Общий знаменатель есть x2 – 1, так как x2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Умножим обе части этого уравнения на x2 – 1. Получим:
или, после сокращения,
5(x + 1) – 3(x – 1) = 15
или
5x + 5 – 3x + 3 = 15
или
2x = 7 и x = 3½
Рассмотрим еще уравнение:
5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x2 – 1)
Решая, как выше, получим:
5(x + 1) – 3(x – 1) = 4 5x + 5 – 3x – 3 = 4 или 2x = 2 и x = 1.
Посмотрим, оправдываются ли наши равенства, если заменить в каждом из рассмотренных уравнений x найденным числом.
Для первого примера получим:
Видим, что здесь нет места никаким сомнениям: мы нашли такое число для x, что требуемое равенство оправдалось.
Для второго примера получим:
5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) или 5/0 – 3/2 = 15/0
Здесь возникают сомнения: мы встречаемся здесь с делением на нуль, которое невозможно. Если в будущем нам удастся придать определенный, хотя бы и косвенный, смысл этому делению, то тогда мы можем согласиться с тем, что найденное решение x – 1 удовлетворяет нашему уравнению. До этой же поры мы должны признать, что наше уравнение вовсе не имеет решения, имеющего прямой смысл.
Подобные случаи могут иметь место тогда, когда неизвестное входит как-либо в знаменатели дробей, имеющихся в уравнении, причем некоторые из этих знаменателей, при найденном решении, обращаются в нуль.
Пример 2.
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
Можно сразу видеть, что данное уравнение имеет форму пропорции: отношение числа x + 3 к числу x – 1 равно отношению числа 2x + 3 к числу 2x – 2. Пусть кто-либо, в виду такого обстоятельства, решит применить сюда для освобождения уравнения от дробей основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Тогда он получит:
(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)
или
2x2 + 6x – 2x – 6 = 2x2 + 3x – 2x – 3.
Здесь может возбудить опасения, что мы не справимся с этим уравнением, то обстоятельство, что в уравнение входят члены с x2. Однако, мы можем от обеих частей уравнения вычесть по 2x2 — от этого уравнение не нарушится; тогда члены с x2 уничтожатся, и мы получим:
6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3
Перенесем неизвестные члены влево, известные вправо — получим:
3x = 3 или x = 1
Вспоминая данное уравнение
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
мы сейчас же подметим, что найденное значение для x (x = 1) обращает в нуль знаменателей каждой дроби; от такого решения мы, пока не рассмотрели вопроса о делении на нуль, должны отказаться.
Если мы подметим еще, что применение свойства пропорции усложнило дело и что можно было бы получить более простое уравнение, умножая обе части данного на общий знаменатель, а именно на 2(x – 1) — ведь 2x – 2 = 2 (x – 1), то получим:
2(x + 3) = 2x – 3 или 2x + 6 = 2x – 3 или 6 = –3,
что невозможно.
Это обстоятельство указывает, что данное уравнение не имеет таких, имеющих прямой смысл решений, которые не обращали бы знаменателей данного уравнения в нуль. Решим теперь уравнение:
(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)
Умножим обе части уравнения 2(x – 1), т. е. на общий знаменатель, получим:
6x + 10 = 2x + 18
или
4x = 8 и x = 2
Найденное решение не обращает в нуль знаменатель и имеет прямой смысл:
или 11 = 11
Если бы кто-либо, вместо умножения обеих частей на 2(x – 1), воспользовался бы свойством пропорции, то получил бы:
Здесь уже члены с x2 не уничтожались бы. Перенеся все неизвестные члены в левую часть, а известные в правую, получили бы
4x2 – 12x = –8
или
x2 – 3x = –2
Это уравнение мы теперь решить не сумеем. В дальнейшем мы научимся решать такие уравнения и найдем для него два решения: 1) можно взять x = 2 и 2) можно взять x = 1. Легко проверить оба решения:
1) 22 – 3 · 2 = –2 и 2) 12 – 3 · 1 = –2
Если мы вспомним начальное уравнение
(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),
то увидим, что теперь мы получим оба его решения: 1) x = 2 есть то решение, которое имеет прямой смысл и не обращает знаменателя в нуль, 2) x = 1 есть то решение, которое обращает знаменателя в нуль и не имеет прямого смысла.
Пример 3.
Найдем общего знаменателя дробей, входящих в это уравнение, для чего разложим на множители каждого из знаменателей:
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителяДиплом участника II этапаДиплом за подготовку участника II этапаДиплом лауреата II этапаДиплом за подготовку лауреата II этапа
Текст работы размещён без изображений и формул. Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Тема моей научно-практической работы – «Сложные примеры – легкие решения». Я выбрала эту тему для своей работы, так как для меня очень интересна и увлекательна математика. Чем дольше я учусь в школе и чем больше изучаю математику, тем чаще задаюсь вопросом: «Как можно решать такие сложные задачи и примеры быстро и, не прибегая к помощи калькулятора или компьютера». Интерес к этим вопросам побудил меня искать информацию в интернете, читать статьи и книги с этим связанные, спрашивать своих одноклассников и друзей, что они используют, чтобы облегчить себе изучение математики. Оказалось, что существует масса приемов устного счета, зная которые можно очень быстро считать в уме. Владение такими приемами не только облегчает изучение математики, но и значительно помогает в простой жизни. Мне захотелось поделиться со всеми найденной информацией, но для того, чтоб все легко запомнилось, появилась идея изложить в стихах алгоритмы решения примеров.
Цель моей работы – разработать свое пособие-напоминание, в котором изложены основные алгоритмы решения примеров на умножение и деление двузначных и трехзначных чисел. Это пособие выполнить в виде брошюры с примерами, объяснениями решений в стихах, которые я сочинила сама и иллюстрациями.
Моя гипотеза – с помощью моего пособия дети проявят большой интерес к математике, научатся быстро решать в уме сложные примеры, в том числе благодаря стихотворной форме изложения алгоритма.
Задачи моей работы:
Ознакомиться с алгоритмами решений сложных математических решений в уме.
Выяснить, что знают мои одноклассники о таких приемах.
Сочинить стих – объяснение про каждый пример, используемый в моем пособии.
Составить пособие и распечатать его в виде брошюры.
2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Каждый день каждый человек десятки, а то и сотни раз сталкивается с математикой. Начиная с момента пробуждения, мы весь день применяем в жизни наши математические навыки, иногда не замечая этого (как для приготовления завтрака и измерения пропорций), а иногда (как в магазине, например) вполне осознанно.
Чтобы что-то посчитать, человек применяет свои вычислительные навыки. И навыки эти нужно развивать. А развить их может каждый человек, независимо от его феноменальных математических способностей, хотя бы для того, чтобы не стать жертвой обмана в магазине или на рынке.
Развивать их можно, в том числе и с помощью применения различных техник и приемов устного счета. С давних времен люди изобретали или находили все новые такие приемы.
Когда я начала изучать этот вопрос, поняла, что мало знать о таких методах, их надо разобрать, запомнить, и тогда ты сможешь их активно применять в жизни. Разбираться с приемами устного счета оказалось не так уж сложно. Но вот запомнить столько различных задач сразу не удалось.
Так мне пришло в голову, что наиболее понравившиеся мне методы нужно зарифмовать. Ведь стихи запоминаются всегда лучше прозы. Пока я сочиняла стихи, все, используемые мной для работы математические примеры запомнились сами собой. Тогда и возникла идея поделиться своими стихами со своими друзьями, чтобы они тоже смогли легко запомнить алгоритмы решения сложных примеров.
Вас может удивит, но такая смесь математики и литературы дала очень хорошие результаты.
В ходе работы над своим проектом я ознакомилась со множеством подобных работ других учеников и пришла к выводу, что во всех случаях, когда ученики целенаправленно в счете использовали общеизвестные алгоритмы устного счета, скорость вычислений значительно увеличивалась, иногда даже в два раза. В просмотренных мною работах приводились таблицы с результатами таких экспериментов. Поэтому, я не стала доказывать в своей работе результативность применения различных методов устного счета. Это факт общепризнанный.
Моей задачей стало облегчить сам способ запоминания этих методов. Поскольку я очень люблю стихи и в повседневной жизни часто что-нибудь рифмую, выбор способа запоминания стал очевиден.
Вот что у меня получилось.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
3.1 Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.
Надо мысленно раздвинуть цифры этого числа и поставить между ними сумму этих цифр.
63 х 11 = 693
26 х 11 = 286
Сложи числа две половинки
Помести их в серединку
3. 2 Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше или равна 10.
Надо мысленно раздвинуть цифры этого числа и поставить между ними сумму этих цифр. Единицы числа записываем в середину, а десяток прибавляем к первой цифре.
78 х 11 = 858
64 х 11 = 704
Сложи числа две половинки
Помести их в серединку.
Про десяток не забудь,
Прибавь к началу, Умным будь!
3.3 Умножение на 111(если сумма чисел множимого меньше 10).
Также мысленно раздвигаем цифры этого числа, находим сумму цифр данного двузначного числа и ставим ее в середину дважды.
36 х 111 = 3996
3 + 6 = 9
42 х 111 = 4662
4 + 2 = 6
Опять сложи две половинки
Помести их в серединку.
Только дважды повтори,
Так как единицы три.
3.4 Умножение на 111 (если сумма чисел множимого больше 10).
Опять мысленно раздвигаем это число, складываем цифры и вставляем их в середину числа. Но поскольку сумма цифр составляет двузначное число, прибавляем его к первым цифрам.
76 х 111 = 8436
(7+6=13)
7136
13
8436
И вновь сложи две половинки
Снова вставь их в серединку
Ну, а так как число двузначное
нужно вставить в ответ два раза
Мы прибавим его однозначно
К первым цифрам. И без отказа!
3.5 Умножение на 25.
Чтобы умножить число на 25 , надо данное число (36) умножить на 100 и произведение разделить на 4:
37 х 25 = 900
(37 х 100) : 4 = 925
Если множимое делится на 4, то сначала можно разделить множимое на 4 и полученное частное умножить на а 100.
48 х 25 = 1200
(48 : 4) х 100 = 1200
При умножении на двадцать пять
Число на сто нам надо умножать,
Потом разделим на четыре,
Вот и ответ мы получили
3.6 Деление на 25.
Чтобы разделить число на 25, надо разделить его на 100 (если делится на 100) и полученное частное умножить на 4, или сначала делимое умножить на 4, а потом полученное произведение разделить на 100:
800 : 25 = (800 : 100) х 4 = 32
225 : 25 = (225 х 4) : 100 = 9
Сделаем наоборот от предыдущего примера
При делении на двадцать пять
Число на сто нам нужно разделять
Потом уже умножим на четыре
Вот снова и ответ мы получили
А если разделить на сто нельзя
То мы пойдем другим путем, друзья
Сначала на четыре мы умножим
Потом на сто поделим и отложим.
3.7 Умножение чисел от 11 до 19.
Умножать такие числа можно используя следующую формулу, которую стоит запомнить.
100 + 10 х (а + в) + а х в
Где а и в это единицы множителей
Формула только на первый взгляд кажется сложной
Любое число из диапазона от 11 до 19 представляем как десятки и единицы.
Получаем формулу: (10+a)×(10+b).
Раскрываем скобки: 100+10×b+10×a+a×b.
Выносим за скобки общий множитель и получаем окончательную формулу, по которой можно считать и которую есть смысл запомнить: 100+10×(a+b)+a×b.
14 х 18 = 252
100 + 10 х (4 + 8) + 4 х 8 =
= 100 + 120 + 32 = 252
Чтобы перемножить два числа
Между десятью и двадцатью
Единицы перемножь сперва
И запомни как свою семью.
А еще сложи их и умножь
На десятку. Это тоже впрок.
Вот теперь сложи все результаты
И еще плюс сто. И весь урок.
3.8 Старинный русский способ умножения.
Умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа.
32 х 13
16 х 26
8 х 52
4 х 104
2 х 208
1 х 416
32 х 13 = 416
Произведение не изменяется, если один множитель вдвое увеличить, а другой вдвое уменьшить.
Первое число дели на два,
Второе же, напротив, умножай.
Дели до единицы и тогда
Записывай ответ и отдыхай!
Произведение не изменяется, если один множитель вдвое увеличить, а другой вдвое уменьшить.
Немного усложняется, если делимое нечётное число, то нужно откинуть единицу и делить остаток пополам, но в результате прибавить все те числа, которые стоят напротив нечётных чисел левого столбца.
19 х 17
((19-1):2) = 9 х 34
((9-1):2) = 4 х 68
2 х 136
1 х 272
19 х 17 = 272 + 17 + 34 = 323
А если разделить на 2 нельзя,
То просто единицу убирай
Все делать точно так же продолжай
А то, что не делил — к ответу прибавляй
3. 9 Умножение двузначных чисел на 9, 99, 999.
К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель.
28 х 9 = 280 — 28 = 152.
18 х 99 = 1800 — 18 = 1782.
23 х 999 = 23000 — 23=22977.
Так как 10а-а=9а, то для умножения числа а на 9 достаточно от увеличенного в 10 раз числа а отнять само число. Аналогично умножение на 99 и на 999. Число а умножают на 100 и на 1000 и отнимают само число.
Сколько девяток – столько нулей
Пусть даже три, ты не робей
Смело нули к числу припиши,
Ну, а потом, число отними.
3.10 Умножение трёхзначного числа на 999.
Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трёхзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение: первые три цифры есть умножаемое число, только на уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) – «дополнения» первых до 9.
385 х 999 = 384615
Но в принципе, здесь работает тот же принцип, что и в предыдущем примере.
385 х 999 = 385000 – 385 = 384615
Даже, если множитель трехзначный
Три нуля к нему прибавить можно
И само число из цифры этой
Вычесть для тебя совсем не сложно.
3.11 Умножение чисел от 91 до 99 друг на друга.
Первый множитель вычесть из 100, второй множитель вычесть из 100, результаты сложить. Сумму вычесть из 100 и записать ответ первыми цифрами ответа. Далее перемножить ответы и записать следующими цифрами ответа.
97 х 96 = 9312
100 – 97 = 3, 100 – 94 = 4.
4 + 3 = 7, 100 – 7 = 93, 4 х 3 = 12.
Из ста вычесть и второй и первый
Все сложить, поверьте, это верно.
Результат опять от ста отнимем
И началом для ответа примем.
А в конец ответа – очень просто,
Перемножим отнятое от ста.
3.12 Умножение трёхзначных чисел от 101 до 109.
Если к одному из чисел прибавить единицы второго числа, то это
будут первые цифры ответа, затем перемножить единицы — это будут
последние цифры ответа.
105 х 107=11235.
105 + 7 = 112, 5 х 7 = 35.
Целое число плюс единицы
И отправим их за знак «равно»
Только единицы перемножим
И поставим рядом заодно.
3.13 Умножение двузначного числа на 101.
Самое простое правило: припишите число к самому себе.
57 х 101 = 5757
На сто один умножить просто
Число ставь рядом как по росту.
3.14 Применение моего пособия.
Стихи получились не сложными и легкими в запоминании. Я раздала своим одноклассникам брошюры, в которых объясняются сами методы устного счета и рядом располагаются стихи для запоминания метода.
Спустя месяц, я провела исследование способом анкетирования и получила такие результаты. Из 29 опрошенных 20 человек сказали, что мои стихи им очень помогли в запоминании способов быстрого счета.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключение я бы хотела сказать, что выбранная мной тема мне очень понравилась, мне было очень интересно искать разные возможности облегчения устного счета. Оказалось очень интересно и захватывающе самой разбираться в примерах, проверять и перепроверять работает ли алгоритм, сочинять стихи и разрабатывать свое пособие, а потом раздать его друзьям.
В ходе работы над проектом мне удалось кратко познакомиться с историей появления различных приемов устного счета и узнать, как человечество развивалось в этом направлении.
Цель моей работы было создание своего пособия по запоминанию некоторых методов устного счета. Указанное пособие основано на стихах про математические примеры, которые я сочинила сама. Цель моей работы достигнута.
После знакомства с моей брошюрой, ребята стали интересоваться математикой и, в частности, исследованием алгоритмов устного счета. А это, в свою очередь, развивает память, мышление, другие умственные способности, приучает к поиску решений в любых жизненных ситуациях. Таким образом, казалось бы простая тема получила большой отклик у моих одноклассников и все получили новые знания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Арутюнян Е., Левитас Г. «Занимательная математика» -М.:АСТ-пресс,1999г.
Владимиров, А. И. Интересные способы быстрого счета / А. И. Владимиров, В. В. Михайлова, С. П. Шмелева. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2016. — № 6.1 (9.1). — С. 15-17. — URL: https://moluch.ru/young/archive/9/633/ (дата обращения: 27.10.2020).
Гарднер М. «Математические чудеса и тайны.» М. 1978.
ГлейзерГ.И.» История математики в школе.» — М,1981.
«Библиотечка Первого сентября»,серия «Математика».Вып.3(15). http//portfolio 1 September ru/subjest
ПРИЛОЖЕНИЕ
Просмотров работы: 1052
Сложные примеры для 2. Сообщение темы урока
В математике, конечно же, важно уметь думать и мыслить логически, но не менее важна в ней практика. Половина ошибок на экзаменах по математике делается из-за неправильного вычисления простых действий с числами — сложение, вычитание, умножение, деление. А отработать эти навыки важно еще в начальной школе. Чтобы ничего не упустить, необходимо систематически заниматься с ребенком по специальным тетрадям — тренажерам. Они позволяют отработать математические навыки и умения и довести их до автоматизма. Тренажеры разнообразные, не обязательно скачивать их все, достаточно одного-двух понравившихся. Пособия можно использовать в работе с младшими школьниками не зависимо от программы, по которой ведется обучение.
Математика. Решаем примеры с переходом через десяток.
Тетрадь для отработки навыков сложения и вычитания с переходом через десяток. Не просто примеры, а интересные игры и задания.
Карточки-задания. Математика. Сложение и вычитание. 2 класс
Удобные карточки для учителя второклашек. 2 варианта на сложение и вычитание одного вида. Подойдут для организации самостоятельной работы по математике в зависимости от продвижения по программе.
Математика. Сложение и вычитание в пределах 20. 1-2 классы. Е.Э.Кочурова
В разных курсах математике тема сложения и вычитание в пределах 20 изучается или в конце 1 класса, или в начале 2-го. В любом случае пособие поможет закрепить изученные способы манипуляций с числами, в некоторых заданиях эти способы представлены в виде своеобразных подсказок. В ходе самостоятельной работы с тетрадью ребенок ориентируется на образец выполнения и алгоритмические предписания. Умение пользоваться такими подсказками в учебе позволит ученику не только находить и использовать нужную информацию в ходе выполнения задания, но и осуществлять самопроверку.
Начинается тетрадь с отработки навыков сложения и вычитание в пределах 10, эта часть подойдет и для первоклашек.
Математика тренажерная тетрадь для 2 класса
Тетрадь содержит не только примеры на сложение и вычитание, но и перевод единиц друг в друга, и сравнение результатов вычисления (больше-меньше).
3000 примеров по математике (счет в пределах 100 часть 1)
Тренажер со счетом на время. Время засекать на решение одной колонки примеров и записывать внизу в окошечке. Обратите внимание на колонки, которые ребенок решал более 5 минут, значит у него возникли сложности по этому виду примеров. Приведены примеры на сложение и вычитание в пределах десяти и с переходом через десяток, сложение и вычитание десятков, манипуляции в пределах сотни.
Счет от 0 до 100
В этой прописи дается много примеров на сложение и вычитание, чтобы закрепить навыки устного счета в пределах 100.
Считаем правильно. Рабочая тетрадь по математике. Г.В.Белых
Тетрадь также выполнена в виде тренажера, сплошные примеры и уравнения. Начинается со счета в пределах десяти, далее — в пределах сотни (сложение, вычитание, умножение и деление), заканчивается сравнением уравнений (примеры со знаками больше, меньше, равно).
Пособия пригодятся и учителям начальных классов в их работе, и родителям для занятий дома с детьми, в частности, в летние каникулы. Задания разных уровней сложности позволят осуществить дифференцированный подход к обучению.
Великие математики
Евклид. (ок. 365 — 300 до н. э.).
Древнегреческий математик. Работал в Александрии в 3 в. до н. э. Главный труд «Начала» (15 книг), содержащий основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики. Работы по астрономии, оптике, теории музыки. Евклид доказал множество теорем и гипотез.
Исаак Ньютон.
Родился 4 января 1643 года, механик, астроном и физик, создатель классической механики, член, затем президент Лондонского королевского общества. Один из основоположников современной физики, сформулировал основные законы механики и был фактическим создателем единой физической программы описания всех физических явлений на базе механики, открыл закон всемирного тяготения, объяснил движение планет вокруг Солнца и Луны
вокруг Земли, а также приливы в океанах, заложил основы механики сплошных сред, акустики и физической оптики. Фундаментальные труды «Математические начала натуральной философии» и «Оптика». Ньютон разработал дифференциальное и интегральное исчисления. Открыл дисперсию света, хроматическую аберрацию, исследовал интерференцию и дифракцию, развивал корпускулярную теорию света, высказал гипотезу, сочетавшую корпускулярные и волновые представления.
Примеры по математике для 2 класса
Примеры по математике 2 класс
25 — 3 = 51 + 4 = 75 — 1 =
73 + 1 = 26 — 4 = 55 — 3 =
35 — 4 = 38 — 6 = 37 — 4 =
21 + 7 = 37 + 2 = 59 — 5 =
35 — 4 = 43 + 6 = 21 + 7 =
75 + 2 = 66 — 2 = 54 — 1 =
23 + 5 = 43 + 6 = 78 + 1 =
34 — 3 = 54 + 3 = 28 — 6 =
22 + 3 = 44 + 5 = 78 + 1 =
54 + 3 = 36 + 3 = 76 + 2 =
64 — 3 = 33 + 5 = 68 — 2 =
Цель: научить решать примеры в два действия.
Задачи:
Совершенствовать устные и письменные вычислительные навыки при
решении примеров в два действия;
Развивать и обогащать речь учащихся терминологией при чтении
математических выражений; слуховое и зрительное восприятие, внимание, память на
устном счете при использовании дидактических игр, коррекционных и кинезиологических
упражнений, развивать логическое мышление при решении задач;
Воспитывать целеустремленность, самостоятельность, взаимопомощь,
аккуратность и соблюдение орфографического режима в тетрадях.
Оборудование:
машина из геометрических фигур;
учебник, картинки зверей;
карточки с домашним заданием.
Ход урока:
1. Организационный момент.
Учитель:
Добрый день, добрый час! Как я рада видеть вас! Друг на друга посмотрели И тихонечко все сели. Долгожданный дан звонок Все на месте? Все в порядке? Ручки, книжки и тетрадки Начинается урок математики.
Чем мы будем заниматься?
Ученики:
2. Учитель: Согреем руки и по массажируем мочки ушей.
Сегодня мы проведем необычный урок математики, мы отправимся в путешествие,
а куда, вы узнаете, если:
А) правильно исключите лишнее число и объясните почему,
Б) расположите числа в порядке возрастания и прочтете зашифрованное слово:
11
14
8
17
Л
Е
В
С
Правильно, мы отправляемся в лес по теме «Решение примеров в два действия».
Цель нашего путешествия: обработка знаний, умений и навыков при решении
примеров в два действия.
Задача нашего путешествия: работать быстро, четко, правильно.
4. Прежде чем отправимся в путешествие нам надо пройти подготовку:
Начинаем тренировку, Чтобы умным стать и ловким (устный счет):
Прочтите выражение различными способами: 8 + 3 = 11.
(Первое слагаемое – 8, второе – 3, сумма – 11. Сумма чисел 8 и 3 равна 11.)
Следующее задание:
Что значит 5 увеличить на 2?
Что значит 7 увеличить на 3?
А теперь проверим вашу внимательность:
Нужно хлопнуть в ладоши, если число однозначное: 9 12 16 5 3 2 14 20.
Какое число я отстучу: 4 2 7 3 8.
Молодцы ребята, с заданиями хорошо справились! Теперь мы готовы к
путешествию.
5. Геометрический материал.
Отгадав загадку, вы узнаете, на чем мы отправимся в путешествие.
Не летает, не жужжит, Жук по улице бежит. И горят в глазах жука Два блестящих огонька. (Машина.)
Посмотрите на машину и скажите, их каких геометрических фигур она состоит.
Молодцы, с задачами справились, отправляемся в путешествие по лесу.
Обратить внимание на посадку, пристегнуть ремни, выполнить упражнение «Зайка»
(пальчиковая гимнастика, кинезиологическое упражнение).
Открыли тетрадки: мы прибыли в лес. Первое задание вам даст тот, о ком загадка:
Под соснами, Под елками Лежит мешок С иголками. (Ёжик.)
Правильно, ежик. Ежик предлагает вам прописать красиво и аккуратно числа 4
и 14.
Ребята, сравните свой показ с показом учителя и подчеркните лучший
(каллиграфическая минутка)
По веткам скачет, а не птица, Рыжая, а не лисица. Кто это? (Белка.)
Правильно, белочка. Она приготовила для вас задание – откройте учебник на
стр. 223, №196 (решение примеров в два действия у доски и в тетрадях).
Поработали, ребятки, а теперь все на зарядку! А проведет зарядку отгадайте
кто…
Чуткий нос Пушистый хвост. Ее не тронь, Шубка как огонь. (Лиса.)
Правильно, лисичка. Проведение физкультурной минутки.
Встаньте дружно, улыбнитесь, Все в зверюшек превратитесь! Пойдем мягко, как лисята, И как мишка косолапый. Зайчик белый прыг да скок. Серый еж собрался весь в клубок, Лучик ежика коснулся, Ежик сладко потянулся.
Решение задачи №195, стр. 223 (чтение задачи, работа над условием, анализ
задачи, запись краткой записи, решение задачи).
Молодцы, ребята! Все задания выполнены, все звери остались довольны вашей
работой! И домашнее задание они вам приготовили на карточках.
6. Подведение итога урока, выставление оценок.
Примеры онлайн на сложение и вычитание в пределах 10000
Примеры онлайн на сложение и вычитание в пределах 10000
ПримерОнлайн. ru
Генератор примеров по математике 1-3 класс
Онлайн Примеры на сложение трёхзначных чисел позволяют вывести большое количество неповторяющихся примеров с трёхзначными числами.
Примеры можно разделить по степени сложности: лёгкие – это примеры без перехода через десяток, сложные – с обязательным переходом, обычные – слагаемые выбираются случайным образом.
Настройка генератора примеров
Файл для печати
В файле
1234567891012152025303540455060708090100
стр.
Скачать: файл заданий, файл ответов
Свой формат страницы
Выводить
153050100200300500
примеров
Распечатать страницу
Интерактивные примеры
Выводить
153050100200300500
примеров
Показать страницу
Образец примеров
4155 + 4436
3680 + 4364
6693 — 3308
4486 — 2702
9753 — 8495
5639 — 2322
9471 — 7207
1724 + 4671
1743 + 5770
8150 — 6412
7736 — 2288
5609 — 3549
1104 + 3969
8093 — 4323
1698 + 3793
2257 + 2675
4036 — 2505
4903 + 1021
1550 + 7440
7468 — 1220
3004 + 6409
4404 + 4215
4225 — 3059
9817 — 5250
6298 + 2099
5988 + 3814
2879 + 3027
9889 — 7125
1653 + 2760
2547 + 1631
6224 — 2338
1899 + 4546
2407 + 6512
8364 — 2758
2812 + 1077
3444 — 1055
7201 — 4435
1726 + 4065
8616 — 1049
8508 — 6005
2092 + 2815
9695 — 3234
8985 — 1451
5090 — 3978
8779 — 1564
2099 + 3702
9328 — 4891
7137 + 2614
4094 — 1277
2652 + 3481
4127 — 3778
6561 — 2600
2775 + 2136
9359 — 5926
7741 — 7291
6547 — 5140
8233 — 4519
7783 — 2356
6766 + 2640
5789 + 2396
2511 — 1152
2661 + 3025
7959 — 1514
5772 — 3688
7751 — 5519
7469 — 2763
3491 + 3139
1502 — 1498
5074 + 4483
8312 — 2375
1877 + 5286
3732 + 5944
9498 — 4728
5376 + 1543
7411 — 1359
1775 + 8146
8529 — 4155
6505 — 6205
8334 — 8162
3408 + 1446
9221 — 7174
8144 — 7724
6369 — 2012
7283 — 1952
1699 + 2495
7851 — 3186
9153 — 6083
7076 + 2036
7917 — 1155
8901 — 2860
2656 + 6887
1317 + 2564
2509 + 6762
6940 — 6147
5739 + 4187
3670 + 4861
6784 + 2527
4835 — 4267
1768 + 4361
6501 — 4324
3196 + 5774
7598 + 1074
3136 + 1655
4476 + 2694
7234 — 4207
3246 + 6158
4627 — 2702
9860 — 1889
9175 — 6380
2794 — 1112
5651 — 3017
6429 + 1387
6671 — 5926
9782 — 2523
8324 — 4339
1919 + 5255
4358 — 1539
8641 — 2137
1163 + 5149
4368 + 2705
4677 — 1678
4617 + 2103
5673 — 4737
8439 — 3842
3986 + 2735
3705 + 3630
1740 + 6349
1732 + 8045
1187 + 6470
2805 + 1540
2833 — 2111
9046 — 5654
2785 — 1449
1251 + 3133
5298 — 2927
4839 + 4527
9877 — 6438
9227 — 3721
6351 — 4967
5421 + 1337
1083 + 4590
1965 + 1244
6665 + 1362
5223 — 1108
4048 + 3876
4025 + 5103
4980 + 4628
3408 + 5306
4970 + 2400
1004 + 6818
4933 — 2369
5125 + 3120
2963 + 7029
4333 — 1933
5192 — 4216
5345 — 4273
5038 + 1077
1751 + 6000
5004 — 2733
6745 — 6252
4994 + 1763
1838 + 2500
5586 — 2900
5092 + 2754
2656 + 7267
4325 + 5069
3314 + 2735
6810 + 2935
2987 + 1474
3980 + 5842
6240 — 2531
5095 — 3340
5501 + 1831
6104 — 2423
8125 — 2735
9702 — 1755
6160 + 3279
7515 — 3420
2184 + 4759
8089 — 6066
2544 + 3272
1579 + 4797
4122 + 4486
2410 — 1692
7705 — 3365
4948 + 4324
4339 + 3351
6847 — 2462
3559 + 1494
6852 — 4754
7159 — 6838
3332 + 5590
5826 + 1775
5704 — 4398
1182 + 8006
9229 — 2131
8282 — 5406
7317 — 1624
1089 + 2522
9075 — 7276
1579 + 5805
1672 + 2631
4859 + 3588
4795 + 2145
1268 + 7267
6117 — 1468
4421 + 4280
5074 — 3773
1064 + 7881
4367 + 4059
4344 + 5505
5854 + 1095
5808 + 1075
2800 + 6149
5376 — 4406
1568 + 4119
2376 — 1082
6559 — 2001
1209 + 6847
8000 — 4745
7668 — 2852
9797 — 6436
7654 + 1596
9990 — 8208
4084 — 1267
7671 — 7340
9706 — 1825
4824 + 1903
1096 + 7438
2775 + 2052
1095 + 8339
7947 — 1883
9606 — 6449
6947 — 2329
3470 + 1804
3620 + 2131
7241 + 2253
8336 + 1660
5123 + 2624
6191 — 2740
1888 + 3531
7649 + 1452
7767 + 2059
1316 + 6202
6236 — 3571
5704 — 2237
2416 + 3857
4243 + 5376
2078 + 7262
1110 + 1558
6164 — 2469
5037 — 5006
9849 — 1512
1427 + 4435
1083 + 3085
4670 — 4227
6726 — 3780
3461 + 2176
3996 + 5601
6989 — 1852
8974 — 5517
5809 — 5295
1276 + 6741
2719 + 6546
6549 — 6316
1533 + 4944
7289 + 1306
3955 + 3036
6168 — 2354
8913 — 8706
3503 + 2447
9423 — 7741
1395 — 1180
7648 + 1036
7575 — 6485
5564 — 3156
8502 — 3862
3844 + 3855
8264 — 7235
6585 — 1325
1071 + 3782
4230 — 1676
6792 — 1913
6049 — 1465
5372 + 4613
2970 — 2181
9314 — 6614
7014 — 6708
6397 — 1229
5558 + 1141
5537 — 2501
4273 + 1729
5643 — 3433
4106 + 2099
6479 + 2382
4496 + 3456
3886 — 1252
4829 + 4176
1287 + 8686
9373 — 8913
2811 + 5879
3777 — 1877
9669 — 2755
2616 + 5224
4041 + 4127
4498 — 1979
9544 — 5545
7759 — 1502
8127 — 3368
5531 — 3825
1893 + 4093
3812 + 2151
6926 + 2458
5480 + 2451
2484 + 4646
6856 + 1090
2555 + 5639
5812 — 4256
1862 + 5972
1561 + 5297
8668 — 1064
2739 — 2544
3232 + 2994
6011 + 3403
3560 + 5621
2643 + 7092
8589 — 6163
5772 — 3540
4747 + 5016
8177 — 1283
3340 — 2245
9646 — 1945
3484 + 1526
3646 — 2530
5744 — 2737
2625 + 6398
3710 + 4936
2176 + 3094
8881 — 2011
4160 + 3721
4268 + 1330
3944 + 5379
9672 — 5063
8157 — 1703
5503 + 2417
8958 — 4499
1694 + 8277
2772 + 5302
1640 + 5222
2570 + 2629
6352 — 3966
3155 + 4748
3409 — 1820
4728 + 2588
4722 + 5118
7208 + 2022
4483 + 3176
8578 — 7849
1360 + 2333
8090 — 2841
1696 — 1621
3343 + 6475
7789 — 3905
3659 — 1625
1428 + 3248
9935 — 7270
7192 — 3180
3383 — 3052
6259 — 2938
6885 + 2621
8866 — 7750
2243 + 4390
7756 — 3302
8891 — 7476
7208 — 6349
9036 — 5161
1977 + 2317
5527 + 4203
3074 + 1983
2820 + 2358
5511 — 5006
9515 — 8585
9682 — 4010
5384 + 2864
4856 + 4429
4135 — 3816
7265 — 2373
2996 — 2611
9863 — 2434
1394 + 6763
3096 + 5824
1664 + 6700
1034 + 5094
8101 — 3380
3067 + 2052
3356 + 3847
1657 + 3086
6881 — 2336
1092 + 3527
9374 — 9095
7913 + 1105
7619 — 5766
2830 — 2444
6334 — 3546
5122 — 1719
2480 + 1171
9914 — 1619
6625 — 3244
8366 — 8249
9457 — 1415
4619 + 2593
8177 — 8162
4810 + 4786
2838 + 2027
8396 — 4524
4679 — 3692
9270 — 1810
1184 + 5152
3702 — 1693
5906 — 1526
1807 + 3926
7908 + 1245
3421 + 6389
4820 — 3698
4605 — 3595
4313 + 2577
1105 + 4557
1761 + 1963
5652 + 3951
2386 + 3920
5813 — 3979
8046 — 3383
5268 + 1585
3909 — 2812
8144 — 6992
5230 — 5065
1447 + 3357
7737 — 4919
1213 + 1761
9472 — 2461
8571 — 1947
9080 — 7771
5542 + 1530
4643 — 4118
9376 — 9071
6614 + 2339
4405 + 4810
3550 + 2371
5253 — 4543
1006 + 2472
8371 — 3430
2221 + 6978
9045 — 4093
8213 — 4491
2256 + 1284
4411 + 2092
4924 + 1181
4685 — 1714
9440 — 1259
3570 — 3462
4463 + 2962
4594 + 1305
8657 + 1275
2262 + 1119
5735 — 1325
9585 — 6897
3152 + 1443
5004 + 2529
1495 + 2413
1996 + 6432
4413 + 3621
1941 + 7237
5724 + 2329
3949 + 5193
6639 — 2286
5585 — 2090
5093 + 2217
4308 — 1930
1355 + 3694
1988 — 1948
5810 + 2736
3934 + 4778
8698 — 5324
2795 + 2714
9074 — 6991
7251 — 6072
2096 + 3850
2024 + 6352
7165 — 1926
4470 + 1028
4819 — 2315
1648 + 1479
3913 — 1674
3359 + 2841
5469 — 3630
2839 + 2694
8270 — 7917
2837 + 5066
Задачи на пропорции по математике — примеры с ответами
Понятие пропорции
Чтобы решать задачи на тему пропорции, вспомним главное определение.
Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин.
Главное свойство пропорции:
Произведение крайних членов равно произведению средних.
a : b = c : d,
где a, b, c, d — члены пропорции, a, d — крайние члены, b, c — средние члены.
Вывод из главного свойства пропорции:
Крайний член равен произведению средних, которые разделены на другой крайний. То есть для пропорции a/b = c/d:
Средний член равен произведению крайних, которые разделены на другой средний. То есть для пропорции a/b = c/d:
Решить пропорцию — значит найти неизвестный член. Свойство пропорции — главный помощник в решении.
Запомним!
Равенство двух отношений называют пропорцией.
Рассмотрим легкие и сложные задачи, которые можно решить с помощью пропорции. 5, 6, 7, 8 класс — неважно, всем школьникам полезно проанализировать занимательные задачки.
Практикующий детский психолог Екатерина Мурашова
Бесплатный курс для современных мам и пап от Екатерины Мурашовой. Запишитесь и участвуйте в розыгрыше 8 уроков
Задачи на пропорции с решением и ответами
Свойства пропорции придумали не просто так! С их помощью можно найти любой из членов пропорции, если он неизвестен. Решим 10 задач на пропорцию.
Задание 1. Найти неизвестный член пропорции: x/2 = 3/1
Как решаем:
В этом примере неизвестен крайний член, поэтому умножим средние члены и разделим полученный результат на известный крайний член:
x = (2 * 3)/1 = 6
Ответ: x = 6.
Задание 2. Найти неизвестный член: 1/3 = 5/y
Как решаем:
y = (3 * 5)/1 = 15
Ответ: y = 15.
Задача 3. Решить пропорцию: 30/x = 5/8
Как решаем:
x = (30 * 8)/5 = 48
Ответ: x = 48.
Задание 4. Решить: 7/5 = y/10
Как решаем:
y = (7 * 10)/5 = 14
Ответ: y = 14.
Задание 5. Известно, что 21x = 14y. Найти отношение x — к y
Как решаем:
Сначала сократим обе части равенства на общий множитель 7: 21x/7 = 14y/7.
Получим: 3x = 2y.
Теперь разделим обе части на 3y, чтобы в левой части убрать множитель 3, а в правой части избавиться от y: 3x/3y = 2y/3y.
После сокращения отношений получилось: x/y = 2/3.
Ответ: 2 к 3.
На следующем примере мы узнаем как составить пропорцию по задаче💡
Задание 6. Из 300 подписчиков в инстаграм 108 человек — поставили лайк под постом. Какой процент всех подписчиков составляют те, кому понравился пост и они поставили лайк?
Как решаем:
Примем всех подписчиков за 100% и запишем условие задачи кратко:
300 — 100%
108 — ?%
Составим пропорцию: 300/108 = 100/x.
Найдем х: (108 * 100) : 300 = 36.
Ответ: 36% всех подписчиков поставили лайк под постом.
Задание 7. Подруга Гарри Поттера при варке оборотного зелья использовала водоросли и пиявки в отношении 5 к 2. Сколько нужно водорослей, если есть только 450 грамм пиявок?
Как решаем:
Составим пропорцию: 5/2 = x/450.
Найдем х: (5 * 450) : 2 = 1125.
Ответ: на 450 грамм пиявок нужно взять 1125 гр водорослей.
Задание 8. Известно, что арбуз состоит на 98% из воды. Сколько воды в 5 кг арбуза?
Как решаем:
Вес арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода — 98% или х кг.
Составим пропорцию:
5 : 100 = х : 98
х = (5 * 98) : 100
х = 4,9
Ответ: в 5 кг арбуза содержится 4,9 кг воды.
Перейдем к примерам посложнее. Рассмотрим задачу на пропорции из учебника по алгебре за 8 класс.
Задание 9. Папин автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?
Как рассуждаем:
Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.
Обозначим:
v1 = 75 км/ч
v2 = 52 км/ч
t1 = 13 ч
t2 = х
Как решаем:
Составим пропорцию: v1/v2 = t2/t1.
Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.
Подставим известные значения: 75/52 = t2/13
t2 = (75 * 13)/52 = 75/4 = 18 3/4 = 18 ч 45 мин
Ответ: 18 часов 45 минут.
Задание 10. 24 человека за 5 дней раскрутили канал в телеграм. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?
Как рассуждаем:
1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.
3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:
Как решаем:
Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию:
30 : 24 = 5 : х
Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член:
х = 24 * 5 : 30
х = 4
Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.
Ответ: за 4 дня.
Онлайн-подготовка к ОГЭ по математике — отличный способ снять стресс и закрепить знания перед экзаменом.
в картинках и текстовые, для взрослых и детей
Занимательная математика и логика /
Математические игры
Знакомим с популярными головоломками, увлекательными заданиями от ЛогикЛайк, которые
нравятся детям и их родителям. Разбираем решение известных числовых и логических
головоломок.
17 категорий числовых и логических математических головоломок
2 варианта занятий,
выбор сложности
Пройдите 3 стартовые главы курса логики
– и откройте доступ к разным категориям. Попробуйте
«Логические задачи», «Истина и ложь», «Умный счёт»,
«3D‑мышление».
Попробуйте задания разного уровня сложности:
«Новичок», «Опытный», «Эксперт».
Попробуйте курс ЛогикЛайк в игровой форме!
Выберите возраст для старта
4-6 лет
1 класс
2 класс
3 класс
4-5 класс
старше
На платформе LogicLike.com дети и взрослые с удовольствием
развивают логику и мышление.
У нас 3500 занимательных заданий с ответами и пояснениями!
9 знаменитых математических головоломок, о которых будет интересно узнать вашим детям
Математические головоломки как способ помериться интеллектуальными силами всегда увлекали людей.
ЛогикЛайк рассказывает о нескольких широко известных задачках, над которыми ломали голову
десятки поколений.
Разберите подборку головоломок вместе с детьми: «разомнете» мозги, весело проведете время и
знание истории «прокачаете»! Мы выбрали интересные задачки, дошедшие до наших дней из
«древности», и приближенные к «нашему» времени.
Папирус Ахмеса
Задача о переправе
Печать царя Соломона
Головоломка Фибоначчи о
кроликах
Задача Тартальи «Трудное
наследство»
Головоломка Льюиса Кэрролла
«Безумный разрез» Мартина
Гарднера
Сингапурская головоломка
Танграм
Папирус Ахмеса
Древние египтяне были не только опытными строителями пирамид, но и прекрасными математиками.
Доказательством этому служит древнеегипетский папирус, автором которого был некий Ахмес. Как
выяснили исследователи-египтологи, папирус Ахмеса — копия очень древнего математического
сборника, составленного во времена фараона Аменемхета III (приблизительно 1853-1806 гг. до
н.э.). Задач в сборнике много — ниже одна из них.
Показать
решение
Задача о переправе
Не только древние египтяне упражнялись в решении задач на сообразительность. Историки обнаружили
книгу, написанную на латыни, под названием «Задачи для развития молодого ума». Ирландский
богослов, ученый и просветитель Алкуин, живший в IX веке, собрал в книге 53 задачи. Предлагаем
одну из них — настолько «бородатую», что ее знают школьники во всем мире.
Как крестьянину перевезти все в целости и сохранности?
Показать
решение
Печать царя Соломона
На гробнице мудрого легендарного библейского царя Соломона потомки изобразили знаменитую печать
правителя.
Попробуйте сосчитать, сколько равносторонних треугольников изображено на
печати.
Проверить себя
Попробуйте курс ЛогикЛайк
«ВСЯ ЛОГИКА В ИГРОВОЙ ФОРМЕ»
Развиваем
мышление Решая задачи
и головоломки дети развивают смекалку, а взрослые тренируют
«извилины».
Строим
фундамента успеха
Учим грамотно работать с информацией, тренируем память
и развиваем логико‑математический интеллект. Повышаем
познавательный интерес и уверенность в себе.
Глоток
«свежего воздуха»
Можно потратить 20-30 минут на себя, пока ребёнок развивается.
Заниматься на ЛогикЛайк одинаково интересно детям и взрослым.
Начать курс!
Задача Фибоначчи о размножении кроликов
Леонардо Пизанский (около 1170 г.р.), по прозвищу Фибоначчи, — один из первых именитых
математиков средневековой Европы. Он успешно участвовал в математических турнирах, а, создав
себе имя, придумывал для них занимательные задачи. Ниже одна из самых известных.
«Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый
день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов в первый день
февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая
новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем через
месяц дает жизнь новой паре кроликов».
Сколько пар кроликов будет в огороженном месте через 12 месяцев с
начала размножения?
Подсказка Вспомните последовательность Фибоначчи или запаситесь
терпением — и считайте.
Смотреть
ответ
Задача Тартальи «Трудное наследство»
Никколо Тарталья (1499 г.р.), итальянский математик, обнаруживший общий алгоритм решения
кубических уравнений. Описанный Никколо метод вошел в историю математики как Формула Кардано, по
имени первого публикатора метода, до которого независимо друг от друга додумались Тарталья и
Сципион дель Ферро.
Предлагаем решить ставшую известной задачу Тартальи о дележе лошадей.
Как выполнить завещание?
Показать
решение
Головоломка Льюиса Кэрролла
Известный писатель Льюис Кэрролл, тот самый, который создал истории об Алисе и ее приключениях в
Стране Чудес и Зазеркалье, еще и очень любил придумывать головоломки и преподавал логику.
Своим маленьким поклонникам Кэрролл часто предлагал такую головоломку:
Задача усложняется особыми условиями ее выполнения:
карандаш от бумаги отрывать нельзя;
дважды проводить карандашом в одном
месте нельзя;
пересекать линии нельзя.
Показать
решение
Отгадывайте головоломки
и решайте задания на логику
от ЛогикЛайк!
Классические логические вопросы
и головоломки
Числовые ребусы, магические
квадраты
Взвешивания
и переливания
Комбинаторные задачи
Пространственные
головоломки
Шестерёнки (вращение)
Алгоритмические задачи
Нестандартные
шахматные задания
Начать занятия!
Начать занятия!
«Безумный разрез» Мартина Гарднера
Мартин Гарднер — известный американский писатель, математик-любитель, автор множества статей и
книг по занимательной математике, научно-популярных этюдов, математических фокусов, головоломок
и задач на сообразительность и множества других публикаций.
Предлагаем решить одну из самых популярных головоломок Гарднера.
Сделайте один разрез (или нарисуйте одну линию) — не обязательно, прямую —
чтобы разделить нарисованную фигуру на две одинаковые части.
Показать
ответ
Сингапурская головоломка
Благодаря социальным сетям некоторые головоломки распространяются, как вирус, и становятся
известными. Так случилось с головоломкой, которую телеведущий Кеннет Конг из Сингапура разместил
на своей странице в фейсбуке, и вскоре ею поделились 4400 человек.
Альфред и Бернард только что познакомились с Шерил и хотят выяснить, когда у
нее день рождения.
Шерил показала поклонникам 10 возможных дат:
Затем она показала Альфреду месяц своего рождения, а Бернарду — день.
Чтобы решить головоломку, друзья обменялись парой реплик:
Так когда же у Шерил день рождения?
Смотреть
решение и ответ
Танграм
Согласно легенде, головоломка была создана несколько тысяч лет назад тремя древнекитайскими
мудрецами для сына императора. Правитель хотел чтобы через простую игру его сын постиг начала
математики, научился видеть окружающий мир глазами художника, стал терпеливым, как философ, и
осознал, что сложные вещи состоят из простых.
Так появился «Ши-Чао-Тю» — квадрат, разрезанный на семь частей:
5 треугольников (2 больших, 2 маленьких, 1 средний), квадрат и параллелограмм.
Суть «свободной» игры в танграм — собирать из имеющихся деталей по принципу мозаики всевозможные
фигурки: животных, птиц, человека, что угодно. Младшим дошкольникам предлагают простой вариант
развивающей игры, когда фигурки танграма нужно просто наложить на готовый образец-ответ.
Многие дети в 5-7 лет складывают модели из фигурок рядом с изображением-ответом, даже если
размеры вырезанных фигур и деталей на картинке отличаются.
Танграм как головоломка обычно по силам ребенку начиная с 6-7 лет.
Все так же — из элементов танграма нужно сложить готовую модель, но на
карточке изображен лишь силуэт фигуры.
Вырежьте элементы танграма из бумажного, картонного или другого квадрата, и
для начала предлагаем собрать одну из популярных фигурок — бегущего
человека, как на рисунке выше.
Помните 2 правила головоломки:
1) необходимо использовать все 7 фигурок головоломки;
2) фигуры не должны накладываться друг на друга.
Показать
готовую фигурку
Среди поклонников танграма были Льюис Кэрролл и Наполеон Бонапарт. Считается, что именно
«танграмом» назвал игру американский шахматист, изобретатель «пятнашек» и многих других
головоломок, Самюэль Лойд.
В 21 веке самые интересные проявления танграма встречаются в дизайне мебели, одежды, ландшафтном
дизайне и архитектуре.
Ответы и решения к головоломкам
1. Папирус Ахмеса: решение
Пусть w — количество зерна для первого работника,
d — разница в количестве зерна между двумя работниками, следующими по порядку.
Составим два равенства.
5w + 10d = 100
7*(2w + d) = 3w + 9d
Остается только решить уравнение с двумя неизвестными.
Крестьянин перевозит козу (иначе потеряет часть имущества).
Возвращается.
Перевозит капусту (или волка), а козу увозит обратно.
Козу оставляет на первом берегу.
Перевозит волка (или капусту) на другой берег.
Возвращается.
Перевозит козу.
Вернуться к
условию.
3. Печать царя Соломона: ответ
31 треугольник.
Вернуться к условию.
4. Задача Фибоначчи: решение
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …, …, …
Ответ:
233 пары.
Вернуться к
условию.
5. Задача Тартальи: решение
Сам Тарталья предложил следующее решение. Для раздела имеющихся лошадей необходимо
заимствовать еще одну, после чего их общее количество станет 18. Раздел этого количества даст 2,
6 и 9 лошадей, которых в сумме окажется 17.
Одна лошадь из 18 оказалась как бы «лишней» — это заимствованная лошадь, которую следует вернуть
владельцу после раздела имущества.
Можно решить головоломку и арифметическим способом: пропорцию 1/2 : 1/3 : 1/9 достаточно
умножить на 18 и получится тот же результат.
Ответ:
2, 6 и 9 лошадей.
Вернуться к
условию.
6. Головоломка Льюиса Кэрролла: ответ
Ниже мы изобразили 2 варианта решения. Возможно, вам удастся найти и другие.
Вернуться к
условию.
7. «Безумный разрез» Гарднера: ответ
Намёк был верен. Линия действительно изогнутая.
Вернуться к
условию.
8. Сингапурская головоломка: решение
Даты находятся в промежутке от 14 до 19. Числа 18 и 19 встречаются по разу. Если день рождения в
эти даты, то Бернард сразу бы сказал месяц.
Если Шерил сказала Альфреду, что родилась в мае или июне, значит, день рождения может быть 19
мая или 18 июня. Раз Альфред точно знает, что Бернард не знает ответ, значит, речь не о мае или
июне. Остаются июль или август.
В июле и августе остались даты в диапазоне от 15 до 17, а 14 встречается дважды. Если бы день
рождения был 14-го, то Бернард после реплики Альфреда еще не мог бы дать точного ответа. Значит,
речь не о 14-ом. Остаются 16 июля, 15 августа и 17 августа.
Если бы Шерил сказала Альфреду, что родилась в августе, то после ответа Бернарда, Альфред не мог
бы точно узнать дату рождения — ведь целых 2 даты приходятся на август.
Значит, Шерил родилась 16 июля.
Ответ:
16 июля.
Эту задачку Конгу показала племянница друга. Она же разыграла телеведущего, сказав, что
головоломка предназначена для 10-летних школьников.
Дебаты о том, как решить «простую» задачку, развернулись нешуточные. Спустя 2 дня, когда
большинство участников сдались, выяснилось, что задача — олимпиадная, для 14-летних школьников.
Вернуться к
условию.
9. Танграм: ответ
Можно предварительно раскрасить элементы танграма и получится такой человечек:
Вернуться к условию.
Со всеми головоломками успешно справились? Великие математики и логики мира
гордились бы вами!
10 сложных математических задач | Самые сложные математические задачи с ответами
В 2019 году математики наконец решили математическую головоломку, которая десятилетиями ставила их в тупик. Это называется диофантовым уравнением, и его иногда называют «суммированием трех кубов»: найти x, y и z такие, что x³+y³+z³=k, для каждого k от одного до 100.
На поверхности, кажется легко. Можете ли вы придумать целые числа для x, y и z, чтобы x³+y³+z³=8? Конечно. Один из ответов: x = 1, y = -1 и z = 2. Но как насчет целых чисел для x, y и z, чтобы x³+y³+z³=42?
Это оказалось намного сложнее — например, никто не мог решить эти целые числа в течение 65 лет, пока суперкомпьютер, наконец, не нашел решение для 42. (Для протокола: x = -80538738812075974, y = 80435758145817515 , и z = 12602123297335631. Очевидно.)
В этом прелесть математики: на все всегда есть ответ, даже если на его поиск уйдут годы, десятилетия или даже столетия. Итак, вот еще девять чрезвычайно сложных математических задач, которые когда-то казались неразрешимыми, пока математики не нашли прорыв.
ПЛЮС:
1
Гипотеза Пуанкаре
Popular Science Monthly Volume 82 [общественное достояние]Wikimedia Commons
В 2000 году Математический институт Клэя, некоммерческая организация, занимающаяся «расширением и распространением математических знаний», попросила мир решить семь математических задач и предложила каждому миллион долларов. кто мог взломать хотя бы один. Сегодня они все еще не решены, за исключением гипотезы Пуанкаре.
Анри Пуанкаре был французским математиком, который на рубеже 20-го века проделал фундаментальную работу в том, что мы сейчас называем топологией. Вот идея: топологам нужны математические инструменты для различения абстрактных форм. 3», что, по сути, говорит: «Простейшая 4D-форма — это 4D-эквивалент сферы».
Все еще с нами?
Столетие спустя, в 2003 году, русский математик Григорий Перельман опубликовал доказательство гипотезы Пуанкаре на современном открытом математическом форуме arXiv. Доказательство Перельмана содержало несколько небольших пробелов и основывалось непосредственно на исследованиях американского математика Ричарда Гамильтона. Это было новаторским, но скромным.
После того, как математический мир потратил несколько лет на проверку деталей работы Перельмана, начались награждения. Перельману предложили Премию Тысячелетия в миллион долларов, а также Филдсовскую медаль, которую часто называют Нобелевской премией по математике. Перельман отверг оба. Он сказал, что его работа была на благо математики, а не на личную выгоду, а также что Гамильтон, заложивший основу для его доказательства, по крайней мере, заслуживает наград.
2
Великая теорема Ферма
Wikimedia Commons
Пьер де Ферма был французским юристом и математиком 17-го века. Математика, по-видимому, была для Ферма скорее хобби, и поэтому один из величайших математических умов в истории передал многие из своих теорем посредством случайной переписки. Он делал утверждения, не доказывая их, оставляя их для доказательства другим математикам спустя десятилетия или даже столетия. Самая сложная из них стала известна как Великая теорема Ферма.
Это просто написать. Существует множество троек целых чисел (x,y,z), удовлетворяющих условию x²+y²=z². Они известны как пифагорейские тройки, такие как (3,4,5) и (5,12,13). Теперь, любые трио (x,y,z) удовлетворяют условию x³+y³=z³? Ответ — нет, и это Великая теорема Ферма.
Ферма, как известно, написал Великую теорему от руки на полях учебника вместе с комментарием о том, что у него есть доказательство, но он не может поместить его на поля. На протяжении веков математический мир задавался вопросом, действительно ли Ферма на самом деле имел в виду действительное доказательство.
Перенесемся через 330 лет после смерти Ферма в 1995 год, когда британский математик сэр Эндрю Уайлс наконец решил одну из старейших открытых задач в истории. За свои усилия Уайлс был посвящен в рыцари королевой Елизаветой II и был награжден уникальной почетной табличкой вместо Филдсовской медали, поскольку он был чуть выше официального предельного возраста для получения Филдсовской медали.
Уайлсу удалось объединить новые исследования в самых разных областях математики, чтобы решить классический вопрос теории чисел Ферма. Одна из этих тем, эллиптические кривые, была совершенно не открыта во времена Ферма, что заставило многих поверить в то, что у Ферма никогда не было доказательства его Великой теоремы.
3
Классификация конечных простых групп.
Wikimedia Commons
От сборки кубика Рубика до доказательства факта обмена телами на Futurama , абстрактная алгебра имеет широкий спектр приложений. Алгебраические группы — это наборы, которые следуют нескольким основным свойствам, таким как наличие «элемента идентичности», который работает как добавление 0.
Группы могут быть конечными или бесконечными, и если вы хотите знать, как выглядят группы определенного размера n, это может стать очень сложным в зависимости от вашего выбора п .
Если n равно 2 или 3, эта группа может выглядеть только одним способом. Когда n достигает 4, есть две возможности. Естественно, математикам нужен был исчерпывающий список всех возможных групп любого заданного размера.
На завершение полного списка ушли десятилетия из-за трудностей с уверенностью в том, что он действительно полный. Одно дело описать, как выглядит бесконечное множество групп, но еще сложнее быть уверенным, что список охватывает все. Вероятно, величайший математический проект 20-го века, классификация конечных простых групп была организована гарвардским математиком Дэниелом Горенштейном, который в 1972 изложил чрезвычайно сложный план.
К 1985 году работа была почти завершена, но она занимала так много страниц и публикаций, что было немыслимо, чтобы один человек рецензировал ее. Часть за частью многие аспекты доказательства были в конечном счете проверены, и полнота классификации была подтверждена.
К 1990-м годам доказательство получило широкое признание. Последующие усилия были предприняты для упрощения титанического доказательства до более управляемого уровня, и этот проект все еще продолжается сегодня.
Возьмите любую карту и четыре карандаша. Можно раскрасить каждый штат (или страну) на карте, следуя одному правилу: штаты, имеющие общую границу, не окрашиваются в один и тот же цвет.
Тот факт, что любую карту можно раскрасить пятью цветами — теорема о пяти красках, — был доказан в XIX веке.век. Но сокращение этого числа до четырех заняло время до 1976 года.
Два математика из Университета Иллинойса, Урбана-Шампейн, Кеннет Аппель и Вольфганг Хакан, нашли способ свести доказательство к большому, конечному числу случаев. С помощью компьютера они тщательно проверили почти 2000 случаев и получили доказательства беспрецедентного стиля.
Доказательство Аппеля и Хакана, вероятно, спорное, поскольку оно было частично задумано в уме машины, в конечном итоге было принято большинством математиков. С тех пор доказательство стало гораздо более распространенным, если его часть была проверена компьютером, но Аппель и Хакан проложили путь.
5
(Независимость) гипотезы континуума
Wikimedia Commons
В конце 19 века немецкий математик по имени Георг Кантор поразил всех, выяснив, что бесконечности бывают разных размеров, называемых мощностями. Он доказал фундаментальные теоремы о количестве элементов, которые современные математики обычно изучают на уроках дискретной математики.
Кантор доказал, что множество действительных чисел больше, чем множество натуральных чисел, которое мы записываем как |ℝ|>|ℕ|. Было легко установить, что размер натуральных чисел, |ℕ|, является первым бесконечным размером; никакое бесконечное множество не меньше ℕ.
Настоящие числа больше, но являются ли они вторым бесконечным размером? Это оказалось гораздо более сложным вопросом, известным как гипотеза континуума (CH).
Если CH истинно, то |ℝ| является вторым бесконечным размером, и нет бесконечных множеств меньше ℝ, но больше ℕ. И если CH ложно, то между ними есть хотя бы один размер.
Так какой же ответ? Здесь дело принимает оборот.
CH доказал свою независимость относительно базовых аксиом математики. Оно может быть истинным, и логических противоречий не последует, но может быть и ложным, и логических противоречий не последует.
Это странное положение вещей, но не такое уж редкое в современной математике. Возможно, вы слышали об аксиоме выбора, еще одном независимом утверждении. Доказательство этого результата растянулось на десятилетия и, естественно, разделилось на две основные части: доказательство непротиворечивости CH и доказательство непротиворечивости отрицания CH.
Первая половина написана благодаря Курту Гёделю, легендарному австро-венгерскому логику. Его математическая конструкция 1938 года, известная как конструируемая Вселенная Гёделя, доказала совместимость CH с базовыми аксиомами и до сих пор является краеугольным камнем классов теории множеств. Вторая половина преследовалась еще два десятилетия, пока Пол Коэн, математик из Стэнфорда, не решил ее, изобретя целый метод доказательства в теории моделей, известный как «вынуждение».
Половины доказательства, полученные Гёделем и Коэном, требуют изучения теории множеств с высшим образованием, поэтому неудивительно, что эта уникальная история была эзотерической за пределами математических кругов.
6
Теоремы Гёделя о неполноте
Алехандро Маллеа/Из книги Герберта Эндертона «Математическое введение в логику». Помимо доказательств, Гёдель также любил доказывать, возможно ли доказательство . Его теоремы о неполноте часто понимают неправильно, так что у вас есть прекрасная возможность их прояснить.
Первая теорема Гёделя о неполноте утверждает, что в любом языке доказательств всегда есть недоказуемые утверждения. Всегда есть что-то истинное, что вы не можете доказать правдой. Можно понять (не математически строгую) версию рассуждения Гёделя, если хорошенько подумать. Так что пристегнитесь, вот оно: рассмотрите утверждение: «Это утверждение не может быть доказано».
Подумайте над каждым случаем, чтобы понять, почему это пример истинного, но недоказуемого утверждения. Если оно ложно, то и то, что оно говорит, ложно, и тогда можно доказать, что оно истинно, а это противоречиво, поэтому этот случай невозможен. С другой стороны, если бы у него было доказательство, то это доказательство доказывало бы его истинность… делая истинным то, что у него нет доказательств, что противоречиво, убивая это дело. Таким образом, мы логически остаемся со случаем, когда утверждение истинно, но не имеет доказательства. Да, у нас тоже голова кружится.
Но следуйте этому почти-но-не-совсем-парадоксальному трюку, и вы проиллюстрируете справедливость первой теоремы Гёделя о неполноте.
Вторая теорема Гёделя о неполноте так же странна. В нем говорится, что математические «формальные системы» не могут доказать свою непротиворечивость. Последовательная система — это та, которая не вызовет у вас никаких логических противоречий.
Вот как вы можете это представить. Представьте, что Аманда и Боб имеют в виду набор математических аксиом — базовых математических правил. Если Аманда может использовать свои аксиомы, чтобы доказать, что система аксиом Боба свободна от противоречий, то Боб не может использовать свои аксиомы, чтобы доказать, что система Аманды не приводит к противоречиям.
Поэтому, когда математики обсуждают наилучший выбор основных аксиом математики (это происходит гораздо чаще, чем вы можете себе представить), очень важно знать об этом явлении.
7
Теорема о простых числах
Пользователь:Dcoetzee [CC0]
Существует множество теорем о простых числах. Один из самых простых фактов — что существует бесконечно много простых чисел — можно даже очаровательно вписать в форму хайку.
Теорема о простых числах более тонкая; он описывает распределение простых чисел вдоль числовой прямой. Точнее, там говорится, что для натурального числа N число простых чисел меньше N приблизительно равно N/log(N)… с обычными статистическими тонкостями к слову «приблизительно».
Опираясь на идеи середины XIX века, два математика, Жак Адамар и Шарль Жан де ла Валле Пуссен, независимо друг от друга доказали теорему о простых числах в 1898 году. и упрощения. Но влияние теоремы только возросло.
Полезность теоремы о простых числах огромна. Современные компьютерные программы, работающие с простыми числами, полагаются на него. Это основа методов проверки простоты и всей связанной с этим криптологии. 92-4ac))/(2a), которое, возможно, было трудно запомнить в старшей школе, но вы должны признать, что это удобное решение в закрытой форме.
Теперь, если мы подойдем к ax³+bx²+cx+d=0, можно найти замкнутую форму для «x=», хотя она намного объемнее, чем квадратичная версия. Также возможно, хотя и некрасиво, сделать это для полиномов степени 4: ax⁴+bx³+cx²+dx+f=0.
Цель сделать это для многочленов любой степени была отмечена еще в 15 веке. Но начиная с 5-й степени закрытая форма невозможна. Написание форм, когда они возможны, — это одно, но как математики доказали, что это невозможно, начиная с 5?
Мир только начал осознавать гениальность французского математика Эвариста Галуа, когда он умер в возрасте 20 лет в 1832 году. Его жизнь включала в себя месяцы, проведенные в тюрьме, где он был наказан за свою политическую активность, написав остроумные, но необработанные математические ученым, и это закончилось роковой дуэлью.
Идеи Галуа были полностью поняты спустя десятилетия после его смерти, но в конечном итоге они превратились в целую теорию, которая теперь называется теорией Галуа. Основная теорема этой теории дает точные условия, когда многочлен можно «решить в радикалах», то есть он имеет замкнутую форму, подобную квадратичной формуле. Все полиномы до степени 4 удовлетворяют этим условиям, но начиная со степени 5 некоторые не удовлетворяют, поэтому нет общей формы для решения любой степени выше 4.
9
Трисекция угла
Сам [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)]Wikimedia Commons
Чтобы закончить, давайте вернемся в историю.
Древние греки задавались вопросом построения линий и форм в различных соотношениях, используя такие инструменты, как циркуль без опознавательных знаков и линейку. Если кто-то нарисует перед вами угол на листе бумаги и даст вам линейку без пометок, обычный циркуль и ручку, вы сможете провести линию, которая делит этот угол ровно пополам. Это быстрые четыре шага, хорошо проиллюстрированные вот так, и греки знали их две тысячи лет назад.
Что ускользнуло от них, так это разрезание угла на три части. Он оставался неуловимым буквально 15 столетий, с сотнями тщетных попыток найти сооружение. Оказывается, такая конструкция невозможна.
Современные студенты-математики изучают задачу о трисекции угла и способы доказательства ее невозможности на занятиях по теории Галуа. Но, учитывая вышеупомянутый период времени, который потребовался математическому миру для обработки работы Галуа, первое доказательство проблемы было сделано другим французским математиком, Пьером Ванцелем. Он опубликовал свою работу в 1837 году, через 16 лет после смерти Галуа, но за девять лет до того, как была опубликована большая часть работ Галуа.
В любом случае, их взгляды схожи, что превращает вопрос построения в вопрос о свойствах некоторых репрезентативных многочленов. С помощью этих методов стали доступны многие другие вопросы древнего строительства, что закрыло некоторые из старейших открытых математических вопросов в истории.
Так что, если вы когда-нибудь отправитесь в древнюю Грецию, вы можете сказать им, что их попытки решить проблему трисекции угла тщетны.
Дэйв Линклеттер
Дэйв Линклеттер — доктор философии.
Сложные математические задачи, от которых у вас закружится голова
Эти сложные математические задачи сложны, но они дадут вашему мозгу тренировку — и они действительно вознаграждают, когда вы решаете одну из них!
Усилители разума
Время проверить свой мозг!
Эти сложные математические задачи не являются простой арифметикой. Они бросят вам вызов посмотреть на «проблемы» по-другому и проверят вашу логику и навыки решения проблем, пока вы их решаете. И если математика не является вашей сильной стороной, наберитесь мужества — в большинстве этих сложных математических задач используются очень простые числа с простейшими операциями — сложением, вычитанием, умножением и делением. Что делает их сложной задачей, так это изучение проблемы, чтобы найти «хитрость» или закономерность и то, как числа соотносятся друг с другом. Другие требуют техники «заполнения пробелов», которая требует от вас использования метода проб и ошибок и работы в обратном направлении. Пора включить мозги в работу! Может быть, вы освежите в памяти эти простые математические трюки, о которых вам хотелось бы знать до того, как вы начнете.
Усилители разума
Легкая атлетика
Если каждый из этих бегунов преодолеет указанное количество клеток за одинаковое время, в какой пронумерованной точке все бегуны окажутся рядом друг с другом?
Растягиватели разума
Ответ: Космос 19
Поначалу кажется, что это займет целую вечность, но на самом деле все бегуны выстроятся в линию всего за шесть «ходов»! Составьте схему, указывающую, где будет находиться каждый бегун после каждого «хода». Чтобы понять это, все, что вам действительно нужно сделать, это добавить! Просто прибавьте количество делений, на которые продвигается каждый бегун — три, два, один и пять — к числу, на котором он уже находится, возвращаясь к ячейке 1 после 30. Конечно же, все они доберутся до ячейки 19.в то же время. В настроении для чего-то более сложного? Продолжайте или попробуйте эти сложные головоломки, которые поставят вас в тупик.
Усилители разума
Единицы и нули
Ниже вы увидите двоичное представление десятичных чисел от 1 до 7. Следуя образцу, какое двоичное представление используется для десятичного числа 12? Как только вы решите это, освежите некоторые числовые факты, о которых вы никогда не знали.
Усилители разума
Ответ: 1100
Если вы набрали пять цифр, значит, вы ошиблись (и это нормально, я так и сделал с первой попытки)! Что делает это сложным и отличается от большинства сложных математических задач, так это то, что это так не похоже на то, как мы привыкли смотреть на числа, особенно в последовательности. По сути, вы перебираете все числа, которые можете составить из , всего единиц и нулей, начиная с наименьшего (0, представленного четырьмя нулями) и увеличивая его. Но у вас всегда будет четыре цифры, поэтому, пока у вас не будет четырехзначного числа (1000), цифра (цифры) слева от старшего разряда будет нулем. Таким образом, вопрос дает вам 111 (записывается как 0111, что означает четыре цифры), и, поскольку он представляет 7, а вы пытаетесь достичь 12, просто пройдите через следующие самые большие числа, которые используют только 1 и 0. Так 8 будет 1000, 9будет 1001, 10 будет 1010, 11 будет 1011, а 12 будет 1100.
Усилители разума
Номинальная стоимость
Какой номер должен быть на нижней левой марке? (Подсказка: это однозначное число.)
Растягиватели разума
Ответ: 1
Многие из этих сложных математических задач не столько требуют сложных математических вычислений, сколько требуют определения взаимосвязей между группами чисел. В этом случае смотрите не на горизонтальные ряды марок, а на вертикальные пары марок. Число в разряде десятков верхней марки, деленное на число в разряде единиц верхней марки, равно числу на нижней марке (8, деленное на 2, равно 4 в крайней левой паре марок). Итак, для последней пары 2 разделить на 2 равно 1,9.0003
Усилители разума
Энергосбережение
Транспортная компания значительно сокращает количество потребляемой нефти, но насколько? Какое число должно быть под последним баррелем? Кроме того, попробуйте эти игры для мозга, которые улучшат ваши умственные способности.
Усилители разума
Ответ: 2
Хитрость — здесь вообще не нужны арифметические операции! И, к счастью, из-за того, что это какие-то дурацкие вычисления, с большими числами было бы неинтересно вычислять. Вместо этого ищите закономерности в самих числах. Представляется следующая закономерность: каждое число (за исключением первого, которое является произвольным) представляет собой цифры числа перед ним минус первая, перевернутые. Например, первое число 19.247. Отнимите первую цифру, 1, и переверните ее, и вы получите 7429, что, конечно же, является вторым числом. Число перед пустым местом состоит только из двух цифр, поэтому, когда вы удаляете первую, 4, у вас остается только 2. Не нужно «переворачивать» число только с одной цифрой, так что вот ваш ответ.
Усилители разума
Код сейфа
Какую цифру нужно ввести в поле со знаком вопроса, чтобы завершить код от сейфа? Вот подсказка, чтобы избавить вас от стресса: текст «Safe A08» внизу бессмысленен, поэтому не тратьте время на попытки выяснить, поможет ли это вам получить ответ!
Растягиватели разума
Ответ: 4
Вот еще одна вещь, которую вам нужно знать, чтобы получить этот ответ: только группы из четырех чисел, два сверху и два снизу, связаны друг с другом; например, целые верхняя и нижняя строки не являются последовательностью. Думайте об этом как о трех парах двузначных чисел.
Итак, что за шаблон? Что ж, числа в разряде десятков умножаются на два, чтобы получить число в разряде единиц 9.0030 другое двузначное число. Например, в первой паре вы умножаете 2 на два, чтобы получить 4 по диагонали от него, и 3, чтобы получить соответствующие 6. И последняя пара фактически отражает первую пару; вы также умножаете 2, чтобы получить 4!
Усилители разума
Суммы символов
Как сделать это уравнение точным, используя три из этих четырех математических символов: + – × ÷ (сложение, вычитание, умножение и деление)? ПРИМЕЧАНИЕ. Для этой задачи порядок операций не применяется; на самом деле вы будете выполнять каждую операцию слева направо (вам не нужно сначала умножать или делить и т. д.).
Усилители разума
Ответ: – , + , ÷
Вот правильное уравнение: 21 – 3 + 18 ÷ 6 = 6. Двадцать один минус 3 равно 18, затем прибавьте к этому 18, чтобы получить 36. Затем разделите это на 6, чтобы получить правильный ответ, 6! Если вы предпочитаете слова цифрам, попробуйте решить эти сложные словесные головоломки.
Усилители разума
Сложите их
Поместите эти бильярдные шары снаружи в правильные места соответствующих цветов, чтобы сумма каждого столбца, строки, 9Диагональ 0030 и равна 49. Пока вы размышляете над этим, попробуйте этот тест на определение цвета, который может пройти только 1 процент людей.
Усилители разума
Ответ:
Иногда сложные математические задачи решаются путем проб и ошибок и исключения неработающих возможностей; в этом смысле это немного похоже на судоку. Но в этом есть маленькая часть стратегии; например, для крайнего левого столбца и самой нижней строки у вас уже есть число, оканчивающееся на 3, поэтому вам нужно, чтобы сумма трех других чисел оканчивалась на 6. И занимаемся диагональю снизу вверх первый действительно поможет; не хватает только одного шарика, так что вы можете сразу понять, что это за пустое место. Вы также знаете, что вы не можете поставить шар 25 или 31 в любой ряд, столбец или диагональ с шаром 23; они немедленно сделают вашу сумму слишком большой.
Усилители разума
Музыка с цифрами
В этом математическом упражнении вы увидите, как быстро вы сможете решать эти несложные математические задачи, слушая любимую музыку. О, и постарайтесь не пользоваться калькулятором!
Растягиватели разума
Ответы:
Большинство из них — это простая математика или даже общеизвестная информация (четверть из 100)!
Усилители разума
Посчитайте
Для этого введите цифры от 1 до 9, используя каждый только один раз, чтобы сделать все вертикальные и горизонтальные уравнения правильными.
Растягиватели разума
Ответы:
Вот еще один, который, вероятно, требует некоторого времени и нескольких неверных предположений.
Усилители разума
Удар
Какие кегли нужно сбить, чтобы получить 100 очков?
Усилители разума
Ответ: 13, 39 и 48
Это сложный вопрос, потому что он не говорит вам, сколько кеглей вам нужно сбить, так что это может быть любая комбинация кеглей. Но это единственная комбинация, которая в сумме дает ровно 100! Проверьте свои визуальные способности, посмотрев, сможете ли вы идентифицировать эти предметы повседневного обихода по их крупным планам.
Усилители разума
Увеличить
Какими тремя числами (от 0 до 9) нужно заменить вопросительные знаки, чтобы ответ был максимально возможным? (Без повторяющихся номеров.)
Растягиватели разума
Ответ:
Наибольшее возможное решение этой математической задачи — 44418, и чтобы получить этот результат, вам нужно прибавить 128 к 79894, а затем вычесть 35604. Хотя эта задача может показаться ошеломляющей на первый взгляд, ответы действительно имеют смысл; вы хотите получить наибольшую возможную сумму, а затем вычесть из нее наименьшее возможное число. Если вам нужно отвлечься от цифр, разгадайте эти хитрые загадки, чтобы проверить свою сообразительность.
Усилители разума
Дневник
Во сколько последняя встреча?
Усилители разума
Ответ: 19.
50
Для этого ответа вы быстро заметите закономерность, если каждый раз будете складывать цифры; игнорировать десятичные точки. Цифры в первом «времени» в сумме дают 11; второй, 12; третий, 13; и, ну, теперь у вас есть очень простой шаблон. Итак, вы знаете, что цифры в пятом разе должны составлять в сумме 15. И когда вы их складываете… они уже делают! Поэтому вопросительный знак нужно заменить на 0, чтобы сумма оставалась равной 15. Знаете ли вы об этих уроках математики, которые вы действительно будете использовать в реальной жизни?
Усилители разума
То же самое
Просто сложив символы + – × ÷ √ (сложение, вычитание, умножение, деление и квадратный корень), сможете ли вы сделать все эти уравнения верными? Символы не обязательно должны быть там, где находятся многоточия; они могут быть и перед первым числом (хотя отрицательных чисел быть не может). И в каждом месте многоточия может быть более одного символа. Наконец, вам разрешено группировать пары операций вместе со скобками.
Растягиватели разума
Ответы:
Хорошо, да, возможно, это была самая сложная из этих сложных математических задач! Квадратные корни могут сделать вещи еще более запутанными, и требуется немалый ум и изобретательность, чтобы понять, где разместить эти скобки. Хотите отдохнуть от этих сложных математических задач? Получите смех от этих умных математических шуток.
Усилители разума
Собери
Какие блоки должны быть в ячейках А и В?
Растягиватели разума
Ответ: Блок 2 в пространстве A и блок 0 в пространстве B
Это одна из самых простых из этих сложных математических задач (и, честно говоря, хороший перерыв после последней задачи)! Вы можете заметить, что все полные горизонтальные строки и полных вертикальных столбцов в сумме дают 8. Затем вы точно знаете, какие числа вам нужны, чтобы неполные строки также равнялись 8. Посмотрите, как вы справитесь с этим тестом по математике для начальной школы.
Усилители разума
Блоки с цифрами
Какое число должно заменить вопросительный знак в нижней правой петле?
Усилители разума
Ответ: 9
И мы вернулись к действительно сложному! Число на каждой петле — это количество блоков, которые могут поместиться в середине. Это было очень сложно — точно так же, как этот «простой» математический вопрос для детей, который поставил Интернет в тупик.
Растягиватели разума
Место 100
Не выписывая каждую цифру, сможете ли вы определить, под какой буквой будет цифра 100?
Усилители разума
Ответ: Буква d
Я понял это, подумав о восьми столбцах, поэтому после восьми чисел новая строка снова начинается с буквы «а». Поэтому я подумал о числах, кратных десяти (поскольку 100 — это единица). Поскольку строки начинаются заново после восьми чисел, каждое число, кратное десяти, будет на две «буквы» после предыдущего числа, кратного десяти. Например, в таблице уже видно, что 10 стоит под буквой «б», а 20 — под буквой «д». Таким образом, 30 будет находиться под «f», 40 — под «h», 50 — под «b» и так далее.
Растягиватели разума
Это знак
Какое число должно стоять на нижнем правом знаке?
Растягиватели разума
Ответ: 11
В этом случае все, что вы делаете, это ставите знаки минус между верхним и вторым знаками и между вторым и третьим знаками, а затем знак равенства между третьим и нижним знаками. Итак, вы вычитаете, а затем вычитаете еще раз, чтобы получить нижние числа. Таким образом, в первом столбце вы выполняете 41 – 17 – 14, чтобы получить 10. (Вы также можете представить это как сложение второго и третьего знаков, а затем вычитание этого из первого знака.) В последнем столбце вы вычитаете 21. из 37, а затем вычтите из него 5, чтобы получить пропущенное число 11. Если вы можете решить их, попробуйте решить несколько хитрых математических загадок, которые могут решить только самые умные.
Первоначально опубликовано: 29 октября 2019 г.
Меган Джонс
Меган Джонс — помешанная на словах, которая пишет для RD.com с 2017 года. Вы можете найти ее авторство в материалах о грамматике, забавных фактах, значениях различных головокружительных слов и фраз и многом другом. Меган окончила Marist College со степенью бакалавра искусств по английскому языку в 2017 году; ее творческая научно-популярная работа «Предчувствие» была опубликована в весеннем номере литературного журнала «Angles» за 2017 год.
20 каверзных, но забавных вопросов по математике для начальной школы
Если вы не выросли инженером, банкиром или бухгалтером, то, скорее всего, математика в начальной и средней школе была проклятием вашего существования. Вы бы неделями неустанно готовились к этим дурацким стандартизированным тестам — и все же, наступая в день экзамена, вы все равно не имели бы ни малейшего представления о том, для чего нужны какие-либо уравнения или сложные математические задачи. Поверьте нам, мы поняли.
Хотя логика может привести вас к мысли, что ваши математические способности естественным образом улучшились с возрастом, к сожалению, реальность такова, что если вы не решаете задачи по алгебре и геометрии ежедневно, скорее всего, произойдет обратное. кейс.
Не верите нам? Затем испытайте свою мудрость в вычислении чисел с помощью этих хитрых математических вопросов, взятых прямо из школьных тестов и домашних заданий, и убедитесь в этом сами.
1. Вопрос: Какой номер парковочного места занимает автомобиль?
Эта сложная математическая задачка стала вирусной несколько лет назад после того, как появилась на вступительном экзамене в Гонконге… для шестилетних детей. Предположительно, у студентов было всего 20 секунд, чтобы решить задачу!
Ответ: 87.
Хотите верьте, хотите нет, но этот «математический» вопрос вообще не требует математики. Если вы перевернете изображение вверх ногами, то увидите, что имеете дело с простой числовой последовательностью.
2. Вопрос: Замените вопросительный знак в приведенной выше задаче соответствующим номером.
Эта проблема не должна быть слишком сложной для решения, если вы много играете в судоку.
Ответ: 6.
Все числа в каждой строке и столбце в сумме дают 15! (Кроме того, 6 — единственное число, не представленное среди чисел от 1 до 9..)
3. Вопрос: Найдите эквивалентное число.
Эта задача взята прямо из стандартного теста, проведенного в Нью-Йорке в 2014 году.
Ответ: 9.
Shutterstock
Простите, если вы не помните точно, как работают экспоненты. Чтобы решить эту задачу, вам просто нужно вычесть показатели степени (4-2) и решить для 3 2 , что расширяется до 3 x 3 и равняется 9.ae0fcc31ae342fd3a1346ebb1f342fcb
4. Вопрос: Сколько маленьких собак подписано участвовать в выставке собак?
Изображение через Imgur/zakiamon
Этот вопрос взят непосредственно из домашнего задания по математике второклассника. Угу.
Ответ: 42,5 собаки.
Чтобы вычислить, сколько маленьких собак участвует в соревнованиях, вы должны вычесть 36 из 49, а затем разделить результат, 13, на 2, чтобы получить 6,5 собак, или количество больших собак, участвующих в соревнованиях. Но вы еще не закончили! Затем вам нужно прибавить 6,5 к 36, чтобы получить количество соревнующихся маленьких собак, которое равно 42,5. Конечно, на самом деле половина собаки не может участвовать в выставках собак, но ради решения этой математической задачи давайте предположим, что это возможно.
5. Вопрос: Найдите площадь красного треугольника.
Изображение с YouTube
Этот вопрос использовался в Китае для выявления одаренных пятиклассников. Предположительно, некоторые из сообразительных студентов смогли решить это менее чем за одну минуту.
Ответ: 9.
Чтобы решить эту задачу, вам нужно понять, как работает площадь параллелограмма. Если вы уже знаете, как связаны площадь параллелограмма и площадь треугольника, то сложите 79 и 10, а затем вычтите 72 и 8, чтобы получить 9. должно иметь смысл, но если вы все еще запутались, посмотрите это видео на YouTube для более подробного объяснения.
6. Вопрос: Какой высоты стол?
Изображение с YouTube
YouTuber MindYourDecisions адаптировал этот умопомрачительный математический вопрос из похожего вопроса, найденного в домашнем задании ученика начальной школы в Китае.
Ответ: 150 см.
Изображение с YouTube
Поскольку одно измерение включает рост кошки и вычитает рост черепахи, а другое делает противоположное, вы можете просто вести себя так, как будто двух животных здесь нет. Поэтому все, что вам нужно сделать, это сложить два измерения — 170 см и 130 см — вместе и разделить их на 2, чтобы получить высоту стола, 150 см.
7. Вопрос: Если стоимость биты и бейсбольного мяча вместе взятых составляет 1,10 доллара, а бита стоит на 1 доллар больше, чем мяч, сколько стоит мяч?
Shutterstock
Эта задача с математической точки зрения очень похожа на одну из других в этом списке.
Ответ: 0,05 доллара США.
Вспомните задачу о собаках на выставке собак и используйте ту же логику для решения этой задачи. Все, что вам нужно сделать, это вычесть 1,00 доллара из 1,10 доллара, а затем разделить этот результат, 0,10 доллара, на 2, чтобы получить окончательный ответ, 0,05 доллара.
8. Вопрос: Когда у Шерил день рождения?
Изображение через Facebook/Kenneth Kong
Если вам трудно это прочитать, см. здесь:
«Альберт и Бернард только что подружились с Шерил, и они хотят знать, когда у нее день рождения. Шерил дает им список из 10 возможных Даты.
мая 15 мая 16 мая 19
июня 17 июня 18
14 июля 16
августа 15 августа 17 августа
Затем Шерил рассказывает Альберту и Бернарду отдельно в месяц и день своего дня рождения соответственно.0003
Альберт: Я не знаю, когда день рождения Шерил, но я знаю, что Бернард тоже не знает.
Бернард: Сначала я не знал, когда день рождения Шерил, но теперь я знаю.
Альберт: Тогда я также знаю, когда у Шерил день рождения.
Итак, когда у Шерил день рождения?»
Непонятно, почему Шерил не могла просто сказать Альберту и Бернарду месяц и день своего рождения, но это не имеет отношения к решению этой проблемы.
Ответ: 16 июля.
Запутался о том, как можно найти какой-либо ответ на этот вопрос? Не волнуйтесь, так было в большинстве стран мира, когда несколько лет назад этот вопрос, взятый из олимпиады по математике среди школьников Сингапура и Азии, стал вирусным. New York Times шаг за шагом объясняет, как добраться до 16 июля, и вы можете прочитать их подробный вывод здесь.
9. Вопрос: Найдите пропущенную букву.
Изображение из Facebook/The Holderness Family
Это взято из домашнего задания первоклассника .
Ответ: пропущена буква J.
Если сложить вместе значения, указанные для S, B и G, сумма получится равной 40, а добавление пропущенной буквы J (которая имеет значение 14) дает сумма других диагоналей такая же.
10. Вопрос: Решите уравнение.
Изображение с YouTube
Эта задача может показаться простой, но удивительное количество взрослых не могут решить ее правильно.
Ответ: 1.
Начните с решения части уравнения, относящейся к делению. Для этого, если вы забыли, вам нужно перевернуть дробь и перейти от деления к умножению, получив таким образом 3 x 3 = 9. Теперь у вас есть 9 – 9 + 1, и оттуда вы можете просто работать слева направо. вправо и получите окончательный ответ: 1.
11. Вопрос: Где следует провести линию, чтобы приведенное ниже уравнение было точным?
5 + 5 + 5 + 5 = 555.
Ответ: Над знаком «+» следует провести черту.
Когда вы проводите наклонную линию в верхнем левом квадранте знака «+», она становится цифрой 4, и таким образом уравнение принимает вид 5 + 545 + 5 = 555.
12. Вопрос: Решите незаконченное уравнение.
Попробуйте выяснить, что общего у всех уравнений.
Answer: 4 = 256.
The formula used in each equation is 4 x = Y. So, 4 1 = 4, 4 2 = 16, 4 3 = 64 и 4 4 = 256.
13. Вопрос: Сколько треугольников на изображении выше?
Когда Best Life впервые написали об этом обманчивом вопросе, нам пришлось просить математика объяснить ответ!
Ответ: 18.
Некоторых людей смущают треугольники, спрятанные внутри треугольников, а другие забывают включить гигантский треугольник, в котором заключены все остальные. В любом случае, очень немногим людям — даже учителям математики — удалось найти правильный ответ на эту проблему. А чтобы получить дополнительные вопросы, которые проверят ваше предыдущее образование, ознакомьтесь с этими 30 вопросами, которые вам нужно будет ответить на высший балл, чтобы сдать экзамен по географии в 6-м классе.
14. Вопрос: Добавьте 8,563 и 4,8292.
Сложить два десятичных знака проще, чем кажется.
Ответ: 13.3922.
Пусть вас не смущает тот факт, что 8.563 имеет меньше номеров, чем 4.8292. Все, что вам нужно сделать, это добавить 0 в конце 8,563, а затем добавить, как обычно.
15. Вопрос: На озере есть кувшинки. Каждый день заплата удваивается в размере…
Shutterstock
… Если заплата покроет все озеро за 48 дней, сколько времени потребуется, чтобы заплата покрыла половину озера?
Ответ: 47 дней.
Большинство людей автоматически предполагают, что половина озера будет покрыта за половину времени, но это предположение неверно. Поскольку участок площадок удваивается в размере каждый день, озеро будет покрыто наполовину всего за один день до того, как оно покроется полностью.
16. Вопрос: Сколько футов в миле?
Эта задачка для начальной школы требует не столько решения задач, сколько запоминания.
Ответ: 5280.
Это был один из вопросов, представленных в популярном шоу Вы умнее пятиклассника?
17.
Вопрос: При каком значении «x» приведенное ниже уравнение верно? Shutterstock
-15 + (-5x) = 0
Ответ: -3.
Вам простительно думать, что ответ равен 3. Однако, поскольку число рядом с x отрицательное, нам нужно, чтобы x также было отрицательным, чтобы получить 0. Следовательно, x должно быть -3.
18. Вопрос: Сколько 1,92 разделить на 3?
Возможно, вам придется попросить помощи у детей.
Ответ: 0,64.
Чтобы решить эту, казалось бы, простую задачу, нужно убрать десятичную дробь из числа 1,92 и вести себя так, будто ее нет. После того, как вы разделили 192 на 3, чтобы получить 64, вы можете вернуть десятичную запятую на место и получить окончательный ответ 0,64.
19. Вопрос: Решите приведенное выше математическое уравнение.
Изображение с YouTube
Не забывайте о PEMDAS!
Ответ: 9.
Используя PEMDAS (аббревиатура, указывающая порядок, в котором вы решаете: «круглые скобки, показатели степени, умножение, деление, сложение, вычитание»), вы сначала должны решить сложение внутри скобок (1 + 2 = 3), и оттуда закончите уравнение, как оно написано слева направо.
20. Вопрос: Сколько здесь зомби?
Чтобы найти ответ на этот последний вопрос, нужно использовать дроби.
Ответ: 34.
Поскольку мы знаем, что на каждых трех человек приходится два зомби и что 2 + 3 = 5, мы можем разделить 85 на 5, чтобы вычислить, что всего существует 17 групп людей и зомби. Отсюда мы можем умножить 17 на 2 и 3 и узнать, что существует 34 зомби и 51 человек соответственно. Не так уж плохо, верно?
Чтобы узнать больше удивительных секретов о том, как прожить свою лучшую жизнь, нажмите здесь , чтобы подписаться на нас в Instagram!
7 самых сложных математических задач в мире (нерешенных)
Сложная математика трудна и подробна. И сложные математические задачи, несомненно, являются самыми сложными математическими задачами. Многие из которых остаются нерешенными.
Немецкий математик Георг Кантор выяснил, что бесконечность может быть разной величины, и некоторые бесконечные множества содержат больше элементов, чем другие:
Математики продолжают открывать все большие и большие числа или размеры, известные как Большие кардиналы. Таким образом, процесс идет так, что определение кардинала достигается до тех пор, пока кто-то не докажет, что другой кардинал больше, чем все другие известные кардиналы. Затем, в зависимости от их доказательства, это становится новым наибольшим кардиналом.
На протяжении всего прошлого века известные крупные кардиналы неуклонно продвигались вперед. Хотя кажется, что вершина большой количественной иерархии уже видна, многие вопросы о том, насколько большим будет это окончательное большое кардинальное число, остаются открытыми.
ПРОВЕРКА: 10 необъяснимых древних артефактов со всего мира
6. Задача о распутывании
На сегодняшний день простейшая версия задачи о распутывании решена, но полная версия остается нерешенной. Основа этой задачи вытекает из математической темы Knot Theory:
Существующий алгоритм может распутывать узлы любой сложности, но когда узлы становятся более сложными, алгоритмы начинают решать невероятно много времени.
Итак, что еще предстоит увидеть, так это то, что если кто-то сможет разработать алгоритм, способный распутывать любое количество узлов за так называемое полиномиальное время, это, наконец, решит проблему распутывания раз и навсегда.
(Впрочем, при этом кто-то мог даже доказать, что эта задача неразрешима).
5. Задача с числом поцелуев
В пятерку самых сложных математических задач входит задача с числом поцелуев:
Задача с числом поцелуев определяет следующее: когда в области находится множество сфер, каждая сфера считается есть число поцелуев, которое является числом других сфер, с которыми оно соприкасается.
Например, если вы касаетесь шести соседних сфер, то число поцелуев равно шести.
У упакованной группы сфер будет среднее число поцелуев, что поможет описать ситуацию с точки зрения математики. Однако именно тогда, когда проблема пересекает три измерения или большие числа, проблемы поцелуев остаются нерешенными.
CHECK OUT: 7 самых ценных иностранных монет: от Европы до Африки
4. Гипотеза Римана
Одной из наиболее важных открытых проблем в математике является гипотеза Римана. За ее решение даже предусмотрена награда в миллион долларов:
(верно, это одна из тех математических задач на миллион долларов, о которых вы наверняка слышали).
Гипотеза Римана фокусируется на том, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана находятся в действительной части 1/2.
В терминах комплексных чисел это означает, что функция имеет определенное поведение вдоль вертикальной линии, и гипотеза утверждает, что это поведение будет продолжаться вдоль этой линии бесконечно.
Понимание простых чисел значительно расширилось за последние 160 лет, но гипотеза Римана до сих пор не решена.
3. Гипотеза о простых числах-близнецах
Гипотеза о простых числах-близнецах — одна из самых известных нерешенных математических задач:
Это одна из многих задач теории чисел, связанных с простыми числами. Когда два простых числа имеют разность в два, они называются простыми числами-близнецами.
Например, 11 и 13 — простые числа-близнецы, как и 59.9 и 601.
Теория чисел утверждает, что существует бесконечное количество простых чисел, поэтому должно быть верным, что существует бесконечно много простых чисел-близнецов. Соответственно, гипотеза о простых числах-близнецах предсказывает, что существует бесконечное число простых чисел-близнецов.
Хотя математики добились прогресса в решении этой проблемы за последнее десятилетие, они все еще далеки от ее решения. Это делает ее одной из самых сложных математических задач в мире.
ПРОВЕРКА: 5 самых странных дней в истории человечества
2. Гипотеза Гольдбаха
Гипотеза Гольдбаха остается одной из самых сложных математических задач на сегодняшний день:
Проще говоря, Гипотеза Гольдбаха утверждает, что каждое четное число, большее двух, является суммой двух простых чисел. Хотя компьютеры проверили гипотезу для нескольких чисел, доказательство все еще необходимо для всех натуральных чисел.
Многие считают, что гипотеза Гольдбаха является преуменьшением для очень больших чисел. Тем не менее, эта проблема долгое время продолжала озадачивать математиков.
Этот математический вопрос 82-летней давности продолжает смущать математиков всего мира:
Хотя в сентябре 2019 года Теренс Тао сделал некоторые прорывы в решении этой проблемы, тем не менее, она до сих пор остается нерешенной. .
Гипотеза Коллатца касается функции f(n), которая учитывает четные числа и делит их пополам. В то же время нечетные числа утраиваются и прибавляются к 1. Гипотеза утверждает, что это верно для всех натуральных чисел.
Гипотеза происходит от математической дисциплины, известной как Динамические Системы, что означает изучение ситуаций, которые меняются с течением времени каким-то полупредсказуемым образом.
Читайте также: 5 изобретений Николы Теслы, которые навсегда изменили мир
сложных математических задач, которые стали вирусными в 2018 году
Значок поискаУвеличительное стекло.
Это означает: «Нажмите, чтобы выполнить поиск».
Значок шевронаОн указывает на расширяемый раздел или меню, а иногда и на предыдущие/следующие параметры навигации.ДОМАШНЯЯ СТРАНИЦА
Какие числа обозначают шарики и конусы мороженого?
Предоставлено Гергели Дудасом
Люди с переменным успехом пытались решить вирусные математические задачи в этом году.
Некоторым родителям было трудно отвечать на домашние вопросы своих детей.
Британский математик представил решение 160-летней математической задачи, которая может сделать его миллионером.
Кажется, у Интернета отношения любви и ненависти к математике.
В этом году люди не могли насытиться математическими вопросами, поскольку они обсуждали ответы в темах Твиттера и на родительских форумах. Но они также сетовали на то, как сильно сложные проблемы причиняют боль их мозгам.
Вот 11 математических задач, головоломок и вопросов SAT, которые стали вирусными в этом году.
Только 2% людей смогли разгадать эту загадку менее чем за 60 секунд.
Сможете ли вы определить, какие числа пропущены?
ИНСАЙДЕР
Адам Спенсер, комик, математик и автор «Игр с числами», придумал загадку, которую, по данным «Ридерз дайджест», смогли решить только 2% людей за одну минуту.
Этот вопрос по китайской математике для пятиклассников поставил в тупик взрослых.
Вопрос был к пятиклассникам.
Вейбо
Вопрос по математике для пятиклассников в китайском районе Шуньцин поставил в тупик взрослых по всему миру.
Задача переводится так: «Если на борту корабля 26 овец и 10 коз, сколько лет капитану корабля?»
Каким образом количество груза на корабле должно помочь вам выяснить, сколько лет капитану?
Интернет много говорил об этом, казалось бы, невозможном математическом вопросе, который стал популярной темой в Твиттере.
После того, как тестовый вопрос стал вирусным, Департамент образования Шуньцин опубликовал заявление, в котором говорилось, что вопрос предназначен для оценки «критической осведомленности и способности мыслить независимо», согласно переводу BBC.
Эта задача по математике для второго класса привела Интернет в замешательство.
Эту задачу должны решить второклассники.
ИНСАЙДЕР
Вопрос: «Для участия в выставке зарегистрировалось 49 собак. Маленьких собак заявлено на 36 больше, чем крупных собак. Сколько маленьких собак заявлено для участия в соревнованиях?»
Популярное рассуждение состояло в том, что если всего 49 собак, а маленьких собак на 36 больше, чем больших, то из 49 нужно вычесть 36. По этой мере есть 13 больших собак и 36 маленьких собак, а это означает, что ответ таков: 36. Но учитывая, что это означает, что маленьких собак на 23 больше, чем больших, это неверно.
Учитель, задавший вопрос, позже сказал Popsugar: «Округ неправильно сформулировал вопрос». Но в нынешнем виде ответ равен 42,5: 49 — 36 = 13, 13/2 = 6,5 и 36 + 6,5 = 42,5. Судя по всему, на выставке собак соревновалась половина собаки.
Люди не смогли сойтись в ответе на вопрос о купле-продаже лошадей.
Сколько денег он заработал?
ПириБрикс
Пользователь Mumsnet PeerieBreeks поделился загадкой на сайте для родителей, где она собрала почти 500 комментариев, а другие пользователи обсуждали ответ.
Вот вопрос: «Человек покупает лошадь за 60 долларов. Он продает лошадь за 70 долларов. Затем он покупает лошадь обратно за 80 долларов. И снова продает лошадь за 90 долларов. заработать или проиграть? Или он безубыточен?»
Ответы в ветке Mumsnet варьировались от получения 10, 20 и 30 долларов до безубыточности. Итак, каково решение?
Кажется, людей сбивает с толку тот факт, что мужчина продает лошадь за 70 долларов, а затем покупает ее обратно за 80 долларов, создавая впечатление, что он потратил на 10 долларов больше. Но правильный способ решить эту проблему состоит в том, чтобы рассматривать две транзакции как отдельные: -60 + 70 = 10 и -80 + 90 = 10.
Человек зарабатывает 10 долларов с каждой продажи, следовательно, он зарабатывает в общей сложности 20 долларов.
Автор Эд Саутхолл поделился в Твиттере математической задачей, которую некоторым людям удалось решить правильно.
Можете ли вы решить это?
Solvemymaths/Twitter
Эд Саутхолл, автор книги «Геометрические закуски», поделился фотографией розового треугольника внутри квадрата и предложил людям выяснить, какая часть квадрата закрашена розовым цветом. Некоторые пользователи Twitter сразу же сдались, но другие приняли вызов.
По словам Энди Кирса, корреспондента Business Insider, ключом к решению проблемы является высота розового треугольника.
Площадь треугольника равна 1/2 (основание х высота). Если мы предположим, что квадрат представляет собой единицу 1 x 1, мы увидим, что основание розового треугольника равно 1, длине квадрата. Все, что нам нужно выяснить, это высота.
«Главная хитрость в том, что маленький треугольник наверху похож на розовый треугольник, а это значит, что маленький треугольник — это просто уменьшенная версия розового треугольника», — сказал Кирш.
«Свойство подобных треугольников состоит в том, что отношение высот треугольников будет таким же, как отношение их оснований», — сказал он. «Поскольку основание розового треугольника в два раза больше основания маленького треугольника, его высота также в два раза больше высоты маленького треугольника. Но мы знаем, что высота маленького треугольника плюс высота розового треугольника равна 1, значит, высота розового треугольника равна 2/3. . Подключите это, и мы получим площадь = 1/2 x основание x высота = 1/2 x 1 x 2/3 = 1/3».
Саутхолл подтвердил, что ответ действительно равен 1/3.
Математическая задача, предназначенная для 8-летних детей, стала вирусной после того, как родители не смогли ее решить.
Этот вопрос был слишком сложным для родителей.
Помните о своих решениях/YouTube
Пользователь Mumsnet lucysmam обратился в Интернет за помощью с заданием по математике для своей дочери.
Задача звучит так:
«На берегу три маяка.
Первый свет горит 3 секунды, затем гаснет на 3 секунды.
Второй свет горит 4 секунды, затем гаснет на 4 секунды
Третий индикатор горит 5 секунд, затем выключается на 5 секунд
Все три индикатора только что загорелись вместе
1) Когда в первый раз все три индикатора будут выключены одновременно №
2) Когда в следующий раз все три индикатора загорятся одновременно?»
К счастью, математический гений YouTube Преш Талвалкар предложил объяснение на своем канале MindYourDecisions.
Согласно Талвалкару, самый простой способ Ответ на первый вопрос о том, когда погаснут все огни, состоит в том, чтобы наметить интервалы для каждого маяка и посмотреть, где перекрываются их «выключенные» участки. второй свет все еще не горит.
Чтобы определить, когда загорятся все лампочки одновременно, нужно найти наименьшее общее кратное интервалов, когда загорятся лампочки. Ответ на этот вопрос заключается в том, что все маяки зажгутся вместе через 120 секунд или две минуты.
Для получения более подробной информации нажмите здесь.
В сложной математической задаче, созданной Гергели Дудасом, вместо переменных использовались рожки мороженого.
Какие числа обозначают шарики и конусы мороженого?
Предоставлено Гергели Дудасом
Художник Гергели Дудас, известный своими хитрыми головоломками со скрытыми предметами, поделился на своей странице в Facebook математической задачей, которую он проиллюстрировал конусами мороженого.
Головоломка состоит из четырех математических уравнений, каждое из которых складывает или умножает числовую сумму или произведение. Однако вместо таких переменных, как x или y, головоломка заменяет рожки мороженого, которые либо пусты, либо имеют шарики белого мороженого, розового мороженого или того и другого.
Чтобы решить головоломку, вам нужно выяснить, какое число обозначают пустые рожки для мороженого, белые и розовые шарики для мороженого.
Ответ заключается в том, что пустой рожок для мороженого представляет цифру три, белая ложка мороженого представляет цифру два, а розовая ложка мороженого представляет цифру один.
В ветке сложных математических вопросов SAT на Quora был один человек, которого назвали «самой серьезной тестовой задачей».
Что такое п/н?
Помните о своих решениях/YouTube
В ветке Quora, посвящённой самым сложным математическим задачам SAT, один вопрос был назван «самой сложной тестовой задачей».
Он гласит:
«В классе из учащихся из среднее (среднее арифметическое) баллов за тест равно 70.
равно 92.
Если объединить баллы двух классов, среднее значение тестов равно 86.
Каково значение p / n ? имел средний балл 70. Это на 16 баллов ниже среднего балла 86. Другими словами, 86 — 70 = 16. Поскольку в классе p учеников, разница со средним значением составляет 16 p .
Второй класс имел средний балл 92. Это на 6 баллов больше, чем в среднем 86. Другими словами, 9 баллов.2 — 86 = 6. В этом классе n учеников, поэтому разница со средним значением составляет 6 n .
Поскольку эти классы усредняются вместе — как говорится в задаче, «когда баллы двух классов суммируются», — дефицит баллов должен быть равен избытку баллов. Следовательно, 16 p равно 6 n .
Превратив это в уравнение, мы можем легко вычислить, что такое p / n :
16 p = 6 n
p/n = 6/16 или 3/8.
Значок сделкиЗначок в виде молнии.
Продолжай читать
LoadingЧто-то загружается.
Функции
Математика
Головоломки
Подробнее…
Более 35 сложных математических задач и задач для будущих гениев
Никто не оставит равнодушным сложную математическую задачу с начальной строкой: «67 человек едут на запад со скоростью 45 миль в час». Эти словесные уравнения имеют тенденцию либо волновать нас, либо внушать страх. В то время как мы все без усилий сталкиваемся с ежедневными встречами с простой арифметикой, иногда математические загадки и задачи со словами останавливают нас на пути. Часто они представляют собой сложное и восхитительное сочетание абстрактного и реального мира, поэтому они идеально подходят для детей.
Чтобы решить математическую загадку, дети должны преобразовать несколько предложений о реальном сценарии в правильную комбинацию математических уравнений. Используя логику, творческое решение задач и здравый смысл, дети могут разгадать любой код, включая математические загадки. Несмотря на сложность, более сложные из них особенно доставляют удовольствие детям (и, будем откровенны, взрослым).
Хорошая новость заключается в том, что скрыть сложное уравнение за веселой и увлекательной загадкой — лучший способ заинтересовать вашего ребенка математикой задолго до того, как он столкнется с большим разрывом в восьмом классе, вызванным квадратичной формулой. Эти хитрые математические загадки развлекают детей, развивая их логику и математические навыки. Скорее всего, вы тоже чему-то научитесь.
Лучшие математические загадки для детей
1. Загадка: Если есть четыре яблока, и вы уберете три, сколько у вас останется? / Ответ: Ты взял три яблока, значит, у тебя их три!
2. Загадка : Бабушка, две мамы и две дочери вместе пошли на бейсбольный матч и купили по одному билету. Сколько всего билетов они купили? / Ответ : Три билета / Объяснение: Бабушка тоже мать, а мать тоже дочь.
3. Загадка: Яйца стоят 12 центов за дюжину. Сколько яиц можно получить за доллар? / Ответ: 100 яиц по пенни каждое
4. Загадка: Как сложить восемь четверок, чтобы в сумме получилось 500? / Ответ: 444 + 44 + 4 + 4 + 4 = 500
5. Загадка: Если семь человек встречаются друг с другом и каждый пожимает друг другу руку только один раз, сколько рукопожатий произошло? / Ответ: 21
Загадки по математике для средней школы
1. Загадка: Поезд длиной 300 футов движется со скоростью 300 футов в минуту и должен пройти через туннель длиной 300 футов. За какое время поезд проедет тоннель? / Ответ: Две минуты. Передней части поезда требуется одна минута, а остальной части поезда требуется две минуты, чтобы пройти туннель.
2. Загадка: Мобильный телефон и чехол для телефона стоят в общей сложности 110 долларов. Сотовый телефон стоит на 100 долларов больше, чем чехол для телефона. Сколько стоил мобильник? / Ответ: 105 долларов (не 110 долларов)
3. Загадка: Роберт и Дэвид сыграли друг с другом несколько матчей в гольф за неделю. На каждом матче они играли за пиццу, но до конца недели пиццы не покупали. Если у Роберта и Дэвида было одинаковое количество побед в любое время, эти пиццы отменялись. Роберт выиграл четыре матча (но ни одной пиццы), а Дэвид выиграл три пиццы. Сколько раундов в гольф было сыграно? / Ответ: 11 / Объяснение: Дэвид выиграл семь матчей — четыре, чтобы свести на нет четыре победы Роберта, и еще три, чтобы выиграть пиццу.
4. Загадка: Я трехзначное число. Моя вторая цифра в четыре раза больше, чем третья цифра. Моя первая цифра на три меньше моей второй цифры. Кто я? / Ответ: 141
5. Загадка: Я прибавляю пять к девяти и получаю два. Ответ правильный, но как? / Ответ: Когда будет 9 часов утра, прибавьте к этому пять часов, и вы получите 2 часа дня.
6. Загадка: Половина — это треть. Что это? / Ответ: 1 1/2
7. Загадка: Когда Мигелю было 6 лет, его младшая сестра Лейла была вдвое моложе его. Если Мигелю сегодня 40 лет, то сколько лет Лейле? / Ответ: Ей 37 лет.
8. Загадка: Тома попросили закрасить числа за пределами 100 квартир, а это значит, что ему нужно будет закрасить числа от 1 до 100. Сколько раз ему придется закрасить число восемь? / Ответ: 20 раз / Объяснение: (8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 98)
9. Загадка: Что можно поставить между семеркой и восьмеркой так, чтобы результат был больше семерки, но меньше восьмерки? / Ответ: Десятичное число, потому что 7,8 больше семи, но меньше восьми.
10. Загадка: «Сколько стоит этот мешок картошки?» — спросил мужчина. «Тридцать два фунта разделить на половину собственного веса», — сказал бакалейщик. Сколько весил картофель? / Ответ: 8 фунтов
11. Загадка: Когда Лизе было 6 лет, ее сестра Люси была вдвое моложе ее. Если Лизе сегодня 40 лет, то сколько лет Люси? / Ответ: 37 / Пояснение: Люси на три года младше Лизы.
12. Загадка: Вам даны три положительных числа. Вы можете сложить эти числа и умножить их вместе. Результат, который вы получите, будет таким же. Какие числа? / Ответ: Раз, два и три.
Математические загадки о животных
1. Загадка: В зоопарке 100 пар собак; у каждой собаки рождается пара малышей. К сожалению, 23 собаки не выжили. Сколько всего собак осталось? / Ответ: 977 собак / Объяснение: 100 х 2 = 200; 200 + 800 = 1000; 1000 – 23 = 977
2. Загадка: Если полторы курицы снесут полтора яйца за полтора дня, сколько яиц снесут полдюжины кур за полдюжины дней? / Ответ: Две дюжины
3. Загадка: Леон работает в аквариуме. Когда он пытается поместить каждую черепаху в отдельный аквариум, у него на одну черепаху слишком много. Но если он поставит по две черепахи на один аквариум, то у него будет на один танк слишком много. Сколько черепах и сколько танков у Леона? / Ответ: У него три танка и четыре черепахи.
4. Загадка: Утке дали 9 долларов, пауку дали 36 долларов, а пчеле дали 27 долларов. Основываясь на этой информации, сколько денег дадут кошке? / Ответ: 18 долларов (4,50 доллара за ногу)
5. Загадка: Если вы покупаете петуха, чтобы он нес яйца, и рассчитываете получать три яйца каждый день на завтрак, сколько яиц у вас будет через три недели? / Ответ: Нет. Петухи не несут яиц.
6. Загадка: У фермера на земле 19 овец. Однажды налетает сильный шторм, и все, кроме семерых, убегают. Сколько овец осталось у фермера? / Ответ: Семь. Все, кроме семи, убежали.
Забавные математические загадки
1. Загадка: Группа студентов стояла под палящим солнцем лицом прямо на запад, маршируя мимо мероприятия. Вождь крикнул им: направо! О повороте! Левый поворот! В конце этих команд, в каком направлении теперь смотрят ученики? / Ответ: Восток / Объяснение: Они повернутся на 90 градусов при повороте направо, затем на 180 градусов при развороте и, наконец, на 90 градусов при повороте налево. Таким образом, студенты теперь смотрят на восток.
2. Загадка: Что тяжелее: 16 унций газировки или фунт чистого золота? / Ответ: Ни то, ни другое. Они оба весят одинаково!
3. Загадка: Во время отправки Том может поместить в коробку 10 маленьких коробок или восемь больших коробок. Всего было отправлено 96 коробок одной партией. Маленьких ящиков было меньше, чем больших. Каково общее количество коробок, которые он отгрузил? / Ответ: 11 коробок / Объяснение: Четыре маленьких коробки (410 = 40 коробок) + семь больших коробок (78 = 56 коробок). Итак, 96 коробок и всего 11 коробок.
4. Загадка: Какое максимальное количество раз можно вычесть пять из 25? / Ответ: Только один раз. Это потому, что когда вы вычитаете пять в первый раз, 25 становится 20, затем 15 и так далее.
5. Загадка: Общая стоимость пары туфель и худи составляет 150 долларов. Толстовка стоила на 100 долларов больше, чем пара туфель. Сколько стоит каждый предмет? / Ответ: Толстовка стоит 125 долларов, а туфли — 25 долларов.
6. Загадка: У вас есть две монеты США общей стоимостью 30 центов. Один из них не пятак. Какие две монеты? / Ответ: Одна четверть, а одна пятак.
7. Загадка: Я трехзначное число. Моя цифра десятков на шесть больше, чем моя цифра единиц. Моя цифра сотен на восемь меньше моей цифры десятков. Какой я номер? / Ответ: 193
8. Загадка: Мужчина вдвое старше своей младшей сестры. Он также вдвое моложе своего отца. Через 50 лет возраст его сестры станет вдвое меньше возраста их отца. Сколько лет мужчине сейчас? / Ответ: 50 лет
8. Загадка: Если четыре человека могут построить четыре стола за четыре часа, сколько восемь человек могут построить за восемь часов? / Ответ : 16 столов
9. Загадка : В Далласе есть магазин одежды. Владелец сделал свой собственный метод ценообразования предметов. Жилет стоит 20 долларов, носки — 25 долларов, галстук — 15 долларов, а блузка — 30 долларов. Используя этот метод, сколько будет стоить пара нижнего белья? / Ответ: $45 / Объяснение: Метод ценообразования заключается в взимании 5 долларов за каждую букву, необходимую для написания элемента.
10. Загадка: Если вы идете в кино и платите, дешевле будет сводить одного друга в кино дважды или двух друзей в кино одновременно? / Ответ: Дешевле взять двух друзей одновременно. / Объяснение: В этом случае вы покупаете только три билета, тогда как если вы берете одного и того же друга дважды, вы покупаете четыре билета.
11. Загадка: Маленький мальчик ходит по магазинам и покупает 12 помидоров. По дороге домой все, кроме девяти, раздавлены и раздавлены. Сколько помидоров осталось в хорошем состоянии? / Ответ: Девять помидоров.
Вещественное число | это… Что такое Вещественное число?
Веще́ственное, или действи́тельное число[1] — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений [2].
Числовая прямая
Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами.
Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.
Понятие вещественного числа прошло долгий путь становления. Ещё в Древней Греции в школе Пифагора, которая в основу всего ставила целые числа и их отношения, было открыто существование несоизмеримых величин (несоизмеримость стороны и диагонали квадрата), то есть в современной терминологии — чисел, не являющихся рациональными. Вслед за этим Евдоксом Книдским была предпринята попытка построить общую теорию числа, включавшую несоизмеримые величины. После этого, на протяжении более двух тысяч лет, никто не ощущал необходимости в точном определении понятия вещественного числа, несмотря на постепенное расширение этого понятия[3]. Лишь во второй половине XIX века, когда развитие математического анализа потребовало перестройки его основ на новом, более высоком уровне строгости, в работах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда, Г. Кантора, Э. Гейне, Ш. Мере[3] была создана строгая теория вещественных чисел.
С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.
Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — R («полужирное R»), или (англ. blackboard bold «R») от лат. realis — действительный.
Содержание
1 История становления понятия вещественного числа
1.1 Наивная теория вещественных чисел
1.2 Создание строгой теории
2 Конструктивные способы определения вещественного числа
2.1 Теория фундаментальных последовательностей Кантора
2.2 Теория бесконечных десятичных дробей
2.3 Теория сечений в области рациональных чисел
3 Аксиоматический подход
3.1 Аксиоматика вещественных чисел
3. 1.1 Аксиомы поля
3.1.2 Аксиомы порядка
3.1.3 Аксиомы непрерывности
3.2 Непротиворечивость и категоричность аксиоматики
3.3 Другие системы аксиом вещественных чисел
4 Свойства
4.1 Связь с рациональными числами
4.2 Теоретико-множественные свойства
5 Обобщение вещественных чисел
6 Прикладные применения
7 См. также
8 Примечания
9 Литература
9.1 Использованная литература
9.2 Рекомендуемая литература
История становления понятия вещественного числа
Наивная теория вещественных чисел
Первая развитая числовая система, построенная в Древней Греции, включала только натуральные числа и их отношения (пропорции, в современном понимании — рациональные числа). Однако вскоре выяснилось, что для целей геометрии и астрономии этого недостаточно: например, отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны не может быть представлено ни натуральным, ни рациональным числом[4].
Для выхода из положения Евдокс Книдский ввёл, в дополнение к числам, более широкое понятие геометрической величины, то есть длины отрезка, площади или объёма. Теория Евдокса дошла до нас в изложении Евклида («Начала», книга V). По существу, теория Евдокса — это геометрическая модель вещественных чисел. С современной точки зрения, число при таком подходе есть отношение двух однородных величин — например, исследуемой и единичного эталона. Следует, однако, подчеркнуть, что Евдокс остался верен прежней традиции — он не рассматривал такое отношение как число; из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем заново доказываются для величин. Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел по своим принципам чрезвычайно похожа на изложение Евдокса. Однако модель Евдокса неполна во многих отношениях — например, она не содержит аксиомы непрерывности, нет общей теории арифметических операций для величин или их отношений и др.[5]
Ситуация начала меняться в первые века н. э. Уже Диофант Александрийский, вопреки прежним традициям, рассматривает дроби так же, как и натуральные числа, а в IV книге своей «Арифметики» даже пишет об одном результате: «Число оказывается не рациональным»[6]. После гибели античной науки на передний план выдвинулись индийские и исламские математики, для которых любой результат измерения или вычисления считался числом. Эти взгляды постепенно взяли верх и в средневековой Европе[7], где поначалу разделяли рациональные и иррациональные (буквально: неразумные) числа (их называли также мнимыми, абсурдными, глухими и т. п.). Полное уравнение в правах иррациональных чисел связано с трудами Симона Стевина (конец XVI века), который провозгласил[6]:
Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью.
Он же, с некоторыми оговорками, легализовал отрицательные числа, а также развил теорию и символику десятичных дробей, которые с этого момента начинают вытеснять неудобные шестидесятеричные.
Спустя столетие Ньютон в своей «Универсальной арифметике» (1707) даёт классическое определение (вещественного) числа как отношения результата измерения к единичному эталону[8]:
Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу.
Долгое время это прикладное определение считалось достаточным, так что практически важные свойства вещественных чисел и функций не доказывались, а считались интуитивно очевидными (из геометрических или кинематических соображений). Например, считался самоочевидным тот факт, что непрерывная кривая, точки которой расположены по разные стороны от некоторой прямой, пересекает эту прямую. Строгое определение понятия непрерывности также отсутствовало[9]. Как следствие, немало теорем содержали ошибки, нечёткие или чрезмерно широкие формулировки.
Даже после того, как Коши разработал достаточно строгий фундамент анализа, положение не изменилось, поскольку теории вещественных чисел, на которую обязан был опираться анализ, не существовало. Из-за этого Коши сделал немало ошибок, положившись на интуицию там, где она приводила к неверным выводам: например, он полагал, что сумма ряда из непрерывных функций всегда непрерывна.
Создание строгой теории
Первую попытку заполнить пробел в основаниях математики сделал Бернард Больцано в своей статье «Чисто аналитическое доказательство теоремы, что между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит по меньшей мере один действительный корень уравнения» (1817). В этой пионерской работе ещё нет целостной системы вещественных чисел, но уже приводится современное определение непрерывности и показывается, что на этой основе теорема, упомянутая в заглавии, может быть строго доказана[10]. В более поздней работе[11] Больцано даёт набросок общей теории вещественных чисел, по идеям близкой к канторовской теории множеств[12], но эта его работа осталась неопубликованной при жизни автора и увидела свет только в 1851 году. Взгляды Больцано значительно опередили своё время и не привлекли внимания математической общественности.
Современная теория вещественных чисел была построена во второй половине XIX века, в первую очередь трудами Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора. Они предложили различные, но эквивалентные подходы к теории этой важнейшей математической структуры и окончательно отделили это понятие от геометрии и механики.
Конструктивные способы определения вещественного числа
Основная статья: Конструктивные способы определения вещественного числа
При конструктивном определении понятия вещественного числа, на основе известных математических объектов (например, множества рациональных чисел ), которые принимают заданными, строят новые объекты, которые, в определённом смысле, отражают наше интуитивное понимание о понятии вещественного числа. Существенным отличием между вещественными числами и этими построенными объектами является то, что первые, в отличие от вторых, понимаются нами лишь интуитивно и пока не являются строго определённым математическим понятием.
Эти объекты и объявляют вещественными числами. Для них вводят основные арифметические операции, определяют отношение порядка и доказывают их свойства.
Исторически первыми строгими определениями вещественного числа были именно конструктивные определения. В 1872 году были опубликованы одновременно три работы: теория фундаментальных последовательностей Кантора, теория Вейерштрасса (в современном варианте — теория бесконечных десятичных дробей) и теория сечений в области рациональных чисел Дедекинда[3][13].
Теория фундаментальных последовательностей Кантора
См. также: Теория фундаментальных последовательностей Кантора
В данном подходе вещественное число рассматривается как предел последовательности рациональных чисел. Чтобы последовательность рациональных чисел сходилась, на неё накладывается условие Коши:
Смысл этого условия заключается в том, что члены последовательности, начиная с некоторого номера будут лежать сколь угодно близко друг от друга. Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, называются фундаментальными.
Вещественное число, определяемое фундаментальной последовательностью рациональных чисел , обозначим .
Два вещественных числа
и ,
определённые соответственно фундаментальными последовательностями и , называются равными, если
Если даны два вещественных числа и , то их суммой и произведением называются числа, определённые соответственно суммой и произведением последовательностей и :
Отношение порядка на множестве вещественных чисел устанавливается посредством соглашения, в соответствии с которым число по определению больше числа , то есть , если
Способ построения множества вещественных чисел с помощью фундаментальных последовательностей рациональных чисел является частным случаем конструкции пополнения произвольного метрического пространства. Как и в общем случае, полученное в результате пополнения множество вещественных чисел само уже является полным, то есть содержит пределы всех фундаментальных последовательностей своих элементов.
Теория бесконечных десятичных дробей
См. также: Теория бесконечных десятичных дробей
Вещественное число определяется как бесконечная десятичная дробь, то есть выражение вида
где есть один из символов или , называемый знаком числа, — целое неотрицательное число, — последовательность десятичных знаков, то есть элементов числового множества .
Бесконечная десятичная дробь интерпретируется как такое число, которое на числовой прямой лежит между рациональными точками вида
и для всех
Сравнение вещественных чисел в форме бесконечных десятичных дробей производится поразрядно. Например, пусть даны два неотрицательных числа
Если , то ; если то . В случае равенства переходят к сравнению следующего разряда. И так далее. Если , то после конечного числа шагов встретится первый разряд , такой что . Если , то ; если то .
Однако, при этом следует учитывать, что число . Поэтому если запись одного из сравниваемых чисел, начиная с некоторого разряда, представляет собой периодическую десятичную дробь, у которой в периоде стоит 9, то её следует заменить на эквивалентную запись, с нулём в периоде.
Арифметические операции над бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение[14] соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел и называется вещественное число , удовлетворяющее следующему условию:
Аналогично определяет операция умножения бесконечных десятичных дробей.
Теория сечений в области рациональных чисел
См. также: Теория сечений в области рациональных чисел
В подходе Дедекинда вещественные числа определяются с помощью сечений в множестве рациональных чисел.
Сечением в множестве рациональных чисел называется всякое разбиение совокупности всех рациональных чисел на два непустых класса — нижний и верхний , так что каждое число из нижнего класса строго меньше всякого числа из верхнего:
Если существует число , которое является максимальным в нижнем классе, либо минимальным в верхнем классе, то это число разделяет множества и : числа нижнего и верхнего классов лежат по разные стороны от . Говорят также, что рациональное число производит данное сечение множества рациональных чисел.
Если же в нижнем классе сечения нет максимального элемента, а в верхнем — минимального, то не существует никакого рационального числа, которое разделяло бы множества и . В этом случае по определению полагают, что данное сечение определяет некоторое иррациональное число , которое находится между нижним и верхним классами, и тем самым производит данное сечение. Иначе говоря, для всякого сечения, не производимого никаким рациональным числом, вводят новый объект — иррациональное число, которое по определению больше всякого числа из нижнего класса и меньше всякого числа из верхнего класса:
Объединение всех рациональных и всех иррациональных чисел называют множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами.
Арифметические операции над вещественными числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел и называется вещественное число , удовлетворяющее следующему условию:
Аксиоматический подход
Построить множество вещественных чисел можно разными способами. В теории Кантора вещественные числа — классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел, в теории Вейерштрасса — бесконечные десятичные дроби, в теории Дедекинда — сечения в области рациональных чисел. Во всех этих подходах в результате мы получаем некоторое множество объектов (вещественных чисел), обладающих определёнными свойствами: их можно складывать, умножать, сравнивать между собой. Более того, коль скоро установлены свойства этих объектов, мы можем больше не апеллировать к тем конкретным конструкциям, с помощью которых они были построены.
В математике важна не конкретная природа объектов, а лишь математические соотношения, существующие между ними.
Для человека, который исследует математическое понятие количество элементов, безразлично, о чём говорить — о трёх яблоках или о трёх камнях, и их съедобность или несъедобность значения не имеет. В процессе отвлечения от несущественных признаков, то есть абстрагирования (лат. abstractio — отвлечение), он приходит к тому общему, что есть у трёх яблок и трёх камней — количеству элементов. Так возникает абстрактное понятие натурального числа. С этой точки зрения три яблока и три камня — две конкретные реализации, модели абстрактного понятия «число три».
Точно так же классы фундаментальных последовательностей рациональных чисел, бесконечные десятичные дроби, сечения в области рациональных чисел являются лишь конкретными реализациями, моделями вещественного числа. А само понятие вещественного числа определяется существующими для него математическими соотношениями. Коль скоро они установлены, определено и понятие вещественного числа.
Здесь уместно привести знаменитое высказывание Д. Гильберта, основоположника системного аксиоматического метода в математике, который, имея в виду аксиоматизацию геометрии, как-то заметил:
Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках.
Давид Гильберт[15]
Аксиоматика вещественных чисел
Множество называется множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:
Аксиомы поля
На множестве определено отображение (операция сложения)
сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из некоторый элемент из того же множества , называемый суммой и ( эквивалентная запись элемента множества ).
Также, на множестве определено отображение (операция умножения)
сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из некоторый элемент , называемый произведением и .
При этом имеют место следующие свойства.
Коммутативность сложения. Для любых
Ассоциативность сложения. Для любых
Существование нуля. Существует элемент , называемый нулём, такой, что для любого
Существование противоположного элемента. Для любого существует элемент , называемый противоположным к , такой, что
Коммутативность умножения. Для любых
Ассоциативность умножения. Для любых
Существование единицы. Существует элемент , называемый единицей, такой, что для любого
Существование обратного элемента. Для любого существует элемент , обозначаемый также и называемый обратным к , такой, что
Дистрибутивный закон умножения относительно сложения. Для любых
Нетривиальность поля.Единица и ноль — различные элементы :
Аксиомы порядка
Между элементами определено отношение , то есть для любой упорядоченной пары элементов из установлено, выполняется соотношение или нет. При этом имеют место следующие свойства.
Рефлексивность. Для любого
Антисимметричность. Для любых
Транзитивность. Для любых
Линейная упорядоченность. Для любых
Связь сложения и порядка. Для любых
Связь умножения и порядка. Для любых
Аксиомы непрерывности
Каковы бы ни были непустые множества и , такие что для любых двух элементов и выполняется неравенство , существует такое число , что для всех и имеет место соотношение
Этих аксиом достаточно чтобы строго вывести все известные свойства вещественных чисел[16].
На языке современной алгебры аксиомы первой группы означают, что множество является полем. Аксиомы второй группы — что множество является линейно упорядоченным множеством ( — ), причём отношение порядка согласовано со структурой поля — . Множества, удовлетворяющие аксиомам первой и второй группы, называются упорядоченными полями. Наконец, последняя группа, состоящая из одной аксиомы, утверждает, что множество вещественных чисел обладает свойством непрерывности, которое также называют полнотой. Резюмируя, можно дать эквивалентное определение множества вещественных чисел.
Определение.Множеством вещественных чисел называется непрерывное упорядоченное поле.
Непротиворечивость и категоричность аксиоматики
Другие системы аксиом вещественных чисел
Существуют и другие способы аксиоматизации вещественных чисел. Например, вместо аксиомы непрерывности можно использовать любое другое эквивалентное ей условие, или группу условий. Например, в системе аксиом, предложенной Гильбертом, аксиомы групп и , по существу, те же, что и в приведённые выше, а вместо аксиомы используются следующие два условия:
Аксиома Архимеда. Пусть [17] и . Тогда элемент можно повторить слагаемым столько раз, чтобы образовавшаяся в результате сумма превзошла :
Аксиома полноты (в смысле Гильберта). Систему невозможно расширить ни до какой системы , так чтобы при сохранении прежних соотношений между элементами , для выполнялись бы все аксиомы —, .
Таким образом, можно дать следующее эквивалентное определение:
Определение.Множество вещественных чисел есть максимальное архимедово упорядоченное поле
В качестве другого примера аксиоматизации вещественных чисел можно привести аксиоматику Тарского (англ.), состоящую всего из 8 аксиом.
Свойства
Связь с рациональными числами
Очевидно, что на числовой прямой рациональные числа располагаются вперемешку с вещественными, причём множество вещественных чисел в известном смысле «плотнее» множества рациональных. Возникает закономерный вопрос, насколько часто на числовой прямой попадаются рациональные и вещественные числа и можно ли одни числа приблизить другими. Ответ на этот вопрос дают три леммы, основанные, в основном, на аксиоме Архимеда.[18]
Лемма 1. Для любого вещественного числа и любого наперёд взятого положительного рационального расстояния найдётся пара рациональных чисел, отстоящих друг от друга менее, чем на это расстояние, таких что вещественное число лежит на отрезке между этими рациональными числами.
Эта лемма говорит о том, что любое вещественное число можно с заданной точностью с двух сторон приблизить рациональными числами.
Лемма 2. Между любыми двумя различными вещественными числами содержится рациональное число.
Очевидным следствием из этой леммы является тот факт, что между любыми двумя несовпадающими вещественными числами содержится целое бесконечное множество рациональных. Кроме того, ещё более очевидно, что между любыми двумя различными рациональными числами содержится вещественное.
Лемма 3. Приближение вещественного числа рациональными, описанное в лемме 1, идентифицирует вещественное число единственным образом.
Эти леммы прежде всего говорят о том, что множество вещественных чисел не такое «плотное» по сравнению с множеством рациональных чисел, как может показаться. Особенно ярко это иллюстрирует лемма 2. Все три леммы активно используются для доказательства различных теорем, связанных с операциями сложения и умножения вещественных чисел.
Теоретико-множественные свойства
Изначально вещественные числа были естественным обобщением рациональных, но у них впервые было обнаружено свойство несчётности, которое говорит о том, что множество вещественных чисел нельзя занумеровать, т. е. не существует биекции между множествами вещественных и натуральных чисел. Чтобы показать несчётность всего множества вещественных чисел, достаточно показать несчётность интервала .[18]
Пусть все числа указанного промежутка уже занумерованы некоторым образом. Тогда их можно выписать в следующем виде:
Здесь — -я цифра -ого числа. Очевидно, что все числа указанного вида действительно принадлежат рассматриваемому промежутку, если только в каждом числе не все цифры сразу являются нулями или девятками.
Далее предлагается рассмотреть следующее число:
Пусть каждая цифра этого числа удовлетворяет следующим трём свойствам:
Такое число действительно существует на указанном промежутке, так как оно является вещественным, не совпадает ни с нулём, ни с единицей, а десятичных цифр достаточно, чтобы третье свойство выполнялось. Кроме этого, интересно тем фактом, что оно не совпадает ни с одним из чисел , выписанных выше, ведь иначе -я цифра числа совпала бы с -ой цифрой числа . Пришли к противоречию, заключающемуся в том, что как бы числа рассматриваемого промежутка ни были занумерованы, всё равно найдётся число из этого же промежутка, которому не присвоен номер.[18]
Это свидетельствует о том, что множество вещественных чисел не является счётным. Его мощность называется мощностью континуума.
Обобщение вещественных чисел
Поле вещественных чисел постоянно служило в математике источником обобщений, причём в различных практически важных направлениях. Непосредственно к полю примыкают следующие варианты обобщённых числовых систем.
Комплексные числа. Особенно плодотворны в алгебре и анализе.
Интервальные числа. Используются преимущественно в теории приближённых вычислений и в теории вероятностей.
Нестандартный анализ, который добавляет к вещественным числам бесконечно малые и бесконечно большие числа (разных порядков).
Прикладные применения
Математическая модель вещественных чисел повсеместно применяется в науке и технике для измерения непрерывно меняющихся величин. Однако это не главное её применение, потому что реально измеренные величины всегда имеют конечное число десятичных знаков, то есть являются рациональными числами. Основное назначение этой модели — служить базой для аналитических методов исследования. Огромный успех этих методов за последние три века показал, что модель вещественных чисел в большинстве случаев достаточно адекватно отражает структуру непрерывных физических величин.
Сказанное, конечно, не означает, что вещественная числовая прямая есть точный образ реальной непрерывной величины. Например, современной науке пока не известно, дискретны ли пространство и время или делимы неограниченно; однако даже во втором случае модель вещественных чисел для этих величин должна рассматриваться как приближённая, поскольку понятия точки пространства и момента времени представляют собой идеализации, не имеющие реального аналога. Этот фундаментальный вопрос широко обсуждается в науке, начиная с апорий Зенона. Приближённой эта модель является и в применении к величинам, которые в классической физике рассматривались как непрерывные, но в действительности оказались дискретными (квантуемыми).
См.
также
Непрерывность множества действительных чисел
Теория чисел
Десятичный разделитель
Комплексное число
Прямая Александрова (англ.)
Прямая Суслина (англ.)
Примечания
↑ Названия вещественное число и действительное число равнозначны. Исторически в Московской математической школе использовали термин действительное число, а в Ленинградской — вещественное число. В качестве примера можно привести две классические работы:
Лузин, Н. Н. Теория функций действительного переменного. (Московская школа)
Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. (Ленинградская школа)
В современных университетских учебниках употребляются оба термина:
Зорич В. А. Математический анализ. (МГУ, мехмат) — действительное число
Ильин В. А., Позняк В. Г. Основы математического анализа. (МГУ, физфак) — вещественное число
Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. (МФТИ) — действительное число
Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. (СПбГУ) — вещественное число
↑ См. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — Т. 1. — С. 35-36., а также Бурбаки Н. Очерки по истории математики. — С. 146.
↑ 123Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. — С. 287-289.
↑Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 147.
↑ История математики. — Т. I. — С. 96-101.
↑ 12Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 150-151.
↑ История математики. — Т. I. — С. 190-191, 304-305.
↑ История математики. — Т. II. — С. 35.
↑Бурбаки Н. . Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 154.
↑ Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1977. — С. 171-178. — 224 с.
↑Бернард Больцано.Парадоксы бесконечного.
↑Рыхлик Карел. Теория вещественных чисел в рукописном наследии Больцано // ИМИ, 1958. № 11. С. 515—532.
↑Рыбников К. А. История математики. — Т. 2. — С. 196.
↑ Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида
↑Рид К. Гильберт. — С. 79.
↑ См. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — Т. 1.
↑
↑ 123В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 44 — 45, 63 — 64. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7
Литература
Использованная литература
Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. — М.: УЧПЕДГИЗ, 1938.
Бурбаки Н. Очерки по истории математики / пер. с франц. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963.
Гильберт Д. Основания геометрии = Grundlagen der Geometrie / пер. с 7-го немецкого издания И. С. Градштейна под ред. П. К. Рашевского. — М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948.
Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. — Пер. с франц. — М.: МИР, 1986. — 432 с.
Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4-е исправленное издание. — Одесса: Mathesis, 1923. — 44 с.
Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. — 4-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — XVI+664 с. — ISBN 5-94057-056-9
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 648 с. — ISBN 5-9221-0536-1
История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В трех томах / под ред. Юшкевича. — М.: НАУКА, 1970. — Т. 1.
Кантор Г. Труды по теории множеств / под ред. А. Н. Колмогоров, Ф. А. Медведев, А. П. Юшкевич,. — М.: НАУКА, 1985. — (Классики науки).
А. Н. Колмогоров К обоснованию теории вещественных чисел // УМН. — 1946. — В. 1(11). — Т. 1. — С. 217–219.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1
Рид К. Гильберт / пер. с англ. И. В. Долгачева под ред. Р. В. Гамкрелидзе. — М.: НАУКА, 1977.
Рыбников К. А. История математики. — М.: Издательство Московского университета, 1963. — Т. 2.
Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа. — 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 672 с. — ISBN 5-9221-0008-4
Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 1. — 416 с. — ISBN 5-9221-0196-X
Рекомендуемая литература
Тем, кто интересуется историей становления понятия вещественного числа, можно порекомендовать следующие две книги:
Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики.
История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
Том 2 Математика XVII столетия. (1970)
Том 3 Математика XVIII столетия. (1972)
Прекрасное подробное изложение теории построения вещественных чисел с помощью фундаментальных последовательностей, а также теории построения вещественных чисел с помощью сечений в области рациональных чисел можно найти в следующей:
Арнольд И. В. Теоретическая арифметика.
Желающим познакомиться с оригинальным ходом мысли самого Р. Дедекинда можно порекомендовать ту самую брошюру, в которой в 1872 году Дедекинд изложил свою теорию вещественного числа. Эта книжка на сегодняшний день остаётся одним из самых лучших и доступных изложений предмета. Имеется русский перевод:
Дедекинд, Р. Непрерывность и иррациональные числа = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4-е исправленное издание. — Одесса: Mathesis, 1923. — 44 с.
Также прекрасное изложение теории Дедекинда имеется в классическом учебнике
Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 1. — 416 с. — ISBN 5-9221-0196-X
Построение теории вещественного числа с помощью бесконечных десятичных дробей можно найти в книгах
Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа.
Ильин В. А., Познак Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I.
Аксиоматическое изложение теории вещественного числа можно найти в книгах
Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: Дрофа, 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1
Зорич, В. А. Математический анализ. Часть I. — Изд. 4-е, испр. — М.: «МЦНМО», 2002. — 657 с. — ISBN 5-94057-056-9
Сущность аксиоматического метода и его сравнение с конструктивным подходом изложены Д. Гильбертом на нескольких страницах в Дополнении VI. О понятии числа в следующем издании классической работы
Гильберт Д. Основания геометрии = Grundlagen der Geometrie. — пер. с 7-го немецкого издания И. С. Градштейна под ред. П. К. Рашевского. — М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948.
Натуральные числа
Целые числа
Рациональные числа
Вещественные числа
Комплексные числа
Кватернионы
Действительные числа
Приложение 1
Середенкова Н. С. МБОУ СОШ №16 г. Камышин
8 класс
Систематизировать и обобщить известные учащимся сведения о рациональных числах; дать представление об истории возникновения понятия «Число», об истории возникновения иррациональных чисел, дать целостное представление о множестве действительных чисел.
Кодоскоп, математическая газета «Число – это все», рисунки.
Как вы думаете, могла ли отдельная личность, пусть даже очень одаренная и сильная, совершить открытие числа?
Что стимулировало появление чисел натуральных?
Какие практические нужды привели к необходимости использования дробных чисел?
Как обозначается множество натуральных, целых, рациональных чисел?
Как обозначается рациональное число с помощью цифр?
Как было установлено существование отрезков, длины которых выражаются иррациональными числами?
Какие последствия для науки имело открытие таких отрезков?
О каких числах, кроме действительных, вы слышали?
Литература.
Детская энциклопедия
Глейзер «История математики в средней школе
Энциклопедический словарь юного математика»
Выгодский «Справочник по элементарной математике»
Колосов А.А. «Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах»
Организационный момент.
Изучение нового материала (лекция учителя – 30 минут). Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Понятие числа зародилось в глубокой древности. На протяжении веков оно подвергалось расширению и обобщению. Но прежде чем говорить о числах, коснемся истории вопроса о цифрах, потому что цифры, это условные знаки для обозначения чисел.
Первыми записями чисел можно считать зарубки на деревянных бирках или костях, а позднее – черточка. Но большое число изображать таким способом было неудобно. В Древнем Египте около 5000 лет назад стали обозначать число 10 иероглифом (возможно, это символ дуги, которую ставили над десятком чёрточек), число 100 — знаком (это символ измерительной верёвки) и т.д. Из таких цифр составляли десятичную запись любого числа, например число 124 обозначали так: , народы (вавилоняне, ассирийцы) жившие в Междуречье Тигра и Евфрата от второго тысячелетия до н.э. до начала нашей эры использовали два клинописных знака – прямой клин — 1, и лежащий клин — 10. например число 23 выглядело так:
. У разных народов было свое обозначение чисел. Например, у славян число 10000 называлось «тьмой», отсюда и выражение «тьма народу», т.е. много. Число 100000 – «легион», 1000000 – «леодр».
Из Древнего Рима до нас дошли цифры: I -1, V-5, Х – 10, С – 100, Д – 500,
М – 1000, и т.д. Более подробно с нумерациями разных народов нас познакомят ребята на последующих уроках.
Никто не знает, когда впервые появились счет и число. Но уже несколько тысяч лет назад люди собирали плоды, ягоды, охотились на диких животных, ловили рыбу, делали каменные топоры и ножи. Им надо было знать, хватит ли добычи до следующей охоты, много ли поймано рыбы. Так люди сталкивались с вопросами, которые сейчас решаются с помощью числа и счета.
Результатом счета явились числа 1,2,3, …. – которые впоследствии стали называться натуральными.
В давние времена натуральный ряд чисел был очень коротким. Сначала люди овладели счетом в пределах нескольких первых десятков. У многих народов число 40 было пределом счета. Выражение «Сорок сороков» означало в старину число, превосходящее всякое воображение. Тот же смысл слово 40 в ряде русских пословиц и поговорок. «И один глаз да зарок, не надо и сорок», «Сидела сорок лет, высидела сорок реп». Укреплению в сознании людей идеи бесконечности натурального ряда содействовали задачи, подобные той, что поставил Архимед более двух тысяч лет назад. В своем сочинении «Псалмит» он решает вопрос об исчислении песчинок в размерах вселенной. На разных языках первые числа натурального ряда произносятся по-разному. Например, на татарском языке:
1 – Бер
2 – ике
3 — еч
4 – дурт
5 – бишь
6 – алты
7 – жиде
8 – сигез
9 – тугыз
10- ун
На казахском языке попросили ребят просчитать до 10.
Ещё в древности люди научились выполнять над натуральными числами различные операции6 +,-, :, х. выполняли такие операции, как вычитание и деление, т.е. обратные операции для сложения и умножения. Люди пришли к тому, что эти операции не всегда выполнимы — искать результат этих действий среди чисел натурального ряда, например 5-8, 4:7, не расширяя понятия о числе. Это первая причина расширения числа. Но была и другая причина. Этой второй причиной оказался процесс измерения величины, который, как и процесс счета, возник очень давно. Этот процесс и заставил человека ввести дробные числа.
Во второй половине 18 века дается определение дробного числа: это отношение одной величины к другой того же рода, принятой за единицу. Долгое время дроби не назывались числами. Наши обыкновенные дроби широко употреблялись древними греками и индийцами.
Правила действия над дробями, изложенные индийским ученым Брамагуптой (8 век н.э.) лишь немногим отличаются от наших. Наряду с обыкновенными дробями использовались и десятичные дроби. Их ввел выдающийся самаркандский учёный Гияседдин Джемшир-ал-Каши (14-15 век н.э.) в Европе десятичные дроби были введены в практику голландским купцом и выдающимся инженером – ученым Симоном Стевином. Позднее, из необходимости решать уравнения люди пришли к введению отрицательных чисел, целых и дробных.
Итак! Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел. Множество целых чисел – это: натуральные числа, противоположные им числа и нуль.
Обозначение:
N — множество натуральных чисел
Z — множество целых чисел
Q — множество рациональных чисел.
Є — знак принадлежности. Например 2 Є N, -5 Є N, 2/3 Є Q.
Рациональное число можно представить в виде дроби
, где m – целое число, n – натуральное число.
«Рациональное число» произошло от латинского слова ratio, что в переводе означает «отношение» (частное).
Всякое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби:
Деление на 37 никогда не закончится, поэтому получающаяся дробь называется бесконечной.
Заметим, что в частном, в одном и том же порядке повторяются три цифры: 2,1,6. бесконечные десятичные дроби такого вида называются периодическими и записываются так: 8/37=0,(216).
Всякое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Верно и обратное утверждение.
Прошло очень много времени после открытия дробей, пока ум человеческий обнаружил в процессе измерения величин существование иных чисел, кроме целых и дробных.
История проникновения этих новых чисел в математику тесно связана с открытием несоизмеримых отрезков принадлежит греческому философу и математику Пифагору и его школе (6 век до н.э.) рассмотрим задачу, которую решали пифагорийцы.
Требуется точно определить длину диагонали АС квадрата АВСD, сторона которого равна 1 м.
Решение. Построим на диагонали единичного квадрата новый квадрат АСЕF. Площадь его равна удвоенной площади квадрата АВСD. Если АС = х, то хАСЕF2 = 2 (S АСЕF = 2 S АВСD, S АВСD = 1)
Но никакое целое число и никакая дробь не могут удовлетворить этому уравнению, т. е. длину диагонали нельзя выразить никаким известным до сего времени числом.
Поэтому возникла необходимость введения новых чисел, которые назвали иррациональными числами.
Итак! Иррациональные числа, это числа представляющие длины отрезков, несоизмеримых с единицей масштаба (т.е. отрезков, длины которых нельзя выразить ни целым ни дробным числом).
Ребята! Эта задача привела в величайшее смущение Пифагора и всех его учеников. В Греции в то время существовало много различных философских школ. Но ни в одной из них математика не занимала такого почетного места как в школе, основанной Пифагором. В основе философии пифагорийцев лежит понятие о числе как основе мира и всего миропонимания.
«Все в природе, — говорили они, — измеряется, все подчиняется числу, в числе – сущность всех вещей; познать мир, его строение, его закономерность – это значит познать управляющие им числа… . Можно видеть природу и властную силу числа во всех человеческих занятиях, во всех искусствах, ремеслах, музыке. Число – это всё. Не материя, а число – начало и основа вещей».
Конечно, мы не можем согласиться с последним утверждением. Мы знаем, что не число есть основа вещей. Но несомненно, что число играет исключительную роль в науке о природе, в деле подчинения ее сил человеку.
И вот пифагорийцы, положившие в основу своей философии число как результат измерения и соотношения между величинами открывают существование несоизмеримых отрезков. «Все может быть измерено, — говорили они». И вдруг, реальный прямоугольный отрезок – диагональ квадрата со стороной равной единице, лишен числового образа! Это противоречило самой сущности их философии и вносило диссонанс в ту гармонию, которую видели пифагорийцы в окружающем мире. Трудно представить себе изумление и ту растерянность, которые охватили их. Открытие несоизмеримых отрезков было настолько неожиданным, что Пифагор запретил разглашать его, боясь, что основа его философии будет поколебима. И когда один из его учеников выдал тайну, то он был изгнан из союза пифагорийцев. Но истину не скроешь. Так случилось и здесь. Союз пифагорийцев распался. Члены союза расселялись по всей Греции и обучая математике постепенно передали окружающим свои знания и тайны. И среди них – тайну открытия несоизмеримых отрезков.
Из несоизмеримости диагонали и стороны квадрата вытекает, что если принять сторону квадрата за единицу измерения, то результат измерения диагонали этой единицей не может быть выражен ни целым, ни дробным числом. Следовательно, среди известных нам чисел нет числа, выражающего длину диагонали квадрата со стороной 1. но диагональ такого квадрата реально существует и вопрос о длине этой диагонали имеет смысл независимо от того, соизмерим отрезок с выбранной единицей измерения или нет. Поэтому должно реально существовать и число, выражающее длину диагонали. Но оно должно быть числом иной природы, выходящее за пределы рациональных чисел. Их и назвали иррациональными.
Таким образом! Для измерения длин отрезков одних рациональных чисел оказалось недостаточно. Не нужно думать, иррациональные числа могут появиться только при измерении длин отрезков. Измерение любой величины может привести к иррациональному числу. Как же записываются иррациональные числа с помощью цифр?
Они изображаются в виде бесконечной десятичной дроби. Это дробь не может быть периодической, т.к. тогда она могла бы быть превращена в обыкновенную дробь и диагональ квадрата оказалась бы соизмерима с его стороной.
Итак! Иррациональное число – это число, выраженное бесконечной десятичной непериодической дробью. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел R. Примером иррационального числа есть п = 3,1414…. О сравнении действительных чисел вы прочитаете самостоятельно в п.10
Закрепление.
Группа 1
Группа 2
Группа 3
Группа 4
№ 253
№ 254
№255
№ 256
№ 271
№ 270
№ 276
№ 273
Домашнее задание.
П.9-10, № 260, 257, 272.
Подготовить сообщения по следующим темам:
Цифры – условные знаки для обозначения чисел. История их развития.
История возникновения натурального числа.
Из истории дробей.
Об ученом Пифагоре.
Об ученом Джемшир-ал-Каши.
Системы нумераций некоторых народов.
Ребята! Я хотела обратить ваше внимание на этот рисунок, который поможет вам запомнить все, что мы с вами сегодня узнали. На рисунке ученик всеми силами пытается «уложить» диагональ квадрата на координатную ось, в которой за единицу измерения принята длина стороны квадрата. Усилия ученика безрезультатны, поскольку упрямая диагональ никак не хочет измеряться таким способом. Она предпочитает выражать свою длину (точно!) не десятичной дробью (при данной единице), а особым числом 2.
стр. 7 из 7
Презентация по математике к занятию «Действительные числа. Множество действительных, рациональных и иррациональных чисел. Множество действительных чисел можно описать как множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей. Все конечные и бесконечные
Презентация к занятию «Действительные числа. Множество действительных, рациональных и иррациональных чисел»
Цель: вспомнить основные понятия, связанные с действительными числами.
1 слайд
Тема: Множества чисел
Работу подготовила
Преподаватель ГБПОУ «Ржевский колледж»
Сергеева Т.А.
2 слайд.
«Числа управляют миром», – говорили пифагорейцы. Но числа дают возможность человеку управлять миром, и в этом нас убеждает весь ход развития науки и техники наших дней.
(А. Дородницын)
3 слайд.
Вспомним основные понятия, связанные с действительными числами.
Какие множества чисел вы знаете?
4 слайд.
Натуральные числа – числа, которые используются для счета предметов: 1,2,3,4,5……
Обозначают множество натуральных чисел буквой N
Например: «5 принадлежит множеству натуральных чисел» при этом записывают –
5 слайд
Натуральные числа , которые делятся на 1 и на само себя (например, 2, 3, 5, 7, 11) называют простыми числами .
Все остальные числа называются составными и могут быть разложены на простые множители (например,)
Любое натуральное число в десятичной системе счисления записывается с помощью цифр
(на пример)
6 слайд
Пример
Число, т.е. число состоит из1 тысячи, 2 сотен, 3 десятков и 7 единиц
Значит если а — цифра тысяч, b –цифра сотен, d- цифра десятков и c- цифра единиц то имеем а 1000+b 100+c 10+d.
7 слайд
Натуральные числа, противоположные им числа и число нуль составляют множество целых чисел.
Обозначают множество целых чисел буквой Z.
Например: «-5 принадлежит множеству целых» при этом записывают –
8 слайд
Дробные числа вида (где n-натуральное число, m-целое число), десятичные дроби (0,1; 3,5) и целые (положительные и отрицательные) вместе составляют множество рациональных чисел.
Обозначают множество рациональных чисел буквойQ.
Например: «-4,3 принадлежит рациональных целых» при этом записывают
9 слайд
Дробные числа вида, десятичные дроби (0,1; 3,5) и целые (положительные и отрицательные) вместе составляют множество рациональных чисел.
Любое рациональное число можно представить в виде дроби простой дроби, (где n-натуральное число, m-целое число)
Например:
Любое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Например:
10 слайд
Множество рациональных чисел объединяет в себе целые числа и дробные, а множество действительных чисел включает в себя рациональные и иррациональные числа. Отсюда вытекает определение действительных чисел.
Определение: Действительные числа — это множество рациональных и иррациональных чисел.
11 слайд
Историческая справка
12 слайд
Множество действительных чисел называют также числовой прямой .
Каждой точке координатной прямой соответствует некоторое действительное число, и каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой.
13 слайд
Домашнее задание.
Слайд 2
Числовые множества.
Слайд 3
Множество натуральных чисел.
Натуральные числа-это числа счета. N={1,2,…n,…}.
Заметим, что множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения и умножения, т.е. сложение и умножение выполняются всегда, а вычитание и деление в общем случае не выполняются
Слайд 4
Множество целых чисел.
Введем в рассмотрение новые числа:
1) число 0 (ноль),
2) число (-n), противоположное натуральному n. При этом полагаем: n+(-n)=(-n)+n=0,
-(-n)=n.
Тогда множество целых чисел можно записать так:
Z ={…,-n,…-2,-1,0,1,2,…,n,…}.
Заметим также, что:
Это множество замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения, т.е.
Из множества целых чисел выделим два подмножества:
1) множество четных чисел
2) множество несетных чисел
Слайд 5
Деление с остатком.
В общем случае действие деления в множестве целых чисел не выполняется, но известно, что деление с остатком можно выполнить всегда, кроме деления на 0.
Определение деления с остатком.
Говорят, что целое число m делится на целое число n с остатком, если найдутся два числа q и p, такие что: (*)
Хорошо известен алгоритм деления с остатком.
Замечание: если r=0, то будем говорить, что m делится нацело на n.
m=nq+r, где 0≤r
Слайд 6
ПРИМЕРЫ:
Разделить с остатком m на n.
1). m=190, n=3
190 3
18 6
3
10
9
1
q=63, r=1, 1 q=2, r=3 (3 q=-4, r=1
-15=4*(-4)+1
4). M=6, n=13
По формуле(*):
6=13q+r
=>q=0, r=6
6=13*0+6
Слайд 7
Множество рациональных чисел.
Множество рациональных чисел можно представить в виде:
В частности, Таким образом,
Множество рациональных чисел замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и деления (кроме случая деления на 0).
Слайд 8
Но в множестве рациональных чисел нельзя, например, измерить гипотенузу прямоугольного треугольника с катетам.
По теореме Пифагора гипотенуза будет равна.Но число не будет
рациональным, так как ни для каких mи n.
Нельзя решить уравнение.
Нельзя измерить длину окружности и т.д.
Заметим, что всякое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Слайд 9
Множество иррациональных чисел.
Числа, которые представляются бесконечной непериодической дробью, будем называть иррациональными.
Множество иррациональных чисел обозначим
Для иррациональных чисел нет единой формы обозначения. Отметим два иррациональных числа, которые обозначаются буквами – это числа и е.
Слайд 10
Число «пи»
Отношение длины окружности к диаметру есть величина постоянная, равная числу
d
Слайд 11
Число е.
Если рассмотреть числовую последовательность:
с общим членом последовательности то с
ростом п значения будут возрастать, но никогда не будет больше 3. Это означает, что последовательность ограничена. Такая последовательность имеет предел, который равен числу е.
Слайд 12
Известно, что мощность иррациональных чисел больше мощности рациональных, т.е. Иррациональных чисел «больше», чем рациональных. Кроме того, как бы ни были близки два рациональных числа, между ними всегда есть иррациональное, т.е.
Примеры иррациональных чисел:
(золотое сечение) и т.д.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Действительные числа 02.09.13
Текст Числовые множества Обозначение Название множества N Множество натуральных чисел Z Множество целых чисел Q=m/n Множество рациональных чисел I=R/Q Множество иррациональных чисел R Множество вещественных чисел
Множество натуральных чисел Натуральные числа — это числа счета. N={1,2,…n,…}. Заметим, что множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения и умножения, т.е. сложение и умножение выполняются всегда, а вычитание и деление в общем случае не выполняются
Множество целых чисел. Введем в рассмотрение новые числа: 1) число 0 (ноль), 2) число (- n), противоположное натуральному n. При этом полагаем: n+(-n)=(-n)+n=0, -(-n)=n. Тогда множество целых чисел можно записать так: Z ={…,-n,…-2,-1,0,1,2,…,n,…}. Заметим также, что: Это множество замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения, т.е. Из множества целых чисел выделим два подмножества: 1) множество четных чисел 2) множество нечетных чисел
Множество рациональных чисел. Множество рациональных чисел можно представить в виде: В частности, Таким образом, Множество рациональных чисел замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и деления (кроме случая деления на 0).
Но в множестве рациональных чисел нельзя, например, измерить гипотенузу прямоугольного треугольника с катетам. По теореме Пифагора гипотенуза будет равна.Но число не будет рациональным, так как ни для каких m и n . Нельзя решить уравнение. Нельзя измерить длину окружности и т.д. Заметим, что всякое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Множество иррациональных чисел. Числа, которые представляются бесконечной непериодической дробью, будем называть иррациональными. Множество иррациональных чисел обозначим I . Для иррациональных чисел нет единой формы обозначения. Отметим два иррациональных числа, которые обозначаются буквами – это числа и е.
Число «пи» Отношение длины окружности к диаметру есть величина постоянная, равная числу d
Число е. Если рассмотреть числовую последовательность: с общим членом последовательности то с ростом п значения будут возрастать, но никогда не будет больше 3. Это означает, что последовательность ограничена. Такая последовательность имеет предел, который равен числу е.
Известно, что мощность иррациональных чисел больше мощности рациональных, т. е. Иррациональных чисел «больше», чем рациональных. Кроме того, как бы ни были близки два рациональных числа, между ними всегда есть иррациональное, т.е.
Множество вещественных (действительных) чисел. Множество вещественных чисел – это объединение множества рациональных чисел. Вывод:
Определение модуля вещественного числа Пусть на числовой оси точка А имеет координату а. Расстояние от точки начала отсчета О до точки А называется модулем вещественного числа а и обозначается | a | . | a | = | OA | R’ a a A A O 2) Раскрытие модуля происходит по правилу:
Например: Замечание. Определение модуля можно расширить: Пример. Раскрыть знак модуля. где f (x) функция аргумента x
Основные свойства модуля 1) 2) 3) 4) 5) 6)
Решение примеров с использованием свойств модуля Пример 1. Вычислить Пример 2. Раскрыть знак модуля Пример 3. Вычислить 1) 2) 3)
Цель: Систематизировать знания о натуральных, целых, рациональных числах, периодических дробях. Учить записывать бесконечную десятичную дробь в виде обыкновенной, формировать навык выполнения действий с десятичными и обыкновенными дробями. Иметь понятие об иррациональных числах, множестве действительных чисел. Иметь понятие об иррациональных числах, множестве действительных чисел. Учить выполнять вычисления с иррациональными выражениями, сравнивать числовые значения иррациональных выражений.
Числа не управляют миром, но они показывают, как управлять им. Числа не управляют миром, но они показывают, как управлять им. И. Гёте. И. Гёте. Числа не управляют миром, но они показывают, как управлять им. Числа не управляют миром, но они показывают, как управлять им. И. Гёте. И. Гёте. натуральными. N Naturalis Для счета предметов используются числа, которые называются натуральными. Для обозначения множества натуральных чисел употребляется буква N -первая буква латинского слова Naturalis, «естественный», «натуральный» Какие числа называются натуральными? Как обозначается множество натуральных чисел?
Рациональных чисел QQuotient Множество чисел, которое можно представить в виде называется множеством рациональных чисел и обозначается — Q первой буквой французского слова Quotient — «отношение». целых Zahl Натуральные числа, числа им противоположные и число нуль, образуют множество целых чисел, которое обозначается Z — первой буквой немецкого слова Zahl — «число». Какие числа называются целыми? Как обозначается множество целых чисел? Какие числа называются рациональными? Как обозначается множество рациональных чисел?
Натуральные числа Числа, им противоположные Целые 0
Сумма, произведение, разность Сумма, произведение, разность и частное частное рациональных чисел есть рациональное число рациональное. Сумма, произведение, разность Сумма, произведение, разность и частное частное рациональных чисел есть рациональное число рациональное. Рациональные числа rрациональное r — рациональное
Найдите период в записи чисел и запишите каждое число кратко: 0,55555….4,133333…3, …7, ….3, …3,727272…21, …
0, Пусть х = 0,4666… 10 х = 4,666… 10 х =4,666… 100 х = 46,666… 100 х – 10 х = 46,666…- 4, х= 42
РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ
ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ
Понятие числа принадлежит к фундаментальным, основным понятиям современной математики. С помощью числа человек познаёт количественные отношения реального мира. Понятие числа возникло из практической деятельности людей.
Существуют историческая и логическая схемы развития понятия числа.
Исторически за натуральными числами возникают положительные дробные числа, затем отрицательные, иррациональные, мнимые числа и вместе с ними комплексные и гиперкомплексные числа (кватернионы).
Если обозначить множество натуральных чисел и нуль N0, Q+— множество положительных дробных (рациональных) чисел, Q – множество всех рациональных чисел (дробных как положительных так и отрицательных), R – множество действительных чисел, С – множество комплексных чисел, то историческую схему развития понятия числа можно представить в виде N0ÌQ+ÌQÌRÌС ® гиперкомплексные числа и кватернионы.
При этом каждое расширение имеющегося класса чисел происходило либо под влиянием практики, либо внутренних потребностей самой математики, связанных с необходимостью введения новых чисел для обеспечения выполнимости операций.
Логическая схема развития понятия числа предполагает рассмотрение числовых систем в такой последовательности: натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа (NÌZÌQÌRÌС).
При этом потребность расширения имеющегося класса чисел обосновывается необходимостью выполнимости операций.
РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА В ШКОЛЕ
В установившейся школьной практике используется историческая последовательность развития понятия числа. Однако в результате экспериментального исследования возможностей реализации в школе логической схемы развития понятия числа были получены положительные результаты.
Ниже представлена последовательность изучения числовых систем в современной школе.
Натуральные числа (1 – 5 классы).
Рациональные числа:
положительные дробные числа, представленные обыкновенными и десятичными дробями (5, 6 классы), положительные и отрицательные дробные числа (6 класс).
Действительные числа (8 класс).
При изучении каждой из числовых систем обосновывается необходимость введения новых чисел, рассматриваются формы их записи, изображение точками координатного луча или прямой, сравнение, правила (алгоритмы) выполнения операций сложения, вычитания, умножения и деления, законы сложения и умножения.
ИЗУЧЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
Натуральные числа изучаются в 5 и 6 классах.
Основная цель: обобщить и систематизировать знания учащихся о натуральных числах, полученные в начальной школе, развить вычислительные умения и навыки.
Содержание учебного материала:
5 класс.
1. Обозначение натуральных чисел.
2. Изображение натуральных чисел точками координатного луча.
3. Сравнение натуральных чисел.
4. Сложение натуральных чисел. Переместительное и сочетательное свойства сложения натуральных чисел.
5. Вычитание натуральных чисел.
6.Умножение натуральных чисел. Переместительное и сочетательное свойства умножения натуральных чисел.
7. Деление натуральных чисел, в том числе, деление с остатком.
6 класс.
8. Делители и кратные.
9. Признаки делимости натуральных чисел на 10, 5 и 2; на 3 и 9.
10. Простые и составные числа.
11. Разложение натурального числа на простые множители.
12.Наибольший общий делитель (НОД). Взаимно простые числа.
13. Наименьшее общее кратное (НОК).
МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Вводятся натуральные числа как числа для счёта предметов.
. . . . . . .
Остаётся заполнить подготовленные места цифрами. Обучение записи чисел может сопровождаться вопросами: какой старший класс и высший разряд содержит данное число, сколько цифр потребовалось для записи числа, какие классы и разряды отсутствуют в данном числе.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
Изучение каждого действия над натуральными числами предполагает установить:
1)смысл действия;
2) название компонентов и результата;
3) правило (алгоритм) его выполнения;
4) способы проверки результата;
5) зависимость между компонентами и результатом;
6) зависимость изменения результата в зависимости от изменения компонентов;
7) результаты действия с 0 и 1;
8) законы (свойства) действия;
9) приёмы устного выполнения действия.
В качестве примера рассмотрим умножение натуральных чисел.
1)Смысл действия: умножить число т на натуральное число п – значит найти сумму п слагаемых, каждое из которых равно т.
2)Название компонентов и результата: множители, произведение.
3)Правило (алгоритм) его выполнения: умножение “в столбик”.
4)Способы проверки результата: выполнение обратного действия — разделить произведение на один из множителей, чтобы получить другой множитель (после изучения деления).
5) Множитель равен произведению, делённому на другой множитель.
6) Если один из множителей увеличить (уменьшить) в несколько раз, то и произведение увеличится (уменьшится) во столько же раз.
7) т× 0=0, т× 1=т.
8) Переместительный, сочетательный, распределительный относительно сложения и вычитания.
9) Приемы, основанные на законах действий.
Отметим, что сложение натуральных чисел вводится аксиоматически, то есть посредством задач, которые интуитивно решаются сложением. Вычитание и деление как действие, обратное сложению и умножению соответственно. Так, делением называется действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель.
Отметим, что наиболее трудным для учащихся является действие деление. Ученики допускают ошибки, беря цифру в частном, которая меньше требуемой, либо пропуская нуль в частном.
Для предупреждения ошибок первого типа необходимо приучить сравнивать полученный остаток с делителем, а избежать пропуск нуля в частном может помочь приём с точками. Например, при делении 317984:523.
317984 ∟523
3138 608
4184 . . .
При изучении действий над натуральными числами следует формировать прочные навыки их выполнения, так как эти действия составляют основу вычислительных алгоритмов в других числовых системах.
ЗАКОНЫ (СВОЙСТВА) АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
В справедливости законов сложения и умножения учащиеся убеждаются, решая целесообразно подобранные задачи. Примеры таких задач приведены при описании метода обобщения (см. общую методику). Они должны знать формулировки законов, уметь записывать их в буквенной форме и знать, что изученные ими законы находят применение
· для обоснования правил арифметических действий: сложения и умножения “в столбик”;
Понятие числа принадлежит к фундаментальным, основным понятиям современной математики. С помощью числа человек познаёт количественные отношения реального мира. Понятие числа возникло из практической деятельности людей.
Существуют историческая и логическая схемы развития понятия числа.
Исторически за натуральными числами возникают положительные дробные числа, затем отрицательные, иррациональные, мнимые числа и вместе с ними комплексные и гиперкомплексные числа (кватернионы).
Если обозначить множество натуральных чисел и нуль N0, Q+— множество положительных дробных (рациональных) чисел, Q – множество всех рациональных чисел (дробных как положительных так и отрицательных), R – множество действительных чисел, С – множество комплексных чисел, то историческую схему развития понятия числа можно представить в виде N0ÌQ+ÌQÌRÌС ® гиперкомплексные числа и кватернионы.
При этом каждое расширение имеющегося класса чисел происходило либо под влиянием практики, либо внутренних потребностей самой математики, связанных с необходимостью введения новых чисел для обеспечения выполнимости операций.
Логическая схема развития понятия числа предполагает рассмотрение числовых систем в такой последовательности: натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа (NÌZÌQÌRÌС).
При этом потребность расширения имеющегося класса чисел обосновывается необходимостью выполнимости операций.
как сложить все натуральные числа и получить -1/12?
Вопрос ученому: — Я слышал, что сумма всех натуральных чисел равна −1/12. Это какой-то фокус, или это правда?
Ответ пресс-службы МФТИ — Да, такой результат можно получить при помощи приема, называемого разложением функции в ряд.
Вопрос, заданный читателем, достаточно сложный, и потому мы отвечаем на него не обычным для рубрики «Вопрос ученому» текстом на несколько абзацев, а некоторым сильно упрощенным подобием математической статьи.
В научных статьях по математике, где требуется доказать некоторую сложную теорему, рассказ разбивается на несколько частей, и в них могут поочередно доказываться разные вспомогательные утверждения. Мы предполагаем, что читатели знакомы с курсом математики в пределах девяти классов, поэтому заранее просим прощения у тех, кому рассказ покажется слишком простым — выпускники могут сразу обратиться к http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation.
Сумма всего
Начнем с разговора о том, как можно сложить все натуральные числа. Натуральные числа — это числа, которые используются для счета цельных предметов — они все целые и неотрицательные. Именно натуральные числа учат дети в первую очередь: 1, 2, 3 и так далее. Сумма всех натуральных чисел будет выражением вида 1+2+3+… = и так до бесконечности.
Ряд натуральных чисел бесконечен, это легко доказать: ведь к сколь угодно большому числу всегда можно прибавить единицу. Или даже умножить это число само на себя, а то и вычислить его факториал — понятно, что получится еще большая величина, которая тоже будет натуральным числом.
Детально все операции с бесконечно большими величинами разбираются в курсе математического анализа, но сейчас для того, чтобы нас поняли еще не сдавшие данный курс, мы несколько упростим суть. Скажем, что бесконечность, к которой прибавили единицу, бесконечность, которую возвели в квадрат или факториал от бесконечности — это все тоже бесконечность. Можно считать, что бесконечность — это такой особый математический объект.
И по всем правилам математического анализа в рамках первого семестра сумма 1+2+3+…+бесконечность — тоже бесконечна. Это легко понять из предыдущего абзаца: если к бесконечности что-то прибавить, она все равно будет бесконечностью.
Однако в 1913 году блестящий индийский математик-самоучка Сриниваса Рамануджан Айенгор придумал способ сложить натуральные числа несколько иным образом. Несмотря на то, что Рамануджан не получал специального образования, его знания не были ограничены сегодняшним школьным курсом — математик знал про существование формулы Эйлера-Маклорена. Так как она играет важную роль в дальнейшем повествовании, о ней придется тоже рассказать подробнее.
Формула Эйлера-Маклорена
Для начала запишем эту формулу:
Как можно видеть, она достаточно сложна. Часть читателей может пропустить этот раздел целиком, часть может прочитать соответствующие учебники или хотя бы статью в Википедии, а для оставшихся мы дадим краткий комментарий. Ключевую роль в формуле играет произвольная функция f(x), которая может быть почти чем угодно, лишь бы у нее нашлось достаточное число производных. Для тех, кто не знаком с этим математическим понятием (и все же решился прочитать написанное тут!), скажем еще проще — график функции не должен быть линией, которая резко ломается в какой-либо точке.
Производная функции, если предельно упростить ее смысл, является величиной, которая показывает то, насколько быстро растет или убывает функция. С геометрической точки зрения производная есть тангенс угла наклона касательной к графику.
Слева в формуле стоит сумма вида «значение f(x) в точке m + значение f(x) в точке m+1 + значение f(x) в точке m+2 и так до точки m+n». При этом числа m и n — натуральные, это надо подчеркнуть особо.
Справа же мы видим несколько слагаемых, и они кажутся весьма громоздкими. Первое (заканчивается на dx) — это интеграл функции от точки m до точки n. Рискуя навлечь на себя гнев всей кафедры математики за примитивность подхода к интегралам, скажем, что это площадь под кривой f(x) на графике от m до n; интегралы очень широко используются в самых разных науках.
На графике «по горизонтальной оси — время, по вертикальной — скорость» интеграл, то есть площадь под кривой, будет равен пройденному пути. На графике «ежемесячные платежи по вертикали, по горизонтали время» интегралом будет сумма, пришедшая на счет за все время.
Второе слагаемое, обозначенное как B1(f(n) + f(m)), — это так называемое число Бернулли.
Третье слагаемое — сумма от чисел Бернулли (B2k), поделенных на факториал удвоенного значения числа k и умноженных на разность производных функции f(x) в точках n и m. Причем, что еще сильнее усложняет дело, тут не просто производная, а производная 2k-1 порядка. То есть все третье слагаемое выглядит так:
Число Бернулли B2 («2» так как в формуле стоит 2k, и мы начинаем складывать с k=1) делим на факториал 2 (это пока просто двойка) и умножаем на разность производных первого порядка (2k-1 при k=1) функции f(x) в точках n и m
+
Число Бернулли B4 («4» так как в формуле стоит 2k, а k теперь равно 2) делим на факториал 4 (1×2х3×4=24) и умножаем на разность производных третьего порядка (2k-1 при k=2) функции f(x) в точках n и m
+
Число Бернулли B6 (см. выше) делим на факториал 6 (1×2х3×4х5×6=720) и умножаем на разность производных пятого порядка (2k-1 при k=3) функции f(x) в точках n и m
+
…
Суммирование продолжается вплоть до k=p. Числа k и p получаются некоторыми произвольными величинами, которые мы можем выбирать по-разному, вместе с m и n — натуральными числами, которыми ограничен рассматриваемый нами участок с функцией f(x). То есть в формуле целых четыре параметра, и это вкупе с произвольностью функции f(x) открывает большой простор для исследований.
Оставшееся скромное R, увы, тут не константа, а тоже довольно громоздкая конструкция, выражаемая через уже упомянутые выше числа Бернулли. Теперь самое время пояснить, что это такое, откуда взялось и почему вообще математики стали рассматривать столь сложные выражения.
Числа Бернулли и разложения в ряд
В математическом анализе есть такое ключевое понятие как разложение в ряд. Это значит, что можно взять какую-то функцию и написать ее не напрямую (например y = sin(x^2) + 1/ln(x) + 3x), а в виде бесконечной суммы множества однотипных слагаемых. Например, многие функции можно представить как сумму степенных функций, умноженных на некоторые коэффициенты — то есть сложной формы график сведется к комбинации линейной, квадратичной, кубической… и так далее — кривых.
В теории обработки электрических сигналов огромную роль играет так называемый ряд Фурье — любую кривую можно разложить в ряд из синусов и косинусов разного периода; такое разложение необходимо для преобразования сигнала с микрофона в последовательность нулей и единиц внутри, скажем, электронной схемы мобильного телефона. Разложения в ряд также позволяют рассматривать неэлементарные функции, а ряд важнейших физических уравнений при решении дает именно выражения в виде ряда, а не в виде какой-то конечной комбинации функций.
В XVII столетии математики стали вплотную заниматься теорией рядов. Несколько позже это позволило физикам эффективно рассчитывать процессы нагрева различных объектов и решать еще множество иных задач, которые мы здесь рассматривать не будем. 6 + … например) и получил числа, при помощи которых можно разложить в упомянутый выше степенной ряд другие функции — например, tg(x). Хотя, казалось бы, тангенс не очень-то похож хоть на параболу, хоть на какую угодно степенную функцию!
Полиномы Бернулли позже нашли свое применение не только в уравнениях матфизики, но и в теории вероятностей. Это, в общем-то, предсказуемо (ведь ряд физических процессов — вроде броуновского движения или распада ядер — как раз и обусловлен разного рода случайностями), но все равно заслуживает отдельного упоминания.
-1/12
Громоздкая формула Эйлера-Маклорена использовалась математиками для разных целей. Так как в ней, с одной стороны, стоит сумма значений функций в определенных точках, а с другой — есть и интегралы, и разложения в ряд, при помощи этой формулы можно (в зависимости от того, что нам известно) как взять сложный интеграл, так и определить сумму ряда.
Сриниваса Рамануджан придумал этой формуле иное применение. Он ее немного модифицировал и получил такое выражение:
В качестве функции f(x) он рассмотрел просто x — пусть f(x) = x, это вполне правомерное допущение. Но для этой функции первая производная равна просто единице, а вторая и все последующие — нулю: если все аккуратно подставить в указанное выше выражение и определить соответствующие числа Бернулли, то как раз и получится −1/12.
Это, разумеется, было воспринято самим индийским математиком как нечто из ряда вон выходящее. Поскольку он был не просто самоучкой, а талантливым самоучкой, он не стал всем рассказывать про поправшее основы математики открытие, а вместо этого написал письмо Годфри Харди, признанному эксперту в области как теории чисел, так и математического анализа. Письмо, кстати, содержало приписку, что Харди, вероятно, захочет указать автору на ближайшую психиатрическую лечебницу: однако итогом, конечно, стала не лечебница, а совместная работа.
Парадокс
Суммируя все сказанное выше, получим следующее: сумма всех натуральных чисел получается равной −1/12 при использовании специальной формулы, которая позволяет разложить произвольную функцию в некоторый ряд с коэффициентами, называемыми числами Бернулли. Однако это не значит, что 1+2+3+4 оказывается больше, чем 1+2+3+… и так до бесконечности. В данном случае мы имеем дело с парадоксом, который обусловлен тем, что разложение в ряд — это своего рода приближение и упрощение.
Можно привести пример намного более простого и наглядного математического парадокса, связанного с выражением чего-то одного через что-то другое. Возьмем лист бумаги в клеточку и нарисуем ступенчатую линию с шириной и высотой ступеньки в одну клетку. Длина такой линии, очевидно, равна удвоенному числу клеток — а вот длина спрямляющей «лесенку» диагонали равна числу клеток, умноженному на корень из двух. Если сделать лесенку очень мелкой, она все равно будет той же длины и практически не отличимая от диагонали ломаная линия окажется в корень из двух раз больше той самой диагонали! Как видите, для парадоксальных примеров писать длинные сложные формулы вовсе не обязательно.
Формула Эйлера-Маклорена, если не вдаваться в дебри математического анализа, является таким же приближением, как и ломаная линия вместо прямой. 120 степени раз. Это одна из нерешенных задач современной физики; тут явно просвечивает пробел в наших знаниях о Вселенной. Или же проблема — в отсутствии подходящих математических методов для описания окружающего мира. Физики-теоретики совместно с математиками пытаются найти такие способы описать физические процессы, при которых не будет возникать расходящихся (уходящих в бесконечность) рядов, но это далеко не самая простая задача.
Пронумеровать все действительные числа на отрезке [0,1] / Хабр
В качестве доказательства несчетности действительных чисел во всех учебниках по теории множеств приводится так называемый диагональный метод Кантора (подробнее можно ознакомиться в книге «Что такое математика?», авторы Курант, Роббинс, §4. Математический анализ бесконечного. 2. Счетность множества рациональных чисел и несчетность
континуума.). Данный метод доказывает несчетность подмножества действительных чисел, принадлежащих диапазону [0,1]. Однако, если присмотреться к доказательству, становится ясно, что оно не учитывает экспоненциальный рост возможных вариантов с каждым увеличиеним порядкового номера в десятичной дроби.
Кантор рассуждает следующим образом (но только в отношении бесконечных десятичных дробей): расположем десятичные дроби произвольным образом в виде списка, далее пронумеруем их и рассмотрим диагональ. Если к каждой цифре на диагонали прибавить 1, то мы получим число, которого нет в данном списке. Вот как раз таки этот момент на интуитивном уровне вызывает сомнение.
Недостаток диагонального метода
Для того, чтобы понять о чем речь, давайте попробуем рассмотреть идею диагонального метода на следующем примере. Рассмотрим конечные дроби вида: 0,a1a2a3a4a5, сформируем из них список так, чтобы получился квадрат размером 5*5, как это показано на рисунке ниже:
Применим метод Кантора, и действительно, числа 0,22226 нет в данном квадрате. Но, оно есть в прямоугольнике 5*n5, где 5 – количество знаков после запятой, а n – количество цифр в используемой системе исчисления (в данном примере, n=10). Это объясняется тем, что количество комбинаций всех возможных дробей, длина которых составляет 5 знаков после запятой, равно n5.
Устремляя размер квадрата до бесконечности, получаем то, что называется диагональным методом Кантора. Но в бесконечность нужно устремлять не квадрат, а прямоугольник, размером m*nm, где m – количество позиций после запятой, m —> ∞.
Идея моего подхода
Чтобы пронумеровать все действительные числа, принадлежащие диапазону [0, 1], их надо располагать в виде экспоненциально растущего дерева. Рассмотрим десятичные дроби, записанные в двоичной системе. Пусть k – количество знаков после запятой, n – размер алфавита системы счисления. Тогда количество возможных вариантов дробей начиная с k=1 и до ∞ будет функцией от k, это видно на рисунке ниже:
Назовем каждую строку в вышеприведенной таблице – уровнем. Таким образом k – это и номер уровня, и количество знаков после запятой одновременно.
Введем два порядковых номера:
общий счетчик (C, Counter), используется для последовательной нумерации всех чисел из диапазона [0,1];
счетчик уровня (L, per Level counter), используется для нумерации чисел на каждом уровне отделььно, обнуляется при переходе на следующий уровень. Для первого уровня L примет значения 1 и 2, для второго — 1, 2, 3 и 4 и т.д.
Изобразим все двоичные десятичные дроби в виде в виде двоичного дерева, как в таблице ниже:
Каждая отдельная цифра в позиции десятичного числа располагается в отдельной ячейке. Напротив каждой такой цифры записываем 2 индекса C и L следующим образом: NCL, где N – значение цифры.
Cтановится очевидно, что С и L – это функции от k и цифр самого числа N: С = fC(k; N), L = fL(k; N). Также становится очевидно, что мы можем пронумеровать все числа из диапазона [0,1], т. к. мы последовательно проходим по каждому уровню и последовательно нумеруем все возможные комбинации на данном уровне.
Осталось вывести аналитическую зависимость для счетчиков C = fC(N) и L = fL(k;N).
Для удобства обозначим L(k;N) как Lk.
Будем считать, что L0 — 1 = 0.
Если внимательно изучить таблицу, то вырисовывается следующая закономерность:
Lk = (Lk-1 — 1)*S + N + 1,
где k >= 1, N – текущая цифра в дроби, S = |{0,1}| = 2 – размер алфавита двоичной системы счисления. Запись |A| означает мощность множества A, для конечного множества – это количество элементов в нем.
Очевидно, что C содержит сумму всех комбинаций для всех предыдущих уровней плюс L числа для текущего уровня, т.е. C(N) = Σi∈[1,k-1]2i + L(k; N).
Примеры
Рассмотрим произвольное число 0,0101. Его порядковый номер C(0,0101) = 21 + 22 + 23 + L4 = 2 + 4 + 8 + 6 = 20.
Таким образом мы получили алгоритм, который последовательно нумерует абсолютно все действительные числа из диапазона [0,1], при этом, если взять произвольную десятичную дробь произвольной длины, то мы можем вычислить ее уникальный прядковый номер.
P.S. Если предложенный мной алгоритм имеет ошибку, которую я, в силу своей невнимательности, не вижу – большая просьба написать об этом в комментариях.
P.P.S Если же ошибки нет – то получается, что |[0,1]| = |N|! Т.е. ВСЕ действительные числа из диапазона [0,1] можно пронумеровать!
20011 — Переменные, константы и действительные числа
Введение: соединение вашего обучения
Математику обычно называют универсальным языком. С огромной популярностью социальных сетей это становится все более очевидным. Вы не можете общаться с другими людьми из разных слоев общества без общего языка математики, управляющего вашим интернет-соединением, перемещающими спутники или переводящими слова.
Кроме того, люди не могут составить карту Земли со смартфонов без программистов, которые генерируют математические алгоритмы для обеспечения этой технологии. Если вы решите сделать карьеру в области информационных технологий, будь то безопасность, сетевые технологии, мобильные приложения или геопространственные технологии, вам потребуется определенный уровень математических знаний.
В этом уроке вы узнаете, как упорядочиваются действительные числа, сколько категорий чисел существует, и математические символы, которые позволяют вам быстро сравнивать или классифицировать числа.
Фокусировка вашего обучения
Цели урока
К концу этого урока вы должны уметь:
Различать переменные и константы.
Классифицируйте числа по соответствующим наборам/подмножествам.
Заказать реальные числа.
Презентация
Переменные и константы
Основное различие между алгеброй и арифметикой заключается в использовании символов. В алгебре символы (обычно буквы) используются для представления чисел. Чтобы решать математические задачи, вы должны знать, что такое переменные и константы. Вот введение в термины переменные и константы.
Переменная — это буква или символ, используемый в качестве заполнителя для неизвестного значения .
Что такое переменная?
Константа может быть буквой или символом, представляющим фиксированное число .
Что такое константа?
Посмотрите на два примера ситуаций, в которых буквы заменяются цифрами.
Пример 1
Предположим, что учащийся изучает три предмета, связанных с технологиями.
Каждый класс может сдавать не более одного экзамена в неделю.
Таким образом, в любой недельный период учащийся может сдать 0, 1, 2 или 3 экзамена по трем предметам.
В алгебре буква X может обозначать количество экзаменов, которые учащийся может сдать в течение одной недели.
Буква X является переменной, так как может представлять любое из чисел: 0, 1, 2, 3.
Пример 2
Предположим, вы должны указать общее количество программ, используемых в компьютерном классе в течение весеннего семестра вашего колледжа.
Поскольку вы не знаете этот номер наизусть, вы решаете представить его (хотя бы временно) буквой S .
Позже вы составляете список доступных программ и суммируете их общее количество. Вы обнаружите, что в общей сложности используется семь компьютерных программ.
Буква S , обозначающая это число, равна 7.
Поскольку S не может представлять никаких других значений, значение S является постоянным.
Посмотрите следующие видеоролики о переменных и константах. Вы увидите дополнительные примеры, которые помогут вам лучше понять эти новые концепции.
Математический видео-инструментарий
Переменные и константы
Переменные, выражения и уравнения
Вещественные числа
Перед изучением действительных чисел и аспектов, из которых состоят действительные числа, вы сначала узнаете о прямой числовой прямой.
Изучение математики требует использования нескольких наборов чисел. Строка действительных чисел позволяет визуально отображать (графически) интересующие вас числа.
Линия состоит из бесконечного множества точек. Каждой точке можно присвоить уникальный номер, а каждому номеру можно присвоить конкретную точку.
Следующие слова используются для описания точек на прямой с действительными числами.
Координата
Число, связанное с точкой на числовой прямой, называется координатой точки.
График
Точка на числовой прямой, связанная с определенным числом, называется графиком этого числа.
Как построить прямую числовую линию?
Вот три шага, которые нужно выполнить, чтобы создать прямую числовую линию.
Проведите горизонтальную линию.
Отметить исходную точку.
Выберите любую точку на линии и обозначьте ее 0. Эта точка называется началом координат.
Выберите удобную длину. Начиная с 0, отметьте эту длину в обоих направлениях, следя за тем, чтобы длины были примерно одного размера.
Теперь, когда вы создали числовую прямую, пришло время посмотреть, как определяются точки на числовой прямой.
Вещественные числа
Вещественное число — это любое число, являющееся координатой точки на прямой с действительными числами.
Положительные числа, отрицательные числа
Вещественные числа, графики которых расположены справа от 0, называются положительными действительными числами, или, проще говоря, положительными числами. Вещественные числа, графики которых располагаются слева от 0, называются отрицательными действительными числами или отрицательными числами.
Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.
Посмотрите видео с простым объяснением положительных и отрицательных чисел на линейке действительных чисел.
Что такое положительные и отрицательные числа?
Подмножества действительных чисел
Множество действительных чисел имеет много подмножеств. Ниже приведена диаграмма действительных чисел. Вы увидите термины натуральные, целые, целые, рациональные и иррациональные числа, которые представляют собой наборы действительных чисел.
Натуральные числа, счетные числа
Буква ( N ) — это символ, используемый для представления натуральных чисел. Натуральные числа также известны как счетные числа, и они начинаются с цифры 1 и продолжаются до бесконечности (никогда не заканчиваются), что обозначается тремя точками (. ..).
Натуральные или счетные числа ( N ): 1, 2, 3, 4 . . . «и так далее.»
Целые числа
Буква ( W ) — это символ, используемый для представления целых чисел. Целые числа — это числа от 0 до бесконечности.
Целые числа ( W ): 0, 1, 2, 3, 4 . . .
Обратите внимание, что каждое натуральное число является целым числом.
Целые числа
Буква ( Z ) — это символ, используемый для представления целых чисел. Целое число может быть равно 0, положительному числу до бесконечности или отрицательному числу до отрицательной бесконечности.
Целые числа ( Z ): . . . -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. . .
Обратите внимание, что каждое целое число является целым числом.
Посмотрите следующее видео, чтобы лучше понять целые числа.
Что такое целое число?
Рациональные числа (Дроби)
Буква ( Q ) — это символ, который используется для представления рациональных чисел. Рациональные числа иногда называют дробями. Это числа, которые можно записать как частное двух целых чисел. Они имеют десятичные представления, которые либо заканчиваются, либо не заканчиваются, но содержат повторяющийся блок цифр. Некоторые примеры приведены ниже:
− = − 0,75 Завершение
= 8,407407407 . . . Непрерывные, но повторяющиеся
Некоторые рациональные числа изображены ниже.
Обратите внимание, что каждое целое число является рациональным числом.
Вы заметите множество точек на числовой прямой, которые не обсуждаются. Эти числа составляют иррациональные числа. Они будут подробно рассмотрены в курсе алгебры. Примером иррационального числа является π (пи), десятичное представление которого не заканчивается и не содержит повторяющегося блока цифр. Приближение для π равно 3,14.
Пример: Действительные числа
Всякое ли целое число является натуральным?
Нет. Число 0 — целое число, но не натуральное.
Существует ли целое число, не являющееся натуральным?
Да. Некоторые примеры: 0, -1, -2, -3 и -4.
Существует ли целое число, которое является целым числом?
Да. На самом деле каждое целое число является целым числом.
Теперь ваша очередь тренироваться. Попробуйте самостоятельно ответить на следующие вопросы, а затем выберите Проверьте ответы , чтобы узнать, насколько хорошо вы справились.
Практика
Всякое ли натуральное число является целым числом?
Является ли каждое целое число целым числом?
Является ли каждое целое число действительным?
Существует ли целое число, которое является целым числом?
Существует ли целое число, не являющееся натуральным?
Проверить ответы
Да
Да
Да
Да
Да
Посмотрите следующее видео, чтобы получить базовый обзор подмножеств действительных чисел с примерами, которые помогут вам применить новые знания.
Подмножества действительных чисел
Выполните следующее интерактивное задание, чтобы проверить свои знания.
Практические упражнения с реальными числами
Заказ реальных чисел
Символы равенства
Вы знаете, что означает и выглядит символ равенства.
Если a = b , , то a и b равны, (8 = 8).
Чтобы узнать об упорядочивании действительных чисел, подумайте об этом следующим образом.
Если реальное число B больше, чем реальное число A , их отношения выглядят так:
B > A и > A и B. справа от a в числовой строке
Вот пример:
5 > 2 , так как 5 находится справа от 2 −2 в числовой строке
9000 , так как −2 находится справа от −5 на числовой прямой.
Символы неравенства
Важно знать, что означает каждый символ неравенства, потому что они используются для упорядочивания чисел. Взгляните на диаграмму ниже.
Символы неравенства
Что означает этот символ?
Пример 1
Пример 2
Пример 3
>
больше
а > б
a больше b
(8 > 5)
<
меньше
а < б
a меньше b
(5 < 8)
≠
не равно
а ≠ б
a не равно b
(8 ≠ 5)
≥
больше или равно
а ≥ б
a больше или равно б
( a ≥ 8)
≤
меньше или равно
а ≤ б
a меньше или равно b
( a ≤ 8)
, если A и B представляют два числа, затем A и B связаны в одном из трех способов: A = 666666666676, . < b или a > b .
Пример 1
Какими целыми числами можно заменить x так, чтобы следующее утверждение было верным?
−3 ≤ x < 2
Ответ: Целые числа: −3, −2, −1, 0, 1. от −3 до 5. Расставьте точки на всех целых числах от −1 до 3 включительно.
Ответ:
−1 не является целым числом.
Теперь, когда вы получили некоторые знания, пришло время применить полученные знания на практике.
Практика
Начертите числовую прямую от -4 до 4.
Поставьте точки на все целые числа от -1 до 4 включительно.
Начертите числовую прямую от -4 до 3.
Поставьте точки на все целые числа от -2 до 2 включительно.
Проверка ответов
0015 Практика
Какими целыми числами можно заменить x так, чтобы следующее утверждение было верным?
−5 ≤ x <2
Проверить ответы
−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1
Пришло время попрактиковаться самостоятельно. Выберите ссылку ниже, чтобы поработать над практическими задачами, а затем выберите ссылку на решения, чтобы увидеть, насколько хорошо вы справились.
Переменные, константы, практические задачи с вещественными числами
Решения: переменные, константы, практические задачи с вещественными числами
Посмотрите следующие видеоролики, чтобы увидеть дополнительные примеры, которые помогут вам лучше понять эти новые концепции.
Что такое неравенство?
Неравенства: порядок в строке действительных чисел
Подведение итогов обучения
На этом уроке вы познакомились с основными компонентами ценной связи между обществами, называемой математикой. Вы видели разницу между переменными (постоянно меняющимися компонентами в математике) и константами. Вы также видели, что числа делятся на категории, и, что более важно, вы видели, что некоторые числа попадают в несколько категорий. В конце этого урока вы познакомились со знаком неравенства (<, ≤, >, ≥).
По мере изучения математики вы увидите, насколько важны эти символы для мира информационных технологий, особенно для процессов, требующих алгоритмов, пошаговых процедур или линейного программирования.
Наконец, когда вы познакомитесь с новыми символами или терминами, вам будет предложено уделить время изучению того, как каждое конкретное понятие относится к выбранной вами области исследования.
Оценка вашего обучения
Теперь, когда вы внимательно прочитали урок и попытались решить практические задачи, пришло время для проверки знаний. Обратите внимание, что этот является частью этого модуля, поэтому убедитесь, что вы подготовились перед началом.
Завершите обзор арифметики: переменные, константы и действительное число
Благодаря эволюции системы счисления мы теперь можем выполнять сложные вычисления, используя несколько категорий действительных чисел. В этом разделе мы изучим наборы чисел, выполним вычисления с различными типами чисел и начнем изучать использование чисел в алгебраических выражениях.
Классификация действительных чисел
Числа, которые мы используем для подсчета или перечисления элементов, являются натуральными числами : 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Мы описываем их в системе обозначений как {1, 2, 3, …}, где многоточие (…) указывает, что числа продолжаются до бесконечности. Натуральные числа, конечно, также называются счетными числами . Всякий раз, когда мы перечисляем членов команды, считаем монеты в коллекции или подсчитываем деревья в роще, мы используем набор натуральных чисел. Набор из целых чисел — это набор натуральных чисел плюс ноль: {0, 1, 2, 3,…}.
Набор из целых чисел добавляет к набору целых чисел противоположные натуральные числа: {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}. Полезно отметить, что набор целых чисел состоит из трех различных подмножеств: отрицательных целых чисел, нуля и положительных целых чисел. В этом смысле положительные целые числа — это просто натуральные числа. Другой способ думать об этом состоит в том, что натуральные числа являются подмножеством целых чисел.
Набор из рациональных чисел записывается как [латекс]\ left\{\frac{m}{n}|m\text{ и }{n}\text{ являются целыми числами, а }{n}\ne{ 0 }\right\}[/latex]. Обратите внимание на то, что из определения рациональные числа — это дроби (или частные), содержащие целые числа как в числителе, так и в знаменателе, а знаменатель никогда не равен 0. Мы также можем видеть, что каждое натуральное, целое и целое число является рациональным числом с знаменатель 1,
Поскольку это дроби, любое рациональное число также может быть представлено в десятичной форме. Любое рациональное число может быть представлено как:
завершающая десятичная дробь: [латекс]\фракция{15}{8}=1,875[/латекс], или
Мы используем линию, проведенную над повторяющимся блоком чисел, вместо многократного написания группы.
Пример: запись целых чисел в виде рациональных чисел
Каждое из следующих чисел запишите в виде рационального числа.
7
0
–8
Показать решение
Попробуйте
Каждое из следующих чисел запишите в виде рационального числа.
11
3
–4
Показать решение
Пример: Идентификация рациональных чисел
Запишите каждое из следующих рациональных чисел как завершающее или повторяющееся десятичное число.
[латекс]-\dfrac{5}{7}[/латекс]
[латекс]\dfrac{15}{5}[/латекс]
[латекс]\dfrac{13}{25}[/латекс]
Показать решение
Иррациональные числа
В какой-то момент в далеком прошлом кто-то обнаружил, что не все числа являются рациональными числами. Строитель, например, мог обнаружить, что диагональ квадрата с единичными сторонами равна не 2 и даже не [латекс]\фрак{3}{2}[/латекс], а чему-то другому. Или швейник мог заметить, что отношение длины окружности к диаметру рулона ткани чуть больше 3, но все же это не рациональное число. Такие числа называются 9.0075 иррационально , потому что их нельзя записать в виде дробей. Эти числа составляют набор из иррациональных чисел . Иррациональные числа не могут быть представлены в виде дроби от двух целых чисел. Невозможно описать этот набор чисел одним правилом, кроме как сказать, что число иррационально, если оно не рационально. Итак, мы пишем это, как показано.
{ч | h не является рациональным числом}
Пример. Дифференцирование рациональных и иррациональных чисел
Определите, является ли каждое из следующих чисел рациональным или иррациональным. Если оно рационально, определите, является ли оно завершающим или повторяющимся десятичным числом.
[латекс]\sqrt{25}[/латекс]
[латекс]\dfrac{33}{9}[/латекс]
[латекс]\sqrt{11}[/латекс]
[латекс]\dfrac{17}{34}[/латекс]
[латекс]0.3033033303333\точки[/латекс]
Показать решение
Попробуйте
Вещественные числа
Для любого числа n мы знаем, что n либо рационально, либо иррационально. Не может быть и того, и другого. Наборы рациональных и иррациональных чисел вместе составляют набор действительные числа . Как мы видели с целыми числами, действительные числа можно разделить на три подмножества: отрицательные действительные числа, ноль и положительные действительные числа. Каждое подмножество включает дроби, десятичные числа и иррациональные числа в соответствии с их алгебраическим знаком (+ или –). Ноль не считается ни положительным, ни отрицательным.
Действительные числа можно визуализировать на горизонтальной числовой линии с произвольной точкой, выбранной как 0, с отрицательными числами слева от 0 и положительными числами справа от 0. Затем для обозначения каждого целого числа используется фиксированное единичное расстояние. (или другое базовое значение) по обе стороны от 0. Любое действительное число соответствует уникальной позиции на числовой прямой. Верно и обратное: каждое место на числовой прямой соответствует ровно одному вещественному числу. Это известно как переписка один на один. Мы называем это действительная числовая строка .
Строка действительных чисел
Пример: классификация действительных чисел
Классифицируйте каждое число как положительное или отрицательное, как рациональное или иррациональное. Находится ли число слева или справа от 0 на числовой прямой?
[латекс]-\dfrac{10}{3}[/латекс]
[латекс]\sqrt{5}[/латекс]
[латекс]-\sqrt{289}[/латекс]
[латекс]-6\пи[/латекс]
[латекс]0.616161\точки[/латекс]
[латекс] 0,13 [/латекс]
Показать решение
Попробуйте
Классифицируйте каждое число как положительное или отрицательное, а также как рациональное или иррациональное. Находится ли число слева или справа от 0 на числовой прямой?
[латекс]\sqrt{73}[/латекс]
[латекс]-11.411411411\точки [/латекс]
[латекс]\dfrac{47}{19}[/латекс]
[латекс]-\dfrac{\sqrt{5}}{2}[/латекс]
[латекс]6. 210735[/латекс]
Показать решение
Наборы чисел как подмножества
Начав с натуральных чисел, мы расширили каждый набор, чтобы сформировать больший набор, а это означает, что между наборами чисел, с которыми мы сталкивались до сих пор, существует отношение подмножества. Эти отношения становятся более очевидными, если рассматривать их в виде диаграммы.
Наборы чисел. N : множество натуральных чисел W : множество целых чисел I : множество целых чисел Q : множество рациональных чисел Q´ : набор иррациональных чисел
Общее примечание: наборы чисел
Набор из натуральных чисел включает числа, используемые для счета: [латекс]\{1,2,3,\точки\} [/латекс].
Набор из целых чисел — это набор натуральных чисел плюс ноль: [латекс]\{0,1,2,3,\точки\}[/латекс].
Набор из целых чисел добавляет отрицательные натуральные числа к набору целых чисел: [латекс]\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}[ /латекс].
Набор из рациональных чисел включает дроби, записанные как [латекс]\{\frac{m}{n}|m\text{ и }n\text{ являются целыми числами, а }n\ne 0\}[/latex ].
Набор из иррациональных чисел — это набор нерациональных, неповторяющихся и непрерывных чисел: [латекс]\{ч|ч\текст{ не является рациональным числом}\}[/латекс].
Пример: дифференцирование наборов чисел
Классифицируйте каждое число как натуральное, целое, целое, рациональное и/или иррациональное.
[латекс]\sqrt{36}[/латекс]
[латекс]\dfrac{8}{3}[/латекс]
[латекс]\sqrt{73}[/латекс]
[латекс]-6[/латекс]
[латекс]3.2121121112\точки [/латекс]
Показать решение
Попробуйте
Классифицируйте каждое число как натуральное число ( N ), целое число ( W ), целое число ( I ), рациональное число ( Q ) и/или иррациональное число ( Вопрос ).
[латекс]-\dfrac{35}{7}[/латекс] 9{2}[/latex] — это математическое выражение.
Чтобы вычислить математическое выражение, мы выполняем различные операции. Однако мы не выполняем их в произвольном порядке. Мы используем порядок операций . Это последовательность правил для вычисления таких выражений.
Вспомните, что в математике мы используем круглые скобки ( ), квадратные скобки [ ] и фигурные скобки { } для группировки чисел и выражений, так что все, что появляется внутри символов, рассматривается как единое целое. Кроме того, столбцы дробей, радикалы и столбцы абсолютных значений обрабатываются как символы группировки. При вычислении математического выражения начните с упрощения выражений внутри группирующих символов. 9{2}=12[/латекс].
Для некоторых сложных выражений потребуется несколько проходов по порядку операций. Например, внутри круглых скобок может быть подкоренное выражение, которое необходимо упростить перед вычислением круглых скобок. Соблюдение порядка операций гарантирует, что любой, кто упростит одно и то же математическое выражение, получит тот же результат.
A Общее примечание: Порядок операций
Операции в математических выражениях должны выполняться в систематическом порядке, который можно упростить, используя аббревиатуру PEMDAS :
P (Arentheses)
E (Xponents)
M (Ultiplication) и D (IVision)
A DDITION) и (IVision)
9004 A (д.
Как сделать: упростите математическое выражение, используя порядок операций.
Упростите любые выражения внутри группирующих символов.
Упростите любые выражения, содержащие экспоненты или радикалы.
Выполните любое умножение и деление по порядку, слева направо. 9{2}\right]+1[/латекс]
Показать решение
Попробуй
Посмотрите следующий видеоролик, в котором приведены дополнительные примеры использования порядка операций для упрощения выражения.
Использование свойств действительных чисел
Для некоторых выполняемых нами действий порядок определенных операций не имеет значения, но имеет значение порядок других операций. Например, не имеет значения, надеваем ли мы правый ботинок раньше левого или наоборот. Однако имеет значение, надеваем ли мы сначала обувь или носки. То же самое верно и для операций в математике.
Коммутативные свойства
Коммутативное свойство сложения гласит, что числа можно складывать в любом порядке, не влияя на сумму.
[latex]a+b=b+a[/latex]
Мы можем лучше увидеть эту связь, используя действительные числа.
[латекс]\влево(-2\вправо)+7=5\текст{ и }7+\влево(-2\вправо)=5[/латекс]
Аналогично, свойство коммутативности умножения утверждает что числа можно умножать в любом порядке, не затрагивая произведение.
[латекс]а\cdot b=b\cdot а[/латекс]
Снова рассмотрим пример с вещественными числами.
[латекс]\влево(-11\вправо)\cdot\влево(-4\вправо)=44\текст{ и }\влево(-4\вправо)\cdot\влево(-11\вправо)=44 [/latex]
Важно отметить, что ни вычитание, ни деление не являются коммутативными. Например, [латекс]17–5[/латекс] — это не то же самое, что [латекс]5–17[/латекс]. Точно так же [латекс]20\дел 5\ne 5\дел 20[/латекс].
Ассоциативные свойства
Ассоциативное свойство умножения говорит нам, что не имеет значения, как мы группируем числа при умножении. Мы можем переместить символы группировки, чтобы упростить вычисления, а произведение останется прежним.
[латекс]a\left(bc\right)=\left(ab\right)c[/latex]
Рассмотрим этот пример.
[латекс]\влево(3\cdot4\вправо)\cdot5=60\текст{ и }3\cdot\влево(4\cdot5\вправо)=60[/латекс]
Ассоциативное свойство сложения говорит нам, что числа могут быть сгруппированы по-разному, не влияя на сумму.
Это свойство сочетает в себе как сложение, так и умножение (и является единственным свойством, которое делает это). Рассмотрим пример.
Обратите внимание, что 4 находится за пределами символов группировки, поэтому мы распределяем 4, умножая его на 12, умножая на -7 и добавляя произведения.
Чтобы быть более точным при описании этого свойства, мы говорим, что умножение распределяет над сложением. Обратное неверно, как мы можем видеть на этом примере.
Умножение не распределяется по вычитанию, а деление не распределяется ни по сложению, ни по вычитанию.
Особый случай распределительного свойства возникает при вычитании суммы членов.
[латекс]a-b=a+\влево(-b\вправо)[/латекс]
Например, рассмотрим разность [латекс]12-\влево(5+3\вправо)[/латекс]. Мы можем переписать разницу между двумя терминами 12 и [латекс]\влево(5+3\вправо)[/латекс], превратив выражение вычитания в сложение противоположного. Поэтому вместо вычитания [латекс]\влево(5+3\вправо)[/латекс] мы прибавляем обратное.
Это кажется большой проблемой для простой суммы, но она иллюстрирует мощный результат, который будет полезен, когда мы введем алгебраические термины. Чтобы вычесть сумму членов, измените знак каждого члена и сложите результаты. Имея это в виду, мы можем переписать последний пример.
Свойство идентичности добавления указывает, что существует уникальное число, называемое аддитивной идентичностью (0), которое при добавлении к числу дает в исходном номере.
[latex]a+0=a[/latex]
Свойство тождества умножения утверждает, что существует уникальное число, называемое мультипликативным тождеством (1), которое при умножении на число дает исходное количество.
[латекс]а\cdot 1=а[/латекс]
Например, у нас есть [латекс]\влево(-6\вправо)+0=-6[/латекс] и [латекс]23\cdot 1 =23[/латекс]. Для этих свойств нет исключений; они работают для каждого действительного числа, включая 0 и 1.
Обратные свойства
Обратное свойство сложения утверждает, что для каждого действительного числа a существует уникальное число, называемое аддитивным обратным (или противоположным) числом. , обозначенный — a , что при добавлении к исходному числу дает аддитивную идентичность, 0,
[латекс]а+\влево(-а\вправо)=0[/латекс]
Например, если [латекс]а=-8[/латекс], обратная аддитивная величина равна 8, поскольку [латекс]\влево (-8\справа)+8=0[/латекс].
Свойство , обратное умножению , выполняется для всех действительных чисел, кроме 0, поскольку величина, обратная 0, не определена. Свойство утверждает, что для каждого действительного числа a существует уникальное число, называемое мультипликативным обратным (или обратным), обозначаемое [latex]\frac{1}{a}[/latex], которое при умножении на исходное число, приводит к мультипликативному тождеству, 1.
[latex]a\cdot \dfrac{1}{a}=1[/latex]
Например, если [latex]a=-\frac{2}{3}[/latex], обратная обозначается как [латекс]\frac{1}{a}[/latex], это [латекс]-\frac{3}{2}[/latex], потому что
Следующие свойства справедливы для действительных чисел a , b и c .
The third column entry reads a times b equals b times a. The first entry of the third row reads Associative Property. The second column entry reads: a plus the quantity b plus c in parenthesis equals the quantity a plus b in parenthesis plus c. The third column entry reads: a times the quantity b times c in parenthesis equals the quantity a times b in parenthesis times c. The first entry of the fourth row reads: Distributive Property. The second and third column are combined on this row and read: a times the quantity b plus c in parenthesis equals a times b plus a times c. The first entry in the fifth row reads: Identity Property. The second column entry reads: There exists a unique real number called the additive identity, 0, such that for any real number a, a + 0 = a. The third column entry reads: There exists a unique real number called the multiplicative inverse, 1, such that for any real number a, a times 1 equals a. The first entry in the sixth row reads: Inverse Property. The second column entry reads: Every real number a has an additive inverse, or opposite, denoted negative a such that, a plus negative a equals zero. The third column entry reads: Every nonzero real»>
До сих пор математические выражения, которые мы видели, включали только действительные числа. {2}}[/латекс]. В выражении [latex]x+5, 5[/latex] называется константа , потому что она не меняется, а x называется переменной , потому что она меняется. (При именовании переменной игнорируйте любые показатели степени или радикалы, содержащие эту переменную.) Алгебраическое выражение представляет собой набор констант и переменных, объединенных алгебраическими операциями сложения, вычитания, умножения и деления.
Мы уже видели несколько примеров экспоненциальной записи действительных чисел, сокращенного метода записи произведений одного и того же множителя. Когда используются переменные, константы и переменные обрабатываются одинаково. 9{3}=\left(yz\right)\cdot\left(yz\right)\cdot\left(yz\right)\\ \text{ }\end{align}[/latex]
В каждом случае показатель степени говорит нам, сколько факторов базы использовать, независимо от того, состоит ли база из констант или переменных.
Любая переменная в алгебраическом выражении может принимать или ей присваиваются разные значения. Когда это происходит, значение алгебраического выражения изменяется. Вычислить алгебраическое выражение означает определить значение выражения для заданного значения каждой переменной в выражении. Замените каждую переменную в выражении заданным значением, затем упростите полученное выражение, используя порядок операций. Если алгебраическое выражение содержит более одной переменной, замените каждую переменную ее присвоенным значением и упростите выражение, как и раньше. 9{2}}[/латекс]
Показать решение
Попробуйте
Пример: вычисление алгебраического выражения при различных значениях
Вычислите выражение [latex]2x — 7[/latex] для каждого значения для x.
[латекс]x=0[/латекс]
[латекс]x=1[/латекс]
[латекс]x=\dfrac{1}{2}[/латекс]
[латекс]x=-4[/латекс]
Показать решение
Попробуйте
Пример: вычисление алгебраических выражений 9{2}}[/латекс] для [латекс]m=2,n=3[/латекс]
Показать решение
Попробуйте
В следующем видео мы представляем больше примеров того, как вычислить выражение для заданного значения.
Формулы
Уравнение — это математическое утверждение, указывающее, что два выражения равны. Выражения могут быть числовыми или алгебраическими. Уравнение не является по своей сути истинным или ложным, а только предложением. Значения, которые делают уравнение истинным, решения, находятся с использованием свойств действительных чисел и других результатов. Например, уравнение [латекс]2x+1=7[/латекс] имеет единственное решение [латекс]х=3[/латекс], потому что, когда мы подставляем 3 вместо [латекс]х[/латекс] в уравнении, мы получить истинное утверждение [латекс]2\влево(3\вправо)+1=7[/латекс]. 9{2}[/латекс].
Пример: использование формулы
Прямой круглый цилиндр с радиусом [латекс]r[/латекс] и высотой [латекс]h[/латекс] имеет площадь поверхности [латекс]S[/латекс] (в квадратных единицах) задается формулой [латекс]S=2\pi r\left(r+h\right)[/латекс]. Найдите площадь поверхности цилиндра радиусом 6 дюймов и высотой 9 дюймов. Оставьте ответ в терминах [латекс]\пи[/латекс].
Круглый правый цилиндр
Показать решение
Попробуйте
Рисунок 4
Фотография длиной L и шириной W помещается на коврик шириной 8 сантиметров (см). Площадь коврика (в квадратных сантиметрах или см 2 ) равна [латекс]A=\left(L+16\right)\left(W+16\right)-L\cdot W[/ латекс]. Найдите площадь коврика для фотографии длиной 32 см и шириной 24 см.
Показать решение
Упрощение алгебраических выражений
Иногда мы можем упростить алгебраическое выражение, чтобы упростить его вычисление или использование другим способом. Для этого воспользуемся свойствами вещественных чисел. Мы можем использовать те же свойства в формулах, поскольку они содержат алгебраические выражения.
Прямоугольник с длиной [латекс]L[/латекс] и шириной [латекс]W[/латекс] имеет периметр [латекс]Р[/латекс], заданный [латекс ]P=L+W+L+W[/латекс]. Упростите это выражение.
Показать решение
Попробуйте
Если сумма [latex]P[/latex] депонирована на счет с выплатой простых процентов [latex]r[/latex] в течение времени [latex]t[/latex], общая стоимость депозита [latex]A[/latex] задается как [latex]A=P+Prt[/latex]. Упростите выражение. (Эта формула будет рассмотрена более подробно позже в ходе курса.)
Показать решение
Ключевые понятия
Рациональные числа могут быть записаны в виде дробей или завершающих или повторяющихся десятичных знаков.
Определите, является ли число рациональным или иррациональным, записав его в виде десятичной дроби.
Рациональные числа и иррациональные числа составляют множество действительных чисел. Число может быть классифицировано как натуральное, целое, целое, рациональное или иррациональное.
Порядок операций используется для оценки выражений.
Вещественные числа при операциях сложения и умножения подчиняются основным правилам, известным как свойства действительных чисел. Это коммутативные свойства, ассоциативные свойства, распределительные свойства, свойства тождества и обратные свойства.
Алгебраические выражения состоят из констант и переменных, которые объединяются с помощью сложения, вычитания, умножения и деления. Они принимают числовое значение при оценке путем замены переменных константами.
Формулы – это уравнения, в которых одна величина представлена через другие величины. Они могут быть упрощены или оценены как любое математическое выражение.
Глоссарий
алгебраическое выражение константы и переменные, объединенные с помощью сложения, вычитания, умножения и деления
ассоциативное свойство сложения сумма трех чисел может быть сгруппирована по-разному, не влияя на результат; в символах [latex]a+\left(b+c\right)=\left(a+b\right)+c[/latex]
ассоциативное свойство умножения произведение трех чисел может группироваться по-разному без влияет на результат; в символах, [latex]a\cdot \left(b\cdot c\right)=\left(a\cdot b\right)\cdot c[/latex]
base в экспоненциальной записи, выражение, которое умножается на
коммутативное свойство сложения два числа можно складывать в любом порядке, не влияя на результат; в символах [latex]a+b=b+a[/latex]
коммутативное свойство умножения два числа можно умножать в любом порядке, не влияя на результат; в символах, [latex]a\cdot b=b\cdot a[/latex]
постоянная величина, не меняющая значения
свойство распределения размножить каждый член в сумме; в символах [латекс]a\cdot \left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c[/latex]
уравнение математическое утверждение, указывающее, что два выражения равны одного и того же фактора
формула уравнение, выражающее связь между постоянными и переменными величинами
тождество свойство сложения существует уникальное число, называемое аддитивной идентичностью, 0, которое при добавлении к числу дает исходное число; в символах [латекс]а+0=а[/латекс]
свойство тождества умножения существует уникальное число, называемое мультипликативным тождеством, 1, которое при умножении на число дает исходное число; в символах [латекс]а\cdot 1=а[/латекс]
целых чисел множество, состоящее из натуральных чисел, их противоположностей и 0: [латекс]\{\точки ,-3,-2,- 1,0,1,2,3,\точки\}[/латекс]
обратное свойство сложения для каждого действительного числа [латекс]а[/латекс] существует уникальное число, называемое аддитивным обратным (или противоположным), обозначаемое [латекс]-а[/латекс], которое, когда добавление к исходному числу дает аддитивную идентичность, 0; в символах, [latex]a+\left(-a\right)=0[/latex]
обратное свойство умножения для каждого ненулевого действительного числа [latex]a[/latex], существует уникальное число , называемый мультипликативным обратным (или обратным), обозначаемым [latex]\dfrac{1}{a}[/latex], который при умножении на исходное число дает мультипликативную идентичность, 1; в символах [латекс]а\cdot \dfrac{1}{а}=1[/латекс]
иррациональные числа множество всех нерациональных чисел; их нельзя записать как завершающую или повторяющуюся десятичную дробь; они не могут быть выражены в виде дроби от двух целых чисел
натуральных чисел набор счетных чисел: [латекс]\{1,2,3,\точки \}[/латекс]
порядок операций набор правил, регулирующих вычисление математических выражений, назначение приоритетов операциям
рациональных чисел множество всех чисел вида [latex]\dfrac{m}{n}[/latex], где [latex]m[/latex] и [latex]n[/latex] — целые числа, а [latex]n \ne 0[/латекс]. Любое рациональное число может быть записано как дробь или завершающая или повторяющаяся десятичная дробь.
строка действительных чисел горизонтальная линия, используемая для представления действительных чисел. Произвольная фиксированная точка выбирается для представления 0; положительные числа лежат справа от 0, а отрицательные слева.
действительные числа совокупность рациональных и иррациональных чисел
переменная количество, которое может изменить значение
целые числа множество, состоящее из 0 плюс натуральные числа: [латекс]\{0,1,2,3,\точки\}[/латекс]
Настоящие числа — GeeksforGeeks
В математике вещественное число — это значение непрерывной величины, которое может представлять расстояние вдоль линии. Действительные числа включают в себя как рациональные, так и иррациональные числа. Рациональные числа, такие как целые числа (-5, 0, 9), дроби (1/2, 7/8, 2,5) и иррациональные числа, такие как √7, π и т. д., являются действительными числами.
Вы когда-нибудь думали, что мы можем считать вещи, но как мы можем считать? Мы можем считать, используя числа. Но числа также бывают разных типов: некоторые имеют отрицательные значения, некоторые имеют положительные значения, некоторые очень большие, некоторые очень маленькие, некоторые в математических операциях, поэтому существует много типов чисел.
Число или система счисления – это система представления чисел. В математике существуют различные типы систем счисления, такие как двоичная, десятичная и т. д. Система счисления представляет собой то, как число должно быть записано.
Числа разделены на следующие типы:
Натуральные номера
Целые числа
Целые числа
Рациональные номера
Иррациональные номера
Натуральные номера
Натуральные номера — это те, которые используются в вашем повседневную жизнь считать как 1, 2, 3 ….. Это положительные числа, потому что мы не можем считать в отрицательном выражении.
Предположим, вы выбираете число из 1, 2, 3, 4, 5…… и так до бесконечности. Эти числа известны как натуральные числа. Эти натуральные числа обозначаются символом N.
Целые числа
Целые числа — это числа, в которых к натуральным числам добавляется одно число. Добавление 0 к натуральным числам превращает серию в набор целых чисел.
0, 1, 2, 3, 4, 5…… и так до бесконечности. Эти числа известны как целые числа. Эти целые числа обозначаются символом W.
Целые числа
Все числа, которые имеют полное значение, известны как целые числа, и существует два типа целых чисел: первый отрицательный, а второй положительный.
….-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…… и так до бесконечности. Эти числа известны как целые числа и обозначаются символом Z.
Рациональные числа
В математике рациональное число — это число, которое может быть выражено как дробь p/q двух целых чисел, числитель p и не -нулевой знаменатель q, такой как 2/7.
Пример: 25 можно записать как 25/1, так что это рациональное число.
Иррациональные числа
Иррациональные числа — это числа, которые не могут быть выражены в форме p/q, где p и q — целые числа, а q ≠ 0. Короче говоря, иррациональные числа — это действительные числа, которые не являются рациональными числами.
Пример: √3, √5, π и т. д. Эти числа известны как иррациональные числа.
Вопрос 1. Найдите три рациональных числа между 6 и 7.
Ответ.
Три рациональных числа от 6 до 7: 13/2, 20/3 27/4.
Вопрос 2. Можете ли вы определить следующие серии 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ……?
Ответ.
Это группа чисел, представляющая целые числа.
Таблица реальных чисел
Представление чисел на прямой Числа
Числовая линия представляет собой представление чисел с фиксированным интервалом между ними на прямой линии. Числовая строка содержит все типы чисел, такие как натуральные числа, рациональные числа, целые числа и т. д.
Как показано в приведенной выше числовой строке, 0 находится в середине строки. Положительные целые числа записываются справа от нуля, тогда как отрицательные целые числа записываются слева от нуля.
Рациональные числа записываются между числами, на которых они лежат. Например, 3/2 равно 1,5, поэтому оно отмечено между 1 и 2. Оно показывает, что число 3/2 лежит где-то между 1 и 2.
Точно так же число 13/4 лежит между 3 и 4. Итак, мы отметили это между 3 и 4. Число -50/9 лежит между -5 и -6. Итак, мы отметили его между -5 и -6 на числовой прямой.
Вопрос: Представьте следующие числа на числовой прямой.
(и) 23/5
(ii) 6
(iii) -33/7
Десятичное расширение действительного числа десятичная система).
В этой системе каждый «десятичный знак» состоит из цифры от 0 до 9. Эти цифры расположены так, что каждая цифра умножается на степень 10, уменьшаясь слева направо.
Можем ли мы представить 13/4 в другой форме, которая может показать его точное значение на числовой прямой?
Да. Мы можем записать его в десятичных дробях, что дает его точное значение. Давайте расширим 13/4
Итак, 13/4 также можно записать как 3,25.
Теперь возьмем другой пример. Давайте расширим 1/3
Итак, 1/3 также можно записать как 0,3333…… Мы также можем записать это как
Аналогично, 1/7 можно записать как 0,142857142857142857… или . Это можно определить как повторяющиеся десятичные дроби.
Последовательное увеличение
Процесс представления и визуализации действительных чисел на числовой прямой через увеличительное стекло известен как последовательное увеличение.
Возьмем в качестве примера 3,25
Мы можем сказать, что 3,25 определенно находится между 3 и 4. Можем ли мы сказать, где именно оно лежит? Да, мы можем сделать это, используя последовательное увеличение.
В первой строке мы видим, что 3,25 лежит между 3 и 4. Теперь сделайте шаг вперед. Теперь мы масштабируем между 3,2 и 3,3. Здесь мы обнаружили, что 3,25 лежит между 3,2 и 3,3. Таким образом, мы представили 3,25 на числовой прямой, используя последовательное увеличение.
Операции над действительными числами
Мы знаем, что можем выполнять математические операции над рациональными числами. Например, мы можем складывать, делить, умножать и вычитать рациональное число с другим числом. В результате мы также получаем рациональное число.
Точно так же мы можем выполнять математические операции и с иррациональными числами, но результат может быть рациональным или иррациональным.
Образцы примеров
Пример 1. Сложите √3 и √5
Решение:
(√3 + √5)
Теперь ответ — иррациональное число.
Пример 2. Умножьте √3 на √3.
Решение:
√3 × √3 = 3
Теперь ответ — рациональное число.
Итак, мы можем сказать, что результат математических операций над иррациональными числами может быть рациональным или иррациональным.
Теперь сложите рациональное число с иррациональным числом.
Наборы чисел в действительной системе счисления — Krista King Math
Чисел существует больше, чем просто «счетные числа»
Когда я говорю слово «числа», вы, наверное, сразу думаете об этих:
???1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ ...???
или, вы можете подумать об этом:
???0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ ...???
Но когда большинство людей думают о числах в целом, они обычно не думают о других видах чисел, о которых мы будем говорить в этом курсе, таких как отрицательные числа, дроби и десятичные дроби или радикальные числа.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
Не вдаваясь в детали этого урока, мы просто хотим воспользоваться этим уроком, чтобы получить небольшое предварительное представление о различных видах числовых наборов. Поскольку мы рассмотрим каждый из этих типов чисел позже, сейчас мы просто хотим определить каждый из различных наборов чисел.
Действительные числа
Подавляющее большинство чисел, которые вы будете использовать на большинстве уроков математики, называются действительных чисел , и вся вселенная действительных чисел составляет систему действительных чисел . Начнем со схемы.
Действительные числа включают в себя рациональные числа и иррациональные числа. Рациональные числа это дроби, которые выглядят следующим образом:
Десятичные числа, которые заканчиваются или повторяются, также являются рациональными числами и могут выглядеть следующим образом:
???- 0,25,\ 0,333,\ 5,7,\ ...???
Иррациональные числа — это все числа, которые нельзя записать в виде дроби. Это иррациональные корни, такие как ???\sqrt2??? и десятичные числа, такие как ???\pi??? которые продолжаются вечно.
???\sqrt2=1.41421356237...???
???\pi=3.1415
59...???
Опять же, мы рассмотрим их более подробно позже.
Целые числа – это особый вид рациональных чисел. Они состоят из всех чисел, о которых вы обычно думаете, например ???0,\1,\2,\3,\4,\5,\...???, а также отрицательных чисел. Таким образом, набор целых чисел выглядит так:
В наборе целых чисел есть набор чисел, который мы называем целыми числами , который состоит из всех положительных целых чисел плюс ???0???. Итак, набор целых чисел равен
???0,\1,\2,\3,\4,\5,\. ..???
И в наборе целых чисел мы определяем набор, называемый натуральными числами , который является только набором всех положительных целых чисел без ???0???. Итак, множество натуральных чисел равно 9.0005
???1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ ...???
Мы часто называем натуральные числа « счетными числами », поскольку ???1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ ...??? как мы учимся считать, когда мы молоды.
Иерархия числовых множеств в действительной системе счисления
Пройти курс
Хотите узнать больше о Pre-Algebra? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
Учить больше
Символы набора номеров
Каждый из этих наборов номеров обозначается символом. Мы используем этот символ как сокращенный способ обращения к значениям в наборе.
R представляет набор действительных чисел
Q представляет набор рациональных чисел
Z представляет набор целых чисел
W представляет набор целых чисел
N представляет набор натуральных чисел
Поскольку иррациональные числа все действительные числа, кроме всех рациональных чисел (включая рациональные, целые числа, целые числа и натуральные числа), мы обычно выражаем иррациональные числа как R-Q или R\Q.
R-Q представляет набор иррациональных чисел
Подавляющее большинство чисел, которые вы будете использовать на большинстве уроков математики, называются действительными числами , и вся вселенная действительных чисел составляет систему действительных чисел .
Обозначение набора
Здесь мы говорили о наборах чисел, но мы также можем думать о наборах вещей, отличных от чисел. Например, вы можете описать членов семьи как 9 человек.0005
???\text{страны Северной Америки}=\{\text{Канада}, \text{США}, \text{Мексика}\}???
Обычно мы используем эти фигурные скобки, чтобы заключить элементы набора. Таким образом, используя символы, которые мы изучили для наборов чисел, в системе обозначений наборов вы можете записать набор всех натуральных чисел как
Можете ли вы представить, какой была бы ваша жизнь, если бы у вас не было способа представить возраст, вес, дни рождения, время, счет, банковские счета и номера телефонов? Десять математических цифр (от 0 до 9) используются для определения всех этих величин.
Числа — это строки цифр, используемые для представления количества. Величина числа указывает на размер количества. Он может быть как большим, так и маленьким. Они существуют в разных формах, таких как 3, 999, 0,351, 2/5 и т. д.
Типы чисел в математике
Точно так же, как разные члены семьи живут в разных домах, разные числа относятся к одной семье, но имеют разные типы. Со временем различные комбинации из десяти цифр были отнесены к различным типам чисел. Эти образцы чисел отличаются друг от друга из-за различных представлений и свойств.
Натуральные числа
Натуральные числа или счетные числа — это самые основные типы чисел, которые вы впервые узнали в детстве. Они начинаются с 1 и идут до бесконечности, т. е. 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее. Их также называют положительными целыми числами. В установленной форме они могут быть записаны как:
{1, 2, 3, 4, 5, …}
Натуральные числа представлены символом N .
Целые числа
Целые числа — это набор натуральных чисел, включая ноль. Это означает, что они начинаются с 0 и доходят до 1, 2, 3 и т. д., т. е.
{0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Целые числа представлены символом W .
Целые числа
Целые числа представляют собой множество всех целых чисел и отрицательных чисел натуральных чисел. Они содержат все числа, лежащие между отрицательной бесконечностью и положительной бесконечностью. Они могут быть положительными, нулевыми или отрицательными, но не могут быть записаны в виде десятичной или дробной части. Целые числа могут быть записаны в заданной форме как
{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Можно сказать, что все целые числа и натуральные числа являются целыми числами, но не все целые числа являются натуральными числами или целыми числами.
Символ Z представляет целые числа.
Дроби
Дробь представляет части целого куска. Его можно записать в виде a/b , где a и b — целые числа, а b никогда не может быть равно 0. Все дроби — рациональные числа, но не все рациональные числа — дроби. .
Далее дроби преобразуются в правильные и неправильные дроби. Неправильные дроби - это те, в которых числитель больше знаменателя, а в правильных функциях верно обратное, то есть знаменатель больше числителя. Примерами правильных дробей являются 3/7 и 99/101, а 7/3 и 101/99 — неправильные дроби. Это означает, что неправильные дроби всегда больше 1.
Все завершающие десятичные дроби и повторяющиеся десятичные дроби можно записать в виде дробей. Вы можете записать завершающую десятичную дробь 1,25 как 125/100 = 5/4. Повторяющееся десятичное число 0,3333 можно записать как 1/3.
Рациональные числа
Вы можете записывать рациональные числа в виде дроби. Слово «рациональный» происходит от слова «отношение», поскольку рациональные числа — это отношения двух целых чисел. Например, 0,7 — рациональное число, потому что его можно записать как 7/10. Другими примерами рациональных чисел являются -1/3, 2/5, 99/100, 1,57 и т. д.
Рассмотрим рациональное число p/q , где p и q — два целых числа. Здесь числитель p может быть любым целым числом (положительным или отрицательным), но знаменатель q никогда не может быть 0, так как дробь не определена. Кроме того, если q = 1, то дробь является целым числом.
Символ Q обозначает рациональные числа.
Иррациональные числа
Иррациональные числа нельзя записать в виде дроби, т. е. их нельзя записать как отношение двух целых чисел. Вот несколько примеров иррациональных чисел: √2, √5, 0,353535…, π и так далее. Вы можете видеть, что цифры в иррациональных числах продолжаются до бесконечности без повторяющегося шаблона.
Символ Q обозначает иррациональные числа.
Вещественные числа
Вещественные числа — это совокупность всех рациональных и иррациональных чисел. Сюда входят все числа, которые можно записать в десятичной форме. Все целые числа являются действительными числами, но не все действительные числа являются целыми числами. Действительные числа включают в себя все целые числа, целые числа, дроби, повторяющиеся десятичные дроби, завершающие десятичные дроби и так далее.
Символ R обозначает действительные числа.
Воображаемые числа
Числа, отличные от действительных чисел, являются мнимыми или комплексными числами. Когда мы возводим в квадрат мнимое число, он дает отрицательный результат, что означает, что это квадратный корень из отрицательного числа, например, √-2 и √-5. Когда мы возводим эти числа в квадрат, результаты равны -2 и -5. Квадратный корень из отрицательной единицы представлен буквой i , т.е.
i = √-1
Пример 1
Чему равен квадратный корень из -16? Запишите свой ответ в терминах воображаемого числа 9.0075 и .
Решение
Шаг 1: Запишите форму квадратного корня.
√(-16)
Шаг 2: Разделить -1.
√(16 × -1)
Шаг 3: Разделение квадратных корней.
√(16) × √(-1)
Шаг 4: Извлеките квадратный корень.
4 × √(-1)
Шаг 5: Запишите в виде i.
4 i
Иногда вы получаете воображаемое решение уравнений.
Пример 2
Решите уравнение,
x 2 + 2 = 0
Раствор
Шаг 1: Возьмите константу с другой стороны.
x 2 = -2
Шаг 2: Извлеките квадратный корень из обеих сторон.
√ х 2 = +√-2 или -√-2
Шаг 3: Решить.
x = √ (2) × √ (-1)
x = +√2 I или -√2 I
Шаг 4: версия Ответы на платке. В исходном уравнении и посмотрите, получим ли мы 0.
x 2 + 2
( + √2 I ) 2 + 2 = -2 + 2 = 0 (AS I 6 2 + 2 = -2 + 2 = 0 (AS I . = √-1 и квадрат I равно -1)
(-2 I ) 2 + 2 = -2 + 2 = 0 (AS I = √ -1 и квадрат I --1)
То, что их имя «воображаемое», не означает, что они бесполезны. У них много приложений. Одним из величайших применений мнимых чисел является их использование в электрических цепях. Расчеты тока и напряжения выполняются в терминах мнимых чисел. Эти числа также используются в сложных математических вычислениях. В некоторых местах мнимое число также представлено буквой 9.0075 Дж .
Комплексные числа
Мнимое число объединяется с действительным числом для получения комплексного числа. Оно представлено как a + bi , где действительная часть и b являются комплексной частью комплексного числа. Действительные числа лежат на числовой прямой, а комплексные — на двумерной плоской плоскости.
Как и мнимые числа, комплексные числа тоже не бесполезны. Они используются во многих приложениях, таких как «Сигналы и системы» и «Преобразование Фурье».
Простые и составные числа
Простые и составные числа противоположны друг другу. Простые числа — это тип целых чисел без делителей, кроме самих себя и 1, например, 2, 3, 5, 7 и так далее. Число 4 не является простым числом, потому что оно делится на 2. Точно так же 12 также не является простым числом, потому что оно делится на 2, 3 и 4. Таким образом, 4 и 12 являются примерами составных чисел.
Трансцендентные числа
Числа, которые никогда не могут быть нулем (или корнем) полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами, называются трансцендентными числами. Не все иррациональные числа являются трансцендентными числами, но все трансцендентные числа являются иррациональными числами.
Классификация чисел
Семейство чисел, которое мы видели выше, также может быть классифицировано по разным категориям. Это похоже на то, что в семье 20 человек, но они живут в двух общих семейных домах по 10 человек в каждом, что означает, что 10 человек живут в одном доме. Мы можем сказать, что два или более типов чисел могут подпадать под одну категорию.
Дискретные и непрерывные числа
Типы счетных чисел называются дискретными числами, а типы чисел, которые нельзя посчитать, называются непрерывными числами. Все натуральные числа, целые числа, целые числа и рациональные числа дискретны. Это связано с тем, что каждое их множество счетно. Множество действительных чисел слишком велико и не может быть сосчитано, поэтому оно классифицируется как непрерывное число. Если мы случайным образом возьмем два ближайших действительных числа, между ними все равно будет бесконечно больше действительных чисел; следовательно, их нельзя сосчитать.
Наборы чисел
Числа также можно классифицировать в виде наборов. Каждый тип числа является подмножеством другого типа числа. Например, натуральные числа являются подмножеством целых чисел. Точно так же целые числа являются подмножеством целых чисел. Множество рациональных чисел содержит все целые числа и дроби.
Теория вероятностей и математическая статистика на примерах. Что это такое, основные формулы, теории
Данная статья является переводом. Ссылка на оригинальную статью.
❓ Что такое теория вероятностей?
Теория вероятностей использует случайные величины и распределения вероятностей для математической оценки неопределенных ситуаций. Понятие вероятности используется для присвоения числового описания вероятности наступления события. Вероятность можно определить как число благоприятных исходов, деленное на общее число возможных исходов события.
Определение теории вероятностей
Теория вероятностей – это область математики и статистики, которая занимается определением вероятностей, связанных со случайными событиями. Существует два основных подхода к изучению теории вероятностей: теоретический и экспериментальный. Теоретическая вероятность определяется на основе логических рассуждений без проведения экспериментов. В отличие от нее, экспериментальная вероятность определяется на основе исторических данных путем проведения повторных экспериментов.
Пример теории вероятностей
Предположим, нам необходимо определить вероятность выпадения числа 4 при бросании игральной кости. Число благоприятных исходов равно 1. Возможные исходы игральной кости – {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Из этого следует, что всего существует 6 исходов. Таким образом, вероятность выпадения 4 при бросании игральной кости, используя теорию вероятности, можно вычислить как 1 / 6 ≈ 0,167.
🎲 Основы теории вероятностей
Мы можем понять эту область математики с помощью нескольких основных терминов, напрямую связанных с теорией вероятностей.
Случайный эксперимент
Случайный эксперимент в теории вероятностей – это испытание, которое повторяется несколько раз для получения четко определенного набора возможных результатов. Подбрасывание монеты является примером случайного эксперимента.
Пространство выборки
Пространство выборки можно определить как множество всех возможных исходов, полученных в результате проведения случайного эксперимента. Например, пространство выборки при подбрасывании симметричной монеты (fair coin), стороны которой – это орел и решка.
Событие
Теория вероятностей определяет событие как набор исходов эксперимента, который образует подмножество пространства выборки.
Примеры событий:
Независимые – те, на которые не влияют другие события, являются независимыми.
Зависимые – те, на которые влияют другие события.
Взаимоисключающие – события, которые не могут произойти в одно и то же время.
Равновероятные – два или более события, которые имеют одинаковые шансы произойти.
Исчерпывающие – это события, которые равны выборочному пространству эксперимента.
Случайная величина
В теории вероятностей случайную переменную можно определить как величину, которая принимает значение при всех возможных исходах эксперимента.
Существует два типа случайных величин:
Дискретная случайная величина – принимает точные значения, такие как 0, 1, 2…. Описывается кумулятивной функцией распределения и функцией массы вероятности.
Непрерывная случайная величина – переменная, которая может принимать бесконечное число значений. Для определения характеристик этой переменной используются кумулятивная функция распределения и функция плотности вероятности.
Вероятность
Вероятность мы можем определить как численную вероятность наступления события. Вероятность того, что событие произойдет, всегда лежит между 0 и 1. Это связано с тем, что число желаемых исходов никогда не может превысить общее число исходов события. Теоретическая вероятность и эмпирическая вероятность используются в теории вероятностей для измерения шанса наступления события.
Формула вероятности P(A): количество благоприятных исходов для A делимое на общее количество возможных исходов.
Условная вероятность
Ситуация, когда необходимо определить вероятность наступления события, притом что другое событие уже произошло.
Обозначается как P(A | B).
Если хочешь подтянуть свои знания по математике, загляни на наш курс «Математика для Data Science», на котором ты:
Усвоишь специальную терминологию и сможешь читать статьи по Data Science без постоянных обращений к поисковику.
Подготовишься к успешной сдачи вступительных экзаменов в Школу анализа данных Яндекс.
Овладеешь математическим аппаратом, который необходим, чтобы стать специалистом в Data Science.
Интересно, хочу попробовать
Ожидание
Ожидание случайной величины X можно определить как среднее значение результатов эксперимента, проводимого многократно. Ожидание обозначается как E[X]. Также известно как среднее значение случайной величины.
Дисперсия
Дисперсия – это мера, которая показывает, как распределение случайной величины изменяется относительно среднего значения. Дисперсия определяется как среднее квадратичное отклонение от среднего значения случайной величины. Обозначается как Var[X].
Функция распределения теории вероятностей
Распределение вероятностей или кумулятивная функция распределения – это функция, которая моделирует все возможные значения эксперимента, используя случайную переменную. Распределение Бернулли и биномиальное распределение – это примеры дискретных распределений вероятностей. Например, нормальное распределение представляет собой пример непрерывного распределения.
Массовая функция вероятности
Массовая функция вероятности определяется как вероятность того, что дискретная случайная величина будет в точности равна определенному значению.
Функция плотности вероятности
Функция плотности вероятности – это вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает множество возможных значений.
Формулы теории вероятностей
В теории вероятностей существует множество формул, которые помогают рассчитать различные вероятности, связанные с событиями.
Наиболее важные формулы:
Теоретическая вероятность: Число благоприятных исходов / Число возможных исходов.
Эмпирическая вероятность: Число случаев, когда событие происходит / Общее число испытаний.
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B), где A и B – события.
Правило комплементарности: P(A’) = 1 – P(A). P(A’) означает вероятность того, что событие не произойдет.
Независимые события: P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B).
Условная вероятность: P(A | B) = P(A∩B) / P(B).
Теорема Байеса: P(A | B) = P(B | A) ⋅ P(A) / P(B).
Массовая функция вероятности: f(x) = P(X = x).
Функция плотности вероятности: p(x) = p(x) = dF(x) / dx, где F(x) – кумулятивная функция распределения.
Ожидание непрерывной случайной величины: ∫xf(x)dx, где f(x) является МФВ (Массовой функцией вероятности).
Ожидание дискретной случайной величины: ∑xp(x), где p(x) – это ФПВ (Функцией плотности вероятности).
Дисперсия: Var(X) = E[X2] – (E[X])2.
Применение теории вероятностей
Теория вероятностей используется во многих областях и помогает оценить риски, которые связаны с теми или иными решениями. Некоторые из направлений, где применяют теорию вероятностей:
В финансовой отрасли теория вероятностей используется для создания математических моделей фондового рынка с целью прогнозирования будущих тенденций. Это помогает инвесторам вкладывать средства в наименее рискованные активы, которые дают наилучший доход.
В потребительской индустрии теория вероятностей используется для снижения вероятности неудачи при разработке продукта.
Казино использует теорию вероятностей для разработки азартных игр с максимизацией своей прибыли.
🏋️ Практические задания
Задача 1: При бросании двух игральных костей, какова вероятность того, что выпадет комбинация, сумма которой будет равна 8?
Решение
При бросании двух игральных костей существует 36 возможных исходов. Для получения суммы, равной 8, существует 5 благоприятных исходов: [(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)]. Используя формулы теории вероятностей: Вероятность = Число благоприятных исходов / общее число возможных исходов = 5 / 36. Ответ: Вероятность получения суммы 8 при бросании двух игральных костей равна 5 / 36.
Задача 2: Какова вероятность вытащить карту королеву из колоды?
Решение
Колода карт имеет 4 масти. Каждая масть состоит из 13 карт. Таким образом, общее число возможных исходов = (4) * (13) = 52. Может быть, 4 королевы, по одной из каждой масти. Следовательно, количество благоприятных исходов = 4. Карточная вероятность = 4 / 52 = 1 / 13. Ответ: Вероятность получить королеву из колоды карт равна 1 / 13
Задача 3: Из 10 человек 3 купили карандаши, 5 купили тетради, а 2 купили и карандаши, и тетради. Если покупатель купил тетрадь, какова вероятность того, что он также купил карандаш?
Решение
Используя понятие условной вероятности, P(A | B) = P(A∩B) / P(B). Пусть A – событие, когда люди покупают карандаши, а B – событие, когда люди покупают тетради. P(A) = 3 / 10 = 0,3P(B) = 5 / 10 = 0,5P(A∩B) = 2 / 10 = 0,2. Подставим полученные значения в приведенную формулу, P(A | B) = 0,2 / 0,5 = 0,4. Ответ: Вероятность того, что покупатель купил карандаш, при условии, что он купил блокнот, равна 0,4.
В заключение
Подведем итоги:
Теория вероятностей – это раздел математики, в котором рассматриваются вероятности случайных событий.
Понятие вероятности объясняет возможность наступления того или иного события.
Значение вероятности всегда лежит между 0 и 1.
В теории вероятностей все возможные исходы случайного эксперимента составляют пространство выборки.
Теория вероятностей использует такие важные понятия, как случайные величины и кумулятивные функции распределения для моделирования случайного события. Сюда же относится определение различных вероятностей, связанных с этим.
Если хочешь подтянуть свои знания по математике, загляни на наш курс «Математика для Data Science», который включает в себя:
47 видеолекций и 150 практических заданий.
Консультации с преподавателями курса.
Интересно, хочу попробовать
Статистическое определение вероятности
содержание учебника
Классическое определение вероятности предполагает, что все элементарные исходы равновозможны. О равновозможности исходов опыта заключают в силу соображений симметрии (как в случае монеты или игрального кубика). Задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются редко. Во многих случаях трудно указать основания, позволяющие считать, что все элементарные исходы равновозможны. В связи с этим появилась необходимость введения еще одного определения вероятности, называемого статистическим. Чтобы дать это определение, предварительно вводят понятие относительной частоты события.
Относительной частотой события, или частотой, называется отношение числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Обозначим частоту события через , тогда по определению
(1.4.1) где — число опытов, в которых появилось событие и — число всех произведенных опытов.
Частота события обладает следующими свойствами.
Частота случайного события есть число, заключенное между нулем и единицей: . (1.4.2)
Частота достоверного события равна единице: (1.4.3)
Частота невозможного события равна нулю: (1.4.4)
Частота суммы двух несовместных событий и равна сумме частот этих событий: (1.4.5)
Наблюдения позволили установить, что относительная частота обладает свойствами статистической устойчивости: в различных сериях многочленных испытаний (в каждом из которых может появиться или не появиться это событие) она принимает значения, достаточно близкие к некоторой постоянной. Эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного события.
Вероятностью события называется число, около которого группируются значения,частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний.
Это определение вероятности называется статистическим.
В случае статистического определения вероятность обладает следующими свойствами: 1) вероятность достоверного события равна единице; 2) вероятность невозможного события равна нулю; 3) вероятность случайного события заключена между нулем и единицей; 4) вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Пример 1. Из 500 взятых наудачу деталей оказалось 8 бракованных. Найти частоту бракованных деталей.
Решение. Так как в данном случае = 8, = 500, то в соответствии с формулой (1.4.1) находим
Пример 2. Игральный кубик подброшен 60 раз, при этом шестерка появилась 10 раз. Какова частота появления шестерки?
Решение. Из условия задачи следует, что = 60, = 10, поэтому
Пример 3. Среди 1000 новорожденных оказалось 515 мальчиков.Чему равна частота рождения мальчиков? Решение. Поскольку в данном случае , , то .
Пример 4. В результате 20 выстрелов по мишени получено 15 попаданий. Какова частота попаданий?
Решение. Так как = 20, = 15, то
Пример 5. При стрельбе по мишени частота попаданий = 0,75. Найти число попаданий при 40 выстрелах.
Решение. Из формулы (1.4.1) следует, что . Так как = 0,75, = 40, то . Таким образом, было получено 30 попаданий.
Пример 6. www.itmathrepetitor.ru Частота нормального всхода семян W = 0,97. Из высеянных семян взошло 970. Сколько семян было высеяно?
Решение. Из формулы (1.4.1) следует, что . Поскольку , , то . Итак, было высеяно 1000 семян.
Пример 7. На отрезке натурального ряда от 1 до 20 найти частоту простых чисел.
Решение. На указанном отрезке натурального ряда чисел находятся следующие простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19; всего их 8. Так как = 20, = 8, то искомая частота
.
Пример 8. Проведены три серии многократных подбрасываний симметричной монеты, подсчитаны числа появлений герба: 1) = 4040, =2048, 2) = 12000, = 6019; 3) = 24000, = 12012. Найти частоту появления герба в каждой серии испытаний.
Решение. В соответствии с формулой (1.4.1) находим:
.
Замечание. Эти примеры свидетельствуют о том, что при многократных испытаниях частота события незначительно отличается от его вероятности. Вероятность появления герба при подбрасывании монеты р = 1/2 = 0,5 , так как в этом случае n = 2, m = 1.
Пример 9. Среди 300 деталей, изготовленных на автоматическом станке, оказалось 15, не отвечающих стандарту. Найти частоту появления нестандартных деталей.
Решение. В данном случае n = 300, m = 15, поэтому
Пример 10. Контролер, проверяя качество 400 изделий установил, что 20 из них относятся ко второму сорту, а остальные — к первому. Найти частоту изделий первого сорта, частоту изделий второго сорта.
Решение. Прежде всего, найдем число изделий первого сорта: 400 — 20 = 380. Поскольку n = 400, = 380, то частота изделий первого сорта
Аналогично находим частоту изделий второго сорта:
Задачи
Отдел технического контроля обнаружил 10 нестандартных изделий в партии из 1000 изделий. Найдите частоту изготовления бракованных изделий.
Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабораторных условиях 100 штук. 95 семян дали нормальный всход. Какова частота нормального всхода семян?
Найдите частоту появления простых чисел в следующих отрезках натурального ряда: а) от 21 до 40; б) от 41 до 50; в) от 51 до 70.
Найдите частоту появления цифры при 100 подбрасываниях симметричной монеты. (Опыт проводите самостоятельно).
Найдите частоту появления шестерки при 90 подбрасываниях игрального кубика.
Путем опроса всех студентов Вашего курса определите частоту дней рождения, попадающих на каждый месяц года.
Найдите частоту пятибуквенных слов в любом газетном тексте.
Ответы
0,01. 2. 0,95; 0,05. 3. а) 0,2; б) 0,3; в) 0,2.
Вопросы
Что такое частота события?
Чему равна частота достоверного события?
Чему равна частота невозможного события?
В каких пределах заключена частота случайного события?
Чему равна частота суммы двух несовместных событий?
Какое определение вероятности называют статистическим?
Какими свойствами обладает статистическая вероятность?
содержание учебника
Математика для программистов: теория вероятностей
Некоторые программисты после работы в области разработки обычных коммерческих приложений задумываются о том, чтобы освоить машинное обучение и стать аналитиком данных. Часто они не понимают, почему те или иные методы работают, и большинство методов машинного обучения кажутся магией. На самом деле, машинное обучение базируется на математической статистике, а та, в свою очередь, основана на теории вероятностей. Поэтому в этой статье мы уделим внимание базовым понятиям теории вероятностей: затронем определения вероятности, распределения и разберем несколько простых примеров.
Возможно, вам известно, что теория вероятностей условно делится на 2 части. Дискретная теория вероятностей изучает явления, которые можно описать распределением с конечным (или счетным) количеством возможных вариантов поведения (бросания игральных костей, монеток). Непрерывная теория вероятностей изучает явления, распределенные на каком-то плотном множестве, например на отрезке или в круге.
Можно рассмотреть предмет теории вероятностей на простом примере. Представьте себя разработчиком шутера. Неотъемлемой частью разработки игр этого жанра является механика стрельбы. Ясно, что шутер в котором всё оружие стреляет абсолютно точно, будет малоинтересен игрокам. Поэтому, обязательно нужно добавлять оружию разброс. Но простая рандомизация точек попадания оружия не позволит сделать его тонкую настройку, поэтому, корректировка игрового баланса будет сложна. В то же время, используя случайные величины и их распределения можно проанализировать то, как будет работать оружие с заданным разбросом, и поможет внести необходимые корректировки.
Пространство элементарных исходов
Допустим, из некоторого случайного эксперимента, который мы можем многократно повторять (например, бросание монеты), мы можем извлечь некоторую формализуемую информацию (выпал орел или решка). Эта информация называется элементарным исходом, при этом целесообразно рассматривать множество всех элементарных исходов, часто обозначаемое буквой Ω (Омега).
Структура этого пространства целиком зависит от природы эксперимента. Например, если рассматривать стрельбу по достаточно большой круговой мишени, — пространством элементарных исходов будет круг, для удобства размещенный с центром в нуле, а исходом — точка в этом круге.
Кроме того, рассматривают множества элементарных исходов — события (например, попадание в «десятку» — это концентрический круг маленького радиуса с мишенью). В дискретном случае всё достаточно просто: мы можем получить любое событие, включая или исключая элементарные исходы за конечное время. В непрерывном же случае всё гораздо сложнее: нам понадобится некоторое достаточно хорошее семейство множеств для рассмотрения, называемое алгеброй по аналогии с простыми вещественными числами, которые можно складывать, вычитать, делить и умножать. Множества в алгебре можно пересекать и объединять, при этом результат операции будет находиться в алгебре. Это очень важное свойство для математики, которая лежит за всеми этими понятиями. Минимальное семейство состоит всего из двух множеств — из пустого множества и пространства элементарных исходов.
Мера и вероятность
Вероятность — это способ делать выводы о поведении очень сложных объектов, не вникая в принцип их работы. Таким образом, вероятность определяется как функция от события (из того самого хорошего семейства множеств), которая возвращает число — некоторую характеристику того, насколько часто может происходить такое событие в реальности. Для определённости математики условились, что это число должно лежать между нулем и единицей. Кроме того, к этой функции предъявляются требования: вероятность невозможного события нулевая, вероятность всего множества исходов единичная, и вероятность объединения двух независимых событий (непересекающихся множеств) равна сумме вероятностей. Другое название вероятности — вероятностная мера. Чаще всего используется Лебегова мера, обобщающая понятия длина, площадь, объём на любые размерности (n-мерный объем), и таким образом она применима для широкого класса множеств.
Вместе совокупность множества элементарных исходов, семейства множеств и вероятностной меры называется вероятностным пространством. Рассмотрим, каким образом можно построить вероятностное пространство для примера со стрельбой в мишень.
Рассмотрим стрельбу в большую круглую мишень радиуса R, в которую невозможно промахнуться. Множеством элементарных событий положим круг с центром в начале координат радиуса R. Поскольку мы собираемся использовать площадь (меру Лебега для двумерных множеств) для описания вероятности события, то будем использовать семейство измеримых (для которых эта мера существует) множеств.
Примечание На самом деле, это технический момент и в простых задачах процесс определения меры и семейства множеств не играет особой роли. Но понимать, что эти два объекта существуют, необходимо, ведь во многих книгах по теории вероятности теоремы начинаются со слов: «Пусть (Ω,Σ,P) — вероятностное пространство …».
Как уже сказано выше, вероятность всего пространства элементарных исходов должна равняться единице. Площадь (двумерная мера Лебега, которую мы обозначим λ2 (A), где А — событие) круга по хорошо известной со школы формуле равна π *R2. Тогда мы можем ввести вероятность P(A) = λ2 (A) / (π *R2), и эта величина уже будет лежать между 0 и 1 для любого события А.
Если предположить, что попадание в любую точку мишени равновероятно, поиск вероятности попадания стрелком в какую-то то область мишени сводится к поиску площади этого множества (отсюда можно сделать вывод, что вероятность попадания в конкретную точку нулевая, ведь площадь точки равна нулю).
Например, мы хотим узнать, какова вероятность того, что стрелок попадёт в «десятку» (событие A — стрелок попал в нужное множество). В нашей модели, «десятка» представляется кругом с центром в нуле и радиусом r. Тогда вероятность попадания в этот круг P(A) = λ2/(A)π *R2 = π * r2/(π R2)= (r/R)2.
Это одна из самых простых разновидностей задач на «геометрическую вероятность», — большинство таких задач требуют поиска площади.
Случайные величины
Случайная величина — функция, переводящая элементарные исходы в вещественные числа. К примеру, в рассмотренной задаче мы можем ввести случайную величину ρ(ω) — расстояние от точки попадания до центра мишени. Простота нашей модели позволяет явно задать пространство элементарных исходов: Ω = {ω = (x,y) такие числа, что x2+y2 ≤ R2}. Тогда случайная величина ρ(ω) = ρ(x,y) = x2+y2.
Средства абстракции от вероятностного пространства. Функция распределения и плотность
Хорошо, когда структура пространства хорошо известна, но на самом деле так бывает далеко не всегда. Даже если структура пространства известна, она может быть сложна. Для описания случайных величин, если их выражение неизвестно, существует понятие функции распределения, которую обозначают Fξ(x) = P(ξ < x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x.
Функция распределения обладает несколькими свойствами:
Во-первых, она находится между 0 и 1.
Во-вторых, она не убывает, когда ее аргумент x растёт.
В третьих, когда число -x очень велико, функция распределения близка к 0, а когда само х большое, функция распределения близка к 1.
Вероятно, смысл этой конструкции при первом чтении не слишком понятен. Одно из полезных свойств — функция распределения позволяет искать вероятность того, что величина принимает значение из интервала. Итак, P (случайная величина ξ принимает значения из интервала [a;b]) = Fξ(b)-Fξ(a). Исходя из этого равенства, можем исследовать, как изменяется эта величина, если границы a и b интервала близки.
Пусть d = b-a, тогда b = a+d. А следовательно, Fξ(b)-Fξ(a) = Fξ(a+d) - Fξ(a). При малых значениях d, указанная выше разность так же мала (если распределение непрерывное). Имеет смысл рассматривать отношение pξ(a,d)= (Fξ(a+d) - Fξ(a))/d. Если при достаточно малых значениях d это отношение мало отличается от некоторой константы pξ(a), не зависящей от d, то в этой точке случайная величина имеет плотность, равную pξ(a).
Примечание Читатели, которые ранее сталкивались понятием производной, могут заметить что pξ(a) — производная функции Fξ(x) в точке a. Во всяком случае, можно изучить понятие производной в посвященной этой теме статье на сайте Mathprofi.
Теперь смысл функции распределения можно определить так: её производная (плотность pξ, которую мы определили выше) в точке а описывает, насколько часто случайная величина будет попадать в небольшой интервал с центром в точке а (окрестность точки а) по сравнению с окрестностями других точек. Другими словами, чем быстрее растёт функция распределения, тем более вероятно появление такого значения при случайном эксперименте.
Вернемся к примеру. Мы можем вычислить функцию распределения для случайной величины, ρ(ω) = ρ(x,y) = x2+y2, которая обозначает расстояние от центра до точки случайного попадания в мишень. По определению Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t). т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y), расстояние от которых до нуля меньше, чем t. Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» — она равна t2/R2. Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t2/R2, для 0<t.
Мы можем найти плотность pρ этой случайной величины. Сразу заметим, что вне интервала [0,R] она нулевая, т.к. функция распределения на этом промежутке неизменна. На концах этого интервала плотность не определена. Внутри интервала её можно найти, используя таблицу производных (например из [PDF] на сайте Mathprofi) и элементарные правила дифференцирования. Производная от t2/R2 равна 2t/R2. Значит, плотность мы нашли на всей оси вещественных чисел.
Ещё одно полезное свойство плотности — вероятность того, что функция принимает значение из промежутка, вычисляется при помощи интеграла от плотности по этому промежутку (ознакомиться с тем, что это такое, можно в статьях о собственном, несобственном, неопределенном интегралах на сайте Mathprofi).
При первом чтении, интеграл по промежутку [a; b] от функции f(x) можно представлять себе как площадь криволинейной трапеции. Ее сторонами являются фрагмент оси Ох, промежуток [a,b] (горизонтальной оси координат), вертикальные отрезки, соединяющие точки (a,f(a)), (b,f(b)) на кривой с точками (a,0), (b,0) на оси Ох. Последней стороной является фрагмент графика функции f от (a,f(a)) до (b,f(b)). Можно говорить об интеграле по промежутку (-∞; b], когда для достаточно больших отрицательных значений, a значение интеграла по промежутку [a;b] будет меняться пренебрежимо мало по сравнению с изменением числа a. Аналогичным образом определяется и интеграл по промежуткам [a;+∞), (-∞,∞).
Следующее важное свойство плотности — интеграл от плотности любой случайной величины равен единице. Трактовка этого свойства такова: вероятность того, что функция принимает любое значение равна единице. Кроме того, при вычислении интегралов от плотностей случайных величин, значения которых лежат в ограниченном промежутке, нужно брать интеграл только по этому промежутку.
Итак, мы разобрались с несколькими важными понятиями: со строгим построением вероятностного пространства и построением случайных величин на нём. Кроме того, мы научились абстрагироваться от конкретного вероятностного пространства при помощи функции распределения и плотности.
Иван Камышан
Теория вероятности в жизни людей — Информио
Основы теории вероятностей нужно знать каждому человеку для формирования правильного мировоззрения, для осознания того, что мы живем в случайном, вероятностном мире.
Психология человека такова, что ему неуютно среди случайностей. Он жаждет определенности и справедливости, ищет причин и объяснений. Часто таким образом возникают суеверия: например, среди африканских племен распространено поверье о том, что бывают просто львы и львы, в которых переселились души умерших. Последние на людей не нападают. Это объяснение не несет полезной информации, поскольку нет признаков, по которым заранее можно было бы определить, из какой категории лев, но оно успокаивает психологически. Точно так же появляются известные всем суеверия при сдаче экзаменов. Некоторые суеверия, кстати, основаны на частотных совпадениях (например, мелких неприятностей и встреч с черной кошкой). Это относится и к приметам, которые порой подмечают вероятностные закономерности. Так, поговоркам «Беда никогда не приходит одна» или «Жизнь, она полосатая» соответствует в теории вероятностей закон серий.
Следует помнить и то, что мы живем в мире, где происходят случайные события, и то, что закономерности пробиваются через массу случайностей. Чем сложнее система, тем труднее обнаружить закономерности. Именно в этих случаях и используют вероятностные методы. [4]
Таким образом, теория вероятности актуальна в наши дни как в математике и точных науках, так и в нашей повседневной жизни.
Теория вероятностей изучает объективные закономерности массовых случайных событий. Она является теоретической базой для математической статистики, занимающейся разработкой методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений. Путем наблюдений (испытаний, экспериментов), т.е. опыта в широком смысле слова, происходит познание явлений действительного мира [1].
Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений, наблюдаемых при многократном повторении опыта [2, с.13].
Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними [3].
Основные объекты теории вероятностей – случайные события, случайные величины, случайные процессы, то есть фактически весь окружающий нас мир [4, с.6].
Событие – это то, что может произойти или нет при выполнении определённого комплекса условий, или, как говорят, при проведении испытания. Среди возможных событий выделяют достоверные и невозможные. Если при каждом испытании всегда происходит некоторое событие, то оно называется достоверным. Если при испытании некоторое событие заведомо не может произойти, то оно называется невозможным. Если событие не является достоверным или невозможным, то оно часто называется случайным [5, с.10].
Во многих областях человеческой деятельности существуют ситуации, когда определённые явления могут повторяться неограниченное число раз в одинаковых условиях. Анализируя последовательно результаты таких простейших явлений, как подбрасывание монеты, игральной кости, выброс карты из колоды и т.п. , мы замечаем две особенности, присущие такого рода экспериментам. Во-первых, не представляется возможным предсказать исход последующего эксперимента по результатам предыдущих, как бы ни было велико число проведённых испытаний. Во-вторых, относительная частота определённых исходов по мере роста числа испытаний стабилизируется, приближаясь к определённому пределу [6, с.8].
Рассмотрим теорию вероятностей на очень простых примерах. Если у нас в ящике лежит 10 пронумерованных шаров с цифрами от 1 до 10, то вероятность вытянуть шар с числом 10 равна 10 процентам. Но более вероятней, что мы вытянем любое другое число от 1 до 9, а не самое большое (не 10), поскольку такая вероятность составляет 90 процентов. Вытянуть шар с самым большим числом из 10000 пронумерованных шаров уже слишком маловероятно. Скорее всего, мы вытянем любое другое число (не 10000). При 10 миллионах шарах вытянуть самое большое число (10000000) практически невозможно [7].
Главным понятием теории вероятностей является вероятность. Это слово «вероятность», синонимом которого является, например, слово «шанс» достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу», или «это просто невероятно», или «есть шанс получить зачет автоматом». Такого рода фразы на интуитивном уровне оценивают вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие. В свою очередь математическая вероятность дает некоторую числовую оценку вероятности того, что произойдет некоторое случайное событие.
Теория вероятностей оформилась в самостоятельную науку относительно не давно, хотя история теории вероятностей началась еще в античности. Так, Лукреций, Демокрит, Кар и еще некоторые ученые древней Греции в своих рассуждениях говорили о равновероятностных исходах такого события, как возможность того, что вся материя состоит из молекул. Таким образом, понятие вероятности использовалось на интуитивном уровне, но оно не было выделено в новую категорию. Тем не менее, античные ученые заложили прекрасный фундамент для возникновения этого научного понятия. В средние века, можно сказать, и зародилась теория вероятности, когда были приняты первые попытки математического анализа, таких азартных игр как кости, орлянка, рулетка [8].
Первые подходы к оценке вероятности того или иного события были популярны еще в Средневековье среди «гамлеров» того времени. Однако тогда они имели лишь эмпирическое исследование (то есть оценка на практике, методом эксперимента) [9].
Первые научные работы по теории вероятностей появились в 17 веке. Когда такие ученые как Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли некоторые закономерности, которые возникают при бросании костей. В ту же пору к данному вопросу проявлял интерес еще один ученый Христиан Гюйгенс. Он в 1657 в своей работе ввел следующие понятия теории вероятностей: понятие вероятности как величины шанса или возможности; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса, а также теоремы сложения и умножения вероятностей, которые правда не были сформулированы в явном виде. Тогда же теория вероятностей стала находить сферы своего применения – демографию, страховое дело, оценку ошибок наблюдений [8].
Вероятностные представления довольно успешно применялись ещё в 18 веке такими выдающимися учеными как Лаплас, Лагранж, Лежандр, Гаусс для оценки ошибок измерений, в результате чего уже в то время были заложены основы теории ошибок [10, с.3].
Дальнейшее развитие теории вероятностей привело к необходимости аксиоматизации теории вероятностей и главного понятия – вероятности. Так становление аксиоматики теории вероятностей произошло в 30 гг 20 века. Самый существенный вклад в заложение основ теории внес Космогоров А.Н.
На сегодняшний день теории вероятностей это самостоятельная наука, имеющая огромную сферу применения [8].
Последние десятилетия характеризуются резким повышением интереса к тем разделам математики и ее приложений, которые анализируют явления, носящие «случайный» характер. Эта тенденция в значительной степени объясняется тем, что большинство возникших в последние десятилетия новых математических дисциплин, которое ныне обозначается собирательным термином «кибернетика», оказалось тесно связанным с теорией вероятностей. Тем самым теория вероятностей стала чуть ли не самой первой по прикладному значению из всех математических дисциплин. При этом возникновение новых, в большинстве своем «порожденных» теорией вероятностей наук, скажем «теория игр», «теория информации», «страховая математика» или «стохастическая финансовая математика» привело к положению, при котором теорию вероятностей также приходится рассматривать как объединение большого числа разнородных и достаточно глубоко развитых математических дисциплин [10, с.4].
Людей всегда интересовало будущее. Человечество во все времена искало способ его предугадать, или спланировать. В разное время разными способами. В жизни мы часто сталкиваемся со случайными явлениями. Чем обусловлена их случайность – нашим незнанием истинных причин происходящего или случайность лежит в основе многих явлений? Споры на эту тему не утихают в самых разных областях науки. Случайным ли образом возникают мутации, насколько зависит историческое развитие от отдельной личности, можно ли считать Вселенную случайным отклонением от законов сохранения? [8]
Примеров реального использования теории вероятности в жизни множество. Практически вся современная экономика базируется на ней. Выпуская на рынок определенный товар, грамотный предприниматель наверняка учтет риски, а также вероятности покупки в том или рынке, стране и т.д. Практически не представляют свою жизнь без теории вероятности брокеры на мировых рынках. Предсказывание денежного курса (в котором точно не обойтись без теории вероятности) на денежных опционах дает возможность зарабатывать на данной теории серьезные деньги.
Теория вероятности имеет значение в начале практически любой деятельности, а также ее регулирования. Благодаря оценке шансов той или иной неполадки (например, космического корабля), мы знаем, какие усилия нам нужно приложить, что именно проверить, что вообще ожидать в тысячи километров от Земли. Возможности теракта в метрополитене, экономического кризиса или ядерной войны – все это можно выразить в процентах. А главное, предпринимать соответствующие контрдействия исходя из полученных данных. [9]
Решения чаще всего принимаются эмоционально. Люди боятся летать самолетами. А между тем, самое опасное в полете на самолете – это дорога в аэропорт на автомобиле. Но попробуй кому-то объяснить, что машина опасней самолета. Вероятность того, что пассажир, севший в самолет, погибнет в авиакатастрофе составляет примерно 1/8000000. Если пассажир будет садиться каждый день на случайный рейс, ему понадобится 21000 лет чтобы погибнуть. По исследованиям: в США в первые 3 месяца после терактов 11 сентября 2001 года погибло еще одна тысяча людей… косвенно. Они в страхе перестали летать самолетами и начали передвигаться по стране на автомобилях. А так как это опасней, то количество смертей возросло. По телевидению пугают: птичьим и свиными гриппами, терроризмом, но вероятность этих событий ничтожна по сравнению с настоящими угрозами. Опасней переходить дорогу по зебре, чем лететь на самолете.
Или другой пример – от падения кокосов погибает около 150 человек в год. Это в десятки раз больше, чем от укуса акул. Но фильма «Кокос-убийца» пока не снято. Подсчитано, что шанс человека быть подвергнутым нападению акулы составляет 1 к 11,5 млн, а шанс погибнуть от такого нападения 1 к 264,1 млн. Среднегодовое количество утонувших в США составляет 3306 человек, а погибших от акул 1. Миром правит вероятность и нужно помнить об этом. Они помогут вам взглянуть на мир с точки зрения случая [8].
Таким образом, теорию вероятностей нельзя не применять в нашей жизни. Она имеет разные области применения такие как: биологические и химические процессы, история, экономика, кораблестроение и машиностроение, медицина и большинство различной деятельности человека. Люди применяют её как сознательно, так и подсознательно, что проявляется в обычных повседневных фразах и действиях. Разумный человек должен стремиться мыслить, исходя из законов вероятностей. Теория вероятностей – это одна из составляющих частей успеха. Если стремиться учитывать законы вероятностей и, в том случае, если вероятность неблагоприятная, предпринимать соответствующие контрдействия, то можно упростить себе жизнь в разы и сэкономить своё время, которое так ценно для каждого из нас.
Список использованных источников
Савельева Р. Ю. Основы теории вероятностей и математической статистики [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://открытыйурок.рф/статьи/526665/ (дата обращения – 24.01.2018)
Кибзун А. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами [Текст]: учебное пособие/А. И. Кибзун, Е. Р. Горяинова, А. В. Наумов, А. Н. Сиротин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 224 с.
Теория вероятностей и основные понятия теории [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://bookmaker-ratings.ru/wiki/teoriya-veroyatnostej-i-osnovny-e-ponyatiya-teorii/ (дата обращения 24.01.2018)
Крупкина Т. В. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие/Т. В. Крупкина, С. В. Бабенышев, Е. С. Кирик. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2007. – 199 с.
Семенов В. А. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие/В. А. Семенов. – Санкт-Петербург: Питер, 2013. – 192 с.
Володин И. Н. Лекции по теории вероятностей и математической статистике [Текст]: учебник/И. Н. Володин. – Казань: (Издательство), 2006. – 271 с.
Екимов В. Д. Теория вероятностей как средство к успеху в своём деле, как и в любой деятельности [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://svoedel.ru/teorver.html (дата обращения — 25.01.2018)
Гатауллина Л. Теория вероятности в жизни [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2012/01/07/teoriya-veroyatnosti-v-zhizni (дата обращения — 6.02.2018)
Вишня Ю. Теория вероятности в жизни [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://allowwonder.com/teoriya-veroyatnosti-v-zhizni/ (дата обращения – 6.02.2018)
Агеев В. В. Введение в теорию вероятностей [Текст]: учебно-методическое пособие/В. В. Агеев, М. С. Тихов. – Нижний-Новгород: ФГБОУВПО Нижегородский Государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет, 2012. – 32 с.
Оригинал работы:
Теория вероятности в жизни людей
Тесты по теме «Теория вероятности» онлайн
Онлайн тесты
Теория вероятности
Классическое определение теории вероятности
01.04.202020630
Данный тест ориентирован на проверку знаний по теме «Теория вероятности», в нем встречаются задачи, взятые из банка ОГЭ
Задачи по теме «Вероятность»
01. 12.20183640
Тест предназначен для закрепления изученного материала по теме «Вероятность»
Теория вероятностей
01.06.20202060
Итоговый тест по дисциплине Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия по разделу Комбинаторика
тервер_самостоятельная_1 вариант
06.05.2020670
Тест для учащихся 9 класса по теории вероятности и математической статистике
тервер_самостоятельная_2 вариант
06. 05.2020630
Тест для учащихся 9 класса по теории вероятности и математической статистике
ОУП.02 Математика. Элементы теории вероятности и математической статистики
14.05.20204910
Промежуточное тестирование по ОУП.02 Математика.
Элементы теории вероятностей
Итоговый тест по математике для группы 21МС. Вариант 1
04.06.2020670
Процент верных ответов Оценка
Если 80
Итоговый тест по математике для группы 21МС.
Вариант 2
04.06.2020170
Процент верных ответов Оценка
Если 80
Итоговый тест по математике для группы 21МС. Вариант 3
04.06.2020750
Процент верных ответов Оценка
Если 80
Вероятность события
09.11.20201453
Задания теста ориентированы на прохождение обучающимися 6 класса.
Решить задачи по теме «Вероятность события»
Авторы задач: С.М. Никольский, М. К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин
Элементы статистики и теории вероятностей 9 класс
09.02.20218170
Примерный вариант контрольной работы для общеобразовательного класса
Теория вероятности
16.02.20217810
Тест по теме «Теория вероятностей» состоит из 15 заданий с выбором ответа, содержит 4 варианта. Учащиеся должны знать следующие положения теории: элементы комбинаторики, классическое определение вероятности событий.
Вероятность 6 класс
07. 11.2021470
Тест по теории вероятностей содержит 8 вопросов по теме «Задачи на перебор всез возможжных вариантов». В тесте представлены вопросы двух типов: с выбором одного правильно ответа и с водом числового значения. Тест расчитан на учащихся 6 класса.
Теория вероятности
10.11.20211560
Тест, созданный для проекта по информатике на тему «теория вероятности».
Контрольная работа. Вариант 1. Тема «Теория вероятности, статистика и комбинаторика»
05.06.2022780
Образовательный тест на проверку теории вероятности, статистики и комбинаторики
Теория вероятностей и статистика
13. 06.2022140
Тест: Промежуточный контроль по разделу «Теория вероятностей и статистики».
Цель тестирования: обнаружение у обучающегося основных теоретических знаний, навыков и практических умений.
Таблица II. Значение функции Ф(x), ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица II.
Значения функции
х
Ф(х)
х
Ф(х)
0.00
0.00000
0.85
0.30234
0.05
0.01994
0.90
0.31594
0. 10
0.03983
0.95
0.32894
0.15
0.05962
1.00
0.34134
0.20
0.07926
1.05
0.35314
0.25
0.09871
1.10
0.36433
0.30
0.11791
1.15
0.37493
0.35
0.13683
1.20
0.38493
0.40
0.15542
1.25
0. 39435
0.45
0.17364
1.30
0.40320
0.50
0.19146
1.35
0.41149
0.55
0.20884
1.40
0.41924
0.60
0.22575
1.45
0.42647
0.65
0.24215
1.50
0.43319
0.70
0.25804
1.55
0.43943
0.75
0.27337
1. 60
0.44520
0.80
0.28814
1.65
0.45053
х
Ф(х)
х
Ф(х)
1.70
0.45543
2.55
0.49461
1.75
0.45994
2.60
0.49534
1.80
0.46407
2.65
0.49598
1.85
0.46784
2.70
0. 49653
1.90
0.47128
2.75
0.49702
1.95
0.47441
2.80
0.49744
2.00
0.47725
2.85
0.49781
2.05
0.47982
2.90
0.49813
2.10
0.48214
2.95
0.49841
2.15
0.48422
3.00
0.49865
2.20
0.48610
3. 20
0.49931
2.25
0.48778
3.40
0.49966
2.30
0.48928
3.60
0.499841
2.35
0.49061
3.80
0.499928
2.40
0.49180
4.00
0.499968
2.45
0.49286
4.50
0.499997
2.50
0.49379
5.00
0.5
Таблица I
Список символов вероятности и статистики
Вероятность и статистика соответствуют математическому изучению шансов и данных соответственно. В следующем справочном списке описаны некоторые из наиболее примечательных символов в этих двух темах, а также их использование и значение.
Для удобства чтения эти символы классифицируются функцией в таблицы. Другие полные списки математических символов — с разбивкой по темам и типам — также можно найти на соответствующих страницах ниже (или на панели навигации).
Содержание
Предпочитаете версию в формате PDF?
Получите основную сводку математических символов в форме электронной книги — вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.
Да. Это было бы полезно.
Переменные
Вероятность и статистика используют широкий спектр греческих/латинских символов в качестве заполнителей для различных объектов и количеств. В следующей таблице описаны наиболее распространенные из них, а также использование и значение каждого символа. 9x (0,75) $
$ F $
Частота данных
$ F_1 + \ CDOT + F_K = N $
$ \ MU $ (MU)
Средняя 9 0004
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
. !: \mu_1 = \mu_2$
$\sigma$ (сигма)
Стандартное отклонение совокупности 92}{n-1} }$
$\pi$ (Pi)
Доля населения
$H_a\! : \pi_1 \ne \pi_2$
$\hat{p}$
Пропорция выборки
Если $\pi_1 = \pi_2$, используйте $\hat{p} = \dfrac{x_1 + x_2 }{n_1+n_2}$ вместо $\hat{p}_1$ или $\hat{p}_2$.
$p$
Вероятность успеха
В стандартном эксперименте с бросанием кубика $p=\dfrac{1}{6}$.
$q$
Probability of failure
$q = 1-p$
$\rho$ (Rho)
Population correlation
$\rho_{X, X} = 1$
$r$
Sample correlation
$r_{xy}=r_{yx}$
$z$
Z-score
$z = \dfrac{ x-\mu}{\sigma}$
$\alpha$ (Alpha)
Уровень значимости (вероятность ошибки I рода)
При $\alpha=0,05$ нулевая гипотеза отвергается, но не при $\alpha=0,01$.
$\beta$ (бета)
Вероятность ошибки рода II -\beta$
$b$
Выборочный коэффициент регрессии
$y=b_0 + b_1x_1 + \\ b_2x_2$
$\beta9 904$2 (\nu)$
$\Omega$ (Capital omega)
Пример пространства
Для эксперимента с двойным подбрасыванием монеты $\Omega = \{\mathrm{HH}, \mathrm {HT}, \mathrm{TH},$ $\mathrm{TT} \}.$
Для нормального распределения $\theta =(\mu, \sigma)$.
Операторы
В теории вероятностей и статистике операторов обозначают математические операции, которые используются для лучшего понимания данных и шансов. К ним относятся ключевые комбинаторные операторы, операторы/функции, связанные с вероятностями, распределения вероятностей и статистические операторы.
Комбинаторные операторы
Название символа
Объяснение
Пример
$n!$
Факториал
$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$
$n!!$
Двойной факториал
$8!! = 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2$
$!n$
Количество нарушений из $n$ объектов
Так как $\{a, b, c \}$ имеет $2$ перестановок где все позиции букв изменены, $!3 = 2$.
Из a Можно взять 5-элементный набор, $\left(\!\binom{5}{3}\!\right)$ 3-элементный мультимножество.
Вероятностные операторы
Ниже приведены некоторые наиболее известные операторы, связанные с вероятностью и случайными величинами . Обзор наборов см. в разделе Операторы наборов.
9c)$
Дополнительная вероятность (вероятность «не $A$»)
Для всех событий $E$ $P(E)+P(E’)=1$.
$P(A \cup B)$
Вероятность дизъюнкции (вероятность ‘$A$ или $B$’)
$P(A \cup B) \ge$ $\max \left( P(A), P(B) \right)$
$P (A \cap B)$
Совместная вероятность (вероятность ‘$A$ и $B$’)
События $A$ и $B$ исключают друг друга, если $P(A \cap B)=0$.
$P(A \,|\, B)$
Условная вероятность (вероятность ‘$A$ при наличии $B$’)
$P(A \,|\, B) = \\ \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
$E[X]$
Среднее / Ожидаемое значение случайной величины $X$
$E [2 f(X) + 5] =$ $2E[f(X)] + 5$
$E[X \, | \, Y]$
Условное ожидание (Ожидаемое значение $X$ при $Y$)
Символы отношений — это символы, используемые для обозначения математических отношений , которые выражают некоторую связь между двумя или более математическими объектами или сущностями. В следующей таблице описаны наиболее заметные из них в контексте вероятности и статистики, а также использование и значение каждого символа.
Название символа
Объяснение
Пример
$ A \ PERP B $
События $ A и $ B — $ Независимые
$ A $
$ A $
$ A $ B. P(A) \ne 0$, то $P(B \mid A) = P(B)$.
$(A \perp B) \mid C$
Условная независимость ($A$ и $B$ независимы при заданном $C$)
$(A \perp B) \mid C \ iff$ $P(A \cap B \mid C) =$ $P(A \mid C) \, P(B \mid C)$
$A \nearrow B$
Событие $ A$ увеличивает вероятность события $B$
Если $E_1 \nearrow E_2$, то $P(E_2 \,|\, E_1) \ge P(E_2)$.
$A \searrow B$
Событие $A$ 92)$
Нотационные символы
Нотационные символы часто представляют собой соглашения или акронимы , которые не попадают в категории констант, переменных, операторов и реляционных символов. В следующей таблице приведены некоторые из наиболее распространенных обозначений в вероятности и статистике, а также их соответствующее использование и значение.
$90\%\, \mathrm{PI}$ шире $90\ % \, \mathrm{CI}$, так как он предсказывает экземпляр $y$, а не его среднее значение.
92}{n}$.
$\mathrm{LLN}$
Закон больших чисел
LLN показывает, что для всех $\varepsilon >0$, как $n \to \infty$, $P\left(|\overline {X}_n-\mu|>\varepsilon\right) \to 0.$
$\mathrm{CLT}$
Центральная предельная теорема
По CLT, как $n \to \infty$ , $\dfrac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \to Z$.
Основной список символов см. в разделе Математические символы. Для списков символов, классифицированных по тема и тип , см. соответствующие страницы ниже для получения дополнительной информации.
Предпочитаете версию в формате PDF?
Получите основную сводку математических символов в форме электронной книги — вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.
Да. Это было бы полезно.
Дополнительные ресурсы
Полное руководство по изучению высшей математики : автономная система из 10 принципов для эффективного изучения высшей математики, мышления и решения задач
Ultimate LaTeX Reference Guide : Полное справочное руководство, чтобы сделать процесс LaTeXing более эффективным и менее болезненным Глоссарий высшего математического жаргона : Обзор высшей математики в 106 терминах
Вероятность – выпуск по математике для уровня A
Вероятность наступления события – это шанс или вероятность того, что оно произойдет. Вероятность события A, обозначаемая как P(A), может быть между нулем и единицей, при этом P(A) = 1 указывает, что событие обязательно произойдет, а P(A) = 0 указывает, что событие A определенно не произойдет. .
Вероятность =
количество успешных исходов эксперимента
количество возможных исходов
Так, например, если была подброшена монета, вероятность выпадения орла = ½, так как есть 2 возможных результата (орел или решка), и 1 из них является «успешным».
Использование набора обозначений
Вероятность можно изучать в сочетании с теорией множеств, при этом диаграммы Венна особенно полезны в анализе.
Вероятность наступления определенного события, например, может быть представлена как P(A). Вероятность возникновения другого события можно записать как P(B). Поэтому ясно, что для двух событий A и B
P(AÇB) представляет собой вероятность того, что произойдут A И B. P(AÈB) представляет собой вероятность появления A OR B.
Это можно показать на диаграмме Венна. Прямоугольник представляет выборочное пространство , то есть все возможные результаты эксперимента. Круг, обозначенный буквой А, представляет событие А. Другими словами, все точки внутри А представляют возможные способы достижения результата А. Аналогично для В.
Итак, на диаграмме P(A) + P(B ) — это весь A (весь круг) + весь B (таким образом, мы посчитали средний бит дважды).
A» — это дополнение к A и означает все, что не входит в A. Таким образом, P(A») — это вероятность того, что A не произойдет. Обратите внимание, что вероятность того, что А произойдет + вероятность того, что А не произойдет = 1 (должно произойти одно или другое). Итак, Р(А) + Р(А») = 1. Таким образом:
Р(А») = 1 — Р(А)
Взаимоисключающие события
События A и B являются взаимоисключающими , если у них нет общих событий. Другими словами, если происходит А, Б не может произойти, и наоборот. На диаграмме Венна это означало бы, что круги, представляющие события A и B, не перекрываются.
Если, например, нас попросят выбрать карту из колоды из 52 карт, вероятность того, что карта будет красной, равна ½ . Вероятность того, что карта трефовая, равна ¼. Однако, если карта красная, это не может быть клуб. Таким образом, эти события исключают друг друга.
Если два события являются взаимоисключающими, то P(AÇB) = 0, поэтому
Независимые события
Два события являются независимыми , если первое не влияет на второе. Например, если в мешке находятся 2 синих и 2 красных шара, и два шара выбраны случайным образом, то события: а) независимы, если первый шар возвращается после выбора б) не независимы, если первый шар удаляется без заменяется. В данном случае в мешке осталось только три шара, поэтому вероятности выбора различных цветов изменились.
Два события независимы, если (и только если):
Р(АСВ) = Р(А)Р(В)
Это известно как закон умножения.
Условная вероятность
Условная вероятность — это вероятность наступления события при условии, что произошло другое событие. Например, вероятность того, что Джон будет заниматься математикой на уровне A, при условии, что он занимается физикой, может быть довольно высокой. P(A|B) означает вероятность наступления события A при условии, что произошло событие B. Для двух событий A и B,
P(ACB) = P(A|B)P(B)
и аналогично P(ACB) = P(B|A)P(A).
Если два события исключают друг друга, то P(A|B) = 0 .
Независимость
Используя приведенное выше условие независимости, мы выводим, что если два события независимы, то:
P(A)P(B) = P(A|B)P(B) = P (B|A)P(A), или:
P(A) = P(A|B) и P(B) = P(B|A)
Пример
Шестисторонний умирать бросают. Какова вероятность того, что выброшенное число будет простым, если оно нечетное.
Вероятность выпадения нечетного числа равна 3/6 = ½. Из этих нечетных чисел 2 простых (3 и 5).
P(простое | нечетное)
=
P (простое и нечетное)
=
2/6
=
2/3
P(нечетный)
3/6
youtube.com/embed/wda6DUAoVNc» title=»YouTube video player»>
Математические обозначения
Коллекция математического синтаксиса и обозначений. На страницах демонстрируется использование символов, выражений и операторов для представления математических понятий. См. порядок операций, чтобы увидеть, как математики устраняют неоднозначность при оценке выражений.
Арифметика
Обозначение сложения
В математике символ плюс представляет собой сложение двух чисел. Сложение – это процесс соединения двух вещей вместе.
Обозначение вычитания
В математике символ минус представляет оператор вычитания. Выражение справа вычитается из выражения слева.
Обозначение умножения
Точка между двумя числами обозначает умножение в математике. Формальное название символа точки — интерпункт.
Обозначение деления
В математике существует множество различных способов представления деления. Обелюс часто используется в элементарной математике, затем для удобства позже принимается горизонтальная черта, а косая черта используется из-за преобладания компьютеров и калькуляторов.
Обозначение группировки
В математике круглые скобки используются для группировки вычисляемых выражений и организации порядка операций. Оценивается все, что находится в скобках, затем выполняется остальная часть расчета.
Обозначение в скобках умножения
Предполагается, что два выражения, расположенные рядом друг с другом и разделенные скобками, перемножаются.
Обозначение переменных умножения
В математике, когда две переменные находятся рядом друг с другом, подразумевается операция умножения. Это упрощает многие уравнения и формулы.
Обозначение дроби
Дробь представлена горизонтальной чертой между двумя выражениями. Выражение сверху называется числителем, а выражение снизу — знаменателем.
Обозначение десятичной точки
Десятичная точка используется для отделения целой части числа от десятичной части. Целая часть представлена цифрами слева от запятой, а десятичная часть представлена цифрами справа от запятой.
Обозначение отношения
Синтаксис соотношения: два числа, разделенные двоеточием.
Алгебра
Обозначение функции
Функция записывается как имя функции, за которым следуют круглые скобки, содержащие входные данные для функции. Если функция имеет несколько входных параметров, они разделяются запятой.
Обозначение абсолютного значения
Обозначение абсолютного значения представляет собой две вертикальные линии по обе стороны от оцениваемого выражения.
Обозначение факториала
Восклицательный знак используется для обозначения факториала числа в математике. Факториал — это унарный оператор.
Обозначение степени
В математике верхний индекс используется для обозначения степени некоторого числа.
Обозначение логарифмов
Логарифмы часто обозначаются аббревиатурой «log», за которой следует число в нижнем индексе, представляющее основание и число, к которому применяется логарифм.
Радикальное обозначение
Радикал используется для представления дробных показателей. Сам по себе он используется для представления квадратного корня выражения, но также используется для представления более высоких корней.
Обозначение квадратного корня
Подкоренной символ сам по себе используется для обозначения извлечения квадратного корня из числа.
Обозначение суммирования
Оператор суммирования представлен знаком ∑ (заглавная сигма) и представляет собой операцию суммирования последовательности выражений.
Обозначение продукта
Заглавная греческая буква Пи используется для обозначения оператора произведения в математике. Оператор состоит из трех частей: начального значения, конечного значения и оцениваемого выражения.
Логика
Обозначение равенства
Две сложенные горизонтальные линии представляют символ равенства в математике. Два выражения с обеих сторон равны или одинаковы, если между ними поставить знак равенства.
Обозначение больше, чем
Символ > представляет собой логическое выражение, согласно которому левая часть больше правой.
Обозначение «меньше чем»
Символ < представляет логическое выражение, согласно которому левая часть меньше правой.
Обозначение «меньше или равно»
Символ «меньше или равно» равен ≤. Он объединяет символ меньше чем < и символ равенства = вместе.
Обозначение не равно
Символ не равно представляет собой знак равенства с диагональной линией через него.
Приблизительное обозначение
Символом приблизительного равенства является волнистый знак равенства. Он используется, чтобы показать, что два числа примерно равны, но не точно равны.
Геометрия
Обозначение декартовой системы координат
Точка в декартовой системе координат обозначается двумя числами в скобках, разделенными запятой. Первое число представляет собой расстояние от начала координат в направлении x, а второе число представляет собой расстояние от начала координат в направлении y.
Обозначение в полярной системе координат
Точка в полярной системе координат обозначается двумя числами в круглых скобках, разделенными запятой. Первое число представляет собой радиус r (расстояние от начала координат) и угол θ (греческая буква тета) относительно начала координат.
Обозначение угла
Обозначение символа представляет собой небольшой символ, написанный в тексте, за которым иногда следуют три буквы, соответствующие цифре.
Обозначение окружности
При обращении к окружности на диаграмме используется символ ⊙ (одот), за которым следует переменная, связанная с центральной точкой окружности. Например, ⊙P будет означать окружность, центр которой находится в точке P.
Обозначение дополнительных углов
Дополнительные углы можно визуально обозначить как два угла, сумма которых составляет перпендикуляр или квадратный угол.
Линия записывается как две буквы с линией сверху, где буквы представляют конечные точки линии.
Обозначение параллельных линий
Параллельные линии обозначаются символом параллельности, расположенным между обозначениями двух линий. Строка обозначается начальной и конечной буквами с линией поверх.
Обозначение перпендикулярного угла
Перпендикулярный угол визуально обозначается путем рисования квадрата в вершине угла. Измеренный угол равен π/2 радиана или 90°.
Обозначение перпендикулярных линий
Символ двух перпендикулярных линий представляет собой горизонтальную линию с другой линией, проведенной перпендикулярно ей.
Обозначение дополнительных углов
Дополнительные углы можно визуально обозначить как два угла, сумма которых равна 180 градусам или градусам пи.
Обозначение треугольника
Треугольник обозначается символом треугольника, за которым следуют три буквы, представляющие вершины треугольника.
Тригонометрия
Обозначение угла
Обозначение символа представляет собой небольшой символ, написанный в тексте, за которым иногда следуют три буквы, соответствующие цифре.
Обозначение линии
Линия записывается как две буквы с линией сверху, где буквы представляют конечные точки линии.
Обозначение перпендикулярного угла
Перпендикулярный угол визуально обозначается путем рисования квадрата в вершине угла. Измеренный угол равен π/2 радиана или 90°.
Обозначение перпендикулярных линий
Символ двух перпендикулярных линий представляет собой горизонтальную линию с другой линией, проведенной перпендикулярно ей.
Обозначение треугольника
Треугольник обозначается символом треугольника, за которым следуют три буквы, представляющие вершины треугольника.
Вероятность
Обозначение случайной величины
В вероятности случайная величина обозначается заглавными латинскими буквами, обычно X, Y и Z или A и B соответственно.
Обозначение распределения вероятностей
Распределение вероятностей обозначается как функция. Часто заглавная буква P используется для имени функции, а заглавная буква X используется для аргумента функции.
Обозначение условной вероятности
Условная вероятность обозначается вертикальной чертой между двумя переменными
Обозначение совместного распределения
Совместное распределение вероятностей обозначается как функция, часто с использованием P в качестве имени функции. Заглавные буквы X и Y часто используются для обозначения случайных величин распределения и являются аргументами функции.
Обозначение комбинаций
Количество возможных способов выбора r комбинаций из n элементов обозначается двумя скобками со значением n над значением r. Нижний индекс p или c используется для обозначения того, является ли это комбинацией или перестановкой.
Обозначение перестановок
Количество возможных способов выбора r перестановок из n элементов обозначается двумя скобками со значением n над значением r. Нижний индекс p или c используется для обозначения того, является ли это комбинацией или перестановкой.
Номера
Обозначение числа Эйлера
Число Эйлера представлено в математике буквой e и обладает некоторыми уникальными экспоненциальными свойствами.
Обозначение пи
Греческая буква пи — это число в математике, которое описывает отношение длины окружности круга к его диаметру.
Обозначение тау
Символ тау используется в математике для представления отношения длины окружности к ее радиусу.
Обозначение двумерного пространства
Двумерное пространство обозначается с помощью символа набора действительных чисел, за которым следует верхний индекс два.
Обозначение трехмерного пространства
Трехмерное пространство обозначается с помощью символа набора действительных чисел, за которым следует верхний индекс три.
Обозначение комплексного номера
Комплексное число состоит из двух частей. Первая часть — действительная часть числа, а вторая — мнимая часть числа.
Обозначение десятичной точки
Десятичная точка используется для отделения целой части числа от десятичной части. Целая часть представлена цифрами слева от запятой, а десятичная часть представлена цифрами справа от запятой.
Обозначение мнимых чисел
Буква i используется в математике для обозначения квадратного корня из отрицательной единицы.
Теория множеств
Обозначение пустого множества
Пустое множество представляется как ноль с диагональной линией через него или как пустая пара фигурных скобок.
Обозначение набора
Набор записывается с помощью фигурных скобок, объединяющих элементы набора, разделенные запятыми.
Exists Обозначение
Синтаксис для выражения «существует» представляет собой заглавную букву E в обратном порядке. Он часто используется в сочетании с переменной с определенными свойствами.
For All Notation
Символ ∀ (для всех) используется в математике для описания значения одной или нескольких переменных в выражении.
Элемент обозначения
Элемент обозначения описывает принадлежность к множеству. При чтении уравнения символ может быть прочитан как «в» или «принадлежит».
Правильное обозначение подмножества
Правильное подмножество обозначается символом подмножества, который выглядит как буква U, повернутая на девяносто градусов вправо.
Правильное обозначение надмножества
Правильный надмножество обозначается символом надмножества, который выглядит как буква U, повернутая на девяносто градусов влево.
Такая нотация
Символ двоеточия используется в математике для обозначения условия оператора. Символ можно прочитать как «такой, что» в математическом выражении.
Обозначение надмножества
Оператор надмножества в теории множеств обозначается с помощью символа надмножества, который выглядит как U, повернутый на девяносто градусов против часовой стрелки, с горизонтальной линией под ним.
Обозначение подмножества
Оператор подмножества обозначается U-образным символом, повернутым на девяносто градусов вправо с горизонтальной линией под ним.
Обозначение пересечения
Символ заглавной буквы используется в математике для обозначения операции пересечения двух множеств.
Обозначение разности множеств
Символ минус используется в теории множеств для представления оператора разности двух множеств. Операция удаляет все элементы, найденные в одном наборе, из другого и возвращает результирующий набор.
Обозначение объединения
Символ чашки используется в математике для обозначения операции объединения двух множеств. Оператор объединения возвращает набор, содержащий элементы из обоих наборов.
Булева логика
И Обозначение
Оператор «и» обозначается символом моркови, который выглядит как равносторонний треугольник без нижней стороны. Оператор оценивается как истина, если и левое, и правое выражения истинны, в противном случае оценивается как ложь.
Обозначение равенства
Две сложенные горизонтальные линии представляют символ равенства в математике. Два выражения с обеих сторон равны или одинаковы, если между ними поставить знак равенства.
Или Обозначение
Логический или символ описывает, когда верно одно, другое или оба.
Эквивалентная нотация
Оператор эквивалентности используется для выражения того, что два выражения эквивалентны, хотя и не обязательно равны.
Переменная, представляющая вектор, часто имеет стрелку сверху, указывающую, что это вектор.
Обозначение величины
Чтобы вертикальные черты по обе стороны от вектора представляли величину или длину этого вектора
Обозначение перекрестного произведения
В линейной алгебре оператор перекрестного произведения — это оператор умножения, который используется в элементарной математике.
Обозначение матрицы
В линейной алгебре матрица размера m на n обозначается как сетка чисел с двумя скобками с каждой стороны. Переменная m соответствует количеству строк, а переменная n соответствует количеству столбцов.
Обозначение определителя
Синтаксис определителя — вертикальные черточки по обе стороны от матрицы.
Обозначение скалярного произведения
Синтаксис скалярного произведения заключается в угловых скобках по обе стороны от двух векторов, разделенных запятой.
Исчисление
Обозначение лимита
Синтаксис для лимита — это аббревиатура «lim», следующая за выражением. Под буквами «lim» указано значение, к которому приближается переменная в выражении, обозначаемом как переменная со стрелкой, указывающей значение, к которому она приближается.
Обозначение первообразной функции
Обозначение первообразной функции заглавной латинской буквой F.
Обозначение производной функции
Первая производная функции обозначается апострофом после имени функции. В качестве альтернативы частичный символ может использоваться для представления производной по переменной.
Обозначение интеграла
Интегральный оператор записывается с использованием интегрального символа ∫ и состоит из четырех частей: интегрируемого выражения, дифференциала, начального значения и конечного значения.
Обозначение градиента
Символ набла используется для обозначения градиента функции.
Вычислительная техника
Обозначение вычисления деления
При вводе уравнения в калькулятор или компьютер косая черта используется для обозначения деления.
Обозначение вычисления экспоненты
При вычислении выражения, которое содержит оператор экспоненты, вместо надстрочного текста часто используется символ вставки.
Обозначение вычисления умножения
При вводе выражения в компьютер умножение представляется с помощью символа звездочки.
Вычитание Обозначение в вычислениях
В вычислениях вычитание обозначается символом дефиса.
Описать пространство выборки и простые и составные события в нем, используя стандартную нотацию
Рассчитать вероятность события, используя стандартную запись
Рассчитать вероятность двух независимых событий, используя стандартную запись
Распознавать, когда два события являются взаимоисключающими
Вычислить условную вероятность, используя стандартную запись
Вероятность — это вероятность определенного исхода или события. Статистики и актуарии используют вероятность для прогнозирования событий. Например, актуарий, работающий в компании по страхованию автомобилей, заинтересуется вероятностью того, что 17-летний мужчина попадет в автомобильную аварию. Они будут использовать данные о прошлых событиях, чтобы делать прогнозы о будущих событиях, используя характеристики вероятностей, а затем использовать эту информацию для расчета страхового тарифа.
В этом разделе мы рассмотрим определение события и узнаем, как рассчитать вероятность его возникновения. Мы также будем практиковаться в использовании стандартных математических обозначений для расчета и описания различных видов вероятностей.
Основные понятия
Если вы бросаете кубик, выбираете карту из колоды игральных карт или случайным образом выбираете человека и наблюдаете за цветом его волос, мы проводим эксперимент или процедуру. В вероятности мы рассматриваем вероятность различных исходов.
Начнем с терминологии.
События и исходы
Результат эксперимента называется исходом .
событие — это любой конкретный исход или группа исходов.
Простое событие — это событие, которое не может быть далее разбито на части
Пример пространства — это набор всех возможных простых событий.
пример
Если мы бросаем стандартный 6-гранный кубик, опишем пространство выборки и некоторые простые события.
Показать решение
Базовая вероятность
Учитывая, что все исходы равновероятны, мы можем вычислить вероятность события E , используя следующую формулу:
[латекс]P(E)=\frac{\text{Число исходов соответствующее событию E}}{\text{Общее количество равновероятных исходов}}[/latex]
примеров
Если мы бросим шестигранный кубик, вычислим
P(бросок 1)
P (выпадение числа больше 4) 908:00
Показать решение
В этом видео подробно описан этот пример и предыдущий.
Допустим, у вас есть пакет с 20 вишнями, 14 сладкими и 6 кислыми. Если вы выберете вишню наугад, какова вероятность того, что она будет сладкой?
Показать решение
Попробуйте
В какой-то случайный момент вы смотрите на часы и отмечаете показания минут.
а. Какова вероятность того, что минутное чтение равно 15?
б. Какова вероятность того, что показания минут 15 или меньше?
Карты
Стандартная колода из 52 игральных карт состоит из четырех мастей (червы, пики, бубны и трефы). Пики и трефы черные, а червы и бубны красные. Каждая масть содержит 13 карт, каждая из которых имеет свой ранг : туз (который во многих играх действует как младшая и старшая карты), карты с номерами от 2 до 10, валет, дама и король.
пример
Вычислить вероятность случайного извлечения одной карты из колоды и получения туза.
Показать решение
В этом видео демонстрируется как этот пример, так и предыдущий пример вишни на странице.
Определенные и невозможные события
Вероятность невозможного события равна 0.
Некоторое событие имеет вероятность 1.
Вероятность любого события должна быть [latex]0\le P(E)\le 1[/latex]
Попробуйте
В ходе этого раздела если вы вычислите вероятность и получите отрицательный ответ или ответ больше 1, вы допустили ошибку и должны проверить свою работу .
Типы событий
Дополнительные события
Теперь давайте рассмотрим вероятность того, что произойдет событие , а не . Как и в предыдущем разделе, рассмотрим ситуацию с броском шестигранной кости и сначала вычислим вероятность того, что выпадет шестерка: ответ P (шесть) = 1/6. Теперь рассмотрим вероятность того, что мы выкинем шестерку , а не : есть 5 исходов, которые не являются шестерками, поэтому ответ будет P (не шестерка) = [латекс]\frac{5}{6}[/ латекс]. Обратите внимание, что
Это не совпадение. Рассмотрим общую ситуацию с n возможных исходов и событием E , которое соответствует m этих исходов. Тогда оставшиеся n – m результатов соответствуют E не происходит, таким образом,
Дополнение к событию — это событие « E не происходит»
Обозначение [латекс]\бар{Е}[/латекс] используется для дополнения событие E .
Мы можем вычислить вероятность дополнения, используя [латекс]P\left({\bar{E}}\right)=1-P(E)[/latex]
Обратите также внимание на то, что [латекс]P(E)=1-P\left({\bar{E}}\right)[/latex]
пример
Если вы вытащите случайную карту из колоды игральных карт, какова вероятность того, что это не черва?
Показать решение
Эта ситуация объясняется в следующем видео.
Попробуй
Вероятность двух независимых событий
пример
Предположим, мы подбросили монету и бросили кубик и хотели узнать вероятность того, что выпадет решка на монете и 6 на кубике.
Показать решение
Предыдущий пример содержал два 91 642 независимых события 91 645. Получение определенного результата от броска кубика не влияло на результат от подбрасывания монеты.
Независимые события
События A и B являются независимыми событиями , если вероятность наступления события B одинакова независимо от того, произошло событие A или нет.
пример
Являются ли эти события независимыми?
Правильная монета подбрасывается два раза. Два события: (1) первый бросок — решка и (2) второй бросок — решка.
Два события (1) «Завтра в Хьюстоне будет дождь» и (2) «Завтра в Галвестоне будет дождь» (город недалеко от Хьюстона). 908:00
Вы берете карту из колоды, затем берете вторую карту, не заменяя первую.
Показать решение
Когда два события независимы, вероятность того, что они произойдут, является произведением вероятностей отдельных событий.
P ( A и B ) для независимых событий
Если события A и B независимы, то вероятность появления обоих A и равна и . 0007
[латекс]P\left(A\text{ и }B\right)=P\left(A\right)\cdot{P}\left(B\right)[/latex]
где P ( A и B ) — вероятность того, что события A и B произойдут одновременно, P ( A ) — вероятность того, что событие A произойдет, а
B произойдет ) есть вероятность того, что событие B произойдет
Если вы посмотрите на пример с монетой и кубиком из предыдущего примера, вы увидите, как количество исходов первого события, умноженное на число исходов второго события, умноженное на общее количество возможных исходов в комбинированном событии.
пример
В вашем ящике есть 10 пар носков, 6 из которых белые, и 7 футболок, 3 из которых белые. Если вы случайно протянете руку и вытащите пару носков и футболку, какова вероятность того, что они оба белые?
Показать решение
Примеры совместных вероятностей обсуждаются в этом видео.
Попробуйте
В предыдущих примерах рассматривалась вероятность того, что произойдут оба события. Теперь посмотрим на вероятность 9Произошло событие 1642 или .
пример
Предположим, мы подбросили монету и бросили кубик, и хотели узнать вероятность того, что выпадет решка на монете или 6 на кубике.
Показать решение
P ( A или B )
Вероятность появления A или B (или обоих) равна
[latex]P(A}\text{ или (A)+P(B)–P(A\text{ и }B)[/latex]
пример
Допустим, мы берем одну карту из стандартной колоды. Какова вероятность того, что мы получим даму или короля?
Показать решение
Подробнее об этом примере и предыдущем смотрите в следующем видео.
В последнем примере события составляли Объединенные , SO P ( A или B ) = P ( A ) + 9142 P ( A ) + 9142 P ( A ).
Попробуйте
пример
Предположим, мы берем одну карту из стандартной колоды. Какова вероятность того, что мы получим красную карточку или короля?
Показать решение
Попробуй
В ящике у тебя 10 пар носков, 6 из которых белые, и 7 футболок, 3 из которых белые. Если вы протянете руку и случайно возьмете пару носков и футболку, какова вероятность того, что хотя бы один из них белый?
Пример
В таблице ниже указано количество участников опроса, получивших и не получивших штраф за превышение скорости за последний год, а также цвет их автомобиля. Найти вероятность того, что случайно выбранный человек:
Имеет красную машину и получил штраф за превышение скорости
Имеет красную машину или получил штраф за превышение скорости.
Штраф за превышение скорости
Нет штрафа за превышение скорости
Всего
Красный автомобиль
15
135
150
Не красная машина
45
470
515
Всего
60
605
665
Показать решение
Этот пример таблицы подробно описан в следующем пояснительном видео.
Попробуйте
Условная вероятность
В предыдущем разделе мы вычислили вероятности событий, которые не зависят друг от друга. Мы увидели, что получение определенного результата при бросании игральной кости не влияет на результат при подбрасывании монеты, даже несмотря на то, что мы вычисляли вероятность, основанную на одновременном выполнении этих действий.
В этом разделе мы рассмотрим события, которые зависят друг от друга, называемые условными вероятностями .
Условная вероятность
Вероятность того, что событие B произойдет, при условии, что событие A произошло, представляется как
P ( B | A
) of B дано A ”
Например, если вы берете карту из колоды, то место выборки для следующей вытянутой карты изменилось, потому что теперь вы работаете с колодой из 51 карты. В следующем примере мы покажем вам, чем вычисления для подобных событий отличаются от вычислений, которые мы сделали в предыдущем разделе.
пример
Какова вероятность того, что две карты, взятые наугад из колоды игральных карт, окажутся тузами?
Показать решение
Conditional Probability Formula
If Events A and B are not independent, then
P ( A and B ) = P ( A ) · P ( B | A )
пример
Если вы вытащите 2 карты из колоды, какова вероятность того, что обе карты пиковые?
Показать решение
Попробуйте
Пример
В таблице ниже показано количество участников опроса, которые получили и не получили штраф за превышение скорости в прошлом году, а также цвет их автомобиля. Найти вероятность того, что случайно выбранный человек:
имеет штраф за превышение скорости при условии, что у него красная машина
имеет красную машину учитывая у них штраф за превышение скорости
Штраф за превышение скорости
Нет штрафа за превышение скорости
Всего
Красный автомобиль
15
135
150
Не красная машина
45
470
515
Всего
60
605
665
Показать решение
Эти виды условных вероятностей используются страховыми компаниями для определения ваших страховых тарифов. Они рассматривают условную вероятность того, что вы попадете в аварию, учитывая ваш возраст, ваш автомобиль, цвет вашего автомобиля, вашу историю вождения и т. д., и оценивают ваш полис на основе этой вероятности.
Узнайте больше об условной вероятности в следующем видео.
Пример
Если вы вытащите две карты из колоды, какова вероятность того, что вы получите бубновый туз и черную карту?
Показать решение
Эти два сценария игральных карт более подробно обсуждаются в следующем видео.
Попробуйте
Пример
Женщинам был проведен домашний тест на беременность, затем беременность была подтверждена анализом крови. В следующей таблице приведены результаты домашнего теста на беременность.
Найти
P (не беременна | положительный результат теста)
P (положительный результат теста | не беременна)
Положительный тест
Отрицательный тест
Всего
Беременная
70
4
74
Не беременна
5
14
19
Всего
75
18
93
Показать решение
Подробнее об этом примере см. здесь.
Попробуйте
10.5 Факториальная запись | Вероятность
Предыдущий
10. 4 Фундаментальный принцип счета
Следующий
10.6 Применение к задачам счета
10.5 Факторная запись (EMCK3)
temp text
Проработанный пример 12: Расстановка исходов без повторения
В забеге \(\text{400}\) \(\text{m}\) принимают участие восемь спортсменов. Сколькими различными способами все могут
\(\text{8}\) места в гонке распределятся?
Любой из \(\text{8}\) спортсменов может прийти первым в гонке. Теперь осталось только \(\text{7}\) спортсменов
быть вторым, потому что спортсмен не может быть одновременно вторым и первым в гонке. После второго места только
\(\text{6}\) спортсмены вышли на третье место, \(\text{5}\) спортсмены на четвертое место, \(\text{4}\)
спортсмены за пятое место, \(\text{3}\) спортсмены за шестое место, \(\text{2}\) спортсмены за седьмое место
место и \(\text{1}\) спортсмен за восьмое место. Таким образом, количество способов, которыми спортсмены могут быть
заказано так:
\[8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \text{40 320}\]
Как и в приведенном выше примере, в задачах на подсчет часто бывает так, что результат первого события
уменьшает количество возможных исходов второго события ровно на \(\text{1}\), а исход
второе событие уменьшает возможные исходы третьего события еще на \(\text{1}\) и т. д.
Поскольку такого рода проблемы возникают так часто, у нас есть специальное обозначение для представления ответа. Для целого числа
\(n\), обозначение \(n!\) (читай \(n\) факториал) представляет:
Из определения факториала мы знаем, что \(12! = 12 \times 11 \times 10 \times \ldots \times 3
\раз 2\раз 1\). Однако это может быть довольно утомительно, вычисляя каждое умножение.
шаг на бумаге или вводя каждый шаг в свой калькулятор. К счастью, на вашем калькуляторе есть кнопка
что делает это намного проще. Чтобы использовать калькулятор для вычисления факториала числа:
Введите число.
Нажмите SHIFT на CASIO или 2ndF на калькуляторе SHARP.
Затем нажмите \(x!\) на CASIO или \(n!\) на калькуляторе SHARP.
Наконец, нажмите «равно», чтобы вычислить ответ.
Если мы выполним эти шаги для \(12!\), мы получим ответ \(\text{479001 600}\).
Если \(n = 1\), мы получаем \(\frac{1!}{0!}\). Это особый случай. Оба \(1!\) и \(0! =1\), поэтому
\(\frac{1!}{0!} = 1\), поэтому наше тождество остается в силе.
Индивидуальные занятия по математике, созданные для успеха KS4
Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике теперь доступны
Узнать больше
Введение
Как использовать обозначение вероятности
Таблица обозначений вероятностей
Распространенные заблуждения
Практические вопросы по записи вероятностей
Обозначение вероятностей Вопросы GCSE
Контрольный список обучения
Следующие уроки
Все еще застряли?
Здесь мы изучим нотацию вероятностей, включая нотацию множества.
Существуют также рабочие листы с обозначением вероятностей , основанные на экзаменационных вопросах Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные указания о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.
Что такое обозначение вероятности?
Обозначение вероятности — это эффективный способ записи вероятности того, что события произойдут или не произойдут.
Для этого используем набор обозначений, который используется при работе с диаграммами Венна.
События обычно обозначаются заглавными буквами, а также некоторыми греческими буквами.
Давайте рассмотрим несколько примеров.
Если бы вы бросили правильный шестигранный кубик, а в событии А выпала шестерка, более эффективным способом записи «какова вероятность выпадения 6» было бы написать P(A) или P(6).
Если бы вы бросили правильный шестигранный кубик, а событие А выпало шестерка, более эффективный способ записи «какова вероятность того, что не выбрасывает 6’, вы можете написать P(A’).
Ссылка на диаграммы Венна. Ниже приведены две диаграммы Венна, которые включают два множества и показывают событие А и все, что не является событием А.
Пошаговое руководство: Диаграммы Венна
Что такое обозначение вероятности?
Союз
P(A \cup B) или «Союз B» — это шанс выбрать любой результат, который удовлетворяет событию A или событию B, или обоим.
На диаграмме Венна это было бы представлено так.
Например, \xi — это набор чисел от 1 до 12. \ A и B являются подмножествами \xi .
A = кратно 3.
B = кратно 4.
Одно из чисел выбирается случайным образом. Найдите вероятность P(A \cup B).
Событие A кратно 3 = 3, 6, 9, 12 .
Событие B кратно 4 = 4, 8, 12 .
Числа 1, 2, 5, 7, 10 и 11 не входят в событие A или B.
Возможны 12 исходов, числа от 1 до 12.
Всего существует 6 исходов, удовлетворяющих событию A или событию B (12 учитываются только один раз, даже если они удовлетворяют событию A и событию B).
Итак, P(A \cup B)=\frac{6}{12}.
Пересечение
P(A \cap B) или «пересечение A B» — это вероятность выбора любого исхода, удовлетворяющего событию A и событию B, совместная вероятность событий.
На диаграмме Венна это было бы представлено так.
Например, \xi — это набор чисел от 1 до 12. \ A и B являются подмножествами \xi .
A = кратно 3.
B = кратно 4.
Одно из чисел выбирается случайным образом. Найти вероятность P(A \cap B).
Событие A кратно 3 = 3, 6, 9, 12 .
Событие B кратно 4 = 4, 8, 12 .
Числа 1, 2, 5, 7, 10 и 11 не входят в событие A или B.
Возможны 12 исходов, числа от 1 до 12.
Существует только 1 число, удовлетворяющее событию A и событию Б, число 12.
Итак, P(A \cap B)=\frac{1}{12}.
Как использовать нотацию вероятности
Чтобы использовать нотацию вероятности для расчета вероятности события:
Определите событие.
Определите, сколько существует возможных исходов.
Определите, сколько раз происходит событие.
Запишите это как вероятность.
Объясните, как использовать обозначение вероятности
Рабочий лист с обозначениями вероятностей
Получите бесплатный рабочий лист с обозначениями вероятностей, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.
СКОРО
Икс
Рабочий лист с обозначениями вероятностей
Получите бесплатный рабочий лист с обозначениями вероятностей, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.
СКОРО
Примеры обозначения вероятности
Пример 1: вероятность события
Событие A — выбор круга.
Событие B — выбор квадрата.
Событие C — выбор треугольника.
Событие D выбирает звезду.
Что такое Р(С)?
Определите событие.
Событие C — вероятность выпадения треугольника.
2 Определите, сколько существует возможных исходов.
Возможны 10 исходов, так как в мешочке 10 фигур.
3 Определите, сколько раз происходит событие.
Есть два треугольника, поэтому ожидаемое значение равно 2.
4 Запишите это как вероятность.
\фракция{2}{10}
Пример 2: вероятность того, что событие не произойдет
Событие A — выбор круга.
Событие B — выбор квадрата.
Событие C — выбор треугольника.
Событие D выбирает звезду.
Что такое P(D’)?
Определите событие.
Событие D — вероятность выбора звезды. В этом примере нам нужно дополнение D, поэтому нам нужна любая фигура, не являющаяся звездой.
Определите, сколько существует возможных исходов.
Возможны 10 исходов, так как в мешочке 10 фигур.
Определите, сколько раз происходит событие.
Есть 9 фигур, которые не являются звездой.
Запишите это как вероятность.
\фракция{9}{10}
Пример 3: вероятность события A или события B или обоих
Событие A — выбор синей фигуры.
Событие B — выбор треугольника.
Рассчитать P(A \чашка B).
Определите результаты, которые являются событием \bf{A} или событием \bf{B} .
Необходимо выбрать синюю фигуру или треугольник.
Определите, сколько существует возможных исходов.
В пакете 10 фигурок.
Определите, сколько раз происходит событие.
Событие A: \ 3 фигуры
Событие B: \ 2 треугольника
Всего возможны 5 исходов.
Запишите это как вероятность.
P(A \чашка B) = \frac{5}{10} \ или \ 0,5.
Пример 4: вероятность события A или события B или того и другого
Событие A приземление спиннера на синее.
Событие B: спиннер приземляется на четное число.
Вычислить P(A \чашка B).
Идентифицируйте результаты, которые являются событием \bf{A, B} или обоими.
Спиннер должен приземлиться на синюю секцию или секцию с номерами 2, 4, 6 или 8.
Определите, сколько возможных исходов.
На спиннере 8 секций.
Определите, сколько раз происходит событие.
Событие A: \ 3 секции
Событие B: \ 2, 4, 6, 8
Всего возможны 5 исходов (4 и 6 удовлетворяют событию A и событию B).
Запишите это как вероятность.
\frac{5}{8}
Пример 5: вероятность события A и события B
Событие A: спиннер приземляется на синее.
Событие B: спиннер приземляется на четное число.
Вычислить P(A \cap B).
Определить результаты, которые являются событием \bf{A} и событием \bf{B} .
Спиннер должен приземлиться на синюю секцию и на четное число.
Определите, сколько существует возможных исходов.
На спиннере 8 секций.
Определите, сколько раз происходит событие.
Две секции синие и четное число.
Возможны 2 исхода.
Запишите это как вероятность.
\frac{2}{8}
Пример 6: вероятность события A и события B
Событие A: спиннер приземляется на красный.
Событие B: спиннер приземляется на четное число.
Вычислить P(A \cap B).
Определите результаты, которые являются событием \bf{A} и событием \bf{B} .
Спиннер должен приземлиться на красную секцию и на четное число.
Определите, сколько существует возможных исходов.
На спиннере 8 секций.
Определите, сколько раз происходит событие.
Единственная красная секция — нечетное число.
Возможных исходов 0.
Запишите это как вероятность.
Распространенные заблуждения
Путаница между «союзом» и «пересечением»
P(A \cup B) и P(A \cap B) похожи и могут быть легко заменены из-за путаницы.
Предполагая, что все ожидаемые значения равны \bf{A \cup B}
Некоторые значения могут быть в универсальном наборе, но не удовлетворяться событием A или событием B, они могут находиться снаружи.
Например, на этой диаграмме Венна показаны два числа, 1 и 9, которые не удовлетворяются событием A или событием B, но находятся в универсальном множестве. Универсальный набор обозначается греческой буквой \xi.
Неправильное использование и/или правило для независимых событий и условной вероятности
При расчете вероятности события A или события B необходимо сложить вероятности.
При расчете вероятности события А и событие Б, нужно перемножить вероятности.
Неправильное толкование обозначений
Установленное обозначение включает использование прописных, строчных и греческих букв. Они специфичны и не могут быть заменены.
Например, набор «А» может быть четным числом, а набор «а» может быть нечетным.
Список результатов
Когда есть два или более событий, нам нужно использовать стратегии систематического списка, чтобы включить все перестановки.
Практические вопросы по записи вероятности P(B) означает, что нам нужна вероятность события B. Событие B — это выбор зеленого шарика.
Всего 5 зеленых шариков и 8 шариков.
Итак, P(B) = \frac{5}{8}.
\frac{2}{8}
\frac{1}{4}
\frac{2}{3}
\frac{6}{8}
Обозначение P(C’) означает, что нам нужна вероятность того, что это не событие C. Событие C — поднятие красного шарика.
Есть два красных и шесть некрасных шариков.
Всего 8 шариков.
Итак, P(C’) = \frac{6}{8}.
\frac{1}{6}
\frac{3}{6}
\frac{4}{6}
Обозначение P(A \cup B) означает в A, или B, или в обоих . Есть три четных числа и одна «1».
Следовательно, есть 4 возможных результата, удовлетворяющих событию A, событию B или обоим.
Всего 6 исходов.
Итак, P(A \чашка B) = \frac{4}{6}.
\frac{1}{6}
\frac{5}{6}
\frac{3}{6}
Обозначение P(A \cup B) означает в A, или B, или в обоих . Есть три четных числа (2, 4, 6) и три простых числа (2, 3, 5).
‘2’ удовлетворяет как событию A, так и событию B, поэтому существует 5 возможных исходов, удовлетворяющих событию A и событию B.
Всего 6 исходов.
Итак, P(A \чашка B) = \frac{5}{6}.
\frac{1}{6}
\frac{3}{6}
\frac{2}{6}
Обозначение P(A \cap B) означает в A и B. Есть три четные числа и одна «2».
Следовательно, существует 1 возможный исход, удовлетворяющий событию A и событию B.
Всего 6 исходов.
Итак, P(A \cap B) = \frac{1}{6}.
\frac{1}{6}
\frac{3}{6}
\frac{2}{6}
Обозначение P(A \cap B) означает в A и B. Есть три нечетные числа (1, 3, 5) и три простых числа (2, 3, 5).
‘3 и 5’ удовлетворяют как событию A, так и событию B, поэтому возможны 2 исхода.
Задания по математике для 1 класса — интересные задачи по математике для 1 класса
Четыре причины полюбить математику с 1 класса
Развитие логического мышления
Математика учит анализировать данные, устанавливать взаимосвязи и находить оптимальное решение. Эти навыки помогут справиться не с одной жизненной задачей.
Достижение успеха в любой профессии
Умение оперировать цифрами нужно не только экономистам. Математика необходима даже в таких творческих профессиях, как архитектор и фотограф.
Повышение авторитета в своем окружении
В школе разбирающийся в математике ребенок будет пользоваться уважением сверстников, а вне учебы не позволит обмануть себя, например, на кассе в магазине.
Развитие коммуникативных навыков
Неочевидно, но факт: те, у кого все хорошо с математикой, более стройно, логично и последовательно излагают свои мысли. А значит, с ними приятнее общаться.
Какой должна быть математике для учеников 1 класса?
Подана небанально и в игровой форме
В Умназии все задания представлены в интерактивном формате с красочными иллюстрациями и приятной озвучкой. Дети проходят сюжетную игру, по ходу которой им приходится решать математические и логические задачи.
Не перегружает ребенка
Каждый урок посвящен отдельной теме и длится около 30-40 минут. Ребенок может заниматься в любое время и делить уроки так, как ему удобно. Начать можно даже с 5-10 минут в день!
Развивает логику и креативность
Ребенок научится решать математические и логические задачи не быстрее, а рациональнее. Умение находить верные и порой нестандартные решения не раз пригодится и за пределами школы.
Какие задачи по математике для 1 класса предлагает Умназия?
Задачи на классификацию
Поиск закономерностей
Математические задачи на логику
Задачи на истину и ложь
Волшебные квадраты
Математические ребусы
Задачи на переливание
Задачи на взвешивание
Задачи, решаемые с конца
Задачи на скорость
Задачи, решаемые методом перебора
Геометрические задачи
Начать заниматься
Примеры заданий по математике для 1 класса
Задача 1
Коллекция фантиков у Маши очень разрослась, и Маша решила собрать их все в отдельный альбом, разделив по группам: шоколадные, ириски, карамельки, самые редкие и так далее. Девочка расчертила первую страницу альбома так, что у неё получилось три ряда по 7 клеток, в каждую из которых она поместит по одному фантику. Какое минимальное количество линий для этого могла провести Маша?
Решить задачу
Задача 2
Финн, Джейк, принцесса Пупырка, Снежный Король и Марселина соревновались в метании мармеладок. Известно, что Финн метнул свою мармеладку ближе, чем Джейк. Пупырка метнула мармеладку дальше всех, а Марселина показала самый плохой результат. Снежный Король забросил мармеладку дальше Джейка. Можешь ли ты сказать, кто из соревнующихся оказался на третьем месте?
Решить задачу
Задача 3
Главу семьи зовут Антон Петрович. Его сыновей зовут Дмитрий и Антон, а внуков — Мирон и Антон. Какое наименьшее число Антонов Антоновичей может быть в этой семье?
Решить задачу
Решать задачи по математике для 1 класса
Познакомьтесь с форматом курса «Математическое мышление». Пройдите сюжетную игру и решите три математические задачи!
Решать задачи
Решать задачи
В Умназии дети развивают логическое мышление, решая увлекательные сюжетные задачи по математике
Продуманная программа
Курсы математического мышления разработаны на базе множества источников, экспертизы методистов и педагогов, разделены на 10 тем с теорией и игровыми заданиями с объяснением
Увлекательные задания
Ребенок решает сюжетные игровые задачи по математике для изучения новых тем и закрепления пройденного по каждому курсу. Никакой скуки! Ни одно задание не повторяется!
Дипломы и награды
В конце каждого курса ребенок решает тест или проходит игру, получая сертификат в случае успешного выполнения. Вы будете уверены в его знаниях!
Решение задач по математике в 1 классе
Первоклассников еще рано грузить сложными примерами и скучной теорией, а вот развивать у них математическое мышление — самое время. Хороший инструмент для этого — несложные, но требующие смекалки и творческого подхода математические задачи.
Идеально, если материал всего урока подается в форме игры или сюжетной истории. Подолгу сидеть за занятиями не стоит — хватит и 10 минут в день.
Купите курс математики для детей со скидкой 40 % уже сейчас
Задачи математики для 1 класс
Описание
Помогает вам практиковаться и улучшать свои математические навыки. Веселитесь, решая задачи. Все задачи в вашем распоряжении без дополнительной оплаты.
Более 570 математических проблем для 1-го класса с разной сложностью. Все категории задач бесплатны. Если вы оцениваете нашу работу или хотите прекратить рекламу, вы можете сделать это, нажав кнопку «Остановить рекламу». Таким образом, мы сможем добавить новые задачи. Приложение содержит:
+ Сложение и вычитание до 10 + Сложение и вычитание до 20 + Сравнение чисел + Что верное? + Сложение десяток + Пропущенные числа в ряду + Текстовые задачи до 10 + Текстовые задачи до 20 + Сложение трех чисел
Используются следующие ресурсы: Designed by Terdpongvector / Freepik https://www.freepik.com/terdpongvector/ Designed by brgfx / Freepik https://www.freepik.com/brgfx
Версия 3.4
Новые задачи Исправление ошибок
Оценки и отзывы
Оценок: 633
Реклама
Купили игру за 229₽ а реклама так и не отключилась!!!!!!! Очень хорошее приложение, НО РЕКЛАМА ПРОСТО ВЫВОДИТ ИЗ СЕБя!! Поэтому купили приложение, НО ИЗМЕНЕНИЙ НЕТ!!!!!
Писала вам ранее это сообщение. После вашего ответа, все равно такая же ситуация. … невозможно заниматься.!!!! Покупка не восстанавливается, и не обновляется…. деньги потратили, а толку нет…. Обидно(((
Здравствуйте. Приносим извинения за доставленные неудобства. Пожалуйста, напишите нам по адресу [email protected], чтобы бесплатно отправить вам ваучеры.
Круто
Круто
The best game
My kids love this so much. I think it will play the main role in their future. Thanks for these kind of apps. I am a programmer and I know it’s not easy for you guys. Thanks a lot. If there were 10 starts I would choose ten.
Hello, thank you for the kind words really mean a lot to us. We wish you luck. Калин М.
Разработчик Kalin M указал, что в соответствии с политикой конфиденциальности приложения данные могут обрабатываться так, как описано ниже. Подробные сведения доступны в политике конфиденциальности разработчика.
Данные, используемые для отслеживания информации
Следующие данные могут использоваться для отслеживания информации о пользователе в приложениях и на сайтах, принадлежащих другим компаниям:
Геопозиция
Идентификаторы
Данные об использовании
Диагностика
Связанные
с пользователем данные
Может вестись сбор следующих данных, которые связаны с личностью пользователя:
Геопозиция
Идентификаторы
Данные об использовании
Диагностика
Не связанные
с пользователем данные
Может вестись сбор следующих данных, которые не связаны с личностью пользователя:
Конфиденциальные данные могут использоваться по-разному в зависимости от вашего возраста, задействованных функций или других факторов. Подробнее
Общемировое развитие не стоит на месте, поэтому требования к человеку и его возможностям постоянно возрастают. В том числе и к такой категории населения как школьники. Им необходимо трудится практически без отдыха, чтобы выдерживать конкуренцию своих ровесников.
Уровень знаний первоклассников также стал довольно высоким. У школ нет жестких требований к будущим ученикам, но все же вчерашние детсадовцы должны быть подготовлены к основным предметам. Ребенку будет легче учиться в первом классе, если он будет знать буквы и звуки, сможет читать по слогам, правильно держать ручку, а еще лучше уметь писать буквы и хорошо знать алфавит. Что касается математики в первом классе, то также есть некоторые требования: нужно знать простые геометрические фигуры, считать до 10, а лучше до 20, понимать, что такое прямой и обратный порядковый счет, ориентироваться на листе бумаги.
Важна как образовательная, так и моральная готовность детей. Родители волнуются за будущего первоклашку, ведь, даже зная все, что нужно, он может растеряться и занервничать. А школьные собеседования именно для того и проводятся, чтобы преподаватели могли понять, насколько способный и подготовленный ребенок.
Как помочь выучить ребенку школьную программу по математике в первом классе?
Многие родители с первого класса стремятся приучить детей учиться хорошо – получать одни пятерки. Но при этом забывают сделать акцент на том, что самое главное – это получать знания. Даже у первоклассников часто возникает проблема, что оценки хорошие, а знаний очень мало. Ведь несложно просто зазубрить материал, чтобы хорошо ответить у доски на следующий день. Сложно – понять и разобраться в теме, чтобы закрепить ее навсегда.
Поэтому родители должны донести до детей, что самое главное – понять математику, научиться применять ее в жизни, осознанно выполнять упражнения, не решать примеры на занятиях механически, а только с полным пониманием и без спешки. Для осознанного обучения также помогает развитие логики и нестандартного критического мышления. Благодаря им ученику будет легче понять математику и применять ее законы в жизни.
Задания по математике в 1 классе
Обучение первоклассников в основном строится на том, что дети изучали на уроках подготовки к школе. Повторяется уже пройденное, а усложнение материала происходит очень постепенно.
Задания по математике в 1 классе – это изучение прямой, точки, ломанной, простых геометрических фигур, счет как письменный, так и в уме. Учитывая, что основа алгебры – это таблица умножения, то в первом классе происходит подготовка к ее изучению: нарабатываются фундаментальные знания, которые во втором классе позволяют освоить таблицу умножения.
Кроме этого, конечно, ученики учатся находить фигуры в окружающем мире, расширяют свой кругозор, стараются применять в жизни счет, который уже освоили. Также они решают ребусы, головоломки, легкие занимательные задачи, самые простые примеры. Несмотря на то, что это школа, учителя стараются преподать материал интересно, а задания подобрать увлекательные и в игровой форме.
Математические ребусы и задачи на сообразительность
Кроме изучения цифр, правил и обучения счету, важно давать малышу решать различные ребусы и головоломки. Именно нестандартные задачи помогают ребенку развивать свой мозг, научиться находить решение, не боятся трудностей, применять математические хитрости. Простые примеры помогут только отработать навык арифметических вычислений, а развиваться дальше можно только лишь используя нестандартное мышление.
Современная методика «Амаматика» от Академии развития интеллекта AMAKids включает в себя онлайн-платформу и игровые тренажеры по математике, которые позволяют развивать сразу все способности детей в области математики.
Чтобы научить учеников легко решать задачи любой сложности, а также применять «царицу наук» в жизни, в наших учебниках и пособиях предложены интересные задания с пропущенными числами, неизбитые кроссворды и головоломки, математические ребусы за 1 класс и для детей постарше, увлекательные лабиринты, задачи на сообразительность. Умея применять нестандартные способы решения, ребенок не испытывает страх перед заданиями повышенной сложности. Он с интересом берется за любую задачку.
Тренажер по математике 1 класс
Платформа и тренажер Амаматика помогут не только преуспевать в школе, но и научат находить подход к сложным заданиям, обучат финансовой грамотности и основам программирования, помогут развить аналитическое мышление, пространственное воображение. Математика – сложный предмет, но, если структурировано подходить к обучению и придерживаться проверенной методики, школьник сможет понять и закрепить даже самые непростые темы.
На нашей удобной онлайн-платформе ученики могут подтянуть любое математическое направление – нужно лишь зайти в требующийся раздел и начать выполнять упражнения. Тренажер по математике для первого класса обеспечит правильное понимание предмета и заложит необходимые азы для дальнейшего обучения.
Также на игровой платформе есть разделы с арифметикой, геометрией, задачами, а также заданиями по финансовой грамотности, программированию и играми на развитие логики, памяти и внимания. Амаматика – эффективные и удобные курсы для современных детей.
Логические задачи для 1 класса по математике, с ответами | Для детей 7
Задачи на логику с ответами для 1 класса ( детей 7-8 лет)
Логические задачи по математике
Ответы на задачи п.1
Логические задачи на предположение с ответами и решением
Логические задания для 1 класса
Игры на логику для 1 класса
Логические задачи для 1 класса в картинках (для детей от 6 лет)
Упражнения, игры и задачи, которые помогут школьникам развивать логическое мышление.
Согласитесь, умение мыслить логически всегда будет актуальным. Навыки логического мышления пригодятся детям в любой сфере жизни: на уроках, дома, при выборе будущей профессии. Ведь для успешной сдачи экзаменов просто необходимо не только владеть материалом, но и иметь развитые навыки логического, критического и креативного мышления!
Возможности развития логического мышления безграничны. Используя их, мы не только тренируем свой интеллект, но и совершенствуем навыки коммуникации и учимся помогать другим. Кроме того, от уровня развития нашей логики зависит и скорость реагирования на жизненные вызовы. А это прекрасно помогает сохранять время и силы.
Задачи на логику 1 класс с ответами
Логические задачи — нестандартные задания по математике длядетей 7 — 8 лет
1. Летели воробьи и уселись на столбце. Если бы сели по одному, то остался бы без места воробей, а если бы по два, то свободным был бы столбец. Сколько было воробьев? Сколько столбцов?
2. Одна белочка насобирала 9 сыроежек и 6 маслят и разделилась со второй — дала ей 8 грибов. Какое наименьшее число сыроежек могла получить вторая белочка?
3. Сидело 6 Воробьев и 4 ласточки. 9 птичек полетело. Сколько воробьев осталось?
4. Когда дети выстроились в ряд, то Коля увидел, что он стоит пятым от правого края и третьим от левого. Сколько детей выстроилось?
5. На ветке сидело несколько птичек. После того, как 4 птички полетели, на ветке осталось на 2 птицы больше, чем полетело. Сколько птичек сидело на ветке?
6. Андрюша и Аленка удили рыбу. Увидев, что у Аленки мало рыбы, мальчик дал ей столько рыбин, сколько у нее было. Впоследствии Аленка поймала 7 Рыбин, отдала долг Андрюше и у нее стало 10 рыбин. Сколько Рыбин было у Аленки изначально?
7.Какое число можно написать вместо точек 1, 3; 2 …; 3, 5, если придерживаться установленной закономерности?
8. Один грузовой автомобиль за один раз может перевозить вмещает два станка. Сколько нужно таких автомобилей, чтобы перевезти 7 станков.
9. Найдите три числа, удовлетворяющие условию: каждое следующее число на 1 больше предыдущего, а одно из них равно сумме двух других.
10. Летели гуси, а навстречу им — гусь «Добрый день, десять гусей!»- молвил он. «Нет, нас не десять. Если бы ты был с нами да еще двое гусей, то тогда было бы 10», — ответили гуси. Сколько летело гусей?
11.В комнате были стулья на 3-х и 4-х ножках. Сколько было каких стульев, если всего ножек — 10?
12. Имеем два сосуда: в один вмещается 8, а во второй — 5 стаканов воды. Как, пользуясь ими, отмерить два стакана воды?
13. У Юрки сегодня день рождения. Он моложе своей сестры, которой исполнилось 7 лет. Сколько лет может быть Юре?
14. Аленка и Коля поставили на полочку 5 игрушек. Коля сказал, что он поставил столько же игрушек, сколько поставила Лена. Не ошибся ли он?
15. Светлана и Василий пришли утром в класс, а там уже было 4 ученицы. Сколько всего учениц стало в классе? Можете ли вы сказать, сколько всего стало детей?
16. В ящике вперемешку лежат 10 синих и 10 красных носков. Сколько надо вынуть носков, не глядя, чтобы получилась пара одного цвета?
17. Аленка живет на четвертом этаже. Когда она возвращается на улицу, то с этажа на этаж поднимается за полминуты. Сколько времени тратит Леночка, чтобы подняться по лестнице в свое жилище?
18. На лесопильном заводе машина отрезает от бревна за 1 мин кусок дерева длиной 1 м. За сколько минут она разрежет на такие куски бревно длиной 10 м?
19.Бабушке надо зажарить 6 котлет, а на сковородке умещается только 4. Каждую котлету надо жарить 6 мин на одной стороне и 5 мин на второй. Сколько времени нужно для того, чтобы зажарить 6 котлет на этой сковородке?
20. Внук спросил у дедушки: «сколько тебе лет?» Дедушка ответил: «Если проживу еще половину того, что я прожил, да еще один год, то мне будет 100 лет». Сколько лет дедушке?
21. Есть два бидона вместимостью 2 л и 7 л. Как с их помощью набрать из реки 3 л воды?
22. Трое друзей: Андрюша, Назарчик и Дима удили рыбу. Больше всего рыб поймал Андрюша, а меньше всего — Дима. Количество Рыбин, которые поймал каждый, выражается одноцифровым числом. Сколько рыб мог поймать каждый из мальчиков, если вместе они поймали 20?
23.Почтовый индекс сказочной страны Берендеево выражен четырехзначным числом, в котором цифры не повторяются. Сумма двух чисел, обозначаемых двумя средними цифрами, равна 15, а число, обозначенное крайней левой цифрой, втрое меньше числа, обозначенного правой крайней. Каким может быть индекс?
24. У Олеси было три куклы: Анечка, Марийка и Оля. Каждая из них жила в одном из трех домиков. Первый домик был с высокой крышей и маленьким окном. Вторая хатка — с высокой крышей и большим окном, третий — с низкой крышей и большим окном. Анечка и Маша жили в домиках с большим окном, а Маша и Оля — в домиках с высокой крышей. Нужно отгадать, в какой хатке живет каждая кукла.
25. Катруся, Софийка, Галинка и Наденька родились 2 марта, 17 мая, 2 июня, 20 марта. Софийка и Галинка родились в одном месяце, а у Галинки и Катруси день рождения одного числа. Кто когда родился?
Ответы на логические задачи:
1. Воробьев-4, столбцов — 3.
2.Наименьшее число сыроежек вторая белочка получит, если первая отдаст ей все собранные маслята. Итак, это будет 2 сыроежки (8-6=2).
3. Не осталось ни одного воробья, если все улетели. А если полетят 4 ласточки и еще 5 воробьев, то останется 1 воробей.
4.5+2=7 или 3+4=7.
5.Осталось — 4+2=6, сидело — 6+4=10.
6.10-7=3 (рыбы).
7.Сумма чисел, одинаково удаленных от начала и конца, стала и равна 6.
1+5=6; 3+3=6, поэтому вместо квадратика надо записать 4 (2 + 4=6).
8.7=2+2+2+1; требуется 4 автомобиля.
9. Один, два, три, поскольку 3=2+1.
10.10=1+2+7 следовательно, летело 7 гусей.
11.10=3+3+4 значит, было 2 стула на 3-х ножках и 1 стул на 4-х ножках.
12.Надо наполнить сосуд, что вмещает 5 стаканов, и всю воду из нее вылить в сосуд, вмещающий 8 стаканов. Сюда можно долить еще 3 стакана (8-5=3), поэтому в сосуде на 5 стаканов останется 2 стакана воды (5-3=2).
13.6, 5, 4, 3, 2, 1.
14.Да, ошибся, потому что число 5 не может состоять из одинаковых чисел.
15. Стало 5 учениц и 6 детей.
16.3.
17.1 мин с (30+30+30).
18.9 мин.
19.За 17 мин.
20.Дедушке 66 лет.
21. налить в семилитровый бидон сначала 2 л воды, затем еще половину двухлитрового (2+1=3).
Логические задачи на предположение для использования на уроках математике в 1 класса (с ответами и решением)
Задача № 1
На новогоднем празднике танцевала одна из девочек 1-А класса: Татьяна, Елена или Наталья. Когда же их спросили девочки 1-Б кто из них танцевал, то Татьяна сказала, что танцевала она. Елена сказала, что она не танцевала. А Наталка, которая всегда говорит правду сказала, что одна из девушек говорит правду, а другая неправду. Кто же из девочек танцевал на празднике?
Решение и ответ: 1) Предположим, что Татьянка сказала правду, то есть она танцевала, тогда Аленка сказала неправду, а значит и она танцевала, а это противоречит условию задачи где сказано, что только одна из девочек танцевала. 2) Предположим, что Елена сказала правду, то есть Елена не танцевала, тогда Татьяна сказала неправду, значит и она не танцевала. Из этого следует, что танцевала другая девочка — Наталья.
Задача № 2
Три одноклассника — Алексей, Василий и Сергей занимаются в разных школьных кружках: хореографическом, математическом и баскетбольном. На вопрос, кто какой кружок посещает, они ответили:
Алексей :»я посещаю хореографический». Василий: «Я – не хореографический». Сережа : «я – не математический».
Какой кружок посещает каждый из мальчиков, если известно, что только один из них сказал правду?
Решение и ответ:
1) предполагаем, что Алексей сказал правду, то есть он посещает хореографический кружок, тогда Василий и Сергей сказали неправду, а значит Василий тоже посещает хореографический кружок, а это противоречит условию задачи, где сказано, что дети занимаются в разных кружках.
2) Предположим, что Василий говорит правду, то есть он не посещает хореографический кружок, тогда Алексей и Сергей говорят неправду, а значит Алексей не посещает хореографический тоже, а Сергей посещает математический. То есть ни один из ребят не посещает хореографический, что опять противоречит условию.
3) предположим, что Сергей сказал правду, тогда Алексей и Василий сказали неправду.
Поэтому следует, что Василий посещает хореографический кружок. Так как Сергей не посещает математический то он посещает баскетбольный кружок. Тогда кружок по математике посещает Алексей.
Задача № 3
Один из трех братьев испачкал скатерть. — Кто испачкал скатерть? — спросила бабушка. — Василь не ставил пятно, — сказал Лесик, — это сделал Петрик. — Это Василь запятнал скатерть, а не Лесик, — сказал Петрик. — Не сердись, бабушка. Я знаю, что Петрик не мог этого сделать, это я испачкал скатерть, – возразил Василько.
Выяснилось, что двое мальчиков дважды сказали правду, а один дважды соврал. Кто поставил пятно?
Ответ и решение:
Исходя из условия, мы имеем:
Лесик: Василько нет, это сделал Петрик
Петрик: Василько запятнал, а не Лесик
Василько: Петрик нет, это сделал я (Василько)
1) Предположим, что дважды солгал Лесик. Тогда Василько запятнал скатерть, а не Петрик. В этом случае две другие ответы правильные и не противоречат тому, что это сделал Вася.
Ответ: Скатерть запятнал Василь.
Задача № 4
В соревновании по бегу участвовали три бегуна: Авдиенко, Василенко и Семенюк. Перед началом соревнования один зритель сказал, что Авдиенко придет первым, второй – что Семенюк не будет последним, а третий – что Василенко первым финиширует. После завершения соревнований выяснилось, что один из зрителей угадал, а двое других-ошиблись. Как завершились соревнования, если известно, что все три бегуна закончили бег с разным результатом?
Решение и ответ:
Все предположения выпишем отдельно. 1-й : Авдиенко первым, 2-й : Семенюк не последний, 3-й : Василенко не первым.
1) Предположим что угадал 1-й зритель, то есть, Авдиенко придет первым. Тогда другие предположения ошибочны. И отсюда следует, что Семенюк придет последним, а Василенко, как и Авдиенко, тоже первым, что противоречит условию задачи, где сказано, что бег закончили с разным результатом.
2) Предположим что 2-й зритель угадал, то есть » Семенюк не будет последним». Тогда предположения первого и третьего зрителей ошибочны, а это означает, что Авдиенко не первый финиширует, а Василенко первым. Исходя из предположения, что Семенюк не последним придет, то он вторым, а Авдиенко третьим.
Ответ: 1-й – Василенко; 2-й – Семенюк; 3-й – Авдиенко.
Логические задания для 1 класса
Задание №1: Какая из данных фигур (треугольник, квадрат, круг) «лишняя» (отличается от остальных)? Чем она отличается? (Ответ: третья фигура «лишняя».
Задание №3. Как разрезать фигуру на 2 части, чтобы из них можно было сложить прямоугольник?
Задание №4. В сумке у мамы находятся яблоки, лимоны и апельсины, всего 10 штук. Сколько в сумке отдельно яблок, лимонов и апельсинов, если количество яблок на 7 больше, чем лимонов? (Ответ: 8 яблок, 1 лимон, 1 апельсин).
Задание №5. На ветке сидело 5 синиц и 7 воробьев. 6 птичек улетело. Полетел ли хотя один воробей? (Ответ: да, улетел, потому что синиц всего 5, и если все они улетели, то тогда среди птиц, которые улетели был воробей).
Задание №6. Что больше — 5 единиц второго разряда или 8 единиц первого разряда?
Заданиена логику: «Соотнесенные выражения» (для детей 7-8 лет)
Фразеологизмы – это универсальное средство для тренировки мышления. Они развивают не только логику, но и критическое и креативное мышление, воображение и фантазию детей. Кроме того, устоявшиеся изречения помогают нам изъясняться лаконично, ярко и остроумно.
Приведите детям такое устойчивое выражение и попросите выбрать из нескольких предложенных фраз ту, которая бы лучше отражала содержание фразеологизма. Например:
Опять двадцать пять – а) если хочешь что-то получить — надо платить; б) Снова то же самое, все время одно и то же; в) что-то стоит 25 . Правильный ответ: Снова то же самое, все время одно и то же.
Варианты заданий:
Манна небесная – а) неожиданные жизненные блага; б) очень вкусная каша; в) Иногда с неба может упасть что-то полезное.
Как собака на сене – а) чувствовать себя очень комфортно; б) достигать небывалого успеха; в) ни себе, ни другим.
Для усложнения задания можно дать детям больше вариантов ответов на каждое задание.
Задания на логику «Объединяем в группы» (для детей 7-8 лет)
Заранее подготовьте перечень понятий или терминов, касающихся различных аспектов или даже тематических блоков вашего предмета. Их количество и сложность определяются индивидуально (в зависимости от возраста детей и уровня их подготовки). Задача для детей: объединить в группы слова, которые имеют общие признаки или характеристики. Дети также должны сказать, по какому критерию они относят то или иное слово к определенной понятийной группе.
Проведение этого упражнения можно успешно сочетать с проработкой учебного материала по любому предмету. Например, на уроке истории:
Из этих слов, скажем, можно составить группу «оружие»: меч, копье, булава, мушкет. Также дети могут предложить собственные критерии для группировки. Так, меч, копье и булава являются холодным оружием, а мушкет – огнестрельным.
Игровые задания на логику для 1 класса
Игра «Один, два, не собьюсь»
Выходят участники. Поочередно считают, начиная с 1, а вместо числа, кратного 3, говорят «не собьюсь». Победителем будет тот, кто назовет большее натуральное число. Например: один, два не собьюсь, четыре, пять, не собьюсь, семь, восемь, не собьюсь. .).
Игра «Выиграй приз».
Нужно с завязанными глазами срезать приз. Если участник, срезавший приз, даст правильный ответ на математический вопрос, привязанный к этому призу, он забирает этот приз.
Игра «Веселая рыбалка»
На полу класса обводят контуры озера, в которое помещают рыбок. К рыбке скрепкой прикрепляются задания. Участник берет удочку. (На конце лески — Магнит). И ловит рыбку. Дав правильный ответ на вопрос — забирает рыбку.
Игра «Кто быстрее посчитает до 25»
На доске две одинаковые таблицы с числами от 1 до 25. Кто из учеников первым закончит счет, тот победил.
Игра «Не собьюсь».
Капитаны по очереди делают по 10 шагов и на каждом шагу называют:
примеры на сложение;
примеры на вычитание.
Игра «Футбол».
На доске нарисованы футбольные ворота, мячи с примерами. Роль вратаря выполняет определенная цифра. Судья — ученик, который очень хорошо считает. Дети вычисляют примеры на мячиках. Если выбрали такой пример, что ответ совпадает с цифрой — вратарем, гол считается забитым.
Игра «Кто чем пообедает?»
Зайчик с разными цифрами: перед ним рисунки капусты, моркови, свеклы, яблок с написанными примерами. Найти ответы к примерам.
Игра «Прибавляем-отнимаем»
Предложите детям интересное и необычное занятие, которое сочетает элементы математики и филологии, а также тренирует логическое мышление. Вместо привычных для детей чисел здесь используются слова. И именно с ними дети должны осуществить математические действия. Например:
Сложение Задание: Бу + оттенок = цветок, который еще не распустился. Ответ: Бу + тон = бутон.
Вычитание Задание: Вид транспорта – о = единица измерения. Ответ: Метро-о = метр.
Примеры логических задач к + полосатое насекомое = прическа девушки (коса) у + имя египетского бога Солнца = победный возглас (ура) м + суп из рыбы = насекомое (муха) за + дом за городом = требует решения (задача) ав + томат = оружие (автомат) ко + ее играет актер = король емкость – а = там хранят деньги (банк) помидор-ат = отдельная книга (том)
Математические домики
Математические задачи прекрасно развивают логическое мышление. Например, можно использовать игру «математические домики», которая является интересным и полезным занятием. Обратите внимание, что ее сложность может варьироваться в зависимости от уровня знаний детей и от опыта ее использования.
Первый уровень:
Поставь в свободное окошко домика нужный знак математического действия, чтобы число на крыше было ответом.
Второй уровень:
Запиши в свободные окошки нужный знак математического действия и такое число, чтобы результатом было число на крыше. Такие задачи дают возможность подобрать несколько вариантов решения. Дополнительно можно дать задание подобрать максимальное количество вариантов, которые бы соответствовали числам одного домика.
Дети могут тренировать логическое мышление не только на уроках, но и дома, играя с друзьями или путешествуя. Главное-объяснить ученикам, что это интересно и совсем не сложно! Кроме того, такие занятия можно связать с изучением учебного материала. Обязательно попробуйте создать собственные игры и упражнения.
Логические задачи для 1 класса в картинках (для детей от 6 лет)
Логические задачи для 1 класса
Из книги выпало несколько листов. На первой выпавшей странице стоит номер 5, а на последней номер 10. Сколько листов выпало из книги? ———————————
В группе 15 детей. 10 детей любят мороженое, 9 человек — конфеты. Как это может быть? ———————————
В лесу елок больше, чем берез, а берез больше, чем осин. Чего больше: елок или осин? Почему? ———————————
В комнате стояли табуретки и стулья. У каждой табуретки 3 ножки, а у стула — 4. Всего табуреток и стульев было 5, а ножек у них было 18. Сколько было табуреток и стульев? ———————————
В книжке 12 страниц. Сколько цифр понадобилось, чтобы пронумеровать все страницы? Сколько из них единичек? А если в книге 20 страниц? ———————————
Полный бидон с молоком весит 10 килограммов, а наполненный до половины — 6 килограммов. Сколько весит пустой бидон? ———————————
У трёх девочек вместе было 20 карандашей. У Ани и Оли вместе было 15 карандашей. У Оли и Кати вместе было 12 карандашей. Сколько карандашей у каждой девочки? ———————————
Нарисуй три прямых и отметь на каждой из них по две точки так, чтобы отмеченных точек было 5. ———————————
У Маши и у Лены кукол поровну, а у Пети машинок в два раза больше, чем кукол у Лены. Чего больше: машинок у Пети или кукол у Лены и Маши вместе? ———————————
Коля, Вася и Боря играли в шашки. Каждый из них сыграл две партии. Сколько всего партий было сыграно? ———————————
В квартирах 1, 2, и 3 живут белый, черный и рыжий котята. В квартире 1 — не черный. Белый — не в квартире 1 и не в квартире 2. Кто где живет? ———————————
У мальчика сестер и братьев поровну. Кого в семье больше: сыновей или дочерей? На сколько? ———————————
По дороге один за другим идут 5 детей. За каждым мальчиком, кроме последнего, идёт девочка. Сколько девочек идут по дороге? ———————————
Каждый из троих взрослых ведёт за руку двоих детей. Сколько детей идут со всеми взрослыми? ———————————
Я придумала два числа. Когда я их сложила, то получила 6. Когда же из одного вычла другое, то снова получила 6. Что же это за числа? ———————————
В коробке 8 пирожных. Сколько пирожных надо взять из коробки, чтобы в ней осталось 5 пирожных? ———————————
Катя задумала число, прибавила к нему 5 и получила 15. Какое число задумала Катя? ———————————
На яблоне было 10 яблок, Садовник разрешил детям сорвать с яблони по 1 яблоку. На яблоне осталось 6 яблок. Сколько было детей? ———————————
Поезд состоит из 10 вагонов. Петя сел в пятый вагон от начала поезда, а Федя – в пятый вагон от конца. В одном ли вагоне они едут? ———————————
Плитка шоколада состоит из 6 квадратных долек. Сколько разломов нужно сделать, чтобы разломить эту плитку на отдельные дольки?
———————————
Пётр сын Сергея, а Сергей – сын Фёдора. Кем приходится Пётр Фёдору? ———————————
В саду яблонь на 3 больше, чем груш. Яблонь 7. Сколько груш? ———————————
У Зины на 4 открытки меньше, чем у Гали. У Зины 6 открыток. Сколько открыток у Гали? ———————————
Меня зовут Иваном Сергеевичем, а моего деда (отца моего отца) – Петром Николаевичем. Запишите имя и отчество моего отца. ———————————
Красный шнур на 1м длиннее зелёного и на 2м длиннее синего. Длина зелёного шнура 5м. Найди длину зелёного шнура. ———————————
На вешалке висят головные уборы; шляп на 1 больше, чем беретов. Шляп 8. Сколько шапок и сколько беретов? ———————————
Уменьшаемое больше вычитаемого на 2. Чему равна разность? ———————————
Угадайте, сколько лет моему дедушке, если через 15 лет мы будем отмечать его семидесятилетие. ———————————
Разность двух чисел равна вычитаемому. Придумайте такие числа и запишите пример. ———————————
Разность двух чисел равна 0. Придумайте и запишите пример. ———————————
Из куска проволоки согнули квадрат со стороной 6 см. Потом проволоку разогнули и согнули из неё треугольник с равными сторонами. Найти длину стороны треугольника. ———————————
В первый день турист прошел 2 км, а в каждый следующий – на 2 км больше, чем в предыдущий. Сколько он прошел в седьмой день? Сколько он прошел за 8 дней?
ГДЗ по математике 1 класс учебник Моро, Волкова 2 часть
Тип: ГДЗ, Решебник.
Автор: Моро М. И., Волкова С. И., Степанова С. В.
Год: 2020.
Серия: Школа России (ФГОС).
Издательство: Просвещение.
Решебник — страница 13Готовое домашнее задание
Номер 1.
1) У Мити 5 вагончиков. У Кости на 2 вагончика меньше, чем у Мити. Сколько вагончиков у Кости?
2) У Мити 5 вагончиков, а у Кости ☐ вагончика. Сколько всего вагончиков у этих мальчиков? Дополни условие, используя ответ предыдущей задачи.
Ответ:Задача 1:
5 ‒ 2 = 3 (в.) ‒ у Кости.
Ответ: 3 вагончика.
Задача 2:
5 + 3 = 8 (в.) − всего у этих ребят.
Ответ: 8 вагонов.
Номер 2.
У Лены было 7 книг со сказками. Она принесла 2 из них в классную библиотечку. Сколько книг со сказками осталось у Лены?
Ответ:
Было – 7 к.
Отнесла – 2 к.
Осталось – ? к.
7 − 2 = 5 (к.) – осталось у Лены.
Ответ: 5 книг.
Номер 3.
Сравни примеры в каждом столбике. По какому правилу они составлены? Запиши еще по одному примеру и вычисли.
Ответ:Первый столбик: чем больше число которое отнимаем, тем значение примера меньше.
7 − 1 = 6
7 − 2 = 5
7 − 3 = 4
7 − 4 = 3
Второй столбик: чем больше число, которое прибавляем, тем больше сумма
5 + 1 = 6
5 + 2 = 7
5 + 3 = 8
5 + 4 = 9
Третий столбик: чем меньше число, которое прибавляем, тем сумма меньше.
6 + 4 = 10
6 + 3 = 9
6 + 2 = 8
6 + 1 = 7
Четвертый столбик: чем меньше число, которое вычитаем, тем значение примера больше.
9 − 4 = 5
9 − 3 = 6
9 − 2 = 7
9 − 1 = 8
Номер 4.
Сравни рисунки и объясни, что сделали ребята.
Ответ:
Игрок стал вратарем. Вратарь – игроком.
Задание внизу страницы
Ответ:
3 + 4 = 7
9 > 10 ‒ 2, потому что 9 > 8
8 = 4 + 4
8 ‒ 3 > 4, потому что 5 > 5
6 < 5 + 3, потому что 6 < 8
7 = 10 ‒ 3
Задание на полях страницы
Нарисуй узор и раскрась.
Ответ:
Рейтинг
👇 Выберите другую страницу 👇
1 часть
Учебник Моро
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
2 часть
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
Ваше сообщение отправлено!
+
Ознакомьтесь с этими 50 задачами дня по математике для первоклассников
Начните свой ежедневный урок математики со словесной задачи дня по математике — это отличный способ подготовить почву для обучения. Все мы знаем, что юным ученикам трудно понять текстовые задачи, даже если часть задачи, связанная с математическими операциями, является базовой.
Включайте эти математические задачи для первого класса один раз в день в начале вашего математического блока, чтобы развить уверенность, навыки критического мышления и обучающееся сообщество. Студенты привыкнут читать медленно, чтобы понять смысл, а также определять ключевую информацию. Предложите учащимся записывать уравнения и рисовать картинки, чтобы объяснить свое мышление, так как это помогает им увидеть свет, когда они застряли!
Рассматриваемые темы включают сложение, вычитание, умножение и сравнение. Все, что вам нужно сделать, это опубликовать одну из этих математических задач для первого класса на доске или экране проектора. Тогда пусть дети взять его оттуда!
Хотите весь этот набор текстовых задач в одном простом документе? Получите бесплатный пакет PowerPoint, отправив сообщение электронной почты здесь.
1. У меня было 6 карандашей, и мой учитель дал мне еще 4. Сколько карандашей у меня сейчас?
2. Собака Джины получила 3 угощения в воскресенье и 0 угощений в понедельник. Сколько всего угощений получил щенок Джины?
3. Джоэл пошел в зоопарк со своей семьей. В первый же час он увидел медведя, 2 тигров и 3 львов. Сколько животных увидел Джоэл в свой первый час в зоопарке?
4. Джексон рассортировал свои машинки по цвету. У него 6 синих машин, 5 зеленых машин и 4 черных машины. Сколько всего машин у Джексона?
5. У Бена 2 зеленых и 4 желтых шарика. Сколько всего шариков у него?
6. В семье Кларков трое детей. Тине 3 года, Джошуа 4 года, а Саманте 7 лет. Если сложить все их возрасты, какова сумма детей Кларков?
7. Если вы пойдете купаться и с вами придут 6 ваших друзей, сколько всего друзей будет плавать?
8. У мамы Рэйчел были цветы в вазе. 3 цветка завяли, и мама Рэйчел вынула их из вазы. Теперь в вазе 5 цветов. Сколько цветов было в вазе изначально?
9. У кошки Хейден родились котята. 3 котенка были серыми, 2 котенка пятнистыми и 7 котят черными. Сколько котят было у кошки Хейден?
10. Педро принес с игровой площадки 3 красных и 6 желтых листьев. Сколько всего листьев у него?
11. Габриэлла прочитала 3 книги в понедельник, 6 книг во вторник и 4 книги в среду. Сколько всего книг прочитала Габриэлла?
12. Если у вас 3 кошки, 2 морские свинки и кролик. Сколько милых маленьких носиков у них всего?
13. Если утром на земле лежит 3 дюйма снега, а к обеду выпадает еще 3 дюйма снега. Сколько дюймов снега выпало в тот день?
14. У моей кошки 4 лапы и у собаки моего брата 4 лапы. Сколько всего лап?
15. У меня было 10 копеек, но я потерял 2 из них. Сколько копеек у меня сейчас?
16. За лето Сантьяго прочитал 7 книг. Райан прочитал 5 книг. На сколько больше книг Сантьяго прочитал, чем Райан?
17. Андрей наклеил 10 наклеек на свой блокнот. Когда он пришел в школу, он заметил, что некоторые наклейки отвалились. Сейчас у Андрея на блокноте всего 6 наклеек. Сколько наклеек упало с блокнота Андрея?
18. Николь любит помогать маме собирать помидоры в саду. Она насчитала в саду 9 помидоров. 6 помидоров были красными, а остальные зелеными. Николь и ее мама собрали все красные помидоры. Сколько зеленых помидоров Николь и ее мама оставили в саду?
19. У нас с сестрой есть 20 пенни. Если у моей сестры 10 пенни, сколько пенни будет у меня?
20. В зоопарке было 8 тигров. 3 тигра переехали в другой зоопарк. Сколько тигров осталось?
21. Эстер прочитала 3 стихотворения. Магенна прочитал еще несколько стихов. Всего они прочитали 7 стихотворений. Сколько стихов прочитал Магена?
22. Отец Хейли купил 8 чизбургеров. Хейли съела 1 из них. Сколько чизбургеров осталось у отца Хейли?
23. Если вы сварите 7 яиц в воде, и количество яиц, которые всплывут, на одно больше, чем количество, которое утонет, сколько яиц всплывет?
24. Рашид любит есть мармеладки. Его любимые мармеладки — желтые. В его сумке было 12 мармеладок. Рашид убрал все желтые мармеладки и съел их, оставив в своей сумке 6 мармеладок. Сколько желтых драже съел Рашид?
25. У учителя физкультуры было 5 баскетбольных мячей. На следующей неделе учитель физкультуры получил несколько новых баскетбольных мячей. Сейчас у учителя физкультуры 9баскетбольные мячи. Сколько новых баскетбольных мячей получил учитель физкультуры?
26. У Джамала 6 игрушечных самолетов, а у его брата 4 игрушечных самолета. На сколько игрушечных самолетов у Джамала больше, чем у его брата?
27. У Антонио есть шарики. Его брат Алекс дает ему еще 5. Теперь у Антонио 8 шариков. Сколько шариков было у Антонио в начале?
28. Если у вас есть упаковка из 8 мелков, и вы даете своему другу 3 из них для использования во время рисования. Сколько карандашей сейчас у тебя в упаковке?
29. У Эмили есть 4 розовых ластика и несколько белых ластиков. Всего у нее 7 ластиков. Сколько белых ластиков у Эмили?
30. Энджел подает пиццу на свой день рождения. В пицце 12 кусочков. Ангел и ее гости съедают 8 кусочков пиццы. Сколько кусочков пиццы осталось?
31. Если у вас на полу 9 игрушек, а у вашего младшего брата 6 игрушек на полу. Сколько у тебя еще игрушек на полу?
32. В классе 8 окон. На некоторых окнах есть украшения, на 2 из них нет направлений. Сколько окон украшено украшениями?
33. В субботу вы принесли домой рыбу из зоомагазина. Если 15 из ваших 18 рыб имеют полосы. Сколько ваших рыб без полосок?
34. На вершину забора прилетело 8 птиц. Некоторые птицы улетели, а 6 птиц остались. Сколько птиц улетело?
35. На полке Ноя было 6 книг. Оливия взяла несколько книг. Сейчас на полке 2 книги. Сколько книг взяла Оливия?
36. У Итана несколько папок в рюкзаке и 4 папки на столе. Всего у него 8 папок. Сколько папок в его рюкзаке?
37. У Лиама 8 футболок. На 5 из них изображены супергерои, а остальные сплошные цвета. Сколько футболок Лиама однотонных?
38. Мэри собирала пазл из 20 частей. Закончив, она обнаружила, что там всего 18 штук. Сколько штук пропало?
39. У Николаса 7 кузенов. Некоторые из его двоюродных братьев — девочки, а трое его двоюродных братьев — мальчики. Сколько двоюродных сестер у Николая?
40. Снег шел 6 часов в понедельник и 4 часа во вторник. Сколько еще часов шел снег в понедельник?
41. Мама Чарли испекла на десерт 12 шоколадных печений. Чарли съел 2 печенья, а его мама и 1 печенье. Сколько шоколадных печений осталось?
42. У Мелани 16 фиолетовых ручек. У Данте 10 синих ручек. У Мелани на ____ больше ручек, чем у Данте.
43. У Софии в банке 75 пенни. Сколько еще пенни ей понадобится, чтобы в ее банке было 100 пенни?
44. На столе стояло 9 чашек газировки. Некоторые чашки были опрокинуты, а 6 еще стояли. Сколько чашек газировки было опрокинуто?
45. У Грифона 20 настольных игр. Некоторые из них были под его кроватью, а 15 — в шкафу. Сколько настольных игр было под кроватью Гриффина?
46. Антонио заметил 3 оленей, сидящих на вершине холма, но все, что он мог видеть, это их глаза. Сколько всего глаз увидел Антонио?
47. Десмонд увидел 5 кроликов. Он пересчитал все их уши. Сколько кроличьих ушей насчитал Десмонд?
48. Кэти пересчитала все пальцы на ногах, а затем она пересчитала все пальцы на ногах своей мамы. Сколько всего пальцев Кэти насчитала?
49. Что весит больше? Рыжая лисица весом 15 фунтов или дикая индейка весом 24 фунта?
50. Кто больше весит: 150-килограммовый белохвостый олень или 110-килограммовый кенгуру?
Нравятся эти задачи по математике для первого класса? Посетите наш центр первого класса, чтобы получить еще больше ресурсов.
Получите версию этих текстовых задач в формате PPT.
IXL | Учим математику в 1 классе
IXL | Изучайте математику в 1 классе
1
Счетный обзор — до 10
2
Подсчитайте, чтобы заполнить десять кадров
3
Счетный обзор — до 20
4
Счет десятков и единиц — до 20
5
Рассчитывайте на десять кадров — до 40
6
Пропустить счет двойками
7
Пропустить счет пятерками
8
Пропустить счет десятками
9
Пропустить счет двойками, пятерками и десятками
10
Счет — до 100
11
Счет десятков и единиц — до 99
12
Счет двойками, пятерками и десятками
13
Счет вперед — до 100
14
Счет в обратном порядке — до 100
15
Счет вперед — до 120
16
Счет в обратном порядке — до 120
17
Количество строк — до 100
18
Количество строк — до 120
19
Подсчет на сотню диаграммы
20
Счет по числовой схеме — до 120
21
Сотня диаграмма
22
Четным или нечетным
23
Определите числа как четные или нечетные
24
Четные или нечетные числа в числовых рядах
25
Какое четное или нечетное число стоит перед или после?
26
Шаблоны с пропуском счета — с таблицами
27
Последовательности — считать вверх и вниз на 1
28
Последовательности — счет вверх и вниз на 1, 2, 5 и 10
29
Порядковые номера
30
Написание чисел словами — преобразование слов в цифры
31
Написание чисел словами — преобразование цифр в слова
32
Римские цифры I, V, X
1
Складываем кубиками — суммирует до 10
2
Добавить с картинками — сумма до 10
3
Сложение предложений до 10: какая модель подходит?
4
Сложение предложений до 10: что показывает модель?
5
Сложение предложений с использованием числовых линий — сумма до 10
6
Превратите слова в дополнительное предложение — суммирует до 10
1
Добавление 1
2
Добавление 2
3
Добавление 3
4
Добавление 4
5
Добавление 5
6
Добавление 6
7
Добавление 7
8
Добавление 8
9
Добавление 9
10
Добавление 0
1
Сложение фактов — суммирует до 10
2
Составьте число, используя сложение — сумма до 10
3
Завершите добавочное предложение — сумма до 10
4
Способы составить число — сложение предложений до 10
5
Сложение словесных задач с картинками — сумма до 10
6
Словесные задачи на сложение — сумма до 10
7
Сложение предложений для текстовых задач — сумма до 10
8
Сложение предложений с использованием числовых линий — сумма до 20
9
Сложение фактов — суммирует до 20
10
Составьте число, используя сложение — сумма до 20
11
Завершите дополнительное предложение — сумма до 20
12
Словесные задачи на сложение — сумма до 20
13
Сложение предложений для текстовых задач — сумма до 20
14
Связанные дополнительные факты
15
Дополнительные предложения: правда или ложь?
16
Дополнительные предложения: что верно?
17
Используйте модели для добавления двузначного и однозначного числа — без перегруппировки
18
Добавить однозначное число к двузначному — без перегруппировки
19
Перегруппировка десятков и единиц — способы составить число
20
Перегруппировать десятки и единицы
21
Используйте модели для добавления двузначного и однозначного числа — с перегруппировкой
22
Добавление однозначного числа к двузначному — с перегруппировкой
23
Задачи на сложение слов — однозначные плюс двузначные числа
24
Сложение предложений для текстовых задач — однозначные плюс двузначные числа
25
Используйте модели для добавления двузначных чисел — без перегруппировки
26
Складывать двузначные числа без перегруппировки — суммируется до 100
27
Используйте модели для добавления двузначных чисел с перегруппировкой
28
Складывание двузначных чисел с перегруппировкой — суммирует до 100
1
Добавить двойников — с моделями
2
Добавить двойников
3
Добавить двойников — закончить предложение
4
Добавить, используя удвоения плюс один
5
Добавить, используя удвоения минус один
6
Добавьте три числа — используйте двойные числа
7
Сделайте десять, чтобы добавить — с моделями
8
Закончи предложение сложением — сделай десять
9
Сделайте десять, чтобы добавить
10
Сложите три числа — получится десять
11
Используйте модели для сложения числа, кратного десяти, и однозначного числа
12
Сложите число, кратное десяти, и однозначное число
13
Сложите два кратных десяти
14
Используйте модели, чтобы добавить число, кратное десяти, и двузначное число
15
Сложите число, кратное десяти, и двузначное число
16
Добавьте три числа
17
Сложите три числа — словесные задачи
1
Вычитание кубиками — до 10
2
Вычитание с картинками — до 10
3
Предложения с вычитанием до 10: какая модель подходит?
4
Предложения с вычитанием до 10: что показывает модель?
5
Вычитание предложений с использованием числовых строк — до 10
6
Превратите слова в предложение с вычитанием — до 10
7
Вычесть ноль и все
1
Вычитание 1
2
Вычитание 2
3
Вычитание 3
4
Вычитание 4
5
Вычитание 5
6
Вычитание 6
7
Вычитание 7
8
Вычитание 8
9
Вычитание 9
10
Вычитание 0
1
Вычитание фактов — до 10
2
Составьте число с помощью вычитания — до 10
3
Способы сделать число — вычитание предложений до 10
4
Способы вычитания из числа — вычитание предложений до 10
5
Завершите предложение с вычитанием — до 10
6
Задания на вычитание с картинками — до 10
7
Проблемы со словами на вычитание — до 10
8
Предложения на вычитание для текстовых задач — до 10
9
Вычитание предложений с использованием числовых строк — до 20
10
Вычитание фактов — до 20
11
Составьте число с помощью вычитания — до 20
12
Завершите предложение с вычитанием — до 20
13
Проблемы со словами на вычитание — до 20
14
Предложения на вычитание для текстовых задач — до 20
15
Связанные факты вычитания
16
Предложения с вычитанием: правда или ложь?
17
Предложения с вычитанием: что верно?
18
Вычесть однозначные числа из двузначных чисел
1
Соотнесите предложения на сложение и вычитание
•
Новинка!
Вычитание обратным счетом — до 10
•
Новинка!
Вычитание обратным счетом — до 20
2
Вычесть по счету — до 10
3
Вычесть по счету — до 20
4
Вычитание двойников
5
Вычитание кратных десяти
6
Вычесть кратное десяти
1
Сложение и вычитание — способы сделать число
2
Какой знак делает числовое предложение верным?
3
Семейства фактов
4
Факты сложения и вычитания — до 10
5
Факты сложения и вычитания — до 20
6
Предложения со сложением и вычитанием: что верно?
7
Десять больше или меньше
8
Складывать и вычитать десятки
1
Задачи Word с неизвестным изменением — до 10
2
Проблемы Word с неизвестным запуском — до 10
3
Словесные задачи с одним неизвестным дополнением — до 10
4
Задачи Word с обоими неизвестными дополнениями — до 10
5
Словесные задачи на сложение и вычитание — до 10
6
Словесные задачи на сложение и вычитание — до 20.
7
Сложение и вычитание предложений для текстовых задач — до 20
8
Задачи на сравнение слов до 10: на сколько больше или меньше?
9
Задачи на сравнение слов до 10: какая сумма больше?
10
Задачи на сравнение слов до 10: какая сумма меньше?
11
Задачи на сравнение слов до 10
1
Сравнение: больше или меньше?
•
Новинка!
Сравнение: на сколько больше или меньше?
2
Сравните числа до 10, используя слова
3
Сравните числа до 10, используя символы
4
Сравните числа до 100, используя слова
5
Сравните числа до 100, используя символы
6
Сравните числа до 100: текстовые задачи
1
Оценка с точностью до десяти
1
Поместите модели до 20
2
Запишите числа в виде десятков и единиц до 20
3
Размещение моделей до 100
4
Преобразование между десятками и единицами — кратными десяти
5
Запишите числа в виде десятков и единиц
1
Слева, посередине и справа
2
Верх, середина и низ
3
Расположение в сетке
4
Над и под
5
Рядом и рядом
1
Какой рисунок-график правильный?
2
Интерпретировать графические изображения
3
Какая таблица учета правильная?
4
Интерпретация итоговых диаграмм
5
Какая таблица правильная?
6
Интерпретировать данные в таблицах
7
Интерпретация гистограмм I
8
Интерпретация гистограмм II
9
Какой столбчатый график правильный?
1
Читать термометр
2
Сравните предметы: длину и высоту
3
Широкий и узкий
4
Легкий и тяжелый
5
Держит более-менее
6
Сравните размер, вес и вместимость
7
Измеряйте длину предметами
8
Измерьте длину кубами
9
Измерьте высоту кубиками
10
Измерьте с помощью дюймовой линейки
11
Какая обычная единица длины подходит?
12
Привычные единицы длины: текстовые задачи
13
Какая обычная единица веса подходит?
14
Измерьте с помощью сантиметровой линейки
15
Какая метрическая единица длины подходит?
16
Метрические единицы длины: текстовые задачи
17
Какая метрическая единица веса подходит?
1
Названия и номиналы обычных монет
2
Названия и номиналы всех монет
3
Считайте копейки, пятаки и десять центов
4
Считайте пенни, пятаки, десять центов и четверти
5
Эквивалентные группы монет
6
Обмен монет — с картинками
7
Обмен монет
8
Деньги — проблемы со словами
9
Покупки: хватит ли денег?
10
Сравните денежные суммы
11
Наименьшее количество монет
1
Введение в шаблоны
2
Найдите следующую фигуру в шаблоне
3
Завершить шаблон
4
Сделать выкройку
5
Шаблоны выращивания
6
Найдите следующую форму в растущем шаблоне
7
Найдите следующую строку в растущем шаблоне
1
Больше, меньше и равновероятно
2
Определенные, вероятные, маловероятные и невозможные
1
Подсчет фигур на диаграмме Венна
2
Сортировка фигур в диаграмму Венна
3
Расставь числа по порядку — до 100
1
Сопоставьте цифровые часы и время
2
Сопоставьте аналоговые часы и время
3
Сопоставьте аналоговые и цифровые часы
4
Чтение часов и запись времени
5
ЯВЛЯЮСЬ. или П.М.
6
Время повседневных событий
7
Сравните часы
8
Время и часы: текстовые задачи
9
Дни недели
10
Времена года
11
Месяцы года
12
Читать календарь я
13
Читать календарь II
1
Назовите двухмерную форму
2
Выберите двумерные фигуры
3
ромбы
4
Считаем стороны и углы
5
Сравните стороны и углы
6
Квадратные углы
7
Равные стороны
8
Открытые и закрытые формы
9
Переворачивать, поворачивать и скользить
10
Симметрия
11
Создавайте двухмерные фигуры
1
Двумерные и трехмерные формы
2
Назовите трехмерную форму
3
Кубы и прямоугольные призмы
4
Выберите трехмерные фигуры
5
Подсчет вершин, ребер и граней
6
Сравните вершины, ребра и грани
7
Определение форм, вычерченных из твердых тел
8
Определение граней трехмерных фигур
9
Формы повседневных предметов I
10
Формы повседневных предметов II
1
Равные части — половинки и четверти
2
Равные части — половинки, трети и четверти
3
Определить половинки
4
Определить трети
5
Определить четверти
6
Определите половинки и четверти
7
Определите половинки, трети и четверти
8
Сделать половинки
9
Сделать трети
10
Сделать четверти
11
Сделать половинки и четверти
12
Делайте половинки, трети и четверти
13
Делайте половинки и четвертинки разными способами
14
Простые дроби: какую дробь изображает фигура?
50 Возможные задачи дня по математике для первоклассников
Распространите любовь
Начните свои ежедневные уроки математики с задач дня по математике Word — это отличный способ отложить учебу. Словесные задачи обычно представляют собой сложную тему для понимания молодыми учащимися, даже если математический аспект прост.
Ежедневно добавляйте эти первоклассные задачи по математике в начале математического блока, чтобы развить критическое мышление, уверенность в себе и создать обучающееся сообщество. Студенты будут медленно адаптироваться к смыслу, а также взаимодействовать с ключевыми деталями. Мотивируйте учащихся записывать уравнения текстовых задач и рисовать картинки, чтобы объяснить свои мысли, так как это помогает им найти выход, когда они застряли.
Включены темы сложения, умножения, вычитания и сравнения. Ваша задача — написать на доске одну из этих первоклассных задачек по математике. Затем позвольте детям сделать необходимое.
50 Математические задачи для первого класса
У меня было шесть карандашей. Если мой учитель дал мне еще четыре, сколько у меня карандашей?
Собака Джины съела три лакомства в воскресенье и 0 в понедельник. Сколько всего лакомств съела собака Джины?
Джоэл отправился в зоопарк со своей семьей. В первый час он увидел медведя, трех львов и двух тигров. Сколько животных увидел Джоэл за первый час своего пребывания в зоопарке?
Джексон расположил свои машинки по цвету. У Джексона шесть синих, четыре черных и пять зеленых машин. Сколько всего машин у Джексона?
У Бена есть два зеленых и четыре желтых воздушных шара. Сколько всего шариков у Бена?
У нас в семье Кларк трое детей. Тине три года, Джошуа четыре, а Саманте семь. Какую сумму вы сложите с возрастом троих детей?
Если вы идете плавать, и 6 ваших приятелей приходят, сколько пловцов?
Цветок в вазе раньше был для мамы Рэйчел. Три цветка упали, и мама Рэйчел велела их убрать. Сейчас в вазе пять свежих цветов. Сколько цветов уже было в вазе?
У кошки Хейдена были котята. Три были серыми, двухпятнистыми и семеро черными. Сколько всего котят было у кошки Хейден?
Педро взял с игровой площадки три красных и шесть желтых листьев. Сколько всего листьев у Педро?
Габриэлла изучила три книги в понедельник, шесть во вторник и четыре в среду. Сколько всего книг было прочитано?
Должны ли у вас быть три кошки, две морские свинки и один кролик. Сколько у них всего маленьких носиков?
Если утром на землю кладут 3 дюйма снега, к обеду мы снова добавим еще три дюйма. Сколько дюймов снега у нас в этот день?
У моего кота четыре лапы, а у собаки моего брата четыре лапы. Сколько всего лап?
У него есть 10 монет, но он потерял 2 из них. Сколько копеек у него сейчас?
За лето Джейсон прочитал семь книг. Кларк тоже прочитал пять книг. На сколько больше книг Джейсон прочитал, чем Кларк?
Дрейк наклеил на свой блокнот десять наклеек. Но когда он пришел в школу, он заметил, что некоторые наклейки отвалились. Сейчас у Дрейка на блокноте всего шесть наклеек. Сколько наклеек упало с блокнота Дрейка?
Николь любит помогать маме собирать помидоры в их семейном саду. Она собрала в саду девять помидоров. Шесть из них были красными, а остальные зелеными. Затем они выбрали все красные помидоры. Сколько зеленых помидоров осталось в саду?
У нас с сестрой есть 30 пенни. Если у меня есть 10 пенни, сколько пенни у моей сестры?
В зоологическом саду было восемь тигров. Трое из них переехали в другой зоопарк. Сколько тигров осталось?
Матвей прочитал три стихотворения. Марта читала немного больше, чем Матфей. Всего они прочитали семь стихотворений. Сколько стихов прочитала Марта?
Отец Хейли купил восемь бутербродов. Хейли съела 1 из них. Сколько бутербродов осталось у отца Харли?
Если сварить семь яиц, то количество всплывающих яиц будет на одно больше, чем утонувших. Сколько яиц всплывает?
Рашид любит драже. Его любимые — желтые. В его сумке было 12 драже. Сколько желтых драже съел Рашид?
У инструктора физкультуры было пять баскетбольных мячей. На следующей неделе он добавил несколько новых; теперь их девять. Сколько новых баскетбольных мячей получил инструктор физкультуры?
У Сахида шесть игрушечных машинок, а у его брата Камала на четыре машинки больше, чем у него. На сколько машинок у Сахида больше, чем у его брата Камала?
У Эндрю есть шарики. Его младший брат дает ему еще пять. Теперь у Эндрю восемь шариков. Сколько шариков было у Андрея изначально?
Должны ли вы иметь упаковку из 8 мелков, и вы предлагаете 3-2 своим друзьям использовать их во время рисования? Сколько карандашей осталось у тебя сейчас в рюкзаке?
У Джейн есть четыре розовых ластика и несколько синих ластиков. Всего у нее семь ластиков. Сколько синих ластиков у Джейн?
Лайла подает пиццу на свой день рождения. В пицце 12 кусочков. Лайла и ее гость съели восемь кусочков пиццы. Сколько пицц у нас осталось?
Подумайте, есть ли у вас девять игрушек, а у вашего брата шесть. Сколько еще игрушек у тебя будет?
В классе восемь окон. Где на некоторых окнах есть украшения, на 2 из них нет направлений. Сколько классных комнат украшено?
В пятницу вы купили рыбу в зоомагазине. Предположим, что 15 из 18 рыб имеют полосы. У скольких рыб нет полос?
8 птиц сели на вершину забора. Некоторые птицы улетели, а шесть остались. Сколько птиц улетело?
На полке у Натана шесть книг. Ной взял несколько книг. Теперь на полке осталось две книги. Сколько книг взял Ной?
У Лэрда несколько папок в рюкзаке и пять на столе. Всего у него восемь папок. Сколько папок в его рюкзаке?
У Лиама восемь шорт. На пяти есть изображения супергероев, а на остальных — сплошные цвета. Сколько шорт у Лиама однотонных?
Эвелин собирала пазл из 20 деталей. Починив ее, она поняла, что там всего 18 штук. Сколько штук пропало?
У Натана семеро двоюродных братьев. Некоторые из них — девочки, а трое его двоюродных братьев — мальчики. Сколько двоюродных сестер у Натана?
Снег шел 7 часов в понедельник и 5 часов во вторник. Сколько еще часов шел дождь и снег в понедельник?
Мама Дэна испекла на десерт десять шоколадных печений. Дэн съел два печенья, а его мама съела одно печенье. Сколько шоколадных печений осталось?
У Анджелы 16 фиолетовых ручек. У Алекса десять зеленых ручек. У Анджелы на ___ больше ручек, чем у Алекса.
У Доры в банке 75 пенни. Сколько пенсов ей понадобится, чтобы на ее банковском счету было 100 пенсов?
на столе стояло 9 стаканов газировки. Некоторые чашки были опрокинуты, а шесть еще стояли. Сколько стаканов газировки было опрокинуто?
У Чарльза есть 20 настольных игр. Часть находилась под его кроватью, а 15 — в шкафу. Сколько настольных игр было под кроватью Чарльза?
Романо увидел трех оленей, сидящих на вершине холма, но все, что он мог видеть, это их глаза. Сколько всего глаз видел Романо?
Эллиот увидел пять кроликов. Он пересчитал все их уши. Сколько кроличьих ушей насчитал Эллиот?
Катя пересчитала все свои пальцы на ногах и пальцы своей мамы тоже. Сколько всего пальцев насчитала Катя?
Что имеет больший вес? Рыжая лиса весом 15 фунтов или индюк весом 24 фунта?
Что имеет больший вес? Кенгуру весом 110 фунтов или белохвостый олень весом 150 фунтов.
Как решить математический рисунок с фруктами
Пользователи Твиттера не могут решить домашнее задание первоклассника по математике.
Передовая педагогика стремится выявить различные идеи детей (буквально!), чтобы исследовать, как они думают.
Развитие критического мышления и ежедневной математической грамотности помогает учащимся более гибко изучать математику.
На прошлой неделе The N ew Yorker Хелен Рознер поделилась тупо написанной детской математической задачей, и Интернет отреагировал соответствующим образом:
Просмотреть всю публикацию в Твиттере
(Бен прав, но это трудно объяснить в одном твите.)
Просмотреть полную публикацию в Твиттере
Прав ли Билл Шиллито из Университета Оглторп? W шляпа означает ли эта математическая задача?
➗ Вы любите цифры. И мы тоже. Давайте вместе покопаемся в цифрах.
Общая задача следует общепринятой в настоящее время формуле с обновленными математическими методиками различных видов. Родитель, который не читал или просто не получил нужных материалов для понимания педагогики, вырывает ролик из контекста и смеется над тем, какой он кажется ерундой. В этом случае домашнее задание использует язык, который учащиеся, вероятно, выучили в классе.
Математический рисунок — это визуализированная детская версия того, как они считали бы такие объекты, как кубики или даже свои пальцы в реальной жизни. Например, они рисуют круги, соответствующие количеству объектов в вопросе. Затем они также рисуют отношения, обводя некоторые объекты, зачеркивая некоторые, помещая их в разные группы и так далее.
Если это звучит как довольно сложный материал, это так и не так — дети тяготеют к такому типу мышления, но для взрослых вне областей, таких как комбинаторика или теория множеств, это можно найти почти исключительно в инфографике.
📚
Лучшие книги по математике
Морские книги Бесконечные силы: как исчисление раскрывает секреты Вселенной
Скидка 28%
Прочитать
Базовые книги Искусство статистики: как учиться на основе данных
Скидка 13%
Прочитать
Кредит: Amazon
Mariner Books Радость x: Путеводитель по математике, от единицы до бесконечности
Сейчас скидка 12%
Читать сейчас
Кредит: Amazon
Давайте рассуждать о том, что такое математические рисунки, и почему этот вид педагогики набирает обороты для математики. Математика, в частности, уязвима для многих болевых точек в образовании. Озабоченные математикой учителя начальной школы сообщают об этом беспокойстве ученикам и влияют на их результаты, и это еще до того, как чему-то научат.
В книге 2005 г. Как студенты учатся: математика в классе , которая сама по себе является продолжением некоторые другие известные книги по психологии об обучении, эксперты сосредотачиваются на способах вовлечения учащихся в математику, чтобы показать, как они думают о задачах. Дети усваивают числа более осязаемым способом, например, видят количество вещей, расставленных на прилавке, или считают на пальцах.
Другие математические задачи
Сможете ли вы решить эту вирусную головоломку с треугольниками?
Как решить возмутительную вирусную математическую задачу
Удивительная математика внутри кубика Рубика
Поскольку отношения между реальной, исчисляемой, удерживаемой вещью и числительными, которые вы начинаете писать в своей домашней работе по математике, не всегда ясны, по словам экспертов, некоторые учащиеся сталкиваются с трудностями просто из-за того, что пытаются поделиться своими мыслями о том, как решать задачи. .
Детей старшего возраста поощряют демонстрировать свои работы, хотя, честно говоря, это больше похоже на способ выявить мошенничество, чем на изучение их мышления. Математическая педагогика говорит, что разговор с младшими детьми через их мысли также очень помогает. «Такое общение о математическом мышлении может помочь каждому в классе понять данную концепцию или метод, потому что оно разъясняет противоположные подходы, некоторые из которых ошибочны, но часто по интересным причинам», — пишут авторы в Как учатся студенты .
Это точка ключа . Если вы когда-либо посещали Princeton Review или другие курсы подготовки к экзаменам, вы знаете, что один из основных способов, которым писатели заманивают тестируемых в ловушку неверных ответов, — это предложение чего-то почти правильного. Если вы допустили одну распространенную и ключевую ошибку, ваша работа направит вас к ложным ответам. И понимание различных распространенных ошибок в мышлении — отличный способ помочь детям обдумать свои варианты в среде, которая не наказывает их за то, что они все обдумали. Здесь в Popular Mechanics , мы на Team Math Drawing.
Итак, теперь, когда вы освоились с математическими рисунками и исчисляемыми вещами, снова взгляните на задачу. Как бы вы решили это? Расскажите в комментариях. 💬 ⬇
Кэролайн Делберт
Кэролайн Делберт — писатель, заядлый читатель и пишущий редактор в Pop Mech. Она также энтузиаст практически всего. Ее любимые темы включают ядерную энергию, космологию, математику повседневных вещей и философию всего этого.
Математика для первоклассников — обучение и практика математики для первоклассников
[«`#», «Моя учетная запись»]
Учащиеся заглядывают внутрь сложения и вычитания, применяя понимание разрядного значения к двузначным операциям.
Pre-kindergartenKindergartenКласс 1Класс 2Класс 3Класс 4Класс 50002 Учащиеся изучают сложение до 5, используя конкретные объекты, абстрактные объекты и уравнения. Они изучают значение и правильное использование знаков + и =, а также термины «сложение» и «сумма».
Подсчитайте два слагаемых и определите сумму
Учащиеся определяют, сколько в каждой из двух групп, а затем сколько всего в сумме до 5. Они завершают утверждение «X и X дают X», перетаскивая сумму на место
Определить общее количество объектов и определить два его слагаемых
Учащиеся определяют общее количество предметов двух цветов, а затем определяют количество предметов каждого цвета. Они завершают утверждение «X и X составляют X», перетаскивая сумму на место
Использование знаков + и = в уравнении
Учащиеся знакомятся со знаками + и = и используют их для составления простых уравнений
Определять слагаемые и сумма в уравнении
Учащиеся знакомятся с терминами «сложение» и «сумма». Они определяют слагаемые и сумму в уравнениях
Составление уравнения сложения по картинке
Учащиеся находят сумму уравнения сложения по показанным объектам. Затем они составляют уравнение на основе показанных объектов
Представление объектов с помощью кубиков
Учащиеся перетаскивают цветные кубики, чтобы сопоставить объекты. Затем они определяют набор цветных кубиков, соответствующих заданным объектам
Составляют уравнения сложения на основе кубиков и решают уравнения с кубиками и без них
Учащиеся составляют уравнение сложения на основе цветных кубиков и решают его сумму. Они используют уравнения, чтобы показать, что существует более одного способа представления суммы. Затем учащиеся решают уравнения сложения без показанных кубов
Решение уравнений сложения
Учитывая выражение сложения, учащиеся определяют сумму. Затем они решают уравнения на сложение
Тема B: Счет от встроенных чисел
Учащиеся изучают сложение до 10, используя конкретные объекты, абстрактные объекты, уравнения и числовые связи. Они решают проблемы с отсутствующими слагаемыми и начинают представлять и решать задачи со словами.
Прибавление 0 к числу
Учащиеся прибавляют ноль к однозначному числу. Они решают уравнения, в которых ноль — первое слагаемое, а когда — второе слагаемое
Используйте знак + в уравнении и найдите сумму
Учащиеся складывают однозначные числа, представленные цветными кубиками. Они выбирают знак +, чтобы завершить уравнение и определить сумму
Смоделировать и решить уравнение сложения
Учащиеся используют цветные кубики для представления слагаемых в уравнении, а затем определяют сумму
Запишите уравнение сложения на основе модели, чтобы показать более одного способа получить заданную сумму
Учащиеся пишут уравнение сложения, чтобы соответствовать заданной модели кубиков. Они повторяют этот навык с другим уравнением с той же суммой и замечают, что существует более одного способа показать эту сумму
Показать более одного способа получить заданную сумму
Учащиеся составляют уравнение сложения, чтобы соответствовать заданной модели кубиков. Затем они создают другую модель куба с той же суммой и записывают уравнение, замечая, что существует несколько способов показать эту сумму
Решить уравнение сложения (всего до 7)
Учащиеся определяют сумму для уравнений сложения с двумя слагаемыми и суммирует до 7
Определите части уравнения сложения
Учитывая уравнение сложения, учащиеся определяют первое слагаемое, второе слагаемое, знак плюс и сумму
Запишите уравнение сложения на основе модели и создайте модель, показывающую более одного способа получения заданной суммы.
Учащиеся пишут уравнение сложения, соответствующее заданной модели кубиков. Затем они создают еще одну модель куба с той же суммой и записывают уравнение, замечая, что существует несколько способов показать эту сумму
Решают уравнения сложения до 10 с моделью или без нее
Учащиеся выбирают, просматривать куб или нет модель, чтобы решить уравнения сложения до 10, а затем решить
Решение уравнения сложения (сумма до 10)
Учащиеся определяют сумму уравнений сложения с двумя слагаемыми и суммы до 10
Моделирование и решение задачи на сложение с объектами
Учащиеся пишут и решают уравнение сложения на основе цветных объекты. Затем они используют объекты, как указано, для моделирования сценария сложения, записывают его в виде уравнения и решают за весь период
Моделируют и решают задачу на сложение с помощью кубов
уравнение и решить для суммы
Написать и решить уравнение сложения на основе задачи со словами
Учащиеся составляют уравнение на основе сценария сложения и решить его
Определить отсутствующее слагаемое на основе модели кубов
Ученики определяют отсутствующее второе слагаемое в уравнении на основе цветных кубиков. Во-первых, подсказки направляют их к части модели, чтобы найти ответ. Затем учащиеся решают без подсказки
Определяют недостающее слагаемое на основе модели кубов
Учащиеся определяют недостающее второе слагаемое в уравнении на основе модели кубов. Во-первых, подсказки направляют их к части модели, чтобы найти ответ. Затем учащиеся решают без подсказки
Определяют недостающее слагаемое в уравнении (Часть 1)
Учащиеся определяют отсутствующее второе слагаемое в уравнении
Определяют отсутствующее слагаемое в уравнении (Часть 2)
Учащиеся определяют отсутствующее второе слагаемое в уравнении, выбирая, решать ли немедленно или моделировать с помощью кубов. Затем они определяют недостающее первое или второе слагаемое в уравнении 9.0003
Определение отсутствующего слагаемого в уравнении
Учащиеся тренируются в решении отсутствующего второго слагаемого в уравнении сложения
Выберите два слагаемых, чтобы получить заданную сумму или модель с кубиками. Они определяют, какое из двух уравнений верно. Затем учащиеся выбирают два слагаемых, чтобы получить заданную сумму
Решают уравнения сложения отсутствующих слагаемых
Учащиеся определяют отсутствующее второе слагаемое в уравнении
Определите слагаемые с суммой 10
Учащиеся определяют, какое из двух слагаемых с суммами до 10 является правильным. Они определяют пары слагаемых, сумма которых равна 10
Определите числовую связь
Учащиеся определяют общее количество объектов, а затем два его слагаемых в зависимости от цвета. Они перетаскивают эти значения в числовую связь. Затем учащиеся находят числовую связь среди трех изображений.
Постройте числовую связь на основе модели кубиков
Учащиеся составляют числовую связь на основе модели цветных кубиков, а затем записывают ее в виде уравнения сложения. Затем учащиеся сначала пишут уравнение на основе модели кубов и строят числовую связь 9.0003
Постройте числовую связь на основе модели кубиков и заполните ее уравнение сложения.
На основе модели цветных кубиков учащиеся заполняют отсутствующее слагаемое в числовой связи и связанное с ней уравнение сложения. Затем они завершают всю числовую связь на основе модели кубов
Постройте модель, числовую связь и уравнение
Учащиеся создают двухцветную модель кругов. Они строят числовую связь на основе модели и определяют недостающее слагаемое или сумму в соответствующем уравнении 9.0003
Завершите связку чисел
Учащиеся определяют недостающее слагаемое в связке чисел. Затем они определяют два сложения, которые завершают числовую связь с заданной суммой.
Завершите числовую связь, чтобы показать более одного способа достижения заданной суммы.
Затем они определяют два разных слагаемых, чтобы завершить числовую связь с той же суммой
Определить отсутствующее слагаемое в числовой связи
Учащиеся находят отсутствующее сложение в связке чисел для нескольких связей чисел с одинаковой суммой
Тема C: Развитие беглости сложения в пределах 10
Учащиеся укрепляют свое понимание сложения в пределах 10 и лежащих в его основе концепций по мере разработки более эффективных стратегий решить проблемы. Они используют сценарии сложения с объектами, шаблонами блоков с основанием 10, числовой прямой и уравнениями, чтобы усилить отношения между семействами фактов. Они опираются на имеющиеся знания о составе чисел 6-10 по мере перехода от конкретного к абстрактному.
Определение отсутствующего слагаемого в уравнениях с суммой и их оборотными фактами
Вычисление отсутствующего слагаемого в уравнениях, которые в сумме дают максимальное значение 10 с визуальной поддержкой. Также вычислите отсутствующее слагаемое в уравнениях, которые в сумме дают максимальное значение 10, используя оборотные факты, или переключите слагаемые, которые в сумме дают максимальное значение 10
Запишите модель блоков с основанием 10 в качестве уравнения сложения
Используйте блоки с основанием 10 и /или оборотные факты, чтобы завершить уравнение сложения. Эти уравнения будут в сумме давать 10 каждый раз, когда
Определите отсутствующее слагаемое в уравнениях, представляющих собой оборотные факты с суммами 4, 5, 6 и 7. mssing addends
Нахождение отсутствующего слагаемого в уравнении
Нахождение отсутствующего слагаемого в уравнении. Учащиеся будут использовать интерактивную игру, которая поможет им найти отсутствующие слагаемые
Определить отсутствующее слагаемое в уравнениях, объединенных в пары фактов оборота с суммами 6, 7, 8 и 9.
Определите отсутствующее слагаемое в уравнениях, сумма которых равна 6, 7, 8 или 9. Учащиеся также будут использовать оборотные факты для определения пропущенных слагаемых
Выберите правильную сумму для выражения сложения
Выберите один из двух вариантов ответа для каждое числовое выражение, которое им дано. Каждое числовое выражение в сумме дает один из двух ответов
Определите отсутствующее слагаемое в уравнениях, объединенных как оборотные факты с суммами 9 и 10
Определите отсутствующее слагаемое в уравнениях, сумма которых равна 9или 10. Учащиеся также будут использовать оборотные факты для выявления пропущенных дополнений
Тема D: Стратегии декомпозиции для вычитания
Учащиеся укрепляют свое понимание вычитания в пределах 10 и лежащих в его основе концепций по мере того, как они создают более эффективные стратегии решения задач. Они исследуют взаимосвязь между сложением и вычитанием и все чаще работают с 0 как с вычитаемым и разностью. Они используют сценарии вычитания с объектами, шаблонами блоков с основанием 10, числовой прямой и уравнениями, чтобы усилить отношения между семействами фактов. Они опираются на имеющиеся знания о составе чисел 6-10 по мере перехода от конкретного к абстрактному.
Запишите сценарий на основе объектов в виде уравнения вычитания с разностью 0 (Часть 1)
Запишите уравнения вычитания, используя два числа. Они напишут эти уравнения вычитания, чтобы они соответствовали картинке, которую им дали
Запишите сценарий числовой строки как уравнение вычитания -0
Узнайте, что вычитание 0 из числа дает вам число, которое вы начали с использования числовой строки. Студенты должны будут идентифицировать как числа, которые вычитаются, так и разницу, основанную на сценарии числовой строки 9.0003
Запишите сценарий числовой прямой как уравнение вычитания с разностью 0
Узнайте, что вычитание числа из самого себя дает разность 0 с помощью числовой строки. Они определят разницу после того, как им будет предложено поработать с числовой строкой
Определить пропущенные числа в уравнениях вычитания с разницей 0
Решить отсутствующие элементы в уравнениях вычитания, которые приводят к разнице 0. Определить одно из чисел что приводит к разнице в 0 или самой разнице в 0 в зависимости от примера
Вычитание путем перемещения объекта назад по числовой прямой и решение связанного уравнения, которое показывает вычитание из 3, 4 или 5
Вычитание чисел из 3, 4 или 5 с помощью числовой строки. Иногда учащимся будет предложено заполнить один отсутствующий элемент в уравнении вычитания после взаимодействия со сценариями числовой прямой.
Запишите сценарий числовой строки как уравнение, которое показывает вычитание из 3, 4 или 5
4 или 5 с помощью числовой строки. Учащимся будет предложено заполнить все элементы уравнения вычитания, включая уменьшаемое, символ операции, вычитаемое и разность 9.0003
Запишите сценарий, основанный на объектах, как уравнение вычитания с разностью 0 (Часть 2)
Используйте сценарий, иллюстрированный картинками, для завершения уравнений вычитания. Учащиеся введут уменьшаемое, вычитаемое и разность для каждого уравнения вычитания
Используйте блоки с основанием 10 для представления сценариев вычитания с объектами в пределах 5 и определяйте шаблоны блоков с основанием 10, которые представляют сценарии вычитания с объектами в пределах 5
Выберите число кубов с основанием 10, которые соответствуют количеству удаленных объектов в сценарии, проиллюстрированном рисунками. Оставшаяся разница должна совпадать с количеством оставшихся изображений более
Решите уравнения, основанные на модели блоков с основанием 10, чтобы вычесть 1 или все, кроме 1
Щелкните количество кубов с основанием 10, которое нужно вычесть из суммы, чтобы получить разницу в заданном вам уравнении вычитания. После этого учащиеся будут вводить разность в уравнении вычитания
Записать модель блоков с основанием 10 в виде двух связанных уравнений, которые показывают вычитание из 6
Заполнить слагаемые и суммы в уравнениях, которые дают в сумме 6, учитывая сценарий, иллюстрированный основанием 10 кубов. Затем учащиеся завершат два уравнения на вычитание, используя 6 и сложения из первого уравнения 9.0003
Запишите модель блоков с основанием 10 в виде двух связанных уравнений, которые показывают вычитание из 7 или 8
Заполните сложения и суммы в уравнениях, которые дают в сумме 7 или 8, учитывая сценарий, иллюстрируемый кубами с основанием 10. Затем учащиеся выполнят два уравнения на вычитание, используя числа 7 или 8 и слагаемые из первого уравнения.
Вычитание путем перемещения объекта назад по числовой прямой и решение связанного уравнения, которое показывает вычитание в пределах 7
Вычитание чисел из 7 с помощью числовой строки . Затем учащимся будет предложено заполнить разницу уравнений вычитания
Запишите модель блоков с основанием 10 в виде двух связанных уравнений, которые показывают вычитание из 9 или 10
Вставьте сложения и суммы в уравнениях, которые дают в сумме 9 или 10. учитывая сценарий, иллюстрируемый кубами с основанием 10. Затем учащиеся завершат два уравнения на вычитание, используя 9 или 10 и слагаемые из первого уравнения.
Определите пропущенные числа в уравнениях на вычитание из 9
Используя кубы с основанием 10, вставьте пропущенное слагаемое и просуммируйте для уравнений сложения, которые в сумме дают 9. Кроме того, используйте кубы с основанием 10, чтобы заполнить пропущенное вычитаемое и разницу в уравнениях вычитания, которые начинаются с уменьшаемого числа 9
Тема E: Переместительное свойство сложения и знак равенства
Учащиеся узнают о переместительном свойстве сложения, сравнивая сложение выражения с теми же слагаемыми, но в другом порядке. Кроме того, учащиеся тренируются составлять выражения, равные друг другу, вставляя пропущенное слагаемое. Наконец, учащиеся знакомятся со знаком равенства как способом показать, что два выражения равны или одинаковы.
Решите простые уравнения на сложение и убедитесь, что изменение порядка слагаемых не меняет сумму.
С помощью наглядных материалов учащиеся считают и складывают предметы. Затем объекты меняются местами, чтобы показать, что сумма одинакова. Затем учащиеся решают задачи на сложение, используя только числа, и замечают, что изменение порядка слагаемых не меняет сумму
Исследуйте выражения и закрепляйте свойство перестановочности сложения
Учащиеся узнают, что такое выражение. Затем учащиеся сопоставляют выражения с одинаковой суммой, хотя порядок слагаемых меняется
Составляйте равные выражения и решайте уравнения с одинаковыми слагаемыми в другом порядке.
Учащиеся тренируются заполнять пробелы в выражении, чтобы сделать его равным другому выражению. Затем учащиеся практикуются в решении уравнений сложения, которые имеют одинаковые слагаемые и суммы.
Определяют и составляют равные и неравные выражения сложения
Учащиеся решают уравнения с одинаковой суммой, но разными слагаемыми. Затем учащиеся решают уравнения, чтобы увидеть, равны они или нет. Учащиеся практикуют алгебраическое мышление, заполняя пропущенное сложение, в результате чего два выражения будут равны 9.0003
Использование знака равенства для отображения и создания выражений равенства (Часть 1)
Учащиеся учатся использовать знак равенства для отображения выражений равенства. Затем учащиеся тренируются заполнять одно отсутствующее сложение, чтобы уравнение было верным, с прямыми инструкциями
Используйте знак равенства, чтобы отображать и составлять выражения равенства (Часть 2)
Учащиеся тренируются заполнять одно отсутствующее сложение, чтобы уравнение было верным
Определить являются ли числовые предложения истинными и ложными
Учащиеся упражняются в определении истинных и ложных числовых предложений. Некоторые примеры требуют добавления, а другие нет
Тема F: Развитие беглости вычитания в пределах 10
Учащиеся закрепляют взаимосвязь между сложением и вычитанием и взаимосвязь между семействами фактов. Они используют знакомые предметы, кубики с основанием 10, числовую прямую и уравнения, чтобы исследовать состав чисел 3-10. Они строят скорость и точность со всеми +/- фактами в пределах 10.
Определите модель числового ряда, которая представляет сценарий вычитания, заданный словами
Посмотрите на три возможных сценария числового ряда, данные вам. Затем выберите тот, который представляет уравнение вычитания, записанное словами
Найдите недостающие числа в уравнениях вычитания из 4, 5 и 6
Используя сценарии, проиллюстрированные кубами с основанием 10, заполните недостающие элементы уравнений вычитания. Каждое из уравнений вычитания начинается с 4, 5 или 6
Определите недостающие числа в уравнениях вычитания из 6 и 7
Используя сценарии, проиллюстрированные кубами с основанием 10, заполните недостающие элементы уравнений вычитания. Каждое из уравнений вычитания будет начинаться либо с 6, либо с 7
Выберите соответствие выражения вычитания и разности
Используя сценарии, иллюстрированные рисунками, сопоставьте выражения вычитания с соответствующими разностями. Упражнение заканчивается, когда вы переходите от одного игрового поля к другому
Определите недостающие числа в уравнениях вычитания из 7 и 8
Используя сценарии, иллюстрированные кубиками с основанием 10, заполните недостающие элементы уравнений вычитания. Каждое из уравнений вычитания будет начинаться либо с 7, либо с 8
Найдите недостающие числа в уравнениях вычитания из 8 и 9
Используя сценарии, проиллюстрированные кубами с основанием 10, заполните недостающие элементы уравнений вычитания. Каждое из уравнений вычитания начинается либо с 8, либо с 9
Определите недостающий элемент в уравнении вычитания
Определите, какие элементы отсутствуют в уравнениях вычитания. По мере того, как вы заполняете недостающие элементы уравнений вычитания, головоломка будет медленно решаться
Найдите недостающие числа в уравнениях вычитания из 9 и 10
Используя сценарии, проиллюстрированные кубами с основанием 10, заполните недостающие элементы уравнений вычитания. Каждое уравнение вычитания начинается с 9 или 10
МОДУЛЬ 2. Знакомство с размещением значений путем сложения и вычитания в пределах 20
Тема A: Подсчет или прибавление десяти для решения неизвестных результатов и общих неизвестных задач
Учащиеся закрепляют свои понимание «десятки» и «единицы» при сортировке, подсчете, сложении и вычитании. Они используют объекты, блоки с основанием 10, числовую прямую и десятичную рамку. Они практикуют различные стратегии, чтобы добавить через 10 и улучшить беглость с +/- фактами в пределах 20.
Закрепить знания о числах 11-20, добавив одну цифру к числу десять
Учащиеся выберут правильное сложение, чтобы заполнить таблицу, а затем отработают навыки сложения, введя правильную сумму
Откройте для себя сложения, чтобы получить десять
Откройте для себя сложения с суммой десять. Найдите недостающее слагаемое в сумме десять и заполните таблицу чисел
Определите недостающее сложение
Учащиеся продемонстрируют свои навыки, найдя недостающее сложение, чтобы составить уравнение
Практика с десятью кадрами
Щелкайте и перетаскивайте капли, чтобы завершить десять кадров. Добавьте оставшиеся капли к десяти рамкам, чтобы определить сумму
Используйте десять рамок, чтобы изучить уравнения и определить сумму
Используя десять рамок, учащиеся считают объекты, чтобы определить слагаемые. Затем учащиеся заполняют десятикадр и используют наглядные материалы, чтобы решить уравнение
Используйте блоки с основанием десять, чтобы получить десять, затем найдите сумму
Нажмите и перетащите блоки с основанием десять, чтобы сначала составить стержень из десяти. Затем учащиеся будут считать свободные блоки и добавлять их к стержню, чтобы определить сумму
Используйте блоки с основанием десять, чтобы определить сумму
Определите количество блоков, необходимых для сборки стержня. Используйте блок с основанием десяти, чтобы определить сумму данного уравнения
Введение в уравнения с тремя слагаемыми
Используйте блоки разного цвета, чтобы найти слагаемые, равные десяти. Затем добавьте оставшееся слагаемое к десяти, чтобы найти сумму. Введите ответ на уравнение
Разложить слагаемые, чтобы получилось десять, затем сложить, чтобы найти сумму
Разложите одно сложение, чтобы добавить правильное количество блоков в другую группу, чтобы получилось десять. Добавьте десять к оставшимся блокам, чтобы решить уравнение
Продолжение практики разложения слагаемых для решения уравнения
Разложите одно слагаемое, чтобы получить десять. Добавьте десять к оставшимся блокам, чтобы решить уравнение. Введите сумму в уравнение
Продемонстрируйте знание пропущенного сложения, чтобы получить десять
Введите пропущенное сложение, чтобы завершить уравнение с суммой десяти
Решение с помощью числовой связи
Решение уравнений путем разложения и нахождения десяти без использования визуальных манипуляций. Введение в использование числовых связей для решения уравнения
Использование числовых связей для решения уравнений сложения
Используя числовые связи, определите, как нужно разделить слагаемое, чтобы получить десять. Добавьте остаток от деления к десятке, чтобы найти сумму
Продолжение практики использования числовых связей для решения уравнений сложения
Использование числовых связей для нахождения суммы уравнения сложения
Продемонстрировать навыки или попрактиковаться с помощью
Учащимся предоставляется возможность решать уравнения с помощью или без помощи
Решать уравнения сложения с суммами 11-16 для объединения объектов
Решать уравнение сложения для объединения двух объектов в один
Решите уравнения сложения с суммами 11-16
Решите уравнение сложения для создания боевого костюма
Решите уравнения сложения с перегруппировкой
Решите уравнение на сложение, чтобы выиграть математическую битву.
Тема B: Подсчитайте или вычтите из десяти, чтобы решить неизвестный результат и общее количество неизвестных задач
Учащиеся изучают стратегии сложения и вычитания по десяти. Они используют знакомые модели блоков с основанием 10, числовую прямую и десять кадров, чтобы проиллюстрировать смысл операций.
Завершите серию связанных уравнений для вычитания 10 на основе модели блоков с основанием 10
Используя модель куба с основанием 10, вы начнете со значения больше 10. Затем вы будете вычитать 1, 2, 3 , и 4 от этого начального числа
Решите уравнения на вычитание через 10, используя числовую прямую
Используя числовую прямую и начав с числа больше 10, вы составите уравнения на вычитание. Скорее всего, вы получите разницу менее 10 каждый раз.
Смоделируйте и решите уравнения вычитания для 10, используя объекты в десятичной рамке
Имея коробку или контейнер из 10 объектов с дополнительными объектами вне коробки или контейнера, вы закончит уравнения вычитания. Вы начнете с общего количества объектов больше 10 каждый раз
Смоделируйте и решите уравнения вычитания по десятичной системе с использованием блоков с основанием 10 (Часть 1)
Используя модель куба с основанием 10, завершите уравнения вычитания. Начните с более чем 10 кубов каждый раз, когда эта область сортируется в столбце десятков и единиц. Затем удалите числовые кубы, эквивалентные числу, которое вы вычитаете из большего числа.
Смоделируйте и решите уравнения вычитания для 10, используя блоки с основанием 10 (Часть 2)
Используя модель куба с основанием 10, завершите уравнения вычитания. Начните с более чем 10 кубов каждый раз, когда эта область сортируется в столбце десятков и единиц. Затем удалите числовые кубики, эквивалентные числу, которое вы вычитаете из большего числа 9.0003
Решите уравнения на вычитание в пределах 20
Используйте модель с основанием 10. Начальное количество кубиков будет эквивалентно уменьшаемому. Десять кубиков будут размещены в столбце десятков, остальные кубики в столбце единиц. Определите, сколько еще кубиков вам нужно удалить из столбца десятков до e
Решите уравнения вычитания через 10
Без использования каких-либо наглядных пособий вы будете решать уравнения вычитания. Каждый раз, когда уравнение начинается с числа больше 10
Решите уравнения вычитания 2-значного минус 1-значного через 10
Используя интерактивные иллюстрации, учащиеся будут решать уравнения вычитания. Все эти уравнения вычитания будут двузначными числами минус однозначные числа
Тема C: Разнообразные задачи с разложением подростковых чисел на 1 десяток и несколько единиц
Учащиеся изучают разрядное значение, складывая и вычитая 10. Они используют множественные представления ( объекты, десятикадр, числовая линия, блоки с основанием 10 и уравнения), чтобы перейти от конкретного к абстрактному. Учащиеся строят свою беглость с +/- фактами внутри, усиливая основную концепцию обмена и используя стратегию «отдыха» на 10. Они также решают +/- задачи, в которых все единицы или все десятки складываются или вычитаются.
Решите уравнения на вычитание, содержащие число 10
Используя модель куба с основанием 10, учащиеся будут решать уравнения на сложение и вычитание. Перед завершением каждого уравнения кубы будут добавляться и вычитаться на экране
Завершать уравнения, которые добавляют или вычитают все десятки или все единицы с моделью блоков с основанием 10 и без нее
С использованием и без использования кубов с основанием 10 вы будете выполнить уравнения сложения и вычитания. Когда используются числовые кубы с основанием 10, они будут либо добавлены, либо вычтены из общей суммы перед завершением уравнений вычитания 9.0003
Добавляйте единицы к числам во второй десятке, используя блоки с основанием 10
Используя кубики с основанием 10, которые расположены в столбцах десятков и единиц, чтобы отразить первое слагаемое, вы будете добавлять числовые кубики к столбцу единиц, равному второму слагаемому . После сложения числовых кубов вы определите окончательную сумму
Вычтите из чисел 11-20, используя блоки с основанием 10 кубов из столбца единиц, равных вычитаемому. После того, как вы уберете числовые кубики, вы определите окончательную разницу
Решите +/- уравнения, в которых используются числа из второго десятка и однозначное число (Часть 1)
В этом упражнении вы вычислите разницу в уравнениях на вычитание. Каждое уравнение включает вычитание однозначных чисел из двузначных чисел
Определение недостающего слагаемого для получения суммы 20 с моделью блоков с основанием 10 и без нее
Используя модель куба с основанием 10, вы определяете, сколько кубов нужно добавить равно 20 числовых кубов. Затем вы завершите соответствующее уравнение сложения
Решите уравнения +/-, в которых используются числа из второго десятка и однозначное число (Часть 2)
В этом упражнении вы будете решать уравнения на сложение и вычитание с двузначным числом меньше 20 и однозначным числом. После правильного ответа на каждое уравнение будет отображаться анимированная иллюстрация.
МОДУЛЬ 3. Упорядочивание и сравнение измерений длины в виде чисел
Тема A: Косвенное сравнение в измерении длины
Учащиеся используют знакомые, реальные объекты, чтобы развить чувство сравнения длины. Они определяют самый длинный, самый короткий, длинный и короткий среди объектов, даже если они не выровнены.
Определите, какой из двух объектов длиннее или короче, и выровняйте объекты, чтобы сравнить их длину.
Сравните длины двух объектов, нажав на более длинный или более короткий из двух вариантов, как указано. Узнайте, как выравнивать объекты, чтобы иметь возможность более точно оценивать длину
Определите утверждение, которое правильно сравнивает длину двух объектов
Выберите правильное утверждение, которое сравнивает длины двух объектов. Даны три варианта оператора
Определить самый короткий или самый длинный объект в невыровненном наборе из трех объектов
Выберите самый длинный или самый короткий объект, как указано, из трех вариантов. Объекты не выровнены
Упорядочить набор выровненных объектов по длине
Перетащите 3 или 4 объекта, чтобы упорядочить их по длине или высоте
Подсчет расстояний в блоках на карте и сравнение
Подсчет расстояний по сетке карты . Введите значение расстояния. Затем сравните два расстояния и укажите, одно из них длиннее или короче другого
Подсчитайте расстояния в блоках на карте и создайте путь, который длиннее или короче заданных путей
Потренируйтесь считать расстояния по сетке карты. Затем создайте путь короче или длиннее заданного пути
Тема B: Нестандартные единицы длины
Учащиеся используют скрепки в качестве нестандартной единицы длины для измерения объектов. Они узнают, что единицы измерения должны измерять расстояние от конечной точки до конечной точки без пробелов или перекрытий.
Счет для измерения длины объектов
Узнайте, как измерять длину объектов, используя нестандартные единицы измерения. Скрепки используются для измерения письменных принадлежностей. Введите количество скрепок, равное длине предмета
Измерение длины объектов от одной конечной точки до другой без зазоров и перекрытий
Узнайте, как измерять длину объектов от одной конечной точки до другой, используя нестандартные единицы измерения. Скрепки используются для измерения без зазоров или перекрытия. Введите количество скрепок, равное длине объекта
Определите, какой из двух объектов измерен правильно
Выберите правильный способ измерения длины по двум картинкам. Скрепки используются как нестандартный блок. Затем введите значение измерения
Правильное измерение длины объектов с помощью укладочных единиц
Измерение длины объектов с помощью скрепок в качестве нестандартной единицы. Единицы измерения должны быть правильно размещены между конечными точками
Тема C: Интерпретация данных
Учащиеся считают реальные объекты и используют подсчетные отметки или гистограммы для их представления. Они интерпретируют данные, представленные в таблицах и графиках, и используют их, чтобы найти общее количество, на сколько больше и на сколько меньше.
Делать отметки для подсчета до 5 объектов
Узнайте, как использовать метки для учета наблюдений. Введите значение, представленное подсчетными метками
Определите общее количество подсчетных меток (Часть 1)
Потренируйтесь в интерпретации значения, представленного подсчетными метками. Введите число, показанное на подсчетах
Определите общее количество отметок (Часть 2)
Интерпретируйте значение отметок как часть гоночной игры. Ввод правильного значения продвигает персонажа вперед в гонке.2141
Создайте таблицу для подсчета животных, изображенных на картинке. Интерпретация значений контрольных отметок на диаграмме и нахождение суммы двух значений
Интерпретация данных в таблице с помощью контрольных отметок (уровень 2)
Определите значение контрольных отметок на диаграмме, а затем определите, какой элемент появился больше или меньше всего . Затем найдите сумму трех значений на диаграмме
Интерпретация данных в гистограмме с 1 категорией
Узнайте, как создать и прочитать гистограмму для одной категории
Создайте гистограмму с двумя категориями и используйте ее для интерпретации данных.
Создайте гистограмму из двух категорий. Определите, какая категория содержит больше или меньше. Найдите разницу между двумя категориями
Интерпретация данных на гистограмме из 3 категорий (Часть 1)
Интерпретация значений, представленных тремя гистограммами. Сравните значения и найдите сумму всех трех категорий
Интерпретация данных на гистограмме с 3 категориями (Часть 2)
Попрактикуйтесь в интерпретации данных, представленных на гистограмме с 3 категориями. Определите, какая полоса показывает определенное число и сумму двух категорий
МОДУЛЬ 4. Размещение значения, сравнения, сложения и вычитания до 40
Тема A: Десятки и единицы
Учащиеся дополнительно изучают понятие о том, что двузначное число состоит из круглого числа (десятки) плюс единицы. Они определяют итоги, разлагают числа, складывают и вычитают. Учащиеся используют знакомые объекты, блоки с основанием 10, десятичные кадры, уравнения и названия чисел вместе с карточками разрядов. Обратите внимание, что используемые «монеты» предназначены для закрепления концепции десятков, пятерок и единиц, а не для распознавания монет.
Прибавление десятков к 40 на основе модели блоков с основанием 10
Имея стержни из 10 кубиков с основанием 10, вы посчитаете количество кубиков десятками. Во время выполнения части этого задания вы сначала определите количество десятков, а затем укажите, сколько кубиков в общей сложности с максимальным общим числом кубиков 40
Определить общее количество до 90 путем подсчета стержней с основанием 10
Данные стержни с основанием 10 10 кубиков, вы будете считать количество кубиков десятками. Во время части этого задания вы сначала определите количество десятков, а затем укажете, сколько всего кубиков, максимум 9.0 кубиков
Определить общее количество объектов путем подсчета объектов с заполнением десяти рамок или без них
В этом упражнении вы определите общее количество объектов, показанных путем заполнения десяти рамок. Под десятикадром я подразумеваю коробку, вмещающую не более 10 предметов.
Определить двузначные круглые числа
Это задание связано с математической идеей круглых чисел или чисел, оканчивающихся на ноль. Учитывая группу чисел, вы определите, какие числа будут считаться круглыми
Определить сумму до 40 путем подсчета десятков и единиц с использованием блоков с основанием 10.
Кубы с основанием 10, рассортированные по палочкам по 10, и оставшиеся кубики, рассортированные по разрозненным одиночным кубикам, подсчитайте количество кубиков. Запишите количество десятков, затем количество единиц и укажите общее количество кубиков. Максимальная сумма будет 40
Определить общее количество до 40 путем подсчета десятков и единиц, используя объекты в десятирамках
Объекты рассортированы по 10 коробкам, а оставшиеся объекты рассортированы по разбросанным одиночным объектам, подсчитайте количество кубиков. Укажите количество десятков, затем количество единиц и укажите общее количество объектов. Максимальная сумма будет 40
Определить итоги путем подсчета десятков и единиц с использованием разбросанных и разнородных объектов в десятикадров
Объекты рассортированы по 10 коробкам, а оставшиеся объекты рассортированы по разбросанным одиночным объектам, подсчитайте количество кубиков. Укажите количество десятков, затем количество единиц и укажите общее количество предметов.
Определите общее количество «монет», используя цифры 10, 5 и 1 значения (10 центов, 5 центов, 1 цент). Затем вы посчитаете количество денег, которое у вас есть в каждой задаче 9.0003
Представлять числа до 40, используя палочки и кубики с основанием 10.
Вам дадут несколько стержней из кубиков с основанием 10 и несколько кубиков с основанием 10. Затем вам будет предложено выбрать определенное количество кубов из большего количества, с которым вы начинаете. Максимальное значение, которое вам нужно будет отсчитать, будет 40
Определите названия чисел до 40 в числовой строке
В этом упражнении вам будет предоставлена числовая строка с существующими числами. Затем вам нужно будет назвать числа, которые следуют за теми, которые уже находятся в строке чисел. Максимальное значение наибольшего числа, которое вам потенциально придется назвать, равно 40 9.0003
Определите отсутствующее число до 40 в числовой строке и определите его письменное название
Вам будет предоставлена числовая строка с существующими номерами. Вам нужно будет заполнить пробелы в числовой строке отсутствующим числом. Затем вам нужно будет назвать эти числа. Максимальное значение наибольшего числа, которое вам нужно назвать, равно 40
Разложите двузначные числа до 40 на десятки и единицы с моделью блоков с основанием 10 и без нее
Вам будут даны различные двузначные числа. Вам будет предложено разложить каждое число на десятки и единицы, или вам будет предложено начать разложение и определить число, которое соответствует каждому разложению
Разложите двузначные числа до 40 в круглое двузначное число плюс единицы
В этом упражнении вам будут даны монеты разного номинала (10 центов, 5 центов, 1 цент). Затем вы подсчитаете количество денег, которое у вас есть в каждой задаче
Решите уравнения, которые добавляют или вычитают 1 или 10 с использованием и без моделирования с использованием блоков с основанием 10 (Часть 1)
Вы будете добавлять 1 к различным двузначным числам меньше чем 40 в этой деятельности. Вы будете использовать числовые блоки с основанием 10 для моделирования каждого уравнения сложения
Решите уравнения, которые добавляют или вычитают 1 или 10 с использованием и без моделирования с использованием блоков с основанием 10 (Часть 2)
В этом упражнении вы будете прибавлять 10 к различным двузначным числам меньше 40. Вы будете использовать блоки с основанием 10 для моделирования каждого уравнения сложения
Решите уравнения, которые добавляют или вычитают 1 или 10 с использованием и без моделирования с использованием блоков с основанием 10 (Часть 3)
Вы будете вычитать 1 из различных двузначных чисел меньше 40 в этой деятельности. Вы будете использовать числовые блоки с основанием 10 для моделирования каждого уравнения вычитания
Решите уравнения, которые добавляют или вычитают 1 или 10 с использованием и без моделирования с использованием блоков с основанием 10 (Часть 4)
В этом упражнении вы будете вычитать 10 из различных двузначных чисел меньше 40. Вы будете использовать блоки с основанием 10 для моделирования каждого уравнения вычитания
Решать уравнения, которые добавляют или вычитают 1 или 10 с использованием и без моделирования с использованием блоков с основанием 10 (Часть 5)
Вы будете прибавлять 10, прибавлять 1 к, вычитать 1 и вычтите 10 из различных двузначных чисел в этом упражнении. Вы не сможете использовать числовые блоки с основанием 10 для моделирования каждого уравнения
Тема B: Сравнение пар двузначных чисел
Учащиеся сравнивают и упорядочивают числа, укрепляя свое понимание разрядности и последовательности. Они используют знакомые блоки с основанием 10, числовую прямую и начинают использовать знаки неравенства.
Выровняйте разбросанный набор пронумерованных непоследовательных объектов в порядке возрастания
Вам будет предоставлена разрозненная группа объектов с номерами на них. Затем вам будет предложено расположить эти объекты в линию в порядке 9.0003
Сравните два набора разбросанных объектов, используя > или
< с визуальным пособием
Вам будут предоставлены две отдельные группы объектов для сравнения. Вы выберете, какая группа имеет большее количество объектов с помощью наглядного пособия
Выровняйте разрозненный набор пронумерованных, непоследовательных объектов в порядке убывания
Вам будет предоставлена разрозненная группа объектов с номерами на них. Затем вам будет предложено расположить эти объекты в ряд в порядке убывания
Определить пропущенные круглые числа в числовой строке, пронумерованной десятками
Вам будет дана числовая строка, пронумерованная десятками. Затем вам нужно будет заполнить пробелы круглыми числами
Сравните два двузначных числа, используя >,
< или = с моделью блоков с основанием 10 и без нее
Вам будут даны два двузначных числа. Затем вы будете использовать знаки неравенства и равенства, чтобы указать, какое число больше, используя числовые блоки с основанием 10 в качестве наглядного пособия.
Поместите двузначные числа в числовую строку
Имея числовую строку, вы будете размещать числа на ней в реальном времени. Каждое число будет двузначным числом.
Сравнение двузначных чисел с использованием знаков
<, = или > с моделью числовой прямой и без нее
В этом упражнении вы будете сравнивать пары двузначных чисел. Сначала вы поместите каждое число в числовую строку, прежде чем определить, какое число больше
Сравните двузначные числа, используя
<, = или >
В этом упражнении вы будете сравнивать пары двузначных чисел. Вы будете использовать знаки неравенства и равенства в каждом примере для сравнения чисел
Тема C: Сложение и вычитание десятков
Учащиеся работают с круглыми числами, чтобы закрепить понимание разряда на 10 больше и на 10 меньше. Они используют уравнения и числовую прямую для решения задач на сложение и шаблонов счета.
Решите уравнения сложения, которые добавляют круглые числа к 40
В этом упражнении вы будете складывать пары круглых чисел. Максимальное значение каждой суммы будет 40
Посчитайте назад на 10 по числовой прямой (Часть 1)
Для этого действия будет предоставлена числовая строка. Вам будет дан номер, отмеченный на линии, чтобы начать. Затем, следуя пометкам на числовой строке, вы будете считать в обратном порядке на десятки, чтобы заполнить пропущенное число для каждой задачи. . Вам будет дан номер, отмеченный на линии, чтобы начать. Затем, следуя пометкам в строке чисел, вы будете считать в обратном порядке на десятки, чтобы заполнить 2 пропущенных числа для каждой задачи
Тема D: Добавление десятков или единиц к двузначному числу
Учащиеся полагаются на растущее понимание обмена на модель и решают задачи на сложение двузначных чисел с обменом, используя знакомые модели и новые стратегии.
Решите уравнения, которые добавляют или вычитают 1 или 10 с использованием и без моделирования с использованием блоков с основанием 10
В этом упражнении вы будете добавлять однозначные числа к различным двузначным числам меньше 40. Вы будете использовать числовые блоки с основанием 10 для моделирования каждого уравнения сложения
Смоделируйте и решите уравнения сложения, которые добавляют однозначное число к двузначному, используя числовую прямую
В этом упражнении вы будете складывать однозначные числа к двузначным числам. Вам будет разрешено использовать числовую прямую, чтобы помочь с этими уравнениями сложения
Решите уравнения, которые добавляют однозначное число к двузначному числу (Часть 1)
Вы будете добавлять однозначные числа к двузначным числам в эта деятельность. Однако вам не разрешается использовать числовую прямую или любые другие наглядные пособия, чтобы помочь с этими уравнениями сложения
Выберите соответствующее выражение сложения и сумму
В этом упражнении вы будете складывать однозначные числа с двузначными числами. Вы будете использовать игровую доску, чтобы решать свои проблемы. Как только вы дойдете до другой стороны игрового поля, вы выиграете.
Определите недостающее слагаемое, чтобы сложить его с числом в следующем раунде с моделью блоков с основанием 10 и без нее
В этом упражнении вы будете решать, какое число добавьте к данному двузначному числу, чтобы перейти к следующему круглому номеру. Вы будете делать это с помощью и без помощи базовой 10-кубической модели 9.0003
Определите отсутствующее слагаемое, чтобы добавить его к следующему круглому числу, и решите уравнение (Часть 1)
В этом упражнении вы будете решать, какое число добавить к заданному двузначному числу, чтобы перейти к следующему круглому числу после размещение двузначного числа на числовой прямой. Вы будете делать это с помощью числовой строки
Определите недостающее слагаемое, чтобы добавить к следующему округленному числу, и решите уравнение (Часть 2)
В этом упражнении вы будете решать, какое число добавить к задано двузначное число, чтобы перейти к следующему раунду. Вы будете делать это без использования каких-либо наглядных пособий
Определите отсутствующее слагаемое, чтобы добавить его к следующему круглому числу, и решите уравнение (часть 3)
С помощью числовой строки вы определите, что нужно добавить к заданному двузначному числу, чтобы получить следующее круглое число. Вам также нужно будет выяснить, какая первая цифра этого круглого числа
Моделируйте и решайте двузначные уравнения сложения с обменом, используя блоки с основанием 10
Используя модель куба с основанием 10, вы будете решать уравнения сложения. Вы решите, сколько второго слагаемого потребуется, чтобы получить первое слагаемое для следующего круглого числа. Затем вы добавите оставшуюся сумму, чтобы получить окончательную сумму
Решите уравнения сложения через 10, используя числовую прямую
Используя числовую прямую, вы будете решать уравнения сложения. Вы решите, сколько второго слагаемого потребуется, чтобы получить первое слагаемое для следующего круглого числа. Затем вы сложите оставшиеся блоки, чтобы получить окончательную сумму
Решите уравнения сложения через 10, разделив слагаемое, чтобы получить десять
Без использования каких-либо наглядных пособий, вы будете решать уравнения сложения. Вы решите, сколько вторых слагаемых потребуется, чтобы получить первое сложение для следующего круглого числа. Затем вы добавите оставшиеся блоки, чтобы получить окончательную сумму
Решите уравнения для сложения однозначного числа с двузначным (Часть 2)
В этом упражнении вы будете складывать однозначные числа с двузначными числами. Вы будете использовать интерактивную иллюстрацию, чтобы мотивировать вас, когда вы будете решать эти уравнения сложения. Максимальное значение суммы будет 40
Тема E: Добавление десятков и единиц к двузначному числу
Учащиеся синтезируют свои знания из предыдущей темы, чтобы складывать десятки и единицы к двузначному числу. Они поддерживаются знакомой моделью блоков с основанием 10 и пошаговым руководством.
Смоделируйте и решите уравнения сложения двузначных чисел в пределах 40, используя кубики с основанием 10.
В этом упражнении вы будете использовать кубы с основанием 10. Вы будете складывать пары двузначных чисел вместе. Максимальное значение этих сумм будет 40
Решите двузначные уравнения сложения в пределах 40 с моделированием и без него с использованием блоков с основанием 10
Для этого задания не будет наглядных пособий. Вы будете складывать пары двузначных чисел вместе. Максимальное значение этих сумм будет 40
Решите уравнения сложения двузначных чисел с заменой путем сложения десятков и единиц по отдельности
В этом упражнении вы будете складывать пары двузначных чисел. Вы сделаете это, разделив десятки и единицы в числах и сложив их отдельно. Максимальное значение этих сумм будет 40
Решите уравнения сложения двузначных чисел
В этом упражнении вы будете складывать пары двузначных чисел. Вы сделаете это без каких-либо наглядных пособий. Максимальное значение этих сумм будет 40
Смоделируйте и решите уравнения сложения 2-значных чисел с обменом, используя блоки с основанием 10 (Часть 1)
В этом упражнении вы будете использовать модель куба чисел с основанием 10, чтобы складывать пары двузначных чисел. Вы будете разделять числа на десятки и единицы, используя числовые кубики в качестве наглядного пособия.
Моделируйте и решайте уравнения сложения двузначных чисел с заменой элементов с основанием 10 (Часть 2)
Вы будете складывать пары двузначных чисел. чисел с использованием кубов с основанием 10. Первое сложение будет разделено на десятки и единицы перед началом каждой задачи. Рассортируйте второе слагаемое по десяткам и единицам перед добавлением пары двузначных чисел
Решите уравнения сложения двузначных чисел с заменой путем сложения десятков и единиц по отдельности
В этом упражнении вы будете складывать пары двузначных чисел. Вы сделаете это, разделив десятки и единицы в числах и сложив их отдельно. Максимальное значение этих сумм будет 40
Решите уравнения, которые складывают двузначные числа через 10
В этом упражнении вы будете складывать пары двузначных чисел. Вы сделаете это без каких-либо наглядных пособий. Максимальное значение этих сумм, возможно, будет больше 40
МОДУЛЬ 5. Идентификация, составление и разбиение фигур
Тема A: Атрибуты фигур
Учащиеся изучают основные атрибуты фигур: линии, замкнутые фигуры, стороны и углы. Они учатся определять треугольники, прямоугольники, квадраты, трапеции и шестиугольники.
Определение линий
Научитесь различать линии. Выберите линии в различных ориентациях из группы, содержащей линии и кривые
Определение изогнутых линий
Научитесь определять кривые. Выберите кривые в различных ориентациях и формах из группы, содержащей линии и кривые
Определение закрытых фигур
Определение открытых и закрытых фигур. Выберите все незамкнутые или закрытые фигуры из набора, содержащего обе формы
Определите фигуры с заданным количеством сторон
Выберите все фигуры с заданным количеством сторон из набора, содержащего множество закрытых фигур
Подсчитайте количество сторон и углов фигур
Назовите признаки треугольника, прямоугольника и шестиугольника. Выберите открытую или замкнутую форму и укажите, сколько у нее сторон и углов.
Определение шестиугольников
Изучение характеристик шестиугольника. Затем выберите те фигуры, которые являются шестиугольниками
Определите треугольники, прямоугольники, квадраты и шестиугольники
Сортируйте треугольники, прямоугольники, квадраты и шестиугольники, нажав на существо, которое ест каждый из этих типов фигур
Определите трапецию
Научитесь определять трапецию. Выберите трапецию из двух четырехугольников, затем укажите признаки трапеции
Нарисуйте заданные фигуры
Попрактикуйтесь в рисовании различных фигур в соответствии с указаниями на доске для колышков
Определите данные фигуры
Выберите имя многоугольника из двух вариантов
Определите формы повседневных предметов
Получив изображение объекта реального мира, выберите правильное название многоугольника из 4 вариантов
Тема Б: Половинки и четверти прямоугольников и окружностей
Учащиеся учатся определять и считать равные части в разделенной фигуре. Они узнают названия половин и четвертей и используют эти названия для идентификации фигур, разделенных на части.
Определить фигуру, которая разделена на половинки (Уровень 1)
Решить, какая из двух одинаковых или разных фигур разделена на две равные части, называемые половинками
Определить фигуру, которая разделена на половинки (Уровень 2)
Решить какая из двух одинаковых или разных фигур разделена пополам
Определить количество равных частей в разделенной фигуре
Дана фигура, разделенная на равные части, определить общее количество равных частей до 4
Определить фигуру, которая разделена на четверти
Решить, какая из двух одинаковых или разных фигур разделена на четыре равные части, называемые четвертями
Тема C: Использование половинок для определения времени
ход и идентификация времени. Они изучают части часов и различные типы обозначения времени: X:XX, X часов, X-тридцать и половина первого X.
Определять части часов и время с точностью до часа на часах
Имея цифровые или аналоговые часы, учащиеся определяют время с точностью до часа, а также часовую и минутную стрелки
Определяют ежедневный и ежечасный ход времени
Понимают, что день длится с полуночи до полуночи, и как выглядит это время на аналоговых часах. Определение времени с точностью до часа по аналоговым часам
Определение времени с точностью до часа на цифровых и аналоговых часах
Определение времени с точностью до часа на цифровых или аналоговых часах. Выберите одни из трех цифровых часов, которые соответствуют времени на аналоговых часах
Определение времени с точностью до часа на аналоговых часах
Выберите одни из трех аналоговых часов, которые показывают заданное время с точностью до часа. Переместите часовую стрелку часов, чтобы показать заданное время.
Определите количество минут на аналоговых часах
Определите, сколько минут прошло на аналоговых часах. Понимать, что в часе 60 минут, а в получасе 30 минут
Определять время с точностью до получаса на аналоговых часах и использовать соответствующий язык (Часть 1)
Студенты изучают концепцию получаса на аналоговых часах. Они также изучают язык половины X. Затем учащиеся учатся определять время с точностью до получаса на аналоговых часах
Определять время с точностью до получаса на аналоговых часах и использовать соответствующий язык (Часть 2)
Учащиеся учатся говорить X тридцать в качестве альтернативы половине X. Затем учащиеся тренируются определять время с точностью до получаса на аналоговых часах и выбирать правильное соответствие цифровому времени
Определять время с точностью до получаса на цифровых и аналоговых часах
Определить время с точностью до получаса на аналоговых и цифровых часах, используя X-тридцать и половину десятого. Показывать время с точностью до часа или получаса на аналоговых часах
Определить время на часах
Определить время до час или полчаса на аналоговых или цифровых часах, набрав или выбрав время. Используйте обозначение X-тридцать, половина первого X, X часов или X:XX
МОДУЛЬ 6. Поместите значение, сравнение, сложение и вычитание до 100
Тема A: Числа до 120
Учащиеся используют знакомые представления (объекты, десятичные кадры, десятичные блоки, числовую прямую, карточки с разрядными значениями, названия чисел и уравнения), чтобы расширить свое понимание разрядных значений на более высокие числа в пределах 100. Они начинают строить свою мысленную модель сто диаграммы, понимая взаимосвязь между числами в столбцах и строках. Они укрепляют понимание того, что двузначные числа состоят из круглого числа (или десятков) плюс единицы.
Определить отсутствующее круглое число до 100 в числовой строке и определить его письменное название
В этом упражнении вы будете использовать числовую прямую. Вы будете называть числа по десяткам, начиная с нуля и заканчивая 100
Расположите круглые числа, как цифрами, так и прописью, на вертикальной числовой строке
В этом упражнении вы будете размещать круглые числа от нуля до 100 на числе линия. Цифры будут написаны на дирижаблях, которые вы «приземлитесь» на числовой линии
Определите двузначные суммы на основе блоков с основанием 10 и карточек с номиналом
Для этого задания будут использоваться кубики с основанием 10. Вам будет предоставлено определенное количество 10 кубиков с числами и определенное количество кубиков с отдельными числами, чтобы определить общее количество кубиков с числами 9.0003
Определить 2-значное количество объектов в блоках из десяти кадров или с основанием 10
Вам будут даны группы из 10 объектов, расположенных в 10-кадрах, а также отдельные объекты за пределами 10-кадров. Затем вы будете использовать 10-кадры и отдельные объекты для подсчета общего количества объектов
Определить общее количество путем подсчета объектов с заполнением или без заполнения десятикадров
Десятокрамки будут использоваться для помощи в определении общего количества объектов для эта деятельность. Вы закончите заполнение как можно большего количества 10-кадров и добавите оставшиеся объекты в объекты, расположенные в 10-кадрах
Представление заданного двузначного числа с помощью блоков с основанием 10
Для этого задания будут использоваться кубы с основанием 10. Вы будете использовать 10-кубические стержни и отдельные числовые кубики для представления суммы, указанной в каждой задаче.
Определить двузначные круглые числа
В этом упражнении вы будете выбирать круглые числа, меньшие или равные 100. Вам будет дана группа чисел, и вам нужно будет выбрать круглые числа из каждой группы
Разложить двузначные числа на круглое число плюс единицы
Для начала этой деятельности вам будет предоставлена серия двузначных чисел до 100. Вы разобьёте каждое число на круглое число и однозначное число.
Определите двузначное количество блоков с основанием 10, подсчитав десятки и единицы
Для этого упражнения будет использоваться модель куба числа с основанием 10. Вам будет предоставлено определенное количество 10-кубовых палочек и отдельных числовых кубиков. Затем вы определите, сколько всего кубиков
Определите общее количество, считая десятки и единицы, используя разбросанные и неодинаковые предметы в десятикадровом формате
Для этого задания будут использоваться группы похожих и непохожих объектов, расположенных внутри и вне 10-кадров. Затем вы подсчитаете общее количество объектов в целом.
Разложите двузначные числа на десятки и единицы с моделью блоков с основанием 10 и без нее
Для этого задания будут использоваться кубы с основанием 10. С помощью этой модели числового куба разложите двузначные числа. Каждое число будет либо представлено числовыми кубами в начале, либо вам придется представлять каждое число числовыми кубами перед 9-м числом.0003
Решите +/- 1 и +/- 10 уравнений с моделью блоков с основанием 10 и без нее
В этом упражнении вы будете прибавлять 10, прибавлять 1, вычитать 1 и вычитать 10 из различных двузначных чисел. . Вы не сможете использовать числовые блоки с основанием 10 для моделирования каждого уравнения. Максимальное значение каждой окончательной суммы будет 99
Считайте вперед и назад в пределах десяти по числовой строке
Числовая строка будет использоваться, чтобы помочь Вам со счетом в прямом и обратном порядке. По мере того, как вы будете считать вперед и назад, вы будете заполнять данные пробелы в числовой строке, предоставленной
Выровняйте разрозненный набор пронумерованных непоследовательных объектов в порядке возрастания
С помощью наглядного пособия вы будете располагать числа в порядке возрастания. Числа в этом упражнении будут меньше 100
Выровняйте разрозненный набор пронумерованных непоследовательных объектов в порядке убывания
С помощью наглядного пособия вы будете располагать числа в порядке убывания. Числа в этом упражнении будут меньше 100
Сравните двузначные суммы с набором из 10, 5 и 1 монет
Имея определенную сумму денег в монетах в 1 цент, 5 центов и 10 центов и группу предметов с различной ценой, вы определите, какой предмет вы можете купить на указанную сумму денег
Определить пропущенные числа на сотенной диаграмме
В начале этого задания вам будет предоставлена в основном заполненная таблица чисел в порядке от 1 до 100. Затем вы заполните пропуски недостающими числами
Определите на 10 меньше, на 10 больше, на 1 меньше и 1 больше на сотенной таблице с ограниченной нумерацией
В начале этого задания вам будет предоставлена слегка заполненная таблица чисел в порядке от 1 до 100. Затем вы заполните пропуски недостающими числами
Добавление круглых чисел с использованием блоков и полос
Для этого упражнения будет использоваться модель кубов с основанием 10. Вы будете добавлять пары двузначных чисел. Максимальное значение каждой суммы будет меньше 100.
Сложение и вычитание круглых чисел
Для этого задания будет использоваться модель кубов с основанием 10. В этом упражнении вы будете добавлять круглые числа. Максимальное значение каждой суммы будет 90
Решите уравнения для сложения двузначных чисел через 10
В центре внимания этого упражнения будет сложение пар двузначных чисел. Некоторые проблемы связаны с использованием фактов оборота. Если вы ответите на вопрос неправильно, вы будете использовать числовые кубы с основанием 10, чтобы помочь ответить на вопрос правильно
Решите уравнения, которые добавляют или вычитают круглое число, используя таблицу сотен
Для этого упражнения будет предоставлена таблица сотен, чтобы завершить сложение и проблемы с вычитанием. Вы будете складывать и вычитать круглые числа из некруглых двузначных чисел
Определите пропущенные числа в столбцах таблицы с ограниченной нумерацией.
В начале этого задания вам будет предоставлена таблица сотен. Вам нужно будет заполнить столбцы этой таблицы, отсчитывая по десяткам в каждом столбце
Определите еще 1 и еще 10 на сотенной диаграмме с ограниченной нумерацией
В этом упражнении вам будет дана сотенная диаграмма. Вы будете добавлять единицу или десять к каждому числу, указанному в таблице, чтобы перейти от одной стороны диаграммы к другой 9.0003
Завершите и решите уравнения, которые добавляют или вычитают круглое число, используя диаграмму сотен.
В этом упражнении вам будет дана диаграмма сотен. Вы будете использовать эту таблицу для помощи в добавлении круглых чисел к некруглым числам
Определите пропущенные числа в сотенной таблице и разложите их на десятки и единицы
Для этого упражнения вам будет предоставлена сотенная таблица. Вы определите, какое число должно быть введено в пустое место на сотенной диаграмме. Затем вы разложите это же число на десятки и единицы
Считать вперед от 100 и выше 100 в числовой строке
Вам будет предоставлена числовая строка с большинством заполненных значений. Вам нужно будет заполнить пробелы, двигаясь вперед по числовой строке, используя числа, указанные на числовая строка уже. Вы будете вводить значения, которые время от времени превышают 100
Посчитайте в обратном порядке от 100 и выше 100 в числовой строке
Вам будет предоставлена числовая строка с большинством заполненных значений. Вам нужно будет заполнить пробелы, перемещая назад по числовой строке, используя числа, уже представленные в числовой строке. Вы будете предоставлять значения, которые превышают 100 раз в 9 раз.0003
Определите отсутствующее трехзначное число в числовой строке и его письменное название.
Для этого действия будет предоставлена числовая строка с уже помеченными большинством значений. Для каждого вопроса вы будете заполнять одно пропущенное значение. Затем вы будете называть число словами
Определить общее количество объектов в десяти кадрах за пределами 100
Вам будут предоставлены объекты, предварительно рассортированные по 10 кадрам, и некоторые объекты, которые отложены в сторону сами по себе . Вам нужно будет определить, сколько объектов находится в коробках и сколько в стороне, чтобы определить общее количество объектов
Подсчитайте палочки с основанием 10 сверх 100
Кубики с основанием 10, сгруппированные в палочки длиной 10 кубов, будут доступны в начале этого задания. Затем вам нужно будет определить, сколько всего кубиков. Каждый раз ответом будет круглое число.
Определяйте суммы, превышающие 100, используя плоскость с основанием 10, стержни и кубики
Кубики с основанием 10, сгруппированные в 10 кубиков, стержни вместе с отдельными кубиками будут даны вам в начале игры. эта деятельность. Используйте оба этих наглядных пособия, чтобы подсчитать общее количество кубиков. Некоторые ответы на вопросы будут более 100
Тема B: Прибавление к 100 Использование разрядных значений Понимание
Учащиеся используют знакомые блоки с основанием 10, числовой ряд и уравнения для работы с круглыми числами. Для решения задач они полагаются на счет, позиционное значение и навыки сложения/вычитания. Учащиеся используют знакомые манипуляторы для решения задач на сложение двузначных чисел с обменом и без обмена. Они также решают задачи на вычитание двузначных чисел без обмена.
Решайте уравнения, прибавляя или вычитая 10 из круглого числа 9 или из него2141
В этом упражнении вы будете прибавлять и вычитать 10 из круглых чисел. Вы будете использовать кубики с основанием 10, чтобы помочь с некоторыми задачами, но некоторые задачи не позволяют использовать эти кубики
Сложение и вычитание круглых чисел с моделью блоков с основанием 10 и без нее
Сложение и вычитание круглых чисел будет в центре внимания этого занятия. Вы будете использовать числовые кубики с основанием 10, чтобы помочь с некоторыми задачами, но некоторые задачи не позволяют использовать эти кубики
Запишите и решите уравнения, которые добавляют круглое число к двузначному числу на основе модели блоков с основанием 10.
Целью этого упражнения будет добавление круглого числа к другим двузначным числам. Вы смоделируете эти уравнения сложения, используя числовые кубы с основанием 10
Запишите и решите уравнения, которые вычитают круглое число из двузначного числа на основе модели блоков с основанием 10
Вычитание круглого числа из других двузначных чисел будет основной акцент в этом упражнении. Вы смоделируете эти уравнения сложения, используя числовые кубы с основанием 10 9. 0003
Моделируйте и решайте уравнения, которые добавляют круглое число к двузначному числу, используя блоки с основанием 10. Вы будете добавлять круглые числа к другим двузначным числам.
Моделируйте и решайте уравнения для сложения двух двузначных чисел, используя блоки с основанием 10.
Моделирование и решение уравнений сложения будет основной целью этого занятия. Вы будете складывать пары двузначных чисел вместе
Моделирование и решение уравнений сложения двух двузначных чисел с использованием блоков с основанием 10.
Моделирование и решение уравнений сложения. Сложите пары двузначных чисел вместе. Одно из двух чисел будет смоделировано для вас с помощью кубов с основанием 10. Определите, сколько кубов вам нужно для представления второго числа, прежде чем складывать пару чисел.
Смоделируйте и решите уравнения для сложения двух двузначных чисел с использованием блоков с основанием 10.
Смоделируйте и решите уравнения сложения. Сложите пары двузначных чисел вместе. Одно из двух чисел будет смоделировано для вас с помощью кубов с основанием 10. Определите, сколько кубиков вам нужно для представления второго числа, прежде чем складывать пару чисел
Сложите 10 с помощью десятичной рамки (в пределах 100)
Вам будет предоставлено определенное количество объектов, чтобы начать это задание. Какое-то их количество будет помещено в 10-кадровые коробки, а какое-то нет. Вам необходимо определить, сколько всего объектов
Смоделировать и решить уравнения сложения двузначных чисел с обменом и без, используя блоки с основанием 10
Кубы с основанием 10 будут использоваться для сложения пар двузначных чисел в этом упражнении. Вы будете сортировать кубы по столбцам десятков и единиц, прежде чем в конечном итоге сложить пару чисел вместе
Моделируйте и решайте уравнения сложения двузначных чисел с обменом и без, используя блоки с основанием 10.
Моделируйте и решайте уравнения сложения. Сложите пары двузначных чисел вместе. Одно из двух чисел будет смоделировано для вас с помощью кубов с основанием 10. Определите, сколько кубиков вам нужно для представления второго числа, прежде чем складывать пару чисел
Решить уравнения сложения двузначных чисел с заменой и без замены путем сложения десятков и единиц по отдельности
Сложение пар из двух двузначных чисел — цель этого упражнения. . Однако числа будут разделены на десятки и единицы, чтобы вы могли добавить их отдельно, прежде чем вычислить окончательную сумму
Тема C: Монеты и их номиналы
Учащиеся изучают орел и решку монеты пенни, никеля, десятицентовой монеты и четвертака. Они узнают ценность каждой монеты, как считать их коллекцию и как считать смешанную коллекцию монет. Учащиеся сопоставляют изображение монеты, имя и номинал.
Определите монету и ее стоимость.
Изучите внешний вид обеих сторон монеты. Поймите его стоимость как один цент и рассчитайте общую стоимость до 6 пенни
Определите десятицентовую монету и ее стоимость
Исследуйте внешний вид монеты с обеих сторон. Поймите ее стоимость как десять центов и рассчитайте общую стоимость до 6 десятицентовиков
Сопоставьте пенни или десятицентовую монету с ее названием, внешним видом и стоимостью
Выберите название монеты, изображение и достоинство, которые все представляют десятицентовую монету или пенни
Определить общую стоимость набора десятицентовиков и пенни
При заданном наборе десятицентовиков и пенни введите общую стоимость
Обмен одной десятицентовой монеты на десять пенни
Считай и меняй пенни на десять центов. Используйте пенни и десятицентовики, чтобы показать в общей сложности 12 центов двумя разными способами.
Определите монету и ее стоимость
Изучите внешний вид обеих сторон монеты. Поймите ее стоимость как пять центов и рассчитайте общую стоимость до 6 пятицентовых монет
Сопоставьте пенни, пятицентовую монету или десятицентовую монету с ее названием, внешним видом и стоимостью (Часть 1)
Определите, соответствует ли название монеты показанному изображению. Сопоставьте пенни, десять центов и пятицентовиков с их названием и номиналом 9.0003
Сопоставьте пенни, никель или десятицентовик с их названием, внешним видом и номиналом (Часть 2)
Определите, соответствует ли показанная монета заданному названию. Сопоставьте пенни, десятицентовики и пятицентовые монеты с их названием и номиналом
Определите пенни, пятицентовые монеты или десятицентовые монеты по цвету или размеру
Определите пенни, пятицентовые монеты и десятицентовые монеты из коллекции монет, даже если детали монет размыты
Обмен пенни, пятицентовика и десятицентовика
Подсчет и обмен пенни, пятицентовика и десятицентовика. Подсчитайте сумму коллекции пятаков и пенни
Показать заданную сумму, используя пятаки и пенни
Получив общее значение, выберите пятаки и пенни, чтобы получить сумму
Определите четвертак и его стоимость
Исследуйте внешний вид обеих сторон четверти. Поймите его стоимость как двадцать пять центов. Сортировка пенни, пятицентовиков, десятицентовиков и четвертаков по номиналу
Математика для первого класса: Дополнение
Первый класс — очень важный год, когда учащиеся закладывают прочный фундамент на пути к математическим знаниям. Одной из наиболее фундаментальных областей математики, которую необходимо освоить учащимся, являются основные операции. Студентам нужно МНОГО возможностей для практики, чтобы стать опытными в освоении фактов сложения. В этом занятии по математике учащиеся будут использовать различные практические математические игры и практические страницы NO PREP, чтобы помочь достичь мастерства.
В этом разделе по математике учащиеся научатся:
*Складывать в пределах 20, чтобы решать текстовые задачи
*Решать текстовые задачи на сложение 3 чисел (сложение)
*Применять коммутативные и ассоциативные свойства сложение
*Сложение в пределах 20 и демонстрация беглости сложения в пределах 10
*Разложение и составление чисел
*Понимание значения знака равенства и истинности или ложности уравнений
*Нахождение неизвестного числа в задаче на сложение
*Используйте различные стратегии, чтобы быстрее решать математические задачи.
Развлекательный модуль «Математика для первоклассников 2» содержит 31 практический математический центр и 88 практических страниц, которые помогут научить, закрепить и освоить базовое сложение до 20 .0003
Модуль 4: Разрядное значение
Модуль 5: Геометрия
Модуль 6: Измерение
Модуль 7: Деньги
Модуль 8: Расчет времени
Модуль 9: Графики и данные
СОХРАНИТЕ $$$!
ВКЛЮЧЕНЫ ВСЕ 9 УСТАНОВОК!
ДАВАЙТЕ ПОСМОТРИМ НА МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЦЕНТРЫ ДЛЯ БЛОКА 2 В ДЕЙСТВИИ…
ЦЕНТР НОМЕР 1: ДОБАВЛЕНИЕ СУММ КЛИП КАРТОЧКИ
Прочтите каждую дополнительную задачу Если сумма проблемы совпадает с суммой в середине карточки, обрежьте ее.
ЦЕНТР НОМЕР 2: ДОБАВЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЯ И ГРАФИКА
Вращение спиннера. Решите задачу и нарисуйте сумму.
ЦЕНТР НОМЕР 3: БРОСИТЬ, ДОБАВИТЬ И НАКРЫТЬ
Бросьте кубик. Решите задачу на сложение в ряду выпавшего числа. Запишите ответ в протокольный лист.
ЦЕНТР НОМЕРА 4: ОБВЕДИТЕ СУММЫ
Обведите числа, которые в сумме дают указанную сумму. Раскрась звездочку для каждого найденного набора. Напишите числовое предложение.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ЦИФРА 5: СДЕЛАЙТЕ 10 И ДОБАВЬТЕ
Посмотрите на первую цифру. Решите, какое число нужно прибавить, чтобы получилось 10, и запишите его в первый пузырь. Затем завершите числовое соединение. Заполните уравнение, используя новые числа.
ЦЕНТР НОМЕР 6: Я ШПИОН ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ФАКТЫ
Используя увеличительное стекло, найдите дополнительные факты на картинке. Решите задачи и запишите.
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НОМЕР 7: ДОПОЛНЕНИЕ ДО 20
Переверните карту. Используйте данные манипуляторы, чтобы решить задачу на сложение.
ЦЕНТР НОМЕР 8: СУММЫ МОРОЖЕНОГО
Решите задачи на шариках мороженого и рассортируйте их по правильным конусам мороженого.
ЦЕНТР НОМЕР 9: СЛОЖЕНИЕ КРЕСТИКИ-НОЛИКИ
По очереди с другом решайте задачи на сложение. Каждый игрок использует свой цвет, чтобы написать ответы. Выигрывает тот, кто первым наберет три подряд.
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НОМЕР 10: ГОЛОВОЛОМКИ С КАРАНДАШАМИ
Сопоставьте задачу с суммой, чтобы решить головоломку с карандашом.
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НОМЕР 11: ФАКТЫ
Вращайте оба спиннера. Сложите числа и запишите математический факт. Затем напишите флип-флоп факт.
ЦЕНТР НОМЕР 12: ДОМИНО ФАКТЫ
Выберите домино. Запишите задачу на сложение. Поменяйте местами числа, чтобы показать свойство коммутативности.
ЦЕНТР НОМЕР 13: ДЕСЯТЬ ПЛЮС ВАШ ВРАЩАТЕЛЬ
Вращайте спиннер. Добавьте десять к числу, которое вы раскрутили. Закройте сумму на доске.
ЦЕНТР НОМЕР 14: ДВОЙНАЯ ИГРА
Играйте с несколькими игроками. По очереди бросайте кубик. Переместите свою игровую фишку на количество делений в вашем броске. Решите задачу на сложение. Если вы ответили правильно, закрасьте место маркером. Если вы ошиблись, оставьте поле пустым.
ЦЕНТР НОМЕР 15: ДУБЛЫ ПЛЮС 1 НАСТОЛЬНАЯ ИГРА
Играйте с несколькими игроками. По очереди бросайте кости. Переместите свою игровую фишку на количество делений в вашем броске. Решите задачу на сложение. Если вы ответили правильно, закрасьте место маркером. Если вы ответили неправильно, оставьте поле пустым.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ЦИФРА 16: ПАРЫ ПО ДЕСЯТКАМ И БОЛЬШЕ
Найдите на полоске два числа, которые в сумме дают десять. Обведите числа. Затем добавьте третью цифру. Запишите свой ответ в регистрационном листе.
Напишите число, которое нужно прибавить к верхнему числу, чтобы получилось 10. Сложите числа. Запишите свой ответ в регистрационном листе.
ЦЕНТР НОМЕР 18: ДОМИНО: НАЙТИ РАВНОЕ
Выбери домино. Добавьте точки. Найдите другую костяшку домино с такой же суммой. Запишите оба уравнения в регистрационный лист.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ НОМЕР 19: УРАВНЕНИЯ — ИСТИНА ИЛИ ЛОЖЬ
Определите, верны или нет уравнения сложения. Отсортируйте их по правильной карточке. Запишите свои ответы в регистрационном листе.
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НОМЕР 20: ЗАПОМНИТЕ-СООТВЕТИТЕ СУММУ
Положите все карты лицевой стороной вниз. Игроки по очереди переворачивают по две карты. Если суммы карт совпадают, игрок получает обе карты. Запишите эквивалентные уравнения на листе для записей.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ НОМЕР 21: УРАВНЕНИЯ БАЛАНСИРОВКИ
Найдите две задачи на сложение, которые имеют одинаковую сумму для балансировки на шкале. Поместите их на весы и запишите уравнения на листе для записей.
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НОМЕР 22: DUBLES PLUS 1
Каждый из двух игроков переворачивает карту и закрывает соответствующее число на игровом поле. Продолжайте, пока доска не будет заполнена.
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НОМЕР 23: ДУБЛЫ ПЛЮС 2
Каждый из двух игроков переворачивает карту и закрывает соответствующее число на игровом поле. Продолжайте, пока доска не будет заполнена.
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НОМЕР 24: СРАВНИТЕ СУММЫ С 10
Переверните карточку. Добавьте числа. Решите, будет ли сумма меньше, больше или равна 10. Рассортируйте карты на коврике.
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НОМЕР 25: ДОПОЛНЕНИЕ ДЛЯ БОУЛИНГА
Бросьте два кубика и сложите их. Вычеркните 1 или 2 кегли, сумма которых равна вашему броску. Продолжайте играть, пока не сможете устранить сумму. Запишите свой окончательный счет на шаре для боулинга. Идеальный результат равен 0.
Сосчитайте количество пепперони. Добавьте число в углу. Найдите соответствующее уравнение.
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НОМЕР 28: ДОМИНО ФАКТЫ
Выберите домино из стопки. На листе для записей нарисуйте точки. Напишите семью фактов для домино.
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НОМЕР 29: ВРАЩАЙТЕ И ДОБАВЬТЕ 3 ЧИСЛА
Вращайте спиннер. Напишите число в поле. Сложите три числа вместе.
ЦЕНТР НОМЕР 30: ЗАДАЧИ 3 ДОПОЛНЕНИЯ
Выберите 4 задачи из стопки. Покажите, как вы их решили, на листе для записи.
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НОМЕР 31: ЗАДАЧИ С ОТСУТСТВУЮЩИМИ ДОБАВЛЕНИЯМИ
Выберите 4 задачи со словами из стопки. Покажите, как вы их решили, на листе для записи.
В БЛОК 2 НЕ ВКЛЮЧЕНО 88 СТРАНИЦ ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ ПРАКТИК
К каждой странице прилагается стандарт уровня обучения, чтобы вы ТОЧНО знали, что изучаете! Вы можете быть уверены, что ВСЕ стандарты для первого класса соблюдаются!
Давайте взглянем на некоторые страницы NO PREP «в действии»…
HOW DO I ORGANIZE THE UNITS?
Я решил хранить математические центры в контейнерах Sterilite, потому что они не занимают слишком много места.
Данный тест предназначен для определения знания предмета «Алгебра» за курс 9 класса.
Векторы. Метод координат.
24.12.201728050
.
Текстовые задачи на проценты (с десятичными дробями)
19.09.202014200
Задачи для закрепления материала по теме «Проценты». В тест случайным образом выбираются 5 задач из общей базы задач по теме. За каждое верно выполненное задание начисляется 1 балл. По окончании теста сразу видны результат и оценка. Критерии: «3» — 3 балла, «4» — 4 балла, «5» — 5 баллов.
Тест по теме «Неравенства и их системы»
30.09.201621775
Данный тест предназначен для контроля знаний обучающихся 9 класса по теме «Неравенства, системы неравенств», данная тема актуальна, так как встречается в ОГЭ. Тест имеет задания как с выбором вариантов ответа, так и ввод числа, а также ввод текста. Есть задания на определения, и есть задания на решения задачи.
Итоговый тест по алгебре для 9 класса.
30.05.2020667
Тест предназначен для учащихся 9-11 классов для проверки уровня подготовки к ОГЭ по алгебре. В тесте 10 задач из Открытого банка задач ОГЭ .
Тест по теме «Векторы»
17.09.20168803
Данный тест предназначен для контроля знаний обучающихся 9 класса по теме «Векторы». Тест имеет задания как с выбором вариантов ответа, так и ввод числа, а также ввод текста. Есть задания на определения, и есть задания на решения задачи.
Арифметическая и геометрическая прогрессии
14.12.201546270
Данный тест состоит из 10 заданий. Задания предназначены для отработки умений и навыков учащихся составлять арифметические и геометрические прогрессии по заданным условиям находить неизвестные члены прогрессии, используя определение арифметической и геометрической прогрессий; находить неизвестные величины, используя формулы n-го члена и характеристическое свойство прогрессии.
ГЕОМЕТРИЯ выбор верных утверждений 9 класс
11.04.202197410
Тест содержит 35 заданий. Задания в тест выбираются случайным образом из общей базы заданий. Критерии: «3» 50-69%, «4» 70-90%, «5» 91-100%. Оценка выставляется сразу после прохождения теста.
Данный тест предназначен для учащихся 9 классов. Состоит из 25 вопросов базового уровня. Лучше тестировать учащихся в конце учебного года, при повторении изученного материала.
Данный тест предназначен для учащихся 9 классов. Состоит из 25 вопросов базового уровня. Лучше тестировать учащихся в конце учебного года, при повторении изученного материала.
Математическая грамотность
23.02.2022949
PISA — тест оценивающий функциональную грамотность школьников в разных странах мира и умение применять знания на практике. Проходит раз в три года. В тесте участвуют подростки в возрасте 15 лет.
Графики функций, 9 класс (задание 11, ОГЭ)
07.05.202082260
Тестовая работа по теме «Графики функций». Задания в формате ОГЭ (задание № 11), где предлагается установить соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают
Пробный ОГЭ №1
25. 10.202011886
Тест составлен из 19 заданий первой части ОГЭ по математике. Предназачен для подготовки к экзамену. Перед выполением внимательно читайте задания!
Контрольная работа по теме: «Функции и их свойства, квадратный трехчлен»
23.10.20161280
Контрольная работа состоит из 5 заданий. Работа позволит проанализировать ошибки учащихся, выработать умения, навыки исследования функции и построения графика.Умение анализировать, обобщать свои знания, применять свои знания при решении заданий;
Данный тест предназначен для учащихся 9 классов. Состоит из 25 вопросов базового уровня. Лучше тестировать учащихся в конце учебного года, при повторении изученного материала.
Задачи на движение
29.07.20139666
Тестовые задания по теме «Задачи на движение» с выбором одного правильного ответа из пяти предложенных.
9 класс. Теория вероятностей на ОГЭ
03.03.202143230
Тест составлен из задач открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ, раздел «Статистика и теория вероятностей», предназначен для подготовки к ОГЭ. 7 заданий (каждое генерируется в 6 вариантах). Время прохождения — 20 минут.
Квадратный корень
20.01.201822752
проверить знания учащихся по данной теме. Эта тема является основной темой при погдгогтовке к огэ и егэ
Задания 1-5 ОГЭ «План квартиры»
01.01.202136330
Тест содержит 5 заданий, которые выбираются случайным образом из общей базы заданий. Критерии: «3» — 3 балла, «4» — 4 балла, «5» — 5 баллов. Оценка выставляется сразу после прохождения теста.
Задания 1-5 ОГЭ «Бумага»
04. 01.202159380
Тест содержит 5 заданий, которые выбираются случайным образом из общей базы заданий. Критерии: «3» — 3 балла, «4» — 4 балла, «5» — 5 баллов. Оценка выставляется сразу после прохождения теста.
Тест по математике 9 класс
22.03.20209459
Тест по математике. 9 класс. В тесте 5 вопросов. В каждом вопросе только один правильный вариант ответа.
Вычисление процентов от числа (50, 100, 150, 200, 300)
19.09.202014050
Тренировка на вычисление процентов от заданного числа (50, 100, 150, 200 и 300). В тесте 11 заданий, которые выбираются случайным образом из общей базы — 100 заданий. Оценка «5» — за 91-100%, «4» — за 70-90%, «3» — за 50-69% верных ответов.
Декартові координати на площині. 9 клас
21.12.20156020
Тест на перевірку знань учнів з теми «Декартові координати на площині»
Тест по математике
02.11.20166151
Тест по математике за курс 8-го класса
9 класс.
Алгебра
21.11.20178761
Тест составлен в соответствии с моделью ОГЭ 2018 года по математике, модуль «Алгебра» (1 часть). Он позволит вам оценить собственный уровень подготовки по алгебре к сдаче экзамена, выявить возможные пробелы, которые необходимо устранить.
9 класс. Рациональные неравенства.
06.12.202011530
Контрорльный тест по алгебре, 9 класс по теме «Рациональные неравенства». Содержит 8 заданий.
Геометрическая прогрессия. Вариант 1.
11.02.201536050
Тест предназначен для учащихся 9 класса при изучении темы «Прогрессии».
Тест по геометрии для 9 класса по теме «Векторы на плоскости»
29.09.2015255
Тест по геометрии для учащих 9 класса по теме «Векторы на плоскости». Вопросы теста предполагают как выбор из вариантов, так и ввод ответов. Автор — Овсянникова Т.Л.
Арифметическая прогрессия
13.12.201554170
Задания предназначены для отработки умений и навыков учащихся составлять арифметические прогрессии по заданным условиям находить неизвестные члены прогрессии, используя определение арифметической прогрессии; находить неизвестные величины, используя формулы n-го члена и характеристическое свойство арифметической прогрессии.
ОГЭ. Модуль «Алгебра». Вариант № 1
02.11.201659460
ОГЭ. Модуль «Алгебра», часть 1, задания 1-8. Вариант № 1
Четырехугольники Часть 1
03.06.20171224
В тесты содержатся вопросы по основному теоретическому материалу геометрии за 7-9 класс
Алгебра 9 класс, Часть 1
04.06.201711785
Тест предназначен для закрепления материала по алгебре 7-9 класса и для повышения общего уровня эрудиции
ОГЭ по математике (демонстрационный вариант).
Образец
07.05.20203130
В тесте использованы задания 1 части демонстрационного варианта основного государственного экзамена
Итоговый тест по предмету электротехника и электроника
05.06.2020721
Итоговый тест для студентов 2 курса по специальности «Эксплуатация и ремонт сельскохозяйственной техники и оборудования»
Счет «Действия с целыми числами»
03.10.202023890
Задания на арифметические действия с целыми числами. В тесте 20 заданий на сложение, вычитание, умножение и деление целых чисел.
Функции и их свойства
12.11.2020110
Тест предназначен для текущего и тематического контроля по математике. Основная задача- отработка практических навыков учащихся для подготовки к ОГЭ.
Виды движения: центральная и осевая симметрии, поворот, параллельный перенос, гомотетия
22.11.20208540
Вам предложены задания, для выполнения которых необходимо кликнуть мышью на кнопку правильного ответа. По окончании работы появится итоговый слайд, где ученик сможет увидеть свои результаты: количество ошибок (если были), оценку и время, за которое была выполнена работа.
ОГЭ Задания № 1-5. Печки
11.12.202025430
Тест содержит задачи о печках (№ 1-5 ОГЭ 2021). Генерируется 2 варианта. Время на прохождение – 20 минут.
Задачи на работу
26.07.201317500
Тематический тест содержит 10 заданий с выбором одного правильного ответа из пяти предложенных по теме «Задачи на работу». Цель: проверка усвоения программного материала по теме, своевременная ликвидация пробелов в знаниях.
Вспомним первый класс
18. 12.201322377
Вспомним первый класс. Такие простые были примеры, но если оно так и есть, тогда сейчас проверим. Начнем?
Способы решения квадратных уравнений
21.02.20142606
Данный тест предназначен для того, чтобы выявить, насколько ученик хорошо разбирается в способах решения квадратных уравнений. Рекомендуется для классов с математическим уклоном или для ребят, увлекающихся математикой и занимающихся ею дополнительно.
Геометрическая прогрессия. Вариант 2.
11.02.20156650
Тест предназначен для учащихся 9 класса при изучении темы «Прогрессии».
(RU) 9 класс — итоговый по стандартной программе (TJ) Cинфи 9 ҷамбасти, мактаби оддӣ.
13.06.201532430
(RU) Тест предназначен для выпускников девятого класса стандартной общеобразовательной средней школы.
(TJ) Барои талабои ки синфи 9-и мактаби оддиро хатм намуданд.
ОГЭ (ГИА) 2016 Математика Демонстрационный вариант Модуль «Алгебра»
27.08.201512360
При ознакомлении с демонстрационным вариантом следует иметь в виду, что включённые в него задания не отражают всех элементов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в 2016 году. Данный тест представляет собой модуль «Алгебра»: один из трех модулей ГИА по математике.
ОГЭ (ГИА) 2016 Математика Демонстрационный вариант Модуль «Геометрия»
27.08.201515221
При ознакомлении с демонстрационным вариантом следует иметь в виду, что включённые в него задания не отражают всех элементов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в 2016 году. Данный тест представляет собой модуль «Геометрия»: один из трех модулей ГИА по математике.
ОГЭ (ГИА) 2016 Математика Демонстрационный вариант Модуль «Реальная математика»
27.08.201520932
При ознакомлении с демонстрационным вариантом следует иметь в виду, что включённые в него задания не отражают всех элементов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в 2016 году. Данный тест представляет собой модуль «Реальная математика»: один из трех модулей ГИА по математике.
Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии.
13.12.201511890
Данный тест состоит из 5 заданий. задания предназначены для отработки умений и навыков учащихся составлять арифметические прогрессии по заданным условиям находить неизвестные члены прогрессии, используя определение арифметической прогрессии; находить неизвестные величины, используя формулы n-го члена и характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия. Задачи.
13. 12.20154000
Тест по алгебре 9 класса по теме «Арифметическая прогрессия» содержит 10 заданий. Задания теста проверяют все знания и навыки по теме «Арифметическая прогрессия», поэтому тест можно использовать для итоговой проверки. Задания теста рассчитаны на проверку умения учеников применять полученные знания и навыки в нестандартных ситуациях.
ОГЭ. Модуль «Геометрия». Вариант № 1
29.10.20163363
ОГЭ. Модуль «Геометрия», часть 1, задания 9 — 13. Вариант № 1
ОГЭ. Модуль «Геометрия». Вариант № 2
29.10.201660420
ОГЭ. Модуль «Геометрия», часть 1, задания 9 — 13. Вариант № 2
ОГЭ. Модуль «Геометрия». Вариант № 3
30.10.201637390
ОГЭ. Модуль «Геометрия», часть 1, задания 9 — 13. Вариант № 3
ОГЭ. Модуль «Геометрия». Вариант № 4
30.10.20169450
ОГЭ. Модуль «Геометрия», часть 1, задания 9 — 13. Вариант № 4
ОГЭ. Модуль «Геометрия». Вариант № 5
30.10.201610260
ОГЭ. Модуль «Геометрия», часть 1, задания 9 — 13. Вариант № 5
ОГЭ. Модуль «Геометрия». Вариант № 6
30.10.20166110
ОГЭ. Модуль «Геометрия», часть 1, задания 9 — 13. Вариант № 6
ОГЭ. Модуль «Алгебра». Вариант № 2
03.11.20169260
ОГЭ. Модуль «Алгебра», часть 1, задания 1-8. Вариант № 2
Квадратичная функция
06.11.201650910
Данный тест предназначен для контроля знаний по теме «Квадратичная функция». Некоторые задания встречаются в ОГЭ. Для успешного выполнения теста необходимо набрать не менее 8 баллов.
ОГЭ. Модуль «Алгебра». Вариант № 3
19.11.20169550
ОГЭ. Модуль «Алгебра», часть 1, задания 1-8. Вариант № 3
ОГЭ- 2017 Математика. Вариант 3. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
ОГЭ- 2017 Математика. Вариант 4. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
16.02.20173750
ОГЭ- 2017 Математика. Вариант 4. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
ОГЭ- 2017 Математика. Вариант 5. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
17.02.20176160
ОГЭ- 2017 Математика. Вариант 5. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
ОГЭ- 2017 Математика. Вариант 6. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
17.02.20172320
ОГЭ- 2017 Математика. Вариант 6. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
ОГЭ- 2017 Математика.
Вариант 7. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
17.02.2017870
ОГЭ- 2017 Математика. Вариант 7. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
ОГЭ- 2017 Математика. Вариант 8. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
18.02.20171590
ОГЭ- 2017 Математика. Вариант 8. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
ОГЭ- 2017 Математика. Вариант 9. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
18.02.20172190
ОГЭ- 2017 Математика. Вариант 9. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
ОГЭ- 2017 Математика. Вариант 10. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
18.02.20171180
ОГЭ- 2017 Математика. Вариант 10. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
ОГЭ- 2017 Математика. Вариант 11. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
19.02.20171660
ОГЭ- 2017 Математика. Вариант 11. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
ОГЭ- 2017 Математика.
Вариант 12. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
19.02.20171030
ОГЭ- 2017 Математика. Вариант 12. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
Чтение графиков и диаграмм. ЕГЭ математика
20.05.20173400
Тест по теме: Чтение графиков и диаграмм.
ЕГЭ по математике. Задание 2.
Треугольники Часть 1
02.06.20176480
-Тест содержит вопросы по основным теоремам и формулам треугольников 7-9 класса
Арифметическая прогрессия
07. 07.20171063
Тест предназначен для проверки теоретических знаний по теме «Арифметическая прогрессия». Позволяет проверить знания учащихся, выявить пробелы, отработать практические задания,которые потом войдут в контрольную работу.
ОГЭ 2019 Математика Демонстрационный вариант 1 часть
21.10.201821140
При ознакомлении с демонстрационным вариантом следует иметь в виду, что включённые в него задания не отражают всех элементов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в 2019 году. Данный тест содержит 14 заданий модуля «Алгебра» и 6 заданий модуля «Геометрия» первой части ОГЭ. В тесте 20 заданий.
ОГЭ 2019 Математика Демонстрационный вариант.
Модуль «Геометрия»
21.10.201881510
При ознакомлении с демонстрационным вариантом следует иметь в виду, что включённые в него задания не отражают всех элементов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в 2019 году. Данный тест представляет собой модуль «Геометрия».
ОГЭ 2019 Математика Демонстрационный вариант. Модуль «Алгебра»
21.10.201837740
При ознакомлении с демонстрационным вариантом следует иметь в виду, что включённые в него задания не отражают всех элементов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в 2019 году. Данный тест представляет собой модуль «Алгебра»: один из двух модулей ОГЭ по математике. Модуль «Алгебра» содержит четырнадцать заданий части первой.
Занимательная математика
17.02.20194336
Тест предназначен для учащихся 5-11 классов, интересующихся математикой и занимательными задачами
Олімпіада з математики для учнів 9-11 класів
02.07.2019310
Завдання олімпіади з математики охоплюють знання учнів, які здобули в 9-11 класах
Подготовка к ОГЭ
09. 02.202016360
Тест состоит из 15 заданий и включает модули Алгебра и Геометрия. Желаем удачи!
ОГЭ математика 1 часть 2020
12.04.20202500
В тесте предствалены задания первой части ОГЭ по математике 2020 для учащихся 9 классов.
ОГЭ математика (№2)
15.04.20203860
Вариант ОГЭ математика 2020 год. Содержит 25 демонстрационных вариантов из сборника подготовки к ОГЭ.
ОГЭ математика (№3)
04. 05.2020530
Работа предназанчина для подготовки к ОГЭ по математике 2020. Всего заданий 26, из них: с кратким ответом — 20; заданий с развёрнутым ответом — 6. Заданий базового уровня сложности 20, повышенного — 4, высокого — 2. Максимальное количество баллов — 30.
ОГЭ по математике
05.05.20203274
Тест создан на основании досрочного экзамена в 2020 году. Содержит 20 вопросов (1 часть).
ОГЭ математика №4
11.05.2020170
Работа предназанчина для подготовки к ОГЭ по математике 2020. Всего заданий 26, из них: с кратким ответом — 20; заданий с развёрнутым ответом — 6. Заданий базового уровня сложности 20, повышенного — 4, высокого — 2. Максимальное количество баллов — 30.
Арифметическая прогрессия
15.05.2020670
Тест создан для определения уровня усвоения знаний по теме «Арифметическая прогрессия».
ОГЭ математика (№5)
21.05.2020810
Работа предназанчина для подготовки к ОГЭ по математике 2020. Всего заданий 26, из них: с кратким ответом — 20; заданий с развёрнутым ответом — 6. Заданий базового уровня сложности 20, повышенного — 4, высокого — 2. Максимальное количество баллов — 30.
Тест по алгебре. Подготовка к ОГЭ.
31.05.20204150
Тест предназначен для учащихся 9-11 классов для проверки уровня подготовки к ОГЭ по алгебре. В тесте 11 задач из Открытого банка задач ОГЭ .
Д/З по алгебре 7 класс. Урок 1
11.08.20204910
домашнее задание по алгебре для 7-8 класса. Внимательно читай условие задание прежде чем его выполнить.
Линейная и квадратичная функция
25. 12.20201680
В тест входят: квадратные и линейные уравнения, задания на сопоставление функций и их графиков, задания на нахождение х вершины параболы, задание на нахождение нулей функции.
Задания 1-5 ОГЭ «Маршрут»
01.01.202116340
Тест содержит 5 заданий, которые выбираются случайным образом из общей базы заданий. Критерии: «3» — 3 балла, «4» — 4 балла, «5» — 5 баллов. Оценка выставляется сразу после прохождения теста.
Пробный ОГЭ. Вариант 1
03.01.20213280
На прохождение теста дано 90 мин. Оцениватся будет по баллам как в ОГЭ.
Пробный ОГЭ. Вариант 2.
03.01.20211550
На прохождение теста дано 90 мин. Оцениватся будет по баллам как в ОГЭ.
Пробный ОГЭ. Вариант 3
05.01.2021630
На прохождение теста дано 90 мин. Оцениватся будет по баллам как в ОГЭ.
Тест по математике для учеников 9 класса. Онлайн — тест по математике (9 класс). Онлайн
Предлагаемый тест предназначен для девятиклассников и позволяет проверить базовые знания учащихся по алгебре и геометрии. Для успешного решения теста не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы по математике для 9 класса.
Вам будет предложено 20 вопросов различной сложности. Каждый правильный ответ приносит 1 балл. Максимальная оценка за выполнение теста равна 20.
Постарайтесь затратить на решение предложенного варианта не более 120 минут. Не используйте в процессе работы микрокалькулятор, учебники, справочную литературу.
Ответом к заданию в большинстве случаев является целое число или конечная десятичная дробь. Не пишите в ответе размерности величин, не забывайте переводить обыкновенные дроби в десятичные! В качестве разделителя разрядов используйте запятую, а не точку!
Если ваш результат превысит 16 баллов, можете быть уверены: вы заслуживаете оценки «отлично». Если вы наберете 12-16 баллов, это можно считать хорошим итогом.
А вот в случае, если ваша оценка будет ниже 7 баллов, ситуация плачевная! Вы плохо знакомы со школьным курсом математики, причем речь идет не только о программе 9 класса, но и о существенных пробелах за 5-8 классы. И неважно, что в школе вы имеете оценку «хорошо» по алгебре и геометрии. К сожалению, часто школьные оценки бывают необъективны. Пора начинать работать! Не забывайте, что в конце этого учебного года вам предстоит сдавать ОГЭ по математике!
Успехов!
01. Вычислите без использования микрокалькулятора: (1,87 + 0,13):(5,241 — 5,239).
02. Каждый год количество автомобилей в городе Х увеличивается на 5%. Сейчас в городе Х 4000000 автомобилей. Сколько машин будет в городе через 3 года?
03. Решите уравнение (x+3)2 = (x-2)2. Если уравнение имеет несколько корней, в ответе укажите меньший из них.
04. 1 Сентября Маша решила один пример, 2 Сентября — три примера, 3 Сентября — 5 и т. д. Если данная закономерность сохранится, сколько примеров придется решить Маше 25 Сентября (того же года)?
05. Установите соответствие между формулой, задающей функцию, и описанием графика данной функции.
А) y = -3x2 + 17x — 38
1) парабола, вершина которой находится в точке N(2;5)
Б) y = x2 — 10x + 25
2) парабола, ветви которой направлены вниз
В) y = x2 — 4x + 9
3) гипербола
Г) y = 8/(x-3) + 160
4) парабола, касающаяся оси Ох
А
Б
В
Г
06. Решите неравенство: (x — 3)(x2 — 49) > 0. В ответе укажите количество целых решений данного неравенства, лежащих в интервале (1;10).
07. Периметр прямоугольного участка земли равен 100 м, а его площадь — 600 м2. {140} }
12. Отметьте верные утверждения (ответов может быть несколько).
Диагональ квадрата со стороной 5 выражается рациональным числом.
При умножении рационального числа на иррациональное не может получиться целый результат.
Между двумя неравными числами можно поместить бесконечное количество рациональных чисел.
Квадратный корень из натурального числа может быть лишь целым или иррациональным числом.
13. Два игральных кубика подброшены одновременно. Какова вероятность того, что суммарное количество очков, выпавшее на двух кубиках, не превысит 3?
14. Найдите те значения р, при которых уравнение | 3x2 -12x +10 | — p = 0 имеет ровно 3 корня. Если таких значений будет несколько, в ответе укажите наибольшее из них.
15. Вычислите площадь ромба, если сумма длин его диагоналей равна 15 и одна из них в 2 раза больше другой.
16. Найдите длину вектора АВ, если известны координаты точек А и В: A(124;761), B(127;765).
17. Стороны параллелограмма равны 6 см и 8 см, а угол между ними составляет 120о. Найдите меньшую диагональ параллелограмма. Ответ округлите до сотых.
18. Длина окружности равна 20 π. Найдите высоту правильного треугольника, вписанного в эту окружность.
19. Отметьте верные утверждения (ответов может быть несколько).
Если сторону квадрата увеличить в 10 раз, его площадь увеличится в 20 раз.
Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами 5, 12 и 13, лежит на середине одной из сторон этого треугольника.
Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, в два раза больше его стороны.
20. Сплав №1 содержит 30% золота по массе, сплав №2 — 70% золота. Сплавы соединили в отношении 2:3 (по массе) и получили 7.6 кг нового сплава №3. Сколько кг чистого золота следует добавить к образцу №3, чтобы получить сплав, содержащий 62% золота?
Возможно, вас заинтересуют следующие онлайн-тесты по математике:
Тест по математике для 7 класса
ЕГЭ по математике — пробный тест (повышенный уровень)
ЕГЭ по математике — пробный тест № 1 (базовый уровень)
ЕГЭ по математике — пробный тест № 2 (базовый уровень)
ОГЭ по математике — пробный тест № 1
Онлайн тесты ОГЭ Математика
Previous
Next
Выберите вариант теста ОГЭ или Режим тренировки
Варианты 2020
Варианты 2019
Варианты 2018
Варианты 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Режим тренировки 1Поиск объекта
2
Простейшие тестовые задачи
3
Прикладная геометрия: площадь
4
Прикладная геометрия: расстояния
5
Выбор оптимального варианта
6
Числа и вычисления
7
Числовые неравенства, координатная прямая
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
9
Уравнения, неравенства и их системы
10
Статистика, вероятности
11
Графики функций
12
Арифметические и геометрические прогрессии
13
Алгебраические выражения
14
Расчеты по формулам
15
Уравнения, неравенства и их системы
16
Треугольники, четырёхугольники, многоугольники и их элементы
17
Окружность, круг и их элементы
18
Площади фигур
19
Фигуры на квадратной решётке
20
Анализ геометрических высказываний
21
(C1). Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы
22
(C2). Текстовые задачи
23
(C3). Функции и их свойства. Графики функций
24
(C4). Геометрическая задача на вычисление
25
(C5). Геометрическая задача на доказательство
26
(C6). Геометрическая задача повышенной сложности
Варианты 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Режим тренировки 1Числа и вычисления
2
Анализ диаграмм, таблиц, графиков
3
Числовые неравенства, координатная прямая
4
Числа, вычисления и алгебраические выражения
5
Анализ диаграмм, таблиц, графиков
6
Уравнения, неравенства и их системы
7
Простейшие текстовые задачи
8
Анализ диаграмм
9
Статистика, вероятности
10
Графики функций
11
Арифметические и геометрические прогрессии
12
Алгебраические выражения
13
Расчеты по формулам
14
Уравнения, неравенства и их системы
15
Практические задачи по геометрии
16
Треугольники, четырёхугольники, многоугольники и их элементы
17
Окружность, круг и их элементы
18
Площади фигур
19
Фигуры на квадратной решётке
20
Анализ геометрических высказываний
21
Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы
22
Текстовые задачи
23
Функции и их свойства. Графики функций
24
Геометрическая задача на вычисление
25
Геометрическая задача на доказательство
26
Геометрическая задача повышенной сложности
Варианты 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Режим тренировки 1Числа и вычисления
2
Числовые неравенства, координатная прямая
3
Числа, вычисления и алгебраические выражения
4
Уравнения, неравенства и их системы
5
Анализ диаграмм, таблиц, графиков
6
Арифметические и геометрические прогрессии
7
Алгебраические выражения
8
Неравенства
9
Треугольники и их элементы
10
Окружность, круг и их элементы
11
Треугольники, четырёхугольники, многоугольники и их элементы
12
Практические задачи по геометрии
13
Анализ геометрических высказываний
14
Анализ диаграмм, таблиц, графиков
15
Анализ диаграмм, таблиц, графиков
16
Текстовые задачи
17
Геометрическая задача на вычисление
18
Анализ диаграмм
19
Статистика, вероятности
20
Анализ геометрических высказываний
21
Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы
22
Текстовые задачи
23
Функции и их свойства. Графики функций
24
Геометрическая задача на вычисление
25
Геометрическая задача на доказательство
26
Геометрическая задача повышенной сложности
Email:
Фамилия:
Имя Отчество:
Пароль:
Повторите пароль:
Телефон:
Я регистрируюсь как: ученик
учитель
Зарегистрироваться через VK
Онлайн тесты по алгебре (математике) для подготовки к ОГЭ 2018-2019 учебного года с ответами
ОГЭ 2019 по математике (ГИА-9). Вариант 23 (с проверкой ответа)
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2019-го года состоит из двух модулей: «Алгебра» и «Геометрия». Каждый модуль состоит из двух частей, соответствующих проверке на базовом и повышенном уровнях. Части 2 модулей «Алгебра» и «Геометрия» направлены на проверку владения материалом на повышенном уровне, они содержат сложные задачи, которые не поддаются тестовой оценке, так как проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди них согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако, для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru предлагает по нескольку вариантов ответа для каждой из задач. Естественно, для задач, в которых варианты ответа составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМ) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться на экзамене.
ОГЭ 2019 по математике (ГИА-9). Вариант 22 (с проверкой ответа)
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2019-го года состоит из двух модулей: «Алгебра» и «Геометрия». Каждый модуль состоит из двух частей, соответствующих проверке на базовом и повышенном уровнях. Части 2 модулей «Алгебра» и «Геометрия» направлены на проверку владения материалом на повышенном уровне, они содержат сложные задачи, которые не поддаются тестовой оценке, так как проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди них согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако, для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru предлагает по нескольку вариантов ответа для каждой из задач. Естественно, для задач, в которых варианты ответа составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМ) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться на экзамене.
ОГЭ 2019 по математике (ГИА-9). Вариант 21 (с проверкой ответа)
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2019-го года состоит из двух модулей: «Алгебра» и «Геометрия». Каждый модуль состоит из двух частей, соответствующих проверке на базовом и повышенном уровнях. Части 2 модулей «Алгебра» и «Геометрия» направлены на проверку владения материалом на повышенном уровне, они содержат сложные задачи, которые не поддаются тестовой оценке, так как проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди них согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако, для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru предлагает по нескольку вариантов ответа для каждой из задач. Естественно, для задач, в которых варианты ответа составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМ) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться на экзамене.
ОГЭ 2018 по математике (ГИА-9). Вариант 20 (с проверкой ответа)
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2018-го года состоит из двух модулей: «Алгебра» и «Геометрия». Каждый модуль состоит из двух частей, соответствующих проверке на базовом и повышенном уровнях. Части 2 модулей «Алгебра» и «Геометрия» направлены на проверку владения материалом на повышенном уровне, они содержат сложные задачи, которые не поддаются тестовой оценке, так как проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди них согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако, для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru предлагает по нескольку вариантов ответа для каждой из задач. Естественно, для задач, в которых варианты ответа составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМ) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться на экзамене.
ОГЭ 2018 по математике (ГИА-9). Вариант 19 (с проверкой ответа)
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2018-го года состоит из двух модулей: «Алгебра» и «Геометрия». Каждый модуль состоит из двух частей, соответствующих проверке на базовом и повышенном уровнях. Части 2 модулей «Алгебра» и «Геометрия» направлены на проверку владения материалом на повышенном уровне, они содержат сложные задачи, которые не поддаются тестовой оценке, так как проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди них согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако, для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru предлагает по нескольку вариантов ответа для каждой из задач. Естественно, для задач, в которых варианты ответа составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМ) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться на экзамене.
ОГЭ 2018 по математике (ГИА-9). Вариант 18 (с проверкой ответа)
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2018-го года состоит из двух модулей: «Алгебра» и «Геометрия». Каждый модуль состоит из двух частей, соответствующих проверке на базовом и повышенном уровнях. Части 2 модулей «Алгебра» и «Геометрия» направлены на проверку владения материалом на повышенном уровне, они содержат сложные задачи, которые не поддаются тестовой оценке, так как проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди них согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако, для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru предлагает по нескольку вариантов ответа для каждой из задач. Естественно, для задач, в которых варианты ответа составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМ) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться на экзамене.
ОГЭ 2017 по математике (ГИА-9). Вариант 17 (с проверкой ответа)
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2017-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.
ОГЭ 2017 по математике (ГИА-9). Вариант 16 (с проверкой ответа)
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2017-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.
ОГЭ 2017 по математике (ГИА-9). Вариант 15 (с проверкой ответа)
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2017-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.
ОГЭ 2017 по математике (ГИА-9). Вариант 14 (с проверкой ответа)
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2017-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.
ОГЭ 2017 по математике (ГИА-9). Вариант 13 (с проверкой ответа)
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2017-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.
ОГЭ 2017 по математике (ГИА-9). Вариант 12 (с проверкой ответа)
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2017-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.
ОГЭ 2016 по математике (ГИА-9). Вариант 11 (с проверкой ответа)
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2016-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.
ОГЭ 2016 по математике (ГИА-9). Вариант 10 (с проверкой ответа)
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2016-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.
ОГЭ 2016 по математике (ГИА-9). Вариант 9 (с проверкой ответа)
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2016-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.
ОГЭ 2016 по математике (ГИА-9). Вариант 8 (с проверкой ответа)
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2016-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.
ОГЭ 2016 по математике (ГИА-9). Вариант 7 (с проверкой ответа)
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2016-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.
ОГЭ 2016 по математике (ГИА-9). Вариант 6 (с проверкой ответа)
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2016-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.
ОГЭ 2016 по математике (ГИА-9). Вариант 5
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2016-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.
ОГЭ 2016 по математике (ГИА-9). Вариант 4
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2016-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.
ОГЭ 2016 по математике (ГИА-9). Вариант 3
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2016-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.
ОГЭ 2016 по математике (ГИА-9). Вариант 2
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2016-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.
ОГЭ 2016 по математике (ГИА-9). Вариант 1
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2016-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.
ОГЭ 2015 по математике (ГИА-9). Вариант 4
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2015-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.
ОГЭ 2015 по математике (ГИА-9). Вариант 3
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2015-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.
ОГЭ 2015 по математике (ГИА-9). Вариант 2
Стандартный тест ГИА формата 2014-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в четырех задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.
ОГЭ 2015 по математике (ГИА-9). Вариант 1
Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2015-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта gia-online.ru приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.
ОГЭ 2014. Вариант 2 (ГИА по математике в старой форме)
При выполнении заданий А1-А14 выберите только один правильный вариант.
ОГЭ 2014. Вариант 1 (ГИА по математике в старой форме)
При выполнении заданий А1-А16 выберите только один правильный вариант.
Онлайн олимпиада по математике 9 класс бесплатно и объективно проверяет знания всех учеников России
Чтобы стать успешным профессионалом в любимой работе, готовиться нужно со школы, год за годом совершенствуя свои знания. Подготовка важна. Чтобы правильно и объективно оценить знания, поможет участие во всероссийских и муниципальных конкурсах по математике для 9 класса. Но, к сожалению, принять участие в таких мероприятиях могут не все желающие, только лучшие по мнению учителей.
Перспективы участия в онлайн-олимпиаде по математике для 9 классов
Благодаря педагогическому порталу «Солнечный Свет» стало доступным для любого российского ученика принять участие во всероссийском состязании по математике для 9 класса. Здесь в режиме онлайн можно бесплатно приобрести навыки и опыт работы с тестовыми заданиями, которые, несомненно, пригодятся при дальнейшем поступлении в учебное заведение.
А еще можно получить подтверждение своих знаний и успехов в виде официального сертификата, отвечающего государственным требованиям. Такой документ и опыт позволят принимать участие в соревнованиях по математике для 9 классов более высоких уровней и иметь преференции при поступлении в ВУЗ.
Регистрация на платформе простая и не потребует много времени. Наши методисты тщательно подбирали материал для заданий, поэтому технология оценивания заданий объективная. Главная задача интернет-портала — подготовка участника к экзаменам, помощь в поиске пробелов в образовании по математике для 9 класса.
Как стать участником олимпиады
Олимпиады в режиме онлайн — это самый удобный дистанционный формат для быстрого и объективного тестирования знаний по математике 9 класс. Кроме того, состязательный характер олимпиадных заданий мотивирует школьников серьезно относиться к обучению и постоянно совершенствоваться, стремясь к победе.
Чтобы пройти олимпиадные задания по математике для 9 класса, нужно сделать простую и быструю регистрацию. Затем выбрать свой раздел и предмет, например, математика 9 класс. После того, как запустится тест по математике 9 класс, ученик в режиме онлайн получает вопросы, на которые он отвечает, записывая ответ или выбирая правильный вариант из числа предложенных.
Время на обдумывание не ограничено, поэтому школьник 9 класса может спокойно сосредоточиться на выполнении олимпиадного задания. После завершения тестирования не нужно ждать долго результат, он сразу же просчитывается автоматически, ученик может увидеть и проанализировать свои ошибки, если балл низкий. Это дает понимание, в каких разделах за 9 класс нужно совершенствовать свои знания, чтобы в дальнейшем улучшить результат. Оценивание знаний 9 класса проходит согласно требованиям законодательства в соответствии со школьной программой и нормам ФГОС. Онлайн-олимпиады по математике для 9 класса бесплатны, в них можно дистанционно участвовать как индивидуально, так и целым классом.
Как получить сертификат
Если оценки недостаточно хороши, то можно лучше подготовиться и снова пройти бесплатные тесты онлайн. Это можно делать до тех пор, пока количество баллов вас полностью не удовлетворит. Если вы хотите засвидетельствовать успешные знания в виде официального документа, то можно заказать диплом и скачать в электронном виде. Вариант документа можно выбрать по своему усмотрению в личном кабинете. Процедура получения аттестата очень простая, а полная информация есть в соответствующем разделе. Выбрав понравившийся экземпляр, вы оплачиваете символическую стоимость этой услуги. Документ будет доставлен вам почтой в любой регион России.
Олимпиадные задания по математике для 9 класса из школьной программы. Примеры заданий:
Задача: По кругу выписаны в некотором порядке все натуральные числа от 1 до N (N ≥ 2) так, что у любых двух соседних чисел есть одинаковая цифра. Найдите наименьшее возможное значение N. Решение: Ответ: 29. Поскольку однозначные числа не имеют общих цифр, то N > 9. А так как числа, соседние с числом 9, должны содержать девятку в своей записи, то меньшее из них не может быть меньше, чем 19, а большее — меньше, чем 29. Следовательно, N ≥ 29. Равенство N равна 29 возможно, поскольку условиям задачи удовлетворяет, например, такой порядок расстановки чисел от 1 до 29 по кругу: 1, 11, 10, 20, 21, 12, 2, 22, 23, 3, 13, 14, 4, 24, 25, 5, 15, 16, 6, 26, 27, 7, 17, 18, 8, 28, 29, 9, 19.
Задача. Из А в В по течению реки отправился плот. А через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот удалился от точки А на расстояние 24 км. Пристань А расположена в 120 км от второй пристани В. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Решите уравнением.
На нашей платформе вы найдете задания не только по математике для 9 класса. Можно пройти онлайн-олимпиады по предметам: информатика, физика, биология, химия, обществознание, литература, география, история, русский язык, английский язык для всех классов. Надо просто выбрать нужный раздел. Читайте наши новости, участвуйте и проходите викторины и тесты.
Преимущества нашего сервиса
1. По ФГОС
Все мероприятия на нашем портале проводятся строго в соответствии с действующим законодательством и ФГОС
2. Быстро
Результаты олимпиад доступны моментально. Результаты участия в творческом конкурсе или публикации статей – в течение 1 рабочего дня
3.
Честно
Участие в любом конкурсе – бесплатное. Вы оплачиваете изготовление документа только когда знаете результат
Участвовать в олимпиаде
На портале «Солнечный Свет»
более
2000
тестов
97%
клиентов
свыше
1000000
участий
На нашем портале свыше
2 000 тестов, олимпиад
и викторин
Довольны порталом
и становятся
постоянными
клиентами
Наши олимпиады прошли
свыше 1 000 000 раз,
суммарно участвовало
300 000 человек
1
шаг
Участие
Пройдите тестирование по выбранной теме
2
шаг
Результат
Довольны результатом? Перейдите в свой личный кабинет
3
шаг
Диплом
Введите данные для оформления диплома победителя
Более 20-ти шаблонов и образцов
для ваших дипломов и свидетельств
Создать диплом
Онлайн тест по алгебре 9
Онлайн тест по алгебре 9
В данном каталоге представлены интерактивные компьютерные тесты по «Математике» для 9 класса. Любой тест, который находится на нашем портале, можно загрузить и использовать на своем локальном компьютере, либо решать и проверять ответы прямо на сайте
Данный тест создан для проверки основных знаний по темам » Подобные треугольники и » Теорема Пифагора»
Этот тест расчитан для проверки уровня глубины знаний по математики, а также для проверки усвоенного материала за 9 классов
Этот тест расчитан для проверки уровня глубины знаний по математики, а также для проверки усвоенного материала за 9 классов
С помощью теста можно проверить умение решать комбинаторные задачи, а также использовать перестановки.
Данный тест создан для проверки основных знаний по темам Подобные треугольники и Теорема Пифагора.
Testedu. ru
23.06.2019 16:25:01
2019-06-23 16:25:01
Источники:
Https://testedu. ru/test/matematika/9-klass/
Тесты по алгебре для 9 класса онлайн | Online Test Pad » /> » /> . keyword { color: red; }
Онлайн тест по алгебре 9
Тест предназначен для учеников девятых классов общеобразовательных школ для самоконтроля.
Тест по математике 9 класс
Тест по математике. 9 класс. В тесте 5 вопросов. В каждом вопросе только один правильный вариант ответа.
Алгебра 9 класс
Данный тест предназначен для определения знания предмета «Алгебра» за курс 9 класса.
Тест для подготовки учащихся 9 класса к ОГЭ по математике
Тест предназначен для самоподготовки учащихся 9 класса к ОГЭ по математике
Целое уравнение и его корни
Данный тест «Целое уравнение и его корни» содержит вопросы с вводом ответов с клавиатуры. Для разделения десятичной части используйте запятую.
Вычислить без программ и калькулятора Часть 2
Тест предназначен для учеников 9-11 классов для проверки умения нестандартных вычислений. Тест требует следующих знаний и умений: 1) введение новой(-ых) переменной (-ых) 2) разложения многочлена на множители 3) свойств квадратичного трехчлена 4) нахождение целых корней многочлена Дан пример решения вначале каждого вопроса
Степень с целым показателем
Тест по теме «Степень с целым показателем». п и ее графики
Данный тест предназначен для контроля знаний обучающихся 9 класса. Тест имеет задания как с выбором вариантов ответа, умением соотнести функцию с ее значениями.
Алгебра 9 класс, Часть 1
Тест предназначен для закрепления материала по алгебре 7-9 класса и для повышения общего уровня эрудиции
Решите неравенство
Решение квадратных неравенств и неравенств высших степеней методом интервалов.
9_Итоговое_повторение_действия с числами
Данный тест предназначен для учащихся 9 классов. Состоит из 20 вопросов по теме: «Действия с действительными числами», предполагает знания и умения вычислять корни n-ой степени, проводить вычисления с обыкновенными и десятичными дробями, вычисления степеней с целыми показателями, вычисления тригонометрических функций (табличные значения). Лучше тестировать учащихся в конце учебного года, при повторении изученного материала.
Данный тест предназначен для определения знания предмета «Алгебра» за курс 9 класса.
Тест предназначен для самоподготовки учащихся 9 класса к ОГЭ по математике
Тесты для учеников: Математика 9 класс с ответами » /> » /> .keyword { color: red; }
Онлайн тест по алгебре 9
Перед использованием инструмента, пожалуйста, ознакомьтесь со справкой, кликая на значки с вопросом?
Включить генератор индивидуальных тестов ?
Проверка результата индивидуального теста: ?
Генератор индивидуального теста
Наименование теста:
Вариант номер:
Количество тестовых заданий:
Время на тест (минут):
Генератор индивидуальных тестов — справочная информация
С помощью данного инструмента можно добавить возможность генерировать индивидуальные ссылки, по которым тестирование можно пройти только один раз, а также ограничить время отведенное на тест.Активируется кликом по значку 📋 рядом с соответствующим тестом.
Эта опция может быть полезна, к примеру, для учителя при проверке знаний учеников. Для чего необходимо сгенерировать ссылки для каждого ученика, сохраняя/записывая их в любом документе с пометкой, кому каждая из них предназначена, а затем разослать по одной ссылке соответствующему тестируемому.
С помощью генерации индивидуальных ссылок и установки строгого ограничения по времени на тест данный инструмент позволит Максимально точно проверить знания тестируемого, уменьшая вероятность поиска готового ответа/решения в сети интернет. Помимо этого тестируемому не будет доступно название темы и номер варианта, что также исключает попытку поиска ответов «заранее».
Индивидуальная ссылка на тест будет Доступна в течение 24 часов с момента генерации, по истечении этого времени она Будет удалена из системы.
Тестируемый может пройти по ссылке Только один раз и по итогу должен завершить тестирование. В случае, если тестируемый не нажмет кнопку «Завершить тест» или закроет браузер/вкладку с тестом, то по этой ссылке он больше не сможет зайти, а система выставит ему в результат 0 баллов.
Проверка результата индивидуального теста — справочная информация
Проверить результаты тестирований по индивидуальным ссылкам можно с помощью данного сервиса.
Вставьте ссылку вида:
Или часть ссылки с кодом вида:
В область ввода и нажмите кнопку «Проверить«.
Если индивидуальная ссылка корректная и информация имеется в системе, то в ниже будет отображен результат со статусом и количеством набранных баллов в тестировании.
Генератор индивидуального теста
Наименование теста:
Вариант номер:
Количество тестовых заданий:
Время на тест (минут):
С помощью данного инструмента можно добавить возможность генерировать индивидуальные ссылки, по которым тестирование можно пройти только один раз, а также ограничить время отведенное на тест.Активируется кликом по значку 📋 рядом с соответствующим тестом.
Эта опция может быть полезна, к примеру, для учителя при проверке знаний учеников. Для чего необходимо сгенерировать ссылки для каждого ученика, сохраняя/записывая их в любом документе с пометкой, кому каждая из них предназначена, а затем разослать по одной ссылке соответствующему тестируемому.
С помощью генерации индивидуальных ссылок и установки строгого ограничения по времени на тест данный инструмент позволит Максимально точно проверить знания тестируемого, уменьшая вероятность поиска готового ответа/решения в сети интернет. Помимо этого тестируемому не будет доступно название темы и номер варианта, что также исключает попытку поиска ответов «заранее».
Индивидуальная ссылка на тест будет Доступна в течение 24 часов с момента генерации, по истечении этого времени она Будет удалена из системы.
Тестируемый может пройти по ссылке Только один раз и по итогу должен завершить тестирование. В случае, если тестируемый не нажмет кнопку «Завершить тест» или закроет браузер/вкладку с тестом, то по этой ссылке он больше не сможет зайти, а система выставит ему в результат 0 баллов.
Для чего необходимо сгенерировать ссылки для каждого ученика, сохраняя записывая их в любом документе с пометкой, кому каждая из них предназначена, а затем разослать по одной ссылке соответствующему тестируемому.
Перед началом распечатайте тест по математике для 9-го класса. В нем 50 вопросов, но он очень подробный! Очень подробное решение этого контрольной по математике для 9-го класса готово.
Имя Дата:_____________________
Решите следующие задачи
1.
Если
3 года + 1
/
2
= 5,
4x
/
3
= 8
а также
г
/
3
+
г
/
4
= 2
A. y > x B. x = y C. y > z D. х > г
Имя Дата:_____________________
Решите следующие задачи
1.
Если
3 года + 1
/
2
= 5,
4x
/
3
= 8
а также
г
/
3
+
г
/
4
= 2
A. Y> x B. x = Y C. Y> Z D. x> Z
2.
Человек, продающий хот -доги, картофель фри и соды в качестве комплексного обеда на ярмарке должен платить стране 250 долларов каждый день плюс 2 доллара за каждый проданный комплексный обед. Цена комбо-блюда составляет 7 долларов. Сколько комбо-блюд он должен продавать каждый день, чтобы остаться безубыточным?
а. Выберите правильную информацию о графиках двух строк ниже
5x — y — 2 = 0 y — 3x = 9
a. A. Пересечение в (5.5, 25.5) B. Параллельность C. Идентичный D. Перпендикулярный
b. Каковы наклоны графиков?
б. _____________ а также _____________
6.
Периметр прямоугольника 18 дюймов. Длинная сторона на 1 дюйм больше, чем меньшая сторона, более чем в три раза. Насколько велика меньшая сторона
Маленькая сторона ____________
7.
Седьмой член последовательности 16, 9 , 2, -5,… А. -37 Б. 37 В. 26 Д. -26
8.
Найдите степень 2x 3 + -6x 4 + 4x 2 — 1
а. A. 3 B. 2 C. 4 D. 3 + 4 + 2
9.
Найдите наибольший общий фактор условий 16x 6 + 8x 4 + 2x 12
A. 8x 12 B. 2x 4 C. x 6 D. 4x 6
10.
. = х 2 + 3х — 10 ?
Значение y = ____________
11.
Таблица 1
Икс
1
2
3
4
у
3
7
11
15
Таблица 2
Икс
1
1
2
4
у
3
7
11
15
а. Какие отношения являются функциями? Поставьте галочку рядом с таблицей, которая является функцией
Таблица 1 ___________
Таблица 2 ___________
b. Если таблица является функцией, смоделируйте таблицу функцией.
12.
Оценить | у — х | + -y 2 + 2z + x 2 y 3 z -2 для x = 3, y = 2 и z = -2
13.
5 красных шаров
4 синих мяча в мешочке.
Найти каждую вероятность P(красный и красный ) с заменой P(красный и синий) с заменой P(красный и красный) без замены P(красный и синий) без замены
14.
Решить 3(2x — 1) = 4x + 5
15.
Упростить 9
— 5x 3 + x + 8 ) — (3x 3 — 4x + 9 + 6x 2 )
16.
Какая стандартная форма изделия (3x — 1) (5x + 3)
A. 15x 2 + 2x + 3 1 5x 9 1 9×002 B. 0132 + 4x — 3 C. 15x 2 + 4x + 3 D. 15x 2 + 2x — 3
17.
ТРИНГЛИ Что из следующего неверно?
грех (С) =
АБ
/
г. до н.э.
потому что (В) =
АБ
/
г. до н.э.
грех (С) =
АБ
/
АС
потому что (С) =
АС
/
г. до н.э.
18.
Найдите медиану и моду этого набора данных
5 , 1, 3, 5, 8 , 10, 8, 14
19.
Найдите уравнения, параллельные и перпендикулярные x + 5y = 50 и проходящие через точки (5, 10)
20.
Упростить (1,5 × 10 8 )(6 × 10 -8 )
21.
Упростить каждое подкоренное выражение
a.
5
√32
— 3
√2
б.
√8x 8 / 2x 2
21.
Упростите каждое подкоренное выражение
a.
5
√32
— 3
√2
б.
√8x 8 / 2x 2
22.
Решите неравенство 2y — 4x < 6 для y. Затем дайте 2 балла, которые являются решениями
23.
a. Коэффициент х 2 — 8х — 20
б. Решить x 2 — 8x — 20
24.
Решить 12x 2 + 7x — 10
25.
Решите следующую пропорцию, составив пропорцию
Часы работы парка: с 8:00 до 22:00 со среды по воскресенье. Колесо обозрения может совершать поворот на 360 градусов 5 раз каждые 10 минут. Сколько оборотов на 360 градусов может сделать колесо обозрения за неделю?
26.
Как узнать, сколько решений имеет квадратное уравнение, не решая самого квадратного уравнения?
27.
Решение системы ax — 4y = 8 и 6x + by = -30 равно (-2, -3)
1. Найти a и b
2. Подставить a и b в систему. Затем решите систему, чтобы убедиться, что решение действительно (-2, -3)
28.
Найдите значение 6 P 4
29.
5 29.
5
Упрощать
30x 4 г 8 г
/
50x 10 y 7 z
30.
Каково значение f(x) =
-8
/
х — -2
для х = -2
а. A. 0 B. undefined C. 2 D. -2
31.
8 Решить уравнение
√у — 5
= 10
32.
Напишите правило функции для следующей таблицы
Икс
у
0
-4
6
-5
12
-6
24
-7
33.
Предположим, х — 25 = -75, чему равно х + 25? Что такое х + 50?
34.
Какова длина диагонали прямоугольника со сторонами, равными 9а 12?
35.
Что такое посторонние решения и какие типы уравнений дают посторонние решения?
36.
Решить и построить график 4|2x — 5| ≥ 20
37.
Постройте график следующих функций, используя то, что вы знаете о графике y = |x|
а. у = |х — 4|
б. у = |х| + 2
г. у = 2|х|
д. у = 2|х — 4| + 2
38.
Произведение двух натуральных чисел равно 45. Второе число на 4 больше первого. Найдите целые числа, составив уравнение
39.
Каков процент уменьшения с 12 до 4?
40.
Компания набирает программистов и секретарей в соотношении 5 к 3. Всего в штате 24 секретаря и программиста. Сколько человек являются секретарями? Сколько программистов?
41.
Цена p товара продается со скидкой 20%. Выражение, которое представляет продажную цену предмета, ___________
A. P — 20p B. 0,20p C. P + 0,20p D. P — 0,20p
42.
График >
-2
/
3
х + 1
43.
Стороны прямоугольника равны -5x + 10 и x — 4
а. Напишите выражение для периметра.
б. Напишите выражение для площади.
в. При каком значении х площадь наибольшая?
44.
Упрощать
4x — 20
/
x 2 — 10x + 25
45.
Найти горизонтальную и вертикальную асимптоты функции ниже
е (х) =
-10
/
х — 3
+ 5
46.
Упрощать
х — 6
/
х 2 — х
÷
х 2 — 4х — 12
/
3x 2 — 3x
46.
Упрощать
х — 6
/
х 2 — х
÷
x 2 — 4x — 12
/
3x 2 — 3x
47.
Нарисуйте график следующей системы неравенств?
2г > х + 4 3г + 3х > 13
48.
Найдите ЖК-дисплей x 5 y и x 2 y 4
49.
8 a. Сколькими способами вы можете выбрать 3 книги из 8 книг на полке?
б. Клубу из 20 человек нужны 2 члена для руководства. Сколько различных пар возможно?
50.
У Джона есть 15-футовая лестница. Когда он прислонил лестницу к зданию, лестница образует угол 60 градусов с землей. Каково расстояние от стены здания до основания лестницы?
На что следует обратить внимание при выполнении контрольной по математике в 9-м классе
Примечание : 45 или более баллов на этой контрольной по математике в 9-м классе является хорошим признаком того, что большинство навыков, преподаваемых в 9-м классе, были освоены
Если вы с трудом много на этом тесте по математике 9-го класса, попросите кого-нибудь помочь вам.
Хотите решить этот тест по математике для 9-го класса? Добавьте в корзину и купите Подробное РЕШЕНИЕ НА 54 СТРАНИЦАХ и ПРЕВОСХОДНЫЕ ОБЪЯСНЕНИЯ с помощью PayPal.
Я старался изо всех сил, чтобы сделать это 9тест по математике для 9-го класса в соответствии с национальными стандартами
Чтобы распечатать этот тест по математике для 9-го класса, нажмите здесь
Средняя школа | Математика | Обучение в 9-м и 10-м классах с помощью веселых викторин
Начальная (1–2 классы) Начальная (3–5 классы) Средняя (6–8 классы) Неполная средняя (9–10 классы) Старшая средняя (11–12 классы) Испанский ( Для всех возрастов)ESL (для всех возрастов)ИгрыCup of Tea (для всех возрастов)
Домашний
Средняя школа: 9-й и 10-й класс
Математика: Старшая школа: 9-й и 10-й класс Тесты
Викторины делают обучение интересным! Нет более быстрого способа изучить математику в старшей школе – 9 и 10 классы
Давайте начнем с шутки, чтобы пролить свет на то, что может быть довольно сложным предметом математики. Какое животное лучше всех размножается? Узнайте позже в этом введении.
Поскольку глупостей больше нет, давайте поговорим о числах. Целые числа, целые числа, дроби, десятичные дроби, квадратные корни, кубические корни, рациональные числа, иррациональные числа, мнимые числа (да, действительно!), отрицательные и положительные числа, измерения, формулы, уравнения, квадранты, шкалы, преобразования, обменные курсы… можем ли мы сделать паузу? для дыхания?
О, так уже лучше. Мы начали синеть на мгновение там. Устроим интермедию с попкорном и поговорим о БОЛЬШИХ цифрах? Тогда давай, только для тебя.
Среднестатистический человек за свою жизнь производит 10 000 галлонов слюны. Фу!
Словарный запас среднего американца, окончившего среднюю школу, содержит 60 000 слов. Сколько в английском языке? Около 8 000 000. Угу.
В одной чайной ложке почвы содержится примерно 1 000 000 000 (это один миллиард) бактериальных клеток.
Вам потребуется примерно 40 миллионов шагов, чтобы пройти вокруг Земли.
Если бы мы вычерпали внутренности планеты Земля (что может занять некоторое время), мы могли бы заполнить ее горохом. Сколько горошин нам понадобится? Всего около 1 октиллиона (это число 1, за которым следуют 27 нулей, которые мы не собираемся записывать). О давай тогда.
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000. Фу. Можно нам еще попкорна, пожалуйста?
Назад к серьезным вещам. Пройдя среднюю школу, вы, возможно, полагали, что узнали все, что можно было узнать по математике. Неправильный! Но не волнуйтесь, мы убрали тупость из чисел (видите, что мы там сделали?) и превратили ваши школьные математические предметы в увлекательные викторины. Вы можете играть в них столько раз, сколько пожелаете, и есть объяснения, которые помогут вам легко пройти сложные тесты и экзамены.
О, ответ на шутку? Wascally wabbits являются самыми лучшими в размножении!
Теперь вернемся к обзору. Калькуляторы наготове.
Название викторины
Опции
Алгебра 1
Играть в
Алгебра 2
Играть в
Алгебра 3
Играть в
Алгебра 4
Играть в
Уголки
Играть в
Площадь
Играть в
Подшипники
Играть в
Круги
Играть в
Конгруэнтность
Играть в
Проблемы преобразования (имперские единицы в метрические и обратно)
Играть в
Проблемы с конвертацией (метрическая система в метрическую)
Играть в
Иностранная валюта и обменные курсы
Играть в
Формулы
Играть в
Формулы и уравнения
Играть в
Графическое представление данных
Играть в
Полигоны
Играть в
Теорема Пифагора
Играть в
Квадранты и оси
Играть в
Квадратные уравнения
Играть в
Четырехугольники (свойства)
Играть в
Отражения, переводы и вращения
Играть в
Чертежи и карты в масштабе
Играть в
Подобие
Играть в
Прямая линия 1
Играть в
Прямая линия 2
Играть в
Площадь поверхности
Играть в
Треугольники
Играть в
Унитарный метод решения
Играть в
Верхняя и нижняя границы
Играть в
Объем
Играть в
Математика для 9-го класса — EQAO
Оценка математических навыков для 9-го класса проверяет, какие математические навыки учащиеся должны усвоить к концу курса математики в 9-м классе.
Проведение оценивания 9-го класса будет проходить с
со среды, 11 января, по пятницу, 3 февраля 2023 г. Индивидуальные результаты учащихся сообщаются после того, как каждый учащийся завершит оценивание.
Со среды, 7 июня, по среду, 28 июня 2023 г. Индивидуальные результаты учащегося сообщаются после прохождения каждым учащимся экзамена.
На этой странице
Руководства пользователя для администрирования, 2021–2022
Руководства пользователя для администрирования экзамена по математике для 9-го класса, 2021–2022
5 90 Эти онлайн-руководства содержат информацию и инструкции для школ администраторы, учителя и ИТ-специалисты в школах и советах, которые участвуют в проведении оценки 9-го класса по математике. Руководства пользователя содержат рекомендации и ответы на часто задаваемые вопросы о роли учителей, администраторов и ИТ-специалистов в управлении 9-м классом.Оценка математики.
Руководства пользователя помогут
учителям по ключевым аспектам, включая доступ к их учетным записям, управление их классами, подготовку учащихся к сессиям оценивания и администрирование официальных сессий оценивания.
школьные администраторы в ключевых аспектах, включая доступ к своим учетным записям и навигацию по ним; управление списками учеников в своей школе, а также предстоящими сессиями оценки и учетными записями учителей; и быть основным контактным лицом для учителей.
ИТ-команда школьных советов и представители по ключевым аспектам, включая навигацию по общему процессу технической готовности и подготовку к вариантам доступности и размещения, требованиям к пропускной способности и подключению, безопасности и протоколам разрешенного списка доменов, а также конфигурации устройств .
По техническим вопросам обращайтесь в нашу службу технической поддержки по электронной почте [email protected] или звоните по телефону 1-888-444-4017.
Образец теста
Образец теста
Этот образец онлайн-теста дает учащимся возможность ознакомиться с цифровым оцениванием и его платформой. Образец теста состоит из двух этапов, которые содержат вопросы, оценивающие знания учащихся по учебной программе 9 класса по математике. Во время живого оценивания учащиеся пройдут два занятия, всего четыре этапа; этот тест эквивалентен одному из этих двух сеансов.
Пересмотрен 14.09.22
Образец теста — с полным аудиоописанием
Учащимся с нарушениями зрения могут потребоваться полные аудиоописания всех рисунков в EQAO Grade Assessment of Mathematics. Эта версия пробного теста с полным аудиоописанием дает этим учащимся возможность ознакомиться с цифровым оцениванием и его платформой. Этот образец теста содержит в общей сложности 25 вопросов, которые оценивают обучение учащихся по программе 9 класса по математике. Во время живого оценивания учащиеся выполнят два занятия, в общей сложности 50 вопросов; этот тест эквивалентен одному из этих двух сеансов.
Пересмотрено 14.09.22
Англо-французский и французско-английский глоссарии
Глоссарии предназначены для студентов, изучающих французский язык с погружением, для использования во время оценивания. Тем не менее, глоссарии также доступны для всех учащихся на платформе электронного оценивания. Студенты также могут иметь доступ к печатной копии глоссариев во время прохождения этапов математики. И англо-французский, и французско-английский глоссарии содержат много общих математических терминов, используемых на французском и английском языках при оценивании.
Глоссарии [PDF] Опубликовано 14.09.22
Таблицы формул
Математические формулы приведены в таблицах формул для справки учащимся во время оценивания. Приведены формулы периметра, площади, объема и площади поверхности для различных геометрических фигур и геометрических объектов.
Лист формул: Крупный шрифт [PDF] Опубликовано 09.09.21 | Отредактировано 14.09.22
Вход в систему электронного оценивания
Вход в систему оценивания по математике для 9 класса
Учащиеся, учителя и школьные администраторы могут войти в систему электронной оценки, нажав кнопку «Войти» в правом верхнем углу экрана. Войдя в систему,
Студенты будут иметь доступ к ресурсам. Тесты и оценки недоступны через этот логин, за исключением учащихся, использующих альтернативный доступ к специальному программному обеспечению специальных возможностей в рамках приспособления.
учителя будут иметь доступ к своим учетным записям, чтобы управлять участием своих учеников в пробном тесте и проводить оценку.
школьные администраторы будут иметь доступ к своим учетным записям для управления учетными записями учителей, списками учащихся и планированием оценок.
Framework
Оценка математики для 9 класса [PDF]
Начиная с 2021–2022 учебного года, учащиеся зачисляются в 9 класс MTh2W.курс математики без потоковой передачи изучают знания и навыки, определенные в соответствии с ожиданиями, содержащимися в новой учебной программе по математике Онтарио 2021 года. Оценивание математики в 9 классе EQAO оценивает усвоение учащимися содержания этой новой учебной программы. Структура содержит подробное описание оценивания EQAO по математике для 9-го класса, в том числе то, как оценивание соотносится с учебной программой по математике Онтарио.
Часто задаваемые вопросы
Вот некоторые часто задаваемые вопросы о 9 классеОценка математики.
Вернуться к началу
Математика (Математика) Подготовка к экзаменам онлайн 9 класс Вход — Курсы
ЗАПИСАТЬСЯ НА УЧИТЕЛЯ
ЭКЗАМЕНЫ
ТОВАРЫ
УЛУЧШИТЬ АНГЛИЙСКИЙ
РЕСУРСЫ
Начать
Войти
163,77 австралийских долларов
Цена указана с учетом 10% налога на товары и услуги. Если вы покупаете для использования за пределами Австралии, при оформлении заказа с вас будет взиматься сумма без учета налога на товары и услуги
Получите максимальную отдачу от подготовки к экзамену с помощью этого онлайн-курса по математике для самостоятельного изучения 9-го класса. Мы объединили видеоуроки, созданные экспертами, актуальные практические вопросы и викторины, а также ярлыки экзаменов, чтобы улучшить ваш результат наиболее эффективным способом.
Предназначенный для учащихся 7 и 8 классов, этот курс познакомит вас с ключевыми математическими понятиями для вступительного экзамена или теста NAPLAN по математике в 18 логически организованных контрольных точках.
А для максимального успеха на экзамене мы включили финальный полноформатный онлайн-тест по математике для конкурсных экзаменов, который поможет вам отточить основные навыки прохождения теста.
Отлично подходит для:
Служба академической оценки стипендий и выборочных школьных экзаменов — поступление в 9-й класс.
909:13 Стипендии ACER и выборочные школьные экзамены, такие как Perth Modern — поступление в 9-й класс.
Стипендии Edutest и отборочные школьные тесты, такие как викторианские отборные школы (MacRob, Melb High, Suzanne Cory и Nossal).
Математика NAPLAN для 9 класса.
После покупки вы получаете немедленный доступ к курсу на 6 месяцев, чтобы начать подготовку к экзамену.
Узнайте больше об этом курсе — посмотрите видео ниже.
Почему студенты любят наши онлайн-курсы
Всестороннее изучение дорожной карты — добиться успеха становится легче, когда у вас есть четкий план и вы его придерживаетесь. И это именно то, что вы получаете с онлайн-курсами Exam Success. Мы логически разбили каждый отдельный курс на 18 контрольных точек, чтобы плавно провести вас через все концепции, важные для вашего экзамена, и включили множество современных учебных материалов для максимального улучшения. Ты будешь:
Изучайте новые темы и наши эксклюзивные стратегии сдачи экзаменов, повышающие баллы, с помощью видеоуроков.
Проверьте, на правильном ли вы пути, с практическими вопросами, похожими на тесты, и подробными объяснениями ответов.
Получите представление о своих слабых местах с помощью отчетов о результатах по предметам с множественным выбором, таким как вербальное, числовое, абстрактное мышление, математика и понимание прочитанного.
Проверьте, что вы узнали на заключительном пробном экзамене.
Подготовка к тесту не может быть проще!
Опытные инструкторы — мы считаем, что обучение у лучших инструкторов приносит наилучшие результаты. С Exam Success вы будете учиться непосредственно у бывшего стипендиата Мельбурнского университета (ведущего университета в Австралии) с оценкой ATAR 96,04 и обучением логике и рассуждениям. Наши инструкторы не просто успешны, у них есть многолетний опыт преподавания и искренняя преданность вашему успеху.
Гибкий доступ — Онлайн-курсы Exam Success предназначены для самостоятельного обучения, поэтому вы можете наслаждаться свободой обучения, когда хотите и где хотите. Вы можете останавливать, пропускать и просматривать видео и другие учебные материалы столько раз, сколько вам нужно в течение 6 месяцев с даты покупки. Хотите учиться на ходу? Без проблем! Наши онлайн-курсы работают на настольных компьютерах, планшетах и смартфонах, поэтому вы можете улучшить свои экзаменационные оценки во время поездок на работу!
Бонусы! — для всех пакетов онлайн-курсов мы включаем бесплатные отзывы экспертов и оценку 5 ваших эссе (сэкономьте 100 долларов США). Посмотрите, где именно ваше письмо теряет баллы, и получите действенные советы о том, как исправить свои слабые стороны и добиться лучших результатов в письменной части экзамена. См. пример индивидуального отзыва эксперта.
Истории успеха наших студентов
«Хотя их [так в оригинале] доступно много онлайн-вариантов … но я бы оценил успешность экзамена как лучшее руководство для конкурсного экзамена, поскольку они действительно понимают, что ожидается и сколько часов обучения должен потратить каждый студент … Я нашел Exam Success очень гибкий в своем подходе, и все наши просьбы никогда не отклонялись и удовлетворялись как можно лучше … я ценю их за это … Подход никогда не заключается в том, что вы платите и получаете то, что указано, они следят за тем, чтобы ваши требования были должным образом учтены к удовлетворению» ~ Вилас Б. (выборочное школьное предложение)
«Я получил 3 предложения о стипендии, и я получил результаты в среднем через 10 дней. Ваши услуги очень помогли мне улучшить и освоить ценные навыки». ~ Имя не разглашается по соображениям конфиденциальности (предложения о стипендии 2020 г. )
Вы приобрели курс. Что дальше?
В течение 30 минут после оплаты вы получите электронное письмо с временным паролем для входа в личный кабинет. Пожалуйста, проверьте папку нежелательной почты или спама, если вы не видите письмо в папке «Входящие». Вернитесь на сайт www.examsuccess.com.au и войдите в систему, используя адрес электронной почты и предоставленный временный пароль. Если у вас уже есть учетная запись у нас, вы можете войти в систему напрямую, и вам не будет отправлен временный пароль.
Нажмите «Покупки» — вы увидите все купленные вами онлайн-курсы. Чтобы начать обучение, выберите отдельный курс из списка и нажмите кнопку «Доступ к курсу». Вы должны быть в состоянии получить доступ ко всем контрольно-пропускным пунктам немедленно.
Контрольные точки курса
Предварительный просмотр курса — попробуйте БЕСПЛАТНО!
1. Как пройти конкурсные математические тесты ACE (зачисление в 9 класс)
2. Математические сокращения и советы ПЛЮС важные математические концепции, которые вам необходимо знать
3. Основы — операторы, дроби, единицы измерения, сформулированные вопросы
4. Шаблоны чисел
5. Формы и углы
6. Теорема Пифагора.
7. Показатели
8. Сурды
9. Базовая алгебра — упрощение
10. Расширение и факторизация
11. Линейные уравнения
12. Основные квадратные уравнения.
13. Перестановка уравнений
14. Функции
15. Базовая тригонометрия
16. Тригонометрические соотношения.
17. Единичный круг (базовый)
18. Проверка и итоговый экзамен
Common Core 9 класс Практический тест по английскому языку
9 класс Экзамен по английскому языку Учебное пособие с практическими вопросами
1. Выберите слово, которое правильно заполняет пропуск в следующем предложении: Джоанн еще нужно закончить домашнее задание: пересмотреть свое сочинение, ______ следующую главу и решить математические задачи.
чтение
чтение
чтение
чтение
2. Наши каникулы закончились, но мы не хотели идти домой. Слова, выделенные жирным шрифтом, обозначают a(n)…
Зависимое предложение
Независимое предложение
Относительное предложение
Придаточное предложение
3. Какое из следующих предложений является правильным?
Я собираюсь купить новую машину, это синий седан.
Я собираюсь купить новую машину, это седан синего цвета.
Я собираюсь купить новую машину; это синий седан.
Я собираюсь купить новую машину, следовательно, это седан синего цвета.
4. Какое из следующих предложений верно?
Рэйчел преуспевает в нескольких видах деятельности, включая плавание, походы и езду на велосипеде.
Рэйчел преуспевает в плавании, походах и езде на велосипеде.
Рэйчел преуспевает в нескольких видах деятельности: плавание, походы и езда на велосипеде.
Рэйчел преуспевает в нескольких видах деятельности, таких как плавание, походы и езда на велосипеде.
5. Мара испытала огромное счастье, когда ее пропавшая собака нашла дорогу домой. Что означает слово «счастье» в этом предложении?
Дискомфорт
Беспокойство
Неверие
Счастье
местный
местный
местный
местный
подготовка.
неистовый
послушный
ясный
благоразумный
8. Выберите слово, которое лучше всего заполняет пропуск в следующем предложении: Стэнли никогда не любил Натана, но он неохотно ______________ Натан за его идею устроить автомойку для школьного сбора средств.
возвышенный
восхваляемый
почитаемый
восхваляемый
день.
Ирония
Гипербола
Персонификация
Эвфемизм
10. Детектив посвятил свою жизнь поиску истины. Что означает в этом предложении «охота за правдой»?
Детектив предпочитал работать с пистолетом.
Детектив был полон решимости сказать правду.
Детектив хотел искоренить правду.
Детектив был полон решимости узнать правду.
1. C: «Читать» (форма глагола в настоящем времени) поддерживает параллельную структуру предложения и соответствует времени глагола для «пересмотреть» и «завершить». Другие варианты ответа представляют собой причастие настоящего («чтение»), инфинитив («читать») и будущее время («буду читать») слова.
2. B: Выделенные слова представляют собой независимое предложение, поскольку они содержат и подлежащее, и глагол, а также выражают законченную мысль.
3. C: «Я собираюсь купить новую машину» и «это синий седан» — самостоятельные предложения (каждое из них содержит подлежащее и глагол и выражает законченную мысль). Уместно соединять два независимых предложения в одном предложении с помощью точки с запятой. Вариант А — это предложение с продолжением. Вариант B — это запятая. Вариант D использует запятую перед союзным наречием «поэтому», что неверно.
4. C: Уместно использовать двоеточие для начала списка. Неуместно использовать двоеточие после предлога (вариант B) или после фраз «включая» и «такой как», которые делают использование двоеточия излишним (варианты A и D).
5. D: Контекст предложения указывает на то, что Мара будет чувствовать себя очень счастливым.
6. A: Правильное написание слова «коренной».
7. B: Слово «послушный» означает легко обучаемый или готовый к обучению. Предложение должно звучать так: Питер настолько талантлив в лошадях, что пугливый жеребенок стал послушным, как только Питер взял на себя его обучение.
8. Д.: Хотя все варианты слов имеют схожие значения, контекст предложения и особенно использование слова «неохотно» указывают на то, что Стэнли лишь формально поздравил Натана с его хорошей идеей. Предложение должно звучать так: Стэнли никогда не любил Натана, но он неохотно похвалил Натана за его идею устроить автомойку для школьного сбора средств.
9. A: Ирония – это выражение, в котором словам приписывается противоположное их обычному значение. На то, что Кэролайн не лишилась дара речи, а совсем наоборот, указывает тот факт, что она не умолкала весь оставшийся день.
10. D: «Охота за правдой» — фигура речи, означающая «намерен узнать правду». На это указывает контекст предложения, в котором упоминается жизненная цель детектива.
Математика, словесность, естествознание, обществознание и испанский язык
IXL | Математика, словесность, естественные науки, социальные науки и испанский язык
Р
Pre-K
Pre-K
Счет предметов, внутри и снаружи, длиннее и короче, названия букв, рифмующиеся слова и многое другое.
К
К
Детский сад
Сравнение чисел, названий фигур, согласных и гласных звуков, зрительных образов и многого другого.
1
1-й класс
Первый класс
Сложение и вычитание, десятки и единицы, определение времени, категории, существительные, время глагола, временной порядок и многое другое.
2
2 класс
Второй класс
Модели разрядов, сокращения, неправильные формы множественного числа, растения и животные, исторические личности и многое другое.
3
3-й степени
Третий класс
Умножение и деление, гистограммы, местоимения, притяжательные имена, погода и климат, география и многое другое.
4
4 класс
Четвертый класс
Дроби и десятичные дроби, синонимы и антонимы, окаменелости и слои горных пород, правительство и многое другое.
5
5 класс
Пятый класс
Умножение дробей и десятичных знаков, идиомы, предлоги, фотосинтез, молекулы, экономика и многое другое.
6
6 класс
Шестой класс
Соотношения и проценты, переменные выражения, греческие и латинские корни, генетика, древняя история и многое другое.
7
7 класс
Седьмой класс
Пропорциональные отношения, фразы и предложения, инженерный дизайн, всемирная история и многое другое.
8
8 класс
Восьмой класс
Линейные функции, теорема Пифагора, активный и пассивный залог, химические формулы, гражданское право и многое другое.
9
9 класс
Девятый класс
Квадратные уравнения, диаграммы рассеяния, показатели, параллельный язык, фигуры речи, точки с запятой и многое другое.
10
10 класс
Десятый класс
Конгруэнтные треугольники, геометрические конструкции, двоеточия, шаблоны слов, аудитория и тон и многое другое.
11
11 класс
Одиннадцатый класс
Тригонометрические функции, логарифмы, многочлены, подтверждающие доказательства, претензии и встречные претензии и многое другое.
Две прямые линии BA и BC (черт. 13), пересекающиеся в одной и той же точке B, образуют при точке B угол.
Определение угла. Углом называется неопределенная часть плоскости, ограниченная двумя пересекающимися прямыми линиями. Угол есть величина, определяющая наклонение одной прямой линии к другой.
Стороны угла.Пересекающиеся линии называются сторонами угла.
Вершина угла. Точка пересечения двух прямых называется вершиной угла. Величина угла не зависит от длины сторон, поэтому стороны угла можно неопределенно продолжать.
Название угла. a) Углы называют буквой, стоящей при вершине; так угол на черт. 13 называют углом B. b) Если при вершине несколько углов, то углы называют тремя буквами, стоящими при вершине и двух его сторонах. При этом буква при вершине произносится и пишется в середине.
На черт. 13 угол B называют угол ABC. Линии BA и BC — две стороны, а точка B — вершина угла.
Таким образом угол ABC есть угол B или
угол ABC = углу B.
Знак угла.Слово угол заменяют иногда знаком ∠.
Таким образом предыдущее равенство изображают письменно:
∠ABC = ∠B
В том случае, когда из точки выходит несколько линий, при точке B имеется несколько углов.
На черт. 14 из точки B выходят прямые линии BA, BC, BD и при вершине B имеются углы ABC, CBD, ABD.
Прилежащие углы. Два угла называются прилежащими, когда они имеют общею вершину, по одной общей стороне, а две другие лежат по обе стороны общей стороны.
Углы ABC и CBD (черт. 14) суть прилежащие углы. Они имеют общую вершину B, общую сторону BC, а две другие стороны BA и BD лежат одна сверху, а другая снизу общей стороны BC.
Углы изменяют свою величину, если изменяется наклонение одной стороны к другой. Из двух углов, имеющих общую вершину, тот угол, внутри которого помещается другой угол, называется большим углом. На чертеже 14
уг. ABD > уг. ABC и уг. CBD < уг. ABD.
Чтобы иметь понятие о взаимной величине двух углов, имеющих разные вершины, накладывают один угол на другой. При наложении совмещают их вершины и по одной стороне, тогда направление другой стороны даст возможность сравнивать их величину. Чтобы сравнить два угла ABC и DEF (черт. 15), накладывают угол DEF на угол ABC так, чтобы сторона EF пошла по стороне BC, точка E совмещалась с точкой B; тогда сторона ED может занять три положения: она может совпасть со стороной BA, упасть внутри и вне угла ABC.
a) Если линия ED совпадет с линией BA, углы называются равными
уг. ABC = уг. DEF.
b) Если линия ED упадет внутри угла ABC и займет положение BG, угол ABC будет больше угла DEF
уг. ABC > уг. DEF.
c) Если же линия ED упадет вне угла ABC по направлению BH, угол ABC меньше угла DEF
уг. ABC < уг. DEF.
Сложение, вычитание, умножение и деление углов. Два прилежащих угла ABC и CBD (чер. 14) образуют один угол ABC. Угол ABD называется суммой углов ABC и CBD. Это выражают письменно равенством:
∠ABD = ∠ABC + ∠CBD (a)
Из равенства (а) вытекает равенство:
∠ABC = ∠ABD — ∠CBD
∠CBD = ∠ABD — ∠ABC,
т. е. угол ABC есть разность углов ABD и CBD, и угол CBD есть разность углов ABD и ABC.
Углы можно складывать и вычитать.
Если при точке O (черт. 16) находится несколько равных прилежащих углов, т. е. если
∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE,
то угол AOC, равный сумме углов AOB и BOC равен двум углам AOB,
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC, след. ∠AOC = 2AOB.
Угол AOD равен трем углам AOB
AOD = 3AOB.
Обратно, угол AOB составляет половину угла AOC, треть угла AOD, четверть угла AOE.
AOB = ½ AOC = 1/3 AOD = ¼ AOE.
Отсюда выводим, что углы как величины можно не только складывать и вычитать, но также умножать и делить на отвлеченное число.
Если из двух прилежащих углов ACD и DCB (чер. 17) две стороны CA и CB лежат на одной прямой, их называют смежными.
Смежные углы. Смежными называются такие углы, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой.
Если линия CD, поворачиваясь около точки C, займет положение CE, то угол ACD уменьшаясь обратится в угол ACE, а угол BCD увеличиваясь обратится в угол BCE. Линия CD, продолжая поворачиваться, может принять такое положение, что два смежных угла сделаются равными. Когда два смежных угла ACD и DCB равны (чер. 18), их называют прямыми углами.
В этом случае линия CD называется перпендикулярной к линии AB или просто перпендикуляром к линии AB.
На чертеже 19 начерчен один прямой угол без другого смежного с ним.
Прямой угол есть один из равных смежных углов.
Перпендикуляр есть прямая линия, образующая с другой линией прямой угол.
На чертеже 18 углы ACD и DCB, оставаясь смежными и равными, получают название прямых углов. Линия DC будет перпендикулярной к линии AB. Такое взаимное отношение двух линий выражают иногда письменно: CD ⊥ AB.
Так как линия AB будет также перпендикулярна к линии CD, то линия AB и CD будут взаимно-перпендикулярны, т. е. если CD ⊥ AB, то и AB ⊥ CD.
Подошва перпендикуляра. Точка взаимной встречи двух перпендикулярных линий называется подошвою перпендикуляра.
Точка C (чер. 18) есть подошва перпендикуляра CD.
В каждой точке линии AB можно провести перпендикуляр к линии AB.
Провести перпендикуляр к линии (AB) из точки, лежащей на линии, значит восставить перпендикуляр. Провести же перпендикуляр (DC) к линии (AB) из точки (D), лежащей вне прямой, значит опустить перпендикуляр (черт. 18).
Наклонная линия. Всякая линия неперпендикулярная к другой называется линией наклонною к ней.
На чертеже 20 линия CE будет наклона к линии AB, а линия CD перпендикулярна к линии AB.
Угол ECB меньше прямого, а угол ACE больше прямого. Угол ECB называется острым, а угол ACE тупым.
Острый уголесть всякий угол меньше прямого, а тупой уголесть угол больший прямого.
Одноименные и разноименные углы. Два острых или два тупых угла называются одноименными, а два угла, из которых один острый, а другой тупой, называются разноименными.
Наклонная линия CE образует (черт. 20) с прямою AB два смежных угла, из которых один меньше, а другой больше прямого, т. е. один острый, а другой тупой.
Теорема 3. Из точки, взятой на прямой линии, можно восставить к ней только один перпендикуляр.
Дана прямая AB и на ней точка C (черт. 20).
Требуется доказать, что можно к ней восставить только один перпендикуляр.
Доказательство. Положим, что можно из точки C к линии AB восставить два перпендикуляра (черт. 20) CD и CE. По свойству перпендикуляра
уг. DCB = уг. ACD (a) уг. BCE = уг. ACE.
Если приложить к первой части последнего неравенства угол ECD, получим неравенство
Заменяя в этом неравенстве уг. BCD равным ему углом ACD (a), получим
уг. DCA > уг. ACE,
неравенство очевидно нелепое, ибо часть не может быть более своего целого, следовательно предположение, что можно восставить два перпендикуляра, ведет к нелепости, поэтому оно ложно. Ложность предположения основана на том соображении, что из верного положения нельзя вывести неверного заключения, следовательно, наша теорема верна.
Способ доказывать справедливость данной теоремы указанием на невозможность и нелепость всякого другого предположения называется способом доказательства от противного или способом приведения к нелепости.
Теорема 4. Все прямые углы равны.
Предположим, мы имеем две пары прямых углов: одну пару составляют углы ACD и DCB, а другую углы EGH и HGF, следовательно, CD ⊥ AB и HG ⊥ EF (черт. 21).
Требуется доказать, что прямые углы равны.
Доказательство. Наложим линию EF на линию AB точкой G на точку C, тогда линия GH пойдет по линии CD, ибо из точки C можно восставить только один перпендикуляр, следовательно, прямой угол DCB = прямому углу HGF.
Заключение. Прямой угол есть величина постоянная.
Мера углов. При измерении углов прямой угол, как величину постоянную, принимают за единицу сравнения. Величину его обозначают буквою d.
В таком случае всякий острый угол < d, всякий тупой угол > d.
Все углы выражаются при помощи прямого. Так, например, говорят: данный угол равен ½ d, 2/3 d и т. д.
Теорема 5. Сумма двух смежных углов равна двум прямым.
Даны смежные углы ACD и DCB (черт. 22).
Требуется доказать, что ACD + DCB = 2d.
Доказательство. Из точки C восставим перпендикуляр CE, тогда
ACD = ACE + ECD = d + ECD DCB = ECB — ECD = d — ECD
Теорема 8. Сумма всех углов, расположенных вокруг одной точки, равна четырем прямым.
Даны углы AOB, BOC, COD, DOE, EOA, имеющие общую вершину O и расположенные вокруг точки O (черт. 25).
Требуется доказать, что
AOB + BOC + COD + DOE + EOA = 4d.
Доказательство. Продолжим сторону EO по направлению OG (чер. 25), тогда
EOA + AOG = 2d.
Точно также
GOB + BOC + COD + DOE = 2d.
Сложив эти равенства, имеем:
EOA + AOG + GOB + BOC + COD + DOE = 4d.
Так как AOG + GOB = AOB, то
EOA + AOB + BOC + COD + DOE = 4d (ЧТД).
Угол ACB с углом DCE и угол BCD с углом ACE называются вертикальными (чер. 26).
Вертикальные углы. Вертикальными называются такие углы, у которых стороны одного составлены из продолжения сторон другого угла.
Теорема 9. Вертикальные углы равны между собой.
Даны вертикальные углы (чер. 26) ACB и DCE, точно также BCD и ACE.
Требуется доказать, что ACB = DCE и BCD = ACE.
Доказательство. На основании теоремы 5 имеют место равенства:
ACB + BCD = 2d (как сумма двух смежных углов) BCD + DCE = 2d
следовательно,
ACB + BCD = BCD + DCE
откуда, отняв по равному углу BCD, находим
ACB = DCE.
Подобным же образом доказывают, что
∠BCD = ∠ACE.
Равносекущая (биссектриса) есть линия, делящая угол пополам.
На чертеже 27 BD есть биссектриса, если ∠ABD = ∠DBC.
Теорема 10. Биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны.
Даны смежные углы ACB и BCD (чер. 28). Их биссектрисы линии CF и CE делят смежные углы BCD и BCA пополам, следовательно BCF = FCD, ACE = ECB.
Требуется доказать, что EC ⊥ CF.
Доказательство. По условию
ECB = ½ ACB, BCF = ½ BCD
Сложив эти равенства, имеем:
ECB + BCF = ½ ACB + ½ BCD = ½ (ACB + BCD).
Так как ACB + BCD = 2d, то
ECB + BCF = ½ · 2d = d.
Так как ECB + BCF = ECF, то
ECF = d
Угол ECF прямой, т. е. линии CE и CF взаимно перпендикулярны (ЧТД).
Геометрия. Урок 2. Углы — ЁП
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Углы
Понятие угла
Виды углов
Биссектриса угла
Углы, образованные при пересечении двух прямых
Углы, образованные при пересечени двух прямых секущей
Углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей
Сумма углов многоугольника
Правильный многоугольник
Примеры решений заданий из ОГЭ
Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.
Стороны угла – лучи, которые образуют угол.
Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.
Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.
Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: ∠AOB или ∠BOA, но ни в коем случае не ∠OAB,∠OBA,∠ABO,∠BAO.
Величину угла измеряют в градусах. ∠AOB=24°.
Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.
Или
Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
OD – биссектриса угла ∠AOB. Она делит этот угол на два равных угла.
∠AOD=∠BOD=∠AOB2
Точка D – произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон OA и OB угла ∠AOB.
Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.
Свойство: вертикальные углы равны.
Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.
Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.
Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.
Пары углов:
(1) и (5) (2) и (6) (3) и (7) (4) и (8)
называются соответственными. (Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).
Пары углов:
(3) и (5) (4) и (6)
называются внутренними односторонними. (Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).
Пары углов:
(1) и (7) (2) и (8)
называются внешними односторонними. (Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).
Пары углов:
(3) и (6) (4) и (5)
называются внутренними накрест лежащими. (Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).
Пары углов:
(1) и (8) (2) и (7)
называются внешними накрест лежащими. (Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).
Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны, то углы имеют следующие свойства:
Соответственные углы равны.
Внутренние накрест лежащие углы равны.
Внешние накрест лежащие углы равны.
Сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Сумма внешних односторонних углов равна 180°.
Сумма углов произвольного n-угольника вычисляется по формуле:
Sn=180°⋅(n−2)
где n – это количество углов в n-угольнике.
Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного n-угольника.
Сумма углов треугольника: S3=180°⋅(3−2)=180°
Сумма углов четырехугольника: S4=180°⋅(4−2)=360°
Сумма углов пятиугольника: S5=180°⋅(5−2)=540°
Так можно продолжать до бесконечности.
Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.
На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:
Чтобы найти величину угла правильного n-угольника, необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.
αn=180°⋅(n−2)n
Модуль геометрия: задания, связанные с углами
Скачать домашнее задание к уроку 2.
Геометрическая фигура угол
Угол — это геометрическая фигура, образованная из двух лучей, у которых начальная точка совпадает. Эта точка называется вершиной угла, а лучи называются сторонами угла. Стороны угла разбивают плоскость на 2 области, называемые плоскими углами или просто углами. Меньший угол называют внутренним, а больший — внешним углом.
Углы также можно обозначать в виде трех точек. Например, ABC. В такой записи B — это вершина, а A и C — это точки, лежащие на разных лучах угла. Для упрощения и быстрой записи, углы принято обозначать строчными греческими буквами: α — альфа,β — бета, γ — гамма, θ — тета, φ — фи и др. Угол обозначается символом в виде двух отрезков, символизирующий угол.
На рисунке изображены два луча AB и AC с вершиной в точке A, образующие два угла: α — внутренний угол, β — внешний угол.
Угловая мера
Мера угла позволяет сравнивать углы между собой, то есть, зная меру угла, можно сказать, что этот угол или больше другого, или меньше, или они равны. Существует несколько мер углов:
в градусах, минутах, секундах;
в радианах;
в оборотах;
в градах, минутах, секундах.
В математике наиболее распространен первый вид меры угла — градусы, минуты, секунды. Остановимся на нем более подробно. Взгляни на циферблат часов, который изображен ниже.
Если приглядеться на часы, то мы можем представить стрелки часов как лучи, у которых начальная точка совпадает с центром циферблата. За полный оборот стрелки было принято 360 градусов. Градус обозначается символом °. Если стрелка пройдет половину оборота, то переместиться на 180 градусов или 180°, а если на четверть, то переместиться на 90°. На примере ниже, ты можешь увидеть, какое время соответствует углу в разное время. Например, 15:00 соответствует углу 90°, 18:00 соответствует углу 180°, 21:00 — 270° и 24:00 — 360°. Сумма внешнего и внутреннего угла всегда составляет 360°
Угловую меру ты будешь изучать подробно в других разделах математики: геометрия и тригонометрия.
Типы Углов
В зависимости от угловой меры существуют такие типы углов:
Нулевой угол
Нулевой угол — это угол, у которого две стороны совпадают. Из вершины выходят два равно направленных луча. Нулевой угол равен 0°.
Острый угол
Острый угол — это угол лежащий в рамках от 0° до 90°, где 0 и 90 не входят в эти рамки.
Острый угол легко запомнить. Все острые предметы имеют острый угол, например, клюв у птицы, шило, кухонный нож. На рисунке указана желтая граница, показывающая максимальную меру прямого угла.
Прямой угол
Прямой угол — угол, стороны которого перпендикулярны друг другу и равны 90°.
Прямой угол обозначают в виде маленького квадрата у основания угла, как на примере ниже.
Тупой угол
Тупой угол — это угол лежащий в рамках от 90° до 180°, где 90° и 180° не входят в эти рамки.
Косой угол
Косой угол — это все углы, которые не равны 0°, 90°, 180° или 270°.
Выпуклый угол — это угол от 0° до 180° включительно.
Невыпуклый или вогнутый угол
Невыпуклый угол или вогнутый угол — это угол лежащий в рамках от 180° до 360°, не включая граничные значения.
Полный угол
Полный угол — это угол, у которого две стороны совпадают. Противоположность нулевого угла. Полный угол равен 360°.
У нулевого и полного угла совпадают стороны, нулевой угол — это внутренний угол, равен 0°, а полный — это внешний угол, равен 360°.
Посмотри на рисунок и сосчитай количество углов каждого типа?
Нулевой угол — 2;
Острый угол — 3;
Прямой угол — 2;
Тупой угол — 2;
Косой угол — 6;
Развёрнутый угол — 1;
Выпуклый угол — 10;
Вогнутый угол — 1;
Полный угол — 1;
Тебе нравится этот урок?
thumb_upthumb_down
49
10
Поделись с Друзьями:
Основные Геометрические Фигуры
1.Простейшие геометрические фигуры
2.Геометрическая фигура угол
3.Все о треугольниках
4.Четырехугольники
определение, примеры решения и свойства
Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла). Плоскость, содержащая обе стороны угла, делится углом на две области.
Содержание:
Луч
Понятие угла
Измерение углов
Равенство углов. Биссектриса угла
Смежные углы
Вертикальные углы
Луч
На рисунке 2.47 изображена прямая , на ней отмечена точка В, которая разделяет прямую на три части:
1) первая состоит из точек, лежащих левее точки В;
2) вторая состоит из самой точки В;
3) третья состоит из точек, лежащих правее точки В.
Объединение первого или третьего множеств с точкой В называется лучом или полупрямой. Таким образом, точка В определила на прямой два луча.
Точка В называется началом каждого из этих лучей или начальной точкой полупрямой.
Луч обозначается латинскими буквами: одной строчной (например, на рис. 2.48) или двумя заглавными, одна из которых обозначает начало луча, а вторая — какую-либо точку на луче (например, луч ВС на рис. 2.49).
Полупрямые прямой , на которые она разбивается точкой В, называются дополнительными.
В повседневной жизни мы часто употребляем понятие направления: направление движения пешехода или автомобиля, направление удара мяча в
футбольном матче, направление полета самолета или ракеты и т. д.
При задании направления используют понятие луча. В геометрии считают, что направление задается лучом, а определить понятие «направление» можно как множество лучей, сонаправлен-ных (одинаково направленных) с данным (рис. 2.50).
1. Если два луча лежат на одной прямой, то будем считать их одинаково направленными, если один из них содержится в другом, и противоположно направленными, если один из них не содержится в другом.
2. Если два луча параллельны, но не лежат на одной прямой, то проведем через их начала плоскость, которая разделит пространство на два полупространства. Если лучи лежат в одном из этих полупространств, то они сонаправлены (рис. 2.51). Если же лучи лежат в разных полупространствах, то они противоположно направлены (рис. 2.52).
Понятие угла
На рисунке 2.53 два луча OA и ОВ имеют общее начало. Эти два луча с общим началом всегда лежат в одной плоскости.
При таком расположении лучи разбивают плоскость, которую они образуют, на две части (рис. 2.54). Эти части плоскости вместе с образовавшими их лучами в геометрии называются углами.
Определение.Углом называется фигура, состоящая из двух различных лучей с общим началом и ограниченной ими части плоскости.
На рисунке 2.54 лучи OA и ОВ имеют общее начало — точку О и разбивают плоскость на две части. Исходя из определения угла, получили два различных угла.
Точка, из которой выходят ограничивающие угол лучи, называется вершиной угла, а сами лучи — сторонами угла (рис. 2.55). Лучи OA и ОС на этом рисунке определяют два угла.
Весь угол изобразить на рисунке нельзя, как нельзя на рисунке изобразить весь луч. Каждый угол в действительности продолжается бесконечно. На рисунке 2.56 выделены только части изображенных углов.
Слово «угол» иногда заменяют знаком . Часто при изображении угла чертят только выходящие из вершины начальные участки его сторон, а ту часть, которую хотят указать, обозначают дужкой (рис. 2.57)
Угол обозначается или одной заглавной буквой, поставленной у вершины угла, например: (рис. 2.57), или тремя буквами, из которых одна ставится при вершине угла, а две другие — у каких-нибудь точек сторон, например: (рис. 2.57). Буква, стоящая при вершине угла, всегда записывается между двумя другими буквами. Иногда угол обозначают цифрой, поставленной внутри угла (рис. 2.58).
Для изучения свойств углов используется понятие луча, проходящего между сторонами угла.
Определение. Луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла.
На рисунке 2.59 луч ОВ проходит между сторонами угла АОС, так как он исходит из вершины угла АОС и пересекает отрезок MP. Концы отрезка MP лежат на сторонах угла АОС.
Возьмем луч АС (рис. 2.60) и будем поворачивать его вокруг точки А против часовой стрелки, например, до положения АВ, тогда его последовательные положения «заметут» угол со сторонами АС и АВ.
Продолжая вращать луч в том же направлении, мы будем получать все новые и новые углы. В определенный момент оба луча составят прямую линию (рис. 2.61). Такой угол называется развернутым углом.
Развернутый угол есть часть плоскости, ограниченная прямой, т. е. полуплоскость (рис. 2.62). Сторонами развернутого угла являются две дополнительные полупрямые.
Определение.Развернутым углом называют угол, стороны которого являются дополнительными полупрямыми одной прямой.
Если продолжить вращение луча дальше, чем показано на рисунке 2.62, то будут получаться новые углы (рис. 2.63), пока луч не вернется в свое первоначальное положение (рис. 2.64).
Самый большой возможный угол, полученный в ходе вращения луча, называется полным углом. Полный угол, в сущности, есть вся плоскость (рис. 2.65), а не ее часть, ограниченная двумя лучами.
Измерение углов
Каждый угол характеризуется его величиной, которая называется градусной мерой угла. Измерение углов осуществляется аналогично измерению отрезков — оно основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. Обычно за единицу измерения углов принимают градус — угол, равный части развернутого угла. Градус обозначают знаком .
Градусную меру часто называют просто величиной угла. Величина угла, равного части градуса, называется минутой и обозначается знаком , часть минуты называется секундой и обозначается знаком . Например, угол в 60 градусов 32 минуты 17 секунд записывается так: 60°32’17».
Так как градус составляет часть развернутого угла, развернутый угол равен 180°.
Определение. Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называют градусной мерой угла.
В зависимости от градусной меры углы бывают трех видов: острые, прямые и тупые.
Определение. Угол, равный 90°, называют прямым углом. Прямой угол обозначается буквой d. Угол, меньший 90°, называют острым углом. Угол, больший 90°, называют тупым углом.
Градусные меры угла обозначаются или так же, как сами углы, или буквами греческого алфавита. Например, запись читается: величина (или градусная мера) угла АОВ равна 45 градусам. На рисунке 2.66 величина острого угла записана: , читаем: величина угла меньше 90 градусов. Аналогично записываются и читаются величины прямого и тупого углов (рис. 2.67, 2.68).
Основные свойства измерения углов
Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Например, на рисунке 2.69 луч ОС проходит между сторонами угла АОВ, градусная мера угла АОВ равна сумме градусных мер углов АОС и СОВ, то есть
Для измерения градусных мер углов (величин углов) на уроках геометрии применяется транспортир (рис. 2.70). На рисунке 2.71 показано, как с помощью транспортира можно измерять угол в 30°, 90°, 120°. На рисунке 2.72 показано, как с помощью транспортира можно отложить от полупрямой OA в верхнюю полуплоскость угол с данной градусной мерой 60°.
Пример:
Между сторонами угла COD, равного 120°, проходит луч OA. Найдите углы СОА и AOD, если их градусные меры относятся как 4:2.
Решение:
Из условия задачи имеем:
1.
2. Луч OA проходит между сторонами угла COD.
3.
Найдите градусные меры углов СОА и AOD.
4. (2, свойства измерения углов).
5. Так как градусные меры углов СОА и AOD относятся как 4:2, то можно считать, что состоит из 6 частей (1, 2, 3, 4).
6.
Равенство углов. Биссектриса угла
Как и при определении равенства отрезков, рассматриваются два определения равенства углов.
Определение. Углы равны, если равны их градусные меры.
На рисунке 2.73 изображены два угла ABC и DEM, величины которых равны, а значит, по определению, эти углы равны. Равенство углов обозначается так:
Определение. Углы называются равными, если их можно совместить наложением друг на друга.
Развернутые углы при наложении всегда могут быть совмещены. Отсюда следует, что все развернутые углы равны между собой. Полные углы равны между собой.
Пусть есть два угла: (рис. 2.74). Если угол 1 наложить на угол 2 так, чтобы их вершины совпали, одна из сторон угла 1 совместится со стороной угла 2, но при этом угол 1 составит только часть угла 2 (рис. 2.75). В этом случае говорят, что величина угла 1 меньше величины угла 2. Можно сформулировать по-другому: угол 1 меньше угла 2.
Используя понятие равенства углов, можно дать определение одному из важных понятий геометрии — биссектрисе угла.
Определение. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.
На рисунке 2.76 луч ОМ — биссектриса угла АОВ, при этом
Смежные углы
Определение. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке 2.77 являются смежными, так как лучи OA и ОС — дополнительные полупрямые, а луч ОВ — общая сторона этих углов.
Теорема 4.
Сумма смежных углов равна 180°.
Из теоремы 4 вытекают следующие следствия — свойства смежных углов.
Следствие 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Следствие 2. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Следствие 3. Угол, смежный с острым, является тупым, а смежный с тупым — острым.
Вертикальные углы
На рисунке 2.78 изображены две пересекающиеся в точке О прямые АВ и CD. При пересечении этих прямых образовалось четыре угла:
Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.
На рисунке 2.78 углы 1 и 3, 2 и 4 вертикальные.
Теорема 5.
Вертикальные углы равны.
Очевидно, что две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Смежные углы дополняют друг друга до 180°. Угловая мера меньшего из них называется углом между прямыми.
Пример:
На рисунке 2.79 угол COD равен 30°. Чему равны углы АОК и DOK?
Решение:
Из условия задачи имеем:
1. Прямые СК и AD пересекаются в точке О.
2. (рис. 2.79)
3. Найдите углы АОК и DOK.
4. Углы COD и АОК вертикальные (1, определение вертикальных углов).
5. (2, свойство вертикальных углов).
6. Угол DOK смежный с углом COD (1, определение смежных углов).
7. (6, свойство смежных углов).
Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:
Математика решение заданий и задач
Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:
Угол.
Градусная мера угла.
Альфашкола
Статьи
Угол
Понятие угла является одним из наиболее важных определений в геометрии. У́гол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами, сторонами угла, выходящими из одной точки, которая называется вершиной угла. Понятия равенства и суммы углов часто используется в тригонометрии. Например, углы \(15,30,45\) градусов.
Наиболее распространенными единицами измерения угла являются градус и радиан. Один градус — это «\(\frac{1}{360}\)» полного круга. \(90\) градусов — это четверть круга, \(180\) – половина круга, \(270\) — три четверти круга и \(360\) это целый круг. Прямой угол равен \(90\) градусов, острый угол больше \(0\) и меньше \(90\) градусов и тупой угол больше \(90\) градусов и меньше \(180\) градусов. Развернутый угол равен \(180\) градусам.
Мы изучаем углы от \(0\)° до \(360\)°, но есть углы больше \(360\)° и отрицательные углы.
Градусы могут быть разделены на минуты и секунды. Каждый градус делится на \(60\) равных частей, которые называются минутами. Так семь с половиной градусов можно сказать \(7\) градусов и \(30\) минут и записать \(7\) ° \(30\)’. Каждая минута делится на \(60\) равных частей, каждая из которых равна одной секунде. Например, \(2\) градуса \(5\) минут \(30\) секунд записывается \(2\)° \(5\)’ \(30\)». Деление градуса на минуты и секунды аналогично делению часа на минуты и секунды времени.
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Наши преподаватели
Анна Фёдоровна Ринкман
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Коми государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике 1-4 классов и русскому языку 1-6 классов. Помогаю дошкольникам и ученикам младшей школы легко и доступно понять учебный материал. Работала по программе Л. Г. Петерсон. Терпеливо и творчески нахожу подход к каждому ученику.
Мария Николаевна Тимоня
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
ФГБОУ ВО Марийский государственный университет
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике для 5-9 классов. Готовлю к ОГЭ. Вместе разберемся со всеми сложностями, вам стоит лишь поверить в себя.
Я обожаю моменты, когда даже самые трудные задачи решаются! Эмоциональное удовлетворение, духовный подъем — вот что дарит математика
Валерия Сергеевна Архипова
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
МГУ им. А.Кулешова
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике 5-8 классов и по физике 5-7 классов.
«Числа управляют миром», – говорили пифагорейцы. Но числа дают возможность человеку управлять миром, и в этом нас убеждает весь ход развития науки и техники наших дней.
Цель моих занятий — объяснить, а не заучить, поэтому даже после прохождения курса у ученика остаются знания, ведь понимание — ключ к дальнейшему развитию.
Похожие статьи
Геометрическая прогрессия
Что такое процент?
Как решать показательные уравнения?
ЕГЭ по математике, профильный уровень. Неравенства
Как найти точку пересечения плоскости и прямой
Как вести себя преподавателю со «сложными» детьми
Полезные упражнения для тех, кто долго сидит за учебниками: зарядка для глаз
Тупики памяти или почему мы легко запоминаем песни, но не помним даты?
Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия
Справочник по математике
Геометрия (Планиметрия)
Углы
Углом называют часть плоскости, ограниченную двумя лучами, выходящими из одной точки. Лучи,ограничивающие угол, называют сторонами угла. Точку, из которой выходят лучи, называют вершиной угла.
Схему обозначения углов рассмотрим на примере угла, изображенного на рисунке 1.
Рис.1
Изображенный на рисунке 1 угол можно обозначить тремя способами:
Углы называют равными углами, если их можно совместить.
Если при пересечении двух прямых образуются четыре равных угла, то такие углы называют прямыми углами (рис.2). Пересекающиеся прямые линии, образующие прямые углы, называют перпендикулярными прямыми.
Рис.2
Если через точку A, не лежащую на прямой l, проведена прямая, перпендикулярная к прямой l и пересекающая прямую l точке B, то говорят, что из точки B опущен перпендикупяр AB на прямую l (рис.3). Точку B называют основанием перпендикуляра AB.
Рис.3
Замечание. Длину отрезка AB называют расстоянием от точки A до прямой l.
Углом в 1° (один градус) называют угол, составляющий одну девяностую часть прямого угла.
Угол, в k раз больший угла в 1°, называют углом в k° ( k градусов).
Углы измеряют также и в радианах. О радианах можно прочитать в разделе нашего справочника «Измерение углов. Градусы и радианы».
Таблица 1 – Типы углов в зависимости от величины в градусах
Рисунок
Типы углов
Свойства углов
Прямой угол
Прямой угол равен 90°
Острый угол
Острый угол меньше 90°
Тупой угол
Тупой угол больше 90°, но меньше 180°
Развернутый угол
Развернутый угол равен 180°
Угол больший, чем развернутый
Такой угол больше 180°, но меньше 360°
Полный угол
Полный угол равен 360°
Угол, равный нулю
Такой угол равен 0°
Прямой угол
Свойство:
Прямой угол равен 90°
Острый угол
Свойство:
Острый угол меньше 90°
Тупой угол
Свойство:
Тупой угол больше 90°, но меньше 180°
Развернутый угол
Свойство:
Развернутый угол равен 180°
Угол больший, чем развернутый
Свойство:
Такой угол больше 180°, но меньше 360°
Полный угол
Свойство:
Полный угол равен 360°
Угол, равный нулю
Свойство:
Такой угол равен 0°
Таблица 2 – Типы углов в зависимости расположения сторон
Рисунок
Типы углов
Свойства углов
Вертикальные углы
Вертикальные углы равны
Смежные углы
Сумма смежных углов равна 180°
Углы с соответственно параллельными сторонами
Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если оба являются острыми или оба являются тупыми
Сумма углов с соответственно параллельными сторонами равна 180°, если один из них острый, а другой тупой
Углы с соответственно перпендикулярными сторонами
Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны, если оба являются острыми или оба являются тупыми
Сумма углов с соответственно перпендикулярными сторонами равна 180°, если один из них острый, а другой тупой
Вертикальные углы
Свойство вертикальных углов:
Вертикальные углы равны
Смежные углы
Свойство смежных углов:
Сумма смежных углов равна 180°
Углы с соответственно параллельными сторонами
Свойство углов с соответственно параллельными сторонами:
Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если оба являются острыми или оба являются тупыми
Свойство углов с соответственно параллельными сторонами:
Сумма углов с соответственно параллельными сторонами равна 180°, если один из них острый, а другой тупой
Углы с соответственно перпендикулярными сторонами
Свойство углов с соответственно перпендикулярными сторонами:
Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны, если оба являются острыми или оба являются тупыми
Свойство углов с соответственно перпендикулярными сторонами:
Сумма углов с соответственно перпендикулярными сторонами равна 180°, если один из них острый, а другой тупой
Определение. Биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.
Задача. Доказать, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
Решение. Рассмотрим рисунок 4.
Рис.4
На этом рисунке углы AOB и BOC – смежные, а лучи OE и OD – биссектрисы этих углов. Поскольку
2α + 2β = 180°.
то
α + β = 90°,
что и требовалось доказать.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Что такое углы? Определение, свойства, типы, части, примеры
Что такое угол?
Угол образуется, когда две прямые линии или лучи пересекаются в общей конечной точке. Общая точка касания называется вершиной угла. Слово «угол» происходит от латинского слова «angulus», что означает «угол».
Углы вокруг нас:
Существует множество примеров использования углов в повседневной жизни, таких как вешалки для одежды, наконечники стрел, ножницы, частично открытые двери, пирамиды, край стола, край линейки и т. д.
Символ угла
Символ ∠ обозначает угол. Углы измеряются в градусах (°) с помощью транспортира.
Например, 45 градусов представляют как 45°
Части углов
Вершина: Вершина — это угол угла, точка, где встречаются две линии/стороны. O — вершина на данной фигуре.
Плечи: Две стороны угла, соединенные в общем конце. ОА и ОВ — стороны угла.
Исходная сторона: Также известная как опорная линия, прямая линия, от которой строится угол. OB – это опорная линия.
Сторона клеммы: Сторона, до которой выполняется измерение угла. На приведенной ниже диаграмме OA является конечной стороной.
Типы углов
Основываясь на их измерениях, вот различные типы углов:
Острый угол меньше 90° при вершине.
Тупой угол составляет от 90° до 180°.
Прямой угол точно измеряет 90° в вершине.
Угол, равный 180°, является прямым углом .
A Угол рефлекса измеряется в пределах 180°-360°.
A в сборе угол измеряет 360°.
Внутренние и внешние углы:
Внутренние углы: Внутренние углы — это углы, образованные внутри или внутри формы.
Здесь ∠ABC, ∠BCA и ∠CAB — внутренние углы.
Внешние углы: Внешние углы — это углы, образованные вне формы, между любой стороной фигуры и продолженной смежной стороной. Здесь ∠ACD — внешний угол.
Дополнительные и дополнительные углы:
Дополнительные углы: Углы, сумма которых составляет 90° (прямой угол), называются дополнительными углами.
Здесь ∠BXC и ∠CXD — дополнительные углы.
Дополнительные углы: Углы, сумма которых составляет 180° (прямой угол), называются дополнительными углами.
Здесь ∠AXD и ∠CXD — дополнительные углы.
Применение углов в реальной жизни
Инженеры строят здания, мосты, дома, памятники и т. д., используя измерение углов.
Спортсмены используют его концепцию в спорте для повышения своих результатов.
Плотники используют его для изготовления такого оборудования, как двери, стулья, диваны, столы и т. д.
Художники используют свои знания в области измерений для создания эскизов или создания произведений искусства.
Настенные часы используют концепцию углов для отображения времени с помощью часовой и минутной стрелок.
Как построить угол (с помощью транспортира)
Нарисуйте луч OA любой длины.
Теперь поместите транспортир в эту точку так, чтобы его середина касалась отмеченной точки O.
Теперь отметьте точку B на верхней круглой части транспортира в соответствии с предпочтительным углом, например, 40°.
Нарисуйте прямую линию, соединяющую эти две точки, O и B.
Отметьте градус угла, образованного при пересечении двух сторон прямой линии.
Видение Splashlearn состоит в том, чтобы изменить образование для учащихся K-5-х классов. Он обеспечивает индивидуальное обучение для каждого учащегося в соответствии с требованиями 21 века. SplashLearn позволяет учащимся изучать математику с помощью увлекательной индивидуальной программы. SplashLearn доступен на всех цифровых платформах, и им воспользовались более 40 миллионов студентов по всему миру.
Чтобы узнать больше об углах, нажмите здесь.
Решенные примеры
Пример 1
Найдите недостающий угол x на рисунке.
Решение:
Мы видим a ∠x + 35° = 90°
∠x = (90 – 35)° = 55°
Пример 2
Решите для x.
Решение:
5x — 70 = 105 (альтернативные углы)
5x = 175
Следовательно, x = 35 °
Пример 3
в треугольнике ABC, ♂ = 90 и omb = 30. Найдите ∠C?
Решение:
Сумма всех трех внутренних углов треугольника равна 180°. Следовательно, 90° + 30° + х = 180°.
Найдите x
x = 180 – (90 + 30) = 60°.
Практические задачи
360 °
180 °
270 °
90 °
Правильный ответ: 360 ° Сумма всех углов. дополнительные углы
углы отражения
дополнительные углы
Правильный ответ: дополнительные углы Углы, сумма которых равна 90° называются дополнительными углами.
вертикальных угла
дополнительных угла
угла отражения
дополнительных угла
Правильный ответ: вертикальные углы Углы, противоположные друг другу, называются вертикальными углами.
Часто задаваемые вопросы
Укажите типы углов в зависимости от направления цикла?
Углы бывают двух типов в зависимости от направления цикла:
Положительные углы: Положительные углы измеряются против или против часовой стрелки от базовой линии. Положительные углы записываются со знаком плюс или без него перед углами. Он рисуется из плоскости (+x, +y).
Отрицательные углы: Отрицательные углы измеряются по часовой стрелке от базовой линии. Он рисуется из начала координат в плоскости (+x, -y).
Всегда ли сумма углов на прямой составляет 180°?
Углы, имеющие общую вершину и одну сторону прямой, в сумме дают 180°.
Углы с общей вершиной, занимающей пространство вокруг точки, в сумме дают 360°.
Какие бывают углы?
Типы углов, основанные на измерении:
Прямой угол
Прямой угол
Угол отражения
Тупой угол
Острый угол
4 Каково применение углов в математике?
Инженеры и архитекторы используют углы для строительства, измерения, проектирования и т. д. Архитекторы и инженеры используют их для проектирования дорог, зданий и спортивных сооружений.
Типы углов, определение, свойства, примеры
Углы образуются при пересечении двух прямых в одной точке. Мера «расстояния» между этими двумя лучами называется «углом». Обозначается символом ∠. Углы обычно измеряются в градусах и радианах, что является мерой округлости или вращения. Углы являются частью нашей повседневной жизни. Инженеры и архитекторы используют углы для проектирования дорог, зданий и спортивных сооружений.
1.
Что такое углы?
2.
Типы углов и их свойства
3.
Углы на основе поворота
4.
Как измерить угол?
5.
Как построить углы?
6.
Часто задаваемые вопросы об углах
Что такое углы?
В геометрии угол образуется при соединении двух лучей в их концах. Эти лучи называются сторонами или плечами угла. Давайте прочитаем о различных частях угла.
Части угла
С углом связаны две основные части — стороны и вершина.
Плечи угла
Два луча, которые соединяются в одной точке, образуя угол, называются плечами угла . Обратите внимание на приведенный ниже рисунок, на котором показано, что ОА и ОВ являются сторонами угла АОВ.
Вершина угла
Вершина является общей конечной точкой, общей для двух лучей. Обратите внимание на рисунок, на котором вершина O отмечена как точка соединения двух плеч.
Мера угла
Угол измеряется в градусах. Один полный оборот вокруг точки образует полный угол в 360°.
Лучший способ измерить угол — использовать транспортир. Транспортир представляет собой измерительный инструмент, имеющий форму полукруга. Это полупрозрачный инструмент, который помогает нам измерять углы в градусах. Он имеет градусы, отмеченные по часовой стрелке от 0° до 180° на внешней шкале и против часовой стрелки от 0° до 180° на внутренней шкале.
Типы углов и их свойства
Существует шесть типов углов. Каждый тип угла имеет уникальную идентификацию на основе измерения угла. Давайте прочитаем о каждом типе угла в отдельности вместе с их свойствами.
Острый угол
Острый угол — это угол, градусная мера которого больше 0° и меньше 90°.
Прямой угол
Когда угол равен 90°, он называется прямым углом. Прямой угол легко заметить, так как он образует форму буквы L.
Тупой угол
Когда угол меньше 180°, но больше 90°, это тупой угол.
Прямой угол
Угол, образованный прямой линией, называется прямым углом. Другими словами, прямой угол — это прямая линия, а угол, образованный между двумя лучами, равен 180°. Под прямым углом два луча противоположны друг другу. Два прямых угла составляют прямой угол. Поскольку мера прямого угла равна 180°, он составляет половину полного оборота окружности.
Угол рефлекса
Угол рефлекса — это угол, величина которого больше 180°, но меньше 360°.
Полный угол
Когда измерение угла равно 360°, это полный угол.
Угол, основанный на вращении
В зависимости от направления измерения или направления вращения углы могут быть двух типов:
Положительные углы
Отрицательные углы
Положительные углы Угол, измеренный в направлении против часовой стрелки (против часовой стрелки), является положительным углом. Другими словами, положительные углы — это те углы, которые повернуты от основания в направлении против часовой стрелки.
Отрицательные углы Отрицательные углы — это те углы, которые измеряются по часовой стрелке от основания. Другими словами, отрицательные углы — это те углы, которые представляют собой углы, повернутые от основания по часовой стрелке.
Как измерить угол?
Мы используем транспортиры для измерения углов. Обратите внимание на приведенный ниже рисунок, на котором показано ∠AOB. Давайте попробуем и посмотрим, сможем ли мы выяснить, к какому типу относится угол ∠AOB. Разве это не похоже на острый угол? Это означает, что его мера больше 0° и меньше 90°. Давайте научимся измерять этот угол с помощью транспортира.
Как измерить острый угол?
Попробуем измерить заданный ∠AOB.
Шаг 1: Совместите транспортир с лучом OB, как показано ниже. Начните считывать внутреннюю шкалу с отметки 0 ° в правом нижнем углу транспортира.
Шаг 2: Число на транспортире, которое совпадает со вторым лучом , является мерой угла. Измерьте угол, используя внутреннюю шкалу транспортира. Таким образом, ∠AOB = 37°
Как измерить тупой угол?
Теперь попробуем измерить заданный ∠AOC.
Шаг 1: Измерьте угол по внешней шкале транспортира от отметки 0° в нижнем левом углу .
Шаг 2: Число на внешней шкале транспортира, совпадающее с OA, является мерой ∠AOC. Таким образом, ∠AOC = 143°
Как построить углы?
Транспортиром строим углы. Начертим угол 50°.
Шаг 1: Сначала нарисуйте луч OB и совместите транспортир с OB , как показано.
Шаг 2: Используя внутреннюю шкалу транспортира, отметьте точку A над отметкой на транспортире, которая соответствует 50°.
Шаг 3: Снимите транспортир и проведите луч, начинающийся в точке O и проходящий через эту точку A. Таким образом, ∠AOB — искомый угол, то есть ∠AOB = 50°.
Примечание. Если луч идет в другом направлении, мы измеряем угол по внешней шкале от отметки 0° внизу слева.
На приведенном ниже рисунке показано, как нарисовать угол 50°, когда луч направлен в другую сторону.
После установки транспортира на OB мы используем внешнюю шкалу и отмечаем 50°, как показано. Затем мы отмечаем эту точку как A и соединяем ее с точкой O. Это образует угол AOB = 50°
Важные замечания по углам
0°< Острый угол < 90°
90°< Тупой угол < 180°
180° < угол отражения < 360°
Прямой угол равен 90°
Прямой угол равен 180°.
☛ Связанные статьи
Пары уголков
Секущие и смежные углы
Внутренние уголки
Углы Примеры
Пример 1: Обратите внимание на размеры углов и определите тип углов для каждой фигуры.
Решение:
а) Данный угол равен 40°. Это острый угол, потому что его градусная мера меньше 90°. б) данный угол равен 117°. Это тупой угол, потому что его градусная мера больше 90°, но меньше 180°. в) данный угол равен 121°. Это тупой угол, потому что его градусная мера больше 90°, но менее 180°. г) данный угол равен 185°. Это рефлекторный угол, потому что его величина больше 180°, но меньше 360°.
Пример 2:
Классифицируйте следующие углы на острые, тупые, прямые и отраженные. а) 24° б) 150° в) 90° г) 270°
Решение:
(а) 24° лежит между 0° и 90°, значит угол острый. (b) 154° лежит между 90° и 180°, поэтому это тупой угол. (c) 90° известен как прямой угол. (d) 270° находится между 180° и 360°, поэтому это рефлекторный угол.
Пример 3: Запишите верно или неверно следующие утверждения:
a.) 180° < угол отражения < 360°
b. ) 0°< тупой угол < 90°
7 c. ) Два луча, соединяющиеся в одной точке и образующие угол, называются сторонами угла.
Решение:
a.) Верно, 180° < угол отражения < 360°
b.) Неверно, 0°< острый угол < 90°
c.) Верно, два луча, которые соединяются в общие точки, образующие угол, называются плечами угла.
перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду
Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок
Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.
Записаться на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по углам
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы об углах
Что такое угол в математике?
Углы образуются при пересечении двух лучей в одной точке. «Отверстие» между этими двумя лучами называется «углом», который обозначается символом ∠. Углы обычно измеряются в градусах и выражаются как 60°, 90° и так далее.
Какие бывают 6 типов углов?
6 типов углов: прямые углы, острые углы, тупые углы, прямые углы, рефлекторные углы и полные углы.
Как вы описываете углы?
Угол можно описать как фигуру, образованную двумя лучами, встречающимися в общей конечной точке, называемой вершиной угла.
☛ Также проверьте:
Рабочие листы углов
Углы в четырехугольнике Рабочие листы
Геометрические углы Рабочие листы
Какие бывают типы углов, основанные на вращении?
В зависимости от направления измерения или направления вращения углы можно разделить на два типа:
Положительные углы: Положительные углы — это углы, которые измеряются и поворачиваются от основания в направлении против часовой стрелки.
Отрицательные углы: отрицательные углы — это те углы, которые измеряются и поворачиваются от основания по часовой стрелке.
В чем разница между прямым углом и рефлекторным углом?
Прямой угол – это прямая линия, а угол между двумя лучами равен 180°. Его можно образовать путем совмещения двух смежных прямых углов. Другими словами, два прямых угла составляют прямой угол. Принимая во внимание, что угол рефлекса больше 180°, но меньше 360°.
Какие бывают виды углов, образованных при прохождении секущей через параллельные прямые?
Когда секущая проходит через параллельные прямые, образуется много пар углов, таких как соответствующие углы, вертикально противоположные углы, чередующиеся внутренние углы и чередующиеся внешние углы.
Какие типы углов меньше 180°?
Существует два типа углов, мера которых меньше 180°, т. е. острые и тупые углы. Мера острых углов всегда меньше 90°, а тупых углов больше 90°, но всегда меньше 180°. Примеры острых углов: 50°, 60°, тупые углы: 170°, 165°.
Какова сумма всех трех углов треугольника?
Сумма трех углов треугольника равна 180°.
☛ Проверить сейчас:
Углы треугольника Рабочие листы
Калькулятор углов треугольника
Сколько углов по 90 градусов в прямом угле?
В 180-градусном или прямом угле есть два угла 90°. Так как 90° + 90° = 180°, то в прямом углу два угла по 90°.
Перечислите типы парных углов.
Типы уголков попарно перечислены ниже:
Смежные углы
Дополнительные уголки
Дополнительные уголки
Альтернативные внутренние углы
Альтернативные внешние углы
Соответствующие углы
Вертикальные уголки
Последовательные внутренние углы
Что такое полный угол?
Когда угол завершает полный оборот, начиная с 0° и заканчивая 360°, он называется полным углом. Другими словами, полный угол равен 360°.
Угол (математика) — Энциклопедия Нового Света
Эта статья об углах в геометрии.
«∠», символ угла.
В геометрии и тригонометрии угол (или плоский угол ) — это фигура, образованная двумя лучами, имеющими общий конец. Конечная точка называется вершиной угла. Величина угла представляет собой «величину поворота», разделяющую два луча, и может быть измерена путем рассмотрения длины дуги окружности, выметаемой, когда один луч поворачивается вокруг вершины, чтобы совпасть с другим (см. «Измерение углов, » ниже).
Содержание
1 История
2 Измерение углов
2.1 Единицы
2.2 Положительные и отрицательные углы
2.3 Приблизительно
3 типа уголка
4 Формальное определение
4.1 Использование тригонометрических функций
4.2 Использование вращения
5 Углы между кривыми
6 Скалярное произведение и обобщение
7 Углы в римановой геометрии
8 углов в географии и астрономии
9 См. также
10 Примечания
11 Каталожные номера
12 Внешние ссылки
13 кредитов
Слово угол происходит от латинского слова angulus, означает «угол». Слово angulus является уменьшительным, примитивная форма которого angus, не встречается в латыни. Родственными словами являются латинское angere, , означающее «сжимать в изгиб» или «задушить», и греческое ἀγκύλος 9.0723 (ankyοs), означает «кривой, искривленный»; оба связаны с корнем PIE *ank-, , означающим «сгибаться» или «поклоняться». [1]
История
Евклид определяет плоский угол как наклон друг к другу в плоскости двух линий, которые встречаются друг с другом и не лежат прямо по отношению друг к другу. Согласно Проклу, угол должен быть либо качеством, либо количеством, либо отношением. Первое понятие использовал Евдем, рассматривавший угол как отклонение от прямой линии; второй — Карпом Антиохийским, который рассматривал его как промежуток или пространство между пересекающимися линиями; Евклид принял третью концепцию, хотя и свои определения прямых, острых и тупых углов.
Измерение углов
Угол θ является частным s и r .
Для измерения угла θ дуга окружности с центром в вершине угла рисуется, например, с помощью циркуля. Затем длина дуги s делится на радиус окружности r и, возможно, умножается на константу масштабирования k (которая зависит от выбранных единиц измерения):
Определенное таким образом значение θ не зависит от размера круга: изменяется длина радиуса, то в той же пропорции изменяется и длина дуги, так что соотношение s / r не меняется.
Во многих геометрических ситуациях углы, которые отличаются на точное число, кратное полному кругу, фактически эквивалентны (не имеет значения, сколько раз линия проходит полный круг, потому что она всегда заканчивается в одном и том же месте). Тем не менее, это не всегда так. Например, при отслеживании кривой, такой как спираль, с использованием полярных координат дополнительный полный оборот приводит к совершенно другой точке кривой.
Единицы измерения
Углы считаются безразмерными, так как они определяются как отношение длин. Однако есть несколько единиц, используемых для измерения углов, в зависимости от выбора константы k в приведенной выше формуле.
За заметным исключением радиана, большинство единиц углового измерения определяются таким образом, что один полный круг (т. е. один оборот) равен n единиц, для некоторого целого числа n (например, в случае градусов, н = 360). Это эквивалентно установке k = n /2 π в приведенной выше формуле. (Чтобы понять почему, обратите внимание, что один полный круг соответствует дуге, равной длине окружности, которая равна 2 πr , поэтому s = 2 πr . Подставляя, мы получаем θ = ks / r = 2 πk . Но если один полный круг должен иметь числовое угловое значение n , то нам нужно θ = n . Это достигается установкой k = n /2 π .)
градусов , обозначенные маленьким кругом в верхнем индексе (°), составляют 1/360 полного круга, поэтому один полный круг равен 360°. Одним из преимуществ этой старой шестидесятеричной единицы измерения является то, что многие углы, распространенные в простой геометрии, измеряются целым числом градусов. (Проблема измерения 90 723 всех 90 724 «интересных» углов в виде целых чисел, конечно, неразрешима.) Доли градуса можно записать в обычном десятичном представлении (например, 3,5 ° для трех с половиной градусов), но следующие шестидесятеричные единицы системы «градус-минута-секунда» также используются, особенно для географических координат, а также в астрономии и баллистике:
угловых минут (или МОА , угловых минут или просто минут ) составляет 1/60 градуса. Он обозначается одним штрихом ( ′ ). Например, 3° 30′ равно 3 + 30/60 градусам или 3,5 градусам. Также иногда используется смешанный формат с десятичными дробями, например, 3° 5,72′ = 3 + 5,72/60 градусов. Морская миля исторически определялась как минута дуги вдоль большого круга Земли.
угловых секунд (или угловых секунд , или просто секунд ) составляет 1/60 угловой минуты и 1/3600 градуса. Он обозначается двойным штрихом ( ″ ). Например, 3° 7′ 30″ равно 3 + 7/60 + 30/3600 градусов или 3,125 градуса.
θ = с / r рад = 1 рад.
радиан — это угол, образуемый дугой окружности, длина которой равна радиусу окружности ( k = 1 в приведенной выше формуле). Один полный круг равен 2 π радиана, а один радиан равен 180/ π градуса, или примерно 57,2958 градуса. Радиан обозначается аббревиатурой рад, , хотя этот символ часто опускается в математических текстах, где предполагается радиан, если не указано иное. Радиан используется практически во всех математических работах, помимо простой практической геометрии, благодаря, например, приятным и «естественным» свойствам, которые демонстрируют тригонометрические функции, когда их аргументы выражены в радианах. Радиан — это (производная) единица измерения угла в системе СИ.
мил равно приблизительно , равному миллирадиану. Есть несколько определений.
Полный оборот (или оборот , оборот , полный оборот или цикл ) является одним полным оборотом. Оборот и вращение обозначаются rev и rot, соответственно, а просто r в об/мин (оборотов в минуту). 1 полный круг = 360° = 2 π рад = 400 гон = 4 прямых угла.
Прямой угол составляет 1/4 полного круга. Это единица измерения, используемая в «Элементах» Евклида. 1 прямой угол = 90° = π /2 рад = 100 гон.
Угол равностороннего треугольника составляет 1/6 часть полной окружности. Это устройство использовали вавилоняне, и его особенно легко построить с помощью линейки и циркуля. Градус, угловая минута и угловая секунда являются шестидесятеричными единицами вавилонской единицы измерения. Одна вавилонская единица = 60° = π /3 рад ≈ 1,047197551 рад.
град , также называемый град , град или град составляет 1/400 полного круга, поэтому один полный круг равен 400 градам, а прямой угол равен 100 градам. Это десятичная единица прямого угла. Километр исторически определялся как сантиметр дуги вдоль большого круга Земли, поэтому километр является десятичным аналогом шестидесятеричной морской мили. Гон используется в основном в триангуляции.
Точка , используемая в навигации, составляет 1/32 полного круга. Это бинарная субъединица полного круга. Назвать все 32 точки на розе ветров называется «боксирование компаса». 1 точка = 1/8 прямого угла = 11,25° = 12,5 угольника.
Астрономический часовой угол составляет 1/24 полного круга. Шестидесятеричные единицы назывались минут времени и секунд времени (хотя они и являются угловыми единицами). 1 час = 15° = π /12 рад = 1/6 прямого угла ≈ 16,667 гон.
Двоичный градус , также известный как двоичный радиан (или брэд ), составляет 1/256 полного круга. Двоичная степень используется в вычислениях, чтобы угол можно было эффективно представить одним байтом.
уклон уклона или уклон не является на самом деле мерой угла (если только он явно не указан в градусах, как это иногда бывает). Вместо этого он равен тангенсу угла, а иногда и синусу. Градиенты часто выражаются в процентах. Для обычно встречающихся небольших значений (менее 5%) уклон уклона приблизительно равен углу в радианах.
Положительные и отрицательные углы
Общепринятое соглашение в математической письменной форме состоит в том, что углы со знаком составляют положительных углов при измерении против часовой стрелки и отрицательных углов при измерении по часовой стрелке от данной линии. Если линия не указана, можно предположить, что это ось x в декартовой плоскости. Во многих геометрических ситуациях отрицательный угол — θ фактически эквивалентен положительному углу «один полный оборот меньше θ ». Например, поворот по часовой стрелке на 45° (то есть угол -45°) часто фактически эквивалентен повороту против часовой стрелки на 360° — 45° (то есть угол 315°).
В трехмерной геометрии «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки» не имеют абсолютного значения, поэтому направление положительных и отрицательных углов должно быть определено относительно некоторой точки отсчета, которая обычно представляет собой вектор, проходящий через вершину угла и перпендикулярный плоскости в котором лежат лучи угла.
В навигации азимут измеряется с севера, увеличиваясь по часовой стрелке, поэтому азимут 45 градусов соответствует северо-востоку. Отрицательные азимуты не используются в навигации, поэтому северо-запад составляет 315 градусов.
Приблизительно
1° примерно соответствует ширине мизинца на расстоянии вытянутой руки
10° примерно соответствует ширине сжатого кулака на расстоянии вытянутой руки.
20° примерно соответствует ширине размаха рук на расстоянии вытянутой руки.
Типы уголков
Прямой угол.
Острые ( a ), тупые ( b ) и прямые ( c ) углы. Здесь a и b — дополнительные углы.
Угол рефлекса.
Дополнительные углы a и b ( b является дополнением a , а a является дополнением b ).
Угол 90° ( π /2 радиана, или четверть полного круга) называется прямым углом .
Две линии, образующие прямой угол, называются перпендикулярными или ортогональными .
Углы меньше прямого угла (менее 90°) называются острыми углами («острый» означает «острый»).
Углы больше прямого угла и меньше двух прямых углов (между 90° и 180°) называются тупыми углами («тупой» означает «тупой»).
Углы, равные двум прямым углам (180°), называются прямыми углами .
Углы больше двух прямых, но меньше полной окружности (от 180° до 360°) называются рефлекторными углами .
Углы, имеющие одинаковую меру, называются -конгруэнтными .
Два противоположных угла, образованные двумя пересекающимися прямыми линиями, образующими форму, подобную букве «X», называются 9.0730 вертикальные углы или противоположные углы . Эти углы равны.
Углы, имеющие общую вершину и ребро, но не имеющие общих внутренних точек, называются смежными углами .
Два угла, сумма которых составляет один прямой угол (90°), называются дополнительными углами .
Разность между углом и прямым углом называется дополнением угла.
Два угла, которые в сумме составляют прямой угол (180°), называются дополнительные уголки .
Разница между углом и прямым углом называется дополнением угла.
Два угла, сумма которых составляет один полный круг (360°), называются дополнительными углами или сопряженными углами .
Меньший угол в точке соединения двух отрезков называется внутренним углом .
В евклидовой геометрии сумма внутренних углов треугольника равна π радиана или 180°; меры внутренних углов простого четырехугольника составляют в сумме 2 90 723 π 90 724 радиана, или 360°. В общем, меры внутренних углов простого многоугольника с n сторонами в сумме составляют [( n — 2) × π ] радиан, или [( n — 2) × 180]°.
Угол, дополнительный к внутреннему углу, называется внешним углом .
Угол между двумя плоскостями (например, двумя соседними гранями многогранника) называется двугранный угол . Его можно определить как острый угол между двумя прямыми, перпендикулярными плоскостям. {2}}}}} = {\ frac {y} {x}} = {\ frac {-y} {-x}} = {\ frac {\ sin (\ theta + \ pi)} {\ cos (\тета +\пи )}}} 9{2}}. Угол между двумя векторами будет просто углом поворота, который отображает один на другой. У нас пока нет численного способа определения угла. Для этого мы выбираем вектор (1,0) {\ displaystyle (1,0)}, затем для любой точки M на T {\ displaystyle \ mathbb {T}} на расстоянии θ {\ displaystyle \ theta} от ( 1,0){\displaystyle (1,0)} (на окружности), пусть u→=OM→{\displaystyle {\vec {u}}={\overrightarrow {OM}}}. Если мы назовем rθ{\displaystyle r_{\theta}} вращение, которое преобразует (1,0){\displaystyle (1,0)} в u→{\displaystyle {\vec {u}}}, то [rθ] ↦θ{\displaystyle \left[r _{\theta}\right]\mapsto \theta} — это биекция, что означает, что мы можем идентифицировать любой угол с числом от 0 до 2π{\displaystyle 2\pi}.
Углы между кривыми
Угол между двумя кривыми определяется как угол между касательными A и B на P
Угол между прямой и кривой (смешанный угол) или между двумя пересекающимися кривых (криволинейный угол) определяется как угол между касательными в точке пересечения. Частным случаям давались различные названия (теперь редко, если вообще когда-либо) давались: амфикиртический (греч. ἀμφί , с обеих сторон, κυρτόσ , выпуклый) или циссоидальный (гр. κισσόσ , плющ), двояковыпуклый; ксистроидальный или систроидальный (гр. ξυστρίσ , инструмент для шабрения), вогнуто-выпуклый; амфицельный (гр. κοίλη , дупло) или angulus lunularis , двояковогнутый.
Скалярное произведение и обобщение
В евклидовой плоскости угол θ между двумя векторами u и v связан с их скалярным произведением и их длинами по формуле
Это позволяет определить углы в любом вещественном пространстве внутреннего произведения, заменив евклидово скалярное произведение · внутренним произведением гильбертова пространства <·,·>.
Углы в римановой геометрии
В римановой геометрии метрический тензор используется для определения угла между двумя касательными. Где U и V — касательные векторы, а 9{j}\right|}}}.}
Углы в географии и астрономии
В географии мы указываем положение любой точки на Земле, используя Географическую систему координат . Эта система определяет широту и долготу любого местоположения с точки зрения углов, лежащих в центре Земли, с использованием экватора и (обычно) меридиана Гринвича в качестве ориентиров.
В астрономии мы аналогичным образом задаем данную точку на небесной сфере, используя любой из нескольких Астрономические системы координат , где ссылки варьируются в зависимости от конкретной системы.
Астрономы также могут измерить угловое расстояние двух звезд, вообразив две линии, проходящие через центр Земли, каждая из которых пересекает одну из звезд. Угол между этими линиями можно измерить, и он представляет собой угловое расстояние между двумя звездами.
Астрономы также измеряют видимый размер объектов.
Например, полная луна имеет угловое измерение примерно 0,5 °, если смотреть с Земли.
Можно сказать: «Луна образует угол в полградуса».
Формула малого угла может использоваться для преобразования такого углового измерения в отношение расстояния к размеру.
См. также
Круг
Квадрат (геометрия)
Треугольник
Примечания
↑ Джонатан Слокум. 2007. Предварительный индоевропейский лексикон: данные Pokorny PIE. Центр лингвистических исследований Техасского университета в Остине . Проверено 13 ноября 2007 г.
Ссылки
Ссылки ISBN поддерживают NWE за счет реферальных сборов
Coxeter, HSM 1989. Introduction to Geometry. Библиотека классики Wiley. Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0471504580.
Эрнисс, Кэтлин и Дон О’Коннор. 1999. Простая геометрия. Торранс, Калифорния: Публикации Фрэнка Шаффера. ISBN 0768202620 .
Гибсон, К.Г. 2004. Элементарная евклидова геометрия: введение для студентов. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0521834481.
Внешние ссылки
Все ссылки получены 19 июня 2021 г.
Биссектрисы четырехугольника в точке пересечения узла.
Построение треугольника по биссектрисам его углов в точке пересечения узла.
Страницы определения угла с интерактивными апплетами.
Различные угловые конструкции с компасом и линейкой Анимированные демонстрации.
Авторы
Энциклопедия Нового Света автора и редактора переписали и дополнили статью Википедии в соответствии со стандартами New World Encyclopedia . Эта статья соответствует условиям лицензии Creative Commons CC-by-sa 3.0 (CC-by-sa), которая может использоваться и распространяться с надлежащим указанием авторства. Кредит должен соответствовать условиям этой лицензии, которая может ссылаться как на Энциклопедия Нового Света участников и самоотверженных добровольных участников Фонда Викимедиа. Чтобы процитировать эту статью, щелкните здесь, чтобы просмотреть список допустимых форматов цитирования. История более ранних вкладов википедистов доступна исследователям здесь:
Угол история
История этой статьи с момента ее импорта в New World Encyclopedia :
История «Угла (математика)»
Примечание. На использование отдельных изображений, которые лицензируются отдельно, могут распространяться некоторые ограничения.
Блестящая вики по математике и естественным наукам
Сандип Бхардвадж,
Хаммад Джамиль,
Джордан Калмс,
а также
способствовал
Содержимое
Типы углов
Дополнительные и дополнительные углы
Вертикальные углы
Погоня за углом
Смотрите также
Углы можно разделить на пять групп в зависимости от их измерения в градусах.
9\ ок. .23∘. □_\квадрат□
Какой из углов на рисунке выше является острым?
A) AOD\quad \text{A) } AODA) AOD B) COA\quad \text{B) } COAB) COA C) BOC\quad \text{C) } BOCC) BOC D) DOB\ quad \text{D) } DOBD) DOB
Ответ C.\text{C}.C. AOD AOD AOD – прямой угол. И COA COACOA, и DOBDOBDOB тупые. Только BOCBOCBOC меньше 9\circ Z−X=(Z+Y)−(X+Y)=180∘−90∘=90∘. □_\квадрат□
Прорабатывая эти пары, мы видим, что единственная пара противоположных углов — это ABCABCABC и HBIHBI HBI. Следовательно, ответ D)\text{D)}D). □_\квадрат□
Примечание : Другая пара вертикальных углов — ABHABHABH и CBICBICBI.
Учитывая, что ABEABE ABE и CBDCBDCBD являются прямыми линиями, пересекающими друг друга, если ∠ABD=75∘ \угол ABD = 75 ^ \circ ∠ABD=75∘, какова мера ∠CBE? \угол CBE?∠CBE? 9\circ,∠BAC=40∘, какова мера ∠ABC \угла ABC ∠ABC (в градусах)?
Пояснение: HFAC,DFG,EDCB,IHGJHFAC, DFG, EDCB, IHGJHFAC,DFG,EDCB,IHGJ являются прямыми линиями.
180
270
360
540
Три отрезка AD,BE,CFAD,BE,CFAD,BE,CF пересекаются в одной точке на диаграмме справа. 9\ циркуляр . \ _\квадрат ∠CAB=180∘−∠ABC−∠BCA=180∘−40∘−60∘=80∘. □
360
480
540
600
Найдите сумму (в градусах) четырех цветных углов на диаграмме.
На рисунке четыре отрезка AB,CD,EF,GHAB, CD, EF, GHAB,CD,EF,GH пересекаются в одной точке. 9\circ∠GHF=85∘.
Удивительные углы и формы — базовая версия
Удивительные углы и формы — средний уровень
Параллельные линии
Перпендикулярные линии
Процитировать как: Углы. Brilliant.org .
Извлекаются из
https://brilliant.org/wiki/angles/
Типы углов — Острые, прямые, тупые, прямые и рефлекторные Углы
Углы — одна из фундаментальных единиц геометрии, встречающаяся даже в природе. Для человека углы являются важным аспектом архитектуры и инженерии. Без него невозможно строить здания, производить машины, строить дороги и плотины и многие другие сооружения. Углы можно найти везде, от кусочка пиццы до плотницких эскизов и дизайна одежды.
Типы углов — острые, прямые, тупые, прямые и обратные углы
Знание углов очень важно, так как они составляют основу геометрии. В следующей статье мы рассмотрим различные типы и важность углов применительно к задачам геометрии. Простой способ начать с концепции состоит в том, что при пересечении двух прямых в точке их пересечения образуется угол. Два луча, образующие угол, называются сторонами угла. Необязательно, чтобы угол образовывался при пересечении двух прямых; он также может быть образован пересечением двух изогнутых линий. Прежде чем понять типы углов, давайте сначала сосредоточимся на том, как их измерять.
Части угла
(Изображение скоро будет загружено)
Угол образуется при пересечении двух лучей в одной точке. При измерении угла одна рука фиксируется в качестве основания, а другая движется по часовой стрелке или против часовой стрелки, образуя угол между ними. Следовательно, все углы имеют две «стороны» или «плеча» и одну «вершину».
Как маркировать углы?
Существует два основных способа обозначения угла:
Как показано на рисунке, углу присваивается греческий алфавит, например альфа (α) или тета (θ). Вы также можете пометить их строчными буквами.
При работе над геометрическими задачами со сложными фигурами углы можно обозначать с помощью маркировки фигуры. Рассмотрим приведенный выше рисунок; например, угол α также можно назвать углом PQR.
Положительные и отрицательные углы
В зависимости от направления вращения можно классифицировать углы как положительные и отрицательные.
(Изображение скоро будет загружено)
Положительные углы: Углы измеряются в направлении против часовой стрелки (противоположном направлению вращения часов), начиная с основания угла.
Отрицательные углы: Эти углы измеряются по часовой стрелке, начиная с основания угла.
Величина угла
Величина угла — это вращение вокруг вершины, при котором одно из плеч образует угол. Говорят, что чем больше вращение или раскрытие между плечами, тем большую величину оно имеет. Например-
(Изображение скоро будет загружено)
Существуют различные типы углов в зависимости от их меры угла. Типы:
1. Острый угол
2. Прямой угол
3. Тупой угол
4. Прямой угол
5. Рефлекторный угол
Как измерить различные типы углов?
1. Острый угол
Угол, величина которого меньше 90°, называется острым углом. Измерение от 0° до 90°. На рисунке ниже угол, образованный пересечением PQ и QR в точке Q, образует угол PQR, равный 45°. Таким образом, PQR называется острым углом.
(Изображение скоро будет загружено)
2. Прямой угол
Угол, равный ровно 90°, называется прямым. Обычно он образуется, когда две линии перпендикулярны друг другу. На рисунке ниже линия AB пересекает линию BC в точке B и образует угол ABC, равный 90°.
(Изображение скоро будет загружено)
3. Тупой угол
Угол, величина которого превышает 90°, называется тупым углом. Диапазон измерения угла составляет от 90° до 180°. Тупой угол также можно найти, если у нас есть мера острого угла.
Мера тупого угла = (180 — мера острого угла)
На рисунке выше отрезок DO пересекает отрезок OQ в точке O и образует угол DOQ размером 120°. Таким образом, это тупой угол.
(Изображение скоро будет загружено)
Кроме того, если мы продолжим линию OQ до OP, то сможем найти меру острого угла.
DOP = 180° — DOQ = 180° — 120° = 60°
4. Прямой угол
Угол, который составляет ровно 180°, называется прямым углом. Это похоже на прямую линию, отсюда и название прямого угла.
Прямой угол — это не что иное, как смесь тупого и острого углов на прямой.
5. Угол рефлекса
Угол, величина которого больше 180° и меньше 360°, называется углом рефлекса. Угол рефлекса можно рассчитать, если указана мера острого угла, поскольку он дополняет острый угол на другой стороне линии.
(Изображение скоро будет загружено)
Используя угол отражения, мы можем найти меру острого угла.
Мера острого угла = 360° – мера угла рефлекса
6. Дополнительные и дополнительные углы
Дополнительный угол
Если сумма двух углов составляет 90°, то они называются дополнительными углами. Углы не обязательно должны быть смежными друг с другом, чтобы считаться дополнительными. Если в сумме они составляют 90°, их называют дополнительными углами.
(Изображение скоро будет загружено)
На приведенном выше рисунке углы расположены рядом друг с другом и в сумме составляют 90° и поэтому известны как дополнительные углы. На рисунках c и d углы не примыкают друг к другу, но в сумме дают 90° и поэтому называются дополнительными углами.
Дополнительные углы
Когда два угла в сумме составляют 180°, они называются дополнительными углами. Существуют различные типы дополнительных углов.
Смежные углы
Эти углы имеют общую сторону и вершину, т.е. вершину угла. Однако эти точки никак не пересекаются. Проще говоря, смежные углы — это два угла рядом друг с другом.
(изображение скоро будет загружено)
Несмежные углы
Эти углы не имеют общего конца, т. е. обычно не имеют общей вершины.
(Изображение скоро будет загружено)
Типы несмежных углов-
Вертикальные углы
Углы, имеющие общую вершину и стороны угла, образованные одними и теми же линиями, называются вертикальными углами. Вертикальные углы равны между собой.
(Изображение скоро будет загружено)
На приведенном выше рисунке 1 и 3, 2 и 4, 6 и 8, 5 и 7 являются вертикальными углами. Кроме того, 3, 4, 5, 6 известны как внутренние углы, а 1, 2, 7, 8 известны как внешние углы.
Это пара внутренних углов на противоположной стороне поперечной. Самый простой способ обнаружить чередующиеся внутренние углы — определить букву «Z» на внутренней стороне.
На приведенном выше рисунке 3 и 5, 4 и 6 — внутренние углы. Внутренние углы равны друг другу.
Это похоже на альтернативные внутренние углы; только то, что он присутствует на внешней стороне. На приведенном выше рисунке 1 и 7, 2 и 8 — это пара чередующихся внешних углов. Подобно альтернативным внутренним углам, даже альтернативные внешние углы равны друг другу.
Углы, находящиеся в одинаковом положении, называются соответствующими углами. На приведенном выше рисунке 1 и 5 — соответствующие углы, и они равны друг другу.
Резюме
Angle Type
Angle measure
Acute angle
Greater than 0 °, Less than 90°
Right angle
90 °
Огромный угол
больше 90 °, менее 180 °
Прямой угол
Прямой угол
9000
9000
9000
5
18
18
0005
Угол рефлекса
Больше 180°, меньше 360°
Основой геометрии являются углы. Углы находят свое применение практически во всех типах вопросов, будь то тригонометрия или замкнутые фигуры. Понимание углов и типов углов поможет в решении многих каверзных вопросов. Таким образом, убедитесь, что вы понимаете это хорошо.
Угол – определение и типы с примерами
После того, как вы узнали о точках, прямых, отрезках и плоскости, вам нужно узнать, что происходит, когда две прямые пересекаются в одной точке. То есть когда образуется угол.
Углы — одно из основных понятий геометрии. Мы не можем думать об определении какой-либо формы, будь то треугольники, четырехугольники или многоугольники, без их углов. Таким образом, угол образует часть каждой геометрической формы.
Что такое угол
Математически угол определяется как фигура, которая образуется, когда два луча встречаются в одной точке. Обозначается символом ∠. Угол обычно измеряется в градусах, обозначаемых знаком «°». Термин «угол» происходит от латинского слова «angulus», что означает «угол».
Угол
Градус — это мера поворота. Полный оборот вокруг точки дает нам полный круг, равный 360°, половинный оборот дает нам полукруг, равный 180°, а четверть оборота дает нам прямой угол, равный 90°.
Части угла
Части угла
Плечи : Две прямые или изогнутые стороны, соединяющиеся в угол, называются плечами. Здесь OX и OY — стороны угла ∠XOY.
Вершина : Общая конечная точка, где два луча встречаются, образуя угол. Здесь точка «О» является вершиной.
Присвоение имени углу
Угол может быть назван двумя способами:
Метод – 1 : Символ угла, за которым следуют три точки, определяющие угол. Средняя буква — вершина. Таким образом, приведенную выше цифру можно записать как ∠XOY или ∠YOX.
Метод – 2 : Просто запишите вершину. Пишется как ∠O.
Иногда греческие буквы, такие как α, β, γ, θ и φ, или строчные латинские буквы, такие как a, b, c, x, y и z, также используются для обозначения угла или его размера.
Как найти угол
Величина угла измеряется с помощью транспортира, который обычно имеет полукруглую форму и прозрачен.
Измерение углов с помощью транспортира
Типы углов
Все углы обычно классифицируются в зависимости от их величины или степени вращения на шесть основных типов:
Типы углов
Острый угол : Угол, размер которого меньше 90° называется острым углом. Другими словами, он лежит в пределах от 0° до 9°.0°.
Прямой угол : Угол, равный ровно 90°, называется прямым углом. Он образуется, когда две стороны угла перпендикулярны друг другу. Знак прямого угла также можно показать с помощью четверти круга вместе со стандартным знаком, как показано на рисунке.
Тупой угол : Тупой угол называется угол, величина которого больше 90° и меньше 180°.
Прямой угол : Угол, который составляет ровно 180°, называется прямым углом. Он похож на прямую линию, отсюда и название прямого угла.
Угол рефлекса : Угол, величина которого больше 180° и меньше 360°, называется углом рефлекса.
Полный угол : Угол, градусная мера которого равна 360°, называется полным углом. Он образован одним полным оборотом одного из его рычагов.
Другие типы углов
Углы также иногда классифицируют на основе их положения, направления вращения, суммы их пар или их поперечной на следующие типы:
Interior Angles
Exterior Angles
Positive Angles
Negative Angles
Complementary Angles
Supplementary Angles
Vertically Opposite Angles
Adjacent Angles
Alternate Interior Angles
Alternate Exterior Angles
Corresponding Angles
Последовательные внутренние углы
Примеры из реальной жизни
В нашей повседневной жизни мы видим углы почти повсюду вокруг нас. Некоторые из примеров приведены ниже:
ГДЗ по Математике 4 класс Текстовые задачи Давыдкина
Приближается завершение курса начальной школы. Ученики уже умеют читать и считать и давно убедились, как важны именно эти два навыка. Но проблема состоит в том, что даже прекрасно понимая всё значение счётной науки ребёнок просто не успевает готовиться к занятиям – программа четвёртого класса достаточно сложна. А ведь приближается ответственный момент – Всероссийские проверочные работы, которые потребуют сконцентрировать все знания, полученные за четыре года и сдать самый настоящий экзамен по математике. Для поддержки ребят в этой сложной задаче разработан профессиональный онлайн-педагог, готовый надёжно подготовить ученика к ВПР – «ГДЗ по математике 4 класс Математический тренажёр, Текстовые задачи Давыдкина, Максимова (ВАКО)».
Проверяем свои знания со сборником задач
В течение первых учебных лет ребёнок волнуется при слове «контрольная», а теперь ему предстоит сдавать самый настоящий экзамен. Даже от небольшого стресса ученик с хорошим уровнем знаний может растеряться и просто не вспомнить в нужный момент алгоритм выполнения задач. Отличный выход в такой ситуации – заблаговременно спокойно проработать все упражнения, отточив методику работы с ними. Именно для этого школьникам и требуются консультации надёжного виртуального репетитора «ГДЗ по математике, 4 класс Математический тренажёр, Текстовые задачи Давыдкина Л.М., Максимова Т.Н. (ВАКО)».
Коротко о тренажёре
Издание ориентировано на повторение и закрепление всего пройденного по курсу математики материала:
Повторение программы третьего класса.
Задачи на сложение и вычитание с числами от 1 до 1000.
Задачи на умножение и деление от 1 до 1000.
Вычисление площади и периметра.
Нумерация от 1 до 1000000.
Задачи на движения.
Решебник предлагает к каждому упражнению описание подробного алгоритма работы, запомнив который, четвероклассник сможет на экзамене выполнить аналогичное задание уже без подсказки.
Что ребята могут узнать с помощью решебника по математике 4 класс Давыдкина
Задачи, предложенные в сборнике разнообразны и сформулированы достаточно интересно для ученика:
подсчитать количество апельсинов, яблок и груш, закупленных для школьной столовой;
найти количество воды в бассейне, в который дважды добавляли воду;
подумать, сколько учеников стало к концу учебного года, если несколько ребят перевелись в другую школу, а несколько наоборот, поступили в неё.
Удобная навигация поможет четверокласснику продуктивно работать с ГДЗ при финальной подготовке к экзамену.
ГДЗ к учебнику по математике за 4 класс Моро М.И. можно посмотреть
здесь.
ГДЗ к рабочей тетради по математике за 4 класс Волкова С. И. можно посмотреть
здесь.
ГДЗ к проверочным работам по математике за 4 класс Моро М.И. можно посмотреть
здесь.
ГДЗ к тетради учебных достижений по математике за 4 класс Волкова С.И. можно посмотреть
здесь.
ГДЗ к тестам по математике за 4 класс Волкова С.И. можно посмотреть
здесь.
ГДЗ к конструированию по математике за 4 класс Волкова С.И. можно посмотреть
здесь.
ГДЗ к рабочей тетради по математике за 4 класс Кремнева С.Ю. можно посмотреть
здесь.
ГДЗ к рабочей тетради Для тех, кто любит математику за 4 класс Волкова С.И. можно посмотреть
здесь.
ГДЗ к контрольным работам по математике за 1-4 классы Волкова С.И. можно посмотреть
здесь.
ГДЗ к контрольным работам по математике за 4 класс Рудницкая В. Н. можно посмотреть
здесь.
ГДЗ к тренажёру по математике за 4 класс Яценко И.Ф. можно посмотреть
здесь.
Поиск в решебнике
Задачи на повторение курса математики за 3 класс
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
задачи на сложение и вычитание»>
Числа от 1 до 1000. задачи на сложение и вычитание
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
задачи на сложение, вычитание, умножение , деление»>
Числа от 1 до 1000. задачи на сложение, вычитание, умножение , деление
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Задачи на вычисление периметра и площади
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Числа от 1 до 1000000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
Задачи на движение
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
ГДЗ Teme gata pregătite Готовые домашние задания Молдова Математика Акири 5 класс 2015 Упражнение 18 на MDAGDZ.
COM
Teme gata pregătite / Упражнение 18
Глава 1. Натуральные числа. Повторение и дополнение
Единицы измерения времени 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
§ 6.
Денежные единицы 1
2
3
4
5
6
7
8
9
Упражнения и задачи для повторения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Итоговый тест
1. 1
1.2
1.3
2.1
2.2
2.3
Bine ați venit pe site-ul unde puteți găsi sarcini gata făcute pentru manualele din Moldova. Ați făcut alegerea corectă!
Programul bogat de formare include multe discipline. Fiecare nouă lecție poartă un flux de termeni, teoreme, exemple. Lecțiile în clasă, temele, orele suplimentare, cursurile elective iau mult timp și energie de la studentul modern. Uneori, informațiile date de profesor sunt dificil de perceput și nu sunt asimilate în patruzeci de minute. Ajuns acasă, elevul nu își poate finaliza cu competența temele, se simte prost și interesul său pentru învățare scade. În astfel de momente, literatura de specialitate pe care echipa noastră a lăsat-o cu atenție vă va fi de folos.
Aici sunt colectate toate soluțiile și răspunsurile corecte în cele mai dificile științe: matematică, algebră și geometrie, fizică și chimie.
Observăm funcțiile utile ale reshebnik-urilor:
autoexaminare, analiza muncii lor pentru erori, identificarea lacunelor în cunoștințe în etapa inițială
ajuta la îndeplinirea sarcinilor complexe
capacitatea părinților de a supraveghea procesul educațional al copilului, precum și de a oferi o explicație a uneia sau altei terminologii
creșterea stimei de sine și a încrederii în sine, adaptarea la cursul școlar, manifestarea interesului competitiv. Cunoașterea este putere, fii sigur de ea!
„GDZ” nu se referă la înșelăciune fără minte, este, în primul rând, un instrument pentru creșterea performanței școlare, obținerea maximului beneficiu și plăcere din activitățile de învățare. Manualul este, de asemenea, perfect pentru mame și tati, profesori și tutori.
ГДЗ БОТ по Математике для 5 класса
Математика А.Г. Мерзляк 5 класс
тип: Учебник
авторы: А.Г. Мерзляк В.Б. Полонский
Математика Виленкин Н.Я. 5 класс
1, 2 часть
тип: Учебник
авторы: Виленкин Н. Я. Жохов В.И.
Математика Жохов В.И. 5 класс
тип: контрольные работы
авторы: Жохов В.И. Крайнева Л.Б.
Математика Потапов М.К. 5 класс
тип: дидактические материалы
авторы: Потапов М.К. Шевкин А.В.
Математика Чулков П.В. 5 класс
тип: тематические тесты
авторы: Чулков П. В. Шершнев Е.Ф.
Математика Рудницкая В.Н. 5 класс
1, 2 часть
тип: рабочая тетрадь
автор: Рудницкая В.Н.
Математика Г.К. Муравин 5 класс
1, 2 часть
тип: Рабочая тетрадь
авторы: Г.К. Муравин О.В. Муравина
Математика Кузнецова Л.В. 5 класс
тип: контрольные работы
авторы: Кузнецова Л. В. Минаева С.С.
Математика Потапов М. К. 5 класс
1, 2 часть
тип: рабочая тетрадь
авторы: Потапов М. К. Шевкин А. В.
Математика Л.А. Латотин 5-6 класс
тип: сборник задач
авторы: Л.А. Латотин Б.Д. Чеботаревский
Математика Истомина Н.Б. 5 класс
тип: Учебник
автор: Истомина Н. Б.
Математика Кузнецова Л.В. 5 класс
тип: дидактические материалы
авторы: Кузнецова Л.В. Минаева С.С.
Математика С.М. Никольский 5 класс
тип: Учебник
авторы: С.М. Никольский М.К. Потапов
Математика Е.А. Бунимович 5 класс
1, 2 часть
тип: задачник Арифметика. Геометрия.
автор: Е.А. Бунимович
Математика И.И. Зубарева 5 класс
тип: Учебник
авторы: И.И. Зубарева А.Г. Мордкович
Математика А.Г. Мерзляк 5 класс
1, 2 часть
тип: рабочая тетрадь
авторы: А.Г. Мерзляк В.Б. Полонский
Математика Сафонова Н.
В. 5 класс
тип: тетрадь-экзаменатор Арифметика. Геометрия.
автор: Сафонова Н.В.
Математика Муравин Г.К. 5 класс
тип: Учебник
авторы: Муравин Г.К. Муравина О.В.
Математика Лебединцева Е.А. 5 класс
1, 2 часть
тип: рабочая тетрадь
авторы: Лебединцева Е. А. Беленкова Е.Ю.
Математика Дорофеев Г. В. 5 класс
тип: Учебник
авторы: Дорофеев Г. В. Шарыгин И. Ф.
Математика Козлов В.В. 5 класс
тип: Учебник
авторы: Козлов В.В. Никитин А.А.
Математика Кузнецова Л.В. 5 класс
тип: тематические тесты
авторы: Кузнецова Л. В. Минаева С.С.
Математика Л.Г. Петерсон 5 класс
1, 2 часть
тип: Учебник
авторы: Л.Г. Петерсон Г.В. Дорофеев
Математика А.П. Ершова 5 класс
тип: Самостоятельные и контрольные работы
авторы: А.П. Ершова В.В. Голобородько
Математика Гамбарин В.
Г. 5 класс
тип: сборник задач и упражнений
авторы: Гамбарин В.Г. Зубарева И.И.
Математика Истер О.С. 5 класс
тип: Учебник
автор: Истер О.С.
Математика Козлова С.А. 5 класс
1, 2 часть
тип: Учебник
авторы: Козлова С. А. Рубин А.Г.
Математика Н.Я. Виленкин 5 класс
тип: Учебник
авторы: Н.Я. Виленкин В.И. Жохов
Математика Зубарева И.И. 5 класс
1, 2 часть
тип: рабочая тетрадь
автор: Зубарева И.И.
Математика Мерзляк А.Г. 5 класс
тип: дидактические материалы
авторы: Мерзляк А. Г. Полонский В.Б.
Математика Попова Л.П. 5 класс
тип: контрольно-измерительные материалы
автор: Попова Л.П.
Математика А.С. Чесноков 5 класс
тип: Дидактические материалы
авторы: А.С. Чесноков К.И. Нешков
Математика Е.А. Бунимович 5 класс
1, 2 часть
тип: рабочая тетрадь
авторы: Е. А. Бунимович Л.В. Кузнецова
Математика И.И. Зубарева 5 класс
1, 2 часть
тип: тетрадь для контрольных работ
авторы: И.И. Зубарева А.Г. Мордкович
Математика Е.А. Бунимович 5 класс
тип: Арифметика. Геометрия.
авторы: Е.А. Бунимович Г.В. Дорофеев
Математика Ткачева М.
В. 5 класс
тип: рабочая тетрадь
автор: Ткачева М.В.
Математика Е.А. Бунимович 5 класс
тип: тетрадь-тренажёр
авторы: Е.А. Бунимович Л.В. Кузнецова
Математика Мишакина Т.Л. 5 класс
тип: тренажёр: подготовка к итоговой аттестации в начальной школе
авторы: Мишакина Т. Л. Гладкова С.А.
Математика Е. Е. Тульчинская 5-6 класс
тип: тесты
автор: Е. Е. Тульчинская
Математика Зубарева И.И. 5 класс
тип: самостоятельные работы
авторы: Зубарева И.И. Шанцева М. Н.
Математика Ткачева М.В. 5 класс
тип: Учебник
автор: Ткачева М. В.
Математика Перова М.Н. 5 класс
тип: Учебник
авторы: Перова М.Н. Капустина Г.М.
Математика Перова М.Н. 5 класс
тип: рабочая тетрадь
авторы: Перова М.Н. Яковлева И.М.
Математика Виленкин Н.Я. 5 класс
1, 2 часть
тип: Учебник
авторы: Виленкин Н. Я. Жохов В.И.
ГДЗ по математике 4 класс Башмаков, Нефедова ответы к учебнику 1, 2 часть
Онлайн решебник и гдз по математике за 4 класс к учебнику Башмакова, Нефедовой с ответами к номерам.
Почему все чаще выбирают решебники? Потому что они имеют много преимуществ. Например:
дают возможность ребенку не просто списать ответы, но и самостоятельно разобраться с решением задач;
помогают сэкономить, ГДЗ по математика 4 класс Башмаков, Нефёдова избавляет от необходимости нанимать репетитора;
ребенок может сам проверить правильность выполнения домашнего задания, не дожидаясь прихода родителей с работы.
Подготовиться к контрольной или олимпиаде, повторить или закрепить материал тоже можно с решебником по математике за 4 класс к учебнику Башмакова 1, 2 часть. Есть только одно правило – пользоваться ГДЗ необходимо грамотно и дозировано. Надо смотреть не только готовые результаты, но и обращать внимание на ход решения. Вдумчивый просмотр пошагового алгоритма заставляет работать мозг и запоминать нужную информацию.
Предыдущее
Следующее
ГДЗ по математике 4 класс текстовые задачи Давыдкина Л.М., Максимова Т.Н.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
org/ListItem»>
ГДЗ
4 класс
Математика
текстовые задачи Давыдкина
Авторы: Давыдкина Л.М., Максимова Т. Н..
«ГДЗ по математике за 4 класс, текстовые задачи, Давыдкина, Максимова, ВАКО» поможет тщательно изучить каждую тему, устранить все ошибки и заполнить пробелы в знаниях. Результат работы с решебником положительно отразится на успеваемости школьника. Четвероклассник даже в столь юном возрасте научится самостоятельно выполнять номера из домашнего задания и качественно готовиться ко всем тестам и проверочным работам.
Плюсы использования ГДЗ
Решебник имеет в своём содержании подробные и максимально понятные онлайн-ответы, которые без труда можно найти по номеру упражнения. С их помощью ученик младших классов сможет не только проверить правильность выполнения домашней работы, но и:
проанализировать совершенные ошибки;
понять, где слабые места, чтобы подтянуть их;
закрепить пройденный материал, выполнив дополнительно несколько заданий;
хорошо подготовиться к предстоящему уроку.
Математика — это основная школьная дисциплина в 4 классе. Данный курс учит детей не только считать и решать задачи. Ребята стремятся анализировать, сравнивать, сопоставлять и делать выводы. Такие навыки обязательно пригодятся при изучении других предметов и в повседневной жизни.
Эффективность онлайн-решебника по математике за 4 класс от Давыдкиной
Прекрасным дополнением к прилагающемуся учебнику по математике являются текстовые задачи. Учебно-методический комплекс включает информацию, которая позволит закрепить навыки выполнения различных упражнений, а также качественно подготовиться к экзаменам.
На четвертой ступени обучения ребята научатся:
правильно использовать термины;
понимать последовательность решения задач;
отличать друг от друга геометрические фигуры;
уметь применять на практике знания, полученные при изучении теории.
Кроме этого, дети узнают, что такое числовые выражения, в которых есть буквы.
Учиться с готовыми заданиями проще
Учебная литература, выпущенная издательством «ВАКО», является популярной среди учеников, родителей и педагогов. Начальные классы закладывают основной фундамент навыков математического характера. При необходимой поддержке ребенок сможет развить не только логическое и практическое мышление, но и тренировать память и научиться мыслить аналитически. «ГДЗ по математике за 4 класс, текстовые задачи Давыдкина Л.М., Максимова Т.Н., ВАКО» станет отличным подспорьем в учебе.
ГДЗ к учебнику по математике за 4 класс Моро М.И.
ГДЗ к рабочей тетради по математике за 4 класс Волкова С.И.
ГДЗ к проверочным работам по математике за 4 класс Моро М.И.
ГДЗ к тетради учебных достижений по математике за 4 класс Волкова С. И.
ГДЗ к тестам по математике за 4 класс Волкова С.И.
ГДЗ к конструированию по математике за 4 класс Волкова С.И.
ГДЗ к рабочей тетради по математике за 4 класс Кремнева С.Ю.
ГДЗ к контрольным работам по математике за 1-4 классы Волкова С.И.
ГДЗ к контрольным работам по математике за 4 класс Рудницкая В.Н.
ГДЗ к тренажёру по математике за 4 класс Яценко И. Ф.
Страницы
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
Математика 4 класс Богданович.
Решебник. ГДЗ. Скорость, время, расстояние.
Сложение и вычитание многозначных чисел.
Категория: —>> Математика 4 класс Богданович Задание: —>> 381 — 400 401 — 418
наверх
Задание 381
Задание 382
Задание 383
Задание 384
Задание 385
Задание 386
Задание 387
Задание 388
Задание 389
Задание 390
Задание 391
Задание 392
Задание 393
Задание 394
Задание 395
Задание 396
Задание 397
Задание 398
Задание 399
Задание 400
Задание 381.
Рассмотри решение задачи и прочитай объяснение. Задача. За 2ч автобус проехал 120 км, проезжая за каждый час одинаковое расстояние. Сколько километров автобус проезжал за 1 ч? Решение: 120 : 2 = 60 (км). Ответ: за 1 ч автобус проезжал 60 км. Объяснение. Если за каждый час автобус проезжает 60 км, то говорят, что он движется со скоростью 60. км в час. Это записывают так: 60 км/ч. Чтобы найти скорость, надо расстояние поделить на время.
Задание 382.
По данным таблицы вычисли скорость движения велосипедиста, пассажирского самолёта, ласточки.
Решение:
Скорость велосипедиста: 28 км : 2 ч = 14 км/ч.
Скорость ласточки: 180 км : 2 ч = 90 км/ч.
Скорость самолета: 1500 км : 3 ч = 500 км/ч.
Задание 383.
Велосипедист был в пути 6 ч, а мотоциклист 2 ч. Велосипедист проехал 72 км, а мотоциклист 100 км. На сколько скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста?
План решения
1) Какова скорость велосипедиста?
2) Какова скорость мотоциклиста?
3) На сколько скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста?
Решение:
1) 72 : 6 = 12 (км/ч) скорость велосипедиста;
2) 100 : 2 = 50 (км) скорость мотоциклиста;
3) 50 — 12 = 38 (км/ч).
Ответ: скорость мотоциклиста на 38 км/ч больше, чем скорость велосипедиста.
Задание 384.
Расстояние 400 м мальчик пробежал туда и обратно за 4 мин. С какой скоростью бежал мальчик?
Решение:
1) 400 : 4 = 100 (м/мин).
Ответ: скорость мальчика 100 м/мин.
Задание 385.
Расстояние между условными пунктами K и M на орбите искусственного спутника Земли составляет 320 км. Четвёртую часть этого расстояния спутник пролетел за 10 с. С какой скоростью он летел?
Решение:
1) 320 : 4 = 80 (км) четвертая часть расстояния;
2) 80 : 10 = 8 (км/с).
Ответ: скорсть спутника 8 км/с.
Задание 386.
Решение:
1)
8000 + 7000 = 15000
90000 + 7000 = 97000
1500 − 300 = 1200
1210 − 300 = 910
600 + 7000 = 7600
23000 + 7000 = 30000
2000 − 300 = 1700
5200 − 300 = 4900
60 + 7000 = 7060
45000 + 7000 = 52000
900 − 300 = 600
11000 − 300 = 10700
2)
20 грн 08 к − 59 к = 2008 к − 59 к = 949 к = 9 грн 49 к .
12 грн 70 к − 8 грн 07 к = 4 грн 63 к .
3) 3 грн 60 к : 3 = 360 : 3 = 120 к = 1грн 20 к .
Задание 387.
Расстояние между двумя пристанями 320 км. Половину этого расстояния моторная лодка прошла за 4 ч. С какой скоростью шла лодка?
Решение:
1) 320 : 2 = 160 (км) половина расстояния;
2) 160 : 4 = 40 (км/ч).
Отвтет: скорость лодки 40 км/ч.
Задание 388.
Расстояние 20 км всадник проехал туда и обратно за 4 ч. С какой скоростью ехал всадник?
Решение:
1) 20 + 20 = 40 (км) расстояние туда и обратно;
2) 40 : 4 = 10 (км/ч).
Ответ: скорость всадника 10 км/ч.
Задание 389.
Прочитай задачу и рассмотри её решение.
Задача. Лыжник был в пути 3 ч, двигаясь со скоростью 12 км/ч. Какое расстояние прошёл лыжник?
Решение: 12 — 3 = 36 (км).
Ответ: за 3 ч лыжник прошёл 36 км.
Чтобы найти расстояние, надо скорость умножить на время
Задание 390.
Пассажирский катер шёл 4 ч, а буксирный 7 ч. Какой из них прошёл большее расстояние и на сколько километров, если скорость пассажирского катера 24 км/ч, а буксирного 14 км/ч?
Решение:
1) 24 * 4 = 96 (км) прошел пассажирский катер;
2) 14 * 7 = 98 (км) прошел буксирный катер;
3) 98 — 96 = 2 (км).
Ответ: буксирный катер прошел на 2 км больше.
Задание 391.
По данным таблицы найди расстояния.
Решение:
Пешеход: 5км/ч * 4ч = 20 км .
Такси: 70 км/ч * 2 ч = 140 км .
Электропоезд: 120 км/ч * 3 ч = 360 км .
Задание 392.
В течение дня туристы шли пешком 2 ч, на автобусе ехали 3 ч. Пешком они двигались со скоростью 4 км/ч, на автобусе ехали со скоростью 45 км/ч. Какой путь преодолели туристы за день?
На птичьем дворе было 16 цыплят, а утят — в 4 раза больше.
По условию задачи можно поставить такие вопросы:
1) Сколько утят было на птичьем дворе?
2) Сколько было цыплят и утят вместе?
3) На сколько больше было утят, чем цыплят? Выполни устно вычисления и запиши ответы.
Решение:
1) 16 * 4 = 64 Утят — 64;
2) 16 + 64 = 80 — цыплят и утят.
3) 64 — 16 = 48 — Утят на 48 больше, чем цыплят.
Задание 395.
В течение двух дней велосипедист был в дороге 12 ч и за это время проехал 180 км. Сколько километров проедет мотоциклист за 20 ч, если его скорость на 36 км/ч больше скорости велосипедиста?
Решение:
1) 180 : 12 = 15 (км/ч) скорость велосипедиста;
2) 15 + 36 = 51 (км/ч) скрость мотоциклиста;
3) 51 * 20 = 1020 (км).
Ответ: мотоциклист проедет 1020 км.
Задание 396.
Решение:
1) 10 ц 08 кг − 4 ц 12 кг = 5 ц 96 кг
2) 12 км 750 м + 4 км 75 м = 16 км 825 м
3) 47650 − 875 − 6588 = 46775 − 6588 = 40187
4) 3358 − (12 + 778) = 3358 − 790 = 2568
Задание 397.
Автомобиль ехал 2 ч со скоростью 66 км/ч. После этого ему осталось проехать расстояние в 3 раза большее, чем он уже проехал. Какое расстояние должен был проехать автомобиль?
Решение:
1) 2 * 66 = 132 (км) проехал автомобиль;
2) 132 * 3 = 396 (км) осталось проехать автомобилю;
3) 396 + 132 = 528 (км).
Ответ: автомобиль должен был проехать 528 км.
Задание 398.
Прочитай задачу и рассмотри ее решение.
Задача. Пассажир проехал на автобусе 180 км. Скорость автобуса 60 км/ч. Сколько времени ехал пассажир на автобусе?
Решение: 180 : 60 = 3 (ч).
Ответ: пассажир ехал на автобусе 3 ч.
Чтобы найти время, надо расстояние поделить на скорость.
Задание399.
По данным таблицы найди время движения.
Решение:
Лыжник: 26 км : 13 км/ч = 2 ч.
Поезд: 240 км : 60 км/ч = 4 ч.
Легковой автомобиль: 240 км : 80 км/ч = 3 ч.
Задание 400.
По асфальтированной дороге автомобиль проехал расстояние 210 км со скоростью 70 км/ч, а по грунтовой — 90 км со скоростью 45 км/ч. За какое время автомобиль проехал всё расстояние?
Решение:
1) 210 : 70 = 3 (ч) ехал автомобиль по асфальтированной дорогое4;
2) 90 : 45 = 2 (ч) ехал автомобиль по грунтовой дороге;
3) 3 + 2 = 5 (ч).
Ответ: автомобиль проехал все расстояние за 5 ч.
Задание: —>> 381 — 400 401 — 418
Gdz на 6-ячеечном форке Math. Принципы эффективной самоподготовки
Если школьник действительно хочет разобраться в сложном предмете, ему придется правильно использовать ГДЗ по математике 6 класс Виленкин:
Всегда старайтесь сначала самостоятельно решить все номера домашнего задания. Когда не получается, внимательно ищите правильное решение и разбирайтесь с каждым шагом.
Проверка ответов на выполненные задания и примеры. Если они не совпадают, то сначала попытайтесь найти ошибку в своих рассуждениях и только потом вникайте в доказательства решателя.
Когда совсем нет времени на качественное выполнение домашнего задания, лучше списать работу, стараясь запомнить ход решения, а не надеяться на «а вдруг учитель не спросит».
Работать необходимо только с теми ГДЗ, которые написаны опытными преподавателями, не содержат опечаток, подробно и понятно объясняют даже самые сложные понятия. В ГДЗ-онлайн есть как раз такая книжка-решение по математике для Виленкина 6-го класса. С ним шестиклассник действительно разберется в дисциплине и повысит успеваемость.
Справочник по математике для 6 класса Виленкину представляет собой сборник готовых решений и ответов, который составлен на основе учебника математики для шестиклассников, составленного группой российских авторов — Виленкин Н. Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Решебник к учебнику по математике 6 класс от Виленкина
ГДЗ по математике за 6 класс позволяет проверить правильность выполнения домашнего задания учащимися. С его помощью им удается самостоятельно разобраться в алгоритме решения сложных задач.
Более того, готовые решения и ответы являются подсказкой для родителей, стремящихся оказать своим детям посильную помощь в подготовке домашних заданий по математике.
Книга решений позволяет снизить нагрузку на шестиклассников, у которых не всегда есть время разобраться в решении примера или задачи на уроке.
Интерфейс нашего сайта делает пользование учебником максимально удобным для детей и родителей:
База ответов доступна с телефона, планшета и компьютера;
Таблицы чисел позволяют быстро перейти к нужному ответу;
Регулярное обновление сборников решений исключает возможность ошибок при подготовке домашних заданий.
Такие опции позволяют сделать процесс выполнения работы по математике максимально эффективным, как с точки зрения результата, так и с точки зрения экономии времени.
Учебник по математике для 6 класса от Виленкина, Жохова, Чеснокова и Шварцбурга
На нашем сайте представлены готовые решения и ответы к заданиям учебника для 6 класса от Виленкина Н.Я. В настоящее время в большинстве школ используется 30-е издание, выпущенное в 2013 г.
В учебном пособии подробно рассмотрены два основных раздела арифметики:
Свойства и действия с натуральными числами;
Знаки, характеристики и математические операции с дробными числами.
В учебнике также представлена информация о таких арифметических понятиях, как НОД (наименьшее общее кратное) и НОД (наибольший общий делитель), порядке их вычисления, а также особенностях составления пропорций.
Книга знакомит шестиклассников с особенностями координат на плоскости, а также с понятием масштаба. Подробно представлены различия между положительными и отрицательными числами, а также правила математических операций с ними.
В шестом классе происходит процесс разделения предмета математики на алгебру и геометрию. Это приводит к тому, что учащимся необходимо осваивать новые сложные понятия и задачи. Однако не каждый студент сможет самостоятельно освоить такой материал, и здесь на помощь придет книга с решениями, созданная автором. Н.Я. Виленкин . Учебник по математике 6 класс станет доступнее, если ГДЗ . Это позволит студенту лучше разобраться с новыми для него темами и задачами, на решенном примере.
С помощью данного пособия школьник снижает сложность домашней подготовки к занятиям. Это также позволяет учащимся самостоятельно решать задачи в будущем без каких-либо подсказок. ГДЗ способствует пониманию учащимися языка математики, углубляет их навыки по общим принципам решения математических примеров.
ГДЗ к рабочей тетради по математике за 6 класс Рудницкая В.Н. можно скачать.
ГДЗ к учебнику по математике для 6 класса Виленкин Н.Я. (2018) можно скачать.
ГДЗ для контрольных работ по математике за 6 класс Жохов В.И. можно скачать.
ГДЗ к дидактическим материалам по математике за 6 класс Попов М. А. можно скачать
Среди школьных предметов выделяется математика. Ведь его изучению отводится большое количество времени. При этом математика начинается уже в первом классе и заканчивается только в конце одиннадцатого. Кроме того, в конце 9-го и 11-го курсов именно по математике предстоит пройти итоговую аттестацию, именуемую ОГЭ и ЕГЭ соответственно.
Выпускные экзамены обязательны, т.е. их нельзя избежать ни при каких обстоятельствах. При этом математические способности разных детей сильно отличаются. Не всем предмет дается без труда. В последнем случае будет полезно использовать вспомогательную литературу, например, онлайн-книгу решений Виленкина с содержанием правильных ответов.
Учебно-методический комплекс Н.Я. Виленкина, В.И. Жохова, А.С. Чеснокова и С.И. Шварцбурда распространяется издательством «Мнемозина» с 2015 по 2019 г.. Используется во многих школах Российской Федерации. Соответствующие руководства также довольно легко получить в публичных библиотеках. Многие преподаватели формируют на их основе собственные рабочие программы по предмету.
За что школьники любят ГДЗ Виленкин по математике?
В зависимости от врожденных способностей к точным наукам разным людям изучение алгебры требует разного уровня усилий и времени. Оснащенный большим количеством полезных прикладных материалов сборник для 6 класса, авторами которого являются Виленкин, Жохов, Чесноков, имеет ряд преимуществ:
содержание заданий полностью соответствует ФГОС;
достаточно смартфона, планшета или компьютера с выходом в интернет;
можно выбрать наиболее понятное решение из нескольких предложенных;
поиск нужного упражнения осуществляется посредством числового указателя в виде таблицы.
Ответы, данные в ГДЗ по математике, нельзя просто переписать. Их следует тщательно изучить, найти закономерности и полезные пути решения. Интенсивная работа поможет повысить успеваемость, легко решить контрольно-проверочные работы, зачеты.
Почему книга решений Виленкина и Жохова для 6 класса может заменить репетитора?
Если школьник будет стараться на протяжении всей школьной жизни, то с большой вероятностью он получит высокие баллы на выпускном экзамене и сможет поступить в хороший вуз. При изучении математики особенно важно не допускать пробелов. В шестом классе нужно серьезно подойти к разработке абзацев, решению задач, отработке практических навыков:
простых дробей. Числитель и знаменатель;
приведение к общему основанию. Сложение, вычитание, умножение, деление;
линейных уравнений. правило пропорции;
наибольший общий делитель. Наименее кратное.
Достаточная практика в решении примеров и упражнений, а также своевременное устранение пропусков убережет ученика от проблем в старшей школе. Поэтому ГДЗ онлайн можно рекомендовать любому шестикласснику, который сталкивается с непонятными темами на уроках или при выполнении домашних заданий. Пособие с готовыми решениями соответствует требованиям ФГОС.
Изображения обложек учебников приведены на страницах данного сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (статья 1274, пункт 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации)
Математика 6 класс. ФГОС Мерзляк, Полонский, Якир Вентана-Граф
Математика 6 класс. ФГОС Зубарева Мордкович Мнемозина
Математика 6 класс. ФГОС Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд Мнемозина
Математика 6 класс. Часть 1, 2. ФГОС Виленкин, Жохов Мнемозина
Сборник задач и упражнений по математике 6 класс Гамбарин Зубарева Мнемосина
Математика 6 класс. задачник Бунимович, Кузнецова Образование
Математика 6 класс. ФГОС Никольского Просвещения
Математика 6 класс. ФГОС Дорофеев, Шарыгин Образование
Математика 6 класс. ФГОС Бунимович Просвещение
Математика 6 класс. Часть 1, 2, 3 Дорофеев Ювента
Чесноков, Нешков Учебник
Дидактические материалы по математике 6 класс Мерзляк, Полонский, Рабинович Вентана-Граф
Дидактические материалы по математике 6 класс Кузнецова, Минаева Просвещение
Дидактические материалы по математике 6 класс Потапов, Шевкин Просвещение
Дидактические материалы по математике 6 класс. ФГОС Попов ЕГЭ
Жохов, Крайнева Мнемосина
Экзамен по математике. ФГОС Кузнецова, Минаева Образование
Журавлев, Изотова Экзамен
Контрольная и самостоятельная работа по математике 6 класс Попов. К учебнику Виленкина Экзамен
Контрольные работы по математике 6 класс Дудницын, Кронгауз Экзамен
Самостоятельная работа по математике 6 класс. ФГОС Зубарева, Лепешонкова Мнемозина
Контрольно-измерительные материалы (КИМ) по математике 6 класс. ФГОС Попова Вако
Контрольно-измерительные материалы (КИМ) ) по математике 6 класс Глазков, Ахременкова ЕГЭ
Рабочие тетради
Рабочая тетрадь по математике 6 класс. Часть 1, 2, 3. ФГОС Мерзляк, Полонский, Якир Вентана-Граф
Муравей Дрофа
Математическая рабочая книга класс 6. Часть 1, 2. Gef Zubarev Mnemosyne
Математическая рабочая книга. Потапов, Шевкин. К учебнику Никольского Образование
Тетрадь-тренажер по математике 6 класс. ФГОС Бунимович, Кузнецова Образование
Тетрадь-экзаменатор по математике 6 класс. ФГОС Кузнецова Просвещение
Рабочая тетрадь по математике 6 класс. ФГОС Ерина. К учебнику Виленкина Экзамен
Рабочая тетрадь по математике 6 класс. Часть 1, 2. УУД Ерина. К учебнику Виленкина Экзамен
Рабочая тетрадь по математике 6 класс. Часть 1, 2. ФГОС Ерина. К учебнику Никольского Экзамен
Рабочая тетрадь по математике 6 класс. Часть 1, 2. ФГОС Ерина. К учебнику Зубарева Мордкович Экзамен
Тетрадь для контрольных работ по математике 6 класс. Часть 1, 2. ФГОС Экзамен
Испытания
Тульчинская Мнемозина
Тематические контрольные по математике 6 класс. ФГОС Чулков, Шершнев Просвещение
Математика контрольные 6 класс. ФГОС Рудницкая. К учебнику Виленкина Экзамен
ГДЗ по математике 6 класс. ФГОС
ГДЗ по украинскому языку 6. Решения и готовые домашние задания (ГДЗ): как ими пользоваться
Мы украинцы, говорим по-украински целый час. С момента нашего народа и до глубокой старости звучат знакомые слова, фразы, речи. Если это возможно, так как я рад видеть своих людей, то мне нет никакого смысла сообщать существенные доказательства моего образования. Ну, это уже заложено в нашем мозгу самой природой. Но если по праву дойти до школьных руководителей того же предмета, все складывается богаче. У ассистентов много разных правил, так что мы не всегда одерживаем победу в повседневном движении. Ну и себе в помощь все чаще и чаще приносят готовые домашние задания по украинскому языку за 6 класс.
Нарешти є змога разібратися на все правила украинского языка и численные исключения из них
Ученики шестого класса не раз сталкивались с ним, кто знает правильное правило, зловоние не может остановить его в этом чи іншій праве. Адже на коже, власть украинского языка падает, шпроты виняткив. Именно поэтому шестиклассников упрекают в трудностях, даже если им важно подпевать, так как необходимо виришувать на кожу конкретное право домашнего задания и контрольной работы. Но недаром говорят, что знание происходит от знания. Это же для того, чтобы лучше понимать более тонкий язык, маме нужна постоянная практика развития человека, написания того пересказа. ГДЗ с украинского языка для 6 класса стать выдающимся, своего рода дерматологическим исследованием темного леса складных правил, необоснованных обвинений и причудливых грамматических конструкций. Соответствуя требованиям к подручникам, контрольным защитным покрытиям, не погибнуть посреди такого сложного материала еще проще. Более того, такой культ украинского языка не только более успешен, но и приносит справедливое удовлетворение перед лицом новых побед.
Резолверы 6 класса проверяют молчание, кому нужна помощь, онлайн
Еще никогда не было так просто получить квалифицированную помощь по украинскому языку. Если раньше кому-то нужно было зайти к репетитору, остаться с преподавателем после уроков, то лучше сразу заходить в GDZ4YOU со смартфона. Це зручно, швидко то безкоштовно.
ГДЗ для шестого класса русского языка тоже нужен для кожи, кому надо научиться вводить
Часто школьников может смутить схожесть украинского и русского языка. Ale sinkє похожи только на первый взгляд. На самом деле основные правила грамматики и пунктуации носят еще больший пролог. Тому русский язык важно читать подробно, что окремо. Лучшие ГДЗ с русскими фильмами для 6 класса также доступны на GDZ4YOU.
Тем, на кого смотрят, богато сложенным за передним классом, отцам Дедали важнее помочь детям из ДЗ. Чтобы учесть точное объяснение того, что объясняется до конца дня, знайте на нашем ресурсе на украинском языке для 6 класса, так как вас не поведут. В первом случае якобы разъясняется работа, в другом случае решение не имеет помилований, в третьем случае легче ориентироваться на сайте.
Рідна мова будет легко освоена для нашего портала
Еще больше уважения в этом начальном курсе уделяется устной речи, как восприятию информации, и меньше — письменной. Это не значит, что не так важно правильно записывать слова, но с другой стороны, это не значит, что новичков можно довести до автоматизма и твердо знать правила. Для того, чтобы достичь этого варто, необходимо пройти весь путь до конца домашней работы, стараясь помочь лучше использовать школьный материал. Готовые домашние завдання залюбки помогут систематизировать информацию для запоминания, лучше усвоить правила выконнання права, получить знания по разным типам заданий, научиться застосовывать собственные мысли в реальных жизненных ситуациях. FreeGDZ облегчает изучение и усвоение информации, доводя до наилучшего результата достижение главной цели предмета — современной компетентности.
Первоначальные трудности и борьба с ними сразу заготовленными ответами
Как уже было сказано, основная проблема у учеников не на уроке, а дома, если нет указаний учителя. Даже если на уроке не быть обвиненным собственным учеником, можно прояснить это, выспавшись в викладах, то, когда дома работаешь, грамотного намека не поймешь. Тут нужен gdz с укр. двигаться в 6-м классе, где известны только правильные, а шаги виконнанны правильные.
Большую роль играют грамотно оформленные стороны сайта, где вся информация отсортирована, разделена по классам и другим критериям, по которым легко получить доступ к любой электронной помощи, а так же токен, запрашивающий процесс принятия решения. Постоянное користування сайта воспитывало до дня школьника новые знания и вмин, основательно закрепляло. Головна умова — уважительно вставляй материал, типа користуешься, чтобы можно было эффектно отнять жадность к своему успеху. Обо всем остальном вам расскажут сборники с точными указаниями: сэкономите час, покажите правила виконання севдан, помогут улучшить питание и многое другое. Вонь развивает у ребенка здоровье, самообладание — наиболее эффективный способ закрепить умственные знания и навыки грамотности.
Для еще более комфортного доступа к порталу, FreeGDZ позволяет брать в помощники электронный ноутбук или открывать сайт онлайн, неважно какое вложение, цидобово. Вот почему вам нужен наш помощник в школе, к вашим услугам на старшем уровне, на вашем мобильном телефоне или планшете.
Стремительное развитие общества привело к значительному усложнению школьных программ и общеобразовательных реформ. Информационная нагрузка на современного школьника постоянно растет, и сегодня, чтобы усвоить весь необходимый материал, ребенку приходится проводить за партой 8 часов: целый рабочий день, и это без учета времени, затраченного на подготовка домашнего задания. Такая нагрузка приводит к усталости, снижению работоспособности, потере мотивации. Помочь справиться с возрастающим объемом информации, научиться анализировать и логически мыслить, повысить успеваемость поможет ГДЗ — готовые домашние задания.
ГДЗ, или «решебники» — это учебники, которые активно используются в качестве учебных пособий, дополняющих образовательную программу по таким предметам, как русский язык, математика (алгебра), химия, физика и ряду других. В настоящее время создано множество ресурсов в помощь школьникам и их родителям: Ставкур, Спиши.Ру, ГДЗ от Путина и другие, но как с их помощью получить настоящие знания?
Решаки для родителей
Методические пособия, называемые ГДЗ, разрабатываются опытными педагогами, прежде всего, в помощь родителям. На протяжении всей школьной жизни многие взрослые стремятся контролировать учебный процесс, чтобы быть в курсе успехов и неудач ребенка, помогать ему усваивать новые знания. Однако, это не всегда возможно.
Во-первых, из-за того, что современная образовательная программа претерпела существенные изменения — это легко заметить, посетив такой сайт, как Мегаботан, ГДЗ Путина. Во-вторых, не каждый родитель сможет запомнить теоретические знания, заложенные в школе, а значит, проконтролировать правильность выполнения ребенком домашнего задания. В-третьих, у взрослых может просто не хватить времени на то, чтобы самостоятельно с ребенком разобраться с домашними заданиями (особенно в многодетных семьях). Но это не значит, что нужно пускать учебный процесс «на самотек»: иногда помощь родителей просто необходима, чтобы ребенок не потерял интерес к предмету, усвоил знания, понял трудный для него материал. . И ГДЗ вполне может в этом помочь. С их помощью:
Родители быстро разберутся, как решить сложную задачу и объяснят ее ребенку;
Взрослые могут контролировать правильность выполнения учеником домашнего задания;
Учащийся средней и старшей школы может самостоятельно проверить себя и при обнаружении ошибок проанализировать причину их возникновения, лучше усвоить материал и предотвратить ошибки в будущем.
Таким образом, использование тетрадей направлено, прежде всего, на помощь школьникам в усвоении сложного материала.
Дополнение к школьной программе
Как известно, школьная программа ориентирована на «среднего ученика», но как быть тем, кто по каким-либо причинам отстал от программы (например, из-за продолжительной болезни) или , наоборот, развиваются быстрее, чем подавляющее большинство их одноклассников? В обоих случаях решатели станут универсальным ответом.
С помощью ГДЗ отстающий ученик сможет понять не усвоенный им материал и «догнать» остальных в классе, а для учащихся, чей уровень выше среднего, ГДЗ станет «волшебным палочка», с которой он сможет двигаться дальше в своем развитии, усваивая материал с опережением школьной программы. Более того, часто такие ресурсы, как Мегаботан и Ответ.Ру, используются родителями для того, чтобы дать ребенку знания, выходящие за рамки школьной программы, расширить кругозор ребенка.
В помощь репетитору
ГДЗ также является уникальным инструментом для репетиторов и учителей. Не секрет, что усложнение школьной программы привело к тому, что почти каждый ученик посещает репетиторов для подготовки к выпускным экзаменам и зачетам. Книжки-решения активно используются учителями, чтобы помочь своим ученикам освоить весь школьный курс, а также для проверки знаний школьников и контроля их успеваемости.
Кстати, поскольку такие ресурсы, как «Скриб онлайн» или «Чит.Ру» изучаются и используются учителями, ученики не могут просто списать домашнюю работу из тетради с решениями — учитель это сразу заметит. Поэтому ГДЗ нельзя использовать таким образом.
Экспертное заключение
Несмотря на вышеизложенное, мнения экспертов относительно готовых домашних заданий разделились. Некоторые считают, что такие льготы приносят больше вреда, чем пользы. Поэтому были проведены многочисленные исследования влияния ресаков на общеобразовательный процесс. И выводы поражают: американские ученые Стивенс и Лайонсон доказали, что при использовании ГДЗ мозг ребенка работает почти в два раза активнее для анализа изучаемой информации, что увеличивает скорость усвоения материала в 1,4 раза и, соответственно, повышает успеваемость школьника. .
Положительное влияние ГДЗ заключается, прежде всего:
Развитие аналитических способностей ребенка: готовое домашнее задание учит школьника анализировать собственное домашнее задание и ответы, данные в методическом пособии, искать ошибки, выбирать лучшие решения из нескольких вариантов.
Развитие самостоятельности: ГДЗ способствуют развитию навыка обучения и самостоятельного поиска информации.
Постоянная стимуляция любознательности: если материал слишком сложен или слишком прост, у ребенка быстро пропадает мотивация к обучению – как правило, именно по этой причине даже успешный в прошлом ученик вдруг «скатывается» до двоек. Использование ГДЗ позволяет поддерживать интерес ребенка к процессу обучения, предохраняет его от переутомления, облегчает восприятие сложного материала и не дает ему потерять веру в свои силы.
Именно по этим причинам с каждым годом появляется все больше головоломок, самые популярные из которых собраны для удобства учителей, учеников и их родителей на этом ресурсе.
Многие учителя «старой школы» и даже значительная часть молодых учителей общеобразовательных школ, гимназий, лицеев, а также внушительная армия родителей школьников (озабоченных уровнем и объемом знаний своих детей) выступают исключительно самостоятельное домашнее задание для подрастающего поколения.
Но есть и другое мнение, разительно отличное от классического, общепринятого. Некоторые авторитетные педагоги и не менее внушительная часть родителей не против периодического использования детьми так называемых ГДЗ (книг с готовыми домашними заданиями). Главный их контраргумент – стремительно растущая с каждым годом нагрузка на учащихся и, как следствие, переутомление детей, отсутствие достаточного количества времени на качественное домашнее задание. Они также утверждают, что часто беглое, поверхностное прохождение тем в стенах школы (из-за ограниченного количества часов, отводимых на новый материал) не способствует правильному усвоению предметов учащимися.
К сожалению, реалии современной жизни таковы, что не только взрослым, но и детям и подросткам приходится приспосабливаться к требованиям динамичной жизни, как в калейдоскопе сменяющих друг друга повседневных дел и проблем. Сегодня мало кому удается ежедневно безмятежно лежать на диване часами и жадно читать увлекательные книги или проводить долгое время в релаксации перед телевизором.
Большинство родителей заняты сами, в том числе и в вечерние часы дня, якобы предназначенные для отдыха, досуга, семейного общения. Не меньшим, а, иногда, и гораздо более высоким темпом дети вынуждены оставаться каждый день. Многие школьники после учебы посещают кружки и секции, а также часто получают там домашние задания от своих наставников.
Большой объем устного материала, необходимого для усвоения, многочисленные письменные, творческие работы отнимают у школьников почти все свободное время в будни и выходные. Но растущий организм регулярно нуждается как в полноценном отдыхе, так и в смене деятельности. И просто каждому ребенку хочется каждый день иметь немного свободного времени для любимых внеклассных занятий.
Как все успеть, совместить и не сломать? Как не потерять интерес к учебе, получать хорошие оценки за свои знания и при этом жить полноценной жизнью здесь и сейчас, испытать все прелести и преимущества детства? Палочкой-выручалочкой могут послужить ГДЗ или, как их еще называют иначе, решебники.
ГДЗ: друг или враг школьника?
Никто не утверждает, что нужно прибегать к помощи решателя каждый день, бездумно списывая предложенные ответы. Родители, заботящиеся о своем ребенке, его уровне и качестве знаний, безусловно, должны контролировать процесс обучения, не допускать поверхностного изучения ребенком школьных предметов, где-то давать советы, разъяснять не совсем понятные ему темы, и, конечно же, конечно, прививать навыки самостоятельного изучения и отработки нового материала.
Однако, к сожалению, не все родители в силу своей занятости или имеющихся пробелов в знаниях могут помочь ребенку справиться с домашним заданием в трудной ситуации. Но при этом большинство из них хотят развить в своих детях ответственность, умение доводить любое начатое дело до конца. ГДЗ разрабатываются только в крайних случаях, чтобы помочь учащемуся выйти из сложной ситуации, понять сложность предлагаемых задач. Они позволяют в считанные минуты решать заумные математические задачи, примеры, разбирать упражнения по русскому, иностранному языку, давать правильные ответы на сложные вопросы по устным предметам или точным наукам.
Некоторым может показаться, что готовые домашние задания практически не имеют недостатков. Ведь они помогают правильно и быстро выполнять домашнее задание, способствуют уточнению и закреплению пройденного материала. Но у ГДЗ есть и свои недостатки.
К основным относятся:
Неосознанно, автоматически с помощью книги решений, переписывая ответы, учащийся получает минимальную пользу, поверхностные знания. Находясь на уроке, выполняя контрольную, самостоятельную работу, он не сможет объяснить учителю и одноклассникам ход своей мысли, не сможет решить такую задачу, правильно применить пройденные им правописания.
Кроме того, метод решения задачи, предложенный, например, в ГДЗ по математике, не всегда совпадает с методом, анализируемым на занятиях под руководством учителя.
Опытный учитель без труда разберется, домашнее задание ученика списало или сделало самостоятельно. Как правило, многие школьники имеют дома и пользуются ГДЗ, а это значит, что выдают точно такие же ответы с помощью решебников, как под копирку (особенно это касается таких предметов, как литература, история, обществознание) .
Конечно, школьникам полезно иметь под рукой готовые домашние задания по математике, русскому, английскому языку, физике и другим предметам. Решатель может выручить в ситуациях, когда по объективным причинам ученик не успел подготовиться к урокам.
Однако и родители, и, конечно же, их дети должны помнить, что ГДЗ следует применять только в исключительных случаях. Тогда умная книжка-подсказка, знающая ответы на все вопросы школьной программы, не принесет вреда, не будет способствовать резкому снижению успеваемости, а лишь изредка сыграет роль спасательного круга, верного друга, который может быть на что можно положиться в трудной ситуации.
Стремительное развитие общества привело к значительному усложнению школьных программ и общеобразовательных реформ. Информационная нагрузка на современного школьника постоянно растет, и сегодня, чтобы усвоить весь необходимый материал, ребенку приходится проводить за партой 8 часов: целый рабочий день, и это без учета времени, затраченного на подготовка домашнего задания. Такая нагрузка приводит к усталости, снижению работоспособности, потере мотивации. Помочь справиться с возрастающим объемом информации, научиться анализировать и логически мыслить, повысить успеваемость поможет ГДЗ — готовые домашние задания.
ГДЗ, или «решебники» — это учебники, которые активно используются в качестве учебных пособий, дополняющих образовательную программу по таким предметам, как русский язык, математика (алгебра), химия, физика и ряду других. В настоящее время создано множество ресурсов в помощь школьникам и их родителям: Ставкур, Спиши.Ру, ГДЗ от Путина и другие, но как с их помощью получить настоящие знания?
Решаки для родителей
Методические пособия, называемые ГДЗ, разрабатываются опытными педагогами, прежде всего, в помощь родителям. На протяжении всей школьной жизни многие взрослые стремятся контролировать учебный процесс, чтобы быть в курсе успехов и неудач ребенка, помогать ему усваивать новые знания. Однако, это не всегда возможно.
Во-первых, из-за того, что современная образовательная программа претерпела существенные изменения — это легко заметить, посетив такой сайт, как Мегаботан, ГДЗ Путина. Во-вторых, не каждый родитель сможет запомнить теоретические знания, заложенные в школе, а значит, проконтролировать правильность выполнения ребенком домашнего задания. В-третьих, у взрослых может просто не хватить времени на то, чтобы самостоятельно с ребенком разобраться с домашними заданиями (особенно в многодетных семьях). Но это не значит, что нужно пускать учебный процесс «на самотек»: иногда помощь родителей просто необходима, чтобы ребенок не потерял интерес к предмету, усвоил знания, понял трудный для него материал. . И ГДЗ вполне может в этом помочь. С их помощью:
Родители быстро разберутся, как решить сложную задачу и объяснят ее ребенку;
Взрослые могут контролировать правильность выполнения учеником домашнего задания;
Учащийся средней и старшей школы может самостоятельно проверить себя и при обнаружении ошибок проанализировать причину их возникновения, лучше усвоить материал и предотвратить ошибки в будущем.
Таким образом, использование тетрадей направлено, прежде всего, на помощь школьникам в усвоении сложного материала.
Дополнение к школьной программе
Как известно, школьная программа ориентирована на «среднего ученика», но как быть тем, кто по каким-либо причинам отстал от программы (например, из-за продолжительной болезни) или , наоборот, развиваются быстрее, чем подавляющее большинство их одноклассников? В обоих случаях решатели станут универсальным ответом.
С помощью ГДЗ отстающий ученик сможет понять не усвоенный им материал и «догнать» остальных в классе, а для учащихся, чей уровень выше среднего, ГДЗ станет «волшебным палочка», с которой он сможет двигаться дальше в своем развитии, усваивая материал с опережением школьной программы. Более того, часто такие ресурсы, как Мегаботан и Ответ.Ру, используются родителями для того, чтобы дать ребенку знания, выходящие за рамки школьной программы, расширить кругозор ребенка.
В помощь репетитору
ГДЗ также является уникальным инструментом для репетиторов и учителей. Не секрет, что усложнение школьной программы привело к тому, что почти каждый ученик посещает репетиторов для подготовки к выпускным экзаменам и зачетам. Книжки-решения активно используются учителями, чтобы помочь своим ученикам освоить весь школьный курс, а также для проверки знаний школьников и контроля их успеваемости.
Кстати, поскольку такие ресурсы, как «Скриб онлайн» или «Чит.Ру» изучаются и используются учителями, ученики не могут просто списать домашнюю работу из тетради с решениями — учитель это сразу заметит. Поэтому ГДЗ нельзя использовать таким образом.
Экспертное заключение
Несмотря на вышеизложенное, мнения экспертов относительно готовых домашних заданий разделились. Некоторые считают, что такие льготы приносят больше вреда, чем пользы. Поэтому были проведены многочисленные исследования влияния ресаков на общеобразовательный процесс. И выводы поражают: американские ученые Стивенс и Лайонсон доказали, что при использовании ГДЗ мозг ребенка работает почти в два раза активнее для анализа изучаемой информации, что увеличивает скорость усвоения материала в 1,4 раза и, соответственно, повышает успеваемость школьника. .
Положительное влияние ГДЗ заключается, прежде всего:
Развитие аналитических способностей ребенка: готовое домашнее задание учит школьника анализировать собственное домашнее задание и ответы, данные в методическом пособии, искать ошибки, выбирать лучшие решения из нескольких вариантов.
Развитие самостоятельности: ГДЗ способствуют развитию навыка обучения и самостоятельного поиска информации.
Постоянная стимуляция любознательности: если материал слишком сложен или слишком прост, у ребенка быстро пропадает мотивация к обучению – как правило, именно по этой причине даже успешный в прошлом ученик вдруг «скатывается» до двоек. Использование ГДЗ позволяет поддерживать интерес ребенка к процессу обучения, предохраняет его от переутомления, облегчает восприятие сложного материала и не дает ему потерять веру в свои силы.
Именно по этим причинам с каждым годом появляется все больше головоломок, самые популярные из которых собраны для удобства учителей, учеников и их родителей на этом ресурсе.
Многие учителя «старой школы» и даже значительная часть молодых учителей общеобразовательных школ, гимназий, лицеев, а также внушительная армия родителей школьников (озабоченных уровнем и объемом знаний своих детей) выступают исключительно самостоятельное домашнее задание для подрастающего поколения.
Но есть и другое мнение, разительно отличное от классического, общепринятого. Некоторые авторитетные педагоги и не менее внушительная часть родителей не против периодического использования детьми так называемых ГДЗ (книг с готовыми домашними заданиями). Главный их контраргумент – стремительно растущая с каждым годом нагрузка на учащихся и, как следствие, переутомление детей, отсутствие достаточного количества времени на качественное домашнее задание. Они также утверждают, что часто беглое, поверхностное прохождение тем в стенах школы (из-за ограниченного количества часов, отводимых на новый материал) не способствует правильному усвоению предметов учащимися.
К сожалению, реалии современной жизни таковы, что не только взрослым, но и детям и подросткам приходится приспосабливаться к требованиям динамичной жизни, как в калейдоскопе сменяющих друг друга повседневных дел и проблем. Сегодня мало кому удается ежедневно безмятежно лежать на диване часами и жадно читать увлекательные книги или проводить долгое время в релаксации перед телевизором.
Большинство родителей заняты сами, в том числе и в вечерние часы дня, якобы предназначенные для отдыха, досуга, семейного общения. Не меньшим, а, иногда, и гораздо более высоким темпом дети вынуждены оставаться каждый день. Многие школьники после учебы посещают кружки и секции, а также часто получают там домашние задания от своих наставников.
Большой объем устного материала, необходимого для усвоения, многочисленные письменные, творческие работы отнимают у школьников почти все свободное время в будни и выходные. Но растущий организм регулярно нуждается как в полноценном отдыхе, так и в смене деятельности. И просто каждому ребенку хочется каждый день иметь немного свободного времени для любимых внеклассных занятий.
Как все успеть, совместить и не сломать? Как не потерять интерес к учебе, получать хорошие оценки за свои знания и при этом жить полноценной жизнью здесь и сейчас, испытать все прелести и преимущества детства? Палочкой-выручалочкой могут послужить ГДЗ или, как их еще называют иначе, решебники.
ГДЗ: друг или враг школьника?
Никто не утверждает, что нужно прибегать к помощи решателя каждый день, бездумно списывая предложенные ответы. Родители, заботящиеся о своем ребенке, его уровне и качестве знаний, безусловно, должны контролировать процесс обучения, не допускать поверхностного изучения ребенком школьных предметов, где-то давать советы, разъяснять не совсем понятные ему темы, и, конечно же, конечно, прививать навыки самостоятельного изучения и отработки нового материала.
Однако, к сожалению, не все родители в силу своей занятости или имеющихся пробелов в знаниях могут помочь ребенку справиться с домашним заданием в трудной ситуации. Но при этом большинство из них хотят развить в своих детях ответственность, умение доводить любое начатое дело до конца. ГДЗ разрабатываются только в крайних случаях, чтобы помочь учащемуся выйти из сложной ситуации, понять сложность предлагаемых задач. Они позволяют в считанные минуты решать заумные математические задачи, примеры, разбирать упражнения по русскому, иностранному языку, давать правильные ответы на сложные вопросы по устным предметам или точным наукам.
Некоторым может показаться, что готовые домашние задания практически не имеют недостатков. Ведь они помогают правильно и быстро выполнять домашнее задание, способствуют уточнению и закреплению пройденного материала. Но у ГДЗ есть и свои недостатки.
К основным относятся:
Неосознанно, автоматически с помощью книги решений, переписывая ответы, учащийся получает минимальную пользу, поверхностные знания. Находясь на уроке, выполняя контрольную, самостоятельную работу, он не сможет объяснить учителю и одноклассникам ход своей мысли, не сможет решить такую задачу, правильно применить пройденные им правописания.
Кроме того, метод решения задачи, предложенный, например, в ГДЗ по математике, не всегда совпадает с методом, анализируемым на занятиях под руководством учителя.
Опытный учитель без труда разберется, домашнее задание ученика списало или сделало самостоятельно. Как правило, многие школьники имеют дома и пользуются ГДЗ, а это значит, что выдают точно такие же ответы с помощью решебников, как под копирку (особенно это касается таких предметов, как литература, история, обществознание) .
Конечно, школьникам полезно иметь под рукой готовые домашние задания по математике, русскому, английскому языку, физике и другим предметам. Решатель может выручить в ситуациях, когда по объективным причинам ученик не успел подготовиться к урокам.
Однако и родители, и, конечно же, их дети должны помнить, что ГДЗ следует применять только в исключительных случаях. Тогда умная книжка-подсказка, знающая ответы на все вопросы школьной программы, не принесет вреда, не будет способствовать резкому снижению успеваемости, а лишь изредка сыграет роль спасательного круга, верного друга, который может быть на что можно положиться в трудной ситуации.
Украинский язык 7. Решения и готовые домашние задания (ГДЗ): как ими пользоваться
Стремительное развитие общества привело к значительному усложнению школьных программ и общеобразовательных реформ. Информационная нагрузка на современного школьника постоянно растет, и сегодня, чтобы усвоить весь необходимый материал, ребенку приходится проводить за партой 8 часов: целый рабочий день, и это без учета времени, потраченного на подготовка домашнего задания. Такая нагрузка приводит к усталости, снижению работоспособности, потере мотивации. Помочь справиться с возрастающим объемом информации, научиться анализировать и логически мыслить, повысить успеваемость поможет ГДЗ — готовые домашние задания.
ГДЗ, или «Решебники», — это учебники, которые активно используются в качестве учебных пособий, дополняющих образовательную программу по таким предметам, как русский язык, математика (алгебра), химия, физика и ряду других. В настоящее время создано множество ресурсов в помощь школьникам и их родителям: Ставкур, Спиши. Ру, ГДЗ от Путина и другие, но как с их помощью получить настоящие знания?
Решаки для родителей
Методические пособия, называемые ГДЗ, разрабатываются опытными педагогами, прежде всего, в помощь родителям. На протяжении всей школьной жизни многие взрослые стремятся контролировать учебный процесс, чтобы быть в курсе успехов и неудач ребенка, помогать ему усваивать новые знания. Однако, это не всегда возможно.
Во-первых, из-за того, что современная образовательная программа претерпела существенные изменения — это легко заметить, посетив такой сайт, как Мегаботан, ГДЗ Путина. Во-вторых, не каждый родитель сможет запомнить теоретические знания, заложенные в школе, а значит, проконтролировать правильность выполнения ребенком домашнего задания. В-третьих, у взрослых может просто не хватить времени на то, чтобы самостоятельно с ребенком разобраться с домашними заданиями (особенно в многодетных семьях). Но это не значит, что нужно пускать учебный процесс «на самотек»: иногда помощь родителей просто необходима, чтобы ребенок не потерял интерес к предмету, усвоил знания, понял трудный для него материал. . И ГДЗ вполне может в этом помочь. С их помощью:
Родители быстро разберутся, как решить сложную задачу и объяснят ее ребенку;
Взрослые могут контролировать правильность выполнения учеником домашнего задания;
Учащийся средней и старшей школы может самостоятельно проверить себя и при обнаружении ошибок проанализировать причину их возникновения, лучше усвоить материал и предотвратить ошибки в будущем.
Таким образом, использование тетрадей направлено, прежде всего, на помощь школьникам в усвоении сложного материала.
Дополнение к школьной программе
Как известно, школьная программа ориентирована на «среднего ученика», но как быть тем, кто по каким-либо причинам отстал от программы (например, из-за продолжительной болезни) или , наоборот, развиваются быстрее, чем подавляющее большинство их одноклассников? В обоих случаях решатели станут универсальным ответом.
С помощью ГДЗ отстающий ученик сможет понять не усвоенный им материал и «догнать» остальных в классе, а для учащихся, чей уровень выше среднего, ГДЗ станет «волшебным палочка», с которой он сможет двигаться дальше в своем развитии, усваивая материал с опережением школьной программы. Более того, часто такие ресурсы, как Мегаботан и Ответ.Ру, используются родителями для того, чтобы дать ребенку знания, выходящие за рамки школьной программы, расширить кругозор ребенка.
В помощь репетитору
ГДЗ также является уникальным инструментом для репетиторов и учителей. Не секрет, что усложнение школьной программы привело к тому, что почти каждый ученик посещает репетиторов для подготовки к выпускным экзаменам и зачетам. Книжки-решения активно используются учителями, чтобы помочь своим ученикам освоить весь школьный курс, а также для проверки знаний школьников и контроля их успеваемости.
Кстати, поскольку такие ресурсы, как «Скриб онлайн» или «Чит.Ру» изучаются и используются учителями, ученики не могут просто списать домашнюю работу из тетради с решениями — учитель это сразу заметит. Поэтому ГДЗ нельзя использовать таким образом.
Экспертное заключение
Несмотря на вышеизложенное, мнения экспертов относительно готовых домашних заданий разделились. Некоторые считают, что такие льготы приносят больше вреда, чем пользы. Поэтому были проведены многочисленные исследования влияния ресаков на общеобразовательный процесс. И выводы поражают: американские ученые Стивенс и Лайонсон доказали, что при использовании ГДЗ мозг ребенка работает почти в два раза активнее для анализа изучаемой информации, что увеличивает скорость усвоения материала в 1,4 раза и, соответственно, повышает успеваемость школьника. .
Положительное влияние ГДЗ заключается, прежде всего:
Развитие аналитических способностей ребенка: готовое домашнее задание учит школьника анализировать собственное домашнее задание и ответы, данные в методическом пособии, искать ошибки, выбирать оптимальные решения из нескольких вариантов.
Развитие самостоятельности: ГДЗ способствуют развитию навыка обучения и самостоятельного поиска информации.
Постоянная стимуляция любознательности: если материал слишком сложен или слишком прост, у ребенка быстро пропадает мотивация к обучению – как правило, это причина того, что даже успевавший в прошлом ученик вдруг «скатывается» до двоек. Использование ГДЗ позволяет поддерживать интерес ребенка к процессу обучения, предохраняет его от переутомления, облегчает восприятие сложного материала и не дает ему потерять веру в свои силы.
Именно по этим причинам с каждым годом появляется все больше головоломок, самые популярные из которых собраны для удобства учителей, учеников и их родителей на этом ресурсе.
Многие учителя «старой школы» и значительная часть молодых учителей общеобразовательных школ, гимназий, лицеев, а также внушительная армия родителей школьников (озабоченных уровнем и объемом знаний своих детей) ратуют за исключительно самостоятельную домашнюю работу подрастающего поколения.
Но есть и другое мнение, разительно отличное от классического, общепринятого. Некоторые авторитетные педагоги и не менее внушительная часть родителей не против периодического использования детьми так называемых ГДЗ (книг с готовыми домашними заданиями). Главный их контраргумент – стремительно растущая с каждым годом нагрузка на учащихся и, как следствие, переутомление детей, нехватка времени на качественное выполнение домашних заданий. Они также утверждают, что часто беглое, поверхностное прохождение тем в стенах школы (из-за ограниченного количества часов, отводимых на новый материал) не способствует правильному усвоению предметов учащимися.
К сожалению, реалии современной жизни таковы, что не только взрослым, но и детям и подросткам приходится приспосабливаться к требованиям динамичной жизни, как в калейдоскопе сменяющих друг друга повседневных дел и проблем. Сегодня мало кому удается ежедневно безмятежно лежать на диване часами и жадно читать увлекательные книги или проводить подолгу в релаксации перед телевизором.
Большинство родителей заняты сами, в том числе и в вечерние часы дня, якобы предназначенные для отдыха, досуга, семейного общения. Не меньшим, а, иногда, и гораздо более высоким темпом дети вынуждены оставаться каждый день. Многие школьники после учебы посещают кружки и секции, а также часто получают там домашние задания от своих наставников.
Большой объем устного материала, необходимого для усвоения, многочисленные письменные, творческие работы отнимают у школьников почти все свободное время в будни и выходные. Но растущий организм регулярно нуждается как в полноценном отдыхе, так и в смене деятельности. И просто каждому ребенку хочется каждый день иметь немного свободного времени для любимых внеклассных занятий.
Как все успеть, совместить и не сломать? Как не потерять интерес к учебе, получать хорошие оценки за свои знания и при этом жить полноценной жизнью здесь и сейчас, испытать все прелести и преимущества детства? Палочкой-выручалочкой могут послужить ГДЗ или, как их еще называют иначе, решебники.
ГДЗ: друг или враг школьника?
Никто не утверждает, что нужно прибегать к помощи решателя каждый день, бездумно списывая предложенные ответы. Родители, заботящиеся о своем ребенке, его уровне и качестве знаний, безусловно, должны контролировать процесс обучения, не допускать поверхностного изучения ребенком школьных предметов, где-то подсказывать, объяснять не совсем понятные ему темы и, конечно же, , прививать навыки самостоятельного изучения и отработки нового материала .
Однако, к сожалению, не все родители в силу своей занятости или имеющихся пробелов в знаниях могут помочь ребенку справиться с домашним заданием в трудной ситуации. Но при этом большинство из них хотят развить в своих детях ответственность, умение доводить любое начатое дело до конца. ГДЗ разрабатываются только в крайних случаях, чтобы помочь учащемуся выйти из сложной ситуации, понять сложность предлагаемых задач. Они позволяют в считанные минуты решать заумные математические задачи, примеры, разбирать упражнения по русскому, иностранному языку, давать правильные ответы на сложные вопросы по устным предметам или точным наукам.
Некоторым может показаться, что готовые домашние задания практически не имеют недостатков. Ведь они помогают правильно и быстро выполнять домашнее задание, способствуют уточнению и закреплению пройденного материала. Но у ГДЗ есть и свои недостатки.
К основным относятся:
Неосознанно, механически с помощью тетради, переписывая ответы, учащийся получает минимальную пользу, поверхностные знания. Находясь на уроке, выполняя контрольную, самостоятельную работу, он не сможет объяснить учителю и одноклассникам ход своей мысли, не сможет решить подобную задачу, правильно применить пройденные им правописания.
Кроме того, метод решения задачи, предложенный, например, в ГДЗ по математике, не всегда совпадает с методом, анализируемым на занятиях под руководством учителя.
Опытный учитель без труда разберется, домашнее задание ученика списало или сделало самостоятельно. Как правило, многие школьники имеют дома и пользуются ГДЗ, а это значит, что с помощью книжек-решений они выдают точно такие же ответы, как под копирку (особенно это касается таких предметов, как литература, история, обществознание). исследования).
Конечно, школьникам полезно иметь под рукой готовые домашние задания по математике, русскому, английскому языку, физике и другим предметам. Решатель может выручить в ситуациях, когда по объективным причинам ученик не успел подготовиться к урокам.
Однако и родители, и, конечно же, их дети должны помнить, что ГДЗ следует применять только в исключительных случаях. Тогда умная книжка-подсказка, знающая ответы на все вопросы школьной программы, не принесет вреда, не будет способствовать резкому снижению успеваемости, а лишь изредка сыграет роль спасательного круга, верного друга, который может быть на что можно положиться в трудной ситуации.
Что ж, наш украинский язык звучный и многогранный! Мова Франк и Шевченко, робкий соловей и красная калина у лужи, лепет тишины и мамина песня. Поэтому в школе предмет достоин особого почитания. Учащиеся изучают не только помощников, но и выигрывают дополнительные материалы для лучшего знания темы. Вместе с учителями пишите диктанты, звоните в нужные, шутите над ответами на вопросы. Вивещать родну мов — это целое мистика, так как вы можете успешно справиться с книгой-разгадкой. Застосовучив йогу на практике, школьники значительно повысят уровень своих знаний.
Какова роль ГДЗ в украинском фильме
В украинском языке в 7 классе очень много правил, поэтому на них и свернутые виньетки. Поэтому семиклассник виноват в их запоминании, чтобы грамотно и правильно написать не только домашнее задание, но и листы, запрошенные. Погоди, що сплкуватися среди социалистических организаций, столь популярных среди девятых школьников, с неграмотной специальностью — недопустимо. Также необходимо максимально эффективно проводить уроки и в час после уроков улучшать знание родного языка. По-другому ГДЗ поможет справиться с первым классом украинского языка. Будь цикавным словосочетанием как в розовом стиле, так и в грамматическом.
Решебник с 7 класс в режиме онлайн
В любом случае применить значение библиотеки и книг в жизни ученых невозможно, но использование современных технологий значительно упростит процесс обучения. Зокрема, которая готовит домашние блюда из украинского языка для 7 класса на портале GDZ4YOU. На выходе из магазинов онлайн-пособников — это безплатная помощь школьникам. Вы можете использовать его с любым электронным устройством — телефоном, смартфоном, планшетом. Для входа на сайт не обязательно прописывать триматы в памяти разных паролей. Зручный доступ – еще одно преимущество портала.
Вывчайте мови, користуючись ГДЗ
Среди иностранных языков, как бы проповедовали семиклассникам на свадьбу, єі русский язык. Вон похож на украинский, но со своими грамматическими и фонетическими особенностями. По этой причине читатели подробно изучают тему кожи. На уроках вони, диктантов много пиши, правильно, креативно. Точно так же большая часть работы ложится на домашнее хозяйство, которое переносит самостоятельную работу над правами. В
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ШЛЮЗЫ КИТА МЭТЬЮЗА В WWW
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОРОТА КИТА МЭТЬЮЗА В WWW
Математическая энциклопедия
Издательства/книготорговцы/библиотеки
MathSciNet (только для подписчиков)
Математические факультеты
Журналы и страницы содержания
Реестр цифровой математики AMS
Материалы Международного конгресса математиков оцифрованы до 1893 г.
Старые журналы и книги по математике
Интернет-архив (старые книги и журналы по математике)
Труды Кембриджского философского общества (ранние тома) Интернет-архив
DML: цифровая математическая библиотека
Коллекция исторической математики Мичиганского университета
Comptes rendus de l’Académie des Sciences
Journal de mathématiques pures et appliquées
NUMDAM (бесплатный доступ к библиографическим данным и статьям французских и других математических журналов, таких как Compositio Mathematica до 2000 года)
GDZ (Göttinger Digitalisierungs Zentrum), например. Старые статьи в Crelle, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (до 1894 года — поищите более ранние тома)
Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, (1804-), коллекция Библиотеки наследия биоразнообразия
Проект Ярбух
Проект Евклид
Издание Оливера Бирна Евклида
Тринадцать книг Элементов Евклида (Исторический архив Математического института Клэя)
EMANI (Инициатива сети электронного математического архивирования — более ранние тома многих математических журналов, например Math. Annalen, Math. Zeitschrift)
JSTOR (только для абонентов)
Поиск в Интернете
Гугл
Google Scholar
Google Переводчик
MathWorld
Домашняя страница AMS
Бюллетень Американского математического общества
Уведомления Американского математического общества
Классификация предметов по математике
Математический календарь AMS
Книжный магазин AMS
Австралийское математическое общество
MAA Online (Математическая ассоциация Америки)
Международный математический союз
Лондонское математическое общество
Информационный бюллетень Лондонского математического общества
Информационный бюллетень по математике Азиатско-Тихоокеанского региона
Создание матрицы с мелким шрифтом в математическом режиме в LaTeX с использованием среды \rsmallmath (или \lsmallmath) (выравнивание по правому или левому краю для записей)
PSTricks
Больше математики в LaTeX , Джордж Грэтцер, Springer 2007 (очень хорошо!)
Искусство решения проблем: руководство по LaTeX
ASCIIMathML. js (версия 2.0): преобразование математической записи ASCII в MathML и графику
Страницы LaTeX Тони Робертса
Начало работы с LaTeX (А. Хильдебранд)
Латексные рисунки и таблицы А. Хильдебранда подсказки
Математические символы в LaTeX
Использование проектора: краткое руководство по LaTeX для логиков (Питер Смит)
LaTeX для логиков (Питер Смит)
Латекс/гиперссылки
Исторические вещи
История математики Mactutor, Сент-Эндрюс
Математики семнадцатого и восемнадцатого веков
Проект математической генеалогии
Une Chronologie des Mathematiques (Серж Мель)
Великая теорема Ферма
Архив Ферма Уильяма Хаммонда
Различные предметы, представляющие математический интерес
Ретроспектива Джона Конвея (Брэди Харан)
Начало теории множеств
Цифровая библиотека математических функций
Последнее изменение 4 ноября 2021 г.
Вернуться на веб-страницу теории чисел
Учебники-практикумы по физике и ГДЗ к ним.
Изображения обложек учебников размещаются на страницах данного сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (пункт 1 статьи 1274 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации)
Физика 7 класс. ФГОС Перышкин Дрофа
Физика 7 класс. Сборник задач Лукашик, Иванова Образование
Физика 7 класс Перышкин (сборник задач) Экзамен
Физика 8 класс. ФГОС Перышкин Дрофа
Физика Сборник задач Лукашик, Иванова Образование
Физика 8 класс Перышкин (сборник задач) Экзамен
Физика 9 класс. ФГОС Перышкин Дрофа
Физика 9 класс. Сборник задач Лукашик, Иванова Образование
Физика 9 класс Перышкин (сборник задач) Экзамен
Физика 10 класс. задачник Рымкевич А.П. М.: Дрофа
Физика 10 класс. Нумерация параграфов может не совпадать (профильный и базовый уровень) Касьянов В. А. М.: Дрофа
Физика 10 класс. Сборник задач по физике
Физика 10 класс Мякишев, Буховцев Образование
Сборник задач по физике 10 класс Громцева Экзамен
Физика 11 класс Касьянов В.А. М.: Дрофа
Физика 11 класс. задачник Рымкевич А.П. М.: Дрофа
Физика 11 класс Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Чаругин В.М. М.: Просвещение
Степанова Г.Н. М.: Просвещение
Физика 11 класс. Сборник задач по физике Парфентьева Н.А. М.: Просвещение
Физика 11 класс (старая редакция) Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б. М.: Просвещение, 2003
Дидактические материалы по физике 7 класс. ФГОС Марон Дрофа
Дидактические материалы по физике 8 класс. ФГОС Марон, Перышкин Дрофа
Дидактические материалы по физике 9 класс. ФГОС Дрофа
Самостоятельная и контрольная работа по физике 7 класс. ФГОС Дрофа
Контрольная и самостоятельная работа по физике 7 класс. ФГОС Громцева Экзамен
Самостоятельная и контрольная работа по физике 8 класс Марон Дрофа
Контрольно-СДР по физике 8 класс. ФГОС Громцева Экзамен
Самостоятельная и контрольная работа по физике 9 класс Марон Дрофа
Контрольно-СДР по физике 9 класс. ФГОС Громцева Экзамен
Самостоятельная и контрольная работа по физике 10 класс Ерюткин Просвет
Зорин Вако
Контрольно-измерительные материалы (КИМ) по физике 7 класс. ФГОС Бобошин Экзамен
Зорин Вако
Контрольно-измерительные материалы (КИМ) по физике физика 8 класс. ФГОС Бобошин ЕГЭ
Лозовенко Вако
Контрольно-измерительные материалы (КИМ) по физике 9 класс. ФГОС Бобошин ЕГЭ
Рабочие тетради
Тетрадь по физике 7 класс Касьянов Дмитриева Дрофа
Дрофа Ханнанова
Тетрадь-практикум по физике 7 класс Белага, Воронцова Образование
Тетрадь-тренажер по физике 7 класс. ФГОС Артеменков, Белага Образование
Тетрадь по физике 7 класс. Часть 1, 2 Степанова СТП
Тетрадь по физике 9000 7. ФГОС Перышкин ЕГЭ
Тетрадь по физике 7 класс. ФГОС Минькова, Иванова ЕГЭ
Тетрадь для лабораторных работ по физике 7 класс. ФГОС Минькова, Иванова ЕГЭ
Ханнанова Дрофа
Тетрадь-тренажер по физике 8 класс. ФГОС Касьянов, Дмитриева Дрофа
Тетрадь-тренажер по физике 8 класс. ФГОС Артеменков, Белага Образование
Тетрадь-экзаменатор по физике 8 класс. ФГОС Жумаев Просвещение
Тетрадь-тренажер по физике 8 класс 05 Степанова СТП 900 Рабочая тетрадь по физике 8 класс. ФГОС Минкова, Иванова Экзамен
Тетрадь по физике 8 класс. ФГОС Касьянова, Дмитриева Экзамен
Тетрадь по физике 8 класс. ФГОС Перышкин Экзамен
Тетрадь для лабораторных работ по физике 8 класс. ФГОС Минкова, Иванова Экзамен
Тетрадь по физике 9 класс Касьянов Дмитриева Дрофа
Тетрадь по физике 9 класс. ФГОС Гутник, Власова Дрофа
Тетрадь-практикум по физике 9 класс Артеменков Белага Образование
Тетрадь-тренажер по физике 9 класс Экзаменатор
6 Просвещение по физике 9 класс Жумаев Просвещение
Рабочая тетрадь по физике 10 класс Тетрадь для лабораторных работ по физике 10 класс Контрольные работы по физике 7 класс. ФГОС Контрольные по физике 8 класс. ФГОС Контрольные по физике 9 класс. ФГОС Громцев. К учебнику Перышкина Экзамен
Учебники-практикумы по физике и ГДЗ к ним
Физика – это школьная дисциплина, которая у одних вызывает истинный и неподдельный интерес, а другие кажутся невероятно сложным предметом для изучения. Это наука, овладение которой открывает перед будущими выпускниками широкие перспективы в практической и исследовательской деятельности, поэтому многие предпочитают физику как дисциплину по выбору на ОГЭ/ЕГЭ. Чтобы качественно и в полном объеме освоить весь курс школьной физики, вам потребуются усидчивость, ответственность, эффективные средства обучения и решения для них.
Так как изучение данного школьного предмета начинается в седьмом классе школы, учащиеся уже способны самостоятельно организовывать занятия с ГДЗ – такая методика признана удачной рядом экспертов и учителей-предметников. Начать работу следует с: — построение качественного плана тренировок, учитывающего базовый уровень знаний, возможностей и умений, целей и задач. Среди последних, например, повышение успеваемости, текущего балла по предмету или подготовка к участию в различных олимпиадах и олимпиадах по физике; — выделение достаточного количества времени на подготовительную работу по сборникам; — периодический самоконтроль и самоанализ своих достижений и их динамики. При необходимости планы корректируются, в том числе в результате изменения самих учебных задач; — подбор оптимального набора учебной литературы.
Последний включает, помимо основного учебника по физике, специальные пособия-практикумы. Они могут быть универсальными, то есть свободно сочетающимися с различными учебниками по дисциплине, или специальными, подходящими для той или иной книги по теории. Среди самых популярных и актуальных мастер-классов: — рабочие тетради по физике; — сборники проверочных, контрольных и самостоятельных работ по дисциплине; — материалы дидактические ; — задачники; — КИМы; — тетради-тренажеры и тетради-экзаменаторы по предмету; — Тетради для лабораторных и практических занятий; – тесты по физике, особенно популярны у выпускников 9 и 11 классов, сдающих ОГЭ и ЕГЭ по дисциплине.
Среди авторов, пособия которых считаются наиболее эффективными и интересными, Перышкин, Марон, Лукашик, Дмитриева, Минькова, Гутник, Жумаев, Артеменков, Степанова, Белага, Громцева, Мякишев, Рымкевич и другие.
В 9 классе на школьников ложится колоссальная нагрузка, и не последнюю роль в этом играет физика. В этот временной период студенты проходят такие темы, как законы взаимодействия и движения тел, механические колебания и волны, звук, электромагнитное поле, строение атома и ядра. К каждому разделу нужно относиться серьезно. Кроме того, некоторые студенты выбирают его в качестве предмета для ЕГЭ.
В подавляющем большинстве школ используется классический учебник по предмету Перышкина А.В. и Шутник Е.М. Эти методисты известны своими учебниками, по которым учились миллионы людей. Помимо подробного теоретического материала, книга также содержит вопросы после абзацев и упражнения для закрепления знаний. Нередко учащиеся испытывают трудности с поиском ответов и решением задач. В таких случаях они могут прийти на помощь Решебник по физике за 9 класс (авторы: Перышкин А.В. и Шутник Е.М.) с готовыми ключами.
Как устроена коллекция ГДЗ и как ею правильно пользоваться?
Пособие содержит как подробные алгоритмы поиска ответов на задачи, так и пояснения к вопросам после абзаца. Чтобы найти нужную информацию, просто найдите свой номер. Помимо прочего, есть также вспомогательные материалы для лабораторной практики и раздел для самопроверки.
Перед просмотром приведенной информации девятикласснику рекомендуется попробовать решить задание самостоятельно. После этого можно обращаться к ключам и сравнивать результаты. Все примеры соответствуют ФГОС, поэтому в их правильности можно не сомневаться.
Чем могут помочь домашние задания?
Это издание предназначено для учащихся, которые могут не очень хорошо знать предмет, но хотят получить хорошую оценку. Им поможет гид:
качественно анализировать свою деятельность и уровень знаний;
заполнить пробелы в пройденном материале;
улучшить средний балл по дисциплине.
Многие учителя ругают решателей и считают, что это не дает ученику должного понимания предмета, а только подталкивает его к списыванию. На самом деле такое восприятие ГДЗ в корне неверно, так как дает возможность самостоятельного изучения учебника. Пролистывая параграф, учащийся сможет использовать данный материал для решения задач и выполнения лабораторных работ. Многим ученикам трудно освоить новый предмет в 7 класс Физика .
Ответы на вопрос не всегда можно найти, потому что целый абзац может содержать только задачи и ничего более. Как правило, школьник не может самостоятельно решить задачу по физике и сразу пытается найти ее в учебнике, но его ждет разочарование. Вопреки расхожему мнению учителей, готовые домашние задания помогают в учебе. А с ГДЗ по физике за 7 класс Перышкин поясните задание более подробно. Ребенок может просто не справиться с заданием дома и торопится списать его у одноклассников. Если бы он решал задачи дома, то все могло быть иначе.
ГДЗ к рабочей тетради по физике за 7 класс Ханнанова можно скачать.
ГДЗ к дидактическим материалам по физике для 7 класса Марон А.Е. можно скачать.
ГДЗ к сборнику заданий 7-9 класс Перышкин можно скачать.
ГДЗ к рабочей тетради по физике за 7 класс Касьянов В.А. можно скачать.
ГДЗ на тетрадь для лабораторной работы по физике для 7 класса можно скачать Филонович Н.В.
ГДЗ за контрольные работы по физике за 7 класс Ханнанов Н.К. можно скачать.
Gdz ответ за 7к до мёрзлой земли.
Сложная алгебра — одна из самых сложных дисциплин в современной образовательной системе… Тем не менее, семиклассники знают, что учить можно без труда. Дело в том, что основное место в этой дисциплине занимает практическая часть, которая поможет справиться с надежными решениями. Эти многофункциональные справочники способствуют успешному и эффективному выполнению любых задач и облегчают их быструю проверку. Теперь школьники могут самостоятельно искать ошибки в собственных работах и, не призывая на помощь взрослых, браться за их исправление.
Но стоит помнить, что помощь от ГДЗ по алгебре 7 класс (Мерзляк, Полонский, Якир) не заканчивается вышеперечисленными пунктами. Это инновационное учебное пособие становится основой для получения хороших оценок, что обязательно приведет к отличной успеваемости и повышению общего балла по предмету. Решения на нашем ресурсе дают ученикам шанс на интересное обучение и мотивируют на получение новых интересных знаний, которые обязательно пригодятся в будущем.
Ответы о качестве строительства
Без сомнения, сегодня ответы являются основой непревзойденных знаний и высоких оценок. С такими помощниками не страшны даже самые сложные задачи. Решения, находящиеся на нашем образовательном портале ВИПГДЗ, совпадают с действующим школьным учебником. Это подтверждается наличием в них таких тем, как: «Целые выражения», «Функции» и других. Эти разделы содержат много информационных данных, в том числе самые разнообразные самостоятельные задания для проверки уровня знаний. Однако, помимо условий проведения учений, у решебников есть и такие неординарные структурные элементы, как результаты заданий. Именно эти компоненты помогают школьникам функционально проверять собственную работу и исправлять ошибки.
ПРИ правильном решении на нашем ресурсе образовательного направления ВипГДЗ ученики 7 класса будут приносить только хорошие оценки за домашнее задание по такой дисциплине, как алгебра, что положительно скажется на их уверенности в себе. Используйте в своих исследованиях только проверенные материалы, которые обитают на нашем портале.
Алгебра 7 класс
Самоучитель (продвинутый уровень)
Мерзляк, Поляков
Алгоритм успеха
Вентана Граф
Делать какие-либо выводы о том, справятся ребята в этом году с этим предметом или нет, явно не приходится. , так как идет шлифовка. Но все же пропускать уроки в этот период не стоит, иначе все остальное тоже станет крайне непонятным и сложным для усвоения. Откладывание на более поздние д/с тоже, как правило, к хорошим результатам не приводит. Решебник к учебнику «Алгебра 7 класс (продвинутый уровень)» Мерзляк, Поляков, благодаря удобной и простой структуре позволяет доработать любую изучаемую в школе тему дома. Применив его при необходимости, студенты смогут запомнить нужные данные и значительно улучшат свою успеваемость.
Основные положения настоящего издания
Сборник содержит тридцать четыре параграфа, которые в общей сложности содержат более одной тысячи двухсот упражнений. Каждое число имеет точное и полноценное решение, что поможет лучше понять как сам их алгоритм, так и провести качественную работу над ошибками. ГДЗ по алгебре 7 класс Мороз будет хорошим подспорьем в преодолении проблемного материала.
Насколько это продуктивно
Большая часть пути обучения уже пройдена, а проблемы только прибывают. С каждым разом темы усложняются и школьникам становится очень сложно их одолеть. В связи с изучением новых дисциплин увеличивается и количество возникающих вопросов. К этому занятию дети должны уже твердо усвоить, что не стоит откладывать на потом то, что требует немедленного разрешения. Проанализировав и разобравшись во всех нюансах, можно прийти к пониманию, как выполнять нужные задачи, как справляться с ошибками и т. д. «Алгебра 7 класс (продвинутый уровень)» Мерзляк поможет максимально облегчить этот процесс. «Вентана Граф», 2016
Рекомендуем Вашему вниманию ГДЗ по Алгебре 7 класс Мерзляк А.Г. продвинутый уровень по евроки. Поможет вам лучше справиться с новым школьным планом, который составлен в соответствии с ФГОС от 2017
Алгебра – это уже достаточно сложная дисциплина, по которой по окончании учебы седьмой- грейдеру предстоит ответственный экзамен. А в учреждениях с профилем «Математика» программа намного сложнее. Также в дальнейшем при поступлении в колледж или университет он будет одним из тестируемых предметов. Поэтому полезнее будет готовиться и решать сложные задачи вместе с решателем.
Сама книга авторы: Мерзляков и Поляк продвинутый уровень , открывает возможность каждому проверить свои знания на прочность, решая запутанные, но очень интересные задачки. Рабочая тетрадь разделена на четыре главы, каждая из которых разбита в свою очередь на абзацы.
Первый раздел откроет мир линейных уравнений с одной переменной (а в четвертом уже с двумя), вторая часть посвящена целочисленным выражениям, в третьем изучают функции. Сами темы содержат теоретический материал. Необходимо очень внимательно вчитываться в текст, который выделен жирным шрифтом и курсивом. Он содержит пояснения к намерениям. В основном представленный материал заканчивается небольшими примерами для решения различных вопросов. Студент может использовать и рассматривать их как один из вариантов построения своего расчета. После усвоения теории можно переходить к самостоятельным работам, которые есть в каждой теме. Все уроки имеют разную степень сложности, есть простые, средние и сложные (отмечены звездочкой). Вся информация одинаково важна, поэтому каждый обязан исследовать свой долг, но как это сделать — совсем другой вопрос.
Списывать или нет — моральный и весьма спорный вопрос. Но что мешает вам немного подсмотреть и, благодаря онлайн-помощи, правильно исправить свою орфографию, посчитав текущую математическую задачу. За это точно никто не осудит, потому что ГДЗ не заставляет записывать все имеющиеся ответы полностью, как под копирку. Пособие предлагает вам ознакомиться с методами и на основе этого строить свои предположения о выполнении тех или иных упражнений. Знание правильного результата позволит ребенку не сомневаться в своих выводах и смело переходить к следующим числам. Но, не следует забывать, что ученик должен не только легко кликать по книге все, что было задано, но и быть подготовленным, свободно рассказывать, как он это сделал.
В 7 классе математика делится на два отдельных предмета: алгебру и геометрию. В связи с этим программа усложняется, увеличивается количество заданий, которые ребенок должен разобрать самостоятельно. Несомненно, алгебра считается одним из ключевых предметов в системе образования, поэтому ее изучению нужно уделять много времени. Чтобы процесс обучения был более продуктивным и интересным, стоит использовать А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якира для 7 класса. Пособие содержит правильные ответы ко всем упражнениям оригинального учебника, изданного компанией «Вентана-Граф» в 2016 году. Сборник достаточно популярен среди учителей, которые составляют на его основе свои конспекты.
Только отличные оценки по алгебре Мерзляка для семиклассников
Школьное образование необходимо любой образованной и развитой личности. На уроке ребенок получает большую часть новой информации, которую затем должен применить на практике. Преподаватель объясняет материал, описывает определенные правила и законы, знакомит с теоремами и аксиомами. Школьник, в свою очередь, должен все это тщательно записать, чтобы потом разобраться самостоятельно. Дома он должен выполнять заданные упражнения, запоминать темы. Онлайн-сборник для 7 класса поможет ему справиться с этим. Авторы: Мерзляк, Полонский, Якир.
Преимущества электронного портала для всех обучающихся:
быстрый доступ к сайту с любого устройства — компьютера, телефона, планшета. Главное включить интернет;
удобная поисковая система в виде таблицы. Каждое упражнение имеет свой отдельный номер;
познавательных руководств и схем;
актуальная информация, соответствующая учебнику 2019 года.
Портал работает круглосуточно, а это значит, что нужное решение можно посмотреть в любое время дня и ночи. Стоит отметить, что бездумное списывание «домашних заданий» не способствует повышению успеваемости. Прогресс в обучении начинается только тогда, когда учащийся сам решит все примеры, а затем сверит их с готовыми ответами в книге решений.
Какие темы рассматривает ГДЗ по алгебре Мерзляк, Полонский
Каждый родитель хочет, чтобы его ребенок был лучшим в школе, получал только пятерки и испытывал удовлетворение от учебы. Для этого многие учатся вместе, кто-то нанимает дорогих репетиторов. Но, к сожалению, не у всех взрослых есть наличные… Поэтому отличной альтернативой станет развивающий комплекс, написанный Мерзляком. Он содержит следующие темы:
линейное уравнение с одной переменной;
целых выражений;
функций;
систем линейных уравнений с двумя переменными;
повторение и систематизация
учебный материал.
Онлайн-коллекция будет полезна как школьникам, так и их родителям и учителям. С его помощью можно подготовиться к любой контрольно-проверочной работе, итоговому тесту.
ГДЗ по алгебре за 7 класс Мерзляк – это решебник или онлайн-сборник готовых домашних заданий, составленный на основе одноименного учебника таких популярных и авторитетных российских авторов, как А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Его основные функции заключаются в том, чтобы помочь учащимся понять самостоятельно. математические примеры и задачи, помогающие родителям следить за успеваемостью своих детей.
Ответы по алгебре за 7 класс автора Мерзляк — как проверить успеваемость подростка?
Седьмой класс – сложный этап школьного образования, требующий от учащихся и родителей максимального внимания. Первым нужно разобраться в новой сложной дисциплине, имя которой алгебра, а вторым — не дать успеваемости подростков выйти из-под контроля. В помощь и тем, и другим призван решить задачу по алгебре для 7 класса Мерзляк.
Теперь практическое руководство доступно в удобном интерактивном режиме: чтобы получить ответ на конкретный пример, достаточно указать его номер в строке поиска или начать вводить условие, чтобы получить пошаговый алгоритм выполнения выполнение упражнения.
Среди дополнительных, но не менее важных достоинств ресурса:
Наличие пошагового алгоритма выполнения задач и уравнений, а иногда и нескольких способов решения одного и того же примера;
возможность использования материалов сайта с любого электронного гаджета — телефона, планшета, компьютера;
постоянное обновление решебников: сайт предлагает ответы на последнее издание учебника по алгебре А.Г.Мерзляка. (2015).
ГДЗ могут использовать школьники, которым проще справиться с задачами и примерами дома, а также их родители, желающие проверить правильность примеров или помочь детям с домашним заданием.
Алгебра Мерзляка А.Г. — содержание учебника для 7 класса
Решения и ответы в тетради основаны на результатах решения задач и примеров.
Сокращением дроби называют деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от 1.
2. Какую дробь называют несократимой?
Несократимая дробь — это дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.
3. На какое число надо сократить дробь, чтобы получилась несократимая дробь?
Чтобы получилась несократимая дробь, надо разделить числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель (НОД).
Решаем устно
1. Объясните, почему верно равенство:
1)
Равенство верно потому, что если умножить числитель и знаменатель первой дроби на число 3, то получиться вторая дробь:
2)
Равенство верно потому, что если разделить числитель и знаменатель первой дроби на число 6, то получиться вторая дробь:
2. Сколько двенадцатых частей:
1) в — три двенадцатых части, так как ;
2) в — четыре двенадцатых части, так как ;
3) в — девять двенадцатых частей, так как ;
4) в — десять двенадцатых частей, так как ;
5) в — восемнадцать двенадцатых частей, так как .
3. Сколько сотых частей:
1) в — десять сотых части, так как ;
2) в — пятнадцать сотых части, так как ;
3) в — двадцать восемь сотых частей, так как ;
4) в — двадцать шесть сотых частей, так как ;
5) в — шестьдесят две сотых частей, так как .
4. Какую часть года составляет:
Мы знаем, что всего в году 12 месяцев. Значит:
1) 1 месяц — это часть года.
2) 2 месяца — это часть года.
3) 6 месяцев — это часть года.
5. Сколько граммов составляет:
Мы знаем, что 1 кг = 1 000 грамм.
1) кг = 1 000 : 2 = 500 г;
2) кг = 1 000 : 4 = 250 г;
3) кг = 1 000 : 8 = 125 г;
4) кг = 1 000 : 5 • 2 = 200 •2 = 400 г
6. Сократимой или несократимой дробью является значение выражения ?
1) Сумма цифр числителя дроби 4 563 равна 4 + 5 + 6 + 3 = 18. Это число делится нацело на 9. Значит числитель нацело делится на 9.
2) Знаменатель дроби 10³ — 1 = 1 000 — 1 = 999. Сумма цифр этого числа 9 + 9 + 9 = 27. Значит и знаменатель нацело делится на 9.
3) Если и числитель, и знаменатель можно нацело поделить на одно и то же число, то дробь является сократимой.
Ответ: да, выражение сократимо.
Упражнения
210. Сократите дробь:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
211. Сократите дробь:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
212. Какие из дробей несократимы?
— несократимая дробь, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме единицы.
— сократимая дробь, так как и числитель, и знаменатель можно разделить на 7.
— сократимая дробь, так как и числитель, и знаменатель можно разделить на 3.
— несократимая дробь, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме единицы.
— сократимая дробь, так как и числитель, и знаменатель можно разделить на 4.
— несократимая дробь, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме единицы.
Ответ: несократимыми являются дроби: .
213. Найдите среди дробей несократимые.
— сократимая дробь, так как и числитель, и знаменатель можно разделить на 5.
— сократимая дробь, так как и числитель, и знаменатель можно разделить на 3.
— несократимая дробь, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме единицы.
— несократимая дробь, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме единицы.
— сократимая дробь, так как и числитель, и знаменатель можно разделить на 2.
— несократимая дробь, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме единицы.
Ответ: несократимыми являются дроби: .
214. Запишите десятичную дробь к виде обыкновенной дроби и результат, если возможно, сократите:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
215. Найдите среди данных дробей равные между собой. Запишите соответствующие равенства.
1)
, так как
, так как и
2)
, так как и
, так как
216. Найдите среди дробей равные между собой и запишите соответствующие равенства.
, так как и
, так как
217. Какую часть часа составляют:
1 час = 60 минут. Значит:
1) 4 мин = часа, так как
2) 10 мин = часа, так как
3) 36 мин = часа, так как
4) 54 мин = часа, так как
5) 72 мин = часа, так как
218. Какую часть суток составляют:
1 сутки = 24 часа. Значит:
1) 3 ч = суток, так как
2) 8 ч = суток, так как
3) 12 ч = суток, так как
4) 16 ч = суток, так как
5) 21 ч = суток, так как
219. Какую часть развёрнутого угла составляет угол, градусная мера которого равна:
Развёрнутый угол составляет 180°. Значит:
1) 4° = части развёрнутого угла, так как
2) 12° = части развёрнутого угла, так как
3) 27° = части развёрнутого угла, так как
4) 126° = части развёрнутого угла, так как
5) 153° = части развёрнутого угла, так как
220. Какую часть прямого угла составляет угол, градусная мера которого равна:
Прямой угол составляет 90°. Значит:
1) 2° = части прямого угла, так как
2) 15° = части прямого угла, так как
3) 36° = части прямого угла, так как
4) 75° = части прямого угла, так как
5) 54° = части прямого угла, так как
221. Выполните действие и сократите результат:
1)
2)
3)
4)
222. Выполните действие и сократите результат:
1)
2)
3)
4)
223. Запишите все правильные несократимые дроби со знаменателем 18.
Для того, чтобы дробь со знаменателем 18 была несократимой, надо подобрать такой числитель, который будет взаимно простым числом с 18. При этом числитель должен быть меньше числа 18, чтобы дробь была правильной.
224. Запишите все неправильные несократимые дроби с числителем 20.
Для того, чтобы дробь с числителем 20 была несократимой, надо подобрать такой знаменатель, который будет взаимно простым числом с 20. При этом знаменатель должен быть меньше или равен числу 20, чтобы дробь была неправильной.
228. Дробь сократили на 2 и получили дробь . Найдите значения x и y.
Условие задачи можно записать так:
У равных дробей числители и знаменатели равны между собой. Можно составить уравнения:
х : 2 = 2 х = 2 • 2 х = 4
6 : 2 = y y = 6 : 2 y = 3
Ответ: х = 4, y = 3.
229. После сокращении дроби на 3 получили дробь . Найдите значения а и b.
Условие задачи можно записать так:
У равных дробей числители и знаменатели равны между собой. Можно составить уравнения:
21 : 3 = b b = 21 : 3 b = 7
a : 3 = 4 a = 4 • 3 a = 12
Ответ: a = 12, b = 7.
Упражнения для повторения
230. Запишите, используя каждую цифру от 0 до 9 только один раз:
1) наименьшее число, кратное 2:
1 023 456 798 — Это число чётное, а значит оно кратно 2.
2) наибольшее число, кратное 18.
9 876 543 210 — Это число чётное, а значит оно кратно 2. Кроме того, сумма чисел данного числа делится на 9, то есть число кратно 9. Значит число кратно и числу 18, так как 2 • 9 = 18.
231. К какому числу надо прибавить 5,7, чтобы произведение полученной суммы и числа 3,6 было равно 120,6?
Пусть х — неизвестное число. Составим и решим уравнение:
Ответ: Неизвестное число равно 27,8.
232. Из какого числа надо вычесть 3,8, чтобы произведение полученной разности и числа 5,5 было равно 34,1?
Пусть х — неизвестное число. Составим и решим уравнение:
Ответ: Неизвестное число равно 10.
Готовимся к изучению новой темы
233. Расположите в порядке возрастания дроби:
234. Сравните:
1) , так как знаменатели дробей одинаковы, а числитель первой дроби больше, чем числитель второй дроби.
2) , так как числители дробей одинаковы, а знаменатель первой дроби больше, чем знаменатель второй дроби.
3) , так как — это правильная дробь, а правильная дробь всегда меньше единицы.
4) , так как — это неправильная дробь, а неправильная дробь может быть только больше либо равна единицы, но наша дробь не равна единице, то есть она больше 1.
5) , так как — это правильная дробь, а правильная дробь всегда меньше единицы.
6) , так первая дроби правильная, а вторая — неправильная, а правильная дробь всегда меньше неправильной.
7) , так как , а единица с правильной дробью всегда меньше, чем 2 целых.
8) , так как , а две целых с правильной дробью всегда больше, чем 2 целых.
Задача от мудрой совы
235. Из старинной книги выпала часть страниц, идущих подряд. Первая выпавшая страница имеет номер 251, а номер последней записан теми же цифрами в другом порядке. Какой номер последней выпавшей страницы?
Теми же цифрами можно записать только 2 трёхзначных числа, больших, чем 251. Это числа: 512 и 521.
Номер страницы 251 — это нечётный номер, значит на обратной стороне листа будет располагаться чётный номер.
На последнем выпавшем листе также будет располагаться две страницы — первая с нечётным номером, а вторая (она же и последняя выпавшая страница) — с чётным.
Значит последняя выпавшая страница будет обозначена чётным номером. Это число 512.
Ответ: номер последней выпавшей страницы — 512.
Ответы к учебнику для 6 класса. А. Г. Мерзляк
Переход на главную страницу сайта
Сокращение дробей — презентация по математике 6 класс
Слайды и текст этой презентации
Слайд №1
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. 6 классматематика Урок №23-25 Сокращение дробей
10. 05.2012 1 www.konspekturoka.ru
Слайд №2
Цели: 10.05.2012 ввести понятие сокращения дробей и дать определение несократимой дроби; учить сокращать дроби, используя признаки делимости чисел и основное свойство дроби 2 www.konspekturoka.ru
Слайд №3
На основании чего мы можем умножать числитель и знаменатель дроби? На основании основного свойства дроби мы можем умножать числитель и знаменатель дроби Вспомним! 10.05.2012 3 www.konspekturoka.ru
Слайд №4
На какие числа можно разделить числитель и знаменатель дроби? На 2, 3, 4, 6, 12. Если разделить числитель и знаменатель дроби на наибольший общий делитель, на 12. Какая дробь получится? = = = — такое преобразование называется сокращением дроби. Определение. Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби. При сокращении дроби ее числовое значение не меняетеизменилась только ее запись. Изучение нового материала 10.05.2012 4 www.konspekturoka.ru
Слайд №5
Что можно сказать о числах 2 и 3? Если дробь больше сократить нельзя, то ее называют несократимой Они взаимно простые. Определение. Дробь, числитель и знаменатель которой взаимно простые числа, называется несократимой. 10.05.2012 5 www.konspekturoka.ru
Слайд №6
Способы сокращения дробей: 1. Сократить числитель и знаменатель на их НОД. = = 2. Последовательно сокращать на общие делители. = = = = 3. Разложить числитель и знаменатель на множители, а потом сократить. = = 1 1 1 1 1 1 10.05.2012 6 www.konspekturoka.ru
Слайд №7
Назвать несократимую дробь. Почему эти дроби являются несократимыми? 10.05.2012 7 www.konspekturoka.ru
Слайд №8
10.05.2012 www.konspekturoka.ru 8 Назовите наибольший делитель числителя и знаменателя. Разделите числитель и знаменатель данной дроби на их общий делитель. Как называется получившаяся дробь? = = = = наибольший делитель числителя и знаменателя — 2 наибольший делитель числителя и знаменателя — 3 наибольший делитель числителя и знаменателя -70а наибольший делитель числителя и знаменателя – 7п
Слайд №9
Какую часть часа составляют 45 мин, 12 мин, 15 мин, 40 мин, 35 мин? 10.05.2012 9 www.konspekturoka.ru
Слайд №10
Сократите дробь: Общий делитель 3с. = = = Числитель и знаменатель дроби представим в виде множителей: = Назовите общий делитель числителя и знаменателя: = Общий делитель 25b. = Общий делитель 3bc. 10.05.2012 10 www.konspekturoka.ru
Найдите среди чисел 1, 3, 10, 12, 13, 15, 16, 39 пары взаимно простых чисел. 1 и 3; 1 и 10; 1 и 12; 1 и 13; 1 и 15; 1 и 16; 1 и 39; 3 и 10; 3 и 13; 3 и 16; 10 и 13; 10 и 39; 12 и 13; 13 и 15; 13 и 16; 15 и 16; 16 и 39. 10.05.2012 12 www.konspekturoka.ru
Сокращение дробей 6 класс презентация, доклад, проект
Слайд 1
Текст слайда:
6 класс
Сокращение дробей
Слайд 2
Текст слайда:
Повторение
Найдите наибольший общий делитель
НОД(24; 40)=
НОД(14, 25)=
Д(24)={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
8
Д(14)={1, 2, 7, 14}
1
14 и 25 взаимно простые числа
Слайд 3
Текст слайда:
Повторение
Найдите наибольший общий делитель методом перебора
НОД(4; 6)=
2
НОД(12;15 )=
3
НОД(12;25 )=
1
НОД(17;51 )=
17
НОД(26; 39 )=
13
НОД(70; 140 )=
70
НОД(27; 36 )=
9
НОД(25; 31 )=
1
НОД(125; 1000 )=
125
НОД(15; 16 )=
1
12 и 25, 15 и 16, 25 и 31 взаимно простые числа
Слайд 4
Текст слайда:
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
или разделить
Сокращение дроби
Приведение дроби к новому знаменателю
Слайд 5
Текст слайда:
Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.
Сокращение дроби
2
9
Слайд 6
Текст слайда:
1
10
Слайд 7
Текст слайда:
2
9
Слайд 8
Текст слайда:
Несократимая дробь
Эту дробь сократить нельзя, так как её числитель и знаменатель взаимно простые числа.
НОД(2;9) = 1
Слайд 9
Текст слайда:
Сокращение дроби на наибольший общий делитель.
2
3
НОД(210; 315)
210
315
= 10*21
= 2*5*3*7
= 2*3*5*7
= 5*63
= 5*7*9
= 3*3*5*7
= 5*3*7 = 105
Слайд 10
Текст слайда:
Последовательное сокращение дроби
70
105
14
21
2
3
Верно ли, что дробь при таком сокращении становится все меньше и меньше???
Слайд 11
Текст слайда:
Найди несократимые дроби. Сделай клик мышью по букве рядом с несократимыми дробями.
Р
А
А
Д
У
Г
Ш
Я
0,7
0,23
0,8
0,1
М
0,25
Слайд 12
Текст слайда:
Запиши множество значений переменной х, при
которых дробь является правильной
несократимой дробью.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Слайд 13
Текст слайда:
Запиши множество значений переменной у, при
которых дробь является неправильной
несократимой дробью.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
17
14
15
16
Слайд 14
Текст слайда:
Один рабочий изготовил 16 одинаковых деталей за 6 ч, а другой 24 такие же детали за 15 ч. Какой из них тратил на изготовление 1 детали больше времени?
Найдите скорость работы каждого рабочего.
Слайд 15
Текст слайда:
Из 20 м ткани сшили 8 одинаковых платьев для взрослых , а из 12 м ткани сшили 8 детских платьев. Сколько метров ткани пошло на одно детское платье и сколько на одно платье для взрослых?
Слайд 16
Текст слайда:
Из 42 м полотна сшили 10 пододеяльников, а из 33 м – 15 простыней. Сколько полотна идет на комплект, в который входит 1 простыня и 1 пододеяльник.
Слайд 17
Текст слайда:
12,8км/ч
Собственная скорость катера 12,8 км/ч, а скорость течения 1,7км/ч. Найдите скорость катера по течению и против течения.
12,8км/ч
Против течения
По течению
1,7км/ч
Слайд 18
Текст слайда:
vпо теч=22,7км/ч
1,9км/ч
По течению
Скорость теплохода по течению равна 22,7км/ч. Найдите собственную скорость теплохода и его скорость против течения, если скорость течения реки 1,9км/ч.
Слайд 19
Текст слайда:
Путешественник проплыл против течения реки на моторной лодке 3ч. Обратно он вернулся на плоту. Сколько времени путешественник затратил на обратный путь, если собственная скорость лодки 24 км/ч, а скорость течения 3 км/ч?
24 км/ч
Против течения
По течению
3 км/ч
3ч
?ч
Слайд 20
Текст слайда:
Путешественник проплыл по реке на плоту 75 км за 25 ч. Обратно он вернулся на моторной лодке, собственная скорость которой 28 км/ч. Сколько времени затратил путешественник на обратный путь?
28 км/ч
75км
Против течения
По течению
?ч
25ч
Слайд 21
Текст слайда:
Турист плыл на теплоходе сначала 1,2 ч по озеру, а затем 3,6 ч по реке, которая впадает в это озеро. Собственная скорость теплохода 22,4 км/ч, а скорость течения реки 1,7 км/ч. Найдите длину всего пути туриста на теплоходе.
Показать
? км
1,2ч
3,6ч
Скачать презентацию
эквивалентных дробей — определение, как найти эквивалентные дроби?
Эквивалентные дроби могут быть определены как дроби, которые могут иметь разные числители и знаменатели, но представляют одно и то же значение. Например, 9/12 и 6/8 являются эквивалентными дробями, потому что в упрощенном виде обе равны 3/4.
Все эквивалентные дроби сводятся к одной и той же дроби в их простейшей форме, как показано в приведенном выше примере. Изучите данный урок, чтобы лучше понять, как найти эквивалентные дроби и как проверить, эквивалентны ли данные дроби.
1.
Что такое эквивалентные дроби?
2.
Как найти равные дроби?
3.
Как узнать, эквивалентны ли две дроби?
4.
Таблица эквивалентных дробей
5.
Часто задаваемые вопросы об эквивалентных дробях
Что такое эквивалентные дроби?
Две или более дроби называются эквивалентными, если они равны одной и той же дроби в упрощенном виде. Например, эквивалентными дробями 1/5 являются 5/25, 6/30 и 4/20, которые при упрощении дают одну и ту же дробь, то есть 1/5.
Равнозначные дроби Определение
Равнозначные дроби определяются как те дроби, которые равны одному и тому же значению независимо от их числителей и знаменателей. Например, и 6/12, и 4/8 равны 1/2 в упрощенном виде, что означает, что они эквивалентны по своей природе.
Эквивалентные дроби Примеры
Вот несколько примеров эквивалентных дробей.
Пример: 1/2, 2/4, 3/6 и 4/8 — эквивалентные дроби. Посмотрим, насколько их значения равны. Мы будем представлять каждую из этих дробей в виде кругов с заштрихованными частями. Можно видеть, что заштрихованные части на всех рисунках представляют одну и ту же часть, если рассматривать ее как единое целое.
Здесь мы видим, что количество заштрихованных частей одинаково во всех кругах. Следовательно, 1/2, 2/4, 3/6 и 4/8 — эквивалентные дроби.
Как найти равные дроби?
Равные дроби можно записать путем умножения или деления числителя и знаменателя на одно и то же число. Вот почему эти дроби при упрощении сокращаются до одного и того же числа. Давайте поймем два способа, которыми мы можем сделать эквивалентные дроби:
Умножить числитель и знаменатель на одно и то же число.
Разделите числитель и знаменатель на одно и то же число.
Умножение числителя и знаменателя на одно и то же число
Чтобы найти эквивалентные дроби для любой заданной дроби, умножьте числитель и знаменатель на одно и то же число. Например, чтобы найти эквивалентную дробь 3/4, умножьте числитель 3 и знаменатель 4 на одно и то же число, скажем, на 2. Таким образом, 6/8 — это эквивалентная дробь 3/4. Мы можем найти некоторые другие эквивалентные дроби, умножив числитель и знаменатель данной дроби на одно и то же число.
3/4 = \(\dfrac{3 \times 3}{4 \times 3}\) = 9/12
3/4=\(\dfrac{3 \times 4}{4 \times 4}\) = 12/16
3/4=\(\dfrac{3 \times 5}{4 \times 5}\) =15/20
Таким образом, эквивалентными дробями числа 3/4 являются 6/8, 9/12, 12/16 и 15/20.
Разделить числитель и знаменатель на одно и то же число
Чтобы найти эквивалентные дроби для любой заданной дроби, разделите числитель и знаменатель на одно и то же число. Например, чтобы найти эквивалентную дробь 72/108, мы сначала найдем их общие делители. Мы знаем, что 2 является общим делителем как 72, так и 108. Следовательно, эквивалентную дробь 72/108 можно найти, разделив ее числитель и знаменатель на 2. Таким образом, 36/54 является эквивалентной дробью 72/108. Давайте посмотрим, как дробь еще больше упрощается:
2 является общим делителем 36 и 54. Таким образом, 36/54= \(\dfrac{36 \div 2}{54 \div 2}\)= 18/27
Опять же, 3 является общим делителем 18 и 27. Таким образом, 18/27= \(\dfrac{18 \div 3}{27 \div 3}\)= 6/9
Опять же, 3 является общим делителем 6 и 9. Таким образом, 6/9=\(\dfrac{6 \div 3}{9 \div 3}\)= 2/3
Следовательно, несколько эквивалентных дробей числа 72/108 равны 36/54, 18/27, 6/9 и 2/3. Здесь 2/3 — это упрощенная форма 72/108, поскольку у 2 и 3 нет общего делителя (кроме 1).0005
Как узнать, эквивалентны ли две дроби?
Нам нужно упростить данные дроби, чтобы узнать, эквивалентны они или нет. Упрощение для получения эквивалентных чисел может быть выполнено до такой степени, что и числитель, и знаменатель должны быть целыми числами. Существуют различные методы определения эквивалентности данных дробей. Вот некоторые из них:
Приравняв знаменатели.
Нахождение десятичной формы обеих дробей.
Метод перекрестного умножения.
Визуальный метод.
Определим, являются ли 2/6 и 3/9 эквивалентными дробями, каждым из этих методов.
Приведение знаменателей к одному
Знаменатели дробей 2/6 и 3/9 равны 6 и 9. Наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 6 и 9 равно 18. Приведем знаменатели обеих дроби 18, умножив их на подходящие числа.
2/6=\(\dfrac{2 \times 3}{6 \times 3}\)= 6/18
3/9=\(\dfrac{3 \times 2}{9 \times 2}\)= 6/18
Мы можем заметить, что обе дроби эквивалентны одной и той же дроби 6/18. Таким образом, данные дроби равнозначны.
Примечание: Если дроби НЕ эквивалентны, мы можем проверить большую или меньшую дробь, взглянув на числитель обеих дробей. Следовательно, этот метод также может быть использован для сравнения дробей.
Нахождение десятичной формы обеих дробей
Давайте найдем десятичную форму обеих дробей 2/6 и 3/9, чтобы увидеть, дают ли они одно и то же значение.
2/6= 0,3333333…
3/9= 0,3333333…
Десятичные значения обеих дробей одинаковы и , следовательно, они эквивалентны.
Метод перекрестного умножения
Чтобы определить, эквивалентны ли 2/6 и 3/9, мы перемножаем их. Если оба произведения одинаковы, дроби равны.
Поскольку оба произведения здесь равны 18, данные дроби называются эквивалентными дробями.
Визуальный метод
Давайте изобразим каждую из дробей 2/6 и 3/9 на одинаковых фигурах и проверим, равны ли заштрихованные части обеих.
Мы видим, что заштрихованные части обоих кругов отображают одно и то же значение. Другими словами, можно видеть, что заштрихованные части на обеих фигурах представляют собой одну и ту же часть, если рассматривать ее как единое целое. Следовательно, данные дроби равнозначны.
Таблица эквивалентных дробей
Диаграммы и таблицы часто используются для лучшего представления концепций, поскольку они служат удобным справочником для расчетов и их легче понять. Опорные диаграммы и таблицы, подобные приведенной ниже, облегчают учащимся понимание эквивалентных дробей. Давайте используем следующую таблицу, чтобы найти эквивалентные дроби 1/4.
Из этой таблицы видно, что эквивалентные дроби 1/4: 2/8, 3/12, 4/16,…
Советы по эквивалентным дробям
Две дроби называются эквивалентными, если их значения (десятичное число/графическое значение) совпадают.
Обычно мы умножаем числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, чтобы получить эквивалент дроби.
‘Метод перекрестного умножения’ используется для определения того, эквивалентны ли какие-либо две дроби.
«Приведение знаменателей в соответствие» — еще один метод, используемый для определения эквивалентности двух или более дробей.
☛ Статьи по теме
Сокращение дробей
Умножение дробей
Сложение дробей
Деление дробей
Упрощение дробей
Правильные дроби
Часто задаваемые вопросы об эквивалентных дробях
Что такое эквивалентные дроби в математике?
Две или более фракций считаются эквивалентными фракциями , если они равны одному и тому же значению независимо от их числителей и знаменателей. Например, 2/4 и 8/16 являются эквивалентными дробями, потому что при упрощении они уменьшаются до 1/2.
Каковы примеры эквивалентных дробей?
Может быть много примеров эквивалентных дробей, например, 8/12 и 6/9 являются эквивалентными дробями, потому что при упрощении они сводятся к одной и той же дроби (2/3). Точно так же 4/7 и 28/49 также являются эквивалентными дробями.
Как найти равные дроби?
Если данные дроби упростить и привести к обыкновенной дроби, то их можно назвать эквивалентными дробями. Помимо этого, существуют различные другие методы определения того, являются ли данные дроби эквивалентными или нет. Вот некоторые из них:
Приравняв знаменатели.
Нахождением десятичной формы обеих дробей.
Метод перекрестного умножения.
Визуальный метод.
Что означает равенство двух дробей?
Когда две дроби эквивалентны, это означает, что они равны одному и тому же значению независимо от их различных числителей и знаменателей. Другими словами, когда они упрощаются, они сводятся к одной и той же дроби.
Почему равные дроби важны?
Эквивалентные дроби помогают нам складывать, вычитать, умножать, делить дроби и сравнивать дроби, что помогает нам решать многие задачи в реальном времени.
Что такое эквивалентная неправильная дробь?
Эквивалентная неправильная дробь означает эквивалентную дробь в неправильной форме. Дробь называется неправильной, если ее числитель больше знаменателя. Например, 3/2 — неправильная дробь, равная 9/6.
Как вычислить эквивалентные дроби?
Любые две дроби могут считаться эквивалентными, если они равны одному и тому же значению. Существуют различные способы узнать, равны ли дроби. Основной метод заключается в их уменьшении. Если они сведены к одной и той же дроби, они считаются эквивалентными.
Как написать эквивалентные дроби?
Равные дроби можно записать путем умножения или деления числителя и знаменателя на одно и то же число. Вот почему эти дроби при упрощении сокращаются до одного и того же числа. Например, давайте запишем эквивалентную дробь для 2/3. Умножим числитель и знаменатель на 4 и получим (2 × 4)/(3 × 4) = 8/12. Следовательно, 8/12 и 2/3 равнозначные дроби.
Дайте 2 эквивалентные дроби для 6/8.
Чтобы записать эквивалентную дробь для 6/8, умножим числитель и знаменатель на 2, и мы получим (6 × 2)/(8 × 2) = 12/16. Следовательно, 6/8 и 12/16 — равнозначные дроби. Теперь получим другую эквивалентную дробь для 6/8, разделив ее на обычное число, скажем, на 2. После деления числителя и знаменателя на 2 получим (6 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 3 /4. Следовательно, 6/8 и 3/4 — равнозначные дроби.
Какие дроби равны 1/4?
Чтобы найти эквивалентные дроби 1/4, умножим числитель и знаменатель на одно и то же число. Итак, мы умножим его на 2, что будет (1 × 2)/(4 × 2) = 2/8. Теперь, чтобы найти другую эквивалентную дробь для 1/4, давайте умножим ее на 3. Это будет (1 × 3)/(4 × 3) = 3/12. Итак, мы получаем две равнозначные дроби для 1/4, а это 2/8 и 3/12.
Дайте две эквивалентные дроби для 2/3.
Чтобы найти эквивалентные дроби 2/3, умножим числитель и знаменатель на одно и то же число. Итак, мы умножим его на 5, что будет (2 × 5) / (3 × 5) = 10/15. Теперь, чтобы найти другую эквивалентную дробь для 2/3, давайте умножим ее на 6. Это будет (2 × 6)/(3 × 6) = 12/18. Итак, мы получаем две равнозначные дроби для 2/3, а это 10/15 и 12/18.
Mr. Nussbaum Math Дроби Действия
Этот раздел содержит действия и ресурсы, связанные с фракциями.
Фракция Pal — Онлайн
Описание: Эти инновационные программы позволяют учащимся интерактивно работать с программой для решения математических задач. Программа шаг за шагом знакомит учащихся с математическими задачами, разбивая операции деления, уравнений и дробей на ряд последовательных, более простых математических задач в стиле интервью. Они работают на всех компьютерах и планшетах.
Тип: Математическая мастерская
Формат: онлайн-активность
Уровни оценок:
4, 5, 6
Стандарты СС:
Ланг. Стандарты искусства:
EZ Fractions — сложение, вычитание, умножение и деление дробей
Описание: EZ Fractions — это популярный семинар по дробям, который позволяет учащимся выполнять операции с дробями в упрощенной среде, которая помогает им переименовывать, уменьшать, перекрестно умножать или находить LCM и GCF. Настраиваемый! Это похоже на наш Fraction Workshop, но некоторым пользователям такой формат нравится больше.
Тип: Математическая мастерская
Формат: онлайн-активность
Уровни оценок:
4, 5, 6
Стандарты СС:
Ланг. Стандарты искусства:
Мастерская фракций — онлайн
Описание: Fraction Workshop — это удивительное приложение с функцией перетаскивания, которое позволяет учащимся выполнять любые операции с дробями на онлайн-сцене с помощью вспомогательных инструментов. Мастерская дробей позволяет пользователям практиковаться в упорядочивании, уменьшении, сложении, вычитании, умножении и делении дробей и смешанных чисел. Наша система перетаскивания упрощает заказ и организацию номеров. Выберите количество задач для отработки, конкретный навык для отработки и нажмите «Начать». Решите задачу на сцене и перетащите правильные числа в поле для ответа. Система сразу укажет, правильный ли ваш ответ. Когда закончите, распечатайте сводку результатов. Студенты могут использовать инструмент калькулятора или инструмент визуализации, чтобы помочь им работать над проблемами. Инструмент визуализации превращает конкретную математическую задачу в изображение. Это помогает учащимся лучше «видеть» проблему.
Описание: Tony Fraction — забавная игра, которая усиливает идентификацию, сокращение и эквивалентные дроби. Студенты играют роль Тони, владельца пиццерии, который должен выполнять просьбы своих требовательных клиентов. Клиенты Тони заказывают пиццу с нечетными фракциями начинки, а не только с традиционными «1/2 пепперони и 1/2 обычной». Клиенты Тони обычно заказывают пиццу с дробями, такими как четвертые, шестые, восьмые, двенадцатые и даже шестнадцатые, в зависимости от размера заказанной пиццы. У студентов есть пять минут, чтобы выполнить как можно больше заказов на пиццу и заработать как можно больше денег. ТЕПЕРЬ ИГРАТЬ С ИЛИ БЕЗ ОТСЧЕТА.
Тип: Математическая игра
Формат: игра
Уровни оценок:
4, 5, 6
Стандарты СС: 3. НФ.А.3, 4.НФ.А.1
Ланг. Стандарты искусства:
Обмен песочных долларов — Онлайн-игра
Описание: В игре «Обмен песчаных долларов» вы играете роль храброго маленького морского краба, который должен собирать плоские плоские ежи и их части и бросать их на правильные раковины моллюсков. Время имеет существенное значение! Если вы закончите игру, Обмен песочных долларов наградит вас сертификатом. Если вы закончите игру в течение 200 секунд, вы можете получить сертификат ската, в течение 300 секунд — сертификат мечехвоста, а в течение 600 секунд — сертификат краба-отшельника.
Тип: Математическая игра
Формат: Игра
Уровни оценок:
3, 4, 5, 6
Стандарты СС:
Ланг. Стандарты искусства:
Фракция Америка — Онлайн игра
Описание: Зажгите Соединенные Штаты цветом, а затем определите, какая часть штатов имеет каждый цвет. Выберите одну из 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8 фракций. Думайте о Соединенных Штатах как об одном большом целом, а о каждом из его штатов (независимо от размера) — как о равной части. Когда закончите, распечатайте красивую карту со всеми правильными дробями. Fraction America — это отличная возможность для учащихся объединить свои навыки дробей с картой Соединенных Штатов. Программа также требует, чтобы учащиеся сокращали дроби до наименьших членов, и будет подсказывать им, когда дроби не сокращаются.
Тип: Математическая игра
Формат: игра
Уровни оценок:
4, 5, 6
Стандарты СС:
Ланг. Стандарты искусства:
Очередь за обедом — Онлайн игра
Описание: Очередь за обедом — это забавная (и забавная) игра, в которой учащиеся тренируются в упорядочивании дробей, десятичных знаков и процентов. Студенты должны расположить знаменитостей и исторических деятелей в очереди за обедом, основываясь на значениях, плавающих в их головах, от наименьшего к наибольшему. Если учащиеся расставят все десять правильно, очередь за обедом плавно переместится в столовую по прямой линии, и они смогут распечатать справку с указанием лидера очереди. При неправильном расположении фигур обеденная очередь будет криво и неэффективно шататься к столовой, тем самым разозлив учителя.
Тип: Математическая игра — Фокус на десятичных дробях
Формат: игра
Уровни оценок:
5, 6
Стандарты СС:
Ланг. Стандарты искусства:
Больше, равно или меньше 1/2? — Классификация фракций
Описание: Это задание требует, чтобы учащиеся классифицировали дроби как <, = или > 1/2. Обеспечивается мгновенная обратная связь.
Тип: Категоризация
Формат: онлайн-активность
Уровни оценок:
3, 4, 5
Стандарты СС:
Ланг. Стандарты искусства:
Используйте в качестве оценки в Google Classroom.
Дроби — Сравнение дробей по признакам неравенства и = — Онлайн
Описание. В этом упражнении учащиеся должны использовать знаки <, > и = для сравнения дробей.
Тип: Математическая тренировка
Формат: онлайн-активность
Уровни оценок:
3, 4, 5, 6
Стандарты СС:
Ланг. Стандарты искусства:
Используйте в качестве оценки в Google Classroom.
ОБНОВЛЕНИЕ ДО MRN365.
COM
Это задание можно скопировать непосредственно в ваш Google Classroom, где вы можете использовать его для практики, в качестве оценки или для сбора данных.
Узнать больше
ОБНОВИТЬ ДО MRN365.COM
Узнать больше
Не хотите обновляться?
Вы по-прежнему можете купить этот ресурс по отдельности на
Учителя платят учителям за .
Щелкните здесь, чтобы купить.
Шестой класс (6 класс) Дроби и отношения Вопросы для тестов и рабочих листов
Из них можно создавать печатные тесты и рабочие листы. Дроби и отношения 6 класс вопроса!
Выберите один или несколько вопросов, установив флажки над каждым вопросом.
Затем нажмите кнопку добавить выбранные вопросы в тест , прежде чем перейти на другую страницу.
Предыдущий
Страница 1 из 20
Далее
Выбрать все вопросы
Напишите стоимость единицы.
200 долларов за 8 часов
25 долларов в час
В классе мисс Джеймс 30 учеников, из них 17 девочек. Напишите соотношение девочек и мальчиков.
17:13
Уменьшить дробь. [математика]27/36[/математика]
[математика]27/36[/математика]
[математика]9/12[/математика]
[математика]7/9[/математика]
[математика]3/4[/математика]
Какие коэффициенты равны?
[математика]5/10 и 15/20[/математика]
[математика] 2/3 и 4/9[/математика]
[математика]3/4 и 9/12[/математика]
[математика]13. 10 и 17.13[/математика]
[математика]1/2 -: 21/7 =[/математика]
3 1/2
1/6
1/7
1/14
Заштрихованные фигуры ниже представляют дроби. Какая дробь является правильным решением задачи?
В вашей школе проводятся фиктивные выборы президента. Голосуют 250 студентов.
Кандидат 1 получает 10/50 от общего числа голосов. 904:45 Кандидат 2 получает 9/25 от общего числа голосов. Кандидат 3 получает 4/10 от общего числа голосов Кандидат 4 получает 5/125 от общего числа голосов.
Каков правильный порядок расположения кандидатов от наименьшего количества голосов к наибольшему?
Кандидат 2, Кандидат 3, Кандидат 4, Кандидат 1
Кандидат 4, Кандидат 1, Кандидат 2, Кандидат 3
Кандидат 3, Кандидат 1, Кандидат 2, Кандидат 4
Кандидат 3, Кандидат 2, Кандидат 1. Кандидат 4
Выберите заштрихованную фигуру, которая показывает решение приведенной ниже задачи о дробях. [математика]1/4 -: 3/8 = [/математика]
Сколько [math]1/3[/math] разделить на [math]8/11[/math]?
24.11
16/11
11/36
8/33
Дмитрий может прочитать 45 страниц за 30 минут. Какова его скорость чтения в страницах в минуту?
135
15
1,5
2
В классе математики 15 девочек и 5 мальчиков. Какое утверждение сравнения не является точным утверждением?
В классе девочек на 10 больше, чем мальчиков.
Соотношение девочек и мальчиков 3 к 1.
Соотношение мальчиков и девочек 15 к 5.
Напишите стоимость единицы.
200 миль за 5 часов.
40 миль в час
Упростите эту дробь:
[математика]5/15[/математика]
[математика]3/4[/математика]
[математика]1/2[/математика]
[математика]1/3[/математика]
Соотношение снеговика и санок [математика]1:4[/математика].
Истинный
ЛОЖЬ
Упростите эту дробь:
[математика]6/9[/математика]
[математика]1/3[/математика]
[математика]2/3[/математика]
[математика]3/3[/математика]
Разделить. [математика]1/3 -: 2/5[/математика]
[математика]3/15[/математика]
[математика]2/15[/математика]
[математика]5/6[/математика]
[математика]5/8[/математика]
Сравнение двух величин.
Пример: 2 красных мелка на 6 синих мелков
оценивать
соотношение
эквивалентное отношение
У Эшли есть 4 пары низких кроссовок, 7 пар высоких кроссовок, 3 пары сандалий и 1 пара ботинок. Каково соотношение пар низких кроссовок к общему количеству пар обуви?
от 4 до 15
от 7 до 15
с 4 по 3
1 к 2
Соотношение варежек к общему количеству предметов 3:5.
Истинный
ЛОЖЬ
В классе Нади 10 мальчиков и 14 девочек. Какое соотношение эквивалентно [math]10//14[/math]?
[математика]10//21[/математика]
[математика]5//7[/математика]
[математика]5//6[/математика]
[математика]17//14[/математика]
Предыдущий
Страница 1 из 20
Далее
У вас должно быть не менее 5 репутации, чтобы голосовать против вопроса. Узнайте, как заработать значки.
Ключ к ответу для 6 класса Go Math Глава 2 Дроби и десятичные дроби – ключ к ответу на урок математики
Хотите, чтобы ваши ученики получали лучший учебный материал? Тогда вы находитесь в правильном месте. Go Math Class 6 Ключ к ответу Глава 2 Дроби и десятичные дроби PDF включен сюда бесплатно. Все решения и объяснения позволят вам понять простой способ обучения и практиковать математику простым способом. Получите поддержку, обратившись к Go Math Grade 6 Chapter 2 Fractions and Decimals Solution Key. Первое, что каждый человек предпочитает для достижения своей цели, — это ответ HMH Go Math 6 класса.
Улучшите навыки решения математических задач вашего ученика с помощью 6-го стандартного ключа ответов Go Math. Неограниченный доступ к практике со всеми математическими вопросами и ответами, а также практическими вопросами. Используйте удобные решения Go Math Grade 6 Answer Key, чтобы изучать глубокую математику онлайн. Вы также можете бесплатно скачать Go Math Class 6 Answer Key Chapter 2 Fractions and Decimals.
Go Math Class 6 Глава 2 Дроби и десятичные дроби Ключ решения поможет вам оценить уровень вашей подготовки. Вы можете легко узнать, какие понятия сложны для подготовки, и найти простой способ решить проблемы, используя ключ для ответов на вопросы по математике для 6 класса. Легко изучите концепции и применяйте их в реальной жизни, чтобы жизнь была гладкой.
Урок 1: Дроби и десятичные дроби
Дроби и десятичные дроби – Страница № 71
Дроби и десятичные дроби — Страница № 72
Проверка урока дробей и десятичных знаков — страница № 73
Разделение смешанных чисел Проверка урока 1– Страница № 124
Урок 10: Решение задач • Дробные операции
Дробные операции – Страница № 127
Операции с дробями — страница № 128
Проверка урока операций с дробями — страница № 129
Проверка урока операций с дробями 1– стр. № 130
Обзор/тест главы 2
Обзор/тест – стр. № 131
Обзор/Тест — Страница № 132
Обзор/Тест — Страница № 133
Обзор/Тест — Страница № 134
Обзор/Тест — Страница № 135
Обзор/Тест — Страница № 136
Поделись и покажи — Страница № 71
Запишите в виде дроби или смешанного числа в простейшей форме.
Вопрос 1. 95,5 _____ \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{2}\)
Объяснение: 95,5 95 единиц. и 5 десятых. 5 десятых = \(\frac{5}{10}\) Упростите с помощью GCF. GCF 5 и 10 равен 10. Разделить числитель и знаменатель на 10 \(\frac{5 ÷ 10}{10 ÷ 10}\) = \(\frac{1}{2}\)
Вопрос 2. 0,6 \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{3}{5}\)
Объяснение: 0,6 6 десятых = \(\frac{6}{10} \) Упрощение с помощью GCF. GCF 6 и 10 равен 2. Разделить числитель и знаменатель на 10 \(\frac{6 ÷ 2}{10 ÷ 2}\) = \(\frac{3}{5}\)
Вопрос 3. 5.75 _____ \(\frac{□}{□}\)
Ответ: 5\(\frac{3}{4}\)
Объяснение: 5.75 равно 5 единицам и 75 сотым . 75 сотых = \(\frac{75}{100}\) Упрощение с использованием GCF. GCF 75 и 100 равен 25. Разделить числитель и знаменатель на 25 5\(\frac{75 ÷ 25}{100 ÷ 25}\) = 5\(\frac{3}{4}\ )
Пишите в виде десятичного числа.
Вопрос 4. \(\frac{7}{8}\) _____
Ответ: 0,875
Объяснение: Используйте деление, чтобы переименовать дробную часть в десятичную. 7/8 = 0,875 В частном 3 знака после запятой. Добавьте целое число к десятичной дроби. 0 + 0,875 = 0,875. Итак, \(\frac{7}{8}\) = 0,875
Вопрос 5. \(\frac{13}{20}\) _____
Ответ: 0,65
Объяснение: Используйте деление чтобы переименовать дробную часть как десятичную. \(\frac{13}{20}\) = 0,65 В частном 2 знака после запятой. Добавьте целое число к десятичной дроби. 0 + 0,65 = 0,65. Итак, \(\frac{13}{20}\) = 0,65
Вопрос 6. \(\frac{3}{25}\) _____
Ответ: 0,12
Объяснение: Используйте деление, чтобы переименовать дробную часть в десятичную. \(\frac{3}{25}\) = 0,12 В частном 2 знака после запятой. Добавьте целое число к десятичной дроби. 0 + 0,12 = 0,12. Итак, \(\frac{3}{25}\)= 0,12
Самостоятельно
Запишите в виде дроби или смешанного числа в простейшей форме.
Вопрос 7. 0,27 \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{27}{100}\)
Объяснение: 0,27 составляет 0 единиц и 27 сотых. 27 сотых = \(\frac{27}{100}\) Упростите с помощью GCF. GCF 27 и 100 равен 1. Разделить числитель и знаменатель на 1 \(\frac{27 ÷ 1}{100 ÷ 1}\) = \(\frac{27}{100}\)
Вопрос 8. 0,055 \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{11}{200}\)
Объяснение: 0,055 равно 0 единицам и 55 тысячным. 55 тысячных = \(\frac{55}{1000}\) Упростите с помощью GCF. GCF 55 и 1000 равен 5, Разделить числитель и знаменатель на 5. \frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{9}{20}\)
Объяснение: 2,45 равно 2 единицам и 45 сотым. 45 сотых = \(\frac{45}{100}\) Упростите с помощью GCF. GCF 45 и 100 равен 5. Разделить числитель и знаменатель на 1 \(\frac{45 ÷ 5}{100 ÷ 5}\) = \(\frac{9}{20}\)
Запись в виде десятичного числа.
Вопрос 10. \(\frac{3}{8}\) _____
Ответ: 0,375
Объяснение: Используйте деление, чтобы переименовать дробную часть в десятичную. \(\frac{3}{8}\) = 0,375 В частном 3 знака после запятой. Добавьте целое число к десятичной дроби. 0 + 0,375 = 0,375. Итак, \(\frac{3}{8}\) = 0,375
Вопрос 11. 3 \(\frac{1}{5}\) _____
Ответ: 3,2
Объяснение: Используйте деление, чтобы переименовать дробную часть в десятичную. \(\frac{1}{5}\) = 0,2 В частном 1 десятичный знак. Добавьте целое число к десятичной дроби. 3 + 0,2 = 3,2. Вопрос 12 Используйте деление, чтобы переименовать дробную часть в десятичную. \(\frac{11}{20}\) = 0,55 В частном 2 знака после запятой. Добавьте целое число к десятичной дроби. 2 + 0,55 = 2,55. Итак, 2 \(\frac{11}{20}\) = 2,55
Определите десятичную и дробную части в простейшей форме для точки.
Question 13. Point A Type below: __________
Answer: 0.2
Question 14. Point B Type below: __________
Answer: 0.9
Explanation: Point B is между 0,8 и 1,0. Каждая точка разделена на 0,1. Итак, точка B находится на 0,9
Вопрос 15. Point C Введите ниже: __________
Ответ: 0,5
Объяснение: Point C находится между 0,4 и 0,6. Каждая точка разделена на 0,1. Итак, точка C находится на 0,5
Вопрос 16. Точка D Введите ниже: __________
Ответ: 0,1
Объяснение: Точка D находится между 0 и 0,2. Каждая точка разделена на 0,1. Итак, точка D находится на 0,1
Решение проблем + Приложения – Страница № 72
Используйте таблицу для 17 и 18.
Вопрос 17. Члены туристического клуба Ozark Trail Hiking Club прошли крутой участок тропы в июне и июле. В таблице указаны расстояния, пройденные членами клуба, в милях. Запишите июльское расстояние Марии в виде десятичной дроби. _____ миль
Ответ: 2,625 миль
Объяснение: Июльское расстояние Марии = 2 \(\frac{5}{8}\) Используйте деление, чтобы преобразовать дробную часть в десятичную. \(\frac{5}{8}\) = 0,625 В частном 3 знака после запятой. Добавьте целое число к десятичной дроби. 2 + 0,625 = 2,625. 2 \(\frac{5}{8}\) = 2,625
Вопрос 18. Насколько дальше прошла пешком Зои в июне и июле, чем Мария в июне и июле? Объясните, как вы нашли ответ. _____ миль
Вопрос 19. В чем ошибка? Расстояние, пройденное Табитой в июле, составило 2 \(\frac{1}{5}\) миль. Она написала расстояние как 2,02 мили. Какую ошибку она сделала? Введите ниже: __________
Ответ: Расстояние, пройденное Табитой в июле, составило 2 \(\frac{1}{5}\) миль. 2 \(\frac{1}{5}\) Используйте деление, чтобы переименовать дробную часть в десятичную. \(\frac{1}{5}\) = 0,2 В частном 1 десятичный знак. Добавьте целое число к десятичной дроби. 2 + 0,2 = 2,2. 2 \(\frac{1}{5}\) = 2,2 Она по ошибке написала расстояние 2,02 мили.
Вопрос 20. Использование шаблонов Записывайте \(\frac{3}{8}, \frac{4}{8}, \text { и } \frac{5}{8}\) в виде десятичных дробей. Какой узор вы видите? Используйте шаблон, чтобы предсказать десятичную форму \(\frac{6}{8}\) и \(\frac{7}{8}\). Введите ниже: __________
Ответ: \(\frac{3}{8}, \frac{4}{8}, \text { и } \frac{5}{8}\) в виде десятичных знаков. 0,375, 0,5, 0,625 Каждое десятичное число разделено на 0,125. Итак, 6/8 = 0,625 + 0,125 = 0,75 7/8 = 0,75 + 0,125 = 0,875
Вопрос 21. Определите десятичную и дробную части в простейшей форме для точки.
Введите ниже: __________
Ответ: Точка A: 0,5 Точка B: 0,7 Точка C: 0,3 Точка D: 0,8
Объяснение: Каждая точка отличается на 0,1 расстояния. A находится в диапазоне от 0,4 до 0,6, что составляет 0,5 B находится в диапазоне от 0,6 до 0,8, что составляет 0,7 C находится в диапазоне от 0,1 до 0,6, что составляет 0,53
Дроби и десятичные дроби – № страницы 73
Напишите в виде дроби или смешанного числа в простейшей форме.
Вопрос 1. 0,52 \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{13}{25}\)
Объяснение: 0,52 5 2 сотых есть. 52 сотых = \(\frac{52}{100}\) Упростите с помощью GCF. GCF 52 и 100 равен 4. Разделить числитель и знаменатель на 4 \(\frac{52 ÷ 4}{100 ÷ 4}\) = \(\frac{13}{25}\)
Вопрос 2. 0,02 \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{50}\)
Объяснение: 0,02 0,02 равно 2 сотым. 2 сотых = \(\frac{2}{100}\) Упростите с помощью GCF. GCF 2 и 100 равен 2. Разделить числитель и знаменатель на 2 \(\frac{2 ÷ 2}{100 ÷ 2}\) = \(\frac{1}{50}\)
Вопрос 3. 4.8 ______ \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{4}{5}\)
Объяснение: 4.8 4.8 это 4 единицы и 8 десятых. 8 десятых = \(\frac{8}{10}\) Упростите с помощью GCF. GCF 8 и 10 равен 2. Разделить числитель и знаменатель на 2 \(\frac{8 ÷ 2}{10 ÷ 2}\) = \(\frac{4}{5}\)
Вопрос 4. 6.025 ______ \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{40}\)
Объяснение: 6.025 равно 6 единицам и 25 тысячным. 25 тысячных = \(\frac{25}{1000}\) Упростите с помощью GCF. GCF 25 и 1000 равен 25. Разделите числитель и знаменатель на 25 \(\frac{25 ÷ 25}{1000 ÷ 25}\) = \(\frac{1}{40}\)
Запишите в виде десятичной дроби.
Вопрос 5. \(\frac{17}{25}\) ______
Ответ: 0,68
Объяснение: Используйте деление, чтобы преобразовать дробную часть в десятичную. 17/25 = 0,68 В частном 2 знака после запятой. Добавьте целое число к десятичной дроби. 0 + 0,68 = 0,68. Итак, \(\frac{17}{25}\) = 0,68
Вопрос 6. \(\frac{11}{20}\) ______
Ответ: 0,55
Объяснение: Используйте деление, чтобы преобразовать дробную часть в десятичную. 11/20 = 0,55 В частном 2 знака после запятой. Добавьте целое число к десятичной дроби. 0 + 0,55 = 0,55. Итак, \(\frac{11}{20}\) = 0,55
Вопрос 7. 4 \(\frac{13}{20}\) ______
Ответ: 4,65
Объяснение: Использование деление, чтобы переименовать дробную часть в десятичную. \(\frac{13}{20}\) = 0,65 В частном 2 знака после запятой. Добавьте целое число к десятичной дроби. 4 + 0,65 = 4,65. Итак, 4 \(\frac{13}{20}\) = 4,65
Вопрос 8. 7 \(\frac{3}{8}\) ______
Ответ: 7,375
Объяснение: Используйте деление, чтобы переименовать дробную часть в десятичную. \(\frac{3}{8}\) = 0,375 В частном 3 знака после запятой. Добавьте целое число к десятичной дроби. 7 + 0,375 = 7,375. Итак, 7 \(\frac{3}{8}\) = 7,375
Определите десятичное и дробное или смешанное число в простейшей форме для каждой точки.
Вопрос 9. Точка A Введите ниже: __________
Ответ: 0,4
Объяснение:
Точка A находится в диапазоне от 0 до 0,5. Каждая точка разделена на 0,1. Итак, точка A находится на 0,4
Вопрос 10. Точка D Введите ниже: __________
Ответ: 1,9
Объяснение: Точка D находится между 1,5 и 2. Каждая точка разделена на 0,1. Итак, точка D находится на уровне 1,9.
Вопрос 11. Точка C Введите ниже: __________
Ответ: 1. 2
Объяснение: Точка C между 1 и 1,5. Каждая точка разделена на 0,1. Итак, точка C находится на 1,2
Вопрос 12. Точка B Введите ниже: __________
Ответ: 0,6
Объяснение: Точка C находится между 0,5 и 1. Каждая точка разделена 0,1. Итак, точка C находится на 0,6
Решение проблем
Вопрос 13. 904:45 Грейс продала \(\frac{5}{8}\) свою коллекцию марок. Какова эта сумма в виде десятичной дроби? ______
Ответ: 0,625
Объяснение: Грейс продала \(\frac{5}{8}\) свою коллекцию марок. Используйте деление, чтобы переименовать дробную часть в десятичную. \(\frac{5}{8}\) = 0,625 В частном 3 знака после запятой. Добавьте целое число к десятичной дроби. 0 + 0,625 = 0,625. Итак, \(\frac{5}{8}\) = 0,625
Вопрос 14. Что, если вы набрали 0,80 на тесте? На какую часть теста в простейшей форме вы ответили правильно? \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{4}{5}\)
Объяснение: 0,80 равно 0 единиц и 8 десятых. 8 десятых = \(\frac{8}{10}\) Упростите с помощью GCF. GCF 8 и 10 равен 2. Разделить числитель и знаменатель на 2 \(\frac{8 ÷ 2}{10 ÷ 2}\) = \(\frac{4}{5}\)
Вопрос 15. Какая дробь в простейшем виде эквивалентна 0,45? Какое десятичное число эквивалентно \(\frac{17}{20}\)? Объясните, как вы нашли ответы. Введите ниже: __________
Ответ: 0,45 равно 0 единиц и 45 сотых. 45 сотых = \(\frac{45}{100}\) Упростите с помощью GCF. GCF 45 и 100 равен 5. Разделить числитель и знаменатель на 5 \(\frac{45 ÷ 5}{100 ÷ 5}\) = \(\frac{9}{20}\) \(\frac{17}{20}\) Используйте деление, чтобы переименовать дробную часть в десятичную. \(\frac{17}{20}\) = 0,85 В частном 2 знака после запятой. Добавьте целое число к десятичной дроби. 0 + 0,85 = 0,85. Итак, \(\frac{17}{20}\) = 0,85
Проверка урока – страница № 74
Вопрос 1. После шторма Майкл измерил 6 \(\frac{7}{8}\ ) дюймов снега. Какова эта сумма в виде десятичной дроби? ______ дюймов
Ответ: 6,875 дюймов
Объяснение: Майкл намерил 6 \(\frac{7}{8}\) дюймов снега. Используйте деление, чтобы переименовать дробную часть в десятичную. \(\frac{7}{8}\) = 0,875 В частном 3 знака после запятой. Добавьте целое число к десятичной дроби. 6 + 0,875 = 6,875. Итак, 6 \(\frac{7}{8}\) = 6,875.
Вопрос 2. Рецепт требует 3,75 стакана муки. Чему равна эта сумма в виде смешанного числа в простейшей форме? ______ \(\frac{□}{□}\) чашек
Ответ: 3 \(\frac{3}{4}\) чашек
Объяснение: Рецепт требует 3,75 чашек муки. 3 + 0,75 0,75 равно 0 единиц и 75 сотых. 75 сотых = \(\frac{75}{100}\) Упростите с помощью GCF. GCF 75 и 100 равен 25. Разделить числитель и знаменатель на 25 \(\frac{75 ÷ 25}{100 ÷ 25}\) = \(\frac{3}{4}\) 3 \(\frac{3}{4 }\)
Спиральный обзор
Вопрос 3. Джина купила 2,3 фунта красных яблок и 2,42 фунта зеленых яблок. Они продавались по цене 0,75 доллара за фунт. Сколько стоили все яблоки? $ ______
Ответ: $3,54
Пояснение: Джина купила 2,3 фунта красных яблок и 2,42 фунта зеленых яблок. Они продавались по цене 0,75 доллара за фунт. 0,75 x 2,3 = 1,725 0,75 x 2,42 = 1,815 1,725 + 1,815 = 3,54 Таким образом, стоимость яблок составляет 3,54 долл. Он смешивает их вместе и делит поровну по 18 мешкам. Сколько фунтов орехов в каждом мешке? ______ фунтов
Ответ: 0,82 фунта
Пояснение: У Кена 4,66 фунта грецких орехов, 2,1 фунта кешью и 8 фунтов арахиса. 4,66 + 2,1 + 8 = 14,76 Он смешивает их вместе и делит поровну на 18 мешков. 14,76/18 = 0,82
Вопрос 5. Мии нужно разложить по пачкам 270 синих и 180 красных ручек. В каждом наборе будет одинаковое количество синих ручек и одинаковое количество красных ручек. Какое наибольшее количество упаковок она может сделать? Сколько красных ручек и сколько синих ручек будет в каждой пачке? Введите ниже: __________
Ответ: В каждой упаковке 2 красных и 3 синих ручки.
Пояснение: Мии нужно разложить по упаковкам 270 синих и 180 красных ручек. GCF 270 и 180 равен 90 Максимальное количество упаковок, которое она может сделать, равно 90. Разделите общее количество красных ручек на общее количество упаковок. 180/90 = 2 Разделите общее количество синих ручек на общее количество упаковок. 270/90 = 3 В каждой упаковке 2 красных и 3 синих ручки.
Вопрос 6. Эван покупает 19 тюбиков акварельной краски за 50,35 доллара. Какова стоимость каждого тюбика краски? $ ______
Ответ: $2,65
Пояснение: Эван покупает 19 тюбиков акварельной краски за $50,35. 50,35 долл. США/19 = 2,65 долл. США
Объяснение: \(\frac {5}{7}\), \(\frac{5}{6}\), \(\frac{5}{12}\) Чтобы сравнить дроби с одинаковыми числителями, сравните знаменатели. Таким образом, от меньшего к большему, порядок \(\frac{5}{12}\), \(\frac{5}{7}\), \(\frac{5}{6}\)
Вопрос 10. \(\frac{7}{15}\) _____ \(\frac{7}{10}\)
Ответ: \(\frac{7}{15}\) < \ (\frac{7}{10}\)
Объяснение: \(\frac{7}{15}\) и \(\frac{7}{10}\) Чтобы сравнить дроби с одинаковыми числителями, сравните знаменатели. Итак, \(\frac{7}{15}\) < \(\frac{7}{10}\)
Вопрос 11. \(\frac{1}{8}\) _____ 0,125
Ответ: \(\frac{1}{8}\) = 0,125
Объяснение: Запишите десятичную форму \(\frac{1}{8}\) = 0,125 0,125 = 0,125
Вопрос 12. 7 \(\frac{1}{3}\) _____ 6 \(\frac{2}{3}\)
Вопрос 13. 1 \(\frac{2}{ 5}\) _____ 1 \(\frac{7}{15}\)
Ответ: 1 \(\frac{2}{5}\) < 1 \(\frac{7}{15}\)
Объяснение: 1 \(\frac{2}{5}\) _____ 1 \(\frac{7}{15}\) Если целые числа совпадают, сравните дроби. Сравните \(\frac{2}{5}\) и \(\frac{7}{15}\) 5 и 15 кратны 15. Итак, \(\frac{2 x 3}{5 x 3}\) = \(\frac{6}{15}\) \(\frac{6}{15}\) < \(\frac{7}{15}\) Используйте общие знаменатели для записи эквивалентные дроби. 1 \(\frac{2}{5}\) < 1 \(\frac{7}{15}\)
Вопрос 14. Даррелл провел 3 \(\frac{2}{5}\) часа над проектом для школы. Ян потратил на проект 3 \(\frac{1}{4}\) часа, а Мейв — 3,7 часа. Кто потратил меньше всего времени? Покажите, как вы нашли ответ. Тогда опишите другой возможный метод. Введите ниже: __________
Ответ: Ян провел меньше всего времени.
Пояснение: Даррелл потратил 3 \(\frac{2}{5}\) часа на школьный проект. Ян потратил на проект 3 \(\frac{1}{4}\) часа, а Мейв — 3,7 часа. Запишите десятичную форму числа 3 \(\frac{2}{5}\) = 3,4 Запишите десятичную форму числа 3 \(\frac{1}{4}\) = 3,25 3,4, 3,25, 3,7 3,25 является наименьшим. Итак, Ян провел меньше всего времени.
Решение проблем + Приложения – Страница № 78
Используйте таблицу для 15–18.
Вопрос 15. В течение одной недели в Алтуне, штат Пенсильвания, и Вифлееме, штат Пенсильвания, каждый день с понедельника по пятницу выпадал снег. В какие дни в Алтуне выпадало на 0,1 дюйма больше снега, чем в Вифлееме? Введите ниже: __________
Ответ: Алтуна получила на 1 дюйм больше снега, чем Вифлеем в пятницу
Объяснение: Алтуна (преобразовать в десятичную форму): 2. 25, 3.25, 2.625, 4.6, 4.75 Вифлеем , 2,5, 4,8, 2,7 В Алтуну выпало на 1 дюйм больше снега, чем в Вифлееме в пятницу
Вопрос 16. Что, если в Алтуну в четверг выпало дополнительно 0,3 дюйма снега? Каково будет общее количество снега в Алтуне по сравнению с количеством снега, выпавшим в тот день в Вифлееме? Введите ниже: __________
Ответ: В четверг в Алтуну выпало на 0,1 дюйма больше снега, чем в Вифлеем
Объяснение: В четверг в Алтуну выпало дополнительно 0,3 дюйма снега = 4,6 + 0,3 = 4,9 Вифлеем выпало в четверг = 4,8 В Алтуне выпало на 0,1 дюйма больше снега, чем в Вифлееме в четверг
Вопрос 17. Объясните два способа сравнения количества снегопадов в Алтуне и Вифлееме в понедельник. Введите ниже: __________
Ответ:
Объяснение: Алтуна получила в понедельник = 2,25 Вифлеем получил в понедельник = 2,6 Вифлеем получил на 0,35 дюйма больше снега, чем Алтуна в понедельник. Поскольку целые числа равны, сравните 1/4 и 0,6. 0.25 < 0.6 Итак, в Алтуну выпало меньше снега по сравнению с Вифлеемом в понедельник.
Вопрос 18. Объясните, как можно сравнить количество снегопадов в Алтуне в четверг и пятницу. Введите ниже: __________
Ответ: Алтуна получила в четверг = 4,6 Алтуна получила в пятницу = 4,75 4,6 < 4,75 В Алтуну выпало меньше снега в четверг по сравнению с пятницей.
Вопрос 19. Запишите значения в порядке от наименьшего к наибольшему.
Объяснение: Запишите десятичную форму числа 7 \(\frac{1}{8}\) = 7,125 Сравните десятые доли: 1 > 0 7 \(\frac{1}{8 }\) > 7.025
Порядок от меньшего к большему.
Вопрос 5. \(\frac{7}{15}\), 0,75, \(\frac{5}{6}\) Введите ниже: __________
Ответ: \(\frac{ 7}{15}\), 0,75, \(\frac{5}{6}\)
Объяснение: Запишите десятичную форму \(\frac{7}{15}\) = 0,466 0,75 Запишите десятичная форма \(\frac{5}{6}\) = 0,833 Порядок от меньшего к большему: \(\frac{7}{15}\), 0,75, \(\frac{5}{6} \)
Вопрос 6. 0,5, 0,41, \(\frac{3}{5}\) Введите ниже: __________
Ответ: 0,41, 0,5, \(\frac{3}{5}\)
Объяснение: Запишите десятичную форму \(\frac{3}{5}\) = 0,6 Сравните десятые доли: 0,41 , 0,5, 0,6 Порядок от наименьшего к наибольшему: 0,41, 0,5, \(\frac{3}{5}\)
Вопрос 7. 3,25, 3 \(\frac{2}{5}\), 3 \(\frac{3}{8}\) Введите ниже: __________
Объяснение: Запишите десятичную форму числа 3 \(\frac{2}{5}\) = 3,4 Запишите десятичную форму числа 3 \(\frac{3}{8}\) = 3,375 Сравните десятые: В порядке убывания: 3,25, 3 \(\frac{2}{5}\), 3 \(\frac{3}{8}\)
Вопрос 8. 0,9, \( \frac{8}{9}\), 0,86 Введите ниже: __________
Ответ: 0,86, \(\frac{8}{9}\), 0,9
Объяснение: Запишите десятичную форму \ (\frac{8}{9}\) = 0,88 Сравните десятые доли: 0,86, 0,88, 0,9 Порядок от меньшего к большему: 0,86, \(\frac{8}{9}\), 0,9
Порядок от большего к меньшему.
Вопрос 9. 0,7, \(\frac{7}{9}\), \(\frac{7}{8}\) Введите ниже: __________
Ответ: \(\frac{7}{8}\ ), \(\frac{7}{9}\), 0,7
Объяснение: 0,7 = 7/10 Чтобы сравнить дроби с одинаковыми числителями, сравните знаменатели. 7/10, 7/9, 7/8 Порядок от наибольшего к наименьшему: 7/8, 7/9, 7/10
Вопрос 10. 0,2, 0,19, \(\frac{3}{5} \) Введите ниже: __________
Ответ: \(\frac{3}{5}\), 0.2, 0.19
Объяснение: Напишите десятичную форму \(\frac{3}{5}\) = 0,6 Сравните десятые доли: 0,6, 0,2, 0,19 Упорядочьте от наибольшего к наименьшему: \(\frac{3}{5}\), 0.2, 0.19
Вопрос 11. 6\(\frac{1}{20}\), 6.1, 6.07 Введите ниже: __________
Ответ:
Объяснение: Запишите десятичную форму числа 6\(\ frac{1}{20}\) = 121/20 = 6,05 Сравните десятые доли: 6,1, 6,07, 6,05 Порядок от наибольшего к наименьшему: 6,1, 6,07, 6\(\frac{1}{20}\)
Объяснение: Напишите десятичную форму числа 2 \(\frac{1}{2}\) = 2,5 Запишите десятичную форму числа 2 \(\frac{1}{8}\) = 2,125 Сравните десятые доли: 2,5, 2,4, 2,35, 2,125 Упорядочьте от наибольшего к наименьшему: 2 \(\frac{1}{2}\ ), 2.4, 2.35, 2 \(\frac{1}{8}\)
Вопрос 13. Однажды выпало снега 3 \(\frac{3}{8}\) дюйма в Алтуне и 3,45 дюйма в Вифлееме . В каком городе в этот день выпало меньше снега? __________
Ответ: Алтуна
Объяснение: Однажды в Алтуне выпало 3 \(\frac{3}{8}\) снега, а в Вифлееме — 3,45 дюйма. Напишите десятичную форму 3 \(\frac{3}{8}\) = 27/8 = 3,375 3,375 < 3,45. В этот день в Алтуне выпало меньше снега
Вопрос 14. Малия и Джон купили по 2 фунта семечек подсолнуха. Каждый съел несколько семян. У Малии остался 1 \(\frac{1}{3}\) фунтов, а у Джона остался 1 \(\frac{2}{5}\) фунтов. Кто съел больше семечек? __________
Ответ: Малия
Пояснение: Малия и Джон купили по 2 фунта семечек подсолнуха. Каждый съел несколько семян. У Малии остался 1 \(\frac{1}{3}\) фунтов, а у Джона остался 1 \(\frac{2}{5}\) фунтов. 2 – 1 \(\frac{1}{3}\) = 0,667 2 – 1 \(\frac{2}{5}\) = 0,6 0,667 > 0,6 Итак, Малия съела больше семечек подсолнуха
Вопрос 15. Объясните, как бы вы сравнили числа 0,4 и \(\frac{3}{8}\). Введите ниже: __________
Вопрос 1. У Андреа 3 \(\frac{7}{8}\) ярдов фиолетовой ленты, 3,7 ярда розовой ленты и 3 \(\frac{4}{5}\) ярда голубой ленты. Перечислите числа в порядке от наименьшего к наибольшему. Введите ниже: __________
Ответ: У Андреа есть 3 \(\frac{7}{8}\) ярдов фиолетовой ленты, 3,7 ярда розовой ленты и 3 \(\frac{4}{5}\ ) ярдов голубой ленты. Запишите десятичную форму 3 \(\frac{7}{8}\) = 3,875 3,7 Запишите десятичную форму 3 \(\frac{4}{5}\) = 3,8 От наименьшего к наибольшему: 3,7 , 3 \(\frac{4}{5}\), 3 \(\frac{7}{8}\)
Вопрос 2. Нассим завершил \(\frac{18}{25}\) домашнее задание по математике. Кара завершила 0,7 из них. Дебби завершила \(\frac{5}{8}\) его. Перечислите числа в порядке от большего к меньшему. Введите ниже: __________
Ответ: $1,39, $0,70, $0,63
Объяснение: 904:45 Нассим выполнил \(\frac{18}{25}\) домашнее задание по математике. Кара завершила 0,7 из них. Дебби завершила \(\frac{5}{8}\) его. Запишите десятичную форму 18/25 = 1,39 0,7 Запишите десятичную форму 5/8 = 0,63 Теперь они расположены в порядке от большего к меньшему. Думайте о суммах как о деньгах: 1,39 доллара, 0,70 доллара, 0,63 доллара
Обзор спирали
Вопрос 3. Тайлер купил 3 \(\frac{2}{5}\) фунтов апельсинов. Нарисуйте 3 \(\frac{2}{5}\) на числовой прямой и запишите это количество, используя десятичную дробь. Введите ниже: __________
Вопрос 4. На фабрике бейсбольная карточка кладется в каждую 9-ю упаковку хлопьев. В каждую 25-ю упаковку каши вложена футбольная карточка. Какой первый пакет, который получает и бейсбольную карточку, и футбольную карточку? Введите ниже: __________
Ответ: 225-й пакет
Объяснение: Найдите первое число, где и 25, и 9являются фактором. 25 x 1 = 25, что не является множителем 9, поэтому оно не будет 25. 25 x 2 = 50, что не является множителем 9. 75 не является множителем 9. (вы 100 не является делителем 9, как и 125, 150, 175 или 200. Однако 225 является делителем как 25, так и 9. Это имеет смысл, потому что 25 x 9 равно 225. Это означает, что первый пакет с обоими будет 225-м пакетом.
Вопрос 5. 15 долларов 30 центов делятся между 15 студентами. Сколько получает каждый ученик? $ _____
Ответ: $1,02
Объяснение: $15,30 делится между 15 студентами. $15,30/15 = $1,02 каждый ученик получает $1,02
Вопрос 6. Кэрри покупает 4,16 фунта яблок за $5,20. Сколько стоит 1 фунт? $ _____
Ответ: 1,25 доллара
Объяснение: Кэрри покупает 4,16 фунта яблок за 5,20 доллара. 5,20/4,16 долл. США = 1,25 долл. США Стоимость 1 фунта стерлингов = 1,25 долл. США
Поделись и покажи – № страницы 83
Найти продукт. Напишите в простейшей форме.
Вопрос 1. 6 × \(\frac{3}{8}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{9}{4}\ )
Объяснение: \(\frac{6 × 3}{1 × 8}\) \(\frac{18}{8}\) Упрощение с использованием GCF. GCF 18 и 8 равен 2. Разделите числитель и знаменатель на 2. \(\frac{18 ÷ 2}{8 ÷ 2}\) = \(\frac{9}{4}\)
Вопрос 2. \(\frac{3}{8}\) × \(\frac{8}{9}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{3}\)
Объяснение: Умножьте числители и умножьте знаменатели. \(\frac{3 × 8}{8 × 9}\) = \(\frac{24}{72}\) Упростите с помощью GCF. GCF 24 и 72 равен 24. Разделите числитель и знаменатель на 24. \(\frac{24 ÷ 24}{72 ÷ 24}\) = \(\frac{1}{3}\)
Вопрос 3. Сэм и его друзья съели 3 \(\frac{3}{4}\) пакета фруктовых закусок. Если в каждом пакете было 2 \(\frac{1}{2}\) унций, сколько унций фруктовых закусок съели Сэм и его друзья? \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{75}{8}\) унций
Объяснение: Сэм и его друзья съели 3 \(\frac{3}{ 4}\) пакеты с фруктами. Если каждый пакет содержит 2 \(\frac{1}{2}\) унций 3 \(\frac{3}{4}\) x 2 \(\frac{1}{2}\) \(\ frac{15}{4}\) x \(\frac{5}{2}\) \(\frac{15 x 5}{4 x 2}\) = \(\frac{75}{8} \)
Принять участие в точной алгебре Оценить, используя порядок операций.
Запишите ответ в простейшей форме.
Вопрос 4. \(\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right) \times \frac{3}{5}\) \(\frac{ □}{□}\)
Ответ: \(\frac{3}{20}\)
Объяснение: \(\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2) }\right) \times \frac{3}{5}\) Выполнить операции в скобках. \(\frac{3}{4}\) – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{4} \) x \(\frac{3}{5}\) = \(\frac{1 x 3}{4 x 5}\) = \(\frac{3}{20}\)
Вопрос 5. \(\frac{1}{3}+\frac{4}{9} \times 12\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{28}{3}\)
Объяснение: \(\frac{1}{3}\) + \( \frac{4}{9}\) = \(\frac{7}{9}\) \(\frac{7 x 12}{9 x 1}\) = \(\frac{84}{9 }\) Упрощение с помощью GCF. GCF 84 и 9 равен 3. Разделите числитель и знаменатель на 3. \(\frac{84 ÷ 3}{9 ÷ 3}\) = \(\frac{28}{3}\)
Вопрос 6. \(\frac{5}{8} \times \frac{7}{10}-\frac{1}{4}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{11}{16}\)
Объяснение: \(\frac{5 x 7}{8 x 10}\) = \(\frac{35}{80}\) \(\frac{35}{80}\) – \( \frac{1}{4}\) = \(\frac{11}{16}\)
Вопрос 10. \(\frac{1}{6} \times \frac{2} {3}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{9}\)
Объяснение: \(\frac{1 × 2}{ 6 × 3}\) = \(\frac{2}{18}\) Упростите с помощью GCF GCF 2 и 18 равен 2. Разделите числитель и знаменатель на 2. \(\frac{ 2 ÷ 2}{18 ÷ 2}\) = \(\frac{1}{9}\)
Вопрос 11. \(4 \frac{1}{7} \times 3 \frac{1}{9}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{116}{7}\)
Объяснение: 4\(\frac{1}{7}\) = \(\frac{29}{7}\) 3\(\frac {1}{9}\) = \(\frac{28}{9}\) \(\frac{29 × 28}{7 × 9}\) = \(\frac{812}{63}\ ) Упростите с помощью GCF GCF 812 и 63 равен 7. Разделите числитель и знаменатель на 7. \(\frac{812 ÷ 7}{63 ÷ 7}\) = \(\frac{116 {7}\)
Вопрос 12. \(\frac{5}{6}\) из 90 питомцев на выставке домашних животных — кошки. \(\frac{4}{5}\) кошек — трехцветные кошки. Какую часть домашних животных составляют трехцветные кошки? Сколько домашних животных — трехцветные кошки? Введите ниже: __________
Ответ: 60 ситцевых кошек
Пояснение: 5/6 x 90 = 450/6 = 150/2 150/2 x 4/5 = 60
0 45. Вопрос 13. каждый съел \(\frac{1}{4}\) чашки кошачьего корма. Еще четыре кошки съели по \(\frac{1}{3}\) чашки кошачьего корма. Сколько еды съели девять кошек? Введите ниже: __________
Ответ: \(\frac{31}{12}\)
Объяснение: 5 x 1/4 = 5/4 4 x 1/3 = 4/3 5/ 4 + 4/3 = 31/12
Принять участие в точной алгебре Оценить, используя порядок операций.
Запишите ответ в простейшей форме.
Вопрос 14. \(\frac{1}{4} \times\left(\frac{3}{9}+5\right)\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{4}{3}\)
Объяснение: 3/9+ 5 = 16/3 1/4 x 16/3 1 x 16 = 16 4 x 3 = 12 16/12 Упростите, используя GCF GCF 16 и 12 равен 4. Разделите числитель на знаменатель на 4. \(\frac{16 ÷ 4}{12÷ 4}\) = \(\frac{4}{3}\)
Вопрос 15. \(\frac{9}{10 }-\frac{3}{5} \times \frac{1}{2}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{3}{5} \)
Объяснение: 3/5 x 1/2 = 3/10 9/10 – 3/10 = 6/10 Упростите с помощью НОД НОД 6 и 10 равен 2, Разделить числитель и знаменатель на 2. \(\frac{6 ÷ 2}{10 ÷ 2}\) = \(\frac{3}{5}\)
Вопрос 16. \(\frac {4}{5}+\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{7}\right) \times 2\) \(\frac{□}{□}\)
Вопрос 18. Напишите и решите текстовую задачу для выражения \(\frac{1}{4} \times \frac{2}{3}\). Показать свою работу. Введите ниже: __________
Ответ: \(\frac{1}{6}\)
Объяснение: \(\frac{1}{4} \times \frac{2}{3}\) = \(\frac{1 X 2}{4 X 3}\) = \(\frac{2}{12}\) Упростить с помощью GCF GCF 2 и 12 равен 2, Разделите числитель и знаменатель на 2. \(\frac{2 ÷ 2}{12 ÷ 2}\) = \(\frac{1}{6}\)
Вопрос 19. У Мишель есть рецепт который просит 2 \(\frac{1}{2}\) чашки растительного масла. Она хочет использовать \(\frac{2}{3}\) это количество масла и заменить остальное яблочным пюре. Сколько яблочного пюре она будет использовать? Введите ниже: __________
Ответ: \(\frac{10}{6}\)
Объяснение: 2 1/2 * 2/3 = 5/2 * 2/3 = 10/6 Она будет используйте 10/6 или 1 2/3 стакана растительного масла
Вопрос 20. Рецепт маффинов Кары требует 1 \(\frac{1}{2}\) стакана муки для маффинов и \(\frac{1}{4}\) стакана муки для посыпки. Если она приготовит \(\frac{1}{2}\) по оригинальному рецепту, сколько муки она использует для кексов и начинки? Введите ниже: __________
Ответ: Кара использует 1\(\frac{1}{8}\) стакана муки.
Пояснение: Для начала найдем, сколько чашек муки нужно для приготовления оригинального рецепта. Кара использует 1 1/2 стакана муки для маффинов и 1/4 стакана муки для посыпки. Итак, 1 1/2 + 1/4 стакана муки для приготовления оригинального рецепта. 1 1/2 = 3/2 3/2 + 1/4 = 7/4 Для приготовления оригинального рецепта Каре нужно 7/4 стакана муки. Если она сделает \(\frac{1}{2}\) по оригинальному рецепту, то 7/4 x 1/2 = 7/8 = 1 1/8 Кара будет использовать 1 1/8 стакана муки .
Умножение дробей – № страницы 85
Найдите продукт. Напишите в простейшей форме.
Вопрос 1. \(\frac{4}{5} \times \frac{7}{8}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{7}{10}\)
Объяснение: Умножьте числители и умножьте знаменатели. \(\frac{4 × 7}{5 × 8}\) = \(\frac{28}{40}\) Упростите с помощью GCF. GCF 28 и 40 равен 4. Разделите числитель и знаменатель на 4. \(\frac{28 ÷ 4}{40 ÷ 4}\) = \(\frac{7}{10}\)
Вопрос 2. \(\frac{1}{8} \times 20\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{5}{2}\ )
Объяснение: \(\frac{1 × 20}{1 × 8}\) \(\frac{20}{8}\) Упрощение с использованием GCF. GCF 20 и 8 равен 4. Разделите числитель и знаменатель на 4. \(\frac{20 ÷ 4}{8 ÷ 4}\) = \(\frac{5}{2}\)
Вопрос 3. \(\frac{4}{5} \times \frac{3}{8}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac {3}{10}\)
Объяснение: Умножьте числители и умножьте знаменатели. \(\frac{4 × 3}{5 × 8}\) = \(\frac{12}{40}\) Упростите с помощью GCF. GCF 12 и 40 равен 4, Разделить числитель и знаменатель на 4. \(\frac{12 ÷ 4}{40 ÷ 4}\) = \(\frac{3}{10}\)
Вопрос 4. \(1 \ frac{1}{8} \times \frac{1}{9}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{8}\)
Объяснение: 1\(\frac{1}{8}\) = \(\frac{9}{8}\) Умножьте числители и умножьте знаменатели. \(\frac{9 × 1}{8 × 9}\) = \(\frac{9}{72}\) Упростите с помощью GCF. GCF 9 и 72 равен 9. Разделить числитель и знаменатель на 9. \(\frac{9 ÷ 9}{72 ÷ 9}\) = \(\frac{1}{8}\)
Вопрос 5. \(\frac{3}{4} \times \frac {1}{3} \times \frac{2}{5}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{10}\)
Объяснение: Умножьте числители и умножьте знаменатели. \(\frac{3 × 1 × 2}{4 × 3 × 5}\) = \(\frac{6}{60}\) Упростите с помощью GCF. GCF 6 и 60 равен 6. Разделите числитель и знаменатель на 6. \(\frac{6 ÷ 6}{60 ÷ 6}\) = \(\frac{1}{10}\)
Вопрос 6. Карен выгребла \(\frac{3}{5}\) двор. Минни загребла \(\frac{1}{3}\) от суммы, заработанной Карен. Какую часть двора сгребла Минни? \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{3}\)
Объяснение: Минни сгребла 1/5 двора. Итак, минни сгребла 3/5 от 1/3, значит 3/5 x 1/3 Умножьте числители и умножьте знаменатели. \(\frac{3 × 1}{5 × 3}\) = \(\frac{3}{15}\) Упрощение с использованием GCF. GCF 3 и 15 равен 3, Разделить числитель и знаменатель на 3. \(\frac{3 ÷ 3}{15 ÷ 3}\) = \(\frac{1}{3}\)
Вопрос 7. \(\frac {3}{8}\) домашних животных на выставке домашних животных — собаки. \(\frac{2}{3}\) собак имеют длинную шерсть. Какую часть домашних животных составляют собаки с длинной шерстью? \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{4}\) собаки с длинной шерстью
Объяснение: \(\frac{3}{8} \) из питомцев на выставке домашних животных — собаки. \(\frac{2}{3}\) собак имеют длинную шерсть. \(\frac{3}{8}\) of \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{3 × 2}{8 × 3}\) = \(\frac{6 }{24}\) GCF 6 и 24 равен 6. Разделите числитель и знаменатель на 6. \(\frac{6 ÷ 6}{24 ÷ 6}\) = \(\frac{1 }{4}\) \(\frac{1}{4}\) — собаки с длинной шерстью
Оцените, используя порядок операций.
Вопрос 8. \(\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{8}\right) \times 8\) ______
Ответ: 7
Объяснение: 1/2 + 3/8 = 7/8 7/8 × 8 = 7
Вопрос 9. \(\frac{3}{4} \times\left(1-\frac{1}{9}\right)\) \(\frac{ □}{□}\)
Ответ: \(\frac{2}{3}\)
Объяснение: 1 – 1/9 = 8/9 3/4 × 8/9 = 24/36 GCF 24 и 36 равен 12. Разделите числитель и знаменатель на 12. \(\frac{24 ÷ 12}{36 ÷ 12}\) = \(\frac{2}{3}\)
Вопрос 10. \(4 \times \frac{1}{8} \times \frac{3}{10}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \ (\фракция{3}{20}\)
Объяснение: Умножьте числители и умножьте знаменатели. \(\frac{4 × 1 × 3}{1 × 8 × 10}\) = \(\frac{12}{80}\) Упростите с помощью GCF. GCF 12 и 80 равен 4. Разделите числитель и знаменатель на 4. \(\frac{12 ÷ 4}{80 ÷ 4}\) = \(\frac{3}{20}\)
Вопрос 11. \(6 \times\left(\frac{4}{5}+\frac{2}{10}\right) \times \frac{2}{3}\) ______
Вопрос 12. Джейсон пробежал \(\frac{5}{7}\) расстояния по школьной дорожке. Сара пробежала \(\frac{4}{5}\) расстояния Джейсона. Какую часть общего расстояния по дорожке пробежала Сара? \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{4}{7}\)
Объяснение: 904:45 Джейсон пробежал \(\frac{5}{7}\) дистанции вокруг школьной дорожки. Сара пробежала \(\frac{4}{5}\) расстояния Джейсона. \(\frac{5}{7}\) × \(\frac{4}{5}\) = 20/35 GCF 20 и 35 равен 5. Разделите числитель и знаменатель на 5. \(\frac{20 ÷ 5}{35 ÷ 5}\) = \(\frac{4}{7}\)
Вопрос 13. Группа учащихся посещает математический кружок. Половина учеников — мальчики, и у \(\frac{4}{9}\) мальчиков карие глаза. Какую часть группы составляют мальчики с карими глазами? \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{2}{9}\) группа мальчиков с карими глазами
Пояснение: Группа школьников посещает математический кружок. Половина учеников — мальчики, и у \(\frac{4}{9}\) мальчиков карие глаза. \(\frac{4}{9}\) × \(\frac{1}{2}\) = 4/18 = 2/9 2/9 группа — мальчики с карими глазами
Вопрос 14. Напишите и решите задачу на умножение на дробь. Введите ниже: __________
Ответ: 904:45 Группа студентов посещает математический кружок. Половина учеников — мальчики, и у \(\frac{6}{9}\) мальчиков карие глаза. Какую часть группы составляют мальчики с карими глазами? \(\frac{□}{□}\) Ответ: Группа студентов посещает математический кружок. Половина учеников — мальчики, и у \(\frac{6}{9}\) мальчиков карие глаза. \(\frac{6}{9}\) × \(\frac{1}{2}\) = 6/18 = 1/3 1/3 группы составляют мальчики с карими глазами.
Проверка урока – № страницы 86
Вопрос 1. 904:45 Мама Вероники оставила \(\frac{3}{4}\) торта на столе. Ее братья съели его \(\frac{1}{2}\). Какую часть торта они съели? \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{2}{4}\)
Объяснение: Мама Вероники ушла \(\frac{3}{4}\) торт на столе. Ее братья съели его \(\frac{1}{2}\). Поскольку дробь съеденного пирога равна 1/2, вы можете умножить числитель и знаменатель на и получить эквивалентную дробь, которая равна 2/4.
Вопрос 2. Один круг по школьной дорожке составляет \(\frac{5}{8}\) мили. Карин пробежала 3 \(\frac{1}{2}\) круга. Как далеко она пробежала? _____ \(\frac{□}{□}\)
Ответ: 2\(\frac{3}{16}\)
Объяснение: Один круг по школьной дорожке равен \(\frac{5 }{8 миля. Карин пробежала 3 \(\frac{1}{2}\) круга. 3 \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{7}{2}\) Следовательно, общее пройденное расстояние = 7/2 × 5/8 = 35/16 = 2 3/ 16
Spiral Review
Вопрос 3. Том купил 2 \(\frac{5}{16}\) фунтов арахиса и 2,45 фунта кешью. Чего он купил больше? Объяснять. Введите ниже: __________
Ответ:
Объяснение: Том купил 2 \(\frac{5}{16}\) фунтов арахиса и 2,45 фунта кешью. 2 \(\frac{5}{16}\) = 2,3125 2,3125 < 2,45 Он покупает больше орехов кешью.
Вопрос 4. У Евы есть 24 марки по 24,75 доллара каждая. Какова общая стоимость ее марок? $ _____
Ответ: $594
Пояснение: У Евы есть 24 марки по 24,75 доллара каждая. 24 х 24,75 долл. США = 59 долл. США4
Вопрос 5. Наоми отправилась в поход на 10,5 миль. Утром она прошла 1,75 мили, отдохнула, а затем прошла еще 2,4 мили. Она завершила поход во второй половине дня. Насколько дальше она прошла утром, чем днем? _____ миль
Ответ: Наоми отправилась в поход на 6,5 миль. Утром она прошла 1,75 мили, отдохнула, а затем прошла еще 2,4 мили. Она завершила поход во второй половине дня. Чтобы узнать, сколько миль она прошла днем, просто вычтите утренние мили 4,15 из общего количества миль 6,5. 6,5 – 4,15 = 2,35 Чтобы узнать, сколько еще миль она прошла утром, нужно просто вычесть утро из полудня: 4,15 – 2,35 = 1,8 мили. Утром она прошла еще 1,8 мили.
Вопрос 6. У владельца книжного магазина есть 48 книг по научной фантастике и 30 детективов, которые он хочет быстро продать. Он сделает дисконтные пакеты с одним типом книг в каждом. Он хочет, чтобы в каждом пакете было как можно больше книг, но все пакеты должны содержать одинаковое количество книг. Сколько пакетов он может сделать? Сколько у него упаковок каждого типа книг? Введите ниже: __________
Ответ: 18 упаковок
Объяснение: Владелец книжного магазина может сделать 18 возможных упаковок 48 – 30 = 18 упаковок
Share and Show – Номер страницы 89
Найти продукт. Упрощайте перед умножением.
Вопрос 1. \(\frac{5}{6} \times \frac{3}{10}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\ frac{1}{4}\)
Объяснение: \(\frac{5}{6} \times \frac{3}{10}\) Умножьте числители и умножьте знаменатели. \(\frac{5 × 3}{6 × 10}\) = \(\frac{15}{60}\) Упрощение с использованием GCF. GCF 15 и 60 равен 15. Разделите числитель и знаменатель на 15. \(\frac{15 ÷ 15}{60 ÷ 15}\) = \(\frac{1}{4}\)
Вопрос 2. \(\frac{3}{4} \times \frac{5}{9}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac {5}{12}\)
Объяснение: \(\frac{3}{4} \times \frac{5}{9}\) Умножьте числители и умножьте знаменатели. \(\ гидроразрыва {3 × 5} {4 × 9}\) = \(\frac{15}{36}\) Упрощение с помощью GCF. GCF чисел 15 и 36 равен 3. Разделите числитель и знаменатель на 3. \(\frac{15 ÷ 3}{36 ÷ 3}\) = \(\frac{5}{12}\)
Вопрос 3. \(\frac{2}{3} \times \frac{9}{10}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac {3}{5}\)
Объяснение: \(\frac{2}{3} \times \frac{9}{10}\) Умножьте числители и умножьте знаменатели. \(\frac{2 × 9}{3 × 10}\) = \(\frac{18}{30}\) Упрощение с использованием GCF. GCF 18 и 30 равен 6. Разделите числитель и знаменатель на 6. \(\frac{18 ÷ 6}{30 ÷ 6}\) = \(\frac{3}{5}\)
Вопрос 4. После пикника осталось \(\frac{5}{12}\) кукурузного хлеба. Вал ест \(\frac{3}{5}\) оставшегося кукурузного хлеба. Какую часть кукурузного хлеба съедает Вэл? \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{4}\)
Объяснение: После пикника, \(\frac{5}{12}\ ) кукурузного хлеба осталось. Вал ест \(\frac{3}{5}\) оставшегося кукурузного хлеба. \(\frac{5}{12} \times \frac{3}{5}\) Умножить числители и Умножить знаменатели. \(\frac{5 × 3}{12 × 5}\) = \(\frac{15}{60}\) Упростите с помощью GCF. GCF 15 и 60 равен 15. Разделите числитель и знаменатель на 15. \(\frac{15 ÷ 15}{60 ÷ 15}\) = \(\frac{1}{4}\)
Вопрос 5. В домике для рептилий в зоопарке живет игуана длиной \(\frac{5}{6}\) ярдов. У него есть монстр Хила, длина которого составляет \(\frac{4}{5}\) длины игуаны. Какова длина монстра Гила? \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{2}{3}\)
Объяснение: В доме рептилий в зоопарке есть игуана, которая \(\frac {5}{6}\) ярдов в длину. У него есть монстр Хила, длина которого составляет \(\frac{4}{5}\) длины игуаны. \(\frac{5}{6} \times \frac{4}{5}\) Умножьте числители и умножьте знаменатели. \(\frac{5 × 4}{6× 5}\) = \(\frac{20}{30}\) Упрощение с использованием GCF. GCF 20 и 30 равен 10. Разделить числитель и знаменатель на 10. \(\frac{20 ÷ 10}{30 ÷ 10}\) = \(\frac{2}{3}\)
Самостоятельно
Найдите продукт. Упрощайте перед умножением.
Вопрос 6. \(\frac{3}{4} \times \frac{1}{6}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ:
Объяснение: \(\frac{3}{4} \times \frac{1}{6}\) Умножьте числители и умножьте знаменатели. \(\frac{3 × 1}{4 × 6}\) = \(\frac{3}{24}\) Упростите с помощью GCF. GCF 3 и 24 равен 3, Разделить числитель и знаменатель на 3. \(\frac{3 ÷ 3}{24 ÷ 3}\) = \(\frac{1}{8}\)
Вопрос 7. \(\frac {7}{10} \times \frac{2}{3}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{7}{15}\)
Объяснение: \(\frac{7}{10} \times \frac{2}{3}\) Умножьте числители и умножьте знаменатели. \(\frac{7 × 2}{10 × 3}\) = \(\frac{14}{30}\) Упростите с помощью GCF. GCF 14 и 30 равен 2. Разделить числитель и знаменатель на 2. \(\frac{14 ÷ 2}{30 ÷ 2}\) = \(\frac{7}{15}\)
Вопрос 8. \(\frac{5}{8} \times \frac {2}{5}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{4}\)
Объяснение: \(\frac{5} {8} \times \frac{2}{5}\) Умножить числители и Умножить знаменатели. \(\frac{5 × 2}{8 × 5}\) = \(\frac{10}{40}\) Упростите с помощью GCF. GCF 10 и 40 равен 10. Разделите числитель и знаменатель на 10. \(\frac{10 ÷ 10}{40 ÷ 10}\) = \(\frac{1}{4}\)
Вопрос 9. \(\frac{9}{10} \times \frac{5}{6}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac {3}{4}\)
Объяснение: \(\frac{9}{10} \times \frac{5}{6}\) Умножьте числители и умножьте знаменатели. \(\frac{9 × 5}{10 × 6}\) = \(\frac{45}{60}\) Упростите с помощью GCF. GCF 45 и 60 равен 15. Разделите числитель и знаменатель на 15. \(\frac{45 ÷ 15}{60 ÷ 15}\) = \(\frac{3}{4}\)
Вопрос 10. \(\frac{11}{12} \times \frac{3}{7}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{11}{28 }\)
Объяснение: \(\frac{11}{12} \times \frac{3}{7}\) Умножьте числители и умножьте знаменатели. \(\frac{11 × 3}{12 × 7}\) = \(\frac{33}{84}\) Упростите с помощью GCF. GCF чисел 33 и 84 равен 3. Разделите числитель и знаменатель на 3. \(\frac{33 ÷ 3}{84 ÷ 3}\) = \(\frac{11}{28}\)
Вопрос 11. Баскетбольная команда Шелли выиграла \(\frac{3}{4}\) своих игр в прошлом сезоне. В \(\frac{1}{6}\) выигранных ими играх они опередили своих противников более чем на 10 очков. Какую часть своих игр команда Шелли выиграла с разницей более 10 очков? \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{8}\)
Объяснение: Пусть общее количество игр равно x. Количество игр, выигранных командой Шелли = 3/4x Количество игр, в которых команда Шелли опередила своих соперников более чем на 10 очков = 1/6 X 3/4x = 1/8x Следовательно, 1/8 от общего числа игр команда Шелли выиграла на 10 баллов.
Вопрос 12. У мистера Ортиса есть \(\frac{3}{4}\) фунта овсянки. Он использует \(\frac{2}{3}\) овсянки, чтобы испечь кексы. Сколько овсянки осталось у мистера Ортиса? \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{2}\)
Объяснение: У мистера Ортиса есть \(\frac{3}{4}\ ) фунт овсянки. Он использует \(\frac{2}{3}\) овсянки, чтобы испечь кексы. \(\frac{3}{4} \times \frac{2}{3}\) Умножить числители и Умножить знаменатели. \(\frac{3 × 2}{4 × 3}\) = \(\frac{6}{12}\) Упрощение с использованием GCF. GCF 6 и 12 равен 6. Разделите числитель и знаменатель на 6. \(\frac{6 ÷ 6}{12 ÷ 6}\) = \(\frac{1}{2}\)
Вопрос 13. Стратегии сравнения Чтобы найти \(\frac{16}{27}\) × \(\frac{3}{4}\), можно умножить дроби и затем упростить произведение или можно упростить дроби, а затем умножить. Какой метод вы предпочитаете? Объяснять. Введите ниже: __________
Ответ: \(\frac{16}{27}\) × \(\frac{3}{4}\) \(\frac{16 × 3}{27 × 4 }\) = \(\frac{16 × 3}{4 × 27}\) \(\frac{48}{96}\) Упрощение с использованием GCF. GCF чисел 48 и 96 равен 48. Разделить числитель и знаменатель на 48. \(\frac{48 ÷ 48}{96 ÷ 48}\) = \(\frac{1}{2}\)
Решение проблем + Приложения – № страницы 90
Вопрос 14. Три каждый учащийся лопнул \(\frac{3}{4}\) стакана зерен попкорна. В таблице показана доля нелопнувших ядер каждого ученика. У какого учащегося было \(\frac{1}{16}\) чашек нелопнувших зёрен? __________
Ответ: Мирза
Объяснение: Каждый из трех студентов лопнул по \(\frac{3}{4}\) чашке зерен попкорна. В таблице показана доля нелопнувших ядер каждого ученика. Кэти = 3/4 x 1/10 = 3/40 Мирза = 3/4 x 1/12 = 1/16
Вопрос 15. Беговая дорожка в школе Франсин: \(\frac{3}{4 }\) длиной в милю. Вчера Франсин проехала два круга по трассе. Если она пробежала \(\frac{1}{3}\) дистанции, а оставшуюся часть пути прошла пешком, то какое расстояние она прошла? ____ мили
Ответ: 1 миля
Объяснение: Длина беговой дорожки в школе Франсин = 3/4 мили Пусть расстояние, пройденное бегом, равно = x Пусть расстояние, пройденное пешком, равно = y Общее количество кругов, пройденных Франсин = 2 Общее расстояние, пройденное Франсин = количество кругов X расстояние, пройденное за один круг 2 x 3/4 = 3/25 мили Теперь, расстояние, пройденное бегом = 1/3 общего расстояния x = 1/3 x 3/2 расстояние, пройденное ходьбой y = общее расстояние – расстояние, пройденное бегом 3/2 – x = 3/2 – 1/ 2 = 1 миля Следовательно, Франсин прошла 1 милю.
Вопрос 16. В магазине закусок \(\frac{7}{12}\) покупателей купили крендели с солью и \(\frac{3}{10}\) из них купили крендели с низким содержанием соли. Билл утверждает, что \(\frac{7}{30}\) клиентов купили крендельки с низким содержанием соли. Имеет ли смысл заявление Билла? Объяснять. Введите ниже: __________
Ответ: Утверждение Билла не имеет смысла, потому что оно неверно: 7/12 клиентов купили крендельки. 3/10 Из этих клиентов купили крендельки с низким содержанием соли (x) 3/10 от 7/12 = x 21/120 = x Упрощенно: 7/40 Чтобы быть точным, Билл должен был бы сказать, что 7/40 клиентов купили крендели с низким содержанием соли, но вместо этого он сказал 7/30.
Вопрос 17. В таблице показано домашнее задание Тони. Учитель Тони поручил классу упростить каждое выражение, разделив числитель и знаменатель на НОК. Заполните таблицу, упростив каждое выражение и найдя значение.
Введите ниже: __________
Ответ:
Упрощение факторов — страница № 91
Найдите продукт. Упрощайте перед умножением.
Вопрос 1. \(\frac{8}{9} \times \frac{5}{12}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\ frac{10}{27}\)
Объяснение: \(\frac{8}{9} \times \frac{5}{12}\) Умножьте числители и умножьте знаменатели. \(\frac{8 × 5}{9 × 12}\) = \(\frac{40}{108}\) Упрощение с использованием GCF. GCF 40 и 108 равен 4. Разделите числитель и знаменатель на 4. \(\frac{40 ÷ 4}{108 ÷ 4}\) = \(\frac{10}{27}\)
Вопрос 2. \(\frac{3}{4} \times \frac{16}{21}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac {4}{7}\)
Объяснение: \(\frac{3}{4} \times \frac{16}{21}\) Умножьте числители и умножьте знаменатели. \(\frac{3 × 16}{4 × 21}\) = \(\frac{48}{84}\) Упростите с помощью GCF. GCF 48 и 84 равен 12. Разделите числитель и знаменатель на 12. \(\frac{48 ÷ 12}{84 ÷ 12}\) = \(\frac{4}{7}\)
Вопрос 3. \(\frac{15}{20} \times \frac{2}{5}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac {3}{10}\)
Объяснение: \(\frac{15}{20} \times \frac{2}{5}\) Умножьте числители и умножьте знаменатели. \(\frac{15 × 2}{20 × 5}\) = \(\frac{30}{100}\) Упростите с помощью GCF. GCF 30 и 100 равен 10, Разделить числитель и знаменатель на 10. \(\frac{30 ÷ 10}{100 ÷ 10}\) = \(\frac{3}{10}\)
Вопрос 4. \(\frac {9}{18} \times \frac{2}{3}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{3}\)
Объяснение: \(\frac{9}{18} \times \frac{2}{3}\) Умножьте числители и умножьте знаменатели. \(\frac{9 × 2}{18 × 3}\) = \(\frac{18}{54}\) Упростите с помощью GCF. GCF 18 и 54 равен 18. Разделить числитель и знаменатель на 18. \(\frac{18 ÷ 18}{54 ÷ 18}\) = \(\frac{1}{3}\)
Вопрос 5. \(\frac{3}{4} \times \frac {7}{30}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{7}{40}\)
Объяснение: \(\frac{3} {4} \times \frac{7}{30}\) Умножить числители и Умножить знаменатели. \(\frac{3 × 7}{4 × 30}\) = \(\frac{21}{120}\) Упростите с помощью GCF. GCF 21 и 120 равен 3. Разделите числитель и знаменатель на 3. \(\frac{21 ÷ 3}{120 ÷ 3}\) = \(\frac{7}{40}\)
Вопрос 6. \(\frac{8}{15} \times \frac{15}{32}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac {1}{4}\)
Объяснение: \(\frac{8}{15} \times \frac{15}{32}\) Умножьте числители и умножьте знаменатели. \(\frac{8 × 15}{15 × 32}\) = \(\frac{120}{480}\) Упростите с помощью GCF. GCF 120 и 480 равен 120. Разделите числитель и знаменатель на 120. \(\frac{120 ÷ 120}{480 ÷ 120}\) = \(\frac{1}{4}\)
Вопрос 7. \(\frac{12}{21} \times \frac{7}{9}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{ 4}{9}\)
Объяснение: \(\frac{12}{21} \times \frac{7}{9}\) Умножьте числители и умножьте знаменатели. \(\frac{12 × 7}{21 × 9}\) = \(\frac{84}{189}\) Упростите с помощью GCF. GCF чисел 84 и 189 равен 21. Разделите числитель и знаменатель на 21. \(\frac{84 ÷ 21}{189 ÷ 21}\) = \(\frac{4}{9}\)
Вопрос 8. \(\frac{18}{22} \times \frac{8}{9}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{8}{11 }\)
Объяснение: \(\frac{18}{22} \times \frac{8}{9}\) Умножьте числители и умножьте знаменатели. \(\frac{18 × 8}{22 × 9}\) = \(\frac{144}{198}\) Упростите с помощью GCF. GCF чисел 144 и 198 равен 18. Разделите числитель и знаменатель на 18. \(\frac{144 ÷ 18}{198 ÷ 18}\) = \(\frac{8}{11}\)
Решение проблем
Вопрос 9. У Эмбер есть мешок цветного песка весом в 1,5 кг. Она использует \(\frac{1}{2}\) сумки для художественного проекта. Сколько песка она использует для проекта? \(\frac{□}{□}\) фунтов
Ответ: \(\frac{2}{5}\) фунтов
Объяснение: Эмбер имеет \(\frac{4}{5} \)-килограммовый мешок цветного песка. Она использует \(\frac{1}{2}\) сумки для художественного проекта. 4/5 X 1/2 = 2/5
Вопрос 10. У Тайлера есть \(\frac{3}{4}\) месяц, чтобы написать отчет о книге. В тот раз он закончил отчет за \(\frac{2}{3}\). Сколько времени потребовалось Тайлеру, чтобы написать отчет? \(\frac{□}{□}\) месяц
Ответ: \(\frac{1}{2}\) месяц
Объяснение: Тайлер имеет \(\frac{3}{4}\ ) месяц, чтобы написать отчет о книге. В тот раз он закончил отчет за \(\frac{2}{3}\). 3/4 X 2/3 = 1/2
Вопрос 11. Укажите два способа умножения \(\frac{2}{15} \times \frac{3}{20}\). Затем скажите, какой путь проще, и обоснуйте свой выбор. Введите ниже: __________
Ответ: \(\frac{2}{15} \times \frac{3}{20}\) 2/15 X 3/20 = 2/20 X 3/15 = 1/10 х 1/5 = 1/50
Проверка урока – № страницы 92
Найдите каждый продукт. Упрощайте перед умножением.
Вопрос 1. В школе Сьюзи \(\frac{5}{8}\) всех учеников занимаются спортом. Из студентов, которые занимаются спортом, \(\frac{2}{5}\) играют в футбол. Какая часть учеников школы Сьюзи играет в футбол? \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{4}\)
Объяснение: В школе Сьюзи, \(\frac{5}{8}\ ) всех учащихся занимаются спортом. Из студентов, которые занимаются спортом, \(\frac{2}{5}\) играют в футбол. Умножьте 5/8 X 2/5, и ответ будет 0,25, что преобразуется в 25/100 или 1/4
Вопрос 2. Коробка попкорна весит \(\frac{15}{16}\) фунтов . В коробке находится \(\frac{1}{3}\) попкорн с маслом и \(\frac{2}{3}\) сырный попкорн. Сколько весит сырный попкорн? \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{5}{8}\)
Объяснение: Общий вес коробки попкорна = 15/16 фунтов. Нам дают два вида попкорна: попкорн с маслом и попкорн с сыром. Сливочное масло для попкорна составляет одну треть от общего веса = 1/3 от общего веса Подставляя значение общего веса, получаем = 1/3 * 15/16 = 5/16 фунтов. Сырный попкорн = 2/3 от общего веса Подставив значение общего веса, получим = 2/3 * 15/16 = 10/16 или 5/8 фунтов. Следовательно, сырный попкорн весит 5/8 фунта.
Spiral Review
Вопрос 3. Рамон купил дюжину кукурузных початков за 1,80 доллара. Сколько стоил каждый початок кукурузы? $ ______
Ответ: $0,15
Пояснение: Рамон купил дюжину кукурузных початков за 1,80 доллара. Итак, при стоимости каждого початка кукурузы 1,80/12 = 0,15 доллара
Вопрос 4. Банка корицы весом 1,8 унции стоит 4,05 доллара. Какова стоимость за унцию? $ ______
Ответ: 2,25 доллара за унцию
Объяснение: Если банка на 1,8 унции стоит 4,05 доллара, разделите 4,05 доллара на 1,8. 4,05 доллара / 1,8 = 2,25 доллара за унцию.
Вопрос 5. Роуз купила \(\frac{7}{20}\) килограмм имбирных конфет и 0,4 килограмма конфет с корицей. Чего она купила больше? Объясните откуда вы знаете. Введите ниже: __________
Ответ: Роза купила имбирных конфет = 7/20 кг = 0,35 кг Она купила коричных конфет = 0,4 кг 0,4 > 0,35 Следовательно, Она купила коричных конфет больше.
Вопрос 6. Дон прошел 3 \(\frac{3}{5}\) мили в пятницу, 3,7 мили в субботу и 3 \(\frac{5}{8}\) мили в воскресенье. Перечислите расстояния от наименьшего к наибольшему. Введите ниже: __________
Вопрос 14. Mia поднимается \(\frac{5}{8} \) от высоты скальной стены. Ли поднимается на \(\frac{4}{5}\) расстояния Мии. Какую часть стены преодолевает Ли? \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{7}{40}\)
Объяснение: найти НОК (наименьший общий знаменатель) для 5/8 и 4/ 5. 5/8= 25/40 и 4/5= 32/40. Вычтите, и вы получите 7/40.
Страница № 94
Вопрос 15. В классе Зои у \(\frac{4}{5}\) учеников есть домашние животные. Из студентов, у которых есть домашние животные, \(\frac{1}{8}\) есть грызуны. У какой части учеников в классе Зои есть домашние грызуны? У какой части учеников в классе Зои есть домашние животные, не являющиеся грызунами? Введите ниже: __________
Ответ: \(\frac{1}{10}\) учеников в классе Зои имеют домашних животных — грызунов \(\frac{7}{10}\) учеников в классе Зои есть домашние животные, не являющиеся грызунами
Пояснение: В классе Зои у \(\frac{4}{5}\) учеников есть домашние животные. Из студентов, у которых есть домашние животные, \(\frac{1}{8}\) есть грызуны. 4/5 X 1/8 = 1/10 4/5 – 1/10 = 7/10
Вопрос 16. Рецепт требует 2 \(\frac{2}{3}\) стаканов муки . Терелл хочет сделать \(\frac{3}{4}\) по рецепту. Сколько муки он должен использовать? _____ чашек
Вопрос 17. После Во время Baltimore Running Festival в 2009 году волонтеры собрали и переработали 3,75 тонны мусора. Начертите 3,75 на числовой прямой и запишите вес в виде смешанного числа. Введите ниже: __________
Ответ: Волонтеры собрали и переработали 3,75 тонны мусора. Нам нужно преобразовать 3,75 в смешанное число. Смешанное число состоит из целого числа и правильной дроби. В заданном числе 3,75 возьми 3 за целое число и преобразуй 0,75 в дробь. 3,75 = 3 + 0,75 = 3 + 75/100 Мы можем уменьшить дробь 75/100 = 3+ 3/4 = 3 3/4
Вопрос 18. Четыре студента сдавали экзамен. Дана доля от общего количества возможных баллов, полученных каждым игроком. У кого из учеников был самый высокий балл? Если учащиеся получают целое число баллов по каждому элементу экзамена, может ли экзамен в сумме дать 80 баллов? Объяснять.
Введите ниже: __________
Ответ: 22/25 = 0,88 17/20 = 0,85 4/5 = 0,8 3/4 = 0,75 17/20 + 4/5 + 3/4)x = 80 x = 24,39 Это не целое число точек.
Поделись и покажи — № страницы 97
Используйте модель, чтобы найти частное.
Вопрос 1. \(\frac{1}{2}\) ÷ 3
\(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{6} \)
Объяснение: 1/2 группы по 3 \(\frac{1}{2}\) ÷ 3 1/2 × 1/3 = 1/6
Вопрос 2. \(\frac{3} {4} \div \frac{3}{8}\)
______
Ответ: 2
Объяснение: 3/4 группы по 3/8 3/4 × 8/3 = 2
Используйте полоски дробей, чтобы найти частное. Затем нарисуйте модель.
В таблице показано количество каждого материала, которое учащиеся на уроке шитья нужен один кошелек.
Используйте таблицу для 8–10. Используйте модели для решения.
Вопрос 8. У миссис Браун есть \(\frac{1}{3}\) ярдов синей джинсовой ткани и \(\frac{1}{2}\) ярдов черной джинсовой ткани. Сколько кошельков можно сшить, используя джинсовую ткань в качестве основной ткани? _____ кошельки
Вопрос 9. Один ученик приносит \(\frac{1}{2}\) ярдов ленты. Если 3 ученика получат ленточки одинаковой длины, сколько ленточек получит каждый ученик? Хватит ли у каждой из них ленты на кошелек? Объяснять. Введите ниже: __________
Ответ: Один ученик приносит \(\frac{1}{2}\) ярдов ленты. Если 3 ученика получат ленту одинаковой длины, \(\frac{1}{2}\) ÷ 3 1/2 × 1/3 = 1/6 У них не хватает ленты для кошелька
Вопрос 10. Приводить аргументы Было \( \frac{1}{2}\) ярдов ткани в фиолетовую и розовую полоску. Джесси сказала, что может сделать только \(\frac{1}{24}\) сумочку, используя эту ткань в качестве отделки. Она правильная? Используйте то, что вы знаете о значениях умножения и деления, чтобы защитить свой ответ. Введите ниже: __________
Ответ: Было \(\frac{1}{2}\) ярдов ткани в фиолетовую и розовую полоску. Джесси сказала, что может сделать только \(\frac{1}{24}\) сумочку, используя эту ткань в качестве отделки. 1/2 × 12 = 1/24 Итак, ответ 12
Вопрос 11. Нарисуйте модель, чтобы найти частное. \(\frac{1}{2}\) ÷ 4 = Введите ниже: __________
Нарисуйте модель для решения. Затем напишите уравнение модели. Интерпретируйте результат.
Вопрос 7. Если Джерри пробегает \(\frac{1}{10}\) мили каждый день, сколько дней ему потребуется, чтобы пробежать \(\frac{4}{5}\) мили? ______ дней
Ответ: 8 дней
Объяснение: Если Джерри пробегает \(\frac{1}{10}\) мили каждый день, \(\frac{4}{5}\) ÷ \( \frac{1}{10}\) \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{10}{1}\) = \(\frac{40}{5}\) = 8
Решение проблем
Вопрос 8. У миссис Дженнингс есть \(\frac{3}{4}\) галлонов краски для художественного проекта. Она планирует разделить краску поровну по баночкам. Если она нальет \(\frac{1}{8}\) галлонов краски в каждую банку, сколько банок она израсходует? ______ банок
Ответ: 6 банок
Пояснение: У миссис Дженнингс есть 3/4 галлона краски для художественного проекта. В 1 банку она кладет 1/8 галлона краски. Количество банок, в которых она планирует разделить краску поровну, определяется выражением n= 3/4 ÷ 1/8 n = \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{ 8}{1}\) = \(\frac{24}{4}\) = 6
Вопрос 9. Если одна банка клея весит \(\frac{1}{12}\) фунтов, сколько банок, которые Рикки может получить из \(\frac{2}{3}\) фунта клея? ______ банок
Ответ: 8 банок
Объяснение: Вес клея в одной банке = 1/12 фунта Чтобы получить 2/3 фунта клея, Рикки может получить количество банок 2/3 ÷ 1/ 12 2/3 × 12/1 = 24/3 = 8
Вопрос 10. Объясните, как использовать модель для отображения \(\frac{2}{6} \div \frac{1}{12}\ ) и \(\frac{2}{6}\) ÷ 4. Введите ниже: __________
Вопрос 1 Дарси нужно \(\frac{1}{4}\) ярдов ткани, чтобы сделать баннер. У нее 2 метра ткани. Сколько баннеров она может сделать? ______ баннеры
Ответ: 8 баннеров
Пояснение: Дарси нужно \(\frac{1}{4}\) ярдов ткани, чтобы сделать баннер. У нее 2 метра ткани. 2 ÷ \(\frac{1}{4}\) = 2 x 4 = 8
Вопрос 2. 904:45 Лоренцо купил \(\frac{15}{16}\) фунтов говяжьего фарша. Он хочет делать гамбургеры весом \(\frac{3}{16}\) фунтов каждый. Сколько гамбургеров он может приготовить? ______ гамбургеров
Ответ: 5 гамбургеров
Пояснение: Лоренцо купил \(\frac{15}{16}\) фунтов говяжьего фарша. Он хочет делать гамбургеры весом \(\frac{3}{16}\) фунтов каждый. \(\frac{15}{16}\) ÷ \(\frac{3}{16}\) 15/3 = 5
Спиральный обзор
Вопрос 3. Летиша хочет читать по 22 страницы за ночь. При такой скорости за сколько времени она прочитает книгу из 300 страниц? ______ ночей
Ответ: 14 ночей
Объяснение: Летиша хочет читать по 22 страницы за ночь. Ей нужно прочитать книгу из 300 страниц 300/22 = 13,6 13,6 близко к 14 Итак, это за 2 недели.
Вопрос 4. Директор хочет заказать тетради для 624 учеников. Блокноты поставляются в коробках по 28 штук. Сколько коробок он должен заказать? ______ ящиков
Ответ: 22 ящика
Объяснение: Директор хочет заказать тетради для 624 учеников. Блокноты поставляются в коробках по 28 штук. 624/28 = 22,2857 22,2857 ближе к 22 22 коробки.
Вопрос 5. Каждый квартал в районе Тона имеет длину \(\frac{2}{3}\) мили. Если он пройдет 4 \(\frac{1}{2}\) квартала, сколько он пройдет? ______ миль
Ответ: 3 мили
Объяснение: Если каждый блок имеет длину 2/3 мили и он проходит 4 1/2 квартала, мы можем просто умножить на два. Выглядит так: (2/3)(4 1/2) умножить, преобразовать 4 1/2 в неправильную дробь и нормально умножить (2/3)(9/4) Тонн проходит 3 мили всего.
Вопрос 6. В саду Кэти \(\frac{5}{6}\) участка засажены цветами. Из цветов \(\frac{3}{10}\) красные. Какая часть сада Кэти засажена красными цветами? \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{4}\)
Объяснение: В саду Кэти, \(\frac{5}{6}\ ) участка засажены цветами. Из цветов \(\frac{3}{10}\) красные. 5/6 x 3/10 = 1/4
Поделись и покажи – № страницы 103
Оцените, используя совместимые числа.
Вопрос 1. \(22 \frac{4}{5} \div 6 \frac{1}{4}\) _______
Ответ: 4
Объяснение: 22 \(\frac{ 4}{5}\) = 114/5 = 22,8 6 \(\frac{1}{4}\) = 25/4 = 6,25 22,8 ближе к 24 6,25 ближе к 6 24/6 = 4
Вопрос 2. \(12 \div 3 \frac{3}{4}\) _______
Ответ: 3
Объяснение: 3 \(\frac{3}{4}\) = 15/4 = 3,75 3,75 ближе к 4 12/4 = 3
Вопрос 3. \(33 \frac{ 7}{8} \div 5 \frac{1}{3}\) _______
Ответ: 7
Объяснение: 33 \(\frac{7}{8}\) = 271/8 = 33,875 5 \(\frac{1}{3}\) = 16/3 = 5,333 33,875 ближе к 35 5,333 ближе к 5 35/5 = 7
Вопрос 4. \(3 \frac{ 7}{8} \div \frac{5}{9}\) _______
Ответ: 4
Объяснение: 3 \(\frac{7}{8}\) = 31/8 = 3,875 \(\frac{5}{9}\) = 0,555 3,875 ближе к 4 0,555 равно ближе к 1 4/1 = 4
Вопрос 5. \(34 \frac{7}{12} \div 7 \frac{3}{8}\) _______
Ответ: 5
Объяснение : 34 \(\frac{7}{12}\) = 415/12 = 34,583 7 \(\frac{3}{8}\) = 59/8 = 7,375 34,583 ближе к 35 7,375 равно ближе к 7 35/7 = 5
Вопрос 6. \(1 \frac{2}{9} \div \frac{1}{6}\) _______
Ответ: 5
Объяснение: 1 \(\frac{2}{9}\) = 11/9 = 1,222 \(\frac {1}{6}\) = 0,1666 1,222 ближе к 1 0,1666 ближе к 0,2 1/0,2 = 5
Самостоятельно
Оцените, используя совместимые числа.
Вопрос 7. \(44 \frac{1}{4} \div 11 \frac{7}{9}\) _______
Ответ: 4
Объяснение: 44 \(\frac{ 1}{4}\) = 177/4 = 44,25 11 \(\frac{7}{9}\) = 106/9 = 11,77 44,25 ближе к 44 11,77 ближе к 11 44/11 = 4
Вопрос 8. \(71 \frac{ 11}{12} \div 8 \frac{3}{4}\) _______
Ответ: 8
Объяснение: 71 \(\frac{11}{12}\) = 863/12 = 71,916 8 \(\frac{3}{4}\) = 35/4 = 8,75 71,916 ближе к 72 8,75 ближе к 9 72/9 = 8
Вопрос 9. \(1 \frac{ 1}{6} \div \frac{1}{8}\) _______
Ответ: 12
Объяснение: 1 \(\frac{1}{6}\) = 7/6 = 1,166 \(\frac{1}{8}\) = 0,125 1,166 ближе к 1,2 0,125 равно ближе к 0,1 1,2/0,1 = 12
Объяснение: 55 \(\frac{5}{6}\) = 335/6 = 55,833 6 \(\ frac{7}{10}\) = 67/10 = 6,7 55,833 ближе к 56 6,7 ближе к 7 56/7 = 8 11 \(\frac{5}{7}\) = 82/ 7 = 11,714 \(\frac{5}{8}\) = 0,625 11,714 ближе к 12 0,625 ближе к 1 12/1 = 12 8 < 12
Вопрос 13. Марион делает школьные флаги. На каждый флаг уходит 2 \(\frac{3}{4}\) ярда войлока. У Марион есть 24 \(\frac{1}{8}\) ярдов войлока. Примерно сколько флагов он может сделать? О _______ флагах
Ответ: О 8 флагах
Пояснение: Марион делает школьные флаги. На каждый флаг уходит 2 \(\frac{3}{4}\) ярда войлока. У Марион есть 24 \(\frac{1}{8}\) ярдов войлока. 2 \(\frac{3}{4}\) = 11/4 24 \(\frac{1}{8}\) = 193/8 193/8 ÷ 11/4 193/8 x 4/11 = 8,77 Около 8 флажков
Вопрос 14. Садовая улитка путешествует около 2 \(\frac{3}{5}\) футов за 1 минуту. При такой скорости сколько часов потребуется улитке, чтобы пройти 350 футов? Около _______ часов
Ответ: Около 2 часов
Объяснение: 2 \(\frac{3}{5}\) = 2,6 Столько времени он проходит за одну минуту. В часе 60 минут, так что умножьте это на 60 и посмотрите, приблизится ли это к 350. 60 x 2,6 = 156 Теперь добавим еще один час. 156 + 156 = 312 14 x 2,6 = 36,4 312 + 36,4 = 348,4 348,4 + 2,6 = 351 Так два часа и четырнадцать минут
Решение проблем + приложения — Страница № 104
Что была ошибка?
Вопрос 15. Меган делает вымпелы из куска плотной бумаги длиной 10 \(\frac{3}{8}\) ярдов. Для каждого вымпела требуется \(\frac{3}{8}\) ярдов бумаги. Чтобы оценить количество вымпелов, которые она могла бы сделать, Меган оценила частное 10 \(\frac{3}{8}\) ÷ \(\frac{3}{8}\). Посмотрите, как Меган решила проблему. Найдите ее ошибку Оценка: 10 \(\frac{3}{8}\) ÷ \(\frac{3}{8}\) 10 ÷ \(\frac{1}{2}\) = 5 Исправьте ошибку. Оцените частное. Итак, Меган может сделать около _____ вымпелов. Опишите ошибку, которую допустила Меган Объясните Укажите, какие совместимые числа вы использовали для оценки 10 \(\frac{3}{8}\) ÷ \(\frac{3}{8}\). Объясните, почему вы выбрали именно эти числа. Введите ниже: __________
Ответ: 10 \(\frac{3}{8}\) ÷ \(\frac{3}{8}\) 10 \(\frac{3}{8}\) = 83/8 = 10,375 \(\frac{3}{8}\) = 0,375 Она написала 10 ÷ \(\frac{1}{2 }\) = 5 10,375 ближе к 10 0,375 ближе к 0,5 10/0,5 = 20 Но она написала 5 вместо 20. Меган может сделать около 20 вымпелов.
Для чисел 16a–16c оцените для сравнения. Выберите <, > или =.
Объяснение: 17 \(\frac{5}{6}\) = 107 /6 = 17,833 6 \(\frac{1}{4}\) = 25/4 = 6,25 17,833 ближе к 18 6,25 ближе к 6 18/6 = 3 11 \(\frac{5 {7}\) = 82/7 = 11,714 2 \(\frac{3}{4}\) = 11/4 = 2,75 11,714 ближе к 12 2,75 ближе к 3 12/3 = 4 3 < 4 17 \(\frac{5}{6} \div 6 \frac{1}{4}\) < \( 11 \frac{5}{7} \div 2 \frac{3}{4}\)
Расчетные коэффициенты – № страницы 105
Оценка с использованием совместимых чисел.
Вопрос 1. \(12 \frac{3}{16} \div 3 \frac{9}{10}\) ______
Ответ: 3
Объяснение: 12 \(\frac{ 3}{16}\) = 195/16 = 12,1875 3 \(\frac{9}{10}\) = 39/10 = 3,9 12.1875 ближе к 12 3.9 ближе к 4 12/4 = 3
Вопрос 2. \(15 \frac{3}{8} \div \frac{1}{2}\) ______
Ответ: 30
Объяснение: 15 \(\frac{3}{8}\) = 123/8 = 15,375 \(\frac{1}{2}\) = 0,5 15,375 ближе к 15 0,5 ближе к 0,5 15/0,5 = 30
Вопрос 3. \(22 \frac{1}{5} \div 1 \frac{5}{6}\) ______
Ответ: 11
Объяснение: 22 \(\frac{1}{5}\) = 111/5 = 22,2 1 \(\frac{5}{6}\) = 11/6 = 1,8333 22,2 ближе к 22 1,8333 ближе к 2 22/2 = 11
Вопрос 4. \(7 \frac{ 7}{9} \div \frac{4}{7}\) ______
Ответ: 16
Объяснение: 7 \(\frac{7}{9}\) = 70/9 = 7,777 \(\frac{4}{7}\) = 0,571 7,777 ближе к 8 0,571 ближе к 0,5 8/0,5 = 16
Вопрос 5. \(18 \frac{1}{4} \ div 2 \frac{4}{5}\) ______
Ответ: 6
Объяснение: 18 \(\frac{1}{4}\) = 73/4 = 18,25 2 \(\frac{4}{5}\) = 14/5 = 2,8 18,25 ближе к 18 2.8 ближе к 3 18/3 = 6
Вопрос 6. \(\frac{15}{16} \div \frac{1}{7}\) ______
Ответ: 10
Объяснение : \(\frac{15}{16}\) = 0,9375 \(\frac{1}{7}\) = 0,1428 0,9375 ближе к 1 0,1428 ближе к 0,1 1/0,1 = 10
Вопрос 7. \(14 \frac{7}{8} \div \frac{5}{11}\) ______
Ответ: 30
Объяснение: 14 \(\frac{7}{8}\) = 119/8 = 14,875 \(\frac{5}{11}\) = 0,4545 14,875 is ближе к 15 0,4545 ближе к 0,5 15/0,5 = 30
Вопрос 8. \(53 \frac{7}{12} \div 8 \frac{11}{12}\) ______
Ответ : 6
Объяснение: 53 \(\frac{7}{12}\) = 643/12 = 53,58 8 \(\frac{11}{12}\) = 107/12 = 8,916 53,58 равно ближе к 54 8,916 ближе к 9 54/9 = 6
Вопрос 9. \(1 \frac{1}{6} \div \frac{1}{9}\) ______
Ответ: 10
Объяснение: 1 \ (\frac{1}{6}\) = 7/6 = 1,166 \(\frac{1}{9}\) = 0,111 1,166 ближе к 1 0,111 ближе к 0,1 1/0,1 = 10
Решение задач
Вопрос 10. Оцените, сколько кусков будет у Шэрон, если она разделит 15 \(\frac{1}{3}\) ярдов ткани на 4 \(\frac{4}{5) }\) длины ярдов. Около ______ шт.
Ответ: Около 3 штук
Объяснение: Шэрон будет, если она разделит 15 \(\frac{1}{3}\) ярдов ткани на 4 \(\frac{4}{5}\) ярдов длины. 3 7/36 — это ответ. Итак, около 3 штук
Вопрос 11. Оцените, сколько \(\frac{1}{2}\) литровых контейнеров Итан может заполнить из контейнера с 8 \(\frac{7}{8}\) кварт воды. Около ______ контейнеров
Ответ: Около 18 контейнеров
Вопрос 12. Чем оценка частных отличается от оценки продуктов? Введите ниже: __________
Ответ: Чтобы вычислить произведение и частное, нужно сначала округлить числа. Чтобы округлить до ближайшего целого числа, посмотрите на цифру в десятом разряде. Если меньше 5, округлить в меньшую сторону. Если 5 или больше, округляем в большую сторону. Помните, что оценка — это не точный, но приблизительный и обоснованный ответ. Давайте рассмотрим пример оценки продукта. Оцените произведение: 11,256×6,81 Сначала округлим первое число. Поскольку на десятом месте стоит двойка, 11,256 округляется до 11,9.0445 Далее округляем второе число. Поскольку на десятом месте стоит 8, 6,81 округляется до 7. Затем умножьте округленные числа. 11×7=77 Ответ равен 77. Давайте рассмотрим пример вычисления частного. Оцените частное: 91,93÷4,39 Сначала округлим первое число. Поскольку на десятом месте стоит 9, 91,93 округляется до 92. Затем округляем второе число. Поскольку на десятом месте стоит 3, 4,39 округляется до 4. Затем разделите округленные числа. 92÷4=23 Ответ: 23.
Проверка урока – Страница № 106
Вопрос 1. На каждую буханку тыквенного хлеба требуется 1 \(\frac{3}{4}\) чашки изюма . Примерно сколько буханок можно приготовить из 10 чашек изюма? Про ______ буханок
Ответ: Про 5 буханок
Пояснение: Разделите 10 на 1 3/4. Ответ: 5,714285 Таким образом, вы можете испечь около 5 буханок хлеба с 10 чашками изюма, если на каждую буханку нужно 1 3/4 чашки изюма.
Вопрос 2. Цель Перри — пробегать 2 \(\frac{1}{4}\) мили каждый день. Один круг по школьной трассе составляет \(\frac{1}{3}\) мили. Примерно сколько кругов он должен пробежать, чтобы достичь своей цели? Около ______ кругов
Ответ: Около 9 кругов
Объяснение: Цель Перри — пробегать 2 \(\frac{1}{4}\) мили каждый день. Один круг по школьной трассе составляет \(\frac{1}{3}\) мили. 2 \(\frac{1}{4}\) = 9/4 = 2,25 \(\frac{1}{3}\) = 0,333 Перри придется пробежать 9кругов, чтобы достичь своей цели.
Spiral Review
Вопрос 3. Рецепт требует \(\frac{3}{4}\) чайной ложки красного перца. Ури хочет использовать \(\frac{1}{3}\) от этой суммы. Сколько красного перца он должен использовать? \(\frac{□}{□}\) чайная ложка
Ответ: \(\frac{1}{4}\) чайная ложка
Объяснение: Рецепт требует \(\frac{3}{4 }\) чайная ложка красного перца. Ури хочет использовать \(\frac{1}{3}\) от этой суммы. \(\frac{1}{3}\) из \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
Вопрос 4. Рецепт требует 2 \(\frac{2}{3}\) чашек нарезанных яблок. Зои хочет использовать 1 \(\frac{1}{2}\) раз больше этой суммы. Сколько чашек яблок должна съесть Зоя? ______ чашек
Ответ: 4 чашки
Объяснение: Рецепт требует 2 2/3 чашки нарезанных яблок. Зоя хочет использовать в полтора раза больше этой суммы. Мы умножим количество ломтиков яблока на 1 1/2 2 2/3 X 1 1/2 8/3 X 3/2 = 24/6 = 4 чашки Зоя использует 4 чашки ломтиков яблок.
Вопрос 5. У Эдгара 2,8 метра веревки. Если он разрежет его на 7 равных частей, какой длины будет каждая часть? ______ метров
Ответ: 0,4 метра
Объяснение: 2,8/7 = 0,4 метра
Вопрос 6. У Ками есть 7 литров воды, чтобы наполнить бутылки по 2,8 литра каждая. Сколько бутылок она может заполнить? ______ бутылок
Ответ: 2 бутылки
Объяснение: 7/2,8 = 2,5 она может наполнить только 2, потому что все, что больше, составило бы 8,4 литра воды
Поделись и покажи – № страницы 109
Оценка. Затем найдите частное.
Вопрос 1. \(\frac{5}{6}\) ÷ 3 \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{3}{10}\ )
Объяснение: 5/6 = 0,8333 ближе к 0,9 0,9/3 = 0,3 = 3/10
Используйте числовую прямую, чтобы найти частное.
Вопрос 2. \(\frac{3}{4} \div \frac{1}{8}\) _______
Ответ:
Объяснение: 3/4 x 8 = 3 x 2 = 6
Вопрос 3. \(\frac{3}{5} \div \frac{3}{10}\) _______
Ответ:
Объяснение: 3/5 x 10/3 = 2
Оценка. Затем запишите частное в простейшей форме.
Вопрос 4. \(\frac{3}{4} \div \frac{5}{6}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\ frac{1}{1}\)
Объяснение: 3/4 = 0,75 ближе к 0,8 5/6 = 0,8333 ближе к 0,8 0,8/0,8 = 1
Вопрос 5. \(3 \div \frac{3}{4}\) _______
Ответ: 4
Объяснение: 3/4 = 0,75 3/0,75 = 4
4 Вопрос 4 5. \(\frac{1}{2} \div \frac{3}{4}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{625}{1000} \)
Объяснение: 1/2 = 0,5 3/4 = 0,75 ближе к 0,8 0,5/0,8 = 0,625 = 625/1000
Вопрос 7. \(\frac{5}{12} \div 3\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{2}{10}\)
Объяснение: 5/12 = 0,4166 ближе к 0,6 0,6/3 = 0,2 = 2/10
Самостоятельно
Практика: Скопируйте и решите оценку. Затем запишите частное в простейшей форме
Вопрос 8. \(2 \div \frac{1}{8}\) _______
Ответ: 20
Объяснение: 1/8 = 0,125 ближе к 0,1 2/0,1 = 20
Вопрос 9. \(\frac{3}{4} \div \frac{3}{5}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{1}\)
Объяснение: 3/4 = 0,75 ближе к 0,8 3/5 = 0,6 ближе к 0,8 0,8/0,8 = 1
Вопрос 10. \ (\frac{2}{5} \div 5\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{10}\)
Объяснение: 2 /5 = 0,4 ближе к 0,5 0,5/5 = 0,1 = 1/10
Вопрос 11. \(4 \div \frac{1}{7}\) _______
Ответ: 40
Объяснение : 1/7 = 0,1428 ближе к 0,1 4/0,1 = 40
Практика: копирование и решение Оцените, используя порядок операций.
Запишите ответ в простейшей форме.
Вопрос 12. \(\left(\frac{3}{5}+\frac{1}{10}\right) \div 2\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{7}{20}\)
Объяснение: 3/5 + 1/10 = 7/10 = 0,7 0,7/2 = 7/20
Вопрос 13. \ (\frac{3}{5}+\frac{1}{10} \div 2\) \(\frac{□}{□}\)
Вопрос 14. \(\frac{3}{5}+2 \div \frac{1}{10}\) _______ \(\frac{□}{□}\)
Ответ:
Объяснение: 2/(1/10) = 1/5 3/5 + 1/5 = 4/5
Вопрос 15. Обобщение Предположим, что делитель и делимое в задаче на деление равны дроби от 0 до 1, а делитель больше делимого. Является ли частное меньше, равно или больше 1? Введите ниже: __________
Ответ: Делитель и делимое — это дроби от 0 до 1 Кроме того, Делитель > Делимое Меньшее число делится на большее число Всякий раз, когда меньшее число делится на большее число, частное меньше 1 Пример: 0,5/0,6 Здесь оба числа от 0 до 1, и делитель больше делимого. Результат 0,8333, МЕНЬШЕ 1 Следовательно, ответ таков, что частное будет меньше 1
Решение проблем + Приложения – № страницы 110
Используйте таблицу для 16–19.
Вопрос 16. Кристен хочет вырезать ступеньки лестницы из 6-футовой доски. Сколько ступеней лестницы она может перерезать? _______ перекладины лестницы
Ответ: 8 перекладин лестницы
Пояснение: Кристен хочет вырезать перекладины лестницы из 6-футовой доски. перекладин лестницы = 3/4 фута 6/(3/4) = 8 перекладин
Вопрос 17. Постановка задачи Вернитесь к задаче 16. Напишите и решите новую задачу, изменив длину доски, которую разрезает Кристен. для ступеней лестницы. Введите ниже: __________
Ответ: Кристен хочет вырезать ступеньки лестницы из 9-футовой доски. Сколько ступеней лестницы она может перерезать? Кристен хочет вырезать ступеньки лестницы из 9-футовой доски. перекладины лестницы = 3/4 фута 9/(3/4) = 12 перекладин
Вопрос 18. Дэн рисует рисунок, состоящий из 8 равных частей по всей длине подоконника. Какова длина каждой части дизайна? \(\frac{□}{□}\) ярдов
Ответ: \(\frac{1}{16}\) ярдов
Пояснение: Дэн рисует рисунок, состоящий из 8 равных частей по всей длине подоконника. (1/2)/8 = 1/2 x 1/8 = 1/16 ярда
Вопрос 19. У Дэна есть доска размером \(\frac{15}{16}\) ярдов. Сколько знаков «Не входить» он сможет сделать, если длина знака будет уменьшена вдвое? _______ знаков
Ответ: 3 знака
Объяснение: У Дэна есть доска размером \(\frac{15}{16}\) ярдов. Если длина знака изменена на половину исходной длины, (5/8)/2 = 5/16 (15/16) ÷ 5/16 = 15/16 x 16/5 = 3
Вопрос 20. У Лорен есть \(\frac{3}{4}\) чашка сухофруктов. Она раскладывает сухофрукты по мешочкам, в каждый из которых входит \(\frac{1}{8}\) чашка. Сколько сумок будет использовать Лорен? Объясните свой ответ, используя слова и числа. Введите ниже: __________
Ответ: 6
Пояснение: У Лорен есть \(\frac{3}{4}\) чашка сухофруктов. Она раскладывает сухофрукты по мешочкам, в каждый из которых входит \(\frac{1}{8}\) чашка. 3/4 ÷ 1/8 = 3/4 х 8 = 6 Лорен имеет 3/4, а в 1/4 есть 2 1/8. Что 3 четверти умножить на два = 6, значит, 6 один восьмой
Разделить дроби – Страница № 111
Оценка. Затем запишите частное в простейшей форме.
Вопрос 1. \(5 \div \frac{1}{6}\) _____
Ответ: 25
Объяснение: 1/6 = 0,166 ближе к 0,2 2/0,5
Вопрос 2. \(\frac{1}{2} \div \frac{1}{4}\) _____
Ответ: 5
Объяснение: 1/2 = 0,5 ближе к 1 1/4 = 0,25 ближе к 0,2 1/0,2 = 5
Вопрос 3. \(\frac{4}{5} \div \frac{ 2}{3}\) _____ \(\frac{□}{□}\)
Ответ: 1 \(\frac{1}{5}\)
Объяснение: 4/5 = 0,8 равно ближе к 0,8 2/3 = 0,66 ближе к 0,6 0,8/0,6 = 1 1/5
Вопрос 4. \(\frac{14}{15} \div 7\) \(\frac{□ }{□}\)
Ответ: \(\frac{2}{15}\)
Объяснение: 14/15 = 0,9333 0,9/7 = 2/15
Вопрос 5. \(8 \div \frac{1}{3}\) _____
Ответ: 20
Объяснение: 1/3 = 0,33 ближе до 0,4 8/0,4 = 20
Вопрос 6. \(\frac{12}{21} \div \frac{2}{3}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{1}\)
Объяснение: 12/21 = 0,571 ближе к 0,6 2/3 = 0,666 ближе к 0,6 0,6/0,6 = 1
Вопрос 7 , \(\frac{5}{6} \div \frac{5}{12}\) _____
Ответ: 2
Объяснение: 5/6 = 0,833 ближе к 0,8 5/12 = 0,416 ближе к 0,4 0,8/0,4 = 2
8\ Вопрос }{8} \div \frac{1}{2}\) _____ \(\frac{□}{□}\)
Ответ: 1 \(\frac{2}{10}\)
Объяснение: 5/8 = 0,625 ближе к 0,6 1/2 = 0,5 ближе к 0,5 0,6/0,5 = 1,2 = 1 2/10
Вопрос 9. Радость съела \(\frac{1}{4 }\) пиццы. Если она разделит оставшуюся часть пиццы на куски, равные \(\frac{1}{8}\) пиццы для ее семьи, сколько кусков получит ее семья? _____ штук
Ответ: 6 штук
Объяснение: Пицца разделена на 4 части, Радость съела 1/4. Итак, оставшиеся части 1 – 1/4 = 3/4 теперь 3/4 пиццы и Джой разделит эту оставшуюся часть пиццы на части равные 1/8, поэтому нам нужно сделать деление (3/4) ÷ (1/8) = 24/4 = 6 штук.
Вопрос 10. У Хидэко есть \(\frac{3}{5}\) ярд ленты, чтобы повязать воздушные шары для фестиваля. Для каждого воздушного шара потребуется \(\frac{3}{10}\) ярдов ленты. Сколько воздушных шаров Хидеко может связать лентой? _____ воздушные шары
Ответ: 2 воздушных шара
Объяснение: 3/10 ярда ленты, необходимой для завязывания = 1 воздушный шар баллоны С помощью 3/5 ярда Хидеко может связать 2 воздушных шара
Решение задач
Вопрос 11. Рик знает, что 1 стакан клея весит \(\frac{1}{18}\) фунта. У него \(\frac{2}{3}\) фунт клея. Сколько у него стаканов клея? _____ чашек
Ответ: 12 чашек
Объяснение: Для 1/18 фунта, 1 чашка Для 2/3 фунта, x чашек. 1/8x = 1 x 2/3 1/8x = 2/3 x = 2/3 x 18 x = 2 x 6 = 12 чашек
Вопрос 12. У миссис Дженнингс было \(\frac{ 5}{7}\) галлонов краски. Она дала по \(\frac{1}{7}\) галлона некоторым студентам. Сколько учеников получили краску, если миссис Дженнингс отдала всю краску? _____ студентов
Ответ: 4 студента
Объяснение: У миссис Дженнингс было \(\frac{5}{7}\) галлонов краски. Она дала по \(\frac{1}{7}\) галлона некоторым студентам. \(\frac{5}{7}\) ÷ \(\frac{1}{7}\) = 25/7 = 3,571 ближе к 4
Вопрос 13. Напишите задачу на две дроби . Включите решение. Введите ниже: __________
Ответ: У миссис Дженнингс было \(\frac{5}{7}\) галлонов краски. Она дала по \(\frac{1}{7}\) галлона некоторым студентам. Сколько учеников получили краску, если миссис Дженнингс отдала всю краску? Ответ: У миссис Дженнингс было \(\frac{5}{7}\) галлонов краски. Она дала по \(\frac{1}{7}\) галлона некоторым студентам. \(\frac{5}{7}\) ÷ \(\frac{1}{7}\) = 25/7 = 3,571 ближе к 4
Проверка урока – страница № 112
Вопрос 1. Было \(\frac{2}{3}\) пиццы на 6 друзей, которых поровну поделили. Какую часть пиццы получил каждый? \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{9}\)
Объяснение: Было \(\frac{2}{3}\) из пицца для 6 друзей, чтобы разделить поровну. \(\frac{2}{3}\) ÷ 6 = 2/3 x 1/6 = 2/18 = 1/9
Вопрос 2. Рашаду нужно \(\frac{2}{3}\) фунта воска, чтобы сделать свечу. Сколько свечей он может сделать из 6 фунтов воска? _____ свечи
Ответ: 9 свечей
Пояснение: Рашаду нужно 2/3 фунта воска, чтобы сделать свечи. 1 свеча = 2/3 фунта. Итак, для 2 фунтов 3 x 2/3 = 3 свечи 2 фунта = 3 свечи 1 фунт = 3/2 свечи Итак, для 6 фунтов 6 x 3/2 = 9 свечей
Спираль Обзор
Вопрос 3. 904:45 Джереми съел \(\frac{3}{4}\) сэндвича с подводной лодкой и дал его своему другу \(\frac{1}{3}\) его. Какую часть бутерброда получил друг? \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{4}\)
Объяснение: У Джереми было \(\frac{3}{4}\) из бутерброд с подводной лодкой и дал его своему другу \(\frac{1}{3}\) его. 1/3 x 3/4 = 1/4
Вопрос 4. Черное дерево шло со скоростью 3 \(\frac{1}{2}\) миль в час за 1 \(\frac{1}{ 3 часа. Сколько она прошла? _____ \(\frac{□}{□}\)
Ответ: 4 \(\frac{2}{3}\)
Объяснение: Черное дерево шло со скоростью 3 \(\frac{1 {2}\) миль в час за 1 \(\frac{1}{3}\) часа. 3 1/2 мили = 7/2 мили … 1 час х миль = ? … 1 1/3 часа = 4/3 часа 7/2 x 4/3 = 1 x x x = 7/2 x 4/3 x = 14/3 = 4 2/3 мили Правильным результатом будет 4 2/3 мили.
Вопрос 5. Пенни использует \(\frac{3}{4}\) ярда ткани для изготовления каждой подушки. Сколько подушек она может сшить из 6 м ткани? _____ подушек
Ответ: 8 подушек
Объяснение: Пенни использует \(\frac{3}{4}\) ярдов ткани на каждую подушку, которую она делает. Используя 6 ярдов ткани 6/(3/4) = 24/3 = 8
Вопрос 6. Во время тренировки на беговой дорожке Крис пробежал 2,5 круга за 81 секунду. Каково его среднее время на круге? _____ секунд
Ответ: 32,4 секунды
Объяснение: Во время тренировки Крис пробежал 2,5 круга за 81 секунду. 81/2,5 = 32,4 секунды
Поделись и покажи — № страницы 115
Используйте модель, чтобы найти частное.
Вопрос 1. \(3 \frac{1}{3} \div \frac{1}{3}\)
_____
Ответ: 21
Объяснение: Модель 3 с 3 шестигранными блоками . Модель 1/2 с 1 трапециевидным блоком. Для 1/6, 6 треугольных блоков равны 1 шестиугольнику. Итак, треугольный блок показывает 1/6. Сосчитай треугольники. Есть 21 треугольный блок. Итак, 3 1/2 ÷ 1/6 = 21,
Вопрос 2. \(2 \frac{1}{2} \div \frac{1}{6}\)
_____
Ответ: 15
Пояснение: Модель 2 с 2 шестиугольными блоками. Модель 1/2 с 1 трапециевидным блоком. Для 1/6, 6 треугольных блоков равны 1 шестиугольнику. Итак, треугольный блок показывает 1/6. Сосчитай треугольники. Есть 15 треугольных блоков. Итак, \(2 \frac{1}{2} \div \frac{1}{6}\) = 15.
Используйте блоки шаблонов, чтобы найти частное. Затем нарисуйте модель.
Вопрос 3. \(2 \frac{2}{3} \div \frac{1}{6}\) _____
Ответ:
Объяснение: 2 2/3 = 8/3 8/3 ÷ 1/6 = 16
Вопрос 4. \(3 \frac{1}{2} \div \frac{1}{2}\) _____
Ответ:
Объяснение: 3 1/2 = 7/2 7/2 ÷ 1/2 = 7
Нарисуйте модель, чтобы найти частное.
Вопрос 5. \(3 \frac{1}{2} \div 3\) _____ \(\frac{□}{□}\)
Ответ:
Объяснение: 3 1/2 = 7/2 7/2 ÷ 3 = 21/2
Вопрос 6. \(1 \frac{1}{4} \div 2\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ:
Объяснение: 1/4 ÷ 2 = 1/2
Вопрос 7. Используйте соответствующие инструменты Объясните, как можно использовать модели для деления смешанных чисел дробями или целыми числами Введите ниже: __________
Ответ: Умножьте целую часть числа на знаменатель дроби. Добавьте это к числителю. Затем запишите результат над знаменателем.
Решение проблем + Приложения – № страницы 116
Используйте модель для решения. Затем напишите уравнение модели.
Вопрос 8. Использование моделей Элиза открывает коробку с наборами бисера. Коробка весит 2 \(\frac{2}{3}\) фунтов. Каждый комплект бусин весит \(\frac{1}{6}\) фунтов. Сколько комплектов в коробке? Что означает ответ? Введите ниже: __________
Вопрос 9. У Хасана две коробки трейловой смеси. Каждая коробка вмещает 1 \(\frac{2}{3}\) фунт смеси. Он съедает \(\frac{1}{3}\) фунтов смеси каждый день. Сколько дней Хасан может есть трейловую смесь, прежде чем она закончится? _____ дней
Ответ: 10 дней
Пояснение: У Хасана есть две коробки со смесью. Каждая коробка вмещает 1 \(\frac{2}{3}\) фунт смеси. 1 \(\frac{2}{3}\) = 5/3 2 x (5/3) = 10/3 Он съедает \(\frac{1}{3}\) фунтов смеси каждый день. 10/3 ÷ 1/3 = 10 Хассан 10 дней ел смесь, пока не закончился.
Вопрос 10. Разум или вздор? Стив сделал эту модель, чтобы показать \(2 \frac{1}{3} \div \frac{1}{6}\). Он говорит, что частное равно 7. Его ответ разумен или бессмыслица? Объясните свои рассуждения
Введите ниже: __________
Ответ: \(2 \frac{1}{3} \div \frac{1}{6}\) = 7/3 ÷ 1/6 = 14. Он сказал, что частное равно 7. Его ответ — Бред.
Вопрос 11. Ева готовит кексы для продажи на благотворительном мероприятии. У нее есть 2 \(\frac{1}{4}\) стакана муки, и по рецепту требуется \(\frac{3}{4}\) стакана муки на каждую партию кексов. Объясните, как использовать модель для определения количества партий кексов, которое может приготовить Ева. Введите ниже: __________
Ответ: 3
Пояснение: Ева готовит кексы для продажи на благотворительном мероприятии. У нее есть 2 \(\frac{1}{4}\) стакана муки, и по рецепту требуется \(\frac{3}{4}\) стакана муки на каждую партию кексов. 2 \(\frac{1}{4}\) ÷ \(\frac{3}{4}\) = 9/4 ÷ 3/4 = 3
Модель Смешанный номерной раздел – № страницы 117
Используйте модель, чтобы найти частное.
Вопрос 1. \(4 \frac{1}{2} \div \frac{1}{2}\)
_____
Ответ: 9
Пояснение: Подсчитайте количество трапеций, чтобы найти ответ.
Вопрос 2. \(3 \frac{1}{3} \div \frac{1}{6}\)
_____
Ответ: 20
Используйте шаблоны или другую модель, чтобы найти частное. Затем нарисуйте модель.
Вопрос 3. \(2 \frac{1}{2} \div \frac{1}{6}\) _____
Ответ:
Пояснение: Модель 2 с 2 шестиугольными блоками. Модель 1/2 с 1 трапециевидным блоком. Для 1/6, 6 треугольных блоков равны 1 шестиугольнику. Итак, треугольный блок показывает 1/6. Сосчитай треугольники. Есть 15 треугольных блоков. Итак, 212÷16 = 15.
Вопрос 4. \(2 \frac{3}{4} \div 2\) _____
Ответ:
Объяснение: 2 3/4 ÷ 2 = 11/2
Решение проблем
Вопрос 5. У Марти 2 \(\frac{4}{5}\) литров сока. Он наливает одинаковое количество сока в 2 бутылки. Сколько он наливает в каждую бутылку? _____ \(\frac{□}{□}\) кварты
Ответ: 1\(\frac{2}{5}\) кварты
Объяснение: У Марти 2 \(\frac{4}{ 5}\) литров сока. Он наливает одинаковое количество сока в 2 бутылки. 2 \(\frac{4}{5}\) = 14/5 = 2,8 2,8/2 = 1,4 = 1 2/5
Вопрос 6. Сколько \(\frac{1}{3}\ ) порции в фунтах составляют 4 \(\frac{2}{3}\) фунтов сыра? _____ фунтов
Ответ: 14 фунтов
Объяснение: 4 2/3 = 14/3 (14/3)/(1/3) = 14
Вопрос 7. Напишите текстовую задачу на деление смешанного числа на целое число. Решите задачу и опишите, как вы нашли ответ. Введите ниже: __________
Ответ: Сколько \(\frac{1}{3}\) фунтовых порций содержится в 4 \(\frac{2}{3}\) фунтах сыра? Объяснение: 4 2/3 = 14/3 (14/3)/(1/3) = 14
Проверка урока – страница № 118
Нарисуйте модель, чтобы найти частное.
Вопрос 1. 904:45 У Эммы есть 4 фунта птичьего корма. Она хочет разделить его поровну между 3 кормушками для птиц. Сколько птичьего корма она должна положить в каждую? _____ \(\frac{□}{□}\) фунтов
Ответ: 1\(\frac{1}{2}\) фунтов
Пояснение: У Эммы есть 4 1/2 фунта птичьего корма. Преобразуйте это в неправильную дробь. 4 1/2 = 9/2 Эмма хочет разделить его поровну между 3 кормушками для птиц. Итак, она должна поставить (9/2)/3 = 3/2 = 1 1/2
Вопрос 2. Коробка крекеров весит 11 \(\frac{1}{4}\) унций. По оценке Кадена, одна порция составляет \(\frac{3}{4}\) унции. Сколько порций в коробке? _____ порций
Вопрос 3. Экологический клуб вызвался очистить 4,8 километра шоссе. Участники организованы в 16 команд. Каждая команда очистит одинаковое количество шоссе. Сколько шоссе очистит каждая команда? _____ километров
Ответ: 0,3 км
Пояснение: Экологический клуб вызвался очистить 4,8 км шоссе. Участники организованы в 16 команд. Общая длина шоссе дается на чистку = 4,8 километра Если участники организованы в 16 команд. 4,8/16 = 0,3 Следовательно, каждая команда очистит 0,3 км шоссе.
Вопрос 4. У Тайрона $8,06. Сколько рогаликов он может купить, если каждый рогалик стоит 0,65 доллара? _____ рогалики
Ответ: 12 рогаликов
Объяснение: 8,06 долл. США/0,65 долл. США = 12,4 12 рогаликов
Вопрос 5. Гвоздь имеет толщину 0,1875 дюйма. Какова его толщина в дроби? 0,1875 дюйма ближе к \(\frac{1}{8}\) дюймам или \(\frac{1}{4}\) дюймам на числовой прямой? Введите ниже: __________
Ответ: 0,1875 = 3/16, что находится на одинаковом расстоянии от 1/4 и 1/8 Это одинаковое расстояние друг от друга.
Вопрос 6. Мария хочет найти произведение 5 \(\frac{3}{20}\) × 3 \(\frac{4}{25}\), используя десятичные дроби вместо дробей. Как она может переписать задачу, используя десятичные дроби? Тип ниже: __________
Ответ: 16.274
Объяснение: Десятичный для 5 3/20 составляет 5,15 . Десятина для 3 4/25 — 3,16 5.15 × 3.16 = 16.274
8888888 годы — No. 121
Оценка. Затем запишите частное в простейшей форме.
Вопрос 1. \(4 \frac{1}{3} \div \frac{3}{4}\) ______ \(\frac{□}{□}\)
Ответ: 5 \(\frac{375}{1000}\)
Объяснение: 4 1/3 = 13/3 = 4,333 ближе к 4,3 3/4 = 0,75 ближе к 0,8. Сколько трековой смеси получил каждый турист? \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{75}{100}\)
Объяснение: 6 туристов = 4,5 фунта смеси для тропы 4,5/6= 0,75 фунтов на каждого туриста.
Вопрос 3. \(5 \frac{2}{3} \div 3\) ______ \(\frac{□}{□}\)
Ответ: 2\(\frac{947}{ 1000}\)
Объяснение: 5 2/3 = 17/3 = 5,666 ближе к 5,6 5,6/3 = 1,866 ближе к 1,9 5,6/1,9 = 2,947 = 2 947/1000
Вопрос 4. \(7 \frac {1}{2} \div 2 \frac{1}{2}\) ______
Вопрос 6. \(5 \div 1 \frac{1}{3}\) ______ \(\frac{□} {□}\)
Ответ: 3\(\frac{84}{100}\)
Объяснение: 1 1/3 = 4/3 = 1,33 ближе к 1,3 5/1,3 = 3,84 = 3 84/100
Вопрос 7. \(6 \frac{3}{4} \div 2\) ______ \(\frac{□}{□}\)
Ответ: 3\(\frac{2}{5}\)
Объяснение: 6 3/4 = 27/4 = 6,75 ближе к 6,8 6,8/2 = 3,4 = 3 2/5
Вопрос 8. \(2 \frac{2}{9} \div 1 \frac{3}{7}\) ______ \(\frac{□}{□}\)
Ответ: 1\(\ frac{571}{1000}\)
Объяснение: 2 2/9 = 20/9 = 2,22 ближе к 2,2 1 3/7 = 10/7 = 1,428 ближе к 1,4 2,2/1,4 = 1,571 = 1 571/1000
Вопрос 9. Сколько 3 \(\frac{1}{3}\) ярдов может получить Аманда из 3 \(\frac{1}{3}\) ярдов ленты? ______
Ответ: 1
Объяснение: (3 1/3) ÷ (3 1/3) = 1
Вопрос 10. Саманта разрезала 6 \(\frac{3}{4}\) ярдов пряжи на 3 равные части. Объясните, как она могла вычислить в уме длину каждой части Введите ниже: __________
Ответ: 27/12
Объяснение: Саманта отрезала 6 \(\frac{3}{4}\) ярдов пряжу на 3 равные части. 6 3/4 = 27/4 (27/4)/3 (27/4)(1/3) = 27/12
Вычислить Алгебра Вычислить, используя порядок операций. Запишите ответ в простейшей форме.
Вопрос 15. Дина идет пешком \(\frac{1}{2}\) по легкой тропе и останавливается на перерыв каждые 3 \(\frac{1}{4}\) мили . Сколько перерывов она сделает?
а. Какую проблему вам предлагается решить? Введите ниже: __________
Ответ: Сколько остановок сделает Дина при переходе \(\frac{1}{2}\) по легкому маршруту с остановками для отдыха через каждые 3 \(\frac{1}{4}\) мили.
Вопрос 15. б. Как вы будете использовать информацию в таблице для решения задачи? Введите ниже: __________
Ответ: Дина длина легкой тропы, время перерыва
Вопрос 15. c. Как узнать расстояние, которое проходит Дина? Как далеко она ходит? ______ \(\frac{□}{□}\) миль
Вопрос 15. d. Какую операцию вы будете использовать, чтобы найти, сколько перерывов делает Дина? Введите ниже: __________
Ответ: Отдел
Вопрос 15. e. Сколько перерывов сделает Дина? ______ перерывы
Ответ: 3 перерыва
Объяснение: 39/4 ÷ 13/4 = 3
Вопрос 16. Карло упаковывает 15 \(\frac{3}{4}\) фунтов книг в 2 коробки. Каждая книга весит 1 \(\frac{1}{8}\) фунта. В коробке A на 4 книги больше, чем в коробке B. Сколько книг в коробке A? Объясни свою работу. ______ книг
Ответ: Карло упаковывает 15 \(\frac{3}{4}\) фунтов книг в 2 коробки. Каждая книга весит 1 \(\frac{1}{8}\) фунтов 15 \(\frac{3}{4}\) ÷ 1 \(\frac{1}{8}\) = 63/4 ÷ 9/8 = 14 14 книг в 2 коробках. В коробке A на 4 книги больше, чем в коробке B. В коробке A 5 + 4 = 9 книг. В коробке B 5 книг. 4}\) миль за 5 дней. Он хочет пробегать одно и то же расстояние каждый день. Джордан сказал, что Рексу придется пробегать по 3 \(\frac{3}{4}\) мили каждый день, чтобы достичь своей цели. Вы согласны с Джорданом? Объясните свой ответ, используя слова и числа. Введите ниже: __________
Ответ: Цель Рекса — пробежать 13 \(\frac{3}{4}\) миль за 5 дней. Он хочет пробегать одно и то же расстояние каждый день. 13 \(\frac{3}{4}\) ÷ 5 = 55/4 ÷ 5 = 11/4 или 2 3/4. Джордан ответ неверен
Разделить смешанные числа – № страницы 123
Оценка. Затем запишите частное в простейшей форме.
Вопрос 1. \(2 \frac{1}{2} \div 2 \frac{1}{3}\) ______ \(\frac{□}{□}\)
Ответ: 1\(\frac{1}{2}\)
Объяснение: 2 1/2 = 5/2 = 2,5 ближе к 3 2 1/3 = 7/3 = 2,333 ближе к 2 3/2 = 1,5 = 1 1/2
Вопрос 2. \(2 \frac{2}{3} \div 1 \frac{1}{3}\) ______
Ответ: 2
Объяснение: 2 2/3 = 8/3 = 2,666 ближе к 2,6 1 1/3 = 4/3 = 1,333 ближе к 1,3 2,6/1,3 = 2
Вопрос 3. \(2 \div 3 \frac{5}{8}\) \(\frac {□}{□}\)
Ответ: \(\frac{1}{2}\)
Объяснение: 3 5/8 = 29/8 = 3,625 ближе к 3,6 2/3,6 = 0,5 = 1/2
Вопрос 4. \(1 \frac{13}{15} \div 1 \frac{2} {5}\) \(\frac{□}{□}\)
Ответ: \(\frac{126}{100}\)
Объяснение: 1 13/15 = 28/15 = 1,8666 ближе к 1,9 1 2/5 = 7/5 = 1,4 ближе к 1,5 1,9/1,5 = 1,266 126/100
Вопрос 5. \(10 \div 6 \frac{2}{3}\ ) ______ \(\frac{□}{□}\)
Ответ: 1\(\frac{1}{2}\)
Объяснение: 6 2/3 = 20/3 = 6,666 ближе к 6,7 10/6,7 = 3/2 = 1 1/2
Вопрос 6. \(2 \frac{3}{5} \div 1 \frac {1}{25}\) ______ \(\frac{□}{□}\)
Ответ: 2\(\frac{3}{5}\)
Объяснение: 2 3/5 = 13/5 = 2,6 1 1/25 = 26/25 = 1,04 ближе к 1 2,6/1 = 13/5 или 2 3/5
Вопрос 7. \(2 \frac{1}{5} \div 2\) ______ \(\frac{□}{□}\)
Ответ: 1\(\frac{1}{10}\)
Объяснение: 2 1/5 = 11/5 = 2,2 ближе к 2,2 2,2/2 = 1,1 = 11/10 = 1 1/10
Вопрос 8. Сид и Джилл прошли 4 \(\frac{1}{8}\) мили утром и 1 \(\frac{7 {8}\) миль во второй половине дня. Во сколько раз они прошли утром больше, чем днем? ______ \(\frac{□}{□}\) раз
Ответ: 2\(\frac{1}{5}\) раз
Объяснение: Сид и Джилл прошли пешком 4 \(\frac{1 {8}\) миль утром и 1 \(\frac{7}{8}\) миль днем. 4 \(\frac{1}{8}\) = 33/8 1 \(\frac{7}{8}\) = 15/8 (33/8) ÷ (15/8) = 33/15 = 11/5 или 2 1/5
Решение проблем
Вопрос 9. Требуется 2 ним \(\frac{2}{3 }\) часов, чтобы сплести корзину. Работал с понедельника по пятницу по 8 часов в день. Сколько корзин он сделал? ______ корзин
Ответ: 15 корзин
Объяснение: он работал (пн-пт) 5 дней по 8 часов в день = 5 × 8= 40 часов 40/(2 2/3) = 40/(8 /3) = 40 × 3/8 = 120/8 = 15 корзин
Вопрос 10. Дерево растет на 1 \(\frac{3}{4}\) фута в год. Сколько времени понадобится дереву, чтобы вырасти с высоты 21 \(\frac{1}{4}\) фута до высоты 37 футов? ______ лет
Ответ: 9 лет
Пояснение: Дерево растет на 1 3/4 = 7/4 фута в год. Если вы хотите знать, сколько времени потребуется дереву, чтобы вырасти с высоты 21 1/4 = 85/4 фута до высоты 37 футов, 37 – 21 1/4 = 37 – 85/4 = 148/4 – 85/4 = 63/4 = 15 3/4 15 3/4 / 1 3/4 = 63/4 / 7/4 = 63/4 × 4/7 = 9 лет
Вопрос 11. Объясните, как найти количество порций по 1 \(\frac{1}{2}\) чашек в кастрюле с 22 \(\frac{1}{2}\) чашками супа. Введите ниже: __________
Ответ: Учитывая, что общее количество чашек = 22 1/2 Количество чашек, необходимое для каждой порции = 1 1/2 Количество порций = 22 1/2 ÷ 1 1 /2 = 45/2 ÷ 3/2 = 45/3 = 15. }\) квадратные метры. Каждая доска на заборе имеет площадь \(\frac{3}{16}\) квадратных метров. Сколько досок он может покрасить? ______ доски
Ответ: 200 досок
Пояснение: У Тома есть банка краски, которой покрывается 37 \(\frac{1}{2}\) квадратных метров. Каждая доска на заборе имеет площадь \(\frac{3}{16}\) квадратных метров. 37 \(\frac{1}{2}\) ÷ \(\frac{3}{16}\) = 200 квадратных метров
Вопрос 2. Пекарь хочет положить 3 \(\frac{3} {4}\) фунтов яблок в каждом пироге, который она делает. Она купила 52 \(\frac{1}{2}\) фунтов яблок. Сколько пирогов она может испечь? ______ пирогов
Ответ: 14 пирогов
Пояснение: Пекарь хочет положить 3 \(\frac{3}{4}\) фунтов яблок в каждый пирог, который она испечет. Она купила 52 \(\frac{1}{2}\) фунтов яблок. 52 \(\frac{1}{2}\) ÷ 3 \(\frac{3}{4}\) = 14 кругов
Обзор спирали
Вопрос 3. Мера трех сторон треугольника 9,97 метра, 10,1 метра и 0,53 метра. Каково расстояние вокруг треугольника? ______ метров
Ответ: 20,6 метра
Объяснение: Расстояние вокруг треугольника называется периметром, чтобы получить его, мы должны сложить 3 стороны. Итак, 9,97 + 10,1 + 0,53 = 20,6 метра
Вопрос 4. Селена купила 3,75 фунта мяса по цене 4,64 доллара за фунт. Какова общая стоимость мяса? $ ______
Ответ: $17,40
Пояснение: Селена купила 3,75 фунта мяса. Стоимость одного фунта мяса = 4,64 доллара Общая стоимость мяса = 4,64 × 3,75 = 17,40 доллара Общая стоимость 3,75 фунта мяса составила 17,40 доллара.
Вопрос 5. Мелани приготовила 7 \(\frac{1}{2}\) столовых ложек смеси специй. Она использует \(\frac{1}{4}\) столовую ложку, чтобы приготовить порцию соуса для барбекю. Оцените, сколько порций соуса для барбекю она может приготовить, используя смесь специй. Введите ниже: __________
Ответ: 30 порций соуса
Объяснение: Мелани приготовила 7 \(\frac{1}{2}\) столовых ложек смеси специй. Она использует \(\frac{1}{4}\) столовую ложку, чтобы приготовить порцию соуса для барбекю. 4 х 1/4 ст.л. = 1 ст.л. 4 X 7 1/2 = 30. она может приготовить 30 порций соуса
Вопрос 6. Артуро смешал 1,24 фунта кренделей, 0,78 фунта орехов, 0,3 фунта конфет и 2 фунта попкорна. Затем он упаковал его в пакеты по 0,27 фунта каждый. Сколько мешков он мог заполнить? ______ пакетов
Вопрос 1. В классе научных принадлежностей есть \(\frac{4}{5}\) фунтов песка . Если одна ложка песка весит \(\frac{1}{20}\) фунтов, сколько ложек песка Мария может получить из классных принадлежностей и оставить \(\frac{1}{2}\) фунтов в запасы? Введите ниже: __________
Ответ: 16 мерных ложек
Объяснение: В классе научных принадлежностей есть \(\frac{4}{5}\) фунтов песка. Если одна ложка песка весит \(\frac{1}{20}\) фунтов, \(\frac{4}{5}\) ÷ \(\frac{1}{20}\) = 4/5 × 1/20 = 16 мерных ложек
Вопрос 2. Что, если Мария уйдет \(\ frac{2}{5}\) фунтов песка в запасах? Сколько ложек песка она может получить? ______ мерных ложек
Ответ: 8 мерных ложек
Объяснение: В школьных принадлежностях есть \(\frac{2}{5}\) фунтов песка. Если один совок песка весит \(\frac{1}{20}\) фунтов, \(\frac{2}{5}\) ÷ \(\frac{1}{20}\) = 2/5 × 20 = 8
Вопрос 3. В научных запасах есть 6 галлонов дистиллированной воды. Если 10 студентов используют равное количество дистиллированной воды и в запасах остается 1 галлон, сколько получит каждый студент? \(\frac{□}{□}\) галлон
Ответ: \(\frac{1}{2}\) галлон
Объяснение: В научных запасах есть 6 галлонов дистиллированной воды. В расходных материалах остался 1 галлон, 6 – 1 = 5 10 учащихся используют равное количество дистиллированной воды = 5/10 = 1/2 0,5 галлона на каждого ученика
Самостоятельно – Номер страницы 128
Вопрос 4. Общий вес рыбы в аквариуме с тропическими рыбами в Fish ‘n’ Fur составлял \(\frac{7}{8}\) фунтов. Каждая рыба весила \(\frac{1 }{64}\) фунтов. После того, как Эрик купил немного рыбы, общий вес рыбы, оставшейся в аквариуме, составил \(\frac{1}{2}\) фунтов. Сколько рыбы купил Эрик? ______ рыба
Ответ: 386 рыба
Объяснение: Общий вес рыбы в аквариуме с тропическими рыбами в Fish ‘n’ Fur составлял \(\frac{7}{8}\) фунтов. Каждая рыба весила \(\frac{1}{64}\) фунтов. После того, как Эрик купил немного рыбы, общий вес рыбы, оставшейся в аквариуме, составлял \(\frac{1}{2}\) фунтов. 386 ответ
Вопрос 5. У Fish ‘n’ Fur была корзина, содержащая 2 \(\frac{1}{2}\) фунтов корма для песчанок. После продажи мешков с кормом для песчанок, каждый из которых содержал \(\frac{3}{4}\) фунтов, в мусорном ведре осталось \(\frac{1}{4}\) фунтов корма. Если каждый мешок корма для песчанок будет продаваться по 3,25 доллара, сколько заработает магазин? $ ______
Ответ: $9,75
Объяснение: Магазин заработает 9,75$, потому что продано 3 мешка корма для песчанок. Тогда вы должны умножить 3 на 3,25.
Вопрос 6. Описать Нико купил 2 фунта собачьих лакомств. Он давал своей собаке \(\frac{3}{5}\) фунтов лакомств одну неделю и \(\frac{7}{10}\) фунтов лакомств на следующей неделе. Опишите, как Нико может узнать, сколько осталось. Введите ниже: __________
Ответ: Нико купил 2 фунта собачьих лакомств. Он давал своей собаке \(\frac{3}{5}\) фунтов лакомств одну неделю и \(\frac{7}{10}\) фунтов лакомств на следующей неделе. Найдем количество собачьего корма, съеденного собаками за два месяца. 3/5 + 7/10 = 13/10 Теперь мы вычтем количество еды, съеденной собакой, из первоначального количества еды, чтобы найти оставшееся количество собачьей еды. 2 – 13/10 = 7/10 Таким образом, к концу двух месяцев в мешке оставалось 7/10 фунтов еды.
Вопрос 7. В контейнере было 14 \(\frac{1}{4}\) чашек яблочного сока. Каждый день Элиза выпивала 1 \(\frac{1}{2}\) чашки яблочного сока. Сегодня осталось \(\frac{3}{4}\) стакана яблочного сока. Дерек сказал, что Элиза пила яблочный сок девять дней. Вы согласны с Дереком? Используйте слова и числа, чтобы объяснить свой ответ. Введите ниже: __________
Ответ: Дерек прав.
Объяснение: Яблочного сока в контейнере было 14 1/2 = 14,25 Она выпила за день 1 1/2 = 1,5 Оставшаяся часть в контейнере 3/4 = 0,75 14,25 чашки – 0,75 чашки = 13,5 чашек 13,5 чашек ÷ 1,5 чашек в день= 9 дней
Решение задач Дробные операции – Страница № 129
Прочитайте каждую задачу и решите.
Вопрос 1. Осталось \(\frac{2}{3}\) пиццы. Группа друзей разделила оставшуюся пиццу на части, каждая из которых равна \(\frac{1}{18}\) исходной пиццы. После того, как каждый друг взял по одному кусочку, осталось \(\frac{1}{6}\) исходной пиццы. Сколько друзей было в группе?
______ друзей
Ответ: 9 друзей
Объяснение: Допустим, есть x друзей. Каждый получает 1/18 часть исходной пиццы, но в свою очередь остается 1/6 из оставшихся 2/3. 1x/18 = 2/3 – 1/6 x = 12 – 3 = 9
Вопрос 2. В поделке Сары используются отрезки пряжи длиной \(\frac{1}{8}\) ярдов. У нее есть отрезок пряжи длиной 3 метра. Сколько \(\frac{1}{8}\) -ярдовых кусков она может отрезать, и при этом остается 1 \(\frac{1}{4}\) ярдов? ______ шт.
Ответ: 14 шт.
Пояснение: В поделке Сары используются отрезки пряжи длиной \(\frac{1}{8}\) ярдов. У нее есть отрезок пряжи длиной 3 метра. Если она оставила 1 \(\frac{1}{4}\) ярда, 3 – 1 \(\frac{1}{4}\) = 7/4 7/4 ÷ \(\frac{1 }{8}\) = 14
Вопрос 3. Алекс открывает литровую банку апельсинового масла. Он намазывает \(\frac{1}{16}\) масла на свой хлеб. Затем он делит оставшееся масло на \(\frac{3}{4}\) литровые емкости. Сколько \(\frac{3}{4}\) литровых контейнеров он может заполнить? ______ \(\frac{□}{□}\) контейнеров
Ответ: 1\(\frac{1}{4}\) контейнеров
Объяснение: Алекс открывает 1-пинтовый контейнер апельсинового масла. Он намазывает \(\frac{1}{16}\) масла на свой хлеб. 1 – 1/16 = 15/16 Затем он делит оставшееся масло на \(\frac{3}{4}\) литровые емкости. (15/16) ÷ (3/4) = 5/4 = 1 1/4
Вопрос 4. Кейтлин покупает \(\frac{9}{10}\) фунт апельсиновых долек. Она съедает \(\frac{1}{3}\) из них, а остальные делит поровну на 3 мешка. Сколько в каждом мешке? ______ lb
Ответ: 17/90 lb
Объяснение: Кейтлин покупает \(\frac{9}{10}\) фунт апельсиновых долек. Она съедает \(\frac{1}{3}\) из них, а остальные делит поровну на 3 мешка. Если она начинает с 9/10 фунтов и съела 1/3 из них, 9/10 – 1/3 = 17/30 Это количество, которое у нее осталось. Давайте разделим это значение на 3, чтобы узнать, сколько фунтов в одном мешке. (17/30)/3 = 17/90 В одном мешке 17/90 фунтов.
Вопрос 5. Объясните, как нарисовать модель, представляющую \(\left(1 \frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right) \div \frac{1}{8} \). Введите ниже: __________
Ответ: Разделите 2 такта на 8 четвертей. Ниже этого рисунка на 1 1/4 или 5 четвертей. Удалить 1/2 или 2 четверти Разделить каждую из 3 оставшихся четвертей на 2 восьмых
Вопрос 1. Ева хотела наполнить мешки \(\frac{3}{4}\) фунтами смеси. Она начала с 11 \(\frac{3}{8}\) фунтов, но съела \(\frac{1}{8}\) фунтов, прежде чем начала набивать мешки. Сколько мешков она могла заполнить? ______ пакетов
Ответ: 15 пакетов
Объяснение: 11 и 3/8-1/8=11 и 2/8=11 и 1/4 3/4 x пакетов=11 и 1/4 преобразовать 11 и 1/4 в неправильную дробь 11 и 1/4 = 11 + 1/4 = 44/4 + 1/4 = 45/4 3/4 x мешков = 45/4 x мешков = 45/ 4 × 4/3 = 15 мешков она могла бы заполнить 15 мешков
Вопрос 2. У Джона есть рулон, содержащий 24 \(\frac{2}{3}\) фута оберточной бумаги. Он хочет разделить его на 11 частей. Однако сначала он должен отрезать \(\frac{5}{6}\) ногу, потому что она была разорвана. Какой длины будет каждая часть? ______ \(\frac{□}{□}\) футов
Ответ: 2\(\frac{4}{25}\) футов
Объяснение: У Джона был рулон оберточной бумаги = 24 2/ 3 = 74/3 Во-первых, он должен отрезать 5/6 фута, потому что он был разорван. Он хочет разделить его на 11 частей. 74/3 – 5/6 Принимая НОК 3 и 6 равно 6 (148-5)/6 = 143/6 = 23,83 фута Он хочет разделить его на 11 частей. длина каждой детали = 23,83/11 = 2,16 фута
Spiral Review
Вопрос 3. У Алексис есть 32 \(\frac{2}{5}\) унций бус. Сколько ожерелий она может сделать, если каждое из них использует 2 \(\frac{7}{10}\) унций бус? ______ ожерелья
Ответ: 12 ожерелий
Пояснение: У Алексис 32 \(\frac{2}{5}\) унций бус. Если каждый использует 2 \(\frac{7}{10}\) унций бус, 32 \(\frac{2}{5}\) × 2 \(\frac{7}{10}\) 32 \(\frac{2}{5}\) = 162/5 2 \(\frac{7}{10}\) = 27/10 162/5 × 27/10 = 12 ожерелий
Вопрос 4. У Джозефа есть 32,40 доллара. Он хочет купить несколько комиксов по 2,70 доллара каждый. Сколько комиксов он может купить? ______ комиксы
Ответ: 12 комиксов
Пояснение: У Джозефа есть 32,40 доллара. Он хочет купить несколько комиксов по 2,70 доллара каждый. $32,40/$2,70 = 12 комиксов
Вопрос 5. Прямоугольник имеет ширину 2 \(\frac{4}{5}\) метра и длину 3 \(\frac{1}{2}\) метра. Какова его площадь? ______ \(\frac{□}{□}\) м 2
Для номеров 3a–3d выберите True или False для каждого утверждения. 3а. Дуб самый низкий. Верно Неверно 3b. Береза самая высокая. Верно Неверно 3c. Два дерева одинаковой высоты. Верно Неверно 3d. Платан выше клена. Верно Неверно Введите ниже: __________
Ответ: 3a. Дуб самый низкий. Правда 3б. Береза самая высокая. Ложный 3c. Два дерева одинаковой высоты. Ложь 3d. Платан выше клена. Ложь
Вопрос 4. Для номеров 4a–4d выберите Да или Нет, чтобы указать, верно ли утверждение.
4а. Точка А представляет 1,0. Да Нет 4б. Точка B представляет \(\frac{3}{10}\). Да Нет 4c. Точка С представляет 6,5. Да Нет 4д. Точка D представляет \(\frac{4}{5}\). Да Нет Введите ниже: __________
Ответ: 4а. Точка А представляет 1,0. Да 4б. Точка B представляет \(\frac{3}{10}\). Да 4с. Точка С представляет 6,5. № 4д. Точка D представляет \(\frac{4}{5}\). Да
Вопрос 5. Выберите значения, эквивалентные одной двадцать пятой. Отметьте все подходящие варианты. Опции: а. 125 б. 25 г. 0,04 г. 0,025
Ответ: c. 0,04
Объяснение: одна двадцать пятая = 1/25 = 0,04
Вопрос 6. В таблице показано домашнее задание Лили. Учитель Лили велел классу упростить каждое выражение, разделив числитель и знаменатель на НОК. Заполните таблицу, упростив каждое выражение и найдя произведение.
Введите ниже: ___________
Ответ: a. Упрощенное выражение: 1/10 Продукт: 0,1 b. Упрощенное выражение: 1/2 Продукт: 0,5 c. Упрощенное выражение: 15/56 Произведение: 0,267 d. Упрощенное выражение: 1/12 Продукт: 0,083
Объяснение: а. 2/5 × 1/4 = 2/20 Упростите, используя GCF. GCF 2 и 20 равен 2. Разделите числитель и знаменатель на 2. Таким образом, ответ равен 1/10. Продукт: 0,1 б. 4/5 × 5/8 = 1/2 Произведение: 0,5 c. 3/7 × 5/8 = 15/56 Произведение: 0,267 d. 4/9 × 3/16 = 1/12 Продукт: 0,083
Номер страницы 133
Вопрос 7. Две пятых рыб в аквариуме Гэри — гуппи. Четвертая часть гуппи рыжая. Какую часть рыб в аквариуме Гэри составляют красные гуппи? Какая часть рыб в аквариуме Гэри не является красными гуппи? Показать свою работу. Введите ниже: ___________
Ответ: 1/10 часть рыбок — красные гуппи. и 9/10 рыбок не красные гуппи.
Пояснение: две пятых рыбы в аквариуме Гэри — гуппи. Четверть гуппи рыжие. Пусть общее количество рыб в аквариуме Гэри равно x. Известно, что две пятых рыб в аквариуме Гэри составляют гуппи. Итак, количество гуппи в аквариуме Гэри равно 2/5 × x Учитывая, что четверть гуппи красные. количество красных гуппи = 1/4 × 2x/5 = x/10 Итак, 1/10 рыбок составляют красные гуппи. 1 – 1/10 = 9/10 рыбок не красные гуппи.
Вопрос 8. Треть учащихся средней школы Финли занимаются спортом. Две пятых учащихся, занимающихся спортом, составляют девочки. Какую часть всех учащихся составляют девушки, занимающиеся спортом? Используйте числа и слова, чтобы объяснить свой ответ. Введите ниже: ___________
Ответ: Треть учащихся средней школы Финли занимаются спортом. Две пятых учащихся, занимающихся спортом, составляют девочки. 1/3 × 2/5 = 2/15 девочек в школе занимаются спортом.
Вопрос 9. Нарисуйте модель, чтобы найти частное. \(\frac{3}{4}\) ÷ 2 = \(\frac{3}{4}\) ÷ \(\frac{3}{8}\) = Чем похожи ваши модели? Насколько они разные? Введите ниже: ___________
Ответ:
Объяснение: \(\frac{3}{4}\) ÷ 2 = 3/4 × 1/2 = 3/8 \(\frac{3} {4}\) ÷ \(\frac{3}{8}\) = 3/4 × 8/3 = 2 Обе модели умножают на 3/4. Модель с числовыми линиями показывает, сколько групп чисел 3/8 содержится в числе 3/4.
Вопрос 10. Объясните, как использовать модель для нахождения частного. 2 \(\frac{1}{2}\) ÷ 2 = Введите ниже: ___________
Вопрос 13. У Софи есть \(\frac{3}{4}\) литр лимонада. Если она разделит лимонад на стаканы вместимостью \(\frac{1}{16}\) кварты, сколько стаканов сможет наполнить Софи? Покажи свою работу _______ стаканов
Ответ: 12 стаканов
Объяснение: Пусть x будет количеством стаканов 1/16x = 3/4 x = 3/4 × 16 = 3 × 4 = 12 стаканов
Вопрос 14. Чернильные картриджи весят \(\frac{1}{8}\) фунтов. Общий вес патронов в коробке составляет 4 \(\frac{1}{2}\) фунта. Сколько патронов в коробке? Покажите свою работу и объясните, почему вы выбрали ту операцию, которую сделали. _______ патронов
Ответ: 36 патронов
Объяснение: Вес чернильных картриджей = 1/8 фунта Общий вес картриджей в коробке = 4 1/2 = 9/2 фунта Таким образом, количество картриджей в коробке определяется как 9/2 ÷ 1/8 = 36 Следовательно, в коробке 36 патронов.
Вопрос 15. У Бет был 1 ярд ленты. Она использовала двор \(\frac{1}{3}\) для проекта. Она хочет разделить оставшуюся часть ленты на куски длиной \(\frac{1}{6}\) ярдов. Сколько \(\frac{1}{6}\) ярдов лент она может сделать? Объясните свое решение. _______ штук
Ответ: 4 штуки
Пояснение: У Бет был 1 ярд ленты. Она использовала двор \(\frac{1}{3}\) для проекта. 1 – \(\frac{1}{3}\) = осталось 2/3 ярда Она хочет разделить оставшуюся часть ленты на части длиной \(\frac{1}{6}\) ярда. 2/3 ÷ 1/6 = 4
Номер страницы 135
Вопрос 16. Заполните таблицу, найдя продукты. Затем ответьте на вопросы в частях A и B.
Часть A Объясните, в чем сходство каждой пары задач на деление и умножение и чем они отличаются. Введите ниже: ___________
Ответ: 1/5 ÷ 3/4 = 4/15; 1/5 × 4/3 = 4/15 2/13 ÷ 1/5 = 10/13; 2/13 × 5/1 = 10/13 4/5 ÷ 3/5 = 4/3; 4/5 × 5/3 = 4/3 произведение каждой пары задач на деление и умножение одинаковы. Они отличаются от выполняемой операции.
Вопрос 16. Часть B Объясните, как использовать образец в таблице, чтобы переписать задачу на деление, включающую дроби, как задачу на умножение. Введите ниже: ___________
Ответ: Во-первых, поскольку это деление, вы должны изменить вторую дробь, которая называется обратной. Это означает, что вторую дробь нужно перевернуть, прежде чем вы сможете умножать дроби.
Страница № 136
Вопрос 17. Марджи прошла 17 \(\frac{7}{8}\) миль. Она останавливалась каждые 3 \(\frac{2}{5}\) миль, чтобы сделать снимок. Мартин и Тина подсчитали, сколько раз Марджи останавливалась.
Кто лучше оценил? Используйте числа и слова, чтобы объяснить свой ответ. Введите ниже: ___________
Ответ: Марджи прошла тропу длиной 17 7/8 миль. Расстояние, пройденное Марджи = 17 7/8 = 143/8 мили. Она останавливалась каждые 3 2/5 мили, чтобы сделать снимок = 17/5 мили Количество снимков = (143/8) ÷ (17/5) = 715/136 = 5,28 Таким образом, она может сделать максимум 6 снимков и не менее 5 фотографий. Б — правильный ответ.
Вопрос 18. Брэд и Уэс строят дом на дереве. Они разрезали кусок дерева длиной 12 \(\frac{1}{2}\) на 5 кусков одинаковой длины. Какой длины каждый кусок дерева? Показать свою работу. _______ \(\frac{□}{□}\) фут
Ответ: 2 \(\frac{1}{2}\) фут
Объяснение: Брэд и Уэс отрезали 12 1/2-футовый кусок дерева на 5 одинаковых по длине. Пусть длина 1 детали будет x Итак, длина 5 деталей = 5x Общая длина древесины = 25/2 5x = 25/2 x = 5/2 = 2 1/2
Свободный класс 6 HMH Ключ к ответу на вопросы по математике в формате PDF Скачать
Вы можете бесплатно скачать ключ для ответов на вопросы по математике для 6-го класса в формате PDF с нашей страницы. Получите бесплатный доступ ко всем вопросам и объяснениям на нашем веб-сайте. Получите все вопросы, ответы вместе с пояснениями. Скачать бесплатно pdf-файл Go Math Class 6 Answer Key.
Обучение отношениям и единицам измерения в математике
Сердцем математики в средней школе и ключевой частью подготовки к алгебре является понимание отношений и значений. Приведенный ниже обзор и уроки представляют собой инструменты для подготовки учащихся, обычно 6-х классов и старше, к изучению этих концепций. Уроки ниже, как правило, охватывают два дня обучения.
Отношения и коэффициенты
Отношение представляет собой сравнение двух чисел или измерений. Сравниваемые числа или измерения иногда называют 9.0003 условия отношения. Например, если в магазине продается 6 красных и 8 зеленых рубашек, соотношение красных и зеленых рубашек составляет 6 к 8. Вы можете записать это соотношение как 6 красных/8 зеленых, 6 красных:8 зеленых — или при быстром или быстром письме. пытаясь донести суть — просто 6/8 или 6:8. Оба выражения означают, что «на каждые» 8 зеленых рубашек приходится 6 красных. Обратите внимание, как вы можете переписать 6/8 как 3/4, что ничем не отличается от любого другого случая, когда математическое понятие может отображаться как дробь.
Курс — это особый коэффициент, в котором два члена выражены в разных единицах. Например, если банка кукурузы на 12 унций стоит 69¢, курс составляет 69 центов за 12 унций. Это не соотношение двух одинаковых единиц, таких как рубашки. Это соотношение двух разных единиц: центов и унций. Первый член отношения (69 центов) измеряется в центов , а второй член (12) в унций . Вы можете записать этот курс как 69 центов/12 унций или 69 центов:12 унций. Оба выражения означают, что вы платите 69 центов «за каждые» 12 унций кукурузы, и, как и в случае с коэффициентом рубашки, вы можете вводить расчеты как дробь 69/12. Но обратите внимание, что на этот раз создается новый юнит: центов в час .
Ставки используются людьми каждый день, например, когда они работают 40 часов в неделю или получают процентов каждый год в банке. Когда скорости выражаются как количество 1, например, 2 фута в секунду (то есть за 1 секунду) или 5 миль в час (то есть за 1 час), они могут быть определены как единиц скорости . Вы можете записать любую ставку как единицу, уменьшив дробь так, чтобы она имела 1 в качестве знаменателя или второго члена. В качестве примера удельной стоимости вы можете показать, что удельная стоимость 120 студентов на каждые 3 автобуса составляет 40 студентов на автобус.
120/3 = 40/1
Вы также можете найти удельную ставку, разделив первый член отношения на второй член.
120 ÷ 3 = 40
Когда цена выражается как количество 1, например, 25 долларов за билет или 0,89 доллара за банку, это называется ценой за единицу . Если у вас есть неединичная цена, например 5,50 доллара за 5 фунтов картофеля, и вы хотите найти цену за единицу, разделите члены отношения.
5,50 долл. США ÷ 5 фунтов = 1,10 долл. США за фунт
Цена за единицу картофеля стоимостью 5,50 долларов США за 5 фунтов составляет 1,10 долларов США за фунт.
Ставки в реальном мире
Ставки и удельные ставки используются для решения многих реальных задач. Посмотрите на следующую проблему. «Тоня работает по 60 часов каждые 3 недели. При таком уровне, сколько часов она будет работать за 12 недель?» Задача говорит вам, что Тоня работает из расчета 60 часов каждые 3 недели. Чтобы найти количество часов, которое она проработает за 12 недель, напишите отношение, равное 60/3, которое имеет второй член, равный 12.
60/3 = ?/12 60/3 = 240/12
Удаление единиц облегчает просмотр расчета. Однако важно помнить о единицах измерения при интерпретации нового соотношения.
Тоня будет работать 240 часов за 12 недель.
Вы также можете решить эту задачу, сначала найдя удельный расход и умножив его на 12.
60/3 = 20/120 × 12 = 240
Когда вы найдете равные отношения, важно помнить, что если вы умножаете или делите один член отношения на число, то вам нужно умножить или разделить другой член отношения на то же число.
Давайте рассмотрим задачу, связанную с ценой за единицу товара. «Вывеска в магазине гласит: 3 ручки за 2,70 доллара . Сколько будут стоить 10 ручек?» Чтобы решить эту задачу, найдите цену за единицу ручек, затем умножьте на 10.
2,70 долл. США ÷ 3 ручки = 0,90 долл. США за ручку 0,90 долл. США × 10 ручек = 9,00 долл. США
Нахождение стоимости одной единицы позволяет вам найти стоимость любого количества единиц.
Что такое единица измерения в математике?
Ваши учащиеся, несомненно, сталкивались с нормами и соотношениями раньше (видели ли они знак ограничения скорости?), но это может помочь им просмотреть эти понятия перед решением задач, в которых они используются.
Стандарт: Понимать концепцию удельной ставки a / b , связанную с отношением a : b с b ≠ 0. (6.RP.A.2)
3 Необходимые навыки и понятия:
Учащиеся должны иметь общее представление о пропорциях, о том, как их записывать, и уметь упрощать пропорции. Студенты также должны иметь возможность работать с дробями и находить эквивалентные дроби.
Произнесите: Сегодня мы рассмотрим особый тип коэффициента, называемый ставкой. Кто-нибудь знает, что я имею в виду под тарифом? Учащиеся могут сказать, что скорость – это соотношение, в котором сравниваемые количества используют разные единицы измерения, такие как доллары и унции или мили и часы. Студенты могут использовать распространенные английские синонимы для rate , такие как speed . Если это так, укажите, что скорость означает вычисление скорости движения путем сравнения расстояния со временем, например миль с часами. Если необходимо, объясните, что такое ставка.
Скажите: Тарифы часто встречаются в повседневной жизни. Цены в продуктовых магазинах и универмагах часто являются тарифами. Тарифы также используются при ценообразовании бензина или билетов, измерении скорости или оплате почасовой оплаты труда и ежемесячных сборов. Предложите учащимся подумать о других примерах ставок. В дополнение к обычным примерам из реальной жизни поощряйте глупые или необычные расценки, такие как артисты хип-хопа за почтовый индекс или бриллиантовые ошейники за чихуахуа.
Скажем: Две важные идеи — это тарифы за единицу и цены за единицу. В чем разница между тарифом и тарифом за единицу? Или цена и цена за единицу? У кого-нибудь есть идеи? Учащиеся, вероятно, не знают, что такое ставка за единицу, поэтому дайте им следующее объяснение, чтобы объяснить соотношение между ставкой и ставкой за единицу.
Скажем: Единица означает один чего-то. Ставка за единицу означает ставку за что-то одно. Запишем это как отношение со знаменателем, равным единице. Например, если вы пробежали 70 ярдов за 10 секунд, вы пробежали в среднем 7 ярдов за 1 секунду. Оба соотношения, 70 ярдов за 10 секунд и 7 ярдов за 1 секунду, являются нормами, но 7 ярдов за 1 секунду — это 9.0003 единица скорость.
Спросите: Теперь, когда вы знаете, что такое цена за единицу, как вы думаете, что такое цена за единицу? Студенты скажут, что это цена одного предмета. Если нет, скажите им, что это такое.
Спросите: Какова цена за единицу 10 фунтов картофеля, который стоит 2,80 доллара? Помогите учащимся подсчитать, что цена за единицу составляет 0,28 доллара за фунт, разделив цену на 10.
Поделитесь следующей задачей: «В одном магазине морковь продается по 1,14 доллара за 3 фунта, а в другом магазине морковь продается по 0,78 доллара за два фунта. фунты. В каком магазине выгоднее?»
Спросите: Что мы пытаемся найти в этой задаче? Студенты должны сказать, что мы пытаемся выяснить, какая морковь выгоднее, когда думаем о стоимости каждой моркови.
Спросите: Что поможет нам найти лучшее предложение? Учащиеся должны сказать, что если мы найдем цену за единицу моркови в каждом магазине, то узнаем, что выгоднее.
Скажите: Найдите цены за единицу моркови в обоих магазинах, и тогда мы обсудим, что вы сделали. Предложите учащимся самостоятельно рассчитать цену за единицу товара и ответить, в каком магазине выгоднее. Сравните, как разные учащиеся выполняли расчеты, и предложите учащимся обсудить сходства и различия между моделями, которые они использовали, и найденными решениями. Допускайте разные варианты ответов, например: «Во втором магазине было лучшее предложение для меня, потому что я все равно хотел бы только две морковки». Если позволяет время, предложите учащимся также решить следующую задачу. «Одно животное может пробежать 60 футов за 4 секунды, а другое животное может пробежать 100 футов за 8 секунд. Какое животное бегает быстрее?» (Первое животное бегает быстрее со скоростью 15 футов в секунду.)
Развитие концепции: коэффициенты
Теперь, когда учащиеся знают, как найти удельный вес, они узнают, как найти эквивалентный коэффициент, используя удельные коэффициенты. Для поиска эквивалентных отношений используется тот же мыслительный процесс, что и для поиска эквивалентных дробей.
Стандарт: Используйте рассуждения об отношении и скорости, чтобы найти эквивалентные отношения и решить реальные задачи (6.RP.A.3)
Произнесите: До того, как мы научились находить норму единицы. Теперь мы узнаем, как использовать эту единичную скорость для решения задач. Посмотрите на эту проблему.
Поделитесь следующей проблемой: «Вчера Эбони пробежал 18 кругов по трассе за 12 минут. Если она пробежит с такой скоростью 30 кругов, сколько времени это займет?» (Совет: вы можете заменить контекст любым, что может заинтересовать ваших учеников.)
Спросите: Что мы пытаемся найти в этой задаче? Мы пытаемся выяснить, сколько времени потребуется Эбони, чтобы пробежать 30 кругов.
Спросите: Какая известная нам информация поможет нам решить эту проблему? Мы знаем, что Эбони может пробежать 18 кругов за 12 минут. Мы также знаем, что она будет бежать с той же скоростью 30 кругов.
Спросите: Какое расстояние пробежит Эбони за одну минуту? Предложите учащимся самостоятельно решить это. Сравните решения учащихся и обсудите, почему Эбони пробегает 1,5 круга за одну минуту.
Скажем: Давайте составим таблицу, чтобы перечислить известную нам информацию. Создайте следующую таблицу, но оставьте поле «Протоколы» пустым. Заполните его, запрашивая входные данные класса.
Laps
Minutes
1.5
1
3
2
6
4
12
8
18
12
24
16
30
20
Спросите: . В любом случае, когда мы могли найти время в 20 минут без написания. В целом? Сравните различные идеи, предложенные учащимися. Некоторые студенты могут понять, что если они разделят 30 на 1,5, то получат 20 минут. Обсудите эту стратегию с классом.
Напишите на доске следующую задачу: «Мария хочет купить карандаш для всех в своем классе. 3 карандаша стоят 0,78 доллара. Сколько пришлось бы потратить Марии, если бы она купила по карандашу каждому из своих 24 одноклассников?»
Скажите: Я бы хотел, чтобы вы сами решили эту задачу, а потом мы обсудим, что вы сделали. Предложите учащимся индивидуально поделиться своими решениями. Некоторые учащиеся могли решить ее, найдя цену за единицу или заполнив таблицу. Другие, возможно, решили ее, заметив, что 3 карандаша стоят 0,78 доллара, а 24 = 3 × 8. Поэтому они умножили 0,78 доллара на 8, чтобы получить 6,24 доллара.
***
Ищете другие бесплатные уроки математики и занятия для учащихся начальной школы? Обязательно изучите наш центр бесплатных учебных ресурсов.
Если вы ищете учебную программу по математике, которая откроет доступ к обучению для учащихся, испытывающих трудности с математикой, ознакомьтесь с Math 180 , наше решение по математике для учащихся 5–12 классов.
Поток задач по водяному знаку
Главная > Учебный контент > Планы на неделю
Дроби: 6 класс
Ср, 2 ноября
Урок 1: предварительное тестирование
Цель SWBAT определить мои ожидания от занятий по математике
Разминка Чтение Дроби = Проблемы (чтение вслух)
Действие 1 Пройти предварительное тестирование
Упражнение 2 Пройтись по ожиданиям: «Ни за что Бовэ, когда поднимать руки/выкликать/все говорят вместе, думать/пары/делиться, домашние задания
Домашнее задание Дополнительный рабочий лист для дополнительных кредитов.
Чт, 3 ноября
Урок 2: Книги о буррито
Цель SWBAT создать графический органайзер, определяющий стратегии, которые помогут им решать арифметические задачи с использованием дробей (создать, СР)
Разминка Часть=Часть=Часть (прочитано вслух)
Действие 1 Создать Книга буррито (BB)
-Обложка: определить дроби, имя
-Словарь (1 страница)
— Рецепт смешанных чисел и неправильных дробей (1 страница)
-GCF и LCD (2 страницы)
-Сложение и вычитание (2 страницы)
-Умножение (1 страница)
-Разделить (1 страница)
-Вопросы, которые у меня остались (1 страница)
-Ага Моменты (1 страница)
-Задняя обложка: дроби в реальной жизни
Домашнее задание нет
Пт, 4 ноября
Урок 3. Словарь дробей
Цель SWBAT определить следующее: числитель, знаменатель, дробь,
Разминка Рабочий лист Twality Pizza
Действие 1 A Дробь является частью целого (напишите на обложке BB)
Как «говорить» о дробях
Числитель — это часть, это число сверху (напишите в словарном разделе BB)
Знаменатель — это целое число внизу (запишите в словарный запас ББ)
Занятие 2 учащихся составляют невербальное определение дроби/числителя/знаменателя
Домашнее задание Детектив дробей Рабочий лист
Пн, 7 ноября
Урок 4. Сравнение дробей, неправильных дробей и смешанных чисел
Цель(и) SWBAT превращает смешанные числа в неправильные дроби и наоборот (применить, CP)
SWBAT находит актуальность в дробях, определяя 2+ способа, которыми они используют дроби в своей повседневной жизни. (оценить, А)
Разминка: Поделиться Детектив дробей Рабочий лист. (Написать/нарисовать ответы на задней обложке ББ)
Упражнение 1: Сравнение и упорядочивание дробей
Занятие 2: Неправильные дроби и смешанные числа
Рецепт перехода туда и обратно (напишите в разделе смешанный #/неправильный рецепт ББ)
Домашнее задание: Сравнение и упорядочивание дробей Рабочий лист (узнать шансы)
Смешанные числа и неправильные дроби Рабочий лист (узнать шансы)
Вт, 8 ноября
Урок 5. Сложение и вычитание дробей 1
Цель SWBAT сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями (применить, CP)
SWBAT приводит дроби к их простейшей форме (применяется, CP)
SWBAT превращает смешанные числа в неправильные дроби и наоборот (применить, CP)
Упражнение 1 Сложение и вычитание чисел с одинаковыми знаменателями (запишите шаги в BB)
Действие 2 Сокращение дробей
Наибольший общий делитель (GCF)
Упражнение 3 M&Ms Сложение и вычитание ( Сбор домашнего задания)
Домашнее задание Сложение/вычитание дробей Рабочий лист 1 (выберите и выполните любые 5 на обеих страницах)
Ср, 9 ноября
Урок 6. Сложение и вычитание дробей 2
Цель SWBAT сложение и вычитание дробей с разными знаменателями (применить, CP)
SWBAT приводит дроби к их простейшей форме (применяется, CP)
SWBAT превращает смешанные числа в неправильные дроби и наоборот (применить, CP)
Разминка Обзор Сравнение/порядок дробей
Задание 1 Наименьший общий знаменатель (LCD)
Упражнение 2 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Домашнее задание Сложение/вычитание дробей Рабочий лист 2 (выберите и выполните любые 5 на обеих страницах)
SWBAT приводит дроби к их простейшей форме (применяется, CP)
SWBAT превращает смешанные числа в неправильные дроби и наоборот (применить, CP)
Разминка Дроби на числовом ряду
Упражнение 1 Умножение дробей
Занятие 2 Практика умножения дробей в партнерах
Домашнее задание: Рабочий лист «Умножение дробей» (умножьте шансы на обе стороны)
Вт, 15 ноября
Урок 8: Деление
Объектив SWBAT разделить дроби
SWBAT приводит дроби к их простейшей форме (применяется, CP)
SWBAT превращает смешанные числа в неправильные дроби и наоборот (применить, CP)
Разминка Незавершенные дела: Повторить недельный график, вернуть исправленную работу
Занятие 1 Деление дробей
Занятие 2 Музыкальные стулья (практика умножения и деления)
Домашнее задание Рабочий лист «Деление дробей» (Деление коэффициентов)
Ср, 16 ноября
Урок 9. Как вычислять дроби
Цель Создать графический органайзер, определяющий стратегии, которые помогут им решать арифметические задачи с использованием дробей (создать, СР)
Упражнение 1/Разминка Эстафета фракций (обзор)
Действие 2 Назначение страниц (тем) группам:
-словарь
-сокращающие дроби (наибольший общий делитель)
-нахождение наименьшего общего знаменателя (LCD)
-сложение и вычитание дробей с одинаковыми и разными знаменателями
-умножение дробей
-деление дробей
-фракции в реальной жизни
Деятельность 3 Рабочее время
Домашнее задание: Подготовка к экзамену
Чт, 17 ноября
Урок 10: Настоящие страницы книги
Цель SWBAT создать графический органайзер, определяющий стратегии, которые помогут им решать арифметические задачи с использованием дробей (создать, СР)
Разминка Изучение техник/техник групповой работы
Деятельность 1 Завершение проектов
Занятие 2 Мини-конференции с каждым учащимся
Занятие 3 Настоящие страницы книг
Домашнее задание Исследование для теста
Пт, 18 ноября
Урок 11: Последующее тестирование
Разминка Показать продукт проекта («книгу») Разместить книгу со словарями в классе.
Дроби это тема об которую спотыкается половина жителей нашей планеты. Если спросить у людей с какой темы у них начались проблемы с математикой, то большинство из них ответят — с дробей.
Этих людей нельзя упрекнуть. Дроби действительно тема не из простых. Тема дробей требует много терпения и внимания, особенно если человек изучает её впервые.
Но есть и хорошие новости. Если вы наберётесь терпения и освоите дроби, то уверяем, что дальнейшее изучение математики станет для вас простым и интересным.
А если вы ещё хорошо изучили предыдущий урок, который назывался деление, то можете быть уверены, что дроби вы освоили уже наполовину.
Что такое дробь?
Если говорить простым языком, то дробь это часть чего-либо. Это «чего-либо» может быть чем угодно — едой, деньгами, числом. В народе дробь называют долей. Само слово «дробь» тоже говорит за себя — дробь означает дробление, деление, разделение.
Рассмотрим пример из жизни. Мы купили себе пиццу, чтобы съесть её в течении дня. Допустим мы решили разделить её на четыре части, чтобы съедать постепенно по одному кусочку.
Посмотрите на этот рисунок. Представьте, что это наша пицца, разделённая на четыре куска. Каждый кусок пиццы это и есть дробь, потому что каждый кусок по отдельности это часть пиццы.
Допустим мы съели один кусок. Как его записать? Очень просто. Сначала рисуется маленькая линия:
Внизу этой линии записывается на сколько кусков пицца была разделена. Пицца была разделена на четыре куска. Значит внизу линии записывается четвёрка:
А сверху этой линии записывается сколько кусков пиццы было съедено. Съеден был один кусок, значит сверху записываем единицу:
Такие записи называют дробями. Дробь состоит из числителя и знаменателя.
Число, которое записывается сверху, называется числителем дроби.
Число, которое записывается снизу, называется знаменателем дроби.
В нашем примере числитель дроби это единица, а знаменатель дроби — четвёрка. Эту дробь можно прочитать так: «одна четвёртая» либо «один кусок из четырёх» либо «одна четвёртая доля» либо «четверть» — всё это синонимы.
Теперь представьте, что мы съели ещё один кусок той же самой пиццы, которая была разделена на четыре куска. Как записать такую дробь?
Очень просто. Сверху записываем 2 (поскольку уже съедено два куска), а внизу записываем 4 (поскольку всего кусков было 4):
Эта дробь читается так: «две четвёртых» либо «два куска из четырёх» либо «две четвёртые доли».
Теперь представьте, что пиццу мы разделили не на четыре части, а на три.
Допустим мы съели один кусок этой пиццы. Как записать такую дробь?
Очень просто. Опять же рисуется маленькая линия. Внизу этой линии записывается число 3, поскольку пицца разделена на три части, а сверху этой линии записывается число 1, поскольку съеден один кусок:
Эта дробь читается так: «Одна третья» либо «Один кусок из трёх» либо «Одна третья доля» либо «Треть».
Если мы съедим два куска пиццы, то такая дробь будет называться «две третьих» и записываться следующим образом:
Теперь представьте, что пиццу мы разделили на две части, или как говорят в народе: «Пополам»:
Допустим, из этих двух кусков мы съели один кусок. Как записать такую дробь?
Опять же рисуем линию. Внизу этой линии записываем число 2, поскольку пицца разделена на две части, а вверху записываем число 1, поскольку съеден один кусок:
Эта дробь читается так: «одна вторая» либо «один кусок из двух» либо «одна вторая доля» либо «половина».
Дроби, которые мы сейчас рассмотрели, называют обыкновенными.
Вообще, дроби бывают двух видов: обыкновенные и десятичные. На данный момент мы рассматриваем обыкновенныедроби. Обыкновенная дробь это дробь, которая состоит из числителя и знаменателя. Десятичные дроби рассмотрим немного позже.
Знаменатель дроби — это число, которое показывает на сколько равных частей можно что-либо разделить. Вернёмся к нашей пицце. Поровну эта пицца может быть разделена и на 2 части и на 3, и на 4, и на 5, и на 6. В зависимости от того, на сколько частей мы будем делить пиццу, знаменатель будет меняться.
На следующем рисунке представлены три пиццы, которые разделены по разному. У первой пиццы знаменателем будет 2. У второй пиццы знаменателем будет 3. У третьей пиццы знаменателем будет 4.
Числитель же показывает сколько частей взято от чего-либо. К примеру, если разделить пиццу на две части, как на первом рисунке, и взять одну часть для трапезы, то получится что мы взяли (одну часть из двух), или как говорят в народе «половину» пиццы.
С помощью переменных дробь можно записать так:
где a — это числитель, b — знаменатель.
Следующая вещь, которую важно знать это то, что обыкновенные дроби бывают правильными и неправильными.
Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, следующие дроби являются правильными:
Почему такие дроби называют правильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Ведь будет логичнее, если эта часть будет меньше того, откуда эта часть была взята. Например, если пицца разделена на четыре части, и мы возьмём (одну четвёртую), то наш кусок будет меньше, чем все четыре куска вместе взятые (чем одна целая пицца). Поэтому такие дроби называют правильными.
С неправильной дробью всё с точностью наоборот. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными:
Видно, что у этих дробей числитель больше знаменателя. Почему же такие дроби называют неправильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Знаменатель показывает на сколько частей это чего-либо разделено. А числитель показывает сколько этого чего-либо взяли.
Теперь возьмём к примеру неправильную дробь и применим её к нашей пицце. В знаменателе стоит 2, значит пицца разделена на две части, а в числителе стоит 9. Получается, что взято девять кусков из двух. Но как можно взять девять кусков, если их всего два? Ответ — никак. Поэтому такие дроби называют неправильными.
Дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, тоже называют неправильной. Например:
Вообще, такие дроби даже не должны называться дробями. И вот почему. Рассмотрим к примеру дробь . Применим её к нашей пицце.
Допустим, мы хотим съестьпиццы. В знаменателе стоит число 2, значит пицца разделена на две части. И в числителе стоит 2, значит взято две части. По сути, взята вся целая пицца, и если мы съедим этупиццы, то съедим не часть пиццы, а всю пиццу целиком. Иными словами, съедим не дробь, а целую часть пиццы. Поэтому дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, называют неправильной.
Дробь означает деление
Черта в дроби, которая отделяет числитель от знаменателя, означает деление. Она говорит, что числитель можно разделить на знаменатель.
Например, рассмотрим дробь . Дробная черта говорит, что четвёрку можно разделить на двойку. Мы знаем, что четыре разделить на два будет два. Ставим знак равенства (=) и записываем ответ:
Можно сделать вывод, что любое деление чисел можно записать с помощью дробей. Например:
Это простейшие примеры. Видно, что у них отсутствует остаток. С остатком немного сложнее, зато интереснее. Поговорим об этом в следующей теме, которая называется «выделение целой части дроби».
Выделение целой части дроби
Вычислим дробь . Пять разделить на два будет два и один в остатке:
5 : 2 = 2 (1 в остатке)
Проверка: (2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5
Но сейчас мы имеем дело с дробями, значит и отвечать надо в дробном виде. Чтобы хорошо понять, как это делается, рассмотрим пример из жизни.
Представьте, что у вас есть 5 яблок и вы решили поделиться ими со своим другом. Причём поделиться по-честному, чтобы каждому досталось поровну. Как разделить эти 5 яблок?
Очевидно, что каждому из вас достанется по два яблока, а оставшееся одно яблоко вы разрежете ножом пополам и тоже разделите между собой:
Посмотрите внимательно на этот рисунок. На нём показано, как пять яблок разделены между вами и вашим другом. Очевидно, что каждому досталось по два целых яблока и по половинке яблока.
Теперь возвращаемся к дроби и отвечаем на её вопрос. Сколько будет пять разделить на два? Смотрим на наш рисунок и отвечаем: если пять яблок разделить на двоих, то каждому достанется два целых яблока и половинка яблока. Так и записываем:
Схематически это выглядит так:
Процедуру, которую мы сейчас провели, называют выделением целой части дроби.
В нашем примере мы выделили целую часть дроби и получили новую дробь . Такую дробь называют смешанной. Смешанная дробь — это дробь, у которой есть целая часть и дробная.
В нашем примере целая часть это 2, а дробная часть это
Обязательно запомните эти понятия! А лучше запишите в свою рабочую тетрадь.
Выделить целую часть можно только у неправильных дробей. Напомним, что неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными, и у них выделена целая часть:
Чтобы выделить целую часть, достаточно знать, как делить числа уголком. Например, выделим целую часть у дроби . Записываем уголком данное выражение и решаем:
После того, как решение примера завершается, новую дробь собирают подобно детскому конструктору. Важно понимать, что куда относить. Частное относят к целой части, остаток относят в числитель дробной части, делитель относят в знаменатель дробной части.
В принципе, если вы хорошо знаете таблицу умножения, и можете быстро в уме выполнять элементарные вычисления, то можно обойтись без записей уголком. В школах кстати, именно этого и требуют — чтобы учащиеся не тратили время на простые операции, а сразу записывали ответы.
Но если вы только начинаете изучать математику, советуем записывать каждую мелочь.
Рассмотрим ещё один пример на выделение целой части. Пусть требуется выделить целую часть дроби
Записываем уголком данное выражение и решаем. Потом собираем смешанную дробь:
Получили:
Перевод смешанного числа в неправильную дробь
Любое смешанное число получается в результате выделения целой части в неправильной дроби. Например, рассмотрим неправильную дробь . Если выделить в ней целую часть, то получается
Но возможен и обратный процесс — любое смешанное число можно перевести в неправильную дробь. Для этого целую часть надо умножить на знаменатель дробной части и полученный результат прибавить к числителю дробной части. Полученный результат будет числителем новой дроби, а знаменатель останется без изменений.
Например, переведём смешанное число в неправильную дробь. Умножаем целую часть 2 на знаменатель дробной части:
2 × 3 = 6
Затем к 6 прибавляем числитель дробной части:
6 + 1 = 7
Полученная семёрка будет числителем новой дроби, а знаменатель 3 останется без изменений:
Подробное решение выглядит так:
А с помощью переменных перевод смешанного числа в неправильную дробь можно записать так:
Пример 2. Перевести смешанное число в неправильную дробь.
Умножаем целую часть смешанного числа на знаменатель дробной части и прибавляем к числителю дробной части, а знаменатель оставляем без изменений:
Основное свойство дроби
Основное свойство дроби говорит о том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь. Это означает, что значение дроби не изменится.
Например, рассмотрим дробь . Умножим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2
Получили новую дробь . Если верить основному свойству дроби, то дроби и равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:
Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (один кусок из двух), а второй иллюстрирует дробь (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на два куска, и с неё взяли один кусок. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.
Поэтому между дробями и можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:
Теперь испытаем основное свойство дроби, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число.
Рассмотрим дробь . Давайте разделим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2
Получили новую дробь . Если верить основному свойству дроби, то дроби и равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:
Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (четыре куска из восьми), а второй иллюстрирует дробь (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на восемь кусков, и с неё взяли четыре куска. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.
Поэтому между дробями и можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:
Теперь мы полностью проверили, как работает основное свойство дроби, и убедились, что работает оно замечательно.
Число, на которое умножается числитель и знаменатель, называется дополнительным множителем. Запомните это обязательно!
Сокращение дробей
Дроби можно сокращать. Сократить — значит сделать дробь короче и проще для восприятия. Например, дробь выглядит намного проще и красивее, чем дробь .
Если при решении примеров получается большая и некрасивая дробь, то нужно попытаться её сократить.
Сокращение дроби опирается на основное свойство дроби. Поэтому, прежде чем изучать сокращение дробей, обязательно изучите основное свойство дроби.
Деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель называется сокращением дроби.
Пример 1. Сократить дробь
Итак, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на наибольший общий делитель чисел 2 и 4.
В данном случае дробь простая и для неё НОД ищется легко. НОД чисел 2 и 4 это число 2. Значит, числитель и знаменатель дроби надо разделить на 2
В результате дробь обратилась в более простую дробь . Значение исходной дроби при этом не изменилось, поскольку сокращение подразумевает деление числителя и знаменателя на одно и то же число. А это действие, как было указано ранее, не меняет значение дроби.
На рисунке представлены дроби и в виде кусочков пиццы. До сокращения и после сокращения они имеют одинаковые размеры. Разница лишь в том, что раздéланы они по-разному.
Пример 2. Сократим дробь
Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 20 и 40.
НОД чисел 20 и 40 это число 20. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 20
Пример 3. Сократим дробь
Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 32 и 36.
НОД чисел 32 и 36 это число 4. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 4
Если в числителе и знаменателе располагаются простые числа, то такую дробь сократить нельзя — она не сокращается. Такие дроби называют несократимыми. Например, следующие дроби являются несократимыми:
Напомним, что простыми называются числа, которые делятся только на единицу и самих себя.
Второй способ сокращения дроби
Второй способ является короткой версией первого способа. Суть его заключается в том, что пропускается подробное разъяснение того, на что был разделён числитель и знаменатель.
К примеру, вернёмся к дроби . Эту дробь мы сократили на 4, то есть разделили числитель и знаменатель этой дроби на число 4
Теперь представьте, что в данном выражении отсутствует конструкция , и сразу записан ответ . Получится следующее выражение:
Суть в том что число, на которое разделили числитель и знаменатель, хранят в уме. В нашем случае числитель и знаменатель делят на 4 — это число и будем хранить в уме.
Сначала делим числитель на число 4. Полученный ответ записываем рядом с числителем, предварительно зачеркнув его:
Затем таким же образом делим знаменатель на число 4. Полученный ответ записываем рядом со знаменателем, предварительно зачеркнув его:
Затем собираем новую дробь. В числитель отправляем новое число 8 вместо 32, а в знаменатель отправляем новое число 9 вместо 36
Происходит своего рода замена одной дроби на другую. Значение новой дроби равно значению предыдущей дроби, поскольку срабатывает основное свойство дроби, которое говорит о том что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь.
Также, дроби можно сокращать, предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель.
Например, сократим дробь , предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель:
Итак, мы разложили числитель и знаменатель дроби на множители. Теперь применяем второй способ сокращения. В числителе и в знаменателе выбираем по множителю и делим выбранные множители на НОД этих множителей.
Давайте сократим по тройке в числителе и в знаменателе. Для этого разделим эти тройки на 3 (на их наибольший общий делитель). Получим следующее выражение:
Сократить можно ещё по тройке в числителе и в знаменателе:
Дальше сокращать больше нéчего. Последнюю тройку в знаменателе просто так сократить нельзя, поскольку в числителе нет множителя, который можно было бы сократить вместе с этой тройкой.
Записываем новую дробь, в числителе и в знаменателе которой будут новые множители.
Получили ответ . Значит, при сокращении дроби получается новая дробь .
Не рекомендуется пользоваться вторым способом сокращения дроби и способом разложения на простые множители числителя и знаменателя, если человек только нáчал изучать математику. Практика показывает, что это оказывается сложным на первых этапах.
Поэтому, если испытываете затруднения при использовании второго способа, то пользуйтесь старым добрым способом сокращения: делите числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель. Выражение в таком случае получается простым, понятным и красивым. Так, предыдущий пример может быть решён старым способом и будет выглядеть так:
Сравните это выражение с выражением, которое мы получили, когда пользовались вторым способом:
Первое выражение намного понятнее, аккуратнее и короче. Не правда ли?
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Показать решение
Задание 2. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Показать решение
Задание 3. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Показать решение
Задание 4. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Показать решение
Задание 5. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Показать решение
Задание 6. Выделите целые части в следующих дробях:
Показать решение
Задание 7. Выделите целые части в следующих дробях:
Показать решение
Задание 8. Переведите смешанные дроби в неправильные:
Показать решение
Задание 9. Переведите смешанные дроби в неправильные, не расписывая как целая часть умножается на знаменатель дробной части и полученный результат складывается с числителем дробной части
Показать решение
Задание 10. Сократите следующую дробь на 3
Показать решение
Задание 11. Сократите следующую дробь на 3 вторым способом
Показать решение
Задание 12. Сократите следующую дробь на 5
Показать решение
Задание 13. Сократите следующую дробь на 5 вторым способом
Показать решение
Задание 14. Сократите следующие дроби:
Показать решение
Задание 15. Сократите следующие дроби вторым способом:
Показать решение
Задание 16. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Показать решение
Задание 17. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Показать решение
Задание 18. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Показать решение
Задание 19. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Показать решение
Задание 20. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Показать решение
Задание 21. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Показать решение
Задание 22. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Показать решение
Задание 23. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Показать решение
Задание 24. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Показать решение
Задание 25. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Показать решение
Задание 26. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Показать решение
Задание 27. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Показать решение
Задание 28. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Показать решение
Задание 29. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Показать решение
Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект? Используй кнопку ниже
Опубликовано Автор
Дробь (математика) | это… Что такое Дробь (математика)?
У этого термина существуют и другие значения, см. Дробь.
8
/ 13
числитель
числитель
знаменатель
знаменатель
Две записи одной дроби
Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы[1]. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные вида и десятичные.
Содержание
1 Виды дробей
1.1 Обыкновенные дроби
1.1.1 Обозначения обыкновенных дробей
1.1.2 Правильные и неправильные дроби
1.1.3 Смешанные дроби
1.1.4 Высота дроби
1.1.5 Составные дроби
1.2 Десятичные дроби
2 Значение дроби и основное свойство дроби
3 Действия над дробями
3.1 Приведение к общему знаменателю
3.2 Сравнение
3.3 Сложение и вычитание
3.4 Умножение и деление
3.5 Преобразование между разными форматами записи
4 История и этимология
5 Обобщения
6 См. также
7 Литература
8 Примечания
Виды дробей
Обыкновенные дроби
Наглядное представление дроби
Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде или где Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.
Обозначения обыкновенных дробей
Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:
½
1/2 или (наклонная черта называется «солидус»[2])
выключная формула: (горизонтальная черта называется Винкулиум (англ.))
строчная формула:
Правильные и неправильные дроби
Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.
Например, дроби , и — правильные дроби, в то время как , , и — неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.
Смешанные дроби
Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.
Например, . В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.
Высота дроби
Высота обыкновенной дроби — модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.
Например, высота дроби равна . Высота же соответствующего рационального числа равна , так как дробь сокращается на .
Составные дроби
Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:
или или
Десятичные дроби
Основная статья: Десятичная дробь
Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:
Пример: .
Часть записи, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.
Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева).
Значение дроби и основное свойство дроби
Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.
Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:
то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:
И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:
— здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4.
Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты, т. е. не имеют общих делителей, кроме
Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. Пример:
— две разные дроби соответствуют одному числу.
Действия над дробями
В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь.
Приведение к общему знаменателю
Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: и . Порядок действий:
Находим наименьшее общее кратное знаменателей: .
Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на .
Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на .
После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны M). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.
Сравнение
Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.
Пример. Сравниваем и . НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.
Следовательно,
Сложение и вычитание
Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:
+ = + =
НОК знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6. Приводим дробь к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3. Получилось . Приводим дробь к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось . Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:
— = — =
НОК знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем .
Умножение и деление
Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:
В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:
В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:
Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую на дробь, обратную второй:
Например,
Преобразование между разными форматами записи
Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:
— бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.
Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:
История и этимология
Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики.
Впервые в Европе данный термин употребил Леонардо Пизанский (1202). Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус).
В древней Руси дроби называли долями или ломаными числами. Термин дробь, как аналог латинского fractura, используется в «Арифметике» Магницкого (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.
Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную[3]. Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше[4].
В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585).
Обобщения
Кольцо частных
Рациональная функция — дробь, составленная из многочленов.
См. также
Дроби в Юникоде
Цепная дробь
Литература
Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.
Примечания
↑ Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.
↑ Дробная черта (Fraction bar, Solidus) — Справочник ПараТайп
↑Jean-Claude Martzloff. A History of Chinese Mathematics. Springer. 1997. ISBN 3-540-33782-2.
↑Berggren J. Lennart Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. — Princeton University Press, 2007. — P. 518. — ISBN 978-0-691-11485-9
определение и классификация, основные отличия и примеры
Математика
12.11.21
12 мин.
Не всегда числа выражаются целыми величинами. Понятие дроби в математике 5 класса рассматривается более подробно, поскольку каждый ученик должен понимать основные принципы работы с числами любого формата. Это позволит грамотно выполнять вычисления, используя свойства дробных выражений. Специалисты рекомендуют изучить теорию, а затем перейти к ее практическому применению.
Оглавление:
Применение дробных величин
Классификация дробей
Смешанная форма
Общие сведения
Числа делятся на целые и дробные. К первым относится множество всех натуральных величин, используемых при устном счете. Однако не все значения можно записать, воспользовавшись первым типом. Например, может быть не целый торт, а его половина. Для этой цели были придуманы дроби, характеризующие некоторую часть от целого. Чтобы понять основную разницу между величинами, нужно разобрать объяснение дробей для 5 класса и примеры их применения.
Дробь — значение, которое применяется для точного представления числовой формы. Для иллюстрации определения на практике нужно рассмотреть такой пример: при расчетах ускорения свободного падения была получена величина «9,81».
Если использовать приближенное целое значение, получаются числа 9 и 10. Однако при решении задачи по физике необходимо брать точное выражение. При отказе от подробного представления появится большая погрешность при вычислениях. Далее необходимо разобрать дробные величины подробно, чтобы любой ребенок мог производить без особого труда действия над ними.
Применение дробных величин
Для сравнения необходимо решить задачу по физике и рассчитать силу тяжести «Fт» физического тела, масса которого составляет 100 кг. Формула для расчета имеет такой вид: Fт=m*g, где m — масса тела и g — ускорение свободного падения. Далее следует разобрать два случая:
Приближенный.
Точный.
Для приближенного расчета соотношение будет выглядеть следующим образом: Fт = 9 * 100 = 900 (Н) и Fт = 10 * 100 = 1000 (Н). При точном вычислении: Fт = 9,81 * 100 = 981 (Н). Следует отметить, что в первом случае наблюдаются значительные погрешности, как в большую, так и в меньшую сторону, т. е. 981−900=81 и 1000−981=19. Этого допускать нельзя.
Для иллюстрации необходимости использования дробных величин была подобрана задача по физике, поскольку нужно было доказать ученикам, насколько она связана с математикой. Далее необходимо разобрать классификацию дробей.
Классификация дробей
Дробные величины математики делят на 3 вида. К ним относятся:
Десятичные.
Обыкновенные.
Смешанные формы.
В первом случае любое дробное значение, состоящее из дробной части, отделенной от целого выражения точкой или запятой, называется десятичной дробью. Последняя бывает в двух формах, а именно: конечной и бесконечной. Первая характеризуется ограниченным количеством знаков после запятой (точки). Например, величина 0,2356 состоит из целой части (0) и дробной (2356).
Бесконечная дробь классифицируется на 2 типа. К ним относятся следующие:
Периодическая.
Непериодическая.
К первой относятся все бесконечные десятичные дробные выражения, знаки которых после запятой повторяются по определенному закону. Повторяющиеся символы необходимо брать в круглые скобки (указывать период). При этом запись выглядит более компактной, т. е. 0,(13). Однако не во всех случаях величину можно записать на листке бумаги. Эту операцию невозможно осуществить для бесконечной непериодической. Очень часто ее округляют до определенной величины, а именно: до десятых, сотых долей и т. д.
Кроме десятичных, бывают еще и обыкновенные дробные величины. Они состоят из верхней и нижней частей, разделенными между собой косой чертой «/». Примером является число, записанное в общем виде «W/V», где W — числитель и V — знаменатель. В зависимости от последних параметров, обыкновенные дроби классифицируются на 2 вида:
Правильные.
Неправильные.
У первых числитель меньше, чем знаменатель. В этом случае справедливо условие W<V. Если последнее неравенство не выполняется, можно сделать вывод о принадлежности дробного значения ко второму виду. Существует еще одна форма представления дробных элементов, но ее необходимо разобрать отдельно.
Смешанная форма
Смешанным числом называется величина, включающая целую и дробную части. Такие формы образуются при помощи десятичных и обыкновенных дробей. Суть преобразований для каждого случая является различной.
Для смешанного выражения, образованного десятичной дробью, нужно разобрать пример самого числа «5,526». Оно состоит из целого (5) и дробного элемента (526). Его получают при делении одной величины на другую. В конкретном примере делимое равно 5526, а делитель — 1000, т. е. первая величина примерно в 5 раз больше второй. Для преобразования существует очень простой алгоритм, который легко объяснить, воспользовавшись следующими пунктами:
Записать величину: 0,12.
Обозначить числитель (соответствует дробной части после запятой): 12.
Определить знаменатель (эквивалентен десяти в степени, равной количеству знаков в дробной части): 10 2 .
Написать результат: 12/100.
Величина, полученная в пункте 4, может быть преобразована при помощи сокращения: 12/100=(4*3)/(4*25)=3/25. Ученикам требуется обратить внимание, как решать пример. Для начала нужно вынести общий множитель для числителя и знаменателя, разложив их на сомножители: 12=4*3 и 100=4*25. После этого нужно сократить на 4.
Смешанное число, состоящее из целого компонента и правильной дроби, образуется из неправильного дробного тождества. Операция позволяет выделить целый элемент. Алгоритм преобразования:
Записывается искомая неправильная дробь: W/V.
Выделяется целый компонент, при делении числителя на знаменатель (берется только целое число без учета дробной составляющей): R=W/V.
Рассчитывается величина нового числителя: W’=W-RV.
Записывается искомый результат: R[W’/V].
Если нужно выполнить обратную операцию по конвертации смешанного элемента в неправильную дробь, можно воспользоваться специальной методикой:
Написать число в смешанной обыкновенной форме: R[W’/V].
Вычислить значение нового числителя W по следующему соотношению: W=VR+W’.
Записать искомый результат: W/V.
Методики расписаны во многих учебниках и позволяют решить дроби в 5 классе без ошибок. Специалисты рекомендуют выписать их на отдельный лист бумаги и положить «перед глазами». Однако со временем надобность в шпаргалке отпадет, поскольку действия при регулярных занятиях будут отточены до автоматизма. Далее необходимо затронуть тему об основных свойствах дробей.
Важные свойства
Каждая из дробей обладает определенными свойствами. Для десятичной они являются следующими:
Десятичная дробная величина — частное, полученное в результате операции деления двух чисел.
У дробной части можно дописать любое количество нулей, т. е. 0,5=0,500000000000. При этом величина конечной и начальной дробей не изменится.
Любую десятичную дробную величину можно представить в виде обыкновенной.
Далее необходимо рассмотреть основные свойства обыкновенных дробей:
При умножении числителя и знаменателя на одно и то же числовое значение величина дроби не изменится, т. е. 9/10=(8*9)/(8*10).
Если к числителю прибавить одно значение, а затем его отнять, величина дробного выражения не изменится, т. е. (9+3−3)/10=9/10. Для знаменателя можно также воспользоваться аналогичным свойством: 9/(10+3−3).
Произведение обратных обыкновенных дробей эквивалентно единице, т. е. (5/8) * (8/5) = 1.
Если поделить одну обыкновенную дробную величину на обратную, получится исходное число в квадрате, т. е. (5/8): (8/5) = 25/64.
Следует отметить, что свойства необходимо применять при решении различных задач, доказательства теорем и выведения различных соотношений, поэтому нужно научиться производить различные действия над дробями.
Таким образом, дроби применяются в математике для вычислений точных значений, которые используются при расчетах различных величин, характеризующих процессы, явления и количественные характеристики.
Проект «Обыкновенные дроби в жизни людей»
Руководитель проекта:
Ганченкова Оксана Алексеевна
Учреждение:
МАОУ Средняя общеобразовательная школа № 10
В индивидуальной исследовательской работе по математике на тему «Обыкновенные дроби в жизни людей» автором работы была проанализирована научная литература по алгебре, и дано развернутое определение понятия «обыкновенная дробь», а также изучена важность обыкновенных дробей в повседневной жизни.
Подробнее о работе:
В исследовательском проекте по математике на тему «Обыкновенные дроби в жизни людей» рассматривается история возникновения дробей, а также приводятся красочные примеры использования обыкновенных дробей в профессиональной деятельности человека на примере профессии «Разметчик».
Учебная работа по математике «Обыкновенные дроби в жизни людей» в 5 классе школы рассматривает необходимость дробей в повседневной жизни человека. Автор акцентирует внимание на том, что каждый день нам приходится сталкиваться с проблемой деления целого на части, и даже в определенный момент кажется, что нас больше окружают не целые, а дробные числа. Поэтому тема проекта актуальна и интересна для изучения.
Оглавление
Введение 1. Понятие дроби. 2. История возникновения дробей. 3. Использование обыкновенных дробей в профессиональной деятельности человека. 3.1 Дроби для профессии «Разметчик». 4. Практическая часть. 4.1. Мои наблюдения. Заключение Список использованной литературы
Введение
Уважаемые друзья! Ответственно вам сообщаю, есть люди, которые считают, будто дробям нет места в нашей жизни. За примерами далеко ходить не надо. Когда я учился в начальных классах, думал: «Зачем математики придумали дроби?» Наверное, только для того, чтобы портить жизнь школьникам. Другого объяснения не знал, пока не начали изучать в 5 классе тему «Дроби»
С первого знакомства с дробями было понятно, что они очень необычные числа, начиная с их непривычной записи и заканчивая сложными правилами действий с ними.
В обычной жизни, и взрослым, и детям каждый день приходится сталкиваться с проблемой деления целого на части, и даже в определенный момент кажется, что нас больше окружают не целые, а дробные числа, что является актуальностью данной темы.
Мне стало интересно узнать: как и когда появились дроби? В какой сфере жизни больше всего практически их применяют? Хотелось в ходе исследования этого вопроса убедиться и убедить других в необходимости дробей в повседневной жизни.
Объект исследования: обыкновенные дроби
Предмет исследования: использование дробей в нашей повседневной жизни.
Цель: показать, что дроби нужны не только в математике, но и в повседневной жизни.
Задачи:
Узнать, что такое дробь, какие виды дроби существуют
Изучить историю возникновения дробей.
Рассмотреть применение дробей в повседневной жизни.
Оценить достижения науки в данной области.
Понятие дроби
Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Дробь выражается отношением двух целых чисел m/n, где n — показывает на сколько долей разделена единица, а m – показывает сколько таких долей содержится в дроби.
В математике применяются следующие виды дробей:
обыкновенная дробь;
правильная дробь;
неправильная дробь;
смешанная дробь;
десятичная дробь.
Дроби разные нужны, дроби всякие важны
Обыкновенная дробь имеет вид n/m или m/n где m и n — натуральные числа. Делимое (m) — называют числителем дроби, делитель (n) — называют знаменателем данной дроби. Горизонтальная или косая линия в дроби обозначает деление. Черта наклонная называется — «солидус», а горизонтальная – «винкулум».
Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь называется правильной (например 3/7), если больше или равен — неправильной (например 7/3).
Числа, в состав которых входит целое число и правильная дробь, называются смешанными. Целое число называют целой частью смешанного числа, а правильная дробь называется дробной частью смешанного числа. Например, для смешанной дроби число 3 — целая часть, 2/5 — дробная.
Десятичная дробь, это дробь, которая записывается без знаменателя.
Выглядят они так: 5,6; 3,17; 0,17 и т.д. На самом деле это особая запись обыкновенных дробей, у которых знаменатель равен 10, 100, 1000 и т. д.
История возникновения дробей
Память человечества не сохранила для нас имя изобретателя колеса. Также невозможно назвать точно даже тот отрезок времени, когда появились дроби.
Можно предположить, что потребность делить целое на части возникала ещё в первобытном обществе. Могло быть и так…
Были у древнего человека жена и двое детей. Вот пошла однажды древняя женщина собирать плоды и нашла всего лишь 1 яблоко. Детей у неё двое, а яблоко одно. Наверное, она догадалась: взяла каменный нож да и разделила это яблоко на 2 половины.
А в это время самый — самый древний человек пошёл на охоту и убил самого — самого древнего кабана. Пришёл домой и разделил свою добычу на четыре равные части: себе, жене, сыну и дочке. Конечно, эти древние люди и не догадывались, что, разделив целое число на части, они занимались таким трудным разделом математики, который впоследствии назовут «дроби». Итак, дроби появились в тот период времени, когда в трудовой деятельности людей появилась потребность более точно измерять какие-то величины, хотя делением на части люди пользовались, наверное, с древнейших времён.
Дроби в Древнем Египте
На протяжении многих веков египтяне именовали дроби «ломаным числом», а первая дробь, с которой они познакомились, была 1/2 . За ней последовали 1/4, 1/8 , 1/16, … затем 1/3, 1/6, … т. е. самые простые дроби, называемые единичными или основными дробями.
У них числитель всегда единица. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами. В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.
Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4000 лет назад имели десятичную систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.
Одним из первых известных упоминаний о дробях является математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 1/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.
Египтяне ставили иероглиф (ер, «один из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4, которыми можно было записывать также другие дроби.
Остальные дроби они записывали в виде суммы долей. Дробь 7/8 они записывали в виде ½ ¼ 1/8, но знак «+» не указывали. А сумму 4+1/3 записывали в виде 41/3. Такая запись смешанных чисел (без знака «+») сохранилась до сих пор.
Вавилонские дроби
Жители древнего Вавилона примерно за 3000 лет до нашей эры создали систему мер аналогичную нашей метрической, только в основе её лежало не число 10, а число 60, в которой меньшая единица измерения составляла 1/60 часть высшей единицы. Полностью эта система выдерживалась у вавилонян для измерения времени и углов, и мы унаследовали от них деление часа и градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд.
Исследователи по-разному объясняют появление у вавилонян шестидесятеричной системы. Число 60 прекрасно делится на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, что значительно облегчает всякие расчеты. Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян.
Вот почему они пользовались шестидесятеричнымидробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 602, 603 и т.д. В этом отношении шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичными дробями. Вавилонская математика оказала влияние на греческую математику. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 мин., минуты на 60 с, окружности на 360˚, градуса на 60 мин., минуты на 60с.
Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя их астрономическимидробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.
Дроби в Древней Греции
Греки работали с обыкновенными дробями не часто, поэтому использовали различные обозначения. Герон и Диофант, самые известные арифметики среди древнегреческих математиков, записывали дроби в алфавитной форме, причем числитель располагали под знаменателем. Но в принципе предпочтение отдавалось либо дробям с единичным числителем, либо шестидесятеричным дробям.
Недостатки греческой системы счисления относят к их любви к строгости, которое заметно увеличило трудности, связанные с анализом отношения несоизмеримых величин. Слово «число» греки понимали, как набор единиц, поэтому то, что мы теперь рассматриваем как единое число – дробь, – греки понимали, как отношение двух целых чисел. Именно этим объясняется, почему обыкновенные дроби редко встречались в греческой арифметике.
Дроби в Древнем Китае
В Древнем Китае уже пользовались десятичной системой мер, обозначали дробь словами, используя меры длины чи: цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки. Дробь вида 2,135436 выглядела так: 2 чи, 1 цунь, 3 доли, 5 порядковых, 4 шерстинки, 3 тончайших, 6 паутинок. Так записывались дроби на протяжении двух веков, а в V веке китайский ученый Цзу-Чун-Чжи принял за единицу не чи, а чжан = 10 чи, тогда эта дробь выглядела так: 2 чжана, 1 чи, 3 цуня, 5 долей, 4 порядковых, 3 шерстинки, 6 тончайших, 0 паутинок.
Дроби на Руси
В русском языке слово «дробь» появилось лишь в VIII веке. Происходит оно от слова «дробить, разбивать, ломать на части». В русских рукописных арифметиках XVII в. дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах существуют следующие названия дробей на Руси:
1/2 — половина, полтина
1/3 – треть
1/4 – четь
1/6 – полтреть
1/8 — полчеть
1/12 –полполтреть
1/16 — полполчеть
1/24 – полполполтреть (малая треть)
1/32 – полполполчеть (малая четь)
1/5 – пятина
1/7 — седьмина
1/10 — десятина
Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.
Дроби в других государствах древности
В китайской «Математике в девяти разделах» уже имеют место сокращения дробей и все действия с дробями. У индийского математика Брахмагупты найдена достаточно развитую систему дробей. У него встречаются разные дроби: и основные, и производные с любым числителем. Числитель и знаменатель записываются так же, как и у нас сейчас, но без горизонтальной черты, а просто размещаются один над другим.
Арабы первыми начали отделять чертой числитель от знаменателя.
Леонардо Пизанский уже записывает дроби, помещая в случае смешанного числа, целое число справа, но читает так, как принято у нас. В XV – XVI столетиях учение о дробях приобретает уже знакомый нам теперь вид и оформляется приблизительно в те самые разделы, которые встречаются в наших учебниках.
Следует отметить, что раздел арифметики о дробях долгое время был одним из наиболее трудных. Недаром у немцев сохранилась поговорка: «Попасть в дроби», что означало – зайти в безвыходное положение. Считалось, что тот, кто не знает дробей, не знает и арифметики.
Использование обыкновенных дробей в профессиональной деятельности человека
Живя в окружении дробей, мы не всегда их явно замечаем. И все же, мы сталкиваемся с ним очень часто: дома, на улице, в магазине, на работе и так далее. Покажу лишь малую часть того, где мы можно увидеть присутствие дробей.
В медицине. Чтобы приготовить необходимое лекарство нужно знать его состав, записанный с помощью дробей, или, когда врач назначает больному ½ таблетки.
Дроби в кулинарии. Поварам нужны дроби для соблюдения пропорции при приготовлении блюда. В рецептах очень часто используются такие фразы, например, как одна вторая стакана, четверть столовой ложки.
Дроби в музыке. Учащиеся музыкальной школы знакомятся с дробями раньше, чем в общеобразовательной школе. С первых дней занятий дети знакомятся с такими понятиями как размер и длительности нот. Древнегреческий философ Пифагор (570 г. до н. э.), один из самых первых установил связь музыки и математики. Он создал учение о звуке. Пифагор связал длительность звучания нот с дробями.
Счёт длительностей в музыке ведётся от целой ноты, которая считается до четырёх. В целой ноте 2 половинные, 4 четверти, 8 восьмых, 16 шестнадцатых. Так музыка живёт в согласии с математикой.
Дроби в географии: Материк Евразия занимает 1/3 часть суши;
Масштаб карты равен 1/50000
Участки земной поверхности изображаются на карте в уменьшенном виде, для этого используется понятие масштаба: отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности.
Например, масштаб карты 1/10000 означает, что 1см на карте соответствует 10000 см на местности.
Дроби в спорте. Когда смотрим ½ финала матча по футболу.
Дроби в пропорции человека тоже связаны с дробями. Голова маленького ребенка составляет 1/5 часть роста человека. Голова подростка – 1/6. А голова взрослого человека – 1/8 часть роста. Основываясь на этих данных, была создана кукла «Барби».
Дроби в юридической деятельности. Взрослые в жизни встречаются с такими ситуациями: в наследство каждый по завещанию получили, например А- 1/8 имущества наследодателя; Б. – 6/17; В. — завещано всё остальное . Какие доли достались каждому из наследников?
Дроби для портных. Портной при раскрое одежды использует дроби. (рукав длины три четверти — ¾ или брюки длины 7/8)
В настоящее время невозможно представить ни одну отрасль промышленности или сельского хозяйства, или строительства, где бы в расчётах не встречалось дробных чисел.
Дроби для профессии «Разметчик»
На машиностроительных заводах есть очень увлекательная профессия, называется она — разметчик. Разметчик намечает на заготовке линии, по которым эту заготовку следует обрабатывать, чтобы придать ей необходимую форму.
Разметчику приходится решать интересные и подчас нелегкие геометрические задачи, производить арифметические расчеты и т. д.
«Понадобилось как-то распределить 7 одинаковых прямоугольных пластинок равными долями между 12 деталями. Принесли эти 7 пластинок разметчику и попросили его, если можно, разметить пластинки так, чтобы не пришлось дробить ни одной из них на очень мелкие части. Значит, простейшее решение — резать каждую пластинку на 12 равных частей — не годилось, так как при этом получалось много мелких долей. Как же быть?
Возможно ли деление данных пластинок на более крупные доли? Разметчик подумал, произвел какие-то арифметические расчеты с дробями и нашел все-таки самый экономный способ деления данных пластинок.
Впоследствии он легко дробил 5 пластинок для распределения их равными долями между шестью деталями, 13 пластинок для 12 деталей, 13 пластинок для 36 деталей, 26 для 21 и т.п.
Оказывается, разметчик представил дробь 7\12 в виде суммы единичных дробей 1\3 + 1\4. Значит, если из 7 данных пластинок 4 разрезать на три равные части каждую, то получим 12 третей, то есть по одной трети для каждой детали. Остальные 3 пластинки разрежем 4 равные части каждую, получим 12 четвертей, то есть по одной четверти для каждой детали. Аналогично, используя представления дробей в виде суммы единичных дробей 5\6 = 1\2+1\3; 13\12 =1\3+3\4; 13\36 =1\4+1\9.
Практическая часть. Мои наблюдения
Дроби в часах. «Встреча».
Мы часто отвечаем на вопрос «который час?» дробями. «Без четверти пять» без пятнадцати минут пять; «Сейчас три часа без четверти» -2 час 45 минут; «Половина второго» -1 час 30 минут.
Ситуация 1. В парке стоит молодой человек с букетом цветов: Извините. Не подскажете который час? — спрашивает у прохожего.
«Без четверти пять», — отвечает прохожий.
Что опаздывает?
Да, на целых ¾ часа.
Сочувствую.
Спасибо.
Дроби в кулинарии. «Пряники».
Поварам нужны дроби для соблюдения пропорции при приготовлении блюда. В рецептах очень часто используются такие фразы, например, как одна вторая стакана, четверть столовой ложки.
Ситуация 2. Ученик в одежде повара. Готовит тесто для пряников.
— Для пряников понадобится 1 яйцо, один с четвертью стакана муки, две с половиною столовой ложки меда, треть чайной ложки соли, половина чайной ложки имбиря. Всё тщательно перемешиваем и печем пряники.
Дроби в кулинарии. «Пирожное».
Приготовленные блюда нужно умело делить на порции.
Ситуация 3. На столе стоит тарелка. В ней 5 пирожное.
— На день рождения пришли 6 друзей. Передо мной встал вопрос: «Как поровну разделить 5 пирожное между 6 человек»?
Решение было такое: нужно 5 пирожное разделить пополам каждый. Затем ещё 2 пирожное разделить на 3 части. Получается 6 абсолютно равных частей.
Дроби в математике.
Учитель математики после изучения сокращения дробей задал домашнее задание. Найти значение выражения рациональным способом.
На первый взгляд, обыкновенные натуральные числа. Сначала надо решить действия в скобках, потом делить и умножать. Но, здесь должна быть какая-то хитрость?! Надо найти рациональный способ. Я решил данное выражение так:
1) Записал выражение в виде дроби.
2) Преобразовал каждое натуральное число в виде произведения двух множителей.
3) В полученных дробях получились числа, которых можно сократить.
4) Получил ответ
Заключение
При выполнении своего проекта, я узнал много нового и интересного о дробях. Думаю, что эти знания пригодятся в учебе. Прочитал много книг и разделов из энциклопедий. Познакомился с первыми дробями, которыми оперировали люди, узнал новые для меня имена ученых, внесших свой вклад в развитие учения о дробях. А особенно то, что дроби используются почти во всех сферах деятельности человека, а это значит, что людям всех профессий нужно обязательно изучать дроби! Уметь решать задачи на дроби, знать правила сложения и вычитания, умножения и деления дробей.
Без знания математики, особенно знания дробей вся современная жизнь была бы невозможна. Например, у нас не было бы хороших домов, потому что строители должны уметь измерять, считать, сооружать. Наша одежда была бы очень грубой, так как ее нужно хорошо скроить, то есть точно все измерить, Не было бы ни какой большой промышленности, ни какой коммерции.
И конечно, не было бы радио, телевидения, кино, телефона и тысяч других вещей, составляющих часть нашей цивилизации. Использование дробей, измерения «на сколько?», «как долго?» являются жизненно необходимой частью мира, в котором мы живем.
В заключении можно сказать, что дроби бывают разные, дроби бывают важные. Знание понятия математическая дробь очень важно!
Считаю, что материалы моей работы будут интересными для других учащихся. Они могут быть использованы как на уроке, так и для проведения учителями внеклассных мероприятий по математике.
Список использованной литературы
Анищенко Е. А. Число как основное понятие математики. Мариуполь, 2002.
Математический энциклопедический словарь. – М., 1988.
Если страница Вам понравилась, поделитесь в социальных сетях:
Как понять, что такое дроби?
“Человек подобен дроби: в знаменателе — то, что он о себе думает, в числителе — то, что он есть на самом деле. Чем больше знаменатель, тем меньше дробь.” — Лев Толстой
Если так сказал сам Толстой, то скорее всего это правда! Тем не менее также общеизвестно, что для большинства людей такие разделы математики, как дроби, скорее сложны и запутаны, чем поэтичны. Неслучайно для большинства школьников самый сложный предмет — это бесспорно математика, причём заметно опережая другие предметы.
Поколению Z намного больше по душе русский язык, история, география и ИЗО. И все же математика очень важна! Такие темы, как дроби, уравнения и проценты, могут пригодиться нам в работе и выручить во многих жизненных ситуациях. Вот почему в сегодняшней статье мы узнаем о том, как же понять дроби раз и навсегда и научиться применять их в нужный момент.
Вы можете также узнать, как выучить другие разделы математики на нашем сайте.
Лучшие преподаватели по математике доступны для занятий
Поехали!
О важности дробей
Дроби могут очень пригодиться нам в повседневной жизни | Unsplash
Испокон веков школьники жалуются своим родителям на то, как сложны дроби. По разным оценкам больше половины всех детей сталкиваются со сложностями при их изучении в начальной школе. Но самое главное — не сдаваться! Дроби — очень полезное изобретение, и у нынешних школьников будет немало случаев в этом убедиться.
Вот несколько примеров того, как дроби могут пригодиться обычным людям в обычное время:
Приготовить блюдо по рецепту: если вы когда-нибудь листали поваренную книгу, вы там точно видели множество рецептов с пропорциями в виде дробей. Чтобы блюдо удалось, их нужно четко соблюсти, и для этого в первую очередь придется понять, что они означают.
Сказать (и понять) сколько времени: в начальной школе мы учимся говорить время с помощью таких долей, как полчаса, четверть часа, треть часа и т.д. Конечно, в эпоху смартфонов мы все реже спрашиваем время на улице, но всякое может случиться!
Сходить за покупками: кто откажется посвятить выходной день шопинг-терапии? Что может быть лучше, чем пробежаться по бутикам и узнать обо всех новинках? Так вот знайте, что, освоив дроби, вы получите намного больше удовольствия в любом торговом центре. Как это так? Сейчас объясню. Представьте, что вы заходите в какой-нибудь магазин и замечаете роскошные туфли или сумку, и к тому же на ценнике написано, что действует скидка 75%. Чтобы понять, сколько денег вы можете сэкономить, необходимы знание дробей!
Дроби могут пригодиться в этих и множестве других ситуаций в повседневной жизни, поэтому давайте не будем терять время и наконец разберемся, что же они такое и с чем их едят.
Из истории дробей
Многим школьникам порой хотелось бы, чтобы дроби просто исчезли, и их жизнь стала легче, но этого не произойдёт. Дроби существуют уже много-много лет, и как ни странно лучший способ действительно упростить себе существование — это их понять. Так что давайте начнем.
Изначально слово дробь происходит от глагола “дробить”, то есть разбивать на мелкие кусочки, и это неспроста! В математике дроби обозначают равные доли от целого и их количество. То есть каждый раз мы делим наше число на части и потом считаем сколько их! Например, одна вторая (½) — это одна из двух половин нашего “раздробленного” предмета.
Как мы сказали, дроби появились очень давно. Ими столетиями пользовались древние цивилизации, например: египтяне и шумеры. Однако, происхождение десятичных дробей восходит к одному человеку, жившему в 1500-х годах, по имени Симон Стевин. Он был фламандским математиком и посвятил много времени стандартизации использования десятичных дробей или, говоря простым языком, сделал так, чтобы люди “дробили” все числа на одно и то же количество частей.
Благодаря Симону Стевину использовать дроби стало проще, и со временем их освоило огромное количество людей. Скоро это сделаем и мы с вами.
Для успешного изучения дробей самая важная тема — это обыкновенные дроби. Их особенность в том, что они состоят из целых чисел, таких как 1, 2, 3 и т.д. Это значит, что понять их намного проще, чем другие разновидности дробей, и они могут пригодиться в большем количестве ситуаций. Ведь когда мы считаем разные предметы, мы пользуемся именно целыми числами.
Тем не менее даже обыкновенные дроби делятся на подвиды, и сейчас мы разберемся в самых главных из них, которых всего 3.
Также при изучении дробей вам может пригодится таблица умножения. Узнайте о том, как выучить таблицу умножения на нашем сайте.
К какому из трёх подвидов относится дробь?
Чтобы лучше понять правила использования дробей, в первую очередь необходимо знать три группы, на которые их разделяют. К ним относятся: правильные, неправильные и смешанные дроби. Вот краткое описание каждого из этих подвидов:
Правильные дроби: чтобы распознать правильную дробь, школьникам нужно лишь знать, что знаменатели в правильных дробях больше, чем числители.
Неправильные дроби: дроби, в которых числитель равен или больше знаменателя, называются неправильными дробями.
Смешанные дроби: в действительности смешанные дроби — это разновидность неправильных дробей. Просто их записывают в виде целого и дробной части.
Подвиды дробей — это непростая тема, но, поверьте, очень скоро вы во всем разберетесь. А помогут вам в этом наши хитрые советы!
Лучшие преподаватели по математике доступны для занятий
Поехали!
О разных способах выучить дроби
Поняв дроби, вы сможете решить множество примеров | Unsplash
Каждый из нас мыслит и запоминает информацию по-своему. У кого-то хорошо развита зрительная память, поэтому им нужно увидеть конкретные примеры. А кто-то имеет развитое абстрактное мышление и легче понимает теоретические объяснения. Существует огромное количество различных подходов к изучению дробей. Самое главное — это выбрать методику, которая подойдет именно вам и тренироваться, решая задачи. Вы можете найти огромное количество математических задач в интернете.
Вот несколько основных подходов к изучению дробей, которые могут помочь вам найти самый действенный способ для вас.
Определить важные составляющие
Прежде чем начать оперировать дробями, нужно разобраться, из чего состоит каждая обыкновенная дробь. Вот основные понятия с их определениями:
Числитель — это крайне важная цифра, расположенная над чертой в обыкновенной дроби. Она обозначает количество частей.
Знаменатель находится под чертой и жизненно необходим, потому что он показывает на сколько частей целое было разделено.
Поняв функции числителя и знаменателя, вы с легкостью разберетесь в правильных, неправильных и смешанных дробях. Вы сможете переходить к более сложным темам и использовать дроби в разных областях.
Числитель и знаменатель необходимы, чтобы понять, что такое дробь и что она обозначает. Если школьник увидит, что дроби — это не просто непонятные математические символы, а что они основаны на реальных предметах, то он легче осознает всю их важность. А когда мы осознаем важность какого-то понятия, мы стараемся всеми силами в нём разобраться.
Используйте рисунки и зрительную память
Наше первое знакомство с дробями обычно происходит в 3-4 классе начальной школы. Поскольку у детей хорошая зрительная память, и их нужно заинтересовать — им нужно много рисунков.
Мы очень рекомендуем начинать с основ: например, нарисовать круг и разделить его на равные части. Тогда дети поймут, что такое дроби и что они обозначают. Это в свою очередь позволит разжечь их интерес, чтобы двигаться дальше.
При наличии правильного подхода изучение дробей может показаться не таким уж и сложным процессом!
Хитрые советы, которые помогут при анализе дробей
Мы обычно начинаем изучать дроби в конце начальной школы | Unsplash
Какой бы раздел или тему мы не проходили на математике, нам нужно время, чтобы все хорошо понять и начать быстро решать задачи. Дроби — не исключение. Простые дроби специально проходят в конце начальной школы, чтобы ученики могли хорошо их освоить и использовать при решении более сложных примеров. Также дроби тесно связаны с математической операцией деления. Узнать больше о делении вы можете на нашем сайте.
Учитывая важность дробей, школьникам просто необходимо с ними разобраться. К счастью, для этого есть множество приёмов. В интернете легко можно найти хорошие образовательный материалы, а репетиторы по математике на Superprof могут все объяснить быстро и понятно. Они также могут поделиться хитрыми советами, которые помогут ученикам в решении задач.
Вот несколько особенно полезных советов от опытных математиков, которые уже выручили не одного школьника:
Поиск наименьшего общего знаменателя: общий знаменатель необходим для сложения или вычитания дробей. Почему это полезная хитрость? Школьник научится оперировать дробями и глубже поймет, как они работают. К тому же поиск общего знаменателя — это хорошая умственная гимнастика.
Использование круговых диаграмм: как и любой другой подход, основанный на рисунках, метод круговых диаграмм поможет в изучении дробей любому школьнику. Чем он полезен? Ученики будут представлять дроби в виде картинок и легче научатся применять их в разных ситуациях.
Хорошо выучить таблицу умножения: как известно, в математике все взаимосвязано. Мы постоянно движемся от простого к сложному, и очень важно это простое не забывать. Таблица умножения поможет школьникам как при делении, так и при поиске общего знаменателя. Они будут быстрее решать примеры с дробями и почувствуют себя увереннее благодаря этому. Таблица умножения — это действительно основа основ, и ей следует уделить должное внимание.
После ознакомления с этими хитрыми и полезными советами школьникам станет намного легче решать примеры и задачи с дробями, и это будет огромным шагом к пониманию математики.
Также при изучении дробей вам могут помочь приложения и занимательные игры. Узнайте о том, как выучить математику с помощью интернета на нашем сайте.
Дело Superprof — помочь вам в этом! Просто начните свой поиск с фразы: «репетитор по математике».
Определения из сегодняшней статьи
Поскольку в сегодняшней статье было довольно много технических терминов, и использовались слова, которые нечасто встретишь в повседневном общении, мы решили добавить несколько определений. Они будут полезны всем читателям, включая даже тех, кто уже с ними знаком. Как известно, повторение — мать учения.
Что такое наименьший общий знаменатель?
С математической точки зрения, наименьший общей знаменатель — это самое маленькое положительное число, которое можно разделить на a и b.
Что такое целое число?
При изучении различных разделов математики периодически употребляется термин “целое число”. Определение целого числа довольно простое — это любое положительное, отрицательное число или ноль, не являющееся дробью!
Надеемся, что чтение сегодняшней статьи доставило вам удовольствие и вдохновило вас и дальше открывать для себя чудесный мир математики!
Ищете преподавателя, который поможет вам разобрать в дробях? Тогда просто вбейте в поисковике: «репетитор по математике», «репетитор по математике москва» или «репетитор по математике спб».
дроби
Главная
Ключевые слова
дроби
Проектирование учебного занятия на основании ПРП, математика 5-й класс по теме «Правильные и неправильные дроби»
2022
Автор:
Львова Елена Николаевна
Это урок «открытия нового» знания спроектированный с учётом введения обновлённых ФГОС ООО 2022, направленный на создание условий для развития мыслительной деятельности учащихся, умения анализировать, сравнивать, обобщать и делать выводы. Данный урок призван развивать логическое мышление, внимание, интерес к предмету, математическую речь учащихся; развивать навыки самоконтроля и самооценки учащихся. Целью данного урока (занятия) является формирование понятий «правильная дробь» и «неправильная дробь», а также формирование умения применять полученные знания для решения практических задач.
дроби, правильные и неправильные дроби
Духовно-нравственное и патриотическое воспитание на уроках математики
2022
Автор:
Жукова Светлана Владимировна
В обучении математике с точки зрения патриотического воспитания огромную роль играет подбор математических задач для уроков с учётом дидактических и методических требований. Решение задач, включающих исторические сведения, способствует развитию кругозора учащихся и познавательного интереса к предмету. Тогда урок математики становится для них не просто уроком, на котором нужно решать, вычислять и заучивать формулы, а пробуждает чувства сопричастности к величию своей страны, собственных предков. Решение задач с практическим содержанием дает возможность учащимся задуматься о тяготах военных лет.
дроби, Решение задач с практическим содержанием
Интегрированный урок «Салат и дроби». 5-й класс
2022
Автор:
Осинцева Оксана Николаевна
Цель урока: показать практическое применение математики в жизни людей.
Формирование функциональной грамотности на уроках математики
2022
Автор:
Горина Ксения Александровна
На уроках математики возможна дифференциация заданий, то есть, все задания должны иметь разные уровни сложности. При решении и составлении задач учащимся могут предлагаться различные картинки, по которым им нужно составить и решить задачу. Оформлением дети занимаются самостоятельно, однако учителю необходимо тщательно следить за работой учеников. При затруднении выполнить данное действие предполагается, что учитель будет задавать наводящие вопросы.
дроби,
инклюзивное образование,
ЗПР,
инклюзивный подход
Путешествие в страну дроби
2021
Автор:
Сейфетдинова Хамдия Вагдятовна
Цели урока: повторить и обобщить знания и умения учащихся по теме «Дроби»; формировать умение анализировать, обобщать, развивать математическое мышление.
Проведение уроков математике в условиях инклюзивного обучения
2021
Автор:
Горина Ксения Александровна
На уроках математики возможна дифференциация заданий, то есть, все задания должны иметь разные уровни сложности. При решении и составлении задач учащимся могут предлагаться различные картинки, по которым им нужно составить и решить задачу. Оформлением дети занимаются самостоятельно, однако учителю необходимо тщательно следить за работой учеников. При затруднении выполнить данное действие предполагается, что учитель будет задавать наводящие вопросы.
дроби,
инклюзивное образование,
ЗПР, доли
Презентация к уроку математики по теме «Умножение дробей».
6-й класс
2020
Автор:
Жилис Елена Валерьевна
Представлена презентация к уроку математики по теме «Умножение дробей»в 6-м классе.
дроби,
умножение дробей
Сложение и вычитание обыкновенных дробей
2020
Автор:
Лихачева Елена Николаевна
Занятие с целью закрепления и систематизации знаний по теме сложения и вычитания обыкновенных дробей. Ради повышения интереса к математике урок построен как путешествие в страну дробей.
дроби,
сложение,
вычитание
Технологическая карта урока математики в 5-м классе «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями»
2020
Автор:
Нарейко Евгения Генадьевна
Цель урока: ввести правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями; развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание; развивать познавательный интерес через игровые моменты взаимоконтроля, взаимопроверки.
дроби, Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Методическая разработка урока математики в 5-м классе «Равенство дробей»
2019
Автор:
Черняева Леся Васильевна
Цели урока: познакомить с понятием равные, с основным свойством дроби и научить применять его в преобразовании дробей; способствовать формированию самооценки учащихся; формировать навыки взаимодействия друг с другом при работе в парах и группах.
дроби,
математика,
обыкновенные дроби
Технологическая карта урока по математике.
Тема урока: «Приведение дробей к новому знаменателю»
2019
Автор:
Исманова Рания Файзрахмановна
Цели урока: познакомить учащихся с основным свойством дроби; сформировать умения использовать основное свойство дроби для приведения дробей к новому знаменателю; развитие логики рассуждений, умения формулировать гипотезы, предложения, анализировать ситуации; способствовать развитию математической речи, оперативной памяти, произвольного внимания, наглядно-действенного мышлении; воспитывать культуру поведения при фронтальной работе, индивидуальной, парной работе.
дроби,
математика,
приведение дробей к новому знаменателю
Не нашли интересующий материал? Воспользуйтесь поиском по сайту.
Что такое дробь? Определение, части, примеры
Дробь показывает часть целого. Это целое может быть регионом или коллекцией. Слово «фракция» происходит от латинского слова «fractio», что означает «ломать». Египтяне, будучи первой цивилизацией, изучавшей дроби, использовали дроби для решения своих математических задач, которые включали в себя деление продуктов питания, припасов и отсутствие валюты в слитках.
В Древнем Риме дроби записывались только словами, обозначающими часть целого. В Индии дроби сначала записывались с одним числом над другим (числитель и знаменатель), но без черты. Только арабы добавили линию, которая используется для разделения числителя и знаменателя.
1.
Что такое дроби?
2.
Части дроби
3.
Типы фракций
4.
Дроби в числовой строке
5.
Часто задаваемые вопросы о дробях
Что такое дроби?
В математике дроби представлены числовым значением, которое определяет часть целого. Дробь может быть частью или частью любого количества из целого, где целым может быть любое число, определенное значение или вещь. Давайте разберемся с этой концепцией на примере. На следующем рисунке показана пицца, разделенная на 8 равных частей. Теперь, если мы хотим выразить одну выбранную часть пиццы, мы можем выразить ее как 1/8, что показывает, что из 8 равных частей мы имеем в виду 1 часть.
Означает одну из восьми равных частей. Его также можно прочитать как:
Одна восьмая или
.
1 на 8
Если мы выберем 2 части пиццы, это будет выражено как 2/8. Точно так же, если мы имеем в виду 6 частей этой пиццы, мы запишем это как 6/8 как дробь.
Части дроби
Все дроби состоят из числителя и знаменателя и разделены горизонтальной чертой, известной как дробная черта.
Знаменатель указывает количество частей, на которые было разделено целое. Он помещается в нижнюю часть дроби под дробной чертой.
Числитель указывает, сколько разделов дроби представлено или выбрано. Он ставится в верхней части дроби над дробной чертой.
Типы фракций
На основании числителя и знаменателя, которые являются частями дроби, существуют различные типы дробей, перечисленные ниже:
Правильная дробь
Правильные дроби — это дроби, у которых числитель меньше знаменателя. Например, 5/7, 3/8, 2/5 и т. д. — правильные дроби.
Неправильная дробь
Неправильная дробь — это дробь, в которой числитель больше или равен знаменателю. Оно всегда такое же или больше, чем целое. Например , 4/3, 5/2, 8/5 и так далее.
Дробная единица
Дроби, в которых числитель равен 1, называются единичными дробями. Например , 1/4, 1/7, 1/9 и так далее.
Смешанная дробь
Смешанная дробь представляет собой смесь целого числа и правильной дроби. Например, \(5\frac{1}{3}\), где 5 – целое число, а 1/3 – правильная дробь, или \(2\frac{2}{5}\), \( 7\frac{9}{11}\) и так далее.
Эквивалентная дробь
Эквивалентные дроби — это дроби, представляющие одно и то же значение после их упрощения. Чтобы получить эквивалентные дроби любой заданной дроби:
Мы можем умножить и числитель, и знаменатель данной дроби на одно и то же число.
Мы можем разделить и числитель, и знаменатель данной дроби на одно и то же число.
Пример: Найдите две дроби, равные 5/7.
Решение:
Эквивалентная дробь 1: Умножим числитель и знаменатель на одно и то же число 2. Это означает, что 5/7= (5 × 2)/(7 × 2) = 10/14
Эквивалентная дробь 2: Умножим числитель и знаменатель на одно и то же число 3. Это означает, что 5/7 = (5 × 3)/(7 × 3) = 15/21
Следовательно, 10/14, 15/21 и 5/7 — эквивалентные дроби.
Подобные и разные дроби
Подобные дроби — это дроби, имеющие одинаковые знаменатели. Например, 5/15, 3/15, 17/15 и 31/15 похожи на дроби.
В отличие от дробей, дроби имеют разные знаменатели. Например, 2/7, 9/11, 3/13 и 39/46 — разные дроби.
Дробь в числовой строке
Представление дробей на числовой прямой демонстрирует интервалы между двумя целыми числами, что также показывает нам фундаментальный принцип построения дробных чисел. Дроби на числовой прямой можно представить, составив равные части целого, то есть от 0 до 1. Знаменатель дроби будет представлять количество равных частей, на которые числовая линия будет разделена и отмечена. Например, если нам нужно представить 1/8 на числовой прямой, нам нужно отметить 0 и 1 на двух концах и разделить числовую прямую на 8 равных частей. Тогда первый интервал можно обозначить как 1/8. Точно так же следующий интервал можно пометить как 2/8, следующий — как 3/8 и так далее. Следует отметить, что последний интервал представляет 8/8, что означает 1. Обратите внимание на следующую числовую строку, которая представляет эти дроби в числовой строке.
☛Статьи по теме
Умножение дробей
Деление дробей
Сложение и вычитание дробей
Примеры дробей
Пример 1: Запишите две эквивалентные дроби для 5/15
Решение:
Давайте запишем эквивалентные дроби для 5/15, используя умножение и деление.
а.) Умножим числитель и знаменатель на одно и то же число 2. Это означает, что (5 × 2)/(15 × 2) = 10/30
б.) Разделим числитель и знаменатель с тем же числом 5. Это означает, что (5 ÷ 5)/(15 ÷ 5) = 1/3
Следовательно, 10/30 и 1/3 эквивалентны 5/15. Другими словами, 10/30, 1/3 и 5/15 являются эквивалентными дробями.
Пример 2: В классе 48 учеников, 1/4 из них смотрят мультфильмы. Сколько школьников не смотрят мультфильмы?
Решение:
Общее количество учеников = 48, доля учеников, смотрящих мультфильмы = 1/4
Количество учеников, которые смотрят мультфильмы = 1/4 × 48 = 12
Таким образом, количество учеников которые не смотрят мультики = 48 — 12 = 36
Следовательно, число школьников, которые не смотрят мультики, равно 36.
Пример 3: Укажите истинное или ложное значение.
а.) Правильные дроби – это дроби, у которых числитель меньше знаменателя.
б.) 9/2 — правильная дробь.
в.) 3/4 и 2/4 подобны дробям.
Решение:
а.) Правильными дробями называются дроби, у которых числитель меньше знаменателя.
b.) Неверно, 9/2 — неправильная дробь, потому что числитель больше знаменателя.
в.) Верно, что 3/4 и 2/4 подобны дробям, потому что у них одинаковые знаменатели.
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Хотите построить прочную основу в математике?
Выйдите за рамки запоминания формул и поймите «почему», стоящее за ними. Испытайте Cuemath и приступайте к работе.
Забронировать бесплатный пробный урок
Практические вопросы по дробям
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о дробях
Что такое дроби в математике?
Дроби в математике представляют числовое значение, выражающее часть целого. Целое может быть любым числом, определенным значением или вещью. Фракции представлены в виде p/q. Например, ¼, ½, ¾ и так далее.
Какие существуют типы дробей?
Дроби классифицируются по следующему признаку:
На основании числителя и знаменателя они подразделяются на правильные дроби, неправильные дроби, смешанные дроби.
На основе групп они классифицируются как похожие дроби, непохожие дроби и эквивалентные дроби.
Сколько частей в дроби?
Дробь состоит из двух частей: числителя и знаменателя.
Числитель: Числитель представляет собой число, расположенное над дробной чертой. Например, в 6/7 числитель 6.
Знаменатель: Знаменатель указывает число, расположенное под дробной чертой. Например, в 6/7 7 является знаменателем.
Что такое 0,125 в виде дроби?
0,125, поскольку дробь может быть записана как 1/8. Мы можем преобразовать десятичную дробь в дробь следующим образом. 0,125 = 125/1000 = 5/40 = 1/8
Как связаны дроби и десятичные числа?
Дроби и десятичные дроби — это разные способы представления чисел. Дроби записывают в виде p/q, где q≠0, например, 3/5; а в десятичных числах целая часть числа и дробная часть связаны с запятой, например, 3,56. Дробь можно преобразовать в десятичную, если разделить данный числитель на знаменатель. Точно так же, чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь, мы записываем данную десятичную дробь в качестве числителя, а под ней ставим дробную черту. Затем мы помещаем 1 прямо под десятичной точкой, за которой следует необходимое количество нулей. Затем эту дробь можно упростить. Например, если нам нужно преобразовать 0,5 в дробь, мы помещаем 10 в знаменатель и удаляем десятичную точку, что дает 5/10. После сокращения дроби получаем (5 ÷ 5) / (10 ÷ 5) = 1/2.
Как упростить дроби?
Чтобы упростить дробь, мы сначала запишем множители для числителя и знаменателя. Затем определите наибольший общий множитель между ними и разделите числитель и знаменатель на наибольший общий множитель (GCF). Приведенная дробь, которую мы получаем, является простейшей формой данной дроби. Например, чтобы упростить 36/45, мы найдем НОД 36 и 45. НОД 36 и 45 = 9. Теперь разделим числитель и знаменатель на 9., то есть (36 ÷ 9)/(45 ÷ 9) = 4/5
Как умножать дроби?
Чтобы умножить любые две дроби, мы сначала умножаем числители, затем умножаем знаменатели. Затем упростите полученную дробь. Например, 3/5 × 15/18 = 45/90 = 1/2.
Как делить дроби?
Чтобы разделить одну дробь на другую, мы сначала записываем обратную величину второй дроби, а затем умножаем дроби. Другими словами, мы умножаем первую дробь на обратную величину второй дроби. Написав обратную величину второй дроби, умножаем дроби обычным способом. Мы умножаем числители, а затем умножаем знаменатели. Затем упростите полученную дробь, если требуется. Например, 5/6 ÷ 1/5 = 5/6 × 5/1 = 25/6 = \(4\frac{1}{6}\)
Как называются дроби с одинаковым знаменателем?
Дроби с одинаковым знаменателем называются подобными дробями. Например, 4/7, 3/7, 5/7 похожи на дроби, потому что у них один и тот же знаменатель.
Как определить, какая дробь больше?
Чтобы определить большую дробь, нам сначала нужно проверить, являются ли данные дроби похожими на дроби. Для этого нам нужно сравнить знаменатели.
При одинаковых знаменателях больше будет та дробь, у которой числитель больше. Например, чтобы сравнить 3/4 и 2/4, мы можем легко проверить числители и сказать, что 3/4 > 2/4
.
В случае разных знаменателей мы переводим данные дроби в подобные дроби, записывая для них общий знаменатель, а затем сравниваем числители. Например, чтобы сравнить 2/3 и 4/5, мы найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Как только знаменатели станут одинаковыми, мы сможем легко сравнивать дроби. НОК чисел 3 и 5 равно 15. Теперь переведем их так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Умножим первую дробь 2/3 на 5/5, то есть 2/3 × 5/5 = 10/15. Теперь умножим вторую дробь 4/5 на 3/3, то есть 4/5 × 3/3 = 12/15. Сравните дроби: 10/15 и 12/15. Поскольку знаменатели одинаковы, мы сравним числители и увидим, что 12 > 10 . Дробь с большим числителем является большей дробью, то есть 10/15 < 12/15. Следовательно, 2/3 < 4/5.
Все ли дроби меньше 1?
Нет, все дроби не меньше 1.
Правильные дроби больше 0, но меньше 1. (Числитель меньше знаменателя).
Неправильные дроби всегда равны 1 или больше 1. (Числитель больше или равен знаменателю)
Как складывать дроби с разными знаменателями?
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нам нужно выполнить следующие шаги. Сложим дроби 4/5 + 6/7
Шаг 1: Поскольку знаменатели в данных дробях разные, мы найдем НОК 5 и 7, чтобы сделать их одинаковыми. НОК 5 и 7 = 35,
Шаг 2: После этого шага мы умножим 4/5 на 7/7, то есть (4/5) × (7/7) = 28/35, а 6/7 на 5/5, ( 6/7) × (5/5) = 30/35. Этот шаг преобразует их в похожие дроби с одинаковыми знаменателями.
Шаг 3: Теперь знаменатели совпадают, поэтому мы можем сложить числители и сохранить общий знаменатель. Новые дроби с общими знаменателями — 28/35 и 30/35. Итак, 28/35 + 30/35 = (28 + 30)/35 = 58/35 = \(1\frac{23}{35}\).
Как умножать дроби на целые числа?
Чтобы умножить дроби на целые числа, мы записываем целое число в виде дроби, помещая 1 в знаменатель, а затем следуем обычной процедуре умножения дробей. Например, давайте умножим 5/8 × 3. Здесь 3 — целое число, и мы запишем его как 3/1. Теперь умножим 5/8 × 3/1 = 15/8 = \(1\frac{7}{8}\)
Что такое сравнение дробей?
Сравнение дробей означает нахождение большей и меньшей дроби между любыми двумя или более дробями. Например, давайте сравним 3/16 и 7/16. Сначала рассмотрим знаменатели данных дробей: 3/16 и 7/16. Поскольку знаменатели одинаковы, мы можем сравнить числители. Мы видим, что 3 < 7. Дробь с большим числителем является большей дробью. Следовательно, 3/16 < 7/16. В случае, если дроби имеют разные знаменатели, мы преобразуем их в подобные дроби, найдя НОК знаменателей и записав соответствующие эквивалентные дроби. Как только знаменатели станут одинаковыми, мы можем легко сравнить числители и определить большую дробь.
Руководство по дробям из 10 простых фактов | Бретт Берри | Математические приемы
Без шуток, просто
Математики любят дроби, а остальной мир их ненавидит . Я не знаю, какие травмирующие события вы пережили в детстве, но мне жаль, что они были такими болезненными.
В ДЕСЯТИ ФАКТАХ я объясню все, что вам нужно знать о дробях, как можно яснее.
Да, один урок, десять основных идей, менее десяти минут чтения.
Готов?
факт первый
Каждая дробь имеет числитель , который равен количеству частей, у нас есть , и знаменатель , равный общему количеству частей в целом.
Как и в случае с тортом, у вас может быть 2 маленьких кусочка или 1 кусок в два раза больше, и это будет столько же. Следовательно, многие дроби эквивалентны, например, 2/5 и 4/10.
4/102/5
факт два
Напишите любое целое число, превышающее 1 , чтобы оно стало дробью, поскольку общее количество частей в любом неделимом целом равно единице.
факт три
Умножение дробей легко , просто умножить прямо.
3 x 7 = 21 и 5 x 8 = 40
Примечание. Сначала нужно преобразовать смешанные числа в неправильные дроби. Подробнее об этом читайте дальше.
факт четыре
Число 1 называется мультипликативное тождество , потому что мы можем умножить его на любое число, и число останется прежним. Это важно для дробей, потому что часто нам нужно изменить внешний вид дроби без фактического изменения ее значения.
Например, я могу преобразовать 1/3 в эквивалентную дробь 3/9, умножив на 3/3.
Умножение на 1 в виде 3/3 превращает 1/3 в эквивалентную дробь 3/9
Факт пять
При сложении и вычитании дробей знаменатели должны быть одинаковыми . Это имеет смысл. Если мы хотим объединить или убрать части, мы должны говорить о частях одинакового размера, иначе это приведет к путанице.
Так что же делать, если ваши дроби не имеют одинаковых размеров?
Умножьте на единицу, чтобы привести знаменатели к общему размеру. По сути, мы делим дроби на части меньшего размера, пока они не станут одинакового размера. Это называется найти общий знаменатель.
По правде говоря, подойдет любой общий знаменатель, но люди предпочитают находить наименьший. В этом случае наименьшее число, в которое входят и 7, и 3 без остатка, равно 21. Итак, умножьте первую дробь на 3/3, а вторую на 7/7.
Умножьте на формы 1, чтобы получить общий знаменатель 21.
Если вы не можете придумать наименьший общий знаменатель, вы всегда можете умножить каждую дробь на противоположный номинал . Иногда, как в данном случае, это оказывается наименьшим общим знаменателем. Если это не так, просто сократите свой ответ в конце.
Когда знаменатели совпадут, вычтите числители, чтобы получить 8/21.
15–7 = 8
Это работает, как и следовало ожидать. Графически начните с 15 штук из 21 всего.
Обратите внимание: у меня 5/7 повторяются 3 раза, это напрямую связано с умножением 5/7 на 3/3 для получения 15/21.
Удалите краску с 7 из 15 синих блоков.
Что оставляет 21 августа, как и ожидалось.
факт шесть
смешанное число представляет собой комбинацию целого числа и дроби.
Пример смешанного числа
Смешанные числа плохо сочетаются с другими дробями. Рекомендуется сначала преобразовать их в неправильные дроби.
Примечание: неправильная дробь — это дробь, числитель которой больше знаменателя, следовательно, ее значение больше единицы.
факт семь
Чтобы преобразовать 2 и 4/5 в неправильную дробь , прибавьте 2 + 4/5.
Шаг 1: Начните с перезаписи 2 как 2/1.
Шаг 2: Умножьте 2/1 на 5/5, чтобы получить эквивалентную дробь 10/5, которая имеет желаемый общий знаменатель 5.
5/5 = 1, мультипликативное тождество
Шаг 3 : Сложение 10/5 + 4/5.
Наш результат — эквивалент неправильной дроби 14/5.
Чтобы преобразовать обратно в смешанное число, выполните деление. Например, 5 входит в число 14 два раза (поскольку 5 x 2 = 10), и остается 4 части.
Равные дроби в неправильной (слева) и смешанной форме (справа)
факт восемь
Предположим, мы хотим определить, что больше: 5/12 или 6/13.
Сначала убедитесь, что они не в форме смешанных чисел!
Шаг первый: Умножьте диагональ и запишите произведение над числителем.
Шаг второй: Умножьте другую диагональ и запишите ее произведение над числителем.
Шаг третий: Сравните продукты. Сторона с , чем больше произведение, тем больше дробь. Итак, в данном случае 5/12 меньше, чем 6/13.
Примечание: символ больше/меньше всегда открывается в сторону большего значения.
Мы также можем определить, равны ли дроби, используя векторные произведения.
Перекрестное произведение 3/7 и 12/28 равно 84, поэтому 3/7 = 12/28.
факт девять
Самое лучшее в дробях заключается в том, что вы можете найти множество возможностей отменить. Что делает их быстрыми и легкими в управлении.
Допустим, у меня есть дробь 8/10. И 8, и 10 можно переписать с множителем 2.
Поскольку 2/2 = 1, я могу сократить двойки, оставив 4/5 в виде сокращенной дроби.
Вычеркните двойки, так как 2/2 = 1
Используйте эту стратегию, чтобы упростить умножение дробей.
Начните с перезаписи каждого числа в множителях.
Отменить все пары чисел, которые делятся на 1. Например, 5/5 = 1.
У меня есть еще одна пара пятерок, а также пара троек, которые тоже делятся на 1.
Ой! Я мог бы переписать 6 как 2 x 3 и отменить пару двоек. Ничего страшного, если вы пропустите какой-то фактор, просто продолжайте, пока не получите их все.
Примечание: я переписал 2 как 2 x 1, так что, когда я исключаю двойки, в числителе остается единица.
Если бы умножить 15/25 на 10/18 напрямую, то пришлось бы много арифметических действий, используя отмену I , чтобы предварительно уменьшить дроби и упростить умножение.
факт десять
Принцип деления дробей прост на простых примерах, таких как:
В целом есть две половины, поэтому в 5 целых 10 половинок.
Но с более сложными дробями эта концепция усложняется.
Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать два факта:
Мы можем умножать на любую форму единицы (т.е. на что угодно над самим собой)
Умножая на обратную величину 3/2, которая равна 2/3, приводит к 1 через отмену
Шаг первый: Начните с умножения на обратную величину над собой.
Теперь нам нужно решить две меньшие задачи (синяя и зеленая).
Шаг второй: Отменить все, что делится на 1 в нижней (зеленой) дроби. Это должно всегда приводить к 1.
Теперь нам осталось решить основную проблему.
Шаг третий: Используйте отмену для предварительного уменьшения дроби. Сделав эти сокращения, умножьте, чтобы получить 4/3.
Ярлык
Это механика длинной руки » флип и умножение. ”
Мы можем пропустить умножение на обратную величину внизу, так как она всегда сокращается до 1. Поэтому все, что вам нужно сделать, это умножьте числитель на обратную величину знаменателя.
Почему работает трюк с перекрестным произведением?
Отличный вопрос! Чтобы обобщить, составьте две дроби, используя буквы a, b, c и d, чтобы представить четыре разных числа.
Умножьте обе дроби на b•d (это позволит нам сократить знаменатели).
Теперь сократите b слева и d справа, так как они делятся на 1. У нас больше нет дробей, только произведения d•a и c•b.
Посмотрите на исходные дроби. Это те же произведения, как если бы мы перемножили диагонали. Поэтому проще всего сравнить перекрестный продукт.
❤ ОСТАВАЙТЕСЬ НА СВЯЗИ ❤
Будьте в курсе всех новостей Math Hacks!
Инстаграм | Фейсбук | Twitter
Далее: Головоломка с числами 8, 8, 3, 3
Спасибо за чтение!
Math Hacks уже на YouTube!
Присоединяйтесь ко мне, пока мы вместе решим математику, по одной задаче за раз. Распространение любви к математике + расширение прав и возможностей. Подпишитесь на новые…
www.youtube.com
Распространенная математическая ошибка, которую я заметил в последнее время
Вы случайно сделали это с домашним заданием вашего ребенка?
medium. com
Комбинации и перестановки
Мы используем термин «комбинация» вольно и обычно неправильно. Мы говорим что-то вроде: «Эй, что у тебя…
medium.com
Понимание логарифмов и корней
Бревна и корни — нет, я не говорю о деревьях. Я говорю о математическом роде. Бьюсь об заклад, вы думаете,
medium.com
4: Дроби — Математика LibreTexts
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
4997
OpenStax
OpenStax
Часто в жизни целые суммы — это не совсем то, что нам нужно. Пекарь должен использовать чуть больше чашки молока или части чайной ложки сахара. Точно так же плотнику может понадобиться меньше фута дерева, а маляру может понадобиться часть галлона краски. В этой главе мы узнаем о числах, которые описывают части целого. Эти числа, называемые дробями, очень полезны как в алгебре, так и в повседневной жизни. Вы обнаружите, что уже знакомы со многими примерами дробей!
4.1: Визуализация дробей (часть 1)
Дробь — это способ представления частей целого. Знаменатель b представляет собой количество равных частей, на которые было разделено целое, а числитель a представляет, сколько частей включено. Знаменатель b не может быть равен нулю, потому что деление на ноль не определено. Смешанное число состоит из целого числа и дроби. Когда дробь имеет числитель меньше знаменателя, она называется правильной дробью, и ее значение меньше единицы.
4.2: Визуализация дробей (часть 2)
Эквивалентные дроби — это дроби, имеющие одинаковое значение. При работе с дробями часто бывает необходимо выразить одну и ту же дробь в разных формах. Чтобы найти эквивалентные формы дроби, мы можем использовать свойство эквивалентных дробей. Мы можем использовать символы неравенства для упорядочивания дробей. Помните, что a > b означает, что a находится справа от b на числовой прямой. По мере того, как мы движемся слева направо по числовой прямой, значения увеличиваются.
4.3: Умножение и деление дробей (часть 1)
Дробь считается упрощенной, если в числителе и знаменателе нет общих множителей, кроме 1. Если дробь имеет общие делители в числителе и знаменателе, мы можем привести дробь к ее упрощенной форме, удалив общие делители. Чтобы умножить дроби, мы умножаем числители и умножаем знаменатели. Тогда запишем дробь в упрощенной форме.
4.4: Умножение и деление дробей (Часть 2)
Обратная дробь a/b равна b/a, где a ≠ 0 и b ≠ 0. Произведение числа и его обратной величины равно 1. Чтобы найти обратную дробь, мы инвертируем дробь. Это означает, что мы помещаем числитель в знаменатель, а знаменатель в числитель. Чтобы разделить дроби, умножьте первую дробь на обратную вторую.
4.5: Умножение и деление смешанных чисел и комплексных дробей (часть 1)
Чтобы умножить или разделить смешанные числа, преобразуйте смешанные числа в неправильные дроби. Затем следуйте правилам умножения или деления дробей, а затем упростите, если это возможно. Сложная дробь – это дробь, в которой число и/или знаменатель содержит дробь. Чтобы упростить сложную дробь, перепишите сложную дробь в виде задачи на деление. Затем следуйте правилам деления дробей и затем упростите, если это возможно.
4.6: Умножение и деление смешанных чисел и комплексных дробей (Часть 2)
Обычно перед дробью ставится знак минус, но иногда встречаются дроби с отрицательным числителем или знаменателем. Когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, частное отрицательно. Если и числитель, и знаменатель отрицательны, то дробь положительна, потому что мы делим отрицательное число на отрицательное. Полосы дробей действуют как символы группировки. Выражения над и под разделительной чертой следует рассматривать так, как если бы они были заключены в круглые скобки.
4.7: Сложение и вычитание дробей с общим знаменателем
Чтобы сложить дроби, сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем. Чтобы вычесть дроби, вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем.
4.8: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями (часть 1)
Наименьший общий знаменатель (НОД) двух дробей — это наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Чтобы найти LCD двух дробей, разложите каждый знаменатель на его простые числа. Затем перечислите простые числа, по возможности совпадая с простыми числами в столбцах, и сократите столбцы. Наконец, умножьте множители вместе, произведение будет LCM знаменателей, который также является LCD дробей.
4.9: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями (Часть 2)
При умножении дробей вы умножаете числители и знаменатели вместе соответственно. Чтобы разделить дроби, нужно умножить первую дробь на обратную вторую. Для сложения дробей сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем. Если дроби имеют разные знаменатели, сначала преобразуйте их в эквивалентные формы с помощью ЖК-дисплея. Аналогично, для вычитания дроби вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем.
4.E: Fractions (Exercises)
4.S: Fractions (Summary)
4.10: Add and Subtract Mixed Numbers (Part 1)
To сложите смешанные числа с общим знаменателем, сначала перепишите задачу в вертикальной форме. Затем сложите целые числа и дроби вместе. Наконец, упростите сумму, если это возможно. Альтернативный метод сложения смешанных чисел состоит в том, чтобы преобразовать смешанные числа в неправильные дроби, а затем сложить неправильные дроби. Этот метод обычно пишется горизонтально.
4.11: Сложение и вычитание смешанных чисел (Часть 2)
Чтобы вычесть смешанные числа с общими знаменателями, сначала перепишите задачу в вертикальной форме и сравните две дроби. Если верхняя дробь больше нижней, вычтите дроби, а затем целые числа. Если верхняя дробь не больше нижней дроби, то в верхнем смешанном числе взять одно целое и прибавить его к дробной части, получив смешанное число с неправильной дробью. Затем вычтите дроби, а затем целые числа. Наконец, упростите, если это возможно.
4.12: Решение уравнений с дробями (часть 1)
Шаги, которые мы предпринимаем, чтобы определить, является ли число решением уравнения, одинаковы, независимо от того, является ли решение целым числом, целым числом или дробью . Чтобы определить, является ли число решением уравнения, сначала подставьте число вместо переменной в уравнении. Затем упростите выражения в обеих частях уравнения и определите, верно ли полученное уравнение. Если это правда, число является решением. Если это не так, число не является решением.
4.13: Решение уравнений с дробями (Часть 2)
Чтобы решить реальные задачи, нам сначала нужно прочитать задачу, чтобы определить, что мы ищем. Затем мы пишем словосочетание, которое дает информацию, чтобы найти его. Затем мы переводим словосочетание в математическую запись, а затем упрощаем. Наконец, мы переводим математическую запись в предложение, чтобы ответить на вопрос.
Рис. 4.1. Пекари комбинируют ингредиенты для приготовления вкусного хлеба и выпечки. (кредит: Агустин Руис, Flickr)
Эта страница под названием 4: Fractions распространяется по незаявленной лицензии и была создана, изменена и/или курирована OpenStax.
Наверх
Была ли эта статья полезной?
Тип изделия
Глава
Автор
ОпенСтакс
Версия лицензии
4,0
Показать страницу Содержание
нет
Теги
На этой странице нет тегов.
Основы дробей – Математика для торговли: Том 1
Дроби
Что такое дробь? Вы когда-нибудь имели дело с дробями в школе или на работе? Итак, дробь — это часть (или часть) целого.
Допустим, вы заказали пиццу, и в ней было 8 кусков. В тот день вы были голодны и съели 5 ломтиков, поэтому съели 5 из 8 ломтиков. Это можно представить в виде дроби.
Наша история о фракциях начинается с Эбигейл, Ханны и Наоми, учениц-электриков, которые одновременно учатся в школе и надеются вместе открыть компанию, как только получат билеты на электричество с красной печатью.
Начнем с пары определений. Каждая дробь состоит из двух частей: числителя и знаменателя. Давайте посмотрим на дробь, чтобы определить каждую.
Числитель : Число над чертой в дроби. Он показывает, сколько частей целого подсчитывается.
Знаменатель : Число под чертой в дроби. Он показывает, сколько всего частей в целом.
Если Эбигейл, Ханна и Наоми в конечном итоге станут владельцами компании, каждая из них будет владеть ⅓ этой компании. Каждый человек представляет 1 владельца, а вместе в компании 3 владельца.
Приведенные выше примеры представляют собой типичные дроби, но мы не всегда видим дроби в такой форме. Есть еще два типа дробей, с которыми мы имеем дело: смешанные числа и неправильные дроби .
Смешанные номера
Допустим, трое учеников собираются однажды вечером, чтобы поговорить о будущем, и заказывают 2 пиццы, по 8 штук в каждой.
(Я знаю, что пиццы выглядят совершенно одинаково, но в этом вам придется мне поверить. Одно можно сказать наверняка: каждая пицца состоит из 8 ломтиков, и кто-то пошел дальше и попробовал обе пиццы на вкус.)
Нам нужно разбить это на части: всего у нас есть 2 пиццы, каждая из которых состоит из 8 ломтиков. Всего получается 16 ломтиков. Если ученики съедят 1 пиццу целиком, они съедят 8 из 8 кусков.
[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{8}{8}=1[/латекс]
Теперь предположим, что у одного из них есть еще один кусок второй пиццы. Теперь они съедят 1 целую пиццу плюс 1 кусочек.
Это так называемое смешанное число. Смешанное число можно определить следующим образом:
.
Смешанное число : Сочетание целого числа и дроби.
Далее рассмотрим неправильные дроби.
Неправильные дроби
Неправильная дробь : Дробь, в которой числитель больше знаменателя.
Это означает, что число в верхней части дроби больше числа в нижней части. Мы вернемся к нашему примеру с пиццей. Вместе ученики съели в общей сложности 9ломтики. Это составляет 1 целую пиццу плюс 1 кусок второй пиццы. В виде неправильной дроби количество съеденных пицц будет выглядеть так:
.
[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{9}{8}[/латекс]
Теперь мы хотим преобразовать смешанное число в неправильную дробь, а затем сделать обратное, взять неправильную дробь и преобразовать ее обратно в смешанное число.
Замените следующее смешанное число неправильной дробью:
[латекс]\НАИБОЛЬШИЙ1\dfrac{3}{4}[/latex]
Шаг 1 : Превратите целое число в дробь со знаменателем 4.
[latex]\LARGE1=\dfrac{4}{4}[/latex]
Шаг 2 две дроби вместе. Теперь нам придется немного забежать вперед, так как мы еще не рассмотрели добавление дробей. Я дам вам дешевую и простую версию здесь. Пока знаменатели одинаковы, у нас все хорошо. При сложении дробей мы просто сохраняем знаменатели одинаковыми и добавляем числители. (Мы подробно рассмотрим сложение дробей в следующей главе.)
Это может показаться немного запутанным, но следуйте за мной. Со смешанным числом 1 ¾ возьмите 4 и умножьте его на 1. Затем прибавьте 3, и вы получите 7. Это тот же ответ, просто другой способ его получения.
Попробуйте самостоятельно перейти от смешанного числа к неправильной дроби.
Измените следующую дробь на неправильную. Посмотрите видео ответ, чтобы увидеть, как вы это сделали.
[латекс]\БОЛЬШОЙ3\dfrac{3}{8}[/латекс]
Хорошо: надеюсь, вы справились с вычислением смешанных чисел и неправильных дробей. Но как насчет обратного? Мы также должны рассмотреть пример этого, а затем дать вам возможность проработать его самостоятельно.
Превратите следующую неправильную дробь в смешанное число:
[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{27}{6}[/латекс]
Шаг 1 : Узнайте, сколько раз 6 входит в число 27. Мы можем сделать это, используя деление в большую сторону. Хорошей новостью здесь является то, что мы уже прошли длинное деление в первой главе. Если вам нужно пересмотреть его, оглянитесь назад, чтобы увидеть, как это делается (см. Разделение целых чисел).
В итоге мы получаем, что 6 входит в число 27 четыре раза, а 3 остается. Таким образом, наше смешанное число становится следующим:
[латекс]\БОЛЬШОЙ4\dfrac{3}{6}[/латекс]
Попробуйте еще один тренировочный вопрос.
Замените следующую неправильную дробь смешанным числом. Посмотрите видео-ответ, чтобы узнать, как вы это сделали.
[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{17}{3}[/латекс]
Прежде чем мы перейдем к сложению и вычитанию дробей, мы должны коснуться другого понятия, известного как сокращение дробей. Уменьшение — это то, что мы делаем, когда хотим сделать уменьшенную версию дроби, которая по-прежнему имеет то же математическое значение, что и оригинал.
Вернемся к нашей пицце. Еще раз, у нас есть 8 кусочков на пиццу. Теперь, скажем, мы съедаем 4 таких ломтика. Мы съели:
Если бы вас спросили, сколько у вас пиццы, что бы вы ответили? Скажете ли вы: «Я съел 4 из 8 возможных кусочков» или «Я съел половину пиццы»? Думаю, мы все согласимся, что просто скажем, что съели половину пиццы, поскольку 4 куска составляют половину пиццы. Если бы мы записали половину как дробь, это выглядело бы так:
.
[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{1}{2}[/латекс]
Тогда мы могли бы заключить, что две дроби математически представляют одно и то же, и это всего лишь два разных способа представления одного и того же. Вы можете посмотреть на это так: я вырезал два куска дерева. Один из них имеет длину 12 дюймов, а другой — 1 фут. Они одинаковой длины — просто их длины выражаются по-разному. В итоге имеем вот это:
Что мы сделали, так это уменьшили дробь с 4 на 8 до 1 на 2 без изменения фактического представленного значения. Математически это было сделано следующим образом: мы взяли исходный числитель 4 и разделили его на 4. То, что делается с одной частью дроби, должно быть сделано и с другой, поэтому мы также разделили знаменатель 8 на 4, в результате чего дробь от 1 к 2.
Выполнение одного и того же действия с числителем и знаменателем гарантирует, что исходная дробь и конечная дробь равны по значению.
Мы сокращаем дроби, когда можем разделить одно и то же число без остатка как на числитель, так и на знаменатель. В нашем примере 4 можно разделить на оба. Обратите внимание, что число 2 также можно разделить как на числитель, так и на знаменатель. Если мы разделим оба на 2, мы получим:
Хотя с математической точки зрения это по-прежнему работает, мы часто хотим привести дробь к ее наименьшему выражению, то есть к точке, в которой ее уже нельзя уменьшить. Доля 2 к 4 может быть еще больше уменьшена до 1 к 2, так что мы могли бы проделать дополнительную работу, если бы захотели.
Давайте пройдемся по мыслительной схеме при сокращении дробей. Возьмите следующую дробь и уменьшите ее до наименьшего значения:
[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{8}{12}[/латекс]
Шаг 1 : Здесь мы хотим взглянуть на оба числитель и знаменатель и определить, есть ли число, которое может войти в них обоих. Возможно, будет проще, если вы запишете числа, начиная с 1, а затем решите, какие числа могут входить как в 8, так и в 12.
Из этого мы можем сделать вывод, что наибольшее число, которое может входить как в 8, так и в 12, равно 4.
Шаг 2 : Разделите числитель и знаменатель на 4.
Вот и все: теперь дробь приведена к наименьшему значению. Когда вы закончите, всегда смотрите на ответ, просто чтобы убедиться, что определенно нет другого числа, которое могло бы войти в числитель и знаменатель, так как это означало бы, что дробь может быть уменьшена еще больше.
Приведенный выше пример довольно прост. Когда речь идет о больших числах, иногда проще решить вопрос за пару шагов, чтобы медленно уменьшить дробь. Взгляните на следующий пример, чтобы понять, что я имею в виду.
Сократите следующую дробь до наименьшего члена:
[латекс]\НАИБОЛЬШИЙ\dfrac{24}{168}[/латекс]
Шаг 1 : Определите, существует ли число, которое может войти как в числитель, так и в числитель. знаменатель. Если имеется более одного числа, используйте большее число.
Это немного сложнее, чем первый вопрос, так как числа намного больше и с ними сложнее работать. Возвращаясь к нашим таблицам умножения, мы видим, что 6, 8 и 12 составляют 24. Мы также можем сказать, что 24 составляет 24. Но как насчет 168? Что входит в это?
Одна вещь, которую мы знаем наверняка, это то, что 2 входит в обе части, так почему бы нам не начать с того, что мы возьмем каждую часть дроби и разделим ее на 2. Если у вас возникли проблемы с делением 168 на 2 в уме, продолжайте и воспользуйся своим калькулятором.
Шаг 2 : Определите, можно ли еще уменьшить дробь. Мы видим, что снова можно разделить оба числа на 2.
Шаг 3 : Повторите шаг 2 и определите, можно ли еще уменьшить дробь. На этот раз мы отмечаем, что 6 может входить как в 6, так и в 42, поэтому мы делим и числитель, и знаменатель на 6.
Вот и все: мы сократили эту крупную дробь до минимального значения всего за несколько шагов. Я признаю, что если бы мы использовали калькулятор для всей этой процедуры, мы могли бы получить ответ с меньшими усилиями, но это не главное. Делая это в долгосрочной перспективе, вы начинаете тренировать свой мозг в отношениях между числами. Когда вы лучше познакомитесь с числами, вы сможете различать закономерности и понимать отношения, формирующиеся в математике. Хотя поначалу это может занять немного больше времени, со временем отдача будет велика.
Попробуйте задать себе пару вопросов и посмотрите ответы в видео, чтобы узнать, как вы справились.
Приведите следующие дроби к наименьшему виду.
[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{15}{18}[/латекс]
[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{24}{36}[/латекс]
Brilliant Math & Science Wiki
Хеманг Агарвал,
Даниэль Майя,
Мира Б,
а также
способствовал
Содержимое
Визуальное представление
Классификация
Умножение дробей
Добавление дробей
Арифметика дробей
Сложные дроби
Дроби — Проблемы со словами
Дроби — решение задач
Смотрите также
Часть, заштрихованная синим цветом ниже, является визуальным представлением двух третей:
две трети заполнены
Продолжая шаг за шагом, мы можем понять, почему 23 \frac{2}{3} 32 выглядит так, как показано на рисунке выше:
Начните с целого объекта или единицы: 111. единица
Разделите его в соответствии со знаменателем (((здесь мы делим на 3):133): \frac{1}{3}3):31. разделить
Умножьте этот результат в соответствии с числителем (((здесь мы умножаем на 2):232): \frac{2}{3}2):32. результат
Правильная дробь – это дробь, у которой числитель меньше знаменателя, например 45. \фракция{4}{5}. 54.
Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя, например. 74. \фракция{7}{4}. 47.
Смешанное число записывается как целая часть числа, за которой следует дробная часть. Дробная часть смешанного числа всегда является правильной дробью, например. 413. 4\фракция{1}{3}. 431.
Чтобы умножить дроби, выполните следующие действия:
Наконец, упростим дробь. Поскольку gcd(27,6)=3 \gcd(27,6) = 3 gcd(27,6)=3, следовательно, мы делим все на 3, чтобы получить 27÷36÷3=92 \frac{27 \div 3 } { 6 \div 3} = \frac{9}{2} 6÷327÷3=29.
Таким образом, 123+256=92=412 1 \frac{2}{3} + 2 \frac{5}{6} = \frac{9}{2} = 4 \frac{1}{2} 132 +265=29=421. □_\квадрат□
Какая из следующих дробей при добавлении к сумме приведенных выше чисел дает в результате целое число?
Учитывая последовательность операций над правильными дробями, возможно, включая умножение, деление, сложение и вычитание, мы сначала определяем порядок выполнения последовательности операций, следуя обычным правилам порядка операций.
Что такое 14+23−35?\frac{1}{4} + \frac{2}{3} — \frac{3}{5}?41+32−53?
Собирая дроби, используя наименьшее общее кратное знаменателей, мы имеем
Поскольку наибольший общий делитель чисел 191919 и 606060 равен 1, окончательный ответ равен 1960\frac{19{60} 6019. □ _\квадрат□
Что такое 13+25÷65? \frac{1}{3} + \frac{2}{5} \div \frac{6}{5}?31+52÷56?
Следуя порядку операций, мы должны сначала разделить, поэтому мы имеем 13+(25÷65)=13+13=23 \frac{1}{3} + \left( \frac{2}{5} \div \frac{6}{5} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} 31+(52÷56)=31 +31=32. Таким образом, ответ равен 23 \frac{2}{3} 32. □ _\квадрат □
Чтобы иметь возможность решать текстовые задачи с дробями, вы должны сначала уметь решать обычные текстовые задачи, переводя обычный язык в математику. Вики SAT Translating Word Problems дает отличное представление о том, как это можно сделать. Посмотрите, если вы не знакомы с текстовыми задачами.
Дроби могут быть очень полезны в более реалистичных сценариях, в которых необходимо вычислить часть суммы. Химические растворы, например, используют большое количество дробей для вычисления частей общего числа, и точно так же, как задачи, связанные с решениями, любая другая задача, которая должна дифференцировать или выполнять любой другой процесс с частями общего числа, обычно может быть решена и упрощена. правильное употребление дробей.
Дроби могут быть заданы непосредственно в словесной задаче (\big((например, 710 \frac{7}{10} 107 человеческого тела состоит из воды)\big)) или обычным языком, без чисел, представляющих Это. В этом случае вы должны иметь возможность искать и идентифицировать ключевые слова , которые относятся к дробям, которые обычно являются теми же самыми, которые относятся к делению, поскольку технически это одна и та же операция.
Финальный экзамен по математике будет длиться 1 час. Учитель сказал, что весь тест можно прочитать за 5 минут, ответить на каждый вопрос за 2 минуты, а работу проверить за оставшееся время. Если в тесте 20 вопросов, то какую часть времени теста можно использовать для его повторения?
Учитывая, что задача прочитана, мы должны определить, о чем она спрашивала. Проблема заключается в том, чтобы получить долю времени, которое можно использовать для проверки, из общего времени, необходимого для выполнения теста. Итак, здесь нам нужны две вещи: время на просмотр теста (числитель) от общего времени тестирования (знаменатель):
Время пересмотреть тестВремя теста. \frac{\text{Время просмотреть тест}}{\text{Время теста}}. Время тестированияВремя для просмотра теста.
Время на просмотр теста не дано, поэтому надо разобраться. Общее время теста 1 час. В каждом часе 60 минут. Поскольку все остальное, что делается в тесте, дается в минутах, мы должны иметь обе единицы измерения в одной и той же мере, чтобы иметь возможность правильно их сравнивать. Итак, часы нужно перевести в минуты:
Время тестирования = 1 час 1 час = 60 минут Время тестирования = 60 минут Время просмотра теста Время тестирования = Время просмотра теста 60 минут. \begin {aligned}
\text{Время тестирования} &= 1 \text{час} \\\\
1 \text{ час} &= 60 \text{ минут} \\\\
\text{Время тестирования} &= 60 \text{ минут} \\\\
\frac{\text{Время просмотра теста}}{\text{Время теста}} &= \frac{\text{Время просмотра теста}}{60 \text{минут}}. \end{aligned} Время тестирования1 часВремя тестированияВремя тестированияВремя просмотра теста=1час=60 минут=60 минут=60 минутВремя просмотра теста.
Теперь надо найти время, чтобы просмотреть тест. Время проверки — это время, оставшееся после завершения всего остального, поскольку, согласно задаче, «работа [просматривается] в оставшееся время». Чтобы найти оставшееся время, мы должны найти время, которое было использовано. 5 минут теста будут использованы для его чтения и 2 минуты для чтения каждого вопроса. Есть 20 вопросов, поэтому 2 минуты × 20 2 \text{ минуты} \times 20 2 минуты × 20 минут будут использованы для ответов на вопросы. Из общего количества 1 часа, это время, которое останется:
Время на просмотр теста = 60 минут – 5 минут – 2 минуты × 20 = 55 минут – 40 минут = 15 минут.\begin{aligned}
\text{Пора пересмотреть тест}
&= 60 \text{ минут} — 5 \text{ минут} — 2 \text{ минут} \times 20 \\\\
&= 55 \text{ минут} — 40 \text{ минут} \\\\
&= 15 \text{ минут}. \end{align}Время на проверку теста = 60 минут – 5 минут – 2 минуты × 20 = 55 минут – 40 минут = 15 минут.
Таким образом, ответ равен 14 \frac{1}{4} 41. □_\квадрат□
Задачи с базовыми задачами на сложение и вычитание относительно просты для анализа и определения основных процедур для их решения. Однако другие проблемы могут потребовать более глубокого понимания контекста, чтобы можно было выявить дальнейшие корреляции между данными.
Джед покупает апельсины. Он продает 35\frac{3}{5}53 этих апельсинов.
Из оставшихся у него апельсинов 14\frac{1}{4}41 плохие. Джед выбрасывает их.
Теперь у него осталось 24 апельсина. Сколько апельсинов купил Джед?
Сколько 17 \frac{1}{7}71 в числе 1025? 10 \frac{2}{5}?1052?
Измерение одного числа другим — это просто деление, поэтому вопрос эквивалентен запросу 1025÷17 10\frac{2}{5} \div \frac{1}{7} 1052÷71.
Преобразовав смешанное число в неправильную дробь и проделав операцию, получим
Цитировать как: Фракции. Brilliant.org .
Извлекаются из
https://brilliant.org/wiki/fractions/
Как делать дроби для начинающих
Мы имеем дело с дробями каждый день. Но что такое дробь? Как нам узнать их лучше? В этом уроке мы изучим основы и попрактикуемся вместе, чтобы дроби могли стать ценными помощниками в повседневной жизни и за ее пределами.
Часть 1. Дробь в виде доли
Представим себе целый пирог, разделенный на 4 равные части. Одна часть окрашена в красный цвет.
изображение круга с одной четвертью, закрашенной красным
Одна красная часть из четырех равных частей означает 1/4 целого закрашено. Если мы подумаем о равных частях целого как о долях, одна доля пирога здесь заштрихована красным.
рисунок дроби 1/4. 1 — числитель, 4 — знаменатель
Число 1 выше линия называется Числитель . Он показывает, сколько акций заштриховано. Число 4 ниже линии называется знаменателем . Он показывает, на сколько равных долей делится целое. Давайте посмотрим на другой пример.
изображение круга с тремя шестыми, заштрихованными красным
Новый круг вверху разделен на 6 равных частей. Следовательно, знаменатель будет равен 6. Из этих 6 равных долей 3 заштрихованы красным цветом. Следовательно, числитель будет равен 3. Другими словами, 3/6 круга заштриховано.
Теперь давайте проверим то, что мы уже узнали. Как известно, в сутках 24 часа. Если вы потратили на обучение 6 часов, какую часть дня вы потратили на обучение?
РЕКЛАМА
Какая часть суток составляет 6 часов?
Выберите 1 ответ
6/24
6
1/3
1/6
День делится на 24 равных долей, называемых часами. Таким образом, знаменатель будет равен 24. Подумайте о 6 часах, потраченных на учебу, как о 6 заштрихованных долях пирога. Это сделает числитель равным 6. Искомая дробь 6/24 .
Часть 2. Упрощение дробей
Помните круговую диаграмму из предыдущего примера? У него было 3/6 его заштриховано красным. Давайте добавим два новых пирога и посмотрим на них вместе.
изображение 3 кругов, половина каждого из которых окрашена в красный цвет
Первый круг разделен на 4 доли, две из которых закрашены красным. Но, как мы видим, это половина пирога. Второй круг разделен на 6 долей, три из которых закрашены красным. Снова половина пирога. Наконец, третий круг разделен на две половины, и одна половина закрашена красным.
Так как половина круга заштрихована в любом случае, мы можем заключить, что дроби равны: 2/4 = 3/6 = 1/2 .
изображение 3 кругов, половина каждого из которых окрашена в красный цвет. 2/4 = 3/6 = 1/2
Наконец, при умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же число дробь останется прежней (кроме случая деления на ноль, что выходит за рамки данной статьи и здесь рассматриваться не будет). ).
Это правило помогает упростить дроби и облегчает их использование. В качестве примера рассмотрим 4/12. Деление числителя и знаменателя на 4 дает нам (4 : 4 ) / (12 : 4 ) = 1 / 3. Пришло время проверить свои знания.
РЕКЛАМА
Какая дробь равна 2/5?
Выберите 1 ответ
4/25
5/2
8/20
6/10
Часть 3.
Сравнение дробей
Когда мы видим два куска пирога, мы обычно можем сказать, какой из них больше. Как и в случае с дробями, существует простой способ сравнения их друг с другом.
Допустим, нам нужно сравнить 1/3 и 2/7. Поскольку у них разные знаменатели, они имеют разное количество частей. Таким образом, Первый шаг должен состоять в том, чтобы найти точки соприкосновения . Мы делаем это, находя общий знаменатель .
Одним из способов нахождения общего знаменателя двух или более дробей является умножение знаменателей друг на друга. 3 умножить на 7 = 21 .
Теперь, когда мы нашли общий знаменатель, нам нужно заменить собственный знаменатель каждой дроби на общий знаменатель.
приведение 1/3 и 2/7 к общему знаменателю
Первая дробь равна 1/3, поэтому мы делим 21 на 3 и получаем 7 умножаем на числитель этой дроби. Поскольку числитель равен 1, мы получаем 7 умножить на 1 = 7 .
Вторая дробь равна 2/7, поэтому 21 разделить на 7 дает 3. Умножив этот числитель дробей в 3 раза, мы получим 3 умножить на 2 = 6 .
Теперь, когда дроби имеют одинаковый знаменатель, мы наконец можем их сравнить. 7 долей больше, чем 6 долей, поэтому 7/21 больше, чем 6/21.
Математический символ, обозначающий наш результат, — это знак > . 21/7 > 21/6 . Читается как « больше «. Символ, обозначающий меньше , выглядит так: < . Мы можем переписать наш результат следующим образом: 6/21 < 7/21 .
РЕКЛАМА
Сравните 3/4 и 5/7
Выберите 1 ответ
3/4 меньше 5/7
3/4 больше 5/7
3/4 равно 5/7
Их нельзя сравнивать
Часть 4. Сложение дробей
Чтобы сложить дроби, нам снова нужно найти общий знаменатель. Давайте посмотрим на следующий пример.
Нам нужно сложить 2/7 и 3/9 . Общий знаменатель равен 7 умножить на 9 = 63 . Следующим шагом будет замена собственного знаменателя каждой дроби на общий.
Для первой дроби 63 разделить на 7 = 9 и 9 умножить на 2 = 18 . Результат 18/63 . Для второго 63 разделить на 9 = 7 и 7 умножить на 3 = 21 . Результат 21/63 .
Далее добавляем числители. 18 плюс 21 = 39, , что дает нам сумму 39/63 .
В качестве полезной привычки всегда проверяйте, можно ли еще больше упростить полученную дробь.
Мы знаем, что 39делится на 3 без остатка. 63 также делится без остатка на 3. Поскольку и числитель, и знаменатель делятся на одно и то же число, дробь останется прежней. 39 разделить на 3 = 13 и 63 разделить на 3 = 21 . Наш окончательный результат: 13/21 .
Что, если нам нужно сложить смешанные числа? Чтобы сложить смешанные числа, мы сначала складываем целые числа, а затем дроби.
Например, чтобы добавить 1 с половиной до 2 с половиной , добавьте 1 и 2 = 3 , затем добавьте 1/2 и 1/2 = 1 . Наконец, добавить 3 и 1 = 4 . Давайте немного потренируемся и вспомним, как упростить результаты.
РЕКЛАМА
Какой результат 4/6 + 2/9?
Выберите 1 ответ
8/9
9/8
1/2
7/18
Часть 5. Вычитание дробей
Начнем с двух простых дробей. Вычтите 1/3 из 3/5. Как и в случае сложения, нам нужно найти общий знаменатель. Итак, если мы умножим наши знаменатели, то равно 3 умножить на 5 = 15 .
Далее заменяем старые знаменатели на общие.
изображение 3/5 — 1/3 = 4/15
Затем нам нужно найти наши числители. Для первой дроби 15 разделить на 5 = 3 и 3 умножить на 3 = 9 . Результат 15 сентября . Для второго 15 разделить на 3 = 5 и 5 умножить на 1 = 5 . Результат 5/15 .
Последним шагом является вычитание скорректированных числителей: 9 минус 5 = 4. Полученная дробь равна 4/15 .
Теперь рассмотрим случай, когда нам нужно вычесть из дробь целого числа . Начнем с 1 — 2/7 .
Вы помните из предыдущих разделов, что целое число похоже на полностью закрашенный круг. Таким образом, если круг разделить на 3 детали , все 3 детали заштрихованы. Если его разделить на 7 частей, то 7 частей будут заштрихованы. Итак, 1 = 3/3 = 7/7 и т. д.
Поскольку нам нужно вычесть 2/7 , мы превратим 1 целое в 7/7 , чтобы упростить нашу задачу. 7/7 минус 2/7 = 5/7 . Если целое число отличается от 1 , мы записываем его как смешанное число и следуем шагам из последнего примера.
Итак, давайте вычтем 2/7 из 3 .
изображение 3 — 2/7 = 19/7
Часто в результате вычислений может получиться дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Такие дроби называются неправильными дробями. Например, 5/3 (пять третей), 7/2 (семь половинок) и так далее. Их можно преобразовать в смешанные числа и наоборот.
Преобразование неправильных дробей в смешанные числа и наоборот
Все рассмотренные до сих пор правила применимы и к неправильным дробям.
РЕКЛАМА
Каков результат 9/11 — 3/4?
Выберите 1 ответ
6/7
6/44
3/44
6/11
Часть 6.
Умножение дробей
Допустим, нам нужно умножить две дроби, 2/5 умножить на 3/7 . Числитель произведения будет произведением числителей 9.0067 этих дробей: 2 умножить на 3 = 6. Знаменатель произведения будет произведением знаменателей этих дробей: 5 умножить на 7 = 35 . Таким образом, 2/5 умножить на 3/7 = 6/35 .
Если нам нужно умножить дробь на целое число , то числитель произведения будет произведением числителя дроби на целое число . Знаменатель произведения останется таким же, как знаменатель дроби .
Например, 3/10 умножить на 5 = 15/10 . Для упрощения делим числитель и знаменатель на 5 и получаем 3/2.
Наконец, если нам нужно умножить смешанные числа, сначала мы преобразуем их в неправильные дроби, а затем умножим их, как мы сделали выше. В приведенном ниже примере показаны шаги.
изображение 3/2 умножить на 11/5 равно 33/10
РЕКЛАМА
Часть 7. Деление дробей
Чтобы разделить дроби, переверните делитель так, чтобы его числитель стал новый знаменатель и знаменатель становится новым числителем . Затем просто перемножьте дроби, как мы это делали раньше.
Например, разделите 3/7 на 2/5. После переворачивания 2/5 становится 5/2 , и в итоге мы умножаем 3/7 на 5/2 = 15/14 .
Чтобы разделить дробь на целое число , мы инвертируем это число, и оно станет 1 деленным на это число .
Например, 2 становится 1/2 , 9 становится 1/9 и т. д. Затем мы умножаем, как указано выше. Как вы, наверное, уже догадались, деление смешанных чисел работает точно так же. Давайте посмотрим на пример ниже.
разделить 11/6 на 17/8 = 44/51
Давайте проверим ваши знания.
Каков результат деления 11/3 на 11/7?
Выберите 1 ответ
3/7
3
7
7/3
РЕКЛАМА
Часть 8. Некоторые практические примеры
Чтобы найти дробь некоторого числа, нам нужно умножить данное число на эту дробь .
Представьте, в вашем школьном учебнике 200 страниц. Если вы прочитали 3/5 учебника, сколько страниц вы прочитали? Нам дано число, равное 200. Чтобы найти 3/5 от 200, мы умножаем 200 на 3/5 и получаем 120 страниц.
Следующий вопрос решите самостоятельно. В моем праздничном торте было 12 штук. Несколько друзей пришли и съели 2/3 торта. Сколько штук было у моих друзей?
Сколько штук было у моих друзей?
Выберите 1 ответ
2/3
4
9
8
Наконец, есть еще одно дело, которое я хочу изучить. Что, если мы знаем, чему равна данная дробь некоторого числа , и нам нужно найти это число?
Например, мы знаем, что у моих друзей было 8 кусочков праздничного торта, а это 2/3 из целого торта . Сколько кусочков было в торте вначале? Чтобы найти это целое число , нам нужно разделить 8 на 2/3 , что равно 12 .
Следующий вопрос решите самостоятельно. Гоночная машина проехала по трассе 900 метров, что составляет 3/5 всей дистанции. Какова длина гоночной трассы?
РЕКЛАМА
Какова длина гоночной трассы?
Выберите 1 ответ
1200 метров
1500 метров
2700 метров
540 метров
Научитесь программировать бесплатно. Учебная программа freeCodeCamp с открытым исходным кодом помогла более чем 40 000 человек получить работу в качестве разработчиков.
ГДЗ по математике 5 класс ответы – спиши легко, сделай д/з быстро, получи свою 5.
Основное отличие учебных пособий и готовых домашних заданий по математике за 5 класс к ним – большое количество практических заданий и материалов. Задачи, в том числе непростые текстовые и решение уравнений и неравенств, построение графиков функций и нахождение геометрических величин, действия с дробями – все это потребует от пятиклассника вдумчивого подхода, сосредоточенности на результате, желания работать ответственно.
Составляя план работы по дисциплине, необходимо учитывать:
Базовый уровень подготовленности пятиклассника, багаж математических знаний, усвоенных им в рамках курса начальной школы.
Заинтересованность в предмете, желание не просто освоить базовый материал, а более глубоко изучить математику, принимать участие во всевозможных мероприятиях и конкурсах по ней.
Количество времени, которое может быть и будет затрачено на изучение дисциплины, работу с решебником не только по основному учебнику, по которому дисциплина изучается в школе, но и по дополнительной литературе, в том числе – повышенного уровня сложности. Эксперты рекомендуют выделять как минимум час времени ежедневно для того, чтобы курс пятого класса был усвоен максимально качественно.
Азы эффективной самоподготовки для учащихся
При подготовке с применением учебных материалов и гдз по математике за 5 класс важно обращать внимание на принцип правильной записи результата. Нередко грамотно полученный ответ оказывается неправильно записан. Как итог – занижение баллов на контрольных, диагностических, ВПР, потеря призовых мест, побед на олимпиадах и конкурсах. Именно в готовых решебниках ответы представлены в том формате, в котором они регламентированы образовательными стандартами. На эти нормативы опираются проверяющие при оценке ученических работ:
контрольных и проверочных;
диагностических и ВПР;
итоговых испытаний выпускников;
олимпиадных и конкурсных заданий.
Учитывая регулярность изменения регламентов, важно пользоваться обновленными данными, размещенными на популярных сайтах для школьников.
Заниматься с онлайн сборниками по математике в 5 классе можно и самостоятельно, и с репетиторами. Некоторые школьные учителя прямо рекомендуют пятиклассникам применять эти полезные ресурсы. В числе аргументов в пользу такой подготовки они приводят следующие доводы:
развивается навык работы с информацией — её поиском, подбором, анализом, сравнением, запоминанием;
вырабатывается полезная привычка работать самостоятельно, не только искать материал, но и проверять собственные знания, их уровень;
учитывая то, что нередко решебники применяются в условиях ограниченности времени, пятиклассники осваивают принципы оперативной работы с данными, при этом – они нацелены на высокий результат и отсутствие ошибок в работе.
Эти полезные качества пригодятся не только в средней школе, но и в старшей, а также при подготовке к выпускным испытаниям и после окончания школы. Главное – не забывать о регулярности проведения таких занятий. Ответственный подход поможет выработать полезную привычку, которая будет востребована при изучении не только математики, но и других наук, позволит сэкономить семейный бюджет, отказавшись или значительно уменьшив количество часов на работу с репетиторами, посещение математических курсов и кружков.
Основные группы пользователей гдз по математике за 5 класс к школьному курсу
Согласно оценкам запросов пользователей и экспертному мнению, хотя бы раз за весь период прохождения курса готовыми решебниками воспользовался каждый пятиклассник. Хотя, как было сказано выше, есть педагоги, поощряющие такой подход, некоторые их коллеги высказываются против «списывания» решений с готовых ответов. Тем не менее, такая работа тоже приносит пользу:
учит быстро искать и находить нужные ответы;
гораздо полезнее заниматься с готовыми ответами по математике дома, имея достаточный запас времени, чтобы не просто переписать, а разобраться с решением. Переписывая ответы на домашнюю работу у одноклассников перед уроком, пятиклассники лишены таких преимуществ.
Помимо этого, популярно применение решебников для разбора практической части занятий и домашних заданий теми пятиклассниками, кто по тем или иным причинам (болезни, спортивные сборы, поездки на участие в конкурсах и пр.) пропустил объяснение учителя. И с помощью сборников ответов самостоятельно разбирается с решением дома.
Существует значительный перечень тех, кто пользуется решебниками на постоянной или регулярной основе. Это:
Руководители математических курсов и кружков, а также репетиторы, не являющиеся школьными педагогами-предметниками или экспертами ОГЭ и ЕГЭ. Прекрасно зная математику, они, тем не менее, не обладают знаниями методологии преподавания, объяснения и записывания материала на основе действующих ФГОСов. Применяя гдз по математике для 5 класса эти специалисты смогут доходчиво и понятно разъяснить пятиклассникам как необходимо:
анализировать условие задания;
записывать дано;
определять логику и алгоритм взаимодействия величин;
формулировать вопросы;
давать и отображать ответы. То есть для этой категории пользователей сборники ответов – готовая и эффективная методическая разработка, активно применяемая в рамках их работы с учениками.
Пятиклассники, находящиеся на домашней или семейной форме обучения, когда постоянное присутствие на уроке в школе и получение объяснений учителя недоступно. Эти ученики применяют сборники решений к учебникам и практикумам, чтобы разобраться, как именно следует отвечать, писать проверочные, самостоятельные, контрольные, выполнять текущие задания по программе.
Готовящиеся к конкурсам, олимпиадам. Этим школьникам нужен материал, выходящий за рамки программы, УМК по дисциплине. Решебники помогают разбирать самые сложные математические задания.
Поскольку в ходе введения карантинных мер все без исключения школьники были переведены на дистанционную форму обучения, интерес к ответам по математике 5 класс существенно возрос. Эти материалы стали нужны, чтобы в условиях сокращения времени обучения (числа уроков и их продолжительности) освоить программу на том же уровне, не сбавляя темпов и качества подготовки.
Порядок работы с ресурсами готовых ответов по математике для пятиклассников
Схемы могут быть различными. От простого переписывания готового решения, к которому чаще всего прибегают в условиях ограниченного времени, до применения онлайн ответов по математике за 5 класс в качестве полноценного инструмента подготовки. Во втором случае специалисты рекомендуют пользоваться таким планом-схемой, последовательностью действий:
Повторение изученного теоретического материала по теме или его самостоятельное изучение.
Выполнение практических работ, опираясь на полученные и имеющиеся ранее математические знания и навыки.
Сверка собственных решений и ответов с представленными в еуроки ГДЗ эталонными.
Выявление расхождений, если они выявлены, определение причин, по которым они возникли, факторов, повлиявших на такой результат.
Самостоятельное выполнение другого аналогичного варианта из этого же учебного пособия или другого, принадлежащего к тому же или иному УМК, программе дисциплины.
Повторение пункта 5 до тех пор, пока тема не будет усвоена глубоко и полностью.
В том случае, если у пятиклассника отсутствует собственный ответ, решение, можно сразу же переходить к пункту 3 представленной выше схемы. В этом случае решебники станут базой для изучения практической части темы, параграфа. Но и в этой ситуации не стоит пренебрегать пунктами 5-6 для закрепления результата.
ГДЗ Математика 3 класс. Моро, Бантова. Учебник часть 1, 2
Главная
ГДЗ
3 класс
Математика
Моро, Бантова. Учебник
Похожие ГДЗ: Рабочая тетрадь часть 1, 2 Проверочные работы
Почему российские школьники не справляются с «домашкой». Отвечают учителя
Комсомольская правда
ОбществоОбразованиеОбразование: Родительское собрание
Анна ЛУКЬЯНОВА
9 ноября 2021 7:00
Просиживают над ней вдвое больше разрешенного времени, а в конце концов списывают или просят помощи у родителей
Дети не хотят делать уроки и всячески увиливают: сдирают ответы с решебников или друг у друга, изводят родителей просьбами о помощи или просто забивают. Фото: Shutterstock
Дети не хотят делать уроки и всячески увиливают: сдирают ответы с решебников или друг у друга, изводят родителей просьбами о помощи или просто забивают. Сначала на домашку, а потом и на учебу вообще. И какой в этом смысл?
ОБЪЯТЬ НЕОБЪЯТНОЕ
— Летом мы провели эксперимент: взяли скриншоты из реальных дневников школьников со всей страны и неделю пытались выполнять все, что задано на дом. Убедились: домашка детям не интересна. Да и задают так много, что делать все качественно невозможно, — рассказывает Александр Ларьяновский, управляющий партнер онлайн-школы для детей и подростков Skysmart.
Вот пример. В один день «прилетело» сразу по пяти предметам: нарисовать пейзаж по ИЗО, сделать выкройку юбки по технологии, 10 заданий по математике, 5 упражнений по английскому и 3 – по русскому. Причем одно из них, мягко говоря, морально устарело: написать изложение по рассказу о том, как дети в классе ходили на экскурсию по автозаводу, видели, как собирают самосвал, одному ученику рабочий предложил закрутить гайку, и ребенок почувствовал причастность.
На все это уйдет часа четыре. Добавьте шесть уроков в школе, и получится, что добросовестный школьник вкалывает больше, чем его родители. А еще секции и кружки… Отдыхать когда, спрашивается в задачке?
ЛУЧШИЙ УЧЕБНИК – РЕШЕБНИК
Вот многие и приловчились списывать. Есть книжки-решебники с ответами, есть сайты готовых домашних заданий, бесплатные – ГДЗ называются (готовые домашние задания). За год такие порталы фиксируют до 1,6 млрд посещений! Примерно по 130 на школяра получается. Младшеклассники не в счет: в началке у детей за спиной верные помощники – родители. 70% пап и мам, по данным Mail.ru, делают домашку с детьми, тратя до двух часов в день. В основном мурыжат русский и математику. Нередко как в анекдоте: мама охрипла, сын оглох, соседи запомнили, а собака пересказала. А две трети из опрошенных признались, что полностью делают уроки за ребенка.
— Родители сами нам говорили, что поощряют списывание, особенно по предметам, которые не нужны для поступления в вуз, — уточнил Александр Ларьяновский. — Хотя это даже и не списывание, а избавление от страданий. Ведь все заинтересованы в том, чтобы ребенок рос здоровым и счастливым, а нагрузка в школе была адекватной.
УЧИТЕЛЯ ДЕРЖАТ ОБОРОНУ
— Списывание – серьезная проблема, — сокрушается учитель биологии московской школы им. Н. М. Карамзина Елена Жуковская. – В итоге дети не усваивают материал по целым темам, пробелы в знаниях копятся. Ленятся, просиживают над учебниками часами, прокрастинируя (откладывая выполнение работы — прим. Ред.). А еще родители, бывает, специально перегружают ребенка, чтобы был при деле, пока они на работе.
Как лучшие педагоги с этим борются? Дают на дом задания в нескольких вариантах, а злостным списывальщикам индивидуальные. Проверяют не ответы, а решения, не оценивают списанную домашку или ставят «три». Устраивают перепроверку на уроке, давая аналогичные задания. Но все равно «мафия» ГДЗ непобедима. Даже с цифровой домашкой, выполнениями заданий на образовательных сайтах, детвора разобралась: скидывают задания в чаты, кто-то один решает, остальные передирают.
Идею отменить домашние задания три года назад поднимали в Госдуме.Фото: Светлана МАКОВЕЕВА
МОЖЕТ, НУ ЕЕ?
Идею отменить домашние задания три года назад поднимали в Госдуме. Депутат Борис Чернышов как будто мысли миллионов родителей озвучил: школьники из-за перегрузок не только здоровье гробят, но и теряют интерес к учебе, пусть лучше вместо зубрежки погуляют на свежем воздухе, в футбол погоняют. В Белгородской области даже запустили программу по переводу школ в формат полного дня, чтобы дети все успевали в урочное время. Подключились и педиатры с психологами, поясняя, что недостаток полноценного отдыха приводит к нарушению сна, близорукости, сколиозу, гастриту, неврозам и депрессии. Повсеместной отмены домашки в госшколах, впрочем, так и не случилось.
— Домашние задания нужны, чтобы ученик хорошо усвоил материал и научился применять новые знания. К тому же в процессе повторения развиваются память, мышление, восприятие… — уверена Елена Жуковская. — Но задания должны быть оптимальными по объему — чтобы ребенок тратил на один предмет 30-40 минут. Например, в виде проблемного вопроса: что будет, если исчезнет сила трения? Да и многие навыки реально отработать на уроке.
Выходит, все упирается в педагогов, не желающих или не способных перестроить преподавание. В мае Минпросвещения пообещало разгрузить учителей от рутинной бумажной работы, перевести в облако отчеты, автоматизировать проверку домашних заданий. Эксперимент по внедрению цифровой образовательной среды (ЦОС) в госшколах продлится до конца 2022 года. Однако в частных гимназиях, онлайн-школах уже обходятся без домашки или придумывают увлекательные игровые форматы. Кто сделает алгебру, получит 10 золотых монет, а если с заданиями справится весь класс, откроется доступ к сундуку с сокровищами! Прописывают критерии оценивания, цели, отслеживают промежуточные результаты. Дают альтернативные задания: что аватарка в соцсетях может о тебе рассказать? Или: сделай три сложных механизма с помощью редстоуна в Майнкрафт (компьютерная игра), начни карьеру в ТикТоке. Но так, с выдумкой подходить к заданиям могут те, у кого в классе 10 — 15 человек, да еще, как правило, отобранные в результате тестов, как это обычно бывает в частных школах. А если за партами сидит 42 подростка самого разного уровня развития, индивидуализировать задание особо не выйдет…
Еще один путь, которым идут творческие педагоги в лучших гимназиях и лицеях: создать собственные решебники, декриминализируя злополучные ГДЗ. Идея такая: помимо ответа подробно описать, как выполнять задание, тут же прицепить короткие видеоролики по теме, если вдруг у ребенка возникнут вопросы или захочется узнать больше. В итоге ученик все равно списывает, зато с пользой.
ДЕЛО НЕ В ЛЕНИ
Влияют ли домашние задания на успеваемость? Об этом расспросили Анну АДАСКИНУ, кандидата психологических наук, доцента кафедры Педагогической психологии им. профессора В.А. Гуружапова Московского государственного психолого-педагогического университета.
— Зарубежные исследования (свежих российских мы не нашли) признают полезность домашних заданий: школьники, выполняющие их, успешнее в учебе, лучше планируют свое время и умеют учиться самостоятельно, — говорит эксперт. – По данным международного исследования PISA, страны делятся на три группы: где дети много учатся и показывают высокие результаты (азиатские страны), где учатся умеренно и показывают высокие результаты (например, Финляндия с тремя часами д\з в неделю) и такие, где тратят много времени на домашние задания, но показывают невысокие результаты. Россия, к сожалению, в их числе.
— Дети засиживаются за уроками из-за лени?
— Не будем обвинять школьников в лени, а лучше задумаемся над тем, что же не так в нашей практике домашних заданий?
Время выполнения. В США популярно правило «10 минут» – время на д\з равняется классу, умноженному на 10. В третьем классе это 30 минут, в старшей школе – до 2 часов. Сравним с нормами российского СанПина: 4-5 классы — до 2 часов, 6-8 классы — до 2,5 часов, 9-11 классы — до 3,5 часов. Реально времени уходит намного больше – до 4-6 часов в день в 8-11 классах. Практика показывает, что учителя-предметники не согласуют между собой объем домашнего задания, а школьники не выдерживают такой режим учебы (около 48-52 часов в неделю) и стараются снизить перегрузки всеми доступными им способами.
Содержание. Учебные темы можно отрабатывать на разном материале. Например, американские школьники выполняют много творческих заданий (эссе, сочинения, проекты). В России тоже есть интересные программы. Например, в системе развивающего обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова много заданий исследовательского и творческого характера, однако школ, работающих по этой системе, крайне мало. В обычной школе традиционно преобладают традиционные же упражнения, вызывающие скуку у большинства школьников.
Возможность выбора. Мотивация к учебе повышается, когда человек чувствует себя активным участником процесса, влияющим на его результат. Способов ввести вариативность в домашнее задание не так уж и мало: можно предложить ученикам выбрать тип задания, сложность, форму презентации результата, формат выполнения (групповой или индивидуальный). К сожалению, это используется крайне редко.
Степень родительского участия. Располагаем только иностранными исследованиями, результаты которых неоднозначны. Согласно одним, компетентность и поддержка родителей во время выполнения домашних заданий положительно влияет на умение ребенка управлять своим временем и его успеваемость. Другие подтверждают: школьники, которые воспринимали участие родителей как контроль или давление, обычно отличались низкой мотивацией и невысокой учебной успеваемостью.
— Есть ли у нас успешный опыт отказа от домашних заданий?
— Домашнее задание — обязательная часть учебного процесса практически во всех российских школах. Исключение составляют Вальдорфские школы, где почти ничего не задают на дом в начальной школе. В средней и старшей задают, но доля творческих заданий у них выше, чем в обычных школах. В школах, работающих по системе М. Монтессори, домашние задания, в целом, не практикуются: считается, что ребенок и так освоит программу, отрабатывая необходимые умения на разнообразном материале в течение учебного дня. Но и там часто вынуждены давать домашние задания некоторым детям, потому что их индивидуальный темп, например, по математике, очень неспешный. Однако задания небольшие и понятные ребенку. Однако школ, работающих в таком формате, в России мало, и те в основном частные. И сравнительных с результатами других школ исследований уровня знаний учеников найти не удалось.
Таким образом, видимо, полностью избежать домашних заданий не получится, но вопросы об объеме, содержании, способе обратной связи со стороны учителя необходимо обсуждать на всех уровнях.
Повсеместной отмены домашки в госшколах, впрочем, так и не случилось.Фото: Николай ОБЕРЕМЧЕНКО
А КАК У НИХ?
В Израиле не задают обязательных заданий на дом ученикам 1-6 классов. Так же и в Японии, где до шестого класса акцент делают на музыке, рисовании, физкультуре, ОБЖ, ведении домашнего хозяйства. В Канаде и Норвегии на дом задают редко. Снизили объемы домашки Италия и Испания. В Великобритании отменили домашку в начальной школы и рекомендовали тратить освободившееся время на семейный просмотр познавательных фильмов и чтение вслух.
ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ
Кому разрешили получить второе высшее образование бесплатно
Правительство утвердило правила приема и перечень вузов (подробно)
КСТАТИ
С 14 по 24 ноября 2021 года пройдет международная просветительская акция Русского географического общества — Географический диктант. С 2015 года в нем приняли участие почти 1,8 млн. человек по всему миру. А в этом году диктант впервые напишут в Антарктиде.
Присоединиться и узнать подробности можно на сайте Географического диктанта.
Читайте также
Возрастная категория сайта 18+
Сетевое издание (сайт) зарегистрировано Роскомнадзором, свидетельство Эл № ФС77-80505 от 15 марта 2021 г. Главный редактор — Сунгоркин Владимир Николаевич. Шеф-редактор сайта — Носова Олеся Вячеславовна.
Сообщения и комментарии читателей сайта размещаются без
предварительного редактирования. Редакция оставляет за собой
право удалить их с сайта или отредактировать, если указанные
сообщения и комментарии являются злоупотреблением свободой
массовой информации или нарушением иных требований закона.
АО «ИД «Комсомольская правда». ИНН: 7714037217 ОГРН: 1027739295781
127015, Москва, Новодмитровская д. 2Б, Тел. +7 (495) 777-02-82.
Исключительные права на материалы, размещённые на интернет-сайте
www. kp.ru, в соответствии с законодательством Российской
Федерации об охране результатов интеллектуальной деятельности
принадлежат АО «Издательский дом «Комсомольская правда», и не
подлежат использованию другими лицами в какой бы то ни было
форме без письменного разрешения правообладателя.
Выше представлен список задач из учебника по математике для 5 (пятого) класса. Авторы учебника Виленкин Жохов Чесноков. На этом сайте вы найдете как сами задания из учебника за 5 класс Виленкина, так и подробные решения этих задач с ответами. Тем кто интересуется готовыми домашними заданиями — сокращенно ГДЗ — наш сайт так же поможет. Но не злоупотребляйте готовыми решениями, мы советуем вам внимательно смотреть видео уроки и пытаться понять все объяснения, чтобы самостоятельно научиться решать задачи. Если вам помогают наши видео уроки, пожалуйста, расскажите о нашем сайте своим друзьям и одноклассникам, мы будем вам очень благодарны!!!
ГДЗ ответы по математике 2 класс часть 2 учебника Дорофеев, Миракова, Бука (Перспектива)
ГДЗ ответы по математике 2 класс часть 2 учебника Дорофеев, Миракова, Бука (Перспектива)
Страница 1 из 93
Чтобы просматривать ответы на задания постранично, выбирайте нужный номер страницы. В нашем поле зрения новый белый учебник 2019-2022 года издания, 2 класс, 2-я часть, авторы учебника Дорофеев, Миракова, Бука, программа «Перспектива».
Вот уже второе полугодие второго класса, и ребенок не так глуп, каким он был совсем недавно. В прошлом году в школе он научился считать в пределах сотни, а в этом учебном году у учителя математики важная миссия — научить деток умножению. Это для взрослого так просто — умножать и делить, а второкласснику понять принцип этого действия гораздо сложнее, нужно приложить все усилия. Но даже если ребенок пропустил пару уроков математики — не беда, ведь есть сайт ГДЗответ, который поможет разобраться в сложных заданиях.
Для кого сделано ГДЗ ко второй части учебника «Математика 2 класс» авторов Дорофеев, Миракова, Бука
Сайт предназначен для использования родителями второклашек вместе с детьми. Ребенок в младшем школьном возрасте еще не способен контролировать себя целиком и полностью, он идет по жизни по пути наименьшего сопротивления. А в приготовлении домашнего задания этот путь — списывание. Второклассник еще не понимает, что бездумное списывание пагубно отразится на его успеваемости. Ведь второй класс — время, когда закладываются навыки устного счета, и важно, дорогие родители, это время не упустить. Не стоит давать ребенку в руки калькулятор, поощряйте его устно выполнять математические действия. То же самое о готовых ответах. Они нужны для того, чтобы сверяться, а не списывать. ГДЗ может пригодиться, когда ребенок или родитель не уверены в себе, в своих решениях, и наш сайт поможет утвердиться в своей правоте либо укажет на недочеты. Открывайте его тогда, когда домашнее задание ребенком уже сделано или когда решение никак не приходит в голову. Привейте ребенку культуру использования ГДЗ, чтобы в следующих классах он так же самостоятельно выполнял работу, а на сайт заходил лишь свериться с правильными ответами. Сделал домашнее задание — открыл сайт — сверился — разобрал свои ошибки.
Одобряют ли учителя готовые ответы по математике
У учителей мнение на этот счет неоднозначное. Учителя старой закалки категорически против самого существования ГДЗ. «Раз этим можно воспользоваться, то дети воспользуются, спишут и у них ничего не останется в голове» — говорят они. Современные учителя, наоборот, всеми руками ЗА. Если пользоваться ответами по вышеизложенным правилам, они только улучшат успеваемость. Посудите сами. Ребенок сделал домашнюю работу по математике. Ее никто не проверил. Ученик сдал работу. А дальше? Большинство учителей домашку не проверяют, а если и проверяют, просто перечеркают неправильное и выставят оценку. Что? Почему? А как правильно решать? Ответов на эти вопросы ученик не получает. Сверив свою домашнюю работу с ГДЗответ, ребенок не только видит свою ошибку, он понимает, как правильно выполнить задание, как оформить его в тетради, запоминает это и сделает меньше ошибок на уроке и на самостоятельной либо контрольной работе. А в период дистанционной учебы готовая домашка выручила миллионы пользователей интернета и у многих это было единственным подспорьем в учебе, когда учителя прямо «забивали» на свои прямые обязанности.
Содержание ГДЗ ко второй части учебника «Математика 2 класс» авторов Дорофеев, Миракова, Бука
План решебника полностью соответствует оглавлению учебника. Вторая часть учебника содержит один большой раздел, называемый «Числа от 1 до 100». В нем выделены различные главы. Ученики повторят сложение и вычитание с переходом через десяток и без, изучат умножение и деление круглых чисел, займутся составлением числовых выражений. Не обойдется и без заданий по геометрии и решения задач. А материал для повторения и самопроверки позволит закрепить знания. Не забывайте, уважаемые родители, что у ребенка с собой на урок математики всегда должен иметься заточенный простой карандаш и линейка, чтобы не возникло проблем с их поиском. Отвлекаясь, дети не слушают учителя и могут не усвоить даже самую простую тему.
Как пользоваться ГДЗ ко второй части учебника математики за 2 класс» Дорофеева
Мы всегда онлайн, и для проверки домашки вам понадобится только интернет и устройство для просмотра сайтов — телефон, планшет или компьютер. Весь решебник разбит на страницы, как и вторая часть учебника. Это значит, что если задание задали ребенку на второй странице, то и в решебнике ответы будут на второй странице. Вверху много кнопочек с цифрами, они как раз и обозначают номера страниц. Вам нужно навести мышку на нужный номер страницы и кликнуть, на тач экране — прикоснуться для открытия ответов. Мы постарались объяснить все в максимально понятном виде. И все же, если что-либо не поняли и требуются еще объяснения, вы можете задать свои вопросы в комментариях.
Вперед
ГДЗ по математике, 6 класс — Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд
На этой странице можно бесплатно посмотреть решебник (готовое домашнее задание) для учебника по математике (Виленкин за 6-й класс). Кроме полного решения всех заданий и ответов, в нем есть пояснения, которые помогут вам, если вы пропустили занятия. Издание было полностью переработано, а значит, вы можете полностью доверять тому, что пишите. Только не забывайте, что не следует бездумно списывать, это не добавит вам знаний, стоит стараться решать задачи самому (спиши, только когда долго не получается сделать). Авторы: Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Всё для учебы » ГДЗ бесплатно » ГДЗ по математике, 6 класс — Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд — онлайн решебник
рабочих листов по математике | Бесплатно и для печати
Развивайте базовые навыки и концептуальные знания с помощью этой огромной коллекции математических листов для печати, разработанных для учащихся начальной, средней и старшей школы. Рабочие листы, соответствующие CCSS, охватывают все ключевые математические темы, такие как чувство чисел, измерения, статистика, геометрия, предварительная алгебра и алгебра. Здесь собраны рабочие тетради для классов от K до 8, учебные материалы и рабочие листы для старших классов с точными ответами и бесплатными образцами печатных форм.
Выберите класс
Чувство числа
Рабочие листы по распознаванию чисел знакомят детей с основными математическими операциями и помогают им понимать разряды и типы чисел, такие как нечетные, четные, простые, составные и другие.
Рабочие листы для определения числа
Измерение
Раздайте детям этот набор рабочих листов для измерения, чтобы помочь им определить атрибуты длины, времени, веса и емкости. Научитесь сравнивать размеры, читать часы и считать деньги.
Рабочие листы измерений
Статистика
Рабочие листы статистики помогают организовать данные в осмысленные графики, такие как гистограммы, круговые диаграммы, линии и пиктограммы. Найдите среднее значение, медиану, моду, диапазон и MAD и изучите перестановку и комбинацию.
Рабочие листы статистики
Геометрия
Рабочие листы геометрии помогают идентифицировать 2D- и 3D-формы, лучи, линии и линейные сегменты. Определить площади и периметры прямоугольников и многоугольников. Найти площадь поверхности, объем, углы и многое другое.
Рабочие листы по геометрии
Предварительная алгебра
Подготовка с предварительными алгебраическими рабочими листами по дробям, десятичным числам, целым числам, отношениям, пропорциям, GCF и LCM, экспонентам и радикалам. Поймите скорость, абсолютные значения и многое другое.
Рабочие листы по алгебре
Алгебра
Рабочие листы по алгебре позволяют попрактиковаться в переводе, вычислении и упрощении алгебраических выражений. Изучайте многочлены и решайте линейные и квадратные уравнения, и это лишь некоторые из них.
Рабочие листы по алгебре
Тригонометрия
Получите ноу-хау тригонометрии с помощью диаграмм и практических упражнений по квадрантам и углам, 6 тригонометрическим отношениям, единичным окружностям, тригонометрическим тождествам и многому другому!
Рабочие листы по тригонометрии
Исчисление
Получите наглядное представление о дифференцировании и интеграции с помощью рабочих листов по исчислению. Узнайте больше о производных, основанных на степени, правилах произведения и частного, показателях, определенных интегралах и многом другом.
Рабочие тетради по математике
Рабочие тетради
Навигация по сборникам математических рабочих тетрадей, классифицированных по классам на основе Единых основных государственных стандартов, включающих все ключевые темы для детей от дошкольного до 8-го класса.
Математические рабочие тетради
Вычитание двузначных чисел
Насколько хорошо вы умеете вычитать двузначные числа? Вам пора повышать передачу! Включайтесь в работу с нашим совершенно новым вычитанием в 100 рабочих листах, которые содержат множество практических задач, задач со словами из реальной жизни, увлекательные загадки и многое другое!
Вычисление выражений в круглых скобках
Ключ к вычислению выражений в круглых скобках заключается в том, чтобы сначала выполнить операции внутри круглых и квадратных скобок. Далее нужно умножить и разделить слева направо. Далее вы складываете и вычитаете слева направо. Таков порядок действий.
Типы дробей
Интересно, какие бывают дроби? Итак, правильная дробь — это та, в которой числитель меньше знаменателя, а неправильная — та, где применяется обратное. Единичная дробь – это часть целого. И есть еще несколько! Погрузитесь и исследуйте различные типы фракций.
Площадь поверхности треугольных призм
Призма называется треугольной, если она имеет 3 прямоугольные грани и 2 параллельных треугольных основания. Площадь поверхности треугольной призмы не так важна, как кажется или вы боитесь, что это не что иное, как количество пространства снаружи.
Самые популярные рабочие листы для начальной школы
Упражнения с разрядами
Разожгите любовь к математике с помощью увлекательных заданий с разрядами, таких как раскрашивание гусеницы, вырезание и склеивание кубиков, сборка пазлов, железнодорожных вагонов и многое другое!
Рабочие листы с задачами на сложение
Свяжите математические понятия с реальными сценариями с помощью этого набора задач на сложение, которые включают сложение однозначных, двухзначных, трехзначных чисел и сложение больших чисел.
Рабочие листы по вычитанию через нули
Освойте сложную технику перегруппировки 2-, 3-, 4- и 5-значных чисел, представленную в этом наборе практических рабочих листов по вычитанию через нули.
Периметр четырехугольников Рабочие листы
Вычислите периметр четырехугольников, поймите конгруэнтные свойства четырехугольников и решите алгебраические выражения с помощью этой партии рабочих листов периметра.
Самые популярные рабочие листы для средних школ
Рабочие листы по площади трапеции
Площадь трапеции Печатные формы содержат адекватные упражнения с размерами, включающими десятичные дроби и целые числа, а также изучение преобразования единиц измерения.
Константа пропорциональности Рабочие листы
Рабочие листы по константе пропорциональности содержат множество упражнений с использованием графиков, таблиц и уравнений для нахождения константы пропорциональности.
Рабочие листы со значащими цифрами
Запишите свои ответы на правильное количество значащих цифр с помощью этого поразительного разнообразия рабочих листов со значащими цифрами, используя правила значащих цифр.
Рабочие листы среднего абсолютного отклонения
Рабочие листы MAD в основном касаются нахождения среднего абсолютного отклонения наборов данных до 6 и до 10, сравнения наборов данных и решения текстовых задач.
Самые популярные рабочие листы средней школы
Масштабный коэффициент — рабочие листы площади и периметра
Эта единица масштабного коэффициента рабочих листов с похожими фигурами помогает понять, как масштабный коэффициент влияет на длины сторон, периметры и площади сходных форм.
Рабочие листы по квадратичным функциям
Целями обучения здесь являются вычисление квадратичных функций, запись квадратичных функций в различных формах, заполнение таблиц функций и т.д.
Рабочие листы арифметической последовательности
Получите огромную практику в нахождении арифметической прогрессии, определите первый член, общую разность и количество членов; выучить рекурсивную формулу и многое другое!
Рабочие листы с градусами и радианами
Это множество распечатываемых рабочих листов с градусами и радианами дает широкие возможности для преобразования градусов в радианы и наоборот.
Образцы рабочих листов
Модели умножения
Площадь смешанных фигур
Объем конусов
Таблица тригонометрии
Бесплатные рабочие листы по математике
Вы здесь: Главная → Рабочие листы
Здесь вы можете создавать математические рабочие листы для печати по множеству тем: все основные операции, часы, деньги, измерения, дроби, десятичные дроби, проценты, пропорции, отношения, факторинг, уравнения, выражения, геометрия, квадратные корни и многое другое. Мы также предлагаем страницы со списком рабочих листов по классам (1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 классы).
Рабочие листы доступны как в формате PDF, так и в формате html. они тоже очень настраиваемый : вы можете контролировать количество задач, размер шрифта, интервалы, диапазон чисел и так далее. Рабочие листы генерируются случайным образом, поэтому каждый раз вы получаете новый.
Все рабочие листы снабжены ключом ответа на 2-й странице файла.
НОВИНКА! Страница рабочих листов квадратных корней была обновлена с дополнительными параметрами, включая рабочие листы в форматах PDF и html.
Разрешение на копирование : вы можете свободно печатать и копировать неограниченное количество копий рабочих листов для использования в классе, дома, в репетиторском центре — везде, где вы можете преподавать. Если вы хотите разместить ссылки или рабочие листы на веб-сайте или в публикации, свяжитесь с нами.
Ниже вы можете увидеть примеры разнообразия рабочих листов:
По классам
Рабочие листы для 1 класса
предварительно настроенных рабочих листа по математике для 1 класса, сгенерированных случайным образом. Все, что вам нужно сделать, это нажать на ссылки.
Вы также можете найти первый класс
дополнение
вычитание
говоря время
разрядное значение и
рабочие листы для подсчета монет
на отдельных страницах.
Рабочие листы для 2-го класса
предварительно настроенных рабочих листа по математике для 2 класса, сгенерированных случайным образом. Все, что вам нужно сделать, это нажать на ссылки. Вы также можете найти второй сорт
дополнение
вычитание
говоря время
разрядное значение и
подсчет денег рабочие листы
на их отдельных страницах.
Рабочие листы для 3 класса
готовых рабочих листа по математике для 3 класса, сгенерированных случайным образом. Все, что вам нужно сделать, это нажать на ссылки. Вы также можете найти третий класс
разрядное значение
дополнение
вычитание
умножение
отделение
говоря время
единицы измерения
площадь и периметр и
подсчет денег рабочие листы
на их отдельных страницах.
Рабочие листы для 4 класса
готовых рабочих листа по различным математическим темам для 4 класса. По-прежнему генерируется случайным образом, но все, что вам нужно сделать, это нажать на ссылки.
Рабочие листы для 5-го класса
готовых рабочих листа по различным темам по математике для 5 класса. По-прежнему генерируется случайным образом, но все, что вам нужно сделать, это нажать на ссылки.
Рабочие листы для 6 класса
готовых рабочих листа по различным темам по математике для 6 класса. По-прежнему генерируется случайным образом, но все, что вам нужно сделать, это нажать на ссылки.
Рабочие листы для 7-го класса
готовых рабочих листа по различным математическим темам для 7 класса. По-прежнему генерируется случайным образом, но все, что вам нужно сделать, это нажать на ссылки.
Элементарная математика
Дополнительные рабочие листы
Сложение целых чисел и целых чисел в горизонтальной или столбчатой форме. Иметь до 6 дополнений. Проблемы с отсутствующим дополнением, возможность не носить с собой.
Рабочие листы числовых облигаций
Облигации чисел — это пары чисел, которые в сумме составляют заданное число. Найдите готовые рабочие листы для числовых связей от 8 до 15 и генератор, который вы можете использовать для других чисел. Доступен как в формате html, так и в формате PDF.
Числовые таблицы/счетные списки
Численные таблицы для счета, пропуска-счета, множителей. Выберите список
или диаграмму с числами в полях. Выберите шаг подсчета и сколько
студент заполняет.
Рабочие листы по основным операциям
Основные операции с целыми и целыми числами, включая операции со столбцами, деление в длинное и деление с остатком, проблемы с отсутствующими сложениями и множителями. Легко контролировать диапазоны номеров.
Рабочие листы умножения
Для 3, 4 и 5 классов. Включает подсчет с пропусками, таблицу умножения, отсутствующие множители, алгоритм умножения (длинное умножение) и факторинг.
Рабочие листы отдела
Для 3, 4 и 5 классов. Темы включают факты деления, мысленное деление, деление в длинное, деление с остатком, порядок операций, уравнения и разложение на множители.
Римские цифры
Изменить обычные числа на римские или наоборот. Или решайте задачи на сложение и вычитание с римскими цифрами.
Рабочие листы учета рабочего времени
Сообщите время по аналоговым часам или нарисуйте стрелки на часах, когда указано цифровое время. Вы можете выбрать размер изображения часов. Доступен как в формате PDF, так и в формате html. Страница включает в себя как генератор, так и готовые рабочие листы для 1-3 классов.
Измерение — по классам
Готовые таблицы единиц измерения для 3-го, 4-го, 5-го и 6-го классов. Доступны как в формате PDF, так и в формате html.
Общепринятые единицы измерения
Практика преобразования обычных единиц измерения. Доступен как в формате PDF, так и в формате html. На странице есть как генератор, так и готовые рабочие листы для 2–7 классов.
Метрические единицы измерения
Практика преобразования метрических единиц измерения. Доступен как в формате PDF, так и в формате html. На странице есть как генератор, так и готовые рабочие листы для 2–7 классов.
Специальный
Более 300 бесплатных КАЧЕСТВЕННЫХ математических листов
… и образцы страниц из книг Math Mammoth совершенно бесплатно! Они не написаны по сценарию, но содержат очень разные проблемы по множеству тем.
FreeMathTest.com Математические тесты
Счет предметов, чет/нечет, сложение, вычитание, умножение, деление, валюта, сравнения, разрядность, последовательность, игры.
Деньги (различная валюта)
Счет денег США (монеты/купюры)
Считайте обычные монеты или банкноты США. Вы можете выбрать, какие монеты/купюры будут использоваться, и сколько монет/купюр будет отображаться максимально.
Канадские деньги (монеты/купюры)
Считайте обычные канадские монеты или купюры. Вы можете выбрать, какие монеты/купюры будут использоваться, и сколько монет/купюр будет отображаться максимально.
Австралийские деньги (монеты/купюры)
Считайте обычные австралийские монеты и/или банкноты. Вы можете выбрать, какие монеты/купюры будут использоваться, и сколько монет/купюр будет отображаться максимально.
Деньги Южной Африки (ранды/центы)
Считайте обычные южноафриканские монеты и/или банкноты. Вы можете выбрать, какие монеты/купюры будут использоваться, и сколько монет/купюр будет отображаться максимально.
Британские деньги (монеты/купюры)
Считайте обычные британские монеты и/или банкноты. Вы можете выбрать, какие монеты/купюры будут использоваться, и сколько монет/купюр будет отображаться максимально.
Европейские деньги (монеты/банкноты евро)
Подсчет обычных монет и/или банкнот евро. Вы можете выбрать, какие монеты/купюры будут использоваться, и сколько монет/купюр будет отображаться максимально.
Дроби
Рабочие листы дробей 1
Генератор рабочих листов для сложения, вычитания, умножения и деления дробей и смешанных
числа.
Таблицы дробей 2
Упрощение (сокращение) дробей, равнозначных дробей, преобразование дробей в смешанные числа или наоборот. Вы можете управлять диапазонами числителя, знаменателя и целой части числа.
Добавление дроби
Рабочие листы для сложения дробей, организованные по разделам для 4-го, 5-го и 6-7-го классов. Доступен как в формате PDF, так и в формате html.
Умножение дробей
Рабочие листы на умножение дробей и смешанных чисел, организованные по разделам для 4, 5 и 6-7 классов. Доступен как в формате PDF, так и в формате html.
Сравнение дробей
Сравнить или упорядочить дроби. Много вариантов; Вы даже можете включить изображения пирогов, чтобы ученики могли их раскрасить!
Эквивалентные дроби
Пять разных типов задач, четыре из которых включают визуальные модели (круговые изображения). Доступен как в формате PDF, так и в формате html. Страница включает в себя как генератор, так и готовые рабочие листы для 4-5 классов.
Калькулятор дробей
Сложите, вычтите, умножьте или разделите дроби с помощью этого удобного калькулятора.
Десятичные числа
Таблицы дробей/десятичных чисел
Рабочие листы для преобразования дробей в десятичные числа или десятичных чисел в дроби. Много вариантов.
Десятичные рабочие листы
Основные операции с десятичными числами в горизонтальной или столбчатой форме, включая деление в длинное.
Таблицы десятичного умножения
Рабочие листы для умственного умножения и алгоритма умножения с десятичными знаками.
Рабочие листы десятичного деления
Рабочие листы для умственного деления и деления в двоичном формате с десятичными дробями.
Округление десятичных знаков
Рабочие листы для округления десятичных чисел с различными вариантами.
Теория чисел
Округление
Рабочие листы для округления целых чисел с различными вариантами.
Порядковый номер/научное обозначение
Рабочие листы для написания чисел в расширенной или нормальной форме или для записи чисел в экспоненциальном представлении.
Экспоненты
Рабочие листы для показателей, с большим количеством вариантов. Доступен в форматах PDF и html.
Квадратные корни
Параметры включают диапазон подкоренных, ограничение подкоренных до полных квадратов, использование целых чисел или десятичных дробей, предоставление ответа в упрощенной форме или в виде десятичной дроби, а также включение других операций (сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в квадрат) помимо взятия квадрата корень. Доступен в форматах PDF и html.
Факторинг
Рабочие листы для простой факторизации. Легкий, средний или сложный уровни.
GCF/LCM
Рабочие листы для определения наибольшего общего делителя и/или наименьшего общего кратного чисел.
Соотношение, доля и процент
Таблицы пропорций
Создавайте рабочие листы пропорций либо с числовыми задачами, либо с простыми задачами на слова (например, задачи на скорость/расстояние или стоимость/количество). Варианты использования только целых чисел или чисел с определенным диапазоном или определенным количеством десятичных цифр.
Проблемы с соотношением слов
Простые словесные задачи на соотношения для 6-8 классов.
Процентные/десятичные таблицы
Рабочие листы для преобразования процентов в десятичные числа или десятичных чисел в проценты. Или выберите смешанный рабочий лист, который имеет оба типа.
Процент от числа
Рабочие листы для нахождения процентов от заданного числа в форматах PDF и html. Вы можете контролировать диапазон процента и основного числа, а также десятичных цифр, чтобы создавать процентные задачи, которые вы можете решить в уме, или более сложные.
Рабочие листы с процентами
Три различных основных типа задач: найти процент от заданного числа, найти фактический процент, когда задано число и часть, или найти основное число, когда заданы процент и часть. Вы можете выбирать формулировки задач и контролировать количество знаков после запятой, диапазон, размер шрифта и многое другое.
Геометрия
Классификация треугольников
Определите различные типы треугольников. Классифицируйте треугольники по их сторонам, углам или тому и другому.
Классифицировать четырехугольники
Определите семь различных типов четырехугольников (квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм, трапеция, воздушный змей и разносторонний четырехугольник).
Площадь и периметр прямоугольников
Задачи на площадь и периметр прямоугольников/квадратов с изображениями, задачи со словами, написание выражения для площади с использованием распределительного свойства, неправильные прямоугольные области и многое другое.
Круглые листы
Вычислите радиус, диаметр, длину окружности или площадь, если задан один из них.
Площадь треугольников, четырехугольников и многоугольников
Найдите площадь треугольников, параллелограммов, других четырехугольников и многоугольников (пятиугольников/шестиугольников) в координатной сетке.
Таблицы объема и площади поверхности
Найдите объем и/или площадь поверхности прямоугольной призмы, в том числе с дробными длинами ребер. Вы также можете создавать задачи, в которых заданы объем или площадь поверхности, а также некоторые размеры, а затем вам нужно вычислить либо объем, либо площадь поверхности.
Таблицы координатной сетки
Учащиеся либо строят точки, либо сообщают координаты точек, строят фигуры из точек, отражают фигуры по оси x или y, либо перемещают (перемещают) их вверх, вниз, влево или вправо.
Преалгебра
Переменные выражения
Рабочие листы для написания простых выражений с переменными, когда выражения даны словами. Для 6-8 классов, предалгебра и алгебра 1.
Вычисление выражений
Рабочие листы для вычисления простых выражений с переменными, когда заданы значения переменных. Для 6-8 классов, предалгебра и алгебра 1.
Упрощение выражений
Для предварительной алгебры и алгебры 1. Вы можете контролировать количество задач, уровень сложности, тип выражений, рабочее пространство и многое другое.
Линейные уравнения
Рабочие листы для линейных уравнений. Включает одношаговые, двухшаговые, многошаговые уравнения, переменные с обеих сторон и многое другое. Для 6-9 классов, предалгебра и алгебра 1.
Графики и уклоны
Для предварительной алгебры и алгебры 1. Нарисуйте линейные уравнения и определите наклон или уравнение прямой. Вы можете контролировать тип задач, их количество, разрешен ли частичный уклон, рабочее пространство и многое другое.
Линейные неравенства
Для предварительной алгебры и алгебры 1. Постройте заданное неравенство, напишите неравенство по графику или решите различные типы линейных неравенств с построением набора решений или без него.
Скорость, время и расстояние
Словесные задачи на постоянную (или среднюю) скорость, время и расстояние.
Порядок действий
Выберите одну из пяти операций и скобок. Вы можете выбрать используемый диапазон номеров, количество задач и многое другое.
Калькулятор формул
Решайте уравнения, неравенства и системы уравнений, упрощайте или факторизируйте выражения и многое другое с помощью этого онлайн-решателя алгебры.
Редактор формул
Бесплатный онлайн-редактор формул для учителей. Создает изображение, которое можно сохранить.
Отрицательные и нулевые показатели
Рабочие листы для отработки отрицательных и нулевых показателей, доступны как в формате PDF, так и в формате html.
Бесплатные рабочие листы по алгебре
Список других веб-сайтов, предлагающих бесплатные рабочие листы по алгебре.
Другие веб-сайты с математическими таблицами
DadsWorksheets.com – тысячи бесплатных листов по математике На этом сайте более 5000 различных листов по математике от детского сада до начальной алгебры и развивающих занятий.
Математический лабиринт Создайте лабиринт, который выполняет любую из четырех операций. Вы можете выбрать уровень сложности и размер лабиринта.
10 рабочих листов Quickies Интересные рабочие листы по математике… с 10 вопросами на странице, но на каждой странице есть декорации, которые дети могут потом раскрасить. Доступно несколько бесплатных образцов.
Рабочие листы по математике | Динамически создаваемые математические рабочие листы
Учителя, поделитесь сайтом с родителями, чтобы ученики могли заниматься математикой дома.
Math-Aids.Com предоставляет бесплатные рабочие листы по математике для учителей, родителей, учащихся и домашних школьников. Математические листы генерируются случайным образом и динамически с помощью наших генераторов математических листов. Это позволяет вам мгновенно создавать неограниченное количество математических листов для печати в соответствии с вашими требованиями.
Этот сайт является бесплатным для пользователей из-за дохода, получаемого от размещения рекламы на сайте. Использование блокировщиков рекламы противоречит нашим условиям использования. Если вы не хотите просматривать рекламу, присоединяйтесь к нашей зоне для участников, в которой нет рекламы.
Веб-сайт содержит более 94 различных математических тем с более чем 1223 уникальными рабочими листами. Эти рабочие листы по математике — отличный ресурс для детей от детского сада до 12-го класса. Они могут быть настроены в соответствии с вашими потребностями и могут быть немедленно распечатаны или сохранены для последующего использования. Эти математические рабочие листы создаются случайным образом нашими генераторами математических рабочих листов, поэтому в вашем распоряжении бесконечный запас качественных математических рабочих листов. Эти высококачественные математические рабочие листы поставляются в формате PDF и содержат ключи для ответов. Наши рабочие листы по математике можно загрузить бесплатно, они просты в использовании и очень гибки. Подробное описание приведено в каждом разделе математических листов.
Гибкость и качество учебника по математике делают Math-Aids.Com уникальным ресурсом для людей, желающих создавать и использовать математические таблицы. Ключ ответа включается в рабочие листы по математике по мере его создания. Каждая математическая тема имеет несколько различных типов математических рабочих листов, чтобы охватить различные типы задач, над которыми вы можете работать.
Мы стремимся создавать лучшие динамические математические рабочие листы для наших пользователей.
В настоящее время у нас есть математические рабочие листы по следующим темам: сложение, алгебра 1, алгебра 2, десятичные числа, деление, оценка, четные и нечетные, показатели степени, семейство фактов, факторы, карточки для запоминания, дроби, таблицы функций, геометрия, график, миллиметровка. , Графика, Больше, чем меньше, Диаграмма сотен, Входящие и исходящие коробки, Целые числа, Детский сад, Логика, Средняя мода Медиана и диапазон, Измерение, Смешанные задачи, Деньги, Умножение, Числовые связи, Числовые строки, Системы счисления, Порядок операций, Шаблоны, процент, разрядное значение, предварительная алгебра, вероятность, свойства, теорема Пифагора, радикалы, соотношения, округление, значащие цифры, пропуск счета, вычитание, определение времени, диаграммы Венна, словесные игры и словесные задачи.
Каждый день мы добавляем на сайт новые рабочие листы по математике, так что заходите к нам почаще. Мы будем рады разработать любые математические рабочие листы, которые могут вам понадобиться для планирования урока. Просто свяжитесь с нами, мы будем рады помочь вам.
Учителя и учащиеся на дому используют рабочие листы по математике на этом веб-сайте для измерения уровня владения детьми базовыми математическими навыками, дополнительной практики, выполнения домашних заданий и экономии драгоценного времени на планирование.
Родители используют рабочие листы по математике на этом веб-сайте, чтобы дать своим детям дополнительную практику с основными математическими навыками. Использование рабочих листов по математике во время перерывов и летом позволит детям оставаться в форме и подготовиться к предстоящему школьному семестру.
Зарегистрируйтесь в Личном кабинете без рекламы
Зарегистрируйтесь в Зоне без рекламы всего за 19,95 долларов в год или 3,95 долларов в месяц.
Преимущества:
Без рекламы, без всплывающих окон и без звука.
Содержимое того же качества.
Загрузка страниц в десять раз быстрее.
Рабочие листы в формате PDF легче распечатывать и сохранять.
Используйте сайт в классе, не отвлекаясь.
Stripe обрабатывает транзакцию, поэтому Math-Aids. Com не передает и не сохраняет финансовую информацию
После того, как вы присоединились, просто нажмите на красную кнопку «Вход в систему» вверху сайта справа от даты, чтобы получить доступ к зоне без рекламы.
Распространите информацию о наших рабочих листах по математике
Если вам нравятся наши рабочие листы по математике и вы можете разместить ссылку на этот веб-сайт на любой веб-странице, в блоге, на школьном сайте или на школьном сайте, мы будем вам очень благодарны!
Каждая страница или блог, которые ссылаются на нас, — это голос, который имеет значение в глазах поисковых систем, и это лучший способ сделать нам комплимент.
Если вы обнаружите, что наши динамически создаваемые математические рабочие листы на Math-Aids.Com представляют ценность для вас лично, добавьте их в закладки и поделитесь ими со своими друзьями, семьей и коллегами, отправив им электронное письмо на сайт.
Вы также можете поделиться сайтом в Facebook, Twitter, Google, Pinterest, Linkedin, WordPress, Digg, Diigo, Blogger, Stumble Upon, Tumblr, Delicious, MySpace или любой другой социальной сети. Просто используйте кнопки слева под Поделитесь заголовком Site или кнопками ниже.
Быстрая ссылка для всех разделов рабочего листа по математике
Щелкните изображение, чтобы перейти к этому разделу рабочего листа по математике.
Дополнительные рабочие листы
Математические рабочие листы
Рабочие листы по алгебре 1
Рабочие листы по математике
Алгебра 2 Рабочие листы
Рабочие листы по математике
Рабочие листы по исчислению
Рабочие листы по математике
Рабочие листы с десятичными дробями
Математические рабочие листы
Рабочие листы для дивизий
Рабочие листы по математике
Оценочные рабочие листы
Математические рабочие листы
Рабочие листы для четных и нечетных чисел
Рабочие листы по математике
Exponents Worksheets
Math Worksheets
Рабочие листы семейства фактов
Рабочие листы по математике
Рабочие листы по факторам
Рабочие листы по математике
Математические карточки
Рабочие листы по математике
Рабочие листы по дробям
Математические рабочие листы
Рабочие листы таблицы функций
Рабочие листы по математике
Рабочие листы по геометрии
Рабочие листы по математике
График
Рабочие листы по математике
Миллиметровая бумага
Рабочие листы по математике
Рабочие листы по графикам
Рабочие листы по математике
Больше, чем
Меньше, чем Рабочие листы
Таблица сотен
Рабочие листы по математике
Входящие и исходящие рабочие листы
Математические рабочие листы
Рабочие листы с целыми числами
Рабочие листы по математике
Рабочие листы для детского сада
Рабочие листы по математике
Средняя мода Медиана
и Рабочие листы диапазона
Рабочие листы по измерениям
Рабочие листы по математике
Рабочие листы для смешанных задач
Рабочие листы по математике
Рабочие листы с деньгами
Математические рабочие листы
Рабочие листы по умножению
Математические рабочие листы
Рабочие листы по числовым облигациям
Рабочие листы по математике
Рабочие листы с числовыми линиями
Математические рабочие листы
Рабочие листы по системам счисления
Рабочие листы по математике
Порядок действий
Рабочие листы по математике
Узоры Рабочие листы
Математические рабочие листы
Проценты Рабочие листы
Математические рабочие листы
Таблицы значения места
Рабочие листы по математике
Рабочие листы по алгебре
Рабочие листы по математике
Рабочие листы по теории вероятностей
Рабочие листы по математике
Свойства Рабочие листы
Математические рабочие листы
Теорема Пифагора
Рабочие листы по математике
Рабочие листы по радикалам
Рабочие листы по математике
Рабочие листы по отношениям
Рабочие листы по математике
Рабочие листы округления
Математические рабочие листы
Рабочие листы со значащими цифрами
Рабочие листы по математике
Листы с пропуском счета
Рабочие листы по математике
Рабочие листы по вычитанию
Математические рабочие листы
Рабочие листы времени
Математические рабочие листы
Диаграмма Венна Рабочие листы
Математические рабочие листы
Word Games Worksheets
Math Worksheets
Рабочие листы с задачами Word
Математические рабочие листы
Справка по домашнему заданию по математике онлайн | Do My Math Homework
Ansys
Autodesk Fusion 360
Автомобильная инженерия
Биомеханика
CAD-CAM
Композитный материал
Вычислительная динамика жидкости
Механика континуума
Динамика
Энергетические системы
Инженерный рисунок
Анализ фиксированных элементов
Fluid Mechanics
Gas Dynamics.
HVAC
Гидравлика и пневматика
Внутреннее сгорание
Кинематика машин
Конструкция машин
Maintenance Engineering
Manufacturing Process
Material Science
Mechanical Measurements
Renewable Energy
Solid Works
Statics
Strength Of Materials
System Dynamics
Thermodynamics
Thermofluid
Vibrations
Antenna Theory
Цепи
Система управления
Цифровые системы
Электрические машины
Электрические измерения
Электромагнитное поле
Поля и волны
Линейные системы
MATLAB and Simulation
Mechatronics
MultiSim
PLC
Sightronics
. Беспроводная связь
Autodesk
Вычисления в промышленной инженерии
Анализ затрат на проектирование
Excel
Человеческий фактор/эргономика
Промышленные эксперименты
Управление системами запасов
Проектирование производства и планирование процессов
Планирование и контроль производства
Проектирование и контроль качества
032 Статистические методы 90 Управление качеством и надежность
Это главная страница для рабочих листов для сложения. Перейдите по ссылкам, чтобы найти рабочие листы сложения по математике космического корабля, рабочие листы сложения нескольких цифр, рабочие листы сложения без переноса и другие темы сложения. Эти дополнительные рабочие листы бесплатны для личного или классного использования.
Рабочие листы на сложение
Рабочие листы на вычитание
Это главная страница рабочих листов на вычитание. Перейдите по ссылкам, чтобы найти рабочие листы по математическому вычитанию космического корабля, тесты на вычитание по времени, рабочие листы по вычитанию нескольких цифр, простые рабочие листы по заимствованию и перегруппировке, а также математические рабочие листы со смешанными задачами на сложение и вычитание рабочие листы умножения. Уберите пальцы, потому что это первая математическая операция, требующая запоминания фактов. Вы найдете рабочие листы умножения для восьми простых правил папы для освоения таблицы умножения, умножения RocketMath, многозначного умножения, квадратов и других тем рабочего листа умножения. Все эти рабочие листы по умножению содержат ключи для ответов, их можно мгновенно распечатать и использовать в классе или дома.
Рабочие листы на умножение
Рабочие листы на деление
Это главная страница рабочих листов на деление. Сюда входят рабочие листы математического отдела космического корабля, рабочие листы для деления на несколько цифр, рабочие листы для квадратных корней, кубических корней, смешанные рабочие листы для умножения и деления. Эти рабочие листы разделения бесплатны для личного или классного использования.
Рабочие листы на деление
Таблица умножения
Пытаетесь запомнить факты умножения? Эта страница содержит печатные таблицы умножения, которые идеально подходят для справки. Существуют различные варианты каждой таблицы умножения с фактами от 1 до 9.(продукты 1-81), 1-10 (продукты 1-100), 1-12 (продукты 1-144) и 1-15 (продукты 1-255). Каждая из этих диаграмм умножения представляет собой SVG с высоким разрешением, поэтому факты умножения печатаются красиво!
Таблица умножения
Таблица умножения
Вы ищете распечатанную таблицу умножения, в которой есть не только факты? Один с некоторыми дополнительными математическими фактами о множителях? Или уникальный дизайн? В цвете? Все таблицы умножения на этой странице представляют собой файлы SVG с высоким разрешением, которые прекрасно распечатываются на вашем принтере и являются отличным ресурсом для изучения таблицы умножения в классе начальной школы или дома!
Таблица умножения
Рабочие листы семейства фактов
Рабочие листы семейства фактов сосредоточены на наборах связанных математических фактов, а не на конкретных операциях. Научите своих детей сложению и вычитанию одновременно и укрепите отношения в семье фактов! На каждом уровне представлены два семейства фактов, которые позволяют прогрессивно практиковаться, или просто используйте рабочие листы в конце для всестороннего обзора семейства фактов.
Рабочие листы по математике семейства фактов
Рабочие листы с длинным делением
Вводные рабочие листы с делением в длинное число, листы с делением в длинное с остатком и без него, деление в длинное с десятичными знаками. Все эти длинные листы деления включают подробные, развернутые ответы.
Рабочие листы длинного деления
Графические дроби
Отличное введение в дроби с использованием круговой графики. Учащихся просят идентифицировать числовые формы дробей на графике или создать свои собственные представления.
Графические дроби
Эквивалентные дроби
16 Рабочие листы с эквивалентными дробями
Эти рабочие листы с эквивалентными дробями учат учащихся 4-го и 5-го классов тому, как находить эквивалентные дроби, включая приведение дробей к более низким формам, а также преобразование дробей к менее сокращенным формам. Познакомившись с обычными эквивалентными дробями, учащиеся узнают, как находить и распознавать дроби, которые им нужны, при выполнении других типов арифметических операций с дробями, где требуются разные знаменатели.
Рабочие листы эквивалентных дробей
Сокращение дробей
Практические рабочие листы для сокращения дробей. Рабочие листы с различными дробями в этом разделе посвящены сокращению простых дробей, неправильных дробей и смешанных дробей.
Рабочие листы для сокращения дробей
Рабочие листы для сравнения дробей
Практические рабочие листы для сравнения дробей. Задачи на дроби на этих листах требуют от детей сравнения одинаковых и непохожих знаменателей, неправильных дробей и смешанных дробей.
Сравнение дробей
Сложение дробей
Рабочие листы для сложения дробей с общими знаменателями, с разными знаменателями, в виде простых дробей и смешанных дробей. Полная работа с шагами показана для каждой задачи на ключах ответов.
Рабочие листы для сложения дробей
Вычитание дробей
Рабочие листы для вычитания дробей с общими знаменателями, с разными знаменателями, в виде простых и смешанных дробей. Полные ключи ответов, которые показывают работу!
Рабочие листы по вычитанию дробей
Умножение дробей
Эти математические рабочие листы служат для практики умножения дробей. Включает задачи с целыми и без них, а также с кросс-отменами и без них. Каждый рабочий лист PDF-фракции здесь имеет подробный ключ ответа, который показывает работу, необходимую для решения проблемы, а не только конечный продукт!
Рабочие листы для умножения дробей
Деление дробей
Рабочие листы для деления дробей с делением на две дроби. Включает в себя простые дроби, смешанные дроби и неправильные дроби, а также задачи, для решения которых используется шаг перекрестного умножения.
Рабочие листы для деления дробей
Дроби как десятичные числа
Рабочие листы для преобразования дробей в десятичные, в том числе с использованием деления в большую сторону.
Рабочие листы для десятичных дробей
Десятичные дроби в процентах
16 Рабочие листы для десятичных дробей в процентах
Эти рабочие листы для десятичных дробей в процентах учат учащихся 4-го и 5-го классов преобразованию между различными формами для одного и того же количества дробей. к низшим формам, а также изменение дробей на менее восстановленные формы. Это отличные рабочие листы для применения дробей к другим распространенным типам математических задач или просмотра того, как дробь связана с определенным десятичным числом или процентом.
Дробь Десятичная дробь Проценты
Математические задачи со словами
На этой странице представлены задачи со словами, охватывающие ряд трудностей для всех основных операций, включая задачи с большими значениями, а также с неиспользованной информацией. Словесные задачи — отличный способ применить эти математические факты на практике и развить реальное понимание того, что означают операции в реальном мире!
Сложные задачи
Предалгебраические задачи
Предалгебраические задачи на сложение, вычитание, умножение и деление, связанные с отношениями между числами в простых уравнениях… Отличный первый шаг для облегчения освоения алгебры!
Предварительные алгебраические задачи
Денежные задачи
Реальные задачи на сложение, вычитание, умножение и деление, связанные с деньгами. Отличное первое введение в прикладную математику для студентов, знакомых с десятичной арифметикой!
Задачи на деньги
Инвестирование
Рабочие листы, обучающие основным математическим понятиям инвестирования, включая рыночную капитализацию, отношение цены к прибыли, дивиденды.
Рабочие листы по инвестированию
Отрицательные числа
Эти рабочие листы с отрицательными числами объединяют отрицательные числа с другими целыми числами (как положительными, так и отрицательными) с использованием основных математических операций, умножения многозначных отрицательных чисел и деления в длинную сторону с отрицательными числами.
Отрицательные числа
Проценты
Рабочие листы для практики использования и вычисления процентов других чисел, включая преобразование между дробями и процентами.
Рабочие листы с процентами
Округление чисел
В этом разделе представлены рабочие листы округления для округления целых чисел и округления десятичных чисел, начиная с относительно простых задач, которые вводят алгоритм округления, а затем переходят к более сложным задачам, где учащиеся должны определить правильную разрядную цифру для проверки. как правильную цифру для округления в большую или меньшую сторону..
Рабочие листы округления чисел
Упорядочивание чисел
Практика упорядочивания рабочих листов с несколькими числами в порядке возрастания (от наибольшего к наименьшему) и убывания (от наименьшего к наибольшему). Включает в себя целые числа, десятичные числа и отрицательные числа. Аналогичные наборы рабочих листов с порядковыми номерами представлены как в горизонтальном, так и в вертикальном форматах.
Рабочие листы для заказа номеров
Стандартная, расширенная и словесная формы
Практические рабочие листы для преобразования чисел между стандартной формой (цифры), расширенной формой (разрядное значение) и формой слова (прописью или устным представлением).
Стандартный, расширенный, словоформа
Шаблоны чисел
Эти рабочие листы шаблонов чисел помогают учащимся развить необходимые навыки для определения шаблонов и отношений между числами.
Шаблоны номеров
Образцы с отрицательными числами
Образцы чисел, которые пересекают ноль и могут начинаться или заканчиваться отрицательными значениями.
Шаблоны с отрицаниями
Среднее, медиана, диапазон
Рабочие листы для определения среднего, медианы, моды и диапазона для наборов чисел. Задачи включают в себя наборы всех положительных целых чисел, все отрицательные целые числа и смешанные наборы знаков, а также практику работы с калькулятором.
Рабочие листы среднего диапазона мод
Флэш-карты для печати
Эта страница содержит бесплатные карточки для распечатки для каждой математической операции. Распечатайте «рабочий лист» на лицевой стороне, затем переверните страницу и распечатайте «ключ ответа» на обратной стороне. Некоторые наборы содержат повторяющиеся факты для более сложных задач ближе к концу, так что наборы оказываются на нескольких страницах. Эти карточки четко помечены как дубликаты… используйте их для дополнительной практики над более сложными задачами или отложите их в сторону, если вам нужен набор только с одной флэш-картой для каждого факта математики.
Флэш-карты для печати
Отсутствующие операции
Рабочие листы, в которых даны ответы, но отсутствует операция. Это отличный способ выучить группы фактов «в обратном порядке» или обеспечить подкрепление, если запоминание с помощью других упражнений кажется застопорившимся.
Рабочие листы с отсутствующими операциями
Таблица сотен
Каждая таблица сотен, которую вы можете себе представить! Если вы обучаете основам счета, понятию чисел, округлению или основам арифметики, вы можете использовать числовую таблицу, подобную этой, чтобы ускорить развитие математических навыков.
Таблица сотен
Таблица стоимостей
На этой странице можно распечатать таблицы стоимостей. В десятичной системе счисления положение (или «место») отдельной цифры в числе определяет ее значение относительно других цифр. Когда число записывается в стандартной форме с группами из трех разрядов, разделенных запятыми, каждая из этих групп называется точкой. Формирование чувства числа путем понимания разрядных значений является важным математическим навыком на раннем этапе, и эти диаграммы разрядных значений позволяют разбить числа на части, чтобы лучше понять значение каждой цифры. Существуют варианты диаграмм разрядности только для целых чисел, десятичных чисел и очень больших чисел. Существуют различные макеты диаграмм стоимости мест, которые усиливают как стоимость места, так и стоимость периода.
Таблица разрядов
Римские цифры
Рабочие листы по римским цифрам, включая преобразование римских цифр, упорядочивание римских цифр и заполнение шаблонов римских цифр. Римские цифры — идеальная тема для учащихся 3-х, 4-х и 5-х классов, и эти рабочие листы обеспечивают практику чтения и письма римскими цифрами, а также базовые навыки восприятия чисел.
Рабочие листы с римскими цифрами
Таблица римских цифр
Если вы пытаетесь научиться читать и писать римскими цифрами, пытаетесь найти причудливый способ написать свой год рождения, или вам просто нужна «шпаргалка» для краткий справочник, каждая таблица римских цифр на этой странице позволит вам быстро работать с этой древней системой счисления. Все диаграммы печатаются на одной странице в версиях для 1-10, 1-100 и 1-1000 с правилами для римских цифр и без них. Пытаетесь понять, что означает эта странная римская цифра после Суперкубка? Взгляните на новую таблицу римских цифр Super Bowl!
Таблица с римскими цифрами
Судоку
Судоку для детей и взрослых, в том числе простые и сложные, злые судоку, самурайские судоку и многое другое!
Судоку для печати
Магический квадрат
Головоломки с магическим квадратом — отличное введение в логику и решение задач… Попробуйте эти 3×3, 4×4 и 5×5, чтобы улучшить свои математические навыки!
Рабочие листы «Магический квадрат»
Головоломки с числовыми сетками
В этом разделе представлены рабочие листы математических логических головоломок в виде сетки, включающие сложение, вычитание, умножение и деление для разных классов и уровней навыков. Существуют версии этих логических головоломок с пропущенными числами, а также с пропущенными операциями.
Головоломки с числовыми сетками
Факторизация, НОД, НОД
Распечатываемые на этой странице рабочие листы факторизации простых чисел требуют, чтобы учащиеся разлагали все большие целые числа на простые множители. Это первый шаг для определения наибольших общих делителей двух чисел или определения наименьшего общего кратного двух чисел, но дополнительно простая факторизация вводит понятия простых чисел и составных чисел.
Факторизация, НОД, НОК
Предварительная алгебра
Предварительные алгебраические навыки, включая поиск пропущенных значений.
Рабочие листы Pre-Algebra
Рабочие листы Exponents
Вводит квадраты, кубы и экспоненты в сочетании с другими основными операциями. Включает в себя практику, которая создаст память сайта для общих экспоненциальных терминов
Экспоненты
Рабочие листы порядка операций
Эти рабочие листы порядка операций смешивают основные арифметические операции, включая круглые скобки и экспоненты. Если вы ищете рабочие листы с порядком операций, которые проверяют знание правил PEMDAS, эти математические листы — хорошее начало. Вы также можете найти рабочие листы порядка операций с отрицательными числами и рабочие листы порядка операций со сравнениями на этих других страницах рабочего листа.
Порядок действий Рабочие листы
Базовая геометрия
Простая маркировка линий, углов и треугольников. Идентификация фигур
Рабочие листы по базовой геометрии
Определение времени по аналоговым часам
Практические рабочие листы для определения времени по аналоговым часам, включая чтение времени и рисование циферблатов.
Определение аналогового времени
Прошедшее аналоговое время
Рабочие листы для сравнения двух аналоговых часов и определения времени, прошедшего между ними.
Аналоговое прошедшее время
Дошкольный и детский сад
Эти действительно простые математические рабочие листы идеально подходят для малышей, которые только начинают свое математическое путешествие! Эти рабочие листы содержат задачи на сложение и вычитание, которые можно решить с помощью пяти или десяти пальцев.
Дошкольные учреждения и детские сады
Больше и меньше
Практические рабочие листы для сравнения чисел. Эти рабочие листы содержат больше и меньше операций, сравнений и тестов на равенство для многозначных чисел, времени и многого другого!
Больше и меньше
Бумага для рукописного ввода
Печатные шаблоны бумаги для рукописного ввода с разной высотой строки, включая 3-строчную тренировочную бумагу в обычном и широком макетах, чистую бумагу для рассказов и обычную разлинованную бумагу для старшего класса ученики. Ознакомьтесь с пронумерованными пустыми шаблонами проверки орфографии!
Бумага для рукописного ввода
Миллиметровая бумага
Бесплатная печатная миллиметровая бумага, бумага с сеткой и точечная бумага для математических задач, ремесел, зентанглинга, ландшафтного дизайна, архитектуры или просто рисования. Все стили графической бумаги включают дюймовые и сантиметровые варианты. Все эти PDF-файлы предназначены для печати на бумаге размером 8,5 x 11 дюймов.
Миллиметровая бумага
Координатная плоскость
Пустые координатные плоскости на этой странице включают варианты с метками либо на оси, либо на краю сетки, а также версии с метками квадрантов. Вы можете найти полные 4-квадрантные координатные плоскости, а также пустые 1-квадрантные координатные плоскости в настройках макетов для решения нескольких домашних задач на одной странице.
Координатная плоскость
Измерение в дюймах
Эти рабочие листы для измерения дюймов (обычные единицы измерения) позволят развить навыки выполнения линейных измерений либо одной точки, либо измерения длины объекта. Существуют различные измерительные рабочие листы с задачами, подходящие для учащихся детского сада, первого, второго или третьего класса по математике.
Измерение в дюймах
Метрическое измерение
Рабочие листы для определения измеренных положений и измерения объектов в сантиметрах и миллиметрах на линейке. Эти рабочие листы являются отличной практикой для учащихся первого, второго, третьего и четвертого классов, а также могут обеспечить практическую практику вычитания при измерении длины объектов на линейке.
Метрические измерения
Преобразование метрических единиц СИ
Эти рабочие листы используют дроби единицы для преобразования значений единиц измерения из одного измерения в другое. Этот подход более распространен на уроках химии, физики или других естественных наук и требует, чтобы учащиеся сосредоточились на сокращении единиц, чтобы найти решение с правильным значением и правильными единицами.
Преобразование единиц метрической системы СИ
Преобразование обычных единиц измерения
Традиционная практика преобразования единиц измерения расстояния (дюймы в футы), объема (унции в галлоны) и массы (унции в фунты). Эти рабочие листы также используют дроби единицы для преобразования значений единиц измерения из одного измерения в другое. Этот подход более распространен на уроках химии, физики или других естественных наук и требует, чтобы учащиеся сосредоточились на сокращении единиц, чтобы найти решение с правильным значением и правильными единицами.
Преобразование обычных единиц измерения
Традиционные и метрические единицы
В этих рабочих листах используются единичные дроби для преобразования значений между единицами СИ (метрическими) и обычными единицами. Темы в этом разделе включают практику преобразования дюймов в метры, литров в галлоны и граммов в фунты.
Обычная и метрическая система
Изображение Сложение по математике
В этих печатных рабочих листах используются изображения и группировка для построения концептуального понимания сложения. Эти рабочие листы начинаются с простых задач на сложение изображений, где требуются только базовые навыки счета, чтобы придумать предложения с добавлением чисел, но более поздние рабочие листы требуют, чтобы учащиеся создали аналогичную сетку, чтобы продемонстрировать свое понимание концепций сложения. Это идеальная первая инструкция для учащихся дошкольных учреждений, детского сада или первого класса.
Изображение Математическое сложение
Изображение Математическое вычитание
В этих печатных рабочих листах используются изображения и группировка для построения концептуального понимания вычитания. Эти рабочие листы начинаются с простых задач с картинками на вычитание, где требуются только базовые навыки счета, чтобы придумать числовые предложения на вычитание, но более поздние рабочие листы требуют, чтобы учащиеся создали аналогичную иллюстрацию сетки, чтобы продемонстрировать свое понимание концепций вычитания. Это идеальное первое знакомство с вычитанием для учащихся детского сада или первого класса.
Изображение Математическое вычитание
Изображение Математическое умножение
Эти рабочие листы для печати используют изображения и группировку, чтобы построить концептуальное понимание умножения. Эти рабочие листы начинаются с простых задач с изображением умножения, где требуются только базовые навыки счета, чтобы придумать предложения с числами вычитания, но более поздние рабочие листы требуют, чтобы учащиеся создали аналогичную иллюстрацию сетки, чтобы продемонстрировать свое понимание концепций умножения. Это идеальное первое введение в умножение для учащихся второго, третьего или четвертого класса.
Изображение Математическое умножение
Изображение Математическое деление
В этих печатных рабочих листах используются изображения и группировка для построения концептуального понимания деления, и они являются идеальным первым введением в эту часто запутанную операцию. Эти рабочие листы начинаются с простых задач с изображением деления, где требуются только базовые навыки счета, чтобы придумать предложения с числами вычитания, но более поздние рабочие листы требуют, чтобы учащиеся создали аналогичную иллюстрацию сетки, чтобы продемонстрировать свое понимание концепций деления, включая остатки. Это идеальное первое введение в деление для учащихся третьего или четвертого класса.
Picture Math Division
Деньги
Эти рабочие листы для распечатки денег содержат реалистичные монеты и купюры в задачах на определение монет, внесение сдачи, подсчет монет и сравнение сумм денег. Они формируют базовые навыки распознавания и счета в детском саду и в первом классе, чтобы подготовиться к полной практике с деньгами, необходимой для прохождения второго класса.
Рабочие листы по деньгам
Контрольные листы по математике для космического корабля
Страницы для контроля космического корабля (в комплекте с космическим кораблем!) для отслеживания прогресса в рабочих листах по математике для космического корабля или ракетной математики для каждой из четырех основных операций.
Проверка математики космического корабля
Дополнение «Раскрась по номеру»
Эти рабочие листы с добавлением раскраски требуют, чтобы учащиеся решили простые математические факты, чтобы найти правильный цвет для раскрашивания, чтобы показать изображение их собственного творения. Вы найдете растущий набор праздничных и сезонных тематических страниц, которые я буду добавлять со временем… Пожалуйста, заходите почаще на наличие обновлений или, если у вас есть предложения, отправьте мне сообщение по контактной ссылке ниже!
Добавление цвета по номеру
Раскрашивание по номерам с вычитанием
Эти рабочие листы для раскрашивания с вычитанием требуют, чтобы учащиеся решили простые математические факты, чтобы найти правильный цвет для раскрашивания, чтобы показать изображение своего собственного творения. Вы найдете растущий набор праздничных и сезонных тематических страниц, которые я буду добавлять со временем… Пожалуйста, заходите почаще на наличие обновлений или, если у вас есть предложения, отправьте мне сообщение по контактной ссылке ниже!
Вычитание цвета по номеру
Умножение цвета по номеру
Ищете рабочие листы, чтобы сделать изучение математики в День святого Валентина более увлекательным? На этой странице собраны листы для умножения в цвете на число, подходящие для учащихся третьего, четвертого или пятого классов.
Умножение раскраски по номерам
Разделение раскраски по номерам
Ищете рабочие листы, чтобы сделать изучение математики в День святого Валентина немного веселее? На этой странице собраны листы с цветовым делением по номерам, подходящие для учащихся третьего, четвертого или пятого классов.
Раздел Раскраски по номерам
Раскраски по номерам
Эти рабочие листы-раскраски содержат простые инструкции по раскрашиванию по номерам для младших школьников, которые либо только изучают свои числа, либо в качестве поощрения для детей старшего возраста. Вы найдете растущий набор праздничных и сезонных тем, которые я буду добавлять со временем… Пожалуйста, заходите почаще на наличие обновлений или, если у вас есть предложения, отправьте мне сообщение по контактной ссылке ниже!
Раскраска по номерам
День святого Валентина
Ищете рабочие листы, чтобы сделать изучение математики в День святого Валентина более увлекательным? На этой странице собраны раскрашенные по номерам рабочие листы, подходящие для детей от детского сада до четвертого класса, в которых описаны операции сложения, вычитания, умножения и деления. Есть также коллекция простых математических упражнений с забавными темами Дня святого Валентина.
Рабочие листы ко Дню святого Валентина
День Земли
Ищете рабочие листы, чтобы сделать изучение математики в День Земли более увлекательным? На этой странице собраны раскрашенные по номерам рабочие листы, подходящие для детей от детского сада до четвертого класса, в которых описаны операции сложения, вычитания, умножения и деления. Есть также коллекция простых математических упражнений с забавными темами Дня Земли.
Рабочие листы Дня Земли
День Святого Патрика
Вы не можете полагаться исключительно на удачу ирландцев, когда дело доходит до математики, но этот День Святого Патрика делает его немного веселее! На этой странице собраны раскрашенные по номерам рабочие листы, подходящие для детей от детского сада до четвертого класса, в которых описаны операции сложения, вычитания, умножения и деления. Есть также коллекция простых математических упражнений с забавными темами трилистника Дня Святого Патрика.
Рабочие листы ко Дню Святого Патрика
Весна
Какое лучшее время года для развития новых математических навыков, чем весна! На этой странице собраны раскрашенные по номерам рабочие листы, подходящие для детей от детского сада до четвертого класса, в которых описаны операции сложения, вычитания, умножения и деления. Существует также коллекция простых весенних математических листов с забавными весенними цветочными темами, а также таблица умножения, таблица сотен, миллиметровая бумага и координатная плоскость!
Пружина
Таблица квадратного корня
Независимо от того, ищете ли вы список полных квадратных корней или полную таблицу квадратных корней от 1 до 100, таблица квадратных корней на этой странице поможет вам найти радикалы! Существуют как цветные, так и черно-белые версии диаграмм в формате PDF для печати.
Таблица квадратного корня
Таблица дробей
Эта уникальная визуализация эквивалентных дробей комбинирует значения дробей позиционно на числовой прямой для создания элегантной симметрии. Он не только выделяет дроби в их наименьшей, наиболее сокращенной форме, но и предоставляет удобный десятичный эквивалент для наиболее часто используемых дробей. Это действительно одна из лучших справочных диаграмм, которые я создал за 10 лет создания математических ресурсов!
Таблица дробей
Головоломки по поиску слов
Используйте эти математические головоломки для поиска слов, чтобы познакомить учащихся начальной школы со словарным запасом и терминами, когда они знакомятся с новыми математическими понятиями! Эти головоломки для поиска слов включают в себя наборы для различных уровней обучения, согласованных с Common Core, а также конкретные темы для геометрии, алгебры и многого другого!
Головоломки с поиском слов
Таблица вероятностей
Таблица привязки вероятностей для решения задач со словами! Эта иллюстрированная таблица описывает сценарии с монетами, костями и игральными картами. Он включает коэффициенты на наиболее вероятные и наименее вероятные исходы.
Таблица вероятностей
Таблица измерений
Эта таблица измерений является хорошим справочным пособием для решения текстовых задач, связанных с переводом единиц объема, длины или температуры из одной системы в другую. Значения показаны на одной шкале как в обычной, так и в метрической системах. Отлично подходит для измерения кухни и приготовления пищи!
Диаграмма измерений
Линейные уравнения
Рабочие листы линейных уравнений, включая расчет наклона по двум точкам, расчет точек пересечения по оси Y, построение графиков уравнений в форме пересечения наклона, построение графиков уравнений в форме точечного наклона, построение графиков систем уравнений, построение графиков линейных уравнений, построение графиков линейные неравенства и многое другое!
Рабочие листы линейных уравнений
Числовая линейка
Числовая линейка может быть мощным инструментом для изучения отрицательных чисел, отношений или просто вводных операций сложения и вычитания. PDF-файлы с числовыми строками на этой странице включают различные диапазоны (10, 12, 15, 20, 15 и 100) как с нуля, так и с отрицательными диапазонами. Полный набор строк чисел дроби, отмеченных общими знаменателями, включен в диапазоны от -5 до 5. Существуют также специальные числовые строки для прошедшего времени, температуры и денег, а также пустые числовые строки для обычных диапазонов и дробей.
Числовая строка
Рабочие листы с пропущенными числами
Эти рабочие листы с пропущенными числами подходят для учащихся дошкольного возраста и детского сада для практики счета. Каждый рабочий лист показывает последовательность чисел в порядке возрастания или убывания, и учащийся заполняет пропущенные значения, чтобы завершить ряд.
Рабочие листы с отсутствующими числами
Рабочие листы по арифметическим последовательностям
Рабочие листы по арифметическим последовательностям, включая упражнения по нахождению общего различия для последовательности чисел или нахождению произвольных n-х членов в арифметической последовательности с учетом определения ее формулы.
Рабочие листы по арифметическим последовательностям
Рабочие листы по геометрическим последовательностям
Рабочие листы по геометрическим последовательностям, включая упражнения по нахождению n-го члена и знаменателя для последовательности чисел или нахождению произвольных n-х членов в прогрессии по заданной формуле.
Рабочие листы с геометрическими последовательностями
Home — Photomath
Математика, изучая, что
получает вас.
Наши пошаговые инструкции помогут вам освоить математику от арифметики до исчисления, чтобы вы могли продолжать совершенствовать свои навыки.
Что мы можем объяснить?
Photomath охватывает широкий спектр математических тем, поэтому мы можем быть вашими товарищами по учебе от второго до старшего класса!
Элементарная математика
Алгебра
Геометрия
Исчисление
Тригонометрия
Статистика
Проблемы со словами
и больше!
Начать обучение
Решение проблем с первого дня
Папа изо всех сил пытался помочь своим детям с домашним заданием по математике. Созданное им решение уже помогло миллионам студентов по всему миру.
Еще для родителей
Дамир Сабол
Основатель
Больше, чем просто приложение
В школе один учитель предан десяткам учеников. В Photomath на одного ученика работают десятки учителей.
Фотоматематика в классе
300 млн+
Загрузка приложения
4.7
Рейтинг App Store
Я ставлю этому приложению пять звезд из-за того, насколько оно полезно, когда я не могу обратиться за помощью к своему учителю.
Пошаговые объяснения помогают мне проверить правильность выполнения домашних заданий моими детьми, а приложение разъясняет концепции и улучшает их способность самостоятельно решать задачи.
Раньше я нанимал репетиторов, которые платили более 100 долларов в час, но они часто не преподавали так, чтобы это нашло отклик у моих детей. Пошаговые объяснения Photomath идеально подходят для самостоятельного обучения и экономят мне сотни долларов каждый месяц!
Это замечательное приложение для детей, которое помогает им понять математику. Как родитель, я не слишком много знаю об алгебре, и это помогло мне с домашним заданием моего ребенка.
Я ОБОЖАЮ это приложение. Каждый раз, когда я показываю это студентам, они просто поражены этим (как и я). Тот факт, что он показывает альтернативные способы решения уравнений, открывает большие возможности для обучения, которые могут быть упущены в обычном классе.
Это ОЧЕНЬ полезное приложение. Я учусь в 10-м классе, изучаю геометрию 1, поэтому я не знаю, насколько это важно, но для меня это было безумно полезно. 10/10 рекомендую. (Кстати, не бот)
Это помогло мне и моим друзьям сдать 7-й и 8-й классы, спасибо Photomath
Спасибо 4 помог мне пройти 7-й класс!
Это приложение помогает мне с одночленами и дробями. Я люблю это приложение.
Я так благодарен, что есть такое приложение, оно заставляет меня думать, что учиться действительно легко и иногда весело.
Помогла мне пройти онлайн-математику 2020-21. Я получил 90+ баллов в основном только с помощью этого приложения. Столько времени сэкономил. Настоятельно рекомендую.
Это приложение очень помогло моей дочери. Просто и ответы хорошо объяснены.
Мне нравится, что есть несколько вариантов выбора, таких как упрощение или решение практически любого типа проблемы. Я рекомендую нажать кнопку с надписью «Объяснить шаги», потому что она действительно хорошо учит вас».
Очень помогает в алгебре, и мне нравится, как она дает все форматы ответов. Она очень хорошо объясняет шаги, так что вы можете понять, как решать проблема
Мой сын пошел в среднюю школу, и его математика значительно сложнее. Photomath показывает ему шаги, чтобы получить правильный ответ, и лампочка загорелась.
Помогает мне репетитор! Мне нравится, как это позволяет мне освежить в памяти математику, которую я не делал годами.
Если в будущем нам удастся придать определенный, хотя бы и косвенный, смысл этому делению, то тогда мы можем согласиться с тем, что найденное решение x – 1 удовлетворяет нашему уравнению. До этой же поры мы должны признать, что наше уравнение вовсе не имеет решения, имеющего прямой смысл.
Легко проверить оба решения:
Тогда, после сокращения каждой дроби получим:
youtube.com/embed/dHv6zAu30GE» frameborder=»0″ allow=»accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture» allowfullscreen=»»/>
Оказалось, что существует масса приемов устного счета, зная которые можно очень быстро считать в уме. Владение такими приемами не только облегчает изучение математики, но и значительно помогает в простой жизни. Мне захотелось поделиться со всеми найденной информацией, но для того, чтоб все легко запомнилось, появилась идея изложить в стихах алгоритмы решения примеров.
С давних времен люди изобретали или находили все новые такие приемы.
В просмотренных мною работах приводились таблицы с результатами таких экспериментов. Поэтому, я не стала доказывать в своей работе результативность применения различных методов устного счета. Это факт общепризнанный.
2 Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше или равна 10. 
9 Умножение двузначных чисел на 9, 99, 999.
Тогда получается шестизначное произведение: первые три цифры есть умножаемое число, только на уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) – «дополнения» первых до 9.
Оказалось очень интересно и захватывающе самой разбираться в примерах, проверять и перепроверять работает ли алгоритм, сочинять стихи и разрабатывать свое пособие, а потом раздать его друзьям.
А отработать эти навыки важно еще в начальной школе. Чтобы ничего не упустить, необходимо систематически заниматься с ребенком по специальным тетрадям — тренажерам. Они позволяют отработать математические навыки и умения и довести их до автоматизма. Тренажеры разнообразные, не обязательно скачивать их все, достаточно одного-двух понравившихся. Пособия можно использовать в работе с младшими школьниками не зависимо от программы, по которой ведется обучение.
В любом случае пособие поможет закрепить изученные способы манипуляций с числами, в некоторых заданиях эти способы представлены в виде своеобразных подсказок. В ходе самостоятельной работы с тетрадью ребенок ориентируется на образец выполнения и алгоритмические предписания. Умение пользоваться такими подсказками в учебе позволит ученику не только находить и использовать нужную информацию в ходе выполнения задания, но и осуществлять самопроверку.
Приведены примеры на сложение и вычитание в пределах десяти и с переходом через десяток, сложение и вычитание десятков, манипуляции в пределах сотни.
Главный труд «Начала» (15 книг), содержащий основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики. Работы по астрономии, оптике, теории музыки. Евклид доказал множество теорем и гипотез.
Открыл дисперсию света, хроматическую аберрацию, исследовал интерференцию и дифракцию, развивал корпускулярную теорию света, высказал гипотезу, сочетавшую корпускулярные и волновые представления.
ru
Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?
Разбираем решение известных числовых и логических
головоломок.
ЛогикЛайк рассказывает о нескольких широко известных задачках, над которыми ломали голову
десятки поколений.
Доказательством этому служит древнеегипетский папирус, автором которого был некий Ахмес. Как
выяснили исследователи-египтологи, папирус Ахмеса — копия очень древнего математического
сборника, составленного во времена фараона Аменемхета III (приблизительно 1853-1806 гг. до
н.э.). Задач в сборнике много — ниже одна из них.
Ирландский
богослов, ученый и просветитель Алкуин, живший в IX веке, собрал в книге 53 задачи. Предлагаем
одну из них — настолько «бородатую», что ее знают школьники во всем мире.
Повышаем
познавательный интерес и уверенность в себе.
Ниже одна из самых известных.
Правитель хотел чтобы через простую игру его сын постиг начала
математики, научился видеть окружающий мир глазами художника, стал терпеливым, как философ, и
осознал, что сложные вещи состоят из простых.
Числа 18 и 19 встречаются по разу. Если день рождения в
эти даты, то Бернард сразу бы сказал месяц.
Очевидно.)
3», что, по сути, говорит: «Простейшая 4D-форма — это 4D-эквивалент сферы».
Математика, по-видимому, была для Ферма скорее хобби, и поэтому один из величайших математических умов в истории передал многие из своих теорем посредством случайной переписки. Он делал утверждения, не доказывая их, оставляя их для доказательства другим математикам спустя десятилетия или даже столетия. Самая сложная из них стала известна как Великая теорема Ферма.
За свои усилия Уайлс был посвящен в рыцари королевой Елизаветой II и был награжден уникальной почетной табличкой вместо Филдсовской медали, поскольку он был чуть выше официального предельного возраста для получения Филдсовской медали.
Часть за частью многие аспекты доказательства были в конечном счете проверены, и полнота классификации была подтверждена.
С помощью компьютера они тщательно проверили почти 2000 случаев и получили доказательства беспрецедентного стиля.
Его математическая конструкция 1938 года, известная как конструируемая Вселенная Гёделя, доказала совместимость CH с базовыми аксиомами и до сих пор является краеугольным камнем классов теории множеств. Вторая половина преследовалась еще два десятилетия, пока Пол Коэн, математик из Стэнфорда, не решил ее, изобретя целый метод доказательства в теории моделей, известный как «вынуждение».
Один из самых простых фактов — что существует бесконечно много простых чисел — можно даже очаровательно вписать в форму хайку.
Также возможно, хотя и некрасиво, сделать это для полиномов степени 4: ax⁴+bx³+cx²+dx+f=0.
Все полиномы до степени 4 удовлетворяют этим условиям, но начиная со степени 5 некоторые не удовлетворяют, поэтому нет общей формы для решения любой степени выше 4.
Оказывается, такая конструкция невозможна.
Пора включить мозги в работу! Может быть, вы освежите в памяти эти простые математические трюки, о которых вам хотелось бы знать до того, как вы начнете.
В настроении для чего-то более сложного? Продолжайте или попробуйте эти сложные головоломки, которые поставят вас в тупик.
Но у вас всегда будет четыре цифры, поэтому, пока у вас не будет четырехзначного числа (1000), цифра (цифры) слева от старшего разряда будет нулем. Таким образом, вопрос дает вам 111 (записывается как 0111, что означает четыре цифры), и, поскольку он представляет 7, а вы пытаетесь достичь 12, просто пройдите через следующие самые большие числа, которые используют только 1 и 0. Так 8 будет 1000, 9будет 1001, 10 будет 1010, 11 будет 1011, а 12 будет 1100.
Итак, для последней пары 2 разделить на 2 равно 1,9.0003
Не нужно «переворачивать» число только с одной цифрой, так что вот ваш ответ.
И последняя пара фактически отражает первую пару; вы также умножаете 2, чтобы получить 4!
Пока вы размышляете над этим, попробуйте этот тест на определение цвета, который может пройти только 1 процент людей.
О, и постарайтесь не пользоваться калькулятором!
Но это единственная комбинация, которая в сумме дает ровно 100! Проверьте свои визуальные способности, посмотрев, сможете ли вы идентифицировать эти предметы повседневного обихода по их крупным планам.
50
Посмотрите, как вы справитесь с этим тестом по математике для начальной школы.
Поскольку строки начинаются заново после восьми чисел, каждое число, кратное десяти, будет на две «буквы» после предыдущего числа, кратного десяти. Например, в таблице уже видно, что 10 стоит под буквой «б», а 20 — под буквой «д». Таким образом, 30 будет находиться под «f», 40 — под «h», 50 — под «b» и так далее.
из 37, а затем вычтите из него 5, чтобы получить пропущенное число 11. Если вы можете решить их, попробуйте решить несколько хитрых математических загадок, которые могут решить только самые умные.
Поверьте нам, мы поняли.
Угу.
должно иметь смысл, но если вы все еще запутались, посмотрите это видео на YouTube для более подробного объяснения.
Вопрос: При каком значении «x» приведенное ниже уравнение верно? Shutterstock
youtube.com/embed/SrU9YDoXE88?feature=oembed» frameborder=»0″ allow=»accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture» allowfullscreen=»»> 
Это делает ее одной из самых сложных математических задач в мире.
youtube.com/embed/5mFpVDpKX70?feature=oembed» frameborder=»0″ allow=»accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture» allowfullscreen=»»> 
Это означает: «Нажмите, чтобы выполнить поиск».
Значок шевронаОн указывает на расширяемый раздел или меню, а иногда и на предыдущие/следующие параметры навигации.ДОМАШНЯЯ СТРАНИЦА
Маленьких собак заявлено на 36 больше, чем крупных собак. Сколько маленьких собак заявлено для участия в соревнованиях?»
Некоторые пользователи Twitter сразу же сдались, но другие приняли вызов.
. Подключите это, и мы получим площадь = 1/2 x основание x высота = 1/2 x 1 x 2/3 = 1/3».
Однако вместо таких переменных, как x или y, головоломка заменяет рожки мороженого, которые либо пусты, либо имеют шарики белого мороженого, розового мороженого или того и другого.
Эти словесные уравнения имеют тенденцию либо волновать нас, либо внушать страх. В то время как мы все без усилий сталкиваемся с ежедневными встречами с простой арифметикой, иногда математические загадки и задачи со словами останавливают нас на пути. Часто они представляют собой сложное и восхитительное сочетание абстрактного и реального мира, поэтому они идеально подходят для детей.
Эти хитрые математические загадки развлекают детей, развивая их логику и математические навыки. Скорее всего, вы тоже чему-то научитесь.
1.1 Аксиомы поля
э. Уже Диофант Александрийский, вопреки прежним традициям, рассматривает дроби так же, как и натуральные числа, а в IV книге своей «Арифметики» даже пишет об одном результате: «Число оказывается не рациональным»[6]. После гибели античной науки на передний план выдвинулись индийские и исламские математики, для которых любой результат измерения или вычисления считался числом. Эти взгляды постепенно взяли верх и в средневековой Европе[7], где поначалу разделяли рациональные и иррациональные (буквально: неразумные) числа (их называли также мнимыми, абсурдными, глухими и т. п.). Полное уравнение в правах иррациональных чисел связано с трудами Симона Стевина (конец XVI века), который провозгласил[6]:
Строгое определение понятия непрерывности также отсутствовало[9]. Как следствие, немало теорем содержали ошибки, нечёткие или чрезмерно широкие формулировки.
В более поздней работе[11] Больцано даёт набросок общей теории вещественных чисел, по идеям близкой к канторовской теории множеств[12], но эта его работа осталась неопубликованной при жизни автора и увидела свет только в 1851 году. Взгляды Больцано значительно опередили своё время и не привлекли внимания математической общественности.
Существенным отличием между вещественными числами и этими построенными объектами является то, что первые, в отличие от вторых, понимаются нами лишь интуитивно и пока не являются строго определённым математическим понятием.
Чтобы последовательность рациональных чисел сходилась, на неё накладывается условие Коши:
Как и в общем случае, полученное в результате пополнения множество вещественных чисел само уже является полным, то есть содержит пределы всех фундаментальных последовательностей своих элементов.
И так далее. Если , то после конечного числа шагов встретится первый разряд , такой что . Если , то ; если то .
Гильберта, основоположника системного аксиоматического метода в математике, который, имея в виду аксиоматизацию геометрии, как-то заметил:
Для любых
Например, в системе аксиом, предложенной Гильбертом, аксиомы групп и , по существу, те же, что и в приведённые выше, а вместо аксиомы используются следующие два условия:
Возникает закономерный вопрос, насколько часто на числовой прямой попадаются рациональные и вещественные числа и можно ли одни числа приблизить другими. Ответ на этот вопрос дают три леммы, основанные, в основном, на аксиоме Архимеда.[18]
Тогда их можно выписать в следующем виде:
[18]
Основное назначение этой модели — служить базой для аналитических методов исследования. Огромный успех этих методов за последние три века показал, что модель вещественных чисел в большинстве случаев достаточно адекватно отражает структуру непрерывных физических величин.
также
Д. Курс математического анализа. (МФТИ) — действительное число
. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 154.
А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 44 — 45, 63 — 64. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7
— 4-е исправленное издание. — Одесса: Mathesis, 1923. — 44 с.
с англ. И. В. Долгачева под ред. Р. В. Гамкрелидзе. — М.: НАУКА, 1977.
(1972)
: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 1. — 416 с. — ISBN 5-9221-0196-X
— пер. с 7-го немецкого издания И. С. Градштейна под ред. П. К. Рашевского. — М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948.
Но большое число изображать таким способом было неудобно. В Древнем Египте около 5000 лет назад стали обозначать число 10 иероглифом (возможно, это символ дуги, которую ставили над десятком чёрточек), число 100 — знаком (это символ измерительной верёвки) и т.д. Из таких цифр составляли десятичную запись любого числа, например число 124 обозначали так: , народы (вавилоняне, ассирийцы) жившие в Междуречье Тигра и Евфрата от второго тысячелетия до н.э. до начала нашей эры использовали два клинописных знака – прямой клин — 1, и лежащий клин — 10. например число 23 выглядело так:
В своем сочинении «Псалмит» он решает вопрос об исчислении песчинок в размерах вселенной. На разных языках первые числа натурального ряда произносятся по-разному. Например, на татарском языке:
Но была и другая причина. Этой второй причиной оказался процесс измерения величины, который, как и процесс счета, возник очень давно. Этот процесс и заставил человека ввести дробные числа.
Множество целых чисел – это: натуральные числа, противоположные им числа и нуль.
бесконечные десятичные дроби такого вида называются периодическими и записываются так: 8/37=0,(216).
е. длину диагонали нельзя выразить никаким известным до сего времени числом.
Число – это всё. Не материя, а число – начало и основа вещей».
Но истину не скроешь. Так случилось и здесь. Союз пифагорийцев распался. Члены союза расселялись по всей Греции и обучая математике постепенно передали окружающим свои знания и тайны. И среди них – тайну открытия несоизмеримых отрезков.
Не нужно думать, иррациональные числа могут появиться только при измерении длин отрезков. Измерение любой величины может привести к иррациональному числу. Как же записываются иррациональные числа с помощью цифр?
Отсюда вытекает определение действительных чисел.
При этом полагаем: n+(-n)=(-n)+n=0,
-(-n)=n.
Тогда множество целых чисел можно записать так:
Z ={…,-n,…-2,-1,0,1,2,…,n,…}.
Заметим также, что:
Это множество замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения, т.е.
Из множества целых чисел выделим два подмножества:
1) множество четных чисел
2) множество несетных чисел
N={1,2,…n,…}. Заметим, что множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения и умножения, т.е. сложение и умножение выполняются всегда, а вычитание и деление в общем случае не выполняются
По теореме Пифагора гипотенуза будет равна.Но число не будет рациональным, так как ни для каких m и n . Нельзя решить уравнение. Нельзя измерить длину окружности и т.д. Заметим, что всякое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
е. Иррациональных чисел «больше», чем рациональных. Кроме того, как бы ни были близки два рациональных числа, между ними всегда есть иррациональное, т.е.
Иметь понятие об иррациональных числах, множестве действительных чисел. Иметь понятие об иррациональных числах, множестве действительных чисел. Учить выполнять вычисления с иррациональными выражениями, сравнивать числовые значения иррациональных выражений.
целых Zahl Натуральные числа, числа им противоположные и число нуль, образуют множество целых чисел, которое обозначается Z — первой буквой немецкого слова Zahl — «число». Какие числа называются целыми? Как обозначается множество целых чисел? Какие числа называются рациональными? Как обозначается множество рациональных чисел? 
С помощью числа человек познаёт количественные отношения реального мира. Понятие числа возникло из практической деятельности людей.
Вычитание и деление как действие, обратное сложению и умножению соответственно. Так, делением называется действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель.
Примеры таких задач приведены при описании метода обобщения (см. общую методику). Они должны знать формулировки законов, уметь записывать их в буквенной форме и знать, что изученные ими законы находят применение
С помощью числа человек познаёт количественные отношения реального мира. Понятие числа возникло из практической деятельности людей.
Мы предполагаем, что читатели знакомы с курсом математики в пределах девяти классов, поэтому заранее просим прощения у тех, кому рассказ покажется слишком простым — выпускники могут сразу обратиться к http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation.
Скажем, что бесконечность, к которой прибавили единицу, бесконечность, которую возвели в квадрат или факториал от бесконечности — это все тоже бесконечность. Можно считать, что бесконечность — это такой особый математический объект.
Часть читателей может пропустить этот раздел целиком, часть может прочитать соответствующие учебники или хотя бы статью в Википедии, а для оставшихся мы дадим краткий комментарий. Ключевую роль в формуле играет произвольная функция f(x), которая может быть почти чем угодно, лишь бы у нее нашлось достаточное число производных. Для тех, кто не знаком с этим математическим понятием (и все же решился прочитать написанное тут!), скажем еще проще — график функции не должен быть линией, которая резко ломается в какой-либо точке.
Первое (заканчивается на dx) — это интеграл функции от точки m до точки n. Рискуя навлечь на себя гнев всей кафедры математики за примитивность подхода к интегралам, скажем, что это площадь под кривой f(x) на графике от m до n; интегралы очень широко используются в самых разных науках.
выше) делим на факториал 6 (1×2х3×4х5×6=720) и умножаем на разность производных пятого порядка (2k-1 при k=3) функции f(x) в точках n и m
Например, многие функции можно представить как сумму степенных функций, умноженных на некоторые коэффициенты — то есть сложной формы график сведется к комбинации линейной, квадратичной, кубической… и так далее — кривых.
6 + … например) и получил числа, при помощи которых можно разложить в упомянутый выше степенной ряд другие функции — например, tg(x). Хотя, казалось бы, тангенс не очень-то похож хоть на параболу, хоть на какую угодно степенную функцию!
Но для этой функции первая производная равна просто единице, а вторая и все последующие — нулю: если все аккуратно подставить в указанное выше выражение и определить соответствующие числа Бернулли, то как раз и получится −1/12.
Однако это не значит, что 1+2+3+4 оказывается больше, чем 1+2+3+… и так до бесконечности. В данном случае мы имеем дело с парадоксом, который обусловлен тем, что разложение в ряд — это своего рода приближение и упрощение.
120 степени раз. Это одна из нерешенных задач современной физики; тут явно просвечивает пробел в наших знаниях о Вселенной. Или же проблема — в отсутствии подходящих математических методов для описания окружающего мира. Физики-теоретики совместно с математиками пытаются найти такие способы описать физические процессы, при которых не будет возникать расходящихся (уходящих в бесконечность) рядов, но это далеко не самая простая задача.
Однако, если присмотреться к доказательству, становится ясно, что оно не учитывает экспоненциальный рост возможных вариантов с каждым увеличиеним порядкового номера в десятичной дроби.
Но, оно есть в прямоугольнике 5*n5, где 5 – количество знаков после запятой, а n – количество цифр в используемой системе исчисления (в данном примере, n=10). Это объясняется тем, что количество комбинаций всех возможных дробей, длина которых составляет 5 знаков после запятой, равно n5.
Таким образом k – это и номер уровня, и количество знаков после запятой одновременно.
к. мы последовательно проходим по каждому уровню и последовательно нумеруем все возможные комбинации на данном уровне.
..).
Приближение для π равно 3,14.
< b или a > b .
0 Unported License. Чтобы просмотреть копию этой лицензии, посетите http://creativecommons.org/licenses/by/3.0.
Натуральные числа, конечно, также называются счетными числами . Всякий раз, когда мы перечисляем членов команды, считаем монеты в коллекции или подсчитываем деревья в роще, мы используем набор натуральных чисел. Набор из целых чисел — это набор натуральных чисел плюс ноль: {0, 1, 2, 3,…}.
Обратите внимание на то, что из определения рациональные числа — это дроби (или частные), содержащие целые числа как в числителе, так и в знаменателе, а знаменатель никогда не равен 0. Мы также можем видеть, что каждое натуральное, целое и целое число является рациональным числом с знаменатель 1,
Подбрасывание монеты является примером случайного эксперимента.
Вероятность того, что событие произойдет, всегда лежит между 0 и 1. Это связано с тем, что число желаемых исходов никогда не может превысить общее число исходов события. Теоретическая вероятность и эмпирическая вероятность используются в теории вероятностей для измерения шанса наступления события.
Распределение Бернулли и биномиальное распределение – это примеры дискретных распределений вероятностей. Например, нормальное распределение представляет собой пример непрерывного распределения.
Для получения суммы, равной 8, существует 5 благоприятных исходов: [(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)]. Используя формулы теории вероятностей: Вероятность = Число благоприятных исходов / общее число возможных исходов = 5 / 36. Ответ: Вероятность получения суммы 8 при бросании двух игральных костей равна 5 / 36.
Пусть A – событие, когда люди покупают карандаши, а B – событие, когда люди покупают тетради. P(A) = 3 / 10 = 0,3P(B) = 5 / 10 = 0,5P(A∩B) = 2 / 10 = 0,2. Подставим полученные значения в приведенную формулу, P(A | B) = 0,2 / 0,5 = 0,4. Ответ: Вероятность того, что покупатель купил карандаш, при условии, что он купил блокнот, равна 0,4.
Сюда же относится определение различных вероятностей, связанных с этим.
Чтобы дать это определение, предварительно вводят понятие относительной частоты события.
Эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного события.
Какова частота появления шестерки?
Итак, было высеяно 1000 семян.
Какова частота нормального всхода семян?
Часто они не понимают, почему те или иные методы работают, и большинство методов машинного обучения кажутся магией. На самом деле, машинное обучение базируется на математической статистике, а та, в свою очередь, основана на теории вероятностей. Поэтому в этой статье мы уделим внимание базовым понятиям теории вероятностей: затронем определения вероятности, распределения и разберем несколько простых примеров.
Поэтому, обязательно нужно добавлять оружию разброс. Но простая рандомизация точек попадания оружия не позволит сделать его тонкую настройку, поэтому, корректировка игрового баланса будет сложна. В то же время, используя случайные величины и их распределения можно проанализировать то, как будет работать оружие с заданным разбросом, и поможет внести необходимые корректировки.
Для определённости математики условились, что это число должно лежать между нулем и единицей. Кроме того, к этой функции предъявляются требования: вероятность невозможного события нулевая, вероятность всего множества исходов единичная, и вероятность объединения двух независимых событий (непересекающихся множеств) равна сумме вероятностей. Другое название вероятности — вероятностная мера. Чаще всего используется Лебегова мера, обобщающая понятия длина, площадь, объём на любые размерности (
Поскольку мы собираемся использовать площадь (меру Лебега для двумерных множеств) для описания вероятности события, то будем использовать семейство измеримых (для которых эта мера существует) множеств.
Простота нашей модели позволяет явно задать пространство элементарных исходов: 
Если при достаточно малых значениях d это отношение мало отличается от некоторой константы 
Производная от 
Аналогичным образом определяется и интеграл по промежуткам 
Чем сложнее система, тем труднее обнаружить закономерности. Именно в этих случаях и используют вероятностные методы. [4]
, мы замечаем две особенности, присущие такого рода экспериментам. Во-первых, не представляется возможным предсказать исход последующего эксперимента по результатам предыдущих, как бы ни было велико число проведённых испытаний. Во-вторых, относительная частота определённых исходов по мере роста числа испытаний стабилизируется, приближаясь к определённому пределу [6, с.8].
Это слово «вероятность», синонимом которого является, например, слово «шанс» достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу», или «это просто невероятно», или «есть шанс получить зачет автоматом». Такого рода фразы на интуитивном уровне оценивают вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие. В свою очередь математическая вероятность дает некоторую числовую оценку вероятности того, что произойдет некоторое случайное событие.
Тем не менее, античные ученые заложили прекрасный фундамент для возникновения этого научного понятия. В средние века, можно сказать, и зародилась теория вероятности, когда были приняты первые попытки математического анализа, таких азартных игр как кости, орлянка, рулетка [8].
Тогда же теория вероятностей стала находить сферы своего применения – демографию, страховое дело, оценку ошибок наблюдений [8].
Эта тенденция в значительной степени объясняется тем, что большинство возникших в последние десятилетия новых математических дисциплин, которое ныне обозначается собирательным термином «кибернетика», оказалось тесно связанным с теорией вероятностей. Тем самым теория вероятностей стала чуть ли не самой первой по прикладному значению из всех математических дисциплин. При этом возникновение новых, в большинстве своем «порожденных» теорией вероятностей наук, скажем «теория игр», «теория информации», «страховая математика» или «стохастическая финансовая математика» привело к положению, при котором теорию вероятностей также приходится рассматривать как объединение большого числа разнородных и достаточно глубоко развитых математических дисциплин [10, с.4].
Случайным ли образом возникают мутации, насколько зависит историческое развитие от отдельной личности, можно ли считать Вселенную случайным отклонением от законов сохранения? [8]
Возможности теракта в метрополитене, экономического кризиса или ядерной войны – все это можно выразить в процентах. А главное, предпринимать соответствующие контрдействия исходя из полученных данных. [9]
Опасней переходить дорогу по зебре, чем лететь на самолете.
Теория вероятностей – это одна из составляющих частей успеха. Если стремиться учитывать законы вероятностей и, в том случае, если вероятность неблагоприятная, предпринимать соответствующие контрдействия, то можно упростить себе жизнь в разы и сэкономить своё время, которое так ценно для каждого из нас.
В. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие/Т. В. Крупкина, С. В. Бабенышев, Е. С. Кирик. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2007. – 199 с.
Теория вероятности в жизни [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://allowwonder.com/teoriya-veroyatnosti-v-zhizni/ (дата обращения – 6.02.2018)
12.2018
364
0
05.2020
63
0
Вариант 2
К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин
11.2021
47
0
06.2022
14
0
10
39435
60
49653
20
В следующем справочном списке описаны некоторые из наиболее примечательных символов в этих двух темах, а также их использование и значение.
!: \mu_1 = \mu_2$
К ним относятся ключевые комбинаторные операторы, операторы/функции, связанные с вероятностями, распределения вероятностей и статистические операторы.
$
5)$.
5)$
В следующей таблице описаны наиболее заметные из них в контексте вероятности и статистики, а также использование и значение каждого символа.
В следующей таблице приведены некоторые из наиболее распространенных обозначений в вероятности и статистике, а также их соответствующее использование и значение.
, \mathrm{CI} = \\ (0.85, 0.97)$
P(A|B) означает вероятность наступления события A при условии, что произошло событие B. Для двух событий A и B,
youtube.com/embed/wda6DUAoVNc» title=»YouTube video player»> 
Сам по себе он используется для представления квадратного корня выражения, но также используется для представления более высоких корней.
Первое число представляет собой радиус r (расстояние от начала координат) и угол θ (греческая буква тета) относительно начала координат.
Строка обозначается начальной и конечной буквами с линией поверх.
Заглавные буквы X и Y часто используются для обозначения случайных величин распределения и являются аргументами функции.
Оператор объединения возвращает набор, содержащий элементы из обоих наборов.
Статистики и актуарии используют вероятность для прогнозирования событий. Например, актуарий, работающий в компании по страхованию автомобилей, заинтересуется вероятностью того, что 17-летний мужчина попадет в автомобильную аварию. Они будут использовать данные о прошлых событиях, чтобы делать прогнозы о будущих событиях, используя характеристики вероятностей, а затем использовать эту информацию для расчета страхового тарифа.
Как и в предыдущем разделе, рассмотрим ситуацию с броском шестигранной кости и сначала вычислим вероятность того, что выпадет шестерка: ответ P (шесть) = 1/6. Теперь рассмотрим вероятность того, что мы выкинем шестерку , а не : есть 5 исходов, которые не являются шестерками, поэтому ответ будет P (не шестерка) = [латекс]\frac{5}{6}[/ латекс]. Обратите внимание, что
Получение определенного результата от броска кубика не влияло на результат от подбрасывания монеты.
0007
Найти вероятность того, что случайно выбранный человек:
Мы увидели, что получение определенного результата при бросании игральной кости не влияет на результат при подбрасывании монеты, даже несмотря на то, что мы вычисляли вероятность, основанную на одновременном выполнении этих действий.
Найти вероятность того, что случайно выбранный человек:
4 Фундаментальный принцип счета
Таким образом, количество способов, которыми спортсмены могут быть
заказано так:
\[8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \text{40 320}\]
Это особый случай. Оба \(1!\) и \(0! =1\), поэтому
\(\frac{1!}{0!} = 1\), поэтому наше тождество остается в силе.
4 Фундаментальный принцип счета
Ребенок может заниматься в любое время и делить уроки так, как ему удобно. Начать можно даже с 5-10 минут в день!
Девочка расчертила первую страницу альбома так, что у неё получилось три ряда по 7 клеток, в каждую из которых она поместит по одному фантику.
Пройдите сюжетную игру и решите три математические задачи!
Никакой скуки! Ни одно задание не повторяется!
Веселитесь, решая задачи. Все задачи в вашем распоряжении без дополнительной оплаты.
… невозможно заниматься.!!!! Покупка не восстанавливается, и не обновляется…. деньги потратили, а толку нет…. Обидно(((
We wish you luck.
Подробнее
В том числе и к такой категории населения как школьники. Им необходимо трудится практически без отдыха, чтобы выдерживать конкуренцию своих ровесников. 
Повторяется уже пройденное, а усложнение материала происходит очень постепенно. 
Простые примеры помогут только отработать навык арифметических вычислений, а развиваться дальше можно только лишь используя нестандартное мышление. 
Математика – сложный предмет, но, если структурировано подходить к обучению и придерживаться проверенной методики, школьник сможет понять и закрепить даже самые непростые темы. 
Какое наименьшее число сыроежек могла получить вторая белочка?
Аленка живет на четвертом этаже. Когда она возвращается на улицу, то с этажа на этаж поднимается за полминуты. Сколько времени тратит Леночка, чтобы подняться по лестнице в свое жилище?
Сколько рыб мог поймать каждый из мальчиков, если вместе они поймали 20?
Воробьев-4, столбцов — 3.
То есть ни один из ребят не посещает хореографический, что
Тогда Василько запятнал скатерть, а не Петрик. В этом случае две другие ответы правильные и не противоречат тому, что это сделал Вася.
На ветке сидело 5 синиц и 7 воробьев. 6 птичек улетело. Полетел ли хотя один воробей? (Ответ: да, улетел, потому что синиц всего 5, и если все они улетели, то тогда среди птиц, которые улетели был воробей).
Например, на уроке истории:
К рыбке скрепкой прикрепляются задания. Участник берет удочку. (На конце лески — Магнит). И ловит рыбку. Дав правильный ответ на вопрос — забирает рыбку.
Вместо привычных для детей чисел здесь используются слова. И именно с ними дети должны осуществить математические действия. Например:
Сколько детей идут со всеми взрослыми?
Кем приходится Пётр Фёдору?
Придумайте такие числа и запишите пример.
У Кости на 2 вагончика меньше, чем у Мити. Сколько вагончиков у Кости?
7 − 1 = 6
7 − 2 = 5
7 − 3 = 4
7 − 4 = 3
Все мы знаем, что юным ученикам трудно понять текстовые задачи, даже если часть задачи, связанная с математическими операциями, является базовой.
У меня было 6 карандашей, и мой учитель дал мне еще 4. Сколько карандашей у меня сейчас?
Теперь в вазе 5 цветов. Сколько цветов было в вазе изначально?
Андрей наклеил 10 наклеек на свой блокнот. Когда он пришел в школу, он заметил, что некоторые наклейки отвалились. Сейчас у Андрея на блокноте всего 6 наклеек. Сколько наклеек упало с блокнота Андрея?
Рашид любит есть мармеладки. Его любимые мармеладки — желтые. В его сумке было 12 мармеладок. Рашид убрал все желтые мармеладки и съел их, оставив в своей сумке 6 мармеладок. Сколько желтых драже съел Рашид?
Всего у нее 7 ластиков. Сколько белых ластиков у Эмили?
У Лиама 8 футболок. На 5 из них изображены супергерои, а остальные сплошные цвета. Сколько футболок Лиама однотонных?
Сколько чашек газировки было опрокинуто?
или П.М.
Словесные задачи обычно представляют собой сложную тему для понимания молодыми учащимися, даже если математический аспект прост.
Сколько всего лакомств съела собака Джины?
Сколько всего листьев у Педро?
Она собрала в саду девять помидоров. Шесть из них были красными, а остальные зелеными. Затем они выбрали все красные помидоры. Сколько зеленых помидоров осталось в саду?
Сколько новых баскетбольных мячей получил инструктор физкультуры?
Сколько классных комнат украшено?
Дэн съел два печенья, а его мама съела одно печенье. Сколько шоколадных печений осталось?
И мы тоже. Давайте вместе покопаемся в цифрах. 
Дети усваивают числа более осязаемым способом, например, видят количество вещей, расставленных на прилавке, или считают на пальцах.
Ее любимые темы включают ядерную энергию, космологию, математику повседневных вещей и философию всего этого.
Они завершают утверждение «X и X составляют X», перетаскивая сумму на место
Затем учащиеся решают уравнения сложения без показанных кубов
Они повторяют этот навык с другим уравнением с той же суммой и замечают, что существует более одного способа показать эту сумму
Затем они используют объекты, как указано, для моделирования сценария сложения, записывают его в виде уравнения и решают за весь период
Затем они определяют недостающее первое или второе слагаемое в уравнении 9.0003
Затем они определяют два разных слагаемых, чтобы завершить числовую связь с той же суммой
Эти уравнения будут в сумме давать 10 каждый раз, когда
Учащиеся также будут использовать оборотные факты для выявления пропущенных дополнений
Студенты должны будут идентифицировать как числа, которые вычитаются, так и разницу, основанную на сценарии числовой строки 9.0003
После этого учащиеся будут вводить разность в уравнении вычитания
учитывая сценарий, иллюстрируемый кубами с основанием 10. Затем учащиеся завершат два уравнения на вычитание, используя 9 или 10 и слагаемые из первого уравнения.
Учащиеся практикуют алгебраическое мышление, заполняя пропущенное сложение, в результате чего два выражения будут равны 9.0003
Они используют знакомые предметы, кубики с основанием 10, числовую прямую и уравнения, чтобы исследовать состав чисел 3-10. Они строят скорость и точность со всеми +/- фактами в пределах 10.
Упражнение заканчивается, когда вы переходите от одного игрового поля к другому
Каждое уравнение вычитания начинается с 9 или 10
Добавьте оставшиеся капли к десяти рамкам, чтобы определить сумму
Введите ответ на уравнение
Добавьте остаток от деления к десятке, чтобы найти сумму
Тест имеет задания как с выбором вариантов ответа, так и ввод числа, а также ввод текста. Есть задания на определения, и есть задания на решения задачи. 
Есть задания на определения, и есть задания на решения задачи. 
Задания в тест выбираются случайным образом из общей базы заданий. Критерии: «3» 50-69%, «4» 70-90%, «5» 91-100%. Оценка выставляется сразу после прохождения теста.
Состоит из 25 вопросов базового уровня. Лучше тестировать учащихся в конце учебного года, при повторении изученного материала.
10.2020
11886
05.2020
2425
7 заданий (каждое генерируется в 6 вариантах). Время прохождения — 20 минут.
01.2021
5938
0
В тесте 11 заданий, которые выбираются случайным образом из общей базы — 100 заданий. Оценка «5» — за 91-100%, «4» — за 70-90%, «3» — за 50-69% верных ответов. 
Алгебра
Образец
В тесте 20 заданий на сложение, вычитание, умножение и деление целых чисел.
12.2013
22377
Данный тест представляет собой модуль «Алгебра»: один из трех модулей ГИА по математике.
Данный тест представляет собой модуль «Реальная математика»: один из трех модулей ГИА по математике.
12.2015
400
0
Модуль «Геометрия», часть 1, задания 9 — 13. Вариант № 2
Модуль «Геометрия», часть 1, задания 9 — 13. Вариант № 5
Некоторые задания встречаются в ОГЭ. Для успешного выполнения теста необходимо набрать не менее 8 баллов. 
Вариант 2. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
Вариант 4. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
Вариант 7. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
Вариант 9. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
Вариант 12. Модули «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»
07.2017
1063
Модуль «Геометрия»
Модуль «Алгебра» содержит четырнадцать заданий части первой.
02.2020
1636
0
05.2020
53
0
Всего заданий 26, из них: с кратким ответом — 20; заданий с развёрнутым ответом — 6. Заданий базового уровня сложности 20, повышенного — 4, высокого — 2. Максимальное количество баллов — 30.
Максимальное количество баллов — 30.
12.2020
168
0
Оцениватся будет по баллам как в ОГЭ.
Для успешного решения теста не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы по математике для 9 класса.
И неважно, что в школе вы имеете оценку «хорошо» по алгебре и геометрии. К сожалению, часто школьные оценки бывают необъективны. Пора начинать работать! Не забывайте, что в конце этого учебного года вам предстоит сдавать ОГЭ по математике!
{140} }
Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы
Графики функций
Графики функций
Вариант 23 (с проверкой ответа)
Здесь в режиме онлайн можно бесплатно приобрести навыки и опыт работы с тестовыми заданиями, которые, несомненно, пригодятся при дальнейшем поступлении в учебное заведение.
Можно пройти онлайн-олимпиады по предметам: информатика, физика, биология, химия, обществознание, литература, география, история, русский язык, английский язык для всех классов. Надо просто выбрать нужный раздел. Читайте наши новости, участвуйте и проходите викторины и тесты. 
Честно
Любой тест, который находится на нашем портале, можно загрузить и использовать на своем локальном компьютере, либо решать и проверять ответы прямо на сайте
keyword { color: red; }
На чертеже 14
Два прилежащих угла ABC и CBD (чер. 14) образуют один угол ABC. Угол ABD называется суммой углов ABC и CBD. Это выражают письменно равенством:
18).
Если сумма двух прилежащих углов равна двум прямым, то две другие стороны лежат на одной прямой.
24).
е. линии CE и CF взаимно перпендикулярны (ЧТД).
Эта точка называется вершиной угла, а лучи называются сторонами угла. Стороны угла разбивают плоскость на 2 области, называемые плоскими углами или просто углами. Меньший угол называют внутренним, а больший — внешним углом.
И. можно посмотреть
здесь.
можно посмотреть
здесь.
Н. можно посмотреть
здесь.
задачи на сложение и вычитание»>
Числа от 1 до 1000. задачи на сложение и вычитание
задачи на сложение, вычитание, умножение , деление»>
Числа от 1 до 1000. задачи на сложение, вычитание, умножение , деление
COM
Сравнение, упорядочивание и приближение натуральных чисел 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Сложение и вычитание натуральных чисел 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Умножение натуральных чисел 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Возведение в степень 1
2
3
4
5
6
7
8
9
Деление натуральных чисел 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Порядок выполнения действий 1
2
3
4
5
6
1
1.2
1.3
2.1
2.2
2.3
Множества 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1
1.2
1.3
2.1
2.2
2.3
Признаки делимости 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
1
1.2
2.1
2.2
Сравнение дробей 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
Сложение дробей 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Вычитание дробей 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Нахождение дроби от числа 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Нахождение числа по данной его дроби (дополнительно) 1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1.2
2.1
2.2
Сравнение десятичных чисел 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Округление десятичных чисел 1
2
3
4
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
Сложение и вычитание десятичных чисел 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Умножение, деление и возведение в степень десятичных чисел 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
Отношения 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
1
1.2
1.3
2.1
2.2
2.3
Углы 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Взаимное расположение двух прямых 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Треугольники и четырехугольники. Площадь фигуры . 174 1
Площадь фигуры . 178 5
Треугольники и четырехугольники. Площадь фигуры . 183 10
Площадь фигуры . 187 14
Треугольники и четырехугольники. Площадь фигуры . 192 19
Площадь фигуры . 196 23
Треугольники и четырехугольники. Площадь фигуры . 201 28
Геометрические тела 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1
1.2
1.3
1.4
2.1
2.2
2.3
2.
4
Единицы измерения площади 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Единицы измерения объема 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Единицы измерения массы 1
2
3
4
5
6
7
8
9
Единицы измерения времени 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Денежные единицы 1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1.2
1.3
2.1
2.2
2.3
Lecțiile în clasă, temele, orele suplimentare, cursurile elective iau mult timp și energie de la studentul modern. Uneori, informațiile date de profesor sunt dificil de perceput și nu sunt asimilate în patruzeci de minute. Ajuns acasă, elevul nu își poate finaliza cu competența temele, se simte prost și interesul său pentru învățare scade. În astfel de momente, literatura de specialitate pe care echipa noastră a lăsat-o cu atenție vă va fi de folos.
Cunoașterea este putere, fii sigur de ea!
Я. Жохов В.И.
Б.
Геометрия.
В. 5 класс
А. Беленкова Е.Ю.
В. Минаева С.С.
Г. 5 класс
А. Рубин А.Г.
Г. Полонский В.Б.
А. Бунимович Л.В. Кузнецова
В. 5 класс
Л. Гладкова С.А.
В.
Я. Жохов В.И.
Делим круглые числа:1;
2;
3;
4;
5;
6;
7;
8;
9;
10;
11; 
Страницы с 6 по 142.
Квадратный метр:1;
2;
3;
4;
5;
6;
7;
8;
9; 
Единицы времени:1;
2;
3;
4;
5;
6;
7;
8;
9; 
Сложение и вычитание:1;
2;
3;
4;
5;
6;
7; 
..:1;
2;
3;
4;
5;
6;
7;
8;
9;
10;
11;
12;
13;
14;
15;
org/ListItem»>
ГДЗ
Н..
Данный курс учит детей не только считать и решать задачи. Ребята стремятся анализировать, сравнивать, сопоставлять и делать выводы. Такие навыки обязательно пригодятся при изучении других предметов и в повседневной жизни.
Начальные классы закладывают основной фундамент навыков математического характера. При необходимой поддержке ребенок сможет развить не только логическое и практическое мышление, но и тренировать память и научиться мыслить аналитически. «ГДЗ по математике за 4 класс, текстовые задачи Давыдкина Л.М., Максимова Т.Н., ВАКО» станет отличным подспорьем в учебе.
И.
Ф.
Решебник. ГДЗ. Скорость, время, расстояние.
Сколько километров автобус проезжал за 1 ч?
Когда не получается, внимательно ищите правильное решение и разбирайтесь с каждым шагом.
Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Это приводит к тому, что учащимся необходимо осваивать новые сложные понятия и задачи. Однако не каждый студент сможет самостоятельно освоить такой материал, и здесь на помощь придет книга с решениями, созданная автором. Н.Я. Виленкин . Учебник по математике 6 класс станет доступнее, если ГДЗ . Это позволит студенту лучше разобраться с новыми для него темами и задачами, на решенном примере.
А. можно скачать
Многие преподаватели формируют на их основе собственные рабочие программы по предмету.
ФГОС Попов ЕГЭ
ФГОС Бунимович, Кузнецова Образование
С момента нашего народа и до глубокой старости звучат знакомые слова, фразы, речи. Если это возможно, так как я рад видеть своих людей, то мне нет никакого смысла сообщать существенные доказательства моего образования. Ну, это уже заложено в нашем мозгу самой природой. Но если по праву дойти до школьных руководителей того же предмета, все складывается богаче. У ассистентов много разных правил, так что мы не всегда одерживаем победу в повседневном движении. Ну и себе в помощь все чаще и чаще приносят готовые домашние задания по украинскому языку за 6 класс.
Но недаром говорят, что знание происходит от знания. Это же для того, чтобы лучше понимать более тонкий язык, маме нужна постоянная практика развития человека, написания того пересказа. ГДЗ с украинского языка для 6 класса стать выдающимся, своего рода дерматологическим исследованием темного леса складных правил, необоснованных обвинений и причудливых грамматических конструкций. Соответствуя требованиям к подручникам, контрольным защитным покрытиям, не погибнуть посреди такого сложного материала еще проще. Более того, такой культ украинского языка не только более успешен, но и приносит справедливое удовлетворение перед лицом новых побед.
Ale sinkє похожи только на первый взгляд. На самом деле основные правила грамматики и пунктуации носят еще больший пролог. Тому русский язык важно читать подробно, что окремо. Лучшие ГДЗ с русскими фильмами для 6 класса также доступны на GDZ4YOU.
Готовые домашние завдання залюбки помогут систематизировать информацию для запоминания, лучше усвоить правила выконнання права, получить знания по разным типам заданий, научиться застосовывать собственные мысли в реальных жизненных ситуациях. FreeGDZ облегчает изучение и усвоение информации, доводя до наилучшего результата достижение главной цели предмета — современной компетентности.
Постоянное користування сайта воспитывало до дня школьника новые знания и вмин, основательно закрепляло. Головна умова — уважительно вставляй материал, типа користуешься, чтобы можно было эффектно отнять жадность к своему успеху. Обо всем остальном вам расскажут сборники с точными указаниями: сэкономите час, покажите правила виконання севдан, помогут улучшить питание и многое другое. Вонь развивает у ребенка здоровье, самообладание — наиболее эффективный способ закрепить умственные знания и навыки грамотности.
Такая нагрузка приводит к усталости, снижению работоспособности, потере мотивации. Помочь справиться с возрастающим объемом информации, научиться анализировать и логически мыслить, повысить успеваемость поможет ГДЗ — готовые домашние задания.
Однако, это не всегда возможно.
И выводы поражают: американские ученые Стивенс и Лайонсон доказали, что при использовании ГДЗ мозг ребенка работает почти в два раза активнее для анализа изучаемой информации, что увеличивает скорость усвоения материала в 1,4 раза и, соответственно, повышает успеваемость школьника. .
И просто каждому ребенку хочется каждый день иметь немного свободного времени для любимых внеклассных занятий.
Но при этом большинство из них хотят развить в своих детях ответственность, умение доводить любое начатое дело до конца. ГДЗ разрабатываются только в крайних случаях, чтобы помочь учащемуся выйти из сложной ситуации, понять сложность предлагаемых задач. Они позволяют в считанные минуты решать заумные математические задачи, примеры, разбирать упражнения по русскому, иностранному языку, давать правильные ответы на сложные вопросы по устным предметам или точным наукам.
На протяжении всей школьной жизни многие взрослые стремятся контролировать учебный процесс, чтобы быть в курсе успехов и неудач ребенка, помогать ему усваивать новые знания. Однако, это не всегда возможно.
И выводы поражают: американские ученые Стивенс и Лайонсон доказали, что при использовании ГДЗ мозг ребенка работает почти в два раза активнее для анализа изучаемой информации, что увеличивает скорость усвоения материала в 1,4 раза и, соответственно, повышает успеваемость школьника. .
И просто каждому ребенку хочется каждый день иметь немного свободного времени для любимых внеклассных занятий.
Но при этом большинство из них хотят развить в своих детях ответственность, умение доводить любое начатое дело до конца. ГДЗ разрабатываются только в крайних случаях, чтобы помочь учащемуся выйти из сложной ситуации, понять сложность предлагаемых задач. Они позволяют в считанные минуты решать заумные математические задачи, примеры, разбирать упражнения по русскому, иностранному языку, давать правильные ответы на сложные вопросы по устным предметам или точным наукам.
Ру, ГДЗ от Путина и другие, но как с их помощью получить настоящие знания?
. И ГДЗ вполне может в этом помочь. С их помощью:
Более того, часто такие ресурсы, как Мегаботан и Ответ.Ру, используются родителями для того, чтобы дать ребенку знания, выходящие за рамки школьной программы, расширить кругозор ребенка.
Некоторые считают, что такие льготы приносят больше вреда, чем пользы. Поэтому были проведены многочисленные исследования влияния ресаков на общеобразовательный процесс. И выводы поражают: американские ученые Стивенс и Лайонсон доказали, что при использовании ГДЗ мозг ребенка работает почти в два раза активнее для анализа изучаемой информации, что увеличивает скорость усвоения материала в 1,4 раза и, соответственно, повышает успеваемость школьника. .
Использование ГДЗ позволяет поддерживать интерес ребенка к процессу обучения, предохраняет его от переутомления, облегчает восприятие сложного материала и не дает ему потерять веру в свои силы.
Они также утверждают, что часто беглое, поверхностное прохождение тем в стенах школы (из-за ограниченного количества часов, отводимых на новый материал) не способствует правильному усвоению предметов учащимися.
Но растущий организм регулярно нуждается как в полноценном отдыхе, так и в смене деятельности. И просто каждому ребенку хочется каждый день иметь немного свободного времени для любимых внеклассных занятий.
Находясь на уроке, выполняя контрольную, самостоятельную работу, он не сможет объяснить учителю и одноклассникам ход своей мысли, не сможет решить подобную задачу, правильно применить пройденные им правописания.
Поэтому семиклассник виноват в их запоминании, чтобы грамотно и правильно написать не только домашнее задание, но и листы, запрошенные. Погоди, що сплкуватися среди социалистических организаций, столь популярных среди девятых школьников, с неграмотной специальностью — недопустимо. Также необходимо максимально эффективно проводить уроки и в час после уроков улучшать знание родного языка. По-другому ГДЗ поможет справиться с первым классом украинского языка. Будь цикавным словосочетанием как в розовом стиле, так и в грамматическом.
Для входа на сайт не обязательно прописывать триматы в памяти разных паролей. Зручный доступ – еще одно преимущество портала.
Annalen, Math. Zeitschrift)
Ru, Российский математический портал
js (версия 2.0): преобразование математической записи ASCII в MathML и графику
А. М.: Дрофа
ФГОС Громцева Экзамен
Значит:
Сократите дробь:
Какую часть часа составляют:
Значит:
При этом знаменатель должен быть меньше или равен числу 20, чтобы дробь была неправильной.
Запишите, используя каждую цифру от 0 до 9 только один раз:
Сравните:
Какой номер последней выпавшей страницы?
05.2012
konspekturoka.ru
konspekturoka.ru
org/iframe/673/» frameborder=»0″ marginwidth=»0″ marginheight=»0″
scrolling=»no»
allowfullscreen></iframe></div>
Сделай клик мышью 
Собственная скорость теплохода 22,4 км/ч, а скорость течения реки 1,7 км/ч. 
Мы будем представлять каждую из этих дробей в виде кругов с заштрихованными частями. Можно видеть, что заштрихованные части на всех рисунках представляют одну и ту же часть, если рассматривать ее как единое целое.
Например, чтобы найти эквивалентную дробь 3/4, умножьте числитель 3 и знаменатель 4 на одно и то же число, скажем, на 2. Таким образом, 6/8 — это эквивалентная дробь 3/4. Мы можем найти некоторые другие эквивалентные дроби, умножив числитель и знаменатель данной дроби на одно и то же число.
Таким образом, 36/54 является эквивалентной дробью 72/108. Давайте посмотрим, как дробь еще больше упрощается:
Вот некоторые из них:
Опорные диаграммы и таблицы, подобные приведенной ниже, облегчают учащимся понимание эквивалентных дробей. Давайте используем следующую таблицу, чтобы найти эквивалентные дроби 1/4.
Например, 2/4 и 8/16 являются эквивалентными дробями, потому что при упрощении они уменьшаются до 1/2.
Другими словами, когда они упрощаются, они сводятся к одной и той же дроби.
Вот почему эти дроби при упрощении сокращаются до одного и того же числа. Например, давайте запишем эквивалентную дробь для 2/3. Умножим числитель и знаменатель на 4 и получим (2 × 4)/(3 × 4) = 8/12. Следовательно, 8/12 и 2/3 равнозначные дроби.
Они работают на всех компьютерах и планшетах.
Стандарты искусства:
Стандарты искусства:
Выберите количество задач для отработки, конкретный навык для отработки и нажмите «Начать». Решите задачу на сцене и перетащите правильные числа в поле для ответа. Система сразу укажет, правильный ли ваш ответ. Когда закончите, распечатайте сводку результатов. Студенты могут использовать инструмент калькулятора или инструмент визуализации, чтобы помочь им работать над проблемами. Инструмент визуализации превращает конкретную математическую задачу в изображение. Это помогает учащимся лучше «видеть» проблему.
NF.A.3, 4.NF.A.1, 4.NF.A.2, 4.NF.A.3, 4.NF.B.4, 4.NF.C.5, 5. NF.A.1, 5.NF.B.3, 5.NF.B.4, 5.NF.B.7
Студенты играют роль Тони, владельца пиццерии, который должен выполнять просьбы своих требовательных клиентов. Клиенты Тони заказывают пиццу с нечетными фракциями начинки, а не только с традиционными «1/2 пепперони и 1/2 обычной». Клиенты Тони обычно заказывают пиццу с дробями, такими как четвертые, шестые, восьмые, двенадцатые и даже шестнадцатые, в зависимости от размера заказанной пиццы. У студентов есть пять минут, чтобы выполнить как можно больше заказов на пиццу и заработать как можно больше денег. ТЕПЕРЬ ИГРАТЬ С ИЛИ БЕЗ ОТСЧЕТА.
НФ.А.3, 4.НФ.А.1
Время имеет существенное значение! Если вы закончите игру, Обмен песочных долларов наградит вас сертификатом. Если вы закончите игру в течение 200 секунд, вы можете получить сертификат ската, в течение 300 секунд — сертификат мечехвоста, а в течение 600 секунд — сертификат краба-отшельника.
Стандарты искусства:
Когда закончите, распечатайте красивую карту со всеми правильными дробями. Fraction America — это отличная возможность для учащихся объединить свои навыки дробей с картой Соединенных Штатов. Программа также требует, чтобы учащиеся сокращали дроби до наименьших членов, и будет подсказывать им, когда дроби не сокращаются.
Стандарты искусства:
Если учащиеся расставят все десять правильно, очередь за обедом плавно переместится в столовую по прямой линии, и они смогут распечатать справку с указанием лидера очереди. При неправильном расположении фигур обеденная очередь будет криво и неэффективно шататься к столовой, тем самым разозлив учителя.
Стандарты искусства:
Эту дробь можно прочитать так: «одна четвёртая» либо «один кусок из четырёх» либо «одна четвёртая доля» либо «четверть» — всё это синонимы.
В знаменателе стоит 2, значит пицца разделена на две части, а в числителе стоит 9. Получается, что взято девять кусков из двух. Но как можно взять девять кусков, если их всего два? Ответ — никак. Поэтому такие дроби называют неправильными.
Она говорит, что числитель можно разделить на знаменатель.
Причём поделиться по-честному, чтобы каждому досталось поровну. Как разделить эти 5 яблок?
Перевести смешанное число в неправильную дробь.
Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на два куска, и с неё взяли один кусок. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.
Первая пицца была разделана на восемь кусков, и с неё взяли четыре куска. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.
Сократим дробь
Получится следующее выражение:
Практика показывает, что это оказывается сложным на первых этапах.
Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные вида и десятичные.
Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.
Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.
Она выглядит следующим образом:
Пример:
Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.
Приводим дробь к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем .
— Т. 2.
Специалисты рекомендуют изучить теорию, а затем перейти к ее практическому применению.
Однако при решении задачи по физике необходимо брать точное выражение. При отказе от подробного представления появится большая погрешность при вычислениях. Далее необходимо разобрать дробные величины подробно, чтобы любой ребенок мог производить без особого труда действия над ними.
В этом случае справедливо условие W<V. Если последнее неравенство не выполняется, можно сделать вывод о принадлежности дробного значения ко второму виду. Существует еще одна форма представления дробных элементов, но ее необходимо разобрать отдельно.
Другого объяснения не знал, пока не начали изучать в 5 классе тему «Дроби»
Вот пошла однажды древняя женщина собирать плоды и нашла всего лишь 1 яблоко. Детей у неё двое, а яблоко одно. Наверное, она догадалась: взяла каменный нож да и разделила это яблоко на 2 половины.
е. самые простые дроби, называемые единичными или основными дробями.
Папирус Ринда включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 1/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.
Полностью эта система выдерживалась у вавилонян для измерения времени и углов, и мы унаследовали от них деление часа и градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд.
Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя их астрономическимидробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.
Именно этим объясняется, почему обыкновенные дроби редко встречались в греческой арифметике.
Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.
Недаром у немцев сохранилась поговорка: «Попасть в дроби», что означало – зайти в безвыходное положение. Считалось, что тот, кто не знает дробей, не знает и арифметики.
С первых дней занятий дети знакомятся с такими понятиями как размер и длительности нот. Древнегреческий философ Пифагор (570 г. до н. э.), один из самых первых установил связь музыки и математики. Он создал учение о звуке. Пифагор связал длительность звучания нот с дробями.
Голова маленького ребенка составляет 1/5 часть роста человека. Голова подростка – 1/6. А голова взрослого человека – 1/8 часть роста. Основываясь на этих данных, была создана кукла «Барби».
Значит, если из 7 данных пластинок 4 разрезать на три равные части каждую, то получим 12 третей, то есть по одной трети для каждой детали. Остальные 3 пластинки разрежем 4 равные части каждую, получим 12 четвертей, то есть по одной четверти для каждой детали. Аналогично, используя представления дробей в виде суммы единичных дробей 5\6 = 1\2+1\3; 13\12 =1\3+3\4; 13\36 =1\4+1\9.
Получается 6 абсолютно равных частей.
А особенно то, что дроби используются почти во всех сферах деятельности человека, а это значит, что людям всех профессий нужно обязательно изучать дроби! Уметь решать задачи на дроби, знать правила сложения и вычитания, умножения и деления дробей.
Они могут быть использованы как на уроке, так и для проведения учителями внеклассных мероприятий по математике.
Чем больше знаменатель, тем меньше дробь.” — Лев Толстой
По разным оценкам больше половины всех детей сталкиваются со сложностями при их изучении в начальной школе. Но самое главное — не сдаваться! Дроби — очень полезное изобретение, и у нынешних школьников будет немало случаев в этом убедиться.
Как это так? Сейчас объясню. Представьте, что вы заходите в какой-нибудь магазин и замечаете роскошные туфли или сумку, и к тому же на ценнике написано, что действует скидка 75%. Чтобы понять, сколько денег вы можете сэкономить, необходимы знание дробей!
У кого-то хорошо развита зрительная память, поэтому им нужно увидеть конкретные примеры. А кто-то имеет развитое абстрактное мышление и легче понимает теоретические объяснения. Существует огромное количество различных подходов к изучению дробей. Самое главное — это выбрать методику, которая подойдет именно вам и тренироваться, решая задачи. Вы можете найти огромное количество математических задач в интернете.
Таблица умножения — это действительно основа основ, и ей следует уделить должное внимание.
Данный урок призван развивать логическое мышление, внимание, интерес к предмету, математическую речь учащихся; развивать навыки самоконтроля и самооценки учащихся. Целью данного урока (занятия) является формирование понятий «правильная дробь» и «неправильная дробь», а также формирование умения применять полученные знания для решения практических задач.
Решение задач, включающих исторические сведения, способствует развитию кругозора учащихся и познавательного интереса к предмету. Тогда урок математики становится для них не просто уроком, на котором нужно решать, вычислять и заучивать формулы, а пробуждает чувства сопричастности к величию своей страны, собственных предков. Решение задач с практическим содержанием дает возможность учащимся задуматься о тяготах военных лет.
6-й класс
2020
Ради повышения интереса к математике урок построен как путешествие в страну дробей.
Тема урока: «Приведение дробей к новому знаменателю»
2019
Обратите внимание на следующую числовую строку, которая представляет эти дроби в числовой строке.
Целое может быть любым числом, определенным значением или вещью. Фракции представлены в виде p/q. Например, ¼, ½, ¾ и так далее.
0,125 = 125/1000 = 5/40 = 1/8
Приведенная дробь, которую мы получаем, является простейшей формой данной дроби. Например, чтобы упростить 36/45, мы найдем НОД 36 и 45. НОД 36 и 45 = 9. Теперь разделим числитель и знаменатель на 9., то есть (36 ÷ 9)/(45 ÷ 9) = 4/5
Например, 4/7, 3/7, 5/7 похожи на дроби, потому что у них один и тот же знаменатель.
Главное – не забывать о регулярности проведения таких занятий. Ответственный подход поможет выработать полезную привычку, которая будет востребована при изучении не только математики, но и других наук, позволит сэкономить семейный бюджет, отказавшись или значительно уменьшив количество часов на работу с репетиторами, посещение математических курсов и кружков.
Переписывая ответы на домашнюю работу у одноклассников перед уроком, пятиклассники лишены таких преимуществ.
Помимо этого, популярно применение решебников для разбора практической части занятий и домашних заданий теми пятиклассниками, кто по тем или иным причинам (болезни, спортивные сборы, поездки на участие в конкурсах и пр.) пропустил объяснение учителя. И с помощью сборников ответов самостоятельно разбирается с решением дома.
То есть для этой категории пользователей сборники ответов – готовая и эффективная методическая разработка, активно применяемая в рамках их работы с учениками.
Страницы
Страницы
И., Волкова С.И., Степанова С.В., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В.
Фото: Shutterstock
— Но задания должны быть оптимальными по объему — чтобы ребенок тратил на один предмет 30-40 минут. Например, в виде проблемного вопроса: что будет, если исчезнет сила трения? Да и многие навыки реально отработать на уроке.
Но так, с выдумкой подходить к заданиям могут те, у кого в классе 10 — 15 человек, да еще, как правило, отобранные в результате тестов, как это обычно бывает в частных школах. А если за партами сидит 42 подростка самого разного уровня развития, индивидуализировать задание особо не выйдет…
– По данным международного исследования PISA, страны делятся на три группы: где дети много учатся и показывают высокие результаты (азиатские страны), где учатся умеренно и показывают высокие результаты (например, Финляндия с тремя часами д\з в неделю) и такие, где тратят много времени на домашние задания, но показывают невысокие результаты. Россия, к сожалению, в их числе.
Согласно одним, компетентность и поддержка родителей во время выполнения домашних заданий положительно влияет на умение ребенка управлять своим временем и его успеваемость. Другие подтверждают: школьники, которые воспринимали участие родителей как контроль или давление, обычно отличались низкой мотивацией и невысокой учебной успеваемостью.
Однако задания небольшие и понятные ребенку. Однако школ, работающих в таком формате, в России мало, и те в основном частные. И сравнительных с результатами других школ исследований уровня знаний учеников найти не удалось.
kp.ru, в соответствии с законодательством Российской
Федерации об охране результатов интеллектуальной деятельности
принадлежат АО «Издательский дом «Комсомольская правда», и не
подлежат использованию другими лицами в какой бы то ни было
форме без письменного разрешения правообладателя.
Авторы учебника Виленкин Жохов Чесноков. На этом сайте вы найдете как сами задания из учебника за 5 класс Виленкина, так и подробные решения этих задач с ответами. 
Ведь второй класс — время, когда закладываются навыки устного счета, и важно, дорогие родители, это время не упустить. Не стоит давать ребенку в руки калькулятор, поощряйте его устно выполнять математические действия. То же самое о готовых ответах. Они нужны для того, чтобы сверяться, а не списывать. ГДЗ может пригодиться, когда ребенок или родитель не уверены в себе, в своих решениях, и наш сайт поможет утвердиться в своей правоте либо укажет на недочеты. Открывайте его тогда, когда домашнее задание ребенком уже сделано или когда решение никак не приходит в голову. Привейте ребенку культуру использования ГДЗ, чтобы в следующих классах он так же самостоятельно выполнял работу, а на сайт заходил лишь свериться с правильными ответами. Сделал домашнее задание — открыл сайт — сверился — разобрал свои ошибки.
Современные учителя, наоборот, всеми руками ЗА. Если пользоваться ответами по вышеизложенным правилам, они только улучшат успеваемость. Посудите сами. Ребенок сделал домашнюю работу по математике. Ее никто не проверил. Ученик сдал работу. А дальше? Большинство учителей домашку не проверяют, а если и проверяют, просто перечеркают неправильное и выставят оценку. Что? Почему? А как правильно решать? Ответов на эти вопросы ученик не получает. Сверив свою домашнюю работу с ГДЗответ, ребенок не только видит свою ошибку, он понимает, как правильно выполнить задание, как оформить его в тетради, запоминает это и сделает меньше ошибок на уроке и на самостоятельной либо контрольной работе. А в период дистанционной учебы готовая домашка выручила миллионы пользователей интернета и у многих это было единственным подспорьем в учебе, когда учителя прямо «забивали» на свои прямые обязанности.
Вторая часть учебника содержит один большой раздел, называемый «Числа от 1 до 100». В нем выделены различные главы. Ученики повторят сложение и вычитание с переходом через десяток и без, изучат умножение и деление круглых чисел, займутся составлением числовых выражений. Не обойдется и без заданий по геометрии и решения задач. А материал для повторения и самопроверки позволит закрепить знания. Не забывайте, уважаемые родители, что у ребенка с собой на урок математики всегда должен иметься заточенный простой карандаш и линейка, чтобы не возникло проблем с их поиском. Отвлекаясь, дети не слушают учителя и могут не усвоить даже самую простую тему.
Вверху много кнопочек с цифрами, они как раз и обозначают номера страниц. Вам нужно навести мышку на нужный номер страницы и кликнуть, на тач экране — прикоснуться для открытия ответов. Мы постарались объяснить все в максимально понятном виде. И все же, если что-либо не поняли и требуются еще объяснения, вы можете задать свои вопросы в комментариях.
Авторы: Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Площадь поверхности треугольной призмы не так важна, как кажется или вы боитесь, что это не что иное, как количество пространства снаружи.
Мы также предлагаем страницы со списком рабочих листов по классам (1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 классы).
Все, что вам нужно сделать, это нажать на ссылки.
Вы также можете найти первый класс
Иметь до 6 дополнений. Проблемы с отсутствующим дополнением, возможность не носить с собой.
Доступны как в формате PDF, так и в формате html.
Доступен как в формате PDF, так и в формате html..png)
Много вариантов.
Варианты использования только целых чисел или чисел с определенным диапазоном или определенным количеством десятичных цифр.
Вы можете выбирать формулировки задач и контролировать количество знаков после запятой, диапазон, размер шрифта и многое другое.
Для 6-8 классов, предалгебра и алгебра 1.
Эти математические рабочие листы создаются случайным образом нашими генераторами математических рабочих листов, поэтому в вашем распоряжении бесконечный запас качественных математических рабочих листов. Эти высококачественные математические рабочие листы поставляются в формате PDF и содержат ключи для ответов. Наши рабочие листы по математике можно загрузить бесплатно, они просты в использовании и очень гибки. Подробное описание приведено в каждом разделе математических листов.
, Графика, Больше, чем меньше, Диаграмма сотен, Входящие и исходящие коробки, Целые числа, Детский сад, Логика, Средняя мода Медиана и диапазон, Измерение, Смешанные задачи, Деньги, Умножение, Числовые связи, Числовые строки, Системы счисления, Порядок операций, Шаблоны, процент, разрядное значение, предварительная алгебра, вероятность, свойства, теорема Пифагора, радикалы, соотношения, округление, значащие цифры, пропуск счета, вычитание, определение времени, диаграммы Венна, словесные игры и словесные задачи.
Com не передает и не сохраняет финансовую информацию 
Финансовые активы и рынки
Перейдите по ссылкам, чтобы найти рабочие листы по математическому вычитанию космического корабля, тесты на вычитание по времени, рабочие листы по вычитанию нескольких цифр, простые рабочие листы по заимствованию и перегруппировке, а также математические рабочие листы со смешанными задачами на сложение и вычитание рабочие листы умножения. Уберите пальцы, потому что это первая математическая операция, требующая запоминания фактов. Вы найдете рабочие листы умножения для восьми простых правил папы для освоения таблицы умножения, умножения RocketMath, многозначного умножения, квадратов и других тем рабочего листа умножения. Все эти рабочие листы по умножению содержат ключи для ответов, их можно мгновенно распечатать и использовать в классе или дома.
Эти рабочие листы разделения бесплатны для личного или классного использования.
Научите своих детей сложению и вычитанию одновременно и укрепите отношения в семье фактов! На каждом уровне представлены два семейства фактов, которые позволяют прогрессивно практиковаться, или просто используйте рабочие листы в конце для всестороннего обзора семейства фактов.
Познакомившись с обычными эквивалентными дробями, учащиеся узнают, как находить и распознавать дроби, которые им нужны, при выполнении других типов арифметических операций с дробями, где требуются разные знаменатели.
Полная работа с шагами показана для каждой задачи на ключах ответов.
Аналогичные наборы рабочих листов с порядковыми номерами представлены как в горизонтальном, так и в вертикальном форматах.
Существуют варианты диаграмм разрядности только для целых чисел, десятичных чисел и очень больших чисел. Существуют различные макеты диаграмм стоимости мест, которые усиливают как стоимость места, так и стоимость периода.
Все диаграммы печатаются на одной странице в версиях для 1-10, 1-100 и 1-1000 с правилами для римских цифр и без них. Пытаетесь понять, что означает эта странная римская цифра после Суперкубка? Взгляните на новую таблицу римских цифр Super Bowl!
Существуют версии этих логических головоломок с пропущенными числами, а также с пропущенными операциями.
Если вы ищете рабочие листы с порядком операций, которые проверяют знание правил PEMDAS, эти математические листы — хорошее начало. Вы также можете найти рабочие листы порядка операций с отрицательными числами и рабочие листы порядка операций со сравнениями на этих других страницах рабочего листа.
Все стили графической бумаги включают дюймовые и сантиметровые варианты. Все эти PDF-файлы предназначены для печати на бумаге размером 8,5 x 11 дюймов.
Эти рабочие листы также используют дроби единицы для преобразования значений единиц измерения из одного измерения в другое. Этот подход более распространен на уроках химии, физики или других естественных наук и требует, чтобы учащиеся сосредоточились на сокращении единиц, чтобы найти решение с правильным значением и правильными единицами.
Это идеальная первая инструкция для учащихся дошкольных учреждений, детского сада или первого класса.
Эти рабочие листы начинаются с простых задач с изображением умножения, где требуются только базовые навыки счета, чтобы придумать предложения с числами вычитания, но более поздние рабочие листы требуют, чтобы учащиеся создали аналогичную иллюстрацию сетки, чтобы продемонстрировать свое понимание концепций умножения. Это идеальное первое введение в умножение для учащихся второго, третьего или четвертого класса.
Это идеальное первое введение в деление для учащихся третьего или четвертого класса.
Вы найдете растущий набор праздничных и сезонных тематических страниц, которые я буду добавлять со временем… Пожалуйста, заходите почаще на наличие обновлений или, если у вас есть предложения, отправьте мне сообщение по контактной ссылке ниже!
Есть также коллекция простых математических упражнений с забавными темами Дня святого Валентина.
Есть также коллекция простых математических упражнений с забавными темами трилистника Дня Святого Патрика.
Он включает коэффициенты на наиболее вероятные и наименее вероятные исходы.
PDF-файлы с числовыми строками на этой странице включают различные диапазоны (10, 12, 15, 20, 15 и 100) как с нуля, так и с отрицательными диапазонами. Полный набор строк чисел дроби, отмеченных общими знаменателями, включен в диапазоны от -5 до 5. Существуют также специальные числовые строки для прошедшего времени, температуры и денег, а также пустые числовые строки для обычных диапазонов и дробей.
Созданное им решение уже помогло миллионам студентов по всему миру.
Пошаговые объяснения Photomath идеально подходят для самостоятельного обучения и экономят мне сотни долларов каждый месяц!
