Автор: alexxlab

возведение в степень, умножение, деление

Мы уже разобрали, что из себя представляют многочлены. В рамках данной статьи мы расскажем, как правильно вычитать, умножать, складывать и делить подобные выражения, а также как возводить их в натуральную степень, т.е. определим правила совершения данных действий с многочленами.

Правила сложения и вычитания многочленов

Складывать и вычитать многочлены достаточно просто. Оба эти действия рассматриваются вместе, поскольку осуществляются по одним и тем же принципам:

1. Начинаем с правильной записи суммы или разности исходных многочленов. Для этого их надо заключить в скобки и поместить между ними нужный знак.
2. Далее выполняем раскрытие скобок и получаем новый многочлен.
3. После этого нужно привести многочлен к стандартному виду (если это необходимо).

Поясним алгоритм примером.

Условие: выполните сложение и вычитание двух многочленов x·y−x2+2 и 7·x2−1 .

Решение

Сначала выполним сложение. Записываем сумму:

(7·x2−1)+(x·y−x2+2)

Раскрываем скобки и получаем новый многочлен в следующей форме:

7·x2−1+x·y−x2+2

Нам осталось только привести результат к стандартному виду:

7·x2−1+x·y−x2+2=6·x2+1+x·y

Далее проводим вычитание по аналогии со сложением:

(7·x2−1)−(x·y−x2+2)=7·x2−1−x·y+x2−2=8·x2−3−x·y

Ответ: (7·x2−1)+(x·y−x2+2)=6·x2+1+x·y и (7·x2−1)−(x·y−x2+2)=8·x2−3−x·y.

Другие примеры вы можете найти в отдельной статье, посвященной сложению и вычитанию многочленов.

Правила умножения одного многочлена на другой

Перейдем к рассмотрению следующего действия – умножения. Основное правило его выполнения основано на распределительном свойстве умножения. С его помощью мы можем свести умножение многочленов к последовательному перемножению всех их членов друг на друга. Запишем правило:

Чтобы умножить один многочлен на другой, необходимо выполнить умножение каждого члена первого множителя на каждый член второго множителя, после чего провести сложение итоговых произведений.

Результатом умножения двух многочленов друг на друга будет новый многочлен.

Условие: выполните умножение двух многочленов  a−b и −3·a+b.

Решение

Начнем с записи произведения.

(a−b)·(−3·a+b)

После этого нам нужно взять первый член первого многочлена (т.е. a) и перемножить его с каждым членом второго многочлена. У нас получится a·(−3·a) и a·b. То же самое проделаем и со вторым членом. В итоге мы пришли к произведениям −b·(−3·a) и −b·b. Теперь складываем все, что у нас получилось:

a·(−3·a)+a·b−b·(−3·a)−b·b=−3·a2+4·a·b−b2

Вот запись всего решения:

(a−b)·(−3·a+b)==a·(−3·a)+a·b−b·(−3·a)−b·b==−3·a2+4·a·b−b2

Ответ: (a−b)·(−3·a+b)=−3·a2+4·a·b−b2.

Мы также можем выполнить умножение многочлена на одночлен. Это можно рассматривать как частный случай умножения, приведенного выше. Советуем прочесть отдельную статью об умножении многочленов, где представлены более подробные теоретические положения и приведены более сложные примеры.

Правила возведения многочлена в степень

После того, как мы разобрались с правилами умножения многочленов, можем перейти к возведению в натуральную степень. Это действие может быть приравнено к умножению имеющегося многочлена на аналогичный  столько раз, сколько написано в показателе. Так, возведению 3·x+1  в степень 4 мы можем поставить в соответствие произведение 4-х многочленов: (3·x+1)·(3·x+1)·(3·x+1)·(3·x+1).

Условие: выполните возведение многочлена 2·a·b−b3  в квадрат.

Решение

представим эту степень как произведение двух одинаковых множителей и вычислим нужный результат.

(2·a·b−b3)2==(2·a·b−b3)·(2·a·b−b3)= =2·a·b·(2·a·b)+2·a·b·(−b3)−b3·(2·a·b)−b3·(−b3)==4·a2·b2−4·a·b4+b6

Ответ: (2·a·b−b3)2=4·a2·b2−4·a·b4+b6.

Подводя итог этого пункта, отметим, что возведение в степень можно выполнять намного быстрее, если пользоваться формулами сокращенного умножения. Советуем вам изучить эту тему более подробно.

Правила деления многочлена на многочлен

Мы уже выяснили, что результатом всех рассмотренных действий является новый многочлен. Действие деления отличается от них тем, что чаще всего его результат не будет многочленом. Так, если мы разделим x·y−1  на x2+y2 , то в итоге у нас получится дробь x·y-1×2+y2.

Однако в принципе получить в результате многочлен можно, например, здесь: (x2·y+x·y2−x+x·y+y2−1):(x+1)=x·y+y2−1. В таких случаях мы можем говорить о делимости одного многочлена на другой, так же, как мы отмечали это для целых чисел. Тогда при делении нам нужно представить делимый многочлен в виде произведения двух многочленов — делителя и частного от деления. Во взятом нами примере делимое x2·y+x·y2−x+x·y+y2−1  рассматривается как произведение (x+1)·(x·y+y2−1).

Если у обоих многочленов есть только одна переменная, то тогда речь идет о делении без остатка. Сформулируем правило для многочлена, включающего в себя одну действительную переменную x. Обозначим данный многочлен P(x).

Деление многочлена P(x) на другой многочлен M(x), без остатка происходит тогда, когда есть другой многочлен Q(x) , удовлетворяющий условию P(x)=M(x)·Q(x).

Так, мы можем разделить x3+2·x2+3·x+6 на x+2 без остатка в силу существования многочлена x2+3. Тогда равенство x3+2·x2+3·x+6=(x+2)·(x2+3) будет справедливым.

А вот x2+1  поделить на x3−5  без остатка мы не сможем, поскольку нет такого Q(x), которое подошло бы для равенства x2+1=(x3−5)·Q(x).

Деление без остатка есть частный случай деления с остатком, ведь при нем мы также получаем остаток, равный 0. В общем случае можно сказать, что когда мы делим многочлен P(x) степени n, которая будет больше единицы, на другой многочлен Q(x)  степени k (причем 1≤k≤n), мы получаем в итоге новый многочлен M(x)  степени n−k и остаток в виде многочлена R(x), степень которого будет меньше, чем k. Представим данное утверждение как теорему.

Мы можем представить любой многочлен P(x) степени n (n≥1) как P(x)=M(x)·Q(x)+R(x). Здесь Q(x)  будет некоторым многочленом степени k (1≤k≤n), M(x) – многочленом степени n−k и R(x) – многочленом степени, меньшей k. Это представление будет единственным.  

Под  Q(x), M(x) и R(x) в данном случае понимается любой многочлен из множества тождественно равных многочленов.

Так, если мы делим 3·x4+2·x2−1 на x2+x , то у нас получится частное 3·x2−3·x+5  с остатком −5·x−1.

Это так, потому что равенство 3·x4+2·x2−1=(x2+x)·(3·x2−3·x+5)−5·x−1 является справедливым. Его справедливость легко проверить, выполнив все нужные действия с правой стороны.

Если мы делим P(x) на Q(x), причем степень делимого будет больше степени делителя, то в итоге мы всегда получаем частное в виде нулевого многочлена и остаток, равный делимому. Так, разделив x2+1 на x3+2·x2−1, мы получим нулевое частное и остаток x2+1.

Удобно производить деление, предварительно  сделав запись уголком, так же, как мы делаем это для целых чисел. Подробнее это действие разобрано в статье, посвященной делению многочлена на многочлен. {8}\)

правил экспонентов | ChiliMath

Правила экспоненты, также известные как «правила экспоненты», — это некоторые из правил алгебры, с которыми нам необходимо ознакомиться. Освоение этих основных правил экспоненты вместе с основными правилами логарифмирования (также известными как «логарифмические правила») сделает ваше изучение алгебры очень продуктивным и приятным.

Начнем с изучения частей экспоненциального числа.

Показательное число или выражение состоит из двух частей. Первый компонент   с основанием , который «несет» показатель степени , который является вторым компонентом в правом верхнем углу.

Взгляните на рисунок ниже.

Например, как бы вы записали [латекс]2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2[/латекс] в экспоненциальной записи?

Число [латекс]2[/латекс] многократно умножается, поэтому оно автоматически становится основанием экспоненциального выражения. Обратите внимание, что это написано пять раз. Это значение указывает количество вхождений основания, поэтому оно должно быть показателем степени.

Читается как «от 2 до 5 степени».

Основой экспоненциального выражения также может быть буква или переменная. Предположим, у нас есть

Поскольку переменная [latex]x[/latex] умножается на десять раз, мы можем записать это в компактной форме.

Читается как «[латекс]x[/латекс] в 10-й степени».

Теперь давайте рассмотрим семь (7) основных правил экспоненты. 90} = 1[/латекс].

• Упростите приведенное ниже экспоненциальное выражение.

Каждое выражение со скобками, возведенными в нулевую степень, [латекс]0[/латекс], встречающееся как в числителе, так и в знаменателе, будет просто заменено на [латекс]1[/латекс]. Обязательно уменьшите дробь до наименьшего члена.

ПРАВИЛО 2: Свойство отрицательного показателя степени

Любое ненулевое число, возведенное в отрицательную степень, не соответствует стандартной форме. Нам нужно будет сделать некоторую перестановку. Переместите основание с отрицательным показателем в противоположную часть дроби, а затем сделайте показатель степени положительным. Предположения здесь следующие: [latex]b \ne 0[/latex] и [latex]n[/latex] — целое число. 9{ – \,4}}[/латекс].

Основание [латекс]2[/латекс] имеет отрицательный показатель степени [латекс]-4[/латекс]. Это можно исправить, переместив его в знаменатель и изменив знак экспоненты на положительный, используя отрицательное правило экспоненты.

• Упростите экспоненциальное выражение.

На этот раз в знаменателе находится основание с отрицательным показателем степени. Поднимите его до числителя, сделав показатель степени положительным.

• Упростите экспоненциальное выражение.

Оба показателя степени в числителе и знаменателе отрицательны. Имеет смысл поменять их местами вдоль дробной полосы. Переменная [latex]x[/latex] уменьшается, а переменная [latex]y[/latex] растет! Обязательно измените оба их показателя на положительные.

ПРАВИЛО 3: Произведение свойства экспоненты

При умножении экспоненциальных выражений с одним и тем же основанием, где основанием является ненулевое действительное число, скопируйте общее основание, а затем добавьте их показатели степени. Предполагается, что [латекс]b \ne 0[/латекс] и [латекс]м[/латекс] и [латекс]n[/латекс] — любые целые числа. 92}} \right)[/latex].

После умножения экспоненциальных выражений с одним и тем же основанием путем сложения их показателей степени мы получаем одну переменную с отрицательным показателем, а другую с нулевым показателем.

Не стесняйтесь применять два предыдущих изученных правила, а именно Правило 1 и Правило 2, чтобы еще больше упростить это выражение.

ПРАВИЛО 4: Частное свойство экспоненты

При делении экспоненциальных выражений с одним и тем же основанием, где основанием является ненулевое действительное число, скопируйте общее основание, а затем вычтите верхний показатель из нижнего показателя. Здесь мы должны предположить, что [латекс]b \ne 0[/латекс] и [латекс]m[/латекс] и [латекс]n[/латекс] принадлежат множеству целых чисел.

Примеры :

• Упростить частное экспоненциальных выражений.

Дробная черта означает, что мы собираемся делить. Имеет смысл применить правило деления степени, то есть скопировать общее основание в числителе и знаменателе и вычесть верхний показатель из меньшего.

• Упростите экспоненциальные выражения.

Сравнивая выражения в числителе и знаменателе, я вижу, что есть два общих основания, [латекс]х[/латекс] и [латекс]у[/латекс]. Примените правило деления к каждой переменной. После этого переменная [latex]x[/latex] будет содержать отрицательную экспоненту, поэтому для решения проблемы используйте отрицательное правило экспоненты.

• Упростите экспоненциальные выражения.

Один из способов упростить это — пока игнорировать отрицательные показатели степени. Сначала примените правило деления и посмотрите, появятся ли снова отрицательные показатели. Если это так, используйте отрицательное правило экспоненты.

ПРАВИЛО 5: Степень степени Свойство экспоненты

Когда экспоненциальное выражение возводится в степень, скопируйте основание, которое является ненулевым действительным числом, затем умножьте внутренний и внешний показатели степени. Здесь мы предполагаем, что [latex]b \ne 0[/latex] и m и n являются целыми числами. 93}[/латекс].

Это выражение имеет внутренний и внешний показатели. Правило степени в степени позволяет нам копировать основание и умножать показатели степени.

ПРАВИЛО 6: Степень произведения Свойство экспоненты

Когда произведение двух или более множителей возводится в степень, скопируйте каждый множитель, а затем умножьте его показатель степени на внешний показатель степени. Мы должны сделать это для каждого фактора внутри скобок, которые в данном случае являются a и b. Предполагается, что [латекс]a \ne 0[/латекс] или [латекс]b \ne 0[/латекс], а [латекс]n[/латекс] — целое число. 92}[/латекс].

Эта проблема очень похожа на предыдущую. Единственная разница в том, что есть три (3) множителя с показателями степени. Нам просто нужно распределить внешний показатель на каждый из внутренних показателей.

ПРАВИЛО 7: Степень частного Свойство экспоненты

Когда частное возведено в степень, скопируйте множитель в числитель, затем умножьте его показатель степени на внешний показатель степени. Мы должны сделать то же самое с множителем в знаменателе, где мы копируем его, а затем умножаем его показатель на внешний показатель. Здесь также необходимо предположить, что [латекс]a \ne 0[/латекс] или [латекс]b \ne 0[/латекс], а [латекс]m[/латекс] — целое число.

Пример:

• Упростите экспоненциальное выражение.

На самом деле, мы будем использовать здесь одновременно два свойства экспонент, чтобы полностью упростить это.

Здравствуйте.Помогите построить графики функций y= — sin3x — вопрос №2546582 — Учеба и наука

06. 08.17 Лучший ответ по мнению автора

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Решено

В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, AB = 4, tg А=0. 75 . Найдите АС.

Имеется два сосуда, содержащие 30 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 81%

Расстояние между городами A и B равно 150 км. Из города A в город B отправляются одновременно два автомобиля. Первый делает в час на 10 км больше

Решено

1.одна из диагоналей трапеции равна 28 и делит другую диагональ на отрезки длиной 5 и 9. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит

Решено

два автобуса отправились одновременно из города в село, расстояние до которого 72 км. первый авт. прибыл в село на 15 мин раньше второго .с какой…

Пользуйтесь нашим приложением

Что такое тригонометрия Sin3x?

Sin3x — важное тождество в тригонометрии. Его можно выразить через sin x. Sin3x используется для определения значения функции синуса для угла, который в три раза больше угла x. График функции sin3x аналогичен графику функции sin x. Мы знаем, что период sin x равен 2π, поэтому период sin3x равен 2π/3. Это означает, что цикл sin3x повторяется через каждые 2π/3 радиана. Теперь давайте посмотрим на формулу для sin3x. 93x, что можно записать как sin3x = 3 sin x — 4 sin ³ x. Теперь нарисуем график тригонометрической формулы sin3x и проверим ее поведение. Кроме того, мы выведем формулу, используя тождество сложения углов.

График Sin3x

Поведение графика sin3x похоже на поведение тригонометрической функции sin x. Угол, рассматриваемый в sin3x, в три раза больше угла в функции sin x. Мы знаем, что для функции sin bx период равен 2π/|b| что подразумевает, что период sin3x равен 2π/3. Следовательно, график sin3x уже, чем график sin x, поскольку период sin3x составляет одну треть периода sin x (период sin x равен 2π)

Теперь построим график функции sin3x, взяв несколько точек на графике и соединив их. Рассмотрим несколько точек для y = sin3x и y = sin x и нанесем их на график.

• Когда x = 0, 3x = 0 ⇒ sin x = 0, sin3x = 0
• Когда x = -π/6, 3x = -π/2 ⇒ sin x = -1/2, sin3x = -1
• Когда x = π/6, 3x = π/2 ⇒ sin x = 1/2, sin3x = 1
• Когда x = π/2, 3x = 3π/2 ⇒ sin x = 1, sin3x = -1
• Когда x = -π/2, 3x = -3π/2 ⇒ sin x = -1, sin3x = 1

Ниже приведен график sin3x и sin x:

Доказательство формулы Sin3x

Мы будем использовать формулу сложения углов функции синуса, чтобы вывести формулу sin3x. Мы будем использовать запись угла 3x как 3x = 2x + x, чтобы доказать тождество. Мы будем использовать следующие тригонометрические тождества, чтобы доказать тождество sin3x:

• sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
• sin 2x = 2 sin x cos x
• cos 2x = 1 — 2sin ² x
• sin ² х + cos ² х = 1

Мы будем использовать приведенные выше тождества и формулы для доказательства формулы sin3x. Используя формулу сложения углов для функции синуса, мы имеем

sin3x = sin (2x + x)

= sin2x cosx + cos2x sinx [Потому что sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b]

= (2 sin x cos x) cos x + (1 — 2sin ² x) sin x

= 2cos ^{2 93x ⇒ sin 3 x = 1/cosec 3 x}

Важные замечания по Sin 3x

• Формула для sin3x issin3x = 3 sin x — 4 sin ³ x
• График sin3x уже графика sin x, так как период sin 3 равен 2π/3.
• d(sin 3x)/dx = 3 cos 3x
• ∫sin 3x dx = (-1/3) cos 3x + C

☛ Статьи по теме:

• cos 2x
93x формула.

Что такое формула Sin3x?

Sin3x используется для определения значения функции синуса для угла, который в три раза больше угла x. Формула тригонометрической функции sin3x имеет вид: sin3x = 3 sin x — 4 sin ³ x.

Что такое производная Sin3x?

Производная sin3x равна 3 cos 3x ⇒ d(sin3x)/dx = 3 cos 3x.

Каков период y = sin3x?

Мы знаем, что для функции sin bx период равен 2π/|b| что подразумевает, что период sin3x равен 2π/3.

Как составить график Sin3x?

Поведение графика sin3x похоже на поведение тригонометрической функции sin x. График sin3x уже, чем график sin x, поскольку период sin3x составляет одну треть периода sin x. Мы можем нанести несколько точек на график и соединить их, чтобы получить график sin3x.

• Когда x = 0, 3x = 0 ⇒ sin x = 0, sin 3x = 0
• Когда x = -π/6, 3x = -π/2 ⇒ sin x = -1/2, sin 3x = -1
• Когда x = π/6, 3x = π/2 ⇒ sin x = 1/2, sin 3x = 1
• Когда x = π/2, 3x = 3π/2 ⇒ sin x = 1, sin 3x = -1
• Когда x = -π/2, 3x = -3π/2 ⇒ sin x = -1, sin 3x = 1

Как интегрировать Sin3x?

Чтобы определить интеграл от sin3x, воспользуемся формулой ∫sin(ax + b) dx = (-1/a) cos(ax + b) + C.

Почему в математике минус на минус = плюс ? | Математика не для всех

14.01.2021

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня зададимся тривиальным, казалось бы, вопросом, который, вырвавшись из уст ребенка может поставить в тупик любого взрослого. Действительно, что это за правило такое, что умножение отрицательного числа на отрицательное дает положительное? Разберемся! Поехали!

«Минус на минус даёт только плюс.Отчего так бывает, сказать не берусь» — английский поэт Уистен Оден.

Конечно, проще всего было бы ответить ребенку, что так принято, такое правило, однако существует риск нарваться на встречный вопрос: «а почему такое правило придумали и не проще ли тогда, например, вообще запретить отрицательные числа ? Ведь ими нельзя что-то посчитать!?»

Рабочая программа по математике за 6 класс

В школьной математике дети проходят путь длиною в 10 лет, чтобы изучить натуральные, целые, рациональные, действительные и даже комплексные числа. В 6 классе школьнику впервые встречаются отрицательные числа и от того, как он «познает» одну из первых математических абстракций, зависит очень многое.

Ведь человечество сотни лет пренебрегало отрицательными числами: даже в 18 веке Рене Декарт называл их ложными. Неужели Вы думаете, что чистому сознанию ребенка будет проще понять эту информацию и принять на веру ?

Как объяснить ребенку ?

У меня есть несколько примеров, хотя бы один из которых удовлетворит любого.

Прием 1

В шестом классе школьники уже знакомы со способами решения линейных уравнений. Можно показать ребенку, например вот это :

В первом случае мы решаем уравнения, избегая отрицательных чисел. Во втором мы такой целью не задаемся. В итоге, зная правильный ответ, мы сами понимаем, что минус на минус ДОЛЖЕН давать плюс. Иными словами, ответы, полученные с использованием отрицательных чисел не должны отличать от полученных других путем. Таким образом, мы лишаем себя необходимости искать смысл отрицательных чисел и принимаем их как необходимую и полезную математическую абстракцию.

Прием 2

Еще одно объяснение базируется на примере с завинчиванием/вывинчиванием шурупа:

Будем считать, что альфа со знаком плюс соответствует повороту винта по часовой стрелке, ход винта относительно поверхности обозначим за d. Некий коэффициент, отвечающий за скорость ввинчивания/вывинчивания, обозначим как v. Так вот в этом примере и видно, как, с одной стороны умножение положительных чисел, так и с другой — отрицательных чисел друг на друга дает число положительное! Ведь болт же переместился физически, ощущаемо! Так, например, отрицательные числа из абстракции превращаются в реальность.

Я не стал приводить пример с градусником, движущимися навстречу автомобилями, геометрические обоснования (их и дают по большей части в школе), совсем сложные для детей примеры с дистрибутивностью умножения, а также некоторые объяснения, построенные на мнемонике, вида: «Враг моего врага — мой друг». Последний вариант, скорее, направлен на запоминание, чем на понимание.

Кстати, если Вы хотите прочесть более 80 (!!!) страниц преинтереснейшей книги, посвященной исключительно преподаванию отрицательных чисел в школе, не пропустите этот шедевр:

Ссылка на книгу в электронном формате: здесь. Спасибо за внимание!

Поделиться в социальных сетях

Вам может понравиться

Дальнозоркость — это плюс или минус? — Статьи

Дальнозоркость (гиперметропия) – это аномалия рефракции, при которой происходит преломление световых лучей таким образом, что они фокусируются за сетчаткой. Это препятствует восприятию четкого изображения.

Когда человеку впервые ставится диагноз «дальнозоркость», он задается вопросом: дальнозоркость – плюс или минус?

Как и любая аномалия рефракции, гиперметропия снижает остроту зрения и вызывает ряд астенопических жалоб: чувство жжения в глазах, быструю утомляемость, головные боли. Это означает неизбежное снижение качества жизни. Человеку трудно читать мелкий текст на упаковках товара, невозможно работать с мелкими предметами, вышивать, читать и т. д. Для дальнозорких людей все перечисленные виды деятельности становятся серьезной проблемой.

Что имеют в виду специалисты, которые говорят, что дальнозоркость – это плюс? Речь идет о степени дальнозоркости:

• слабая – до +3 Д,
• средняя – от +3 до +6 Д,
• высокая – от +6 Д.

Гиперметропия – это аномалия рефракции, которая требует коррекции «плюсовыми» линзами. У дальнозоркого человека изображение фокусируется за сетчаткой. «Плюсовые линзы» меняют преломление лучей таким образом, что они фокусируются четко на сетчатке. Кривизна линзы определяется степенью гиперметропии.

Пресбиопия, или когда руки оказываются недостаточно длинными

Дальнозоркость, которая связана с возрастными изменениями аккомодационного аппарата хрусталика, называется пресбиопией. Другое ее название – «болезнь коротких рук»; такое шутливое определение связано с тем, что пресбиопу требуется отодвинуть текст на значительное расстояние от глаз, чтобы его прочитать.

По мере ослабления аккомодационных возможностей хрусталика этого становится недостаточно, и человек замечает, что прочтение мелкого шрифта на упаковке лекарства, в книге, телефоне стало проблемой.

Пресбиопия может сочетаться с близорукостью или дальнозоркостью . Это обязательно учитывает офтальмолог при подборе очков или контактных линз.

Решение проблемы

В Центре Глазной Хирургии осуществляется эффективная коррекция дальнозоркости с учетом:

• степени гиперметропии,
• возраста,
• сопутствующих заболеваний,
• профессии пациента,
• его пожеланий.

В отделении контактной коррекции могут быть подобраны очки или контактные линзы. При гиперметропии используются «плюсовые» очковые и контактные линзы. Для пресбиопов могут быть подобраны би- или мультифокальные очки, которые обеспечивают хорошее зрение не только вблизи, но и вдаль.

Современные модели мультифокальных очков позволяют избежать четкой границы на стыке двух линз, которая выглядит неэстетично. Благодаря этому очки при дальнозоркости могут стать не только верным помощником для хорошего зрения, но и красивым аксессуаром.

Также возможен подбор мягких контактных линз, которые пациент может носить в течение дня. Жесткие линзы используются для ночного времени – они надеваются на время сна и изменяют кривизну роговицы на некоторое время, позволяя гиперметропу лучше видеть днем.

Также в Центре Глазной Хирургии проводится хирургическое лечение гиперметропии. Его преимуществами являются:

• возможность отказаться от линз и очков,
• стабильные и предсказуемые результаты,
• эффект в первые дни после операции.

В зависимости от возраста, степени гиперметропии и наличия сопутствующих заболеваний (например, катаракты), используются две методики:

• ЛАСИК. Это лазерное лечение, основанное на изменении конфигурации и роговицы при помощи высокоточного лазерного излучения. Метод особенно эффективен при слабой и средней степенях гиперметропии.
• Имплантация ИОЛ. Интраокулярные линзы имплантируются на место хрусталика, в его капсулу. Такая операция актуальна как метод лечения катаракты, а также используется при высоких степенях гиперметропии.

Дальнозоркость – это серьезная проблема, которую можно преодолеть при участии квалифицированных специалистов Центра Глазной Хирургии! Запись на прием проводится по телефонам: +7 (495) 727-00-44, (499) 246-32-28.

Чему равен плюс/минус?

FacebookTwitterReddit

Сложение и вычитание

Два « плюс » дают плюс, два минуса дают плюс. Плюс и минус дают минус.

Кроме того, как называется +/-?

Знак плюс-минус ± — это математический символ с несколькими значениями. … В экспериментальных науках знак обычно указывает на доверительный интервал или ошибку измерения, часто на стандартное отклонение или стандартную ошибку.

Аналогично, почему минус минус равен плюсу?

Именно по этой причине были введены отрицательные числа: чтобы каждое положительное число имело аддитивное обратное . … Тот факт, что произведение двух отрицательных чисел является положительным, следовательно, связан с тем фактом, что инверсия инверсии положительного числа снова является этим положительным числом.

и Как вы набираете минус? Методы, работающие на любой платформе

1. Чтобы вставить короткое тире (–), щелкните первый символ (более короткое тире).
2. Чтобы вставить длинное тире (—), щелкните второй символ (более длинное тире).
3. Чтобы вставить знак минус (-), нажмите на — между ± и × .

Кто придумал знак минус?
Эта статья содержит математические символы Unicode.

Содержание

Эта таблица содержит специальные символы.

(математика) Символ ±, означающий «плюс или минус», используется для обозначения точности приближения (например, «Результат равен 10 ± 0,3», что означает, что результат находится где-то между 10–0,3, т. е. 9.7 и 10 + 0,3, то есть 10,3), или как удобное сокращение для величины с двумя возможными значениями противоположного знака и …

Используя тот факт, что умножение коммутативно, отрицательное число, умноженное на положительное, также будет отрицательным . Точно так же мы можем доказать, что отрицательное произведение, умноженное на отрицательное, является положительным. Поскольку мы знаем, что -ab отрицательно, а сумма этих двух членов равна 0, следовательно, (-a) × (-b) положительно.

Минус Умножить Минус равно Плюс

Отрицательное, умноженное на Отрицательное, представляет собой положительное число , что означает, что произведение двух отрицательных целых чисел всегда положительно.

Как сложение, если из любого числа вычесть 0, получится та же сумма . Например, 12-0 = 12. Если вы вычитаете, вам может понадобиться заимствование для решения задачи.

В качестве альтернативы введите =CHAR(177) в качестве формулы для получения знака плюс-минус.

2 ответа. В стандартной 104-клавишной клавиатуре они рядом с цифровой клавишей 0 в верхнем ряду стандартной QWERTY-клавиатуры и требуют нажатия клавиши Shift. Ноутбуки, как правило, используют стандартную раскладку QWERTY, хотя некоторые клавиши перемещаются.

Наиболее вероятная причина — неправильный язык клавиатуры. Он имеет , чтобы быть «английским США» . Вы можете проверить и изменить настройку на панели управления. Откройте меню Windows (клавиша с флажком Windows прямо над клавишей PRESET).

Архимед известен как отец математики. Математика – одна из древнейших наук, возникших в незапамятные времена. Основной темой обсуждения этой конкретной области науки является вопрос о том, кто является отцом математики.

Основные математические символы

Символ	Имя символа	Пример
=	равно знак	5 = 2+3 5 равно 2+3
≠	не знак равенства	5 ≠ 4 5 не равно 4
≈	примерно равно	sin(0. 01) ≈ 0.01, x ≈ y означает, что x приблизительно равно y
>	строгое неравенство	5 > 4 5 больше 4

Косая черта (/) , иногда называемая косой чертой, косой чертой, штрихом или косой чертой, является широко используемым символом в английском языке. Как бы вы ни называли этот пунктуационный знак, его роль в английском языке со временем сильно изменилась.

Основные математические символы

Символ	Имя символа	Пример
=	знак равенства	5 = 2+3 5 равно 2+3
≠	не знак равенства	5 ≠ 4 5 не равно 4
≈	примерно равно	sin(0. 01) ≈ 0.01, x ≈ y означает, что x приблизительно равно y
>	строгое неравенство	5 > 4 5 больше 4

Чтобы указать, что мы хотим получить как положительный, так и отрицательный квадратный корень из подкоренного числа, мы помещаем символ ± (читается как плюс минус) перед корнем. …

В математике «из» также считается одной из арифметических операций, которая означает умножение в скобках . Например, нам нужно найти одну треть от 30. Использование слова «из» в математике зависит от контекста. В большинстве случаев «из» в алгебре означает умножение.

пи, в математике отношение длины окружности к её диаметру. Символ 9Число 0007 π было введено британским математиком Уильямом Джонсом в 1706 году для представления отношения и позднее было популяризировано швейцарским математиком Леонардом Эйлером.

Ни одно измерение не может быть отрицательным в реальном смысле . Длина, ширина, ширина и даже ВРЕМЯ не могут быть отрицательными.

Правило 3: Вычитание отрицательного числа из отрицательного числа — знак минус, за которым следует знак минус, превращает два знака в плюс . Таким образом, вместо вычитания минуса вы добавляете плюс.

Ответ: Да. Если число возвести в квадрат, станет положительным .

Квадрат числа можно найти, умножив число само на себя. Объяснение: Произведение двух отрицательных чисел всегда положительно.

5 класс. Математика. Виленкин. Учебник. Ответы к стр. 14

• 07

  Июн 19

• 0

Натуральные числа

Используйте наш 9Преобразователь 0019 миллионов в тысячи для преобразования любого количества миллионов в тысячи или тысяч в миллионы. Вы знаете, сколько тысяч в миллионе? Или, другими словами, знаете ли вы, сколько тысяч составляет миллион? Вы все еще думаете над ответами на эти вопросы? Не волнуйтесь! Мы здесь чтобы помочь вам.

Чтобы узнать, сколько тысяч составляет миллион , все, что вам нужно ввести 1 в поле «Значение в миллионах» , и та-да вот ваш ответ. В миллион входит 1000 тысяч . Теперь, когда мы ответили на поставленный выше вопрос, хотели бы вы узнать больше о миллионах и тысячах? Если у вас есть несколько минут, продолжайте читать эту статью (мы знаем, что вам любопытно 😉).

Как использовать конвертер миллионов в тысячи

Введите значение, которое вы хотите преобразовать либо из миллионов в тысячи, либо из тысяч в миллионы в определенное поле. Вы получите требуемый результат в нужной вам форме. В нижней части калькулятора вы также получите значение в десятичной системе (та система, которая показывает вам полное значение!) .

В том же поле вы можете поиграть с выпадающим списком, чтобы научиться представлять тысячи и миллионы в экспоненциальном представлении, т. е. в представлении в степени 10.

Зачем нам нужны слова для представления чисел?

Допустим, вы хотите представить любое количество в форме исходного значения. Например, общая численность населения Калифорнии составляет 39 200 000 человек, или средняя чистая заработная плата в США составляет 31 100 долларов США. Мы видим, что нас окружают большие числа, от статистических до финансовых величин. становится неудобно записывать эти числа и дорого хранить их на компьютере.

В результате люди установили краткую форму для представления больших чисел. При этом мы можем записать общую численность населения в Калифорнии как 39,2 миллиона человек или среднюю чистую зарплату в США как 31,1 тысячи долларов США.

Наиболее распространенные системы счисления для представления больших чисел

Во всем мире существует множество систем счисления, адаптированных для представления больших чисел. Вот некоторые из распространенных систем нумерации:

• Крупномасштабная система : Эта система популярна в европейских странах. Он имеет долгую историю и, как полагают, впервые был использован в 1484 году французским математиком Николя Шюке. В этой системе после миллиона у нас есть , кратные тысячам, и кратные миллионам . Например, произведение, умноженное на тысячу миллионов, называется миллиардом (10 ⁹ ), а число, умноженное на миллион, составляет миллиард (10 ¹² ).

• Система короткой шкалы : Поскольку эта система распространена в Америке, мы называем ее американской системой. После миллиона каждое приращение, кратное 1000, имеет в этой системе новое имя. Например, 1000 умножить на миллион — это миллиард, а 1000 умножить на миллиард — это триллион.

• Индийская система счисления : Эта система используется на Индийском субконтиненте. По сути, после 10 000 каждое число, кратное 100, имеет новое имя в этой системе. Например, 100 умножить на 10 000 — это лакх, а 100 умножить на лакх — это крор. Вы хотите знать о конвертации между крорами и лакхами? Пожалуйста, ознакомьтесь с нашим конвертером крор в рупии. А для преобразования из индийской системы счисления в американскую используйте конвертер миллионов в лакхи или конвертер крор в миллионы.

• Метрический префикс SI : Метрические префиксы представляют собой системы нумерации, за которыми следует международная система единиц для стандартизации представления больших чисел, связанных с научными величинами. Например, 1 киловатт (кВт) равен 1000 Вт, то есть преобразованию мощности из киловатта в ватт; здесь килограмм равен 1000. Проверьте наш конвертер длины, если вам когда-нибудь понадобится преобразовать длину из британских единиц в единицы СИ или наоборот.

Следующая таблица поможет вам понять разницу между системами с длинным и коротким масштабом, в которой показаны большие числа в системах с большим и коротким масштабом и их значение в экспоненциальном представлении.

💡 Это должен был быть Googol, а не Google

Самая популярная поисковая система в мире, Google, должна была называться «googol». Основатели Google хотели назвать его «гугол», что означает большое число из 10 ¹⁰⁰ . Из-за небольшой ошибки застряло имя Google, а также наличие доменного имени на тот момент (в 1997 году) позволило зарегистрировать базу данных как google.com .

Преобразование миллионов в тысячи и тысяч в миллионы

Для преобразования вам потребуются следующие формулы:

• Чтобы преобразовать миллионов в тысяч, используйте следующую формулу:

  Количество в тысячах = количество в миллионах / 1000

• Чтобы преобразовать тысяч в миллионы , используйте формулу:

  Количество в миллионах = 1000 * количество в тысячах

Запомните эти цифры!

Итак, чтобы перевести миллионы в тысячи, умножьте значение в миллионах на 1000; результатом является значение в тысячах. Точно так же, чтобы преобразовать значение в тысячах в миллионы, умножьте значение в тысячах на 0,001, и вы получите значение в миллионах. Если вы когда-нибудь задаетесь вопросом, сколько тысяч в миллионе, попробуйте вспомнить следующие уравнения:

• Миллионы в тысячи: 1 миллион = 1000 тысяч
• От тысяч до миллионов: 1 тысяча = 0,001 миллиона

Вишнувардхан Шактибала

Значение в миллионах

Значение в тысячах

Десятичное число

Проверьте 5 подобных преобразователей чисел один миллион?

Мой сын любит большие числа (например, септиллион, гугол и гуголплекс) и однажды спросил меня, сколько времени потребуется, чтобы сосчитать до септиллиона (это 1 с 24 нулями). Я сказал ему, что на это потребуется больше времени, чем возраст Вселенной, поэтому он начал спускаться вниз. Он спросил меня о счете до миллиона. Я немного подсчитал (предполагая одно число в секунду) и получил около 11-12 дней. . . но потом подумал, что для произнесения больших чисел (например, 658 243) требуется больше секунды.

Немного поискал в Интернете, не делал ли кто-нибудь еще более сложные расчеты. Многие расчеты были похожи на мои собственные (предполагая, что одно число в секунду). Другие признают, что для больших чисел потребуется больше времени, и делают предположения о том, что это будет. Но ничего определенного, поэтому я решил сделать один. Этот счетный калькулятор основан на количестве слогов в каждом числе и подсчитывает все слоги, которые вам нужно произнести, чтобы посчитать от одного до миллиона (или других чисел).

Существует также версия калькулятора для испанского и испанского языков.

Если калькулятор не говорит сам за себя, необходимо выполнить несколько шагов:

1. В первый раз самостоятельно сосчитав до 20.
2. В зависимости от вашего времени калькулятор определяет вашу скорость счета в слогах в секунду (в числах от одного до двадцати 32 слога). Вы можете попробовать посчитать количество слогов самостоятельно.
3. Укажите, к какому числу вы хотите подсчитать, по умолчанию это один миллион, но вы можете указать один миллиард или любое число меньше одного триллиона.
4. Укажите, сколько часов в день вы можете считать. Помните, что вам нужно есть и спать, а также делать перерывы.
5. Нажмите кнопку, и она сообщит вам, сколько времени потребуется, чтобы сосчитать до нужного числа.

Вы можете изменять различные параметры (скорость счета, количество часов в день и целевое число), чтобы увидеть, сколько времени может занять счет. (Спойлер, если считать до больших чисел, это может занять очень много времени!)

Я также решил нанести количество слогов в каждом числе от одного до миллиона. Не совсем просто построить миллион точек в интерактивном режиме (где вы можете навести курсор на график, чтобы увидеть, какие числа имеют сколько слогов), поэтому я сделал статическое изображение в R. Оно также показывает совокупное среднее количество слогов, когда считая от одного до числа меньше миллиона.

Вот еще один, немного аннотированный, чтобы вы могли видеть пики и впадины.

Числа с наименьшим количеством слогов — это самые простые числа с наименьшим количеством слов (например, одна тысяча, один миллион), а числа с наибольшим количеством слогов — это числа с наибольшим количеством слов (например, семьсот пятьдесят шесть тысяч четыреста двадцать три). Вот почему диапазон слогов самый высокий, когда вы получаете более ста тысяч. В семерке больше слогов (2), чем в других числах от единицы до десяти, а в семидесяти больше слогов (3), чем в других числах при счете десятками. Таким образом, 77 имеет наибольшее количество слогов среди всех чисел ниже 100. Первый набор пиков, выделенных на графике, соответствует числам 177, 277, 377. . . 977, с пиком 777 ниже 1000. Второй набор приходится на 1777, 2777 и т. д.
Впадины следуют той же схеме, где 100, 200 . . .900 имеют то же количество слогов, за исключением 700, у которого на один больше. То же самое относится и к тысячам, десяткам тысяч и сотням тысяч. Число меньше миллиона с наибольшим количеством слогов — 777 777, в котором 20 слогов.
Вы можете протестировать алгоритм, используемый для генерации номера слова из цифр числа и вычисленного количества слогов. Программа пропускает слово » и» , которые люди часто используют в таких числах, как «четыреста двадцать три», и просто выводит «четыреста двадцать три».

Решение уравнения с модулем онлайн online

‘) window.yaContextCb.push(()=>{ Ya.Context.AdvManager.render({ renderTo: rtb_id, blockId: ‘R-A-1616620-2’ }) })

Уравнение с неизвестным:

Численное решение:

Искать численное решение на промежутке [, ]

Примеры уравнений с модулем

Указанные выше примеры содержат также:

• модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс acot(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x), гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
• другие тригонометрические и гиперболические функции:
  секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x), арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x), гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x), гиперболический арккосеканс acsch(x)
• функции округления:
  в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
• знак числа:
  sign(x)
• для теории вероятности:
  функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности), функция Лапласа laplace(x)
• Факториал от x:
  x! или factorial(x)
• Гамма-функция gamma(x)
• Функция Ламберта LambertW(x)
• Тригонометрические интегралы: Si(x), Ci(x), Shi(x), Chi(x)

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x

— умножение

3/x

— деление

x^2

— возведение в квадрат

x^3

— возведение в куб

x^5

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

Действительные числа

вводить в виде 7. 5, не 7,5

Постоянные

pi

— число Пи

e

— основание натурального логарифма

i

— комплексное число

oo

— символ бесконечности

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:

Калькулятор модуля числа

Уведомление
Cookie

Введите число или выражение, например 0. 5, (1/3)+7 и т.д.

Что такое модуль

Модулем числа a является неотрицательное число, которое обозначает расстояние от начала координат до точки a. Модуль числа также называют абсолютной величиной.

Модуль числа обозначается как: |a|

Свойства модуля:

|a| = a, если a > 0
|a| = –a, если a |a| = 0, если a = 0
|a| > 0, если a ≠ 0
|a| = |–a|
|0| = 0

Примеры:

|5| = 5
|1.5| = 1.5
|-3.6| = 3.6
|-4.5| = |4.5| = 4.5

Вам могут также быть полезны следующие сервисы

Калькуляторы (Теория чисел)

Калькулятор выражений

Калькулятор упрощения выражений

Калькулятор со скобками

Калькулятор уравнений

Калькулятор суммы

Калькулятор пределов функций

Калькулятор разложения числа на простые множители

Калькулятор НОД и НОК

Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида

Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел

Калькулятор делителей числа

Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Калькулятор деления числа в данном отношении

Калькулятор процентов

Калькулятор перевода числа с Е в десятичное

Калькулятор экспоненциальной записи чисел

Калькулятор нахождения факториала числа

Калькулятор нахождения логарифма числа

Калькулятор квадратных уравнений

Калькулятор остатка от деления

Калькулятор корней с решением

Калькулятор нахождения периода десятичной дроби

Калькулятор больших чисел

Калькулятор округления числа

Калькулятор свойств корней и степеней

Калькулятор комплексных чисел

Калькулятор среднего арифметического

Калькулятор арифметической прогрессии

Калькулятор геометрической прогрессии

Калькулятор модуля числа

Калькулятор абсолютной погрешности приближения

Калькулятор абсолютной погрешности

Калькулятор относительной погрешности

Дроби

Калькулятор интервальных повторений

Учим дроби наглядно

Калькулятор сокращения дробей

Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную

Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей

Калькулятор возведения дроби в степень

Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную

Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную

Калькулятор сравнения дробей

Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю

Калькуляторы (тригонометрия)

Калькулятор синуса угла

Калькулятор косинуса угла

Калькулятор тангенса угла

Калькулятор котангенса угла

Калькулятор секанса угла

Калькулятор косеканса угла

Калькулятор арксинуса угла

Калькулятор арккосинуса угла

Калькулятор арктангенса угла

Калькулятор арккотангенса угла

Калькулятор арксеканса угла

Калькулятор арккосеканса угла

Калькулятор нахождения наименьшего угла

Калькулятор определения вида угла

Калькулятор смежных углов

Калькуляторы систем счисления

Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские

Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел

Системы счисления теория

N2 | Двоичная система счисления

N3 | Троичная система счисления

N4 | Четырехичная система счисления

N5 | Пятеричная система счисления

N6 | Шестеричная система счисления

N7 | Семеричная система счисления

N8 | Восьмеричная система счисления

N9 | Девятеричная система счисления

N11 | Одиннадцатиричная система счисления

N12 | Двенадцатеричная система счисления

N13 | Тринадцатеричная система счисления

N14 | Четырнадцатеричная система счисления

N15 | Пятнадцатеричная система счисления

N16 | Шестнадцатеричная система счисления

N17 | Семнадцатеричная система счисления

N18 | Восемнадцатеричная система счисления

N19 | Девятнадцатеричная система счисления

N20 | Двадцатеричная система счисления

N21 | Двадцатиодноричная система счисления

N22 | Двадцатидвухричная система счисления

N23 | Двадцатитрехричная система счисления

N24 | Двадцатичетырехричная система счисления

N25 | Двадцатипятеричная система счисления

N26 | Двадцатишестеричная система счисления

N27 | Двадцатисемеричная система счисления

N28 | Двадцативосьмеричная система счисления

N29 | Двадцатидевятиричная система счисления

N30 | Тридцатиричная система счисления

N31 | Тридцатиодноричная система счисления

N32 | Тридцатидвухричная система счисления

N33 | Тридцатитрехричная система счисления

N34 | Тридцатичетырехричная система счисления

N35 | Тридцатипятиричная система счисления

N36 | Тридцатишестиричная система счисления

Калькуляторы площади геометрических фигур

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ

Калькуляторы (Комбинаторика)

Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов

Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов

Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов

Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия

Калькулятор сложения и вычитания матриц

Калькулятор умножения матриц

Калькулятор транспонирование матрицы

Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы

Калькулятор нахождения обратной матрицы

Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками

Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам

Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора

Калькулятор сложения и вычитания векторов

Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами

Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты

Калькулятор векторного произведения векторов через координаты

Калькулятор смешанного произведения векторов

Калькулятор умножения вектора на число

Калькулятор нахождения угла между векторами

Калькулятор проверки коллинеарности векторов

Калькулятор проверки компланарности векторов

Генератор Pdf с примерами

Тренажёры решения примеров

Тренажёр таблицы умножения

Тренажер счета для дошкольников

Тренажер счета на внимательность для дошкольников

Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.

Тренажер решения примеров с разными действиями

Тренажёры решения столбиком

Тренажёр сложения столбиком

Тренажёр вычитания столбиком

Тренажёр умножения столбиком

Тренажёр деления столбиком с остатком

Калькуляторы решения столбиком

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком

Калькулятор деления столбиком с остатком

Конвертеры величин

Конвертер единиц длины

Конвертер единиц скорости

Конвертер единиц ускорения

Цифры в текст

Калькуляторы (физика)

Механика

Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния

Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения

Калькулятор вычисления времени движения

Калькулятор времени

Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.

Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.

Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости

Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.

Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

Оптика

Калькулятор отражения и преломления света

Электричество и магнетизм

Калькулятор Закона Ома

Калькулятор Закона Кулона

Калькулятор напряженности E электрического поля

Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q

Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q

Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q

Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q

Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля

Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

Конденсаторы

Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькуляторы по астрономии

Вес тела на других планетах

Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках

Генераторы

Генератор примеров по математике

Генератор случайных чисел

Генератор паролей

Модульный арифметический решатель — Калькулятор конгруэнтности

Поиск инструмента

Средство решения модульных уравнений

Средство/решатель для решения модульного уравнения. Модульное уравнение — это математическое выражение, представленное в виде сравнения хотя бы с одной неизвестной переменной.

Результаты

Решатель модульных уравнений — dCode

Теги: Арифметика

Поделиться

dCode и многое другое

dCode бесплатен, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Калькулятор модульных уравнений

См. также: Модуль N калькулятор — модульное возведение в степень

Решение уравнений с несколькими модулями

В частном случае одно неизвестное с несколькими уравнениями с несколькими модулями , есть китайская теорема об остатках:

⮞ Перейти: Китайский остаток

Ответы на вопросы (FAQ)

Что такое модульная конгруэнция? (Определение)

Модульная конгруэнтность — это своего рода уравнение (или система конгруэнтности, по крайней мере, с одной неизвестной переменной), действительное в соответствии с линейной конгруэнтностью (по модулю/модулю). По модулю принято говорить не о равенстве, а о конгруэнтности.

Для нескольких систем модульных уравнений (нелинейных) это другое вычисление, которое можно решить с помощью калькулятора, решающего китайскую задачу с остатками, доступного на dCode.

Как решить модульное уравнение?

Введите уравнение/сравнение, переменные и значение по модулю. Значение модуля является глобальным и применяется ко всем уравнениям.

Пример: $$ x+12 \экв 3 \mod 5 \Стрелка вправо x = 1 $$

Как решить несколько уравнений?

Введите одно уравнение/сравнение в каждой строке или разделите их с помощью оператора && .

Как написать символ конгруэнтности ≡?

Скопируйте этот символ: ≡ (Unicode U+2261)

В LaTeX напишите: \equiv

ent) решить уравнения, достаточно знака равенства = .

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код «Modular Equation Solver». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Modular Equation Solver», апплета или фрагмента (преобразователь, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, транслятор) или «Modular Equation Solver». Функции Solver (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т. д.) и загрузка всех данных, сценарий или доступ к API для «Modular Equation Solver» не являются общедоступными, то же самое для автономного использования на ПК, мобильных устройствах, планшетах, iPhone или в приложениях для Android!
Напоминание: dCode можно использовать бесплатно.

Cite dCode

Копирование и вставка страницы «Modular Equation Solver» или любых ее результатов разрешено, если вы цитируете dCode!
Экспорт результатов в виде файла . csv или .txt можно выполнить бесплатно, щелкнув значок export . 27, https://www.dcode.fr/modular-equation-solver

Резюме

• Калькулятор модульных уравнений
• Решение уравнений с несколькими модулями
• Что такое модульное сравнение? (Определение)
• Как решить модульное уравнение?
• Как решить несколько уравнений?
• Как написать символ конгруэнтности ≡?

Похожие страницы

• Калькулятор по модулю N
• Модульное возведение в степень
• Китайский остаток
• Предыдущее простое число
• Взаимопростые числа
• Масштаб карты
• LCM (наименьший общий кратный)
• СПИСОК ИНСТРУМЕНТОВ DCODE

Поддержка

• Paypal
• Patreon
• Подробнее

Форум/Помощь

Ключевые слова

модульный,по модулю,мод,уравнение ,конгруэнтность,конгруэнтность,модуль,равенство,калькулятор

Ссылки

▲

Модульный арифметический решатель — Калькулятор конгруэнтности

Поиск инструмента

Средство решения модульных уравнений

Инструмент/решатель для решения модульного уравнения. Модульное уравнение — это математическое выражение, представленное в виде сравнения хотя бы с одной неизвестной переменной.

Результаты

Модульный решатель уравнений — dCode

Теги: Арифметика

Поделиться

dCode и многое другое геокэшинг, головоломки и задачи для решения каждый день!
Предложение ? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Калькулятор модульных уравнений

См. также: Модуль N калькулятор — модульное возведение в степень

Решение уравнений с несколькими модулями

В частном случае одного неизвестного с несколькими уравнениями с несколькими модулями существует китайская теорема об остатках:

⮞ Перейти к: китайский остаток

Ответы на вопросы (FAQ)

Что такое модульная конгруэнтность? (Определение)

Модульная конгруэнтность — это своего рода уравнение (или система конгруэнтности, по крайней мере, с одной неизвестной переменной), действительное в соответствии с линейной конгруэнтностью (по модулю/модулю). По модулю принято говорить не о равенстве, а о конгруэнтности.

Для нескольких систем модульных уравнений (нелинейных) это другой расчет, который можно решить с помощью калькулятора, решающего китайскую задачу с остатками, доступного на dCode.

Как решить модульное уравнение?

Введите уравнение/сравнение, переменные и значение по модулю. Значение модуля является глобальным и применяется ко всем уравнениям.

Пример: $$ x+12 \экв 3 \mod 5 \Стрелка вправо x = 1 $$

Как решить несколько уравнений?

Введите одно уравнение/сравнение в каждой строке или разделите их с помощью оператора && .

Как написать символ конгруэнтности ≡?

Скопируйте этот символ: ≡ (Unicode U+2261)

В LaTeX напишите: \equiv

В dCode не нужно писать ≡ (конгруэнтно) для решения уравнений, знак равенства = это достаточно.

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код «Modular Equation Solver». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Modular Equation Solver», апплета или фрагмента (преобразователь, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, транслятор) или «Modular Equation Solver». Функции Solver (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т. д.) и загрузка всех данных, сценарий или доступ к API для «Modular Equation Solver» не являются общедоступными, то же самое для автономного использования на ПК, мобильных устройствах, планшетах, iPhone или в приложениях для Android!
Напоминание: dCode можно использовать бесплатно.

Cite dCode

Копирование и вставка страницы «Modular Equation Solver» или любых ее результатов разрешено, если вы цитируете dCode!
Экспорт результатов в виде файла .

Метод Крамера онлайн

Примеры решенийРанг матрицыОбратная матрица Метод Гаусса Производная онлайн Определитель матрицыЭкстремум функции Линейная алгебра онлайн Правило СаррюсаМетод обратной матрицы

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция
• Также решают

Инструкция. Выберите количество переменных, нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения СЛАУ методом Крамера). Для проверки решения автоматически генерируется шаблон в Excel. Выберите количество переменных 234567

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
По координатам вершин треугольника найти площадь, уравнения сторон, уравнение медианы, уравнение биссектрисы

По координатам вершин пирамиды найти

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Экстремум функции двух переменных

Вычисление пределов

1. Находим определитель D исходной матрицы A.
2. В цикле от 1 до n заменяем i-ый столбец матрицы на столбец результатов B. Находим текущий определитель D_i полученной матрицы.
3. x_i находится делением D_i на D: xi = Di / D.

Вывод:

• Смысл метода Крамера: находим определитель D_i, получаемый из заменой i-го столбца на столбец свободных членов и делим его на главный определитель D.

  xi = Di / D

• Метод Крамера относится к простым для реализации методам решения СЛАУ и получил широкое распространение в разных областях знаний (например, при нахождении уравнений регрессий). Недостатком метода является его практическая непригодность для вычисления СЛАУ с большим количеством переменных (от 5 и выше). Для этого случая используют приближенные методы (например, метод простой итерации).

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Как решить систему уравнений. Руководство к онлайн сервису

Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение

Примеры решенийРанг матрицыМетод КрамераУмножение матриц Определитель матрицы Метод обратной матрицы Обратная матрица Метод Гаусса онлайн LU разложение матрицы Производная онлайн

Прямые методы

1. Решение СЛАУ методом Гаусса. Этот сервис также используется для исследования системы алгебраических уравнений с помощью теоремы Кронекера-Капелли.
2. Решение СЛАУ методом Крамера происходит через нахождение определителей матрицы.
3. Метод обратной матрицы. Также смотрите онлайн-калькулятор по нахождению матричных уравнений (A*X = B, X*A = B, и других).

Исследование системы линейных уравнений

1. Базисные решения системы линейных уравнений.
2. Исследование системы линейных уравнений на совместность и определенность.
3. Решение системы линейных однородных уравнений позволяет найти нетривиальное и фундаментальное решения.
4. Координаты вектора в базисе. В естественном базисе заданы векторы a=(1,1,0)^T, b=(1,-1,1)^T, c=(-3,5,-6)^T, d=(4,-4,5)^T. Показать, что векторы образуют базис.

Итерационные методы

1. Решения СЛАУ методом простой итерации.
2. Решения СЛАУ методом Зейделя.
3. Решения системы методом декомпозиции (LU-разложение).

см. также раздел Высшая математика онлайн: онлайн-сервисы по аналитической геометрии, линейной алгебре, теории вероятности и другим.

Методы нахождения определителей

1. Определитель матрицы разложением по строкам и столбцам через миноры.
2. Определитель матрицы методом треугольников
3. Определитель матрицы методом понижения порядка
4. Определитель методом приведения к треугольному виду (методом Гаусса)
5. Определитель матрицы методом декомпозиции

При изучении данной темы могут понадобится следующие онлайн-калькуляторы:

• Ранг матрицы
• Обратная матрица через алгебраические дополнения .Определение миноров матрицы, алгебраических дополнений, транспонированной матрицы
• Обратная матрица методом Жордано-Гаусса
• Умножение матриц
• Преобразование матрицы до треугольной
• LU разложение матрицы

Калькулятор по аналитической геометрии и векторной алгебре

• Помощь в решении
• Поиск
• Поддержать проект

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

калькулятор правил Cramer — (2×2, 3×3 и 4×4) Матрицы

Формула правила краса

x = D _x /D

Y = D _Y /D

Z = D _y /D

Z = D _Z /D

Z = D /D

Where,

D _x, D _y, and D _z are determinant of matrix x, y, and z соответственно и

D — определитель главной матрицы.

Калькулятор правила Крамера эффективно решает одновременные линейные уравнения и мгновенно находит значения переменных в уравнении. Он также применяет правило Крамера для матриц 2×2 , 3×3, и 4×4 .

Если вы знаете, как использовать правило Крамера в системе 2×2 и ищете реализацию правила Крамера в системах 3×3 или 4×4, продолжайте читать следующие разделы.

Что такое правило Крамера?

Правило Крамера — это метод оценки значения заданных неизвестных переменных в линейных уравнениях. Оно было предложено Габриэлем Крамером в 1750 году. Используя это правило, можно с легкостью решать одновременные линейные уравнения.

Как решать линейные уравнения по правилу Крамера?

Чтобы решить одновременные линейные уравнения с использованием правила Крамера, выполните следующие действия.

Пример:

Решите приведенные ниже уравнения для х, у, и z.

2x+3y+5Z = 10

5x+3y+2Z = 12

x+5y+0z = 8

99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999009

9005 . Шаг 1:

ГДЗ Хімія 8 клас Григорович §40 2021 / §42 2016 ГЕНЕТИЧНІ ЗВ’ЯЗКИ МІЖ КЛАСАМИ НЕОРГАНІЧНИХ СПОЛУК відповіді » Допомога учням

Інші завдання дивись тут…

Завдання для засвоєння матеріалу

Вправа 1

Складіть формули таких речовин: кальцій оксид CaO, калій оксид K₂O, фосфор (III) оксид P₂O₃, барій оксид BaO, цинк оксид ZnO, сульфідна кислота H₂S, карбонатна кислота H₂CO₃, магній гідроксид Mg(OH)₂, ферум (II) гідроксид Fe(OH)₂, силікатна кислота H₂SiO₃, купрум (II) гідроксид Cu(OH)₂, літій гідроксид LiOH, калій гідроксид KOH, нікол (II) сульфат NiSO₄, алюміній гідроксид Al(OH)₃, натрій ортофосфат Na₃PO₄, хлоридна кислота HCl, ортофосфатна кислота H₃PO₄.

Вправа 2

Із наведених формул речовин випишіть окремо формули та назви оксидів, кислот, основ і солей: NaOH, HCl, H₂SO₄, Ca(OH)₂, HBr, Cu(OH)₂, H₃PO₄, H₂SiО₃, H₂S, NaOH, Fe(OH)₂, K₂SO₄, CaBr₂, CuCO₃, CO₂, Mg(OH)₂, AlPO₄, SO₃, HI, CuSO₄, Zn(OH)₂, Ba(NO₃)₂, FeCl₃, Na₂S, Al(NO₃)₃, Ba₃(PO₄)₂.

Оксиди: CO₂ карбон (IV) оксид, SO₃ сульфур (VI) оксид.

Кислоти: HCl хлоридна кислота, H₂SO₄ сульфатна кислота, HBr бромідна кислота, H₃PO₄ ортофосфатна кислота, H₂SiО₃ силікатна кислота, H₂S сульфідна кислота, HI йодидна кислота.

Основи: NaOH натрій гідроксид, Ca(OH)₂ кальцій гідроксид, Cu(OH)₂ купрум (ІІ) гідроксид, Fe(OH)₂ ферум (ІІ) гідроксид, Mg(OH)₂ магній гідроксид, Zn(OH)₂ цинк гідроксид.

Солі: K₂SO₄ калій сульфат, CaBr₂ кальцій бромід, CuCO₃ купрум (ІІ) карбонат, AlPO₄ алюміній ортофосфат, CuSO₄ купрум (ІІ) сульфат, Ba(NO₃)₂ барій нітрат, FeCl₃ ферум (ІІІ) хлорид, Na₂S натрій сульфід, Al(NO₃)₃ алюміній нітрат, Ba₃(PO₄)₂ барій ортофосфат.

Оксиди — це бінарні сполуки елементів з Оксигеном, і яких Оксиген виявляє ступінь окиснення -2.

Кислоти — це складні речовини, що складаються з йонів Гідрогену та кислотного залишку.

Основи — це сполуки, що складаються з йонів металічного елемента й одного або декількох гідроксид-іонів OH^–.

Солі — це сполуки, що складаються з йонів металічних елементів та кислотних залишків.

Вправа 3

Невідомий оксид розчиняється у воді з утворенням розчину, що забарвлює лакмус у червоний колір. Який висновок можна зробити щодо характеру властивостей цього оксиду? Це кислотний оксид. Чи буде він взаємодіяти з хлоридною кислотою, натрій гідроксидом, натрій хлоридом, кальцій оксидом? Відповідь обґрунтуйте. Кислотні оксиди взаємодіють з лугами і основними оксидами, тому кислотний оксид, наприклад, СО₂ буде реагувати з натрій гідроксидом і кальцій оксидом.

СО₂ + 2NaOH = Na₂CO₃ + H₂O

CO₂ + CaO = CaCO₃ 

Вправа 4

Проілюструйте генетичний зв’язок між класами неорганічних речовин на прикладі магнію й сірки. Складіть відповідні рівняння реакцій.

Mg → MgO → MgSO₄

2Mg + O₂ = 2MgO

MgO + H₂SO₄ = MgSO₄ + H₂O

При згорянні магнію утворюється основний оксид MgO. З водою магній оксид не взаємодіє, бо не утворює лугу (не є оксидом лужного і лужноземельного елемента). При взаємодії основного оксиду і кислоти утворюється сіль.  

S → SO₂ → H₂SO₃

S + O₂ = SO₂

SO₂ + H₂O = H₂SO₃

При згорянні сірки утворюється кислотний оксид SO₂, що реагує з водою з утворенням сульфітної кислоти H₂SO₃.

Вправа 5

Складіть рівняння реакцій, за допомогою яких можна здійснити такі перетворення:

а) Mg → MgО → MgCl₂ → MgCO₃ → Mg(NO₃)₂;

2Mg + O₂ = 2MgO

MgO + 2HCl = MgCl₂ + H₂O

MgCl₂ + Na₂CO₃ = 2NaCl + MgCO₃

MgCO₃ + 2HNO₃ = Mg(NO₃)₂ + H₂O + CO₂↑

б) S → SO₂ → Na₂SO₃ → BaSO₃ → SO₂;

S + O₂ = SO₂

SO₂ + Na₂O = Na₂SO₃

Na₂SO₃ + BaCl₂ = BaSO₃↓+ 2NaCl

BaSO₃ = BaO + SO₂↑

в) Na → NaOH → Na₂SO₄ → NaCl → NaNO₃.

2Na + 2H₂O = 2NaOH + H₂↑

2NaOH + SO₃ = Na₂SO₄ + H₂O

Na₂SO₄ + BaCl₂ = 2NaCl + BaSO₄↓

NaCl + AgNO₃ = NaNO₃ + AgCl↓

Вправа 6

Наведіть рівняння реакцій, що ілюструють чотири різні способи добування кальцій карбонату.

СaO + CO₂ = CaCO₃

Ca(OH)₂ + CO₂ = CaCO₃ + H₂O

Ca(OH)₂ + Na₂CO₃ = CaCO₃ + 2NaOH 

CaCl₂ + Na₂CO₃ = CaCO₃ + 2NaCl

Вправа 7

Розташуйте запропоновані речовини за порядком, що характеризує генетичний

зв’язок класів речовин, та складіть відповідні рівняння реакцій:

а) фосфор (V) оксид, калій ортофосфат, фосфор, ортофосфатна кислота;

Р -> P₂O₅ -> H₃PO₄ -> K₃PO₄

4P + 5O₂ = 2P₂O₅

P₂O₅ + 3H₂O = 2H₃PO₄

H₃PO₄ + 3KOH = K₃PO₄ + 3H₂O

б) барій гідроксид, барій оксид, барій карбонат, барій;

Ba -> BaO -> Ba(OH)₂ -> BaCO₃

2Ba + O₂ = 2BaO

BaO + H₂O = Ba(OH)₂↓

Ba(OH)₂ + H₂CO₃ = BaCO₃ + 2H₂O

в) купрум (II) оксид, купрум (II) гідроксид, мідь, купрум (II) сульфат.

Cu -> CuO -> CuSO₄ -> Cu(OH)₂

2Cu + O₂ = 2CuO

CuO + H₂SO₄ = CuSO₄ + H₂O

CuSO₄ + 2NaOH = Cu(OH)₂↓+ Na₂SO₄

Вправа 8

Як добути кальцій хлорид з кальцій нітрату, використовуючи калій карбонат і хлоридну кислоту? Складіть рівняння реакцій.

Ca(NO₃)₂ + K₂CO₃ = CaCO₃↓ + 2KNO₃

CaCO₃ + 2HCl = CaCl₂ + H₂O + CO₂↑

Вправа 9

Визначте відсутні ланки ланцюгів перетворень, що характеризують генетичний зв’язок речовин. Складіть рівняння реакцій, що характеризують ці перетворення.

а) S → ? → H₂SO₃ → CaSO₃;

S → SO₂→ H₂SO₃ → CaSO₃;

S + O₂ = SO₂

SO₂ + H₂O = H₂SO₃

H₂SO₃ + Ca(OH)₂ = CaSO₃ + 2H₂O

б) Fe → Fe₂O₃ → ? → Fe(OH)₃.

Fe → Fe₂O₃ → FeCl₃ → Fe(OH)₃.

4Fe + 3O₂ = 2Fe₂O₃

Fe₂O₃ + 6HCl = 2FeCl₃ + 3H₂O

FeCl₃ + 3NaOH = Fe(OH)₃↓+ 3NaCl

Вправа 10

Складіть рівняння реакцій для здійснення таких перетворень:

а) Ca → CaO → Ca(ОН)₂ → CaСl₂;

2Ca + O₂ = 2CaO

CaO + H₂O = Ca(OH)₂

Ca(OH)₂ + 2HCl = CaCl₂ + 2H₂O

б) S → SО₂ → Н₂SО₃ → Nа₂SО₃;

S + O₂ = SO₂

SO₂ + H₂O = H₂SO₃

H₂SO₃ + 2NaOH = Na₂SO₃ + 2H₂O

в) Ba → BaО → Ba(ОН)₂ → BaSО₄;

2Ba + O₂ = 2BaO

BaO + H₂O = Ba(OH)₂

Ba(OH)₂ + H₂SO₄ = BaSO₄ + 2H₂O

г) С → CO₂ → CaCO₃ → CaСl₂ → Ca(ОН)₂;

C + O₂ = CO₂↑

CO₂ + CaO = CaCO₃

CaCO₃ + 2HCl = CaCl₂ + H₂O + CO₂↑

CaCl₂ + 2NaOH = Ca(OH)₂ + 2NaCl

д) NаОН → Nа₂CO₃ → CO₂ → MgCO₃;

2NaOH + H₂CO₃ = Na₂CO₃ + 2H₂O

Na₂CO₃ + 2HCl = 2NaCl + H₂O + CO₂↑

CO₂ + MgO = MgCO₃

е) Аl → Аl₂О₃ → Аl₂(SО₄)₃ → Аl(ОН)₃ → Аl₂О₃;

4Al + 3O₂ = 2Al₂O₃

Al₂O₃ + 3H₂SO₄ = Al₂(SO₄)₃ + 3H₂O

Al₂(SO₄)₃ + 6NaOH = 2Al(OH)₃↓+ 3Na₂SO₄

2Al(OH)₃↓ = Al₂O₃ + 3H₂O

є) Fe → Fe₂O₃ → Fe(NO₃)₃ → Fe(OH)₃ → Fe₂O₃ → Fe → FeCl₂.

4Fe + 3O₂ = 2Fe₂O₃

Fe₂O₃ + 6HNO₃ = 2Fe(NO₃)₃ + 3H₂O

Fe(NO₃)₃ + 3NaOH = Fe(OH)₃↓+ 3NaNO₃

2Fe(OH)₃↓ = Fe₂O₃ + 3H₂O

Fe₂O₃ + 3H₂ = 2Fe + 3H₂O

Fe+ 2HCl = FeCl₂ + H₂↑

Вправа 11

Визначте відсутні ланки ланцюгів, що характеризують генетичний зв’язок речовин:

а) Ca → ? → ? → Ca(NO₃)₂;

Ca -> CaO -> Ca(OH)₂ -> Ca(NO₃)₂

2Ca + O₂ = 2CaO

CaO + H₂O = Ca(OH)₂

Ca(OH)₂ + 2HNO₃ = Ca(NO₃)₂ + 2H₂O

б) SO₃ -> ? -> ? -> ?

SO₃ -> H₂SO₄ -> MgSO₄ -> Mg(OH)₂

SO₃ + H₂O = H₂SO₄

H₂SO₄ + Mg = MgSO₄ + H₂↑

MgSO₄ + 2NaOH = Na₂SO₄ + Mg(OH)₂

в) Mg(OH)₂ -> ? -> ? -> ? -> ?

Mg(OH)₂ -> MgO -> MgCl₂ -> Mg(OH)₂ -> MgSO₄

Mg(OH)₂↓= MgO + H₂O

MgO + 2HCl = MgCl₂ + H₂O

MgCl₂ + 2NaOH = Mg(OH)₂ + 2NaCl

Mg(OH)₂ + H₂SO₄ = MgSO₄ + 2H₂O

Вправа 12

До розчину блакитного кольору додали розчин лугу, при цьому випав блакитний осад. Осад відфільтрували і прожарили. У результаті одержали чорний порошок, що потім обробили воднем під час нагрівання.

Утворився метал червоного кольору. Визначте описані речовини, складіть рівняння реакцій.

Речовини: розчин мідного купоросу CuSO₄ має блакитний колір, розчин натрій гідроксиду NaOH, купрум (ІІ) гідроксид Cu(OH)₂, купрум оксид CuO, метал купрум Cu. 

CuSO₄ + 2NaOH = Na₂SO₄ + Cu(OH)₂↓ — осад блакитного кольору

Cu(OH)₂↓ = Н₂О + CuO — оксид чорного кольору

CuO + H₂ = Н₂О + Cu — метал червоного кольору

Вправа 13

Порівняйте об’єм сульфур (IV) оксиду (за н.у.), що можна добути із сірки масою 480 г та натрій сульфіту масою 630 г.

Відомо: m(S)=480 г, m(Na₂SO₃)=630 г

Порівняти V₁(SO₂) і V₂(SO₂)

Розв’язування

І спосіб

1. Обчислюємо кількості речовини сірки масою 480 г і натрій сульфіту масою 630 г за формулою n=m/M, де M=M_r г/моль.

M_r(S)=A_r(S)=32, M(S)=32 г/моль,

M_r(Na₂SO₃)=2•A_r(Na)+A_r(S)+3•A_r(О)=2•23+32+3•16=126, M(Na₂SО₃)=126 г/моль

n(S)=m(S)/M(S)=480 г : 32 г/моль=15 моль

n(Na₂SО₃)=m(Na₂SО₃)/M(Na₂SО₃)=630 г : 126 г/моль=5 моль

2. Записуємо два рівняння реакції:

S + O₂ = SO₂↑     (1)

Na₂SO₃ + 2HCl = 2NaCl + H₂O + SO₂↑   (2)

За рівнянням реакції (1) n(S):n₁(SО₂)=1:1, кількість речовини однакова, тому

n₁(SO₂)=n(S)=15 моль

За рівнянням реакції (2) n(Na₂SO₃):n₂(SО₂)=1:1, кількість речовини однакова, тому

n₂(SO₂)=n(Na₂SO₃)=5 моль

3, Обчислюємо об’єми SO₂ кількість речовини 15 моль і 5 моль за формулою V=n•V_M

V₁(SO₂)=n₁(SO₂)•V_M=15 моль•22,4 л/моль=336 л

V₂(SO₂)=n₂(SO₂)•V_M=5 моль•22,4 л/моль=112 л

V₁(SO₂)>V₂(SO₂)

ІІ спосіб

Записуємо два рівняння реакції:

S + O₂ = SO₂↑     (1)

Na₂SO₃ + 2HCl = 2NaCl + H₂O + SO₂↑   (2)

За рівнянням реакції (1) n(S)/1=n₁(SO₂)/1

У ццьому співвідношенні замінюємо кількість речовини сульфур (IV) оксиду на співвідношення об’ємів, а кількість речовини сірки — на співвідношення мас.  

V₁(SO₂)/V_M=m(S)/M(S)

Звідси виражаємо об’єм газу сульфур (IV) оксиду:

V₁(SO₂)•М(S)=m(S)•V_M, тому

V₁(SO₂)=m(S)•V_M:M(S)

Обчислюємо молярну масу сірки і підставляємо значення у формулу.

M_r(S)=A_r(S)=32, M(S)=32 г/моль

V₁(SO₂)=480 г • 22,4 л/моль : 32 г/моль=336 л

За рівнянням реакції (2) n(Na₂SO₃)/1=n₁(SO₂)/1

У цьому співвідношені замінюємо кількість речовини сульфур (IV) оксиду на співвідношення об’ємів, а кількість речовини натрій сульфіту — на співвідношення мас.

V₂(SO₂)/V_M=m(Na₂SO₃)/M(Na₂SO₃) 

Звідси виражаємо об’єм газу сульфур (IV) оксиду:

V₂(SO₂)•М(Na₂SO₃)=m(Na₂SO₃)•V_M, тому

V₂(SO₂)=m(Na₂SO₃)•V_M:M(Na₂SO₃)

Обчислюємо молярну масу Na₂SO₃ і підставляємо значення у формулу.

M_r(Na₂SO₃)=2•A_r(Na)+A_r(S)+3•A_r(О)=2•23+32+3•16=126, тому M(Na₂SО₃)=126 г/моль

V₂(SO₂)=630 г•22,4 л/моль:126 г/моль=112 л

V₁(SO₂)>V₂(SO₂)

Відповідь: більший об’єм SO₂ можна добути з порції cірки

Вправа 14

Обчисліть масу фосфору, що необхідно ввести в низку перетворень для добування кальцій ортофосфату масою 15,5 г.

Відомо: m(Са₃(PО₄)₂)=15,5 г

Знайти m(P)-?

Розв’язування

1. Обчислюємо кількість речовини Са₃(PО₄)₂ масою 15,5 г за формулою n=m/M, де

M=Mr г/моль

Mr(Са₃(PО₄)₂)=3•A_r(Ca)+2•A_r(P)+8•A_r(O)=3•40+2•31+8•16=310, М(Ca₃(PO₄)₂)=310 г/моль

n(Ca₃(PO₄)₂)=m(Ca₃(PO₄)₂)/M(Ca₃(PO₄)₂)=15,5 г : 310 г/моль=0,05 моль

2. Записуємо рівняння реакції: 2P₂O₅+ 6CaО = 2Ca₃(PO₄)₂

За рівнянням реакції n(P₂O₅):n(Ca₃(PO₄)₂)=2:2=1:1, кількості речовини однакові,

n(P₂O₅)=n(Са₃(PO₄)₂=0,05 моль

3. Записуємо рівняння реакції: 4Р + 5О₂=2Р₂О₅

За рівнянням реакції n(P):n(P₂O₅)=4:2, звідси

n(P)•2=n(P₂O₅)•4, тому

n(P)=4•n(P₂O₅):2=4•0,05:2=0,1 моль

4. Обчислюємо масу фосфору кількістю речовини 0,1 моль за формулою m=n•M

M_r(P)=A_r(P)=31, тому М(P)=31 г/моль

m(P)=n(P)•M(P)=0,1•31=3,1 г

Відповідь: 3,1 г

Інші завдання дивись тут…

Досрочный вариант ЕГЭ по химии 2023

ЙДосрочный вариант ЕГЭ по химии-2023. Вариант 1. Скачать разбор досрочного варианта ЕГЭ по химии-2023 от 10 апреля 2023 с ответами и решениями. Здесь вы можете посмотреть, как выглядит  реальный вариант ЕГЭ по химии.

1. Определите, атомы каких из указанных в ряду элементов имеют одинаковую электронную конфигурацию предвнешнего энергетического уровня. Запишите в поле ответа номера выбранных элементов.

2. Из указанных в ряду химических элементов выберите три элемента, которые находятся три элемента малых
периодов. Расположите выбранные элементы в порядке возрастания электроотрицательности.

3. Из числа указанных в ряду элементов выберите два элемента, которые имеют постоянную степень окисления. Запишите в поле ответа номера выбранных элементов.

4. Из предложенного перечня выберите два вещества немолекулярного строения, в каждом из которых присутствует ковалентная неполярная химическая связь.
1) карбид алюминия
2) алмаз
3) карбид кальция
4) ацетилен
5) пероксид водорода
Запишите в поле ответа номера выбранных веществ. 

5. Среди предложенных формул веществ, расположенных в пронумерованных ячейках, выберите формулы:

А) соль азотной кислоты; Б) нерастворимое основание; В) основная соль

Запишите в таблицу номера ячеек, в которых расположены вещества, под соответствующими буквами.

6. Даны две пробирки с раствором гидроксида калия. В одну из них добавили раствор вещества X и наблюдали выделение газа с резким запахом. Во вторую пробирку добавили нерастворимое в воде Y и наблюдали его растворение.

Из предложенного перечня выберите вещества X и Y, которые могут вступать в описанные реакции.

1) сульфит натрия
2) нитрат магния
3) бромид аммония
4) гидроксид железа (II)
5) гидроксид алюминия

Запишите в таблицу номера выбранных веществ под соответствующими буквами.

7. Установите соответствие между формулой вещества и реагентами, с каждым из которых это вещество может взаимодействовать: к каждой позиции, обозначенной буквой, подберите соответствующую позицию, обозначенную цифрой. 

Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

8. Установите соответствие между исходными веществами, вступающими в реакцию, и продуктами, которые образуются при взаимодействии этих веществ: к каждой позиции, обозначенной буквой, подберите соответствующую позицию, обозначенную цифрой.

Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

9. Задана следующая схема превращений веществ:

Определите, какие из указанных веществ являются веществами X и Y.

1) NaNO₃
2) Mg(OH)₂
3) Mg(NO₃)₂
4) Cu(NO₃)₂
5) KNO₃

Запишите в таблицу номера выбранных веществ под соответствующими буквами.

10. Установите соответствие между классом/группой органических веществ и веществом, которое принадлежит к этому(-ой) классу/группе: к каждой
позиции, обозначенной буквой, подберите соответствующую позицию, обозначенную цифрой.

Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

11. Из предложенного перечня выберите два вещества, у которых отсутствуют 𝜋-связи.

1) пропаналь
2) 2-хлорпропан
3) ацетон
4) циклогексан
5) этен

Запишите номера выбранных ответов.

12. Из предложенного перечня выберите все вещества, которые вступают в реакцию с водородом.

1) 2-метилпропан
2) 2-хлорпропен
3) циклогексан
4) циклопропан
5) хлоропрен

Запишите номера выбранных ответов.

13. Из предложенного перечня выберите две реакции, в ходе которых образуется анилин.

1) хлорид фениламмония и гидроксид натрия
2) бензойная кислота и аммиак
3) бензол и азотная кислота
4) фенол и азотная кислота
5) восстановление нитробензола

Запишите номера выбранных ответов.

14. Установите соответствие между продуктом и веществом, из которого оно преимущественно получается по реакции гидробромирования: к каждой позиции, обозначенной буквой, подберите соответствующую позицию, обозначенную цифрой.

Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

15. Установите соответствие между веществом и возможным способом его получения: к каждой позиции, обозначенной буквой, подберите соответствующую позицию, обозначенную цифрой.

Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

16. Задана следующая схема превращений веществ:

Определите, какие из указанных веществ являются веществами Х и Y.

1) бутанол-1
2) пропионат калия
3) бутаноат калия
4) пропановая кислота
5) бутановая кислота

Запишите в таблицу номера выбранных веществ под соответствующими буквами.

17. Из предложенного перечня выберите все типы реакций, к которым можно отнести взаимодействие пропанола-1 и уксусной кислоты.

1) реакция гидролиза
2) реакция этерификации
3) каталитическая реакция
4) реакция нейтрализации
5) обратимая реакция

Запишите номера выбранных ответов.

18. Из предложенного перечня выберите схемы все факторы, ускоряющие скорость реакции гидрирование этилена:

1) повышение давления
2) повышение концентрации этана
3) добавление катализатора
4) повышение температуры
5) добавление ингибитора

Запишите номера выбранных ответов

19.  Установите соответствие между уравнением реакции и свойством атома азота в этой реакции: к каждой позиции, обозначенной буквой, подберите соответствующую позицию, обозначенную цифрой.

Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

20.  Установите соответствие между солью и продуктами электролиза водного раствора этой соли, которые выделились на инертных электродах: к каждой позиции, обозначенной буквой, подберите соответствующую позицию, обозначенную цифрой.

Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

21. Для веществ, приведённых в перечне, определите характер среды их водных растворов.

1) ацетат натрия
2) нитрат магния
3) хлорид бария
4) серная кислота

Запишите номера веществ в порядке возрастания значения pH их водных растворов, учитывая, что концентрация (моль/л) всех растворов одинаковая.

22. Установите соответствие между способом воздействия на равновесную систему

H₂SO₃(p-p) ↔ HSO₃^—_(p-p) + H⁺(_p-p) – Q

и смещением химического равновесия в результате этого воздействия: к каждой позиции, обозначенной буквой, подберите соответствующую позицию, обозначенную цифрой.

Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

23. В реактор постоянного объема поместили метан и пары воды. При этом исходная концентрация метана составила 2,8 моль\л. В результате протекания обратимой химической реакции:

СН_4(г) + Н₂О_(г) ↔ СО_(г) +ЗН_2(г)

в системе установилось химическое равновесие, при котором равновесная концентрация метана и воды составила соответственно 2,0 моль\л и 2,2 моль\л. Используя данные, приведенные в таблице, определите равновесную концентрацию водорода (Х) и исходную концентрацию воды (Y).

Выберите из списка номера правильных ответов:

1) 1 моль/л

2) 2 моль/л

3) 2,4 моль/л

4) 3 моль/л

5) 3,6 моль/л

6) 4 моль/л

В ответ сначала запишите Х, затем Y.

24. Установите соответствие между реагирующими веществами и признаком(-ами) протекающей между ними реакции: к каждой позиции, обозначенной буквой, подберите соответствующую позицию, обозначенную цифрой.

Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

25. Установите соответствие между областью применения и веществом: к каждой позиции, обозначенной буквой, подберите соответствующую позицию, обозначенную цифрой.

Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

26. Сколько граммов 15% раствора необходимо добавить к 85 г раствору с массовой доли вещества 10%, чтобы получить 13% раствор? (Запишите число с точностью до десятых.)

27. Горение угля протекает в соответствии с термохимическим уравнением реакции

2NaOH_(p-p) + H₂SO_{2 (p-p)} = Na₂SO₄ + 2H₂O + 113,5 кДж.

Какую массу гидроксида натрия необходим взять для получения 568 кДж теплоты. (Запишите число с точностью до целых.)

28. Ацетальдегид массой 4,4 г прореагировал с аммиачным раствором оксида серебра. В ходе реакции было получено 19,44 г серебра. Вычислить выход
реакции. (Запишите число с точностью до целых.)

Для записи ответов на задания 29–34 используйте чистый лист бумаги. Запишите сначала номер задания (29, 30 и т.д.), а затем его подробное решение. Ответы записывайте чётко и разборчиво.

29. Из предложенного перечня выберите вещества, окислительно-восстановительная реакция между которыми приводит к образованию газа и образованию окрашенного простого вещества. В ответе запишите уравнение только одной из возможных окислительно-восстановительных реакций с
участием выбранных веществ. Составьте электронный баланс, укажите окислитель и восстановитель.

30. Из предложенного перечня выберите две соли, реакция ионного обмена между которыми сопровождается выпадением осадка. Запишите молекулярное, полное и сокращённое ионное уравнения этой реакции.

31. Гидроксид калия прореагировал с раствором бромида железа (II). Полученная соль прореагировала с концентрированным раствором серной
кислоты. Полученное простое вещество разделили на две части. Первую часть добавили к раствору гидроксида калия и нагрели. Вторую часть
добавили к раствору, содержащему сульфит калия и гидроксид натрия. Напишите уравнения четырёх описанных реакций.

32. Напишите уравнения реакций, с помощью которых можно осуществить следующие превращения:

При написании уравнений реакций указывайте преимущественно образующиеся продукты, используйте структурные формулы органических веществ.

33. При сгорании 1,52 г органического вещества А образуется 1,568 л (н.у.) углекислого газа, 1,06 г карбонат натрия и 0,9 г воды . Известно, что вещество А взаимодействует с 2-хлор-2-метилпропаном с образованием алкина.

1. Проведите необходимые вычисления (указывайте единицы измерения искомых физических величин) и установите молекулярную формулу неизвестного вещества А.

2. Составьте возможную структурную формулу вещества А, которая однозначно отражает порядок связи атомов в его молекуле.

3. Напишите уравнение реакции вещества А с 2-хлор-2-метилпропаном, используя структурную формулу вещества.

34. Смесь меди и оксида меди (I) массой 42,4 г растворили в 460 г растворе концентрированной серной кислоты. Атомы меди в оксиде меди (I) отдали в 2,5 раза больше электронов, чем атомы металлической меди. (Образованием кислых солей пренебречь). Определите массовую долю соли в итоговом растворе.

Ответы на досрочный вариант ЕГЭ по химии-2022

Понравилось это:

Нравится Загрузка. ..

Назовите соль, образующуюся при взаимодействии гидроксида магния [Mg(OH) 2 ] с разбавленной соляной кислотой [HCl]. Напишите химическое уравнение реакции. Какая кислота используется для получения сульфата магния?

Назовите соль, образующуюся при взаимодействии гидроксида магния [Mg(OH) 2 ] с разбавленной соляной кислотой [HCl]. Напишите химическое уравнение реакции. Какая кислота используется для получения сульфата магния?

Book: Kerala Board Chemistry Part II

Глава: 5. Кислоты, щелочи и соли

Предмет: Химия — класс 9

^th

Q. № 3 Давайте оценим

Слушайте аудиокниги NCERT, чтобы повысить свою производительность и удержание в 2 раза.

3

Назовите соль, образующуюся в результате реакции между гидроксидом магния [Mg(OH) ₂ ] и разбавленной соляной кислотой [HCl].

Напишите химическое уравнение реакции.

Какая кислота используется для получения сульфата магния?

• Название соли – хлорид магния [MgCl ₂ ]

Гидроксид магния является сильным основанием [Mg(OH) ₂ ], а соляная кислота [HCl] является сильной кислотой. Когда основание и кислота реагируют, они взаимно сводят на нет свои свойства и приводят к образованию соли и воды. Такие реакции называются реакциями нейтрализации. Таким образом, гидроксид магния и соляная кислота будут реагировать с образованием соли и воды, и название этой соли — хлорид магния.

• Mg(OH) ₂ + 2HCl → MgCl ₂ + H ₂ O

Реакция между гидроксидом магния и соляной кислотой представляет собой реакцию нейтрализации, в которой кислота и основание реагируют с образованием соли и воды. Таким образом, один моль гидроксида магния реагирует с двумя молями соляной кислоты с образованием хлорида магния (соли) и воды.

• Серная кислота [H ₂ SO ₄ ] используется для получения сульфата магния.

Химическая формула сульфата магния: [MgSO ₄ ]. Из его формулы мы можем сделать вывод, что для его приготовления нам требуется основание, которое может дать нам ион магния, и кислота, которая может дать нам сульфат-ион. В данной задаче мы используем гидроксид магния в качестве основания, которое даст нам ион магния. Кислота, которая может дать нам ион сульфата, — это серная кислота. Получение [MgSO ₄ ] можно представить следующим образом:

Mg(OH) ₂ + H ₂ SO ₄ → MgSO ₄ + H ₂ O
13

Глава Упражнения

2

Определите символы ионов из рамки и напишите напротив их названия.

СО ₃ ^2–, № ₃ ^— , HCO ₃ ^— , OH ^— , CO ₃ ^2–, HSO ₄ ^—

, CARSO ₄ ^— 32.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. —

Сульфит —

Нитрат —

Гидроксид —

Бикарбонат —

Молоко магнезии, взвесь Mg(OH)2 в воде, реагирует с кислотой желудка (HCl) в реакции нейтрализации.

Mg(OH)2(т) + 2 HCl(водн.) −→ 2 h3O(л) + MgCl2(водн.)

Химия

Хилари Л.

спросил 19.04.21

а) Какая масса MgCl2 образуется при реакции 6,99 г Mg(OH)2? Ответ в единицах g.

б) Какая масса HCl потребуется для полной реакции с 6,99 г Mg(OH)2? Ответ в единицах g.

Подписаться І 2

Подробнее

Отчет

2 ответа от опытных наставников

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: Лучшие новыеСамые старые

Аноним А. ответил 20.04.21

Репетитор

Новое в Византе

Магистр биологии со второстепенным знанием химии — 33 года преподавания химии HS

См. таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

У вас есть сбалансированное уравнение, так что это хорошее начало. Сбалансированные коэффициенты уравнения говорят вам моли каждого. 1 Mg(OH)2=2 HCl=2 h3O=1 MgCl2.

Первый шаг заключается в преобразовании граммов Mg(OH)2 в моли.

Грамм x 1 моль/молекулярная масса г. 6,99 г Mg(OH)2 x 1 моль/___ г. = ____ моль Mg(OH)2

Посмотрите, как граммы компенсируют оставшиеся моли.

__ молей Mg(OH)2 x (1 моль MgCl2/1 моль Mg(OH)2) Это из сбалансированного уравнения.

Часть HCl будет решена с использованием преобразования (2 моль HCl/1 моль Mg(OH)2) вместо Снова из сбалансированного уравнения. Затем переведите моли в граммы

.

Голосовать за 0 Понизить

Подробнее

Отчет

Стэнтон Д. ответил 20.04.21

Репетитор

4.6 (42)

Репетитор, который пробудит ваш интерес к наукам

Смотрите таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

Да ладно, Хилари, это 5 вопросов по одному и тому же материалу. Сначала сбалансируйте уравнение, конвертируйте любые дайты в моли, переносите реагенты в продукты в соответствии со стехиометрией, конвертируйте обратно в единицы массы и т. д. по мере необходимости.

Дальнейшие вопросы будут спамом!

— г-н д.

Голосовать за 0 Понизить

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощи? Получите правильный ответ, быстро.

Задайте вопрос бесплатно

Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и встретьтесь онлайн.

Свойства линейных операций над векторами.

1. Сложение векторов коммутативно, т.е. для любых векторов и выполнено .

2. Сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых векторов , и выполнено.

3. Прибавление нулевого вектора к любому вектору, не меняет последнего:.

4. Для любого вектора векторявляется противоположным, т.е..

5. Умножение вектора на число ассоциативно, т.е. для любых чисел ии любого вектора, выполнено.

6. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению чисел: .

7. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов: .

8. Умножение вектора на единицу не меняет вектора: .

3. Понятие линейной зависимости векторов.

Определение 9. Пусть дана система векторов ₁, ₂, …,_n и совокупность вещественных чисел . Тогда выражение виданазываетсялинейной комбинацией векторов, а числа называются коэффициентами линейной комбинации. Если некоторый вектор представлен как линейная комбинация векторов, т.е. в виде:, то говорят, что векторразложен по этим векторам.

Определение 10. Векторы ,, …,называютсялинейно зависимыми, если существует набор коэффициентов , одновременно не равных нулюи таких, что

.

Определение 11. Векторы называютсялинейно независимыми, если равенство нулю линейной комбинации этих векторов возможно лишь при всех коэффициентах одновременно равных нулю.

Определение 12. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой.

Определение 13. Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке.

Определение 14. Базисом в пространстве называются три линейно независимые вектора в этом пространстве, взятые в определенном порядке.

Теорема 1 (о разложении вектора по базису в пространстве R³)

Пусть даны три некомпланарные вектора: . Любой векторраскладывается по ним. Такое разложение единственно. Существует набор чиселтакой, что:

_.

Свойства линейно зависимой и линейно независимой системы векторов:

1. Если хотя бы один из векторов есть нуль вектор, то всевекторов линейно зависимы.

2. Если среди векторов какие-либовекторов линейно зависимы, то всевекторов линейно зависимы.

3. Для того чтобы два ненулевых вектора были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарными.

4. Пусть — два неколлинеарных вектора плоскости. Любой компланарный с ними векторраскладывается по ним:. Такое разложение единственно.

5. Три компланарных вектора линейно зависимы. Три некомпланарных вектора пространства линейно независимы.

6. Любые четыре вектора пространства линейно зависимы.

7. Система векторов ₁, ₂, …,_n линейно зависима тогда и только тогда, когда один из них раскладывается в линейную комбинацию остальных.

4. Понятие о проекциях.

Пусть дан вектори ось,- угол между вектороми положительным направлением оси.и — основания перпендикуляров, опущенных из точек исоответственно (см. рис. 6).

Определение 15. Проекцией вектора на ось называется длина отрезка оси , взятая со знаком плюс, если векторобразует острый угол с направлением оси, и со знаком минус в противоположном случае.

Теорема 2. Проекция вектора на осьравна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью: .

Следствие. При умножении вектора на некоторое числоего проекция умножается на это же число:.

Теорема 3 (о проекции суммы). Проекция суммы некоторого числа векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов:,.

Операции над векторами, формулы и онлайн калькуляторы

Содержание:

• Сложение и вычитание векторов
• Умножение вектора на число

Определение

Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Сложение и вычитание векторов

Определение

Сложение векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ осуществляется по правилу треугольника.

Суммой $\overline{a}+\overline{b}$ двух векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называют такой третий вектор $\overline{c}$, начало которого совпадает с началом $\overline{a}$, а конец — с концом $\overline{b}$ при условии, что конец вектора $\overline{a}$ и начало вектора $\overline{b}$ совпадают (рис. 1).

Для сложения векторов применяется также правило параллелограмма.

Определение

Правило параллелограмма — если два неколлинеарных вектора $\overline{a}$ и $\overline{b}$ привести к общему началу, то вектор $\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}$ совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\overline{a}$ и $\overline{b}$ (рис. 2). Причем начало вектора $\overline{c}$ совпадает с началом заданных векторов.

Определение

Вектор $-\overline{a}$ называется противоположным вектором к вектору $\overline{a}$, если он коллинеарен вектору $\overline{a}$, равен ему по длине, но направлен в противоположную сторону вектору $\overline{a}$.

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

1. $\overline{a}+\overline{b}=\overline{b}+\overline{a}$ — коммутативность
2. $(\overline{a}+\overline{b})+\overline{c}=\overline{a}+(\overline{b}+\overline{c})$ — ассоциативность
3. $\overline{a}+\overline{0}=\overline{a}$
4. $\overline{a}+(-\overline{a})=\overline{0}$

Определение

Разностью $\overline{a}-\overline{b}$ векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называется вектор $\overline{c}$ такой, что выполняется условие: $\overline{b}+\overline{c}=\overline{a}$ (рис. 3).

Умножение вектора на число

Определение

Произведением $\alpha \overline{a}$ вектора $\overline{a}$ на число $\alpha$ называется вектор $\overline{b}$, удовлетворяющий условиям:

1. $\overline{b}\|\overline{a}$
2. $|\overline{b}|=|\alpha||\vec{a}|$
3. $\overline{a} \uparrow \uparrow \overline{b}$, если $\alpha>0$, $\overline{a} \uparrow \downarrow \overline{b}$, если $\alpha \lt 0$.

Свойства умножения вектора на число:

1. $(\alpha \pm \beta) \overline{a}=\alpha \overline{a} \pm \beta \overline{a}$
2. $\alpha(\overline{a} \pm \overline{b})=\alpha \overline{a} \pm \alpha \overline{b}$
3. $\alpha(\beta \overline{a})=(\alpha \beta) \overline{a}=\beta(\alpha \overline{a})$
4. $1 \cdot \overline{a}=\overline{a}$
5. $-1 \cdot \overline{a}=-\overline{a}$
6. $0 \cdot \overline{a}=\overline{0}$

Здесь $\overline{a}$ и $\overline{b}$ — произвольные векторы, $\alpha$, $\beta$ — произвольные числа.

Читать дальше: разложение вектора на составляющие.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Видео-урок: Свойства операций над векторами

Стенограмма видео

В этом видео мы научимся использовать свойства сложения и умножения векторов. Начнем с того, что вспомним, что вектор есть величина, имеющая как величину, так и направление. И мы можем представить вектор в виде подходящее пространство направленным отрезком линии определенной длины. В этом видео мы будем только рассматривать векторы в двух измерениях.

В двух измерениях мы можем представить величина и направление вектора с точки зрения горизонтального и вертикального изменения как показано. Если вектор 𝐯 имеет горизонталь компонент 𝑎 и вертикальный компонент 𝑏, мы можем думать об этом как о смещении 𝑎 единиц по горизонтали и смещение на 𝑏 единиц по вертикали. Мы можем использовать эту идею, чтобы добавить два векторы вместе, рассматривая их компоненты.

Графически сумма двух векторов 𝐮 и 𝐯 — их суммарное перемещение. Таким образом, мы можем сделать набросок конечная точка первого вектора как начальная точка второго вектора. Тогда сумма векторов имеет начальная точка первого вектора и конечная точка второго вектора как показано. Поскольку вектор 𝐮 плюс 𝐯 представляет смещение как вектора 𝐮, так и вектора 𝐯, оно будет иметь горизонтальная компонента равна сумме горизонтальных компонент вектора 𝐮 и вектор 𝐯 и вертикальная составляющая, равная сумме вертикальных составляющих вектор 𝐮 и вектор 𝐯.

Это можно записать более формально следующее. Для любых двух векторов из двух размеры 𝐮 с компонентами 𝑢 под один и 𝑢 под два и 𝐯 с компонентами 𝑣 sub one и 𝑣 sub two, то 𝐮 плюс 𝐯 имеет компоненты 𝑢 sub one плюс 𝑣 sub one и 𝑢 меньше двух плюс 𝑣 меньше двух. Так как сумма любых двух векторов в два измерения также являются двумерным вектором, мы можем сказать, что сложение векторов в два измерения закрыты. Это иногда называют свойство замыкания сложения векторов. Хотя эта идея распространяется на более высокие измерения, в этом видео мы будем работать только в двух измерениях. Мы также можем определить скаляр умножение на вектор как скалярное умножение его компонентов.

Для любого вектора 𝐮 с компонентами 𝑢 меньше единицы и 𝑢 меньше двух и скаляр 𝑘, то 𝑘, умноженное на вектор 𝐮, имеет компоненты 𝑘𝑢 sub one и 𝑘𝑢 sub two. Графически скалярное умножение вектора скаляром 𝑘 — это расширение или увеличение вектора в множитель 𝑘. Сейчас мы рассмотрим пример как использовать эти определения, чтобы ответить на вопрос, связанный со свойством вектора добавление.

Завершите следующее: вектор один, девять плюс вектор пять, два равно вектору пять, два плюс что.

Здесь мы начнем с упрощения левая часть нашего уравнения. Начнем с того, что напомним, что найти сумма пары векторов, мы просто добавляем их соответствующие компоненты. В этом вопросе, чтобы добавить вектора один, девять и пять, два, складываем один и пять и потом отдельно девять и два. Это означает, что левая сторона нашего уравнения равен вектору шесть, 11. Если мы позволим недостающему вектору на правая часть имеет компоненты 𝑥 и 𝑦, мы можем упростить правую часть как показано. Вектор пять, два плюс вектор 𝑥, 𝑦 дает нам вектор пять плюс 𝑥, два плюс 𝑦.

Теперь мы можем приравнять две стороны наше уравнение. Шесть, 11 равно пяти плюс 𝑥, два плюс 𝑦. Чтобы два вектора были равны, мы известно, что их соответствующие компоненты должны быть равны. Это дает нам два уравнения, которые нам нужны решить: шесть равно пяти плюс 𝑥 и 11 равно двум плюс 𝑦. Вычитание пяти с обеих сторон наше первое уравнение, мы видим, что 𝑥 равно единице. И вычитая два с обеих сторон из нашего второго уравнения мы видим, что 𝑦 равно девяти. Таким образом, недостающий вектор равно единице, девяти. Вектор один, девять плюс вектор пять, два равен вектору пять, два плюс вектор один, девять.

Этот вопрос демонстрирует коммутативность сложения векторов, которую мы сейчас подытожим.

Для любых двух векторов из двух размеры 𝐮 и 𝐯, вектор 𝐮 плюс вектор 𝐯 равен вектору 𝐯 плюс вектор 𝐮. Графическая интерпретация имущество показано на схеме. Если два вектора 𝐮 и 𝐯 равны отличны от нуля, то мы можем изобразить эти векторы как стороны параллелограмма. Это означает, что вектор диагональ параллелограмма может быть представлена ​​как 𝐮 плюс 𝐯, так и 𝐯 плюс 𝐮. Поэтому эти выражения должны быть равным. В случае, когда один из vectors — нулевой вектор, это приводит нас к свойству аддитивной идентичности. Это одно из многих свойств векторное сложение и скалярное умножение в двух измерениях. Пока мы не будем доказывать это свойства в этом видео, мы перечислим их сейчас.

Для любых векторов 𝐮, 𝐯, 𝐰 и скаляров 𝑚 и 𝑛 рассмотрим следующее: во-первых, пять свойств добавление вектора. Мы уже видели этот вектор 𝐮 плюс вектор 𝐯 равен вектору 𝐯 плюс вектор 𝐮. это коммутативный свойство. Во-вторых, у нас есть вектор 𝐮 плюс вектор 𝐯 плюс вектор 𝐰 равен вектору 𝐮 плюс вектор 𝐯 плюс вектор 𝐰. Это известно как ассоциативный свойство и означает, что когда мы складываем три вектора, не имеет значения, какие два векторы, которые мы добавляем первыми. Далее у нас есть вектор 𝐮 плюс нулевой вектор равен вектору 𝐮. Это известно как добавка свойство тождественности и означает, что если мы добавим нулевой вектор к любому вектору, вектор остается неизменной.

Далее у нас есть обратная добавка свойство, которое утверждает, что вектор 𝐮 плюс отрицательный вектор 𝐮 равен нулю вектор. Добавление любого вектора к его обратному всегда дает нам нулевой вектор. Наконец, у нас есть устранение свойство. Это утверждает, что если 𝐮 плюс 𝐯 равно 𝐮 плюс 𝐰, то 𝐯 равно 𝐰. Это пять свойств добавление вектора.

Нам также необходимо рассмотреть пять свойства скалярного умножения векторов. Существуют две формы распределительное свойство. есть мультипликатив свойство тождества, свойство ассоциативности и, еще раз, исключение свойство. Умножая скаляр 𝑛 на векторная сумма 𝐮 плюс 𝐯 дает нам 𝑛𝐮 плюс 𝑛𝐯. И умножение суммы двух скаляры 𝑛 и 𝑚 вектором 𝐮 дает нам 𝑛𝐮 плюс 𝑚𝐮. Умножение любого вектора 𝐮 на скалярный дает нам вектор 𝐮. Это называется мультипликативным свойство идентичности. Ассоциативное свойство состояний что 𝑛𝑚, умноженное на вектор 𝐮, равно 𝑛, умноженному на 𝑚𝐮. Наконец, свойство исключения утверждает, что если 𝑛𝐮 равно 𝑛𝐯, то вектор 𝐮 должен быть равен вектору 𝐯.

Все 10 из этих свойств верны для векторов размерностью выше двух и, как упоминалось ранее, допустимым алгебраически. В оставшейся части этого видео мы рассмотрим примеры того, как мы можем использовать эти свойства для вычисления выражений с участием векторов.

Учитывая, что вектор 𝐚 равен единице, пять и вектор 𝐛 равен шести, два, найти 𝐚 плюс 𝐛 плюс минус 𝐚.

Мы можем ответить на этот вопрос непосредственно используя свойства сложения векторов. Во-первых, с помощью коммутативного свойство, которое утверждает, что вектор 𝐮 плюс вектор 𝐯 равен вектору 𝐯 плюс вектор 𝐮, мы можем переписать наше выражение 𝐚 плюс 𝐛 плюс минус 𝐚 как 𝐚 плюс минус 𝐚 плюс 𝐛. Далее воспользуемся добавкой обратное свойство, которое утверждает, что вектор 𝐮 плюс отрицательный вектор 𝐮 равен нулевой вектор. Применив это к нашему выражению, вектор 𝐚 плюс отрицательный вектор 𝐚 равен нулевому вектору. Итак, у нас остался нулевой вектор плюс вектор 𝐛.

Наконец, мы будем использовать добавку свойство идентичности, которое утверждает, что вектор 𝐮 плюс нулевой вектор равен вектор 𝐮. Это означает, что в нашем вопросе нулевой вектор плюс вектор 𝐛 просто равен вектору 𝐛. Нам говорят в вопросе, что вектор 𝐛 равен шести, двум. Это означает, что 𝐚 плюс 𝐛 плюс отрицательное 𝐚 также равно шести, двум. Вторым методом здесь было бы просто работайте с компонентами вектора 𝐚 и вектора 𝐛. Нам нужно добавить векторы один, пять и шесть, два, а затем добавить минус вектора один, пять. Мы можем распределить негатив по вектор, умножив все его компоненты на отрицательную единицу. Таким образом, третий вектор становится минус один, минус пять.

Теперь мы можем просто добавить три векторов путем нахождения суммы их соответствующих компонент. Начнем с прибавления единиц, шести и отрицательный. Это равно шести. Затем мы добавляем 𝑦-компоненты пять, два и минус пять, что дает нам два. Это подтверждает полученный нами ответ используя свойства сложения векторов. Вектор 𝐚 плюс вектор 𝐛 плюс отрицательный вектор 𝐚 равен шести, двум.

Теперь мы рассмотрим один последний пример.

Выполните следующие действия: два умножить на вектор два, пять плюс вектор пять, один равно чему плюс вектор 10, два.

Начнем этот вопрос с упрощение левой части уравнения. Во-первых, воспользуемся тем, что скалярное умножение является дистрибутивным по сравнению с векторным сложением. Это означает, что левая сторона становится два, умноженные на вектор два, пять плюс два, умноженные на вектор пять, один. Затем мы можем оценить скаляр умножение. Два умножить на вектор два, пять равно вектору два, умноженному на два, два, умноженному на пять. Это равно четырем, 10. Точно так же, умножая вектор пять, один на скаляр два дает нам вектор 10, два. Тогда мы можем приравнять это к в правой части нашего уравнения, и пусть компоненты неизвестного вектора равны 𝑥 и 𝑦.

Далее мы можем рассмотреть свойство устранения сложения векторов, которое гласит, что если вектор 𝐮 плюс вектор 𝐯 равен вектору 𝐮 плюс вектор 𝐰, тогда вектор 𝐯 равен вектору 𝐰. Вектор 10, два появляется в сумма в обеих частях нашего уравнения. Это означает, что другие векторы с каждой стороны также должны быть равны. Вектор четыре, 10 равен вектор 𝑥, 𝑦. Таким образом, мы можем сделать вывод, что недостающий вектор равен четырем, 10.

Мы закончим это видео резюмируя ключевые моменты. В этом видео мы увидели, что можем использовать свойства векторного сложения и скалярного умножения для упрощения выражения с использованием векторов. Пять свойств вектора дополнение, как показано. Они известны как коммутативные свойство, ассоциативное свойство, аддитивное тождественное свойство, аддитивное обратное свойство и свойство ликвидации соответственно. Пять свойств скаляра умножение векторов, как показано. Первые два здесь являются примерами распределительное свойство. Третье — мультипликативное. свойство идентичности, за которым следует ассоциативное свойство и, еще раз, ликвидационное свойство.

Мы можем доказать, что все эти свойства сохраняются при рассмотрении компонентов векторов. Пока мы рассмотрели только свойства для векторов в двух измерениях в этом видео, все эти свойства распространяется на векторы в более высоких измерениях.

Объяснение урока: Свойства операций над векторами

В этом объяснении мы узнаем, как использовать свойства сложения и умножения над векторами.

Начнем с того, что вспомним, что вектор — это величина, имеющая как величину, так и направление. Вектор может быть представлен в подходящем пространстве направленным отрезком линии определенной длины. Это означает, что мы можем думать о векторах как о определяющих движениях, путешествующих в заданном направлении на заданное расстояние.

Эта идея позволяет нам сложить два вектора вместе; если оба вектора можно рассматривать как движение в заданном направлении на заданное расстояние, то их сумму можно рассматривать как комбинацию обоих объединенных движений.

В двух измерениях мы можем выбрать пространство, где мы можем представить величину и направление в терминах горизонтального и вертикального изменения. В этом пространстве вектор (𝑎,𝑏) имеет горизонтальную составляющую 𝑎 и вертикальную составляющую 𝑏. Мы можем думать об этом как о смещении на 𝑎 единиц по горизонтали и смещении на 𝑏 единиц по вертикали.

Это означает, что мы можем сложить два вектора вместе, учитывая их компоненты. Графически сумма двух векторов ⃑𝑢 и ⃑𝑣 представляет собой комбинированное перемещение. Следовательно, мы можем нарисовать конечную точку первого вектора как начальную точку второго вектора. Затем сумма векторов имеет начальную точку первого вектора и конечную точку второго вектора, как показано на следующей диаграмме.

Поскольку вектор ⃑𝑢+⃑𝑣 представляет смещение как ⃑𝑢, так и ⃑𝑣, он будет иметь горизонтальную составляющую, равную сумме горизонтальных составляющих ⃑𝑢 и ⃑𝑣, и вертикальную составляющую, равную сумме вертикальных составляющих ⃑𝑢 и ⃑𝑣 . Это дает нам следующее.

Теорема: сложение векторов в двух измерениях

Для любых двух векторов в двух измерениях ⃑𝑢=(𝑢,𝑢) и ⃑𝑣=(𝑣,𝑣), ⃑𝑢+⃑𝑣=(𝑢+𝑣,𝑢+𝑣).

Поскольку сумма любых двух векторов в двух измерениях также является двумерным вектором, мы можем сказать, что сложение векторов в двух измерениях замкнуто. Это иногда называют свойством замыкания сложения векторов.

Эта идея распространяется на более высокие измерения; однако в этом объяснении мы будем работать только в двух измерениях.

Мы также можем определить скалярное умножение вектора как скалярное умножение его компонентов. Графически скалярное умножение вектора на скаляр 𝑘 представляет собой расширение вектора на коэффициент 𝑘.

Теорема: скалярное умножение векторов в двух измерениях

Для любых векторов ⃑𝑢=(𝑢,𝑢) и скаляра 𝑘, 𝑘⃑𝑢=(𝑘𝑢,𝑘𝑢).

Давайте рассмотрим пример использования этих определений для ответа на вопрос, связанный со свойством сложения векторов.

Пример 1: Коммутативность сложения векторов

Выполните следующие действия: (1,9)+(5,2)=(5,2)+(,).

Ответ

Начнем с упрощения левой части уравнения. Чтобы найти сумму пары векторов, вспомним, что ⃑𝑢=(𝑢,𝑢) и ⃑𝑣=(𝑣,𝑣).

Тогда, ⃑𝑢+⃑𝑣=(𝑢+𝑣,𝑢+𝑣).

В нашем случае ⃑𝑢=(1,9) и ⃑𝑣=(5,2); поэтому, (1,9)+(5,2)=(1+5,9+2)=(6,11).

Это равно правой части данного уравнения, поэтому мы будем называть недостающий вектор ⃑𝑤=(𝑤,𝑤).

Тогда мы можем упростить правую часть данного уравнения: (5,2)+(𝑤,𝑤)=(5+𝑤,2+𝑤).

Приравнивая это к правой части уравнения, получаем (6,11)=(5+𝑤,2+𝑤).

Чтобы два вектора были равны, их соответствующие компоненты должны быть равны. Если соответствующие компоненты равны, мы получаем два уравнения: 6=5+𝑤,11=2+𝑤.

Мы можем решить их, чтобы увидеть 𝑤=1 и 𝑤=9, поэтому недостающий вектор равен ⃑𝑤=(1,9).

Есть второй способ показать это. Начнем со сложения векторов в левой части уравнения: (1,9)+(5,2)=(1+5,9+2).

Затем воспользуемся коммутативным свойством сложения: (1+5,9+2)=(5+1,2+9).

Наконец, мы можем использовать сложение векторов: (5+1,2+9)=(5,2)+(1,9).

Следовательно, пропущенный вектор равен (1,9).

Второй метод из приведенного выше вопроса можно обобщить на любые два вектора: (𝑢,𝑢)+(𝑣,𝑣)=(𝑢+𝑣,𝑢+𝑣)=(𝑣+𝑢,𝑣+𝑢)=(𝑣,𝑣)+(𝑢,𝑢).  

Другими словами, для любых векторов в двух измерениях ⃑𝑢 и ⃑𝑣, ⃑𝑢+⃑𝑣=⃑𝑣+⃑𝑢.

Это известно как коммутативность сложения векторов. Графическая интерпретация этого свойства показана на следующей диаграмме.

Если ⃑𝑢 и ⃑𝑣 отличны от нуля, то мы можем изобразить эти векторы как стороны параллелограмма. Тогда вектор диагонали этого параллелограмма может быть представлен как ⃑𝑢+⃑𝑣, так и ⃑𝑣+⃑𝑢, поэтому эти выражения должны быть равны.

Нам нужно иметь дело со случаем, когда один или оба из этих векторов являются нулевыми. Если ⃑𝑢=(𝑢,𝑢), то мы можем показать, что (𝑢,𝑢)+⃑0=(𝑢,𝑢)+(0,0)=(𝑢+0,𝑢+0)=(𝑢,𝑢).

Следовательно, ⃑𝑢+⃑0=⃑𝑢.

Это называется свойством аддитивной идентичности, поскольку добавление нулевого вектора не меняет вектор.

Мы также можем продемонстрировать свойства, связанные со скалярным умножением. Например, для любого вектора ⃑𝑢=(𝑢,𝑢), 1⃑𝑢=1(𝑢,𝑢)=(1𝑢,1𝑢)=(𝑢,𝑢)=⃑𝑢.

Следовательно, 1⃑𝑢=⃑𝑢.

Это называется свойством мультипликативной идентичности, поскольку умножение вектора на скаляр 1 не влияет на его величину или направление.

Существует множество свойств сложения векторов и скалярного умножения в двух измерениях. Мы не будем доказывать все это; однако все они могут быть получены путем рассмотрения компонентов векторов.

Теорема: свойства векторного сложения и скалярного умножения в двух измерениях

Для любых векторов скаляров 𝑛 и 𝑚 рассмотрим следующее.

• Свойства сложения векторов: ⃑𝑢+⃑𝑣=⃑𝑣+⃑𝑢⃑𝑢+⃑𝑣+⃑𝑤=⃑𝑢+⃑𝑣+⃑𝑤⃑𝑢+⃑0=⃑𝑢⃑𝑢0+−⃑ 𝑢+⃑𝑣=⃑𝑢+⃑𝑤,⃑𝑣=⃑𝑤.(коммутативное свойство)(ассоциативное свойство )(additiveidentityproperty)(additiveinverseproperty)Ifthen(eliminationproperty)
• Свойства скалярного умножения векторов: 𝑛⃑𝑢+⃑𝑣=𝑛⃑𝑢+𝑛⃑𝑣(𝑛+𝑚)⃑𝑢=𝑛⃑𝑢+𝑚⃑𝑢1⃑𝑢=⃑𝑢(𝑛𝑚)⃑𝑢=𝑛𝑚)⃑𝑢= 𝑛⃑𝑢=𝑛⃑𝑣,⃑𝑢=⃑𝑣.(дистрибутивное свойство)(дистрибутивное свойство)(мультипликативное тождественное свойство)(ассоциативное свойство )Ifthen(свойство устранения)

Все эти свойства верны для векторов размерностей выше двух и доказуемы алгебраически. Давайте теперь посмотрим на пример того, как мы можем использовать эти свойства для вычисления выражения, включающего векторы.

Пример 2. Упрощение векторного выражения с использованием свойств векторных операций

Учитывая, что ⃑𝑎=(1,5) и ⃑𝑏=(6,2), найти ⃑𝑎+⃑𝑏+−⃑𝑎.

Ответ

Мы можем ответить на этот вопрос напрямую, используя свойства сложения векторов. Во-первых, мы воспользуемся коммутативным свойством сложения векторов, чтобы переупорядочить выражение. Это говорит о том, что для любых векторов ⃑𝑢 и ⃑𝑣 ⃑𝑢+⃑𝑣=⃑𝑣+⃑𝑢.

Применение этого выражения к нашему выражению дает ⃑𝑎+⃑𝑏+−⃑𝑎=⃑𝑎+−⃑𝑎+⃑𝑏.

Далее мы воспользуемся аддитивным обратным свойством сложения векторов, чтобы упростить выражение. Это говорит нам о том, что для любого вектора ⃑𝑢 ⃑𝑢+−⃑𝑢=⃑0.

Применяя это к нашему выражению вместе с ассоциативным свойством сложения векторов, получаем ⃑𝑎+−⃑𝑎+⃑𝑏=⃑0+⃑𝑏.

Наконец, мы будем использовать свойство аддитивной идентичности, которое говорит, что для любого вектора ⃑𝑢, ⃑𝑢+⃑0=⃑𝑢.

Следовательно, ⃑0+⃑𝑏=⃑𝑏=(6,2).

Второй метод заключается в работе с компонентами ⃑𝑎 и ⃑𝑏: ⃑𝑎+⃑𝑏+−⃑𝑎=(1,5)+(6,2)+(−(1,5)).

Распределим минус по вектору, умножив все его компоненты на −1: (1,5)+(6,2)+(-(1,5))=(1,5)+(6,2)+(-1,-5).

Теперь найдем сумму векторов, сложив вместе их соответствующие компоненты: (1,5)+(6,2)+(-1,-5)=(1+6-1,5+2-5)=(6,2).

В нашем следующем примере мы увидим демонстрацию того, как применять ассоциативное свойство сложения векторов. Метод сложения этих векторов вместе путем нахождения суммы их соответствующих компонентов можно обобщить, чтобы показать, что свойство ассоциативности верно для произвольных векторов.

Пример 3. Проверка ассоциативности сложения векторов в двух измерениях

Учтите, что ⃑𝑎=(1,6), ⃑𝑏=(3,7) и ⃑𝑐=(6,3).

1. Найти ⃑𝑎+⃑𝑏+⃑𝑐.
2. Найти ⃑𝑎+⃑𝑏+⃑𝑐.
3. Равен ⃑𝑎+⃑𝑏+⃑𝑐 ⃑𝑎+⃑𝑏+⃑𝑐?

Ответ

Часть 1

Чтобы найти сумму этих векторов, складываем соответствующие компоненты: ⃑𝑎+⃑𝑏+⃑𝑐=(1,6)+((3,7)+(6,3)).

Вычисление выражения в круглых скобках дает (1,6)+((3,7)+(6,3))=(1,6)+(3+6,7+3)=(1,6)+(9,10).

Сложение соответствующих компонентов этих векторов дает (1,6)+(9,10)=(1+9,6+10)=(10,16).

Часть 2

Для начала, ⃑𝑎+⃑𝑏+⃑𝑐=((1,6)+(3,7))+(6,3).

Вычисление выражения в круглых скобках дает ((1,6)+(3,7))+(6,3)=(1+3,6+7)+(6,3)=(4,13)+(6,3).

Сложение соответствующих компонентов этих векторов дает (4,13)+(6,3)=(4+6,13+3)=(10,16).

Часть 3

Мы показали, что оба этих выражения упрощаются и дают один и тот же вектор: (10,16). Это пример ассоциативного свойства сложения векторов. Мы можем использовать этот пример, чтобы обобщить это свойство.

Пусть ⃑𝑢=(𝑢,𝑢), ⃑𝑣=(𝑣,𝑣), и ⃑𝑤=(𝑤,𝑤).

Тогда, ⃑𝑢+⃑𝑣+⃑𝑤=((𝑢,𝑢)+(𝑣,𝑣))+(𝑤,𝑤)=(𝑢+𝑣,𝑢+𝑣)+(𝑤,𝑤)=((𝑢+𝑣) +𝑤,(𝑢+𝑣)+𝑤).

Затем мы можем использовать ассоциативное свойство сложения, чтобы переписать этот вектор: ((𝑢+𝑣)+𝑤,(𝑢+𝑣)+𝑤)=(𝑢+(𝑣+𝑤),𝑢+(𝑣+𝑤))=⃑𝑢+⃑𝑣+⃑𝑤.  

Следовательно, для любых векторов в двух измерениях ⃑𝑢, ⃑𝑣 и ⃑𝑤 ⃑𝑢+⃑𝑣+⃑𝑤=⃑𝑢+⃑𝑣+⃑𝑤.

В нашем следующем примере мы опишем свойство скалярного умножения и докажем, что это свойство выполняется для произвольных векторов и произвольного скаляра.

Пример 4. Описание свойства скалярного умножения

Какое свойство показывает, что 𝑐⃑𝑎+⃑𝑏=𝑐⃑𝑎+𝑐⃑𝑏?

Ответ

Это свойство называется распределительным свойством скалярного умножения над векторным сложением. Он утверждает, что для любых векторов ⃑𝑎=(𝑎,𝑎) и ⃑𝑏=(𝑏,𝑏) и скаляр 𝑐, 𝑐⃑𝑎+⃑𝑏=𝑐⃑𝑎+𝑐⃑𝑏.

Мы можем доказать это, рассмотрев компоненты ⃑𝑎 и ⃑𝑏: 𝑐⃑𝑎+⃑𝑏=𝑐((𝑎,𝑎)+(𝑏,𝑏))=𝑐(𝑎+𝑏,𝑎+𝑏).

Затем, чтобы умножить вектор на скаляр 𝑐, мы умножаем каждый компонент на 𝑐, что дает нам 𝑐(𝑎+𝑏,𝑎+𝑏)=(𝑐(𝑎+𝑏),𝑐(𝑎+𝑏)).

Далее, мы знаем, что умножение является дистрибутивным по отношению к сложению: (𝑐(𝑎+𝑏),𝑐(𝑎+𝑏))=(𝑐𝑎+𝑐𝑏,𝑐𝑎+𝑐𝑏).

Наконец, мы можем переписать это как (𝑐𝑎+𝑐𝑏,𝑐𝑎+𝑐𝑏)=(𝑐𝑎,𝑐𝑎)+(𝑐𝑏,𝑐𝑏)=𝑐(𝑎,𝑎)+𝑐(𝑏,𝑏)=𝏐⃑𝑧裡+𝑑  

Это свойство известно как распределительное свойство скалярного умножения над скалярным сложением.

В следующем примере мы будем использовать свойства векторов, чтобы помочь нам определить недостающий вектор из векторного уравнения.

Пример 5. Проверка распределительного свойства скалярного умножения при сложении векторов

Выполните следующие действия: 2((2,5)+(5,1))=(,)+(10,2).

Ответ

Начнем с упрощения левой части уравнения. Во-первых, мы используем тот факт, что скалярное умножение является дистрибутивным по сравнению с векторным сложением: 2((2,5)+(5,1))=2(2,5)+2(5,1).

Затем мы можем вычислить скалярное умножение: 2(2,5)+2(5,1)=(2×2,2×5)+(2×5,2×1)=(4,10)+(10,2).

Приравнивая это к левой части уравнения, получаем (4,10)+(10,2)=(,)+(10,2).

Затем мы можем упростить это уравнение, используя свойство исключения сложения векторов, которое говорит нам, что если ⃑𝑢+⃑𝑣=⃑𝑢+⃑𝑤, то ⃑𝑣=⃑𝑤.

Чтобы было понятно, воспользуемся коммутативным свойством сложения векторов, чтобы переписать наше уравнение в виде (10,2)+(4,10)=(10,2)+(,).

Затем мы исключаем вектор (10,2), что дает нам (4,10)=(,).

Следовательно, пропущенный вектор равен (4,10).

В нашем последнем примере мы докажем аддитивное свойство, обратное сложению векторов.

Пример 6. Описание свойства аддитивных инверсий для сложения векторов

Какое свойство сложения показывает, что ⃑𝑎+−⃑𝑎=⃑0?

Ответ

Это свойство называется аддитивным обратным свойством сложения векторов. Мы можем доказать это свойство, рассматривая компоненты вектора ⃑𝑎. Сначала пусть ⃑𝑎=(𝑎,𝑎).

Тогда, −⃑𝑎=(−1)(𝑎,𝑎)=(−𝑎,−𝑎).

Затем мы можем подставить это в наше выражение и вычислить: ⃑𝑎+−⃑𝑎=(𝑎,𝑎)+(−𝑎,−𝑎)=(𝑎−𝑎,𝑎−𝑎)=(0,0)=⃑0.

Это аддитивное обратное свойство состояний сложения векторов для любого вектора ⃑𝑎=(𝑎,𝑎), ⃑𝑎+−⃑𝑎=⃑0.

Давайте закончим повторением некоторых важных моментов этого объяснения.

Ключевые моменты

• Мы можем использовать свойства векторного сложения и скалярного умножения для упрощения выражений с участием векторов.

Как решить линейное уравнение: пошаговая инструкция

1. Что такое линейное уравнение?
2. Как решать линейные уравнения?
3. Какие операции можно выполнять с линейными уравнениями?
4. Решение системы линейных уравнение методом Крамера
5. Решение систем уравнений методом Гаусса

Линейные уравнения школьники решают, начиная с седьмого класса. С каждым годом примеры усложняются и для их успешного решения необходимо хорошо знать материал предыдущих годов. 

Старшеклассники и студенты технических специальностей оперируют целыми системами линейных уравнений и решают их разными методами. С понятием линейных уравнений и несколькими способами решения систем уравнений вы познакомитесь в этой статье.

Что такое линейное уравнение?

Уравнение вида а*х=b, где а и b – это какие-то числа, называется линейным. Если ученика 7 класса попросят решить уравнение Х*2=6, он сразу же ответит, что Х=3. Это и есть линейное уравнение. Записывается в рабочей тетради оно следующим образом.

Х*2=6
Х=3

Число, при котором уравнение превращается в верное равенство, называется корнем уравнения.

3х=7 – это линейное уравнение, потому что в нем на месте а и b стоят определенные числа и присутствует переменная х. А уравнение х2+х=9 нельзя назвать линейным, потому что в общем виде линейного уравнения переменная находится в первой степени, а в данном примере х во второй степени.

Рассмотрим еще одно уравнение.

В нем присутствует деление на переменную, которое отсутствует в общем виде линейного уравнение, поэтому данное уравнение не является линейным. 

Подытожим: в линейном уравнении переменная должна быть в первой степени и на нее нельзя делить.

Как решать линейные уравнения?

Рассмотрим решение на примере следующего линейного уравнения.

11 * х = -132

Все линейные уравнения такого вида решаются по аналогии с примерами 5 и 6 класса, в которых присутствовали два множителя и произведение. Чтобы найти второй множитель, нужно произведение разделить на первый множитель.

х = -132 / 11

х = -12

Такое уравнение имеет один корень. Но бывают и другие ситуации. Например, у уравнения 0*Х=13 нет корней, потому что на ноль делить нельзя. А в уравнении 0*Х=0 бесконечно много корней, потому что любое число при умножении на ноль будет равно нулю. Поэтому линейное уравнение может иметь:

• Один корень;
• Ни одного корня;
• Бесконечно много корней (только в варианте 0*Х=0).

Уравнения с модулем — презентация онлайн

Цель: повторить , обобщить и
систематизировать знания учащихся о
модуле и его свойствах, умения решать
различные уравнения , содержащие
модуль.

2. Определение модуля

а, если а 0,
а
а, если а 0.
ab a b
x
x
, y 0.
y
y
x x
2
2
x2 x
x y x
2
y
log a x 2 2 log a x

3. Геометрический смысл модуля

Геометрически x есть расстояние
от точки х числовой оси до начала
отсчёта – точки О.
x
x
0
x 0
x
x a
есть расстояние между
точками х и а числовой оси.
x
x
0
x a
x
0
a
x
a x 0
1.Простейшее уравнение,
содержащее модуль, где b>0:
f ( x) b,
f ( x) b
f ( x) b.
2.Уравнение более общего вида,
содержащее модуль:
g ( x) 0,
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x),
f ( x) g ( x).

5. Простейшие уравнения вида ,b>0.

Простейшие уравнения вида f ( x) b ,b>0.
1.
По определению модуля
2 x 3 5,
2 x 8,
x 4,
2x 3 5
2 x 3 5 2 x 2 x 1.
Ответ : 1;4

6. Уравнения более общего вида

f ( x) g ( x)
Условие
g ( x) 0
2 x 0,
x 2,
x 2,
x 2,
3. x 4 3(2 x) x 4 3(2 x), x 4 6 3x, 4 x 2, x 0,5, x 0,5.
x 4 3(2 x) x 4 6 3x 2 x 10 x 5
Ответ : 0,5.

7. Уравнения вида

f ( x) g ( x) .
уравнение
f ( x) g ( x) 0, f ( x) g ( x),
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( f ( x) g ( x))( f ( x) g ( x)) 0
f ( x) g ( x) 0. f ( x) g ( x).
2
2
4
x ,
6 x 5 7 3 x ,
9 x 12,
3
12. 6 x 5 7 3 x
6 x 5 (7 3 x) 3 x 2
x 2 .
3
2 1
Ответ : ,1 .
3 3

8. Уравнения, приводимые к уравнениям, содержащим модуль.

Иррациональное уравнение
2 x 5 3x 10,
8. 4 x 20 x 25 3x 10 (2 x 5) 3x 10
3x 10 0
2
2
x 3,
2 x 5 3x 10, 5 x 15,
x 5,
2 x 5 3x 10, x 5,
x 5.
1
3x 10 0
3x 10
x
3
3
Ответ : 5.

9. Уравнения, приводимые к уравнениям, содержащим модуль.

f ( x) b f ( x) b
2
log a f ( x) b 2 log a f ( x) b
2

10. Уравнения, приводимые к уравнениям, содержащим модуль

Логарифмическое уравнение
x 27,
9. log 3 x 6 2 log 3 x 6 log 3 x 3 x 27
x 27.
Ответ : 27;27.
2

11. Иррациональные уравнения, содержащие модуль.

В силу того, что
однозначно
.
x 2,5 модуль x 4
раскрывается
2
2
5
9
x
x
4
4
x
2
0
x
2
5
,
2
5
9
x
x
4
5
2
x
2
5
9
x
x
4
2
x
5
2
x
5
0
;
x
0
,
2
2 2
2
9
x
x
4
4
x
2
0
x
,
9
x
3
6
x
4
x
2
0
x
0
,
5
x
1
6
x
0
,
1
x
0
.
x
3
,
x
2
,
5
;
x
2
,
5
;
5
x
2
,
5
;
x
2
,
5
;

12.

Замена модуля.x 2 1 t,
x2 1 t,
2
( x 2 1) 2 7 x 2 1 18 0 x 2 1 7 x 2 1 18 0 t 0,
t 0,
t 2 7t 18 0 t 9,
t 2
2
2
x 10,
x
1
9
,
x
10,
2
2
x 1 9 2
2
x 10
x 1 9 x 8
x 10.
Îòâåò : 10 ; 10.
Уравнения, содержащие несколько модулей
и те, которые не сводятся к виду │f(x) │= g(x) решаются
с помощью метода интервалов:
1.Найдём значения x, при которых значение выражений,
стоящих под знаком модуля, равны нулю.
2.Найденные значения x разбивают ОДЗ на промежутки.
3.Запишем на каждом из промежутков уравнение без
знаков модуля. Получим совокупность систем.

14. Уравнения, содержащие несколько модулей. ( Решаемые с помощью метода интервалов)

10. x 1 x 2 x 3
1.Найдём значения х, при которых значения
выражений, стоящих под знаком модуля, равны 0:
х -1 = 0 при х = 1.
х – 2=0 при х = 2.
2. Эти значения разбивают ОДЗ на промежутки:
( ;1), 1;2 , (2; ).
3.Запишем на каждом из промежутков данное
уравнение без знаков модуля.
Получим совокупность систем.

15. Уравнение, содержащее несколько модулей.

Метод интервалов
x 1,
x 1,
x 1,
(
x
1
)
(
x
2
)
x
3
,
x
1
x
2
x
3
,
3x 0,
1 x 2,
1 x 2,
1 x 2, x 0,
x 1 x 2 x 3
( x 1) ( x 2) x 3,
x 1 x 2 x 3,
x 2,
x 6.
x
2
,
x
2
,
x 2,
( x 1) ( x 2) x 3
x 1 x 2 x 3
x 6
Îòâåò : 0;6.

16. Домашнее задание: Решите уравнения

1. 2 x 3 5
2. 1
x 3
5
4
3. x 4 3( 2 x )
4. 8 5 x 2
5. 36 5 x x 3 6 x
6.( x 2 1) 7 x 2 1 18 0
7. x 2 x 3 5
8. 4 x 2 20 x 25 3 x 10
9.9 log 3 x 2 6
10. x 1 x 2 x 3
11. log 22 ( x ) 3 log 2 x 2 5 0
12. 6 x 5 7 3 x
13. 8 x 1 4 x `13
14. 25 9 x x 4 5 2 x

Решение уравнений с модулями и параметрами

Цель урока. Решение уравнений с параметрами и модулями, применяя свойства функций в неожиданных ситуациях и освоение геометрических приемов решения задач. Нестандарные уравнения.

Задачи:

• Образовательные: научить решать некоторые виды  уравнений уравнений модулями и параметрами;
• Развивающие: развивать культуру мысли, культуру речи и умение работать с тетрадью и доской.
• Воспитательные: воспитывать самостоятельность и умение преодолевать трудности.

Оборудование: наглядный материал для устного счёта и объяснения новой темы. Интерактивная доска, мультимедийное оборудование урока.

Структура урока:

1. Повторение изученного материала (устный счёт).
2. Изучение нового материала.
3. Закрепление изученного материала.
4. Итог урока.
5. Домашнее задание.

ХОД УРОКА

1. Повторение  важнейшего теоретического материала по темам: «Уравнения, содержащие модуль»,  «Решение уравнений с параметрами»

1) «Уравнения, содержащие модуль»

Абсолютной величиной или модулем числа a называется число a, если a > 0, число – a, если a < 0, нуль, если a = 0. Или

| a | ={	a, если a > 0
	0, если a = 0
	– a, если a < 0

Из определения следует, что | a |  > 0 и | a | > a для всех a  € R .
Неравенство | x |  < a,  (если a > 0) равносильно двойному неравенству – a < х < a.
Неравенство | x | < a,  (если a < 0) не имеет смысла, так как | х | >0.
Неравенство | x | > a,  (если a > 0) равносильно двум неравенствам
Неравенство | x | > a,  (если a < 0) справедливо для любого х € R.

2) «Решение уравнений с параметрами» 

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и  каковы они.

а) определить  множество допустимых значений неизвестного и параметров;

б) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнения.

2. Устные упражнения

1. Решить уравнение | x – 2 | = 5;  Ответ: 7; – 3

| x – 2 | = – 5; Ответ:  решения нет

| x – 2 | = х + 5; Ответ:  решения нет; 1,5

| x – 2 | = | x + 5 |; Ответ:  решения нет; – 1,5; решения нет; – 1,5;

2. Решить уравнение: | x + 3 | + | y – 2 | = 4;

Расcмотрим четыре случая 

1.

{	x + 3 > 0	{	x > – 3
	y – 2 > 0		y > 2
	x + 3 + y – 2 = 4		y = – x + 3

2.

{	x + 3 > 0	{	x > – 3
	y – 2 < 0		y < 2
	x + 3 – y + 2 = 4		y = x + 1

3.

{	x + 3 < 0	{	x < – 3
	y + 2 > 0		y > – 2
	– x – 3 – y – 2 = 4		y = x + 9

4.

{	x + 3 < 0	{	x < – 3
	y + 2 < 0		y < – 2
	– x – 3 – y – 2 = 4		y = –  x – 9

В результате мы получаем квадрат,  центр которого (–3; 2), а длина диагонали равна 8, причем диагонали параллельны осям координат.

Из наглядных соображений можно сделать вывод: что уравнение вида | х + a | + | у + b | =  с; задает на плоскости квадрат с центром в точке (– а; – b), диагоналями параллельными осям OX и ОУ, и длина каждой диагонали равна 2с. Ответ:  (– 3; 2).

2. Решить уравнение aх = 1

Ответ: если a = 0, то нет решения; если a = 0, то х = 1/ a

3. Решить уравнение (а² – 1) х = а + 1.

Решение.

Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достаточно рассмотреть такие случаи:

1) а = 1; тогда уравнение принимает вид ОX = 2 и не имеет решения

2) а = – 1; получаем ОX = О , и очевидно х – любое.

                                       1
3) если а = + 1, то х = –––
                                    а – 1

Ответ:
если а = – 1, то х – любое;
если а = 1, то нет  решения;

                                    1
если а = + 1 , то х = –––
                                 а – 1

3. Решения примеров  (из вариантов С)

1. При каком значении параметра р  уравнение | х² – 5х + 6 | + | х² – 5х + 4 | = р имеет четыре корня.

Решение.

Рассмотрим функцию у = | х² – 5х + 6 | + | х² – 5х + 4 |

Так как х² – 5х + 6 = (х – 2)(х – 3) и х² – 5х + 4 = (х – 1)(х – 4), то y = | (х – 2)(х – 3) | + | (х – 1)(х – 4) |, корни квадратных трехчленов отметим  на числовой прямой

        1        2       3       4                           х

Числовая прямая при этом разбивает на 5 промежутков

1. 

{	x < 1	{	x < 1
	y = x2 – 5x + 6 + x2 – 5x + 4		y = 2x2 – 10x + 10

2.

{	1 < x < 2	{	1 < x < 2
	y  = x2 – 5x + 6 –  x2 + 5x – 4		y = 2

3.

{	2 < x < 3	{	2 < x <3
	y = – 2x2 + 10x – 10		y = – x2 + 5x – 6 –  x2 + 5x – 4

4.

{	3 < x < 4	{	3 < x < 4
	y = 2		y = x2 – 5x + 6 – x2 + 5x – 4

5.

{	x > 4	{	x > 4
	y = 2x2 – 10x + 10		y= x2 – 5x + 6 + x2 –5x + 4

Для случая 3) х₀ = – b | 2a = 2, y₀ = 25 : 2 + 25 – 10 = 2,5

Итак, (2,5; 2,5) – координаты вершины параболы y = – 2x² + 10x – 10.

Построим график функции, заданной равенством

Как видно из рисунка, исходное уравнение имеет четыре корня, если 2 < а < 2,5

Ответ: при  2 < а < 2,5

4. Самостоятельная работа по уровням

1 уровень

1.  Решить уравнение х² – | x | = 6
2. При каких целых значениях а имеет единственное решение уравнение ах² – (а + 1) + а² + а = 0?

2 уровень

1. Решить уравнение: | x – 5 | – | 2x + 3 | = 10
2. Найти все  значениях параметра а, при  которых  уравнение (а –12) х² + 2 = 2(12 – а) имеет два различных корня?

3 уровень

1. Решить уравнение | x – 5 | – | 2x + 3| = 10
2. Найти все  значениях параметра а, при  которых уравнение (а – 12) х² + 2 = 2(12 – а) имеет два различных корня?

5. Итог урока

1. Определение модуля.
2. Что значит решить уравнение с параметром?

6. Задание на дом. C5 варианта №11 Ф.Ф. Лысенко. Математика, 2012

Дифференциальные уравнения — Понижение порядка

Понижение порядка требует, чтобы решение уже было известно. Без этого известного решения мы не сможем сделать понижение порядка.

Как только мы получим это первое решение, мы предположим, что второе решение будет иметь форму

\[\begin{equation}{y_2}\left( t \right) = v\left( t \right){y_1}\left( t \right)\label{eq:eq1}\end{equation}\]

для правильного выбора \(v(t)\). Чтобы определить правильный выбор, мы подставляем предположение в дифференциальное уравнение и получаем новое дифференциальное уравнение, которое можно решить относительно \(v(t)\). 9{ — 1}}} \right)v & = 0\\ 2tv» — 3v’ & = 0\end{align*}\]

Обратите внимание, что при упрощении остаются только члены, включающие производные от \(v\). Член, включающий \(v\), выпадает. Если вы сделали всю свою работу правильно, это всегда должно происходить. Иногда, как в случае повторяющихся корней, выпадает и первый член производной.

Таким образом, чтобы \(\eqref{eq:eq1}\) было решением, \(v\) должно удовлетворять

\[\begin{уравнение}2tv» — 3v’ = 0\label{eq:eq2}\end{уравнение}\]

Похоже, это проблема. Чтобы найти решение дифференциального уравнения второго порядка с непостоянными коэффициентами, нам нужно решить другое дифференциальное уравнение второго порядка с непостоянными коэффициентами.

Однако проблема не в этом, как кажется. Поскольку член, включающий \(v\), выпадает, мы действительно можем решить \(\eqref{eq:eq2}\), и мы можем сделать это со знаниями, которые у нас уже есть на данный момент. Мы решим это, сделав следующие изменение переменной .

\[w = v’\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25in}w’ = v»\]

С этим изменением переменной \(\eqref{eq:eq2}\) становится

\[2tw’ — 3w = 0\]

и это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, которое мы можем решить. Это также объясняет название этого метода. Нам удалось свести дифференциальное уравнение второго порядка к дифференциальному уравнению первого порядка. 9{\ гидроразрыва {5} {2}}} + к \]

Это наиболее общее возможное \(v(t)\), которое мы можем использовать для получения второго решения. Итак, как и в разделе с повторяющимися корнями, мы можем выбрать константы, которые захотим, поэтому выберите их, чтобы очистить все посторонние константы. В этом случае мы можем использовать

\[c = \frac{5}{2}\hspace{0,25 дюйма}k = 0\]

Их использование дает следующее для \(v(t)\) и для второго решения. 9{\ гидроразрыва {3} {2}}} \]

Если бы нам были заданы начальные условия, мы могли бы дифференцировать, применить начальные условия и найти константы.

Обзор системных решений | Колледж Алгебра

Результаты обучения

• Определите три типа возможных решений системы двух линейных уравнений.
• Используйте график, чтобы найти решение(я) системы двух линейных уравнений.

Чтобы исследовать такие ситуации, как ситуация с производителем скейтбордов, мы должны понимать, что имеем дело с более чем одной переменной и, вероятно, с более чем одним уравнением. А система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, составленных из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно. Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно. Некоторые линейные системы могут не иметь решения, а другие могут иметь бесконечное число решений. Чтобы линейная система имела единственное решение, в ней должно быть не меньше уравнений, чем переменных. Тем не менее, это не гарантирует уникальности решения.

В этом разделе мы рассмотрим системы линейных уравнений с двумя переменными, которые состоят из двух уравнений, содержащих две разные переменные. Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными.

[латекс]\begin{align}2x+y&=15\\[1mm] 3x-y&=5\end{align}[/latex]

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными: любая упорядоченная пара, удовлетворяющая каждому уравнению независимо. В этом примере упорядоченная пара [латекс](4,7)[/латекс] является решением системы линейных уравнений. Мы можем проверить решение, подставив значения в каждое уравнение, чтобы увидеть, удовлетворяет ли упорядоченная пара обоим уравнениям. Вскоре мы исследуем методы нахождения такого решения, если оно существует.

[латекс]\begin{align}2\left(4\right)+\left(7\right)&=15 &&\text{True} \\[1mm] 3\left(4\right)-\ left(7\right)&=5 &&\text{True} \end{align}[/latex]

Помимо учета количества уравнений и переменных, мы можем классифицировать системы линейных уравнений по количеству решений. непротиворечивая система уравнений имеет хотя бы одно решение. Непротиворечивая система считается независимой системой , если она имеет единственное решение, как в примере, который мы только что рассмотрели. Две линии имеют разные наклоны и пересекаются в одной точке плоскости. Непротиворечивая система считается зависимая система , если уравнения имеют одинаковый наклон и одинаковые и -перехваты. Другими словами, прямые совпадают, поэтому уравнения представляют одну и ту же прямую. Каждая точка на прямой представляет собой пару координат, удовлетворяющую системе. Таким образом, существует бесконечное множество решений.

Другим типом системы линейных уравнений является противоречивая система , в которой уравнения представляют две параллельные линии. Линии имеют одинаковый наклон и разные г- перехватов. Нет общих точек для обеих прямых; следовательно, система не имеет решений.

A Общее примечание: Типы линейных систем

Существует три типа систем линейных уравнений с двумя переменными и три типа решений.

• Независимая система имеет ровно одну пару решений [латекс]\влево(х,у\вправо)[/латекс]. Точка пересечения двух прямых является единственным решением.
• несогласованная система не имеет решения. Обратите внимание, что две линии параллельны и никогда не пересекаются.
• зависимая система имеет бесконечно много решений. Линии совпадают. Это одна и та же линия, поэтому каждая пара координат на линии является решением обоих уравнений.

Ниже приведено сравнение графических представлений каждого типа системы.

Как: Имея систему линейных уравнений и упорядоченную пару, определить, является ли упорядоченная пара решением.

1. Подставьте упорядоченную пару в каждое уравнение в системе.
2. Определить, верны ли утверждения в результате замены в обоих уравнениях; если да, то упорядоченная пара является решением.

Пример. Определение того, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений

Определить, является ли упорядоченная пара [латекс]\влево(5,1\вправо)[/латекс] решением данной системы уравнений.

[латекс]\begin{align}x+3y&=8\\ 2x-9&=y \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Определите, является ли упорядоченная пара [латекс]\левый(8,5\правый)[/латекс] решением следующей системы.

[латекс]\начало{собрано}5x — 4y=20\\ 2x+1=3y\конец{собрано}[/латекс]

Показать решение

Решение систем уравнений с помощью графика

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений. Для системы линейных уравнений с двумя переменными мы можем определить как тип системы, так и решение, построив график системы уравнений на одном и том же наборе осей.

Пример. Решение системы уравнений с двумя переменными с помощью графика

Решите следующую систему уравнений с помощью графика. Определите тип системы.

[латекс]\begin{align}2x+y&=-8\\ x-y&=-1\end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений с помощью графика.