Решение кузнецова по высшей математике: Недопустимое название — PlusPi

Содержание

bankluchipot1985

Моя страница

Стартовая страница
нижней страницы
Контакт
решебник по математике для 10 класса авторы &
ответы на устный зачет по биологии кровоо
решебник к задачнику по алгебре мордковиm
ответы гдз по алгебре
сборник задач по математике 5 класс л.а. лато
скачать решебник к сборнику по высшей мат
гдз по алгебре 7 класс макарычев дидактиче

гдз по русскому языку 5 м. м.разумовская 2006год
русский язык гиа егораева 2011 гдз онлайн зада
общая химия решебник скачать
ответы к олимпиадам по химии2004-2005 год
задачи по статистике с решебником
имеет ли учитель право задавать домашнее
гдз по матиматике зубареваи мордкович
гдз по обществознанию за 11 класс боголюбов &

алгебра и начало анализа.колмогоров.гдз
решебник по английскому языку 8 класс л. м ла&
афанасьева, михеева.гдз по английскому 6 кл
скачать решебник по английскому 4 класс ве
гдз по матиматеке (для русскоговорящих шк
электронный решебник по алгебре 11 класс
решебник по алгебре 8-9 классы галицкий скач&
состав правонарушений и юридическая отве

решебник к рабочей тетради по геометрии з
учебние русский язык практика ответы на з
пропедевтическая стоматология-ответы к э
гдз алгебра 8 класс мерзляк полонский
скачать бесплатно билеты и ответы по исто
ответы на задачи по финансовому праву как

Этот сайт был создан бесплатно с помощью homepage-konstruktor. ru. Хотите тоже свой сайт?

Зарегистрироваться бесплатно

Дифур (Кузнецов Л.А. — Сборник заданий по высшей математике) — документ (363)

Файл «Дифур» внутри архива находится в следующих папках: zadachnik-kuznecov, kuznecov.sbornik.zadanii.po.vyissheji.matematike. Документ из архива «Кузнецов Л.А. — Сборник заданий по высшей математике», который расположен в категории «». Всё это находится в предмете «математический анализ» из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе «остальное», в предмете «кузнецов (высшая математика)» в общих файлах.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

Baumanki.net

§ 5.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к ним.
Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли.
Уравнения в полных дифференциалах.
Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом изоклин.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Общее и частное решения. Общий и частный интегралы.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Линейный дифференциальный оператор, его свойства. Линейное однородное дифференциальное уравнение, свойства его решений.
Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций. Необходимое условие линейной зависимости системы функций.

Условие линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения.
Линейное однородное дифференциальное уравнение. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Структура общего решения.
Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (случай простых корней характеристического уравнения).
Линейные однородные дифференциальные уравнении с постоянными коэффициентами (случай кратных корней характеристического уравнения).
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора.

§ 5.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

Пусть — решение дифференциального уравнения . Показать, что введение новой искомой функции приводит к дифференциальному уравнению, допускающему понижение порядка.
Написать уравнение линии, на которой могут находиться точки перегиба графиков решений уравнения .
Написать уравнение линии, на которой могут находиться точки графиков решений уравнения , соответствующие максимумам и минимумам.

Как отличить максимум от минимума?

Линейное дифференциальное уравнение останется линейным при замене независимой переменной , где функция произвольная, но дифференцируемая достаточное число раз. Доказать это утверждение для линейного дифференциального уравнения второго порядка.
Доказать, что линейное дифференциальное уравнение остается линейным при преобразовании искомой функции

Здесь — новая искомая функция , и — произвольные, но достаточное число раз дифференцируемые функции.

6) Составить общее решение уравнения

, если известно ненулевое частное решение этого уравнения.

7) Показать, что произвольные дважды дифференцируемые функции и являются решениями линейного дифференциального уравнения

8) Составить однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее .

Показать, что функции и линейно независимы в интервале .

Убедиться в том, что определитель Вронского для этих функций равен нулю в точке . Почему это не противоречит необходимому условию линейной независимости системы решений линейного однородного дифференциального уравнения?

9) Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка, если известны три линейно-независимые частные его решения , ,

?,.

Доказать, что для того чтобы любое решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами удовлетворяло условию, , необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части.

§ 5.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. .

Задача 4. Найти решение задачи Коши.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

Задача 5. Решить задачу Коши.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26.

27. 28. 29. 30. 31.

Задача 6. Найти решение задачи Коши.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

Задача 8.

Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

Задача 9. Найти линию, проходящую через точку и обладающую тем свойством, что в любой ее точке нормальный вектор с концом на оси имеет длину, равную , и образует острый угол с положительным направлением оси .

1. 2. 3.

4. 5.

Найти линию, проходящую через точку , если отрезок любой ее нормали, заключенный между осями координат, делится точкой линии в отношении (считая от оси ).

6. 7. 8.

9. 10.

Найти линию, проходящую через точку , если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью делится на точке пересечения с осью абсцисс в отношении (считая от оси ).

11. 12. 13.

14. 15.

Найти линию, проходящую через точку , если отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания в отношении (считая от оси ).

16. 17. 18. 19. 20.

Найти линию, проходящую через точку и обладающую тем свойством, что в любой ее точке касательный вектор с концом на оси имеет проекцию на ось , обратно пропорциональную абсциссе точки . Коэффициент пропорциональности равен .

21. 24. 22. 25. 23.

Найти линию, проходящую через точку и обладающую тем свойством, что в любой ее точке касательный вектор с концом на оси имеет проекцию на ось , равную

.26. 27. 28.

29. 30. 31.

Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.

24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

Задача 11. Найти решение задачи Коши.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

25. 26. 27. 28. 29. 30 31.

Задача 16. Найти решение задачи Коши.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

Решения бегущей волны обобщенного уравнения Захарова-Кузнецова

На этой странице

АннотацияВведениеБлагодарностиСсылкиАвторское правоСтатьи по теме

Мы используем теорию бифуркаций плоской динамической системы для исследования решений бегущей волны обобщенного уравнения Захарова-Кузнецова. Получены четыре важных типа решений для бегущей волны, которые включают решения для уединенных волн, периодические решения, решения для перегибов и решения для антиперегибов.

1. Введение

Рассмотрим следующее обобщенное уравнение Захарова-Кузнецова (ЗК): где 𝑛≥2, 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 — вещественные константы. Уравнение ЗК впервые было получено для описания слабонелинейных ионно-акустических волн в сильно намагниченной плазме без потерь, состоящей из холодных ионов и горячих изотермических электронов [1]. Уравнение ЗК известно также как одно из двумерных обобщений уравнения КдФ (см. [2, 3]) и не интегрируется методом обратного преобразования рассеяния [4].

При 𝑛=2,𝛼=(1/2)𝑎,𝛽=1,𝛾=1 и 𝛿=1, (1.1) сводится к уравнению (1.2) Вазваз [5] получил периодические решения и решения уединенной волны (1.2) с помощью метода синус-косинусного алгоритма.

При 𝛼=𝑎,𝛽=𝑏,𝛾=𝑏 и 𝛿=0 уравнение (1.1) сводится к уравнению Вазваз [6] получил некоторые уединенно-волновые решения и периодические структуры (1.2) с помощью расширенного метода танга.

В этой статье мы будем использовать теорию динамических систем [7] для исследования решений бегущей волны уравнения (1. 1). Количество гладких уединенных волновых решений, периодических решений, кинковых решений и антикинковых решений приведены для каждого параметрического условия. Здесь отметим, что такой мощный метод использовался многими авторами для решения многих уравнений в частных производных [8–12].

2. Плоский фазовый анализ

Пусть 𝜉=𝑥+𝑦+𝑧−𝑐𝑡, где 𝑐 — скорость волны. Используя преобразование бегущей волны (𝜙𝑛)𝜉+𝜙𝜉𝜉𝜉=0, (2.1) где (⋅)𝜉 обозначает производную функции по 𝜉, 𝑎=𝑐/(𝛽+𝛾+𝛿) и 𝑏=𝛼/(𝛽+𝛾+𝛿).

Интегрируя (2.1) один раз и устанавливая константу интегрирования равной 0, мы имеем −𝑎𝜙+𝑏𝜙𝑛+𝜙𝜉𝜉=0. (2.2)

Пусть 𝜙′=𝑦; тогда (2.2) можно преобразовать в следующую плоскую динамическую систему: Мы называем ее системой бегущей волны (1.1). Это плоская динамическая система с функцией Гамильтона где ℎ — константа.

Согласно теории динамических систем [7] свойства особых точек можно получить следующим образом.

Предложение 2.1. При четном 𝑛=2𝑘 система (2. 3) имеет две особые точки 𝑜(0,0) и 𝐴(𝜙1,0), где 𝜙1=(𝑎/𝑏)1/(2𝑘−1). (i) Когда 𝑎>0, 𝑜(0,0) — седловая точка, а 𝐴(𝜙1,0) — центральная точка. (ii) Когда 𝑎=0, существует только одна вырожденная седловая точка 𝑜(0,0). (iii) Когда 𝑎<0, 𝑜(0,0) — центральная точка, а 𝐴(𝜙1,0) — седловая точка.

Предложение 2.2. (1) При нечетном 𝑛=2𝑘+1 и 𝑎𝑏>0 система (2.3) имеет три особые точки 𝑜(0,0) и 𝐵(±𝜙2,0), где 𝜙2=(𝑎/𝑏)1/2𝑘 . (i) Когда 𝑎>0, 𝑜(0,0) — седловая точка, а 𝐵(±𝜙2,0) — центральные точки. (ii) Когда 𝑎=0, существует только одна вырожденная седловая точка 𝑜(0,0). (iii) Когда 𝑎<0, 𝑜(0,0) — центральная точка, а 𝐵(±𝜙2,0) — седловые точки.
(2) При нечетном 𝑛=2𝑘+1 и 𝑎𝑐≤0 система (2.3) имеет только одну особую точку 𝑜(0,0). (i) Когда 𝑎<0, 𝑜(0,0) является седловой точкой или седловой точкой высокого порядка для 𝑎=0. (ii) Когда 𝑎>0, 𝑜(0,0) является центральной точкой или центральной точкой высокого порядка для 𝑎=0.

Из проведенного выше анализа можно получить бифуркации фазовых портретов системы (2.3) на рисунках 1 и 2. решение (1.1) для 𝜉∈(−∞,+∞) и lim𝜉→∞𝜙(𝜉)=𝐴,lim𝜉→−∞𝜙(𝜉)=𝐵. Напомним, что (i) 𝜙(𝜉) называется решением для уединенной волны, если 𝐴=𝐵, и (ii) 𝜙(𝜉) называется кинковым решением, или антикинковым решением, если 𝐴≠𝐵. Обычно уединенное волновое решение (1.1) соответствует гомоклинической орбите системы бегущих волн (2.3), кинковое (или антикинковое) волновое решение (1.1) соответствует гетероклинической орбите (или так называемой соединительной орбите) системы (2.3), а периодическое решение (1.1) соответствует периодической орбите системы (2.3).

Чемодан 𝑛=2. В качестве примера рассмотрим область параметров 𝑎>0, 𝑏>0 (см. рис. 1(а)). В этом случае система (2.4) имеет вид 𝐻21(𝜙,𝑦)=2𝑦2−𝑎2𝜙2+𝑏3𝜙3=ℎ. семейство периодических орбит. (3.2) и, интегрируя вдоль соответствующей гомоклинической орбиты, получаем решение для гладкой уединенной волны: 𝑢1(𝜉)=3𝑎2𝑏secℎ2√𝑎2𝜉. (3.3)

В соответствии с семейством периодических орбит, определяемым формулой где 𝑟1, 𝑟2, 𝑟3 — три действительных корня уравнения 𝑎𝜙2−(2𝑏/3)𝜙3+2ℎ=0 и ℎ1=𝐻2(𝜙1,0)=−𝑎3/6𝑏2. Таким образом, мы получаем периодическое решение: Дело 𝑛=3 . В этом случае система (2.4) имеет вид и три семейства периодических орбит. 9(3.7) ), и интегрируя вдоль соответствующих гомоклинических орбит, мы получаем два гладких уединенных волновых решения: 𝜙,𝑦)=ℎ, ℎ(ℎ2,0), имеем𝑦2=𝑎𝜙2−𝑏2𝜙4+2ℎ, (3.9) где ℎ2=𝐻3(±𝜙2,0)=−𝑎2/4𝑏.

Замена (3.9) в первое уравнение системы (2.3) и интегрируя по соответствующей периодической орбите, получаем два периодических решения: (3.10) где √𝑘=𝑎2+4𝑏ℎ. (3.11) Подставив (3.11) в первое уравнение системы (2.3) и проинтегрировав по соответствующей периодической орбите, получим периодическое решение: )(2)Из рис. 2(в) видно, что система (2.4) имеет две гетероклинические орбиты и семейство периодических орбит.

В соответствии с двумя гетероклиническими орбитами, определяемыми равенством 𝐻3(𝜙,𝑦)=ℎ2, имеем𝑦2=𝑎𝜙2−𝑏2𝜙4−𝑎2. 2𝑏(3.13)

Подставляя (3.13) в первое уравнение системы (2.3) и интегрируя вдоль соответствующие гетероклинические орбиты, мы получаем кинковые решения и антикинковые решения: )=ℎ, ℎ∈(0,ℎ2), имеем𝑦2=𝑎𝜙2−𝑏2𝜙4+2ℎ. (3.15)

Подставляя (3.15) в первое уравнение системы (2.3) и интегрируя по соответствующим периодическим орбитам, получаем периодическое решение:𝑢10(𝜉)=𝑎+𝑘𝑏√𝑠𝑛−𝑎𝜉,𝑎−𝑘2𝑎. (3.16)(3) Из рис. 2(b) видно, что система (2.4) имеет семейство периодических орбиты.

В соответствии с семейством периодических орбит, определяемым формулой 𝐻3(𝜙,𝑦)=ℎ, ℎ∈(0,∞), мы имеем то же самое периодическое решение 𝑢(𝜉), что и (3.12).

В частности, при 𝑐=0 (3.12) имеет вид𝑦2𝑏=−2𝜙4+2ℎ,ℎ∈(0,∞).(3.17) соответствующих периодических орбит, получаем периодическое решение: 𝑢11(𝜉)=2ℎ𝑏2√𝑐𝑛√ℎ𝜉,22. (1)При четном 𝑛=2𝑘 из рисунка 1(а) видно, что система (2.4) имеет гомоклиническую орбиту.

В соответствии с гомоклинической орбитой, определяемой формулой 𝐻(𝜙,𝑦)=𝐻(0,0)=0, имеем𝑦2=𝑎𝜙2−2𝑏𝜙(2𝑘+1)2𝑘+1. (3.19) Подставляя (3.19) в первое уравнение системы (2.3), имеем Пусть𝜑=𝑠2𝑘−1,𝜑1=𝜙2𝑘−1. (3.21) Таким образом, (3.20) и (3.21) сливаются в , получаем √(2𝑘−1)𝑎2𝜉1/(2𝑘−1).(3.24)(2) Когда 𝑛=2𝑘+1 нечетно, из рис. 2(a) видно, что система (2.4) имеет две гомоклинические орбиты. В соответствии с гомоклиническими орбитами, определенными формулой 𝐻(𝜙,𝑦)=𝐻(0,0)=0, имеем𝑦2=𝑎𝜙2−𝑏𝜙(𝑘+1)2𝑘+2. (3.25) Подставляя (3.25) в первое уравнение системы (2.3), имеем где √𝐴=𝑎(𝑘+1)/𝑏.

Пусть𝜓=𝑠𝑘,𝜓1=𝜙𝑘. (3.27) Таким образом, (3.26) и (3.27) сливаются в Завершая интеграл в (3.28), получаем Из (3.27) и (3.29) имеем𝑢13,14(𝜉)=±(𝑘+1)𝑎𝑏√secℎ𝑎𝑘𝜉1/𝑘.(3.30)

Благодарности

Работа выполнена при поддержке Startup Fund для передовых талантов Университета Цзянсу (№ 09JDG013), Фонда естественных наук высших учебных заведений Цзянсу Китая (№ 09KJB110003), Запланированные проекты Цзянсу для фондов постдокторских исследований (№ 07C), Государственная стипендия Цзянсу для зарубежных исследований, Проект социального развития Тайчжоу (№ 2011213) и Приоритетная академическая программа развития высших учебных заведений Цзянсу.

Литература

Захаров В.Е., Кузнецов Е.А. О трехмерных солитонах. . Советская физика. 39, стр. 285–288, 1974.
Посмотреть по адресу:
Google Scholar
Кившар Ю.С., Пелиновский Д.Е. Самофокусировка и поперечные неустойчивости уединенных волн // Physics Reports . vol. 331, нет. 4, стр. 117–195, 2000.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | Google Scholar
А.-М. Вазваз, «Нелинейный дисперсионный специальный тип уравнения Захарова-Кузнецова ZK(n,n) с компактной и некомпактной структурами», Прикладная математика и вычисления , том. 161, нет. 2, стр. 577–590, 2005.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt MATH
BK Shivamoggi, «Анализ Пенлеве уравнения Захарова-Кузнецова», Physica Scripta , vol. 42, нет. 6, стр. 641–642, 1990.
Посмотреть по адресу:
Google Scholar | Zentralblatt MATH
А.-М. Вазваз, «Точные решения с солитонами и периодическими структурами для уравнения Захарова-Кузнецова (ЗК) и его модифицированной формы», Сообщения в области нелинейных наук и численного моделирования , том. 10, нет. 6, стр. 597–606, 2005.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt MATH
А.-М. Wazwaz, «Расширенный метод tanh для уравнения Захарова-Кузнецова (ZK), модифицированного уравнения ZK и его обобщенных форм», Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation , vol. 13, нет. 6, стр. 1039–1047, 2008 г.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt MATH
D. Luo, X. Wang, D. Zhu, and M. Han, Bifurcation Theory and Methods of Dynamical Systems , World Scientific, River Edge, NJ, USA, 1997.
J.-B. Ли, «Точные решения бегущей волны для двумерного обобщенного уравнения Бенни-Люка», Прикладная математика и механика. Английское издание , том. 29, нет. 11, стр. 1391–1398, 2008.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | Google Scholar
Дж. Чжоу и Л. Тиан, «Солитоны, пиконы и периодические решения параболических волн для уравнения Форнберга-Уизема», Нелинейный анализ: приложения в реальном мире , vol. 11, нет. 1, стр. 356–363, 2010.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt MATH
Дж. Чжоу, Л. Тянь и X. Фан, «Солитонные, кинковые и антикинковые решения 2-компонентного уравнения Дегаспериса-Прочези», Нелинейный анализ: приложения в реальном мире , том. 11, нет. 4, стр. 2529–2536, 2010.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА
C. Денг, «Новые точные решения уравнения Захарова-Кузнецова и его обобщенная форма», Сообщения в нелинейной науке и численном моделировании , том. 15, нет. 4, стр. 857–868, 2010.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt MATH
L.-H. Чжан, «Решения бегущей волны для обобщенного уравнения Захарова-Кузнецова с нелинейными членами высшего порядка», Applied Mathematics and Computing , том. 208, нет. 1, стр. 144–155, 2009 г.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt MATH

Copyright

Copyright © 2012 Wenbin Zhang and Jiangbo Zhou. Это статья с открытым доступом, распространяемая в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License, которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего цитирования оригинальной работы.

Точные решения бегущей волны модифицированного уравнения КдВ–Захарова–Кузнецова и вязкого уравнения Бюргерса

Список журналов
Спрингерплюс
PMC3946109

Спрингерплюс. 2014; 3: 105.

Опубликовано в Интернете 21 февраля 2014 г. doi: 10.1186/2193-1801-3-105

, ^{^{, ^{, ^и}}}

Информация об авторе Примечания к статье Информация об авторских правах и лицензиях Отказ от ответственности

Аннотация

Математическое моделирование многих физических систем приводит к нелинейным эволюционным уравнениям, поскольку большинство физических систем по своей природе нелинейны. Исследование решений бегущей волны нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (NPDE) играет важную роль в изучении нелинейных физических явлений. В этой статье мы строим решения бегущей волны модифицированного уравнения КДВ-ЗК и вязкого уравнения Бюргерса с использованием расширенного ( G’/G ) -расширительный метод. Получен ряд решений бегущей волны в терминах неизвестных параметров. Производные решения бегущей волны демонстрируют уединенные волны, когда ее неизвестным параметрам присваиваются специальные значения.

Предметная классификация математики

35C07; 35С08; 35P99

Ключевые слова: Расширенный ( G ‘/G )-метод разложения, Модифицированное уравнение КДВ-ЗК, Уравнение вязкого Бюргерса, Бегущая волна, Уединенная волна

Инженеры, физики и математики всегда проявляли непрекращающийся интерес к изучение нелинейных задач, связанных с многочисленными научными приложениями, такими как гидродинамика, физика высоких энергий, физика плазмы, упругие среды, оптические волокна, биоматематика, химическая кинематика, химическая физика и геохимия. Многие молодые ученые также проявили повышенный интерес в последние два десятилетия из-за вероятного развития нелинейной науки в этот период времени. Чтобы понять поведение нелинейного явления, нам нужно решить нелинейное уравнение/набор уравнений, описывающих это явление, что часто бывает очень сложной задачей. Существует так много подходов, разработанных за годы для анализа/решения таких систем нелинейных уравнений, большинство из них основаны на некоторых предположениях и, следовательно, приближениях. Хотя методы возмущений, как и другие методы нелинейного анализа, имеют свои ограничения, на сегодняшний день они являются наиболее полезными методами среди всех этих подходов. При использовании метода возмущений для достижения идеальных результатов правильный выбор малого параметра должен быть сделан эффективно, иначе может произойти фатальная ошибка в результатах. Методы возмущений неприменимы даже ко многим нелинейным уравнениям из-за отсутствия малого параметра, что является основным предположением, которому должно удовлетворять уравнение, чтобы применить метод возмущений. Кроме того, приближенные решения, полученные с помощью методов возмущений, справедливы только для малых значений параметров (Ghorbani and Saberi-Nadjafi [2007]; Mohiud-Din [2007]; Mohyud-Din and Noor, [2009].]). Исследование точных решений бегущей волны этих нелинейных уравнений (NPDE) также вызывает большой интерес у многих математиков и физиков из-за его значительной роли в понимании поведения нелинейных физических явлений. В результате за последние три десятилетия были разработаны многочисленные методы получения решений бегущей волны, такие как метод билинейного преобразования Хироты (Hirota [1973, 1981]), метод модифицированного простого уравнения (Jawad et al. [2010]); Хан и Акбар [2013a], Ахмед и др. [2013], Зайед и Хода [2013], Зайед и Арноус [2012]), метод тангенса-функции (Вазваз [2005]), Паркес и Даффи [19].96]), метод Exp-функций (He and Wu [2006]; Akbar and Ali [2011b]; Bekir and Boz [2008]; Xu et al. [2009]), метод эллиптических функций Якоби (Ali [2011] ), метод ( G ‘/G ) -расширения (Акбар и др. [2012a, 2012b]; Акбар и Али [2011a]; Ван и др. [2008]; Шехата [2010]; Колл и Таби [2011]. ]; Нахер и др. [2013]; Зайед [2009, 2010]; Аслан [2010]; Бекир и Аксой [2012]), метод гомотопических возмущений (Мохиуд-Дин [2007]; Мохьюд-Дин и Нур [2009] ), метод преобразованных рациональных функций (Ma and Jyh [2009]; Ма и Фуксштайнер [1996]), метод множественных эксп-функций (Ма и др. [2010]; Ма и Чжу [2012]), обобщенный билинейный метод Хироты (Ма [2013]), расширенный ( G ’/G ) -метод разложения (Хан и Акбар [2013b]), метод синуса-косинуса (Биби и Мохьюд-Дин [2013]), метод первого интеграла (Таскан и Бекир [2010]; Фенг [2002]), метод анзаца ( Hu [2001a, 2001b]) и многие другие.

Настоящая статья посвящена построению точных решений модифицированного уравнения КДВ-ЗК и вязкого уравнения Бюргерса с использованием относительно новой методики, названной усовершенствованной ( G ’/G ) — метод расширения. Оставшаяся часть теста организована следующим образом. Подробное объяснение расширенного ( G ’/G ) метода расширения представлено в следующем разделе. Полученные решения модифицированного уравнения КДВ-ЗК и вязкого уравнения Бюргерса с использованием этого метода представлены в разделе 3. В разделе 4 мы представили некоторые графики полученного семейства решений для некоторых частных значений неизвестных параметров и окончательные выводы. в разделе 5.

Расширенный (

G ‘/G ) метод разложения
В этом разделе мы подробно опишем расширенный ( G ’/G ) метод разложения для нахождения решений нелинейных эволюционных уравнений с бегущей волной. Любое нелинейное уравнение эволюции в двух независимых переменных x и T можно выразить в следующей форме:
2,1
, где U ( ξ ) = U ( ξ ) = U ( ξ ) = U ( ξ ) = U IS ). неизвестная функция, R представляет собой полином u ( x , t ) и его частных производных, в котором участвуют производные высшего порядка и нелинейные члены. При нахождении решения нелинейного уравнения (2.1) с помощью этого метода (Khan and Akbar, 2013b) выполняются следующие шаги:
Шаг 1: данное УЧП (2.1) может быть преобразовано в ОДУ с помощью преобразования ξ = x ± Вт , где Вт — скорость бегущей волны, такая, что Вт ∈ R - {0}.
Преобразование бегущей волны позволяет сократить формулу. (2.1) к следующему ОДУ:
2.2
где R — многочлен от u (ξ) и его производных, где , и т.д.
Шаг 2: Теперь предположим, что уравнение. (2.2) имеет общее решение вида
2,3
при условии, что G = G ( ξ ) удовлетворяют уравнению
2,4
where a _i , b _i (- n ≤ i ≤ n ; n ∈ N ) and λ are constants to be определяется при условии, что σ = ± 1 и μ ≠ 0.
Шаг 3: Положительное целое число n может быть определено путем уравновешивания производных высшего порядка с нелинейными членами высшего порядка, появляющимися в уравнении. (2.1) или в уравнении (2.2). Точнее, определим степень u ( ξ ) как D ( u ( ξ )) = n что дает степень другого выражения следующим образом:
3
0,5 (2.3) в уравнение (2.2) и использовать уравнение. (2.4). Затем мы собираем все коэффициенты ( G’/G ) ^j и вместе. Поскольку уравнение (2.3) является решением уравнения. (2.2), мы можем положить каждый из коэффициентов равным нулю, что приводит к системе алгебраических уравнений в терминах a _i , b _i (- n ≤ i ≤ n ; n ∈ N ), λ , and W . Эти системные уравнения можно легко решить с помощью Maple.
Шаг 5: Для μ < 0 общее решение уравнения. (2.4) дает
2.6
и
2.7
.0002 2,9
где A — произвольная константа. Наконец, мы можем построить ряд семейств решений бегущей волны уравнения. (2.1) by substituting the values of a _i , b _i (- n ≤ i ≤ n ; n ∈ N ), λ и W (полученные на шаге 3) и используя уравнения. (2.6) — (2.9) в уравнение. (2.3).
Применение расширенных (
G ‘/G ) — метод разложения по модифицированному уравнению KDV-ZK и вязкому уравнению Бюргерса для решения модифицированного уравнения КДВ-ЗК вида
3.1
, где d — ненулевая константа.
Уравнение преобразования бегущей волны0274 x + y + z - Wt преобразование уравнения. (3.1) в следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:
3. 2
Интегрируя уравнение. (3.2) относительно ξ получаем
3.3
где R — постоянная интегрирования. Следуя процессу, как описано в шаге 3 (раздел 2), баланс между членом производной высшего порядка u » и нелинейным членом u ³ уравнения. (3.3) дает n = 1.
Для n = 1 Ур. (2.3) принимает следующий вид:
3,4
где G = G ( ξ ) удовлетворяет уравнению. (2.4). Подставляя уравнение (3.4) в уравнение (3.3) и используя формулу. (2.4) получаем многочлен от ( G ’/ G ) ^j и . Полагая коэффициент при ( G ’/ G ) ^j равным нулю, получаем систему, содержащую большое количество алгебраических уравнений в терминах неизвестных коэффициентов. Мы решили эту систему уравнений с помощью Maple 13 и получили следующий набор решений:
Набор 1: .
Комплект 2: .
Набор 3: .
Комплект 4: .
Набор 5: .
Комплект 6: .
В соответствии с каждым набором решений мы получаем два разных семейства решений бегущей волны уравнения. (3.1) согласно формуле µ < 0 и µ > 0. При этом мы получили двенадцать семейств решений бегущей волны, каждое из которых состоит из двух решений.
Сначала представим семейства гиперболических решений, соответствующие μ < 0:
Семейство 1:
, где ξ = x + y + z +12 мкт .
Семейство 2:
где ξ = x + y + z - 6 μt.
Семейство 3:
где .
Семейство 4:
где ξ = x + y + z - 6 μt.
Семейство 5:
, где ξ = x + y + z + 3 мкт .
Семейство 6:
где ξ = x + y + z + 3 μt
и, семейства периодических растворов плоских, соответствующих μ> 0 :
Семейство 7:
, где ξ = x + Y + Z +12 n + Z +12 n +.
Семейство 8:
, где ξ = x + y + z - 6 мкт .
Семья 9:
где .
Семейство 10:
где ξ = x + y + z - 6 .
Семейство 11:
где ξ = x + y + z + 3 .
Семейство 12:
где ξ = x + y + z + 3 мкт .
Примечание 1 : Все полученные решения были проверены с помощью Maple путем подстановки их обратно в исходные уравнения и признаны правильными.
Вязкое уравнение Бюргерса
В этом подразделе мы применим расширенный ( G ‘/G ) метод разложения для решения вязкого уравнения Бюргерса вида
3,5
где v — вязкость коэффициент. Уравнение Бюргерса — это модель нелинейного распространения волн, особенно в гидромеханике. Встречается в различных областях прикладной математики, таких как моделирование газодинамики и транспортных потоков.
Уравнение преобразования волн, U ( ξ ) = U ( x , T ), ξ = x — ξ = x — ξ = x — WT (3.5) в следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:
3,6
Интегрируя уравнение. (3.6) относительно ξ , приравняв постоянную интегрирования к нулю, получим0274 u ‘ и нелинейный член u ² уравнения. (3.7) дает n = 1.
Для n = 1 (2.3) принимает следующий вид:
3,8
где G = G ( ξ ) удовлетворяет уравнению (2.4). Подставляя уравнение (3.8) в уравнение (3.7) и используя формулу. (2.4) получаем многочлен от ( G ‘/G ) ^j и . Полагая коэффициент при ( G ’/ G ) ^j равным нулю, получаем систему, содержащую большое количество алгебраических уравнений в терминах неизвестных коэффициентов. Мы решили эту систему уравнений с помощью Maple 13 и получили следующий набор решений:
Набор 1: .
Набор 2: ,
Набор 3: .
Комплект 4: .
Набор 5: .
Комплект 6: .
Семейства гиперболических решений, соответствующие μ < 0 , согласно параллельному порядку действий:
Семейство 1:
где .
Семейство 2:
где .
Семейство 3:
где .
Семейство 4:
где .
Семейство 5:
где .
Семья 6:
где .
Аналогичным образом можно записать и другие семейства решений точных тригонометрических функций, соответствующие µ > 0, которые для удобства опущены.
Примечание 2 : Все полученные решения были проверены с помощью Maple путем подстановки их обратно в исходные уравнения и признаны правильными.
Графическое представление уединенных волн (полученных из приведенного выше семейства бегущих волн)
Модифицированное уравнение КДВ-ЗК
Всего мы получили двадцать четыре профиля решения бегущей волны по некоторым неизвестным параметрам; подразделяются (выше) на двенадцать семейств в соответствии с отрицательными или положительными значениями μ . Все эти решения представляют собой комбинацию гиперболических функций или тригонометрических функций, но Семейство-4 и Семейство-10 представляют собой комбинацию алгебраических функций и гиперболических функций или тригонометрических функций. Уединенные волны можно получить из каждого решения бегущей волны, установив определенные значения для его неизвестных параметров. Если положить a ₀ = 0, то Семейство 4 и Семейство 10 совпадают с Семейством 2 и Семейством 8 соответственно. В этом разделе мы представили несколько графиков уединенных волн, построенных путем выбора подходящих значений задействованных неизвестных параметров.
Для значений μ = — 1, D = — 2, A = y = z = 0 В пределах интервала — 5 ≤ x , , 9027, 9027, 9027,
,
, , , z = 0. На рисунке показана изломная волна (показана только форма u ₃ ( ξ ) уравнения мКДВ-ЗК).
Открыть в отдельном окне
Профиль волны перегиба уравнения mKDV-ZK.
для значений μ = — 1, D = 1, A = Y = Z = 0 В течение интервалов -5 ° Я
=
Z = 0 2
. 5 Рисунок — солитонная волна (показана только форма
u ₁₂ ( ξ ) уравнения мКДВ-ЗК).
Открыть в отдельном окне
Солитонный профиль уравнения mKDV-ZK.
для значений μ = 0,50, D = — 1, A = 3, Y = Z = 0 2, 5 ≤ . ≤ 5, рисунок представляет собой периодическую волну (показана только форма u ₁₅ ( ξ ) уравнения mKDV-ZK).
Открыть в отдельном окне
Периодический волновой профиль уравнения mKDV-ZK.
для значений μ = 1, D = — 2, A = Y = Z = 0 В течение интервалов -5 ° Я
=
Z = 0 2
.
5, u ₂₄ ( ξ ) (решение уравнения мКДВ-ЗК) показывает форму периодической волны, представленной на рисунке .
Открыть в отдельном окне
Периодический волновой профиль уравнения mKDV-ZK.
Вязкое уравнение Бюргерса
Теперь мы обсудим некоторые из полученных результатов уравнения вязкого Бюргерса и их графическое представление.
Для значений А = 0, μ = — 2, σ = 1 и ν = — 2 в интервале — 3 ≤ х , t ≤ 5 вязкого раствора Уравнение Бюргерса u ₁ ( ξ ) показывает волну Кинка, которая представлена на рисунке и для значений а ₀ = 0, А = 0, μ = — 1, σ = — 1 и ν = — 0,50 в интервале — 3 ≤ 72 9 3 5 72 4 , х решение вязкого уравнения Бюргерса u ₃ ( ξ ) показывает сингулярную изломную волну, которая представлена на рисунке . Некоторые графические представления вязкого уравнения Бюргерса приведены ниже:
Открыть в отдельном окне
Профиль излома вязкого уравнения Бюргерса (форма и ₁ ( ξ )).
Открыть в отдельном окне
Сингулярный профиль излома вязкого уравнения Бюргерса (Форма и ₃ ( ξ )).
В этой статье мы получаем большое количество точных решений бегущей волны, включая решения уединенной волны для модифицированного уравнения КДВ-ЗК и вязкого уравнения Бюргерса посредством расширенного ( G’ / G ))-метод расширения. Используя этот метод, мы нашли дополнительное семейство решений, и это лучшее, что есть в этом методе. Полученные решения предполагают, что расширенный ( G ‘ / G )) метод разложения может быть использован в качестве полезного математического инструмента для решения нелинейных эволюционных уравнений, возникающих в области математической физики, инженерных наук и прикладной математики.
Конкурирующие интересы
Авторы заявили об отсутствии конкурирующих интересов.
Вклад авторов
Работа выполнена в сотрудничестве с авторами. Все авторы внесли хороший вклад в разработку исследования и выполнение анализа этой исследовательской работы. Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.
Мд Хамидул Ислам, электронная почта: [email protected].
Камруззаман Хан, электронная почта: [email protected].
М. Али Акбар, электронная почта: moc.oohay@47htam_ila.
Мд Абдус Салам, электронная почта: [email protected].
Ахмед М.Т., Хан К., Акбар М.А. Исследование нелинейных эволюционных уравнений для построения решений бегущей волны модифицированным методом простых уравнений. Physical Review & Research International. 2013;3(4):490–503. [Google Scholar]
Акбар М.А., Али НХМ. Альтернативный метод (G′/G)-разложения и его приложения к нелинейным уравнениям в частных производных. Int J Phys Sci. 2011;6(35):7910–7920. [Google Scholar]
Акбар М.А., Али НХМ. Метод эксп-функций для уравнения Дуффинга и новые решения (2 + 1) размерных дисперсионных уравнений длинных волн. прог прикладная математика. 2011;1(2):30–42. [Академия Google]
Акбар М.А., Али НХМ, Зайед Э.М. Обильные точные решения бегущей волны обобщенного уравнения Бретертона с помощью метода (G′/G)-разложения. Теория коммун физ. 2012; 57: 173–178. doi: 10.1088/0253-6102/57/2/01. [CrossRef] [Google Scholar]
Акбар М.А., Али Н.Х.М., Мохьюд-Дин С.Т. Альтернативный метод (G′/G)-разложения с обобщенным уравнением Риккати: применение к (1 + 1)-мерному уравнению Кодри-Додда-Гиббона пятого порядка. Int J Phys Sci. 2012;7(5):743–752. [Google Академия]
Али В. Новый метод рационального разложения обобщенной эллиптической функции Якоби. J Comput Appl Math. 2011; 235:4117–4127. doi: 10.1016/j.cam.2011.03.002. [CrossRef] [Google Scholar]
Аслан И. Аналитические решения нелинейных дифференциально-разностных уравнений методом расширенного (G’/G) разложения. J Phys A Math Theor. 2010;43:395207(10 стр.). doi: 10.1088/1751-8113/43/39/395207. [CrossRef] [Google Scholar]
Бекир А., Аксой Э. Точные решения уравнений волн мелкой воды с использованием метода (G’/G)-разложения. Волны случайных комплексных сред. 2012;22(3):317–331. дои: 10.1080/17455030.2012.683890. [CrossRef] [Google Scholar]
Бекир А., Боз А. Точные решения нелинейных эволюционных уравнений методом Exp-функций. Фи Летт А. 2008; 372:1619–1625. doi: 10.1016/j.physleta.2007.10.018. [CrossRef] [Google Scholar]
Bibi S, Mohyud-Din ST. J Assn Arab Univ Basic Appl Sci. 2013. Решения бегущей волны КдВ методом синус-косинуса. [Google Scholar]
Фэн З. Метод первого интеграла для исследования уравнения Бюргерса-Кортевега-де Фриза. J Phys A. 2002; 35 (2): 343–349.. doi: 10.1088/0305-4470/35/2/312. [CrossRef] [Google Scholar]
Горбани А., Сабери-Наджафи Дж. Он разработал метод гомотопических возмущений для вычисления многочленов Адомиана. Int J Nonlinear Sci Numer Simul. 2007;8(2):229–232. doi: 10.1515/IJNSNS.2007.8.2.229. [CrossRef] [Google Scholar]
He JH, Wu XH. Метод эксп-функций для нелинейных волновых уравнений. Солитоны хаоса и фракт. 2006; 30: 700–708. doi: 10.1016/j.chaos.2006.03.020. [CrossRef] [Google Scholar]
Хирота Р. Точные солитонные решения огибающей нелинейного волнового уравнения. J Math Phy. 1973;14:805–810. doi: 10.1063/1.1666399. [CrossRef] [Google Scholar]
Хирота Р., Сацума Дж. Солитонные решения связанного уравнения КДВ. Фи Летт А. 1981; 85: 404–408. doi: 10.1016/0375-9601(81)-0. [CrossRef] [Google Scholar]
Hu JL. Новый метод нахождения точных решений бегущей волны для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Phys Lett A. 2001; 286:175–179. doi: 10.1016/S0375-9601(01)00291-2. [CrossRef] [Google Scholar]
Hu JL. Явные решения трех нелинейных физических моделей. Phys Lett A. 2001; 287:81–89.. doi: 10.1016/S0375-9601(01)00461-3. [CrossRef] [Google Scholar]
Джавад А. Дж.М., Петкович М.Д., Бисвас А. Модифицированный метод простых уравнений для нелинейных эволюционных уравнений. Прикладные математические вычисления. 2010; 217:869–877. doi: 10.1016/j.amc.2010.06.030. [CrossRef] [Google Scholar]
Хан К., Акбар М.А. Точное и уединенное волновые решения для уравнений Цицеки–Додда–Буллоу и модифицированного уравнения КдВ–Захарова–Кузнецова с использованием модифицированного метода простых уравнений. Айн Шамс Энг Дж. 2013; 4: 903–909. doi: 10.1016/j.asej.2013.01.010. [Перекрестная ссылка] [Академия Google]
Хан К., Акбар М.А. Журнал Египетского математического общества. 2013. Решения нелинейных эволюционных уравнений бегущей волной с помощью расширенного метода (G′/G)-разложения. [Google Scholar]
Колл Г.Р., Таби С.Б. Применение метода (G′/G)-расширения к нелинейному течению крови в крупных сосудах. физ. кр. 2011;83:045803(6 стр.). [Google Scholar]
млн лет WX. Билинейные уравнения, полиномы Белла и принцип линейной суперпозиции. J Phys Conf Ser. 2013;411:012021. дои: 10.1088/1742-6596/411/1/012021. [CrossRef] [Google Scholar]
млн лет назад WX, Fuchssteiner B. Явное и точное решения уравнения Колмгорова-Петровского-Пискунова. Int J нелинейной механики. 1996;31(3):329–38. doi: 10.1016/0020-7462(95)00064-X. [CrossRef] [Google Scholar]
Ма WX, Jyh HL. Метод преобразованных рациональных функций и точные решения (3 + 1)-мерного уравнения Джимбо–Мивы. Фракталы солитонов хаоса. 2009;42(3):1356–1363. doi: 10.1016/j.chaos.2009.03.043. [Перекрестная ссылка] [Академия Google]
Ma WX, Zhu Z. Решение (3 + 1)-мерных обобщенных уравнений КП и БКП методом множественной эксп-функции. Прикладные математические вычисления. 2012;21811871:79. [Google Scholar]
Ma WX, Huang T, Zhang Y. Метод множественных exp-функций для нелинейных дифференциальных уравнений и его применение. физ. кр. 2010;82:065003(8 стр.). [Google Scholar]
Мохиуд-Дин ST. Math Prob Engr. 2007. Гомотопический метод возмущений для решения краевых задач четвертого порядка; стр. 1–15. [Академия Google]
Мохьюд-Дин С.Т., Нур М.А. Метод гомотопических возмущений для решения уравнений в частных производных. Zeitschrift für Naturforschung. Журнал физических наук. 2009;64а:157–170. [Google Scholar]
Нахер Х., Абдулла Ф.А., Акбар М.А. Обобщенный и усовершенствованный метод (G′/G)-разложения для (3 + 1)-мерного модифицированного уравнения КдВ-Захарова-Кузнецева. ПЛОСОН. 2013;8(5):e64618. doi: 10.1371/journal.pone.0064618. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]
Parkes EJ, Duffy BR. Автоматизированный метод тангенса для нахождения уединенных волновых решений нелинейных эволюционных уравнений. Компьютерная физика коммун. 1996;98:288–300. doi: 10.1016/0010-4655(96)00104-X. [CrossRef] [Google Scholar]
Shehata AR. Решения бегущей волны возмущенного нелинейного уравнения Шредингера и уравнения Гинзбурга-Ландау кубической пятой степени с использованием модифицированного метода (G′/G) -разложения. Прикладные математические вычисления. 2010; 217:1–10. doi: 10.1016/j.amc.2010.03.047. [CrossRef] [Google Scholar]
Таскан Ф., Бекир А. Применение метода первого интеграла к нелинейным эволюционным уравнениям. Чин Физ Б. 2010;19(8):080201. дои: 10.1088/1674-1056/19/8/080201. [CrossRef] [Google Scholar]
Ван М., Ли С., Чжан Дж. Метод (G′/G ) -разложения и решения бегущей волны нелинейных эволюционных уравнений в математической физике. Phys Lett A. 2008;372:417–23. doi: 10.1016/j.physleta.2007.07.051. [CrossRef] [Google Scholar]
Wazwaz AM. Метод тангенс-функции: солитоны и периодические решения уравнений Додда-Буллоу-Михайлова и Цицеки-Додда-Буллоу. Солитоны и фракталы хаоса. 2005;25(1):55–63. doi: 10.1016/j.chaos.2004.09.122. [CrossRef] [Google Scholar]
Xu F, Yan W, Chen YL, Li CQ, Zhang YN. Оценка двумерного уравнения ZK-MEW с использованием метода Exp-функций. Вычислительная математика Appl. 2009; 58: 2307–12. doi: 10.1016/j.camwa.2009.03.021. [CrossRef] [Google Scholar]
Zayed EME.
No related posts.