alexxlab — Страница 97 — Таловская средняя школа

Накрест лежащие односторонние углы: Углы при пересечении двух прямых

alexxlab / 15.07.202321.04.2023 / Разное

Пары углов, образованные параллельными прямыми, пересеченными секущей

Когда есть две параллельные линии (на рисунке внизу), можно выделить две основные области: внутреннюю и внешнюю.

Когда две параллельные линии пересекаются третьей прямой, эта прямая называется секущей. В примере, приведенном ниже, образуются восемь углов, когда параллельные линии m и n пересекаются секущей — прямой t.

Есть несколько пар углов, образованных на этом рисунке. Некоторые пары уже рассмотрены:
Вертикальные пары: 1 и 4
2 и 3
5 и 8
6 и 7

Напомним, что все пары вертикальных углов равны.
Смежные углы: 1 и 2
2 и 4
3 и 4
1 и 3
5 и 6
6 and 8
7 and 8
5 and 7
Напомним, что смежные углы это углы, которые дополняют друг друга до 180°.

Все эти смежные пары есть линейными парами. Есть и другие пары смежных углов, которые описаны далее в этом разделе. Есть еще три специальные пары углов. Эти пары есть конгруэнтными (равными) парами.

Внутренние накрест лежащие углы это два угла во внутренней области параллельных прямых и на разных сторонах секущей. Внутренние накрест лежащие углы попарно равны.

Внешние накрест лежащие углы это два угла во внешней области параллельных прямых и на разных сторонах секущей. Внешние накрест лежащие углы попарно равны.

Соответственные углы это два угла, один во внешней области, один во внутренней области, и которые лежат на одной стороне секущей. Соответственные углы равны.

Используйте следующие диаграмма параллельных линий, пересеченных секущей, чтобы дать ответы на вопросы в примерах.

Пример:
Чему равен угол 8?
Угол, величина которого на рисунке равна 53° и 8 — внешние накрест лежащие углы. Так как такие углы являются равными, то величина 8 = 53°.
Пример:
Чему равен угол 7?
8 и 7 есть линейной парой; они смежные. Они дополняют друг друга до 180°. Поэтому, 7 = 180° – 53° = 127°.

1. Когда секущая пересекает параллельные прямые, все образующиеся при этом острые углы равны, и все образующиеся тупые углы- равны.

На рисунку вверху1, 4, 5, и 7 есть острыми углами. Они все равны между собой. 1 ≅ 4 есть вертикальными углами. 4 ≅ 5 есть внутренним накрест лежащими углами, и 5 ≅ 7 — вертикальные углы. То же свойство и справедливо для тупых углов на рисунке: 2, 3, 6, и 8 есть равными между собой.

2. Когда секущая пересекает параллельные прямые, один любой образующийся угол и один любой образующийся тупой угол есть смежными.

На рисунке Вы можете видеть, что 3 и 4 являются смежными, потому что они есть линейной парой. Обратите внимание, что 3 ≅ 7, так как они есть соответсвенными углами. Поэтому, вы можете заменить 7 на 3 и знать, что 7 и 4 есть смежными.

Пример:
На рисунке внизу изображены две параллельные прямые, пересечённые секущей. Какой из пронумерованных углов является смежным к углу 1?

Угол, смежный 1 есть 6. 1 является тупым углом, а как мы помним, любой острый угол является смежным любому тупому углу. Но на рисунке пронумерован только один острый угол.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Поиск по сайту:

Справочник по математике

Геометрия (Планиметрия)

Параллельность прямых

При пересечении двух прямых третьей прямой образуются углы, названия которых приведены в следующей таблице.

Углы, образующиеся при пересечении двух прямых третьей прямой

Рисунок	Определение углов
	Внутренние накрест лежащие углы
	Внутренние накрест лежащие углы
	Внешние накрест лежащие углы
	Внешние накрест лежащие углы
	Соответственные углы



	Внутренние односторонние углы
	Внутренние односторонние углы
	Внешние односторонние углы
	Внешние односторонние углы

Внутренние накрест лежащие углы

Внешние накрест лежащие углы

Соответственные углы

Внутренние односторонние углы

Внешние односторонние углы

Перечисленные в таблице углы используются в формулировках признаков параллельности двух прямых.

Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Замечание. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Признаки параллельности двух прямых

Рисунок	Признак параллельности
	Прямые параллельны тогда и только тогда, когда внутренние накрест лежащие углы равны

	Прямые параллельны тогда и только тогда, когда внешние накрест лежащие углы равны

	Прямые параллельны тогда и только тогда, когда соответственные углы равны



	Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна180°

	Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180°

Признак параллельности:

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внутренние накрест лежащие углы равны

Признак параллельности:

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внешние накрест лежащие углы равны

Признак параллельности:

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда соответственные углы равны

Признак параллельности:

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180°

Признак параллельности:

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180°

Следствие

Рисунок	Признак параллельности
	Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны

Признак параллельности:

Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны

Переход свойства параллельности прямых

Рисунок	Признак параллельности
	Если прямая a параллельна прямой b, а прямая b параллельна прямой c, то прямая a параллельна прямой c

Признак параллельности:

Если прямая a параллельна прямой b,
а прямая b параллельна прямой c,
то прямая a параллельна прямой c

Задача. Доказать, что биссектрисы внутренних односторонних углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, перпендикулярны.

Решение. Решение этой задачи почти дословно совпадает с решением задачи из раздела нашего справочника «Углы на плоскости» и предоставляется читателю в качестве несложного самостоятельного упражнения.

На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Отчет onX Corner-Locked Report: The Impact and Ethic Crossing Corner Crossing

Обзор

За последние два столетия законодательство, случайность и множество сделок с землей оставили американский Запад с лоскутным ландшафтом государственных и частных земель. . В лоскутном одеяле чередуются участки государственной и частной земли, как клетки шахматной доски. В каждой точке, где встречаются четыре квадрата, есть угол собственности, созревший для споров. Поскольку в новостях снова появилась проблема пересечения углов, мы решили использовать наши сильные стороны и углубиться в данные. То, что мы обнаружили, было шокирующим по своим масштабам.

Основные моменты

Используя нашу картографическую технологию onX, мы выявили 8,3 миллиона акров закрытых земель — более половины всей территории Запада, не имеющей выхода к морю.
На Западе существует 27 120 углов, не имеющих выхода к морю.
Закона, конкретно запрещающего пересечение поворотов, не существует, но различные попытки сделать его либо окончательно законным, либо незаконным до сих пор не увенчались успехом.
Владельцы недвижимости имеют обоснованные опасения, и любое решение проблемы должно учитывать потребности землевладельцев.
Существуют инструменты и программы для разблокирования государственной земли, но широко распространенный ответ потребует вклада и внимания от разнообразной группы заинтересованных сторон с различными интересами.

Доступ к onX имеет значение — мы считаем, что каждый должен иметь доступ к природе. Когда люди чувствуют связь с землей, они с большей вероятностью будут ее защищать. Прочтите отчет onX Corner-Locked ниже, чтобы получить представление о проблеме и о том, что делается для решения этой сложной проблемы.

Информация, представленная здесь, не является и не предназначена для использования в качестве юридической консультации и может быть не самой последней информацией. Ссылки на сторонние веб-сайты предназначены для удобства читателя и не подтверждают стороннюю информацию.

Суть проблемы

В октябре 2021 года в Вайоминге четыре охотника были привлечены к уголовной ответственности за незаконное проникновение. Они не входили в частное здание и не касались частной земли.

Они поставили А-образную лестницу через пересечение границ собственности, место, где четыре участка земли сходятся в одной точке. Они поднялись по одной стороне лестницы с общественной земли и спустились по другой стороне лестницы, ступив по кошачьему углу на другой участок общественной земли. Но при этом их тела также пересекли воздушное пространство двух других посылок, встречающихся в этой точке, которые были частными. Их суд, назначенный на середину апреля, решит, нарушили ли они границу, когда пролетали через это частное воздушное пространство.

Угловые участки Бюро по управлению земельными ресурсами в лоскутном одеяле с частной землей. Угловые участки Управления по управлению земельными ресурсами в шахматном порядке.

Почему существуют земли, запертые в угол
Место, где эти охотники устанавливают свои лестницы, не является уникальным на Западе. Большая часть земель в западной части США нанесена на карту и нанесена на квадратные участки площадью 640 акров, расположенные аккуратными рядами и столбцами. Эта система известна как Государственная система землеустройства. Как правило, квадраты имеют четыре 9углы 0 градусов. Это означает, что отличительной чертой этой системы являются четыре участка земли, сходящиеся в одной угловой точке. По мере того как земля распределялась среди поселенцев и вновь образованных штатов, предназначалась для парков, лесов и резерваций, а федеральное правительство сохраняло за собой или рекультивировало их, сформировалась сложная лоскутная мозаика собственности. Свойства объединялись, разделялись и трансформировались во все мыслимые формы, но основная единица — скромный квадратный участок площадью 640 акров — все еще можно найти по всему Западу.

Без

Во многих частях Запада границы земельной собственности не видны на ландшафте.

Количественная оценка огромных масштабов государственных земель, не имеющих выхода к морю
В этом лоскутном одеяле лежат участки государственной земли, не имеющие выхода к морю, то есть окруженные частными землями без дорог или троп, ведущих к ним. По крайней мере, с 1970-х годов охотничье сообщество хорошо знало о труднодоступных участках, и многие охотники находили определенные места с картами и биноклями, к которым они не могли получить доступ. Но никто, в том числе и сами федеральные агентства по управлению земельными ресурсами, точно не знал, сколько государственной земли находится вне досягаемости населения. Так в 2018 и 2019 гг., onX и Партнерство по охране природы Теодора Рузвельта совместно открыли 15,8 млн акров федеральных земель и земель штата, не имеющих выхода к морю, по всему Западу.

Когда мы проводили этот анализ, мы заметили, что участки, не имеющие выхода к морю, попадают в одну из двух категорий, которые мы теперь называем «изолированные» и «закрытые в углу». Обособленные посылки говорят сами за себя: они представляют собой участки государственной земли сами по себе, как острова в море частной земли. Угловые участки, с другой стороны, — это те, которые в основном окружены частной землей, но соприкасаются с другим участком государственной земли в одном или нескольких углах.

Угол закрыт:

Общественная земля, недоступная для широкой публики из-за отсутствия общественной дороги или тропы, И поскольку законность пересечения угла остается неясной

Большинство охотников на западе США воздерживаться от перехода через угол собственности с одного участка государственной земли на другой. Это называется прыганием за угол, пересечением угла или нарушением угла, в зависимости от того, кого вы спросите. За пределами мира охоты и за пределами Запада это ограничение редко обсуждается. На самом деле, в книгах нет закона, в котором прямо говорится, что переход через угол собственности с общественной земли на общественную землю является незаконным. Несмотря на различные попытки законодательных собраний штатов сделать пересечение поворотов законным или незаконным, ни один штат еще не принял такой закон. Это оставило решение о судебном преследовании «угловых прыгунов» в руках местных правоохранительных органов и местных судов.

В onX мы считаем, что общедоступная земля играет решающую роль в обеспечении равного доступа каждого к отдыху на природе, но мы также признаем права частной собственности. Как и в случае с анализом выхода к морю, мы хотели количественно оценить проблему пересечения углов. Сколько земли задействовано? Скольких собственников это затронет? Чтобы получить ответы, мы погрузились в данные.

Этот отчет о закрытой общественной земле раскрывает сложную дихотомию и историю между энтузиастами активного отдыха и частными землевладельцами. В то время как некоторые выступают за публичный доступ, а другие стремятся защитить права частной собственности, несколько судебных дел и несостоявшееся законодательство фактически превратили перекресток в «серую юридическую зону». Но есть программы и инструменты, которые одновременно приносят пользу землевладельцам и обществу, поэтому мы завершаем отчет тем, как успешно разблокируются общественные земли — даже без определенной политики в отношении пересечения углов.

Закрытые уголки: по номерам

Закрытые уголки Acres

За последние два столетия законодательство, случайность и множество сделок с землей привели к 27 120 углов собственности на Западе, где два участка государственных земель встречаются на противоположных сторонах точки, а частные земли примыкают, фактически между ними. За этими углами лежат 8,3 миллиона акров федеральных земель и земель штата, которые недоступны для широкой публики, поскольку законность пересечения углов остается неясной. Другими словами, более половины всех не имеющих выхода к морю общественных земель на западе США были бы разблокированы, если пересечение углов было бы легализовано. Эти акры запрещены не только для охоты, но и для рыбалки, пеших прогулок, наблюдения за дикой природой, катания на беговых лыжах и всех других форм наслаждения на открытом воздухе.

Пошаговая разбивка площадей

Из 8,3 млн акров 72% (5,98 млн акров) закреплены за землей в шахматном порядке, разработанной в 19 веке для содействия западной экспансии Соединенных Штатов за счет земли. гранты железнодорожным компаниям. Схема пошла не по плану, поэтому чередование разделов собственности сохраняется и по сей день. Остальные 28% закрытых государственных земель, как правило, находятся на краях более крупных участков государственной земли, возможно, в результате покупки, продажи и обмена земли за последние 170 лет. Поскольку большая часть невостребованных и мелиорированных земель на Западе оказалась в руках агентства, которое стало Бюро по управлению земельными ресурсами, неудивительно, что 70% всех выявленных нами запертых акров находятся в ведении этого агентства.

Глядя на широкую полосу земли с шахматной доской, простирающуюся на многие мили по обе стороны от железнодорожной линии, было бы легко предположить, что большую часть земли, запертой в углах, было бы трудно достичь пешком, даже если бы углы собственности не не стоять на пути. Но 49% закрытых акров находятся всего в одном углу от доступного участка. Для оставшихся 51% потребовалось бы от двух до 15 угловых прыжков, если бы это можно было сделать на законных основаниях.

Закрытые акры по штатам

Количество закрытых акров сильно варьируется от штата к штату. На нижнем уровне Айдахо имеет 57 000 акров. С другой стороны, Вайоминг имеет 2,44 миллиона акров благодаря протяженности крупнейшей в истории железной дороги, охватывающей весь штат с востока на запад. В Неваде 1,93 миллиона акров земли, в Аризоне — 1,33 миллиона акров, а в Монтане — 871 000 акров.

Примыкающая частная земля

Наконец, мы хотели лучше понять, что такое частная земля, примыкающая к закрытой государственной земле. 8,3 миллиона акров делят участок земли с 11 000 уникальных частных лиц, владеющих землей (как частных лиц, так и компаний). Из 27 120 углов, разделяющих два участка государственной земли, не менее 19% принадлежат земле, принадлежащей нефтяной, газовой, энергетической, лесной или горнодобывающей компании, а не владельцу ранчо или фермеру.

Взгляды землевладельцев на пересечение углов

Есть много причин, по которым частные землевладельцы хотят, чтобы пересечение углов оставалось закрытым, но здесь мы рассмотрим только две распространенные проблемы.

Проблема №1: Воздушное пространство

Один из ключевых факторов в понимании того, почему перешагивание через угол, даже не ступив ногой на частную землю, может рассматриваться как нарушение, связано с пространственной концепцией недвижимого имущества. Поскольку земля не была бы очень полезной, если бы права собственности были ограничены поверхностью — скажем, уровнем, который волнует червей и муравьев, — существует понимание того, что воздушное пространство до определенной высоты также принадлежит землевладельцу. Это понимание облегчает строительство конструкций и заборов и используется для обеспечения того, чтобы вертолеты и дроны не могли без приглашения парить над чьим-то домом. Кроме того, углы собственности считаются бесконечно малыми точками в пространстве. Таким образом, перешагнуть через угол, где встречаются два государственных земельных участка и два частных земельных участка, человек автоматически попадает в воздушное пространство частной земли, поскольку мы не можем уменьшить наши тела до бесконечно малых размеров.

Все это может вызвать следующий вопрос: почему некоторые землевладельцы заботятся о воздушном пространстве своих участков? Теоретически туристы, охотники и другие пешеходы, пользующиеся общественными землями, заняли бы частное воздушное пространство всего на несколько секунд, если бы они перешагнули угловой штифт, а затем продолжили бы путь вглубь общественной земли.

Согласно веб-сайту United Property Owners of Montana, «Чтобы пересечь угол, представитель общественности должен пересечь все четыре угла, включая частные. Это посягательство — физическое занятие частной собственности». Поэтому они говорят: «Нет «минимального» количества посягательств, которое не считалось бы захватом имущества». Эта точка зрения уходит корнями в Пятую поправку: «частная собственность не может использоваться для общественного пользования без справедливой компенсации». По сути, землевладельцы, придерживающиеся этой точки зрения, считают, что независимо от того, насколько мало места или насколько ограничено время, необходимое для того, чтобы перешагнуть через угол, если бы правительство разрешило публике перешагивать из одного угла государственной земли в другой по углам частной собственности, это было бы захватом частной собственности и нарушением прав Пятой поправки. На сегодняшний день суду еще предстоит определить, нарушает ли человек, перешагнувший угол, воздушное пространство частного землевладельца.

Беспокойство №2: Плохие яблоки

Другие землевладельцы больше обеспокоены людьми, которые уже открыто нарушили границы. Один владелец ранчо в сельской местности на юго-востоке Монтаны, у которого есть собственность рядом с общественной землей, сказал об этом так: «Если бы у вас был человек, который пытался законно пересечь угол, и у него была с собой карта, он должен был бы быть в состоянии сделать это, но я думаю, что проблема больше связана с человеческой природой. Когда никто не смотрит, люди, как правило, делают то, что хотят. В моем районе у охотников нет причин для беспокойства, потому что они не думают, что здесь кто-то есть или кого-то это волнует. Есть люди, которые абсолютно уважительны, но некоторые паршивые овцы действительно портят жизнь другим людям».

Этот владелец ранчо, пожелавший остаться неизвестным, видит грузовики, разъезжающие по его пастбищам, иногда далеко за полночь. Каждый стрелковый сезон парк грузовиков припаркован на его частной подъездной дорожке. Он был свидетелем того, как люди стреляли в оленей на его территории с прилегающей общественной земли, и он видел, как люди стреляли в оленей в пределах его собственности. Он слышал выстрелы с того же направления, откуда его дети чинили заборы, вызывая панику. Были времена, когда он пытался приблизиться к нарушителям, но они скрылись с места происшествия, оставив мертвых или раненых оленей. Правоохранительные органы в его районе слишком напряжены, чтобы реагировать на все звонки.

«Когда ты уже не можешь доверять людям, трудно представить, что пересечение поворотов может пройти по-другому. Если бы мы могли взять под контроль правоприменение, было бы намного проще говорить о попытках открыть больше публичного доступа. Это такая плохая ситуация, что общественная площадка и частная территория смешаны в этом формате шахматной доски. Я знаю, что есть огромное количество акров земли, которые можно было бы освободить, если бы пересечение углов было легализовано. Если идея заключалась в том, что это каким-то образом рассеет людей, это было бы хорошо. Но нам нужно взять правоприменение под контроль».

Запутанная юридическая предыстория

Хотя шахматные доски государственных и частных земель зародились на западе США в начале 1860-х годов, вопрос общественного доступа через углы остается нерешенным. В последние десятилетия казалось, что несколько законопроектов и судебных дел призваны решить этот вопрос раз и навсегда, но до сих пор ни один из них не стал законом.

Вайоминг, где больше всего застроенных акров, также является штатом с наибольшим количеством действий по этой теме. В сентябре 2003 года охотнику из Вайоминга было предъявлено обвинение в незаконном проникновении после того, как он перешагнул угловой штырь собственности с одного участка общественной земли на другой после обнаружения штифта с помощью устройства GPS. Он не получил разрешения на въезд на прилегающую частную землю от землевладельца или управляющего недвижимостью. В конечном счете, охотник не был признан виновным, поскольку он не проникал на территорию или в ее воздушное пространство, чтобы охотиться, ловить рыбу или ставить ловушки «на частной территории», а вместо этого стремился охотиться на государственной земле.

В следующем году Генеральная прокуратура штата Вайоминг опубликовала заключение, в котором говорилось, что суд над Хантером «не имеет обязательной силы для какого-либо суда» (то есть не устанавливает прецедентного права). В заключении рассматривалась разница между двумя законами разных штатов. В одном законе говорится, что человек не может входить в частную собственность с намерением охотиться, ловить ловушку или ловить рыбу без разрешения — это ключевая фраза, оправдывающая охотника. В другом законе говорится, что лицо виновно в преступном посягательстве, если оно «вступает или остается на земле или в помещениях другого лица, зная, что оно не уполномочено на это…» Общепринятое словарное определение слова «войти» даже упоминается в официальном документе. В конце концов, генеральный прокурор Вайоминга в то время пришел к выводу, что в любом судебном процессе о пересечении угла «должны быть изучены фактические обстоятельства», чтобы определить, имело ли место нарушение закона штата. Другими словами, все и ничего не было выяснено.

Вскоре после опубликования заключения Генерального прокурора штата Вайоминг Департамент охоты и рыболовства штата Вайоминг (WGFD) разослал служебную записку правоохранительным органам, надзорным органам за дикой природой и Министерству сельского хозяйства штата Вайоминг, в которой говорилось: «Просто пересечь угол частной собственности, чтобы добраться до государственные земли не соответствуют [требованиям] быть осужденными по Статуту штата Вайоминг, согласно которому охота на частной территории без разрешения является незаконной. Это кажется выигрышным для доступа, но затем в служебной записке также говорится: «К сожалению, это оставляет Game и Fish в положении, позволяющем передавать сообщения о «нарушении угла» местному шерифу или окружной прокуратуре». Наконец, меморандум предупреждает: «…охотники могут подумать, что теперь разрешено пересекать углы, чтобы получить доступ к ранее недоступным общественным землям».

Уже чешете затылок? Есть больше.

В 2011 году в Палату представителей штата Вайоминг был внесен законопроект, который позволял бы входить на один участок государственной земли с другого участка государственной земли, если кто-либо физически не касается частной земли или улучшений на частной земле ( такие вещи, как заборы) при этом. Предположительно, это означало, что до тех пор, пока два участка государственной земли находились на расстоянии одного шага друг от друга, этот шаг был разрешен. Однако дальше рассмотрения в комитете этот законопроект не прошел. Два года спустя в Монтане аналогичный законопроект был принят в Сенате штата, но провалился в Палате представителей. Еще один аналогичный законопроект был внесен в Ассамблею Невады в 2017 году, но загадочным образом «не было разрешено никаких дальнейших действий». И это было так.

Также в 2017 году был внесен еще один законопроект штата Монтана о пересечении углов. Но на этот раз это должно было сделать пересечение угла проступком, наказуемым штрафом в размере от 50 до 500 долларов и тюремным заключением на срок до шести месяцев. Этот законопроект также не был принят Палатой представителей.

За этими законопроектами следует дело Коди Черри, жителя Монтаны, которому было предъявлено обвинение в вторжении дважды после того, как он неоднократно переступал через углы одного и того же ранчо. Первый блок обвинений был снят. Во втором случае он был признан виновным, потому что, что показательно, на углу государственной земли он находился , шагая к , на самом деле не коснулся угла государственной земли, из которого он вышел , из-за того, что границы были установлены в 19 веке… с использованием геодезических методов 19 века. Это означало, что он прошел около 80 футов частной собственности между углами общественных участков. Очевидно, что во второй раз он слишком растянул определение угла.

Итак, резюмируем: два охотника из разных штатов были оба признаны невиновными после того, как перешагнули через угол собственности, заявил генеральный прокурор отдельные обстоятельства пересечения поворотов должны быть рассмотрены, в трех штатах были приняты законопроекты, делающие пересечение поворотов законным , и в одном из этих штатов также был принят законопроект, запрещающий пересечение поворотов , но ни один из законопроекты стали законом. Неудивительно, что дебаты бушуют.

Взаимовыгодные решения на работе

Дебаты о пересечении углов вполне могут продолжаться до конца нашей жизни, но на карте есть несколько ярких пятен, поскольку различные программы и инструменты используются в определенных местах.

Навигация и управление землей, расположенной в шахматном порядке, сложны для всех — владельцев ранчо, лесозаготовительных компаний, энергетических компаний, охотников, отдыхающих на открытом воздухе и даже для персонала агентства по управлению земельными ресурсами — поэтому «отмена шахматной доски» собственности на землю посредством обмена землями может быть взаимовыгодной. Частные землевладельцы получают участок земли, который либо примыкает к земле, которой они уже владеют, либо в некотором роде более привлекателен для них, в обмен на принадлежащую им собственность, смешанную с государственной землей. В других случаях прямая продажа частной земли агентству по управлению земельными ресурсами или посреднической некоммерческой организации может заполнить пробелы между участками государственной земли.

Приобретение земли, подобное этому, осуществленное фондом Rocky Mountain Elk Foundation, может заполнить «пробелы» в схемах собственности в шахматном порядке, чтобы соединить участки государственной земли.

Эти операции могут быть дорогостоящими, но, к счастью, новая версия Фонда охраны земельных и водных ресурсов требует ежегодно выделять не менее 15 миллионов долларов на проекты, улучшающие доступ населения к местам отдыха, а в 2021 финансовом году 67,5 миллионов долларов было выделено на рекреационные цели. приобретения доступа. Например, в 2021 году Бюро по управлению земельными ресурсами выделило средства пяти проектам на Западе, которые обеспечили или расширили доступ общественности к специальной зоне отдыха на реке Норт-Платт в Вайоминге, национальной дикой и живописной реке Джона Дей и особой зоне Тейбл-Рокс. Зона управления рекреацией в Орегоне, национальный памятник Мохаве-Трейлз в Калифорнии и национальный памятник Орган-Маунтинс-Дезерт-Пикс в Нью-Мексико.

Еще одна модель, на которую следует обратить внимание, — это различные государственные программы, которые обеспечивают финансовую выгоду для частных землевладельцев, открывающих свои границы для доступа к охоте. Подобные программы есть в восьми из тринадцати западных штатов, включая программу управления блоками в Монтане, программу Access Yes в Айдахо и Вайоминге и программу Open Gates в Нью-Мексико. В Монтане 618 330 акров земель штата и федеральных земель, не имеющих выхода к морю, были «разблокированы» в течение охотничьего сезона 2020 года благодаря владениям, зарегистрированным как районы управления блоками. В Вашингтоне в 2019 году было разблокировано 28 515 акров государственной земли.благодаря землевладельцам, участвующим в программах доступа Вашингтонского департамента рыболовства и дикой природы. Эти программы приносят огромную пользу, но в качестве альтернативного средства доступа к общественным землям в шахматном порядке существуют некоторые ограничения. В большинстве случаев эти программы распространяются только на охотников, только в течение короткого периода года, и не все участвующие в них владения примыкают к государственным землям, не имеющим выхода к морю. Кроме того, эти соглашения с отдельными землевладельцами заключаются на ежегодной основе, что оставляет неопределенность в отношении долгосрочного доступа, поскольку землевладельцы могут передумать об участии в программе или могут продать свою собственность.

Охотничьи угодья, подобные этому, обеспечивают публичный доступ к частной земле и обеспечивают доступ к участкам государственной земли, не имеющим выхода к морю.

Одна государственная программа, программа «Разблокировка общественных земель» в Монтане, предоставляет ежегодный налоговый кредит землевладельцам, которые предоставляют доступ через свою собственность к «закрытым» общественным землям для пеших прогулок, наблюдения за птицами, рыбалки, охоты и ловли. В информационном бюллетене Montana Fish, Wildlife & Parks указывается, что «землевладельцы также могут быть рассмотрены для заключения соглашения, если они владеют землей, прилегающей к точке, где встречаются углы двух участков государственной земли».

Угловые сервитуты могут быть еще одним жизнеспособным вариантом в определенных местах. Сервитуты — это законное право использовать чужое имущество для определенной цели. Сервитуты доступа и права проезда конкретно предоставляют владельцу право путешествовать по чужой собственности. Многие государственные сервитуты предоставляют широкой публике право их использовать. Часто сервитуты такого типа создаются в процессе продажи земли или обмена землей, но они также могут быть приобретены агентством по управлению земельными ресурсами или партнером по охране природы без смены владельца земли. В местах, где сервитут пересекает или огибает угол собственности, сервитут должен быть всего несколько футов в ширину и несколько футов в длину. Преимущества этого решения заключаются в том, что сервитуты действуют вечно, даже если земля продана, а узкий путь сервитута означает, что представители общественности должны придерживаться назначенного маршрута — они не могут блуждать по остальной части частной земли. .

Небольшие частные земельные сервитуты, подобные этим, обходят углы собственности и обеспечивают постоянный доступ к общественным землям, которые соединены только на углу.

Наконец, есть еще один проверенный способ получить доступ к запертой земле: спросить разрешения у соседнего землевладельца. Это не может работать везде, или каждый раз, или с каждым землевладельцем. Но на Западе существует традиция знать своих соседей. По мере роста населения этих когда-то сельских местностей зарабатывание денег и налаживание отношений с землевладельцами может оказаться самым дешевым способом получить доступ к недоступным общественным землям.

«В прошлом году пара отцов из Миссулы и их сыновья пришли ко мне и спросили, можно ли им здесь охотиться. Я сказал им дать мне 15 минут, и я возьму их с собой. Мы раздобыли для их сыновей очень хороших оленей-мулов, и на следующий день они помогли мне работать со скотом. На следующий день мы купили антилоп для пап. Так что нам было весело. Один из них даже купил у меня говядину в этом году».
Владелец ранчо Восточной Монтаны

Что дальше?

Основа распределения земли по квадратам должна была упростить отслеживание собственности на землю, но это привело к непредвиденным последствиям. Одним из таких последствий является то, что теперь миллионы акров государственной земли считаются запрещенными.

Пэчворк и шахматная доска, распространенные на Западе, затрагивают всех: землевладельцев, охотников, управляющих федеральными землями и всех, кто любит бродить по сельской местности. Трудно ориентироваться и трудно управлять; в конце концов, горы, реки, озера и холмы не заботятся о квадратах, которые мы, люди, рисуем на картах.

Охотникам, которые использовали лестницу, чтобы пересечь угол в Вайоминге, теперь грозит гражданский иск от владельца частной земли, через воздушное пространство которой они перешагнули, в дополнение к первоначальному обвинению в незаконном проникновении. Их уголовное дело, назначенное на 14 апреля, будет рассматриваться в местном суде и, следовательно, не создаст юридического прецедента. Однако 31 марта судья постановил передать их гражданское дело (то есть дело, возбужденное землевладельцем) в федеральный окружной суд, исход которого может послужить прецедентом в будущих делах. Что бы ни случилось дальше, эта юридическая серая зона вполне может оставаться ясной как туман на десятилетия вперед.

qt — Есть ли способ указать разные радиусы для разных углов

спросил 6 лет, 6 месяцев назад

Изменено 7 месяцев назад

Просмотрено 3к раз

Может ли кто-нибудь помочь мне, как закруглить только один угол прямоугольника, как показано на прикрепленном рисунке, где красный прямоугольник — мой дочерний прямоугольник.

На самом деле, у меня есть прямоугольник, у которого все четыре угла закруглены (радиус 10). Теперь я хочу нарисовать новый прямоугольник внутри него и ожидать, что должен быть закруглен только тот конкретный угол, который касается круглого угла родителя.

 Прямоугольник
{
    идентификатор: родитель
    радиус: 10
    ширина: 168
    рост: 168
    видимо: правда
    черный цвет"
    Прямоугольник
    {
        идентификатор: ребенок
        ширина: 100
        высота: 40
        красный цвет"
    }
}

Я попытался сделать это, добавив свойство clip в дочерний элемент, но ничего не произошло.

Вот простой пример. Он закруглен в левом верхнем углу, но легко подстраивается под любой другой угол. В этом решении поддерживается только один угол, но может быть вам этого достаточно? Больше углов немного сложнее, поэтому спросите еще раз, нужны ли они вам.

 Прямоугольник {
    anchors.centerIn: родитель
    идентификатор: корень
    радиус: 20
    ширина: 300
    высота: 300
    Прямоугольник {
        идентификатор: машинка для стрижки
        ширина: 100
        высота: 100
        цвет: "прозрачный"
        клип: правда
        Прямоугольник {
            идентификатор: вырезано
            ширина: parent.width + радиус
            высота: родитель.высота + радиус
            радиус: корень.радиус
            красный цвет'
        }
    }
}

Нет на складе Прямоугольник :

Один и тот же радиус используется для всех 4 углов; в настоящее время нет возможности указать разные радиусы для разных углов.

В C++ можно указать горизонтальный и вертикальный радиус, но не радиус для каждого угла. Если вам нужна такая функциональность, вам придется реализовать свой собственный QQuickItem с узлом геометрии и всем остальным.

Результат, который вы хотите получить на изображении, также может быть достигнут с помощью отсечения, однако, к сожалению, в QML отсечение работает только для прямоугольника элемента, а не для фактической геометрии элемента.

Легче всего добиться желаемого эффекта с помощью элемента BorderImage . Это позволяет указать разные части изображения для каждого угла:

Можно использовать артикул Форма , как показано ниже:

 Форма {
    идентификатор: AdvancedShape
    ширина: 100; высота: 40
    вендорекстенсионсенаблед: правда
    слой.включен: правда
    слой.образцы: 4
    слой.гладкий: правда
    // устанавливаем следующие свойства для указания радиуса
    свойство реальное tlRadius: 0. 0
    свойство real trRadius: 15.0
    свойство real brRadius: 0.0
    свойство реальное blRadius: 0.0
    Путь формы {
        strokeColor: "прозрачный"
        fillColor: "красный"
        стартX: 0; startY: расширенныйShape.tlRadius
        Дуга Пути {
            х: расширенныйShape.tlRadius; г: 0
            радиусX: advancedShape.tlRadius; радиусY: advancedShape.tlRadius
            useLargeArc: ложь
        }
        Линия пути {
            x: advancedShape.width - advancedShape.trRadius; г: 0
        }
        Дуга Пути {
            х: расширенныйShape.width; у: расширенныйShape.trRadius
            радиусX: advancedShape.trRadius; радиусY: advancedShape.trRadius
            useLargeArc: ложь
        }
        Линия пути {
            х: расширенныйShape.width; у: advancedShape.height - advancedShape.brRadius
        }
        Дуга Пути {
            x: advancedShape.width - advancedShape.brRadius; у: расширенныйShape.height
            радиусX: advancedShape.brRadius; радиусY: advancedShape. brRadius
            useLargeArc: ложь
        }
        Линия пути {
            х: расширенныйShape.blRadius; у: расширенныйShape.height
        }
        Дуга Пути {
            х: 0; y: advancedShape.height - advancedShape.blRadius
            радиусX: advancedShape.blRadius; радиусY: advancedShape.blRadius
            useLargeArc: ложь
        }
        Линия пути {
            х: 0; у: расширенныйShape.tlRadius
        }
    }
}

и результат будет таким:

ПРИМЕЧАНИЕ Встроенный Rectangle имеет большую производительность, чем Shape , но я рекомендую Shape вместо маскирования, потому что он работает в любой среде.

ПРИМЕЧАНИЕ 2 Я думаю, что наиболее верным способом в производстве является использование BorderImage , как предложил @dtech IF радиус известен, и вам не нужно динамически изменять радиус.

Создал это из набора прямоугольников.

График у x 5: Mathway | Популярные задачи

alexxlab / 15.07.202315.04.2023 / Разное

23-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92

Мэтуэй | Популярные задачи

92+5х+6=0 92-9=0

1 Оценка с использованием заданного значения квадратный корень из 50

2 Оценка с использованием заданного значения квадратный корень из 45

3 Оценка 5+5

4 Оценить 7*7

5 Найти простую факторизацию 24

6 Преобразование в смешанный номер 52/6

7 Преобразование в смешанный номер 93/8

8 Преобразование в смешанный номер 34/5

9 График у=х+1

10 Оценить, используя заданное значение квадратный корень из 128

11 Найдите площадь поверхности сфера (3) 

12 Оценить 54-6÷2+6

13 График г=-2x

14 Оценить 8*8

15 Преобразование в десятичное число 5/9

16 Оценка с использованием заданного значения квадратный корень из 180

17 График у=2

18 Преобразование в смешанный номер 7/8

19 Оценить 9*9

20 Решите для C С=5/9*(Ф-32)

21 Упростить 1/3+1 1/12

22 График у=х+4

23 График г=-3

24 График х+у=3

25 График х=5

26 Оценить 6*6

27 Оценка 2*2

28 Оценить 4*4

29 Оценить 1/2+(2/3)÷(3/4)-(4/5*5/6)

30 Оценить 1/3+13/12

31 Оценить 5*5

32 Решить для d 2д=5в(о)-вр

33 Преобразование в смешанный номер 3/7

34 График г=-2

35 Найдите склон у=6

36 Преобразование в проценты 9

37 График у=2х+2

41 Преобразование в смешанный номер 1/6

42 Преобразование в десятичное число 9%

43 Найти n 12н-24=14н+28

44 Оценить 16*4

45 Упростить кубический корень из 125

46 Преобразование в упрощенную дробь 43%

47 График х=1

48 График у=6

49 График г=-7

50 График у=4х+2

51 Найдите склон у=7

52 График у=3х+4

53 График у=х+5

54 График

58 Оценка с использованием заданного значения квадратный корень из 192

59 Оценка с использованием заданного значения квадратный корень из 25/36

60 Найти простую факторизацию 14

61 Преобразование в смешанный номер 7/10

62 Решите для (-5а)/2=75

63 Упростить х

64 Оценить 6*4

65 Оценить 6+6

66 Оценить -3-5

67 Оценить -2-2

68 Упростить квадратный корень из 1

69 Упростить квадратный корень из 4

70 Найди обратное 1/3

Преобразование в смешанный номер

20.

Средняя линия трапеции равнобокой: Трапеция. Равнобедренная трапеция. Средняя линия трапеции

alexxlab / 15.07.202305.05.2023 / Разное

Средняя линия трапеции равна половине большего основания. Трапеция, средняя линия трапеции, треугольник

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Сбор и использование персональной информации

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Понятие средней линии трапеции

Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.

Определение 1

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — боковыми сторонами трапеции.

Определение 2

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции

Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её вектор ным методом.

Теорема 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ — средняя линия этой трапеции (рис. 1).

Рисунок 1. Средняя линия трапеции

Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что

С другой стороны

Сложим два последних равенства, получим

Так как $M$ и $N$ — середины боковых сторон трапеции, то будем иметь

Получаем:

Следовательно

Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.

Теорема доказана.

Примеры задач на понятие средней линии трапеции

Пример 1

Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$. Найти длину средней линии трапеции.

Решение.

Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.

Сумма боковых сторон равна

Следовательно, так как периметр равен $52\ см$, сумма оснований равна

Значит, по теореме 1, получаем

Ответ: $10\ см$.

Пример 2

Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на $9$ см и $5$ см. Найти диаметр этой окружности.

Решение.

Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем касательную $l$ и построим расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$. Проведем радиус $OH$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Так как $AD$ и $BC$ — расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ — радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$. \circ\) .

2) Т.к. $AD\parallel BC$ и $BD$ – секущая, то $\angle DBC=\angle BDA$ как накрест лежащие.
Также $\angle BOC=\angle AOD$ как вертикальные.
Следовательно, по двум углам $\triangle BOC \sim \triangle AOD$ .

Докажем, что $S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}$ . Пусть $h$ – высота трапеции. Тогда $S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdot AD=S_{\triangle ACD}$ . Тогда: \

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство*

1) Докажем параллельность.

Проведем через точку $M$ прямую $MN»\parallel AD$ ($N»\in CD$ ). Тогда по теореме Фалеса (т.к. $MN»\parallel AD\parallel BC, AM=MB$ ) точка $N»$ — середина отрезка $CD$ . Значит, точки $N$ и $N»$ совпадут.

2) Докажем формулу.

Проведем $BB»\perp AD, CC»\perp AD$ . Пусть $BB»\cap MN=M», CC»\cap MN=N»$ .

Тогда по теореме Фалеса $M»$ и $N»$ — середины отрезков $BB»$ и $CC»$ соответственно. Значит, $MM»$ – средняя линия $\triangle ABB»$ , $NN»$ — средняя линия $\triangle DCC»$ . Поэтому: \

Т.к. $MN\parallel AD\parallel BC$ и $BB», CC»\perp AD$ , то $B»M»N»C»$ и $BM»N»C$ – прямоугольники. По теореме Фалеса из $MN\parallel AD$ и $AM=MB$ следует, что $B»M»=M»B$ . Значит, $B»M»N»C»$ и $BM»N»C$ – равные прямоугольники, следовательно, $M»N»=B»C»=BC$ .

Таким образом:

\ \[=\dfrac12 \left(AB»+B»C»+BC+C»D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

1) Докажем, что точки $P$ , $N$ и $M$ лежат на одной прямой.

Проведем прямую $PN$ ($P$ – точка пересечения продолжений боковых сторон, $N$ – середина $BC$ ). Пусть она пересечет сторону $AD$ в точке $M$ . Докажем, что $M$ – середина $AD$ .

Рассмотрим $\triangle BPN$ и $\triangle APM$ . Они подобны по двум углам ($\angle APM$ – общий, $\angle PAM=\angle PBN$ как соответственные при $AD\parallel BC$ и $AB$ секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Рассмотрим $\triangle CPN$ и $\triangle DPM$ . Они подобны по двум углам ($\angle DPM$ – общий, $\angle PDM=\angle PCN$ как соответственные при $AD\parallel BC$ и $CD$ секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Отсюда $\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}$ . Но $BN=NC$ , следовательно, $AM=DM$ .

2) Докажем, что точки $N, O, M$ лежат на одной прямой.

Пусть $N$ – середина $BC$ , $O$ – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую $NO$ , она пересечет сторону $AD$ в точке $M$ . Докажем, что $M$ – середина $AD$ .

$\triangle BNO\sim \triangle DMO$ по двум углам ($\angle OBN=\angle ODM$ как накрест лежащие при $BC\parallel AD$ и $BD$ секущей; $\angle BON=\angle DOM$ как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]

Аналогично $\triangle CON\sim \triangle AOM$ . Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]

Отсюда $\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}$ . Но $BN=CN$ , следовательно, $AM=MD$ .

\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Доказательство

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$ .

Из вершин $B$ и $C$ опустим на сторону $AD$ перпендикуляры $BM$ и $CN$ соответственно. Так как $BM\perp AD$ и $CN\perp AD$ , то $BM\parallel CN$ ; $AD\parallel BC$ , тогда $MBCN$ – параллелограмм, следовательно, $BM = CN$ .

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABM$ и $CDN$ . Так как у них равны гипотенузы и катет $BM$ равен катету $CN$ , то эти треугольники равны, следовательно, $\angle DAB = \angle CDA$ .

Т.к. $AB=CD, \angle A=\angle D, AD$ – общая, то по первому признаку . Следовательно, $AC=BD$ .

3) Т.к. $\triangle ABD=\triangle ACD$ , то $\angle BDA=\angle CAD$ . Следовательно, треугольник $\triangle AOD$ – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и $\triangle BOC$ – равнобедренный.

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Рассмотрим трапецию $ABCD$ , такую что $\angle A = \angle D$ .

Достроим трапецию до треугольника $AED$ как показано на рисунке. Так как $\angle 1 = \angle 2$ , то треугольник $AED$ равнобедренный и $AE = ED$ . Углы $1$ и $3$ равны как соответственные при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$ . Аналогично равны углы $2$ и $4$ , но $\angle 1 = \angle 2$ , тогда $\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4$ , следовательно, треугольник $BEC$ тоже равнобедренный и $BE = EC$ .

В итоге $AB = AE — BE = DE — CE = CD$ , то есть $AB = CD$ , что и требовалось доказать.

2) Пусть $AC=BD$ . Т.к. $\triangle AOD\sim \triangle BOC$ , то обозначим их коэффициент подобия за $k$ . Тогда если $BO=x$ , то $OD=kx$ . Аналогично $CO=y \Rightarrow AO=ky$ .

Т.к. $AC=BD$ , то $x+kx=y+ky \Rightarrow x=y$ . Значит $\triangle AOD$ – равнобедренный и $\angle OAD=\angle ODA$ .

Таким образом, по первому признаку $\triangle ABD=\triangle ACD$ ($AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD$ – общая). Значит, $AB=CD$ , чтд.

В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2 .
Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.
Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k 2 .
Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ .
А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b) .

Свойства средней линии трапеции

Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2 .
Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства углов трапеции

Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2 .
Если через стороны угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180 0 – обязательное условие для этого.
Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2 .
Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2 . Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим на два: (a – b)/2 .

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ .
Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ . Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ .

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2 .
У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ .
Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab .
И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной :

Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180 0 . Поэтому КАН = 30 0 (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30 0 . Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Серединная линия трапеции формула. Средняя линия трапеции

Понятие средней линии трапеции

Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.

Определение 1

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Определение 2

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции

Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её вектор ным методом.

Теорема 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ — средняя линия этой трапеции (рис. 1).

Рисунок 1. Средняя линия трапеции

Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.

С другой стороны

Сложим два последних равенства, получим

Так как $M$ и $N$ — середины боковых сторон трапеции, то будем иметь

Получаем:

Следовательно

Теорема доказана.

Примеры задач на понятие средней линии трапеции

Пример 1

Решение.

Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.

Сумма боковых сторон равна

Следовательно, так как периметр равен $52\ см$, сумма оснований равна

Значит, по теореме 1, получаем

Ответ: $10\ см$.

Пример 2

Решение.

Рисунок 2.

Так как $AD$ и $BC$ — расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ — радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$. Из этого всего получаем, что $ABCD$ — трапеция, а $OH$ — ее средняя линия. По теореме 1, получаем

Трапеция — это четырехугольник, имеющий две параллельные стороны, являющиеся основаниями и две не параллельные стороны, являющиеся боковыми сторонами.

Также встречаются такие названия, как равнобокая или равнобочная .

— это трапеция, у которой углы при боковой стороне прямые.

Элементы трапеции

a, b — основания трапеции (a параллельно b ),

m, n — боковые стороны трапеции,

d 1 , d 2 — диагонали трапеции,

h — высота трапеции (отрезок, соединяющий основания и при этом перпендикулярен им),

MN — средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон).

Площадь трапеции

Через полусумму оснований a, b и высоту h : S = \frac{a + b}{2}\cdot h
Через среднюю линию MN и высоту h : S = MN\cdot h
Через диагонали d 1 , d 2 и угол (\sin \varphi ) между ними: S = \frac{d_{1} d_{2} \sin \varphi}{2}

Свойства трапеции

Средняя линия трапеции

Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и разделяет каждый отрезок с концами, находящимися на прямых, которые содержат основания, (к примеру, высоту фигуры) пополам:

MN || a, MN || b, MN = \frac{a + b}{2}

Сумма углов трапеции

Сумма углов трапеции , прилежащих к каждой боковой стороне, равна 180^{\circ} :

\alpha + \beta = 180^{\circ}

\gamma + \delta =180^{\circ}

Равновеликие треугольники трапеции

Равновеликими , то есть имеющими равные площади, являются отрезки диагоналей и треугольники AOB и DOC , образованные боковыми сторонами. {2} .

Отношение длин отрезков и оснований

Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, поделен этой точкой в отношении:

\frac{OX}{OY} = \frac{BC}{AD}

Это будет являться справедливым и для высоты с самими диагоналями.

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны называются трапецией .

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями , а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами . Если боковые стороны равны, то такая трапеция является равнобедренной. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Средняя Линия Трапеции

Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

Теорема:

Если прямая, пересекающая середину одной боковой стороны, параллельна основаниям трапеции, то она делит пополам вторую боковую сторону трапеции.

Теорема:

Длина средней линии равна среднему арифметическому длин её оснований

MN || AB || DC
AM = MD; BN = NC

MN средняя линия, AB и CD — основания, AD и BC — боковые стороны

MN = (AB + DC)/2

Теорема:

Длина средней линии трапеции равна среднему арифметическому длин её оснований.

Основная задача : Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине оснований трапеции.

Средняя Линия Треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна третьей стороне и её длина равна половине длины третьей стороны.
Теорема : Если прямая, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне данного треугольника, то она делит третью сторону пополам.

AM = MC and BN = NC =>

Применение свойств средней линии треугольника и трапеции

Деление отрезка на определённое количество равных частей.
Задача: Разделить отрезок AB на 5 равных частей.
Решение:
Пусть p это случайный луч, у которого начало это точка А, и который не лежит на прямой AB. Мы последовательно откладываем 5 равных сегментов на p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Мы соединяем A 5 с B и проводим такие прямые через A 4 , A 3 , A 2 и A 1 , которые параллельны A 5 B. Они пересекают AB соответственно в точках B 4 , B 3 , B 2 и B 1 . Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB 3 A 3 A 5 мы видим, что BB 4 = B 4 B 3 . Таким же образом, из трапеции B 4 B 2 A 2 A 4 получаем B 4 B 3 = B 3 B 2

В то время как из трапеции B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Тогда из B 2 AA 2 следует, что B 2 B 1 = B 1 A. В заключении получаем:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ясно, что для разделения отрезка AB на другое количество равных частей, нам нужно проецировать то же самое количество равных сегментов на луч p. И далее продолжать вышеописанным способом.

Трапеция — это частный случай четырехугольника, у которого одна пара сторон является параллельной. Термин «трапеция» произошел от греческого слова τράπεζα, означающего «стол», «столик». В этой статье мы рассмотрим виды трапеции и её свойства. Кроме того, разберемся, как рассчитывать отдельные элементы этой Например, диагональ равнобокой трапеции, среднюю линию, площадь и др. Материал изложен в стиле элементарной популярной геометрии, т. е. в легкодоступной форме.

Общие сведения

Для начала давайте разберемся, что такое четырехугольник. Данная фигура является частным случаем многоугольника, содержащего четыре стороны и четыре вершины. Две вершины четырехугольника, которые не являются соседними, называются противоположными. То же можно сказать и о двух несмежных сторонах. Основные виды четырехугольников — это параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция и дельтоид.

Итак, вернемся к трапециям. Как мы уже говорили, у этой фигуры две стороны являются параллельными. Их называют основаниями. Две другие (непараллельные) — боковые стороны. В материалах экзаменов и различных контрольных работ очень часто можно встретить задачи, связанные с трапециями, решение которых зачастую требует от учащегося знаний, не предусмотренных программой. Школьный курс геометрии знакомит учеников со свойствами углов и диагоналей, а также средней линии равнобедренной трапеции. Но ведь, помимо этого, упомянутая геометрическая фигура имеет и другие особенности. Но о них чуть позже…

Виды трапеции

Существует много видов данной фигуры. Однако чаще всего принято рассматривать два из них — равнобедренную и прямоугольную.

1. Прямоугольная трапеция — это фигура, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. У нее два угла всегда равны девяноста градусам.

2. Равнобедренная трапеция — это геометрическая фигура, у которой боковые стороны равны между собой. А значит, и углы у оснований также попарно равны.

Главные принципы методики изучения свойств трапеции

К основному принципу можно отнести использование так называемого задачного подхода. По сути, нет необходимости для ввода в теоретический курс геометрии новых свойств этой фигуры. Их можно открывать и формулировать в процессе решения различных задач (лучше системных). При этом очень важно, чтобы преподаватель знал, какие задания необходимо поставить перед школьниками в тот или иной момент учебного процесса. Более того, каждое свойство трапеции может быть представлено в виде ключевой задачи в системе задач.

Вторым принципом является так называемая спиральная организация изучения «замечательных» свойств трапеции. Это подразумевает возврат в процессе обучения к отдельным признакам данной геометрической фигуры. Таким образом, учащимся легче их запоминать. Например, свойство четырех точек. Его можно доказывать как при изучении подобия, так и впоследствии с помощью векторов. А равновеликость треугольников, прилегающих к боковым сторонам фигуры, можно доказывать, применяя не только свойства треугольников с равными высотами, проведенными к сторонам, которые лежат на одной прямой, но и с помощью формулы S= 1/2(ab*sinα). Кроме того, можно отработать на вписанной трапеции или прямоугольный треугольник на описанной трапеции и т. д.

Применение «внепрограммных» особенностей геометрической фигуры в содержании школьного курса — это задачная технология их преподавания. Постоянное обращение к изучаемым свойствам при прохождении других тем позволяет учащимся глубже познавать трапецию и обеспечивает успешность решения поставленных задач. Итак, приступим к изучению этой замечательной фигуры.

Элементы и свойства равнобедренной трапеции

Как мы уже отмечали, у данной геометрической фигуры боковые стороны равны. Еще она известна как правильная трапеция. А чем же она так примечательна и почему получила такое название? К особенностям данной фигуры относится то, у нее равны не только боковые стороны и углы у оснований, но и диагонали. Кроме того, сумма углов равнобедренной трапеции равна 360 градусам. Но и это еще не все! Из всех известных трапеций только вокруг равнобедренной можно описать окружность. Это связано с тем, что сумма противоположных углов у этой фигуры равна 180 градусам, а только при таком условии можно описать окружность вокруг четырехугольника. Следующим свойством рассматриваемой геометрической фигуры является то, что расстояние от вершины основания до проекции противолежащей вершины на прямую, которая содержит это основание, будет равно средней линии.

А теперь давайте разберемся, как найти углы равнобедренной трапеции. Рассмотрим вариант решения этой задачи при условии, что известны размеры сторон фигуры.

Решение

Обычно четырехугольник принято обозначать литерами А, Б, С, Д, где БС и АД — это основания. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Будем считать, что их размер равен Х, а размеры оснований равны Y и Z (меньшего и большего соответственно). Для проведения вычисления необходимо из угла В провести высоту Н. В результате получился прямоугольный треугольник АБН, где АБ — гипотенуза, а БН и АН — катеты. Вычисляем размер катета АН: от большего основания отнимаем меньшее, и результат делим на 2. Запишем в виде формулы: (Z-Y)/2 = F. Теперь для вычисления острого угла треугольника воспользуемся функцией cos. Получаем следующую запись: cos(β) = Х/F. Теперь вычисляем угол: β=arcos (Х/F). Далее, зная один угол, мы можем определить и второй, для этого производим элементарное арифметическое действие: 180 — β. Все углы определены.

Существует и второе решение данной задачи. В начале опускаем из угла В высоту Н. Вычисляем значение катета БН. Нам известно, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Получаем: БН = √(Х2- F2). Далее используем тригонометрическую функцию tg. В результате имеем: β = arctg (БН/ F). Острый угол найден. Далее определяем аналогично первому способу.

Свойство диагоналей равнобедренной трапеции

Сначала запишем четыре правила. Если диагонали в равнобедренной трапеции перпендикулярны, то:

Высота фигуры будет равна сумме оснований, деленной на два;

Ее высота и средняя линия равны;

Центр окружности является точкой, в которой пересекаются ;

Если боковая сторона делится точкой касания на отрезки Н и М, тогда равен квадратному корню произведения этих отрезков;

Четырехугольник, который образовался точками касания, вершиной трапеции и центром вписанной окружности — это квадрат, у которого сторона равна радиусу;

Площадь фигуры равна произведению оснований и произведению полусуммы оснований на ее высоту.

Подобные трапеции

Данная тема весьма удобна для изучения свойств этой Например, диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника, причем прилежащие к основаниям являются подобными, а к боковым сторонам — равновеликими. Это утверждение можно назвать свойством треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями. Первая часть этого утверждения доказывается через признак подобия по двум углам. Для доказательства второй части лучше воспользоваться способом, приведенным ниже.

Доказательство теоремы

Принимаем, что фигура АБСД (АД и БС — основы трапеции) разбивается диагоналями ВД и АС. Точка их пересечения — О. Получаем четыре треугольника: АОС — у нижнего основания, БОС — у верхнего основания, АБО и СОД у боковых сторон. Треугольники СОД и БОС имеют общую высоту в том случае, если отрезки БО и ОД являются их основаниями. Получаем, что разность их площадей (П) равна разности этих отрезков: ПБОС/ПСОД = БО/ОД = К. Следовательно, ПСОД = ПБОС/К. Аналогично, треугольники БОС и АОБ имеют общую высоту. Принимаем за их основания отрезки СО и ОА. Получаем ПБОС/ПАОБ = СО/ОА = К и ПАОБ = ПБОС/К. Из этого следует, что ПСОД = ПАОБ.

Для закрепления материала учащимся рекомендуется найти связь между площадями полученных треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями, решив следующую задачу. Известно, что у треугольников БОС и АОД площади равны, необходимо найти площадь трапеции. Так как ПСОД = ПАОБ, значит, ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*ПСОД. Из подобия треугольников БОС и АОД следует, что БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Следовательно, ПБОС/ПСОД = БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Получаем ПСОД = √(ПБОС*ПАОД). Тогда ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*√(ПБОС*ПАОД) = (√ПБОС+√ПАОД)2.

Свойства подобия

Продолжая развивать эту тему, можно доказывать и другие интересные особенности трапеций. Так, с помощью подобия можно доказать свойство отрезка, который проходит через точку, образованную пересечением диагоналей этой геометрической фигуры, параллельно основаниям. Для этого решим следующую задачу: необходимо найти длину отрезка РК, который проходит через точку О. Из подобия треугольников АОД и БОС следует, что АО/ОС=АД/БС. Из подобия треугольников АОР и АСБ следует, что АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=БС*АД/(БС+АД). Аналогично из подобия треугольников ДОК и ДБС следует, что ОК=БС*АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=ОК и РК=2*БС*АД/(БС+АД). Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей, параллельный основаниям и соединяющий две боковые стороны, делится точкой пересечения пополам. Его длина — это среднее гармоническое оснований фигуры.

Рассмотрим следующее качество трапеции, которое называют свойством четырех точек. Точки пересечения диагоналей (О), пересечения продолжения боковых сторон (Е), а также середины оснований (Т и Ж) всегда лежат на одной линии. Это легко доказывается методом подобия. Полученные треугольники БЕС и АЕД подобны, и в каждом из них медианы ЕТ и ЕЖ делят угол при вершине Е на равные части. Следовательно, точки Е, Т и Ж лежат на одной прямой. Точно так же на одной прямой располагаются точки Т, О, и Ж. Все это следует из подобия треугольников БОС и АОД. Отсюда делаем вывод, что все четыре точки — Е, Т, О и Ж — будут лежать на одной прямой.

Используя подобные трапеции, можно предложить учащимся найти длину отрезка (ЛФ), который разбивает фигуру на две подобные. Данный отрезок должен быть параллелен основаниям. Так как полученные трапеции АЛФД и ЛБСФ подобны, то БС/ЛФ=ЛФ/АД. Отсюда следует, что ЛФ=√(БС*АД). Получаем, что отрезок, разбивающий трапецию на две подобные, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований фигуры.

Рассмотрим следующее свойство подобия. В его основе лежит отрезок, который делит трапецию на две равновеликие фигуры. Принимаем, что трапеция АБСД разделена отрезком ЕН на две подобные. Из вершины Б опущена высота, которая разбивается отрезком ЕН на две части — В1 и В2. Получаем: ПАБСД/2 = (БС+ЕН)*В1/2 = (АД+ЕН)*В2/2 и ПАБСД = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Далее составляем систему, первое уравнение которой (БС+ЕН)*В1 = (АД+ЕН)*В2 и второе (БС+ЕН)*В1 = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Отсюда следует, что В2/ В1 = (БС+ЕН)/(АД+ЕН) и БС+ЕН = ((БС+АД)/2)*(1+В2/ В1). Получаем, что длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна среднему квадратичному длин оснований: √((БС2+АД2)/2).

Выводы подобия

Таким образом, мы доказали, что:

1. Отрезок, соединяющий у трапеции середины боковых сторон, параллелен АД и БС и равен среднему арифметическому БС и АД (длина основания трапеции).

2. Черта, проходящая через точку О пересечения диагоналей параллельно АД и БС, будет равна среднему гармоническому чисел АД и БС (2*БС*АД/(БС+АД)).

3. Отрезок, разбивающий трапецию на подобные, имеет длину среднего геометрического оснований БС и АД.

4. Элемент, делящий фигуру на две равновеликие, имеет длину среднего квадратичного чисел АД и БС.

Для закрепления материала и осознания связи между рассмотренными отрезками учащемуся необходимо построить их для конкретной трапеции. Он без труда сможет отобразить среднюю линию и отрезок, который проходит через точку О — пересечение диагоналей фигуры — параллельно основаниям. А вот где будут находиться третий и четвертый? Этот ответ приведет учащегося к открытию искомой связи между средними величинами.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

Рассмотрим следующее свойство этой фигуры. Принимаем, что отрезок МН параллелен основаниям и делит диагонали пополам. Точки пересечения назовем Ш и Щ. Данный отрезок будет равен полуразности оснований. Разберем это более детально. МШ — средняя линия треугольника АБС, она равна БС/2. МЩ — средняя линия треугольника АБД, она равна АД/2. Тогда получаем, что ШЩ = МЩ-МШ, следовательно, ШЩ = АД/2-БС/2 = (АД+ВС)/2.

Центр тяжести

Давайте рассмотрим, каким образом определяется этот элемент для данной геометрической фигуры. Для этого необходимо продлить основания в противоположные стороны. Что это значит? Нужно к верхнему основанию прибавить нижнее — в любую из сторон, например, вправо. А нижнее продлеваем на длину верхнего влево. Далее соединяем их диагональю. Точка пересечения этого отрезка со средней линией фигуры и есть центр тяжести трапеции.

Вписанные и описанные трапеции

Давайте перечислим особенности таких фигур:

1. Трапеция может быть вписана в окружность тольков том случае, если она равнобедренная.

2. Около окружности можно описать трапецию, при условии, что сумма длин их оснований равна сумме длин боковых сторон.

Следствия вписанной окружности:

1. Высота описанной трапеции всегда равна двум радиусам.

2. Боковая сторона описанной трапеции наблюдается из центра окружности под прямым углом.

Первое следствие очевидно, а для доказательства второго требуется установить, что угол СОД является прямым, что, по сути, также не составит большого труда. Зато знание данного свойства позволит при решении задач применять прямоугольный треугольник.

Теперь конкретизируем эти следствия для равнобедренной трапеции, которая вписана в окружность. Получаем, что высота является средним геометрическим оснований фигуры: Н=2R=√(БС*АД). Отрабатывая основной прием решения задач для трапеций (принцип проведения двух высот), учащийся должен решить следующее задание. Принимаем, что БТ — высота равнобедренной фигуры АБСД. Необходимо найти отрезки АТ и ТД. Применяя формулу, описанную выше, это будет сделать не сложно.

Теперь давайте разберемся, как определить радиус окружности, используя площадь описанной трапеции. Опускаем из вершины Б высоту на основание АД. Так как окружность вписана в трапецию, то БС+АД = 2АБ или АБ = (БС+АД)/2. Из треугольника АБН находим sinα = БН/АБ = 2*БН/(БС+АД). ПАБСД = (БС+АД)*БН/2, БН=2R. Получаем ПАБСД = (БС+АД)*R, отсюда следует, что R = ПАБСД/(БС+АД).

Все формулы средней линии трапеции

Теперь пора перейти к последнему элементу данной геометрической фигуры. Разберемся, чему равна средняя линия трапеции (М):

1. Через основания: М = (А+Б)/2.

2. Через высоту, основание и углы:

М = А-Н*(ctgα+ctgβ)/2;

М = Б+Н*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Через высоту, диагонали и угол между ними. К примеру, Д1 и Д2 — диагонали трапеции; α , β — углы между ними:

М = Д1*Д2*sinα/2Н = Д1*Д2*sinβ/2Н.

4. Через площадь и высоту: М = П/Н.

Калькулятор равнобедренных трапеций

Автор Анна Щепанек, доктор философии

Отзыв от Davide Borchia

Последнее обновление: 02 февраля 2023 г. ?

Какими свойствами обладают равнобедренные трапеции?

Как пользоваться калькулятором равнобедренных трапеций?

Полезные ресурсы по трапециям

Часто задаваемые вопросы

Добро пожаловать в калькулятор равнобедренных трапеций Omni! Здесь вы можете узнать, что такое равнобедренная трапеция, и изучить различные свойства таких трапеций. В частности, мы объясним, как вычислить высоту и диагональ равнобедренной трапеции.

Начнем с определения равнобедренной трапеции.

Что такое равнобедренная трапеция?

Равнобедренная трапеция — это трапеция с катетами, которые имеют одинаковую длину (сравните с равнобедренными треугольниками).

На всякий случай напомним еще, что трапеция — это геометрическая фигура с четырьмя сторонами, у которой хотя бы одна пара сторон параллельна друг другу. Если таких пар две, то получится параллелограмм. Две параллельные стороны называются основания , а две другие стороны называются ножками .

Вот и все, что касается определения равнобедренных трапеций! Давайте исследуем некоторые интересные свойства этих интригующих геометрических объектов.

Какими свойствами обладают равнобедренные трапеции?

Вот краткий обзор основных свойств равнобедренной трапеции:

Диагонали равнобедренной трапеции имеют одинаковую длину.
Но эти диагонали не обязательно делят друг друга пополам.
Углы основания одинаковые.
Равнобедренная трапеция, которая также является прямоугольной трапецией, является прямоугольником.
Равнобедренная трапеция имеет ось симметрии — линия симметрии проходит через середины оснований.
Но у равнобедренной трапеции нет вращательной симметрии (если только она не прямоугольник).
Сумма противоположных углов равна прямому углу (180 градусов).

Как лучше всего исследовать все эти различные свойства? Экспериментируем с нашим калькулятором равнобедренных трапеций! В следующем разделе мы объясним, как использовать его наиболее эффективно.

Как пользоваться калькулятором равнобедренных трапеций?

Нет ничего проще, чем использовать калькулятор равнобедренных трапеций Omni! Вам просто нужно ввести доступные данные (в любом порядке), а наш инструмент найдет все остальные значения.

Имейте в виду, что расчет работает в предположении, что более длинный базис обозначается a , а более короткий — b (конечно, они могут быть равными)!

Полезные ресурсы по трапециям

В Omni есть много других калькуляторов, которые решат ваши задачи с трапециями:

Калькулятор трапеций
Калькулятор площади трапеции
Калькулятор периметра трапеции
Калькулятор стороны трапеции
Калькулятор угла трапеции
Калькулятор высоты трапеции
Средняя часть трапеции
Калькулятор площади равнобедренной трапеции
Калькулятор правой трапеции
Калькулятор площади правой трапеции
Калькулятор площади неправильной трапеции

FAQ

Является ли равнобедренная трапеция параллелограммом?

Равнобедренная трапеция не обязательно должна быть параллелограммом. Нам необходимо дополнительно знать, что два основания рассматриваемой равнобедренной трапеции имеют одинаковую длину.

Сколько осей симметрии у этой равнобедренной трапеции?

Равнобедренная трапеция имеет ровно одну линию симметрии. Его можно найти, проведя линию через середины двух оснований нашей равнобедренной трапеции.

Анна Щепанек, доктор философии

Более длинное основание (a)

Более короткое основание (b)

Ножка (c)

Высота (h)

Острый угол (α)

Тупой угол (β)

Диагональ (д)

Периметр

Посмотреть 23 похожих калькулятора 2d геометрии 📏

ПлощадьПлощадь прямоугольникаПлощадь полумесяца… Еще 20

Трапеция

(Переход к площади трапеции или периметру трапеции)

Трапеция – это четырехгранная плоская фигура с прямыми сторонами, имеющая пара противоположных сторон параллельных (обозначены стрелками ниже):


Трапеция		Равнобедренная трапеция

Трапеция:

	имеет пару параллельных сторон
	равнобедренный трапеция, когда она имеет равных углов от параллельной стороны
	называется « трапеция » в Великобритании (см. ниже)

Игра с трапецией:

изображения/geom-quad.js?mode=trapezoid

Параллельные стороны являются «основаниями»

Две другие стороны — «ножки»

Расстояние (под прямым углом) от одной базы до другой называется «высотой»

Район трапеции

Площадь равна среднему значению двух базовых длин, умноженному на высоты :

Площадь = a+b 2 × h

Пример: Два основания трапеции 6 м и 4 м, а высота 3 м. Какова его площадь?

Площадь = 6 м + 4 м 2 × 3 м = 5 м × 3 м = 15 м ²

Инструмент «Площадь многоугольника по рисованию» полезен, когда вы можете нарисовать трапецию.

Периметр трапеции

Периметр — это расстояние по краям.

Периметр равен сумме длин всех сторон :

Периметр = a+b+c+d

Пример: Трапеция имеет длины сторон 5 см, 12 см, 4 см и 15 см, каков ее периметр?

Периметр = 5 см + 12 см + 4 см + 15 см = 36 см

Медиана трапеции

Медиана (также называемая средней линией или средним сегментом) представляет собой отрезок, проходящий посередине между двумя основаниями.

Длина медианы равна среднему значению двух базовых длин:

м = а+б 2

Вы можете вычислить площадь, когда знаете медиану, это просто медиана, умноженная на высоту:

Площадь = mh

Трапеция

Трапеция (Великобритания: трапеция) представляет собой четырехугольник, у которого НЕТ параллельных сторон.

Объем пирамиды по координатам вершин онлайн: Объем пирамиды, построенной на векторах онлайн

alexxlab / 15.07.202329.04.2023 / Разное

Нахождение элементов в пирамиде. Контрольные онлайн

Образовательные онлайн сервисы: теория и практика

Главная
Примеры
- Математический анализ
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Линейная алгебра
- Теория вероятностей и математическая статистика
- Математическое программирование
  Методы оптимизации
- Математика в экономике
  Экономическая статистика
Видео-уроки
- Математический анализ
- Векторная алгебра и Аналитическая геометрия
- Линейная алгебра
- Теория вероятностей и математическая статистика
- Математическое программирование. Методы оптимизации
Готовые работы
- Математический анализ
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Линейная алгебра
- Теория вероятностей и математическая статистика
- Математическое программирование
  Методы оптимизации
- Математика в экономике
  Экономическая статистика
- Другое
Контакты

Полезные материалы:

Учебники
Справочники
Онлайн калькуляторы

Помощь в решении
Онлайн занятия в Zoom

Нахождение элементов в пирамиде

Даны вершины пирамиды и точка . Найти: а) длину ребра ; б) косинус угла между рёбрами и ; в) площадь грани ABC; г) объём пирамиды; д) уравнение прямой, на которой лежит ребро; е) уравнение прямой, на которой лежит высота пирамиды, опущенная из вершины ; Выяснить, лежат ли точки и по одну сторону плоскости грани или по разные?

Решение
а) Длину найдём по формуле расстояния между двумя точками

б) Угол между рёбрами и будет равен углу между векторами и
Введём в рассмотрение векторы и и найдём их координаты:

в) Площадь грани ABС (площадь треугольника АВС)
Введём в рассмотрение векторы и и найдём их координаты:
,
Найдём
Далее и
г) Объём пирамиды
, ,
Найдём =

д) Прямая, на которой лежит ребро , проходит через точки и . Запишем уравнение этой прямой, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки и :
Для решаемой задачи или
е) Прямая, на которой лежит высота пирамиды , проходит через точку перпендикулярно плоскости BCD. Следовательно, нормальный вектор плоскости BCD будет являться направляющим вектором для прямой.
Уравнение плоскости BCD найдём, используя уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки :
Для решаемой задачи это точки , , и, следовательно, уравнение

, , .
Вектор является нормальным вектором плоскости , следовательно, этот вектор является направляющим вектором для прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости . Уравнение этой прямой
Выясним, лежат ли точки и по одну сторону плоскости грани или по разные?
Найдём уравнение плоскости грани как уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор :

.
Для решаемой задачи , а найден в п. в) решаемой задачи. Следовательно, уравнение плоскости грани : или .
Для всех точек , лежащих на плоскости, будет выполняться равенство , для точек, лежащих по одну сторону плоскости, будет выполняться неравенство , для точек, лежащих по другую сторону плоскости, — неравенство .
Для точки выполняется неравенство .
Для точки выполняется неравенство .

Следовательно, точки и лежат по одну сторону плоскости грани .

Задать вопрос
Заказать помощь

Отзывы

+7-911-7987704

vk.com/id286009794

Написать в Whatsapp

Написать в Viber

@matem96

Skype: matem96.ru

5) Чертеж.

Ответы: 1) ;

2) : ;

3) ;

4) : .

Варианты расчетно-графического задания по теме

«Векторная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве».

Вариант №1.

1. По координатам вершин пирамиды найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани ; 4) объем пирамиды; 5) уравнения прямых и ; 6) уравнение плоскости ; 7) угол между плоскостями и ; 8) длину высоты, проведенной из вершины на грань . Сделать чертеж пирамиды в системе координат.