Автор: alexxlab

Какое возможное количество голов забил Алекс?

Как их решить?

Хитрость заключается в том, чтобы разбить решение на две части:

Превратите английский в алгебру.

Затем используйте алгебру для решения.

Превращение английского языка в алгебру

Превратить английский в алгебру поможет:

• Сначала прочитайте все
• При необходимости сделайте набросок
• Назначить буквы для значений
• Найти или вычислить формулы

Мы также должны записать то, что на самом деле просят , чтобы мы знали, куда мы идем и когда мы прибыли!

Лучший способ изучить это на примере, поэтому давайте попробуем наш первый пример:

Сэм и Алекс играют в одной футбольной команде.

Какое возможное количество голов забил Алекс?

Назначить буквы:

• количество забитых Алексом голов: A
• количество забитых Сэмом голов: S

Мы знаем, что Алекс забил на 3 гола больше, чем Сэм, поэтому: A = S + 3

И мы знаем, что вместе они забили меньше 9 голов: S + A < 9

Нас спрашивают сколько голов Алекс мог бы забить: A

Решите:

Начните с: S + A < 9

A = S + 3, поэтому: S + (S + 3) < 9

Упростить: 2S + 3 < 9

Вычесть 3 из обеих сторон: 2S < 9 − 4 9003 Упростите: 2S < 6

Разделите обе стороны на 2: S < 3

Сэм забил менее 3 голов, что означает, что Сэм мог забить 0, 1 или 2 гола.

Алекс забил на 3 гола больше, чем Сэм, поэтому Алекс мог забить 3, 4 или 5 голов .

Проверить:

• Если S = ​​0, то A = 3 и S + A = 3, и 3 < 9 верно
• Когда S = 1, тогда A = 4 и S + A = 5, и 5 < 9 верно
• Когда S = 2, тогда A = 5 и S + A = 7, и 7 < 9 верно
• (Но когда S = 3, то A = 6 и S + A = 9, а 9 < 9 неверно)

Еще много примеров!

Пример: Из 8 щенков девочек больше, чем мальчиков.

Сколько может быть девочек-щенков?

Назначить Буквы:

• Количество девушек: г
• количество мальчиков: б

Мы знаем, что щенков 8, поэтому: g + b = 8, что можно преобразовать в

b = 8 − g

Мы также знаем, что девочек больше, чем мальчиков, поэтому:

g > b

Нас спрашивают о количестве девочек-щенков: г

Решите:

Начните с: g > b

b = 8 − g , поэтому: g > 8 − g

Добавьте g к обеим сторонам: g + g > 8

Упростите3: 20g3: 20g3: 8

Разделите обе стороны на 2: г > 4

Таким образом, может быть 5, 6, 7 или 8 девочек-щенков.

Может ли быть 8 девочек-щенков? Тогда не было бы мальчиков вообще, и вопрос не ясен на этот счет (иногда такие вопросы).

Проверка

• Если g = 8, то правильно b = 0 и g > b (но допустимо ли b = 0?)
• Когда g = 7, тогда b = 1 и g > b верно
• Когда g = 6, тогда b = 2 и g > b верно
• Когда g = 5, тогда b = 3 и g > b верно
• (Но если g = 4, то b = 4 и g > b неверно)

Быстрый пример:

Пример: Джо участвует в гонке, где он должен ездить на велосипеде и бежать.

Он проехал 25 км на велосипеде, а затем пробежал 20 км. Его средняя скорость бега составляет половину его средней скорости езды на велосипеде.

Джо завершает гонку менее чем за 2,5 часа, что мы можем сказать о его средней скорости?

Назначить буквы:

• Средняя скорость работы: с
• Таким образом, средняя скорость езды на велосипеде: 2 с

Формулы:

• Скорость = Расстояние Время
• Что можно изменить на: Время = Расстояние Скорость

Нас спрашивают его средние скорости: с и 2 с

Гонка делится на две части:

1.

• Дистанция = 259 км
• Средняя скорость = 2 с км/ч
• Время = Расстояние Средняя скорость = 25 2 с часов

2. Бег

• Расстояние = 20 км
• Средняя скорость = с км/ч
• Время = Расстояние Средняя скорость = 20 с часов

Джо завершает гонку менее чем за 2½ часа

• Общее время < 2½
• 25 2 с + 20 с < 2½

Решите:

Начните с: 25 2s + 20 s < 2½

Умножьте все члены на 2s0033 25 + 40 < 5s

Упростить: 65 < 5s

Разделить обе части на 5: 13 < s

Поменять стороны местами: 900 39 s0 > 343 900 средняя скорость бега больше 13 км/ч, а его средняя скорость на велосипеде превышает 26 км/ч

В этом примере мы используем сразу два неравенства:

Пример: скорость

В какие моменты времени скорость будет между 10 м/с и 15 м/с?

Буквы:

• скорость в м/с: v
• время в секундах: t

Формула:

• v = 20 − 10t

Нас спрашивают о времени t , когда v находится между 5 и 15 м/с:

10  <  v  <  15

10  <  20 − 10t  <  15

Решите:

Начните с: 10  <  20 − 10t  <  15

Вычтите 20 из каждого:

20  <  15 − 20

Упростить: −10  < −10t  <  −5

Разделить каждое на 10: −1  < −t  <  −0,5

Это аккуратнее чтобы сначала показать меньший номер
, так поменяй местами: 0,5  <  t  <  1

Таким образом, скорость составляет от 10 м/с до 15 м/с между 0,5 и 1 секундой после.

И достаточно сложный пример для завершения:

Пример: прямоугольная комната вмещает как минимум 7 столов, каждый из которых имеет площадь 1 квадратный метр.

Периметр комнаты 16 м.
Какой может быть ширина и длина комнаты?

Сделайте набросок: мы не знаем размеров столов, только их площадь, они могут подойти идеально или нет!

Назначить буквы:

• длина комнаты: L
• ширина комнаты: Ш

Формула для периметра 2(Ш + Д) , и мы знаем, что это 16 м

• 2(Ш + Д) = 16
• Ш + Д = 8
• Д = 8 — Ш

Мы также знаем, что площадь прямоугольника равна произведению ширины на длину: Площадь = Ш × Д

И площадь должна быть больше или равна 7:

• Ш × Д ≥ 7

Нас спрашивают о возможных значениях W и L

 

Решим:

Начнем с: W × L ≥ 7 3 W 0 8e =

× ( 8 — w) ≥ 7

Расширение: 8W — W ² ≥ 7

Принесите все термины в левую сторону: W ² — 8W + 7 ≤ 00034

Это квадратное. . Это можно решить многими способами, здесь мы решим это, заполнив квадрат:

Перенесите числовой член − 7 в правую часть неравенства: W ² − 8W ≤ −7

Заполните квадрат в левой части неравенства и сбалансируйте его, добавив такое же значение к в правая часть неравенства: W ² − 8W + 16 ≤ −7 + 16

Упростим: (W − 4) ² ≤ 9

Извлечем квадратный корень из обеих частей неравенства: −3 ≤ W − 4 ≤ ​​3

Да, у нас два неравенства, потому что 3 ² = 9 И (−3) ² = 9

Добавьте 4 к обеим частям каждого неравенства: 7 м (включительно) и длина 8−ширина .

 

Проверить:

• Допустим, W = 1, тогда L = 8−1 = 7 и A = 1 x 7 = 7 м ² (подходит ровно для 7 таблиц)
• Скажем, W = 0,9 (меньше 1), тогда L = 7,1 и A = 0,9 x 7,1 = 6,39 м ² (7 не подходит)
• Скажем, W = 1,1 (чуть выше 1), тогда L = 6,9 и A = 1,1 x 6,9 = 7,59 м ² (7 легко помещаются)
• Аналогично для ширины около 7 м

 

 

Краткое ознакомление с решением линейных неравенств

Квадратные неравенстваПолиномиальные неравенстваРациональные неравенства

Purplemath

Как решать линейные неравенства?

Решение линейных неравенств очень похоже на решение линейных уравнений в том смысле, что вы по-прежнему хотите изолировать переменную (то есть получить переменную саму по себе), и вы выполняете эту изоляцию путем сложения, вычитания, умножения и деления обеих частей неравенство теми же значениями.

Содержание продолжается ниже

MathHelp.

com

Решение неравенств

Единственное отличие состоит в том, что при работе с неравенствами вы должны переворачивать (т. е. переворачивать) знак неравенства всякий раз, когда вы умножаете или делите обе части неравенства по отрицательному.

Далее приведены несколько простых примеров, которые помогут вам освежить в памяти методы и обозначения.

1) Решить x + 3 < 2

Единственная разница между линейным уравнением x  + 3 = 2, и это линейное неравенство заключается в том, что у меня есть знак «меньше» вместо знака «равно». Метод решения точно такой же: вычесть 3 с каждой стороны.

Итак, в записи неравенства решение равно x  < −1.

В интервальной записи решение записывается как (−∞, −1)

Графически (то есть на числовой прямой) решение изображается, как показано ниже:

Обратите внимание, что решение для «меньше чем , но не равно» неравенство изображается скобками (или открытой точкой) на конечной точке, что указывает на то, что конечная точка не включена в решение.

---

2) Решите 2 − x > 0

Единственная разница между линейным уравнением 2 −  x  = 0 и этим линейным неравенством заключается в том, что вместо знака «равно» используется знак «больше».

Чтобы избежать знака «минус» в переменной, я добавлю x к обеим частям неравенства.

Решение в виде неравенства «2 > x » совершенно верно, но мне удобнее иметь переменную в левой части; часто легче (мне, по крайней мере) представить, что означает решение с переменной слева. Вот почему я изменил неравенство выше, чтобы получить x  < 2. Не бойтесь переставлять элементы по своему вкусу.

В интервальных обозначениях решением являются все значения, меньшие (но не включая) 2, что записывается как (−∞, 2).

Графически решение:

---

3) Решите 4 x  + 6 ≥ 3 x  − 5

Единственная разница между линейным уравнением «4 x 9023 x + 53 = 3 6 «и это неравенство заключается в том, что вместо знака «равно» стоит знак «меньше или равно». Метод решения точно такой же.

Таким образом, решение в виде неравенства равно x  ≤ −11.

Решение в виде интервальной записи (−∞, −11]. Квадратная скобка используется здесь вместо круглой скобки, которая использовалась в предыдущих примерах, потому что это неравенство «или равно», означающее, что конечная точка (в данном случае -11) включается в решение.

Графически решение выглядит следующим образом:

---

4) Решите 2 x > 4

Метод решения здесь состоит в том, чтобы разделить обе части на положительное число два.

Таким образом, решение в виде неравенства равно x  > 2

Решение в виде интервала (2, +∞).

Графически решение выглядит следующим образом:

Поскольку я разделил обе части на положительное значение, я не перевернул символ неравенства.

---

5) Решить −2 > 4

Если бы меня попросили решить уравнение −2 = 4, я бы решил, разделив обе части на минус 2. Я решу это неравенство таким же образом. Однако, поскольку я буду делить обе части неравенства на минус, я должен не забыть перевернуть символ неравенства.

Таким образом, решение в виде неравенства равно x  < −2.

Решение с интервальной записью (−∞, −2).

Графически решение выглядит следующим образом:

---

Приведенное выше правило (5) часто кажется учащимся неразумным при первом знакомстве с ним. Но подумайте о неравенствах, используя числа вместо переменных. Вы знаете, что число четыре больше числа два:

4 > 2

Умножая обе части этого неравенства на −1, мы получаем −4 < −2, что, как показывает числовая прямая, верно:

Если бы мы не перевернули неравенство, то получили бы «−4 > −2», что явно *не* верно.

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/ineqsolv.htm

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении линейных неравенств. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение.

Обозначаем числа \(\frac{π}{4}\), \(\frac{π}{3}\), \(\frac{π}{6}\)

Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями \(x\) и \(y\). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки \(\frac{π}{4}\), \(\frac{π}{3}\) и \(\frac{π}{6}\).
\(\frac{π}{4}\) – это половина от \(\frac{π}{2}\) (то есть, \(\frac{π}{4}\) \(=\)\(\frac{π}{2}\)\(:2)\) , поэтому расстояние \(\frac{π}{4}\) – это половина четверти окружности.

\(\frac{π}{4}\) – это треть от \(π\) (иначе говоря,\(\frac{π}{3}\)\(=π:3\)), поэтому расстояние \(\frac{π}{3}\) – это треть от полукруга.

\(\frac{π}{6}\) – это половина \(\frac{π}{3}\) (ведь \(\frac{π}{6}\)\(=\)\(\frac{π}{3}\)\(:2\)) поэтому расстояние \(\frac{π}{6}\) – это половина от расстояния \(\frac{π}{3}\).

Вот так они расположены друг относительно друга:

Замечание: Расположение точек со значением \(0\), \(\frac{π}{2}\),\(π\), \(\frac{3π}{2}\), \(\frac{π}{4}\), \(\frac{π}{3}\), \(\frac{π}{6}\) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.

Разные расстояние на окружности наглядно:

Обозначаем числа \(\frac{7π}{6}\), \(-\frac{4π}{3}\), \(\frac{7π}{4}\)

Обозначим на окружности точку \(\frac{7π}{6}\), для этого выполним следующие преобразования: \(\frac{7π}{6}\)\(=\)\(\frac{6π + π}{6}\)\(=\)\(\frac{6π}{6}\)\(+\)\(\frac{π}{6}\)\(=π+\)\(\frac{π}{6}\). Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние \(π\), а потом еще \(\frac{π}{6}\).

Отметим на окружности точку \(-\)\(\frac{4π}{3}\). Преобразовываем: \(-\)\(\frac{4π}{3}\)\(=-\)\(\frac{3π}{3}\)\(-\)\(\frac{π}{3}\)\(=-π-\)\(\frac{π}{3}\). Значит надо от \(0\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(π\) и еще \(\frac{π}{3}\).

Нанесем точку \(\frac{7π}{4}\), для этого преобразуем \(\frac{7π}{4}\)\(=\)\(\frac{8π-π}{4}\)\(=\)\(\frac{8π}{4}\)\(-\)\(\frac{π}{4}\)\(=2π-\)\(\frac{π}{4}\). Значит, чтобы поставить точку со значением \(\frac{7π}{4}\), надо от точки со значением \(2π\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(\frac{π}{4}\).

Задание 2. Отметьте на числовой окружности точки \(-\)\(\frac{π}{6}\),\(-\)\(\frac{π}{4}\),\(-\)\(\frac{π}{3}\),\(\frac{5π}{4}\),\(-\)\(\frac{7π}{6}\),\(\frac{11π}{6}\), \(\frac{2π}{3}\),\(-\)\(\frac{3π}{4}\).

Обозначаем числа \(10π\), \(-3π\), \(\frac{7π}{2}\) ,\(\frac{16π}{3}\), \(-\frac{21π}{2}\), \(-\frac{29π}{6}\)

Запишем \(10π\) в виде \(5 \cdot 2π\). Вспоминаем, что \(2π\) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку \(10π\), нужно от нуля пройти расстояние равное \(5\) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке \(0\), просто сделаем пять оборотов.

Из этого примера можно сделать вывод:

Числам с разницей в \(2πn\), где \(n∈Z\) (то есть \(n\) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.

То есть, чтобы поставить число со значением больше \(2π\) (или меньше \(-2π\)), надо выделить из него целое четное количество \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».

Еще один вывод:

Точке, которой соответствует \(0\), также соответствуют все четные количества \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).

Теперь нанесем на окружность \(-3π\). \(-3π=-π-2π\), значит \(-3π\) и \(–π\) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в \(-2π\)).

Кстати, там же будут находиться все нечетные \(π\).

Точке, которой соответствует \(π\), также соответствуют все нечетные количества \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).

Сейчас обозначим число \(\frac{7π}{2}\). Как обычно, преобразовываем: \(\frac{7π}{2}\)\(=\)\(\frac{6π}{2}\)\(+\)\(\frac{π}{2}\)\(=3π+\)\(\frac{π}{2}\)\(=2π+π+\)\(\frac{π}{2}\). Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа \(\frac{7π}{2}\) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное \(π+\)\(\frac{π}{2}\) (т.е. половину окружности и еще четверть).

Отметим \(\frac{16π}{3}\). Вновь преобразования: \(\frac{16π}{3}\)\(=\)\(\frac{15π + π}{3}\)\(=\)\(\frac{15π}{3}\)\(+\)\(\frac{π}{3}\)\(=5π+\)\(\frac{π}{3}\)\(=4π+π+\)\(\frac{π}{3}\). Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное \(π+\)\(\frac{π}{3}\) – и мы найдем место точки \(\frac{16π}{3}\).

Нанесем на окружность число \(-\)\(\frac{21π}{2}\).
\(-\)\(\frac{21π}{2}\)\(= -\)\(\frac{20π}{2}\)\(-\)\(\frac{π}{2}\)\(=-10π-\)\(\frac{π}{2}\). Значит, место \(-\)\(\frac{21π}{2}\) совпадает с местом числа \(-\)\(\frac{π}{2}\).

Обозначим \(-\)\(\frac{29π}{6}\).
\(-\)\(\frac{29π}{6}\)\(=-\)\(\frac{30π}{6}\)\(+\)\(\frac{π}{6}\)\(=-5π+\)\(\frac{π}{6}\)\(=-4π-π+\)\(\frac{π}{6}\). Для обозначение \(-\)\(\frac{29π}{6}\), на числовой окружности надо от точки со значением \(–π\) пройти в положительную сторону \(\frac{π}{6}\).

Задание 3. Отметьте на числовой окружности точки \(-8π\),\(-7π\), \(\frac{11π}{4}\),\(-\)\(\frac{7π}{3}\),\(\frac{17π}{6}\),\(-\)\(\frac{20π}{3}\),\(-\)\(\frac{11π}{2}\).

Скачать статью

Четверть числовой окружности

Если посмотреть на числовую окружность, то можно заметить, что оси абсцисс и ординат разбивают ее на четыре части. Эти части называют четвертями и нумеруют в том порядке как их проходят, двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки).

Почему так важно определять какой четверти принадлежит угол?

Дело в том, что каждая четверть уникальна в плане знаков тригонометрических функций.

Например, для любого угла из второй четверти — синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны. А для любого угла из первой четверти — все четыре функции будут положительны.

Теперь давайте рассмотрим пример задачи, которую не решить без использования знаний про четверти.

Пример (ЕГЭ):

Ответ: \(\sin⁡a=-0,8\).

Про непостоянство четвертей:

Важно понимать, что, например, первой четверти принадлежат не только углы от \(0\) до \(\frac{π}{2}\), но и углы от \(2π\) до \(\frac{5π}{2}\), и от \(4π\) до \(\frac{9π}{2}\), и от \(6π\) до \(\frac{13π}{2}\) и так далее. Ведь как только мы заканчиваем полный оборот – кончается четвертая четверть и опять начинается первая.

Кроме того, нужно помнить, что углы могут откладываться в отрицательную сторону (по часовой стрелке), и тогда мы попадем в первую четверть только в конце круга. Ведь сначала мы пройдем четвертую четверть, потом в третью и т.д.

Ну и, конечно, мы можем в отрицательную сторону делать обороты, так же как и в положительную.

Смотрите также:
Числовая окружность (шпаргалка)
Тригонометрическая таблица с кругом
Как обозначать точки на числовой окружности

геометрия — Координаты равноудаленных n точек на окружности в R?

спросил 6 лет, 6 месяцев назад

Изменено 9 месяцев назад

Просмотрено 4к раз

Часть R Language Collective

мы можем использовать комплексные числа, чтобы достичь этого довольно просто, но вы должны использовать правильный синтаксис. вообще комплексные числа можно записать как ai + b (например, 3i + 2 ). Если есть только мнимая компонента, мы можем написать просто ai . Итак, воображаемый — это просто 1i .

 Nбаллов = 20
баллы = exp(2i * pi * (1:Npoints)/Npoints)
сюжет (точки)
 

Если по какой-либо причине вам необходимо перевести комплексную плоскость на декартову, вы можете извлечь действительную и мнимую составляющие, используя Re() и Im() .

 точек. Декартово = data.frame (x = Re (точки), y = Im (точки))
 

2

Вы тоже можете попробовать это (и избежать сложной арифметики), чтобы иметь точки на единичной окружности на реальной плоскости:

 n <- 50 # количество точек, которые вы хотите на единичной окружности
pts.circle <- t(sapply(1:n,function(r)c(cos(2*r*pi/n),sin(2*r*pi/n))))
график (pts.circle, col = 'красный', pch = 19, xlab = 'x', ylab = 'y')
 

 f <- функция(х){
  я <- sqrt(as.complex(-1))
  ехр(2*пи*я*х)
}
> f(0/4)
[1] 1+0i
> f(1/4)
[1] 0+1i
> f(2/4)
[1] -1+0i
> f(3/4)
[1] 0-1i
 

Сказав это, нельзя ли найти равноотстоящие точки на окружности, не прибегая к комплексным числам?

 eq_spacing <- function(n, r = 1){
  политочки <- seq(0, 2*pi, length. out=n+1)
  политочки <- политочки[-длина(многоточечные)]
  circx <- r * sin(многоточечный)
  circy <- r * cos(polypoints)
  data.frame(x=circx, y=circy)
}
eq_spacing (4)
               х у
 1 0,000000e+00 1,000000e+00
 2 1.000000e+00 6.123032e-17
 3 1.224606э-16 -1.000000э+00
 4 -1.000000e+00 -1.836910е-16
график (eq_spacing (20), asp = 1)
 

5

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

точек окружности (видео)

Большинство из нас научились рисовать окружность на уроках математики с помощью циркуля. Все, что нам нужно было знать, это место, где расположить центр круга, и меру радиуса, которую нужно установить на компасе. Затем мы удерживали циркуль в центре и вращали карандашную часть по кругу, чтобы нарисовать круг. Если бы мы нарисовали его на миллиметровой бумаге и внимательно посмотрели, мы, вероятно, смогли бы найти несколько определенных точек на нашем круге. 9{2}\)

Просто, правда? Но мы немного увлеклись. Вернемся к нашей проблеме. Если нам дан центр окружности и 1 другая точка, можем ли мы найти 3 другие точки на окружности?

Давайте решим реальную задачу, чтобы посмотреть, как это сделать.

Найдите не менее 3 других точек на окружности, у которых есть точка в точке \((2,6)\) и центр в точке \((-2,3)\).

Итак, наша точка будет в точке \((2,6)\). И наш центр находится в \((-2,3)\).

Возьмем квадратный корень с обеих сторон и получим \(r=5\).

Что теперь? Как мы можем использовать эту информацию, чтобы найти больше точек на нашем круге? Мы собираемся использовать другой вид компаса, чтобы сделать это! Давайте возьмем лист миллиметровой бумаги и нанесем на график то, что мы знаем на данный момент.

Поскольку мы знаем наш радиус, мы можем двигаться на север, юг, восток и запад от этой точки ровно на 5 единиц, чтобы найти больше точек! Перемещаться по точкам компаса на нашей миллиметровой бумаге легко, а поскольку радиус — это расстояние от центра круга до всех точек на круге, мы знаем, что окажемся на нашем круге, когда пройдем 5 единиц.

Посмотрите, сколько точек мы нашли! Пройдя на север пять единиц, мы нашли \((-2,8)\), пройдя на запад, мы нашли \((-7,3)\), пройдя на юг, мы нашли \((-2,-2)\), и пройдя восток мы нашли \((3,3)\)! 4 балла! На один больше, чем задача просила нас найти.

И это еще не все! Мы можем найти еще больше точек, если захотим, поскольку данная точка не является одной из наших 4 «компасных точек». Если мы посмотрим, насколько далеко от центра находится эта точка, мы сможем найти больше точек, которые находятся на таком же L-образном расстоянии. Здесь мы видим, что \((2,6)\) находится на 4 единицы вправо и на 3 единицы вверх от центра круга. Таким образом, я могу нарисовать L-формы из центра, которые перемещаются на 4 единицы влево или вправо, а затем на 3 единицы вверх и вниз, чтобы найти больше точек.

Мы нашли еще 3! На левой (или западной) стороне мы нашли \((-6,6)\) и \((-6,0)\), а ниже нашей заданной точки мы нашли \((2,0)\). Всего у нас теперь 8 точек на нашем круге, включая данную! И если мы готовы заняться более сложной математикой, мы можем найти любую из бесконечного числа точек на нашем круге. Раз уж мы в таком положении, давайте попробуем и это!

Сначала нам нужно установить наш домен, чтобы мы знали, какие \(x\)-значения мы можем выбрать. Крайнее левое значение \(x\) на нашем круге — это наша «западная» точка в точке -7. Наша самая правая точка — это наша «восточная» точка на +3. Итак, наш домен — это \(x\geq -7\) и \(x\leq 3\).

\(\text{Домен: } {{x\mid-7\leq x\leq 3}}\)

Таким образом, мы можем выбрать любое значение \(x\) от -7 до 3 чтобы найти соответствующие \(y\)-значения на окружности. Да, множественное число, потому что их будет 2.

Итак, давайте выберем \(x=-4\) из нашего домена. Теперь все, что нам нужно сделать, это подставить это в наше уравнение для этого круга и найти \(y\).

Итак, мы используем значение \(x\) -4. И помните, наш центр находится в точке \((-2,3)\). Итак, теперь все, что мы собираемся сделать, это подставить это в наше уравнение для окружности. Так что помните, это: 9{2}=21\)

И мы возьмем квадратный корень из обеих частей. У нас остается:

\(y-3=+\sqrt{21}\)

И все, что нам нужно сделать, это добавить 3 к обеим сторонам. Итак, наши ответы:

\(y=+\sqrt{21}+3\)

Таким образом, наши два значения равны \(\sqrt{21}+3\) и \(-\sqrt{ 21}+3\). Если мы наносим эти точки на график, мы можем оценить их значение с помощью калькулятора, чтобы найти, что наши значения \(y\) приблизительно равны 7,58 и -1,58. Так что мы можем изобразить их тоже!

Теперь у нас на круге 10 очков! Можете ли вы найти еще? Поставьте это видео на паузу и попробуйте. Ответ для всех целых значений \(x\) появится вскоре после снятия паузы.

Вот другие точки на окружности с целыми \(x\)-значениями:

\((-5,-1)(-5,7)\)
 
\((-3,2\ sqrt{6}+3)(-3,-2\sqrt{6}+3)\)
 
\((-1,2\sqrt{6}+3)(-1,-2\sqrt{6 }+3)\)
 
\((0,\sqrt{21}+3)(0,-\sqrt{21}+3)\)
 
\((1,-1)(1,7) \)

Надеюсь, это видео о поиске точек на окружности было полезным. Спасибо за просмотр и удачной учебы!

Длина окружности | Уравнения окружности

Вопрос № 1:

 
Какие из следующих наборов точек находятся на окружности с центром в \((3,6)\) и радиусом 13 единиц?

\((-8,-18)\) и \((2,6)\)

\((-3,5)\) и \((4,8)\)

\(( -2,-6)\) и \((8,18)\) 92=169\)
\(25+144=169\)
\(169=169\)

Поскольку упорядоченная пара \((8,18)\) дает истинное утверждение при подстановке ее в уравнение окружности, она удовлетворяет уравнению, поэтому она также является точкой окружности.

Скрыть ответ

Вопрос № 2:

 
Какие из следующих точек лежат на окружности с центром в \((-2,4)\) и содержат точку \((-2 ,0)\)?

\((0,4-2\sqrt{3})\) и \((0,4+2\sqrt{3})\) 92=16\)
\(4+4\cdot3=16\)
\(4+12=16\)
\(16=16\)

Так как упорядоченная пара \((0,4+2\ sqrt{3})\) дает истинное утверждение при подстановке его в уравнение окружности, оно удовлетворяет уравнению, поэтому также является точкой на окружности.

Скрыть ответ

Вопрос № 3:

 
Каковы крайняя левая и крайняя правая точки на окружности с центром в \((4,-1)\) и содержащей точку \((8 ,2)\)?

\((4,-6)\) и \((4,4)\) 92}\)
\(r=5\)

Пока \(r=\pm5\), мы используем только 5, так как радиус имеет неотрицательную длину.

На координатной плоскости мы можем использовать значение \(r\) для подсчета длины радиуса в 5 единиц по горизонтали слева и справа (или к западу и востоку) от центра круга, чтобы найти самый дальний крайний левый и правые точки соответственно.

Если считать длину радиуса в 5 единиц к западу от центра, получается самая левая точка \((-1,-1)\) на окружности. Отсчет длины радиуса в 5 единиц к востоку от центра дает самую правую точку \((9,-1)\).

При подсчете длины радиуса в 5 единиц от центра к западу и востоку всегда получаются крайняя левая и крайняя правая точки на окружности. Ниже приведены 2 дополнительные точки, которые нанесены на окружность. Хотя обе точки также находятся в 5 единицах от центра, обратите внимание, что ни крайняя левая, ни крайняя правая точки не совпадают.

Скрыть ответ

Вопрос №4:

 
Вы привязываете своего питомца веревкой к столбу, вбитому в землю. Когда веревка полностью вытянута, ваш питомец может ходить по кругу вокруг столба. Если веревка имеет длину 10 футов, а кол установлен в начале координатной плоскости, какие из следующих точек находятся на пути, по которому идет ваш питомец? 92=100\)
\(36+64=100\)
\(100=100\)

Поскольку упорядоченная пара \((6,8)\) дает истинное утверждение при подстановке ее в уравнение окружности, она удовлетворяет уравнению, поэтому она также является точкой окружности.

Скрыть ответ

Вопрос № 5:

 
Концы спиц велосипедной шины крепятся к центру ступицы шины и ее ободу. Шина содержит 20 спиц. Если центр ступицы находится в начале координатной плоскости, а конец одной из ее спиц находится в точке \((6,-2)\) на координатной плоскости, в каком наборе точек могут быть концы двух из остальные 19спицы лежат?

\((-4,10)\) и \((2,20)\)

\((0,40)\) и \((40,0)\)

\(( -2,6)\) и \((5,\sqrt{15})\)

\((2,10)\) и \((4,-2\sqrt{10})\)

Показать Ответ

Ответ:

Поскольку центр ступицы велосипеда находится в начале координат плоскости, это точка с координатами \((0,0)\). Мы можем использовать начало координат и заданную точку на окружности, чтобы найти ее радиус.

Уравнение окружности в стандартной форме имеет вид \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\), где \((h,k)\) - центр окружности, а \ (r\) — радиус окружности.

Минор k-ого порядка матрицы — определитель квадратной матрицы порядка k×k, которая составлена из элементов матрицы А, находящихся в заранее выбранных k-строках и k-столбцах, при этом сохраняется положение элементов матрицы А.

Проще говоря, если в матрице А вычеркнуть (p-k) строк и (n-k) столбцов, а из тех элементов, которые остались, составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А, то определитель полученной матрицы и есть минор порядка k матрицы А.

Из примера следует, что миноры первого порядка матрицы А и есть сами элементы матрицы.

Можно привести несколько примеров миноров 2-ого порядка. Выберем две строки и два столбца. Например, 1-ая и 2 –ая строка, 3-ий и 4-ый столбец.

При таком выборе элементов минором второго порядка будет -1302=(-1)×2-3×0=-2

Другим минором 2-го порядка матрицы А является 0011=0

Предоставим иллюстрации построения миноров второго порядка матрицы А:

Минор 3-го порядка получается, если вычеркнуть третий столбец матрицы А:

003112-1-40=0×1×0+0×2×(-1)+3×1×(-4)-3×1×(-1)-0×1×0-0×2×(-4)=-9

Иллюстрация, как получается минор 3-го порядка матрицы А:

Для данной матрицы миноров выше 3-го порядка не существует, потому что

k≤min(p, n)=min (3, 4)=3

Сколько существует миноров k-ого порядка для матрицы А порядка p×n?

Число миноров вычисляют по следующей формуле:

Cpk×Cnk, где Сpk=p!k!(p-k)! и Cnk=n!k!(n-k)! — число сочетаний из p по k, из n по k соответственно.

После того, как мы определились, что такое миноры матрицы А, можно переходить к определению ранга матрицы А.

Ранг матрицы: методы нахождения

Ранг матрицы — наивысший порядок матрицы, отличный от нуля.

Rank (A), Rg (A), Rang (A).

Из определения ранга матрицы и минора матрицы становиться понятно, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы отличен от нуля.

Нахождение ранга матрицы по определению

Метод перебора миноров — метод, основанный на определении ранга матрицы.

Алгоритм действий способом перебора миноров:

Необходимо найти ранг матрицы А порядка p×n. При наличии хотя бы одного элемента, отличного от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (т.к. есть минор 1-го порядка, который не равен нулю).

Далее следует перебор миноров 2-го порядка. Если все миноры 2-го порядка равны нулю, то ранг равен единице. При существовании хотя бы одного не равного нулю минора 2-го порядка, необходимо перейти к перебору миноров 3-го порядка, а ранг матрицы, в таком случае, будет равен минимум двум.

Аналогичным образом поступим с рангом 3-го порядка: если все миноры матрицы равняются нулю, то ранг будет равен двум. При наличии хотя бы одного ненулевого минора 3-го порядка, то ранг матрицы равен минимум трем. И так далее, по аналогии.

Найти ранг матрицы:

А=-11-1-202260-443111-7

Поскольку матрица ненулевая, то ее ранг минимум равен единице.

Минор 2-го порядка -1122=(-1)×2-1×2=4 отличен от нуля. Отсюда следует, что ранг матрицы А не меньше двух.

Перебираем миноры 3-го порядка: С33×С53=15!3!(5-3)!= 10 штук. 

-11-12264311=(-1)×2×11+1×6×4+(-1)×2×3-(-1)×2×4-1×2×11-(-1)×6×3=0

-11-2220431=(-1)×2×1+1×0×4+(-2)×2×3-(-2)×2×4-1×2×1-(-1)×0×3=0

-1-1-22604111=(-1)×6×1+(-1)×0×4+(-2)×2×11-(-2)×6×4-(-1)×2×1-(-1)×0×11=0

-11-2220431=(-1)×2×1+1×0×4+(-2)×2×3-(-2)×2×4-1×2×1-(-1)×0×3=0

-1-1026-4411-7=(-1)×6×(-7)+(-1)×(-4)×4+0×2×11-0×6×4-(-1)×2×(-7)-(-1)×(-4)×11=0

1-1026-4311-7=1×6×(-7)+(-1)×(-4)×3+0×2×11-0×6×3-(-1)×2×(-7)-1×(-4)×11=0

1-2020-431-7=1×0×(-7)+(-2)×(-4)×3+0×2×1-0×0×3-(-2)×2×(-7)-1×(-4)×1=0

-1-2060-4111-7=(-1)×0×(-7)+(-2)×(-4)×11+0×6×1-0×0×11-(-2)×6×(-7)-(-1)×(-4)×1=0

Миноры 3-го порядка равны нулю, поэтому ранг матрицы равен двум.

Ответ: Rank (A) = 2.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров

Метод окаймляющих миноров — метод, который позволяет получить результат при меньшей вычислительной работе.

Окаймляющий минор — минор Mok(k+1) -го порядка матрицы А, который окаймляет минор M порядка k матрицы А, если матрица, которая соответствует минору Mok , «содержит» матрицу, которая соответствует минору М.

Проще говоря, матрица, которая соответствует окаймляемому минору М, получается из матрицы, соответствующей окаймляющему минору Mok , вычеркиванием элементов одной строки и одного столбца.

Найти ранг матрицы:

А=120-13-2037134-21100365

Для нахождения ранга берем минор 2-го порядка М=2-141

Записываем все окаймляющие миноры:

12-1-207341,20-10374-21,2-13071411,12-1341006,20-14-21036,2-13411065.

Чтобы обосновать метод окаймляющих миноров, приведем теорему, формулировка которой не требует доказательной базы.

Если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равна нулю.

Алгоритм действий:

Чтобы найти ранг матрицы, необязательно перебирать все миноры, достаточно посмотреть на окаймляющие.

Если окаймляющие миноры равняются нулю, то ранг матрицы нулевой. Если существует хотя бы один минор, который не равен нулю, то рассматриваем окаймляющие миноры.

Если все они равны нулю, то Rank(A) равняется двум. При наличии хотя бы одного ненулевого окаймляющего минора, то приступаем к рассматриванию его окаймляющих миноров. И так далее, аналогичным образом.

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

А=210-134210-12111-40024-14

Как решить?

Поскольку элемент а11 матрицы А не равен нулю, то возьмем минор 1-го порядка. Начнем искать окаймляющий минор, отличный от нуля:

2142=2×2-1×4=02041=2×1-0×4=2

Мы нашли окаймляющий минор 2-го порядка не равный нулю 2041.

Осуществим перебор окаймляющих миноров — (их(4-2)×(5-2)=6 штук).

210421211=0; 20-1410211=0; 20341-121-4=0;210421002=0; 20-1410024=0; 20341-102-14=0

Ответ: Rank(A) = 2.

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса (с помощью элементарных преобразований)

Вспомним, что представляют собой элементарные преобразования.

Элементарные преобразования:

• путем перестановки строк (столбцов) матрицы;
• путем умножение всех элементов любой строки (столбца) матрицы на произвольное ненулевое число k;

путем прибавления к элементам какой-либо строки (столбца) элементов, которые соответствуют другой стоки (столбца) матрицы, которые умножены на произвольное число k.

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса — метод, который основывается на теории эквивалентности матриц: если матрица В получена из матрицы А при помощи конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B).

Справедливость данного утверждения следует из определения матрицы:

• в случае перестановки строк или столбцов матрицы ее определитель меняет знак. Если он равен нулю, то и при перестановке строк или столбцов остается равным нулю;
• в случае умножения всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k, которое не равняется нулю, определитель полученной матрицы равен определителю исходной матрицы, которая умножена на k;

в случае прибавления к элементам некоторой строки или столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, которые умножены на число k, не изменяет ее определителя.

Суть метода элементарных преобразований: привести матрицу ,чей ранг необходимо найти, к трапециевидной при помощи элементарных преобразований.

Для чего?

Ранг матриц такого вида достаточно просто найти. Он равен количеству строк, в которых есть хотя бы один ненулевой элемент. А поскольку ранг при проведении элементарных преобразований не изменяется, то это и будет ранг матрицы.

Проиллюстрируем этот процесс:

• для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых больше числа столбцов:

А~1b12b13⋯b1n-1b1n01b23⋯b2n-2b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bn-1n000⋯01000⋯00⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00, Rank(A)=n

или

А~1b12b13⋯b1kb1k+1⋯b1n01b23⋯b2kb2k+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bkk+1⋯bkn000⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00⋯0, Rank(A)=k

• для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых меньше числа столбцов:

А~1b12b13⋯b1pb1p+1⋯b1n01b23⋯b2pb2p+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bpp+1⋯bpn, Rank(A)=p

или

А~1b12b13⋯b1kb1k+1⋯b1n01b23⋯b2kb2k+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bkk+1⋯bkn000⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00⋯0

• для квадратных матриц А порядка n на n:

А~1b12b13⋯b1n-1b1n01b23⋯b2n-1b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bn-1n000⋯01, Rank(A)=n

или

A~1b12b13⋯b1kb1k+1⋯b1n01b23⋯b2kb2k+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bkk+1⋯bkn000⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00⋯0, Rank(A)=k, k<n

Найти ранг матрицы А при помощи элементарных преобразований:

А=21-26300-11-12-75-24-1572-411

Как решить?

Поскольку элемент а11 отличен от нуля, то необходимо умножить элементы первой строки матрицы А на 1а11=12:

А=21-26300-11-12-75-24-1572-411~

Прибавляем к элементам 2-ой строки соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на (-3). К элементам 3-ей строки прибавляем элементы 1-ой строки, которые умножены на (-1):

~А(1)=112-13300-11-12-75-24-1572-411~А(2)==112-133+1(-3)0+12(-3)0+(-1)(-3)-1+3(-3)1+1(-3)-1+12(-3)2+(-1)(-1)-7+3(-1)5+1(-5)-2+12(-5)4+(-1)(-5)-15+3(-5)7+1(-7)2+12(-7)-4+(-1)(-7)11+3(-7)=

=112-130-323-100-323-100-929-300-323-10

Элемент а22(2) отличен от нуля, поэтому мы умножаем элементы 2-ой строки матрицы А на А(2) на 1а22(2)=-23:

А(3)=112-1301-22030-323-100-929-300-323-10~А(4)=112-1301-22030-32+1323+(-2)32-10+203×320-92+1929+(-2)92-30+203×920-32+1323+(-2)32-10+203×32==112-1301-2203000000000000

• К элементам 3-ей строки полученной матрицы прибавляем соответствующие элементы 2-ой строки ,которые умножены на 32;
• к элементам 4-ой строки — элементы 2-ой строки, которые умножены на 92;
• к элементам 5-ой строки — элементы 2-ой строки, которые умножены на 32.

Все элементы строк равны нулю. Таким образом, при помощи элементарных преобразований ,мы привели матрицу к трапецеидальному виду, откуда видно, что Rank (A(4))=2 . Отсюда следует, что ранг исходной матрицы также равен двум.

Если проводить элементарные преобразования, то не допускаются приближенные значения!

Что такое ранг матрицы в математике

Оглавление

Время чтения:  7 минут

417

Из статьи вы узнаете, что такое ранг матрицы, научитесь его находить методом определений, окаймляющих миноров и методом элементарных преобразований (методом Гаусса).

Ранги матриц

Определение

Минором k-ого порядка матрицы называется определитель матрицы, вырезанной из заданной матрицы удалением одной или более её строк и столбцов.

Объясним это понятие на примерах. Допустим нам дана матрица

\[\begin{array}{cccc} 1 & 5 & 9 & 13 \\ 2 & 6 & 10 & 14 \\ 3 & 7 & 11 & 15 \\ 4 & 8 & 12 & 16 \end{array}\]

Чтобы найти минор M₂₃ вычёркиваем из неё вторую строку и третий столбец. В результате получаем

\[\begin{array}{lll} 1 & 5 & 13 \\ 3 & 7 & 15 \\ 4 & 8 & 16 \end{array}\]

Это и есть искомый, нужный нам минор. Посмотрим матрицы низших порядков.

Если нам дана матрица первого порядка, то её минором будет сама эта матрица. Если нам дана матрица второго порядка, допустим

\[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\]

То её минорами будут M₁₁=4, M₁₂ = 3, M₂₁=2, M₂₂=1

Для матрицы порядка pxn число миноров k-го порядка равно C^k_p*C^k_n , где C^k_p=p!/k!(p-k)!, C^k_n=n!/k!(n-k)! являются числом сочетаний из p по k и из n по k.

Определение

Ранг матрицы — это максимальный порядок её миноров, для которых определитель не равен нулю. Обозначается ранг матрицы A, как rang A.

Из выше приведённого определения можно сделать два важных заключения:

1. Ранг любой ненулевой матрицы отличен от нуля;
2. Ранг нулевой матрицы равняется нулю.

Эквивалентными матрицами называют матрицы, которые имеют один и тот же ранг.

Методы нахождения ранга матрицы

Каким именно способом нахождения ранга матрицы пользоваться в конкретной ситуации зависит от вашего умения, предпочтений и самой предложенной матрицы.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Нахождение ранга матрицы по определению

Нам нужно узнать, какой ранг матрицы А порядка p×n. Для нахождения ранга матрицы по определению последовательность действий и рассуждений следующая:

1. Проверяем миноры первого порядка. Если все они (именно все) в нашей матрице равны нулю, то rang A = 0;
2. Проверяем миноры второго порядка. Если они оказались равными нулю, то. rang A = 1;
3. Проверяем миноры третьего порядка. Если они нулевые, то rang A = 2.

Продолжаем исследования, каждый раз увеличивая порядок на один. Возможны следующие две ситуации:

1. Если среди миноров k-го порядка будет иметься хоть один, отличающийся от нуля, а все без исключения миноры (k+1)-го порядка окажутся нулевыми, то ранг будет равным k.
2. Если из миноров k-го порядка хоть один ненулевой, а миноры (k+1)-го порядка получить уже нельзя, то ранг матрицы тоже будет k.

Примеры

Пример 1. Требуется определить ранг матрицы A

\[\begin{array}{lllll}5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\2 & 0 & -1 & 0 & 1\end{array}\]

Решение:

Т. к. размер матрицы 3 на 5, и минимальным из этих чисел является 3, то rang A≤ 3. Связано это с
тем, что миноры 4-го порядка из данной матрицы уже не создашь, предел достигнут.

В нашем примере из миноров первого порядка есть те, что не равны нулю. Известно, что для перехода к
вычислению миноров второго порядка достаточно, чтобы хоть один из них (не важно какой) был неравным
нулю.

Из миноров 2-го порядка \[\begin{array}{ll}5 & 0 \\7 & 0\end{array}\] равен нулю, поэтому смотрим
следующий минор. Ясно, что \[\begin{array}{ll}7 & 0 \\2 & 0\end{array}\] тоже будет равняться нулю.
Постараемся найти более удачные варианты. Возможно \[\begin{array}{ll}5 & 2 \\7 & 3\end{array}\]
нулю не будет равен. Вычислим его. 5*3 – 7*2 = 1.

Наши предположения оправдались. Так как нашёлся хоть один минор второго порядка, который не равен нулю, нужно
приступить к исследованию миноров третьего порядка. Выберем тот из них, в котором нет нулей, например:

\[\begin{array}{ccc}5 & -3 & 2 \\-7 & -4 & 3 \\2 & -1 & 1\end{array}\]

Вычисляем его. -20 — 18 — 14 + 16 + 21 + 16 = 0. Как видим, он нулевой. Исследовав другие миноры третьего
порядка тоже узнаем, что они тоже нулевые. Нет ни одного отличного от нуля. Следовательно, rang A = 2.
Задачу можно считать решённой.

Ответ: rang A = 2.

Пример 2. Определить ранг матрицы B

\[\begin{array}{cccc}-1 & 3 & 2 & -3 \\4 & -2 & 5 & 1 \\-5 & 0 & -4 & 0 \\9 & 7 & 8 & -7\end{array}\]

Это квадратная матрица четвёртого порядка. Ранг её не должен превышать четырёх. Видно, что среди миноров
первого ранга есть ненулевые.

Сразу переходим к исследованию миноров второго ранга. Посмотрим, например, \[\begin{array}{cc}4 & -2 \\5
& 0 \end{array}\]. Он равен 0 – 10 = -10. Приступаем к исследованию миноров третьего ранга. Возьмём:

\[\begin{array}{ccc}-1 & 3 & -3 \\-5 & 0 & 0 \\9 & 7 & -7\end{array}\]

Его значение 105 – 105 =0. Придётся исследовать другой подобный минор. Берём

\[\begin{array}{ccc}-2 & 5 & 1 \\0 & -4 & 0 \\7 & 8 & -7\end{array}\]

Он равен -28, т. е. отличен от нулевого, поэтому переходим к минорам ещё на один порядок выше. Здесь у нас
только один выбор – сама матрица.

\[\begin{array}{cccc}-1 & 3 & 2 & -3 \\4 & -2 & 5 & 1 \\5 & 0 & -4 & 0 \\9 & 7 & 8 & -7\end{array}\]

Её минор равен 86, т. е. опять же отличен от нуля. Это значит, что ранг нашей матрицы равен 4. Решение
найдено.

Ответ: rang B = 4.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров

Во многих случаях он позволяет сократить количество проделываемых вычислений довольно значительно.

Теорема

Если все миноры, которые окаймляют минор k-го порядка, относящийся к матрице А, имеющей порядок p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А будут тоже нулевыми.

Алгоритм нахождения ранга матрицы при пользовании этим методом следующий:

1. Смотрим на миноры первого порядка. Если они все нулевые, значит и ранг нашей матрицы будет равным нулю. Если хотя бы один из них отличен от нуля, переходим к следующему шагу;
2. Смотрим, какие миноры окаймляют минор M₁. Если они все равны нулю, то ранг матрицы будет равен 1. При наличии хотя бы одного отличного от нуля ранг матрицы будет равен 2 или числу, превосходящему 2;
3. Исследуем миноры, окаймляющие минор M_2.. Они будут третьего порядка. Если все они нулевые, то ранг нашей матрицы будет равным 2. Если найдётся хотя бы один отличный от нуля, то ранг матрицы будет больше или равен 3.

Как и в предыдущем методе, продолжаем исследования, увеличивая каждый раз порядок на 1 до тех пор, пока все миноры не окажутся нулевыми, или не получится составить окаймляющий минор.

Примеры

Пример 3. Дана матрица С

\[\begin{array}{cccc}-1 & 2 & 1 & 3 \\-3 & 0 & 5 & 4 \\-5 & 4 & 7 & 10\end{array}\]

Решение: Сразу приступим к исследованию миноров второго порядка. Возьмём \[\begin{array}{ll}-1 & 2 \\-3 & 0\end{array}\].

Он будет равным 6, т.е. отличным от нуля.

Составляем окаймляющий минор. Для этого прибавляем к нашему минору следующую строку и следующий столбец. Получаем:

\[\begin{array}{lll}-1 & 2 & 1 \\-3 & 0 & 5 \\-5 & 4 & 7\end{array}\]

Он равен нулю. Исследование окаймляющих миноров придётся продолжить. Берём следующий за добавленным столбец и получаем

\[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\-3 & 0 & 4 \\-5 & 4 & 10\end{array}\]

Он тоже оказывается равным нулю. Других окаймляющих миноров нет, а значит ранг нашей матрицы будет равен 2. Решение найдено.

Ответ: rang С = 2.

Пример 4. Дана матрица D

\[\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 0 & 4 & 5 \\3 & 6 & -2 & -1 & 3 \\-2 & -4 & 2 & 5 & 7 \\-1 & -2 & 2 & 9 & 11\end{array}\]

Решение:

Как и в предыдущем случае, лучше его начать с вычисления минора второго порядка. Посмотрим \[\begin{array}{ll}1 & 2 \\3 & 6\end{array}\]. Он равен нулю. Берём другой минор \[\begin{array}{cc}2 & 0 \\6 & -2\end{array}\]. Он оказался равен -4.

Берём один из окаймляющих его миноров, например, \[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\3 & 6 & -2 \\-2 & -4 & 2\end{array}\].

Он равен нулю. Берём ещё один \[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 4 \\3 & 6 & -2 \\-2 & -4 & 2\end{array}\].

Он также равен нулю.

Посмотрим \[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 5 \\6 & -2 & -3 \\-4 & 2 & 7\end{array}\]. Он равен 4.

Переходим к четвёртому порядку.

\[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 5 \\3 & 6 & -2 & -3 \\-2 & -4 & 2 & 7 \\-1 & -3 & 2 & 1\end{array}\]

Он равен нулю. Придётся взять другой.

\[\begin{array}{cccc}2 & 0 & 4 & 5 \\6 & -2 & -1 & -3 \\-4 & 2 & 5 & 7 \\-2 & 2 & 9 & 11\end{array}\]

Он оказывается также равным нулю. Т. к. последний ненулевой минор у нас был третьего порядка, то и ранг матрицы будет равным 3. Решение найдено.

Ответ: rang E = 3.

Нахождение ранга матрицы методом элементарных преобразований или методом Гаусса

Под элементарными преобразованиями понимают перестановку строк, умножение строки на отличное от нуля число, прибавление к одной из строк, умноженных на некоторое число элементов другой строки.

Все указанные преобразования не меняют ранга матрицы. Пользуясь ими можно привести матрицу к виду, когда все из её элементов кроме a₁₁, a₂₂, a₃₃ … a_rr будут равны нулю, а значит ранг матрицы станет равняться r.

При нахождении ранга матрицы методом Гаусса нужно предвидеть, какие преобразования приведут к упрощению матрицы, а какие нет. К сожалению, сделать это далеко не всегда бывает просто.

Пример 5

Дана матрица F

\[\begin{array}{cccc}25 & 31 & 17 & 43 \\75 & 94 & 53 & 132 \\75 & 94 & 54 & 134 \\25 & 32 & 20 & 48\end{array}\]

Решение:

Из третьей строки этой матрицы вычитаем вторую, Из второй строки вычитаем первую

\[\begin{array}{cccc}25 & 31 & 17 & 43 \\75 & 94 & 53 & 132 \\0 & 0 & 1 & 2 \\0 & 1 & 2 & 5\end{array}\]

Далее из второй строки вычитаем первую, умноженную на три

\[\begin{array}{cccc}25 & 31 & 17 & 43 \\0 & 1 & 2 & 3 \\0 & 0 & 1 & 2 \\0 & 1 & 3 & 5\end{array}\]

Из четвёртой строки отнимаем третью и вторую

\[\begin{array}{cccc}25 & 31 & 17 & 43 \\0 & 1 & 2 & 3 \\0 & 0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\]

Из четвёртого столбца вычитаем третий, предварительно помноженный на два

\[\begin{array}{cccc}25 & 31 & 17 & 0 \\0 & 1 & 2 & -1 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\]

Делим первый столбец на 25 и вычитаем из второго столбца первый, до этого помножив его на 31

\[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 17 & 9 \\0 & 1 & 2 & -1 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\]

От третьего столбца отнимаем первый до этого помножив его на 17, а второй на 2; от четвёртого столбца отнимаем первый, умноженный на 9 и прибавляем второй, помноженный на 2

\[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\]

Так как ранг полученной матрицы равен 3, то у исходной матрицы он тоже будет равняться 3. Решение найдено.

Ответ: rang F = 3.

Как видите, находить ранг даже больших матриц с неравным количеством строк и столбцов достаточно просто. Чтобы проделывать указанную математическую операцию без серьёзных для себя затруднений, требуется лишь понимание сущности изложенных методов и некоторая практика. После этого проблем у вас возникать не должно.

линейная алгебра — Найдите $x$ так, чтобы ранг матрицы был равен $2$

$\begingroup$

Учитывая матрицу $$\begin{pматрица} 1 и 3 и -3 и х\\ 2&2&х&-4\ 1 и 1-x и 2x+1 и -5-3x\\ \end{pmatrix}$$ Найдите $x$ так, чтобы ранг матрицы был равен $2$

Во-первых, отмечу, что я не могу использовать метод определителя, так как это не квадратная матрица. Поэтому я перехожу к минорному методу. Поскольку задан ранг $2$, определитель любого минора $x \times 3$ должен быть равен нулю. Так что я беру

$$\begin{vmatrix} 1 и 3 и -3\\ 2 и 2 и х \\ 1 и 1-х и 2х+1 \\ \end{vmatrix} =0. $$

Мой расчет дает $x=\pm 2$. Однако, если я подставлю значения в матрицу, ранг получится равным $3$. Что я делаю не так?

• линейная алгебра
• матрицы
• ранг матрицы

$\endgroup$

7

$\begingroup$

$\begin{pmatrix} 1 и 3 и -3 и х\\ 2&2&х&-4\ 1 и 1-x и 2x+1 и -5-3x\\ \end{pmatrix}$ $\overset{R_2-2R_1\\R_3-R_1}\rightarrow\begin{pmatrix} 1 и 3 и -3 и х\\ 0 и -4 и х+6 и -4-2х \\ 0 и -2-х и 2х+4 и -5-4х\\ \end{pmatrix}$

$\overset{\frac{R_2}{4}}\rightarrow\begin{pmatrix} 1 и 3 и -3 и х\\ 0 и -1 & \ гидроразрыва {1} {4} (х + 6) & -1- \ гидроразрыва {х} {2} \\ 0 и -2-х и 2х+4 и -5-4х\\ \end{pmatrix}$ 92}{4}-\frac{5x}{4}-4=0\tag{1}$

не имеет решения.

Таким образом, ранг матрицы будет $3$ и не зависит от выбора $x$ .

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Существует несколько эквивалентных определений «ранга» матрицы. Если вы хотите использовать определители, воспользуйтесь определением: «Ранг матрицы $A$ равен наибольшему $n$ такому, что $A$ содержит подматрицу $n \times n$, определитель которой отличен от нуля». Поскольку ваша матрица содержит подматрицы 2×2 с ненулевым определителем, ранг должен быть 2 или 3. Посмотрите на все подматрицы 3×3. Если вы можете найти $x$ такое, что все 4 из этих подматриц имеют определитель 0, то для этого значения $x$ ранг вашей матрицы равен 2. Если таких $x$ нет, ранг равен 3. 92-4} \end{bmatrix} $$ Ранг 2 требует, чтобы последняя строка была нулевой, что невозможно. Обратите внимание на 1 в третьем столбце последней строки. Это не может быть устранено. В результате $\text{rank}(A)=3$.

$\endgroup$

1

Ранг матрицы. Определение

Ранг матрицы равен количеству линейно независимых строк (или столбцов) в ней. Следовательно, он не может превышать количество строк и столбцов. Например, если мы рассмотрим единичную матрицу порядка 3 × 3, все ее строки (или столбцы) линейно независимы, и, следовательно, ее ранг равен 3.

Давайте узнаем больше о ранге матрицы вместе с ее математическим определением и посмотрим, как найти ранг матрицы вместе с примерами.

Что такое ранг матрицы?

Ранг матрицы — это порядок старшего ненулевого минора. Рассмотрим ненулевую матрицу A. Говорят, что действительное число r является рангом матрицы A, если оно удовлетворяет следующим условиям:

• каждый минор порядка r + 1 равен нулю.
• Существует по крайней мере один минор порядка ‘r’, отличный от нуля.

Ранг матрицы A обозначается через ρ (A). Здесь «ρ» — греческая буква, которую следует читать как «ро». Таким образом, ρ (A) следует читать как «ро A» (или) «ранг A».

Как найти ранг матрицы?

Ранг матрицы можно определить тремя способами. Самый простой из этих способов — «преобразование матрицы в эшелонированную форму».

• Второстепенный метод
• Использование эшелонированной формы
• Использование обычной формы

Рассмотрим подробно каждый из этих методов.

Нахождение ранга матрицы методом минора

Вот шаги, чтобы найти ранг матрицы A минорным методом.

• Найдите определитель матрицы A (если матрица A квадратная). Если det (A) ≠ 0, то ранг A = порядок A.
• Если либо det A = 0 (в случае квадратной матрицы), либо A — прямоугольная матрица, то проверьте, существует ли минор максимально возможного порядка, отличный от нуля. Если существует такой ненулевой минор, то ранг A = порядок этого конкретного минора.
• Повторите предыдущий шаг, если все миноры порядка, рассмотренного на предыдущем шаге, равны нулю, а затем попытайтесь найти ненулевой минор порядка, который на 1 меньше, чем порядок из предыдущего шага.

Вот пример.

Пример: Найдите ранг матрицы ρ (A), если A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 и 2 и 3 \\
4 и 5 и 6 \
7 и 8 и 9
\end{массив}\right]\).

Решение:

A — квадратная матрица, поэтому мы можем найти ее определитель.

дет (А) = 1 (45 — 48) — 2 (36 — 42) + 3 (32 — 35)
= -3 + 12 — 9
= 0

Итак, ρ (A) ≠ порядок матрицы. т. е. ρ (A) ≠ 3,

Теперь посмотрим, сможем ли мы найти любой ненулевой минор порядка 2.

\(\left|\begin{array}{ll}
1 и 2 \\\
4 и 5
\end{array}\right|\) = 5 — 8 = -3 ≠ 0.

Итак, существует минор порядка 2 (или 2 × 2), отличный от нуля. Таким образом, ранг A, ρ (A) = 2,

Ранг матрицы с использованием формы Echelon

Что, если в приведенном выше примере первый минор порядка 2 × 2, который мы нашли, был равен нулю? Нам нужно было найти все возможные миноры порядка 2 × 2, пока мы не получим ненулевой минор, чтобы убедиться, что ранг равен 2. Этот процесс может быть утомительным, если порядок матрицы больше. Чтобы упростить процесс нахождения ранга матрицы, мы можем преобразовать ее в эшелонированную форму. Говорят, что матрица «А» находится в форме эшелона, если она находится либо в форме верхнего треугольника, либо в форме нижнего треугольника. Мы можем использовать элементарные преобразования строки/столбца и преобразовать матрицу в форму Echelon.

Преобразование строки (или столбца) может быть одним из следующих:

• Замена двух строк местами.
• Умножение строки на скаляр.
• Умножение строки на скаляр и последующее добавление его к другой строке.

Вот шаги, чтобы найти ранг матрицы.

• Преобразуйте матрицу в форму Echelon, используя преобразование строки/столбца.
• Тогда ранг матрицы равен количеству ненулевых строк в результирующей матрице.

Ненулевая строка матрицы — это строка, в которой хотя бы один элемент отличен от нуля.

Пример: Найти ранг матрицы A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 и 2 и 3 \\
4 и 5 и 6 \
7 и 8 и 9
\end{array}\right]\) (та же матрица, что и в предыдущем примере), преобразовав ее в эшелонированную форму.

Решение:

Дана матрица, A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 и 2 и 3 \\
4 и 5 и 6 \
7 и 8 и 9
\end{массив}\right]\).

Применяем R ₂ → R ₂ — 4R ₁ и R ₃ → R ₃ — 7R ₁ , получаем: 90}{lbegin }
1 и 2 и 3 \\
0&-3&-6\
0 и -6 и -12
\end{array}\right]\)

Теперь применим R ₃ → R ₃ — 2R ₂ , получаем:

\(\left[\begin{array}{lll}
1 и 2 и 3 \\
0&-3&-6\
0 и 0 и 0
\end{array}\right]\)

Теперь он в форме Echelon, и теперь нам нужно подсчитать количество ненулевых строк.

Количество ненулевых строк = 2 = ранг A.

Следовательно, ρ (A) = 2.

Обратите внимание, что мы получили тот же ответ, когда вычисляли ранг с использованием миноров.

Ранг матрицы с использованием нормальной формы

Если прямоугольную матрицу A можно преобразовать в форму \(\left[\begin{array}{ll}
I_r&0\\
0 и 0
\end{array}\right]\) с помощью элементарных преобразований строк, то говорят, что A находится в нормальной форме. Здесь I_r — единичная матрица порядка «r», и когда A преобразуется в нормальную форму, ее ранг равен ρ (A) = r. Вот пример. Преобразование в нормальную форму полезно при определении ранга прямоугольной матрицы. Но его можно использовать и для нахождения ранга квадратных матриц.

Пример: Найти ранг матрицы A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 и 2 и 1 и 2 \\
1 и 3 и 2 и 2 \\
2 и 4 и 3 и 4 \\
3 и 7 и 4 и 6
\end{array}\right]\) (снова та же матрица), приведя ее к нормальной форме.

Решение:

Применить R ₂ → R ₂ — R ₁ , R ₃ → R ₃ — 2R ₁ , и R ₄ → R ₄ — 3R ₁ получаем:

\(\left[\begin{array}{lll}
1 и 2 и 1 и 2 \\
0&1&1&0\
0&0&1&0\
0 и 1 и 1 и 0
\end{array}\right]\)

Теперь применим, R ₁ → R ₁ — 2R ₂ и R ₄ → R ₄ — R _{5 0 9\
, 0 слева[\begin{массив}{lll}
1 и 0 и -1 и 2 \\
0&1&1&0\
0&0&1&0\
0 и 0 и 0 и 0
\end{array}\right]\)}

Применить R ₁ → R ₁ + R ₃ и R ₂ → R ₂ — R ₃ ,

Теперь применим C ₄ → C ₄ — 2C ₁ ,

\(\left[\begin{array}{lll}
1&0&0&0&0\
0&1&0&0\
0&0&1&0\
0 и 0 и 0 и 0
\end{array}\right]\)

Это то же самое, что и \(\left[\begin{array}{ll}
I_3&0\\
0 и 0
\end{массив}\right]\).

Следовательно, ранг A равен ρ (A) = 3,

Ранг столбца и ранг строки матрицы

Когда мы вычислили ранг матрицы, используя ступенчатую форму и нормальную форму, мы увидели, что ранг матрицы равен количеству ненулевых строк в приведенной форме матрицы. На самом деле это известно как «ранг строки матрицы», поскольку мы подсчитываем количество ненулевых «строк». Точно так же ранг столбца — это количество ненулевых столбцов, или, другими словами, это количество линейно независимых столбцов. Например, в приведенном выше примере (из предыдущего раздела)

• Ранг строки = количество ненулевых строк = 3
• Ранг столбца = количество ненулевых столбцов = 3

Из этого очень ясно, что здесь «ранг строки = ранг столбца». На самом деле это верно для любой матрицы.

Свойства ранга матрицы

• Если A невырожденная матрица порядка n, то ее ранг равен n. т. е. р (А) = п.
• Если A находится в форме Echelon, то ранг A = количеству ненулевых строк A.
• Если A находится в нормальной форме, то ранг A = порядок единичной матрицы в ней.
• Если A — сингулярная матрица порядка n, то ρ (A) < n.
• Если A — прямоугольная матрица порядка m x n, то ρ (A) ≤ минимума {m, n}.
• Ранг единичной матрицы порядка n равен самому n.
• Ранг нулевой матрицы равен 0.

Важные примечания о рангах матрицы:

• При преобразовании матрицы в ступенчатую или нормальную форму мы можем использовать преобразование строк или столбцов. Мы также можем использовать сочетание преобразований строк и столбцов.
• Чтобы найти ранг матрицы, приведя ее к ступенчатой ​​или нормальной форме, мы можем подсчитать количество ненулевых строк или ненулевых столбцов.
• Ранг столбца = ранг строки для любой матрицы.
• Ранг квадратной матрицы порядка n всегда меньше или равен n.

☛ Связанные темы:

• Калькулятор определителя
• Калькулятор собственных значений
• Калькулятор сложения матриц
• Калькулятор умножения матриц

Часто задаваемые вопросы о ранге матрицы

Что такое определение ранга матрицы?

Ранг матрицы — это количество линейно независимых строк или столбцов в ней. Ранг матрицы A обозначается ρ (A), что читается как «ро матрицы A». Например, ранг нулевой матрицы равен 0, так как в ней нет линейно независимых строк.

Как найти ранг матрицы?

Чтобы найти ранг матрицы, мы можем использовать один из следующих методов:

• Найдите ненулевой минор старшего порядка, и его порядок даст ранг.
• Преобразуйте матрицу в эшелонированную форму, используя операции со строками и столбцами. Тогда количество ненулевых строк в ней даст ранг матрицы.
• Преобразование матрицы в нормальную форму \(\left[\begin{array}{ll}
  I_r&0\\
  0 и 0
  \end{array}\right]\), где I_r — единичная матрица порядка ‘r’. Тогда ранг матрицы = r.

Каков ранг матрицы порядка 3 × 3?

Ранг матрицы порядка 3 × 3 равен 3, если ее определитель НЕ равен 0. Если ее определитель равен 0, то преобразовать ее в эшелонированную форму с помощью преобразования строки/столбца, тогда количество ненулевых строк/столбцов присвоил бы звание.

Каков ранг матрицы порядка 2 × 2?

Если определитель матрицы 2 × 2 НЕ равен 0, то ее ранг равен 2. Если ее определитель равен 0, то ее ранг равен либо 1, либо 0. Точный ранг можно найти, приведя ее к ступенчатой ​​или нормальной форме. форма.

Как найти ранг матрицы с помощью определителя?

Чтобы найти ранг матрицы порядка n, сначала вычислите ее определитель (в случае квадратной матрицы). Если НЕ 0, то его ранг = n. Если он равен 0, то посмотреть, существует ли ненулевой минор порядка n — 1. Если такой минор существует, то ранг матрицы = n — 1. Если все миноры порядка n — 1 нули, то мы должны повторить процесс для миноров порядка n — 2, и так далее, пока мы не сможем найти ранг.

Каков ранг нулевой матрицы?

Нулевая матрица представляет собой квадратную матрицу, в которой все элементы равны 0. Определитель нулевой матрицы и любого ее минора сам равен 0. Следовательно, не существует минора нулевой матрицы, отличного от нуля. Следовательно, ранг нулевой матрицы равен 0.

Как быстро найти ранг матрицы?

Если определитель матрицы не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку матрицы. Это можно использовать как ярлык. Но этот ярлык не работает, когда определитель равен 0. В этом случае мы должны использовать либо минорную форму, форму эшелона, либо нормальную форму, чтобы найти ранг, как процессы объясняются на этой странице.

Каковы применения ранга матрицы?

Ранг матрицы в основном используется для определения количества решений системы уравнений. Если система имеет «n» уравнений с «n» переменными, то сначала мы находим ранг расширенной матрицы и ранг матрицы коэффициентов.

• Если ранг (расширенная матрица) ≠ ранг (матрица коэффициентов), то система не имеет решения (несовместна).
• Если ранг (расширенная матрица) = ранг (матрица коэффициентов) = количество переменных, то система имеет единственное решение (непротиворечивое).
• Если ранг (расширенная матрица) = ранг (матрица коэффициентов) < количества переменных, то система имеет бесконечное число решений (непротиворечивых).

Таблица тангенсов 0° — 180°

tg(1°) 0.0175 tg(2°) 0.0349 tg(3°) 0.0524 tg(4°) 0.0699 tg(5°) 0. 0875 tg(6°) 0.1051 tg(7°) 0.1228 tg(8°) 0.1405 tg(9°) 0.1584 tg(10°) 0.1763 tg(11°) 0.1944 tg(12°) 0.2126 tg(13°) 0.2309 tg(14°) 0.2493 tg(15°) 0.2679 tg(16°) 0.2867 tg(17°) 0.3057 tg(18°) 0.3249 tg(19°) 0.3443 tg(20°) 0.364 tg(21°) 0.3839 tg(22°) 0.404 tg(23°) 0.4245 tg(24°) 0.4452 tg(25°) 0.4663 tg(26°) 0.4877 tg(27°) 0.5095 tg(28°) 0.5317 tg(29°) 0. 5543 tg(30°) 0.5774 tg(31°) 0.6009 tg(32°) 0.6249 tg(33°) 0.6494 tg(34°) 0.6745 tg(35°) 0.7002 tg(36°) 0.7265 tg(37°) 0.7536 tg(38°) 0.7813 tg(39°) 0.8098 tg(40°) 0.8391 tg(41°) 0.8693 tg(42°) 0.9004 tg(43°) 0.9325 tg(44°) 0.9657 tg(45°) 1 tg(46°) 1.0355 tg(47°) 1.0724 tg(48°) 1.1106 tg(49°) 1.1504 tg(50°) 1.1918 tg(51°) 1.2349 tg(52°) 1.2799 tg(53°) 1. 327 tg(54°) 1.3764 tg(55°) 1.4281 tg(56°) 1.4826 tg(57°) 1.5399 tg(58°) 1.6003 tg(59°) 1.6643 tg(60°) 1.7321

tg(61°) 1.804 tg(62°) 1.8807 tg(63°) 1.9626 tg(64°) 2.0503 tg(65°) 2.1445 tg(66°) 2.246 tg(67°) 2.3559 tg(68°) 2.4751 tg(69°) 2.6051 tg(70°) 2.7475 tg(71°) 2.9042 tg(72°) 3.0777 tg(73°) 3.2709 tg(74°) 3.4874 tg(75°) 3.7321 tg(76°) 4.0108 tg(77°) 4. 3315 tg(78°) 4.7046 tg(79°) 5.1446 tg(80°) 5.6713 tg(81°) 6.3138 tg(82°) 7.1154 tg(83°) 8.1443 tg(84°) 9.5144 tg(85°) 11.4301 tg(86°) 14.3007 tg(87°) 19.0811 tg(88°) 28.6363 tg(89°) 57.29 tg(90°) ∞ tg(91°) -57.29 tg(92°) -28.6363 tg(93°) -19.0811 tg(94°) -14.3007 tg(95°) -11.4301 tg(96°) -9.5144 tg(97°) -8.1443 tg(98°) -7.1154 tg(99°) -6.3138 tg(100°) -5.6713 tg(101°) -5. 1446 tg(102°) -4.7046 tg(103°) -4.3315 tg(104°) -4.0108 tg(105°) -3.7321 tg(106°) -3.4874 tg(107°) -3.2709 tg(108°) -3.0777 tg(109°) -2.9042 tg(110°) -2.7475 tg(111°) -2.6051 tg(112°) -2.4751 tg(113°) -2.3559 tg(114°) -2.246 tg(115°) -2.1445 tg(116°) -2.0503 tg(117°) -1.9626 tg(118°) -1.8807 tg(119°) -1.804 tg(120°) -1.7321

tg(121°) -1.6643 tg(122°) -1.6003 tg(123°) -1. 5399 tg(124°) -1.4826 tg(125°) -1.4281 tg(126°) -1.3764 tg(127°) -1.327 tg(128°) -1.2799 tg(129°) -1.2349 tg(130°) -1.1918 tg(131°) -1.1504 tg(132°) -1.1106 tg(133°) -1.0724 tg(134°) -1.0355 tg(135°) -1 tg(136°) -0.9657 tg(137°) -0.9325 tg(138°) -0.9004 tg(139°) -0.8693 tg(140°) -0.8391 tg(141°) -0.8098 tg(142°) -0.7813 tg(143°) -0.7536 tg(144°) -0.7265 tg(145°) -0.7002 tg(146°) -0. 6745 tg(147°) -0.6494 tg(148°) -0.6249 tg(149°) -0.6009 tg(150°) -0.5774 tg(151°) -0.5543 tg(152°) -0.5317 tg(153°) -0.5095 tg(154°) -0.4877 tg(155°) -0.4663 tg(156°) -0.4452 tg(157°) -0.4245 tg(158°) -0.404 tg(159°) -0.3839 tg(160°) -0.364 tg(161°) -0.3443 tg(162°) -0.3249 tg(163°) -0.3057 tg(164°) -0.2867 tg(165°) -0.2679 tg(166°) -0.2493 tg(167°) -0.2309 tg(168°) -0.2126 tg(169°) -0. 1944 tg(170°) -0.1763 tg(171°) -0.1584 tg(172°) -0.1405 tg(173°) -0.1228 tg(174°) -0.1051 tg(175°) -0.0875 tg(176°) -0.0699 tg(177°) -0.0524 tg(178°) -0.0349 tg(179°) -0.0175 tg(180°) -0

Таблица тангенсов 180° — 360°

tg(181°) 0.0175 tg(182°) 0.0349 tg(183°) 0.0524 tg(184°) 0.0699 tg(185°) 0.0875 tg(186°) 0.1051 tg(187°) 0.1228 tg(188°) 0.1405 tg(189°) 0.1584 tg(190°) 0. 1763 tg(191°) 0.1944 tg(192°) 0.2126 tg(193°) 0.2309 tg(194°) 0.2493 tg(195°) 0.2679 tg(196°) 0.2867 tg(197°) 0.3057 tg(198°) 0.3249 tg(199°) 0.3443 tg(200°) 0.364 tg(201°) 0.3839 tg(202°) 0.404 tg(203°) 0.4245 tg(204°) 0.4452 tg(205°) 0.4663 tg(206°) 0.4877 tg(207°) 0.5095 tg(208°) 0.5317 tg(209°) 0.5543 tg(210°) 0.5774 tg(211°) 0.6009 tg(212°) 0.6249 tg(213°) 0.6494 tg(214°) 0. 6745 tg(215°) 0.7002 tg(216°) 0.7265 tg(217°) 0.7536 tg(218°) 0.7813 tg(219°) 0.8098 tg(220°) 0.8391 tg(221°) 0.8693 tg(222°) 0.9004 tg(223°) 0.9325 tg(224°) 0.9657 tg(225°) 1 tg(226°) 1.0355 tg(227°) 1.0724 tg(228°) 1.1106 tg(229°) 1.1504 tg(230°) 1.1918 tg(231°) 1.2349 tg(232°) 1.2799 tg(233°) 1.327 tg(234°) 1.3764 tg(235°) 1.4281 tg(236°) 1.4826 tg(237°) 1.5399 tg(238°) 1. 6003 tg(239°) 1.6643 tg(240°) 1.7321

tg(241°) 1.804 tg(242°) 1.8807 tg(243°) 1.9626 tg(244°) 2.0503 tg(245°) 2.1445 tg(246°) 2.246 tg(247°) 2.3559 tg(248°) 2.4751 tg(249°) 2.6051 tg(250°) 2.7475 tg(251°) 2.9042 tg(252°) 3.0777 tg(253°) 3.2709 tg(254°) 3.4874 tg(255°) 3.7321 tg(256°) 4.0108 tg(257°) 4.3315 tg(258°) 4.7046 tg(259°) 5.1446 tg(260°) 5.6713 tg(261°) 6. 3138 tg(262°) 7.1154 tg(263°) 8.1443 tg(264°) 9.5144 tg(265°) 11.4301 tg(266°) 14.3007 tg(267°) 19.0811 tg(268°) 28.6363 tg(269°) 57.29 tg(270°) — ∞ tg(271°) -57.29 tg(272°) -28.6363 tg(273°) -19.0811 tg(274°) -14.3007 tg(275°) -11.4301 tg(276°) -9.5144 tg(277°) -8.1443 tg(278°) -7.1154 tg(279°) -6.3138 tg(280°) -5.6713 tg(281°) -5.1446 tg(282°) -4.7046 tg(283°) -4.3315 tg(284°) -4. 0108 tg(285°) -3.7321 tg(286°) -3.4874 tg(287°) -3.2709 tg(288°) -3.0777 tg(289°) -2.9042 tg(290°) -2.7475 tg(291°) -2.6051 tg(292°) -2.4751 tg(293°) -2.3559 tg(294°) -2.246 tg(295°) -2.1445 tg(296°) -2.0503 tg(297°) -1.9626 tg(298°) -1.8807 tg(299°) -1.804 tg(300°) -1.7321

tg(301°) -1.6643 tg(302°) -1.6003 tg(303°) -1.5399 tg(304°) -1.4826 tg(305°) -1.4281 tg(306°) -1. 3764 tg(307°) -1.327 tg(308°) -1.2799 tg(309°) -1.2349 tg(310°) -1.1918 tg(311°) -1.1504 tg(312°) -1.1106 tg(313°) -1.0724 tg(314°) -1.0355 tg(315°) -1 tg(316°) -0.9657 tg(317°) -0.9325 tg(318°) -0.9004 tg(319°) -0.8693 tg(320°) -0.8391 tg(321°) -0.8098 tg(322°) -0.7813 tg(323°) -0.7536 tg(324°) -0.7265 tg(325°) -0.7002 tg(326°) -0.6745 tg(327°) -0.6494 tg(328°) -0.6249 tg(329°) -0. 6009 tg(330°) -0.5774 tg(331°) -0.5543 tg(332°) -0.5317 tg(333°) -0.5095 tg(334°) -0.4877 tg(335°) -0.4663 tg(336°) -0.4452 tg(337°) -0.4245 tg(338°) -0.404 tg(339°) -0.3839 tg(340°) -0.364 tg(341°) -0.3443 tg(342°) -0.3249 tg(343°) -0.3057 tg(344°) -0.2867 tg(345°) -0.2679 tg(346°) -0.2493 tg(347°) -0.2309 tg(348°) -0.2126 tg(349°) -0.1944 tg(350°) -0.1763 tg(351°) -0.1584 tg(352°) -0. 1405 tg(353°) -0.1228 tg(354°) -0.1051 tg(355°) -0.0875 tg(356°) -0.0699 tg(357°) -0.0524 tg(358°) -0.0349 tg(359°) -0.0175 tg(360°) -0

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Тангенс и котангенс

Главная / i / t

Тангенс

Такие тригонометрические функции как тангенс и котангенс используется реже чем синус и косинус, но понимать, что они из себя представляют все же необходимо. Точное школьное определение гласит:

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему

Легче это будет понять на примере. Попробуем приблизительно вычислить тангенс 30-ти градусов. Для этого нам нужно начерить прямоугольный треугольник (т.е. такой треугольник, в котором один угол будет 90°), пусть прямым углом будет угол C. В нашем треугольнике АВС угол А=30°, сторона ВС=5,8 см (катет противолежащий углу А), а сторона АС=10 см (катет прилежащий углу А).

Тангенс угла А получится, если длину стороны, противолежащей углу А, разделить на длину стороны, прилежащей углу А. То есть, если 5,8 разделить на 10. После деления 5,8 на 10, получим 0.58, приблизительно это число и есть тангенс угла 30°. Таким образом tg 30° ≈ 0,58. Разумеется, так тангенс никто не считает, но подобныое объяснение очень наглядно. Точное значение tg 30° таким способом определить не удастся, потому что невозможно абсолютно точно измерить катеты или начертить идеально правильный прямоугольный треугольник. На самом деле точные значения тангенса углов 30°, 45°, 60° придется просто запомнить, а тангенсы других углов от 0° до 90° для решения школьных задачь просто никогда не понадобятся. Таблица с точными значениями тангенса и котангенса этих углов будет дана ниже.

Найдем tg 45° сначала через прямоугольный треугольник, а затем проверим полученный результат на калькуляторе. Начертим прямоугольный треугольник с углом 45°,измерим в нем катеты и разделим длину катета BC, противолежащего углу 45° на длину катета AC, прилежащего углу 45°, т.е. разделим 10 на 10 — получим 1, значит tg 45°=1.

Более точное (но все же обычно только приближенное) значение тангенса можно найти с помощью калькулятора. Посмотрим согласится ли с нами калькулятор.

В этот раз нам удалось абсолютно точно определить tg 45° и калькулятор также выдал абсолютно правильное значение tg 45°. Посмотрим удастся ли это нам и калькулятору в следующий раз.

Таким же способом определим tg 60° сначала с помощью прямоугольного треугольника.

Результаты наших вычислений и калькулятора близки, но не точны, на самом деле абсолютно точное значение tg 60° равно (квадратному корню из трех), это число невозможно написать абсолютно точно, потому что цифры после запятой в этом числе будут идти до бесконечности.

Можно только приближаться точному результату, добавляя цифры, но это все равно будет приближенное (хоть и очень похожее на истинное) значение tg 60°

Котангенс

Котангенс не меньше похож на тангенс, чем синус на косинус, между ними тоже наблюдается некая симетрия:

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему

Котангенс отличается от тангенса тем, что делить надо наоборот — прилежащую углу А сторону AC на противолежащую BC. Получается, что, например, котангенс 30° равен 17,3 деленому на 10, и таким образом котангенс 30° будет приблизительно равен 1,73.

Пример приближенного определения котангенса 45° изображен на следующем рисунке.

Должно быть совершенно очевидно, что tg 45° и сtg 45° оба равны единице, т.к. если противолежащий катет при делении на прилежащий равен единице, то и прилежащий катет при делении на противолежащий будет равен единице.

Котангенс на столько похож на тангенс, что его даже никогда нет на калькуляторе. Чтобы вычислить ctg 45° на калькуляторе надо единицу разделить на tg 45°.

Аналогичным способом приближенно вычисляем ctg 60°.

Все нужные точные значения тангенса и котангенса, которые надо знать, заключим в таблицу.

Этого достаточно, чтобы понять, что представляет из себя значение этих четырех тригонометрических функций для углов меньших 90°. В 10-11 классах понадобится умение быстро определять эти значения и для углов больше 90°, и для углов меньше нуля, да и измерять углы уже будут не в удобных градусах, а в радианах. Есть простой способ научиться этому, если, конечно, нет желания зубрить эту таблицу и еще очень многое другое.

Температура стеклования (Tg) пластмасс

1. Что такое температура стеклования (Tg)?
2. В каких единицах измеряется температура стеклования?
3. Полимеры какого типа подвергаются стеклованию?
4. Каковы примеры полимеров с высокой или низкой Tg?
5. В чем разница между Tg и Tm?
6. Почему важно определять Tg полимеров?
7. Какие факторы влияют на Tg?
8. Какими методами можно определить Tg?
9. Каковы значения стеклования некоторых пластиков?

Что такое температура стеклования (Tg)?

Температура стеклования (Tg) относится к аморфным полимерам. При этой температуре полимеры переходят из стеклообразного состояния в каучукоподобное. Tg является важной характеристикой поведения полимера. Он знаменует собой область резкого изменения физико-механических свойств.

• Ниже Tg : Из-за отсутствия подвижности полимеры твердые и хрупкие, как стекло.
• Выше Tg : Из-за некоторой подвижности полимеры мягкие и гибкие, как резина.

Кривая температуры стеклования, показывающая переход полимера

Каковы единицы измерения температуры стеклования?

Единицы температуры стеклования:

• Градусы Цельсия (°C)
• градуса по Фаренгейту (°F)
• Кельвин (К)

Величина зависит от подвижности полимерной цепи. Tg для большинства синтетических полимеров составляет от 170 до 500 К.

Полимеры какого типа подвергаются стеклованию?

Полимеры состоят из длинных цепочек молекул. Tg зависит от химической структуры полимера, определяемой его кристалличностью. Они могут быть аморфными, кристаллическими или полукристаллическими.

Аморфные полимеры

Аморфные полимеры имеют случайную молекулярную структуру. При Tg они приобретают свойства стеклообразного состояния, такие как хрупкость, жесткость и жесткость (при охлаждении). Они имеют более низкую Tg, чем полукристаллические полимеры. Это связано с тем, что их полимерные цепи физически запутаны и имеют промежутки между ними или на концах цепи. Это пространство известно как свободный объем, который помогает полимерным цепям двигаться при низких температурах. Чем выше свободный объем, тем ниже температура стеклования.

У них нет резкой температуры плавления. При повышении температуры аморфный материал размягчается. Эти материалы более чувствительны к разрушению под напряжением из-за присутствия углеводородов. Примерами аморфных полимеров являются ПК, ПММА, ПВХ, АБС и GPPS.

Кристаллические полимеры

Кристаллические полимеры имеют высокоупорядоченную молекулярную структуру. Они не размягчаются при повышении температуры, а имеют определенную и узкую точку плавления (Tm). Эта температура плавления обычно выше верхнего диапазона аморфных термопластов. Примеры кристаллических полимеров включают полиолефины, PEEK, PET, POM и т. д.

Полукристаллические полимеры

Полукристаллические полимеры имеют комбинацию случайной и упорядоченной структур. Эти упорядоченные структуры представляют собой кристаллы, которые ограничивают движение полимерных цепей, что приводит к более высокой Tg.

Примечание: Tg является свойством аморфных полимеров и аморфной части полукристаллического твердого вещества.

Каковы примеры полимеров с высокой или низкой Tg?

Полимеры с высокой Tg

Некоторые полимеры используются ниже их Tg (в стеклообразном состоянии), например:

• Полистирол
• Поли(метилметакрилат)

Эти полимеры твердые и хрупкие. Их Tg выше комнатной температуры. Узнайте больше о температуре хрупкого перехода »

Полимеры с низкой Tg

Некоторые полимеры используются выше их Tg (в каучукоподобном состоянии), например, каучуковые эластомеры, такие как:

• Полиизопрен
• Полиизобутилен

Они мягкие и гибкие по своей природе. Их Tg меньше, чем при комнатной температуре.

В чем разница между Tg и Tm?

На молекулярном уровне цепи в аморфных областях полимера получают достаточную тепловую энергию, чтобы начать скользить относительно друг друга с заметной скоростью. Температура, при которой происходит все движение цепи, называется точкой плавления. Это больше, чем Tg.

• Стеклование — это свойство аморфной области, а плавление — свойство кристаллической области.
• Ниже Tg существует неупорядоченное аморфное твердое тело, в котором цепное движение заморожено, а молекулы начинают колебаться выше Tg. Чем более неподвижна цепь, тем выше значение Tg.
• В то время как ниже Tm это упорядоченное кристаллическое твердое тело, которое становится неупорядоченным расплавом выше Tm.

Рабочая температура полимеров определяется температурами перехода.

График зависимости нагрева от температуры для кристаллического полимера (L) и аморфного полимера (R)
(Источник: PSLC)

Почему важно определять Tg полимеров?

Температура стеклования является важным свойством, используемым для изменения физических свойств полимеров.

• Повышение Tg улучшает характер обработки, растворимость и воспроизводимость при растворении твердых веществ.
• Изменения физических свойств, таких как твердость и эластичность.
• Изменения объема, относительное удлинение до разрыва и модуль Юнга твердых тел.
• Используется для контроля качества, исследований и разработок.

Какие факторы влияют на Tg?

Химическая структура

Добавление пластификаторов

Пластификаторы увеличивают свободный объем между полимерными цепями, раздвигая их. Полимерные цепи скользят относительно друг друга при более низких температурах, что приводит к снижению Tg.

Содержание воды или влаги

Увеличение содержания влаги приводит к образованию водородных связей между полимерными цепями. Эти связи увеличивают расстояние между цепными структурами. Это приводит к увеличению свободного объема и снижению Tg.

Влияние энтропии и энтальпии

Значение энтропии высокое для аморфного материала и низкое для кристаллического материала. Если энтропия высока, то Tg также высока.

Давление и свободный объем

Увеличение давления окружающей среды приводит к уменьшению свободного объема и, в конечном итоге, к повышению Tg.

Другие факторы, влияющие на Tg

Другие факторы оказывают значительное влияние на температуру стеклования полимеров. К ним относятся:

• Ответвления,
• Длина алкильной цепи,
• Связь взаимодействия,
• Гибкость полимерной цепи,
• Толщина пленки и т. д.

Какие существуют методы определения Tg?

ДСК, ДТА и ДМА на сегодняшний день являются наиболее распространенными методами, используемыми для измерения температуры стеклования.

Дифференциальная сканирующая калориметрия (ДСК)

Дифференциальная сканирующая калориметрия (ДСК) представляет собой термоаналитический метод с использованием дифференциального сканирующего калориметра. Он отслеживает разницу теплового потока между образцом и эталоном в зависимости от времени или температуры. Он также программирует изменение температуры образца в заданной атмосфере.

ДСК определяет термические свойства полимера. Это относится к аморфным участкам полимеров, которые являются стабильными. Эти материалы не подвергаются разложению или сублимации в области стеклования.

Измерение температуры стеклования различных полимеров с помощью ДСК
(Источник: Mettler-Toledo Analytical)

Стандарты испытаний, используемые для определения температуры стеклования смол с помощью ДСК, включают:

• ASTM E1356-08 (2014) — Стандартный метод испытаний для определения температуры стеклования с помощью дифференциальной сканирующей калориметрии
• ASTM D3418-15 – Стандартный метод определения температуры перехода, энтальпии плавления и кристаллизации полимеров методом дифференциальной сканирующей калориметрии
• ASTM D6604-00(2017) – Стандартная практика определения температуры стеклования углеводородных смол методом дифференциальной сканирующей калориметрии
• ISO 11357-1:2016 – Пластмассы. Дифференциальная сканирующая калориметрия (ДСК)
• Часть 1 : Общие принципы
• Часть 2 : Определение температуры стеклования и высоты ступеньки

Дифференциальный термический анализ (ДТА)

Дифференциальный термический анализ (ДТА) — популярный метод термического анализа. Он часто используется для измерения Tg материала. Этот метод тестирования аналогичен дифференциальной сканирующей калориметрии (ДСК). В методике используется инертный эталонный материал.

• Исследуемый материал в ДТА подвергается различным циклам нагрева и охлаждения (термическим).
• Определяет разницу температур между эталоном и образцом. Он поддерживает одинаковую температуру на протяжении всех циклов нагрева для эталона и образца. Это гарантирует, что среда тестирования является единообразной.

Принципы измерения DTA (Источник: Hitachi High-Tech Corporation)
, где на графике (a) показано изменение температуры печи, эталона и образца в зависимости от времени
График (b) показывает разницу температур (ΔT) в зависимости от времени, определенную с помощью дифференциальной термопары

Стандарты испытаний, используемые для определения температуры стеклования смол с помощью ДТА, включают:

• ASTM E794-06(2018) – Стандартный метод определения температуры плавления и кристаллизации с помощью термического анализа

Динамический механический анализ (DMA)

Динамический механический анализ (DMA) использует динамический механический анализатор для измерения жесткости материалов в зависимости от температуры, влажности, среды растворения или частоты.

Типовой график анализа методом прямого доступа к памяти

В этом методе к образцу прикладывается механическое напряжение, и результирующая деформация измеряется прибором. Эти параметры используются для оценки стеклования, степени кристалличности и жесткости образца.

Стандарты испытаний, используемые для определения температуры стеклования смол с помощью DMA, включают:

• ASTM E1640-13 – Стандартный метод испытаний для определения температуры стеклования с помощью динамического механического анализа

Несколько других методов определения Tg включают:

• Измерение удельной теплоемкости
• Термомеханический анализ
• Измерение теплового расширения
• Измерение микротеплообмена
• Изотермическая сжимаемость
• Определение теплоемкости

Вдохновитесь: узнайте, как объединять данные нескольких инструментов ДСК, ТГА, ДМА, ИК-Фурье для оптимального анализа материалов

Каковы значения температуры стеклования некоторых пластиков?

Нажмите, чтобы найти полимер, который вы ищете:
A-C     | Э-М     | ПА-ПК     | ПЭ-ПЛ     | ПМ-ПП     | PS-X

Название полимера	Минимальное значение (°C)	Максимальное значение (°C)
АБС-акрилонитрил-бутадиен-стирол	90,0	102. 0
Огнестойкий АБС-пластик	105,0	115,0
Высокотемпературный АБС-пластик	105.0	115,0
Ударопрочный АБС-пластик	95,0	110,0
Аморфный TPI, среднетемпературный, прозрачный	247,0	247,0
Аморфный TPI, среднетемпературный, прозрачный (одобрен для контакта с пищевыми продуктами)	247,0	247,0
Аморфный TPI, среднетемпературный, прозрачный (класс выпуска для пресс-форм)	247,0	247,0
Аморфный ТПИ, среднетемпературный, прозрачный (порошок)	247,0	247,0
CA — Ацетат целлюлозы	100,0	130,0
CAB — Бутират ацетата целлюлозы	80,0	120,0
Перламутровые пленки на основе диацетата целлюлозы	120,0	120,0
Глянцевая пленка на основе диацетата целлюлозы	120,0	120,0
Пленки Integuard на основе диацетата целлюлозы	113. 0	113.0
Матовая пленка из диацетата целлюлозы	120,0	120,0
Пленка из диацетата целлюлозы для окон (пищевая)	120,0	120,0
Металлизированная пленка диацетат целлюлозы-Clareflect	120,0	120,0
Пленки, окрашенные диацетатом целлюлозы	120,0	120,0
Огнезащитная пленка из диацетата целлюлозы	162,0	162,0
Высокоскользящая пленка из диацетата целлюлозы	120,0	120,0
Пленки из диацетата целлюлозы и полутона	120,0	120,0
CP — пропионат целлюлозы	80,0	120,0
COC — Циклический олефиновый сополимер	136,0	180,0
ХПВХ — хлорированный поливинилхлорид	100,0	110,0
EVOH — этиленвиниловый спирт	15,0	70,0
HDPE — полиэтилен высокой плотности	-110,0	-110,0
HIPS — ударопрочный полистирол	88. 0	92.0
Огнестойкий материал HIPS V0	90,0	90,0
LCP Армированный стекловолокном	120,0	120,0
LCP С минеральным наполнением	120,0	120,0
LDPE – полиэтилен низкой плотности	-110,0	-110,0
LLDPE — линейный полиэтилен низкой плотности	-110,0	-110,0
PA 11 — (Полиамид 11) 30% армированный стекловолокном	35,0	45,0
PA 11, токопроводящий	35,0	45,0
PA 11, гибкий	35,0	45,0
Полиамид 11, жесткий	35,0	45,0
PA 12 (полиамид 12), токопроводящий	35,0	45,0
PA 12, армированный волокном	35,0	45,0
PA 12, гибкий	35,0	45,0
PA 12, стеклонаполненный	35,0	45,0
Полиамид 12, жесткий	35,0	45,0
PA 46, 30 % стекловолокно	75,0	77,0
ПА 6 — Полиамид 6	60,0	60,0
ПА 66 — Полиамид 6-6	55,0	58. 0
PA 66, 30% стекловолокно	50,0	60,0
PA 66, 30% минеральный наполнитель	50,0	60,0
PA 66, ударопрочный, 15-30% стекловолокна	50,0	60,0
Полуароматический полиамид	115,0	170,0
ПАИ — полиамид-имид	275,0	275,0
PAI, 30% стекловолокно	275,0	275,0
PAI, низкое трение	275,0	275,0
ПАР — Полиарилат	190,0	190,0
ПБТ – полибутилентерефталат	55,0	65,0
ПК (поликарбонат) 20-40% стекловолокна	150,0	150,0
ПК (поликарбонат) 20-40% стекловолокно огнестойкое	150,0	150,0
Поликарбонат, высокотемпературный	160,0	200,0
ПКЛ — поликапролактон	-60,0	-60,0
ПЭ – полиэтилен 30% стекловолокна	-110,0	-110,0
PEEK — полиэфирэфиркетон	140,0	145,0
PEEK 30% Армированный углеродным волокном	140,0	143,0
PEEK 30% Армированный стекловолокном	143,0	143,0
ПЭИ, наполненный минералами	215. 0	215.0
ПЭИ, 30% армированный стекловолокном	215.0	215.0
ПЭИ, наполненный минералами	215.0	215.0
ПЭСУ — Полиэфирсульфон	210.0	230,0
PESU 10-30% стекловолокно	210.0	230,0
ПЭТ – полиэтилентерефталат	73,0	78.0
ПЭТ, 30% армированный стекловолокном	56.0	56.0
PETG – полиэтилентерефталатгликоль	79.0	80,0
ПФА — перфторалкокси	90,0	90,0
PGA — Полигликолиды	35,0	40,0
PHB-V (5% валерат) — поли(гидроксибутират-ковалерат)	3.0	5.0
ПИ — Полиимид	250,0	340,0
PLA, прядение из расплава волокна	55,0	65,0
PLA, термосвариваемый слой	52. 0	58.0
ПЛА, Литье под давлением	55,0	60,0
ПЛА, спанбонд	55,0	60,0
PLA, бутылки, формованные выдуванием	50,0	60,0
ПММА — полиметилметакрилат/акрил	90,0	110,0
ПММА (акрил) Высокотемпературный	100,0	168,0
ПММА (акрил), ударопрочный	90,0	110,0
ПМП — Полиметилпентен	20,0	30,0
PMP 30% армированный стекловолокном	20,0	30,0
Минеральный наполнитель PMP	20,0	30,0
ПОМ ​​- полиоксиметилен (ацеталь)	-60,0	-50,0
ПП — полипропилен 10-20% стекловолокна	-20,0	-10,0
ПП, 10-40% минерального наполнителя	-20,0	-10,0
ПП, наполнитель 10-40% талька	-20,0	-10,0
ПП, 30-40% армированный стекловолокном	-20,0	-10,0
ПП (полипропилен) сополимер	-20,0	-20,0
ПП (полипропилен) гомополимер	-10,0	-10,0
ПП, ударопрочный	-20,0	-20,0
СИЗ — полифениленовый эфир	100,0	210. 0
Средства индивидуальной защиты, 30% армированные стекловолокном	100,0	150,0
СИЗ, ударопрочные	130,0	150,0
СИЗ с минеральным наполнителем	100,0	150,0
ПФС — Полифениленсульфид	88.0	93,0
ППС, 20-30% армированный стекловолокном	88.0	93,0
ППС, 40% армированный стекловолокном	88.0	93,0
PPS, проводящий	88.0	93,0
ПФС, стекловолокно и минеральный наполнитель	88.0	93,0
PPSU — полифениленсульфон	220,0	220,0
PS (полистирол) 30% стекловолокно	90,0	120,0
PS (полистирол) Кристалл	90,0	90,0
PS, высокотемпературный	90,0	90,0
Блок питания — полисульфон	187,0	190,0
Блок питания, 30% армированный стекловолокном	187,0	190,0
Блок питания с минеральным наполнением	187,0	190,0
ПВХ (поливинилхлорид), 20% армированный стекловолокном	60,0	100,0
ПВХ, пластифицированный	-50,0	-5,0
ПВХ, пластифицированный с наполнителем	-50,0	-5,0
Жесткий ПВХ	60,0	100,0
ПВДХ – поливинилиденхлорид	-15,0	-15,0
ПВДФ – поливинилиденфторид	-42,0	-25,0
САН – Стирол-акрилонитрил	100,0	115,0
SAN, 20% армированный стекловолокном	100,0	115,0
SMA – стирол малеиновый ангидрид	110,0	115,0
SMA, 20% армированный стекловолокном	110,0	115,0
SMA, огнестойкий V0	110,0	115,0
SRP — Самоармирующийся полифенилен	150,0	168,0

Что такое температура стеклования?

Что означает температура стеклования (Tg)?

Температура стеклования ( Tg ) – это температура, при которой полимер превращается из пластичного материала в твердый, хрупкий материал. Это температура, при которой углеродные цепи начинают двигаться. На этом этапе аморфная область испытывает переход от жесткого состояния к гибкому состоянию с изменением температуры на границе твердого состояния на более вязкоупругое (резинообразное). При этой температуре свободный объем, или зазор между молекулярными цепями, увеличивается в 2,5 раза.

Вязкоупругие свойства полукристаллического полимера обеспечивают гибкость, как в случае с упаковочными материалами.

Температура стеклования — это свойство аморфной части полукристаллического материала. В точке, где температура окружающей среды ниже T _g , молекулы аморфных материалов остаются замороженными на месте и ведут себя как твердое стекло. Пластмассовые материалы имеют более низкую T _g , хотя пластмассы с жесткой молекулярной структурой показывают более высокую Т _г .

Каждый полимер с аморфной структурой имеет свою собственную уникальную температуру стеклования, которая является полезным фактором при определении того, подходит ли данный материал для гибких или жестких применений.

Рис. 1. График температуры стеклования, отображающий температуру и жесткость материала.

Corrosionpedia объясняет температуру стеклования (Tg)

Температура, при которой аморфный полимерный материал превращается в вязкую жидкость или резиноподобную форму при нагревании, называется температурой стеклования ( Тг ). Его также можно определить как температуру, при которой аморфный полимер приобретает характерные свойства стеклообразного состояния, такие как хрупкость, жесткость и жесткость при охлаждении. Эту температуру можно использовать для идентификации полимеров.

Также при ТГ изменяется подвижность основной остовной цепи. При более низких температурах молекулярное движение все еще существует, но основная цепь остывает на месте. Tg для данного пластика можно изменить путем введения пластификатора, как в случае с ПВХ.

Величина Tg сильно зависит от подвижности полимерной цепи и для большинства синтетических полимеров лежит в пределах от 170°К до 500°К (от -103°С до 227°С).

Чистые кристаллические полимеры не имеют температуры стеклования, поскольку температура стеклования применима только к аморфным полимерам. Чистые аморфные полимеры не имеют температуры плавления; они имеют только температуру стеклования. Однако многие полимеры состоят как из аморфных, так и из кристаллических структур. Это означает, что многие полимеры имеют как температуру стеклования, так и температуру плавления. Температура стеклования ниже температуры плавления.

Практическое применение температуры стеклования (T

Различные температуры стеклования различных полимеров делают одни полимеры более подходящими для одних применений, чем другие. Например, резиновая шина для автомобиля мягкая и пластичная, потому что при нормальных рабочих температурах она намного выше температуры стеклования. Если бы его температура стеклования была выше его рабочей температуры, он не обладал бы гибкостью, необходимой для сцепления с дорожным покрытием.

Другие полимеры предназначены для работы при температуре ниже их температуры стеклования. Примером этого является жесткая пластиковая ручка на инструменте. Если бы пластиковая рукоятка имела температуру стеклования ниже рабочей температуры, она была бы слишком гибкой, чтобы ее можно было взять и эффективно использовать инструмент.

Факторы, влияющие на температуру стеклования

Внешние факторы, такие как влажность или уровень влажности, также могут влиять на T g . Поскольку влага имеет тенденцию медленно диффундировать через материал, она может действовать как пластификатор и вызывать достижение равновесного содержания влаги в материале в зависимости от относительной влажности при воздействии. Это приводит к снижению Т г . Материалы, используемые в офисных помещениях, в течение срока службы впитывают лишь умеренное количество влаги по сравнению с материалами, хранящимися на открытом воздухе во влажной среде. Из-за этого может быть уместна более низкая температура сушки (значительно ниже температуры отверждения) или контроль воздействия влаги.

Как проводится измерение температуры стеклования

Классический способ измерения температуры стеклования заключается в проведении серии механических испытаний в ожидаемом диапазоне температур. Несмотря на то, что существует несколько вариантов типа испытаний, стандартными являются испытания на прочность на изгиб или прочность на сдвиг. Результаты представлены в виде графика зависимости модуля изгиба или модуля сдвига от температуры. Т г указывается при значительном снижении прочности материала.

Наиболее стандартными термическими методами определения температуры перехода являются дифференциальная сканирующая калориметрия (ДСК), динамический механический анализ (ДМА) и термомеханический анализ (ТМА).

Практическое применение температуры стеклования

Эпоксидные покрытия широко используются для защиты трубопроводов в нефтяной и газовой промышленности. Важным соображением является выбор наилучшего состава эпоксидной смолы, который обеспечивает эффективность и устойчивую защиту от коррозии, особенно в условиях более высоких температур.

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Алгебра Минор матрицы: определение, пример

В данной публикации мы рассмотрим, что такое минор матрицы, как его можно найти, а также разберем пример для закрепления теоретического материала.

• Определение минора матрицы
• Пример нахождения минора

Определение минора матрицы

Минор M_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка – это определитель (n-1)-го порядка, который получается путем вычеркивания строки i и столбца j из исходного.

Базисным называется любой ненулевой минор матрицы максимального порядка. Т.е. в матрице A минор порядка r является базисным, если он не равняется нулю, а все миноры порядка r+1 и выше либо равны нулю, либо не существуют. Таким образом, r совпадает с меньшим из значений m или n.

Пример нахождения минора

Давайте найдем минор M₃₂ к элементу a₃₂ определителя ниже:

Решение
Согласно поставленной задаче нам нужно вычеркнуть из определителя третью строку и второй столбец:

Получаем вот такой результат:

Для этого же определителя минор M₁₃ к элементу a₁₃ выглядит так:

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Калькулятор PPF — Рассчитайте доходность ваших инвестиций PPF

• Главная
• Розничная торговля
• Калькуляторы
• Калькулятор PPF

Подать заявку

Ищете долгосрочные инвестиции и возможность сэкономить на налогах? Выберите Государственный резервный фонд (PPF), который дает налоговые льготы на инвестированную основную сумму, полученные проценты и сумму погашения. Кроме того, вы получаете гарантированный безрисковый доход, с возможностью частичного изъятия вашего корпуса PPF или получения кредита под него. Вы также можете проверить свой баланс, перевести средства и просмотреть мини-выписки онлайн, в любом месте, в любое время!. С помощью калькулятора PPF вы можете найти из того, сколько сумма будет на момент погашения — инвестиции плюс проценты. Вы можете выбрать сумму, которую хотите инвестировать, и количество лет, на которое хотите инвестировать.

Сумма инвестиций

Сумма инвестиций

Сумма инвестиций

Сумма инвестиций

Продолжительность (лет) 15

Процентная ставка 7,10%

Сумма погашения 10 50 000

Общий депозит 10 50 000

Всего процентов 10 50 000

• org/Question»> Что такое счет PPF? Счет государственного резервного фонда

  или счет PPF — это спонсируемая государством сберегательная программа, которая предлагает стабильный и фиксированный доход, возможность долгосрочного инвестирования и налоговые льготы. Это надежная инвестиция, которая может использоваться для долгосрочных нужд, таких как учеба детей в высших учебных заведениях или ваш пенсионный фонд.

• Каковы преимущества PPF?

  Преимущества PPF включают гарантированный и фиксированный доход; налоговые льготы при первоначальных инвестициях, начисление и снятие процентов, а также возможность инвестирования на длительный срок.

• Как рассчитываются проценты по PPF?

  Процентная ставка по PPF объявляется правительством ежеквартально. Он привязан к ставкам по государственным ценным бумагам и меняется соответственно. Проценты по PPF рассчитываются на основе вашего баланса в вашем аккаунте до пятого числа каждого месяца. Поэтому в идеале внесите депозит до пятого числа месяца, чтобы получить максимальную выгоду. Любой депозит, сделанный после этого, не будет приносить проценты по этому конкретному месяц. В настоящее время ставка PPF составляет 7,1% на квартал с июля по сентябрь 2020 года9.0013

• Каков минимальный период блокировки для PPF?

  Период блокировки составляет 15 лет, и его можно продлевать блоками по пять лет на неопределенный срок. Есть возможность частичного отказа через 5 лет при соблюдении условий.

• Какова минимальная сумма, необходимая для начала инвестирования в PPF?

  Минимальная сумма инвестиций для начала инвестирования в PPF составляет 500 рупий.

• Сколько я получу в PPF через 15 лет?

  Это будет зависеть от суммы ваших инвестиций и процентной ставки.

• Облагаются ли инвестиции PPF налогом?

  Да. Инвестиции в PPF до 1,5 лакха в год, полученные проценты и сумма погашения не облагаются налогом.

• Что такое процентная ставка PPF?

  Привязан к ставкам по государственным ценным бумагам и меняется соответственно. Правительство объявляет об этом каждый квартал.

• Как рассчитывается срок погашения PPF?

  Срок погашения составляет 15 лет с конца финансового года, когда осуществлена ​​первая инвестиция. Например, если вы сделали первые инвестиции в июне 2020 года, то ваш первый полный год инвестиций будет с апреля 2021 г. по март 2022 г., а срок действия вашей учетной записи истекает в марте 2036 г.

• Что произойдет, если я пропущу свой вклад в течение года?

  Если вы пропустите свой вклад в течение года, учетная запись станет бездействующей. Вы можете активировать его, заплатив минимальный взнос в размере рупий. 500 и штраф 500 руб. 50 за каждый год, когда вы пропустили взнос.

• Могу ли я инвестировать в PPF онлайн?

  Да, вы можете инвестировать в PPF онлайн. Для онлайн-инвестирования клиенты Axis Bank могут посетить веб-сайт Axis Bank (www.axisbank.com/ppf) и подать заявку на PPF.

• Могу ли я открыть более одного счета PPF?

  Нет. У каждого абонента может быть только одна учетная запись PPF. Но вы можете открыть счет PPF на имя вашего несовершеннолетнего ребенка.

• Информация, представленная в этом калькуляторе, не является исследовательским материалом, проведенным Axis Bank, и никоим образом не отражает точку зрения Axis Bank.
• Информация, содержащаяся здесь, является общей информацией. Это также не является предложением, приглашением, рекомендацией или призывом к какому-либо лицу заключить какую-либо сделку, описанную в нем, или любую аналогичную сделку. с Axis Bank, а также не является прогнозом вероятного движения в будущем. Информация не была подготовлена ​​в отношении инвестиционных целей, финансового положения, опыта какого-либо лица или группы лиц. или особые потребности, и эта информация не должна рассматриваться как рекомендация или совет по инвестициям или сбережениям.
• Банк не несет никакой ответственности за любые ошибки, упущения или неточности в представленной здесь информации. Банк не несет ответственности за любые убытки или ущерб, возникшие прямо или косвенно в результате использование информации, содержащейся в настоящем документе, или невозможность использования такой информации или в связи с какой-либо ошибкой, несовершенством, неточностью, ошибкой, дефектом, прерыванием, задержкой в ​​работе или неполной передачей, отказ линии или системы.
• Axis Bank, его дочерние компании/компании группы не несут ответственности, не несут никакой ответственности за любые убытки или ущерб, которые могут возникнуть у любого лица из-за какой-либо ошибки в информации, содержащейся здесь или иным образом.

Подробнее

1,42,922

Судебная власть Индианы: калькулятор алиментов

Закрыть меню

• Судебная власть Индианы
• Услуги
• Текущий: Калькулятор алиментов

Для родителей

Расчет алиментов онлайн

Используйте этот калькулятор для расчета еженедельных выплат алиментов и подготовки форм для использования в суде. Отвечайте на вопросы о детях, доходах, родительском времени, медицинском обслуживании и других расходах и создавайте только те формы, которые вам нужны. Надежно сохраняйте расчеты и извлекайте их позже или делитесь ими с другими участниками дела или своим адвокатом.

Пакеты форм алиментов на ребенка

Формы доступа с инструкциями для непредставленных сторон в судебном процессе с веб-сайта Коалиции за доступ в суд.

Получить юридическую помощь

Даже если вы не нанимаете адвоката для ведения вашего дела, вы можете поговорить с адвокатом до подачи юридических документов (или бумаг) в суд. Здесь вы можете найти информацию о том, как получить юридическую помощь, в том числе о том, как найти недорогую или бесплатную юридическую помощь (бесплатно).

Для практикующих

Расчет алиментов онлайн

Используйте этот калькулятор для расчета еженедельных выплат алиментов и подготовки форм для использования в суде. Введите информацию о детях, доходе, родительском времени, медицинском обслуживании и других расходах и создайте только те формы, которые вам нужны.

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

В публикации представлены онлайн-калькуляторы и формулы для расчета площади параллелограмма по разным исходным данным: через сторону и высоту, проведенную к ней; через стороны (или диагонали) и угол между ними.

• Расчет площади
  • 1. Через сторону и высоту
  • 2. Через стороны и угол между ними
  • 3. Через диагонали и угол между ними

Инструкция по использованию: введите известные значения, затем нажмите кнопку “Рассчитать”. В результате будет вычислена площадь фигуры с учетом указанных данных.

1. Через сторону и высоту

Формула расчета

S = a ⋅ h

2.

Формула расчета

S = a ⋅ b ⋅ sin α

3. Через диагонали и угол между ними

Формула расчета

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Вычислить площадь параллелограмма онлайн

Площадь двухмерной фигуры – характеристика объекта, которая показывает её размер в одной плоскости. Эта величина указывается при помощи квадратных единиц.

Параллелограмм – геометрический объект, у которого противоположные края равны и параллельны. Примером может послужить прямоугольник, ромб или квадрат.

• Через сторону и высоту
• Через диагонали и острый угол
• Через 2 стороны и угол между ними

Чтобы не спутать с прямоугольником нужно знать его признаки:

1. Диагонали делятся пополам точкой пересечения.
2. Прилежащие углы при складывании дают 180°.
3. Равенство противоположных граней.

Площадь параллелограмма, это атрибут данного объекта, который необходимо определить при помощи теорем.

Через сторону и высоту

Это самая первая формула темы, которая изучается. Для неё должны быть известны высота вместе с длиной грани.

S = a · h

Площадь равна произведению длины стороны и высоты.

Где: a — сторона, h — высота.

Сторона (a):

ммсмдмм

Высота (h):

ммсмдмм

Цифр после запятой:

012345678910Результат в: мм²см²дм²м²

Пример задания:
Дан четырёхугольник с основанием AD. Его стороны при наложении одинаковы. Основание — 15 см, высота — 12 см. Чему равен занятый участок данной фигурой?

Для начала нарисуем чертёж.

Исходя из формулы ответ будет равняться произведению 15 и 12.

S = 15 см * 12 см = 180 см2 – это будет ответ.

Через диагонали и острый угол

Она может пригодиться девятиклассникам в экзамене, так как недавно её добавили в задание.

S = d1 * d2 * sin α

Где: D, d — диагонали, sin α — острый угол между диагоналями.

Диагональ (D):

ммсмдмм

Диагональ (d):

ммсмдмм

Угол (α):

градусырадианыsin

Цифр после запятой:

012345678910Результат в: мм²см²дм²м²

Площадь будет найдена, если перемножить диагонали на синус угла при их пересечении.

Через 2 стороны и угол между ними

Этот способ пригодится школьникам, сдающим экзамены по математике. Эта формула изучается в 9 классе, может встретиться в ОГЭ.

S = a · b · sin α

Площадь можно найти, умножив 2 стороны на синус угла, который складывается из этих отрезков.

Где: a, b — стороны, sin α — угол между сторон.

Сторона (a):

ммсмдмм

Сторона (b):

ммсмдмм

Угол (α):

градусырадианыsin

Цифр после запятой:

012345678910Результат в: мм²см²дм²м²

Задача:
Диагонали четырёхугольника — 7 и 11. Уголок между ними равняется 45º. Узнайте величину пространства, занятой этой фигурой.
Решение:

S = 8 * 10 * sin 45º = 80 *√2/2 = 40 √2- ответ задачи.

Перейдём к примеру:

Одна из граней параллелограмма — 12, другая — 5, уголок — 45°. Определите размер участка, занятый четырёхугольником, делённый на √2.
Решение:

Зная формулу, задача будет довольно лёгкая.
S = 12 * 5 * sin 45° = 60 *√2 / 2 = 30
S/√2=30√2/√2= 30

Итак, в статье были разобраны 3 формулы по нахождению площади параллелограмма. Все они пригодятся на экзамене для 9 — 11 класса. Чтобы не тратить на лёгкие задание много времени нужно выучить эти теоремы, тогда любой тест будет простой.

Калькулятор площади параллелограмма

Автор: Hanna Pamuła, PhD

Отредактировано Bogna Szyk и Steven Wooding

Последнее обновление: 2 февраля 2023 г.

• Формулы площади параллелограмма 010
• Как пользоваться калькулятором площади параллелограмма?
• Часто задаваемые вопросы

Если у вас возникли проблемы с геометрией параллелограмма, проверьте этот калькулятор площади параллелограмма (а также его брат-близнец, калькулятор периметра параллелограмма).

Хотите ли вы вычислить площадь по основанию и высоте, сторонам и углу или диагоналям параллелограмма и углу между ними, вы находитесь в правильном месте. Не спрашивайте, как найти площадь параллелограмма; просто попробуйте калькулятор!

Ниже вы можете узнать, как работает инструмент — формулы площади параллелограмма и четкое объяснение — все, что вам нужно, чтобы понять тему.

Формулы площади параллелограмма

Параллелограмм — это простой четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Каждый прямоугольник является параллелограммом, так же как каждый ромб и квадрат. Помните, это не работает наоборот!

Какие формулы использует калькулятор площади параллелограмма?

• Площадь с учетом основания и высоты

  площадь = основание × высота

  Вы что-то заметили? Формула площади параллелограмма почти такая же, как и для прямоугольника! Почему это так? Взгляните на рисунок: параллелограмм можно разделить на трапецию и прямоугольный треугольник и превратить в прямоугольник.

  Узнайте больше о площади прямоугольника с помощью нашего калькулятора площади прямоугольника.

• Площадь с учетом сторон и угла между ними

  площадь = a × b × sin(угол)

Это звонит в колокольчик? Эта формула пришла из тригонометрии и используется, например, в нашем калькуляторе площади треугольника — параллелограмм можно рассматривать как два конгруэнтных треугольника. Смежные углы в параллелограмме являются дополнительными, поэтому вы можете выбрать любой угол, который вы хотите, потому что sin(угол) = sin(180° - угол) .

• Площадь диагоналей параллелограмма и угла между ними

  площадь = ½ × e × f × sin(угол)

  Формула тоже взята из тригонометрии. Хотите знать, откуда оно?

  Разделите параллелограмм на два треугольника и предположите, что наша диагональ e является «базой» для обоих новых треугольников.

  Какова высота этого треугольника? Используйте функцию синуса. Это (f/2) × sin(угол) !

  Площадь треугольника равна нашему «основанию» e умножить на высоту: e × (f/2) × sin(угол)

  Параллелограмм состоит из двух таких треугольников, поэтому его площадь равна e × f × sin(angle) .

Как пользоваться этим калькулятором площади параллелограмма?

Вы все еще не уверены, что наш калькулятор площади параллелограмма работает? Мы покажем вам шаг за шагом:

1. Посмотрите на свое упражнение. Что дано, что неизвестно? Выберите нужную часть калькулятора для ваших нужд . Предположим, что мы хотим вычислить площадь, зная диагонали параллелограмма и угол между диагоналями.

2. Введите указанные значения в правые поля . Примите 5 дюймов, 13 дюймов и 30° для первой диагонали, второй диагонали и угла между ними соответственно.

3. Калькулятор отображает площадь параллелограмма значением . В нашем случае это 32,5 дюйма².

Ознакомьтесь с нашими калькуляторами площади для других форм, таких как калькулятор площади ромба, калькулятор площади круга и калькулятор площади трапеции.

Часто задаваемые вопросы

Как найти площадь параллелограмма, зная его смежные стороны?

Чтобы определить площадь по смежным сторонам параллелограмма, необходимо также знать угол между сторонами . Тогда можно применить формулу: площадь = a × b × sin(α) , где a и b — стороны, а α — угол между ними.

Как найти площадь параллелограмма по диагоналям?

Площадь параллелограмма можно определить по его диагоналям, при условии, что вы также знаете угол между диагоналями .

Если e и f длины диагоналей и φ угол между ними, то площадь можно вычислить следующим образом: площадь = ½ × e × f × sin(φ) .

Как найти площадь параллелограмма без высоты?

Можно найти площадь параллелограмма без высоты! Например, достаточно знать одну из следующих вещей:

1. Длина смежных сторон и угол между ними — используйте тригонометрию.
2. Длину диагоналей и угол между ними по формуле – использовать тригонометрию.
3. Длина диагоналей и одной стороны – по формуле Герона.

Какова площадь параллелограмма с перпендикулярными диагоналями длиной 10 и 15?

Ответ: 75 . Мы используем формулу, которая говорит, что площадь равна ½ , умноженных на произведение длин диагоналей на синус угла между ними. Поскольку наши диагонали перпендикулярны, угол между ними равен 90° и sin 90° = 1 . Следовательно, вычисление, которое нам нужно выполнить, равно ½ × 10 × 15 = 75 .

Ханна Памула, доктор философии

Основание (b)

Высота (h)

Посмотреть 23 похожих калькулятора 2d геометрии 📏

ПлощадьПлощадь прямоугольникаПлощадь полумесяца… Еще 20

Калькулятор параллелограмма — Найдите площадь параллелограмма 9000 1

Онлайн-калькулятор параллелограмма помогает вам рассчитать каждый параметр параллелограмма в зависимости от предоставленного набора входных данных. Но перед этим вам нужно пройти через этот контекст, который был специально устроен, чтобы помочь вам, людям, исследовать эту геометрическую фигуру.

Дай почитать!

Что такое параллелограмм в геометрии?

«Четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны друг другу, называется параллелограммом»

2 и b — длины сторон (где b считается базовым)

Параллелограмм Важные формулы:

Здесь мы обсудим все формулы, которые используются для определения различных технических констант, связанных с параллелограммом. К ним относятся: 9\text{o} \hspace{0.25in} \left(\frac{π}{2} < ∠B < π\right) $$

Площадь:

Если заданы углы A и B в радианах, то можно вычислить площадь параллелограмма с помощью следующей формулы:

$$ K = b * h $$
Или;
$$ K = a*b sin\left(A\right) $$
Или;
$$ K = a*b sin\left(B\right) $$

Вы также можете использовать калькулятор площади параллелограмма, чтобы найти площадь, если вам трудно вычислить вручную.

Высота:

Высоту параллелограмма можно найти по следующим формулам:

$$ h = a sin\left(A\right) = a sin\left(B\right) $$

Вы можете также используйте простой в использовании калькулятор высоты параллелограмма, чтобы точно определить высоту.

Диагонали:

В параллелограмме есть две диагонали, которые можно пронумеровать следующим образом:

Длинная диагональ:

Это диагональ, образованная соединением вершин A и C. 9{2}\right) $$

Периметр параллелограмма:

Для нахождения периметра параллелограмма можно использовать следующее уравнение:

$$ P = 2a + 2b $$

Все эти основные ограничения могут можно мгновенно определить с помощью калькулятора свободного периметра параллелограмма.

Дальнейшие случаи(преобразования):

До сих пор мы обсуждали только основные формулы параллелограмма. Теперь мы обсудим различные случаи, основанные на основных формулах, упомянутых выше. 9\text{o} – ∠A $$
$$ ∠C = ∠A $$
$$ ∠D = ∠B $$

Учитывая P и a для вычисления b:

$$ b = \frac {\left(P – 2a\right)}{2} $$

Учитывая P и b для вычисления a:

$$ a = \frac{\left(P – 2b\right)}{2} $$

При заданных K и b для расчета h:

$$ h = \frac{K}{b} $$

При заданных K и h для расчета b:

$$ b = \frac {K}{h} $$

Учитывая b и h для вычисления K: 9{2}\right)}{\left(2ab\right)}\right) $$

Для остальных членов используйте уже рассмотренные выше формулы.

При данных a, b и h для вычисления ∠A, ∠B, p, q, P и K:

$$ ∠A = arcsin\left(\frac{h}{a}\right) $$

Здесь для оставшихся параметров используйте уже упомянутые ранее формулы.

При наличии a, b и K для вычисления ∠A, ∠B, p, q, h и P:

$$ ∠A = arcsin\left(\frac{K}{ab}\right) $$

Для остальных членов вы можете использовать уже обсуждавшиеся формулы. 9{2}\right)}{2} $$

А для всех оставшихся терминов можно использовать выражения, которые уже были разработаны выше в контексте.

Здесь вычислитель площади параллелограмма находит все эти пределы с точными выводами и отображает в виде четко определенной таблицы.

Как решить параллелограмм?

Нахождение всех координат параллелограмма может показаться сложной задачей. Но если вы понимаете самые основные уравнения, вы также сможете выполнять преобразования. Давайте решим несколько примеров, чтобы вы лучше поняли суть. 9{2} $$

Наш бесплатный калькулятор площади параллелограмма показывает те же результаты, но с большей точностью и за более короткий промежуток времени.

Пример № 04:

Расчет параллелограмма: Найдите a, если c периметр параллелограмма равен 6,2 см, а сторона b равна 2 см.

Решение:

Мы знаем, что:

$$ a = \frac{\left(P – 2b\right)}{2} $$
$$ a = \frac{\left(6.2 – 2) *2\справа)}{2} $$
$$ a = \frac{\left(6.2 – 2*2\right)}{2} $$
$$ a = \frac{2.2}{2} $$
$$ a = 1,1 см $$

Как работает калькулятор параллелограмма?

Наш бесплатный решатель параллелограммов — лучший метод тщательной проверки параллелограмма. Если вы балуетесь сложностью при вычислениях и не находите способа решить проблему, то эта область параллелограмма с калькулятором вершин — правильный выбор для вас. Давайте подскажем, что вам нужно сделать:

Введите:

• Просто нажмите «Расчет с» и появится выпадающий список
• Выберите параметр, с помощью которого вы хотите найти различные связанные параметры
• Введите значение выбранных параметров
• Нажмите кнопку расчета

Выход:

Свободная диагональ калькулятора параллелограмма вычисляет:

• Стороны параллелограмма
• Углы параллелограмма
• Диагонали параллелограмма 9\text{o}\), что неверно в случае параллелограмма.