Mini</td>
</tr>
<tr>
<td>Lamborghini</td>
<td>Smart</td>
<td>Rolls-Royce</td>
</tr>
</tbody>
</table>

Объединение ячеек в таблице HTML

В HTML таблицах есть возможность объединить ячейки по горизонтали и вертикали.

Чтобы объединить ячейки по горизонтали используйте атрибут colspan=»х«, у ячейки <td> или <th>, где x — количество ячеек для объединения.

Чтобы объединить ячейки по вертикали используйте атрибут rowspan=»х«, у ячейки <td> или <th>, где x — количество ячеек для объединения.

Ячейки можно объединять по горизонтали и вертикали одновременно. Для этого используйте оба атрибута colspan и rowspan для нужной ячейки:

<td colspan="3" rowspan="2">Текст ячейки</td>

Обратите внимание на то, что при объединении ячеек меняется количество элементов в строке <tr>. Например, если в таблице 3 колонки с ячейками <td>, и мы объединяем первую и вторую ячейку, то всего внутри тега <tr>, определяющего данную строку будет 2 элемента <td>, первый из них будет содержать атрибут colspan=»2″.

Пример HTML таблицы с объединением ячеек

Nissan
Модель Комплектация Наличие
Nissan Qashqai VISIA +
TEKNA +
Nissan X-Trail ACENTA +
CONNECTA —

Исходный код таблицы HTML с объединенными ячейками

<table>
<tbody>
<tr>
<th colspan="3">Nissan</th>
</tr>
<tr>
<th>Модель</th>
<th>Комплектация</th>
<th>Наличие</th>
</tr>
<tr>
<td rowspan="2">Nissan Qashqai</td>
<td>VISIA</td>
<td>+</td>
</tr>
<tr>
<td>TEKNA</td>
<td>+</td>
</tr>
<tr>
<td rowspan="2">Nissan X-Trail</td>
<td>ACENTA</td>
<td>+</td>
</tr>
<tr>
<td>CONNECTA</td>
<td>-</td>
</tr>
</tbody>
</table>

Колонтитулы и подпись в HTML таблицах

HTML таблицы можно поделить на 3 области: верхний колонтитул, основная часть, нижний колонтитул.

Делается это при помощи обвертки строк <tr> выбранной части таблицы тегами. <thead> определяет область верхнего колонтитула, <tfoot> — область нижнего колонтитулы, <tbody> — основную часть таблицы.

По умолчанию, колонтитулы не отличаются стилями (это можно сделать через CSS при необходимости), но могут быть использованы браузерами. Например, при печати многостраничной таблицы колонтитулы могут дублироваться на каждой напечатанной странице.

Правильный порядок размещения тегов областей в коде HTML таблицы <table> следующий: вначале верхний колонтитул <thead>, за ним нижний колонтитул <tfoot>, после них основная часть <tbody>. При этом на странице основная часть будет выведена между колонтитулами.

По необходимости к таблице можно добавить подпись. Для этого используйте тег <caption>.

Подпись <caption>, при использовании, ставится сразу после открывающего тега <table>.

Пример HTML таблицы с колонтитулами и подписью

Комплектации Renault Sandero Stepway
Характеристика SUTA 09H 6R SUTA 09HR6R SUTA 15H 5R
Наличие + + +
Мощность двигателя 0,9 (90 л. с.) 0,9 (90 л.с.) 1,5 (90 л.с.)
Топливо бензин бензин дизель
Норма токсичности Евро-6 Евро-6 Евро-5

Исходный код таблицы с колонтитулами и подписью

<table>
<caption>Комплектации Renault Sandero Stepway</caption>
<thead>
<tr>
<th>Характеристика</th>
<th>SUTA 09H 6R</th>
<th>SUTA 09HR6R</th>
<th>SUTA 15H 5R</th>
</tr>
</thead>
<tfoot>
<tr>
<th>Наличие</th>
<td>+</td>
<td>+</td>
<td>+</td>
</tr>
</tfoot>
<tbody>
<tr>
<th>Мощность двигателя</th>
<td>0,9 (90 л.с.)</td>
<td>0,9 (90 л.с.)</td>
<td>1,5 (90 л. с.)</td>
</tr>
<tr>
<th>Топливо</th>
<td>бензин</td>
<td>бензин</td>
<td>дизель</td>
</tr>
<tr>
<th>Норма токсичности</th>
<td>Евро-6</td>
<td>Евро-6</td>
<td>Евро-5</td>
</tr>
</tbody>
</table>

Колонки и группы колонок

HTML таблицу можно делить на колонки и группы колонок с помощью тегов <col> и <colgroup>.

Такое разделение позволяет задать стили для таблицы используя минимальное количество CSS свойств, тем самым уменьшая объем кода таблицы (вместо определения стилей для каждой ячейки колонки, можно задать стили для одной или нескольких колонок сразу).

Теги <col>и <colgroup> ставятся внутри тега <table> перед тегами <thead>, <tfoot>, <tbody>, <tr> и после тега <caption>.

Оба тега могут определять стили для одной или нескольких колонок. Атрибут span=»число«, указывает количество колонок, на которые будет влиять тег. Если атрибут span не указан, его значение приравнивается к единице.

Теги <col> и <colgroup> похожи друг на друга, однако тег <colgroup> позволяет использование вложенных тегов <col>, таким образом можно задать стили группе колонок через <colgroup> и конкретной колонке внутри группы через элемент <col> (см. пример ниже).

Если внутри <colgroup> есть вложенные теги <col>, то атрибут span у тега <colgroup> не ставится, а количество колонок на которые влияет тег определяется вложенными <col> элементами.

Пример HTML таблицы с разделением на колонки

ZEN 2E2C AL A ZEN 2E2C J5 A INTENSE 2E3C AL A Характеристика
1.5 (90 л.с.) 1.2 (115 л.с.) 1.5 (90 л.с.) Мощность двигателя
дизель бензин дизель Топливо
АКП6 (EDC) АКП6 (EDC) АКП6 (EDC) Трансмиссия

Исходный код таблицы HTML c <col> и <colgroup>

<table>
<colgroup>
<col>
<col>
<col>
</colgroup>
<tbody>
<tr>
<th>ZEN 2E2C AL A</th>
<th>ZEN 2E2C J5 A</th>
<th>INTENSE 2E3C AL A</th>
<th>Характеристика</th>
</tr>
<tr>
<td>1. 5 (90 л.с.)</td>
<td>1.2 (115 л.с.)</td>
<td>1.5 (90 л.с.)</td>
<th>Мощность двигателя</th>
</tr>
<tr>
<td>дизель</td>
<td>бензин</td>
<td>дизель</td>
<th>Топливо</th>
</tr>
<tr>
<td>АКП6 (EDC)</td>
<td>АКП6 (EDC)</td>
<td>АКП6 (EDC)</td>
<th>Трансмиссия</th>
</tr>
</tbody>
</table>

Таблицы в макете страниц сайта

На современных сайтах немаловажно корректное отображение страниц как на компьютерах, так и на мобильных устройствах. Использовать таблицы для создания каркаса HTML страницы не целесообразно, так как теряется возможность адаптирования контента под экрыны разного размера (компьютеры, смартфоны, планшеты).

Теги группы Table лучше использовать внутри страницы для отображения контента табличного формата.

Столешницы Premium — толщиной 2 дюйма или 3 дюйма — Круглые, квадратные или прямоугольные — Доступно более 30 размеров — Изготовлено вручную в США Сделано вручную в США

107 долларов

0% годовых на 60 дней! Ограниченное по времени продвижение
*Только коммерческие продажи. Минимальная сумма покупки: $2000.

Артикул:
TT-23Y-2IN-SQ24

Заказ образца:
Пожалуйста, отправьте форму ниже

Рейтинг Обязательно Выберите Рейтинг1 звезда (худший)2 звезды3 звезды (средний)4 звезды5 звезд (лучший)

Имя

Тема отзыва Обязательно

Комментарии Обязательно

  • Информация
  • Индивидуальный заказ или заказ образца?

Наша мебель спроектирована и изготовлена ​​для использования в общественных местах с высокой проходимостью. С гордостью изготовлено вручную в Нью-Джерси.

  • Мы используем всемирно известный ламинат очень высокого качества Wilsonart®
  • Современные изысканные узоры под дерево премиум-класса сосредоточены на нейтральной палитре, достаточно универсальной, чтобы сочетаться с любой концепцией дизайна интерьера.
  • Мы верим в использование лучшего ламината, чтобы гарантировать, что продукт очень долговечен и готов к использованию в вашем офисе. Не соглашайтесь на дешевый универсальный ламинат от наших конкурентов.
  • Доступные в различных размерах, эти столешницы обеспечивают гибкость настройки формы и размера в соответствии с вашими потребностями.
  • Этот стол с ламинированным покрытием надежно защищен от жары, влаги и царапин.
  • Благодаря исключительному дизайну и мастерству изготовления этот стол прекрасно дополняет любую эстетику.
  • Мы создаем каждую столешницу с нуля, чтобы точно соответствовать вашим критериям. Ручная работа на нашем предприятии в Нью-Джерси.
  • Наш стол изготовлен из рамы из натурального дерева толщиной 2-1/8 дюйма / 3-1/8 дюйма и высококачественной фанеры промышленного класса.
  • Толщина столешницы с ламинированной поверхностью составляет 2-1/6 дюйма или 3-1/6 дюйма. Можем подогнать под любую толщину и размер.
  • Ламинат имеет класс огнестойкости 32/50. Устойчив к пятнам, царапинам и ударам при нормальных условиях эксплуатации.
  • Этот продукт будет иметь ту же кромку, что и сама столешница, для единообразия внешнего вида.
  • Пожалуйста, позвоните нам с любыми вопросами или настройками.
  • Доступная толщина стола: 2 дюйма или 3 дюйма (или по индивидуальному заказу!)
  • Рекомендуемые ламинаты ограниченного выпуска:
    • Salem Planked Chestnut – это состаренная дощатая древесина с характеристиками гвоздя и червоточины. Повсюду встречается глубокий насыщенный красно-коричневый цвет с черными прожилками.
    • Оливковый мокко представляет собой массивную темно-коричневую однотонную древесину с уникальным фигурным узором.
    • Сосна Норт-Форк представляет собой массивную дощатую сучковатую сосновую конструкцию. Внешний вид дерева — теплый натуральный цвет сосны с легким серым оттенком.
    • Побеленный кирпич Пейзаж представляет собой крупномасштабную кирпичную стену с просвечивающими кусочками красного кирпича в поперечном направлении.
    • Дуб Rediscovered Planked имеет состаренные элементы досок в оттенках дуба от светлого до среднего.
    • Pepper Alona представляет собой открытое зерно, однотонный строганный дуб с прочными соборами средне-серого цвета в 5-дюймовой доске.
    • Бордюрная голубая сосна – это деревянная доска различных размеров в деревенском стиле. Сквозь бирюзовый слой проступает голая текстура дерева, словно состарившийся амбар.
    • Rancho Red – это темно-красная доска с текстурой дерева. Глубокий древесный уголь текстуры дерева просвечивает, как истертый временем амбар.
    • Старинное дерево выдержало испытание временем. Непреходящая красота состаренного и состаренного дерева безошибочна. Выветренный до непревзойденного совершенства, он имеет естественно состаренные характеристики, такие как сучки, отверстия от гвоздей и трещины, обычно встречающиеся в деревенских досках.
    • Стамбул Мрамор отличается роскошным мраморным рисунком в натуральную величину. Финишное покрытие представляет собой легкую текстуру, гладкую на ощупь с низким визуальным блеском.

3-дюймовая толстая столешница из массива дерева на заказ

В наличии: В наличии
*Готов к отправке через 2-3 недели

>Просмотреть полное описание продукта

Потратьте 500 долларов США на Изделия из дуба , Получите один из этих Пакетов пиломатериалов из дуба БЕСПЛАТНО

Купить стол по цене 20 долларов США , получите подставку для стола со скидкой 50%

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Мы можем закончить ЛЮБАЯ часть, которую вы видите на нашем сайте! Подробнее. ..

Выбрав Индивидуальный вариант отделки, мы можем помочь вам в процессе «сделай сам» ИЛИ полностью избавим вас от необходимости делать что-то своими руками! Отдохните от своих проектов, выбрав либо вариант выравнивания, либо подготовив плиту для самостоятельной отделки. Или избавьте себя от необходимости заниматься проектом «сделай сам» и попросите нас полностью закончить вашу плиту с эпоксидной смолой или без нее.

Наш торговый персонал готов помочь вам , с понедельника по пятницу с 7:00 до 17:00 и в субботу с 15:00 до 21:00, с дополнительными часами в понедельник, четверг и пятницу до 21:00. CST Нажмите кнопку чата в правом нижнем углу экрана, чтобы начать обсуждение вашего проекта!


Сэкономьте до 0% Сохранять %

Первоначальная цена 429 долларов США0,95 — Изначальная цена 3 559,95 долл. США

Первоначальная цена

429,95 долл. США

429,95 долл. США — $3 559,95

Текущая цена $429,95

| /

Поделись этим:

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ: California Prop 65

* Нужен другой размер?

Пожалуйста, выберите один из дополнительных параметров ширины и длины, чтобы сделать столешницу более индивидуальной!

Это изменение не повлияет на цену.

Описание

Наши уникальные индивидуальные столешницы идеально подходят для обновления вашего обеденного стола, барной стойки, прилавков, туалетных столиков и многого другого. Каждая столешница изготовлена ​​из экологически чистых древесных досок, отобранных вручную в соответствии с вашими конкретными размерами. На рост дерева влияет множество различных переменных, что приводит к разному рисунку волокон, изменению цвета и рисунку на каждой доске. Мы тщательно подбираем доски со схожими характеристиками, но не существует двух одинаковых досок, и это естественное разнообразие придает каждой изготовленной на заказ детали уникальный внешний вид. Как природный элемент, дерево будет постепенно проявлять признаки старения по мере того, как оно будет реагировать на окружающую среду, что со временем приведет к прекрасным изменениям.

Выберите породу дерева

Выберите из натурального массива черного ореха, клена или белого дуба. *Каждый вид будет иметь естественные цветовые вариации. Столы из черного ореха могут содержать или не содержать заболонь, в зависимости от доступных досок.

Выберите размеры Выберите ширину и длину в каждом раскрывающемся меню. Если это не идеальные параметры, используйте раскрывающиеся списки «Дополнительные параметры ширины и длины», чтобы выбрать правильный размер. Мы будем использовать наши доски из цельного дерева, чтобы построить столешницу в соответствии с вашими точными размерами. Ищете более толстый верх или большую длину? Ознакомьтесь с другими  9 0042 Индивидуальные опции столешницы !
Выберите уровень отделки

Сделайте этот стол действительно своим, выполнив последние этапы отделки! Выберите наш вариант DIY/Unfinished , чтобы получить столешницу, изготовленную по вашим размерам, сплющенную с обеих сторон и готовую к шлифованию. Выберите наш вариант Полностью готовая , чтобы получить готовую к использованию верхнюю часть! Все столешницы с полной отделкой были изготовлены в соответствии с размерами, сплющены с обеих сторон, обработаны наждачной бумагой с зернистостью 220 на верхней стороне, все большие пустоты/трещины заполнены эпоксидной смолой и покрыты нашим атласным лаком или масляной отделкой Rubio Monocoat.

Выберите предпочтительный Край

Получите мягкий, естественный вид с нашим Sculpted Live Edge или гладкий современный вид с Straight Edge . Скульптурные столешницы Live Edge могут иметь отклонение по ширине на 2–4 дюйма от выбранной ширины.

Выберите шлифовальную поверхность

Наше покрытие Grinder Sanded Finish придает поверхности стола рустикальную текстуру, будучи при этом достаточно гладкой, чтобы не зацепить осколки при использовании. Если выбран этот вариант, верхняя часть будет покрыта нашим коммерческим атласным лаком. Наша гладкая шлифованная отделка — это традиционная отделка, обеспечивающая 100% гладкую поверхность. Если выбран этот вариант, поверхность будет покрыта нашим Rubio Monocoat Oil Plus 2C цвета Pure.

Доступна дополнительная настройка

Вы можете отредактировать стол любого размера или формы, а также запросить дополнительные услуги, такие как сверление отверстий для шнура, подготовка соединений встык и многое другое. Дополнительные услуги оговариваются в индивидуальном порядке. Пожалуйста, добавьте любую дополнительную работу, которую вы хотели бы указать, в примечания к заказу, и наша команда свяжется с вами.

Нужны одинаковые ножки?

Ознакомьтесь с нашими вариантами основания и ножек из массива дерева .

 

Готово к отправке через 2-3 недели и бесплатно доставляется в 48 штатов

США Сделано в Вебстер-Сити, Айова. Доставка на дом или в офис в любую точку США и Канады.

*Эта опция с утолщенным краем придаст вам вид 3-дюймовой толщины. Мы делаем наши столешницы толщиной 1 ½ дюйма немного длиннее и немного шире, чем ваши окончательные размеры, и сгибаем по периметру столешницы, чтобы придать вам вид более толстой столешницы. Этот метод позволяет отразить зернистость на концах и сторонах столешницы для более последовательного вида.

*На фотографиях показаны образцы наших нестандартных топов, и они не являются точными топами, которые вы получите. Цвет, характер, рисунок зерна и природные характеристики будут различаться в зависимости от изделия. Эти характеристики не считаются дефектами и не влекут за собой возврат или замену продукта.

*Готовые детали могут нуждаться в повторной отделке с течением времени из-за износа при обычном использовании. Если изделие используется на открытом воздухе и/или подвергается воздействию таких элементов, как большие перепады температуры/влажности, влажность, прямое солнце и т. д., возможно, потребуется более частая повторная отделка.

Информация о доставке

Как получить бесплатную доставку

Наша акция с бесплатной доставкой распространяется на экономичную доставку в 48 нижних штатов США при заказе на сумму более 195 долларов США до скидки. Только в течение ограниченного времени, это включает в себя как коммерческие, так и бытовые грузовые перевозки.

Изменения в заказе

После размещения заказа мы не можем гарантировать, что его можно изменить или отменить. Мы обрабатываем заказы быстро, и ваш заказ может быть слишком далеко сделан, чтобы его можно было изменить или отменить. Пожалуйста, свяжитесь с нами, как только вы узнаете о необходимых изменениях.

Если адрес доставки необходимо изменить после того, как перевозчик получил посылку, перевозчик взимает плату за повторную отправку. Этот сбор не покрывается оплаченными расходами на доставку или нашей акцией «Бесплатная доставка» и должен быть уплачен до утверждения повторной отправки. Если мы получим запрос на повторную отправку от перевозчика, мы свяжемся с вами, чтобы проверить и получить причитающуюся сумму. Если вам необходимо обновить адрес доставки, пожалуйста, свяжитесь с нами как можно скорее. Это поможет избежать сборов за повторную отправку, повторную доставку и неправильно доставленные товары.

Доставка наземным транспортом

Мелкие отправления будут отправлены наземными службами, такими как UPS Ground, USPS и Speedee Delivery. Все наземные заказы без индивидуальной работы обычно доставляются на следующий рабочий день после размещения. Доставка заказов, размещенных в выходные или в часы пик, может занять 1-2 дня в зависимости от объема заказа. Вы получите электронное письмо с доставкой, как только ваша этикетка будет напечатана.

Типичное время наземной доставки составляет от 3 до 7 рабочих дней с помощью UPS и USPS, в зависимости от вашего расстояния от нашего предприятия в Центральной Айове. Районы служб быстрой доставки здесь, на Среднем Западе, и их время доставки обычно составляет 1-3 рабочих дня.

Обратите внимание: из-за дополнительной обработки большие или негабаритные посылки могут быть доставлены на 1-2 дня дольше, чем посылки меньшего размера.

Грузовые перевозки

Из-за размера и веса нашей продукции некоторые заказы отправляются через сборные или коммерческие перевозки. Грузовые отправления могут быть доставлены по коммерческому адресу, задержаны на местном грузовом терминале или доставлены по адресу проживания. Мы используем несколько разных перевозчиков и сообщим вам по электронной почте, с кем мы отправили заказ, и номер для отслеживания, как только ваша посылка будет загружена на грузовик на нашем объекте. Это электронное письмо также будет содержать информацию о том, чего ожидать во время доставки. Мы настоятельно рекомендуем прочитать эту информацию, чтобы вы были готовы принять свою посылку, поскольку после того, как ваша посылка загружена в грузовик, право собственности перешло к вам.

Отправления на коммерческий адрес будут доставлены с понедельника по пятницу в обычное рабочее время. Если у вашей компании разные или нечетные часы работы, обратите внимание на это при оформлении заказа. Если ваша посылка будет находиться в терминале, перевозчик позвонит вам, как только она будет доступна для получения. Для доставки на дом перевозчик позвонит, как только ваша посылка прибудет в терминал, чтобы назначить время доставки. Грузы для жилых помещений длиной менее 8 футов и шириной 48 дюймов будут отправлены с помощью службы подъемного борта, чтобы помочь с разгрузкой груза. Если ваш груз превышает эти размеры, водитель не сможет использовать задний борт, и вам нужно будет подготовить способ для разгрузки. доставка по прибытии. Доставка на дом задерживается на день или два из-за графика встреч. Доставка на дом должна быть запланирована своевременно, чтобы свести к минимуму обработку грузов перевозчиком и доставить груз из неконтролируемой среды к вам домой. вашу посылку быстрее, мы рекомендуем выбрать пункт самовывоза или коммерческий вариант.

После получения груза вы должны немедленно открыть и распаковать его, чтобы обеспечить надлежащую циркуляцию воздуха. Если оставить заказ завернутым на поддоне или в ящике, древесина будет двигаться, что может привести к трещинам, чешуям, короблению. и т. д. 

Если вы заметите какие-либо изменения в отправлении или повреждение груза, обязательно отметьте это в накладной или транспортной накладной до подписания (например, дыра в боку, смятый угол и т. д.). Если водитель не разрешает вам отмечать повреждения, попросите его сделать записи о повреждениях до того, как подпишите их. Если они заявляют, что НЕ будут отмечать повреждения, если есть очевидные внешние повреждения, немедленно позвоните нам по телефону (515) 832-8733.

Если вы не проверите перед подписанием и не заметите каких-либо изменений или повреждений в BOL или фрахтовой накладной, вы, по всем практическим соображениям, отказываетесь от права на взыскание претензии о возмещении ущерба, даже если повреждение будет обнаружено позже. (так называемые скрытые повреждения). Если вы подозреваете наличие скрытого повреждения, откройте контейнер перед подписанием BOL и осмотрите содержимое. Водитель должен оставаться до тех пор, пока BOL не будет подписан, так что не пугайтесь и не торопите его. Если вы не можете проверить содержимое в это время, отметьте «Подлежит проверке» в BOL.

Доставка в Канаду

Заказы, отправляемые в Канаду, облагаются дополнительными пошлинами, налогами и другими сборами. Эти дополнительные сборы, связанные с доставкой, являются ответственностью клиента и не включены в стоимость доставки. Перевозчик свяжется с вами напрямую и сообщит о любых сборах, причитающихся после того, как посылка будет обработана таможней. Нам требуется брокер для всех поставок в Канаду. Если у вас его нет, мы назначим его через перевозчика.

Международные перевозки

Мы можем отправить по всему миру; тем не менее, покупатель несет ответственность за проверку того, что наш продукт может быть отправлен в его страну, и несет полную ответственность за все брокерские пошлины и налоги. Для международных отправлений мы рекомендуем создать учетную запись на сайте www.myus.com или в аналогичной службе доставки. Это объект, где вы можете получить товары, доставленные со всех концов США, а затем отправить их вам вместе. Компания предоставит вам адрес в США для доставки, что позволит вам воспользоваться многими акциями с бесплатной доставкой! Их тарифы основаны на общем весе, и они могут предложить гораздо лучшие тарифы через почтовое отделение, FedEx, UPS и других перевозчиков.

Самовывоз

Мы не являемся розничным магазином, но если вы находитесь в этом районе, мы предлагаем возможность самовывоза. Мы просим вас оформить заказ онлайн и связаться с нами, чтобы назначить встречу для получения. Самовывоз должен быть запланирован с понедельника по пятницу с 8:00 до 15:00. Самовывоз в выходные невозможен.

Прочие сборы

За возврат платежа может взиматься комиссия в размере 25 долларов США. Плата за хранение может быть доступна, если грузы не забираются с грузовых терминалов в течение 7 дней или если товары хранятся на нашем складе для окончательной оплаты перед отправкой. Пожалуйста, свяжитесь с нами, чтобы избежать этих расходов.

Поврежденные предметы

О повреждении необходимо сообщить в течение 3 рабочих дней. Несмотря на то, что мы тщательно упаковываем наши продукты, чтобы гарантировать, что они прибудут к вам в том же состоянии, в котором они были отправлены с нашего сайта, мы не всегда можем гарантировать, что с ними обращаются с той осторожностью, которая требуется им после того, как они покидают наш магазин. В случае, если вы получили свой товар (ы), и он был поврежден, пожалуйста, напишите нам немедленно, чтобы мы могли немедленно решить эту проблему с перевозчиком. Обязательно предоставьте как можно больше информации о внешнем виде упаковки, о том, что было повреждено, и обязательно приложите фотографии повреждений. *

Если у вас есть запасной товар, обязательно сообщите нам об этом, и мы посмотрим, что мы можем сделать, чтобы отправить его вам немедленно.

*В случае с UPS после подачи претензии требуется, чтобы оригинальная упаковка и товар хранились у вас дома в течение пяти рабочих дней. Пожалуйста, держите упаковку и товар в наличии и будьте готовы упаковать их обратно, чтобы водитель UPS мог забрать их, если они потребуют проверки.

Получен неправильный элемент

Если ваш заказ прибыл, и он не соответствует, пожалуйста, напишите нам! Предоставьте как можно больше описания того, что было получено, по сравнению с тем, что вы должны были получить. Если вы можете приложить фотографии предмета, который вы получили, это очень поможет нам в расследовании проблемы!

Часто задаваемые вопросы

ОБЩИЕ:

В: Откуда берется ваша древесина?

Вся наша древесина производится в штате Айова; некоторые из них происходят из-за городских вывозов, когда они были сняты для нового строительства, некоторые из-за ущерба, нанесенного ураганом, или по любой другой причине, по которой домовладелец может не хотеть, чтобы это дерево было в их дворе, а другие — из устойчивого управления лесоматериалами. Большая часть древесины была бы измельчена в бесплатную городскую мульчу, но бревна были сохранены и измельчены, и теперь их можно использовать для создания чего-то великого!

В: Высушена ли древесина в печи?

Да. Все, что мы используем, высушено в печи до влажности 6-8%. Мы очень гордимся тем, что высушиваем наши плиты до надлежащего уровня влажности и с правильной скоростью, чтобы избежать каких-либо проблем с изделием в будущем.

В: Могу ли я выбрать доски, используемые для сборки моего стола?

Из-за большого количества дерева, доступного для выбора для каждой сборки, невозможно выбрать отдельные доски для вашего стола. Наша команда уделяет особое внимание деталям при составлении каждой таблицы и находит наилучшие возможные совпадения цвета и рисунка! Если у вас есть какие-либо опасения, такие как крупные сучки, заболонь и т. д., мы будем рады передать вам эту информацию!

В: В моем столе нужны отверстия для шнура, можете ли вы их добавить?

Можем! Эта услуга рассчитывается индивидуально, в зависимости от размера, количества и расположения необходимых отверстий. Отправьте нам электронное письмо с приведенной выше информацией и даже кратким чертежом, если он у вас есть, и наша команда быстро свяжется с вами!

В: Могу ли я выбрать цвет эпоксидной смолы?

Мы предлагаем несколько вариантов цвета эпоксидной смолы и будем рады отправить вам изображение того, что доступно! Индивидуальные цвета также доступны за дополнительную плату.

В: В ваших объявлениях написано «деревенский», что это значит?

Rustic используется для описания класса древесины, которую мы используем для наших нестандартных конструкций. Это означает, что древесина содержит естественные характеристики, такие как включения, пустоты, сучки, сердцевина, трещины и расколы. Все это добавляет естественного очарования дереву, а любые области, требующие выравнивания, заполняются эпоксидной смолой, когда выбран вариант «Полностью готово». Если вам нужен предмет без этих характеристик, мы можем изготовить для вас столешницу из отборной древесины.

Калькулятор миллиметров: Онлайн калькулятор. Конвертер величин. Миллиметры

alexxlab / / Разное

Перевод дюймов в миллиметры и обратно


Миллиметры (мм)

Дюймы

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0
1/64
1/32
3/64
1/16

—
0,397
0,794
1,191
1,588

25,400
25,797
26,194
26,591
26,988

50,800
51,197
51,594
51,991
52,388

76,200
76,597
76,994
77,391
77,788

101,600
101,997
102,394
102,791
103,188

127,000
127,397
127,794
128,191
128,588

152,400
152,797
153,194
153,591
153,988

177,800
178,197
178,594
178,991
179,388

203,200
203,597
203,994
204,391
204,788

228,600
228,997
229,394
229,791
230,188

5/64
3/32
7/64
1/8

1,984
2,381
2,778
3,175

27,384
27,781
28,178
28,575

52,784
53,181
53,578
53,975

78,184
78,581
78,978
79,375

103,584
103,981
104,378
104,775

128,984
129,381
129,778
130,175

154,384
154,781
155,178
155,575

179,784
180,181
180,578
180,975

205,184
205,581
205,978
206,375

230,584
230,981
231,378
231,775

9/64
5/32
11/64
3/16

3,572
3,969
4,366
4,762

28,972
29,369
29,766
30,162

54,372
54,769
55,166
55,552

79,772
80,169
80,566
80,962

105,172
105,569
105,966
106,362

130,572
130,969
131,366
131,762

155,972
156,369
156,766
157,162

181,372
181,769
182,166
182,562

206,772
207,169
207,566
207,962

232,172
232,569
232,966
233,362

13/64
7/32
15/64
1/4

5,159
5,556
5,953
6,350

30,959
30,956
31,353
31,750

55,959
56,356
56,753
57,150

81,359
81,756
82,153
82,550

106,759
107,156
107,553
107,950

132,159
132,556
132,953
133,350

157,559
157,956
158,353
158,750

182,959
183,356
183,753
184,150

208,359
208,756
209,153
209,550

233,759
234,156
234,553
234,950

17/64
9/32
19/64
5/16

6,747
7,144
7,541
7,938

32,147
32,544
32,941
33,338

57,547
57,944
58,341
58,738

82,947
83,344
83,741
84,138

108,347
108,744
109,141
109,538

133,747
134,144
134,541
134,938

159,147
159,544
159,941
160,338

184,547
184,944
185,341
185,738

209,947
210,344
210,741
211,138

235,347
235,744
236,141
236,538

21/64
11/32
23/64
3/8

8,334
8,731
9,128
9,525

33,734
34,131
34,528
34,925

59,134
59,531
59,928
60,325

84,534
84,931
85,328
85,725

109,934
110,331
110,728
111,125

135,334
135,731
136,128
136,525

160,734
161,131
161,528
161,925

186,134
186,531
186,928
187,325

211,534
211,931
212,328
212,725

236,934
237,331
237,728
238,125

25/64
13/32
27/64
7/16

9,922
10,319
10,716
11,112

35,322
35,719
36,116
36,512

60,722
61,119
61,516
61,912

86,122
86,519
86,916
87,312

111,522
111,919
112,316
112,712

136,922
137,319
137,716
138,112

162,322
162,719
163,116
163,512

187,722
188,119
188,516
188,912

213,122
213,519
213,916
214,312

238,522
238,919
239,316
239,712

29/64
15/32
31/64
1/2

11,509
11,906
12,303
12,700

36,909
37,306
37,703
38,100

62,309
62,706
63,103
63,500

87,709
88,106
88,503
88,900

113,109
113,506
113,903
114,300

138,509
138,906
139,303
139,700

163,909
164,306
164,703
165,100

189,309
189,706
190,103
190,500

214,709
215,106
215,503
215,900

240,109
240,506
240,903
241,300

33/64
17/32
35/64
9/16

13,097
13,494
13,891
14,288

38,497
38,894
39,291
39,688

63;897
64,294
64,691
65,088

89,297
89,694
90,091
90,488

114,697
115,094
115,491
115,888

140,097
140,494
140,891
141,288

165,497
165,894
166,291
166,688

190,897
191,294
191,691
192,088

216,297
216,694
217,091
217,488

241,697
242,094
242,491
242,888

37/64
19/32
39/64
5/8

14,684
15,081
15,478
15,875

40,084
40,481
40,878
41,275

65,484
65,881
66,278
66,675

90,884
91,281
91,678
92,075

116,284
116,681
117,078
117,475

141,684
142,081
142,478
142,875

167,084
167,481
167,878
168,275

192,484
192,881
193,278
193,675

217,884
218,281
218,678
219,075

243,284
243,681
244,078
244,475

41/64
21/32
43/64
11/16

16,272
16,669
17,066
17,462

41,672
42,069
42,466
42,862

67,072
67,469
67,866
68,262

92,472
92,869
93,266
93,662

117,872
118,269
118,666
119,062

143,272
143,669
144,066
144,462

168,672
169,069
169,466
169,862

194,072
194,469
194,866
195,262

219,472
219,869
220,266
220,662

244,872
245,269
245,666
246,062

45/64
23/32
47/64
3/4

17,859
18,256
18,653
19,050

43,259
43,656
44,053
44,450

68,659
69,056
69,453
69,850

94,059
94,456
94,853
95,250

119,459
119,856
120,253
120,650

144,859
145,256
145,653
146,050

170,259
170,656
171,053
171,450

195,659
196,056
196,453
196,850

221,059
221,456
221,853
222,250

246,459
246,856
247,253
247,650

49/64
25/32
51/64
13/16

19,447
19,844
20,241
20,638

44,847
45,244
45,641
46,038

70,247
70,644
71,041
71,438

95,647
96,044
96,441
96,838

121,047
121,444
121,841
122,238

146,447
146,844
147,241
147,638

171,847
172,244
172,641
173,038

197,247
197,644
198,041
198,438

222,647
223,044
223,441
223,838

248,047
248,444
248,841
249,238

53/64
27/23
55/64
7/8

21,034
21,431
21,828
22,225

46,434
46,831
47,228
47,625

71,834
72,231
72,628
73,025

97,234
97,631
98,028
98,425

122,634
123,031
123,428
123,825

148,034
148,431
148,828
149,225

173,434
173,831
174,228
174,625

198,834
199,231
199,628
200,025

224,234
224,631
225,028
225,425

249,634
250,031
250,428
250,825

57/64
29/32
59/64
15/16

22,622
23,019
23,416
23,812

48,022
48,419
48,816
49,212

73,422
73,819
74,216
74,612

98,822
99,219
99,616
100,012

124,222
124,619
125,016
125,412

149,622
150,019
150,416
150,812

175,022
175,419
175,816
176,212

200,422
200,819
201,216
201,612

225,822
226,219
226,616
227,012

251,222
251,619
252,016
252,412

61/64
31/32
63/64

24,209
24,606
25,003

49,609
50,006
50,403

75,009
75,406
75,803

100,409
100,806
101,203

125,809
126,206
126,603

151,209
151,606
152,003

176,609
177,006
177,403

202,009
202,406
202,803

227,409
227,806
228,203

252,809
253,206
253,603

Конвертер миллиметров (мм) в метры (м) и обратно онлайн

Онлайн конвертер миллиметры (мм) (Метрическая мера) в метры (м) (Метрическая мера).

Количество *

Из чего *

километр (км)метр (м)дециметр (дм)сантиметр (см)миллиметр (мм)микрометр (микрон)нанометр (нм)ангстрем (А)лига, льемиля (mi)лэндфурлонгболтчейнпольрод (rd)перчярд (yd)фут (ft)футы и дюймы (x’y»)спанхенддюйм (in)лайнмилмикродюймлига, льемиля (mi)лэндскейнболтшакльфурлонгчейнроуппольгоадэл (локоть)ярд (yd)пейскубит (cu)фут (ft)спан (sp)нейлшафтментхенд (рука) (hd)палм (ладонь) (plm)дюйм (in)фингер (палец)диждитбарлейкорнпопписидлайн (линия)баттонкалибртоу (th)мильфурлонгЧейн Рамсдена (инженерный) (ch)Чейн Гунтера (межевой) (ch)Чейн Гурлея (ch)Поль Гунтера (межевой)Ярд Гунтера (межевой)Линк Рамсдена (инженерный)Линк Гунтера (межевой)Линк ГурлеяФут Гунтера (межевой), surveyors’ foot (ft)морская лига (naut.leag)морская миля (naut.mi)кабельтов (cbl)фатом, морская сажень (fath)морская миля СШАкабельтов СШАфатом США (fath)Адмиралтейская миляАдмиралтейский кабельтовквадра Аргентиныквадра Боливииквадра Чиликвадра Колумбииквадра Эквадораквадра Нигарагуаквадра Парагваяквадра Уругваявара Аргентинывара Бразилиивара Чиливара Колумбиивара Коста Рикивара Кубывара Доминиканской республикивара Эквадоравара Эль Сальвадоравара Гватемалывара Гондурасавара Мексикивара Никарагуавара Панамывара Парагваявара Перу (перуанская)вара Перу (испанская)вара Уругваявара Сан-Томе и Принсипивара Венесуэлыри (里)тё (町)дзё (丈)хиро (尋)кэн (間)сяку (尺)сун (寸)бу (分)рин (厘)мо (毛, 毫)ли (市里)уин (引)жанг (市丈)чи (市尺)кан (市寸)фен (市分)ли малое (釐 или 厘)хао (毫)сы (丝)ху (忽)ли (里)инь (引)чжан (丈)бу (步)чи (尺)цунь (寸)фень (分)ли малое (釐 или 厘)хао (毫)сы (丝)ху (忽)чи (尺)цунь (寸)фэнь (分)йот (โยชน์, лига)сен (เส้น, канат)ва (วา, сажень)сок (ศอก, локоть)кып (คืบ, ладонь)ниу (นิ้ว, сиамский дюйм)крабиат (กระเบียด четверть дюйма)диоптриягеографическая миляюнит (U)горизонтальный шаг (HP)пикапика пункт (пт)пункт (пт)пиксель (px)твип (twip)цицеропункт (пт)штрих (парижская точка)красное смещение (z)парсек (пк)световой годастрономическая единица (а. е.)световая минутасветовая секундасветовая микросекундасветовая наносекундасветовая пикосекундапланковская длина (L)Всё

Во что *

километр (км)метр (м)дециметр (дм)сантиметр (см)миллиметр (мм)микрометр (микрон)нанометр (нм)ангстрем (А)лига, льемиля (mi)лэндфурлонгболтчейнпольрод (rd)перчярд (yd)фут (ft)футы и дюймы (x’y»)спанхенддюйм (in)лайнмилмикродюймлига, льемиля (mi)лэндскейнболтшакльфурлонгчейнроуппольгоадэл (локоть)ярд (yd)пейскубит (cu)фут (ft)спан (sp)нейлшафтментхенд (рука) (hd)палм (ладонь) (plm)дюйм (in)фингер (палец)диждитбарлейкорнпопписидлайн (линия)баттонкалибртоу (th)мильфурлонгЧейн Рамсдена (инженерный) (ch)Чейн Гунтера (межевой) (ch)Чейн Гурлея (ch)Поль Гунтера (межевой)Ярд Гунтера (межевой)Линк Рамсдена (инженерный)Линк Гунтера (межевой)Линк ГурлеяФут Гунтера (межевой), surveyors’ foot (ft)морская лига (naut.leag)морская миля (naut.mi)кабельтов (cbl)фатом, морская сажень (fath)морская миля СШАкабельтов СШАфатом США (fath)Адмиралтейская миляАдмиралтейский кабельтовквадра Аргентиныквадра Боливииквадра Чиликвадра Колумбииквадра Эквадораквадра Нигарагуаквадра Парагваяквадра Уругваявара Аргентинывара Бразилиивара Чиливара Колумбиивара Коста Рикивара Кубывара Доминиканской республикивара Эквадоравара Эль Сальвадоравара Гватемалывара Гондурасавара Мексикивара Никарагуавара Панамывара Парагваявара Перу (перуанская)вара Перу (испанская)вара Уругваявара Сан-Томе и Принсипивара Венесуэлыри (里)тё (町)дзё (丈)хиро (尋)кэн (間)сяку (尺)сун (寸)бу (分)рин (厘)мо (毛, 毫)ли (市里)уин (引)жанг (市丈)чи (市尺)кан (市寸)фен (市分)ли малое (釐 или 厘)хао (毫)сы (丝)ху (忽)ли (里)инь (引)чжан (丈)бу (步)чи (尺)цунь (寸)фень (分)ли малое (釐 или 厘)хао (毫)сы (丝)ху (忽)чи (尺)цунь (寸)фэнь (分)йот (โยชน์, лига)сен (เส้น, канат)ва (วา, сажень)сок (ศอก, локоть)кып (คืบ, ладонь)ниу (นิ้ว, сиамский дюйм)крабиат (กระเบียด четверть дюйма)диоптриягеографическая миляюнит (U)горизонтальный шаг (HP)пикапика пункт (пт)пункт (пт)пиксель (px)твип (twip)цицеропункт (пт)штрих (парижская точка)красное смещение (z)парсек (пк)световой годастрономическая единица (а. е.)световая минутасветовая секундасветовая микросекундасветовая наносекундасветовая пикосекундапланковская длина (L)Всё

* — обязательно заполнить

мм Калькулятор

Создано Arturo Barrantes

Отзыв от Julia Żuławinska

Последнее обновление: 02 февраля 2023 г.

Содержание:
  • Что такое мм (миллиметр)?
  • Как преобразовать мм в м?
  • Как преобразовать мм в дюймы?
  • Другие калькуляторы, связанные с миллиметрами
  • Часто задаваемые вопросы

Удобный миллиметровый калькулятор поможет вам преобразовать значения миллиметров в другие единицы измерения длины в метрической и имперской системах. Здесь мы рассмотрим, что такое мм (миллиметр) и как преобразовать мм в м, среди других единиц длины.

Что такое мм (миллиметр)?

Что означает мм? Две буквы мм обозначают миллиметры и являются единицей измерения длины.

Помните, что все выражают свой рост в сантиметрах или в комбинации футов и дюймов, в зависимости от того, где вы живете. Эти значения относятся к длине чего-либо, точно так же, как миллиметр.

Сколько стоит миллиметр? Миллиметр равен 1000 метра (м) , а метр равен 1/299,792,458 расстояния, которое свет проходит в вакууме за одну секунду .

Как преобразовать мм в м?

Теперь, когда мы знаем, что означает миллиметры, мы можем использовать следующую картинку, чтобы описать, как преобразовать миллиметры в метры.

Вы должны разделить на десять, а затем на 100. Будьте осторожны с этими факторами; в противном случае вам пришлось бы конвертировать миллиметры в километры. В любом случае вы можете проверить результат в нашем калькуляторе мм.

Приведем пример: я хочу знать, сколько метров в 1430 миллиметрах:

1430 мм/10=143 см\размер сноски \rm {1430 \ мм / 10 = 143 \ см}1430 мм/10=143 см, тогда
143 см/100=1,43 метра\размер сноски \rm {143 \ см / 100 = 1,43 \ метра} 143 см/100 = 1,43 метра

Обратите внимание, как мы следовали шагам, как показано на рисунке выше. Вы можете сделать то же самое, если хотите преобразовать в см, м или км.

Как преобразовать мм в дюймы?

В этом случае нужно помнить, что 1 дюйм равен 25,4 мм. Тогда, если у вас есть мм, вам нужно только разделить его на 25,4. Представьте, что я хочу выразить 1785 миллиметров в дюймах; тогда

1785 мм/25,4=70,28 дюйма\размер сноски \rm {1785 мм/25,4 = 70,28 дюйма}1785 мм/25,4=70,28 дюйма

Наш калькулятор мм предлагает широкий спектр возможностей, как вы, возможно, уже видели: Вы можете изменить миллиметры на м, см, км, дюймы, футы, ярды, мили и другие.

Помимо нашего калькулятора мм, здесь мы хотим упомянуть другие калькуляторы расстояний, которые могут оказаться полезными:

  • Преобразователь длины
  • Преобразователь расстояния
  • Преобразователь высоты
  • Метрическая система в дюймы
  • Калькулятор футов и дюймов
  • Переходник на дюймы
  • Миллиметровый калькулятор
    • калькулятор
  • см в м
  • см в дюйм конвертер
  • Конвертер футов в мили
  • конвертер футов в метры
  • Калькулятор дюймов в метры
  • конвертер дюймов в см
  • Конвертер метров в футы
    • конвертер
  • м в ft
  • Калькулятор сантиметров
  • Калькулятор километров

FAQ

Что такое 1000 метра?

Тысячная метра равна 0,001 м, неудобное значение из-за десятичной части. Таким образом, мы называем выразить его в миллиметрах. Тысячная метра равна 1 мм.

Сколько 3/8 дюйма в мм?

9,525 мм. Вот как мы пришли к этому ответу:

  1. Разделите числитель на знаменатель. Это 0,375 .
  2. Умножьте результаты на коэффициент преобразования дюймов в миллиметры: 25,4 .
  3. Наслаждайтесь измерением расстояния в имперской системе веса.

Arturo Barrantes

Метрическая система

Imperial/US

Ознакомьтесь с 224 похожими калькуляторами преобразования ваш необходимый метрический конвертер

Миллиметры

Аббревиатура/символ:

  • мм
  • мил (неформальный)

Единица измерения:

  • Длина

    0
  • использовать:

    • Миллиметр как часть метрической системы, используется в качестве меры длины по всему миру. Наиболее заметным исключением являются Соединенные Штаты, где имперская система все еще используется для большинства целей.

    Определение:

    Миллиметр — единица длины в метрической системе, эквивалентная одной тысячной метра (основная единица длины в системе СИ).

    Один метр был определен в 1983 году на 17-й конференции мер и весов как «длина пути, проходимого светом в вакууме за интервал времени 1/299 792 458 секунды», а миллиметр по определению получается как составляет 1/1000 от этого значения.

    Происхождение:

    Джон Уилкинс впервые предложил длину «секундного маятника» в качестве универсального измерения, т. е. измерения, которое можно было бы выполнить, чтобы избежать определения относительно хранимой эталонной единицы. Он думал, что маятник, совершающий полколебания в секунду, будет иметь фиксированную длину. Он был почти прав, но позже выяснилось, что эта длина немного различается по всему миру. Из-за этой изменчивости Академия наук разработала новую меру, равную 1/10000000 расстояния от экватора до Северного полюса, измеренного по меридиану через Париж. Это измерение было использовано для создания международного прототипа счетчика — металлического стержня, хранящегося в штаб-квартире BIPM. Со временем от этого стандарта отказались в пользу более точных измерений – впервые в 19 в.60 11-я конференция мер и весов определила метр как «1,650763,73 длины волны оранжево-красной эмиссионной линии атома криптона-86 (в вакууме)». Наконец, в 1983 году 17-я конференция определила метр как «расстояние, пройденное светом в вакууме за 1/299792458 секунды», что, следовательно, приводит к определению миллиметра как расстояния, пройденного светом в вакууме за 1/299792458000 секунды. Второй.

    Общие ссылки:

    • В одном дюйме 25,4 миллиметра.
    • Диаметр головки булавки составляет приблизительно 2 мм.
    • Толщина компакт-диска примерно 1,2 мм.
    • Модели железных дорог колеи 00 имеют расстояние между рельсами 16,5 мм.
    • Машинки для стрижки волос класса 1 состригают волосы примерно до 3 мм в длину (класс 2 срезает до 6 мм, класс 3 до 9 мм и т. д.)
    • Тонкий человеческий волос имеет ширину примерно 0,04 мм
    • Средняя спичка имеет ширину примерно 2 мм
    • Батарейка AA может иметь длину от 49,2 до 50,5 мм от ее плоского конца до конца кнопки батареи

    Контекст использования:

    Миллиметры используются в качестве стандартной меры длины во всех видах инженерных и коммерческих приложений где требуется точность больше ближайшего сантиметра.

    Там, где необходимо измерить или выразить еще большую точность, доли миллиметра используются до трех знаков после запятой.

    Миллиметры обычно используются для описания калибра малых боеприпасов и оружия, используемого для их стрельбы, например «Узи-9».штурмовая винтовка мм.

    Единицы измерения:

    • 1/1000 мм = один микрометр
    • 1/1000000 мм = один нанометр
    • Кроме того, постепенно уменьшающиеся единицы включают пикометр, фемтректометр, аттометр и зептометр.

    Кратность:

    • Существует множество единиц для выражения кратности миллиметра, но они определяются их отношением к метру (базовой единице длины СИ), а не к миллиметру.
1 … 155 156 157 158 159 … 3 226