Рубрика: Разное

Пояснение:

Чтобы разделить дроби, нужно первую дробь умножить на обратную вторую.

Теперь умножьте числители и знаменатели, затем упростите.

Сообщить об ошибке

← Предыдущая 1 2 Следующая →

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы SAT II Math I

6 Диагностические тесты 113 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Руководство для преподавателей по математическим тестам для 3–8 классов 2023 г.

%PDF-1.4 % 1 0 объект >>> эндообъект 2 0 объект >поток приложение/pdf

 Полагаем у = zx, Подставляем эти выраженияy иdyв данное уравнение:илиРазделяем переменные:и интегрируем:,

Заменяя zна, получим.

Пример 2. Найти общее решение уравнения.

 В данном уравнении P (x,y) =x²-2y²,Q(x,y) =2xy– однородные функции второго измерения, следовательно, данное уравнение является однородным. Его можно представить в видеи решать так же, как и представленное выше. Но используем другую форму записи. Положимy = zx, откудаdy = zdx + xdz. Подставляя эти выражения в исходное уравнение, будем иметь

,

то есть

или

dx+2zxdz = 0.

Разделяем переменные, считая

.

Интегрируем почленно это уравнение

, откуда

то есть . Возвращаясь к прежней функциинаходим общее решение

Пример 3. Найти общее решение уравнения.

 Цепочка преобразований: ,y = zx,, , , , , , , , , . 

Лекция 8.

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

где ,,c(x) – непрерывные функции.

Если, то уравнение (4.1) можно записать в приведённом виде

Здесь – свободный член, называемый также правой частью уравнения. В этом виде будем рассматривать линейное уравнение в дальнейшем.

Если 0, то уравнение (4.1а) называется линейным неоднородным. Если же0, то уравнение принимает вид

и называется линейным однородным.

Название уравнения (4.1а) объясняется тем, что неизвестная функция y и её производнаявходят в него линейно, т.е. в первой степени.

В линейном однородном уравнении переменные разделяются. Переписав его в виде откудаи интегрируя, получаем:,т.е.

При делении на теряем решение. Однако оно может быть включено в найденное семейство решений (4.3), если считать, чтоСможет принимать и значение 0.

Существует несколько методов решения уравнения (4.1а). Согласно методу Бернулли, решение ищется в виде произведения двух функций отх:

Одна из этих функций может быть выбрана произвольно, так как лишь произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению, другая определяется на основании уравнения (4.1а).

Дифференцируя обе части равенства (4.4), находим .

Подставляя полученное выражение производной , а также значениеу в уравнение (4.1а), получаем, или

Так как одну из неизвестных функций можем выбрать произвольно, выберем функцию u так, чтобы

т.е. в качестве функции vвозьмём решение однородного линейного уравнения (4.6):

Ввиду произвольности в выборе v,мы можем не учитывать произвольную постояннуюС (точнее – можем приравнять её нулю). Подставляя найденное значениеv(x) в уравнение (4.5), получим, учитывая (4.6):

откуда

(Здесь Cписать обязательно, иначе получится не общее, а частное решение).

Таким образом, видим, что в результате используемой подстановки (4.4) уравнение (4.1а) сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными (4.6) и (4.7).

Подставляя иv(x) в формулу (4.4), окончательно получаем

,

или

Пример 1.Найти общее решение уравнения

 Положим , тогда. Подставляя выраженияив исходное уравнение, получимили(*)

Приравняем нулю коэффициент при :

Разделяя переменные в полученном уравнении, имеем (произвольную постояннуюC не пишем), отсюдаv=x. Найденное значениеvподставляем в уравнение (*):

,,.

Следовательно, общее решение исходного уравнения.

Отметим, что уравнение (*) можно было записать в эквивалентном виде:

.

Произвольно выбирая функцию u, а неv, мы могли полагать. Этот путь решения отличается от рассмотренного только заменойvнаu(и, следовательно,uнаv), так что окончательное значениеуоказывается тем же самым.

На основании изложенного выше получаем алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка.

1. Приводим рассматриваемое уравнение к виду.

2. Используя подстановку, находими подставляем эти выражения в уравнение.

3. Группируем члены уравнения, выносим одну из функций uилиvза скобки. Находим вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение.

4. Подставляем найденную функцию в оставшееся выражение и находим вторую функцию.

5. Записываем общее решение, подставив выражения для найденных функций u иvв равенство.

6. Если требуется найти частное решение, то определяем Сиз начальных условий и подставляем в общее решение.

Отметим далее, что иногда уравнение первого порядка становится линейным, если усчитать независимой переменной, аx– зависимой, т.е. поменять ролиx иy. Это можно сделать при условии, чтоxиdxвходят в уравнение линейно.

Пример 2. Решить уравнение .

Однако если рассматривать xкак функцию оту, то, учитывая, что,его можно привести к виду

Заменив на,получимили. Разделив обе части последнего уравнения на произведениеydy, приведем его к виду

, или. (**)

Здесь P(y)=,. Это линейное уравнение относительноx. Полагаем,. Подставляя эти выражения в (**), получаем

или.

Выберем vтак, чтобы,, откуда;. Далее имеем,,.

Т.к. , то приходим к общему решению данного уравнения в виде

.

Отметим, что в уравнение (4.1а) P(x) иQ (x) могут входить не только в виде функций от x, но и констант:P=a,Q=b. Линейное уравнение

можно решать и с помощью подстановки y=uv и разделением переменных:

;.

Отсюда ;;; где. Освобождаясь от логарифма, получаем общее решение уравнения

(здесь).

При b=0 приходим к решению уравнения

в виде

(см. уравнение показательного роста (2.4) при ).

Применим далее для интегрирования неоднородного линейного уравнения (4. 1а) метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Сначала интегрируем соответствующее однородное уравнение (4.2). Как указано выше, его решение имеет вид (4.3). Будем считать сомножитель Св (4.3) функцией отх, т.е. по существу делаем замену переменной

где C(x)-новая неизвестная функцияx. Подставляя производнуюв исходное неоднородное уравнение (4.1а), получим:, или

откуда, интегрируя, находим

где С₁-постоянная. Следовательно,

Отметим, что согласно (4.14) (см. также (4.9)), общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (4.3) и частного решения неоднородного уравнения, определяемого вторым слагаемым, входящим в (4.14) (и в (4.9)).

При решении конкретных уравнений следует повторять приведённые выше выкладки, а не использовать громоздкую формулу (4.14).

Применим метод Лагранжа к уравнению, рассмотренному в примере 1:

.

Интегрируем соответствующее однородное уравнение .

Разделяя переменные, получаем и далее. Решение выражения формулойy = Cx. Решение исходного уравнения ищем в видеy = C(x)x. Подставив это выражение в заданное уравнение, получим;;,. Общее решение исходного уравнения имеет вид

.

В заключение отметим, что к линейному уравнению приводится уравнение Бернулли

которое можно записать в виде

Заменой оно приводится к линейному уравнению:

,,.

Уравнения Бернулли также решаются изложенными выше методами.

Пример 3. Найти общее решения уравнения.

 Цепочка преобразований: ,,,,,,,,,,,,,,

Число, математика и статистика — комплект академических навыков

Гомогенные уравнения по дифференциалам первого порядка

ContentStoggle Основное меню 1 Определение 2 Решение по замене 3 Работочные примеры 4 Пример 5 См. 6 Внешние ресурсы

Определение

является однородным , если оно принимает вид:

\[\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=F\left(\frac{y}{x}\right),\ ]

где $F\left(\dfrac{y}{x}\right)$ — однородная функция. В данном контексте однородным называется функция от $x$ и $y$, которая остается неизменной при умножении обоих аргументов на константу, т. е. 9.2}+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+y=0.\]  

Различные типы однородных уравнений представляют собой совершенно разные объекты, и важно не путать их. два.

Решение подстановкой

Однородное дифференциальное уравнение часто можно решить, сделав замену $v(x)=\dfrac{y}{x}$, где $v=v(x)$ — функция $x .$ Перестановка дает $y=vx$.

Выражение для $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ через $x$ и $v$ можно найти, продифференцировав обе части $y=xv$ относительно $x$:

\[\begin{align} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\Bigl[xv \Большой]\\ &= v + x \ frac{\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x}. \end{align}\]

Обратите внимание, что правило произведения использовалось для различения правой части.

Это можно выразить более компактно, используя простую запись:

\[y’ = v + xv’.\]

Напомним, что общая форма однородного дифференциального уравнения первого порядка такова:

\[y’=F \left(\frac{y}{x}\right).\]

Подстановка $y’=v+xv’$ и $v(x)=\dfrac{y}{x}$ в уравнение дает:

\[v+xv’=F(v).\]

Это можно преобразовать, чтобы сформировать отделимое дифференциальное уравнение:

\[\begin{align} xv’ &= F(v)-v \\ v’ &= \frac{F(v)-v}{x} \\ \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x} &= \ frac {F (v) -v} {x} \\ \ frac {\ mathrm {d} v} {F (v) -v} & = \ frac {\ mathrm {d} x} {x}. 2}.\] 9{-2} \mathrm{d} v &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} \mathrm{d} x, \\ -\frac{1}{1-v} &= \frac{1}{2}\ln(x) + C, \end{align}\]

, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Чтобы выразить это уравнение в $v$ через $y$ и $x$, подставьте обратно, используя $v = \dfrac{y}{x}$, чтобы получить:

\[-\frac{1}{1 -\frac{y}{x} } = \frac{1}{2}\ln(x) + C.\]

Наконец, это можно изменить, чтобы найти $y$ как функцию $x$:

Сначала положим $\ln(D)=C$, затем по законам логарифмов: 92,\]

с помощью замены $y = \dfrac{1}{v}$.

Решение

Первый шаг — выразить $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ через $v$. Для этого продифференцируем данную замену:

\[\begin{align} y &= \frac{1}{v}, \\ \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} & = \ frac {\ mathrm {d {\ mathrm {d} x} \left ( \ frac {1} {v} \верно). \end{align}\]

Цепное правило используется для дифференцирования правой части:

\[\begin{align} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} & = \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x} \ cdot \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} v} \ left ( \ frac {1} {v} \ верно), \\ \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} &= — \ frac {1} {v ^ 2} \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x}. {-\ln(x)} = \frac{1}{x},\] 92}v = -\frac{1}{x}.\]

Левая часть может быть выражена как единственная производная (в результате правила произведения), и уравнение принимает вид:

\[\ frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left( \frac{1}{x}v \right) = -\frac{1}{x}.\]

Интегрирование обеих частей дает решение в терминах $v$:

\[\begin{align} \int\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left( \frac{1}{x}v \ справа) &=\int -\frac{1}{x} \\ \frac{1}{x}v &= -\ln(x) + C. \конец{выравнивание}\]

Решение в терминах $y$ можно найти, вспомнив исходную замену $y=\dfrac{1}{v}$. Преобразование этого дает $v = \dfrac{1}{y}$, а подстановка этого в решение для $v$ дает:

\[\frac{1}{xy} = — \ln(x) + C. \]

Преобразование дает решение, выраженное в форме $y=y(x)$:

\[\begin{align} \frac{xy}{1} &= \frac{1}{-\ln (х) + С}, \\ xy &= \frac{1}{C — \ln(x)}, \\ y &= \frac{1}{x \left( C — \ln(x) \right)}. \конец{выравнивание}\] 92$.

Пример видео

Профессор Робин Джонсон находит общее решение $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{3y-4x}{x}$.

См. также

• Разделяемые ОДУ
• Коэффициент интегрирования

Внешние ресурсы

• Видео по однородным уравнениям первого порядка в Академии Хана.

Однородные уравнения первого порядка

Функция А f ( x,y ) называется однородным степени n , если уравнение

выполняется для всех x,y и z (для которых определены обе стороны).

Пример 1 : Функция f ( x,y ) = x ² + y ² является однородной степени 2, так как

Пример 2 : Функция является однородной степени 4, так как

Пример 3 : Функция f ( x,y ) = 2 x + y является однородной степени 1, так как

Пример 4 : Функция f ( x,y ) = x ³ – y ² неоднородна, так как

, который не равен z ⁿ f ( x,y ) для любого n .

Пример 5 : Функция f ( x,y ) = x ³ sin ( y/x ) является однородной степени 3, так как

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным , если M ( x,y ) и N ( x,y ) являются однородными функциями одной и той же степени.

Пример 6 : Дифференциальное уравнение

является однородным, поскольку оба M ( x,y ) = x ² – y ² и N ( x,y ) = xy — однородные функции одного и того же степень (а именно, 2).

Из этого факта следует метод решения однородных уравнений:

Замена y = xu (и, следовательно, dy = xdu + udx ) превращает однородное уравнение в разделимое.

Пример 7 : Решите уравнение ( x ² — Y ² ) DX + XY DY = 0,

Это уравнение является однородным, как видно из примера 6. Таким образом, чтобы решить его, сделайте замены y = xu и dy = x dy + u dx :

Это последнее уравнение теперь разделимо (что и было задумано). Приступая к решению,

Следовательно, решение разделимого уравнения, включающего x и v , можно записать как

Чтобы получить решение исходного дифференциального уравнения (которое включало переменные x и y ), просто заметьте, что

Замена v на y / x в предыдущем решении дает окончательный результат:

Это общее решение исходного дифференциального уравнения.

Пример 8: Решите IVP

Так как функции

оба однородны степени 1, дифференциальное уравнение однородно. Подстановки y = xv и dy = x dv + v dx преобразуют уравнение в

, что упрощается следующим образом:

Теперь уравнение разделимо.

Вы искали вектор умножить на матрицу онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычислить произведение матриц, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «вектор умножить на матрицу онлайн».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как вектор умножить на матрицу онлайн,вычислить произведение матриц,вычислить произведение матриц онлайн с решением,дробь умножить на матрицу онлайн,как дробь умножить на матрицу,как умножить матрицу на матрицу 3х3,как умножить обратную матрицу на матрицу,калькулятор матриц онлайн с решением умножение,калькулятор матриц онлайн умножение матриц,калькулятор матриц перемножение,калькулятор матриц произведение,калькулятор матриц умножение,калькулятор матриц умножение матриц онлайн,калькулятор матрицы онлайн умножение,калькулятор матрицы умножение,калькулятор матрицы умножение онлайн,калькулятор онлайн матрицы умножение,калькулятор онлайн умножение матрицы,калькулятор перемножения матриц,калькулятор произведение матриц,калькулятор произведения матриц,калькулятор произведения матриц онлайн,калькулятор умножение матриц,калькулятор умножение матрицу на матрицу,калькулятор умножение матрицы,калькулятор умножение матрицы на матрицу,калькулятор умножение матрицы на матрицу онлайн,калькулятор умножение матрицы онлайн,калькулятор умножения матриц,калькулятор умножения матриц онлайн,матрица на матрицу умножение,матрица на матрицу умножение онлайн,матрица онлайн умножение,матрица умножение на матрицу онлайн,матрица умножение онлайн,матрица умножить на матрицу,матрицу умножить на вектор онлайн,матрицу умножить на матрицу онлайн,матрицу умножить на обратную матрицу,матрицы калькулятор умножение,матрицы найти произведение,матрицы онлайн калькулятор умножение,матрицы перемножение,матрицы умножение калькулятор,матрицы умножение онлайн,матрицы умножение онлайн калькулятор,матрицы умножения,матрицы умножить,множення матриць,найдите произведение матриц,найти произведение матриц,найти произведение матриц калькулятор онлайн,найти произведение матриц онлайн,найти произведение матриц онлайн калькулятор,найти произведение матриц онлайн с решением,найти произведение матрицы,найти произведения матриц,обратную матрицу умножить на матрицу,онлайн калькулятор матриц умножение матриц,онлайн калькулятор матриц умножения,онлайн калькулятор матрицы умножение,онлайн калькулятор найти произведение матриц,онлайн калькулятор перемножение матриц,онлайн калькулятор произведение матриц,онлайн калькулятор произведения матриц,онлайн калькулятор умножение матриц,онлайн калькулятор умножение матриц с подробным решением,онлайн калькулятор умножение матриц с решением,онлайн калькулятор умножение матриц с решением онлайн,онлайн калькулятор умножение матрицы,онлайн калькулятор умножение матрицы на матрицу,онлайн калькулятор умножения матриц,онлайн матрица умножение,онлайн перемножение матриц,онлайн умножение двух матриц,онлайн умножение матриц на матрицу,онлайн умножение матрица,онлайн умножение матрицы,онлайн умножение матрицы на матрицу,онлайн умножение трех матриц,онлайн умножения матриц,онлайн умножить матрицу на матрицу,перемножение матриц,перемножение матриц 3 на 3,перемножение матриц калькулятор,перемножение матриц онлайн,перемножение матриц онлайн калькулятор,перемножение матрицы,перемножить матрицы,перемножить матрицы онлайн,произведение матриц онлайн,произведение матриц онлайн калькулятор,произведения матриц калькулятор,произведения матриц калькулятор онлайн,произведения матриц онлайн калькулятор,решение матриц умножение матриц,умножение двух матриц онлайн,умножение матриц,умножение матриц 2 на 2,умножение матриц калькулятор,умножение матриц калькулятор онлайн,умножение матриц на матрицу онлайн,умножение матриц онлайн,умножение матриц онлайн калькулятор,умножение матриц онлайн калькулятор с подробным решением,умножение матриц онлайн калькулятор с решением,умножение матриц онлайн с решением,умножение матриц с,умножение матриц трех онлайн,умножение матрица,умножение матрица на матрица,умножение матрица на матрица онлайн,умножение матрица на матрицу онлайн,умножение матрица онлайн,умножение матрицу на матрицу калькулятор,умножение матрицы 3х3 на матрицу 3х3,умножение матрицы калькулятор,умножение матрицы калькулятор онлайн,умножение матрицы на вектор онлайн,умножение матрицы на матрицу 3х3,умножение матрицы на матрицу калькулятор,умножение матрицы на матрицу калькулятор онлайн,умножение матрицы на матрицу онлайн,умножение матрицы на матрицу онлайн калькулятор,умножение матрицы на матрицу онлайн с решением,умножение матрицы на матрицы калькулятор,умножение матрицы онлайн,умножение матрицы онлайн калькулятор,умножение обратной матрицы на матрицу,умножение онлайн матрица,умножение трех матриц,умножение число на матриц онлайн,умножения матриц онлайн,умножения матриц онлайн калькулятор,умножения матрицу на матрицу,умножения матрицы,умножить вектор на матрицу онлайн,умножить дробь на матрицу онлайн,умножить матрицу а на матрицу в,умножить матрицу на вектор онлайн,умножить матрицу на дробь онлайн,умножить матрицу на матрицу,умножить матрицу на матрицу онлайн,умножить матрицу на матрицу онлайн с решением,умножить матрицы,умножить матрицы онлайн,умножить матрицы онлайн с решением. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и вектор умножить на матрицу онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, вычислить произведение матриц онлайн с решением).

Решить задачу вектор умножить на матрицу онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Преодоление трудностей с онлайн-калькулятором умножения матриц

3 мин чтения

Вы видите ряды и столбцы чисел, помещенных в наборы, и вам нужно их перемножить. Это кажется достаточно трудным. Хорошей новостью является то, что вы можете использовать онлайн-калькулятор умножения матриц, который поможет вам решить эту сложную математическую задачу. Некоторые люди могут возразить, что все дело в простом умножении и сложении, но это еще не все. Кроме того, если вы ошибетесь с одним числом, все ваши усилия будут напрасны. Давайте рассмотрим функции и преимущества этого мощного онлайн-инструмента, бесплатно доступного для студентов.

Совершенно упрощенная задача

При использовании калькулятора вам не нужно выяснять, какие два числа нужно умножить и куда поместить произведение. Вам просто нужно ввести цифры в нужных местах и ​​нажать кнопку. Ячейки на экране имеют те же настройки, что и числа в матрице, которую вы видите перед собой. Риск путаницы сведен к возможному минимуму. Конечно, вы должны подтвердить, что вы ввели числа правильно, чтобы получить точный результат.
Как вы знаете, чтобы перемножить две матрицы, в них должно быть одинаковое количество строк и столбцов. Пока это требование выполняется, длина строк и столбцов не имеет значения. Хорошая новость заключается в том, что учителя редко просят вас умножать матрицы размером более 4×4. Когда вы выбираете умножение матриц онлайн, вы можете легко использовать инструменты 2 × 2, 3 × 3 и 4 × 4. Они доступны вместе, поэтому вы наверняка сэкономите много времени и усилий. Вам просто нужно выбрать правильный инструмент для вашей конкретной математической задачи.
Калькулятор не только даст вам продукт. На самом деле вы увидите две матрицы рядом друг с другом в том виде, в котором они должны отображаться в вашем домашнем задании. Что еще более важно, вам будет представлен алгоритм решения проблемы. Это более чем полезно при подготовке к экзаменам. Вы сможете быстрее научиться делать что-то правильно, и у вас будет больше времени для практики для развития ваших навыков. Вы не должны упустить эту возможность, которую современные технологии делают доступной в любое время дня и ночи и абсолютно бесплатно.

Расширенные возможности

Вы, наверное, знаете, что уравнения можно решать с помощью матриц. Это более продвинутый метод, но он дает отличные результаты, особенно когда уравнения более сложные. Хорошей новостью является то, что вы застрахованы даже от таких математических задач. Вы можете легко использовать онлайн-калькулятор матриц с переменными. Опять же, ваша работа очень проста. Вам просто нужно правильно ввести числа и переменные, и
Если вы изучаете продвинутый курс математики в средней школе, колледже или университете, вам обязательно следует воспользоваться калькулятором умножения матриц. Это сэкономит вам много времени и усилий и поможет вам добиться еще большего успеха в этой очень сложной академической дисциплине.

Калькулятор тензорного произведения (произведение Кронекера)

Автор Анна Щепанек, доктор философии

Отзыв от Rijk de Wet

Последнее обновление: 08 февраля 2023 г.

• Что такое тензорное произведение ma трикс?
• Как рассчитать произведение Кронекера?
• Тензорное произведение матриц 2×2
• Какова формула произведения матриц Кронекера?
• Как использовать этот калькулятор тензорного произведения?
• Свойства продукта Кронекера
• Часто задаваемые вопросы

Если вы только что наткнулись на эту причудливую матричную операцию, называемую матрично-тензорное произведение или Кронекеровское произведение матриц , больше не ищите помощи — Omni’s калькулятор тензорного произведения здесь, чтобы научить вас всему, что вам нужно нужно знать о:

• Что такое продукт Кронекера;
• Каковы основные свойства продукта Кронекера ;
• Как вычислить тензорное произведение матриц 2×2 вручную ; и
• Как выглядит наиболее общая формула продукта Кронекера .

В качестве бонуса мы объясним взаимосвязь между абстрактным тензорным произведением и произведением Кронекера двух матриц!

⚠️ Произведение Кронекера не то же самое что и обычное умножение матриц! Если вас интересует последнее, посетите калькулятор умножения матриц Omni. Чтобы узнать больше о матричных произведениях, попробуйте наш самый общий матричный калькулятор.

Что такое тензорное произведение матриц?

Произведение матричного тензора, также известное как произведение Кронекера или прямое произведение матрицы, представляет собой операцию, которая берет две матрицы произвольного размера и выводит другую матрицу, которая чаще всего намного больше любой из входных матриц.

Допустим, входные матрицы:

• AAA со строками rAr_ArA​ и столбцами cAc_AcA​ и
• BBB со строками rBr_BrB и столбцами cBc_BcB.

Результирующая матрица имеет rA⋅rBr_A \cdot r_BrA​⋅rB​ строк и cA⋅cBc_A \cdot c_BcA​⋅cB​ столбцов.

🔎 В частности, мы можем взять матрицы с одной строкой или одним столбцом, т. е. векторы (будь то столбец или строка по форме). В этом случае мы называем эту операцию векторным тензорным произведением .

Как рассчитать произведение Кронекера?

Когда у нас есть приблизительное представление о том, что такое тензорное произведение матриц, давайте более подробно обсудим, как его вычислить. Произведение Кронекера определяется следующим образом: блочная матрица :

A⊗B=[a11B⋯a1cAB⋮⋱⋮arA1B⋯arAcAB]\footnotesize А \otimes B = \! \begin{bматрица} a_{11} {B} & \cdots & a_{1c_A} {B} \\ \vdots &\ddots &\vdots \\a_{r_A1}{B} &\cdots &a_{r_Ac_A}{B} \end{bmatrix}A⊗B=⎣

⎡​a11​B⋮arA​1​B​⋯⋱⋯​a1cA​B⋮arA​cA​​B​⎦

⎤​

Следовательно, вычисление произведение Кронекера двух матриц сводится к многократному умножению чисел на матрицу . Как вы, наверное, помните, идея состоит в том, чтобы умножить каждый член матрицы на это число, сохраняя форму матрицы неизменной:

aijB=[aijb11⋯aijb1cB⋮⋱⋮aijbrB1⋯aijbrBcB]\footnotesize a_{ij} B =\! \begin{bматрица} a_{ij} b_{11} & \cdots & a_{ij} b_{1c_B} \\ \vdots &\ddots &\vdots \\a_{ij}b_{r_B1} &\cdots &a_{ij} b_{r_Bc_B} \end{bmatrix}aij​B=⎣

⎡​aij​b11​⋮aij​brB​1​​⋯⋱⋯​aij​b1cB​​⋮aij​brB​cB​​​⎦

⎤​

Тензорное произведение матриц 2×2

Давайте обсудим, что такое произведение Кронекера в случае матриц 2×2, чтобы убедиться, что мы действительно все прекрасно понимаем. Предположим, что

A=[a11a12a21a22], B=[b11b12b21b22]\размер сноски A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\!,\ B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{ 12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}A=[a11​a21​​a12​a22​​], B=[b11​b21​​b12​b22​​]

As мы видели выше, имеем:

A⊗B=[a11Ba12Ba21Ba22B]\footnotesize А \otimes B = \begin{bmatrix} а_{11} {В} и а_{12} {В} \\a_{21}{B} &a_{22}{B} \end{bmatrix}A⊗B=[a11​Ba21​B​a12​Ba22​B​]

Записывая в явном виде члены BBB, получаем:

A⊗B=[a11[b11b12b21b22]a12[b11b12b21b22]a21[b11b12b21b22]a22[b11b12b21b22]]\размер сноски А \otimes B = \\ \begin{bmatrix} a_{11} \begin{bmatrix} б_{11} и б_{12} \\b_{21} &b_{22} \end{bmatrix} и a_{12}\begin{bmatrix} б_{11} и б_{12} \\b_{21} &b_{22} \end{bmatrix} \\a_{21}\begin{bmatrix} б_{11} и б_{12} \\b_{21} &b_{22} \end{bmatrix} &a_{22}\begin{bmatrix} б_{11} и б_{12} \\b_{21} &b_{22} \end{bmatrix} \end{bmatrix} А⊗В=⎣

⎡​a11​[b11​b21​​b12​b22​]a21​[b11​b21​​b12​b22​​]​a12​[b11​b21​​b12​b22​]a22​[ b11​b21​​b12​b22​]​⎦

⎤​

Выполняя числовое умножение на матрицу, получаем окончательный результат:

A⊗B=[a11b11a11b12a12b11a12b12a11b21a1 1b22a12b21a12b22a21b11a21b12a22b11a22b12a21b21a21b22a22b21a22b22]\footnotesize А \otimes B = \\ \begin{bматрица} а_{11} б_{11} и а_{11}б_{12} и а_{12} б_{11} и а_{12} б_{12} \\ а_{11}б_{21} и а_{11}б_{22} и а_{12}б_{21} и а_{12}б_{22} \\ a_{21} b_{11} & a_{21}b_{12} & a_{22} b_{11} & a_{22} b_{12} \\ а_{21}б_{21} и а_{21}б_{22} и а_{22} б_{21} и а_{22} б_{22} \end{bmatrix} А⊗В=⎣

a22​b21​​a12​b12​a12​b22​a22​b12​a22​b22​​⎦

⎤​

Следовательно, тензорное произведение матриц 2×2 является матрицей 4×4. Это совсем не сложно, не так ли? Но вы, конечно, можете себе представить, насколько грязно было бы явно записывать тензорное произведение гораздо больших матриц! К счастью, есть краткая формула для матричного тензорного произведения — давайте ее обсудим!

Какова формула произведения матрицы Кронекера?

Мы можем вычислить элемент (A⊗B)ij(A\otimes B)_{ij}(A⊗B)ij​ произведения Кронекера как:

a⌈i/rB⌉,⌈j/cB⌉ ⋅b((i−1)%rB+1),((j−1)%cB+1)\footnotesize a_{\lceil i/r_B\rceil,\lceil j/c_B\rceil} \cdot b_{\ влево((i-1)\% r_B+1\вправо),\влево((j-1)\% c_B+1\вправо)}a⌈i/rB​⌉,⌈j/cB​⌉​⋅b ((i−1)%rB​+1),((j−1)%cB​+1)​

где ⌈x⌉\lceil x \rceil⌈x⌉ — функция потолка (т. е. наименьшая целое число, большее xxx), а %\%% обозначает операцию по модулю. Напомним также, что rBr_BrB и cBc_BcB обозначают количество строк и столбцов BBB соответственно.

Мы обсудили два метода вычисления произведения тензорных матриц. Есть и третий метод, и он наш любимый — просто используйте калькулятор тензорного произведения Omni!

Как использовать этот калькулятор тензорного произведения?

Чтобы вычислить произведение Кронекера двух матриц с помощью нашего инструмента, просто выберите размеры ваших матриц и введите коэффициенты в соответствующие поля.

🙋 Ой, вы перепутали порядок матриц? Не беспокойтесь — наш калькулятор тензорного произведения позволяет вам выбрать, хотите ли вы умножать A⊗BA \otimes BA⊗B или B⊗AB \otimes AB⊗A. Наслаждаться!

Свойства произведения Кронекера

Ассоциативность

Произведение тензорных матриц ассоциативно, т.е. для любых A,B,CA, B, CA,B,C имеем

(A⊗B)⊗C=A⊗( B⊗C)\footnotesize ({A} \otimes {B} )\otimes {C} = {A} \otimes ({B} \otimes {C})(A⊗B)⊗C=A⊗(B⊗ C)

Билинейность

Тензорное матричное произведение также билинейно, т.е. линейно по каждому аргументу в отдельности:

(A+B)⊗C=A⊗C+B⊗C,(xA)⊗B=x( A⊗B)\размер сноски (A + B)\otimes C =A \otimes C +B \otimes C, \\[0.5em] (x{A}) \otimes {B} = x({A} \otimes {B} )(A+B)⊗C=A⊗C+B⊗C,(xA)⊗B=x(A⊗B ) 9{*}.(А⊗В)∗=А∗⊗В∗.

Сингулярные значения и ранг

💡 Не беспокойтесь, если вы еще не знакомы с концепцией сингулярных значений — можете пропустить этот раздел или перейти к калькулятору сингулярных значений.

Если σ1,…,σpA\sigma_1, \ldots, \sigma_{p_A}σ1​,…,σpA​​ являются ненулевыми сингулярными значениями AAA и s1,…,spBs_1, \ldots, s_{p_B }s1​,…,spB​​ являются ненулевыми сингулярными значениями BBB, тогда ненулевых сингулярных значений A⊗BA \otimes BA⊗B являются σisj\sigma_{i}s_jσi​sj​ с i=1,…,pAi=1, \ldots, p_{A}i=1,…,pA​ и j=1,…,pBj=1, \ldots, p_{B}j=1,…,pB .

Напомним, что количество ненулевых сингулярных значений матрицы равно рангу этой матрицы. В результате получаем формулу ранга:

ранг⁡(A⊗B)=ранг⁡(A)⋅ранг⁡(B)\footnotesize \operatorname{rank}(A \otimes B) = \operatorname{rank}(A) \cdot \operatorname{rank}(B)rank(A⊗B)=rank(A)⋅rank(B)

Инверсия тензорный продукт

В оставшейся части этого раздела мы предполагаем, что AAA и BBB являются квадратными матрицами размера mmm и nnn соответственно. 9{-1}.(А⊗В)−1=А−1⊗В−1.

Собственные значения, трассировка, определитель

💡 Нахождение собственных значений — еще одна сложная тема. Если вам нужно освежить знания, посетите наш калькулятор собственных значений и собственных векторов.

Если α1,…,αm\alpha_1, \ldots, \alpha_mα1​,…,αm​ и β1,…,βn\beta_1, \ldots, \beta_nβ1​,…,βn​ являются собственными значениями AAA и BBB ( перечисленные с кратностями) соответственно, то собственные значения матрицы A⊗BA \otimes BA⊗B имеют вид
αiβj\alpha_{i}\beta_{j}αi​βj​ с i=1,…,mi=1,\ ldots ,mi=1,…,m и j=1,…,nj=1,\ldots ,nj=1,…,n. 9mdet(A⊗B)=det(A)ndet(B)m

след⁡(A⊗B)=след⁡(A)след⁡(B)\footnotesize \operatorname{trace}(A \otimes B) = \operatorname{trace}(A) \operatorname{trace}(B)trace(A⊗B)=trace(A)trace(B)

Часто задаваемые вопросы

Ассоциативный продукт Кронекера?

Да , произведение кронекеровых матриц ассоциативно: (A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) для всех матриц A, B, C.

Является ли произведение Кронекера коммутативным?

No произведение матриц Кронекера не коммутативно: A ⊗ B ≠ B ⊗ A для некоторых матриц A, B.

Является ли произведение тензора таким же, как произведение Кронекера?

Тензорное произведение является более общим понятием, но если мы имеем дело с конечномерными линейными пространствами, то матрица тензорного произведения двух линейных операторов (относительно базиса, являющегося тензорным произведением исходных базисов) дается в точности произведением Кронекера матриц этих операторов по начальным основаниям.

Как найти размер матричного тензорного произведения?

Чтобы определить размер тензорного произведения двух матриц:

1. Вычислить произведение количества строк входных матриц.
2. Вычислить произведение количества столбцов входных матриц.
3. В выходной матрице будет столько строк, сколько вы получили на шаге 1, и столько столбцов, сколько вы получили на шаге 2.
4. В частности, если у вас есть матриц одинакового размера , выходная матрица имеет размеры, равные исходные размеры в квадрате .

Расчет площади по длине стороны:
Площадь Многоугольника = ((side)² * N) / (4Tan(π / N))
Периметр Многоугольника = N * (side)

Расчет площади по радиусу описанной окружности :
Площадь Многоугольника = ½ * R² * Sin(2π / N)

Расчет площади по радиусу вписанного круга :
Площадь Многоугольника = A² * N * Tan(π / N)
где, A = R * Cos(π / N)

По радиусу вписанного круга и длине стороны :
Площадь Многоугольника = (A * P) / 2
где A = сторона / (2 * Tan(π / N))
где,

• N = Количество сторон,
• A = Радиус вписанного круга,
• R = Радиус описанной окрудности,
• P = Периметр

Примеры:

Задача 1: Найдите площадь и периметр многоугольника, если длина стороны = 2 и количество сторон = 4.

Шаг 1: Найдем площадь.
Площадь = ((длина стороны)² * N) / (4Tan(π / N))
= ((2)² * 4) / (4 * Tan(3.14 / 4))
= (4 * 4) / 4 * Tan(0.785)
= 16 / 4 * 0.999
= 16 / 3.996
Площадь = 4.

Шаг 2: Найдем периметр.
Периметр = (N * (длина стороны) = 4 * 2 = 8

Задача 2: Найдите площадь и периметр многоугольника, если радиус описанной окружности = 2, количество сторон многоугольника = 5.

Шаг 1: Найдем площадь.
Площадь = ½ * R² * Sin(2π / N)
= (0.5) * 2² * Sin(2 * 3.14 / 5)
= 0.5 * 4 * Sin(6.28 / 5)
= 2 * Sin(1.26)
= 2 * 0.95
Площадь = 1.9.

Задача 3:Найдите площадь многоугольника с радиусом описанной окружности равному 2 и количеству сторон 5, используя радиус вписанного круга.

Шаг 1: Найдем радиус вписанного круга.
А = R * Cos(π / N)
= 2 * Cos(3.14 / 5)
= 2 * Cos(0.63)
= 2 * 0.81
Апофема (радиус вписанного круга) = 1.62.
Шаг 2: Найдем площадь.
Площадь = A² * N * Tan(π / N)
= 1.62² * 5 * Tan(3.14 / 5)
= 2.62 * 5 * Tan(0.63)
= 13.1 * 0.73
Площадь = 9.5.

Задача 4: Найти площадь многоугольника используя Апофему (радиус вписанного круга), если длина стороны равна 2, а количество сторон 5.
Step 1: Найдем Апофему.
Апофема = длина стороны / (2 * Tan(π / N))
= 2 / (2 * Tan(π / 4))
= 2 / (2 * Tan(0.785))
= 2 / (2 * 0.999)
= 2 / 1.998
Апофема (А) = 1.

Шаг 2: Найдем периметр.
Периметр (P) = (N * (длина стороны) = 4 * 2 = 8

Шаг 3: Найдем площадь.
Площадь = (A * P) / 2
= (1 * 8) / 2
= 8 / 2
Площадь = 4.

Приведенные выше примеры показывают, как вычислить площадь и периметр многоугольника вручную.

людей нашли эту статью полезной. А Вы?

0

Оставьте комментарий! Напишите, что думаете по поводу статьи. x

Площадь многоугольника по координатам онлайн

Создать полигональные объекты—ArcGIS Pro | Документация

Инструменты построения полигональных объектов создают замкнутые плоские объекты. Вы можете создавать неправильные многоугольники, правильные многоугольники с равными сторонами или многоугольники от руки. Эти инструменты доступны на панели Создать объекты с шаблонами объектов для полигональных векторных слоев.

При использовании инструмента построения полигонов учитывайте следующее:

• Вершинам 3D-объектов с учетом z назначаются z-значения на основе текущих настроек высоты.
• Чтобы возобновить редактирование существующего объекта или добавить часть к составному объекту, используйте инструмент Продолжить объект .

Создание полигонального объекта

Инструмент «Многоугольник» позволяет создавать неправильные многоугольники, содержащие неравные стороны и углы. Инструмент «Линия» активен по умолчанию. Чтобы создать сегменты дуги или проследить существующие объекты, щелкните соответствующий инструмент на панели инструментов построения.

Чтобы создать полигональный объект, выполните следующие шаги:

1. Добавьте свои данные и настройте параметры для редактирования.

   Убедитесь, что редактируемый векторный слой доступен для редактирования, система координат, назначенная активной карте, подходит для типа выполняемых вами правок, а привязка настроена так, чтобы помочь вам работать эффективно и точно.

2. На ленте щелкните вкладку Редактировать. В группе «Возможности» нажмите «Создать».

   Появится панель Создать объекты.

3. Щелкните шаблон полигонального объекта на панели Создать объекты.

   Чтобы найти шаблон объекта, содержащий определенное слово или фразу, щелкните поле поиска и введите критерии поиска. Поиск не чувствителен к регистру.

4. Щелкните инструмент «Многоугольник» .
5. Чтобы переопределить значения атрибутов или изменить инструмент настройки, нажмите кнопку «Активный шаблон» и перейдите на соответствующую вкладку, описанную в следующей таблице:
6. Щелкните карту, чтобы создать первую вершину.

   Можно также щелкнуть карту правой кнопкой мыши, выбрать Абсолютные X,Y,Z и ввести координаты местоположения.

7. Выберите инструмент построения сегмента на панели инструментов построения.
8. Переместите указатель и щелкните карту, чтобы создать сегмент.
9. Продолжайте создавать сегменты, пока форма не будет полностью построена.
10. Нажмите «Готово» или нажмите F2, чтобы создать элемент.

Создание объекта правильного многоугольника

Инструмент «Правильный многоугольник» создает правильные многоугольники с заданным количеством равных сторон, используя центральную точку и радиальное расстояние.

Чтобы создать правильный многоугольник, выполните следующие действия:

1. Добавьте свои данные и настройте параметры редактирования.

   Убедитесь, что редактируемый векторный слой доступен для редактирования, система координат, назначенная активной карте, подходит для типа выполняемых вами правок, а привязка настроена так, чтобы помочь вам работать эффективно и точно.

2. На ленте щелкните вкладку Редактировать. В группе «Возможности» нажмите «Создать».

   Появится панель Создать объекты.

3. Щелкните шаблон полигонального объекта на панели Создать объекты.

   Чтобы найти шаблон объекта, содержащий определенное слово или фразу, щелкните поле поиска и введите критерии поиска. Поиск не чувствителен к регистру.

4. Щелкните инструмент «Правильный многоугольник» .
5. Для переопределения значений атрибутов или смены инструмента настройки, нажмите кнопку «Активный шаблон» и перейдите на соответствующую вкладку, описанную в следующей таблице:
6. Щелкните карту, чтобы создать центральную точку.

   Можно также щелкнуть правой кнопкой мыши карту, выбрать Абсолютные X,Y,Z и ввести координаты местоположения.

7. Переместите указатель, чтобы указать расстояние и направление, и щелкните карту.

   В качестве альтернативы, чтобы ввести расстояние и направление, щелкните правой кнопкой мыши и выберите команды «Расстояние» и «Направление» соответственно.

   Когда измерения расстояния и направления полностью определены, функция завершается автоматически.

8. Нажмите Esc, чтобы выйти из инструмента.

Создать полигональный объект произвольной формы

Инструмент Произвольная форма создает полигональные объекты произвольной формы вслед за движением указателя.

Чтобы создать многоугольник от руки, выполните следующие шаги:

1. Добавьте свои данные и настройте параметры редактирования.
2. На ленте щелкните вкладку Правка. В группе «Возможности» нажмите «Создать».

   Появится панель Создать объекты.

3. Щелкните шаблон полигонального объекта на панели Создать объекты.

   Чтобы найти шаблон объекта, содержащий определенное слово или фразу, щелкните поле поиска и введите критерии поиска. Поиск не чувствителен к регистру.

4. Щелкните инструмент Произвольная форма .
5. Для переопределения значений атрибутов или смены инструмента настройки, нажмите кнопку «Активный шаблон» и перейдите на соответствующую вкладку, описанную в следующей таблице:
6. Щелкните карту, чтобы создать первую вершину.

   Можно также щелкнуть карту правой кнопкой мыши, выбрать Абсолютные X,Y,Z и ввести координаты местоположения.

7. Переместите указатель по карте, чтобы создать элемент от руки, следуя за движением указателя.
8. Нажмите на карту, чтобы закончить функцию.

   Сегменты автоматически преобразуются в кривые Безье.

Похожие темы

Отзыв по этой теме?

Создать полигональные объекты—ArcGIS Pro | Документация

На панели Создать объекты шаблоны объектов для полигональных слоев включают инструменты построения для создания однокомпонентных и составных полигональных объектов. Дополнительные инструменты для создания определенной геометрии сегмента, такой как дуги или кривые, появляются на панели инструментов построения.

Настройки инструмента включают возможность переопределения значений атрибутов по умолчанию и автоматическое отсечение перекрывающихся полигонов. Если исходный класс пространственных объектов поддерживает z-значения, вершинам назначаются z-значения на основе текущих настроек режима ввода высот для 3D-объектов.

Многоугольник

Инструмент Многоугольник создает многоугольники с несколькими сегментами. Щелкните правой кнопкой мыши, чтобы указать значения расстояния и направления, переопределить агенты привязки или применить геометрические ограничения.

1. Если текущая карта не содержит полигонального векторного слоя, добавьте его.
   1. На вкладке «Вид» щелкните Панель каталога и разверните Базы данных.
   2. Разверните базу данных по умолчанию или базу данных, содержащую ваши данные.

      Чтобы создать класс полигональных пространственных объектов, щелкните правой кнопкой мыши базу данных, выберите Создать и щелкните Класс пространственных объектов.

   3. Перетащите класс пространственных объектов на карту.

      Для нового слоя автоматически создается шаблон объектов с настройками по умолчанию.

2. На вкладке «Правка» выберите параметры привязки и отобразите панель «Создать объекты».
   1. В группе «Привязка» щелкните раскрывающееся меню «Привязка» и включите параметры привязки.
   2. В группе Компоненты щелкните Создать .
3. На панели Создать объекты щелкните шаблон полигонального объекта и щелкните инструмент построения полигона .
4. Чтобы изменить текущие настройки инструмента, нажмите кнопку Активный шаблон и перейдите на соответствующую вкладку.

   Атрибуты	Введите значения в поля атрибутов, чтобы переопределить исходные значения по умолчанию.
   Полигон	Установите флажок Обрезать перекрывающиеся полигоны, чтобы автоматически обрезать перекрывающиеся полигоны.

   • Чтобы изменить конфигурацию шаблона и сохранить настройки, щелкните Параметры активного шаблона и щелкните Свойства .
5. Создайте полигональный объект, щелкнув и переместив указатель.
   • Чтобы создать криволинейные сегменты, щелкните инструмент на панели инструментов построения.

   • Чтобы ввести значение направления или расстояния, щелкните карту правой кнопкой мыши и выберите команду.
   • Чтобы изменить нарисованную геометрию, щелкните правой кнопкой мыши вершину или сегмент и выберите команду.
   • Чтобы завершить текущий эскиз как часть составного элемента и создать эскиз другой детали, щелкните правой кнопкой мыши и выберите «Завершить деталь» .
6. Чтобы закончить функцию, щелкните правой кнопкой мыши и выберите Готово или нажмите клавишу F2.

Правильный многоугольник

Инструмент Правильный многоугольник создает равносторонние многоугольники в указанной центральной точке и на указанном радиальном описанном расстоянии. Количество сегментов является свойством инструмента.

1. Если текущая карта не содержит полигонального векторного слоя, добавьте его.
   1. На вкладке «Вид» щелкните Панель каталога и разверните Базы данных.
   2. Разверните базу данных по умолчанию или базу данных, содержащую ваши данные.

      Чтобы создать класс полигональных пространственных объектов, щелкните правой кнопкой мыши базу данных, выберите Создать и щелкните Класс пространственных объектов.

   3. Перетащите класс пространственных объектов на карту.

      Для нового слоя автоматически создается шаблон объектов с настройками по умолчанию.

2. На вкладке «Правка» выберите параметры привязки и отобразите панель «Создать объекты».
   1. В группе «Привязка» щелкните раскрывающееся меню «Привязка» и включите параметры привязки.
   2. В группе Компоненты щелкните Создать .
3. На панели Создать объекты щелкните шаблон полигонального объекта и щелкните Обычный полигон .
4. Чтобы изменить текущие настройки инструмента, нажмите кнопку Активный шаблон и перейдите на соответствующую вкладку.

   Атрибуты	Введите значения в поля атрибутов, чтобы переопределить исходные значения по умолчанию.
   Правильный многоугольник	В поле Стороны укажите количество сторон многоугольника. Установите флажок Обрезать перекрывающиеся полигоны, чтобы автоматически обрезать перекрывающиеся полигоны.

   • Чтобы изменить конфигурацию шаблона и сохранить настройки, щелкните Параметры активного шаблона и щелкните Свойства .
5. Создайте полигон.
   1. Щелкните карту, чтобы создать центральную точку.
   2. Переместите указатель, чтобы указать размер и угол поворота.

      Чтобы ввести направление и расстояние, щелкните правой кнопкой мыши карту.

6. Нажмите Esc, чтобы выйти из инструмента и скрыть панель инструментов построения.

От руки

Инструмент От руки создает многоугольник произвольной формы с помощью указателя. Когда вы закончите набросок, все сегменты будут преобразованы в кривые Безье.

1. Если текущая карта не содержит полигонального векторного слоя, добавьте его.
   1. На вкладке «Вид» щелкните Панель каталога и разверните Базы данных.
   2. Разверните базу данных по умолчанию или базу данных, содержащую ваши данные.

      Чтобы создать класс полигональных пространственных объектов, щелкните правой кнопкой мыши базу данных, выберите Создать и щелкните Класс пространственных объектов.

   3. Перетащите класс пространственных объектов на карту.

      Для нового слоя автоматически создается шаблон объектов с настройками по умолчанию.

2. На вкладке Правка в группе Функции нажмите Создать .
3. На панели Создать объекты щелкните шаблон полигонального объекта и щелкните От руки .

   Если привязка включена, она временно отключается, пока вы не закончите работу с этой функцией.

4. Чтобы изменить текущие настройки инструмента, нажмите кнопку Активный шаблон и перейдите на соответствующую вкладку.

   Атрибуты	Введите значения в поля атрибутов, чтобы переопределить исходные значения по умолчанию.
   От руки.	Установите флажок Обрезать перекрывающиеся полигоны, чтобы автоматически обрезать перекрывающиеся полигоны.

   • Чтобы изменить конфигурацию шаблона и сохранить настройки, щелкните Параметры активного шаблона и щелкните Свойства .
5. Щелкните карту, перетащите указатель и создайте объект.
6. Чтобы закончить функцию, щелкните карту.

   Finish запускается автоматически, и сегменты преобразуются в кривые Безье.

Классы полигональных объектов содержат векторную геометрию объекта и его описательные атрибуты. При создании новых полигональных объектов учитывайте следующее:

• Полигональные объекты представляют собой полностью замкнутые области, ограниченные прямой линией. сегменты, дуги окружности, эллиптические дуги и кривые Безье, созданные между вершинами.

Что умеет калькулятор пределов?

• Детальное решение для указанных методов:
  • Правило Лопиталя
  • Теорема о двух милиционерах
  • Второй замечательный предел
  • Разложение функции на множители
  • Использование замены
  • Первый замечательный предел
• Типы пределов:
  • От одной переменной
  • На бесконечности
  • Односторонние пределы
• Строит график функции и её предела
• Предлагает другие пределы

Подробнее про Предел функции.

Указанные выше примеры содержат также:

• модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс acot(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x), гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
• другие тригонометрические и гиперболические функции:
  секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x), арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x), гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x), гиперболический арккосеканс acsch(x)
• функции округления:
  в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
• знак числа:
  sign(x)
• для теории вероятности:
  функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности), функция Лапласа laplace(x)
• Факториал от x:
  x! или factorial(x)
• Гамма-функция gamma(x)
• Функция Ламберта LambertW(x)
• Тригонометрические интегралы: Si(x), Ci(x), Shi(x), Chi(x)

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x

— умножение

3/x

— деление

x^2

— возведение в квадрат

x^3

— возведение в куб

x^5

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

Действительные числа

вводить в виде 7. 5, не 7,5

Постоянные

pi

— число Пи

e

— основание натурального логарифма

i

— комплексное число

oo

— символ бесконечности

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:

Вычисление пределов. Пределы с неопределенностью

Прежде чем рассказать о вычислении пределов с неопределенностью, хочется верить, что у вас уже есть понимание того, что такое предел и как вычислить элементарные пределы. Если такого понимания нет, то сначала прочитайте статью «Пределы. Понятие пределов. Вычисление пределов».
Теперь перейдем к рассмотрению пределов с неопределенностью.

Существует группа пределов, когда x , а функция представляет собой дробь, подставив в которую значение х = получим неопределенность вида .

Пример.

Необходимо вычислить предел

Воспользуемся нашим правилом №1 и подставим в функцию. Как видно мы получаем неопределенность .

В числителе находим х в старшей степени, которая в нашем случае = 2:

То же самое проделаем со знаменателем:

Здесь также старшая степень = 2.

Далее надо из двух найденных степеней выбрать самую старшую. В нашем случае степень числителя и знаменателя совпадают и =2.

Итак, для раскрытия неопределенности нам потребуется разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени, т.е. на x²:

Ответ: 2/3.

Существуют также пределы с другой неопределенностью — вида . Отличие от предыдущего случая лишь в том, что х стремится уже не к , а к конечному числу.

Пример.

Необходимо вычислить предел .

Снова воспользуемся правилом №1 и подставим в место х число -1:

Мы получили неопределенность , для раскрытия которой необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, для чего в свою очередь обычно решается квадратное уравнение или используются формулы сокращенного умножения.

В нашем случае решаем уравнение:

Находим дискриминант:

.

Если корень не извлекается целый вероятней всего D вычислен неправильно.

Теперь находим корни уравнения:

Подставляем:

Числитель разложили.

В знаменателе у нас х + 1, что итак является простейшим множителем.

Тогда наш предел примет вид:

х + 1 красиво сокращается:

Теперь подставим вместо х значение -1 в функцию и получаем:

2*(-1) – 5 = -2 – 5 = -7

Ответ: -7.

Рассмотрим основные положения, применяемые при решении различного рода задач с пределами:

• Предел суммы 2-х или более функций равен сумме пределов этих функций:

• Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

• За знак предела можно выносить постоянный коэффициент:

• Предел произведения 2-х и более функций равен произведению пределов этих функций ( последние должны существовать):

• Предел отношения 2-х функций равен отношению пределов этих функций (в том случае, если предел знаменателя 0:

• Степень функции, находящейся под знаком предела, применима к самому пределу этой функции (степень должна быть действительным числом):

На этом с вычислением пределов с неопределенностью всё. Еще в статье «Замечательные пределы: Первый и второй замечательный предел» мы отдельно рассматриваем интересную группу пределов. Статья вставит еще один блок для решения большинства пределов, встречающихся не просторах обучения.

Если у вас появились какие то вопросы по вычислению пределов с неопределенностью, то задавайте их в комментариях. Будем рады ответить.

Заметка: Если не хватает времени на учебу, вы можете заказать контрольную работу (http://forstuds.ru/kontrolnaya-rabota-na-zakaz), учтите правда наличие знаний по теме у вас после этого.

Лучший инструмент для нахождения предела функции

Допустимые функции и символы	Описание
квт()	Квадратный корень
лн()	Натуральный логарифм
журнал()	Экспоненты
абс()	Абсолютное значение
sin(), cos(), tan(), csc(), sec(), cot()	Основные тригонометрические функции
asin(), acos(), atan(), acsc(), asec(), acot()	Обратные тригонометрические функции
sinh(), cosh(), tanh(), csch(), sech(), coth()	Гиперболические функции
asinh(), acosh(), atanh(), acsch(), asech(), acoth()	Обратные гиперболические функции
число пи	PI-номер (π = 3,14159. ..)
е	Число Непера (e= 2,71828…)
я	Для обозначения мнимой составляющей комплексного числа.
инф	∞

Калькулятор пределов и пошаговый онлайн-решатель

Знакомство с калькулятором пределов

Искатель пределов — это онлайн-инструмент, используемый для вычисления предела функции путем ее дифференцирования. Он использует по определению формулу производной, чтобы найти производную функции. Он находит предельную точку функции, чтобы описать ее поведение.

Так как исчисление — сложный предмет, вы не можете применять какой-либо метод или формулу, если вы не практиковали и не поняли их. Предел функции также является одним из сложных методов решения. Поскольку его концепция сбивает с толку многих студентов, именно поэтому здесь мы представляем инструмент, который может определить предел функции, но также проясняет ее концепцию.

Связанный: Что касается математики, вы также можете попробовать калькулятор логарифмов и антилогарифмический калькулятор, чтобы легко вычислить логарифм и антилогарифм любого числа.

Калькулятор формулы ограничения

Решатель пределов использует следующие формулы для решения задачи:

1. Он находит скорость изменения функции, используя правило определения, которое:
$$ f’x \;=\; \frac{f{(x \;+\; h)} \;-\; е(х)}{ч} $$
2. И это также может быть записано как:
$$ \frac{dy}{dx} \;=\; f'(х) $$
3. Пусть y=f(x) — функция, а x=a — точка, тогда предел функции может быть определен как:
$$ f(x) \;=\; $$

Где f(x) — функция, а «x» — переменная, приближающаяся к значению «a».

4. Также находит корень данной формулы.

Вы также можете попробовать факторный калькулятор, который может вычислить факториал любого числа, и калькулятор остатка, чтобы найти остаток от деления двух чисел.

Как решать ограничения с помощью шагов

Существует несколько простых шагов для использования этого инструмента. Они приведены ниже:

1. Чтобы использовать этот инструмент, вы должны найти веб-сайт, который предлагает этот решатель пределов для этого поиска. на сайте calculates.com есть обширная коллекция калькуляторов для решения ваших задач.
2. Выберите калькулятор лимита из списка инструментов, доступных на сайте.
3. Теперь вам нужно ввести функцию в поле «Функция».
4. Выберите направление ограничения в поле «Направление».
5. Теперь выберите переменную, которую вы хотите отличить от поля «W.R.T».
6. Выберите количество раз, которое вы хотите различать, в поле «Время» на последнем шаге.
7. Теперь нажмите на кнопку «Рассчитать».

Вы получите пошаговый результат после нажатия на кнопку расчета.

Калькулятор ликвидационной стоимости и калькулятор округления — еще один замечательный инструмент, который может быть полезен для учащихся, изучающих математику.

Зачем использовать калькулятор предельных уравнений?

В исчислении есть много задач, для которых вы используете формулу производной, чтобы найти предельные точки. Возможно, вам придется обсудить поведение функции, используя предельную точку. Концепция нахождения пределов настолько запутана, что вместо нахождения производной по определению можно применить формулу предела.

Решатель пределов онлайн предназначен для оценки функции по принципу производной. Вы никогда не запутаетесь, когда будете использовать его для решения проблем, потому что он поможет вам прояснить вашу концепцию, предоставляя пошаговую оценку. Вот почему вам нужно использовать этот инструмент.

Для расчета процентной погрешности измерений вы можете воспользоваться нашим калькулятором процентной погрешности, а также для расчета значащих цифр вам может пригодиться калькулятор sig-fig.

Преимущества использования Limit Solver Online

В исчислении производная и пределы являются важными понятиями, чтобы говорить о природе функции, потому что эти понятия помогают вычислить точки максимума и минимума. Calculatores предлагает вам эффективный инструмент, способный вычислить предел любой функции.

Есть еще одно полезное применение этого инструмента.

1. Это может помочь вам улучшить свои навыки во многих концепциях, связанных с деривативами.
2. Это может сэкономить вам время, которое вы тратите на решение проблем вручную.
3. Это также полезно при решении многих реальных проблем.
4. Калькулятор лимитов с шагами наиболее удобен для студентов, поскольку он помогает им в подготовке к экзаменам.
5. Вы можете бесплатно использовать этот инструмент в любое время и в любом месте. Потому что он не требует никакой платы.

Хамза Харун

Олимпиады других лет

2023    2022    2021    2020    2019    2018    2017    2016    2015

Очный тур состоится 19 февраля 2023 года

Подать заявку на участие в олимпиаде

Ответы на часто задаваемые вопросы

Новости

Уважаемые участники!

Размещаем таблицу с победителями и призерами Основного тура: https://vk.cc/cmQC2K
Остальные участники могут увидеть свои результаты в личных кабинетах на сайте.

Поздравляем победителей!

Награждение запланировано на 29 апреля 2023 года. Церемония пройдёт в ФМЛ№30 (Средний проспект ВО, д. 31). На церемонии награждения ждем всех, кто получил дипломы и похвальные отзывы!
17:00 — 1-2 классы
18:30 — 3-4 классы

Просим участников 4 класса основного тура проверить результаты в личных кабинетах еще раз. В случае возникновения вопросов, задавайте их в сообщения группы ВК.

Победители и призеры из других городов могут написать сообщение администратору группы, мы предложим варианты получения участниками дипломов и подарков.

Порядок проведения олимпиады

Олимпиада проводится в 2022-2023 году в два этапа: отборочный и основной этапы.

Для того, чтобы учатствовать в основном туре олимпиады, вам необходимо пройти отборочный тур. Для этого вам нужно:

1. Завести личный кабинет на сайте (если у вас еще нет личного кабинета).
2. Подать заявку на участие в олимпиаде в личном кабинете.
3. Пройти отборочный этап можно одним из следующих способов:
   • набрать проходной балл в отборочном этапе (объявляется после проведения)
   • загрузить диплом одной из следующих олимпиад: «Новогодний РАЗ-ДВА-ТРИ! — 2022», Очная олимпиада «Зимний математический праздник начальной школы системы кружков Фрактал 2022», Декабрьская олимпиада ЮМШ 2022
   • быть победителем олимпиады 2022 года

Вы можете ознакомиться с основными документами, касающимися проведения Олимпиады:

Положение олимпиады 

Регламент отборочного тура 

Сертификаты участников 1 класс
Сертификаты участников 2 класс
Сертификаты участников 3 класс
Сертификаты участников 4 класс

Результаты очного тура

Этапы олимпиады

Отборочный этап. Проводится 18 ноября 2022 года в письменном виде на площадках школ и математических кружков под руководством Проводящего. Все желающие заранее регистрируются и определяются к одному из Проводящих отборочного этапа. Подробнее о проведении отборочного тура вы можете прочитать в регламенте отборочного тура.

Задания отборочного тура 1 класс
Задания отборочного тура 2 класс
Задания отборочного тура 3 класс
Задания отборочного тура 4 класс

Решения отборочного тура

Основной этап. Проводится 19 февраля 2023 года в письменном формате. Участвовать могут победители отборочного этапа, победители 2022 года, победители олимпиады «Новогодний РАЗ-ДВА-ТРИ! — 2022», победители Зимнего Математического Праздника кружка «ФРАКТАЛ» 2022, победители Олимпиады ЮМШ 2022/2023.
Затем все работы проверяются в течение 2-3 недель жюри Олимпиады, проводится апелляция и назначается дата награждения победителей!

Задания основого тура 1 класс
Задания основого тура 2 класс
Задания основого тура 3 класс
Задания основого тура 4 класс

Решения основного тура

История и статистика

Санкт-Петербургская открытая математическая олимпиада обучающихся начальной школы проводится в Санкт-Петербурге более 8 лет.

Олимпиада направлена выявление и развитие у обучающихся творческих способностей и интереса к научной (научно-исследовательской) деятельности, а также на повышение интереса обучающихся начальных классов к занятиям математикой

В Олимпиаде на добровольной основе принимают индивидуальное участие обучающиеся с 1-го по 4-й класс общеобразовательных организаций, а также лица, осваивающие образовательные программы в форме самообразования или семейного образования.

Олимпиада проводится в два этапа: отборочный; основной (заключительный).

Даты проведения отборочного и основного туров устанавливаются ежегодно, информация размещается на официальном сайте Олимпиады.

Статистические результаты олимпиады

Цели олимпиады

Мы хотим, чтобы как можно больше детей открыли для себя замечательный мир математики; узнали, что такое радость открытий и вкус победы, когда решена cложная задачка!
Мы приглашаем всех детей заниматься в математических олимпиадных кружках. Победители Олимпиады приглашаются в самые сильные группы, чтобы усиленно развивать свои математические способности.

Дата и место проведения

Дата проведения:

19 февраля 2023 года

Время проведения

Указано в личном кабинете в регистрационном номере.

Место проведения:

Политехнический университет ( ул. Политехническая 29) главный корпус.

Организаторы

ГБОУ «Санкт-Петербургский губернаторский физико-математический лицей № 30

Юношеская Математическая Школа при СПбГУ (ЮМШ)

Центр олимпиадной математики, физики и программирования «РАЗ-ДВА-ТРИ!»

Система кружков «ФРАКТАЛ»

Президентский физико-математический лицей № 239

Социально-педагогическая программа «ФОРМУЛА ЕДИНСТВА»

Спонсоры

---

---

Теплый пол Greenwich-150-12,0 — Нагревательный мат 12,0 м2 на клеевой сетке

1. Главная
2. Нагревательные маты
3. Нагревательный мат Greenwich-150-12,0 (12,0 м2; 1800 Вт)

Сетка на клеевой основе

• Описание
• Характеристики
• Отзывов (0)

Нагревательный мат Greenwich-150-12,0 поможет обеспечить Вам оптимальный нагрев пола. Данный нагревательный мат рассчитан на площадь в 12,0 м2, и прекрасно подойдет для установки в гостинную, кухню, спальню и детскую. Двухжильная структура кабеля и алюмолавсановый экран, делают мат абсолютно безопасным в эксплуатации. Наличие заземления позволяет использовать электрический теплый пол Greenwich, в помещениях с повышенной влажностью: банях, саунах, душевых. Гарантия на изделие составляет 25 лет.

Монтаж

Двухжильный нагревательный мат Greenwich, предназначен для комфортного и основного обогрева пола в помещениях любого типа. Толщина мата 3,7 мм. Идеально подходит для установки непосредственно в слой плиточного клея, под кафель, либо керамогранит. Самоклеющаяся стеклосетка существенно облегчает монтаж и установку.   

Применение

 Нагревательные маты Greenwich применяются в помещениях любого назначения и под любое покрытие:

— Под кафель/керамогранит, кварцвиниловую плитку на клеевой основе (ванная комната,кухня, коридор и т. д.). Монтаж осуществляется как правило в плиточный клей толщиной 7-10 мм.

— Под ламинат,плитку ПВХ, линолеум, ковролин. Монтаж осуществляется в слой ровнителя или стяжки от 2 до 5 см.

Преимущества

— Двухжильный.

— Резистивный.

— Тефлоновая изоляция. Данный вид изоляции позволяет выдерживать перегревы до 185 °С, в то время как у большинства производителей, в качестве изолятора используется PVC-изоляция. Температура разрушения данного изолятора начинается от 80 °С, а полное разрушение наступает при 105 °С.

— Удобство монтажа. Нагревательные маты Greenwich имеют стекловолоконную фиксирующую сетку на клеевой основе, что существенно упрощает монтаж. Монтируются нагревательные маты Greenwich, как правило, непосредственно под покрытие.

— Малая толщина. Нагревательный мат Greenwich имеет общую толщину всего 3,7 мм, что позволяет существенно снизить расход плиточного клея, или ровнителя, а так же никак не влияет на визуальное изменение высоты помещения.

— Произведено в Ю. Корее

Комплектация

— Инструкция по монтажу (паспорт изделия)

— Нагревательный мат Greenwich

— Гофрированная трубка, для размещения датчика температуры от терморегулятора.

Механический терморегулятор для теплого пола RTC 70.26 (Бежевый)

890 ₽ 1120 ₽

Программируемый терморегулятор E-91, сенсорный (с датчиком пола и воздуха)

2890 ₽ 3890 ₽

Выносной датчик температуры NTC-03 (10 кОм)

390 ₽

Wi-Fi Терморегулятор TERNEO SX [Белый; 3 кВт; С датчиком пола и воздуха]

6160 ₽ 6980 ₽

Wi-Fi Терморегулятор X22.

10 [ Чёрный; 3,2 кВт; С датчиком пола и воздуха]

5680 ₽ 6580 ₽

Personal Mat — Etsy.de

Etsy больше не поддерживает старые версии вашего веб-браузера, чтобы обеспечить безопасность пользовательских данных. Пожалуйста, обновите до последней версии.

Воспользуйтесь всеми преимуществами нашего сайта, включив JavaScript.

Найдите что-нибудь памятное, присоединяйтесь к сообществу, делающему добро.

( 1000+ релевантных результатов, с рекламой Продавцы, желающие расширить свой бизнес и привлечь больше заинтересованных покупателей, могут использовать рекламную платформу Etsy для продвижения своих товаров. Вы увидите результаты объявлений, основанные на таких факторах, как релевантность и сумма, которую продавцы платят за клик. Узнать больше. )

Интернет и мобильные услуги | M&T Bank

Перейти к основному содержанию

• Личный
  • Персональная домашняя страница
  • Проверка учетных записей
  • Дебетовые карты
  • Варианты сберегательного счета и компакт-диска
  • Ипотека и кредиты
  • Кредитные карты
  • Страхование
  • Инвестиции и выход на пенсию
  • Мультикультурный банкинг
  • Центр финансового образования
  • Премиум услуги
• Бизнес
  • Домашняя страница бизнеса
  • Банк
  • Управление денежным потоком
  • Интернет и мобильные сервисы
  • Финансы
  • Ресурсы и идеи
  • Информационная безопасность
  • Центр бизнес-образования
  • Добро пожаловать в бизнес-банкинг
• Коммерческий
  • Коммерческая домашняя страница
  • Финансы
  • Отраслевые решения
  • Инвестируйте и развивайтесь
  • Ресурсы и идеи
  • Информационная безопасность
  • Финансовые услуги М&Т
  • M&T Capital and Leasing Corporation
  • Финансовая корпорация M&T Equipment
• испанский
  • испанский
  • Представители Bancarios Minoristas
  • Gerentes de Relaciones Bancarias Comerciales
• Народный союз
  • Персональное приветствие
  • Персональные часто задаваемые вопросы
  • Добро пожаловать в бизнес
  • Часто задаваемые вопросы о бизнесе

• Поиск

• локации

• Справочный центр

Ваши деньги и ваше время бесценны. Получите доступ к необходимым инструментам через M&T Mobile и Online Banking уже сегодня.

Наши функции предназначены для предоставления вам необходимой информации в любое время и в любом месте.

Исследуйте основные функции

Понимайте и контролируйте свои учетные записи в одном месте, чтобы настроить то, что вы тратите и откладываете.

Доступ к финансовым инструментам

Планируйте, переводите или отправляйте деньги нужному человеку или в нужное место в нужное время.

Просмотр ваших вариантов

Зарегистрироваться легко. Вам понадобится несколько вещей, чтобы начать.

• Менее 5 минут
• Номер вашего счета M&T или дебетовой карты
• Ваш номер социального страхования

Системные требования >

Мобильный банкинг M&T

Депозитные чеки на ходу

Доступно на iOS и Android

Следите за своими расходами

Как зарегистрироваться

Часто задаваемые вопросы об онлайн- и мобильном банкинге

Узнайте больше об удобных функциях цифрового банкинга.

Простая регистрация для доступа к вашей учетной записи с вашего смарт-устройства.

Если не указано иное, все рекламируемые предложения и условия учетных записей и услуг могут быть изменены в любое время без предварительного уведомления. После открытия учетной записи или начала обслуживания на нее распространяются ее функции, условия и условия, которые могут быть изменены в любое время в соответствии с применимыми законами и соглашениями. Пожалуйста, свяжитесь с представителем M&T для получения подробной информации.

iPhone® является зарегистрированным товарным знаком Apple, Inc., зарегистрированным в США и других странах. Android™ является товарным знаком Google LLC. Использование этих товарных знаков возможно с разрешения соответствующего владельца.

M&T Bank не поддерживается, не спонсируется, не связан или иным образом не уполномочен Apple Inc.