Рубрика: Математике

В понедельник в Джексонвилле ДеСантис сказал, что некоторые из отвергнутых учебников содержат ссылки на Common Core, которые представляют собой образовательные стандарты, которые во Флориде были заменены новыми B.E.S.T. Стандарты.

«Одним из критических замечаний было то, что родители не могли помочь своим детям с домашним заданием по математике. Поэтому любые книги, которые не соответствуют стандартам B.E.S.T., нам не подходят», — сказал ДеСантис.

Наибольшее количество отклоненных книг относится к классам K-5, где «тревожный» 71% не соответствует стандартам Флориды или включает запрещенные темы, говорится в сообщении.

«Большинство книг, которые по какой-либо причине не соответствовали стандартам Флориды, попали в младшие классы, — сказал ДеСантис. «Когда вы переходите в старшие классы, большинство этих книг действительно соответствуют стандартам».

ДеСантис добавил, что издатели учебников могут обжаловать отказы.

«Некоторые из этих учебников смогут сказать: «Эй, мы должны подать апелляцию. Некоторые могут согласиться подправить некоторые вещи», — сказал ДеСантис. «Если есть математика Common Core, может быть, они смогут это исправить».

Несмотря на отклонение 41% представленных материалов, каждый основной курс математики и каждый класс охвачен как минимум одним учебником, говорится в сообщении.

«Мы хотим убедиться, что наших детей не подвергают идеологической обработке», — сказала Тиффани Джастис из Веро Бич, соучредитель группы «Мамы за свободу», занимающейся защитой родительских прав.

Джастис сказал, что отказы от учебников являются ответом на так называемую «пробужденную математику» в формулировках некоторых задач.

«Это также идея чувств, как вы относитесь к задаче по математике, и что родители из Флориды говорят: «Слушайте, математика иногда может быть сложной и может вызывать разочарование, но мы хотели бы, чтобы чувства не вмешивались в нее», — Джастис.

Демократы рассматривают проблему с учебниками как еще один пример республиканской политики во Флориде

«Это еще одна попытка создать истерию и политические разногласия», — заявила член палаты представителей штата Анна Эскамани, штат Орландо.0005

Эскамани сказала, что она также не получает никаких ответов о конкретных отрывках из учебников по математике, отмеченных рецензентами штата.

«Мы не видим критериев оценки и того, какие комментарии сделали оценщики или письма, полученные издателями в ответ на их представление, мы не собираемся получать полную картину», — сказал Эскамани.

Copyright 2022 Scripps Media, Inc. Все права защищены. Этот материал нельзя публиковать, транслировать, переписывать или распространять.

Подпишитесь на информационный бюллетень South Florida Sports Headlines и получайте актуальную информацию.

подписался на получение информационного бюллетеня South Florida Sports Headlines.

Флорида отклоняет несколько школьных учебников по математике, ссылаясь на критическую расовую теорию

Си-Эн-Эн —

Департамент образования Флориды объявил в пятницу, что штат отклонил более 50 учебников по математике из учебной программы следующего учебного года, сославшись на ссылки на критическую расовую теорию среди причин отклонения.

В пресс-релизе департамент заявил, что 54 из 132 представленных учебников не будут добавлены в список принятых штатом, поскольку они не соответствуют новым стандартам Флориды или содержат запрещенные темы.

В релизе говорится, что список отклоненных книг составляет примерно 41% заявок, что является самым большим показателем в истории Флориды.

Причины отклонения учебников включали ссылки на критическую расовую теорию, «включение Common Core и нежелательное добавление социально-эмоционального обучения (SEL) в математику», — говорится в релизе.

Разгневанные родители и члены сообщества протестуют после того, как школьный совет остановил собрание школьного совета округа Лаудоун, потому что толпа отказалась успокоиться, в Эшберне, штат Вирджиния, США, 22 июня 2021 года. REUTERS/Evelyn Hockstein

Критическая расовая теория стала социальным и политическим громоотводом. Вот как мы сюда попали

Список учебников, полученный CNN, показывает, что материалы восьми разных издателей были отклонены из-за ссылок на критическую расовую теорию, социально-эмоциональное обучение и другие специальные темы. В списке не было дополнительных подробностей о каждом заголовке или примеров отрывков из учебника.

Этими издателями являются Accelerate Learning, Bedford, Freeman and Worth Publishing Group; Big Ideas Learning LLC, Cengage Learning, Houghton Mifflin Harcourt, Math Nation, McGraw Hill LLC и Savvas Learning Company LLC.

Из этих издателей только «Бедфорд» и издательская группа «Фримен энд Уорт» не имели названия в списке утвержденных штатом.

Тайлер Рид, представитель McGraw Hill, сказал, что компания изучает этот вопрос и запрашивает подробные отзывы от отдела образования.

Губернатор Рон ДеСантис заявил в понедельник, что книги были отклонены по разным причинам, и чиновники стремились «сфокусировать образование на реальных высоких академических показателях учащихся».

«Мы не хотим, чтобы такие вещи, как математика, вводили некоторые из этих других понятий. Его эффективность не доказана, и, откровенно говоря, это отвлекает нас», — заявил губернатор журналистам на пресс-конференции.

Эндрю Спар, президент Ассоциации образования Флориды, призвал к прозрачности того, как департамент образования штата принял решение, включая примеры «нежелательного» содержания и подробную информацию о тех, кто рецензировал учебники, и их квалификации.

«В настоящее время полный комплект учебников по математике K-5 от одного издателя доступен для округов Флориды, и у нас нет подробного понимания того, почему», — написал Спар в Твиттере. «Государство обязано обеспечить, чтобы каждый ребенок получал необходимые ему математические инструкции с использованием материалов самого высокого качества».

cms.cnn.com/_components/paragraph/instances/paragraph_549DCD78-CF87-60F8-E278-3D47E3D9CC5F@published» data-editable=»text» data-component-name=»paragraph»> ДеСантис сказал, что государственные чиновники «избавились» от Common Core, стандартизированного метода обучения, развернутого в 2010 году. Метод требует, чтобы дети группировали числа для решения арифметических задач, а не вертикальный метод «неси один», знакомый большинству взрослых. Подход выходит за рамки простых вычислений, чтобы подчеркнуть более глубокие математические концепции.

Департамент заявил, что некоторые из отклоненных учебников включали социальное и эмоциональное обучение (SEL) и ссылки на критическую расовую теорию — две концепции или философии, которые, по утверждению некоторых консервативных групп, используются для идеологической обработки студентов.

Некоторые школы по всей стране недавно использовали стратегии SEL, чтобы помочь учащимся справиться со стрессом и последствиями пандемии Covid-19. Collaborative for Academic, Social and Emotional Learning определяет SEL как структуру обучения, направленную на то, чтобы помочь «молодым людям и взрослым приобретать и применять знания, навыки и отношения для развития здоровой личности, управления эмоциями и достижения личных и коллективных целей, чувства и демонстрации». сочувствовать другим, устанавливать и поддерживать поддерживающие отношения, принимать ответственные и заботливые решения».

По данным Национальной конференции законодательных собраний штатов, более дюжины штатов установили стандарты преподавания SEL в начальных школах. Но по мере того, как все больше штатов рассматривают стратегии SEL, консервативные группы заявляют, что критическая расовая теория встроена в структуру.

Губернатор Флориды Рон ДеСантис выступает во время мероприятия по вручению бонусов лицам, оказывающим первую помощь, которое состоялось в отеле Grand Beach Surfside 10 августа 2021 года в Серфсайде, Флорида.

видео

Сенатор штата отреагировал на спорный законопроект ДеСантиса

В последние годы критическая расовая теория стала широко политизированной. Оппоненты утверждают, что область исследования основана на марксизме и представляет угрозу для американского образа жизни. Но ученые, которые изучают его, говорят, что он исследует то, как история неравенства и расизма в Соединенных Штатах продолжает влиять на американское общество сегодня.

«Критическая расовая теория — это практика. Это подход к борьбе с историей превосходства белых, который отвергает веру в то, что все, что было в прошлом, осталось в прошлом, и что законы и системы, которые вырастают из этого прошлого, оторваны от него», — сказала Кимберле Креншоу, один из основателей критической расы. теоретик и профессор права, преподающий в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе и Колумбийском университете.

Педагоги во многих штатах утверждают, что критическая расовая теория обычно не включается в обучение в начальной школе.

По данным группы PEN America, выступающей за свободу слова, в нескольких штатах было принято по меньшей мере дюжина законов, направленных на ограничение преподавания таких тем, как расизм, сексизм и история Америки, в американских школах, и с прошлого года было предложено более 100 законопроектов.

Джереми Янг, старший менеджер программы «Свобода выражения мнений и образования» в PEN America, сказал, что отказы от учебников во Флориде вызывают вопросы о том, принимаются ли решения на основе обучения или политики.

«Отказы приходят на фоне многосторонних усилий, направленных на то, чтобы подорвать веру в государственное школьное образование, и использовать термины, которые стали модными словечками для оправдания цензуры, но которые остаются расплывчатыми и плохо определенными», — сказал Янг. «Достоинство учебников по математике следует оценивать с точки зрения того, насколько эффективно они помогают учащимся изучать математические понятия».

Во Флориде законодатели запретили преподавание критической расовой теории в школах в июне 2021 года. В то время ДеСантис сказал, что разрешение критической расовой теории в школах научит детей тому, что «страна прогнила и что наши институты незаконны».

Уполномоченный Департамента образования Флориды Ричард Коркоран (справа) вместе с губернатором Роном ДеСантисом выступает на пресс-конференции в марте.

Закон гласит, что обучение в школах должно быть «фактически и объективным». Он конкретно запрещает «теории, искажающие исторические события», в том числе «учение о критической расовой теории, означающей теорию о том, что расизм является не просто продуктом предубеждений, но что расизм встроен в американское общество и его правовые системы для того, чтобы поддерживать превосходство белых».

Флорида также запретила учебные материалы из «Проекта 1619», получившего Пулитцеровскую премию проекта New York Times по переосмыслению американской истории в августе 1619 года, когда к берегам Америки прибыл первый корабль с рабами.

В пресс-релизе говорится, что наибольшее количество отклоненных книг было для классов K-5, где «тревожный» 71% не был должным образом приведен в соответствие со стандартами Флориды или включал запрещенные темы.

В пресс-релизе говорится, что, несмотря на отклонение 41% представленных материалов, для каждого основного курса математики и класса предусмотрен как минимум один учебник.

В своем заявлении ДеСантис сказал, что он благодарен департаменту за тщательную проверку этих учебников, чтобы убедиться, что они соответствуют закону.

«Похоже, что некоторые издатели пытались нанести слой краски на старый дом, построенный на фундаменте Common Core, и внушали такие понятия, как расовый эссенциализм, особенно, как ни странно, ученикам начальной школы», — сказал губернатор.

Стивен Конторно и Лия Асмелаш из CNN внесли свой вклад в этот отчет.

Пристальный взгляд на отвергнутые во Флориде учебники по математике

Прошло две недели с тех пор, как губернатор Рон ДеСантис заявил, что почти половина предлагаемых штатом новых учебников по математике не подходят для школьных занятий во Флориде. Тогда он предоставил несколько подробностей о своих заявлениях о «воспитании», и с тех пор Министерство образования не предоставило подробностей, кроме публикации четырех отрывков без объяснения причин.

Это заставило руководство школьного округа задуматься над своим следующим шагом. Некоторые из них готовы выбрать учебники на следующий год, не зная, почему многие из них были отклонены или почему государство все же одобрило полдюжины книг.

Во вторник, , школьный совет округа Паско выберет несколько учебников по математике на 2022–2023 годы, по крайней мере один из которых не был рекомендован.

Издатели тоже ничего не рассказали, поскольку они подали апелляции и вели переговоры с государством, чтобы их учебники были одобрены.

«Мы активно работаем с Флоридским департаментом образования (Department of Education) для решения любых проблем», — сообщил по электронной почте Ричард Вейр, представитель давнего поставщика книг во Флориде Savvas Learning Co. Он добавил, что компания ожидает, что ее книги «в конечном итоге будут приняты и доставлены нашим клиентам во Флориде».

Теоретически, это может случиться со всеми забракованными книгами, заявили государственные чиновники. Представитель Министерства образования Джаред Окс сказал, что большинство проблем можно легко решить.

Что внутри книг могло оскорбить государственных рецензентов?

Tampa Bay Times рассмотрел несколько наименований из первоначального списка отклоненных, используя копии , которые были предоставлены школьным округам в процессе усыновления. Вот что мы нашли:

. ЛУЧШИЙ. Standards for MATH Grade 4

Издатель: Big Ideas Learning, Erie, Pa. является одним из шести в математической серии K-5 компании, которая первоначально фигурировала в списке запрещенных государством. Он получил высокие оценки за математический контент в 5-балльной рейтинговой системе штата, но был отмечен за включение «специальных тем». Руководители компании сообщили школьным округам по электронной почте, что они не включают ссылок на Common Core, предыдущие стандарты штата или «критическую расовую теорию». Они сказали, что три небольших упоминания о социально-эмоциональном обучении в справочных материалах будут удалены. Через несколько дней государство изменило курс и одобрило всю серию.

Наблюдения: Обзор этой книги показал строгое соблюдение предписанных математических стандартов для уровня класса, начиная с числового выражения и переходя к пониманию и использованию данных. Каждая глава включала уроки, посвященные различным способам подачи материала, в том числе с помощью письменных слов, чисел и задач. Они также включали такие задачи, как объяснение работы партнеру, а также упоминания о конкретных целях обучения и охватываемых стандартах.

Чтобы сделать вопросы интересными, в книге использованы примеры из Флориды, такие как посещение Клубничного фестиваля в Плант-Сити. Примеров политически мотивированных тем на страницах не оказалось. В нем были изображены мультяшные собака и кошка, которые время от времени давали математические советы и подбадривали, например, «Оставайтесь позитивными». Это соответствует стандартам, требующим, чтобы учащиеся оставались заинтересованными и настойчиво выполняли свои задачи.

Следите за тем, что происходит в школах Тампа-Бэй

Подпишитесь на нашу бесплатную рассылку журнала оценок

Каждый четверг мы будем рассказывать о новостях местного и государственного образования, которые вам необходимо знать.

Вы все зарегистрированы!

Хотите получать больше наших бесплатных еженедельных информационных бюллетеней в свой почтовый ящик? Давайте начнем.

В книгу включены рисунки людей разных рас и национальностей в соответствии с государственными спецификациями для обеспечения мультикультурного представления.

enVision Флорида B.E.S.T. Математика 2 класс

Издатель: Savvas Learning Co., Парамус, Нью-Джерси

Страниц: 696

Описание: Этот учебник предназначен для учащихся 2-х классов сложения и вычитания с использованием пояснений, игр и текстовых задач. В первых главах основное внимание уделяется числам ниже 20, постепенно доводя их до сотен по ходу учебного года. Учащимся предлагается считать и составлять диаграммы, используя обычные предметы и живые существа — предметы домашнего обихода, игрушки, продукты питания, домашних животных, диких животных, здания и многое другое. В последующих главах рассматриваются более сложные понятия, такие как измерение длины, изучение форм и интерпретация основных данных.

Наблюдения: Постраничный обзор не обнаружил явных ссылок на критическую расовую теорию или лежащую в ее основе идею о том, что расизм укоренился в институтах США.

Точно так же не было упоминаний по названию социально-эмоционального обучения, широко используемой практики, направленной на то, чтобы помочь учащимся управлять эмоциями, ставить цели, проявлять эмпатию, строить отношения и принимать решения. Сторонники этой стратегии говорят, что она является неотъемлемой частью образования, в то время как критики утверждают, что она отвлекает от содержания и не имеет места в классе.

Книга, однако, включала 26 случаев, когда учащихся убеждали принять «мышление роста», популярную концепцию в образовании, принятую во многих школах Тампа-Бэй и связанную с социально-эмоциональным обучением. Это также поощряется в государственных математических стандартах. На этих страницах появляются мультяшные фигурки школьников с сообщениями, выраженными в речевых пузырях (показано выше). Они предлагают поддержку различными способами, побуждая студентов принимать вызовы, приветствуют обратную связь и дают себе время для решения проблем.

В книге также упоминаются предметы из разных культур — например, две пиньяты из Мексики, барабаны и еще один музыкальный инструмент из Западной Африки (показан выше), нашивка с нигерийским флагом на куртке студента. Хотя Флорида призвала издателей использовать «мультикультурную защиту» в своих книгах, она также заранее предупредила, чтобы они не включали «обучение с учетом культурных особенностей» — стратегию, которая поощряет педагогов делать культурные ссылки рутинной частью обучения.

enVision Florida B.E.S.T. Математика, 7 класс

Издатель: Savvas Learning Co., Парамус, Нью-Джерси

Страницы: 469

Описание: Эта книга является частью серии по математике Savvas Learning для средних классов. Он сосредоточен на пяти ключевых областях: дроби, эквивалентные выражения, пропорциональные отношения, анализ двух- и трехмерных фигур и вероятность. Министерство образования оценило эту книгу как неприемлемую из-за несоответствия требуемым академическим стандартам. В то же время департамент утвердил все остальные учебники для средних классов от Savvas, включая ускоренную версию для седьмого класса, которая, по его словам, на 100 процентов соответствует стандартам. В названии не упоминались какие-либо неутвержденные темы.

Наблюдения: Эта книга по-прежнему направлена ​​на удовлетворение ожиданий, установленных государством, часто включая конкретный стандарт, которому посвящен каждый урок. Проблемы тесно связаны с типом проблем, с которыми могут столкнуться подростки, такими как использование сотового телефона, вес корма для домашних животных и стоимость билетов на мероприятия. Главы предлагают проекты, некоторые из которых могут показаться не относящимися к теме. В разделе, посвященном вероятности, например, одна из идей — придумать и написать о персонаже для приключения.

Как и другие игры Savvas, издание для седьмого класса содержит несколько упоминаний о «мышлении роста», которое некоторые люди связывают с концепцией социально-эмоционального обучения, которую отдел запретил издателям включать. В нем также было несколько напоминаний о совместном обучении с такими советами, как «уважать и понимать другие взгляды и точки зрения». Книга включала две страницы с обзором государственных стандартов мышления и рассуждений, поощряющих такой подход.

Stats In Your World 3e

Издатель: Pearson North America, New York City

Страницы: 562

Описание: Этот учебник предназначен для факультативного занятия по статистике, которое подростки из Флориды могут пройти, если они находятся на пути к деловой карьере. . Издательство пишет, что это книга о том, «как ясно мыслить с данными». Первые несколько глав посвящены анализу данных, а затем главы обращаются к концепциям сбора данных, вероятности и логического вывода. Штат высоко оценил эту книгу за ее математическое содержание, но обнаружил, что в ней есть некоторые из «недопустимых» тем.

Наблюдения: Книга начинается с предположения, что статистика имеет смысл и доступна. Чтобы подчеркнуть это, он фокусируется на темах, которые могут иметь отношение к подросткам, таких как Facebook, использующий личную информацию для адаптации рекламы к пользователям, и время реакции водителей, которые отправляют текстовые сообщения, по сравнению с теми, кто пьян. Цель состоит в том, чтобы научить студентов создавать такие эксперименты, собирать и анализировать данные.

12-страничный предметный указатель охватывает широкий спектр материалов, включая рождение близнецов и Skittles. В нескольких примерах обсуждаются актуальные политические вопросы, такие как концепция расового профилирования (показана выше) и точность данных опросов на президентских выборах 2016 года, причем фотография Хиллари Клинтон находится над фотографией Дональда Трампа. Возможно, они могут быть среди предметов, помеченных государством.

Количественное мышление: общение с числами

Издатель: Pearson North America, New York City

Страницы: 510

Описание: Эта книга, предназначенная для старшеклассников, начинается с основ настройки электронных таблиц и доходит до более сложных понятий, таких как частоты и вероятности. Используя различные диаграммы и графики, учащимся предлагается подумать о том, как темы реальной жизни можно анализировать и анализировать с использованием данных. Среди вопросов, затронутых в этих иллюстрациях, — дорожно-транспортные происшествия, тенденции изменения численности населения США, сила землетрясений и взаимосвязь между ожирением и супермаркетами Walmart.

Наблюдения: Как и в некоторых других отвергнутых книгах, здесь не было явных ссылок на критическую расовую теорию или социально-эмоциональное обучение. Но формулировка первоначального пресс-релиза штата предполагает, что книги могли быть помечены и по другим причинам. Поэтому стоит изучить некоторые отрывки, в которых затрагиваются спорные вопросы и которые можно рассматривать как направленные против позиций, занимаемых многими консервативными лидерами штата.

В главе 8 в теме криминальной статистики упоминается «неизбежное полицейское государство, к которому мы направлялись», поскольку правоохранительные органы реагировали на рост уровня преступности между 1960 и 1991.

Глава 11, озаглавленная «Риски и принятие решений», знакомит учащихся с диаграммами, на которых отслеживается повышение уровня моря и температура поверхности Земли. Он также наносит удар по отрицателям изменения климата: «Отрицать, что такое загрязнение окажет какое-либо влияние на окружающую среду, кажется столь же наивным, как полагать, что сигаретный дым не повредит вашим легким».

В той же главе обсуждаются американские дебаты по поводу огнестрельного оружия: «Вероятность умереть от выстрела в Соединенных Штатах в 30 раз выше, чем в Англии».

Далее в отрывке отмечается, что оружие и расовые вопросы доминировали в дебатах, предшествовавших президентским выборам 2016 года. «Должны ли мы голосовать за более строгие меры контроля над оружием?» он спрашивает. «Насколько опасно наше общество? Влияет ли расовое профилирование на тактику полиции, например, «остановить и обыскать»? Ответы на такие вопросы требуют понимания риска и оценки различных вмешательств».

Математическое мышление

Издатель: Pearson North America, New York City

Страницы: 945

Описание: Эта книга написана для курса Флориды под названием «Математика для колледжа гуманитарных наук». карьера в науке, математике или технике. Автор пишет в предисловии, что его основная цель — показать учащимся, как математика может применяться в их жизни осмысленными и интересными способами. Он охватывает различные подходы, включая решение задач и логику, а также предлагает обзоры таких предметов, как алгебра и геометрия. Штат высоко оценил его соответствие стандартам, но заявил, что он включает неприемлемые темы.

Наблюдения: Поскольку книга посвящена повседневному использованию математики в ненаучных целях, она основана на материалах, которые считаются понятными для учащихся. В нем есть главы по темам, которые используются ежедневно, таким как, например, измерение и финансы. Глава, посвященная теории графов, начинается с объяснения того, как учащиеся могут применить ее в жизни, например, составить эффективный план поездок для осуществления телефонных звонков.

Это область приложений, где появляются ссылки на потенциально спорные темы. Например, в нем представлены математические задачи, в которых обсуждается возраст, с которого разрешено заниматься сексом, употребление алкоголя старшеклассниками и вера американцев в Бога.

Эти вопросы обычно используются для улучшения понимания учащимися математики, в данном случае из главы по логике. В книге есть глава о выборах, которая начинается с заявления о том, что граждане свободного общества имеют право и обязаны голосовать. Материал посвящен математике таблиц предпочтений и различным способам расчета результатов выборов. Он также включает в себя краткую историю.

Губернатор сказал, что, по его мнению, школы должны учить учеников решать проблемы, а не добавлять к ним посторонние идеи. Однако в спецификациях, разосланных издателям, говорилось, что книги должны включать междисциплинарные связи и связи с жизнью студентов , чтобы сделать содержание значимым.

• • •

Подпишитесь на рассылку журнала оценок!

Каждый четверг получайте последние обновления о том, что происходит в школах района Тампа-Бэй от Times репортер образования Джеффри С. Солочек. Нажмите здесь, чтобы зарегистрироваться.

Почему учебники по математике так важны

Учебники по математике являются одним из основных предметов в школах США. Учителя используют их ежедневно для планирования и проведения уроков; учащиеся отрабатывают в них упражнения и несут домой, передавая родителям активность на уроке математики. В 2001–2002 годах школьные округа K-12 потратили более 4 миллиардов долларов на учебники (Education Market Research, 2002), что делает эту статью одной из самых больших расходов школ, за исключением заработной платы учителей.

Учебники представляют собой значительные финансовые вложения и сильно влияют на то, что учащиеся изучают. Они могут легко облегчить — или поставить под угрозу — понимание. Итак, кто решает, что входит в учебники по математике? Какие системы сдержек и противовесов гарантируют, что учителя предоставляют учащимся высококачественные материалы?

Тест по учебникам

1. Школы обычно принимают новые учебники по математике каждые пять-семь лет.

2. Перед публикацией и распространением новых учебников в школах разработчики учебников проводят полевые испытания и пересматривают новые материалы на основе доказательств их эффективности.

3. Авторы и издатели учебников основывают содержание учебников по математике на национальных стандартах учебных программ.

4. Учебники США напоминают учебники, используемые в странах, где учащиеся хорошо сдают международные экзамены по математике.

5. Учебники по математике оказывают непосредственное влияние на то, чему учат в школе и чему учатся учащиеся.

Школы обычно принимают новые учебники по математике каждые пять-семь лет.

Правда . Пяти-семилетний цикл позволяет различным дисциплинам, таким как естествознание, словесность и обществознание, регулярно выбирать новые учебники, распределяя их стоимость несколько равномерно из года в год. Школы заменяют учебники, потому что учебники изнашиваются физически, а учителя пересматривают свои учебные подходы или изменяют акцент на содержании. Однако в целом школы США не принимают новые учебники по математике в определенный месяц или год. Это означает, что издатели учебников должны постоянно выпускать рыночные материалы для штатов или школьных округов с разными сроками принятия.

Перед публикацией и распространением новых учебников в школах разработчики учебников проводят полевые испытания и пересматривают новые материалы на основе доказательств их эффективности.

Ложь . Два фактора, как правило, не позволяют издателям учебников тестировать новые материалы в полевых условиях: высокая стоимость разработки и публикации новой серии учебников — более 20 миллионов долларов за полную серию учебников по математике для K-6 — и необходимость выпускать материалы для различных рынков в условиях сжатые сроки. Кроме того, потребители редко требуют доказательств того, что коммерческие материалы действительно эффективны. Издатели иногда тестируют новые материалы с учителями, но эта оценка обычно относится к физическому дизайну учебника, а не к содержанию или педагогическому подходу. Большинство издателей не собирают научных доказательств эффективности учебника во время его разработки или использования в классе. В результате учебники, являющиеся потенциальным агентом изменений для улучшения обучения учащихся, обычно претерпевают незначительные изменения, если вообще претерпевают значительные изменения от одного издания к другому.

Авторы и издатели учебников основывают содержание учебников по математике на национальных стандартах учебных программ.

Ложь . Соединенные Штаты, в отличие от большинства промышленно развитых стран мира, оставляют решение о том, какую математику преподавать и когда преподавать, на местный контроль. На уровне штата или местного школьного округа отдельные учителя или комитеты учителей, администраторов и родителей принимают решения о содержании курса. Федеральное правительство не устанавливает национальные стандарты учебных программ, которыми можно было бы руководствоваться при принятии решений на местном уровне. Национальный совет учителей математики (NCTM), некоммерческая организация учителей, разработал структуру учебного плана K-12 по математике. Эта структура, Принципы и стандарты школьной математики (2000 г.) представляет общие рекомендации в отношении ожиданий в отношении обучения математике в четырех классах (preK-2, 3–5, 6–8 и 9–12). Некоторые издатели учитывают эти рекомендации при выпуске учебников по математике.

Учебники США напоминают учебники, используемые в странах, где учащиеся хорошо сдают международные экзамены по математике.

Ложь . Учебники США уникальны по своему размеру и содержанию. Авторы и издатели, как правило, добавляют темы в учебники по математике в США, чтобы соответствовать различным требованиям местных и государственных учебных программ, но они редко удаляют информацию, чтобы освободить место для новых тем. С каждым новым изданием учебники пополняются. Учебники по математике в США содержат значительно больше информации для каждого класса, чем учебники, используемые в странах, где учащиеся хорошо справляются с международными оценками, таких как Япония и Сингапур. Кроме того, в средних школах США исторически школьные курсы математики были разделены на отдельные направления, такие как алгебра, геометрия, статистика и исчисление. Однако школы за пределами Соединенных Штатов обычно включают математику, поэтому учащиеся ежегодно изучают алгебру, геометрию и статистику.

Учебники по математике напрямую влияют на то, чему учат в школе и чему учатся учащиеся.

Правда . Тайсон-Бернштейн и Вудворд (1991) отмечают повсеместное распространение учебников в школах США; учебники являются заметной, если не доминирующей частью преподавания и обучения. Это явление, однако, не ограничивается Соединенными Штатами, как показывают международные исследования (Robitaille & Travers, 1992): Учителя математики во всех странах во многом полагаются на учебники в своем повседневном обучении, и это, возможно, более характерно для преподавания математики, чем для любого другого предмета в учебной программе. Учителя решают, чему учить, как учить и какие упражнения давать своим ученикам, в основном на основе того, что содержится в учебнике, утвержденном для их курса. (стр. 706)

Поскольку учителя часто используют учебник в качестве основного ресурса для планирования ежедневного обучения математике (Weiss, Banilower, McMahon, & Smith, 2001), учебник стал играть три решающие роли. Во-первых, он определяет, как учитель будет упорядочивать материал. Например, в учебнике по математике для 2-го класса первые главы посвящены разрядному значению как фундаментальной структуре системы счисления. Студенты должны понять эту концепцию, прежде чем они смогут научиться складывать или вычитать многозначные числа. Точно так же учебник по алгебре знакомит студентов с методами решения линейных уравнений с одной переменной, прежде чем рассматривать более сложные уравнения.

В дополнение к представлению математики в определенной последовательности, учебник также предлагает содержание, которое учителя должны преподавать. Этот фактор особенно важен, когда мы смотрим на американские учебники по математике, в которых многие темы рассматриваются поверхностно и повторяется материал из предыдущих классов. Эта ситуация является результатом отсутствия национального консенсуса в отношении конкретной учебной программы по математике для каждого класса.

Рассмотрим следующее несоответствие: учебник математики для 4-го класса в Соединенных Штатах в среднем содержит 530 страниц, тогда как среднее количество страниц в учебнике математики для 4-го класса в других странах, участвующих в исследовании «Тенденции в международной математике и науке» (TIMSS), составляет 170 страниц. (Шмидт и Вальверде, 19 лет.97). Согласно анализу учебников TIMSS (Schmidt, McKnight, & Raizen, 1997), учебники по математике в США содержат значительное количество повторений и вводят только одну или две новые темы каждый год с 4 по 8 класс, в то время как в других странах вводится от шести до шести. семь новых тем за этот период. Чрезмерное повторение материала приводит к поверхностному отношению к математике и не может стимулировать интерес учащихся или стимулировать их мышление.

Третья важная роль учебников состоит в том, чтобы предоставить учителю задания и учебные идеи для вовлечения учащихся в изучаемые темы. Учебники служат для учителя набором планов уроков, дополненных примерами задач, диаграммами, проработанными примерами и домашними заданиями. Количество страниц, отведенных в учебнике на определенную тему, влияет на количество времени, которое учитель тратит на эту тему (Chávez, 2003). Неудивительно, что учитель часто копирует метод изложения учебника.

Рассмотрим типичный урок из учебника для 7-8-х классов на тему объема цилиндров и конусов. На рис. 1 показано, как эта тема представлена ​​в учебниках США за последние два десятилетия. Урок начинается с реальной задачи: найти объем городской водонапорной башни, имеющей форму цилиндра. На уроке представлена ​​тема, показано решение и включены аналогичные задачи для решения учащимися. Обратите внимание, что в учебнике представлена ​​одна формула для определения объема цилиндра и другая для определения объема конуса. Урок представляет каждую формулу как отдельный факт, который следует запомнить, а не обсуждает связь между этими двумя формулами или с ранее изученным материалом.

Рис. 1. «Традиционный» урок из учебника США: объем цилиндров и конусов

Метод представления в учебнике обязательно влияет на обучение. Стиглер и Хиберт (1999) характеризуют типичный урок математики в 8-м классе в Соединенных Штатах как «изучение терминов и отработка процедур» (стр. 27). Согласно анализу записанных на видео уроков, проведенному исследователями, американские учителя обычно следуют распорядку, который начинается с контрольных вопросов с краткими ответами, за которыми следуют относительно длинные этапы проверки домашних заданий. После проверки домашнего задания учитель предлагает учащимся несколько типовых задач и [демонстрирует], как их решать. Часто учитель вовлекает учащихся в пошаговую демонстрацию, задавая по ходу вопросы с краткими ответами. (стр. 80)

Затем учитель просит учащихся поработать над задачами, подобными уже продемонстрированным. Завершает урок домашнее задание с большим количеством практических задач.

Учитывая ограниченную подготовку по математике большинства учителей начальных классов и нехватку учителей, сертифицированных для преподавания математики в средних школах, учебник по математике становится программой по математике для значительной части преподавательского корпуса.

Лучшая альтернатива

До недавнего времени большинство учебников по математике выглядели одинаково. Их оглавления часто были неразличимы. Математика с 3 класса по 9В учебниках по алгебре для четвертого класса учебники следовали той же схеме: каждая учебная единица состояла из нескольких примеров упражнений, которые демонстрировал учитель, за которыми следовал набор упражнений, над которыми ученики должны были работать. Этот «урок» математики обычно помещался на двухстраничном развороте. В учебнике представлены основные компоненты ежедневного плана занятий; учителям нужно было только охватить материал и, возможно, время от времени дополнять его, чтобы добавить интереса и облегчить учащимся усвоение темы.

Учебники в Соединенных Штатах обычно представляют математические идеи как факты для запоминания, а не как значимые отношения. Однако не все учебники математики в США одинаковы. В связи с более низкими, чем ожидалось, показателями учащихся США по национальным и международным оценкам, Национальный научный фонд выступил с крупной инициативой по созданию новых учебников по математике, основанных на сложных стандартах учебных программ по математике и учебных стратегиях, согласованных с текущими исследованиями в области обучения (NCTM, 19).89, 2000). В результате этой инициативы были созданы учебники для начальных, средних и старших классов, которые ломают стереотипы традиционного обучения (Reys, Robinson, Sconiers, & Mark, 1999; Trafton, Reys, & Wasman, 2001).

Навыки остаются центральной темой новых учебников, но учителя вводят эти навыки в контексты реального мира, что позволяет учащимся исследовать и решать проблемы. В настоящее время примерно 10–15 процентов школьных классов в США используют эти «основанные на стандартах» учебники. Они отличаются от традиционных учебников по математике тем, что представляют математические идеи в различных контекстах и ​​вовлекают учащихся в изучение идей, решение проблем, обмен стратегиями и создание новых знаний на основе прочного концептуального понимания. Учителя больше не просто «раскрывают» материал. Скорее, они способствуют созданию учебной среды в классе, которая поощряет задавать вопросы, строить предположения и формулировать проблемы, а также ценит мышление учащихся и различные стратегии.

Рассмотрим альтернативную презентацию из учебника на тему нахождения объема цилиндров и конусов. Урок охватывает несколько учебных дней и примерно шесть страниц учебника по математике. В начале урока учащиеся сосредотачиваются на разработке формулы нахождения объема цилиндра, обращаясь к ранее изученным знакомым моделям (см. рис. 2). После того, как учащиеся изучат эту концепцию, они исследуют взаимосвязь между объемом конуса и объемом цилиндра, строя бумажные модели обоих, оценивая объемы, а затем подтверждая объемы, фактически заполняя оба контейнера сухими ингредиентами и измеряя их результаты. . Затем в учебнике задаются следующие вопросы: Какова связь между объемом конуса и объемом цилиндра с такими же размерами? Справедливо ли это соотношение для больших или меньших конусов и цилиндров?

Рисунок 2. «Стандартный» урок из учебника: объем цилиндров и конусов

В этом уроке из учебника используется особый метод обучения. Учащиеся строят и оценивают модели, выдвигают и проверяют предположения и опираются на ранее изученный материал. Учитель организует обсуждение и подводит итоги. В конце урока учащиеся получают инструменты, необходимые для решения задач в данной тематической области. Такое обучение, которое акцентирует внимание на изучении математических отношений и установлении связей, с гораздо большей вероятностью поможет учащимся понять математику, чем урок, который просто дает учащимся формулу. Вместо того, чтобы «раскрывать» темы, учителя помогают учащимся «раскрыть» важные математические идеи, которые им необходимо изучить и понять.

Недавние исследования подтверждают ценность этих основанных на стандартах учебников по математике (Reys, Reys, Lapan, Holliday, & Wasman, 2003; Riordan & Noyce, 2001). Исследователи сравнили успеваемость учащихся в школьных округах, использующих основанные на стандартах учебные программы по математике, в течение как минимум двух лет с успеваемостью учащихся из аналогичного образования в округах, использующих традиционные учебники по математике. Результаты показывают, что учащиеся, использующие учебные программы, основанные на стандартах, набрали такие же или значительно более высокие баллы, чем учащиеся, использующие другие материалы. Эти результаты были одинаковыми во всех подгруппах студентов.

Выбор учебника

Учитывая выдающуюся роль учебников по математике, разумный выбор имеет решающее значение, поскольку он определяет область математики, с которой сталкиваются учащиеся, и, в некоторой степени, то, как учителя преподносят материал и как учащиеся учатся. В нескольких отчетах (Blank, Earle, Schmidt, Roseman, & Nohara, 1997; Kulm, 1999; NCTM, 1981; NCTM & ASCD, 1991) определены различные критерии оценки и выбора учебников по математике. Учителя и администраторы, участвующие в выборе учебников по математике, должны быть знакомы с характеристиками, связанными с учебными программами по математике, основанными на стандартах (Trafton, Reys, & Wasman, 2001): учебники должны последовательно излагать материал, глубоко развивать идеи, способствовать осмыслению, вовлекать учащихся. и мотивировать обучение.

• Какие ключевые математические идеи в каждой части контента должны быть рассмотрены в каждом классе?

• Как содержание учебника согласуется с этими ключевыми математическими идеями?

• Какие виды деятельности предлагает учебник? Ставят ли ученикам задачу думать и развивать понимание, или им просто показывают, как работать с некоторыми упражнениями, а затем просят практиковать процедуры? Привлекут ли эти занятия учащихся к математическому мышлению и деятельности?

• Уделяется ли внимание математическому мышлению и решению задач? Ожидается ли, что учащиеся объяснят «почему»? Поощряет ли учебник студентов исследовать вопросы «что, если», а также предлагать и проверять гипотезы?

Как насчет профессионального развития?

Принятие нового учебника должно сопровождаться сильным профессиональным развитием, чтобы учителя понимали цели и стратегии учебника. Исследования показали, что процесс изучения и реализации учебной программы, такой как учебная программа, заложенная в новом учебнике, может улучшить знания учителя по предмету и улучшить качество обучения (Ball & Cohen, 19).96; Рейс, Рейс, Барнс, Бим и другие Папик, 1997).

Для выбора и успешного внедрения основанных на стандартах учебников по математике требуется план профессионального развития, который включает начальное ознакомление с материалами, за которым следуют регулярные возможности для учителей и администраторов встречаться и обсуждать достижения и проблемы. Предоставление учителям возможностей для совместной работы над предварительным просмотром будущих модулей учебной программы и взаимодействия с опытными пользователями учебных программ способствует эффективному внедрению и постоянному профессиональному росту.

Объединение усилий для достижения успеха

Чтобы правильно выбирать и внедрять учебники по математике, нужна сильная команда. В эту команду должны входить директор, учителя и родители. У каждого своя роль в этом процессе.

Директор должен взять на себя руководство в установлении четких целей обучения по математике. Он или она не только облегчает выбор хороших материалов для учебников, но и следит за тем, чтобы учителя были информированы о текущих альтернативных учебных планах по математике. Директор должен предоставить учителям время для встречи и изучения учебников. Он или она должны побуждать учителей посещать специализированные семинары по перспективным учебным программам, тестировать материалы в своих классах и делиться своим опытом.

Учителя должны взять на себя обязательство поддерживать всех учащихся в изучении математики и быть открытыми для изменений, если существующие методы и ресурсы не соответствуют этой задаче.

Родители должны знать, какие темы по математике будут изучать их дети. Вовлечение родителей в конкретную математическую деятельность, взятую из учебника, во время школьного «Математического вечера для родителей» поможет им лучше понять и оценить уровень математической деятельности, с которой их дети будут регулярно сталкиваться в классе.

Грамотный подбор учебников по математике в сочетании с их успешным внедрением будет способствовать математическому обучению учащихся и профессиональному росту их учителей.

Подкаст New Books Network

• Подарите книгу!
• Хосты
• Подписаться
• Магазин

• Искусство и литература

  • Архитектура
  • Искусство
  • Детская литература
  • Цифровые гуманитарные науки
  • Фантазия
  • фильм
  • фольклор
  • Еда
  • Историческая фантастика
  • литературоведение
  • Литература
  • Музыка
  • Исполнительское искусство
  • Фотография
  • Поэзия
  • Популярная культура
  • Научная фантастика

• История

  • Древняя история
  • История спора
  • биография
  • Дипломатическая история
  • Ранняя современная история
  • Экономическая и бизнес-история
  • Общая история
  • Интеллектуальная история
  • Средневековая история
  • Военная история
  • Женская история

• Люди и места

  • Африканские исследования
  • Афроамериканские исследования
  • Американская политика
  • американские исследования
  • Американский Юг
  • Американский Запад
  • Азиатско-американские исследования
  • Австралийские и новозеландские исследования
  • британские исследования
  • Канадские исследования
  • Карибские исследования
  • Центральноазиатские исследования
  • китаеведение
  • Восточноазиатские исследования
  • Восточноевропейские исследования
  • Европейская политика
  • Французские исследования
  • Немецкие исследования
  • Иберийские исследования
  • Мир Индийского океана
  • ирландские исследования
  • Израильские исследования
  • итальянские исследования
  • японоведение
  • Корееведение
  • латиноамериканские исследования
  • Латиноамериканские исследования
  • Мексиканские исследования
  • Ближневосточные исследования
  • Исследования коренных американцев
  • польские исследования
  • Российские и евразийские исследования
  • Исследования Юго-Восточной Азии
  • Южноазиатские исследования
  • украиноведение
  • Западноевропейские исследования
  • События в мире

• Политика и общество

  • Исследования на животных
  • Антропология
  • Археология
  • Бизнес, менеджмент и маркетинг
  • СМИ
  • Критическая теория
  • Исследования инвалидности
  • Наркотики, зависимость и выздоровление
  • Образование
  • экономика
  • Финансы
  • География
  • Гендерные исследования
  • Исследования геноцида
  • Высшее образование
  • Права человека
  • Журналистика
  • Язык
  • Закон
  • ЛГБТК+ Исследования
  • Национальная безопасность
  • Философия
  • Полиция, тюремное заключение и реформа
  • Политическая наука
  • Политика
  • Политика и полемика
  • Публичная политика
  • Секс, сексуальность и секс-работа
  • Социология
  • Звуковые исследования
  • Спортивный
  • Городские исследования

• Религия и вера

  • Библейские исследования
  • Буддийские исследования
  • Католические исследования
  • христианские исследования
  • Индийские религии
  • Исламские исследования
  • еврейские исследования
  • Религия
  • секуляризм
  • Духовная практика и осознанность
  • Мировое христианство

• Наука и технологии

  • Биология и эволюция
  • Экологические исследования
  • История науки
  • Математика
  • Лекарственное средство
  • неврология
  • Физика и химия
  • Психоанализ
  • Психология
  • Здравоохранение
  • Наука
  • Наука, технологии и общество
  • Системы и кибернетика
  • Технологии

• Специальная серия

  • Большие идеи
  • Праздничные исследования
  • Соавтор
  • История с обложки
  • Исторический материализм
  • Ландшафтная архитектура
  • Мормонизм
  • Книга дня NBN
  • Семинар НБН
  • Постскриптум

• ЮП Партнеры

  • Брилл на проводе
  • Обмены: подкаст Cambridge UP
  • В разговоре: подкаст OUP
  • Вне страницы: подкаст Columbia UP
  • Подкаст идей Princeton UP
  • UNC Press представляет подкаст

• Академические партнеры

  • Академическая жизнь
  • Азиатский обзор книг
  • Сожжены книгами
  • В центре внимания эквалайзера Дэна Хилла
  • Дартс и письма
  • Общий журнал
  • Подкаст о психологии Восток-Запад
  • Предпринимательство и лидерство
  • Этнографические маргиналии
  • Будущее . . . с Оуэном Беннет-Джонсом
  • Глобальные СМИ и коммуникации
  • Колледж Гриннелла: авторы и художники
  • Высокая теория
  • Как ошибиться
  • Подкаст «Роуд-шоу идей»
  • Подкаст Несовершенный Будда
  • Международные горизонты
  • Интерпретативная политическая и социальная наука
  • Подкаст журнала азиатско-американских исследований
  • Ложь согласована
  • Жизненная мудрость
  • Министерство идей
  • Подвижности и методы
  • Подкаст Северной Азии
  • Роман Диалог
  • NYIH Беседы
  • О религии
  • Серия подкастов о полимате Роберте Эйслере
  • Подкаст «Анкета Пруста»
  • Вспомните эту книгу
  • Научное общение
  • Шекспир для всех
  • Подумай об этом
  • Истории SSEAC
  • Серия Института Ван Леера об идеях с Рене Гарфинкель
  • Убежище
  • Почему мы спорим
  • Напишите крупно

Математика 12 сентября 2022 г.

Новая эра в американской математике, 1920–1950 гг.

Карен Хангер Паршалл

Хостинг Марк Гуле

В книге «Новая эра в американской математике, 1920–1950» (Princeton University Press, 2022) Карен Паршалл исследует институциональные, финансовые, социальные и политические силы, которые формировали и поддерживали американское математическое сообщество …

Подписывайся:

• RSS
• Спотифай
• Сшиватель
• Яблоко
• Премиум без рекламы
• Оповещения по электронной почте

Интервью с математиками об их новых книгах.

Математика 23 августа 2022 г.

Математика муниципального колледжа

Прошлое, настоящее и будущее

Брайан Кафарелла

Хостинг Марк Гуле

В книге «Математика муниципального колледжа: прошлое, настоящее и будущее» (CRC Press, 2022) Брайан Кафарелла отвечает на ключевые вопросы: как мы можем построить будущую модель для занятий по математике привратника муниципального колледжа…

Математика 9 августа 2022 г.

Вероятность и судебные доказательства

Теория, философия и приложения

Рональд Мистер и Клаас Слоотен

Хостинг Марк Гуле

В книге «Вероятность и судебные доказательства: теория, философия и приложения» (Cambridge UP, 2021) Рональд Мистер и Клаас Слоотен рассматривают роль статистики и вероятности в оценке судебных доказательств, включая …

Архитектура 8 июля 2022 г.

Составы

Архитектура, математика, культура

Эндрю Витт

Хостинг Брайан Топфер

В книге «Формулировки: архитектура, математика, культура» (MIT Press, 2022) Эндрю Витт исследует визуальные, методологические и культурные пересечения между архитектурой и математикой. Связи, которые исследует Витт, связаны не с мистической трансцендентностью…

Наука, техника и общество 30 марта 2022 г.

Новая история современных вычислений

Томас Хей и Пол Э. Черуцци

Хостинг Остин Клайд

В книге «Новая история современных вычислений» (MIT Press, 2021) Томас Хей и Пол Черуцци прослеживают изменения, приведшие к тому, что компьютер стал повсеместной технологией. За последние пятьдесят лет компьютер …

Язык 23 марта 2022 г.

Язык против. реальность

Почему язык полезен для юристов и вреден для ученых

Н. Дж. Энфилд

Хостинг Малкольм Китинг

В книге Ника Энфилда «Язык против реальности: почему язык хорош для юристов и плох для ученых» (MIT Press, 2022) утверждается, что язык в первую очередь предназначен для социальной координации, а не для точной передачи…

Наука, технология и Общество 21 марта 2022 г.

Атлас ИИ

Власть, политика и планетарная стоимость искусственного интеллекта

Кейт Кроуфорд

Хостинг Мэтью Джордан

Что происходит, когда искусственный интеллект насыщает политическую жизнь и истощает планету? Как ИИ формирует наше понимание самих себя и нашего общества? В Атласе ИИ: власть, политика и…

Наука, технологии и общество 16 марта 2022 г.

Конституция алгоритмов

Наземная проверка, программирование, формулировка

Флориан Джейтон

Хостинг Остин Клайд

Конституция алгоритмов: обоснование, программирование, формулирование (MIT Press, 2021) — это лабораторное исследование, в котором изучается, как возникают алгоритмы. Алгоритмы — часто ассоциируемые с терминами «большие данные», «машинное обучение» или «искусственные…»

Право 4 марта 2022 г.

Прогнозирование и наблюдение

Данные, осмотрительность и будущее полиции

Сара Брэйн

Хостинг Cory Brunson

Использование полицией передовых технологий сбора и анализа данных — или «полиция больших данных» — продолжает привлекать как положительное, так и отрицательное внимание со стороны средств массовой информации, активизма и политики. В то время как некоторые громкие дела иллюстрируют его …

Учебный план по математике и программы для классов PreK–12

Учебный план по математике должен не только помогать вам преподавать в классе, но и подготавливать учащихся к жизни в реальном мире. Давайте вместе покажем вашим ученикам, что их будущее станет еще ярче, если они преуспеют в математике.

• Обзор
• Программы К–5
• 6–12 программ

Reveal Math (K–5)

Раскройте весь потенциал каждого учащегося, уделяя особое внимание разнообразным задачам, концептуальному пониманию, использованию цифровых инструментов и стратегиям развития мышления.

Узнать больше

Redbird Mathematics (K–7)

Разработано Стэнфордским университетом и включает в себя последние достижения в области адаптивного обучения, геймификации и цифрового обучения на основе проектов.

Узнать больше

Учебный курс по математике (K–8)

Вмешательство, объединяющее и укрепляющее базовую учебную программу по математике с помощью мини-уроков, практических занятий и манипулятивных игр.

Узнать больше

Number Worlds (PreK–8)

Помогает отстающим учащимся 2-го и 3-го уровней RTI добиться успехов в математике и быстро доводит их до уровня класса, ориентируясь на самые важные стандарты.

Подробнее

SRA Connecting Math Concepts (K–8)

Обучает явным стратегиям, которые позволяют учащимся усвоить сложные идеи, такие как отношения, пропорции, вероятность, функции и анализ данных.

Узнать больше

Rise™ (K–8)

Заполните пробелы в обучении отдельных учащихся, укрепляя мастерство с учащимися, работающими на уровне класса.

Узнать больше

Reveal Math (6–8)

Reveal Math™ позволяет преподавателям раскрыть математику в каждом учащемся с помощью мощных исследований, насыщенного дискурса и своевременных возможностей дифференциации.

Узнать больше

Reveal Math (9–12)

Reveal Math™ позволяет преподавателям раскрыть математику в каждом учащемся с помощью мощных исследований, насыщенного дискурса и своевременных возможностей дифференциации.

Узнать больше

ALEKS (6–12)

Использует искусственный интеллект и открытые вопросы для точного определения того, что каждый учащийся знает и чего не знает.

Узнать больше
Продлить подписку

Arrive Math Booster (K–8)

Обеспечивает интенсивное прямое вмешательство на основе инструкций для учащихся с третьего по взрослый класс, которые читают ниже уровня класса.

Узнать больше

Number Worlds (PreK–8)

Помогает отстающим учащимся 2-го и 3-го уровней RTI добиться успехов в математике и быстро доводит их до уровня класса, ориентируясь на самые важные стандарты.

Узнать больше

SRA Connecting Math Concepts (K–8)

Обучает явным стратегиям, которые позволяют учащимся усвоить сложные идеи, такие как отношения, пропорции, вероятность, функции и анализ данных.

Узнать больше

Rise™ (K–8)

Восполняйте пробелы в обучении отдельных учащихся, укрепляя мастерство с учащимися, работающими на уровне класса.

Узнать больше

Reveal Math (K–5)

Раскройте весь потенциал каждого учащегося, уделяя особое внимание разнообразным задачам, концептуальному пониманию, использованию цифровых инструментов и стратегиям развития мышления.

Подробнее

Redbird Mathematics (K–7)

Разработано Стэнфордским университетом и включает последние достижения в области адаптивного обучения, геймификации и цифрового обучения на основе проектов.

Узнать больше

Прибытие Math Booster (K–8)

Вмешательство, которое интегрирует и укрепляет основную учебную программу по математике с помощью мини-уроков, практических занятий и манипулятивных игр.

Узнать больше

Number Worlds (PreK–8)

Помогает отстающим учащимся 2-го и 3-го уровней RTI добиться успехов в математике и быстро доводит их до уровня класса, ориентируясь на самые важные стандарты.

Подробнее

SRA Connecting Math Concepts (K–8)

Обучает явным стратегиям, позволяющим учащимся усвоить сложные идеи, такие как отношения, пропорции, вероятность, функции и анализ данных.

Узнать больше

Rise™ (K–8)

Заполните пробелы в обучении отдельных учащихся, укрепляя мастерство с учащимися, работающими на уровне класса.

Узнать больше

Reveal Math (6–8)

Reveal Math™ позволяет преподавателям раскрыть математика в каждом учащемся с помощью мощных исследований, насыщенного дискурса и своевременных возможностей дифференциации.

Узнать больше

Reveal Math (9–12)

Reveal Math™ позволяет преподавателям раскрыть математику в каждом учащемся с помощью мощных исследований, насыщенного дискурса и своевременных возможностей дифференциации.

Подробнее

ALEKS (6–12)

Использует искусственный интеллект и открытые вопросы, чтобы точно определить, что знает и чего не знает каждый учащийся.

Узнать больше
Продлить подписку

Учебник по математике по прибытии (K–8)

Обеспечивает интенсивное прямое вмешательство на основе инструкций для учащихся с третьего по взрослый класс, которые читают ниже уровня класса.

Узнать больше

Number Worlds (PreK–8)

Помогает отстающим учащимся 2-го и 3-го уровней RTI добиться успехов в математике и быстро доводит их до уровня класса, ориентируясь на самые важные стандарты.

Поиск по сайту:

К. Л. САМАРОВ, С.С.САМАРОВА

Справочник по математике для школьников

Тематическое содержание

Числовые последовательности
	Числовые последовательности
		Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей
		Возрастающие и убывающие последовательности
		Ограниченные и неограниченные последовательности
	Пределы числовых последовательностей
		Предел числовой последовательности
		Свойства пределов числовых последовательностей
		Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
		Примеры вычисления пределов последовательностей. Раскрытие неопределенностей
		Число e. Второй замечательный предел
Функции
	Понятие функции. Область определения функции. Множество значений функции
		Понятие функции. Область определения функции. Множество значений функции
		Примеры решения задач
	Свойства функций. График функции
		Ограниченные и неограниченные функции
		Монотонные и строго монотонные функции
		Четные и нечетные функции
		Периодические и непериодические функции. Период функции
		График функции. Свойства графиков четных, нечетных, периодических функций
	Пределы функций
		Предел функции
		Свойства пределов функций
		Раскрытие неопределенностей типа
		Раскрытие неопределенностей типа
		Первый замечательный предел
		Раскрытие неопределенностей типа . Второй замечательный предел
	Асимптоты графиков функций
		Вертикальные асимптоты
		Наклонные асимптоты
		Горизонтальные асимптоты как частный случай наклонных асимптот
		Поиск наклонных асимптот графиков функций
Производная функции
	Секущая графика функции. Касательная к графику функции. Производная функции. Геометрический смысл производной
		Секущая графика функции. Уравнение секущей графика функции
		Касательная к графику функции
		Производная функции
		Уравнение касательной к графику функции
		Геометрический смысл производной
	Приращение аргумента и приращение функции. Производная как предел отношения приращений. Непрерывность функции
		Приращение аргумента и приращение функции. Производная как предел отношения приращений
		Непрерывность функции
	Правила вычисления производных. Таблица производных часто встречающихся функций. Таблица производных сложных функций
		Правила вычисления производных
		Таблица производных часто встречающихся функций
		Таблица производных сложных функций
	Примеры вычисления производных
	Исследование поведения функций с помощью производной
		Интервалы возрастания и убывания функции
		Достаточные условия для возрастания и убывания функции
		Экстремумы (максимумы и минимумы) функции
		«Подозрительные» на наличие экстремума точки функции. Теорема Ферма
		Достаточные условия для существования экстремума функции
		Пример исследования поведения функции
	Исследование функции на выпуклость вверх и выпуклость вниз с помощью второй производной
		Выпуклые вверх функции
		Выпуклые вниз функции
		Вторая производная функции
		Достаточные условия выпуклости выпуклости вверх и выпуклости вниз
		Точки перегиба
		Необходимые условия для существования точки перегиба
		Достаточные условия для существования точки перегиба
	Построение графиков функций
		Схема исследования поведения функций, применяемая для построения графиков функций
		Примеры построения графиков функций
	Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
		Наибольшее и наименьшее значения функции на множестве (основные определения)
		Существование наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Теорема Вейерштрасса
		Примеры решения задач
Интегралы
	Первообразная. Неопределенный интеграл. Правила интегрирования. Таблица интегралов. Примеры решения задач
		Первообразная
		Неопределенный интеграл
		Правила интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле
		Таблица интегралов
		Примеры решения задач
	Определенный интеграл. Теорема Ньютона — Лейбница
		Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции
		Производная от определенного интеграла по верхнему пределу
		Теорема Ньютона — Лейбница
		Примеры решения задач
	Геометрические приложения определенного интеграла
		Формулы для вычисления площадей фигур на плоскости, длин дуг кривых на плоскости, площадей поверхностей тел вращения и объемов тел с помощью определенного интеграла
		Примеры решения задач на вычисление площадей фигур на плоскости
		Пример решения задачи на вычисление длины дуги кривой на плоскости
		Вывод формул для объема пирамиды и для объема шара
		Вывод формулы для площади сферы

      С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Множество. Элементы множества. 2-й класс

Цели:

1. Ввести понятие «множество».
2. Ввести понятие «элементы множества».
3. Научить определять принадлежность элемента множеству.

Предварительная подготовка:

1. Принести мяч.
2. Принести картинки, на которых изображены предметы с общим названием (можно использовать карточки детского лото).

Ход урока

— Ребята, сегодня на уроке мы с вами узнаем, что такое «множество» и что называют «элементами множества»!

— У меня на доске нарисован мешок. Пока он пуст. Давайте соберем в него зверей, которых вы знаете.

Игра:

Учитель ходит с мячом по классу и кидает ученику мяч, а ученик должен быстро назвать какого-либо зверя.

-А теперь давайте всех названных зверей соберем в наш мешок.

Дети вспоминают, а учитель выписывает на доске всех названных в игре зверей (или использует карточки с магнитом).

— Много в мешке получилось зверей?

— Много.

— В математике такую группу предметов (или живых существ) с общим названием и собранных вместе называют «множеством». «Множество» от слова МНОГО. (Слайд 3,4)

— Попробуйте дать название множеству.

 «Назови множество»:

Учитель показывает картинки с однородными предметами. Дети должны дать название этому множеству, например – рыбы, птицы, растения, книги.

— Это множество рыб. (Слайд 5)

— Это множество птиц. (Слайд 6)

— Давайте выполним задание №1 в тетради.

Задание №1. (Слайд 7)

Ученики должны назвать и подписать название предлагаемых множеств.

Множество: посуды, животных, обуви, игрушек, банных принадлежностей, предметов для рисования.

— Теперь давайте поиграем.

Игра «Назови множество» (Слайды 8,9,10)

Учитель перечисляет ряд предметов, а ученики придумывают название этому множеству.

— платье, брюки, шуба, юбка, кофта, куртка… — одежда.

(- шкаф, стул, стол, диван, тумбочка… — мебель.)

— береза, сосна, ель, тополь, дуб, ива… — деревья.

(- Москва, Одесса, Лондон, Париж, Санкт-Петербург… — города. )

— стрекоза, кузнечик, бабочка, муха, пчела… — насекомые.

После игры на доске появляется еще один мешок, в котором перечислены названия предметов, но нет общего названия. Его дети должны придумать сами. Например, сапоги, валенки, кроссовки, ботинки, тапочки.

— Это множество обуви.

— Все предметы из этого множества называют элементами этого множества. (Слайд 11,12)

— Выполним задание №2.

Задание №2.(Слайд 13)

При выполнении задания для каждой картинки следует проверить каждое предлагаемое слово.

— Можно сказать, что на лугу пасется стая коров?

— Нет

— А рой коров?

— Нет

— А букет коров?

-Нет

-Значит, для коров, пасущихся на лугу, подходит только слово «стадо».

Аналогично для остальных картинок перебираются возможные варианты, и выбирается подходящее слово.

 — Итак, для некоторых групп предметов есть определенные слова, называющие эти группы, например, «стадо коров». Но сказать «рой коров» уже нельзя. Но зато любую группу предметов, собранных вместе, можно назвать «множеством»: множество коров, множество рыб, множество цветов.

— Сейчас снова будем играть. Для игры нам понадобятся ваши ладошки.

Игра «Найди лишнего» (Слайды 14,15,16)

Учитель называет какое-либо множество и начинает перечислять его элементы. Ученики должны хлопнуть в ладоши, если какой-либо названный предмет не является элементом заданного множества.

— Мы идем по парку и видим деревья: березу, дуб, розу (хлопок), тополь, сосну, ромашку (хлопок), ель, сирень (хлопок)…

— Мы заходим в магазин и покупаем овощи: помидоры, картошку, апельсины (хлопок), морковь, колбасу (хлопок), огурцы, свекла, яблоки (хлопок)…

— В спортивном зале мы видим спортивные принадлежности: мяч, лыжи, гантели, кресло (хлопок), теннисные ракетки, расческу (хлопок), коньки, стул (хлопок)…

— Выполняем задания в тетради.

Задание №3. (Слайд 17)

Ученики должны определить предмет, который мешает назвать множество остальных предметов.

— В клетке находится множество птиц, а кролик среди них является лишним.

Задание №4. (Слайд 18)

Аналогично предыдущему.

— Почему Незнайка вычеркнул круг?

— Потому что все остальные предметы с углами.

— А если оставить круг в начальном множестве, то какая другая фигура может быть лишней и почему?

— Лишним может быть прямоугольник, как серая фигура.

Задание №5. (Слайд 19)

Из заданного множества дети должны выделить элементы названных множеств: овощей и фруктов. Исследуется каждый предмет: если это овощ – подчеркивать одной чертой, если фрукт – двумя чертами. Предмет, не входящий ни в одно из названных множеств, подчеркивать не надо.

После этого следует перечислить все полученные множества вслух.

— Множество овощей: картошка, свекла, морковь, огурец, помидор, тыква.

— Множество фруктов: груша, яблоко, апельсин, лимон, ананас.

— Не подчеркнуты: масло, хлеб, колбаса, сыр, мяч.

Задание №6. (Слайд 20)

Главное в задании, чтобы ученик мог назвать выделенное им множество и перечислить его элементы.

— Множество музыкальных инструментов: труба, скрипка, гитара, гармошка, барабан.

— Множество спортивных принадлежностей: гантели, мяч, коньки, ракетка.

— Множество строительных инструментов: пила, пассатижи, отвертка.

— И снова играем. Здесь понадобятся ваши знания.

Игра «Продолжи ряд»:

Учитель перечисляет ряд предметов, а ученики, догадываясь о названии множества по перечисленным предметам, продолжают его своими элементами.

Обязательно в конце каждого этапа подвести итог: что же было перечислено, т.е. дать название множеству.

• сыроежка, мухомор, опенок…(подберезовик, подосиновик, лисичка) – это…множество грибов
• лиса, медведь, слон, бегемот…(волк, заяц, тигр, носорог) – это…множество зверей
• стрекоза, бабочка, кузнечик…(жук, комар, пчела, муха) – это…множество насекомых
• беретка, шляпа, панамка…(платок, кепка, шапка) – это…множество головных уборов
• щука, окунь, сом, плотва…(акула, карась, лещ) – это…множество рыб

Задание №7. (Слайд 21)

Дети выполняют самостоятельно. Можно 1-2 учеников попросить озвучить свои ответы.

— Дорисовал тюльпан, т.к. это множество цветов.

— Ребята, назовите известные вам города (дети перечисляют названия городов).

— Можно городом назвать «Волгу»?

— Нет, это река.

— Можно ли назвать городом Россию?

— Нет, это страна.

Задание №8. (Слайд 22)

Выполняется самостоятельно.

Задание №9. (Слайд 23)

Ученики должны дать название каждому столбцу с тремя предметами (одежда, рыбы, деревья). После чего дуб должен быть вписан в столбец под названием «деревья», т.к. он является деревом.

Аналогично исследуются остальные предметы: окунь, лещ – «рыбы», юбка – «одежда».

Итог урока:

— Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с такими понятиями, как «множество» и «элементы множества». Научились определять множество, а также принадлежность элемента заданному множеству.

Карточки с заданиями (Слайды 24-30)

Учащимся раздаются карточки с заданиями в виде тестов на два варианта. Проверяется степень усвоения нового материала.

1 вариант:

2 вариант:

Домашнее задание: (Слайд 31)

№10.

Дети должны нарисовать любое множество предметов с общим названием и подписать название под картинкой.

Литература:

1. Методические рекомендации для учителя, 2 класс, А.В.Горячев, К.И.Горина, Н.И.Суворова.
2. Информатика в играх и задачах, 2 класс, часть 2. А.В.Горячев, К.И.Горина, Н.И.Суворова.
3. Информатика тесты, 2 класс, О.Н.Крылова.

Элементы статистики

Продолжаем изучать элементарные задачи по математике. Сегодня мы поговорим о статистике.

Статистика — это раздел математики в котором изучаются вопросы сбора, измерения и анализа информации, представленной в числовой форме. Происходит слово статистика от латинского слова status (состояние или положение дел).

Так, с помощью статистики мы можем узнать свое положение дел, касающихся финансов. С начала месяца можно вести дневник расходов и по окончании месяца, воспользовавшись статистикой, узнать сколько денег в среднем мы тратили каждый день или какая потраченная сумма была наибольшей в этом месяце либо узнать какую сумму мы тратили наиболее часто.

На основе этой информации можно провести анализ и сделать определенные выводы: следует ли в следующем месяце немного сбавить аппетит, чтобы тратить меньше денег, либо наоборот позволить себе не только хлеб с водой, но и колбасу.

Выборка. Объем. Размах

Что такое выборка? Если говорить простым языком, то это отобранная нами информация для исследования. Например, мы можем сформировать следующую выборку — суммы денег, потраченных в каждый из шести дней. Давайте нарисуем таблицу в которую занесем расходы за шесть дней

Выборка состоит из n-элементов. Вместо переменной n может стоять любое число. У нас имеется шесть элементов, поэтому переменная n равна 6

n = 6

Элементы выборки обозначаются с помощью переменных с индексами . Последний  элемент является шестым элементом выборки, поэтому вместо n будет стоять число 6.

Обозначим элементы нашей выборки через переменные 

Количество элементов выборки называют объемом выборки. В нашем случае объем равен шести.

Размахом выборки называют разницу между самым большим и маленьким элементом выборки.

В нашем случае, самым большим элементом выборки является элемент 250, а самым маленьким — элемент 150. Разница между ними равна 100

Среднее арифметическое

Понятие среднего значения часто используется в повседневной жизни.

Примеры:

• средняя зарплата жителей страны;
• средний балл учащихся;
• средняя скорость движения;
• средняя производительность труда.

Речь идет о среднем арифметическом — результате деления суммы элементов выборки на их количество.

Среднее арифметическое — это результат деления суммы элементов выборки на их количество.

Вернемся к нашему примеру

Узнаем сколько в среднем мы тратили в каждом из шести дней:

Средняя скорость движения

При изучении задач на движение мы определяли скорость движения следующим образом: делили пройденное расстояние на время. Но тогда подразумевалось, что тело движется с постоянной скоростью, которая не менялась на протяжении всего пути.

В реальности, это происходит довольно редко или не происходит совсем. Тело, как правило, движется с различной скоростью.

Когда мы ездим на автомобиле или велосипеде, наша скорость часто меняется. Когда впереди нас помехи, нам приходиться сбавлять скорость. Когда же трасса свободна, мы ускоряемся. При этом за время нашего ускорения скорость изменяется несколько раз.

Речь идет о средней скорости движения. Чтобы её определить нужно сложить скорости движения, которые были в каждом часе/минуте/секунде и результат разделить на время движения.

Задача 1. Автомобиль первые 3 часа двигался со скоростью 66,2 км/ч, а следующие 2 часа — со скоростью 78,4 км/ч. С какой средней скоростью он ехал?

Сложим скорости, которые были у автомобиля в каждом часе и разделим на время движения (5ч)

Значит автомобиль ехал со средней скоростью 71,08 км/ч.

Определять среднюю скорость можно и по другому — сначала найти расстояния, пройденные с одной скоростью, затем сложить эти расстояния и результат разделить на время. На рисунке видно, что первые три часа скорость у автомобиля не менялась. Тогда можно найти расстояние, пройденное за три часа:

66,2 × 3 = 198,6 км.

Аналогично можно определить расстояние, которое было пройдено со скоростью 78,4 км/ч. В задаче сказано, что с такой скоростью автомобиль двигался 2 часа:

78,4 × 2 = 156,8 км.

Сложим эти расстояния и результат разделим на 5

Задача 2. Велосипедист за первый час проехал 12,6 км, а в следующие 2 часа он ехал со скоростью 13,5 км/ч. Определить среднюю скорость велосипедиста.

Скорость велосипедиста в первый час составляла 12,6 км/ч. Во второй и третий час он ехал со скоростью 13,5. Определим среднюю скорость движения велосипедиста:

Мода и медиана

Модой называют элемент, который встречается в выборке чаще других.

Рассмотрим следующую выборку: шестеро спортсменов, а также время в секундах за которое они пробегают 100 метров

Элемент 14 встречается в выборке чаще других, поэтому элемент 14 назовем модой.

Рассмотрим еще одну выборку. Тех же спортсменов, а также смартфоны, которые им принадлежат

Элемент iphone встречается в выборке чаще других, значит элемент iphone является модой. Говоря простым языком, носить iphone модно.

Конечно элементы выборки в этот раз выражены не числами, а другими объектами (смартфонами), но для общего представления о моде этот пример вполне приемлем.

Рассмотрим следующую выборку: семеро спортсменов, а также их рост в сантиметрах:

Упорядочим данные в таблице так, чтобы рост спортсменов шел по возрастанию. Другими словами, построим спортсменов по росту:

Выпишем рост спортсменов отдельно:

180, 182, 183, 184, 185, 188, 190

В получившейся выборке 7 элементов. Посередине этой выборки располагается элемент 184. Слева и справа от него по три элемента. Такой элемент как 184 называют медианой упорядоченной выборки.

Медианой упорядоченной выборки называют элемент, располагающийся посередине.

Отметим, что данное определение справедливо в случае, если количество элементов упорядоченной выборки является нечётным.

В рассмотренном выше примере, количество элементов упорядоченной выборки было нечётным. Это позволило нам быстро указать медиану

Но возможны случаи, когда количество элементов выборки чётно.

К примеру, рассмотрим выборку в которой не семеро спортсменов, а шестеро:

Построим этих шестерых спортсменов по росту:

Выпишем рост спортсменов отдельно:

180, 182, 184, 186, 188, 190

В данной выборке не получается указать элемент, который находился бы посередине. Если указать элемент 184 как медиану, то слева от этого элемента будут располагаться два элемента, а справа — три. Если как медиану указать элемент 186, то слева от этого элемента будут располагаться три элемента, а справа — два.

В таких случаях для определения медианы выборки, нужно взять два элемента выборки, находящихся посередине и найти их среднее арифметическое. Полученный результат будет являться медианой.

Вернемся к нашим спортсменам. В упорядоченной выборке 180, 182, 184, 186, 188, 190 посередине располагаются элементы 184 и 186

Найдем среднее арифметическое элементов 184 и 186

Элемент 185 является медианой выборки, несмотря на то, что этот элемент не является членом исходной и упорядоченной выборки. Спортсмена с ростом 185 нет среди остальных спортсменов. Рост в 185 см используется в данном случае для статистики, чтобы можно было сказать о том, что срединный рост спортсменов составляет 185 см.

Поэтому более точное определение медианы зависит от количества элементов в выборке.

Если количество элементов упорядоченной выборки нечётно, то медианой выборки называют элемент, располагающийся посередине.

Если количество элементов упорядоченной выборки чётно, то медианой выборки называют среднее арифметическое двух чисел, располагающихся посередине этой выборки.

Медиана и среднее арифметическое по сути являются «близкими родственниками», поскольку и то и другое используют для определения среднего значения. Например, для предыдущей упорядоченной выборки 180, 182, 184, 186, 188, 190 мы определили медиану, равную 185. Этот же результат можно получить путем определения среднего арифметического элементов 180, 182, 184, 186, 188, 190

Но медиана в некоторых случаях отражает более реальную ситуацию. Например, рассмотрим следующий пример:

Было подсчитано количество имеющихся очков у каждого спортсмена. В результате получилась следующая выборка:

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 5, 4, 5, 0, 1, 6, 1

Определим среднее арифметическое для данной выборки — получим значение 2,2

По данному значению можно сказать, что в среднем у спортсменов 2,2 очка

Теперь определим медиану для этой же выборки. Упорядочим элементы выборки и укажем элемент, находящийся посередине:

0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6

В данном примере медиана лучше отражает реальную ситуацию, поскольку половина спортсменов имеет не более одного очка.

Частота

Частота это число, которое показывает сколько раз в выборке встречается тот или иной элемент.

Предположим, что в школе проходят соревнования по подтягиваниям. В соревнованиях участвует 36 школьников. Составим таблицу в которую будем заносить число подтягиваний, а также число участников, которые выполнили столько подтягиваний.

По таблице можно узнать сколько человек выполнило 5, 10 или 15 подтягиваний. Так, 5 подтягиваний выполнили четыре человека, 10 подтягиваний выполнили восемь человек, 15 подтягиваний выполнили три человека.

Количество человек, повторяющих одно и то же число подтягиваний в данном случае являются частотой. Поэтому вторую строку таблицы переименуем в название «частота»:

Такие таблицы называют таблицами частот.

Частота обладает следующим свойством: сумма частот равна общему числу данных в выборке.

Это означает, что сумма частот равна общему числу школьников, участвующих в соревнованиях, то есть тридцати шести. Проверим так ли это. Сложим частоты, приведенные в таблице:

4 + 5 + 10 + 8 + 6 + 3 = 36

Относительная частота

Относительная частота это в принципе та же самая частота, которая была рассмотрена ранее, но только выраженная в процентах.

Относительная частота равна отношению частоты на общее число элементов выборки.

Вернемся к нашей таблице:

Пять подтягиваний выполнили 4 человека из 36. Шесть подтягиваний выполнили 5 человек из 36. Восемь подтягиваний выполнили 10 человек из 36 и так далее. Давайте заполним таблицу с помощью таких отношений:

Выполним деление в этих дробях:

Выразим эти частоты в процентах. Для этого умножим их на 100. Умножение на 100 удобно выполнить передвижением запятой на две цифры вправо:

Теперь можно сказать, что пять подтягиваний выполнили 11% участников, 6 подтягиваний выполнили 14% участников, 8 подтягиваний выполнили 28% участников и так далее.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Математика ЭДС

элементов математики | Издательство Принстонского университета

Elements of Mathematics отправляет читателей в увлекательное путешествие, которое начинается с элементарной математики, но, как показывает Джон Стиллвелл, этот предмет не так прост и прост, как можно было бы подумать. Не все темы, которые являются частью сегодняшней элементарной математики, всегда считались таковыми, и для того, чтобы определенные предметы стали «элементарными», должны были произойти великие математические достижения и открытия. Стиллвелл исследует элементарную математику с точки зрения, характерной для двадцать первого века, и описывает не только красоту и масштабы этой дисциплины, но и ее пределы.

От целых чисел Гаусса до логики высказываний Стиллвелл углубляется в арифметику, вычисления, алгебру, геометрию, исчисление, комбинаторику, вероятность и логику. Он обсуждает, как каждая область связана с более сложными темами для построения математики в целом. С помощью богатой коллекции основных принципов, ярких примеров и интересных задач Стиллвелл демонстрирует, что элементарная математика становится продвинутой с вмешательством бесконечности. Бесконечность наблюдалась на протяжении всей математической истории, но недавнее развитие «обратной математики» подтверждает, что бесконечность необходима для доказательства хорошо известных теорем, и помогает определить природу, контуры и границы элементарной математики.

Elements of Mathematics дает читателям, от старшеклассников до профессиональных математиков, основные моменты элементарной математики и некоторые части математики за ее пределами.

Награды и признание

• Одна из 10 лучших книг по астрономии, физике и математике 2017 года по версии Forbes.com, выбранная GrrlScientist

Джон Стиллвелл — профессор математики в Университете Сан-Франциско. Он автор Обратная математика: доказательства изнутри наружу (Принстон).

«Отличное исследование элементарной математики, ее ограничений, того, как бесконечность усложняет вещи, и того, как различные разделы математики сочетаются друг с другом. » — Антонио Канджано, Math-Blog

«Стиллвелл… один из лучших современных авторов-математиков: он пишет ясно и увлекательно и прилагает больше усилий, чем другие, чтобы предоставить исторические детали и понять, как различные математические идеи связаны друг с другом… Черты, которые мы привыкли ожидать от Стиллвелла (включая, помимо прочего, превосходное письмо), присутствуют в [9].0187 Elements of Mathematics ]». — MAA Reviews

«Доступное чтение. . . . Стиллвелл раскрывает основы, предоставляя как исторические, так и практические перспективы от арифметики до бесконечности. арифметика, вычисления, алгебра, геометрия, исчисление и т. д. — и в каждой области Стилвеллу удается выделить основные идеи и связи с другими областями. Он мастер толкования, и тексту удается быть увлекательным и доступным, не разбавляя математику. Я определенно узнал много нового из книги!» — Брент Йорги, Не путешествовавший по математике

«За всю жизнь преподавания Стиллвелл выделил несколько прекрасных примеров из всей гаммы элементарной математики». — Mathematical Reviews Clippings

«[A] замечательная книга… Я думаю, что [ Elements of Mathematics ] сама по себе станет современной классикой и справочником для всех, кто пытается изучить основные темы в любой из основные разделы математики». — Виктор Кац, 9 лет0187 Bulletin of the American Mathematical Society

» Elements of Mathematics — прекрасный… обзор области математики… Изложение ясное, краткое, систематизированное, диаграммы [и] иллюстрации превосходны. … Хотя некоторые обсуждения носят вводный или элементарный характер, они всегда ведут к более глубоким и сложным идеям… [Это] станет прекрасным базовым дополнением к книжным полкам большинства математиков». — Математическое танго

«Стиллвелл использует свои обширные и впечатляющие познания в области математики, чтобы провести читателя по каждой теме и перейти на более высокий уровень понимания и вопросов.» — Конвергенция

«[A] замечательная книга. .. Я думаю, что [ Elements of Mathematics ] сама по себе станет современной классикой и справочником для всех, кто пытается изучить основные темы в любой из основных областей. математики». — Виктор Кац, Бюллетень Американского математического общества

«[ Элементы математики ] — это книга, которую должен прочитать каждый. Вам от этого станет лучше.» — Reuben Hersh, American Mathematical Monthly

«Читатели, знакомые с предыдущими книгами Стиллвелла… не удивятся, что эта великолепно оформленная книга содержит кристально чистую прозу, которая математически точна, исторически осведомлена, философски чувствительна и богата смыслом. новые повороты и освежающие идеи… Мне очень понравилась эта заставляющая задуматься и очень читабельная книга. Она особенно сильна (и особенно ясна) в отношении фундаментальных вопросов и того, как они теперь пронизывают всю математику и, к концу , я действительно проникся идеей попытаться чутко определить границу между элементарной и высшей математикой». — Ник Лорд, Mathematical Gazette

«Эта превосходная книга определенно предназначена для математиков и попутчиков. —George Hacken, Computing Reviews

«Эта увлекательная книга Джона Стиллвелла, австралийского математика, получившего престижную премию Шовенэ, представляет собой тщательно структурированный и ясно написанный обзор множества «элементарных» математических тем, начиная с теория, вычислимость, алгебра, геометрия, исчисление, комбинаторика, вероятность и логика… Специалистам это понравится, в то время как остальные узнают много нового». —Forbes.com

«Последовательность математики демонстрируется в этом мастерском, прекрасно написанном синтезе. С помощью наводящих вопросов, ясных объяснений и увлекательных примеров и историй Джон Стиллвелл показывает, откуда взялись, казалось бы, отдельные разделы математики, как они переплетаются и почему скрытый объединяющий элемент является глубочайшей идеей из всех: бесконечностью». — Стивен Строгац, Корнельский университет, автор книги «Радость х»

«Это прекрасно написанный обзор и экскурсия по элементарной математике, для неспециалистов. Книга отличается широтой охвата и точными деталями. Она станет классикой в ​​этой области ». — Дэвид Брессоуд, Macalester College

«[A] сложная трактовка тем, обычно описываемых как элементарные». — Джон Аллен Паулос

13.1: Язык множеств и функций

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Исайя Ланкхэм, Бруно Нахтергаэле и Энн Шиллинг
• Калифорнийский университет в Дэвисе

Всю математику можно рассматривать как изучение отношений между наборами объектов с помощью строгих рациональных рассуждений. Чаще всего закономерности в этих коллекциях и их отношения важнее, чем природа самих объектов. Сила математики во многом связана с выдвижением закономерностей на передний план и абстрагированием от «реальной» природы объектов. В математике наборы обычно называют множествами, а объекты — элементами множества. Функции являются наиболее распространенным типом отношений между множествами и их элементами, и основными объектами изучения в анализе являются функции, имеющие отношение к множеству действительных чисел. Поэтому важно развить хорошее понимание множеств и функций и знать словарь, используемый для определения множеств и функций и обсуждения их свойств.

Набор — это неупорядоченный набор различных объектов, которые мы называем его элементами. Множество \(A\) однозначно определяется своими элементами. Если объект а является элементом множества \(А\), мы пишем \(а \в А\) и говорим, что а принадлежит \(А\) или что \(А\) содержит а. Отрицание этого утверждения записывается как \(a \not\in A\), т. е. a не является элементом \(A.\) Обратите внимание, что оба утверждения не могут быть истинными одновременно

Если \(A \) и \(B\) — множества, они идентичны (это означает одно и то же множество), которые мы запишем как \(A = B\), если они имеют точно такие же элементы. Другими словами, \(A = B\) тогда и только тогда, когда для всех \(a \in A\) мы имеем \(a \in B\), а для всех \(b \in B\) мы имеем \(b \in A.\) Эквивалентно \(A \neq B\) тогда и только тогда, когда существует различие в их элементах: существует \(a \in A\) такое, что \(a \not\in B\) или существует \(b \in B\) такое, что \(b \not\in A.\)

Пример B.1.1. Начнем с простейших примеров множеств.

1. Пустой набор (он же нулевой набор ) звучит так: набор без элементов. Обычно мы обозначаем его \(\emptyset\) или иногда \(\{~\}\). Пустое множество \(\emptyset\) однозначно определяется тем свойством, что для всех \(x\) мы имеем \(x \not\in \emptyset\). Ясно, что существует ровно одно пустое множество.
2. Далее идут синглтона . Синглтон — это множество, состоящее ровно из одного элемента. Если этот элемент равен \(x\), мы часто пишем синглтон, содержащий \(x\), как \(\{x\}\). В разговорном языке «одиночка \(x\)» на самом деле означает множество \(\{x\}\) и его всегда следует отличать от элемента \(x: x \neq \) {\(x\)} . Множество может быть элементом другого множества, но ни одно множество не является элементом самого себя (точнее, мы принимаем это как аксиому). Например, \(\{\{x\}\}\) — это синглтон, единственным элементом которого является синглтон \(\{x\}\). В частности, мы также имеем \(\{x\} \neq \{\{x\}\}.\)
3. Одним из стандартных способов обозначения множеств является перечисление их элементов. Например, набор \(\{\alpha, \beta, \gamma\}\) содержит первые три строчные греческие буквы. Набор полностью определяется тем, что есть в списке. Порядок, в котором перечисляются элементы, значения не имеет. Таким образом, мы имеем \(\{\alpha, \gamma, \beta\} = \{\gamma, \beta, \alpha\} = \{\alpha, \beta, \gamma\},\) и т. д. Поскольку набор не может содержать один и тот же элемент дважды (элементы различны) единственное разумное значение чего-то вроде \(\{ \alpha, \beta, \alpha, \gamma\}\) состоит в том, что это то же самое, что и \(\{ \альфа, \бета, \гамма\}\). Поскольку \(x \neq \{x\}, \{x, \{x\}\}\) — множество из двух элементов. Что угодно можно рассматривать как элемент множества, и от элементов множества не требуется никакого отношения. Например, слово «яблоко», элемент уран и планета Плутон могут быть тремя элементами множества. Нет никаких ограничений на количество различных множеств, которым может принадлежать данный элемент, за исключением правила, согласно которому множество не может быть элементом самого себя.
4. Количество элементов в наборе может быть бесконечным. Например, \(\mathbb{Z}, \mathbb{R},\) и \(\mathbb{C}\) обозначают множества всех целых, действительных и комплексных чисел соответственно. Не обязательно, чтобы мы могли перечислить все элементы.

При введении нового набора (нового для целей данного обсуждения) крайне важно дать ему однозначное определение. Не требуется, чтобы из данного определения множества \(А\) было легко определить, каковы элементы \(А\) или даже сколько их, но должно быть ясно, что в принципе , на каждый вопрос вида «является ли \(x\) элементом \(A\)?» существует единственный и однозначный ответ. Существует несколько распространенных способов определения множеств. Вот несколько примеров.

Пример B.1.2.
1. Самый простой способ — это обобщение списочной нотации на бесконечные списки, которые можно описать шаблоном. Например, множество положительных целых чисел \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots \}.\) Список может быть двунаправленным, как и в наборе всех целых чисел \( \mathbb{Z} = \{\ldots , -2, -1, 0, 1, 2, \ldots \}.\)
Обратите внимание на использование тройных точек \(\ldots\) для обозначения продолжения списка .
2. Так называемая нотация построителя наборов дает больше возможностей для описания членства в наборе. Например, множество всех четных целых чисел, часто обозначаемое как \(2 \mathbb{Z}\), определяется как

\[2\mathbb{Z} = \{2a ~|~ a \in \mathbb{Z}\} .\]

Вместо вертикальной черты | часто используется двоеточие :, . Например, открытый интервал действительных чисел строго между \(0\) и \(1\) определяется как

\[(0, 1) = \{x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1\}.\]

Определение B.2.1. Пусть \(A\) и \(B\) — множества. \(B\) является подмножеством \(A\), обозначаемым \(B \subset A\), тогда и только тогда, когда для всех \(b \in B\) мы имеем \(b \in A.\ ) Если \(B \subset A\) и \(B \neq A,\), мы говорим, что \(B\) есть правильное подмножество из \(A.\)

Если \(B \subset A\), то также говорят, что \(B\) содержится в \(A\) или что \(A\) содержит \ (B\), которое иногда обозначается как \(A \supset B.\) Отношение \(\subset\) называется включением . Если \(B\) является собственным подмножеством \(A\), то включение называется строгим. Чтобы подчеркнуть, что включение не обязательно строгое, можно использовать обозначение \(B \subseteq A\), но обратите внимание, что его математический смысл идентичен \(B \subset A.\). Строгое включение иногда обозначается \(B \subsetneq A\), но встречается реже.

Пример B.2.2. Легко проверить следующие соотношения между множествами:

1. Имеем \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C }\), и все эти включения являются строгими.
2. Для любого множества \(A\) мы имеем \(\пустое множество\подмножество A\) и \(A \подмножество A.\)
3. \((0, 1] \подмножество (0, 2). \)
4. Для \(0 < a \leq b, [-a, a] \subset [-b, b].\) Включение является строгим, если \(a < b.\)

Помимо непосредственного построения множеств, множества можно также получить из других множеств с помощью ряда стандартных операций. Следующее определение вводит основные операции объединения , пересечения и разности множеств.

Определение B.2.3 . Пусть \(A\) и \(B\) — множества. Тогда

1. объединение \(A\) и \(B\), обозначаемое \(A \cup B\), определяется как \[A \cup B = \{x ~|~ x \ в A {\it{~или~}} x \in B\}.\]
2. Пересечение точек \(A\) и \(B\), обозначаемое \(A \cap B\), определяется как \[A \cap B = \{x~ |~ x \in A {\it{~и~}} x \in B\}.\]
3. Множество разностей \(B\) от \(A\), обозначаемое \(A \setminus B\), есть определяется как \[A \setminus B = \{x ~|~ x \in A {\it{~and~}} x \not\in B\}.\]

Часто контекст предоставляет «вселенную ‘ из всех возможных элементов, имеющих отношение к данному обсуждению. Предположим, мы дали такое множество «всех» элементов и назовем его \(U\). Затем 9c .\)

( относительное дополнение ) \(A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\) и \(A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C). \)

Чтобы ознакомиться с основными свойствами множеств и основными операциями над множествами, хорошим упражнением будет написание доказательств. для трех свойств, указанных в теореме.

Так называемое декартово произведение множеств — это мощный и вездесущий метод построения новых множеств из старых. 92 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\). Не случайно \(х\) и \(у\) в паре \((х, у)\) называют декартовыми координатами точки \((х, у)\) в самолет.

В этом разделе мы вводим два важных типа отношений: отношения порядка и отношения эквивалентности. Отношение \(R\) между элементами множества \(A\) и элементами множества \(B\) является подмножеством их декартова произведения: \(R \subset A \times B.\) Когда \(A = B\), мы также называем \(R\) просто отношением на \(A\).

Пусть \(A\) множество и \(R\) отношение на \(A\). Тогда

• \(R\) называется рефлексивным , если для всех \(a \in A, (a, a) \in R. \)
• \(R\) называется симметричным , если для все \(a, b \in A,\) если \((a, b) \in R\), то \((b, a) \in R.\)
• \(R\) называется антисимметричным , если для всех \(a, b \in A\) таких, что \((a, b) \in R\) и \((b, a) \in R, a = b.\)
• \( R\) называется транзитивным , если для всех \(a, b, c \in A\) таких \((a, b) \in R\) и \((b, c) \in R\), имеем \((a, c) \in R.\)

Определение B.3.1. . Пусть \(R\) — отношение на множестве \(A\). \(R\) является отношением порядка , если \(R\) является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным . \(R\) является отношением эквивалентности, если \(R\) рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Понятие подмножества является примером отношения порядка. Чтобы убедиться в этом, сначала определим степенное множество множества \(A\) как множество всех его подмножеств. Его часто обозначают \({\cal{P}}(A). \). Таким образом, для любого множества \(A, {\cal{P}}(A) = \{B : B \subset A\} .\) Отношение включения определяется как отношение \(R\) установкой

\[R = \{(B, C) \in {\cal{P}}(A) \times {\cal{P}}(A)~ |~ B \subset C\}\]

Важные отношения, такие как отношение подмножества, имеют удобную нотацию вида \(a b\), чтобы обозначить \((a, b) \in R.\) Символ для отношения включения \ (\подмножество\).

Предложение B.3.2. Включение — это отношение порядка. В явном виде

1. ( рефлексив ) Для всех \(B \in {\cal{P}}(A), B \subset B.\)
2. ( антисимметричный ) Для всех \(B, C \in {\cal{P}}(A),\) , если \(B \subset C\) и \(C \subset B\), затем \(B = C.\)
3. ( транзитивное ) Для всех \(B, C, D \in {\cal{P}}(A),\) если \(B \subset C\) и \(C \subset D,\) затем \(B \subset D.\)

В качестве упражнения напишите доказательство этого предложения.

Для любого отношения \(R \subset A \times B\), 9{-1} = \{(b, a) \in B \times A ~| ~(a, b) \in R\}.\]

Пусть \(A\) и \(B\) — множества. Функция с доменом \(A\) и кодоменом \(B\), обозначаемая \(f : A \rightarrow B\), является отношением между элементами \(A\) и \( B\), удовлетворяющие следующим свойствам: для всех \(a \in A,\) существует единственное \(b \in B\) такое, что \((a, b) \in f \). Символ, используемый для обозначения функции как отношения, представляет собой стрелку: \((a, b) \in f\) записывается как \(a \стрелка вправо b\) (часто также \(a \mapsto b\)). Нет необходимости и несколько громоздко напоминать себе, что функции представляют собой отношение особого рода и все время используется более удобное обозначение: \(f (a) = b.\) Если \(f\) равно функция, которую мы имеем, по определению, \(f (a) = b\) и \(f (a) = c\) влечет \(b = c\). Другими словами, для каждого \(a \in A\) существует ровно один \(b \in B\) такой, что \(f (a) = b. \) \(b\) называется изображение под \(f\) . Когда \(A\) и \(B\) являются наборами чисел, \(a\) иногда называют аргументом функции, а \(b = f (a)\) часто называют значение из \(f\) в \(a\).

Требование существования образа \(b \in B\) для всех \(a \in A\) иногда ослабляется в том смысле, что областью определения функции является подмножество \ (иногда явно не указанное) (А\). Однако важно помнить, что функция не определена должным образом, если мы также не указали ее область определения.

Когда мы рассматриваем график функции, мы полагаемся на определение функции как отношения. График \(G\) функции \(f : A \rightarrow B\) — это подмножество \(A \times B\), определяемое формулой

\[G = \{(a, f (a)) ~|~ a \in A\}.\]

диапазон функции \(f : A \rightarrow B\), обозначаемый \(range (f ),\) или также \(f (A ),\) — это подмножество его области значений, состоящее из всех \(b \in B\), являющихся образом некоторого \(a \in A:\) 9{-1} (b) = \emptyset\) тогда и только тогда, когда \(b \in B \setminus range (f ). \)

Функции различных видов широко распространены в математике, и был разработан большой словарный запас, некоторые из что избыточно. Термин карта часто используется в качестве альтернативы функции, а когда домен и кодовый домен совпадают, термин преобразование часто используется вместо функции. Существует большое количество терминов для функций в конкретном контексте со специальными свойствами. Три основных свойства даны в следующем определении.

Определение B.4.1. Пусть \(f : A \rightarrow B\) функция. Тогда мы называем \(f\)

1. инъективным (\(f\) является инъекцией ), если \(f (a) = f (b)\) следует \(a = b\). Другими словами, никакие два элемента домена не имеют одинаковых изображений. Инъективную функцию также называют взаимно однозначной .
2. сюръекция (\(f\) является сюръекцией ), если \(диапазон (f ) = B.\) Другими словами, каждый \(b \in B\) является образом хотя бы одного \ (а \в А\). Такая функция также называется на .
3. биективно (\(f\) есть биекция ), если \(f\) одновременно инъективно и сюръективно, т. е. взаимно однозначно и на . Это означает, что f дает однозначное соответствие между всеми элементами \(A\) и всеми элементами \(B\).

Пусть \(f : A \rightarrow B\) и \(g : B \rightarrow C\) две функции, так что область определения \(f\) совпадает с областью определения \(g\). Тогда композиция ‘\(g\) после \(f\) ‘, обозначаемая \(g \circ f\) , представляет собой функцию \(g \circ f : A \rightarrow C,\), определяемую формулой \(a \mapsto g(f (a)).\) 9{-1} .\]

Докажите это предложение в качестве упражнения.

• Исайя Ланкхэм, математический факультет Калифорнийского университета в Дэвисе
• Бруно Нахтергаэле, математический факультет Калифорнийского университета в Дэвисе
• Энн Шиллинг, математический факультет Калифорнийского университета в Дэвисе

Версии этого учебника в твердом и мягком переплете доступны онлайн на сайте WorldScientific. com.

Эта страница под названием 13.1: Язык множеств и функций распространяется по незаявленной лицензии, ее авторами, ремиксами и/или кураторами являются Исайя Лэнкхэм, Бруно Нахтергаэле и Энн Шиллинг.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или страница

   Автор

   Исайя Ланкхэм, Бруно Нахтергаэле и Энн Шиллинг

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. автортег:шиллинг

Расширение предметной области и идеальные элементы в математике† | Philosophia Mathematica

Abstract

Расширение предметной области в математике происходит всякий раз, когда данная математическая область расширяется, чтобы включить в нее новые элементы. Мандерс утверждает, что преимущества важных случаев расширения домена охватываются теоретико-модельными понятиями экзистенциального закрытия и завершения модели. Я утверждаю, что в конкретном случае расширения домена с помощью идеальных элементов предложенного Мандерсом объяснения недостаточно. Затем я разрабатываю и формализую другой подход к расширению домена, основанный на 9 методах Дедекинда.0433 Habilitationsrede , с которым сравнивается счет Мандерса. Я заканчиваю рассмотрением трех возможных подходов к расширениям с помощью идеальных элементов.

1. ВВЕДЕНИЕ

В теории поля, алгебраической теории чисел и теории Галуа часто изучают числовые области вида |$\mathbb{Z}[\sqrt 2]$|⁠, |$\mathbb{Q} [i]$|⁠, |$\mathbb{R}(i)$|⁠, и т. д. . Это числовые области, которые получаются из |$\mathbb{Z}$|⁠, |$\mathbb{Q}$|⁠ и |$\mathbb{R}$|⁠ соответственно с помощью примыкающих новых элементов. Это означает, что новые элементы добавляются к старой структуре, а затем математик работает со структурой, которая получается, когда расширенная область закрывается в результате операций, которые уже были определены в старой области. Аналогичную процедуру можно провести и в геометрии. Там можно рассматривать проективную плоскость как полученную добавлением точек и линий в бесконечность к стандартной евклидовой плоскости, а затем замыканием структуры под, например, , , линейными преобразованиями. Исторически сложилось так, что некоторые успешные случаи таких расширений доменов стали называться расширениями через идеальных элементов (см. обсуждение идеальных элементов в трудах Дедекинда, а также Гаусса, Веронезе и других, содержащееся в [Cantù, 2013], резюмированное ниже в § 2).

Философское значение идеальных элементов и метода идеальных элементов в основном обсуждалось в контексте философии математики Гильберта [ср. Детлефсен, 1993; Халлетт, 1990; Стиллвелл, 2014]. В своей лекции 1919 г. «Роль идеальных сущностей» [Hilbert, 1992, с. 90–101] Гильберт характеризует метод идеальных элементов как состоящий в переходе от данной «системы», в которой решение определенных вопросов затруднено, к тот, где такие вопросы становятся простыми для решения ( оп. цит. ., стр. 90–91). Кроме того, новая система содержит подсистему, изоморфную старой системе. Таким образом, по крайней мере, согласно Гильберту, идеальные элементы вводятся для упрощения определенных математических задач, сохраняя при этом прежние условия, в которых эти проблемы возникли.

Однако помимо Гильберта другие математики, такие как Понселе (см., например, [Chemla, 2016]), Куммер и Дедекинд [Cantù, 2013], говорят об идеальных элементах; это говорит о том, что расширение домена с помощью идеальных элементов, возможно, понималось как математический метод еще до Гильберта. Помимо уже цитировавшейся трактовки идеальных элементов в контексте философии Гильберта, систематическое исследование того, что делает расширения предметной области успешными и, в частности, расширения предметных областей с помощью идеальных элементов, можно найти только в [Manders, 1989], где Мандерс делает набросок учетной записи для расширения домена. Мандерс утверждает, что работать с расширенными доменами продуктивно, поскольку они представляют собой экзистенциальное закрытие исходного домена. Другими словами, для того чтобы расширенный домен считался хорошим расширением домена, достаточно, чтобы он был экзистенциальным замыканием домена, который он расширяет.

В этой статье, однако, я утверждаю, что если мы понимаем идеальные элементы как эвристические инструменты, дающие математику определенные прагматические или эпистемические преимущества, то предложенное Мандерсом объяснение плодотворности расширений предметной области может быть лишь частичным, поскольку оно не может объяснить некоторые исторически важные случаи расширения домена с помощью идеальных элементов. Затем я обращусь к другому подходу к расширению предметной области, вдохновленному Дедекиндом [1854], и буду отстаивать точку зрения, согласно которой при правильной интерпретации он может обеспечить основу для расширений предметной области, мотивируемых замыканием по свойствам и операциям. Учитывая исторический контекст, в котором была написана [Dedekind, 1854], в § 6 я исследую вопрос о том, как этот второй критерий поживает по отношению к параллельным разработкам в теории чисел. Я заключаю (§§7, 8), что сравнение между моделью Мандерса и моей оставляет нам три различных варианта философского подхода к расширению предметной области с помощью идеальных элементов в математике.

2. ИДЕАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Cantù [2013] предлагает исторически обоснованную реконструкцию роли идеальных элементов в наборе инструментов математика. Она утверждает, что «идеальные», «воображаемые» математические объекты использовались математиками в своих доказательствах или построении теорий всякий раз, когда общепринятая математическая область не оправдывала их стремления к определенному упрощению или обобщению математики. Таким образом, введение идеальных элементов оправдано в глазах математика на основании следующего аргумента:

• Посылка (1)

  Я, как математик, имею цель (⁠|$G»$|⁠) устранить исключения, разрешить прямые и обратные операции для удовлетворения свойств замыкания, а двойные преобразования между моделями для быть введены, когда это возможно.

• Посылка (2)

  Цель (⁠|$G»$|⁠) поддерживается набором значений (⁠|$V$|⁠) и (⁠|$V’$|⁠) .

• Посылка (3)

  Метод введения идеальных элементов является для меня как математика средством достижения (⁠|$G»$|⁠).

• Заключение (4)

  Поэтому я должен (практически должен) ввести идеальные элементы. [Cantù, 2013, pp. 86, 88]

Значения, которые Канту признает поддерживающими цель математика, следующие:

(⁠|$V$|⁠) Значение |$V$|⁠. Общность теории, , т. е. , отсутствие исключений — желательная ценность в математике [Cantù, 2013, p. 83];

(⁠|$V’$|⁠) Значение |$V’$| в качестве гарантии стоимости |$V$|⁠. Общность желательна, потому что она увеличивает простоту [Cantù, 2013, p. 84].

Канту реконструирует этот аргумент на основе работ Гильберта, Дедекинда, Гаусса и Веронезе. Новые элементы идеальные или воображаемые и т. д. . потому что они могут обладать онтологическим, эпистемическим или прагматическим статусом, отличным от «реальных» элементов. Другими словами, они могут существовать в другом смысле; они могут быть менее эпистемически безопасными; или они могут использоваться иначе, чем настоящие элементы [Cantù, 2013, стр. 79–80].

Приведенный выше аргумент призван защитить использование идеальных элементов в работах этих математиков, основанный на их собственных работах по этому вопросу. Канту, однако, не утверждает, что только этот аргумент оправдывает использование отдельными математиками идеальных элементов — она отмечает, однако, что некоторые математики используют приведенный выше аргумент для оправдания принятия идеальных элементов в своей практике. Этот аргумент не может объяснить, например, почему математик подписывается на (⁠|$G»$|⁠) или что происходит, когда (⁠|$G»$|⁠) противоречит другой математической цели. В зависимости от математика, эти вопросы отбиваются разными аргументами. ¹

Остановившись, таким образом, на рабочем понятии идеальных элементов как эвристических инструментов, обладающих эпистемическими и/или прагматическими преимуществами, я теперь представляю первый из двух подходов к расширению предметной области с помощью идеальных элементов, рассматриваемых в этой статье.

3. СТРУКТУРА МАНДЕРСА

Мандерс [1989] предлагает использовать понятия экзистенциального замыкания и завершения модели из теории моделей, чтобы объяснить, почему некоторые исторические случаи расширения предметной области, включая некоторые важные случаи расширения посредством идеальных элементов, математически плодотворны. Прежде чем обрисовать предложение Мандерса, необходимо сделать несколько терминологических пояснений. Для остальной части бумаги, структура  |$\mathcal{A}$| представляет собой упорядоченную пару, где первый элемент представляет собой набор отдельных лиц, который мы называем доменом  |$A$|⁠, а второй элемент представляет собой интерпретацию всех символов данного языка |$\mathcal {L}$| в |$\mathcal{A}$|⁠. n$| в |$A$| [см., например ., Tent and Ziegler, 2012, с. 2]. Теперь пусть теория |$T$| быть набором предложений в |$\mathcal{L}$|⁠. Если |$\mathcal{A}$| делает эти предложения истинными, мы говорим, что |$\mathcal{A}$| является моделью |$T$| [Тент и Циглер, 2012, с. 10]. Теперь мы можем сказать, в чем состоит экзистенциальное замыкание. Грубо говоря, экзистенциальное замыкание — это свойство, проявляемое структурой |$\mathcal{A}$|⁠, рассматриваемой как модель данной теории |$T$|⁠, или, что то же самое, как член класса |$K$| структур (класс всех и только тех структур, которые являются моделями |$T$|⁠), всякий раз, когда |$\mathcal{A}$| содержит в своей области определения все решения уравнений и неравенств, которые могут быть выражены на языке |$\mathcal{A}$|⁠. Этот язык должен быть языком первого порядка без символов отношения.

Согласно Мандерсу, при расширении домена посредством экзистенциального замыкания математик пытается сохранить три вещи: исходный домен объектов, который мы хотим расширить без изменения объектов, с которых мы начали; условия на указанные объекты, от которых мы не хотим отказываться, которые он называет «инвариантными условиями» (сокращенно «инварианты»), обозначаемые как |$\varphi(), \psi(), \dots$|⁠; и свойства, которые порождаются этими условиями, предложения формы |$\forall \overline{x}\varphi(\overline{x})$|⁠, где |$\varphi()$| сам является инвариантом. В то время как первое, а именно объекты, почти всегда сохраняются, от инвариантов и свойств, которые они порождают, иногда приходится отказываться, чтобы иметь место желаемое расширение. Мандерс утверждает, что этот (неформальный) процесс имеет формальный аналог в понятии экзистенциальной замкнутости:

Цель Мандерса состоит в том, чтобы убедить своего читателя, что, используя экзистенциальное замыкание (и завершение модели, где это применимо) современной теории моделей для концептуализации исторических случаев расширения предметной области в математике, можно провести анализ того, что определяет выбор плодотворных теорий. в математике.

Дальнейшее утверждение Мандерса состоит в том, что если мы понимаем хорошие доменные расширения с точки зрения экзистенциальной замкнутости, то мы учитываем концептуальную унификацию, которую обеспечивают такие расширения ( там же. , с. 554). Так концептуальное единство следует из экзистенциальной замкнутости. Как только данная область экзистенциально замкнута, новая структура, рассматриваемая как модель старой теории, будет такова, что для определенных предложений они будут либо универсальными, либо не будут выполняться вообще (Мандерс называет это «выдавливанием среднего случая»). . Пример Мандерса состоит в том, что уравнения второй степени в некоторых случаях имеют решение только для действительных чисел, но как только это распространяется на комплексные числа, каждое уравнение второй степени имеет решение в расширенной области.

Понятие экзистенциального замыкания весьма распространено в алгебре: мы можем говорить об экзистенциально замкнутой (э.к.) решетке, э.к. группа, э.к. поле. Тем не менее, говоря об э.к., нужно проявлять некоторую осторожность. структур, ибо само понятие всегда относится к классу структур. В случае полей, например, если |$K$| есть класс моделей теории поля, то э.к. структуры являются в точности алгебраически замкнутыми полями (см., напр. , [Ходжес, 1993, с. 362]). Если |$К$| с другой стороны, это класс моделей теории упорядоченных полей, то э.к. структуры — это реальные замкнутые поля, где алгебраически замкнутые и реально замкнутые поля не являются экстенсионально одним и тем же классом структур.

Если экзистенциальная замкнутость в каком-то смысле довольно распространена, что делает ее примечательной для целей объяснения преимуществ доменных расширений? Короче говоря, экзистенциальная замкнутость может стать ступенькой к важной теоретико-модельной особенности некоторых теорий9.квантификатор 0433, исключение (или свойства, которые могут аппроксимировать преимущества, обеспечиваемые собственно исключением квантификатора). Теория |$T$| говорят, что квантор исключается всякий раз, когда для любой формулы |$\varphi$| на языке |$T$|⁠, |$T$| доказывает, что |$\varphi$| эквивалентна бескванторной формуле. Исключение кванторов — важная теоретико-модельная особенность алгебраических теорий, поскольку она позволяет доказывать математически богатые результаты, такие как Nullstellensatz 9. 0434 . ³

4. РАСШИРЕНИЯ ОБЛАСТИ И ИДЕАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Цель Мандерса состоит в том, чтобы использовать случаи исторических расширений предметной области, которые оказываются экзистенциальными замыканиями ранее существовавших моделей ⁴ в качестве доказательства против утверждения, что плодотворность математических теорий является эмпирическим , исторический факт. Мандерс также предполагает, что экзистенциальная замкнутость — это формальное теоретико-модельное понятие, которое отражает (Гильбертовский) метод идеальных элементов. На первый взгляд, Мандерс рассматривает экзистенциальную замкнутость как достаточное условие успеха некоторых расширений предметной области — в частности, успешных расширений предметной области, которые Гильберт рассматривал бы как расширения посредством идеальных элементов. Меня интересует область применения этого объяснения.

Одним из примеров идеальных элементов Гильберта являются линии и точки, удаленные на бесконечность. Мандерс [1984] показывает, как при определенных условиях модели проективной геометрии являются экзистенциальными замыканиями евклидовой плоскости. Так что в этом смысле объяснение Мандерса верно в случае идеальных элементов в геометрии.

А как насчет арифметики и алгебры? Позвольте мне начать с самого простого случая, а именно с комплексных чисел. Если мы рассмотрим поле комплексных чисел |$\mathbb{C}$| как структура в классе моделей теории полей, то, поскольку оно является алгебраически замкнутым полем, оно фактически экзистенциально замкнуто (это почти сразу следует из определений). Более того, теория алгебраически замкнутых полей является модельно-полной. Таким образом, схема Мандерса хорошо подходит для этого случая — и действительно, если мы оглянемся назад на то, как он ввел понятие экзистенциальной замкнутости, он в общем говорил обо всех тех случаях, в которых математическая область «закругляется» примыкающими корнями. Это ровно один из способов построения комплексных чисел, как |$\mathbb{R}(i)$|⁠. Более того, его историческая дискуссия в [Manders, 1989] можно рассматривать как способ демонстрации того, как расширение вещественных чисел в комплексную систему счисления является одним из тех случаев расширения домена, которое обеспечивает концептуальное единство; можно рассматривать уравнения, которые раньше анализировались отдельно, как члены одного и того же класса уравнений.

4.1. Бесконечно малые как идеальные элементы

Следующий случай, который можно рассмотреть, — бесконечно малые. Хотя бесконечно малые числа явно не перечислены Гильбертом как один из канонических случаев идеальных элементов в его [1984], как и другие авторы, считает Канту, ⁵ . Я кратко проиллюстрирую, как современные авторы, такие как Робинсон [1996] и Голдблатт [1998], представляют преимущества работы в нестандартном анализе.

В своей работе [1996, с. 1–3] Робинсон пишет, что «смысл» предела более привлекателен, если он задан в терминах бесконечно малых величин — он проще. ⁶ Более того,

Идеи Лейбница [то есть исчисление бесконечно малых] могут привести к плодотворный подход к классическому анализу и ко многим другим разделам математики. [|$\dots$|] Бесконечно малые числа имеют топологические обобщения, которые приводят к плодотворным приложениям. [Робинсон, 1996, с. 2, курсив добавлен]

Таким образом, бесконечно малые плодотворны; они ведут к упрощениям и обобщениям в математике.

Точно так же читаем в предисловии к [Goldblatt, 1998]:

Что предлагает нестандартный анализ для нашего понимания математики? [|$\dots$|] Новые определения знакомых понятий, часто более простые [|$\dots$|] Новые и содержательные (часто более простые) доказательства знакомых теорем. [Голдблатт, 19 лет98, с. vii]

Таким образом, по крайней мере некоторые математики, кажется, выступают в пользу бесконечно малых величин, потому что они допускают более четкие доказательства, более ясное выражение основополагающих понятий и новые результаты. Они утверждают, что работа с бесконечно малыми дает некоторые эпистемологические преимущества. Хотя приведенные выше цитаты не являются убедительным доказательством в этом отношении, кажется разумным допустить бесконечно малые под эгидой идеальных элементов, как их понимал Канту. ⁷

9*\mathbb{R}$|⁠), то полученная модель не является экзистенциальным замыканием |$\mathbb{R}$| над теорией вещественных чисел. Дополнения, которые являются консервативными по отношению к рассматриваемой теории, не будут экзистенциальными замыканиями, следовательно, они не могут быть хорошими случаями расширения предметной области в соответствии со структурой Мандерса. В конкретном случае действительных чисел любая нестандартная модель для теории будет консервативной по сравнению с теорией действительных чисел. Следовательно, теория исходной модели, а именно |$\mathbb{R}$|⁠, не подвергается упрощению, которого добивается Мандерс.0433, т. е. , не происходит ни «выдавливания среднего случая», ни какого-либо упрощения, связанного с устранением квантификатора.

Таким образом, предложение Мандерса, по-видимому, хорошо работает в нескольких случаях присоединения идеальных элементов, но не во всех. ⁸ Хотя это не подрывает его предложение экзистенциальной замкнутости как одного из достаточных условий для того, чтобы считать расширение предметной области хорошим или успешным, оно, похоже, предполагает, что его объяснение традиционных теоретических достоинств через теоретико-модельные более ограничено, чем может показаться с первого взгляда. Если присоединение бесконечно малых не является случаем экзистенциальной замкнутости, «плодотворность» и «упрощение», обеспечиваемые бесконечно малыми, остаются необъясненными в рамках Мандерса.

В следующем разделе я представлю альтернативную концептуализацию расширений предметной области и рассмотрю, может ли она объяснить статус бесконечно малых как идеальных элементов.

5. РАСШИРЕНИЕ ОБЛАСТИ В СООТВЕТСТВИИ С ДЕДЕКИНДОМ

В примечании к своей статье Мандерс мимоходом ссылается на альтернативный способ представления расширений домена для числовых доменов, называемый законом постоянства форм [Мандерс, 1989, с. 555]. Там он резюмирует содержание закона постоянства как требование, чтобы определенные универсальные свойства основных арифметических операций сохранялись в расширении математической области. Мандерс, кажется, быстро отвергает закон постоянства как недостаточно конкретный в определении того, какие свойства стоит сохранять в расширении домена. Чтобы оценить пределы закона постоянства как альтернативы мандерсовскому понятию успешного расширения домена, в этом разделе я (i) кратко обсужу происхождение этого закона, а затем (ii) представлю то, что, по-видимому, является точкой зрения Дедекинда. по закону постоянства. Затем это сформирует основу для альтернативного (полу)формального критерия хорошего расширения домена, с которым я сравню критерий Мандерса.

5.1. Закон постоянства форм

Закон постоянства, впервые введенный британским алгебраистом Джорджем Пикоком (1791–1858), гласит, что единственными алгебраическими законами, которые математик должен принимать, являются те, которые — в современных терминах — являются консервативными по отношению к определенным ⁹ результата элементарной арифметики. Пикок вводит упомянутый «закон» или «принцип» в контексте обоснования формальной алгебры как обобщения арифметики, где «формальная» алгебра обозначает часть алгебры, изучающую формы (уравнений). Гораздо более подробное обсуждение взглядов Пикока на математику и точную роль этого принципа в его философии математики можно найти в Detlefsen [2005, стр. 271–277]. Здесь я просто объясняю принцип в той мере, в какой это необходимо, чтобы дать некоторый контекст взглядам Дедекинда (которые будут рассмотрены в следующем подразделе).

Сначала рассмотрим одну из собственных формулировок закона постоянства Пикока:

Вернемся снова к этому принципу или закону постоянства эквивалентных форм [|$\dots$|]. «Любая форма, алгебраически эквивалентная другой, выраженная в общих символах, должна быть истинной, что бы ни обозначали эти символы». Наоборот, если мы находим эквивалентную форму в арифметической алгебре или какой-либо другой второстепенной науке, когда символы являются общими по форме, хотя и специфичны по своей природе, то та же самая форма должна быть эквивалентной формой, когда символы являются общими по своей природе, а также по своей природе. их форма. [Павлин, 1830, § 132, с. 104]

«Арифметическая алгебра» в приведенном выше отрывке — это просто арифметика, а «Символическая алгебра» — это алгебра. Пикок утверждает, что выражения элементарной арифметики, такие как |$5=5$|⁠ или |$5+5= 2\cdot 5$|⁠, которые действительны только для арифметических величин, становятся законами символической алгебры, когда они выражены через символы, которые являются «общими по своей форме» (, т. Как поясняет приведенная ниже цитата, Пикок рассматривает арифметику и алгебру как связанные между собой более конкретную и более общую формулировки одной и той же науки, причем разница заключается в семантическом значении символов, используемых каждым из них в формулировке своих утверждений:0004

Но хотя наука арифметика или арифметическая алгебра не дает адекватного основания для науки символической алгебры, она неизбежно предлагает ее принципы или, скорее, ее закон комбинации; ибо, поскольку символическая алгебра, хотя и произвольна в авторитетности своих принципов, не произвольна в своем применении, будучи обязана включать в себя арифметическую алгебру, как и другие науки, очевидно, что их правила должны быть идентичны друг другу, поскольку насколько эти науки развиваются совместно: действительное различие между ними будет возникать из предположение или допущение, что символы в символической алгебре являются совершенно общими и неограниченными как по значению, так и по представлению, и что операции, которым они подлежат, также являются одинаково общими . [Павлин, 1834, с. 195, курсив оригинала]

Этот принцип грубо предписывает, что «символическая алгебра» по большей части представляет собой преобразование в переменных уже хорошо известных истин «арифметической алгебры». Так, например, если в арифметике (алгебре) обнаруживается, что |$+1-1=0, +2-2=0, +3-3=0, \cdots$|⁠, то в символической алгебре можно просто утверждают общий символический принцип |$+a-a=0$|⁠.

Пикок, однако, признает, что некоторые законы (утверждения) его символической алгебры не могут быть таким образом «выведены» (или, используя собственную терминологию Пикока, «предложены») из арифметики. Поэтому необходимо предложить принципиальный способ руководства формированием новых принципов символической алгебры, и то, что предлагает Пикок, является более или менее критерием консервативности. Если некоторое утверждение в арифметике истинно, то в символическую алгебру нельзя принять другое утверждение, которое противоречило бы арифметическому.

Закон Павлина, как Детлефсен [2005, с. 272], уже было как-то предвосхищено другими авторами, а также почти дословно цитируется в немецкоязычном контексте Ганкелем [1867, с. 11, 15]. ¹⁰ Таким образом, хотя мне не удалось найти прямых доказательств того, что Дедекинд читал труды Пикока, в идеях математиков об обобщении арифметики через алгебру и расширении функций и областей в математике, похоже, есть сходство. Дедекинд [1854] можно рассматривать как предложение критерия плодотворного расширения домена, сильно напоминающего принцип Пикока. Это также отмечает Феррейрос [Ferreirós, 2007, с. 219], который пишет:

Этот принцип [Dedekind’s, примечание автора ] аналогичен идеям Ома о том, как обобщить арифметические операции, и знаменитому «принципу постоянства», сформулированному Пикоком около 1830 г. , 1867]).

Таким образом, в следующем подразделе я представляю аналогичные идеи Дедекинда о расширении домена, выраженные в [Dedekind, 1854].

2″> 5.2. Ранний Дедекинд о расширении домена

Дедекинд Habilitationsrede [1854] главное утверждение состоит в том, что, как и в других науках,

и в математике определения неизбежно выступают вначале в ограниченной форме, а их обобщение возникает только в ходе дальнейшего развития.

Затем он сразу же делает замечание, которое озадачивает современного читателя и знакомо любому, кто знаком с принципом Пикока: ; напротив, они с неотвратимой необходимостью вытекают из прежних ограниченных определений, если применить следующий принцип: законы, вытекающие из исходных определений и характерные для обозначаемых ими понятий, следует рассматривать как общего действия .

Обратите внимание, как Пикок спешит защищать алгебру как непроизвольное обобщение арифметики, так и Дедекинд защищает не только алгебру, но и любое расширенное математическое определение (или функцию). Однако расширение происходит несколько иначе: для Пикока расширение касается области действия определенных алгебраических утверждений; для Дедекинда расширение, по-видимому, состоит в расширении области объектов, подпадающих под определенное понятие (например, число). Однако понимание протяженности Дедекиндом можно рассматривать как эквивалентное пониманию Пикока; ибо понятия определяются «характеристическими» законами, которые «вытекают из исходных определений» названных понятий. Так что, в конце концов, расширять понятие в дедекиндовском смысле (по крайней мере, в арифметическом) — это то же самое, что интерпретировать определенные специальные арифметические утверждения не только как относящиеся к ограниченной области, но как к более широкой и богатой. Это закон Пикока о постоянстве форм — закон, управляющий обобщением арифметических результатов на алгебру.

Существует также разница в области применения критерия Дедекинда и закона Пикока; поскольку Дедекинд, по-видимому, предлагает критерий (как предписывающий, так и описательный) для всех концептуальных расширений в математике, в то время как Пикок, по-видимому, сосредоточен на обобщении (где обобщение состоит в расширении области применения утверждения) арифметических Только. Утверждение о сходстве между Дедекиндом и Павлином подтверждается, есть еще один аспект размышлений Дедекинда, о котором стоит упомянуть, а именно его сосредоточенность на функциях, т. е. ., операций. То есть критерий Дедекинда, по-видимому, применим не только к расширенному домену и кодовому домену функций. Его интерес особенно очевиден в следующем отрывке, касающемся чисел и основных арифметических операций:

[7] Элементарная арифметика основана на образовании порядковых и количественных чисел; последовательный переход от одного члена последовательности положительных целых чисел к другому — первая и простейшая арифметическая операция; все остальные операции опираются на него. Если собрать в одно действие многократно повторяющееся выполнение этой элементарной операции, то придут к понятию сложения. Из этого понятия таким же образом образуется понятие умножения, а из умножения — понятие возведения в степень. Но определения, которые мы таким образом получаем для этих основных операций, уже недостаточны для дальнейшего развития арифметики, и это потому, что она предполагает, что числа, с которыми она учит нас оперировать, ограничены очень узкой областью. То есть арифметика требует от нас при введении каждой из этих операций заново создавать всю существующую область чисел; или, точнее, она требует, чтобы косвенные, обратные операции вычитания, деления и т. п. были безусловно применимы. И это требование заставляет создавать новые классы чисел, так как при исходной последовательности натуральных чисел требование не может быть удовлетворено. Таким образом получают отрицательные, рациональные, иррациональные и, наконец, так называемые мнимые числа. Теперь, после того как числовая область была расширена таким образом, возникает необходимость заново определить операции [|$\dots$|]. [Дедекинд, 1854, § 7]

Этот отрывок показывает, как для Дедекинда соотносятся расширение домена и расширение операции, по крайней мере, в случае чисел: данный домен — это домен натуральных чисел, а данная операция — просто последующая. Из функции-преемника получаются другие прямые операции сложения и умножения, каждая из которых определяется как итерация ранее определенной функции. Когда все «прямые» операции определены, можно ввести обратные. Для сложения это вычитание. Однако для определения вычитания между двумя произвольными элементами области область должна быть расширена ( т. е. , понятие числа расширено) за счет включения и отрицательных чисел. Точно так же введение обратной операции умножения, а именно деления, вместе с требованием замыкания области определения новой операцией приводит к введению рациональных чисел. Эта итеративная конструкция (ввести новую операцию, затем новые числа, чтобы область была закрыта при указанной операции) доходит до мнимых чисел. Но с каждым раундом расширения числовой области старые операции также необходимо определять заново. ¹¹ Дедекинд не говорит об этом эксплицитно, но кажется, что то, что позволяет остановить процесс, — это достижение достаточно богатой (числовой) области, которая также закрыта для всех определенных операций, взятых в их наиболее общем виде. Чтобы увидеть, как можно адаптировать «определение» операции к расширенной области, рассмотрим пример умножения Дедекинда:

У нас уже есть определенный пример умножения. Эта операция возникла из-за того, что многократное выполнение операции следующего более низкого ранга [Ordnung], а именно прибавление фиксированного положительного или отрицательного слагаемого (так называемого множимого), было собрано вместе в одно действие. Множитель, т. е. число, указывающее, как часто прибавление множимого следует рассматривать как повторяющееся, — следовательно, с самого начала обязательно является положительным целым числом; отрицательный множитель, согласно этому первому определению умножения, не имел бы абсолютно никакого смысла. Поэтому необходимо специальное определение, чтобы допустить и отрицательные множители и тем самым освободить операцию от начального ограничения; но такое определение предполагает a priori полный произвол, и только позже будет решено, принесет ли тогда это произвольно выбранное определение какую-либо реальную пользу арифметике; и даже если бы определение сбылось, это можно было бы назвать лишь удачной догадкой, счастливым совпадением — чего следует избегать научному методу. Поэтому давайте вместо этого применим наш общий принцип. Мы должны исследовать, какие законы управляют произведением, если множитель последовательно претерпевает те же самые общие изменения, которые привели к созданию последовательности отрицательных целых чисел из последовательности положительных целых чисел. Для этого достаточно определить изменение, которое претерпевает произведение, если произвести простейшую числовую операцию с множителем, а именно позволить ему перейти в следующее за ним число. Последовательным повторением этой операции мы получаем известную теорему сложения для множителя: чтобы умножить число на сумму, нужно умножить его на каждое слагаемое, а затем сложить эти частичные произведения вместе. Из этой теоремы немедленно следует теорема о вычитании для случая, когда уменьшаемое больше вычитаемого. Если теперь объявить этот закон справедливым вообще (то есть справедливым и тогда, когда разность, которую представляет множитель, отрицательна), то получится определение умножения с отрицательными множителями; и тогда, конечно, не случайно, что общий закон, которому подчиняется умножение, совершенно одинаков для обоих случаев. [Дедекинд, 1854, § 8]

«Исходное определение» умножения как повторяющегося сложения должно быть изменено, чтобы его можно было определить и для отрицательных факторов, потому что нельзя повторять действие отрицательное число раз. Вместо этого левая дистрибутивность рассматривается как «общий закон», который должен сохраняться даже в расширенной области.

Здесь важно отметить элемент неточности в рассуждениях Дедекинда, а именно то, что он, кажется, рассматривает одновременно два типа того, что можно назвать концептуальными расширениями в математике. С одной стороны, это введение новых операций (или функций, по названию его лекции) наряду с «цепочкой предыдущих». Это сродни расширению языка, который используется, чтобы «говорить» о предметной области, и вот пример того, как это должно работать. Если мы сохраним домен структуры |$\mathcal{A}$| фиксировано, мы можем добавить, скажем, символы отношения к языку, чтобы получить новую структуру |$\mathcal{A}’$| который также интерпретирует эти новые символы так же, как и старые. Если мы позволим |$N$| — множество всех натуральных чисел, то мы можем рассматривать как структуру |$\mathbb{N}$| натуральных чисел языка |$L=\{0, +\}$| и структура |$\mathbb{N}’$| натуральных чисел в языке |$L’=\{0, 1, +, \cdot\}$|⁠. Домен, лежащий в основе обоих |$\mathbb{N}$| и |$\mathbb{N}’$| то же самое; в |$N$|⁠ не было добавлено никаких новых элементов. Тем не менее, между ними происходит расширение, которое включает только операции и константы. Второй тип расширения состоит в добавлении элементов к области функций или введении новых объектов в рамках старой концепции. Например, хотя первоначально определенное умножение может быть выполнено только между двумя положительными целыми числами, позже его можно переопределить, чтобы допустить также отрицательные целые числа в его области определения (и диапазоне). Это расширение можно проиллюстрировать следующим образом. |$\mathcal{L}$|-структура, с которой мы начинаем, это |$\mathbb{N}$|⁠, где областью является просто |$N$|⁠, а язык |$\mathcal{L}$ | содержит символ добавления «+», что |$\mathbb{N}$| интерпретируется как функция |$\{((m,n),m+n) : m,n\in N\}$|⁠. Затем к |$N$|⁠ добавляют отрицательные целые числа, таким образом используя |$Z$| поскольку домен новой |$\mathcal{L}$|-структуры |$\mathbb{Z}$|⁠, и, кроме того, |$`+$|’ теперь интерпретируется как |$\{((m,n ),m+n) : m,n\in Z\}\supseteq \{((m,n),m+n) : m,n\in N\}$|⁠. Это второе изменение представляет собой более прямолинейный случай добавления элементов к общей области модели, а также к областям отдельных функций. Эти два (расширение языка по сравнению с расширением предметной области) в принципе представляют собой два различных вида расширения, однако Дедекинд, похоже, этого не замечает. Я полагаю, что причина, по которой Дедекинд не исследует два случая расширения по отдельности, заключается в том, что он не верит, что один может иметь место в отсутствие другого: если математик вводит новые элементы в рассматриваемую область, то он должен иметь возможность определить, как старые операции или функции применяются к новым объектам.

3″> 5.3. Формализация предложения Дедекинда

Как видно из цитаты, в тексте Дедекинда многое происходит. Следовательно, чтобы выявить точки сравнения с понятием расширения домена Мандерса, может быть полезно дать теоретико-модельную характеристику взглядов Дедекинда. Я предлагаю следующее:

 

Условие (i) определения требует, чтобы |$\mathcal{A}$| быть вложенным в |$\mathcal{B}$|⁠. Это обеспечивает сохранение функций среди особей исходной модели |$A$|⁠, если языки |$\mathcal{L}$|⁠, |$\mathcal{L}’$| включают функциональные символы, интерпретируемые в |$\mathcal{A}$| и |$\mathcal{B}$|⁠.

Условие (ii) направлено на то, чтобы зафиксировать правило Дедекинда о некоторых законах, которые следует рассматривать как «общедействительные». Ограничение положительности на |$\varphi$| мотивирован техническими проблемами, с которыми можно было бы столкнуться в противном случае, ¹² , а также тем фактом, что уравнения, по-видимому, имеют привилегированный статус по сравнению с неравенствами. Сохранение уравнений — важная тема результатов универсальной алгебры, о чем свидетельствует поток исследований универсальной алгебры, состоящий в обобщениях и приложениях теоремы Биркгофа. ¹³ Более того, другие математики девятнадцатого века, такие как Ганкель [1867, стр. 26, 40–41] и Пикок [1834], неявно признают важность сохранения уравнений при расширении области значений и арифметических операций. Таким образом, ограничения на |$\varphi$| в формализации не должны рассматриваться как произвольные.

Для ясности, определение расширения Дедекинда само по себе не отвечает на вопрос, является ли данная математическая область хорошим расширением области другой области, согласно точке зрения, которую я приписываю Дедекинду. Выбор языков |$\mathcal{L},\,\mathcal{L}’$| также играет нетривиальную роль в этом смысле. Рассмотрим, например, следующий пример: пусть |$\mathbb{N},\,\mathbb{Z}$| — рассматриваемые модели с |$<\,\,\in\mathcal{L}$|⁠. Тогда |$\mathbb{Z}$| не может быть расширением Дедекинда |$\mathbb{N}$|⁠, потому что |$\mathbb{N}\vDash \forall x (x>0)$|⁠, что неверно в |$\mathbb{Z }$|⁠. Если исключить |$<$| из нашего языка, однако, проблемы не возникает и |$\mathbb{Z}$| можно считать расширением Дедекинда |$\mathbb{N}$|⁠. Это означает, что понятие расширения Дедекинда все еще в некоторой степени зависит от контекста. Однако это также верно и для понятия Мандерса, поскольку экзистенциальное закрытие и завершение модели также чувствительны к языку.

6. РАСШИРЕНИЕ КОНЦЕПЦИИ ЧИСЛА

В предыдущем разделе я представил размышления Дедекинда 1854 года как предлагающие концепцию расширения домена, родственную той, что лежит в основе принципа постоянства эквивалентных форм, и я предложил теоретико-модельную полуформализацию критерия. Это было сделано в попытке добиться прогресса в решении нормативного вопроса о том, что делает определенные доменные расширения «хорошими». В то же время работа в предыдущем разделе может оставить читателя в недоумении относительно исторический вопрос о том, действительно ли формализованный таким образом критерий соответствует отношению Дедекинда к новым системам счисления, разрабатываемым в середине 1850-х годов. Чтобы ответить на этот вопрос, я кратко напомню в этом разделе два таких теоретико-числовых развития и утверждаю, что в обоих случаях маловероятно, чтобы Дедекинд рассматривал их как расширения в смысле его [1854].

6.1. Кватернионы, октонионы и другие гиперкомплексные числа

Первый рассматриваемый случай — это случай кватернионов, или, в более общем смысле, так называемых гиперкомплексных чисел.

Гиперкомплексное число традиционно представляет собой любое число, принадлежащее (унитальной) алгебре, построенной поверх действительных чисел. Существует несколько различных гиперкомплексных систем счисления, которые можно определить как векторные пространства над действительными числами; кватернионы и октонионы — системы счисления размерностей |$4$| и |$8$|⁠ соответственно, как следует из их названий. Это означает, что каждый кватернион может быть представлен четверкой действительных чисел, а каждый октонион может быть представлен восьмеркой (или восьмеркой). Проблема в том, что умножение в кватернионах некоммутативно, а в октонионах оно даже не может быть ассоциативным. Но коммутативность и ассоциативность умножения выражаются как универсальные позитивные высказывания того вида, который дедекиндовское расширение должно сохранять по определению. Отсюда ясно, что данное предложение, хотя и вдохновленное Дедекиндом, не может объяснить эти расширения как хорошие расширения.

Дедекинд пишет о гиперкомплексных числах в двух статьях [1885; 1887]), и в обеих статьях его изложение состоит в том, что гиперкомплексные числа представляются в виде конечных сумм вида |$\Sigma\, \xi_{\iota}e_{\iota}$|⁠, где |$e_{ \йота}$| является «главной единицей» ( Haupteinheit ) гиперкомплексных чисел (подумайте о |$i,j,k$| для кватернионов). Тогда операции между любыми двумя гиперкомплексными числами можно определить как операции над единицами, которые вместе образуют основа . Эти операции могут быть выражены в виде линейных преобразований, т. {(s)}$| выведенные нами. Так что если мы хотим говорить о таких сложных величинах как о новых числах (что для меня нецелесообразно, так как в нашей высшей алгебре всегда возникают многозначные системы величин описанным здесь образом), то это можно сделать только, хотя и в совершенно иной форме. , и в самом деле бесконечно более слабый смысл, чем при введении мнимых чисел путем значительного обогащения поля действительных чисел, или также при введении гамильтоновых кватернионов, которые, хотя их полезность, по-видимому, ограничена очень малым полем, делают безусловным претензия на новизну по отношению к другим номерам. ([Дедекинд, 1885], в [Дедекинд, 1931, с. 16])

Если, с одной стороны, это поддерживает мою интерпретацию, согласно которой гиперкомплексные числа не являются настоящими новыми числами, то это также подрывает идею о том, что кватернионы считаются частным случаем гиперкомплексных чисел в этом отношении. Дедекинд считает их «достаточно новыми», чтобы считать их подлинными новыми числами. Таким образом, у нас остается следующее: теория, вдохновленная Дедекиндом, правильно согласуется с различием между двумя случаями расширения — а именно, расширением области за счет расширения самого понятия числа (такими могут быть кватернионы) — и числовыми областями, полученными как уникальные расширения (с точностью до изоморфизма) натуральных чисел. Мое определение расширения Дедекинда адекватно описывает последний тип расширения домена как хорошее, но не включает гиперкомплексные числа, включая кватернионы, несмотря на то, что Дедекинд пишет в отрывке выше.

Итак, когда дело доходит до чисел, полученных путем присоединения новых мнимых единиц, кажется, что Дедекинд проводит линию в кватернионах с точки зрения того, что считается подлинными новыми числами. Ибо, если, с одной стороны, в его [1854] казалось, что и мнимые числа, и кватернионы являются числами, только еще не снабженными удовлетворительным объяснением того, как они получены, с другой стороны, эти системы счисления могут быть получены в грубой форме. так же, как гиперкомплексные числа; так что можно было бы ожидать, что Дедекинд расценит все это либо как входящие, либо выходящие из категории «подлинных доменных расширений» (само собой разумеется, что-то должно быть подлинным доменным расширением, чтобы быть хорошим). При внимательном рассмотрении [Dedekind, 1854] можно сделать одно правдоподобное предположение, что, хотя и комплексные числа, и кватернионы являются подлинными расширениями области (поскольку в обоих случаях вводятся действительно новые числа), только комплексные числа получаются как замыкание уже принятой системы. числовая область (действительные числа) при некоторой обратной операции, а именно при возведении в степень. Поскольку определение расширения Дедекинда стремится уловить идею хорошего расширения домена, выраженную в [Dedekind, 1854], и эта идея состоит в том, что домены расширяются, чтобы закрыть их при операциях, это положительная черта определения расширения Дедекинда. что ему удовлетворяют комплексные числа как расширение действительных чисел, но не кватернионы, поскольку только комплексные числа вводятся как замыкание действительных чисел под квадратными корнями.

6.2. Идеалы Дедекинда и идеальные элементы

Вторым случаем того, что можно было бы хотеть и ожидать от случая «хорошего расширения» для Дедекинда, являются собственные идеалы Дедекинда, или идеальные числа в более общем смысле. Впервые идеальные числа были введены Куммером в 1846 г. [Бордонья, 1996, с. 6; Эдвардс, 1980, с. 322] для решения конкретной проблемы уникальности факторизации для определенных числовых областей. Уникальная факторизация в случае натуральных (или даже целых) чисел довольно проста: для любого непростого натурального числа |$n$|⁠ существует однозначное разложение |$n$| в его простые множители, то есть в числа, которые сами по себе не могут быть записаны как произведение чего-либо, кроме самих себя и единицы. Хотя Куммер впервые заговорил об «идеальных числах» или «идеальных делителях» как о числах, существующих за пределами (вне) области действительных (, т. е. ., существующих в действительности) чисел, и как бы рассматривал их как дополнительные числа, подлежащие добавлению к уже существующим, позиция Дедекинда относительно статуса его идеалов (и соответствующих им идеальных чисел) не столь однозначна. В следующем подразделе я набросаю вторую версию дедекиндовской теории идеалов. На основе этого наброска я смогу затем решить вопрос о том, что это за расширение домена, если оно вообще такое. Для заинтересованных читателей [White, 2004] содержит подробное обсуждение различий между этими двумя версиями.

6.2.1. Класс идеалов и «Строгое определение идеальных чисел» Дедекинда

Дедекинд представил свою теорию идеалов впервые в своих приложениях к Дирихле «Лекции по теории чисел» [1877; 1999], а затем в серии статей в Bulletin des Sciences Mathématiques et Astronomiques [Dedekind, 1876; 1877]. В своей формулировке теории Дедекинд приходит к «точному» определению идеального числа следующим образом.

Отправной точкой является расширение конечной степени (в техническом смысле поля, которое можно рассматривать как одно- или двумерное векторное пространство над |$\mathbb{Q}$|⁠) |$\Omega$ | |$\mathbb{Q}$|⁠. В этом поле идентифицируется подкольцо элементов, которые с точки зрения делимости ведут себя аналогично целым числам. Это кольцо целых чисел |$\mathfrak{o}$| поля |$\Omega$|⁠. Проблема в том, что, как правило, уникальная факторизация не работает в |$\mathfrak{o}$|⁠. Смысл введения идеальных делителей состоит в том, чтобы частично восстановить некоторые преимущества однозначной факторизации даже в тех случаях, когда она, строго говоря, не работает. В виде набора |$\mathfrak{o}$| не просто подкольцо |$\Omega$|⁠; это тоже 9ч$| в |$\mathfrak{a}$| имеет вид |$b\alpha_1$| для некоторого |$b$|⁠, и поэтому |$\alpha$| делится на |$\mu = \sqrt[h]{\alpha_1}$|⁠ и |$\mu$| — это «целое алгебраическое число», не принадлежащее к полю, с которого мы начали, |$\Omega$|⁠. Таким образом, Дедекинд пишет:

Таким образом, идеал |$\mathfrak{a}$| состоит из всех целых чисел, содержащихся в |$\Omega$| и делится на целое число |$\mu$|⁠; по этой причине мы будем говорить, что число |$\mu$|⁠, хотя и не содержится в |$\Omega$|⁠, равно идеальное число поля |$\Omega$| и соответствует идеалу |$\mathfrak{a}$|⁠. ¹⁴ [1877, с. 246]

Дедекинд останавливается перед тем, чтобы отождествить идеал, содержащий все числа, делящиеся на некоторый идеальный делитель, с самим идеальным делителем. Это различие может показаться аналогичным тому, которое Дедекинд проводит в случае действительных чисел и разрезов, где Дедекинд говорит, что каждому разрезу, не порожденному рациональным числом, соответствует иррациональное число, не говоря при этом, что разрез и число равны 9.0433 один и тот же . ¹⁵ Тогда можно считать это поверхностным различием, которое не следует принимать за чистую монету. Однако существует существенная разница между тем, как Дедекинд затем обрабатывает действительные числа, и числовой областью, в которой он определяет идеалы после того, как идеалы были определены. В первом случае Дедекинд пытается установить, что разрезы , взятые вместе как одна область , удовлетворяют определенным арифметическим и порядковым свойствам. Таким образом, он устанавливает некоторую преемственность между разрезами и определяемыми ими иррациональными числами и арифметикой натуральных чисел. Если посмотреть, как Дедекинд трактует целые и рациональные числа ¹⁶ видно, что эти шаги имеют общее то, что новые числа определяются как (упорядоченные) пары старых чисел, а арифметические операции над новыми числами определяются в терминах операций над старыми числами. Более того, Дедекинд, по-видимому, понимает вновь определенные числа как образующие новое целое, новую структуру (систему), обладающую определенными арифметическими свойствами (например, в случае целых чисел коммутативность сложения и законы дистрибутивности для сложения и дистрибутивности). умножение), которые справедливы и для натуральных чисел. Мне кажется, что в работе Дедекинда об идеалах не обнаруживается аналогичного интереса. Он не пытается показать, что существует какая-то глубокая преемственность между арифметическими свойствами натуральных чисел и арифметическими свойствами этих предполагаемых новых чисел (даже если можно сказать, что они порождены исследованием делимости и фундаментальной теоремой теории чисел). арифметика, и, следовательно, это то, что получается при попытке определить «делимость» в ее самой общей форме 9 .0433 т. е. ., расширяют делимость, в некотором смысле).

6.3. Являются ли идеалы и гиперкомплексы хорошими расширениями Дедекинда?

В изложении рассматриваемых идеалов Дедекинд явно дистанцируется от подхода Куммера к идеалам, который представляет их как несуществующие числа, индивидуализируемые только правилами делимости, заданными через громоздкие уравнения [Bordogna, 1996; Эдвардс, 1983].

Дедекинд, напротив, определяет идеалы как классы (комплексных) чисел. Он утверждает, что этих классов эквивалентности , а не , следует рассматривать как дополнение к числовому домену. Другими словами, он не считает себя расширителем домена.

Это соответствует тому, как расширения концепции числа представлены в Habilitation . Чтобы идеалы Дедекинда считались новыми числами, следует ожидать, что Дедекинд попытается доказать, что числовая область, расширенная за счет включения идеалов, по-прежнему сохраняет определенные «законы», которые были верны для той же области без идеалов. Но Дедекинд этого не делает. В частности, он не пытается доказать, что основные арифметические операции сохраняются в расширении.

Аналогичным образом, такая забота, по-видимому, отсутствует в его трактовке гиперкомплексных чисел. Учитывая, что до сих пор в своих [1872] и [1888] Дедекинд гордо ссылается на [Dedekind, 1854] как на сценарий, цель которого одобряла сам Гаусс, маловероятно, что он не обратил бы внимания на расширение понятия числа, а именно, гиперкомплексные числа, что не согласуется с его описанием того, что ограничивает такие расширения.

Поэтому я придерживаюсь иной позиции, когда речь идет об идеалах и гиперкомплексных числах, а именно, что они не должны быть расширениями в смысле [Dedekind, 1854]. Есть две причины такой позиции. Во-первых, как уже упоминалось, оба случая ставят перед нами загадку: (предполагаемый) случай расширения, который, по-видимому, не удовлетворяет критерию Дедекинда для хорошего расширения. Во-вторых, я полагаю, что имеется достаточно текстовых свидетельств, чтобы предположить, что Дедекинд рассматривает эти два случая иначе, чем то, как он рассматривает целые числа (как расширение |$\mathbb{N}$|⁠), рациональные и действительные числа. (Случай комплексных чисел не является проблемой, поскольку он является хорошим расширением предметной области в моем полуформальном представлении критерия Дедекинда 1854 года, а сам Дедекинд действительно рассматривает их как расширение действительных чисел). Я полагаю, что последние (целые числа, рациональные числа, действительные числа, комплексы) являются подлинными расширениями понятия числа для Дедекинда, в отличие от идеалов и гиперкомплексных чисел, и это также то, что предполагает моя полуформализация критерия Дедекинда.

7. СРАВНЕНИЕ

Если рассмотреть критерий расширения Дедекинда, то интересующие Дедекинда случаи числовой области (расширения от |$\mathbb{N}$| до |$\mathbb{Z}$| все вплоть до |$\mathbb{C}$|⁠) являются хорошими случаями расширения домена — если ограничить подписи, чтобы исключить порядок; в противном случае уже |$\mathbb{Z}$| как расширение |$\mathbb{N}$| не удовлетворяло бы условию (ii) в определении Дедекинда.

|$\mathbb{R}(i)$|⁠, например, будет структурой, полученной как дополнение другой, а именно |$\mathbb{R}$|⁠. Начинают с домена |$\mathbb{R}$|⁠, добавляют один новый элемент, |$i$|⁠, а затем добавляют также все подходящие алгебраические комбинации |$i$| со всеми элементами |$\mathbb{R}$|⁠. Также кажется, что в процессе мы были консервативны в отношении |$\mathbb{R}$| как поле (но не как упорядоченное поле, учитывая, что |$\mathbb{R}$| линейно упорядочено, а |$\mathbb{R}(i)$| – нет). Таким образом, этот конкретный пример является расширением «хорошего случая» как для Мандерса, так и для Дедекинда. 9*\mathbb{R}$| также считается хорошим доменным расширением в рамках Дедекинда, в отличие от Мандерса. Это существенное различие, которое можно объяснить с точки зрения того, что пытаются зафиксировать две разные структуры. Использование Мандерсом экзистенциального замыкания предназначено для захвата случаев расширения предметной области, направленного на упрощение с точки зрения уменьшения сложности кванторов теории. Расширение Дедекинда, с другой стороны, предназначено для охвата случаев расширения предметной области, направленных на расширение данной концепции (9).0433 например ., сложения или числа) настолько, насколько позволяет сущность понятия. ¹⁷

В предыдущем разделе я затронул два известных случая предполагаемого расширения домена и пришел к выводу, что они, похоже, не подпадают под мою интерпретацию Дедекинда. Теперь мы кратко обратимся к вопросу о том, хорошо ли кватернионы и идеалы обрабатываются понятием Мандерса. Кватернионы (⁠|$\mathbb{H}$|⁠) не получаются как экзистенциальное замыкание |$\mathbb{C}$|⁠, учитывая, что |$\mathbb{C}$| уже экзистенциально замкнуто и не изоморфно |$\mathbb{H}$|⁠. В то же время не очевидно, что должен быть какой-то класс структур |$K$| над которым |$\mathbb{H}$| экзистенциально замкнут. Аналогично для идеалов, определенных над некоторым полем. Таким образом, без таких результатов нельзя окончательно решить, считаются ли кватернионы и идеалы хорошими расширениями предметной области для Мандерса. ¹⁸

В разделе 3 я объяснил, как Мандерс утверждает, что для любой теории, в которой каждое условие разрешимости имеет одно слабое дополнение, экзистенциальное замыкание приводит к упрощению и концептуальной унификации [Мандерс, 1989, стр. 554–556]. Мандерс разъясняет упрощение и унификацию с точки зрения формальных свойств теорий получаемых экзистенциально замкнутых моделей. Другими словами, Мандерс предполагает, что экзистенциальная замкнутость является достаточным условием для того, чтобы расширение домена считалось хорошим и плодотворным9.0801 19 , и он указывает, что несколько исторически важных случаев (комплексные числа, точки и линии в бесконечности) действительно являются случаями экзистенциальной замкнутости. Как таковые, они действительно являются средством частичного достижения цели (⁠|$G»$|⁠): с помощью таких результатов, как Nullstellensatz , они позволяют «вводить двойные преобразования между моделями», и в силу того, что Мандерс вызывает свойство «выжимание среднего регистра», они удаляют исключения.

Понятие Дедекинда, тем временем, фокусируется на сохранении определенных особенностей (теорем) теории, которые считаются существенными для задействованных понятий (например, сложения). Из-за этого расширение Дедекинда преследует цель (⁠|$G»$|⁠), позволяя прямым и обратным операциям удовлетворять свойствам замыкания. Это разделение цели (⁠|$G»$|⁠) предполагает возможность использования предложения Дедекинда и Мандерса для разработки дизъюнктивной характеристики исторических случаев идеальных элементов.

Тем не менее, существует принципиальное концептуальное различие между Дедекиндом, с одной стороны, и Мандерсом, с другой. Мандерс настаивает на том, что после факта расширения мы можем оказаться в состоянии отвергнуть свойства или факты, которые до расширения считались существенными для концепции, которую рассматриваемая структура должна представлять или моделировать (в некотором смысле). свободный смысл терминов). Как уже отмечалось в разделе 5, он даже ссылается на принцип постоянства эквивалентных форм Пикока, отмечая, что, несмотря на его prima facie правдоподобие, оно не может всегда оставаться верным. Это кажется непримиримым различием в том, как два противоположных лагеря — Мандерс, с одной стороны, Дедекинд, с другой — понимают цели и преимущества доменных расширений. Сохранение сущности функции является для Дедекинда критерием, который побуждает математика расширять свои функции и понятия так, а не иначе.

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В этой статье я начал с обзора идеальных элементов в математике, рассматриваемых как пример хороших расширений математических областей. Я считал [Мандерс, 1989] в качестве кандидата на теоретико-модельное объяснение гильбертовского метода идеальных элементов и его роли в развитии чистой математики.

Концепция расширения предметной области Мандерса, однако, оказалась недостаточно приспособленной для объяснения «идеальности» расширений предметной области, возникающих, когда математик стремится к замыканию посредством операций, или к упрощению и плодотворности иного рода, чем те, которые обеспечиваются устранением кванторов. Хотя верно то, что Мандерс стремится только предложить достаточное условие для успешного или хорошего расширения предметной области, количество и виды случаев, которые не демонстрируют теоретико-модельные характеристики, на которых он фокусируется, позволяют предположить, что объяснение Мандерса плодотворности расширений предметной области таково: в лучшем случае частично.

В попытке пролить свет на связанные вопросы о том, как следует понимать приписывание теоретических достоинств, таких как простота и плодотворность, расширенным математическим областям (или сопутствующим теориям), и могут ли такие достоинства быть сведены к теоретико-модельным характеристикам рассматриваемых структур или теорий, как предлагает нам делать Мандерс, я использовал [Dedekind, 1854] в качестве основы для альтернативного теоретико-модельного критерия хороших расширений предметной области. Результат сравнения Дедекинда и Мандерса состоит в том, что они оба рассматривают комплексные числа как плодотворный случай расширения домена, но затем, кажется, расходятся во мнениях по большинству других случаев. Кватернионы и идеалы не так просто рассматривать в рамках модели Мандерса, но они и не кажутся тем расширением, которое его критерий призван зафиксировать в качестве хорошего случая расширения; они также не удовлетворяют определению расширения Дедекинда. Случай вещественных чисел с бесконечно малыми, с другой стороны, представляет собой хорошее расширение для Дедекинда, хотя и таким образом, что не раскрывает (эпистемологических) преимуществ работы с бесконечно малыми. Для Мандерса это невозможно. Для бесконечно малых тогда остается два следующих варианта: либо понимание идеальных элементов, предлагаемое формализацией Мандерса, слишком ограничительно, поскольку оно не учитывает роль идеальных элементов как «упростителей доказательства»; или, если принять предложение Мандерса за нормативное, бесконечно малые элементы, в конце концов, не являются идеальными элементами. Однако может быть и третий вариант, если более внимательно посмотреть на обсуждение идеальных элементов и расширений в начале статьи, а именно, может возникнуть желание провести различие между идеальными элементами, которые вводятся для округления области в смысле Мандерса или для упростить математику в стиле Мандерса и идеальные элементы, которые вводятся для обеспечения замыкания при определенных операциях. Согласно этому предположению, расширения Дедекинда — это расширения, которые включают в себя подлинное расширение домена объектов в домене и расширение, которое достигает закрытия при определенных операциях. Это решение соответствовало бы исторической дискуссии, выдвинутой Канту, подчеркивая при этом как сильные стороны, так и потенциальные ограничения использования концепций теории моделей для понимания расширения предметной области в математике.

Footnotes

^† Я хотел бы поблагодарить Арианну Бетти, Аннапаолу Джинамми, Луку Инкурвати, Джеффри Роберта Шаца, Хайна ван ден Берга и особенно Шона Уолша, а также двух анонимных рецензентов за их полезные комментарии к предыдущим проектам Эта бумага. Более ранние версии этой работы были представлены на различных семинарах и получили комментарии от их аудитории, в том числе на Восемнадцатом семинаре по математике Среднего Запада в Нотр-Даме (2017 г.) и Двенадцатой ежегодной Кембриджской конференции выпускников по философии математики и логики (2019 г. ).). Я особенно обязан Тиму Баттону как респонденту газеты в Кембридже.

Работа выполнена при поддержке Нидерландской организации научных исследований, проект № 277-20-007.

¹ Более подробно возражения против аргумента (1)–(4) см. в [Cantù, 2013, pp. 89 ff.].

² Экзистенциальная замкнутость в этой формулировке обусловлена ​​[Hodges, 1993, p. 361].

Как оказалось, можно усилить определение экзистенциального замыкания, чтобы формула |$\varphi$| может быть любой экзистенциальной формулой, а не просто квантором существования, за которым следуют атомарные или отрицательные атомарные формулы. Это всего лишь следствие теоремы о дизъюнктивной нормальной форме для |$\exists_1$| формулы [Ходжес, 1993].

³ Nullstellensatz на самом деле — это название, данное нескольким теоремам современной алгебры, которые, однако, являются обобщениями Nullstellensatz Гильберта. Одна стандартная формулировка Гильберта Nullstellensatz выглядит следующим образом:

Предположим, что |$A$| — алгебраически замкнутое поле, |$I$| является идеалом в кольце многочленов |$A[x_0, \dots, x_{n-1}]$| и |$p(x_0, \dots, x_{n-1})$| является полиномом |$\in A[x_0, \dots, x_{n-1}]$| такое, что для всех |$\overline{a}\in A$| если |$q(\overline{a})= 0$| для всех |$q\in I$| тогда |$p(\overline{a})= 0$|⁠. k\in I$|⁠. [Ходжес, 19 лет93, с. 366]

Nullstellensatz доказывается с помощью исключения кванторов, а его обобщение, называемое Strong Nullstellensatz , используется для установления определенных результатов в теории двойственности. [nLab, 2019]

⁴ Этот термин используется в нетехническом смысле, поскольку эти примеры на некоторое время предшествуют теории моделей.

⁵ За исключением, возможно, Веронезе, ср. [Cantù, 2013, стр. 94–95].

⁶ Вот полная цитата:

В основе фундаментальных понятий раздела математики, известного как анализ, лежит понятие предела. Производные и интегралы, сумма бесконечного ряда и непрерывность функции определяются в терминах пределов. Например, пусть |$f(x)$| — функция с действительным знаком, определенная для всех |$x$| в открытом интервале |$(0,1)$| и пусть |$x_0$| быть числом, принадлежащим этому интервалу. Тогда действительное число |$a$| является производной от  |$f(x)$| в  |$x_0$|⁠, в символах 1. 1.1 |$f'(x_0) = (\frac{d f}{d x})_{x=x_0} = a$| если 1.1.2 |$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)- f(x_0)}{x-x_0} = a$|⁠. Предположим, мы спросим хорошо подготовленного математика о значении 1.1.2. Тогда мы можем положиться на него, что, за исключением несущественных вариаций и терминологических различий (таких как использование некоторых топологических понятий), его объяснение будет таким:

Для любого положительного числа |$\epsilon$| существует положительное число |$\delta$| такое, что |$|\frac{f(x) — f(x_0)}{x-x_0}-a|<\epsilon$| для всех |$x$| в |$(0,1)$| для которого |$0<|x-x_0|<\delta$|⁠.

Теперь спросим нашего математика, не согласится ли он со следующей более прямой интерпретацией 1.1.1 и 1.1.2.

Для любого |$x$| в интервале определения |$f(x)$| такое, что |$dx= x-x_0$| бесконечно близко к  |$0$| но не равно |$0$|⁠, отношение |$\frac{df}{dx}$|⁠, где |$df = f(x)-f(x_0)$|⁠, бесконечно близко к |$а$|⁠. На этот вопрос мы можем ожидать ответа, что наше определение может быть проще [курсив добавлен] на вид, но совершенно неверно. [|$\dots$|] [Робинсон, 19 лет96, pp. 1–2]

⁷ Хотя я не сомневаюсь, что бесконечно малые являются идеальными элементами, по крайней мере, в эпистемологическом смысле, я должен отметить, что нужно быть довольно либеральным в отношении того, что считается « удаление исключений», если кто-то хочет утверждать, что аргумент Канту (1)–(4) можно легко прочитать из цитат Робинсона и Голдблатта. Вот одна из возможных модификаций аргумента Канту: мы заменяем цель (⁠|$G»$|⁠) на цель (⁠|$G»’$|⁠) сделать формальную математику более понятной и максимально приближенной к наивная интуиция, а поддерживающие ценности (⁠|$V$|⁠) и (⁠|$V’$|⁠) со значениями (⁠|$V»$|⁠): простота понимания математической теории желательное значение в математике, и (⁠|$V»’$|⁠): желательна простота понимания, потому что это увеличивает плодотворность. Однако исторические сторонники исчисления бесконечно малых, возможно, апеллировали к этому аргументу именно так, как он представлен в [Cantù, 2013].

⁸ Здесь читатель может задаться вопросом, что произойдет, если вместо рассмотрения |$\mathbb{R}$| в качестве отправной точки расширения, как я только что сделал, мы рассматриваем случаи, когда |$\mathbb{R}$| является расширенным доменом — например, относительно |$\mathbb{Q}$|⁠. Действительно, существует традиция рассматривать иррациональные числа как идеальные элементы относительно |$\mathbb{Q}$|⁠, а случай |$\mathbb{R}$| как расширение |$\mathbb{Q}$| потенциально может быть проблематичным для аккаунта Мандерса; |$\mathbb{R}$| не является экзистенциальным замыканием |$\mathbb{Q}$| как поле. Поскольку алгебраическое замыкание и экзистенциальное замыкание сводятся к одному и тому же понятию для полей, это означает, что |$\mathbb{R}$| не является экзистенциальным замыканием |$\mathbb{Q}$|⁠; поэтому проблематично приспособиться к структуре Мандерса. На это сторонник модели Мандерса для расширений с помощью идеальных элементов может дать два ответа. Во-первых, действительно, |$\mathbb{R}$| можно рассматривать как расширение |$\mathbb{Q}$| через идеальные элементы, но только если отойти от классической математической точки зрения. Во-вторых, этого следует ожидать, поскольку то, что делает действительные числа достойными внимания математика, — это их полнота, а полнота не может быть выражена в виде формулы первого порядка, в то время как экзистенциальное замыкание имеет дело только с сохранением формул первого порядка. . Можно принять эти два ответа как удовлетворительные, но обратите внимание, что они, по-видимому, приводят к тому, что объяснение Мандерса о расширении домена становится более ограничительным.

⁹ Как мы также увидим для Дедекинда, это ограничение того, какие законы арифметики должны сохраняться при расширениях, делает довольно нетривиальную работу в этих критериях для расширений.

¹⁰ На с. 11 one reads:

Der hierin enthaltene hodegetische Grundsatz kann als das Prinzip der Permanenz der formalen Gesetzen bezeichnet werden und besteht darin: Wenn zwei in allgemeinen Zeichen der arithmetica universalis ausgedrückte Formen einander gleich sind, so sollen sie einander auch gleich bleiben, wenn die Zeichen aufhören, einfachen Größen zu bezeichnen, und daher auch die Operationen einen irgend welchen anderen Inhalt bekommen.

Перевод автора: Содержащийся здесь вводный базовый принцип может быть назван принципом постоянства формальных законов и состоит в следующем: всякий раз, когда две формы, выраженные общими знаками arithmetica universalis , равны друг другу, они также должны остаются равными друг другу, когда знаки перестают обозначать простые величины, а потому и операции приобретают иное содержание [, т. е. ., значение].)

¹¹ Обратите внимание, что Дедекинд, по-видимому, говорит, что в каждом раунде расширения, строго говоря, не просто добавляются новые элементы в числовую область или переопределяются операции, но вся числовая область «создается [ред] [|$\dots$|] заново’. Я нахожу правдоподобным, что здесь Дедекинд просто признает, что добавление чисел к старой области фактически является изменением концепции числа. Следовательно, добавление новых чисел приводит к полному переписыванию определения понятия числа, и в этом смысле ранее существовавшие числа также воссоздаются, как только новые числа появляются на месте. Это прочтение, по общему признанию, слабее, чем другие прочтения «креационизма» Дедекинда о числах, особенно в Was sind und was sollen die Zahlen и Stetigkeit und irrationale Zahlen ([1888; 1872] переведено в [Dedekind, 1963]), как представлено, , например ., в [Tait, 1996; Халлетт, 2019]. Тщательное обсуждение взаимосвязи между определениями и творчеством в работах Дедекинда выходит за рамки настоящей статьи.

¹² Рассмотрим, например, |$\mathbb{Z}$| как |$\mathcal{A}$|⁠, |$\mathbb{Q}$| как |$\mathcal{B}$|⁠. Если формализация должна отразить идею Дедекинда о хорошем расширении предметной области, то |$\mathbb{Q}$| должен оказаться таким для |$\mathbb{Z}$|⁠. Для этого мое определение должно исключить например ., |$\forall x\, 2x\neq 1$| из класса предложений, которые нужно сохранить между |$\mathbb{Z}$| и |$\mathbb{Q}$|⁠, и один из способов сделать это — исключить отношение(я) порядка из |$\varphi$|⁠.

¹³ Теорема утверждает, что класс алгебр |$\mathcal{K}$| аксиоматизируемо по уравнениям тогда и только тогда, когда оно является многообразием — , т. е. , тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет некоторым свойствам замыкания. Установить, что класс алгебр является многообразием, проще, чем явно дать аксиоматизацию класса алгебр, и знание того, что определенная структура определима уравнениями, чрезвычайно ценно.

¹⁴ Donc l’ideal |$\mathfrak{a}$| est composé de tous les nombres entiers contenus dans |$\Omega$| et divisibles par le nombre entier |$\mu$|⁠; pour cette raison nous dirons que le nombre |$\mu$|⁠, lors même qu’il n’est pas contenu dans |$\Omega$|⁠, est un nombre idéal du corps  |$\Omega$|⁠ , et qu’il соответствуют идеалу |$\mathfrak{a}$|⁠.

¹⁵ Обсуждение взглядов Дедекинда на разрезы и действительные числа, а также на сопутствующие трудности см. в [Reck, 2020].

¹⁶ Dedekind предлагает конструкцию для каждого из них в Nachlass . Я смог получить доступ к его заметкам о целых числах благодаря Эммилу Хаффнер, но не тем, кто занимался «аналогичной конструкцией» рациональных чисел, и поэтому я полагаюсь на отчет Зига и Шлимма [2005] по этому вопросу.

¹⁷ Это замечание может подтолкнуть некоторых читателей к мысли, что случаи форсирования расширений в теории множеств относятся к тому типу расширений, которые должен быть в состоянии объяснить Дедекинд. У меня есть два ответа на этот вопрос. Во-первых, меня интересует дедекиндовское понятие расширения домена прежде всего в том случае, когда добавляемые элементы являются «идеальными элементами». Насколько мне известно, принудительное расширение не обсуждается в этих терминах в литературе. Во-вторых, более подходящим условием (ii) для понятия расширения, пытающегося охватить хорошие расширения теорий на языке теории множеств, было бы требование сохранения абсолютный , то есть |$\Delta_0$| понятия между исходной структурой и расширением.

¹⁸ Учитывая, что на первый взгляд гиперкомплексные числа и идеалы не попадают прямо в категорию хороших расширений предметной области ни в одной из рассмотренных здесь структур, можно задаться вопросом, является ли удовлетворительным объяснением расширения предметной области то, что подтверждает, что гиперкомплексные числа и идеалы являются хорошими расширениями предметной области.

Моя полуформализация предложения Дедекинда позволяет рассматривать коммутативность сложения и умножения как некоторые из законов, которые должно сохранять любое расширение числового понятия (или числовой области). Прямым следствием этого является то, что кватернионы, таким образом, не могут считаться случаем расширения Дедекинда. Более того, это согласуется с моим объяснением того, что должен фиксировать критерий Мандерса и что должен фиксировать критерий Дедекинда, что ни один из них не будет рассматривать идеалы и гиперкомплексные числа как хорошие расширения. Я полагаю, что достаточный критерий Мандерса охватывает случаи расширения области, мотивированные присоединением решений уравнений, выразимых, хотя и неразрешимых, в исходной области. Ясно, что гиперкомплексные числа и идеалы не являются такими вещами. Критерий Дедекинда, с другой стороны, должен охватывать случаи расширения области, происходящие от расширения области корректной определенности алгебраических операций 9. 0433 как можно больше . Я также хочу доказать, что введение идеалов не вызвано желанием «закрыть» область при выполнении некоторых операций — то есть функций — над исходной, ограниченной областью, что является своего рода расширением области, к которому я отношу идею Дедекинда. захватывать. Проблема, конечно, в том, что это делает оба описания (Мандерса и мое, основанное на Дедекинде) в некоторой степени нормативными, а не просто описательными.

¹⁹ Точнее, Мандерс предполагает, что для теорий, удовлетворяющих определенным свойствам, экзистенциальная замкнутость является достаточным условием для хорошего расширения области.

Список литературы

Bordogna,

F.

[

1996

]: ‘

Интерпретация идеала: встраивание идеальных чисел в математических программах Kummer, Dedekind и Klein

221 ‘9082.

Берлин

:

Институт истории науки имени Макса Планка

.

Cantù,

P.

[

2013

]: ‘

Аргументативный подход к идеальным элементам в математике

’, в

Абердейн

А.

и

Голубь,

И.Дж.

изд.,

Математический аргумент

, стр.

79

–

99

.

Логика, эпистемология и единство науки; 30

.

Спрингер

. дои.

орг/10.1007/978-94-007-6534-4_17

.

Чемла,

К.

[

2016

]: «

Ценность общности в историографии геометрии Мишеля Шаля

», в

Рено Чорле

K. C.

и

Rabouin,

D.

Eds,

Оксфордский справочник общности в математике и науках

, стр.

47

—

89

2222222.

Издательство Оксфордского университета

.

Дедекинд,

Р.

[

1854

]: ‘

О введении новых функций в математику

‘, in

Ewald,

W.

Источник в книге Абертиля 4:

Изд. Основы математики

, стр.

754

–

762

.

Издательство Оксфордского университета

.

Дедекинд,

Р.

[

1872

]:

Stetigkeit und Rationale Zahlen

.

Брауншвейг

:

Фридрих Виег и Зон

.

Dedekind,

R.

[

1876

]: ‘

Sur la théorie des nombres entiers algébriques

‘,

Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques (1)

11

,

278

–

288

.

Дедекинда,

R.

[

1877

]: ‘

Sur la théorie des nombres entiers algébriques

‘,

Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques (2)

1

,

17

—

41

,

69

—

92

,

144

—

164

,

207

222 –

9

,

207

222 –

9

4

4

4

4

4

492424

4244924 24008 240822,

—

,

—

9000

,

210004

922,

—

.

Дедекинд,

R.

[

1885

]: ‘

Zur Theorie der aus |$n$| Haupteinheiten gebildeten komplexen Grössen

’,

Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen

,

141

–

159

.

Dedekind,

R.

[

1887

]: ‘

Erläuterungen zur Theorie der sogenannten allgemeinen komplexen Grössen

’,

Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen

,

1

–

7

.

Dedekind,

R.

[

1888

]:

Was sind und was sollen die Zahlen

.

Брауншвейг

:

Фридрих Виег и Зон

.

Дедекинд,

Р.

[

1931

]:

Gesammelte Mathematische Werke

, Vol.

2

.

Fricke

Robert

,

Noether

Emmy

и

Ore

Ø ystein

,

.

Брауншвейг

:

Фридрих Виег и Зон

.

Дедекинд,

Р.

[

1963

]:

Очерки теории чисел

.

Нью-Йорк

:

Dover Publications

.

Detlefsen,

M.

[

1993

]: ‘

Hilbert’s formalism

‘,

Revue Internationale de Philosophie

47

,

285

–

304

.

Детлефсен,

М.

[

2005

]: ‘

Формализм

‘, в

Shapiro,

S.

Ed.,

Оксфордский справочник по математике и логике

, стр.

.

Издательство Оксфордского университета

.

Дирихле,

J.P.G.L.

и

Дедекинд

R.

[

1999

]:

Лекции по теории чисел

.

Провиденс, Род-Айленд

:

Амер. Мат. соц. и Лондонская математика. Соц

.

Эдвардс,

Х.М.

[

1980

]: ‘

The genesis of ideal theory

’,

Archive for History of Exact Sciences

23

,

321

–

378

.

Эдвардс,

Х.М.

[

1983

]: ‘

Dedekind’s Indecution of Ideations

’,

Бюллетень Лондонского математического общества

15

,

8

—

17

.

Ferreirós,

J.

[

2007

]:

Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике

. 2-й об. изд..

Базель, Бостон

:

Биркхойзер

.

Goldblatt,

R.

[

1998

]:

Лекции о Гиперреалах

.

Нью-Йорк

:

Спрингер

.

Hallett,

M.

[

1990

]: ‘

Физиказм, редукционизм и Hilbert

’, в

Irvine,

22. 0822, стр.

183

–

257

.

Спрингер

.

Hallett,

M.

[

2019

]: ‘

Фреге при создании

’, в

P.A

3 Ebert

3

и

Rossberg,

M.

Eds,

Эссе о основных законах Фреге арифметики

, с.0822 .

Издательство Оксфордского университета

.

Hankel,

H.

[

1867

]:

Теория Der Complecten Zahlensysteme insbesondere der gemeinen gemetrenhren zahlen und der hamilton’schen Quaternion Quaternion Quaternion Quaternion.

Лейпциг

:

Леопольд Фосс

.

Гильберт,

D.

[

1984

]: ‘

на Infinite

’, в

Benacerraf

P.

и

Putnam,

H.

EDS,

Философия математики

: 9000

. 2-е изд., с.

183

–

201

.

Издательство Кембриджского университета

.

Гильберт,

D.

[

1992

]: ‘

Die Rolle von Idealen Gebilden

’, в

Natur und Mathematisches Erkennen

, стр.

90

–

101

.

Роу

Дэвид

, изд.

Базель, Бостон

:

Биркхойзер

.

Hodges,

W.

[

1993

]:

Теория моделей. Энциклопедия математики и ее приложений

, Vol.

42

.

Издательство Кембриджского университета

.

Мандерс,

К.Л.

[

1984

]: ‘

Интерпретации и теория моделей классической геометрии

‘, в

Модели и наборы (AACHEN, 1983)

, с.

297

922 —

, с.

297

22 —

, с. 330

.

Конспект лекций по математике

;

1103

.

Спрингер

.

Мандерс,

К.Л.

[

1989

]: ‘

Domain extension and the philosophy of mathematics

’,

Journal of Philosophy

86

,

553

–

562

.

nLab [

2019

]: ‘

Nullstellensatz. Редакция 17

’. Доступно на http://ncatlab.org/nlab/revision/Nullstellensatz/17.

Павлина,

G.

[

1830

]:

Трактат по алгебре

.

Кембридж

:

Дж. и Дж.Дж. Дейтон

.

Peacock,

G.

[

1834

]: «

Отчет о недавнем прогрессе и текущем состоянии некоторых областей анализа

», в отчете Третьего собрания Британской ассоциации

90 для развития науки

, стр.

185

–

352

.

Reck,

E.

[

2020

]: ‘

Вклады Дедекинда в основы математики

’, in

E

ed. ,

The Stanford Encyclopedia of Philosophy

(

Winter

2020

ed.) Доступно на https://plato.stanford.edu/entries/dedekind-foundations/. Доступно

июнь

2021

.

Робинсон,

А.

[

1996

]:

Лекции о гиперреальности

.

Издательство Принстонского университета

.

Sieg,

W.

и

Schlimm

D.

[

2005

]: ‘

Анализ DeDekind number: Systems и Axioms

2 ‘,

. 0003 147

,

121

–

170

.

Stillwell,

J.

[

2014

]: ‘

Ideal elements in Hilbert’s geometry

‘,

Perspectives on Science

22

,

35

–

55

.

Tait,

W.W.

[

1996

]: ‘

Фреге против Кантора и Дедекинда

’, в

Schirn,

M.

Ed.,

Frege: Важность и Legacy

, стр.

70

—

113

.

Берлин

:

Де Грюйтер

.

палатка,

К.

и

Ziegler

M.

[

2012

]:

Курс по теории модели

.

Конспект лекций по логике

;

40

.

Издательство Кембриджского университета

.

Белый,

D.

[

2004

]:

Аксиоматика, методология и теория идеалов Дедекинда.

Магистерская диссертация, Университет Карнеги-Меллона

.

© Автор [2021]. Опубликовано издательством Оксфордского университета.

Это статья в открытом доступе, распространяемая в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License (http://creativecommons. org/licenses/by/4.0/), которая разрешает неограниченное повторное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии, что оригинальная работа правильно цитируется.

© Автор [2021]. Опубликовано издательством Оксфордского университета.

Наборы — типы, символы, свойства, примеры

Наборы в математике — это просто набор отдельных объектов, образующих группу. В наборе может быть любая группа предметов, будь то набор чисел, дней недели, видов транспорта и так далее. Каждый элемент множества называется элементом множества. Фигурные скобки используются при написании множества. Очень простой пример набора будет таким. Установите А = {1,2,3,4,5}. Существуют различные обозначения для представления элементов множества. Наборы обычно представляются с помощью формы списка или формы построителя наборов. Остановимся подробно на каждом из этих терминов.

1.	Наборы определения
2.	Комплекты Представительство
3.	Наборы символов
4.	Типы наборов
5.	Наборы формул
7.	Набор свойств
8.	Операции над множествами
9.	Часто задаваемые вопросы о наборах

Наборы определения

В математике множество — это четко определенный набор объектов. Наборы именуются и представляются с заглавной буквы. В теории множеств элементами, из которых состоит множество, могут быть любые вещи: люди, буквы алфавита, числа, фигуры, переменные и т. д.

Наборы в математике Примеры

определено менее 10, тогда как совокупность умных учеников в классе не определена. Таким образом, набор четных натуральных чисел меньше 10 можно представить в виде множества A = {2, 4, 6, 8}. Давайте используем этот пример, чтобы понять основную терминологию, связанную с множествами в математике.

Элементы набора

Элементы, присутствующие в наборе, называются либо элементами, либо членами набора. Элементы множества заключены в фигурные скобки, разделенные запятыми. Для обозначения того, что элемент содержится в множестве, используется символ «∈». В приведенном выше примере 2 ∈ A. Если элемент не является членом множества, то он обозначается символом «∉». Здесь 3 ∉ A.

Кардинальное число набора

Кардинальное число, мощность или порядок набора обозначает общее количество элементов в наборе. Для натуральных четных чисел меньше 10 n(A) = 4. Наборы определяются как набор уникальных элементов. Одним из важных условий определения множества является то, что все элементы множества должны быть связаны друг с другом и иметь общее свойство. Например, если мы определим множество с элементами как названия месяцев в году, то мы можем сказать, что все элементы множества являются месяцами года.

Представление наборов

Для представления множеств используются различные нотации множеств. Они отличаются способом перечисления элементов. Для представления множеств используются три обозначения множеств:

• Семантическая форма
• Форма реестра
• Набор сборщика форма

Семантическая форма

Семантическая нотация описывает оператор, показывающий, что является элементами множества. Например, набор А — это список первых пяти нечетных чисел.

Форма реестра

Наиболее распространенной формой, используемой для представления наборов, является запись реестра, в которой элементы наборов заключены в фигурные скобки, разделенные запятыми. Например, Set B = {2,4,6,8,10}, который представляет собой набор первых пяти четных чисел. В ростерной форме порядок элементов множества не имеет значения, например, множество первых пяти четных чисел также можно определить как {2,6,8,10,4}. Кроме того, если в наборе имеется бесконечный список элементов, то они определяются с помощью набора точек в конце последнего элемента. Например, бесконечные множества представлены как X = {1, 2, 3, 4, 5. ..}, где X — множество натуральных чисел. Чтобы подытожить нотацию формы реестра, пожалуйста, взгляните на примеры ниже.

Обозначение множеств с конечным списком: множество A = {1, 2, 3, 4, 5} (первые пять натуральных чисел)
Обозначение наборов с бесконечным реестром: набор B = {5, 10, 15, 20 ….} (кратное 5)

Форма построителя набора

Нотация построителя набора имеет определенное правило или утверждение, которое конкретно описывает общее свойство всех элементов множества. Форма построителя набора использует в своем представлении вертикальную черту с текстом, описывающим характер элементов набора. Например, А = {к | k — четное число, k ≤ 20}. В заявлении говорится, что все элементы множества A являются четными числами, меньшими или равными 20. Иногда вместо «|» используется «:».

Визуальное представление множеств с помощью диаграммы Венна

Диаграмма Венна — это графическое представление множеств, где каждое множество представлено в виде круга. Элементы множества находятся внутри кругов. Иногда прямоугольник окружает круги, что представляет универсальный набор. Диаграмма Венна показывает, как данные наборы связаны друг с другом.

Наборы символов

Набор символов используется для определения элементов данного набора. В следующей таблице показаны некоторые из этих символов и их значение.

Символы	Значение
У	Универсальный набор
н(Х)	Кардинальное число набора X
б е А	‘b’ является элементом множества A
а ∉ В	‘a’ не является элементом множества B
{}	Обозначает набор
∅	Нулевой или пустой набор
А У Б	Набор A Набор соединительных элементов B
А ∩ В	Набор пересечений A Набор B
А ⊆ В	Набор A является подмножеством набора B
Б ⊇ А	Набор B является надмножеством набора A

Типы наборов

Наборы подразделяются на разные типы. Некоторые из них являются одноэлементными, конечными, бесконечными, пустыми и т. д.

Одноэлементные наборы

Набор, состоящий только из одного элемента, называется одноэлементным набором или также называется единичным набором. Пример. Установите A = { k | k — целое число от 3 до 5}, то есть A = {4}.

Конечные множества

Как следует из названия, множество с конечным или счетным числом элементов называется конечным множеством. Пример. Установите B = {k | k — простое число меньше 20}, то есть B = {2,3,5,7,11,13,17,19}

Бесконечные множества

Множество с бесконечным числом элементов называется бесконечным множеством. Пример: Установите C = {кратное 3}.

Пустые или нулевые наборы

Набор, который не содержит ни одного элемента, называется пустым набором или нулевым набором. Пустое множество обозначается символом «∅». Читается как « фи ». Пример: Установите X = {}.

Равные множества

Если два множества содержат одни и те же элементы, то они называются равными множествами. Пример: А = {1,2,3} и В = {1,2,3}. Здесь множество A и множество B являются равными множествами. Это можно представить как A = B.

Неравные множества

Если два множества имеют хотя бы один отличающийся элемент, то они являются неравными множествами. Пример: A = {1,2,3} и B = {2,3,4}. Здесь множество A и множество B являются неравными множествами. Это можно представить как A ≠ B.

Эквивалентные множества

Два множества называются эквивалентными множествами, если они имеют одинаковое количество элементов, хотя элементы разные. Пример: A = {1,2,3,4} и B = {a,b,c,d}. Здесь множество A и множество B являются эквивалентными множествами, поскольку n(A) = n(B)

Перекрывающиеся множества

Два множества называются перекрывающимися, если хотя бы один элемент из множества A присутствует в множестве B. Пример: A = {2,4,6} B = {4,8,10}. Здесь элемент 4 присутствует как в множестве A, так и в множестве B. Следовательно, множества A и B перекрываются.

Непересекающиеся множества

Два множества являются непересекающимися множествами, если в обоих множествах нет общих элементов. Пример: А = {1,2,3,4} В = {5,6,7,8}. Здесь множество A и множество B — непересекающиеся множества.

Подмножество и надмножество

Для двух множеств A и B, если каждый элемент множества A присутствует в множестве B, то множество A является подмножеством множества B(A ⊆ B), а B является надмножеством множества A(B ⊇ А).
Пример: А = {1,2,3} В = {1,2,3,4,5,6}
A ⊆ B, так как все элементы множества A присутствуют в множестве B.
B ⊇ A означает, что множество B является надмножеством множества A.

Универсальный набор

Универсальный набор — это совокупность всех элементов, относящихся к конкретному предмету. Универсальный набор обозначается буквой «У». Пример: Пусть U = {Список всех автотранспортных средств}. Здесь множество автомобилей является подмножеством этого универсального множества, множество велосипедов, поездов — все подмножества этого универсального множества.

Наборы мощности

Набор мощности — это набор всех подмножеств, которые может содержать набор. Пример: Установите A = {1,2,3}. Набор мощностей A = {{∅}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}}.

Наборы формул

Множества находят свое применение в области алгебры, статистики и вероятностей. Ниже перечислены некоторые важные формулы набора.
Для любых двух перекрывающихся множеств A и B

• n(A U B) = n(A) + n(B) — n(A ∩ B)
• n (A ∩ B) = n(A) + n(B) — n(A U B)
• n(A) = n(A U B) + n(A ∩ B) — n(B)
• n(B) = n(A U B) + n(A ∩ B) — n(A)
• n(A — B) = n(A U B) — n(B)
• n(A — B) = n(A) — n(A ∩ B)

Для любых двух непересекающихся множеств A и B:

• n(A U B) = n(A) + n(B)
• А ∩ В = ∅
• n(A — B) = n(A)

Свойства наборов

Подобно числам, множества обладают такими свойствами, как ассоциативность, коммутативность и т. д. Существует шесть важных свойств множеств. Имея три множества A, B и C, свойства этих множеств следующие.

Собственность	Пример
Коммутативное имущество	А У Б = Б У А А ∩ В = В ∩ А
Ассоциативное свойство	(А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С) (А У Б) У С = А У (Б У С)
Распределительная собственность	A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) А ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
Идентификационное свойство	А U ∅ = А А ∩ U = А
Дополнение Свойство	А U А’ = U
Идемпотентное свойство	А ∩ А = А А У А = А

Операции над множествами

Некоторые важные операции над множествами включают объединение, пересечение, разность, дополнение множества и декартово произведение множества. Краткое объяснение операций над множествами состоит в следующем.

Объединение множеств

Объединение множеств, которое обозначается как A U B, перечисляет элементы множества A и множества B или элементы как множества A, так и множества B. Например, {1, 3} ∪ {1, 4 } = {1, 3, 4}

Пересечение множеств

Пересечение множеств, обозначаемое A ∩ B, перечисляет элементы, общие как для множества A, так и для множества B. Например, {1, 2} ∩ {2, 4} = {2}

Разность наборов

Разность наборов , которая обозначается буквами A — B, перечисляет элементы набора A, которых нет в наборе B. Например, A = {2, 3, 4} и B = {4, 5, 6}. А — В = {2, 3}.

Дополнение к множеству

Дополнение к множеству, которое обозначается A’, представляет собой множество всех элементов универсального множества, которые не присутствуют в множестве A. Другими словами, A’ обозначается как U — A, что представляет собой разность в элементах универсального множества и множества А.

Декартово произведение множеств

Декартово произведение двух множеств, обозначаемое A × B, является произведением двух непустых множеств, в котором получаются упорядоченные пары элементов. Например, {1, 3} × {1, 3} = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3)}.

☛ Темы, связанные с наборами:

Ознакомьтесь с некоторыми интересными темами, связанными с наборами.

• Операции с множествами
• Диаграммы Венна
• Подмножество
• Обозначение реестра
• Универсальный набор
• Пересечение множеств
• Набор обозначений Builder

Часто задаваемые вопросы о наборах

Что такое множества в математике и примерах?

Наборы представляют собой набор отдельных элементов, заключенных в фигурные скобки и разделенных запятыми. Список элементов множества называется элементами множества. Примеры: коллекция фруктов, коллекция картинок. По-другому множества представляются следующим образом. Установите A = {a,b,c,d}. Здесь a,b,c,d — элементы множества A.

Какие существуют различные обозначения множеств для представления множеств?

Наборы могут быть представлены тремя способами. Представление множеств означает способ перечисления элементов множества. Они следующие.

• Семантическая запись: Элементы набора представлены одним оператором. Например, Set A — это количество дней в неделе.
• Roster Notation: эта форма представления наборов использует фигурные скобки для перечисления элементов набора. Например, установите A = {2,4,6,8,10}
• Обозначение построителя набора: форма построителя набора представляет элементы набора по общему правилу или свойству. Например, {х | x — простое число меньше 20}

Какие существуют типы наборов?

Наборы отличаются друг от друга в зависимости от присутствующих в них элементов. Исходя из этого, мы имеем следующие виды наборов. Это одноэлементные множества, конечные и бесконечные множества, пустые или нулевые множества, равные множества, неравные множества, эквивалентные множества, перекрывающиеся множества, непересекающиеся множества, подмножества, надмножества, степенные множества и универсальные множества.

Каковы свойства множеств в теории множеств?

Различные свойства, связанные с множествами в математике:

• Переместительное свойство: A U B = B U A и A ∩ B = B ∩ A
• Ассоциативное свойство: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) и (A U B) U C = A U (B U C)
• Распределительное свойство: A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (AU C) и A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
• Свойство идентичности: A U ∅ = A и A ∩ U = A
• Свойство дополнения: A U A’ = U
• Свойство идемпотента: A ∩ A = A и A U A = A

Что такое объединение наборов?

Объединение двух наборов A и B представляет собой элементы из обоих наборов A и B или оба вместе. Обозначается символом «У». Например, если установить A = {1,2,3} и установить B = {4,5,6}, то AUB = {1,2,3,4,5,6}. A U B читается как «союз B».

Что такое пересечение множеств?

Пересечение двух множеств A и B — это элементы, общие для множества A и B. Оно обозначается символом ‘∩’. Например, если установить A = {1,2,3} и установить B = {3,4,5}, то A ∩ B = {3}. A ∩ B читается как «пересечение A B».

Что такое подмножества и надмножества?

Если каждый элемент множества A присутствует в множестве B, то множество B является надмножеством множества A, а множество A является подмножеством множества B.
Пример: А = {1,4,5} В = {1,2,3,4,5,6}
Поскольку все элементы множества A присутствуют в множестве B. ⇒ A ⊆ B и B ⊇ A.

Что такое универсальные множества?

Универсальный набор, обозначаемый буквой «U», представляет собой совокупность всех элементов, относящихся к определенному предмету.
Пример: Пусть U = {Список всех автотранспортных средств}. Здесь множество циклов является подмножеством этого универсального множества.

Что такое дополнение в наборах?

Дополнением множества, обозначаемого А’, является множество всех элементов универсального множества, не присутствующих в множестве А. Другими словами, А’ обозначается как U — А, что представляет собой разность элементы универсального множества и множества А.

Что такое Декартово произведение в множествах?

Декартово произведение двух множеств, обозначаемое A×B, есть произведение двух непустых множеств, при котором получаются упорядоченные пары элементов. Например, если A = {1,2} и B = {3,4}, то A×B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} .

Какая польза от диаграммы Венна в множествах?

Диаграмма Венна — это графическое представление отношений между двумя или более множествами. Круги используются для представления наборов. Каждый круг представляет набор. Прямоугольник, окружающий круги, представляет универсальное множество.

Центр изучения дискретной математики

Наборы

Набор представляет собой неупорядоченный набор объектов.

Объекты набора называются элементами набора или членов . Обычно они указываются внутри фигурных скобок. Мы пишем $x \in A$, если $x$ является элементом (членом) множества $A$.

$\{1,2,3\}$ — множество из $3$ элементов. Это то же самое, что набор $\{1,3,2\}$ (порядок не имеет значения) и набор $\{1,1,2,3,3,3,3\}$ (повторение не имеет значения). иметь значение). Как правило, все объекты одинаковые (например, числа), но они не обязательно должны быть такими: $\{ 1, 3, \text{red}, \text{blue}, \text{John} \}$ множество.

Многоточие используется, когда шаблон понятен: $\{1,2,3,4,\ldots,50\}$ — множество всех целых чисел от $1$ до $50$ включительно.

Некоторые наборы мы используем много:

• $\mathbb{R}$ множество действительных чисел
• $\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел
• $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел
• $\mathbb{Q}$ — ​​множество рациональных чисел

Возможно множество без элементов: $\{\}$. Это пустое множество , которое обычно обозначается как $\emptyset$. Это , а не , то же самое, что $\{\emptyset \}$, который представляет собой набор с одним элементом (который оказывается (пустым) набором).

Количество различных элементов в множестве $S$ называется его мощностью и обозначается $|S|$. Если $|S|$ бесконечно (например, $\mathbb{Z}$), мы говорим, что множество бесконечно .

Одним из распространенных способов определения набора является нотация построителя набора . Вот два примера:

• $\mathbb{R} = \{ r \;|\; r \text{ действительное число} \}$
• $O = \{ х \;|\; x \text{ — нечетное целое число} \}$

Набор операций

Над наборами можно выполнять несколько операций.

• Union : Для двух множеств $A$ и $B$ объединение $A \cup B$ представляет собой множество всех элементов, которые находятся либо в $A$, либо в $B$. Например, если $A = \{ 1,3,5 \}$ и $B = \{ 2,3,6 \}$, то $A \cup B = \{ 1,2,3,4,5 ,6 \}$. Обратите внимание, что $A \cup B = \{ x \;|\; (x \in A) \lor (x \in B) \}$.

• Пересечение : Для двух множеств $A$ и $B$ пересечение $A \cap B$ — это множество всех элементов, которые находятся как в $A$, так и в $B$. Например, если $A = \{ 1,2,3,4 \}$ и $B = \{ 3,4,5,6 \}$, то $A \cap B = \{ 3,4 \} $. Обратите внимание, что $A \cap B = \{ x \;|\; (x \in A) \land (x \in B) \}$. Мы говорим, что $A$ и $B$ являются непересекающимися , если $A \cap B = \emptyset$.

• Разность : Для двух множеств $A$ и $B$ разность $A \setminus B$ представляет собой множество всех элементов, которые находятся в $A$, но не в $B$. Например, если $A = \{ 1,2,3,4 \}$ и $B = \{ 3,4 \}$, то $A \setminus B = \{ 1,2 \}$. Обратите внимание, что $A \setminus B = \{ x \;|\; (x \in A) \land (x \notin B) \}$. $A \setminus B$ также обозначается как $A — B$.

• Дополнение : для множества $A$ дополнение $\overline{A}$ — это множество всех элементов, число которых равно , а не , в $A$. Чтобы определить это, нам нужно некоторое определение вселенной всех возможных элементов $U$. Таким образом, мы можем рассматривать дополнение как частный случай разности множеств, где $\overline{A} = U \setminus A$. Например, если $U = \mathbb{Z}$ и $A = \{ x \;|\; x \text{ — нечетное целое число} \}$, тогда $\overline{A} = \{ x \;|\; x \text{ — четное число} \}$. Обратите внимание, что $\overline{A} = \{ x \;|\; х \не в А \}$.

• Декартово произведение : Для двух множеств $A$ и $B$ декартово произведение $A \times B$ представляет собой набор упорядоченных пар, где первый элемент находится в $A$, а второй элемент — в $B. $. Имеем $A \times B = \{ (a,b) \;|\; a \in A \land b \in B \}$. Например, если $A = \{ 1,2,3 \}$ и $B = \{ a,b \}$, то $A \times B = \{ (1,a),(1,b) ,(2,а),(2,б),(3,а),(3,б)\}$.

Подмножества

Набор $A$ является подмножеством множества $B$, если каждый элемент $A$ является элементом $B$. Мы пишем $A \subseteq B$. Другими словами, $A \subseteq B$ тогда и только тогда, когда $\forall x\;(x \in A \rightarrow x \in B)$.

Для любого набора S имеем:

• $\emptyset\subseteq S$

  Доказательство: нужно показать, что $\forall x\;{(x \in \emptyset \rightarrow x \in S)}$. Поскольку $x \in \emptyset$ всегда ложно, импликация всегда истинна. Это пример тривиального или бессодержательного доказательства.

• $S \подмножество S$

  Доказательство: нужно показать, что $\forall x\;{(x \in S \rightarrow x \in S)}$. Зафиксируйте элемент $x$. Мы должны показать, что $x \in S \rightarrow x \in S$. Эта импликация эквивалентна $x \in S \lor x \notin S$, что является тавтологией. Следовательно, по универсальному обобщению $S \subseteq S$.

«> Страница №4.

Начало   << Назад   Вперед >>   Конец
[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] 

Как вы думаете, если полста разделить на половину, то сколько в итоге получится?

Получится не 25, как многие могут подумать, а 100. Так как если 50 разделить на 1/2, то это равносильно умножению на 2.

Если три десятка умножить на четыре десятка, то сколько получится?

Получится не 12 десятков, а 120 десятков. То есть : 30 * 40 = 1200.

Можете ли вы обосновать, почему почти во всех странах мира канализационные крышки у люков имеют только круглую форму? (Квадратные крышки люков бывают лишь тогда, когда они дополнительно крепятся шарнирами).

Если крышки люков будут квадратными, то они могут легко провалиться в люк, т.к. диагональ квадрата больше стороны квадрата. Поэтому их если и делают, то только прикрепив к люку шарнирами. У круглых крышек люков нет диагонали и стороны, а только диаметр, который у крышки всегда больше отверстия люка.

Как вы думаете, какой знак следует поставить между 0 и 1, чтобы было получено число больше 0, но меньше 1?

Этот знак является запятой. То есть 0,1. Это число больше 0, но меньше 1.

Как вы думаете, сколько граней имеет шестигранный карандаш, который ни разу не затачивали?

Шестигранный карандаш, если не подвергался заточке будет иметь 8 граней. 6 большие грани и 2 торцевые.

Трехлитровый сосуд полностью заполнен тремя литрами воды. Вам необходимо за 2 переливания заполнить два пустых сосуда на 1 и 2 литра, чтобы в каждом из них было по 1 литру воды. При этом больше нельзя пользоваться ни чем, кроме этих трех сосудов.

Из полного сосуда наливаем в двухлитровый пустой ровно два литра, т.е. до краев. Далее из этого сосуда выливаем в однолитровый ровно литр воды (т.е. до краев).

Как вы думаете, существуют ли линии отличные от окружности, на которых все точки будут равноудалены от какой-то одной точки?

Равноудаленностью всех точек обладает любая линя, лежащая на поверхности шара.

Как вы думаете, какой предмет будет иметь одинаковое изображение при рисовании его с любой точки зрения?

Этим свойством обладает только шар.

Попробуйте сообразить, какой из выводов, указанных ниже, верный :

А) Здесь три ложных вывода.
Б) Здесь один ложный вывод.
В) Здесь два ложных вывода.
Г) Здесь пять ложных выводов.
Д) Здесь четыре ложных вывода.

Правильный вариант Д — здесь четыре ложных вывода. В связи с тем, что один является верным, а остальные не верные.

Попробуйте догадаться сколько стоит книга, если книга стоит доллар плюс пол книги.

Книга стоит 2 доллара. Решение : полкниги стоит доллар, значит вся книга стоит 2 доллара.

Ответьте, сколько сейчас времени, если оставшаяся часть суток в два раза превышает прошедшую?

Сейчас восемь часов.

Некий бизнесмен захотел привезти в Японию для продажи 10 000 пар первоклассных дорогих кроссовок. Но в Японии на такие кроссовки накладываются очень большие пошлины. Подумайте и скажите, как же хитроумный бизнесмен смог ввезти все эти кроссовки в Японию, при этом заплатил только очень небольшие деньги? (Никакой коррупционной и преступной составляющей здесь нет).

Бизнесмен поступил очень хитро. Он разделил каждую пару кроссовок и отправил весь объем двумя партиями. То есть в одной партии были только кроссовки на левую ногу, во второй только на правую ногу. Одну партию он отправил в Токио, другую в Осака. В каждом из городов бизнесмен не заплатил пошлину и товары были конфискованы и выставлены на аукционе. В связи с тем, что никому не была нужна партия кроссовок только на одну ногу, то бизнесмен выкупил сам обе партии за мизерные деньги.

5 рыбаков съели 5 карпов за 5 дней. Как вы думаете, а за сколько дней 15 рыбаков съедят 15 карпов?

15 рыбаков съедят 15 карпов тоже за 5 дней. Если 5 рыбаков съедают 5 карпов за определенный промежуток времени, то у 15 рыбаков скорость поедания карпов в 3 раза больше, следовательно за 5 дней они съедят 15 карпов.

В мешке имеется 9 кг сахара. Есть также и две гири по 50г и 200г. Подумайте, как за три взвешивания на чашечных весах отвесить 2кг сахара?

Сперва необходимо на чашечных весах разделить содержимое мешка пополам на 4,5кг в каждой чашке. Далее одну чашу опустошаем, и снова 4,5кг делим пополам и получаем в каждой чаше весов по 2,25кг. В третье взвешивание уже нужно опустошить обе чаши, но из одной чаши 2,25кг сахара положить в отдельный мешок. И далее при помощи гирек в 200г и 50г (итого 250г) отвесить из пакета с 2,25кг ровно 250г. Тогда в пакете останется ровно 2 кг.

Два колхозника решили узнать, у кого больше овец. Первый из них сказал : «если ты дашь мне свою козу, то у меня будет их в два раза больше, чем у тебя». Второй ему говорит : «А давай лучше ты мне дашь свою одну овцу, тогда у меня овец будет столько же, сколько и у тебя». Сколько же овец у каждого из колхозников? (Передачи овец пока еще не было).

У первого колхозника 7 овец, у второго только 5. Если первый колхозник отдает одну овцу второму и их становится поровну, то значит, что изначально у первого их на 2 больше. Если же второй колхозник отдает овцу первому, то их становится у первого в 2 раза больше, такое возможно, только если у первого изначально было 7 овец, а у второго 5.

В одном классе всего 36 учеников. Девочек на 3 больше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и девочек в этом классе?

Если разделить 36 пополам, то получим 18, т.е. две половины класса по 18 человек. Если из первой половины добавить школьника в другую, то получится разница в 2 человека. Если отнять еще одного и добавить снова в большую часть, то получим превышение на 4 человека. Следовательно задача не имеет решения.

Можете ли вы записать число 1000 при помощи только восьми восьмерок и арифметических знаков суммы?

Получится равенство : 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000.

На столе лежат 4 монеты, из которых одна сделана из другого металла и отличается по весу, хотя внешне они все одинаковые. Как определить эту монету за 2 взвешивания на чашечных весах?

Варианты взвешиваний : 1) ложем на весы 1 и 2 монеты, если они равны по весу, то одну монету заменяем на третью. Далее если они равны, то отличная монета 4-я, если не равны, то 3-я монета отличная от остальных. 2) ложем на весы 1 и 2 монеты, если они не равны по весу, то вместо одной монеты ложем 3-ю. Если уравновешиваются, то отличная убранная монета, если не уравновешиваются, то отличная от других монет оставшаяся на весах старая монета.

Как так могло оказаться, что половина числа 12 стало равно 7 ?

Нужно написать число 12 римскими цифрами : IIX , далее провести посередине линию. Верхняя половина будет в виде VII, что соответствует цифре 7.

На праздничном столе горят 7 свечей. 3 из них потушили. Сколько свечей останется?

Останутся 3 потушенные свечи, т.к. остальные 4 сгорят полностью.

Страница №4.

Начало   << Назад   Вперед >>   Конец
[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] 

15 упражнений для тренировки мозга

Программистам без логики никуда. Поэтому время прокачать мозг: проверьте свои способности. Вам под силу эти логические задачи?

Полезно решать и логические задачи, и математические. Так вы развиваете логику и тренируете мозг. В силу профессии айтишнику крайне важно следить за тонусом своей главной «мышцы». Мозг любит задачки и головоломки, а ещё переключение внимания и отдых от рутины. Поэтому скорее приступим к развлечениям с пользой!

Логические задачи для разминки

1 задача

Поставьте правильное число вместо вопросительного знака:

4  5  6  7  8  9 
61 52 63 94 46 ?

Числа нижнего ряда – квадраты чисел верхнего ряда с перестановкой цифр. Вместо знака ставьте число 18.

2 задача

Один парень в компании предложил друзьям такой спор:

– Спорим, я выставлю бутылку на середину комнаты и вползу в неё.

И получилось. Он победил.

Как парню посчастливилось это сделать?

Он без труда вполз в неё – в комнату.

3 задача

Представьте ряд из шести чашек на столе. Три первые из них ничем не наполнены, а три следующие – с водой. Как добиться чередования пустых чашек и чашек с водой? Касаться разрешается только одной чашки. При этом толкать чашку чашкой запрещается.

Что вы предпримете?

Возьмите пятую чашку, перелейте из неё воду во вторую и поставьте чашку на место.

4 задача

В санатории на лужайке двое мужчин заняты настольным теннисом. Один ударяет ракеткой так сильно, что теннисный шарик улетает далеко и попадает в трубу из стали. Труба зарыта в землю вертикально на три метра. Шарик лежит на дне трубы, то есть на расстоянии трёх метров от плоскости земли. У игроков нет другого шарика.

Ответьте, как спортсменам достать игральный шар без извлечения трёхметровой трубы из-под земли?

Спортсмены наполнят трубу водой до краёв, и тогда шарик всплывёт.

5 задача

Получится ли у вас записать число 1000 с использованием только восьми восьмёрок и символов математического сложения?

888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000

Логические задачи основного комплекса

6 задача

Попробуйте установить принцип построения указанной последовательности:

8 2 9 0 1 5 7 3 4 6

Последовательность цифр построена на основании алфавитного порядка их названий (восемь, два, девять, ноль и т. д.).

7 задача

Вообразите десятикилометровый мост через пролив. Максимальная нагрузка для него – 25 тонн. С начала этого моста стартовал грузовик, масса которого – ровно 25 тонн. Автомобиль продолжает движение к противоположному краю. Баланс моста пока не нарушен. Неожиданно, когда грузовик достиг середины этого путепровода, на него сел воробей со своим весом.

Вопрос к вам: приведёт ли вес птицы к нарушению балансировки и разрушению моста?

Не приведёт. Так как грузовик преодолел путь до середины моста, что равно 5 км, расход потраченного топлива в разы превысил вес птицы.

8 задача

В одно и то же время к водному каналу приблизилось двое. Добраться до другого берега поможет лодка, которая рассчитана только на одну персону. Тем не менее, без стороннего участия оба переправились на противоположный берег на этой лодке.

Как люди справились?

Люди приблизились к противоположным берегам водного канала.

9 задача

Отважного воина захватили слуги султана. Султан приказал отправить смельчака в темницу, где вместе с ним беспрерывно будут рядом два надзирателя. Один стражник исключительно правдив в разговоре, а второй лжёт. Внутри темницы оказались два закрытых входа. Войдёшь в один – выберешь «неволю навсегда», а в другой – «освобождение». Султан предложил воину избрать один вход: если это окажется «освобождение», то пленник свободен.

Воину позволили спросить надзирателей только один раз. То есть один вопрос на двоих надзирателей. Пленник не в курсе, кто из них лжец, а кто правдив. Надзиратели, несомненно, знают, какой вход подарит воину освобождение.

Какой вопрос задаст воин одному из стражников для достоверного определения входа, который означает «освобождение»?

Воин задаст только один вопрос любому из надзирателей: «Если попросить твоего коллегу указать на вход «освобождение», то куда он направит меня?» В обеих ситуациях надзиратель укажет на «вход в неволю».

10 задача

В лесу десять родников с мёртвой водой: от первого до десятого. Мёртвая вода из родников с первого по девятый доступна каждому, а десятый родник во власти Кощея в пещере, в которую он никого не впускает. По вкусу и цвету мёртвую воду не отличить от обыкновенной, однако глоток воды из родника означает смерть. Спасёт только вода из родника с номером выше. Поэтому того, кто изначально выпьет десятую воду, ничего не спасёт.

Иванушка бросил вызов Кощею. Условились принести с собой чашку с водой и дать её осушить сопернику. Радости Кощея не было предела: «Ура! Я налью десятый яд, и Иванушка не спасётся! В то же время выпью то, что даст Иванушка, следом выпью десятый яд и останусь живым!»

В оговоренный день соперники столкнулись. Последовал честный обмен чашками. Содержимое выпито. При этом Кощей погиб, а Иванушка выжил.

Как Иванушка победил Кощея?

Иванушка предложил Кощею обыкновенную воду. А Кощей, по неверным предположениям, «запил» её собственным десятым ядом. Перед встречей с соперником Иванушка выпил воду из любого родника. Вышло, что он запил яд Кощеевым десятым, что привело к нейтрализации яда.

Логические задачи для «растяжки»

11 задача

Отец решил задать своему сыну-школьнику каверзный вопрос: назови самое большое число. Ответ сына ошеломил отца, возразить было нечего.

Для программиста это дело лёгкое, правда? Но что сказал школьник?

Тридцать первое. Предполагается число месяца.

12 задача

Воинственное племя захватило странника. Вождь хотел смерти страннику и позволил ему выбирать. Страннику разрешалось озвучить одну фразу. При правдивости фразы его сбросят с отвесной скалы. Окажись фраза лживая, и его отдадут львам на растерзание. Но странник подобрал такую фразу, которая подарила ему свободу.

Отгадайте, что это за фраза?

Фраза: «Меня растерзают львы». Тогда, если бы вождь отдал странника львам на растерзание, то сказанная фраза стала бы правдивой, и его полагалось бы бросить с отвесной скалы. Но если странника сбросят со скалы, то фраза окажется лживой. Вождь посчитал, что исключительно правильным исходом будет подарить свободу страннику.

13 задача

После гулянки мужчина направлялся домой слегка навеселе. Он шёл по центру песчаной проселочной дороги. Путь не освещался лунным светом. К тому же, на дороге отсутствовали фонари. Одежда мужчины была чёрной. Вдруг на дорогу выехал автомобиль с выключенными фарами. В конце концов, водитель заметил мужчину и свернул.

Как ему удалось увидеть пешехода?

На улице стоял день.

Логические задачи для заминки

14 задача

Вам даётся три письма. Одно придётся незамедлительно проглотить. В каждом письме найдёте пару предложений. Два предложения в одном письме истинные, в другом – ложные, а в третьем – пополам – истинное и ложное. Смотрите, какие там предложения:

Первое письмо:

1. Не ешьте это письмо.
2. Непременно съешьте второе письмо.

Второе письмо:

1. Не стоит есть первое письмо.
2. Жуйте третье письмо.

Третье письмо:

1. Есть это письмо не стоит.
2. Скорее съедайте первое письмо.

Поделитесь своим мнением, какое письмо съесть?

Третье письмо.

15 задача

Вы очутились в помещении, в котором четыре двери и крошечное окошко. Три двери фальшивые, то есть за ними сразу кирпичная кладка. И одна дверь с выходом на улицу. Вам дали ключ, который открывает все четыре двери, однако вы без понятия, какая дверь выведет на улицу. Попытаться можно один раз. При открывании одной двери оставшиеся замки блокируются механически и безвозвратно. Вдобавок комната тёмная и слегка озаряется светом одной свечи.

Какие вы примете меры, чтобы отыскать единственную дверь, которая ведёт на улицу?

Стоит распахнуть окошко и подставлять свечу по очереди к дверям: к щелям или к замочной скважине. При этом внимательно смотреть на пламя свечи. Колебание пламени будет указывать на выход.

Эти логические задачи показались вам лёгкими или не очень?

Попробуйте другие логические задачи:

• Логика в программировании: логические задачи с собеседований
• Тренируй свои мозги или ТОП-15 логических задач

10 логических задач с собеседований, которые заставят застрелиться

Некоторые логические задачи с собеседований вгоняют в недоумение: зачем такое спрашивать? Чтобы создать сложную ситуацию и посмотреть, как быстро вы примете решение.

Разобраться и ответить правильно поможет наша подборка логических задач с собеседований.

Автомат с напитками

Начнём с простой логической задачи.

На склад привезли три машины для напитков. Одна из них выдаёт чай, вторая выдаёт кофе, а третья — чай или кофе (определяется случайно). Любой автомат продаст стакан напитка за одну монету. На каждом автомате приклеена этикетка с выдаваемым напитком. Но на заводе произошла ошибка, из-за чего на всех автоматах наклеены не те этикетки, которые должны быть.

Вопрос: сколько потребуется денег, чтобы определить, где какие автоматы?

Ответ

Потребуется одна монета, которую нужно бросить в автомат с наклейкой «случайный». Мы знаем, что это неправильная наклейка, поэтому это автомат с чаем либо кофе. После этого определяются остальные два автомата методом исключения. Например, если автомат выдал чай, то автомат с наклейкой «чай» на самом деле выдаёт кофе, а автомат с наклейкой «кофе» выдаёт случайный напиток.

Инопланетяне и десяток храбрецов

В нашу планету вторглась инопланетная раса, чтобы уничтожить всё человечество. Но перед этим они решили дать нам возможность проявить свои интеллектуальные способности. Они отобрали десять умнейших людей планеты, построив их в ряд в полностью тёмной комнате. Каждому они надели чёрную или белую шляпу. После этого свет включился.

Инопланетянин просит стоящего в конце ряда человека назвать цвет своей шляпы. Если ответ правильный — этот человек остаётся жить, если нет — погибает. Подсмотреть цвет своей шляпы нельзя, однако можно обсудить с остальными определённый принцип ответа, которого будут придерживаться все. Распределение цветов шляп случайное, но вам виден цвет шляп всех остальных людей.

Вопрос: каким должен быть ответ, чтобы в живых осталось как можно больше людей?

Ответ

Люди должны договориться о следующем принципе ответов: отвечающий считает количество чёрных шляп у остальных людей. Если шляп нечётное количество, он называет «чёрный», если чётное — «белый». Следующий человек в ряду, видя шляпы остальных и зная чётность чёрных, может вычислить цвет своей шляпы. Например, если чёрных всё ещё нечетное количество, то на нём белая шляпа. С такой тактикой выживут 9 из 10 человек. Один же из них героически погибнет, спасая остальных.

Поездки на мотоциклах

У вас есть 50 мотоциклов с полным баком, которого хватает на 100 км езды.

Вопрос: используя все мотоциклы, какое максимальное расстояние вы сможете проехать? Все мотоциклы в начале пути находятся условно в одной точке.

Ответ

Самое простое решение, которое может прийти в голову — просто завести все мотоциклы и одновременно проехать на них 100 км. Но можно проехать и больше. Для этого сначала проедьте 50 км. Все мотоциклы будут с наполовину заполненными баками. Перелейте топливо с одной половины мотоциклов в другую половину. Теперь у вас 25 мотоциклов с полным баком. Проедьте ещё 50 км и повторите операцию. Таким образом можно проехать 350 км

3 лампы и 3 выключателя

Эта логическая задача особенно полюбилась на собеседованиях. Есть 2 комнаты. Первая комната закрыта дверью, в ней низкие потолки и висят 3 лампы накаливания. Во второй комнате есть 3 выключателя, подсоединённых к каждой из ламп. Можно как угодно переключать выключатели, но перейти из второй комнаты в первую можно лишь один раз.

Вопрос: как узнать, за какую лампу отвечает каждый из выключателей?

Ответ

Ситуацию спасут низкие потолки, которые позволят дотронуться до лампы. Ещё очень важная деталь — лампы накаливания, которые очень сильно нагреваются. Вам нужно, находясь во второй комнате, включить любую лампу на несколько минут, потом выключить её и включить любую из двух других. После этого переходите в комнату с лампами. Первый выключатель, который вы трогали, будет присоединён к лампе, которая ещё тёплая. Второй выключатель — к светящей лампе. А выключатель, который вы не трогали, будет подсоединён к выключенной холодной лампе.

Два стражника

А такая логическая задача часто встречается на интервью от Apple. Игрок дошёл до финального задания в квесте. Перед ним оказались две двери. Первая приведёт к богатству и победе, другая — к поражению. Под дверьми стоит по одному стражнику. Они знают, куда ведут их двери. Но один из них скажет неправду. Не известно, кто именно солжёт. Игрок может спросить одного стражника всего один раз.

Вопрос: что нужно спросить у стража, чтобы выйти к богатству и выиграть квест?

Ответ

У любого стражника нужно спросить: «какая дверь, по мнению другого стражника, ведёт к победе?». Если игрок спрашивает у правдивого стражника, то тот укажет на дверь с поражением, ведь второй стражник всегда врёт. Если же спросить у второго стражника, то он соврёт о мнении правдивого стражника и тоже укажет на дверь с поражением. Зная неправильную дверь, вам просто нужно выбрать другую.

Пьяные кролики

Как-то раз один наследник захотел убить своего короля, чтобы власть скорей перешла в его руки. У короля была 1000 бутылок вина его любимого сорта. 10) уникальных комбинаций состояний кроликов. Пронумеруем все бутылки в двоичной системе, для этого хватит 10 разрядов (в задаче нумерация регистров начинается с 1):

• 1-я бутылка = 0000000001
• 2-я бутылка = 0000000010
• 3-я бутылка = 0000000011
• …
• 999-я бутылка = 1111100111
• 1000-я бутылка = 1111101000

Кроликов нужно пронумеровать от 1 до 10. Каждый из них  будет соответствовать одному из 10 разрядов числа. Кроликов нужно поить из тех бутылок, где в соответствующем кролику разряде есть единица. Например, из первой бутылки пьёт только первый кролик; из третьей — первый и второй. Напоив кроликов из всех бутылок, нужно подождать один день. Номера кроликов, которые погибли, подскажут разряды числа, в которых должны быть единицы. Таким образом, если погибли только 3-й и 1-й кролики, то отравлена 5-я бутылка (0000000101 = 5).

Голодные белки

Данная логическая задача нередко задаётся на собеседованиях и выделяется среди прочих своей неординарностью. В её решении важны не особые математические способности, а умение абстрагироваться от странного условия. Полюбившаяся интервьюерам задача звучит так: 1,5 белки за 1,5 минуты поедают 1,5 жёлудя.

Вопрос: сколько желудей за 9 минут съедят 9 белок?

Ответ

Если вы не зависли на моменте «1.5 белки», то у вас есть все шансы осилить эту логическую задачку — завсегдатая собеседований. Нужно лишь иначе представить заданные условия. Если 1,5 белки съедают 1,5 жёлудя за 1,5 минуты, то 1 белка за 1,5 минуты съедает 1 жёлудь. Тогда 9 белок за 1,5 минуты съедают 9 желудей. Но по условию нужно узнать количество желудей, съедаемых за 9 минут:

1. 9 / 1,5 = 6 — во столько больше раз нам даётся времени;
2. 9 * 6 = 54 — столько желудей съедят 9 белок за 9 минут.

Треугольник муравьёв

Есть треугольник с равными углами. На углах стоят по одному муравью. В какой-то момент муравьи начинают идти в другой угол вдоль стороны треугольника. В какой именно — определяется случайно.

Вопрос: каков шанс того, что ни один муравей не столкнётся с другим муравьём?

Ответ

Может показаться, что вероятность 33%, но это не так. Есть два варианта необходимого движения муравьёв: по часовой стрелке и против. Давайте сконцентрируемся на одном муравье. После того, как он случайным образом выбрал направление, ему нужно, чтоб и остальные муравьи двигались в эту же сторону. Шанс того, что второй муравей пойдёт в его направлении — 50%. Аналогичная вероятность и у третьего муравья. Это значит, что общая вероятность того, что муравьи не столкнутся — 25%.

Котлета, котлета и ещё одна котлета

У вас есть 2 сковородки и 3 котлеты. На приготовление 1 котлеты с одной стороны уходит 1 минута. На одной сковороде вмещается лишь 1 котлета.

Вопрос: за какое минимальное время вы сможете полностью обжарить все 3 котлеты?

Ответ

Первым в голову приходит ответ — 4 минуты. Но можно уложиться и в 3 минуты. Для этого придерживайтесь следующей последовательности:

1. положите жариться по 1 котлете на две сковороды;
2. через минуту переверните первую котлету, а вторую уберите. На место второй котлеты положите третью;
3. ещё через минуту первая котлета будет полностью готова. На её место положите дожариваться вторую котлету, которую вы убрали, а третью котлету переверните;
4. спустя минуту все 3 котлеты будут полностью обжарены.

Необычная оплата

В поместье пришёл путник. В кармане — ни гроша, лишь одна золотая цепь из 6 звеньев. Хозяин поместья предложил брать плату в виде одного кольца с цепочки за один день проживания, при условии, что будет распилено только одно звено. Хозяин должен получать плату каждый день. Он не хочет принимать предоплату или давать в долг.

Вопрос: как путник должен распилить цепочку, чтобы вносить оплату за жильё каждый день в течение 5 дней?

Ответ

В условиях задачи не запрещался обмен звеньями цепи. Было лишь требование, чтобы с каждым днём у хозяина жилья прибавлялось одно звенье. Нужно распилить третье звено цепи, чтобы получить 3 части по 1, 2 и 3 звена. За 1-е сутки странник платит одним звеном. На 2-е сутки он платит куском из 2 звеньев и получает сдачу — одно звено (которым он расплатился за 1-е сутки). На 3-и сутки платит куском из 3 звеньев и забирает кусок из 2 звеньев. По такому принципу странник и должен оплатить все оставшиеся дни.

Заключение

Возможно, вы уже сталкивались с подобными логическими задачами на собеседованиях. Если так, поделитесь своим опытом: что это были за задачки и удалось ли их решить?

А для любителей поломать голову мы подготовили тест на проверку логики и математики.

20 лучших математических головоломок, чтобы увлечь и бросить вызов вашим ученикам

Пришло время урока математики, и ваши ученики скучают.

Это может показаться суровым, но это правда — только около половины учеников сообщают, что они вовлечены в школу, а уровень вовлеченности снижается только по мере того, как ученики становятся старше.

Математические головоломки — один из лучших и старейших способов поощрения участия учащихся. Головоломки, логические головоломки и математические загадки задают учащимся задачи, стимулирующие решение проблем и логическое мышление. Их можно использовать для геймификации в классе и для того, чтобы вдохновить учащихся на решение проблем, которые раньше казались им слишком сложными.

Пазлы для распечатки

Возьмите кроссворд и сделайте из него математику: такова основная концепция этого легко адаптируемого математического задания. Вместо слов учащиеся используют цифры для заполнения вертикальных и горизонтальных полос. Математические кроссворды можно адаптировать для обучения таким понятиям, как деньги, сложение или округление чисел. Решения могут быть произведениями уравнений или чисел, заданных подсказками.

Предложите учащимся попрактиковаться в навыках сложения, вычитания, умножения и деления путем поиска скрытых математических уравнений в головоломке в стиле поиска слов. Его можно адаптировать к любому навыку, который вы хотите, чтобы учащиеся практиковали, и он способствует глубокому пониманию основных математических фактов.

Ваши ученики любят текстовые задачи? Попробуйте дать им несколько математических загадок, которые сочетают критическое мышление с базовыми математическими навыками. Повесьте один на доске, чтобы учащиеся могли обдумать его перед началом урока, или раздайте его в качестве дополнительной практики после того, как они закончат свою работу.

Prodigy — увлекательная игровая платформа, превращающая математику в приключение! Хотя это и не математическая головоломка в традиционном смысле, Prodigy использует многие из тех же принципов для развития навыков критического мышления и беглости математики.

Учащиеся выполняют математические задания, соответствующие учебной программе, чтобы заработать монеты, собрать питомцев и выполнить квесты. Учителя могут предоставлять дифференцированный математический контент каждому учащемуся, готовиться к стандартизированным тестам и легко анализировать данные об успеваемости учащихся с помощью бесплатной учетной записи.

KenKenKenKen

— это числовая головоломка на основе сетки, которая выглядит как комбинированный крест чисел и сетка судоку. Изобретенный в 2004 году известным японским учителем математики по имени Тэцуя Миямото, он ежедневно публикуется в The New York Times и другие газеты. Он предлагает учащимся практиковать свои основные математические навыки, применяя логику и навыки критического мышления для решения проблемы.

Предалгебраические головоломки используют забавные замены, чтобы подготовить учащихся к выполнению основных функций и побудить их развить навыки решения задач. Они способствуют абстрактному мышлению и побуждают учащихся критически относиться к стоящим перед ними задачам. В качестве дополнительного бонуса учащиеся, страдающие от математической тревожности, могут обнадежить отсутствие сложных уравнений и с большей готовностью попытаются найти решение.

Игры 4 Gains

Существуют сотни способов использования домино на уроке математики, но эта головоломка дает учащимся возможность попрактиковаться в сложении и умножении в увлекательной игровой форме. Вы можете предложить учащимся работать в одиночку или в парах, чтобы собрать головоломку.

2048

В этой онлайн-игре и приложении игроки должны перемещать пронумерованные плитки по сетке, пока не достигнут числа 2048. Это очень затягивает и не так просто, как кажется, поэтому подумайте о том, чтобы отправить его домой со студентами или назначая его после того, как остальная часть урока закончена. Это побуждает студентов стратегически обдумывать свой следующий шаг, и это отличный инструмент для изучения экспонентов.

Математика на английском языке

Какуро, также называемое «Перекрестные суммы», представляет собой еще один математический кроссворд. Игроки должны использовать числа от одного до девяти, чтобы добраться до «подсказок» за пределами ряда. Уменьшите размер сетки, чтобы упростить ее для младших игроков, или оставьте ее без изменений для учащихся, которым нужны задачи. Учащиеся могут сочетать дополнение и критическое мышление и развивать несколько навыков с помощью одного веселого задания.

Википедия

Магические квадраты существуют уже тысячи лет и были представлены западной цивилизации в переводе арабских текстов в эпоху Возрождения. В то время как магические квадраты могут быть самых разных размеров, сетка три на три является самой маленькой из возможных версий и наиболее доступна для младших школьников.

Это также отличная математическая головоломка, которую стоит попробовать, если ваши ученики учатся тактильно. Используя переработанные крышки от бутылок, пометьте каждую цифрой от одного до девяти. Попросите учащихся расположить их в виде квадрата три на три так, чтобы сумма любых трех заглавных букв в строке (по горизонтали, вертикали и диагонали) равнялась 15.

В этом упражнении используются те же материалы и концепция, что и в магическом квадрате, но учащимся предлагается расположить числа от одного до шести в треугольнике, все три стороны которого равны одному и тому же числу. У этой головоломки есть несколько различных решений, поэтому предложите учащимся посмотреть, сколько из них они смогут найти.

Судоку — отличное занятие после уроков, которое развивает логическое мышление и решение проблем. Вы, наверное, уже играли в эту классическую головоломку, и это отличный выбор для ваших учеников. Головоломки судоку появляются в газетах по всему миру каждый день, и существуют сотни онлайн-ресурсов, которые создают головоломки в зависимости от сложности.

Есть большая вероятность, что к настоящему времени в ваш класс проникли спиннеры. Если вы хотите противостоять этому вторжению, подумайте о том, чтобы предложить своим ученикам создать флексагоны. Флексагоны — это объекты, сложенные из бумаги, которые можно трансформировать в различные формы, сжимая и складывая, и они будут держать блуждающие пальцы занятыми и сосредоточенными на чудесах геометрии.

TransumЭта головоломка

кажется простым, но это может поставить ваших учеников в тупик. Расставив палочки в нужном порядке, дайте им задание заставить рыбу плыть в другом направлении, переместив всего три спички.

Cool Math 4 Kids

В этой головоломке учащиеся должны соединить все точки в сетке три на три, используя только четыре прямые линии. Хотя это может показаться простым, есть вероятность, что вашему классу потребуется некоторое время, чтобы найти решение. (Подсказка: это требует некоторого «нестандартного» мышления.)

Хотя они не всегда связаны непосредственно с математическими навыками, головоломки могут быть важными инструментами в развитии навыков критического мышления ребенка. Включите головоломки в обсуждение в классе или используйте их в качестве подсказок к математическому журналу и предложите учащимся объяснить свое мышление.

Бонус: для обсуждения вероятности познакомьте старшего класса с проблемой Монти Холла, одной из самых противоречивых математических логических задач всех времен.

17. Ханойская башня

Эта интерактивная логическая головоломка была изобретена французским математиком Эдуардом Лукасом в 1883 году. .

Жрецы перемещают эти диски в соответствии с правилами игры, чтобы исполнить пророчество, согласно которому конец света наступит с последним ходом головоломки. Но не беспокойтесь — жрецам потребуется около 585 миллиардов лет, чтобы закончить, так что вы сможете вписаться в остальную часть вашего математического класса.

Начиная с трех дисков, поставленных друг на друга, учащиеся должны переместить все диски с первого столба на третий, не кладя больший диск поверх меньшего. Старшие школьники могут даже узнать о функциях, лежащих в основе решения: минимальное количество ходов можно выразить уравнением 2n-1, где n — количество дисков.

Википедия

Головоломки Танграм, которые возникли в Китае и были привезены в Европу в начале 19 века.через торговые пути — используйте семь плоских геометрических фигур, чтобы составить силуэты. Хотя танграмы обычно делаются из дерева, вы можете сделать наборы для своего класса из цветной плотной бумаги или войлока.

Танграммы — отличный инструмент для учащихся, которым нравится управлять своей работой. Существуют тысячи опубликованных задач, чтобы занять ваших учеников.

Str8ts

Подобно судоку, Str8ts предлагает игрокам использовать свои логические навыки для размещения чисел в пустых квадратах. Числа могут быть последовательными, но могут появляться в любом порядке. Например, строка может быть заполнена 5, 7, 4, 6 и 8 . Эта головоломка больше подходит для учащихся старшего возраста, и ее можно использовать в качестве задания до или после урока, чтобы укрепить основные логические навыки.

Это магия? Это геометрия? Ваши ученики будут настолько поражены, что им может быть трудно понять это. Попросите их смоделировать задачу с помощью полосок бумаги и самим посмотреть, как это работает в реальной жизни. Со старшими учениками используйте ленты Мебиуса, чтобы говорить о геометрии и площади поверхности.

Математические головоломки развивают критическое мышление.

Критическое мышление и логические навыки важны для всех профессий, а не только для тех, кто связан с STEM. Головоломки побуждают учащихся понимать структуру и применять навыки логического мышления для решения новых задач.

Исследование Eurasia Journal of Mathematics, Science and Technology Education показало, что головоломки «развивают логическое мышление, комбинаторные способности, усиливают способность к абстрактному мышлению и работе с пространственными образами, прививают критическое мышление и развивают математическую память».

Все эти навыки позволяют юным учащимся заложить фундамент навыков, которыми они будут пользоваться всю оставшуюся жизнь, независимо от того, какое высшее образование они выберут.

Математические игры могут помочь учащимся получить базовое понимание основных математических понятий и, как показывает другое исследование, также могут помочь им дольше запоминать понятия.

В ходе исследования учащиеся начальных классов постепенно перешли от использования «счетной» части мозга для решения математических задач к «запоминающей» части, которую используют взрослые. Предполагается, что математические головоломки и повторяющиеся задачи могут помочь развить необходимый навык беглость математики .

Многие из вышеперечисленных математических головоломок позволяют учащимся практиковать основные навыки сложения, вычитания, умножения и деления, а сложные или модифицированные задачи можно использовать для ознакомления с предалгебраическими понятиями и углубленными логическими навыками.

Независимо от того, какую учебную программу вы используете, есть большая вероятность, что она делает упор на решение проблем, критический анализ и абстрактное мышление. Это особенно верно в отношении математики Common Core и подобных учебных программ.

Как математические навыки влияют на развитие учащихся

Математические головоломки позволяют учащимся развивать базовые навыки в ряде ключевых областей и могут повлиять на практический и абстрактный подход учащихся к математике. Вы также можете связать их со стратегиями, такими как активное обучение и дифференцированное обучение.

Вместо того, чтобы просто учить факты и формулы, математические головоломки позволяют вам напрямую связываться с основными стандартами учебной программы. Вы также можете использовать их, чтобы предоставить ценную отправную точку для измерения того, насколько хорошо учащиеся развивают свои навыки критического мышления и абстрактного мышления.

Теперь, когда у вас есть несколько отличных математических головоломок, может быть сложно понять, как лучше всего использовать их в классе. Вот несколько советов, как максимально эффективно использовать время урока:

Если задачи слишком простые, учащимся станет скучно, и они отвлекутся от урока. Однако, если проблемы слишком сложны для решения, есть большая вероятность, что они разочаруются и сдадутся раньше времени.

Хотя математические головоломки — отличный способ вовлечь учащихся в развитие навыков критического мышления, они не являются инструментом для обучения важным математическим понятиям. Вместо этого используйте их, чтобы закрепить понятия, которые они уже изучили.

Китти Резерфорд, консультант по математике из Северной Каролины, подчеркивает, что математические головоломки и игры должны основываться не только на математических способностях в уме, но и на «концептуальном понимании», которое со временем улучшает беглость речи. Математические головоломки помогают установить необходимый баланс между мышлением и запоминанием.

Рэйчел Кин из факультета психологии Университета Вирджинии провела исследование навыков решения проблем у дошкольников. Она обнаружила, что «игровое, исследовательское обучение приводит к более творческому и гибкому использованию материалов, чем явное обучение взрослых».

Дайте учащимся пространство для борьбы с проблемой и применения собственных решений, прежде чем броситься им на помощь. Если задача соответствует классу и решаема, учащиеся узнают больше, применяя к ней собственные рассуждения, а не просто наблюдая за тем, как вы решаете ее за них.

Используйте такие задачи, как лента Мебиуса, чтобы вызвать благоговейный трепет и удивление ваших учеников, прежде чем вовлечь их в более масштабное обсуждение математической концепции, которую она представляет. Если возможно, сделайте математические головоломки физическими, используя переработанные материалы для рукоделия или модульные инструменты.

После этого проведите обсуждение в классе или разместите подсказки в журнале по математике. Какие методы пробовали ваши ученики? Какие инструменты они использовали? Что сработало, а что нет? Когда учащиеся четко указывают, как они пришли к своему решению (или даже где они застряли), это побуждает их исследовать свой процесс и делать выводы из своего опыта.

Имейте в виду, что может потребоваться некоторое время, чтобы собрать всех ваших учеников на борту — они могут сомневаться в подходе к незнакомым задачам или застрять в отсутствии энтузиазма, которое часто приносит урок математики. Рассмотрите возможность создания еженедельной таблицы лидеров в своем классе для учеников, которые решают больше всего головоломок, или проработайте несколько вместе с классом, прежде чем отправлять учеников самостоятельно.

Вместо зевоты и скучающих взглядов приготовьтесь к активным участникам и вдумчивой концентрации. Независимо от того, решите ли вы использовать их в качестве бонуса после уроков, в первый день школьных занятий или как часть целевого плана урока, математические головоломки порадуют ваших учеников, а также позволят им развить важные навыки, которые они будут использовать для остальных. их жизни.

Чего ты ждешь? Загадывайте!

>>Создайте или войдите в свою учетную запись учителя в Prodigy — увлекательной игровой платформе для обучения математике, которую легко использовать как преподавателям, так и учащимся. В соответствии с учебными планами англоязычного мира, его используют из более чем миллионов учителей и из 50 миллионов учащихся.

5 логических головоломок, которые сломают ваш мозг0003

Хочешь решить веселые и сложные логические головоломки и проверить свои умственные способности?

Попытки решить логические головоломки — один из лучших способов улучшить свои навыки решения проблем и логического мышления, одновременно получая массу удовольствия.

В сегодняшней публикации вы найдете коллекцию из 5 логических головоломок для детей и взрослых, сложность которых постепенно увеличивается, а также есть особая бонусная головоломка, которая ставит людей в тупик уже более 100 лет!

Обратите внимание, что решение каждой логической головоломки находится внизу поста (мы рекомендуем сначала решить все задачи самостоятельно, а затем проверить правильность ваших ответов).

Вы готовы начать?

Некоторые из этих головоломок можно решить менее чем за одну минуту, в то время как другие достаточно сложны, чтобы поставить вас в тупик на весь день, подвергая ваш мозг испытанию!

Сегодня у вас будет возможность потренировать свой мозг, решив некоторые из этих знаменитых логических и числовых головоломок.

Итак, вы готовы принять вызов? И не забудьте решить бонусную головоломку — простую, но сложную загадку, которая существует уже более 100 лет.

А если вам нужны более подробные объяснения того, как решить каждую логическую головоломку, посмотрите наше видео 5 логических головоломок, которые сломают ваш мозг ниже, и обязательно нажмите кнопку «Нравится» и оставьте комментарий!

Сколько всего блоков на диаграмме ниже?

Продолжайте читать до конца этой страницы, чтобы увидеть ключ ответа И щелкните здесь, чтобы просмотреть видео, объясняющее решение этой проблемы.

Нажмите здесь, чтобы подписаться на нашу бесплатную еженедельную рассылку по электронной почте!

Как далеко может пройти медведь в лесу?

Продолжайте читать до конца этой страницы, чтобы увидеть ключ ответа И щелкните здесь, чтобы просмотреть видео, объясняющее решение этой проблемы.

Как перевернуть пирамиду мармеладных мишек вверх дном, перемещая только 3 мармеладных мишек?

Продолжайте читать до конца этой страницы, чтобы увидеть ключ ответа И щелкните здесь, чтобы просмотреть видео, объясняющее решение этой проблемы.

Самая продаваемая рабочая тетрадь 101 математические загадки, головоломки и головоломки для детей от 10 лет! теперь доступен для загрузки в формате PDF. Вы можете получить свой сегодня, нажав здесь.

Когда Берту исполнилось 14 лет, его младший брат Чип был вдвое моложе его. Если сегодня Берту 31 день рождения, то сколько лет Чипу?

Продолжайте читать до конца этой страницы, чтобы увидеть ключ ответа И щелкните здесь, чтобы просмотреть видео, объясняющее решение этой проблемы.

Если в комнате 7 медведей, и каждый из них обнимает друг друга один и только один раз, сколько всего медвежьих объятий было всего?

Продолжайте читать до конца этой страницы, чтобы увидеть ключ ответа И щелкните здесь, чтобы просмотреть видео, объясняющее решение этой проблемы.

Исследователь, который проходит одну милю на юг, одну милю на восток и одну милю на север и в конечном итоге оказывается там же, где и начал. Пока он идет, он видит медведя. Какого цвета медведь?

Продолжайте читать до конца этой страницы, чтобы увидеть ключ ответа И щелкните здесь, чтобы просмотреть видео, объясняющее решение этой проблемы.

Помните, что нет необходимости спешить с ответами на сегодняшние логические задачи. Можно подождать, пока вы не найдете ответ на каждую проблему, прежде чем прокрутить вниз, чтобы увидеть ответы ниже.

1.) 11 блоков

2.) Полпути (после этого медведь идет из леса)

3.) Схема:

4.) Чипу 24 года

5.) 21 объятие

Бонус: Медведь белый (Белый медведь на Северном полюсе)

Моя самая продаваемая рабочая тетрадь 101 ежедневные задачи по математике для учащихся 3–8 классов  теперь доступна для скачивания в формате PDF. Вы можете получить свой сегодня, нажав здесь.

Я пропустил вашу любимую математическую загадку для детей? Поделитесь своими мыслями, вопросами и предложениями в разделе комментариев ниже!

(Никогда не пропустите блог Mashup Math-щелкните здесь, чтобы получить нашу еженедельную новостную рассылку!)

от Энтони Персико

Энтони-Content Crafter и Head Frediure для YouTube Mashup Math 3 и Head для YouTube Mashup Math и Head для YouTube’s Mashup Math и Head для YouTube’s Mashup Math и Head для YouTube’s Mashup Math и Head для You советник кампании Amazon Education « With Math I Can ». Вы часто можете увидеть, как я с радостью разрабатываю анимированные уроки математики, которыми я делюсь на своих Канал YouTube  . Или проводить слишком много времени в тренажерном зале или играть на своем телефоне.

Вам также может понравиться…

2 комментария

Опубликовано в ПОНИМАНИЕ УЧИТЕЛЯ

и

с тегами звездные войны математические игры, звездные войны математические игры бесплатно, последние математические игры джедаев, крутые звездные войны математические игры, звездные войны математические рабочие листы средней школы, звездные войны математика , математические задачи звездных войн, математические задачи на тему звездных войн, математические задачи последних джедаев, математические задачи звездных войн в средней школе, математические головоломки звездных войн, урок математики звездных войн в средней школе, урок математики звездных войн 4-й класс, урок математики звездных войн в 5-м классе, урок математики звездных войн 6-й класс, последние идеи математики джедая, последняя математика джедая, последние уроки математики джедая, математические действия супер марио, математические головоломки супер марио, математические игры супер марио, мир супер марио математики, математические игры нинтендо, урок математики супер марио, крутая математика супер Марио, урок математики nintendo, математические занятия на день святого патрика, математические занятия на день святого патрика для средней школы, математические занятия на день святого патрика для 4 класса, математические занятия на день святого патрика для 3 класса, день святого патрика Математические занятия на День Святого Патрика для 2 класса, Математические занятия на День Святого Патрика для 5 класса, Математические занятия на День Святого Патрика для 6 класса, Математические занятия на День Святого Патрика для 7 класса, Математические занятия на День Святого Патрика для 8 класса, Математические занятия на День Святого Патрика для 8 класса класс, математические занятия на день святого патрика для 7-го класса, математические занятия на день святого патрика для алгебры, математические занятия на день святого патрика для 6-го класса, математические занятия на день святого патрика для 5-го класса, математические занятия на день святого патрика для 4-го класса, математические занятия на день святого патрика для 4-го класса, математика на день святого патрика рабочие листы, математические листы ко дню святого патрика для средней школы, крутые математические игры день святого патрика, математическая головоломка ко дню святого патрика, снова в школу математические головоломки, снова в школу математические головоломки для детей, первый день в школе математическая головоломка, первый день в школе математика головоломки, снова в школу по математике, снова в школу по математике в средней школе, первая неделя школьных занятий по математике, бесплатно снова в школу по математике, бесплатно снова в школу по математике, снова в школу по математике по вечерам занятия, снова в школу элементарные математические занятия, снова в школу математические занятия 4 класс, снова в школу математические занятия 3 класс, снова в школу математические занятия 5 класс, снова в школу математические занятия 6 класс, снова в школу математические занятия 7 класс, назад в школу математические занятия 8-й класс, обратно в школу веселые математические занятия, снова в школу математические занятия для средней школы, первая неделя школьных математических занятий 4-й класс, разминка по математике для 3-го класса, разминка по математике для 4-го класса, теплая математика разминка по математике для 5 класса, разминка по математике для 6 класса, разминка по математике для 7 класса, разминка по математике для 8 класса, разминка по математике, разминка по математике, идея, разминка по математике, разминка по математике, разминка по математике идея деятельности, 2-й класс, 3-й класс, 4-й класс, 5-й класс, 6-й класс, 7-й класс, 8-й класс, разминка по математике для печати, топ3, covid, высший уровень, 10 логических головоломок, логические головоломки, логические головоломки, еще загадки

20 сложных загадок для взрослых

Кто сказал, что умопомрачительные логические головоломки только для детей? Мы придумали 20 совершенно новых загадок для взрослых, чтобы проверить ваше критическое мышление, математические и логические способности. Сложности варьируются от простых до умеренных и сложных — здесь каждый найдет что-то для себя.

Так что берите карандаш и лист бумаги для заметок и приготовьтесь рвать на себе волосы (и мы действительно имеем в виду это наилучшим образом). Когда вы думаете, что у вас есть правильный ответ, щелкните ссылку внизу каждой загадки, чтобы найти решение. Ошибся? Не беспокойтесь, у вас есть 19другие загадки, чтобы проверить.

Пройдите через наши загадки:

Приказы короля / Сколько яиц? / Золотая цепочка / Пиклбол / Автоматический выключатель / Два поезда, две бабушки / Муравьиная математика / Мятная лепешка / Великая американская железная дорога / Жестокая проблема SAT / Кинозвезды переходят реку / Дань уважения математическому гению / Один пояс, одна Земля / Постукивание локтем / Проблема с виски / Проблема с каракулями / Озадачивающие ученых / Что ‘ у нее на лбу? / Киану в президенты / Кто открыл шкафчики?

Загадка № 1: Приказы короля превращаются в адскую головоломку

Сложность: легкая

Король королевства Нупе Катан настолько обожает своих двух дочерей, что решает, что королевству будет лучше, если их станет больше девочек, чем мальчиков, и он издает следующий указ: все детородные пары должны продолжать рожать детей, пока у них не родится дочь!

Но, чтобы избежать перенаселения, он издает дополнительный указ: Все детородные пары будут прекратите иметь детей, как только у них появится дочь! Его подданные немедленно начинают выполнять его приказы.

Каково ожидаемое соотношение девочек и мальчиков в Катане спустя много лет?

Подсказка

Вероятность того, что каждый ребенок родится девочкой, составляет, конечно, 50 процентов.

Решение

Готовы к решению? Щелкните здесь, чтобы убедиться, что вы правы.

---

Загадка №2: Сколько яиц несет эта курица?

Сложность: Легко

Эта задача посвящена моему отцу, Гарольду Фейвсону. Благодаря ему я люблю математические головоломки, и это одна из первых задач (из многих), которые он дал мне, когда я рос.

Курица-полтора сносит полтора яйца за полтора дня. Сколько яиц несет одна курица за день?

Решение

Готовы к решению? Нажмите здесь, чтобы проверить, правы ли вы .

Загадка №3: ​​Математическая задача с золотой цепочкой обманчиво проста

Сложность: Средняя

Вы роетесь на чердаке своей прабабушки и находите пять коротких цепочек, каждая из которых состоит из четырех золотых звеньев. Вам приходит в голову, что если вы объедините их все в одну большую петлю из 20 звеньев, у вас получится невероятное ожерелье. Итак, вы приносите его ювелиру, который говорит вам, что стоимость изготовления ожерелья будет составлять 10 долларов за каждое золотое звено, которое она должна сломать, а затем снова запечатать.

Сколько это будет стоить?

Решение

Готовы к решению? Щелкните здесь, чтобы убедиться, что вы правы.

Загадка #4: Попробуйте решить эту головоломку с пиклболом

Сложность: 🚨СЛОЖНАЯ🚨 остается включенным после каждой игры, чтобы сыграть человека, который просидел эту игру.

В конце дня, когда они играли в пиклбол, Эбби измотана, сыграв последние семь игр подряд. Кенни, который менее запыхавшийся, подсчитывает количество сыгранных игр: 9.0003

Кенни сыграл восемь игр

Эбби сыграл 12 игр

Нед сыграл 14 игр

Кто у кого выиграл четвертую игру?

Подсказка

Сколько всего игр было сыграно?

Решение

Готовы к решению? Нажмите здесь, чтобы проверить, правы ли вы .

Загадка № 5: Загадка о нашем автоматическом выключателе — чистое зло. Извиняюсь.

Сложность: 🚨СЛОЖНАЯ🚨

Блок выключателя в вашем новом доме находится в неудобном углу подвала. К своему огорчению, вы обнаруживаете, что ни один из 100 автоматических выключателей не имеет маркировки, и вы сталкиваетесь с пугающей перспективой сопоставить каждый автоматический выключатель с соответствующей лампочкой. (Предположим, что каждый автоматический выключатель соответствует только одному источнику света.)

Для начала вы включаете все 100 светильников в доме, а затем направляетесь в свой подвал, чтобы начать обременительный процесс сопоставления. При каждой поездке в подвал вы можете включать и выключать любое количество автоматических выключателей. Затем вы можете бродить по коридорам своего дома, чтобы узнать, какие огни включены, а какие выключены.

Какое минимальное количество поездок вам нужно совершить в подвал, чтобы подключить каждый автоматический выключатель к каждому свету?

Подсказка

Решение , а не включает либо включение или выключение выключателей света в вашем доме, либо ощущение того, насколько нагрелись лампочки. Возможно, вы захотите сначала попробовать решить случай с 10 немаркированными автоматическими выключателями.

Решение

Готовы к решению? Нажмите здесь, чтобы убедиться, что вы правы .

---

Загадка №6: Два поезда. Две бабки. Сможете ли вы решить эту хитрую математическую загадку?

Сложность: Средняя

Две бабушки Джесси хотят видеть его каждые выходные, но живут в разных концах города. В качестве компромисса он говорит им, что каждое воскресенье он будет ходить на ближайшую к его квартире станцию ​​метро в случайное время дня и садиться на следующий прибывающий поезд.

Если это будет поезд, идущий на север, он навестит свою бабушку Эрику на окраине города, а если это окажется поезд, идущий на юг, он навестит свою бабушку Кару в центре города. Обе его бабушки согласны с этим планом, поскольку они знают, что поезда, идущие на север и юг, ходят каждые 20 минут.

Но через несколько месяцев бабушка Кара жалуется, что видит его только одно из пяти воскресений. Джесси обещает, что он действительно направляется на станцию ​​каждый день в случайное время. Как это может быть?

Подсказка

Поезда всегда прибывают в назначенное время.

Решение

Готовы к решению? Нажмите здесь, чтобы проверить, правы ли вы .

Загадка №7: вот чертовски сложная математическая задача о муравьях

Сложность: 🚨СЛОЖНАЯ🚨

Макс и Роуз — братья и сестры муравьи. Они любят гоняться друг с другом, но всегда равны, так как на самом деле ползут с одинаковой скоростью. Поэтому они решают создать гонку, в которой один из них (надеюсь) победит.

В этой гонке каждый из них начнет с нижнего угла прямоугольного параллелепипеда, а затем будет ползти со всей возможной скоростью, чтобы добраться до крошки в противоположном углу. Размеры их кубоидов как на картинке:

Лаура Фейвсон

Если они оба пойдут кратчайшим путем, чтобы добраться до своей крошки, кто первым доберется до своей крошки? (Не забывайте, что они муравьи, поэтому, конечно, они могут карабкаться по краям или поверхности прямоугольного параллелепипеда.)

Подсказка

Помните: мыслите нестандартно.

Решение

Готовы к решению? Нажмите здесь, чтобы убедиться, что вы правы .

Загадка №8: Эта загадка о мятной лепешке практически неразрешима

Сложность: 🚨СЛОЖНАЯ🚨

100 карамелек и один мятный пирожок. Вы и Кэрин будете ходить туда-сюда, беря не менее одной и не более пяти карамелек из кучи конфет за каждый ход. Тот, кто удалит последнюю карамель, также получит мятную лепешку. а ты любовь мятные пирожки.

Предположим, Кэрин позволяет вам решать, кто ходит первым. Кого выбрать, чтобы выиграть мятную лепешку?

Подсказка

Сначала найдите стопку из 10 карамелек.

Решение

Готовы к решению? Нажмите здесь, чтобы убедиться, что вы правы .

Загадка № 9: Сможете ли вы решить великую загадку американских железных дорог?

Сложность: Средняя

Эту задачу предложил физик П. Джеффри Унгар.

Наконец, Great American Rail-Trail по всей стране завершен! Вперед, похлопайте себя по плечу — вы только что установили самые длинные перила в истории мира — 4000 миль от начала до конца. Но сразу после церемонии открытия ваш помощник напоминает вам, что металл, который вы использовали для перил, летом немного расширяется, так что его длина в целом увеличивается на один дюйм.

«Ха!» вы говорите: «Один дюйм в перилах длиной 4000 миль? Это ничего!» Но… ты прав?

Предположим, что при расширении поручня он изгибается вверх в самой слабой точке, которая находится в центре. Насколько выше придется забираться пешеходам в центре страны летом, чтобы ухватиться за перила? То есть на рисунке ниже что такое h ? (Для целей этого вопроса игнорируйте кривизну Земли и предполагайте, что след представляет собой прямую линию.)

Лаура Фейвесон

Подсказка

Пифагор — увлекательная историческая личность.

Решение

Готовы к решению? Щелкните здесь, чтобы убедиться, что вы правы.

Загадка №10: Эта загадка похожа на особенно жестокую задачу SAT. Сможете ли вы найти ответ?

Сложность: Средняя

Аманда живет со своим сыном-подростком Мэттом в сельской местности — в нескольких минутах езды от школы Мэтта. Каждый день Аманда выходит из дома в одно и то же время, едет в школу с постоянной скоростью, забирает Мэтта ровно тогда, когда его шахматный кружок заканчивается в 5 часов вечера, а затем они сразу же вместе возвращаются домой с той же постоянной скоростью. Но однажды Мэтту стало нехорошо, поэтому он пораньше уходит с шахматной тренировки и едет домой на своем переносном скутере.

После того, как Мэтт ехал час, Аманда встречает его на своей машине (по своему обычному маршруту, чтобы забрать его), и они возвращаются вместе, прибывая домой на 40 минут раньше, чем обычно. Сколько шахматной практики пропустил Мэтт?

Подсказка

Рассмотрим случай, когда Аманда встречает Мэтта, когда выходит из их дома.

Решение

Готовы к решению? Нажмите здесь, чтобы проверить, правы ли вы .

Загадка №11: Сможете ли вы переправить этих трех кинозвезд через реку?

Сложность: Средняя

Три кинозвезды, Хлоя, Лекса и Джон, снимают фильм на Амазонке. Они очень известны и очень требовательны, поэтому их агенты всегда с ними. Однажды, отсняв сцену в глубине тропического леса, трое актеров и их агенты решают вернуться на базу пешком. Внезапно они подходят к большой реке.

На берегу реки они находят маленькую гребную лодку, но она достаточно большая, чтобы одновременно вместить двоих. Улов? Ни один из агентов не хочет оставлять свою кинозвезду с другими агентами, если их тоже нет. Они не верят, что другие агенты не попытаются переманить их звезду.

Например, с агентом Хлои все в порядке, если Хлоя и Лекса одни в лодке или на одном из берегов реки, но определенно не , если агент Лексы тоже с ними. Так как же им всем перебраться через реку?

Подсказка

Нет единственного способа решить эту проблему.

Решение

Готовы к решению? Нажмите здесь, чтобы проверить, правы ли вы .

Загадка № 12: Эта смехотворно сложная загадка — наша дань уважения позднему математическому гению. Можете ли вы понять это?

Сложность: 🚨HARD🚨

11 апреля Джон Хортон Конвей , блестящий математик, страстно любивший головоломки и игры, умер от осложнений, вызванных COVID-19. Конвей является изобретателем одной из моих любимых легендарных задач (не для слабонервных) и знаменитой игры Game of Life . Я создал эту проблему в его честь.

Кэрол создавала генеалогическое древо, но не смогла отследить дату рождения своей матери. Единственной зацепкой, которую она нашла, было письмо, написанное дедушкой бабушке в день рождения ее матери. К сожалению, некоторые символы были смазаны, представленные здесь «___» . (Длина строки не отражает количество смазанных символов.)

«Дорогая Вирджиния,

Я и не подозревала, отправляясь на работу в понедельник утром, что к вечеру у нас родится прекрасная девочка. И в годовщину свадьбы не меньше! Это заставляет меня вспомнить тот невероятный выходной день, J___ 27th, 19___ , когда мы впервые поделились нашей клятвой создать семью вместе, и вот мы здесь! С восьмой годовщиной, любовь моя.

С любовью, Эдвин»

Вопрос: Когда родилась мать Кэрол?

Подсказка

Эта задача навеяна Правилом судного дня Конвея .

Решение

Готовы к решению? Нажмите здесь, чтобы проверить, правы ли вы .

Загадка №13: Чтобы решить эту запутанную математическую загадку, вам нужен только один пояс и одна земля

Сложность: Средняя

Представьте, что у вас очень длинный пояс. Ну, очень длинный, на самом деле… на самом деле, он достаточно длинный, чтобы плотно обернуться вокруг всей нашей планеты. (Для простоты предположим, что Земля идеально круглая, без гор, океанов или других преград на пути пояса.)

Естественно, вы очень гордитесь своим поясом. Но тут появляется ваш брат Питер и, к вашему неудовольствию, достает ремень, который0043 просто немного длиннее вашего. Он хвастается, что его пояс длиннее ровно на его рост: 6 футов.

Если бы Питер тоже обернул свой пояс по окружности Земли, как высоко над поверхностью он мог бы подвесить пояс, если бы он туго и равномерно натянул его?

Подсказка

Окружность Земли составляет около 25 000 миль или 130 миллионов футов … но вам не нужно знать это, чтобы решить эту проблему.

Решение

Готовы к решению? Нажмите здесь, чтобы проверить, правы ли вы .

Загадка №14: Эта загадка с постукиванием локтя дьявольская. Удачи в ее решении.

Сложность: 🚨HARD🚨

Когда-нибудь в будущем, когда будут сняты запреты на самоизоляцию, супружеская пара, Флориан и Джулия, отправятся в бар, чтобы отпраздновать обретенную свободу.

Там они находят еще четыре пары, у которых была такая же идея.

Стремясь к общению, каждый человек в пяти парах с энтузиазмом постукивает локтями (новое рукопожатие) с каждому человеку, которого они еще не встретили .

На самом деле оказалось, что многие люди знали друг друга раньше, поэтому, когда Джулия спрашивает всех, сколько локтей они ударили, она получает девять разных ответов!

Вопрос: Сколько локтей постучал Флориан?

Подсказка

Какие девять ответов услышала Юля?

Решение

Готовы к решению? Нажмите здесь, чтобы проверить, правы ли вы .

Загадка №15: После того, как вы попытаетесь решить эту загадку о виски, вам понадобится выпить

Сложность: Легкая , ни воды без виски!» Итак, однажды, когда перед Аланом стоит стакан виски, а перед Клэр — стакан воды того же размера, Алан берет ложку своего виски и кладет ее в воду Клэр.

Клэр размешивает подкрашенную виски воду, а затем кладет ложку этой смеси обратно в виски Алана, чтобы убедиться, что они выпили точно такое же количество.

Итак: В виски Алана больше воды или в воде Клэр больше виски? И имеет ли значение, насколько хорошо Клэр перемешала?

Подсказка

Размер ложки имеет значение , а не .

Решение

Готовы к решению? Щелкните здесь, чтобы убедиться, что вы правы.

Загадка №16: Проблема с дудлом намного сложнее, чем кажется. Можете ли вы решить это?

Сложность: Средняя

Загадка этой недели относительно проста, но тем не менее зловеща.

Вопрос: можно ли составить 100, вставив любое количество плюсов и минусов в строку цифр 9 8 7 6 5 4 3 2 1? Вы не можете изменить порядок цифр! Итак, какое наименьшее количество плюсов и минусов нужно, чтобы получить 100?

Эндрю Дэниелс

Например, 98 — 7 — 6 + 54 — 32 показывает один из способов чередования плюсов и минусов, но поскольку оно равно 107, это не решение.

Я называю это «проблемой с каракулями»: над ней лучше всего работать во время собраний, где в противном случае вы могли бы рисовать.

Подсказка

Возможно, вы захотите начать искать решения, которые используют в общей сложности семь плюсов и минусов (хотя есть способы использовать меньше).

Решение

Готовы к решению? Щелкните здесь, чтобы убедиться, что вы правы.

Загадка №17: Эта математическая головоломка поставила в тупик всех ученых, кроме одного. Думаешь, сможешь взломать?

Уровень сложности: ВЫСОКИЙ

В честь Фримена Дайсона, известного физика , который умер в прошлом месяце , вот легендарная история, демонстрирующая его сообразительность и невероятную силу ума.

Однажды на собрании ведущих ученых один из них вслух спросил, существует ли целое число, которое можно было бы точно удвоить, переместив его последнюю цифру вперед. Например, 265 удовлетворило бы этому числу , если бы 526 было его точным дубликатом, а это не так.

Через , по-видимому, всего пять секунд , Дайсон ответил: «Конечно, есть, но самое маленькое такое число состоит из 18 цифр».

Это заставило некоторых из самых умных ученых в мире недоумевать, как он мог понять это так быстро.

Итак, учитывая подсказку Дайсона, какое наименьшее такое число?

Подсказка

Мой второклассник недавно научился складывать трехзначное число с помощью классического вертикального метода:

Эндрю Дэниелс

18-значные числа, разумеется, можно добавлять таким же образом.

Решение

Готовы к решению? Нажмите здесь, чтобы проверить, правы ли вы .

Загадка №18: Выясни, что у нее на лбу

Сложность: Средняя

Сесилия любит проверять логику своих очень логичных друзей Джаи, Джулиана и Леви, поэтому она объявляет: Я напишу положительное число на каждом из ваших лбов. Все числа не совпадают, а два числа дают в сумме третье».

Она записывает числа на их головах, затем поворачивается к Джае и спрашивает, какой у нее номер. Джайя видит, что у Джулиана 20 на лбу, а у Леви 30. Она задумалась на мгновение, а затем сказала: «Я не знаю, какой у меня номер». Джулиан трубит: «Я тоже не знаю своего номера», а затем Леви восклицает: «Я тоже!» Сесилия радостно говорит: «Я наконец поставила вас в тупик, ребята!»

«Не так быстро!» — говорит Джая. «Теперь я знаю свой номер!»

Какой у Джайи номер?

Подсказка

Джайя может быть одним из двух чисел, но только одно из этих чисел приведет к тому, что Джулиан и Леви не будут знать свои числа. Почему?

Решение

Готовы к решению? Нажмите здесь, чтобы проверить, правы ли вы .

Загадка №19: Сможете ли вы добиться избрания Киану Ривза президентом?

Сложность: Средняя

На дворе 2024 год, и в демократических праймериз участвуют пять кандидатов: Тейлор Свифт, Опра Уинфри, Марк Кьюбан, Киану Ривз и Дуэйн Джонсон. (Эй, такое может случиться.) Как обычно, первые предварительные выборы проходят в Айове.

В попытке преодолеть смущение после фиаско на закрытом собрании 2020 года Демократическая партия Айовы только что объявила о новом надежном способе поиска лучшего кандидата: выборы будут проводиться четыре раза подряд.

Сначала кандидат 1 будет баллотироваться против кандидата 2. Затем победитель будет баллотироваться против кандидата 3, затем этот победитель будет баллотироваться против кандидата 4, и, наконец, победитель этих выборов будет баллотироваться против финального кандидата. Согласно переходному свойству, победитель этих последних выборов должен быть лучшим кандидатом. .. так говорит Демократическая партия Айовы.

Кандидат Киану чувствует себя довольно плохо, так как он знает, что он находится в самом низу рейтинга большинства избирателей, и ни один из них не занимает первое место. На самом деле он знает, что население Айовы разделено на пять равных групп и что их предпочтения следующие:

.

Киану дружит с детства Биллом С. Престоном, эсквайром, новым главой Демократической партии Айовы. Престон, уверенный, что порядок кандидатов не имеет значения для результата, говорит Киану, что он может выбрать порядок голосования кандидатов.

Итак, какой порядок должен выбрать Киану?

Подсказка

Как поведет себя Киану в гонках один на один с каждым кандидатом?

Решение

Готовы к решению? Нажмите здесь, чтобы проверить, правы ли вы .

Загадка №20: Кто открыл все эти чертовы шкафчики?

Сложность: Средняя

В главном коридоре старшей школы Хелм стоят 100 шкафчиков. Каждую ночь директор школы следит за тем, чтобы все шкафчики были закрыты, чтобы следующий день начался организованно. Однажды 100 озорных школьников решают пошутить.

Все ученики встречаются перед началом занятий и выстраиваются в очередь. Затем первый ученик идет по коридору и открывает каждый шкафчик. Следующий ученик закрывает все остальные шкафчики (начиная со второго шкафчика). Затем ученик 3 подходит к каждому третьему шкафчику (начиная с третьего) и открывает его, если он закрыт, и закрывает, если он открыт. Затем ученик 4 открывает каждый четвертый шкафчик, если он закрыт, и закрывает его, если он открыт. Это продолжается до тех пор, пока Студент 100, наконец, не доходит до сотого шкафчика. Когда директор приходит поздно утром, какие шкафчики она находит открытыми?

Подсказка

Убедитесь, что вы обращаете внимание на все факторы.

Решение

Готовы к решению? Нажмите здесь, чтобы проверить, правы ли вы .

---

Лаура Фейвсон

Лаура Фейвсон — экономист в правительстве, рассказчик и энтузиаст математических головоломок. Она живет в Вашингтоне, округ Колумбия, с мужем и двумя дочерьми. 9Когда-то говорили, что 2 = -1$ не имеет решения. Затем было открыто (или изобретено?) число $i$, и наша система счисления обогатилась. В частности, в этом новом чудесном мире комплексных чисел мы можем доказать фундаментальную теорему алгебры, следствием которой является разрешимость любого многочлена в комплексной области.

Подобным образом логическое утверждение $P = \lnot P$ не имеет решения в множестве $\{True, False\}$. Это хорошо известный парадокс лжеца, который проявлялся в различных формах в логике, например. Парадокс Рассела, теорема Гёделя о неполноте.

Теперь предположим, что мы изобрели новое логическое значение $iTrue$, воображаемое, если хотите, которое определяется как решение уравнения $P = \lnot P$. Тогда наши предложения будут варьироваться в диапазоне $\{True, False, iTrue\}$.

Мой вопрос: Может ли эта новая система или подобная ей освободить нас от таких парадоксальных, неразрешимых логических утверждений подобно тому, как комплексные числа освободили нас от неразрешимых многочленов?

Мои мысли: Я скептически отношусь к вышеупомянутой системе. Я чувствую, что это может помочь нам «разрешить» некоторые парадоксы, но не все. Кроме того, не очевидно, что эти решения будут означает . С другой стороны, было бы прекрасно, если бы аналогия с комплексными числами работала на более строгой основе.

• логика
• программный вопрос

$\endgroup$

36

$\begingroup$

По многозначной логике имеется обширная литература. Первоначальная трехзначная логика Лукасевича, возможно, является самой простой такой логикой, и дополнительное истинностное значение $P$ удовлетворяет вашей формуле $P \iff \lnot P$. Лукасевич развил это в то, что сейчас называется логикой Лукасевича, которая интенсивно изучалась и обобщалась на протяжении многих лет. Одним из этих обобщений является предмет нечеткой логики, которая имеет практическое применение, например. моделировать ситуации, когда знания несовершенны. 92=-1$. Скорее важно, чтобы многое из того, что люди знали о действительных числах, также относилось к комплексным числам; в частности, $\mathbb C$ является полем нулевой характеристики (хотя и не упорядоченным). Таким образом, люди могли продолжать манипулировать уравнениями (но не неравенствами) с комплексными числами так же, как они это делали с действительными числами. Оказалось, что свойств действительных чисел, которые сохраняются при переходе к комплексным числам, достаточно, чтобы дать интересную и полезную теорию (а позже люди обнаружили дополнительные свойства $\mathbb C$, такие как алгебраическое замыкание, которые делают его еще более интересно и полезно).

Аналогично, было бы мало пользы от введения нового значения истинности и объявления его равным своему отрицанию. Нужно было бы показать, что новая система значений истинности сохраняет достаточно свойств традиционной системы, чтобы люди могли продолжать рассуждать более или менее так, как они привыкли.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Как говорит Роб Артан, на эту тему имеется обширная литература, и только некоторые из них касаются парадоксов.

Тем не менее, как решение парадоксов, подобных лжецу, введение третьего истинностного значения встречает немедленную трудность, так называемого «усиленного лжеца»:

Это предложение неверно.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Ваше введение в вопрос кажется очень похожим на мысли Л. Х. Кауфмана в «Виртуальной логике и мнимых значениях». Либо вы были вдохновлены ими, либо их стоит проверить.

Что касается вашего вопроса, похоже, вы ищете логику, в которой Закон исключенного третьего не является аксиомой. Итак, я бы предложил проверить поле паранепротиворечивой логики.

$\endgroup$

Твой ответ

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

Логика действительных и комплексных чисел

Мне всегда нравилась логика. Я изучал его кучу в средней школе и колледже. Сейчас это своего рода хобби. Я иногда обращаюсь к нему за облегчением, когда разочаровываюсь, пытаясь понять, что я могу сделать с глобальным потеплением. В последнее время я немного углубился в логику реальных и комплексных чисел. И этой осенью я веду курс по реальному анализу для выпускников, так что у меня есть небольшое оправдание для этого.

Есть что-то в логике, что одновременно завораживало и пугало меня с самого детства: это то, как мы не можем полностью определить бесконечные структуры, такие как действительные или комплексные системы счисления, используя язык с конечным числом символов и теорию с конечное число аксиом.

Ужасно, что мы не до конца понимаем, о чем говорим, когда говорим о числах! Но удивительно, что мы можем многое понять об ограничениях.

Об этом можно сказать по-разному, в зависимости от того, какие особенности этих систем счисления мы хотим описать и какую логику мы хотим использовать.

Может быть, мне стоит начать с натуральных чисел, так как эта история более известна. Это также может послужить беглым обзором некоторых основных понятий, которые, как я полагаю, вы уже смутно знаете: логика первого порядка и логика второго порядка, доказательства и модели и так далее. Если вы этого не знаете, вы можете либо притвориться, либо прочитать несколько ссылок в этой статье!

Натуральные числа

Когда Пеано первоначально описал натуральные числа, он сделал это, используя аксиомы, сформулированные в логике второго порядка. В логике первого порядка мы можем количественно оценить переменные: например, мы можем сказать

, что означает, что если предикат верен для всех, он верен для любой переменной. В логике второго порядка мы также можем количественно определять предикаты: например, мы можем сказать

, что говорит, что тогда и только тогда, когда для каждого предиката истинно именно тогда, когда правда. Лейбниц использовал этот принцип, называемый тождеством неразличимых, чтобы определить равенство… и это прекрасный пример большей силы логики второго порядка. В логике первого порядка мы обычно включаем равенство как часть языка и добавляем аксиомы, описывающие его свойства, например 9.0003

В логике второго порядка мы можем определить равенство и доказать эти свойства, исходя из свойств, которые мы уже имеем для

Так или иначе, в своих аксиомах для натуральных чисел Пеано использовал логику второго порядка, чтобы сформулировать принцип математической индукции следующим образом:

Это говорит о том, что если у вас есть какой-либо предикат, который истинен для и истинен для всякий раз, когда он истинен для, то он истинен для всех натуральных чисел.

В 1888 году Дедекинд показал, что исходные аксиомы Пеано для натуральных чисел равны категориальный , что означает, что все его модели изоморфны.

Понятие «модель» включает теорию множеств. В модели вы выбираете набор для ваших переменных, которые будут варьироваться, выбираете подмножество для каждого предиката, а именно подмножество, где этот предикат истинен, и так далее, таким образом, чтобы все аксиомы в этой теории были удовлетворены. Если две модели изоморфны, они одинаковы для всех практических целей.

Таким образом, грубо говоря, категориальная теория — это теория, которая дает полное описание математической структуры, о которой идет речь.

Таким образом, результат Дедекинда кажется отличной новостью. Похоже, что оригинальные аксиомы второго порядка Пеано для арифметики полностью описывают натуральные числа.

Однако есть важная загвоздка. В теории множеств есть много неопределенных по своей сути вещей! Так что на самом деле категориальная теория дает полное описание математической структуры, о которой идет речь , относительно выбора того, какие множества подобны 9.0044 .

Таким образом, результат Дедекинда просто запихивает под ковер все таинственное и неопределенное, связанное с натуральными числами: они становятся таинственным и неопределенным в теории множеств. Это стало ясно гораздо позже, благодаря Гёделю и другим. И в процессе стало ясно, что логика второго порядка немного проблематична по сравнению с логикой первого порядка.

Видите ли, в логике первого порядка есть набор правил вывода, а именно:

• звук : Каждое доказуемое предложение выполняется в любой модели.

• семантически завершено: Каждое предложение, содержащееся в любой модели, доказуемо.

• эффективное: Существует алгоритм, который может правильно решить, является ли любая заданная последовательность символов доказательством.

Логика второго порядка не работает! Он «слишком мощный», чтобы иметь все три этих приятных свойства.

Итак, в наши дни люди часто работают с версией аксиом Пеано первого порядка для арифметики. Вместо того, чтобы записать одну аксиому для математической индукции:

мы записываем схему аксиом — бесконечный список аксиом — с одной аксиомой вроде этой:

для каждой формулы, которую мы можем записать, используя язык арифметики.

Эта версия арифметики Пеано первого порядка является , а не категоричной: она имеет множество неизоморфных моделей. Люди часто делают вид, что существует одна «лучшая» модель: они называют ее «стандартными» натуральными числами, а все остальные называют «нестандартными». Но есть в этом что-то подозрительное.

Действительно, первая теорема Гёделя о неполноте говорит о том, что существует множество утверждений о натуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом Пеано. Отсюда следует, что для любого такого утверждения мы можем найти модель аксиом Пеано, в которой это утверждение выполняется, а также модель, в которой оно не выполняется.

Кроме того, это остается верным, даже если мы добавим любой список дополнительных аксиом к арифметике Пеано, пока существует какой-то алгоритм, который может перечислить все эти аксиомы.

Итак, я бы предпочел сказать, что существует множество различных «версий» натуральных чисел, так же как существует множество различных групп.

Мы можем изучать эти разные версии, и это увлекательная тема:

• Википедия, Нестандартные модели арифметики.

Тем не менее, я хочу поговорить о ситуации для других систем счисления!

Действительные числа

С действительными числами ситуация лучше — по крайней мере, если мы готовы думать о них «чисто алгебраически», оставляя большую часть анализа позади.

Для этого мы можем использовать теорию «реального замкнутого поля». Это список аксиом, сформулированных в логике первого порядка, которые описывают, как работают действительные числа. Вы можете представить себе эти аксиомы как состоящие из трех частей:

• поле аксиомы: обычные алгебраические тождества, включающие и вместе с законами, говорящими, что все имеет аддитивную обратную и все, кроме мультипликативной обратной.

• формально реальное поле аксиома, говорящая, что это не сумма квадратов. Это означает, что мы можем снабдить поле концепцией, превращающей его в упорядоченное поле, но не обязательно уникальным образом.

• реальное замкнутое поле аксиом, гласящих, что также для любого числа или или имеет квадратный корень, и каждый многочлен нечетной степени имеет корень. Помимо прочего, это означает, что наше поле можно уникальным образом превратить в упорядоченное поле. Для этого мы говорим, если и только если имеет квадратный корень.

Тарский показал, что эта теория полна : любое предложение первого порядка, включающее только операции и отношение, может быть либо доказано, либо опровергнуто, исходя из приведенных выше аксиом.

Тем не менее, теория реальных замкнутых полей не категорична: кроме реальных чисел существует множество других моделей! Все эти модели элементарно эквивалентны : любое предложение, включающее справедливую логику первого порядка, верное в одной модели, верное во всех остальных. Но не все эти модели изоморфны: мы не можем получить биекцию между ними, сохраняющую и

Действительно, только математические структуры конечного размера могут быть «прибиты» с точностью до изоморфизма теориями логики первого порядка. Видите ли, теорема Левенгейма–Скулема утверждает, что если теория первого порядка в счетном языке имеет бесконечную модель, то она имеет по крайней мере одну модель каждой бесконечной мощности. Итак, если мы пытаемся использовать такого рода теорию для описания бесконечно большой математической структуры, самое большее, на что мы можем надеяться, это то, что после того, как мы укажем его мощность , аксиомы его полностью определяют.

Однако настоящие аксиомы замкнутого поля не так хороши. Во-первых, у них есть бесконечно много неизоморфных счетных моделей. Вот некоторые из них:

• алгебраических действительных чисел : это действительные числа, которые подчиняются полиномиальным уравнениям с целыми коэффициентами.

• вычислимых действительных чисел : это действительные числа, которые могут быть вычислены с произвольной точностью с помощью компьютерной программы.

• действительных арифметических чисел : это числа, определяемые на языке арифметики. Точнее, действительное число является арифметическим , если существует формула на языке арифметики Пеано первого порядка с двумя свободными переменными такая, что

Каждое вычислимое действительное число является арифметическим, но не наоборот: просто потому, что можно определить действительное число указанным выше способом не означает, что вы можете вычислить его с произвольной точностью!

И в самом деле, существуют другие, еще более крупные исчисляемые действительные закрытые поля, состоящие из действительных чисел, которые можно определить с помощью более мощных методов, таких как арифметика Пеано второго порядка.

Мы также можем получить исчисляемые действительные закрытые поля, используя такие приемы: взять алгебраические действительные числа и добавить число вместе с достаточным количеством других чисел, чтобы снова получить действительное замкнутое поле. Или мы могли бы добавить и то, и другое, и это, вероятно, дает большее реальное замкнутое поле, но никто не знает, потому что, насколько нам известно, может быть равно плюс какое-то рациональное число! Все считает, что это ложь, но никто этого не доказал.

Существует также множество неизоморфных бесчисленных вещественных замкнутых полей, в том числе и таких, которые содержат обычные действительные числа.

Например, мы можем взять действительные числа и добавить элемент, который больше и так далее, а затем сделать все необходимое, чтобы получить еще одно реальное замкнутое поле. Это включает в себя добавление таких элементов, как

и так далее. Итак, мы получаем множество бесконечностей и бесконечно малых.

Здесь все немного запутанно, пытаясь понять, что чему равно. Но есть еще одно реально закрытое поле, содержащее бесконечный элемент, которым, кажется, легче управлять. Называется поле настоящей серии Puiseux . Это ряды вида

, где любое целое число, возможно, отрицательное, любое
положительное целое число, а коэффициенты действительны.

Что это? Это просто формальная переменная. Но настоящие ряды Пюизё представляют собой настоящее замкнутое поле и действуют так, как будто оно положительное, но меньше любого положительного действительного числа.

Приложив значительно больше усилий, мы можем составить реальное замкнутое поле, которое:

• содержит действительные числа,

• содержит элемент больше, чем

• подчиняется принципу переноса , который гласит, что первый- утверждение порядка, сформулированное на обычном языке теории множеств, верно для действительных чисел тогда и только тогда, когда оно верно для этой другой системы счисления.

Любое реальное замкнутое поле с такими свойствами называется системой гиперреальных чисел . В 1960-х годах логик Абрахам Робинсон использовал их, чтобы сделать старую идею Лейбница о бесконечно малых числах в исчислении полностью строгой. Полученная теория называется нестандартным анализом .

Итак, я надеюсь, вы видите захватывающее — или, возможно, пугающее — разнообразие реальных закрытых полей. Но не забывайте: все они элементарно эквивалентны. Если предложение, включающее справедливую логику первого порядка, выполняется в любом из этих реальных замкнутых полей, оно выполняется во всех них!

Вам может быть интересно, что говорит об этом логика второго порядка.

Здесь ситуация выглядит совсем иначе. В логике второго порядка мы можем проводить анализ, потому что мы можем количественно определить более предикатов , что позволяет нам говорить о подмножествах действительных чисел. А в логике второго порядка мы можем записать теорию действительных чисел, которая будет категоричной! Она называется теорией полных по Дедекинду упорядоченных полей . Опять же, мы можем сгруппировать аксиомы в три группы:

• поле аксиом: обычные алгебраические тождества, включающие и вместе с законами, говорящими, что все имеет аддитивную обратную и все, кроме мультипликативной обратной.

• упорядоченное поле аксиома, утверждающая, что существует такой полный порядок, что и подразумевает и подразумевает

• полнота Дедекинда аксиома, утверждающая, что каждое непустое подмножество с верхней границей имеет наименьшую верхнюю границу. Но вместо того, чтобы говорить о подмножествах, мы говорим о предикатах, которые относятся к этим подмножествам, поэтому мы говорим «для всех предикатов таких, что…»

Поскольку они категоричны, люди часто используют эти аксиомы для определения действительных чисел. Но поскольку они второго порядка, проблема многих неизоморфных моделей на самом деле просто заметена под ковер. Если мы будем использовать логику второго порядка, у нас не будет надежной, семантически полной и эффективной концепции «доказательства». И если мы будем использовать аксиомы первого порядка для теории множеств, чтобы явно говорить о подмножествах вместо предикатов, то наша теория множеств будет иметь много моделей! В каждой модели будет версия реальных чисел, уникальная с точностью до изоморфизма… но версии в разных моделях будут сильно отличаться.

На самом деле существует определенный смысл, в котором «стандартные действительные числа» в одной модели теории множеств могут быть «гипердействительными числами» в другой. Впервые это было показано Авраамом Робинсоном.

Комплексные числа

Я упоминал, что когда мы изучаем бесконечную математическую структуру с помощью логики первого порядка, лучшее, на что мы можем надеяться, это иметь одну модель каждого размера (с точностью до изоморфизма). Реальные числа далеко не так хороши… но комплексные числа гораздо ближе!

Точнее сказать какой-то кардинал. Теория первого порядка, описывающая структуру на одном множестве, называется κ-категоричной , если она имеет уникальную модель мощности. -категоричное для каждое неисчислимое Я не прорабатывал доказательство, которое, кажется, полно интересных идей. Но такие теории называются несчетно категоричный .

Отличным примером является «чисто алгебраическая» теория комплексных чисел. Под этим я подразумеваю, что мы записываем только аксиомы, включающие и не включаем ничего ни об этом времени, ни о сложном сопряжении. Видите ли, если мы начнем говорить о комплексном сопряжении, мы сможем выделить действительные числа среди комплексных чисел, а затем мы более или менее вернемся к истории, которая была у нас с действительными числами.

Эта теория называется теорией алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики . И снова аксиомы делятся на три группы:

• поле аксиом.

• нулевая характеристика аксиом: это бесконечный список аксиом, утверждающих, что

• алгебраически замкнутых аксиом: они говорят, что каждый непостоянный многочлен имеет корень.

Почти любой достойный математик знает, что комплексные числа являются моделью этих аксиом, мощность которых соответствует континууму. Существует множество различных счетных моделей: алгебраические комплексные числа, вычислимые комплексные числа и так далее. Но поскольку приведенная выше теория неисчислимо категорична, существует ровно одно алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики из каждое несчетной мощности… с точностью до изоморфизма.

Это подразумевает некоторые интересные вещи.

Например, мы можем взять комплексные числа, добавить дополнительный элемент и позволить ему свободно генерировать большее алгебраически замкнутое поле. Оно «больше» в том смысле, что содержит комплексные числа как правильное подмножество, даже подполе. Но поскольку оно имеет ту же мощность, что и комплексные числа, оно равно 9.0043 изоморфно комплексным числам!

И затем, поскольку это «большое» поле изоморфно комплексным числам, мы можем перевернуть этот аргумент. Мы можем взять комплексные числа, удалить множество тщательно отобранных элементов и получить подполе, изоморфное комплексным числам.

Или, если хотите, мы можем взять комплексные числа, присоединить к действительно огромному множеству дополнительных элементов и позволить им свободно порождать алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики. Мощность этого поля может быть сколь угодно большой. Он будет определяться с точностью до изоморфизма своей мощностью.

Хорошая новость заключается в том, что благодаря результату Тарского теория алгебраически замкнутого поля нулевой характеристики завершена, а значит, все ее модели элементарно эквивалентны. Другими словами, все те же предложения первого порядка написаны на языке и выполняются в каждой модели.

А вот и кусочек странной новости.

Как я уже упоминал, теория реального замкнутого поля , а не неисчислимо категорична. Это подразумевает что-то действительно странное. Помимо «обычных» действительных чисел мы можем выбрать другое действительное замкнутое поле, не изоморфное ему, с той же мощностью. Мы можем построить комплексные числа, используя пары действительных чисел. Мы можем использовать тот же прием, чтобы построить поле с помощью пар фигур в Но легко проверить, что это забавное поле алгебраически замкнуто и имеет нулевую характеристику. Поскольку он имеет ту же мощность, что и должен быть изоморфен

Короче говоря, разные «версии» действительных чисел могут дать одну и ту же версию комплексных чисел!

Ссылки

Итак, я надеюсь, вы видите, что логические основы вещественных и комплексных систем счисления довольно скользкие… но с работой мы можем многое понять об этой скользкости.

Помимо ссылок, которые я дал, я просто хочу упомянуть еще две. Во-первых, вот бесплатный вводный учебник по математическому анализу, основанный на нестандартном анализе:

• Х. Джером Кейслер, Элементарное исчисление: инфинитезимальный подход , доступен на веб-сайте или в формате PDF.

А вот пояснительная статья, которая углубляется в бессчетно категоричные теории:

• Ник Рэмси, Теорема категоричности Морли.

Эта запись была опубликована в понедельник, 8 сентября 2014 г., в 1:00 и находится в разделе «Математика». Вы можете следить за любыми ответами на эту запись через ленту RSS 2.0. Вы можете оставить отзыв или вернуться со своего сайта.

Инвестиции в разум: математические и логические задачи

Обзор

Математика и логика в какой-то степени были с нами с самого начала цивилизации. Эволюция была интересной и привела нас к некоторым из самых сложных головоломок, проблем и загадок нашего времени.

В первые дни мы полагались на грубые рассуждения для решения наших проблем. С развитием сложного языка и культуры вскоре появились специалисты, а вместе с ними и язык чисел, которые формализовали большую часть нашей логики — математики. Таким образом, они всегда были связаны друг с другом; у вас не может быть математики без логики, а без математики рассуждать было бы еще труднее.

Позже, в 19 веке, мы познакомились с современной математической логикой, когда она расходилась с чистой логикой, поэтому она стала самостоятельным разделом математики. Это быстро просочилось в школьную программу и инженерию. С тех пор математические логические задачи дразнят мозг людей повсюду, от учеников начальной школы до математиков и даже экспертов по головоломкам.

Мы составили список сложных задач на математику, логику и математическую логику, которые могут попробовать все, от школьников до экспертов по головоломкам. Они обязательно дадут вашему мозгу тренировку. Веселитесь и удачи.

 

Начальный уровень (дети) – Математика и логические задачи

Математика и логика лучше всего знакомятся в раннем возрасте, чтобы помочь развивающемуся уму понять концепции и понять разницу между логикой и ошибками на раннем этапе. Воспользуйтесь любой из этих ссылок, чтобы ваши ученики встали на правильный путь в самом начале обучения.

• В NRICH есть двадцать две забавные игры и задачи, доступные в Интернете для решения юными учениками. Это простые задачи с базовыми изображениями, которые можно просмотреть в Интернете или распечатать для использования в классе.
• Государственные школы Арлингтона предлагают ссылки на множество математических задач для учащихся в разделе игр для мозга. Большинство их ссылок ведут на другие сайты, такие как PBS Kids и Британская радиовещательная корпорация.
• Организация Mathematics Education Collaborative составила список различных традиционных настольных и карточных игр, в которые можно играть в автономном режиме и которые развивают логическое мышление. Почему бы не перевести обучение в автономный режим, оставив его интересным?
• Управление энергетической информации США предлагает печатный документ о головоломках на логику ветра в качестве пособия для учителей для младших школьников. Пусть студенты узнают об окружающей среде, энергии и логике одновременно!
• В Национальном институте наук об окружающей среде и здоровье есть коробки-головоломки REBUS, которые нужно решить. По их словам, РЕБУС — это «изображение имени, произведения или фразы». Используйте эти визуальные головоломки, чтобы помочь расширить кругозор.

 

Промежуточный уровень (подростки и молодежь) – Математические и логические задачи

Вот еще несколько сложных математических и логических задач для учащихся следующего уровня. Важно практиковать логическое мышление на каждом этапе обучения.

• В Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе есть раздаточный материал с несколькими головоломками, которые можно решить в классе или дома без использования компьютера.
• org содержит интерактивную трехмерную логическую игру, в которую можно играть в браузере без необходимости устанавливать или загружать что-либо.
• Центр математического и естественнонаучного образования AIMS предлагает шесть интересных и занимательных логических головоломок, направленных на работу ума.
• Университет Стетсона предлагает широкий выбор простых визуальных логических головоломок, которые больше похожи на игру, чем на работу.
• Университет Юты предлагает серию словесных головоломок, которые требуют только логического мышления. Никаких особых математических навыков не требуется!

 

Продвинутый уровень (подростки и молодые люди) — математические и логические задачи

Все еще готовы принять вызов? Вот еще четыре варианта для смелых.

• Cut the Knot содержит обширный интерактивный математический сборник и раздел головоломок, охватывающий несколько областей математики и логики. Они охватывают алгебру, арифметику, геометрию и многое другое.
• Wabash College публикует новую задачу каждые пару недель на случай, если у вас закончатся задачи. Доступ к предыдущим проблемам также доступен, если вы хотите наверстать упущенное.
• В Калифорнийском университете в Дэвисе есть распечатка нескольких сложных логических головоломок, которые вам предстоит решить. Почему бы не попробовать?
• Совет по образованию города Нью-Йорка предлагает пример логических головоломок, поскольку в настоящее время они необходимы для соответствия образовательным стандартам. Если вас интересуют текущие школьные требования, это может быть хорошим местом для посещения.

 

Только для экспертов – математические и логические задачи

Готовы ли вы к уровню эксперта? Несколько университетов, а также Агентство национальной безопасности предлагают сложные логические задачи на одних из самых сложных уровней. Вы все еще ищете больше после этого? Почему бы не подумать о том, чтобы создать несколько собственных логических задач, чтобы бросить вызов другим? Иногда настоящая проблема заключается в том, чтобы сделать идеальную головоломку.

• Университет Восточного Кентукки столкнулся с рядом трудностей, с которыми не справилось большинство людей. Вы готовы принять настоящий вызов?
• В Западно-семитском исследовательском проекте Университета Южной Калифорнии есть головоломка «Папирус» и обещание, что вы получите письмо, подтверждающее, что вы «мастер-папиролог», если вы отправите конверт с обратным адресом и маркой вместе с решенной головоломкой.