Решить линейное уравнение методом гаусса онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Как решить линейное уравнение: пошаговая инструкция

  1. Что такое линейное уравнение?
  2. Как решать линейные уравнения?
  3. Какие операции можно выполнять с линейными уравнениями?
  4. Решение системы линейных уравнение методом Крамера
  5. Решение систем уравнений методом Гаусса

Линейные уравнения школьники решают, начиная с седьмого класса. С каждым годом примеры усложняются и для их успешного решения необходимо хорошо знать материал предыдущих годов. 

 

Старшеклассники и студенты технических специальностей оперируют целыми системами линейных уравнений и решают их разными методами. С понятием линейных уравнений и несколькими способами решения систем уравнений вы познакомитесь в этой статье.

Что такое линейное уравнение?

Уравнение вида а*х=b, где а и b – это какие-то числа, называется линейным. Если ученика 7 класса попросят решить уравнение Х*2=6, он сразу же ответит, что Х=3. Это и есть линейное уравнение. Записывается в рабочей тетради оно следующим образом.

 

Х*2=6
Х=3

 

Число, при котором уравнение превращается в верное равенство, называется корнем уравнения.

 

3х=7 – это линейное уравнение, потому что в нем на месте а и b стоят определенные числа и присутствует переменная х. А уравнение х2+х=9 нельзя назвать линейным, потому что в общем виде линейного уравнения переменная находится в первой степени, а в данном примере х во второй степени.

 

Рассмотрим еще одно уравнение.

В нем присутствует деление на переменную, которое отсутствует в общем виде линейного уравнение, поэтому данное уравнение не является линейным. 

 

Подытожим: в линейном уравнении переменная должна быть в первой степени и на нее нельзя делить.

Как решать линейные уравнения?

Рассмотрим решение на примере следующего линейного уравнения.

11 * х = -132

Все линейные уравнения такого вида решаются по аналогии с примерами 5 и 6 класса, в которых присутствовали два множителя и произведение. Чтобы найти второй множитель, нужно произведение разделить на первый множитель.

х = -132 / 11

х = -12

Такое уравнение имеет один корень. Но бывают и другие ситуации. Например, у уравнения 0*Х=13 нет корней, потому что на ноль делить нельзя. А в уравнении 0*Х=0 бесконечно много корней, потому что любое число при умножении на ноль будет равно нулю. Поэтому линейное уравнение может иметь:

  • Один корень;
  • Ни одного корня;
  • Бесконечно много корней (только в варианте 0*Х=0).

 

Читайте также: Логарифмы: свойства и формулы

Какие операции можно выполнять с линейными уравнениями?

Для успешного решения линейных уравнений, необходимо уметь выполнять с ними базовые действия.

Перенос слагаемых между частями

Для решения некоторых линейных уравнений необходимо перенести слагаемые из одной части в другую и при этом сменить знак на противоположный. Рассмотрим на примере:

2х + 7 = -3х + 7

Все, что содержит переменную х, переносится влево, остальные числа – вправо. –3х перемещается в левую часть вместе со знаком, минус превращается в плюс.

2х + Зх

Число 7 из левой части переносится в правую, но уже со знаком минус.

2х + Зх = 7 — 7

Далее необходимо к 2х добавить 3х, а от 7 отнять 7.

5х = 0

Для нахождения второго множителя, необходимо произведение поделить на первый множитель.

х = 0

Умножение/деление частей уравнения на определенное число

В следующем линейном уравнении присутствуют дроби. 

Но не пугайтесь, от них можно легко избавиться. Для этого нужно воспользоваться одной доступной опцией: обе части линейного уравнения можно умножать или делить на одно и то же число.

 

Чтобы избавиться от дробей в линейном уравнении, нужно две части умножить на знаменатель, в данном случае – на 5.


х — 4 = 5

х = 5 + 4

х = 9

Читайте также: Как научиться собирать кубик Рубика

Решение системы линейных уравнение методом Крамера

Ученики 9 класса знакомятся с более сложными примерами и решают системы уравнений. Часто для этого используют формулу Крамера. 

 

Чтобы воспользоваться методом Крамера для решения системы уравнений, понадобится:

  • Условие задачи;
  • Четыре матрицы.

 

В верхнем ряду, возле условия, расположена основная матрица решения с условным обозначением . Она получена из коэффициентов при х, у, z. Коэффициент при х в первом уравнении 1, во втором 3, в третьем -2. Эти числа расположены в первом столбце матрицы. 2, -1 и 2 являются коэффициентами у и образуют второй столбец основной матрицы. Коэффициенты z 1, -1 и 3 расположены в третьем столбце.

 

Вторая матрица с условным обозначением х, которая расположена на изображении ниже условия, образована из основной матрицы, с заменой первого столбца на числа из условия, которые стоит после знака равенства. То есть коэффициент х в первом уравнении 1 нужно заменить на -1, в двух остальных уравнениях происходит аналогичная замена.

 

Третья матрица с условным обозначением у, которая расположена справа от второй, образована из основной матрицы с заменой второго столбца на числа из условия, которые стоит после знака равенства. Если во второй матрице мы первый столбец 1, 3, -2 меняли на -1,-1 и 5, то во теперь первый столбец остается без изменений, а числа -1,-1 и 5 заменяют 2, -1 и 2.

 

В третьей матрице необходимо заменить третий столбец числами из условия, которые стоят после знака равенства. 

 

Четвертая матрица с условным обозначением z расположена справа от третьей матрицы. Она образована из основной матрицы с заменой третьего столбца на числа из условия, которые стоит после знака равенства.

 

Принцип образования матриц отобразить графически.

 

Теперь нужно выполнить самую сложную часть решения и найти детерминанты этих матриц. Для матрицы 3х3 детерминант можно найти двумя способами. В данной статье подробнее разберем правило треугольника. 

 

Необходимо перемножить элементы матрицы, соединенные красной линией, а затем сложить их, после этого перемножить элементы, соединенные синей линией и вычесть их из сумы красных.

 

Разберем на примере основной матрицы.

Det = 1 * (-1) * 3 + 3 * 2 * 1 + 2 * (-1) * (-2) — (-2) * (-1) * 1 — 2 * 3 * 3 — 1 * 2 * (-1) =
= -3 + 6 + 4 — 2 -18 + 2 = -11

 

Детерминант основной матрицы = -11, второй = 0, третьей = 22, четвертой =-33.

 

Третья вещь, которая нужна для решения системы уравнений методом Крамера – это простые формулы, которые называются формулы Крамера.

Далее подставляем значения и находим ответ.

х = 0

у = -2

z = 3

 

Важно научиться решать системы линейных уравнений самостоятельно, потому что подобные задания часто включают в экзамен по математике. Если ученик воспользуется одним из общедоступных сайтов и решит систему уравнений онлайн, он получит верный ответ, но не получит знаний, необходимых для успешного написания контрольной, выпускного или вступительного экзамена. Если у вас возникают проблемы с решением систем уравнений, нужно обратиться за помощью к репетитору по математике.

 

Педагог поможет разобраться с линейными уравнениями и подтянуть другие темы по математике. Учитель проведет комплексную оценку знаний и исходя из результатов, составит план работы. Репетитор во время уроков ориентируется только на одного ученика, объясняет материал в комфортном для него темпе, при необходимости останавливается на сложных или важных для подопечного темах. Индивидуальные занятия с педагогом помогут подготовиться к следующему уроку, выпускному экзамену и поступлению в вуз.

 

Найти репетитора по математике или другому предмету вы можете на сайте BUKI.

Решение систем уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса – один из универсальных методов решения линейных систем уравнений. Состоит он из двух этапов:

  1. Прямой ход – исключение переменной из уравнения так, чтобы в уравнении осталась всего одна переменная.
  2. Подставление найденных переменных для нахождения оставшихся неизвестных.

 

Для наглядности разберем ту же систему уравнений, что и в методе Крамера.

Для решения этого примера достаточно знаний девятого класса: нужно уметь умножать уравнение на число и складывать два уравнения вместе.  

 

В начале нужно к первому уравнению прибавить второе. Второе и третье уравнение пока остаются без изменений.

 

Далее необходимо прибавить к третьему уравнению первое уравнение и утроенное второе уравнение, то есть нужно все второе уравнение умножить на три и результат прибавить к первому и третьему.

 

Первое и второе уравнения переписывается без изменений, а в третьем нужно проделать вышеизложенные действия и сократить переменные.


Далее для удобства и наглядности второе уравнение выносится на первое место, первое смещается на место второго, третье остается без изменений.

Теперь снизу вверх находим переменные из уравнений.


Метод Гаусса универсален, потому что он позволяет найти решение системы уравнений, когда она имеет множество решений и когда не имеет решений вовсе.

 

Существует немало онлайн-калькуляторов, которые позволяют решать уравнения методом Гаусса онлайн. Их удобно использовать для контроля своей работы после самостоятельного решения системы уравнений. Но не стоит пользоваться ими как основным способом, иначе есть риск плохо усвоить тему и получить неудовлетворительную оценку на контрольной или экзамене.

 

Читайте также: Развиваем логическое мышление у ребенка: список лучших игр, задач и мультфильмов

3.2 Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений (метод последовательного исключения)

Метод Гаусса заключается в следующем. Допустим, что в системе (5) коэффициент при первом неизвестном a11 0.

Исключим сначала неизвестное х1 из всех уравнений системы (5), кроме первого. Для этого, прежде всего, разделим обе части первого уравнения на коэффициент a110; тогда получим новую систему, равносильную данной:

(6)

Умножим теперь первое уравнение системы (6) на a21 и вычтем из второго уравнения. Затем умножим первое уравнение на a31 и вычтем из третьего уравнения и т.д. В результате получим новую систему, также равносильную данной:

(7)

Здесь введены обозначения:

(8)

Разделим теперь второе уравнение системы (7) на коэффициент а’22, предполагая, что он отличен от нуля; затем умножим второе уравнение полученной системы последовательно на а’32, …, а’i2…,…, а’m2 и вычтем поочередно из соответствующих уравнений системы, кроме первого и второго.

Если, продолжая этот процесс, мы придем к системе, содержащей уравнение, в котором все коэффициенты левой части равны нулю, а свободный член отличен от нуля, то эта система несовместна. В том случае, когда система совместна, приходим либо к системе

(9)

(причем р < n), либо к системе

(10)

Система вида (9) называется ступенчатой, а система вида (10) — треугольной.

В случае треугольной системы из последнего уравнения находим xпn, затем, подставляя значение xп в предыдущее уравнение, находим xп-т, и т.д.

Таким образом, если данная система уравнений (5) после выполнения ряда элементарных преобразований приводится к треугольной системе (10), то это означает, что система (5) является совместной и определенной.

Если же данная система (5) после элементарных преобразований приводится к ступенчатой системе (9), то система (5) совместна и неопределенна.

Перенося в каждом из уравнений системы (10) члены с неизвестными xp+1,…, xn в правую часть, получим систему вида

(11)

Придавая неизвестным xp+1,. .., xn ,которые называются свободными, произвольные значения , получим треугольную систему, из которой последовательно найдем все остальные неизвестные xp, xp-1,…, x1. Так как числа могут иметь различные значения, то исходная система (3.1) имеет бесчисленное множество решений.

Процесс нахождения коэффициентов треугольной системы (10) называется прямым ходом, а процесс получения ее решения – обратным ходом метода Гаусса.

Пример 3.1. Решить систему уравнений:

Решение.

Разделив все члены первого уравнения на коэффициент а11=2 получаем систему

Сначала умножим все члены первого уравнения полученной системы на 3 и вычтем из второго уравнения; затем из третьего уравнения вычтем первое:

Разделим все члены второго уравнения на а’22=0,5:

Умножим второе уравнение на –1,5 и вычтем из третьего. Тогда получим систему

из которой последовательно находим x1=1; x2=2; x3=3.

Решение треугольной системы, а, следовательно, и равносильной ей первоначальной –– x1=1; x2=2; x3=3. Данная система является совместной и определенной.

Ответ: x1=1; x2=2; x3=3.

При решении примеров методом Гаусса необходимости выписывать системы (3.1), (3.2), (3.3), (3.5) и (3.6) нет. Все преобразования можно проводить над матрицами, составленными из коэффициентов этих систем.

Системе (3.1) соответствуют две матрицы А и В:

(12)

Матрица А называется матрицей системы и состоит из коэффициентов системы, матрица В называется расширенной матрицей и отличается от матрицы системы столбцом, состоящим из свободных членов уравнений системы. При решении системы (5) методом Гаусса элементарные преобразования системы заменяются соответствующими элементарными преобразованиями, выполняемыми над ее расширенной матрицей В.

В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса) элементарными операциями1 над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица:

Последний, (n + 1) столбец этой матрицы содержит решение системы.

Пример 3.2. Решить систему уравнений:

Решение.

Таблица 3.1

Шаг

a(k)i1

a(k)i2

a(k)i3

a(k)i4

a(k)i5

a(k)i6

1

0,17

0,25

0,54

0,3

-1,76

I

0,47

1

0,67

-0,32

0,5

-2,32

-0,11

0,35

1

-0,74

0,7

-1,20

0,55

0,43

0,36

1

0,9

-3,24

1

0,17

0,25

0,54

0,3

-1,76

II

0,9201

0,7875

-0,5738

0,3590

-1,4928

0,3687

0,9725

0,6806

0,7330

-1,3936

0,3365

0,4975

0,7030

0,7350

-2,2720

1

0,8559

-0,6236

0,3902

-1,6224

III

0,6569

-0,4507

0,5891

-0,7954

0,2095

0,9128

0,6037

-1,7261

IV

1

-0,6861

0,8968

-1,2108

1,0565

0,4158

-1,4724

1

0,3936

-1,3937

V

1

1,1668

-2,1670

1

-0,3630

-0,6368

1

0,4409

-1,4409

Порядок заполнения таблицы.

Прямой ход.

1. Записываем коэффицненты данной системы в четырех строках и пяти столбцах шага I.

2. Суммируем все коэффициенты по строке и записываем сумму с обратным знаком в последний столбец, т.е. . Тогда сумма всех элементов каждой из четырех начальных строк будет равна нулю.

3. Выбираем из первого столбца главный элемент и меняем местами строку, содержащую этот элемент, с первой. Пусть главным элементом будет a(0)11. Делим все числа, стоящие в первой строке, на a(0)11 и записываем в первую строку шага II.

4. По формулам

a(k)kj= a(k-1)kj/ a(k-1)kk, a(k)ij= a(k-1)ij — a(k-1)ik a(k)kj (13)

где k+1jn+1, k+1in, k=1. .n (a(0)ij=aij, i,j=1..n+1).

Вычисляем коэффициенты a(1)ij, i=2..4, j=2..6. Результаты записываем в соответствующие строки шага II. С элементами последнего столбца поступаем так же, как с элементами предыдущих столбцов.

5. Для проверки правильности вычислений находим сумму элементов каждой строки. Величина суммы должна отличаться от нуля в пределах ошибок округления. Большое отклоненне от нуля свидетельствует о наличии грубой ошибки в вычислениях.

6. Среди элементов a(1)22, a(1)32, a(1)42 выбираем главный элемент и поступаем, как в п. 3. Пусть a(1)22 главный элемент. Делим на него вторую строку шага II и результаты записываем в первую строку шага III .

7. По формулам (13) вычисляем коэффицциенты a(2)ij, i=3..4, j=3..6. Результаты записываем во вторую и третью строки шага III.

8. Проверяем правильность произведенных вычислений (см. п. 5).

9. Пусть a(2)33 главный элемент. Делим на него вторую строку шага III и результаты записываем в первую строку шага IV.

10. По формулам (3.9) вычисляем a(3)4j, j=4..6. Результаты записываем во вторую строку шага IV.

11. Проверяем правильность вычислений (см. п. 5).

Обратный ход.

1. В шаге V записываем единицы, как указано в табл. 4.

2. Вычисляем x4= a(3)45/a(3)44, = a(3)46/a(3)44.

Решение уравнения с модулем онлайн: Калькулятор онлайн — Решение уравнений и неравенств с модулями

Уравнения с модулем — презентация онлайн

Цель: повторить , обобщить и
систематизировать знания учащихся о
модуле и его свойствах, умения решать
различные уравнения , содержащие
модуль.

2. Определение модуля

а, если а 0,
а
а, если а 0.
ab a b
x
x
, y 0.
y
y
x x
2
2
x2 x
x y x
2
y
log a x 2 2 log a x

3. Геометрический смысл модуля

Геометрически x есть расстояние
от точки х числовой оси до начала
отсчёта – точки О.
x
x
0
x 0
x
x a
есть расстояние между
точками х и а числовой оси.
x
x
0
x a
x
0
a
x
a x 0
1.Простейшее уравнение,
содержащее модуль, где b>0:
f ( x) b,
f ( x) b
f ( x) b.
2.Уравнение более общего вида,
содержащее модуль:
g ( x) 0,
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x),
f ( x) g ( x).

5. Простейшие уравнения вида ,b>0.

Простейшие уравнения вида f ( x) b ,b>0.
1.
По определению модуля
2 x 3 5,
2 x 8,
x 4,
2x 3 5
2 x 3 5 2 x 2 x 1.
Ответ : 1;4

6. Уравнения более общего вида

f ( x) g ( x)
Условие
g ( x) 0
2 x 0,
x 2,
x 2,
x 2,
3. x 4 3(2 x) x 4 3(2 x), x 4 6 3x, 4 x 2, x 0,5, x 0,5.
x 4 3(2 x) x 4 6 3x 2 x 10 x 5
Ответ : 0,5.

7. Уравнения вида

f ( x) g ( x) .
уравнение
f ( x) g ( x) 0, f ( x) g ( x),
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( f ( x) g ( x))( f ( x) g ( x)) 0
f ( x) g ( x) 0. f ( x) g ( x).
2
2
4
x ,
6 x 5 7 3 x ,
9 x 12,
3
12. 6 x 5 7 3 x
6 x 5 (7 3 x) 3 x 2
x 2 .
3
2 1
Ответ : ,1 .
3 3

8. Уравнения, приводимые к уравнениям, содержащим модуль.

Иррациональное уравнение
2 x 5 3x 10,
8. 4 x 20 x 25 3x 10 (2 x 5) 3x 10
3x 10 0
2
2
x 3,
2 x 5 3x 10, 5 x 15,
x 5,
2 x 5 3x 10, x 5,
x 5.
1
3x 10 0
3x 10
x
3
3
Ответ : 5.

9. Уравнения, приводимые к уравнениям, содержащим модуль.

f ( x) b f ( x) b
2
log a f ( x) b 2 log a f ( x) b
2

10. Уравнения, приводимые к уравнениям, содержащим модуль

Логарифмическое уравнение
x 27,
9. log 3 x 6 2 log 3 x 6 log 3 x 3 x 27
x 27.
Ответ : 27;27.
2

11. Иррациональные уравнения, содержащие модуль.

В силу того, что
однозначно
.
x 2,5 модуль x 4
раскрывается
2
2
5
9
x
x
4
4
x
2
0
x
2
5
,
2
5
9
x
x
4
5
2
x
2
5
9
x
x
4
2
x
5
2
x
5
0
;
x
0
,
2
2 2
2
9
x
x
4
4
x
2
0
x
,
9
x
3
6
x
4
x
2
0
x
0
,
5
x
1
6
x
0
,
1
x
0
.
x
3
,
x
2
,
5
;
x
2
,
5
;
5
x
2
,
5
;
x
2
,
5
;

12.

Замена модуля.x 2 1 t,
x2 1 t,
2
( x 2 1) 2 7 x 2 1 18 0 x 2 1 7 x 2 1 18 0 t 0,
t 0,
t 2 7t 18 0 t 9,
t 2
2
2
x 10,
x
1
9
,
x
10,
2
2
x 1 9 2
2
x 10
x 1 9 x 8
x 10.
Îòâåò : 10 ; 10.
Уравнения, содержащие несколько модулей
и те, которые не сводятся к виду │f(x) │= g(x) решаются
с помощью метода интервалов:
1.Найдём значения x, при которых значение выражений,
стоящих под знаком модуля, равны нулю.
2.Найденные значения x разбивают ОДЗ на промежутки.
3.Запишем на каждом из промежутков уравнение без
знаков модуля. Получим совокупность систем.

14. Уравнения, содержащие несколько модулей. ( Решаемые с помощью метода интервалов)

10. x 1 x 2 x 3
1.Найдём значения х, при которых значения
выражений, стоящих под знаком модуля, равны 0:
х -1 = 0 при х = 1.
х – 2=0 при х = 2.
2. Эти значения разбивают ОДЗ на промежутки:
( ;1), 1;2 , (2; ).
3.Запишем на каждом из промежутков данное
уравнение без знаков модуля.
Получим совокупность систем.

15. Уравнение, содержащее несколько модулей.

Метод интервалов
x 1,
x 1,
x 1,
(
x
1
)
(
x
2
)
x
3
,
x
1
x
2
x
3
,
3x 0,
1 x 2,
1 x 2,
1 x 2, x 0,
x 1 x 2 x 3
( x 1) ( x 2) x 3,
x 1 x 2 x 3,
x 2,
x 6.
x
2
,
x
2
,
x 2,
( x 1) ( x 2) x 3
x 1 x 2 x 3
x 6
Îòâåò : 0;6.

16. Домашнее задание: Решите уравнения

1. 2 x 3 5
2. 1
x 3
5
4
3. x 4 3( 2 x )
4. 8 5 x 2
5. 36 5 x x 3 6 x
6.( x 2 1) 7 x 2 1 18 0
7. x 2 x 3 5
8. 4 x 2 20 x 25 3 x 10
9.9 log 3 x 2 6
10. x 1 x 2 x 3
11. log 22 ( x ) 3 log 2 x 2 5 0
12. 6 x 5 7 3 x
13. 8 x 1 4 x `13
14. 25 9 x x 4 5 2 x

Решение уравнений с модулями и параметрами

Цель урока. Решение уравнений с параметрами и модулями, применяя свойства функций в неожиданных ситуациях и освоение геометрических приемов решения задач. Нестандарные уравнения.

Задачи:

  • Образовательные: научить решать некоторые виды  уравнений уравнений модулями и параметрами;
  • Развивающие: развивать культуру мысли, культуру речи и умение работать с тетрадью и доской.
  • Воспитательные: воспитывать самостоятельность и умение преодолевать трудности.

Оборудование: наглядный материал для устного счёта и объяснения новой темы. Интерактивная доска, мультимедийное оборудование урока.

Структура урока:

  1. Повторение изученного материала (устный счёт).
  2. Изучение нового материала.
  3. Закрепление изученного материала.
  4. Итог урока.
  5. Домашнее задание.

ХОД УРОКА

1. Повторение  важнейшего теоретического материала по темам: «Уравнения, содержащие модуль»,  «Решение уравнений с параметрами»

1) «Уравнения, содержащие модуль»

Абсолютной величиной или модулем числа a называется число a, если a > 0, число – a, если a < 0, нуль, если a = 0. Или

| a | ={ a, если a > 0     
0, если a = 0
a, если a < 0

Из определения следует, что | a> 0 и | a | > a для всех a  € R .
Неравенство | x |  < a,  (если a > 0) равносильно двойному неравенству – a < х < a.
Неравенство | x | < a,  (если a < 0) не имеет смысла, так как | х | >0.
Неравенство | x | > a,  (если a > 0) равносильно двум неравенствам
Неравенство | x | > a,  (если a < 0) справедливо для любого х € R.

2) «Решение уравнений с параметрами» 

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и  каковы они.

а) определить  множество допустимых значений неизвестного и параметров;

б) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнения.

2. Устные упражнения

1. Решить уравнение | x – 2 | = 5;  Ответ: 7; – 3

| x – 2 | = – 5; Ответ:  решения нет

| x – 2 | = х + 5; Ответ:  решения нет; 1,5

| x – 2 | = | x + 5 |; Ответ:  решения нет; – 1,5; решения нет; – 1,5;

2. Решить уравнение: | x + 3 | + | y – 2 | = 4;

Расcмотрим четыре случая 

1.

{ x + 3 > 0      { x > – 3
y – 2 > 0 y > 2
x + 3 + y – 2 = 4 y = – x + 3

2.

{ x + 3 > 0       { x > – 3
y – 2 < 0 y < 2
x + 3 – y + 2 = 4 y = x + 1

3.

{ x + 3 < 0      { x < – 3
y + 2 > 0 y > – 2
x – 3 – y – 2 = 4 y = x + 9

4.

{ x + 3 < 0      { x < – 3
y + 2 < 0 y < – 2
x – 3 – y – 2 = 4 y = –  x – 9

В результате мы получаем квадрат,  центр которого (–3; 2), а длина диагонали равна 8, причем диагонали параллельны осям координат.

Из наглядных соображений можно сделать вывод: что уравнение вида | х + a | + | у + b | =  с; задает на плоскости квадрат с центром в точке (– а; – b), диагоналями параллельными осям OX и ОУ, и длина каждой диагонали равна 2с. Ответ:  (– 3; 2).

2. Решить уравнение aх = 1

Ответ: если a = 0, то нет решения; если a = 0, то х = 1/ a

3. Решить уравнение (а2 – 1) х = а + 1.

Решение.

Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достаточно рассмотреть такие случаи:

1) а = 1; тогда уравнение принимает вид ОX = 2 и не имеет решения

2) а = – 1; получаем ОX = О , и очевидно х – любое.

                                       1
3) если а = + 1, то х = –––
                                    а – 1

Ответ:
если а = – 1, то х – любое;
если а = 1, то нет  решения;

                                    1
если а = + 1 , то х = –––
                                 а – 1

3. Решения примеров  (из вариантов С)

1. При каком значении параметра р  уравнение | х2 – 5х + 6 | + | х2 – 5х + 4 | = р имеет четыре корня.

Решение.

Рассмотрим функцию у = | х2 – 5х + 6 | + | х2 – 5х + 4 |

Так как х2 – 5х + 6 = (х – 2)(х – 3) и х2 – 5х + 4 = (х – 1)(х – 4), то y = | (х – 2)(х – 3) | + | (х – 1)(х – 4) |, корни квадратных трехчленов отметим  на числовой прямой


        1        2       3       4                           х

Числовая прямая при этом разбивает на 5 промежутков

1. 

{ x < 1      { x < 1
y = x2 – 5x + 6 + x2 – 5x + 4 y = 2x2 – 10x + 10

2.

{ 1 < x < 2      { 1 < x < 2
y  = x2 – 5x + 6 –  x2 + 5x – 4 y = 2

3.

 { 2 < x < 3      { 2 < x <3
y = – 2x2 + 10x – 10 y = – x2 + 5x – 6 –  x2 + 5x – 4

4.

{ 3 < x < 4      { 3 < x < 4
y = 2 y = x2 – 5x + 6 – x2 + 5x – 4

5.

{  x > 4      { x > 4
y = 2x2 – 10x + 10 y= x2 – 5x + 6 + x2 –5x + 4

Для случая 3) х0 = – b | 2a = 2, y0 = 25 : 2 + 25 – 10 = 2,5

Итак, (2,5; 2,5) – координаты вершины параболы y = – 2x2 + 10x – 10.

Построим график функции, заданной равенством

Как видно из рисунка, исходное уравнение имеет четыре корня, если 2 < а < 2,5

Ответ: при  2 < а < 2,5

4. Самостоятельная работа по уровням

1 уровень

1.  Решить уравнение х2 – | x | = 6
2. При каких целых значениях а имеет единственное решение уравнение ах2 – (а + 1) + а2 + а = 0?

2 уровень

1. Решить уравнение: | x – 5 | – | 2x + 3 | = 10
2. Найти все  значениях параметра а, при  которых  уравнение (а –12) х2 + 2 = 2(12 – а) имеет два различных корня?

3 уровень

1. Решить уравнение | x – 5 | – | 2x + 3| = 10
2. Найти все  значениях параметра а, при  которых уравнение (а – 12) х2 + 2 = 2(12 – а) имеет два различных корня?

5. Итог урока

1. Определение модуля.
2. Что значит решить уравнение с параметром?

6. Задание на дом. C5 варианта №11 Ф.Ф. Лысенко. Математика, 2012

Дифференциальные уравнения — Понижение порядка

Понижение порядка требует, чтобы решение уже было известно. Без этого известного решения мы не сможем сделать понижение порядка.

Как только мы получим это первое решение, мы предположим, что второе решение будет иметь форму

\[\begin{equation}{y_2}\left( t \right) = v\left( t \right){y_1}\left( t \right)\label{eq:eq1}\end{equation}\]

для правильного выбора \(v(t)\). Чтобы определить правильный выбор, мы подставляем предположение в дифференциальное уравнение и получаем новое дифференциальное уравнение, которое можно решить относительно \(v(t)\). 9{ — 1}}} \right)v & = 0\\ 2tv» — 3v’ & = 0\end{align*}\]

Обратите внимание, что при упрощении остаются только члены, включающие производные от \(v\). Член, включающий \(v\), выпадает. Если вы сделали всю свою работу правильно, это всегда должно происходить. Иногда, как в случае повторяющихся корней, выпадает и первый член производной.

Таким образом, чтобы \(\eqref{eq:eq1}\) было решением, \(v\) должно удовлетворять

\[\begin{уравнение}2tv» — 3v’ = 0\label{eq:eq2}\end{уравнение}\]

Похоже, это проблема. Чтобы найти решение дифференциального уравнения второго порядка с непостоянными коэффициентами, нам нужно решить другое дифференциальное уравнение второго порядка с непостоянными коэффициентами.

Однако проблема не в этом, как кажется. Поскольку член, включающий \(v\), выпадает, мы действительно можем решить \(\eqref{eq:eq2}\), и мы можем сделать это со знаниями, которые у нас уже есть на данный момент. Мы решим это, сделав следующие изменение переменной .

\[w = v’\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25in}w’ = v»\]

С этим изменением переменной \(\eqref{eq:eq2}\) становится

\[2tw’ — 3w = 0\]

и это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, которое мы можем решить. Это также объясняет название этого метода. Нам удалось свести дифференциальное уравнение второго порядка к дифференциальному уравнению первого порядка. 9{\ гидроразрыва {5} {2}}} + к \]

Это наиболее общее возможное \(v(t)\), которое мы можем использовать для получения второго решения. Итак, как и в разделе с повторяющимися корнями, мы можем выбрать константы, которые захотим, поэтому выберите их, чтобы очистить все посторонние константы. В этом случае мы можем использовать

\[c = \frac{5}{2}\hspace{0,25 дюйма}k = 0\]

Их использование дает следующее для \(v(t)\) и для второго решения. 9{\ гидроразрыва {3} {2}}} \]

Если бы нам были заданы начальные условия, мы могли бы дифференцировать, применить начальные условия и найти константы.

Обзор системных решений | Колледж Алгебра

Результаты обучения

  • Определите три типа возможных решений системы двух линейных уравнений.
  • Используйте график, чтобы найти решение(я) системы двух линейных уравнений.

Чтобы исследовать такие ситуации, как ситуация с производителем скейтбордов, мы должны понимать, что имеем дело с более чем одной переменной и, вероятно, с более чем одним уравнением. А система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, составленных из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно. Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно. Некоторые линейные системы могут не иметь решения, а другие могут иметь бесконечное число решений. Чтобы линейная система имела единственное решение, в ней должно быть не меньше уравнений, чем переменных. Тем не менее, это не гарантирует уникальности решения.

В этом разделе мы рассмотрим системы линейных уравнений с двумя переменными, которые состоят из двух уравнений, содержащих две разные переменные. Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными.

[латекс]\begin{align}2x+y&=15\\[1mm] 3x-y&=5\end{align}[/latex]

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными: любая упорядоченная пара, удовлетворяющая каждому уравнению независимо. В этом примере упорядоченная пара [латекс](4,7)[/латекс] является решением системы линейных уравнений. Мы можем проверить решение, подставив значения в каждое уравнение, чтобы увидеть, удовлетворяет ли упорядоченная пара обоим уравнениям. Вскоре мы исследуем методы нахождения такого решения, если оно существует.

[латекс]\begin{align}2\left(4\right)+\left(7\right)&=15 &&\text{True} \\[1mm] 3\left(4\right)-\ left(7\right)&=5 &&\text{True} \end{align}[/latex]

Помимо учета количества уравнений и переменных, мы можем классифицировать системы линейных уравнений по количеству решений. непротиворечивая система уравнений имеет хотя бы одно решение. Непротиворечивая система считается независимой системой , если она имеет единственное решение, как в примере, который мы только что рассмотрели. Две линии имеют разные наклоны и пересекаются в одной точке плоскости. Непротиворечивая система считается зависимая система , если уравнения имеют одинаковый наклон и одинаковые и -перехваты. Другими словами, прямые совпадают, поэтому уравнения представляют одну и ту же прямую. Каждая точка на прямой представляет собой пару координат, удовлетворяющую системе. Таким образом, существует бесконечное множество решений.

Другим типом системы линейных уравнений является противоречивая система , в которой уравнения представляют две параллельные линии. Линии имеют одинаковый наклон и разные г- перехватов. Нет общих точек для обеих прямых; следовательно, система не имеет решений.

A Общее примечание: Типы линейных систем

Существует три типа систем линейных уравнений с двумя переменными и три типа решений.

  • Независимая система имеет ровно одну пару решений [латекс]\влево(х,у\вправо)[/латекс]. Точка пересечения двух прямых является единственным решением.
  • несогласованная система не имеет решения. Обратите внимание, что две линии параллельны и никогда не пересекаются.
  • зависимая система имеет бесконечно много решений. Линии совпадают. Это одна и та же линия, поэтому каждая пара координат на линии является решением обоих уравнений.

Ниже приведено сравнение графических представлений каждого типа системы.

Как: Имея систему линейных уравнений и упорядоченную пару, определить, является ли упорядоченная пара решением.

  1. Подставьте упорядоченную пару в каждое уравнение в системе.
  2. Определить, верны ли утверждения в результате замены в обоих уравнениях; если да, то упорядоченная пара является решением.

Пример. Определение того, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений

Определить, является ли упорядоченная пара [латекс]\влево(5,1\вправо)[/латекс] решением данной системы уравнений.

[латекс]\begin{align}x+3y&=8\\ 2x-9&=y \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Определите, является ли упорядоченная пара [латекс]\левый(8,5\правый)[/латекс] решением следующей системы.

[латекс]\начало{собрано}5x — 4y=20\\ 2x+1=3y\конец{собрано}[/латекс]

Показать решение

Решение систем уравнений с помощью графика

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений. Для системы линейных уравнений с двумя переменными мы можем определить как тип системы, так и решение, построив график системы уравнений на одном и том же наборе осей.

Пример. Решение системы уравнений с двумя переменными с помощью графика

Решите следующую систему уравнений с помощью графика. Определите тип системы.

[латекс]\begin{align}2x+y&=-8\\ x-y&=-1\end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений с помощью графика.

13 разделить на 65: Перевести 13/65 в десятичную дробь

На что можно разделить 65? – Обзоры Вики

Решение: Делители 65 — это числа, которые делят 65 ровно без остатка. Следовательно, множители 65 равны 1, 5, 13 и 65.

Итак, почему 65 не является простым числом? Нет, 65 не простое число. Число 65 делится на 1, 5, 13, 65.… Поскольку 65 имеет более двух делителей, то есть 1, 5, 13, 65, это не простое число.

Каковы множители числа 65? Решение: множители числа 65 равны 1, 5, 13 и 65.

Каковы значения, кратные 65? Кратное 65: 65, 130, 195, 260, 325, 390, 455, 520, 585, 650 и так далее.

Как разделить 65 на 5?

Поместите эту цифру в частное над знаком деления. Умножьте самую новую цифру частного (3) на делитель 5 . Вычтите 15 из 15 . Результат деления 65÷5 65÷5 равен 13 .

Каков наименьший коэффициент 65? 13 является наименьшим множителем 65, отличным от 1.

65 кратно 5 да или нет? Например, 10, 20, 25 и 55 кратны 5 по следующим причинам.

Таблица кратных от 5 до 20 раз.

Умножение 5 на числа Кратное 5
5 × 12 60
5 × 13 65
5 × 14 70
5 × 15 75

Что такое квадрат 65?

Чему равен квадрат 65? Квадрат 65 это 4225.

Также Каков остаток от 3, разделенного на 65? 65 разделить на 3 равно 21 с остатком 2.

Как решить 65 разделить на 8?

Используя калькулятор, если вы введете 65, разделенные на 8, вы получите 8.125. Вы также можете выразить 65/8 в виде смешанной дроби: 8 1/8.

Какой остаток от деления 65 на 6? Используя калькулятор, если вы наберете 65, разделенное на 6, вы получите 10.8333. Вы также можете выразить 65/6 в виде смешанной дроби: 10 5/6.

Какой наибольший коэффициент из 65?

наибольший множитель 65 равен 13.

61 — простое число?

61 это: 18-е простое число. двойное простое число с 59.

67 простое или составное? Да, 67 — простое число. Число 67 делится только на 1 и само число. Чтобы число было классифицировано как простое, оно должно иметь ровно два множителя. Поскольку 67 имеет ровно два делителя, то есть 1 и 67, это простое число.

Что не является простым числом? Определение: Простое число — это целое число, имеющее ровно два целых делителя: 1 и само себя. Число 1 не является простым, так как имеет только один делитель. Номер 4 не является простым, поскольку имеет три делителя (1, 2 и 4), а 6 не является простым делителем, поскольку имеет четыре делителя (1, 2, 3 и 6).

Какие числа кратны от 7 до 100?

Число, кратное 7 от 1 до 100, равно 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98.

Какое наименьшее простое число? 2 это наименьшее простое число. Это также единственное четное простое число — все остальные четные числа могут делиться сами на себя, по крайней мере, на 1 и 2, то есть они будут иметь как минимум 3 делителя.

65 — идеальный куб?

65 — идеальный куб? Число 65 при разложении на простые множители дает 5 × 13. Здесь простой множитель 5 не в степени 3. Следовательно, кубический корень из 65 иррационален, поэтому 65 — не идеальный куб.

В какой таблице находится 65? Ответ: 78 входит в таблицу 2, а 65 входит в таблицу. 5 стол. Надеюсь, этот ответ поможет вам.

Как получить 65 корней?

Какой остаток от деления 65 на 4? Вы также можете представить 65/4 в виде смешанной дроби: 16 1/4. Если вы посмотрите на смешанную дробь 16 1/4, вы увидите, что числитель такой же, как остаток (1), знаменатель — это наш исходный делитель (4), а целое число — наш окончательный ответ (16) .

Как вы рассчитываете, что 60 разделить на 4?

Используя калькулятор, если вы введете 60, разделенные на 4, вы получите 15.

Какой остаток от деления 65 на 7? Используя калькулятор, если вы наберете 65, разделенное на 7, вы получите 9.2857. Вы также можете выразить 65/7 в виде смешанной дроби: 9 2/7.

Как выглядит разделить на?

Знак деления напоминает тире или двойное тире с точкой вверху и точкой внизу (÷). Это эквивалентно словам «разделить на». Этот символ встречается в основном в арифметических текстах на уровне начальной школы.

Каким будет остаток от 65, разделенный на 9?

Используя калькулятор, если вы введете 65, разделенные на 9, вы получите 7.2222. Вы также можете выразить 65/9 в виде смешанной дроби: 7 2/9.

Как получить 64 разделить на 8? Используя калькулятор, если вы наберете 64, разделенное на 8, вы получите 8. Вы также можете представить 64/8 в виде смешанной дроби: 8 0/8.

Урок 6. Умножение в уме любых чисел до 100

Чтобы умножать любые числа до 100 в уме важно быстро подобрать нужный алгоритм. Для удобства этого подбора в данном уроке выделены наиболее удобные случаи для каждой методики умножения.

Описанные выше методики можно разделить на универсальные (подходящие для любых чисел) и частные (удобные для конкретных случаев).

Универсальные методики

Применимость универсальных методик умножения чисел до 100 такова:

Использование одного опорного числа (Урок 5):

  • все числа в диапазонах до 30, 40-60, 85-100 – если оба множителя рядом с опорным числом.
    Например: 13*17, 18*23, 29*22, 53*61, 88*97 и т.д.
     
  • если одно число очень близко к удобному опорному (+/- 3 от 10, 20, 50, 100), второе может быть любым.
    Например: 21*67 (21 близко к 20), 48*33 (48 близко к 50), 98*32 (98 близко к 100)

Использование двух опорных чисел (Урок 5):

  • Если одно опорное число является кратным другому и если одно из опорных чисел является удобным (10, 20, 50, 100)
    Например: 98*24, 12*44, 43*103, 23*62

Иные числа удобно умножать традиционными методами из третьего урока, когда разряды десятков и единиц не очень большие (Урок 3). Кроме того, традиционный метод удобен, когда вы не знаете, какой другой метод вам применить.

  • Например: 42*32 = 12 (2*4+3*2) 4 = 1344

Частные методики

Также полезно помнить о частных методиках, существенно упрощающих решение некоторых примеров:

Умножение на 10, 20, 25, 50 – должно осуществляться практически на автомате (Урок 2):

  • Например: 88*25 = 2200 (деление на 4)

Умножение на 11 всегда по методике из урока 4

  • Например: 57*11= 5 (5+7) 7 = 627

Числа, заканчивающиеся на 5 удобно возводить в квадрат по методу из четвёртого урока

  • Например: 65*65 = (6*7)25 = 4 225

Любые числа удобно возводить в квадрат используя формулы сокращенного умножения четверного урока

  • Например: 69*69 = (70-1)2 = 702 – 70*2*1 + 12 = 4 900-140+1 = 4 761

Теперь, вы имеете серьезный алгоритмический аппарат для решения примеров на умножение чисел до 100. Кроме того, вы уже можете умножать и некоторые примеры с множителями больше 100. Главным фактором, влияющим на вашу способность умножать в уме, в дальнейшем должен стать опыт и тренировка. Пройти тренировку можно ниже.

Тренировка

Если вы хотите прокачать свои умения по теме данного урока, можете использовать следующую игру. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что числа каждый раз разные.

Перед тем как начать игру, рекомендуем зарегистрироваться, чтобы результат был сохранен в вашей истории, и вы смогли бы видеть собственный прогресс.

✖Количество элементов в наборе A — это общее количество элементов, присутствующих в данном наборе A.ⓘ Количество элементов в наборе A [NA]

+10%

-10%

✖Количество непустых подмножеств — это общее количество подмножеств, возможных для данного множества, каждое из которых содержит хотя бы один элемент.ⓘ Количество непустых подмножеств набора A [NNon Empty]

⎘ копия

Абакан + 4
Алушта 0
Архангельск 0
Анадырь + 9
Астрахань + 1
Барнаул + 4
Благовещенск + 6
Белгород 0
Брянск 0
Биробиджан + 7
Великий Новгород 0
Владивосток + 7
Владикавказ 0
Владимир 0
Вологда 0
Волгоград 0
Воронеж 0
Горно-Алтайск + 4
Грозный 0
 

Дудинка + 4
Евпатория 0
Екатеринбург + 2
Иваново 0
Иркутск + 5
Ижевск + 1
Йошкар-Ола 0
Калининград — 1
Калуга 0
Киров 0
Кемерово + 4
Керчь 0
Кострома 0
Краснодар 0
Красноярск + 4
Курск 0
Курган + 2

Казань 0
Кызыл + 4
Липецк 0
Майкоп 0
Махачкала 0
Магадан + 8
Магас 0
Москва 0
Мурманск 0
Нальчик 0
Нарьян-Мар 0
Новгород 0
Нижний Новгород 0
Новосибирск + 4
Омск + 3
Оренбург + 2
Орел 0
Петропавловск-
Камчатский + 9 

Петрозаводск 0
Пенза 0
Пермь + 2
Псков 0
Ростов-на-Дону 0
Рязань 0
Санкт-Петербург 0
Саранск 0
Саратов + 1
Самара + 1
Салехард + 2
Саранск 0
Севастополь 0
Симферополь 0
Смоленск 0
Ставрополь 0
Сургут + 2
Сыктывкар 0
Сочи 0
Тамбов 0

Тверь 0
Томск + 4
Тула 0
Тюмень + 2
Уфа + 2
Улан-Уде + 5
Ульяновск + 1
Хабаровск + 7
Ханты-Мансийск + 2
Челябинск + 2
Чита + 6
Черкесск 0
Чебоксары 0
Элиста 0
Южно-Сахалинск + 8
Якутск + 6
Ялта 0
Ярославль 0

А
Абхазия + 1
Австралия +7 
Австрия — 1 
Азербайджан +1 
Азорские о-ва (Португалия) — 3
Албания — 2 
Алжир — 2 
Аляска (США) — 11 
Ангилья (Великобритания) — 7 
Ангола -2 
Андорра -2 
Антигуа и Барбуда (Великобритания) — 7
Антильские о-ва — 7 
Аомынь (Макао) + 5 
Аргентина — 6 
Армения +1 
Аруба (Нидерланды) -7 
Афганистан +1,5 

Б
Багамские о-ва (Великобритания) -7 
Бангладеш +3 
Барбадос (Великобритания) -7 
Бахрейн 0 
Беларусь 0 
Белиз (Великобритания) -9 
Бельгия -1 
Бенин -2 
Бермудские о-ва (Великобритания) -7 
Болгария 0
Боливия -7 
Босния и Герцеговина -1 
Ботсвана -1 
Бразилия -6 
Бруней +5 
Буркина-Фасо -3 
Бурунди -1 
Бутан +3 

В
Вануату +8 
Великобритания -2 
Венгрия -1 
Венесуэла -7 
Виргинские о-ва (США и Великобритания) -7
Вьетнам +4 

Г
Габон -2 
Гавайские о-ва -13 
Гаити -7 
Гайана -7 
Гамбия -3 
Гана -3 
Гваделупа (Франция) -7 
Гватемала -9 
Гвиана Французская -6 
Гвинея -3
Гвинея-Бисау -3 
Германия -1 
Гибралтар (Великобритания) -1 
Гондурас -9 
Гонконг (КНР) +5 
Гренада (Великобритания) -7 
Гренландия (Дания) -5 
Греция 0 
Грузия +1 
Гуам (США) +7

Д
Дания -1 
Демократическая республика Конго (ранее Заир) -2
Джибути 0 
Доминика -7 
Доминиканская Республика -7 

Е
Египет -1 

З
Замбия -1 
Зимбабве -1 

И
Израиль 0 
Индия +2,5 
Индонезия +4 
Иордания 0 
Ирак 0 
Иран +1,5 
Ирландия -2 
Исландия -3 
Испания -3 
Италия -1 
Йеменская Республика 0 

К
Кабо Верде -4 
Казахстан +3 
Каймановы о-ва (Великобритания) -7 
Камбоджа +4 
Камерун -2 
Канада -7 
Канарские о-ва (Испания) -2 
Катар 0 
Кения 0 
Кипр  0
Кирибати +6 
Китай +5 
КНДР +5,5 
Колумбия -8 
Коморские о-ва 0 
Конго -2 
Корсика (Франция) -1 
Коста Рика -9 
Кот-д’Ивуар -3
Крит (Греция) 0 
Куба -7 
Кувейт 0 
Кыргызстан +3 

Л
Лаос +4 
Латвия 0
Лесото -1 
Либерия -3 
Ливан 0 
Ливия -1 
Литва 0 
Лихтенштейн -1 
Люксембург -1 

М
Маврикий +1 
Мавритания -3 
Мадагаскар 0 
Македония -1 

Малави -1 
Малайзия +5 
Мали -3 
Мальдивские о-ва +2 
Мальта -1 
Марокко -2 
Мартиника о-в (Франция) -7
Маршалловы о-ва +8
Мексика -8 
Микронезия (группа островов) +8 
Мозамбик -1 
Молдова 0 
Монако -1 
Монголия +5 
Мьянма +5,5 

Н
Намибия -2 
Науру +9 
Невис и Сент Китс  -7 
Непал +2,45 
Нигер -2 
Нигерия -2 
Нидерланды -1 
Никарагуа -9 
Новая Зеландия +9 
Новая Каледония (Франция) +8 
Норвегия -1 

О
Объединенные Арабские Эмираты +1 
Оман +1 

П
Пакистан + 2
Панама — 8
Папуа-Новая Гвинея +7 
Парагвай -7 
Перу -8 
Польша -1 
Португалия -2 
Пуэрто Рико -7 

Р
Реюньон (Франция) +1 
Руанда -1 
Румыния 0 

С
Сальвадор -9 
Сан Марино -1 
Сан-Томе и Принсипи -3
Самоа +10
Сардиния (Италия) -1
Саудовская Аравия 0 
Свазиленд -1
Сейшельские о-ва +1 
Сенегал -3 
Сент Китс и Невис  -7 
Сент Люсия -7 
Сент-Винсент и Гренадины -7
Сербия -1 
Сингапур +5 
Сирия -1 
Словакия -1 
Словения -1 
Сев. Марианских о-ва (США) +7
Соломоновы острова +8 
Сомали 0 
Судан 0 
Суринам -6 
США -7 
Сьерра Леоне -3 

Т
Таджикистан +2 
Тайвань +5 
Тайланд +4 
Танзания 0 
Теркс и Кайкос (о-ва)(Великобритания) -7 
Тимор (о-в)(Вост.Тимор и Индонезия) +6 
Того -3 
Токелау (о-ва)(Новая Зеландия) +10
Тонга +10 
Тринидад и Тобаго -7
Тунис -2
Туркменистан +2
Турция 0
Тувалу +9

У
Уганда 0 
Узбекистан +2 
Украина 0
Уоллис и Футуна (о-ва)(Франция) +9 
Уругвай -6 

Ф
Фарерские о-ва (Дания)-3 
Фиджи +9 
Филиппины +5 
Финляндия 0 
Фолклендские о-ва (Великобритания) -6 
Франция -1 
Французская Полинезия -13 

Х
Хорватия -1 

Ц
Центрально-Африканская Республика -2 

Ч
Чад -2
Черногория -1 
Чехия -1 
Чили -6 

Ш
Швейцария -1 
Швеция -1 
Шри Ланка +2,5 

Э
Эквадор -8 
Экваториальная Гвинея -2 
Эритрея 0 
Эстония 0 
Эфиопия 0 

Ю
ЮАР -1 
Южная Корея +6 

Я
Ямайка -8 
Япония +6