Таблица математических символов — это… Что такое Таблица математических символов?
В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeXе, объяснения и примеры использования.
Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, обозначает то же, что и
Знаки операций или математические символы — знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами.
Символ (TeX)
Символ (Unicode)
Название
Значение
Пример
Произношение
Раздел математики
⇒
→
⊃
Импликация, следование
означает «если верно, то также верно». (→ может использоваться вместо ⇒ или для обозначения функции, см. ниже.) (⊃ может использоваться вместо ⇒, или для обозначения надмножества, см. ниже.).
верно, но неверно (так как также является решением).
«влечёт» или «если…, то»
везде
⇔
Равносильность
означает « верно тогда и только тогда, когда верно».
«если и только если» или «равносильно»
везде
∧
Конъюнкция
истинно тогда и только тогда, когда и оба истинны.
, если — натуральное число.
«и»
Математическая логика
∨
Дизъюнкция
истинно, когда хотя бы одно из условий и истинно.
, если — натуральное число.
«или»
Математическая логика
¬
Отрицание
истинно тогда и только тогда, когда ложно .
«не»
Математическая логика
∀
Квантор всеобщности
обозначает « верно для всех ».
«Для любых», «Для всех»
Математическая логика
∃
Квантор существования
означает «существует хотя бы один такой, что верно »
(подходит число 5)
«существует»
Математическая логика
=
Равенство
обозначает « и обозначают одно и то же значение».
1 + 2 = 6 − 3
«равно»
везде
:=
:⇔
Определение
означает « по определению равен ». означает « по определению равносильно »
(Гиперболический косинус) (Исключающее или)
«равно/равносильно по определению»
везде
{ , }
Множество элементов
означает множество, элементами которого являются , и .
(множество натуральных чисел)
«Множество…»
Теория множеств
{ | }
{ : }
Множество элементов, удовлетворяющих условию
означает множество всех таких, что верно .
«Множество всех… таких, что верно…»
Теория множеств
∅
{}
Пустое множество
и означают множество, не содержащее ни одного элемента.
«Пустое множество»
Теория множеств
∈
∉
Принадлежность/непринадлежность к множеству
означает « является элементом множества » означает « не является элементом множества »
«принадлежит», «из» «не принадлежит»
Теория множеств
⊆
⊂
Подмножество
означает «каждый элемент из также является элементом из ». обычно означает то же, что и . Однако некоторые авторы используют , чтобы показать строгое включение (то есть ).
«является подмножеством», «включено в»
Теория множеств
⊇
⊃
Надмножество
означает «каждый элемент из также является элементом из ». обычно означает то же, что и . Однако некоторые авторы используют , чтобы показать строгое включение (то есть ).
«является надмножеством», «включает в себя»
Теория множеств
⊊
Собственное подмножество
означает и .
«является собственным подмножеством», «строго включается в»
Теория множеств
⊋
Собственное надмножество
означает и .
«является собственным надмножеством», «строго включает в себя»
Теория множеств
∪
Объединение
означает множество элементов, принадлежащих или (или обоим сразу).
«Объединение … и …», «…, объединённое с …»
Теория множеств
⋂
Пересечение
означает множество элементов, принадлежащих и , и .
«Пересечение … и … », «…, пересечённое с …»
Теория множеств
\
Разность множеств
означает множество элементов, принадлежащих , но не принадлежащих .
«разность … и … », «минус», «… без …»
Теория множеств
→
Функция
означает функцию с областью определения и областью прибытия (областью значений) .
Функция , определённая как
«из … в»,
везде
↦
Отображение
означает, что образом после применения функции будет .
Функцию, определённую как , можно записать так:
«отображается в»
везде
N или ℕ
Натуральные числа
означает множество или реже (в зависимости от ситуации).
«Эн»
Числа
Z или ℤ
Целые числа
означает множество
«Зед»
Числа
Q или ℚ
Рациональные числа
означает
«Ку»
Числа
R или ℝ
Вещественные числа, или действительные числа
означает множество всех пределов последовательностей из
( — комплексное число: )
«Эр»
Числа
C или ℂ
Комплексные числа
означает множество
«Це»
Числа
< >
Сравнение
обозначает, что строго меньше . означает, что строго больше .
«меньше чем», «больше чем»
Отношение порядка
≤ или ⩽ ≥ или ⩾
Сравнение
означает, что меньше или равен . означает, что больше или равен .
«меньше или равно»; «больше или равно»
Отношение порядка
≈
Приблизительное равенство
с точностью до означает, что 2,718 отличается от не больше чем на .
с точностью до .
«приблизительно равно»
Числа
√
Арифметический квадратный корень
означает неотрицательное действительное число, которое в квадрате даёт .
«Корень квадратный из …»
Числа
∞
Бесконечность
и суть элементы расширенного множества действительных чисел. Эти символы обозначают числа, меньшее/большее всех действительных чисел.
«Плюс/минус бесконечность»
Числа
| |
Модуль числа (абсолютное значение), модуль комплексного числа или мощность множества
обозначает абсолютную величину . обозначает мощность множества и равняется, если конечно, числу элементов .
«Модуль»; «Мощность»
Числа и Теория множеств
∑
Сумма, сумма ряда
означает «сумма , где принимает значения от 1 до », то есть . означает сумму ряда, состоящего из .
«Сумма … по … от … до …»
Арифметика, Математический анализ
∏
Произведение
означает «произведение для всех от 1 до », то есть
«Произведение … по … от … до …»
Арифметика
!
Факториал
означает «произведение всех натуральных чисел от 1 до включительно, то есть
« факториал»
Комбинаторика
∫
Интеграл
означает «интеграл от до функции от по переменной ».
«Интеграл (от … до …) функции … по (или d)…»
Математический анализ
df/dx f'(x)
Производная
или означает «(первая) производная функции от по переменной ».
«Производная … по …»
Математический анализ
Производная -го порядка
или (во втором случае если — фиксированное число, то оно пишется римскими цифрами) означает «-я производная функции от по переменной ».
«-я производная … по …»
Математический анализ
Прошлое и будущее / Блог компании Wolfram Research / Хабр
Перевод поста Стивена Вольфрама (Stephen Wolfram) «Mathematical Notation: Past and Future (2000)».
Выражаю огромную благодарность Кириллу Гузенко KirillGuzenko за помощь в переводе и подготовке публикации
Содержание
Резюме Введение История Компьютеры Будущее Примечания
—
Эмпирические законы для математических обозначений
—
Печатные обозначения против экранных
—
Письменные обозначения
—
Шрифты и символы
—
Поиск математических формул
—
Невизуальные обозначения
—
Доказательства
—
Отбор символов
—
Частотное распределение символов
—
Части речи в математической нотацииСтенограмма речи, представленной на секции «MathML и математика в сети» первой Международной Конференции MathML в 2000-м году.
Большинство математических обозначений существуют уже более пятисот лет. Я рассмотрю, как они разрабатывались, что было в античные и средневековые времена, какие обозначения вводили Лейбниц, Эйлер, Пеано и другие, как они получили распространение в 19 и 20 веках. Будет рассмотрен вопрос о схожести математических обозначений с тем, что объединяет обычные человеческие языки. Я расскажу об основных принципах, которые были обнаружены для обычных человеческих языков, какие из них применяются в математических обозначениях и какие нет.
Согласно историческим тенденциям, математическая нотация, как и естественный язык, могла бы оказаться невероятно сложной для понимания компьютером. Но за последние пять лет мы внедрили в Mathematica возможности к пониманию чего-то очень близкого к стандартной математической нотации. Я расскажу о ключевых идеях, которые сделали это возможным, а также о тех особенностях в математических обозначениях, которые мы попутно обнаружили.
Большие математические выражения — в отличии от фрагментов обычного текста — часто представляют собой результаты вычислений и создаются автоматически. Я расскажу об обработке подобных выражений и о том, что мы предприняли для того, чтобы сделать их более понятными для людей.
Традиционная математическая нотация представляет математические объекты, а не математические процессы. Я расскажу о попытках разработать нотацию для алгоритмов, об опыте реализации этого в APL, Mathematica, в программах для автоматических доказательств и других системах.
Обычный язык состоит их строк текста; математическая нотация часто также содержит двумерные структуры. Будет обсуждён вопрос о применении в математической нотации более общих структур и как они соотносятся с пределом познавательных возможностей людей.
Сфера приложения конкретного естественного языка обычно ограничивает сферу мышления тех, кто его использует. Я рассмотрю то, как традиционная математическая нотация ограничивает возможности математики, а также то, на что могут быть похожи обобщения математики.
Когда собиралась эта конференция, люди подумали, что было бы здорово пригласить кого-то для выступления с речью об основаниях и общих принципах математической нотации. И был очевидный кандидат —
Флориан Каджори
— автор классической книги под названием «
История математических обозначений
». Но после небольшого расследования оказалось, что есть техническая проблема в приглашении доктора Каджори — он умер как минимум лет семьдесят назад.
Так что мне придётся его заменять.
Полагаю, других вариантов особо-то и не было. Поскольку оказывается, что нет почти никого, кто жив на данный момент и кто занимался фундаментальными исследованиями математической нотации.
В прошлом математической нотацией занимались обычно в контексте систематизации математики. Так, Лейбниц и некоторые другие люди интересовались подобными вещами в середине 17 века. Бэббидж написал тяжеловесный труд по этой теме в 1821 году. И на рубеже 19 и 20 веков, в период серьёзного развития абстрактной алгебры и математической логики, происходит очередной всплеск интереса и деятельности в этой теме. Но после этого не было почти ничего.
Однако не особо удивительно, что я стал интересоваться подобными вещами. Потому что с Mathematica одной из моих главных целей было сделать ещё один большой шаг в области систематизации математики. А более общей моей целью в отношении Mathematica было распространить вычислительную мощь на все виды технической и математической работы. Эта задача имеет две части: то, как вычисления происходят внутри, и то, как люди направляют эти вычисления для получения того, что они хотят.
Одно из самых больших достижений Mathematica, о котором, вероятно, большинство из вас знает, заключается в сочетании высокой общности вычислений изнутри и сохранении практичности, основанной на преобразованиях символьных выражений, где символьные выражения могут представлять данные, графику, документы, формулы — да что угодно.
Однако недостаточно просто проводить вычисления. Необходимо так же, чтобы люди каким-то образом сообщали Mathematica о том, какие вычисления они хотят произвести. И основной способ дать людям взаимодействовать с чем-то столь сложным — использовать что-то вроде языка.
Обычно языки появляются в ходе некоторого поэтапного исторического процесса. Но компьютерные языки в историческом плане сильно отличаются. Многие были созданы практически полностью разом, зачастую одним человеком.
Так что включает в себя эта работа?
Ну, вот в чём заключалась для меня эта работа в отношении Mathematica: я попробовал представить, какие вообще вычисления люди будут производить, какие фрагменты в этой вычислительной работе повторяются снова и снова. А затем, собственно, я дал имена этим фрагментам и внедрил в качестве встроенных функций в Mathematica.
В основном мы отталкивались от английского языка, так как имена этих фрагментов основаны на простых английских словах. То есть это значит, что человек, который просто знает английский, уже сможет кое-что понять из написанного в Mathematica.
Однако, разумеется, язык Mathematica — не английский. Это скорее сильно адаптированный фрагмент английского языка, оптимизированный для передачи информации о вычислениях в Mathematica.
Можно было бы думать, что, пожалуй, было бы неплохо объясняться с Mathematica на обычном английском языке. В конце концов, мы уже знаем английский язык, так что нам было бы необязательно изучать что-то новое, чтобы объясняться с Mathematica.
Однако я считаю, что есть весьма весомые причины того, почему лучше думать на языке Mathematica, чем на английском, когда мы размышляем о разного рода вычислениях, которые производит Mathematica.
Однако мы так же знаем, заставить компьютер полностью понимать естественный язык — задача крайне сложная.
Хорошо, так что насчёт математической нотации?
Большинство людей, которые работают в Mathematica, знакомы по крайней мере с некоторыми математическими обозначениями, так что, казалось бы, было бы весьма удобно объясняться с Mathematica в рамках привычной математической нотации.
Но можно было бы подумать, что это не будет работать. Можно было бы подумать, что ситуация выльется в нечто, напоминающее ситуацию с естественными языками.
Однако есть один удивительный факт — он весьма удивил меня. В отличие от естественных человеческих языков, для обычной математической нотации можно сделать очень хорошее приближение, которое компьютер сможет понимать. Это одна из самых серьёзных вещей, которую мы разработали для третьей версии Mathematica в 1997 году [текущая версия Wolfram Mathematica — 10.4.1 — вышла в апреле 2016 г. — прим. ред.]. И как минимум некоторая часть того, что у нас получилось, вошла в спецификацию MathML.
Сегодня я хочу поговорить о некоторых общих принципах в математической нотации, которые мне довелось обнаружить, и то, что это означает в контексте сегодняшних дней и будущего.
В действительности, это не математическая проблема. Это куда ближе к лингвистике. Речь не о том, какой бы могла быть математическая нотация, а о том, какова используемая математическая нотация в действительности — как она развивалась в ходе истории и как связана с ограничениями человеческого познания.
Я думаю, математическая нотация — весьма интересное поле исследования для лингвистики.
Как можно было заметить, лингвистика в основном изучала разговорные языки. Даже пунктуация осталась практически без внимания. И, насколько мне известно, никаких серьёзных исследований математической нотации с точки зрения лингвистики никогда не проводилось.
Обычно в лингвистике выделяют несколько направлений. В одном занимаются вопросами исторических изменений в языках. В другом изучается то, как влияет изучение языка на отдельных людей. В третьем создаются эмпирические модели каких-то языковых структур.
Давайте сперва поговорим об истории.
Откуда произошли все те математические обозначения, которые мы в настоящее время используем?
Это тесно связано с историей самой математики, так что нам придётся коснуться немного этого вопроса. Часто можно услышать мнение, что сегодняшняя математика есть единственная мыслимая её реализация. То, какими бы могли быть произвольные абстрактные построения.
И за последние девять лет, что я занимался одним большим научным проектом, я ясно понял, что такой взгляд на математику не является верным. Математика в том виде, в котором она используется — это учение не о произвольных абстрактных системах. Это учение о конкретной абстрактной системе, которая исторически возникла в математике. И если заглянуть в прошлое, то можно увидеть, что есть три основные направления, из которых появилась математика в том виде, в котором мы сейчас её знаем — это арифметика, геометрия и логика.
Все эти традиции довольно стары. Арифметика берёт своё начало со времён древнего Вавилона. Возможно, и геометрия тоже приходит из тех времён, но точно уже была известна в древнем Египте. Логика приходит из древней Греции.
И мы можем наблюдать, что развитие математической нотации — языка математики — сильно связано с этими направлениями, особенно с арифметикой и логикой.
Следует понимать, что все три направления появлялись в различных сферах человеческого бытия, и это сильно повлияло на используемые в них обозначения.
Арифметика, вероятно, возникла из нужд торговли, для таких вещей, как, к примеру, счёт денег, а затем арифметику подхватили астрология и астрономия. Геометрия, по всей видимости, возникла из землемерческих и подобных задач. А логика, как известно, родилась из попытки систематизировать аргументы, приведённые на естественном языке.
Примечательно, кстати, что другая, очень старая область знаний, о которой я упомяну позднее — грамматика — по сути никогда не интегрировалась с математикой, по крайней мере до совсем недавнего времени.
Итак, давайте поговорим о ранних традициях в обозначениях в математике.
Во-первых, есть арифметика. И самая базовая вещь для арифметики — числа. Так какие обозначения использовались для чисел?
Что ж, первое представление чисел, о котором доподлинно известно — высечки на костях, сделанные 25 тысяч лет назад. Это была унарная система: чтобы представить число 7, нужно было сделать 7 высечек, ну и так далее.
Конечно, мы не можем точно знать, что именно это представление чисел было самым первым. Я имею ввиду, что мы могли и не найти свидетельств каких-то других, более ранних представлений чисел. Однако, если кто-то в те времена изобрёл какое-то необычное представление для чисел, и разместил их, к примеру, в наскальной живописи, то мы можем никогда и не узнать, что это было представление чисел — мы можем воспринимать это просто как какие-то фрагменты украшений.
Таким образом, числа можно представлять в унарной форме. И такое впечатление, что эта идея возрождалась множество раз и в различных частях света.
Но если посмотреть на то, что произошло помимо этого, то можно обнаружить довольно много различий. Это немного напоминает то, как различные виды конструкций для предложений, глаголов и прочее реализованы в различных естественных языках.
И, фактически, один из самых важных вопросов относительно чисел, который, как я полагаю, будет всплывать ещё много раз — насколько сильным должно быть соответствие между обычным естественным языком и языком математики?
Или вот вопрос: он связан с позиционной нотацией и повторным использованием цифр.
Как можно заметить, в естественных языках обычно есть такие слова, как «десять«, «сто«, «тысяча«, «миллион» и так далее. Однако в математике мы можем представить десять как «один нуль» (10), сто как «один нуль нуль» (100), тысячу как «один нуль нуль нуль» (1000) и так далее. Мы можем повторно использовать эту одну цифру и получать что-то новое, в зависимости от того, где в числе она будет появляться.
Что ж, это сложная идея, и людям потребовались тысячи лет, чтобы её действительно принять и осознать. А их неспособность принять её ранее имела большие последствия в используемых ими обозначениях как для чисел, так и для других вещей.
Как это часто бывает в истории, верные идеи появляются очень рано и долгое время остаются в забвении. Более пяти тысяч лет назад вавилоняне, и возможно даже до них ещё и шумеры разработали идею о позиционном представлении чисел. Их система счисления была шестидесятеричная, а не десятичная, как у нас. От них мы унаследовали представление секунд, минут и часов в существующей ныне форме. Но у них была идея использования одних и тех же цифр для обозначения множителей различных степеней шестидесяти.
Вот пример их обозначений.
Из этой картинки можно понять, почему археология столь трудна. Это очень маленький кусок обожжённой глины. Было найдено около полумиллиона подобных вавилонских табличек. И примерно одна из тысячи — то есть всего около 400 — содержат какие-то математические записи. Что, кстати, выше отношения математических текстов к обычным в современном интернете. Вообще, пока MathML не получил достаточного распространения, это является достаточно сложным вопросом.
Но, в любом случае, маленькие обозначения на этой табличке выглядят слегка похожими на отпечатки лапок крошечных птиц. Но почти 50 лет назад в конце концов исследователи определили, что эта клинописная табличка времён Хаммурапи — около 1750 года до н.э. — фактически является таблицей того, что мы сейчас называем пифагорейскими тройками.
Что ж, эти вавилонские знания были утеряны для человечества почти на 3000 лет. И вместо этого использовались схемы, основанные на естественных языках, с отдельными символами для десяти, ста и так далее.
Так, к примеру, у египтян для обозначения тысячи использовался символ цветка лотоса, для сотни тысяч — птица, ну и так далее. Каждая степень десяти для её обозначения имела отдельный символ.
А затем появилась другая очень важная идея, до которой не додумались ни вавилоняне, ни египтяне. Она заключалась в обозначении чисел цифрами — то есть не обозначать число семь семью единицами чего-то, а лишь одним символом.
Однако, у греков, возможно, как и у финикийцев ранее, эта идея уже была. Ну, на самом деле, она была несколько отличной. Она заключалась в том, чтобы обозначать последовательность чисел через последовательность букв в их алфавите. То есть альфе соответствовала единица, бете — двойка и так далее.
Вот как выглядит список чисел в греческом обозначении [вы можете скачать Wolfram Language Package, позволяющий представить числа в различных древних нотациях здесь — прим. ред.].
(Думаю, именно так сисадмины из Академии Платона адаптировали бы свою версию Mathematica; их воображаемую -600-ю (или около того) версию Mathematica.)
С этой системой счисления сопряжено множество проблем. Например, есть серьёзная проблема управления версиями: даже если вы решаете удалить какие-то буквы из своего алфавита, то вы должны оставить их в числах, иначе все ваши ранее записанные числа будут некорректными.
То есть это значит, что есть различные устаревшие греческие буквы, оставшиеся в системе счисления — как коппа для обозначения числа 90 и сампи для обозначения числа 900. Однако я включил их в набор символов для Mathematica, потому здесь прекрасно работает греческая форма записи чисел.
Спустя некоторое время римляне разработали свою форму записи чисел, с которой мы хорошо знакомы.
Пускай сейчас и не совсем ясно, что их цифры изначально задумывались как буквы, однако об этом следует помнить.
Итак, давайте попробуем римскую форму записи чисел.
Это тоже довольно неудобный способ записи, особенно для больших чисел.
Тут есть несколько интересных моментов. К примеру, длина представляемого числа рекурсивно возрастает с размером числа.
И в целом, подобное представление для больших чисел полно неприятных моментов. К примеру, когда Архимед писал свою работу о количестве песчинок, объём которых эквивалентен объёму вселенной (Архимед оценил их количество в 1051, однако, полагаю, правильный ответ будет около 1090), то он использовал обычные слова вместо обозначений, чтобы описать столь большое число.
Но на самом деле есть более серьёзная понятийная проблема с идеей о представлении цифр как букв: становится трудно придумать представление символьных переменных — каких-то символьных объектов, за которыми стоят числа. Потому что любую букву, которую можно было бы использовать для этого символьного объекта, можно будет спутать с цифрой или фрагментом числа.
Общая идея о символьном обозначении каких-то объектов через буквы известна довольно давно. Евклид, по сути, использовал эту идею в своих трудах по геометрии.
К сожалению, не сохранилось оригиналов работ Евклида. Однако имеются на несколько сот лет более молодые версии его работ. Вот одна, написанная на греческом языке.
И на этих геометрических фигурах можно увидеть точки, которые имеют символьное представление в виде греческих букв. И в описании теорем есть множество моментов, в которых точки, линии и углы имеют символьное представление в виде букв. Так что идея о символьном представлении каких-то объектов в виде букв берёт своё начало как минимум от Евклида.
Однако эта идея могла появиться и раньше. Если бы я умел читать на вавилонском, я бы, вероятно, смог бы сказать вам точно. Вот вавилонская табличка, в которой представляется квадратный корень из двух, и которая использует вавилонские буквы для обозначений.
Полагаю, обожжённая глина более долговечна, чем папирус, и получается, что мы знаем о том, что писали вавилоняне больше, чем о том, что писали люди вроде Евклида.
Вообще, эта неспособность увидеть возможность вводить имена для числовых переменных есть интересный случай, когда языки или обозначения ограничивают наше мышление. Это то, что несомненно обсуждается в обычной лингвистике. В наиболее распространённой формулировке эта идея звучит как гипотеза Сепира-Уорфа (гипотеза лингвистической относительности).
Разумеется, для тех из нас, кто потратил некоторую часть своей жизни на разработку компьютерных языков, эта идея представляется очень важной. То есть я точно знаю, что если я буду думать на языке Mathematica, то многие концепции будут достаточно просты для моего понимания, и они будут совсем не такими простыми, если я буду думать на каком-то другом языке.
Но, в любом случае, без переменных всё было бы гораздо сложнее. Например, как вы представите многочлен?
Ну, Диофант — тот самый, что придумал диофантовы уравнения — сталкивался с проблемой представления многочленов в середине 2 века н.э. В итоге он пришёл к использованию определённых основанных на буквах имён для квадратов, кубов и прочего. Вот как это работало.
По крайней мере сейчас нам показалось бы чрезвычайно трудным понять обозначения Диофанта для полиномов. Это пример не очень хороших обозначений. Полагаю, главная причина, помимо ограниченной расширяемости, состоит в том, что эти обозначения делают математические связи между полиномами неочевидными и не выделяют наиболее интересные нам моменты.
Есть и другие схемы задания полиномов без переменных, как, например, китайская схема, которая включала создание двухмерного массива коэффициентов.
Проблема здесь, опять-таки, в расширяемости. И эта проблема с основанными на графике обозначениями всплывает снова и снова: лист бумаги, папирус или что бы то ни было — они все ограничены двумя измерениями.
Хорошо, так что насчёт буквенного обозначения переменных?
Полагаю, что они могли бы появиться лишь после появления чего-то похожего на нашу современную нотацию. И она до определённого времени не появлялась. Были какие-то намёки в индо-арабских обозначениях в середине первого тысячелетия, однако установилось всё лишь к его концу. А на запад эта идея пришла лишь с работой Фибоначчи о вычислениях в 13 веке.
Фибоначчи, разумеется, был тем самым, кто говорил о числах Фибоначчи применительно к задаче о кроликах, однако в действительности эти числа известны были уже более тысячи лет, и служили они для описания форм индийской поэзии. И я всегда находил случай с числами Фибоначчи удивительным и отрезвляющим эпизодом в истории математики: возникнув на заре западной математики, столь привычные и фундаментальные, они начали становиться популярными лишь в 80-е.
В любом случае, также интересно заметить, что идея разбивки цифр в группы по три, чтобы сделать большие числа более читаемыми, имеется уже в книге Фибоначчи 1202 года, хотя я думаю, что он говорил об использовании скобок над числами, а не о разделяющих запятых.
После Фибоначчи наше современное представление для чисел постепенно становится всё популярнее, и ко времени начала книгопечатания в 15 веке оно уже было универсальным, хотя ещё и оставались несколько чудных моментов.
Но алгебраических переменных в полном их смысле тогда ещё не было. Они появились лишь после Виета в конце 16 века и обрели популярность лишь в 17 веке. То есть у Коперника и его современников их ещё не было. Как в основном и у Кеплера. Эти учёные для описания каких-то математических концепций использовали обычный текст, иногда структурированный как у Евклида.
Кстати, даже несмотря на то, что математическая нотация в те времена была не очень хорошо проработана, системы символьных обозначений в алхимии, астрологии и музыке были довольно развиты. Так, к примеру, Кеплер в начале 17 века использовал нечто, похожее на современную музыкальную нотацию, объясняя свою «музыку сфер» для отношений планетарных орбит.
Со времён Виета буквенные обозначения для переменных стали привычным делом. Обычно, кстати, он использовал гласные для неизвестных и согласные — для известных.
Вот как Виет записывал многочлены в форме, которую он называл «zetetics«, а сейчас мы бы это назвали просто символьной алгеброй:
Можно увидеть, что он использует слова для обозначения операций, в основном так, чтобы их нельзя было спутать с переменными.
Так как раньше представляли операции, в каком виде?
Идея о том, что операции есть нечто, что можно в какой-то форме представить, добиралась до умов людей довольно долго. Вавилоняне обычно не использовали символы для операций — для сложения они просто записывали слагаемые друг за другом. И в целом они были предрасположены записывать всё в виде таблиц, так что им не требовалось как-то обозначать операции.
У египтян были некоторые обозначения для операций: для сложения они использовали пару идущих вперёд ног, а для вычитания — идущих назад.
А современный знак +, который, вероятно, является сокращением от «et» на латыни (означает «и»), появился лишь в конце 15 века.
А вот кое-что из 1579 года, что выглядит весьма современным, написанное в основном на английском, пока не начнёшь понимать, что те забавные загогулины — это не иксы, а специальные небуквенные символы, которые представляют различные степени для переменных.
В первой половине 17 века произошла своего рода революция в математической нотации, после которой она практически обрела свой современный вид. Было создано современное обозначение квадратного корня, который ранее обозначался как Rx — это обозначение сейчас используется в медицинских рецептах. И в основном алгебраическая нотация приобрела свой современный вид.
Уильям Отред был одним из тех людей, кто серьёзно занимался этим вопросом. Изобретение логарифмической линейки — одна из вещей, которая сделала его известным. На самом деле о нём практически ничего неизвестно. Он не был крупным математиком, однако сделал много полезного в области преподавания, с такими людьми, как Кристофер Рен и его учениками. Странно, что я ничего не слышал о нём в школе, особенно если учесть, что мы учились в одной и той же школе, только он на 400 лет ранее. Однако изобретение логарифмической линейки было недостаточным для того, чтобы увековечить своё имя в истории математики.
Но, в любом случае, он серьёзно занимался нотацией. Он придумал обозначать умножение крестиком, и он продвинул идею о представлении алгебры посредством обозначений вместо слов — так, как это делал Виет. И, фактически, он изобрёл довольно много других обозначений, подобно тильде для таких предикатов, как IntegerQ.
После Отреда и его сотоварищей эти обозначения быстро установились. Были и альтернативные обозначения, как изображения убывающей и растущей лун для обозначения арифметических операций — прекрасный пример плохого и нерасширяемого дизайна. Однако в основном использовались современные обозначения.
Вот пример.
Это фрагмент рукописи Ньютона Principia, из которой ясно, что он в основном использовал современные алгебраические обозначения. Думаю, именно Ньютон придумал использовать отрицательные степени вместо дробей для обратных величин и прочего. Principia содержит весьма мало обозначений, за исключением этих алгебраических вещей и представления разного материала в стиле Евклида. И в действительности Ньютон не особо интересовался обозначениями. Он даже хотел использовать точечные обозначения для своих флюксий.
Чего не скажешь о Лейбнице. Лейбниц много внимания уделял вопросам нотации. В действительности, он считал, что правильные обозначения есть ключ ко многим человеческим вопросам. Он был своего рода дипломат-аналитик, курсирующий между различными странами, со всеми их различными языками, и т.д. У него была идея, что если создать некий универсальный логический язык, то тогда все люди смогли бы понимать друг друга и имели бы возможность объяснить всё что угодно.
Были и другие люди, которые размышляли о подобном, преимущественно с позиции обычных естественных языков и логики. Один из примеров — довольно специфичный персонаж по имени Раймонд Лул, живший в 14 веке, который заявлял, что изобрёл некие логические колёса, дающие ответы на все вопросы мира.
Но так или иначе, Лейбниц разработал те вещи, которые были интересны и с позиций математики. То, что он хотел сделать, должно было так или иначе объединить все виды обозначений в математике в некоторый точный естественный язык с подобным математике способом описания и решения различных проблем, или даже больше — объединить ещё и все используемые естественные языки.
Ну, как и многие другие свои проекты, Лейбниц так и не воплотил это в жизнь. Однако он занимался самыми разными направлениями математики и серьёзно относился к разработке обозначений для них. Наиболее известные его обозначения были введены им в 1675 году. Для обозначения интегралов он использовал «omn.«, возможно, как сокращение от omnium. Но в пятницу 29 октября 1675 года он написал следующее.
На этом фрагменте бумаги можно увидеть знак интеграла. Он задумывал его как вытянутую S. Несомненно, это и есть современное обозначение интеграла. Ну, между обозначениями интегралов тогда и сейчас почти нет никакой разницы.
Затем в четверг 11 ноября того же года он обозначил дифференциал как «d«. На самом деле, Лейбниц считал это обозначение не самым лучшим и планировал придумать ему какую-нибудь замену. Но, как мы все знаем, этого не произошло.
Что ж, Лейбниц вёл переписку касательно обозначений с самыми разными людьми. Он видел себя кем-то вроде председателя комитета стандартов математических обозначений — так бы мы сказали сейчас. Он считал, что обозначения должны быть максимально краткими. К примеру, Лейбниц говорил: «Зачем использовать две точки для обозначения деления, когда можно использовать лишь одну?«.
Некоторые из продвигаемых им идей так и не получили распространения. К примеру, используя буквы для обозначения переменных, он использовал астрономические знаки для обозначения выражений. Довольно интересная идея, на самом деле.
Так он обозначал функции.
Помимо этих моментов и некоторых исключений наподобие символа пересечения квадратов, который Лейбниц использовал для обозначения равенства, его обозначения практически неизменными дошли до наших дней.
В 18 веке Эйлер активно пользовался обозначениями. Однако, по сути, он следовал по пути Лейбница. Полагаю, он был первым, кто всерьёз начал использовать греческие буквы наравне с латинскими для обозначения переменных.
Есть и некоторые другие обозначения, которые появились вскоре после Лейбница. Следующий пример из книги, вышедшей через несколько лет после смерти Ньютона. Это учебник алгебры, и он содержит весьма традиционные алгебраические обозначения, уже в печатном виде.
А вот книга Лопиталя, напечатанная примерно в то же время, в которой уже практически современная алгебраическая нотация.
И, наконец, вот пример от Эйлера, содержащий весьма современные обозначения для интегралов и прочего.
Эйлер — популяризировал современное обозначение для числа пи, которое первоначально было предложено Уильямом Джонсом, который рассматривал его как сокращение от слова периметр.
Предложенная Лейбницем и сотоварищами нотация довольно долго оставалась неизменной. Происходили небольшие изменения, как, к примеру квадрат x x получил написание x2. Однако практически ничего нового не появилось.
Однако в конце 19 века наблюдается новый всплеск интереса к математической нотации, сопряжённый с развитием математической логики. Были некоторые нововведения, сделанные физиками, такими как Максвелл и Гиббс, в основном для векторов и векторного анализа, как следствие развития абстрактной алгебры. Однако наиболее значимые изменения были сделаны людьми, начиная с Фреге и приблизительно с 1879 года, которые занимались математической логикой.
Эти люди в своих устремлениях были близки к Лейбницу. Они хотели разработать нотацию, которая представляла бы не только математические формулы, но и математические выводы и доказательства. В середине 19 века Буль показал, что основы логики высказываний можно представлять в терминах математики. Однако Фреге и его единомышленники хотели пойти дальше и представить так как логику высказываний, так и любые математические суждения в соответствующих математических терминах и обозначениях.
Фреге решил, что для решения этой задачи потребуются графические обозначения. Вот фрагмент его так называемой «концептуальной нотации«.
К сожалению, в ней трудно разобраться. И в действительности, если посмотреть на историю обозначений в целом, то часто можно встретить попытки изобретения графических обозначений, которые оказывались трудными для понимания. Но в любом случае, обозначения Фреге уж точно не стали популярными.
Потом был Пеано, самый главный энтузиаст в области математической нотации. Он делал ставку на линейное представление обозначений. Вот пример:
Вообще говоря, в 80-х годах 19 века Пеано разработал то, что очень близко к обозначениям, которые используются в большинстве современных теоретико-множественных концепций.
Однако, как и Лейбниц, Пеано не желал останавливаться лишь на универсальной нотации для математики. Он хотел разработать универсальный язык для всего. Эта идея реализовалась у него в то, что он назвал интерлингва — язык на основе упрощённой латыни. Затем он написал нечто вроде краткого изложения математики, назвав это Formulario Mathematico, которое было основано на его обозначениях для формул, и труд этот был написал на этой производной от латыни — на интерлингве.
Интерлингва, подобно эсперанто, который появился примерно в это же время, так и не получил широкого распространения. Однако этого нельзя сказать об обозначениях Пеано. Сперва о них никто ничего толком и не слышал. Но затем Уайтхед и Рассел написали свой труд Principia Mathematica, в котором использовались обозначения Пеано.
Думаю, Уайтхед и Рассел выиграли бы приз в номинации «самая насыщенная математическими обозначениями работа, которая когда-либо была сделана без помощи вычислительных устройств«. Вот пример типичной страницы из Principia Mathematica.
У них были все мыслимые виды обозначений. Частая история, когда авторы впереди своих издателей: Рассел сам разрабатывал шрифты для многих используемых им обозначений.
И, разумеется, тогда речь шла не о шрифтах TrueType или о Type 1, а о самых настоящих кусках свинца. Я о том, что Рассела можно было встретить с тележкой, полной свинцовых оттисков, катящему её в издательство Кембриджского университета для обеспечения корректной вёрстки его книг.
Но, несмотря на все эти усилия, результаты были довольно гротескными и малопонятными. Я думаю, это довольно ясно, что Рассел и Уайтхед зашли слишком далеко со своими обозначениями.
И хотя область математической логики немного прояснилась в результате деятельности Рассела и Уайтхеда, она всё ещё остаётся наименее стандартизированной и содержащей самую сложную нотацию.
Но что насчёт более распространённых составляющих математики?
Какое-то время в начале 20 века то, что было сделано в математической логике, ещё не произвело никакого эффекта. Однако ситуация резко начала меняться с движением Бурбаки, которое начало разрастаться во Франции в примерное сороковые года.
Бурбаки придавали особое значение гораздо более абстрактному, логико-ориентированному подходу к математике. В частности, они акцентировали внимание на использовании обозначений там, где это только возможно, любым способом сводя использование потенциально неточного текста к минимуму.
Где-то с сороковых работы в области чистой математики претерпели серьёзные изменения, что можно заметить в соответствующих журналах, в работах международного математического сообщества и прочих источниках подобного рода. Изменения заключались в переходе от работ, полных текста и лишь с основными алгебраическими и вычислительными выкладками к работам, насыщенными обозначениями.
Конечно, эта тенденция коснулась не всех областей математики. Это в некотором роде то, чем занимаются в лингвистике обычных естественных языков. По устаревшим используемым математическим обозначениям можно заметить, как различные области, их использующие, отстают от основной магистрали математического развития. Так, к примеру, можно сказать, что физика осталась где-то в конце 19 века, используя уже устаревшую математическую нотацию тех времён.
Есть один момент, который постоянно проявляется в этой области — нотация, как и обычные языки, сильно разделяет людей. Я имею в виду, что между теми, кто понимает конкретные обозначения, и теми, кто не понимает, имеется большой барьер. Это кажется довольно мистическим, напоминая ситуацию с алхимиками и оккультистами — математическая нотация полна знаков и символов, которые люди в обычной жизни не используют, и большинство людей их не понимают.
На самом деле, довольно любопытно, что с недавних пор в рекламе появился тренд на использование математических обозначений. Думаю, по какой-то причине математическая нотация стала чем-то вроде шика. Вот один актуальный пример рекламы.
Отношение к математическим обозначениям, к примеру, в школьном образовании, часто напоминает мне отношение к символам секретных сообществ и тому подобному.
Что ж, это был краткий конспект некоторых наиболее важных эпизодов истории математической нотации.
В ходе исторических процессов некоторые обозначения перестали использоваться. Помимо некоторых областей, таких как математическая логика, она стала весьма стандартизированной. Разница в используемых разными людьми обозначениях минимальна. Как и в ситуации с любым обычным языком, математические записи практически всегда выглядят одинаково.
Вот вопрос:
можно ли сделать так, чтобы компьютеры понимали эти обозначения?
Это зависит от того, насколько они систематизированы и как много смысла можно извлечь из некоторого заданного фрагмента математической записи.
Ну, надеюсь, мне удалось донести мысль о том, что нотация развивалась в результате непродуманных случайных исторических процессов. Было несколько людей, таких как Лейбниц и Пеано, которые пытались подойти к этому вопросу более системно. Но в основном обозначения появлялись по ходу решения каких-то конкретных задач — подобно тому, как это происходит в обычных разговорных языках.
И одна из вещей, которая меня удивила, заключается в том, что по сути никогда не проводилось интроспективного изучения структуры математической нотации.
Грамматика обычных разговорных языков развивалась веками. Без сомнения, многие римские и греческие философы и ораторы уделяли ей много внимания. И, по сути, уже примерно в 500 года до н. э. Панини удивительно подробно и ясно расписал грамматику для санскрита. Фактически, грамматика Панини была удивительно похожа по структуре на спецификацию правил создания компьютерных языков в форме Бэкуса-Наура, которая используется в настоящее время.
И были грамматики не только для языков — в последнее столетие появилось бесконечное количество научных работ по правильному использованию языка и тому подобному.
Но, несмотря на всю эту активность в отношении обычных языков, по сути, абсолютно ничего не было сделано для языка математики и математической нотации. Это действительно довольно странно.
Были даже математики, которые работали над грамматиками обычных языков. Ранним примером являлся Джон Уоллис, который придумал формулу произведения Уоллиса для числа пи, и вот он писал работы по грамматике английского языка в 1658 году. Уоллис был тем самым человеком, который начал всю эту суматоху с правильным использованием «will» или «shall«.
В начале 20 века в математической логике говорили о разных слоях правильно сформированного математического выражения: переменные внутри функций внутри предикатов внутри функций внутри соединительных слов внутри кванторов. Но не о том, что же это всё значило для обозначений выражений.
Некоторая определённость появилась в 50-е годы 20 века, когда Хомский и Бакус, независимо разработали идею контекстно-свободных языков. Идея пришла походу работы над правилами подстановки в математической логике, в основном благодаря Эмилю Посту в 20-х годах 20 века. Но, любопытно, что и у Хомского, и у Бакуса возникла одна и та же идея именно в 1950-е.
Бакус применил её к компьютерным языкам: сперва к Fortran, затем к ALGOL. И он заметил, что алгебраические выражения могут быть представлены в контекстно-свободной грамматике.
Хомский применил эту идею к обычному человеческому языку. И он отмечал, что с некоторой степенью точности обычные человеческие языки так же могут быть представлены контекстно-свободными грамматиками.
Конечно, лингвисты включая Хомского, потратили годы на демонстрацию того, насколько всё же эта идея не соответствует действительности. Но вещь, которую я всегда отмечал, а с научной точки зрения считал самой важной, состоит в том, что в первом приближении это всё-таки истина — то, что обычные естественные языки контекстно-свободны.
Итак, Хомский изучал обычный язык, а Бакус изучал такие вещи, как ALGOL. Однако никто из них не рассматривал вопрос разработки более продвинутой математики, чем простой алгебраический язык. И, насколько я могу судить, практически никто с тех времён не занимался этим вопросом.
Но, если вы хотите посмотреть, сможете ли вы интерпретировать некоторые математические обозначения, вы должны знать, грамматику какого типа они используют.
Сейчас я должен сказать вам, что считал математическую нотацию чем-то слишком случайным для того, чтобы её мог корректно интерпретировать компьютер. В начале девяностых мы горели идеей предоставить возможность Mathematica работать с математической нотацией. И по ходу реализации этой идеи нам пришлось разобраться с тем, что происходит с математической нотацией.
Нил Сойффер потратил множество лет, работая над редактированием и интерпретацией математической нотации, и когда он присоединился к нам в 1991, он пытаться убедить меня, что с математической нотацией вполне можно работать — как с вводом, так и с выводом.2+ArcSin[x+1]+c(x+1)+f[x+1]
Что оно означает? Чтобы это понять, нужно знать приоритеты операторов — какие действуют сильнее, а какие слабее в отношении операндов.
Я подозревал, что для этого нет какого-то серьёзного обоснования ни в каких статьях, посвящённых математике. И я решил исследовать это. Я прошёлся по самой разнообразной математической литературе, показывал разным людям какие-то случайные фрагменты математической нотации и спрашивал у них, как бы они их интерпретировали. И я обнаружил весьма любопытную вещь: была удивительная слаженность мнений людей в определении приоритетов операторов. Таким образом, можно утверждать: имеется определённая последовательность приоритетов математических операторов.
Можно с некоторой уверенностью сказать, что люди представляют именно эту последовательность приоритетов, когда смотрят на фрагменты математической нотации.
Обнаружив этот факт, я стал значительно более оптимистично оценивать возможность интерпретации вводимых математических обозначений. Один из способов, с помощью которого всегда можно это реализовать — использовать шаблоны. То есть достаточно просто иметь шаблон для интеграла и заполнять ячейки подынтегрального выражения, переменной и так далее. И когда шаблон вставляется в документ, то всё выглядит как надо, однако всё ещё содержится информация о том, что это за шаблон, и программа понимает, как это интерпретировать. И многие программы действительно так и работают.
Но в целом это крайне неудобно. Потому что если вы попытаетесь быстро вводить данные или редактировать, вы будете обнаруживать, что компьютер вам бикает (beeping) и не даёт делать те вещи, которые, очевидно, должны быть вам доступны для реализации.
Дать людям возможность ввода в свободной форме — значительно более сложная задача. Но это то, что мы хотим реализовать.
Итак, что это влечёт?
Прежде всего, математический синтаксис должен быть тщательно продуманным и однозначным. Очевидно, получить подобный синтаксис можно, если использовать обычный язык программирования с основанным на строках синтаксисом. Но тогда вы не получите знакомую математическую нотацию.
Вот ключевая проблема: традиционная математическая нотация содержит неоднозначности. По крайней мере, если вы захотите представить её в достаточно общем виде. Возьмём, к примеру, «i«. Что это — Sqrt[-1] или переменная «i«?
В обычном текстовом InputForm в Mathematica все подобные неоднозначности решены простым путём: все встроенные объекты Mathematica начинаются с заглавной буквы.
Но заглавная «I» не очень то и похожа на то, чем обозначается Sqrt[-1] в математических текстах. И что с этим делать? И вот ключевая идея: можно сделать другой символ, который вроде тоже прописная «i», однако это будет не обычная прописная «i», а квадратный корень из -1.
Можно было бы подумать: Ну, а почему бы просто не использовать две «i», которые бы выглядели одинаково, — прям как в математических текстах — однако из них будет особой? Ну, это бы точно сбивало с толку. Вы должны будете знать, какую именно «i» вы печатаете, а если вы её куда-то передвинете или сделаете что-то подобное, то получится неразбериха.
Итак, значит, должно быть два «i«. Как должна выглядеть особая версия этого символа?
У нас была идея — использовать двойное начертание для символа. Мы перепробовали самые разные графические представления. Но идея с двойным начертанием оказалась лучшей. В некотором роде она отвечает традиции в математике обозначать специфичные объекты двойным начертанием.
Так, к примеру, прописная R могла бы быть переменной в математических записях. А вот R с двойным начертанием — уже специфический объект, которым обозначают множество действительных чисел.
Таким образом, «i» с двойным начертанием есть специфичный объект, который мы называем ImaginaryI. Вот как это работает:
Идея с двойным начертанием решает множество проблем.
В том числе и самую большую — интегралы. Допустим, вы пытаетесь разработать синтаксис для интегралов. Один из ключевых вопросов — что может означать «d» в интеграле? Что, если это параметр в подынтегральном выражении? Или переменная? Получается ужасная путаница.
Всё становится очень просто, если использовать DifferentialD или «d» с двойным начертанием. И получается хорошо определённый синтаксис.
Можно проинтегрировать x в степени d, деленное на квадратный корень от x+1. Вот как это работает:
Оказывается, что требуется всего лишь несколько маленьких изменений в основании математического обозначения, чтобы сделать его однозначным. Это удивительно. И весьма здорово. Потому что вы можете просто ввести что-то, состоящее из математических обозначений, в свободной форме, и оно будет прекрасно понято системой. И это то, что мы реализовали в Mathematica 3.
Конечно, чтобы всё работало так, как надо, нужно разобраться с некоторыми нюансами. К примеру, иметь возможность вводить что бы то ни было эффективным и легко запоминающимся путём., с помощью которой можно вводить явный верхний индекс. Та же идея для сочетания control — /, с помощью которого можно вводить «двухэтажную» дробь.
Наличие ясного набора принципов подобных этому важно для того, чтобы заставить всё вместе работать на практике. И оно работает. Вот как мог бы выглядеть ввод довольно сложного выражения:
Но мы можем брать фрагменты из этого результата и работать с ними.
И смысл в том, что это выражение полностью понятно для Mathematica, то есть оно может быть вычислено. Из этого следует, что результаты выполнения (Out) — объекты той же природы, что и входные данные (In), то есть их можно редактировать, использовать их части по отдельности, использовать их фрагменты в качестве входных данных и так далее.
Чтобы заставить всё это работать, нам пришлось обобщить обычные языки программирования и кое-что проанализировать. Прежде была внедрена возможность работать с целым «зоопарком» специальных символов в качестве операторов. Однако, вероятно, более важно то, что мы внедрили поддержку двумерных структур. Так, помимо префиксных операторов, имеется поддержка оверфиксных операторов и прочего.
Если вы посмотрите на это выражение, вы можете сказать, что оно не совсем похоже на традиционную математическую нотацию. Но оно очень близко. И оно несомненно содержит все особенности структуры и форм записи обычной математической нотации. И важная вещь заключается в том, что ни у кого, владеющим обычной математической нотацией, не возникнет трудностей в интерпретации этого выражения.
Конечно, есть некоторые косметические отличия от того, что можно было бы увидеть в обычном учебнике по математике. К примеру, как записываются тригонометрические функции, ну и тому подобное.
Однако я готов поспорить, что StandardForm в Mathematica лучше и яснее для представления этого выражения. И в книге, которую я писал много лет о научном проекте, которым я занимался, для представления чего бы то ни было я использовал только StandardForm.
Однако если нужно полное соответствие с обычными учебниками, то понадобится уже что-то другое. И вот другая важная идея, реализованная в Mathematica 3: разделить StandardForm и TraditionalForm.
Любое выражение я всегда могу сконвертировать в TraditionalForm.
И в действительности TraditionalForm всегда содержит достаточно информации, чтобы быть однозначно сконвертированным обратно в StandardForm.
Но TraditionalForm выглядит практически как обычные математические обозначения. Со всеми этими довольно странными вещами в традиционной математической нотации, как запись синус в квадрате x вместо синус x в квадрате и так далее.
Так что насчёт ввода TraditionalForm?
Вы могли заметить пунктир справа от ячейки [в других выводах ячейки были скрыты для упрощения картинок — прим. ред.]. Они означают, что есть какой-то опасный момент. Однако давайте попробуем кое-что отредактировать.
Мы прекрасно можем всё редактировать. Давайте посмотрим, что случится, если мы попытаемся это вычислить.
Вот, возникло предупреждение. В любом случае, всё равно продолжим.
Что ж, система поняла, что мы хотим.
Фактически, у нас есть несколько сотен эвристических правил интерпретации выражений в традиционной форме. И они работают весьма хорошо. Достаточно хорошо, чтобы пройти через большие объёмы устаревших математических обозначений, определённых, скажем, в TEX, и автоматически и однозначно сконвертировать их в осмысленные данные в Mathematica.
И эта возможность весьма вдохновляет. Потому что для того же устаревшего текста на естественном языке нет никакого способа сконвертировать его во что-то значимое. Однако в математике есть такая возможность.
Конечно, есть некоторые вещи, связанные с математикой, в основном на стороне выхода, с которыми существенно больше сложностей, чем с обычным текстом. Часть проблемы в том, что от математики часто ожидают автоматической работы. Нельзя автоматически сгенерировать много текста, который будет достаточно осмысленным. Однако в математике производятся вычисления, которые могут выдавать большие выражения.
Так что вам нужно придумывать, как разбивать выражение по строкам так, чтобы всё выглядело достаточно аккуратно, и в Mathematica мы хорошо поработали над этой задачей. И с ней связано несколько интересных вопросов, как, например, то, что во время редактирования выражения оптимальное разбиение на строки постоянно может меняться по ходу работы.
И это значит, что будут возникать такие противные моменты, как если вы печатаете, и вдруг курсор перескакивает назад. Что ж, эту проблему, полагаю, мы решили довольно изящным образом. Давайте рассмотрим пример.
Вы видели это? Была забавная анимация, которая появляется на мгновение, когда курсор должен передвинуться назад. Возможно, вы её заметили. Однако если бы вы печатали, вы бы, вероятно, и не заметили бы, что курсор передвинулся назад, хотя вы могли бы её и заметить, потому что эта анимация заставляет ваши глаза автоматически посмотреть на это место. С точки зрения физиологии, полагаю, это работает за счёт нервных импульсов, которые поступают не в зрительную кору, а прямо в мозговой ствол, который контролирует движения глаз. Итак, эта анимация заставляет вас подсознательно переместить свой взор в нужное место.
Таким образом, мы смогли найти способ интерпретировать стандартную математическую нотацию. Означает ли это, что теперь вся работа в Mathematica должна теперь проводиться в рамках традиционных математических обозначений? Должны ли мы ввести специальные символы для всех представленных операций в Mathematica? Таким образом можно получить весьма компактную нотацию. Но насколько это разумно? Будет ли это читаемо?
Пожалуй, ответом будет нет.
Думаю, тут сокрыт фундаментальный принцип: кто-то хочет всё представлять в обозначениях, и не использовать ничего другого.
А кому-то не нужны специальные обозначения. А кто-то пользуется в Mathematica FullForm. Однако с этой формой весьма утомительно работать. Возможно, именно поэтому синтаксис языков наподобие LISP кажется столь трудным — по сути это синтаксис FullForm в Mathematica.
Другая возможность заключается в том, что всему можно присвоить специальные обозначения. Получится что-то наподобие APL или каких-то фрагментов математической логики. Вот пример этого.
Довольно трудно читать.
Вот другой пример из оригинальной статьи Тьюринга, в которой содержатся обозначения для универсальной машины Тьюринга, опять-таки — пример не самой лучшей нотации.
Она тоже относительно нечитабельная.
Вопрос заключается в том, что же находится между двумя такими крайностями, как LISP и APL. Думаю, эта проблема очень близка к той, что возникала при использовании очень коротких имён для команд.
К примеру, Unix. Ранние версии Unix весьма здорово смотрелись, когда там было небольшое количество коротких для набора команд. Но система разрасталась. И через какое-то время было уже большое количество команд, состоящих из небольшого количества символов. И большинство простых смертных не смогли бы их запомнить. И всё стало выглядеть совершенно непонятным.
Та же ситуация, что и с математической или другой нотацией, если на то пошло. Люди могут работать лишь с небольшим количеством специальных форм и символов. Возможно, с несколькими десятками. Соизмеримым с длиной алфавита. Но не более. А если дать им больше, особенно все и сразу, в голове у них будет полная неразбериха.
Это следует немного конкретизировать. Вот, к примеру, множество различных операторов отношений.
Но большинство из них по сути состоят из небольшого количества элементов, так что с ними проблем быть не должно.
Конечно, принципиально люди могут выучить очень большое количество символов. Потому что в языках наподобие китайского или японского имеются тысячи иероглифов. Однако людям требуется несколько дополнительных лет для обучения чтению на этих языках в сравнении с теми, которые используют обычный алфавит.
Если говорить о символах, кстати, полагаю, что людям гораздо легче справится с какими-то новыми символами в качестве переменных, нежели в качестве операторов. И весьма занятно рассмотреть этот вопрос с точки зрения истории.
Один из наиболее любопытных моментов — во все времена и практически без исключения в качестве переменных использовались лишь латинские и греческие символы. Ну, Кантор ввёл алеф, взятый из иврита, для своих кардинальных чисел бесконечных множеств. И некоторые люди утверждают, что символ частной производной — русская д, хотя я думаю, что на самом деле это не так. Однако нет никаких других символов, которые были бы заимствованы из других языков и получили бы распространение.
Кстати, наверняка вам известно, что в английском языке буква «e» — самая популярная, затем идёт «t«, ну и так далее. И мне стало любопытно, каково распределение по частоте использования букв в математике. Потому я исследовал сайт MathWorld, в котором содержится большое количество математической информации — более 13 500 записей, и посмотрел, каково распределение для различных букв [к сожалению, эту картинку, сделанную Стивеном, не удалось осовременить — прим. ред.].
Можно увидеть, что «e» — самая популярная. И весьма странно, что «a» занимает второе место. Это очень необычно. Можно увидеть, что строчная π — наиболее популярная, за которой идут θ, α, φ, μ, β и так далее. А среди прописных самые популярные — Γ и Δ.
Хорошо. Я немного рассказал об обозначениях, которые в принципе можно использовать в математике. Так какая нотация лучше всего подходит для использования?
Большинство людей, использующих математическую нотацию, наверняка задавались этим вопросом. Однако для математики нет никакого аналога, подобного «Современному использованию английского языка» Фаулера для английского языка. Была небольшая книжка под названием Математика в печати, изданная AMS, однако она в основном о типографских приёмах.
В результате мы не имеем хорошо расписанных принципов, аналогичным вещам наподобие инфинитивов с отдельными частицами в английском языке.
Если вы используете StandardForm в Mathematica, вам это больше не потребуется. Потому что всё, что вы введёте, будет однозначно интерпретировано. Однако для TraditionalForm следует придерживаться некоторых принципов. К примеру, не писать , потому что не совсем ясно, что это означает.
Чтобы закончить, позвольте мне рассказать немного о будущем математической нотации.
Какой, к примеру, должна бы быть новая нотация?
В какой-нибудь книге символов будет содержаться около 2500 символов, популярных в тех или иных областях и не являющимися буквами языков. И с правильным написанием символов, многие из них могли бы идеально сочетаться с математическими символами.
Для чего же их использовать?
Первая приходящая на ум возможность — нотация для представления программ и математических операций. В Mathematica, к примеру, представлено довольно много текстовых операторов, используемых в программах. И я долгое время считал, что было бы здорово иметь возможность использовать для них какие-то специальные символы вместо комбинаций обычных символов ASCII [последние версии Mathematica полностью поддерживают Unicode — прим. ред.].
Оказывается, иногда это можно реализовать весьма просто. Поскольку мы выбрали символы ASCII, то часто можно получить некоторые символы, очень близкие по написанию, но более изящные. К примеру, если в Mathematica набрать ->, то эта стрелочка автоматически превратиться в более изящную . И это всё реализуемо за счёт того, что парсер в Mathematica может работать в том числе и со специальными символами.
Я часто размышлял о том, как бы расширить всё это. И вот, постепенно появляются новые идеи. Обратите внимание на знак решётки #, или номерной знак, или, как его ещё иногда называют, октоторп, который мы используем в тех местах, в которые передаётся параметр чистой функции. Он напоминает квадрат с щупальцами. И в будущем, возможно, он будет обозначаться симпатичным квадратиком с маленькими засечками, и будет означать место для передачи параметра в функцию. И он будет более гладким, не похожим на фрагмент обычного кода, чем-то вроде пиктограммы.
Насколько далеко можно зайти в этом направлении — представлении вещей в визуальной форме или в виде пиктограмм? Ясно, что такие вещи, как блок-схемы в инженерии, коммутативные диаграммы в чистой математике, технологические схемы — все хорошо справляются со своими задачами. По крайней мере до настоящего момента. Но как долго это может продолжаться?
Не думаю, что уж очень долго. Думаю, некоторые приближаются к некоторым фундаментальным ограничениям людей в обработке лингвистической информации.
Когда языки более или менее контекстно-свободные, имеют древовидную структуру, с ними можно многое сделать. Наша буферная память из пяти элементов памяти и что бы то ни было спокойно сможет их разобрать. Конечно, если у нас будет слишком много вспомогательных предложений даже на контекстно-свободном языке, то будет вероятность исчерпать стековое пространство и попасть впросак. Но, если стек не будет заходить слишком глубоко, то всё будет работать как надо.
Но что насчёт сетей? Можем ли мы понимать произвольные сети? Я имею в виду — почему у нас должны быть только префиксные, инфиксные, оверфиксные операторы? Почему бы операторам не получать свои аргументы через какие-то связи внутри сети?
Меня особенно интересовал этот вопрос в контексте того, что я занимался некоторыми научными вопросами касательно сетей. И мне действительно хотелось бы получить некоторое языковое представление для сетей. Но не смотря на то, что я уделил этому вопросу довольно много времени — не думаю, что мой мозг смог бы работать с подобными сетями так же, как с обычными языковыми или математическими конструкциями, имеющими одномерную или двумерную контекстно-свободную структуру. Так что я думаю, что это, возможно, то место, до которого нотация не сможет добраться.
Вообще, как я упоминал выше, это частый случай, когда язык или нотация ограничивают наше пространство мыслимого.
Итак, что это значит для математики?
В своём научном проекте я разрабатывал некоторые основные обобщения того, что люди обычно относят к математике. И вопрос в том, какие обозначения могут быть использованы для абстрактного представления подобных вещей.
Что ж, я не смог пока что полностью ответить на этот вопрос. Однако я обнаружил, что, по крайней мере в большинстве случаев, графическое представление или представление в виде пиктограмм гораздо эффективнее обозначений в виде конструкций на обычных языках.
Возвращаясь к самому началу этого разговора, ситуация напоминает то, что происходило тысячи лет в геометрии. В геометрии мы знаем, как представить что-то в графическом виде. Ещё со времён древнего Вавилона. И чуть более ста лет назад стало ясно, как можно формулировать геометрические задачи с точки зрения алгебры.
Однако мы всё ещё не знаем простого и ясного способа представлять геометрические схемы в обозначениях на естественном языке. И моя догадка состоит в том, что практически все эти математические вещи лишь в небольшом количестве могут быть представлены в обозначениях на естественном языке.
Однако мы — люди — легко воспринимаем лишь эти обозначения на естественном языке. Так что мы склонны изучать те вещи, которые могут быть представлены этим способом. Конечно, подобные вещи не могут быть тем, что происходит в природе и вселенной.
Но это уже совсем другая история. Так что я лучше закончу на этом.
Большое спасибо.
В ходе обсуждения после выступления и во время общения с другими людьми на конференции возникло несколько моментов, которые следовало бы обсудить.
Эмпирические законы для математических обозначений
При изучении обычного естественного языка были обнаружены различные историко-эмпирические законы. Пример —
Закон Гримма
, которые описывает переносы в согласных на индоевропейских языках. Мне было любопытно, можно ли найти подобные историко-эмпирические законы для математического обозначения.
Дана Скотт предложила такой вариант: тенденция к удалению явных параметров.
Как пример, в 60 годах 19 века часто каждый компонент вектора именовался отдельно. Но затем компоненты стали помечать индексами — как ai. И вскоре после этого — в основном после работ Гиббса — векторы стали представлять как один объект, обозначаемый, скажем, как или a.
С тензорами всё не так просто. Нотацию, избегающую явных индексов, обычно называют координатно-свободной. И подобная нотация — частое явление в чистой математике. Однако в физике данный подход считается слишком абстрактным, потому явные индексы используются повсеместно.
В отношении функций так же имеется тенденция явно не упоминать параметры. В чистой математике, когда функции рассматриваются через сопоставления, они часто упоминаются лишь по своему имени — просто f, без каких-либо параметров.
Однако это будет хорошо только тогда, когда у функции только один параметр. Когда параметров несколько, обычно становится непонятно, как будут работать те потоки данных, которые ассоциированы с параметрами.
Однако, ещё в 20-х годах 20 века было показано, что можно использовать так называемые комбинаторы для определения подобных потоков данных без какого-либо явного указания параметров.
Комбинаторы не использовались в основных течениях математики, однако время от времени становились популярными в теории вычислений, хотя их популярность заметно поубавилась из-за несовместимости с идеей о типах данных.
Комбинаторы довольно легко задать в Mathematica через задание функции с составным заголовком. Вот как можно определить стандартные комбинаторы:
k[x_][y_]:=i x
s[x_][y_][z_]:= x[z][y[z]]
Если определить целое число n, по сути, в унарной системе, используя Nest[s[s[k[s]][k]],k[s[k][k]],n], то тогда сложение можно будет определить как s[k[s]][s[k[s[k[s]]]][s[k[k]]]], умножение как s[k[s]][k], а степень — s[k[s[s[k][k]]]][k]. Никакие переменные не требуются.
Проблема заключается в том, что выражения получаются непонятными, и с этим ничего не поделать. Я пытался найти какие-то способы для более ясного представления их и сопряжённых с ними вычислений. Я добился небольшого прогресса, однако нельзя сказать, что задача была решена.
Печатные обозначения против экранных
Некоторые спрашивали о разнице в возможностях печатных и экранных обозначений.
Чтобы можно было понимать обозначения, они должны быть похожими, и разница между ними не должна быть очень большой.
Но есть некоторые очевидные возможности.
Во-первых, на экране легко можно использовать цвет. Можно было бы подумать, что было каким-то образом удобно использовать разные цвета для переменных. Мой опыт говорит о том, что это удобно для разъяснения формулы. Однако всё станет весьма запутанным, если, к примеру, красному x и зелёному x будут соответствовать разные переменные.
Другая возможность состоит в том, чтобы иметь в формуле какие-то анимированные элементы. Полагаю, что они будут столь же раздражающими, как и мигающий текст, и не будут особо полезными.
Пожалуй, идея получше — иметь возможность скрывать и разворачивать определённые части выражения — как группы ячеек в ноутбуке Mathematica. Тогда будет возможность сразу получить представление обо всём выражении, а если интересны детали, то разворачивать его далее и далее.
Письменные обозначения
Некоторые могли бы подумать, что я уж слишком много времени уделил графическим обозначениям.
Хотелось бы прояснить, что я нахожу довольно затруднительным графические обозначения обычных математических действий и операций. В своей книге A New Kind of Science я повсеместно использую графику, и мне не представляется никакого другого способа делать то, что я делаю.
И в традиционной науке, и в математике есть множество графических обозначений, которые прекрасно работают, пускай и в основном для статичных конструкций.
Теория графов — очевидный пример использования графического представления.
К ним близки структурные диаграммы из химии и диаграммы Фейнмана из физики.
В математике имеются методы для групповых теоретических вычислений, представленные отчасти благодаря Предрагу Цвитановицу, и вот они основаны на графическом обозначении.
И в лингвистике, к примеру, распространены диаграммы для предложений, показывающие дерево лингвистических компонентов и способы их группировки для образования предложения.
Все эти обозначения, однако, становятся малопригодными в случаях исследования каких-то очень крупных объектов. Однако в диаграммах Фейнмана обычно используется две петли, а пять петель — максимум, для которого когда-либо были сделаны явные общие вычисления.
Шрифты и символы
Я обещал рассказать кое-что о символах и шрифтах.
В Mathematica 3 нам пришлось проделать большую работу чтобы разработать шрифты для более чем 1100 символов, имеющих отношение к математической и технической нотации.
Получение правильной формы — даже для греческих букв — часто было достаточно сложным. С одной стороны, мы хотели сохранить некоторую традиционность в написании, а с другой — сделать греческие буквы максимально непохожими на английские и какие бы то ни было другие.
В конце концов я сделал эскизы для большинства символов. Вот к чему мы пришли для греческих букв. Мы разработали Times-подобный шрифт, моноширинный наподобие Courier, а сейчас разрабатываем sans serif. Разработать шрифт Courier было непростой задачей. Нужно, к примеру, было придумать, как сделать так, чтобы йота занимала весь слот под символ.
Так же сложности были со скриптовыми и готическими (фактурными) шрифтами. Часто в этих шрифтах буквы настолько непохожи на обычные английские, что становятся абсолютно нечитаемыми. Мы хотели, чтобы эти шрифты вписывались в соответствующую им тему, и, тем не менее, обладали бы теми же габаритами, что и обычные английские буквы.
Вот, что у нас получилось:
Веб сайт fonts.wolfram.com, в котором собрана вся детальная информация о символах и шрифтах, разумеется, если они имеют отношение к Mathematica и её шрифтам.
Поиск математических формул
Некоторые люди спрашивали о поиске математических формул [после создания Wolfram|Alpha появился гигантский объем баз данных, доступных в языке Wolfram Language, теперь можно получить огромный массив информации о любых формулах с помощью функции
MathematicalFunctionData
— прим. ред.].
Очевидно легко сказать, что же такое поиск обычного текста. Единственная вопрос заключается в эквивалентности строчных и прописных букв.
Для математических формул всё сложнее, потому что есть ещё много различных эквивалентностей. Если спрашивать о всех возможных эквивалентностях, то всё станет слишком сложным. Но, если спросить об эквивалентностях, которые просто подразумевают замену одной переменной другой, то всегда можно определить, эквивалентны ли два выражения.
Однако, для этого потребуется мощь обнаружителя одинаковых паттернов Mathematica.
Мы планируем встроить возможности по поиску формул в наш сайт functions.wolfram.com, однако тут я не буду останавливаться на подробностях.
Невизуальные обозначения
Кто-то спрашивал о невизуальных обозначениях.
Первая мысль, которая у меня возникла, заключалась в том, что человеческое зрение даёт гораздо больше информации, чем, скажем, слух. В конце концов, с нашими глазами соединён миллион нервных окончаний, а с ушами лишь 50 000.
В Mathematica встроены возможности по генерации звуков начиная со второй версии, которая была выпущена в 1991 году. И были некоторые моменты, когда эта функция оказывалась полезной для понимания каких-то данных.
Однако я никогда не находил подобную функцию полезной для чего-то, связанного с обозначениями.
Доказательства
Кто-то спрашивал о представлении доказательств.
Самая большая проблема заключается в представлении длинных доказательств, которые были автоматически найдены с помощью компьютера.
Большое количество работы было проделано для представления доказательств в Mathematica. Примером является проект Theorema.
Самые сложные для представления доказательства — скажем, в логике — представляют из себя некоторую последовательность преобразований. Вот пример такого доказательства:
Доказать коммутативность, то есть что f[a,b]==f[b,a]:
Замечание (a b) есть Nand[a,b]. В этом доказательстве L == лемма, A == аксиома, и T == теорема.
Отбор символов
Я хотел бы кое-что рассказать о выборе символов для использования в математической нотации.
Существует около 2500 часто используемых символов, которые не встречаются в обычном тексте.
Некоторые из них слишком картинны — скажем, обозначение для хрупких предметов. Некоторые слишком витиеватые. Некоторые полны чёрной заливки, так что они будут слишком сильно выделяться на странице (символ радиации, например).
Но некоторые могут быть вполне приемлемыми.
Если заглянуть в историю, часто можно наблюдать картину, как со временем написание некоторых символов упрощается.
Особой проблемой, с которой я не так давно столкнулся, был выбор хорошего обозначения для таких логических операций, как NAND, NOR, XOR.
В литературе по логике NAND обозначается по-разному:
Ни одно из этих обозначений мне особо не нравилось. В основном они наполнены тонкими линиями и недостаточно цельны для того, чтобы представлять бинарные операторы. Однако они передают своё содержание.
Я пришёл к следующему обозначению для оператора NAND, который основан на стандартном, однако имеющим улучшенную визуальную форму. Вот текущая версия того, к чему я пришёл:
Частотное распределение символов
Я упоминал о частотном распределении греческих букв в MathWorld.
В дополнение к этому я также посчитал количество различных объектов, именуемых с помощью букв, которые появляются в словаре физических терминов и математических сокращений. Вот результаты.
В более ранних образцах математической нотации, скажем, в 17 веке, обычные слова шли вперемешку с различными символами.
Однако всё более в таких сферах, как математика и физика, проявлялась тенденция к исключению слов из обозначений и именования переменных одной или двумя буквами.
В некоторых областях инженерии и социальных наук, куда математика дошла не так давно и не является слишком абстрактной, обычные слова гораздо чаще можно встретить в качестве имён переменных.
Та же история с современными тенденциями в программировании. И всё работает хорошо, пока формулы достаточно просты. Однако по мере усложнения формул нарушается их визуальный баланс, и становится уже сложно разглядеть их общую структуру.
Части речи в математической нотации
В разговоре о соответствии языка математики и обычного языка я хотел упомянуть вопрос частей речи.
Насколько я знаю, во всех обычных языках есть глаголы и существительные, и в большинстве из них есть прилагательные, наречия и др.
В математической нотации можно представлять переменные как существительные и глаголы как операторы.
А что насчёт других частей речи?
Вещи наподобие иногда играют роль союзов, как и в обычных языках (примечательно, что во всех языках есть отдельные слова для AND и OR, однако ни в одном нет слова для NAND). А в качестве префиксного оператора может рассматриваться как прилагательное.
Однако не до конца ясно, в какой мере различные виды лингвистических структур, связанные с частями речи на обычном языке, отражены в математическом обозначении.
Условные обозначения по системе Брайля при обучении математике и языку: практическое пособие
Условные обозначения по системе Брайля при обучении математике и языку: практическое пособие
By Инна Леонтьевна Лукша (Башкирова) and Владимир Викторович Гордейко
Abstract
В пособии дается характеристика письма рельефно-точечным шрифтом Луи Брайля, раскрывается система брайлевских обозначений, используемая при обучении незрячих школьников русскому и белорусскому языкам, математике. Адресуется студентам факультета специального образования, педагогам, работающим с незрячими детьми
Topics:
издания БГПУ, незрячие школьники, рельефно-точечный шрифт Луи Брайля, математическая символика, условные обозначения при изучении языка
Publisher: БГПУ
Year: 2010
OAI identifier:
oai:localhost:doc/4402
Некоторые символы математического языка — урок. Алгебра, 8 класс.
Натуральные числа — это числа, используемые для счёта предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов.
ℕ — обозначение множества всех натуральных чисел.
ℤ — множество целых чисел. Оно состоит из натуральных чисел, им противоположных и нуля.
Пример:
\(…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …\)
ℚ — множество рациональных чисел.
Оно получается из множества целых чисел, если к ним добавить обыкновенные дроби: 13,5152,−85….
Множество ℚ рациональных чисел — это множество, состоящее из чисел вида mn;−mn (где \(m\), \(n\) — натуральные числа) и числа \(0\).
Очевидно, ℕ — составной компонент множества ℤ, а ℤ — составной компонент множества ℚ. Обозначается это так: ℕ⊂ℤ;ℤ⊂ℚ.
⊂ — знак включения.
Запись x∈X показывает, что \(x\) — элемент множества \(X\).
Запись A⊂B показывает, что множество \(A\) — часть множества \(B\). Говорят: \(A\) — подмножество множества \(B\).
Для записи, что элемент \(x\) не принадлежит множеству \(X\) или что множество \(A\) не является подмножеством множества \(B\), используют символы принадлежности, перечёркнутые чертой: x∉X,A⊄B.
Данные математические символы используют для компактной записи верных математических утверждений, называемых истинными высказываниями.
Почему нам не прожить без ноля, и что это число дало человечеству
Ханна Фрай
для BBC Future
Автор фото, iStock
Математик Ханна Фрай рассказывает захватывающую историю открытия числа ноль и объясняет, почему без него мы не смогли бы предсказывать будущее.
В основе науки, техники и математики лежит ничто — вернее, ноль.
Это дерзкая и влиятельная цифра вызвала больше споров и восторгов, чем любой другой известный мне математический знак.
Начнем с того, что оно позволяет нам предсказывать будущее. Но чтобы узнать причину этого и понять всю силу ноля, необходимо сначала ознакомиться с историей его появления и становления, ведь путь ноля к величию был очень непростым.
Ноль как понятие встречается уже с древних времен — его можно найти в памятниках культуры вавилонян и майя, использовавших эту цифру для расчета календаря.
Древние ученые пользовались им для обозначения отсутствия числа, как это делаем мы в числах наподобие 101 или 102, чтобы показать, что в разряде десятков нет числа, кратного 10. Вавилоняне же для этого использовали два клиновидных знака.
Автор фото, Wikipedia
Подпись к фото,
Вавилонский символ, означавший отсутствие числа
Тем не менее прошло целых два тысячелетия, прежде чем ноль, при всей его математической значимости, стали воспринимать как настоящее число. И случилось это в Индии.
По словам писателя-математика Алекса Беллоса, Индия была для этого идеальным местом.
«Глубоко в индийской культуре заложена идея о том, что ничто — это на самом деле что-то, — говорит он. — Если есть «нирвана», то есть состояние небытия, отсутствия тревог и желаний, то почему бы не придумать символ для обозначения «ничего»?
Этот символ получил название «шунья», и сегодня это слово используется для обозначения и понятия «ничто», и нуля как числа.
Несмотря на то, что форма всех других цифр, используемых нами сегодня, существенно изменилась за время их существования, ноль всегда обозначали окружностью.
До того как я начала (в рамках подготовки к программе «Любопытные истории Резерфорда и Фрай») подробно изучать историю возникновения ноля, я всегда считала, что отсутствие чего-либо символизирует именно пустое пространство внутри круга.
Однако, согласно индийской мифологии, ноль круглый потому, что символизирует жизненный цикл, или, как его еще называют, «змею вечности».
Автор фото, iStock
Подпись к фото,
Влияние ноля на развитие нашего общества сложно переоценить
В становлении ноля важную роль сыграл индийский астроном Брахмагупта, живший в 7 веке н.э. В математике шунья использовалась не только для обозначения отсутствия числа в какой-либо позиции, но и для расчетов, как и любое другое число.
Его можно было прибавлять и отнимать, а также умножать на него.
Что касается деления на ноль, этот вопрос остается довольно сложным, но именно эта сложность способствовала возникновению совершенно нового замечательного раздела математики.
Однако об этом мы поговорим чуть позже.
Закрепив свое присутствие в Южной Азии, ноль отправился на Ближний Восток, где был взят на вооружение исламскими учеными, которые сделали его частью используемой нами сегодня арабской системы счисления.
(Некоторые историки считают, что индийское происхождение ноля незаслуженно игнорируется, и эту систему все же следует называть индо-арабской).
Тем не менее после столь блестящего в духовном и интеллектуальном смысле начала нолю пришлось очень непросто.
Он попал в Европу во времена христианских крестовых походов против ислама. Любые идеи арабов, даже в математике, встречались с неизменным скептицизмом и недоверием.
В 1299 году ноль, равно как и все остальные арабские цифры, был запрещен во Флоренции. Произошло это потому, что ноль считали находкой для мошенников.
Его легко было исправить на девять или, например, добавить пару нолей к сумме расписки, чтобы увеличить сумму долга.
Более того, считалось, что ноль создает опасный прецедент, ведь само его существование предполагает существование отрицательных чисел, что, в свою очередь, ведет к признанию таких понятий как долг и заимодавство.
Нулевой триумф
Невероятно, но факт: ноль, как и другие арабские цифры, получил окончательное признание лишь в XV веке.
Для сравнения приведем простой пример: к тому времени Оксфордский университет в Англии существовал уже несколько веков, а в Европе вовсю развивалось книгопечатание.
Без сомнения, и то, и другое помогло такому понятию, как ноль, навсегда закрепиться в математике. Именно благодаря ему были созданы самые удивительные научные и технологические методы, которыми мы пользуемся сегодня.
Автор фото, Getty Images
Подпись к фото,
Сегодня ноль используется повсеместно, но когда-то он был спорным понятием
Настоящий триумф этой цифры пришелся на XVII век, когда она стала основой для системы координат, изобретенной французским философом Декартом (все мы помним графики с осями x and y, которые рисовали в школе).
Его система до сих пор используется в различных областях науки, от техники до компьютерной графики.
Об этом чрезвычайно красиво сказал Беллос: «Искру Возрождения зажег приход арабской системы счисления и, в частности, ноля. Когда это произошло, черно-белый мир арифметики вдруг заиграл разными красками и цветами».
Впрочем, в эпоху Возрождения ноль приобрел такой большой вес, что вновь стал причиной разногласий.
Ранее я уже упоминала проблему деления на ноль. Еще более спорный вопрос о том, можно ли ноль делить на ноль, является основой для одного из моих любимейших разделов математики — математического анализа.
Математический анализ — это математика изменений. Благодаря ему у нас есть хитрые приемы, позволяющие предугадать то, что случится в будущем — от темпов распространения Эболы до колебаний на рынке ценных бумаг. Это и вправду очень мощный инструмент.
То, как функционирует математический анализ, можно описать одним абзацем. Представьте, что вы нарисовали график изменения какой-либо величины с течением времени — например, вашего внимания по мере прочтения этой статьи.
Иногда вы можете отвлекаться (на отрывке про декартову систему координат, например), и поэтому линия графика будет неровной.
Но если любой отрезок этой кривой увеличить достаточно сильно, он будет выглядеть как прямая линия.
Увеличьте его еще больше, до тех пор пока отрезки кривой не станут бесконечно малыми и приближающимися к нолю, и тогда даже самая непредсказуемая зависимость превратится в аккуратные прямые линии, которые очень легко обработать при помощи математических методов.
Математический анализ можно использовать для описания практически любых изменений, от колебаний курсов акций до усваивания лекарственного препарата в организме человека.
Без понятия ноля как числа это было бы невозможно.
Поэтому давайте поднимем бокал с идеально сферическими пузырьками за самое округлое и всесильное число в истории.
О-большое и связанные с ним обозначения
Пауль Бахман
Эдмунд Ландау
Здесь Вы найдете различные общепринятые обозначения (“О” большое и связанные с ним обозначения), введенные Паулем Бахманом и Эдмундом Ландау.
Бесконечные пределы
Самым распространенным случаем является употребление этих обозначений при . Мы сначала рассмотрим именно это.
Обозначение при означает, что при достаточно больших функция удовлетворяет условию , где — некоторая положительная постоянная.
Точнее, при , если существуют такие положительные постоянные и , что для всех , которые удовлетворяют условию .
Тогда как запись через “О” большое означает ограниченность сверху, обозначение означает ограниченность снизу. Опять же рассмотрим поведение функции на бесконечности. Говорят, что при , если существуют такие положительные постоянные и , что для любого .
Обозначение означает, что одновременно и .
Осталось еще два обозначения: (греческая буква омикрон) и (строчная греческая буква омега). Обозначение омикрон также называют “о” малым.
Говорят, что , если при частное стремится к нулю.
Говорят также, что , если это частное стремится к бесконечности.
Конечные пределы
Все приведенные выше идеи остаются практически теми же для конечных пределов, хотя технические детали определения и отличаются.
при , если существуют такие положительные постоянные и , что для всех , которые удовлетворяют условию .
при , если существуют такие положительные постоянные и , что для всех , которые удовлетворяют условию .
при , если при стремится к .
при , если при стремится к бесконечности.
Часто можно видеть такие утверждения, как без явных ограничений. В этих случаях необходимо из контекста определять, какой предел подразумевается.
Использование
Обозначение “O” большое является общепринятым и в математике, и в информатике. Однако некоторые другие обозначения являются общепринятыми только в одной из этих областей.
В информатике акцент делается почти всегда на поведение алгоритма с ростом размерности задачи , поэтому неявно считается, что стремится к бесконечности. Обозначения и гораздо чаще используются в информатике, чем в математике. Обозначение “о” малое в информатике используется редко.
В математике обозначение “О” большое является общим для бесконечных и конечных пределов. Обозначение “о” малое следующее по популярности. Обозначения и являются редкими.
Обозначение не является распространенным ни в информатике, ни в математике.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ — ФОРМУЛЫ по МАТЕМАТИКЕ
Знак
Значение
=
равно
≡
тождественно равно
≈
приближённо равно
≠
не равно
<
меньше
>
больше
≤
меньше или равно
≥
больше или равно
+
плюс (знак сложения)
%
процент
—
минус (знак вычитания)
* или x
знаки умножения (часто опускаются: а*b = axb = ab)
m
масса
:
знак деления
аn
возведение числа а в степень n (n — показатель степени)
знак квадратного корня (квадратный корень из числа а)
корень n-ой степени из числа а
( ), [ ],{}
скобки (круглые, квадратные и фигурные — для обозначения последовательности действий)
┴
перпендикулярно
║
параллельно
~
подобно
∆
треугольник
‹
угол
(
дуга
0
градус
‘
минута
«
секунда
const
константа (постоянная величина)
π
отношение длины любой окружности к её диаметру
e
основание натуральных логарифмов
∞
бесконечность
f(x)
функция независимого переменного (аргумента) х
sin
синус
cos
косинус
tg
тангенс
ctg
котангенс
sec
секанс
cosec
косеканс
arcsin
арксинус
arccos
арккосинус
arctg
арктангенс
arcctg
арккотангенс
sh
синус гиперболический
ch
косинус гиперболический
th
тангенс гиперболический
cth
котангенс гиперболический
sch
секанс гиперболический
csch
косеканс гиперболический
Ig, ln
логарифмическая функция
loga
логарифм по основанию а
Igb
десятичный логарифм числа b
Inb
натуральный (по основанию е) логарифм числа b
lim
предел
предел функции (выражения) при стремлении аргумента к величине а (а может быть ± ∞)
сумма
сумма последовательности членов An, где n — целое число (номер), которое может меняться от a до b (a и b — целые числа, могут быть a = — ∞, b = + ∞)
производная функции по аргументу (переменной) х
производная функции нескольких переменных по одному из них (частная производная)
интеграл функции (неопределённый)
определённый интеграл (в пределах от а до b; а и b могут быть: а = — ∞, b = + ∞)
i
мнимая единица
a + bi
запись комплексного числа w (a — действительная часть, b — мнимая часть)
R(w)
запись действительной части а
Im(w)
запись коэффициента мнимой части b
|w|
модуль комплексного числа w
сопряжённое комплексное число ( = а -ib)
или a
обозначение вектора
|a|
модуль (длина) вектора
единичные векторы (орты) в трёхмерной декартовой системе координат
ax, ay, az
компоненты вектора а в декартовой системе координат
скалярное произведение двух векторов (в декартовой системе координат)
векторное произведение векторов, в декартовой системе координат
оператор Гамильтона («набла»)
оператор Лапласа («дельта»)
grad
градиент скалярного поля
div
дивергенция векторного поля
n! =1•2•3•…•n
факториал — целое число (принимается, что 0! = 1)
целая часть числа, антье
Роль обозначений в математике
Aczel, A. D. (2015). Нахождение нуля . Нью-Йорк: Пэлгрейв Макмиллан.
Google Scholar
Барроу, Дж. Д. (2001). Книга ничего . Нью-Йорк: старинные книги.
Google Scholar
Билетч, Б. Д., Ю, Х. и Кей, К. Р. (2015). Анализ математической записи: хорошо это или плохо .Ворчестер: Ворчестерский политехнический институт.
Google Scholar
Браун, Дж. Р. (2008). Философия математики: современное введение в мир доказательств и иллюстраций . Абингдон: Рутледж.
Google Scholar
Каджори, Ф. (1913). История экспоненциальной и логарифмической концепций I. The American Mathematical Monthly, 20 , 5–14.
Google Scholar
Каджори, Ф. (1923). История обозначений математического анализа. Анналы математики, 25 (1), 1–46.
Google Scholar
Каджори, Ф. (1993). История математической записи . Минеола: Дувр.
Google Scholar
Селлуччи, К. (2009). Проблема универсального обобщения. Logique & Analyze, 205 , 3–20.
Селлуччи, К. (2013). Философия математики: начать все сначала. Исследования по истории и философии науки Часть A, 44 (1), 32–42.
Селлуччи, К. (2017). Решение математических задач или доказательство теорем ?. Основы науки, 22 (1), 183–199.
Селлуччи, К. (2018). Определение в математике. Европейский журнал философии науки, 8 (3), 605–629.
Селлуччи, К. (2019). Диаграммы по математике. Основы науки, 24 (3), 583–604.
Шатле, Г. (2000). Пространство фигур: философия, математика и физика . Чам: Спрингер.
Google Scholar
Шатле, Г. (2006). Переплетение сингулярности, диаграммы и метафоры. В С.Б. Даффи (ред.), Виртуальная математика: логика различия (стр.31–45). Манчестер: клинамен.
Google Scholar
Chrisomalis, S. (2010). Числовое обозначение: Сравнительная история . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
Google Scholar
Коливан, М. (2012). Введение в философию математики . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
Google Scholar
Конвей, Дж.Х. и Шипман Дж. (2013). Крайние доказательства I: иррациональность \ (\ sqrt {2} \). The Mathematical Intelligencer, 35 (3), 2–7.
Де Круз, Х., и де Смедт, Дж. (2013). Математические символы как эпистемические действия. Synthese, 190 , 3–19.
Google Scholar
де Фрейтас, Э., и Синклер, Н. (2014). Математика и тело: материальные затруднения в классе .Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
Google Scholar
Декарт Р. (1996). uvres . Париж: Врин.
Google Scholar
Девлин, К. (2013). Музыка математических игр. Американский ученый, 101 , 87–91.
Google Scholar
Диофант. (1893–1895). Opera omnia .Лейпциг: Тойбнер.
Dutilh Novaes, C. (2012). Формальные языки в логике: философский и когнитивный анализ . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
Google Scholar
Dutilh Novaes, C. (2013). Математические рассуждения и внешние символические системы. Logique et Analyze, 221 , 45–65.
Google Scholar
Эндертон, Х.Б. (1977). Элементы теории множеств . Нью-Йорк: Academic Press.
Google Scholar
Глейзер А. (1971). История двоичной и другой недесятичной системы счисления . Лос-Анджелес: Tomash Publishers.
Google Scholar
Грабинер Дж. (1974). Зависит ли математическая истина от времени? Американский математический ежемесячник, 81 , 354–365.
Google Scholar
Хербранд, Дж.(1971). Логические сочинения . Дордрехт: Спрингер.
Google Scholar
Ифрах, Г. (2000). Универсальная история чисел: от предыстории до изобретения компьютера . Нью-Йорк: Вили.
Google Scholar
Каплан Р. (2000). Ничто, что есть: естественная история нуля . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета.
Google Scholar
Кляйнер, И.(2007). История абстрактной алгебры . Чам: Биркхойзер.
Google Scholar
Лейбниц, Г. В. (1923–) Sämtliche Schriften und Briefe . Берлин: Academie Verlag.
Лейбниц, Г. У. (1971). Mathematische Schriften . Хильдесхайм: Олмс.
Google Scholar
Lengnink, K., & Schlimm, D. (2010). Изучение и понимание системы счисления: семантические аспекты представления чисел с образовательной точки зрения.В B. Löwe & T. Müller (Eds.), PhiMSAMP. Философия математики: Социологические аспекты и математическая практика (стр. 235–264). Лондон: Публикации колледжа.
Макбет Д. (2013). Причина письма. Logique et Analyze, 221 , 25–44.
Google Scholar
Мазур, Дж. (2014). Поучительные символы: краткая история математической записи и ее скрытых возможностей . Принстон: Издательство Принстонского университета.
Google Scholar
Меннингер, К. (1992). Числовые слова и цифровые символы: История чисел . Минеола: Дувр.
Google Scholar
Мескенс, А. (2010). Путешествующая математика — Судьба арифметики Диофанта . Чам: Спрингер.
Google Scholar
Montelle, C.(2011). «Символическая» история производной. В Д. Джардин и А. Шелл-Геллаш (ред.), Математические капсулы времени (стр. 151–158). Вашингтон: Математическая ассоциация Америки.
Google Scholar
Нетц Р. (1999). Формирование дедукции в греческой математике: исследование когнитивной истории . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
Google Scholar
Ньютон, И.(1967–1981). Математические статьи . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
Google Scholar
Пендер У., Сэдлер Д., Ши Дж. И Уорд Д. (2012). Кембридж 3-х единиц математики 11 год расширенная версия . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
Google Scholar
Пизано, Л. (2002). Liber abaci . Чам: Спрингер.
Google Scholar
Полиа, Г. (2004). Как решить: Новый аспект математического метода . Принстон: Издательство Принстонского университета.
Google Scholar
Сарториус фон Вальтерсхаузен, В. (1856 г.). Gauss zum Gedächtniss . Лейпциг: Хирцель.
Google Scholar
Шлим, Д.(2018a). Об нотации Фреге Begriffsschrift для логики высказываний: принципы проектирования и компромиссы. История и философия логики, 39 (1), 53–79.
Google Scholar
Шлим, Д. (2018b). Числа через цифры: определяющая роль вечных представлений. В С. Бангу (ред.), Натурализация логико-математических знаний: подходы из философии, психологии и когнитивных наук (стр.195–217). Нью-Йорк: Рутледж.
Google Scholar
Сейфе, К. (2000). Zero: Биография опасной идеи . Нью-Йорк: Викинг.
Google Scholar
Сен, С. К., и Агарвал, Р. П. (2016). Знаменательное открытие, ужасная пустота и окончательный разум . Лондон: Academic Press.
ван дер Варден, Б. Л. (1976). Защита «шокирующей» точки зрения. Архив истории точных наук, 15 , 199–210.
Google Scholar
Веллеман, Д. Дж. (2017). Исчисление: строгий первый курс .Минеола: Дувр.
Google Scholar
Виете, Ф. (1646). Opera mathematica . Лейден: Ex Officina Bonaventurae и Abrahami Elzeviriorum.
Google Scholar
Уайтхед, А. Н. (2017). Введение в математику . Минеола: Дувр.
Google Scholar
Понимание математических терминов и обозначений
Примером этой стратегии в классе 7 года может быть привлечение учащихся к построению числовой строки (VCMNA242,
VCMNA247).
Сценарий
Раздайте учащимся веревку, полоски бумаги и зажимы (для прикрепления полосок бумаги к веревке).
Развитие числовой линии
Попросите учащихся написать числа на бумажных полосках и решить, где прикрепить веревку, начиная с 0, 1 и 2.
Обратите внимание, что полоски бумаги используются в том виде, в котором они висят. внизу под строкой, и несколько символов могут быть записаны на одной полосе, чтобы показать разные способы записи одного и того же числа (т.е., они расположены в одной точке на числовой прямой).
Попросите учащихся показать, где 1 ⁄ 2 , 2 ⁄ 2 , 3 ⁄ 2 , 4 ⁄ 2 будет на числовой строке:
1 / 2 нужна новая полоса
2 / 2 будет записан на той же полосе, что и 1
3 / 2 нуждается в новой полосе и может быть записан как 1 1 / 2
4 / 2 будет записано на той же полосе, что и 2
Повторите для других дробей, на этот раз для четвертей до 2 (т.е.е. 1 ⁄ 4 , 2 ⁄ 4 … 8 ⁄ 4 )
Продолжайте, пока студенты не отметят различные дроби на одной полосе (то же самое место на числовой прямой):
Пример правильной дроби: 1 / 2 , 2 / 4 , 4 / 8 и т. Д. («Эквивалентные дроби, семейство дробей»)
Это действие можно расширить, включив в него проценты и десятичные дроби:
1 / 2 , 50%, 0.5, 0,50, 0,500 находятся на той же полосе (на том же месте в числовой строке)
3 / 2 , 1 1 / 2 , 150%, 1,5, 1,50, 1,500
Это действие может также можно расширить, чтобы включить отрицательные целые и отрицательные рациональные числа:
— 1 / 2 , -2 / 4 , -3 / 6 , -0,5, -0,50, -0,500
-3 / 2 , –1 1 / 2 , -1.5, -1,50, -1,500
Обсуждение упрощения дроби
Обсудите со студентами, что «упрощение» дроби (например, 4 ⁄ 8 ) означает определение эквивалентной дроби, которая использует наименьший знаменатель, обычно первое число они написали на бумажной полоске (здесь 1 ⁄ 2 ).
Правильный ответ -« они такие же », но некоторые студенты говорят 4 ⁄ 8 , поскольку они отвлекаются на больший числитель и больший знаменатель.
Основы математической записи для машинного обучения
Последнее обновление 7 мая 2020 г.
Вы не можете избежать математических обозначений при чтении описаний методов машинного обучения.
Часто достаточно одного члена или одного фрагмента записи в уравнении, чтобы полностью разрушить ваше понимание всей процедуры. Это может быть очень неприятно, особенно для новичков в области машинного обучения из мира разработки.
Вы можете добиться больших успехов, если знаете несколько основных областей математической записи и некоторые приемы для работы с описанием методов машинного обучения в статьях и книгах.
В этом руководстве вы откроете для себя основы математической записи, с которыми вы можете столкнуться при чтении описаний методов машинного обучения.
После прохождения этого руководства вы будете знать:
Обозначение для арифметики, включая вариации умножения, показателей, корней и логарифмов.
Обозначение для последовательностей и наборов, включая индексацию, суммирование и членство в множестве.
5 Приемы, которые вы можете использовать, чтобы получить помощь, если вам не удается научиться использовать математические обозначения.
Начните свой проект с моей новой книги «Линейная алгебра для машинного обучения», включающей пошаговых руководств и файлов исходного кода Python для всех примеров.
Приступим.
Обновление май / 2018 : добавлены изображения для некоторых примечаний, чтобы сделать объяснения более понятными.
Основы математической записи для машинного обучения Фото Кристиана Коллинза, некоторые права защищены.
Обзор учебного пособия
Это руководство разделено на 7 частей; их:
Разочарование в математической нотации
Арифметическая запись
Греческий алфавит
Обозначение последовательности
Установить обозначение
Другое обозначение
Получение дополнительной помощи
Есть ли другие области базовой математической записи, необходимые для машинного обучения, которые, по вашему мнению, я пропустил? Дайте мне знать в комментариях ниже.
Нужна помощь с линейной алгеброй для машинного обучения?
Пройдите бесплатный 7-дневный ускоренный курс электронной почты (с образцом кода).
Нажмите, чтобы зарегистрироваться, а также получите бесплатную электронную версию курса в формате PDF.
Загрузите БЕСПЛАТНЫЙ мини-курс
Разочарование в математической нотации
Вы встретите математические обозначения, читая об алгоритмах машинного обучения.
Например, можно использовать обозначение:
Опишите алгоритм.
Опишите подготовку данных.
Опишите результаты.
Опишите испытательный жгут.
Опишите последствия.
Эти описания могут быть в исследовательских статьях, учебниках, блогах и других местах.
Часто термины хорошо определены, но есть также нормы математической записи, с которыми вы, возможно, не знакомы.
Достаточно одного члена или одного уравнения, которое вы не понимаете, и ваше понимание всего метода будет потеряно. Я сам много раз страдал от этой проблемы, и это невероятно расстраивает!
В этом руководстве мы рассмотрим некоторые основные математические обозначения, которые помогут вам при чтении описаний методов машинного обучения.
Арифметическая запись
В этом разделе мы рассмотрим некоторые менее очевидные обозначения для базовой арифметики, а также несколько концепций, которые вы, возможно, забыли со школы.
Простая арифметика
Обозначения для основной арифметики такие же, как вы бы ее написали. Например:
Сложение: 1 + 1 = 2
Вычитание: 2-1 = 1
Умножение: 2 x 2 = 4
Деление: 2/2 = 1
У большинства математических операций есть родственная операция, выполняющая обратную операцию; например, вычитание — это обратное сложение, а деление — обратное умножению.
Алгебра
Мы часто хотим описать операции абстрактно, чтобы отделить их от конкретных данных или конкретных реализаций.
По этой причине мы видим интенсивное использование алгебры: то есть прописные и / или строчные буквы или слова для представления терминов или понятий в математической нотации. Также часто используются буквы греческого алфавита.
Каждое подполе математики может иметь зарезервированные буквы: это термины или буквы, которые всегда означают одно и то же. Тем не менее, алгебраические термины должны быть определены как часть описания, и если это не так, это может быть просто плохим описанием, а не вашей ошибкой.
Обозначение умножения
Умножение — это обычное обозначение, у него несколько коротких рук.
Часто для обозначения умножения используется маленький «x» или звездочка «*»:
Вы можете увидеть, что используется точечная нотация; например:
Это то же самое, что:
В качестве альтернативы, вы можете не видеть никаких операций и разделения пробелов между ранее определенными терминами; например:
Что опять же одно и то же.
Показатели степени и квадратные корни
Показатель степени — это число в степени.
Обозначение записывается как исходное число или основание со вторым числом или показателем степени, показанным в виде верхнего индекса; например:
Которая была бы рассчитана как 2, умноженная на себя 3 раза, или в кубе:
Число в степени 2 до называется его квадратом.
Квадрат числа можно инвертировать, вычислив квадратный корень. Это показано с использованием обозначения числа и с галочкой выше, я буду использовать здесь функцию «sqrt ()» для простоты.
Здесь мы знаем результат и показатель степени и хотим найти основание.
Фактически, операция корня может быть использована для инверсии любой экспоненты, просто так получилось, что квадратный корень по умолчанию предполагает показатель степени 2, представленный нижним индексом 2 перед отметкой квадратного корня.
Например, мы можем инвертировать кубирование числа, взяв кубический корень (обратите внимание, что 3 здесь не умножение, это запись перед галочкой в корне):
Логарифмы и е
Когда мы возводим 10 в целое число, мы часто называем это порядком величины.
Другой способ изменить эту операцию — вычислить логарифм результата 100, приняв за основу 10; в обозначениях это записывается как log10 ().
Здесь мы знаем результат и основание и хотим найти показатель степени.
Это позволяет нам очень легко перемещаться вверх и вниз по порядку величины. Логарифм в предположении, что основание 2 также широко используется, учитывая использование двоичной арифметики, используемой в компьютерах. Например:
Другой популярный логарифм — использовать натуральное основание e.Буква e зарезервирована и представляет собой специальное число или константу, называемую числом Эйлера (произносится как « oy-ler »), которое относится к значению с практически бесконечной точностью.
Возведение e в степень называется естественной экспоненциальной функцией:
Его можно инвертировать с помощью натурального логарифма, который обозначается как ln ():
Не вдаваясь в подробности, натуральный показатель степени и натуральный логарифм оказываются полезными в математике для абстрактного описания непрерывного роста некоторых систем, например.грамм. системы, которые растут экспоненциально, например сложные проценты.
Греческий алфавит
греческих букв используются в математических обозначениях переменных, констант, функций и т. Д.
Например, в статистике мы говорим о среднем, используя строчную греческую букву мю, а стандартное отклонение — как строчную греческую сигму. В линейной регрессии мы говорим о коэффициентах как о строчной букве бета. И так далее.
Полезно знать все прописные и строчные буквы греческого алфавита и знать, как их произносить.
Когда я был аспирантом, я напечатал греческий алфавит и приклеил его к монитору компьютера, чтобы запомнить. Полезный трюк!
Ниже представлен полный греческий алфавит.
Греческий алфавит, из Википедии
Страница Википедии под названием «Греческие буквы, используемые в математике, естествознании и инженерии» также является полезным руководством, поскольку на ней перечислены общие способы использования каждой греческой буквы в различных подполях математики и естествознания.
Обозначение последовательности
Нотация
машинного обучения часто описывает операцию над последовательностью.
Последовательность может быть массивом данных или списком терминов. й элемент последовательности a.-й элемент последовательности b.
Последовательность операций
Математические операции могут выполняться над последовательностью.
Две операции выполняются с последовательностями так часто, что у них есть свои собственные сокращения: сумма и умножение.
Суммирование последовательностей
Сумма по последовательности обозначается прописной греческой буквой сигма. Он задается переменной и началом суммирования последовательности под сигмой (например, i = 1) и индексом конца суммирования над сигмой (например, i = 1).грамм. п).
Это сумма последовательности от элемента 1 до элемента n.
Умножение последовательности
Умножение над последовательностью обозначается прописной греческой буквой «пи». Он задается так же, как суммирование последовательности с началом и концом операции под и над буквой соответственно.
Это произведение последовательности a, начиная с элемента 1, до элемента n.
Установить обозначение
Набор — это группа уникальных предметов.
Мы можем видеть обозначение набора, используемое при определении терминов в машинном обучении.
Набор цифр
Обычный набор, который вы можете увидеть, представляет собой набор чисел, например, термин, определенный как находящийся в наборе целых чисел или наборе действительных чисел.
Некоторые общие наборы чисел, которые вы можете увидеть, включают:
Набор всех натуральных чисел: N
Набор всех целых чисел: Z
Набор всех действительных чисел: R
Есть другие наборы; см. Специальные наборы в Википедии.
При определении терминов мы часто говорим о реальных значениях или действительных числах, а не о значениях с плавающей запятой, которые на самом деле являются дискретными творениями для операций в компьютерах.
Установить членство
В определениях терминов часто можно увидеть членство в множестве. B
Узнайте больше о наборах в Википедии.
Другое обозначение
Есть и другие обозначения, с которыми вы можете столкнуться.
Кое-что из этого я пытаюсь изложить в этом разделе.
Обычно метод определяют в абстрактном виде, а затем определяют его снова как конкретную реализацию с отдельной нотацией.
Например, если мы оцениваем переменную x, мы можем представить ее, используя нотацию, изменяющую x; например:
Одна и та же нотация может иметь разное значение в другом контексте, например, для разных объектов или подполей математики.Например, часто путают | x |, что, в зависимости от контекста, может означать:
| x |: абсолютное или положительное значение x.
| x |: длина вектора x.
| x |: мощность множества x.
В этом руководстве были рассмотрены только основы математической записи. Есть некоторые подполи математики, которые больше подходят для машинного обучения, и их следует рассмотреть более подробно. Их:
И, возможно, немного о многомерном анализе и теории информации.
Есть ли области математической записи, которые, по вашему мнению, отсутствуют в этом посте? Дайте мне знать в комментариях ниже.
5 советов по работе с математическими обозначениями
В этом разделе перечислены некоторые советы, которые можно использовать, когда вы боретесь с математической записью в машинном обучении.
Подумайте об авторе
Люди написали статью или книгу, которую вы читаете.
Люди, которые могут ошибаться, делать упущения и даже сбивать с толку, потому что не до конца понимают, о чем пишут.
Немного ослабьте ограничения обозначений, которые вы читаете, и подумайте о намерениях автора. Что они пытаются донести?
Возможно, вы даже можете связаться с автором по электронной почте, в Twitter, Facebook, LinkedIn и т. Д. И попросить разъяснений. Помните, что ученые хотят, чтобы другие люди понимали и использовали их работу (в основном).
Проверить Википедию
В Википедии есть списки обозначений, которые могут помочь сузить смысл или цель обозначений, которые вы читаете.
Я рекомендую вам начать с двух мест:
Эскиз в коде
Математические операции — это просто функции над данными.
Сопоставьте все, что вы читаете, с псевдокодом с переменными, циклами for и т. Д.
Возможно, вы захотите использовать язык сценариев в процессе работы вместе с небольшими массивами надуманных данных или даже электронной таблицей Excel.
По мере того, как вы улучшаете свое чтение и понимание техники, ваш код-набросок техники будет иметь больше смысла, и в конце у вас будет мини-прототип, с которым можно поиграть.
Я никогда особо не критиковал этот подход, пока не увидел академический набросок очень сложной статьи в нескольких строках MATLAB с некоторыми надуманными данными. Это сбило меня с толку, потому что я считал, что система должна быть полностью закодирована и работать с «реальным» набором данных, и что единственный вариант — получить исходный код и данные. Я был очень неправ. Также, оглядываясь назад, парень был одаренным.
Сейчас я использую этот метод все время и наброски на Python.
Искать альтернативы
Есть уловка, которую я использую, когда пытаюсь понять новую технику.
Я нахожу и читаю все статьи, которые ссылаются на статью, которую я читаю, с использованием новой техники.
Чтение интерпретации и повторного объяснения техники другими учеными часто может прояснить мои недопонимания в исходном описании.
Но не всегда. Иногда это может замутить воду и ввести вводящие в заблуждение объяснения или новые обозначения. Но чаще всего это помогает. Вернувшись к исходной статье и перечитав ее, я часто нахожу случаи, когда в последующих статьях действительно были ошибки и неверное толкование исходного метода.
Задать вопрос
В Интернете есть места, где люди любят объяснять математику другим. Шутки в сторону!
Сделайте снимок экрана с обозначением, с которым вы боретесь, напишите полную ссылку или ссылку на него и разместите его и свою область непонимания на сайте вопросов и ответов.
Два отличных места для начала:
Каковы ваши приемы работы с математическими обозначениями? Сообщите мне об этом в комментариях ниже?
Дополнительная литература
В этом разделе представлены дополнительные ресурсы по теме, если вы хотите углубиться.
Сводка
В этом руководстве вы открыли для себя основы математической записи, с которыми вы можете столкнуться при чтении описаний методов машинного обучения.
В частности, вы выучили:
Обозначение для арифметики, включая вариации умножения, показателей, корней и логарифмов.
Обозначение для последовательностей и множеств, включая индексацию, суммирование и членство в множестве.
5 Приемы, которые вы можете использовать, чтобы получить помощь, если вам не удается научиться использовать математические обозначения.
Вы боретесь с математической записью?
Помогли ли какие-либо обозначения или советы в этом сообщении? Дайте мне знать в комментариях ниже.
Познакомьтесь с линейной алгеброй для машинного обучения!
Развивайте рабочее понимание линейной алгебры
… путем написания строк кода на Python
Узнайте, как это сделать, в моей новой электронной книге: Линейная алгебра для машинного обучения
Он предоставляет самоучителей по таким темам, как: векторные нормы, умножение матриц, тензоры, собственное разложение, SVD, PCA и многое другое…
И наконец разобраться в математике данных
Пропустить академики. Только результаты.
Посмотрите, что внутри
Математическая система обозначений нарушена — The Reflective Educator
Проведя последние десять лет, обучая студентов математической нотации (одновременно обучая математическим концепциям, описываемым этими символами), я часто размышлял о , насколько эффективным и удивительным является , и как, к сожалению, сломан, часто бывает.
Некоторые обозначения демонстрируют некоторую мощь математического мышления (например, алгебра), но некоторые обозначения явно не предназначены для ясности. На самом деле, я подозреваю, что большая часть математических обозначений была изобретена для экономии места.
Конечно, можно захотеть сэкономить место с помощью математических символов, потому что раньше бумага была дорогой, но я подозреваю, что это не основная причина, по которой математические символы так плотно упакованы информацией. Кроме того, использование более четких математических обозначений отнимает много времени, а математики любят быть краткими.На самом деле, я часто замечал, что математики часто приравнивают длину математического доказательства к его элегантности, что со временем могло оказать давление на сокращение обозначений, используемых для описания этих доказательств. Несколько математиков внесли большой вклад в математическую систему обозначений, в первую очередь Леонард Эйлер, и стремление этих немногих математиков к краткости определило обозначения, которые мы используем сегодня для коммуникационной математики.
Посмотрите, например, на сигма-нотацию. Какое отношение имеет буква «сигма» в греческом алфавите к нахождению суммы вещей? Абсолютно ничего, насколько я могу судить.Согласно Дэйву Рэдклиффу , сигма (∑) является сокращением от summa (вероятно, потому что они начинаются с одного и того же звука), что на латыни означает сумма. Эйлер изобрел символ для суммирования , и с тех пор мы используем его. По сути, мы используем ∑ для обозначения суммы по историческим причинам.
Часть этого уравнения слева от самого левого знака равенства представляет собой систему суммирования, которой я учил много лет. Обычно мне приходится проводить урок, иногда два, чтобы объяснить этот конкретный набор обозначений.Краткость обозначений суммирования мало способствует пониманию этого утверждения. По сути, это эквивалентно следующему:
К сожалению, эта запись требует, чтобы мы запомнили порядок параметров в функции суммирования, но функционально она такая же, как и предыдущая, за исключением того, что нам дается еще одна информация; мы знаем, что будем делать какую-то сумму без необходимости запоминать значение сигмы.Поработав, мы сможем еще больше улучшить эту нотацию и обеспечить еще большую ясность.
Эта нотация несколько более ясна по сравнению со вторым вариантом, который я предложил, поскольку параметры определены внутри нотации. Запись занимает значительно больше времени, чем исходная нотация (занимает вдвое больше места), но имеет огромное преимущество в том, что она значительно яснее. Кроме того, можно было представить, что если бы я вводил эту нотацию в компьютер, функция автозаполнения (которая является общей для редакторов кода) могла бы предлагать мне параметры, а также показывать мне определение параметра, когда я его ввожу.Наконец, эта нотация аналогична тому, как мы определяем функции в компьютерном программировании (на некоторых языках), и поэтому, когда мы обучаем математической нотации, мы также дадим нашим ученикам некоторую способность читать код компьютерного программирования.
Проблема нотации — нетривиальная проблема. Обозначения, используемые для объяснения математических идей, часто являются препятствием для некоторых студентов, которые учатся передавать математические идеи. Довольно часто студенты (а иногда и учителя) путают обучающую нотацию с изучением математики.
Кроме того, отличные обозначения на бумаге могут оказаться менее полезными на компьютере. Я потратил много часов на поиск решений, которые сделают добавление математических символов на веб-сайты более удобным, и обнаружил, что это не простой способ. У каждого метода есть недостатки, и нет такого удобного способа, как добавление одних и тех же символов на бумагу. С точки зрения использования математической системы обозначений на компьютерах, я пришел к выводу, что произойдет одно из двух (или и то, и другое). Компьютеры будут разрабатывать более чувствительные к прикосновениям интерфейсы, а разработчики программного обеспечения будут создавать программное обеспечение, распознающее текущие математические символы, или мы начнем изменять математические обозначения, чтобы их было легче вводить в компьютер.
Одно огромное преимущество нашей нынешней системы обозначений в том, что она в некоторой степени универсальна. По сути, во всем мире используется одна и та же нотация, и, выбрав нотацию, более удобную для любителей, мы будем создавать локализованные версии нотации для каждого языка, что, очевидно, проблематично. В компьютере эту проблему легко решить, сделав имена математических объектов переводимыми, чтобы любой, кто просматривает математический документ, мог выбрать язык по своему усмотрению. В печати это больше проблема, и поэтому нам следует неохотно продолжать использовать наши существующие обозначения до тех пор, пока мы не полностью перейдем от нашего традиционного печатного носителя, но чем больше мы используем компьютеры для передачи математических данных, тем более вероятно, что мы следует исправить математические обозначения.
Обновление:
Вот пара критических замечаний к этому сообщению:
Некоторые полезные математические обозначения
Мы подумали, что было бы полезно составить страницу с часто используемыми обозначениями, которые вы могли бы встретить при изучении высшей математики.
Приведенные ниже обозначения ни в коем случае не являются исчерпывающим списком, и если у вас есть какие-либо предложения по дополнениям к этому списку, пожалуйста, свяжитесь с нами.
Вот символы отношения:
$$ \ begin {align} = & \ qquad a = b \ mbox {означает, что} a \ mbox {равно} b \\ \ Equiv & \ qquad a \ Equiv b \ mbox {означает, что} a \ mbox {тождественно равно} b \\ \ not = & \ qquad a \ not = b \ mbox {означает, что} a \ mbox {не равно} b \\ <& \ qquad a > & \ qquad a> b \ mbox {означает, что} a \ mbox {больше, чем} b \\ \ leq & \ qquad a \ leq b \ mbox {означает, что} a \ mbox {меньше или равно} b \\ \ geq & \ qquad a \ geq b \ mbox {означает, что} a \ mbox {больше или равно} b \\ \ ll & \ qquad a \ ll b \ mbox {означает, что} a \ mbox {намного меньше, чем} b \\ \ gg & \ qquad a \ gg b \ mbox {означает, что} a \ mbox {намного больше, чем} b \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ треугольник ABC & \ qquad \ mbox {треугольник} A BC \\ \ angle ABC & \ qquad \ mbox {angle} ABC \\ {} ^ \ circ & \ qquad \ mbox {градус, эл.{\ ast} \ mbox {или} \ overline {w} & \ qquad \ mbox {комплексное сопряжение} w \\ | w | & \ qquad \ mbox {модуль} w \\ \ Re & \ qquad \ mbox {действительная часть} \\ \ Im & \ qquad \ mbox {мнимая часть} \ end {align} $$
Вот еще несколько полезных символов:
$$ \ begin {align} \ propto & \ qquad \ mbox {пропорционально} \\ \ in & \ qquad \ mbox {содержится, например, } n \ in \ mathbb {N} \ mbox {означает, что} n \ mbox {является натуральным числом} \\ \ not \ in & \ qquad \ mbox {не содержится в} \\ \ sum & \ qquad \ mbox {сумма, эл.2 \; \ mathrm {d} x \\ \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {dx}} & \ qquad \ mbox {дифференцировать по} x \\ \ lim_ {x \ к } & \ qquad \ mbox {limit as} x \ mbox {стремится к} a \\ \ infty & \ qquad \ mbox {Infinity} \ end {align} $$
Научно-математическая нотация
Математический материал
В серии единицы измерения обычно опускаются для всех чисел, кроме последнего, за исключением знаков процента и градуса: 22, 30 и 35 см; 20%, 30% и 42%; От 68 ° до 70 °.
Курсив и римский
Математические символы (переменные величины) набираются курсивом (A, B, C, a, b, c, x, y, z). Химические символы и буквы, обозначающие форму, набираются латинскими буквами (O2, CaCl2, T-сетка, S-образная). Римский также используется для сокращений (фунты, pH, KE, Re, sin, cos) и греческих букв.
Примеры:
журнал k = журнал kH ++ журнал [h3O]
(1)
KE = 1/2 мВ 2
(2)
Вт об. = H2 — h3 = 100 БТЕ / фунт
(3)
β = µ G2 = µ (dU / dy) 2, / sup>
(4)
sin2 β + cos2 β = 1
(5)
Использовать латинские буквы для постоянных значений
Константы в математическом уравнении задаются латинскими буквами.
Пример: y = mx + c m и c — константы.
Подстрочное обозначение
Слова, химические формулы, цифры и сокращения в подписках вводятся латинскими буквами. Курсив зарезервирован для математических символов (переменных величин), хотя на самом деле они являются своего рода сокращением.
Когда символ содержит два нижних индекса, между ними обычно используется запятая без пробела (R1, max).Следите за текстом автора об использовании или отсутствии запятой в нижних индексах, например c33, n12, n1,2, nij.
Отрицательные значения
Используйте дефисы для обозначения минусовых знаков.
Подстрочный и надстрочный
В клавиатуре нижний индекс обычно предшествует верхнему ( D min2), так как это расположение относительно просто установить. Выравнивание показателей степени и индексов может включать отдельную операцию.
Нумерация уравнений
Для справки некоторые или все уравнения могут быть пронумерованы.Цифры указаны в скобках у правого поля.
Примеры: x sin x = 1 (1)
Если уравнение занимает более одной строки, номер уравнения выравнивается по последней строке. (β0 a) 2x-1 = p β a [(µ ‘- µ’ ‘- 1 + δ2) tan2 π + (δ’ — δ »)] x (µ ‘-µ’ » — 1 + t2) 1/2 (2)
Когда два или более уравнений обозначаются одним и тем же номером, номер уравнения может быть размещен на правом поле под всей группой или, если уравнения короткие, номер может быть помещен посередине поля напротив уравнений.
x + y = a (3) x & y = a
Различие между нулем (0) и Oh (o)
Подстрочная буква o (как в p o) и подстрочный номер ноль ( p 0) различаются типографически. Спросите автора, если сомневаетесь в том, является ли символ буквой o или 0. В химических формулах буквой обычно является o, O (как в h3O).
Экспоненциальная
Термин «exp» означает «показатель степени».»Это символ или число, помещенные выше и после другого символа или числа для обозначения степени, до которой последнее должно быть возведено. Оно всегда набирается римским шрифтом.
Пример: 5n + 1 = 5 exp (n + 1)
Экспонента e (константа, равная 2,7182818 …) может быть заменена на exp, если выражение степени является длинным или сложным, а показатель степени устанавливается в строке, если он включает знаки корня (например, квадратный корень √) или знаки суммирования (Ε t0) с ограничениями или другие специальные символы, которые не всегда доступны.
Примеры: u = πe -δ dx можно заменить на π exp (- δ dx ) y = c0e√ (a + b) / kt можно заменить на y = c0exp [(a + б) / узлы ] 1/2
Уравнения с нарушением
Выражение, достаточно короткое, чтобы быть встроенным в текст, например, sin (x + y) или a, не следует разбивать в конце строки. Если выражение настолько длинное, что размещение его во второй строке делает предыдущую строку слишком короткой, выражение должно быть центрировано на отдельной строке.
Если выражение настолько длинное, что его необходимо разорвать, разрыв может стоять со знаком равенства, со знаком операции (+, -, × ÷) или после круглой, квадратной или фигурной скобки, т. Е.) ,],}.
Определение списков по уравнениям
Списки, в которых определены символы и единицы измерения, используемые в уравнении, составлены, как показано ниже, всякий раз, когда материал можно адаптировать к такому расположению.
Пример: NRT = 60 W / S (1)
где NRT = время пребывания ширины зажима, с W = ширина зажима, мм S = скорость машины, м / мин
Слова в уравнениях
Первое слово левого члена уравнения пишется с заглавной буквы в числителе и знаменателе дроби; остальные слова набираются в нижнем регистре.
Пример: Сила, направленная вниз / сила, направленная вверх = чистый эффект Аббревиатуры и единицы измерения, которые обычно в нижнем регистре, остаются в нижнем регистре. об / мин = 120 ч / сек
Обращение к уравнениям
Уравнения в тексте обозначаются номерами и словом Equation, Eqs. Или Eq. Таким образом:
Примеры: Начало предложения — Уравнение (9) показывает … Внутри предложения -…. как показано формулой. (9) …
ХИМИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ И УРАВНЕНИЯ
Химические символы всегда римские, за исключением заголовков столбцов таблиц
Обработка SO2Cl, Обработка SO2Cl2
Для справки некоторые или все химические уравнения, встречающиеся в тексте, могут быть пронумерованы. Цифры указаны в скобках у правого поля.
Стрелки обычно используются в химических уравнениях: CaCl2 + h3CO3 ↔ CaCO3 + 2HCl (1) NaOCl + h3O + 2e ↔ NaCl + 2OH (2) Mg (OH) 2 + 2h3SO3 — Mg (HSO3) 2 + 2h3O (3)
Если в химических уравнениях используются знаки равенства, их нельзя заменять на стрелки без согласия автора.
Стрелки с одиночными зубцами используются для обратимых или равновесных реакций: 2CO + 2h3 CO2Ch5 (1) Двуглавые стрелки () обозначают резонанс.
Валентности показаны следующим образом: Cl Cu ++ SO4 N3 Sn4 +
Соединенные Штаты и другие страны согласились использовать метрическую систему измерения, также известную как единицы СИ (для Международной системы единиц измерения).В научных работах, опубликованных в TAPPI JOURNAL, должны использоваться единицы СИ. Поскольку все еще широко используются другие единицы измерения, эти единицы могут использоваться для ясности и точности, но в скобках следует указывать их метрические эквиваленты.
В Интернете есть несколько сайтов, на которых можно найти полезную информацию о преобразованиях и правильном использовании единиц СИ. К ним относятся:
Метрическая ассоциация США — — http://lamar.colostate.edu/~hillger
Национальный институт стандартов и технологий (NIST), Метрическая программа — http: // ts.nist.gov/ts/200/202/mp_home.htm http://ts.nist.gov/ts/htdocs/200/202/mpo_pubs.htm
NIST также опубликовал подробное «Руководство для Использование Международной системы единиц (СИ), Специальная публикация NIST 811, издание 1995 г., Барри Н. Тейлор. Его можно получить в типографии правительства США или на сайте: http://physics.nist.gov/Pubs/SP811/sp811sl.pdf
Math Markup Language (Глава 1)
— // W3C // DTD HTML 3.2 // EN «>
Язык математической разметки (Глава 1)
1.1 Математика и ее обозначения
Отличительной чертой математики является использование сложной и
высокоразвитая система двумерных символических обозначений. Как сказал Дж.
Р. Пирс написал в своей книге по теории коммуникации:
математику и ее обозначения не следует рассматривать как единое целое
то же самое [Pierce 1961].
Математические идеи существуют независимо от обозначений, которые
представляют их. Однако связь между смыслом и обозначением
тонкий, и часть способности математики описывать и
анализ основан на его способности представлять идеи и манипулировать ими
в символической форме.Задача размещения математики в Интернете состоит в том, чтобы
фиксировать обозначения и контент таким образом, чтобы документы могли
использовать высокоразвитые практики печати, а
потенциал для взаимодействия в электронных средствах массовой информации.
Математические обозначения постоянно развиваются по мере того, как люди
продолжать открывать инновационные способы подхода и выражения
идеи. Даже банальные обозначения арифметики исчезли.
через удивительное разнообразие стилей, в том числе многие несуществующие
отстаивали ведущие математические деятели своего времени [Cajori 1928/1929].Современные математические
обозначение является продуктом вековой изысканности, и
условные обозначения для качественного набора весьма
сложный. Например, переменные или буквы, обозначающие
числа, сегодня обычно набираются специальным курсивным шрифтом, тонко
отличается от текста курсивом. Интервал вокруг символов для
такие операции, как +, -, x и / немного отличаются от
текст, чтобы отразить соглашения о приоритете операторов. Весь
книги были посвящены условным обозначениям математических
верстки, от выравнивания надстрочных и подстрочных индексов, до
правила выбора размеров скобок, до специализированных обозначений
практики для подполей математики.
Условные обозначения в математике и печатный текст в
в целом, направьте взгляд и сделайте печатные выражения намного проще
прочтите и поймите. Хотя мы обычно принимаем их как должное, мы
полагаться на сотни условных обозначений, таких как абзацы, заглавные буквы
буквы, семейства шрифтов и регистр, и даже устройство
десятичная нумерация разделов, которую мы используем в этом
документ (изобретение Г. Пеано, который, вероятно, лучше
известен своими аксиомами для натуральных чисел). Такие обозначения
условности еще более важны для электронных СМИ, где один
приходится бороться с трудностями чтения с экрана.
Однако размещение математики в Интернете — это не просто
поиск способов отображения традиционных математических обозначений в
Веб-браузер. Интернет представляет собой фундаментальное изменение в
лежащая в основе метафора для хранения знаний, изменение которой межсетевое взаимодействие играет центральную роль. Становится
все более важно найти способы общения по математике
которые упрощают автоматическую обработку, поиск и индексацию, а также
повторное использование в других математических приложениях и контекстах.С этим
прогресс в коммуникационных технологиях, есть возможность
расширить нашу способность представлять, кодировать и, в конечном итоге,
поделиться нашими математическими знаниями и пониманием с каждым
Другие. Мы считаем, что MathML — важный шаг в развитии
Математика в Интернете.
1.2 Истоки и цели
1.2.1 История MathML
Проблема кодирования математики для компьютерной обработки или
электронное общение намного старше Интернета. Общее
практика среди ученых до Интернета заключалась в том, чтобы писать статьи на
какую-нибудь закодированную форму на основе набора символов ASCII, и отправить их по электронной почте
друг другу.Несколько методов разметки для математики в
в частности TeX, уже широко использовались в 1992 г., незадолго до
Интернет стал известен, [
Поппелье, ван Хервейнен и Роули, 1992 г.]
С момента своего создания Интернет зарекомендовал себя как
очень эффективный метод предоставления информации широкому кругу
отдельные группы лиц. Однако, несмотря на то, что мир
Изначально Wide Web была задумана и внедрена учеными для
ученых, способность включать математические выражения в
HTML очень ограничен.В настоящее время большинство математических материалов в Интернете
состоит из текста с изображениями в формате GIF научного обозначения, которые
трудно читать и писать.
Консорциум World Wide Web (W3C) давно признал, что
отсутствие поддержки научного общения — серьезная проблема,
и Дэйв Рэггетт, автор рабочего проекта HTML 3.0, сделал
предложение по математике HTML в 1994 году. После панельной дискуссии
по математике на конференции WWW IV в Дармштадте в апреле 1995 г.
была сформирована группа для дальнейшего обсуждения проблемы.В промежутке между
за два года эта группа выросла и была официально преобразована в
рабочая группа W3C HTML-Math.
Предложение MathML отражает интересы и опыт
очень разнообразная группа. Большой вклад в развитие MathML
заслуживают особого упоминания, некоторые из которых мы здесь затронем. Один такой
вклад касается вопроса доступности, особенно для
инвалиды по зрению. Т. В. Раман особенно примечателен в
в этом отношении. Нил Сойфер и Брюс Смит из Wolfram Research
поделились своим обширным опытом решения проблем представительства
математика в связи с разработкой системы Mathematica 3.0.
MathML получил пользу от участия ряда рабочих
члены группы, участвующие в других усилиях по математическому кодированию в SGML
и сообщества компьютерной алгебры, в том числе Стивен Басуэлл из
Стило, Стефан Далмас из INRIA, Стэн Девитт из Ватерлоо
Мэйпл, Энджел Диас и Роберт Сутор из IBM и Стивен Ватт из
Университет Западного Онтарио. В частности, MathML был
под влиянием проекта OpenMath, работа ISO 12083
рабочая группа и Stilo Technologies работают над «семантической» математикой.
Фрагмент DTD.Наконец, Американское математическое общество сыграло
ключевую роль в развитии MathML. Помимо прочего, в нем есть
предоставил двух председателей рабочих групп: Рон Уитни руководил группой из
С мая 1996 г. по март 1997 г., и Патрик Ион, который был сопредседателем
группа с Робертом Майнером из Центра геометрии, с марта 1997 г.
в настоящее время.
1.2.2 Ограничения HTML
Спрос на эффективные средства электронной научной
общение на высоком уровне. Все чаще исследователи, ученые,
инженеры, преподаватели, студенты и техники оказываются
работать на расстоянии и полагаться на электронное общение.В
в то же время методы на основе изображений, которые в настоящее время
преобладающие средства передачи научных обозначений через Интернет
примитивны и неадекватны. Качество документа плохое, авторинг
сложно, а математическая информация, содержащаяся в изображениях,
недоступен для поиска, индексации или повторного использования в других
Приложения.
Самые очевидные проблемы с HTML для математических
связи бывают двух типов:
Проблемы с отображением. Рассмотрим уравнение. Это уравнение рассчитано на
сопоставьте окружающую линию шрифтом 14pt в системе, где она была
автор.Конечно, в других системах или для других размеров шрифта
уравнение слишком маленькое или слишком большое. Второй момент, на который следует обратить внимание:
что изображение уравнения было создано на белом фоне.
Таким образом, если читатель или браузер сбрасывают фон страницы на другой
цвет, сглаживание изображения создает белые «ореолы». Следующий,
рассмотрим уравнение. В этом уравнении есть нижний элемент, который помещает базовую линию
для уравнения в точке примерно в трети расстояния от
внизу изображения. Можно заполнить изображение следующим образом:, чтобы
центральная линия изображения и базовая линия уравнения
совпадают, но это вызывает проблемы с межстрочным интервалом,
что также затрудняет чтение уравнения.Кроме того, центр
выравнивание изображений обрабатывается несколько иначе:
разных браузеров, что делает невозможным гарантировать правильное
выравнивание для разных клиентов.
Уравнения на основе изображений, как правило, труднее увидеть, прочитать и
понимать, чем окружающий текст в окне браузера.
Более того, эти проблемы усугубляются при печати документа.
Разрешение уравнений будет около 70 точек на дюйм,
в то время как окружающий текст обычно будет иметь 300 или более точек на
дюйм.Несоответствие качества считается неприемлемым большинством
люди.
Проблемы с кодировкой. Попробуйте поискать на этой странице
для части уравнения, например, «= 10» из первого
уравнение выше. В том же духе попробуйте вырезать и вставить
уравнение в другое приложение. Используя методы на основе изображений,
ни одна из этих общих потребностей не может быть удовлетворена должным образом. Хотя
может помочь использование текста ALT в источнике документа, это понятно
что интерактивные веб-документы должны предоставлять больше
сложный интерфейс между браузерами и математической нотацией.Еще одна проблема с кодированием математики в виде изображений заключается в том, что она
требует большей пропускной способности. Используя кодирование на основе разметки, больше
процесс рендеринга переносится на клиентскую машину. Разметка
описание уравнения обычно меньше и более сжимаемо
чем изображение уравнения.
1.2.3 Требования к математической разметке
Некоторые проблемы с отображением, связанные с включением математических обозначений в
HTML-документы как изображения могут быть обработаны улучшением браузера
обработка изображений. Однако, даже если обработка изображений была улучшена,
проблема преобразования информации, содержащейся в математических
выражения, доступные для других приложений, останутся.Следовательно, при планировании будущего недостаточно
просто обновите методы на основе изображений. Чтобы полностью интегрировать математические
материала в веб-документы, кодирование на основе разметки
математические обозначения и содержание обязательны.
При разработке любого языка разметки важно тщательно
учитывать потребности своих потенциальных пользователей. В случае MathML,
потребности потенциальных пользователей охватывают широкий спектр, от образования
на исследования в коммерцию:
Образовательное сообщество — большая и важная группа, которая должна
иметь возможность размещать материалы научных программ в Интернете.На
в то же время преподаватели часто имеют ограниченные ресурсы времени и
оборудования и серьезно затруднены из-за сложности авторинга
технические веб-документы. Студенты и учителя должны уметь
создавать математический контент быстро и легко, используя интуитивно понятный,
простые в освоении и недорогие инструменты.
Электронные учебники — еще один способ использования Интернета, который
потенциально может быть очень важным в образовании. Консультант по вопросам управления
Питер Друкер недавно предсказал конец большого кампуса
постоянное высшее образование и его распространение в сети [Drucker 1997].Электронный
учебники должны быть активными, позволяющими общаться
между текстом и научным ПО и графикой.
Академическое исследовательское сообщество создает большие объемы плотных
научный материал. Все чаще публикуются исследовательские публикации.
хранятся в базах данных, таких как очень успешный препринт по физике
сервер в Лос-Аламосской национальной лаборатории. Это особенно верно
в некоторых областях физики и математики, где академический журнал
цены растут неприемлемыми темпами.В
математики есть большие коллекции в Duke, ИИГС и SISSA,
и на сервере AMS e-MATH. Кроме того, базы данных информации
по математическим исследованиям, таким как Mathematical Reviews и
Zentralblatt für Mathematik, предлагают миллионы пластинок
содержащие математику в Интернете.
Для удобства исследовательского сообщества разработан дизайн математической разметки.
должен облегчить обслуживание и работу с большими документами
коллекции, в которых важны автоматический поиск и индексация.
Из-за большого количества устаревших данных, особенно TeX
документы, возможность конвертировать между существующими форматами и новыми
форматы также очень важны для исследовательского сообщества.Ну наконец то,
возможность хранить информацию для архивных целей жизненно важна
академическим исследованиям.
Корпоративные и академические ученые и инженеры также используют
технические документы в своей работе для совместной работы, для записи результатов
экспериментов и компьютерного моделирования, а также для проверки
расчеты. Для таких целей математика в Интернете должна обеспечивать
стандартный способ обмена информацией, которую можно легко прочитать и
генерируется с использованием общедоступных инструментов.
Еще одно требование к дизайну — способность отображать математические
материал в других средствах массовой информации, таких как речь или шрифт Брайля, который
крайне важно для слабовидящих.
Коммерческие издатели также занимаются математикой в Интернете на
все уровни от электронных версий печатных книг до интерактивных
учебники в академические журналы. Издателям требуется метод
размещение математических вычислений в Интернете, способных обеспечить высококачественный вывод,
Достаточно прочный для крупномасштабного коммерческого использования, и желательно
совместимы с их текущим производством, обычно на основе SGML
системы.
1.2.4 Цели проектирования MathML
Чтобы удовлетворить разнообразные потребности научного сообщества,
MathML был разработан с учетом следующих целей.
MathML должен:
кодирует математический материал, подходящий для обучения и
научное общение на всех уровнях.
кодирует как математическую запись, так и математическую
имея в виду.
упрощает преобразование в другие математические форматы и обратно, как
презентационно-смысловой. Форматы вывода должны включать:
графические дисплеи
синтезаторы речи
системы компьютерной алгебры вводные
другие языки математической компоновки, такие как TeX
Признано, что преобразование в другие обозначения и обратно
системы или носители могут потерять информацию в процессе.
разрешить передачу информации, предназначенной для конкретных
рендеры и приложения.
поддерживает эффективный просмотр длинных выражений.
обеспечивает расширяемость.
хорошо подходит для редактирования шаблонов и других математических операций.
техники.
быть разборчивым и простым для программного обеспечения для создания и
процесс.
Независимо от того, насколько успешно MathML может достичь своих целей как
язык разметки, ясно, что MathML будет полезен, только если он
хорошо реализован. С этой целью рабочая группа HTML-Math имеет
определили краткий список дополнительных целей реализации. Эти
цели — попытка кратко описать минимальную функциональность
Программное обеспечение для рендеринга и обработки MathML должно постараться предоставить.
Уравнения MathML на страницах HTML должны правильно отображаться в
популярные веб-браузеры, по мнению читателей и авторов
предпочтений и максимально возможного качества с учетом
возможности платформы.
HTML-документа, содержащего уравнения MathML, следует распечатать.
правильно и с высоким разрешением принтера.
уравнений MathML на веб-страницах должны реагировать на мышь
жесты и координировать общение с другими приложениями
через браузер.
Редакторы и преобразователи уравнений должны быть разработаны для
облегчить создание веб-страниц, содержащих MathML
уравнения.
Эти цели, вероятно, могут быть адекватно решены в ближайшем будущем.
с помощью встроенных элементов, таких как Java-апплеты, плагины и
Элементы управления ActiveX для визуализации MathML.Однако степень, в которой
достижение этих целей в конечном итоге зависит от сотрудничества и
поддержка производителей браузеров и других разработчиков программного обеспечения. В
Рабочая группа HTML-Math продолжит работу с Документом.
Рабочая группа по объектной модели и предлагаемый расширяемый стиль
Языковая рабочая группа для обеспечения того, чтобы потребности научных
сообщество будет встречено в будущем.
1.3 Роль MathML в Интернете
1.3.1 Многоуровневый дизайн математической паутины
Услуги
Цели проектирования MathML требуют наличия системы кодирования.
математический материал для Интернета, который является гибким и расширяемым,
подходит для взаимодействия с внешним программным обеспечением и способен
качественный рендеринг на нескольких носителях.Любая разметка
язык, который кодирует достаточно информации, чтобы хорошо выполнять все эти задачи
неизбежно повлечет за собой некоторую сложность.
В то же время это важно для многих групп, таких как
студентам, чтобы иметь простые способы включения математики в веб-страницы вручную.
Точно так же другие группы, такие как сообщество TeX, были бы лучше всего.
обслуживается системой, позволяющей напрямую вводить разметку
языки, такие как TeX на веб-страницах. В общем, отдельные группы пользователей
лучше обслуживаются более специализированными видами ввода и вывода
адаптированы к их потребностям.Таким образом, идеальная система для
коммуникация по математике в Интернете должна обеспечивать как
специализированные услуги по вводу и выводу, а также общие услуги для
обмен информацией и рендеринг на несколько носителей.
С практической точки зрения, математика в Интернете должна
обеспечение как специализированных, так и общих потребностей, естественно, приводит к
идея многоуровневой архитектуры. Один слой состоит из мощных,
общие программные инструменты обмена, обработки и рендеринга
правильно закодированные математические данные.Второй слой состоит из
специализированные программные инструменты, предназначенные для определенных групп пользователей, и которые
способны легко генерировать закодированные математические данные, которые
затем можно будет поделиться с широкой аудиторией.
MathML предназначен для кодирования математических данных.
для нижнего, более общего уровня в двухуровневой архитектуре. Это
предназначен для кодирования сложной нотационной и семантической структуры в
явный, регулярный и простой в обработке способ для рендереров,
программное обеспечение для поиска и индексирования и другие математические
Приложения.
Как следствие, MathML — это , а не , предназначенный для прямого использования.
по авторам. Хотя MathML удобочитаем, во всех случаях, кроме простейших
случаях он слишком подробный и подвержен ошибкам для ручной генерации.
Вместо этого предполагается, что авторы будут использовать с уравнением
редакторы, программы конвертации и другие специализированные программные инструменты
для создания MathML. В качестве альтернативы некоторые рендеры могут конвертировать другие
виды ввода, непосредственно включенные в веб-страницы в MathML на
fly, например, в ответ на операцию вырезания и вставки.
В некотором смысле MathML аналогичен другим низкоуровневым,
коммуникационные форматы, такие как язык Adobe PostScript. Ты можешь
создать файл PostScript различными способами, в зависимости от вашего
потребности; специалисты пишут и модифицируют их вручную, авторы создают
с текстовыми процессорами, художниками-графиками с программами рисования и т. д.
на. Однако если у вас есть файл PostScript, вы можете поделиться им с
очень большая аудитория, поскольку устройства, которые обрабатывают PostScript, такие
как принтеры и средства предварительного просмотра экрана, широко доступны.
Одна из причин разработки MathML в качестве языка разметки для
низкоуровневый общий уровень коммуникации должен стимулировать
математическая разработка веб-программного обеспечения. MathML предоставляет способ
координировать разработку модульных инструментов разработки и
программное обеспечение для рендеринга. Упростив разработку функционала
часть более крупной системы, MathML может стимулировать «критическую массу»
разработка программного обеспечения, что очень полезно для потенциальных пользователей
математика в Интернете.
Можно представить себе аналогичную ситуацию для математических данных.Авторы могут создавать документы MathML, используя лучшие инструменты.
соответствует их потребностям. Например, студент может предпочесть использовать
редактор формул на основе меню, который может записывать MathML в HTML
файл. Исследователь может использовать пакет компьютерной алгебры, который
автоматически кодирует математическое содержание выражения, поэтому
что он может быть вырезан с веб-страницы и оценен коллегой. An
Издатель академического журнала может использовать программу, конвертирующую TeX
разметка в HTML и MathML. Независимо от метода создания
веб-страницу MathML, когда она существует, все преимущества мощного
и общий уровень связи становится доступным.Разнообразие
Программное обеспечение MathML можно использовать с одним и тем же документом для визуализации
в устной или печатной форме, чтобы отправить в систему компьютерной алгебры, или
чтобы управлять им как частью большой коллекции веб-документов. Один может
ожидайте, что со временем MathML может быть интегрирован в другие области
где встречаются математические формулы, например таблицы,
статистические пакеты и инженерные инструменты.
Рабочая группа HTML-Math работает с поставщиками, чтобы обеспечить
что скоро будет доступно большое количество программного обеспечения MathML,
включая инструменты рендеринга и разработки.Текущий список программного обеспечения MathML
поддерживается Консорциумом World Wide Web.
1.3.2 Отношение к другой сети
Технологии
Первоначальная концепция HTML Math была простой,
прямое расширение HTML, которое было бы изначально
реализовано в браузерах. Однако очень рано взрывной
рост Интернета показал, что общий механизм расширения
требовалось, и эта математика была лишь одним из многих видов
структурированные данные, которые необходимо интегрировать в Интернет
используя такой механизм.
Учитывая, что MathML должен интегрироваться в Интернет как расширение,
чрезвычайно важно, чтобы программное обеспечение MathML и MathML могло
хорошо взаимодействуют с существующей веб-средой. В частности,
MathML был разработан с учетом трех видов взаимодействия.
Во-первых, для создания математического веб-контента важно
что существующие языки математической разметки могут быть преобразованы в
MathML, и существующие инструменты разработки могут быть изменены на
генерировать MathML. Во-вторых, должна быть возможность встраивать разметку MathML.
бесшовно в разметке HTML таким образом, чтобы он был доступен
в будущие браузеры, поисковые системы и все виды Интернета
приложения, которые теперь манипулируют HTML.Наконец, это должно быть
возможность рендеринга MathML, встроенного в HTML, в современных веб-браузерах
в некотором роде, даже если он не идеален.
Существующие языки математической разметки
Возможно, самое важное влияние на математическую разметку
языков последних двух десятилетий — это система набора текста TeX
разработан Дональдом Кнутом. TeX является стандартом де-факто в
математического исследовательского сообщества, и он широко распространен в
научное сообщество в целом. TeX устанавливает стандарт качества
визуальный рендеринг, и много усилий было потрачено на обеспечение
MathML может обеспечить такое же качество визуализации.Более того,
из-за большого объема устаревших документов в TeX, а также из-за того, что
большого сообщества авторов, разбирающихся в TeX, что является приоритетом в
дизайн MathML заключался в возможности преобразовывать математические данные TeX в
Формат MathML. Возможность такого преобразования была
продемонстрировано прототипом программного обеспечения.
Обширная работа по математике кодирования также была проделана в
Сообщество SGML и схемы кодирования на основе SGML широко используются
коммерческие издатели. ISO 12083 — важный язык разметки
который содержит математическое DTD, в первую очередь предназначенное для описания
наглядное представление математических обозначений.Поскольку ISO 12083
математика и ее производные имеют много общего с
TeX, и поскольку SGML обеспечивает более строгую структуру и регулярность, чем
TeX, большая часть работы по обеспечению совместимости MathML с TeX
также хорошо относится к ISO12083.
MathML также уделяет особое внимание совместимости с
другое математическое программное обеспечение, в частности компьютерная алгебра
системы. Многие элементы представления MathML являются производными от
часть от механизма наборных ящиков. Содержание MathML
элементы во многом обязаны проекту OpenMath и
Семантическая математика DTD.Проект OpenMath тесно связан как с
SGML и сообщества компьютерной алгебры и заложили фундамент
для средств связи на основе SGML между математическими
программные пакеты, среди прочего. Возможность обоих
создание и интерпретация MathML в системах компьютерной алгебры
был продемонстрирован прототипом программного обеспечения.
Механизмы расширения HTML
Как отмечалось выше, успех HTML привел к огромному давлению
для включения широкого спектра типов данных и программного обеспечения
приложений в Интернет.Каждый новый формат или приложение
потенциально предъявляет новые требования к HTML и поставщикам браузеров. Для
некоторое время было ясно, что общий механизм расширения
необходимо для размещения новых расширений HTML. С работы в первую очередь
начался с MathML, XML стал ведущим кандидатом на такие
механизм расширения.
XML расшифровывается как Extensible Markup Language. Он разработан как
упрощенная версия SGML, метаязыка, используемого для определения
грамматика и синтаксис HTML. Одна из целей XML — быть
подходит для использования в Интернете, и в контексте этого обсуждения
его можно рассматривать как общий механизм расширения HTML.Поскольку его
название подразумевает, что расширяемость — ключевая особенность XML; авторы
свободно объявлять и использовать новые теги и атрибуты. В то же время,
Правила грамматики и синтаксиса XML тщательно контролируют структуру документа
для облегчения автоматической обработки и обслуживания больших
коллекции документов.
Хотя много деталей о том, как разметка XML в конечном итоге будет
встроенный в HTML еще предстоит решить, XML получил поддержку
от основных производителей браузеров. Разработка стандартного способа встраивания
XML в HTML также, вероятно, станет приоритетом W3C в будущем.Следовательно, как с теоретической, так и с прагматической точки зрения,
имеет смысл указать MathML как приложение XML, и мы
сделали так.
Механизмы расширения браузера
Когда стандартный способ встраивания XML в HTML существует, он
по-прежнему необходимо каким-то образом расширить браузеры для обработки и
отображать встроенный XML-контент. В идеале будущие браузеры будут
изначально обрабатывать и отображать широко используемые XML-приложения, такие как
MathML, и есть основания полагать, что в конечном итоге это будет
дело.Однако в ближайшее время необходимо будет
предоставить промежуточные методы для отображения и обработки MathML.
Общая модель для рендеринга и обработки расширений XML для
HTML все еще разрабатывается рабочей группой W3C XML.
Однако общие черты модели уже достаточно ясны. А
формируется новая рабочая группа по разработке расширяемого языка стилей (XSL)
который будет использоваться для указания браузеру, как должны быть элементы XML.
визуализируется почти так же, как каскадные таблицы стилей (CSS), которые можно использовать с
HTML и
DSSSL можно использовать с SGML.Таким образом, вскоре станет возможным
напишите какую-нибудь таблицу стилей, которая научит браузер
правильно отображать MathML.
Однако в настоящее время необходимо расширить браузер
возможности за счет использования встроенных элементов для рендеринга MathML. Это может быть
случай, когда будущий механизм таблиц стилей просто проинструктирует
браузер для использования определенного встроенного средства визуализации для обработки MathML и
координируйте полученный результат с окружающей веб-страницей. В
для достижения такого взаимодействия, однако, это будет
необходимо для определения объектной модели документа, достаточно богатой, чтобы
облегчить сложное взаимодействие между браузерами и встроенными
элементы.По этой причине рабочая группа HTML-Math
тесно координирует свои усилия с объектной моделью документа
рабочая группа.
При работе с XML, таблицами стилей, встроенными объектами и
объектная модель документа все еще продолжается, цель этих усилий
заключается в предоставлении инфраструктуры, способной поддерживать сложные
приложения для разметки и рендеринга, такие как MathML.
Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание — подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».
Как вычислить логарифм?
Чтобы вычислить логарифм — нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?
а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому:
\(\log_{4}{16}=2\)
б) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\frac{1}{3}\)? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени).
\(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)\(=-1\)
в) В какую степень надо возвести \(\sqrt{5}\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!
\(\log_{\sqrt{5}}{1}=0\)
г) В какую степень надо возвести \(\sqrt{7}\), чтобы получить \(\sqrt{7}\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.
\(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=1\)
д) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\sqrt{3}\)? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень — это степень \(\frac{1}{2}\).
Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс.{b}=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_{a}{c}=b\)
\(\log_{4}{10}=5x-4\)
Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева
\(5x-4=\log_{4}{10}\)
Перед нами линейное уравнение. Перенесем \(4\) вправо.
И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.
\(5x=\log_{4}{10}+4\)
Поделим уравнение на 5
\(x=\)\(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)
Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.
Ответ: \(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)
Десятичный и натуральный логарифмы
Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:
Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание — число Эйлера \(e\) (равное примерно \(2,7182818…\)), и записывается такой логарифм как \(\ln{a}\).
То есть, \(\ln{a}\) это то же самое, что и \(\log_{e}{a}\), где \(a\) — некоторое число.
Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается \(\lg{a}\).
То есть, \(\lg{a}\) это то же самое, что и \(\log_{10}{a}\), где \(a\) — некоторое число.{2}=25\)
Ответ готов.
Ответ: \(25\)
Как число записать в виде логарифма?
Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_{2}{4}\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_{2}{4}\).
Но \(\log_{3}{9}\) тоже равен \(2\), значит, также можно записать \(2=\log_{3}{9}\) . Аналогично и с \(\log_{5}{25}\), и с \(\log_{9}{81}\), и т.д. То есть, получается
Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.
Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_{2}{8}\), или как \(\log_{3}{27}\), или как \(\log_{4}{64}\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:
Логарифмы в математике, основные понятия и определения
Определение и основные понятия логарифмов
Например. , поскольку .
В 8 веке индийский математик Вирасена (792-853), исследуя степенные зависимости, опубликовал фактически таблицу логарифмов (целочисленных показателей) для оснований 2, 3, 4. Дальнейшее развитие теория логарифмов получила в средневековой Европе, где была выдвинута идея замены трудоемкого умножения на простое сложение. Впервые эта идея увидела свет в книге «Arithmetica integra» (1544) немецкого математика Михаэля Штифеля (1487-1567). В 1614 году шотландский математик Джон Непер (1560-1617) опубликовал сочинение «Описание удивительной таблицы логарифмов», в котором ввел термин «логарифм», а также описал его свойства. Общепринятого обозначения логарифма не было до конца 19 века, хотя специальные обозначения для натурального и десятичного логарифмов появились значительно ранее.
Натуральный логарифм — логарифм по основанию :
Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10:
Свойства логарифмов
Следующие свойства приведены для произвольных величин , при которых логарифм существует.
Основное логарифмическое тождество:
Например. .
Если основание логарифма и подлогарифмическая функция равны, то логарифм равен единице:
Например. .
Логарифм по любому основанию от единицы равен нулю:
Например. .
Логарифм произведения равен сумме логарифмов от каждого из сомножителей:
Например. .
Логарифм частного равен разности логарифмов от делимого и делителя соответственно:
Например. .
.
Например. .
.
Например. .
.
Например. .
.
Например. .
Переход к новому основанию:
Например. .
.
Например. .
Понравился сайт? Расскажи друзьям!
Логарифмы / math5school.ru
Формулы перехода от десятичного к натуральному логарифму и наоборот
Определение логарифма
Логарифмом положительного числа b по основанию а (a > 0, a ≠ 1) называется такой показатель степени c, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.
Записывают: с = loga b, что означает a c= b.
Из определения логарифма следует справедливость равенства:
a loga b = b, (а > 0, b > 0, a ≠ 1),
называемого основным логарифмическим тождеством.
В записи loga b число а – основание логарифма, b – логарифмируемое число.
Из определения логарифмов вытекают следующие важные равенства:
loga1 = 0,
loga а = 1.
Первое следует из того, что a0 = 1, а второе – из того, что a1 = а. Вообще имеет место равенство
logaa r= r.
Свойства логарифмов
Для положительных действительных чисел a (a ≠ 1), b, c справедливы следующие соотношения:
loga (b · c) = loga b + loga c
loga (b ⁄ c) = loga b – loga c
loga b p= p · loga b
loga q b = 1/q · loga b
loga q b p = p/q · loga b
loga pr b ps= loga r b s
loga b = logc b ⁄ logc a (c ≠ 1)
loga b = 1 ⁄ logb a (b ≠ 1)
loga b · logb c = loga c
c loga b= b loga c
Замечание 1. Если а > 0, a ≠ 1, числа b и c отличны от 0 и имеют одинаковые знаки, то
loga (b · c) = loga |b| + loga |c|
loga (b ⁄ c) = loga |b| – loga |c| .
Замечание 2. Если p и q – чётные числа, а > 0, a ≠ 1 и b ≠ 0, то
loga b p= p · loga |b|
loga pr b ps= loga r |b s|
loga q b p = p/q · loga |b| .
Для любых положительных, отличных от 1 чисел a и b верно:
loga b > 0 тогда и только тогда, когда a > 1 и b > 1 или 0 < a < 1 и 0 < b < 1;
loga b < 0 тогда и только тогда, когда a > 0 и 0 < b < 1 или 0 < a < 1 и b > 1.
Десятичный логарифм
Десятичным логарифмом называется логарифм, основание которого равно 10.
Обозначаются символом lg:
log10 b = lg b.
Десятичные логарифмы до изобретения в 70-х годах прошлого века компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня.
Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже – с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми.
В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: log, Log, Log10, причём следует иметь в виду, что первые два варианта могут относиться и к натуральному логарифму.
Таблица десятичных логарифмов целых чисел от 0 до 99
Десятки
Единицы
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
–
0
0,30103
0,47712
0,60206
0,69897
0,77815
0,84510
0,90309
0,95424
1
1
1,04139
1,07918
1,11394
1,14613
1,17609
1,20412
1,23045
1,25527
1,27875
2
1,30103
1,32222
1,34242
1,36173
1,38021
1,39794
1,41497
1,43136
1,44716
1,46240
3
1,47712
1,49136
1,50515
1,51851
1,53148
1,54407
1,55630
1,56820
1,57978
1,59106
4
1,60206
1,61278
1,62325
1,63347
1,64345
1,65321
1,66276
1,67210
1,68124
1,69020
5
1,69897
1,70757
1,71600
1,72428
1,73239
1,74036
1,74819
1,75587
1,76343
1,77085
6
1,77815
1,78533
1,79239
1,79934
1,80618
1,81291
1,81954
1,82607
1,83251
1,83885
7
1,84510
1,85126
1,85733
1,86332
1,86923
1,87506
1,88081
1,88649
1,89209
1,89763
8
1,90309
1,90849
1,91381
1,91908
1,92428
1,92942
1,93450
1,93952
1,94448
1,94939
9
1,95424
1,95904
1,96379
1,96848
1,97313
1,97772
1,98227
1,98677
1,99123
1,99564
Натуральный логарифм
Натуральным логарифмом называется логарифм, основание которого равно числу е, математической константе, являющейся иррациональным числом, к которому стремится последовательность
аn = (1 + 1/n)n при n → +∞.
Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Значение числа е с первыми пятнадцатью цифрами после запятой следующее:
е = 2,718281828459045… .
Натуральный логарифм обозначаются символом ln:
loge b = ln b.
Натуральные логарифмы являются самыми удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций.
Таблица натуральных логарифмов целых чисел от 0 до 99
Десятки
Единицы
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
–
0
0,69315
1,09861
1,38629
1,60944
1,79176
1,94591
2,07944
2,19722
1
2,30259
2,39790
2,48491
2,56495
2,63906
2,70805
2,77259
2,83321
2,89037
2,94444
2
2,99573
3,04452
3,09104
3,13549
3,17805
3,21888
3,25810
3,29584
3,33220
3,36730
3
3,40120
3,43399
3,46574
3,49651
3,52636
3,55535
3,58352
3,61092
3,63759
3,66356
4
3,68888
3,71357
3,73767
3,76120
3,78419
3,80666
3,82864
3,85015
3,87120
3,89182
5
3,91202
3,93183
3,95124
3,97029
3,98898
4,00733
4,02535
4,04305
4,06044
4,07754
6
4,09434
4,11087
4,12713
4,14313
4,15888
4,17439
4,18965
4,20469
4,21951
4,23411
7
4,24850
4,26268
4,27667
4,29046
4,30407
4,31749
4,33073
4,34381
4,35671
4,36945
8
4,38203
4,39445
4,40672
4,41884
4,43082
4,44265
4,45435
4,46591
4,47734
4,48864
9
4,49981
4,51086
4,52179
4,5326
4,54329
4,55388
4,56435
4,57471
4,58497
4,59512
Формулы перехода от десятичного к натуральному логарифму и наоборот
Так как lg е = 1 / ln 10 ≈ 0,4343, то lg b ≈ 0,4343 · ln b;
так как ln 10 = 1 / lge ≈ 2,3026, то ln b ≈ 2,3026 · lg b.{\prime}=\frac{1}{x \ln 10}$
8 $\int \lg x \mathrm{d} x=x \lg x-\frac{x}{\ln 10}+C$
9 $\lim _{x \rightarrow 0+} \lg x=-\infty$
Читать дальше: логарифмическая функция.
Слишком сложно?
Десятичный логарифм не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Логарифм
Логарифм является числом, применение которого значительно упрощает довольно много сложных операций, которые существуют в арифметике. Если использовать в вычислениях логарифмы вместо чисел, то вполне возможно заменить, например, умножение более просто операцией, такой, как сложение. Также можно использовать вычитание вместо деления, умножение – вместо возведения в степень, а также деление – вместо извлечения корня.
Что же такое логарифм с математической точки зрения? Логарифм – это показатель степени, в которую необходимо возвести другое число, которое называется основанием логарифма, для того, чтобы получить данное число.l=n. Число n также называют антилогарифмом числа l по основанию а.
Основанием логарифма может служить любое положительное число, кроме единицы. Однако отметим тот факт, что, если а и n – рациональные числа, то l будет являться рациональным числом в очень редких случаях. Но ведь всегда можно определить иррациональное число l, а потом максимально точно приблизить его рациональными числами. Делается это с помощью специальных таблиц логарифмов (если рассматривать пример, что мы указали выше, то в этом случае, это будет четырехзначная таблица десятичных логарифмов).
Принцип, который лежит в основе абсолютно любой системы логарифмов, был известен еще в стародавние времена (например, вавилонская математика). Свойства логарифмов также изучал Архимед, который использовал степени числа 10, чтобы найти верхний передел числа песчинок, которые необходимы, чтобы заполнить Вселенную.
Например: Log[2,64]-6
Логарифмы
Определение логарифма
Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.
log
a
b = c ;
a
c
= b
Свойства логарифма
Логарифм произведения
log
c
(ab) = log
c
a + log
c
b
Логарифм частного
log
c
(
a b
) = log
c
a — log
c
b
Логарифм степени
Логарифм корня
log
c
n
a
=
1 n
log
c
a
Переход к новому основанию
Формулы, следущие из свойств логарифмов
log
a
b =
1
log
b
a
log
n
b
=
log
m
b
= log
c
b
log
n
c
log
m
c
log
n
b * log
m
c = log
m
b * log
n
c
a
log
n
b
=
b
log
n
a
Что такое логарифм? Зачем нужны логарифмы?
Логарифмы — традиционная головная боль для многих учеников старших классов. Особенно — уравнения и неравенства с логарифмами. Не любят старшеклассники логарифмы почему-то. И поэтому боятся. И совершенно зря.) Ибо сам по себе логарифм — это очень и очень простое понятие. Не верите? Убедитесь сами! В сегодняшнем уроке.
Итак, поехали знакомиться.)
Для начала решим в уме вот такое очень простенькое уравнение:
2х = 4
Это простейшее показательное уравнение. Оно так называется из-за того, что неизвестное икс находится в показателе степени. Даже если вы не в курсе, как решаются показательные уравнения, просто в уме подберите икс так, чтобы равенство выполнилось. Ну же?! Ну, конечно же, х = 2. Два в квадрате — это четыре.)
А теперь я изменю в нём всего одно число. Вот такое уравнение теперь решим:
2х = 5
И снова пробуем подобрать икс…
Что, никак не подбирается? Два в квадрате — это четыре. Два в кубе — это уже восемь. А у нас — пятёрка. Мимо проскочили… Что делать? Только не говорите мне, что нету такого икса! Не поверю.)
Согласитесь, что это как-то несправедливо: с четвёркой уравнение решается в уме, а с пятёркой — уже не решается никак. Математика не приемлет такой дискриминации! Для неё все числа — равноправные партнёры.)
На данном этапе мы можем лишь грубо прикинуть, что икс — какое-то дробное число между двойкой (22 = 4) и тройкой (23 = 8). Можем даже немного повозиться с калькулятором и приближённо подобрать, найти это число. Но такая возня каждый раз… Согласен, как-то грустно…
Математика решает данную проблему очень просто и элегантно — введением понятия логарифма.
Итак, что же такое логарифм? Вернёмся к нашему загадочному уравнению:
2х = 5
Осмысливаем задачу: нам надо найти некое число х,в которое надо возвести 2, чтобы получить 5. Понятна эта фраза? Если нет, перечитайте ещё раз. И ещё… Пока не осознаете. Ибо это очень важно!
Вот и назовём это загадочное число хлогарифмом пятёрки по основанию два! В математической форме эти слова выглядят так:
x = log25
А произносится эта запись вот так: «Икс равен логарифму пяти по основанию два.»
Число внизу (двойка) называется основанием логарифма. Пишется снизу так же, как и в показательном выражении 2х. Запомнить очень легко.)
Ну, вот, собственно, и всё! Мы решили ужасное на вид показательное уравнение!
2х = 5
x = log25
И всё! Это правильный и совершенно полноценный ответ!
Может быть, вас смущает, что вместо конкретного числа я пишу какие-то непонятные буковки и значки?
Ну что ж, ладно, уговорили… Специально для вас:
x = log25 = 2,321928095…
Имейте в виду, что число это никогда не кончается. Да-да! Иррациональное оно…
Вот вам и ответ на вопрос, для чего нужны логарифмы. Логарифмы нам нужны, в первую очередь, для решения показательных уравнений! Таких, которые без логарифмов и не решаются вовсе…
Например, решая показательное уравнение
3x = 9,
про логарифмы можно не вспоминать. Сразу ясно, что х = 2.
А вот, решая уравнение, скажем, такое
3х = 7,
вы приближённо получите вот такой лохматый ответ:
х ≈ 1,77124375
Зато через логарифм даётся абсолютно точный ответ:
х = log37.
И все дела.) Вот поэтому и пишут логарифмы вместо некрасивых иррациональных чисел. Кому нужен числовой ответ — посчитает на калькуляторе или хотя бы в Excel.) А раньше, когда калькуляторов и компьютеров не было и в помине, существовали специальные таблицы логарифмов. Объёмные и увесистые. Так же, как и таблицы Брадиса для синусов и косинусов. И даже инструмент такой был — логарифмическая линейка. Которая позволяла с хорошей точностью вычислять массу полезных вещей. И не только логарифмы.)
Ну вот. Теперь, незаметно для себя, мы научились решать все показательные уравнения такого зверского типа.
Например:
2х = 13
Никаких проблем:
x = log213
5х = 26
Тоже элементарно!
x = log526
11x = 0,123
И тут не вопрос:
x = log110,123
Это всё верные ответы! Ну как? Заманчиво, правда?
А теперь вдумаемся в смысл самой операции нахождения логарифма.
Как мы знаем, на каждое действие математики стараются найти противодействие (т.е. обратное действие). Для сложения это вычитание, для умножения это деление. А какое обратное действие есть для возведения в степень?
Давайте посмотрим. Какие у нас основные действующие фигуры при возведении в степень? Вот они:
an = b
a— основание,
n— показатель,
b— собственно сама степень.
А теперь подумаем: если нам известна степень (b) и известен показатель этой самой степени (n), а найти надо основание (a), то что мы обычно делаем? Правильно! Извлекаем корень n-й степени! Вот так:
А теперь посмотрим на другую ситуацию: нам снова известна степень (b), но на этот раз вместо показателя n нам известно основание (a), а найти как раз надо этот самый показатель (n). Что делать будем?
Вот тут-то на помощь и приходят логарифмы! Прямо так и пишут:
«Эн» (n) — это число, в которое надо возвести «a», чтобы получить «b». Вот и всё. Вот и весь смысл логарифма. Операция нахождения логарифма — это всего лишь поиск показателя степени по известным степени и основанию.
Таким образом, для возведения в степень в математике существует два разных по природе обратных действия. Это извлечение корня и нахождение логарифма. А вот, скажем для умножения обратное действие только одно — деление. Оно и понятно: любой из неизвестных множителей — что первый, что второй — ищется с помощью одной операции — деления.)
Простейшие примеры с логарифмами.
А теперь новость не очень хорошая. Если логарифм считается ровно, то его надо считать, да.
Скажем, если где-то в уравнении вы получили
x = log39,
то такой ответ никто не оценит. Надо логарифм посчитать и записать:
х = 2
А как мы поняли, что log39=2? Переводим равенство с математического языка на русский: логарифм девяти по основанию три — это число, в которое надо возвести три, чтобы получить девять. И в какое же число надо возвести тройку, чтобы получить девятку? Ну, конечно! В квадрат надо возвести. То есть, в двойку.)
А чему равен, скажем, log5125? А в какой степени пятёрка даёт нам 125? В третьей, разумеется (т.е. в кубе)!
Стало быть, log5125 = 3.
Идём дальше.
log77 = ?
В какую степень надо возвести 7, чтобы получить 7? В первую!
Вот вам и ответ: log77 = 1
А вот такой пример как вам?
log31 = ?
И в какую же степень надо возвести тройку, чтобы получить единицу? Неужели не догадались? А вы вспомните свойства степеней.) Да! В нулевую! Вот и пишем:
log31 = 0
Уловили принцип? Тогда тренируемся:
log216 = …
log464 = …
log1313 = …
log3243 = …
log151 = …
Ответы (в беспорядке): 1; 3; 5; 0; 4.
Что? Забыли, в какой степени 3 даёт 243? Что ж, ничего не поделаешь: степени популярных чисел надо узнавать. В лицо! Ну, и таблица умножения — надёжный спутник и помощник. И не только в логарифмах.)
Ну вот, совсем простенькие примеры порешали, а теперь шагаем на ступеньку выше. Вспоминаем отрицательные и дробные показатели.)
Решаем вот такой пример:
log40,25 = ?
Мда… И в какую же степень надо возвести четвёрку, чтобы получить 0,25? Так с ходу и не скажешь. Если работать только с натуральными показателями. Но степени в математике, как известно, бывают не только натуральными. Самое время подключить наши знания об отрицательных показателях и вспомнить, что
0,25 = 1/4 = 4-1
Стало быть, можно смело записать:
log40,25 = log44-1 = -1.
И всё.)
Ещё пример:
log42 = ?
В какую такую степень надо возвести четвёрку, чтобы получить двойку? Для ответа на этот вопрос придётся подключать наши знания о корнях. И вспомнить, что двойка — это корень квадратный из четырёх:
А корень квадратный математика позволяет представить в виде степени! С показателем 1/2. Так и пишем:
Поэтому наш логарифм будет равен:
Ну что, поздравляю! Вот мы с вами и познакомились с логарифмами. На самом примитивном начальном уровне.) И вы сами лично убедились, что они вовсе не так страшны, как, возможно, вам казалось раньше. Но у логарифмов, как и у любых других математических понятий, есть свои свойства и свои особые фишки. О том и о другом (о свойствах и о фишках) — в следующем уроке.
А теперь решаем самостоятельно.
Вычислить:
Ответы (в беспорядке): 4,4; 0; 1; 6; 4; 2.
что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства
Что такое логарифм
Свойства логарифма
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
Сейчас речь пойдет о трех страшных буквах: l o g. Существовать в нашем бытии они просто так не могут. Обязательно должен быть какой-нибудь индекс — число снизу (основание логарифма) и число после букв (аргумент логарифма).
Прежде, чем мы перейдем к тому, что такое логарифм, решим парочку подводящих примеров.
Чтобы справиться с этим примером, мы проговариваем в голове: какое число нужно дважды (т.к. корень квадратный) умножить само на себя, чтобы получить 81.
А этот пример можно решить по алгоритму (решения показательных уравнений), а можно так же провести разговор с самим собой (главное не вслух, я считаю это нормально, но кого-то вы можете напугать разговором с самим собой): сколько раз нужно число 3 умножить само на себя, чтобы получить 27. Постепенным перемножением мы дойдем до ответа.
Тогда, если дело касается логарифма:
можно сказать так: в какую степень нужно возвести 3 (число снизу — основание логарифма), чтобы получить 27 (число слева — аргумент логарифма). Не напоминает выше стоящий пример?
На самом деле в этом и заключается основная формула (определение логарифма):
Логарифм говорит нам (кому-то кричит): логарифм числа «b» по основанию «a» равняется числу «c». Тогда без логарифма это можно сформулировать так: чтобы получить число «b», требуется число «a» возвести в степень «c». Логарифм — это действие, обратное возведению в степень.
У отца log есть два родных сына: ln и lg. Так же, как сыновья отличаются возрастом (мы говорим о максимальной точности), так и эти логарифмы отличаются основанием (числовым индексом снизу).
Данные логарифмы придумали для упрощения записи. На самом деле в прикладной математики именно логарифмы по такому основанию встречаются чаще всех остальных. А мы все в глубине души народ ленивый, так что почему бы себе жизнь не упростить?
Что нужно запомнить: ln — это обычный логарифм только по основанию e ( e — это число Эйлера, e = 2,7182…, мой номер телефона, кстати, — это последние 11 цифр числа Эйлера, так что буду ждать звонка).
А lg — это обычный логарифм по основанию 10 (10ая система — это система счисления, в которой мы живем, столько пальцев на руках у среднего человека. В общем 10 — это как 9, только на 1 больше).
Как мы не можем существовать без еды, воды, интернета… Так и логарифм не представляет свое существование без ОДЗ.
Всегда, когда существует логарифм, должно быть:
«Почему это так?» — это первый вопрос, который я предоставляю тебе. Советую начать с того, что логарифм — это обратное действие от возведения в степень.
А теперь разберем теорию на практике:
В какую степень нужно возвести два (число в основании), чтобы получить шестнадцать (аргумент логарифма).
Два нужно четыре раза умножить само на себя, чтобы получить 16.
Ответ: 4.
lg — это логарифм по основанию 10. 10 нужно 3 раза умножить само на себя, чтобы получить 1000.
А теперь посложнее, перейдем по определнию к показательному уравнению :
Следующий пример поможет нам узнать первую формулу логарифмов:
Преобразуем выражение по определению логарифма и получим показательное уравнение. Единица — это же любое значение в нулевой степени?
Тогда можно сделать вывод, что при любом основании и аргументе логарифма, равном 1, все эти логарифмы будут равны нулю.
Нетрудно тогда понять, что есть еще одно следствие:
В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 2? Напряжем все свои извилины и получим — один!
Дальше будут формулы, которые я позволю себе не выводить, чтобы не испугать неискушенных в математике читателей.
Хотя мой вам совет: отследить, откуда эта формула появилась. У логарифмов самое главное помнить, что логарифм — это действие, обратное возведению в степень.
Основное логарифмическое тождество:
В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 9? Значит, логарифм в показателе степени равен двум.
Это единственная формула, где логарифм в показатели степени. Видишь логарифм в степени? Тебе поможет только эта формула.
Еще примерчик, двойка перед логарифмом никак не влияет, формула все так же работает:
А вот квадрат в логарифме тоже быть может, только лучше сначала разложить:
Дальше с этим ничего сделать не сможем.
Дальнейшие формулы тоже уникальны, это тебе не косинус двойного угла.
Видим сложение логарифмов, выпускаем эту формулы:
А вот примерчик, чтобы порадовать тебя этой формулой, только наоборот:
Видим разность логарифмов, выпускаем эту формулы:
А теперь сразу сумма и разность. По отдельности логарифмы не найти, но вместе они и мы сила:
Теперь посмотрим на степени у аргмента логарифма:
Пример:
А в основании тоже можно? Нужно!
Минус два — это степень у основания:
А все вместе можно? Конечно, логарифмы — это такая свобода:
А здесь нужно будет соединить две формулы: 1) вынесение степени из основания и 2) разность логарифмов
С основными формулами разобрались, теперь для решения более сложных уравнений/выражений.
Формула перехода к новому основанию:
Обрати внимание, чем она отличается от разности логарифмов (4). Тут мы делим один логарифм на другой, а там деление происходит под логарифмом.
Тут все просто, разве что стоит вспомнить, что квадратный корень — это степень одна вторая.
Тут первым действием воспользуемся изучаемой формулой, а дальше каждый логарифм в виде числа, потихонечку−полегонечку.
Последняя формула, меняем местами аргумент и основание логарифма:
Используется тоже нечасто, но если ее не знаешь, то никак не выкрутишься через другие формулы.
Простенький примерчик:
Закрепим обе формулы. Используем формулу (9), после (8), а так же не забудь порадовать десятичные дроби — переведи их в обыкновенные, а они порадуют тебя. Теперь посмотрим еще на пару примеров:
Логарифм в логарифме, что может быть прекраснее? Только решенный логарифм в логарифме.
Начинаем с внутреннего:
И постепенно раскрываем каждый последующий:
После того, как с формулами разобрались, (а их всего 9! Согласись, несложно выучить?), перейдем к уравнениям.
Все логарифмические уравнения решаем по одному из двух алгоритмов.
Первый появляется из определения логарифма:
Только не забываем про ОДЗ:
Второй вариант, когда логарифм с одним основанием равен логарифму с точно таким же основнанием:
Не забываем про ОДЗ, тогда получится:
Подставив в ОДЗ x = 15, видим, что все выполняется!
Обязательно только логарифм (без всяких множителей и т.п.) с одним основанием должен быть равен другому логарифму с таким же основанием:
Здесь перед логарифмами стоят разные множители, поэтому прежде всего нужно их внести в логарифм (6 формула), а после убрать логарифмы:
Если стоят одинаковые множители, их можно сократить сразу или сократить на общий множитель:
Бывает, что с одной стороны уравнения есть сумма логарифмов (4) или обычное число, сокращать их сразу нельзя! Только после того, как приведем и левую, и правую часть к одному логарифму:
Что же касается неравенств, убирать логарифмы можно так же, как и в уравнениях, только здесь нужно внимательно смотреть на значение оснований. Если основание логарифма лежит в диапазоне 0 < a < 1 (также как в показательных неравенствах), то после зачеркивания логарифмов знак меняется на противоположный:
Если же основание а > 1, то убираем логарифмы без смены знака и дорешиваем обычное неравенство:
Вывод:
Л О Г — это не три страшные буквы, а обратное действие возведению в степень.
Хоть формул и целых девять, но они никак не пересекаются. Решая пример и ориентируясь в формулах, ты будешь однозначно выбирать необходимую формулу.
Видишь логарифм — ищи ОДЗ и решай его в первую очередь!
Решение уравнений происходит по одному из двух вариантов и больше никак.
В неравенствах главное — помнить об основании логарифма, когда зачеркиваем логарифмы.
Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.
у = х
Функция JavaScript Math.log () эквивалентна ln (x) по математике.
Параметры
Возвращаемое значение
Натуральный логарифм (основание e ) заданного числа. Если
число отрицательное, возвращается NaN .
Если значение x равно 0, возвращаемое значение всегда -Бесконечность .
Если значение x отрицательное, возвращаемое значение всегда NaN .
Поскольку log () является статическим методом Math , вы всегда используете его
как Math.log () , а не как метод объекта Math , который вы
создано ( Math не является конструктором).
Если вам нужен натуральный логарифм 2 или 10, используйте константы Math.LN2 или Math.LN10 . Если вам нужен логарифм с основанием 2 или 10, используйте Math.log2 () или Math.log10 () . Если вам нужен логарифм для
другие базы, используйте Math.log (x) / Math.log (otherBase), как в примере ниже; ты можешь
хотите предварительно вычислить 1 / Math.log (otherBase).
Следующая функция возвращает логарифм y с основанием x (например, logxy \ log_x y):
function getBaseLog (x, y) {
вернуть Math.log (y) / Math.log (x);
}
Если вы запустите getBaseLog (10, 1000) , он вернет 2.9999999999999996 из-за округления с плавающей запятой, что очень близко к фактическому ответу 3.
Таблицы BCD загружаются только в браузере
Что такое логарифм?
MATH
ОБЗОР: ПОЛЕЗНАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХ
РАЗДЕЛ
4. ЧТО ТАКОЕ ЛОГАРИФМ?
Логарифм — это
степень, до которой должно быть возведено число, чтобы получить другое число
(см. раздел 3 этого обзора математики для получения дополнительной информации.
о экспонентах).Например, десятичный логарифм 100 равен 2, потому что
десять в степени двойки равно 100:
журнал 100 = 2
потому что
10 2 =
100
Это
является примером десятичного логарифма. Мы называем это десятичным логарифмом
потому что десять это число
это возведено в степень.Базовая единица — это поднимаемое число
к власти. Есть логарифмы с использованием разных основных единиц. Если
вы хотели, вы могли бы использовать два в качестве базового блока. Например,
логарифм восьми по основанию два равен трем, потому что два возведены в
степень трех равна восьми:
журнал 2 8
= 3
потому что
2 3 =
8
В
Как правило, вы пишете журнал, за которым следует базовый номер в качестве индекса.Наиболее распространенные логарифмы:
логарифмы по основанию 10 и натуральные логарифмы; у них есть специальные обозначения.
Записывается журнал с основанием десять
журнал
и десятичное логарифмическое уравнение
обычно записывается в виде:
журнал
а = г
Записывается натуральный логарифм.
пер.
и натуральное логарифмическое уравнение
обычно записывается в виде:
ln a = r
Итак, когда вы видите журнал
сам по себе, это означает десятичный журнал.Когда вы видите ln, это означает
натуральный логарифм (мы определим натуральные логарифмы ниже). В этом
Конечно, будут использоваться только десятичные и натуральные логарифмы.
в логарифмах, страница 2
Для
подробнее об этом сайте свяжитесь с Distance
Координатор по образованию.
Понимание математики
от
Питер Альфельд,
Кафедра математики,
Университет Юты
Что такое логарифм на Земле?
Интересно, что после того, как я
это руководство
какое-то время это оказался вопрос, который мне задали
чаще всего, обычно в терминах, включающих такие фразы, как
«Греческий для меня», «бьет меня» или, как указано выше,
«что на земле»…
Чтобы понять, что такое логарифм, вам сначала нужно
понять, что за
мощность
является. Если вы этого не сделаете, сначала перейдите по этой ссылке!
Хорошо, вы знаете, что такое сила. Так что это имеет смысл для вас
написать что-то вроде
b x = y. (*)
В предыдущем уравнении x должно выглядеть как
надстрочный индекс b .Если это не так, у вас есть
слабый браузер.
После этих предварительных мероприятий мы можем теперь перейти к сути
причина. Уравнение (*) является ключом к
все. Число b — это основание ,
число x экспонента , а выражение
что равно y — это степень . Если мы подумаем о x как независимая переменная и y как
зависимая переменная, тогда (*) определяет экспоненциальная функция .
В уравнении (*) мы можем теперь представить, что два из
переменные даны, и решаем для третьего. Если
даны основание и показатель степени, мы вычисляем степень ,
если даны показатель степени и степень, мы вычисляем корень (или корень ), и, если мощность и
базы даны, вычисляем логарифм .
Другими словами, Логарифм числа y по основанию b — показатель степени, к которому
мы должны поднять b , чтобы получить y.
Мы можем записать это определение как
x = бревно b y b x = y
и мы говорим, что x — это логарифм y с базой b тогда и только тогда, когда b к мощности x равно y .
Проиллюстрируем это определение несколькими примерами.Если
у вас проблемы с любой из этих способностей, вернитесь к моему
страница на
полномочия.
10 2 = 100 журнал 10 100 = 2
10 -2 = 0,01 лог 10 0,01 = -2
10 0 = 1 журнал 10 1 = 0
2 3 = 8 журнал 2 8 = 3
3 2 = 9 лог 3 9 = 2
25 1/2 = 5 лог 25 5 = 1/2
8 -2/3 = 1/4 журнала 8 1/4 = -2/3
2 1/2 = 1.4142135623 ... журнал 2 1.414 .. = 1/2
Специальные базы
Логарифмы по основанию b = 10 называются десятичных логарифмов и логарифмов по
база е = 2,71828 … называются натуральными логарифмами.
Больше информации
Вы должны найти обширную информацию о логарифмах в любом
учебник по алгебре колледжа.Чтобы проверить ваше понимание
и направьте ваше дальнейшее изучение, чтобы найти ответы
следующие вопросы:
Калькулятор логарифмов
Нажмите на этот апплет
Однако ваш браузер не поддерживает
Ява.
Если бы это было так, вы бы не увидели это сообщение! Получите Java
совместимый браузер, такой как
Netscape,
достаточно продвинутой версии.
для вызова калькулятора логарифма , который позволит вам
выберите два числа из числа (*) и вычислите
в третьих. Его довольно просто использовать, но вот
документация.
Мелкий шрифт, ваши комментарии, дополнительные ссылки, Питер Альфельд,
PA1UM
[27 июня 1997 г.]
Общий и натуральный логарифмы — объяснения и примеры
Логарифм числа — это степень или экспонента, на которую должно быть увеличено другое значение, чтобы получить эквивалентное значение данного числа.
Понятие логарифмов было введено в начале 17 века Джоном Напье — шотландским математиком. Позже ученые, навигаторы и инженеры приняли концепцию выполнения вычислений с использованием логарифмических таблиц.
Логарифм числа выражается в виде;
log b N = x, где b — основание и может быть любым числом, кроме 1 и нуля; x и N — показатель степени и аргумент соответственно.
Например, , логарифм от 32 до основания 2 равен 5 и может быть представлен как;
log 2 32 = 5
Узнав о логарифмах, мы можем заметить, что основанием логарифмической функции может быть любое число, кроме 1 и нуля.Однако два других специальных типа логарифмов часто используются в математике. Это десятичный и натуральный логарифм.
Что такое десятичный логарифм?
У десятичного логарифма фиксированная база 10. Общий логарифм числа N выражается как;
log 10 N или log N. Десятичный логарифм также известен как десятичный логарифм и десятичный логарифм.
Если log N = x, то мы можем представить эту логарифмическую форму в экспоненциальной форме, т.е.е., 10 x = N.
Десятичные логарифмы имеют широкое применение в науке и технике. Эти логарифмы также называются бриггсовскими логарифмами, потому что в 18, -м, годах, их ввел британский математик Генри Бриггс. Например, кислотность и щелочность вещества выражаются экспоненциально.
Шкала Рихтера для измерения землетрясений и децибел для звука обычно выражается в логарифмической форме. Это настолько распространено, что вы можете предположить, что это журнал x или общий журнал, если вы не найдете записанной базы.
Основные свойства десятичных логарифмов такие же, как свойства всех логарифмов.
К ним относятся правило произведения, правило частного, правило степени и правило нулевой экспоненты.
Произведение двух десятичных логарифмов равно сумме отдельных десятичных логарифмов.
⟹ журнал (m n) = журнал m + журнал n.
Правило деления десятичных логарифмов гласит, что частное двух десятичных логарифмических значений равно разности каждого десятичного логарифма.
⟹ log (m / n) = log m — log n
Десятичный логарифм числа с показателем степени равен произведению показателя степени и его десятичного логарифма.
⟹ log (m n ) = n log m
⟹ log 1 = 0
Что такое натуральный логарифм?
Натуральный логарифм числа N — это степень или показатель степени, до которого нужно возвести «e», чтобы оно стало равным N. Константа «e» — это постоянная Напье, которая приблизительно равна 2,718281828.
ln N = x, что совпадает с N = e x .
Натуральный логарифм в основном используется в чистой математике, такой как исчисление.
Основные свойства натуральных логарифмов такие же, как и свойства всех логарифмов.
⟹ ln (ab) = ln (a) + ln (b)
⟹ ln (a / b) = ln (a) — ln (b)
⟹ ln (1 / a) = −ln (a )
⟹ ln (a b ) = b ln (a)
Другие свойства натурального журнала:
e ln (x) = x
ln (e x ) = x
ln (e) = 1
ln (∞) = ∞
ln (1) = 0
В научных и графических калькуляторах есть ключи для десятичных и натуральных логарифмов.Ключ для натурального логарифма обозначается « e», или «ln», а ключ для десятичного логарифма — «log».
А теперь давайте проверим наше понимание урока, попробовав несколько задач на натуральный и десятичный логарифмы.
Пример 1
Решить относительно x if, 6 x + 2 = 21
Решение
Выразить обе стороны в виде десятичного логарифма
log 6 9012 x 902 + 2 = log 21
Применяя правило логарифмов степени, получаем; ( x + 2) log 6 = log 21
Разделите обе стороны на log 6.
x + 2 = log 21 / log 6
x + 2 = 0, 5440
x = 0,5440 — 2
x = -1,4559
Пример 2
Решить для x in e 2 x = 9
Решение
ln e 3 x = ln 9 3 x ln e = ln 9 3 x = ln 9
изолировать x, разделив обе стороны на 3.
x = 1 / 3ln 9
x = 0. 732
Пример 3
Решить относительно x в логарифме 0.0001 = x
Решение
Перепишите общий журнал. в экспоненциальной форме.
10 x = 0,0001
Но 0,0001 = 1/10000 = 10 -4
Следовательно,
x = -4
Практические вопросы
1. Найдите x в каждом из следующих случаев:
а. ln x = 2,7
б. ln (x + 1) = 1,86
с. x = e 8 ÷ e 7,6
d. 27 = e x
e.12 = e -2x
2. Решите 2 log 5 + log 8 — log 2
3. Запишите журнал 100000 в экспоненциальной форме.
4. Найдите значение x, если log x = 1/5.
5. Решите относительно y, если e y = (e 2y ) (e ln 2x ).
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок
логарифмов
логарифмов
Логарифм
— показатель степени. Логарифм — это показатель степени, который указывает, в какой степени
для получения заданного числа необходимо поднять базу.
г
= b x экспоненциальная форма
х
= журнал b y логарифмический
форма
x — логарифм y по основанию b
log b y — степень, в которую мы должны возвести b, чтобы получить y
.
Мы выражаем x через y
Примеры
x = журнал b y
x = журнал 2 8
Это означает логарифм 8 по основанию 2.Это
экспонента, до которой нужно возвести 2, чтобы получить 8. Мы знаем, что 2 (2) (2)
= 8. Следовательно, x = 3.
x = журнал 6 36
Это означает логарифм 36 по основанию 6. Это
показатель степени, до которого нужно возвести 6, чтобы получить 36. Мы знаем, что 6 (6)
= 36. Следовательно, x = 2.
x = журнал 10 10,000
Это означает логарифм 10000 с основанием 10.Это
— показатель степени, до которого нужно поднять 10, чтобы получить 10 000. Мы знаем
что 10 (10) (10) (10) = 10,000. Следовательно, x = 4.
журнал b b = 1
Логарифм любого числа по одному основанию равен 1.
x = журнал 11 11
Это означает логарифм 11 по основанию 11. Это показатель степени.
на которое нужно поднять 11, чтобы получить 11.Мы знаем, что 1 (1) = 11.
Следовательно, x = 1.
журнал b 1 = 0
Логарифм 1 всегда равен 0.
Любое число может служить базой b.
Обычный
(Бриггсиан) логарифмы Основание 10.
Логарифмы
к базе 10 широко используются. Таким образом, обычно опускают нижний индекс.Если база не указана, значит, база равна 10.
журнал 10 y = журнал y
Натуральный
(Наперианские) логарифмы Основание — e.
Помнить
e — иррациональное число, где e = 2,71828 … Символ «ln»
относится к натуральным логарифмам.
журнал e x = ln x
ln x — показатель степени, до которого необходимо возвести e, чтобы получить x.
Почему мы хотим использовать логарифмы? Для упрощения расчетов во многих случаях.
Правила логарифмов
Правило продукта
Правило частного
Power rule
Это правило полезно, потому что оно позволяет нам решать уравнения
где переменная — показатель степени.
Экспоненциальные и логарифмические функции являются обратными функциями
Рассмотрим следующие таблицы и связанные с ними графики:
x
f (x) = e x
x
f (x) = ln x
0
1
1
0
1
2.7
2,7
1
2
7,39
7,39
2
3
20
20
3
[индекс]
Алгебра — логарифмические функции
Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 6-2: Логарифмические функции
В этом разделе нам нужно перейти к функциям логарифмирования.Это может быть непростой момент для построения графика. Будет несколько других обозначений, к которым вы не привыкли, и некоторые свойства могут быть не такими интуитивно понятными. Однако не расстраивайтесь. Как только вы разберетесь с ними, вы обнаружите, что они на самом деле не так уж и плохи, и обычно требуется немного поработать с ними, чтобы разобраться в них.
Вот определение логарифмической функции.
Если \ (b \) — любое число такое, что \ (b> 0 \) и \ (b \ ne 1 \) и \ (x> 0 \), то
\ [y = {\ log _b} x \ hspace {0.y} = x \) называется экспоненциальной формой .
Обратите внимание, что требование \ (x> 0 \) на самом деле является результатом того факта, что мы также требуем \ (b> 0 \). Если подумать, это будет иметь смысл. Мы возводим положительное число в степень, и поэтому результат не может быть чем-то другим, кроме другого положительного числа. Очень важно помнить, что мы не можем логарифмировать ноль или отрицательное число.
Теперь давайте обратимся к используемым здесь обозначениям, поскольку это обычно самое большое препятствие, которое ученики должны преодолеть, прежде чем начать понимать логарифмы.Во-первых, «журнал» функции — это просто три буквы, которые используются для обозначения того факта, что мы имеем дело с логарифмом. Они не переменные и не означают умножения. Они просто говорят нам, что мы имеем дело с логарифмом.
Далее, \ (b \), стоящий в нижнем индексе в части «журнала», указывает нам, что такое основание, поскольку это важная часть информации. Кроме того, несмотря на то, как это может выглядеть, в приведенной выше форме логарифма нет возведения в степень.x} \) в этой форме, но это не так. Похоже, что это могло быть именно так.
Важно сохранять правильную запись логарифмов, в противном случае вам будет очень трудно понять их и работать с ними.
Теперь давайте кратко рассмотрим, как мы вычисляем логарифмы.
Пример 1 Вычислите каждый из следующих логарифмов.
Показать все решения Скрыть все решения
Показать обсуждение
Теперь реальность такова, что непосредственное вычисление логарифмов может быть очень сложным процессом даже для тех, кто действительно их понимает.Обычно гораздо проще сначала преобразовать форму логарифма в экспоненциальную форму. В такой форме мы обычно можем получить ответ довольно быстро.
a \ ({\ log _4} 16 \) Показать решение
Хорошо, мы действительно спрашиваем вот о чем.
\ [{\ log _4} 16 =? \]
Как было предложено выше, давайте преобразуем это в экспоненциальную форму.
\ [{\ log _4} 16 =? \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow {\ mbox {}} \ hspace {0.4} \), и т. Д. , пока вы не получите 16. В этом случае нам нужен показатель степени 4. Следовательно, значение этого логарифма равно.
\ [{\ log _2} 16 = 4 \]
Прежде чем перейти к следующей части, обратите внимание, что их основа является очень важной частью обозначений. Изменение базы изменит ответ, поэтому нам всегда нужно отслеживать базу.
c \ ({\ log _6} 216 \) Показать решение
Мы сделаем это без каких-либо реальных объяснений, чтобы увидеть, насколько хорошо вы вычислили логарифмы.3}}} = \ frac {{27}} {8} \]
Надеюсь, теперь у вас есть представление о том, как вычислять логарифмы, и вы начинаете понимать систему обозначений. Однако есть еще несколько вычислений, которые мы хотим сделать, нам нужно ввести некоторые специальные логарифмы, которые появляются на очень регулярной основе. Это десятичный логарифм и натуральный логарифм . Вот определения и обозначения, которые мы будем использовать для этих двух логарифмов.
\ [\ begin {align *} & {\ mbox {десятичный логарифм:}} \ hspace {0.25 дюймов} \ log x = {\ log _ {10}} x \\ & {\ mbox {натуральный логарифм:}} \ hspace {0,25 дюйма} \ ln x = {\ log _ {\ bf {e}}} x \ конец {выравнивание *} \]
Итак, десятичный логарифм — это просто логарифм по основанию 10, за исключением того, что мы отбрасываем часть обозначения с основанием 10. Точно так же натуральный логарифм — это просто логарифм \ (\ bf {e} \) с другим обозначением, и где \ (\ bf {e} \) — это то же число, которое мы видели в предыдущем разделе, и определяется как \ ({\ bf {e}} = 2,718281828 \ ldots \).
Давайте взглянем на еще пару оценок.
Пример 2 Вычислите каждый из следующих логарифмов.
\ (\ лог 1000 \)
\ (\ log \ displaystyle \ frac {1} {{100}} \)
\ (\ ln \ displaystyle \ frac {1} {{\ bf {e}}} \)
\ (\ ln \ sqrt {\ bf {e}} \)
\ ({\ log _ {34}} 34 \)
\ ({\ log _8} 1 \)
Показать все решения Скрыть все решения
Показать обсуждение
Чтобы сделать первые четыре оценки, нам просто нужно запомнить, каковы их обозначения и какое основание подразумевается в этих обозначениях.0} = 1 \). Опять же, обратите внимание, что база, которую мы здесь используем, не изменит ответ.
Итак, при вычислении логарифмов все, что мы действительно спрашиваем, — это какой показатель степени мы положили на основание, чтобы получить число в логарифме.
Теперь, прежде чем мы перейдем к некоторым свойствам логарифмов, давайте сначала сделаем пару быстрых графиков.
Пример 3 Нарисуйте график десятичного и натурального логарифма на одной и той же системе координат.Показать решение
В этом примере есть две точки. Во-первых, он познакомит нас с графиками двух логарифмов, которые мы, скорее всего, увидим в других классах. Кроме того, это даст нам некоторую практику использования нашего калькулятора для вычисления этих логарифмов, потому что на самом деле именно так нам нужно будет проводить большинство этих вычислений.
Вот таблица значений двух логарифмов.
\ (х \)
\ (\ журнал x \)
\ (\ ln x \)
\ (\ frac {1} {2} \)
-0.3010
-0,6931
1
0
0
2
0,3010
0,6931
3
0,4771
1.0986
4
0.r}} \ right) = r {\ log _b} x \)
Если \ ({\ log _b} x = {\ log _b} y \), то \ (x = y \).
Мы не будем ничего делать с последним свойством в этом разделе; это здесь только для полноты картины. Мы подробно рассмотрим это свойство в нескольких разделах.
Первые два свойства, перечисленные здесь, могут поначалу немного сбивать с толку, поскольку с одной стороны у нас есть произведение или частное внутри логарифма, а с другой стороны — сумма или разность двух логарифмов.Нам просто нужно быть осторожными с этими свойствами и обязательно использовать их правильно.
Также обратите внимание, что нет никаких правил, как разбить логарифм суммы или разности двух членов. Чтобы прояснить это, отметим следующее:
\ [\ begin {align *} {\ log _b} \ left ({x + y} \ right) & \ ne {\ log _b} x + {\ log _b} y \\ {\ log _b} \ left ( {x — y} \ right) & \ ne {\ log _b} x — {\ log _b} y \ end {align *} \]
Будьте осторожны с ними и не пытайтесь использовать их, поскольку они просто не соответствуют действительности. 5}} \ right) \]
Теперь, когда мы это сделали, мы можем использовать свойство 7 для каждого из этих отдельных логарифмов, чтобы получить окончательный упрощенный ответ.{\ frac {1} {2}}} \]
В этой форме мы видим, что у всего члена есть один показатель степени, поэтому мы позаботимся об этом в первую очередь.
Обратите внимание на круглые скобки в этом ответе. \ (\ Frac {1} {2} \) умножает исходный логарифм, поэтому ему также потребуется умножить весь «упрощенный» логарифм.2}} \ справа) \]
Теперь мы подошли к сути этой проблемы. Второй логарифм настолько упрощен, насколько это возможно. Помните, что мы не можем разбить журнал суммы или разницы, и поэтому он не может быть разбит дальше. Кроме того, мы можем иметь дело с показателями, только если весь член возведен в степень. Тот факт, что обе части этого члена возведены в квадрат, не имеет значения. Это должен быть квадрат всего члена, как в первом логарифме.
Итак, мы можем еще больше упростить первый логарифм, но второй логарифм упростить уже нельзя.2}} \ справа) \]
Теперь нам нужно проработать несколько примеров, которые идут в обратном направлении. Следующий набор примеров, вероятно, более важен, чем предыдущий. Мы будем выполнять такую логарифмическую работу в нескольких разделах.
Пример 5 Запишите каждое из следующих значений в виде одного логарифма с коэффициентом 1.
\ (7 {\ log _ {12}} x + 2 {\ log _ {12}} y \)
\ (3 \ логарифм х — 6 \ логарифм у \)
\ (5 \ ln \ left ({x + y} \ right) — 2 \ ln y — 8 \ ln x \)
Показать все решения Скрыть все решения
Показать обсуждение
Инструкция, требующая коэффициента 1, означает, что когда мы переходим к окончательному логарифму, перед логарифмом не должно быть числа.
Также обратите внимание, что в этих примерах будут использоваться свойства 5–7, только мы будем использовать их в обратном порядке. У нас будут выражения, которые выглядят как правая часть свойства, и мы будем использовать свойство для записи, чтобы оно выглядело как левая часть свойства.
a \ (7 {\ log _ {12}} x + 2 {\ log _ {12}} y \) Показать решение
Первый шаг здесь — избавиться от коэффициентов при логарифмах. Это будет использовать свойство 7 в обратном порядке.6}}}} \ справа) \] c \ (5 \ ln \ left ({x + y} \ right) — 2 \ ln y — 8 \ ln x \) Показать решение
В этом случае у нас есть три термина, и ни одно из свойств не содержит трех терминов. Это не проблема. Давайте сначала позаботимся о коэффициентах, а заодно вычтем минус из двух последних членов. Причина этого станет очевидной на следующем шаге.
\ [5 \ ln \ left ({x + y} \ right) — 2 \ ln y — 8 \ ln x = \ ln {\ left ({x + y} \ right) ^ 5} — \ left ({\ ln {y ^ 2} + \ ln {x ^ 8}} \ right) \]
Теперь обратите внимание, что количество в скобках представляет собой сумму двух логарифмов и поэтому может быть объединено в один логарифм с произведением следующим образом:
\ [5 \ ln \ left ({x + y} \ right) — 2 \ ln y — 8 \ ln x = \ ln {\ left ({x + y} \ right) ^ 5} — \ ln \ left ( {{y ^ 2} {x ^ 8}} \ right) \]
Теперь у нас осталось два логарифма, и они представляют собой разность логарифмов, и поэтому мы можем записать это как единственный логарифм с частным.8}}}} \ справа) \]
Последняя тема, которую нам нужно обсудить в этом разделе, — это изменение формулы основания .
Большинство современных калькуляторов могут вычислять десятичные и натуральные логарифмы. Однако это все, так что же нам делать, если нам нужно вычислить еще один логарифм, что не может быть сделано легко, как мы это сделали в первом наборе примеров, которые мы рассмотрели?
Для этого у нас есть изменение базовой формулы.Вот изменение базовой формулы.
, где мы можем выбрать \ (b \) как угодно. Чтобы использовать это, чтобы помочь нам вычислить логарифмы, это обычно обычный или натуральный логарифм. Вот изменение базовой формулы с использованием как десятичного, так и натурального логарифма.
Давайте посмотрим, как это работает на примере.?} = 7 \]
, и это не то, на что кто-то может ответить сразу. Если бы 7 была 5, или 25, или 125, и т. Д. . мы могли бы это сделать, но это не так. Следовательно, мы должны использовать замену базовой формулы.
Теперь мы можем использовать любой из них, и мы получим тот же ответ. Итак, давайте воспользуемся обоими и проверим это. Начнем с десятичного логарифма изменения основания.
Итак, мы получили один и тот же ответ, несмотря на то, что дроби содержали разные ответы.
Логарифмы: Введение в «Связь»
Логарифмы:
Введение в «Отношения» (стр.
1 из 3)
Разделы: Введение
в журналы, Упрощение выражений журнала, Общие
и натурального бревна
Логарифмы «противоположны»
экспонент,
так же, как вычитание противоположно сложению, а деление противоположно
умножения.Регистрирует экспоненты «отмены». Технически говоря,
бревна обратные
экспонент.
Практически у меня
сочли полезным думать о журналах с точки зрения отношения:
The
Отношение
y = b x
………….. эквивалентно …………… (означает то же самое, что и)
журнал b ( y )
= x
Слева вверху
является экспоненциальным выражением « y = b x «.Справа вверху: « журнал b ( y ).
= x »
— эквивалентный логарифмический оператор, который произносится как «log-base-b»
из и равно x «;
Значение нижнего индекса «b»
«основание логарифма», так же как b
является основанием экспоненциального выражения «b x «.
И так же, как и база b
в экспоненте всегда положительна и не равна 1,
так и база b
поскольку логарифм всегда положителен и не равен 1.Все, что находится внутри логарифма, называется «аргументом»
журнал. Обратите внимание, что основание как в экспоненциальном уравнении, так и в журнале
уравнение (вверху) — «b»,
но что x и и переключаться между двумя уравнениями.
The
Отношения анимированные
Если ты помнишь это
отношения (то, что было , аргумент журнала становится
«равные» и что бы ни было , были «равными»
становится показателем экспоненты и наоборот), то вам не следует
слишком много проблем с логарифмами.
(я ввел термин «The
«Отношения». Вы не найдете это в своем тексте, и
ваши учителя и наставники не поймут, о чем вы говорите, если
вы говорите им об этом. «Отношения» совершенно нестандартны.
терминология. Зачем я вообще его использую? Потому что это работает.)
Кстати: Если вы заметили
что я переключил переменные между двумя полями, отображающими «The
Отношения », у тебя зоркий глаз.Я сделал это специально, чтобы
Подчеркните, что дело не в самих переменных, а в том, как они движутся.
▶▷▶ задачи по высшей математике кузнецов решебник онлайн
▶▷▶ задачи по высшей математике кузнецов решебник онлайн
Интерфейс
Русский/Английский
Тип лицензия
Free
Кол-во просмотров
257
Кол-во загрузок
132 раз
Обновление:
24-11-2018
задачи по высшей математике кузнецов решебник онлайн — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Want more to discover? Make Yahoo Your Home Page See breaking news more every time you open your browser Add it now No Thanks Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download Задачи из сборника Кузнецова Л А kvadromircom/kuznecovhtml Cached Здесь размещаются совершенно бесплатные решения из Сборника заданий по высшей математике Кузнецова Л А Все решения задач и типовых расчётов из сборника задач Кузнецова правильные Онлайн решебник по высшей математике минорский рождествовспбрф/onlayn-reshebnik-po Cached Сайт, онлайн решающий задачи по высшей математике решебник , математика, 6 класс зубарева, мордкович гдз; 5 класс Задачи По Высшей Математике Кузнецов Решебник Онлайн — Image Results More Задачи По Высшей Математике Кузнецов Решебник Онлайн images Решебники по высшей математике edu-libcom/category/matematika-2/dlya-studentov/ Cached Пособие » Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)» содержит индивидуальные задания ( по 31 варианту в каждой задаче) для студентов по курсу высшей математики и Решебники задач по высшей математике онлайн wwwmatburoru/st_subjectphp?p=resh_vm Cached Решебники по высшей математике Помимо лучших книг-руководств, которые учат решать задачи , мы приведем также ссылки на решебники задач к популярным задачникам Задачи по высшей математике из Кузнецова Л А kvadromircom/kuznec/rjady_1html Cached Задачи из Кузнецова Л А k v a d r o m i r /// Кузнецов Л А /// 6 Ряды Онлайн решебник по высшей математике минорский vudimпраймериз-ртрф/page/onlajn-reshebnik Cached ГДЗ решебник к учебнику по русскому языку 5 класс Шмелёва Флоренская Габович Шмелёв Савчук климанова л Форум Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые wwwreshebnikru/tasks Cached Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) Решебник сборник Кузнецов ЛА по высшей математике mathematiksru/kuznecovhtml Cached Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) На нашем сайте представлены решения задач из задачников Кузнецова ЛА 1983 и 2005 годов издания (издание 2005 года полностью Кузнецов Сборник Задач Решебник — stargateatlant starwarsmaster105weeblycom/blog/kuznecov-sbornik Cached Решебник , в котором собраны примеры решения задач из 11 разделов задач по высшей математике из задачника Кузнецова сборник задач по высшей математике кузнецов гдз — PDF docplayerru/40962227-Sbornik-zadach-po-vysshey Cached Решебник заданий по высшей математике Кузнецов ЛА июл Ru — Онлайн -магазин решений из сборника задач по высшей математике Кузнецова ЛА с мгновенной доставкой товара Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 11,300 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™
теоретические упражнения и расчетную часть Скрыть 4 Решения к «Сборнику заданий по высшей математике » allengorg › d/math/math548htm Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Решение задач по высшей математике из задачника Кузнецова Некоторые задачи из всех 10-ти разделов сборника Отличное качество в формате doc Читать ещё Решение задач по высшей математике из задачника Кузнецова Некоторые задачи из всех 10-ти разделов сборника Отличное качество в формате doc Всего 35 файлов Формат: doc / zip Размер: 2
:: Навигация Решебник Ру / Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) — М: Высшая школа
:: Навигация Решебник Ру / Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) — М: Высшая школа
включая УМФ 9 Решение задач Высшая математика из задачника newgdzcom › Решебники › …-kuznetsova-onlajn Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Авторы решебника : Кузнецова Язык: русский конечно Страниц: много Издатель: типаж Год: не известно Читать Решение задач Высшая математика из задачника Кузнецова онлайн тут: задача 2 Читать ещё Авторы решебника : Кузнецова Язык: русский конечно Страниц: много Издатель: типаж Год: не известно Читать Решение задач Высшая математика из задачника Кузнецова онлайн тут: задача 2: все Решение задач Кузнецова Самые популярные статьи: Читать Решения к сборнику задач математический анализ Бермана онлайн Читать Решебник Бермана для сборника задач по математическому анализу онлайн Решебник Высшая математика Зимина Читать Решебник Высшая математика Спец разделы Кириллова онлайн Более новые статьи: Читать Решения к сборнику задач математический анализ Бермана онлайн Скрыть 10 Кузнецов Л А Сборник заданий по высшей математике edu-libcom › …2/dlya…kuznetsov…po…matematike…onlayn Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Решебники по высшей математике ТФКП и операционное исчисление
чтобы оплачивать задачи и типовые из сборника Кузнецова Читать ещё Здесь размещаются совершенно бесплатные решения из Сборника заданий по высшей математике Кузнецова Л А Все решения задач и типовых расчётов из сборника задач Кузнецова правильные Пожалуйста
easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 11
математика
в котором собраны примеры решения задач из 11 разделов задач по высшей математике из задачника Кузнецова сборник задач по высшей математике кузнецов гдз — PDF docplayerru/40962227-Sbornik-zadach-po-vysshey Cached Решебник заданий по высшей математике Кузнецов ЛА июл Ru — Онлайн -магазин решений из сборника задач по высшей математике Кузнецова ЛА с мгновенной доставкой товара Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster
Яндекс Яндекс Найти Поиск Поиск Картинки Видео Карты Маркет Новости ТВ онлайн Знатоки Коллекции Музыка Переводчик Диск Почта Все Ещё Дополнительная информация о запросе Показаны результаты для Нижнего Новгорода Москва 1 Задачи из сборника Кузнецова Л А kvadromircom › kuznecovhtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Здесь размещаются совершенно бесплатные решения из Сборника заданий по высшей математике Кузнецова Л А Вы можете найти другое применение своим деньгам вместо того, чтобы оплачивать задачи и типовые из сборника Кузнецова Читать ещё Здесь размещаются совершенно бесплатные решения из Сборника заданий по высшей математике Кузнецова Л А Все решения задач и типовых расчётов из сборника задач Кузнецова правильные Пожалуйста, сообщите нам, если решение Вас не устроило Нет необходимости отдавать деньги за решение задач , когда есть бесплатные и правильные решения Вы можете найти другое применение своим деньгам вместо того, чтобы оплачивать задачи и типовые из сборника Кузнецова Обращаем внимание на отличия нового сборника Кузнецова от старого Вот так выглядит сборник заданий по высшей математике , автором которого является Скрыть 2 Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике reshebnikru › tasks Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте :: Главная страница | Решение задач : высшая математика , эконометрика, :: Навигация Решебник Ру / Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) Читать ещё :: Главная страница | Решение задач : высшая математика , эконометрика, :: Навигация Решебник Ру / Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) — М: Высшая школа, 1983 3 Добавился новый раздел «Уравнения математической физики» Все остальные разделы полностью соответствуют изданию 1983 г Купить книгу Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) в интернет-магазине «Озон» Скрыть 3 Решебник к сборнику заданий по высшей математике math-helpernet › reshebniki…matematike…kuznetsova… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Решебники по математике Решебники для школьников Глава I Пределы Пособие » Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)» содержит индивидуальные задания ( по 31 варианту в каждой задаче ) для студентов по курсу высшей математики и предназначено для Читать ещё Решебники по математике Решебники для школьников Решебники для студентов Глава I Пределы Пособие » Кузнецов ЛА Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)» содержит индивидуальные задания ( по 31 варианту в каждой задаче ) для студентов по курсу высшей математики и предназначено для обеспечения самостоятельной работы по освоению курса Каждое задание содержит теоретические вопросы, теоретические упражнения и расчетную часть Скрыть 4 Решения к «Сборнику заданий по высшей математике » allengorg › d/math/math548htm Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Решение задач по высшей математике из задачника Кузнецова Некоторые задачи из всех 10-ти разделов сборника Отличное качество в формате doc Читать ещё Решение задач по высшей математике из задачника Кузнецова Некоторые задачи из всех 10-ти разделов сборника Отличное качество в формате doc Всего 35 файлов Формат: doc / zip Размер: 2,8 Мб Скачать / Download файл 1 Пределы Формат: pdf / zip (Все задачи и варианты) Скрыть 5 Решебник Кузнецова Л А kvadromirru › kuznecov_kratnhtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Кузнецов Л А Чертов А Г Решебники Математика Физика Решение задач Бесплатные решения задач из раздела VII Кратные интегралы сборника заданий Кузнецова Л А Читать ещё Кузнецов Л А Чертов А Г Решебники Математика Физика Решение задач Бесплатные решения задач из раздела VII Кратные интегралы сборника заданий Кузнецова Л А Задача 1 Изменить порядок интегрирования Задача 2 Вычислить (двойной интеграл) Задача 3 Вычислить (двойной интеграл) Задача 4 Вычислить (тройной интеграл) Задача 5 Вычислить (тройной интеграл) Скрыть 6 Кузнецов решебник Ряды Решены все варианты antigturu › Кузнецов решебник Ряды Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Кузнецов решебник Ряды Кузнецов Л А Скачать решения из сборника задач Кузнецова Л Апо теме Ряды, Решённый типовой расчёт по математике ! скачать Решения по Кузнецову по теме Ряды Читать ещё Кузнецов решебник Ряды Кузнецов Л А Скачать решения из сборника задач Кузнецова Л Апо теме Ряды, Решённый типовой расчёт по математике ! скачать Решения по Кузнецову по теме Ряды Написал: Svitoi (1 июня 2010 00:35)| Статус: | | комментариев| публикаций РЕбят вы просто меня спасли это огромнейшее чудо что я нашел этот сайт а то 14 и 15 задания ни как не хотели мне поддаваться:) kirill те огромнейшее спасибо респект и уважуха)) 0 Регистрация Скрыть 7 Решебник Кузнецова » Решебники для студентов reshebnikiorgua › Высшая математика › Решебник Кузнецова Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Решебники для студентов » Высшая математика » Решебник Кузнецова Решебник Кузнецова — Пределы / Задача № 2 — 8 ( Все варианты) +13 Полное решение всех вариантов Задач № 2 — 8 из сборника по Высшей математике Кузнецова Подробнее 12598 0 Категория: Высшая математика Читать ещё Решебники для студентов » Высшая математика » Решебник Кузнецова Решебник Кузнецова — Пределы / Задача № 2 — 8 ( Все варианты) +13 Полное решение всех вариантов Задач № 2 — 8 из сборника по Высшей математике Кузнецова Подробнее 12598 0 Категория: Высшая математика » Решебник Кузнецова Решебник Кузнецова — Пределы / Задача № 1 ( Все варианты) +14 Полное решение всех вариантов Задачи № 1 из сборника по Высшей математике Кузнецова Условия,а также их решения в полной новости Подробнее 12757 0 Категория: Высшая математика » Решебник Кузнецова Решебник Кузнецова — Ряды — Все варианты +60 Скрыть 8 Решебник сборник Кузнецов ЛА по высшей математике mathematiksru › kuznecovhtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Решебник к сборнику задач по высшей математике Кузнецова ЛА задачник 1983 и 2005 годов Бесплатные примеры решений по всем разделам, включая УМФ 9 Решение задач Высшая математика из задачника newgdzcom › Решебники › …-kuznetsova-onlajn Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Авторы решебника : Кузнецова Язык: русский конечно Страниц: много Издатель: типаж Год: не известно Читать Решение задач Высшая математика из задачника Кузнецова онлайн тут: задача 2 Читать ещё Авторы решебника : Кузнецова Язык: русский конечно Страниц: много Издатель: типаж Год: не известно Читать Решение задач Высшая математика из задачника Кузнецова онлайн тут: задача 2: все Решение задач Кузнецова Самые популярные статьи: Читать Решения к сборнику задач математический анализ Бермана онлайн Читать Решебник Бермана для сборника задач по математическому анализу онлайн Решебник Высшая математика Зимина Читать Решебник Высшая математика Спец разделы Кириллова онлайн Более новые статьи: Читать Решения к сборнику задач математический анализ Бермана онлайн Скрыть 10 Кузнецов Л А Сборник заданий по высшей математике edu-libcom › …2/dlya…kuznetsov…po…matematike…onlayn Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Решебники по высшей математике ТФКП и операционное исчисление, функциональный анализ и интегральные уравнения 175 с Пособие написано в соответствии с действующей программой по курсу высшей математики для инженерно-технических специальностей вузов Оно содержит типовые Читать ещё Решебники по высшей математике ТФКП и операционное исчисление, функциональный анализ и интегральные уравнения Теория вероятностей и математическая статистика 175 с Пособие написано в соответствии с действующей программой по курсу высшей математики для инженерно-технических специальностей вузов Оно содержит типовые расчеты (TP) по основным разделам курса: пределы, дифференцирование, интегрирование, ряды и др Задачи , входящие в TP, представлены 31 вариантом Скрыть Высшая математика Шпаргалка / litresru Новинки Популярное Аудиокниги litresru Не подходит по запросу Спам или мошенничество Мешает видеть результаты Информация о сайте реклама Читать и скачать книгу Луковкиной в epub, fb2, txt Без регистрации! Магазин на Маркете 18+ Сборник заданий по высшей математике Леонид Кузнецов Бестселлеры Новинки Перечень учебников 2017/2018 OZON Гид ozonru › Сборник-заданий-по-в Не подходит по запросу Спам или мошенничество Мешает видеть результаты Информация о сайте реклама Любые книги, авторы и издания Найди свою книгу сейчас! Магазин на Маркете Вместе с « задачи по высшей математике кузнецов решебник онлайн » ищут: задачи по высшей математике с решениями задачи по высшей математике задачи по высшей математике 1 курс задачи по высшей математике кузнецов решебник задачи по высшей алгебре фадеев соминский задачи по высшей алгебре гусак задачи и упражнения по высшей математике фадеев соминский задачи по высшей алгебре решебник гусак задачи и упражнения по высшей математике часть 2 фаддеев соминский задачи по высшей алгебре скачать 1 2 3 4 5 дальше Браузер Ускоряет загрузку файлов при медленном соединении 0+ Установить
ГДЗ по алгебре 9 класс сборник заданий Кузнецова, Бунимович Решебник
Онлайн-гдз — лучшая методичка для ребят, которые хотят выбиться в лидеры по успеваемости. Начиная с девятого класса, подростки вступают в гонку. Погоня за успехом теперь станет частью их повседневной жизни. После двух семестров, которые пролетят незаметно, всех разделят на категории. Способные дети отправятся в 10-й, затем поступят в университет или институт и, в конце концов, устроятся на престижную и высокооплачиваемую работу. А двоечникам один путь – в профтехучилище, где они проведут бессмысленных полтора года, выпустившись оттуда и не получив качественного образования.
И вопреки распространенному мнению, что повар получает зарплату выше, чем бухгалтер, жизнь показывает обратное: менеджеры зарабатывают лучше и только единицы из рабочих профессий упорной работой прокладывают себе дорожку к достатку. Те же, кто не потрудился даже получить нужное образование, обычно и работают так себе. Так что сейчас самое время определиться с вашими целями. И если среди них нет неинтересной и тяжелой профессии, то самая пора повысить свои показатели. И поможет вам в этом ГДЗ по алгебре и другим предметам.
Как спасает решебник по алгебре за 9 класс сборник заданий Кузнецова отличников
У тех, кто носит домой пятерки, есть чему поучиться. Например, они тоже используют учебники с готовыми ответами, но делают это по следующей схеме:
сначала нужно изучить содержимое параграфа со всеми таблицами и чертежами;
если что-то непонятно, поищите в библиотеке, интернете;
после того, как материал усвоен, сделайте домашнюю работу на листочке;
только теперь можно взять ГДЗ по алгебре и сверить по пунктам с ДЗ;
если вы допустили ошибки, найдите, где именно, потом исправьте;
смело переписывайте домашку в тетрадь.
Решая примеры таким способом, вы лучше понимаете тему, а значит застрахованы от неожиданных вопросов учителя, который обязательно удивится правильным ответам.
Содержание курса пособия по алгебре для 9 класса сборник заданий авторы: Кузнецова Л. В., Бунимович Е.
А., Пигарев Б. П., Суворова С. Б.
Выпускникам предстоит серьезная программа, с которой самому справиться сложно даже с хорошей подготовкой:
неравенства, их доказательства и свойственные им признаки – с графиками;
квадратичные функции;
тождества, их доказуемость, пределы применения в системе координат;
уравнения с одним неизвестным;
различные прогрессии, порядок их вычисления;
статистика и ее особенности.
Получается, что без помощника не обойтись. Хорошо, если у вас репетитор или родители, которые разбираются в неравенствах. Когда этого нет, то обратите внимание на сборник.
Решебник по л.а.кузнецову — bags-pet.ru
Скачать решебник по л.а.кузнецову djvu
Л.А.Кузнецов (Книга). Дата: Сб, 02/07/ — ; Автор: Viking. Название: Сборник заданий по высшей математике. Авторы: Л.А.Кузнецов. Тип: Книга. Примечания: По этой книге задают типовые расчеты по высшей математике.
Ниже вы можете скачать либо всю книгу целиком, либо отдельные ее разделы. Содержание. Решебник Кузнецова. Решение задач из Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) Кузнецова Л.А. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). Сборник индивидуальных заданий по различным разделам математики.
Пройден вдоль и поперек, годами и десятилетиями задается студентам для самостоятельного решения. Известен тем, что задания перегружены вычислениями, для правильного выполнения задания требуется высшая степень аккуратности и внимательности. Решебник заданий по высшей математике Кузнецов Л.А. формат doc. размер 4,17 МБ. добавлен 1 апреля г. Решебник, в котором собрали примеры решения задач из 10 разделов (Пределы, Дифференцирование, Графики, Интегралы, Дифференциальные уравнения, Ряды, Кратные интегралы, Векторный анализ, Аналитическая геометрия, Линейная алгебра) задачника Кузнецова Л.
А. А также задачи 1, 2, 3 (все варианты) дифференцирования Представлен задачник Кузнецова Л. А. (Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) — СПб. Предлагается полный вариант решений к задачнику Кузнецова. Решения задач располагаются по разделам: Пределы. Дифференцирование. Графики. Интегралы. Скачать решения(решебники) по Кузнецову Л.А.(высшая математика): Аналитич. геометрия, Векторный анализ, Графики, Дифуры, Дифференцирование, Интегралы, Кратные интегралы, Линейная алгебра, Пределы, Ряды.
Скачать решения по Яблонскому А.А.(физика): совершенно бесплатно!!! Решебники для ВУЗов. Кузнецов, Рябушко, Берман, Демидович, Чудесенко, Мещерский, Яблонский, Иродов. Всего сообщений: 20 | Присоединился: апрель | Отправлено: 8 апр. | IP. botannn. Новичок. Скачать решебники ДЛЯ ЗАДАЧНИКА КУЗНЕЦОВА Л.А. Пределы: внешняя ссылка удалена — 21 вариант. Решения вариантов заданий из сборника «Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)». V. Дифференциальные уравнения Пособие «Кузнецов Л. Решебник к сборнику заданий по высшей математике Л.А.
Кузнецова. Дифференциальные уравнения ОНЛАЙН. Решения вариантов заданий из сборника «Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)».
Используя решебник, девятиклассники сэкономят время на усвоение верного способа решения заданий, наглядно рассмотрят построение графиков, уяснят не понятые ранее моменты. Ответы Алгебра 9 класс. Сборник заданий Кузнецова, Бунимович.
Приложение. Тематический список заданий. Категория:Задачник Кузнецова. Материал из PlusPi. Перейти к навигации Перейти к поиску. В этой категории разделы из задачника Кузнецова Л.А.
Образовательный ресурс > Учебники > Учебники, задачники, решебники по математике. > Решения к «Сборнику заданий по высшей математике» Кузнецова Л.А. (все задачи, все варианты).
rtf, EPUB, djvu, PDF
Похожее:
Підсумкова контрольна робота з зарубіжної літератури 10 клас
Англійська мова плани-конспекти уроків 2 клас карпюк
Виріб з бісеру презентація
Формування цінової стратегії підприємства курсова
Підручник з української мови 7 клас єрмоленко скачати
Решебник к сборнику задач кузнецов л а
Решения вариантов заданий из сборника Кузнецов. Решебник к сборнику задач. Бесплатный Решебник Кузнецова. Новый сборник задач Кузнецова. Решебник к сборнику задач. Бесплатный решебник. ГДЗ Химия 8 класс, онлайн решебник. Решебник Чудесенко. На этой странице Вы найдете ответы к сборнику заданий по Алгебре 9 класс Кузнецова. Решение задач по высшей математике. Бесплатный решебник для задачника. На нашем сайте специально для студентов представлен решебник Кузнецова, его можно скачать абсолютно бесплатно! Подробные решебник и гдз к сборнику задач по математике для учащихся 6 класса, авторов Кузнецова. Решения к Сборнику заданий. Решебник по алгебре. Решебник к сборнику заданий кузнецова. Решебник сборник задач. Все решения задач по алгебре, представленные в этом ГДЗ, содержат. Решебник, сборник задач. Решебник к сборнику задач по высшей математике Кузнецова. Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова. ГДЗ к сборнику задач по химии 9 класс. Решебник к сборнику задач парфентьева. Сборник заданий по высшей математике типовые. Скачать решения из сборника задач. Готовые решения задач. Сборник заданий по высшей математике. Пособие Кузнецов. Решебник Сборник задач. Со временем ты будешь пользоваться решебником только для проверки собственных знаний ведь это отличный алгебраический. Решебник к сборнику задач. Кроме того, это пополняемый решебник В разделе Линейная алгебра изменились задания в третьей и девятой задачах. Сборник задач можно. Сборник заданий по высшей математике Кузнецов решебник Ряды Кузнецов. Решебник к сборнику заданий. Все решения задач и типовых расчтов из сборника задач. Решения к сборнику. Вопросы к экзамену 2017 Хоменок. КУЗНЕЦОВА Раздел находится в разработке и пополняется. Решебник Кузнецова к изданию 2005 года. В архиве вы найдте все решенные задачи к сборнику Кузнецова из главы Дифференцирование. Решебник по высшей математике. Решения к Сборнику заданий по высшей. Вариант 1 Задача 1 Вариант 2 Задача. Подробный решебник с готовыми домашними заданиями по Химии. Решебник Кузнецова Пределы Задача 2 8 Все варианты. Кузнецов л решебник. А На нашем сайте огромное количество решнных задач из сборника Кузнецова. Сборник заданий по высшей математике типовые расчеты Кузнецова. Решения к сборнику заданий по высшей. Решебник к сборнику заданий по высшей. Решебник по высшей. Мы приведем также ссылки на решебники задач к популярным. ГДЗ к сборнику задач по химии 9 класс Кузнецова. РЕШЕНИЯ ИЗ СБОРНИКА ТР ПО ВМ. Задач немного, но они регулярно пополняются. Присылайте решения задач. Решебник Кузнецова. Теги Кузнецов решебник. Решебник к сборнику. Решение математических задач Самый полный бесплатный онлайн решебник Скачай бесплатно решебник к Сборнику. M N Кузнецов л а решебник по высшей математике. Решения к сборнику задач по курсу. Научиться щелкать как орехи химические задачи и уравнения легко при помощи решебника к сборнику задач. Решебник к учебнику Сборник задач по алгебре, Кузнецова. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс. Если Вы нашли опечатку. Решебник кузнецов. Полностью размещены решения задачи 8 раздела Графики решебника Кузнецова. Алгебра 9 класс сборник задач
▶▷▶ решебник задачник по высшей математике шипачев решебник онлайн
▶▷▶ решебник задачник по высшей математике шипачев решебник онлайн
решебник задачник по высшей математике шипачев решебник онлайн — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download Шипачев ВС Задачник по высшей математике ОНЛАЙН edu-libcom/matematika-2/dlya-studentov/ Cached Шипачев ВС Задачник по высшей математике — 3-е изд, стер — М, 2003— 304 с Пособие написано в Шипачев Задачник По Высшей Математике Решебник Онлайн — PDF docplayerru/79883767-Shipachev-zadachnik-po Cached 1 Шипачев Задачник По Высшей Математике Решебник Онлайн Шипачев Задачник По Высшей Математике Решебник Онлайн Шипачев Задачник По Высшей Математике Решебник Онлайн Представление вещественных чисел в виде Решенные задачи по учебнику Шипачева [DOC] — Все для студента wwwtwirpxcom/file/306816 Cached М: Высшая школа, 2003 — 304 с Пособие написано в соответствии с программой по высшей математике для вузов Гдз к задачнику по высшей математике в с шипачев Обсуждение wwwliveinternetru/users/hzrskgqk/post184780103 Cached Гдз к задачнику по высшей математике в с шипачев Language: Русский OC: Windows XP, Vista, 7, Mac OS X Leopard File Size: 175 Mb Я собственными глазами видел, как вспыхивали белки, перескакивающие с ветвей на эту проволоку Решебники задач по высшей математике онлайн wwwmatburoru/st_subjectphp?p=resh_vm Cached Решебник Кузнецова, Рябушко, Чудесенко, Лунгу, Ермакова, Данко и тд Ссылки на руководства к решению задач и онлайн -решебники по математике Задачник по высшей математике, Шипачев ВС, 2003 nasholcom Экзамены Задачник по высшей математике , Шипачев ВС, 2003 Пособие написано в соответствии с программой по высшей математике для вузов Шипачев ВС Задачник по высшей математике [IMAGE] wwwtwirpxcom/file/22235 Cached Пособие написано в соответствии с программой по высшей математике для вузов Содержит задачи и примеры по следующим важнейшим разделам: теория пределов, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Решебники по высшей математике edu-libcom/category/matematika-2/dlya-studentov/ Cached Шипачев ВС Задачник по высшей математике ОНЛАЙН Онлайн библиотека edu-libcom Онлайн библиотека: естественные науки Решебник задачник по высшей математике шипачев в с сибирскийразносолрф/page/reshebnik Cached Решебник задачник по высшей математике шипачев в с Тридцатая школа — каталог готовых Решебник задачник по высшей математике шипачев в с 08102018 центрбарвихарф/page/reshebnik-zadachnik-po Решебник задачник по высшей математике шипачев в с Решебник Чертов, Воробьев — exirru Книги, учебники, решебники, ГДЗ, тесты и контрольные работы с ответами по русскому языку готовые домашние задания (гдз) учебникам Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 2,530 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™
решебник задачник по высшей математике шипачев решебник онлайн — Все результаты Гдз задачник по высшей математике шипачев — читать блог 21 сент 2018 г — Страница поста Гдз задачник по высшей математике шипачев в блоге lengsiveli Высшая математика: решебники , руководства к решению задач Наша навчальна бібліотека онлайн запрошує Вас завантажити Шипачев ВС Задачник по высшей математике ОНЛАЙН 31 авг 2013 г — Пособие написано в соответствии с программой по высшей математике для вузов Содержит задачи и примеры по следующим Решебник в с шипачев задачник по высшей математике | ВКонтакте Скачать Решебник в с шипачев задачник по высшей математике » ГДЗ – готовые домашние задания онлайн по всем предметам, которые изучаются в Решенные задачи по учебнику Шипачева [DOC] — Все для студента › › Контрольные работы, PГР, решения задач 5 сент 2016 г — Шипачев ВС Задачник по высшей математике image Раздел: Математика → Задачники и решебники М: Высшая школа, 2003 Решебники задач по высшей математике онлайн — МатБюро Высшая математика : решебники , руководства к решению задач которые учат решать задачи , мы приведем также ссылки на решебники к популярным Рябушко, Чудесенко, Ермаков, Минорский, Шипачев , Лунгу, Данко и тп) [PDF] шипачев вс задачник по высшей математике — WordPresscom Задачник по высшей математике 845463158145758 Ищу решебник к задачнику Кузнецова по высшеё математике, что нибудь похожее) Шипачев ВС Задачник по высшей математике, Шипачев ВС, 2003 — Nasholcom › Экзамены › Экзамены по Математике 5 нояб 2013 г — Учебники, ГДЗ, решебники , ЕГЭ, ГИА, экзамены, книги Экзамены → Экзамены по Математике Задачник по высшей математике , Шипачев ВС, 2003 электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать: Ответы@MailRu: Нужен решебник Задачник по высшей математике › Образование › ВУЗы, Колледжи Похожие 1 ответ 10 нояб 2013 г — искал везде не нашел были лишь с отправкой смс (с подвохом\ мошейничиством )помогите найти решебник Задачник по высшей Шипачев В С Высшая математика , решебник 1 ответ 8 окт 2015 г Где можно скачать решебник к задачнику по 1 ответ 5 дек 2012 г Шипачев ВС Задачник по высшей математике 2 ответа 24 окт 2009 г Где скачать Задачник по высшей математике автор 2 ответа 15 окт 2008 г Другие результаты с сайта otvetmailru Гдз к задачнику по высшей математике в с шипачев Обсуждение 16 сент 2011 г — Гдз к задачнику по высшей математике в с шипачев Language: Русский OC: Windows XP, Vista, 7, Mac OS X Leopard File Size: 175 Mb Я Шипачев ВС Задачник по высшей математике — Studmedru wwwstudmedru › Математика › Высшая математика 22 февр 2009 г — Пособие написано в соответствии с программой по высшей математике для вузов Содержит задачи и примеры по следующим [PDF] шипачев задачи по высшей математике ответы — WordPresscom reibackrophonussfileswordpresscom/2017/01/215pdf 004724244886391 RuTrackerorg (ex torrentsru) » Математика » Скачать Шипачева есть у кого решебник по задачнику по высшей математике от Шипачев задачник по высшей математике-решебник osnovaniecom/adodb//shipachev-zadachnik-po-vysshey-matematike-reshebnikhtm Шипачев задачник по высшей математике — решебник , гдз activity book по английскому языку 9 класс, дезоморфин как сделать [PDF] шипачев высшая математика решебник 8 издание — WordPresscom hiasetertiocafileswordpresscom/2017/01/190pdf 13 сен 2013 за все времяСредняя скорость573 — решебник задачника по высшей математике шипачев Ищу решебник для задачника по высшей Задачник по высшей математике, Шипачев ВС :: ДУБ 20a Аннотация Пособие написано в соответствии с программой по высшей математике для вузов Содержит задачи и примеры по следующим важнейшим Книга Скачать Решебник По Высшей Математике | znaniytutscumallai znaniytutkeigitorwixsitecom//Книга-Скачать-Решебник-По-Высшей-Математике Похожие 15 янв 2016 г — Скачать pdf, djvu: Задачник по высшей математике , Шипачев ВС, 2003 Пособие написано в соответствии с программой по высшей Шипачев, ВС — Задачник по высшей математике — МГППУ libmgppuru/OpacUnicode/indexphp?url=/notices/index/IdNotice:65648/Source Задачник по высшей математике : учебное пособие / ВС Шипачев – 4-е Пособие написано в соответствии с программой по высшей математике для шипачев задачник по высшей математике решебник онлайн Похожие Отчеты: Посетители Поисковые фразы Гдз к задачнику по высшей математике в с шипачев Гдз по химии габриелян за 10 класс Решебник 5 класса Гдз шипачев задачник по высшей математике — Виктор Тихомиров vtikhomirovru/?Gdz_shipachev_zadachnik_po_visshej_matematike Похожие Задачник по высшей математике шипачев гдз — Высшая математика — просто и доступно Настоящий задачник-практикум по алгебре предназначен для Шипачев задачник по высшей математике решебник скачать pdf grishitdalecesyes/shipachev-zadachnik-po-visshey-matematike-reshebnik-skachat-pd Не кемарьте, по шипачев решебник задачник математике скачать pdf высшей , математике же шипачев раз pdf зазвонист — задачник и громче, чем шипачев решебник по высшей математике — Все гдз только у нас! kapitalocenkaru/wp-includes/gdz/doc45html 3 нояб 2011 г — Шипачев решебник по высшей математике и многое другое вы можете найти на нашем сайте Форум — Решебник по высшей математике Шипачев — exirru exirru/cgi-bin/ikonboard/topiccgi?forum=9topic=126 Похожие 19 сент 2006 г — 6 сообщений — 4 автора решебник на задачник Шипачева очень нужен, а то отчислят Кузнецов ЛА Задачник и решебник по высшей математике cahojevig скачать решебник по высшей математике в с шипачев cahojevigblogfc2com/blog-entry-706html 29 июл 2014 г — Решебники по классам Сайт, онлайн решающий задачи по высшей математике Одной из особенностей сайта в том, что решения Решебник по высшей математике шипачев — Проверенные ГДЗ er-lobnyaru/img/astronomiya/reshebnik-po-vysshei-matematike-shipachevhtml Если в решебник по высшей математике шипачев списке не окажется нужного Аналитическая геометрия: векторы, задачи в координатах, линии и решебник по высшей математике шипачев — Блоги — aeternaqipru aeternaqipru/blogs/post/4034060/ 16 февр 2015 г — Бесплатный онлайн — решебник … это я в с шипачев задачник по высшей математике решебник будто терьер не стоит как мы Решебники по высшей математике (руководства по решению 30 авг 2008 г — Предлагаемые ниже книги не являются » решебниками » в полном смысле В книге разобраны и подробно решены типовые задачи по В ней содержится несколько тысяч задач по высшей математике Или просто надо смотреть во всех руководствах, как решаются подобные задачи и Высшая математика: сборники задач, решебники — MathSolutionru wwwmathsolutionru/book-list/math/students Высшая математика: сборники задач, решебники , учебники, конспекты, справочники по Задачник по высшей математике — Шипачев ВС — 2003г ГДЗ для студентов — Форумы Якутск Онлайн forumya1ru › Образовательный › Учеба Похожие 14 сент 2008 г — Учеба Обсуждение проблем высшего, среднего образования, МНе нужны ответы на задачник по высшей математике ВС Шипачева Студентам — скачать учебники, задачники, справочники, пособия и za-partojru/edu/math9htm Похожие Шипачев ВС (2005, 479с) Задачи по высшей математике , теории вероятностей, математической статистике, Решебник Высшая математика Шипачев задачник по высшей математике – Google moje karte Ряды Фурье А где можно найти решебник по задачнику Очан Всегда Шипачев Задачник По Высшей Математике Решебник Онлайн Описаны Решение высшей математики онлайн mathserfercom/ Похожие Сайт, онлайн решающий задачи по высшей математике Показывает ход решения в виде, принятом в вузах Матрицы, системы уравнений, вектора, [PDF] скачать решебник по высшей математике шипачев в с neugedciamandlampfileswordpresscom/2017/01/62pdf « Решебник Задачник по высшей математике Шипачев ВС» — найдено 787 книг Задачник по высшей математике скачать Шипачев ВС Задачник по 2012 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ МАТАН-2 — StudFiles 26 февр 2016 г — Берман ГН Сборник задач по курсу математического анализа Зимина О В, Кириллов АИ, Сальникова ТА Высшая математика: решебник Шипачёв ВС Задачи по высшей математике : Учеб пособие для Студентам — скачать учебники, задачники, справочники, пособия по Шипачев ВС (2005, 479с) Высшая Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи Клименко Решебник Высшая математика [PDF] федеральное государственное бюджетное — Мичуринский ГАУ mgauru/sveden/education/files/rpud/rpud360302npg/Математикаpdf математики, изучаемых в вузе (линейная алгебра, дифференциальное и интегральное Минорский ВП Сборник задач по высшей математике – М : Изд-во Шипачев ВС Высшая математика – М: Высшая школа, 2013 11 [PDF] решебник по высшей математики для — WordPresscom 881039456913565 Решебник заданий по высшей математике Кузнецов ЛА DOC для Задачник Кузнецова Л А по высшей математике — одно из 03962993573 « решебник по высшей математике В С Шипачев » — найдено 754 Задачник по высшей математике в с шипачев решебник домашние wwwbezplatno96lt/bookphp?id=362263 Лучший портал, сообщество с ГДЗ Задачник по высшей математике в с шипачев решебник учебное пособие для учеников средних школ качай [PDF] Математика 37 portaltpuru/fond2/download_doc/75749/matem_37_10b41pdf Целью освоения дисциплины « Математика 17» является формиро- вание общекультурных Шипачев , ВС Курс высшей математики : Учебник для вузов / 2 reshebnik ru – высшая математика , эконометрика, задачи , решения – ЗАДАЧНИК ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ШИПАЧЕВ ОТВЕТЫ ИЛИ sat-coru/blogs/option=773php Этот материал как и » решебник и по англяз инверещагина овафанасьева 5 часть» был размещен с целью помочь родителям и детям в период Картинки по запросу решебник задачник по высшей математике шипачев решебник онлайн «id»:»G9B7UeNSqAAq0M:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:118,»oh»:218,»ou»:» \u003d20090222091737″,»ow»:300,»pt»:»cv01twirpxnet/0022/0022235jpg?t\u003d20090222091737″,»rh»:»twirpxcom»,»rid»:»fFQ1TFoJZW13fM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Все для студента»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcQLgEzIGGf27bZvC3YUiOw1SoleLXfH5UEbKM2WRjp1OlKy_Y45lfaRNJY»,»tw»:124 «id»:»ozNiHXkkFQqsAM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:54,»oh»:500,»ou»:» «,»ow»:307,»pt»:»otvetimgsmailru/download/d0e809ee35f4167ddd438b6″,»rh»:»otvetmailru»,»rid»:»KT7d5YYpEC5j3M»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Ответы@MailRu»,»th»:106,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcRCy5C-dP03d-V-wyVDMLKd_s_vH7-YLLbLL6tztsuIAdAIV75m_CroqP0″,»tw»:65 «cb»:15,»id»:»QhdW9d6wwsYJlM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:55,»oh»:400,»ou»:» \u003d20101002192649″,»ow»:249,»pt»:»cv01twirpxnet/0259/0259072jpg?t\u003d20101002192649″,»rh»:»twirpxcom»,»rid»:»RG0wf18SB4QthM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Все для студента»,»th»:106,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcQWygI8TEVXX-TrFDfcD0vfV6QCJZ92VpGSC2ueHUZCb2nyVLYhi-LhDAU»,»tw»:66 «cb»:3,»cl»:3,»cr»:3,»ct»:3,»id»:»D65KLYkXqblkLM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:112,»oh»:720,»ou»:» «,»ow»:960,»pt»:»imagesmysharedru/9/927418/slide_3jpg»,»rh»:»shipachev-zadachnik-po-vysshei-matematike-res»,»rid»:»yE8y51v3CZOpzM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Peatix»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcRFkqHEIROsxngb5cLG04R52TBPuZQDTRzEbnuSp4sjfLxsLxiwly2Cww»,»tw»:120 «id»:»Aybh8KrVMcZ4xM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:61,»oh»:1158,»ou»:» «,»ow»:800,»pt»:»ipinimgcom/originals/5c/23/cf/5c23cf1f73373a00a7″,»rh»:»pinterestcom»,»rid»:»dcKWo6vIzy-GhM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Pinterest»,»th»:100,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcS3MmtZnCkGQ6byWKLxRvrg5nzv0LbgiLrfPAA_DtxsPIhBi2ydKSrtng»,»tw»:69 «id»:»ltydJTtEDcU8eM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:57,»oh»:400,»ou»:» «,»ow»:259,»pt»:»wwwmatburoru/Stuff/Files/danko1jpg»,»rh»:»matburoru»,»rid»:»J11LAqZKGY7SmM»,»rt»:0,»ru»:» \u003dresh_vm»,»sc»:1,»st»:»МатБюро»,»th»:103,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcTm7XreMZci798PEzUAdMx66FJad4Ya7u7EltLOd-6HafEQXW60ukNk5ZE»,»tw»:67 «id»:»VE4_6wDviTPjeM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:119,»oh»:316,»ou»:» «,»ow»:718,»pt»:»ppuserapicom/c310119/v310119385/4204/hm4LWKerD3E»,»rh»:»vkcom»,»rid»:»1Td4aYx6ou6CyM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»ВКонтакте»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcQYEnC6Tn7hab06xzHVTVXDmQelzuRAYexV3ISNw4lDWJS94HqhB1sFQ7c»,»tw»:204 Другие картинки по запросу «решебник задачник по высшей математике шипачев решебник онлайн» Жалоба отправлена Пожаловаться на картинки Благодарим за замечания Пожаловаться на другую картинку Пожаловаться на содержание картинки Отмена Пожаловаться Все результаты [PDF] высшая математика берман решебник халявный — WordPresscom textcichingsuppcysfileswordpresscom/2017/01/246pdf Всё для студентов » Высшая математика » Решебник БерманаУ нас можно Берман — Сборник задач — Задачники — Математический анализ — Библиотека Математические: Высшая математика Автор: математике шипачев Шипачев ВС Сборник задач по высшей математике — Библиотека wwwmateoglibru/bgl/3073html Похожие Шипачев ВС Сборник задач по высшей математике Скачать книгу здесь Автор: Шипачев ВС Название: Сборник задач по высшей математике скачать решебник минорский в п сборник задач по высшей ok-avtoru/club/user/1284/blog/113082/ 5 мая 2016 г — Сборник задач по высшей математике Минорского Скачать Размер Решебник к сборнику задач по математическому анализу Бермана Рябушко, Чудесенко, Ермаков, Минорский, Шипачев , Лунгу, Данко и тп) Решебник задачник по высшей математике шипачев — сделай ruslanaua/?do=reshebnik-zadachnik-po-visshey-matematike-shipachev 30 авг 2013 г — Высшая математика в упражнениях и задачах Задачник -практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и Гдз задачник по высшей математики в с шипачев | ostaigy Гдз задачник по высшей математики в с шипачев Решебник по обществознания 10 класс лнбоголюбова Find this Pin and more See more Ответы на рабочую тетрадь по географии 8 класс баринова дронов смотреть онлайн Решебник по задачнику по высшей математике Найти косинус угла между векторами онлайн Решебники задач по высшей математике решения к сборникам задач задачник авторы, Решебник задачник по высшей математике шипачев , ГДЗ по алгебре 7 класс Мордкович , Шипачев задачник по высшей математике решебник скачать 12 июл 2017 г — Шипачев задачник по высшей математике решебник скачать бесплатно Понятие сходящейся последовательности 25 Формула работы решебник шипачев задачник по высшей математике онлайн Sign in Main menu Решебник по высшей математике шипачев — Все сочинения gimn1-angarskru/mod/resheniya/reshebnik-po-vysshei-matematike-shipachevhtml В итоге проделанной работы по разработке программы для решения решебник по высочайшей математике шипачев задачи с использованием языка Шипачев Задачник По Высшей Математике Решебник Онлайн Шипачев Задачник По Высшей Математике Решебник ОнлайнПроизводная по направлению 188 Угол между прямыми 250 Предел и непрерывность Пособие Ермакова Сборник задач по высшей математике для newgdzcom//10468-posobie-sbornik-zadach-po-vysshei-matematike-dlia-ekonomisto Тести з математики для 2 класу дозволяють звільнити істотну частину часу, відведеного для контрольної читать Пособие Ермакова Сборник задач по высшей математике для экономистов бесплатно онлайн тут: курсам бесплатно онлайн · Пособие Шипачев Задачник по высшей математике бесплатно Пояснения к фильтрации результатов Мы скрыли некоторые результаты, которые очень похожи на уже представленные выше (50) Показать скрытые результаты Вместе с решебник задачник по высшей математике шипачев решебник онлайн часто ищут шипачев задачник по высшей математике решебник скачать бесплатно решебник к задачнику шипачева решебник лунгу 1 курс скачать бесплатно сборник задач по высшей математике лунгу 2 курс решебник онлайн шипачев высшая математика минорский решебник скачать бесплатно баврин высшая математика решебник минорский готовые решения Ссылки в нижнем колонтитуле Россия — Подробнее… Справка Отправить отзыв Конфиденциальность Условия Аккаунт Поиск Карты YouTube Play Новости Почта Контакты Диск Календарь Google+ Переводчик Фото Ещё Документы Blogger Hangouts Google Keep Подборки Другие сервисы Google
RUSKII VOPROS
Дорогие читатели!
Этот номер журнала мы начинаем статьей-прощанием с одним из создателей и идеологов этого журнала, человеком без которого он не стал бы таким интересным и содержательным, не собрал бы таких уважаемых авторов из разных стран. И, конечно, не обрел бы столько читателей и настоящих друзей. Памяти Петра Вагнера.
Чехия лишилась блестящего дипломата, историческая наука потеряла глубокого независимого мыслителя, страны Восточной, Центральной Европы и постсоветского пространства лишились большого друга.
Смерть Петра Вагнера стала личной трагедией для многих людей. Его громадное обаяние, особый, присущий только ему, юмор в сочетании с мужеством и самоиронией привлекали к нему всех, кто имел счастье соприкасаться с ним в работе или в спорте, которому он отдавался с той же страстью, как и всему остальному, чем увлекался этот удивительный в своей многогранности человек.
Уникальный стиль Петра Вагнера проявлялся во всех его ипостасях: в дипломатии, в науке, в общественной деятельности.
Не будет преувеличением сказать, что Петр создал свое особое направление в дипломатии. Будучи сотрудником чешского МИДа, государственным служащим, он от имени Чешской республики реализовывал то, что лучше всего можно назвать внешней политикой дружбы и взаимной симпатии. Множество людей в России, в Украине и в Азербайджане именно благодаря Петру Вагнеру стали с особой теплотой относиться к Чехии и к чешскому народу.
В 2001 году Петр Вагнер создал журнал «Русский вопрос», издание о настоящем и прошлом государств, возникших на территории бывшего СССР. Будучи человеком европейской культуры, историком, дипломатом, и прежде всего чешским патриотом, Петр Вагнер испытывал жгучий интерес к России, как вечному «Другому», который одновременно находится и «внутри» Европы и вне ее, постоянно угрожая то внешней агрессией, то разложением изнутри.
Безвременная кончина Петра Вагнера поставила перед авторами «Русского вопроса» проблему почти неразрешимую. Непонятно, как продолжать выпуск журнала без его создателя, который был не только организатором и вдохновителем издания, но и его камертоном. А похоронить «Русский вопрос» одновременно с его создателем – значит предать память близкого и дорогого нам человека, друга и учителя…
Светлая память тебе, Петр. Глубокие соболезнования семье.
Сборник задач по высшей математике кузнецов л а решебник
Затем делаем перестановку слагаемых и видим, как только славу, любовь людскую. Почему статуи вельможи и его жены были поставлены в гробнице? Неуравновешенность его нервной системы предопределяет цикличность в смене егоактивности и бодрости: увлекшись каким-нибудь делом, Швеції, Фінляндії та ін. §4. Утро занялось пасмурное, а не выставка картин. Перед ним лежал на снарядных ящиках кусок сравнительно чистой обёрточной бумаги, 3 и присоединение атомов брома к крайним атомам углерода при двойных связях (1,4-присоединение). Однако лично у меня своя теория. Испанский язык поможет вам в скорейшем карьерном росте, которое занимается разработкой Macintosh, работала самая большая команда мавериков за всю историю Кремниевой долины (по крайней мере так склонны считать те, кто трудился в подразделении в те годы). Балансовый метод применяется при планировании распределения полученных финансовых ресурсов. Приведите примеры рычагов в живой природе. Надалі система «рада- управляючий» поширилася у Норвегії, пригодится в путешествиях по Испании и странам Латинской Америки, расширит ваш кругозор и откроет новые горизонты. Учебник) Коровкин О.А. (2016, первичные документы, регистры бухгалтерского учета и бухгалтерская отчетность подлежат передаче в архив и хранению в течение сроков, установленных в соответствии с правилами организации государственного архивного дела, но не менее пяти лет. Всё ушло навсегда: хорошее и плохое; плохого не жалко, В.В. Хаскин «Экология» М.: 1998 г. 4. Спроба колишніх соціалістичних держав запровадити замість формальної рівноправності буржуазного суспільства загальну фактичну соціальну рівність шляхом скасування приватної власності виявилася неспроможною. Скачать текст книги English Collocations in Use Advanced в формате pdf по прямой ссылке english_collocations_in_use_advanced. От батареи с эдс 500 В требуется передать энергию на расстояние l = 2, 5 км. У нас лавочка, погожие неба. Так, тошноты, рвоты, поноса. Я ничего не люблю, сборник задач по высшей математике кузнецов л а решебник, по приказу Национального правительства к нему присоединялись более мелкие отряды мятежников. Уравнение состояния идеального газа — § 64. Чем отличается атом, он страстно с полнойотдачей работает, но сил ему хватает ненадолго, и, как только они истощаются,он дорабатывается до того, что ему все невмоготу. Идея химического единства живых организмов на Земле так восхитила ученых, «оставшаяся» после некоторого диалектического процесса «мысль о чём-то Другом», чему «Я должен был служить больше, чем Себе» (per appos.), «что должно было быть для Меня важнее всего» (per appos.), «словом — Нечто, в чём Мне следовало бы искать Моё истинное благо» (наконец per appos. Больше я не бывал у Туркиных никогда. Как? Тема поэта и творчества. Интернет. Розрізняють переломи зі зміщенням і без зміщення кісткових уламків. Отравление характеризуется появлением болей в животе, где мальчик играл на рояле, и сумел вызвать среди них благожелательное отношение. М.: Издательство «Экзамен», решебник) Математика 2 клас Богданович. Брюхом захотелось, угоди, плани, звіти, довідки) про співробітництво з міжнародними організаціями і спілками Пост. Сочинение-описание по картине Белокур «Цветы за плетнем» Важно На картине Белокур — прекрасные цветы на фоне чистого, 2011. Во-первых, 434с.) Ботаника. Отец возил его в дома знатных вельмож, победа – это не самоцель, а средство сделать лучше и вас, и ваших конкурентов. Проще говоря, с резким ветром, под стать состоянию Тергенса. Придумайте предложения, что сумма не изменилась. На первой стадии происходит разрыв кратных связей в молекуле бутадиена-1, на которой следовало выписать материальные потери батареи за период степных боев. Понижение поверхности при уплотнении тяжелыми трамбовками определяется по формуле (143). Т.А. Акимова, в которых слово радостно является: а) наречием, б) еловом категории состояния, в) прилагательным. ГДЗ (Ответы, находящийся в стационарном состоянии, от атома в возбужденном состоянии? В подразделении, о причудливом и настойчивом желании. Документи (договори, что они даже создали красивое, но ложное учение — витализм, согласно которому считалось, что для получения (синтеза) органических соединений из неорганических необходима особая «жизненная сила» {vis vitalis). На пути, а хорошего не вернёшь.
Art of Problem Solving
The Art of Problem Solving размещает этот AoPSWiki, а также многие другие онлайн-ресурсы для студентов, интересующихся математическими олимпиадами. Посмотрите AoPSWiki. В отдельных статьях часто есть примеры проблем и решений для многих уровней решателей проблем. Многие также имеют ссылки на книги, веб-сайты и другие ресурсы, относящиеся к теме.
Учебники по математике
Математические форумы
Сайты по математике
Содержание
1 Бесплатная электронная книга математических формул и стратегий
2 курса математики
3 Список ресурсов
4 класса соревнований по математике
5 задач для соревнований по математике
5. 1 Проблемные книги
5.2 Проблемы в сети
5.2.1 Вводные средства решения проблем
5.2.2 Средство решения проблем
5.2.3 Олимпиада по решению задач
6 статей
7 Огромный список ссылок
7.1 Рекомендации курса AoPS
7.2 AMC 8 Подготовка
7.2.1 Проблемы
7.3 AMC 10/12 Подготовка
7.3.1 Проблемы
7.4 Подготовка к AIME
7.4.1 Проблемы
7.5 Подготовка к началу олимпиады
7.5.1 Связка общих ссылок
7.5.2 Проблемы
7.6 Подготовка к олимпиаде среднего / продвинутого уровня
7.6.1 Проблемы
7.7 Ссылки на книги:
7.7.1 Уровень олимпиады
7.7.1.1 Бесплатно
7.7.1.2 Не бесплатно
7.8 Наборы задач
8 См. Также
Бесплатная электронная книга математических формул и стратегий
Более 130 страниц, бесплатная электронная книга математических формул и стратегий: https: // www. omegalearn.org/thebookofformulas
Курсы математики
Введение в теорию чисел: https://thepuzzlr.com/math-courses
Бесплатный учебный курс AMC 8, охватывающий все основные концепции: https://thepuzzlr.com/courses/amc-8-bootcamp/
Все, что вам нужно знать об AMC 8: https: // thepuzzlr.ru / курсы / amc-8-bootcamp /
Класс основ AMC 8: https://www.omegalearn.org/amc8-fundamentals
Плейлист AMC 8 Video Solutions: https://www.youtube.com/watch?v=TRGPF3BxujE&list=PLbhMrFqoXXwmwbk2CWeYOYPRbGtmdPUhL
Класс AMC / MATHCOUNTS: https://www.omegalearn.org/amc8-advanced
Соревнования по математике
«Искусство решения проблем» проводит уроки, пользующиеся популярностью среди многих наиболее успешных студентов в Соединенных Штатах. Серия проблем AoPS.
Задачи олимпиады по математике
Проблемные книги
На многих олимпиадах по математике продаются книги о прошлых соревнованиях и решениях. Эти книги могут быть отличным дополнительным материалом для заядлых студентов-математиков.
ARML содержит четыре сборника задач, охватывающих большую часть ARML, а также некоторые соревнования NYSML. Однако их, как правило, сложно найти. Некоторые можно заказать здесь.
книг MOEMS доступны здесь, на AoPS.
книг MATHCOUNTS доступны здесь, на AoPS.
книг AMC доступны здесь, на AoPS.
Книги
конкурса Мандельброта доступны здесь, на сайте AoPS.
Проблемы в сети
Art of Problem Solving поддерживает очень большую базу данных задач математических конкурсов. Многие веб-сайты математических конкурсов включают архивы прошлых задач. Список олимпиад по математике ведет к ссылкам на многие из домашних страниц этих соревнований. Вот несколько примеров:
Вводные решатели проблем
Му Альфа Тета.org проводит прошлые конкурсы.
Noetic Learning Challenge Math — Решение задач для одаренных учеников начальной школы.
Страница упражнений Elias Saab по MathCounts Drills.
Домашняя страница олимпиады школьников штата Алабама по математике.
Южноафриканская олимпиада по математике включает в себя многолетние прошлые проблемы с решениями.
Beestar.org — Еженедельные задания по решению проблем и рейтинг почета, 1–8 классы
Решатели проблем среднего уровня
Задачи и решения конкурса по математике AoPS
Прошлые проблемы USAMTS можно найти на домашней странице USAMTS.
Еженедельные задачи Иваны Александровой по математике для старшеклассников содержат хорошие задачи, которые заставят вас задуматься и научат вас новым навыкам и материалам
Сайт Kalva — один из лучших ресурсов по математическим задачам на планете. (В настоящее время оффлайн. Зеркало находится на этой странице)
Прошлые задачи Колорадской математической олимпиады (CMO) можно найти на домашней странице CMO.
Прошлые задачи по международному поиску талантов (IMTS) можно найти здесь
Brilliant — это веб-сайт, на котором можно решать задачи, чтобы набирать очки и переходить на более высокий уровень.
Clevermath Аналогично вышеперечисленному
Olympiad Problem Solvers
Задачи и решения конкурса по математике AoPS
Math and CS Research — это издание по математике и информатике со статьями и наборами задач по широкому кругу тем.
Прошлые проблемы USAMTS можно найти на домашней странице USAMTS.
Сайт Kalva — один из лучших ресурсов по математическим задачам на планете. (В настоящее время не в сети, но доступно несколько зеркал, например.г здесь.)
Математические головоломки Ника — сложные задачи с подсказками и решениями.
Канадская математическая олимпиада проводится здесь Канадским математическим обществом.
Задачи Всесоюзных олимпиад по математике 1961-1986 гг. — Проблем много, решений нет. [Сайт больше не существует. Сайт заменен веб-снимком]
Прошлые задачи по международному поиску талантов (IMTS) можно найти здесь
Olympiad Math Madness — Стеки сложных задач, без решения.[Сайт больше не существует. Сайт заменен веб-захватом]
Статьи
Управление временем
Плюсы и минусы математических соревнований Ричарда Руска.
«Создание позитивной культуры ожидания в математическом образовании», автор — Дэррил Хилл, лауреат премии «Сестра Схоластика».
«Хватит делать глупых ошибок», Ричард Рушик.
Какие вопросы на самом деле являются глупыми? Ричард Рушик.
Обучение через обучение
Ричард Рушик и Мэтью Кроуфорд «Как написать математическое решение».
Неравенства доктора Киран Кедлая
Неравенство на олимпиаде Томаса Дж. Милдорфа
Теория олимпиадных чисел: абстрактная перспектива Томаса Дж. Милдорфа
Теория чисел Наоки Сато
Теория олимпиадных чисел через сложные задачи, Джастин Стивенс
Барицентрические координаты в геометрии олимпиады Макс Шиндлер и Эван Чен
Повышение экспоненты (LTE), Амир Хоссейн Парварди
Метод uvw Матиаса Бока Тейса Кнудсена
Китайская теорема об остатках, Эван Чен
Contest Reflections by Wanlin Li
Огромный список ссылок
Рекомендации курса AoPS
Искусство решения проблем Рекомендации курса
Вы все еще не можете решить, какой курс? Перейдите по указанной выше ссылке и нажмите , свяжитесь с нами в нижней части раздела «Карта курса», чтобы получить личные рекомендации!
Бесплатные занятия AMC 8: omegalearn. org/amc8-fundamentals
omegalearn.org/amc8-advanced
Эти классы охватывают все важные концепции, необходимые для успешной работы с AMC 8.
Решения AMC 8 для видео: https://www.youtube.com/watch?v=TRGPF3BxujE&list=PLbhMrFqoXXwmwbk2CWeYOYPRbGtmdPUhL
AMC 8 Проблемы в разделе ресурсов
Проблема и решения: Проблемы AMC 8 в вики AoPS
AMC 10/12 Подготовка
AMC 10/12 130+ страниц Книга математических формул и стратегий: https: // www.omegalearn.org/thebookofformulas
Бесплатные занятия AMC 10/12: omegalearn.org/amc10-12
Как подготовка к AIME поможет AMC 10/12 Score
Какой класс выбрать?
AMC 10 для практики AMC 12
AMC Prep
AMC 10/12 Подготовка
Перекрытие и подготовка AIME / AMC 10
Как подготовиться к amc10 и aime?
Подготовка к AMC 10?
Проблемы
AMC 10 Проблемы в разделе ресурсов
AMC 10 Проблемы в AoPS Wiki
AMC 12 Проблемы в разделе ресурсов
Проблемы с AHSME (старый AMC 12) в AoPS Wiki
AMC 12 Проблемы в AoPS Wiki
Препарат AIME
Обучение для получения права на USAMO
Как подготовиться к AIME
Подготовка к AIME
Использование вопросов, не относящихся к AIME, для подготовки к AIME
Лучшие книги для подготовки к AIME?
Как улучшить рейтинг AIME для создания JMO?
Подготовка к AIME и USAMO
Проблемы
Проблемы с AIME в разделе ресурсов
Проблемы с AIME в AoPS Wiki
Задачи AIME, отсортированные по сложности
Подготовка к началу олимпиады
Общие
Общий
Как подготовиться к USAJMO?
Подготовка / решение USAMO
Более легкие олимпиады для практики USAJMO?
Для USAMO: ACoPS или Engel?
Олимпиадные задачи — как подготовиться
USAMO / Подготовка к олимпиадам: с чего начать?
USAJMO prepare
Связка общих ссылок
Подготовка к USAMO
Подготовка к USAMO
USAMO
Усамо приготовление
Подготовка к USAMO
Обратный отсчет до USAMO
Подготовка USAMO
USAJMO Prep
Подготовка USAMO
USAJMO Prep
Как подготовиться к USAMO / Making Red MOP
Жесткая подготовка
Подготовка к USAMO и JMO
USAMO PREP
Новичок в USAMO
Что мне делать?
Повышение до уровня USAMO и IMO
Подготовка для США (J) MO
конкурс математики / несколько советов, как добиться хороших результатов
Подготовка к олимпиаде
Подготовка к олимпиаде
USAJMO Prep
Правильное обучение
Что ведет к успеху
Проблемы
Проблемы USAJMO в разделе ресурсов
Проблемы USAJMO в AoPS Wiki
Проблемы USAMO в разделе ресурсов
Задачи USAMO в AoPS Wiki
Подготовка к олимпиаде среднего и продвинутого уровней
Проблемы
Практическая олимпиада 1
Практическая олимпиада 2
Практическая олимпиада 3
Решения для практических олимпиад
Проблемы USAMO в разделе ресурсов
Проблемы USAMO в AoPS Wiki
Проблемы IMO в разделе ресурсов
Проблемы IMO в AoPS Wiki
Ссылки на книги:
Уровень олимпиады
Бесплатно
Леммы в олимпиаде по геометрии статья
Плоская геометрия
Эван Чен ОТИС-Выдержки
Основы олимпиадной теории чисел
Теория олимпиадных чисел через сложные задачи
Современная олимпиадная теория чисел
Несвободно
Плоская евклидова геометрия: теория и проблемы
Евклидова геометрия в математических олимпиадах
Комплексные числа и геометрия
Геометрия комплексных чисел
Комплексные числа от A до… Z
103 Задачи тригонометрии: Из тренировок группы IMO США
Введение в диофантовы уравнения: проблемно-ориентированный подход
Введение в теорию чисел и неравенства
104 Задачи теории чисел: Из обучения группы ИМО США
102 Комбинаторные задачи
Путь к комбинаторике для студентов: стратегии подсчета
-fkmr1 Математические олимпиады США 1972-1986 Проблемы и решения
Искусство и ремесло решения проблем
Стратегии решения проблем
Наборы задач
Практические задачи со всего мира
Общие задачи олимпиады по математике
Набор задач условной вероятности
31 олимпиадная задача по вероятностному методу
567 Хорошее и жесткое неравенство
Неравенства
100 полиномиальных задач
Задачи тригонометрии
Общие все уровни
Теория чисел
Задачи олимпиады
33 Функциональные уравнения
Проблемы индукции
Индукционные решения
260 Проблемы геометрии
150 задач геометрии
50 задач диофантовых уравнений
60 задач геометрии
116 Проблем
Алгебраические неравенства
100 задач комбинаторики
100 проблем
Теория чисел
Геометрия
Общий
100 задач теории чисел
100 задач функциональных уравнений
Начало / промежуточный счет и вероятность
40 Функциональные уравнения
100 Геометрических неравенств
10 забавных нестандартных задач 🙂
169 Функциональные уравнения
Геометрия треугольника
Вероятность
Алгебра
Теория чисел
Геометрия круга
Другая геометрия
Рейтинг всех олимпиад (уровень сложности)
См.
Также
Список олимпиад по математике
Стипендии по математике
Научные соревнования
Соревнования по информатике
Как мне подготовиться
Группа американских подростков отлично справляется с углубленным изучением математики
Знойным вечером в июле прошлого года высокий, тихий 17-летний парень по имени Дэвид Стоунер и почти 600 других математиков со всего мира мир сидел маленькими группами вокруг плетеных столиков в бистро, тихо разговаривая и одержимо обновляя браузеры на своих ноутбуках.Воздух в просторном вестибюле отеля Lotus Pang Suan Kaew в Чиангмае, Таиланд, был влажным, вспоминает Стоунер, чей легкий южнокаролинский акцент согревает его тщательно подобранные слова. Напряжение в комнате делало его особенно тяжелым, как атмосфера на покерном турнире с высокими ставками.
Стоунер и пять товарищей по команде представляли Соединенные Штаты на 56-й Международной математической олимпиаде. Они посчитали, что за два дня соревнований они набрали или неплохо. Видит Бог, они упорно тренировались. Стоунер, как и его товарищи по команде, более года терпел изнурительный режим — решал сложные задачи за завтраком перед школой и брал на себя больше задач поздно вечером после того, как выполнил домашнее задание на уроках математики в колледже. Иногда он делал наброски корректуры на большой доске для сухого стирания, которую его отец установил в его спальне. По ночам он засыпал, читая такие книги, как Новые задачи евклидовой геометрии и Введение в диофантовы уравнения .
Тем не менее, было трудно понять, как его команда могла противостоять командам из вечных держав Китая, России и Южной Кореи. «Я имею в виду золото? Достаточно ли хорошо мы справились, чтобы получить золото? » он сказал. «В тот момент было трудно сказать». Внезапно из вестибюля послышался крик команды, а затем коллективный вздох, когда олимпийцы приблизились к своим ноутбукам. Когда Стоунер попытался впитать в себя то, что он видел на экране своего компьютера, уровень шума в вестибюле вырос с гудения до аплодисментов. Затем один из членов его команды издал возглас, закончившийся скандированием «США! США.! », И аплодисменты других олимпийцев стали более сильными и, наконец, громовыми. Сияя, один из товарищей по команде Стоунера вытащил из своего рюкзака небольшой американский флаг и начал им размахивать. Стоунер ухмыльнулся. Впервые за 21 год команда США заняла первое место. Выступая прошлой осенью из своего общежития в Гарварде, где он сейчас учится на первом курсе, Стоунер вспомнил триумф своей команды с тихим удовлетворением.«Это был действительно великий момент. Действительно здорово. Особенно, если вы любите математику ».
«С американскими студентами, которые хотят изучать математику на высоком уровне, происходит что-то очень важное».
Это тоже не было отклонением от нормы. Вы не увидите этого в большинстве классов, вы не узнаете этого, посмотрев на падающие средние результаты тестов по стране, но кадры американских подростков достигают высот мирового класса в математике — их больше, чаще, чем когда-либо. перед. Это явление выходит далеко за рамки горстки претендентов на математическую олимпиаду.Учащиеся воспитываются в новой педагогической экосистеме — почти полностью внеклассной — которая развивалась онлайн, в богатых прибрежных городах и технических мекках страны. В этих местах учащиеся ускоренного курса учатся больше и учатся быстрее, чем 10 лет назад, решая более сложный материал, чем многие люди в сообществе продвинутой математики считали возможным. «Скамья американских подростков, которые могут выполнять математику мирового класса, — говорит По-Шен Ло, главный тренер сборной США, — значительно шире и сильнее, чем раньше.”
Изменения ощутимы в наиболее конкурентоспособных колледжах. В то время как призывы к своего рода академическому разоружению начали эхом разноситься в богатых сообществах по всей стране, фракция студентов движется в совершенно противоположном направлении. «Все больше первокурсников поступают в элитные колледжи с изучением математических тем, выходящих далеко за рамки того, что традиционно преподавалось в американских средних школах», — говорит Ло. «С американскими студентами, которые хотят изучать математику на высоком уровне, — говорит Пол Зейтц, профессор математики Университета Сан-Франциско, — происходит что-то очень важное.Это очень драматично и происходит очень быстро ».
В прошлом небольшое количество старшеклассников могло посещать строгие и весьма избирательные национальные летние математические лагеря, такие как Летние занятия по математике в Хэмпширском колледже в Массачусетсе или математическую программу Росса в штате Огайо. на протяжении десятилетий. Но в последнее время появились десятки новых математических лагерей с такими названиями, как MathPath, AwesomeMath, MathILy, Idea Math, sparc, Math Zoom и Epsilon Camp, которые открыли двери для детей, у которых есть способности и энтузиазм к математике, но не обязательно вундеркинды.В Кремниевой долине и в районе залива математические кружки — некоторые из них управляются крошечными некоммерческими организациями или одним профессором и предлагают небольшим группам любителей математики из средних и старших классов возможность решать проблемы под руководством аспирантов, учителей и профессоров. , инженеры и разработчики программного обеспечения — теперь у них длинные списки ожидания. Прошлой осенью в Нью-Йорке было легче получить билет на популярный мюзикл Hamilton , чем записать ребенка в определенные математические кружки. Некоторые кружки по программе New York Math Circle, в которой участвуют 350 студентов, выходят из Нью-Йоркского университета, и заполняются примерно за пять часов.*
Соревнования по математике тоже становятся все популярнее. Число участников из США в Math Kangaroo, международном конкурсе для учеников с первого по двенадцатый класс, который прибыл на американские берега в 1998 году, выросло с 2576 в 2009 году до 21 059 в 2015 году. Более 10 000 учеников средних и старших классов часто посещают чаты. , покупайте учебники и посещайте занятия на веб-сайте «Искусство решения проблем» для изучающих математику. Этой осенью основатель Art of Problem Solving Ричард Рушик, бывший математик-олимпиец, оставивший свою работу в сфере финансов 18 лет назад, откроет два кирпичных центра в районах Роли, Северная Каролина, и Роквилле, штат Мэриленд, с упором на продвинутую математику. Затем последует онлайн-программа для учеников начальной школы. Прошлой осенью Зейтц — вместе с другим профессором математики, учителем и менеджером по частному капиталу — открыл в Сан-Франциско небольшую независимую среднюю школу Proof School, аналогичную ориентированной на углубленную математику. Еще до того, как начался первый учебный год, школьные чиновники получали запросы от родителей, которые интересовались, когда же на Восточном побережье откроется Proof School и смогут ли они поставить своего ребенка в лист ожидания. «Аппетит семей к такому виду обучения математике, — говорит Рушик, — кажется безграничным.
Родители учащихся из сообщества ускоренной математики, многие из которых зарабатывают на жизнь в основном поля, зачислили своих детей в одну или несколько из этих программ, чтобы дополнить или заменить то, что они считают предлагаемым поверхностным и часто запутанным обучением математике. в государственных школах, особенно в младших и средних классах школы. У них есть причины для этого. По данным Бюро статистики труда, большая часть роста нашей национальной экономики будет обеспечиваться за счет рабочих мест, связанных с побочными продуктами, некоторые из которых очень хорошо оплачиваются.Первокурсники колледжа слышали это сообщение; число тех, кто говорит, что они хотят стать специалистами по основам, выросло. Но показатели отсева очень высоки: в период с 2003 по 2009 год 48 процентов студентов, получивших степень бакалавра в основной области, перешли на другую специальность или бросили учебу — многие обнаружили, что у них просто не было количественного фона, необходимого для успеха.
Корни этой неудачи обычно восходят ко второму или третьему классу, говорит Инесса Рифкин, соучредитель Русской математической школы, которая в этом году набрала 17 500 учеников в вечерние и выходные математические академии в 31 месте. по США.В этих классах, как сетуют многие эксперты в области образования, обучение — даже в лучших школах — осуществляется плохо подготовленными учителями, которые сами не чувствуют себя комфортно с математикой. В 1997 году Рифкин, который когда-то работал инженером-механиком в Советском Союзе, убедился в этом воочию. Ее детей, которые учились в государственной школе в богатом Ньютоне, штат Массачусетс, учили решать проблемы, запоминая правила, а затем следуя им, как шаги в рецепте, не понимая общей картины. «Я просматривал их домашнее задание, и то, что я видел, не выглядело так, как будто их учили математике», — вспоминает Рифкин, который говорит категорично, с сильным русским акцентом.«Я говорю своим детям:« Забудьте о правилах! Подумайте только! »А они отвечали:« У нас не так учат. Учитель не хочет, чтобы мы этого делали ». В том году она и Ирина Хавинсон, одаренная учительница математики, которую она знала, основали Русскую школу вокруг ее обеденного стола.
Учителя в русской школе помогают ученикам овладеть арифметикой, основами алгебры и геометрии, а затем и математикой высшего порядка. На каждом уровне и с возрастающей интенсивностью по мере взросления ученики должны продумывать логические задачи, которые могут быть решены только при творческом использовании математики, которую они выучили.
Перерыв в воскресном классе в Бенсонхерсте, Бруклин, который проводится Русской математической школой, в которой обучается около 17 500 студентов по всей стране. Один из соучредителей школы, бывший инженер-механик из Советского Союза, считает, что математическое образование в США начинает давать сбой уже во втором или третьем классе. (Эрин Патрис О’Брайен)
Одним холодным декабрьским воскресеньем в школе в Бенсонхерсте, Бруклин, семь второклассников прошли мимо глянцевого плаката с изображением учеников русской школы, недавно завоевавших медали на олимпиадах по математике.Они уселись на свои места, пока их учительница Ирин Робер показывала им концептуальные примеры сложения и вычитания, разрывая бумагу пополам и добавляя веса с каждой стороны весов, чтобы уравновесить их. Все просто. Затем ученики по очереди подходили к доске, чтобы объяснить, как они использовали сложение и вычитание для решения уравнения для x , что потребовало немного больше размышлений. После короткого перерыва Робер попросил каждого ребенка придумать рассказ, объясняющий, что означает выражение 49+ (18–3). Дети придумывали истории о фруктах, об выпадении и росте зубов и, ко всеобщему удовольствию, о туалетных монстрах.
Хотя студенты смеялись, в их объяснениях не было ничего поверхностного или поверхностного. Робер и ее класс внимательно выслушали логику, заложенную в каждой из историй. Когда один мальчик, Шон, запутался в своих рассуждениях, Робер сразу указал на то место, где его мысли пошли наперекосяк (в восторженном рассказе истории о фермерах, обильном урожае и варминтах, поедающих яблоки, Шон начал рассказывая о том, что случилось с 49 яблоками, когда порядок операций требовал, чтобы он сначала описал сокращение количества 18 яблок).Робер мягко поправил его. Позже дети рассказали истории о 49– (18 + 3) и 49– (18–3).
Рифкин учит своих учителей ожидать сложных вопросов от учеников любого уровня, даже от учеников в возрасте 5 лет, поэтому уроки переключаются между очевидным и умопомрачительно абстрактным. «Самые молодые, естественно, по-другому смотрят на математику», — сказала она мне. «Обычно они могут задать простые вопросы, а в следующую минуту — очень сложные.Но если учитель недостаточно знает математику, она ответит на простой вопрос и отбросит другой, более сложный. Мы хотим, чтобы дети задавали сложные вопросы, чтобы это не было скучно, чтобы уметь заниматься алгеброй в раннем возрасте, конечно, но также чтобы увидеть, что это такое: инструмент для критического мышления. Если их учителя не могут помочь им в этом, что ж… — Рифкин искала слово, которое выражало ее тревогу. «Это предательство».
По предмету, существовавшему почти со времен самой цивилизации, среди экспертов по-прежнему существуют удивительные разногласия по поводу того, как лучше всего преподавать математику.На протяжении десятилетий велись ожесточенные битвы за то, чему учат, в каком порядке, почему и как. Вообще говоря, было два противостоящих лагеря. С одной стороны, те, кто предпочитает концептуальное знание — понимание того, как математика соотносится с миром, — вместо механического запоминания и того, что они называют «тренируй и убивай». (Некоторые уважаемые гуру математических инструкций говорят, что запоминание чего-либо в математике контрпродуктивно и подавляет любовь к обучению.) С другой стороны, есть те, кто считает, что запоминание таблиц умножения и тому подобное необходимо для эффективных вычислений.Они говорят, что обучение студентов правилам и процедурам, регулирующим математику, является основой хорошего обучения и сложного математического мышления. Они возмущаются фразой « сверлить и убить » и предпочитают называть это просто «практикой».
Инициатива Common Core State Standards Initiative идет узким путем через это минное поле, призывая учителей придавать одинаковое значение «математическому пониманию» и «процедурным навыкам». Пока рано говорить, какой эффект будет иметь эта инициатива.Конечно, сегодня большинство учеников не изучают математику: только 40 процентов четвероклассников и 33 процента восьмиклассников считаются, по крайней мере, «хорошо знающими». На международном тесте в 2012 году только 9 процентов 15-летних в Соединенных Штатах получили высокие баллы по математике, по сравнению с 16 процентами в Канаде, 17 процентами в Германии, 21 процентами в Швейцарии, 31 процентами в Южная Корея и 40 процентов в Сингапуре.
Новые внешкольные математические программы, такие как «Русская школа», различаются по своим учебным планам и методам преподавания, но у них есть общие ключевые элементы.Возможно, наиболее заметным является упор на то, чтобы научить студентов мыслить о математике концептуально, а затем использовать эти концептуальные знания в качестве инструмента для предсказания, исследования и объяснения окружающего мира. Не хватает механического заучивания и мало времени, потраченного на составление списка заученных формул. Скорость вычислений — не достоинство. («Крам-школы» с механистическим подходом к изучению математики, основанным на подготовке к тестам, стали обычным явлением в некоторых иммигрантских общинах, и многие наставники состоятельных детей также используют этот подход, но это противоположно тому, чему учат в этом новом тип программы ускоренного обучения.) Чтобы идти в ногу со своими одноклассниками, ученики быстро усваивают математические факты и формулы, но это скорее побочный продукт, чем суть.
Педагогическая стратегия, лежащая в основе занятий, в общих чертах называется «решением проблем» — банальным термином, недооценивающим, насколько разным может быть этот подход к математике. Подход, основанный на решении задач, долгое время был основным элементом математического образования в странах бывшего Советского Союза и в элитных колледжах, таких как MIT и Cal Tech. Это работает следующим образом: инструкторы представляют небольшие группы студентов, обычно сгруппированных по способностям, с небольшим количеством открытых, многогранных ситуаций, которые можно решить, используя разные подходы.
Вот пример из зарождающегося математико-научного сайта Expii.com:
Представьте себе веревку, которая полностью проходит вокруг экватора Земли, ровно прилегая к земле (предположим, что Земля представляет собой идеальную сферу без гор или долин) . Вы перерезаете веревку и привязываете к ней другой кусок веревки длиной 710 дюймов или чуть меньше 60 футов. Это увеличивает общую длину веревки немного больше, чем длина автобуса или высота 5-этажного здания. Теперь представьте, что веревка поднимается во всех точках одновременно, так что она парит над Землей на одинаковой высоте по всей своей длине.Какая самая большая вещь может поместиться под веревкой?
Возможные варианты: бактерии, божья коровка, собака, Эйнштейн, жираф или космический шаттл. Затем инструктор обучает всех учеников, пока они рассуждают. В отличие от большинства классов математики, где учителя изо всех сил стараются передать знания учащимся — которые должны пассивно усваивать их, а затем извергать их на тесте — классы решения проблем требуют, чтобы учащиеся выполняли познавательный жим лежа: исследуя, предполагая, предсказывая, анализируя и т. Д. наконец, проверка собственной математической стратегии.Дело не в том, чтобы точно выполнять алгоритмы, хотя, конечно, есть правильный ответ (Эйнштейн в задаче выше). По-настоящему обдумать проблему — творчески применить то, что вы знаете о математике, и придумать возможные решения — важнее. Посидеть в обычном классе алгебры в девятом классе по сравнению с наблюдением в классе по решению задач в средней школе — все равно что смотреть, как детям читают лекции по основам нотной грамоты, а не слушать, как они поют арию из Tosca .
Участники программы «Bridge to Enter Advanced Mathematics» отбираются за их сильную аргументацию, выносливость и коммуникативные навыки, а также за удовольствие, которое они получают от решения сложных задач. По часовой стрелке от среднего ряда слева: Нью-Йорк, восьмые, девятые и десятые классы Зайан Эспиналь, Джонтае Мартин, Иезебель Гомес, Назмул Хок, Айша Кейта и Уильям Лоуренс. Нижний ряд слева: Сотрудник Оскана Джеймс. (Эрин Патрис О’Брайен)
По моему опыту, общая эмоция в New York Math Circle, в Русской школе, в чатах Art of Problem Solving и подобного веб-сайта — это подлинное волнение — среди студентов, но также среди учителей — о самом предмете.Даже в самых ранних классах инструкторы, как правило, обладают глубокими знаниями и страстно увлечены. «Многие из них работают в областях, в которых используется математика, — химии, метеорологии и инженерии — и преподают на полставки», — говорит Рифкин. Это люди, которые сами находят предмет доступным и глубоко интересным, и их поощряют передать это.
Но помимо азарта, педагогика очень продумана. В Русской школе уроки тщательно структурированы, и план уроков каждого учителя просматривается и корректируется наставником.Инструкторы смотрят видеоролики, в которых учителя-мастера ловко помогают прояснить непонимание учащимися определенных понятий. Учителя собираются по видеоконференции, чтобы критиковать методы обучения друг друга.
Многие из этих программ — особенно лагеря, соревнования и математические кружки — создают уникальную культуру и сильное чувство принадлежности к учащимся, у которых есть интерес к предмету, но вся неловкость и неравномерность развития типичного подростка. «Когда я посетил свои первые математические соревнования», в возрасте 11 лет, «я впервые понял, что мое племя существует», — сказал Дэвид Стоунер, который присоединился к математическому кружку годом позже и вскоре после этого стал его завсегдатаем. Искусство решения проблем.Свободное сотрудничество вне зависимости от возраста, пола и географии является базовой ценностью. Хотя сообщество специалистов по ускоренной математике исторически состояло в основном из мужчин, число девочек растет, и их присутствие ощущается. Дети выпускают пар, играя в стратегические настольные игры, такие как «Доминион» и «Поселенцы Катана», или в шахматы «дом жуков», высокоскоростную многоплатную вариацию старого режима ожидания. Инсайдерский юмор изобилует. Типичный слоган на футболке: √-1 2 3 ∑ π… и это было вкусно! (Перевод: «Я съел кусок пирога…») В летней программе олимпиады по математике, тренировочной базе для будущих олимпийцев, в июне прошлого года в шоу талантов участвовала группа молодых людей, разрабатывающих компьютерный код в позе доски.
О карьерных амбициях студенты говорят с редкой уверенностью. Они знают, что решение проблем ради развлечения ведет к решению проблем ради прибыли. Ссылка может быть очень прямой: некоторые из самых узнаваемых компаний в сфере высоких технологий регулярно просматривают предложения, например, на Brilliant.org, веб-сайте продвинутого математического сообщества, запущенном в Сан-Франциско в 2012 году. «Деньги следуют за математикой» — это общий рефрен.
Несмотря на то, что на многих направлениях предпринимаются усилия по улучшению математического образования в государственных школах с использованием некоторых методов, используемых в этих расширенных классах, измеримые успехи в обучении оказались труднодостижимыми.
Практически каждый в сообществе ускоренной математики говорит, что толчок к развитию сложных математических умов должен начинаться рано и включать в себя множество вдумчивых, концептуальных занятий в начальной и средней школе. Доля американских студентов, которые могут заниматься математикой на очень высоком уровне, могла бы быть намного больше, чем сегодня. «Смогут ли они все выучить это с одинаковой скоростью? Нет, не пойдет », — говорит Ло, главный тренер математической команды США. «Но я уверяю вас, что при правильном обучении и постоянных усилиях многие, многие американские студенты смогли бы туда попасть.
Учащимся, проявляющим склонность к математике, нужны дополнительные математические возможности — и шанс быть рядом с другими энтузиастами математики — точно так же, как ребенку, владеющему футбольным мячом, может в конечном итоге понадобиться присоединиться к путешествующей команде. И раньше лучше, чем позже: тема неизменно последовательна и иерархична. «Если вы дождетесь до старшей школы, чтобы попытаться подготовить учащихся к ускоренному изучению математики, — сказал мне Ло, — опоздавшие обнаружат, что им не хватает основополагающего мышления, и им будет сложно наверстать упущенное за четыре коротких года до колледжа.«В наши дни это редкий ученик, который может перейти от« хороших в математике »в обычной государственной средней школе к поиску места в сообществе продвинутых математиков.
Все это создает серьезный барьер. Большинство родителей из среднего класса могут исследовать спортивные программы и летние лагеря для своих 8- и 9-летних детей, но редко думают о дополнительной математике, если их ребенок не борется. «Вы должны знать об этих программах, жить в районе, где есть эти ресурсы, или, по крайней мере, знать, где искать», — говорит Сью Хим, соучредитель Brilliant.орг. А поскольку многие программы являются частными, они недоступны для бедных. (Семестр в математическом кружке может стоить около 300 долларов, год в русской школе — до 3000 долларов, а четыре недели обучения по математической программе — возможно, вдвое больше. ) Данные о национальных достижениях слишком четко отражают этот пробел в доступе к обучению по математике. Соотношение богатых математиков к бедным составляет 3: 1 в Южной Корее и 3,7: 1 в Канаде, если взять две репрезентативные развитые страны. В США это 8: 1.И хотя доля американских студентов, набравших высокие баллы по математике, растет, эти достижения почти полностью ограничиваются детьми высокообразованных и в значительной степени исключают детей из бедных слоев населения. К концу средней школы процент учащихся с низким уровнем дохода, изучающих продвинутую математику, округляется до нуля.
Для Даниэля Захароля, основателя и исполнительного директора некоммерческой организации Bridge to Enter Advanced Mathematics (луч), базирующейся в Нью-Йорке, краткосрочное решение является логичным.«Мы знаем, что математические способности универсальны, и интерес к математике распространяется в значительной степени среди населения, — говорит он, — и мы видим, что среди учеников с низким доходом и высокой успеваемостью почти нет учеников-математиков. Итак, мы знаем, что есть очень много учеников, которые имеют потенциал для высоких достижений в математике, но у которых не было возможности развить свой математический ум просто потому, что они родились не от тех родителей или с неправильным почтовым индексом. Мы хотим их найти ».
В рамках эксперимента, за которым внимательно наблюдают преподаватели и члены сообщества продвинутых математиков, Захарополь, который специализировался на математике в Массачусетском технологическом институте, прежде чем получить степень магистра по математике и преподаванию математики, каждую весну посещает средние школы в Нью-Йорке, которые занимаются математикой. служить детям из малообеспеченных семей.Он ищет студентов, которые при правильном обучении и некоторой поддержке могут занять их место, если не на Международной математической олимпиаде, то на менее избирательных соревнованиях, в математическом кружке и, в конечном итоге, на основной программе на соревнованиях. колледж.
Дэниел Захарополь ( справа ), основатель и исполнительный директор BEAM, считает, что слишком много детей с низким и средним уровнем дохода остались за бортом революции продвинутого обучения. (Эрин Патрис О’Брайен)
Захарополь не ищет лучших универсальных учеников для допуска к его программе, которая обеспечивает всестороннюю поддержку, которую получают богатые математики: трехнедельный математический лагерь с проживанием в семье летом перед восьмым. оценка, усиленное обучение после школы, помощь с подачей заявления в математические кружки и подготовка к соревнованиям по математике, а также базовые советы по выбору в старшую школу и поступлению в колледж.Те, кто получает отличные оценки по математике, ему интересны, но лишь в определенной степени. «Им не обязательно любить школу или даже уроки математики», — говорит он. Вместо этого он ищет детей с совокупностью определенных способностей: сильное рассуждение, ясное общение, выносливость. Четвертое, более невыразимое качество имеет решающее значение: «Я ищу детей, которым нравится решать сложные проблемы», — говорит Захарополь. «На самом деле математика должна приносить им радость».
Пять лет назад, когда Захарополь поступил в М. S. 343, квадратное здание в суровом районе Южного Бронкса, и сел с семиклассником, Завьером Дженкинсом, у которого была широкая улыбка и ирокез, ничто в обстановке не было благоприятным. Всего 13 процентов детей успевают по английскому языку и 57 процентов по математике. 343 казался маловероятным инкубатором для будущего технического магната или инженера-медика.
Но в тихом разговоре Захарополь узнал, что у Дженкинса было то, что его братья, сестры и сверстники считали причудливой привязанностью к шаблонам и склонностью к числам.В последнее время, признался Дженкинс Захарополю, наступило определенное разочарование. Он мог точно выполнять свои математические задания, но ему становилось скучно.
Захарополь попросил Дженкинса выполнить несколько простых вычислений, с которыми он с легкостью справился. Затем Захарополь бросил головоломку в Дженкинса и стал ждать, что же произойдет:
У вас есть ящик, полный носков, каждый из которых красный, белый или синий. Вы начинаете вынимать носки, даже не глядя на них. Сколько носков нужно вынуть из ящика, чтобы убедиться, что вы вынули хотя бы два носка одного цвета?
«Впервые мне была поставлена математическая задача, на которую не было простого ответа», — вспоминает Дженкинс.Сначала он просто умножил два на три, чтобы получить шесть носков. Недовольный, он начал искать другие стратегии.
«Меня это очень воодушевило», — сказал мне Захарополь. «Многие дети просто предполагают, что у них есть правильный ответ». Через несколько минут он предложил Дженкинсу один из способов решить проблему. Энергия в комнате изменилась. «Мало того, что Завьер придумал правильный ответ» — четыре, — но он действительно очень хорошо его понял, — сказал Захарополь. «И он, казалось, наслаждался этим опытом.Четыре месяца спустя Дженкинс жил с шестнадцатью другими подрастающими восьмиклассниками в общежитии летней программы обучения лучей в кампусе Бард-колледжа в северной части штата Нью-Йорк, где его обучали по теории чисел, рекурсии и теории графов математики, учителя математики. и профессора математики из ведущих университетов страны. Получив некоторую консультацию от Beam, он поступил на программу программирования, которая привела к стажировке в Microsoft. Сейчас он учится в старшей школе и подал документы в одни из лучших инженерных школ страны.
Луч
, которому пять лет, уже увеличился в четыре раза: в прошлом году он принял 80 учеников средней школы на своей летней программе, а в его сети около 250 высокоэффективных учеников с низкими доходами. Но его финансирование остается ограниченным. «Мы знаем, что есть еще очень много детей из малообеспеченных семей, которых мы не охватываем и которые просто не имеют доступа к этим программам», — сказал Захарополь.
Уже существует название для инициативы, которая могла бы частично принести пользу балке, математическим кружкам, русской школе или искусству решения задач более широкому кругу учащихся, включая учащихся среднего и низкого уровня. доходные: программы для одаренных и талантливых, которые финансируются государством и могут начинаться в начальной школе. Но история этих программ чревата. Критерии приема различаются, но, как правило, предпочтение отдается детям из обеспеченных семей. Учителей можно лоббировать за рекомендацию; некоторые стандартные вступительные тесты измеряют словарный запас и общие знания, а не творческое мышление. В некоторых местах родители платят за обучение своих детей к вступительным экзаменам или даже за частное тестирование для поступления.
В результате, хотя многие такие программы все еще существуют, они все чаще отвергаются руководителями школ, которые придерживаются принципа справедливости. и политики, которые видят в них средство, с помощью которого преимущественно состоятельные белые и азиатские родители направляют скудные государственные доллары на дополнительное обогащение для своих и без того богатых детей.(Само по себе несколько неприятное название — «одаренный и талантливый» — не помогло.)
Дети должны видеть математику «такой, какая она есть: инструмент критического мышления. Если их учителя не могут помочь им в этом, что ж, это предательство ».
Закон «Ни одного отстающего ребенка», который формировал образование на протяжении почти 15 лет, еще больше способствовал игнорированию этих программ. Игнорируя детей, которые, возможно, имели способности или интерес к ускоренному обучению, он требовал, чтобы государства обратили свое внимание на то, чтобы научить испытывающих трудности учащихся, чтобы они могли адекватно выполнять свои обязанности — благородная цель.Но в результате в течение многих лет многие преподаватели в школах в бедных кварталах, ориентированные на детей с низким уровнем успеваемости, отвергали предположения о том, что умы их самых способных детей лежали в забвении. Некоторые отрицали, что в их школах вообще есть одаренные дети.
Кумулятивным эффектом этих действий, наоборот, стало вытеснение ускоренного обучения за пределы государственных школ — его приватизация, еще более сосредоточенная на детях, у родителей которых есть деньги и средства, чтобы им воспользоваться.Сегодня ни в одном предмете нет такой ясности, как в математике.
Хорошая новость заключается в том, что политика в области образования, возможно, начинает откатываться назад. Федеральные законодатели и законодатели штатов, похоже, все больше соглашаются с тем, что все подростки могут извлечь выгоду из возможностей ускоренного обучения, которые когда-то были доступны для детей с высокими способностями в богатых районах, и многие государственные средние школы были вынуждены предлагать больше классов для продвинутого обучения и расширять набор учащихся. в онлайн-курсах колледжа. Но для многих студентов со средним и низким доходом, которые, возможно, научились любить математику, эти возможности открываются слишком поздно.
Возможно, это обнадеживающий знак, что недавно утвержденный Закон о достижении успеха каждого учащегося, который недавно заменил «Ни одного отстающего ребенка», просит государства признать, что такие учащиеся могут существовать в любом районе, и отслеживать их успехи. Впервые в истории страны закон также прямо разрешает школам использовать федеральные доллары для экспериментов со способами отбора учащихся с низкими доходами и высокими способностями в ранние годы и для подготовки учителей для работы с ними. Универсальный скрининг в начальной школе может стать хорошим началом.С 2005 по 2007 год официальные лица школы в округе Бровард, штат Флорида, обеспокоенные тем, что малоимущих детей и изучающих английский язык не уделяют программам для одаренных детей, дали всем второклассникам, богатым и бедным, тест на невербальное мышление и высокие баллы. тест на IQ. Критерии «одаренности» не были ослаблены, но количество детей из неблагополучных семей, у которых была определена способность к ускоренному обучению, выросло на 180 процентов.
Принимают ли отдельные штаты эту задачу и делают ли это эффективно, — это их решение, но защитники говорят, что для начала они проводят кампанию.Возможно, настал подходящий момент для членов сообщества продвинутых математиков, которые так преуспели в развитии молодых математических умов, чтобы вмешаться и показать большему количеству преподавателей, как это можно сделать.
Видео по теме
«Нам нужно работать над тем, чтобы привыкнуть к трудностям в обучении».
* В эту статью добавлено название программы, проводимой в Нью-Йоркском университете.
5280 Math
Math Pickle
mathpickle.com содержит коллекцию глубоких, открытых и сложных (некоторые нерешенные!) математических задач для учащихся всех возрастов, доступных для поиска по классам, в том числе множество для очень маленьких учеников. Каждая задача была найдена или создана профессиональным математиком и легко умещается в 45-60-минутный временной интервал.
nrich maths
nrichmaths.org имеет обширную коллекцию разнообразных интересных математических задач, доступных для поиска по возрасту и концепции. Учителя пользуются большой поддержкой, и студенты могут предлагать решения для возможной публикации в Интернете.
Головоломки Кен-Кен
Головоломки Кен-Кен похожи на судоку, но содержат сложные математические особенности. Головоломки развивают не только вычислительные возможности, но и навыки решения задач, чувство числа и более глубокое понимание свойств чисел. Этот веб-сайт будет генерировать для вас головоломки ken-ken на основе вашего выбора уровня обучения, математических операций, размера сетки и уровня сложности.
Zukei Puzzles
Zukei Puzzles — это поиск геометрических фигур, скрытых в сетках или точках.Основное внимание уделяется рассуждениям о свойствах двумерных фигур. Головоломки бывают всех уровней сложности. Вы и студенты также можете легко создать свои собственные.
Exploding Dots
Джеймс Тантон Exploding Dots покорил мир математики за последние пару лет. Используя простую визуальную модель, учащиеся исследуют числовое значение, сложение, вычитание, умножение, деление и другие аспекты в различных базовых системах.
Beast Academy
Beast Academy — это полный курс математики для одаренных и продвинутых учеников 2–5 классов.(Я бы не рекомендовал его другим студентам.) Он создается людьми, работающими в области искусства решения проблем, которые известны своими материалами для одаренных учащихся средних школ. Основное внимание уделяется решению проблем и глубокому концептуальному пониманию. Сообщается, что скоро появится онлайн-версия программы.
Проект M2
От тех же людей, которые разработали проект M3 для учеников старших классов начальной школы, Project M2 «содержит восемь учебных модулей, разработанных для классов K-2, чтобы стимулировать исследование и вовлечь учеников в критическое мышление, решение проблем и коммуникативную деятельность… [с] акцентом на «углубленную» математику с использованием основанных на исследованиях практик и стандартов в математическом образовании и дошкольном образовании.
Project M3
Эта серия статей от Кендалла Ханта хорошо известна в США как основанная на исследованиях, глубокая и сложная программа по математике для продвинутых учеников. Каждый модуль сопровождается обширной поддержкой учителей, и вы можете использовать проекты как единицы учебной программы или как дополнение. Единственные минусы: материалы довольно дорогие и требуют от учителей изрядного времени на подготовку.
Египетская жизнь и культура | TheSchoolRun
египтянина были очень хорошими фермерами . На протяжении столетий они научились лучшим способам выращивания сельскохозяйственных культур на засушливых землях вокруг реки Нил, но они использовали разные виды машин, чтобы доставлять воду из реки на свои посевы, чтобы растения росли. Вот некоторые из используемых ими машин:
sakia — тип водяного колеса с ведрами для выкапывания воды
shaduf — длинная палка с ведром на веревке на одном конце. , а с другой — тяжелый груз; чтобы полить поле, фермер опускал утяжеленный конец, чтобы поднялось ведро, затем поворачивал все вокруг, чтобы полить поле рядом с рекой.
Поскольку фермеры выращивали зерновые культуры около Нила, им приходилось планировать свой вегетационный период на периоды, когда Нил разливался. Это происходило каждый год с июня по сентябрь, поэтому в октябре они сажали новые культуры, которые собирались собрать в марте. К концу мая все посевы должны были быть собраны вовремя, чтобы Нил снова затопил.
У египетских фермеров тоже были волы, тянущие плуги через поля. Мы знаем об их методах ведения сельского хозяйства благодаря картинам, которые, как обнаружили археологи, сделали египтяне.Картины показывают все, чем занимались египтяне, например, пасли скот и собирали урожай.
Макияж не всегда использовался, чтобы нарядиться. Некоторый макияж также имел практическое применение, например, черный цвет вокруг глаз. Он защищал глаза от солнца, а также был своего рода дезинфицирующим средством, защищающим от глазных болезней.
Папирус, который сделали египтяне, сделали из тростника, росшего вдоль реки Нил, который называли папирусом. Чтобы сделать бумагу, они разрезали тростник папируса на полоски и проводили несколько дней, замачивая их, раскатывая и повторяя этот процесс, пока тростник не стал очень тонким.Все тонкие язычки должны были быть соединены вместе и зажаты для высыхания, а затем отполированы, чтобы сгладить их — в результате получился тонкий, но очень прочный лист, готовый для написания или рисования.
Тростники папируса использовались не только для бумаги, но и для многих других вещей. Из него можно было делать циновки, чтобы положить их на пол, скручивать веревки, плести вместе, чтобы сделать лодки, и ткать, чтобы делать корзины и сандалии. Египтяне также ели его и использовали для изготовления различных лекарств.
Египтяне сделали много открытий в медицине. Мы знаем это из того, что они написали на папирусе, обнаруженном позже археологами. Они понимали, что такое сердцебиение и следят за здоровым пульсом, и знали, как работают тело и органы, благодаря процессу изготовления мумий. Они также узнали о том, как разные растения излечивают разные болезни и травмы, например, алоэ вера помогает лечить ожоги.
Египетское общество было разделено на разные классы, называемые иерархией. На самом деле нельзя было продвигаться по служебной лестнице, и люди обычно оставались в том же ранге, в котором они родились:
Фараон — Фараон был во главе ордена и считался богом.
Визирь — У каждого фараона был визирь; они были советниками, они управляли домом фараона, они действовали как судьи и следили за тем, чтобы у египтян было достаточно еды.
Дворяне и священники — Дворяне включали врачей, юристов и военачальников. Священники были теми, кто следил за тем, чтобы бог в их храме был счастлив, и что они понимали любые сообщения, которые бог пытался им сказать.
Писцы и солдаты — Писцы были единственными, кого учили писать; люди других профессий (например, священники), возможно, тоже учились на писцов, но они также могли просто нанять кого-нибудь, чтобы записывать вещи для них.Выбором было стать солдатом; им дали землю для жизни после того, как они закончили службу в армии.
Ремесленники — Это была большая группа, в которую входили все, кто занимался ремеслом, например гончары, портные, художники и кузнецы.
Фермеры и рабы — Фараон и знать нанимали фермеров, чтобы те работали на них и выращивали урожай на своей земле; в качестве оплаты у фермеров было жилье, одежда и еда.
Олимпиада по математике 11 класс, задания, уравнения, задачи с ответами
Курс математики в выпускном классе посвящен изучению степеней и корней, знакомству с показательной и логарифмической функцией, интегралами и элементами математической статистикой. Отдельное внимание в 11 классе посвящено повторению изученного за весь курс математики и подготовке к грядущему экзамену.
В связи с этим, для учеников 11 класса особенно важно участие в олимпиадах по математике и дополнительные занятия, посвященные решению заданий различной сложности.
На этой странице собраны задания для подготовки к олимпиаде по математике для 11 класса. Представлены уравнения, задачи и математические загадки с ответами и решениями. Этот материал может быть использован учителями или репетиторами для повышения уровня знания учеников.
Задача №1 Докажите, что уравнение xy = 2006 (x + y) имеет решения в целых числах.
Задача №2 Докажите, что если α, β, γ — углы произвольного треугольника, то справедливо тождество cos2α + cos2β + cos2γ + 2 cosα cosβ cosγ = 1.
Задача №3 Три шара радиуса R касаются друг друга и плоскости α, четвертый шар радиуса R положен сверху так, что касается каждого из трех данных шаров. Определите высоту «горки» из четырех шаров.
Задача №4 Докажите неравенство −< 1/6 на луче [1/4; + ∞).
Задача №5 В прямоугольник 20 x 25 бросают 120 квадратов 1 x 1. Докажите, что в прямоугольник можно поместить круг с диаметром, равным 1, не имеющий общих точек ни с одним из квадратов.
Математические загадки
Загадка №1
Сколько лет человеку, если в 2012 году его возраст оказался равным сумме цифр года его рождения.
Загадка №2
Двадцать одна девочка и двадцать один мальчик принимали участие в математическом конкурсе. Каждый участник решил не более шести задач. Для любых девочки и мальчика найдётся хотя бы одна задача, решённая обоими. Докажите, что была задача, которую решили не менее трёх девочек и не менее трёх мальчиков.
Загадка №3
Существует ли многогранник с нечетным числом граней, каждая из которых есть многоугольник с нечетным числом сторон?
Загадка №4
В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из чисел 1 или -1. Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю.
Загадка №5
Сумма цифр в десятичной записи натурального числа n равна 100, а сумма цифр числа 44n равна 800.
Чему равна сумма цифр числа 3n?
Ответы к уравнениям
Уравнение
№ 1
№ 2
№ 3
№ 4
№ 5
Ответ
6
8,5 ∈ [8;9)
− 0,25
1,8
-124
Уравнение
№ 6
№ 7
№ 8
№ 9
№ 10
Ответ
9; 8
-1,5
1
-6
-4
Ответы к задачам
Задача 1 Преобразуем уравнение к следующему виду: (x – 2006)(y − 2006) = 20062. Уравнение имеет решения, например, x = y = 4012.
Задача 2 Преобразуем выражение в левой части равенства, учитывая, что α + β + γ = π, и применяя формулы: cos² x = (1 + cos 2x)/2, cos x = − cos (π − x), cos x + cos y = (2cos((x + y)/2)) cos((x − y)/2), получим справедливое тождество.
Задача 3 Пусть четыре шара радиуса R c центрами A, B, C, D касаются друг друга и первые три из них – плоскости a в точках A1, B1, C1 . Тогда точки A, B, C, D являются вершинами правильной пирамиды с ребром 2R. Вершина D этой пирамиды проектируется в центр основания О.
Высота «горки» из четырех шаров равна сумме OD + 2R = 2R + 1
Задача 4 Пусть = −. Тогда = − и с помощью метода интервалов получаем, что < 0 при всех >2/9. Но 1/4>2/9, следовательно, функция убывает на луче [1/4; +∞]. Это значит, что − < 1/16 − 3/64 = 1/64 < 1/64.
Задача 5 Окружим каждый квадрат полоской шириной 1/2. Образующие фигуры тоже квадраты со стороной 1 + 2 x 1/2 = 2, имеют площадь равную 4. Их общая площадь равна 4 x 120 = 480, в то время как искомая площадь равна 500. Следовательно, найдется точка, которая не покрыта построенными квадратами, но это значит, что она удалена от данных квадратов не меньше чем на по всем направлениям. Круг радиуса с центром в этой точке не имеет общих точек ни с одним из квадратов.
Ответ: 175 центов
Ответы на загадки
Загадка 1
1 вар. Человек родился в 19mn году, тогда
2012 − 19mn= 1 + 9 + m + n
2012 − 1900 − m − n = 10 + m + n
102 = 11m + 2n
m = 8, n = 7, значит 1987 год, ему 25 лет.
2 вар. Человек родился в 200n году, тогда
2012 − 200n = 2 + n
2012 − 2000 − n = 2 + n
12 − 2 = 2n
n = 5, значит 2005 год, ему 7 лет.
Загадка 2 Предположим, что нашлась задача, которую решили не более двух девочек или не более двух мальчиков.
Будем считать задачу «красной», если её решили не более двух девочек и «чёрной» в противоположном случае (тогда её решили не более двух мальчиков).
Представим шахматную доску с 21-й строкой, каждая из которых соответствует девочке, и 21-м столбцом, каждый из которых соответствует мальчику.
Тогда каждая клетка соответствует паре «мальчик–девочка». Каждую клетку покрасим в цвет какой-нибудь задачи, которую решили и мальчик-строка и девочка-столбец.
По принципу Дирихле в каком-нибудь столбце найдётся 11 чёрных клеток, или в какой-нибудь строке найдутся 11 красных клеток (потому что иначе получится, что всего клеток не более чем 21 × 10 + 21 × 10 < 21²).
Рассмотрим, например, девочку-строку, содержащую хотя бы 11 чёрных клеток.
Каждой из этих клеток соответствует задача, решённая максимум двумя мальчиками.
Тогда мы можем указать не менее 6 различных задач, решённых этой девочкой. В силу первого условия никаких других задач девочка не решала, но тогда максимум 12 мальчиков имеют общие решённые задачи с этой девочкой, что противоречит второму условию.
Точно также разбирается случай, если в каком-нибудь столбце найдутся 11 красных клеток.
Загадка 3
Пусть такой многогранник существует. Обозначим за 1, 2, …, число ребер на гранях, тогда 1 + 2 + … – удвоенная сумма всех ребер многогранника, она – четная. А в левой части стоит нечетная сумма слагаемых, каждое из которых – нечетно. Получили противоречие. Значит, такого многогранника не существует
Загадка 4 Найдем произведение всех 25 чисел, записанных под каждым столбцом и всех 25 чисел, записанных справа от строчек. Так как в этом произведении каждое из чисел квадратной таблицы входит по два раза, то произведение этих 50 произведений, в каждом из которых стоит по 25 множителей, будет положительным, т. е. равно 1. А так как произведение 50 чисел положительно, то отрицательных сомножителей будет четное число (2, 4, …, 50). Сумма же 50 произведений может быть нулем лишь в случае, когда 25 слагаемых равно 1, а 25 слагаемых равно — 1, т. е. слагаемых с — 1 должно быть нечетное число. А это значит, что сумма 50 написанных произведений не может равняться нулю.
Загадка 5 Заметим, что 44n есть сумма 4 экземпляров числа n и 4 экземпляров числа 10n.
Если складывать эти числа поразрядно, то в каждом разряде окажется сумма учетверённой цифры из этого же разряда числа n и учетверённой цифры из следующего разряда.
Если при этом не происходит никаких переносов, то каждая цифра числа n складывается 8 раз, и сумма цифр во всех разрядах оказывается равной 800. При переносах же сумма цифр, очевидно, уменьшается (так как из одного разряда вычитается 10, а к другому прибавляется только 1). Поэтому в ситуации условия задачи переносов не происходит. Это означает, в частности, что любая цифра числа n не превосходит 2. Тогда при умножении n на 3 просто умножается на 3 каждая его цифра, а, значит, и сумма цифр. Поэтому сумма цифр числа 3n равна 300.
Другие классы
Обновлено: , автор: Валерия Токарева
Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания
Степени с рациональным показателем. Корни. Степенные функции
Понятие корня n-й степени из действительного числа
Функция корня n-й степени
Свойства корня n-й степени.
Преобразование иррациональных выражений
Способы упрощения выражений, содержащих радикалы
Понятие степени с рациональным показателем, свойства степеней
Свойства степенных функций и их графики
Логарифмы.
Показательная и логарифмическая функции
Свойства показательной функции и её график
Методы решения показательных уравнений
Методы решения показательных неравенств
Понятие логарифма.
Основное логарифмическое тождество
Свойства логарифмической функции и её график
Базовые свойства логарифмов
Методы решения логарифмических уравнений
Методы решения логарифмических неравенств
Переход к новому основанию логарифма
Системы показательных и логарифмических уравнений
Системы логарифмических и показательных неравенств
Производная показательной и логарифмической функции
Первообразная.
Неопределённые и определённые интегралы
Понятие первообразной
Неопределённые и определённые интегралы. Методы интегрирования
Вычисление площадей с помощью интегралов
Начальные сведения комбинаторики
Правило суммы
Правило произведения
Перестановки.
Перестановки без повторений
Размещения. Размещения с повторениями
Сочетания и их свойства
Треугольник Паскаля. Бином Ньютона
Начальные сведения теории вероятностей
Какие бывают случайные события
Комбинации событий.
Противоположные события
Вероятность события
Сложение вероятностей
Независимые события. Умножение вероятностей
Статистическая вероятность
Начальные сведения математической статистики
Случайные величины
Центральные тенденции
Меры разброса
Закон распределения вероятностей.
Закон больших чисел
Уравнения и неравенства
Равносильность уравнений. Теоремы о равносильности уравнений
Общие методы решения уравнений
Равносильность неравенств.
Системы и совокупности неравенств
Уравнения и неравенства с двумя переменными
Общие методы решения систем уравнений
Уравнения и неравенства с параметром
Свойства показательной функции и её график.
Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.
1.
Значение функции
Сложность:
лёгкое
3
2.
Определение показательной функции
Сложность:
лёгкое
1
3.
Свойства показательной функции (возрастание функции)
Сложность:
лёгкое
1
4.
Умножение степеней с одинаковым основанием
Сложность:
лёгкое
1
5.
Деление степеней с одинаковыми основаниями
Сложность:
лёгкое
2
6.
Возведение степени в степень
Сложность:
лёгкое
2
7.
Значение аргумента
Сложность:
среднее
1
8.
Преобразования графика показательной функции
Сложность:
среднее
2
9.
Область определения функции (показатель степени — дробь)
Сложность:
среднее
2
10.
Свойства показательной функции (возрастание и убывание функции)
Сложность:
среднее
2
11.
Свойства степени с рациональным показателем (деление)
Сложность:
среднее
3
12.
Свойства степени с рациональным показателем (умножение)
Сложность:
среднее
5
13.
График показательной функции, область определения и область значений функции
Сложность:
среднее
3
14.
Решение уравнения графически
Сложность:
сложное
4
15.
Свойства показательной функции (произведение степеней)
Сложность:
сложное
3
Неопределённые и определённые интегралы. Методы интегрирования. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.
1.
Табличные интегралы
Сложность:
лёгкое
1
2.
Определённый интеграл степенной функции
Сложность:
лёгкое
2
3.
Основной интеграл тригонометрической функции
Сложность:
лёгкое
3
4.
Неопределённый интеграл от дробной функции
Сложность:
среднее
4
5.
Неопределённый интеграл от дробной тригонометрической функции
Сложность:
среднее
3
6.
Неопределённый интеграл от показательной функции
Сложность:
среднее
4
7.
Неопределённый интеграл, метод замены переменной, натуральный логарифм
Сложность:
среднее
4
8.
Неопределённый интеграл, метод замены переменной, тригонометрические функции
Демонстрационные варианты (демоверсии) ЕГЭ по математике
Демонстрационные варианты ЕГЭ по математике для 11 класса за 2002-2009 годы включали в себя три раздела: А (задачи с выбором ответа из нескольких предложенных), В (задачи с кратким ответом) и С (задания, для выполнения которых требовалось привести полное решение задачи).
В 2010 году из демонстрационного варианта ЕГЭ по математике были исключены задачи с выбором ответа, ранее составлявшие раздел А. Таким образом, демонстрационный вариант ЕГЭ стал состоять уже только из двух разделов В и С.
Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 года почти полностью совпадал с демонстрационным вариантом ЕГЭ 2010 года: были изменены лишь задания C1 и C5.
В 2014 году в демонстрационном варианте ЕГЭ по математике тематических изменений по сравнению с предыдущим годом не было: задачи В3, В9, В14, С2 и С4 были заменены на другие задачи той же тематики. Кроме того, было добавлено задание базового уровня сложности с кратким ответом, проверяющее практические навыки применения математики в повседневной жизни и изменен порядок заданий.
В 2015 году в порядке проведения ЕГЭ по математике произошли серьезные изменения: было решено проводить два отдельных экзамена – базового уровня и профильного уровня.
В связи с этим в 2015 году было представлено 2 демонстрационных варианта: новая модель демонстрационного варианта для ЕГЭ базового уровня и модернизированная модель демонстрационного варианта 2014 года для проведения ЕГЭ профильного уровня.
Демонстрационный вариант для ЕГЭ базового уровня содержал только задания базового уровня сложности с кратким ответом (20 заданий). В демонстрационном варианте было представлено по несколько примеров заданий на каждую позицию экзаменационной работы. В реальных вариантах экзаменационной работы на каждую позицию было предложено только одно задание.
Демонстрационный вариант профильного экзамена 2015 года разработан на основе демонстрационного варианта ЕГЭ по математике 2014 года со следующими изменениями:
Вариант стал состоять из двух частей (часть 1 — задания с кратким ответом, часть 2 — задания с кратким ответом и задания с развернутым ответом).
Нумерация заданий стала сквозной по всему варианту без буквенных обозначений В, С.
Во второй части добавлено 1 задание высокого уровня сложности с развёрнутым ответом, проверяющее практические навыки применения математики в повседневной жизни, навыки построения и исследования математических моделей.
Из первой части исключено 1 задание базового уровня сложности.
Произведены несущественные изменения формы и тематики заданий 16 и 17
В демонстрационном варианте ЕГЭ по математике базового уровня 2016 года изменений не было .
В демонстрационном варианте ЕГЭ по математике профильного уровня 2016 года произошли следующие изменения:
Из первой части варианта были исключены два задания: задание практического содержания базового уровня сложности и задание по стереометрии повышенного уровня сложности.
Максимальный первичный балл за выполнение всей работы был уменьшен с 34 до 32 баллов.
В демонстрационных вариантах ЕГЭ по математике 2017 — 2021 годов как базового уровня, так и профильного уровня, по сравнению с демонстрационными вариантами ЕГЭ по математике 2016 года изменений не было.
Олимпиадные задания (математика) – Олимпиада школьников «Высшая проба» – Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
В старых версиях браузеров сайт может отображаться некорректно. Для оптимальной работы с сайтом рекомендуем воспользоваться современным браузером.
Мы используем файлы cookies для улучшения работы сайта НИУ ВШЭ и большего удобства его использования. Более подробную информацию об использовании файлов cookies можно найти здесь, наши правила обработки персональных данных – здесь. Продолжая пользоваться сайтом, вы подтверждаете, что были проинформированы об использовании файлов cookies сайтом НИУ ВШЭ и согласны с нашими правилами обработки персональных данных. Вы можете отключить файлы cookies в настройках Вашего браузера.
✖
Обычная версия сайта
2020/2021 учебный год
Для младших классов: максимальная оценка за всю работу — 100 баллов. Если сумма баллов, набранных участником по всем задачам, превосходит 100, его итоговая оценка равна 100.
Для старших классов: итог подводится по трём задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты; баллы за пункты одной задачи суммируются.
2019/2020 учебный год
Для младших классов: максимальная оценка за всю работу — 100 баллов. Если сумма баллов, набранных участником по всем задачам, превосходит 100, его итоговая оценка равна 100.
Для старших классов: итог подводится по трём задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты; баллы за пункты одной задачи суммируются.
2018/2019 учебный год
Задания
Решения и критерии
2017/2018 учебный год
2016/2017 учебный год
2015/2016 учебный год
2014/2015 учебный год
2013/2014 учебный год
2012/2013 учебный год
Задания 8 класс (задачи 1 и 2 имеют вес 16 баллов, остальные — 17 баллов)
Задания 9 класс (все задачи имеют равный вес (кроме 4): 17 баллов, задача 4 — 15 баллов)
Задания 10 класс (все задачи имеют равный вес (кроме 2): 17 баллов, задача 2 — 15 баллов)
Задания 11 класс (все задачи имеют равный вес (кроме 3): 17 баллов, задача 3 — 15 баллов)
2011/2012 учебный год
Сложные функции.
{g(x)}$, где $a>0$, $a≠1$ равносильны уравнению $f(x)=g(x)$.
Логарифмические уравнения вида: $log_af(x)=log_ag(x)$, где $a>0$, $a≠1$ равносильны уравнению $f(x)=g(x)$.
На применение данного метода накладывается серьезное ограничение: функция $h(x)$ должна быть строго монотонной, т.е. только возрастать или только убывать (другими словами — одно и тоже значение функция может принимать только один раз). Ребята, вспомните графики показательных, логарифмических и иррациональных функций. Они все строго монотонные. Если функция h(x) – не монотонная, то данный метод применять нельзя, т.к. возможна потеря корней.
Давайте приведем простой пример. Тригонометрические функции – периодические (на определенных промежутках то возрастают, то убывают). Уравнение $sin(15x)=sin(6x)$ – имеет бесконечно много корней. Можно представить схематично два графика и заметить, что пересекаться они будут бесконечно много раз. {2}(π+\frac{x}{2})-\frac{1}{2}sin(x)=0$.
Вопросы и решения по математике для 11 класса
Консорциум Smarter Balanced Assessment Consortium (SBAC) — это стандартизированный тест, который включает в себя различные вопросы, усовершенствованные с помощью новых технологий.
Некоторые из них: Множественный выбор — один правильный ответ, Множественный выбор — несколько правильных ответов, Таблицы соответствия, Перетаскивание, Горячий текст, Заполнение таблицы, Графики, Уравнение / числовое значение, Расширенный составной ответ, Краткий ответ и многие другие.
Эта страница содержит несколько примеров вопросов и ссылок на практические тесты по математике для 11 класса, которые дадут вам представление о вопросах, которые ваши ученики, вероятно, увидят на тесте.После каждого типового вопроса следует объяснение ответа. Объяснение включает в себя важные аспекты задачи, которые вам, возможно, придется учитывать в отношении навыков, процессов и информации, которые должны знать ваши ученики.
Домен: 11 класс >> Число и количество — Система вещественных чисел
Пример вопроса: Умножьте 36/49 и 21/63. К какому типу числа относится результат
Числа нельзя умножать
57/112, рациональный
12/49, рациональный
12/49, иррациональный
Объяснение ответа: Напомним, что рациональное число — это любое число, которое может быть выражено как отношение или частное двух целых чисел (дробей).Иррациональные числа — это числа, которые нельзя выразить дробью. Оба числа являются дробными. Следовательно, они оба являются рациональными числами. Умножьте их вместе и упростите ответ: 36 / 49,21 / 63 = (4 / 7,9 / 7) .3 / 9,7 / 7 = 12/49. Ответ — дробь. Таким образом, это рациональное число.
Стандарты: HSN.RN.B.3
Нажмите здесь, чтобы попрактиковаться: Число и количество — Вопросы по системе вещественных чисел по математике в 11 классе
Домен: Уровень 11 >> Количество и количество — Количество
Пример вопроса: На графике ниже показаны колебания одной из струн скрипки во время игры. Что верно в отношении масштаба оси Y графика?
Каждая отметка на оси Y, вероятно, может составлять один фут.
Каждая отметка на оси Y, вероятно, может составлять один сантиметр.
Каждая отметка на оси Y, вероятно, может составлять один миллиметр.
Каждая отметка на оси Y, вероятно, может составлять один дюйм.
Ответ Пояснение: На графике представлена амплитуда вибрирующей струны скрипки. Когда струна скрипки следует этому графику, струна растягивается в одном направлении, а затем в другом.Каждый раз, когда строка пересекает ось x, она оказывается в исходном положении. Это движение настолько мало, что человеческий глаз почти не видит. Поэтому блок должен быть очень маленьким. Самый маленький выбор — миллиметр.
Стандарты: HSN.RN.A.1
Нажмите здесь, чтобы попрактиковаться: Число и количество классов 11 — Количество вопросов
Домен: 11 класс >> Число и количество — комплексная система счисления
Пример вопроса: Что такое спряжение комплексного числа 7 + 3i?
-7 + 3i
-7-3i
3i
7-3i
Объяснение ответа:
Стандарты: HSN. RN.A.1
Нажмите здесь, чтобы попрактиковаться: Математические числа и количество в 11 классе — вопросы по комплексной системе счисления
Домен: 11 класс >> Число и количество — векторные и матричные количества
Пример вопроса: Вычтите эти два вектора − 12, −23⟩ − ⟨− 8, −14⟩.
− 4, −9⟩
(4,9)
⟨− 9, −4⟩
⟨− 20, −37⟩
Объяснение ответа: Вопрос просит нас вычесть эти два вектора ⟨− 12, −23⟩ − ⟨− 8, −14⟩.Если у нас есть два вектора, v → = (x 1 , y 1 ) и w → = (x 2 , y 2 ), то разность двух векторов равна v → −w → = ⟨X 1 −x 2 , y 1 −y 2 ⟩. В этом вопросе мы вычитаем ⟨− 12, −23⟩ − ⟨− 8, −14⟩. Разница составляет ⟨− 12 — (- 8), — 23 — (- 14)⟩ = ⟨− 4, −9⟩
.
Стандарты: HSN.VM.B.4
Щелкните здесь, чтобы попрактиковаться: Число и количество — Вопросы о векторных и матричных величинах для 11 класса по математике
Область: 11 класс >> Алгебра — арифметика с многочленами и рациональными выражениями
Пример вопроса: Вычесть (x 3 + 2x 2 -x + 7) из (4x 3 + 6×2 + 2x-7)
Щелкните здесь, чтобы попрактиковаться: Алгебра — Арифметика с многочленами и рациональными выражениями Вопросы для 11 класса по математике
Область: 11 класс >> Алгебра — видение структуры в выражениях
Пример вопроса: Каков коэффициент третьего члена выражения 5x 3 y 4 + 7x 2 y 3 −6xy 2 −8xy?
6
7
-8
-6
Ответ Объяснение: Выражение 5x 3 y 4 + 7x 2 y 3 −6xy 2 −8xy — это полиномиальное выражение с четырьмя членами. Коэффициент термина — это число перед термином. Если термин начинается с отрицательного числа, то коэффициент является отрицательным числом, независимо от того, содержит ли термин переменные или нет. Третий член — -6xy 2 , а число перед членом — -6.
Стандарты: HSA.SSE.A.1
Щелкните здесь, чтобы попрактиковаться: Алгебра — определение структуры выражений Вопросы для 11 класса по математике
Область: 11 класс >> Алгебра — создание уравнений
Пример вопроса: Мэдисон является торговым представителем дилера транспортных средств.Каждый месяц она продает две машины на каждые 10 велосипедов и четыре мотоцикла на каждую машину. Если она делает 40 продаж в месяц, а переменная x представляет количество автомобилей, которые она продает, какое уравнение вы могли бы использовать, чтобы определить, сколько автомобилей она продает?
х + 5х + 4х = 40
х + 5х + 4х = 20
2x + 10x + 8x = 40
2x + 10x + 8x = 20
Ответ Объяснение: Если мы используем переменную x для количества автомобилей, которые продает Мэдисон, и она продает две машины на каждые 10 велосипедов, то она продает в пять раз больше велосипедов, чем автомобилей. Таким образом, она продает 5 велосипедов. Тогда, если она продаст четыре мотоцикла на каждую машину, количество проданных мотоциклов будет в 4 раза больше. Задача гласит, что она делает 40 продаж в месяц, поэтому сложите автомобили, велосипеды и мотоциклы и сделайте эту сумму равной 40. Уравнение: x + 5x + 4x = 40.
Стандарты: HSA.CED.A.1
Щелкните здесь, чтобы попрактиковаться: Алгебра — Создание уравнений Вопросы для 11 класса по математике
Область: 11 класс >> Алгебра — Рассуждение с помощью уравнений и неравенств
Пример вопроса: Каково решение 6x + 5 = 101?
19
13
17
16
Объяснение ответа: Вопрос просит вас найти решение 6x + 5 = 101.Начните с вычитания 5 из обеих частей уравнения. Это дает вам 6x = 96. Затем разделите обе стороны на 6 и x = 16.
Стандарты: HSA.CED.A.4
Щелкните здесь, чтобы попрактиковаться: Алгебра — Рассуждение с помощью уравнений и неравенств Вопросы для 11 класса по математике
Домен: 11 класс >> Функции — функции устного перевода
Пример вопроса: Функция f (x) = — 1/8 (x − 7/2) 2 + 3/2 — это путь футбольного мяча во время тренировочной игры. Его график показан ниже. Какая часть домена этой функции фактически моделирует эту ситуацию?
[7,0]
[-1,7]
(-∞, ∞)
[0,7]
Ответ Объяснение: Функция является полиномиальной функцией. Область определения всех полиномиальных функций в математическом контексте равна (−∞, ∞). Однако в контексте реального мира домен должен позволять функции подчиняться правилам реального мира. Удар по мячу происходит за время, равное 0 секундам, и мяч приземляется, согласно графику, за время, равное 7 секундам.Следовательно, домен равен [0,7].
Стандарты: HSF.IF.B.5
Щелкните здесь, чтобы попрактиковаться: Функции — вопросы по интерпретации функций для 11 класса по математике
Домен: Уровень 11 >> Функции — Функции построения
Пример вопроса: Чем график f (x) = x + 7 отличается от g (x) = x + 12?
При смещении f (x) на 5 единиц будет получено g (x)
g (x) получается смещением f (x) вниз на 5 единиц
Когда g (x) сдвигается вверх на 5 единиц, будет получено f (x)
f (x) получается сдвигом g (x) вверх на 5 единиц
Ответ Объяснение: Значение, добавленное к функции, вызывает вертикальный сдвиг на графике. Поскольку 12 на 5 единиц больше, чем 7, график g (x) получается сдвигом f (x) на 5 единиц вверх.
Стандарты: HSF.BF.B.3
Щелкните здесь, чтобы попрактиковаться: Functions — Building Functions Questions for 11 Grade 11 Math
Домен: 11 класс >> Функции — линейные, квадратичные и экспоненциальные модели
Пример вопроса: Какая функция изображена ниже на графике?
f (x) = 5 (0,5) x
f (x) = 5 (0.4) х
f (x) = 4 (0,5) x
f (x) = 5 (1,5) x
Ответ Пояснение: График показывает, что функция является функцией экспоненциального роста. Формула для экспоненциальной функции: f (x) = ab x , где a — точка пересечения по оси y, а b — коэффициент роста. Если экспоненциальная функция является функцией роста, то b> 1. Если экспоненциальная функция является функцией убывания, то 0 x.
Стандарты: HSF.LE.A.2
Щелкните здесь, чтобы попрактиковаться: Функции — вопросы по линейным, квадратичным и экспоненциальным моделям для 11 класса по математике
Домен: 11 класс >> Функции — тригонометрические функции
Пример вопроса: Если cosσ = −1, каково значение sinσ?
undefined
1
0
-1
Объяснение ответа: Правило:
В таблице ниже приведены точные значения триггерных функций для особых углов.
Щелкните здесь, чтобы попрактиковаться: Функции — Вопросы по тригонометрическим функциям для 11 класса по математике
Домен: 11 класс >> Геометрия — соответствие
Пример вопроса: Предположим, что PQRS переведен, как показано на рисунке ниже. Как переводится параллелограмм?
Объяснение ответа: На рисунке видно, что перевод идет вправо и вниз. Судя по рисунку, расстояние, на которое параллелограмм смещается вправо, равно длине стороны PQ. Кроме того, судя по рисунку, расстояние, на которое параллелограмм перемещен вниз, составляет примерно половину длины бокового QR.
Стандарты: HSG.CO.A.4
Щелкните здесь, чтобы попрактиковаться: Геометрия — вопросы на соответствие для 11 класса по математике
Область: 11 класс >> Геометрия — подобие, прямоугольные треугольники и тригонометрия
Пример вопроса: Выполните растяжение точки C с центром в начале координат с масштабным коэффициентом, равным 1/2.Какова координата точки C ’полученного изображения?
(2, -3/2)
(-3/2, 2)
(8, -6)
(-6, 8)
Ответ Объяснение: Когда расширение выполняется относительно начала координат, координаты точки изображения являются произведением масштабного коэффициента и координат исходной точки. ½ * 4 = 2. ½ * -3 = -3/2.
Стандарты: HSG.SRT.A.1
Щелкните здесь, чтобы попрактиковаться: вопросы по геометрии — подобию, прямоугольным треугольникам и тригонометрии для 11 класса по математике
Домен: 11 класс >> Геометрия — круги
Пример вопроса: Касательная линия проводится к окружности из точки вне окружности.Радиус проводится от центра окружности до точки касания прямой. Какой угол образует радиус с касательной?
0 или
90 или
180 или
270 или
Ответ Объяснение: Радиус окружности, проведенной до точки касания касательной, перпендикулярен касательной.
Стандарты: HSG.C.A.2
Щелкните здесь, чтобы попрактиковаться: Геометрия — Круги Вопросы для 11 класса по математике
Домен: 11 класс >> Геометрия — выражение геометрических свойств с помощью уравнений
Пример вопроса: При написании уравнения y = x 2 + 6x + 7 Анжелика использовала следующие шаги. Если она допустила какие-либо ошибки, объясните их и напишите правильное уравнение. y = x 2 + 6x + 7 y − 7 = x 2 + 6x y − 7−9 = x 2 + 6x + 9 y − 16 = (x + 3) 2 y = (x + 3) 2 +16
Объяснение ответа: Чтобы преобразовать уравнение в стандартную форму, мы должны заполнить квадрат, чтобы получить квадрат бинома, который необходим для стандартной формы. Чтобы завершить квадрат, мы берем половину коэффициента линейного члена, равного 3, затем возводим его в квадрат и прибавляем к обеим сторонам.Затем разложите на множители полный квадрат трехчлена, чтобы получить квадрат бинома. Затем решите относительно y.
Стандарты: HSG.GPE.A.2
Щелкните здесь, чтобы попрактиковаться: Геометрия — Выражение геометрических свойств с помощью уравнений Вопросы для 11 класса по математике
Домен: 11 класс >> Геометрия — Моделирование с помощью геометрии
Пример вопроса: Какова плотность кирпича, занимающего 310 см 3 при массе 853 г?
. 36см 3 / г
2,75 г / см 3
2,64 г / см 3
0,36 г / см 3
Объяснение ответа: V = Bh = lwh Объем прямоугольной призмы
Формула плотности d = m / V. Объем составляет 310 см 3 , а масса — 853 г. Подставьте эти значения в формулу, чтобы найти плотность.
Стандарты: HSG.MG.A.2
Щелкните здесь, чтобы попрактиковаться: Геометрия — моделирование с помощью вопросов по геометрии для 11 класса по математике
Домен: 11 класс >> Геометрия — геометрические измерения и размеры
Пример вопроса: Полусфера радиусом 3 см находится на конусе такого же диаметра и высоты 10 см, как показано на схеме ниже.Найдите общий объем составного объекта.
24πсм 3
36πсм 3
48πсм 3
60πсм 3
Ответ Пояснение: Общий объем объекта — это сумма объемов полусферы и конуса. V = ½ (4/3) πr 3 + (1/3) πr 2 h V = ½ (4/3) π (3m) 3 + (1/3) π (3m) 2 (10 см) V = 48πсм 3
Стандарты: HSG.GMD.A.3
Нажмите здесь, чтобы попрактиковаться: Геометрия — геометрические измерения и вопросы о размерах для 11 класса по математике
Домен: 11 класс >> Статистика и вероятность — интерпретация категориальных и количественных данных
Пример вопроса: Какое влияние оказывает группа очень больших значений на среднее и медианное значение набора данных?
Среднее и медианное значение увеличиваются
Среднее значение не изменилось, но медиана увеличилась
Среднее значение и медиана не изменены
Среднее значение увеличилось, но медиана уменьшилась
Объяснение ответа: На рисунке ниже показано влияние на среднее и медианное значение в результате добавления некоторых очень больших элементов в набор данных.Поскольку новые элементы очень большие, они оказывают значительное влияние на среднее значение, поскольку их очень большие значения усредняются с другими значениями в наборе. Медиана также подвержена влиянию и движется в том же направлении, что и среднее.
Стандарты: HSS.ID.A.3
Щелкните здесь, чтобы попрактиковаться: Статистика и вероятности — Интерпретация категориальных и количественных данных Вопросы для 11 класса по математике
Область: 11 класс >> Статистика и вероятность — выводы и обоснование выводов
Пример вопроса: Есть десять игральных карт, четыре из них красные и шесть черных.Джулиан выбирает карту наугад. Какова вероятность того, что он получит красную карточку?
Объяснение ответа: Вероятность рассчитывается как отношение количества успехов к количеству возможных вариантов выбора.
Вопрос спрашивает вероятность выбора красной карточки. Из десяти карт четыре красные.
Таким образом, вероятность выбрать красную карточку составляет четыре из десяти, что сокращается до двух из пяти.Это соотношение составляет 2/5
.
Стандарты: HSS.IC.A.1
Нажмите здесь, чтобы попрактиковаться: Статистика и вероятность — делать выводы и обосновывать выводы Вопросы для 11 класса по математике
Область: 11 класс >> Статистика и вероятность — условная вероятность и правила вероятности
Пример вопроса: На диаграмме Венна ниже показаны результаты опроса о том, какие виды спорта люди любят смотреть по телевизору. Участники опроса могли выбрать один вид спорта, два вида спорта или все три вида спорта.В каком регионе (ах) содержатся ответы, в которых участник опроса указал, что он / она любит смотреть только один вид спорта?
B, C, D
E, F, G
B, A, D
A, B, C
Объяснение ответа: Каждый кружок содержит ответы, которым нравится этот определенный цвет. Следовательно, в регионах A, B, C, E содержатся ответы о том, что нравится смотреть бейсбол. Области D, A, D, G содержат ответы о том, что нравится смотреть баскетбол.Области A, B, D, F содержат ответы о том, что любят смотреть футбол. Если буква находится в двух кружках, регион содержит ответы о том, что любил смотреть спортивные состязания, представленные обоими кружками. Если регион находится во всех трех кругах, этот регион содержит ответы, которые хотели бы посмотреть все три вида спорта. Если регион находится только в одном круге, этот регион содержит ответы, в которых говорится, что им нравится смотреть только спорт, представленный этим кругом. Области, которые находятся только в одном круге, — это E, F, G.
Стандарты: HSS.CP.A.1
Нажмите здесь, чтобы попрактиковаться: Статистика и вероятность — условная вероятность и правила вероятностных вопросов для 11 класса по математике
Область: 11 класс >> Статистика и вероятность — использование вероятности для принятия решений
Пример вопроса: Бюро переписи населения предоставило отчет, в котором говорилось, что средний уровень дохода жителей Флориды составляет 47 463 человека. Основываясь на этой информации, если вы провели опрос 100 случайных работников во Флориде, какова вероятность, что доход респондентов превышает 47 463 человека?
65%
35%
80%
50%
Объяснение ответа: Медиана — это среднее число, когда все числа в наборе расположены от наименьшего значения к наибольшему значению.В вопросе говорится, что средний уровень дохода во Флориде составляет 47 463 человека, то есть половина рабочих во Флориде составляет менее 47 463 человек, а половина рабочих во Флориде — более 47 463 человек. Это означает, что, согласно отчету Бюро переписи населения, вероятность того, что доход случайно выбранного человека превышает 47 463 человека, составляет 50%.
Стандарты: HSS.MD.A.4
Щелкните здесь, чтобы попрактиковаться: Статистика и вероятность — использование вероятности для принятия решений Вопросы для 11 класса по математике
Вопросы по алгебре с решениями и ответами для 11-го класса
Вопросы
Заполните квадрат квадратичной функции f, заданной формулой f (x) = 2x 2 — 6x + 4
Найдите точку (точки) пересечения параболы с уравнением y = x 2 — 5x + 4 и прямой с уравнением y = 2x — 2
Найдите константу k так, чтобы: -x 2 — (k + 7) x — 8 = — (x — 2) (x — 4)
Найдите центр и радиус окружности с помощью уравнения x 2 + y 2 -2x + 4y — 11 = 0
Найдите постоянную k так, чтобы квадратное уравнение 2x 2 + 5x — k = 0 имело два действительных решения.
Найдите постоянную k так, чтобы система двух уравнений: 2x + ky = 2 и 5x — 3y = 7 не имела решений.
Разложите выражение на множители 6x 2 — 13x + 5
Упростим i 231 , где i — мнимая единица, определяемая как: i = √ (-1).
Каков остаток от деления f (x) = (x — 2) 54 на x — 1?
Найдите b и c так, чтобы парабола с уравнением y = 4x 2 — bx — c имела вершину в (2, 4)?
Найдите все нули многочлена P (x) = x 3 — 3x 2 — 10x + 24, зная, что x = 2 является нулем многочлена.
Если x — целое число, какое наибольшее значение x удовлетворяет условию 5 <2x + 2 <9?
Наборы A и B задаются следующим образом: A = {2, 3, 6, 8, 10}, B = {3, 5, 7, 9}. a) Найдите пересечение множеств A и B. б) Найдите объединение множеств A и B.
Упростить | — x 2 + 4x — 4 |.
Найдите константу k так, чтобы прямая с уравнением y = kx касалась окружности с уравнением (x — 3) 2 + (y — 5) 2 = 4.
Решения вышеуказанных вопросов
f (x) = 2 (x 2 — 3x) + 4: множитель 2 в первых двух членах = 2 (x 2 — 3x + (-3/2) 2 — (-3/2) 2 ) + 4: сложить и вычесть (-3/2) 2 = 2 ( x — 3/2)) 2 — 1/2: полный квадрат и сгруппированные термины
2x — 2 = x 2 — 5x + 4: заменить y на 2x — 2 x = 1 и x = 6: решение квадратного уравнения (1, 0) и (6, 10): точки пересечения
-x 2 — (k + 7) x — 8 = — (x — 2) (x — 4): задано -x 2 — (k + 7) x — 8 = -x 2 + 6x — 8 — (k + 7) = 6: два многочлена равны, если их соответствующие коэффициенты равны. k = -13: решите вышеуказанное для k
x 2 — 2x + y 2 + 4y = 11: сложите члены в x вместе и члены в y вместе (х — 1) 2 + (y + 2) 2 -1 — 4 = 11 (x — 1) 2 + (y + 2) 2 = 4 2 : запишите уравнение круга в стандартной форме center (1, -2) и radius = 4: определить центр и радиус
Определитель = -6 — 5k -6 — 5k = 0: когда определитель равен нулю (и уравнения независимы), система не имеет решения k = -6/5: решить относительно k
6x 2 — 13x + 5 = (3x — 5) (2x — 1)
Обратите внимание, что i 4 = 1 Отметим также, что 231 = 4 * 57 + 3 Отсюда i 231 = (i 4 ) 57 * i 3 = 1 57 * -i = -i
остаток = f (1) = (1-2) 54 = 1: теорема об остатке
h = b / 8 = 2: формула для координаты x вершины b = 16: решить относительно b y = 4 для x = 2: вершина точки является решением уравнения параболы 4 (2) 2 — 16 (2) — с = 4 c = -20: решить относительно c
разделите P (x) на (x — 2), чтобы получить x 2 — x + 12 P (x) = (x 2 — x + 12) (x — 2) = (x — 4) (x + 3) (x — 2): множить квадратичный член нули: 4, -3 и 2
5 <2x + 2 <9: дано
3/2 <х <7/2
наибольшее целое значение 3 (целое число меньше 7/2)
A пересечение B = {3}: общий элемент для A и B равен 3 Объединение B = {2, 3, 6, 8, 10, 5, 7, 9}: все элементы A и B находятся в объединении.Элементы, общие для A и B, указываются только один раз, поскольку это набор.
(x — 3) 2 + (y — 5) 2 = 4: задано (x — 3) 2 + (kx — 5) 2 = 4: заменить y на kx x 2 (1 + k 2 ) — x (6 + 10k) + 21 = 0: развернуть и записать квадратное уравнение в стандартной форме. (6 + 10k) 2 — 4 (1 + k 2 ) (21) = 0: для того, чтобы окружность и прямая y = kx касались, дискриминант вышеуказанного квадратного уравнения должен быть равен нулю. . 16k 2 + 120k — 48 = 0: развернуть вышеприведенное уравнение k = (-15 + √ (273) / 4, k = (-15 — √ (273) / 4): решите вышеуказанное квадратное уравнение.
Spectrum математика 8 класс ответы
5 Проверьте, что вы знаете НАЗВАНИЕ Spectrum Math Проверьте, что вы знаете 2 класс Глава 1 Понимание и использование чисел Напишите нечетное или четное.Напишите уравнение, соответствующее массиву.
15 ноября 2018 г. · Учебное пособие по математике Spectrum, 8 класс [PDF] 1. Учебное пособие по математике Spectrum, 8 класс [PDF] 2. Сведения о книге Автор: Страниц: 160 страниц Издатель: Spectrum 2014-08-15 Язык: английский ISBN- 10: 1483808769 ISBN-13: 9781483808765 3. Сводная книга Укрепите свои математические навыки восьмиклассника с помощью Spectrum Math.
Предоставляется ключ для ответа на викторину. Викторина по солнечной системе; Планы уроков Держите своих учеников в курсе наших планов уроков.Учащиеся используют математические навыки для вычисления силы тяжести, массы и веса, а также для создания солнечного затмения в практических занятиях и завершения эксперимента по закону движения. Гравитация и вес на других планетах
Spectrum Math, 6-й класс Описание книги Spectrum Math, 6-й класс Читать электронную книгу Онлайн PDF EPUB KINDLE, Spectrum Math, 6-й класс pdf, Spectrum Math, 6-й класс читать онлайн …
Простая математика язык, а также головоломки, игры, викторины, рабочие листы и форум. Для школьников, учителей и родителей.
процент правильных ответов = 60% (20-8) / 20 * 100% = 12/20 * 100% = 60% В большинстве школьных систем это переводится как F — для НЕУДАЧИ Какого возраста вы учитесь в 8 классе? Большинство детей учатся в возрасте от 13 до 14 лет …
Подготовка к тесту Spectrum 8 класс включает стратегические задания по языковым искусствам и математике, советы по тестам, которые помогут ответить на вопросы, а также критическое мышление и рассуждения. Серия Spectrum Test Prep для 1-8 классов была разработана экспертами в области образования и была создана, чтобы помочь учащимся улучшить и укрепить свои навыки сдачи тестов.
Деньги Оценка 6 Рубрика Основными элементами производительности, требуемыми этой задачей, являются: • интерпретация гистограмм. На их основе баллы за определенные аспекты производительности должны быть присвоены следующим образом: баллы, раздел баллы 1. Дает правильные ответы: Дэнни Крис Бен Али Все четыре правильных ответа Частичный балл Три правильных ответа
Выпущенные тесты и наборы предметов
Ваш браузер не поддерживает джаваскрипт! Этот сайт использует JavaScript, но полностью работает без него.Стандарты обучения (SOL) и тестирования
Выпущенные тесты являются репрезентативными для содержания и навыков, включенных в тесты SOL в Вирджинии, и предназначены для помощи в понимании формата тестов и вопросов. Для некоторых курсов SOL предоставляются наборы тестовых заданий, а не полные выпущенные тесты, поскольку банк тестовых заданий для этих курсов не может поддерживать полную версию. Для наборов тестовых заданий невозможно предоставить исходные баллы для таблиц масштабированных баллов, поскольку они не представляют собой полные формы тестов.Точно так же таблица необработанных баллов по шкале оценок не может быть предоставлена для компонента MC / TEI письменного теста в конце курса, поскольку он не представляет собой полную форму теста.
Онлайн-версия тестов или наборов тестовых заданий больше не доступна, так как программное обеспечение доставки тестов было изменено. Версия PDF будет содержать ключ ответа для всех элементов теста или набора тестовых элементов.
В PDF-документах для тестов и наборов тестовых заданий, выпущенных весной 2015 г. и весной 2014 г., показаны изображения тестовых заданий в том виде, в каком они появились в формате онлайн-теста.Из-за различий в компьютерных мониторах цвет объекта на одном мониторе может отличаться от цвета другого.
Чтение
Таблица уровней знаний по чтению
Класс 3
выпущен весной 2015 г .: PDF
Лист ответов
4 класс
выпущен весной 2015 г .: PDF
Класс 5
выпущен весной 2015 г .: PDF
6 класс
выпущен весной 2015 г .: PDF
Класс 7
выпущен весной 2015 г .: PDF
8 класс
выпущен весной 2015 г .: PDF
Окончание курса
выпущен весной 2015 г .: PDF
Запись Наука
5 класс
выпущен весной 2015 г .: PDF
Лист ответов
8 класс
выпущен весной 2015 г .: PDF
Науки о Земле
Модель
выпущена весной 2015 г. PDF
Биология
выпущен весной 2015 г .: PDF
Химия
выпущен весной 2015 г .: PDF
Математика
Оценка 3
выпущен весной 2014 г .: PDF
Лист ответов
4 класс
выпущен весной 2014 г .: PDF
5 класс
выпущен весной 2014 г .: PDF
6 класс
выпущен весной 2014 г .: PDF
7 класс
выпущен весной 2014 г .: PDF
8 класс
выпущен весной 2014 г .: PDF
Алгебра I
выпущен весной 2015 г .: PDF выпущен весной 2014 г .: PDF
Геометрия
выпущен весной 2015 г .: PDF выпущен весной 2014 г .: PDF
Алгебра II
выпущен весной 2015 г .: PDF выпущен весной 2014 г .: PDF
История и общественные науки
Банкноты
Если у вас возникли проблемы с печатью или просмотром, посетите страницу Adobe «Устранение проблем с печатью».
Последние версии выпущенных тестов SOL со шрифтом Брайля и крупным шрифтом доступны в печатном виде. Пожалуйста, свяжитесь с директором отдела тестирования в вашем местном школьном отделении для получения дополнительной информации.
Слово неравенство означает математическое выражение, в котором стороны не равны друг другу.По сути, неравенство сравнивает любые два значения и показывает, что одно значение меньше, больше или равно значению на другой стороне уравнения.
Как правило, для представления уравнений неравенства используются пять символов неравенства.
Символы неравенства
Эти символы неравенства: меньше ( <), больше (> ), меньше или равно ( ≤ ), больше или равно ( ≥ ) и символ неравенства ( ≠ ) .
Неравенства используются для сравнения чисел и определения диапазона или диапазонов значений, которые удовлетворяют условиям данной переменной.
Операции с неравенствами
Операции с линейными неравенствами включают сложение, вычитание, умножение и деление. Общие правила этих операций показаны ниже.
Хотя мы использовали символ <для иллюстрации, следует отметить, что те же правила применяются к>, ≤ и ≥.
Символ неравенства не меняется при добавлении одного и того же числа к обеим сторонам неравенства.Например, если a
Вычитание обеих частей неравенства на одно и то же число не меняет знака неравенства. Например, если a
Умножение обеих частей неравенства на положительное число не меняет знака неравенства. Например, если a
Разделение обеих сторон неравенства на положительное число не меняет знака неравенства. Если a
Умножение обеих сторон уравнения неравенства на отрицательное число изменяет направление символа неравенства.Например, если a b *
Аналогичным образом, разделение обеих сторон уравнения неравенства на отрицательное число изменяет символ неравенства. Если a b / c
Как устранить неравенства?
Подобно линейным уравнениям, неравенства можно решить, применяя аналогичные правила и шаги за некоторыми исключениями. Единственная разница при решении линейных уравнений — это операция умножения или деления на отрицательное число.Умножение или деление неравенства на отрицательное число изменяет символ неравенства.
Линейные неравенства могут быть решены с помощью следующих операций:
Сложение
Вычитание
Умножение
Деление
Распределение собственности
Решение линейных неравенств с добавлением
Давайте посмотрим на несколько примеров ниже, чтобы понять это понятие.
Пример 1
Решите 3x — 5 ≤ 3 — x.
Решение
Начнем с добавления обеих сторон неравенства на 5
3x — 5 + 5 ≤ 3 + 5 — x
3x ≤ 8 — x
Затем сложим обе стороны на x.
3x + x ≤ 8 — x + x
4x ≤ 8
Наконец, разделите обе части неравенства на 4, чтобы получить;
x ≤ 2
Пример 2
Вычислите диапазон значений y, который удовлетворяет неравенству: y — 4 <2y + 5.
Решение
Сложите обе части неравенства на 4.
y — 4 + 4 <2y + 5 + 4
y <2y + 9
Вычтите обе части на 2y.
y — 2y <2y - 2y + 9
Y <9 Умножьте обе части неравенства на -1 и измените направление символа неравенства. y> — 9
Решение линейных неравенств с вычитанием
Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.
Пример 3
Решите x + 8> 5.
Решение
Изолируйте переменную x, вычтя 8 из обеих сторон неравенства.
x + 8-8> 5-8 => x> −3
Следовательно, x> −3.
Пример 4
Решите 5x + 10> 3x + 24.
Решение
Вычтите 10 из обеих сторон неравенства.
5x + 10-10> 3x + 24-10
5x> 3x + 14.
Теперь вычтем обе части неравенства на 3x.
5x — 3x> 3x — 3x + 14
2x> 14
x> 7
Решение линейных неравенств с умножением
Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.
Пример 5
Решить x / 4> 5
Решение:
Умножить обе стороны неравенства на знаменатель дроби
4 (x / 4)> 5 x 4
x> 20
Пример 6
Решите -x / 4 ≥ 10
Решение:
Умножьте обе стороны неравенства на 4.
4 (-x / 4) ≥ 10 x 4
-x ≥ 40
Умножьте обе стороны неравенства на -1 и измените направление символа неравенства на противоположное.
x ≤ — 40
Решение линейных неравенств с делением
Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.
Пример 7
Решите неравенство: 8x — 2> 0.
Решение
Прежде всего, сложите обе части неравенства на 2
+ 2> 0 + 2
8x> 2
Теперь решите, разделив обе части неравенства на 8, чтобы получить;
x> 2/8
x> 1/4
Пример 8
Решите следующее неравенство:
−5x> 100
91 9324 Оба решения сторон неравенства на -5 и измените направление символа неравенства
= −5x / -5 <100 / -5
= x <- 20
Решение линейных неравенств с использованием свойства распределения
Давайте посмотрим на несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.
Пример 9
Решить: 2 (x — 4) ≥ 3x — 5
Решение
2 (x — 4) ≥ 3x — 5
Примените свойство распределения, чтобы удалить скобки.
⟹ 2x — 8 ≥ 3x — 5
Сложить обе стороны на 8.
⟹ 2x — 8 + 8 ≥ 3x — 5 + 8
⟹ 2x ≥ 3x + 3
Вычесть обе стороны на 3.
⟹ 2x — 3x ≥ 3x + 3 — 3x
⟹ -x ≥ 3
⟹ x ≤ — 3
Пример 10
Студент набрал 60 баллов за первый тест и 45 баллов во втором тесте заключительного экзамена.Сколько минимальных баллов должен набрать ученик в третьем тесте, получив в среднем не менее 62 баллов?
Решение
Пусть в третьем тесте выставлены оценки x.
(60 + 45 + x) / 3 ≥ 62 105 + x ≥ 196 x ≥ 93 Таким образом, ученик должен набрать 93 балла, чтобы поддерживать среднее значение не менее 62 баллов.
Пример 11
Джастину требуется не менее 500 долларов для празднования своего дня рождения.Если он уже накопил 150 долларов, до этой даты осталось 7 месяцев. Какую минимальную сумму он должен откладывать ежемесячно?
Решение
Пусть минимальная ежемесячная экономия = x
150 + 7x ≥ 500
Решить для x
150-150 + 7x ≥ 500-150
x ≥ 50
Следовательно, Джастин должен экономить 50 долларов США или больше
Пример 12
Найдите два последовательных нечетных числа, которые больше 10 и имеют сумму меньше 40.
Решение
Пусть меньшее нечетное число = x
Следовательно, следующее число будет x + 2
x> 10 ………. больше 10
x + (x + 2) <40 …… сумма меньше 40
Решите уравнения.
2x + 2 <40
x + 1 <20
x <19
Объедините два выражения.
10
Следовательно, последовательные нечетные числа — 11 и 13, 13 и 15, 15 и 17, 17 и 19.
Неравенства и числовая линия
Лучшим инструментом для представления и визуализации чисел является числовая линия. Числовая линия определяется как прямая горизонтальная линия с числами, расположенными на равных отрезках или интервалах. У числовой прямой есть нейтральная точка в середине, известная как начало координат. Справа от начала координат на числовой прямой находятся положительные числа, а слева от начала координат — отрицательные числа.
Линейные уравнения также могут быть решены графическим методом с использованием числовой прямой.Например, чтобы построить x> 1 на числовой прямой, вы обведите цифру 1 на числовой прямой и проведете линию, идущую от круга в направлении чисел, которые удовлетворяют утверждению о неравенстве.
Пример 13
Если символ неравенства больше или равен или меньше или равен знаку (≥ или ≤), нарисуйте круг над числовым числом и заполните или заштрихуйте круг.Наконец, проведите линию, идущую от заштрихованного круга в направлении чисел, которая удовлетворяет уравнению неравенства.
Пример 14
x ≥ 1
Та же процедура используется для решения уравнений, включающих интервалы.
Пример 15
–2 < x <2
Пример 16
–1122000
00
00
–1
Пример 17
–1 < x ≤ 2
Практические вопросы
Решите следующие неравенства и представьте свой ответ на числовой прямой.
2x> 9
x + 5> 13
−3x <4
7x + 11> 2x + 5
2 (x + 3)
— 5 ≤ 2x — 7 ≤ 1
4x — 8 ≤ 12
Ответы
x> 9/2
x> 8
x> −4/3
x> −6/5
x <−5.
1 ≤ x ≤ 4.
x ≤ 5
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок
Тестовые вопросы, выпущенные STAAR | Агентство образования штата Техас
Оценка учащихся, домашняя страница | Справочник по оценке успеваемости учащихся | Связаться с программой оценки успеваемости учащихся
Агентство по образованию штата Техас (TEA) выпускает два типа тестовых вопросов для программы оценки академической готовности штата Техас (STAAR ® ) — образцы вопросов и формы тестов.Примеры тестовых вопросов — это небольшие подгруппы тестовых вопросов, выпущенные из банков тестов STAAR. Эти тестовые вопросы могли быть заданы ранее. Тестовая форма — это набор выпущенных тестовых вопросов, которые ранее совместно задавались студентам из Техаса, которые отражают тестовые планы STAAR.
Чтобы увидеть все доступные ресурсы STAAR, посетите веб-страницу ресурсов STAAR.
Тесты по чтению и письму
STAAR содержат разное количество аутентичных опубликованных текстов. Разрешение на авторские права на эти тексты получено от издателей подрядчиком по тестированию от имени TEA.Эти соглашения об авторских правах могут включать, а могут и не включать разрешение на выпуск более широкого небезопасного выпуска после тестирования. Если материал, который использовался во время тестирования, не мог быть включен в выпущенную тестовую форму из-за определенных разрешений авторского права, предоставляется текст в форме, указывающий, откуда был взят исходный материал.
STAAR выпустил тестовую информацию об авторских правах
STAAR
Выпущены тестовые бланки и ключи для ответов (бумажные администрации)
Выпущенные тестовые формы, которые вводились на бумаге, выпускаются в виде PDF-файлов.Эти документы доступны по ссылкам ниже.
Руководства по выставлению оценок доступны на веб-странице ресурсов STAAR Writing и English I, II, III.
Авторские права — информацию об авторских правах см. На веб-странице Авторские права и Условия использования.
Печать — при печати выпущенных вопросов по математике убедитесь, что в меню «Печать» установлено значение 100% печати страниц, чтобы гарантировать, что изображение отражает предполагаемые размеры.
Печатная копия — Закажите бумажные копии выпущенных бумажных тестов в ETS или связавшись со Службой заказов ETS по телефону 800-537-3160.
Выпущенные формы тестов и ключи ответов (онлайн-администрирование)
Выпущенные формы тестов, которые вводились в режиме онлайн, выпускаются как практические тесты. Эти выпущенные практические тесты доступны на платформе онлайн-тестирования STAAR. Практические онлайн-тесты недоступны для печати или оценки. Если вы хотите получить балл за прохождение практического онлайн-теста своего ученика, вам следует попросить ученика записать свои ответы на отдельном листе бумаги. Затем вы можете использовать ключ ответа ниже, чтобы набрать балл в практическом тесте STAAR.
Руководства по выставлению оценок доступны на веб-странице ресурсов STAAR Writing и English I, II, III.
STAAR Испанский
Выпущены тестовые бланки и ключи для ответов (бумажные администрации)
Выпущенные тестовые формы, которые вводились на бумаге, выпускаются в виде PDF-файлов. Эти документы доступны по ссылкам ниже.
Руководства по выставлению оценок доступны на веб-странице ресурсов STAAR Writing и English I, II, III.
Авторские права — информацию об авторских правах см. На веб-странице Авторские права и Условия использования.
Печать — при печати выпущенных вопросов по математике убедитесь, что в меню «Печать» установлено значение 100% печати страниц, чтобы гарантировать, что изображение отражает предполагаемые размеры.
Печатная копия — Закажите бумажные копии выпущенных бумажных тестов в ETS или связавшись со Службой заказов ETS по телефону 800-537-3160.
Выпущенные тестовые формы и ключи ответов (онлайн-администрирование)
Выпущенные формы тестов, которые вводились в режиме онлайн, выпускаются как практические тесты.Эти выпущенные практические тесты доступны на платформе онлайн-тестирования STAAR. Практические онлайн-тесты недоступны для печати или оценки. Если вы хотите получить балл за прохождение практического онлайн-теста своего ученика, вам следует попросить ученика записать свои ответы на отдельном листе бумаги. Затем вы можете использовать приведенный ниже ключ ответа, чтобы получить балл за практический тест, выпущенный STAAR SOA.
STAAR Брайля
Выпущены тестовые бланки и ключи для ответов (бумажные администрации)
Печатные копии опубликованных тестов Брайля можно заказать, позвонив в службу заказа ETS по телефону 800-537-3160.
Руководства по выставлению оценок доступны на веб-странице ресурсов STAAR Writing и English I, II, III.
STAAR Опубликованные образцы вопросов
По ссылкам ниже открытые PDF-версии STAAR опубликовали образцы вопросов.
Авторские права — информацию об авторских правах см. На веб-странице Авторские права и Условия использования.
Печать — при печати выпущенных вопросов по математике убедитесь, что в меню «Печать» установлено значение 100% печати страниц, чтобы гарантировать, что изображение отражает предполагаемые размеры.
STAAR Испанский
Выпущены примеры вопросов
По ссылкам ниже открытые PDF-версии STAAR опубликовали образцы вопросов.
Марка
Примеры вопросов
3
Математика: 2015 | 2011
4
Математика: 2015 | 2011
5
Математика: 2015 | 2011
Наука: 2011
Авторские права — информацию об авторских правах см. На веб-странице Авторские права и Условия использования.
Печать — при печати выпущенных вопросов по математике убедитесь, что в меню «Печать» установлено значение 100% печати страниц, чтобы гарантировать, что изображение отражает предполагаемые размеры.
Архив
Предыдущие тестовые вопросы, выпущенные STAAR
11 класс (9780544569546) :: Домашнее задание Помощь и ответы :: Slader
Анализ текста
с.435
Стратегия словарного запаса: точное использование
п.436
Анализ текста
п.444
Анализ текста
п.454
Анализ текста
с.486
Анализ текста
п.504
Анализ текста
п. 526
Анализ текста
п.541
Язык и стиль: диалог
с.542
Анализ текста и мультимедиа
с. 544
Анализ текста и мультимедиа
п.547
Анализ текста и мультимедиа
п.548
Анализ текста
с.566
Критический словарь
стр. 567
Словарный запас: юридическая терминология
стр. 567
Анализ текста
с.579
Словарная стратегия: этимология
с.580
Критический словарь
с. 580
Анализ текста
с.585
Критический словарь
п.586
Анализ текста
с.594
Стратегия словарного запаса: шаблоны изменения слов
гдз на ефимова и поспелова — Поспелова и Ефимова читать часть 4 Сборник задач по newgdzcomsbornik-zadach20560-pospelova-i Вы здесь: Главная сайта ГДЗ Сборник задач Поспелова и Ефимова читать часть 4 Сборник задач по математике для вуза онлайн Решебник к сборнику задач ефимова и поспелова 2 часть leiproverceabwebnoderunewsreshebnik-k Cached Решебник к сборнику задач ефимова и поспелова 2 часть ефимов поспелов 1 часть гдз Ефимова,поспелова Учебник Математики Часть 2 — spisokkorean spisokkoreanweeblycomblogefimovapospelova Cached Сборник задач по математике для втузов ефимова поспелова Гдз сборник задач по математике для втузов ефимова поспелова — качественная и надёжная программа для вашего компьютера Ефимова читать часть 2 Сборник задач по математике для вузов newgdzcomsbornik-zadach20558-efimova-chitat Cached Поспелова и Ефимова читать часть 4 Сборник задач по математике для вуза онлайн ; Поспелова читать часть 3 Сборник задач по математике для вузов онлайн ГДЗ помощь: решебник сборника задач по математике для втузов gdzpomowblogspotcom201401blog-post_3115html Cached Гдз сборник задач по математике для втузов ефимова поспелова — качественная и надёжная программа для вашего компьютера Сборник задач по математике для втузов Часть 2 — Ефимова АВ wwwmath-solutionrubooks1117 Cached Сборник задач по математике для втузов Часть 2 — Ефимова АВ, Поспелова АС — 2001г Налоги и налогообложение, Ефимова ЕГ, Поспелова ЕБ, 2014 nasholme2016110191592nalogi-i-nalogooblojenie Cached Смотреть, читать и скачать бесплатно pdf, djvu и купить бумажную и электронную книгу по лучшей цене со скидкой: Налоги и налогообложение, Ефимова ЕГ, Поспелова ЕБ, 2014 Сборник задач по математике для втузов, Часть 2, Ефимова АВ nasholme2015031483303sbornik-zadach-po Cached Скачать бесплатно pdf, djvu и купить бумажную и электронную книгу по лучшей цене со скидкой: Сборник задач по математике для втузов, Часть 2, Ефимова АВ, Поспелова АС, 2001 Сборник задач по математике для втузов В 4-х частях Под ред allengorgdmathmath441htm Cached Сборник задач по математике для втузов В 4-х частях Под ред Ефимова АВ, Поспелова АС Решебник к сборнику задач и упражнений по математическому edu-libcomizbrannoereshebnik-k-sborniku Cached Полный решебник к сборнику задач и упражнений по математическому анализу Демидовича БП ( на китайском языке) Китайский Антидемидович Сборник из шести книг, Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of 1 2 3 4 5 Next 8,640
Категория Без категории Просмотров 2 580 Размер файла 7 919 Кб Теги для , задач , втузов , ефимов ,
ред , поспелов , с_2001 , математике , 432с , сборник.
В 4-х ч. Автор: Ефимов А.В. (ред.), Поспелов А.С. (ред.) Описание: Сборники задач для технических ВУЗов. Фактически является переизданием извест
А.С. (ред.) Описание: Сборники задач для технических ВУЗов. Фактически является переизданием известнейшего сборника под ред. Ефимова А.В…
Страница не найдена 404. Возможно, она была удалена или перемещена. Сборник задач по математике ефимова и поспелова решебник часть 2.
Школьные электронные учебники, Учебники 4 класс ГДЗ, скачать бесплатно для электронной. Сборник задач по математике под редакцией ефимова и поспелова гдз.
ГДЗ по математике. 2 класс. волкова с.и., ордынкина и.с. Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. галкин в.я., сычугов д.ю., хорошилова е.в.
ГДЗ по Физике 9 класс Пинского Разумовского ГДЗ по Физике 9 класс Пинского Разумовского. Гдз по химии за 8 класс рабочая тетрадь габриелян и яшукова.
Учебники, пособия, ГДЗ по информатике. Решебник ефимова и демидович. Сборник задач по математике для втузов под ред ефимова а в поспелова а с.
Решебник по математике..ЕФИМОВ.А.В,Поспелов А.С.: сКАЖИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ЕСТЬ ТАКОЙ РЕШЕБНИК? ГДЗ по Алгебре.
…навчання готові відповіді , алешина н в патриотическое воспитание детей дошкольного возраста , скачать руководство по ремонту и эксплуатации ssangyong kyron cкачать , о и мороз планируем работу в группах раннего возраста , гдз…
ефимов
с_2001
djvu и купить бумажную и электронную книгу по лучшей цене со скидкой: Налоги и налогообложение
Часть 2
Часть 2
Нажмите здесь , если переадресация не будет выполнена в течение нескольких секунд гдз на ефимова и поспелова Поиск в Все Картинки Ещё Видео Новости Покупки Карты Книги Все продукты Картинки по запросу гдз на ефимова и поспелова Решебник Ефимов Поспелов Часть freedomsquarefnr freedomsquarefnrweeblycomreshebn апр Решебник Ефимов Поспелов Часть Часть Содержит задачи по решебник к сборнику задач по математике для втузов Ефимов найдите или подскажите где можно скачать его?! Решебник Ефимова и заказ задач МатБюро matburorutv_reshphp?pef Готовые решения решебник Ефимова и выполнение на заказ из Сборника задач по математике для втузов Ефимова Поспелова Решебник Часть Дом решебников hostelvdnxru efimova pospelova фев Ефимова Поспелова Решебник Часть Математика для направления торговое дело Ефимова читать часть Сборник задач по математике для gdz com efimova Название Сборник задач по математике для вузов Язык только русский Автор Ефимова А В , Поспелова А С Поспелова читать часть Сборник задач по математике gdz com pospelova Автор Поспелова А С Ефимова А В Размер Страниц Год Поспелова чи Вы здесь Главная сайта ГДЗ Сборник задач Поспелова читать часть Сборник задач по Решебники по высшей математике руководства по wwwdiaryrueekphtm? авг На вычислительные задачи даны ответы под редакцией АВ Ефимова и АС Поспелова ?? Сборник задач по математике для ВУЗов Часть июн Автор Ефимова АВ, Поспелова АС Содержит ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Примеры Решебник по математике ефимова поспелова Kamyvoip kamyvoipcomreshebnikpo Его самонадеянный вид только еще больше разозлил ее Потом Юлью привели на то место, где погибли решебник сборник задач по математике для втузов wwwbwawarszawaplreshebniksborn апр решебник сборник задач по математике для втузов ефимова поспелова Сборник задач по Гдз ефимова и поспелова tahvaifo kohyanet johhezufokohyanetscv gdz efimova i Только при всём этом труд может приносить положительные эмоции радость, гдз ефимова и поспелова , обраних від провінцій, автономних областей, Учебники, задачники, решебники по математике wwwvariantru Ефимова АВ, Поспелова АС , Сборник задач по курсу , Решебник Высшая математика Специальные Ефимов АВ, Поспелов АС и др Сборник задач по twirpxcomfile Содержит задачи по линейной алгебре, аналитической геометрии, а также общей алгебре Краткие Ефимов АВ, Каракулин АФ, Коган СМ, Поспелов АС wwwfizmatlitnarodruefimovhtm В частях Ч Учебное пособие для втузов Под общ ред АВ Ефимова и А С Поспелова е изд перераб и Решебник к сборнику задач по математике для втузов phahbohmdatavetenskapnuvkxso Поспелов АС ред Описание Сборники задач для технических ВУЗов Решебник ефимов поспелов На нашем Скачать бесплатно Гдз часть ефимова поспелова , без gopahuhisiofbyethostcom gdz Скачать бесплатно Гдз часть ефимова поспелова , без регистрации Поиск рефератов, курсовых, дипломных, контрольных работ Ефимова поспелова решебник часть agostnetru efimova pospelova Ефимов а В , поспелов а С И др Сборник задач по математике Поспелов ефимов решебник Гдз Линейная алгебра и основы математического анализа fukonalmetbabyruthtml май Под Ефимова АВ, Поспелова АС djvu Educational resources of the Internet Mathematics сборник зaдaч для втузов ефимов поспелов решебник дек Решебники и Готовые Домашние Задания на нашем сайте http ALLNEWGDZRU Все ГДЗ с myoutubecom Гдз ефимов поспелов ptzoilru ptzoilru gdz efimovpospelovhtml Карта visa сбербанкна решебник по математик ефимов поспеловв альфа банке, весь заказ можно оплатить за мой сотовый билайн Сборник задач по математике для втузов в х частях под advicemeru gdz sbornikzadachpo Сборник задач по математике для втузов в х частях под ред ефимова ав, поспелова ас скачать гдз решебник для сборника задач для втузов ефимов поспелов ecolebelaircomreshebnikdliasborni апр решебник для сборника задач для втузов ефимов поспелов решебник решебник сборника Решебник ефимов поспелов часть PDF DocPlayerru Решебник ефимов поспелов часть Решебник ефимов поспелов часть Решебник ефимов поспелов часть гдз сборник задач по математике для втузов ефимова fuoneqidbyethostcomtuwu июн Скачать Гдз сборник задач по математике для втузов ефимова поспелова , бесплатно, без Кравцев СВ, Макаров и др Методы решения задач по psyofficerukravcev Категория Учебники для школы Готовые домашние задания по математике Просмотров Кравцев класс Ефимова АВ, Поспелова А С Сборник задач по математике для втузов ред Ефимов АВ, Поспелов АС_ с StudFilesnet фев Работа по теме Сборник задач по математике для втузов В х ч Ч_ ред Ефимов АВ, Гдз по математике класс по книге м и моро gdz pomatematikeklasspoknigemi апр решебник по математике класс моро, бантова, бельтюкова, степанова, Интерактивный Выбор сборника задач для решения на сайте вторая часть Форум из Демидовича Проблема в том, что есть китайский решебник , в котором практически все задачи решены А ефимов с демидовичем и поспелов разве не одно и то же? Сборник задач по математике для втузов Под ред АВ mloginrusbornikzadachpo Ефимов АВ, Каракулин АФ, Поспелов АС, Фролов СВ, Лесин ВВ Сборник задач по математике для втузов Сборник задач по математике для втузов ефимов поспелов vungohphikcroermondnlpbsozpsborni Для проверки выполненных вами заданий следует обратиться к ГДЗ по Украинскому языку класс ГДЗ з решебник сборник задач по математике для втузов ефимов wwwyblcliniccomtwreshebnik решебник сборник задач по математике для втузов ефимов демидович математике для втузов В х частях Под ред Ефимова АВ, Поспелова АС Ефимов АВ, Демидович БП Сборник задач гдз по математике гармония класс obegettech И вроде бы, пока мы университет ефимов поспелов сборник задач гдз окончили, так что им не показывать, если Математика ефимов а в ч решебник viagraizhru viagraizhrumatematikaefimovavch математика в ефимов решебник ч а Помогите найти решебник по математике часть ефимов поспелов гдз ефимова демидовича Viveiros Rego viveirosregocom gdz efimova дн назад гдз ефимова демидовича Ефимов АВ, Демидович БП Сборник задач по математике для Решебник по сборнику задач по математике ефимова поспелова casoqutiluwihiretkdeaee Решебник по сборнику задач по математике ефимова поспелова Вскорости их невмоготу аттестовать дель пусть для перечня но и для линка кабы гдз лукаш дкмолодежныйрфfiles gdz _lukashxml ч назад Вы здесь Главная сайта ГДЗ Сборник задач Поспелова и Ефимова читать В односельчанина, Решебник ефимов поспелов часть ваш фаил уже найден goncharkarureshebnikefimov решебник ефимов поспелов часть Форум для тех кто хочет знать больше, выполнил задание и решил вопрос ГДЗ по алгебре класс макарычев фото wwwbioverru gdz poalgebreklass Сборник задач по математике ефимова поспелова решебник ГДЗ по алгебре класс макарычев фото Ефимова поспелова решебник с нашего сервера pmkfoodru efimova pospelova май ефимова поспелова решебник возможность загрузить необходимый файл с одного из Решебник ефимова поспелова часть subowuxukiml subowuxukimlabfaac Студентам и школьникам книги, математика, решебники Мб Решебник ефимова поспелова часть Размер Задачник ефимов том bagsbannyruzadachnikefimovtom Задачник ефимов том Ефимова АВ, Поспелова АС Том ефимов задачник djvu Содержит задачи по Задачник по математике ефимов gurboyru gurboyruzadachnikpomatematike Гдз по географии максаковский онлайн читать Гдз по математики класс Математике ефимов по задачник Ефимова АВ, Поспелова АС М Физматлит, ; Ч с, Ч Гдз по математике ефимова и поспелова Форум Ikufekyh ikufekyhtk гдз поматематике ефимова Сборник Задач По Математике Для Втузов Ефимова Поспелова Гдз на ефимова и поспелова freerustru gdz na efimova i pospelova Построение решебник по математиков ефимова поспелова тригонометрических функций Улица Ефимова СанктПетербург Википедия Улица Ефи́мова улица в Адмиралтейском районе СанктПетербурга Проходит от Сенной площади до Ефимова и поспелова решебник ГДЗ по английскому языку ryjucoxofportalruforumhtml Ответы на упражнения и задания на сайте ЯГДЗ ГДЗ решебник к сборнику упражнений по английскому языку класс Быкова Поспелова Решебник Ефимова Поспелова для втузов Sewy net sewysuzilemonrunetcum Помогите найти решебник по математике часть ефимов поспелов каракулин Если я подаю заявление на Решебник Ефимова Поспелова Высшая математика Qesygipu qesygipugogoboldrumopphp? Демидович для втузов Решение математических задач Решебник Ефимова Поспелова Высшая математика Контрольные, жанр задачник Гдз сборник задач по математике ефимова поспелова часть vyhuzachaemru gdz sbornikzadachp Студентам скачать учебники, задачники, справочники, пособия по математике Запросы, похожие на гдз на ефимова и поспелова сборник задач по математике для втузов ефимов поспелов часть решебник ефимов поспелов ответы сборник задач по математике для втузов ефимов поспелов часть решебник решебник лунгу решебник ефимов поспелов часть онлайн математический анализ в вопросах и задачах решебник ефимов поспелов часть онлайн ефимов теория вероятностей и математическая статистика решебник След Войти Версия Поиска Мобильная Полная Конфиденциальность Условия Настройки Отзыв Справка
Категория Без категории Просмотров 2 580 Размер файла 7 919 Кб Теги для , задач , втузов , ефимов , ред , поспелов , с_2001 , математике , 432с , сборник.
В 4-х ч. Автор: Ефимов А.В. (ред.), Поспелов А.С. (ред.) Описание: Сборники задач для технических ВУЗов. Фактически является переизданием известнейшего сборника под ред. Ефимова А.В…
Страница не найдена 404. Возможно, она была удалена или перемещена. Сборник задач по математике ефимова и поспелова решебник часть 2.
Школьные электронные учебники, Учебники 4 класс ГДЗ, скачать бесплатно для электронной. Сборник задач по математике под редакцией ефимова и поспелова гдз.
ГДЗ по математике. 2 класс. волкова с.и., ордынкина и.с. Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. галкин в.я., сычугов д.ю., хорошилова е.в.
ГДЗ по Физике 9 класс Пинского Разумовского ГДЗ по Физике 9 класс Пинского Разумовского. Гдз по химии за 8 класс рабочая тетрадь габриелян и яшукова.
Учебники, пособия, ГДЗ по информатике. Решебник ефимова и демидович. Сборник задач по математике для втузов под ред ефимова а в поспелова а с.
Решебник по математике..ЕФИМОВ.А.В,Поспелов А.С.: сКАЖИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ЕСТЬ ТАКОЙ РЕШЕБНИК? ГДЗ по Алгебре.
…навчання готові відповіді , алешина н в патриотическое воспитание детей дошкольного возраста , скачать руководство по ремонту и эксплуатации ssangyong kyron cкачать , о и мороз планируем работу в группах раннего возраста , гдз…
Ефимова часть 2 Сборник задач по математике для вузов онлайн
На сайте Класс.Москва вы можете прочитать гдз, решебник и ответы для — Ефимова часть 2 Сборник задач по математике для вузов онлайн, часть №1 бесплатно.
▶▷▶▷ сборник задач по математике для втузов ефимова поспелова гдз
▶▷▶▷ сборник задач по математике для втузов ефимова поспелова гдз
Интерфейс
Русский/Английский
Тип лицензия
Free
Кол-во просмотров
257
Кол-во загрузок
132 раз
Обновление:
15-08-2019
сборник задач по математике для втузов ефимова поспелова гдз — Сборник задач по математике для втузов В 4-х частях Под ред allengorgdmathmath441htm Cached Сборник задач по математике для втузов В 4-х частях Под ред Ефимова АВ, Поспелова АС Ефимов АВ, Демидович БП Сборник задач по математике для edu-libcomizbrannoeefimov-a-v-demidovich-b-p Cached АВ Ефимов БП Демидович Сборник задач по математике для втузов Ч1 Линейная алгебра и основы математического анализа ГДЗ помощь: решебник сборника задач по математике для втузов gdzpomowblogspotcom201401blog-post_3115html Cached Гдз сборник задач по математике для втузов ефимова поспелова — качественная и надёжная программа для вашего компьютера Ефимова читать часть 2 Сборник задач по математике для вузов newgdzcomsbornik-zadach20558-efimova-chitat Cached Поспелова и Ефимова читать часть 4 Сборник задач по математике для вуза онлайн ; Поспелова читать часть 3 Сборник задач по математике для вузов онлайн Решебник к сборнику задач ефимова и поспелова 2 часть leiproverceabwebnoderunewsreshebnik-k Cached сборник задач по математике для втузов ефимов часть 2 решебник сборник задач по математике для втузов ефимов демидович решебник Сборник задач по математике для втузов Часть 2 — Ефимова АВ wwwmath-solutionrubooks1117 Cached Сборник задач по математике для втузов Часть 2 — Ефимова АВ, Поспелова АС — 2001г Поиск книг на Math-Solutionru Сборник задач по математике для втузов в 4-х частях под ред advice-merugdzsbornik-zadach-po-matematikesbornik Cached Главная ГДЗ по математике Сборник задач по математике для втузов в 4-х частях под ред ефимова ав, поспелова ас- книгу скачать Сборник задач по математике для втузов, Часть 2, Ефимова АВ nasholme2015031483303sbornik-zadach-po Cached Скачать бесплатно pdf, djvu и купить бумажную и электронную книгу по лучшей цене со скидкой: Сборник задач по математике для втузов , Часть 2, Ефимова АВ, Поспелова АС, 2001 Сборник Задач По Математике Для Втузов Ефимова Поспелова thordinweeblycomblogsbornik-zadach-po-matematike Cached Вы здесь: Главная сайта ГДЗ Сборник задач Письменный 1 курс читать Поспелова и Ефимова читать часть 4 Сборник задач по математике для вуза Поспелова читать часть 3 Сборник задач по математике для вузов онлайн Сборник задач по математике для втузов, Часть 3, Ефимова АВ nasholme2015031483304sbornik-zadach-po Cached Скачать бесплатно pdf, djvu и купить бумажную и электронную книгу по лучшей цене со скидкой: Сборник задач по математике для втузов , Часть 3, Ефимова АВ, Поспелова АС, 2002 Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of 1 2 3 4 5 Next 8,140
сборник за
дач по математике дл
ематике для втузов ефимова поспелова гдз
smarter
Ефимова АВ nasholme2015031483303sbornik-zadach-po Cached Скачать бесплатно pdf
2001 Сборник Задач По Математике Для Втузов Ефимова Поспелова thordinweeblycomblogsbornik-zadach-po-matematike Cached Вы здесь: Главная сайта ГДЗ Сборник задач Письменный 1 курс читать Поспелова и Ефимова читать часть 4 Сборник задач по математике для вуза Поспелова читать часть 3 Сборник задач по математике для вузов онлайн Сборник задач по математике для втузов
Нажмите здесь , если переадресация не будет выполнена в течение нескольких секунд сборник задач по математике для втузов ефимова поспелова гдз Поиск в Все Картинки Ещё Видео Новости Покупки Карты Книги Все продукты Решебник Ефимов Поспелов Часть freedomsquarefnr freedomsquarefnrweeblycomreshebn апр Решебник Ефимов Поспелов Часть Книги, ГДЗ , решебники, готовые домашние задания , ЕГЭ, ГИА, Демидович Сборник задач по математике для втузов Сборник задач по математике для втузов , Часть , Ефимов sbornik zadachpo июн Учебники, ГДЗ , решебники, ЕГЭ, ГИА, экзамены, книги Экзамены Сборник задач по математике для втузов , Часть , Ефимов АВ, Поспелов АС, СкачатьЕще скачать Сборник задач по математике для втузов , Часть , Ефимов sbornik zadachpo июн Учебники, ГДЗ , решебники, ЕГЭ, ГИА, экзамены, книги Экзамены Сборник задач по математике для втузов , Часть , Ефимов АВ, Поспелов АС, СкачатьЕще скачать Картинки по запросу сборник задач по математике для втузов ефимова поспелова гдз Сборник задач по математике для втузов В х частях Под allengorgdmathmathhtm Скачать Сборник задач по математике для втузов В х частях Под ред Ефимова АВ, Поспелова АС djvu Решебник Ефимова и заказ задач МатБюро matburorutv_reshphp?pef Сборник задач по математике для ВТУЗов решения задач по теории вероятностей сборник под редакцией Ефимова АВ и Поспелова АС Сама серия сборник Ефимова часть обложка решебник к сборнику задач по математике для втузов Ефимов июл найдите или подскажите где можно скачать его?! сборник задач по математике для втузов ефимов поспелов нужен июл Есть ли РЕШЕБНИК для учебника сборник задач по математике для май Поспелова и Ефимова читать часть Сборник задач по gdz com sbornik Название Сборник задач по математике для вузов Язык только русский Вы здесь Главная сайта ГДЗ Сборник задач Поспелова и Ефимова читать часть Сборник задач по математике Сборник задач по математике для втузов В х ч Ч_ ред фев Ч_ ред Ефимов АВ, Поспелов АС_ с Учебник по математике Ч Сборник задач по математике для втузов ЕФИМОВ Александр Васильевич, КАРАКУЛИН Ефимов АВ, Поспелов АС Сборник задач по математике Сборник задач по математике для втузов В частях Ч Учебное пособие для втузов Под общ ред Решебники по высшей математике руководства по wwwdiaryrueekphtm? авг Сборник содержит три с лишним тысячи задач по высшей математике , Прикладная математика для ВТУЗов втузов под редакцией АВ Ефимова и АС Поспелова ?? Сборник задач по математике для втузов ефимов Sbornik Сборник задач по математике для втузов ефимов демидович решебник Решебник ефимов поспелов часть сборник задач по математике Гдз богомолов сборник задач по СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ Ч wwwfizmatlitnarodruefimovhtm Настоящее издание Сборника задач по математике для втузов подверглось значительной перестановке глав и СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ Ч wwwfizmatlitnarodruefimovhtm Настоящее издание Сборника задач по математике для втузов подверглось значительной перестановке глав и Ефимов АВ, Поспелов АС и др Сборник задач по twirpxcomfile Ефимов АВ, Демидович БП Сборник задач по математике для втузов В х частях Часть Линейная алгебра и решебник сборник задач по математике под редакцией aeternaqiprublogspost фев Сборник задач по математике для втузов Ефимов А В, Поспелов А С Сборник задач по математике для втузов Часть Автор гдз алгебра класс тихонова PDF Сборник задач по математике для втузов wwwkstukzsbzpomatspecrazdel Сборник задач по математике для втузов Линейная алгебра и основы математического анализа составлен в Сборник задач по математике для втузов Под ред АВ mloginru sbornik zadachpo Ефимов АВ, Каракулин АФ, Поспелов АС, Фролов СВ, Лесин ВВ Сборник задач по математике для втузов Скачать бесплатно сборники задач , решебники, учебники mathsolutionrustudents Высшая математика сборники задач , решебники, учебники, конспекты, Минисправочник для вузов Галабурдин АВ гВысшая Теория вероятностей, математическая статистика Ефимова АВ, Поспелова АС г Сборник задач по математике для втузов Вуколов Ефимов wwwknigisoskladaru Sbornik zadach Аннотация Сборник задач по математике для втузов Вуколов ЭА, Ефимов АВ, Земсков ВН, Поспелов АС Скачать Решебник Болгов Ефимов tiblog Wixcom янв Сборник задач по математике для втузов Скачать решебник к учебнику высшей математики ефимов , поспелов болгов демидович ефимов решебник гдз по математике Учебники, задачники, решебники по математике wwwvariantru , Сборник задач по математике для втузов В х частях Под ред Ефимова АВ, Поспелова АС , Сборник гдз сборник задач по математике для втузов ефимова fuoneqidbyethostcomtuwu июн Скачать Гдз сборник задач по математике для втузов ефимова поспелова , бесплатно, без Форум ищется решебник к сборнику задач по математике для ВТУЗОВ exirrucgibinikonboardtopiccgi? Название Сборник задач по математике для втузов В х ч Автор Ефимов АВ ред, Поспелов PDF Сборник задач по высшей математике URSSru urssruPDFadd_rupdf Часть Под редакцией А С Поспелова В сборнике содержатся задачи по основам математического анализа для втузов части под редакцией А В Ефимова и А С По спелова Каплан ИА Практические занятия по высшей математике psyofficerukaplani исчисления Ефимова АВ, Поспелова АС Сборник задач по математике для втузов ВН Лекции по математическому анализу Погорелов ГДЗ решебник по геометрии класс Студентам скачать учебники, задачники, справочники allengmeedumathhtm Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов Под ред Математика Сборник задач профильной направленности Башмаков Ефимова АВ, Поспелова АС Сборник ГДЗ по математике Сборник задач по математике для втузов ефимов ч с wwwwwwwcomwhtm Часть Ефимов АС и др Сборник задач по математике для поступающих во втузы Ко всем задачам Ефимов АВ, Поспелов АС г Готовые домашние задания по алгебре к учебнику Макарычева ЮН, Миндюк НГ, Сборник задач по математике для втузов Том Ефимов А mirsmartbookru sbornik фев Аннотация Сборник задач по математике для втузов АВ Ефимова и АС Поспелова е изд перераб и доп Книги, ГДЗ , решебники, готовые домашние задания , ЕГЭ, Студентам и школьникам книги, математика , решебники wwwphsrubook_mat_reshebnhtml Ефимов АВ, Поспелов АС редакторы Сборник задач по математике для втузов В х частях годы Сборник задач по математике для втузов решебник ефимов fahrnananmpl sbornik zadachp окт Сборник задач по математике для втузов решебник ефимов Снабженные большим Ч ред Ефимов А В, Поспелов А С с ГДЗ , Решебники, Учебники Часть Ефимов поспелов сборник задач по математике для втузов vitelmebelrushophtml сен На нашем портале Ефимов поспелов сборник задач по математике для втузов решебник с картинками в слайдах рабочая тетрадь по обществознанию класс хромова ГДЗ решебник к сборнику задач по математике для втузов ч pirobukblogfccomblogentryhtml апр Сборник задач по математике для ВТУЗов Ефимов АВ, Демидович БП лип Ефимова АВ, Поспелова АС djvu Библиотека Сгладить гдз по сборнику задач по ефимов ав сборник задач по математике для втузов SEAE seaembuorgefimova_v_ sbornik ноя ефимов ав сборник задач по математике для втузов втузов В х частях Под ред Ефимова АВ , Поспелова А С и готовые домашние задания за класс по математике DOC В помощь первокурснику! ВятГУ vyatsurubibd сен Сборник задач по математике для втузов Текст в ч под ред А В Ефимова , А С Поспелова Сборник задач по математике для втузов , Часть , Ефимов ноя В х частях Под ред Ефимова АВ, Поспелова АС Часть Содержит задачи по специальным Гдз по математике класс виленкин yayayhebergratuitnet?z и гдз Сборник задач по математике для втузов в х частях под ред ефимова поспелова с Сборник задач по Книги по математике купить в Москве на Avito Сборник задач по математике для втузов Под редакцией А В Ефимова и А С Поспелова В частях Ч е изд, испр Сегодня Гдз по математике класс Чесноков, Нешков keratanen Ефимов поспелов решебник FC keratanenblogfccomblogentry ноя Сборник задач по математике для втузов ефимов день назад reshebnik efimova pospelovgdzalityru КБрешебник Ефимова Поспелова готовые домашние задания и Сборник задач по математике для ВТУЗов В частях Часть ozonrucontext Сборник задач по математике для ВТУЗов Ефимов Александр Васильевич , Каракулин Анатолий Федорович , Коган Содержит задачи по основам математического анализа, а также Выбор сборника задач для решения на сайте вторая часть Форум Ефимов Сборник задач по математике для втузов А демидович для вузов не участвует? Top А ефимов с демидовичем и поспелов разве не одно и то же? Top Гдз сборник задач по математике для втузов ефимов timru gdz sbornik zadachpo Гдз сборник задач по математике для втузов ефимов поспелов часть гдз ISBN Содержит задачи Решебник задач по математике для втузов ефимов timrureshebnikzadachpomatematik Гдз сборник задач апонасов орлов Поспелов ефимов для задач решебник математике решебник по втузов Ефимова и выполнение на заказ из Сборника задач по математике для Антидемидович для втузов решебник Онлайн Sykitud sykitudponeqakurunet ефимов ав демидович бп сборник задач по математике Ефимов АВ Поспелов АС и др Сборник задачник демидовича бп для втузов математика Решебник Сборнику Задач для Втузов Демидович Новые ГДЗ Скачать гдз английского языка класса афанасьева михеева sadkurskrumediajcepght июл Гдз английского языка класса афанасьева михеева здесь можно скачать файл перевод текстов сборник задач по математике для втузов ефимов поспелов решебник Скачать гдз по химии габриелян класс sadkurskrumediajcepght май Гдз по химии габриелян класс здесь можно скачать файл решебник по математике за класс виленкин жохов Сборник задач по математике для втузов , Часть , Ефимова АВ, Поспелова АС, Гдз по математике класс решебник ефимов демидович линейная алгебра werojutuxelicuphp фев Ефимов АВ, Демидович БП Сборник задач по математике для втузов В х частях Часть Мы скрыли некоторые результаты, которые очень похожи на уже представленные выше Показать скрытые результаты Запросы, похожие на сборник задач по математике для втузов ефимова поспелова гдз сборник задач по математике для втузов ефимов поспелов часть решебник сборник задач по математике ефимова гдз сборник задач по математике для втузов ефимов поспелов часть решебник демидович ефимов сборник задач для втузов pdf ефимов поспелов часть онлайн сб задач по математике для втузов под ред а в ефимова и др сборник задач по математике для втузов ефимов демидович часть pdf решебник ефимов поспелов часть онлайн Войти Версия Поиска Мобильная Полная Конфиденциальность Условия Настройки Отзыв Справка
сборник задач по математике для втузов ефимова поспелова гдз
▶▷▶▷ гдз ефимов каракулин
▶▷▶▷ гдз ефимов каракулин
Интерфейс
Русский/Английский
Тип лицензия
Free
Кол-во просмотров
257
Кол-во загрузок
132 раз
Обновление:
07-09-2019
гдз ефимов каракулин — ГДЗ помощь: решебник сборника задач по математике для втузов gdzpomowblogspotcom201401blog-post_3115html Cached Гдз сборник задач по математике для втузов ефимова поспелова — качественная и надёжная программа для вашего компьютера Ефимова,поспелова Учебник Математики Часть 2 — spisokkorean spisokkoreanweeblycomblogefimovapospelova Cached Ефимов демидович том 2 решебник же частей курса Bra_Banbani демидовича, Русский втузов задач Dazzman ГП математике Ефимов АВ Тип версии), под DjVu демидович! Ефимов Краткий Курс Аналитической Геометрии — programmywinning programmywinningweeblycomblogefimov-kratkij Cached Теория вероятностей и математиче Краткий курс аналитической геометрии Высшая математика 3-е изд, испр ЕФИМОВ Александр Васильевич, КАРАКУЛИН Анатолий Федорович Решебник Демидович Ефимов Для Втузов — unitysokol unitysokolweeblycomblogreshebnik-demidovich-efimov Cached Сборник задач по математике для ВТУЗов (в 4-х частях) АВ Ефимов , Каракулин Содержит задачи по Trubannovru — Народный решебник — 115 решенных заданий из сборника Демидовича сборник зaдaч для втузов ефимов поспелов решебник — YouTube wwwyoutubecom watch?vv20IoagPxqY Cached 自然の音とともに音楽をリラックス- バンブーウォーターファウンテン — 癒し音楽BGM — Duration: 3:02:04 音楽BGM仏教 1,966,245 views решебник к сборнику задач по математике для втузов Ефимов otvetmailruquestion30948012 решебник к сборнику задач по математике для втузов Ефимов , Каракулин , Кожухов, Поспелов, Прокофьев Ирина Чеченкова Ученик (99), закрыт Решебник По Математическому Анализу Ефимов Демидович — 22 hgreandclansunewsreshebnik_po Cached — СПб 2278197579 18 сен 2014 24 авг 2013 решебник к нему; Математический и функциональный анализ: Антосик П Ефимов НВ Краткий курс аналитической 41822145137557 18 сен 2014 Ефимов АВ, Демидович БП Сборник задач по математике для edu-libcomizbrannoeefimov-a-v-demidovich-b-p Cached Ефимов АВ, Демидович БП Сборник задач по математике для втузов Часть1 Линейная алгебра и основы математического анализа ОНЛАЙН АВ Ефимов, АФ Каракулин, ИБ Кожухов, АС Поспелов, АА rutrackerorgforumviewtopicphp?t2376398 Cached АВ Ефимов , АФ Каракулин , ИБ Кожухов, АС Поспелов, АА Прокофьев — Сборник задач по сборник задач для втузов ефимов ч1 решебник — PDF docplayerru54099356-Sbornik-zadach-dlya-vtuzov Cached Гдз по французскому языку 6 класс шацких Гдз по французскому языку 6 класс шацких Гдз по французскому языку 6 класс шацких Изображения обложек учебников приведены на страницах данного Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of 1 2 3 4 5 Next 12,300
А В Ефимов А Ф Каракулин решебник к сборнику задач по математике НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЕ. …Издательство
: Akademiai Kiado Год: 2005 Язык: Русский, Английский Формат: TXT.RTF Размер: 17.67 Мб гдз…
…Болгов В.А., Ефимов А.В., Каракулин А.Ф., 2010. Описание: Сборник задач по математике для ВТУЗов, Част
лгов В.А., Ефимов А.В., Каракулин А.Ф., 2010. Описание: Сборник задач по математике для ВТУЗов, Часть 2, Специальные разделы математического анализа, Болгов В.А., Ефимов А.В., Каракулин…
А.В. Ефимов, А.Ф. Каракулин, И.Б. Кожухов, А.С. Поспелов, А.А. Прокофьев Сборник задач по математике для втузов.
А.В.Ефимов А.С.Поспелов. Множества и операции над ними. Верхние и нижние грани. Функции действительной переменной 1.
759651200677048 Ефимов Александр Васильевич Каракулин. 93511716686016 гдз по химии молодые класс рудзитис просвещение 20молодые год Добавлено: Вт Фев 21, 2013 9:21 am Заголовок сообщения: продаеться лыжная.
Вы должны войти , чтобы оставлять комментарии. Ефимов а в поспелов а с сборник задач по математике для втузов часть 3 2002.
Гдз по английскому за 11. Решебник по высшей математике а.в ефимов а.с каракулин. Все нормально скачивал тут скачать бесплатно без регистрации русификатор звука для world in conflict,все отлично…
Каракулин Анатолий Фёдорович, Коган Сергей Михайлович, Поспелов Алексей. скачать бесплатно. Решебники к задачнику ефимова каракулин коган поспелов. 6 дн. назад. гдз по математике 5 кл сборник задач гамбарин.
Гдз по русскому языку 2006 год Скачать: — gdz-po-russkomu-jazyku-2006-god.zip Скачать Бесплатно. 28684502889189 решебник по высшей математике а.в ефимов а.с каракулин ответы по истории рабочая тетрадь 8класс юдовская.
А.Ф. Каракулин
Ефимов А.В.
АА Прокофьев — Сборник задач по сборник задач для втузов ефимов ч1 решебник — PDF docplayerru54099356-Sbornik-zadach-dlya-vtuzov Cached Гдз по французскому языку 6 класс шацких Гдз по французскому языку 6 класс шацких Гдз по французскому языку 6 класс шацких Изображения обложек учебников приведены на страницах данного Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster
easier way to browse the web and all of 1 2 3 4 5 Next 12
Прокофьев Ирина Чеченкова Ученик (99)
Нажмите здесь , если переадресация не будет выполнена в течение нескольких секунд гдз ефимов каракулин Поиск в Все Картинки Ещё Видео Новости Покупки Карты Книги Все продукты решебник к сборнику задач по математике для втузов Ефимов найдите или подскажите где можно скачать его?! Решебник Ефимов Поспелов Часть freedomsquarefnr freedomsquarefnrweeblycomreshebn апр Решебник Ефимов Поспелов Часть Ефимов АВ, Каракулин АФ, Поспелов АС, Фролов СВ, Ефимов Каракулин Сборник Задач По Математике Для efimov дек DJVUрешебник к сборнику задач по математике для втузов Ефимов , Каракулин , Сборник задач по математике для втузов, Часть , Ефимов июн для втузов, Часть , Ефимов АВ, Поспелова АС, Учебники, ГДЗ , решебники, ЕГЭ, ГИА, экзамены, книги анализа, Болгов ВА, Ефимов АВ, Каракулин АФ, Сборник задач по математике для втузов, Часть , Ефимов июн для втузов, Часть , Ефимов АВ, Поспелова АС, Учебники, ГДЗ , решебники, ЕГЭ, ГИА, экзамены, книги анализа, Болгов ВА, Ефимов АВ, Каракулин АФ, Сборник задач по математике для втузов ефимов ч с wwwwwwwcomwhtm Решебник ефимов каракулин Часть Ефимов АС и др Физматлит Готовые домашние задания по алгебре к учебнику Макарычева ЮН, Миндюк НГ, Нешкова КИ и др Картинки по запросу гдз ефимов каракулин Сборник задач по математике для втузов Под ред АВ mloginrusbornikzadachpo Ефимов АВ, Каракулин АФ, Коган СМ, Поспелов АС, Шостак РЯ Сборник задач по математике для втузов Ефимов АВ, Каракулин АФ, Коган СМ, Поспелов АС wwwfizmatlitnarodru efimov htm В частях Ч Учебное пособие для втузов Под общ ред АВ Ефимова и А СПоспелова е изд перераб и Решебник к сборнику задач по Заказать книгу почтой wwwbooksitinetrubooks Ефимов АВ, Поспелов АС Изд е, перераб, доп с Поспелов АС и др Каракулин АФ Ефимов АВ Сборник задач по математике для втузов ефимов поспелов pazstaubercomlicom? efimov Ефимова АВ, Поспелова АС Название Сборник задач по математике для втузов В х ч Ru решебник к концу задач по математике для втузов Ефимов , Каракулин , Кожухов, Поспелов, Сборник задач по математике для втузов PrimatOrg primatorgloadsbornik Сборник задач по математике для втузов Ефимов , Каракулин , Кожухов, Поспелов, Прокофьев Содержит задачи Сборник задач по математике для втузов решебник ефимов fahrnananmplsbornikzadachp окт Ефимов А В, Каракулин А Ф, Поспелов А С, Фролов С В, Лесин В В Сборник задач по Ефимов А В, Поспелов А С Сборник задач по bychgurucategorymathematics Автор Ефимов АВ, Каракулин АФ, Поспелов АС и др Жанр Задачник Издательство ФМ Формат DjVu ред Ефимов АВ, Поспелов АС_ с StudFilesnet фев ЕФИМОВ Александр Васильевич, КАРАКУЛИН Анатолий Федорович, КО Ж УХОВ Игорь Скачать ав ефимов , аф каракулин , ибкожухов, ас behavedaytypepadcomskachatjav мар Название архива ав ефимов , аф каракулин , ибкожухов, аспоспелов, аа поспеловрешебник Сборник задач по математике для втузов ефимов решебник sbornikzadachpomatematikedlya решебник к сборнику задач по математике для втузов Ефимов , Каракулин , Кожухов, Поспелов, ПрокофьевВ, Сборник задач по математике для втузов В х частях Под allengorgdmathmathhtm Скачать Сборник задач по математике для втузов В х частях Под ред Ефимова АВ, Поспелова АС djvu Решебник ефимов поспелов Скачать книги tkarbuzrureshebnik efimov pospelov фев Описание Решебник по математике ефимов поспелов математика ноября результаты Сборник задач по математике для втузов Ефимов wwwknigisoskladaruSbornikzadach Ефимов Каракулин Поспелов Прокофьев сборник задач, сборник задач по физике, сборник задач по математике, сборник задач по алгебре, гдз по сборнику задач, алгебра класс ефимов демидович решебник специальные разделы Qip aeternaqiprublogspost мар Болгов, Валентин Андреевич; Ефимов , Александр Васильевич; Каракулин , Решебник к Hрешебник по истории волобуев hreshebnikpoistoriivolobuev Гдз по литературе класс меркин Ефимов каракулин сборник задач по математике для втузов решебник PDF Сборник задач по математике для втузов wwwkstukzsbzpomatspecrazdel А В ЕФИМОВА , Б П ДЕМИДОВИЧА Допущено Ман истерством высшего и среднего специального образования Starlight класс решебник издание horoshistatspacecoukdiktant Ефимов каракулин решебник Впрочем я вам это мигом слажу у ней именно теперь сердчишко по Маврикию ноет Гдз контурные карты географии gdz konturnyekartygeografii Ефимов каракулин сборник задач по математике для втузов решебник Гдз контурные карты географии Сборник задач по математике для втузов демидович elkesmitsupherocom?ofemeg ГДЗ решебник по математике за класс к учебнику С М Никольского, М К Потапова создан В данном разделе мы Демидович Борис Павлович, Александр Ефимов , Анатолий Каракулин Математический анализ Задачи Государственная webirbisspslnscrucgiirbis_exe? Болгов, Валентин Андреевич; Ефимов , Александр Васильевич; Каракулин , А Ф; Демидович, Борис Павлович ред Схема кзадаче математика класс Школа домашнее мар класс как решить учебник по английскому китаевич гдз по татар теленнэн календар тематик план; решебник ефимов каракулин сборниук кзадач по татар теленнэн Гдз по химии рудзитис для го класса gdz pohimiirudzitisdljagoklassa Ефимов каракулин сборник задач по математике для втузов решебник Гдз по химии рудзитис для го класса BAMBANG GUNAWAN abEnksss Twitter The latest Tweets from BAMBANG GUNAWAN abEnksss QumLKHO ответы кит класс год Ефимов демидович скачать pdf sponannalo msponannalowebnoderu efimov ноя Ч Ефимов демидович скачать pdf Москва ЕФИМОВ Александр Васильевич, КАРАКУЛИН Сборник Задач По Математике Болгов Решебник blogscapes янв Ч Специальные разделы математического анализа Болгов ВА, Ефимов АВ, Каракулин АФ keratanen Ефимов поспелов решебник FC keratanenblogfccomblogentry ноя Ефимов АВ, Каракулин АФ, Коган СМ, Поспелов АС, Шостак РЯ Сборник задач по Ефимова АВ Поспелова АС Nasholcom июн Учебники, ГДЗ , решебники, ЕГЭ, ГИА, экзамены, книги Ефимов Александр ВасильевичРедактор www Автор Каракулин Анатолий Федорович , Шостак Родион Яковлевич векторная алгебра Ефимов , Александр Васильевич; Каракулин , Анатолий Федорович; Кожухов, Игорь Борисович; Ефимов , Сборник задач по математике для втузов, Часть , Ефимов авг Учебники, ГДЗ , решебники, ЕГЭ, ГИА, экзамены, книги В х частяхАвтор А В Ефимов , АФ Каракулин , ИБ Кожухов, АС Поспелов, АА Прокофьев Издательство просто! Образовательный портал x Учиться xabccomuchebnikphp?str Ефимов АВ, Каракулин АФ, Кожухов ИБ, Поспелов АС, Прокофьев АА Сборник задач по математике для втузов Choose what is it, учебник, задачник, готовые домашние задания решебник ефимов каракулин igysigy Disqus Ефимов каракулин решебник xfcnm Ставки в казино минска Интернет казино работающие с wmrБП Сборник АВ Ефимов , АФ Каракулин , ИБ Кожухов и др; Под ред Сборник задач по математике для втузов В ч АВ Ефимов , АФ Каракулин , ИБ Кожухов и др; Под ред Борис Демидович последние издания книг LiveLib livelibrulatestboris Борис Демидович на этой странице вы найдёте список последних книг автора В первых строках самые Решебник задач по математике для втузов ефимов timrureshebnikzadachpomatematik Поспелов ефимов для задач решебник математике решебник по втузов математике для втузов Ефимов , Каракулин , Кожухов,Поспелов,Прокофьев Ефимов АВ, Поспелов АС редакторы Решебник по сборнику задач по математике для втузов waploverureshebnikposborniku задач втузов ефимов по и для поспелова математике решебник по сборнику Решебник Ефимова Решебник к сборнику задач по математике для втузов Ефимов , Каракулин , Кожухов, решебник по математике за класс виленкин жохов Ефимов , Каракулин , Кожухов, Поспелов, Прокофьев Содержит задачи по линейной алгебре, аналитической Мы скрыли некоторые результаты, которые очень похожи на уже представленные выше Показать скрытые результаты В ответ на официальный запрос мы удалили некоторые результаты с этой страницы Вы можете ознакомиться с запросом на сайте LumenDatabaseorg Некоторые результаты поиска могли быть удалены в соответствии с местным законодательством Подробнее Запросы, похожие на гдз ефимов каракулин сборник задач по математике для втузов ефимов поспелов часть решебник сборник задач по математике для втузов ефимов поспелов часть решебник Войти Версия Поиска Мобильная Полная Конфиденциальность Условия Настройки Отзыв Справка
А В Ефимов А Ф Каракулин решебник к сборнику задач по математике НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЕ. …Издательство: Akademiai Kiado Год: 2005 Язык: Русский, Английский Формат: TXT.RTF Размер: 17.67 Мб гдз…
…Болгов В.А., Ефимов А.В., Каракулин А.Ф., 2010. Описание: Сборник задач по математике для ВТУЗов, Часть 2, Специальные разделы математического анализа, Болгов В.А., Ефимов А.В., Каракулин…
А.В. Ефимов, А.Ф. Каракулин, И.Б. Кожухов, А.С. Поспелов, А.А. Прокофьев Сборник задач по математике для втузов.
А.В.Ефимов А.С.Поспелов. Множества и операции над ними. Верхние и нижние грани. Функции действительной переменной 1.
759651200677048 Ефимов Александр Васильевич Каракулин. 93511716686016 гдз по химии молодые класс рудзитис просвещение 20молодые год Добавлено: Вт Фев 21, 2013 9:21 am Заголовок сообщения: продаеться лыжная.
Вы должны войти , чтобы оставлять комментарии. Ефимов а в поспелов а с сборник задач по математике для втузов часть 3 2002.
Гдз по английскому за 11. Решебник по высшей математике а.в ефимов а.с каракулин. Все нормально скачивал тут скачать бесплатно без регистрации русификатор звука для world in conflict,все отлично. ..
Каракулин Анатолий Фёдорович, Коган Сергей Михайлович, Поспелов Алексей. скачать бесплатно. Решебники к задачнику ефимова каракулин коган поспелов. 6 дн. назад. гдз по математике 5 кл сборник задач гамбарин.
Гдз по русскому языку 2006 год Скачать: — gdz-po-russkomu-jazyku-2006-god.zip Скачать Бесплатно. 28684502889189 решебник по высшей математике а.в ефимов а.с каракулин ответы по истории рабочая тетрадь 8класс юдовская.
Высшая математика.
Высшая математика.
1. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Наука. Москва. 1979. Скачать стр.1-200 DjVu (3,439 Мб) Скачать стр.200-400 DjVu (3,507 Мб) Скачать стр. 400-550 DjVu (1,679 Мб)
2. под. ред. Апатенок Р. Ф. Элементы линейной алгебры. Минск. 1977. Скачать DjVu (1,992 Мб)
3. Ефимов А.В. (ред.), Демидович Б.П. (ред.). Сборник задач по математике для ВТУЗОВ. Линейная алгебра и основы математического анализа. Часть 1. 1991. 481 с. Скачать DjVu (4,36 Мб)
4. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. Айрис-Пресс, 2006. Скачать DjVu (7,105 Мб)
Математический анализ.
1. Боярчук А. К., И. И. Ляшко и др. Справочное пособие по высшей математике ( Антидемидович ). Т. 1. Скачать DjVu (3,310 Мб)
2. Боярчук А. К., И. И. Ляшко и др. Справочное пособие по высшей математике ( Антидемидович ). Т. 2. Скачать DjVu (1,855 Мб)
3. Боярчук А. К., И. И. Ляшко и др. Справочное пособие по высшей математике ( Антидемидович ). Скачать DjVu (4,627 Мб)
4. Б.П. Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу
624 стр. М.: «ЧеРо», 1997 Скачать DjVu (7,175 Мб)
5. Зорич В. А. Математический анализ. Ч. 1. Издание второе. Фазис, Москва, 1997. Скачать DjVu (5,101 Мб)
6. Зорич В. А. Математический анализ. Ч. 2. Издание второе. Фазис, Москва, 1997. Скачать DjVu (5,101 Мб)
7. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т. 1. Скачать DjVu (5,101 Мб)
8. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т. 2. Скачать DjVu (7,566 Мб)
9. Р. Курант. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1 Скачать DjVu (4,970Мб)
10. Р. Курант. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1 Скачать DjVu (6,345Мб)
Дифференциальные уравнения.
1. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Наука. Москва. 1974. Скачать DjVu (3635 Кб)
2. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уаравнениям. Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика». 2000. Скачать DjVu (923 Кб)
ТФКП.
1. Евграфов М. А. Аналитические функции. Наука. Москва. 1991. Скачать DjVu (3680 Кб).
2. Картан А. Элементарная теория аналитических функций одного и нескольких комплексных переменных. Скачать DjVu (2448 Кб).
3. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Скачать DjVu (5692 Кб).
Справочники.
1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. Москва, Астрель 2006. Скачать DjVu (8167 Кб)
2. Дорофеев Г. В., Потапов М. К., Розов Н. Х. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. Скачать DjVu (8594 Кб)
3. Гусак А. А., Гусак Г. М. Справочник по высшей математике. Минск, 1999 Скачать DjVu (8594 Кб)
4. Цыпкин А. Г., Цыпкин Г. Г. Математические формулы. Наука. Москва, 1985. Скачать pdf (990 Кб)
5. Сборник формул по математике, Москва 2003. Скачать Djvu (767 Кб)
Сборник задач по математике для втузов ефимова поспелова решебник
Скачать сборник задач по математике для втузов ефимова поспелова решебник EPUB
найдите или подскажите где можно скачать его?!. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВТУЗОВ Под редакцией А. В, Ефимова и А. С. Поспелова Москва Издательство Физико-математической литературы ББК С 23 УДК 51() Учебное явлакис ЕФИМОВА сандр Все с, КАРАКУЛИНАнашоеиб Ф доро ч, ПОСПЕЛОВ А евсее Сергеевич, Фролов Сергей Вою еьее ч, ЛЕСИН Внныор Васи ьее ч СВОРНИВ ЗАДАЧ ПО МАТВМАТИКВ ДВЯ ВТУЗОВ Часть 3 Релантор. Излательство Флинна-метена есной нтер турм!
Мосина В,.Ченинспий просцевт, 16 Отпечатано а полном соответствии с качеством лрелосгавленвыт лвапозятивов иа ГИПП Вятка г. Киров, ув.Мосвавснал. ВКонтакте – универсальное средство для общения и поиска друзей и одноклассников, которым ежедневно пользуются десятки миллионов человек. Мы хотим, чтобы друзья, однокурсники, одноклассники, соседи и коллеги всегда оставались в контакте. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ АЛЯ ВТУЗОВ СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Под редакцией А.
В. ЕФИДЮВЛ, Б. П. ДЕМИДОВИЧА ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ Допущено Министерством высшего и среднего pro100vkusn0.ru Файл «2 часть» внутри архива находится в папке «Ефимов А.В., Поспелов А.С. — Сборник задач по математике для втузов». pro100vkusn0.ru Ефимов А.В., Демидович Б.П. Сборник задач по математике для.
Главная Поиск В тексте книг Ефимов А.В., Демидович Б.П. Сборник задач по матем Расширенный поиск. Поиск. Расширенный поиск. Поиск. по ISBN, издательству, автору, заглавию, аннотации, тексту. По запросу «Ефимов А.В., Демидович Б.П. Сборник задач по математике для втузов.
Линейная алгебра» в тексте книг найдено документов. Показывать по. 10 20 50 Показано из 1
Решебник к сборнику задач по математике для ВТУЗОВ Решебник ефимов каракулин. Сборник задач по высшей математике для втузов: Учебное пособие для втузов Изде, испр. Решебник к сборнику задач по курсу математического анализа Бермана Кроме того, для удобства пользования пособием в начале каждого параграфа приведены краткие теоретические сведения, необходимые для решения задач.
руб год стр. твердый переплет. Домашняя работа по математике. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ АЛЯ ВТУЗОВ СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Под редакцией А. В. ЕФИДЮВЛ, Б. П.
ДЕМИДОВИЧА ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ Допущено Министерством высшего и среднего pro100vkusn0.ru Файл «2 часть» внутри архива находится в папке «Ефимов А.В., Поспелов А. С. — Сборник задач по математике для втузов».
pro100vkusn0.ru Ефимов А.В., Демидович Б.П. Сборник задач по математике для. Под ред. А.В.Ефимова, А.С.Поспелова. Изд. 4-е, переработанное и дополненное. Издательство: Физматлит Место издания: М. Тип переплёта: твёрдый Год издания: Формат: Обычный Состояние.очень хорошее, раскол блока Количество.
djvu, djvu, txt, txt
Похожее:
Контрольна робота з природознавства 3 клас за грущинською
Комп ютерні публікації презентація
Літературне читання 2 клас розробки уроків науменко
Гдз з алгебри 11 клас профільний рівень
Гдз фізика 10 клас божинова академічний рівень завдання для самоперевірки
Конфлікти і здоровя урок 7 клас
Глобальні проблеми людства презентація powerpoint
Сборник задач по математике для втузов : В 4 ч.
/ Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича
Поиск по определенным полям
Чтобы сузить результаты поисковой выдачи, можно уточнить запрос, указав поля, по которым производить поиск. Список полей представлен выше. Например:
author:иванов
Можно искать по нескольким полям одновременно:
author:иванов title:исследование
Логически операторы
По умолчанию используется оператор AND. Оператор AND означает, что документ должен соответствовать всем элементам в группе:
исследование разработка
author:иванов title:разработка
оператор OR означает, что документ должен соответствовать одному из значений в группе:
исследование OR разработка
author:иванов OR title:разработка
оператор NOT исключает документы, содержащие данный элемент:
исследование NOT разработка
author:иванов NOT title:разработка
Тип поиска
При написании запроса можно указывать способ, по которому фраза будет искаться. Поддерживается четыре метода: поиск с учетом морфологии, без морфологии, поиск префикса, поиск фразы. По-умолчанию, поиск производится с учетом морфологии. Для поиска без морфологии, перед словами в фразе достаточно поставить знак «доллар»:
$исследование $развития
Для поиска префикса нужно поставить звездочку после запроса:
исследование*
Для поиска фразы нужно заключить запрос в двойные кавычки:
«исследование и разработка«
Поиск по синонимам
Для включения в результаты поиска синонимов слова нужно поставить решётку «#» перед словом или перед выражением в скобках. В применении к одному слову для него будет найдено до трёх синонимов. В применении к выражению в скобках к каждому слову будет добавлен синоним, если он был найден. Не сочетается с поиском без морфологии, поиском по префиксу или поиском по фразе.
#исследование
Группировка
Для того, чтобы сгруппировать поисковые фразы нужно использовать скобки. Это позволяет управлять булевой логикой запроса. Например, нужно составить запрос: найти документы у которых автор Иванов или Петров, и заглавие содержит слова исследование или разработка:
author:(иванов OR петров) title:(исследование OR разработка)
Приблизительный поиск слова
Для приблизительного поиска нужно поставить тильду «~» в конце слова из фразы. Например:
бром~
При поиске будут найдены такие слова, как «бром», «ром», «пром» и т.д. Можно дополнительно указать максимальное количество возможных правок: 0, 1 или 2. 4 разработка По умолчанию, уровень равен 1. Допустимые значения — положительное вещественное число.
Поиск в интервале
Для указания интервала, в котором должно находиться значение какого-то поля, следует указать в скобках граничные значения, разделенные оператором TO. Будет произведена лексикографическая сортировка.
author:[Иванов TO Петров]
Будут возвращены результаты с автором, начиная от Иванова и заканчивая Петровым, Иванов и Петров будут включены в результат.
author:{Иванов TO Петров}
Такой запрос вернёт результаты с автором, начиная от Иванова и заканчивая Петровым, но Иванов и Петров не будут включены в результат. Для того, чтобы включить значение в интервал, используйте квадратные скобки. Для исключения значения используйте фигурные скобки.
Часть II МАТЕМАТИКА-5 Понимание математики: Введение | Как студенты учатся: история, математика и естественные науки в классе
Fuson, K.C., and Smith, T. (1997). Поддержка нескольких двузначных концептуальных структур и методов расчета в классе: вопросы концептуальной поддержки, учебного дизайна и языка. В M. Beishuizen, K.P.E. Гравемейер и E.C.D.M. van Lieshout (Eds.), Роль контекстов и моделей в разработке математических стратегий и процедур (стр.163-198). Утрехт, Нидерланды: CD-B Press / Институт Фройденталя.
Fuson, K.C., Stigler, J., and Bartsch, K. (1988). Размещение оценок по темам сложения и вычитания в Японии, материковом Китае, Советском Союзе, Тайване и США. Журнал исследований в области математического образования , 19 (5), 449-456.
Фусон, К.С., Перри, Т., и Квон, Ю. (1994). Латиноамериканские, англоязычные и корейские детские методы сложения пальцев. В J.Э. van Luit (Ed.), Исследование по изучению и преподаванию математики в детском саду и начальной школе , (стр. 220-228). Doetinchem / Rapallo, Нидерланды: Graviant.
Фусон, К.С., Перри, Т., и Рон, П. (1996). Уровни развития в различных в культурном отношении пальцевых методах: англоязычные и латиноамериканские детские пальчиковые методы сложения В E. Jakubowski, D. Watkins и H. Biske (Eds.), Proceedings 18-го ежегодного собрания Североамериканского отделения психологии математического образования (2-е издание, стр.347-352). Колумбус, Огайо: Информационный центр ERIC по естествознанию, математике и экологическому образованию.
Фусон, К.С., Ло Цицеро, А., Хадсон, К., и Смит, С.Т. (1997). Снимки двух лет из жизни городского латиноамериканского класса. В J. Hiebert, T. Carpenter, E. Fennema, K.C. Фьюсон, Д. Вирн, Х. Мюррей, А. Оливье и П. Хуман (ред.), Осмысление смысла: преподавание и изучение математики с пониманием (стр. 129-159). Портсмут, Нью-Хэмпшир: Хайнеманн.
Фусон, К.К., Смит, Т., и Ло Цицеро, А. (1997). Поддержка десятиуровневого мышления латиноамериканских первоклассников в городских классах. Журнал исследований в области математического образования , 28 , 738-760.
Фусон, К.С., Вирн, Д., Хиберт, Дж., Мюррей, Х., Хьюман, П., Оливье, А., Карпентер, Т., и Феннема, Э. (1997). Детские концептуальные конструкции для многозначных чисел и методы сложения и вычитания многозначных чисел. Журнал исследований в области математического образования , 28 , 130-162.
Фусон, К.С., Де Ла Круз, Ю., Смит, С., Ло Цицеро, А., Хадсон, К., Рон, П., и Стиби, Р. (2000). Объединение лучших достижений 20-го века для достижения математической педагогики равенства в 21-м веке. В книге M.J. Burke и F.R. Curcio (Eds.), Изучение математики для нового века (стр. 197-212). Рестон, Вирджиния: Национальный совет учителей математики.
Гири, округ Колумбия (1994). Математическое развитие детей: исследования и практическое применение .Вашингтон, округ Колумбия: Американская психологическая ассоциация.
Гельман Р. (1990). Первые принципы организуют внимание и изучение соответствующих данных: число и различие между живым и неодушевленным в качестве примеров. Когнитивные науки , 14 , 79-106.
Гинзбург, Х. (1984). Детская арифметика: процесс обучения. Нью-Йорк: Ван Ностранд.
Ginsburg, H.P., and Allardice, B.S. (1984). Проблемы детей с школьной математикой.В B. Rogoff и J. Lave (ред.), Повседневное познание: его развитие в социальных контекстах (стр. 194-219). Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета.
Часть первая: Соединение математики с работой и жизнью | Математика в средней школе в действии: эссе и примеры для обучения всех учащихся
, большая часть данных, которые нам нужны в Японии, просто недоступны, потому что японский рынок менее развит, чем в США. Данные о водительских удостоверениях, данные о доходах, данные об образе жизни являются здесь обычным делом и недоступны там.До сих пор американские розничные торговцы практически не проникали ни в одну из стран, поэтому у нас нет опыта, который мы могли бы использовать. Мы все слышали, как сложно будет открыть торговые операции в Японии, но последние тенденции продаж среди продавцов компьютеров и автозапчастей намекают на облегчение трудностей.
«Мы планируем открывать три магазина в год по 5 000 квадратных футов каждый. Мы ожидаем, что производительность будет составлять 700 долларов за квадратный фут, что более чем вдвое превышает опыт американских розничных торговцев в США, но на 45% меньше, чем у наших магазинов.Кроме того, цены будут на 20% выше, чтобы компенсировать стоимость земли и зданий. Стоимость активов примерно вдвое выше, чем в США, но стоимость рабочей силы немного меньше. Пособия более тщательно покрываются государством. Конечно, есть большая неопределенность в планируемых объемах продаж. Цены будут покрывать некоторую неопределенность, но они все еще ниже, чем товары сопоставимого качества, уже предлагаемые в Японии.
«Позвольте мне перейти к конкурсу и рассказать вам, что мы узнали.Мы установили долгосрочные отношения с 500-1000 семьями в каждой стране. Это сопоставимо с нашей практикой в США. Эти семьи не знают, что они работают конкретно с нашей компанией, так как это исказило бы их отчетность. Они держат нас в курсе своего каталога и опыта покупок, независимо от компании, у которой они покупают. Размер выборки достаточно велик, чтобы быть значимым, но, конечно, вы должны быть осторожны с небольшими различиями.
«Все семьи получают наш каталог и каталоги от нескольких наших конкурентов.Они соответствуют стилю жизни, доходам и демографическим характеристикам людей, которых мы хотим видеть в качестве клиентов. Они опытные покупатели по каталогам, и это исказит их отзывы по сравнению с покупателями по каталогам.
«Один из конкурентов рассылает один каталог на 100 страниц в квартал. Ассортимент продукции довольно узок — 200 товаров из 3000 товаров внутри страны. Они выбрали товары, которые вряд ли вызовут проблемы с посадкой: в основном верхняя одежда и трикотажные рубашки, не много штанов, в основном мужские, а не женские.Копия их каталога написана на кандзи, но стиль немного неестественный, как нам говорят, вероятно, потому, что он был написан на английском и переведен, но нам нужно проверить эту гипотезу. Напротив, мы просто отправили им по почте тот же каталог, который мы используем в США, даже на английском языке.
«Отзывы клиентов были довольно четкими. Они предпочитают наш более широкий ассортимент в соотношении 3: 1, хотя и не покупают большую часть товаров. Как подсчитали конкуренты, продажи сосредоточены на верхней одежде и трикотажных изделиях, а мы получить больше продаж, по-видимому, потому, что им нравится смотреть каталог и проводить с ним больше времени.Опять же, нам нужны дальнейшие испытания. Другая гипотеза состоит в том, что наша торговая марка просто более известна.
«Интересно, что они предпочитают нашу англоязычную версию, потому что для них более увлекательно читать каталог на другом языке. Это, вероятно,
Бакалавриат | Кафедра математики
MATH 1010 — Семинар Патнэма
(2 кредита)
Цель этого курса — развить способность решать математические задачи, требуя значительного элемента изобретательности и настойчивости.Тренировки будут включать изучение задач из предыдущих соревнований Putnam, для которых этот курс можно рассматривать как полезную подготовку. Будет сделана попытка найти объединяющие математические идеи. Также будут обсуждены общие стратегии решения проблем.
Согласие инструктора
MATH 1020 — Прикладная теория элементарных чисел
(3 кредита)
Этот курс раскроет ключевую роль теории чисел в развитии математики.Некоторые приложения теории чисел будут рассмотрены в курсе
.
Пример программы
MATH 0430
MATH 1025 — Введение в математическую криптографию
(3 кредита)
Курс охватывает теоретические основы криптосистем и анализ их ограничений и уязвимостей. Особое внимание будет уделено криптосистемам с открытым ключом, включая системы на основе эллиптических кривых.Будут обсуждаться приложения реального мира, такие как безопасность браузера и биткойн.
Пример программы
MATH 0430
MATH 1050 — Комбинаторная математика
Охватываемые темы включают биномиальную теорему, принцип исключения включения, рекуррентные отношения, производящие функции и проблемы раскраски.
MATH 0413 или 0450 или 1185
MATH 1070 — Численный математический анализ
(3 кредита)
Этот курс с MATH 1080 представляет собой введение из двух терминов в численный анализ на продвинутом уровне бакалавриата и включает в себя интерполяцию, численное дифференцирование и интегрирование, решение нелинейных уравнений, численное решение систем или обыкновенных дифференциальных уравнений, а также дополнительные темы по мере необходимости. разрешения.Упор делается на понимание алгоритмов, а не на подробное кодирование, хотя потребуется некоторое программирование.
Пример программы
MATH 0240 и некоторый опыт программирования
MATH 1080 — Числовая математика: линейная алгебра
(3 кредита)
Этот курс представляет собой введение в числовую линейную алгебру, в котором рассматриваются численные методы решения линейных алгебраических систем и матричных задач на собственные значения, а также приложения к уравнениям в частных производных.Хотя в курсе делается упор на вычислительную точку зрения, будет проводиться анализ сходимости и стабильности алгоритмов.
Пример программы
(MATH 0240 или 0245) и (MATH 0250, 0280, 1180 или 1185) и некоторый опыт программирования
MATH 1100 — Линейное программирование
(3 кредита)
Охватываемые темы будут включать задачи линейного программирования, симплекс-метод, качество, пересмотренный симплекс-метод и проблему транспортировки.
MATH 0280 или 1180
ENGCMP 0200 или 0203 или 0205 и т. Д.
MATH 1101 — Введение в оптимизацию
(3 кредита)
Этот курс знакомит студентов с методами оптимизации. Будут подчеркнуты приложения, но будут рассмотрены некоторые теории и обсуждены доказательства. Кроме того, студентов научат использовать доступное программное обеспечение для ответа на вопросы. Темы курса будут включать линейное программирование, целочисленное программирование, нелинейное программирование, выпуклые и аффинные множества, выпуклые и вогнутые функции, неограниченную оптимизацию и комбинаторную оптимизацию (т.е. Проблемы сетевого потока).
Пример программы
MATH 0240 и один из MATH 0280, 1180 или 1185
MATH 1103 — Математические задачи в бизнесе, промышленности и правительстве
(3 кредита)
Семинар по проблемам бизнеса, промышленности и правительства
Пример программы
Математика 1101 или Математика 1360
MATH 1110 — Промышленная математика
(3 кредита)
Этот курс посвящен приблизительному численному решению проблем, возникающих в промышленной среде. Охватываемые темы включают физическую интерпретацию математической модели, использование программного обеспечения библиотеки, подготовку программного обеспечения, анализ результатов и отчет о результатах.
MATH 1180 и 1185
MATH 1121 — Актуарная математика II
(3 кредита)
Этот курс будет охватывать материал, указанный в программе экзамена m (3) (математика непредвиденных обстоятельств жизни и финансовая экономика) общества актуариев.В частности, он представит соответствующие темы в страховании жизни и аннуитетах жизни, в том числе множественные модели декремента, а также цены Блэка и Шоулза на производные ценные бумаги и анализ рисков. Материал будет представлен в традиционном академическом формате лекций и вспомогательных сессий, а также дополнительных сессий, специально направленных на подготовку студентов к экзамену SOA.
Пример программы
MATH 0240 или 1120
MATH 1122 — Актуарная математика III
(3 кредита)
Непредвиденные обстоятельства жизни
Пример программы
(MATH 470 или 1121) и (MATH 1119 или STAT 1151)
MATH 1123 — Актуарная математика IV
(3 кредита)
Непредвиденные обстоятельства жизни, часть 2
Пример программы
Математика 1122
MATH 1126 — Прогностическая аналитика 1
(3 кредита)
Это вводный курс по современной науке о данных, включая статистическое обучение и временные ряды. Будут рассмотрены следующие темы: линейная регрессия (проверка, методы повторной выборки, выбор модели и регуляризация, усадка, уменьшение размерности, основные компоненты), обобщенные линейные модели (модели логистической и пробитной регрессии, категориальный и подсчетный отклик, меры соответствия), Неконтролируемое обучение (деревья решений и случайные леса, бутстрап, упаковка, основные компоненты, кластерный анализ), временные ряды (модели случайного блуждания, модели авторегрессии, модели ARCH / GARCH, моделирование и прогнозирование Бокса-Дженкинса).
Пример программы
MATH 0230 и 1119
MATH 1127 — Прогностическая аналитика 2
(3 кредита)
Этот курс с 3 кредитами является продолжением курса математики 1126, «Предиктивная аналитика 1». Он будет охватывать фундаментальные знания о науке о данных с приложениями к страхованию и бизнесу. Студенты познакомятся с Basic R, сбором данных, очисткой данных, исследованием и визуализацией данных, прогнозным моделированием и профессиональной отчетностью. Он также готовит студентов к экзамену SOA Exam PA. По завершении этого курса студенты получат навыки прогнозной аналитики, которые позволят им: (1) сформулировать типы проблем, которые могут быть решены с помощью прогнозного моделирования, определить бизнес-проблему и то, как имеющиеся данные связаны с возможным анализом, использовать информация для предложения моделей, таких как обобщенная линейная модель (GLM), деревья решений, кластерный анализ и анализ основных компонентов; (2) получить опыт использования R для прогнозной аналитики и уметь создавать эффективные графики в RStudio, работать с различными типами данных, понимать принципы проектирования данных и создавать различные общие визуализации для исследования данных; (3) оценивать качество данных, решать проблемы с данными и выявлять нормативные и этические проблемы; (4) эффективно сообщать о результатах применения прогнозной аналитики для решения бизнес-задач.
Пример программы
MATH 1126
MATH 1128 — Актуарная математика V
(3 кредита)
Этот курс с 3 кредитами охватывает темы «Краткосрочной актуарной математики 1», который обеспечивает основу для последующего курса «Краткосрочная актуарная математика 2», а также готовит студентов к экзамену SOA STAM. Студенты будут ознакомлены с различными моделями частоты, серьезности и агрегированных моделей, которые полезны для краткосрочных актуарных исследований.Студенты узнают этапы процесса моделирования и узнают, как их применять. По окончании курса студенты смогут: 1) анализировать данные из приложения в бизнес-контексте; 2) определить подходящую модель, включая значения параметров; 3) обеспечивать меры доверия для решений, основанных на модели. Студенты познакомятся с различными инструментами для калибровки и оценки моделей.
Пример программы
MATH 1119 и STAT 1152
MATH 1129 — Актуарная математика VI
(3 кредита)
Этот курс с 3 кредитами будет охватывать темы «Краткосрочной актуарной математики 2» (STAM 2), основанный на темах STAM 1, а также подготовить студентов к экзамену SOA STAM.Студенты будут ознакомлены с теорией достоверности: априорным распределением, апостериорным распределением, прогнозирующим распределением, байесовской премией, моделью Бульмана, моделями Бульмана-Штрауба, надбавкой за достоверность, фактором достоверности и эмпирическими байесовскими методами. По окончании курса студенты смогут: 1) понимать и оценивать потери, используя процедуры проверки достоверности; 2) понимать фундаментальные принципы ценообразования и резервирования некоторых из наиболее распространенных видов краткосрочного страхования и перестрахования: автомобили, домовладельцы, ответственность, здоровье, инвалидность и стоматология.Студенты познакомятся с некоторыми методами и базовыми статистическими моделями, используемыми для оценки убытков, понесенных в результате краткосрочного страхования и перестрахования.
Пример программы
MATH 1128
MATH 1180 — Линейная алгебра
(3 кредита)
Этот курс подчеркивает теоретическое и строгое развитие линейной алгебры. Основные темы включают теорию векторных пространств, линейных преобразований, матриц, характеристических многочленов, базисов и канонических форм.Другие темы могут быть рассмотрены, если позволит время.
Пример программы
MATH 0413 или MATH 0450
MATH 1185 — с отличием по линейной алгебре
(3 кредита)
Введение в вычислительные и теоретические аспекты линейной алгебры. Программа включает в себя исключение Гаусса, матричную алгебру, треугольную факторизацию, векторные пространства, линейную независимость, базис, размерность, ортогональность, внутренний продукт, грам-Шмидт, разложение по сингулярным значениям, детерминанты, собственные значения, матричные экспоненты, унитарные матрицы, сходство, положительную определенность, минимум принципы, конечные элементы, норма и число обусловленности, вычисление собственных значений, итерационные решения линейных систем, линейные неравенства, симплекс-метод.
Согласие инструктора
MATH 1230 — Большие идеи математики
(3 кредита)
Курс «Большие идеи» предназначен для того, чтобы дать участникам математических специальностей углубленный опыт. Он объединит текущие математические знания учащегося в единое целое за счет принятия исторической перспективы. Он особенно нацелен на математиков, интересующихся математическим образованием или историей, философией и психологией математики. Учащиеся, выбравшие факультативную практику MATH 1231, исследуют, как историческое развитие математики соотносится с математикой в средней школе. Кульминацией этого впечатления станет исследовательский проект и презентация.
MATH 0430
MATH 1231 — Стажировка в области математического образования
(1 баллов)
Эта стажировка состоит из двух компонентов: 1) обучение в классе старшеклассника, который разрабатывает исследовательский проект, и 2) семинар, на котором обсуждаются «большие идеи» математики в MATH 1230 и то, как математика развивается в учебной программе начальной и средней школы. .Стажеры будут тратить один час каждые две недели на наставничество старшеклассника в местной средней школе.
MATH 1230
MATH 1250 — Абстрактная алгебра
(3 кредита)
В этом курсе довольно подробно изучаются основные алгебраические системы, группы и кольца. Темы включают: подгруппы, группы перестановок, гомоморфизмы, подкольца, идеалы и факторкольца. Акцент делается на теории с примерами.
Пример программы
MATH 0430
MATH 1270 — Обыкновенные дифференциальные уравнения 1
(3 кредита)
Этот курс охватывает методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, которые часто встречаются в приложениях.Общие методы будут изучены для одиночных уравнений n-го порядка и систем нелинейных уравнений первого порядка. Это будет включать методы фазовой плоскости и анализ устойчивости. Компьютерные эксперименты будут использованы для иллюстрации поведения решений различных уравнений.
Пример программы
Один из MATH 0280, 1180 или 1185
MATH 1275 — обыкновенные дифференциальные уравнения с отличием 1
(3 кредита)
Этот курс обеспечивает более тщательное математическое рассмотрение теории, чем это возможно в обычном курсе (MATH 1270), а также охватывает некоторые более поздние приложения.В дополнение к основному материалу о точных решениях будут даны математические доказательства теорем существования и единственности, ведущие к лучшему пониманию таких важных вопросов, как поведение фазовой плоскости и теория устойчивости. Кроме того, будет рассмотрено больше тем, включая более подробное обсуждение серийных решений и специальных функций, чем это возможно в MATH 1270. Наконец, курсовой проект, обычно выполняемый парами, по теме, выбранной студентами под руководством одобрение инструктора, будет ключевым моментом.
Пример программы
(МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 0230 или 0235) и (МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 1180 или 1185)
CoREQ: MATH 413 или 0450
MATH 1280 — Обыкновенные дифференциальные уравнения 2
(3 кредита)
Это курс устойчивости и качественных методов анализа обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих в реалистичных моделях. Изучаются методы фазовой плоскости, методы возмущений и теория бифуркаций.
MATH 1270 или 1275
MATH 1290 — Темы по геометрии
(3 кредита)
Курс, предназначенный для «современного» взгляда на геометрию. Возможные подходы включают (1) соединение геометрии с абстрактными алгебраическими системами и (2) дедуктивное, синтетическое развитие евклидовой и неевклидовой геометрии.
Пример программы
MATH 0240 и (MATH 0413 или 0450)
MATH 1310 — Теория графов
(3 кредита)
Концепция графа и изучение его теоретических свойств и приложений составляют основу этого курса.Темы включают пути, схемы, деревья, плоские графы, проблемы раскраски, орграфы, теорию сопоставления и сетевые потоки.
MATH 0413 или 0450
MATH 1350 — Введение в дифференциальную геометрию
(3 кредита)
Возможные темы: основные идеи топологии, описание кривых в пространстве, определение и локальное изучение гладких поверхностей в евклидовом пространстве (фундаментальные формы, геодезические и кривизна), глобальные свойства поверхностей, формулы Гаусса-Капота и приложения.
MATH 0240 и (MATH 1180 или 1185)
MATH 1360 — Моделирование в прикладной математике
(3 кредита)
Этот курс знакомит с некоторыми фундаментальными подходами прикладной математики. Акцент делается на процессе построения моделей и на развитии понимания некоторых объединяющих тем прикладной математики, таких как равновесие, стабильность, законы сохранения и т. Д. Материал представлен в форме тематических исследований.
Пример программы
MATH 0290 или MATH 1270 или MATH 1275
MATH 1370 — Введение в вычислительную неврологию
(3 кредита)
Этот курс представляет современные математические теории нейробиологии, включая отдельные нейроны и нейронные сети. Внимание будет уделено 1451 динамике и функциям нейронной активности.
Пример программы
MATH 0240 или MATH 0245 или MATH 0450
MATH 1380 — Математическая биология
(3 кредита)
Этот курс предоставит широкое введение в математические методы, обычно применяемые в задачах биологии.Будут представлены модели, использующие исчисление, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, дискретные динамические системы, стохастическая динамика или структура клеточных автоматов, и будут описаны основные методы их анализа. Также будут рассмотрены вычислительные методы, включая вычислительные платформы, такие как XPPAUT. На протяжении всего курса у студентов будут широкие возможности попрактиковаться в разработке и анализе моделей математической биологии.
Пример программы
(МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 0280 или 1180 или 1185) и (МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 0290 или 1270 или 1275)
MATH 1410 — Введение в основы математики
(3 кредита)
Этот курс знакомит с логическими основами математики; он охватывает исчисления высказываний и предикатов, формальную теорию чисел, теорию множеств и теорию начальных моделей.
Математика 0413 или Математика 0450
MATH 1470 — Уравнения в частных производных 1
(3 кредита)
Это первый член двухчленной последовательности в элементарных PDE. Цели курса — предоставить студентам методы, необходимые для постановки и решения проблем, связанных с PDE, и подготовить их к дальнейшему обучению в PDE. Изучаются три основных типа линейных уравнений в частных производных второго порядка — параболические, эллиптические и гиперболические.Кроме того, вводятся инструменты, необходимые для решения уравнений в частных производных, такие как ряды Фурье и преобразования Лапласа.
MATH 0240 и {[(MATH 0280 или 1180 или 1185) и (MATH 0290 или 1270)] или MATH 0250}
Math 1510-Математическая теория вероятностей
(3 кредита)
Этот курс представляет собой введение в математическую теорию вероятностей. Основные темы включают случайные величины, ожидание, характеристические функции, условную вероятность, а также введение в Мартингейлы и цепи Маркова.
(Math 0420 или 0450) и (MATH 280, 1180 или 1185) или разрешение от инструктора
MATH 1530 — Расширенный расчет 1
(3 кредита)
Этот курс содержит строгое развитие исчисления функций одной переменной, включая компактность на вещественной прямой, непрерывность, дифференцируемость, интегрирование и равномерную сходимость последовательностей и рядов функций. Могут быть включены и другие темы, такие как понятие пределов и непрерывности в метрических пространствах.
MATH 0420 или MATH 0450
MATH 1540 — Расширенный расчет 2
(3 кредита)
В этом курсе, который является продолжением Fall Math 1530, будет строго разработана теория дифференцирования и интегрирования функций нескольких переменных. Темы будут включать теоремы об обратной и неявной функции, теорему Фубини, замену переменных и теорему Стокса.
MATH 1530
MATH 1550 — Векторный анализ и приложения
(3 кредита)
Охватываемые темы включают: векторную алгебру, векторное дифференцирование и интегрирование, дивергенцию, градиент, локон, теоремы Грина, Гаусса и Стокса, а также криволинейные системы координат.Особое внимание будет уделено решению проблем и приложениям в теории электромагнетизма и потока жидкости.
Пример программы
Расписание семестра
MATH 0240 и (MATH 250 или 0280 или 1180 или 1185)
MATH 1560 — Комплексные переменные и приложения
(3 кредита)
Этот курс охватывает следующие темы: элементарные операции с комплексными числами, производные, интегралы, теорема Коши и следствия, такие как интегральная формула, степенной ряд, теорема о вычетах, приложения к действительным интегралам и рядам.
[MATH 0240 или 245 (с B или лучше)] или MATH 1550
MATH 1570 — Введение в анализ Фурье
(3 кредита)
Курс представляет собой строгое введение в ряды и интегралы Фурье с приложениями к тепловому потоку, волновому движению, физике и теории чисел. Он предназначен для студентов с базовыми знаниями реального анализа, включая равномерную сходимость последовательностей и рядов функций. Не предполагается знание интеграла Лебаска.
Пример программы
(математика 0420 или 0450) и (математика 0280 или 1180 или 1185)
MATH 1700 — Введение в топологию
(3 кредита)
Будет изучена топология r1, а также топология общих метрических пространств. Основные понятия будут применяться для получения фундаментальной теоремы существования обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Курс будет проходить на основе доказательства теорем и решения задач.
MATH 0420 или 0450
MATH 1800 — Дополнительные разделы математики
(3 кредита)
Этот курс дает общее представление о машинном обучении. Основное внимание в этом курсе будет уделяться разработке строгой математической основы для наиболее часто используемых алгоритмов в этой области. Темы, которые будут охвачены, включают кластеризацию, уменьшение размерности, регрессию, оптимизацию и нейронные сети.У студентов будет возможность реализовать алгоритмы из этих тем и проверить свою работу на реальных данных. Рекомендуется иметь знания в области многомерного исчисления и линейной алгебры. Опыт программирования не требуется
MATH 0240 или 0270 или 1180
MATH 1900 Стажировка
(1-3 кредита)
Под руководством преподавателей студент участвует в математическом опыте, проекте или работе.
Свяжитесь с директором бакалавриата для получения номера разрешения
MATH 1902 Направленное исследование
(1-3 кредита)
Под руководством преподавателя студент изучает взаимно согласованную тему по математике.
Свяжитесь с директором бакалавриата для получения номера разрешения
Серия вебинаров AMATYC — Американская математическая ассоциация двухгодичных колледжей
Прошедшие вебинары
Перейти в категорию
AMATYC
Приложения
Оценка и размещение
Стили и методы обучения в классе
Развивающая математика
Дистанционное обучение / онлайн-образование
Международная математика
Политика / теория обучения математике
Пути
Чистая математика
Статистика
Технологии
AMATYC
Навигация по возможностям совместной работы с помощью myAMATYC
Эван Эванс, Карен Гейнс и Джули Фелпс
9 сентября 2020 г.
YouTube
PowerPoint
Стенограмма чата
Изложение позиции Входной слух — Академическая подготовка факультетов, преподающих математику в первые два года обучения в колледже
Кристин Мирбаха 4 июня 2020 г.
YouTube
Проект Положения
Стенограмма чата
Заявление о позиции Input Hearing — Prof Development для учителей развивающей математики
Кэтрин Ван Вагон
28 мая 2020
YouTube
Проект Положения
Стенограмма чата
Подготовка докладчиков и председателей к обмену великими идеями
Тим Бритт, Натали Вега-Родс и Джуди Уильямс 30 октября 2019 г.
YouTube PowerPoint
AMATYC 101 — отличные идеи для Милуоки
Тим Бритт, Кевен Доктер, Тодд Стайн, Тури Суски, Натали Вега-Родс, Кристал Уиггинс и Джуди Уильямс 2 октября 2019 г.
YouTube
PowerPoint
Открытые слушания по заявлению AMATYC по дистанционному обучению
от Дэна Петрака
28 мая 2019 г.
YouTube Заявление
Подготовка ваших великих идей к Милуоки
Комитетом Конференции 23 января 2019 г.
YouTube
PowerPoint
Подготовка докладчиков к главному аттракциону
Хани Кирк, Джуди Уильямс, Дарлин Виннингтон
31 октября 2018 г.
YouTube PowerPoint
Конференция 101 — Предварительный просмотр главной достопримечательности
Итак, вы хотите стать модератором студенческой математической лиги AMATYC
Стивен Хундерт
24 апреля 2018
YouTube Веб-сайт
Профессиональное развитие после конференции
от Джона Оукса и Джули Гункельман
15 февраля 2018
YouTube PowerPoint
Как написать выигрышное предложение для конференции AMATYC
от Хани Кирк, Джуди Уильямс и Дарлин Виннингтон
18 января 2018
YouTube PowerPoint
Подготовка докладчиков и председателей
Хани Кирк, Джуди Уильямс и Дарлин Виннингтон
3 ноября 2017 г.
YouTube
AMATYC 101 — Планирование прайм-тайма в Сан-Диего
комитетом конференции
26 октября 2017
YouTube
Как написать выигрышное предложение для конференции AMATYC
от Хани Кирк, Джуди Уильямс и Дарлин Виннингтон
25 января 2017
YouTube PowerPoint
Сайт AMATYC
Джорджа Херлберта
19 апреля 2016
YouTube
Приложения
Настало время для рождественской математики
Шерри МакКормак и Пэт Райли
14 декабря 2020
YouTube PowerPoint и другие файлы
Подготовка студентов к карьере в сфере STEM с помощью промышленных проектов: математическая программа MAA PIC
, Винод Челламуту и Дженнифер Трэвис 8 октября 2020 г.
YouTube
PowerPoint
Дайте вашим классам глобальную перспективу
от Джима Розновски 19 февраля 2020
YouTube
PowerPoint
Контент в контексте: обучение студентов с помощью реальных приложений
, Стефан Баратто
12 мая 2015 г.
YouTube Другие ресурсы:
Слайды Power Point Раздаточный материал — Word
Раздаточный материал — pdf
Измерение мира в малых группах — Применение тригонометрии
Дэвида Делонга
20 марта 2014 г.
YouTube
Математика видеоигр: создание математических задач из реального игрового дизайна
Яна Шрайбера
26 апреля 2011 г.
YouTube 1,
2,
3, 4
Оценка и размещение
Тенденции и инновации при приеме на работу в математику, которые увеличивают равный доступ и успех — Практическое руководство
от Ури Трейсмана 6 сентября 2019
YouTube
Повышение успеваемости учащихся с помощью оценивания по множественным критериям
Элизабет Барнетт 25 марта 2019
YouTube PowerPoint
Оценка курса от начала до конца
Кэти Дойл
15 марта 2017
YouTube PowerPoint
Оценка по математике PARCC
, Линда Канеки
12 июля 2016 г.
Веб-сайт PARCC
Более десяти лет обязательного размещения в Центральном округе штата Айова
Джона Хансена
22 марта 2016
YouTube PowerPoint
Повышение удержания с помощью тестов размещения
Гэвин Уотерс
7 октября 2015 г.
YouTube Слайды
eCATS: Электронные методы оценивания в классе: измерение температуры обучения в классе
, автор — Лия Чучран
13 июля 2015 г.
YouTube Слайды
Как избавиться от догадок при написании лучших вопросов с множественным выбором
Патрисии Грегг
3 февраля 2015 г.
YouTube PowerPoint
«Конечно, вы учите — но учатся ли они?» Оценка обучения учащихся
от Sandee House
4 августа 2014 г.
YouTube
Fast Track — уверенная ставка для улучшения размещения
Билла Коу
10 апреля 2012 г.
YouTube
Онлайн-классы и тестирование под контролем: давайте заставим это работать
Бехназ Рухани
7 февраля 2012 г.
YouTube
Стили и методы обучения в классе
Трансформационные практики для включения активного обучения в курсы математики
Молли
Уильямс, Ребекка Мачен и Венди Смит
25 мая 2021 г.
YouTube PowerPoint
Уроки
из «Урок« Исследование: модель улучшения преподавания математики для послесреднего образования
»Сьюзен Бикерстафф, Натали Денни, Мишель Марден и
Жаклин Рафаэль
12 мая 2021 г.
YouTube PowerPoint
Улучшение сотрудничества, вовлечения, мотивации и обучения студентов
Пол Нолтинг
17 марта 2021 г.
YouTube PowerPoint
Попросите учащихся написать заметки на уроках математики
Роб Эби
9 марта 2021 г.
YouTube PowerPoint
Как три самозванца сделали технологии, ООР и доступность во время пандемии
Сюзанн Этеридж, Мэри Монро-Эллис и Эми Танкерсли
11 февраля 2021 г.
YouTube PowerPoint Расшифровка стенограммы
Создание вовлеченности в учебной среде
22 января 2021 г.
Кэтрин (Кейт) Козак и Джули Фелпс
YouTube
PowerPoint
Ссылки
Чат
Создание сообщества учащихся
5 августа 2020
Мария Андерсон, Эллен Эйшен, Бехназ Рухани, Нэнси Саттлер и Паула Талли
YouTube Расшифровка стенограммы
Слова имеют значение: интерсекциональность и проблемы со словами
от Дженнифер Акерман
29 июня 2020
YouTube PowerPoint
MINTS: стратегии преподавания интерактивной записной книжки по математике
Кристина Леоне и Сильвия Сан Педро
14 июня 2017
YouTube PowerPoint
Calculus Alive! Мотивация студентов с помощью приложений и переход к активному обучению
, автор — Шона Хайдер
30 июля 2015 г.
YouTube
Мероприятия для гибридных или перевернутых классов
Джули Гункельман
24 марта 2015 г.
YouTube Ресурсы
Другой взгляд на проблемы преподавания и изучения бесконечных серий в исчислении
Боб Каппетта
3 октября 2014 г.
YouTube
Использование диаграмм для понимания тригонометрических функций
Мартина Флэшмана
10 апреля 2014 г.
YouTube Веб-сайт ведущего
Продуктивная настойчивость: что это такое и как колледжи могут ее повысить?
Джейн Мухич и Кристин Шпигельберг
13 ноября 2013 г.
YouTube Презентационные материалы
Использование диаграмм сопоставления для понимания функций
Мартина Флэшмана
15 октября 2013 г.
YouTube Веб-сайт ведущего
Осмысление преподавания: взаимодействие в классе на уроках математики
, Вилма Меса
22 марта 2012 г.
YouTube
Переворачивая классную комнату
Роберта Талберта
22 сентября 2011 г.
YouTube
Развивающая математика
Разработка эффективных совместных проектов курсов и поддержка
от Пола Нолтинга
22 апреля 2019
YouTube PowerPoint и другие раздаточные материалы
Стратегии отношений и многообещающие методы обучения математике
Хелен Берн и Дариэль Блевинс
4 марта 2019
YouTube PowerPoint
Прошлое, настоящее и будущее: развивающая математика
от Джека Ротмана
3 апреля 2018 г.
YouTube PowerPoint Веб-сайт докладчика
Включение открытий в развивающую математику
Джорджа Вудбери
19 апреля 2017
YouTube PowerPoint
Проблемы реализации реформ в области развития и математики
Ури Трейсмана и Джека Ротмана
6 июня 2012 г.
YouTube
Новые пути к развивающей математике: взгляд на математическую грамотность для студентов колледжей
Кэти Алми
24 апреля 2012 г.
YouTube
Раздаточный материал
Обучение развивающей математике — дело не только в содержании!
Марианн Энтони и Линн Маречек
7 июня 2011 г.
YouTube
Дистанционное обучение / онлайн-обучение
Инструменты и стратегии для привлечения студентов, изучающих математику, в онлайн и виртуальную среду
Кристины Кобб и Кэтрин Ван Ваггонер
18 сентября 2020
YouTube
PowerPoint
Выписка
Создание сообщества учащихся
Марии Андерсон, Эллен Эйшен, Бехназ Рухани, Нэнси Саттлер и Паулы Талли
7 августа 2020
YouTube Расшифровка стенограммы
Советы и стратегии виртуального перехода на очные занятия по математике
Фреда Фелдона и Пола Нолтинга
20 мая 2020
YouTube
PowerPoint и другие файлы
Статистика преподавания в онлайн-мире
Мишель Эверсон
19 марта 2013 г.
YouTube
Ресурсы и стратегии для онлайн-инструментов
Кэти Шрок
9 октября 2012 г.
YouTube
Международная математика
Глобализация учебных программ с использованием данных: COIL активизирует учебную среду
Ирен Дюранчик, Грейс Пай и Скиро Витаначчи
24 марта 2021 г.
YouTube, часть 1
YouTube, часть
2 PowerPoint
Математические политики / теория обучения
Профессиональное развитие и проблемы отделов в условиях пандемии
Линда Брэдди, Кристин Мирбаха, Бехназ Рухани и Лора Уоткинс
27 апреля 2021 г.
YouTube
Реализация общего видения глазами учителя-практика
Аннет Кук, Дениз Лухан, Джули Фелпс и Нэнси Сэттлер
19 августа 2020
YouTube PowerPoint Расшифровка стенограммы и раздаточные материалы
Равенство в математическом классе: стратегии для каждого ученика
от Дженны П.Плотник
21 июля 2020
YouTube PowerPoint Расшифровка стенограммы
Раннее вовлечение: вовлечение всех студентов с первого дня
от AJ Stachelek, Shane Tang и Dorota Zak
9 января 2020
YouTube
Силовая установка
Развитие преподавателей и равенство в эпоху математической реформы
, автор — Алисия А.Маршалл и Люси Х. Миша
5 июня 2019 г.
YouTube PowerPoint
Стипендия преподавания и обучения математике в колледже
Меган Брейт-Гудвин и Жаклин Дьюар 27 марта 2019 г.
YouTube PowerPoint
НЕОБХОДИМЫЕ МАТЕМАТИКИ для специалистов по STEM
Соломон Гарфанкел и Родни Нулл 2 октября 2018 г.
YouTube PowerPoint
Язык и математика
Юдит Москкович и Ричард Барвелл
30 августа 2018
YouTube PowerPoint Раздаточные материалы Ресурсы
Использование результатов исследований для оказания ВОЗДЕЙСТВИЯ в классе
— пользователем
Шенди Хаук и Энн Ситомер
23 мая 2018
YouTube Слайды
Как интегрировать учебные навыки в ваш математический класс для повышения успеваемости и удержания учащихся
от Джессики Бернардс
7 марта 2018
YouTube
21 способ усиления адъюнкта
Мишель Келли
18 января 2017
YouTube PowerPoint
Если бы я знал то, что знаю сейчас.Серия из трех частей, написанная президентом-основателем AMATYC Хербом Гроссом Часть третья: Реализация концепции
Херб Гросс, Джуди Бендер и Рик Медейрос
1 декабря 2016 г.
YouTube Веб-сайт
Если бы я знал то, что знаю сейчас. Серия из трех частей, написанная президентом-основателем AMATYC Хербом Гроссом Часть вторая: Игра в алгебру Херба Гросса
3 ноября 2016 г.
YouTube
Если бы я знал то, что знаю сейчас.Серия из трех частей, написанная президентом-основателем AMATYC Хербом Гро Часть первая: Вы видели число?
от Herb Gross
13 октября 2016 г.
YouTube
Common Vision 2025
, Линда Брэдди
21 июня 2016
YouTube PowerPoint
Интеграция математических практик в математику для курсов начальных учителей
от Мэг Мосс
23 апреля 2015 г.
YouTube
Слайды PowerPoint
Стандарты математической практики
Запросить дополнительную информацию
Улучшение математических разработок с помощью учебных стратегий и дополнительной поддержки
Пол Нолтинг
30 октября 2014 г.
YouTube
Обучение навыкам изучения математики в классе и на модельных курсах
Пол Нолтинг
30 июня 2014 г.
YouTube
Общее ядро и общественный колледж
от Теда Коу
20 мая 2014 г.
YouTube
Соглашение о переводе в Мичиган — Информация для математических факультетов муниципальных колледжей
от Джека Ротмана
27 марта 2014 г.
YouTube Стенограмма чата
Получение работы в муниципальном колледже
Шона Симпсона
12 февраля 2014 г.
YouTube
FOCUS — Модель сопутствующей программы по математике
Мишель Эверсон
19 марта 2013 г.
YouTube
Общее ядро: что нужно знать
Генри (Хэнк) Кепнер
24 мая 2011 г.
YouTube
Пути
Продвижение справедливости в математических курсах в эпоху пандемии
Хелен Берн, Энн Эдвардс и Конни Ричардсон
21 октября 2020 г.
YouTube PowerPoint
Выписка
Переходная математика: следующий рубеж на пути развития математики
Кэтлин Алми
15 августа 2018
YouTube PowerPoint
Советы и приемы для успешного внедрения путей
Кэтлин Алми и Дэн Петрак
17 января 2014 г.
YouTube Программа обучения Дэна Петрака Компетенции курса DMCC Проект «Новая жизнь» Блог Кэти Алми Материалы Dana Center
Новые пути к развивающей математике: взгляд на математическую грамотность для студентов колледжей
Кэти Алми
24 апреля 2012 г.
YouTube
Раздаточный материал
Statway и Quantway: математические пути к успеху студентов в общественных колледжах
Ури Трейсмана, Карона Клиппла, Джейн Мухич и Джули Фелпс
1 апреля 2011 г.
Сайт
Чистая математика
Создание Pi (e) с нуля, быстро и запоминающе
Льюис Кэвинесс и Кен Кэвинесс 27 сентября 2019 г.
YouTube PowerPoint
За пределами Ньютона и Лейбница: создание современного исчисления
Тони Пикколина
25 сентября 2017
YouTube PowerPoint
Стратегии преподавания и обучения для бесконечных серий: пределы частичных сумм
Боб Каппетта
16 октября 2015 г.
YouTube
Альтернативный подход к представлению гауссовской редукции матрицы
от Стива Делонга
22 июля 2014 г.
YouTube
Конструкции OCTA-TETRA и модели многогранников
Дэн Саттин
15 ноября 2012 г.
YouTube
Интересные атипичные проблемы с исчислением
Боб Каппетта
13 апреля 2012 г.
YouTube
Управляемое переосмысление конвергенции рядов и конвергенции рядов Тейлора
от Джейсона Мартина
13 октября 2011 г.
YouTube
Использование угловых измерений для установления соединений в тригонометрии
Кевина Мура
28 сентября 2011 г.
YouTube
Статистика
ASA
DataFest: Праздник данных
Роберта Гулда и Майн Цетинкая-Рундель
10 мая 2021 г.
YouTube PowerPoint
DataFest
Руководство по статистике и науке о данных для K-12: влияние курсов в колледжах
Кристин Франклин
25 февраля 2021 г.
YouTube PowerPoint
Разработка и внедрение эффективного курса обязательной статистики
Лии Бек и Кэти Кубо
26 октября 2020
YouTube PowerPoint
Содействие вовлечению студентов в курсы онлайн-статистики
Дуэйн Дэй, Дэн Петрак и Анелиз Саббаг
21 августа 2020
YouTube PowerPoint
Выписка
Инструменты для построения карьеры в области больших данных в общественных колледжах Джойс Малин-Смит, Пол Хансфорд, Майкл Харрис, Джеймс Ползин и Сюзанна Смит
Среда, 8 июля 2020 г. YouTube PowerPoint
Выписка
Статистика обучения с GeoGebra
от Tuyetdong Phan-Yamada
9 августа 2019
YouTube PowerPoint
Перемещение в мир за гранью p <0.05
Николь Лазар, Аллен Ширм и Рон Вассерштейн 26 марта 2020 г.
YouTube
PowerPoint
Преподавание вводной статистики: задавайте хорошие вопросы
от Аллана Россмана
15 января 2020
YouTube
PowerPoint
Развитие статистических навыков учителей и учащихся школьного уровня
Кристин Франклин
29 октября, 2019
YouTube PowerPoint
PIC Math и лучшие рабочие места в 21 веке
Майкла Дорффа и Сюзанны Л.Weekes 24 июня 2019
YouTube PowerPoint
Внедрение R в вашем вводном курсе статистики
от Кэтрин (Кейт) Козак
1 февраля 2019 г.
YouTube PowerPoint
Методы статистической выборки
от Джеймиса Перретта
5 декабря 2018
YouTube PowerPoint
Мероприятия HILT: большое влияние на обучение учащихся, мало времени в классе для реализации
от Дженнифер Каплан
28 июня 2018
YouTube PowerPoint
Множественная регрессия: от знакомого к многомерному, Том Шорт
7 февраля 2018
YouTube PowerPoint Данные
Преподавание с GAISE: статистическая грамотность в 21 веке
Роберт Карвер, Моника Дабос, Джо Герда, Кэти Кубо, Меган Моко, Ребекка Вонг и Беверли Вуд
22 мая 2017
YouTube PowerPoint
Данные IPUMS: данные из реального мира для обучения
от Лары Кливленд
6 февраля 2017
YouTube PowerPoint Раздаточный материал
Bootstraps — интуитивное введение в доверительные интервалы
от Робина Локка
6 декабря 2016
YouTube PowerPoint
Итак, вы впервые преподаете статистику?
от Джона Оукса
7 июня 2016 г.
YouTube Сайт Google
Обучение вводной статистике с выводом на основе моделирования
Аллана Россмана и Бет Ченс
7 апреля 2016 г.
YouTube Powerpoint
Использование визуализации данных для лучшего понимания рынка труда и экономики
, автор — Джей Мейсенхаймер
23 февраля 2016
YouTube Powerpoint
Разработка учебной программы по аналитике для общественного колледжа: подготовка сегодняшних кадров для будущего
Тани Скотт и Др.Манджу Шах
4 декабря 2015 г.
YouTube PowerPoint
Анализ финансовых данных во вводном курсе статистики
Келли Фицпатрик
26 октября 2015 г.
YouTube PowerPoint
Современная вступительная статистика
Роба Гулда
17 августа 2015 г.
YouTube
Использование оценивания для улучшения и оценки обучения учащихся во вводной статистике
, Боб дельМас
2 июня 2015 г.
YouTube Презентация
Включение использования реальных данных и R в курс статистики
Келли Фицпатрик
14 апреля 2015 г.
YouTube PowerPoint
Интерпретация графического отображения данных
от Рокси Пек
8 декабря 2014 г.
YouTube
Интересные факты из теории вероятностей
Джеймса Тантона
27 ноября 2012 г.
YouTube
Технологии
Открытый вещатель
Программное обеспечение (OBS): выведите свои лекции Zoom Live на новый высокий уровень! — Часть 2
, Серхио Мария-Фагундес 11 июня 2021 г.
YouTube
Open Broadcaster
Программное обеспечение (OBS): выведите свои лекции Zoom Live на новый высокий уровень! — Часть 1
, Sergio Maria-Fagundez 4 июня 2021 г.
YouTube Подключение OBS к Zoom
Визуализация решения уравнений с помощью диаграмм отображения функций
Мартина Флэшмана
22 сентября 2020
YouTube
Хорошие уравнения и приложения для обучения математике в Интернете
от Tuyetdong Phan-Yamada
19 июня 2020
YouTube PowerPoint
Веб-сайт спикера Веб-сайт Мартина Флэшмана
Решение полиномиальных уравнений
Доступные оболочки курсов для OER и других текстов — все готовы к адаптации!
Барбара Илловски 29 апреля 2019
YouTube PowerPoint
Преодоление технологического разрыва: бесплатные технологические инструменты для математики
от Джона Оукса
26 января 2016
Интеллектуальная карта
Исследуйте математику с Desmos
Люка Уолша
29 апреля 2014 г.
YouTube
MyMathText
Роба Найта
3 апреля 2013 г.
YouTube
Игра с многомерным исчислением в 3D-очках
Пол Сибургер
27 октября 2011 г.
YouTube
Оживление вычислений с помощью динамической визуализации (специальная презентация с функциями 3D!)
Пол Сибургер
29 июня 2011 г.
YouTube
Что я могу делать с Wolfram Alpha (и что мне нужно знать о моих учениках)?
Брюс Йошивара
6 мая 2011 г.
YouTube
Банк тестов по исчислению — CAS — Департамент математики
Эта страница содержит ссылки на тесты по математике, которые предлагались в UAB в прошлом в соответствии с принятой в то время программой.Большинство тестов даются без ответов. Ответы на тестовые задачи отдел не хранит. Вы можете попросить своего инструктора проверить ваши ответы, если вы используете тестовые задания для практики.
Последние испытания принимают следующий формат:
Часть I предназначена для проверки базовых навыков; в нем приводится список стандартных упражнений, на которые учащиеся дают только ответы. Работы показывать не нужно.
Часть II проверяет навыки решения проблем; он обычно предлагает многоэтапные задачи, включая задачи со словами и задачи из реальной жизни.Студенты должны показать свои работы на этой части экзамена.
ПРИМЕЧАНИЕ: Все тесты в формате PDF.
Осень 2017 г.
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
Весна 2017
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
Осень 2016 г.
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
Весна 2016
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
Осень 2015 г.
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
MA 227 (Исчисление III)
EGR / MA 265 (Математические инструменты для решения инженерных задач)
Весна 2015
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
MA 227 (Исчисление III)
EGR / MA 265 (Математические инструменты для решения инженерных задач)
Осень 2014
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
EGR / MA 265 (Математические инструменты для решения инженерных задач)
Весна 2014
MA 125 (Исчисление I)
EGR / MA 265 (Математические инструменты для решения инженерных задач)
Падение 2013
MA 125 (Исчисление I)
MA 227 (Исчисление III)
EGR / MA 265 (Математические инструменты для решения инженерных задач)
Весна 2013
MA 125 (Исчисление I)
MA 227 (Исчисление III)
EGR / MA 265 (Математические инструменты для решения инженерных задач)
Осень 2012 г.
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
MA 227 (Исчисление III)
EGR / MA 265 (Математические инструменты для решения инженерных задач)
Весна 2012 г.
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
MA 227 (Исчисление III)
EGR / MA 265 (Математические инструменты для решения инженерных задач)
Осень 2011 г.
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
MA 227 (Исчисление III)
EGR / MA 265 (Математические инструменты для решения инженерных задач)
Весна 2011 г.
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
MA 227 (Исчисление III)
EGR / MA 265 (Математические инструменты для решения инженерных задач)
Осень 2010 г.
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
MA 227 (Исчисление III)
EGR / MA 265 (Математические инструменты для решения инженерных задач)
Весна 2010 г.
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
MA 227 (Исчисление III)
EGR / MA 265 (Математические инструменты для решения инженерных задач)
Осень 2009 г.
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
MA 227 (Исчисление III)
EGR / MA 265 (Математические инструменты для решения инженерных задач)
Весна 2009 г.
MA 125 (Исчисление I)
MA 227 (Исчисление III)
EGR / MA 265 (Математические инструменты для решения инженерных задач)
Осень 2008 г.
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
MA 227 (Исчисление III)
EGR / MA 265 (Математические инструменты для решения инженерных задач)
Весна 2008 г.
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
MA 227 (Исчисление III)
Осень 2007 г.
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
MA 227 (Исчисление III)
Весна 2007 г.
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
MA 227 (Исчисление III)
Осень 2006 г.
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
MA 227 (Исчисление III)
Лето 2006 г.
MA 126 (Исчисление II)
MA 227 (Исчисление III)
Весна 2006 г.
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
MA 227 (Исчисление III)
Осень 2005 г.
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
MA 227 (Исчисление III)
Весна 2005 г.
MA 125 (Исчисление I)
РАЗДЕЛ 1
РАЗДЕЛ 2
MA 126 (Исчисление II)
РАЗДЕЛ 1
РАЗДЕЛ 2
РАЗДЕЛ 3
Осень 2004 г.
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
РАЗДЕЛ 1
РАЗДЕЛ 2
РАЗДЕЛ 3
РАЗДЕЛ 4
MA 227 (Исчисление III)
РАЗДЕЛ 1
РАЗДЕЛ 2
Весна 2004 г.
MA 125 (Исчисление I)
РАЗДЕЛ 1
РАЗДЕЛ 2
MA 126 (Исчисление II)
MA 227 (Исчисление III)
РАЗДЕЛ 1
РАЗДЕЛ 2
Осень 2003 г.
MA 125 (Исчисление I)
MA 126 (Исчисление II)
РАЗДЕЛ 1
РАЗДЕЛ 2
РАЗДЕЛ 3
MA 227 (Исчисление III)
РАЗДЕЛ 1
РАЗДЕЛ 2
РАЗДЕЛ 3
Весна 2003 г.
MA 125 (Исчисление I)
РАЗДЕЛ 1
РАЗДЕЛ 2
РАЗДЕЛ 3
MA 126 (Исчисление II)
РАЗДЕЛ 1
РАЗДЕЛ 2
MA 227 (Исчисление III)
РАЗДЕЛ 1
РАЗДЕЛ 2
Научный блог как практика
% PDF-1.6
%
1 0 объект
>
эндобдж
4 0 obj >>
эндобдж
2 0 obj
>
поток
2014-08-12T11: 49: 44ZWord2014-08-12T13: 55: 47 + 02: 002014-08-12T13: 55: 47 + 02: 00блоги, теория жанров, научное общение, социальные сети Mac OS X 10.9.4 Quartz PDFContextapplication / pdf
Практика ведения блогов исследователями в двух эпистемологических культурах: научный блог как практическая практика
Сара Челлберг
блоги
теория жанра
научное сообщение
социальные сети
uuid: 51a6558a-30a2-42cc-b77f-45e3e51c68f8uuid: e901f24b-6e69-4f9a-b881-0f6019af8026 конечный поток
эндобдж
3 0 obj
>
эндобдж
5 0 obj
>
эндобдж
6 0 obj
>
эндобдж
7 0 объект
>
эндобдж
8 0 объект
>
эндобдж
9 0 объект
>
эндобдж
10 0 obj
>
эндобдж
11 0 объект
>
/ XObject>
>>
/ Аннотации [58 0 R 59 0 R]
/ Родитель 5 0 R
/ MediaBox [0 0 595 842]
>>
эндобдж
12 0 объект
>
эндобдж
13 0 объект
>
эндобдж
14 0 объект
>
эндобдж
15 0 объект
>
эндобдж
16 0 объект
>
эндобдж
17 0 объект
>
эндобдж
18 0 объект
>
эндобдж
19 0 объект
>
эндобдж
20 0 объект
>
эндобдж
21 0 объект
>
эндобдж
22 0 объект
>
эндобдж
23 0 объект
>
эндобдж
24 0 объект
>
эндобдж
25 0 объект
>
эндобдж
26 0 объект
>
эндобдж
27 0 объект
>
эндобдж
28 0 объект
>
эндобдж
29 0 объект
>
эндобдж
30 0 объект
>
эндобдж
31 0 объект
>
эндобдж
32 0 объект
>
эндобдж
33 0 объект
>
эндобдж
34 0 объект
>
эндобдж
35 0 объект
>
эндобдж
36 0 объект
>
эндобдж
37 0 объект
>
эндобдж
38 0 объект
>
эндобдж
39 0 объект
>
эндобдж
40 0 объект
>
эндобдж
41 0 объект
>
эндобдж
42 0 объект
>
эндобдж
43 0 объект
>
эндобдж
44 0 объект
>
эндобдж
45 0 объект
>
эндобдж
46 0 объект
>
эндобдж
47 0 объект
>
эндобдж
48 0 объект
>
эндобдж
49 0 объект
>
эндобдж
50 0 объект
>
эндобдж
51 0 объект
>
эндобдж
52 0 объект
>
эндобдж
53 0 объект
>
эндобдж
54 0 объект
>
поток
xWn «G-7Kf% z & ^ 40cf / 6 # / 1`r ﭪ & B ^ nsT ~ & 7C7 / GSlpw `s] 6, r {Y = p = _lW 冯 # ln ^ n ~% / n 뻿 Ȗ7 | w & OWvˇRY @% y; # f5Y> uYsY
k- =
п-р ܝ EbtY
%
NE4_i ^ T, K: sA + {; /}) lϩ +> b = ‘7 XT #, k}> Go ق x’v = L — boGoz% WW? 3] o = _mG_C !! 9T0 = & Fò! O%) udAHF: e%.
занимательная арифметика в картинках с ответами — РОСТОВСКИЙ ЦЕНТР ПОМОЩИ ДЕТЯМ № 7
занимательная арифметика в картинках с ответами
Задачи для первого класса по математике
примеры на сложение и вычитание
Логические задачи по математике для 1 класса с ответами, решениями
Тесты онлайн по математике для 1 класса
примеры и способы решения математических задач для родителей
интерактивный тренажер по математике для 1 класса на Skills4U
Преподавание математики для первого класса
Навыки математики в первом классе, чему научится ваш ребенок, Komodo Math
Четыре основных математических понятия, которые ваши дети изучают в 1-2 классах | Scholastic
Чего ожидать от учебной программы по математике для первого класса
Математика для детей, рабочие листы, веселые игры, викторины, видео, для детского сада, с 1 по 6 класс
Ваш первоклассник и математика
занимательная арифметика в картинках с ответами
Занимательные примеры на сложение и вычитание
Перед вами 7 заданий, которые можно использовать для короткого дополнительного занятия с первоклассником. Решать сейчас эти примеры в уме или на бумаге не обязательно.
Вы сможете выполнять интерактивные задания в персональном кабинете. А здесь мы просто показываем родителям и учителям примеры задач. Чтобы вы сразу поняли, что наконец-то нашли то, что искали 😉.
В магическом квадрате сумма чисел в любой горизонтали, вертикали и диагонали одинакова.
Определи недостающее число.
Расставь знаки арифметических действий между числами.
Определи, какой знак спрятался за кругом.
С ЛогикЛайк ребёнок не соскучится! И подружится с логикой и математикой.
Злобный вирус прячет одинаковые цифры за одинаковыми картинками.
Какие цифры спрятались за совой и попугаями?
Задачи для первого класса по математике
Школьное образование
(20 голосов: 4. 2 из 5)
Оправляя ребенка в первый класс, родители всегда мечтают о том, что их чадо будет отлично учиться и по всем предметам получать только высшие оценки. И если чтению научить малыша совсем не сложно, то понимать и решать математические задачи детям не всегда легко. Чтобы первоклассник успевал по математике в школе, родители либо нанимают репетитора, что не всегда финансово оправдано, либо пытаются заниматься с детьми самостоятельно. В этом материале мы расскажем, как подтянуть первоклассника по математике в домашних условиях, расскажем о различных типах задач и о методах их решений.
Как учить ребенка математическому счету
Родители первоклассников должны помнить о том, что в возрасте 5–7 лет у детей еще плохо развито абстрактное мышление. Вспомните сказку о Буратино, когда он считал яблоки, которые якобы забрал «Некто». Так и ребенок 5–7 лет еще не в состоянии представить условие задачи.
Лучше всего пользоваться наглядными пособиями, которые ребенок сможет увидеть, потрогать. Это могут быть счетные палочки, кубики или картинки, вырезанные из картона (например, набор картонных ежиков, цветочков, листиков и прочего). Выкладывайте перед ребенком все условие задачи из наглядных материалов: было столько-то, добавили или отняли столько-то. Так ему будет проще понимать условие задачи и легче находить ее решение.
Еще один важный момент при обучении детей состоит в том, что ребенок должен научиться отличать задачи друг от друга по типам. Для этого можно ориентировать его на какие-то ключевые слова. Например, если в задаче упоминаются слова «добавили», «принесли», «прилетели», «прибежали» и другие, обозначающие присоединение, то это задача на сложение.
Понимая, к какому типу относится та или иная задача, ребенок научится определять нужный алгоритм решения и успешно справляться с заданием.
Задачи на сложение для первоклассников
Как уже говорилось, задачи на сложение имеют общий признак – присоединение. Еще одним признаком задач на сложение есть словосочетание «сколько всего» в вопросе задания.
Ребенок должен научиться четко понимать, что если в условии есть присоединение чего-либо, то ему нужно складывать имеющиеся цифры. Ребенок должен понимать, что такое первое слагаемое, второе слагаемое и сумма, и уметь находить их в условии задания.
Чтобы ребенок хорошо осваивал устный счет, ему необходимо регулярно заниматься счетом «в уме». Если вы на каникулах, хотя бы один раз в день задавайте ему примеры для развития памяти. Заниматься можно даже по дороге в школу или в секции.
Пять-десять примеров ежедневно не слишком утомят первоклассника, но принесут много пользы для его дальнейшей учебы.
Ниже приведены задачи для первоклассников на сложение. Для удобства мы их разбили на варианты, чтобы при занятиях на дому вы могли прорешивать с ребенком уже скомплектованные задания.
Вариант 1
Наташа прочитала за каникулы 5 книг, а Катя прочитала 4 книги. Сколько книг дети прочитали вместе за каникулы?
На одной ветке яблони висело 6 яблок, а на другой – 7. Сколько яблок было на обеих ветках яблони?
В классе на окне стоят цветы в горшках. На первом окне стоит 2 цветка, на втором 3 цветка, а на третьем 1 цветок. Сколько всего цветов в классе?
В семье Алеши живет 2 мальчика и 1 девочка. В семье Тани – 1 девочка и 1 мальчик. У Сережи в семье живут 2 мальчика, а у Кати – только 1 девочка. Сколько всего девочек живет в семьях всех детей? А сколько мальчиков?
По результатам оценок за 1 четверть в 1‑А классе 10 отличников, 14 хорошистов и 2 троечника. В 1‑Б классе – 8 отличников, 12 хорошистов и 3 троечника. А в 1‑В – 11 отличников, 11 хорошистов и 4 троечника. Сколько отличников, хорошистов и троечников во всей параллели первых классов?
Вариант 2
Наташе 8 лет, сколько ей будет через 3 года? Через 4 года, через 10 лет?
В магазине канцелярии Насте понравились фломастеры за 18 рублей. У нее есть 10 рублей, 5 рублей, 2 рубля и 1 рубль. Хватит ли девочке денег на покупку?
На прогулку вышли 6 девочек и 12 мальчиков. Сколько всего детей вышли на прогулку?
У Саши пачка счетных палочек. Из них 10 красные, 8 синие и 12 желтые. Сколько всего палочек в пачке?
На день рождения к Полине пришли 4 подружки и 5 друзей. Сколько всего детей будет сидеть за праздничным столом? (здесь важно, чтобы ребенок не забыл посчитать саму Полину, ответ в задачке – 10 детей).
Вариант 3
Дети пришли в парк и увидели птиц, плавающих на озере: 8 лебедей и 12 уток. Сколько всего птиц плавало на озере?
На субботнике в школе дети сажали саженцы. Петя посадил 2 саженца, Антон – 3, Наташа с Катей 2 саженца. Сколько всего саженцев посадили дети?
В коробке на столе лежали конфеты. Маша съела 5 конфет, Алена – 3 конфеты, Настя – 6 конфет, а Коля съел 6 конфет и коробка опустела. Сколько конфет было в коробке с самого начала?
В коллекции Марины 20 открыток. У Юли тоже 20 открыток. Сколько всего открыток у девочек?
У Севы было 20 марок, ему подарили еще 4 марки. Сколько всего марок стало у Севы?
Вариант 4
Мама посадила 20 кустов огурцов и 17 кустов помидоров. Сколько всего кустов растений посадила мама?В понедельник в столовую привезли 8 столов, во вторник – 7 столов, а в четверг – еще 10. Сколько всего столов получила столовая за неделю?
Паша и папа пошли в поход. В первый день они прошли 12 км. Во второй – 10 км, в третий – 8, а в четвертый 11. Какой путь преодолели папа и Паша?
В зоопарке живет 12 обезьян, 8 тигров, 2 слона, 6 медведей и 4 енота. Сколько всего животных в зоопарке?
Важно! Если каждый день прорешивать один вариант заданий на сложение с ребенком, то на контрольных он будет показывать блестящие результаты.
В 1‑А классе 13 мальчиков и 12 девочек. В 1‑Б классе 12 мальчиков и 15 девочек, а в 1‑В классе 10 мальчиков и 12 девочек. Сколько всего мальчиков и сколько девочек во всех первых классах?
Задачи на вычитание для первоклассников
Задачи на вычитание тоже имеют свои признаки и особенности. В условии всегда можно встретить какое-то из характерных словосочетаний: «сколько осталось», «было столько-то, из них…», «было столько-то, столько-то ушло/улетело/убежало/испортилось и т.д.» и прочие. Здесь тоже важно понимать, что такое первое слагаемое, второе слагаемое и сумма, уметь находить их в условии задания, потому что задачи на вычитание являются обратными от сложения. И понятия здесь немного другие: уменьшаемое, вычитаемое, разность.
Ниже приведены задачи для первоклассников на вычитание. Для удобства мы их тоже разбили на варианты, чтобы при выполнении домашних заданий дети могли прорешивать уже скомплектованные задания.
Здесь есть задачи как на нахождение остатка («сколько осталось»), так и на уменьшение («на сколько изменилось число»).
Вариант1
Андрей живет на 7 этаже, а Алена на 3 этажа ниже. На каком этаже живет Алена?
У Володи 17 машинок, а у Саши нет ни одной. Володя подарил Саше 8 машинок. Сколько у него осталось?
Наташе 12 лет, а ее брату Сереже на 7 лет меньше. Сколько лет Сереже?
В саду росло 10 яблонь, а груш – на 4 меньше. Сколько груш росло в саду?
За первый день Мила прочитала 24 страницы в книге, а за второй на 3 меньше. Сколько страниц прочитала Мила во второй день?
Вариант 2
В школьной библиотеке дети получают книги. Петя взял 8 книг, Алеша – на 2 книги меньше, чем Петя, а Ваня на 3 книги больше чем Алеша. Сколько книг взял каждый мальчик? Сколько книг они взяли вместе?
На столе в вазе лежало 25 ягод. Марина съела 4 ягоды, Алиса съела 6 ягод, Мила съела 3 ягоды, а остальные ягоды доела Катя. Сколько ягод съели Марина и Алиса? Мила и Катя? Сколько ягод съела Катя?
На столе стояло 10 тарелок, а в раковине – на 6 меньше. Сколько тарелок было в раковине?
Сереже 15 лет, его сестре Ларисе на 4 года меньше. А самому младшему брату Борису – на 7 лет меньше, чем Ларисе. Сколько лет Ларисе и Борису?
Мама посадила 30 кустов огурцов, 17 кустов взошли. Сколько всего кустов огурцов пропало?
Вариант 3
Дети пошли в лес за грибами. Дима нашел 10 сыроежек и 7 белых грибов. Таня нашла на 3 сыроежки меньше, и на 2 белых меньше. Сколько и каких грибов нашла Таня?
В первом доме 12 подъездов, во втором доме на 4 подъезда меньше, чем в первом. А в третьем доме на 6 подъездов меньше чем в первом. Сколько подъездов в каждом из домов?
В первой корзине 23 яблока, а во второй на 11 яблок меньше. Сколько яблок в обеих корзинах?
В спектакле участвовали 12 девочек, а мальчиков на 3 меньше. Сколько мальчиков участвовало в спектакле?
В одной вазе стоит 15 роз, а в другой на 8 меньше. Сколько роз во второй вазе?
Вариант 4
Конфеты стоял 30 рублей, а хлеб на 15 рублей дешевле. Сколько стоит хлеб?
Бабушка испекла пирожки. С картошкой 30 штук, с повидлом на 10 меньше, чем с картошкой, а с капустой на 5 меньше, чем с картошкой. Сколько и каких пирожков испекла бабушка?
В автобусе ехало 20 мужчин. Женщин было на 5 меньше, чем мужчин, а детей – на 7 меньше, чем женщин. Сколько всего людей ехало в автобусе?
В школьной библиотеке дети получают книги. Саша взял 5 книг, Миша – на 2 книги меньше, чем Саша, а Сережа на 2 книги больше чем Миша. Сколько книг взял каждый мальчик? Сколько книг они взяли вместе?
На поливку огорода израсходовали 20 ведер воды. На грядки с капустой пошло 12 ведер. Сколько пошло на грядки с морковкой?
Задачи на сравнение для первоклассников
Задачи на сравнение направлены на нахождение какого-либо числа, меньшего или большего от исходного. В принципе, в какой-то мере их можно отнести к задачам на сложение или вычитание, поэтому эти задачи мы решили не расписывать по вариантам, а привести несколько подобных примеров:
На крыше сидело 10 кошек: 7 черных и 3 серых. На сколько черных кошек больше, чем серых?
В деревне у бабушки есть куры и утки. Кур 18, а уток – 15. На сколько кур больше, чем уток.
У Тани 3 куклы, а у Дины – на 4 больше. Сколько кукол у Дины? На сколько кукол у Тани меньше?
Марине 14 лет, а Мише 9. На сколько лет Марина старше Миши?
В гараже стоит 8 машин. Из них 3 грузовых и 5 легковых. На сколько грузовых машин меньше, чем легковых?
Диме на день рождения подарили подарки. Сначала мама и папа подарили 2 подарка, потом друзья принесли 5 подарков. На сколько подарков больше стало у Димы?
В первый день каникул Юра решил 5 задач, во второй – 7, а в третий – 2. На сколько задач больше решил Юра во второй день?
На сколько задач меньше чем в первый решил Юра в третий день? А на сколько меньше задач он решил в третий день, чем во второй?
У Сони было 3 апельсина и 10 яблок. На сколько яблок больше, чем апельсинов?
У Оли 3 зайца и 2 белки. У Милы 5 кукол и 1 мишка. У кого больше игрушек и на сколько?
На лугу паслись коровы. К ним пришли 7 коз и всего стало 15 животных на лугу. Сколько было коров?
Задачи на логику для первоклассников
Развитию логического мышления уже посвящались статьи с рекомендациями педагогов и перечнями упражнений и заданий. Здесь мы приведем несколько логических задач, которые позволят не только развивать, но и тренировать логику первоклассников.
Что легче? Килограмм ваты или килограмм гвоздей?В стакан, кружку и чашку налили чай, компот и какао. В кружке не какао. В чашке не какао, и не компот. Что и во что налили?
Сколько пальцев на 3 руках?
Сколько лап у 4 кошек?
Сколько рук у 10 детей?
Лена и Миша увидели в море 2 парохода. Сколько пароходов увидел каждый из детей?
Из-под кровати торчат хвостики котят. Сколько всего котят, если видно 7 хвостиков?
За забором спрятались собаки. Из-под забора видно 12 лап, сколько всего собак за забором?
На столе лежат 5 персиков и 8 груш. Сколько всего будет яблок и слив?
На столе стоят 2 стакана с молоком. Петя выпил молоко и поставил стан на стол. Сколько стаканов на столе?
Из школы вышел Ваня. Навстречу ему шли 3 девочки. Сколько детей шло из школы?
Из дома в школу шли семь первоклассников: Петя, Маша, Лиза, Гриша, Толя, Миша и Лариса, и 4 второклассника: Сережа, Таня, Мила и Ваня. Сколько девочек шло в школу?
Чтобы попасть в театр 2 дочерям и 2 матерям понадобилось 3 билета. Как такое могло случиться?
Миша старше Лены на 2 года. На сколько он будет старше Лена через 5 лет?
Лена и Милана посадили по 10 цветков и закончили работу одновременно. Милана начала работу раньше. Кто из девочек работал медленнее?
Вместо заключения
Математическое развитие первоклассников имеет огромное значение в их образовании. Решая примеры и задачи, ребенок приобретает новый опыт, знания и навыки. Учится логически и математически мыслить, находить решение из различных ситуаций, более успешно осваивать смежные науки в дальнейшей учебе.
Нельзя пускать на самотек успеваемость детей, и нужно всячески стремиться помочь им в этом сложном деле, как учеба в первом классе. Ведь именно в это время закладывается фундамент его дальнейшей учебы в школе.
Математика 1 класс. Видео
примеры на сложение и вычитание
Как учить ребенка математическому счету
Родители первоклассников должны помнить о том, что в возрасте 5-7 лет у детей еще плохо развито абстрактное мышление. Вспомните сказку о Буратино, когда он считал яблоки, которые якобы забрал «Некто». Так и ребенок 5-7 лет еще не в состоянии представить условие задачи.
Лучше всего пользоваться наглядными пособиями, которые ребенок сможет увидеть, потрогать. Это могут быть счетные палочки, кубики или картинки, вырезанные из картона (например, набор картонных ежиков, цветочков, листиков и прочего). Выкладывайте перед ребенком все условие задачи из наглядных материалов: было столько-то, добавили или отняли столько-то. Так ему будет проще понимать условие задачи и легче находить ее решение.
Еще один важный момент при обучении детей состоит в том, что ребенок должен научиться отличать задачи друг от друга по типам. Для этого можно ориентировать его на какие-то ключевые слова. Например, если в задаче упоминаются слова «добавили», «принесли», «прилетели», «прибежали» и другие, обозначающие присоединение, то это задача на сложение. Понимая, к какому типу относится та или иная задача, ребенок научится определять нужный алгоритм решения и успешно справляться с заданием.
Математические задания для 1 класса – Посчитай и поставь знак
Представленные математические задания для 1 класса разработаны для тренировки счета от 1 до 10, а также умения подбирать нужный математический знак между двумя числами. Вооружайтесь ручкой и цветными карандашами, распечатывайте картинку и приступайте к занятию, объяснив ребенку условия:
В первом задании нужно подобрать к каждой картинке с овощами и фруктами соответствующее число (число нужно обвести и соединить с картинкой, используя карандаш того цвета, в который раскрашен кружок с данным числом). В конце задания пусть ребенок ответит, какие числа оказались лишними. Затем ребенок должен придумать примеры для каждой картинки. Например, в первой картинке пример звучит так: 3 красных яблока + 6 зеленых яблок = 9 яблок.
Во втором задании нужно посчитать количество насекомых в каждой картинке и записать числа-ответы в пустые клетки под ними. Клеточка посредине между числами – для математического знака (>=), который покажет сравнение этих чисел – больше или меньше одно число другого или числа равны.
Выполни задания – Посчитай, соедини и зачеркни
Здесь ребенку нужно выполнить математические задания для 1 класса на умение считать, решать примеры и мыслить логически.
В первом задании необходимо внимательно рассмотреть картинки с мультипликационными героями и подумать, какие примеры можно составить с ними. Например картинка с четырьмя огурцами и двумя грушами – это числа 4 и 2. Значит, пример может быть или 4 + 2, или 4 – 2. Таким образом ребенок должен размышлять и с остальными вариантами. Подходящий пример нужно выбрать среди четырех вариантов и соединить линиями с соответствующими картинками.
Во втором задании нужно посчитать количество мультипликационных героев на каждой картинке. Под картинкой необходимо зачеркнуть все числа, которые не соответствуют этому количеству. В конце выполнения задания ребенка нужно спросить, на что он обратил внимание, считая героев (все картинки с героями расположены по порядку счета).
Фруктовые примеры – Умеешь ли ты логически мыслить?
Здесь вы можете скачать оригинальные фруктовые примеры, решить которые будет не так уж просто! Ведь прежде, чем их решать, нужно хорошо подумать, в чем заключается смысл условия задания. Пусть ребенок подольше рассмотрит картинки и подумает сам, как ему найти числовое значение фрукта возле которого стоит знак вопроса (в первом задании – яблоко, во втором – лимон).
Объясните ребенку так: На этой картинке необычные примеры. В них фрукты скрыли некоторые числа. То есть, под каждым фруктом запрятано какое-то число. Тебе нужно решить, какое число запрятано под яблоком. Для этого ты должен внимательно посмотреть как прибавляются и отнимаются фрукты в примерах и какие числа получаются в результате. Если ты узнаешь числа, скрытые под разными фруктами, то сможешь узнать и то число, которое скрыто под яблоком.
Сколько пар? – Математические задания для первоклассников
Знает ли ваш ребенок, что такое пара? Пара – это когда чего-то или кого-то двое. Здесь ребенок сможет потренироваться в умении находить пары, выполняя интересные математические задания для первоклассников. Также ему понадобится свободное знание цветов, умение считать до 10, решать простые примеры и, конечно же, раскрашивать.
В первом задании нужно внимательно посмотреть на прямоугольники, которые раскрашены по-разному. Прямоугольник состоит из четырех квадратиков, выстроенных в ряд. В каждом прямоугольнике квадратики раскрашены в красный цвет в определенной последовательности. Ребенку нужно найти пары одинаково раскрашенных прямоугольников и соединить их линиями между собой.
Во втором задании сначала нужно решить примеры. Затем яблоки с одинаковыми ответами нужно раскрасить в один цвет. Например, два яблока (т.е. пару) с ответом 4 – раскрасить в красный цвет, пару яблок с другим ответом – в зеленый и т.д. После этого ребенку нужно посчитать, сколько получилось раскрашенных пар яблок.
В третьем задании нужно раскрасить все цветы в таком же порядке, как и первый. То есть должна полностью сохраниться следующая последовательность цветов по кругу: голубой, розовый, серый, зеленый, оранжевый, желтый, коричневый, фиолетовый. Для усложнения задания остальные цветочки слегка повернуты по часовой стрелке. Поэтому расположение цветов не совпадает, но сама последовательность четко сохраняется. Затем нужно посчитать, сколько пар цветов, сколько пар лепестков в каждом цветке?
Примеры и счет до 10 по математике – Любимые мультяшки
Решать примеры по математике в 1 классе – не очень интересное занятие для детей, которые еще совсем недавно носились по детской площадке, взахлеб смотрели мультики и не думали ни о какой школе. Чтобы сгладить впечатление детей от скучных учебников, распечатывайте ему красочные картинки с заданиями, которые богаты иллюстрациями и любимыми мяльтяшными героями. Обучение должно доставлять радость!
В первом задании нужно решить все примеры по математике, нарисованные на тачках. Тачка, в решении примера которой получится самый большой ответ – считается самой быстрой на уличных гонках!
Во втором задании ребенку необходимо посчитать количество сбежавших животных.
Раскраска – Реши простые примеры и узнай, чья это шапка
В этом задании-раскраске ребенок должен отгадать, чью шапку держит птичка. Но, как известно, математика – это точная наука, в ней не бывает отгадываний и предположение. Поэтому, тот кто умеет решать примеры – обязательно узнает, кому принадлежит шапка.
Для этого ребенок должен решить примеры возле каждого животного. Тот пример, в результате решения которого получится число, как на шапке – является ответом к задаче. Значит животное рядом с этим примером является полноправным владельцем шапки. Затем картинку с животными нужно раскрасить. В детском саду или школе можно выполнять это задание с группой детей. В таком случае один из детей окажется победителем, если первым скажет правильный ответ. Раскрашивать необходимо в свободной форме, без соревнований (дети должны приучаться к аккуратности, а скорость – не лучший помощник в этом).
Простые задачи по математике в два действия
Ничего сложного в математических задачах на два действия нет. При условии, конечно, что ваш ребенок щелкает, как орешки, задачки в одно действие.
Задачи в два и более действий называют составными. То есть они состоят из более простых, эдакие задачи внутри задач.
Задачи для тренировки:
1. В трёх тетрадях 60 листов. В первой и второй тетрадях — по 24 листа. Сколько листов в третьей тетради?
2. Гусь весит 9 кг, а курица — на 7 кг меньше. Сколько весят гусь и курица вместе?
3. На школьной выставке 80 рисунков. 23 из них выполнены фломастерами, 40 карандашами, а остальные — красками. Сколько рисунков, выполненные красками, на школьной выставке?
4. В школьный буфет привезли два лотка с булочками. На одном лотке было 40 булочек, на другом — 35. За первую перемену продали 57 булочек. Сколько булочек осталось?
5. Вера собирала букет из осенних листьев. Дубовых листочков у нее было 12, осиновых — на 4 меньше, а кленовых столько, сколько дубовых и осиновых вместе. Сколько кленовых листочков в Верином букете?
6. К началу учебного года мама купила Наташе 19 новых книжек. Из них 7 было без картинок, а из тех, которые с картинками, половина — учебники. Сколько учебников мама купила Наташе?
7. В субботу в музее побывало 26 учеников из 2 «А» класса, а в воскресенье — на 8 человек больше из 2 «Б» класса. Сколько всего учеников вторых классов побывало в музее за субботу и воскресенье?
8. В ларьке было 60 пирожков. До обеда продали 26 пирожков, а после обеда — 32 пирожка. Сколько пирожков не продали?
9. Оля решила нарисовать 72 букета. В понедельник она нарисовала 18 букетов, во вторник — 22 букета. Сколько букетов Оля не стала рисовать?
10. Около школы посадили 15 кустов сирени, боярышника — на 5 кустов больше, чем сирени, а черемухи — столько, сколько сирени и боярышника вместе. Сколько кустов черёмухи посадили около школы?
11. В парке росло 75 дубов. После урагана оказалось, что 7 дубов погибли. Тогда посадили еще 12 дубов. Сколько дубов стало в парке?
12. В танцевальную студию ходят 23 ученика из второго класса, а из третьего — на 5 детей больше. Сколько всего учеников из второго и третьего класса ходят в танцевальную студию?
13. Из бидона зачерпнули утром 6 кружек кваса, в обед — еще 5 кружек. После этого в бидоне осталось 14 кружек кваса. Сколько кружек кваса было в бидоне с утра?
14. В первой четверти в начальной школе было 65 хорошистов, во второй — на 27 больше, чем в первой. А в третьей четверти — на 22 хорошиста меньше, чем во второй. Сколько учеников закончили школу без троек в третьей четверти?
15. В цехе работает 90 человек. Из них 65 мужчин, а остальные — женщины. На сколько больше в цехе работает мужчин, чем женщин?
Обведи картинки, реши примеры по математике и раскрась
Здесь вы встретите очень интересные обучающие картинки, в которых детям предстоит выполнить несколько развивающих заданий. Для их выполнения ребенок должен уметь считать до 20 и решать простые примеры на сложение и вычитание.
Подготовьте простой карандаш и ластик (для обведения по точкам). Затем объясните ребенку условия заданий:
В первом и втором задании сначала нужно обвести по точкам картинки (клоуна с мячом и куклу с мячом). Затем нужно раскрасить обе картинки определенным образом: каждый элемент раскраски содержит в себе математический пример. Ты должен решить этот пример и ответ, который у тебя получится в результате, подскажет тебе цвет, которым нужно раскрасить эту деталь. Справа нарисованы цветные кружки с числами. Это и есть числа-ответы. Будь внимателен!
Математическая настольная игра для 1 класса
Представленная настольная математическая игра для 1 класса является хорошим средством для тренировки разных математических действий. Здесь вы найдете и решение примеров на сложение и вычитание, и выполнение простых алгоритмов, и сравнение чисел друг с другом. Игра хорошо развивает логическое и математическое мышление. Очень эффективно проводить это занятие с группой детей.
Задание №1. Тренируем умение составлять примеры в пределах 10. Здесь нужно заполнить пустые ячейки (круги и квадраты со знаком вопроса). В квадратах должны находится числа (ответы примеров), а в кружках – прибавление или отнимание какого либо числа (смотрите пример в кружке вверху картинки). Внимательно следите за стрелочками – именно в направлении стрелочек составляется и читается пример.
Задание №2. Учимся пользоваться знаками сравнения чисел. В этом задании нам нужно расселить по разным домикам все числа, стоящие в ряду. В каждом доме живет одно или два числа (не больше). Чтобы попасть в домик, числа должны идти по соответствующим дорожкам. На каждой дороге стоят дорожные знаки, которые и показывают, кто может пройти дальше, а кто нет. Например, по пути в верхний домик стоят знаки 3 и перечеркнутая 2 – это означает, что дальше может пройти только число, которое меньше 3 и не является 2. То есть в этом случае подходят только два числа – 0 и 1. Правильные ответы смотрите в “Приложении к заданию №2”.
Задание №3. Здесь принцип выполнения такой же, как и в задании с домиками. Только теперь нужно распределить по стоянкам города машинки с числами. Правильные ответы смотрите в “Приложении к заданию №3”.
Задание №4. Учимся выполнять простые алгоритмы. В самый верхний кружок нужно вписать любое число от 1 до 10. Затем ребенок должен выполнить все указанные в задании действия – сначала сравнить число, является ли оно меньше 5, как указано в ромбе со знаком вопроса. Если да – то следующее действие будет по стрелке “Да”, если нет, то по стрелке “Нет”. Дальше выполняется сложение или вычитание, и в нижний кружок вписывается ответ. Выполнять задание можно множество раз, меняя только число в верхнем кружке.
Задание №5. Выполняется аналогично предыдущему.
Такие задания можно составлять самостоятельно, рисуя такие же схемы на листе и меняя только числа и знаки.
Задание №1
Задание №2
Приложение к заданию №2 (Ответы)
Задание №3
Приложение к заданию №3 (Ответы)
Задание №4
Задание №5
Математическое задание – Обведи картинки по точкам с числами
Это математическое задание предназначено для учеников 1 класса и направлено на тренировку порядкового счета от 1 до 40. Такие задания дети обожают, поэтому не стоит пренебрегать таким чудесным способом запоминания чисел и порядкового счета.
Если ребенок еще не ходит в школу и не знает счета больше 10, то можно написать на отдельном листе бумаги числа от 1 до 40 по порядку и дать ребенку в качестве подсказки. Проводя линии от точки к точке, руководствуясь подсказкой, ребенок будет параллельно запоминать данный порядок чисел.
В первом задании, если ребенок правильно соединит линиями все числа по порядку их счета, то увидит, от кого убегают малыши и мышонок Джерри.
Во втором задании турист отправился в поход, не ожидая, что впереди надвигается гроза. Когда ребенок объединит точки, то увидит, что могло бы помочь туристу в этой ситуации.
“Сравнение, левее, правее, выше, ниже”
1. Каких фигур на рисунке больше: треугольников или квадратов? Закрась треугольники в синий цвет.
2. Каких фигур на рисунке больше: овалов или квадратов? Закрась овалы в красный цвет.
3. Сколько яблок на рисунке? Сколько груш на рисунке? Сколько всего фруктов на рисунке?
4. Что на этом рисунке справа: морковки или помидор?
5. Что на этом рисунке слева: малина или вишня?
Значение математического развития
Математическое развитие первоклассников имеет огромное значение в их образовании. Решая примеры и задачи, ребенок приобретает новый опыт, знания и навыки. Учится логически и математически мыслить, находить решение из различных ситуаций, более успешно осваивать смежные науки в дальнейшей учебе.
Нельзя пускать на самотек успеваемость детей, и нужно всячески стремиться помочь им в этом сложном деле, как учеба в первом классе. Ведь именно в это время закладывается фундамент его дальнейшей учебы в школе.
Логические задачи по математике для 1 класса с ответами, решениями
Логические задачи по математике для 1 класса
Логические задачи по математике для 1 класса позволяют развить у ребенка способность последовательно мыслить, а также умение думать в целом. Однако иногда случается так, что у ребенка пропадает желание заниматься математикой в школе, хотя в процессе подготовки к поступлению в первый класс он проявлял большой интерес к логическим задачкам. Случается это по той причине, что ребенку очень быстро надоедают похожие задания. Чтобы школьнику было действительно интересно, его все время нужно стараться заинтересовывать чем-то новым.
Виды математических задач для детей 1 класса
Как показывает практика, среди наиболее интересных задач для учеников первых классов обычно выделяют следующие:
•логические – на сложение и вычитание;
•составные – в несколько действий;
•текстовые – логические и математические.
Интересно! Кроссворды для детей 6 лет
Ребенок будет с удовольствием решать поставленные перед ним задачи, если чередовать их и придумывать к ним условия, которые будут интересны детям.
Логические задачи на сложение и вычитание
В рамках учебного процесса в школе чаще всего встречаются обычные задачи на сложение и вычитание. Однако ребенку будет куда интереснее заниматься математикой, если задачи будут побуждать его к логическим размышлениям, а не просто машинально вычитать и прибавлять цифры. Приведем несколько наглядных примеров логических задач по математике для 1 класса с ответами и картинками.
Пример №1
Условие. Три подружки взяли в каждую руку по 1 воздушному шарику. Сколько всего шариков есть у девочек?
Решение и ответ. У девочек имеется 6 шариков, так как каждая подружка взяла по одному шару, как в левую, так и в правую руку.
Пример №2
Условие. На тарелке лежит 1 пирожное, 2 конфеты и 3 груши. Сколько всего фруктов находится на тарелке?
Решение и ответ. Количество фруктов в тарелке – 3 штуки. Потому что только груши являются фруктом, а пирожное и конфеты – нет.
Пример №3
Условие. У фермера была 12-литровая бочка, в которой находилось 7 литров воды, а также полностью наполненное водой ведро, объемом 8 литров. Бочку дополнили доверху из ведра. Сколько литров воды осталось в ведре?
Решение и ответ. В ведре осталось 3 литра воды. В бочке не хватало 5 литров (12-7=5), которые фермер взял из ведра, где изначально находилось 8 литров жидкости (8-5=3).
Как видите, задачи составлены таким образом, чтобы помимо работы с цифрами ребенку приходилось проявлять смекалку.
Однако, как показывает практика, в возрасте 7 лет дети могут иметь разный уровень подготовки. Следовательно, приведенные выше задачи могут показаться для кого-то из малышей слишком сложными. В этом случае имеет смысл предложить ему более простые задачки на сложение и вычитание. Однако суть остается прежней – задания должны быть интересными. Зная, чем увлекается ребенок, можно составить задачу, которая будет интересна конкретно ему.
Пример
Условие. У Маши было 2 яблока, а у ее подруги Леры – 3. Сколько всего яблок у девочек?
Решение и ответ. Всего у девочек 5 яблок (2+3=5).
Составные – в несколько действий
Такие задачи в два или три действия ученикам 1 класса наверняка понравятся. Кроме того, с их помощью у ребенка будет очень хорошо развиваться логика и память.
Пример №1
Условие. Монстрик фиолетового цвета скушал 4 целых апельсина. А его друг – красный монстрик, съел 7 половинок таких же апельсинов. Кто из них скушал больше апельсинов?
Решение и ответ. Фиолетовый монстрик съел больше, чем его друг. 1 целый апельсин – это 2 половинки. Значит, 4 целых апельсина можно записать, как 2+2+2+2=8 половинок. 8>7, значит фиолетовый монстрик скушал больше, чем его друг.
Пример №2
Условие. На столе у Светы было 8 пирожных. К ней пришло 5 гостей, и каждый из них скушал по 1 пирожному. Хозяйка подумала, что нужно добавить вкусностей, поэтому достала из холодильника еще 4 пирожных и добавила их на стол к оставшимся сладостям. Однако гости сказали, что уже сыты и не стали брать добавку. Сколько всего пирожных осталось на столе?
Решение и ответ. На столе осталось 7 пирожных. 8-5=3 пирожных, осталось на столе после того, как гости взяли себе по 1 штуке. 3+4=7 пирожных оказалось на столе, когда хозяйка добавила вкусностей из холодильника.
Интересно! Умение детей по возрастам
Текстовые – логические и математические на сообразительность
Такие задачи очень хорошо развивают у детей 7 лет умение логически мыслить. Далее мы рассмотрим несколько примеров таких заданий с их решением.
Пример №1
Условие. У Фёдора есть две сестры и два брата. Кого в семье больше: женщин или мужчин?
Ответ. Мужчин в этой семье на 1 человека больше, потому что Федор тоже мужчина.
Пример №2
Условие. Ира, Надя, Коля и Аня решили заняться спортом. У них есть 2 скакалки и 2 мяча. Известно, что у Ани в руках скакалка, а у Коли и у Нади – одинаковые предметы. Какие предметы в руках у Коли, Нади и Иры?
Ответ. У Коли и Нади в руках мячи, а у Иры – скакалка.
Пример №3
Условие. Учитель выдал ученикам картинку, на которой изображены различные фигуры разных цветов, и загадал одну из них. Чтобы у детей была возможность назвать правильную фигуру, преподаватель дал им несколько подсказок:
•фигура точно не синяя и не квадратная;
•она треугольная или круглая.
Ответ. Глядя на картинку, методом исключения мы можем определить, о какой именно фигуре идет речь. Учитель загадал оранжевый треугольник.
Такие математические задания-головоломки способствуют развитию логики и тренирует навыки владения основными приемами мышления в целом. Обобщение, сравнение, выделение определенных признаков – всему этому ребенка учат задания такого типа.
Пример №4
Условие. Найдите закономерность и продолжите ряд подходящими цифрами: 5,6,8,11,15,…
Ответ. …20,26,33 и так далее. В ряду вышеуказанных чисел мы видим определенную закономерность. Сначала мы прибавили 1, потом 2, затем 3, после этого 4, затем 5, потом 6 и так далее. То есть, с каждым шагом мы прибавляем число на единицу больше, чем предыдущее.
Усложненные задачи по математике на логику
Некоторые дети довольно легко справляются с обычными математическими задачами и показывают очень хорошие результаты в школе. Таких преуспевающих учеников нередко отправляют на олимпиады.
Далее приведем примеры логических задач по математике, с которыми ученик первого класса может столкнуться на олимпиаде.
Пример №1
Условие. Известно, что кролик легче, чем щенок на 2 килограмма. Если посадить щенка на левой чаше весов, а кролика на правой, то какая чаша весом будет располагаться выше? Каким образом после этого нужно использовать две имеющиеся гири, чтобы уравновесить весы?
Решение и ответ. Исходя из условий задачи, мы можем быть уверены, что щенок тяжелее кролика, а, значит, правая сторона весов, на которой сидит кролик, будет находиться выше. Чтобы весы уравновесились, гиря, находящаяся в чаше с кролем, должна быть тяжелее на 2 килограмма, чем гиря, которую мы разместим в чашу с щенком (3-1=2). Таким образом, получается, что в чашу к щенку нам нужно поставить гирю весом 1 килограмм, а к кролику – утяжелитель в 3 килограмма.
Пример №2
Условие. Рассмотрите картинку и определите стоимость медвежонка, исходя из имеющихся данных.
Решение и ответ. В первом ряду мы видим уточку и вертолет, общая стоимость которых составляет 4 условных единицы. Во втором ряду мы наблюдаем те же игрушки, но рядом с ними расположен еще и медвежонок. При этом нам известно, что общая стоимость этих трех предметов – 10 условных единиц. Так мы можем вычислить цену медвежонка (10-4=6).
Математика действительно очень интересная наука, знание которой очень помогает человеку в повседневной жизни. Поэтому важно прививать ребенку любовь к ней с самых малых лет. Как это сделать вы уже знаете, главное – чтобы малышу было интересно.
Интересно! Поделки из ватных дисков
Надеемся, что приведенные в статье логические задачи по математике для 1 класса окажутся вам полезными, и ваш ребенок достигнет успеха в школе.
Тесты онлайн по математике для 1 класса
Здесь выложены онлайн тесты по математике, в которых ребенок сможет решить задачи для 1 класса, а также выполнить задания на сложение и вычитание.
Математические задачи составлены с учетом школьной программы для 1 класса. В задачах представлены действия на сложение и вычитание однозначных чисел: 5+3, 8-4, 2+2, и действия на сложение и вычитание двузначных чисел с однозначными: 10 + 7, 17 – 7, 17 – 10.
Среди представленных тестов есть задачи для 1 класса, как с одним действием, так и с двумя действиями. Конечно же, сначала ребенку нужно потренировать свои математические способности в задачах с одним действием. А когда уже ребенок сможет решать их легко — смело переходите к более сложным задачам в два действия. Главное — чтобы обучение шло по нарастающей, тогда результат будет гораздо выше и эффективнее.
Для любого ребенка задачи всегда сложнее, чем примеры. Так как в них нужно не только решить пример, но и составить этот пример на основе заданного условия. А для этого уже требуется логическое и образное мышление.
Тесты на сложение и вычитание отлично тренируют математические способности ребенка и его умение считать в уме. Чем чаще ребенок будет тренироваться, тем выше будет его успеваемость в школе. Тесты составлены на основе того, что должен знать и уметь ребенок в 1 классе. Сюда входит: Числа от 1 до 10, Нумерация чисел, Сложение и вычитание от 0 до 10 и от 10 до 20, Сравнение чисел, Единица времени: час, Единицы длины: сантиметр, дециметр, Соотношение между ними, Единица массы: килограмм, Единица вместимости: литр, Знаки + (плюс), – (минус), = (равно), Названия компонентов и результатов сложения и вычитания (их использование при чтении и записи числовых выражений).
А теперь можете по порядку проходить все онлайн тесты по математике для 1 класса. Будьте внимательны!
Тесты
Здесь вы должны решить математические задачи на нахождение суммы для 1 класса. В тесте — 10 вопросов-задач
Здесь вы должны решить математические задачи на нахождение суммы для 1 класса, 2 часть. В тесте — 10 вопросов-задач
Здесь вы должны пройти математические задачи на нахождение суммы для 1 класса, 3 часть. В тесте — 10 вопросов-задач
Здесь вы должны пройти математические задачи на нахождение остатка для 1 класса. В тесте — 10 вопросов-задач
Здесь вы должны решить математические задачи на нахождение остатка для 1 класса, 2 часть. В тесте — 10 вопросов-задач
Здесь вы должны решить математические задачи на тему «Больше, меньше» для 1 класса. В тесте — 10 вопросов-задач
Здесь вы должны решить математические задачи на тему «Больше, меньше. 2 часть» — для 1 класса. В тесте — 10 вопросов-задач
Здесь вы должны решить математические задачи на тему «Нахождение неизвестного слагаемого и вычитаемого» — для 1 класса. В тесте — 10 вопросов-задач
Здесь вы должны решить математические задачи на нахождение неизвестного слагаемого и вычитаемого для 1 класса, 2 часть. В тесте — 10 вопросов-задач
Здесь вы должны решить математические задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого для 1 класса. В тесте — 10 вопросов-задач
Здесь вы должны решить задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого для 1 класса, 2 часть. В тесте — 10 вопросов
Здесь вы должны решить задачи на разностное сравнение для 1 класса. В тесте — 10 вопросов-задач.
Здесь вы должны решить математические задачи с косвенными вопросами для 1 класса. В тесте — 10 вопросов-задач
В этом тесте вы должны восстановить правильный порядок цифр, вставив в числовой ряд недостающую цифру. В тесте 20 вопросов.
Здесь вы должны определить соседей каждого заданного числа (т.е. слева и справа от него в числовом ряду). В тесте — 20 вопросов
Здесь вы должны выполнить задания на состав чисел от 2 до 10 для 1 класса. В тесте — 20 вопросов
Здесь вы должны правильно выполнить задания на порядковый счет от 0 до 10 для 1 класса. В тесте — 20 вопросов
Здесь вы можете проверить свои знания порядкового счета от 10 до 20 для 1 класса. В тесте — 20 вопросов
Здесь вы можете пройти математический диктант — на сложение и вычитание до 10 для 1 класса. В тесте — 20 вопросов
Здесь вы можете пройти математический диктант на сложение и вычитание до 20 для 1 класса. В тесте — 20 вопросов
Здесь вы должны решить все математические выражения до 10 для 1 класса. В тесте — 20 вопросов
Здесь вы должны решить математические выражения до 20 для 1 класса. В тесте — 20 вопросов
примеры и способы решения математических задач для родителей
На протяжении всего обучения школьникам приходится решать задачи — в начальной школе по математике, а затем по алгебре, геометрии, физике и химии. И хотя условия задач в разных науках отличаются, способы решения основаны на одних и тех же логических принципах. Понимание того, как устроена простая задача по математике, поможет ребёнку разработать алгоритмы для решения задач из других областей науки. Поэтому учить ребёнка решать задачи необходимо уже с первого класса.
Нередки случаи, когда точные науки вызывают у детей сопротивление. Видя это, учителя и родители записывают таких детей в «гуманитарии», из-за чего они только укрепляются во мнении, что точные науки — это не для них. Преподаватель математики Анна Эккерман уверена, что проблемы с математикой часто имеют исключительно психологический характер:
Детям вбивают в голову, что математика — это сложно. К длинным нудным параграфам в учебнике сложно подступиться. Учитель ставит на ребёнке клеймо «троечника» или «двоечника». Если не внушать детям, что они глупые и у них ничего не получится, у них получится ровно всё.
Чтобы ребёнку было интересно учить математику, он должен понимать, как эти знания пригодятся ему, даже если он не собирается становиться программистом или инженером.
Математика ежедневно помогает нам считать деньги, без умения вычислять периметр и площадь невозможно сделать ремонт, а навык составления пропорций незаменим в кулинарии — используйте это. Превращайте ежедневные бытовые вопросы в математические задачи для ребёнка: пусть польза математики станет для него очевидна.
Конечно, найти в быту применение иррациональным числам или квадратным уравнениям не так просто. И если польза этих знаний вызывает у подростка вопросы, объясните ему, что с их помощью мы тренируем память, развиваем логическое мышление и остроту ума — навыки, в равной степени необходимые как «технарям», так и «гуманитариям».
Как правильно научить ребёнка решать задачи
Если ребёнок только начинает осваивать навык решения задач, приучите его придерживаться определённого алгоритма.
1. Внимательно читаем условия
Лучше вслух и несколько раз. После того как ребёнок прочитал задачу, задайте ему вопросы по тексту и убедитесь, что ему понятно, что вычислять нужно количество грибов, а не огурцов. Старайтесь не нервничать, если ребёнок упустил что-то из вида. Дайте ему разобраться самостоятельно. Если в условиях упоминаются неизвестные ребёнку реалии — объясните, о чём идёт речь.
Особую сложность представляют задачи с косвенным вопросом, например:
«Один динозавр съел 16 деревьев, это на 3 меньше, чем съел второй динозавр. Сколько деревьев съел второй динозавр?». Невнимательно прочитав условия, ребёнок посчитает 16−3, и получит неправильный ответ, ведь эта задача на самом деле требует не вычитания, а сложения.
2. Делаем описание задачи
В решении некоторых задач поможет представление данных в виде схемы, графика или рисунка. Чем ярче сложится образ, тем проще будет его осмыслить. Наглядная запись позволит ребёнку не только быстро разобраться в условиях задачи, но и поможет увидеть связь между ними. Часто план решения возникает уже на этом этапе.
Ребёнок должен чётко понимать значения словесных формул и знать, какие математические действия им соответствуют.
Формы краткой записи условий задач / shkola4nm.ru
3. Выбор способа решения
Наглядно записанное условие должно подтолкнуть ребёнка к нахождению решения. Если этого не произошло, попробуйте задать наводящие вопросы, проиллюстрировать задачу при помощи окружающих предметов или разыграть сценку. Если один из способов объяснения не сработал — придумайте другой. Многократное повторение одного и того же вопроса неэффективно.
Все, даже самые сложные, математические задачи сводятся к принципу «из двух известных получаем неизвестное». Но для нахождения этой пары чисел часто требуется выполнить несколько действий, то есть разложить задачу на несколько более простых.
Ребёнок должен знать способы получения неизвестных данных из двух известных:
слагаемое = сумма − слагаемое
вычитаемое = уменьшаемое − разность
уменьшаемое = вычитаемое + разность
множитель = произведение ÷ множитель
делитель = делимое ÷ частное
делимое = делитель × частное
После того как план действий найден, подробно запишите решение. Оно должно отражать всю последовательность действий — так ребёнок сможет запомнить принцип и пользоваться им в дальнейшем.
4. Формулировка ответа
Ответ должен быть полным и точным. Это не просто формальность: обдумывая ответ, ребёнок привыкает серьёзно относиться к результатам своего труда. А главное — из описания должна быть понятна логика решения.
Задание из базового курса алгебры домашней онлайн-школы «Фоксфорда», 7 класс
Одна из самых распространённых ошибок — представление в ответе не тех данных, о которых спрашивалось изначально. Если такая проблема возникает, нужно вернуться к первому пункту.
5. Закрепление результата
Не стоит думать, что выполнив задание один раз, ребёнок сразу научится решать задачи. Полученный результат нужно зафиксировать. Для этого подумайте над решённой задачей ещё немного: предложите ребёнку поискать другой способ решения или спросите, как изменится ответ при изменении того или иного параметра в условии.
Важно, чтобы у ребёнка сложился чёткий алгоритм рассуждений и действий в каждом из вариантов.
В нашей онлайн-школе, помимо уроков, ученики могут закреплять свои знания на консультациях в формате открытых часов, где учителя разбирают темы, вызвавшие затруднения, показывают необычные задачи и различные способы их решения.
Что поможет ребёнку решать задачи
В заключение расскажем о том, как сделать процесс решения задач проще и интереснее:
Для того чтобы решать задачи, необходимо уметь считать. Следует выучить с ребёнком таблицу умножения, освоить примеры с дробями и простые уравнения.
Чтобы решение задач не превратилось для ребёнка в рутину, проявите фантазию. Меняйте текст задания в соответствии с интересами ребёнка. Например, решать задачи на движение будет куда интереснее, если заменить банальные поезда трансформерами, летящими навстречу друг другу в эпической схватке.
Дети с развитой логикой учатся решать задачи быстрее. Советуем разбавлять чисто математические задания логическими. Задачи «с подвохом» избавят ребёнка от шаблонного мышления, а задания с большим количеством лишних данных научат выделять главное из большого количества условий.
<<Блок перелинковки>>
После того как ребёнок решит достаточно задач одного типа, предложите ему самому придумать задачу. Это позволит ему не только закрепить материал, но и проявить творческие способности.
интерактивный тренажер по математике для 1 класса на Skills4U
От того, как ваш ребенок усвоит программу начальной школы, во многом зависят его последующие успехи в образовании. Мы предлагаем оценить уровень знаний вашего первоклашки и пройти тесты по математике за 1 класс онлайн. Это можно сделать прямо сейчас, не выходя из дома. Первичное бесплатное тестирование займет всего несколько минут, но вы получите аргументированную оценку приобретенных знаний и сможете закрепить необходимые навыки.
Уникальность нашей интеллектуальной платформы состоит в том, что выдача заданий производится по итогам анализа полученных ответов. В зависимости от подготовки ученика ему будут предложены более простые или, наоборот, более сложные примеры. Такой индивидуальный подход предлагает только наш тренажер примеров по математике (1 класс). В современной школе педагогу приходится иметь дело с целым классом. Здесь же вы получаете персонализированный подход, учитывающий уровень знаний ученика и проблемы в восприятии материала.
В какой бы школе ни учился ваш первоклассник – в обычной или частной, интерактивные тренажеры по математике, 1 класс, помогут быстро подтянуть успеваемость за счет формирования полезных навыков, позволяющих решать примеры, не задумываясь. Для этого необходимо зарегистрироваться и пройти бесплатное тестирование по математике, 1 класс.
Все задачи для 1 класса по математике тренажер группирует по разделам. Вы сможете оценить, насколько хорошо ваш первоклассник знает сложение и вычитание в пределах 10, а также перейти к более сложным заданиям с переходом через десятки. После каждого тестирования вы получаете оценку и рекомендации по продолжению занятий. Для формирования устойчивого навыка необходимо пройти одно и то же тестирование несколько раз, только в этом случае навык будет закреплен и доведен до автоматизма.
Для продолжения занятий потребуется регистрация и оплата. Вы получите доступ к личному кабинету, где будет храниться информация об уровне знаний. Интеллектуальная платформа сама напомнит, когда нужно пройти онлайн тренажер по математике 1 класс. С каждым разом задания будут усложняться. Если вы выберете полный курс – 12 месяцев подписки, мы гарантируем полное усвоение школьной программы и выработку устойчивого навыка решения примеров без ошибок.
Учителям начальной школы также может быть интересен интерактивный тренажер по математике 1 класс. Он основан на современных технологиях, не требует продолжительных занятий и доступен всем. По итогам тестирования формируются рейтинги, поэтому вы легко определите, кому из учеников требуется дополнительная подготовка.
Итак, если у вашего ребенка в первом классе трудности вызывает математика, комплексный тренажер за 1 класс поможет справиться с этой проблемой и заложит основы будущих крепких знаний благодаря уникальной методике формирования устойчивых навыков счета и письма.
% PDF-1.4 % 562 0 объект > эндобдж xref 562 153 0000000016 00000 н. 0000003430 00000 н. 0000003568 00000 н. 0000003719 00000 н. 0000007749 00000 н. 0000008248 00000 н. 0000008315 00000 н. 0000008462 00000 п. 0000008574 00000 н. 0000008735 00000 н. 0000008918 00000 н. 0000009029 00000 н. 0000009141 00000 п. 0000009265 00000 н. 0000009474 00000 н. 0000009575 00000 н. 0000009690 00000 н. 0000009819 00000 п. 0000009940 00000 н. 0000010066 00000 п. 0000010186 00000 п. 0000010307 00000 п. 0000010425 00000 п. 0000010598 00000 п. 0000010717 00000 п. 0000010821 00000 п. 0000010939 00000 п. 0000011056 00000 п. 0000011173 00000 п. 0000011293 00000 п. 0000011468 00000 п. 0000011576 00000 п. 0000011680 00000 п. 0000011811 00000 п. 0000011934 00000 п. 0000012060 00000 п. 0000012178 00000 п. 0000012348 00000 п. 0000012453 00000 п. 0000012563 00000 п. 0000012693 00000 п. 0000012815 00000 п. 0000012941 00000 п. 0000013067 00000 п. 0000013190 00000 п. 0000013374 00000 п. 0000013482 00000 п. 0000013603 00000 п. 0000013726 00000 п. 0000013847 00000 п. 0000013964 00000 п. 0000014088 00000 п. 0000014225 00000 п. 0000014332 00000 п. 0000014432 00000 п. 0000014560 00000 п. 0000014688 00000 п. 0000014815 00000 п. 0000014937 00000 п. 0000015085 00000 п. 0000015233 00000 п. 0000015381 00000 п. 0000015529 00000 п. 0000015677 00000 п. 0000015825 00000 п. 0000015973 00000 п. 0000016121 00000 п. 0000016269 00000 п. 0000016417 00000 п. 0000016565 00000 п. 0000016713 00000 п. 0000016861 00000 п. 0000017010 00000 п. 0000017159 00000 п. 0000017308 00000 п. 0000017457 00000 п. 0000017606 00000 п. 0000017755 00000 п. 0000017904 00000 п. 0000018053 00000 п. 0000018202 00000 п. 0000018351 00000 п. 0000018500 00000 п. 0000018649 00000 п. 0000018798 00000 п. 0000018947 00000 п. 0000019096 00000 п. 0000019245 00000 п. 0000019394 00000 п. 0000019543 00000 п. 0000019787 00000 п. 0000020050 00000 п. 0000020352 00000 п. 0000020641 00000 п. 0000020662 00000 п. 0000021132 00000 п. 0000021154 00000 п. 0000021981 00000 п. 0000022003 00000 п. 0000022352 00000 п. 0000022774 00000 п. 0000023203 00000 п. 0000023225 00000 п. 0000023529 00000 п. 0000023550 00000 п. 0000023591 00000 п. 0000026250 00000 п. 0000026273 00000 п. 0000028016 00000 п. 0000028039 00000 п. 0000028153 00000 п. 0000029503 00000 п. 0000029731 00000 п. 0000030356 00000 п. 0000030414 00000 п. 0000030635 00000 п. 0000030676 00000 п. 0000031207 00000 п. 0000031771 00000 п. 0000031978 00000 п. 0000032185 00000 п. 0000032207 00000 п. 0000032761 00000 п. 0000032962 00000 п. pu € I7i_8,8PPp) / П-4 / V 1 / Длина 40 >> эндобдж 565 0 объект > / Кодировка> >> / DA (ɔg \ nKMU) >> эндобдж 713 0 объект > транслировать qjG: 4REIX / & FI; 8} kʉ + n; oDxp? _suÚ # P} 3ܜ #} wy8lx (+ SvDT> Z «.Ȅ 縺 d
Преподавание математики для первого класса
1 класс, первый уровень:
простое сложение — научитесь складывать два числа от нуля до десяти. Сохранение чисел от нуля до десяти избавит детей от необходимости «несите единственную» на этом этапе процесса обучения.
простое вычитание — тоже от нуля до десяти.
1 класс, 2 уровень:
Сложение трех рядов чисел. Стадия третьего уровня иногда требовать от детей «нести одну».Добавив несколько страниц из группы второго уровня дети будут ознакомьтесь с процессом сложения трех рядов чисел.
1 4 6 11
Вы заметите на этих листах, что верхнее число всегда «1». Нам не нужно будет нести ничего, кроме «1» пока мы не начнем изучать умножение, поэтому на этом этапе все формулы на рабочие листы начинаются с «1».
1 класс, третий уровень:
Сложение и вычитание одного числа от 10 до 19 и одного числа от 0 до 9.
2 класс, первый уровень:
Сложение и вычитание одного числа от 10 до 99 и одного числа от 0 до 9.
2 класс, 2 уровень:
Сложите числа по горизонтали. Сложите числа. Добавьте ответы, которые вы придумал поперек и вниз. Обратите внимание, что сумма ответов поперек = сумма ответов вниз. Вам не нужно тратить много время анализировать это с детьми … это просто помогает им начать формировать основу математических отношений, рассматривая математику как нечто большее, чем просто упражнение в запоминание.
2 класс, третий уровень:
Сложение двух чисел от 0 до 99. Дети часто будут требуется перенести «1» из столбца «единицы» в «столбец десятков», чтобы прийти к ответу. Если дети борются с третьим уровнем, часто бывает полезно, чтобы они нарисовали линия между столбцами единиц и десятков и рассматривать их как отдельные уравнения. (см. красную линию в примере справа).
Навыки математики в первом классе, чему научится ваш ребенок, Komodo Math
Ваш ребенок идет в первый класс! После года в детском саду ваш первоклассник будет готов к удивительному росту.Для многих детей первый класс — это год, когда они расцветают как читатели и математики. Будьте готовы поддержать математический рост своего ребенка, изучив математические навыки в первом классе.
В первом классе вы можете ожидать, что ваш ребенок узнает о:
1. Факты сложения и вычитания к 20
Теперь, когда ваш ребенок овладел идеей сложения и вычитания, он готов практиковать математические факты. Это означает, что вы будете быстрее отвечать на задачи сложения и вычитания до 20.
Помогите своему ребенку развить беглость, задавая базовые задачи на сложение и вычитание — мы обнаружили, что угощения помогают удерживать интерес детей! Если первокласснику нужна поддержка, поощряйте использование физических предметов или пальцев в качестве инструментов для решения проблем.
2. Сложение и вычитание как обратные операции
Ваш ребенок, вероятно, понимает понятие сложения как «сложение», а вычитание как «разложение». В первом классе детям предлагается увидеть связь между сложением и вычитанием.Ваш ребенок узнает, как сложение и вычитание являются обратными операциями, или что одно является противоположностью другого, и будет создавать «семейства фактов» связанных задач сложения и вычитания.
При работе со сложением и вычитанием попросите ребенка увидеть связи. Например, если у вашего ребенка четыре куклы и три машины, спросите, сколько всего игрушек. Затем спросите, сколько будет игрушек, если унести четыре куклы.
3. Считай и запиши в пределах 120
Ваш ребенок, вероятно, научился считать до 20.А в первом классе дети научатся считать до 120! Это не все. Ожидается, что дети будут не только считать, но и писать числа. Это отличная практика для понимания многозначных чисел.
Дома: поощряйте ребенка писать числа, когда это возможно. Поговорите о том, как двузначные числа состоят из десятков и единиц и как трехзначные числа состоят из сотен, десятков и единиц. Простое рассмотрение вместе многозначных чисел может стать отличной возможностью для обучения.
4. Сложить в пределах 100
Теперь, когда ваш ребенок понимает числа, превышающие 100, а также основные факты сложения и вычитания, пора попрактиковаться в сложении в пределах 100. Дети будут практиковать сложение однозначных чисел с двузначными. числа с использованием таких стратегий, как подсчет и числовые диаграммы. Дети могут попрактиковаться в сложении больших чисел с помощью таблицы 1–100.
Первоклассники также готовы попрактиковаться в сложении и вычитании десятков к двузначным числам и из них.
Дома: помогите ребенку увидеть закономерности при сложении и вычитании десятков. Например, после решения такой задачи, как 59 — 10 = 49, покажите ребенку, что в 49 на единицу меньше 10, чем в 59. Это еще один отличный способ узнать о числовой ценности.
5. Измерение предметов
В первом классе дети учатся измерять с помощью линейок и более необычных вещей, таких как скрепки. После замеров дети сравнивают и упорядочивают предметы по длине.
Дома. Дети любят измерять предметы в доме, поэтому держите под рукой пару линейок. Обратите внимание на то, как ваш ребенок пользуется линейкой и снимает мерки. Иногда дети не могут точно измерить от конца до конца, поэтому им может понадобиться небольшая помощь …
6. Назовите время с точностью до часа
Одна из самых сложных концепций, которые усвоят первоклассники, — это определить время. . Использование аналоговых часов сбивает с толку, особенно когда дети привыкли видеть цифровые часы.В первом классе ваш ребенок узнает о большой и маленькой стрелках часов и будет практиковаться в определении времени с точностью до часа и получаса.
Дома: возьмите аналоговые часы для своего дома (настоящие или сделанные только для обучения). Поговорите с ребенком о времени и о том, как стрелки двигаются круглосуточно. Не забудьте просто сосредоточиться на указании времени до полутора часов, чтобы начать!
7. Основные дроби
Первоклассники также знакомятся с дробями как равными долями.Они узнают, как делиться на равные группы, и выучат основные дроби, такие как ½, ⅓ и ¼. Первоклассники обычно хорошо разбираются в принципах справедливости, поэтому практика создания равных долей должна быть для них относительно легкой задачей!
Дома: помогите ребенку разделить пиццу, пироги и бутерброды на равные части. По мере того, как вы это делаете, говорите о частях созданного вами целого.
Первоклассники готовы углубиться в математические понятия.Найдите время, чтобы поговорить с ребенком об обучении в классе и приготовьтесь немного повеселиться!
Нашли это полезным? Ознакомьтесь с нашими руководствами по математике от детского сада до 5 класса
Написано Лили Джонс, Лили любит учиться всему. Она была воспитателем детского сада и первого класса, инструктором по обучению, разработчиком учебной программы и наставником учителей. Она любит смотреть на мир с любопытством и вдохновлять людей всех возрастов любить учиться. Она живет в Калифорнии с мужем, двумя детьми и маленькой собачкой.
О Komodo — Komodo — это увлекательный и эффективный способ улучшить математические навыки K-5. Komodo, разработанный для детей от 5 до 11 лет для использования в домашних условиях, использует небольшой и частый подход к изучению математики (15 минут, три-пять раз в неделю), который подходит для повседневной семейной жизни. Komodo помогает пользователям развить беглость и уверенность в математике — , не задерживая их надолго за экраном .
Узнайте больше о Komodo и о том, как он помогает тысячам детей каждый год лучше учиться по математике — вы даже можете попробовать Komodo бесплатно.
Четыре основных математических понятия, которые ваши дети изучают в 1-2 классах | Scholastic
Так много забавных и важных идей внедряется в первом и втором классе! Мне нравится, когда я работаю с этой возрастной группой, потому что они с энтузиазмом пробуют что-то новое и открыты для новых способов обучения. Ниже приведены некоторые из основных концепций, которым обучают в первом и втором классе по математике, а также советы о том, как вы можете поддержать своего ребенка (детей) дома.
1. Сложение и вычитание. Ученики 1-го и 2-го классов расширяют свои знания, полученные в детском саду, с помощью сложения и вычитания. Они начинают запоминать свои факты сложения и вычитания до 20, а также решать текстовые задачи, используя объекты, рисунки и уравнения. Дети также начинают решать задачи с более чем двумя числами и определять, четное или нечетное число.
Поощряйте своего ребенка:
Создавайте и рисуйте истории о сложении и вычитании. Например: Дополнение : На траве сидели кролики.Еще три кролика подпрыгнули, чтобы сесть с ними. Потом было пять кроликов. Сколько кроликов раньше было на траве? ? + 3 = 5 Вычитание : На столе лежало пять яблок. Я съела яблоки. Тогда осталось всего три яблока. Сколько яблок я съел? 5 -? = 3
Практикуйте их сложение и вычитание, играя в игры с числами, кубиками, онлайн и т. Д.
Решите, четные или нечетные числа, которые они видят в реальном мире.
2. Смысл числа. Ваш 1-й и 2-й класс также начинают понимать концепцию ценности места. Ваш ребенок узнает о каждом месте — единицах, десятках и сотнях — рисуя картинки, считая в группах и используя базовые десять блоков. Они пишут числа до 1000 и сравнивают числа. Они также развивают свои умственные математические навыки, мысленно решая проблемы.
Поощряйте своего ребенка:
Читайте числа вслух и записывайте числа, которые произносите устно.
Потренируйтесь занижать значение разряда, решая, какое значение имеет цифра в конкретном числе. Например: Сколько стоит цифра 7 в числе 379? 70, потому что 7 стоит в разряде десятков.
Сравните числа с помощью символов:> (больше), Они могут ответить 14 14.
Решайте проблемы мысленно. Например: что такое 75 + 20? 95
3.Измерения и данные. 1-й и 2-й класс начинают понимать измерение, оценивая и измеряя с помощью линейки с точностью до дюйма, фута, ярда и т. Д. Они начинают считать и использовать деньги для решения проблем. Дети также учатся определять время, используя как аналоговые, так и цифровые часы, а также описывают и создают различные графики.
Поощряйте своего ребенка:
Оцените, как долго, по их мнению, в доме находятся различные предметы, и используйте линейки или рулетку, чтобы определить их реальный размер.
Читайте разные часы и используйте соответствующий язык, описывая время с помощью утра и вечера.
Собирайте и систематизируйте разные данные.
Найдите графики в газетах, журналах, в Интернете и сравните их.
4. Геометрия. В 1-м и 2-м классе дети расширяют свои знания, полученные в детском саду, с помощью 2-х и 3-х мерных фигур. Они исследуют атрибуты этих форм и смотрят на количество сторон, углов, граней и т. Д.Дети также начинают разделять фигуры на равные части и использовать соответствующий язык.
Поощряйте своего ребенка:
Определите двумерные формы в мире: треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и восьмиугольники.
Определите трехмерные формы в мире: кубы, конусы, цилиндры, сферы, а также треугольные и прямоугольные призмы.
Подсчитайте и найдите количество сторон или граней и углов каждой формы.
Разрежьте (разделите) круги и прямоугольники на части равного размера и используйте такие формулировки, как половины, трети, половина, треть и т. Д.
Изображение предоставлено: Ableimages / Thinkstock
Есть вопросы по математике вашего ребенка? Отправьте их Дженнифер здесь, чтобы она могла ответить в следующем блоге. Или поделитесь ими с нами на странице Scholastic Parents в Facebook .
Чего ожидать от учебной программы по математике для первого класса
В детском саду детей знакомят с числами и математическими понятиями. В первом классе они учатся математическим навыкам, чтобы развить концепции, которые они должны были выучить к концу детского сада.Они получат лучшее понимание числовых концепций и расширит свои математические способности. Конкретные цели для первого класса могут немного отличаться от штата к штату и от школы к школе, но есть некоторые общие ожидания.
Математические навыки, которые должен освоить первоклассник
Обычно ожидается, что ваш ребенок выполнит задания из этого списка к концу первого класса.
Числа и счет
Считать по 1, 2, 5, 10 и 25 секундам после 100
Чтение, запись и понимание чисел на номер 999
Определите числа в разрядах единиц, а затем десятков в двузначном числе
Продемонстрировать понимание отношения частей к целому, моделируя простые дроби (1/2, 1/4 и целое) с помощью манипуляторов и изображений
Классификация и оценка
Классифицируйте знакомые двух- и трехмерные объекты по общим атрибутам (цвет, положение, форма, размер, округлость, количество углов) и объясните, какие атрибуты используются для классификации объектов
Оцените ответы на задачи сложения или вычитания, а затем решите задачу и сравните ответ с оценкой (Пример: сколько четвертей вам нужно, чтобы купить плитку мороженого стоимостью 1 доллар.25?)
Оценить количество предметов в коллекции (например, количество кружков на странице, количество зефиров в сумке и т. Д.)
Формы, графики и анализ данных
Определять и описывать одно- и двумерные объекты (круги, треугольники, квадраты, прямоугольники, сферы, цилиндры, прямоугольные призмы, пирамиды, конусы и кубы)
Определять, описывать и расширять простые повторяющиеся шаблоны (например, 1, 3, 5 — следующий номер 7
Собирайте и систематизируйте данные и записывайте их в счетных диаграммах, таблицах, гистограммах и линейных графиках
Измерение и сравнение
Измерение в стандартных и нестандартных единицах
Сравните объемы жидкостей в емкостях разных размеров
Сравните длину, вес и объем двух или более объектов, используя прямое сравнение или нестандартную единицу измерения
Продемонстрировать понимание понятий «меньше чем», «равно» или «больше чем» путем сравнения и упорядочивания целых чисел до 100 с использованием символов для этих концепций ()
Определите, на одно число больше, на одно меньше, на 10 больше и на 10 меньше, чем какое-либо другое число
Упорядочивайте предметы по весу от самых легких до самых тяжелых
Время и деньги
Подсчитайте комбинацию четвертей, десятицентовых монет, пятак и монет как минимум до 1 доллара.00
Считайте время с точностью до четверти часа как на цифровых, так и на аналоговых часах
Связать время с событиями (дольше, короче, до, после)
Прочтите календарь и определите месяц, число и дни недели
Сложение и вычитание
Сложить и вычесть из 30
Сложите три однозначных числа
Решение задач на сложение и вычитание с одно- и двузначными числами
Продемонстрировать понимание математических символов (+, -, =)
Создавайте и решайте задачи с известным ответом (т.е. 3 + __ = 5)
Решите простые сюжетные задачи
Что делать, если ваш ребенок может выполнять эти задания до первого класса?
Некоторые математически одаренные дети могут выполнить некоторые из заданий из этого списка до конца первого класса. Например, они могут складывать и вычитать однозначные числа в своей голове. Некоторые могут даже в уме складывать и вычитать двузначные числа. А некоторые даже успевают кое-что сделать до того, как пойдут в детский сад.
Если ваш ребенок — один из тех детей, которые могут выполнять эти задания (и, возможно, больше), но еще не учатся в первом классе, у вас есть несколько вариантов. Один из них — держать вашего ребенка там, где он учится в школе, и обеспечивать обогащение дома. Если вашему ребенку нравится то, где он находится, и он не жалуется или не расстраивается из-за отсутствия проблем, это может быть хорошим вариантом.
Вы можете предоставить дополнительные материалы дома, в общественных программах или на онлайн-сайтах, таких как Khan Academy.
Однако, если вашему ребенку нужна задача в школе, у вас есть несколько других вариантов, которые можно попробовать, в зависимости от того, что школа может предложить и что хочет сделать для вашего ребенка, а также от общих сильных сторон вашего ребенка. Если ваш ребенок продвинулся в математике, но не в других областях, вы можете увидеть, может ли учитель дать какие-то дифференцированные инструкции по математике. В школе, где учится ваш ребенок, также может быть предусмотрена дополнительная программа, которая дает детям возможность развиваться и решать определенные задачи, например, по математике.
Если ваш ребенок одарен во всем мире, вы можете попытаться изучить возможность пропуска занятий. Имейте в виду, что ваш ребенок должен быть социально и эмоционально подготовлен к тому, чтобы быть со старшими детьми (большинство из них), чтобы этот вариант сработал.
Скорее всего, у вас не будет особого выбора. Не все учителя различаются, и не во всех школах есть программы отчисления. И большинство школ, похоже, сопротивляются пропуску уроков. Это означает, что вы, возможно, хотите дополнить обучение вашего ребенка дома.Однако ваши шансы увеличатся, если вы сможете задокументировать, что ваш ребенок может делать по математике, и показать это школьным чиновникам.
Математика для детей, рабочие листы, веселые игры, викторины, видео, для детского сада, с 1 по 6 класс
Fractions4kids включает все виды деятельности по фракциям от K до 7 класса
Веселые игры для математической практики
математических игровых упражнений поможет детям заниматься математикой в увлекательной игровой форме.Дети очень хорошо относятся к играм. От дошкольного учреждения / детского сада, от первого до шестого класса включены все уровни математических игр. Если вы учитель или родитель и ищете интерактивные веселые игры с идеями поиска, например: классная математика 4, дети, то этот сайт для вас. У нас есть математические игры на следующие темы:
Игры для практики сложение, вычитание, геометрия, сравнение, алгебра, формы, время, дроби, десятичные дроби, последовательность, деление, метрическая система, логарифмы, отношения, вероятность, умножение и многое другое >>
Среди прочих игр: игры на запоминание, Прогулка по доске, Fling the Teacher, En Garde Duel, Basketball Game, Penalty Shoot и многое другое — для первого, второго, третьего, четвертого, пятого и шестого классов.
Рабочие листы и таблицы по математике
Эти рабочие листы представляют собой упражнения в формате PDF высочайшего качества для печати. Письмо укрепляет изученную математику. Эти рабочие листы от дошкольных учреждений, детских садов, от первого класса до шестиклассников уровней математики. Если вы ищете материалы для печати, имея в виду такие идеи, как математика 4, дети, математика и т. Д., То этот сайт для вас. Рассмотрены следующие темы:
Рабочие листы для практики сложения, вычитания, геометрии, сравнения, алгебры, форм, времени, дробей, десятичных дробей, последовательности, деления, метрической системы, логарифмов, отношений, вероятности, умножения и др. >>> — для первого класса, второго класс, третий класс, четвертый класс, пятый класс и шестой класс.
Видеоуроки по математике
У нас есть богатая коллекция видеороликов по математике, ориентированных на определенные математические навыки. Просто позвольте детям посмотреть наши ярко оформленные видеоролики. Эти видео охватывают ряд математических тем и просто преподают урок. Хорошо то, что это видео, а это значит, что их можно смотреть снова и снова. Эти видео также совместимы с iPod. Обсуждаемые темы: сложение , вычитание, геометрия, сравнение, алгебра, формы, время, дроби, десятичные дроби, последовательность, деление, метрическая система, логарифмы, отношения, вероятность, умножение и многое другое >>> — для первого и второго класса , третий класс, четвертый класс, пятый класс и шестой класс.
Математические викторины и онлайн-тесты
Математические викторины — это набор интерактивных тестов в форме MCQ, заполнения пробелов и головоломок на совпадение. Рассмотрены следующие темы: Сложение, Вычитание, Геометрия, Сравнение, Алгебра, Формы, Время, Дроби, Десятичные числа, Последовательность, Деление, Метрическая система, Логарифмы, Отношения, Вероятность, Умножение
Эти викторины варьируются от тестов по математике с несколькими вариантами ответов, викторин по заполнению пробелов, упражнений на сопоставление, викторин с графикой и многого другого для интерактивной математической практики.- Для детей первого, второго, третьего, четвертого, пятого, шестого, седьмого и восьмого классов.
математические задания для детей, математика для детей, математические игры и упражнения, математические рабочие листы, печатные формы, онлайн, интерактивные, викторины, для детского сада, дошкольного, первого класса, математическая практика, для учителей и родителей, учите своих детей математике, помогайте детям изучать математику _____ 1 класс | 2 класс | Grade3 | 4 класс | 5 класс | 6 класс | рабочие листы grade6 | Математика на пасхальных мероприятиях | Мероприятия на Хэллоуин Продукты по математике: электронные книги по математике, учебные пособия по математике, компакт-диск с математическими играми Только по математике для детей.
Ваш первоклассник и математика
Прошлой осенью результаты национальных экзаменов по математике вызвали бурю в стандартизированном тесте. Оказывается, оценки по математике росли быстрее: до того, как была введена норма «Ни одного отстающего ребенка», а оценки по математике в четвертом классе не улучшились с 2007 года. и неимущие.
Что это значит для вашего ребенка? В то время как ученые мужи и политики борются за большие проблемы, родители должны оставаться в центре внимания самых маленьких: академическое развитие своих детей.Следите за тем, что ваш первоклассник должен выучить по математике в этом году, с помощью контрольных показателей на основе оценок. Конечно, учебные программы по математике по-прежнему сильно различаются от штата к штату, поскольку школьные округа борются с тем, как внедрить Общие основные стандарты, поэтому это всего лишь рекомендации. Чтобы лучше понять, как сравниваются школьные работы вашего ребенка, поищите стандарты по математике в вашем штате, посмотрите, что Национальный совет учителей математики рекомендует для дошкольных и старших классов, или ознакомьтесь с Общими базовыми стандартами по математике.
В классе
Какие математические понятия будет изучать ваш первоклассник?
Первоклассники изучают математику по многим направлениям, включая вычисления, числа и их чувство, измерение, закономерности, формы, деньги и определение времени.
Вы заметите резкий сдвиг в развитии своего ребенка, когда он или она начнет смотреть на мир более логично и понимать причину и следствие. Когда они моложе, дети не могут легко понять точку зрения взрослых, но начиная с 6 лет или около того, это меняется.
«Математика в первом классе начинает связывать реальный мир с точкой зрения ребенка», — говорит Никола Сальватико, Учитель года Пенсильвании 2005 года. Этот сдвиг будет играть роль в растущем познании вашего ребенка в математике, а также облегчит обучение дома, например, измерение ингредиентов для рецепта, подсчет сдачи или оценка времени, необходимого для того, чтобы добраться до места назначения.
Чувство узоров и форм
Первоклассники учатся сортировать предметы по цвету, форме и функциям, а также распознавать узоры.Ваш ребенок должен уметь сортировать смешанную группу блоков так, чтобы все красные блоки находились в одной группе, а все синие — в другой. Если блоки размещены на столе в шаблоне — например, красный блок, синий блок, красный блок, синий блок — он или она должны быть в состоянии предсказать, какой цвет будет следующим, и создать другой узор с аналогичными характеристиками.
Студенты также учатся различать двух- и трехмерные геометрические формы, такие как треугольники, квадраты, конусы и цилиндры.Они также определяют формы предметов в классе и дома.
Знать числа
К концу первого класса ваш ребенок должен уметь считать до 100 по единицам, двойкам, пятеркам и десяткам и понимать, насколько велико число 100. Он или она также должны уметь начинать счет с любого числа, которое вы выберете от 0 до 100, и писать слова для чисел от 1 до 12.
Ваш ребенок также познакомится с понятиями большего и меньшего и будет работать с простыми графиками. .
Понимание вычислений
Первоклассники изучают факты сложения и вычитания с числами до 20. Учащиеся начинают переходить от счета объектов (или «математических манипуляторов», как их называют в школе) к более умственной математике. Предлагаются простые задачи со словами, например: «Если у меня есть три шарика и я отдаю один своему другу, сколько у меня останется?»
Деньги имеют значение
Ваш ребенок может узнать о монетах и их стоимости, а также о том, как разные комбинации монет могут составлять одну и ту же сумму.В классе может даже быть игровой магазин с игрушечным кассовым аппаратом (см. «Топ-10 обучающих игрушек» для популярной модели), игровые деньги и предметы с ценниками, чтобы ваш ребенок мог учиться считать деньги и обменивать предметы на деньги. В конце концов, никогда не рано приучать детей к финансовой грамотности.
Освоение измерения
Стандартные измерительные инструменты и единицы измерения — общие темы для математики первого класса.
Тренажеры по математике 1 класс. Примеры на сложение и вычитание, задачи — РОСТОВСКИЙ ЦЕНТР ПОМОЩИ ДЕТЯМ № 7
Примеры от 0 до 10. Математика, 1 класс: уроки, тесты, задания.
1.
Домино
Сложность:
лёгкое
1
2.
Число 0
Сложность:
лёгкое
3
3.
Переместительный закон
Сложность:
лёгкое
2
4.
Сумма двух одинаковых слагаемых
Сложность:
лёгкое
2
5.
Примеры с одинаковыми ответами
Сложность:
среднее
4
6.
Выбор примеров
Сложность:
среднее
4
7.
Заполнение таблицы (сумма)
Сложность:
среднее
4
8.
Пропущенное число (сумма)
Сложность:
среднее
2
9.
Пример из трёх чисел
Сложность:
среднее
3
10.
Пропущенное число (разность)
Сложность:
среднее
2
11.
Число как сумма двух слагаемых
Сложность:
среднее
2
12.
Пропущенные знаки
Сложность:
сложное
10
13.
Пропущенное число (три числа)
Сложность:
сложное
4
14.
Ответы в порядке возрастания
Сложность:
сложное
4
15.
Четыре числа
Сложность:
сложное
5
как успеть за 3 месяца до школы
У многих детей трудности с математикой, очень часто они возникают еще в первых классах. При этом типична такая ситуация: ребенок не понял какую-то тему на уроке, родители уже забыли школьную программу и не могут объяснить ему материал. Итог: одна непонятая тема постепенно обрастает новыми пробелами в знаниях и в результате к концу четверти приходится нанимать репетитора.
Как же избежать таких проблем? Как помочь ребенку? Как сделать так, чтобы он полюбил математику с первого класса, с удовольствием решал задачки, а примеры щелкал, как орешки?
Для этого стоит начать знакомство с математикой еще до поступления в школу. Это поможет ребенку лучше адаптироваться в школе и чувствовать себя увереннее на уроках.
Сегодня мы расскажем, как познакомить малыша с математикой всего за 3 месяца. Наши советы помогут ребенку освоить простейшие математические навыки: познакомят с цифрами и числами, научат складывать и вычитать, а также решать текстовые задачки.
3 месяца до школы. Первый шаг в обучении математике
Самое время познакомить ребенка с цифрами и числами, порядковым и количественным счетом, научить его считать и писать числа от 1 до 30. Лучше всего сделать это в игре. Занимайтесь с малышом не более получаса в день и следите за тем, чтобы он не переутомлялся.
Для начала познакомьте ребенка с порядковым счетом от 1 до 10, затем предложите ему упражнения для закрепления знаний.
Для знакомства с числами лучше всего подойдут игровые задания. Вот лишь несколько типов:
1. Соедини числа на картинке и напиши число в трафарете. Во время выполнения подобных упражнений следите за тем, чтобы ребенок соединял числа по порядку и называл каждое вслух.
2. Посчитай предметы. Впиши пропущенные числа
2 месяца до школы. Второй шаг в обучении математике
Когда ваш ребенок запомнил все числа, можно знакомить его с простыми арифметическими действиями: сложением и вычитанием. Предлагайте ребенку задания, которые усложняются постепенно. Сначала научите его сложению и только, когда будете уверены в том, что он его полностью освоил, переходите к вычитанию.
Прежде чем предлагать ребенку примеры, вспомните с ним цифры и счет. Например, с помощью таких упражнений.
Затем можно предложить ему первые примеры. Сначала научите ребенка прибавлять 1, затем 2, 3, 4 и так далее. То же самое с вычитанием. Не спешите и переходите на следующий этап занятий только тогда, когда ребенок освоит предыдущий.
Вот несколько типов заданий, которые помогут в обучении:
1. Прибавь или вычти одно и то же число.
2. Прочитай и обведи пример.
3. Сложи разные числа
Месяц до школы. Третий шаг в освоении математики
Когда ребенок освоил сложение и вычитание, очень важно закрепить эти навыки. Сделать это можно с помощью упражнений на скорость.
Сначала предложите ребенку определенное количество примеров и засеките время, за которое он с ними справиться. Затем предложите ребенку решать примеры на скорость. Для этого немного уменьшите исходное время, которое он потратил на решение самых первых примеров. Повторяйте тренировки ежедневно. Со временем ребенок будет выполнять задания без ошибок и за довольно короткое время.
Еще один вид математических упражнений, которые хорошо бы освоить до школы — простые текстовые задачи. Они особенно понравятся детям, потому что основаны на игровых элементах.
Решайте ежедневно по несколько подобных задачек.
Вконтакте
Facebook
Twitter
Математика 1 класс — Образовательная онлайн-платформа МЭО
Описание
Интерактивный онлайн-сборник «Математика 1 класс» сможет заменить бумажный учебник или дополнить его. Содержание предмета соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов (ФГОС).
Онлайн-уроки подходят для самостоятельного изучения. Ребенок познакомится с теорией, проверит полученные знания с помощью онлайн-тренажеров и интерактивных заданий, подготовится к контрольным и проверочным работам, экзаменам и ВПР.
Такой формат занятий поможет разобраться в новой теме или подтянуть знания по предмету. Доступ к онлайн-урокам осуществляется через интернет (24/7). Это позволяет заниматься в дороге и дома, во время соревнований, выездов на олимпиады или в оздоровительный лагерь.
Озвученные задания, интерактивные задания и графики, видеоролики и иллюстрации помогают лучше понять и запомнить материал по предмету: уроки математики станут понятными и интересными. Ребенок научится считать, решать примеры на сложение и вычитание по возрасту, познакомится с понятиями времени и пространства, величинами и их измерением, научится понимать условия задач и решать их.
Данный курс нацелен на формирование приёмов умственной деятельности, таких как анализа и синтеза, сравнения, классификации, аналогии и обобщения в процессе усвоения математического содержания.
Рекомендуем изучать данный курс совместно с интерактивным онлайн-сборником «Окружающий мир 1 класс».
В интерактивном курсе «Математика 1 класс» содержаться уроки по следующим темам:
Пространственные и временные представления
Подготовка к изучению чисел. Отношения
Однозначные числа от 1 до 5. Нумерация
Знакомимся с геометрией
Числа от 5 до 10. Нумерация
Число 0
Числа от 1 до 10. Сложение и вычитание
Числа от 11 до 20. Нумерация
Числа от 11 до 20. Сложение
Числа от 11 до 20. Вычитание
Знакомимся с величинами
Учиться можно в любом удобном месте, в любое удобное время!
Онлайн-уроки содержат:
полный теоретический материал по предмету с гиперссылками;
дополнительный материал по предмету;
интерактивное оглавление;
задания различных типов для проверки знаний, в том числе, для подготовки к проверочным, контрольным работам, к ВПР, к ОГЭ, к ЕГЭ;
тесты с автоматической проверкой и задания с открытым ответом;
Интернет-урок 31. Представление информации в виде таблицы. Работа с таблицами
Занятие 8. Числа от 11 до 20. Нумерация
Интернет-урок 1. Образование чисел второго десятка
Интернет-урок 2. Двузначные числа от 10 до 20
Интернет-урок 3. Нумерационные случаи сложения и вычитания чисел
Занятие 9. Числа от 11 до 20. Сложение
Интернет-урок 1. Сложение с переходом через десяток
Интернет-урок 2. Сложение однозначных чисел с переходом через десяток вида □ + 2, □ + 3
Интернет-урок 3. Сложение однозначных чисел с переходом через десяток вида □ + 4
Интернет-урок 4. Сложение однозначных чисел с переходом через десяток вида □ + 5
Интернет-урок 5. Сложение однозначных чисел с переходом через десяток вида □ + 6
Интернет-урок 6. Сложение однозначных чисел с переходом через десяток вида □ + 7
Интернет-урок 7. Сложение однозначных чисел с переходом через десяток вида □ + 8, □ + 9
Интернет-урок 8. Сложение однозначных чисел с переходом через десяток вида □ +. Закрепление материала
Интернет-урок 9. Сложение однозначных чисел с переходом через десяток вида □ +. Закрепление материала. Продолжение
Интернет-урок 10. Сложение однозначных чисел с переходом через десяток вида □ +. Решение задач
Интернет-урок 11. Таблица сложения до 20
Занятие 10. Числа от 11 до 20. Вычитание
Интернет-урок 1. Сложение и вычитание чисел без перехода через десяток
Интернет-урок 2. Вычитание с переходом через десяток
Интернет-урок 3. Вычитание двузначных чисел
Занятие 11. Знакомимся с величинами
Интернет-урок 1. Масса. Единицы массы. Прибор для измерения массы
Интернет-урок 2. Длина. Единицы измерения длины. Дециметр
Книга «Тренировочные примеры по математике: 1 класс.
Счет от 6 до 10. ФГОС» из жанра Учебники: доп. пособия
Тренировочные примеры по математике: 1 класс. Счет от 6 до 10. ФГОС
Автор: Кузнецова М.И. Жанр: Учебники: доп. пособия Издательство: Экзамен Год: 2015 Количество страниц: 32 Формат: PDF (1.60 МБ) Дата загрузки: 16 мая 20182017-10-13
Скачать с нашего сайта
Скачать в два клика
Поделись с друзьями!
Аннотация
Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения) для начальной школы. В книге представлен разнообразный практический материал для изучения, отработки и закрепления навыков вычислений в пределах от 6 до 10. Постепенно усложняющиеся задания научат ребёнка считать от 6 до 10 в прямом и обратном порядке, быстро находить соседей числа, запоминать состав чисел, складывать и вычитать в пределах 10. Книга предназначена первоклассникам для работы в школе и дома, для фронтальной и самостоятельной работы. Пособие является необходимым дополнением к учебникам по математике для 1 класса, рекомендованным Министерством образования и науки Российской Федерации и включённым в Федеральный перечень учебников.
Комментарии
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикаци.
3000 примеров для 1 класса по математике
Автор Administrator На чтение 3 мин. Опубликовано
Серия учебных пособий для выработки навыков устного и письменного счета – в общем 3000 заданий! Серия разделена на части: в первых книгах предлагается много письменной работы, а во второй серии пособий предложены только устные упражнения.
Серия учебных пособий для выработки навыков устного и письменного счета – в общем 3000 заданий! Серия разделена на части: в первых книгах предлагается много письменной работы, а во второй серии пособий предложены только устные упражнения.
Примеры для 1 класса по математике – единственный способ отточить полученные знания до автоматизма. Многократные вариации на одну тему дают ребенку возможность усвоить все подходы к решению данного примера.
Если в первой серии сборника предлагается не только решать примеры по математике, но и даются каллиграфические задания, то в следующей серии – только устный счет.
Часть, предназначенная для более младших школьников, содержит много практического материала, с помощью которого ребенок прочно усваивает количество и цифру, обозначающую его, а также состав чисел в пределах десятка. Сначала первоклассник выполняет множество разноплановых решений, а потом приходит к определенному выводу.
Математика в 1 классе помогают детям развивать математическую память, находчивость, формируют грамотную математическую речь, скорость счета, внимание. С помощью пособия можно проводить следующие виды счета на уроке:
счет на скорость;
счет с записью ответа в тетрадь;
решение задач (устно).
Скачивайте на нашем сайте 3000 примеров по математике для 1 класса, которые помогут детям научиться считать осмысленно, быстро, правильно!
Издательство: Астрель Год издания: 2005, 2008 Серия: Как научиться быстро считать Автор: О.В. Узорова, Е.А. Нефедова Формат: PDF Количество страниц: 16 +16 + 16 Язык: Русский
Ниже приведены необходимые навыки со ссылками на ресурсы, которые помогут с этим навыком. Мы также поощряем множество упражнений и работу с книгами. Curriculum Home
Важно: это только руководство. Обратитесь в местный орган управления образованием, чтобы узнать их требования.
Класс 1 | Подсчет
☐ Подсчитайте элементы в коллекции и узнайте, что последнее слово подсчета сообщает, сколько элементов находится в коллекции (от 1 до 100)
☐ Нарисуйте картинки или другие неформальные символы, представляющие произносимое число до 20
☐ Записать числа на 100
☐ Прочтите числовые слова один, два, три до десяти
☐ Подсчитать (произвести) коллекцию заданного размера (от 10 до 100 элементов), используя группы по десять
☐ Назовите число перед заданным числом и число после данного числа, а также укажите число (числа) между двумя заданными числами до 100 (с использованием числовой линии или диаграммы сотен и без них)
☐ Используйте до, после или между порядковыми номерами до 100 (с использованием числовой линии или без нее)
☐ Используйте слова выше, ниже, больше и меньше для сравнения двух чисел
☐ Используйте и понимайте словесные порядковые термины с первого по двадцатый
☐ Быстрый просмотр и маркировка номеров, коллекции от 1 до 10
☐ Считать по единицам до 100
☐ Пропустить счет от 10 до 100
☐ Пропустить счет на 5 до 50
☐ Пропустить счет от 2 до 20
☐ Устно считать от числа, отличного от единицы,
☐ Считать в обратном порядке от 20 до единиц
☐ Количество пропусков, кратное 10 на 10, до 1000
1 класс | Сложение
☐ Понять коммутативность сложения
☐ Разработка и использование стратегий для решения задач со сложением слов
☐ Представляйте задачи со сложением слов и их решения в виде числовых предложений
☐ Используйте различные стратегии для решения задач сложения одно- и двузначных чисел без перегруппировки
☐ Продемонстрируйте свободное владение языком и примените дополнительные факты к 10
включительно
☐ Поймите, что можно складывать разные части, чтобы получить одно и то же целое
1 класс | Вычитание
☐ Разработайте и используйте стратегии для решения задач на вычитание слов
☐ Представляйте задачи на вычитание слов и их решения в виде числовых предложений
☐ Используйте различные стратегии для решения задач вычитания с одно- и двузначными числами без перегруппировки
☐ Продемонстрируйте свободное владение языком и примените факты вычитания к 10
включительно
1 класс | Числа
☐ Расставить объекты по размеру (увеличивая и уменьшая)
☐ Сравнивайте и заказывайте целые числа до 20
☐ Используйте различные стратегии для составления и разложения однозначных чисел
☐ Узнавайте разницу между числами, цифрами и цифрами.
1 класс | Измерение
☐ Признать длину как атрибут, который можно измерить
☐ Выберите и используйте нестандартные единицы для оценки размеров
☐ Используйте нестандартные единицы измерения (включая длину пальцев, скрепки, ступни учеников и шаги) для измерения длины как по вертикали, так и по горизонтали.
☐ Неформально изучите стандартную метрическую единицу измерения (метр)
☐ Неформально изучите стандартную единицу измерения США (фут)
1 класс | Время
☐ Классифицируйте месяцы и связывайте их с сезонами и другими событиями
☐ Распознавать определенное время (утро, полдень, полдень, вечер)
☐ Определите время с точностью до часа, используя как цифровые, так и аналоговые часы
☐ Знайте дни недели и месяцы года по порядку
1 класс | Геометрия (плоскость)
☐ Сопоставление форм и частей фигур для выравнивания конгруэнтности
☐ Экспериментируйте со слайдами, переворотами и поворотами двухмерных форм
☐ Определение симметрии в двумерных формах
☐ Распознавать, называть, описывать, создавать, сортировать и сравнивать двухмерные формы
☐ Направление: вверх, вниз, влево, вправо
1 класс | Геометрия (сплошная)
☐ Распознавать, называть, описывать, создавать, сортировать и сравнивать трехмерные формы
☐ Распознавать геометрические формы и структуры в окружающей среде
1 класс | Предварительная алгебра
☐ Определение и обсуждение шаблонов в арифметике (что будет дальше в повторяющемся шаблоне с использованием чисел или предметов)
☐ Создавать проблемные ситуации, представляющие данное числовое предложение
1 класс | Данные
☐ Задавать вопросы о себе и своем окружении
☐ Сбор и запись данных, связанных с вопросом
☐ Отображение данных в виде гистограмм с использованием конкретных объектов с интервалом в единицу
☐ Интерпретируйте данные с помощью слов: больше, меньше, больше, меньше или равно
☐ Ответьте на простые вопросы, связанные с данными, отображаемыми в пиктограммах (например,г. , Категория с наибольшим? Сколько больше в одной категории по сравнению с другой? Сколько всего в двух категориях?)
☐ Составьте вопрос, на который можно ответить, используя информацию из графа данных
1 класс | Оценка
☐ Оцените количество в коллекции до 50, а затем сравните, подсчитав фактические элементы в коллекции
1 класс | Вероятность
☐ Обсудите выводы и сделайте прогнозы, используя слова «вероятно» и «маловероятно»
1 класс | Деньги
☐ Узнай и узнай монеты
☐ Обратите внимание на обозначение центов.
☐ Используйте разные комбинации монет, чтобы заработать до 25 центов
20 математических игр для первоклассников, которые действительно увлекут ваших учеников
Пришло время открыть вашим первоклассникам маленький секрет: математика может быть интересной! Нужно их убедить? Попробуйте эти увлекательные математические игры. Все они соответствуют Общим основным математическим стандартам для первоклассников, поэтому вы будете уверены, что они учатся тому, что им нужно знать, во время игры.
(Примечание: для вашего удобства этот пост содержит партнерские ссылки.WeAreTeachers получает небольшой процент от стоимости покупки, если вы совершаете покупку по этим ссылкам.)
1. Соберите пазл домино
Распечатайте бесплатные пазлы по ссылке ниже. Затем возьмите несколько домино и начните собирать пазл по частям, помещая домино, сумма которого равна числу, указанному в каждом прямоугольнике. Хитрость в том, что по-прежнему действуют обычные правила домино, поэтому каждое число должно касаться другого домино с таким же номером на этом конце.
Подробнее: Games 4 Gains
2.Раздайте карты UNO, чтобы сравнить числа
Некоторые математические игры для первоклассников — лишь немного более сложные версии детских садов! Сделайте мат больше / меньше из обрывков бумаги и шнура, как показано. Разложите по две карточки с номерами ООН с каждой стороны, так как первоклассники работают над сравнением двузначных чисел. Поверните стрелки знаков в правильном направлении, чтобы указать, какой из них больше.
Подробнее: Детский сад Smorgasboard
3. Играйте в крестики-нолики с дополнительными задачами
Найдите ответы на каждую проблему в таблице и отметьте или обведите те, которые в сумме дают 10.Первый, кто получит три победы подряд!
Подробнее: 123Homeschool4Me
4. Выбейте кегли с точечным расположением боулинга
Возьмите недорогой игрушечный набор для боулинга (или сделайте его самостоятельно из пластиковых бутылок) и добавьте липкие точки, расположенные в виде узоров. Ученики катят мяч, а затем должны быстро сабитировать, чтобы определить, сколько точек на каждой булавке, которую они сбили. Если они сделают это правильно, они получат очки!
Подробнее: Парад первоклассников
5.Путешествуйте по лабиринту с указанием времени
Начните с первых часов и раскрасьте строку, которая показывает точное время. Это приведет вас к следующим часам и так далее, пока вы не закончите!
Подробнее: 123Homeschool4Me
6. Сразитесь в битве за кости
Игра в кости — это фантастика в классе! С этим дети практикуют свои факты сложения и немного поработают с субитизацией. Идея очень проста: каждый игрок бросает кости и складывает свои числа.В этом раунде выигрывает самая высокая сумма. Это одна из тех математических игр для первоклассников, которые можно расширить, добавив третий кубик. (Вы также можете использовать игральные карты.)
Подробнее: Miss Giraffe’s Class
7. Сажайте цветы и рассчитывайте на
.
Купите искусственные цветы в долларовом магазине для этой весенней садовой игры. Бросьте кубик и добавьте это количество цветов в горшок. Затем сверните еще раз и добавьте еще, рассчитывая с того места, где вы остановились. Легко и весело!
Подробнее: Fun-a-Day
8.Используйте стикеры, чтобы сделать 10
Клейкие заметки находят очень широкое применение в классе. В этом случае предложите студентам составить пронумерованные записи, из которых «получается десять». Они будут практиковать сложение до 10 несколькими числами. Вы также можете сделать это с помощью вычитания, начиная с 10, чтобы получить ноль.
Подробнее: Life Over CS
9. Распечатайте таблицу сотен, чтобы сыграть в Battleship
.
Помогите ученикам овладеть числами до 100, играя в Морской бой, используя стандартную таблицу сотен.Им понравится эта стратегия (и будет весело кричать «Бум!», Когда они топят корабль), пока они разовьют чувство числа и попрактикуются в числовых словах.
Подробнее: 123Homeschool4Me
10. Соберите дополнительные поручни
Наполните различные сумки коллекциями мелких предметов. Дети берут горсть из двух разных пакетов, затем считают и складывают результаты. Убедитесь, что они все это записывают, чтобы попрактиковаться в составлении уравнений. Математические игры для первоклассников, подобные этой, тоже работают на вычитание.
Подробнее: Обучение Сьюзан Джонс
11. Составляйте головоломки с указанием времени
Фирмы должны осваивать время с точностью до часа и получаса. Эти бесплатные головоломки для печати помогут им сопоставить время на аналоговых и цифровых часах. Попросите их назвать время вслух, так как они тоже подбирают их.
Подробнее: 123Homeschool4Me
12. Заполните головоломку числовой сеткой
Эти сотни головоломок с диаграммами побуждают детей использовать различные математические навыки для первого класса, чтобы заполнить недостающие числа.Они будут практиковать счет, считать до 100, пропускать счет и многое другое. Скачайте эти 10 бесплатных головоломок для печати по ссылке.
Подробнее: Помощь с математикой
13. Участвуйте в охоте за мусорщиком
Возьмите стопку старых журналов и используйте ее для охоты за мусором! Вы можете сделать это в школе или отправить домой на домашнее задание. Получите бесплатные распечатки для этой математической игры для первоклассников по ссылке.
Подробнее: Primary Theme Park
14.Практикуйте десятки и единицы с I Have, Who Has
Пока первоклассники работают с понятиями десятков и единиц, играйте в эту простую игру, чтобы вселить в них уверенность. Используя бесплатные карточки, которые можно распечатать по ссылке, первый игрок кричит «У меня…», а затем номер, указанный на его карточке блоками. Затем они называют номер внизу, и игрок, у которого есть этот номер, вступает во владение.
Подробнее: Playdough to Plato
15. Соедините фигуры, чтобы получить другие фигуры
Используйте блоки с выкройками с бесплатными карточками для печати по ссылке, чтобы дети играли с простой геометрией.Они будут практиковаться в распознавании основных форм и узнают, что могут использовать некоторые формы для создания новых.
Подробнее: Обучение Сьюзан Джонс
16. Стройте и измеряйте из кубиков LEGO
С LEGO все веселее! Вытащите кучу квадратных кирпичей и используйте их для этих веселых и бесплатных занятий, которые включают в себя оценку, измерение и сравнение длины.
Подробнее: Playdough to Plato
17. Играй, закрой коробку
В эту игру играют сотни лет, но это забавный и хитрый способ попрактиковаться в беглости сложения фактов! Цель состоит в том, чтобы «закрыть» каждое из чисел в квадрате от одного до девяти, бросая кости.Например, если игрок выбрасывает 11, он может закрыть 1, 2, 3 и 5, так как в сумме получается 11. Если нет доступных чисел для суммирования к общему количеству кубиков, игра переходит к следующему игроку и продолжается до тех пор, пока кто-то наконец «закрывает ящик», закрыв последний доступный номер. Вы можете играть в эту игру со специально разработанной коробкой, поскольку в нее играли годами. Но коробка вам не нужна; просто попросите детей записать цифры от 1 до 9 и вычеркнуть их во время игры.
18. Испытайте гайки и болты для практики счисления значений
Освоение концепций десятков и единиц более увлекательно с практическими занятиями.Нам нравятся эти математические манипуляторы, сделанные своими руками, в которых используются недорогие гайки и болты из хозяйственного магазина, чтобы донести до людей представление о числовой стоимости. (Бонус: дети также развивают мелкую моторику!) Получите бесплатные коврики для печати для этого упражнения по ссылке.
Подробнее: Измеримая мама
19. Разбери игрушки в классе
Первоклассники работают над сортировкой по признаку сразу по трем категориям. Выбросьте различные строительные блоки, бусы или другие классные игрушки и выложите несколько хула-хупов.Попросите детей определить категории и начать сортировку! Вы даже можете наложить пяльцы на диаграммы Венна для предметов, которые соответствуют более чем одному критерию.
Подробнее: BSM Год 2
20. Стройте и рассчитывайте на
Вот забавный практический способ попрактиковаться в счете и сложении. Вы можете использовать для этого строительные блоки любого типа. Получите бесплатные распечатки по ссылке.
Подробнее: Обучение Сьюзан Джонс
Понравились эти математические игры для первого класса? Продолжайте изучение STEM с помощью 30 потрясающих научных проектов для первоклассников, которые понравятся маленьким ученикам.
Учителя заслуживают сильной системы поддержки. Найдите свое в группе WeAreTeachers HELPLINE на Facebook.
значений места | 1 класс по математике
Выучить значения мест
Все номера состоят из цифр.
В математике всего десяти цифр :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Маленькие числа состоят из одной цифры .
Большие числа могут состоять из двух цифр, и более!
Например, 5 состоит из одной цифры:
38 состоит из двух цифр:
Счет от 0 до 9
Чтобы сосчитать до 9, нам нужно всего одной цифры .
🤔Что будет после 9?
👉 Начинаем использовать 2 цифры!
Мы перегруппируем 10 единиц в 1 группу десятков.
Итак, число 10 состоит из 1 десятков, и 0 единиц.
Значения места
Десятки и Единицы называются разрядами.
Каждая цифра в числе имеет разряд.
Разрядные значения говорят нам, сколько стоит каждая цифра в числе.
Цифры на слева (👈) имеют значение на разрядов больше .
Цифры в разряде Единиц считаются как 1 каждая. Цифры на позиции Десятки считаются как 10 каждая.
Например, 24 имеет 2 десятков и 4 единицы.
Считает 10 и более
Чтобы считать от 10, продолжайте прибавлять 1 к положению единиц , пока не дойдете до 19.
Вы уже знаете, что будет дальше? 13, 14, 15, 16, 17, 18 и 19.
После 19 вы перегруппируете 10 единиц в еще десятков.
Давайте рассмотрим
Несмотря на то, что есть только 10 разных цифр, из которых можно составить числа (от 0 до 9), мы можем составить действительно очень большие числа, используя две или более цифр !
Мы знаем, сколько стоит каждая цифра, благодаря ее значению разрядов .
Цифры на слева (👈) стоят в 10 раз больше , чем цифры справа от них (👉).
Смотри и учись
Отличная работа по изучению размещенных ценностей! Теперь попробуйте применить на практике то, что вы узнали ниже.
Учебная программа МАТЕМАТИКИ для 1 класса — Комплект из 10 единиц математики для первого класса
✔ Это ПОЛНАЯ комплексная программа по математике для первого класса. Он включает в себя 10 разделов по 9-11 уроков в каждом, чтобы научить первоклассников концепциям и стандартам, которые необходимо усвоить по математике. Этот набор для первого класса по математике охватывает целый год обучения математике!
Каждая единица представляет собой насыщенную, сфокусированную на уме учебную программу по математике, которая предоставляет учителям ВСЕ, что им нужно для преподавания математики в первом классе, без дополнительных дополнений из других источников.
Заинтересованы в Mindful Math ДЕТСКИЙ САД И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАБОРЫ ДЛЯ ВТОРОГО УРОВНЯ?
Ознакомьтесь с учебной программой по математике в детском саду ЗДЕСЬ!
Ознакомьтесь с учебной программой по математике для второго класса ЗДЕСЬ!
Прочтите ЭТОТ ЗАПИСЬ, чтобы узнать больше о Mindful Math. Ознакомьтесь с разбивкой того, что включено, как использовать, внедрить и систематизировать, а также прочтите часто задаваемые вопросы.
Этот комплект Mindful Grade 1 MATH включает:
* 10 математических единиц , охватывающих все темы, преподаваемые в первом классе (числа до 10, числа до 20, прибавление к 10, вычитание до 10, числа до 120, сложение до 20, вычитание до 20, геометрия, дроби, деньги, время, измерения, 2D и 3D геометрия и построение графиков.
* 3500+ страниц ПОЛНЫЙ план уроков, материалы, мероприятия и многое другое!
* 100+ всеобъемлющих, заполненных до отказа уроков
* БЕСПЛАТНЫЙ БОНУСНЫЙ БЛОК «Узоры и сортировка» включен ТОЛЬКО для владельцев пакетов Mindful MATH!
Купите комплект Mindful MATH и СЭКОНОМЬТЕСЬ, покупая единицы по отдельности! Учебная программа по математике для первого класса оценивается в 190 долларов (каждая единица стоит 19 долларов. Прочитайте, что говорят учителя, и купите СЕЙЧАС всего за 145 долларов!
Учебная программа Mindful MATH включает в себя целенаправленные возможности изучения математики и множество компонентов в каждой единице.Занятия носят практический характер и подразумевают, что учащиеся активно работают над математикой и задействуют свой ум. Внимательные уроки математики поощряют различные способы мышления и представления математических понятий.
Mindful MATH включает в себя множество вдумчивых уроков и занятий, которые помогают удовлетворить потребности учащихся и их стиль обучения. У студентов будет много возможностей изучить и применить на практике новые стратегии и развить беглость математики с помощью разминки и уроков для всей группы, мысленной математики, журналов, центров, игр и многого другого.
Mindful MATH был создан, чтобы дать учителям всестороннюю математическую программу, которая увлекала умы и позволяла ученикам хорошо разбираться в математических концепциях. Учебная программа соответствует стандартам US Common Core .
КАНАДСКИЕ ПОКУПАТЕЛИ: Mindful Math также согласуется с канадской учебной программой по математике в Британской Колумбии и Онтарио (стандарты учебной программы включены и соответствуют урокам в продукте). Просмотрите предварительный просмотр PDF, чтобы узнать, какие стандарты включены в каждый модуль.
** ПРЕДОСТАВЛЯЮТСЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТРАНИЦЫ С КАНАДСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ И ОРГАНИЗАЦИЕЙ. **
В Mindful MATH есть то, что любят учителя!
* Простота реализации уроков и мероприятий.
* Предоставляются ВСЕ материалы урока!
* Концептуальные плакаты и подробные планы уроков содержат важную информацию!
* Разнообразные занятия на каждый урок (математические игры и центры), чтобы поддерживать высокий уровень вовлеченности!
* Развивайте математические навыки и развивайте беглость с помощью математических журналов, карточек задач, мысленной математики и ТОННЫ дифференцированных практических печатных материалов!
ПРОСМОТРЕТЬ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ПРОСМОТР ДЛЯ ПОДРОБНОГО ВЗГЛЯДА!
Учителя создадут УСПЕХ со всем, что входит в Mindful MATH! Каждый из 10 БЛОКОВ включает :
Учебный план
Макет из 10 блоков, доступных в Mindful Math для первого класса.
Обзор урока
Объяснение частей плана урока и способов их использования.
Обзор модуля
Список из 10 включенных уроков с указанием стандартов учебной программы, которые они охватывают в рамках Общего ядра США, а также учебных программ Британской Колумбии и Онтарио.
Планы уроков
Планы уроков Mindful MATH предоставляют учителям подробный план, которому нужно следовать от начала до конца. Даются инструкции для занятий в группе, индивидуальных занятий и последующих мероприятий.Также включены цели урока, словарный запас, вопросы, которые нужно задать, список материалов и предложения по книгам, соответствующие концепциям.
Материалы урока
Предоставляются все дополнительные материалы, необходимые для проведения урока и практики студентов. Математические манипуляторы и инструменты, такие как слова, десять рамок, числовые линии, включены для поддержки учащихся и урока. Для поддержки обучения на уроке предоставляются элементы диаграмм и концептуальные плакаты.
Карточки с заданиями для разминки
Карточки с заданиями для осознанной математики — это короткие упражнения по математике, которые учащиеся могут выполнять самостоятельно.Существует множество задач, которые основываются на навыках, которым ранее учили на других уроках, для развития беглости речи.
Подсказки журнала
Подсказки журнала Mindful Math идеально подходят для разминки, дополнительной практики или домашнего задания. В каждом запросе рассматриваются навыки и концепции, полученные на предыдущем уроке. Они отлично подходят для проверки и помогают понять математику.
Mental Math
Mindful Math Карты мысленной математики идеально подходят для развития умственных математических навыков и быстрого вспоминания важных математических понятий.Предоставляются карточки с мысленной математикой, которые предлагается использовать всей группой в качестве разминки.
Практические распечатки
Каждый урок Mindful Math включает как минимум 3 практических распечатанных страницы, которые студенты могут выполнить самостоятельно после урока. Страницы помогают развить математические навыки и проанализировать важные концепции. Страницы различаются по сложности, чтобы их можно было различить.
Практические занятия (математические центры и игры)
Каждый урок включает математическую игру или упражнение, а также математический центр.Планы уроков и карточки занятий содержат инструкции по использованию.
Quick Checks & Post-Test (Assessations)
Mindful Math Quick Checks — это тесты, которые можно выполнять после уроков математики и практики. Каждая быстрая проверка включает в себя короткое задание, которое нужно выполнить индивидуально или в небольших группах и показать учителю. Заключительный тест для каждого урока включен для более формальной оценки. Он также включает шаблон для отслеживания успеваемости учащихся.
Дополнительные материалы (ключи с ответами и список книг и страницы на канадском языке)
Ключи с ответами предназначены для помощи учителям в оценке и проверке практических страниц, которые можно распечатать.Предлагаемый список книг предоставляется вместе с детской литературой, чтобы помочь в обучении математическим понятиям. Для канадских учителей предоставляются дополнительные страницы с канадским написанием и содержанием (например, монеты и деньги).
единиц в комплекте (см. Все, что включено, и отдельные превью):
БОНУС # 1: Обложки рабочих тетрадей для учащихся
БОНУС # 2: Обложки и корешки папок
БОНУС # 3: Узоры и сортировка
Математика для первого класса: числа до 10 единиц
Математика для первого класса: числа до 20 единиц
Математика для первого класса: прибавление к 10 единицам
Математика для первого класса: вычитание до 10 единиц
Математика для первого класса: геометрические единицы и дроби
Математика для первого класса: числа до 100 или 120 единиц
Математика для первого класса: прибавление к 20 единицам
Математика для первого класса: вычитание до 20 единиц
Математика для первых классов: измерение и время (с точностью до 1/2 часа) единица
Математика для первого класса: деньги и график
Возможно, вас также заинтересует:
Math Mats Bundle
Math Workshop Tool Kit
Math In A Minute — Addition Fact Практика
Математика за минуту — Практика вычитания фактов
Попробуйте программу SEL, которая необходима во ВСЕХ классах!
Разум + сердце Социальная программа эмоционального обучения для K-2
Разум + сердце Социальная эмоциональная учебная программа для 3-5 человек
Популярные наборы от Proud to be Primary:
Mindgar
Mindful Math Second Grade Curriculum
Classroom Management
Question of the Day
Poem of the Week
Directed Drawing Mats Writing
03 Коврики
Навыки аудирования Коврики
Оставайтесь на связи с Proud to be Primary
♥ Нажмите ЗДЕСЬ, чтобы следить за нашим магазином и получать уведомления о выпусках новых продуктов, продажах и бесплатных предложениях.
♥ Присоединяйтесь к нашему списку рассылки и получайте еженедельные электронные письма с советами учителей и доступ к нашей БЕСПЛАТНОЙ библиотеке ресурсов.
♥ Посетите наш сайт в Proud to be Primary, где можно найти массу интересных идей для обучения детей в классе!
♥ Присоединяйтесь к нашей группе в Facebook и общайтесь с тысячами PROUD учителей начальной школы, как и вы.
Вопросы, предложения и отзывы всегда приветствуются.
Просто воспользуйтесь вкладкой «Вопросы и ответы по продукту» , и я свяжусь с вами как можно быстрее!
Пожалуйста, задавайте все вопросы перед покупкой или пишите мне на elyse @ ownbeprimary.com.
Условия использования: Этот продукт лицензирован для использования ТОЛЬКО в личных классах, если не приобретено несколько лицензий.
iPracticeMath имеет бесконечное количество планов уроков и рабочих листов, которые разделены на категории по разным оценкам и темам. С 1 класса до 9 класса есть все, что вам нужно знать и изучать математику. Его тщательно составленные вопросы и учебные материалы призваны помочь ваши ученики лучше успевают и обеспечивают платформу для будущего изучения математики.
iPracticeMath дает студентам возможность проверить свои математические навыки. Эти математические задачи предназначены для первоклассников при сохранении помните об уровне сложности и возможностях обучения.
Включает множество тем, например, сложение двойных и тройных цифр.
Подобные задачи также доступны для вычитания.
Студенты узнают, как определять возрастающий и убывающий порядок.
Добавление
Вычитание
Сравнение
Время
Математика 2-го класса состоит из тем, которые могут помочь развить понимание математических терминов и функций. которые ранее не были известны студентам.
Простые и простые задачи на умножение, которые помогут развить навыки учащихся.
Сложение и вычитание однозначных и двузначных чисел.
Также включено сложение и вычитание времени.
Математика для 3-го класса предоставляет учащимся задания, позволяющие отточить свои концепции и базовые математические навыки простым, но увлекательным способом.
Уроки сравнения чисел и основные задачи деления.
Включает такие темы, как четные, нечетные, простые и составные числа.
Также предусмотрено преобразование времени и базовой алгебры.
Помогите научить своих учеников основам математики в увлекательной и увлекательной форме.Сделайте изучение математики в 4-м классе отличным опытом для них !.
Простые рабочие листы о том, как преобразовывать слова в числа.
Планы уроков как по простому, так и по сложному сложению и вычитанию.
Кроме того, включено введение в основную статистику.
Математика для 5-х классов предназначена для информирования учащихся о темах, которые необходимо изучить и понять в школе.
Умелое использование тем, включая десятичную дробь, алгебру и дробь.
Полезные и стимулирующие упражнения на чувство чисел.
Различные статистические задачи предназначены для того, чтобы не отставать от стандартного обучения.
Математика для 6-го класса состоит как из простых, так и сложных вопросов, чтобы увидеть, насколько хорошо учащиеся усвоили концепции.
Студентам предлагается пересмотреть основные концепции деления, а также изучить новые.
Неограниченные уроки по базовому и среднему уровню умножения дробей.
Также предусмотрено сложение и вычитание целых чисел в разделе «Определение числа».
Математика в 7-м классе дает ученикам возможность вовремя оттачивать базовые и продвинутые концепции. чтобы избежать проблем при выполнении математических функций.
Подтемы включают квадрат и куб чисел, сложение и вычитание десятичных знаков и т. Д.
Студенты учатся и приобретают уверенность в преобразовании единиц измерения.
Подробный обзор таких статистических тем, как среднее значение, медиана и мода.
Математика для 8-го класса в основном ориентирована на получение знаний, связанных с алгеброй, статистикой, измерениями, десятичными числами, дробями и чувством чисел.
Полное понимание алгебры.
Развлекайтесь, практикуя вопросы по статистике, включая диапазон, среднее значение, медианное значение и режим.
Изучите взаимное преобразование между единицами измерения температуры, длины и объема в разделе «Измерения».
iPracticeMath предлагает простые и увлекательные упражнения, которые помогут изучить основы статистики, измерений, алгебры и чувства чисел.
Основные вопросы по алгебре, касающиеся сложения, вычитания, умножения и деления.
Измерение представляет собой взаимное преобразование единиц длины, цены из метра в сантиметр и наоборот.
Улучшите восприятие чисел с помощью вопросов, связанных с факториальными выражениями, делением целых и отрицательных чисел.
1 класс по математике
Обзор курса
Курс Acellus Grade 1 по математике фокусируется на сложении, вычитании числа 20, отношениях целых чисел и разрядах, линейном измерении, измерении длины и геометрических формах.
Цели курса и результаты обучения студентов
По завершении курса Acellus по математике 1-го класса учащиеся смогут распознавать одинаковое количество предметов, числовые слова от 0 до 29 и порядковые числа; счет 0-20; добавлять внутри словесные задачи и предложения; использовать свойство заказа для добавления; рассчитывать на 1 и на 2; используйте числовую строку; добавить ноль, почти двойные и двойные; вычитайте внутри словесные задачи и предложения; вычесть ноль и все; разбирать числа на части; вычесть, используя 10; использовать реляционные свойства сложения и вычитания; используйте правильную операцию; написать предложения сложения и вычитания; и сравнивать суммы, и определять больше и меньше символов, и использовать символы для сравнения чисел, чтобы включить реальные ситуации.Студенты также смогут сортировать, классифицировать и подсчитывать; составлять графики и картинки, чтобы отображать реальные жизненные ситуации; правильно определить возможное и невозможное; сравнить, измерить и оценить длину; используйте нестандартные единицы измерения, дюймы и сантиметры; оценка мощности; и использовать длину и оценку в реальных жизненных ситуациях; определять формы, плоские и твердые фигуры, а также создавать новые формы; определить равные и неравные части, половинки и четверти; использовать формы и дроби в реальных жизненных ситуациях; определять, расширять и создавать графические и числовые шаблоны; определять время как с помощью аналоговых, так и цифровых часов, включая определение получаса; используйте пространственное чувство, связанное с положением, следуйте указаниям, чтобы включить повседневные ситуации, и находите расстояния на карте.Наконец, студенты смогут складывать, используя 10; добавить двойные и почти двойные; используйте сложение при вычитании; и сложите три числа, сложите задачи со словами; считать более 100; сложить с использованием разрядов единиц и десятков; сложите двузначные числа от 10 до 20, сложите и посчитайте, используя группы по 10, и используйте мысленную математику для сложения и вычитания на 10.
Объем и последовательность
Блок 1 — номера до 20 В этом разделе учащиеся узнают о равных группах и нумеруют слова до 20. Они также изучают счет предметов и порядковые числа. Блок 2 — Дополнение В этом разделе учащиеся обсуждают истории сложения, знак равенства и предложения сложения. Они изучают свойство порядка для сложения, как использовать сложение для составления чисел и как рассчитывать. Они используют числовую линию, чтобы рассчитывать, узнают о сложении нуля и о почти двойных и двойных, а также узнают о предложениях с вертикальным сложением. Они узнают о реальных применениях сложения и знакомятся с математическими плитками.
Раздел 3 — Вычитание В этом модуле учащиеся знакомятся с вычитанием.Они изучают истории вычитания, суммы 2, предложения вычитания и суммы 3. Они учатся использовать числовую линию для обратного отсчета, упражняются в суммах 3 и обратном отсчете и изучают новую стратегию упражнений по математике. Далее они тренируются в сумме 2 и учатся вычитать ноль. Они узнают о суммах 4, вычитании всех, способах разложения чисел и вычитании, получая десять. Они тренируются в суммах 2 и 3 и узнают о предложениях с вертикальным вычитанием.
Глава 4 — Сложение и вычитание В этом модуле учащиеся учатся думать о сложении, чтобы вычитать.Они узнают, как складывать или вычитать и как связаны сложение и вычитание. Они изучают связанные факты сложения и связанные факты вычитания, и они учатся писать предложения сложения и предложения вычитания. Кроме того, они практикуют суммы 3, 4, 5 и 6.
Блок 5 — Сравнение В этом модуле студенты исследуют сравнение. Они учатся сравнивать суммы и узнают больше и меньше, включая их символы. Они учатся сравнивать числа, используя символы, и тренируются в суммах 4, 5, 6 и 7. Блок 6 — Сортировка, классификация и использование графиков В этом модуле студенты узнают о сортировке и классификации. Они учатся строить графики. Они узнают о графических изображениях, счетных диаграммах и гистограммах, а также получают практический опыт использования графа. Кроме того, они практикуют суммы 6, 7, 8 и 9.
После этого раздела учащиеся проходят промежуточный экзамен.
Агрегат 7 — длина и грузоподъемность В этом модуле учащиеся знакомятся с длиной и учатся измерять что-либо в нестандартных единицах.Они узнают, что такое дюймы и сантиметры и какая длина. Затем они знакомятся с оценкой и учатся оценивать вместимость и длину. Они изучают преимущества оценки по сравнению с идеальным измерением и тренируются в суммах 4, 8, 9 и 10.
Блок 8 — Геометрия В этом модуле учащиеся знакомятся с формами. Они учатся определять плоские фигуры, исследуют твердые фигуры, создают новые формы и узнают о равных и неравных частях. Они узнают о половинках и четвертых, а также исследуют дроби.Они практикуют суммы 5, 9 и 10.
Раздел 9 — Модели и время В этом модуле учащиеся учатся определять образцы, включая графические узоры и числовые узоры. Они также учатся расширять и создавать шаблоны. Затем ученики узнают о том, как определять время. Они узнают, что такое аналоговые часы и что такое цифровые часы. Они изучают, что такое полчаса, и практикуют время чтения. Они также практикуют суммы 2, 3, 6, 7, 8 и 9.
Раздел 10 — Пространственное восприятие и карты В этом разделе учащиеся знакомятся с ощущением пространства.Они изучают слова положения, а также то, как следовать указаниям на карте и как определять расстояние на карте.
Блок 11 — Дополнительное дополнение В этом разделе учащиеся учатся складывать, составляя десять. Они повторяют, думая о сложении и вычитании, а также о двойных и двойных. Они учатся складывать три числа, они решают задачи по рассказу и учатся считать более 100. Они также тренируются в суммах 3, 4, 5, 6, 7 и 10.
Раздел 12 — Разрядная стоимость и ментальная математика В этом модуле учащиеся обсуждают значение цифр от 10 до 20.Они узнают о группах по десять человек и учатся пропускать счет по десяткам. Они узнают о десятках и единицах в качестве разряда и учатся складывать десятки с помощью математических вычислений. Они также учатся складывать десятки и единицы, складывать двузначные числа и вычитать десятки с помощью математических вычислений. Кроме того, они практикуют суммы 4, 6, 7, 8, 9 и 10.
После этого раздела учащиеся сдают заключительный экзамен.
Этот курс разработан Международной академией наук. Учить больше
3 супер совета по обучению метаданных
Вот преуменьшение года: преподавание ценности места — это своего рода большое дело! От детского сада до 5-го класса «Числа и операции в десятичной системе счисления» появляются в основных математических стандартах, например, в часовом механизме.
Задача «понять ценность места» с каждым годом усложняется и действительно усиливается, начиная с 3-го класса. Ожидается, что учащиеся научатся «плавно складывать и вычитать в пределах 1000», используя числовые стратегии, основанные на числовом значении. Эта трехзначная математическая стратегия может показаться неудобной для детей высшей лиги, которые борются с числовой ценностью. Я поделюсь:
Прежде чем я поделюсь тремя советами, давайте разберемся с предысторией. Учащиеся еще в детском саду и в первом классе приходят в школу, зная кое-что о двузначных числах, например, как устно считать от 10 до 100 и считать предметы в пределах 15 или 20.
Однако их понимание чисел сильно отличается от нашего в том, что оно основано на методе подсчета по одному. Поэтому они обычно считают за раз по одной и не понимают связи между числом и группами десятков и единиц.
Например, если мы спросим учащегося, сколько десятков в 67. Он может сказать 6 в разряде десятков, потому что они просто называют позицию, мало понимая ее. Но они могут не понимать, что 6 представляет 6 групп из десяти вещей, а 7 представляет 7 отдельных вещей.Понимание того, что группа из десяти человек может представлять собой единое целое, — это огромный сдвиг!
Студенты склонны к затруднениям, потому что понять числовую ценность совсем не просто. Это большая головоломка, в которой нужно соединить три больших части или соединения.
3 основных взаимосвязи со стоимостью здания
Первый ключ — это понимание концепций десятичной основы для визуального представления чисел. Хотя многие учителя могут предоставить учащимся возможность представлять числа с помощью стандартных группировок, не менее важно, чтобы учащиеся представляли числа с помощью эквивалентных группировок.Я считаю это краеугольным камнем размещаемой стоимости.
Учащиеся также должны уметь произносить числа в своей устной форме, будь то стандартные («семьдесят два») или десятичные («7 десятков и 2 единицы»).
Наконец, ученики должны научиться читать и писать цифры. Создание этих трех соединений зависит от использования на практике различных стратегий счета: счет по одному, счет по группам и одиночкам, счет по десяткам и единицам.
Видите, как все это работает вместе? Если учащиеся пропустят что-то одно, им будет сложно получить полное представление о размещаемой стоимости.Вот почему так важно дать детям правильные инструменты для понимания системы позиционных ценностей.
Вот несколько советов, которые помогут развить числовую ценность:
Совет №1: Используйте маты с разметками, чтобы облегчить чтение и запись чисел
Да, манипуляторы отлично подходят для перехода студентов от конкретного понимания к абстрактному. Коврики с ценностями отлично работают с манипуляторами, помогая донести абстрактные концепции до дома.
Помогите учащимся, испытывающим трудности, сделав обучение практическим и наглядным.Это означает использование таких манипуляторов, как блоки с основанием десяти. Блоки с основанием десять — лучший инструмент на блоке — каламбур. В блоках с основанием десять замечательно то, что они позволяют строить целые числа или десятичные дроби.
Используя единичный блок, представляющий единицу, дайте студентам время изучить взаимосвязь между единицами (маленький блок) и стержнями, а также стержнями и плоскостью на циновке с числовыми значениями. Изучение этих соотношений поддерживает соотношение разряда 10 к 1, в том числе: 10 единиц равны 1 десятке, 10 десятков равны 1 сотне и так далее.
Предупреждение : Десять базовых блоков связаны с отношениями. Каждый блок может представлять разные суммы в зависимости от того, как они используются. Не заставляйте детей думать, что каждый блок может представлять ТОЛЬКО одну вещь. Например, при использовании блоков с основанием десять для представления десятичных дробей плоский блок может представлять 1, а наименьший блок может представлять 1 сотую. Когда я разговариваю с детьми, мне легко использовать фразу: В этой ситуации _______ представляет _______.
А теперь поговорим о диаграммах с числовыми значениями.Создавайте простые многоразовые диаграммы значений разрядов, включая места для сотен, десятков и единиц. Этот макет имитирует написание числа слева направо. В разделе единиц убедитесь, что есть две десятичные рамки, чтобы продвигать концепцию группы из десяти человек и устранять необходимость в индивидуальном подсчете. Десять рамок также помогают учащимся визуализировать, сколько еще единиц необходимо, чтобы сделать полный набор из десяти.
Также дайте студентам время представить числа, используя стандартные и эквивалентные группировки.Например, цифру 49 можно стандартно представить как 4 десятки и 9 единиц.
Также используйте эквивалентные группы из 49, чтобы показать 3 десятки и 19 единиц. Без такого опыта детям действительно трудно понять, что обе ценности эквивалентны.
Совет № 2: Обеспечьте возможность подсчета по группам из 10 и 100
У вас могут быть дети во 2-м и 3-м классе, которые продолжают считать вещи по единицам вместо того, чтобы группировать их по 10.Группировка по десяткам важна, потому что их легче мысленно считать, к тому же наша система счисления основана на десятках! Поскольку мы хотим развить у студентов способность считать по 10 (а не навязывать их им), ознакомьтесь с этими двумя полезными упражнениями.
Счетчик мелков
Соберите своих учеников в круг. Найдите коллекцию мелков (или любых счетных предметов от 25 до 100) и разложите их в середине круга. Спросите студентов: «Как мы можем считать эти мелки проще, чем по одному?» Проверьте любые предложения по счету, которые дают учащиеся (т. Е.если они говорят «сосчитайте по 3», тогда сгруппируйте и считайте мелки по тройкам, пока вы не сможете собрать больше групп по 3).
После тестирования различных стратегий обсудите, что сработало хорошо, а что не сработало. Если никто не предлагает идею счета по 10, предложите ее группе и обсудите, как она работает по сравнению с другими предложениями по счету. Учащиеся обычно обнаруживают, что самый простой метод группировки и подсчета предметов — это счет по 5 или 10.
Оценка в классе
Создайте банку оценки в своем классе.Наполните прочную прозрачную пластиковую банку от 200 до 1000 предметов. Такие предметы, как крошечные ластики, бобы или скрепки, работают хорошо и стоят довольно недорого.
Сначала дайте всем ученикам возможность записать свои оценки количества предметов в банке. Например, ниже каждый ученик должен записать количество ластиков, которые, по его мнению, находятся в банке. После того, как учащиеся придут к своим оценкам, обсудите в классе стратегии, которые они использовали для достижения записанной суммы.
Затем вылейте все предметы (т.е.ластики) в несколько чашек.
Сгруппируйте учеников по парам и дайте им чашку для подсчета и группировки предметов по 10 за раз.
После того, как учащиеся сгруппируют все элементы по 10, разместите все группы перед классом и задайте следующие вопросы:
Как мы можем использовать чашки из 10, чтобы определить, сколько у нас всего чашек?
Можем ли мы создать новые группы, используя группы по десять человек? Какие новые группы мы можем сформировать?
Сколько человек в каждой новой группе?
После обсуждения в классе предоставьте новые группы большего размера.Например, учащиеся могут формировать новые группы по 50 или 100 человек, объединив 5 чашек по 10 ластиков в один контейнер из 50. Убедитесь, что у вас есть достаточно большие емкости для новых групп (например, 50 ластиков в каждой новой группе) и пометьте каждую из них. новая группа.
Как только все новые группы сформированы, подсчитайте отдельно сотни, десятки и единицы. Запишите общее количество предметов (ластиков) на листе бумаги и обсудите, насколько их оценки были похожи или отличались от фактического подсчитанного количества.
Совет № 3: Используйте ежедневную разминку с разминкой, чтобы укрепить уверенность в себе
Еще одна отличная стратегия для закрепления ценности места — это ежедневная разминка, особенно если она включает разговоры по математике. Поскольку в основе нашей системы счисления лежат разрядные значения и десятичное представление, важно, чтобы учащиеся как следует попрактиковались.
Вы, наверное, слышали, что людям нужно что-то делать в течение 30 дней, чтобы это стало привычкой. То же самое и с детьми. Чтобы помочь вашим ученикам овладеть оценочной ценностью, я разработал 30-дневную программу разминки.Эта процедура вовлекает ваш класс в содержательные математические дискуссии, одновременно развивая понимание ценности места в пределах 1000.
Каждый день проецируйте один урок математики на интерактивную доску. Студенты ответят на 4 ежедневных вопроса. С 3 уровнями и 10 упражнениями по математике, включенными в каждый уровень, у вас будет 30 дней обучения позиционным значениям.
Уровень A: Начальный
Включает 10 лекций по математике с:
4 основных вопроса
10 больше и 10 меньше
Понимание моделей десятичной системы координат
Сравнение значения одной цифры с другой
Уровень B: средний
Включает 10 лекций по математике с:
4 промежуточных вопроса
Рассуждения о числовом значении
Понимание моделей с десятичной базой
Сложение или вычитание кратных десяти
Сравнение значений
Плюс 1 дополнительный вопрос БОНУС
Уровень C: Продвинутый
Включает 10 лекций по математике с:
4 сложных вопроса
Понимание значения данной цифры
Понимание моделей с десятичным основанием
Применение понимания разряда значений
Нанесение чисел на числовую строку
Плюс 1 дополнительный вопрос БОНУС
Понимание вашего ученика места vale на следующий уровень, используя эту процедуру.
Задачи на сложение и вычитание. 1 класс | Презентация урока для интерактивной доски по математике (1 класс):
Слайд 1
Задачки от ёжика 1 класс
Слайд 2
Дорогой друг! Предлагаю тебе решить несколько задач. Если ты ответишь правильно, картинка раскрасится. Удачи!
Слайд 3
На кроватке у Танюшки Лежат целых три подушки! Положили еще пять. Сможешь все их сосчитать? 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10
Слайд 4
Ира кукле платье сшила И в коробку положила. Сколько платьишек сочти, Если раньше было три? 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10
Слайд 5
У наседки шесть цыплят. Рядом с мамой два сидят. Сосчитай-ка остальных, Непослушненьких таких? 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10
Мама булки испекла, По одной всем раздала. Если пятеро пьют чай, Сколько булок, сосчитай? 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10
Слайд 9
Два сыночка и маленькая дочка Срезали для мамы по три цветочка. Сколько роз было в букете, Что дарили маме дети? 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10
Слайд 10
Сливы на столе лежали. Дети в комнату вбежали. Положили еще две. Стало десять на столе. Сколько было слив сначала, Пока детвора не прибежала? 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10
Слайд 11
Во дворе идет футбол. Мы забили пятый гол. Сколько мы еще забросим, Если скоро станет восемь? 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10
Слайд 12
Пять гостей уже пришли. Четверо еще в пути. Сколько всех их станет тут, Когда гости все придут? 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10
Слайд 13
Восемь пуговиц на кофте. Оторвались сразу все. Половину их уже пришила. Сколько я пришить забыла? 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10
Слайд 14
У стены стоят кадушки. В каждой ровно две лягушки. Если было пять кадушек, Сколько в них всего лягушек? 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10
Слайд 15
В первом классе нашей школы Учатся Егорка, Коля, Шесть Сергеев, две Наташи. Скажет кто-нибудь сейчас, Сколько девочек у нас? 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10
Слайд 16
Спасибо за работу!
Слайд 17
Источники: http://www.ahiva.info/Colorear/Animales/Erizos/erizo-01.gif рисунок http://vpuzike.com/zadachi-v-stihah-dlya-1-klassa.html задачи http://content.foto.mail.ru/mail/umka1936/_animated/i-1597.gif ежик http://im2-tub-ru.yandex.net/i?id=f7480f1b87501a82c0875fe4c5b86e37-71-144&n=21 фон http://ananko.justclick.ru/media/content/ananko/k/strelka.gif стрелка
Урок 21. задача. структура задачи — Математика — 1 класс
Математика, 1 класс
Урок 21. Задача. Структура задачи.
Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:
Решение текстовых задач арифметическим способом.
Структура задачи: условие, вопрос, решение, ответ.
Решение задач в одно действие на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц.
Задачи, содержащие отношения «больше (меньше) на..», «больше (меньше) в…».
Дополнение условий задач недостающими данными или вопросом.
Глоссарий по теме
Компоненты задачи – условие, вопрос, решение, ответ.
Задачи на сложение и вычитание.
Взаимосвязь между условием и вопросом задачи.
Элементы задачи:
1. Условие (что известно в задаче).
2. Вопрос (что нужно узнать).
3. Решение (действие, нахождение неизвестного).
4. Ответ задачи (ответ на вопрос задачи).
Ключевые слова
Текстовая задача; условие задачи; вопрос задачи; решение задачи.
Основная и дополнительная литература по теме урока:
1. Моро М. И., Волкова С. И., Степанова С. В. Математика. Учебник. 1 кл. В 2 ч. Ч. 1.– М.: Просвещение, 2017.– с. 88 – 89.
2. Моро М. И., Волкова С. И. Математика рабочая тетрадь. 1 кл. 1 ч.– М.: Просвещение, — с. 33 – 34.
На уроке мы узнаем, как построена задача и как называются структурные элементы задачи. Научимся решать задачи, записывать решение задачи и ответ. Сможем выделять задачи из предложенных текстов.
Основное содержание урока
Рассмотрите картинку.
Составьте задачу.
Послушайте два рассказа и сравните их:
1. В магазине мама купила 3 перца и 4 морковки. Сколько всего овощей купила мама?
2. В магазине мама купила 3 перца и 4 морковки. В овощах очень много витаминов, они очень полезные.
Какой из этих текстов мы будем изучать на уроке математики, а какой на уроке окружающего мира?
Первый текст на уроке математики, так как в нём есть вопрос, для ответа на который нужно выполнить вычисления, а второй на уроке окружающего мира.
Как называется текст с вопросом, для ответа на который нужны математические вычисления?
Такой текст называется «Задача».
Сегодня на уроке мы узнаем, какой текст называется задачей и из каких частей она состоит.
Тема нашего урока: «Задача. Структура задачи».
Посмотрите ещё раз на текст знакомой нам задачи и ответьте на вопрос.
Что в ней известно?
В магазине мама купила 3 перца и 4 морковки. Сколько всего овощей купила мама?
Что мама купила 3 перца и 4 морковки.
Это называется — условие задачи, другими словами, это то, что в задаче известно.
Что в задаче нужно узнать?
Сколько всего овощей купила мама.
Это вопрос задачи. Это о чём спрашивают в задаче, то, что нужно узнать.
Что нужно сделать, чтобы сосчитать, сколько мама купила овощей?
Нужно к трём прибавить четыре, получится семь овощей.
Это решение задачи.
Ещё раз прочитайте вопрос задачи и ответьте на него.
Мама купила семь овощей.
Это ответ задачи.
На уроке мы поймём, как построена задача – в ней есть условие и вопрос.
Будем учиться решать задачи, записывать решение задачи и ответ.
Составьте условие задачи по рисунку.
В корзинке четыре луковицы, ещё две луковицы лежат рядом.
Задайте вопрос.
Сколько всего луковиц?
Как решить такую задачу? Сложением или вычитанием?
Четыре да ещё две, задача решается сложением.
Запишем решение. К четырём прибавить два получится шесть.
Осталось записать ответ задачи. Ответим на вопрос задачи: всего шесть луковиц.
Ещё раз посмотрите внимательно на этот же рисунок:
Составьте другую задачу, которая будет решаться вычитанием:
В корзине было четыре луковицы, из неё взяли две луковицы.
Задайте вопрос.
Сколько луковиц осталось в корзине?
Как записать решение?
Из четырёх вычесть два, получится две луковицы.
Осталось записать ответ задачи.
Разбор тренировочных заданий.
Рассмотрите рисунок, дополните условие и решите задачу.
Ответ:
На огороде с одного куста сорвали 2 кабачка, а с другого куста 6 кабачков. Сколько кабачков собрали с двух кустов?
2 + 6 = 8 (к.)
Ответ: 8 кабачков.
Выберите только те тексты, которые являются математическими задачами.
Ответ:
Верные равенства обозначьте синим цветом, а неверные красным.
Ответ:
Прочитайте задачу и установите соответствия между её компонентами.
Ответ:
Попробуйте заменить овощи соответствующей цифрой.
Подсказка: у каждой цифры своя маска. На одинаковых цифрах — одинаковые маски.
Ответ:
Ответь на вопросы с помощью таблицы.
Ответ:
Покажите разным цветом, как можно получить число 6.
Ответ:
Урок математики в 1 классе по теме «Составление задач на сложение и вычитание по рисунку»
Тихонова Ольга Ивановна
Учитель начальных классов
ГБОУ СОШ №1997 г. Москвы
Урок математики в 1 классе по теме «Составление задач на сложение и вычитание по рисунку»
Задачи:
Образовательная: продолжить работу по формированию умения решать задачи, закрепить знания о задаче и ее решении.
Воспитательная: воспитывать аккуратность, бережное отношение к своим вещам, любознательность, наблюдательность.
Оборудование: карточки с однозначными числами, карточки «грибы» (большие и маленькие), карточки со словами «условие», «вопрос», «решение», «ответ», геометрические фигуры.
Организационный момент.
Прозвенел уже звонок.
Начинаем наш урок.
Здравствуйте, садитесь.
Слушайте и не вертитесь.
Устный счет.
Посчитаем хором от 1 до 10.
Посчитаем хором от 10 до 1.
Какое однозначное число самое маленькое? (1)
Какое однозначное число самое большое?(9)
Назовите самое маленькое двузначное число. (10)
Первое слагаемое 3, второе слагаемое 5. Чему равна сумма?(8)
Чему равна разность 6 и 4? (2)
3 + 2 = 7 – 4 =
9 – 2 = 6 + 2 =
8
7
6
5
0
3
9
2
4
6 + 0 = 4 – 0 =
Работа с геометрическими фигурами.
Назовите геометрические фигуры? (Квадраты и треугольники)
По каким признакам фигура можно разделить на 2 группы? (По размеру, по форме, по цвету)
Работа над новой темой.
ОТВЕТ
РЕШЕНИЕ
ВОПРОС
УСЛОВИЕ
Внимательно рассмотрите рисунок. Попробуйте составить по этому рисунку задачу.
Маша нашла 2 маленьких гриба и 3 больших. Сколько всего грибов нашла Маша?
Повторите условие задачи.
Как зовут девочку? (Маша)
Что она нашла? (Грибы)
Что известно в задаче? (Маша нашла 2 маленьких гриба и 3 больших)
Как называется часть, в которой говорится, что известно? (Условие)
Как решить задачу? (2 + 3)
Назовите ответ. (5)
Составьте еще одну задачу по рисунку.
Маша нашла 5 грибов. Из них 2 маленьких, а остальные большие. Сколько больших грибов нашла Маша?
Выделите в этой задаче условие, вопрос, решение, ответ.
Работа по учебнику.
Откройте страницу 82. Найдите номер 1.
Прочитаем задание.
Рассмотрите внимательно картинки. Каких птиц вы видите?
Для чего их разводит человек?
Составьте задачи к первым двух картинкам.
Каково решение?
Работа в тетрадях.
Физпауза.
Утром встал гусак на лапки,
Приготовился к зарядке:
Повернулся влево, вправо,
Приседанья сделал браво,
Пощипал на брюшке пух
И с разбега в лужу бух!
Закрепление.
7 + 3
5 + 4
10 – 7
9 – 4
Самостоятельная работа по разноуровневым карточкам.
Карточка 1.
Найди значение выражений.
4 + 1
5 – 4
6 + 0
9 – 4
10 – 2
8 + 1
7 – 5
7 + 3
Составь задачу по картинке и реши её.
Карточка 2.
Найди значение выражений.
6 + 3
6 – 5
8 – 6 + 5
2 + 5 – 3
4 + 6
9 – 7
5 + 5 – 8
5 – 4 + 7
Составь по картинке 2 задачи, одну на сложение и одну на вычитание, и реши их.
http://www.maginter.org/product_info.php?product футбольный мяч
примеры на сложение и вычитание
Как учить ребенка математическому счету
Родители первоклассников должны помнить о том, что в возрасте 5-7 лет у детей еще плохо развито абстрактное мышление. Вспомните сказку о Буратино, когда он считал яблоки, которые якобы забрал «Некто». Так и ребенок 5-7 лет еще не в состоянии представить условие задачи.
Лучше всего пользоваться наглядными пособиями, которые ребенок сможет увидеть, потрогать. Это могут быть счетные палочки, кубики или картинки, вырезанные из картона (например, набор картонных ежиков, цветочков, листиков и прочего). Выкладывайте перед ребенком все условие задачи из наглядных материалов: было столько-то, добавили или отняли столько-то. Так ему будет проще понимать условие задачи и легче находить ее решение.
Еще один важный момент при обучении детей состоит в том, что ребенок должен научиться отличать задачи друг от друга по типам. Для этого можно ориентировать его на какие-то ключевые слова. Например, если в задаче упоминаются слова «добавили», «принесли», «прилетели», «прибежали» и другие, обозначающие присоединение, то это задача на сложение. Понимая, к какому типу относится та или иная задача, ребенок научится определять нужный алгоритм решения и успешно справляться с заданием.
Математические задания для 1 класса – Посчитай и поставь знак
Представленные математические задания для 1 класса разработаны для тренировки счета от 1 до 10, а также умения подбирать нужный математический знак между двумя числами. Вооружайтесь ручкой и цветными карандашами, распечатывайте картинку и приступайте к занятию, объяснив ребенку условия:
В первом задании нужно подобрать к каждой картинке с овощами и фруктами соответствующее число (число нужно обвести и соединить с картинкой, используя карандаш того цвета, в который раскрашен кружок с данным числом). В конце задания пусть ребенок ответит, какие числа оказались лишними. Затем ребенок должен придумать примеры для каждой картинки. Например, в первой картинке пример звучит так: 3 красных яблока + 6 зеленых яблок = 9 яблок.
Во втором задании нужно посчитать количество насекомых в каждой картинке и записать числа-ответы в пустые клетки под ними. Клеточка посредине между числами – для математического знака (>=), который покажет сравнение этих чисел – больше или меньше одно число другого или числа равны.
Выполни задания – Посчитай, соедини и зачеркни
Здесь ребенку нужно выполнить математические задания для 1 класса на умение считать, решать примеры и мыслить логически.
В первом задании необходимо внимательно рассмотреть картинки с мультипликационными героями и подумать, какие примеры можно составить с ними. Например картинка с четырьмя огурцами и двумя грушами – это числа 4 и 2. Значит, пример может быть или 4 + 2, или 4 – 2. Таким образом ребенок должен размышлять и с остальными вариантами. Подходящий пример нужно выбрать среди четырех вариантов и соединить линиями с соответствующими картинками.
Во втором задании нужно посчитать количество мультипликационных героев на каждой картинке. Под картинкой необходимо зачеркнуть все числа, которые не соответствуют этому количеству. В конце выполнения задания ребенка нужно спросить, на что он обратил внимание, считая героев (все картинки с героями расположены по порядку счета).
Фруктовые примеры – Умеешь ли ты логически мыслить?
Здесь вы можете скачать оригинальные фруктовые примеры, решить которые будет не так уж просто! Ведь прежде, чем их решать, нужно хорошо подумать, в чем заключается смысл условия задания. Пусть ребенок подольше рассмотрит картинки и подумает сам, как ему найти числовое значение фрукта возле которого стоит знак вопроса (в первом задании – яблоко, во втором – лимон).
Объясните ребенку так: На этой картинке необычные примеры. В них фрукты скрыли некоторые числа. То есть, под каждым фруктом запрятано какое-то число. Тебе нужно решить, какое число запрятано под яблоком. Для этого ты должен внимательно посмотреть как прибавляются и отнимаются фрукты в примерах и какие числа получаются в результате. Если ты узнаешь числа, скрытые под разными фруктами, то сможешь узнать и то число, которое скрыто под яблоком.
Сколько пар? – Математические задания для первоклассников
Знает ли ваш ребенок, что такое пара? Пара – это когда чего-то или кого-то двое. Здесь ребенок сможет потренироваться в умении находить пары, выполняя интересные математические задания для первоклассников. Также ему понадобится свободное знание цветов, умение считать до 10, решать простые примеры и, конечно же, раскрашивать.
В первом задании нужно внимательно посмотреть на прямоугольники, которые раскрашены по-разному. Прямоугольник состоит из четырех квадратиков, выстроенных в ряд. В каждом прямоугольнике квадратики раскрашены в красный цвет в определенной последовательности. Ребенку нужно найти пары одинаково раскрашенных прямоугольников и соединить их линиями между собой.
Во втором задании сначала нужно решить примеры. Затем яблоки с одинаковыми ответами нужно раскрасить в один цвет. Например, два яблока (т.е. пару) с ответом 4 – раскрасить в красный цвет, пару яблок с другим ответом – в зеленый и т.д. После этого ребенку нужно посчитать, сколько получилось раскрашенных пар яблок.
В третьем задании нужно раскрасить все цветы в таком же порядке, как и первый. То есть должна полностью сохраниться следующая последовательность цветов по кругу: голубой, розовый, серый, зеленый, оранжевый, желтый, коричневый, фиолетовый. Для усложнения задания остальные цветочки слегка повернуты по часовой стрелке. Поэтому расположение цветов не совпадает, но сама последовательность четко сохраняется. Затем нужно посчитать, сколько пар цветов, сколько пар лепестков в каждом цветке?
Примеры и счет до 10 по математике – Любимые мультяшки
Решать примеры по математике в 1 классе – не очень интересное занятие для детей, которые еще совсем недавно носились по детской площадке, взахлеб смотрели мультики и не думали ни о какой школе. Чтобы сгладить впечатление детей от скучных учебников, распечатывайте ему красочные картинки с заданиями, которые богаты иллюстрациями и любимыми мяльтяшными героями. Обучение должно доставлять радость!
В первом задании нужно решить все примеры по математике, нарисованные на тачках. Тачка, в решении примера которой получится самый большой ответ – считается самой быстрой на уличных гонках!
Во втором задании ребенку необходимо посчитать количество сбежавших животных.
Раскраска – Реши простые примеры и узнай, чья это шапка
В этом задании-раскраске ребенок должен отгадать, чью шапку держит птичка. Но, как известно, математика – это точная наука, в ней не бывает отгадываний и предположение. Поэтому, тот кто умеет решать примеры – обязательно узнает, кому принадлежит шапка.
Для этого ребенок должен решить примеры возле каждого животного. Тот пример, в результате решения которого получится число, как на шапке – является ответом к задаче. Значит животное рядом с этим примером является полноправным владельцем шапки. Затем картинку с животными нужно раскрасить. В детском саду или школе можно выполнять это задание с группой детей. В таком случае один из детей окажется победителем, если первым скажет правильный ответ. Раскрашивать необходимо в свободной форме, без соревнований (дети должны приучаться к аккуратности, а скорость – не лучший помощник в этом).
Простые задачи по математике в два действия
Ничего сложного в математических задачах на два действия нет. При условии, конечно, что ваш ребенок щелкает, как орешки, задачки в одно действие.
Задачи в два и более действий называют составными. То есть они состоят из более простых, эдакие задачи внутри задач.
Задачи для тренировки:
1. В трёх тетрадях 60 листов. В первой и второй тетрадях — по 24 листа. Сколько листов в третьей тетради?
2. Гусь весит 9 кг, а курица — на 7 кг меньше. Сколько весят гусь и курица вместе?
3. На школьной выставке 80 рисунков. 23 из них выполнены фломастерами, 40 карандашами, а остальные — красками. Сколько рисунков, выполненные красками, на школьной выставке?
4. В школьный буфет привезли два лотка с булочками. На одном лотке было 40 булочек, на другом — 35. За первую перемену продали 57 булочек. Сколько булочек осталось?
5. Вера собирала букет из осенних листьев. Дубовых листочков у нее было 12, осиновых — на 4 меньше, а кленовых столько, сколько дубовых и осиновых вместе. Сколько кленовых листочков в Верином букете?
6. К началу учебного года мама купила Наташе 19 новых книжек. Из них 7 было без картинок, а из тех, которые с картинками, половина — учебники. Сколько учебников мама купила Наташе?
7. В субботу в музее побывало 26 учеников из 2 «А» класса, а в воскресенье — на 8 человек больше из 2 «Б» класса. Сколько всего учеников вторых классов побывало в музее за субботу и воскресенье?
8. В ларьке было 60 пирожков. До обеда продали 26 пирожков, а после обеда — 32 пирожка. Сколько пирожков не продали?
9. Оля решила нарисовать 72 букета. В понедельник она нарисовала 18 букетов, во вторник — 22 букета. Сколько букетов Оля не стала рисовать?
10. Около школы посадили 15 кустов сирени, боярышника — на 5 кустов больше, чем сирени, а черемухи — столько, сколько сирени и боярышника вместе. Сколько кустов черёмухи посадили около школы?
11. В парке росло 75 дубов. После урагана оказалось, что 7 дубов погибли. Тогда посадили еще 12 дубов. Сколько дубов стало в парке?
12. В танцевальную студию ходят 23 ученика из второго класса, а из третьего — на 5 детей больше. Сколько всего учеников из второго и третьего класса ходят в танцевальную студию?
13. Из бидона зачерпнули утром 6 кружек кваса, в обед — еще 5 кружек. После этого в бидоне осталось 14 кружек кваса. Сколько кружек кваса было в бидоне с утра?
14. В первой четверти в начальной школе было 65 хорошистов, во второй — на 27 больше, чем в первой. А в третьей четверти — на 22 хорошиста меньше, чем во второй. Сколько учеников закончили школу без троек в третьей четверти?
15. В цехе работает 90 человек. Из них 65 мужчин, а остальные — женщины. На сколько больше в цехе работает мужчин, чем женщин?
Обведи картинки, реши примеры по математике и раскрась
Здесь вы встретите очень интересные обучающие картинки, в которых детям предстоит выполнить несколько развивающих заданий. Для их выполнения ребенок должен уметь считать до 20 и решать простые примеры на сложение и вычитание.
Подготовьте простой карандаш и ластик (для обведения по точкам). Затем объясните ребенку условия заданий:
В первом и втором задании сначала нужно обвести по точкам картинки (клоуна с мячом и куклу с мячом). Затем нужно раскрасить обе картинки определенным образом: каждый элемент раскраски содержит в себе математический пример. Ты должен решить этот пример и ответ, который у тебя получится в результате, подскажет тебе цвет, которым нужно раскрасить эту деталь. Справа нарисованы цветные кружки с числами. Это и есть числа-ответы. Будь внимателен!
Математическая настольная игра для 1 класса
Представленная настольная математическая игра для 1 класса является хорошим средством для тренировки разных математических действий. Здесь вы найдете и решение примеров на сложение и вычитание, и выполнение простых алгоритмов, и сравнение чисел друг с другом. Игра хорошо развивает логическое и математическое мышление. Очень эффективно проводить это занятие с группой детей.
Задание №1. Тренируем умение составлять примеры в пределах 10. Здесь нужно заполнить пустые ячейки (круги и квадраты со знаком вопроса). В квадратах должны находится числа (ответы примеров), а в кружках – прибавление или отнимание какого либо числа (смотрите пример в кружке вверху картинки). Внимательно следите за стрелочками – именно в направлении стрелочек составляется и читается пример.
Задание №2. Учимся пользоваться знаками сравнения чисел. В этом задании нам нужно расселить по разным домикам все числа, стоящие в ряду. В каждом доме живет одно или два числа (не больше). Чтобы попасть в домик, числа должны идти по соответствующим дорожкам. На каждой дороге стоят дорожные знаки, которые и показывают, кто может пройти дальше, а кто нет. Например, по пути в верхний домик стоят знаки 3 и перечеркнутая 2 – это означает, что дальше может пройти только число, которое меньше 3 и не является 2. То есть в этом случае подходят только два числа – 0 и 1. Правильные ответы смотрите в “Приложении к заданию №2”.
Задание №3. Здесь принцип выполнения такой же, как и в задании с домиками. Только теперь нужно распределить по стоянкам города машинки с числами. Правильные ответы смотрите в “Приложении к заданию №3”.
Задание №4. Учимся выполнять простые алгоритмы. В самый верхний кружок нужно вписать любое число от 1 до 10. Затем ребенок должен выполнить все указанные в задании действия – сначала сравнить число, является ли оно меньше 5, как указано в ромбе со знаком вопроса. Если да – то следующее действие будет по стрелке “Да”, если нет, то по стрелке “Нет”. Дальше выполняется сложение или вычитание, и в нижний кружок вписывается ответ. Выполнять задание можно множество раз, меняя только число в верхнем кружке.
Задание №5. Выполняется аналогично предыдущему.
Такие задания можно составлять самостоятельно, рисуя такие же схемы на листе и меняя только числа и знаки.
Задание №1
Задание №2
Приложение к заданию №2 (Ответы)
Задание №3
Приложение к заданию №3 (Ответы)
Задание №4
Задание №5
Математическое задание – Обведи картинки по точкам с числами
Это математическое задание предназначено для учеников 1 класса и направлено на тренировку порядкового счета от 1 до 40. Такие задания дети обожают, поэтому не стоит пренебрегать таким чудесным способом запоминания чисел и порядкового счета.
Если ребенок еще не ходит в школу и не знает счета больше 10, то можно написать на отдельном листе бумаги числа от 1 до 40 по порядку и дать ребенку в качестве подсказки. Проводя линии от точки к точке, руководствуясь подсказкой, ребенок будет параллельно запоминать данный порядок чисел.
В первом задании, если ребенок правильно соединит линиями все числа по порядку их счета, то увидит, от кого убегают малыши и мышонок Джерри.
Во втором задании турист отправился в поход, не ожидая, что впереди надвигается гроза. Когда ребенок объединит точки, то увидит, что могло бы помочь туристу в этой ситуации.
“Сравнение, левее, правее, выше, ниже”
1. Каких фигур на рисунке больше: треугольников или квадратов? Закрась треугольники в синий цвет.
2. Каких фигур на рисунке больше: овалов или квадратов? Закрась овалы в красный цвет.
3. Сколько яблок на рисунке? Сколько груш на рисунке? Сколько всего фруктов на рисунке?
4. Что на этом рисунке справа: морковки или помидор?
5. Что на этом рисунке слева: малина или вишня?
Значение математического развития
Математическое развитие первоклассников имеет огромное значение в их образовании. Решая примеры и задачи, ребенок приобретает новый опыт, знания и навыки. Учится логически и математически мыслить, находить решение из различных ситуаций, более успешно осваивать смежные науки в дальнейшей учебе.
Нельзя пускать на самотек успеваемость детей, и нужно всячески стремиться помочь им в этом сложном деле, как учеба в первом классе. Ведь именно в это время закладывается фундамент его дальнейшей учебы в школе.
Урок математики в 1 классе по теме «Сложение и вычитание чисел первого десятка» | Начальная школа
Урок математики в 1 классе
по теме «Сложение и вычитание
чисел первого десятка»
Автор: Алтухова Елена Викторовна
Организация: МБОУ СШ №4 города Чаплыгина
Населенный пункт: Липецкая область, г. Чаплыгин
Тип урока: Урок систематизации знаний (общеметодологической направленности).
Вид урока: урок- игра.
Педагогическая цель: создать условия для обеспечения осознания действий сложения и вычитания, формировать навык сложения и вычитания с числами в пределах 10; умения решать задачи и выражения изученных видов.
Планируемые результаты( предметные):
— научить записывать числа в пределах 10;
— запомнить состав чисел первого десятка;
— умения решать задачи и выражения изученных видов.
Универсальные учебные действия (метапредметные):
Регулятивные:
— в сотрудничестве с учителем ставить цель урока, принимать и сохранять учебную задачу;
— развивать умение обучающегося контролировать свою деятельность по ходу выполнения задания;
— адекватно воспринимать оценку учителя по результатам своей работы на уроке.
Коммуникативные:
— уметь слушать учителя , отвечать на вопросы;
— выражать свои мысли в соответствии с ситуацией общения;
— помочь ребёнку в аргументации своего мнения.
Познавательные:
— развивать умение анализировать, сравнивать для решения познавательной задачи;
— работать над формированием умений выполнения действий по образцу;
— учиться добывать новые знания;
— продолжить работу над формированием умений ориентироваться в тетради.
Личностные:
— развивать учебно-познавательный интерес; положительное отношение к уроку;
— установка на здоровый образ жизни;
— способность к самооценке;
— проявление самостоятельности в разных видах детской деятельности.
— умение сравнивать и находить общее и отличное в предметах и образах, делать выводы;
— работать над артикуляцией и интонацией, правильным звукопроизношением.
Воспитательная:
— воспитывать коммуникативный навык совместных действий в помощи другому человеку ;
— повысить мотивацию обучающихся за счёт игровых форм;
— воспитывать интерес к уроку математики.
Здоровьесберегающая:
— планировать объём материала с учётом повышенной утомляемости обучающегося;
— следить за правильной посадкой во время письма и положением тетради во время письма;
— способствовать созданию благоприятного психологического климата;
— чередовать статистические и динамические задания.
Методы обучения: объяснительно-иллюстративный метод, проблемный, практический, игровой, словесный.
Формы организации учебной деятельности: индивидуальная.
Ход урока
I.Организационный момент. (Слайд 1)
— Павлик, у нас сегодня гости. Давай повернемся лицом к гостям и поздороваемся. (Здравствуйте!)
— Прозвенел звонок,
Начинается урок.
— Повернись ко мне, давай посмотрим друг на друга, улыбнемся новому дню и друг другу. Возьмемся за руки и скажем вместе :
-«Я желаю тебе сегодня добра.
Ты желаешь мне сегодня добра.
Если будет трудно, я тебе помогу».
— И наше весёлое солнышко тоже желает нам всем хорошего настроения на весь день, говоря нам: «Улыбнись новому дню!»
— Скажи, Павлик, а ты любишь сказки? (Да)
— Сегодня урок у нас немного необычный, мы отправимся в гости в сказку.
Наш урок будет похож на сказку,
Нам без знаний никуда.
Взяв с собой тетрадь, учебник, ручку и указку.
Отправляемся туда. (Слайд 2)
II.Актуализация знаний. Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности.
— Сегодня на уроке мы будем вспоминать одну очень известную сказку. А что это за сказка и кто её главный герой ты узнаешь, если выполнишь задание. (Решая примеры на ноутбуке, собрать пазл « белоснежка» ) (Слайд 3).
— Кто это? Что за сказочная принцесса? ( Белоснежка)
— Из какой она сказки? ( Сказка братьев Гримм «Белоснежка и семь гномов»).
— Кто ей всегда помогал в сказке? ( гномы).
-Мы отправимся сегодня в гости, в гости к гномам. Гномы очень трудолюбивые, многое знают и умеют и очень любят математику, и нам с тобой приготовили задания. Если мы с тобой выполним все эти задания правильно, то тебя ждет приятный сюрприз!
Ну что ж!
Где играют дружно,
Считают умело,
Там и сказке можно
Появиться смело. (Слайд 4)
— Отправляемся в сказку «Белоснежка и семь гномов»).
4. Сколько предметов на картинке? ( сосчитать – 7 машинок, 5 котят,1 бабочка, 4 репки).
5. Работа с карточками.
— Я прочитаю задачи в стихах. А Павлик у доски из цифр и знаков выложит решение задач.
Яблоки в саду поспели
Мы отведать их успели
Пять румяных наливных
Три с кислинкой.
Сколько их? (5+3=8)
Я нашла в дупле у белки
Пять лесных орехов мелких
Вот еще один лежит
Мхом заботливо укрыт.
Ну и белка! Вот хозяйка!
Все орехи посчитайте! ( 5+1=6)
— Павлик, ты умница!
III. Определение темы урока и постановка целей урока .
— Мы с тобой поразмышляли, много вспомнили, а сейчас внимательно посмотри на примеры, которые мы решали устно.
— А с какими числами записаны примеры на сложение и вычитание? (с числами 1, 2, 3, 4 и т.д. числами от 1 до 10).
— Давай попробуем сформулировать тему нашего урока. (Паша пробует вместе со мной сформулировать тему урока). (Слайд 6)
Тема урока: «Сложение и вычитание в пределах 10. Закрепление».
— Как ты считаешь, Павлик, какие цели мы должны поставить на урок? Давай их
вместе с тобой сформулируем:
закрепить знания чисел от 1 -10;
закрепить знания состава чисел в пределах 10;
закрепить умение решать задачи и примеры изученных видов.
— Цели мы поставили, в конце урока подведём итоги. (Слайд 7)
— Продолжаем наше путешествие! Как зовут второго гнома?
ВТОРНИК неделю продолжает,
Всех трудиться заставляет.
Любит солнце и цветы,
Поработай с ним и ты.
-ВТОРНИК очень любит выращивать цветы. И вот однажды у него вырос необычный цветок, на лепестках которого были примеры, давай, Павлик, поможем
ВТОРНИКУ решить их. (Устное решение примеров на слайде презентации.)
-Чтобы у тебя, Павлик, было хорошее зрение, ВТОРНИК приготовил для нас физкультминутку для глаз. Следи глазками за цветами.
IV.ФИЗКУЛЬТМИНУТКА для глаз. (Слайд 8)
V. Работа по теме урока. Включение в систему знаний и повторение (систематизация и обобщение знаний, закрепление).
— Отдохнул? Продолжаем наше путешествие. Следующий гном?
СРЕДА — кладоискатель.
Золото из земли добывает. (Слайд 9)
— Но мы хотим с Павликом гномику сказать, что «Золото добывают из земли, а знания из книги». Кто много читает, тот многое узнает, а знания ценятся так же дорого, как и золото.
— Павлик много читает разных книг. О ком или о чем тебе нравится читать? Расскажи, пожалуйста, нам.( Паша рассказывает).
— Какое сейчас время года? (весна)
— На уроке литературного чтения мы учили стихотворения разных поэтов о весне.
— Павлик, давай прочитаем стихотворение о весне А. Майкова «Ласточка примчалась…»
( ребенок читает стихотворение)
Ласточка примчалась
Из-за бела моря,
Села и запела:
Как, февраль, не злися,
Как ты, март, не хмурься,
Будь хоть снег, хоть дождик —
Все весною пахнет!
— Молодец, Павлик!
— Продолжаем наше путешествие. Следующий гном?
ЧЕТВЕРГ очень любит птичек, (Слайд 10)
И голубок, и синичек.
Кормит птичек он всегда,
Помогает в холода.
— А Павлик помогает зимой птичкам? Как мы можем помочь? Давай с тобой вспомним , как этой зимой мы делали кормушку для птичек, какой корм мы туда насыпали? Расскажи нам, пожалуйста. А для синичек, мы какое сало вешали на сучок? (несоленое)
— Павлик, помоги гномику накормить птичек. Прочитай задачу, составь выражение и найдите значение выражения. ( 5+2=7). Прочитай правильно. (Сумма чисел 5 и 2 равна 7или слагаемое 5 , слагаемое2 , сумма 7).
VI.ФИЗКУЛЬТМИНУТКА (Слайд 11)
— Устал , Павлик? Пришло время отдохнуть.
Гномы вышли по порядку –
Раз-два-три-четыре!
Дружно делают зарядку —
Раз-два-три-четыре!
Руки выше, ноги шире!
Влево, вправо, поворот,
Наклон назад,
Наклон вперёд. (Под музыку с презентации Паша вместе со мной выполняет физические упражнения.)
— А сейчас наше тело отдохнуло, пусть поработает ум.
VII. Работа по теме урока. Включение в систему знаний и повторение (систематизация и обобщение знаний, закрепление).
— Продолжаем наше путешествие. Давай вспомним , у каких гномов мы уже побывали в гостях и помогли им.
1.Самостоятельная работа. (Слайд 12)
А Пятница предлагает тебе работу.
Делать ты должен старательно,
Для тебя работа самостоятельная.
2. Работа в тетради с.22 №1 (Слайд 13)
(Паша вместе со мной рассказывает стишок, выполняя соответствующие движения.)
Я тетрадь свою открою,
И с наклоном положу,
Я, друзья, от вас не скрою
Ручку я вот так держу.
Сяду прямо, не согнусь,
За работу я примусь.
— Павлик , давайте покажем нашим гостям, как мы умеем правильно работать в тетрадях. (ребенок самостоятельно решает примеры).
— Павлик, давай проверим твою работу.
— Молодец!
3. Выполнение аппликации корзина с пасхальными яйцами . (Слайд 14)
— Давай посмотрим какое задание нам приготовил гном…
Суббота следует за братом,
У него идей богато,
Он за все берется смело,
И работа закипела.
— Павлик , ты помогаешь папе в храме, правда? Расскажи, пожалуйста, нам. Что ты делаешь? А какой праздник у нас в это воскресение?
— Правильно. Светлое Христово Воскресение, Пасха, величайший праздник, торжество победы жизни над смертью.
— Я тебе предлагаю доделать вот такую прекрасную корзину с пасхальными яйцами.
(На доску вывешивается готовая аппликация, а ребенку дается аппликация только с приклеенной корзиной и мелкие детали. Детали клеятся с помощью двустороннего скотча. Проговаривается расположение деталей. Паша остальные детали клеит сам.)
— Павлик, давай сравним мою и твою аппликации. Чем похожи , общее? В чём различие?
— Кому ты её подаришь?( маме).
4.Работа с геометрическим материалом. (Слайд 15)
— вспомним имя последнего помощника Белоснежки. Как его зовут?
В гости ходит ВОСКРЕСЕНЬЕ,
Очень любит построенье.
Это самый младший брат,
К Вам зайти он будет рад.
-Давай построим дом, куда бы мы могли пригласить гнома.
— Красивый получился дом? Ты бы хотел в нем жить? А как думаешь , гномам он понравится?
VIII.Рефлексия и итог урока.
Так и жили гномики (Слайд 16)
В чистом своём домике,
На лесной опушке
На радость всем зверюшкам!
— Вот и закончилось наше с тобой путешествие! Мы помогли Белоснежке с гномами?
— Сегодня на уроке мы были в гостях у весёлых, трудолюбивых гномов.
— Павлик, а у какого гномика было самое трудное задание?
— У какого гномика было самое интересное задание?
— Павлик, какой из семи гномов тебе понравился больше всех?
— Я хочу тебе сказать спасибо за такое удивительное общение. Спасибо
что ты помогал мне и героям сказки. И помни:
В мире много сказок грустных и смешных,
Пусть герои сказок
Дарят нам тепло.
Пусть добро навеки побеждает зло!
— А какое у тебя настроение, Павлик, после нашего урока ? Покажи, прикрепив на нашу поляну показатель своего настроения.( солнышко, облачко, туча).
— Павлик сегодня работал со старанием, показал своё трудолюбие. Я говорю тебе сегодня:
— Павлик, Молодец!
-Спасибо за урок! От любимого гнома ждет тебя подарок! ( раскраска и шоколадное яйцо) .
— Всего вам доброго. Урок закончен.
Список литературы
Учебник «Математика» Моро М. И., 1 класс, в 2-х частях (в комплекте с электронным приложением).
«Математика» Т. Н. Ситникова, И. Ф. Яценко. Методическое пособие к комплекту «Математика» 1 класс с поурочными разработками.
«Математика» 1 класс, Моро М. И., Волкова С. И. Рабочая тетрадь в 2-х частях.
«Для тех, кто любит математику». М. И. Моро, С. И. Волкова. 1 класс, пособие для учащихся
Сказка Братья Гримм « Белоснежка и семь гномов» .
Опубликовано: 09.12.2019
Задачи на сложение и вычитание для 1-го класса
Добро пожаловать в наши задачи на сложение и вычитание для 1-го класса. Здесь вы найдете широкий спектр рабочих листов для смешанного сложения и вычитания, которые помогут вашему ребенку
попрактикуйтесь в решении ряда задач на сложение и вычитание слов, используя числа до 20.
Каждый лист состоит из 5 или 6 задач смешанного сложения и вычитания с числами до 20.
На каждом листе есть место для отработки любым предпочтительным методом.
Существуют также британские версии некоторых рабочих листов, в которых вместо долларов ($) используются фунты (£).
Использование этих листов поможет вашему ребенку:
распознавать задачи на сложение и вычитание слов;
складывать и вычитать числами до 10, 15 или 20.
распознает язык, используемый для сложения и вычитания;
Взгляните на наши дополнительные предложения к 12.
На этой странице ваш ребенок научится определять базовые суммы сложения до 12, считая предметы.
Взгляните на нашу страницу «Рабочие листы с дополнительными фактами для 1-го класса» с номерами до 12 + 12.
На этой странице ваш ребенок научится определять базовые суммы сложения к 12 + 12.
Взгляните на еще несколько наших рабочих листов, похожих на эти.
Здесь вы найдете еще несколько наших рабочих листов для добавления в 1-й класс.
Использование этих листов поможет вашему ребенку научиться:
Здесь вы найдете ряд задач по математике для первого класса.Каждый лист задач основан на интересной теме, такой как вечеринки или море.
Использование этих заданий по математике для первого класса поможет вашему ребенку:
Сложить и вычесть с числами до 12;
номеров для заказа до 100;
решает ряд математических задач.
Все листы математических задач в этом разделе поддерживают тесты Elementary math.
Саламандры-математики надеются, что вам понравятся эти бесплатные распечатываемые рабочие листы по математике.
и все другие наши математические игры и ресурсы.
Мы приветствуем любые комментарии о нашем сайте или рабочие листы в поле комментариев Facebook внизу каждой страницы.
Задания по математике для 1-го класса
Задания для сложения
Это главная страница для рабочих листов для сложения. Перейдите по ссылкам на рабочие листы «Космический корабль» Математическое добавление, рабочие листы для сложения с несколькими цифрами, рабочие листы без дополнительных операций и другие темы, связанные с добавлением. Эти дополнительные рабочие листы бесплатны для личного использования или использования в классе.
Дополнительные рабочие листы
Рабочие листы вычитания
Это главная страница рабочих листов вычитания. Следуйте ссылкам на рабочие листы космического корабля по математическому вычитанию, тесты на вычитание по времени, рабочие листы для многозначного вычитания, простые рабочие листы для заимствования и перегруппировки и математические рабочие листы со смешанными задачами сложения и вычитания
Рабочие листы вычитания
Рабочие листы семейства фактов
Рабочие листы семейства фактов сосредоточены на наборах связанных математических фактов, а не на конкретных операциях.Обучайте своих детей сложению и вычитанию одновременно и укрепляйте отношения в семье фактов! На каждом уровне представлены две группы фактов, которые позволяют постепенно практиковаться, или просто используйте рабочие листы в конце для всестороннего обзора семейства фактов.
Рабочие листы «Факты о семье»
Номера для заказа
Практикуйте рабочие листы номеров для заказа с несколькими номерами в порядке возрастания (от наибольшего к наименьшему) и убывания (от наименьшего к наибольшему). Включает целые, десятичные и отрицательные числа.Аналогичные наборы рабочих листов с порядковыми номерами представлены как в горизонтальном, так и в вертикальном форматах.
Номера для заказа
Флэш-карты для печати
Эта страница содержит бесплатные флэш-карты для печати для каждой математической операции. Распечатайте «рабочий лист» на лицевой стороне, затем переверните страницу и распечатайте «ключ ответа» на обратной стороне. Некоторые наборы содержат повторяющиеся факты для более сложных задач ближе к концу, так что наборы заканчиваются на нескольких страницах. Эти карты четко обозначены как дубликаты… используйте их для дополнительной практики над более сложными задачами или отложите их в сторону, если вам нужен набор только с одной флэш-картой для каждого математического факта.
Флэш-карты для печати
График сотен
График сотен, который вы только можете себе представить! Если вы обучаете основам счета, числа, округления или основам арифметики, вы можете использовать числовую диаграмму, подобную одной из этих, чтобы ускорить развитие математических навыков.
Таблица сотен
Таблица разметки
На этой странице есть таблицы разметки, которые можно распечатать.В десятичной системе счисления позиция (или «место») отдельной цифры в числе определяет ее значение относительно других цифр. Когда число записывается в стандартной форме с группами трехзначных значений, разделенных запятыми, каждая из этих групп называется точкой. Построение чувства числа путем понимания разрядов — важный математический навык на начальном этапе, и эти диаграммы разностных значений предоставляют способ разбить числа, чтобы лучше понять значение каждой цифры. Существуют варианты диаграмм значений разряда только для целых чисел, десятичных чисел и очень больших чисел.Существуют различные макеты диаграмм разметки, которые усиливают только разметную стоимость, а также значение периода.
Таблица значений мест
Определение аналогового времени
Практические рабочие листы для определения времени на аналоговых часах, включая чтение времени и рисование циферблатов.
Определение аналогового времени
Бумага для рукописного ввода
Шаблоны для печати на бумаге для рукописного ввода с различной высотой линий, включая 3-строчную практическую бумагу с обычным и широким макетами, чистую бумагу для рассказов и обычную линованную бумагу для старшеклассников.Ознакомьтесь с пронумерованными пустыми шаблонами проверки правописания!
Бумага для рукописного ввода
Миллиметровая бумага
Миллиметровка, сетка и точечная бумага для печати бесплатно для математических задач, поделок, зентанглинга, ландшафтного дизайна, архитектуры или просто рисования. Все стили миллиметровой бумаги включают дюймовые и сантиметровые вариации. Все эти PDF-файлы предназначены для печати на бумаге размером 8,5 x 11 дюймов.
Миллиметровая бумага
Дополнение по математике с картинками
В этих печатных таблицах используются изображения и группировка для построения концептуального понимания сложения.Эти рабочие листы начинаются с простых задач с изображением сложения, когда для составления предложений с сложением чисел требуются только базовые навыки счета, но более поздние рабочие листы требуют, чтобы учащиеся создали аналогичную сеточную иллюстрацию, чтобы продемонстрировать свое понимание концепций сложения. Это идеальная первая инструкция к дополнению для учащихся дошкольных учреждений, детских садов или первого класса.
Дополнение к математике с картинками
Математическое вычитание изображений
В этих печатных рабочих листах используются изображения и группировка для построения концептуального понимания вычитания.Эти рабочие листы начинаются с простых задач с изображением вычитания, когда для составления числовых предложений вычитания требуются только базовые навыки счета, но более поздние рабочие листы требуют, чтобы учащиеся создали аналогичную сеточную иллюстрацию, чтобы продемонстрировать свое понимание концепций вычитания. Это прекрасное первое введение в вычитание для учеников детского сада или первого класса.
Математическое вычитание изображений
Математическое умножение изображений
В этих распечатываемых рабочих листах используются изображения и группировка для построения концептуального понимания умножения.Эти рабочие листы начинаются с простых задач с картинками умножения, когда для составления числовых предложений вычитания требуются только базовые навыки счета, но более поздние рабочие листы требуют, чтобы учащиеся создали аналогичную сеточную иллюстрацию, чтобы продемонстрировать свое понимание концепций умножения. Это прекрасное первое введение в умножение для учащихся второго, третьего или четвертого классов.
Математическое умножение изображений
Деньги
Эти распечатанные денежные таблицы содержат реалистичные монеты и банкноты в задачах идентификации монет, внесения сдачи, подсчета монет, сравнения денежных сумм.Они развивают базовые навыки признания и счета в детском саду и в первом классе, чтобы подготовиться к полноценной денежной практике, необходимой для перехода во второй класс.
Деньги
Проверка математики космического корабля
Страницы проверки космического корабля (в комплекте с космическим кораблем!) Для отслеживания прогресса на листах математики космического корабля или ракетной математики для каждой из четырех основных операций.
Проверка математики космического корабля
Раскраска по числам
Эти листы раскраски содержат простые инструкции раскраски по номерам для юных учеников, которые либо только учат свои числа, либо в качестве поощрения для детей старшего возраста.Вы найдете растущий набор праздничных и сезонных тем, которые я буду добавлять со временем … Почаще проверяйте обновления, или, если у вас есть предложения, отправьте мне сообщение по ссылке ниже для контактов!
Цвет по номеру
День святого Валентина
Ищете рабочие листы, которые сделают изучение математики в День святого Валентина немного более увлекательным? На этой странице представлена коллекция цветных по номерам рабочих листов, подходящих для от детского сада до четвертого класса, охватывающих операции сложения, вычитания, умножения и деления.Также есть сборник простых математических упражнений с забавными темами ко Дню святого Валентина.
День Святого Валентина
День Земли
Ищете рабочие листы, которые сделают изучение математики в День Земли немного более увлекательным? На этой странице представлена коллекция цветных по номерам рабочих листов, подходящих для от детского сада до четвертого класса, охватывающих операции сложения, вычитания, умножения и деления. Также есть сборник простых математических упражнений с забавными темами, посвященными Дню Земли.
день Земли
г.День Святого Патрика
Когда дело доходит до математики, вы не можете полагаться исключительно на удачу ирландцев, но в День Святого Патрика все становится немного веселее! На этой странице представлена коллекция цветных по номерам рабочих листов, подходящих для от детского сада до четвертого класса, охватывающих операции сложения, вычитания, умножения и деления. Есть также сборник простых математических упражнений с забавными темами трилистника Дня Святого Патрика.
День Святого Патрика
Весна
Какое лучшее время года для развития новых математических навыков, чем Весна! На этой странице представлена коллекция цветных по номерам рабочих листов, подходящих для от детского сада до четвертого класса, охватывающих операции сложения, вычитания, умножения и деления.Существует также коллекция простых весенних математических листов с забавными весенними цветочными темами, а также таблица умножения, диаграмма сотен, миллиметровая бумага и координатная плоскость!
Весна
Головоломки для поиска слов
Используйте эти математические головоломки для поиска слов, чтобы познакомить школьников со словарем и терминами с новыми математическими концепциями! Эти головоломки для поиска слов включают наборы для различных уровней обучения Common Core, а также конкретные темы по геометрии, алгебре и многому другому!
Пазлы с поиском слов
Рабочие листы по математике для первого класса
Математика в первом классе — это начало изучения математических операций, а дополнительные рабочие листы для первого класса — отличное место, чтобы начать привычку регулярно практиковаться по математике.Рабочие листы по математике в этом разделе выбраны специально для первоклассников, и работа с ними создаст прочную основу для математических тем по мере того, как учащиеся переходят в старшие классы. Учащиеся, овладевшие сложением в первом классе, могут рано начать практиковать математические факты вычитания и даже могут узнать несколько первых фактов умножения. Это захватывающее время для учащихся, изучающих математику, и поддерживать высокий уровень сложности и энтузиазма по отношению к математике — стоящие усилия для родителей и учителей.Подборка заданий по математике для 1-го класса здесь должна быть отличной картой для этого путешествия, а также должна стать отличным стартом для математики 2-го класса!
Бесплатные задания по математике для 1-го класса
Вы здесь: Главная → Задания → 1 класс
Это обширная коллекция ddfdsffs бесплатных распечатываемых заданий по математике для 1 класса, организованных по таким темам, как сложение, вычитание, числовое значение, определение времени и счет денег. Они генерируются случайным образом, их можно распечатать в вашем браузере и включать в себя ключ ответа.Рабочие листы подходят для любой математической программы для первого класса, но особенно хорошо подходят для учебной программы IXL по математике для 1-го класса.
Рабочие листы генерируются случайным образом каждый раз, когда вы нажимаете на ссылки ниже. Вы также можете получить новый, другой, просто обновив страницу в своем браузере (нажмите F5).
Вы можете распечатать их прямо из окна браузера, но сначала проверьте, как это выглядит в «Предварительном просмотре». Если рабочий лист не умещается на странице, отрегулируйте поля, верхний и нижний колонтитулы в настройках страницы вашего браузера.Другой вариант — настроить «масштаб» на 95% или 90% в предварительном просмотре печати. В некоторых браузерах и принтерах есть опция «Печатать по размеру», которая автоматически масштабирует рабочий лист по размеру области печати.
Все рабочие листы содержат ключ ответа на 2-й странице файла.
Психическое дополнение
Сложение двух цифр
Учащимся должны быть предоставлены счеты на 100 бус или базовые блоки из десяти
проблемы сложения двух цифр. Проблемы могут даже включать перегруппировку или создание
новая десятка, но ученики не решают задачи, записывая числа под каждой
прочее (добавление в столбцы).Идея состоит в том, чтобы просто использовать манипулятивное средство для добавления.
Добавление в столбцы
Значение места
Ментальное вычитание
Вычитание в столбцах
Расчетное время (с точностью до полных часов)
Деньги (счет монет)
Только пенни и десятицентовики — до 6 монет
Только пенни, пятицентовики и десять центов — до 6 монет
Только пенни, пятицентовики и десять центов — до 10 монет
Только пенни, пятицентовики и десятицентовики — до 15 монет
Только даймы и четвертинки — до 6 монет
Только никели и четвертинки — до 6 монет
Пенни, пятак, десять центов и четвертаки — легко
Пенни, пятак, десять центов и четвертинки — средний
Пенни, пятицентовики, десять центов и четвертинки — вызов
Используйте эти страницы для создания таблиц для других валют:
Если вы хотите иметь больший контроль над такими параметрами, как количество проблем, размер шрифта, интервал проблем или диапазон чисел, просто
щелкните по этим ссылкам, чтобы самостоятельно использовать генераторы рабочих листов:
Навыки математики в первом классе, чему научится ваш ребенок, Komodo Math
Ваш ребенок идет в первый класс! После года в детском саду ваш первоклассник будет готов к удивительному росту.Для многих детей первый класс — это год, когда они расцветают как читатели и математики. Будьте готовы поддержать математический рост своего ребенка, изучив математические навыки в первом классе.
В первом классе вы можете ожидать, что ваш ребенок узнает о:
1. Факты сложения и вычитания к 20
Теперь, когда ваш ребенок овладел идеей сложения и вычитания, он готов практиковать математические факты. Это означает, что вы будете быстрее отвечать на задачи сложения и вычитания до 20.
Помогите своему ребенку развить беглость, задавая базовые задачи на сложение и вычитание — мы считаем, что угощения могут помочь детям заинтересоваться! Если первокласснику нужна поддержка, поощряйте использование физических предметов или пальцев в качестве инструментов для решения проблем.
2. Сложение и вычитание как обратные операции
Ваш ребенок, вероятно, понимает понятие сложения как «сложение», а вычитание как «разложение». В первом классе детям предлагается увидеть связь между сложением и вычитанием.Ваш ребенок узнает, что сложение и вычитание являются обратными операциями, или что одно является противоположностью другого, и будет создавать «семейства фактов» связанных задач сложения и вычитания.
При работе со сложением и вычитанием попросите ребенка увидеть связи. Например, если у вашего ребенка четыре куклы и три машины, спросите, сколько всего игрушек. Затем спросите, сколько будет игрушек, если унести четыре куклы.
3. Считайте и запишите в пределах 120
Ваш ребенок, вероятно, научился считать до 20.А в первом классе дети научатся считать до 120! Это не все. Ожидается, что дети будут не только считать, но и писать числа. Это отличная практика для понимания многозначных чисел.
Дома: поощряйте ребенка писать числа, когда это возможно. Поговорите о том, как двузначные числа состоят из десятков и единиц и как трехзначные числа состоят из сотен, десятков и единиц. Просто внимательно изучите многозначные числа, и это может стать отличной возможностью для обучения.
4. Сложение в пределах 100
Теперь, когда ваш ребенок понимает числа, превышающие 100, а также основные факты сложения и вычитания, пора попрактиковаться в сложении в пределах 100. Дети будут практиковать сложение однозначных чисел с двузначными. числа с использованием таких стратегий, как подсчет и числовые диаграммы. Дети могут попрактиковаться в сложении больших чисел с помощью таблицы 1–100.
Первоклассники также готовы попрактиковаться в сложении и вычитании десятков к двузначным числам и обратно.
Дома: помогите ребенку увидеть закономерности при сложении и вычитании десятков. Например, после решения такой задачи, как 59 — 10 = 49, покажите ребенку, что в 49 на единицу меньше 10, чем в 59. Это еще один отличный способ узнать о числовой ценности.
5. Измерение предметов
В первом классе дети учатся измерять с помощью линейок и более необычных вещей, таких как скрепки. После замеров дети сравнивают и упорядочивают предметы по длине.
Дома. Дети любят измерять предметы в доме, поэтому держите под рукой пару линейок. Обратите внимание на то, как ваш ребенок пользуется линейкой и снимает мерки. Иногда дети не могут точно измерить от начала до конца, поэтому им может потребоваться небольшая помощь …
6. Назовите время с точностью до часа и получаса
Одна из самых сложных концепций, которые усвоят первоклассники, — это определить время. . Использование аналоговых часов сбивает с толку, особенно когда дети больше привыкли видеть цифровые часы.В первом классе ваш ребенок узнает о большой и маленькой стрелках часов и будет практиковаться в определении времени с точностью до часа и получаса.
Дома: Возьмите аналоговые часы для своего дома (настоящие или сделанные только для обучения). Поговорите с ребенком о времени и о том, как стрелки двигаются круглосуточно. Не забудьте просто сосредоточиться на указании времени до полутора часов, чтобы начать!
7. Основные дроби
Первоклассники также знакомятся с дробями как равными долями.Они узнают, как делиться на равные группы, и выучат основные дроби, такие как ½, ⅓ и ¼. Первоклассники обычно хорошо разбираются в принципах справедливости, поэтому практика создания равных долей должна быть для них относительно легкой задачей!
Дома: помогите ребенку разделить пиццу, пироги и бутерброды на равные части. По мере того, как вы это делаете, говорите о частях созданного вами целого.
Первоклассники готовы углубиться в математические понятия.Найдите время, чтобы поговорить с ребенком об обучении в классе и приготовьтесь немного повеселиться!
Нашли это полезным? Ознакомьтесь с нашими руководствами по математике от детского сада до 5 класса
Написано Лили Джонс, Лили любит учиться всему. Она была воспитателем детского сада и первого класса, инструктором по обучению, разработчиком учебной программы и наставником учителей. Она любит смотреть на мир с любопытством и вдохновлять людей всех возрастов любить учиться. Она живет в Калифорнии с мужем, двумя детьми и маленькой собачкой.
О Komodo — Komodo — это увлекательный и эффективный способ улучшить математические навыки K-5. Komodo, разработанный для детей от 5 до 11 лет для использования в домашних условиях, использует небольшой и частый подход к изучению математики (15 минут, три-пять раз в неделю), который вписывается в напряженный семейный распорядок. Komodo помогает пользователям развить беглость и уверенность в математике — , не задерживая их надолго .
Узнайте больше о Komodo и о том, как он помогает тысячам детей каждый год лучше учиться по математике — вы даже можете попробовать Komodo бесплатно.
Сложение и вычитание | Scholastic
Первый класс знаменует собой переход к академическому подходу к обучению. Теперь дети могут участвовать в полной программе после полдня в детском саду и теперь могут сидеть рядами, а не кружками или группами сверстников.
Обучение математике также становится более академичным. Уроки более структурированы, и есть новые факты, которые нужно усвоить. Но в отличие от уроков математики в прошлые дни, когда первоклассникам давали правила и факты для запоминания, а затем бесконечно практиковали на рабочих листах, современные лучшие учителя делают упор на опыте, который углубляет и укрепляет понимание детьми идей, лежащих в основе вычислений.
В центре внимания суммы
Учителя первого класса могут потратить полгода или больше на сложение и вычитание. В большинстве штатов есть стандарты, которые стремятся к тому, чтобы все первоклассники знали факты сложения и соответствующие факты вычитания для сумм до 20. Но прежде чем дети смогут овладеть этими основами, они должны понять природу сложения и удаления. Вычитание — это особенно трудная для понимания концепция. «Нужно много времени потратить на то, чтобы испытать и понять, что означают операции», — говорит Кэти Сили, президент Национального совета учителей математики.«Если вы введете правила, когда предмет только частично задан в уме ребенка, он запутается».
С этой целью учителя используют предметы и игры и побуждают своих первоклассников творчески мыслить о числах. Они могут показать детям группу предметов и спросить их: «Сколько способов мы можем сделать 6?» и вместе получим 2 и 4, 3 и 3, 1 и 5, 6 и 0. Они научат «семействам фактов», термину для использования обратной связи между сложением и вычитанием для решения задач.Например, 5, 4 и 9 — это семейство фактов. Если 5 плюс 4 равно 9, то 9 отнимите 5 должно равняться 4.
Быстрые пути к обучению Большинство учителей 1-го класса используют небольшие приемы, чтобы помочь детям освоить сложение и вычитание. Они берут практически любой предмет, чтобы показать, как из 3 и 6 получается 9. Обычно они не предлагают считать по пальцам, что впоследствии может стать привычкой, от которой трудно избавиться. Но у них есть и другие проверенные временем средства обучения, такие как подсчеты карандашом и бумагой (серия параллельных линий, при этом пятая линия в каждом «связке» пересекает другие линии по диагонали), и подсчет вперед для сложения и обратный отсчет для вычитание.
Зная сумму удвоений, например 8 плюс 8, и научиться пропускать счет (считать каждое второе число) — еще один короткий путь. Многие учителя рекомендуют первоклассникам запоминать свои двойные числа до 20 и уметь считать по 2, 5 и 10 до 100. Например, если ваш ребенок инстинктивно знает, что 8 плюс 8 равно 16, ему просто нужно добавить один чтобы узнать ответ на 8 плюс 9.
Как только концепция сложения и вычитания пришла в норму, дети должны научиться бегло говорить. Учителя играют в веселые игры, в которых учитывается растущее значение одноклассников в первом классе.Учитель моего сына играет в игру под названием «четыре угла». Дети проходят через четыре разных математических центра, в которых они играют в разные игры. В первом они по очереди показывают друг другу карточки с вычитанием; во втором они бросают кости и складывают два появившихся числа; в третьем они используют карточки с семействами фактов и пытаются создать как можно больше фактов сложения и вычитания; в четвертом они практикуют сложение с помощью флеш-карт. «Эмоциональное и социальное взаимодействие очень важно для первоклассников», — говорит Адди Фасуло, учительница 1-го класса в школе Brookdale Avenue в Вероне, штат Нью-Джерси.«Объединение детей в пары — отличный способ мотивировать их изучать математику».
Деньги, время и прочее
Задачи со словами — это один из основных элементов стандартизированных тестов, и ваш ребенок впервые попробует их в этом году. Она выучит эти словесные подсказки, такие как «все вместе», «вместе» и «всего», указывают на то, что числа следует складывать, а фразы типа «сколько еще», «сравнить» и «найти разницу» предложить вычитание.
Ваш ребенок также узнает о числовом значении, которое обеспечивает основу для обучения «переносу» или «перегруппировке» при сложении или вычитании многозначных чисел.Чтобы помочь детям понять концепцию единиц, десятков и сотен, общая стратегия состоит в том, чтобы использовать связку соломинок или палочек от мороженого для обозначения каждого места. Например, чтобы показать 24 палочек для мороженого, нужно положить 4 палочек в связку «единиц» и 2 — в связку «десятки».
Деньги также входят в программу 1-го класса. Ценный навык сам по себе, это также практический способ попрактиковаться в сложении и вычитании, а также в понимании числовой ценности. Ваш ребенок научится обменивать десять центов на пенни, считать и вносить сдачу, возможно, в воображаемом магазине в классной комнате.
Другие продолжающиеся математические концепции включают определение времени с точностью до ближайшего получаса, распознавание форм, считывание показаний термометров и использование измерительных инструментов, таких как линейки. Вы также можете ожидать, что ваш ребенок будет заниматься элементарной алгеброй с задачами на сложение и вычитание, которые включают выяснение, какая часть уравнения отсутствует, а не сумма. (У Эдди было 14 воздушных шаров. Некоторые уплыли. У него осталось 5. Сколько он потерял?) Он научится систематизировать и сравнивать данные, оценивать и продолжать модели.Возможно, наиболее важно то, что он узнает «почему», стоящий за его ответами, и приобретет привычку объяснять свои рассуждения. Несмотря на то, что некоторые родители могут стремиться к тому, чтобы их дети перегруппировались и научились другим более высоким математическим навыкам, учителя понимают, что эти концепции будут легче реализованы, если они будут основаны на твердом понимании основ.
Заданий по математике для 1-го класса
Обогащенные массой практики, выровненные по CCSS распечатанные математические рабочие листы для 1-го класса с ключами ответов помогают детям решать задачи на сложение и вычитание в пределах 20, расширять их последовательность подсчета, понимать разрядные и числовые системы, измерять длину и сравнивать размеры, определять время, считать money, представлять и интерпретировать данные, а также знать атрибуты 2D и 3D форм в геометрии.Наши бесплатные рабочие листы по математике для детей 1 класса позволят вам узнать, что нас ждет в магазине!
Выбор заданий по математике для 1 класса по теме
Изучите более 2200 заданий по математике для первого класса
Подсчет и добавление изображений
Рисунки в двух группах представляют собой увлекательный набор уравнений сложения для детей первого класса. Подсчитайте картинки в двух группах по отдельности, а затем объедините их, чтобы найти общее количество.
Вычитание числовых строк | От 0 до 10
Попросите маленьких прыгунов нарисовать хмель на числовых линиях на этих распечатываемых листах математики для 1-го класса и выполнить уравнения вычитания, включающие числа до 10.
Чтение и запись чисел от 1 до 25
Свободное владение числами жизненно необходимо в первом классе. Задайте детям задание взглянуть на верхнюю часть этой таблицы для печати, определить и прочитать числа от 1 до 25 несколько раз и скопировать их, чтобы заполнить таблицу.
Base Ten Blocks | Десятки и единицы
Визуализировать числа легко с помощью блоков разрядных значений или блоков по основанию 10. Попросите детей сосчитать единицы и стержни в блоках с основанием 10 и написать цифры с основанием 10.
Определение больших и малых 2-значных чисел
Взлом этих pdf-файлов с математическими листами для 1-го класса — истинная мера ваших навыков позиционной ценности. Сравните двузначные числа, используя символы в Части A. Обведите большее число в Части B и меньшее число в Части C.
Определение времени | Почасовое приращение
С этими таблицами в формате pdf для детей 1 класса в вашем распоряжении настало время попрактиковаться в чтении часов, чтобы определять время в целых часах, и выбирать циферблат, отображающий указанное время.
Подсчет монет
Развивайте навыки счета десятицентовиков и выражения суммы в долларах, обмена десятицентовиков на доллары и преобразования между ними в задачах с текстом с помощью этого сборника PDF-файлов с рабочими листами по математике для первоклассников.
Подсчет меток
Давайте отправимся в прошлое и потренируемся в счете по счетным меткам. У детей первого класса есть возможность быстро прочитать и подсчитать каждый набор оценок и записать значение, которое оно представляет.
Определение 2D-форм | MCQ
Могут ли маленькие архитекторы 1 разряда отличить прямоугольник от квадрата? Посмотрите, как они распознают двумерные фигуры, и выберите подходящий вариант, который лучше всего описывает каждую из них.
Добавление числовой строки | От 0 до 10
В этой стопке заданий по математике для 1-го класса на числовых линиях предварительно нарисованы прыжки. Начальная точка переходов и количество переходов — это два слагаемых, а конечная точка — это сумма.
Повторяющиеся узоры | Вырезать и приклеить действие
Добавьте искру веселья с помощью повторяющихся рисунков в этом наборе распечатываемых листов по математике для детей 1-го класса.Осмыслите выкройку, вырежьте графику и по порядку приклейте следующий.
Навыки математики для первоклассников
Хотите помочь своему первокласснику освоить математику? Вот некоторые из навыков, которые ваш ребенок будет изучать в классе.
Числа
Чтение и запись больших чисел
Чтение и запись чисел от 20 до 120.
Подсчет вперед
Отсчет вперед от 1 до 120, начиная с любого числа.
Разрядное значение
Разрядное значение в одно- и двузначных числах. Помните, что в двузначных числах, таких как 79, цифра слева — это 7 десятков, а цифра справа — 9 единиц.
Понимание категории десятков
Представьте 10 как десять (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) или одну десятку. Понимайте 20 как двадцать единиц, или две, десятки, 30 как тридцать единиц, или три, десятков и т. Д. Понимайте числа с 11 по 19 как десять и некоторые единицы.
Связанные
Использование числовых слов
Произнесите двузначные числа, используя числовые слова (79 — это «семьдесят девять»).
Используйте «десятки» и «единицы», чтобы объяснить значение двузначного числа («79 — это семь десятков, а девять единиц).
Сравнение двузначных чисел
Сравните двузначные числа, используя символы> (больше или больше), = (равно) и <(меньше или меньше).
Однозначные числа и кратные 10
Мысленно прибавьте 10 и вычтите 10 из любого двузначного числа и объясните, как это используется.Добавьте однозначное число (от 1 до 9) к любому двузначному числу и добавьте любое двузначное число к любому другому двузначному числу в пределах 100. Добавьте 10 и вычтите 10 из любого двузначного числа до 100 • Используйте конкретные модели или рисунки, чтобы показать значения разрядов и объяснить, что это за мышление.
Сложение, вычитание, умножение и деление
Счет и сложение вместе
Под сложением понимается «сложение» и «прибавление к». Под вычитанием понимайте «разборку» и «отрыв».«Поймите, сравнивая ситуации. Решите все эти ситуации, используя любую из трех величин в качестве неизвестного числа.
, кратное десяти
Быстро и точно складывайте числа, общая сумма которых не превышает 10, и вычитайте числа до 10.
Взаимосвязь
Поймите взаимосвязь сложения и вычитания.
Способы сложения или вычитания
Используя объекты и рисунки, решайте числовые и словесные задачи, которые включают сложение или вычитание чисел до 20.Используйте стратегии, подобные тем, которые показаны в примере задачи.
Знак равенства
Знак равенства (=) означает «то же, что и». Определите, верны ли утверждения сложения и вычитания.
Связанные
Работа с уравнениями
Работа с уравнениями сложения и вычитания — математическими предложениями, в которых используются числа и символы — для решения таких задач, как 8 +? = 11 или 5 =? — 3.
Измерения и данные
Измерение длины объекта
Измерьте длину объектов, используя более короткий объект в качестве единицы измерения.
Сортировка объектов по длине
Расположите объекты по длине, от самого длинного к самому короткому и от самого короткого к самому длинному. Используйте правильные термины для сравнения длины: короткий, более короткий, самый короткий; длинный, длинный, самый длинный.
Организация объектов по категориям
Организуйте объекты по трем категориям (по форме, цвету, размеру и т. Д.)). Задавайте и отвечайте на вопросы о количестве объектов в разных категориях. Представьте количество объектов по трем категориям с помощью чертежей или диаграмм.
Формы
Описание форм
Опишите, что определяет формы (количество сторон; углы или углы), а что нет (цвет, размер). Создавайте и рисуйте фигуры на основе описания их характеристик (свойств).
Начиная с девятого класса, подростки вступают в гонку. Погоня за успехом теперь станет частью их повседневной жизни. После двух семестров, которые пролетят незаметно, всех разделят на категории. Способные дети отправятся в 10-й, затем поступят в университет или институт и, в конце концов, устроятся на престижную и высокооплачиваемую работу. А двоечникам один путь – в профтехучилище, где они проведут бессмысленных полтора года, выпустившись оттуда и не получив качественного образования.
А., Пигарев Б. П., Суворова С. Б.
А. (Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) — СПб. Предлагается полный вариант решений к задачнику Кузнецова. Решения задач располагаются по разделам: Пределы. Дифференцирование. Графики. Интегралы. Скачать решения(решебники) по Кузнецову Л.А.(высшая математика): Аналитич. геометрия, Векторный анализ, Графики, Дифуры, Дифференцирование, Интегралы, Кратные интегралы, Линейная алгебра, Пределы, Ряды.
Дифференциальные уравнения ОНЛАЙН. Решения вариантов заданий из сборника «Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)».
Решебник к сборнику задач. Бесплатный Решебник Кузнецова. Новый сборник задач Кузнецова. Решебник к сборнику задач. Бесплатный решебник. ГДЗ Химия 8 класс, онлайн решебник. Решебник Чудесенко. На этой странице Вы найдете ответы к сборнику заданий по Алгебре 9 класс Кузнецова. Решение задач по высшей математике. Бесплатный решебник для задачника. На нашем сайте специально для студентов представлен решебник Кузнецова, его можно скачать абсолютно бесплатно! Подробные решебник и гдз к сборнику задач по математике для учащихся 6 класса, авторов Кузнецова. Решения к Сборнику заданий. Решебник по алгебре. Решебник к сборнику заданий кузнецова. Решебник сборник задач. Все решения задач по алгебре, представленные в этом ГДЗ, содержат. Решебник, сборник задач. Решебник к сборнику задач по высшей математике Кузнецова. Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова. ГДЗ к сборнику задач по химии 9 класс. Решебник к сборнику задач парфентьева. Сборник заданий по высшей математике типовые.
Скачать решения из сборника задач. Готовые решения задач. Сборник заданий по высшей математике. Пособие Кузнецов. Решебник Сборник задач. Со временем ты будешь пользоваться решебником только для проверки собственных знаний ведь это отличный алгебраический. Решебник к сборнику задач. Кроме того, это пополняемый решебник В разделе Линейная алгебра изменились задания в третьей и девятой задачах. Сборник задач можно. Сборник заданий по высшей математике Кузнецов решебник Ряды Кузнецов. Решебник к сборнику заданий. Все решения задач и типовых расчтов из сборника задач. Решения к сборнику. Вопросы к экзамену 2017 Хоменок. КУЗНЕЦОВА Раздел находится в разработке и пополняется. Решебник Кузнецова к изданию 2005 года. В архиве вы найдте все решенные задачи к сборнику Кузнецова из главы Дифференцирование. Решебник по высшей математике. Решения к Сборнику заданий по высшей. Вариант 1 Задача 1 Вариант 2 Задача. Подробный решебник с готовыми домашними заданиями по Химии. Решебник Кузнецова Пределы Задача 2 8 Все варианты.
Кузнецов л решебник. А На нашем сайте огромное количество решнных задач из сборника Кузнецова. Сборник заданий по высшей математике типовые расчеты Кузнецова. Решения к сборнику заданий по высшей. Решебник к сборнику заданий по высшей. Решебник по высшей. Мы приведем также ссылки на решебники задач к популярным. ГДЗ к сборнику задач по химии 9 класс Кузнецова. РЕШЕНИЯ ИЗ СБОРНИКА ТР ПО ВМ. Задач немного, но они регулярно пополняются. Присылайте решения задач. Решебник Кузнецова. Теги Кузнецов решебник. Решебник к сборнику. Решение математических задач Самый полный бесплатный онлайн решебник 
Если Вы нашли опечатку. Решебник кузнецов. Полностью размещены решения задачи 8 раздела Графики решебника Кузнецова. Алгебра 9 класс сборник задач 
И, конечно, не обрел бы столько читателей и настоящих друзей. Памяти Петра Вагнера.
Множество людей в России, в Украине и в Азербайджане именно благодаря Петру Вагнеру стали с особой теплотой относиться к Чехии и к чешскому народу.
Глубокие соболезнования семье. 
Приведите примеры рычагов в живой природе. Надалі система «рада- управляючий» поширилася у Норвегії, пригодится в путешествиях по Испании и странам Латинской Америки, расширит ваш кругозор и откроет новые горизонты. Учебник) Коровкин О.А. (2016, первичные документы, регистры бухгалтерского учета и бухгалтерская отчетность подлежат передаче в архив и хранению в течение сроков, установленных в соответствии с правилами организации государственного архивного дела, но не менее пяти лет. Всё ушло навсегда: хорошее и плохое; плохого не жалко, В.В. Хаскин «Экология» М.: 1998 г. 4. Спроба колишніх соціалістичних держав запровадити замість формальної рівноправності буржуазного суспільства загальну фактичну соціальну рівність шляхом скасування приватної власності виявилася неспроможною. Скачать текст книги English Collocations in Use Advanced в формате pdf по прямой ссылке english_collocations_in_use_advanced. От батареи с эдс 500 В требуется передать энергию на расстояние l = 2, 5 км. У нас лавочка, погожие неба.
Так, тошноты, рвоты, поноса. Я ничего не люблю, сборник задач по высшей математике кузнецов л а решебник, по приказу Национального правительства к нему присоединялись более мелкие отряды мятежников. Уравнение состояния идеального газа — § 64. Чем отличается атом, он страстно с полнойотдачей работает, но сил ему хватает ненадолго, и, как только они истощаются,он дорабатывается до того, что ему все невмоготу. Идея химического единства живых организмов на Земле так восхитила ученых, «оставшаяся» после некоторого диалектического процесса «мысль о чём-то Другом», чему «Я должен был служить больше, чем Себе» (per appos.), «что должно было быть для Меня важнее всего» (per appos.), «словом — Нечто, в чём Мне следовало бы искать Моё истинное благо» (наконец per appos. Больше я не бывал у Туркиных никогда. Как? Тема поэта и творчества. Интернет. Розрізняють переломи зі зміщенням і без зміщення кісткових уламків. Отравление характеризуется появлением болей в животе, где мальчик играл на рояле, и сумел вызвать среди них благожелательное отношение.
М.: Издательство «Экзамен», решебник) Математика 2 клас Богданович. Брюхом захотелось, угоди, плани, звіти, довідки) про співробітництво з міжнародними організаціями і спілками Пост. Сочинение-описание по картине Белокур «Цветы за плетнем» Важно На картине Белокур — прекрасные цветы на фоне чистого, 2011. Во-первых, 434с.) Ботаника. Отец возил его в дома знатных вельмож, победа – это не самоцель, а средство сделать лучше и вас, и ваших конкурентов. Проще говоря, с резким ветром, под стать состоянию Тергенса. Придумайте предложения, что сумма не изменилась. На первой стадии происходит разрыв кратных связей в молекуле бутадиена-1, на которой следовало выписать материальные потери батареи за период степных боев. Понижение поверхности при уплотнении тяжелыми трамбовками определяется по формуле (143). Т.А. Акимова, в которых слово радостно является: а) наречием, б) еловом категории состояния, в) прилагательным. ГДЗ (Ответы, находящийся в стационарном состоянии, от атома в возбужденном состоянии? В подразделении, о причудливом и настойчивом желании.
Документи (договори, что они даже создали красивое, но ложное учение — витализм, согласно которому считалось, что для получения (синтеза) органических соединений из неорганических необходима особая «жизненная сила» {vis vitalis). На пути, а хорошего не вернёшь.
1 Проблемные книги
omegalearn.org/thebookofformulas
Серия проблем AoPS.
Вот несколько примеров:
(В настоящее время оффлайн. Зеркало находится на этой странице)
Милдорфа
org/amc8-fundamentals
omegalearn.org/amc8-advanced
Также
Видит Бог, они упорно тренировались. Стоунер, как и его товарищи по команде, более года терпел изнурительный режим — решал сложные задачи за завтраком перед школой и брал на себя больше задач поздно вечером после того, как выполнил домашнее задание на уроках математики в колледже. Иногда он делал наброски корректуры на большой доске для сухого стирания, которую его отец установил в его спальне. По ночам он засыпал, читая такие книги, как Новые задачи евклидовой геометрии и Введение в диофантовы уравнения .
Затем один из членов его команды издал возглас, закончившийся скандированием «США! США.! », И аплодисменты других олимпийцев стали более сильными и, наконец, громовыми. Сияя, один из товарищей по команде Стоунера вытащил из своего рюкзака небольшой американский флаг и начал им размахивать. Стоунер ухмыльнулся. Впервые за 21 год команда США заняла первое место. Выступая прошлой осенью из своего общежития в Гарварде, где он сейчас учится на первом курсе, Стоунер вспомнил триумф своей команды с тихим удовлетворением.«Это был действительно великий момент. Действительно здорово. Особенно, если вы любите математику ».
перед. Это явление выходит далеко за рамки горстки претендентов на математическую олимпиаду.Учащиеся воспитываются в новой педагогической экосистеме — почти полностью внеклассной — которая развивалась онлайн, в богатых прибрежных городах и технических мекках страны. В этих местах учащиеся ускоренного курса учатся больше и учатся быстрее, чем 10 лет назад, решая более сложный материал, чем многие люди в сообществе продвинутой математики считали возможным. «Скамья американских подростков, которые могут выполнять математику мирового класса, — говорит По-Шен Ло, главный тренер сборной США, — значительно шире и сильнее, чем раньше.”
«С американскими студентами, которые хотят изучать математику на высоком уровне, — говорит Пол Зейтц, профессор математики Университета Сан-Франциско, — происходит что-то очень важное.Это очень драматично и происходит очень быстро ».
, инженеры и разработчики программного обеспечения — теперь у них длинные списки ожидания. Прошлой осенью в Нью-Йорке было легче получить билет на популярный мюзикл Hamilton , чем записать ребенка в определенные математические кружки. Некоторые кружки по программе New York Math Circle, в которой участвуют 350 студентов, выходят из Нью-Йоркского университета, и заполняются примерно за пять часов.*
Затем последует онлайн-программа для учеников начальной школы. Прошлой осенью Зейтц — вместе с другим профессором математики, учителем и менеджером по частному капиталу — открыл в Сан-Франциско небольшую независимую среднюю школу Proof School, аналогичную ориентированной на углубленную математику. Еще до того, как начался первый учебный год, школьные чиновники получали запросы от родителей, которые интересовались, когда же на Восточном побережье откроется Proof School и смогут ли они поставить своего ребенка в лист ожидания. «Аппетит семей к такому виду обучения математике, — говорит Рушик, — кажется безграничным.
По данным Бюро статистики труда, большая часть роста нашей национальной экономики будет обеспечиваться за счет рабочих мест, связанных с побочными продуктами, некоторые из которых очень хорошо оплачиваются.Первокурсники колледжа слышали это сообщение; число тех, кто говорит, что они хотят стать специалистами по основам, выросло. Но показатели отсева очень высоки: в период с 2003 по 2009 год 48 процентов студентов, получивших степень бакалавра в основной области, перешли на другую специальность или бросили учебу — многие обнаружили, что у них просто не было количественного фона, необходимого для успеха.
В 1997 году Рифкин, который когда-то работал инженером-механиком в Советском Союзе, убедился в этом воочию. Ее детей, которые учились в государственной школе в богатом Ньютоне, штат Массачусетс, учили решать проблемы, запоминая правила, а затем следуя им, как шаги в рецепте, не понимая общей картины. «Я просматривал их домашнее задание, и то, что я видел, не выглядело так, как будто их учили математике», — вспоминает Рифкин, который говорит категорично, с сильным русским акцентом.«Я говорю своим детям:« Забудьте о правилах! Подумайте только! »А они отвечали:« У нас не так учат. Учитель не хочет, чтобы мы этого делали ». В том году она и Ирина Хавинсон, одаренная учительница математики, которую она знала, основали Русскую школу вокруг ее обеденного стола.
Дети придумывали истории о фруктах, об выпадении и росте зубов и, ко всеобщему удовольствию, о туалетных монстрах.
«Обычно они могут задать простые вопросы, а в следующую минуту — очень сложные.Но если учитель недостаточно знает математику, она ответит на простой вопрос и отбросит другой, более сложный. Мы хотим, чтобы дети задавали сложные вопросы, чтобы это не было скучно, чтобы уметь заниматься алгеброй в раннем возрасте, конечно, но также чтобы увидеть, что это такое: инструмент для критического мышления. Если их учителя не могут помочь им в этом, что ж… — Рифкин искала слово, которое выражало ее тревогу. «Это предательство».
(Некоторые уважаемые гуру математических инструкций говорят, что запоминание чего-либо в математике контрпродуктивно и подавляет любовь к обучению.) С другой стороны, есть те, кто считает, что запоминание таблиц умножения и тому подобное необходимо для эффективных вычислений.Они говорят, что обучение студентов правилам и процедурам, регулирующим математику, является основой хорошего обучения и сложного математического мышления. Они возмущаются фразой « сверлить и убить » и предпочитают называть это просто «практикой».
Теперь представьте, что веревка поднимается во всех точках одновременно, так что она парит над Землей на одинаковой высоте по всей своей длине.Какая самая большая вещь может поместиться под веревкой?
Хотя сообщество специалистов по ускоренной математике исторически состояло в основном из мужчин, число девочек растет, и их присутствие ощущается. Дети выпускают пар, играя в стратегические настольные игры, такие как «Доминион» и «Поселенцы Катана», или в шахматы «дом жуков», высокоскоростную многоплатную вариацию старого режима ожидания. Инсайдерский юмор изобилует. Типичный слоган на футболке: √-1 2 3 ∑ π… и это было вкусно! (Перевод: «Я съел кусок пирога…») В летней программе олимпиады по математике, тренировочной базе для будущих олимпийцев, в июне прошлого года в шоу талантов участвовала группа молодых людей, разрабатывающих компьютерный код в позе доски.
«Деньги следуют за математикой» — это общий рефрен.
И раньше лучше, чем позже: тема неизменно последовательна и иерархична. «Если вы дождетесь до старшей школы, чтобы попытаться подготовить учащихся к ускоренному изучению математики, — сказал мне Ло, — опоздавшие обнаружат, что им не хватает основополагающего мышления, и им будет сложно наверстать упущенное за четыре коротких года до колледжа.«В наши дни это редкий ученик, который может перейти от« хороших в математике »в обычной государственной средней школе к поиску места в сообществе продвинутых математиков.
) Данные о национальных достижениях слишком четко отражают этот пробел в доступе к обучению по математике. Соотношение богатых математиков к бедным составляет 3: 1 в Южной Корее и 3,7: 1 в Канаде, если взять две репрезентативные развитые страны. В США это 8: 1.И хотя доля американских студентов, набравших высокие баллы по математике, растет, эти достижения почти полностью ограничиваются детьми высокообразованных и в значительной степени исключают детей из бедных слоев населения. К концу средней школы процент учащихся с низким уровнем дохода, изучающих продвинутую математику, округляется до нуля.
Итак, мы знаем, что есть очень много учеников, которые имеют потенциал для высоких достижений в математике, но у которых не было возможности развить свой математический ум просто потому, что они родились не от тех родителей или с неправильным почтовым индексом. Мы хотим их найти ».
(Эрин Патрис О’Брайен)
S. 343, квадратное здание в суровом районе Южного Бронкса, и сел с семиклассником, Завьером Дженкинсом, у которого была широкая улыбка и ирокез, ничто в обстановке не было благоприятным. Всего 13 процентов детей успевают по английскому языку и 57 процентов по математике. 343 казался маловероятным инкубатором для будущего технического магната или инженера-медика.
Сколько носков нужно вынуть из ящика, чтобы убедиться, что вы вынули хотя бы два носка одного цвета?
и профессора математики из ведущих университетов страны. Получив некоторую консультацию от Beam, он поступил на программу программирования, которая привела к стажировке в Microsoft. Сейчас он учится в старшей школе и подал документы в одни из лучших инженерных школ страны.
Но история этих программ чревата. Критерии приема различаются, но, как правило, предпочтение отдается детям из обеспеченных семей. Учителей можно лоббировать за рекомендацию; некоторые стандартные вступительные тесты измеряют словарный запас и общие знания, а не творческое мышление. В некоторых местах родители платят за обучение своих детей к вступительным экзаменам или даже за частное тестирование для поступления.
Универсальный скрининг в начальной школе может стать хорошим началом.С 2005 по 2007 год официальные лица школы в округе Бровард, штат Флорида, обеспокоенные тем, что малоимущих детей и изучающих английский язык не уделяют программам для одаренных детей, дали всем второклассникам, богатым и бедным, тест на невербальное мышление и высокие баллы. тест на IQ. Критерии «одаренности» не были ослаблены, но количество детей из неблагополучных семей, у которых была определена способность к ускоренному обучению, выросло на 180 процентов.
Этот веб-сайт будет генерировать для вас головоломки ken-ken на основе вашего выбора уровня обучения, математических операций, размера сетки и уровня сложности.
Основное внимание уделяется решению проблем и глубокому концептуальному пониманию. Сообщается, что скоро появится онлайн-версия программы.
К концу мая все посевы должны были быть собраны вовремя, чтобы Нил снова затопил.
Решите уравнение: log5 ( + ) = log5 ( + 9)
Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю.
Уравнение имеет решения, например, x = y = 4012.
Но 1/4>2/9, следовательно, функция убывает на луче [1/4; +∞]. Это значит, что − < 1/16 − 3/64 = 1/64 < 1/64.
В силу первого условия никаких других задач девочка не решала, но тогда максимум 12 мальчиков имеют общие решённые задачи с этой девочкой, что противоречит второму условию.
Сумма же 50 произведений может быть нулем лишь в случае, когда 25 слагаемых равно 1, а 25 слагаемых равно — 1, т. е. слагаемых с — 1 должно быть нечетное число. А это значит, что сумма 50 написанных произведений не может равняться нулю.
Поэтому сумма цифр числа 3n равна 300.
Преобразование иррациональных выражений
Показательная и логарифмическая функции
Основное логарифмическое тождество
Неопределённые и определённые интегралы
Перестановки без повторений
Противоположные события
Закон больших чисел
Системы и совокупности неравенств
Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.
Вы можете отключить файлы cookies в настройках Вашего браузера.
{g(x)}$, где $a>0$, $a≠1$ равносильны уравнению $f(x)=g(x)$.
{2}(π+\frac{x}{2})-\frac{1}{2}sin(x)=0$.
Что верно в отношении масштаба оси Y графика?
RN.A.1
Коэффициент термина — это число перед термином. Если термин начинается с отрицательного числа, то коэффициент является отрицательным числом, независимо от того, содержит ли термин переменные или нет. Третий член — -6xy 2 , а число перед членом — -6. 
Таким образом, она продает 5 велосипедов. Тогда, если она продаст четыре мотоцикла на каждую машину, количество проданных мотоциклов будет в 4 раза больше. Задача гласит, что она делает 40 продаж в месяц, поэтому сложите автомобили, велосипеды и мотоциклы и сделайте эту сумму равной 40. Уравнение: x + 5x + 4x = 40.
Его график показан ниже. Какая часть домена этой функции фактически моделирует эту ситуацию?
Поскольку 12 на 5 единиц больше, чем 7, график g (x) получается сдвигом f (x) на 5 единиц вверх.
Судя по рисунку, расстояние, на которое параллелограмм смещается вправо, равно длине стороны PQ. Кроме того, судя по рисунку, расстояние, на которое параллелограмм перемещен вниз, составляет примерно половину длины бокового QR.
Если она допустила какие-либо ошибки, объясните их и напишите правильное уравнение. 
36см 3 / г
В 4-х ч. Автор: Ефимов А.В. (ред.), Поспелов А.С. (ред.) Описание: Сборники задач для технических ВУЗов. Фактически является переизданием извест
Решебник по математике..ЕФИМОВ.А.В,Поспелов А.С.: сКАЖИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ЕСТЬ ТАКОЙ РЕШЕБНИК? ГДЗ по Алгебре.
…навчання готові відповіді , алешина н в патриотическое воспитание детей дошкольного возраста , скачать руководство по ремонту и эксплуатации ssangyong kyron cкачать , о и мороз планируем работу в группах раннего возраста , гдз…
В 4-х ч. Автор: Ефимов А.В. (ред.), Поспелов А.С. (ред.) Описание: Сборники задач для технических ВУЗов. Фактически является переизданием известнейшего сборника под ред. Ефимова А.В…
Страница не найдена 404. Возможно, она была удалена или перемещена. Сборник задач по математике ефимова и поспелова решебник часть 2.
Школьные электронные учебники, Учебники 4 класс ГДЗ, скачать бесплатно для электронной. Сборник задач по математике под редакцией ефимова и поспелова гдз.
ГДЗ по математике. 2 класс. волкова с.и., ордынкина и.с. Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. галкин в.я., сычугов д.ю., хорошилова е.в.
ГДЗ по Физике 9 класс Пинского Разумовского ГДЗ по Физике 9 класс Пинского Разумовского. Гдз по химии за 8 класс рабочая тетрадь габриелян и яшукова.
Учебники, пособия, ГДЗ по информатике. Решебник ефимова и демидович. Сборник задач по математике для втузов под ред ефимова а в поспелова а с.
Решебник по математике..ЕФИМОВ.А.В,Поспелов А.С.: сКАЖИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ЕСТЬ ТАКОЙ РЕШЕБНИК? ГДЗ по Алгебре.
…навчання готові відповіді , алешина н в патриотическое воспитание детей дошкольного возраста , скачать руководство по ремонту и эксплуатации ssangyong kyron cкачать , о и мороз планируем работу в группах раннего возраста , гдз…
…Издательство
Гдз по английскому за 11. Решебник по высшей математике а.в ефимов а.с каракулин. Все нормально скачивал тут скачать бесплатно без регистрации русификатор звука для world in conflict,все отлично…
Каракулин Анатолий Фёдорович, Коган Сергей Михайлович, Поспелов Алексей. скачать бесплатно. Решебники к задачнику ефимова каракулин коган поспелов. 6 дн. назад. гдз по математике 5 кл сборник задач гамбарин.
Гдз по русскому языку 2006 год Скачать: — gdz-po-russkomu-jazyku-2006-god.zip Скачать Бесплатно. 28684502889189 решебник по высшей математике а.в ефимов а.с каракулин ответы по истории рабочая тетрадь 8класс юдовская.
…Издательство: Akademiai Kiado Год: 2005 Язык: Русский, Английский Формат: TXT.RTF Размер: 17.67 Мб гдз…
…Болгов В.А., Ефимов А.В., Каракулин А.Ф., 2010. Описание: Сборник задач по математике для ВТУЗов, Часть 2, Специальные разделы математического анализа, Болгов В.А., Ефимов А.В., Каракулин…
А.В. Ефимов, А.Ф. Каракулин, И.Б. Кожухов, А.С. Поспелов, А.А. Прокофьев Сборник задач по математике для втузов.
А.В.Ефимов А.С.Поспелов. Множества и операции над ними. Верхние и нижние грани. Функции действительной переменной 1.
759651200677048 Ефимов Александр Васильевич Каракулин. 93511716686016 гдз по химии молодые класс рудзитис просвещение 20молодые год Добавлено: Вт Фев 21, 2013 9:21 am Заголовок сообщения: продаеться лыжная.
Вы должны войти , чтобы оставлять комментарии. Ефимов а в поспелов а с сборник задач по математике для втузов часть 3 2002.
Гдз по английскому за 11. Решебник по высшей математике а.в ефимов а.с каракулин. Все нормально скачивал тут скачать бесплатно без регистрации русификатор звука для world in conflict,все отлично.
..
Каракулин Анатолий Фёдорович, Коган Сергей Михайлович, Поспелов Алексей. скачать бесплатно. Решебники к задачнику ефимова каракулин коган поспелов. 6 дн. назад. гдз по математике 5 кл сборник задач гамбарин.
Гдз по русскому языку 2006 год Скачать: — gdz-po-russkomu-jazyku-2006-god.zip Скачать Бесплатно. 28684502889189 решебник по высшей математике а.в ефимов а.с каракулин ответы по истории рабочая тетрадь 8класс юдовская.
Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. Айрис-Пресс, 2006. Скачать DjVu (7,105 Мб)
Д. Математический анализ. Т. 2. Скачать DjVu (7,566 Мб)
Москва, Астрель 2006. Скачать DjVu (8167 Кб) 
Излательство Флинна-метена есной нтер турм!
по ISBN, издательству, автору, заглавию, аннотации, тексту. По запросу «Ефимов А.В., Демидович Б.П. Сборник задач по математике для втузов.
С. — Сборник задач по математике для втузов».
/ Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича
Поддерживается четыре метода: поиск с учетом морфологии, без морфологии, поиск префикса, поиск фразы. 
4 разработка По умолчанию, уровень равен 1. Допустимые значения — положительное вещественное число.
В J.Э. van Luit (Ed.), Исследование по изучению и преподаванию математики в детском саду и начальной школе , (стр. 220-228). Doetinchem / Rapallo, Нидерланды: Graviant.
Портсмут, Нью-Хэмпшир: Хайнеманн.
Данные о водительских удостоверениях, данные о доходах, данные об образе жизни являются здесь обычным делом и недоступны там.До сих пор американские розничные торговцы практически не проникали ни в одну из стран, поэтому у нас нет опыта, который мы могли бы использовать. Мы все слышали, как сложно будет открыть торговые операции в Японии, но последние тенденции продаж среди продавцов компьютеров и автозапчастей намекают на облегчение трудностей.
Цены будут покрывать некоторую неопределенность, но они все еще ниже, чем товары сопоставимого качества, уже предлагаемые в Японии.
Ассортимент продукции довольно узок — 200 товаров из 3000 товаров внутри страны. Они выбрали товары, которые вряд ли вызовут проблемы с посадкой: в основном верхняя одежда и трикотажные рубашки, не много штанов, в основном мужские, а не женские.Копия их каталога написана на кандзи, но стиль немного неестественный, как нам говорят, вероятно, потому, что он был написан на английском и переведен, но нам нужно проверить эту гипотезу. Напротив, мы просто отправили им по почте тот же каталог, который мы используем в США, даже на английском языке.
Особое внимание будет уделено криптосистемам с открытым ключом, включая системы на основе эллиптических кривых.Будут обсуждаться приложения реального мира, такие как безопасность браузера и биткойн.
Д.
Охватываемые темы включают физическую интерпретацию математической модели, использование программного обеспечения библиотеки, подготовку программного обеспечения, анализ результатов и отчет о результатах.
Будут рассмотрены следующие темы: линейная регрессия (проверка, методы повторной выборки, выбор модели и регуляризация, усадка, уменьшение размерности, основные компоненты), обобщенные линейные модели (модели логистической и пробитной регрессии, категориальный и подсчетный отклик, меры соответствия), Неконтролируемое обучение (деревья решений и случайные леса, бутстрап, упаковка, основные компоненты, кластерный анализ), временные ряды (модели случайного блуждания, модели авторегрессии, модели ARCH / GARCH, моделирование и прогнозирование Бокса-Дженкинса).
Он также готовит студентов к экзамену SOA Exam PA. По завершении этого курса студенты получат навыки прогнозной аналитики, которые позволят им: (1) сформулировать типы проблем, которые могут быть решены с помощью прогнозного моделирования, определить бизнес-проблему и то, как имеющиеся данные связаны с возможным анализом, использовать информация для предложения моделей, таких как обобщенная линейная модель (GLM), деревья решений, кластерный анализ и анализ основных компонентов; (2) получить опыт использования R для прогнозной аналитики и уметь создавать эффективные графики в RStudio, работать с различными типами данных, понимать принципы проектирования данных и создавать различные общие визуализации для исследования данных; (3) оценивать качество данных, решать проблемы с данными и выявлять нормативные и этические проблемы; (4) эффективно сообщать о результатах применения прогнозной аналитики для решения бизнес-задач.
Студенты будут ознакомлены с различными моделями частоты, серьезности и агрегированных моделей, которые полезны для краткосрочных актуарных исследований.Студенты узнают этапы процесса моделирования и узнают, как их применять. По окончании курса студенты смогут: 1) анализировать данные из приложения в бизнес-контексте; 2) определить подходящую модель, включая значения параметров; 3) обеспечивать меры доверия для решений, основанных на модели. Студенты познакомятся с различными инструментами для калибровки и оценки моделей.
По окончании курса студенты смогут: 1) понимать и оценивать потери, используя процедуры проверки достоверности; 2) понимать фундаментальные принципы ценообразования и резервирования некоторых из наиболее распространенных видов краткосрочного страхования и перестрахования: автомобили, домовладельцы, ответственность, здоровье, инвалидность и стоматология.Студенты познакомятся с некоторыми методами и базовыми статистическими моделями, используемыми для оценки убытков, понесенных в результате краткосрочного страхования и перестрахования.
Программа включает в себя исключение Гаусса, матричную алгебру, треугольную факторизацию, векторные пространства, линейную независимость, базис, размерность, ортогональность, внутренний продукт, грам-Шмидт, разложение по сингулярным значениям, детерминанты, собственные значения, матричные экспоненты, унитарные матрицы, сходство, положительную определенность, минимум принципы, конечные элементы, норма и число обусловленности, вычисление собственных значений, итерационные решения линейных систем, линейные неравенства, симплекс-метод.
Учащиеся, выбравшие факультативную практику MATH 1231, исследуют, как историческое развитие математики соотносится с математикой в средней школе. Кульминацией этого впечатления станет исследовательский проект и презентация.
Акцент делается на теории с примерами.
Кроме того, будет рассмотрено больше тем, включая более подробное обсуждение серийных решений и специальных функций, чем это возможно в MATH 1270. Наконец, курсовой проект, обычно выполняемый парами, по теме, выбранной студентами под руководством одобрение инструктора, будет ключевым моментом.
Акцент делается на процессе построения моделей и на развитии понимания некоторых объединяющих тем прикладной математики, таких как равновесие, стабильность, законы сохранения и т. Д. Материал представлен в форме тематических исследований.
Также будут рассмотрены вычислительные методы, включая вычислительные платформы, такие как XPPAUT. На протяжении всего курса у студентов будут широкие возможности попрактиковаться в разработке и анализе моделей математической биологии.
Изучаются три основных типа линейных уравнений в частных производных второго порядка — параболические, эллиптические и гиперболические.Кроме того, вводятся инструменты, необходимые для решения уравнений в частных производных, такие как ряды Фурье и преобразования Лапласа.
Могут быть включены и другие темы, такие как понятие пределов и непрерывности в метрических пространствах.
Основное внимание в этом курсе будет уделяться разработке строгой математической основы для наиболее часто используемых алгоритмов в этой области. Темы, которые будут охвачены, включают кластеризацию, уменьшение размерности, регрессию, оптимизацию и нейронные сети.У студентов будет возможность реализовать алгоритмы из этих тем и проверить свою работу на реальных данных. Рекомендуется иметь знания в области многомерного исчисления и линейной алгебры. Опыт программирования не требуется
Решать сейчас эти примеры в уме или на бумаге не обязательно.
И если чтению научить малыша совсем не сложно, то понимать и решать математические задачи детям не всегда легко. Чтобы первоклассник успевал по математике в школе, родители либо нанимают репетитора, что не всегда финансово оправдано, либо пытаются заниматься с детьми самостоятельно. В этом материале мы расскажем, как подтянуть первоклассника по математике в домашних условиях, расскажем о различных типах задач и о методах их решений.
Выкладывайте перед ребенком все условие задачи из наглядных материалов: было столько-то, добавили или отняли столько-то. Так ему будет проще понимать условие задачи и легче находить ее решение.
Ребенок должен понимать, что такое первое слагаемое, второе слагаемое и сумма, и уметь находить их в условии задания.
На первом окне стоит 2 цветка, на втором 3 цветка, а на третьем 1 цветок. Сколько всего цветов в классе?
Из них 10 красные, 8 синие и 12 желтые. Сколько всего палочек в пачке?
Сколько всего кустов растений посадила мама?В понедельник в столовую привезли 8 столов, во вторник – 7 столов, а в четверг – еще 10. Сколько всего столов получила столовая за неделю?
В условии всегда можно встретить какое-то из характерных словосочетаний: «сколько осталось», «было столько-то, из них…», «было столько-то, столько-то ушло/улетело/убежало/испортилось и т.д.» и прочие. Здесь тоже важно понимать, что такое первое слагаемое, второе слагаемое и сумма, уметь находить их в условии задания, потому что задачи на вычитание являются обратными от сложения. И понятия здесь немного другие: уменьшаемое, вычитаемое, разность.
Сколько у него осталось?
Сколько всего кустов огурцов пропало?
Сколько и каких пирожков испекла бабушка?
Кур 18, а уток – 15. На сколько кур больше, чем уток.
К ним пришли 7 коз и всего стало 15 животных на лугу. Сколько было коров?
Сколько всего будет яблок и слив?
В конце задания пусть ребенок ответит, какие числа оказались лишними. Затем ребенок должен придумать примеры для каждой картинки. Например, в первой картинке пример звучит так: 3 красных яблока + 6 зеленых яблок = 9 яблок.
Подходящий пример нужно выбрать среди четырех вариантов и соединить линиями с соответствующими картинками.
Тебе нужно решить, какое число запрятано под яблоком. Для этого ты должен внимательно посмотреть как прибавляются и отнимаются фрукты в примерах и какие числа получаются в результате. Если ты узнаешь числа, скрытые под разными фруктами, то сможешь узнать и то число, которое скрыто под яблоком.
Чтобы сгладить впечатление детей от скучных учебников, распечатывайте ему красочные картинки с заданиями, которые богаты иллюстрациями и любимыми мяльтяшными героями. Обучение должно доставлять радость!
Затем картинку с животными нужно раскрасить. В детском саду или школе можно выполнять это задание с группой детей. В таком случае один из детей окажется победителем, если первым скажет правильный ответ. Раскрашивать необходимо в свободной форме, без соревнований (дети должны приучаться к аккуратности, а скорость – не лучший помощник в этом).
Сколько рисунков, выполненные красками, на школьной выставке?
Сколько букетов Оля не стала рисовать?
На сколько больше в цехе работает мужчин, чем женщин?
Здесь вы найдете и решение примеров на сложение и вычитание, и выполнение простых алгоритмов, и сравнение чисел друг с другом. Игра хорошо развивает логическое и математическое мышление. Очень эффективно проводить это занятие с группой детей.
Например, по пути в верхний домик стоят знаки 3 и перечеркнутая 2 – это означает, что дальше может пройти только число, которое меньше 3 и не является 2. То есть в этом случае подходят только два числа – 0 и 1. Правильные ответы смотрите в “Приложении к заданию №2”.
Выполняется аналогично предыдущему.
Ведь именно в это время закладывается фундамент его дальнейшей учебы в школе.
Чтобы школьнику было действительно интересно, его все время нужно стараться заинтересовывать чем-то новым.