Автор: alexxlab

Интегральные функции:

Si(x)

Интегральный синус от x

Ci(x)

Интегральный косинус от x

Shi(x)

Интегральный гиперболический синус от x

Chi(x)

Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7. 3

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

15/7

— дробь

Другие функции:

asec(x)

Функция — арксеканс от x

acsc(x)

Функция — арккосеканс от x

sec(x)

Функция — секанс от x

csc(x)

Функция — косеканс от x

floor(x)

Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

ceiling(x)

Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)

sign(x)

Функция — Знак x

erf(x)

Функция ошибок (или интеграл вероятности)

laplace(x)

Функция Лапласа

asech(x)

Функция — гиперболический арксеканс от x

csch(x)

Функция — гиперболический косеканс от x

sech(x)

Функция — гиперболический секанс от x

acsch(x)

Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi

Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..

e

Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..

i

Комплексная единица

oo

Символ бесконечности — знак для бесконечности

Математика и информатика в Плесской школ

Предлагаю Вашему вниманию уроки по программированию на языке PascalABC для курса информатики средней школы. В  них нет описания языка. Такого материала достаточно в Интернете. Я постарался собрать основные типы задач которые рассматриваются в курсе информатики и рассортировал их по уровню сложности. Для всех задач, рассматриваемых в курсе, я привожу решения. Для самостоятельных занятий размещаю ссылку на мой задачник.

Тема «Линейный вычислительный алгоритм» 

Урок  «Метод базовой точки»

Урок  Неполное ветвление.

Тема «Ветвящийся алгоритм» 

Урок «Задачи на принадлежность точки фигуре на плоскости»  

Тема «Математические задачи» 

Тема «Программирование циклических алгоритмов» 

Урок  Графические задачи на циклы.  (Решение одной задачи тремя способами)

Урок «Графические задачи на циклы 2 или кривая доктора Шибкина»   

Тема «Одномерные массивы»  

Тема «Двумерные массивы» 

Справочный материал «Некоторые алгоритмы для работы с двумерными массивами» Новое !

Тема. «Работа со строками» 

Тема. «Работа со строками. Разрезка строки на слова.» 

Тема. «Работа со строками. Коды символов» 

Задачи «Повторение основных операторов Паскаль ABC»

Всё для аттестацииПубликация в сборникеВебинарыЛэпбукиПрофтестыЗаказ рецензийНовости

Библиотека

▪Учебно-дидактические материалы

▪Задачи / упражнения / практикумы

Материал опубликовала

4

#8 класс #9 класс #10 класс #11 класс #Информатика и ИКТ #ФГОС #Учебно-дидактические материалы #Задача / упражнение / практикум #Учитель-предметник #Школьное образование #УМК И. Г. Семакина

Повторение основных операторов Паскаль ABC

Цель: проверить знание основных операторов Паскаль ABC.

Время работы: 10-15 минут

Задание: перед Вами расположен кроссворд, включающий основные понятия. За ограниченное время Вам нужно вписать как можно больше правильных операторов.

Вопросы:

Ответы:

Опубликовано 03.01.18 в 21:23 в группе «Информатика»

Екатерина Морозова, 25.01.18 в 12:12 0ОтветитьПожаловаться

К сожалению отсутствие пояснительный записки не позволило отследить некоторые из пунктов критериев, что повлияло на оценку всей работы.

Екатерина Морозова, 25.01.18 в 12:13 0ОтветитьПожаловаться

Чтобы написать комментарий необходимо авторизоваться.

Закрыть

Управление задачами Amazon ECS или Fargate с помощью пошаговых функций

Пошаговые функции могут управлять определенными сервисами AWS непосредственно из Amazon States Language. Дополнительные сведения о работе с AWS Step Functions и его интеграции см. см. следующее:

• Работа с другими услуги

• Передать параметры в сервисный API

Чем оптимизированная интеграция Amazon ECS/Fargate отличается от интеграции Amazon ECS или Fargate AWS SDK

Поддерживаемые API-интерфейсы и синтаксис Amazon ECS/Fargate:

Примечание

Параметры в Step Functions выражаются в PascalCase , даже если собственный API службы это верблюжий чехол .

Step Functions могут управлять определенными сервисами AWS непосредственно из Amazon States Language. Дополнительные сведения о работе с AWS Step Functions и его интеграции см. см. следующее:

• Работа с другими услуги

• Передать параметры в сервисный API

Вы можете использовать переопределения для переопределения значения по умолчанию команду для контейнера и передавать входные данные для ваших задач Amazon ECS. См. ContainerOverride . В примере мы использовали JsonPath для передачи значения для задачи от ввода до состояния задачи .

Следующее включает Состояние задачи , которое запускает задачу Amazon ECS и ожидает его завершить.

 {
 "StartAt": "Запустить задачу ECS и дождаться ее завершения",
 "Состояния": {
   «Запустите задачу ECS и дождитесь ее завершения»: {
     "Тип": "Задание",
     "Ресурс": "arn:aws:states:::ecs:runTask.sync",
     "Параметры": {
                «Кластер»: « кластер-arn »,
                "TaskDefinition": " идентификатор задания ",
                "Переопределяет": {
                    "КонтейнерПереопределения": [
                        {
                            "Имя": " имя-контейнера  ",
                            "Команда.$": "$.команды"
                        }
                    ]
                }
            },
     "Конец": правда
    }
  }
}
 

Строка "Command. $": "$.commands" в ContainerOverrides передает команды из ввода состояния в контейнер.

В предыдущем примере каждая из команд будет передана как переопределение контейнера. если входные данные для выполнения следующие.

 {
  "команды": [
    "тестовая команда 1",
    "тестовая команда 2",
    "тестовая команда 3"
  ]
} 

Следующее включает состояние Task , которое запускает задачу Amazon ECS, а затем ожидает возврата маркера задачи. См. раздел Ожидание обратного вызова с токеном задачи.

 {
   "StartAt":"Управление задачей ECS",
   "Состояния":{
      "Управление задачей ECS":{
         "Тип":"Задача",
         "Ресурс":"arn:aws:states:::ecs:runTask  .waitForTaskToken  ",
         "Параметры":{
            "LaunchType":"ФАРГЕЙТ",
            «Гроздь»: « кластер-arn  ",
            «TaskDefinition»: « идентификатор задания »,
            "Переопределяет":{
               "КонтейнерПереопределения": [
                  {
                     «Имя»: « имя-контейнера »,
                     "Среда":[
                        {
                           "Имя":"TASK_TOKEN_ENV_VARIABLE",
                             "Значение. $":"$$.Task.Token" 
                        }
                     ]
                  }
               ]
            }
         },
         "Конец": правда
      }
   }
} 

Информацию о настройке IAM при использовании Step Functions с другими сервисами AWS см. в разделе Политики IAM для интегрированных услуги.

Javascript отключен или недоступен в вашем браузере.

Чтобы использовать документацию Amazon Web Services, должен быть включен Javascript. Инструкции см. на страницах справки вашего браузера.

Условные обозначения документов

Amazon DynamoDB

Amazon SNS

Понимание жизненного цикла выделенных хостов Amazon EC2

Сообщение синдицировано от Шейлы Бассер, оригинал https://aws.amazon.com/blogs/compute/understanding-the-lifecycle-of-amazon-ec2-dedicated-hosts/

Это сообщение написано Бенджамином Мейером, старшим , Архитектор решений, и Паскаль Фогель, младший архитектор решений.

Выделенные хосты Amazon Elastic Compute Cloud (Amazon EC2) позволяют запускать программное обеспечение на выделенных физических серверах. Это позволяет соблюдать корпоративные требования соответствия или лицензионные соглашения на сокет, ядро ​​или виртуальную машину с поставщиками, такими как Microsoft, Oracle и Red Hat. Выделенные хосты также необходимы для запуска инстансов Amazon EC2 Mac.

Жизненные циклы и состояния выделенных хостов Amazon EC2 и инстансов Amazon EC2 тесно связаны и зависят друг от друга. Для правильной и согласованной работы выделенных хостов крайне важно понимать взаимодействие между выделенными хостами и инстансами EC2. В этом посте вы узнаете, как инстансы EC2 зависят от своих (выделенных) хостов. Мы также углубимся в их соответствующие жизненные циклы, точки соединения этих жизненных циклов и вытекающие отсюда соображения.

Что такое экземпляр EC2?

Экземпляр EC2 — это виртуальный сервер, работающий поверх физического хоста Amazon EC2. Инстансы EC2 запускаются с использованием предварительно настроенного шаблона под названием Amazon Machine Image (AMI), который упаковывает информацию, необходимую для запуска инстанса. Инстансы EC2 поставляются с различными конфигурациями ЦП, памяти, хранилища и графического процессора, известными как типы инстансов, чтобы вы могли выбрать правильный инстанс для своей рабочей нагрузки. Процесс определения правильного размера экземпляра называется правильным определением размера. Amazon EC2 построен на базе системы AWS Nitro, которая представляет собой комбинацию выделенного оборудования и облегченного гипервизора Nitro. Инстансы EC2, которые вы запускаете в Консоли управления AWS через Launch Instances, запускаются на физических хостах, контролируемых AWS.

Тенденции

Объявления об обновлениях AWS Well-Architected Framework

Что такое инстанс Amazon EC2 Bare Metal?

Инстансы Bare Metal — это инстансы, которые не используют гипервизор Nitro. Экземпляры Bare Metal обеспечивают прямой доступ к физическому серверному оборудованию. Поэтому они позволяют запускать устаревшие рабочие нагрузки, которые не поддерживают виртуальную среду, критически важные для бизнеса приложения с ограниченной лицензией или даже ваш собственный гипервизор. Рабочие нагрузки на инстансах Bare Metal по-прежнему используют функции облака AWS, такие как Amazon Elastic Block Store (Amazon EBS), Elastic Load Balancing (ELB) и Amazon Virtual Private Cloud (Amazon VPC).

Что такое выделенный хост Amazon EC2?

Выделенный хост Amazon EC2 — это физический сервер, полностью выделенный для одного клиента. Благодаря видимости сокетов и физических ядер выделенного хоста вы можете выполнять требования корпоративного соответствия, такие как лицензионные соглашения на программное обеспечение на сокет, на ядро ​​или на виртуальную машину.

Вы можете запускать экземпляры EC2 на выделенном хосте. Семейства экземпляров, такие как M5, C5, R5, M5n, C5n и R5n, позволяют запускать экземпляры разных размеров, например 9. 0023 4xlarge и 8xlarge на один и тот же хост. Другие семейства экземпляров поддерживают однородный запуск экземпляров только одного размера. Дополнительные сведения см. в разделе Емкость экземпляра выделенного хоста.

В качестве примера рассмотрим выделенный хост M6i. Выделенные хосты M6i имеют 2 сокета и 64 физических ядра. Если вы выделяете выделенный хост M6i, вы можете указать, какой тип инстанса вы хотите поддерживать для выделения. В этом случае возможные размеры экземпляра:

• большой
• большой
• 2 больших
• 4 больших
• 8xбольшой
• 12 больших
• 16xбольшой
• 24xбольшой
• 32xбольшой
• металл

Количество экземпляров, которое можно запустить на одном выделенном хосте M6i, зависит от выбранного размера экземпляра. Например:

• В случае xlarge (4 виртуальных ЦП) на этом выделенном хосте можно запланировать не более 32 экземпляров m6i.xlarge .
• В случае 8xlarge (32 виртуальных ЦП) на этом выделенном хосте можно запланировать не более 4 экземпляров m6i.8xlarge .
• В случае metal (128 виртуальных ЦП) на этом выделенном хосте можно запланировать не более 1 экземпляра m6i.metal .

При запуске инстанса EC2 на выделенном хосте вам выставляется счет за выделенный хост, но не за инстанс. Стоимость томов Amazon EBS такая же, как и в случае обычных инстансов EC2.

Примерной M6I Выбор экземпляра Хоста: M6I.xlarge , M6I.8xlarge и M6I.Metal

Понимание EC2 Exactor LifeCycle

. На протяжении своего жизненного цикла экземпляр EC2 проходит через различные состояния, начиная с его запуска и заканчивая его завершением.

1. Через Перезагрузить из при работе в состоянии , экземпляр входит в состояние перезагрузки . После завершения перезагрузки он снова входит в состояние running .
2. В случае экземпляра, поддерживаемого Amazon EBS, Stop или Stop-Hibernate переводит работающий экземпляр в состояние остановки . Достигнув состояния остановки, он остается в нем до тех пор, пока не будут предприняты дальнейшие действия. Через Start экземпляр повторно войдет в ожидание , а затем в работает в состоянии . Через Terminate из остановленного состояния экземпляр перейдет в остановленное состояние . В рамках Stop или Stop-Hibernate и последующего Start экземпляр EC2 может переместиться на другой хост, управляемый AWS. При перезагрузке он остается на том же хосте, управляемом AWS.
3. Через Завершить из рабочего состояния , экземпляр перейдет в состояние выключения и, наконец, завершенное состояние . Экземпляр не может быть запущен из состояния завершено .

Общие сведения о жизненном цикле выделенного хоста Amazon EC2

Состояния и переходы жизненного цикла выделенного хоста Amazon EC2

Выделенный хост Amazon EC2 переходит в состояние «доступно» , как только вы выделяете его в своей учетной записи AWS. Только если выделенный хост находится в состоянии , доступно , вы можете запускать на нем инстансы EC2. Вам не выставляется счет за время, в течение которого ваш выделенный хост находится в состоянии, отличном от 9.0023 доступен . Из состояния "доступно" можно перейти в следующие состояния и переходы между состояниями:

1. Вы можете освободить выделенный хост, переведя его в состояние "выпущено" . Минимальное время выделения выделенных хостов для инстансов Mac в Amazon EC2 составляет 24 часа. Они не могут быть выпущены в течение 24 часов. Вы не можете выпустить выделенный хост, который содержит экземпляры в одном из следующих состояний: ожидание, работа, перезагрузка, остановка или , закрывающий . Следовательно, вы должны Остановить или Завершить любые экземпляры EC2 на выделенном хосте и подождать, пока они не перейдут в доступное состояние, прежде чем сможете освободить их. Как только экземпляр находится в состоянии остановлен , вы можете переместить его на другой выделенный хост, изменив конфигурацию размещения его экземпляра.
2. Выделенный узел может войти в состояние в ожидании по ряду причин. В случае экземпляра Mac EC2 остановка или завершение работы экземпляра Mac инициирует рабочий процесс очистки базового выделенного хоста, во время которого он переходит в состояние 9.0023 ожидание состояние. Этот рабочий процесс очистки включает в себя такие задачи, как очистка внутреннего SSD, сброс NVRAM и т. д., и его выполнение может занять до 50 минут. Кроме того, добавление или удаление выделенного хоста в группе ресурсов или из нее может привести к переходу выделенного хоста в состояние ожидания . Из состояния в ожидании выделенный хост повторно войдет в состояние доступно .
3. Выделенный хост может войти в заниженную оценку указывает, исследует ли AWS возможную проблему с базовой инфраструктурой, например дефект оборудования или событие подключения к сети. Пока хост находится в состоянии с недооценкой , все запущенные на нем экземпляры EC2 будут иметь статус с нарушением . В зависимости от характера основной проблемы и если она настроена, выделенный хост инициирует автоматическое восстановление хоста.

Если для вашего хоста включено автоматическое восстановление выделенного хоста, то AWS попытается перезапустить экземпляры, работающие в настоящее время на неисправном выделенном хосте, на автоматически выделенном выделенном хосте для замены, не требуя вашего ручного вмешательства. Когда инициируется восстановление хоста, владелец аккаунта AWS уведомляется по электронной почте и с помощью события на панели мониторинга состояния AWS. Второе уведомление отправляется после успешного завершения восстановления хоста. Изначально замещающий выделенный хост находится в ожидание состояние. Экземпляры EC2, работающие на неисправном выделенном узле, остаются в состоянии с нарушением на протяжении всего этого процесса.

Чему равна производная функции: y=2x ? — Математика

Добрый день! Вот это уже совсем другое дело. Вы не уверены заранее в том, что собеседник идиот только на том основании, что написанное им не вяжется с теми знаниями, которые Вы «почерпнули» из учебников по матанализу. В этом ещё необходимо убедиться… И, хотя, весь Ваш жизненный опыт подсказывает, что всё-таки 99,99% за то, что он всё-таки идиот, Вы, как воспитанный человек, оставляете ему шанс в 0,01% на то, чтобы собеседник Вас переубедил. Для этого Вы задаёте ему наводящие вопросы (типа, тыкаете палочкой в червячка, чтобы выяснить: живой, мёртвый, али претворяется). Спасибо и на этом…
Итак:

che писал(а):

spartacus писал(а):«Структурный анализ» в состоянии привести ещё два варианта различных подынтегральных функций:
1.

. Подынтегральная функция:

.

Из каких соображений Вы в качестве вержнего предела выбрали

? По идее сдесь должна стоять переменная, по которой велось дифференцирование, т.е.

.

1. Никакого дифференцирования не велось! Это создатели матанализа так выстроили теорию, что дифференцирование является, как бы фундаментальным действием, а интегрирование — обратным ему. Это привело к позору математики: созданию формулы «вечного двигателя»:

Казалось бы, логика железная: если

, а интегрирование — есть процесс, обратный дифференцированию, то

БЕЗ СОМНЕНИЯ, ещё и одинаковым углом наклона касательной подтверждается, и правилом «производной суммы». ..
А оказалось, что НЕТ! Оказалось, что дифференцирование без сокращения в числителе и дифференцирование с сокращением в числителе — НЕ ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ! Две различные функции «приходят» к одной производной различными путями. Следовательно, и в «обратном направлении» «пути» их будут различными! А именно:

Смотрите в ссылке рис. на стр.2 и пример на стр.5
Пока я прервусь, чтобы Вы могли ознакомиться, осмыслить и задать вопросы…

Добавлено спустя 22 часа 39 минут 46 секунд:
В «математическом анализе» некоторые частные случаи были приняты за закономерности общего вида и, в связи с этим, некоторые законы и правила, выведенные с использованием этих иллюзорных закономерностей, явились ОШИБКАМИ, т.к. противоречат другим частным случаям!
ПОКАЗЫВАЮ «НА ПАЛЬЦАХ» (НЕ ПОНЯТЬ НЕВОЗМОЖНО!)
Например:
1. Объём трёх конусов с высотой, равной радиусу основания — есть функция этого радиуса:

2. Объём цилиндра с высотой, равной радиусу основания — есть функция этого радиуса:

У этих двух функций, одинаково изображаемых в аналитическом виде записи, запись в интегральном виде (структурном) будет различна!
Эти функции будут различны по структуре!!!!
Производная Производная (!!!)
Для того, чтобы восстановить всё на свои места и привести основные инструменты матанализа: дифференцирование и интегрирование в соответствие с различиями результатов в частных случаях пришлось создать «Структурный анализ»!

Производная 2x — Формула, Доказательство, Примеры

Производная 2x равна 2, так как формула производной функции прямой линии f(x) = ax + b задается как f'(x) = а, где а, b — действительные числа. Дифференциация 2x рассчитывается по формуле d(ax+b)/dx = a. Мы также можем вычислить производную от 2x, используя правило степени дифференцирования, которое имеет формулу d(x ⁿ )/dx = nx ^n-1 . Производную 2х можно определить и с помощью других методов дифференцирования.

Далее в этой статье мы оценим производную от 2x, используя различные методы дифференцирования и ее формулу. Мы докажем дифференцирование 2x и рассмотрим несколько решенных примеров с производной 2x для лучшего понимания концепции.

Что такое производная от 2x?

Производная функции показывает скорость изменения этой функции по отношению к изменению переменной. Для линейной функции f(x) = ax + b производная является постоянной функцией. Следовательно, производная 2x является константой, которая определяется как 2. Мы можем оценить производную 2x, используя различные методы дифференцирования, такие как правило степени, правило произведения, первый принцип производных и формула производной линейной функции. Кроме того, поскольку мы знаем, что производная от kx равна k, отсюда следует, что производная от 2x равна 2. Давайте теперь посмотрим на формулу дифференцирования 2x.

Производная от 2x Formula

Формула для производной 2x задается как d(2x)/dx = 2. Мы можем вычислить дифференцирование 2x, используя тот факт, что производная f(x) = kx равна f'(x) = к. Используя это, мы можем сказать, что производная 2x равна 2. На изображении ниже показана формула дифференцирования 2x:

Производная от 2x Proof

Теперь, когда мы знаем, что производная от 2x равна 2, мы выведем это, используя различные правила производных. Мы можем вывести формулу, используя определение производных с использованием пределов, правила степени, правила произведения и формулы производной f (x) = ax + b.

Производная 2x с использованием ограничений

Чтобы получить производную 2x с использованием первого принципа производных, мы будем использовать следующие формулы:

• d(f(x))/dx = lim _h→0 [f (х+ч) — f(х)]/ч
• lim _h→0 k = k, где k — константа

d(2x)/dx = lim _h→0 [2(x+h) — 2x]/h

= lim _h→0 [2x + 2h — 2x]/h

= lim _ч→0 [2ч]/ч

= lim _ч→0 2

= 2

Следовательно, производная от 2x равна 2 по первому принципу производных.

Дифференцирование 2x с использованием степенного правила

Степенное правило дифференцирования утверждает, что производная x в степени n выражается как n умноженное на x в степени n минус 1, то есть d(x ⁿ )/dx = n x ^n-1 . Мы также будем использовать производное правило скалярного кратного функции, то есть d(kf(x))/dx = kd(f(x))/dx. Следовательно, имеем d(2x)/dx = 2 dx/dx = 2. Следовательно, дифференцирование 2x равно 2,9.0009

Производная от 2x с использованием правила произведения

Правило произведения дифференцирования используется для нахождения производной произведения двух или более функций. Если у нас есть h (x) = f (x) g (x), то производная h (x) определяется как, h’ (x) = f’ (x) g (x) + f (x) g ‘(Икс). Точно так же для h(x) = 2x имеем f(x) = 2 и g(x) = x. Используя правило произведения, мы имеем

(2x)’ = (2)’ × x + 2 × (x)’

= 0 × x + 2 × 1

= 2

Следовательно, мы имеем, что производная от 2х равна 2 по правилу произведения.

Важные примечания о производной 2x

• Производная 2x равна 2, которая может быть получена с использованием различных методов дифференцирования.
• Мы можем использовать правило степени, правило произведения и первый принцип производных, мы можем получить дифференцирование 2x.
• Используя формулу [kx]’ = k, мы получаем, что производная от 2x определяется выражением [2x]’ = 2.

☛ Статьи по теме:

• Предельная формула
• Формула неявного дифференцирования
• Дифференциальные уравнения

Часто задаваемые вопросы о производной 2x

Что такое производная 2x?

Производная 2x равна 2, так как производная функции f(x) = kx определяется как f'(x) = k.

Какова формула дифференциации 2x?

Формула для дифференцирования 2x определяется выражением (2x)’ = 2, которое является постоянной функцией, так как производная линейного многочлена f(x) = ax + b является постоянной f'(x) = a.

Как найти производную от 2x?

Мы можем найти производную от 2x, используя различные правила дифференцирования, такие как правило степени, скалярное кратное функции и первый принцип производных.

Какая производная от 2x/(1 — x

Производная от 2x / (1 — x ² ) определяется как 2(1 + x ² )/(1 — x ² ) ² . Эту производную можно вычислить с помощью частного правила дифференцирования.

Что такое вторая производная от 2x?

Вторую производную от 2x можно определить путем дифференцирования первой производной от 2x. Первая производная от 2x равна 2, которая является постоянной функцией, а производная постоянной функции равна нулю. Следовательно, вторая производная от 2x равна 0.

Какую формулу можно использовать для нахождения производной от 2x?

Мы можем использовать различные формулы дифференцирования, чтобы найти производную 2x, например:

• Первый принцип производных: d(f(x))/dx = lim _h→0 [f(x+h) — f(x)]/h
• Правило произведения: h'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x), где h(x) = f(x) g(x)
• Производная kx: [kx]’ = k

Что такое производная 2х квадрата?

Производная 2x квадрат, то есть 2x ² определяется с помощью степенной формулы производных. У нас есть (2x ² )’ = 4x.

Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2: Учебное пособие для втузов.—13-е изд.— М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 560 с. Хорошо известное учебное пособие по математике для втузов с достаточно широкой математической подготовкой. Второй том включает разделы: дифференциальные уравнения, кратные и криволинейные интегралы, интегралы по поверхности, ряды, уравнения математической физики, операционное исчисление, элементы теории вероятностей и математической статистики, матрицы. Для студентов высших технических учебных заведений. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА XIII. (n) = f(x) § 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй космической скорости § 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка § 20. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства § 21. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами § 22. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами § 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка § 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами § 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков § 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний § 27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний § 28. Вынужденные колебания § 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений § 30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами § 31. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки § 32. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера § 33. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора.. Метод Адамса § 34. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка Упражнения к главе XIII ГЛАВА XIV. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 2. Вычисление двойного интеграла § 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение) § 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов § 5. Двойной интеграл в полярных координатах § 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай) § 7. Вычисление площади поверхности § 9. Момент инерции площади плоской фигуры § 10. Координаты центра масс площади плоской фигуры § 11. Тройной интеграл § 12. Вычисление тройного интеграла § 13. Замена переменных в тройном интеграле § 14. Момент инерции и координаты центра масс тела § 15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра Упражнения к главе XIV ГЛАВА XV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ § 2. Вычисление криволинейного интеграла § 3. Формула Грина § 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования § 5. Поверхностный интеграл § 6. Вычисление поверхностного интеграла § 7. Формула Стокса § 9. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения Упражнения к главе XV ГЛАВА XVI. РЯДЫ § 1. Ряд. Сумма ряда § 2. Необходимый признак сходимости ряда § 3. Сравнение рядов с положительными членами § 4. Признак Даламбера § 5. Признак Коши § 6. Интегральный признак сходимости ряда § 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница § 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость § 9. Функциональные ряды § 10. Мажорируемые ряды § 11. Непрерывность суммы ряда § 12. Интегрирование и дифференцирование рядов § 13. Степенные ряды. Интервал сходимости § 14. Дифференцирование степенных рядов § 15. Ряды по степеням x-a § 16. Ряды Тейлора и Маклорена § 17. Примеры разложения функций в ряды § 18. Формула Эйлера § 19. Биномиальный ряд § 20. Разложение функции ln(1+x) в степенной ряд. Вычисление логарифмов § 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов § 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 23. Уравнение Бесселя § 24. Ряды с комплексными членами § 25. Степенные ряды с комплексной переменной § 26. Решение дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений (метод итераций) § 27. Доказательство существования решения дифференциального уравнения. Оценка погрешности при приближенном решении § 28. Теорема единственности решения дифференциального уравнения Упражнения к главе XVI ГЛАВА XVII. РЯДЫ ФУРЬЕ § 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье § 3. Одно, замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье § 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций § 5. Ряд Фурье для функции с периодом 2l § 6. О разложении непериодической функции в ряд Фурье § 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена § 8. Интеграл Дирихле § 9. Сходимость ряда Фурье в данной точке § 10. Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье § 11. Практический гармонический анализ § 12. Ряд Фурье в комплексной форме § 13. Интеграл Фурье § 14. Интеграл Фурье в комплексной форме § 15. Ряд Фурье по ортогональной системе функций § 16. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов Упражнения к главе XVII ГЛАВА XVIII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ § 1. Основные типы уравнений математической физики § 2. Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах § 3. Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье) § 4. Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи § 5. Распространение тепла в пространстве § 6. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей § 7. Распространение тепла в неограниченном стержне § 8. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа. Формулировка краевых задач § 9. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях § 10. Решение задачи Дирихле для круга § 11. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей Упражнения к главе XVIII ГЛАВА XIX. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ § 1. Начальная функция и ее изображение § 2. Изображение функций … § 3. Изображение функции с измененным масштабом независимой переменной. Изображение функций sin at, cos at § 4. Свойство линейности изображения § 5. Теорема смещения § 6. Изображение функций … § 7. Дифференцирование изображения § 8. Изображение производных § 9. Таблица некоторых изображений § 10. Вспомогательное уравнение для данного дифференциального уравнения § 11. Теорема разложения § 12. Примеры решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом § 13. Теорема свертывания § 14. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифференциальные уравнения теории электрических цепей § 15. Решение дифференциального уравнения колебаний § 16. Исследование свободных колебаний § 17. Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы § 18. Решение уравнения колебаний в случае резонанса § 19. Теорема запаздывания § 20. Дельта-функция и ее изображение Упражнения к главе XIX ГЛАВА XX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ § 1. Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей § 2. Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей § 3. Сложение вероятностей. Противоположные случайные события § 4. Умножение вероятностей независимых событий § 5. Зависимые события. Условная вероятность. Полная вероятность § 6. Вероятность гипотез. Формула Байеса § 7. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины § 8. Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях § 9. Математическое ожидание дискретной случайной величины § 10. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах § 11. Функции от случайных величин § 12. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал § 13. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей § 14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины § 15. Нормальный закон распределения. Математическое ожидание нормального распределения § 16. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения § 17. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распределения для нормального закона § 18. Вероятное (срединное) отклонение или срединная ошибка § 19. Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Приведенная функция Лапласа § 20. Правило трех сигм. Шкала вероятностей распределения ошибок § 21. Среднеарифметическая ошибка § 22. Мера точности. Соотношение между характеристиками распределения ошибок § 23. Двумерная случайная величина § 24. Нормальный закон распределения на плоскости § 25. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, при нормальном законе распределения § 26. Вероятность попадания двумерной случайной величины в эллипс рассеивания § 27. Задачи математической статистики. Статистический материал § 28. Статистический ряд. Гистограмма § 29. Определение подходящего значения измеряемой величины § 30. Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпунова. Теорема Лапласа Упражнения к главе XX ГЛАВА XXI. МАТРИЦЫ. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМ И РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. Линейные преобразования. Матрица § 2. Общие определения, связанные с понятием матрицы § 3. Обратное преобразование § 4. Действия над матрицами. Сложение матриц § 5. Преобразование вектора в другой вектор с помощью матрицы § 6. Обратная матрица § 7. Нахождение матрицы, обратной данной § 8. Матричная запись системы линейных уравнений § 9. Решение системы линейных уравнений матричным методом § 10. Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы § 11. Собственный вектор линейного преобразования § 12. Матрица линейного преобразования, при котором базисные векторы являются собственными векторами § 13. Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому § 14. Квадратичные формы и их преобразования § 15. Ранг матрицы. Существование решений системы линейных уравнений § 16. Дифференцирование и интегрирование матриц § 17. Матричная запись системы дифференциальных уравнений и решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами § 18. Матричная запись линейного уравнения n-го порядка § 19. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом последовательных приближений с использованием матричной записи Упражнения к главе XXI ПРИЛОЖЕНИЯ

18. Замена переменных в двойном интеграле

Пусть функции осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области P плоскости на область S плоскости . Тогда существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение , области S на область P, если якобиан преобразования

=.

Величины U и V можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области P и в то же время как Криволинейные координаты точек области S. Точки плоскости Oxy, для которых одна из координат U и V сохраняет постоянное значение, образуют Координатную линию. Всего будет два семейства таких линий.

Теорема 14.3. Пусть есть дифференцируемое преобразование области P из плоскости на область S Из плоскости . Тогда справедливо равенство

(2.5)

Замечание. Равенство (2.5) сохраняет справедливость, когда условие взаимно однозначного соответствия между областями S и P нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий.

Переход в двойном интеграле к полярным координатам

Формулы

(2.6)

Преобразуют полярные координаты точки в декартовы координаты этой точки и переводят область (или область ) на всю плоскость Oxy.

Обратное преобразование декартовых координат в полярные осуществляется по формулам:

Фиксируя в последних формулах И, получим координатные линии из разных семейств: окружность с центром в точке И луч, исходящий из точки .

Якобиан преобразования

И формула (2.5) принимает вид:

(2.7)

Рекомендация. К полярным координатам целесообразно переходить, когда в подынтегральное выражение или в уравнения границы области интегрирования входит комбинация .

В некоторых случаях при вычислении двойного интеграла удобно перейти от декартовых координат к Эллиптическим полярным Координатам по формулам

, (2.8)

— постоянные, . Тогда

, (2.9)

Пример 6. Записать в полярной системе координат область S , заданную в декартовой системе координат неравенством (круг радиуса R с центром в точке ).

Ñ Перейдем от декартовых координат X, Y к полярным по формулам , . Подставим X и Y в исходное неравенство, получим: или . На координату j дополнительных ограничений не накладывается, поэтому (или ).

В полярной системе координат круг записывается неравенствами: . #

Пример 7. Записать в полярной системе координат область S — часть круга, ограниченную линиями , , (), — постоянные, .

Ñ Изобразим область S (рис. 14.9). Запишем заданные линии в полярных координатах, которые связаны с декартовыми формулами , : 1)Þ ;

2) Þ, ;

3)Þ.

Область переходит в область

.

В полярной системе координат заданная область определяется системой неравенств: . #

Пример 8. Вычислить двойной интеграл , S — множество точек, удовлетворяющих неравенству .

Ñ Границей области является линия или — окружность радиуса 2 с центром в точке (Рис. 14.10).

Рис. 14.10

Наличие в уравнении границы комбинации наводит на мысль, что для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам по формулам , , . Уравнение границы переходит в уравнение или . Отсюда r=0 (соответствует полюсу O) и — уравнение окружности. Так как всегда (по смыслу r), то из следует , отсюда получаем (этот же результат можно усмотреть из рисунка). Итак, в полярных координатах область интегрирования есть . Тогда по формуле (2.7)

. #

Пример 9. Вычислить , где .

Ñ Область D ограничена линиями: – эллипс с полуосями A и B, – эллипс с полуосями и , Y=0 – прямая (ось Ox), – прямая (рис. 14.11).

Рис.14.11

Анализ границы области указывает на целесообразность перехода к Эллиптическим полярным координатам по формулам (2.8), (2.9): , . Уравнения границы области в координатах будут: 1), 2) , 3) ,
4) . Итак, область интегрирования в координатах есть

. Тогда

. #

Задачи для самостоятельного решения

Перейти в двойном интеграле к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в порядке: внешнее – по j, внутреннее — по r:

27. D – область, ограниченная окружностями , и прямыми , .

28. D — область, являющаяся общей частью двух кругов и .

29. D — меньший из двух сегментов, на которые прямая рассекает круг .

30. D — внутренняя часть правой петли лемнискаты Бернулли .

31. D:.

32. D: .Указание. Перейти к эллиптическим полярным координатам.

33. D — область, ограниченная линией . Указание. Перейти к эллиптическим полярным координатам.

34. . 35. . 36. .

С помощью перехода к полярным координатам вычислить интегралы:

37. . 38. .

39. . 40. , D — часть кольца ,

, . 41. .

Вычислить, перейдя к эллиптическим полярным координатам, интегралы:

42. .

43. — область, ограниченная линией .

Двойные интегралы в полярных координатах · Исчисление

• Распознавание формата двойного интеграла по полярной прямоугольной области.
• Вычисление двойного интеграла в полярных координатах с помощью повторного интеграла.
• Распознать формат двойного интеграла по общей полярной области.
• Используйте двойные интегралы в полярных координатах для вычисления площадей и объемов.

Двойные интегралы иногда гораздо легче вычислить, если мы заменим прямоугольные координаты на полярные. Однако, прежде чем мы опишем, как сделать это изменение, нам нужно установить понятие двойного интеграла в полярной прямоугольной области.

Полярные прямоугольные области интегрирования

Когда мы определили двойной интеграл для непрерывной функции в прямоугольных координатах, скажем, g

по региону R

в ху

-самолет — мы разделили R

на подпрямоугольники со сторонами, параллельными осям координат. Эти стороны имеют константу x

— значения и/или константа y

-значения. В полярных координатах фигура, с которой мы работаем, представляет собой полярный прямоугольник , стороны которого имеют константу r

— значения и/или константа θ

-значения. Это означает, что мы можем описать полярный прямоугольник, как в [link](a), с R={(r,θ)\|a≤r≤b,α≤θ≤β}.

В этом разделе мы рассматриваем интегрирование по полярным прямоугольникам. Рассмотрим функцию f(r,θ)

над полярным прямоугольником R.

Разделим интервал [a,b] на

в м

подинтервалов [ri−1,ri]

длины Δr=(b−a)/м

и разделим интервал [α,β] на

в п

подинтервалов [θi−1,θi]

ширины Δθ=(β−α)/n.

Это означает, что круги r=ri

и лучи θ=θi

для 1≤i≤m

и 1≤j≤n

разделить полярный прямоугольник R

на меньшие полярные подпрямоугольники Rij

([ссылка](б)).

Как и прежде, нам нужно найти площадь ΔA

полярного подпрямоугольника Rij

и «полярный» объем тонкого ящика над Rij.

Напомним, что в окружности радиуса r

длина с

дуги, опирающейся на центральный угол θ

радиан равно s=rθ.

Обратите внимание, что полярный прямоугольник Rij

очень похож на трапецию с параллельными сторонами ri−1Δθ

и riΔθ

и шириной Δr.

Отсюда площадь полярного подпрямоугольника Rij

это

ΔA=12Δr(ri−1Δθ+r1Δθ).

Упрощая и допуская rij*=12(ri−1+ri),

имеем ΔA=rij*ΔrΔθ.

Следовательно, полярный объем тонкого ящика над Rij

([ссылка]) это

f(rij*,θij*)ΔA=f(rij*,θij*)rij*ΔrΔθ.

Используя ту же идею для всех подпрямоугольников и суммируя объемы прямоугольных ящиков, мы получаем двойную сумму Римана как

∑i=1m∑j=1nf(rij*,θij*)rij*ΔrΔθ.

Как мы видели ранее, мы получаем лучшее приближение к полярному объему твердого тела над областью R

когда мы позволим м

и №

становятся больше. Следовательно, мы определяем полярный объем как предел двойной суммы Римана,

V=limm,n→∞∑i=1m∑j=1nf(rij*,θij*)rij*ΔrΔθ.

Это становится выражением для двойного интеграла.

Определение

Двойной интеграл функции f(r,θ)

над полярной прямоугольной областью R

в плоскости rθ

определяется как )ΔA=limm,n→∞∑i=1m∑j=1nf(rij*,θij*)rij*ΔrΔθ.

Опять же, как и в случае с двойными интегралами по прямоугольным областям, двойной интеграл по полярной прямоугольной области может быть выражен как повторный интеграл в полярных координатах. Следовательно,

∬Rf(r,θ)dA=∬Rf(r,θ)rdrdθ=∫θ=αθ=β∫r=ar=bf(r,θ)rdrdθ.

Обратите внимание, что выражение для dA

заменен на rdrdθ

при работе в полярных координатах. Другой способ взглянуть на двойной полярный интеграл — изменить двойной интеграл в прямоугольных координатах подстановкой. Когда функция f

дается через х

и у,

с использованием x=rcosθ, y=rsinθ и dA=rdrdθ

меняет его на

∬Rf(x,y)dA=∬Rf(rcosθ,rsinθ)rdrdθ.

Обратите внимание, что все свойства, перечисленные в разделе Двойные интегралы по прямоугольным областям для двойного интеграла в прямоугольных координатах, справедливы и для двойного интеграла в полярных координатах, так что мы можем использовать их без колебаний.

Создание эскиза полярной прямоугольной области

Создание эскиза полярной прямоугольной области R={(r,θ)\|1≤r≤3,0≤θ≤π}.

Как видно из [ссылка], r=1

и r=3

— окружности радиусом 1 и 3

и 0≤θ≤π

покрывают всю верхнюю половину плоскости. Следовательно, область R

выглядит как полукруглая полоса.

Теперь, когда мы нарисовали полярную прямоугольную область, давайте продемонстрируем, как вычислить двойной интеграл по этой области, используя полярные координаты.

Вычисление двойного интеграла по полярной прямоугольной области

Вычисление интеграла ∬R3xdA

по области R={(r,θ)\|1≤r≤2,0≤θ≤π}.

Сначала нарисуем фигуру, похожую на [ссылка], но с внешним радиусом 2.

Из рисунка видно, что у нас есть правильные пределы интегрирования.=∫θ=0θ=πcosθ[r3\|r=1r=2]dθПроинтегрируем сначала по tor.=∫θ=0θ=π7cosθdθ=7sinθ\|θ=0θ=π=0.

Нарисуйте область R={(r,θ)\|1≤r≤2,−π2≤θ≤π2},

и вычислите ∬RxdA.

143

Подсказка

Следуйте инструкциям в [ссылка].

Вычисление двойного интеграла путем преобразования прямоугольных координат

Вычисление интеграла ∬R(1−x2−y2)dA

, где R

— единичная окружность на плоскости xy

.

Область R

представляет собой единичную окружность, поэтому мы можем описать ее как R={(r,θ)\|0≤r≤1,0≤θ≤2π}.

Используя преобразование x=rcosθ,y=rsinθ,

и dA=rdrdθ,

имеем

∬R(1−x2−y2)dA=∫02π∫01(1−r2)rdrdθ=∫02π∫01(r−r3)drdθ=∫02π[r22 −r44]01dθ=∫02π14dθ=π2.

Вычисление двойного интеграла путем преобразования прямоугольных координат

Вычисление интеграла ∬R(x+y)dA

, где R={(x,y)\|1≤x2+y2≤4,x≤0}.

Мы видим, что R

представляет собой кольцевую область, которая может быть преобразована в полярные координаты и описана как R={(r,θ)\|1≤r≤2,π2≤θ≤3π2}

(см. следующий график).

Отсюда, используя преобразование x=rcosθ,y=rsinθ,

и dA=rdrdθ,

, получаем

∬R(x+y)dA=∫θ=π/2θ=3π/2 ∫ r=1r=2(rcosθ+rsinθ)rdrdθ=(∫r=1r=2r2dr)(∫π/23π/2(cosθ+sinθ)dθ)=[r33]12[sinθ−cosθ]\|π/23π/ 2=-143.

Вычислить интеграл ∬R(4−x2−y2)dA

, где R

— окружность радиусом 2

на плоскости xy

.

8π

Подсказка

Выполните действия, описанные в предыдущем примере.

Общие полярные регионы интеграции

Чтобы вычислить двойной интеграл непрерывной функции с помощью повторных интегралов по общим полярным областям, мы рассмотрим два типа областей, аналогичных типам I и II, как обсуждалось для прямоугольных координат в Двойных интегралах по общим областям. Чаще всего полярные уравнения записывают как r=f(θ)

, чем θ=f(r),

поэтому мы описываем общую полярную область как R={(r,θ)\|α≤θ≤β,h2(θ)≤r≤h3(θ)}

(см. следующий рисунок).

Двойные интегралы по основным полярным областям

Если f(r,θ)

непрерывна в общей полярной области D

, как описано выше, то

∬Df(r,θ)rdrdθ=∫θ=αθ=β ∫r=h2(θ)r=h3(θ)f(r,θ)rdrdθ

Вычисление двойного интеграла по общей полярной области

Вычисление интеграла ∬Dr2sinθrdrdθ

где D

— область, ограниченная полярной осью и верхней половиной кардиоиды r=1+cosθ.

Мы можем описать область D

как {(r, θ)\|0≤θ≤π,0≤r≤1+cosθ}

, как показано на следующем рисунке.

Отсюда имеем

∬Dr2sinθrdrdθ=∫θ=0θ=π∫r=0r=1+cosθ(r2sinθ)rdrdθ=14∫θ=0θ=π[r4]r=0r=1+cosθ sinθdθ= 14∫θ=0θ=π(1+cosθ)4sinθdθ=−14[(1+cosθ)55]0π=85.

Вычислить интеграл

∬Dr2sin22θrdrdθ, где D={(r,θ)\|0≤θ≤π,0≤r≤2cos2θ}.

π/8

Подсказка

Нарисуйте график области и выполните действия, описанные в предыдущем примере.

Полярные районы и тома

Как в прямоугольных координатах, если твердое S

ограничен поверхностью z=f(r,θ),

, а также поверхностями r=a,r=b,θ=α,

и θ=β,

мы можем найти объем V

S

двойным интегрированием, как

V=∬Rf(r,θ)rdrdθ=∫θ=αθ=β∫r=ar=bf(r,θ)rdrdθ.

Если основание твердого тела можно описать как D={(r,θ)\|α≤θ≤β,h2(θ)≤r≤h3(θ)},

, то двойной интеграл объема становится равным

V=∬Df(r,θ)rdrdθ=∫θ=αθ=β∫r=h2(θ)r=h3(θ)f(r,θ)rdrdθ.

Проиллюстрируем эту мысль несколькими примерами.

Нахождение объема с помощью двойного интеграла

Найдите объем твердого тела, лежащего под параболоидом z=1−x2−y2

и над единичной окружностью на плоскости xy

(см. следующий рисунок).

Методом двойного интегрирования видим, что объем есть повторный интеграл вида ∬R(1−x2−y2)dA

, где R={(r,θ)\|0≤r ≤1,0≤θ≤2π}.

Это интегрирование было показано ранее в [ссылка], поэтому объем равен π2

кубических единиц.

Нахождение объема с помощью двойного интегрирования

Найти объем тела, лежащего под параболоидом z=4−x2−y2

и над диском (x−1)2+y2=1

на xy

-самолет. См. параболоид в [ссылка], пересекающий цилиндр (x−1)2+y2=1

над плоскостью xy

.

Сначала замените диск (x−1)2+y2=1

в полярные координаты. Расширяя квадратный член, мы имеем x2−2x+1+y2=1.

Затем упростите, чтобы получить x2+y2=2x,

, что в полярных координатах становится r2=2rcosθ

, а затем либо r=0

, либо r=2cosθ.

Аналогично уравнение параболоида меняется на z=4−r2.

Следовательно, мы можем описать круг (x−1)2+y2=1

на плоскости xy

как область

D={(r,θ)\|0≤θ≤π,0≤ r≤2cosθ}.

Отсюда объем твердого тела, ограниченного сверху параболоидом z=4−x2−y2

и ниже на r=2cosθ

равно

V=∬Df(r,θ)rdrdθ=∫θ=0θ=π∫r=0r=2cosθ(4−r2)rdrdθ=∫θ=0θ=π[ 4r22−r44\|02cosθ]dθ=∫0π[8cos2θ−4cos2θ]dθ=[52θ+52sinθcosθ−sinθcos3θ]0π=52π.

Обратите внимание, что в следующем примере интегрирование не всегда просто с полярными координатами. Сложность интеграции зависит от функции, а также от региона, по которому нам нужно выполнить интеграцию. Если область имеет более естественное выражение в полярных координатах или если f

имеет более простую первообразную в полярных координатах, тогда уместно изменение полярных координат; в противном случае используйте прямоугольные координаты.

. Нахождение объема с помощью двойного интеграла. =2

в плоскости xy

([ссылка]).

Сначала исследуем область, по которой нам нужно установить двойной интеграл и сопутствующий ему параболоид.

Область D

есть {(x,y)\|0≤x≤1,x≤y≤2−x}.

Преобразование строк y=x,x=0,

и x+y=2

в плоскости xy

к функциям r

и θ,

имеем θ=π/4,

θ=π/2,

соответственно. Нарисовав область на xy

-плоскости, мы видим, что она имеет вид D={(r,θ)\|π/4≤θ≤π/2,0≤r≤2/(cosθ+sinθ)}.

Теперь преобразование уравнения поверхности дает z=x2+y2=r2.

Следовательно, объем твердого тела определяется двойным интегралом

V=∬Df(r,θ)rdrdθ=∫θ=π/4θ=π/2∫r=0r=2/(cosθ+sinθ) r2rdrdθ=∫π/4π/2[r44]02/(cosθ+sinθ)dθ=14∫π/4π/2(2cosθ+sinθ)4dθ=164∫π/4π/2(1cosθ+sinθ)4dθ=4∫ π/4π/2(1cosθ+sinθ)4dθ.

Как видите, этот интеграл очень сложен. Таким образом, мы можем вместо этого вычислить этот двойной интеграл в прямоугольных координатах как

V=∫01∫x2−x(x2+y2)dydx.

Оценка дает

V=∫01∫x2−x(x2+y2)dydx=∫01[x2y+y33]\|x2−xdx=∫0183−4x+4×2−8x33dx=[8×3−2×2+4×33− 2×43]\|01=43.

Чтобы ответить на вопрос, как находятся формулы объемов различных стандартных тел, таких как сфера, конус или цилиндр, мы хотим продемонстрировать пример и найти объем произвольного конуса.

Нахождение объема с помощью двойного интеграла

Используйте полярные координаты, чтобы найти объем внутри конуса z=2−x2+y2

и над плоскостью xy.

Область D

для интегрирования является основанием конуса, который выглядит как окружность на плоскости xy

(см. следующий рисунок).

Находим уравнение окружности, полагая z=0:

0=2−x2+y22=x2+y2x2+y2=4.

Это означает, что радиус окружности равен 2,

, поэтому для интегрирования мы имеем 0≤θ≤2π

и 0≤r≤2.

Подставив x=rcosθ

и y=rsinθ

в уравнение z=2−x2+y2

, мы получим z=2−r.

Следовательно, объем конуса равен

∫θ=0θ=2π∫r=0r=2(2−r)rdrdθ=2π43=8π3

кубических единиц.

Анализ

Заметим, что если бы нам нужно было найти объем произвольного конуса с радиусом a

единиц и высотой h

единиц, то уравнение конуса было бы z=h−hax2+y2.

Мы все еще можем использовать [ссылка] и установить интеграл как ∫θ=0θ=2π∫r=0r=a(h−har)rdrdθ.

Вычисляя интеграл, получаем 13πa2h.

Используйте полярные координаты, чтобы найти повторный интеграл для нахождения объема твердого тела, заключенного в параболоиды z=x2+y2

и z=16−x2−y2.

V=∫02π∫022(16−2r2)rdrdθ=64π

кубических единиц

Подсказка

Наброски графиков могут помочь.

Как и в случае с прямоугольными координатами, мы также можем использовать полярные координаты для нахождения площадей определенных регионов с помощью двойного интеграла. Как и прежде, нам нужно понять область, площадь которой мы хотим вычислить. Набросок графика и определение области может помочь понять пределы интегрирования. В общем случае формула площади при двойном интегрировании будет иметь вид 9.0013

ПлощадьA=∫αβ∫h2(θ)h3(θ)1rdrdθ.

Нахождение площади с помощью двойного интеграла в полярных координатах

Оценить площадь, ограниченную кривой r=cos4θ.

Набросав график функции r=cos4θ

, мы увидим, что это полярная роза с восемью лепестками (см. следующий рисунок).

Используя симметрию , мы видим, что нам нужно найти площадь одного лепестка, а затем умножить ее на 8.

Обратите внимание, что значения θ

, для которых график проходит через начало координат, являются нулями функции cos4θ,

и являются нечетными кратными π/8.

Таким образом, один из лепестков соответствует значениям θ

в интервале [−π/8,π/8].

Следовательно, площадь, ограниченная кривой r=cos4θ

, равна

A=8∫θ=−π/8θ=π/8∫r=0r=cos4θ1rdrdθ=8∫−π/8π/8[12r2\ |0cos4θ]dθ=8∫−π/8π/812cos24θdθ=8[14θ+116sin4θcos4θ\|−π/8π/8]=8[π16]=π2.

Поиск площади между двумя полярными кривыми

Найдите площадь окружности r=3cosθ

и кардиоиды r=1+cosθ.

В первую очередь нарисуйте графы региона ([ссылка]).

Из симметрии графа видно, что нам нужно найти точки пересечения. Уравнивание двух уравнений дает

3cosθ=1+cosθ.

Одна из точек пересечения θ=π/3.

Область над полярной осью состоит из двух частей, одна часть определяется кардиоидой от θ=0

до θ=π/3

, а другая часть, обозначенная окружностью, от θ=π/3

до θ=π/2.

По симметрии общая площадь в два раза больше площади над полярной осью. Таким образом, имеем

A=2[∫θ=0θ=π/3∫r=0r=1+cosθ1rdrdθ+∫θ=π/3θ=π/2∫r=0r=3cosθ1rdrdθ].

Оценивая каждую часть отдельно, получаем, что площадь равна

A=2(14π+9163+38π−9163)=2(58π)=54πквадратных единиц.

Найдите площадь, заключенную внутри кардиоиды r=3−3sinθ

и вне кардиоиды r=1+sinθ.

A=2∫−π/2π/6∫1+sinθ3−3sinθrdrdθ=8π+93

Подсказка

Нарисуйте график и найдите точки пересечения.

Вычисление неправильного двойного интеграла в полярных координатах

Вычисление интеграла ∬R2e−10(x2+y2)dxdy.

Это неправильный интеграл, потому что мы интегрируем по неограниченной области R2.

В полярных координатах всю плоскость R2

можно рассматривать как 0≤θ≤2π,

0≤r≤∞.

Используя замены переменных прямоугольных координат на полярные координаты, мы имеем

∬R2e−10(x2+y2)dxdy=∫θ=0θ=2π∫r=0r=∞e−10r2rdrdθ=∫θ=0θ=2π(lima→∞∫r=0r=ae−10r2rdr)dθ= (∫θ=0θ=2πdθ)(лима→∞∫r=0r=ae−10r2rdr)=2π(лима→∞∫r=0r=ae−10r2rdr)=2πlima→∞(−120)(e−10r2\| 0a)=2π(−120)лима→∞(e−10a2−1)=π10.

Вычислить интеграл ∬R2e−4(x2+y2)dxdy.

π4

Подсказка

Преобразование в полярную систему координат.

Ключевые понятия

• Чтобы применить двойной интеграл к ситуации с круговой симметрией, часто удобно использовать двойной интеграл в полярных координатах. Мы можем применить эти двойные интегралы к полярной прямоугольной области или общей полярной области, используя повторный интеграл, аналогичный тем, которые используются с прямоугольными двойными интегралами.
• Район dA

  в полярных координатах становится

  rdrdθ.
• Использование х=rcosθ,y=rsinθ,

  и

  dA=rdrdθ

  для преобразования интеграла в прямоугольных координатах в интеграл в полярных координатах.

• Использование г2=х2+у2

  и

  θ=tan-1(yx)

  для преобразования интеграла в полярных координатах в интеграл в прямоугольных координатах, если это необходимо.

• Чтобы найти объем в полярных координатах, ограниченный сверху поверхностью z=f(r,θ)

  над регионом на

  xy

  — плоскость, используйте двойной интеграл в полярных координатах.

Ключевые уравнения

В следующих упражнениях выразите область D

в полярных координатах.

D

— это область диска радиусом 2

с центром в начале координат, которая находится в первом квадранте.

D

— это область между окружностями радиусом 4

и радиусом 5

с центром в начале координат, лежащим во втором квадранте.

D={(r,θ)\|4≤r≤5,π2≤θ≤π}

D

— область, ограниченная осью y

и x=1−y2.

D

— область, ограниченная осью x

и y=2−x2.

D={(r,θ)\|0≤r≤2,0≤θ≤π}

Д={(х,у)\|х2+у2≤4х}

D={(x,y)\|x2+y2≤4y}

D={(r,θ)\|0≤r≤4sinθ,0≤θ≤π}

В следующих упражнениях график полярной прямоугольной области D

дано. Экспресс Д

в полярных координатах.



D={ (r,θ)\|3≤r≤5,π4≤θ≤π2}



D ={(r,θ)\|3≤r≤5,3π4≤θ≤5π4}

На следующем графике область D

расположена ниже y=x

и ограничена точками x=1,x=5,

и y=0.

На следующем графике область D

ограничена y=x

и y=x2.

D={(r,θ)\|0≤r≤tanθsecθ,0≤θ≤π4}

В следующих упражнениях вычислите двойной интеграл ∬Rf(x,y)dA

над полярной прямоугольной областью D.

f(x,y)=x2+y2,D={(r,θ)\|3≤r≤5,0≤θ≤2π}

f(x,y)=x+y,D={(r,θ)\|3≤r≤5,0≤θ≤2π}

0

f(x,y)=x2+xy,D={(r,θ)\|1≤r≤2,π≤θ≤2π}

f(x,y)=x4+y4,D={(r,θ)\|1≤r≤2,3π2≤θ≤2π}

63π16

f(x,y)=x2+y23,

, где D={(r,θ)\|0≤r≤1,π2≤θ≤π}.

f(x,y)=x4+2x2y2+y4,

, где D={(r,θ)\|3≤r≤4,π3≤θ≤2π3}.

3367π18

f(x,y)=sin(arctanyx),

, где D={(r,θ)\|1≤r≤2,π6≤θ≤π3}

f(x,y)=arctan(yx),

, где D={(r,θ)\|2≤r≤3,π4≤θ≤π3}

35π2576

∬Dex2+y2[1+2arctan(yx)]dA,D={(r,θ)\|1≤r≤2,π6≤θ≤π3}

∬D(ex2+y2+x4+2x2y2+y4)arctan(yx)dA,D={(r,θ)\|1≤r≤2,π4≤θ≤π3}

7576π2(21−e+ д4)

В следующих упражнениях интегралы были преобразованы в полярные координаты. Убедитесь, что тождества верны, и выберите самый простой способ вычисления интегралов в прямоугольных или полярных координатах.

∫12∫0x(x2+y2)dydx=∫0π4∫secθ2secθr3drdθ

∫23∫0xxx2+y2dydx=∫0π/4∫0tanθsecθrcosθdrdθ

54ln(3+22)

∫01∫x2x1x2+y2dydx=∫0π/4∫0tanθsecθdrdθ

∫01∫x2xyx2+y2dydx=∫0π/4∫0tanθsecθrsinθdrdθ

16(2−2)

В следующих упражнениях преобразуйте интегралы в полярные координаты и оцените их.

∫03∫09−y2(x2+y2)dxdy

∫02∫−4−y24−y2(x2+y2)2dxdy

∫0π∫02r5drdθ=32π3

∫01∫01−x2(x+y)dydx

∫04∫−16−x216−x2sin(x2+y2)dydx

∫−π/2π/2∫04rsin(r2)drdθ=πsin28

Вычислить интеграл ∬DrdA

, где D

— область, ограниченная полярной осью и верхней половиной кардиоиды r=1+cosθ.

Найти площадь области D

, ограниченной полярной осью и верхней половиной кардиоиды r=1+cosθ.

3π4

Вычислить интеграл ∬DrdA,

где D

— область, ограниченная частью четырехлепестковой розы r=sin2θ

расположен в первом квадранте (см. следующий рисунок).

Найдите общую площадь области, ограниченной четырехлепестковой розой r=sin2θ

(см. рисунок в предыдущем упражнении).

№2

Найдите площадь области D,

, которая является областью, ограниченной y=4−x2,

x=3,x=2,

и y=0.

Найдите площадь области D,

которая является областью внутри диска x2+y2≤4

и правее строки x=1.

13(4π−33)

Определить среднее значение функции f(x,y)=x2+y2

по области D

, ограниченной полярной кривой r=cos2θ,

, где −π4≤θ≤π4

(см. график).

Определить среднее значение функции f(x,y)=x2+y2

по области D

, ограниченной полярной кривой r=3sin2θ,

, где 0≤θ≤π2

(см. следующий график ).

163π

Найти объем тела, расположенного в первом октанте и ограниченного параболоидом z=1−4×2−4y2

и плоскостями x=0,y=0,

и z=0.

Найдите объем твердого тела, ограниченного параболоидом z=2−9×2−9y2

и плоскостью z=1.

№18

1. Найти объем твердого тела S1

   ограничен цилиндром

   x2+y2=1

   и плоскости

   г=0

   и

   г=1.
2. Найдите объем твердого тела S2

   снаружи двойного конуса

   z2=x2+y2,

   внутри цилиндра

   x2+y2=1,

   и выше плоскости

   г=0.
3. Найдите объем твердого тела внутри конуса z2=x2+y2

   и ниже плоскости

   z=1

   путем вычитания объемов твердых тел

   S1

   и

   С2.

1. Найти объем твердого тела S1

   внутри единичной сферы

   x2+y2+z2=1

   и над плоскостью

   г=0.
2. Найдите объем твердого тела S2

   внутри двойного конуса

   (z−1)2=x2+y2

   и над плоскостью

   г=0.
3. Найдите объем твердого тела вне двойного конуса (z−1)2=x2+y2

   и внутри сферы

   х2+у2+z2=1.

а. 2π3;

б. π2;

в. №6

В следующих двух упражнениях рассмотрим сферическое кольцо, представляющее собой сферу с цилиндрическим отверстием, прорезанным так, что ось цилиндра проходит через центр сферы (см. следующий рисунок).

Если сфера имеет радиус 4

, а цилиндр имеет радиус 2,

, найдите объем сферического кольца.

Цилиндрическое отверстие диаметром 6

см просверлено в сфере радиусом 5

см так, что ось цилиндра проходит через центр сферы. Найдите объем получившегося сферического кольца.

256π3см3

Найдите объем тела, лежащего под двойным конусом z2=4×2+4y2,

внутри цилиндра x2+y2=x,

и над плоскостью z=0.

Найдите объем тела, лежащего под параболоидом z=x2+y2,

внутри цилиндра x2+y2=x,

и над плоскостью z=0.

3π32

Найдите объем тела, лежащего под плоскостью x+y+z=10

и над диском x2+y2=4x.

Найдите объем тела, лежащего под плоскостью 2x+y+2z=8

и над единичным кругом x2+y2=1.

4π

Радиальная функция f

— функция, значение которой в каждой точке зависит только от расстояния между этой точкой и началом системы координат; то есть f(x,y)=g(r),

, где r=x2+y2.

Покажите, что если f

— непрерывная радиальная функция, то ∬Df(x,y)dA=(θ2−θ1)[G(R2)−G(R1)],

, где G′(r)= rg(r)

и (x,y)∈D={(r,θ)\|R1≤r≤R2,0≤θ≤2π},

с 0≤R1

и 0≤θ1 <θ2≤2π.

Используйте информацию из предыдущего упражнения для вычисления интеграла ∬D(x2+y2)3dA,

, где D

— единичный круг.

№4

Пусть f(x,y)=F′(r)r

— непрерывная радиальная функция, определенная на кольцевой области D={(r,θ)\|R1≤r≤R2,0≤θ≤2π},

, где r=x2+y2,

0

и F

— дифференцируемая функция. Покажите, что ∬Df(x,y)dA=2π[F(R2)−F(R1)].

Примените предыдущее упражнение для вычисления интеграла ∬Dex2+y2x2+y2dxdy,

, где D

— кольцевая область между окружностями радиусов 1

и 2

, расположенными в третьем квадранте.

12πe(e−1)

Пусть f

— непрерывная функция, которая выражается в полярных координатах как функция θ 9только 0013

; то есть f(x,y)=h(θ),

, где (x,y)∈D={(r,θ)\|R1≤r≤R2,θ1≤θ≤θ2},

с 0≤R1

и 0≤θ1<θ2≤2π.

Покажите, что ∬Df(x,y)dA=12(R22−R12)[H(θ2)−H(θ1)],

, где H

— первопроизводная h.

Примените предыдущее упражнение для вычисления интеграла ∬Dy2x2dA,

, где D={(r,θ)\|1≤r≤2,π6≤θ≤π3}.

3−π4

Пусть f

— непрерывная функция, которая выражается в полярных координатах как функция θ 9только 0013

; то есть f(x,y)=g(r)h(θ),

, где (x,y)∈D={(r,θ)\|R1≤r≤R2,θ1≤θ≤θ2}

с 0≤R1

и 0≤θ1<θ2≤2π.

Покажите, что ∬Df(x,y)dA=[G(R2)−G(R1)][H(θ2)−H(θ1)],

, где G

и H

являются первообразными g

и ч,

соответственно.

Вычислить ∬Darctan(yx)x2+y2dA,

, где D={(r,θ)\|2≤r≤3,π4≤θ≤π3}.

133π3864

Сферическая шапка — это область сферы, расположенная выше или ниже заданной плоскости.

1. Покажите, что объем сферической крышки на рисунке ниже равен 16πh(3a2+h3).

   ---

2. Сферический сегмент – это твердое тело, определяемое пересечением сферы двумя параллельными плоскостями. Если расстояние между плоскостями h,

   показывают, что объем сферического сегмента на рисунке ниже равен

   16πh(3a2+3b2+h3).

   ---

В статистике — совместная плотность для двух независимых нормально распределенных событий со средним значением μ=0

и стандартное распределение σ

определяется как p(x,y)=12πσ2e−x2+y22σ2.

Рассмотрим (X,Y),

декартовы координаты шара в положении покоя после того, как он был выпущен из положения на оси z по направлению к плоскости xy

. Предположим, что координаты мяча независимо распределены нормально со средним значением μ=0

и стандартным отклонением σ

(в футах). Вероятность того, что шарик остановится не более чем на

футов от начала координат определяется как P[X2+Y2≤a2]=∬Dp(x,y)dydx,

, где D

— это диск радиуса a с центром в начале координат. Покажите, что P[X2+Y2≤a2]=1−e−a2/2σ2.

Двойной несобственный интеграл ∫−∞∞∫−∞∞e(−x2+y2/2)dydx

может быть определен как предельное значение двойных интегралов ∬Dae(−x2+y2/2)dA

по диски Da

радиусов a с центром в начале координат, поскольку a неограниченно возрастает; то есть ∫−∞∞∫−∞∞e(−x2+y2/2)dydx=lima→∞∬Dae(−x2+y2/2)dA.

1. Используйте полярные координаты, чтобы показать, что ∫−∞∞∫−∞∞e(−x2+y2/2)dydx=2π.
2. Покажи, что ∫−∞∞e−x2/2dx=2π,

   , используя соотношение

   ∫−∞∞∫−∞∞e(−x2+y2/2)dydx=(∫−∞∞e−x2/2dx)(∫−∞∞e−y2/2dy).

Глоссарий

полярный прямоугольник

область, заключенная между кругами г=а

и

r=b

и углы

θ=α

и

θ=β;

описывается как

R={(r,θ)\|a≤r≤b,α≤θ≤β}

Вы также можете бесплатно скачать на http://cnx.org/contents/[email protected]

Атрибуция:

• По вопросам, касающимся этой лицензии, обращайтесь по адресу [email protected].
• Если вы используете данный учебник в качестве библиографической ссылки, то цитировать его следует следующим образом: Колледж OpenStax, исчисление. OpenStax CNX. http://cnx.org/contents/[email protected].
• Если вы распространяете этот учебник в печатном формате, вы должны указать на каждой физической странице следующее указание авторства: «Загрузите бесплатно по адресу http://cnx.org/contents/[email protected]».
• Если вы распространяете часть этого учебника, вы должны сохранять при каждом просмотре страницы в цифровом формате (включая, помимо прочего, EPUB, PDF и HTML) и на каждой физической печатной странице следующее указание авторства: «Скачать бесплатно на http://cnx.org/contents/9{\пи/2}\кр &={8\over3}\pi-{32\over9}. \cr }$$ $\квадрат$

  Рисунок 15.2.2. Объем по области с непостоянными ограничениями.

  Возможно, вы выучили формулу вычисления площадей в полярных широтах. координаты. можно вычисляйте области как объемы, так что вам нужно запомнить только один техника. Рассмотрим поверхность $z=1$, горизонтальную плоскость. Громкость под этой поверхностью и над ней находится область в плоскости $x$-$y$. просто $1\cdot(\hbox{площадь области})$, поэтому вычисление объема на самом деле просто вычисляет площадь региона. 92=г$. (отвечать)

  Пример 15.2.7 Найдите площадь внутри $r=1+\sin\theta$ и снаружи $r=2\sin\тета$. (отвечать)

  Пример 15.2.8 Найдите площадь внутри обоих $r=2\sin\theta$ и $r=2\cos\theta$. (отвечать)

  Пример 15.2.9 Найдите площадь внутри четырехлистной розы $r=\cos(2\theta)$ и вне $r=1/2$. (отвечать)

  Пример 15.2.10 Найдите площадь внутри кардиоиды $r=2(1+\cos\theta)$ и вне $r=2$.

Как конвертировать PDF в изображение-Лучший Способ

Каждый пользователь время от времени сталкивается с задачей конвертирования PDF-файлов в изображения. В этой ситуации необходимо следить за качеством итогового изображения и сохранением форматирования файла в процессе конвертирования. Какие инструменты считаются наиболее подходящими для преобразования PDF? В этой статье мы расскажем, как PDFelement и некоторые другие бесплатные конвертеры PDF в изображения могут помочь вам конвертировать PDF-файлы в форматы изображений.

Вам также может понравиться:  Как конвертировать PDF-изображения в текст >>

Скачать бесплатно

PDFelement оснащен простым и удобным интерфейсом, позволяющим с легкостью конвертировать или редактировать PDF-файлы на Windows или Mac OS X. Это не просто конвертер. Данный инструмент также полностью отвечает всем потребностям пользователей по редактированию PDF. Вы можете с легкостью создавать, сохранять и преобразовывать PDF-документы в один из множества форматов вывода, поддерживаемых этой программой. При преобразовании PDF в изображение полностью сохраняются качество и оригинальное форматирование файла. Кроме того, программа обладает продуманными функциями чтения и редактирования, которые позволяют редактировать статусы, тексты, описания, ссылки и т.д. Это отличный PDF-редактор, подходящий как для новичков, так и для экспертов.

Вы также можете создавать, заполнять и подписывать PDF-формы для отправки другим пользователям. При создании PDF-форм вы можете задать собственный формат при помощи множества инструментов для создания форм в PDFelement или использовать один из бесплатных предустановленных шаблонов. Функция OCR позволяет распознавать тексты и изображения в отсканированных PDF и превращать их в редактируемые файлы.

Скачать бесплатно

Руководство по сохранению PDF в форматах файлов изображений

Шаг 1. Импорт PDF-файла(ов)

Запустите PDFelement на своем компьютере и нажмите «Открыть файл» для импортирования PDF-файла, который вы хотите конвертировать. Вы также можете щелкнуть правой кнопкой мыши на PDF-файле и выбрать «Открыть с помощью Wondershare PDFelement».

Шаг 2. Отредактируйте документ PDF (необязательно)

Если вы хотите внести изменения в свой PDF-файл перед преобразованием его в изображение, нажмите на вкладку «Редактировать» для редактирования текста и изображений. Если вы хотите добавить новый текст или изображение в PDF-файл, используйте кнопку «Добавить текст» или «Добавить изображение» во вкладке «Редактировать».

Шаг 3. Конвертирование PDF в файл изображения

Нажмите на вкладку «Главная», а затем выберите «В другие форматы». Затем выберите опцию «Конвертировать в изображение» в подменю. В следующем окне выберите формат изображения и выходную папку. Для завершения нажмите кнопку «Сохранить», чтобы сохранить PDF как изображение в Windows 10/8/7.

Другие рекомендации по конвертированию PDF в изображение

1. Nitro Pro

Nitro Pro позволяет конвертировать PDF-файлы в изображения, тексты, документы Word и многие другие форматы, но не поддерживает преобразование в EPUB. Полный функционал программы, включая проверку орфографии, доступен на 12 языках. Опция «Быстрая подпись» позволяет добавлять подписи к вашему документу. Одна из его наиболее полезных функций программы – возможность редактировать изображение по частям. Если вы хотите разбить график или развернуть изображение, вы можете сделать это всего за несколько кликов. Также программа предусматривает возможность добавления пароля для защиты файла от неавторизованных пользователей.

2. Nuance Power PDF Advanced

Nuance Power PDF — отличный инструмент для экспорта PDF в изображение. Данная программа оснащена функциями преобразования, редактирования, добавления и защиты PDF-файлов. Nuance конвертирует PDF-файлы в изображения, Word и другие форматы ms office. Nuance Power PDF поддерживает конвертирование как для Windows, так и для Mac. Программа обладает простым в использовании интерфейсом и позволяет конвертировать любые форматы файлов, включая отсканированные документы. Кроме того, с ее помощью пользователи могут объединять несколько документов в один PDF-файл. Обладает инструментами редактирования с возможностью добавления текста в документ, а также функциями удаления текста и создания пароля безопасности.

Несколько ПДФ В Один ДЖИПЕГ

Объединить ПДФ в Джипег с высокой скоростью и лучшим качеством

Разработано на базе программных решений от aspose.com а также aspose.cloud

Выберите PDF файлы или перетащите PDF файлы мышью

По вертикали

По горизонтали

Сетка

Столбцы

Ряды

Использовать распознавание текста Использовать распознавание текста

АнглийскийАрабскийИспанскийИтальянскийКитайский упрощенныйНемецкийПерсидскийПольскийПортугальскийРусскийФранцузский Для корректной работы алгоритма OCR текст и таблицы не должны быть повернуты вниз или вбок.»/>

Если вам нужно преобразовать ПДФ в отдельные файлы Джипег, используйте Conversion

Загружая свои файлы или используя наш сервис, вы соглашаетесь с нашими Условиями обслуживания и Политикой конфиденциальности.

Сохранить как

JPGDOCXPDFMDPPTXPPTHTMLTXTDOCDOTDOCMDOTXDOTMRTFMHTMLXHTMLODTOTTPSPCLXPSBMPEMFPNGGIFSVGTIFFWEBPEPUBXLSXXLSCSVTEXMOBIWPSWPT

ОБЪЕДИНИТЬ

Ваши файлы успешно объединены

СКАЧАТЬ

Загрузить в Google Загрузить в Dropbox

Объединить другие документы Отправить на электронную почту
Отправьте нам свой отзыв

Хотите сообщить об этой ошибке на форуме Aspose, чтобы мы могли изучить и решить проблему? Когда ошибка будет исправлена, вы получите уведомление на email. Форма отчета

Google Sheets
Mail Merge Облачный API

Объединить ПДФ в Джипег онлайн

Объедините ПДФ в Джипег онлайн бесплатно. Наш веб-сервис предназначен для объединения нескольких файлов ПДФ в одно изображение Джипег. Используйте его для объединения ПДФ документов и экспорта результата в Джипег формат. Вы можете сделать это быстро и эффективно, без установки какого-либо ПО. ‘Объединитель ПДФ в Джипег’ работает из любого веб-браузера в любой операционной системе.

Слияние ПДФ в Джипег онлайн

Джипег — самый популярный формат файлов для хранения изображений, фотографий и отсканированных документов. Во многих случаях вам может понадобиться объединить ПДФ в Джипег. Например, вы можете соединить несколько файлов ПДФ с изображением Джипег для печати или архивирования. Или вы можете создать один Джипег файл из ПДФ файлов и отправить объединенное Джипег изображение своим коллегам. Чтобы выполнить эту работу, просто воспользуйтесь нашим бесплатным Merge ПДФ to Джипег, который обработает набор документов и объединит ПДФ вместе за считанные секунды.

Объединение ПДФ в Джипег онлайн

Это бесплатное решение для слияния ПДФ файлов в Джипег. Объедините файлы ПДФ в изображение Джипег в нужном порядке. Мы гарантируем профессиональное качество изображения в Джипег формате.

Как объединить ПДФ в Джипег

1. Загрузите до 10 ПДФ файлов для объединения в один Джипег файл.
2. Установите параметры операции, такие как порядок соединения ПДФ, оптическое распознавание символов (OCR).
3. Нажмите кнопку, чтобы объединить несколько ПДФ в один Джипег файл.
4. Загрузите выходной Джипег файл для мгновенного просмотра.
5. Отправьте ссылку для скачивания выходного Джипег файла на свой адрес электронной почты.

Вопросы-Ответы

Как объединить несколько ПДФ файлов в один Джипег файл?

Воспользуйтесь нашим онлайн сервисом Merge ПДФ to Джипег. Он быстрый и простой в использовании. Бесплатно объедините несколько ПДФ в один Джипег.

Сколько ПДФ файлов я могу объединить одновременно?

Вы можете объединить до 10 ПДФ файлов одновременно.

Каков максимально допустимый размер ПДФ файла?

Размер каждого ПДФ файла не должен превышать 10 МБ.

Каковы способы получения объединенного результата в Джипег формате файла?

В конце операции слияния ПДФ вы получите ссылку для скачивания. Вы можете сразу скачать объединенный результат в Джипег формате файла или отправить ссылку на свой адрес электронной почты.

Как долго мои ПДФ файлы хранятся на ваших серверах?

Все пользовательские файлы хранятся на серверах Aspose в течение 24 часов. По истечении этого времени они будут автоматически удалены.

Можете ли вы гарантировать безопасность моих ПДФ файлов? Все безопасно?

Aspose уделяет первостепенное внимание безопасности и защите пользовательских данных. Будьте уверены, что ваши ПДФ файлы хранятся на безопасных серверах и защищены от любого несанкционированного доступа.

Почему объединение нескольких ПДФ файлов в один Джипег файл занимает немного больше времени, чем я ожидал?

Объединение нескольких ПДФ файлов в Джипег формат иногда может занимать много времени, поскольку оно требует повторного кодирования и повторного сжатия данных.

Как преобразовать файл PDF в фотографию для загрузки в Facebook | Малый бизнес

Автор: Бренна Суонстон Обновлено 9 апреля 2019 г.

Если у вас есть PDF-файл, которым вы хотите поделиться со всем миром через Facebook, вы можете столкнуться с проблемой. Вы просто не можете загрузить этот тип файла на Facebook как фотографию. К счастью, есть несколько способов обойти это небольшое препятствие. Вот как ориентироваться в этих обходных путях.

Экспорт с помощью Adobe Acrobat

Если на вашем рабочем столе установлено программное обеспечение Adobe Acrobat, вам повезло. Acrobat — это, по сути, король всех PDF-файлов, и он может вам помочь. Используйте программное обеспечение для экспорта или преобразования PDF-файлов в различные форматы файлов, включая форматы изображений. Выполните следующие шаги:

1. Откройте PDF-файл в Acrobat.
2. Нажмите «Инструменты», затем «Экспорт PDF».
3. Выберите «Изображение», затем нужный формат файла (формат JPEG или PNG должен работать нормально).
4. Щелкните значок шестеренки, чтобы настроить параметры преобразования, например разрешение, для выбранного формата файла.
5. Установите флажок «Экспортировать все изображения». Вы можете извлечь и сохранить только изображения из файла PDF. Если вы этого не сделаете, каждая страница из PDF-файла будет экспортирована в выбранный вами тип файла.
6. Нажмите «Экспорт» и выберите локальную папку, в которую вы хотите экспортировать новый файл.
7. Нажмите «Сохранить», чтобы завершить экспорт PDF-файла в новом формате.

Когда вы закончите экспорт файла, перейдите в папку, в которой вы сохранили новый файл, и вот оно: изображение, готовое для загрузки в Facebook.

Используйте онлайн-конвертер

В Интернете доступно множество бесплатных конвертеров типов файлов, в том числе те, которые конвертируют файлы PDF в форматы изображений.

Посетите веб-сайт PDF Converter, например, чтобы преобразовать файл PDF в формат JPG. Этот сайт также может изменить формат изображения PDF на PNG или TIFF.

Сделать снимок экрана

Это, наверное, самый простой вариант. Если вы откроете файл PDF на рабочем столе и сделаете его снимок экрана, ваш компьютер сохранит этот снимок экрана в виде файла изображения — скорее всего, в формате PNG. Facebook хорошо работает с файлами PNG, поэтому у вас не должно возникнуть проблем с загрузкой этого снимка экрана на платформу социальной сети.

Конвертировать с помощью Microsoft Word

Этот метод немного запутан, но он работает, так что вот:

1. Откройте новый файл в Microsoft Word.
2. Перейдите в меню «Вставка», выберите «Изображения», затем выберите «Изображение из файла».
3. Выберите файл PDF, который вы хотите сохранить как изображение, и нажмите «Вставить». PDF-файл будет встроен в файл Word.
4. Щелкните правой кнопкой мыши изображение в документе Word.
5. Выберите «Сохранить как рисунок» и введите имя файла.
6. Выберите место на рабочем столе, куда вы хотите сохранить изображение.
7. Щелкните раскрывающееся меню «Тип файла» и выберите формат изображения (JPEG или PNG).
8. Нажмите «Сохранить», и готово: ваш PDF-файл будет сохранен в формате изображения в выбранном вами месте.

Справочные материалы

• Adobe: преобразование или экспорт PDF-файлов в файлы других форматов
• PDF Converter: преобразование PDF в изображения
• WikiHow: преобразование PDF в файлы изображений

Ресурсы

• Facebook: Фотографии

Советы

• Инструмент Snipping Tool создает изображения с низким разрешением, которые подходят для большинства веб-сайтов. Если вам нужно преобразовать PDF-файлы в изображения с высоким разрешением, используйте онлайн-инструмент. После того, как вы загрузите свой PDF-файл на один из этих сайтов, инструмент позволит вам загрузить преобразованные файлы изображений.

Биография писателя

Бренна Суонстон — независимый писатель, редактор и журналист. Ранее она работала в газете Sun в Санта-Марии, штат Калифорния, и имеет степень бакалавра журналистики Калифорнийского политехнического государственного университета.

Конвертировать PDF в изображение с помощью Python 092

Сколько 96 разделить на 8 с использованием длинного деления?

Запутались в длинном делении? К концу этой статьи вы сможете разделить 96 на 8, используя деление в длинную сторону, и сможете применить ту же технику к любой другой задаче на деление в длинную сторону! Давайте взглянем.

Хотите быстро научиться или показать учащимся, как решить деление числа 96 на 8 с помощью деления в большую сторону? Включи это очень быстрое и веселое видео прямо сейчас!

Итак, первое, что нам нужно сделать, это уточнить термины, чтобы вы знали, что представляет собой каждая часть деления:

• Первое число, 96, называется делимым.
• Второе число 8 называется делителем.

Здесь мы разберем каждый шаг процесса длинного деления 96 на 8 и объясним каждый из них, чтобы вы точно поняли, что происходит.

96 разделить на 8 пошаговое руководство

Шаг 1

Первый шаг — поставить задачу деления с делителем слева и делимым справа, как показано ниже:

Шаг 2

Мы можем вычислить, что делитель (8) входит в первую цифру делимого (9), 1 раз(а). Теперь мы это знаем, мы можем поставить 1 вверху:

Шаг 3

Если мы умножим делитель на результат предыдущего шага (8 x 1 = 8), то теперь мы можем добавить этот ответ под делимым:

Шаг 4

Далее из второй цифры делимого (9 — 8 = 1) вычтем результат предыдущего шага и запишем этот ответ ниже:

Step 5

Переместите вторую цифру дивиденда (6) вниз, как так:

Шаг

(8). we can put 2 on top:

Шаг 7

Если мы умножим делитель на результат предыдущего шага (8 x 2 = 16), то теперь мы можем добавить этот ответ под делимым: 2 8 9 6 — 8 1 6 1 6

Шаг 8

Далее вычтем результат предыдущего шага из третьей цифры делимого (16 — 16 = 0) и запишем этот ответ ниже:

 module.exports = {
  тема: {
    интервал: {
      «1»: «8 пикселей»,
      «2»: «12 пикселей»,
      «3»: «16 пикселей»,
      «4»: «24 пикселя»,
      «5»: «32 пикселя»,
      «6»: «48 пикселей»,
    }
  }
} 

 module.exports = {
  тема: {
    продлевать: {
      интервал: {
        «13»: «3,25 бэр»,
        «15»: «3,75 бэр»,
        «128»: «32 бэр»,
        «144»: «36рем»,
      }
    }
  }
} 

 module.exports = {
  тема: {
    интервал: {
      см: '8px',
      мд: '12px',
      LG: '16px',
      XL: '24px',
    }
  }
} 

Name	Size	Pixels	Preview
0	0px	0px
px	1px	1px
0.5	0.125rem	2px
1	0,25rem	4px
1,5
2	0.5rem	8px
2.5	0.625rem	10px
3	0.75rem	12px
3.5	0.875 rem	14px
4	1rem	16px
5	1.25rem	20px
6	1.5rem	24px
7	1.75rem	28px
8	2rem	32px
9	2. Решение задач круг эйлера: описание, примеры, для дошкольников, для школьников alexxlab / 24.06.202302.04.2023 / Разное Решение задач с помощью кругов Эйлера Поделиться   16,701 просмотр Презентации / Математика / Решение задач с помощью кругов Эйлера Скачать презентацию Понравилось   |   29 Текст этой презентации Слайд 1 Для тех , кому интересно «Решение задач с помощью кругов Эйлера» 5-6 класс Слайд 2 Изображение множеств в виде кругов подходит для того, чтобы облегчить рассуждения при решении задач Слайд 3 Задача: Все мои друзья занимаются каким-нибудь видом спорта. 17 из них увлекаются футболом, а 14 — баскетболом. И только двое увлекаются и тем и другим видом спорта. Угадайте, сколько у меня друзей? Слайд 4 1.Изобразим два множества , так как два вида спорта. В одном будем фиксировать друзей, которые увлекаются футболом, а в другом — баскетболом 2.Поскольку некоторые из друзей увлекаются и тем и другим видом спорта, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть (пересечение) Слайд 5 2 15 12 17 из них увлекаются футболом, а 14 — баскетболом. И только двое увлекаются и тем и другим видом спорта. Расставить числа , согласно условию задачи: 1)В общей части ставим цифру 2(двое увлекаются и тем и другим видом спорта) 2)В оставшейся части «футболистов» круга ставим цифру 15 (17 − 2 = 15). В свободной части «баскетболистов» круга ставим цифру12 (14 − 2 = 12). футболом баскетболом 3)Всего друзей 15+2+12=29 Ответ:29 друзей Слайд 6 Задача: В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Слайд 7 1.Изобразим три множества , так как три увлечения. В одном будем фиксировать ребят из драмкружка, во втором ребят , которые поют. В третьем будем фиксировать ребят, которые увлекаются спортом. 2.Поскольку некоторые из ребят увлекаются всем , то круги нарисуем так, чтобы у них было пересечение. Слайд 8 драмкружок хор спорт Слайд 9 драмкружок хор спорт 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор , поэтому заполняем эту общую часть. 3 В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Слайд 10 В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? драмкружок хор спорт Окрашенная часть показывает занятие ребят в драмкружке и хоре. Слайд 11 В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? драмкружок хор спорт По условию в драмкружке 10 ребят из хора . А так как в предыдущих рассуждениях поставлено число 3 ,то в оставшейся части ставим число 7 (10-3=7) Слайд 12 В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? драмкружок хор спорт 3 7 Слайд 13 В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? драмкружок хор спорт Окрашенная часть показывает занятие спортсменов в драмкружке Слайд 14 В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? драмкружок хор спорт По условию в драмкружке 8 спортсменов . А так как в предыдущих рассуждениях поставлено число 3 ,то в оставшейся части ставим число 5 (8-3=5) Слайд 15 3 5 драмкружок хор спорт В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Слайд 16 В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? драмкружок хор спорт Окрашенная часть показывает сколько спортсменов поют в хоре . Слайд 17 В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? драмкружок хор спорт По условию в хоре 6 спортсменов . А так как в предыдущих рассуждениях поставлено число 3 ,то в оставшейся части ставим число 3 (6-3=3) Слайд 18 В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? драмкружок хор спорт 3 3 Слайд 19 драмкружок хор спорт 3 7 5 3 Слайд 20 В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? драмкружок хор спорт Окрашенная часть показывает сколько ребят в драмкружке Слайд 21 В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? драмкружок хор спорт По условию 27 занимаются в драмкружке . А так как в предыдущих рассуждениях поставлены числа 3,5,7 ,то в оставшейся части ставим число 12 (27-(3+5+7)=12) Слайд 22 драмкружок хор спорт 3 7 5 12 В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Слайд 23 В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? драмкружок хор спорт Окрашенная часть показывает сколько ребят поют в хоре Слайд 24 В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? драмкружок хор спорт По условию 32 поют в хоре . А так как в предыдущих рассуждениях поставлены числа 3,3,7 ,то в оставшейся части ставим число 19 (32-(3+3+7)=19) 3 7 3 19 Слайд 25 В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? драмкружок хор спорт Окрашенная часть показывает сколько ребят занимаются спортом. Слайд 26 В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? По условию 22 человека увлекаются спортом. А так как в предыдущих рассуждениях поставлены числа 3,5,3 ,то в оставшейся части ставим число 11 (22-(3+5+3)=11) драмкружок хор спорт Слайд 27 В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? драмкружок хор спорт 11 3 5 3 Слайд 28 драмкружок хор спорт 3 7 5 3 19 11 12 Слайд 29 Всего занимаются 12+19+11+7+3+3+5=60 человек. Не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке 70-60=10 человек Ответ: 10 человек Слайд 30 Задача: Из 220 студентов 163 играют в шахматы,175-в футбол,22 человека не играют в эти игры . Сколько студентов одновременно играют в шахматы и в футбол? шахматы футбол х 163-х 175-х 220-22=198(чел)-играют в игры 163-х+х+175-х=198 338-х=198 х=140 140 студентов одновременно играют в шахматы и в футбол Слайд 31 Реши : 9  моих  друзей  любят  бананы,  8  –  апельсины,  а  7  –  сливы,  5  –  бананы  и  апельсины,  3  –  бананы  и  сливы,  4  –  апельсины  и  сливы, 2 бананы,  апельсины  и  сливы.  Сколько  у  меня  друзей? Слайд 32 Проверь решение: бананы апельсины сливы 3 2 3 1 2 1 2 3+3+2+1+2+2+1=14 друзей Ответ:14 друзей Слайд 33 Домашнее задание: 1.Каждый из членов команды играет либо в футбол , либо в хоккей , либо в футбол и в хоккей . Сколько человек в команде ,если известно , что 18 человек играют в обе игры,22 человека играют в футбол,21 в хоккей? 2.В некоторой школе есть класс увлеченных ребят.Семь учеников из этого класса увлекаются математикой,шесть-физикой,пять-астрономией. Четверо из учеников увлекаются математикой и физикой,трое-математикой и астрономией,двое-физикой и астрономией,а один –и математикой,и физикой,и астрономией.Сколько учеников в классе? Слайд 34 Проверь: футбол хоккей 1) 18 22-18=4 21-18=3 4+18+3=25(чел.) Ответ:25 человек Слайд 35 2) математика физика астрономия 1 2 1 1 1 1 3 Ответ:10 человек 1+1+1+1+1+2+3=10(чел) Слайд 36 Спасибо за внимание Похожие презентации Задания для 5 класса по теме «Уравнение — Решение задач с помощью уравнений» Решение задач с помощью уравнений Олимпиадные задачи с решением для учащихся 5-6 классов Урок-игра «Решение задач на нахождение части от числа» Решение задач на движение Круги Эйлера — Учусь математике w3.org/1999/xhtml» cellspacing=»0″> Очень часто решение задачи помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение задачи простым и наглядным. Решение каждой из этих задач можно красиво оформить. Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, предлагаются на математических олимпиадах. Ценность задач, решаемых с помощью кругов Эйлера, состоит в том, что решения задач с громоздкими условиями и со многими данными, просты и не вызывают особых умозаключений. Актуальность состоит в том, что задачи имеют практический характер, что немаловажно в современной жизни. Одним из первых, кто использовал для решения задач круги, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716). В его черновых набросках были обнаружены рисунки с кругами. Затем этот метод основательно развил швейцарский математик Леонард Эйлер (1707 – 1783). Леонард Эйлер, крупнейший математик XVIII века, родился в Швейцарии. В 1727г. по  приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. Эйлер попал в круг выдающихся математиков, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира. Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.  Задача №1. Сколько натуральных чисел из первого десятка не делится ни на 2, ни на 3? Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться кругами Эйлера. В нашем случае три круга: большой круг – это множество чисел от 1 до 10, внутри большого – два меньших круга, пресекающихся друг с другом. Пусть множество чисел, кратных 2– это множество А, а множество чисел, кратных 3 – множество В. Рассуждаем. На 2 делится каждое второе число. Значит, таких чисел будет 10:2=5. На 3 делится 3 числа (10:3). На 2 и 3 делятся те числа, которые делятся на 6. Такое число только одно. Поэтому множество А состоит из 5-1=4 чисел, множество В – 3-1=2 чисел. Отсюда следует, что в первом десятке содержится 10-(4+1+2)=3 числа.        Задача №2.  С помощью кругов Эйлера можно ответить на множество вопросов, поставленных к одному условию задачи. Пусть круг А изображает всех учащихся, говорящих по-английски, круг Н – говорящих на  немецком языке, Круг Ф – говорящих по-французски. Сколько учащихся говорит: а) на всех трех языках? б) по-английски и по-немецки? в) по-французски? Сколько всего учащихся, говорящих на иностранном языке? Сколько из них не говорит по-французски? Сколько из них не говорит по-немецки? Сколько из них не говорит на иностранном языке? Ответ: а) На всех трех языках говорят 3 ученика; б) По-английски и по-немецки – 15 человек; в) только по-французски – 8 учащихся. Всего 100 (40+7+3+15+5+22+8) ребят, говорящих на иностранных языках. По-французски не говорят 77учащихся (100-(8+5+7+3) . Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться кругами Эйлера. В нашем случае три круга: большой круг – это множество чисел от 1 до 10, внутри большого – два меньших круга, пресекающихся друг с другом. Пусть множество чисел, кратных 2– это множество А, а множество чисел, кратных 3 – множество В. Рассуждаем. На 2 делится каждое второе число. Значит, таких чисел будет 10:2=5. На 3 делится 3 числа (10:3). На 2 и 3 делятся те числа, которые делятся на 6. Такое число только одно. Поэтому множество А состоит из 5-1=4 чисел, множество В – 3-1=2 чисел. Отсюда следует, что в первом десятке содержится 10-(4+1+2)=3 числа.    Реши самостоятельно  Задача № 3. В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по истории – 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по  математике – 4 человека, по истории – 11 человек. Семь учеников имеют «тройки» и по  математике и по истории, а 5 учеников – «тройки» по всем предметам. Сколько человек учится без «троек»? Сколько человек имеют «тройки» по двум из трех предметов? Решение Задача № 4. В классе 35 учеников. В математическом кружке из них 12 занимаются, в биологическом — 9, а 16 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой? Решение. Математика Эйлера – Круг Эйлера На курсе Математика Эйлера (Летняя сессия 2, 2023 г.) мы изучим работу Леонарда Эйлера, одного из величайших математиков в истории, а также того, в честь которого назван круг Эйлера. Поскольку Эйлер, возможно, был самым плодовитым математиком в истории, у нас не будет возможности рассмотреть все его работы, но мы рассмотрим некоторые из его наиболее интересных работ и результатов. Эйлер был пионером во многих разделах математики, от топологии до теории графов, анализа, групп Ли, модулярных форм и вариационного исчисления, и, как следствие, он смог обнаружить некоторые из прекрасных ранних результатов в этих областях раньше, чем кто-либо другой. до них дошло другое: он видел математику, когда другие не понимали, что она существует. В этом классе мы будем мотивированы работой Эйлера, чтобы представить некоторые из этих тем Статьи Эйлера, по крайней мере те, которые были переведены на английский язык, приятно читать. В то время как современные авторы обычно скрывают свой мыслительный процесс и пишут только о том, что сработало, Эйлер стремился рассказать своим читателям, о чем он думал, и даже о том, что он не смог сделать. Мы все можем многому научиться, читая мысли математика такого уровня; хорошо бы последовать совету Лапласа: «Читайте Эйлера: он господин над всеми нами!» Так и будем. Современные стандарты строгости в математике были систематизированы в девятнадцатом веке. Таким образом, Эйлер, математик восемнадцатого века, не был связан ими и не знал, насколько строгой и точной станет математика в следующем столетии. Таким образом, он был счастлив играть быстро и свободно с бесконечностями и расходящимися рядами, так, как современные математики никогда не советуют делать. Но мы никогда не должны забывать, как весело играть с математикой и определять, что верно и как все работает, не слишком беспокоясь о точных правилах игры. Например, Эйлер был первым, кто сделал ныне известное и противоречивое наблюдение, что . Это неверно в смысле сходимости рядов, концепции девятнадцатого века. Но это намекает на очень глубокое и важное понятие аналитического продолжения. Все уловки Эйлера — намеки на глубокие концепции, которые остаются очень важными в современной математике, и мы рассмотрим (небольшой образец), что они из себя представляют и к чему привели работы Эйлера в последнее время. На этом уроке мы предполагаем, что учащиеся знакомы с математическим анализом, либо посещая занятия по нему, либо изучая его самостоятельно. Этот курс будет проходить в течение 5 недель, с 17 июля по 18 августа, по понедельникам, вторникам, четвергам и пятницам с 17:00 до 19:00 по тихоокеанскому времени. В другое время могут быть дополнительные необязательные (но настоятельно рекомендуемые) сеансы. Ожидается, что студенты будут выполнять значительный объем работы вне класса; Ожидается, что это будет основной деятельностью учащихся на протяжении всего занятия. Класс в основном будет проводиться в Zoom, но мы можем запланировать дополнительные личные занятия для местных студентов, если будет достаточный интерес. Заявки на этот курс принимаются до 9 апреля. Нажмите здесь, чтобы подать заявку! Нравится: Нравится Загрузка… Нажмите здесь, чтобы подписаться на рассылку! Добро пожаловать в круг Эйлера! – Эйлеровский круг Примечание: Euler Circle будет проводиться онлайн до тех пор, пока не станет безопасно возобновить очные занятия. Вам не обязательно проживать в районе залива Сан-Франциско, чтобы посещать онлайн-занятия. Весной мы проведем занятие по переходу к доказательствам в анализе. Летом мы проведем углубленные занятия по комбинаторике и комбинаторной теории игр. Вы учитесь в старшей школе в районе залива Сан-Франциско и любите математику? Вы находите традиционную учебную программу по математике слишком простой? Вы хотите изучать увлекательную и сложную математику? Вы хотите работать над задачами и подружиться с математически мыслящими сверстниками? Если это так, вы пришли в нужное место! What Euler Circle — математический институт в районе залива Сан-Франциско для студентов продвинутого уровня, которые любят математику. Мы предлагаем ряд занятий по математике на уровне колледжа, специально адаптированных к потребностям старшеклассников, многие из которых исчерпали учебную программу по математике в своих школах и хотят узнать больше. Каждый предлагаемый нами курс эквивалентен уроку математики в колледже. На каждом занятии учащиеся решают множество задач, чтобы ознакомиться с новым материалом, а на продвинутых занятиях каждый учащийся пишет пояснительную работу по теме, связанной с материалом занятия. Занятия устроены таким образом, чтобы обеспечить путь к независимым исследованиям. Многие из наших наборов задач в продвинутых классах включают нерешенные проблемы, которые учащиеся могут исследовать после того, как освоят материал, представленный в классе. Мы предлагаем встречи в небольших группах для студентов, заинтересованных в работе над исследовательскими проблемами, после того, как они продемонстрировали способность усердно работать над сложными задачами. Подробнее об исследованиях см. в круге Эйлера. Почему Математика — это больше, чем соревнования. Тем не менее, у старшеклассников мало ресурсов, чтобы узнать об остальном чудесном мире математики. Мы считаем, что многие студенты хотели бы увидеть, что еще есть, и мы хотим поделиться тем, что знаем. Когда/где Весной у нас будет одно открытое занятие. Это третья четверть перехода к последовательности доказательств с упором на анализ. Занятия начнутся 29 марта.и работать в течение 10 последовательных понедельников. Заявки принимаются 28 февраля . После этого мы продолжим принимать заявки по мере поступления, пока остаются места. Занятие будет проходить онлайн в Zoom. Нажмите здесь, чтобы подать заявку! Также открыты заявки на летние занятия, которые также будут онлайн в Zoom. Мы проведем два продвинутых класса подряд. Первая сессия будет посвящена комбинаторике, а вторая — комбинаторной теории игр. Эти классы будут встречаться в понедельник, вторник, четверг и пятницу утром в течение 5 недель каждый. Сумма ряда n 2 n: Найти сумму ряда online alexxlab / 24.06.202310.04.2023 / Разное Найти сумму ряда online ‘) window.yaContextCb.push(()=>{ Ya.Context.AdvManager.render({ renderTo: rtb_id, blockId: ‘R-A-1616620-2’ }) }) Примеры нахождения суммы ряда Что умеет калькулятор суммы рядов? Вы указываете выражение под знаком сигма, первый член, последний член или бесконечность, если нужно найти предел суммы. Подробнее про Сумма ряда. Указанные выше примеры содержат также: модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x| квадратные корни sqrt(x), кубические корни cbrt(x) тригонометрические функции: синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) показательные функции и экспоненты exp(x) обратные тригонометрические функции: арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс acot(x) натуральные логарифмы ln(x), десятичные логарифмы log(x) гиперболические функции: гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) обратные гиперболические функции: гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x), гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x) другие тригонометрические и гиперболические функции: секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x), арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x), гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x), гиперболический арккосеканс acsch(x) функции округления: в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x) знак числа: sign(x) для теории вероятности: функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности), функция Лапласа laplace(x) Факториал от x: x! или factorial(x) Гамма-функция gamma(x) Функция Ламберта LambertW(x) Тригонометрические интегралы: Si(x), Ci(x), Shi(x), Chi(x) Правила ввода Можно делать следующие операции 2*x — умножение 3/x — деление x^2 — возведение в квадрат x^3 — возведение в куб x^5 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7. *_n\tag{8}n=1∑∞​un∗​(8)– ряд, состоящий из тех же членов, что и ряд (1), но взятых в другом порядке. Если ряд (1) сходится абсолютно, то ряд (8) также абсолютно сходится и его сумма совпадает с суммой ряда (1). Если ряды (1) и (6) абсолютно сходятся, то ряд, полученный из всевозможных попарных произведений umvnu_mv_num​vn​ членов этих рядов, расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится и его сумма равна произведению сумм рядов (1) и (6), т. е. абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать, не заботясь о порядке членов. Признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами применимы для установления абсолютной сходимости рядов. Ряды, сходящиеся не абсолютно, называют условно сходящимися, для них утверждение о независимости их суммы от порядка слагаемых неверно. Справедлива теорема Римана: посредством надлежащего изменения порядка членов данного условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий любую наперёд заданную сумму, или расходящийся ряд. Примером условно сходящегося ряда может служить ряд  1−12+13−14+15−16+…=ln⁡2=0. {\infty}a_n,n=1∑∞​an​,что ∣un(x)∣⩽an|u_n(x)| \leqslant a_n∣un​(x)∣⩽an​, для всех x∈Ex∈Ex∈E, n=1,2,…,n=1,2,\ldots,n=1,2,…, то ряд (11) равномерно сходится на EEE (признак Вейерштрасса). Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных на некотором отрезке (или, более общо, на некотором топологическом пространстве) функций является непрерывной на этом отрезке (пространстве) функцией. Сумма равномерно сходящегося ряда интегрируемых на некотором множестве функций является интегрируемой на этом множестве функцией, и ряд можно интегрировать почленно. Если последовательность частичных сумм ряда интегрируемых функций сходится в среднем к некоторой интегрируемой функции, то интеграл от этой функции равен сумме ряда из интегралов от членов ряда. Интегрируемость в этих утверждениях понимается в смысле Римана или Лебега. Для интегрируемых по Лебегу функций достаточным условием возможности почленного интегрирования ряда с почти всюду сходящейся последовательностью частичных сумм является равномерная оценка их абсолютных величин некоторой интегрируемой по Лебегу функцией. Если члены сходящегося на некотором отрезке ряда (11) дифференцируемы на нём и ряд из их производных сходится равномерно, то сумма ряда также дифференцируема на этом отрезке и ряд можно дифференцировать почленно. Понятие функционального ряда обобщается и на случай кратных рядов. В различных разделах математики и её приложениях широко используются разложения функций в функциональные ряды, прежде всего в степенные ряды и тригонометрические ряды. Метод разложения в ряды является эффективным методом изучения функций, вычисления и оценок интегралов, решения всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных). Мощным методом исследования является гармонический анализ, основанный на представлении периодических и почти периодических функций рядами Фурье. См. также асимптотический ряд, ряд Лорана, ряд Тейлора. Редакция математических наук. По материалам статьи Л. Д. Кудрявцева и А. П. Юшкевича из Математического энциклопедического словаря. Дата публикации:  18 мая 2022 г. Формула как узнать объем куба: Объем куба — формула, калькулятор онлайн и примеры расчета alexxlab / 24.06.202301.04.2023 / Разное 3=a*a*a — то есть сторона куба, возведенная в третью степень. Как рассчитать объем куба? Как найти площадь и объем куба? Какая формула объема? Как найти объем куба Зная диаметр? Как вычислить 1 кубический метр? Чему равен объем? Какая формула площадь куба? Как найти объем через площадь? Как вычислить объем прямоугольника? Как искать объем? Как определить объем бруска? Как найти объем воды? Как найти объем куба если ребро 4 см? Как найти массу куба 5 класс? Как найти объем куба со стороной 2 1 см? В чем измеряется объем куба? Чему равен объем куба с ребром 12 см? Как рассчитать объем в трубе? Как найти сторону куба из объема? Как найти площадь куба если известен объем 5 класс? Как найти площадь и периметр куба? Как рассчитать объем куба? Формула для вычисления объема куба: V=a^3=a*a*a — то есть сторона куба, возведенная в третью степень. Как найти площадь и объем куба? Объём куба равен произведению его ширины, на длину и на высоту. У куба все ребра равны. V = 4 * 4 * 4 = 4³ = 64 дм³; Площадь поверхности куба равна сумме площадей его граней. Какая формула объема? Объем рассчитывается по формуле V=πr2h. То есть умножаем число π (3,14159) на радиус в квадрате и на высоту h цилиндра. Пример: есть вертикальный цилиндрический резервуар диаметром 3 метра и высотой 5 метров. Рассчитываем объем: Радиус — 1,5 метра, в квадрате будет 2,25. Как найти объем куба Зная диаметр? Для того, чтобы найти объём куба нам надо прежде всего найти значение стороны куба. Для этого существует формула: d = a√3, где d — диагональ куба, а a — сторона куба. Как вычислить 1 кубический метр? При помощи формулы нахождения объема прямоугольного параллелепипеда, мы можем рассчитать ее объем: V = a * b * h, где V — это объем в метрах кубических, a — длина в метрах, b — ширина в метрах, h — высота в метрах. Чему равен объем? Объём тела определяется его формой и линейными размерами. Основное свойство объёма — аддитивность, то есть объём любого тела равен сумме объёмов его (непересекающихся) частей. Объём Размерность L3 Единицы измерения СИ м3 СГС см3 Какая формула площадь куба? Площадь поверхности куба можно вычислить через ребро куба по формуле: S = 6 * h3. h3 = площадь одной грани куба, а у куба всего 6 граней. Как найти объем через площадь? V = a * b * h. В то же время произведение длины и ширины основания параллелепипеда есть не что иное как площадь его основания (S). Как вычислить объем прямоугольника? Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты. Как искать объем? Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. V = a × b × h. A длина параллелепипеда H высота параллелепипеда P (осн) периметр основания S (осн) площадь основания S (бок) площадь боковой поверхности Как определить объем бруска? Объем взятого прямоугольного бруска можно вычислить по формуле: V = L * S * h. Как найти объем воды? V — обьем воды, S — скорость наполнения, t — время: Чтобы найти обьем воды V, перемножим скорость наполнения (л/ч) — d на время t. V = d * t. Для нахождения времени t, необходимо разделить обьем воды на скорость наполнения p. Чтобы вычислить скорость наполнения S, разделим обьем V на скорость наполнения t. Как найти объем куба если ребро 4 см? У куба они равны также. Объем куба вычисляется как произведение значений всех трех его измерений: 4 * 4 * 4 = 4 ^ 3 = 64 м³. 2. Как найти площадь и периметр куба? Для того чтобы найти периметр, площадь и объём куба воспользуемся формулами: Периметр куба = 12 * a; Объем куба = a × a × a = a³; Площадь куба = 6 × a². Вычисление объёма прямоугольного параллелепипеда: как найти, формула нахождения Школа — это необъятная чаша знаний, которая включает в себя множество дисциплин, которые могут заинтересовать любого ребенка. Математика — царица точных наук. Строгая и дисциплинированная, она не терпит неточностей. Даже повзрослев, в обычной жизни мы можем столкнуться с разными математическими проблемами: вычисление квадратных метров для укладки плитки в ванной, кубических метров для определения объема бака и т. д., чего уж говорить о школьниках, которые только-только начинают свой математический путь. Очень часто, начав изучать математику, точнее, геометрию, ученики путают плоские фигуры с объемными. Куб называют квадратом, шар — кругом, параллелепипед обычным прямоугольником. И здесь есть свои тонкости. Сложно помочь ребенку в выполнении домашнего задания, не зная точно, объем или площадь какой фигуры — плоской или же объемной, нужно найти. Невозможно найти объем плоских фигур, таких как квадрат, круг, прямоугольник. В их случае можно найти лишь площадь. Прежде чем переходить к выполнению задачи, следует подготовить нужные атрибуты: Линейка, для того чтобы измерить необходимые нам данные. Калькулятор, для того чтобы в дальнейшем подсчитать расчеты. Содержание: Вычисление объема прямоугольного параллелепипеда Пример первый Пример второй Пример третий Итак, вы знаете, что нужно рассчитать объем, но не забывайте, что обязательно нужно уточнить о какой именно фигуре идет речь: объем куба, или же объемного прямоугольника. Ведь расчет этих, казалось бы, одинаковых фигур, абсолютно разный. Для начала рассмотрим само понятие объемного прямоугольника. Это параллелепипед. В его основании находится параллелограмм. Так как таковых у него шесть, следовательно все параллелограммы являются гранями параллелепипеда. Что касается его граней, они могут отличаться, то есть, если прямые боковые грани представляют собой прямоугольники, тогда это прямой параллелепипед, ну, а если все шесть граней являются прямоугольниками, то перед нами прямоугольный параллелепипед. После прочтения задачи, нужно определить что именно следует найти; длину фигуры, объем или же площадь. Какая именно часть фигуры рассматривается в задаче — ребро, вершина, грань, сторона, а может быть, вся фигура целиком? Определив все поставленные задачи, можно переходить непосредственно к вычислениям. Для этого нам понадобятся специальные формулы. Итак, для того чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда перемножается между собой длина, ширина и высота (то есть толщина фигуры). Формула вычисления объема прямоугольного параллелепипеда следующая: V=a*b*h, V является объемом параллелепипеда, где a — его длина b — ширина и h — высота соответственно. Важно! Перед началом перевести все измерения в одну единицу исчисления. Ответ должен получится непременно в кубических единицах. Пример первый Определим объем бака для спирта, при следующих размерах: длина три метра; ширина два метра пятьдесят сантиметров; высота триста сантиметров. Для начала обязательно согласовываем единицы измерения и перемножаем их: 3*2.5*3. Перемножив данные, мы получим ответ в кубических метрах, то есть 3*2.5*3= 22.5 метра в кубе. Пример второй Шкаф имеет высоту четыре метра, ширину семьдесят сантиметров и глубину 80 сантиметров. Зная формулу вычисления можно произвести умножение. Но не стоит торопиться, как и было сказано вначале, следует согласовать между собой единицы, то есть при желании вычислять в сантиметрах перевести все исчисления в сантиметры, ежели в метрах, то в метры. Сделаем оба варианта. Итак, начнем с сантиметров. Переводим метры в сантиметры: V = 400 * 70 * 80; V = 2240000 сантиметров в кубе. Теперь метры: V = 4* 0.7 * 0.8; V = 2.24 метра в кубе. Исходя из вышеперечисленных манипуляции, очевидно, что работа с кубическими метрами более легка и понятна. Пример третий Дана комната, объем которой должен быть вычислен. Длина этой комнаты равна пяти метрам, ширина — трем, а высота потолка 2,5. Опять используем известную нам формулу: V = a * b * h; где, а длина комната и равна 5, b- ширина и равна 3 и h высота, которая равна 2.5 Так как все единицы даны в метрах, можно сразу приступать к вычислениям. Перемножая между собой a, b и h: V = 5 * 3 * 2.5; V = 37.5 метра в кубе. Итак, в качестве заключения, можно сказать, что зная основные математические правила для вычисления объема или же площади фигур, а также правильно определив фигуры (плоские или же объемные), умея переводить сантиметры в метры и наоборот — можно облегчить изучение геометрии вашему ребенку, что не может не сделать этот процесс более интересным и привлекательным, ведь все накопленные знания в школе, могут быть успешно использованы в самой обычной бытовой жизни в будущем. Нахождение объема куба Войти Биографии репетитора Подготовка к тесту СРЕДНЯЯ ШКОЛА ACT Репетиторство SAT Репетиторство Репетиторство PSAT ASPIRE Репетиторство ШСАТ Репетиторство Репетиторство STAAR ВЫСШАЯ ШКОЛА Репетиторство MCAT Репетиторство GRE Репетиторство по LSAT Репетиторство по GMAT К-8 Репетиторство AIMS Репетиторство по HSPT Репетиторство ISEE Репетиторство ISAT Репетиторство по SSAT Репетиторство STAAR Поиск 50+ тестов Академическое обучение репетиторство по математике Алгебра Исчисление Элементарная математика Геометрия Предварительный расчет Статистика Тригонометрия репетиторство по естественным наукам Анатомия Биология Химия Физика Физиология иностранные языки французский немецкий Латинский Китайский мандарин Испанский начальное обучение Чтение Акустика Элементарная математика прочие Бухгалтерия Информатика Экономика Английский Финансы История Письмо Лето Поиск по 350+ темам О Обзор видео Процесс выбора наставника Онлайн-репетиторство Мобильное обучение Мгновенное обучение Как мы работаем Наша гарантия Влияние репетиторства Обзоры и отзывы Освещение в СМИ О преподавателях университета Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение: (888) 888-0446 All Common Core: математические ресурсы для 7-го класса 7 диагностических тестов 110 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept Common Core: справка по математике для 7-го класса » Геометрия » Решение задач на площадь, объем и площадь поверхности двух- и трехмерных объектов: CCSS. Math.Content.7.GB.6 » Нахождение объема куба Если куб имеет высоту в дюймах, каков его объем? Возможные ответы: Недостаточно информации. Правильный ответ: Объяснение: Чтобы найти объем куба, мы умножаем длину на ширину на высоту, что может быть представлено с помощью forumla. Поскольку у куба равные стороны, мы можем использовать для всех трех значений. Сообщить об ошибке Каков объем куба со стороной, равной дюймам? Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Объем куба (или прямоугольной призмы) можно определить с помощью следующего уравнения: Сообщить об ошибке Определите объем куба с площадью поверхности 150 квадратных дюймов. Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Пусть это будет длина одного ребра куба. Поскольку площадь его поверхности составляет 150 квадратных дюймов, на одну грань приходится одна шестая этой площади, или квадратных дюймов. Следовательно, и . Объем равен кубу этого или  кубическим дюймам. Сообщить об ошибке Укажите объем куба с площадью поверхности 240 квадратных дюймов. Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Пусть это будет длина одного ребра куба. Поскольку площадь его поверхности составляет 240 квадратных дюймов, на одну грань приходится одна шестая этой площади, или квадратных дюймов. Следовательно, и . Объем равен кубу этого или  кубическим дюймам. Сообщить об ошибке Рассчитайте объем указанной цифры. Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Чтобы решить эту задачу, нам нужно вспомнить формулу объема для куба: Теперь, когда у нас есть правильная формула, мы можем заменить в наши известные значения и решить:  Сообщить об ошибке Рассчитайте объем указанной фигуры. Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Чтобы решить эту задачу, нам нужно вспомнить формулу объема для куба: Теперь, когда у нас есть правильная формула, мы можем заменить в наши известные значения и решить:  Сообщить об ошибке Рассчитайте объем указанной фигуры. Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Чтобы решить эту задачу, нам нужно вспомнить формулу объема для куба: Теперь, когда у нас есть правильная формула, мы можем заменить в наши известные значения и решить:  Сообщить об ошибке Уведомление об авторских правах Посмотреть репетиторов Дэвид Сертифицированный репетитор Кентский государственный университет, бакалавриат, маркетинг. Кентский государственный университет в Кенте, магистр педагогических наук, специальное образование. Посмотреть репетиторов Аманда Сертифицированный репетитор Сиэтлский университет, нынешний студент бакалавриата, факультет прикладной математики. Посмотреть репетиторов Оскар Сертифицированный репетитор Гаванский университет, бакалавриат, физика. All Common Core: математические ресурсы для 7-го класса 7 диагностических тестов 110 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept Volume of A Cube — GCSE Maths Введение Каков объем куба? Как рассчитать объем куба Объем рабочего листа куба Как вычислить недостающую длину, учитывая объем Распространенные заблуждения Практика объем куба вопросы Объем куба GCSE вопросы Контрольный список обучения Следующие уроки Все еще застряли? Индивидуальные занятия по математике, созданные для успеха KS4 Теперь доступны еженедельные онлайн-уроки повторения математики GCSE Узнать больше Введение Каков объем куба? Как рассчитать объем куба Объем рабочего листа куба Как вычислить недостающую длину, учитывая объем Распространенные заблуждения Практика объем куба вопросы Объем куба GCSE вопросы Контрольный список обучения Следующие уроки Все еще застряли? Здесь мы узнаем об объеме куба, в том числе о том, как вычислить объем куба и как найти недостающие длины куба, зная его объем. Также есть рабочие листы объемом куба, основанные на экзаменационных вопросах Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные рекомендации о том, что делать дальше, если вы все еще застряли. 9{3} Подставьте значения в формулу. Выполнить расчет. Напишите ответ и укажите единицы измерения. Объясните, как вычислить объем куба Объем рабочей таблицы куба Получите бесплатный объем рабочей таблицы куба из 20+ вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы. СКОРО 93 и др.). Расчет в других единицах измерения Перед расчетом объема необходимо убедиться, что все измерения указаны в одних и тех же единицах измерения. Например, у вас не может быть что-то в см, а что-то в м. Деление на три, а не кубический корень Если вам известен объем куба и вам нужно найти длину стороны, помните, что обратным значением куба является кубический корень, а не деление на 3. Примеры как решать корни: Квадратный корень — все что нужно для сдачи ОГЭ и ЕГЭ alexxlab / 24.06.202326.04.2023 / Разное Свойства корней: доказательства, примеры решение задач Данный материал включает в себя всю информацию связанную с понятием квадратный корень числа. Мы подробно изучим все основные свойства корней. Когда применяются корни чисел, как правильно работать с этим элементом алгебры. Закрепим изученный материал на конкретных примерах решения задач. Для начала дадим определение понятию корень. Определение Квадратный корень — это такое число, которое во второй степени равно подкоренному выражению. Принцип вычисления корня: все значения, которые находятся под корнем, называют подкоренным выражением. Оно может быть выражено, как числом, так и буквой. Числовых значений под корнем может быть несколько, это также допускается. Свойства арифметического квадратного корня Нужно обязательно помнить: извлекать корень можно только из положительного числа. Квадратный корень из нуля, всегда равняется нулевому значению. Как правильно определить корень из любого числа? Для облегчения задачи достаточно знать и выучить таблицу корней. Она очень существенно помогает в данной ситуации. Примеры решения задач с определением квадратного корня числа: Вычисление значения корня из десятичной дроби: преобразовать число из десятичной дроби в целое число, убрав запятые;  найти квадратный корень для полученного целого действительного числа; полученное целое действительное значение, заменить на дробь десятичного значения, применяя правило перемножения дробей. Пример №1: Нужно определить квадратный корень из следующего значения \[\sqrt{0,16}\] Для начала убираем запятую из дробного выражения и получаем число равным 16. Квадратичное значение из шестнадцати равняется четырем. \[\sqrt{16}=4\] Применяем правило перемножения дробей десятичного значения. В результате проведенных вычислений, количество знаков, после запятой равно сумме знаков. {2}=0,81\]. Рассмотрим основные свойства корней числовых значений: Перемножение действительных чисел. Данное свойство можно расписать в виде множества чисел: \[a_{1}, a_{2}, a_{3 \ldots \ldots} a_{n,} \sqrt{a_{1}, a_{2}, a_{3 \ldots} \ldots a_{n,}}=\sqrt{a_{1}} \cdot \sqrt{a_{2}} \cdot \sqrt{a_{3}} \ldots \ldots \ldots \sqrt{a_{n}}\] Вычисление корня числа из частного значения множества действительных чисел. \[a_{1}, a_{2}, a_{3 \ldots . . .} a_{n,} \sqrt{a_{1, \div} a_{2 \div}, a_{3 \ldots . .} a_{n,}}=\sqrt{a_{1}} \div \sqrt{a_{2}} \div \sqrt{a_{3}} \ldots \ldots \ldots \sqrt{a_{n}}\] Можно записать данное деление и другим способом: \[ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} ; \quad \sqrt{\frac{a}{c}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}} . \] Условие: \[a \geq 0 ; b>0\]. Значение в знаменателе обязательно должно, быть более нуля, так как по законам математики делить н ноль нельзя. Свойство с четным показателем, действительного числа. {n}=a \cdot b\]. Мы получили равенство, которое изначально нужно было доказать. Доказать множество равенство значений, можно таким же методом, используя те же операции. Рассмотрим несколько примеров решения функции данного вида, применяя числовые значения. Пример 2: Дробное значение под корнем. \[ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \] Числовое значение в числителе может иметь положительное значение или равняться нулю. В знаменателе — любое действительное число, кроме нуля. Так как по законам математики: деление на ноль запрещается (недопустимо). Перейдем к доказательству свойства. Запишем равенство \[\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \text { где } a \geq 0, b>0\]. (обязательное условие, которое должно соблюдаться). Пример 3: Это свойство заключается в следующем: если подкоренное число имеет любое значение и четный показатель. n = 2 * m; Следовательно, справедливым будет равенство: \[\sqrt[2 \cdot m]{a^{2 \cdot m}}\]. {2 \cdot m-1}}=a\], так как корень в нечетной степени можно расписать в виде выражения \[\sqrt[2 \cdot m-1]{-c}=-\sqrt[2 \cdot m-1]{c}\]. Где значение с — имеет положительное значение или равняется нулю. Для лучшего усвоения материала рассмотрим пример решения. Пример 4: Извлечение действительного значения из-под корня. Запишем следующую функцию \[\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n \cdot m]{a} \text { или } \sqrt[n 1]{\sqrt[n 2]{\ldots \ldots \sqrt[n k]{a}}}=\sqrt[n 1 \cdot n 2 \cdot n k]{a}\] Значение числа a — может быть положительным значение либо равняться нулю, а показатель степени n и m обычные натуральные числовые значения. Равенство \[\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n \cdot m]{a}\] докажем следующим способом. Поменяем местами значения, которые расположены до знака равно и после него. Запишем новое уравнение \[\sqrt[n \cdot m]{a}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}\]. Далее вспомним как возводить степень в степень и основное определения корня числового значения. 2 = -1$ действительных корней не имеет. В уравнении 5(x + 3)=5x + 15 бесконечное количество корней, т.к. оно превращается в истинное равенство при любом $x \in \Bbb R$, т.е. является тождеством. Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что их нет. п.2. Примеры Пример 1. Решите уравнение и выполните проверку x — (3 — 2x) = 9 Решение: x-(3-2x)=9 $\iff$ x-3+2x=9 $\iff$ x+2x=9+3 $\iff$ 3x=12 $\iff$ x=4 Проверка: $4 -(3 — 2 \cdot 4)=9 \implies 4 — 3 + 8 = 9 \implies 9 \equiv 9$ Ответ: x = 4 Пример 2. Решите уравнение и выполните проверку 7(x + 3) = 56 Решение: 7(x + 3)=56 |:7 $\iff$ x + 3 = 8 $\iff$ x = 8 — 3 $\iff$ x=5 Проверка: $7(5 + 3) = 56 \implies 7 \cdot 8 = 56 \implies 56 \equiv 56$ Ответ: x = 5 Пример 3. Решите уравнение и выполните проверку (3x + 4) : 2 = 14 Решение: (3x + 4) : 2=14 |$\times$2 $\iff$ 3x + 4 = 28 $\iff$ 3x = 28 — 4 $\iff$ 3x = 24 $\iff$ x=8 Проверка: $(3 \cdot 8 + 4) : 2 = 14 \implies (24 + 4) : 2 = 14 \implies 28 : 2 = 14 \implies 14 \equiv 14$ Ответ: x = 8 Пример 4. Решите уравнение $ \frac{3x-7}{3} — \frac {5x-11}{5} = 0$ Решение: $\frac {3x-7}{3} — \frac {5x-11}{5} = 0 | \times 15 \iff5(3x-7)-3(5x-11)=0 \iff$ $ \iff 15x-35-15x+33=0 \iff 0x=2 \iff x \in \varnothing $ Решений нет. Ответ: $x \in \varnothing $ Пример 5. Решите уравнение $\frac {2x — 7}{2} = \frac {3x+6}{3}$ Решение: $\frac {2x-7}{2}=\frac {x+6}{3} | \times 6 \iff 3(2x-7)=2(x+6) \iff 6x-21=2x+12 \iff $ $\iff 6x-2x=12+21 \iff 4x=33 \iff x= \frac {33}{4} =8 \frac 14$ Ответ: $8 \frac 14$ Пример 6. Решите уравнение |x+1|=5 Решение: $$|x+1|=5 \iff \left[ \begin{array}{cc} {x+1=-5}\\ {x+1=5} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x=-5-1}\\ {x=5-1} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x_1=-6}\\ {x_2=4} \end{array} \right. $$ Ответ: $ x_1=-6, x_2=4$ Пример 7*. Решите уравнение и выполните проверку |x + 1| = x + 3 Решение: $$ |x + 1| = x + 3 \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x+1 \ge 0 \\ x+1=x+3 \end{array} \right. }\\ {\left\{ \begin{array}{c} x+1<0 \\ -(x+1)=x+3 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x \ge -1 \\ 1=3 \end{array} \right.}\\ {\left\{ \begin{array}{c} x<-1 \\ -x-1=x+3 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff $$ $$ \iff \left[ \begin{array}{cc} {\emptyset}\\ {\left\{ \begin{array}{c} x<-1 \\ -x-x=3+1 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x<-1}\\ {-2x=4} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x<-1}\\ {x=-2} \end{array} \right. \iff x=-2 $$ Проверка: $$|-2+1|=-2+3 \implies |-1|=1\implies 1 \equiv 1$$ Ответ: x = -2 Пример 8. При каком значении a уравнение 5ax + 18 = 3 будет иметь корень x = -3? Решение: Подставляем x=-3 в уравнение и решаем его относительно параметра a: 5a $\cdot$ (-3) + 18 = 3 $\iff$ -15a = 3 — 18 $\iff$ -15a = -15 $\iff$ a = -15:(-15)=1 a=1 Ответ: a = 1 квадратных и квадратных корней? Определение, формула, примеры Что такое квадрат и квадратный корень? Когда вы умножаете число само на себя, вы получаете квадрат числа. Например, 3 доллара \ умножить на 3 = 9 долларов. Итак, квадрат 3 равен 9. Квадратный корень действует наоборот. Если квадрат 3 равен 9, то квадратный корень из 9 равен 3. Следовательно, мы можем сказать, что квадрат и квадратный корень являются обратными операциями друг друга. Родственные игры 92 = 5,5 \ умножить на 5,5 = 30,25$ Мы также можем найти квадрат отрицательного числа. Например: $(−4) \times (−4) = 16$. Вы заметили, что квадраты чисел 4 и $(−4)$ совпадают? Возведение в квадрат положительного числа дает тот же результат, что и возведение в квадрат отрицательного числа. Квадратный корень из числа Квадратный корень из числа — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число. Например, квадратный корень из 25 равен 5, потому что целые числа 5 и $-5$ при умножении друг на друга дают произведение 25. $5 \times 5 = 25$ $(-5) \times (-5) = 25$ Квадратный корень представлен символом «$\sqrt{}$». Например: $\sqrt{49} = \pm 7$ $\sqrt{36} = \pm 6$ Связанные рабочие листы Что такое идеальные квадраты? Полный квадрат — это число, полученное путем умножения целого числа на себя. Целое число не содержит дробей или десятичных знаков. Вот таблица квадратных корней из первых десяти идеальных квадратов. Показывает положительные квадратные корни из заданного полного квадрата. Как видите, только несколько чисел являются правильными квадратами. Остальные числа являются несовершенными квадратами. Квадратный корень из неполных квадратов содержит дроби и десятичные дроби. Пример: $\sqrt{10} = 3,163$ $\sqrt{20} = 4,472$ Различные методы нахождения квадратного корня Существуют различные способы нахождения квадратного корня из числа. Давайте рассмотрим некоторые из часто используемых методов: Метод повторного вычитания Метод простой факторизации Метод длинного деления Метод многократного вычитания Вот как найти квадратный корень числа с помощью этого метода: Шаг 1: Возьмите число и вычтите из него последовательные нечетные числа, пока не получите ноль. Шаг 2: Количество вычитаний равно квадратному корню из числа. Возьмем, например, 25. Итак, вычитая из него последовательные нечетные числа, получаем: 25 долларов — 1 = 24 доллара 24 доллара — 3 = 21 долларов 21$ − 5 = 16$ 16 $ − 7 = 9 $ $ 9 − 9 = 0 $ Здесь мы вычли пять раз. Итак, квадратный корень из 25 равен 5. Разве это не круто? Метод факторизации простых чисел Предположим, вы хотите найти квадратный корень из 1764. Вот как найти его с помощью метода факторизации: Шаг 1. Найдите простые множители числа 1764. = 2 х 2 х 3 х 3 х 7 х 7 $ Шаг 2: Сформируйте пары похожих факторов. Здесь мы можем составить три пары подобных множителей. $\underline{2 \times 2} \times \underline{3 \times 3} \times \underline{7 \times 7}$ Шаг 3: Возьмите по одному из каждой пары и найдите их произведение. $2 \x 3 \times 7 = 42$ Шаг 4: Произведение равно квадратному корню из числа. Следовательно, $\sqrt{1764} = 42$. Примечание. Если число не образует пару подобных множителей, мы помещаем их внутри символа квадратного корня. Например, чтобы найти квадратный корень из 8. Найдите простые множители числа 8. Шаг 2: Сформируйте пары похожих факторов. Здесь мы можем составить две пары одинаковых множителей $\underline{2 \times 2} \times 2$ Шаг 3: Возьмите один из пары и поместите его вне символа квадратного корня Следовательно, $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Метод длинного деления Допустим, нам нужно найти квадратный корень из 529, используя метод деления в большую сторону. Шаг 1: Поместите черту над каждой парой цифр числа 529, начиная справа. Шаг 2: Возьмите самое левое число и разделите его на наибольшее число, квадрат которого меньше или равен крайней левой паре. Здесь самое левое число — 5. Мы делим его на 2, потому что квадрат 2 равен 4, что меньше пяти. Шаг 3: Опустите другую пару справа от остатка. Шаг 4: Добавьте частное к делителю и введите его с пробелом справа. Шаг 5: Найдите подходящее число для разряда единиц делителя. Число должно быть таким, чтобы при умножении на новую цифру оно было равно или меньше делимого. В этом случае 43 доллара \ умножить на 3 = 129 долларов. Итак, добавляемое число должно быть 3. Шаг 6: Остаток равен нулю. Таким образом, ответ равен 23. Следовательно, $\sqrt{529} = 23$. Мы также можем найти квадратный корень из неполного квадрата, используя метод деления в длинную сторону. Например, квадратный корень из 10 равен 3,16. Как найти квадрат Нахождение квадрата числа сравнительно проще, чем нахождение квадратного корня. Вы можете просто использовать таблицу умножения, чтобы найти квадрат однозначного числа. Двузначное число можно умножить на само число, чтобы получить ответ. Пример: 6 $ умножить на 6 = 36 $ 125 $ умножить на 125 = 15 625 $ Заключение Итак, вот некоторые из различных советов и хитростей с квадратным корнем . Как только вы поймете метод, деление и умножение квадратных корней станет очень простым. Теперь вы можете использовать эти концепции для решения различных задач, связанных с квадратными корнями. Веселиться! Решенные примеры 1. Найдите квадратный корень из 144 методом вычитания. Решение:  Вычитая из него последовательные нечетные числа, получаем: Здесь мы вычли двенадцать раз. Таким образом, квадратный корень из 144 равен 12.   2. Найдите квадратный корень из 7056, используя метод разложения на простые множители. Решение : $7056 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7$ $\sqrt{7056} = 2 \times 2 \times 3 \times 7$ $= 84$ 3. Найдите квадратный корень из 1764 методом деления в длинную сторону. Решение: Квадратный корень из 1764 равен 42. 4. Проверьте, является ли 24 полным квадратом. Решение:  $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 $\sqrt{24} = 2\sqrt{2} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{6} $ $\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ Следовательно, 24 не является полным квадратом. 5. Найдите значение $\sqrt{36} + \sqrt{625}$ . Решение: Мы знаем, что $\sqrt{36} = 6$ $\sqrt{625} = 25$ Итак, $\sqrt{36} + \sqrt{625} = 6 + 25 = 31 $ Практические задачи 1 Найдите квадратный корень из 121, используя метод повторного вычитания. 8 9 10 11 Правильный ответ: 11 121$ – 1 = 120$ – 7 = 105$ $105 – 9 = 96$ 96$ – 11 = 85$ 85$ – 13 = 72$ 72$ – 15 = 57$ 57$ – 17 = 40$ 40$ – 19 = 21$ 21$ – 21 = 0$ Следовательно, квадратный корень из 121 равен 11. 5 2 0 Найдите квадратный корень из 4096, используя метод факторизации. 32 48 64 72 Правильный ответ: 64 Таким образом, $4096 = \underline{2\times2} \times \underline{2\times2} \times \underline{2\times \underline{2\times \underline{2\times \underline} раз \underline{2\times2} \times \underline{2\times2} \times \underline{2\times2}$ $\sqrt{4096} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$ 3 Найдите квадратный корень из 1000, используя метод деления в большую сторону. 10 100,66 31,622 109,99 Правильный ответ: 31,622 Корень квадратный из 1000 2 9008 Найдите корень квадратный из 1000 4 9008 4, используя метод длинного деления. 40 42 45 48 Правильный ответ: 48 Корень квадратный из 2304 5 Найдите наименьшее число, на которое нужно умножить 1800, чтобы получить полный квадрат. 2 3 4 5 Правильный ответ: 2 $1800 = 2 × \underline{2 \times 2} \times \underline{5 \times 5} \times \underline{3 \times 3}$ Чтобы получить идеальный квадрат, необходимо соединить множители. Здесь у первой «2» нет пары. Следовательно, мы должны умножить 1800 на 2, чтобы получить полный квадрат. $1800 \times 2 = \underline{2\times2} \times \underline{2\times2} \times \underline{5\times5} \times \underline{3\times3}$ $= 3600$ $\sqrt{3600} = 2 \times 2 \times 5 \times 3 = 60$ Часто задаваемые вопросы Какая связь между теоремой Пифагора и квадратным корнем ? Согласно теореме Пифагора, гипотенуза прямоугольного треугольника равна квадратному корню из суммы его сторон. Какой пример несовершенного квадрата? Несовершенный квадрат — это число, квадратный корень которого представляет собой дробь. Например, 50. √50 = 7,07 Как связаны квадратный и квадратный корни? Квадрат и квадратный корень являются обратными операциями. Квадрат – это число, полученное путем умножения числа само на себя. С другой стороны, квадратный корень числа — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число. Могут ли квадратные корни быть отрицательными? Да, каждое число имеет два квадратных корня — положительный и отрицательный. Например, квадратный корень из 25 равен 5 и (−5). Каким методом можно найти квадратный корень из неполного квадрата? Мы можем использовать метод деления в длину, чтобы найти квадратный корень из неполного квадрата. Однако метод факторизации можно использовать только для полных квадратов. Узнайте, как находить точные квадратные корни и наглядные примеры Спасибо, что выбрали Smartick для продолжения изучения математики. Готовы ли вы начать с квадратных корней? Ну, поехали! В посте этой недели мы научимся вычислять точные квадратные корни и рассмотрим несколько наглядных примеров, где они применяются. Как известно, графическая визуализация всегда здорово помогает в понимании и усвоении новых концепций. Надеюсь, вы найдете его очень полезным и получите удовольствие от обучения. Вы увидите, как просто это делается для квадратных корней! Чтобы вычислить квадратный корень из числа, найдите число, которое при умножении само на себя дает нам это первое число. Если мы уже знаем степень 2 (вычисление квадрата числа), мы пытаемся найти число, возведенное в квадрат, дает нам первое число. Для представления квадратного корня используется следующий символ: Давайте рассмотрим несколько примеров вычисления точных квадратных корней , которые дают нам точное число (без десятичных знаков). Точные квадратные корни Чтобы вычислить квадратный корень из 9 , вы должны найти число, которое, умноженное само на себя, дает нам 9. Давайте немного подумаем, чтобы убедиться, что мы его знаем. У вас уже есть это? Точно! Как вы, наверное, догадались, это число равно 3. Таким образом, квадратный корень из 9 равен 3. Если мы уже знаем, сколько в степени , мы можем найти число, которое при возведении в квадрат дает нам 9, и как 3 в квадрате. равно 9, искомое число равно 3. Вы видели, как легко? Теперь вы можете попытаться вычислить квадратный корень из 16. Вы уже нашли его? То есть, поскольку 4 в квадрате равно 16, квадратный корень из 16 будет равен 4. Давайте теперь рассмотрим несколько наглядных примеров, чтобы лучше понять концепцию квадратного корня. Визуальный пример 1 Как вы узнали из квадрата числа post, квадратные числа названы именно потому, что мы можем представить их в квадратной форме, например, мы можем представить 3 в квадрате с 9квадраты расположены в 3 ряда по 3, например: Итак, мы вычислили квадратный корень из 9 как 3, мы можем видеть корень из 9 как сторону квадрата из 9 квадратов, и эта сторона равна 3, как вы можете видеть на предыдущем рисунке. Шахматный вызов Теперь я предлагаю вам подсчитать количество фигур, которые есть у каждого игрока в шахматной партии. Держу пари, вы легко решите это. Если мы знаем, что на доске квадрата и на ней 64 квадрата , чтобы узнать, сколько квадратов на доске в каждой строке, нам нужно вычислить корень из 64 . То есть ищем число, которое умножение само на себя (или возведенное в квадрат) дает нам 64. И это число равно 8. Значит на доске 8 квадратов в каждом ряду (если посмотреть на рисунок доски что там есть ниже в этом посте у него по 8 квадратов с каждой стороны). Теперь мы знаем, что фигуры игрока занимают 2 ряда доски, поэтому нам нужно количество клеток ряда умножить на 2. У вас уже есть ответ на задание? Конечно! Затем у каждого игрока по 16 фигур в игре в шахматы. Если вы посмотрите на следующий рисунок, вы увидите, что очень легко понять все те расчеты, которые мы сделали для решения задачи. « Предыдущая 1 … 214 215 216 217 218 … 3 226 Следующая »