Формулы площади и периметра всех фигур 4 класс: Формулы периметра

Как найти периметр фигур, его обозначение, измерение

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

Обычно мы справляемся с разными жизненными ситуациями теми способами, к которым мы привыкли. На самом деле, подходящих вариантов может быть больше, как и формул в математике для решения одной задачи. В этой статье рассмотрим, как вычислить периметр фигуры разными способами.

Определение периметра

Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника.

Какой буквой обозначается периметр? Заглавной латинской P. Под обозначением P удобно писать маленькими буквами название фигуры, чтобы не запутаться в задачах по ходу решения.

В чем измеряется периметр? В тех же единицах измерения, что и длина — например, миллиметр, сантиметр, метр, фут, дюйм, локоть и др.

Если в условиях задачки длины сторон переданы в разных единицах длины, мы не сможем узнать периметр фигуры. Для правильного решения нужно перевести все данные в одну единицу измерения.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Формулы нахождения периметра

Как мы только что узнали, периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника. А значит, чтобы его найти, нам надо знать длины этих сторон. Давайте посмотрим, как найти периметр, на примерах нескольких фигур.

Равносторонний многоугольник

У равностороннего треугольника все стороны равны. А значит, периметр равностороннего треугольника можно найти как произведение длины стороны на их количество, т. е. на 3.

P = 3 ⋅ a, где a — длина стороны.

Периметр любого другого равностороннего многоугольника можно найти тем же способом: умножив длину его стороны на их количество. Например, у квадрата и ромба все стороны равны, а значит, их периметр можно найти по формуле P = 4 ⋅ a, где a — длина стороны.

А формула для любого равностороннего n-угольника будет такая: P = n ⋅ a, где a — длина стороны, n — количество сторон.

Прямоугольник и параллелограмм

У прямоугольника и параллелограмма противоположные стороны равны, а значит, найти их периметр легко, зная две соседние стороны.

P = 2 ⋅ (a + b), где a — одна сторона, b — соседняя сторона.

Окружность

У окружности нет периметра, потому что это не многоугольник. Но у нее есть длина, которую можно найти, зная радиус. Длина окружности — это произведение пи на два радиуса или произведение пи на диаметр.

L = d ⋅ π = 2 ⋅ r ⋅ π, где d — диаметр, r — радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она приблизительно равна 3,14.

Можно выучить все формулы, а можно, запомнив определение о сумме всех сторон, каждый раз проявлять смекалку и вычислять самостоятельно. Давайте потренируемся, как определять периметр фигур!

Решение задач

Площадь прямоугольника равна 80 см2, длина составляет 10 см. Чему равен периметр фигуры?

Как решаем:

  • Для использования формулы P = 2 × (a + b), нам нужно найти ширину;
  • Так как S = a × b, для поиска одной стороны необходимо разделить площадь на известную сторону: 80 : 10 = 8 см;
  • Далее подставляем известные данные в формулу: (10 + 8) × 2 = 36 см;

Ответ: 36 см.

Равнобедренный треугольник имеет периметр 40 см, длина его основания составляет 6 см. Какую длину будут иметь две другие стороны? 

Как решаем:

  • Мы знаем, что периметр — это сумма длин всех сторон, а значит, если вычесть из данного периметра сторону основания — получим сумму двух оставшихся сторон: 40 − 6 = 34 см;
  • Известно, что равнобедренный треугольник имеет две равные стороны;
  • Далее делим получившуюся сумму на два: 34 : 2 = 17 см;

Ответ: две другие стороны равны по 17 см.

Радиус окружности равен периметру равностороннего пятиугольника со стороной 4 см. Найдите длину окружности.

Как решаем:

  • Периметр равностороннего пятиугольника равен 4 × 5 = 20 см, значит, радиус окружности равен 20 см;
  • Длина окружности равна π × 2 × 20 = 40π см;

Ответ: 40π см.

Еще больше практических заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

983.2K

Как найти площадь треугольника

К следующей статье

250.1K

Как найти периметр прямоугольника

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

  1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

  2. Расскажем, как проходят занятия

  3. Подберём курс

Площадь и периметр треугольника: формула и как найти

Треугольник это геометрическая фигура (многоугольник), ограниченная со всех сторон замкнутой ломаной линией, состоящая из трех отрезков.

Формула периметра треугольника

Периметр треугольника равняется сумме всех его сторон: P = a + b + c,
где P это периметр и a, b, c – стороны треугольника.

Расчет периметра треугольника

Формула площади треугольника

1. Самая простая формула для расчета площади это произведение основания и высоты треугольника, поделенное на 2: S = (a · h)/2,
где S это площадь, a – основание, h – высота.

Расчет:

Площадь =

2. Вторая формула для расчета площади треугольника: по радиусу вписанной окружности и периметру: S = (r · P)/2 = r · p,
где r это радиус вписанной окружности, P – периметр треугольника, p – половина периметра треугольника (p = P/2)

Расчет:

Площадь =

 

3. Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними: S = a · b · sin γ)/2 = (b · c · sin α)/2 = (a · c · sin β)/2,
где a, b, c это стороны треугольника и α, β, γ – его внутренние углы.

Расчет:

угол =

Площадь =

 

4. Формула Герона или площадь треугольника по его трем сторонам: S = √p · (p — a)(p — b)(p — c),
где a, b и c это стороны треугольника и p – половина периметра треугольника.

Расчет:

p = (a+b+c)/2 =

Площадь =

Что такое периметр треугольника?

Периметром треугольника называется сумма длин всех его сторон.

Как найти/вычислить периметр треугольника?

Для получения периметра треугольника нужно сложить все его стороны: P = a + b + c,
где P это периметр и a, b, c – стороны треугольника.

Чему равен периметр треугольника?

Периметр треугольника равен сумме всех его сторон.

Как найти/посчитать площадь треугольника?

Для того, чтобы вычислить площадь треугольника, можно использовать одну из формул ее вычисления, используя доступные вводные данные.

  1. произведение основания и высоты треугольника, поделенное на 2: S = (a · h)/2,
    где S это площдаь, a – основание, h – высота.
  2. по радиусу вписанной окружности и периметру: S = (r · P)/2 = r · p,
    где r это радиус вписанной окружности, P – периметр треугольника, p – половина периметра треугольника (p = P/2)
  3. по двум сторонам и углу между ними: S = a · b · sin γ)/2 = (b · c · sin α)/2 = (a · c · sin β)/2,
    где a, b, c это стороны треугольника и α, β, γ – его внутренние углы.
  4. по трем сторонам: S = √p · (p — a)(p — b)(p — c),
    где a, b и c это стороны треугольника и p – половина периметра треугольника.

Данный сайт использует файлы куки для обеспечения наилучшей функциональности и эфективности работы. Продолжая пользоваться сайтом вы соглашаетесь с политикой использования куки. Согласен Подробнее

Периметр, площадь и объем

Горячая математика

1. периметр из многоугольник (или любая другая замкнутая кривая, например круг) — это расстояние вокруг внешней стороны.

2. область из простая, замкнутая, плоская кривая — это объем пространства внутри.

3. объем из твердый 3 Д форма — это количество пространства, вытесненного ею.

Некоторые формулы для общих 2 -мерные плоские фигуры и 3 -мерные тела приведены ниже. Ответов один, два, или три измерения; периметр измеряется в линейные единицы , область измеряется в квадратные единицы , и объем измеряется в кубические единицы .

Стол 1 . Формулы периметра

Форма

Формула

Переменные

Квадрат

п «=» 4 с

с это длина стороны квадрата.

Прямоугольник

п «=» 2 л + 2 Вт

л и Вт длины сторон прямоугольника (длина и ширина).

Треугольник

а + б + с

а , б , и с являются длинами сторон.

Прямоугольный треугольник с ножками а и б (видеть Теорема Пифагора )

п «=» а + б + а 2 + б 2

а и б это длины двух катетов треугольника

Круг

п «=» С «=» 2 π р «=» π д
р это радиус и д это диаметр.

Таблица 2. Формулы площади

Форма

Формула

Переменные

Квадрат

А «=» с 2
с это длина стороны квадрата.

Прямоугольник

А «=» л Вт
л и Вт длины сторон прямоугольника (длина и ширина).

Треугольник

А «=» 1 2 б час

б и час это основание и высота

Треугольник

А «=» с ( с − а ) ( с − б ) ( с − с ) где с «=» а + б + с 2

а , б , и с это длины сторон и с это полупериметр

Параллелограмм

А «=» б час
б это длина основания и час это высота.

Трапеция

А «=» б 1 + б 2 2 час

б 1 и б 2 — длины параллельных сторон и час расстояние (высота) между параллелями.

Круг

А «=» π р 2

р это радиус.

Таблица 3. Формулы объема

Форма

Формула

Переменные

Куб

В «=» с 3
с это длина стороны.

Правая прямоугольная призма

В «=» л Вт ЧАС
л это длина, Вт это ширина и ЧАС это высота.

Призма или цилиндр

В «=» А час

А площадь основания, час это высота.

Пирамида или конус

В «=» 1 3 А час

А площадь основания, час это высота.

Сфера

В «=» 4 3 π р 3
р это радиус.

Периметр и площадь — формулы для всех фигур

Дата последнего обновления: 07 апреля 2023 г.0005

Просмотров сегодня: 4,07k

Для двумерной фигуры периметр относится к границе или пути вокруг фигуры. С другой стороны, площадь двумерной фигуры — это пространство, занимаемое на поверхности фигуры. Существуют различные типы фигур, но наиболее распространенными являются квадрат, прямоугольник, треугольник, круг и т. д. В этом содержании вы сможете узнать периметр и площадь основных фигур.

 

Начнем!

1. Прямоугольник

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

 

Прямоугольник — это фигура, у которой противоположные стороны равны, а все углы прямые (90 градусов).

Периметр прямоугольника = \[2 ( a + b )\]

Площадь прямоугольника = \[ a \times b \]

 

2. Квадрат

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

 

5

5 Квадрат – это фигура, у которой все четыре стороны равны, а все углы равны 90 градусов.

Периметр квадрата = \[ 4 \times a \] 9{2} \]

 

Примечание. Здесь значение числа пи равно \[\frac{22}{7} \] или 3,14. Вы можете использовать любой из них, если он не указан в вопросе.

 

4. Треугольник

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

 

Треугольник – это фигура с тремя углами и тремя прямыми линиями. Треугольники можно разделить на три вида, например:

  1. Равносторонний треугольник

Периметр равностороннего треугольника = 3 a 9{2} \]

 

  1. Равнобедренный треугольник

Периметр равнобедренного треугольника = 2s + b

Площадь равнобедренного треугольника = \[\frac{1}{2} \times\] b \[\ times\] hb 

 

  1. Разносторонний треугольник

Периметр разностороннего треугольника = a + b + c

Площадь разностороннего треугольника = \[\frac{1}{2} \times b \times h \ ]

 

5.

Параллелограмм

(Изображение скоро будет загружено)

 

Эта фигура представляет собой четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны.

Периметр параллелограмма = \[2 ( a + b ) \]

Площадь параллелограмма = \[b \times h\]

 

Это параллелограмм, стороны которого равны.

Площадь ромба = \[a \times h \]

Периметр ромба = \[4 \times a \]

7. Трапеция

Эта фигура представляет собой четырехугольник, который имеет как минимум 1 пару параллельных сторон .

Периметр трапеции = \[a_1 + a_2 + b_1 + b_2 \]

Площадь трапеции = \[(\frac{( a1 + a2 )}{2}) \times h \]

 

8. Regular N-Gon

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

 

Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого число сторон и углов одинаковы.

Длина дуги в полярных координатах: Длина дуги кривой в полярных координатах

Справочник по высшей математике

  

Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. Изд-во «Наука». М. 1977 г.

Справочник включает весь материал, входящий в программу основного курса математики высших учебных заведений. Детальная рубрикация и подробный предметный указатель позволяют быстро получать необходимую информацию.

Книга окажет неоценимую помощь студентам, инженерам и научным работникам.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Понятие о предмете аналитической геометрии
§ 2. Координаты
§ 3. Прямоугольная система координат
§ 4. Прямоугольные координаты
§ 5. Координатные углы
§ 6. Косоугольная система координат
§ 7. Уравнение линии
§ 8. Взаимное расположение линии и точки
§ 9. Взаимное расположение двух линий
§ 10. Расстояние между двумя точками
§ 11. Деление отрезка в данном отношении
§ 11а. Деление отрезка пополам
§ 12. Определитель второго порядка
§ 13. Площадь треугольника
§ 14. Прямая линия; уравнение, разрешенное относительно ординаты (с угловым коэффициентом)
§ 15. Прямая, параллельная оси
§ 16. Общее уравнение прямой
§ 17. Построение прямой по ее уравнению
§ 18. Условие параллельности прямых
§ 19. Пересечение прямых
§ 20. Условие перпендикулярности двух прямых
§ 21. Угол между двумя прямыми
§ 22. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой
§ 23. Уравнение прямой, проходящей через две точки
§ 24. Пучок прямых
§ 25. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой
§ 26. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
§ 27. Взаимное расположение прямой и пары точек
§ 28. Расстояние от точки до прямой
§ 29. Полярные параметры прямой
§ 30. 2+bx+c
§ 51. Директрисы эллипса и гиперболы
§ 52. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы
§ 53. Конические сечения
§ 54. Диаметры конического сечения
§ 55. Диаметры эллипса
§ 56. Диаметры гиперболы
§ 57. Диаметры параболы
§ 58. Линии второго порядка
§ 59. Запись общего уравнения второй степени
§ 60. Упрощение уравнения второй степени; общие замечания
§ 61. Предварительное преобразование уравнения второй степени
§ 62. Завершающее преобразование уравнения второй степени
§ 63. О приемах, облегчающих упрощение уравнения второй степени
§ 64. Признак распадения линий второго порядка
§ 65. Нахождение прямых, составляющих распадающуюся линию второго порядка
§ 66. Инварианты уравнения второй степени
§ 67. Три типа линий второго порядка
§ 68. Центральные и нецентральные линии второго порядка
§ 69. Нахождение центра центральной линии второго порядка
§ 70. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка
§ 71. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=k/x
§ 72. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=(mx+n)/(px+q)
§ 73. Полярные координаты
§ 74. Связь между полярными и прямоугольными координатами
§ 75. Архимедова спираль
§ 76. Полярное уравнение прямой
§ 77. Полярное уравнение конического сечения
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 78. Понятие о векторах и скалярах
§ 79. Вектор в геометрии
§ 80. Векторная алгебра
§ 81. Коллинеарные векторы
§ 82. Нуль-вектор
§ 83. Равенство векторов
§ 84. Приведение векторов к общему началу
§ 85. Противоположные векторы
§ 86. Сложение векторов
§ 87. Сумма нескольких векторов
§ 88. Вычитание векторов
§ 89. Умножение и деление вектора на число
§ 90. Взаимная связь коллинеарных векторов (деление вектора на вектор)
§ 91. Проекция точки на ось
§ 92. Проекция вектора на ось
§ 93. Основные теоремы о проекциях вектора
§ 94. Прямоугольная система координат в пространстве
§ 95. Координаты точки
§ 96. Координаты вектора
§ 97. Выражения вектора через компоненты и через координаты
§ 98. Действия над векторами, заданными своими координатами
§ 99. Выражение вектора через радиусы-векторы его начала и конца
§ 100. Длина вектора. Расстояние между двумя точками
§ 101. Угол между осью координат и вектором
§ 102. Признак коллинеарности (параллельности) векторов
§ 103. Деление отрезка в данном отношении
§ 104. Скалярное произведение двух векторов
§ 104а. Физический смысл скалярного произведения
§ 105. Свойства скалярного произведения
§ 106. Скалярные произведения основных векторов
§ 107. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей
§ 108. Условие перпендикулярности векторов
§ 109. Угол между векторами
§ 110. Правая и левая системы трех векторов
§ 111. Векторное произведение двух векторов
§ 112. Свойства векторного произведения
§ 113. Векторные произведения основных векторов
§ 114. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей
§ 115. Компланарные векторы
§ 116. Смешанное произведение
§ 117. Свойства смешанного произведения
§ 118. Определитель третьего порядка
§ 119. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей
§ 120. Признак компланарности в координатной форме
§ 121. Объем параллелепипеда
§ 122. Двойное векторное произведение
§ 123. Уравнение плоскости
§ 124. Особые случаи положения плоскости относительно системы координат
§ 125. Условие параллельности плоскостей
§ 126. Условие перпендикулярности плоскостей
§ 127. Угол между двумя плоскостями
§ 128. Плоскость, проходящая через данную точку параллельно данной плоскости
§ 129. Плоскость, проходящая через три точки
§ 130. Отрезки на осях
§ 131. Уравнение плоскости в отрезках
§ 132. Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно данной плоскости
§ 133. Плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно двум плоскостям
§ 134. Точка пересечения трех плоскостей
§ 135. Взаимное расположение плоскости и пары точек
§ 136. Расстояние от точки до плоскости
§ 137. Полярные параметры плоскости
§ 138. Нормальное уравнение плоскости
§ 139. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду
§ 140. Уравнения прямой в пространстве
§ 141. Условие, при котором два уравнения первой степени представляют прямую
§ 142. Пересечение прямой с плоскостью
§ 143. Направляющий вектор
§ 144. Углы между прямой и осями координат
§ 145. Угол между двумя прямыми
§ 146. Угол между прямой и плоскостью
§ 147. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
§ 148. Пучок плоскостей
§ 149. Проекции прямой на координатные плоскости
§ 150. Симметричные уравнения прямой
§ 151. Приведение уравнений прямой к симметричному виду
§ 152. Параметрические уравнения прямой
§ 153. Пересечение плоскости с прямой, заданной параметрически
§ 154. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
§ 155. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
§ 156. Уравнения прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости
§ 157. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую
§ 158. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум данным прямым
§ 159. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой данной прямой
§ 160. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости
§ 161. Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую
§ 162. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую
§ 163. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежат в одной плоскости
§ 164. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым
§ 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми
§ 165а. Правые и левые пары прямых
§ 166. Преобразование координат
§ 167. Уравнение поверхности
§ 168. Цилиндрические поверхности, у которых образующие параллельны одной из осей координат
§ 169. Уравнения линии
§ 170. Проекция линии на координатную плоскость
§ 171. Алгебраические поверхности и их порядок
§ 172. Сфера
§ 173. Эллипсоид
§ 174. Однополостный гиперболоид
§ 175. Двуполостный гиперболоид
§ 176. Конус второго порядка
§ 177. Эллиптический параболоид
§ 178. Гиперболический параболоид
§ 179. Перечень поверхностей второго порядка
§ 180. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
§ 181. Поверхности вращения
§ 182. Определители второго и третьего порядков
§ 183. Определители высших порядков
§ 184. Свойства определителей
§ 185. Практический прием вычисления определителей
§ 186. Применение определителей к исследованию и решению системы уравнений
§ 187. Два уравнения с двумя неизвестными
§ 188. Два уравнения с двумя неизвестными
§ 189. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными
§ 190. Два уравнения с двумя неизвестными
§ 190а. Система n уравнений с n неизвестными
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
§ 192. Рациональные числа
§ 193. Действительные (вещественные) числа
§ 194. Числовая ось
§ 195. Переменные и постоянные величины
§ 196. Функция
§ 197. Способы задания функции
§ 198. Область определения функции
§ 199. Промежуток
§ 200. Классификация функций
§ 201. Основные элементарные функции
§ 202. Обозначение функции
§ 203. Предел последовательности
§ 204. Предел функции
§ 205. Определение предела функции
§ 206. Предел постоянной величины
§ 207. Бесконечно малая величина
§ 208. Бесконечно большая величина
§ 209. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами
§ 210. Ограниченные величины
§ 211. Расширение понятия предепа
§ 212. Основные свойства бесконечно малых величин
§ 213. Основные теоремы о пределах
§ 214. Число е
§ 215. Предел sinx/x при x стремящемся к 0
§ 216. Эквивалентные бесконечно малые величины
§ 217. Сравнение бесконечно малых величин
§ 217а. Приращение переменной величины
§ 218. Непрерывность функции в точке
§ 219. Свойства функций, непрерывных в точке
§ 219а. Односторонний предел; скачок функции
§ 220. Непрерывность функции на замкнутом промежутке
§ 221. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 223. Скорость
§ 224. Определение производной функции
§ 225. Касательная
§ 226. Производные некоторых простейших функций
§ 227. Свойства производной
§ 228. Дифференциал
§ 229. Механический смысл дифференциала
§ 230. Геометрический смысл дифференциала
§ 231. Дифференцируемые функции
§ 232. Дифференциалы некоторых простейших функций
§ 233. Свойства дифференциала
§ 234. Инвариантность выражения f'(x)dx
§ 235. Выражение производной через дифференциалы
§ 236. Функция от функции (сложная функция)
§ 237. Дифференциал сложной функции
§ 238. Производная сложной функции
§ 239. Дифференцирование произведения
§ 240. Дифференцирование частного (дроби)
§ 241. Обратная функция
§ 242. Натуральные логарифмы
§ 243. Дифференцирование логарифмической функции
§ 244. Логарифмическое дифференцирование
§ 245. Дифференцирование показательной функции
§ 246. Дифференцирование тригонометрических функций
§ 247. Дифференцирование обратных тригонометрических функций
§ 247а. Некоторые поучительные примеры
§ 248. Дифференциал в приближенных вычислениях
§ 249. Применение дифференциала к оценке погрешности формул
§ 250. Дифференцирование неявных функций
§ 251. Параметрическое задание линии
§ 252. Параметрическое задание функции
§ 253. Циклоида
§ 254. Уравнение касательной к плоской линии
§ 254а. Касательные к кривым второго порядка
§ 255. Уравнение нормали
§ 256. Производные высших порядков
§ 257. Механический смысл второй производной
§ 258. Дифференциалы высших порядков
§ 259. Выражение высших производных через дифференциалы
§ 260. Высшие производные функций, заданных параметрически
§ 261. Высшие производные неявных функций
§ 262. Правило Лейбница
§ 263. Теорема Ролля
§ 264. Теорема Лагранжа о среднем значении
§ 265. Формула конечных приращений
§ 266. Обобщенная теорема о среднем значении (Коши)
§ 267. Раскрытие неопределенности вида 0/0
§ 268. Раскрытие неопределенности вида бесконесность на бесконечность
§ 269. Неопределенные выражения других видов
§ 270. Исторические сведения о формуле Тейлора
§ 271. Формула Тейлора
§ 272. Применение формулы Тейлора к вычислению значений функции
§ 273. Возрастание и убывание функции
§ 274. Признаки возрастания и убывания функции в точке
§ 274а. Признаки возрастания и убывания функции в промежутке
§ 275. Максимум и минимум
§ 276. Необходимое условие максимума и минимума
§ 277. Первое достаточное условие максимума и минимума
§ 278. Правило нахождения максимумов и минимумов
§ 279. Второе достаточное условие максимума и минимума
§ 280. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
§ 281. Выпуклость плоских кривых; точка перегиба
§ 282. Сторона вогнутости
§ 283. Правило для нахождения точек перегиба
§ 284. Асимптоты
§ 285. Нахождение асимптот, параллельных координатным осям
§ 286. Нахождение асимптот, не параллельных оси ординат
§ 287. Приемы построения графиков
§ 288. Решение уравнений. Общие замечания
§ 289. Решение уравнений. Способ хорд
§ 290. Решение уравнений. Способ касательных
§ 291. Комбинированный метод хорд и касательных
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 293. Первообразная функция
§ 294. Неопределенный интеграл
§ 295. Геометрический смысл интегрирования
§ 296. Вычисление постоянной интегрирования по начальным данным
§ 297. Свойства неопределенного интеграла
§ 298. Таблица интегралов
§ 299. Непосредственное интегрирование
§ 300. Способ подстановки (интегрирование через вспомогательную переменную)
§ 301. Интегрирование по частям
§ 302. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений
§ 303. Тригонометрические подстановки
§ 304. Рациональные функции
§ 304а. Исключение целой части
§ 305. О приемах интегрирования рациональных дробей
§ 306. Интегрирование простейших рациональных дробей
§ 307. Интегрирование рациональных функций (общий метод)
§ 308. О разложении многочлена на множители
§ 309. Об интегрируемости в элементарных функциях
§ 310. Некоторые интегралы, зависящие от радикалов
§ 311. Интеграл от биномиального дифференциала
§ 312. Интегралы вида …
§ 313. Интегралы вида S R(sinx, cosx)dx
§ 314. Определенный интеграл
§ 315. Свойства определенного интеграла
§ 316. Геометрический смысл определенного интеграла
§ 317. Механический смысл определенного интеграла
§ 318. Оценка определенного интеграла
§ 318а. Неравенство Буняковского
§ 319. Теорема о среднем интегрального исчисления
§ 320. Определенный интеграл как функция верхнего предела
§ 321. Дифференциал интеграла
§ 322. Интеграл дифференциала. Формула Ньютона — Лейбница
§ 323. Вычисление определенного интеграла с помощью неопределенного
§ 324. Определенное интегрирование по частям
§ 325. Способ подстановки в определенном интеграле
§ 326. О несобственных интегралах
§ 327. Интегралы с бесконечными пределами
§ 328. Интеграл функции, имеющей разрыв
§ 329. О приближенном вычислении интеграла
§ 330. Формулы прямоугольников
§ 331. Формула трапеций
§ 332. Формула Симпсона (параболических трапеций)
§ 333. Площади фигур, отнесенных к прямоугольным координатам
§ 334. Схема применения определенного интеграла
§ 335. Площади фигур, отнесенных к полярным координатам
§ 336. Объем тела по поперечным сечениям
§ 337. Объем тела вращения
§ 338. Длина дуги плоской линии
§ 339. Дифференциал дуги
§ 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах
§ 341. Площадь поверхности вращения
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЛИНИЯХ
§ 342. Кривизна
§ 343. Центр, радиус и круг кривизны плоской линии
§ 344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плоской линии
§ 345. Эволюта плоской линии
§ 346. Свойства эволюты плоской линии
§ 347. Развертка (эвольвента) плоской линии
§ 348. Параметрическое задание пространственной линии
§ 349. Винтовая линия
§ 350. Длина дуги пространственной линии
§ 351. Касательная к пространственной линии
§ 352. Нормальная плоскость
§ 353. Вектор-функция скалярного аргумента
§ 354. Предел вектор-функции
§ 355. Производная вектор-функции
§ 356. Дифференциал вектор-функции
§ 357. Свойства производной и дифференциала вектор-функции
§ 358. Соприкасающаяся плоскость
§ 359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник
§ 360. Взаимное расположение линии и плоскости
§ 361. Основные векторы сопутствующего трехгранника
§ 362. Центр, ось и радиус кривизны пространственной линии
§ 363. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны пространственной линии
§ 364. О знаке кривизны
§ 365. Кручение
РЯДЫ
§ 367. Определение ряда
§ 368. Сходящиеся и расходящиеся ряды
§ 369. Необходимое условие сходимости ряда
§ 370. Остаток ряда
§ 371. Простейшие действия над рядами
§ 372. Положительные ряды
§ 373. Сравнение положительных рядов
§ 374. Признак Даламбера для положительного ряда
§ 375. Интегральный признак сходимости
§ 376. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница
§ 377. Абсолютная и условная сходимость
§ 378. Признак Даламбера для произвольного ряда
§ 379. Перестановка членов ряда
§ 380. Группировка членов ряда
§ 381. Умножение рядов
§ 382. Деление рядов
§ 383. Функциональный ряд
§ 384. Область сходимости функционального ряда
§ 385. О равномерной и неравномерной сходимости
§ 386. Определение равномерной и неравномерной сходимости
§ 387. Геометрический смысл равномерной и неравномерной сходимости
§ 388. Признак равномерной сходимости; правильные ряды
§ 389. Непрерывность суммы ряда
§ 390. Интегрирование рядов
§ 391. Дифференцирование рядов
§ 392. Степенной ряд
§ 393. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда
§ 394. Нахождение радиуса сходимости
§ 395. Область сходимости ряда, расположенного по степеням х – х0
§ 396. Теорема Абеля
§ 397. Действия со степенными рядами
§ 398. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда
§ 399. Ряд Тейлора
§ 400. Разложение функции в степенной ряд
§ 401. Разложение элементарных функций в степенные ряды
§ 402. Применение рядов к вычислению интегралов
§ 403. Гиперболические функции
§ 404. Обратные гиперболические функции
§ 405. Происхождение наименований гиперболических функций
§ 406. О комплексных числах
§ 407. Комплексная функция действительного аргумента
§ 408. Производная комплексной функции
§ 409. Возведение положительного числа в комплексную степень
§ 410. Формула Эйлера
§ 411. Тригонометрический ряд
§ 412. Исторические сведения о тригонометрических рядах
§ 413. Ортогональность системы функций cos nx, sin nx
§ 414. Формулы Эйлера-Фурье
§ 415. Ряд Фурье
§ 416. Ряд Фурье для непрерывной функции
§ 417. Ряд Фурье для четной и нечетной функции
§ 418. Ряд Фурье для разрывной функции
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
§ 420. Функция трех и большего числа аргументов
§ 421. Способы задания функций нескольких аргументов
§ 422. Предел функции нескольких аргументов
§ 424. Непрерывность функции нескольких аргументов
§ 425. Частные производные
§ 426. Геометрический смысл частных производных для случая двух аргументов
§ 427. Полное и частное приращения
§ 428. Частный дифференциал
§ 429. О выражении частной производной через дифференциал
§ 430. Полный дифференциал
§ 431. Геометрический смысл полного дифференциала (случай двух аргументов)
§ 432. Инвариантность выражения … полного дифференциала
§ 433. Техника дифференцирования
§ 434. Дифференцируемые функции
§ 435. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
§ 436. Уравнение касательной плоскости
§ 437. Уравнения нормали
§ 438. Дифференцирование сложной функции
§ 439. Замена прямоугольных координат полярными
§ 440. Формулы для производных сложной функции
§ 441. Полная производная
§ 442. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных
§ 443. Частные производные высших порядков
§ 444. Полные дифференциалы высших порядков
§ 445. Техника повторного дифференцирования
§ 446. Условное обозначение дифференциалов
§ 447. Формула Тейлора для функции нескольких аргументов
§ 448. Экстремум (максимум и минимум) функции нескольких аргументов
§ 449. Правило нахождения экстремума
§ 450. Достаточные условия экстремума (случай двух аргументов)
§ 451. Двойной интеграл
§ 452. Геометрический смысл двойного интеграла
§ 453. Свойства двойного интеграла
§ 454. Оценка двойного интеграла
§ 455. Вычисление двойного интеграла (простейший случай)
§ 456. Вычисление двойного интеграла (общий случай)
§ 457. Функция точки
§ 458. Выражение двойного интеграла через полярные координаты
§ 459. Площадь куска поверхности
§ 460. Тройной интеграл
§ 461. Вычисление тройного интеграла (простейший случай)
§ 462. Вычисление тройного интеграла (общий случай)
§ 463. Цилиндрические координаты
§ 464. Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты
§ 465. Сферические координаты
§ 466. Выражение тройного интеграла через сферические координаты
§ 467. Схема применения двойного и тройного интегралов
§ 468. Момент инерции
§ 471. Криволинейный интеграл
§ 472. Механический смысл криволинейного интеграла
§ 473. Вычисление криволинейного интеграла
§ 474. Формула Грина
§ 475. Условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от пути
§ 476. Другая форма условия предыдущего параграфа
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 478. Уравнение первого порядка
§ 479. Геометрический смысл уравнения первого порядка
§ 480. Изоклины
§ 481. Частное и общее решения уравнения первого порядка
§ 482. Уравнения с разделенными переменными
§ 483. Разделение переменных. Особое решение
§ 484. Уравнение в полных дифференциалах
§ 484а. Интегрирующий множитель
§ 485. Однородное уравнение
§ 486. Линейное уравнение первого порядка
§ 487. Уравнение Клеро
§ 488. Огибающая
§ 489. Об интегрируемости дифференциальных уравнений
§ 490. Приближенное интегрирование уравнений первого порядка по методу Эйлера
§ 491. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов
§ 492. О составлении дифференциальных уравнений
§ 493. Уравнение второго порядка
§ 494. Уравнение n-го порядка
§ 495. Случаи понижения порядка
§ 496. Линейное уравнение второго порядка
§ 497. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
§ 498. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части
§ 498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498
§ 499. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью
§ 500. Линейные уравнения любого порядка
§ 501. Метод вариации постоянных
§ 502. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
§ 503. Строфоида
§ 504. Циссоида Диокла
§ 505. Декартов лист
§ 506. Верзьера Аньези
§ 507. Конхоида Никомеда
§ 508. Улитка Паскаля; кардиоида
§ 509. Линия Кассини
§ 510. Лемниската Бернулли
§ 511. Архимедова спираль
§ 512. Эвольвента (развертка) круга
§ 513. Логарифмическая спираль
§ 514. Циклоиды
§ 515. Эпициклоиды и гипоциклоиды
§ 516. Трактриса
§ 517. Цепная линия

Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1

  

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 1: Учебное пособие для втузов.— 13-е изд.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 432 с.

Хорошо известное учебное пособие по математике для втузов с достаточно широкой математической подготовкой.

Первый том включает разделы: введение в анализ, дифференциальное исчисление (функций одной и нескольких переменных), неопределенный и определенный интегралы.

Настоящее издание не отличается от предыдущего (1978 г.).

Для студентов высших технических учебных заведений.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
ГЛАВА I. ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ
§ 1. Действительные числа.
§ 2. Абсолютная величина действительного числа
§ 3. Переменные и постоянные величины
§ 4. Область изменения переменной величины
§ 5. Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменные величины Ограниченная переменная величина
§ 6. n при n целом и положительном
§ 6. Производные от функций y = sinx; y = cosx
§ 7. Производные постоянной, произведения постоянной на функцию, суммы, произведения, частного
§ 8. Производная логарифмической функции
§ 9. Производная от сложной функции
§ 10. Производные функций y = tgx, y = ctgx, y = ln|x|
§ 11. Неявная функция и ее дифференцирование
§ 12. Производные степенной функции при любом действительном показателе, показательной функции, сложной показательной функции
§ 13. Обратная функция и ее дифференцирование
§ 14. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование
§ 15. Таблица основных формул дифференцирования
§ 16. Параметрическое задание функции
§ 17. Уравнения некоторых кривых в параметрической форме
§ 18. Производная функции, заданной параметрически
§ 19. Гиперболические функции
§ 20. Дифференциал
§ 21. Геометрическое значение дифференциала Рассмотрим функцию
§ 22. Производные различных порядков
§ 23. x, sin x, cos x
Упражнения к главе IV
ГЛАВА V. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ
§ 2. Возрастание и убывание функции
§ 3. Максимум и минимум функций
§ 4. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной
§ 5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной
§ 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
§ 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач
§ 8. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора
§ 9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
§ 10. Асимптоты
§ 11. Общий план исследования функций и построения графиков
§ 12. Исследование кривых, заданных параметрически
Упражнения к главе V
ГЛАВА VI. КРИВИЗНА КРИВОЙ
§ 1. Длина дуги и ее производная
§ 2. Кривизна
§ 3. Вычисление кривизны
§ 4. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически
§ 5. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах
§ 6. Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента
§ 7. Свойства эволюты
§ 8. Приближенное вычисление действительных корней уравнения
Упражнения к главе VI
ГЛАВА VII. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ
§ 1. Комплексные числа. Исходные определения
§ 2. Основные действия над комплексными числами
§ 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа
§ 4. Показательная функция с комплексным показателем и ее свойства
§ 5. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа
§ 6. Разложение многочлена на множители
§ 7. О кратных корнях многочлена
§ 8. Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней
§ 9. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа
§ 10. Интерполяционная формула Ньютона
§ 11. Численное дифференцирование
§ 12. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебышева
Упражнения к главе VII
ГЛАВА VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Определение функции нескольких переменных
§ 2. Геометрическое изображение функции двух переменных
§ 3. Частное и полное приращение функции
§ 4. Непрерывность функции нескольких переменных
§ 5. Частные производные функции нескольких переменных
§ 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных
§ 7. Полное приращение и полный дифференциал
§ 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях
§ 9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях
§ 10. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции
§ 11. Производная от функции, заданной неявно
§ 12. Частные производные различных порядков
§ 13. Поверхности уровня
§ 14. Производная по направлению
§ 15. Градиент
§ 16. Формула Тейлора для функции двух переменных
§ 17. Максимум и минимум функции нескольких переменных
§ 18. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы)
§ 19. Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов
§ 20. Особые точки кривой
Упражнения к главе VIII
ГЛАВА IX. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Уравнения кривой в пространстве
§ 2. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости
§ 3. Правила дифференцирования векторов (векторных функций)
§ 4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна кривой. Главная нормаль. Скорость и ускорение точки в криволинейном движении
§ 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение.
§ 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Упражнения к главе IX
ГЛАВА X. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл
§ 2. Таблица интегралов
§ 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла
§ 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки
§ 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен
§ 6. Интегрирование по частям
§ 7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
§ 8. Разложение рациональной дроби на простейшие
§ 9. Интегрирование рациональных дробей
§ 10. Интегралы от иррациональных функций
§ 11. Интегралы вида …
§ 12. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
§ 13. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок
§ 14. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции
Упражнения к главе X
ГЛАВА XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы
§ 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла
§ 3. Основные свойства определенного интеграла
§ 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница
§ 5. Замена переменной в определенном интеграле
§ 6. Интегрирование по частям
§ 7. Несобственные интегралы
§ 8. Приближенное вычисление определенных интегралов
§ 9. Формула Чебышева
§ 10. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция
§ 11. Интегрирование комплексной функции действительной переменной
Упражнения кглаве XI
ГЛАВА XII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
§ 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах
§ 2. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах
§ 3. Длина дуги кривой
§ 4. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений
§ 5. Объем тела вращения
§ 6. Площадь поверхности тела вращения
§ 7. Вычисление работы с помощью определенного интеграла
§ 8. Координаты центра масс
§ 9. Вычисление момента инерции линии, круга и цилиндра с помощью определенного интеграла
Упражнения к главе XII

Исчисление II — Длина дуги с полярными координатами

Онлайн-заметки Пола
Главная / Исчисление II / Параметрические уравнения и полярные координаты / Длина дуги с полярными координатами

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 9.9: Длина дуги с полярными координатами

Теперь нам нужно перейти к применению интегралов в исчислении II и к тому, как мы их вычисляем в полярных координатах. В этом разделе мы рассмотрим длину дуги кривой, заданной выражением

. \[r = f\left(\theta\right)\hspace{0.5in}\alpha\le\theta\le\beta\]

, где мы также предполагаем, что кривая трассируется ровно один раз. Как и в случае с касательными линиями в полярных координатах, мы сначала запишем кривую в терминах набора параметрических уравнений

\[\begin{align*}x & = r\cos \theta & \hspace{0. 75in} y & = r\sin \theta \\ & = f\left( \theta \right)\cos \theta & \ hspace{0.75in} & = f\left(\theta\right)\sin\theta\end{align*}\]

и теперь мы можем использовать параметрическую формулу для нахождения длины дуги.

Для этих вычислений нам понадобятся следующие производные.

\[\begin{align*}\frac{{dx}}{{d\theta }} & = f’\left( \theta \right)\cos \theta — f\left( \theta \right)\sin \theta & \hspace{0.75in}\frac{{dy}}{{d\theta}} & = f’\left( \theta \right)\sin \theta + f\left( \theta \right)\ cos \ theta \\ & = \ frac {{dr}} {{d \ theta }} \ cos \ theta — r \ sin \ theta & \ hspace {0,75 дюйма} & = \ frac {{dr}} {{d \ тета }} \ грех \ тета + r \ соз \ тета \ конец {выравнивание *} \] 9{\ frac {\ pi} {4}} \\ & = \ frac {1} {2} \ left ( {\ sqrt 2 + \ ln \ left ( {1 + \ sqrt 2 } \ right)} \ right) \конец{выравнивание*}\]

В качестве отступления перед тем, как мы закончим эту главу. Полярное уравнение \(r = \theta\) является уравнением спирали. Вот краткий набросок \(r = \theta\) для \(0 \le \theta \le 4\pi \).


11.4: Площадь и длина дуги в полярных координатах

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    2583
    • Гилберт Странг и Эдвин «Джед» Герман
    • OpenStax
    Цели обучения
    • Применить формулу площади региона в полярных координатах.
    • Определите длину дуги полярной кривой. 92}дх. \номер\]

      В этом разделе мы изучаем аналогичные формулы для площади и длины дуги в полярной системе координат.

      Площади областей, ограниченных полярными кривыми

      Мы изучили формулы площади под кривой, заданной в прямоугольных координатах, и кривых, заданных параметрически. Теперь обратим внимание на вывод формулы площади области, ограниченной полярной кривой. Напомним, что в доказательстве основной теоремы исчисления использовалось понятие суммы Римана для аппроксимации площади под кривой с помощью прямоугольников. Для полярных кривых мы снова используем сумму Римана, но прямоугольники заменяем секторами окружности.

      Рассмотрим кривую, заданную функцией \(r=f(θ),\), где \(α≤θ≤β.\) Наш первый шаг — разбить интервал \([α,β]\) на n подынтервалов одинаковой ширины. Ширина каждого подинтервала определяется формулой \(Δθ=(β−α)/n\), а i -я точка разбиения \(θ_i\) определяется формулой \(θ_i=α+iΔθ\ ). Каждая точка разбиения \(θ=θ_i\) определяет линию с наклоном \(\tan θ_i\), проходящую через полюс, как показано на следующем графике.

      Рисунок \(\PageIndex{1}\): Разбиение типичной кривой в полярных координатах.

      Отрезки соединяются дугами постоянного радиуса. Это определяет сектора, площади которых можно рассчитать с помощью геометрической формулы. Затем площадь каждого сектора используется для аппроксимации площади между последовательными сегментами линии. Затем мы суммируем площади секторов, чтобы аппроксимировать общую площадь. Этот подход дает приближение суммы Римана для общей площади. Формула площади сектора круга показана на следующем рисунке. 92 дθ. \label{areapolar}\end{align} \]

      Пример \(\PageIndex{1}\): Нахождение площади полярной области

      Найдите площадь одного лепестка розы, определяемой уравнением \(r =3\sin(2θ).\)

      Решение

      График \(r=3\sin(2θ)\) следует.

      Рисунок \(\PageIndex{3}\): График \(r=3\sin (2θ).\)

      Когда \(θ=0\) имеем \(r=3\sin(2 (0))=0\). Следующее значение, для которого \(r=0\), равно \(θ=π/2\). Это можно увидеть, решив уравнение \(3\sin (2θ)=0\) для \(θ\). Следовательно, значения от \(θ=0\) до \(θ=π/2\) очерчивают первый лепесток розы. Чтобы найти площадь внутри этого лепестка, используйте уравнение \ref{areapolar} с \(f(θ)=3\sin (2θ), α=0,\) и \(β=π/2\): 9{π/2}_0 \\[4pt] &=\dfrac{9}{4}(\dfrac{π}{2}-\dfrac{\sin 2π}{4})-\dfrac{9}{4} }(0−\dfrac{\sin 4(0)}{4}) \\[4pt] &=\dfrac{9π}{8}\end{align*}\]

      Упражнение \(\PageIndex{1 }\)

      Найдите площадь внутри кардиоиды, определяемой уравнением \(r=1−\cos θ\).

      Подсказка

      Используйте уравнение \ref{areapolar}. Обязательно определите правильные пределы интегрирования перед оценкой.

      Ответ

      \(А=3π/2\)

      Пример \(\PageIndex{1}\) включал поиск площади внутри одной кривой. Мы также можем использовать уравнение \ref{areapolar}, чтобы найти площадь между двумя полярными кривыми. Однако нам часто нужно найти точки пересечения кривых и определить, какая функция определяет внешнюю кривую или внутреннюю кривую между этими двумя точками.

      Пример \(\PageIndex{2}\): нахождение площади между двумя полярными кривыми

      Найдите площадь вне кардиоиды \(r=2+2\sin θ\) и внутри круга \(r=6\ sin θ\).

      Решение

      Сначала нарисуйте график, содержащий обе кривые, как показано на рисунке.

      Рисунок \(\PageIndex{4}\): Область между кривыми \(r=2+2\sin θ\) и \(r=6\sin θ. \)

      Для определения пределов интегрирования, сначала найдите точки пересечения, установив две функции равными друг другу и решив для \(θ\):

      \[\begin{align*} 6 \sin θ &=2+2\sin θ \ \[4pt] 4\sin θ &=2 \\[4pt] \sin θ &=\dfrac{1}{2} \end{align*}. \номер\]

      Это дает решения \(θ=\dfrac{π}{6}\) и \(θ=\dfrac{5π}{6}\), которые являются пределами интегрирования. Окружность \(r=3\sin θ\) — это красный график, который является внешней функцией, а кардиоида \(r=2+2\sin θ\) — это синий график, который является внутренней функцией. Чтобы вычислить площадь между кривыми, начните с площади внутри круга между \(θ=\dfrac{π}{6}\) и \(θ=\dfrac{5π}{6}\), затем вычтите площадь внутри кардиоиды между \(θ=\dfrac{π}{6}\) и \(θ=\dfrac{5π}{6}\):

      9{5π/6}_{π/6}\)

      \(=9(\dfrac{5π}{6}−\dfrac{\sin(10π/6)}{2})−9(\dfrac{ π}{6}-\dfrac{\sin(2π/6)}{2})-(3(\dfrac{5π}{6})-4\cos\dfrac{5π}{6}-\dfrac{ \sin(10π/6)}{2})+(3(\dfrac{π}{6})−4\cos\dfrac{π}{6}−\dfrac{\sin(2π/6)}{ 2})\)

      \(=4π\).

      Упражнение \(\PageIndex{2}\)

      Найдите площадь внутри круга \(r=4\cos θ\) и вне круга \(r=2\).

      Подсказка

      Используйте уравнение \ref{areapolar} и пользуйтесь преимуществами симметрии.

      Ответить

      \(A=\dfrac{4π}{3}+2\sqrt{3}\)

      В примере \(\PageIndex{2}\) мы нашли площадь внутри круга и вне кардиоиды, сначала найдя их точки пересечения. Обратите внимание, что непосредственное решение уравнения для \(θ\) дало два решения: \(θ=\dfrac{π}{6}\) и \(θ=\dfrac{5π}{6}\). Однако на графике есть три точки пересечения. Третья точка пересечения является исходной точкой. Причина, по которой эта точка не появилась в качестве решения, заключается в том, что начало координат находится на обоих графиках, но для разных значений \(θ\). Например, для кардиоиды получаем

      \[\begin{align*} 2+2\sin θ =0 \\[4pt] \sin θ =−1 ,\end{align*}. \nonumber \]

      , поэтому значения для \(θ\), которые решают это уравнение, равны \(θ=\dfrac{3π}{2}+2nπ\), где \(n\) — любое целое число. Для окружности получаем

      \[6\sin θ=0. \nonumber \]

      Решения этого уравнения имеют вид \(θ=nπ\) для любого целого значения \(n\). Эти два набора решений не имеют общих точек. Независимо от этого кривые пересекаются в начале координат. Этот случай нужно всегда учитывать. 92}дт. \nonumber \]

      В полярных координатах мы определяем кривую уравнением \(r=f(θ)\), где \(α≤θ≤β.\) Чтобы адаптировать формулу длины дуги для полярной кривой , мы используем уравнения

      \[x=r\cos θ=f(θ)\cos θ \nonumber \]

      и

      \[y=r\sin θ=f(θ)\sin θ, \ nonumber \]

      и заменяем параметр \(t\) на \(θ\). Тогда

      \[\dfrac{dx}{dθ}=f′(θ)\cos θ−f(θ)\sin θ \nonumber \]

      \[\dfrac{dy}{dθ}=f′( θ)\sin θ+f(θ)\cos θ. \номер\] 92}\,dθ. \label{arcpolar2} \end{align} \]

      Пример \(\PageIndex{3}\): Нахождение длины дуги кардиоиды

      Нахождение длины дуги кардиоиды \(r=2+2\cos θ\). 2dθ\). 92}dθ \номер\]


    Эта страница под названием 11.4: Площадь и длина дуги в полярных координатах распространяется по лицензии CC BY-NC-SA 4.0, автором, ремиксом и/или куратором являются Гилберт Странг и Эдвин «Джед» Херман (OpenStax) через источник контент, отредактированный в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

    1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или страница
        Автор
        ОпенСтакс
        Лицензия
        CC BY-NC-SA
        Версия лицензии
        4,0
        Программа OER или Publisher
        ОпенСтакс
        Показать страницу TOC
        нет
      2. Теги
        1. Длина дуги полярной кривой
        2. Площадь области, ограниченной полярной кривой
        3. автор @ Эдвин «Джед» Герман
        4. автор@Гилберт Странг
        5. источник@https://openstax.

      Как сложить обыкновенные дроби: Сложение обыкновенных дробей. Онлайн калькулятор

      Сложение и вычитание обыкновенных дробей

      Давайте разберемся, как складывать и вычитать обыкновенные дроби. Данный навык необходим для решения множества задач как и в школьном курсе, так и при сдаче ОГЭ или ЕГЭ по математике. Итак, перейдем к рассмотрению различных примеров.


      Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями


      Начнем с рассмотрения самого простого примера – сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. В данном случае необходимо просто произвести действия с числителями – сложить их или вычесть.

      При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель не изменяется!

      Главное не производить никакие операции сложения и вычитания в знаменателе, но некоторые школьники забывают об этом. Чтобы лучше понять это правило, прибегнем к принципу визуализации, или говоря простыми словами, рассмотрим жизненный пример:

      У Вас есть половина яблока – это ½ от всего яблока. Вам дают еще одну половину, то есть еще ½. Очевидно, что теперь у Вас целое яблоко (не считая, что оно разрезано 🙂 ). Поэтому ½ + ½ = 1, а не что-то другое, как, например, 2/4. Или же у Вас забирают эту половину:  ½ – ½ = 0. В случае вычитания с одинаковыми знаменателями получается вообще особый случай – при вычитании одинаковых знаменателей, мы получим 0, а на 0 делить нельзя, и данная дробь не будет иметь смысла.

      Приведем напоследок пример:


      Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями


      Что же делать, если знаменатели разные? Для этого нам необходимо вначале привести дроби к одному знаменателю, а затем действовать как я указал выше.

      Приводить дробь к общему знаменателю можно двумя способами. Во всех способах используется одно правило – при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число дробь не изменяется.

      Существует два способа. Первый – самый простой – так называемый “крест-накрест”. Он заключается в том, что первую дробь мы умножаем на знаменатель второй дроби (и числитель и знаменатель), а вторую дробь умножаем на знаменатель первой (аналогично и числитель и знаменатель). После этого действуем как в случае с одинаковыми знаменателями – теперь они действительно одинаковые!

      Пример:

      Предыдущий способ универсален, однако в большинстве случаев у дробей знаменателей можно найти наименьшее общее кратное – число, на которое делится и первый знаменатель и второй, причем самое маленькое. В данном методе нужно уметь видеть такие НОКи, потому что специальный поиск их достаточно ёмкий и уступает по скорости методу “крест-накрест”. Но в большинстве случаев НОКи довольно хороши видны, если набить глаз и достаточно тренироваться.

      Пример:

      Надеюсь, что теперь Вы в совершенстве владеете методами сложения и вычитания дробей!

      Даниил Романович | Просмотров: 2.5k

      Обыкновенные дроби.

      Конспект — Kid-mama

      Из этой статьи вы узнаете:

      1. Что такое обыкновенные дроби.
      2. Виды обыкновенных дробей
      3. Преобразования дробей
      4. Сравнение дробей
      5. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Понятие о НОД.
      6. Как приводить дроби к одному знаменателю. НОК
      7. Сложение и вычитание дробей.
      8. Умножение и деление дробей. Взаимно обратные числа и дроби.

       Что такое обыкновенные дроби. Виды дробей.

      Дробь всегда означает какую то часть целого. Дело в том, что не всегда количество можно передать натуральными числами, то есть пересчитать: 1,2,3 и т.д.  Как, например, обозначить половину арбуза или четверть часа? Вот для этого и появились дробные числа, или дроби.

      Для начала нужно сказать, что вообще дробей бывает два вида: обыкновенные дроби и десятичные дроби. Обыкновенные дроби записываются так:
      Десятичные дроби записываются по другому:


      Обыкновенные дроби состоят из двух частей: вверху — числитель, внизу — знаменатель.  Числитель и знаменатель разделяет дробная черта. Итак, запомните:

      Любая дробь — это часть целого. За целое обычно принимают  1 (единицу). Знаменатель дроби показывает, на сколько частей разделили целое (1), а числитель — сколько частей взяли. Если мы разрезали торт на 6 одинаковых частей ( в математике говорят долей ), то каждая часть торта будет равна 1/6. Если Вася съел 4 куска, то значит, он съел 4/6 .

      С другой стороны, дробная черта — это не что иное, как знак деления. Поэтому дробь — это частное двух чисел — числителя и знаменателя. В тексте задач или в рецептах блюд  дроби записываются обычно так: 2/3,  1/2  и т.д. Некоторые дроби получили собственное название, например, 1/2 — «половина», 1/3 — «треть», 1/4 — «четверть»
      А теперь разберемся, какие бывают виды обыкновенных дробей.

       Виды обыкновенных дробей

      Обыкновенные дроби бывают трех видов: правильные, неправильные и смешанные:

      Правильная дробь

      Если числитель меньше, чем знаменатель, то такую дробь называют правильной, например:  Правильная дробь всегда меньше 1.

      Неправильная дробь

      Если числитель больше, чем знаменатель или равен знаменателю, такая дробь называется неправильной, например:

      Неправильная дробь больше единицы(если числитель больше знаменателя) или равна единице (если числитель равен знаменателю)

      Смешанная дробь

      Если дробь состоит из целого числа (целая часть) и правильной дроби (дробная часть), то такая дробь называется смешанной, например:

      Смешанная дробь всегда больше единицы.

       

       Преобразования дробей

      В математике обыкновенные дроби часто приходится преобразовывать, то есть смешанную дробь превращать в неправильную и наоборот. Это необходимо для выполнения некоторых действий, например, умножения и деления.

      Итак, любую смешанную дробь можно перевести в неправильную. Для этого целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель дробной части. Полученную сумму берут числителем, а знаменатель оставляют тот же, например:

      Любую неправильную дробь можно превратить в смешанную. Для этого делят числитель на знаменатель (с остатком). Полученное число будет целой частью, а остаток — числителем дробной части, например:

      При этом говорят: «Мы выделили целую часть из неправильной дроби».

      Необходимо запомнить еще одно правило: Любое целое число можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1, например:

      Поговорим о том, как сравнивать дроби.

       Сравнение дробей

      При сравнении дробей может быть несколько вариантов: Легко сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями, гораздо сложнее — если знаменатели разные. А есть еще и сравнение смешанных дробей. Но не волнуйтесь, сейчас мы подробно рассмотрим каждый вариант и научимся сравнивать дроби.

      Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

      Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями больше та дробь, у которой числитель больше, например:

      Сравнение дробей с одинаковыми числителями

      Из двух дробей с одинаковыми числителями, но разными знаменателями больше та дробь, у которой знаменатель меньше, например:

      Сравнение смешанных и неправильных дробей с правильными дробями

      Неправильная или смешанная дробь всегда больше правильной дроби, например:

      Сравнение двух смешанных дробей

      При сравнении двух смешанных дробей больше та дробь, у которой целая часть больше, например:

      Если целые части у смешанных дробей одинаковые, больше та дробь, у которой дробная часть больше, например:

      Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями

      Сравнивать дроби с разными числителями и знаменателями без их преобразования нельзя. Сначала дроби нужно привести к одному знаменателю, а затем  сравнить их числители. Больше та дробь, у которой числитель будет больше. А вот как приводить дроби к одинаковому знаменателю, мы рассмотрим в следующих двух разделах статьи статьи. Сначала мы рассмотрим основное свойство дроби и сокращение дробей, а затем непосредственно приведение дробей к одному знаменателю.

      Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Понятие о НОД.

      Запомните: складывать и вычитать, а также сравнивать можно только дроби, у которых одинаковые знаменатели. Если знаменатели разные, то сначала нужно привести дроби к одному знаменателю, то есть так преобразовать одну из дробей, чтобы ее знаменатель стал таким же, как у второй дроби.

      У дробей есть одно важное свойство, называемое также основным свойством дроби:

      Если и числитель, и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то величина дроби при этом  не изменится:

      Благодаря этому свойству мы можем сокращать дроби:

      Сократить дробь — значит разделить и числитель, и знаменатель на одно и то же число(смотрите пример чуть выше). Когда мы сокращаем дробь, то можно расписать наши действия так:

      Чаще же в тетради сокращают дробь так:

      Но запомните: сокращать можно только множители. Если в числителе или знаменателе сумма или разность, сокращать слагаемые нельзя. Пример:

      Нужно сначала преобразовать сумму в множитель:

      Иногда, при работе с большими числами,  для того, чтобы сократить дробь, удобно найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя (НОД)

      Наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел — это наибольшее натуральное число, на которое эти числа делятся без остатка.

      Для того, чтобы найти НОД двух чисел (например, числителя и знаменателя дроби), нужно разложить оба числа на простые множители, отметить одинаковые множители в обоих разложениях, и перемножить эти множители. Полученное произведение и будет НОД. Например, нам нужно сократить дробь:

      Найдем НОД чисел 96 и 36:

      НОД нам показывает, что и в числителе, и в знаменателе есть множитель12, и мы легко сокращаем дробь.

      Иногда, чтобы привести дроби к одному знаменателю, достаточно сократить одну из дробей. Но чаще бывает необходимо подбирать дополнительные множители для обеих дробей .Сейчас мы рассмотрим, как это делается. Итак:

       Как приводить дроби к одному знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК).

      Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, мы подбираем для знаменателя такое число, которое бы делилось и на первый, и на второй знаменатель (то есть было бы кратным обоим знаменателям, выражаясь математическим языком). И желательно, чтобы  число это было как можно меньшим, так удобнее считать. Таким образом, мы должны найти НОК обоих знаменателей.

      Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка. Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:

      Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:

      1. Разложить эти числа на простые множители
      2. Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
      3. Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.
      4. Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.

      Например, найдем НОК чисел 28 и 21:

      Однако вернемся к нашим дробям. После того, как мы подобрали или письменно вычислили НОК  обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители. Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:

       

      Таким образом мы привели наши дроби к одному знаменателю — 15.

      Сложение и вычитание дробей

      Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

      Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например:

      Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же, например:

      Сложение и вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями

      Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью:

      Пример 1:

      Пример 2:

      Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например:

      Вычитание проводится аналогично: целая часть вычитается из целой, а дробная — из дробной части:

      Если дробная часть вычитаемого больше, чем дробная часть уменьшаемого, «занимаем» единицу из целой части, превращая уменьшаемое в неправильную дробь, а дальше действуем как обычно:

      Аналогично вычитаем из целого числа дробь:

      Как сложить целое число и дробь

      Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например:

      Если мы складываем целое число и смешанную дробь, мы прибавляем это число к целой части дроби, например:

      Сложение и вычитание дробей  с разными знаменателями.

      Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше действовать, как при сложении дробей с одинаковыми знаменателями (сложить числители):

      При вычитании действуем аналогично:

      Если работаем со смешанными дробями, приводим к одинаковому знаменателю их дробные части и далее вычитаем как обычно: целую часть из целой, а дробную — из дробной части:

       Умножение и деление дробей.

      Умножать и делить обыкновенные дроби гораздо проще, чем складывать и вычитать, так как не нужно приводить их к одному знаменателю. Запомните простые правила умножения и деления дробей:

      Чтобы умножить дробь на натуральное число, нужно числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений  

      Например:

      Чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель умножить на числитель, а знаменатель — на знаменатель:

      Например:

      При умножении смешанных дробей нужно сначала записать эти дроби в виде неправильных дробей, а затем умножать как обычно: числитель умножить на числитель, а знаменатель на знаменатель:

      Перед тем, как перемножать числа в числителе и знаменателе желательно сократить дробь, то есть избавиться от одинаковых множителей в числителе и знаменателе, как в нашем примере.

      Чтобы  разделить дробь на натуральное число, нужно знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменений:

      Например:

      Деление дроби на дробь

      Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное делителю (обратную дробь).Что же это за обратная дробь?

      Взаимно обратные числа и дроби.

      Если мы перевернем дробь, то есть поменяем местами числитель и знаменатель, то получим обратную дробь. Произведение дроби и обратной ей дроби дает единицу. В математике такие числа называют взаимно обратными числами:

      Например, числа — взаимно обратные, так как 

      Таким образом, вернемся к делению дроби на дробь:

      Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю:

      Например:

      При делении смешанных дробей нужно так же, как и при умножении, сначала перевести их в неправильные дроби:

      При умножении и делении дробей на целые натуральные числа, можно представлять эти числа так же в виде дробей со знаменателем 1.

      И при делении целого числа на дробь  представляем это число в виде дроби со знаменателем 1:

       

      Сложение и вычитание смешанных дробей

      Смешанная дробь представляет собой
      целое число и дробь вместе:


      1 3 4
      (одна и три четверти)

      Чтобы их было проще складывать и вычитать, сначала преобразуйте их в неправильные дроби:

      Неправильная дробь имеет
      верхнее число больше или равное
      нижнее число:


      7 4
      (семь четвертей или семь четвертей)

      Видите ли вы, что 1 3 4 совпадает с 7 4 ?

      Другими словами, «одна и три четверти» — это то же самое, что и «семь четвертей».

      (Возможно, вы захотите прочитать, как конвертировать из или в смешанные дроби)

      Добавление смешанных фракций

      Для добавления смешанных фракций:

      • преобразовать их в неправильные дроби
      • затем добавьте их (используя сложение дробей)
      • , затем конвертируйте обратно в смешанные дроби
      Например:

      Пример: Что такое  2

      3 4 + 3 1 2 ?

      Преобразование в неправильные дроби:

      2 3 4 «=» 11 4

      3 1 2 «=» 7 2

      Общий знаменатель 4:

      11 4 остается как 11 4

      7 2 становится 14 4
      (путем умножения верхнего и нижнего на 2)

      Теперь добавьте:

      11 4 + 14 4 «=» 25 4

      Преобразование обратно в смешанные дроби:

      25 4 =  6 1 4

      Когда вы получите больше опыта, вы сможете делать это быстрее, как в этом примере:

      Пример: что такое 3

      5 8 + 1 3 4

      Преобразовать их в неправильные дроби:

      3 5 8 «=» 29 8
      1 3 4 «=» 7 4

      Сделать тот же знаменатель: 7 4 становится 14 8 (умножив верх и низ на 2)

      И добавить:

      29 8 + 14 8 «=» 43 8 =  5 3 8

       

      Вычитание смешанных дробей

      Просто следуйте тому же методу, но вместо прибавления вычитайте:

      Пример: что такое 15

      3 4 − 8 5 6 ?

      Преобразование в неправильные дроби:

      15 3 4 «=» 63 4

      8 5 6 «=» 53 6

      Общий знаменатель 12:

      63 4 становится 189 12

      53 6 становится 106 12

      Теперь вычесть:

      189 12 106 12 «=» 83 12

      Преобразование обратно в смешанные дроби:

      83 12 =  6 11 12

       

      935, 1414, 1415, 1416, 936, 1417, 3585, 3586, 3587

      Добавление дробей | Сложение дробей с разными знаменателями

      Сложение дробей немного отличается от обычного сложения чисел, поскольку дробь имеет числитель и знаменатель, разделенные чертой. сложение дробей можно легко сделать, если знаменатели равны. В то время как одинаковые дроби имеют общие знаменатели, разные дроби преобразуются в одинаковые дроби, чтобы упростить сложение. Давайте узнаем больше о добавлении дробей и о том, как добавить две дроби в этой статье.

      1. Как складывать дроби?
      2. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
      3. Сложение дробей с разными знаменателями
      4. Сложение дробей с целыми числами
      5. Добавление дробей с переменными
      6. Часто задаваемые вопросы о сложении дробей

      Как складывать дроби?

      Дроби являются частью целого. Прежде чем перейти к сложению дробей, давайте быстро повторим, что такое дроби. Дроби состоят из двух частей, числителя и знаменателя. Общее представление дроби — это a/b, где «a» — числитель, «b» — знаменатель, а «b» не может быть нулевым. Например, 2/3, 14/5, 6/7, 28/9.и 21/43. Как и с другими числами, мы можем выполнять арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления дробей. Сложение дробей означает нахождение суммы двух или более дробей. Теперь давайте изучим основные шага сложения дробей с помощью следующего примера.

      Пример: Сложить 1/4 + 2/4

      Решение: Сложим эти дроби, выполнив следующие действия.

      • Шаг 1: Проверьте, совпадают ли знаменатели. (Здесь знаменатели совпадают, поэтому переходим к следующему шагу)
      • Шаг 2: Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем. Это означает, что (1 + 2)/4 = 3/4
      • Шаг 3: При необходимости упростите дробь до наименьшей формы. Здесь он не нужен. Итак, сумма данных дробей равна 1/4 + 2/4 = 3/4
      • .

      В математике есть разные типы дробей. При добавлении дробей нам нужно проверить, похожи ли они на дроби или не похожи на дроби. Однородные дроби — это группа дробей с общим знаменателем, а разные дроби — это группа дробей с разными знаменателями. Изучая сложение дробей, мы можем столкнуться со следующими сценариями.

      • Сложение дробей с одинаковыми знаменателями: 3/4 + 1/4
      • Сложение дробей с разными знаменателями: 3/5 + 1/2
      • Сложение дробей с целыми числами: 1/2 + 2
      • Сложение дробей с переменными: 3/5 лет + 1/4 года

      Теперь давайте более подробно узнаем о вышеупомянутых случаях.

      Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

      Сложение дробей с одинаковыми знаменателями осуществляется путем записи суммы числителей над общим знаменателем. Давайте разберемся, как складывать дроби с одинаковым знаменателем на примере.

      Пример: Сложите дроби 2/4 + 1/4

      Решение: Мы видим, что знаменатели данных дробей совпадают. Эти дроби называются подобными дробям.

      Сложение одинаковых дробей можно произвести, сложив числители данных дробей и сохранив общий знаменатель. В этом случае мы сохраняем знаменатель равным 4 и добавляем числители. Это можно выразить как 2/4 + 1/4 = (2 + 1)/4 = 3/4. Это дает сумму как 3/4.

      Сложение дробей с разными знаменателями

      Мы только что научились складывать дроби с одинаковыми знаменателями. Теперь давайте разберемся, как складывать дроби с разными или непохожими знаменателями. Когда знаменатели различны, дроби называются неодинаковыми. В таких дробях первым делом нужно преобразовать их в подобные дроби, чтобы знаменатели стали общими. Это делается путем нахождения наименьшего общего кратного (НОК) знаменателей. Давайте разберемся в этом с помощью следующего примера.

      Пример: Сложите дроби 1/3 и 3/5.

      Решение: Мы будем использовать следующие шаги, чтобы сложить эти дроби.

      • Шаг 1: Поскольку знаменатели в данных дробях разные, мы находим НОК 3 и 5, чтобы сделать их одинаковыми. НОК 3 и 5 = 15,
      • Шаг 2: Теперь умножьте 1/3 на 5/5, (1/3) × (5/5) = 5/15 и 3/5 на 3/3, (3/5) × (3 /3) = 9/15, что преобразует их в одинаковые дроби с одинаковыми знаменателями.
      • Шаг 3: Теперь знаменатели совпадают, поэтому мы просто складываем числители и записываем сумму над общим знаменателем. Новые дроби с общими знаменателями — 5/15 и 9/15. Итак, 5/15 + 9/15 = (5 + 9)/15 = 14/15.

      Сложение дробей с целыми числами

      Простой способ сложить целое число и правильную дробь состоит в том, чтобы объединить их и представить в виде смешанной дроби. Например, 5 + 1/2 можно объединить и выразить как 5½ = 11/2. Точно так же 3 + 1/7 = \(3\frac{1}{7} \) = 22/7. Однако есть и другой способ сложения дробей с целыми числами. Давайте поймем это с помощью следующего примера.

      Пример: Сложить 3 + 4/5

      Решение: Сложим эти числа, используя следующие шаги:

      • Шаг 1: запись 1 в качестве его знаменателя. Здесь 3 — это целое число, и его можно записать как 3/1
      • .
      • Шаг 2: Теперь к 4/5 можно добавить 3/1, то есть 3/1 + 4/5. Мы добавим их, сделав знаменатели одинаковыми, потому что они не похожи на дроби. Отсюда следует, что (3/1) + (4/5) = (3/1) × (5/5) + (4/5) × (1/1) = 15/5 + 4/5 = 19./ 5 = \ (3 \ гидроразрыва {4} {5} \)

      Сложение дробей с переменными

      Теперь, когда мы увидели сложение дробей с одинаковыми и непохожими дробями, мы можем расширить ту же концепцию для сложения дробей с переменными. Давайте разберемся в этом с помощью следующего примера.

      Пример: Добавьте y/5 + 2y/5, где ‘y’ — переменная.

      Решение: Складываем эти дроби, используя следующие шаги:

      • Шаг 1: Данные дроби y/5 + 2y/5 подобны дробям, поскольку у них один и тот же знаменатель, и мы видим, что ‘y’ является общим.
      • Шаг 2: Мы можем убрать общий множитель и переписать его как: y/5 + 2y/5 = (1/5 + 2/5)y = 3y/5
      • Шаг 3: Следовательно, сумма y/5 + 2y/5 = 3y/5

      Теперь давайте научимся складывать разные дроби на следующем примере.

      Пример: Добавить у/2 + у/3

      Решение: Давайте сложим дроби, используя следующие шаги.

      • Шаг 1: Поскольку данные дроби y/2 + y/3 не похожи друг на друга, мы возьмем НОК знаменателей и преобразуем их в подобные дроби.
      • Шаг 4: Далее нам нужно взять общую переменную и переписать ее следующим образом: LCM (2, 3) = 6; y/2 = (y/2) × (3/3) = 3y/6 и y/3 = (y/3 × (2/2) = 2y/6
      • Шаг 5: Мы получили две дроби с общими знаменателями, (3y/6) + (2y/6) = (3y + 2y)/6 = 5y/6. Следовательно, сумма y/2 + y/3 = 5y/6

      Следует отметить, что в некоторых случаях, когда у нас есть разные переменные, такие как «x» и «y», они рассматриваются как разные термины и не могут быть дополнительно упрощены, например, x/2 + y/3

      Советы и рекомендации по сложению дробей

      При работе со сложением дробей полезно помнить следующие моменты:

      • В отличие от дробей, мы не складываем числители и знаменатели напрямую. 1/5 + 2/3 ≠ 3/8
      • Чтобы сложить разные дроби, сначала преобразуйте данные дроби в одинаковые дроби, взяв НОК знаменателей.
      • Сложите числители и сохраните общий знаменатель, чтобы получить сумму дробей.

      ☛ Похожие темы

      • Вычитание дробей
      • Умножение дробей
      • Деление дробей
      • Подобные дроби и отличные дроби
      • Добавление калькулятора дробей

       

      Сложение дробей Примеры

      1. Пример 1: Сложите следующие дроби: 1/7 и 3/7

        Решение:

        Данные дроби подобны дробям. Для сложения одинаковых дробей складываем числители и сохраняем общий знаменатель. Это означает, что 1/7 + 3/7 = (1 + 3)/7 = 4/7

      2. Пример 2: Добавьте следующие дроби: 2/5 и 2/3

        Решение:

        Данные дроби не похожи друг на друга. Для сложения дробей с разными знаменателями необходимо найти НОК знаменателей и преобразовать 2/5 и 2/3 в дроби с общим знаменателем. LCM 3 и 5 равно 15.
        2/5 + 2/3 = (2/5 × 3/3) + (2/3 × 5/5)

        = 6/15 + 10/15

        = (6 + 10)/15

        = 16/15

        = \(1 \dfrac{1}{15}\)

        Следовательно, сумма равна \(1 \dfrac{1}{15}\)

      3. Пример 3: Как сложить целое число и дробь: 3 + 1/3?

        Решение:

        Этот вопрос основан на сложении дробей с целыми числами. Целое число 3 можно записать в виде дроби как 3/1. Теперь

        3 + 1/3 = 3/1 + 1/3

        = (3/1 × 3/3) + 1/3

        = 9/3 + 1/3

        = (9 + 1 )/3

        = 10/3

        = \(3 \frac{1}{3} \)

        Следовательно, сумма равна \(3\frac{1}{3}\)

      перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

      Есть вопросы по основным математическим понятиям?

      Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему математика стоит за нашими сертифицированными экспертами

      Запишитесь на бесплатный пробный урок

      Практические вопросы по сложению дробей

       

      перейти к слайдуперейти к слайду

      Часто задаваемые вопросы о сложении дробей

      Как складывать дроби?

      Процесс сложения дробей немного отличается от обычного сложения целых чисел. Первым шагом при сложении дробей является проверка, совпадают ли знаменатели данных дробей. Затем мы используем следующую процедуру, чтобы добавить их.

      • Если дроби имеют общие знаменатели, то мы можем легко сложить числители и сохранить тот же знаменатель, чтобы получить сумму. Например, 2/4 + 1/4 = (2 + 1)/4 = 3/4
      • Если знаменатели разные, мы делаем знаменатели равными, переводя их в эквивалентные дроби, находя НОК знаменателей. После этого можно делать прибавку. Например, 1/2 + 2/3 = (1/2 × 3/3) + (2/3 × 2/2) = 3/6 + 4/6 = (3 + 4)/6 = 7/6. = \(1 \dfrac{1}{6}\)

      Каково правило сложения дробей?

      Основное правило сложения дробей – знаменатели дробей должны быть одинаковыми. Если дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем просто сложить числители, сохраняя тот же знаменатель. Однако, если знаменатели разные, нам нужно преобразовать их в одинаковые дроби с одинаковыми знаменателями. Это делается путем записи их эквивалентных дробей с использованием НОК знаменателей. Как только они преобразуются в одинаковые дроби, дроби можно легко складывать, потому что нам просто нужно работать с числителями, сохраняя при этом тот же знаменатель.

      Как складывать дроби с целыми числами?

      Чтобы сложить дробь с целым числом, мы сначала преобразуем целое число в дробь. Например, если нам нужно сложить 3 и 1/2, целое число 3 можно легко преобразовать в дробь, например 3/1, и прибавить к другой дроби. Давайте посмотрим, как это работает. (3/1) + (1/2) = (3/1) × (2/2) + (1/2) = 6/2 + 1/2 = 7/2 = 3½. Другой способ складывать дроби и целые числа — просто комбинировать и представлять их в виде смешанных дробей. Например, 6 + 1/2 можно объединить и записать как \(6 \dfrac{1}{2}\)

      Как складывать дроби с разными знаменателями?

      Дроби с разными знаменателями можно сложить, сделав знаменатели общими. Это делается путем умножения числителя и знаменателя каждой из дробей на подходящее число так, чтобы все дроби стали как дроби. Чтобы сложить дроби 3/5 + 4/3, нам нужно обе дроби умножить на число, при котором знаменатели равны. Для этого нам понадобится НОК знаменателей, который в данном случае равен 15. Числитель и знаменатель первой дроби 3/5 нужно умножить на 3, а числитель и знаменатель второй дроби 4/3 умножить на 5. Следовательно, мы имеем (3/5 × 3/3) + (4/3 × 5/5) = (9/15) + (20/15) = (9 + 20)/15 = 29/15 = \(1 \dfrac{14}{15}\)

      Как сложить 3 дроби с разными знаменателями?

      Сложение трех дробей аналогично сложению двух дробей с разными знаменателями. Прежде всего, нам нужны НОК всех трех знаменателей. Соответственно, знаменатели всех трех дробей становятся общими путем умножения числителя и знаменателя каждой из дробей на подходящее число, чтобы они были преобразованы в одинаковые дроби. Теперь, когда знаменатели являются общими, добавляются числители, чтобы получить сумму дроби. Давайте поймем это с помощью этой задачи на сложение: 2/3 + 4/5 + 1/6. НОК 3, 5 и 6 равен 30. Теперь мы умножим каждую дробь на подходящее число, чтобы их знаменатели были общими: (2/3 × 10/10) + (4/5 × 6/6) + ( 1/6 × 5/5) = (20/30) + (24/30) + (5/30) = (20 + 24 + 5)/30 = 49/30 = \(1 \dfrac{19}{30}\)

      Что такое элемент идентичности для сложения дробей?

      Идентификационным элементом для сложения является 0, что означает, что для любого действительного числа «а» а + 0 = а. Точно так же для сложения дробей элемент идентичности равен 0. Для дроби вида a/b имеем a/b + 0 = 0 + a/b = a/b. Использование элемента идентичности для сложения не меняет значения дроби.

      Что такое вычитание и сложение дробей?

      При вычитании и сложении дробей, во-первых, следует приравнять знаменатели дробей. Если знаменатели совпадают, мы можем легко складывать или вычитать дроби. Однако, если дроби имеют разные знаменатели, то процесс начинается с LCM (наименьшего общего кратного) знаменателей. Затем дроби умножаются на подходящее число, в результате чего все знаменатели становятся равными. Наконец, числители добавляются или вычитаются в соответствии с вопросом, а новый знаменатель остается прежним.

      Как складывать дроби с одинаковыми знаменателями?

      Чтобы складывать дроби с одинаковыми знаменателями, мы можем просто сложить числители и оставить знаменатель прежним. Например, сложим 3/7 + 2/7. Так как дроби имеют одинаковые знаменатели, нам просто нужно сложить числители. Итак, это будет 3/7 + 2/7 = (3 + 2)/7 = 5/7

      Как складывать неправильные дроби?

      Для сложения неправильных дробей используем те же правила сложения дробей. Например, сложим 8/3 + 7/3. Так как дроби имеют одинаковые знаменатели, нам просто нужно сложить числители. Таким образом, это будет 8/3 + 7/3 = (8 + 7)/3 = 15/3 = 5·9.0008

      Как шаг за шагом складывать смешанные дроби?

      Сложение смешанных чисел осуществляется по тем же правилам сложения дробей. Единственный дополнительный шаг — преобразовать смешанные дроби в неправильные дроби. Давайте разберемся в этом на примере. Давайте добавим \(6 \dfrac{1}{2}\) + \(3 \dfrac{3}{4}\), используя следующие шаги.

      • Шаг 1: Чтобы сложить \(6 \dfrac{1}{2}\) + \(3 \dfrac{3}{4}\), преобразуем эти смешанные дроби в неправильные дроби. Это будет 13/2 + 15/4
      • Шаг 2: Теперь воспользуемся основными правилами сложения. Здесь знаменатели разные, поэтому мы преобразуем их в эквивалентные дроби, чтобы их знаменатели стали одинаковыми.

      Изображения в пдф онлайн: Конвертировать изображения в PDF — быстрый, онлайн, бесплатный

      Конвертировать изображение в PDF онлайн

      Перетащите сюда файлы изображений или

      Оцените этот инструмент

      5 stars 4 stars 3 stars 2 stars 1 star

      4.5 / 5 — 29409 голосов

      Неограниченный

      Этот конвертер изображений в PDF является бесплатным и позволяет использовать его неограниченное количество раз и конвертировать изображение в PDF.

      Быстрая конвертация

      Его обработка преобразования является мощной. Таким образом, для преобразования всех выбранных изображений требуется меньше времени.

      Охрана

      Мы гарантируем, что ваши изображения очень безопасны. Почему, потому что мы нигде не загружаем изображения на сервер.

      Добавить несколько файлов

      С помощью этого инструмента вы можете легко конвертировать несколько изображений одновременно. Вы можете конвертировать изображения в PDF и сохранять их.

      Удобный для пользователя

      Этот инструмент предназначен для всех пользователей, дополнительные знания не требуются. Таким образом, легко конвертировать изображение в PDF.

      Мощный инструмент

      Вы можете получить доступ к инструменту Image to PDF или использовать его онлайн в Интернете с помощью любого браузера из любой операционной системы.

      Как конвертировать изображение в PDF онлайн?

      1. Выберите изображение, которое вы хотите преобразовать в конвертере Image to PDF.
      2. Теперь вы можете настроить качество изображения, настройки, связанные с предварительным просмотром страницы и т. Д.
      3. Вы можете легко вращать изображения с помощью ротатора соответственно.
      4. Кроме того, вы можете добавлять или удалять изображения из списка.
      5. Наконец, загрузите преобразованный PDF из конвертера изображений в PDF.

      На этой платформе вы можете легко конвертировать любые изображения в PDF-файлы онлайн. Преобразовать изображения в PDF онлайн за секунды очень быстро и просто. Просто выберите изображения, которые вы хотите преобразовать в файл PDF. После выбора всех изображений в этом инструменте вы увидите, что этот инструмент автоматически конвертирует все изображения в формат файла PDF, а затем отображает кнопку загрузки для каждого PDF-файла ниже. Вы также можете увидеть варианты загрузки zip-архива для одновременной загрузки zip-файлов. Кроме того, вы можете использовать функции этого инструмента, такие как вы можете изменить ориентацию, установить поля, повернуть изображение, а также настроить размер страницы. Наконец, используйте это преобразованное изображение в онлайн-инструмент PDF и конвертируйте любой тип изображения в файл PDF.

      1. Выберите изображение на инструменте преобразования изображения в PDF.
      2. Отрегулируйте размер страницы, поля, ориентацию, поворот изображения по своему усмотрению.
      3. Теперь загрузите PDF-файл каждого изображения по одному. Или,
      4. Скачать PDF со всеми изображениями.
      5. Наконец, нажмите «Очистить все» и конвертируйте больше изображений в PDF, если хотите.

      Конвертер изображений в PDF — онлайн и бесплатно

      Конвертер изображений в PDF — онлайн и бесплатно PhotoRetrica

      Выберите редактор

      App 1App 2App 3 На весь экран

      Как конвертировать изображение в PDF

      1

      Выберите приложение

      Вверху над окном редактора вы можете увидеть кнопки выбора приложения. Щелкните по одному из них, чтобы запустить приложение. Позже вы можете переключить это и попробовать другое приложение.

      2

      Следуйте шагам

      Теперь вы можете использовать приложение внутри редактора для преобразования изображения в PDF. Следуйте инструкциям, которые вы увидите внутри приложения. Если вам не нравится это приложение, попробуйте другое.

      3

      Наслаждайтесь результатом

      Теперь, когда у вас есть понравившееся изображение, не забудьте сохранить его на свой компьютер. Также добавьте наш сайт в закладки и на главный экран вашего устройства, чтобы не потерять ссылку.

      Сравнить изображение с PDF

      Изображение, цифровое изображение (англ. Image — изображение) — это один графический объект или картинка на экране монитора. Изображения создаются с помощью камер, сканеров, снимков экрана, а также программ для создания и редактирования изображений, таких как Paint и Photoshop. Любое изображение, хранящееся на компьютере, имеет свой графический формат. Каждый из графических форматов имеет свои свойства и предназначение. Сегодня существует огромное количество графических форматов. Одно и то же изображение в разных форматах может быть разного размера и качества. Все форматы разделены на три группы: несжатые, сжатие без потерь и сжатие с потерями. В файле также может храниться дополнительная информация. Например, все файлы, снятые цифровыми камерами, содержат данные EXIF (модель камеры, дата и параметры съемки, разрешение и т. Д.). Наиболее распространенный формат изображений JPEG (или JPG) является стандартом Объединенной группы экспертов по фотографии и часто используется для публикации фотографий и изображений текста в Интернете.

      Файл PDF, разработанный Adobe Systems, представляет собой файл в формате Portable Document Format. PDF-файлы могут содержать не только изображения и текст, но также интерактивные кнопки, гиперссылки, встроенные шрифты, видео и многое другое. Возможно, вы много раз видели руководства по программам, электронные книги, листовки, заявления о приеме на работу, отсканированные документы, брошюры и всевозможные другие документы, доступные в формате PDF. Вы можете открывать PDF-файлы прямо в браузере, но редактировать их не так-то просто. Для этого требуются специальные приложения или программы. Полноценное редактирование в свободном режиме с помощью одной программы невозможно, поэтому придется обманывать, используя сразу несколько вариантов. Иногда текст можно представить в виде картинки, тогда его будет невозможно отредактировать без предварительного распознавания. Файлы PDF могут содержать различное содержимое помимо простого текста и графики, включая логическую структуру, интерактивные элементы, такие как аннотации и формы, поля, слои, мультимедиа (включая видеоконтент) и трехмерные объекты.

      Больше конвертеров

      PDF в Word

      Конвертируйте PDF в Word быстро и в два клика. Наш бесплатный онлайн-конвертер PDF в DOC / DOCX позволяет легко изменять формат ваших файлов.

      Открыть приложение

      WORD в JPG

      Конвертируйте Word в JPG быстро и в два клика. Наш бесплатный онлайн-конвертер изображений DOC / DOCX в JPEG позволяет легко изменять формат ваших файлов.

      Открыть приложение

      Изображение в PDF

      Конвертируйте изображение в PDF быстро и в два клика. Наш бесплатный онлайн-конвертер изображений в PDF позволяет легко изменять формат ваших файлов.

      Открыть приложение

      PDF в изображение

      Преобразуйте PDF в изображение быстро и в два клика. Наш бесплатный онлайн-конвертер PDF в изображения позволяет легко изменять формат ваших файлов.

      Открыть приложение

      JFIF в JPG

      Конвертируйте JFIF в JPG быстро и в два клика. Наш бесплатный онлайн-конвертер JFIF в JPG позволяет легко изменять формат ваших файлов.

      Открыть приложение

      CR2 в JPG

      Преобразуйте CR2 в JPG быстро и в два клика. Наш бесплатный онлайн-конвертер CR2 в JPG позволяет легко изменять формат ваших файлов.

      Открыть приложение

      JPG в JPEG

      Конвертируйте JPG в JPEG быстро и в два клика. Наш бесплатный онлайн-конвертер JPG в JPEG позволяет легко изменять формат ваших файлов.

      Открыть приложение

      Вам нравится PhotoRetrica? Помогите нам расти!

      Мы стараемся создать максимально удобный и универсальный редактор для всего, что связано с фотографиями и изображениями. Мы нуждаемся в твоей помощи. Добавьте нас в закладки или на главный экран вашего устройства. Поделитесь ссылкой на наш сайт в своих социальных сетях. Спасибо!

      Бесплатный PDF-редактор | Лучший онлайн-редактор PDF от DocFly

      Создавайте, редактируйте и конвертируйте до 3 файлов PDF в месяц БЕСПЛАТНО с помощью лучшего бесплатного редактора PDF!

      Перетащите файл сюда

      или

      Нажмите, чтобы загрузить файл

      Ваши файлы останутся конфиденциальными. Безопасная загрузка файлов по HTTPS.
      • Просмотр и редактирование PDF-файлов
        • Добавить, стереть или выделить текст
        • Добавить изображения и подписи
        • Объединение, разделение и поворот PDF-файлов
      • Создание и преобразование PDF-файлов
        • Преобразование Word, Excel, PowerPoint в PDF
        • Преобразование PDF в Word и изображения
      • Сохранение и защита PDF-файлов
        • Добавление, изменение или удаление паролей
        • Доступ к вашим PDF-файлам из любого места

      Хотите знать, как редактировать файл PDF ? Наши онлайн-инструменты для редактирования PDF-файлов позволяют бесплатно создавать, конвертировать и редактировать PDF-документы в Интернете. Загрузите свои файлы на нашу платформу и сразу приступайте к редактированию PDF-файлов. Создавайте PDF-файлы одним щелчком мыши и мгновенно конвертируйте PDF-файлы в Word и графические форматы.


      ПОСМОТРЕТЬ ВСЕ ИНСТРУМЕНТЫ DOCFLY

      КАК ПРЕДСТАВЛЕНО В

      Бесплатный онлайн-редактор PDF

      Редактируйте PDF-файлы и просматривайте изменения в Интернете

      Наши инструменты для редактирования PDF включают в себя: добавление текста, удаление текста, выделение и добавление изображений и подписей. DocFly также позволяет объединять, разделять, поворачивать или ставить водяные знаки в PDF-файлах.

      Сохранение и защита PDF-файлов

      Добавление, изменение или удаление паролей к вашим PDF-файлам. DocFly упрощает защиту паролем ваших PDF-файлов.

      Доступ из любого места

      DocFly полностью онлайн, нет программного обеспечения для загрузки. Доступ и редактирование PDF-файлов из любого современного браузера: Chrome, IE, Firefox или Safari.

      Создание и преобразование PDF-файлов

      Создание PDF-файлов с нуля ИЛИ создание PDF-файлов из изображений, Word, Excel, PowerPoint и других материалов! Кроме того, конвертируйте PDF в Word или PDF в форматы изображений.

      Редактируйте PDF-файлы онлайн бесплатно

      Экспортируйте до 3 бесплатных документов в месяц бесплатно без регистрации. Гибкие варианты оплаты: выберите месячную или годовую подписку.

      Экономьте время и энергию

      Простая и более дешевая альтернатива Adobe Acrobat. Больше не нужно тратить время на принтеры и сканеры для PDF-документов и форм. Просто редактируйте PDF-файлы и вперед.

      НАЧНИТЕ БЕСПЛАТНО

      Почему стоит выбрать DocFly?

      Быстрое создание онлайн-документов

      Ищете способ быстро создавать PDF-файлы? Вы попали в нужное место. С онлайн-создателем PDF от DocFly вы начнете создавать PDF-файлы, совместимые с Adobe, менее чем за 5 минут.

      Простой в использовании онлайн-редактор PDF

      Устали от неработающих PDF-редакторов? Наш онлайн-редактор PDF делает редактирование PDF-файлов таким же простым, как и редактирование документов Word. Теперь вы можете легко и бесплатно редактировать текст PDF онлайн. Объединяйте, разделяйте, удаляйте, изменяйте страницы PDF, как настоящий профессионал.

      Точный конвертер PDF

      Нужно точно преобразовать PDF в Word или PDF в JPG? Наш конвертер PDF позволяет конвертировать файлы, полностью сохраняя исходное форматирование документа!

      Просмотр и редактирование PDF-файлов

      • Добавление, удаление или выделение текста
      • Добавить изображения и подписи
      • Объединение, разделение и поворот PDF-файлов

      Создание и преобразование PDF-файлов

      • Преобразование Word, Excel, PowerPoint в PDF
      • Преобразование PDF в Word и изображения

      Сохранение и защита PDF-файлов

      • Добавление, изменение или удаление паролей
      • Доступ к вашим PDF-файлам из любого места

      Станьте профессионалом DocFly

      Последние сообщения в блоге

      5 способов редактирования PDF-файла

      Когда люди обращаются ко мне за помощью в редактировании PDF-файлов, я всегда стараюсь уточнить, что они подразумевают под «редактированием». Для некоторых людей редактирование означает аннотирование или заполнение формы, и в этом случае большинство бесплатных PDF-решений могут легко удовлетворить их потребности. Для других ищут правки текста…

      ПОДРОБНЕЕ

      3 способа преобразования JPG в PDF могут защитить ваши изображения

      Если вы делитесь файлом изображения, например JPG, с кем-то, кого вы не очень хорошо знаете, будьте осторожны! Человек, получивший файл, может изменить его (без вашего ведома) и даже объявить его своей собственной работой. PDF-файлы обеспечивают значительно лучшую безопасность, чем JPG или другие…

      ПОДРОБНЕЕ

      Как заполнить и подписать форму PDF онлайн

      Когда вы получаете форму PDF для заполнения, вашим первым побуждением может быть распечатать файл, заполнить его вручную, а затем отсканировать документ. Вот как подавляющее большинство людей сегодня заполняют формы….

      ПОДРОБНЕЕ

      5 способов редактирования PDF-файла

      Когда люди обращаются ко мне за помощью в редактировании PDF-файлов, я всегда стараюсь уточнить, что они подразумевают под «редактированием». Для некоторых людей редактирование означает аннотирование или заполнение формы, и в этом случае большинство бесплатных PDF-решений могут легко удовлетворить их потребности. Для других ищут правки текста…

      ПОДРОБНЕЕ

      3 способа преобразования JPG в PDF могут защитить ваши изображения

      Если вы делитесь файлом изображения, например JPG, с кем-то, кого вы не очень хорошо знаете, будьте осторожны! Человек, получивший файл, может изменить его (без вашего ведома) и даже объявить его своей собственной работой. PDF-файлы обеспечивают значительно лучшую безопасность, чем JPG или другие…

      ПОДРОБНЕЕ

      Как заполнить и подписать форму PDF онлайн

      Когда вы получаете форму PDF для заполнения, вашим первым побуждением может быть распечатать файл, заполнить его вручную, а затем отсканировать документ. Вот как подавляющее большинство людей сегодня заполняют формы….

      ПОДРОБНЕЕ

      Вставка фотографий в PDF. Ищите, редактируйте, заполняйте, подписывайте, отправляйте по факсу и сохраняйте PDF в Интернете.

      • Дом
      • Индекс функциональности
      • Добавить изображение: введите изображение в документ PDF
      • Добавить изображение в PDF

      Формы заполнены

      Формы подписаны

      Формы отправлены

      Начать бесплатно

      Загрузите ваш документ в редактор PDF

      Введите где угодно или подпишите вашу форму

      Печать, электронная почта, факс, или экспорт

      900 02 Попробуйте прямо сейчас! Редактировать pdf

      Пользователи доверяют управлению документами на платформе pdfFiller

      65,5 тыс. +

      документов, добавляемых ежедневно

      53%

      документов, созданных

      из шаблонов

      4M

      9 0002 PDF редактируется в месяц

      238K

      документов, совместно используемых

      в месяц

      Программное обеспечение PDF «все в одном»

      Единая таблетка от всех проблем с PDF. Редактируйте, заполняйте, подписывайте и делитесь — на любом устройстве.

      Начать бесплатную пробную версию

      Инструкции и справка по добавлению изображений в PDF онлайн

      Вам когда-нибудь приходилось прикреплять свою фотографию к форме PDF, которую вы должны были отправить через Интернет?

      Раньше вам, вероятно, приходилось пользоваться услугами профессионального фотографа, чтобы получить качественный снимок определенного размера. Затем вы распечатываете бланк и приклеиваете на него фотографию. После заполнения формы вы либо сканируете ее, либо отправляете бумажную копию туда, куда нужно. Помимо необходимости в принтере и сканере, весь процесс отнимал слишком много времени и требовал некоторых затрат.

      Теперь есть гораздо более простой способ вставки фотографий в документы PDF. Вы можете просто использовать pdfFiller! Для начала загрузите документ в свою учетную запись, откройте его в редакторе и выберите значок Изображение на главной панели инструментов, чтобы открыть Мастер изображений.

      Вы можете загрузить фотографию, которая у вас уже есть, или сделать новую с помощью веб-камеры.

      Чтобы загрузить фотографию с компьютера, нажмите кнопку Загрузить.

      Перед вставкой фотографии в документ ее можно обрезать, повернуть и отразить, изменить ее фон, а также настроить яркость и контрастность.

      Чтобы вставить фотографию в документ, просто нажмите на нее в Мастере изображений. Переместите или измените размер для идеального соответствия с помощью мини-панели инструментов.

      Вы также можете сделать снимок с помощью веб-камеры и добавить его в документ. Выберите размер фотографии справа от изображения с камеры, нажмите «Сделать», затем нажмите «Использовать», чтобы продолжить.

      В следующем окне можно обрезать изображение, отрегулировать яркость и контрастность, отразить и повернуть его или улучшить каким-либо иным образом. После того, как вы закончите редактирование изображения, нажмите «Сохранить и использовать», чтобы сразу добавить его в документ, или выберите «Сохранить», чтобы использовать изображение позже. Вы можете легко удалить изображение, просто выберите его и щелкните значок корзины выше.

      Чтобы узнать больше о том, как вставлять фотографии в PDF-файлы онлайн, посмотрите следующее видео:

      Когда вы используете pdfFiller для вставки фотографии в PDF-документ, вы получаете изображение точных размеров и размещаете его именно там, где он должен быть прикреплен. И даже лучше, вы сэкономите себе много времени! Если вам нравится вставлять фотографии в документы PDF, вас может заинтересовать ряд других замечательных функций, которые может предложить pdfFiller. Некоторые из них включают рисование, добавление заметок, текстовых полей и заполняемых полей. Ознакомьтесь с этими руководствами, чтобы узнать о других замечательных вещах, которые pdfFiller может сделать для вас!

      Связанные функции

      (Возможно, вы уже поняли, что функция «добавить фотографию в PDF» зависит от того факта, что ваш PDF-файл является файлом изображения и, следовательно, должен быть обработан). Теперь в новом окне PDF вам нужно выбрать вкладку «Текст». Теперь нажмите «Отправить», и ваш PDF-файл будет загружен в Adobe. Нажмите и начните использовать его прямо сейчас.. Делитесь информацией на всех ваших устройствах и устройствах, где и когда вы хотите, мгновенно..

      Что говорят о pdfFiller наши клиенты

      Убедитесь сами, прочитав отзывы на самых популярных ресурсах:

      Анонимный покупатель

      04.06.2014

      Wendell Dwayne O

      02.11.2017

      Получите мощный редактор PDF для своего Mac или ПК с Windows

      Установите настольное приложение, чтобы быстро редактировать PDF-файлы, создавать заполняемые формы и безопасно хранить документы в облаке.

      Редактируйте PDF-файлы и управляйте ими из любого места с помощью устройства iOS или Android

      Установите наше мобильное приложение и редактируйте PDF-файлы с помощью удостоенного наград набора инструментов, где бы вы ни находились.

      Получите редактор PDF в браузере Google Chrome

      Установите расширение pdfFiller для Google Chrome, чтобы заполнять и редактировать PDF-файлы прямо из результатов поиска.

      Загрузка из Интернет-магазина Chrome

      pdfFiller получает высшие оценки в нескольких категориях на G2

      Знаете ли вы?

      Инструмент «Изображение» позволяет добавлять в файлы PDF соответствующие элементы, включая логотип, знак или другие типы визуальных объектов в формате изображения. Изображения необходимы для мультимедийных материалов, таких как PDF-файлы, независимо от того, находитесь ли вы на работе, в образовательном пространстве или используете PDF-файлы для личных нужд.

      Часто задаваемые вопросы о pdfFiller

      Ниже приведен список наиболее частых вопросов клиентов.

      Если вы не можете найти ответ на свой вопрос, не стесняйтесь обращаться к нам.

      Видео: добавление фотографий в документ с помощью pdfFiller

      Видео: добавление фотографий в документ с помощью pdfFiller

      Видео: добавление и настройка галочек, кружков и крестиков с помощью pdfFiller

      Видео: как добавлять и настраивать галочки, кружки и крестики с помощью pdfFiller

      Видео: как выделять содержимое в документе PDF онлайн с помощью pdfFiller

      Видео: как выделить содержимое в документе PDF онлайн с помощью pdfFiller

      Видео: как сделать полосу заполнения прозрачной в редакторе pdfFiller

      Видео: Как сделать полосу заполнения прозрачной в редакторе pdfFiller

      Как получить доступ к своим документам?

      Ваши документы доступны в любое время из любого места с любого устройства, подключенного к Интернету. Вы можете использовать компьютер, смартфон, планшет и т. д. Просто войдите в систему и перейдите на страницу «Мои формы», чтобы заполнить, отредактировать, подписать, поделиться, распечатать и отправить по факсу или сделать что-нибудь еще с документами в вашей учетной записи.

      Могу ли я ввести несколько строк, если у меня много текста?

      Да. Просто используйте «Enter», чтобы создать разрыв строки. Вы также можете вставлять большие фрагменты текста и использовать Enter, чтобы изменить структуру строк.

      Могу ли я вставить текст в документ?

      Да. Просто щелкните правой кнопкой мыши форму и выберите «Вставить» в меню.

      Как вводить данные в разнесенные ячейки?

      Если вы вводите любое число, например дату, просто используйте кнопку «Пробел», чтобы расположить цифры в нужном месте.

      Как настроить размер представления в редакторе?

      Чтобы настроить видимый размер форм, начните с нажатия кнопки «Просмотр».

      Задачи для 2 класса по математике на умножение: Задачи на умножение для 2 класса

      Задачи на умножение для 2 класса

      Математика / 2 класс

      10 простых задач на умножение для второклассников от команды ЛогикЛайк. Задания помогут в отработке навыков умножения на 2 и на 3.

      Занятия на платформе ЛогикЛайк помогают развить мышление и кругозор.

      Папа двоих близнецов купил по 2 фликера каждому. Сколько всего фликеров у близнецов?

      Показать ответ

      2 × 2 = 4 фликера.

      Самая маленькая летучая мышь в мире весит 2 грамма. Сколько будут весить 5 таких летучих мышей?

      Показать ответ

      2 × 5 = 10 г.

      В одном букете – 3 розы. Сколько роз будет в 5 таких букетах?

      Показать ответ

      3 × 5 = 15 роз.

      Белка принесла каждому бельчонку по 3 ореха. Сколько всего орехов получат 7 бельчат?

      Показать ответ

      3 × 7 = 21 орех.

      Сколько ножек у 8 стульев?

      Показать решение

      У одного стула – 4 ножки.
      8 × 4 = 32 ножки.

      Максим решает одну задачу за 3 минуты. За какое время он сможет решить 8 задач?

      Показать ответ

      3 × 8 = 24 минуты.

      В одном сервизе было 6 чашек. Сколько чашек будет в 4 таких сервизах?

      Показать ответ

      6 × 4 = 24 чашек.

      Сколько подков нужно взять кузнецу, чтобы подковать трёх лошадей?

      Показать ответ

      4 × 3 = 12 подков.

      На стоянке припарковали 8 легковых автомобилей. Сколько сейчас колес на стоянке?

      Показать ответ

      4 × 8 = 32 колеса.

      В одной футбольной команде 10 полевых игроков и 1 вратарь. Сколько всего футболистов двух команд на поле во время игры?

      Показать решение

      2 × 10 = 20
      2 × 1 = 2
      20 + 2 = 22 футболиста.

      Подключайтесь к ЛогикЛайк!

      Более 2 000 000 ребят со всего мира уже занимаются на LogicLike.com.

      Начать занятия

      Простые задачи на умножение. Математика 2 класс

      Задачи на 1 действие.

      

      Задача 1

      В магазин привезли 2 коробки сухофруктов по 7 кг в каждой. Сколько килограммов сухофруктов привезли в магазин?

        Решение:
      • 1) 2 * 7 = 14
      • Ответ: 14

      Задача 2

      В одной вазе 7 цветков. Сколько цветков в 3 таких же вазах?

        Решение:
      • 1) 3 * 7 = 21
      • Ответ: 21

      Задача 3

      Купили 2 сервиза по 6 чашек в каждом. Сколько всего чашек купили?

        Решение:
      • 1) 2 * 6 = 12
      • Ответ: 12

      

      Задача 4

      У 3 девочек есть по 5 груш. Сколько всего груш?

        Решение:
      • 1) 3 * 5 = 15
      • Ответ: 15

      Задача 5

      На одном диване 4 подушки. Сколько подушек на 3 таких же диванах?

        Решение:
      • 1) 3 * 4 = 12
      • Ответ: 12

      Задача 6

      На полке стоит 2 собрания сочинений по 9 томов в каждом. Сколько всего книг стоит на полке?

        Решение:
      • 1) 2 * 9 = 18
      • Ответ: 18

      Задача 7

      В одной коробке 7 карандашей. Сколько карандашей в 2 таких же коробках?

        Решение:
      • 1) 7 * 2 = 14
      • Ответ: 14

      Задача 8

      На столе стоят 2 коробки по 8 конфет в каждой. Сколько конфет на столе?

        Решение:
      • 1) 2 * 8 = 16
      • Ответ: 16

      

      Задача 9

      На одной странице 5 рисунков. Сколько рисунков на 2 таких же страницах?

        Решение:
      • 1) 2 * 5 = 10
      • Ответ: 10

      Задача 10

      У 3 мальчиков есть по 7 тетрадей. Сколько всего у них тетрадей?

        Решение:
      • 1) 3 * 7 = 21
      • Ответ: 21

      Задача 11

      В квартире 3 комнаты, в каждой комнате по 5 картин. Сколько всего картин в квартире?

        Решение:
      • 1) 3 * 5 = 15
      • Ответ: 15

      Задача 12

      На одном блюде 6 апельсинов. Сколько апельсинов на 3 таких же блюдах?

        Решение:
      • 1) 6 * 3 = 18
      • Ответ: 18

      Задача 13

      В комнате 3 дивана, на каждом по 4 подушки. Сколько подушек в комнате?

        Решение:
      • 1) 3 * 4 = 12
      • Ответ: 12

      Задача 14

      Во дворе 3 яблони, на каждой по 9 яблок. Сколько яблок во дворе?

        Решение:
      • 1) 3 * 9 = 27
      • Ответ: 27

      Задача 15

      В одной коробке 8 пряников. Сколько пряников в 2 таких же коробках?

        Решение:
      • 1) 8 * 2 = 16
      • Ответ: 16

      Задача 16

      Едут 3 маршрутки, в каждой по 8 человек. Сколько всего человек в маршрутках?

        Решение:
      • 1) 3 * 8 = 24
      • Ответ: 24

      Задача 17

      В 2 дворах есть по 7 скворечников. Сколько всего скворечников?

        Решение:
      • 1) 2 * 7 = 14
      • Ответ: 14

      Задача 18

      В чулане стоят 2 ящика, в каждом по 7 кг яблок. Сколько килограммов яблок в чулане?

        Решение:
      • 1) 2 * 7 = 14
      • Ответ: 14

      Задача 19

      В одном доме 9 окон. Сколько окон в 3 таких же домах?

        Решение:
      • 1) 9 * 3 = 27
      • Ответ: 27

      Задача 20

      На столе лежат 3 стопки тетрадей. В каждой по 7 тетрадей. Сколько всего тетрадей на столе?

        Решение:
      • 1) 3 * 7 = 21
      • Ответ: 21

      Задача 21

      В одном портфеле 4 учебника. Сколько учебников в 2 таких же портфелях?

        Решение:
      • 1) 4 * 2 = 8
      • Ответ: 8

      Задача 22

      У 2 собак есть по 4 игрушки. Сколько всего игрушек у собак?

        Решение:
      • 1) 2 * 4 = 8
      • Ответ: 8

      Задача 23

      На одной полке 8 безделушек. Сколько безделушек на 3 таких же полках?

        Решение:
      • 1) 8 * 3 = 24
      • Ответ: 24

      Задача 24

      На одной странице нарисовано 6 овалов. Сколько овалов на 2 таких же страницах?

        Решение:
      • 1) 6 * 2 = 12
      • Ответ: 12

      Задача 25

      В 3 машинах сидят по 4 человека. Сколько всего человек в этих машинах?

        Решение:
      • 1) 3 * 4 = 12
      • Ответ: 12

       

      На странице использован материал из книги О. В. Узоровой и Е. А. Нефедоваой «300 задач по математике. 2 класс»

      43 лучших упражнения на умножение для детей

      Мы все помним, как часами практиковались в нашей «таблице умножения», чтобы подготовиться к тестам на умножение на время. И хотя заучивание — отличный способ научиться умножать, оно не привлекает интереса всех учащихся. Сегодня мы знаем, что некоторые учащиеся лучше учатся, когда они встают и двигаются, в то время как другие учатся лучше, когда концепции излагаются в песне, поэтому мы должны использовать различные виды деятельности в наших классах, чтобы охватить всех учащихся. От видео до книг и поделок — в этом списке есть все, что вам нужно, чтобы достучаться до любого ученика. Используйте перечисленные ниже упражнения, чтобы разнообразить свои уроки умножения и охватить всех учащихся.

      Видео

      1. Умножение для детей

      Это вводное видео об умножении заставит всех учащихся узнать больше об этом математическом понятии. В конце даже есть несколько трюков с умножением. В видео используются такие объекты, как велосипеды и коллекционные карточки, чтобы сделать умножение более применимым к жизни учащихся.

      Узнайте больше: Homeschool Pop

      2. Узнать 9Таблицы умножения раз

      Конечно, большинство из нас помнят умный трюк с умножением, которому мы научились в школе, чтобы освоить нашу таблицу умножения на 9. Но знаете ли вы, что на самом деле существует четыре разных трюка?? Используйте это видео, чтобы научить своих учеников всем им (и, возможно, выучить один или два самостоятельно).

      Узнать больше: Акаш Вукоти

      3. Основная концепция умножения

      Это короткое видео учит младших школьников основам умножения. Заложите основу для этих навыков умножения с помощью этого краткого введения, обучая концепциям сложения групп.

      Подробнее: Kids Math TV

      4. Что такое умножение?

      Это вводное видео привлекает внимание детей, показывая им, что умножение похоже на фокус. Пусть Карандаш Марко научит их основным навыкам умножения.

      Подробнее: Rock ‘N Learn

      5. Базовое умножение

      Учащимся понравится смотреть это милое видео о мальчике и кролике, пытающихся получить морковь, и о том, как они используют умножение, чтобы справиться с трудной ситуацией. Используйте его, чтобы начать строить основы умножения.

      Узнайте больше: Умное обучение для всех

      6. Песня умножения/Таблица умножения

      Некоторые дети учатся на слух. Используйте эту песню как введение в таблицу умножения. Те ученики, которые лучше учатся, слушая понятия, оценят это видео! Ваши ученики будут петь о таблице умножения за обедом и на перемене!

      Подробнее: KLT

      7. Трюк с быстрым умножением

      Когда учащиеся будут готовы к более сложному умножению, используйте это видео, чтобы научить их паре изящных трюков, которые мгновенно заставят их почувствовать себя мастерами умножения! Они будут учить своих родителей чему-то новому, когда вернутся домой в тот вечер.

      Узнать больше: Акаш Вукоти

      8. Использование умножения пальцев

      Научите учащихся советам по умножению пальцев с помощью этого видео. Студенты будут поражены тем, что они могут использовать свои руки, чтобы запомнить таблицу умножения на 6-10! Знайте, что ваши ученики пытаются решить задачи на умножение, когда вы видите, что они держат руки боком.

      Узнайте больше: обдумывайте свои решения

      9. Умножение для дошкольников до 1 класса

      У вас есть младшие школьники и вы хотите познакомить их с умножением? Используйте это видео в качестве краткого введения. Он учит концепции умножения, обучая группировке. Дайте учащимся свои собственные манипуляторы для создания групп во время просмотра видео в качестве дополнительного дополнения к упражнению.

      Узнайте больше: Maths Made Easy

      10. Рэп умножения

      Начните свой урок умножения с этой милой рэп-песни об умножении. Дети будут читать рэп об умножении весь день и даже не осознают, что учатся! Послеобеденное затишье? Включите эту песню еще раз, и пусть они встанут и подвигаются, когда снова услышат математический рэп!

      Подробнее: Rock ‘N Learn

      11. Школьный рок! Скала умножения

      Какой юнит действительно завершен без показа классического Schoolhouse Rock! видео? Это видео, набравшее более миллиона просмотров, обязательно привлечет внимание всех ваших учеников и заинтересует их в умножении, поскольку они следуют за персонажами в мире, полном чисел.

      Подробнее: Boogie Finger

      Компьютерные игры

      12. Математическая площадка

      Mathplayground.com предлагает множество математических игр для детей от детского сада до шестого. Как показано на картинке, Прыжок Пингвина, где они правильно отвечают на вопросы умножения, чтобы безопасно прыгать на каждый кусок льда. Интерактивные игры на умножение на этом сайте обеспечат часы удовольствия от обучения.

      Подробнее: Математическая площадка

      13. Развлечение для мозга

      Еще один сайт с множеством различных математических игр — fun4thebrain.com. В изображенной здесь игре ученики проводят своих крошечных монстров по уровням, отвечая на уравнения умножения. Студентам так понравятся веселые игры на этом сайте, что они даже не заметят, что учатся!

      Подробнее: Fun 4 the Brain

      14. Худа Математика

      Hooda Math — еще один сайт с множеством различных математических игр. В игре «Математика принцессы» каждый раз, когда ученики правильно отвечают на уравнение умножения, они одевают свою принцессу в новые забавные наряды. Если принцессы вам не по вкусу, этот сайт предлагает множество других игр на выбор.

      Подробнее: Hooda Math

      15. Таблица умножения

      На сайте Timestable.com учащиеся могут учиться разными способами. Они могут выбирать, с какой таблицей умножения работать, и решать математические уравнения, или они могут выбирать игры, подобные показанной, и участвовать в гонках на других автомобилях, отвечая на вопросы об умножении. Каждый правильный ответ ускоряет их машину!

      Узнать больше: Таблица умножения

      16. Аркадемика

      Еще один сайт с множеством игр на умножение — Arcademics.com. Независимо от того, преподаете ли вы в первом или шестом классе, на этом сайте есть что-то для ваших учеников. Например, показанная здесь милая игра, в которой ученики могут соревноваться с другими марсианами на ховербордах, решая уравнения умножения.

      Подробнее: Arcademics

      Интерактивные занятия

      17. Башни математической силы

      Этот сайт предлагает несколько способов создания математических башен с вашими учениками. Учащиеся получат удовольствие от математики, строя свои башни все выше и выше. Следуйте инструкциям по различным способам преподавания этой классной концепции. Используйте это задание в одном из своих математических центров!

      Подробнее: Навигация с помощью Joy

      18. Игра вокруг света

      Игра, в которую вы можете играть со всем классом, чтобы попрактиковаться в умножении, называется «Вокруг света». Когда учащиеся правильно отвечают на вопросы, они могут перемещаться по комнате или по всему миру. Отслеживайте прогресс учащихся по тому, как далеко они перемещаются по комнате.

      Подробнее: Обучайте с Холли Рэйчел

      19. Умножение Scavenger Hunt

      Ищете игры на умножение? Используйте прилагаемый рабочий лист, чтобы отправить своих учеников на охоту за умножением. По мере того, как они находят разные подсказки, они затем составляют уравнения умножения, а затем находят ответы, чтобы «выиграть» охоту за мусором.

      Подробнее: Исследование таблицы умножения

      20. Умножение Бинго

      Разбейте свой класс на пары, чтобы попрактиковаться в использовании их знаний о фактах умножения, и предложите им сыграть в эту веселую игру в бинго на умножение. Им будет весело бросать кости, вычислять суммы умножения двух чисел и стирать свои доски для бинго. (Или сделайте это всем классом, бросая кости под камерой для документов.)

      Подробнее: Activity Mom

      21. Война умножения

      Если вы ищете увлекательные практические занятия по умножению для своего класса, игра «Война умножения» — идеальная игра для вас. Следуйте инструкциям по ссылке выше, чтобы научить своих учеников играть в классическую карточную игру «Война» с поворотом на умножение.

      Подробнее: Война умножения

      22. Факты умножения Дженга

      Если вы ищете игры для практики умножения, попробуйте умножение Jenga. После того, как учащийся успешно удалил фишку дженги, он или она должны ответить на уравнение на этой фишке. Студенты могут проверить ответы друг друга, используя лист ответов.

      Узнать больше: Minds in Bloom

      23. Классовая эстафета

      Хотите занять немного времени, но при этом учить с помощью веселого занятия? Активные игры на умножение — это то, что нужно! Создайте эту эстафету умножения как быстрое занятие. Когда дело доходит до игр на умножение в классе, эта игра требует очень мало времени для настройки, но она по-прежнему привлекает всех учащихся! Первая группа, ответившая на все вопросы, побеждает в эстафете.

      Узнать больше: Не такой уж и слабый учитель

      24. Игра «Умножение яичных коробок»

      Воспользуйтесь приведенным выше видео в качестве вдохновения для создания собственной игры на умножение яичных коробок. Детям понравится это практическое занятие, в ходе которого они помещают правильно пронумерованные яйца в каждую ячейку коробки для яиц. Кто знал, что коробка для яиц может быть включена в ваши простые математические манипуляции?!

      Подробнее: Дерево воображения

      25. Умножение Домино

      Эта забавная книга с мистером Маусом и мисс Белкой учит навыкам умножения и деления. Многие родители рекламируют эту книгу как книгу, которая помогла их детям преодолеть страх перед математикой, обучая простым методам выполнения уравнений умножения.

      31. Умножение на лету, Сюзанна Слэйд

      Купить сейчас на Amazon

      Дети любят жутких ползающих жуков. Используйте их увлечение этими существами, чтобы научить их умножению, а также узнавать интересные вещи о разных типах жуков. В конце концов, есть и другие занятия, чтобы привлечь их к изучению как ошибок, так и чисел.

      Весёлые рабочие листы

      32. Математика вокруг света

      Учите географию одновременно с умножением с помощью этого забавного рабочего листа. По мере того, как учащиеся будут решать вопросы на умножение, они также выяснят, каким цветом раскрасить каждую страну на карте. Когда они закончат, у них будет карта мира с цветовой кодировкой!

      Дополнительная информация: г-н Нуссбаум

       33. Математическая игра Fidget Spinner

      Превратите рабочие листы по умножению в игры с помощью спиннеров. Попросите учеников покрутить свой спиннер, а затем ответить на как можно больше уравнений, пока он не перестанет вращаться! Это совершенно новый «спин» в тестах на умножение по времени!

      Подробнее: Рабочие листы для суперучителей

       34. Рабочие листы для умножения по номерам

      Dadsworksheets.com предлагает массу рабочих листов, раскрашенных по номерам. Сайт предлагает разные рабочие листы для разных праздников, что дает вам множество материалов для использования в течение всего года!

      Подробнее: Рабочие листы для пап

      35. Лабиринт умножения

      Детям будет интересно проходить лабиринты, находя путь от математических уравнений к решениям. Пусть они используют разные цвета для каждого уравнения.

      Подробнее: K12 Math Worksheets

      36. Вращай и умножай

      Ученикам понравится крутить скрепку, чтобы составить предложение на умножение. Затем они могут проиллюстрировать свои знания об умножении и решить каждое из них. Когда они закончат, они могут немного повеселиться и раскрасить милых персонажей на листе!

      Узнать больше: Девочки Моффат

      37. Круговая таблица времени

      Worksheetfun.com предлагает несколько рабочих листов с круглыми таблицами умножения. Как только учащиеся освоят более простое умножение, они смогут перейти к более сложным числам, даже двузначным! Каждое утро раздавайте по одному экземпляру для ежедневной практики умножения.

      Подробнее: Worksheet Fun

      Ремесла

      38. Поделка из бумаги: цветок умножения

      Посмотрите прикрепленное видео, чтобы узнать, как сделать симпатичную поделку для умножения своими руками. Дети могут тренировать свою мелкую моторику, вырезая лепестки и склеивая разные части цветов. Затем напишите на лепестках предложения с умножением и попросите их найти ответы. Вы даже можете повесить эту красочную математическую поделку в своем классе после того, как ученики закончат!

      Узнать больше: Simis Crafty World

      39. Дом умножения Математическое ремесло

      Следуйте инструкциям по ссылке выше, чтобы создать математические дома умножения. Выберите семейство фактов, на котором нужно сосредоточиться для каждого отдельного дома, который вы создаете. Студенты будут наслаждаться творчеством, изучая критические математические навыки.

      Узнать больше: Действительно хорошие вещи

      40. Книги по умножению

      Создавайте со своими учениками учебники по математике по умножению. Самое замечательное в этих книгах то, что вы можете давать продвинутым студентам-математикам сложные математические задачи, в то время как те, кто все еще борется с понятиями, могут решать более простые задачи на умножение в своих книгах, и никто не станет мудрее! Вы даже можете использовать эти книги в качестве портфолио по математике и постоянно использовать их в течение года для различных концепций.

      Узнайте больше: Мультикультурное материнство

      41. Поделка для умножения пружин

      Научите детей умножению, попросив их приклеить капли дождя к зонтикам! Им будет весело сопоставлять правильные уравнения со своими ответами. После этого вы можете разместить все их украшенные зонтики на математической стене в вашем классе.

      Узнайте больше: предложения о бесплатном обучении на дому

      42. Активность города массива

      В приведенном выше поделочном задании учащиеся выполняют шаги по созданию городов с массивом умножения! Ученикам, испытывающим затруднения, нравятся визуальные представления, а всем учащимся нравится создавать свои собственные здания, чтобы внести свой вклад в ваш школьный город! Сделайте умножение увлекательным занятием даже для самых упорных учеников!

      Подробнее: Математика

       43. Умножение на 8 пауков

      Недавно читали Charlotte’s Web? Совместите чтение книги о милом пауке с созданием пауков-умножителей. Студенты будут весело проводить время, используя разноцветные бусины, чтобы украсить ноги своих пауков, и в то же время практиковать свою таблицу умножения на восемь.

      Узнайте больше: Thriving STEM

      5 лучших упражнений для обучения фактам умножения

      Запоминание фактов умножения с помощью карточек — не единственный способ выучить таблицу умножения. Исследования показывают, что учащиеся с большей вероятностью сохранят информацию, если будут вовлечены в процесс ее изучения. Когда действия имеют смысл, учащиеся могут применять реальный контекст к математическим фактам. Итак, как учить факты умножения?

      Как лучше всего учить умножению? В каком порядке лучше учить факты умножения? Таблица умножения — не единственный способ для студентов выучить факты!

      Узнайте с помощью этих 5 упражнений на умножение, которые помогут вашим ученикам узнать факты .

      Примечание. Некоторые ссылки ниже являются партнерскими. См. мою Политику раскрытия информации для получения дополнительной информации.

      1. Знакомство с равными группами для изучения фактов об умножении

      Один из простых способов научиться умножению — сосредоточиться на равных группах. Обучение созданию равных групп является основой для умножения и наиболее естественным способом, с помощью которого учащиеся начинают взаимодействовать с умножением.

      Предложите учащимся провести мозговой штурм по парам, тройкам и т. д. Начните с вещей, которые приходятся на два, и запишите на якорной диаграмме все, что они могут придумать.

      Попробуйте использовать опорные диаграммы или большие стикеры, чтобы учащиеся записывали свои идеи. Это групповое задание — отличный способ помочь вашим ученикам понять основы умножения. В этом сообщении блога содержится дополнительная информация о том, как помочь учащимся генерировать идеи о вещах, которые входят в группы, а также примеры для каждого числа.

      Когда у вас будет хороший список предметов, задайте ученикам вопросы, например, сколько пальцев у трех человек? Сколько колес на четырех автомобилях?

      Помогите учащимся найти ответ и используйте инструменты (бумагу, карандаш, рисунки, счетные кубики), чтобы найти ответ. Это помогает построить их концептуальное понимание равных групп.

      2. Играйте в игры, чтобы узнать факты умножения

      Дети ОБОЖАЮТ играть в игры. Вот несколько забавных игр на умножение для 3-го класса, которые помогут закрепить основные факты. Вы даже можете закрепить ключевые понятия, обучая фактам умножения.

      Война умножения

      В традиционной игре Война каждый игрок переворачивает карту, и в этом раунде выигрывает тот, у кого наибольшая номинальная стоимость. В «Войне умножения» игроки переворачивают по две карты, перемножают их вместе и сообщают ответ. Победителем каждого раунда становится игрок с наибольшим продуктом!

      Настольные игры на умножение

      Дети обожают игры! Есть несколько отличных настольных игр, посвященных умножению. Вот несколько популярных игр на умножение для 4-х классов:

      Pet Me фокусируется на концепциях равных групп и совместного использования.

      Фабрика носков монстров – отличная базовая игра, в которой от многократного сложения к умножению.

      Prime Climb — отличная игра для более продвинутых детей. Он использует все четыре операции и стратегии для достижения цели.

      3. Построение массивов и моделей площадей для изучения фактов об умножении

      Помогите учащимся сконструировать ряд строк и столбцов, чтобы познакомить их с моделью площадей умножения. Вместо того, чтобы просто составлять массив на бумаге, сделайте это практической игрой на умножение!

      Игра с массивами для тренировки фактов умножения

      В этой игре с массивами учащиеся соревнуются друг с другом, чтобы заполнить как можно больше места на бумаге с сеткой. Это не только помогает укрепить модель области для умножения, но также создает пространственное понимание. Это отличная бесплатная игра на умножение для 3-го класса.

      Расширьте модель площади для умножения

      Это задание «Модель площади» — один из моих любимых проектов во втором или третьем классе. Прежде чем приступить к этому упражнению, я знакомлю учащихся с концепцией одного числа, имеющего множество различных расположений областей. Вы можете проверить, как мы это делаем, в этом посте.

      После построения концепции я даю парам учащихся определенные числа, которые нужно вырезать из миллиметровки. Учащиеся выполняют как выражение, так и его противоположность (3×2 и 2×3), чтобы увидеть, как изменяется массив.

      См. эту модельную модель в действии здесь.

      4. Использовать пропуск счета Запомни шаблоны умножения

      Помогите учащимся распознавать шаблоны при счете кратными. Например, прочитайте и напишите числа, кратные трем.

      Ваши ученики скоро узнают, что 3, 6, 9кратны трем или 3×1, 3×2, 3×3 и так далее. Развлекайтесь с онлайн-играми, такими как подсчет пропусков пузырей с числами! Лопайте пузыри, когда они парят над правильным сундуком с сокровищами.

      Песни с пропуском счета

      В Интернете и на YouTube доступно множество песен с пропуском счета. Вам нужно будет увидеть, какие песни из таблицы умножения находят отклик у вас и ваших учеников.

      Вот некоторые из тех, что нам понравились. Я сосредоточился на простоте, а не на сложной графике и анимации. Как только вы настроите мелодию, вы можете спеть эти песни без видео или попросить учеников петь.

      На YouTube также есть ТОННА музыкальных клипов на умножение. Предложите своим ученикам посмотреть несколько забавных песен об умножении и проголосовать за их любимые видео!

      5. Головоломки с числами — увлекательное занятие для изучения умножения

      Головоломки — отличный способ увлечь учащихся и развить их навыки решения задач.

      Как степень перевести в число: Возведение в степень: правила, примеры, дробная степень

      Возведение в степень: правила, примеры, дробная степень

      Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа в математике. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. как возвести число в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя — как его находить и как его возвести в степень. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

      Понятие возведения в степень

      Начнем с такого проверочного действия, как формулирование базовых определений.

      Определение 1

      Возвести число в степень — это вычисление значения степени некоторого числа.

      То есть слова «вычисление значение степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так, если в задаче стоит «Возведите число 0,5 в пятую степень», это следует понимать как «вычислите значение степени (0,5)5.

      Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

      Как возвести число в натуральную степень

      Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен a. Что собой представляет такое вычисление? Это можно написать так:

      Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

      Пример 1

      Условие: возведите -2 в степень 4.

      Решение

      Используя определение выше, запишем: (−2)4=(−2)·(−2)·(−2)·(−2). Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16.

      Возьмем пример посложнее.

      Пример 2

      Вычислите значение 3272

      Как будем решать

      Данную запись можно перевести или переписать в виде 327·327. Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

      Выполним эти действия и получим ответ: 327·327=237·237=52949=103949

      Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

      Пример 3

      Выполните возведение в квадрат числа π.

      Решение

      Для начала округлим его до сотых. Тогда π2≈(3,14)2=9,8596. Если же π≈3.14159, то мы получим более точный результат: π2≈(3,14159)2=9,8695877281.

      Отметим, что необходимость посчитать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6)3 или преобразовать, если это возможно: 57=1255.

      Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

      a1=a

      Это понятно из записи .

      От основания степени это не зависит.

      Пример 4

      Так, (−9)1=−9, а 73, возведенное в первую степень, останется равно  73.

      Как возвести число в целую степень

      Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени — целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

      В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими математическими степенями, мы уже рассказали выше.

      Теперь посмотрим, как правильно будет возводиться в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1. Ранее мы уже поясняли, что 0-я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0, и a0=1.

      Пример 5

      Примеры:

      50=1, (-2,56)0=1230=1

      00- не определен.

      У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1az, где а — любое число, а z — целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем знакомые примеры задач.

      Пример 6

      Выполните возведение 2 в степень -3.

      Решение 

      Используя определение выше, запишем: 2-3=123

      Подсчитаем знаменатель этой дроби. Сколько получим? Цифра (или сумма) будет равна восьмидесяти восьми: 23=2·2·2=8.

      Тогда ответ таков: 2-3=123=18

      Пример 7

      Возведите 1,43 в степень -2.

      Решение 

      Переформулируем: 1,43-2=1(1,43)2

      Вычисляем квадрат (квадратный показатель) в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

      В итоге у нас вышло (1,43)-2=1(1,43)2=12,0449. Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

      Ответ: (1,43)-2=1000020449

      Отдельный случай — возведение числа в минус первую (минусовую) степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a-1=1a1=1a.

      Пример 8

      Пример: 3−1=1/3

      913-1=13964-1=164 .

      Как возвести число в дробную степень

      Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: amn=amnпри любом положительном a, целом m и натуральном n.

      Определение 2

      Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n-ной степени.

      У нас есть равенство amn=amn, которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде amn=anm. Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m/n, то сначала мы извлекаем корень n-ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m.

      Проиллюстрируем на примере.  

      Пример 9

      Вычислите 8-23.

      Решение

      Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8-23=8-23

      Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени (в кубе или кубический) из результата: 8-23=1643=133643=133433=14

      Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8-23=8-23=83-2

      После этого извлечем корень 83-2=233-2=2-2 и результат возведем в квадратик: 2-2=122=14

      Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

      Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и рассчитать, как указано выше.

      Пример 10

      Возведите 44,89 в степень 2,5.

      Решение 

      Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: 44,892,5=44,8952.

      А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44,8952=44,895=44,895=44891005=44891005=6721025=67105==1350125107100000=13 501,25107

      Ответ: 13 501,25107.

      Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями — довольно сложная и большая работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

      Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0mn можно придать такой смысл: если mn>0, то 0mn=0mn=0; если mn<0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0712=0, 0325=0, 00,024=0, а в целую отрицательную — значения не имеет: 0-43.

      Как возвести число в иррациональную степень

      Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считается на компе (компьютере) или онлайн из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

      Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a, то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

      Пример 11

      Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367. … 

      Решение

      Ограничимся десятичным приближением an=1,17. Проведем вычисления с использованием этого числа: 21,17≈2,250116. Если же взять, к примеру, приближение an=1,1743, то ответ будет чуть точнее: 21,174367…≈21,1743≈2,256833.

      Возведение степени в степень 

      Как степень возвести в степень? Рассмотрим пример.

      Если степень возвести в степень, то показатели перемножатся, а основание не меняется: (aᵑ)ᵐ = aᵑ*ᵐ. 

      Здесь а — это любое число, а n и m — натуральные числа. Вот такой пример вы можете использовать, чтобы получить степень в степени.

      Все примеры воззведения в степень можно найти в интернете в удобных таблицах.

      Возведение в степень: правила, примеры, дробная степень

      Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа в математике. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. как возвести число в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя — как его находить и как его возвести в степень. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

      Понятие возведения в степень

      Начнем с такого проверочного действия, как формулирование базовых определений.

      Определение 1

      Возвести число в степень — это вычисление значения степени некоторого числа.

      То есть слова «вычисление значение степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так, если в задаче стоит «Возведите число 0,5 в пятую степень», это следует понимать как «вычислите значение степени (0,5)5.

      Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

      Как возвести число в натуральную степень

      Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен a. Что собой представляет такое вычисление? Это можно написать так:

      Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

      Пример 1

      Условие: возведите -2 в степень 4.

      Решение

      Используя определение выше, запишем: (−2)4=(−2)·(−2)·(−2)·(−2). Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16.

      Возьмем пример посложнее.

      Пример 2

      Вычислите значение 3272

      Как будем решать

      Данную запись можно перевести или переписать в виде 327·327. Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

      Выполним эти действия и получим ответ: 327·327=237·237=52949=103949

      Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

      Пример 3

      Выполните возведение в квадрат числа π.

      Решение

      Для начала округлим его до сотых. Тогда π2≈(3,14)2=9,8596. Если же π≈3.14159, то мы получим более точный результат: π2≈(3,14159)2=9,8695877281.

      Отметим, что необходимость посчитать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6)3 или преобразовать, если это возможно: 57=1255.

      Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

      a1=a

      Это понятно из записи .

      От основания степени это не зависит.

      Пример 4

      Так, (−9)1=−9, а 73, возведенное в первую степень, останется равно  73.

      Как возвести число в целую степень

      Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени — целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

      В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими математическими степенями, мы уже рассказали выше.

      Теперь посмотрим, как правильно будет возводиться в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1. Ранее мы уже поясняли, что 0-я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0, и a0=1.

      Пример 5

      Примеры:

      50=1, (-2,56)0=1230=1

      00- не определен.

      У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1az, где а — любое число, а z — целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем знакомые примеры задач.

      Пример 6

      Выполните возведение 2 в степень -3.

      Решение 

      Используя определение выше, запишем: 2-3=123

      Подсчитаем знаменатель этой дроби. Сколько получим? Цифра (или сумма) будет равна восьмидесяти восьми: 23=2·2·2=8.

      Тогда ответ таков: 2-3=123=18

      Пример 7

      Возведите 1,43 в степень -2.

      Решение 

      Переформулируем: 1,43-2=1(1,43)2

      Вычисляем квадрат (квадратный показатель) в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

      В итоге у нас вышло (1,43)-2=1(1,43)2=12,0449. Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

      Ответ: (1,43)-2=1000020449

      Отдельный случай — возведение числа в минус первую (минусовую) степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a-1=1a1=1a.

      Пример 8

      Пример: 3−1=1/3

      913-1=13964-1=164 .

      Как возвести число в дробную степень

      Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: amn=amnпри любом положительном a, целом m и натуральном n.

      Определение 2

      Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n-ной степени.

      У нас есть равенство amn=amn, которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде amn=anm. Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m/n, то сначала мы извлекаем корень n-ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m.

      Проиллюстрируем на примере.  

      Пример 9

      Вычислите 8-23.

      Решение

      Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8-23=8-23

      Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени (в кубе или кубический) из результата: 8-23=1643=133643=133433=14

      Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8-23=8-23=83-2

      После этого извлечем корень 83-2=233-2=2-2 и результат возведем в квадратик: 2-2=122=14

      Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

      Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и рассчитать, как указано выше.

      Пример 10

      Возведите 44,89 в степень 2,5.

      Решение 

      Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: 44,892,5=44,8952.

      А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44,8952=44,895=44,895=44891005=44891005=6721025=67105==1350125107100000=13 501,25107

      Ответ: 13 501,25107.

      Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями — довольно сложная и большая работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

      Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0mn можно придать такой смысл: если mn>0, то 0mn=0mn=0; если mn<0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0712=0, 0325=0, 00,024=0, а в целую отрицательную — значения не имеет: 0-43.

      Как возвести число в иррациональную степень

      Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считается на компе (компьютере) или онлайн из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

      Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a, то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

      Пример 11

      Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367…. 

      Решение

      Ограничимся десятичным приближением an=1,17. Проведем вычисления с использованием этого числа: 21,17≈2,250116. Если же взять, к примеру, приближение an=1,1743, то ответ будет чуть точнее: 21,174367. ..≈21,1743≈2,256833.

      Возведение степени в степень 

      Как степень возвести в степень? Рассмотрим пример.

      Если степень возвести в степень, то показатели перемножатся, а основание не меняется: (aᵑ)ᵐ = aᵑ*ᵐ. 

      Здесь а — это любое число, а n и m — натуральные числа. Вот такой пример вы можете использовать, чтобы получить степень в степени.

      Все примеры воззведения в степень можно найти в интернете в удобных таблицах.

      Измерение углов

      Измерение углов
      Концепция угла
      Понятие угла — одно из важнейших понятий геометрии. Понятия равенства, суммы и разности углов важны и используются во всей геометрии, но предмет тригонометрии основан на измерении углов.

      Существуют две широко используемые единицы измерения углов. Более привычной единицей измерения являются градусы. Окружность разделена на 360 равных градусов, так что прямой угол равен 90°. Пока мы будем рассматривать только углы от 0° до 360°, но позже, в разделе о тригонометрических функциях, мы рассмотрим углы больше 360° и отрицательные углы.

      Градусы могут быть далее разделены на минуты и секунды, но это деление уже не так универсально, как раньше. Каждый градус делится на 60 равных частей, называемых минутами. Итак, семь с половиной градусов можно назвать 7 градусов и 30 минут, записав 7° 30′. Каждая минута далее делится на 60 равных частей, называемых 9.0004 секунды, и, например, 2 градуса 5 минут 30 секунд записывается как 2° 5′ 30″. Деление градусов на минуты и угловые секунды аналогично делению часов на минуты и секунды времени.

      Части градуса теперь обычно указываются в десятичном виде. Например, семь с половиной градусов теперь обычно записывают как 7,5&deg.

      Когда для анализа нарисован один угол на плоскости xy , мы нарисуем его за стандартная позиция с вершиной в начале координат (0,0), одна сторона угла вдоль оси x , а другая сторона над осью x .

      Радиан

      Другой распространенной единицей измерения углов являются радианы. Для этого измерения рассмотрим единичную окружность (окружность радиуса 1), центр которой является вершиной рассматриваемого угла. Тогда угол отсекает дугу окружности, и длина этой дуги является мерой угла в радианах. Легко конвертировать между измерением в градусах и измерением в радианах. Длина окружности всего круга 2 π , отсюда следует, что 360° равняется 2 π радиан. Следовательно,

      1° равно π /180 радиан

      и

      1 радиан равен 180/ π градусов

      Большинство калькуляторов можно настроить на использование углов, измеряемых в градусах или радианах. Убедитесь, что вы знаете, какой режим использует ваш калькулятор.

      Краткая заметка об истории радианов
      Хотя слово «радиан» было придумано Томасом Мьюиром и/или Джеймсом Томпсоном примерно в 1870 году, математики уже давно измеряют таким образом углы. Например, Леонард Эйлер (1707–1783) в своих « элементах алгебры » прямо сказал, что углы измеряются длиной дуги, отсеченной в единичной окружности. Это было необходимо, чтобы дать его знаменитую формулу с комплексными числами, которая связывает функции знака и косинуса с показательной функцией.
      e = cos θ + i sin θ

      где θ — это то, что позже было названо измерением угла в радианах. К сожалению, объяснение этой формулы выходит далеко за рамки этих заметок. Но для получения дополнительной информации о комплексных числах см. мой Краткий курс комплексных чисел.

      Радианы и длина дуги
      Альтернативное определение радианов иногда дается как отношение. Вместо того, чтобы взять единичную окружность с центром в вершине угла θ , возьмем любую окружность с центром в вершине угла. Тогда радианной мерой угла является отношение длины стягиваемой дуги к радиусу r окружности. Например, если длина дуги равна 3, а радиус окружности равен 2, то мера радиана равна 1,5.

      Причина, по которой это определение работает, заключается в том, что длина стягиваемой дуги пропорциональна радиусу окружности. В частности, определение в терминах отношения дает ту же цифру, что и приведенная выше, с использованием единичного круга. Однако это альтернативное определение более полезно, так как его можно использовать для связи длин дуг с углами. Длина дуги равна радиусу r , умноженное на угол θ , где угол измеряется в радианах.

      Например, дуга θ  = 0,3 радиана в окружности радиусом r  = 4 имеет длину 0,3 умножить на 4, то есть 1,2.

      Радианы и площадь сектора
      Сектором окружности называется та часть окружности, которая ограничена двумя радиусами и дугой окружности, соединяющей их концы. Площадь этого сектора легко вычислить по радиусу r окружности и угол θ между радиусами, если он измеряется в радианах. Поскольку площадь всего круга равна πr 2 , а сектор относится ко всему кругу как угол θ к 2 π , поэтому
      Углы общие
      Ниже приведена таблица общих углов как в градусах, так и в радианах. Обратите внимание, что измерение в радианах дается как π . Его, конечно, можно было бы представить десятичным числом, но радианное измерение часто появляется с коэффициентом 9.0004 № .
      Уголок градусов радиан
      90° /2
      60° /3
      45° /4
      30° /6
      Упражнения
      Эдвин С. Кроули написал книгу «Тысяча упражнений в плоской и сферической тригонометрии», Университет Пенсильвании, Филадельфия, 1914 г. Задачи этого краткого курса взяты из этого текста (но не все 1000 из них!) Он дал свои задачи с точностью до пяти знаков, поэтому учащимся пришлось поработать некоторое время, чтобы решить их, и они использовали таблицы логарифмов, чтобы помочь в умножении и делении. Студенты должны были уметь пользоваться таблицей синусов и косинусов, таблицей тангенсов, таблицей логарифмов, таблицей log-sin-cos и таблицей log-tan. Теперь мы можем использовать калькуляторы! Это означает, что вы можете сосредоточиться на концепциях, а не на трудоемких вычислениях.

      Кроули использовал не десятичную запись для долей градуса, а минуты и секунды.

      Каждый набор упражнений включает, во-первых, формулировки упражнений, во-вторых, несколько советов по решению упражнений и, в-третьих, ответы на упражнения.

      1. Выразите следующие углы в радианах.
      (а). 12 градусов 28 минут, то есть 12° 28′.
      (б). 36° 12′.

      2. Сократите следующие числа радианов до градусов, минут и секунд.
      (а). 0,47623.
      (б). 0,25412.

      3. Учитывая угол a и радиус r, найти длину стягивающей дуги.
      (а). a  = 0° 17′ 48″, r  = 6,2935.
      (б). a  = 121° 6′ 18″, r  = 0,2163.

      4. Зная длину дуги l и радиус r, найти угол, опирающийся на центр.
      (а). l  = 0,16296, r  = 12,587.
      (б). l = 1,3672, r = 1,2978.

      5. Зная длину дуги l и угол a , на который она опирается в центре, найти радиус.
      (а). a  = 0° 44′ 30″, l  = 0,032592.
      (б). a  = 60° 21′ 6″, l  = 0,4572.

      6. Найдите длину с точностью до дюйма дуги окружности 11 градусов 48,3 минуты, если радиус равен 3200 футов.

      7. Железнодорожная кривая образует дугу окружности 9 градусов 36,7 минут, радиус от центральной линии пути составляет 2100 футов. Если ширина колеи 5 футов, найдите разницу в длине двух рельсов с точностью до полдюйма.

      9. Насколько изменится широта, если пройти на север одну милю, если предположить, что Земля представляет собой сферу радиусом 3956 миль?

      10. Вычислите длину одной угловой минуты в футах по большому кругу Земли. Какова длина одной угловой секунды?

      14. На окружности радиусом 5,782 метра длина дуги 1,742 метра. На какой угол он сужается в центре?

      23. Известный воздушный шар диаметром 50 футов вытягивается из глаза под углом 8 1/2 минут. Как далеко это?

      Подсказки

      1. Чтобы преобразовать градусы в радианы, сначала преобразуйте количество градусов, минут и секунд в десятичную форму. Разделите количество минут на 60 и прибавьте к количеству градусов. Так, например, 12 ° 28′ – это 12 + 28/60, что равно 12,467 °. Далее умножить на π и разделите на 180, чтобы получить угол в радианах.

      2. И наоборот, чтобы преобразовать радианы в градусы, разделите π и умножьте на 180. Таким образом, 0,47623, деленное на π и умноженное на 180, дает 27,286°. Вы можете преобразовать доли градуса в минуты и секунды следующим образом. Умножьте дробь на 60, чтобы получить количество минут. Здесь 0,286 умножить на 60 равно 17,16, поэтому угол можно записать как 27° 17,16′. Затем возьмите любую оставшуюся долю минуты и снова умножьте на 60, чтобы получить количество секунд. Здесь 0,16 умножить на 60 примерно равно 10, поэтому угол можно также записать как 27° 17′ 10″.

      3. Чтобы найти длину дуги, сначала переведите угол в радианы. Для 3(a) 0°17’48» составляет 0,0051778 радиан. Затем умножьте на радиус, чтобы найти длину дуги.

      4. Чтобы найти угол, разделите его на радиус. Это дает вам угол в радианах. Это можно преобразовать в градусы, чтобы получить ответы Кроули.

      5. Как упоминалось выше, радиан умножить на радиус = длине дуги, поэтому, используя буквы для этой задачи, ar  =  l, , но a необходимо сначала преобразовать из градусов в радианы. Таким образом, чтобы найти радиус r, сначала преобразуйте угол a в радианы, а затем разделите его на длину l дуги.

      6. Длина дуги равна произведению радиуса на угол в радианах.

      7. Помогает нарисовать фигуру. Радиус внешней направляющей равен 2102,5, а радиус внутренней направляющей равен 209.7.5.

      9. У вас есть окружность радиусом 3956 миль и дуга этой окружности длиной 1 миля. Какой угол в градусах? (Средний радиус Земли был известен довольно точно в 1914 году. Посмотрим, сможете ли вы узнать, каким Эратосфен считал радиус Земли еще в третьем веке до нашей эры.)

      10. Угловая минута равна 1/60 градуса. Преобразовать в радианы. Радиус равен 3956. Какова длина дуги?

      14. Поскольку длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах, отсюда следует, что угол в радианах равен длине дуги, деленной на радиус. Радианы легко перевести в градусы.

      23. Представьте, что диаметр воздушного шара является частью дуги окружности, в центре которой вы находитесь. (Это не совсем часть дуги, но довольно близко. ) Эта дуга имеет длину 50 футов. Вы знаете угол, так каков радиус этого круга?

      Ответы
      1. (а). 0,2176. (б). 0,6318.

      2. (а). 27° 17′ 10 дюймов (б). 14,56 ° = 14 °33,6′ = 14°33’36».

      3. (а). 0,03259 (б). 2,1137 умножить на 0,2163 равно 0,4572.

      4. (а). 0,16296/12,587 = 0,012947 радиан = 0° 44′ 30″.
      (б). 1,3672/1,2978 = 1,0535 радианы = 60,360° = 60° 21,6′ = 60° 21′ 35″.

      5. (а). л/год  = 0,032592/0,01294 = 2,518.
      (б). л/год  = 0,4572/1,0533 = 0,4340.

      6. ra  = (3200′) (0,20604) = 659,31′ = 659′ 4 дюйма.

      7. Угол a  = 0,16776 радиан. Разница в длинах есть 2102.5 a  – 1997.5 a , что составляет 5 a. Таким образом, ответ равен 0,84 фута, что с точностью до дюйма равно 10 дюймам.

      9. Угол = 1/3956 = 0,0002528 радиан = 0,01448° = 0,8690′ = 52,14″.

      10. Одна минута = 0,0002909 радиан. 1,15075 мили = 6076 футов. Поэтому одна секунда будет соответствовать 101,3 фута.

      14. a = л/об = 1,742/5,782 = 0,3013 радиан = 17,26° = 17°16′.

      23. Угол a равен 8,5′, что составляет 0,00247 радиана. Значит радиус равен r = л/год = 50/0,00247 = 20222′ = 3,83 мили, почти четыре мили.

      О разрядах точности.
      Кроули старается давать свои ответы примерно с той же точностью, что и данные в вопросах. Это важно, особенно сейчас, когда у нас есть калькуляторы. Например, в задаче 1 датум равен 12°28′, что имеет точность около четырех знаков, поэтому ответ 0,2176 также должен быть дан с точностью только до четырех знаков. (Обратите внимание, что ведущие нули не учитываются при вычислении цифр точности.) Ответ 0,21758438 предполагает восемь цифр точности, и это может ввести в заблуждение, поскольку данная информация не была такой точной.

      Другой пример см. в задаче 3(а). Данные равны 0°17’48» и 6,2935 с точностью до 4 и 5 цифр соответственно. Поэтому ответ должен быть дан с точностью только до 4 цифр, поскольку ответ не может быть более точным, чем наименее точные данные. Таким образом, ответ, который может дать калькулятор, а именно 0,032586547, следует округлить до четырех цифр (не считая ведущих нулей) до 0,03259.

      Хотя окончательные ответы должны быть выражены с соответствующим количеством цифр точности, вы все равно должны сохранить все цифры для промежуточных вычислений.

      Мэтуэй | Популярные задачи

      92

      Решено

      Человек рассматривает изображение своего лица в плоском зеркальце, удаляя от себя зеркальце со скоростью 4 см/с. С какой скоростью движется изображение лица? (Ответ дать в см/с)

      Решено

      Имеется электрическая сеть, напряжение в которой поддерживается постоянным. При подключении к этой сети трёх последовательно соединённых одинаковых…

      Если во время дождя поднимать ведро с постоянной вертикальной скоростью V, то оно заполнятся водой за время t1=4 мин. Если это же ведро опускать со

      2.Азот массой 280 г был нагрет при постоянном давлении на 100°С. Определите работу, которую совершает газ при расширении.

      5 Для изготовления полупроводниковых батарей…

      Пользуйтесь нашим приложением

      1 Найти точное значение грех(30)
      2 Найти точное значение грех(45)
      3 Найти точное значение грех(30 градусов)
      4 Найти точное значение грех(60 градусов)
      5 Найти точное значение загар (30 градусов)
      6 Найти точное значение угловой синус(-1)
      7 Найти точное значение грех(пи/6)
      8 Найти точное значение cos(pi/4)
      9 Найти точное значение грех(45 градусов)
      10 Найти точное значение грех(пи/3)
      11 Найти точное значение арктан(-1)
      12 Найти точное значение cos(45 градусов)
      13 Найти точное значение cos(30 градусов)
      14 Найти точное значение желтовато-коричневый(60)
      15 Найти точное значение csc (45 градусов)
      16 Найти точное значение загар (60 градусов)
      17 Найти точное значение сек(30 градусов)
      18 Найти точное значение cos(60 градусов)
      19 Найти точное значение соз(150)
      20 Найти точное значение грех(60)
      21 Найти точное значение cos(pi/2)
      22 Найти точное значение загар (45 градусов)
      23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3)
      24 Найти точное значение csc (60 градусов)
      25 Найти точное значение сек (45 градусов)
      26 Найти точное значение csc(30 градусов)
      27 Найти точное значение грех(0)
      28 Найти точное значение грех(120)
      29 Найти точное значение соз(90)
      30 Преобразовать из радианов в градусы пи/3
      31 Найти точное значение желтовато-коричневый(30)
      32
      35 Преобразовать из радианов в градусы пи/6
      36 Найти точное значение детская кроватка(30 градусов)
      37 Найти точное значение арккос(-1)
      38 Найти точное значение арктический(0)
      39 Найти точное значение детская кроватка(60 градусов)
      40 Преобразование градусов в радианы 30
      41 Преобразовать из радианов в градусы (2 шт.

      Вычислите индукцию магнитного поля: Вычислите магнитную индукцию поля, созданного очень длинным прямолинейным проводником в точке, находящейся от него на расстоянии r=10 cm. Проводник… — вопрос №1365065 — Учеба и наука

      Вычислите магнитную индукцию поля, созданного очень длинным прямолинейным проводником в точке, находящейся от него на расстоянии r=10 cm. Проводник… — вопрос №1365065 — Учеба и наука

      Лучший ответ по мнению автора

      08. 02.15
      Лучший ответ по мнению автора

      Михаил Александров

      Читать ответы

      Андрей Андреевич

      Читать ответы

      Владимир

      Читать ответы

      Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Физика

      Похожие вопросы

      Вычислите индукцию магнитного поля прямого проводника с силой тока в 3 мА, на расстоянии 2.5 дм. — вопрос №3482056 — Учеба и наука

      Лучший ответ по мнению автора

      19. 10.19
      Лучший ответ по мнению автора

      Михаил Александров

      Читать ответы

      Андрей Андреевич

      Читать ответы

      Владимир

      Читать ответы

      Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Физика

      Похожие вопросы

      Решено

      Дано уравнение движения тела: х=-3-t-t^2 Заполните таблицу и постройте график скорости движения тела.

      на газовой горелке необходимо расплавить…

      Решено

      Брусок массой 0,5 кг. прижат к вертикальной стене с силой 10 Н.Коэффициент трения скольжения между бруском и стеной =0,4.Какой величины силу надо…

      Льдинка падает с высоты 4 м. Определите время, за которое она пролетела последний метр, а так же среднюю скорость её движения

      Решено

      Полый тонкостенный цилиндр катится вдоль горизонтального участка дороги со скоростью v = 1,5 м/с. Определите путь, который он пройдет в гору за счет…

      Пользуйтесь нашим приложением

      Что такое напряженность магнитного поля? – Определение TechTarget

      К

      • Роберт Шелдон

      Что такое напряженность магнитного поля?

      Сила магнитного поля — это мера напряженности магнитного поля в данной области этого поля. Обозначаемая как H, напряженность магнитного поля обычно измеряется в амперах на метр (А/м) в соответствии с Международной системой единиц (СИ). Ампер и метр (или метр) являются основными единицами СИ, построенными из определяющих констант СИ. Ампер является мерой электрического тока, а метр – мерой длины.

      Сила магнитного поля, также называемая напряженностью магнитного поля, иногда измеряется в эрстедах (Э), а не в А/м. Эрстед является частью гауссовой системы единиц, которая основана на системе сантиметр-грамм-секунда (СГС). Один Э равен 79,577472 А/м, а один А/м равен 0,012566 Э.

      Напряженность магнитного поля — это один из двух способов измерения магнитного поля. Другим способом является плотность магнитного потока или магнитная индукция. Плотность магнитного потока обозначается буквой B и измеряется в теслах (T). Тесла равен одному веберу на квадратный метр (Вб/м 2 ). Вебер — единица измерения магнитного потока в СИ. В гауссовых единицах плотность магнитного потока измеряется в гауссах (G или Gs). Один Тесла равен 10 000 Гс.

      Напряженность магнитного поля и плотность потока

      Напряженность магнитного поля и плотность магнитного потока напрямую связаны друг с другом. Это соотношение можно выразить формулой B = µH . Греческая буква Мю (μ) обозначает магнитную проницаемость, которая измеряется в генри на метр (Гн/м). Проницаемость — это мера того, как вещество реагирует на приложенное магнитное поле.

      Когда электрический ток проходит через проводник, вокруг этого проводника образуется магнитное поле. Сила поля зависит от множества факторов, в том числе от силы тока. Если вы увеличиваете ток, сила магнитного поля также увеличивается; если уменьшить ток, напряженность поля уменьшится. Форма проводника также влияет на напряженность магнитного поля. Например, проводник может быть сформирован в виде катушки, а не прямой линии. Соленоид является распространенным примером спирального проводника. Если вы увеличите количество витков в проводнике, не изменяя его длины, вы также увеличите напряженность магнитного поля.

      Магнитное поле можно представить в виде серии линий магнитного поля, которые представляют величину и направление магнитного поля. Рисунок этих линий зависит от формы проводника, по которому течет электрический ток. Например, силовые линии вокруг прямого проводника исходят из каждой точки вдоль проводника в виде ряда концентрических окружностей. Однако силовые линии вокруг катушки образуют узор, аналогичный магнитному, огибающий от северного к южному полюсу и через центр катушки, где силовые линии наиболее плотны.

      Сила магнитного поля соответствует плотности силовых линий. В прямом проводнике силовые линии максимально плотны ближе всего к проводнику, поэтому магнитное поле здесь максимально сильное. И наоборот, чем дальше они от проводника, тем более разбросаны линии, что указывает на более слабую напряженность поля. В витом проводнике линии имеют наибольшую плотность в центре катушки, где напряженность поля максимальна. Линии поля менее плотны вне катушки и продолжают истончаться по мере удаления от проводника, где напряженность поля минимальна.

      Рис. 1: Поток прямо пропорционален количеству силовых линий магнитного поля, проходящих через поверхность.

      Общее количество силовых линий магнитного поля, проникающих через определенную поверхность за определенный промежуток времени, называется магнитным потоком. Оно прямо пропорционально количеству силовых линий магнитного поля, проходящих через поверхность. Чем более концентрированы линии, тем больше плотность потока. Если вы увеличиваете напряженность магнитного поля, вы увеличиваете количество силовых линий, что указывает на больший уровень потока. На скорость потока также влияет размер площади поверхности и угол поверхности по отношению к силовым линиям. На рис. 1 показаны две поверхности. Тот, что справа, намного больше, чем тот, что слева, но напряженность поля одинакова в обоих случаях. В результате поверхность справа имеет более высокую скорость потока.

      Понимание напряженности магнитного поля имеет большое значение, поскольку магниты используются для хранения данных на жестких дисках компьютеров. (Множество других устройств, включая генераторы, динамики и телевизоры, также основаны на магнитах или электромагнитах.) Твердотельные накопители (SSD), которые считывают и записывают данные на подложку из взаимосвязанных микросхем флэш-памяти, стали более быстрыми, более надежная альтернатива жестким дискам, хотя жесткие диски по-прежнему играют важную роль и занимают прочное положение на рынке.

      Узнайте , сколько энергии потребляют центры обработки данных , см. , как создать руководство по электробезопасности для центров обработки данных и ознакомьтесь с , как мультифизическое моделирование может ускорить появление квантовых вычислений — и наоборот .

      Последнее обновление: февраль 2023 г.

      Продолжить чтение О напряженности магнитного поля
      • Жёсткие диски переживают тяжёлые времена
      • Разбор носителей данных: преимущества резервного копирования на ленту по сравнению с резервным копированием на диск
      • Использование резервных копий на магнитной ленте для уменьшения емкости хранилища
      • Руководство по архитектуре, типам и продуктам флэш-памяти
      • Вероятный выбор технологии MRAM в качестве твердотельного хранилища после флэш-памяти
      управление правами на информацию (IRM)

      Управление правами на доступ к данным (IRM) — это дисциплина, которая включает в себя управление, контроль и защиту содержимого от нежелательного доступа.

      Сеть

      • CSU/DSU (блок обслуживания канала/блок обслуживания данных)

        CSU/DSU (Channel Service Unit/Data Service Unit) — аппаратное устройство размером примерно с модем. Он преобразует цифровые данные …

      • потоковая передача данных

        Потоковая передача данных — это непрерывная передача данных из одного или нескольких источников с постоянной высокой скоростью для обработки в определенные …

      • граница службы безопасного доступа (SASE)

        Пограничный сервис безопасного доступа, также известный как SASE и произносится как «дерзкий», представляет собой модель облачной архитектуры, объединяющую сеть и …

      Безопасность

      • черный список приложений (занесение приложений в черный список)

        Занесение приложений в черный список — все чаще называемое занесением в черный список — представляет собой практику сетевого или компьютерного администрирования, используемую . ..

      • соковыжималка

        Juice jacking — это эксплойт безопасности, в котором зараженная зарядная станция USB используется для компрометации устройств, которые к ней подключаются.

      • безопасность гипервизора

        Безопасность гипервизора — это процесс обеспечения безопасности гипервизора (программного обеспечения, обеспечивающего виртуализацию) на протяжении…

      ИТ-директор

      • Общепринятые принципы ведения учета (Принципы)

        Общепринятые принципы ведения документации — это основа для управления записями таким образом, чтобы поддерживать …

      • система управления обучением (LMS)

        Система управления обучением представляет собой программное приложение или веб-технологию, используемую для планирования, реализации и оценки конкретной …

      • Информационный век

        Информационная эпоха — это идея о том, что доступ к информации и контроль над ней являются определяющими характеристиками нынешней эпохи . ..

      HRSoftware

      • аутсорсинг процесса подбора персонала (RPO)

        Аутсорсинг процесса найма (RPO) — это когда работодатель передает ответственность за поиск потенциальных кандидатов на работу …

      • специалист по кадрам (HR)

        Специалист по персоналу — это специалист по кадрам, который выполняет повседневные обязанности по управлению талантами, сотрудникам …

      • жизненный цикл сотрудника

        Жизненный цикл сотрудника — это модель человеческих ресурсов, которая определяет различные этапы, которые работник проходит в своей …

      Служба поддержки клиентов

      • Платформа Adobe Experience

        Adobe Experience Platform — это набор решений Adobe для управления качеством обслуживания клиентов (CXM).

      • виртуальный помощник (помощник ИИ)

        Виртуальный помощник, также называемый помощником ИИ или цифровым помощником, представляет собой прикладную программу, которая понимает естественные . ..

      • входящий маркетинг

        Входящий маркетинг — это стратегия, направленная на привлечение клиентов или лидов с помощью созданного компанией интернет-контента, тем самым …

      Как рассчитать и решить напряженность магнитного поля | Магнитные свойства

      Напряженность магнитного поля показана на изображении ниже.

      Для расчета напряженности магнитного поля необходимы три основных параметра, а именно: Количество катушек, расположенных близко друг к другу (N), сила тока (I) и Длина катушки (L).

      Формула для расчета напряженности магнитного поля:

      H =  NI / L

      Где:

      H = напряженность магнитного поля
      N = количество катушек, расположенных близко друг к другу 902 13 I = Величина тока
      L = Длина катушки

      В качестве примера;
      Найдите напряженность магнитного поля, если количество катушек, расположенных близко друг к другу, равно 4, сила тока равна 8, а длина катушки равна 10.

      Это означает, что;

      N = количество витков, расположенных близко друг к другу = 4
      I = величина тока = 8
      L = длина витка = 10 ) / 10
      H = 32 / 10
      H = 3,2

      Следовательно, напряженность магнитного поля равна 3,2 А/м.

      Расчет количества катушек, расположенных близко друг к другу, когда известны напряженность магнитного поля, величина тока и длина катушки.

      N = HL / I

      Где:

      N = количество катушек, расположенных близко друг к другу
      H = напряженность магнитного поля
      I = величина тока
      L = длина катушки

      Давайте решим пример ;
      Найдите количество катушек, расположенных близко друг к другу, когда напряженность магнитного поля равна 10, сила тока равна 5, а длина катушки равна 2.

      Отсюда следует, что;

      H = напряженность магнитного поля = 10
      I = величина тока = 5
      L = длина катушки = 2

      N = HL / I
      N = (10)(2) / 5
      N = 20 / 5
      N = 4

      Таким образом, число катушек, расположенных близко друг к другу, равно  4.

      Расчет величины тока, когда известны напряженность магнитного поля, число катушек, расположенных близко друг к другу, и длина катушки.

      И = ГЛ / N

      Где:

      I = величина тока
      H = напряженность магнитного поля
      N = количество катушек, расположенных близко друг к другу
      L = длина катушки

      Давайте решим пример;
      Найдите величину тока, когда напряженность магнитного поля равна 18, количество катушек, расположенных близко друг к другу, равно 12, а длина катушки равна 14.

      Отсюда следует, что;

      H = Напряженность магнитного поля = 18
      N = Количество катушек, расположенных близко друг к другу = 12
      L = длина катушки = 14

      I = HL / N
      I = (18)(14) / 12
      I = 252 90 028 / 12
      I = 21

      Таким образом, величина тока равна 21.

      Расчет длины катушки, когда известны напряженность магнитного поля, количество катушек, расположенных близко друг к другу, и величина тока.

      Д = NI / В

      Где:

      L = длина катушки
      H = напряженность магнитного поля
      N = количество катушек, расположенных близко друг к другу
      I = величина тока

      Давайте решим пример;
      Найдите длину катушки, если напряженность магнитного поля равна 5, количество катушек, расположенных близко друг к другу, равно 12, а сила тока равна 10.

      Отсюда следует, что;

      H = напряженность магнитного поля = 5
      N = количество катушек, расположенных близко друг к другу = 12
      I = величина тока = 10

      L = NI / H
      L = (12)(10) / 5
      L = 120 / 5 9020 8
      L = 24

      Следовательно, длина мотка 24.

      Калькулятор Nickzom – Энциклопедия калькулятора способна рассчитать напряженность магнитного поля.

      Чтобы получить ответ и вычислить напряженность магнитного поля, используйте калькулятор Nickzom – The Calculator Encyclopedia. Во-первых, вам нужно получить приложение.

      Вы можете получить это приложение любым из следующих способов:

      Интернет  – https://www.nickzom.org/calculator-plus

      зарегистрируйтесь и подпишитесь , чтобы иметь полный доступ ко всем функциям.
      Вы также можете попробовать демо-версию через https://www.nickzom.org/calculator

      Android (платная)  – https://play.google.com/store/apps/details?id=org .nickzom.nickzomcalculator
      Android (бесплатно)  – https://play.google.com/store/apps/details?id=com.nickzom.nickzomcalculator

      Apple (платно)  – https://itunes.apple.com/ us/app/nickzom-calculator/id1331162702?mt=8
      После того, как вы получили приложение энциклопедии калькулятора, перейдите к карте калькулятора , , затем нажмите Materials and Metallurgical в разделе Engineering .

      Вычислить десятичный логарифм калькулятор онлайн: Калькулятор десятичный логарифм

      Как вычислить десятичный логарифм числа. Десятичный логарифм: как вычислить

      Нередко берут цифру десять. Логарифмы чисел по основанию десять именуют десятичными . При проведении вычислений с десятичным логарифмом общепринято оперировать знаком lg , а не log ; при этом число десять, определяющие основание, не указывают. Так, заменяем log 10 105 на упрощенное lg105 ; а log 10 2 на lg2 .

      Для десятичных логарифмов типичны те же особенности, которые есть у логарифмов при основании, большем единицы. А именно, десятичные логарифмы характеризуются исключительно для положительных чисел. Десятичные логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а чисел, меньших единицы, отрицательны; из двух не отрицательных чисел большему эквивалентен и больший десятичный логарифм и т. д. Дополнительно, десятичные логарифмы имеют отличительные черты и своеобразные признаки, которыми и поясняется, зачем в качестве основания логарифмов комфортно предпочитать именно цифру десять.

      Перед тем как разобрать эти свойства, ознакомимся с нижеследующими формулировками.

      Целая часть десятичного логарифма числа а именуется характеристикой , а дробная — мантиссой этого логарифма.

      Характеристика десятичного логарифма числа а указывается как , а мантисса как {lg а }.

      Возьмем, скажем, lg 2 ≈ 0,3010.Соответственно = 0, {lg 2} ≈ 0,3010.

      Подобно и для lg 543,1 ≈2,7349. Соответственно, = 2, {lg 543,1}≈ 0,7349.

      Достаточно повсеместно употребляется вычисление десятичных логарифмов положительных чисел по таблицам.

      Характерные признаки десятичных логарифмов.

      Первый признак десятичного логарифма. целого не отрицательного числа, представленного единицей со следующими нулями, есть целое положительное число, равное численности нулей в записи выбранного числа.

      Возьмем, lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.

      Обобщенно, если

      То а = 10 n , из чего получаем

      lg a = lg 10 n = n lg 10 = п .

      Второй признак. Десятичный логарифм положительной десятичной дроби , показанный единицей с предыдущими нулями, равен — п , где п — численность нулей в представлении этого числа, учитывая и нуль целых.

      Рассмотрим, lg 0,001 = — 3, lg 0,000001 =-6.

      Обобщенно, если

      ,

      То a = 10 -n и получается

      lga= lg 10 n =-n lg 10 =-п

      Третий признак. Характеристика десятичного логарифма не отрицательного числа, большего единицы, равна численности цифр в целой части этого числа исключая одну.

      Разберем данный признак 1) Характеристика логарифма lg 75,631 приравнена к 1.

      И правда, 10

      lg 10

      1 .

      Отсюда следует,

      lg 75,631 = 1 +б,

      Смещение запятой в десятичной дроби вправо или влево равнозначно операции перемножения этой дроби на степень числа десять с целым показателем п (положительным или отрицательным). И следовательно, при смещении запятой в положительной десятичной дроби влево или вправо мантисса десятичного логарифма этой дроби не меняется.

      Так, {lg 0,0053} = {lg 0,53} = {lg 0,0000053}.

      Степень отдельно взятого числа называется математическим термином, придуманным несколько столетий назад. В геометрии и алгебре встречается два варианта — десятичные и натуральные логарифмы. Они рассчитываются разными формулами, при этом уравнения, отличающиеся написанием, всегда равны друг другу. Это тождество характеризует свойства, которые относятся к полезному потенциалу функции.

      Особенности и важные признаки

      На данный момент различают десять известных математических качеств. Самыми распространенными и востребованными из них являются:

      • Подкоренной log, разделенный на величину корня, всегда такой же, как и десятичный логарифм √.
      • Произведение log всегда равно сумме производителя.
      • Lg = величине степени, перемноженной на число, которое в нее возводится.
      • Если от log делимого отнять делитель, получится lg частного.

      Кроме того, есть уравнение, основанное на главном тождестве (считается ключевым), переход к обновленному основанию и несколько второстепенных формул.

      Вычисление десятичного логарифма — довольно специфическая задача, поэтому к интегрированию свойств в решение необходимо подходить осторожно и регулярно проверять свои действия и последовательность. Нельзя забывать и о таблицах, с которыми нужно постоянно сверяться, и руководствоваться только найденными там данными.

      Разновидности математического термина

      Главные отличия математического числа «спрятаны» в основании (a). Если оно имеет показатель 10, то это десятичный log. В обратном случае «a» преобразуется в «у» и обладает трансцендентными и иррациональными признаками. Также стоит отметить, что натуральная величина рассчитывается специальным уравнением, где доказательством становится теория, изучаемая за пределами школьной программы старших классов.

      Логарифмы десятичного типа получили широкое применение при вычислении сложных формул. Составлены целые таблицы, облегчающие расчеты и наглядно показывающие процесс решения задачи. При этом перед непосредственным переходом к делу нужно возвести log в К тому же в каждом магазине школьных принадлежностей можно найти специальную линейку с нанесенной шкалой, помогающей решить уравнение любой сложности.

      Десятичный логарифм числа называется Бригговым, или цифрой Эйлера, в честь исследователя, который первым опубликовал величину и обнаружил противопоставление двух определений.

      Два вида формулы

      Все типы и разновидности задач на вычисление ответа, имеющие в условии термин log, обладают отдельным названием и строгим математическим устройством. Показательное уравнение является практически точной копией логарифмических расчетов, если смотреть со стороны правильности решения. Просто первый вариант включает в себя специализированное число, помогающее быстрее разобраться в условии, а второй заменяет log на обыкновенную степень. При этом вычисления с применением последней формулы должны включать в себя переменное значение.

      Разница и терминология

      Оба главных показателя обладают собственными особенностями, отличающими числа друг от друга:

      • Десятичный логарифм. Важная деталь числа — обязательное наличие основания. Стандартный вариант величины равен 10. Маркируется последовательностью — log x или lg x.
      • Натуральный. Если его основанием является знак «e», представляющий собой константу, идентичную строго рассчитанному уравнению, где n стремительно движется к бесконечности, то приблизительный размер числа в цифровом эквиваленте составляет 2.72. Официальная маркировка, принятая как в школьных, так и в более сложных профессиональных формулах, — ln x.
      • Разные. Кроме основных логарифмов встречаются шестнадцатиричные и двоичные виды (основание 16 и 2 соответственно). Есть еще сложнейший вариант с базовым показателем 64, подпадающий под систематизированное управление адаптивного типа, с геометрической точностью производящее расчет итогового результата.

      Терминология включает в себя следующие величины, входящие в алгебраическую задачу:

      • значение;
      • аргумент;
      • основание.

      Вычисление log числа

      Есть три способа быстро и в устной форме сделать все необходимые расчеты по нахождению интересующего результата с обязательным правильным итогом решения. Изначально приближаем десятичный логарифм к своему порядку (научная запись числа в степени). Каждую положительную величину можно задать уравнением, где она будет равен мантиссе (цифра от 1 до 9), перемноженной на десятку в n-й степени. Такой вариант подсчета создан на основе двух математических фактов:

      • произведение и сумма log всегда имеют одинаковый показатель;
      • логарифм, взятый из числа от одного до десяти, не может превышать величину в 1 пункт.
      1. Если ошибка в вычислении все-таки происходит, то она никогда не бывает меньше одного в сторону вычитания.
      2. Точность повышается, если учесть, что lg с основанием три имеет итоговый результат — пять десятых от единицы. Поэтому любое математическое значение больше 3 автоматически добавляет к ответу один пункт.
      3. Практически идеальная точность достигается, если под рукой есть специализированная таблица, которую можно легко применять в своих оценочных действиях. С ее помощью можно выяснить, чему равен десятичный логарифм до десятых процентов от оригинального числа.

      История вещественного log

      Шестнадцатый век остро испытывал потребности в более сложных исчислениях, чем было известно науке того времени. Особенно это касалось деления и умножения многозначных цифр с большой последовательностью, в том числе дробей.

      В конце второй половины эпохи сразу несколько умов пришли к выводу о сложении чисел с помощью таблицы, которая сопоставляла две и геометрическую. При этом все базовые расчеты должны были упираться в последнюю величину. Таким же образом ученые интегрировали и вычитание.

      Первое упоминание об lg состоялось в 1614 году. Это сделал любитель-математик по фамилии Непер. Стоит отметить, что, несмотря на огромную популяризацию полученных результатов, в формуле была сделана ошибка из-за незнаний некоторых определений, появившихся позже. Она начиналась с шестого знака показателя. Наиболее близки к пониманию логарифма были братья Бернулли, а дебютное узаконивание произошло в восемнадцатом столетии Эйлером. Он же и распространил функцию в область образования.

      История комплексного log

      Дебютные попытки интегрировать lg в широкие массы делали на заре 18-го века Бернулли и Лейбниц. Но целостных теоретических выкладок они так и не сумели составить. По этому поводу велась целая дискуссия, но точного определения числу не присваивали. Позже диалог возобновился, но уже между Эйлером и Даламбером.

      Последний был в принципе согласен со множеством фактов, предлагаемых основателем величины, но считал, что положительный и отрицательный показатели должны быть равны. В середине столетия формула была продемонстрирована в качестве окончательного варианта. Кроме того, Эйлером была опубликована производная десятичного логарифма и составлены первые графики.

      Таблицы

      Свойства числа указывают на то, что многозначные цифры можно не перемножать, а найти их log и сложить посредством специализированных таблиц.

      Особенно ценным этот показатель стал для астрономов, которые вынуждены работать с большим набором последовательностей. В советское время десятичный логарифм искали в сборнике Брадиса, выпущенного в 1921 году. Позже, в 1971 году, появилось издание Веги.

      Логарифмирование — это операция, обратная возведению в степень. Если вы задаетесь вопросом, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 10, то вам на помощь придет логарифм.

      Обратная операция для возведения в степень

      Возведение в степень — это повторяющееся умножение. Для возведения двойки в третью степень нам потребуется вычислить выражение 2 × 2 × 2. Обратная операция для умножения — это деление. Если верно выражение, что a × b = c, то обратное выражение b = a / c так же верно. Но как обратить возведение в степень? Задача обращения умножения имеет элегантное решение благодаря простому свойству, что a × b = b × a. Однако a b не равно b a , за исключением единственного случая, когда 2 2 = 4 2 . В выражении a b = с, мы можем выразить a как корень b-ой степени из c, но как выразить b? Вот тут на сцене и появляются логарифмы.

      Понятие логарифма

      Давайте попробуем решить простое уравнение вида 2 x = 16. Это показательное уравнение, так как нам требуется отыскать показатель степени. Для более простого понимания поставим задачу так: сколько раз нужно умножить двойку на саму себя, чтобы в результате получить 16? Очевидно, что 4, поэтому корень данного уравнения x = 4.

      Теперь попробуем решить 2 x = 20. Сколько раз нужно умножить двойку на саму себя, что бы получить 20? Это сложно, ведь 2 4 = 16, а 2 5 = 32. Рассуждая логически, корень этого уравнения располагается между 4 и 5, причем ближе к 4, возможно 4,3? Математики не терпят приблизительных вычислений и хотят знать точный ответ. Для этого они и используют логарифмы, а корнем этого уравнения будет x = log2 20.

      Выражение log2 20 читается как логарифм 20 по основанию 2. Это и есть ответ, которого строгим математикам достаточно. Если вы хотите выразить это число точно, то вычислите его при помощи инженерного калькулятора. В этом случае log2 20 = 4,32192809489. Это иррациональное бесконечное число, а log2 20 — его компактная запись.

      Таким элегантным способом вы можете решить любое простое показательное уравнение. Например, для уравнений:

      • 4 x = 125, x = log4 125;
      • 12 x = 432, x = log12 432;
      • 5 x = 25, x = log5 25.

      Последний ответ x = log5 25 математикам не понравится. Все потому, что log5 25 легко вычисляется и является целым числом, поэтому вы обязаны его определить. Сколько раз требуется умножить 5 на само себя, чтобы получить 25? Элементарно, два раза. 5 × 5 = 5 2 = 25. Поэтому для уравнения вида 5 x = 25, x = 2.

      Десятичный логарифм

      Десятичный логарифм — это функция по основанию 10. Это популярный математический инструмент, поэтому он записывается иначе. К примеру, в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить 30? Ответом был бы log10 30, однако математики сокращают запись десятичных логарифмов и записывают его как lg30. Точно также log10 50 и log10 360 записываются как lg50 и lg360 соответственно.

      Натуральный логарифм

      Натуральный логарифм — это функция по основанию e. В нем нет ничего натурального, и многих неофитов такая функция попросту пугает. Число e = 2,718281828 представляет собой константу, которая естественным образом возникает при описании процессов непрерывного роста. Как важно число Пи для геометрии, число e играет важную роль в моделировании временных процессов.

      В какую степень нужно возвести число e, чтобы получить 10? Ответом был бы loge 10, но математики обозначают натуральный логарифм как ln, поэтому ответ будет записан как ln10. Тоже самое с выражениями loge 35 и loge 40, верная форма записи которых – ln34 и ln40.

      Антилогарифм

      Антилогарифм — это число, которому соответствует значение выбранного логарифма. Простыми словами, в выражении loga b антилогарифмом считается число b a . Для десятичного логарифма lga, антилогарифм равен 10 a , а для натурального lna антилогарифм равняется e a . По сути, это тоже возведение в степень и обратная операция для логарифмирования.

      Физический смысл логарифма

      Нахождение степеней — чисто математическая задача, но для чего нужны логарифмы в реальной жизни? В начале развития идеи логарифмирования данный математический инструмент использовался для сокращения объемных вычислений. Великий физик и астроном Пьер-Симон Лаплас говорил, что «изобретение логарифмов сократило труд астронома и удвоило его жизнь». С развитием математического инструмента были созданы целые логарифмические таблицы, при помощи которых ученые могли оперировать огромными числами, а свойства функций позволяют преобразовать выражения, оперирующие иррациональным числами в целочисленные выражения. Также логарифмическая запись позволяет представить слишком маленькие и слишком большие числа в компактном виде.

      Логарифмы нашли применение и в сфере изображения графических процессов. Если требуется нарисовать график функции, которая принимает значения 1, 10, 1 000 и 100 000, то маленькие значения будут невидны и визуально они сольются в точку около нуля. Для решения подобной проблемы используются десятичный логарифм, которой позволяет построить график функции, адекватно отображающий все ее значения.

      Физический же смысл логарифмирования — это описание временных процессов и изменений. Так, логарифм по основанию 2 позволяет определить, сколько требуется удвоений начального значения для достижения определенного результата. Десятичная функция используется для поиска количества необходимых удесятирений, а натуральная представляет собой время, которое необходимо для достижения заданного уровня.

      Наша программа представляет собой сборник из четырех онлайн-калькуляторов, которые позволяют вычислить логарифм по любому основанию, десятичную и натуральную логарифмическую функцию, а также десятичный антилогарифм. Для проведения вычислений вам потребуется ввести основание и число, или только число для десятичного и натурального логарифма.

      Примеры из реальной жизни

      Школьная задача

      Как было сказано выше, иррациональные значения по типу log2 345 не требуют дополнительных преобразований, и такой ответ полностью удовлетворит учителя математики. Однако если логарифм вычисляется, вы обязаны представить его в виде целого числа. Пусть вы решили 5 примеров по алгебре, и вам требуется проверить результаты на возможность целочисленного представления. Давайте проверим их при помощи калькулятора логарифма по любому основанию:

      • log7 65 — иррациональное число;
      • log3 243 — целое число 5;
      • log5 95 — иррациональное;
      • log8 512 — целое число 3;
      • log2 2046 — иррациональное.

      Таким образом, значения log3 243 и log8 512 вам потребуется переписать как 5 и 3 соответственно.

      Потенцирование

      Потенцирование — это нахождение антилогарифма числа. Наш калькулятор позволяет найти антилогарифмы по десятичному основанию, что по смыслу означает возведение десятки в степень n. Давайте вычислим антилогарифмы для следующих значений n:

      • для n = 1 antlog = 10;
      • для n = 1,5 antlog = 31,623;
      • для n = 2,71 antlog = 512,861.

      Непрерывный рост

      Натуральный логарифм позволяет описывать процессы непрерывного роста. Представим, что ВВП страны Кракожия увеличилось с 5,5 миллиардов долларов до 7,8 за 10 лет. Давайте определим ежегодный прирост ВВП в процентах при помощи калькулятора натурального логарифма. Для этого нам надо подсчитать натуральный логарифм ln(7,8/5,5), что равнозначно ln(1,418). Введем это значение в ячейку калькулятора и получим результат 0,882 или 88,2% за все время. Так как ВВП рос в течение 10 лет, то ежегодный его прирост составит 88,2 / 10 = 8,82%.

      Поиск количества удесятирений

      Допустим, за 30 лет количество персональных компьютеров увеличилось с 250 000 до 1 миллиарда. Сколько раз количество ПК увеличивалось в 10 раз за все это время? Для подсчета такого интересного параметра нам потребуется вычислить десятичный логарифм lg(1 000 000 000 / 250 000) или lg(4 000). Выберем калькулятор десятичного логарифма и посчитаем его значение lg(4 000) = 3,60. Получается, что с течением времени количество персональных компьютеров возрастало в 10 раз каждые 8 лет и 4 месяца.

      Заключение

      Несмотря на сложность логарифмов и нелюбовь детей к ним в школьные годы, этот математический инструмент находит широкое применение в науке и статистике. Используйте наш сборник онлайн-калькуляторов для решения школьных заданий, а также задач из разных научных сфер.

      Добро пожаловать в калькулятор логарифмов онлайн.

      Для чего нужен этот калькулятор. Ну, в первую очередь для того, что бы свериться со своими письменными или умственными расчетами. С логарифмами (в российских школах) столкнуться можно уже в 10-том классе. И эта тема считается достаточно сложной. Решение логарифмов, особенно с большими или дробными числами, знаете ли, дело не легкое. Уж лучше перестраховаться и воспользоваться калькулятором. При заполнении будьте внимательны, не перепутайте основание с числом. Калькулятор логарифмов чем то, схож с калькулятором факториалов, который автоматически выдает несколько решений.
      В данном калькуляторе, вам предстоит заполнить всего два поля. Поле для числа и поле для основания. Ну что ж, давайте попробуем обуздать калькулятор на практике. К примеру, вам нужно найти log 2 8 (логарифм 8-ми по основанию 2 или логарифм по основанию 2 числа 8, не пугайтесь разного произношения). Итак, вводим 2 в поле «введите основание», а 8 вводим в поле «введите число». После чего нажимаем «найти логарифм» или enter. Далее калькулятор логарифмов логарифмирует заданное выражение и выводит на ваши экраны такой результат.

      Калькулятор логарифмов (вещественных) – этот калькулятор находит логарифм по заданному основанию онлайн.
      Калькулятор десятичных логарифмов — это калькулятор, который ищет десятичный логарифм с основанием 10 онлайн.
      Калькулятор натуральных логарифмов — этот калькулятор, который ищет логарифм по основанию e онлайн.
      Калькулятор двоичных логарифмов – это калькулятор, который находит логарифм по основанию 2 онлайн.

      Немного теории.

      Понятие вещественного логарифма: Существует множество разных определений логарифма. Сперва, неплохо было бы узнать, что логарифм — это некая алгебраическая запись, обозначенная как log a b, где а – основание, b – число. А читается эта запись так: Логарифм по основанию a числа b. Иногда используется обозначение log b .
      Основание, то есть «а» всегда находится внизу. Так как оно всегда возводится в степень.
      А теперь собственно, определение самого логарифма:
      Логарифмом положительного числа b по основанию a (где a>0, a≠1)называется степень, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b. Кстати, не только основание должно быть в положительной форме. Число(аргумент), так же должно быть положительным. В противном случае калькулятор логарифмов включит неприятную тревогу. Логарифмирование – это операция нахождения логарифма, по заданному основанию. Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием. Сравните:

      Возведение в степень

      Логарифмирование

      log 10 1000 = 3;

      log 03 0,0081=4;

      А операция обратная логарифмированию это – Потенцирование.
      Помимо вещественного логарифма, основанием которого может быть какое угодно число(помимо отрицательных чисел, нуля и единицы), существует логарифмы с постоянным основанием. Например, десятичный логарифм.
      Десятичный логарифм числа – это логарифм с основанием 10, который записывается как lg6, или lg14. Выглядит как орфографическая ошибка или даже как опечатка, в которой пропущена латинская буква «о».
      Натуральный логарифм – это логарифм с основанием равный числу е, например ln7, ln9, е≈2,7. Существует еще двоичный логарифм, который не так важен в математике, как в теории информации и информатике. Основанием двоичного логарифма является 2. Например: log 2 10.
      Десятичные и натуральные логарифмы обладают теми же свойствами, что и логарифмы чисел с любым положительным основанием.

      Новые функции онлайн калькулятора

      Добрый день.

      Продолжаем улучшать наш конструктор веб-форм и калькуляторов, и добавлять все новые и новые функции. Сегодня хотим рассказать о новых математических функциях, которые теперь можно использовать в своих формулах для расчетов, а их накопилось немало.

      На данный момент в своих расчетах можно использовать вот такие функции:

      round() Возвращает число, округлённое к ближайшему целому
      ceil() Округляет число до ближайшего большего целого
      floor() Округляет число до ближайшего меньшего целого
      roundUp() Округляет число до ближайшего числа, кратного заданному
      min() Возвращает наименьшее из нескольких чисел
      max() Возвращает наибольшее из нескольких чисел
      medium() Возвращает среднее из нескольких чисел
      today() Возвращает количество секунд от текущей даты
      datetime() Возвращает количество секунд от текущей даты и времени
      strlen() Возвращает количество символов в строке
      pow() Возведение числа в степень
      ln() Натуральный логарифм
      lg() Десятичный логарифм
      log() Логарифм числа по произвольному основанию
      sin() Синус угла в радианах
      cos() Косинус угла в радианах
      tan() Тангенс угла в радианах
      ctg() Котангенс угла в радианах
      mod() Остаток от деления двух чисел
      countYears() Возвращает количество лет от разности двух дат
      countMonths() Возвращает количество месяцев от разности двух дат
      countDays() Возвращает количество дней от разности двух дат
      year() Извлекает год из даты
      month() Извлекает месяц из даты
      day() Извлекает день из даты
      countRemainingDays() Возвращает количество оставшихся дней от разности двух дат
      countRemainingMonths() Возвращает количество оставшихся месяцев от разности двух дат
      date() Возвращает количество секунд от даты из переданных параметров (год, месяц, день)
      dateValue() Возвращает суммарное число всех цифр даты

      С некоторыми функциями вы уже знакомы из наших прошлых статей. Сегодня же мы хотели подробно остановиться вот на этих функциях: roundUp(), mod(), countYears(), countMonths(), countDays(), year(), month(), day(), countRemainingDays(), countRemainingMonths(), date(), dateValue().

      Читайте также: Подробная инструкция по созданию калькулятора для сайта

      Большинство из этих функций добавляют новые возможности при работе с датой. Но обо всем по порядку.

      dateValue(date)

      Данная функция возвращает суммарное число всех цифр даты. Обычно это используется в нумерологии, чтобы посчитать число даты рождения. Пример:

      dateValue('1985-08-20') = 1 + 9 + 8 + 5 + 0 + 8 + 2 + 0 = 33 = 3 + 3 = 6
      

      roundUp(a, b)

      Данная функция округляет число a до ближайшего большего числа, кратного числу b. Пример:

      roundUp(4, 3) = 6;
      roundUp(5, 3) = 6;
      roundUp(7, 3) = 9.
      

      mod(a, b)

      Данная функция возвращает остаток от деления числа a на число b. Пример:

      mod(10, 3) = 1;
      mod(10, 2) = 0;
      mod(35, 4) = 3.
      

      Если число b = 1, а число a дробное, то функция mod() возвращает дробную часть числа a:

      mod(3.45, 1) = 0.45.
      

      countYears(date1, date2)

      Данная функция возвращает количество полных лет от разности двух дат: date1 и date2. Пример:

      countYears('2022-01-25', '2020-01-25') = 2;
      countYears('2022-01-25', '2020-01-26') = 1; //(не хватает одного дня для полных двух лет)
      countYears('2022-01-25', '2019-06-26') = 2;
      

      countMonths(date1, date2)

      Данная функция возвращает количество полных месяцев от разности двух дат: date1 и date2. Пример:

      countMonths('2022-01-25', '2021-11-25') = 2;
      countMonths('2022-01-25', '2019-06-26') = 30.
      

      countDays(date1, date2)

      Данная функция возвращает количество дней от разности двух дат: date1 и date2. Пример:

      countDays('2022-01-25', '2021-12-25') = 31;
      countDays('2022-01-25', '2019-06-26') = 944.
      

      year(date)

      Данная функция извлекает год из даты. Пример:

      year('2022-01-25') = 2022;
      year('1985-11-03') = 1985.
      

      month(date)

      Данная функция извлекает месяц из даты. Пример:

      month('2022-01-25') = 1;
      month('1985-11-03') = 11;
      

      day(date)

      Данная функция извлекает день из даты. Пример:

      day('2022-01-25') = 25;
      day('1985-11-03') = 3;
      

      countRemainingDays(date1, date2)

      Данная функция возвращает количество оставшихся дней от разности двух дат, за вычетом полных лет и месяцев. Эту функцию очень удобно использовать при расчёте возраста пользователя по дате рождения. Пример:

      countRemainingDays('2022-01-25','1985-08-20') = 5; 
      countRemainingDays('2022-01-25','1985-08-25') = 0;
      countRemainingDays('2022-01-25','1985-08-26') = 30;
      

      countRemainingMonths(date1, date2)

      Данная функция возвращает количество оставшихся месяцев от разности двух дат, за вычетом полных лет и дней. Эту функцию очень удобно использовать при расчёте возраста пользователя по дате рождения. Пример:

      countRemainingMonths('2022-01-25','1985-08-20') = 5; 
      countRemainingMonths('2022-01-25','1985-01-20') = 0;
      countRemainingMonths('2022-01-25','1985-04-24') = 9;
      countRemainingMonths('2022-01-25','1985-04-26') = 8;
      

      date(year, month, day)

      Данная функция формирует дату из переданных параметров (год, месяц, день), которую можно использовать в других функциях и расчетах (любая дата конвертируется в метку unix timestamp — количество секунд, прошедших с полуночи 1 января 1970 года).

      Давайте рассмотрим несколько реальных примеров из жизни.

      Сколько дней осталось до Нового года?

      В качестве примера, рассчитаем, сколько дней осталось до Нового года. В этом нам помогут функции: countDays(date1, date2), today() и year().

      Как вы помните, функция countDays(date1, date2) возвращает количество дней от разности двух дат. В нашем случае:

      • date1 — дата Нового года
      • date2 — текущая дата

      В самом простом случае наша формула будет выглядеть вот так:

      countDays(date(2022,12,31), today())
      

      Но это не очень удобно, так как год 2022 у нас прописан вручную и его нужно будет менять на 2023 через 1 год, чтобы все корректно считалось. Но здесь нам на помощь приходит функция year() которая извлекает год из даты. Используя эту функцию мы можем переписать нашу формулу следующим образом:

      countDays(date(year(today()),12,31), today())
      

      Т.е. используя запись year(today()) — мы динамически получаем год из текущей даты. Точно также можно комбинировать и все остальные функции.

      Сколько дней осталось до дня рождения?

      Давайте рассмотрим еще один пример: пользователь в форме вводит свою дату рождения и нам нужно посчитать, сколько дней осталось до его ДР. В этом нам помогут все те же функции, которые мы рассматривали в прошлом примере, а именно countDays(date1, date2) возвращает количество дней от разности двух дат. В нашем случае:

      • date1 — здесь нам нужно сформировать дату, где день и месяц будет указан тот, который пользователь ввел в форму, а год необходимо использовать текущий. Например, если дата рождения 1985-08-20, то нам необходимо получить такую дату: 2022-08-20 и именно до этой даты нужно считать количество оставшихся дней.
      • date2 — текущая дата

      Итак, наша формула может выглядеть вот так:

      countDays(date(year(today()), month(поле1), day(поле1)), today())
      

      Где поле №1 — это поле из формы, куда пользователь вводит свою дату рождения.

      На сегодня это все. А каких функций не хватает вам, для ваших калькуляторов?

      Калькулятор логарифмов — логарифм и антилогарифм (натуральный, основание e, 2, 10)

      Да – это умный калькулятор логарифмов, который помогает вычислять логарифмы и обратное логарифмическое по любой системе счисления. Итак, начнем с термина «логарифм».

      Что такое логарифм?

      С точки зрения математики, логарифмическая (логарифмическая) операция называется операцией, обратной возведению в степень, что означает, что (логарифмическое число) — это показатель степени, до которого было возведено другое фиксированное число, известное как «основание», для получения числа . Однако вы можете выполнять любые вычисления логарифмов с помощью калькулятора логарифмов. В частности, логарифм числа x по основанию b — это показатель степени, в которую нужно возвести b, чтобы получить x. Другими словами, логарифм y по основанию b является решением y данного уравнения:

      = x

      И для любых x и b есть:

      x =

      Логарифмические правила:

      Логарифмическое произведение:

      (x*y =) (x*y)

      Правило логарифмического частного:

      (x/y) =  (x) – (y)

      Правило логарифмической степени:

      ) = y*(x)

      основание логарифма: 6m00052 900

      (c) = 1/(b)

      Правило изменения основания логарифма:

      (x) = (x)/ (b)

      Несколько именованных логарифмов:
      • Логарифм десятичный. такие науки, как физика и химия. Люди, которые относятся к области науки или техники, часто используют калькулятор базы журналов для выполнения расчетов базы журналов
      • .
      • Натуральный логарифм — этот логарифм имеет основание числа e (число Эйлера, 2,71828), он часто используется в физике и математике из-за его более простой производной, студенты часто используют калькулятор натурального логарифма для вычисления натурального логарифма
      • Двоичный логарифм — этот логарифм имеет основание 2, вы можете вычислить log2 с помощью калькулятора log base 2, этот log2 широко используется в информатике, например, для представления единиц данных

      При использовании приведенного выше логарифмического калькулятора вам просто нужно ввести «основание» 10 для десятичного логарифма, 2 для двоичного логарифма и оставить поле основания пустым для вычисления натурального логарифма.

      Калькулятор логарифмов:

      Логарифмическая форма или калькулятор логарифмов — важный инструмент, который помогает вычислить любой тип логарифма действительного числа по любому основанию. Проще говоря, этот качественный инструмент работает как решатель логов, чтобы понять, как решать логарифмы любого числа. Кроме того, вы можете вычислить обратный логарифм, используя этот калькулятор обратного логарифма для действительного числа по отношению к заданным или натуральным базовым значениям.

      Как использовать:

      Журналы дел Расчеты:
      • Прежде всего, вы должны выбрать опцию «Журнал» в раскрывающемся меню
      • Затем вы должны ввести номер в специальное поле
      • Сразу после этого вы должны ввести числовую систему в данное поле
      • Наконец, нажмите кнопку расчета этого калькулятора логарифмов, чтобы получить результаты
      Вычисления антилогарифмических задач:
      • Здесь сначала вы должны выбрать опцию «Антилог» из выпадающего меню
      • Затем вы должны ввести число в данное поле
      • Далее вы должны ввести числовую базу в специальное поле
      • После этого нажмите кнопку вычисления антилогарифмического калькулятора, чтобы получить значение обратного логарифма

      Примечание. Этот калькулятор расширяющихся логарифмов эффективно находит логарифм или антилогарифм любого числа по заданному основанию. 92 = 64.

      Люди также спрашивают:

      Что такое вход в калькулятор?

      Функция «Журнал» на научном или графическом/научном калькуляторе — это клавиша, которая позволяет пользователю выполнять вычисление логарифмов. Логарифмы — это способы, помогающие определить, какие показатели степени нужно умножать на определенное число. Как правило, функция журнала на большинстве калькуляторов работает одинаково!

      Как считать логарифмы?

      Вы должны выразить члены в десятичных логарифмах, отношение представлено как log mn = log m + log n.

      Например:

      Выражение 100 × 1000:

      Однако его можно вычислить, найдя логарифмы 100 (2) и 1000 (3), тогда вам следует сложить логарифмы вместе (5), сразу после этого нужно посмотреть его антилогарифм (100 000) в таблице.

      Как найти значение журнала 2?

      Предположим, что необходимо вычислить log2 числа «12», то есть log2 (12). Чтобы вычислить логарифм по основанию 2 числа (y), вы должны разделить логарифм y на логарифм 2.

      Чему равно log10?

      В математическом выражении log10(x) эквивалентно log(10,x). Логарифм по основанию (10) выражается для всех комплексных аргументов x ≠ 0. log10(x) , здесь необходимо переписать логарифмы по основанию 10 в математических терминах натурального логарифма i:e log10(x) = ln (х)/ln(10) .

      Что такое Антилог?

      В соответствии с термином логарифма антилогарифм называется обратной функцией логарифма, поэтому log(b) x = y. Вы можете записать это в экспоненциальной записи, так что антилогарифм (b) y = x подразумевает = x.

      Например:

      Если лог 39.2 = 1.5933, то антилог 1.5933 = 39.2

      Как преобразовать лог в антилог?
      • Во-первых, вы должны отметить основание вашего логарифма
      • Далее вы должны возвести обе части уравнения к этому основанию, это удалит логарифм. Например: y = log 15(8) становится 15y = 8
      • И решить оставшееся уравнение

      Примеры преобразования между логами и антилогами: 9-3

      Как вычислить логарифм с произвольным основанием?

      Если вы хотите определить лог по произвольной базе, то вам нужно придерживаться следующих правил:

      logₐ(x) = ln(x) / ln(a)

      logₐ(x) = lg( x) / lg(a)

      Кроме того, для его расчета можно использовать приведенный выше калькулятор журнала с основанием 10 или калькулятор натурального журнала!

      Заключительные слова:

      Калькулятор логарифмических уравнений будет принят во внимание для понимания запросов (образование K-12) или для понимания концепции показателей и журналов. Также вы можете использовать этот инструмент исчисления, алгебры, вероятности и многих других областей науки и жизни.

      логарифмический калькулятор с основанием 4 | ICalc

      Log Base 4 Calculator (Калькулятор логарифма 4) находит результат функции логарифмирования по основанию 4; Вычислить логарифмическое основание 4 числа.


      Что такое номер

      Список журналов 4 таблицы значений функций, журнал по основанию 4 чисел.

      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 из 1 (log 4 (1)) = 0,0000000000
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 из 2 (log 4 (2)) = 0,5000000000
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 из 3 (log 4 (3)) = 0,7924812504
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 of 4 (log 4 (4)) = 1,0000000000
      Согласно калькулятору Log Base 4, значение log base 4 из 5 (log 4 (5)) = 1,1609640474
      Согласно калькулятору Log Base 4, значение логарифмической базы 4 из 6 (логарифм 4 (6)) = 1,2924812504
      Согласно калькулятору логарифмической базы 4 значение логарифмической базы 4 из 7 (логарифм 4 (7)) = 1,4036774610
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 из 8 (log 4 (8)) = 1,5000000000
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 из 9 (log 4 (9)) = 1,5849625007
      логарифмической базы 4 из 11 (логарифм 4 (11)) = 1,7297158093
      Согласно калькулятору логарифмической базы 4 значение логарифмической базы 4 из 12 (логарифм 4 (12)) = 1,7924812504
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 из 13 (log 4 (13)) = 1,8502198591
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 of 14 (log 4 (14)) = 1,
      74610
      Согласно калькулятору Log Base 4, значение log Base 4 из 15 (log 4 (15)) = 1,9534452978
      Согласно калькулятору Log Base 4, значение логарифмической базы 4 из 16 (логарифм 4 (16)) = 2,0000000000
      Согласно калькулятору логарифмической базы 4 значение логарифмической базы 4 из 17 (логарифм 4 (17)) = 2,0437314206
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 из 18 (log 4 (18)) = 2,0849625007
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 of 19 (log 4 (19)) = 2,1239637567
      логарифмической базы 4 из 21 (логарифм 4 (21)) = 2,1961587114
      Согласно калькулятору логарифмической базы 4 значение логарифмической базы 4 из 22 (логарифм 4 (22)) = 2,2297158093
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 из 23 (log 4 (23)) = 2,2617809780
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 of 24 (log 4 (24)) = 2,2924812504
      . логарифмической базы 4 из 26 (логарифм 4 (26)) = 2,3502198591
      Согласно калькулятору логарифмической базы 4 значение логарифмической базы 4 из 27 (логарифм 4 (27)) = 2,3774437511
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 из 28 (log 4 (28)) = 2,4036774610
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 of 29 (log 4 (29)) = 2,42896
      Согласно калькулятору Log Base 4, значение log base 4 из 30 (log 4 (30)) = 2,4534452978
      Согласно калькулятору Log Base 4, значение логарифмической базы 4 из 31 (логарифм 4 (31)) = 2,4770981552
      Согласно калькулятору логарифмической базы 4 значение логарифмической базы 4 из 32 (логарифм 4 (32)) = 2,5000000000
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 из 33 (log 4 (33)) = 2,5221970597
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 of 34 (log 4 (34)) = 2,5437314206
      . логарифмической базы 4 из 36 (логарифм 4 (36)) = 2,5849625007
      Согласно калькулятору логарифмической базы 4 значение логарифмической базы 4 из 37 (логарифм 4 (37)) = 2,6047266828
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 из 38 (log 4 (38)) = 2,6239637567
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 of 39 (log 4 (39)) = 2,6427011094
      Согласно калькулятору Log Base 4, значение log base 4 из 40 (log 4 (40)) = 2,6609640474
      Согласно калькулятору Log Base 4, значение логарифмической базы 4 из 41 (логарифм 4 (41)) = 2,6787760023
      Согласно калькулятору логарифмической базы 4 значение логарифмической базы 4 из 42 (логарифм 4 (42)) = 2,6961587114
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 из 43 (log 4 (43)) = 2,7131323774
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 of 44 (log 4 (44)) = 2,7297158093
      . логарифмической базы 4 из 46 (логарифм 4 (46)) = 2,7617809780
      Согласно калькулятору логарифмической базы 4 значение логарифмической базы 4 из 47 (логарифм 4 (47)) = 2,7772944258
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 из 48 (log 4 (48)) = 2,7924812504
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 of 49 (log 4 (49)) = 2,8073549221
      Согласно калькулятору Log Base 4, значение log base 4 из 50 (log 4 (50)) = 2,8219280949
      Согласно калькулятору Log Base 4, значение логарифмической базы 4 из 51 (логарифм 4 (51)) = 2,8362126710
      Согласно калькулятору логарифмической базы 4 значение логарифмической базы 4 из 52 (логарифм 4 (52)) = 2,8502198591
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 из 53 (log 4 (53)) = 2,8639602273
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 of 54 (log 4 (54)) = 2,8774437511
      логарифмической базы 4 из 56 (логарифм 4 (56)) = 2,
      74610
      Согласно калькулятору логарифмической базы 4 значение логарифмической базы 4 из 57 (логарифм 4 (57)) = 2,9164450071
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 из 58 (log 4 (58)) = 2,92896
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 of 59 (log 4 (59)) = 2,9413215247
      Согласно калькулятору Log Base 4, значение log base 4 of 60 (log 4 (60)) = 2,9534452978
      Согласно калькулятору Log Base 4, значение логарифмической базы 4 из 61 (логарифм 4 (61)) = 2,9653686688
      Согласно калькулятору логарифмической базы 4 значение логарифмической базы 4 из 62 (логарифм 4 (62)) = 2,9770981552
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 из 63 (log 4 (63)) = 2,9886399617
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 of 64 (log 4 (64)) = 3,0000000000
      Согласно калькулятору Log Base 4, значение log base 4 of 65 (log 4 (65)) = 3,0111839065
      Согласно калькулятору Log Base 4, значение логарифмической базы 4 из 66 (логарифм 4 (66)) = 3,0221970597
      Согласно калькулятору логарифмической базы 4 значение логарифмической базы 4 из 67 (логарифм 4 (67)) = 3,0330445952
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 из 68 (log 4 (68)) = 3,0437314206
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 of 69 (log 4 (69)) = 3,0542622284
      Согласно калькулятору Log Base 4, значение log base 4 of 70 (log 4 (70)) = 3,0646415085
      Согласно калькулятору Log Base 4, значение логарифмической базы 4 из 71 (логарифм 4 (71)) = 3,0748735598
      Согласно калькулятору логарифмической базы 4 значение логарифмической базы 4 из 72 (логарифм 4 (72)) = 3,0849625007
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 из 73 (log 4 (73)) = 3,0949122794
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 of 74 (log 4 (74)) = 3,1047266828
      Согласно калькулятору Log Base 4, значение log base 4 of 75 (log 4 (75)) = 3,1144093452
      Согласно калькулятору Log Base 4, значение логарифмической базы 4 из 76 (логарифм 4 (76)) = 3,1239637567
      Согласно калькулятору логарифмической базы 4 значение логарифмической базы 4 из 77 (логарифм 4 (77)) = 3,1333932703
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 из 78 (log 4 (78)) = 3,1427011094
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 из 79 (log 4 (79)) = 3,15181
      логарифмической базы 4 из 81 (логарифм 4 (81)) = 3,1699250014
      Согласно калькулятору логарифмической базы 4 значение логарифмической базы 4 из 82 (логарифм 4 (82)) = 3,1787760023
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 из 83 (log 4 (83)) = 3,1875197157
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 of 84 (log 4 (84)) = 3,1961587114
      Согласно калькулятору Log Base 4, значение log base 4 of 85 (log 4 (85)) = 3,2046954681
      Согласно калькулятору Log Base 4, значение логарифмической базы 4 из 86 (логарифм 4 (86)) = 3,2131323774
      Согласно калькулятору логарифмической базы 4 значение логарифмической базы 4 из 87 (логарифм 4 (87)) = 3,2214717479
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 из 88 (log 4 (88)) = 3,2297158093
      Согласно калькулятору Log Base 4 значение логарифма по основанию 4 of 89 (log 4 (89)) = 3,2378667155
      логарифмической базы 4 из 91 (логарифм 4 (91)) = 3,2538973201
      Согласно калькулятору логарифмической базы 4 значение логарифмической базы 4 из 92 (log 4 (92)) = 3,2617809780
      .

      Y x в 7 степени: Mathway | Популярные задачи

      2

      Многочлен Стандартного Вида. Примеры.

      Поможем понять и полюбить математику

      Начать учиться

      Стоило только разобраться с одночленами, как неугомонная алгебра принесла нам новое испытание. Многочлены — кто они такие, стоит ли их опасаться и что предпринимать при встрече с ними лицом к лицу в 7 классе.

      Определение многочлена

      Многочлен — это сумма одночленов. Получается, что многочлен — не что иное, как несколько одночленов, собранных «под одной крышей».

      Одночлен — это произведение, состоящее из числового множителя и одной или нескольких переменных, каждая из которых взята в неотрицательной степени.

      Рассмотрим примеры многочленов:

      • 15x + 7x
      • 4ab − b + 3

      Если многочлен состоит из двух одночленов, его называют двучленом:

      • 10x − 3x2
      • 10x — одночлен
      • −3x2 — одночлен

      Многочлен — это сумма одночленов, поэтому знак «минус» относится к числовому коэффициенту одночлена. Именно поэтому мы записываем −3x2, а не просто 3x2.

      Этот же многочлен можно записать вот так:

      • 10x – 3x2 = 10x − 3x2 = 10x + (−3x2).

      Это значит, что каждый одночлен важно рассматривать вместе со знаком, который перед ним стоит.

      Многочлен вида 10x − 3x2 + 7 называется трехчленом.

      Линейный двучлен — это многочлен первой степени: ax + b. a и b здесь — некоторые числа, x — переменная.

      Если разделить многочлен с переменной x на линейный двучлен x − b (где b — некоторое положительное или отрицательное число) — остаток будет только многочленом нулевой степени. То есть некоторым числом N, которое можно определить без поиска частного.

      Если многочлен содержит обычное число — это число является свободным членом многочлена.

      • Например, в многочлене 6a + 2b − x + 2 число 2 — свободный член.

      Свободный член многочлена не имеет буквенной части. Кроме того, любое числовое выражение — это многочлен. Например, вот такие числовые выражения — тоже многочлены:

      • 16 + 13
      • (7 − 2) ∙ 9
      • (25 + 25) : 5

      Такие выражения состоят из свободных членов.

      Реши домашку по математике на 5.

      Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

      Коэффициенты многочлена

      Коэффициенты членов многочлена — это числа, которые указаны перед переменными множителями. Если перед переменной нет числа, то коэффициент этого члена = 1.

      Иными словами — коэффициенты членов многочлена — это члены многочлена, представленные в виде стандартных одночленов.

      Например:

      Дан многочлен 2x + 5x − 18y

      Все одночлены имеют стандартный вид. 2, 5 и 18 — коэффициенты членов данного многочлена.

      Многочлен стандартного вида

      Недостаточно просто знать, что такое многочлен и что такое одночлен. Это целая алгебраическая экосистема, где у всего есть названия, определения и особенности.

      Давайте разберемся, что такое многочлен стандартного вида. Многочленом стандартного вида называют многочлен, каждый член которого имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.

      Получается, что всякий многочлен можно привести к стандартному виду. Таким образом можно получить многочлен, работать с которым гораздо проще и приятнее.

      К стандартному виду многочлен приводится очень просто. Нужно лишь привести в нем подобные слагаемые.

      Подобные слагаемые — это подобные члены многочлена. Приведение подобных слагаемых в многочлене — приведение его подобных членов. Тут же возникает резонный вопрос: Что такое подобные члены многочлена? Это члены с одинаковой буквенной частью.

      Давайте разберем на примере, как «нестандартный» многочлен приводится к стандартному виду.

      Дан красавец многочлен: 3x + 5xy2 + x − xy2

      Приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

      • 3x и x — подобные слагаемые.
      • 5xy2 и −xy2 — подобные слагаемые.

      Получаем многочлен вот такого вида: 3x + 5xy2 + x − xy2 = 4x + 4xy2.

      Как видите, в получившемся многочлене нет подобных членов. Такой многочлен — это многочлен стандартного вида.

      Онлайн-подготовка к ОГЭ по математике — отличный способ снять стресс и закрепить знания перед экзаменом.

      Степень многочлена

      Многочлен может иметь степень — имеет на это полное право.

      Степень многочлена стандартного вида — это наибольшая из степеней, входящих в него одночленов.

      Из определения можно сделать вывод, что степень многочлена возможно определить только после приведения его к стандартному виду.

      1. Приводим многочлен к стандартному виду.
      2. Выбираем одночлен с наибольшей степенью.

      Рассмотрим на примере:

      Дан многочлен 6x + 4xy2 + x + xy2

      Сначала приводим многочлен к стандартному виду — для этого приводим подобные слагаемые:

      • 6x и x — подобные слагаемые
      • 4xy2 и xy2 — подобные слагаемые

      Получаем многочлен стандартного вида 6x + 4xy2 + x + xy2 = 7x + 5xy2.

      • Степень первого одночлена (7x) — 1.
      • Степень второго одночлена (5xy2) — 3.
      • Наибольшая из двух степеней — 3.

      Отсюда делаем вывод, что многочлен 7x + 5xy2 — многочлен третьей степени.

      Кроме того, можно сделать вывод, что и исходный многочлен 6x + 4xy2 + x + xy2 — многочлен третьей степени, поскольку оба многочлена равны друг другу.

      В некоторых случаях необходимо сначала привести к стандартному виду одночлены многочлена, а затем уже и сам многочлен.

      Пример:

      Дан многочлен 6xx2 + 5xx2 − 3xx3 − 3x2x

      Приведем его к стандартному виду: 6xx3 + 5xx2 − 3xx3 − 3x2x = 6x4 + 5x3 − 3x4 − 3x3

      Получившийся многочлен без труда приводим к стандартному виду. Приводим подобные слагаемые:

      • 5x3 и −3x3 — подобные слагаемые.
      • 6x4 и −3x4 — подобные слагаемые.
      • 6x4 + 3x3 − 3x4 − 3x3 = 3x4 − 2x3
      • 6xx3 + 5xx2 − 3xx3 − 3x2x — многочлен четвертой степени.

      Практика

      Кажется, со стандартным видом многочлена все понятно. Чтобы без труда приводить любой многочлен к стандартному виду, нужно потренироваться, ведь в 7 классе только и разговоров, что о многочленах. Давайте разберем несколько примеров. Попробуйте решить их самостоятельно, сверяясь с ответами.

      Задание раз. Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень: 4x + 6xy2 + x − xy2.

      Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

      • 4x и x — подобные слагаемые.
      • 6xy2 и −xy2 — подобные слагаемые.

      Получаем многочлен стандартного вида: 4x + 6xy2 + x − xy2 = 5x + 5xy2.

      Ответ: стандартный вид многочлена 5x + 5xy2. Данный многочлен — многочлен второй степени.

      Задание два. Приведите многочлен к стандартному виду: 2x2y3 − xy3 − x4 − x2y3 + xy3 + 2x4.

      Как решаем: сначала необходимо привести все одночлены к стандартному виду: 2x2y3 − xy3 − x4 − x2y3 + xy3 + 2x4 = (−x4 + 2x4) + (2x2y3 − x2y3) + (− xy3 + xy3) = x4 + x2y3 + 0 = x4 + x2y3.

      Многочлен приведен к стандартному виду.

      Ответ: x4 + x2y3

      Задание три. Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень: 8x + 8xy2 − x + xy2.

      Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

      • 8x и −x — подобные слагаемые.
      • 8xy2 и xy2 — подобные слагаемые.

      Получаем многочлен стандартного вида: 8x + 8xy2 − x + xy2 = 7x + 9xy2.

      Ответ: стандартный вид многочлена 7x + 9xy2, данный многочлен — многочлен третьей степени.

      Разобраться в многочленах не так-то просто. В этой теме немало нюансов и подводных камней. Чтобы не запутаться в множестве похожих одно на другое определений, побольше практикуйтесь. Чтобы перейти на следующую ступень и начать выполнение арифметических действий с многочленами, важно научиться приводить многочлен к стандартному виду.

       

      Шпаргалки для родителей по математике

      Все формулы по математике под рукой

      Анастасия Белова

      К предыдущей статье

      491.9K

      Построение графиков функций

      К следующей статье

      369.9K

      Разряды и классы чисел

      Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

      На вводном уроке с методистом

      1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

      2. Расскажем, как проходят занятия

      3. Подберём курс

      3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92+x*y*(y-x) Пошаговое решение математических задач
      • Решение уравнений и
        неравенств
      • Упростить выражения
      • Факторные полиномы
      • Графические уравнения и неравенства
      •  
      • Расширенные решатели
      • Все решатели
      • Учебники
      • Решенные проблемы

      Назад

      Расширенные решатели

      • Дифференцировать

        • Базовый
        • Расширенный
      • Интегрировать

        • Базовый
        • Расширенный
      • Частичные дроби

        • Базовый
        • Расширенный
      • Матрицы

        • Арифметика
        • Обратный
        • Определитель
      • Упростить

        • Базовый
        • Расширенный
      • Решить

        • Базовый
        • Расширенный
      • Фактор

        • Базовый
        • Расширенный
      • Расширить

        • Базовый
        • Расширенный
      • График

        • Базовый
        • Расширенный

      Назад

      Все решатели

      • Арифметика

        • Проценты
        • Научное обозначение
      • Выражения

        • Упрощение
        • Расширить
        • Фактор
      • Уравнения

        • Квадратика
        • Решить
        • График
      • Неравенства

        • Решить
        • График
      • Дроби

        • Уменьшить
        • Добавить
      • График

        • Уравнения
        • Неравенства

      Добро пожаловать в Quickmath Solvers!

      Создано: 10 января 2012 г.

      Пример задачи, решенной математическим веб-калькулятором Quickmath

      сложение дроби; в канонической форме

      Команда

      Расширить

      Выражение

      1. Сумма, состоящая из 3 триместра; первый член суммы равен произведению двух множителей; первый множитель произведения представляет собой сумму 2 слагаемых; первый член суммы равен x; второй член суммы равен y; второй множитель произведения равен степени; основание равно х; показатель степени равен двум; второй член суммы равен отрицательному произведению, состоящему из 2 множителей; первый множитель произведения равен сумме, состоящей из 2 слагаемых; первый член суммы равен х; второй член суммы равен отрицательному y; второй множитель произведения равен степени; основание у; показатель степени равен двум; третий член суммы равен произведению, состоящему из 3 множителей; первый множитель произведения равен х; второй множитель произведения равен y; третий множитель произведения равен сумме, состоящей из 2 слагаемых; первый член суммы равен y; второй член суммы равен отрицательному x;
      2. открывающая скобка x плюс y закрывающая скобка умноженная на x в степени два плюс отрицательная открывающая скобка x плюс отрицательная закрывающая скобка y умноженная на y возведенная в степень два плюс x умноженное на y умноженное на открывающую скобку y плюс отрицательное значение x закрывающая скобка.

        © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

        Карта сайта